2esomapi Gd Esu04

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

4

ESO

Magnitudes proporcionales

2 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma podrás encontrarlas en el CD Programación y en www.smconectados.com.

Programación de aula


Unidad 4

Los alumnos ya conocen la diferencia entre razón y proporción, identifican magnitudes directamente proporcionales y aplican el cálculo de porcentajes. En esta unidad se refrescan los conceptos anteriores y se completa el aprendizaje de la proporcionalidad numérica introduciendo las magnitudes inversamente proporcionales y los repartos proporcionales, tanto directos como inversos. La proporcionalidad no solo hay que trabajarla desde el punto de vista de algoritmos, sino que donde más se debe insistir es en sus aplicaciones a las ciencias y a la vida cotidiana, como los repartos proporcionales, el tanto por ciento y las variaciones porcentuales. El método para el aprendizaje de los contenidos sobre la relación de proporcionalidad inversa sigue las mismas pautas que en la proporcionalidad directa. En un primer momento se introduce la constante de proporcionalidad, analizando sus propiedades a través del estudio de un ejemplo concreto, y se completan tablas de datos inversamente proporcionales. A continuación se introduce el método de reducción a la unidad para resolver problemas. Esta unidad no se puede concebir sin la resolución de problemas. Los contenidos desarrollados a lo largo de la unidad se prestan fácilmente y de forma adecuada a ser aplicados en ejemplos concretos y cercanos a lo real. Se debe hacer hincapié también en el uso de la terminología adecuada para expresar la resolución de los problemas, y potenciar tanto la comprensión de la realidad como la capacidad para manifestar ideas y relaciones entre magnitudes.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

OBJETIVOS 1. Identificar relaciones de proporcionalidad numérica y utilizarlas para resolver problemas en situaciones de la vida cotidiana.

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.1 Identificar si cuatro números forman una proporción y calcular sus términos. 1.2 Reconocer y distinguir magnitudes directa e inversamente proporcionales.

• Lingüística • Matemática

1.3 Realizar repartos directa e inversamente proporcionales. 1.4 Resolver y plantear problemas en los que intervenga la proporcionalidad. 2. Conocer y usar los porcentajes, relacionándolos con su razón y con su número decimal.

• Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender

2.1 Calcular porcentajes. 2.2 Resolver problemas de porcentajes.

CONTENIDOS • Razón entre dos números

• Índice de variación porcentual

• Proporción

• Porcentajes encadenados

• Términos de una proporción

• Magnitudes inversamente proporcionales

• Propiedad fundamental de las proporciones

• Razón de proporcionalidad inversa

• Magnitudes directamente proporcionales • Razón de proporcionalidad directa

• Construcción de tablas de magnitudes inversamente proporcionales

• Construcción de tablas de magnitudes directamente proporcionales

• Repartos inversamente proporcionales

• Método de reducción a la unidad • Repartos directamente proporcionales • Porcentajes 2

Unidad 4


• Valoración positiva de la necesidad de utilizar los conceptos relacionados con las magnitudes proporcionales para resolver problemas de la vida cotidiana y de otras ciencias


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para que los alumnos realicen un aprendizaje significativo de los contenidos de la unidad es preciso que dominen el concepto de fracción equivalente y que tengan agilidad a la hora de simplificar y operar con fracciones.

2. Previsión de dificultades Los alumnos tendrán dificultad a la hora de identificar la relación entre magnitudes, ya que les cuesta distinguir entre directa e inversa. Para solventarlo conviene que les planteemos siempre preguntas del estilo “si se duplica la magnitud A, ¿qué pasa con la B?”, y que vean por ellos mismos que en el caso de proporcionalidad directa, cuando una magnitud se multiplica, la otra también lo hace en la misma proporción, y que cuando manejamos magnitudes inversas pasa lo contrario: al multiplicar una, la otra queda dividida en la misma proporción. Otra de las dificultades que encontraremos es la tendencia que tendrán los alumnos a sumar los porcentajes encadenados en vez de aplicarlos sucesivamente.

3. Vinculación con otras áreas La relación de proporcionalidad entre magnitudes está presente en algunos fenómenos de las ciencias y la tecnología, como la masa y el peso, el espacio recorrido por un cuerpo durante un tiempo a velocidad constante o el tiempo que tarda un móvil en recorrer una distancia fija y la velocidad que lleva.

4. Esquema general de la unidad Se estudian en esta unidad las magnitudes proporcionales. En primer lugar se recuerdan los conceptos de razón y proporción. Posteriormente se caracterizan las magnitudes directamente proporcionales y se aplican a problemas de reparto directo, porcentaje y variaciones porcentuales. La unidad termina con el estudio de las magnitudes inversamente proporcionales y su aplicación a problemas de reparto inverso.

MAGNITUDES PROPORCIONALES Razón y proporción

Magnitudes directamente proporcionales

Magnitudes inversamente proporcionales Repartos

Porcentajes

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción: desarrolla tus competencias 2.ª Razón y proporción. Magnitudes directamente proporcionales 3.ª Repartos directamente proporcionales 4.ª Porcentajes. Variaciones 5.ª Magnitudes inversamente proporcionales 6.ª Repartos inversamente proporcionales 7.ª Actividades de consolidación 8.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 4

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales de “El hombre que calculaba” desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores.

Competencia social y ciudadana A través de la lectura del texto y de las actividades de “Cobrando por horas” de las páginas de “Pon a prueba tus competencias” se puede tratar la subcompetencia de desarrollo personal y social.

Competencia cultural y artística En la búsqueda de información sobre la proporción áurea y cordobesa podremos trabajar la subcompetencia de sensibilidad artística.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital A lo largo de la unidad aparecen en “Librosvivos” y “En la red” varias referencias para realizar actividades interactivas y buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información. Al tener que realizar cálculos con porcentajes, también trabajaremos la subcompetencia de uso de las herramientas tecnológicas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Las actividades de trabajo en grupo desarrollan la subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.

Competencia de autonomía e iniciativa personal La realización de un trabajo artístico y su posterior exposición en la clase permite trabajar las subcompetencias de planificación y desarrollo de proyectos y de liderazgo.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas.

4

Unidad 4



TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

1.er nivel de concreción

2.º nivel de concreción

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Lingüística

Comunicación escrita en diferentes contextos

Razonamiento y argumentación

Matemática

Social y ciudadana

Cultural y artística

Conocer y comprender diferentes tipos de textos con distintas intenciones comunicativas.

– Lee un texto y obtiene información.

Adquirir el hábito de la lectura y aprender a disfrutar con ella considerándola fuente de placer y conocimiento.

– Muestra gusto por la lectura.

Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de la información.

– Resuelve un problema paso a paso.

Estimar y enjuiciar la lógica y validez de argumentaciones e informaciones y analizar críticamente los resultados.

– Analiza si las soluciones obtenidas son correctas.

Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

Uso de elementos y herramientas matemáticos

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

Desarrollo personal y social

Desarrollar el juicio moral para tomar decisiones y razonar críticamente sobre la realidad de forma global, teniendo en cuenta la existencia de distintas perspectivas.

Sensibilidad artística

Comprender y valorar críticamente diferentes manifestaciones culturales y artísticas.

Pon a prueba tus competencias: Lee y contrasta, 1 y 2

Pon a prueba tus competencias: Lee y contrasta

Pon a prueba tus competencias: Lee y contrasta, 1 Calcula y analiza, 2

Pon a prueba tus competencias: Lee y contrasta, 5 – Conoce el funcionamiento de la lotería. Desarrolla tus competencias – Analiza ofertas y elige la mejor. Actividades 49 y 64 – Realiza operaciones con fracciones. Actividad 75 Pon a prueba tus competencias: Lee y contrasta, 4 – Compara el sueldo de un futbolista con el salario medio español. Pon a prueba tus competencias: Calcula y analiza, 3 – Aprecia la aplicación de las proporciones en el arte. En la red – Visita la página librosvivos.net.

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

Actividades 5, 22, 27 y 32 Interactivos Investiga – Obtiene información o hace actividades en Internet. En la red

Aprender a aprender

Construcción del conocimiento

Ser capaz de aplicar nuevos conocimientos en situaciones parecidas y variedad de contextos.

– Aplica lo aprendido sobre la proporcionalidad. A lo largo de la unidad


Unidad 4

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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación ciudadana: actividad 72 • Educación medioambiental: actividad 71 • Educación para el desarrollo: actividades 61 y 62

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuaderno de Matemáticas. 1.º de ESO. N.º 4. “Proporcionalidad, gráficas y estadística” Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de Matemáticas. 2.º de ESO. “Aprende y aprueba” SM

– Unidad 5. Proporcionalidad • Cuaderno de Matemáticas. 2.º de ESO. N.º 4. “Proporcionalidad, funciones y estadística” – Unidad 1. Proporcionalidad numérica • Cuaderno de Matemáticas para la vida. 2.º de ESO – “Viaja y cambia”, “¿Chollos o camelos?” y “El sol más rentable” • Cuadernos de resolución de problemas I y II

Internet

SM

Otros materiales

Otros

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Unidad 4

www.smconectados.com www.librosvivos.net Unidad sobre proporcionalidad del libro digital de educación a distancia: www.e-sm.net/2esomatprd06

• Calculadora • Hoja de cálculo y programas como WIRIS que permiten calcular porcentajes de manera rápida y eficaz • Prensa diaria y revistas


Sugerencias didácticas Desarrolla tus competencias

ACTIVIDADES POR NIVEL

La lectura comprensiva del texto de entrada es necesaria para realizar las actividades propuestas.

Básico

2, 3 y 33 a 36

Medio

4, 37 y 38

En primer lugar podemos realizar una lectura común del texto, para a continuación pedir a los alumnos que lean para sí mismos las seis actividades.

Alto

Una vez que hayan leído las preguntas sería conveniente que leyesen de nuevo el texto extrayendo los datos necesarios para contestarlas. Deben identificar billete con número y comprender en cuántas partes o fracciones se divide un billete. Para ver si la información que han obtenido es la correcta, podemos preguntarles cuántos décimos tiene un billete. En la mayoría de las actividades es preciso realizar operaciones con números muy grandes, por lo que conviene indicar a los alumnos que utilicen calculadora. Si optamos por que no utilicen calculadora, les recordaremos la utilidad de la notación científica para expresar números grandes y la multiplicación de números múltiplos de potencias de 10. Las actividades I a IV son de mero cálculo; sin embargo, en las dos últimas los alumnos deberán contestar razonadamente.

1. Proporción numérica • El concepto de razón ya lo conocen los alumnos de otros años, pero tienen dificultades a la hora de diferenciar entre razón entre a y b y razón entre b y a. Para que comprendan la diferencia les pondremos ejemplos del tipo: 12 La razón entre 12 y 3 es = 4 e indica que 12 contiene 3 3 1 4 veces a 3; sin embargo, la razón entre 3 y 12 es = 12 4 e indica que 3 contiene una cuarta parte de 12. Para ilustrar esta idea también podemos utilizar recetas de cocina, por ejemplo, la del clásico bizcocho de yogur, que nos dice que la proporción de harina y azúcar es de 3 a 2, es decir, que por cada 3 medidas de harina tiene que haber 2 de azúcar. Evidentemente, el bizcocho no quedaría igual si echáramos para la masa 3 medidas de azúcar y 2 de harina. Además, deberíamos indicar a los alumnos que de la cantidad total de harina y azúcar que lleva 3 2 el bizcocho, son de harina, y , de azúcar. 5 5 • La razón áurea o de proporcionalidad divina ya es conocida por los alumnos y puede servirnos para ilustrar el concepto de razón, pero en el margen del epígrafe encontramos un enlace que nos lleva a la descripción de una razón nueva, la cordobesa, cuya proporción es 1, 3. En este artículo encontraremos un estudio de la misma comparándola con la divina. • Como los alumnos identifican con soltura fracciones equivalentes, no encontraremos dificultades a la hora de ver si cuatro números forman una proporción, ya que se reduce a comprobar si las fracciones que representa cada una de las razones son equivalentes. • A la hora de hallar términos desconocidos en una proporción podremos encontrar dificultades, en especial cuando no se trata de hallar directamente uno de los términos, ya que la resolución de ecuaciones se recuerda en unidades posteriores.

75 y 78

75. Con la resolución de esta actividad contribuiremos al desarrollo de la subcompetencia Construcción del conocimiento. Podemos guiar a los alumnos, indicándoles que en ocasiones una buena táctica para resolver un problema es dividirlo en partes más pequeñas que, al recomponerlas, nos llevan a la solución. Este problema en concreto lo podemos dividir de tal manera que la información quede ordenada: 1.º ¿Qué razón hay entre los hombres y las mujeres de la competición? 2.º ¿Cuántos hombres y mujeres participan? 3.º ¿Cuántos participan en la modalidad de pareja?

2. Magnitudes directamente proporcionales • Para comprobar si dos magnitudes son directamente proporcionales cuando los datos vienen recogidos en forma de tabla, los alumnos no tendrán problemas, ya que lo único que tienen que hacer es comprobar que se mantiene la misma proporción. • A la hora de identificar magnitudes directamente proporcionales en problemas contextualizados es conveniente que comprueben que si una aumenta (o disminuye), la otra aumenta (o disminuye) en la misma proporción. • En el ejemplo del epígrafe se resuelve el ejercicio aplicando la proporción, pero los alumnos están acostumbrados a aplicar la regla de tres simple directa y el método de reducción a la unidad. Conviene que realicemos alguno de los ejercicios por estos métodos, para recordarlos brevemente. • Es importante hacer ver a los alumnos que a la hora de comparar magnitudes, estas deben estar en las mismas unidades.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

7, 40 a 42 y 60

Medio

8, 39 y 63

Alto

9, 70 y 77

3. Repartos directamente proporcionales • Es recomendable que los alumnos comprendan el razonamiento que lleva a la solución de un reparto proporcional y que no se aprendan de memoria la regla. Conviene para ello resolver detenidamente en la pizarra el problema propuesto en el ejemplo, para después deducir el procedimiento. Magnitudes proporcionales

Unidad 4

7

Sugerencias didácticas

ACTIVIDADES POR NIVEL 11, 12, 43, 65 y 68

Medio

73

Alto

12. En esta actividad se puede ver cómo aplicamos de forma habitual en nuestra vida diaria las proporciones, en concreto en las recetas culinarias, trabajando de este modo la competencia Interacción con el mundo físico.

4. Tanto por ciento o porcentaje • Es importante que los alumnos comprendan la relación existente entre porcentaje y razones de proporcionalidad, asociando un porcentaje a una razón de denominador 100 e indicando que el porcentaje no es más que el término desconocido de una proporción entre dos magnitudes directamente proporcionales: la parte y el total de una cantidad. Por ello podremos aplicar en la resolución de problemas la regla de tres directa, comparando siempre parte y total de una cantidad, y situando en una de ellas el término 100. • Sería interesante que los alumnos asociasen algunos porcentajes conocidos con su fracción: 1 1 1 10% = 25% = 50% = 10 4 2


14 a 16, 44 a 47, 58 y 61

Medio

17, 18 y 66 72

Alto

72. En esta actividad se trabaja la competencia Social y ciudadana, en concreto la subcompetencia Desarrollo personal y social, al hacer comprender a los alumnos la necesidad y obligatoriedad de realizar la declaración de la renta. Podemos aprovechar la actividad para que investiguen sobre lo que hay que declarar, cuáles son los productos que desgravan y en qué medida; cuál ha sido la cantidad recaudada durante el último año… Para ello les indicaremos que existe un organismo, la Agencia Tributaria, dependiente del Ministerio de Economía, que regula todas estas cuestiones.

5. Variaciones porcentuales • En los ejemplos propuestos se utiliza el índice de variación. Hay que hacer un esfuerzo para que los alumnos asuman con confianza su utilización, ya que están acostumbrados a hallar primero el tanto por ciento de aumento o disminución, y después, a sumar o restar, respectivamente. • Conviene desarrollar detenidamente en la pizarra el ejemplo 9, para que los alumnos vean que todo se reduce a ir multiplicando sucesivamente por cada uno de los índices de variación.


19

Medio

20, 21, 48 a 50, 64 y 67

Alto

8

Unidad 4

71, 76, 79 y 80


49 y 64. Estas actividades aplican las variaciones porcentuales a problemas de la vida cotidiana. Al tenerlas que utilizar para determinar con rigor cuál es la oferta más económica trabajaremos por un lado la subcompetencia Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad, y por otro, la subcompetencia Desarrollo de la autonomía personal, al tener que decidir con criterio la oferta que mejor les conviene.

6. Magnitudes inversamente proporcionales • A partir del ejemplo 10, los alumnos pueden comprobar fácilmente que cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, el producto de los datos relacionados es constante. • Es conveniente, al igual que se sugirió con la proporcionalidad directa, que los alumnos vean que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar (o disminuir) una de ellas, la otra disminuye (o aumenta) en la misma proporción. • Una vez introducido el concepto de magnitudes inversamente proporcionales, podemos elaborar una tabla en la pizarra para clasificar relaciones entre magnitudes relacionadas o no, pidiendo a cada alumno que dé dos ejemplos para que el resto de los compañeros los vayan colocando en su lugar correspondiente. • Los alumnos deben acostumbrarse a resolver los problemas de proporcionalidad inversa aplicando indistintamente cada uno de los métodos descritos en el ejemplo y el ejercicio resuelto.


51 a 53 y 59

Medio

24 a 26, 56 y 57

7. Repartos inversamente proporcionales • Conviene insistir a los alumnos en que un problema de reparto proporcional equivale a un problema de reparto proporcional directo entre las cantidades inversas de las que partimos.


29, 30 y 54

Medio

31, 55, 62 y 69

Alto

74

Organiza tus ideas • Si bien se ha insistido a lo largo de la unidad en evitar que los alumnos memoricen las fórmulas, es cierto que hay unas cuantas. Ayudados por la información contenida en esta página, es el momento de que las recopilen todas copiándolas en su cuaderno en una página de modo que las tengan juntas para que sepan dónde buscarlas en caso

Sugerencias didácticas

necesario. Para evitar que este mismo proceso lleve a la memorización, hay que intentar que razonen de dónde sale cada una e incluso que las deduzcan ellos mismos; al fin y al cabo, si han trabajado bien la unidad, deberían ser capaces de hacerlo.

Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.

Pon a prueba tus competencias RELACIONA Y PLANIFICA. CAMBIO DE DIVISAS Los cambios de divisas y el sistema monetario del euro se tratan detenidamente en la unidad 10, pero aquí se interpreta el cambio de divisas como una aplicación de la proporcionalidad. En la actividad 1 comparamos dólares con euros, por lo que indicaremos a los alumnos que calculen a cuántos euros equivale un dólar. La actividad 2 es un buen ejemplo para que comprueben la diferencia entre razón de dólar entre euro y razón de euro entre dólar. La actividad 3 permite trabajar de un modo concreto la competencia Interacción con el mundo físico, ya que la situación que en ella se plantea es muy común. A la hora

de realizar un viaje no puede olvidarse entre los preparativos el cambio de moneda, y es preciso ser previsores con el gasto que ello conlleva. La actividad 4 indica una buena táctica para evitar que nos den gato por liebre cuando viajemos a países con moneda diferente al euro. CALCULA Y ANALIZA. COBRANDO POR HORAS Esta actividad permite trabajar la competencia Social y ciudadana, ya que los alumnos pueden apreciar una de las múltiples formas en las que se calcula el sueldo de un trabajador. Al tratar las actividades sobre los desorbitados sueldos de los futbolistas, podemos aprovecharlas para realizar una pequeña reflexión sobre ello, comparando los sueldos de los futbolistas, no solo con el salario medio anual en España, sino también con el de otros lugares del mundo. LEE Y CONTESTA. EL HOMBRE QUE CALCULABA Al igual que en otras ocasiones, aprovechamos los libros de divulgación matemática para aficionar a nuestros alumnos a la lectura, disfrutando con ella. Si fuera posible, convendría llevar a clase algún ejemplar del libro o al menos unas fotocopias donde se recojan los dos problemas aquí planteados. Para realizar la actividad 1 conviene expresar las cantidades de pan en forma de fracción y hacer corresponder a 1 cada uno de cada pan. De esta forma, como hay 8 panes, 3 24 la cantidad que le corresponde a cada uno será de . Así 9 habrá que realizar un reparto directamente proporcional a la fracción de pan que aporta cada uno. Para las actividades sobre la herencia de los 35 camellos haremos ver a los alumnos que la solución se basa en que el número de camellos a repartir tiene que ser múltiplo de 2, 3 y 9.

En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.


Unidad 4

9

Actividades de refuerzo Unidad 4


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: • Reconocer y distinguir magnitudes directa e inversamente proporcionales, distinguir la razón y la constante de proporcionalidad y hallar el término desconocido en una proporción. • Relacionar proporciones, porcentajes, fracciones y números decimales. • Resolver problemas cotidianos donde intervenga la proporcionalidad. Con actividades muy sencillas se intenta afianzar, en primer lugar, los conceptos básicos de razón y proporcionalidad; son actividades de completar, rodear e indicar. Posteriormente hay otras actividades también muy sencillas para que los alumnos trabajen los contenidos de la unidad. Se intenta motivarles haciéndoles que dibujen y coloreen.

ACTIVIDAD DE GRUPO Investigando Juguemos a ser antropólogos, arqueólogos o médicos forenses. El caso es que uno de estos científicos ha encontrado un metacarpiano del pulgar que medía 4,5 centímetros. ¿Podrías ayudarle a determinar el resto de medidas corporales? ¿Cuánto medía esa persona? Si al lado de dicho hueso se encontró un fémur que medía 45 centímetros y un húmero de 38 centímetros, ¿de cuántas personas diferentes se encontraron restos? Con este juego se pretende trabajar la idea de proporcionalidad en el cuerpo humano. Puede completarse si se consiguen ilustraciones de esqueletos de animales o de dinosaurios, para así poder comparar y adornar la historia del hallazgo de los huesos.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Inversa: a y e

Directa: c

Ni directa ni inversa: b y d

2. Hay que rodear a, b y e. 3. 6,25 euros 4. a) Hay que marcar 50 cuadrados como hierba, 15 como árboles, 15 como zona de juegos y 20 como flores. b) Hay que marcar 35 cuadrados como hierba, 21 como árboles, 18 como zona de juegos y 26 como flores. c) Hay que marcar 50 cuadrados como hierba, 25 como árboles, 10 como zona de juegos y 15 como flores. 5. 5,40 euros 6. María: 16 cuadrados

Rubén: 24 cuadrados

Marta: 32 cuadrados

7. Tardarán 7,20 horas, es decir, 7 horas y 12 minutos.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

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Unidad 4


Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 4


1. Indica cuáles de las siguientes son magnitudes proporcionales directas y cuáles inversas. a) La velocidad del AVE y el tiempo que tarda en hacer un recorrido. b) El peso de la cabeza de un bebé y los meses que va cumpliendo. c) El número de helados comprados y lo que se paga por ellos. d) El número de ruedas de un camión y la velocidad que alcanza. e) El número de pintores que repintan el instituto y el tiempo que tardan en pintar. 1 2. Rodea los números que estén en la razón . 4 a) 25 y 100

b) 0,25 y 1

c) 25 y 50

d) 8 y 2

e) 4 y 16

3. Si dos botes de cacao valen 2,50 euros, ¿cuánto pagarás por 5 botes iguales? 4. a) Tienes una parcela dividida en 100 cuadrados, te encargan hacer un jardín en el que el 50% sea hierba; el 15%, árboles; el 15%, zona de juegos, y el 20%, plantas con flores. Representa en la siguiente cuadrícula cómo lo harías.

b) Ahora repítelo con números decimales: 0,35, hierba; 0,21, árboles; 0,18, zona de juegos, y 0,26, flores. 1 1 1 c) Por último, hazlo con fracciones: , hierba; , árboles; , zona de juegos, y el resto, flores. 2 4 10 5. A Juan le dan sus padres 5 euros semanales y ha negociado una subida del 8%. ¿Cuánto le darán ahora?

7. Tres obreros han cavado una zanja en varias jornadas, sumando en total 12 horas de trabajo. Al día siguiente se necesita cavar una zanja igual con dos obreros más que se han incorporado de las vacaciones. ¿Cuánto tiempo tardarán en cavarla? Magnitudes proporcionales

Unidad 4

Página fotocopiable

6. María, Rubén y Marta, de 2, 3 y 4 años, respectivamente, se han quedado solos unos instantes que han aprovechado para trocear en 72 partes la tarta de cumpleaños de Marta. Su madre quiere repartir los trozos proporcionalmente a las edades de los niños. ¿Puedes ayudarla? (Usa un color para los trozos que corresponden a cada niño).

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Actividades de ampliación Unidad 4


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Se proponen actividades que no han tenido cabida en el libro de texto, como problemas de móviles, en los que se utiliza el concepto de razón como aplicación a la física. Otra ampliación posible en este sentido serían los problemas de mezclas. Se introducen también problemas de proporcionalidad compuesta, que parece una ampliación natural de los conceptos correspondientes a esta unidad. Al final se plantean dos problemas para que los alumnos se den cuenta de que no siempre la proporcionalidad soluciona los problemas, aunque tengan dicha apariencia.

ACTIVIDAD DE GRUPO Razón áurea Euclides de Alejandría (siglo III a. C.), en el libro II de su tratado Los Elementos, trata por primera vez de la “media y extrema razón”, “proporción armónica”, “proporción áurea” o “regla de oro”. Matemáticamente nace de plantear la siguiente proporcionalidad entre dos segmentos: “Busca dos segmentos (A y B) tales que el cociente entre el segmento mayor y el menor sea igual al cociente que resulta entre la suma de los dos segmentos y el mayor”. A A+B = 1,618034… = B A Los alumnos ya deberían conocer esta proporción, que se encuentra en múltiples lugares a nuestro alrededor, y en eso consiste la actividad. Se invita a los alumnos a encontrar la razón áurea en los objetos que les rodean. Por ejemplo: cuadros, esculturas, tarjetas bancarias, DIN A4, construcciones humanas o, incluso, como se observa en el dibujo contiguo, en el propio cuerpo humano.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Una hora y tres cuartos

6. 5 horas

2. 1,5 kilómetros

7. También seis horas cada coche

3. 2250 kilos

8. 12 obreros: 1 hora

4. 11 520 tornillos

1440 obreros: 30 segundos. No tiene sentido, pues es imposible la coordinación entre tantos trabajadores para tardar tan poco.

5. 8 días

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

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Unidad 4


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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 4


1. Dos poblaciones A y B distan 350 km. Un coche sale de A hacia B a una velocidad de 110 km/h, y un camión, de B hacia A con una velocidad de 90 km/h. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se encuentran? Nota: El problema es equivalente a que un vehículo se desplace de una ciudad hacia otra a una velocidad de 110 + 90 = 200 km/h.

2. Un corredor de maratón comienza a entrenar a las 8 de la mañana a 8 km/h. A las 9 de la mañana, otro corredor sale a 9,5 km/h. ¿A qué distancia alcanzará al primero?

3. En una granja, para alimentar a 30 cerdos durante 10 días se necesitan 450 kilos de pienso. ¿Cuánto pienso será necesario para alimentar a 50 durante un mes? Nota: Aplica el método de reducción a la unidad.

4. Cinco máquinas trabajando 16 horas diarias fabrican 9600 tornillos. ¿Cuántos tornillos fabricarán 4 máquinas trabajando 24 horas al día?

5. Ocho obreros realizan una obra en 5 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 10 horas diarias? Nota: Calcula las horas totales.

6. Dos pintores emplean 5 horas en pintar un muro de 6 metros de alto por 15 de largo. Para pintar un muro de 5 metros de alto por 27 de largo se han contratado 3 pintores ¿Cuánto tardarán en pintarlo?

7. Un coche tarda 6 horas en recorrer la distancia entre Sevilla y Valencia. ¿Cuánto tardarán en recorrer dicho trayecto 12 coches iguales?


8. Un obrero tarda en levantar una pared 12 horas. ¿Cuánto tardarán en levantar la pared 12 obreros? ¿Y 1440 obreros? ¿Es lógico este último resultado?


Unidad 4

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PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 4


APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Estudia si estos cuatro números están en proporción numérica y, en caso afirmativo, halla la razón de proporcionalidad. a) 7, 9, 35 y 45 b) 50, 10, 10 y 5 2. Halla el valor de la letra para que se formen proporciones. a) 2, 11, 14, a b) x + 1, 15, 5, 25 3. Completa la siguiente tabla y halla la razón de proporcionalidad, sabiendo que x e y son directamente proporcionales. x

5

10

15

y

16

20

4. En un comercio ofertan tres unidades de un producto al precio de dos y pagamos 8,30 euros. En otro comercio, pagando 11,20 euros, que es el precio de tres unidades del mismo producto, nos darían cuatro unidades. ¿En cuál de los dos es más barato dicho producto? 5. Germán, Rodrigo y Almudena compran un paquete de cuadernos por 50 euros. Germán se queda con 4, Rodrigo con 6 y Almudena con 10. ¿Cuánto tiene que pagar cada uno? 6. Calcula: a) El 25% de 1300 b) El 80% de 25 000 c) El 200% de 40 7. Un trabajador que gana 1800 euros al mes recibe un aumento del 4 % a primeros de año, pero como consecuencia le descuentan un 4 % más para la Seguridad Social. ¿Cuánto cobrará ahora?


8. Completa la siguiente tabla y halla la razón de proporcionalidad, sabiendo que a y b son inversamente proporcionales.

14

a

24

b

12

48

72 2

9. Un grifo que arroja 15 litros de agua por minuto tarda 2 horas y 10 minutos en llenar un depósito. ¿Cuál debería ser el caudal para que el depósito se llenase en hora y media? 10. Reparte 2480 en partes inversamente proporcionales a 4, 6 y 10.

Unidad 4


Propuesta de evaluación Unidad 4


SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) Sí están en proporción. k = 315. b) No, 50 · 5 ≠ 10 · 10 2. a) a = 77 b) x = 2 3.

x

5

10

15

20

25

y

4

8

12

16

20

k=

5 = 1,25 4

4. En el primero de los comercios es más barato. 5. Germán pagará 10 euros; Rodrigo, 15, y Fernando, 25. 6. a) 325 b) 20 000 c) 80 7. El trabajador cobra ahora 1797,12 euros. 8.

a

24

48

72

144

b

12

6

4

2

La constante de proporcionalidad es 24 · 12 = 288. 9. 21,66 L/min 10. k = 4800 A 4 le corresponden 1200. A 6 le corresponden 800. A 10 le corresponden 480.


Unidad 4

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Unidad 4 Magnitudes proporcionales

Lingüística Comunicación escrita en diferentes contextos

Matemática Razonamiento y argumentación

Matemática Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad Matemática Uso de elementos y herramientas matemáticos

Social y ciudadana Desarrollo personal y social

Cultural y artística Sensibilidad artística Tratamiento de la información y competencia digital Obtención, transformación y comunicación de la información

Aprender a aprender Construcción del conocimiento

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

Conocer y comprender diferentes textos con distintas intenciones comunicativas.

– Lee un texto y obtiene información. Lee y contrasta, 1 y 2

Adquirir el hábito de la lectura considerándola fuente de placer y conocimiento.

– Muestra gusto por la lectura. Lee y contrasta

Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de la información.

– Resuelve un problema paso a paso. Lee y contrasta, 1 Calcula y analiza, 2

Estimar y enjuiciar la lógica y validez de argumentaciones e informaciones y analizar críticamente los resultados.

– Analiza si las soluciones obtenidas son correctas. Lee y contrasta, 5

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

– Conoce el funcionamiento de la lotería. Desarrolla tus competencias – Analiza ofertas y elige la mejor. Actividades 49 y 64

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Realiza operaciones con fracciones. Actividad 75 Lee y contrasta, 4

Desarrollar el juicio moral para tomar decisiones y razonar sobre la realidad de forma global, teniendo en cuenta la existencia de distintas perspectivas.

– Compara el sueldo de un futbolista con el salario medio español. Calcula y analiza, 3

Comprender y valorar críticamente diferentes manifestaciones culturales y artísticas.

– Aprecia la aplicación de las proporciones en el arte. En la red

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Visita la página librosvivos.net. Actividades 5, 22, 27 y 32 Interactivos Investiga – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red

Ser capaz de aplicar nuevos conocimientos en situaciones parecidas y variedad de contextos.

– Aplica lo aprendido sobre la proporcionalidad. A lo largo de la unidad

LO CONSIGUE (4 puntos)

NO CON TOTALMENTE DIFICULTAD (3 puntos) (2 puntos)

NO LO CONSIGUE (1 punto)

Matriz de evaluación de competencias

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COMPETENCIA Y SUBCOMPETENCIA

ESO

SOLUCIONARIO

2

2esomapi Gd Esu04

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