Probabilidad y estadística José Luis Poveda Macías Ingeniero Físico Maestro en Educación
Variables aleatorias discretas • Función de probabilidad o de densidad • Función de distribución acumulada. • Parámetros de una distribución.
Reporte 2 • En equipos de 4 personas, se les entregará un dado doble. • Deberán definir las siguientes variables: – X, el número que cae en el dado exterior. – Y, el número que cae en el dado interior.
• A continuación, se definen los siguientes eventos: – X – Y, la resta del dado exterior menos el dado interior. – Y/X, la división del dado interior entre el dado exterior.
• Con ayuda de tablas, anoten los posibles resultados teóricos y la probabilidad de obtener cada uno de ellos. • Grafiquen la distribución de probabilidades. A. Actividad introductoria
Reporte 2 • Lancen los dados 200 veces, y anoten los pares de valores para cada ocasión. • Anoten los resultados para los eventos definidos anteriormente: – X – Y, la resta del dado exterior menos el dado interior. – Y/X, la división del dado interior entre el dado exterior.
• Tabulen y grafiquen los resultados prácticos. • ¿Los valores se asemejan entre sí? A. Actividad introductoria
Función de probabilidad • Sea X una variable aleatoria discreta. La función dada por: para el número real p(x) se llama función de densidad de X. • La función es positiva para un número contable de valores de a. • Si X asume uno de los valores x1, x2, …, entonces 0, 1, 2, … 0, para otros valores de x • Como X debe tomar uno de los valores xi, tenemos:
• Esto limita los valores, evitando que las probabilidades puedan ser mayores a 1. A esto se le llama normalización. 1. Función de probabilidad
Función de distribución acumulada • Tal como en estadística, se puede tener una función donde se muestren las probabilidades acumuladas para una variable.
• Si se expresa en términos de p(x) se obtiene: ∀
en donde F(x) es la función de distribución acumulada, la cual es una función escalonada. 2. Función de distribución acumulada
Parámetros de una distribución • La función de distribución describe el comportamiento de una variable aleatoria. • Sin embargo, existen parámetros que describen la función, proporcionando al investigador datos sobre la naturaleza de las variables. Estos son estadísticos y los más utilizados son: – Media (µ) – Varianza (σ2) – Desviación estándar (σ) 3. Parámetros de una distribución
Esperanza • Es, también, conocida como media • Es, simplemente, el valor esperado del experimento efectuado. • Matemáticamente es una media ponderada de todos los valores posibles de la variable aleatoria. • Para el caso discreto se define como:
3. Parámetros de una distribución
Propiedades de la esperanza • Sean X y Y variables aleatorias y c cualquier número real: • E[c] = c • E[cX] = cE[X] • E[X + Y] = E[X] + E[Y] Es importante recordar que la esperanza es otro nombre para la media, y que se encarga de colocar el centro de una distribución. 3. Parámetros de una distribución
Varianza y desviación estándar • Indica la variabilidad o dispersión de lo valores que existen. • Existen dos formas de calcularla: "# $% # ! O # # ! "# $ • La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. 3. Parámetros de una distribución
Propiedades de la varianza • Sean X y Y variables aleatorias y c cualquier número real: • Var[c] = 0 • Var[cX] = c2Var[X] • Si X y Y son independientes, entonces Var(X + Y) = Var X + Var Y Es importante recordar que la varianza es una medida que indica el grado de dispersión de todos los datos. 3. Parámetros de una distribución
Ejemplo • Sea S el espacio muestra donde se lanza un par de dados equilibrados. Sean X y Y variables aleatorias en S, donde X representa el máximo de los números X(a, b) = max(a, b) y Y representa la suma de los números Y(a, b) = a + b. (a y b son los números de cada dado.) 1) Encuentra la distribución f(X) junto con la gráfica de probabilidad. 2) Encuentra la distribución g(Y) junto con la gráfica de probabilidad. 3) Halla la media y la varianza para cada caso. 3. Parámetros de una distribución
Ejemplo Es importante encontrar el espacio muestral para determinar las probabilidades asociadas a cada variable. En este caso, el espacio muestral está constituido por los pares ordenados (a, b). Son 36 de ellos: S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), …, (6, 6)}
3. Parámetros de una distribución
Ejemplo • Para determinar la distribución de f de X, se calculan las probabilidades de la siguiente forma: • Sólo en un lanzamiento, (1, 1), el valor máximo es 1. Entonces, & 1 ' . ()
• En tres lanzamientos, (1, 2), (2, 2), (2, 1), el valor máximo es 2. Entonces ( & 2 . ()
• Cinco lanzamientos, (1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 2), (3, 1), tienen como valor , . máximo al 3. Para este caso, & 3 . ,& ()
• De la misma manera, & 4
()
5
0 ,& ()
6
'' . ()
• La distribución finalmente queda de la siguiente manera: x f(x)
1
2
3
1 36
3 36
5 36
3. Parámetros de una distribución
4 7 36
5
6
9 36
11 36
Ejemplo Distribución de Probabilidad 7/20
3/10
1/4
1/5
3/20
1/10
1/20
0 1
x f(x)
2
3
4
1
2
3
1 36
3 36
5 36
3. Parámetros de una distribución
4 7 36
5
6
5
6
9 36
11 36
Ejemplo • Para la variable aleatoria Y, la distribución se obtiene después de hallar todas las sumas posibles. La tabla muestra el resultado final: y g(y)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36
, , ()
• Como ejemplo, g 6 ya que hay cinco lanzamientos que dan como suma 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) Los demás resultados se obtienen de forma similar. Es importante verificar que la suma de f(x), g(y) sea 1. 3. Parámetros de una distribución
Ejemplo Distribución de Probabilidad 9/50 4/25 7/50 3/25 1/10 2/25 3/50 1/25 1/50 0 2
y g(y)
3
4
5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36
3. Parámetros de una distribución
6
7
8
9
10
11
12
Ejemplo • Para calcular la media sólo es cuestión de aplicar la fórmula de esperanza:
• Para X, se tiene que: 1 45 1 6 2 36 7 6 4 6 5 36 3. Parámetros de una distribución
3 6 3 36 9 6 6 36
5 36 11 36
8 7 9:
Ejemplo • Se repite lo mismo para Y. ;
<
;
<
• Para Y, se tiene que: 1 2 3 4 4= 2 6 3 6 4 6 5 36 36 36 36 5 6 5 4 6 6 6 7 6 8 6 9 36 36 36 36 3 2 1 6 10 6 11 6 12 8 36 36 36 3. Parámetros de una distribución
Ejemplo • La fórmula de varianza es: "#
#
$
#
• El primer valor implica calcular la “media” cuando los valores son cuadrados, es decir: 1 3 5 7 ? 45 1 6 4 6 9 6 16 36 36 36 36 9 11 9@ 6 25 6 36 # 36 36 9: • El segundo es simplemente elevar el valor obtenido como media al cuadrado. Así tenemos que: 35 # # # " $ 21 $ 17.83 7. 7 36 3. Parámetros de una distribución
Ejemplo • Repetimos para Y: "# ;# $ ; # 1 2 3 4 ? 4 6 9 6 16 6 25 4= 36 36 36 36 5 6 5 4 6 36 6 49 6 64 6 81 36 36 36 36 3 2 1 6 100 6 121 6 144 7:@. @ 36 36 36 • El segundo es simplemente elevar el valor obtenido como media al cuadrado. Así tenemos que: "# ;# $ ; # 465.5 $ 49 7 :. @ 3. Parámetros de una distribución
Actividad 1 • En una urna hay cinco pelotas con números 1, 2, 3, 4 y 5. Se sacan dos pelotas al azar y se anotan sus números respectivos. Encuentra la distribución de probabilidad para: – El mayor de los dos números seleccionados. – La suma de los dos números seleccionados.