BAHAN AJAR MATEMATIKA Satuan Pendidikan
: SMA Negeri 8 Jakarta
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/Semester
: X (Sepuluh)/1 (Ganjil)
Materi Pokok
: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Alokasi Waktu
: 2 x 40 menit
KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR Kompetensi Kompetensi Dasar
2.1 Memiliki
motivasi
kemampuan konsisten,
Indikator Pencapaian Kompetensi Kompetensi
internal, 2.1.1
bekerja sikap
sama,
disiplin,
sikap
disiplin
dalam
melaksanakan tugas atau menyelesaikan
rasa
percaya diri, dan sikap toleransi
Menunjukkan
masalah yang diberikan oleh guru 2.1.2
Menunjukkan sikap bertanggung jawab
dalam perbedaan strategi berpikir
dalam
dalam memilih dan menerapkan
menyelesaikan masalah yang diberikan
strategi menyelesaikan masalah.
oleh guru
3.2 Menyusun sistem persamaan linear tiga
variabel
dari
masalah
kontekstual
melaksanakan
3.1.1 Menemukan
konsep
tugas
sistem
atau
persamaan
linear tiga variabel 3.1.2 Membuat model matematika dari masalah kontekstual yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variable
4.2 Menyelesaikan
masalah 4.2.1 Menyelesaikan masalah kontekstual sistem
kontekstual yang berkaitan dengan
persamaan
sistem
metode
persamaan
variabel
linear
tiga
linear
eliminasi
tiga
variabel
dilanjutkan
dengan dengan
metode subst itusi. itusi.
DESKRIPSI MATERI Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Persamaan dan sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) sudah dipelajari di SMP. Saat ini kita akan perdalam kajian, pemahaman dan jangkauan pemikiran tentang konsep sistem persamaan linier dari apa yang sudah dipelajari sebelumnya.
1
https://www.google.co.id/search?q=lahan+sawah&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjw7 q_jmNjaAhUFNo8KHaalAtEQ_AUICigB&biw=1517&bih=735#imgrc=qZzE4eoMvw85fM:
Lahan sawah yang menggunakan tiga jenis pupuk dengan pembagian luas sawah tertentu. Pak Panjaitan memiliki dua hektar sawah yang ditanami padi dan sudah saatnya diberi pupuk. Ada tiga (3) jenis pupuk yang harus disediakan, yaitu Urea, SS, TSP. Ketiga jenis pupuk inilah yang harus digunakan para petani agar hasil panen padi maksimal. Har ga tiap-tiap karung pupuk berturutturut adalah Rp 75.000,00; Rp 120.000,00; dan Rp 150.000,00. Pak panjaitan membutuhkan sebanyak 40 karung untuk sawah yang ditanami padi. Pemakaian pupuk Urea 2 kali banyaknya dari pupuk SS. Sementara dana yang disediakan Pak Panjaitan untuk membeli pupuk adalah RP. 4.020.000,00. Berapa karung untuk setiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan? Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta dan lingkungan budaya kita terkait dengan sistem persamaan linier. Permasalahan-permasalahan tersebut dapat menjadi bahan inspirasi menyusun model-model matematika yang ditemukan dari proses penyelesaiannya. Model matematika tersebut, akan dijadikan bahan abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linier dan konsep sistem persamaan linier tiga variabel.
1.
Definisi
Sistem persamaan linier tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linier dengan tiga variabel.
2
2.
Bentuk Umum
Dengan
{ ++ ++ == ………. ( 1) ………(2) + + = ………(3) , , , ∈ =1,2,3
Keterangan :
3.
x, y, dan z adalah variabel
,,,, ,, ,,
adalah koefisien variabel x adalah koefisien variabel y adalah koefisien variabel z adalah konstanta persamaan
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel
Dua persamaan linier atau lebih dikatakan membentuk sistem persamaan linier jika dan hanya jika variabel-variabelnya saling terkait dan variabel yang sama memiliki nilai yang sama sebagai penyelesaian setiap persamaan linier pada sistem tersebut. Himpunan penyelesaian sistem
persamaan linier adalah suatu himpunan semua pasangan terurut yang memenuhi
system tersebut. Perbedaan antara sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) dengan sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) terletak pada banyak persamaan dan variabel yang digunakan. Oleh karena itu, penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan dengan cara atau metode yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik. Umumnya persamaan linier tiga variabel dapat diselesaikan dengan cara : 1. Metode Eliminasi 2. Metode Substitusi 3. Campuran Eliminasi dan Substitusi
Persamaan a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2, dan a3x + b3y + c3z = d3 merupakan persamaan di R 3. Ketiga bidang tersebut dapat saling berpotongan di sebuah titik, sebuah garis, atau tidak berpotongan. 1) Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa titik, maka SPLTV tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya (mempunyai penyelesaian tunggal), yaitu titik potong tersebut.
3
2) Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa sebuah garis, maka SPLTV tersebut mempunyai tak hingga banyak penyelesaian, yaitu titik-titik pada garis potong ketiga bidang tersebut. 3) Jika ketiga bidang saling berpotongan tetapi perpotongannya pada dua atau tiga garis yang berbeda , maka SPLTV tersebut tidak mempunyai anggota dalam himpunan Penyelesaiannya (himpunan Penyelesaiannya adalah himpunan kosong). 4) Jika ketiga bidang tidak berpotongan sama sekali, maka SPLTV tersebut tidak mempunyai anggota dalam himpunan Penyelesaiannya (himpunan Penyelesaiannya adalah himpunan kosong).
4.
Merancang Model Matematika yang Berkaitan Dengan Sistem Persamaan
Dalam perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, seringkali suatu masalah dapat diterjemahkan ke dalam model matematika yang berbentuk sistem persamaan. Langkah pertama yang diperlukan adalah kita harus mampu mengidentifikasi bahwa karakteristik masalah termasuk ke dalam SPLDV, SPLTV, SPLK atau SPKK. Penyelesaian selanjutnya melalui langkah-langkah berikut: 1. Nyatakan besaran dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf). 2. Rumuskan sistem persamaan yang merupakan model matematika dari masalah. 3. Tentukan penyelesaian dari model matematika yang diperoleh pada langkah 2. 4. Tafsirkan hasil yang diperoleh dan sesuaikan dengan masalah semula.
Contoh 1 Ali, Beni dan Carli berbelanja disebuah toko buku. Ali membeli 2 buku tulis, 1 pensil dan 1 penghapus & harus membayar Rp. 4.700,Beni membeli 1 buku tulis, 2 pensil dan 1 penghapus & harus membayar Rp. 4.300,Carli membeli 3 buku tulis, 2 pensil dan 1 penghapus & harus membayar Rp. 7.100,Berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil dan sebuah penghapus?
4
Penyelesaian: Misal
: Harga sebuah buku adalah x rupiah. Harga sebuah pensil adalah y rupiah. Harga sebuah penghapus adalah z rupiah.
Model matematika yang sesuai dengan persoalan di atas adalah : 2x + y + z
= Rp. 4.700
x+2y+z
= Rp. 4.300
3x + 2y + z
= Rp. 7.100
yaitu merupakan SPLTV dengan variabel x, y, z. Penyelesaian SPLTV dapat diselesaikan dengan metode subtitusi, eliminasi atau gabungan dari keduanya. Eliminasi peubah z : 2x + y + z
= 4. 700
x + 2y + z
= 4.300
x + 2y + z
= 4. 300
3x + 2y + z
= 7.100
- 2x
= - 2.800
x
= 1.400
x – y
=
400
Subtitusi nilai x = 1.400 ke persamaan x – y = 400, diperoleh : 1.400 – y = 400
y = 1.000
Subtitusi nilai x = 1.400 dan y = 1.000 ke persamaan 2x + y + z = 4.700, maka : 2 ( 1.400 ) + 1.000 + z 3.800 + z z
= 4.700 = 4.700 = 900
Jadi, Harga untuk sebuah buku adalah Rp. 1.400,00 Harga untuk sebuah pensil adalah Rp. 1.000,00 Harga untuk sebuah penghapus adalah Rp. 900,00 Ari, Bobi, dan Coki dan Doni berbelanja di sebuah Toko yang sama. Mereka berempat sepakat untuk membeli tas, baju, dan celana yang sama. Ari membeli 3 tas, 4 baju, dan 1 celana. Ari har us membayar Rp 2.100.000,Bobi membeli 6 tas, 2 baju, dan 1 celana. Bobi harus membayar Rp 3.100.000,-. Coki membeli 2 tas, 5 baju, dan 10 celana. Coki harus membayar Rp 2.800.000,Jika Dodi membeli 1 tas, 1 baju, dan 1 celana maka Dodi harus membayar?
5
jawab: 1. Identifikasi masalah 3 tas, 4 baju, dan 1 celana jumlah harga Rp 2.100.000 6 tas, 2 baju, dan 1 celana jumlah harga Rp 3.100.000 2 tas, 5 baju, dan 10 celana jumlah harga Rp 2.800.000 2. Mengganti huruf Misal: Tas = x Baju = y Celana = z 3. Sistem persamaan yang diperoleh 3x + 4y + z = Rp 2.100.000 6x + 2y + z = Rp 3.100.000 2x + 5y + 10z = Rp 2.800.000 Yang ditanya x + y + z = ….
5.
Penyelesaian SPLTV menggunakan Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi
Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode campuran eliminasi dan substitusi, langkah-langkahnya sebagai berikut: 1. Eliminasi salah satu variabel dari tiga persamaan (misalkan x) sehingga diperoleh sistem persamaan linier dua variabel, yaitu dengan cara : a. Mengeliminasi variabel x dari persamaan (1) dan persamaan (2) sehingga diperoleh persamaan (4). b. Mengeliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (3) atau (2) dan (3) sehingga diperoleh persamaan (5). 2. Eliminasi (misalnya y) dari SPLDV persamaan (4) dan (5) untuk memperoleh penyelesaian z. 3. Substitusikan hasil y ke persamaan (4) atau (5) untuk memperoleh penyelesaian dari y. 4. Substitusikan hasil y dan z ke persamaan (1), (2) atau (3) untuk memperoleh penyelesaian dari x. 5. Tuliskan himpunan penyelesaiannya.
6
Contoh penyelesaian SPLTV dengan metode campuran eliminasi dan substitusi:
Carilah nilai x, y, dan z yang memenuhi sistem persamaan linear berikut. x + y + 2z = 9 ………………. (1) 2x + 4y – 3z = 1 ……………. (2) 3x + 6y – 5z = 0 ……………. (3)
Jawab: -
Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh: x + y + 2z = 9
| x 3 3x + 3y + 6z = 27
2x + 4y – 3z = 1
| x 2 4x + 8y – 6z = 2 + 7x + 11y
-
= 29 ……………..(4)
Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh persamaan: 10x
2x + 4y - 3z = 1
|x5
+ 20y - 15z = 5
3x + 6y – 5z = 0
| x 3 9x + 18y – 15z = 0 _ x + 2y
-
= 5 ………….. (5)
Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh SPLDV, yaitu: 7x + 11y = 29 …………… (4) x + 2y
-
= 5 …………….. (5)
Eliminasi x pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai y 7x + 11y = 29
| x1
7x
+ 11y = 29
x + 2y
| x7
7x
+ 14y = 35 _
=5
-3y = -6 y =2 -
Substitusi y pada persamaan (4) atau (5) sehingga diperoleh nilai x x + 2y = 5
-
x + 2.2 = 5
x = 1
Substitusikan nilai x = 1 dan y = 2 ke persamaan yang paling sederhana (misal persamaan (1)) sehingga diperoleh nilai z x + y + 2x = 9
1 + 1 + 2z = 9 2z = 6 z=3
Penyelesaian SPLTV tersebut adalah x = 1, y = 2, dan z = 3
7
