LEY DE DARCY
En 1856, 1856, el ingeniero ingeniero francés francés Henry Darcy Darcy investigó el ujo de agua en ltros ltros verticales de arena hoogénea en cone!ión con las fuentes de la ciudad de Dijo Dijon n en "ranc rancia ia #$es #$es font fontai aine nes s %u&l %u&li' i'ue ues s de la vill ville e de Dijo Dijon( n()) De sus sus e!%erientos, Darcy concluyó 'ue el caudal #voluen %or unidad de tie%o(, Q , es* a( +ro%or +ro%orciona cionall a la sección sección tranvers tranversal al A &( +ro% +ro%or orci cion onal al a h1
−
h2
c( nversa nversaen ente te %ro%o %ro%orc rcion ional al a L $os s-&olos est.n denidos en la gura siguiente*
"igura) E!%eriento de Darcy #toado de /ear, 100(
2l ser co&inadas estas conclusiones se o&tiene la faosa $ey de Darcy #o $ey( Q = K Donde
A( h1 − h2 )
%ro%orcionalidad conocido coo la conductividad hidr.ulica) $as longitudes h1 y h2 se iden con res%ecto a alg3n nivel de referencia #hori4ontal()
K
es
L un
coeciente
de
e %uede ver 'ue h es la carga %ie4oétrica y h1 − h2 es la diferencia en la carga %ie4oétrica a lo largo del ltro de longitud L ) oo la carga %ie4oétrica descri&e #en térinos de la carga de agua( la sua de las energ-as de %resión y %otencial del uido %or unidad de %eso, i
=
h1
−
h2
L
inter%retado coo el gradiente hidr.ulico)
Escurriiento a través de un ltro de arena inclinado #toado de /ear, 100(
Eje%lo
es
1) 7na uestra de ca%o de un acu-fero li&re es o&tenida a través de un cilindro de %rue&a) $a longitud y el di.etro del cilindro son 5 c y 6 c, res%ectivaente) Durante un %er-odo de 9 in se antiene una diferencia de carga constante de 16)9 c) oo resultado, se recolectan a la salida :5); c9 de agua) Deterine la conductividad hidr.ulica de la uestra de acu-fero) Solución K=23.5 m/día
;) 7n acu-fero connado con un &asaento hori4ontal tiene un es%esor saturado 'ue var-a coo se uestra en la gura) El acu-fero es heterogéneo con <=1;>)6!, donde != en la sección 1, y las cargas %ie4oétricas en las secciones 1 y ; son 1:); y 18)8 , res%ectivaente edidas %or encia de la ca%a su%erior connante) u%oniendo 'ue el ujo en el acu-fero es esencialente hori4ontal, deterine el caudal %or unidad de ancho) Solución Q=-1.20 m 3/día/m
?elocidad de Darcy $a descarga es%ec-ca o velocidad de Darcy es un conce%to f.cilente edi&le) Esta velocidad de&e diferenciarse claraente de las velocidades icroscó%icas asociadas a los cainos 'ue siguen las %art-culas individuales de agua a lo largo de su recorrido a través de los granos de un aterial) $as velocidades icroscó%icas son reales, %ero son %ro&a&leente i%osi&les de edir) $a velocidad de Darcy su%one 'ue el ujo ocurre a través de toda la sección transversal del aterial sin i%ortar si se trata de sólidos o %oros) En realidad, el ujo ocurre 3nicaente a través del es%acio %oroso de tal anera 'ue %odeos calcular una velocidad intersticial %roedio #velocidad lineal %roedio( con la siguiente fórula* ?lineal %roedio=?Darcy@ne
+EABE2BECA DE 2A2 FC2FCE K
=
VL ATh
Donde
V =?oluen de res%ectivaente(
agua
descargada
en
el
tie%o
t
#$9
y
C,
+EABE2BECA DE 2A2 ?2A2/$E K =
d t 2 L 2
d c t
ln
h h
0
1
Ejercicio
1) 7n %ere.etro de carga constante tiene una uestra de arena de taaGo edio de 15 c de longitud y ;5 c; en sección transversal) on una carga de 5 c, un total de 1 l de agua son recolectados en 1; in) Encuentre la conductividad hidr.ulica) K=1. m/día
;) 7n %ere.etro de carga varia&le contiene una arena na con lio) El tu&o de ca-da de la carga tiene un di.etro de ; c, y un di.etro de la uestra de 1 c la longitud del ujo es de 15 c) $a carga inicial es de 5 c) Esta cae )5 c en un %er-odo de 5;8 in) Encuentre la conductividad hidr.ulica) K=1.!2"10-3 m/día
9) $a %erea&ilidad intr-nseca de una roca consolidada es ;) I 1J9 darcy) Ku.l es la conductividad hidr.ulica %ara el agua a 15LM e sa&e 'ue %ara el agua a 15L, ρ
=
0.999099
µ
=
0 . 011404
g cm 3 g
s cm ⋅
1darcy = 9.87 * 10
−9
K=2.2#"10-$ m/%
cm 2
9) 7n acu-fero de arena tiene un di.etro de grano edio igual a )5 c) +ara agua %ura a 15L, Kcu.l es la velocidad .s grande a la cual la ley de Darcy es v.lidaM & = 2.2$ "10-3 m/%
E"EFCE DE 2$B2EF2BEFC uando el nivel fre.tico en un acu-fero li&re se a&ate una cantidad z en un .rea A , el voluen de agua 'ue se drena del acu-fero es A × z × Sy , donde Sy es el rendiiento es%ec-co) e %uede decir 'ue este voluen de agua se o&tiene del alacenaiento) +or lo tanto, otra denición del rendiiento es%ec-co ser-a* el voluen de agua 'ue se li&era del alacenaiento, en una coluna vertical del acu-fero de sección transversal unitaria, %or cada unidad 'ue se reduce el nivel fre.tico) En fora alternativa %uede considerarse coo el voluen de agua 'ue se %uede alacenar en esa coluna %or cada unidad 'ue asciende el nivel fre.tico en el acu-fero) us valores se encuentran entre )1 y )9) En el caso de un acu-fero connado, éste %eranece co%letaente saturado) El %eso del aterial de la ca%a connante 'ue lo cu&re es so%ortado en %arte %or los granos sólidos o es'ueleto del acu-fero, y en %arte %or la %resión del agua de los es%acios %orosos) uando el agua es reovida del acu-fero, la %resión del agua se reduce y .s %eso descansar. so&re la atri4 acu-fera, lo 'ue causar. 'ue los granos se co%acten un %oco) $a reducción de la %resión del agua causar. 'ue ésta se e!%anda un %oco) +ara e!%resar la co&inación de este efecto en térinos de agua li&erada, hay 'ue denir la %ro%iedad llaada co'(ci'n)' d' almac'nami'n)o, 'ue es el voluen de agua li&erado o ca%tado %ara alacenaiento %or unidad de .rea del acu-fero %or cada unidad de ca&io en la carga hidr.ulica) De acuerdo con este conce%to, la denición se %uede a%licar tanto a un acu-fero connado coo a uno li&re) $os valores est.n en el rango )1 a )1) El coeciente de alacenaiento es%ec-co es el voluen de agua 'ue se re'uiere e!traer %or un voluen unitario de acu-fero %ara hacer descender la carga hidr.ulica en una unidad) El voluen de agua drenado de un acu-fero en función de la carga %uede calcularse con la siguiente fórula* V w
=
SA ∆h
Donde))
7n acu-fero li&re con un coeciente de alacenaiento #rendiiento es%ec-co( de )19 tiene un .rea de 1;9 i ;) El nivel del agua cae 5);9 ft #1)50: ( durante una se'u-a) Ku.nta agua se %erdió del alacenaientoM olución* V w
=
2.3"10# *)3 = +.+"10 ! m3
i el acu-fero fuera connado con un coeciente de alacenaiento de )5, K'ué ca&io en la cantidad de agua del alacenaiento se hu&iera %resentadoM V w
=
#"10+ *)3 =2.5"10 5 m3
7n conce%to 3til en uchos estudios es la transisividad del acu-fero, la cual es una edida de la cantidad de agua 'ue %uede ser transitida hori4ontalente a través de un ancho unitario de acu-fero %or todo el es%esor saturado &ajo un gradiente unitario)
Hoogeneidad y heterogeneidad i la conductividad hidr.ulica es inde%endiente de la %osición dentro de una foración geológica, entonces la foración es hoogénea) i la conductividad hidr.ulica de la %osición entonces la foración es heterogénea) i esta&leceos un sistea de coordenadas !y4 en una foración hoogénea, entonces <#!,y,4(=, donde es una constante en ca&io %ara una foración heterogénea <#!,y,4(diferente de )
sotro%-a y anisotro%-a i la conductividad hidr.ulica es inde%endiente de la dirección de edición en un %unto dentro de una foración geológica, la foración es isotró%ica en ese %unto) i la conductividad hidr.ulica var-a con la dirección de edición, la foración es anisotró%ica en ese %unto) $a ley de Darcy en tres diensiones +ara ujo tridiensional, en un edio 'ue %udiera ser anisotró%ico, es necesario generali4ar la fora unidiensional de la ley de Darcy) En tres diensiones la velocidad ves un vector con co%onentes ?!, vy, y ?4, y la generali4ación .s si%le ser-a
Donde
Este conjunto de ecuaciones e!%one el hecho de 'ue la conductividad hidr.ulica tiene nueve co%onentes en el caso .s general) i estas co%onentes se %onen en fora atricial, foraos un tensor siétrico de segundo rango conocido coo el tensor de la conductividad hidr.ulica) uando las direcciones %rinci%ales de anisotro%-a coinciden con los ejes de coordenadas !, y, y 4 las co%onentes fuera de la diagonal %rinci%al se hacen cero)
