ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA TAREA 2: DESARROLLO DESARROLLO EJERCICIOS UNIDAD 1 Y 2
PRESENTADO POR GERSON ORLANDO ALVARADO MOLAVOQUE CÒDIGO 1048822250 FRANCY MAYINY RODRIGUEZ SARMIENTO CODIGO 1007423237 NICOLEE VANNESA VILLARREAL REYES CODIGO 1006129969
GRUPO: 301301_565
PRESENTADO A: GLORIA ALEJANDRA RUBIO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) (UN AD) ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONÓMICAS Y DE NEGOCIOS (ECACEN) CEAD - IBAGUÉ 2018
INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo se pueden encontrar la resolución de los ejercicios planteados para la actividad de la tarea 2 del trabajo colaborativo, dicha actividad revisa los conceptos estudiados en la unidad I y II del curso de algebra, trigonometría y geometría analítica. Por lo tanto, se tratarán temas relacionados con los conceptos básicos de trigonometría como ecuaciones, inecuaciones, valor absoluto, funciones, entre muchos otros conceptos.
Ejercicio 1: Ecuaciones 1. La señora Villamizar va a invertir $1000,000. Ella quiere recibir un ingreso anual de $70.000. Puede invertir sus fondos en un Banco que ofrece un 6% o, con un riesgo mayor, al 8.5% con una cooperativa de ahorro y crédito. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $70.000? Respuesta: C (INVERSION)=> $1.000.000
I (INGRESO ANUAL) => $70.000
i (COOPERATIVA)= 6% => 0,06
t (CRÉDITO) = 8,5% => 0,085
¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $70.000?
Ecua ción de inversión inversión de capital: X*i + (C- X)*t = I
0,06X + (1000000-X ) 0,085 = 70000
0,06X + 85.000 -0,085X = 70000 -0,25X = 70000-85000
2. Cierta compañía emplea 53 personas en dos sucursales. De esta gente, 21 son universitarios graduados. Si una tercera parte de las personas que laboran en la primera sucursal; y tres séptimos de los que se se encuentran en la segunda sucursal, son universitarios graduados, ¿cuántos empleados tiene cada oficina? 1/3 A+ 3/7 B =21 A+B=53 1/3 A+ 3/7 B =21
Despejamos A de la primera ecuación
A + B = 53
A = 53 – B B
Sustituimos este valor en la segunda ecuación:
1/3 A+ 3/7 B = 21
1/3 (53 - B)+ 3/7 B = 21
operamos
(53 - B)/3+ 3/7 B = 21
Sacamos mínimo común múltiplo y operamos:
(371 – 7B+ 7B+ 9 B) / 21 = 21
(371 + 2 B) / 21 = 21
Paso el denominador multiplicando al otro lado de la ecuación:
(371 + 2 B) = 21 * 21
(371 + 2 B) = 441
Despejo B, pasando el 371 restando al otro lado de la ecuación:
2 B = 441 - 371
2 B = 70
Paso el 2 que multiplica a la B, dividiendo:
B = 70/2
Y obtengo el valor de B.
B= 35
despeje de la primera y sustituyo el valor de B que encontramos:
A = 53 – B B
A = 53 – 35 35
A = 18 X = 60000 Una vendedora gana un salario base de $761.000 por mes más una comisión del 10% 3. de las ventas que haga. Descubre que, en promedio, le toma una y media horas realizar ventas por un valor de $200.000. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2.000.000?
Planteamiento:
Sueldo base = $761.000 mensual
Comisión = 10% ventas
t = 1,5 horas Vende $200.000
¿Cuantas horas deberá trabajar en promedio para que sus ingresos sean de $2000000?
Si en 1,5 hora gana 200.000*0,10 = $20.000
Ingreso = sueldo + comisiones
$2000000 = $761.000 + C
Comisiones = 1.239.000
Si hace 1.239.00 dólares mensuales en comisiones. Por tanto:
Si en 1,5 horas hace en promedio $20.000
X
$ 1239.000
X = $1239.000 * 1,5 horas / $20.000
X = 92.925 horas mensuales
4. Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150.000 cada una. Vendió 400 de ellas obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo debe ser del 30%?
1000*150 = 150000 Pagó en total $150mil
150000 * 0.30 = 45000 150000 + 45000 = 195000
150*0.25 = 37.5 150+37.5 = 187,5 Vendió cada una a 187,5 y obtuvo un total de: 187,5*400 = 75000
195000 - 75000 = 120000 1000-400 = 600
Para que todo el lote salga con una utilidad utilidad del 30% es decir que se venda en 195000 los restantes 600 animales deben venderse a $200 cada una.
Ejercicio 2: Inecuaciones
5. El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a $20 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en $1000 al mes y el costo de material y de mano de obra será de $1.5 por cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios empaques? ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios empaques?.
Costo proveedor = 20(x)
Costo empresa = 1000 + 1.5X
la producción de la empresa se verá reflejada en la siguiente formula:
Costo proveedor > Costo empresa
20x>1000+1.5X
20x-1.5x=18.5x>1000
x>54 empaques. Da 54 empaques por lo tanto la empresa deberá producir por lo menos 55 empaques El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de 6. $180.000 cada artículo. Gasta $120.000 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo, y tiene costos adicionales (fijos) de $9.000.000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería deber ía producir y vender para obtener una utilidad de al menos $3.000.000 a la semana.
Datos:
Costo unitario de venta = $180.000
Costo Fijo unitario:
Mano de obra y Materia prima = $120.000
Costo fijos adicionales semanales = $ 9.000.000
Determinar el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $3.000.000 a la semana:
Ventas - costos = Utilidad
X = cantidad de unidades
$180.000X - $120.000X - $9.000.000= $3.000.000
$60.000X = $12.000.000
X = 200 unidades
Se deben producir 200 unidades
7. Un hombre tiene $7.000.000 para invertir. Quiere invertir parte al 8% y el resto al 10%. ¿Cuál es el monto máximo que debe invertir al 8%, si desea un ingreso anual por interés de al menos $600.000 anuales? ¿ Como debería invertir su dinero de tal manera que minimice los los riesgos y obtenga un ingreso de $600.000 anual?
C(INVERSION) = $ 7.000.000
i (PARTE DE INVERSION ANUAL)
t(RESTO DE INVERSION ANNUAL)
I (INGRESO POR INTERES ANUAL)= $600.000
Utilizamos la Ecuación de Inversión del de l Capital:
X*i + (C-X) *t = I
0.08X + (7.000.00 -X) *0.10 = 600.000
0.08X +700.000 -0.10X = 600.000 700.000 -600.0000 = 0,10X -0.08X 700.000 -600.000 = 0.02X 100.000 = 0.02X
X = 5.000.000
$5.000.000 * 0,08 = $400.000 $2.000.000 * 0,10 = $ 200.000 -------------------------------------
$7.000.000
$ 600.000
El monto máximo que se debe invertir al 8% es de $5.000.000
8. Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $3.000 cada una. Tiene costos fijos de $120.000 al mes; y, además, le cuesta $2.200 producir cada artículo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades? Sea x el número de unidades que la fábrica debe producir y vender. Utilidad = Ingresos − Costos Utilidad (U) = $30x − ($22x + $12,000) U = $30x − $22x − $12,000 U = $8x − $12,000
Gráfica de la función utilidad:
Para que la compañía tenga utilidades Utilidad > 0 8x − 12,000 > 0
8x > 12,000
x > 12,000/8 x > 1,500 R//: La fábrica debe producir al menos 1,501 artículos para tener utilidades. Valor absoluto
9. El gasto promedio en salud de un grupo de personas (en miles de pesos al año) se determina por la fórmula: |(x-6) ^2|=20-2x Si además sabemos que dicha cifra es mayor a los $ 5000. Calcular dicho gasto. |(x-6) ^2|=20-2x (x-6) ² = 20-2x x²-12x+36 = 20-2x x²-10x+16=0 Valores de X: x1= 8 x2 = 2 Como la cifra debe ser mayor a 5000 entonces 2000 no es suficiente el valor promedio entonces es X1: X1= 8; Por lo que gasta en promedio 8000$
Ejercicio 3: Valor Absoluto 10. El mejor café se obtiene a una temperatura de 200 °F, con una variación no mayor a 5° (grados). Escriba y resuelve una ecuación que describa el proceso. Utilizamos una ecuación: T = 200ºF ± 5ºF O Inecuación: 200-5 ≤ T ≤ 200 + 5 = 195 ºF ≤ T ≤ 205 ºF LIMITES DE ACEPTACION
11. De acuerdo con una encuesta de bienes raíces, el precio (en dólares) de una casa promedio en Vancouver el próximo año estará dado por |x-210.000|<30.000 |x-210.000 |<30.000 Determine el precio más alto y el más bajo de la casa para el año a ño próximo. La ecuación puede ser positiva o negativa: X-210.000<-30.000 = X>180000 Primer Valor X-210.000<30.000= X< 240000 Segundo Valor De éste modo podemos decir que el valor Máximo de una vivienda es de =$240 000 y el mínimo es de =$ 180 000.
12. De acuerdo con la revista Motor, el año próximo el precio, p en dólares, de un automóvil compacto estará dado por |p-12,000|≤1,500. Determine el precio más alto y el más bajo que tendrá un automóvil compacto el próximo año. |x| ≤ K
Definimos modulo y tenemos:
-K≤x≤K
Aplicaremos la misma condición y tenemos: tenemos :
|p-12,000| ≤ 1,500
- 1,500 ≤ p - 12,000 ≤ 1,500
Sumamos 12,000 en todos las partes y tenemos:
10500 ≤ p ≤ 13500
Por tanto, tenemos que el valor mínimo es de 10,500 y el valor máximo es de 13,500, estos límites pueden ser tomados porque el intervalo es cerrado.
13. La electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de $300 por unidad para las primeras 50 unidades y a $90 por unidad para cantidades que excedan las 50 unidades. Determine la función c(x) que da el costo de usar x unidades de electricidad. Respuesta.
Si x ≤ 50 la función es:
c(x) = 300x
Si x > 50 la función es: c(x) = 390x - 4500
Explicación. En el caso de las primeras 50 unidades se tiene que la función es: c(x) = 300x
En el caso de exceder las primeras 50 unidades la función cambia, ya que el costo por unidad aumenta en $90. c(x) = 300x + 90(x - 50) c(x) = 300x + 90x - 4500 c(x) = 390x - 4500
(Se coloca x - 50 ya ya que se cuentan las unidades mayores a 50)
14. Un agente de viajes ofrece un paquete vacacional de $1.500.000 por persona para grupos de seis o más personas, con un descuento de 10% de este precio a partir de la persona número doce en el e l grupo. Construya la función C(x) dando el costo c osto promedio por persona en un grupo de tamaño x (x ≥ 6).
El descuento de un 10% de 1.500.000=150.000
1500000-150000=1350000
x=nº de personas.
1500000 x si 6≤x≤12
C(x)=
1350000x si x>12
Para grupos de 6 a 11 personas, serían $1500000 por persona, o sea:
C(x)=1500000x
Para grupos de 12 o más personas, tendrían un descuento adicional de $150000, o sea:
C(x)=1500000x-150000x
C(x)=1350000x
nos queda:
C(x)=1500000x si 6≤x<12
x
y
6
9.000.000
11
16.500.000
1350000x si x≥12
x
y
12
16.200.000
15
20.0250.000
Ejercicio 4: Funciones 15. Un jugador de béisbol recoge la pelota en los jardines y la lanza al cuadrado intentando evitar una anotación del equipo contrario. La función: y = -0.002 (x-25)2 + 3 describe la trayectoria seguida por la pelota, desde que sale de su mano. ¿A qué altura del piso hizo el lanzamiento el jugador? Trayectoria de la pelota Y = -0,002(x-25)² +3 Y=0
Aplicamos una ecuación de segundo grado para la trayectoria con la formula anterior: (a-b)² = a²+2ab+b² 0 = -0,002(x²-50+625) +3 -3 = -0,002X² +0,1 -1,25 -3 +1.25-0,1 = -0,002 X² X = 925 m
¿A qué altura del piso hizo el lanzamiento el jugador? Aplicamos la primera ecuación y = 0,002(925-25)²+3 y = 1,620+3 y = 1623 m
16. Un estacionamiento cobra $ 25 pesos por una (1) hora y $ 5 pesos por cada 15 minutos adicionales. Describe esta situación mediante una función; obtén con ella el pago correspondiente a 3,75 horas y una expresión para el pago, según el tiempo de aparcamiento. Utilizamos la siguiente formula: f(x) = 25x + y
x = número de horas
y = número de minutos
Para 3,75 horas
Datos: Horas (x) = 3 Minutos (y) = 0,75 minutos al tiempo reloj = 45 minutos 60 minutos = 100 x minutos = 75 60* 75 = 100x =x X = 45 minutos
f(x) = 25x +
90 = 75 + 15
= $25 (3) + $
Ejercicio 5: Trigonometría 17. Desde un punto P el ángulo de elevación de la azotea de un edificio es 55°. Desde ese mismo punto P, el ángulo de elevación hasta el tope de una antena sobre el edificio es 65°. La distancia desde el punto P hasta el tope de la antena es de 65m, como se muestra en la siguiente figura.
Respuesta. La altura de la antena w es de 11,33 m
Explicación.
En este caso se debe obtener por medio de trigonométrica el valor de los lados restantes de los triángulos rectángulos. Para el triángulo hasta el tope de la antena: ( (65 65°) °) = /65 /65 = 65 ∗ ( (65°) = 27,4 27,47 7
( (65 65°) °) = /65 /65 = 65 ∗ (6 (65°) = 58,9 58,91 1
Para el triángulo hasta el tope de la azotea. El valor de x en ambos triángulos es la misma, por lo tanto se aplica la tangente.
(6 (60° 0°)) = ℎ/27,4 ℎ/27,47 7 ℎ = 27,47 27,47 ∗ ( (60 60°) °) ℎ = 47,5 47,58 8
Finalmente, la altura de la antena es la resta entre H y h = − ℎ = 58,9 58,91 1 − 47,5 47,58 8 = 11,3 11,33 3
18. El ángulo de elevación con que se mira la veleta de una torre es de 45.25°, cuando el observador se coloca a 72 metros de la torre. Si el observador se encuentra a 1.10 metros sobre el suelo. ¿ A qué altura se encuentra la veleta?
45,25° 1,10 m 72 m
Para hallar la altura, la función trigonométrica es la función Tangente. 45,2 45,25° 5° =
ℎ 72
ℎ = 45,2 45,25 5° × 72 ℎ = 1,009 × 72 = 72,63
Como el observador, está a una altura de 1,10 del piso. = 1,10 + 72,63 = 73,73
19. En la actualidad las leyes del seno y coseno se pueden utilizar en varios campos de la ingeniería para resolver problemas, por ejemplo, cuando por geometría tenemos triángulos
no rectángulos, un campo de aplicación es la aeronáutica donde podemos calcular la altura de un avión y su Angulo de elevación con respecto al horizonte. Un avión vuela entre dos ciudades A y B, La distancia entre las dos ciudades es de 100km, la visual desde el avión a las 2 ciudades forma 35 y 45 grados con la horizontal respectivamente. ¿A qué altura se encuentra el avión?
Distancia entre ciudades = 100 Km Ángulo a Ciudad A = 35° Ángulo a Ciudad B = 45°
Tang 45° = h/(100 – x) x) Tang 35° = h/x Se Despeja h (altura) en ambas ecuaciones. h = (100 – x) x) tg45° = 100 tang 45° - xTang 45° h = x tang 35°
Igualando las dos ecuaciones. h= h = 40,76 Km La altura (h) del avión es de 40,76 kilómetros.
20. Las razones de los lados de un triángulo rectángulo se llaman razones trigonométricas. Tres razones trigonométricas comunes son: seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). Un dirigible que está volando a 900 m de altura, distingue un pueblo A con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
Sen 12°=2079
cos 12° c.a
Cos 12°=9781
h
Tan 12°=2126
-9781=900 H (-9781)(h)=900 H= 900 9781
HIPOTENUSA =920.15
CONCLUSIÓN
Como se puede constatar se realizó los 10 pasos dado en la guía del grupo colaborativo, donde se logró comprender y aplicar los conceptos de la unidad I y II, donde se pudo obtener el conocimiento necesario para desarrollar los pasos referentes a funciones, ecuaciones, Inecuaciones y trigonométricas. Durante la realización de los ejercicios, donde se Puede concluir que el trabajo resulto productivo para la realización de la guía de actividad, por este motivo los conocimientos necesarios se pueden usar para dichos conceptos en un ambiente cotidiano y en el desarrollo de la carrera como administrador.
