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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 301301A_360
Tarea 3 - Ejercicios de Ecuaciones, Inecuaciones y Valor Absoluto
ELKIN VARON Autores
Jairo Ramos Tutor
Bogotá, 14 de Marzo de 2017
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CONTENIDO OBJETIVOS GENERALES ............................................................................................................ 3 OBJETIVOS ESPECIFICOS .......................................................................................................... 3 INTRODUCCIÓN............................................................................................................................. 4 EJERCICIOS: ................................................................................................................................... 5 PROBLEMA 1. (ALAIN MORALES) ............................................................................................ 5 GEOGEBRA PROBLEMA 1. .......................................................................................................... 7 PROBLEMA 2. (ALAIN MORALES) ............................................................................................ 8 GEOGEBRA PROBLEMA 2. .......................................................................................................... 8 PROBLEMA 6. (ALADINO ARENAS) .......................................................................................... 9 GEOGEBRA PROBLEMA 6 ......................................................................................................... 10 PROBLEMA 8. . (ALADINO ARENAS) ...................................................................................... 11 GEOGEBRA PROBLEMA 8 ......................................................................................................... 12 PROBLEMA 9. (JAVIER PUENTES) .......................................................................................... 13 GEOGEBRA PROBLEMA 9 ......................................................................................................... 14 PROBLEMA 10. (JAVIER PUENTES) ........................................................................................ 15 GEOGEBRA PROBLEMA 10 ....................................................................................................... 16 CONCLUSIÓN ................................................................................................................................ 17 REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA............................................................................................... 18
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OBJETIVOS GENERALES
Fortalecer la temática de estudio de la unidad 1, correspondiente a Ecuaciones, Inecuaciones y Valor Absoluto
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Obtener habilidades en procesos matemáticos a través de la resolución de ejercicios
Interiorizar y diferenciar conceptos fundamentales de la unidad de estudio.
Dominar la representación y comprobación grafica de los ejercicios resueltos.
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INTRODUCCIÓN El estudio profundo de conceptos matemáticos requiere de la aplicación práctica de los conocimientos, por lo tanto, en esta actividad se aplicará la temática de estudio mediante la resolución de ejercicios, que nos brindarán las bases necesaria para desarrollar nuestro pensamiento matemático. Mediante la construcción de conocimiento entre los estudiantes del grupo colaborativo, se fortalecerán las debilidades en los conceptos a través de las diferentes formas de resolución de los ejercicios propuestas por los alumnos en la actividad práctica. La representación y comprobación grafica de los ejercicios propuestos permitirá obtener herramientas de ayuda necesaria para analizar los comportamientos de las variables de forma gráfica y facilitar la resolución de los ejercicios.
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EJERCICIOS: PROBLEMA 1. (ALAIN MORALES) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones y compruebe su solución con Geogebra. 3𝑥 2
− 4𝑦 + 2𝑧 = 15; Ecuación 1
3𝑥 + 8𝑦 − 16𝑧 = 12; Ecuación 2 4𝑥 − 17𝑦 + 10𝑧 = 13; Ecuación 3 ______________________________ 3𝑥 2
− 4𝑦 + 2𝑧 = 15 (*8); Ecuación 1 Buscamos eliminar z; multiplicamos por 8
3𝑥 + 8𝑦 − 16𝑧 = 12; Ecuación 2 _________________ 12𝑥 − 32𝑦 + 16𝑧 = 120 3𝑥 + 8𝑦 − 16𝑧 = 12 ______________________ 15x − 24y = 132; obtenemos Ecuación 4. ______________________ 3𝑥 + 8𝑦 − 16𝑧 = 12 (*5); Ecuación 2; Buscamos eliminar z; multiplicamos por 5 4𝑥 − 17𝑦 + 10𝑧 = 13(*8); Ecuación 3; Buscamos eliminar z; multiplicamos por 8 ______________________________ 15𝑥 + 40𝑦 − 80𝑧 = 60 32𝑥 − 136𝑦 + 80𝑧 = 104 ______________________________ 47x − 96y = 164; obtenemos Ecuación 5. _______________________ 15x − 24y = 132 (*-4); Buscamos eliminar y; multiplicamos por (-4) 47x − 96y = 164; Ecuación 5. ______________________________ −60𝑥 + 96𝑦 = −528 47x − 96y = 164; _______________________ −13x = −364;(*-1) Ecuación 4; Buscamos despejar x; multiplicamos por (-1)
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𝑥=
364 13
𝑥 = 28; Obtenemos Valor de x _______________________________. 15𝑥 − 24𝑦 = 132; reemplazamos x en Ecuación 4 15(28) − 24𝑦 = 132 420 − 24𝑦 = 132; Buscamos despejar y; multiplicamos por (-1) −420 + 24𝑦 = −132 24𝑦 = −132 + 420 24𝑦 = 288 𝑦=
288 24
𝑦 = 12; Obtenemos Valor de y. ___________________ 3𝑥 + 8𝑦 − 16𝑧 = 12; Reemplazo (x) - (y) en Ecuación 2 3(28) + 8(12) − 16𝑧 = 12 84 + 96 − 16𝑧 = 12 Buscamos despejar z; multiplicamos por (-1) −84 − 96 + 16𝑧 = −12 16𝑧 = −12 + 84 + 96 16𝑧 = −12 + 84 + 96 16𝑧 = 168 𝑧=
168 16
𝑧 = 10.5; Obtenemos Valor de z. ________________________ 3𝑥 + 8𝑦 − 16𝑧 = 12; Reemplazo (x) - (y) – (z) en Ecuación 2 para comprobar valores de variables e igualdad de la ecuación. 3(28) + 8(12) − 16(10.5) = 12 84 + 96 − 168 = 12 180 − 168 = 12 12 = 12
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GEOGEBRA PROBLEMA 1.
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PROBLEMA 2. (ALAIN MORALES) Determine el valor de “x” que satisface la siguiente ecuación racional y compruebe su solución con Geogebra. 2(𝑥 2 −16)
− (𝑥−4)(𝑥+4) 2 (𝑥−4)(𝑥+4) (𝑥−4)(𝑥+4)
5(𝑥 2 +𝑥+1)(𝑥−1)
−
(𝑥 3 −1) 5(𝑥 3 −1) (𝑥 3 −1)
(𝑥+7)2
+ (𝑥 3 +21𝑥 2 +147𝑥+343) = 2;
(𝑥+7)2
+ (𝑥+7)3 = 2; En el primer numerador aplicamos diferencia de
cuadrados, en el segundo numerador cubo perfecto de binomios y en el tercer denominador teorema de binomios, permitiendo simplificar la ecuación. 1 = 2; (𝑥 + 7) 2 − 5 + 1 = 2 (𝑥 + 7); −2 = 2𝑥 + 14; −2 − 14 = 2𝑥; −12 −= 𝑥; 2 −𝟔 = 𝒙 2−5+
GEOGEBRA PROBLEMA 2.
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PROBLEMA 6. (ALADINO ARENAS) Expresar como fracción parcial la siguiente función racional y compruebe su solución con Geogebra. (4𝑥 − 3) (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)2
Solución Primer Problema escogido 6
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GEOGEBRA PROBLEMA 6
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PROBLEMA 8. . (ALADINO ARENAS) Hallar la solución de la siguiente inecuación racional y comprobar su solución con Geogebra. 𝑥 2 + 3𝑥 − 16 ≤8 𝑥−2
Solución Segundo Problema escogido 8
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GEOGEBRA PROBLEMA 8
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PROBLEMA 9. (JAVIER PUENTES) Hallar la solución de la siguiente ecuación con valor absoluto y comprobar su solución con Geogebra.. |𝑥 2 + 3𝑥 − 15| = 3
En este caso requerimos resolver dos ecuaciones diferentes:
𝑥 2 + 3𝑥 − 15 = 3 Ecuación A 𝑥 2 + 3𝑥 − 15 = −3 Ecuación B
Solución ecuación A x²+3x-15=3 x²+3x-15-3=0 x²+3x-18=0 Utilizamos la formula cuadrática para encontrar la solución. −3 ± √9 + 4 ∗ 18 𝑥=( ) = 3, −6 2
Solución ecuación B 𝒙² + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟓 = −𝟑 𝒙² + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟓 + 𝟑 𝒙² + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 −𝟑 ± √𝟗 + 𝟒 ∗ 𝟏𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝒙=( ) = ( ) √𝟓𝟕 − ( ) , − ( ) √𝟓𝟕 − ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
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Solución en general: Así que tenemos cuatro posibles soluciones para la ecuación |𝑥 2 + 3𝑥 − 15| = 3
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
X=(𝟐) √𝟓𝟕 − (𝟐) , − (𝟐) √𝟓𝟕 − (𝟐), 3, −6.
GEOGEBRA PROBLEMA 9
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PROBLEMA 10. (JAVIER PUENTES) Hallar la solución de la siguiente inecuación cuadrática y comprobar con Geogebra.
𝑥 2 − 18𝑥 + 14 < 0
Inicialmente debemos hallar la raíces de la ecuación para lo cual usamos la formula cuadrática −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥=( ) 2𝑎 Resolvemos así; 18 ± √182 − 4 ∗ 14 𝑥=( ) = √67 + 9,9 − √67 2
Tenemos que el intervalo que cumple la desigualdad 𝑥 2 − 18𝑥 + 14 < 0
es (−√67 + 9, √67 + 9)
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GEOGEBRA PROBLEMA 10
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CONCLUSIÓN Se logró concluir que la práctica nos permite desarrollar un pensamiento matemático que nos lleva analizar e interpretar los ejercicios propuestos para resolverlos de diferentes formas. Por lo anterior fue necesario tener que profundizar en conceptos básicos tales como, supresión de símbolos de agrupación, factorización, reducción de términos, entre otros, los cuales nos facilitaron la búsqueda de soluciones a ejercicios inicialmente percibidos como complejos. La presente actividad nos contribuyó en fortalecer y aprender conceptos básicos y prácticos de la unidad de estudio, asimismo, la herramienta de comprobación Geogebra nos aportó facilidades para la verificación de los ejercicios propuestos.
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REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA Andalón, J. (2011). Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7685. Ríos, J. (2013). Sistema de ecuaciones lineales 2 x 2. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7689. Diber, Vaquiro. (2015). Solución de un sistema de ecuaciones utilizando el editor de ecuaciones de Word. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7688.
