TAREA 3.2 PROBLEMARIO DE MUESTREO PARA MEDIAS
2.1 8. La L a ag encia de adua aduana nass de Es E s tados tados Unidos verific veri fica a de de rutina a todos todos los pasajeros pas ajeros que llegan lleg an del extranjer ex tranjero o cuando cu ando entran al país . E l departamento informa que en promedio se encuentra que 42 personas diarias, con una desviación estándar de 11, llevan material de contraba contrabando ndo al al entrar entrar a los los E s tados tados Unidos a través través del aeropuert aeropuerto o J ohn F . K ennedy ennedy de Nueva Y ork . ¿ C uál uál es es la probabilida probabilidad d que, en en cinc o días días en el aeropuerto, el número promedio de pasajeros que llevan contrabando excedan excedan los los 50?
µ = 42 σ = 11 n = 5 Dado que la población es infinita, σẋ = (σ/√n) = 4.92 P(ẋ>50) = 1 – P(ẋ<50) = 1 – P(z< (50-42)/ 4.92) = 1 – P(z<1.63) = 1 – (0.5+0.4484) = 0.0516 = 5.16% La probabilidad de que en cinco días en el aeropuerto, el número promedio de pasajeros que llevan contrabando excedan los 50, es igual a 5.16%.
9. Los costos de afinación en una estación de servicios grande son 30 dólares para un coche de cuatro cilindros, de 36 para uno de seis cilindros y de 42 pa para uno uno de de 8 cilindros ; de los los r egi s tros hall halla ados s e s abe que el 10% de las afinacio afinac iones nes s e hacen hac en para p ara cada c ada coche coc he de c uatro cilindros ci lindros , el 40% 40% para para cada cada coche de 6 cilindros y el 50% para para coches de ocho cilindros cilindr os . S e elig elig en al al azar zar dos c oches que necesita neces itan n afinación: afinación: a) Construye una tabla de distribución de probabilidad para el promedio pr omedio del c os to de serv s ervic ic i o. b) E ncuentra ncu entra la media muestral mues tral.. X 4 6 8
P(x) .10 .40 .50
a) 10% = 4 cilindros 40% = 6 cilindros 50% = 8 cilindros b) X = 36.
s {4,6,8}
10. Los costos de un cambio de aceite y lubricación en una estación de s ervic erv ic io g rande s on de 12 dólares para un c oche oc he de 4 c ilindr ili ndros os , de 15 dóla dólares para para un coche de 6 c ilindros y de 18 dóla dólares para para un coche de 4 cilindros . De D e los los archivos rchiv os s e s abe que que el 40% se hace pa para los los coches de 4 cilindros, el 20% para los de 6 y el 40% para los de 8 cilindros. Supón que se eligen al azar dos coches que necesitan cambio de aceite y se lubrican: X P(x) 4 0.40 6 0.20 8 0.40 a) Construye una distribución distribución de probabilidad para el costo promedio promedio del servicio. 40%-4 cilindros 20%-6 cilindros 40%-8 cilindros b) Encuentra la media de muestreo. muestreo. X= 15 c) Encuentra el error estándar de la media.
11.Dada una población de tamaño N = 80 con una media de 22 y una des viación vi ación es tándar tándar de 3.2, ¿ cuál es es la probabilidad de que una muestra mues tra de 25 teng teng a una media de entre entre 21 y 23.5?
N=80 µ=22
σ=3.2
n=25
p(21≤x≤23.5)
z=21-22
z= -1/0.2984= -3.351
0.2984 z=23.5-22
z= 1.5/0.2984 = 5.0268 0.2984
σx
= (3.2/√80) ( √( 55/79) ) (0.8343)(0.3577) =0.2984
0.9998-0.0006=0.9992 99.92%
12. De una población de 125 elementos con una media de 105 y una desviación es tándar de 17, s e elig ieron 64 elementos . a) ¿Cuál es el error estándar de la media?
= √ = √ 1764 = 2.125 b) ¿Cuál es la probabilidad P (107.5 < x < 109)?
(107.5<<109) 1= (107.5105) 17 = 1.1764 √ 64 Buscando en la tabla de normal 1.1764
0.8790
2= (109105) 17 = 1.88 √ 64 Buscando en la tabla de normal 1.88
0.9699
(1.17<<1.88) =0.96990.8790=0.0909=9.09% 13. Para una población de tamaño N= 80 con una media de 8.2 y una desviación estándar de 2.1, encuentre el error estándar de la media para los s ig uientes tamaños de mues tra: a) n=16 b) n=25 c) n=49.
Datos: N=80
=2.1
= √ . a) = √ =0.525 . b) = √ =0.42 . c) = √ =0.3 14. C alvin E ns or, pres idente de la G eneral Telephone C orp., está preocupado por el número de teléfonos producidos por s u empres a que tienen auriculares defectuosos. En promedio, 110 teléfonos al día son devueltos por es te problema, con una desviación es tándar de 64. E l señor Ensor ha decidido que a menos que pueda estar 80% seguro de que, en promedio, no s e devolverán más de 120 teléfonos al día durante los s ig uientes 48 días , ordenará una reparación g eneral del proces o. ¿ S e ordenará la reparación g eneral?
Orden: P ( <120)= 0.8599 y como 0.8599 > 0.8 entonces no se ordenara la reparación general
15.- El granjero Braun, quien vende granos a Alemania, posee 60 hectáreas de campos de trigo. Basándose en su experiencia de pasada, s abe que la producci ón de cada hec tárea es tá normalmente dis tribuida con una media de 120 faneg as y una desviación de 12 faneg as . A yude al g ranjero B raun a planear la cos echa del s ig uiente año encontrando: a) La media esperada de las cosechas de las 60 hectáreas.
=120 b) La desviación estándar de la media de muestra de las cosechas de las 60 hectáreas
=12
c) La probabilidad de que la cosecha media por hectárea exceda las 123.8 fanegas.
= (123.8120) (12⁄ 60) =2.45 ( > 123.8) = (>2.45) =10.9929=0.0071≈0.71% d) La probabilidad de que la cosecha media por hectárea caiga entre las 117 y 122 fanegas.
(117≤≤122) = (1.94≤≤1.29) =0.8753≈87.53% = (117120) (12⁄ 60) =1.94 = (122120) (12⁄√ 60) =1.29 17. Una técnica de laboratorio de rayos X toma lecturas de s u máquina para aseg urars e de que és ta s e apega a las g uías de s eg uridad federal. S abe que la des viación estándar de la cantidad de radiación emitida por la máquina es de 150 milirems, pero desea tomar lecturas hasta que el error estándar de la distribución de muestreo no s ea mayor de 25 milirems. ¿ Cuántas lecturas debe tomar?
= √ n= x σ
n= n= 36
18. S ara Gordon encabeza una campaña de recolección de fondos para el Milford College. Desea concentrarse en la actual reunión del décimo año, y espera obtener contribuciones de 36% de los 250 miembros de esa clas e. Datos anteriores indic an que aquellos que contri buyen a la donaci ón de la reunión del déci mo año donarán 4% de sus salarios anuales. Sara cree que los miembros de la clase tienen un salario anual promedio de $32,000 con una desviación estándar de $9,600. Si sus expectativas se cumplen (36% de la clas e dona 4% de sus s alarios ), ¿ cuál es la probabilidad de que la donaci ón de la reunión esté entre $110,000 y $120,000? 250 miembros = 36% de contribución
Salario= $32’000
(32’000)(0.04)= 1’280
Contribución de 4% Para 250 miembros= $320’000
n= 320’000 p= 36%
μ= 115’200 σ= 9’600 P(110’000 ≤
≤ 120’000)
− = 0.54 − = 0.5 Z1= Z1=
P(-0.54 ≤ Z ≤ 0.5) = 0.6915 – 0.2946 = 0.3669 ≈ 36.96%
19. La compañía Davis A ircraft Co., está desarrollando un nuevo s is tema des cong elante de alas que ha ins talado en 30 aerolíneas comerciales. El sistema está diseñado de tal forma que el porcentaje de hielo eliminado está normalmente distribuido con una media de 96 y una desviación estándar de 7. El Departamento Federal de Aviación efectuará una prueba selectiva de seis de los aviones que tienen instalado el nuevo s is tema y aprobará el sis tema si al menos, en pr omedio, 98% del hielo es eliminado. ¿ Cuál es la probabilidad de que el s is tema reciba la aprobaci ón del Departamento? µ= 96
σ= 7 n= 6
P (X≥98)
Z = − /√ =0.70
P (Z≥0.70) 1−0.758 = 0.242 = 24.2% 20.- A finales de marzo de 1992 hubo las siguientes tasas de desempleo en Estados Unidos, estado por estado. Estado Tasa de Estado Tasa de desempleo (%)
desempleo (%)
Alabama 7.3
7.5
Montana
Alaska
10.1
Nebraska
Arizona 6.8
8.4
Nevada
Arkansas 7.5
7.0
New Hompshire
California 7.5
8.7
New Jersey
Colorado 7.6
6.3
2.8
Nuevo México
Connecticut 8.5
7.4
Nuevo York
Delaware 6.4
6.4
Carolina del Norte
Distrito de Columbio 5.3
8.2
Dakotadel Norte
Florida.
8.1
Ohio
7.8
Georgia
6.3
Okiahoma
6.8
Hawai 8.6
3.5
Oregon
Idaho 7.6
7.8
Pennsylvania
Illinois
8.2
Rhode Island
Indiana 7.1
6.3
Carolina del Sur
8.9
lowo 4.0
5.3
Dakota del Sur
Kansas
3,6
Tennessee
7.0
Kentucky
7.0
Texas
7.4
Louisiana 5.0
6.9
Utah
Maine 7.1
8.4
Vermont
Maryland 6.8
7.4
Virginia
Massachusetts
10.0
Washington
8.3
Michigan 12.9
10.0
West Virginia
Minnesota 5.7
6.3
Wisconsm
Mississippi 7.5
8.1
Wyoming
Missouri
5.6
Fuente: Sharon R: Cohany, "Cuient Labor Statístícs: Employment Dala", en Monthly Labor Review 115 (6) (junio de 1992), pp. 80-82. a) Calcule la media de población y la desviación estándar de los porcentajes de desempleo. Media=7.19 desviación estándar= 1.73
b) Utilizando los estados de Alabama, Kansas, Michigan, Nebraska y Carolina del norte como muestra aleatoria (tomada sin remplazo), determine la media de la muestra. Media = 6.58
c) Cuáles son la media
y la desviación estándar
x
de la distribución de
x
muestreo de , la media de la muestra de todas las muestras de tamaño n = 5, Tomadas sin reemplazo? Media 6.58 desviación estándar= 3.07
x
d) Considere la distribución de muestreo de para muestras de tamaño n = 5, tomadas sin remplazo. ¿Es razonable suponer que esta distribución es normal o aproximadamente normal?
x
Es normal ya que está en su promedio de las muestras de n = 5
e) No obstante su respuesta al inciso d), suponga que la distribución de muestreo de para muestras de tamaño n ~= 5, tomadas sin remplazo, es aproximadamente normal. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de esta muestra aleatoria caiga entre 5.9 y 6.5? ()(.−.)= -1.89 1-(-1.89)=2.89 = 0.9981 * 100= 99.81
x
= . + .
21- Los pes os al nacer de 5000 bebés tienen una media de 7.3 libras y una desviación estándar de 1.5. S i s e toma una muestra de 100 recién nacidos y s e les pes a, ¿ cuál es la probabilidad de que el peso medio
N= 5000; µ=7.3; σ = 1.5; n=100
− σ ̅ = √ ∗ −
=
. ∗ − = 0.1485 √ −
a) esté entre 7 y 7.5 libras?
P (7 ≤ x ≤ 7.5)
= ̅ − µ = ..−. = 1.34 = ̅ − µ = .−. = -2.02
P (x≤7.5) = P (Z ≤ 1.34) = 0.9099 P (x≥7) = P (Z ≥ -2.02) = 0.0217
P (7 ≤x≤7.5) = P (1.34 ≤ x ≤ -2.02) = 0.9099 – 0.0217 = 0.8882=88.82%
b) Sea menor que 7.1 libras?
= ̅ − µ = ..−. =1.34
P (x<7.1) = P (Z < -1.34) = 0.0901= 9.01%
c) Sea mayor que 7.2 libras?
= ̅ − µ = ..−. = -0.67
P (x>7.2) = P (Z > -0.67) = 0.2514 = 1 – 0.2514= 0.7486= 74.86%
23. La agencia de aduanas de Estados Unidos verifica de rutina a todos los pasajeros que lleg an del extranjero cuando entran al país . E l departamento informa que en promedio se encuentra que 42 personas diarias, con una desviación estándar de 11, llevan material de contrabando al entrar a los Estados Unidos a través del aeropuerto J ohn F. K ennedy de Nueva Y ork. ¿ Cuál es la probabilidad que, en cinco días en el aeropuerto, el número promedio de pas ajeros que llevan contrabando excedan los 50? µ = 42
σ = 11 n=5
Dado que la población es infinita, σẋ = (σ/√n) = 4.92 P(ẋ>50) = 1 – P(ẋ<50) = 1 – P(z< (50-42)/ 4.92) = 1 – P(z<1.63) = 1 – (0.5+0.4484) = 0.0516 = 5.16% La probabilidad de que, en cinco días en el aeropuerto, el número promedio de pasajeros que llevan contrabando excedan los 50, es igual a 5.16%.
24. La HA L C orporation fabri ca g randes s is temas de c ómputo y s iempre s e ha ufanado de la confíabilidad de s us unidades de proces amiento central del S is tema 666. De hecho, la experiencia pas ada ha mos trado que el tiempo improductivo mensual de las CPU del Sistema 666 promedia 41 minutos , con una desviación es tándar de 8 minutos . E l centro de cómputo de una gran universidad estatal mantiene una instalación formada por s eis C PU del S is tema 666. J ames K ítchen, el direc tor del centro, s iente que se proporciona un nivel satisfactorio de servicio a la comunidad universitaria si el tiempo improductivo promedio de las seis CPU es menor de 50 minutos al mes . Dado cualquier mes ,
a) ¿ cuál es la probabilidad de que K itchen s e sienta s atis fecho con el nivel de servicio? x
8min/√6=3.26
R= 0.9996 99.96% es el nivel de satisfacción.
25.- Los miembros de la Org anization for Cons umer A ction mandan más de 250 voluntarios al día a todo el es tado para incrementar el apoyo para un proyecto de protecc ión al cons umidor, que es tá actualmente en debate en la cámara legis lativa estatal. Por lo g eneral, cada voluntario vi s ita una casa y habla brevemente con el residente con la esperanza de que éste firme una petición dir ig ida a la leg is latura es tatal. E n promedio, un voluntario obtendrá 5.8 firmas di arias para la petic ión, c on una des viaci ón es tándar de 0.8. ¿ Cuál es la probabilidad de que unas mues tras de 20 voluntarios obtengan un promedio de entre 5.5 y 6.2 fir mas diarias? N = 250 n = 5.8 = 0.8
Muestra =20 P (5.5, .62)
σ = (σ/√n) = (0.8/√20) = 0.178885438 P(5.5
26.- Un astrónomo del Obs ervatori o del Monte Palomar obs erva que durante la lluvia de meteoritos Geminid, un promedio de 50 de ellos aparecen cada hora, con una varianza de nueve meteoritos al cuadrado. La lluvia de meteoritos G eminid s e pres entará la s emana s ig uiente. a) Si el as trónomo obs erva la lluvia durante cuatro horas, ¿ cuál es la probabilidad de que aparezcan al menos 48 meteoritos por hora?
b) S i el as trónomo observa otra hora, ¿ s e elevará o dis minuirá esta
x
probabilidad? ¿ Por qué?
N
x
n
n
N 1
x
a)
μ=50 S=9² n=4
σ=√S σ=√9²σ=9 n=9/2=4.5
Z=x−μ/σ Z=48−50/4,5 Z=24,5
Z=−0,44 P=0,1700
Z=0,5−0,3106 Z=0,33 33%
n
b)
S e elevará como lo mues tra el problema anteri or ya que aumenta la probabilidad de que el meteoro pas e P(n=5, m=50 s=9²)
Problemas 2.2
1. Una muestra de tamaño n1=5 se saca aleatoriamente de una población que está distribuida normalmente con media 1=50 y variancia =9, y se registra la media muestral . Una segunda muestra aleatoria de tamaño n2=4 se selecciona, independientemente de la primera muestra, de una población diferente que también está distribuida normalmente, con una media 2=40 y variancia =4 y se registra la media muestral . Encuentra
2
1
x 1
2 2
x 2
P( x1
x2
8.2).
n1=5
n2=4
1=50
2=40
2
1
=9
2 2
=4
= .−(−) = -1.07 +
P (Z< -1.07)
Obtener
probabilidad directa de tabla de curva normal
= 0.1423 = 14.23%
3. Una muestra aleatoria de tamaño 25 se toma de una población normal que tiene una media de 80 y una desviación estándar de 5. Se toma una
segunda muestra aleatoria de tamaño 36 de una población normal diferente que tiene una media de 75 y una desviación estándar de 3. Encuentra la probabilidad de que la media muestral calculada de las 25 mediciones exceda la media muestral calculada de las 36 mediciones al menos por 3.4 por menos de 5.9. Asume que las medias se redondean a décimas. n1=25
n2=36
1=80
2=75
2
1
=5
2 2
=3
P (3.4
P (x1-x2<5.9)
= . −(−) + = 0.8049
= 0.7881 P (z<0.7881)
P (3.4
= . −(−) + =-1.431
= 0.0764 P (z>0.0764)
0.7881-0.0764 =0.7117≈71.17%
4. La distribución de alturas de cierta raza de perros Terrier tiene una altura media de 72 centímetros y una desviación estándar de 10 centímetros, en tanto que la distribución de altura de cierta raza de poodles tiene una altura media de 28 centímetros con una desviación estándar de 5 centímetro. Suponiendo que las medias muestrales se pueden medir con cualquier grado de precisión, encuentre la probabilidad de que la media muestral para una muestra aleatoria de altura de 64 Terrier exceda la
media muestral para una muestra aleatoria de alturas de 100 poodles a lo màs en 44.2 centímetros. Terrier.
Poodles
u= 72 cm
u= 28 cm
o= 10
o= 5cm
n= 64
n = 100
X1-X2= 44.2 P((X1-X2) ≤ 20) = P (Z≤0.15)= 0.5596 = 55.96%
44.2(7228) = = =0.1485≅0.15 5 √ 1640 100 5. La calificación promedio para estudiantes de primer año en una prueba de aptitudes, en cierta universidad, es 540, con una desviación estándar de 50. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes seleccionados aleatoriamente, consistentes en 32 y 50 estudiantes, respectivamente, difiera en sus calificaciones promedio por: µ=540 σ= 50 n1= 32 n2=50
A) más de 20 puntos?
= ( )−() () =-7.05 ≈0.05 0.05
X=-1.4 B) una cantidad entre 5 y 10 puntos?
₁ = ( )−() () = -7.49 ) ₂ = ( )−(( ) = -7.56
₁ ₂
≈
z= z + z = -15.05 0.03
0.03
5.- La calificación promedio para estudiantes de primer año en una prueba de aptitudes, en cierta universidad, es 540, con una desviación estándar de 50. ¿ Cuál es la probabilidad de que dos g rupos de es tudiantes s eleccionados aleatoriamente, cons is tentes en 32 y 50 es tudiantes , res pectivamente, difiera en s us calificaciones promedio por: µ=540
σ= 50
n1= 32 n2=50
A ) más de 20 puntos ?
= ( )−() () =-7.05 ≈0.05 0.05
X=-1.4
B ) una cantidad entre 5 y 10 puntos ?
₁ = ()−() () = -7.49 ₂ = ()−() () = -7.56
₁ ₂
≈
z= z + z = -15.05 0.03
0.03 8. Un equipo de salvamento submarino se prepara para explorar un sitio mar adentro, frente la costa de Florida donde se hundió una flotilla entera de 45 galeones españoles. A partir de registros históricos, el equipo espera que estos buques naufragados generen un promedio de $225,000 de ingresos cada uno cuando se exploren, con una desviación estándar de $39,000. El patrocinador del equipo, sin embargo, se muestra escéptico, y ha establecido que si no se recuperan los gastos de exploración que suman $2.1 millones con los primeros nueve galeones naufragados, cancelará el resto de la exploración. ¿Cuál es la probabilidad de que la exploración continúe una vez explorados los nueve primeros barcos?
µ=225000 σ=39000 n=9
La distribución para 9 barcos es
μ=n*μ = 9* 225000 = 2025000 σ²=n*σ² = 9*39000² = 1.3689*10^10 σ=√σ² --> σ=117000
Debemos calcular la probabilidad que continue la exploración o lo que es lo mismo que P(X>=2100000)
Esandarizamos mediante Z=(X-μ)/σ Z=(2100000-2025000)/ 117000 Z=0.6410 Por lo tanto
P(X>=2100000)= P(Z>0.6410)= 1-P(Z<0.6410)= P(Z<0.6410) = 0.7392 1-0.7392= 0.2608 La probabilidad de continuar con la exploración es de 26.08%
9. En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra igual de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentra P x x 20 , la probabilidad de que el promedio x1
x 2
1
2
de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el doble de los de las 25 niñas. Datos: 1=
100 libras
2 =
85 libras
1=
14.142 libras
2=
12.247 libras
n1 = 20 niños n2 = 25 niñas
= ?
Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056.
10. Un transbordador transporta 25 pasajeros. El peso de cada pasajero tiene una distribución normal con media de 63 kilogramos y varianza de 135 kilogramos cuadrados. Las reglamentaciones de seguridad establecen que, para este transbordador en particular, el peso total de pasajeros en el barco no debe exceder los 1,585 kilogramos en más de 5% del tiempo. Como un servicio para los dueños del transbordador, encuentra la probabilidad de que el peso total de los pasajeros del transbordador exceda los 1,585 kilogramos.
25) =2.72 = 1585(62 (13.255 25) 2.72≈.9967 1.9967=.0033≈.33% 11. Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7. Determina la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A tengan una vida media de al menos un año más que la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B. Ma=7.2
σa=0.8 n=34 0.9977=0.0023 ≈ 0.23%
̅ ̅≥1)=(≥) =P(2.84≥1)=1-
P( a-
Mb=6.7
σb=0.7
−(.−.)
n=40
Z= . . =2.84 +
99.77
0.23
7.2-6.7
