3.3
Método de de Ra Rayleigh
3.3
Método de Rayleigh
3.3
Método de de Ra Rayleigh
Para los los sistem stemas as gene eneraliz lizados ados de 1 gdl, gdl, hemo hemoss pod podido ido plan plante tear ar las las ecua ecuaci cion ones es de equi equili libr brio io diná dinámi mico co a part partir ir de aplicar el Principio de los Trabajos Trabajos Virtuales. Sin embargo para un sistema en vibración libre y sin amorti amortigu guam amie ient nto o se puede puede aplic aplicar ar tambi también én el Prin Princi cipio pio de Conservación de la Energía.
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Método de de Ra Rayleigh
Para los los sistem stemas as gene eneraliz lizados ados de 1 gdl, gdl, hemo hemoss pod podido ido plan plante tear ar las las ecua ecuaci cion ones es de equi equili libr brio io diná dinámi mico co a part partir ir de aplicar el Principio de los Trabajos Trabajos Virtuales. Sin embargo para un sistema en vibración libre y sin amorti amortigu guam amie ient nto o se puede puede aplic aplicar ar tambi también én el Prin Princi cipio pio de Conservación de la Energía.
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Método de de Ra Rayleigh
3.3.1
Principio de Conservación de la Energía
“Si no hay fuerzas externas actuando sobre el sistema, y no existe disipación de energía (amortiguamiento), la energía total del sistema permanecerá constante durante el movimiento y por lo tanto, su derivada con respecto al tiempo es igual a cero”. ce ro”.
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Método de de Ra Rayleigh
3.3.1
Principio de Conservación de la Energía Para apreciar la aplicación de este principio, estudiemos un sistema masa y resorte sin amortiguamiento.
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Método de de Ra Rayleigh
3.3.1
Principio de Conservación de la Energía La energía total del sistema será la suma de la energía cinética que experimenta la masa m y la energía potencial que almacena el resorte k. La energía cinética es: El trab trabaj ajo o reali ealizzado ado por por la fuer fuerzza en el reso resort rte e dur durante ante un desplazamiento diferencial du es: du es: -kudu -kudu,, el cual será igual a la energía potencial con signo cambiado, por lo que
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Método de Rayleigh
3.3.1
Principio de Conservación de la Energía Considerando que no hay disipación de energía, la suma de ambas energías debe ser constante (ET), por lo que
Derivando esta expresión en el tiempo se tiene
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Método de Rayleigh
3.3.1
Principio de Conservación de la Energía Simplificando resulta en
que son las expresiones para un sistema de 1 gdl como se dedujo anteriormente aplicando el equilibrio de la 2da. Ley de Newton.
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Método de Rayleigh
3.3.2
Método de Rayleigh Planteado por Lord Rayleigh en 1873, propone que en caso de sólo querer hallar la frecuencia de vibración natural de un sistema, se podrá aplicar el Principio de Conservación de la Energía.
Suponiendo que para el sistema en movimiento armónico expresamos:
3.3
Método de Rayleigh
3.3.2
Método de Rayleigh El desplazamiento como
La velocidad como
donde A es el desplazamiento máximo y ωA la velocidad máxima.
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Método de Rayleigh
3.3.2
Método de Rayleigh Por lo tanto cuando la masa m pasa por el punto de equilibrio (u = 0), no habrá fuerza actuando en el resorte y la energía potencial será cero. En este caso, la energía total del sistema estará dada únicamente por la energía cinética, la cual deberá ser máxima.
En el momento de máximo desplazamiento (u = A) no habrá velocidad en la masa m y la energía cinética será cero.
3.3
Método de Rayleigh
3.3.2
Método de Rayleigh En este caso, la energía total del sistema estará dada únicamente por la energía potencial, la cual deberá ser máxima.
Como hemos dicho que la energía debe conservarse durante todo momento en el sistema, se deberá cumplir que
De donde se obtiene
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos En un sistema de varios gdl, existen tantos modos de vibrar y frecuencias de vibración como gdl tiene el sistema.
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Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos En un sistema de varios gdl, existen tantos modos de vibrar y frecuencias de vibración como gdl tiene el sistema.
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Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos En un sistema de varios gdl, existen tantos modos de vibrar y frecuencias de vibración como gdl tiene el sistema.
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Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos En un sistema de varios gdl, existen tantos modos de vibrar y frecuencias de vibración como gdl tiene el sistema.
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Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos En un sistema de varios gdl, existen tantos modos de vibrar y frecuencias de vibración como gdl tiene el sistema.
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Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos En un sistema de varios gdl, existen tantos modos de vibrar y frecuencias de vibración como gdl tiene el sistema.
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos A cada modo de vibrar de la estructura (modo 1, modo 2, modo 3, etc.) le corresponderá una frecuencia de vibración . El movimiento real de una estructura se demuestra que es el resultado de una combinación de sus diversos modos de vibrar. En realidad la influencia de cada modo de vibrar en el movimiento total del sistema, llamado combinación modal, es muy diferente, siendo que el primer modo de vibrar llamado Modo Fundamental es el más importante, pudiendo significar del 60% al 85% de la respuesta total.
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Los siguientes modos de vibrar participan cada uno de una manera menos importante y en forma descendente, siendo así que el segundo modo puede aportar de 20% a 8%, el tercer modo de 10% a 4%, etc., lo cual dependerá de cuantos modos conforman el sistema estructural. Dado que el Modo Fundamental es el que más importancia representa en la respuesta del sistema, muchas veces se opta por hallar únicamente este modo de vibrar, para ser utilizado como la respuesta total del sistema con una buena aproximación.
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Cuando se aplica el método de Rayleigh a un sistema, lo que se halla es el Modo Fundamental de vibración del sistema y su correspondiente frecuencia de vibración. Por lo tanto, para un sistema de muchos gdl, un método como el de Rayleigh que nos permita hallar el Modo Fundamental, será bastante útil para obtener una respuesta aproximada. El Modo Fundamental de vibración corresponde al modo más fácil que encuentra la estructura para vibrar y asimismo, la Frecuencia Fundamental que le corresponde será la más baja de todas las frecuencias.
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos
ω1
<
ω2
<
ω3
<
ω4
<
ω5
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Para evaluar el Modo Fundamental de vibrar es necesario conocer K * y M *, los parámetros generalizados del sistema, por lo que se deberá asumir inicialmente un φ(x) que luego deberá ser verificado.
Asumimos inicialmente un modo de vibrar como el lineal: x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 NOTA: No interesa el valor absoluto sino lo relativo entre valores
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Determinación de los parámetros generalizados Masa generalizada
Asumiendo masas iguales (mi = m) por simplicidad
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Rigidez generalizada
Asumiendo rigideces iguales (K i = k) por simplicidad
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Finalmente
Se deberá verificar que el Modo asumido (lineal) es el verdadero. Considerando que el sistema se halla sometido a un movimiento sísmico representado por su espectro de pseudo aceleraciones, con el valor de ω hallado y un amortiguamiento adecuado podemos hallar la aceleración máxima sobre el sistema.
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Calculamos la fuerza inercial máxima sobre cada masa
En nuestro ejemplo tenemos
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Trabajando en forma tabulada y haciendo
Se comprueba que no se verifica el modo asumido (lineal)
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Trabajando en forma tabulada y haciendo
Se comprueba que no se verifica el modo asumido (lineal)
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Trabajando en forma tabulada y haciendo
Se comprueba que no se verifica el modo asumido (lineal)
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Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Trabajando en forma tabulada y haciendo
Se comprueba que no se verifica el modo asumido (lineal)
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Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Trabajando en forma tabulada y haciendo
Se comprueba que no se verifica el modo asumido (lineal)
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Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Trabajando en forma tabulada y haciendo
Se comprueba que no se verifica el modo asumido (lineal)
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Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Trabajando en forma tabulada y haciendo
Se comprueba que no se verifica el modo asumido (lineal)
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos Se procede a un nuevo cálculo, asumiendo al modo hallado como el modo de vibrar real.
Para buscar mayor convergencia hacemos un nuevo ciclo de iteración
Lo cual se considera suficiente aproximación y este será el Modo Fundamental de vibrar del sistema.
3.3
Método de Rayleigh
3.3.3
Método de Rayleigh aplicado a sistemas discretos La Frecuencia Fundamental de vibración se hallará como
3.3
Método de Rayleigh
3.3.4
Método de Rayleigh aplicado a sistemas continuos Consideremos el siguiente ejemplo. Una torre a la cual queremos hallar su respuesta dinámica, para lo cual asumimos una forma de vibrar ψ(x)
3.3
Método de Rayleigh
3.3.4
Método de Rayleigh aplicado a sistemas continuos
Aplicamos los conceptos referidos a sistemas continuos: Masa generalizada
3.3
Método de Rayleigh
3.3.4
Método de Rayleigh aplicado a sistemas continuos
Rigidez generalizada
3.3
Método de Rayleigh
3.3.4
Método de Rayleigh aplicado a sistemas continuos
La frecuencia de vibración del sistema será
Tratar con Masa generalizada Rigidez generalizada Resultará en una frecuencia
3.3
Método de Rayleigh
3.3.4
Método de Rayleigh aplicado a sistemas continuos
y
ω2 es mayor que ω1. Es decir al sistema le cuesta mayor trabajo vibrar en este modo, por lo que la primera función será más cercana a la respuesta exacta.
3.3
Método de Rayleigh
3.3.5
Método de Rayleigh modificado
Aplicable a sistemas discretos 1. Asumimos la forma de vibrar ψ(x) 2. Calculamos la fuerza inercial F i = W i ψ i 3. Calculamos la fuerza cortante V 4. Calculamos los desplazamientos relativos 5. Calculamos los desplazamientos totales 6. Se obtiene un nuevo ψ(x) 7. Si no hay suficiente aproximación se realiza un nuevo ciclo.
3.3
Método de Rayleigh
3.3.5
Método de Rayleigh modificado
Aplicando el método de Rayleigh corregido al ejemplo anterior
3.3
Método de Rayleigh
3.3.5
Método de Rayleigh modificado
Aplicando el método de Rayleigh corregido al ejemplo anterior
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Método de Rayleigh
3.3.5
Método de Rayleigh modificado
Aplicando el método de Rayleigh corregido al ejemplo anterior
3.3
Método de Rayleigh
3.3.5
Método de Rayleigh modificado
Aplicando el método de Rayleigh corregido al ejemplo anterior
3.3
Método de Rayleigh
3.3.5
Método de Rayleigh modificado
Aplicando el método de Rayleigh corregido al ejemplo anterior
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Método de Rayleigh
3.3.5
Método de Rayleigh modificado
Aplicando el método de Rayleigh corregido al ejemplo anterior
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Método de Rayleigh
3.3.5
Método de Rayleigh modificado
Aplicando el método de Rayleigh corregido al ejemplo anterior
3.3
Método de Rayleigh
3.3.5
Método de Rayleigh modificado
Aplicando el método de Rayleigh corregido al ejemplo anterior
Segunda iteración
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Método de Rayleigh
3.3.5
Método de Rayleigh modificado
Tercera iteración
El método de Rayleigh sólo permite hallar el Modo Fundamental de vibración del sistema y su frecuencia fundamental correspondiente. Por lo tanto la respuesta hallada es aproximada, ya que sólo está basada en el primer modo. Es un método útil cuando se quiere realizar un análisis muy aproximado, con fines de predimensionamiento por ejemplo.
3.3
Método de Rayleigh
3.3.5
Método de Rayleigh modificado
Para obtener mayor precisión se deberían hallar los otros modos de vibración. Para conocer la aproximación (o error) que ofrece el Modo Fundamental, debemos hallar la relación entre Masa Efectiva y la Masa Total del sistema.
3.3
Método de Rayleigh
3.3.5
Método de Rayleigh modificado
Finalmente, hallamos
Por lo tanto la aproximación que ofrece el Primer Modo o Modo Fundamental es de 91.4%.
