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Calculo 1_Ingeniería
SOLUCIÓN SESIÓN 14 Optimización aplicada a la Ingeniería y Gestión Empresarial 1.
Tres fábricas están situados en los vértices de un triángulo isósceles. Las fábricas B y C que distan entre si de 16 Km están situados en la base, mientras que la fábrica A dista 10 Km de la base del triángulo. ¿A qué distancia de A, a lo largo de la altura, se debe colocar una instalación de bombeo de agua de manera que se emplee la menor longitud de cañerías para abastecer de agua las tres fábricas? Solución:
Sea la distancia buscada desde A, hasta M. Hagamos un gráfico del problema, A
6410 6 410
6410 6 410
M
B
8
10
N
C
8
Usando el teorema de Pitágoras se encuentra la hipotenusa del triángulo rectángulo
6 410 6410
= = 2 2 6410 6 410 210 = 1 6410 6 410
, esto
es, . Además como el triángulo es isósceles, es decir el ángulo es igual al ángulo , además , es altura, lo cual cae perpendicularmente al lado , de esto se tiene que el triángulo es congruente con el triángulo . Por tanto N es punto medio del lado .
Sea la longitud de las cañerías, para abastecer de agua a las tres fábricas, El objetivo es minimizar
Derivando , tenemos
Igualamos a cero para optimizar:
= 0 → 1 = 210 → 64 210 10 10 1 64 6 4 10 10 = 221010 64 64 10 10 64 10 10 10 > 0 64 64 10 10 = 441010 → 64 = 310 10
Podemos elevar al cuadrado a ambos lados de la igualdad, pues (ver gráfico), entonces:
, representa longitud
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→ 634 = 10 → ± 634 = 10 → = 10± 634 = 10 → ≈ 5.4
El valor que nos interesa es
Para asegurar que nos genera un mínimo, usamos el criterio de la primera derivada, para esto usamos puntos cercanos al 5.4, estos serán 5 y 6, luego reemplazamos en la primera derivada y analizamos en la recta real:
5
+ 6
5.4
= 5. 4 5.4
El cambio de menos a más garantiza que el valor para genera un mínimo, por lo tanto la instalación de bombeo se debe colocar a del vértice . 2.
Se dispone de un trozo de madera que tiene la forma de un tronco de cono circular recto de 10 cm de altura, y se desea cortar un sólido cilíndrico del mayor volumen posible. Las bases del tronco tienen como diámetros 4 y 9 cm, respectivamente. a) Calcular las dimensiones del cilindro. b) Calcular el volumen del cilindro. Solución:
Sea el cilindro de color negro y líneas punteadas el cilindro buscado, llevando la gráfica en un sistema de coordenadas, vamos a asumir que el radio de la base es , y la altura es
(2,10)
, (4.5,0)
, = 4 4.5 → = 4 18 ℎ = = 4 18 ⟹ = 4 18
El par ordenado es decir:
satisface la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,10) y (4.5,0),
Reemplazando en la fórmula del volumen del cilindro: :
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a) Para hallar las dimensiones del cilindro, derivamos la función objetivo(volumen del cilindro) y luego igualamos a cero:
36 ′ = 12 12 36 = 0→=12 3 = 0 → = 0 ∨ = 3 3 ′′ = 24 36 = 3 24336 = 36 < 0 =3 = 4318 = 6 { == 63 = 36 = 54
De estos valores el valor que sirve es , ahora veamos si genera el volumen máximo; Para esto usamos el criterio de la segunda derivada: Reemplazando en la segunda derivada el valor de
, se tiene:
Al obtenerse un valor negativo, el criterio de la segunda derivada dice, que volumen máximo Hallamos la altura:
genera el
Entonces las dimensiones son
b) El volumen máximo es 3.
Un farol debe ser colgado exactamente encima del centro de una plazuela circular de radio R. La iluminación de la plazuela es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos e IP a la distancia entre el foco luminoso y donde se quiere iluminar. ¿A qué altura deberá estar el farol para que ilumine, lo mejor posible, una senda que rodea la plazuela? Solución:
Consideremos las siguientes variables y el grafico siguiente: : Ángulo de incidencia : Altura que debe ser ubicado el farol : Distancia entre el farol y donde se quiere iluminar : Iluminación de la plazuela
A
B
Recuerda:
. =
dos magnitudes y
inversamente proporcionales sí
O
son directamente proporcionales si .
= , además y son
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De acuerdo al enunciado:
La iluminación de la plazuela es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos e IP a la distancia entre el foco luminoso y donde se quiere iluminar. Entonces:
Observando el triángulo AOB, se tiene: tiene:
. 2 2 = = √ cos = 22
, reemplazando en la ecuación anterior, se
=
La que viene a ser nuestra función objetivo. Luego procedemos a derivar:
′ = ′ =
=
Al igualar a cero la derivada no queda otra opción que Entonces la altura que se debe ubicar el faro es la misma medida que el radio de la plazuela 4.
Hallar el volumen máximo de un cono circular recto inscrito en una esfera de radio “R”. Solución:
Consideremos las siguientes variables y el grafico siguiente: : Radio del cono : Altura del cono
ℎ
ℎ Del triángulo rectángulo formado, sacamos la relación entre el radio y la altura del cono mediante Pitágoras, así:
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ℎ = → = ℎ → = 2ℎ ℎ
= ) (− ( − = = )
Ahora veamos la función objetivo, el volumen del cono es Reemplazando
, se tiene:
Se deriva y se iguala a cero para obtener la altura que genera el volumen máximo, así:
4ℎ 3ℎ ′ = 3 ℎ = 43 24/3 = 3
Si igualamos a cero esta derivada obtenemos dos valores para la altura, De los dos, el valor que genera el volumen máximo es
.
ℎ = 0∨ ℎ =
Para hallar el volumen máximo reemplazamos en la función objetivo:
Obteniendo 5.
=
Una ventana Normanda se construye juntando un semicírculo a la parte superior de una ventana rectangular ordinaria. Encontrar las dimensiones y el área de dicha ventana si su perímetro total es de 16 m y su área debe ser máxima. Solución:
Se construye el gráfico según el enunciado en un plano cartesiano: Y
Perímetro: 16 16 = longitud de la semicircunferencia + los tres lados del rectángulo. x
0
X
16=
x + 2x + 2y
Qué pase la máxima luz significa que el área de la ventana debe ser máximo. Entonces el área total es: – y
Área total = Área del Semicírculo + Área del rectángulo A(x )
x 2 2
2xy
x 2
x 2 16 ( 2)x 2x 16x 2x 2 2 2 2
Derivando e igualando a cero se tiene:
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A '(x)
16
x
4x
0
x
16
4
Use el criterio de la segunda derivada. 16 Es valor máximo de la función área. 4 Por lo tanto, las dimensiones de la venta son: Radio del círculo: A ''(x) 4 0 A
x
16
4
;
Base del rectángulo: 32
2x
4
Altura del rectángulo: y
16
( 2)x 2
16
(
2)
16 (
4)
2
16(
4) 16( 2( 4)
2)
16 (
4)
Altura de la ventana: y
x
32
4
Área de la ventana: 2
16 2 128 4 16 16 16 A 16 2 4 4 4 2 4
6.
2
m
Se utilizarán 20 m de alambre para cercar dos terrenos de diferentes formas. ¿Qué cantidad de alambre debe utilizarse en cada uno de los siguientes casos, para que el área total encerrada sea máxima? a) Triángulo equilátero y cuadrado. b) Hexágono regular y círculo. Solución:
a) Triángulo equilátero y cuadrado.
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34 3 4 = 20 → = −
Perímetro del triángulo = Perímetro del cuadrado = Luego:
La función objetivo es el área: Reemplazando se tiene:
= √
20 4 = 36 √ 3 3 √ ′ = 2204 9 2
Derivando la función objetivo se tiene:
Igualando la derivada a cero, se tiene:
2 = 220 49 √ 3 → 9 = 20√ 3 4√ 3 → (94√ 3) = 20√ 3 3 = 920√ 4√ 3
Despejando el lado del cuadrado, se tiene:
Reemplazamos para hallar el valor de
= 1808011 3
Para que el área sea máxima, se debe tomar: Para el triángulo = Para el cuadrado =
− √ +√ √
metros de alambre
metros de alambre
b) Hexágono regular y círculo.
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6 2 6 2 = 20 → 3 = 10 → = −
Perímetro del hexágono = Perímetro del círculo = Luego
La función objetivo es el área: Reemplazando se tiene:
= √
10 = 6 √ 3
Derivando la función objetivo se obtiene:
′ = 10 3 √ 3 2 3 √ 2 = 10 3 → 6 = 10√ 3 √ 3 → (6√ 3) = 10√ 3
Igualando la derivada a cero, se tiene:
De donde despejando el radio se tiene:
= (+√ √ )
, luego reemplazamos este valor para obtener
= (+√ √ )
Para que el área sea máxima, se debe tomar:
√ (+√ ) √ (+√ )
Para el hexágono = Para el círculo =
7.
metros de alambre
metros de alambre
Se quiere construir un tanque en forma de cilindro circular recto abierto por la parte superior y con una capacidad de 300 m3. Si el material a usarse para la base (por m 2) cuesta el doble que la pared lateral, ¿Qué relación debe existir entre la altura del tanque y el radio de la base para que la construcción del tanque resulte lo más económica posible? Solución:
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a) Según el gráfico el radio de la base es
r
y la altura del cilindro es
h;
además el volumen del
2
cilindro es V r h ; por información del problema el volumen es de 300 metros cúbicos, entonces reemplazando en la fórmula se tiene:
r
2
h 300
⟹
h
300
2
r
De donde se obtiene la altura como función del radio. b) Para hallar el costo, tenemos que conocer la cantidad de metros cuadrados para la base y para la parte lateral:
= → = 2 = 2ℎ → = ℎ
"" p 2
El costo del material de la base cuesta el doble que la cara lateral
.
Luego obtenemos el costo total de fabricación de la lata:
Componiendo con “ h ”:
= 2 ℎ
= 2 = 2 con > 0
La función costo, es la función que deseamos optimizar y para esto la derivada debe anularse:
= 4 300 4 300 = 0 → 4 = 300 → 4 = 300 → 4 = ℎ
Igualando a cero, se tiene:
En donde podemos observar que para optimizar el costo, la altura debe ser el cuádruple del radio.
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8.
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Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba, desde lo alto de un edificio de 112 m de altura. La ecuación del movimiento es
h (t )
16t 2
la altura “h” está dada en metros y 96t , donde
el tiempo “t” en segundos.
a) Calcular la velocidad instantánea de la pelota luego de transcurrir 2 segundos. b) Calcular la altura máxima y el tiempo en que la alcanza. c) ¿Cuánto tarda la pelota en llegar al suelo? Solución:
a) Primeramente derivamos, para conocer la velocidad en cualquier instante
ℎ = 32 96 ℎ2 = 32296 = 32 / 32 96 = 0 → = 3 ℎ3 = 163 963 = 144 256 16 96 112 = 0 → 16 1 7 = 0 → = 7
Ahora reemplazamos el tiempo:
b) Para calcular la altura máxima, igualamos la derivada a cero:
Con esto sabemos que cuando pasa 3 segundos se obtiene la altura máxima que es de: Si sumamos a esto la altura del edificio, la altura máxima es de
c) Para que la pelota toque el suelo, la altura total debe ser cero, es decir:
Significa que la pelota toca el suelo después de 7 segundos. 9.
La potencia eléctrica P (en watts) de un circuito de corriente directa con dos resistores R 1 y R2 conectados en paralelo es
P (t )
v R1 R2
R1 R2
2
, donde “v” es el voltaje. Si el voltaje y R 1 se
mantienen constantes, calcular R 2 cuando la potencia es máxima. Solución:
= = 2 2 = ± =
Para obtener que genere la potencia máxima debemos derivar la función potencia y luego igualar a cero, es decir:
Igualando a cero esta derivada, observamos que se vuelve cero cuando: valor que nos interesa es
Por lo tanto la resistencia es máxima cuando las dos resistencias son iguales.
, pero el
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10. La luz se refleja en un espejo para ir desde el punto A hasta B. Hallar el punto de reflexión en el espejo que minimiza la distancia recorrida. Los ángulos de incidencia y reflexión son iguales. A
2
|
M
1
|
x
B
4
P
|N
x
Solución:
4 == √ 4 1, 0 < < 4 = √ 4 4 1 4 1 = √ 4 4
En el triángulo AMP, aplicando Pitágoras tenemos: En el triángulo PNB, aplicando Pitágoras tenemos: Por lo tanto la distancia recorrida es Primeramente se deriva y luego se iguala a cero:
Luego igualando a cero, se tiene
− = √ + −+
Se puede elevar al cuadrado a ambos lados debido a que
0<<4
, luego se tiene:
4 = 4 4 1 → 4 1 = 4 4 = 44 → 3 32 64 = 0 → 3 8 8 = 0 = ∨ = 8 0<<4
De donde se tiene dos valores:
, descartando el valor de 8 pues
.
Esto quiere decir que el punto de reflexión debe estar a unidades de la base de A. Optimización aplicada a la Gestión
11. La asociación Nacional de Consumidores ha sido fundada en el año 1989. Se sabe que “t” años después de la fundación el total de asociados a la asociación está dado por f (t ) 100 2 t 3
a) b)
45t 2
264t .
¿Cuándo, entre el 1989 y 2003, se tiene el máximo número de asociados? ¿Cuándo, entre el 1989 y 2003, se tiene el mínimo número de asociados?
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Solución:
Para hallar los máximos y mínimos, en primer lugar debemos derivar la función objetivo:
´ = 1006 90 264 1006 90 264 = 0 → 600 4 11 = 0 = 4 ∨ = 11 ′ = 10012 90 = 6002 15 4 = 6002415 = 4200 < 0 =4 11 = 60021115 = 4200 > 0 = 11 =0 =4 = 11
Luego se iguala a cero para obtener los extremos relativos:
De donde se tiene dos valores: , que vienen a ser los puntos críticos, para ver los máximos y mínimos usamos el criterio de la segunda derivada, para esto derivamos nuevamente la función: Reemplazamos cada uno de los puntos críticos
Al originar un valor negativo en la segunda derivada, esto significa que
genera un máximo
Al original un valor positivo en la segunda derivada, esto significa que
genera un mínimo
a) Como 1989 representa que la variable , cuando decir en el año 1993 se tiene el máximo número de asociados. b) Entonces de asociados.
representa el año 1993, es
representa el año 2000, es decir en el año 2000 se tiene el mínimo número
12. El ingreso total (soles) proveniente de la venta de “q” unidades de un artículo está dado por el modelo funcional I (q) 2q2
68q 128 .
a) ¿En qué nivel de ventas el ingreso promedio es igual al ingreso marginal? b) Calcular el ingreso máximo. Solución:
a) En primer lugar hallamos la función ingreso promedio y la función ingreso marginal
= = 2 68 , > 0 = 4 68 , > 0 2 68 128 = 4 68 → 2 = 128 → = 64 → = 8 Ingreso promedio
Ingreso marginal
Igualando estas funciones, se tiene:
El ingreso promedio es igual al ingreso marginal cuando se vende 8 unidades b) Para obtener el ingreso máximo, igualamos a cero el ingreso marginal:
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4 68 = 0 → = 17 ′ = 4 < 0 17 = 217 6817128 = 450
Para ver si genera el ingreso máximo, usamos el criterio de la segunda derivada: Al ser negativo el valor obtenido de 17 unidades es la cantidad que genera el ingreso máximo, por lo tanto el ingreso máximo es:
Es decir el ingreso máximo es de 450 soles 13. En una empresa Monopolística, la ecuación de la demanda de cierto artículo es P (q )
6
1
q 100 , donde “P” es el precio (soles) y “q” es la demanda de artículos. El 5 costo total de la producción de artículos es C (q) 2q 100 . ¿Cuántas unidades producen una
utilidad máxima? Solución:
En primer lugar debemos encontrar la función objetivo, es decir la utilidad, para esto recordar que: , : ingreso total, : costo total
=
= = 6 100 5 , ≥ 100 = 2 100 , ≥ 100 = 6 − 2 100 = 4 − 100, ≥ 100 = 10 1100 4 100 5 2 0 100 = 0 → = 10 1100 4 100 5 5 10 100 20 100 = − → 40 1002 100 = = 100, ≥ 0
Luego
En segundo lugar derivamos la función e igualamos a cero para conocer los puntos óptimos:
Luego
Para resolver esta ecuación aplicamos un cambio de variable, sea Entonces la ecuación queda:
40 2 = 100 → 3 40 100 10= 0 → 3 10 10 = 0 → = 3 ∨ = 10 = 100 → = 100 = ∨ = 200
Si tenemos
Reemplazando los dos valores, se tiene:
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Para ver los máximos y mínimos usamos el criterio de la primera derivada y de acuerdo al signo lo ubicamos en la recta real:
-
+
10009 200
-
Los signos han sido puestos de acuerdo al valor numérico que sale al reemplazar puntos bien cercanos a los puntos críticos en la derivada, el criterio de la primera derivada dice que si alrededor del punto crítico hay un cambio de más (creciente) a menos (decreciente), este punto crítico genera un máximo. Es decir el número de unidades que deben ser producidas y vendidas para obtener la utilidad máxima es 200 unidades. 14. La función de costo total está dada por C
q2 4
3q 400 ,
donde C es el costo total de
producir q unidades. Determine para que nivel de producción se minimizará el costo promedio y cual su valor mínimo. Solución:
En primer lugar debemos encontrar la función objetivo, es decir la función costo promedio:
̅ = = 4 3 400 , > 0 ̅ = 14 400
Ahora para obtener los puntos críticos, se debe derivar la función objetivo y luego igualar a cero:
Luego igualamos a cero:
14 = 400 → = 1600 → = 40 Para ver si minimiza la función, usamos el criterio de la segunda derivada, para esto derivamos nuevamente la función y reemplazamos el punto crítico, es decir:
̅40 = 40800 > 0 = 40
Al obtenerse una cantidad positiva, significa que genera un mínimo. Por lo tanto, la producción que minimiza el costo promedio es 40 unidades
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15. Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico de servicios de salud, entonces al cabo de t años, n miles de personas adultas recibirían 3
beneficios directos, donde
n
t
3
6t
2
32t ,
0t
12
. Determine el valor de t para que el
número de beneficiarios sea máximo. Solución:
Para encontrar los extremos relativos de esta función, se debe derivar y luego igualar a cero: Igualamos a cero:
= 12 32, 0 ≤ ≤ 12 12 32 = 0 → 4 8 = 0 → = 4∨ = 8
Para conocer el máximo y el mínimo usamos el criterio de la segunda derivada:
= 2 12 4 8 == 2412 = 4 < 0 = 4 2812 = 4 < 0 = 8
Reemplazamos los puntos críticos:
entonces
entonces
genera un máximo
genera un mínimo
Es decir para que la cantidad de Beneficiarios sea máxima debe pasar 4 años. 16. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es
q
10000e
0.02 p
valor de p para el cual se obtiene el ingreso máximo. Solución:
En primer lugar debemos encontrar la función objetivo, es decir la función Ingreso:
= = 100000.02, > 0 = 100000.02 2000.02 100000.02 = 2000.02 → = 50 = 40.02 100 50 = 40.0250100 = 2000.02 < 0 = 50
Ahora derivamos e igualamos a cero para obtener los puntos críticos
Luego, igualamos a cero:
Para ver si genera un máximo, usamos el criterio de la segunda derivada: Reemplazando el punto crítico, se tiene:
Lo cual significa que
, genera un máximo.
Es decir, se obtiene el ingreso máximo cuando el precio es 50.
, encuentre el
