UNIDAD III : RESORTES MECANICOS OBJETI OBJETIVOS: VOS: Conocer Conocer,, calcul calcular ar y selecci seleccionar onar los distin distintos tos tipos tipos de resort resortes es mecáni mecánicos cos que existen, de acuerdo a su forma y resistencia.
INTRODUCCIÓN Los resortes son elementos de máquina bastante utilizados para fines diversos: • • • • • •
Para absorber cargas de choque Como elementos de suspensión en ferrocarriles, automóviles y ca miones Como elementos de tope en ferrocarriles, puentes grúa, etc. Como elementos para almacenar energía elástica. Para producir fuerzas de cierre Para absorber vibraciones
En esta unidad estudiaremos diversos tipos de resortes.
3.1.- Esfuerzos en resortes helicoidales a compresión. 3.1.1 Esfuerzos En la figura 3.1se muestran dos formas de resortes helicoidales de compresión y cuatro formas distintas de terminación. Este estudio se limitará a los resortes helicoidales en los que la carga se aplica en el eje central cen tral del resorte.
Figura 3.1 Consideremos un cuadrante de una espira, como se muestra en la figura 3.2. Idealmente la fuerza F actúa a lo largo del eje central del resorte, originando un momento FDm/2, sobre la sección transversal, la que queda sometida a torsión debida al torque T = FDm/2. Además del esfuerzo de corte por torsión, la sección transversal está sometida a un esfuerzo de corte directo F/A. Por consiguiente el esfuerzo de corte total que actúa sobre la sección transversal es:
2
T τ
d
2 J
=
+
F
(3.1)
A
donde d es el diámetro del alambre. Dm es el diámetro medio de la espira, A es el área de la sección transversal y J es el momento polar de inercia de la sección transversal.
d
D m 2
Figura 3.2 Reemplazando los valores correspondientes, obtenemos: F × τ =
Dm
×
2
π
d 2
d 4
+
F d 2
π
=
8 FDm
d 3
π
+
4 F
(3.2)
d 2
π
4
32
Para esta situación particular el esfuerzo de corte por torsión cambia de sentido en el punto central del alambre del resorte, mientras que el esfuerzo de corte directo es siempre hacia arriba, lo que da origen a una distribución de esfuerzos como la que se muestra en la figura 3.3.
Figura 3.3
3.1.2 Definiremos el Indice del Resorte C: C =
Dm d
(3.3)
3
Por razones constructivas se recomienda que C debe ser como mínimo 5. Wahl introdujo un Factor de Corrección K que tiene en cuenta el esfuerzo de corte directo y la curvatura del resorte, por lo que la ecuación (3.2) puede escribirse de la forma siguiente: τ
= K
8 FDm
=
3
d
π
8 KFC
(3.4)
2
d
π
donde: K =
4C − 1
+
4C − 4
0,615
(3.5)
C
En el gráfico de la figura 3.4 se muestra la forma en que varía el Factor de Wahl con el Indice del resorte.
1,400
l 1,300 h a W e d 1,200 r o t c a F 1,100
1,000 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Indice del Resorte, C
Figura 3.4
Se define la constante de un resorte o módulo del resorte como la relación entre la variación de la fuerza y el cambio de longitud producido por esa fuerza. Es decir: k =
∆ F ∆ L
=
F y
(3.6)
Donde y es la deflexión o cambio de longitud del resorte.
3.1.3 Número de espiras N Normalmente en los cálculos se considera el número de espiras activas Na, que generalmente es menor que el número real de espiras. Puede considerarse: Na = NT – 2 Donde NT es el número total de espiras.
(3.7)
4
3.1.4 Deflexión Lineal del Resorte 3
y =
8 FDm N a
Gd 4
3
=
8 FC N a
(3.8)
Gd
La energía que absorbe un resorte es: 1
U = Fy = 2
4 F 2 Dm3 N a 4
=
4 F 2C 3 N a
Gd
Gd
(3.9)
Si se introduce la ecuación 3.6: 1
F 2
U = Fy = 2 2k
=
4 F 2 Dm3 N a Gd 4
=
4 F 2C 3 N a Gd
(3.10)
Por otra parte, el trabajo que realiza un cuerpo de peso W que cae de una altura h es: U = W(h + y)
(3.11)
3.1.5 Pandeo de los resortes a compresión La tendencia a pandearse en un resorte se incrementa cuando éste es más esbelto. El gráfico de la figura 3.5 muestra la relación crítica de deflexión versus la relación entre la longitud libre y el diámetro medio.
5
Figura 3.5 El uso del gráfico anterior lo explicaremos con un ejemplo. Supongamos un resorte, con ambos extremos empotrados, que tiene una longitud libre de 16 cm y un diámetro medio de las espiras de 2 cm. Entonces: L
=
16
Dm
=
2
8
Del gráfico vemos que: y
y
=
L
=
16
⇒
0,2
y CR
=
0,2 × 16 = 3,2 cm
Es decir, el resorte inicia el pandeo si se comprime 3,2 cm.
Ejemplo 3.1 Determinar el número de espiras necesarias y la deformación admisible en un resorte helicoidal hecho de alambre de acero de 1,5 mm de diámetro, suponiendo un índice de resorte igual a 6 y un esfuerzo admisible al corte de 35 kg/mm2. La constante del resorte debe ser igual a 2 kg/cm (G = 8,4 x 105 kg/cm2).
SOLUCIÓN: Dm
C =
6
=
d
Dm
⇒
=
6 × 1,5 = 9 mm
Factor de Wahl: 4C − 1
K =
+
0,615
4C − 4
=
C
23 20
+
0,615 6
= 1,25
De las ecuaciones (3.6) y (3.7): k =
F y
=
2=
F 8 FC 3 N a
=
8,4 × 10 5 × 0,15 8 × 6 3 N a
⇒
N a
=
36,45
espiras
Gd Por lo tanto: NT = 40 espiras De la ecuación 3.4):
τ
= K
8 FDm 3
d
π
=
8 KFC 2
d
π
=
8 × 1,25 F × 6 π ×
1,5 2
≤
35
⇒
F = 4,12 kgf
6
Entonces, para cumplir con la constante del resorte:
k =
F
=
y
2=
4,12
⇒
y ≤ 2,06 cm
y
Ejemplo 3.2. Diseñar un resorte helicoidal con diámetro medio de 12 cm y una constante k = 70 kg/cm. La carga estática máxima de compresión es de 860 kgf y el esfuerzo de corte admisible es de 2.800 kg/cm2.
SOLUCIÓN: Supongamos C = 6, y K = 1,25 De la ecuación (3.4):
τ
= K
8 FDm 3
≤
d
π
2.800
⇒
d = 3 1,25 ×
8 × 860 × 12
=
2.800π
2,27 cm
Adoptaremos d = 2,4 cm. Entonces: C =
τ
12
5,
=
2,4
= K
8 FDm 3
d
π
K = 1,31
= 1,31 ×
8 × 860 × 12 π ×
2,4 3
=
2.491,3 < τ ADM
Número de espiras: k =
F y
=
70 =
F 8 FC 3 N a
=
8,4 × 10 5 × 2,4 8 × 5 3 N a
⇒
N a
=
28,8
espiras
Gd NT = 32 espiras
EJEMPLO 3.3. En el ejercicio anterior, determinar la máxima carga estática que puede absorber el resorte calculado si la carga cae desde una altura de 1m. k = 70 kg/cm
FDIN = F = 860 kgf
Designaremos la carga estática por W. Entonces, usando la ecuación 3.11:
7
y =
8 FC 3 N a
=
8 × 860 × 125 × 29
8,4 × 105 × 2,4 1 U = W (100 + y ) = Fy = 430 y = 2 W =
Gd
430 × 12,37 100 + 12,37
=
= 12,37
cm
47,34 kgf
En el gráfico de la figura 3.6 se muestra el efecto de la altura de caída sobre la máxima carga estática admisible y el Factor de Amplificación sobre la carga estática, FA.
8
450 420 390 360 330 300 270 A F ; f g k , a g r a C
240 210 180 150 120 90 60 30 0 0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 A lt u r a d e c a í d a
C arga, kgf
FA
Figura 3.6. Efecto de la altura sobre la carga admisible Tabla 3.1. Efecto de la altura de caída sobre la Carga estática Altura, cm 0 1 5 10 20 40 60
Carga, kgf 430,00 397,84 306,22 237,78 164,32 101,57 73,50
FA 2 2 3 4 5 8 12
Altura, cm 80 100 150 200 300 500 1000
Carga, kgf 57,58 47,34 32,76 25,05 17,03 10,38 5,25
FA 15 18 26 34 51 83 164
9
Ejemplo 3.4. En el fondo del hueco de un ascensor que, con carga, pesa 3.200 kg, se coloca un grupo de 8 resortes idénticos en paralelo, para absorber el choque del ascensor en caso de falla. Suponiendo que el ascensor tiene una caída libre de 1,2 m, a partir de la posición de reposo, determinar el esfuerzo máximo que soporta cada resorte, si éstos se construyen con una varilla de 25 mm de diámetro, con un índice de resorte C = 6 y 15 espiras activas. G = 8,4 x 105 kg/cm2. SOLUCION: Carga estática por cada resorte: W =
3.200
=
8
400 kgf
Energía absorbida: U = 400(120 + y )
y
=
1
=
2
800 × 120 = y ( F − 800)
Fy
96.000 F − 800
Por otra parte, de la ecuación 3.8: y
=
8 FDm3 N a 4
=
8 FC 3 N a
Gd
=
Gd
8 F × 125 × 15 8,4 × 105 × 2,5
=
0,00714 F
Igualando las últimas dos ecuaciones: y =
96.000
=
F − 800
96.000 = 0,00714F2 – 5,714
0,00714 F
F = 3.666,9 kgf Puede apreciarse que la carga dinámica F es 9,17 veces la carga estática W. Factor de Wahl: 4C − 1 0,615 + K = 4C − 4 C τ
= K
8 FDm 3
d
π
=
=
8 KFC d
π
3.2 Resortes a Tracción
2
23 20 =
+
0,615 6
= 1,25
8 × 1,25 × 3.667 × 6 π ×
2,5
2
= 11.205,52
kg / cm 2
10
Las ecuaciones mostradas para los resortes de compresión son perfectamente válidas para los resortes de tracción (Figura 3.7). Sin embargo debe tenerse presente que estos resortes generalmente fallan en el gancho, debido a que la sección transversal está sometida a una combinación de tracción axial y de tracción por flexión; además, el gancho debe tratarse como una viga curva.
Figura 3.7
3.3 Resortes helicoidales a la Torsión En la figura 3.8 se muestra una de las tantas formas que puede adoptar un resorte helicoidal sometido a torsión. Naturalmente, esta configuración supone la existencia de un elemento central, cuyo diámetro debe ser igual al diámetro interior de las espiras, que soporta la carga 2F que supone el equilibrio del sistema. Las espiras de este tipo de resorte trabajan de la misma forma que una viga curva, por lo que las fibras
F
F
F
F Dm 2 M
Figura 3.8 Wahl dedujo el Factor de Corrección que tiene en cuenta concentración de esfuerzos debida a la curvatura del resorte y la componente del esfuerzo axial de compresión P/A. Como la fibra interna está en compresión y la externa en tracción existen dos factores, K i y K e, correspondientes al lado interno y externo, respectivamente. Estos factores están dados por las ecuaciones siguientes. 4C 2 − C − 1 K i = (3.12) 4C ( C − 1)
K e
=
4C 2
+ C − 1
4C ( C + 1)
(3.13)
11
En el gráfico de la figura 3.9 se muestran ambos factores en función del Indice del Resorte.
1,30
K 1,20 , l h 1,10 a W e 1,00 d r o 0,90 t c a F 0,80 0,70 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Índice del Resorte, C Interno
Externo
Figura 3.9 Introduciendo los Factores de Wahl, los esfuerzos de compresión y de tracción se obtienen simplemente de la fórmula de la flexión. Esfuerzo interno de compresión: M MAX σ i
= K i
I
d 2
= K i
FDm d 2
d 4
π
= K i
32 FDm d 3
π
(3.11)
64
Esfuerzo externo de tracción: d M MAX 2 = K FDm d = K 32 FDm σ e = K e e e 4 3 I π d π d 2 64
(3.12)
3.4 Resortes planos Los resortes planos pueden tener forma de viga en voladizo o de viga simplemente apoyada, como se muestra en la figura 3.10. Los esfuerzos y deformaciones de este tipo de resortes se calculan de la misma forma que en las vigas corrientes. En el caso de la viga empotrada en voladizo, el esfuerzo es máximo en B y disminuye hasta hacerse muy cercano a cero en el extremo libre, excepto por el esfuerzo de corte originado por la carga F; siendo así, la sección de la viga puede disminuirse de modo de que el esfuerzo sea constante a lo largo de la viga. La viga resultante se llama de resistencia uniforme o de igual resistencia. Por ejemplo una viga de forma triangular, como la de la figura 3.11, está sometida al mismo esfuerzo de flexión y puede permitir un ahorro de 50% de material soportando una carga similar que una viga recta.
12
Figura 3.10
(a)
(b) Figura 3.11
Los esfuerzos y deformaciones quedan dadas por las siguientes expresiones. Viga en voladizo (Caso a): σ B
=
6 FL bh 2
3
y MAX
=
6 FL
Ebh 3
(3.13)
Viga simplemente apoyada:
σ A
=
3 FL 2bh 2
y MAX
=
3 FL3 8 Ebh 3
(3.14)
3.5 Resortes de hojas o de ballesta En la figura 3.12 se muestran los resortes usados en la industria automotriz. Si los resortes planos de resistencia uniforme descritos en el párrafo anterior se dividen en la forma indicada por las líneas de trazos de la figura 3.12 y las piezas subdivididas se montan como se indica por las líneas continuas en la misma figura, se aplican las mismas ecuaciones de esfuerzo y deformación citadas en las ecuaciones (3.12) y (3.13).
13
Figura 3.12
Un resorte automotriz típico se muestra en la figura 3. 13.
Figura 3.13
3.6 Materiales para Resortes Existe una gran diversidad de materiales para fabricar resortes, cuya selección dependerá de los requerimientos de resistencia mecánica y de otros requerimientos tales como desgaste, corrosión, etc. Para propiedades se recomienda consultar textos de Ciencias de Materiales, Metals Handbook, u otros textos similares. En la Tabla siguiente se da una guía resumida. •
• •
Aceros al carbono: SAE 1065, 1066, 1085, 1090; ASTM A 227, A 228, A 229, A 230, etc. Aceros aleados : SAE 6150, 9254, 5160 Aceros Inoxidables: SAE 302, 17 – 7 PH
14
• •
Aleaciones de cobre: Latón para resortes (ASTM B 134), Bronce fosfórico (ASTM B 159), Bronce al berilio (ASTM B 197). Aleaciones de Níquel: Monel, Inconel, etc.
La resistencia a la tracción de estos materiales puede alcanzar valores tan elevados como 2.750 MPa en el caso del acero ASTM A 228. Para las propiedades de los materiales consultar Metals Handbook, Volumen 1. En general se acepta que la tensión de diseño en torsión sea 0,4 veces la resistencia a la tracción, excepto en algunos aceros inoxidables en que se recomienda que sea 0,3σu.
3.7. Cálculo de resortes a la fatiga 3.7.1 Resortes helicoidales sometidos a compresión
Figura 3.14 El cálculo a la fatiga de los resortes es muy similar al de otros elementos, salvo por el hecho de que los resortes helicoidales sometidos a compresión trabajan a corte, por lo que la resistencia a la fatiga debe tener en cuenta esa situación. Supongamos que la fuerza de compresión aplicada varía entre dos límites F Max y FMin, figura 3.14. Entonces, tendremos una fuerza media Fm y una amplitud de la fuerza Fa, definidas por las expresiones siguientes: F m
=
F Max
+ F Min
F a
2
=
F Max
− F Min
2
(3.15)
Con la ecuación 3.4 calculamos el esfuerzo de corte medio y la amplitud del esfuerzo de corte. τ m
= K
8 F m Dm d 3
π
=
8 KF m C d 2
π
(3.16)
15
τ a
= K
8 F a Dm d 3
=
8 KF a C
π
(3.17)
d 2
π
La curva S – N puede construirse de la misma forma estudiada en Resistencia de Materiales 2. La resistencia a la fatiga para 1.000 ciclos se considera igual al 90% de la resistencia máxima en corte. Asi, el primer punto del diagrama S – N tiene las coordenadas log(1.000) y log(0,9
σ u
) 3 (donde se ha utilizado el criterio de Von Mises). Las coordenadas del segundo punto son: log(106) y log(0,5
σ u
). Debe tenerse presente que la resistencia a la tracción de los alambres para 3 resortes disminuye según se aumenta el diámetro. En los manuales de diseño se encuentran diversas fórmulas y gráficos para el cálculo de la resistencia a la tracción para un material con diámetro específico, como por ejemplo, la ecuación 3.18, para acero ASTM A 227, estirado en frío. −0 ,182 σ u = 178,7 d , kg/mm2 (3.18) donde d es el diámetro del alambre en mm. El diagrama de Goodman modificado también se construye haciendo las adaptaciones correspondientes, como se muestra en la figura 3.15. El punto A se localiza trazando una línea a 45º, de longitud igual al límite de fatiga, SF, si se trata de vida infinita, o a la resistencia a la fatiga, si se trata de vida finita. La línea B es la línea de falla y se obtiene uniendo el punto A con el valor de la tensión de fluencia en corte. Entonces, el esfuerzo de diseño se obtiene dividiendo el esfuerzo de falla por un adecuado Factor de Seguridad. τa
A 0,707SF SF
Línea de Falla
45º
τm
0,707SF
σ 0
3
Figura 3.15
Ejemplo 3.5. Un “paquete” de resortes de 1 m de largo, apoyado en ambos extremos, consta de 9 hojas de 72 mm de ancho de espesor desconocido. Si el esfuerzo admisible es de 1.200 kg/cm2 y la deformación admisible es de 4 cm, determinar el espesor de cada hoja (F = 600 kgf).
SOLUCIÓN: De las ecuaciones (3.14):
16
σ A
=
y MAX
3 FL 2bh 2
=
=
3 × 600 × 100 2 × 7, 2 × 9h 2
3 FL3 8 Ebh 3
=
≤ 1.200
⇒
3 × 600 × 100 3 8 × 2,1 × 10 6 × 9 × 7,2h 3
h ≥ 1,08 cm
≤
4
⇒
h ≥ 0,75 cm
Por lo tanto un espesor de hoja de 12 mm resulta adecuado.
Ejemplo 3.6. Usando Tablas de Catálogo seleccionar Resortes para el ejemplo 3.2.
17
a) Para ejemplo 3.1. F = 860 kgf Se selecciona resorte R 63 – 076, con b x h = 11,6 x 12,3 DEXT = 63 mm DINT = 38 mm L = 76 mm
k = 618 N/mm
