4 bimestre ciencias

I.E.P. “Virgen de Guadalupe”

4to. Bimestre – Ciencias – Primer Grado -

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PRESENTACIÓN PRESENTACIÓN

Es alentador constatar que nuestra institución educativa en eras de elevar el rendi rendimie miento nto académic académico o de nuestr nuestros os estudi estudiant antes es prueba prueba no sólo sólo las las habili habilidad dades es cogn cognit itiv ivas as,, sino sino las las más más pura purass área áreass del del razo razona nami mien ento to.. Lejo Lejoss de la friv frivol olid idad ad e indiferencia, existen jóvenes conscientes, que se preocupan por su formación integral basada en la invalorable riqueza de los alores morales, éticos, religiosos ! todos aquellos que contribu!en a formar la armoniosa estructura de la persona.

"onocedores de esa realidad, es que desde hace a#os, el "olegio $ VIRGEN $ VIRGEN DE $, se han fijado como objetivo fundamental, estimular a la juventud a GUADALUPE $, prepararse prepararse para competir con altura ! dignidad, enalteciendo a sus planteles ! honrando a sus maestros. maestros. Los profesores profesores juegan en esto, un rol mu! importante, !a que motivan, preparan, preparan, acompa#an ! asesoran a sus alumnos, ofreciéndoles con abnegación su esfuerzo. %ara ellos, ellos, tambié también n nuestr nuestro o recon reconoci ocimie miento nto ! admira admiració ción. n. "omo "omo testim testimoni onio o de ello, ello, les ofr ofrecem ecemos os este este libr libro o, con con ejer ejerccicio icioss ! pro problem blemas as de las las áre área tant tanto o de "&' "&' ! de (atemáticas, que estamos seguros va a contribuir una valiosa a!uda en su delicada labor. Esperamos que en el futuro, podamos apo!arles mejor, para contribuir de esta manera, a elevar el nivel académico de los estudiantes de nuestra %atria. L)* %+)E*)+E*

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INSTITUC INSTITUCIÓN IÓN EDUCAT EDUC ATIV IVA A PRIV PRIVADA

“VIRGEN DE GUADALUPE” 1975-2008

NIVEL SECUNDARIA DE MENORES CICLO VI BIMESTRE IV

SECUNDARIA

1er Grado

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I N D I C E

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IV BIMESTRE Del 13 de Octubre 2008 al 16 Dce!bre 2008 1, U+dad

"r#duct#$ N#table$%%%%%%%%&&&&&&&&&&&&%%%%%%%% '

2, U+dad

(act#r)ac*+ I%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 16

3, U+dad

(act#r)ac*+ II %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 20

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GUÍA DE APRENDIZAJE DE ÁLGEBRA N° 10 TEMA: Productos Notab!s" #$NTENID$: 1975-2008

#uadrado d! a su%a & d'(!r!)c'a d! dos %o)o%'os" Product ucto d! a su%a u%a d! dos %o)o%'os *or su d'(!r!)c'a" Producto d! u) b')o%'o *or u) tr')o%'o" Prod Produc ucto to d! b') b')o%'o o%'oss co) co) u) t+r%')o co%,)" B')o%'o a cubo" Tr')o%'o a cubo"

LAS TABLETAS BABIL-NICAS REVOLUCIONAN LA .ISTORIA El admirable avance algebraico de los babilónicos nos ha sido revelado por los millares de tabletas babilónicas desenterradas en Mesopotamia, en los últi últim mos nov noventa nta años años;; ell ellas han han acla aclarrado defi defini niti tiva vame ment ntee que que los los babi babilo loni nios os usar usaron on el símb símbol olo o cero cero,, que que cono conoci cier eron on much muchís ísim imas as fórmul fórmulas as para para hallar hallar las áreas áreas y volúm volúmene eness de sólidos geomtricos, inclusive de algunos cuerpos redon redondo dos; s; tambi tambin n conoci conociero eron n probl problema emass que impl implic icab aban an ecua ecuaci cion ones es de segu segund ndo o grad grado, o, bicuadradas y de tercer grado! LOS E/I"CIOS El conoci conocimie miento nto algebr algebraic aico o alcan" alcan"ado ado por por los babilonios, si bien es cierto que no continúa su ritmo de progreso, logra por lo menos e#pandirse pálidamente hacia la $ndia y en Egipto; el grado de adelanto logrado por los egipcios en el terreno algebraico se puede establecer fácilmente a travs de sus %papiros&, siendo el más importante el de 'hmes! 'hmes! (racias (racias al %)apiro %)apiro de 'hmes& 'hmes& sabemos sabemos que hace cerca de *+++ años, acaso se encont encontra raba ba ya en los egipci egipcios os un rudime rudimenta ntario rio inte intent nto o del del simb simbol olis ismo mo en los los ero erogl glíf ífic icos os e ideogramas, cuando indicaban la suma con un pie orientado hacia delante, y la resta orientado hacia atrás! Ellos conocieron problemas como ste que ahora resolvemos por medio de una ecuación de primer grado- %halla el número que sumado con su sptima parte es igual a ./&! LOS /RIE/OS

E012$3E4 5siglo $$$ a! c!6- 3emostró por medio de procedimientos procedimientos geomtricos que5a 7 b68 9 a8 7 8ab 7 b 8; y 5a 7 b6 5a : b6 9 a8 : b8! En su data data resolv resolvió ió proble problemas mas para para hallar hallar dos dos número númeross conoci conociend endo o su produ producto cto y su suma suma o diferencia, conociendo su producto y la suma de sus cuadrados! En sus inmortales %Elementos& fue aún más leos, resolviendo los equivalentes de las ecuaciones- #8 7 a# 9 a; y, #8 7 a# 9 b8, pero sólo se quedó ahí por falta de una lgebra simbólica! 3$<='>?< 5siglo $$$ a! c!6Es considerado como el inaugurador del lgebra 4incópata; con l se inicia ya, aunque no nítidamente, un nuevo concepto del número, necesario para el desarrollo del lgebra! 3iof 3iofan anto to lleg llegó ó a reso resolv lver er perf perfec ecta tame ment ntee los los sistemas de ecuaciones que tienen más ecua ecuaci cion ones es que que incó incógn gnit itas as,, y cons consid ider erab abaa solamente las soluciones positivas, aún cuando no ignoraba ignoraba la e#istencia de las soluciones negativas; tuvo verdade verdadera ra predilecc predilección ión por las ecuaciones ecuaciones inde indete term rmin inad adas as!! 3iof 3iofan anto to inic inicia ia el verd verdad ader ero o simbolismo, el mtodo analítico es la resolución de los problemas, la simplificación y la generali"ación que al lgebra le hacían falta para emprender su vuelo incontenible, la organi"ación de la teoría de las las ecua ecuaci cion ones es,, plas plasma mado do por por prim primer eraa ve" ve" el lgebra en un libro! )or todo esto se considera a 3iofanto como el padre del lgebra!

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LOS .INDES El lgebra hindú fue retórica en un comien"o, pero el hecho de emplear sílabas diferentes para incógnitas distintas y el uso que hicieron de cierto simbolismo, le dio ya cierta fisonomía de lgebra sincopada! ?ambin tuvieron una clara visión de lo que eran los números positivos y negativos, ya que los interpretaban como crditos y dbitos, respectivamente; esto les permitió unificar las distintas modalidades de las ecuaciones de segundo grado! 2uego, ingresan al cálculo de la suma de los trminos de las progresiones geomtricas, el análisis indeterminado de las ecuaciones lineales! @epresentaron por medio de un color cada incógnita, sus má#imos e#ponentes fueron- %'ryhabatha&, %Arah macupta&, %Mahavir el 4abio& y %AhasBara&! 2<4 @'AE4 2os árabes recibieron una doble influencia científica- de los hindúes, a travs del comercio y de la traducción de sus obras, y de los griegos, cuya literatura despertó notable inters entre los árabes! )ero no fueron ellos unos simples receptores, sino que tomando como base ese ra"onamiento depurado de la (eometría griega, por otro, lograron como síntesis feli" los lineamientos casi definidos de sta nueva disciplina, que es el lgebra Elemental, la que conservaría despus casi intacta su fisonomía durante muchos siglos!

PRODUCTOS NOTABLES Se denomina así a ciertas multiplicaciones cuyo resultado se pueden hallar directamente, mediante reglas sencillas que se deducen de la multiplicación de polinomios! Entre las principales, se estudiarán a las siguientes-

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS MONOMIOS 4ean los monomios a y b! 2a suma de ellos es %a 7 b& y su producto será- 5a 7 b6 5a 7 b6! Callaremos dicho producto por la multiplicación de polinomios, así-

Luego, se tiene que:

( a + b ) = a + 2ab + b 2

2

2

4e interpreta de la siguiente manera %El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primer trmino, más el doble producto del primer trmino por el segundo, más el cuadrado del segundo trmino&! Ee!l# 01 Efectúa- 5# 7 D68! ⇒ 1uadrado del primero- 5#68 9 #8! ⇒ 3oble del primero por el segundo85#65D6 9 .*#! ⇒ 1uadrado del segundo- 5D68 9 */! ⇒ 4e tiene que5# 7 D68 9 #8 7 .*# 7 */! Eemplo +8- Efectúa- 5*m 7 /6 8! ⇒ 1uadrado del primero- 5*m68 9 .m8! ⇒ 3oble del primero por el segundo85*m65/6 9 F*m ⇒ 1uadrado del segundo- 5/6 8 9 G.! ⇒ 4e tiene que5*m 7 /68 9 .m87F*m7G.!

"R4CTICA DE $! Efectúa los siguientes productosa6 5# 7 68 9 b6 5# 7 *68 9 c6 5Hm 7 G68 9 d6 5*# 7 F68 9 e6 5/# 7 .868 9 f6 5.8# 7 D68 9 g6 5+,F# 7 .68 9

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"R4CTICA DE CLASE

h6 5.,8n 7 +,H6 8 9 i6 5HID m8 7 D68 9

a6 5# : H68 9

6 5FI.8 #H 7 8*6 9

b6 5# : G68 9

CUADRADO DE LA DI(ERENCIA DE DOS MONOMIOS

c6 5Fm : *68 9 d6 5# : /68 9

4ean los monomios a y b! 2a diferencia de ellos es %a : b& y su producto será- 5a : b6 5a : b6! Callaremos dicho producto por la multiplicación de polinomios, así-

e6 5D# : ..68 9 f6 5.*# : 68 9 g6 5+,/# 7 .68 9 h6 5.,Hn 7 +,G6 8 9 i6 5I.. mF 7 ..68 9 6 58I.H #8 7 .H6 9


( a - b ) = a − 2ab + b 2

2

2

4e interpreta de la siguiente manera %El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primer trmino, menos el doble producto del primer trmino por el segundo, más el cuadrado del segundo trmino&! Eemplo +.- Efectúa- 5# : *6 8! ⇒ 1uadrado del primero- 5#68 9 #8! ⇒ 3oble del primero por el segundo85#65*6 9 G#! ⇒ 1uadrado del segundo5*68 9 .! ⇒ 4e tiene que5# : *68 9 #8 : G# 7 .! Eemplo +8- Efectúa5+,*#H : 868! ⇒ 1uadrado del primero5+,*#H68 9+,.# ⇒ 3oble del primero por el segundo85+,*#H6586 9 .,*#H ⇒ 1uadrado del segundo- 5868 9 *! ⇒ 4e tiene que5+,*#H : 868 9 +,.# :.,*#H 7 *!

"RODUCTO DE LA SUMA DE DOS MONOMIOS "OR LA DI(ERENCIA DE LOS MISMOS 4ean los monomios a y b! 2a suma de ellos es %a 7 b&, la diferencia es %a : b& y su producto será- 5a : b6 5a 7 b6! Callaremos dicho producto por la multiplicación de polinomios, así-


5a 7 b6 5a : b6 9 a8 : b8 4e interpreta de la siguiente manera %El producto de la suma de dos monomios por su diferencia es igual al cuadrado del primer trmino menos el cuadrado del segundo trmino&!

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Eemplo +.- Efectúa5*m8 7 DnH6 5*m8 : DnH6! ⇒ 1uadrado del primero5*m868 9 .m* ⇒ 1uadrado del segundo5DnH68 9 */n! ⇒ 4e tiene que5*m8 7 DnH6 5*m8 : DnH6 9 .m* : */n! Eemplo +8- Efectúa-

3ebemos aclarar que no se trata de una multiplicación de un binomio por un trinomio cualquiera, sino de dos factores que cumplen ciertas condiciones-

 3 x + 2 x   3 x − 2 x  .     5   4 5   4 3

3

⇒ 1uadrado del primero-

4e presentan dos casos-

5HI* #H68 9 /I. #! ⇒ 1uadrado del segundo58IF #68 9 *I8F#8! ⇒ 4e tiene que-

 3 x + 2 x   3 x − 2 x  = 9 x − 4 x     4 5 4 5 25     16 3

3

6

'6 4uma de 1ubos! 2

4ea el binomio 5a 7 b6 y el trinomio 5a 8 : ab 7 b86, determinamos el producto mediante la multiplicación de polinomios, así-

"R4CTICA DE CLASE @esuelve cada una de e#presiones, aplicando correspondientea6 5# : H65# 7 H6 9

las la

siguientes propiedad

b6 5# : .G65# 7 .G6 9 c6 5Dm : *65Dm 7 *6 9 d6 58# 7 ./658# : ./6 9

2uego se tiene que-

5a 7 b6 5a8 : ab 7 b86 9 aH 7 bH 4e interpreta de la siguiente manera-

f6 5*# 7 65*# : 6 9

%El producto de un binomio suma por un trinomio, con las características señaladas, es igual al cubo del primer trmino más el cubo del segundo trmino&!

g6 5+,H# 7 *65+,H# : *6 9

A6 3iferencia de 1ubos!

e6 5H# 7 G65H# : G6 9

h6 58,Fn 7 +,658,Fn : +,6 9 i6 5.I.F mF : .F65.I.F mF 7 .F6 9

4ea el binomio 5a : b6 y el trinomio 5a 8 7 ab 7 b86, determinamos el producto mediante la multiplicación de polinomios, así-

6 58ID #8 7 .*658ID #8 : .*6 9

"RODUCTO DE UN BINOMIO

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2uego se tiene quei6 5IF mF : F65HI8F m.+ 7 mF 7 8F6 9

5a : b6 5a8 7 ab 7 b86 9 aH : bH 4e interpreta de la siguiente manera %El producto de un binomio diferencia por un trinomio, con las características señaladas, es igual al cubo del primer trmino menos el cubo del segundo trmino&!

6 5.8I.F #8 7 .F65.**I88F # * : .8# 8 7 88F6

"RODUCTO DE BINOMIOS CON Sea l#$ b+#!#$ 5 7 a 9 5 7 b: deter!+a!#$ el r#duct# !eda+te la !ultlcac*+ de #l+#!#$: a$;

Eemplo +.- 3etermina el valor de5# 7 *6 5#8 : *# 7 .6 ⇒ 1ubo del primero⇒ 1ubo del segundo⇒ 4e tiene que-

5#6H 9 #H 5*6H 9 *

5# 7 *6 5#8 : *# 7 .6 9 # H : * Luego se tiene que:

Eemplo +8- Calla el valor de5H#H : D6 5/# 7 8.#H 7 */6 ⇒ 1ubo del primero-

5H#6H 9 8D#/ ⇒ 1ubo del segundo5D6H 9 H*H ⇒ 4e tiene que5H#H : D6 5H# 7 8.# 7 */6 9 8D# / : H*H

"R4CTICA DE CLASE @esuelve cada una de e#presiones, aplicando correspondiente-

las la


a6 5# : H6 5#8 7 H# 7 /6 9 b6 5# : G6 5# 7 G# 7 *6 9 c6 5Dm : *6 5*/m8 7 8Gm 7 .6 9 d6 58#8 7 ./6 5*#* : HG#8 7 H.6 9 e6 5*# 7 G6 5.# : H8# 7 *6 9 f6 5#m 7 .6 5H#8m : #m 7 .6 9 g6 5+,D# 7 /6 5+,*/# 8 : ,H# 7 G.6 9

5 7 a 5 7 b <  2 7 5a 7 b  7 ab 4e interpreta de la siguiente manera %El trmino común al cuadrado, más el producto de la suma de trminos no comunes con el trmino común, más el producto de los trminos no comunes&! Eemplo +.- Calla el valor de5# 7 /6 5# 7 G6 ⇒ 1uadrado del primero- 5#6 8 9 #8 ⇒ )roducto de la suma de trminos no comunes con el trmino común5/ 7 G6 # 9 .D# ⇒)roducto de los trminos no comunes5/6 5G6 9 D8 ⇒ 4e tiene que5# 7 /6 5# 7 G6 9 #8 7 .D # 7 D8! Eemplo +8- 3etermina el valor de5#H : D65#H 7 /6 ⇒ 1uadrado del primero- 5# H68 9 H# ⇒ )roducto de la suma de trminos no

comunes con el trmino común5:D 7 /6 #H 9 .8#H! ⇒ )roducto de los trminos no comunes5:D6 5/6 9 : H! ⇒ 4e tiene que5#H : D65#H 7 /6 9 H# 7 .8#H : H!

h6 5H,Gn : +,F6 5.*,**n 8 7 .,/n 7 +,8F6

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@esuelve cada una de e#presiones, aplicando respectivaa6 58# 7 H6 58# 7 G6 9 b6 5H# : G6 5H# : .86 9 c6 5Dm : .*6 5Dm 7 H+6 9

las la


d6 5.F# 7 /6 5.F# 7 G6 9 e6 5.H# 7 6 5.H# : .F6 9 f6 5G# : *6 5G# : 6 9 g6 58,F# 7 *6 58,F# 7 *6 9 h6 5H,8n 7 +,6 5H,8n : +,/6 9 i6 5..I.+ mF : .+6 5..I.+mF 7 8+6 9 6 5.8I.D #8 7 H*6 5.8I.D #8 : F6 9

BINOMIO AL CUBO 4e presentan dos casos'6 4uma de un Ainomio al 1ubo 4ea el binomio 5a 7 b6, si lo elevamos al cubo, sería 5a 7 b6 H, para hallar el resultado lo determinamos mediante la multiplicación de polinomios, así-

Luego se tiene que:

a3 7 b3 < a3 7 3a2b 7 3ab2 7 b3 4e interpreta de la siguiente manera %2a suma de un binomio elevado al cubo es igual al cubo del primer trmino más el triple del primer trmino al cuadrado por el segundo trmino, más el triple del primer trmino por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo trmino&! A6 3iferencia de un Ainomio al 1ubo! 4ea el binomio 5a : b6, si lo elevamos al cubo, sería 5a : b6H, para hallar el resultado lo determinamos mediante la multiplicación de polinomios, así-

Luego se tiene que:

aH : bH 9 aH : Ha8b 7 Hab8 : bH 4e interpreta de la siguiente manera %2a diferencia de un binomio elevado al cubo es igual al cubo del primer trmino menos el triple del primer trmino al cuadrado por el segundo trmino, más el triple del primer trmino por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo trmino&! Eemplo +.- Calla el valor de- 5# 7 F6 H ⇒ 1ubo del primer trmino- 5#6 H 9 #H ⇒ )roducto del triple del primer trmino al cuadrado por el segundoH5#68 5F6 9 .F#8 ⇒)roducto del triple del primer trmino por el cuadrado del segundoH5#6 5F68 9 DF# ⇒ 1ubo del segundo trmino- 5F6 H 9 .8F ⇒ 4e tiene que5# 7 F6 9 #H 7 .F # 8 7 DF# 7 .8F! Eemplo +8- Calla el valor de- 5H# * : D6H ⇒ 1ubo del primer trmino-5H# *6H 9 8D#.8! ⇒ )roducto del triple del primer trmino al cuadrado por el segundoH5H#*68 5:D6 9 : .G/#G! ⇒)roducto del triple del primer trmino por el cuadrado del segundoH5H#*6 5:D68 9 7 **.#*! ⇒ 1ubo del segundo trmino- 5:D6 H 9 : H*H! ⇒ 4e tiene que5H#* : D6H 9 8D#.8 : .G/#G 7 **.#* : H*H

"R4CTICA DE CLASE @esuelve cada una de e#presiones, aplicando correspondiente-

las la


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a6 58# 7 H6H 9 b6 5H# : G6H 9 c6 5Dm8 : .*6H 9 d6 5F#H 7 /6H 9 e6 5H#m 7 6H 9 f6 58#8J : *6H 9 g6 5.,8# 7 F6H 9 h6 5H,Fn 7 +,G6 H 9 i6 5.IF mG : .+6H 9 6 58ID #H+ 7 .6H 9

TRINOMIO AL CUADRADO 4ea el trinomio 5a 7 b 7 c6, si lo elevamos al cuadrado, sería 5a 7 b 7 c6 8, para hallar el resultado lo determinamos mediante la multiplicación de polinomios, así-

2uego, se tiene-

5a7b7c689a87b87c878ab78ac78bc 4e interpreta de la siguiente manera %0n trinomio elevado al cuadrado es igual al cuadrado del primer trmino más el cuadrado del segundo trmino más el cuadrado del tercer trmino más el doble producto del primer trmino con el segundo más el doble producto del primer trmino con el tercero y más el doble producto del segundo trmino con el tercer trmino&! Eemplo +.- 3etermina el valor de58a 7 Hb 7 *c68! ⇒ 1uadrado del .er! trmino58a68 9 *a8 ⇒ 1uadrado del 8do! trmino5Hb68 9 /b8! ⇒ 1uadrado del Her! trmino5*b68 9 .b8


⇒ 3oble producto del .er, trmino por el 8do!

trmino- 858a6 5Hb6 9 .8ab ⇒ 3oble producto del .er! trmino por el 8do! trmino- 858a6 5*c6 9 .ac ⇒ 3oble producto del 8do! trmino por el Her! trmino- 85Hb6 5*c6 9 8*bc! ⇒ 4e tiene que58a 7 Hb 7 *c68 9 9 *a87/b87.b87.8ab7.ac 78*bc! Eemplo +8- 3etermina el valor de5H#H : *yF : F"68! ⇒ 1uadrado del .er! trmino5H#H68 9 /# ⇒ 1uadrado del 8do! trmino5:*yF689 .y.+ ⇒ 1uadrado del Her! trmino5:F"68 9 8F".8 ⇒ 3oble producto del .er, trmino por el 8do! trmino85H#H6 5:*yF6 9 :8*#HyF ⇒ 3oble producto del .er! trmino por el 8do! trmino85H#H6 5:F"6 9 :H+#H" ⇒ 3oble producto del 8do! trmino por el Her! trmino85:*yF6 5:F"6 9 7*+yF"! ⇒ 4e tiene que- 5H#H : *yF : F"68 9 /#7.y.+78F".8:8*#HyF:H+#H"7*+yF"

"R4CTICA DE CLASE @esuelve cada una de las siguientes e#presiones con los criterios de la propiedad que le correspondea6 5H# 7 *y 7 y6 8 9 b6 5F# 7 *y : H68 9 c6 5D# : Hy : G"6 8 9 d6 5: +,8a 7 +,Fb : +,H68 9 e6 5√F : √D 7 √..68 9

ACTIVIDADES COM"LEMENTARIAS 1ompleta el siguiente cuadro5a 7 b68 5# 7 .*68

a8 7 8ab 7 b8

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+.6 1alcula- 5# 7 .6 5# : 86 : 5# : H6 5# 7 86! a6 :* b6:G c6 8 d6  e6 *

5m.8 7 *68 5Hm# 7 68 5√D 7 √F68 5√.H#H 7.68 5a : b68 5#F : .F68 5h8+ : 8+68 5FBn : /68 5√.. : √.H68 58√Hp : H√868

+86 @educe- 5# : H6 5# : .6 : 5# : F6 5# 7 .6! a6 8 b6 F c6 G d6 * e6 

a8 : 8ab 7 b8

+H6 Efectúa- 5# 7 86 5# 7 H6 : #5# 7 F6 a6 F b6  c6 D d6 G e6 /

5a 7 b6 5a : b6 F 5a 7 .65aF : .6 5#/ 7 865#/ : 86 5#* : √H65#* 7 √H6 5H√8#* : H65H 7 H√8#*6 5#H 7 F65F : #H6

+*6 @educe- 5# 7 H6 5# : 6 : #5# : H6! a6 :/ b6 H c6 :H d6  e6 :.G

a8 : b8

+F6 Efectúa- 5# 7 868 : 5# : 868! a6 * b6 + d6 *#

5# 7 a65# 7 b6 5# 7 *65# 7 H6 5#*7F65#*7/6

#8 7 5a 7 b6# 7 ab

5H√H#78√86 5H√H#:√F6 5D√F#:8√86 5D√F#:√D6

58#./ : .658#./ 7 .6 5a 7 b6 5a8 : ab 7 b86 5# 7 H6 5#8 : H# 7 /6 5#.+ 7 .6 5#8+ :#.+ 7 .6 5√F 7 √H6 5F : √.F 7 H6

aH : bH

+/6 @educe- 5# 7 .6 5# 7 86 : #8! a6 H# b6 # 7 8 c6 H# 7 8 d6 H# 7 . e6 # 7 H

5a 7 b6 5#8F 7 .6H 58#F 7 H6H 5D√H # 7 /6H

a 7 Ha b 7 Hab 7 b

5a : b6H 5#8n : D6H 5#n7. : H6 5√F ##:. : G6

aH : Ha8b 7 Hab8 : bH

5a 7 b 7 c68 5# 7 8# : *68 5√D : √F : √H68

H

c6 *# e6 .8#

+G6 Efectúa- 5# 7 *68 7 5# : *68 : 85#8 : *6 a6 8* b6 G c6 * d6 8 e6 +

5a : b6 5a8 7 ab 7 b86 5# : /6 5#8 7 /# 7 G.6 5#.+ : .65#8+ 7 #.+ 7 .6 5√D : √F6 5D 7 √.F 7 F6 H

+6 Efectúa- 5# 7 .68 7 5# : .68 : 8#8! a6 #8 b6 :#8 c6 + d6 8 e6 *#8 +D6 Efectúa- 5# 7 H68 : 5 # : H68! a6 .8 b6 + d6 .G#

aH 7 bH

c6 G# e6 .#

8

8

H

.+6 @educe- 5# : H6 5# 7 H6 7 /! a6 #8 b6 8# 8 7 .G d6 #

c6 8#8 e6 #8 : .G

..6 1alcula- 5# 7 86 5# 7 *6 : #5# 7 6! a6 .8# 7 G b6 # : .8 c6 G7 # 8 c6 # e6 G .86 @educe- 5# 7 .6 5# : F6 : #5# : *6! a6 #8 : .+# b6 . c6 F 8 d6 # e6 :F

a8 7 b8 7 c8 7 8ab 78ac 7 8bc

Hm

.H6 @educe- 5# : 86 5# : H6 : #5# : F6 7 8! a6 G# 7 H b6 # 7 G c6 G d6 G# 7 8 e6 #8 7 .+ .*6 Efectúa- 5# 7 H6 5# : .6 : 5# 7 *6 5# : 86! a6 :. b6 H c6 * d6 F e6 :D

13





200

.F6 Efectúa- 5# 7 *6 : 5# 7 6 5# 7 86! a6 . b6 8 c6 * d6  e6 G 8

. Efectúa- 5# : H68 : 5# : D6 5# 7 .6! a6 . b68 c6H d6 * e6 F

9

 ( x − 1) ( x + x + 1)   ( x + 1) ( x − x + 1)  M=   ( x − 1) ( x + 1)    8

8

2

3

a6 5# 7 .6.D d6 #

8

9

3

b6 5# : .6.D

9

2

9

c6 #.D e6 .

.D6 Calla el valor de-

A=

(

3+ 5 − 3− 5

a6 . d6 8√F

b6 8

)

2

c6 H√F e6 *

.G6 Calla el valor de-

B=

(

x+ y

+

)ara- # 9 H; y 9 F! a6 .F b6 . d6 .*

x− y

)

2

c6 8 e6 .+

./6 4implificaK 9 5# 7 a65# : a65#8 7 a86 5#* 7 a*6 7 aG! a6 #* b6 #G c6 # d6 #. e6 + 8+6 Efectúa=95# : .65#786 7 5# : H65#76:85# 7 .6 8! a6 :8+ b6 :.G c6 :88 d6 :8. e6 :./

+.6 @esuelve@ 95# 7 H68 7 5# : H6 5# 7 H6 : 8#8 a6 #7/ b6 .G c6 H# d6 # e6 + +86 1alcula) 9 58 7 #6 5# : 86 7 5. : #6 5. 7 #6 a6 :H b6 :8 c6 . d6 H e6 * +H6 @educeM 9 5# 7 F6 5# : F6 7 5# 7 H6 5# : H6 : 8#8 a6 + b6 *#8 c6 :H* d6 H* e6 .* +*6 1alcula? 9 5# 7 .6 5# : .6 7 5# 7 H6 5# : H6 7 5F 7 #6 5F : #6 : #8! a6 .F b6 .+ c6 :HF d6 HF e6 +

8.6 4i- a 7 b 9 *; ab 9 H, calcula- a H 7 b8! 'demás- a L b! a6 * b6 8G c6 .8 d6 H+ e6 F

+F6 @educe0 9 58# 7 F6 58# : F6 7 H+ : *#8! a6 :G#8 b6 + c6 .F d6 .+ e6 F

886 4i- a 7 b 9 ; ab 9 *, calcula- aH 7 bH! a6 .+G b6 .* c6 .8* d6 .** e6 **

+6 1alcula 9 5H# 7 86 5H# : 86 : H5H#8 : 86 a6 . b6 8 c6 H d6 * e6 

D=

+D6 Efectúa( 9 5# 7 H6 5# 7 F6 7 5 : #6 5 7 #6 : G# a6 :*D b6 :FH c6 H d6 G e6 F.

x

2

1alculaa6 √F d6 *

+ x− + 2 2

8H6 4i- # 7 #:. 9 H!

b6 8

c6 H e6 >! '!

8*6 4implificaE 9 5# : .6 5# 7 H6 # 7 .6 7 5# : .6 5# : 86 5# 7 *6 : 85# 7 H6 5# 7 .6 5# : 86 a6 + b6 # 7 D c6 # : D d6 D : # e6 :5#7D6 8F6 4implifica la siguiente e#presión-

+G6 @esuelveC 9 5D 7 #6 5D : #6 7 5# 7 .6 5# : .6 7 5# 7 *6 5# : *6 7 5F 7 #6 5F : #6! a6 *F b6 FD c6 :F. d6 FH e6 :*D +/6 3etermina el valor de- 5# 7 .6 H! a6 #87H#7H#87. b6 #H7H#87H#7. c6 #H7H#87H#7. d6 #H7H#7H#87H

14





200

e6 #H7 .

.+6 1alcula- 5# 7 H6H! a6 #H7/#878D#78D c6 #H78D#87/#78D e6 #H78D#87/#78D

4 9 N5#7H65#:H67.+ON5#:*65#7*6 7 .FO 7. a6 #* : . b6 . 7 #* c6 #8 d6 #* : #8 e6 : #*

b6 #H7H#87/#78D d6 #H78D#878D#7/

8.6 Efectúa- P 9 G*H/D 8 : G*H/DF8! a6 .GDH/+. b6 .DHGF/. c6 .GDH/F. d6 .*GH/F. e6 8GDH/F.

..6 @esuelve- @ 9 5# 7 86 H 7 5# : 86H : 8#H! a6 :8*# b6 8#H c6 8*# d6 + e6 :8#H

886 4implifica-

.86 4i la diferencia de dos números es H y su producto es *, calcula la suma de sus cuadrados! a6 .D b6 . c6 .H d6 D e6  .H6 @educe- K 9 5 √H 7 √868 7 5√H : √868! a6 G b6  c6 F d6 .8 e6 .+ .*6 4i la suma de dos números es √F y su producto es 8, calcula la suma de sus cuadrados! a6  b6 * c6 8 d6 . e6 H .F6 @educeQ = 4 ( a + b ) ( a 2 + b 2 )( a 4 + b 4 ) ( a − b ) + b 8 a6 a d6 b

b6 b8

B=3

3

7 + 1)( 3 49 − 3 7 + 1)

a6 D d6 +

b6 .8

c6 . e6 D

8H6 Calla el valor deM 9 #8D 7 5. : #6 5. 7 # 7 # 86 5. 7 #H 7 #6 5. 7 #./ 7 #.G6! a6 . b6 :. c6 #H d6 #/ e6 #8D 8*6 4implifica-

( 3x + 1) + 3( x − 1) 2

V=

a6 # d6 # 7 .

c6 a8 e6 ab

(

3x

+1

2

b6 8

2

; x ∈ R. c6 * e6 +

8F6 $ndica el valor reducido deM = 8 2( 5 + 3) (5

.6 4abiendo que- a 7 b 7 c 9 *; a 8 7 b 8 7 c8 9 ! Calla- ab 7 ac 7 bc! a6 H b6 * c6 F d6  e6 D

a6 H d6 D

2

+ 32 )( 54 + 34 ) + 38

b6 *

c6 F e6 /

.D6 3ados- # 7 y 9 H; #H 7 yH 9 /! Calla- %# ⋅ y&! a6 . b6 :. c6 8 d6 :8 e6 H .G6 Efectúa y simplifica-

A = [(

3 + 2) + ( 2

a6 √ : */ d6 : H ./6 Efectúa-

[

2+ 3 + 2− 3 a6 . d6 H

b6 8F

] +[ 2

b6 F

3 − 2 ) − 7] 2

2

c6 / e6 √H : √8

2+ 3 − 2− 3

]

2

c6 G e6 *

8+6 4implifica-

15





200 =E1C' 3E @E$4$Q>

!!!I!!!I8++G

E4

=$@M' 3E2 )@<=E4<@ =$@M' 3E2 ))! ==!

GUÍA DE APRENDIZAJE DE ÁLGEBRA N° 11 TEMA: -actor'.ac'/) I" #$NTENID$: 1975-2008

4e llama factores de un polinomio a los monomios o polinomios que multiplicados entre sí dan como producto el primer polinomio! 2%> (ACTOR "RIMO 4e llama factor primo de un polinomio a l factor que no se puede e#presar como el producto de otros dos polinomios, es decir, sólo se puede e#presar como el producto de l mismo y la unidad! )or eemploa6 En la igualdad#8 : H 9 5#765#:6; son factores primos 5#76 y 5#:6! b6 En la igualdad5#7G65#:D6 9 #87#:F; son factores primos 5#7G6 y 5#:D6! 3%> (ACTORI?ACI-N 4e llama factori"ación de un polinomio a la conversión de dicho polinomio en el producto de sus factores primos!

D'(!r!)c'a d! #uadrados" As*a '%*!" 1%> (ACTORES 'sí- multiplicando 5# 7 86 por 5# : 86, se tiene- 5# 7 86 5# : 86 9 #8 : *! Entonces- 5# 7 86 y 5# : 86 son factores de- #8 : *!

a8 : b8 9 5a 7 b6 5a : b6 Este mtodo se utili"a para factori"ar polinomios que e#presan la diferencia de dos cuadrados perfectos! @E(2'- 4e e#trae la raí" cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raí" cuadrada del minuendo y la del sustraendo! Ee!l# 01 (act#r)a  2 > 1%

∴# : . 9 5# 7 .6 5# : .6 8

)or eemploa6 2a factori"ación de#8 : / 9 5# 7 H6 5# : H6! b6 2a factori"ación de#8 : D# 7 .8 es 5# : H6 5# : *6!

Ee!l# 02 (act#r)a  @ > @92%

(ACTORI?ACI-N "OR DI(ERENCIA DE 4e utili"a el producto notable-

@ > @92 < 52 7 29 52 > 29 Ee!l# 03 =actori"a- . : 8F#n

16





a6 #8 7 F# 7  9 5# 7 86 5# 7 H6 # 78 # 7H

∴ . : 8F#

n

9 5* 7 F#Hn6 5* : F#Hn6!

(ACTORI?ACI-N "OR DI(ERENCIA DE CUADRADOS 4e utili"a la identidad del producto de dos binomios con trmino común, conocido como la identidad de 4tavin!

#8 7 5a 7 b6# 7 ab 9 5# 7 a6 5# 7 b6

Este mtodo se utili"a para factori"ar polinomios de la forma- # 8 7 m# 7 n! @E(2'.R El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer trmino es %#& Eemplosa6 #8 7 F# 7  9 5# 6 5# 6 # # b6 #8 : D# 7 .+ 9 5# # #

6 5#

6

6 5#

:

*R 4i los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer trmino del trinomio! El mayor de estos números es el segundo trmino del primer binomio y el menor el segundo trmino del segundo binomio! a6 #8 7 /# : .+ 9 5# 7 .+6 5# : .6 # 7.+ # : . b6 #8 : ..# : 8 9 5# : .H6 5# 7 86 # : .H # 78

)@1?$1' 3E 12'4E +.6 0ne con una flecha las e#presiones equivalentesa6 #8 : /y8

8R En el primer factor, despus de %#& se escribe el signo del segundo trmino del trinomio y en el segundo factor, despus de %#& se escribe el signo que resulta de multiplicar los signos del segundo y tercer trmino del trinomio! a6 #8 7 F# 7  9 5# 7 6 5# 7 6 # 7 # 7 b6 #8 : D# 7 .+ 9 5# : # : # :

b6 #8 : D# 7 .+ 9 5# : F6 5# : 86 # :F # :8

6

HR 4i los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos número cuya suma sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer trmino del trinomio! Estos números son los segundos trminos de los binomios!

$! 5#:/6 5#:*6

b6 8F#8 : */

$$! 5#7Hy65#:Hy6

c6 H#8 : .

$$$! 5# 7.+6 5#:86

d6 #8 : .H# 7 H $! 5F#7D6 5F#:D6 e6 #8 7 G# : 8+

! 5#7*65#:*6

+86$ndica la suma de los factores primos en cada una de las siguientes igualdadesa6 *#8 : G. 9 58# 7 /6 58# : /6 b6 #8 : * 9 5# 7 G6 5# : G6 c6 #8 : D# : .G 9 5# : /6 5# 7 86 d6 #8 7 F# : H 9 5# 7 /6 5# : *6 +H6 =actori"aa6 #8 : 8Fy8 9 b6 m8 : . 9 c6 a8 : . 9 d6 . : *m8 9 e6 . : n8 9

17




f6 * : #8 9

+*6 =actori"aa6 *#* : /y* 9 b6 .++m8n8 : ./y* 9 c6 a8m : .8. 9 d6 H.# : .** 9 *

e6 m* : */n8 9 f6 .8.#8 : *y* 9 +F6 =actori"aa6 .I/ : *#8 9 b6 .I*/ : *#8 I8F 9 c6 m8 I*/ : n8 I8F 9 d6 #8 I.++ : "* IG. 9 e6 .++m8n* : .I8F #* 9 f6 .# : y I*/ 9 

*

+6 0sando la diferencia de cuadrados, efectúaa6 *D8 : HH8 9 b6 *F8 : .F8 9 c6 D8 : D*8 9 d6 .+.88 : .+..8 9 e6 H+F8 : H+8 9 f6 *+.F8 : *+.8 9 +D6 =actori"a por aspa simplea6 #8 7 D# 7 .+ 9 b6 #8 7 H# : .+ 9 c6 #8 7 # : 8 9


c6 #8 :8# : HF 9 d6 #8 7 HH : .*# 9 e6 c8 : .* : .Hc 9 f6 # 8 7 F* : .F# 9 g6 #8 : .D# : + 9 h6 m8 : 8+m : H++ 9 i6 #8 : 8# : .G 9 6 a8 : *.a 7 *++ 9 +/6 =actori"aa6 #* 7 F#8 7 * 9 b6 #G : 8#* : G+ 9 c6 5*#68 :85*#6 : .F 9 d6 #8 7 8a# : .Fa8 9 e6 5# : y68 7 85# : y6 : 8* 9 f6 # .+ 7 #F : 8+ 9 g6 #* 7 Da#8 : +a8 9 h6 5m : n68 7 F5m : n6 : 8* 9 i6 .F 7 8y : y 8 9 6 m*b8 : .m8b 7 + 9 .+6 1alcula el valor dea6 8H8 7 D8 7 858H6 5D6 9 b6 .8.8 7 ..D8 : 85.8.6 5..D6 9 c6 *8D8 7 *8F8 : 85*8D6 5*8F6 9 d6 .G8 7 H88 7 H5H86 9 e6 .H*8 7 8DG8 7 85.H*6 58DG6 9

+.6 0ne con las flechas las e#presiones equivalentesa6 8Fm8 : */n8 $! 5y:8+65y:.+6

d6 #8 : /y 7 8+ 9

b6 H#8 : .8.y8

e6 y8 : /y 7 G 9

c6 y8 : H+y 7 8++ $$$! 5p76 5p:86

f6 # 8 : H# 7 8 9

d6 p8 7 *p : .8

g6 y8 : *y 7 H 9 h6 #8 7 .+# 7 8. 9 i6 m8 : .8m 7 .. 9 6 # 7 # : . 9 8

+G6 =actori"aa6 y8 7 y : H+ 9 b6 n8 7 m : *+ 9

$$! 5Fm7Dn65Fm:Dn6 $! 5#7..65#:..6!

+86 $ndica la suma de los factores primos en cada una de las siguientes igualdadesa6 */#8 : .** 9 5D# 7 .86 5D# : .86 b6 #8 : G. 9 5# 7 /6 5# : /6 c6 #8 7 .G# 7 F 9 5# 7 .H6 5# 7 F6 d6 #8 7 /# : D+ 9 5# 7 .*6 5# : F6 +H6 =actori"aa6 .#8 : y8 9

18





b6 p8 : / 9

c6 #8 7 .G# 7 DD 9

c6 *#8 : 8F 9

d6 p8 : ./# 7 /F 9

d6 . : a8b* 9

e6 #8 7 G# : G* 9

e6 ./ : #8 9

f6 # 8 7 .# : H 9

f6 88F : **.#* 9

g6 #8 : .8# : .+G 9

g6 H m : . 9

h6 #8 : 8.# : D8 9

h6 ./p8q : * 9

i6 #8 7 H+# 7 .** 9

i6 .**a* : 8G/b 9

6 #8 7 HG# 7 ./8 9

6 F8/m : H.nG 9 +*6 =actori"aa6 8FI*/ a*b : *I/ c8 9 b6 /I.8. #* : 8FI* y* 9 c6 .I.++ p* : *IG. q8 9 d6 HI.8. m8 : ./I8G/ n 8 9 e6 .IH #8 : *IG. 9 f6 .8.I./ p : */IG. q.+ 9 g6 8FI8G/ : .**I*++ mn8 9 h6 **.IF8/ #*y : *I/ 9 i6 /.I/++ b8c* : .I8F 9 6 D8/I.+G/ m8nn*m : . 9 +F6 0sando la diferencia de cuadrados, efectúa las siguientes e#presionesa6 FG8 : *88 9 b6 DF8 : *F8 9 c6 8 : H*8 9 d6 .F8G8 : .F8D8 9 e6 G/8 : .+*8 9 f6 FD8.8 : FD888 9 g6 /GD*8 : /GDH8 9 h6 .++++8 : ////8 9 i6 HDHD8 : HDHDD8 9 6 FFFFF8 : FFFF* 8 9 +6 1alcula el valor de las siguientes e#presiones)9*8D8FFH+8 : 5*8D8FF8G×*8D8FFH86 S 9 /GD*HG*G+ : 5/GD*HG*D/ ×/GD*HG*G.6 8

+D6 0tili"ándole mtodo de las aspas, factori"a las siguientes e#presionesa6 #8 7 G# 7 . 9 b6 #8 7 .F# 7 F 9

+G6 =actori"a las siguientes e#presionesa6 #8 : H8# 7 ./8 9 b6 "8 : *F" 7 8++ 9 c6 p8 : *F# 7 8++ 9 d6 m8 7 8Dm : H8* 9 e6 B8 : .FB : .HF+ 9 f6 # 8 : G# : H+G 9 g6 a* 7 .Ga8 7 DD 9 h6 B* 7 *8B8 7 **+ 9 i6 5# : y68 : HG5# : y6 7 8*+ 9 6 #.* : #D : 8.+ 9 +/6 1alcula el valor de las e#presiones siguientesa6 H8 7 .D8 7 85H6 5.D6 9 b6 *8H8 7 *.G8 : 85*8H6 5*.G6 9 c6 8*8 7 8+8 : *G58+6 9 d6 FH8 7 8H8 : .+58H6 9 e6 DH8 7 DHF8 7 85DHF6 5DH6 9 =E1C' 3E @E$4$Q>

!!!I!!!I8++G

E4

19







200

=$@M' 3E2 )@<=E4<@

=$@M' 3E2 ))! ==!

20

200



200

GUÍA DE APRENDIZAJE DE ÁLGEBRA N° 1 TEMA: -actor'.ac'/) II" #$NTENID$: -actor #o%,) Mo)o%'o" -actor #o%,) Po')o%'o" -actor #o%,) *or A2ru*ac'/) d!

1975-2008

T+r%')os"

"R4CTICA DE CLASE

(ACTOR COMN MONOMIO Este mtodo busca un factor común a todos y

86

HF# 7 *8y U F" 9

un

H6

Hab U G*cd 7 .H8 9

polinomio! Este factor resultará ser un

*6

.+*#H 7 DG#8 U .G8# U 8H* 9

monomio!

F6

8G+y* 7 *8+yH U 8.+y8 U */+y 7 *FF

6

8GGbF 7 8.+bH 7 G.b 8 U H.8+bG 9

D6

Hab U ac 9

G6

Gam8 7 .*bm8 9

/6

Fab# U .Faby U 8+ab# 7 DFab" 9

.+6

HF#Hy8 7 F#H"F U *G#H 9

..6

V am 7 V bm U V cm 7 V dm U V

.86

*aHb*"H 7 8a8b"* 9

.H6

8aHb8 7 Ga8bH U .8aHbH 9

.*6

8.mFn U D+m*n8 7 HmHnH U Fm8n

.F6

.Ga#FyF U H#*yH U F*#8yG 7 D8#*yF 9

.6

/+bH 7 .+GbF U ..DbD U 8H*b 9

.D6

.Ga#FyH U H#*yH U F*#8yG 9

.G6

8*m8nH 7 D8mHn U *Gm*nG 9

./6

+,.pq 7 +,8p8qH U +,HpHqF U +,FpqD9

8+6

8,*c*d.+ U D,8c Gd/ U .8c.8d. 9

cada

uno

de El

los

trminos

mismo

que

de

debemos

encontrar! %3ado un polinomio, lo primero que tendremos que hacer para hallar el =actor 1omún Monomio 5=1M6 será encontrar el Má#imo 1omún 3ivisor 5M136 de los coeficientes, ste será el coeficiente del =1M! Eemplo +.- =actori"a el polinomio- *a# 7 .*b# 7 c#! Callamos el M13 de cada trmino, por el mtodo abreviado, así-

El M13 es 8#! Tste número será el coeficiente del =1M que se busca! Entonces, factori"amos*a# 7 .*b# 7 c# 9 8# 58a7Db#7c#6 EPEM)2< +8- =actori"a el polinomio- G# * U *#8y 7 .#Fy8! Callamos el M13 de cada trmino, por el mtodo abreviado, así-

El M13 es *#8y! Tste número será el coeficiente del =1M que se busca! Entonces, factori"amosG#* U *#8y 7 .#Fy 9 *#858#8Uy7*#8y86

(ACTOR COMN "OLINOMIO Este caso se presenta cuando el factor común que aparece es un polinomio! Eemplo +.- =actori"a el polinomio) 9 c5a 7 b6 7 d5a 7 b6 7 e5a 7 b6! ⇒ E#traemos el factor común polinomio-

5a 7 b6, ⇒ 2uego, se divide cada parte del polinomio entre el factor común polinomio, así-

=actori"a las siguientes e#presiones.6 mn 7 .Gpq 9

21





200

c(a + b) a + b

= c;

d(a + b) a + b

= d;

e(a + b) a + b

= e.

⇒ El segundo factor es- 5c 7 d 7 e6! ⇒ =inalmente, se escribe el producto de los

factores, así) 9 5a 7 b6 5c 7 d 7 e6! Eemplo +8- =actori"a el polinomio@ 95a 7 .68 5y 7 .6 U 5a 7 .6 5y 7 .6 8! ⇒ E#traemos el factor común polinomio-

5a 7 .6 5y 7 .6! ⇒ 2uego, se divide cada parte del polinomio entre el factor común polinomio, así-

( a + 1) 2 ( y + 1) ( a + 1)( y + 1) 2 = a + 1; = y +1 ( a + 1)( y + 1) ( a + 1)( y + 1) El segundo factor es- 5a 7 . 7 y 7 .6 9 5a 7 y 7 86! ⇒ =inalmente, se escribe el producto de los factores, así@ 95a 7 .6 5y 7 .6 5a 7 y 7 86! ⇒

"R4CTICA DE CLASE Calla el factor común polinomio de cada uno de los siguientes polinomios+.6 5a 7 86 U b5a 7 86 9 86 y5*# U H6 7 8"5*# U H6 9

)ara e#plicarla, veamos el siguiente eemploEemplo +.- =actori"a- 4 9 a# 7 ay 7 b# 7 by! ⇒ Esta e#presión con cuatro trminos no la

podemos factori"ar en dos binomios con trminos semeantes! En este caso el primer paso a seguir es aplicar la ley asociativa, que nos permita encontrar un factor común para lograr la factori"ación completa! ⇒ 'plicando la ley asociativa, se tiene5a# 7 ay6 7 5b# 7 by6 ⇒ En el primer binomio 5a# 7 by6, observamos que el factor común es %a&, por lo tanto podemos e#presarlo comoa5# 7 y6! ⇒ En el segundo binomio 5b# 7 by6, observamos que el factor común es %b&, por lo tanto podemos e#presarlo comob5# 7 y6! ⇒ 3e esta forma se obtiene que4 9 a# 7 ay 7 b# 7 by 9 a5#7y67b5#7y6 ⇒ 4 9 5# 7 y6 5a 7 b6! Eemplo +8- =actori"a? 9 8a# 7 8b# U ay 7 Fa U by 7 Fb! ⇒ 'plicando la ley asociativa, se tiene-

? 9 58a# 7 8b#6 7 5:ay U by6 7 5Fa 7 Fb6 ? 9 8#5a 7 b6 7 5:y6 5a 7 b6 7 F5a 7 b6 ? 9 5a 7 b6 58# U y 7 F6!

H6

Hm58a 7 F6 U 8n58a 7 F6 U Fp58a 7 F69

"R4CTICA DE CLASE

*6 F6

*am5m8 U Hn6 : Fbn5m 8 U Hn6 9 58a 7 H68 5b 7 F6 U 58a 7 H6 5b 7 F6H

'grupando trminos, factori"a los siguientes polinomios-

6

H5a7.6H 5#7yU86F7D5a7.6F 5#7yU868

9

D6

8m5# U H6 7 *n5# U H6 U p5# U H6 9

G6

a5H#7D67b5H#7D67Fc5H#7D67Fd5H#7D6

/6

.+6

/a5# 7 y U .6 U Hb5# 7 yU.6U.Fc5# 7 y U .6 7 .8d5# 7 y U .6 9

9

5m7 n65mUn67Hn5m U n67Fp5m U n6

(ACTOR COMN "OR A/RU"ACIN DE T=RMINOS

+.6 m# 7 n# 7 py 7 qy 9 +86 Ha# U H# 7 *y U *ay 9 +H6 8#8 U H#y U *# 7 y 9 +*6 # 7 "8 U 8a# U 8a" 8 9 +F6 a# 7 ay U a" 7 # 7 y U " 9 +6 8a# 7 8b# U ay 7FW U by 7 Fb 9 +D6 Hm8 U mn 7 *m U Gn 9 +G6 #8 U a8 7 # U a 8# 9 +/6 Hab#8 U 8y8 U 8#8 7 Haby8 9 .+6 Ha# U 8by U 8b# U W 7 Hay 7 *b 9 ..6 a8y 7 ab8 U a#y U b 8# 9 .86 aH 7 a8 7 a 7 . 7 #8 7 a8#8 9 .H6 HaH U Ha8b 7/ab8 : a8 7 ab U Hb8 9 .*6 8#H U #h8 7 8#"8 U h"8 :Hhy8 7 #y8 9

22




.F6 ab#H 7 b8#8 U a8#8 U a8b# U ab# 7 a H .6a8bHUnH7a8bH#8:n*#8UHa8bH#7Hn* # .D6amUan7a#Ubn7cn7bmUcm7b#Uc# 9 .G6.Ga#HUF*a#87.GayHUF*ay8 7.Gay 7 .Gay U F*a# U F*a 9 ./6 .+am8#" U .Fm8#" 7 .+a# U .Fb# U Gam8y" 7 .8bm 8y" U Gay 7 .8by 9

8+6 #

7 #

m7.

U #

m78

U # 9

n7.

n78

"R4CTICA DOMICILIARIA +.6 =actori"aa6 .8mn 7 /rs 9 b6 *8a 7 Hb U HFc 7 Fd 9 c6 *8ab U D+cd 7 .F*mn 9 d6 .D#H 7 8DF#8 U *.G# U 8* 9 e6 HDGy*7/yHU8.+y8UF*y7*8+ 9 f6 /8FbF7F.GbH7D+Hb8UHD+b7G8 9 +86 =actori"aa6 /mn 7 .Gmp 9 b6 *m8n8 7 8*m8n U 8Gm8 9 c6 DhB#8 7 8.hB# 7 .*hB 9 d6 .GamF 7 Hbm F U 8DcmF 9 3 5

x3y +

3 5

x2y +

3 5

xy

−

3 5

y=

e6 f6 F*#FyH 7 *8#F"F U D8#F 9 +H6 =actori"a-

a6 a8b U ab8 9 b6 p8q 7 8*pq 8 9 c6 .8#Hy U *G# 8y8 9 d6 H#8 U .8#H 7 .G# 9 e6 /#8yH U 8D#HyH U /# 9 f6 ./aFbHc U .HabH 9 +*6 =actori"aa6 *a8b 7 8ab 7 ab8 9 b6 H#8 U # 7 /# * 9 c6 8#H U *IH # 8 7 8# 9 d6 F#Hy U .+#8y8 7 .F#yH 9 e6 8FaHb8 U .+aFy8 7 Fa8bHy 7 .Fa bF9 f6 X a8#Hy 7 /aF#8yH U a*# 7 .8a#*9 +F6 Calla el factor común polinomio de cada uno de los siguientes polinomiosa6 m 5Hm 7 8n6 U 8n 5Hm 7 8n6 9 b6 .*a5F#U867Fb5F#U86UHF5F#U869 c6 5*a7.6F 58b7H68U5*a7.6 58b7H689 d6.F5a7*6 H58#7yUF6F7D5a7*6F58#7yU F6 H


e6.am5m87Gn6 U *Gbn5m87Gn6 7 Fab 5m8 7 Gn6 9 f6 Ha 5F# 7 8y6 U 8*b 5F# 7 8y6 U *8c 5F# 7 8y6 9 +6 Calla el factor común polinomio de cada uno de los siguientes polinomiosa6 .a 58#UH67.8b 58#UH6 U 8+c 58# UH69 b6 m 5F#7H6 U .Fn 5F# 7 H6 7 /p 5F# 7 H6 7 .8q 5F# 7 H6 9 c6 *8a 58#7*yU.6 U .*b58#7*yU.6 UFc58#7*yU .6 7 Fd58# 7 *y U.6 9 d6 58m 7 n6 5m U n6 7 Hn5m U n6 7 Fp5m U n6 9 e6 D8# 58aUFbUHc67G*y 58aUFbUHc6 7 F* " 58aUFbUHc67.G58aUFbUHc6 f6 .Fa58a8 U Dab 7 b 86 U 8Fb58a 8 U Dab 7 b 86 7 HFc 58a8 U Dab 7 b 86 :F+58a8 U Dab 7 b86 9

+D6 'grupando trminos, factori"a los siguientes polinomiosa6 /mn 7 .Gmp U 8Dmq 9 b6 *ac 7 8bc U 8ad U bd 9 c6 .Fm# 7 m 7 #y U 8# U F# 8 U Hmy9 d6 .F#HyF U 8F#*y8 7 .+#y* 9 e6 .8.rHs* 7 DDr8s* U FFr*sH 9 f6 D# 7 y U #y U D U " 8 7 #"8 9 g6H#H 7 8#8 U .F# U .+ 9 h6 Y a8#U8a#87a#UY ab78b#Ub i6 a8#Ua#8U8a8y78a#yU#H78#8y 6 .Fa8UHamUHI8 aUFa#7m#7Y# B6 .+IH a8b8 U GIH ab8y U 8+a# 7 .#y U FIH a8bH 7 *IH abHy 7 .+ab# U Gb#y 9 l6 Fam#H 78+amy U 8bm#H U Gbmy U .+an#H U *+any 9 m6 .+am8#" U .Fm8#" 7 .+a# U .Fb# U Gam8y" 7 .8bm 8y" U Gay 7 .8by9 n6 Fa8b# 7 a# 7 Da 8# :Fa8by U ay U Da 8y 9

23

%%%%%%2008

OBSERVACIONES

(IRMA DEL "RO(ESOR

(IRMA DEL ""% ((%

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA 1975-2008

“VIRGEN DE GUADALUPE” NIVEL SECUNDARIA DE MENORES CICLO VI BIMESTRE IV

SECUNDARIA

1er Grado

I N D I C E IV BIMESTRE Del 13 de Octubre 2008 al 16 de Dce!bre del 2008 1, U+dad



El Tr+ul# De+c*+% Cla$cac*+%

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!8D

2, U+dad

El Tr+ul#% "r#edade$% Cla$cac*+! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H+

GUIA DE APRENDIZAJE N° 08 Te!: L"ne!s Not!#$es %e un T&i'ngu$o I( Conteni%o: )( L"ne!s not!#$es en e$ t&i'ngu$o( *e%i!n!( Bise+t&i,(

1975-2008

MEDIANA

BISECTRI? EFTERIOR Es el segmento que divide a un ángulo e#terno en medidas iguales!

De+c*+ Es el segmento de recta que tiene por e#tremos a un vrtice y al punto medio del lado opuesto a dicho vrtice!

ER es bisectriz exterior del triángulo AEF ´

´ es mediana del triángulo ABC. AM

QE es bisectriz exterior del triángulo MPQ. ´

EN es ´

mediana del triángulo AEH.

"R4CTICA DE CLASE

BISECTRI? En el triángulo, e#isten dos bisectrices, a saberBISECTRI? INTERIOR Es el segmento que divide a un ángulo interno en medidas iguales!

+.6 4i-

´ BN es mediana y

halla %#&!

´

´ es bisectriz del triángulo APQ PE

´ AN 9 / cm,

+86 4i- PE es mediana y S@ 9 8* cm! Calla %#&!

´ es bisectriz del triángulo HNM NR

´ +*6 Calla %α&, si- QF es bisectri"!

+H6 4i-

´ CE es bisectri", halla %#&!

"R4CTICA DOMICILIARIA +.6 (rafica el triángulo 'A1- m ∠@ 9 *+Z! 2uego tra"a la bisectri" interior

CE ´

!

Calla- m∠'E1! +F6 En el gráfico

´ RE es bisectri" e#terior

del triángulo '@S! Calla- % φ %!

+86 (rafica el triángulo )S@ y tra"a la ´ mediana PM ! Calla SM, si-

8* cm! +H6 4i-

+6

´ MN

´ AE es bisectri", halla %#&!

es bisectri" e#terior del triángulo

'?M, halla- %γ &!

+*6 Calla %#&, si-

+D6 QN es mediana! Calla- % γ &, si- >) 9 ´

.G cm!

´ BF bisectri"!

´ QR

9

+F6 4i-

´ AM es mediana, halla %#&!

´ BM es mediana y 'M 7 '1 + *8

+G6 4i-

cm; halla M1!

´ +64i- PN es mediana y S@9H+ cm, halla-

%#&!

+/6 En un triángulo 'A1- m∠A 9 F+Z y m ∠1 9 *+Z! 2uego tra"ar la bisectri" interior ´ . AE Calla- m∠'EA!

.+6 En un triángulo )S@- m ∠) 9 8+Z y m∠ *+Z! 2uego tra"ar la bisectri" interior QF ! Calla- m∠S=@! ´

+G6

Calla

%#&,

si- .*6

´ BE

es bisectri" e#terior!

4ibisectri" triángulo

A3

es del 'A1,

halla %#&!

+/6 Calla- %α&, si ´ F es

bisectri" e#terior!

.F6

4iA= es bisectri", halla %#&!

´ +D6 4i- AE es bisectri", halla % α&!

.6 .+6 Calla- %#&, si

4i1= es bisectri", halla %#&!

´ CP es

bisectri" e#terior!

=E1C' 3E @E$4$Q>

..6 Calla %#&, si- SE es bisectri"!

[!!I[!!I8++G

E4

=$@M' 3E2 )@<=E4<@ =$@M' 3E2 ))! ==!

.86 Calla %#&, si 'E es bisectri"!

.H6 Calla %#&, si- E> es bisectri" e#terior del triángulo '2E!

GUIA DE APRENDIZAJE N° 0-

1975-2008

Te!: L"ne!s Not!#$es %e u T&i'ngu$o II( Conteni%o: )( L"ne!s not!#$es en e$ t&i'ngu$o( . A$tu&!( . *e%i!t&i,(

ALTURA De+c*+ Es el segmento tra"ado desde un vrtice en forma perpendicular al lado opuesto de un triángulo!

↔

L

´ es mediatri" de EF !

´ BH es la altura del triángulo 'A1 relativa

a

AC ! ´

↔

!"

es mediatri" del lado A1!

´ F! es la altura del triángulo E>= relativa a

´ EN ! ↔

n

es mediatri" relativa a

´ PQ del

triángulo )S@!

´ EN es la altura del triángulo 'E2 relativa a ´ A! ! ↔

m

es mediatri" relativa al lado '1 del triángulo 'A1!

"R4CTICA DE CLASE ´ RH

es la altura del triángulo )S@ relativa

+.6 4i ES es altura, halla %#&!

al lado

´ PQ

!

MEDIATRI? De+c*+ Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento de recta!

+86 4i 2C es altura, halla- %α : β&!

.+6 (rafica el triángulo )S@ tal que- m ∠) 9 F*Z y m∠S 9 DGZ; luego tra"a la mediatri" de S@! Calla el menor ángulo formado por la mediatri" y el lado )@!

"R4CTICA DOMICILIARIA +H6 2 es mediatri" de )=, halla %#&!

+*6 2 es mediatri" de 'A y 'A 9 8G cm, halla %#&!

+.6 4i A> es altura, Calla %θ&!

+86 Calla %#&, si- =M es altura-

+H6 Calla %#&, si- 2 es mediatri" de '1! +F6 En el gráfico >C es altura del triángulo @M>, halla %#&!

+*6 Calla %#&, si- n es mediatri" de 'A! +6 (rafica el triángulo 'A1, tal que- m ∠' 9 *GZ y m∠A 9 D*Z! Calla la medida del menor ángulo formado por el lado A1 y la mediatri" de '1!

+D6 (raficar el triángulo )SM y la altura )C! +F6 4i- 'C es altura, halla %# : y&! 4i- m∠S 9 *Z y m∠M 9 *Z; halla el ángulo formado por )C y )S! +G6 (rafica el triángulo 'E= tal que- m ∠' 9 HZ y m∠E 9 .+GZ; luego tra"a la altura EC! Calla el ángulo formado por EC y E=! +/6 (rafica el triángulo 'A1, tal que- m ∠1 9 H+Z; luego tra"a la altura 1C! Calla el ángulo formado por A1 y 1C! +6 Calla %#&, si- 2 es mediatri" de AE!

.86 Calla- %θ&!

+D6 4i- 1> es altura, halla %# : y&!

.H6 Calla %#&, si AC es altura!

+G6 2 es mediatri" de AE, halla %α&!

.*6 En el gráfico, 2 es mediatri" de '1, halla %#&!

+/6 '= es altura del triángulo 'M>, halla el suplemento de %#&!

.+6 Calla %#&, si 2 es mediatri" de 'A!

.F6 Calla %#&, si 'M es mediana y A1 9 88 cm!

.6 Calla %#&, si 1> es altura del triángulo 'A1!

..6 Calla el complemento de %α&!

..6 Calla el complemento de %α&!

.D6 Calla %θ&, si 2 es mediatri" de A1!

.G6 (rafica el triángulo 'A1, tal que- m ∠' 9 HFZ; m∠A 9 ..+Z y 'A 9 .+ cm, luego halla A1! ./6 (rafica el triángulo 'A1, tal que- 'A 9  cm 9 A1, y m∠A 9 +Z, luego halla '1!

8+6 4i %a& es paralela a '1, halla %#&!

+*6 1alcula el complemento de la mitad del suplemento de D+Z! +F6 1alcula el complemento del doble del suplemento de .F+Z! +6 1alcula la diferencia entre las medidas de un ángulo de D+Z y su complemento! +D6 En la figura, calcula el valor de %#&, si el complemento de %α& mide HGZ!

8.6 Calla %#&, de acuerdo a la gráfica!

+G6 1alcula el valor de %#&, si- m II n!

886 Calla- %# : y&, 4i AC es altura del triángulo 'A1!

+/6 ', A, 1 y 3 son puntos colineales y consecutivos! 1alcula A1, si- '3 9 .D cm y '1 7 A3 9 8.! 8H6 \1ómo se llama la línea %n& para el .+6 M, >, @ y ? son puntos colineales y consecutivos! 4i- M@ 9 @?, M> 9 8>@ : D, triángulo 'A1] y 8M> 7 H>@ 7 *@? 9 FH, calcula >@! ..6

\' cuánto segundos se#agesimales

equivales- 8ZH8^*F&] .86 E#presa en minutos se#agesimalesHZ**^8G& 7 .+GH8&! .H6 4abiendo que- a 7 b 9 9 D+, calcula- a^b& 7 b^a&! '

.*6 1alcula8*6 Calla %#&, si 'M es mediana del triángulo 'A1!

'

#$ º %% $% º %& . + % '

.F6 1alcula el suplemento del triple de la mitad del complemento del doble de *+Z! .6 2a diferencia entre las medidas de dos ángulos complementarios es 8*Z, \cuánto mide el mayor]

MISCEL4NEA +.6 ', A y 1 son tres puntos colineales y consecutivos! 'demás- '1 9 F8 y *'A 9 /A1, calcula A1!

.D6

2as medidas de dos ángulos suplementarios se diferencian en H8Z! \1uánto mide el menor]

.G6

El mayor de dos ángulos complementarios mide el doble del menor, \cuánto mide el menor]

./6 0no de dos ángulos suplementarios mide cuatro veces el otro! \1uánto mide el +86 ', A, 1 y 3 son puntos colineales y menor] consecutivos! 'demás- A1 9 13 9 8'A y '1 7 A3 9 F, calcula '3! +H6 1alcula el suplemento del complemento de FHZ! 8+6 %α& y %θ& son un H.6 3os rectas paralelas son par lineal! El intersecadas por complemento de una secante; si las %α& mide D8Z! medidas de dos \1uánto mide el ángulos conugados complemento de internos son entre θ I8] sí como F es a *, halla el menor de 8.6 %β& y %φ& son un ellos! par lineal, cuyas medidas se 3os ángulos diferencian en H86 conugados 8Z! \1uánto e#ternos, entre mide %β&, paralelas, midensabiendo que es 5*# 7 GZ6 y 5H# 7 mayor que %φ&! H/Z6, respectivamente! 886 El doble de un Calla el valor de ángulo, más el %#&! triple de su complemento, resulta 8++Z! HH6 En el cuadrilátero 'A13'1 es \1uánto mide bisectri" del ∠A'3! dicho ángulo] 4i %#& está en centímetros, halla 8H6 1alcula la medida el perímetro del de un ángulo, si cuadrilátero! su complemento

y suplemento suman 8.GZ! 8*6

El doble del complemento de un ángulo, más el triple del suplemento del mismo ángulo, resulta H8+Z! \1uánto mide H*6 En la figura- 2 . II dicho ángulo] 28, '= es bisectri" del ∠#'y, y, m∠A#' 8F6 ', A, 1, 3, E y = 9 .8GZ, entonces son puntos halla el valor de la colineales y m∠#='! consecutivos! 4i'1 7 A3 7 1E 7 3= 9 AE 7 8*, calcula '=! 86 ', A y 1 son puntos colineales y consecutivos! 4i 'A 9 *+ cm y A1 9 8+ cm, calcula @A! 'demás- M, HF6 En la figura> y @ son puntos m∠'E3 9 .8FZ! medios de 'A, A1 Calla- m∠' 7 m∠A y '1, 7 m∠1 7 m∠3! respectivamente! 8D6 4i- ', M, S, > y A son puntos colineales y consecutivos, calcula 'S! 'demás- 'M 9 MS, S> 9 >A, M> 9 G m y MA 9 .*! 8G6 4i- $, 3, 0, ', 2 y A son puntos colineales y consecutivos, calcula 02! 'demás- 0' 9 30 : ., 21 _ $3 9 /, $3 9 30, '2 9 21! 8/6 1alcula el valor de %#&, si p IIq!

(EC.A DE REVISIN (IRMA DEL "RO(ESO R (IRMA DEL ""% ((%

&%% &%%2008

H+6 1alcula el valor de %α&, si m IIn!

INSTITUCI/N EDUCATIA PRIADA 1IRGEN DE GUADALU

NIVEL SECUNDARIA DE MENRES CICL VI !IMES"RE IIV

ARI*3TICA

1º SECUNDARIA

CONTENIDOS

IV BIMESTRE Del 13 de Octubre al 16 de Dce!bre >úmeros 3ecimales! >ociones )revias [[[[[[[[[[[[[[[[[[[!!![[ p! H/ úmeros 3ecimales [[[[[![[[[[[[[[[[[[[[[[[ p! F

Ecuaciones de )rimer (rado con una variable [[[[[[[[[[[[[[[[[[ p!

Cuadr# de ReG$*+ de la$ /u;a$: Cuader+# 9 Ete+$#+e$ REVISI-N /UHA CUADERNO =E1C'

EFTENSI-N

=$@M' 3E2 ))!==!

Cuadr# de "r#ra!ac*+ de "rctca$ Calcada$ N, DE "%C% 01 02 03 =E1C' >
0@

0

06

/UHA DE A"RENDI?AJE N, 10 N#!bre >úmeros 3ecimales! >ociones )revias C#+te+d#$  1omprendas la importancia del estudio de los >úmeros 3ecimales y ests en condiciones de resolver eercicios y problemas!

MOTIVACI-N I

Re$uelGe e+ #r!a +dGdual ' =

.6 4i-

3 4

' +

Calla4olución-

1

1

2

3

+ − 5 6

86 E#presa en forma de fracción la parte aclarada-

1

% = 1 +

1+

H6 4i % −

1alcula4olución-

1 2

2 3

*6 Calla %#& en la siguiente ecuación85H# U F67#9 U *58# U 6 4olución-

=@'11$Q>-

II

EectKa .6 H,F 7 8,D U F,*/. 86 8,GH # .+ 7 +,H/G # .++

[

3.

]

0.027 + 1.8 : 10 − 0.08

3

H6 *6 Calla %#& en- D# 7 G 9 H# 7 8D F6 4i el metro de tela cuesta 8H,+ soles \1uánto costará H metros] NMEROS DECIMALES 1% RE"RESENTACI-N DECIMAL DE UN NMERO RACIONAL a 10 n



0na fracción que tiene la forma fracciones decimales1

;

3

;

5

;

12

;

125

10 100 1000 10000 100000

•

donde n ∈ >, se llama fracción decimal! 'sí son

; etc.

)ara transformar una fracción a una e#presión decimal o simplemente decimal, se divide el numerador entre el denominador de la fracción! 'sí tenemos1 10

= 0.1;

3

100

= 003;

5 1000

= 0005;

125 100

= 125; etc.

4i la fracción no es decimal, igualmente debe efectuarse la división, así2 5

2

→ 8 F 8+ +,* +

2uego-

5

= 04

3 4

5 8

3

→ H * H+ +,DF 8+ +

2uego-

4

5

→ F G F+ +,8F 8+ *+ +

2uego-

8

= 075

= 0625

2os decimales- +,*; +,DF y +,8F se llaman decimales finitos o decimales terminantes! 'hora, veamos otros decimales1 3

1

→

9 11

5 18

. H .+ +,HHH!!! .+ .+ .

2uego-

3

= 0333...

9

→ / .. /+ +,G.G.!!! 8+ /+ 8+ /

= 02777...

2uego-

37 12

11

= 0818181...

= 308333...

y 2os decimales- +,HHH!!!; +,G.G.G.!!!; 8,+DDD!!! y H,+GHHH!!! se llaman decimales periódicos! 2os decimales cuyo período se inicia inmediatamente despus de la coma decimal suelen llamarse decimal periódico puro, tales como- +,HHH!!!, +,G.G.G.G!!!; aquellos donde el período se inicia despus de una o más cifras que no pertenecen al período, tales como- +,8DDD!!! y H,+GHHH!!! suelen llamarse decimal periódico mi#to!

ADVERTENCIA • 0n decimal finito puede e#presarse como un decimal infinito si se agrega ceros! 'sí- +,F 9 +,F+++!!!; • 0n número entero puede e#presarse como un decimal infinito! 'sí- 8 se puede e#presar como- 8,+++!!! o como .,///!!! 'simismo- *,8FD puede e#presarse como- *,8F///!!! 2% LECTURA  ESCRITURA DE DECIMALES En un decimal, las cifras de la parte entera corresponde al orden de las unidades, decenas, centenas, etc! y las cifras de la parte decimal corresponde al orden de los dcimos, centsimos, milsimos, etc! 'sí+,+H*F se lee- %trescientos cuarenta y cinco die" milsimos&! 8F,++F se lee- %veinticinco enteros cinco milsimos&! 'simismo %die" die"milsimos& se escribe- +,++.+ %cinco enteros cincuenta millonsimos& se escribe- F,+++ +F+ 3% CONVERSI-N DE UN DECIMAL A (RACCI-N 2a fracción correspondiente a un decimal se llama fracción generatri"; lo correcto sería llamarlo número racional generador, porque todas las fracciones que pertenecen a la misma clase dan el mismo decimal! )ara convertir un decimal a fracción, se procede de la siguiente manera- si el decimal es finito, la fracción generatri" se obtiene escribiendo como numerador la parte decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya! 075 =

'sí-

75

=

100

4125 = 4 +

3 4

125 1000

1

17

4

4

= 4+ =

4i el decimal es periódico puro, la fracción generatri" se obtiene escribiendo como numerador un período y como denominador tantos nueves como cifras tiene el período! 0181818 ... =

18

2333... = 2 +

3

'sí-

99

9

=

2 11 1

7

3

3

= 2+ =

4i el decimal es periódico mi#to, la fracción generatri" se obtiene escribiendo como numerador la parte no periódica seguida de un período menos la parte no periódica y como denominador tantos nueves como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica!

01666... =

'sí-

16 − 1 90

=

23181818... = 2 +

15 90

=

1 6

318 − 3 990

315

= 2+

990

= 2+

7 22

=

51 22

@% COM"ARACI-N DE DECIMALES )ara establecer una ordenación entre números decimales podemos compararlos mediante el procedimiento descrito en el eemplo siguienteEstablecer una relación de orden entre- .H,* y .H,*D a6 4e comparan sus partes enteras 4i son distintas, se puede establecer inmediatamente la relación como en los números naturales! 4i son iguales, como en este caso- .H 9 .H, continuamos! b6 4e compara la primera cifra decimal! .H, * ⇒ * 9 *; como son iguales debemos continuar! .H, * D c6 4e compara la segunda cifra decimal! .H, * + ⇒ completamos con ceros iguales el número de cifras y poder empe"ar! .H, * D ⇒ D L +; por lo tanto- .H,*D L .H,* En los decimales negativos sucede lo contrario!

•

+,8 H L : +, 8 D ; pues- :H L :D @epasa la relación de orden para los números negativos en `!

ACTIVIDAD N, 01 E#presa las siguientes fracciones como números decimales e indica en cada uno si es finito o infinito a)

b)

c)

d )

3

=

4

−6 5 7 6 2 3

e)

=

f )

=

g )

=

h)

8

=

i)

=

j )

15 8 5

17 20 46 25

=

- )

=

l )

.! 1opia los cuadros en tu cuaderno y compltalos

7 9

=

− 15 10 40 125 23 40

=

= =

=@'11$Q>

=@'11$Q> 3E1$M'2

2

2.2

5

5.2

=

4

>ME@< 3E1$M'2 +,*

=@'11$Q>

>ME@< 3E1$M'2

3 8

10

−3

−6

20

5

7

7

50

12

13

17

16

20

1613

45

25

18

124

72

40

125

ACTIVIDAD N, 02 .! 1ompleta con los signos L,  ó 9, las siguientes frases numricas! a6 +,*. +,*H e6 U+,F :+, i6 8,HF b6 +,8G. :+,8G. f6 8,*D +,*D 6 +,+FD/ c6 +,+ +,+ g6.8,* .8,* B6U+,+D* d6 +,8G. +,*+ h6 UH,D :*,GF l6 U+,++8 8!
decimales finitos como fracción irreductible e6 .,*8 i6 +,++F f6 8,+H 6 +,++*8 g6 +,++8* B6 ,8*G h6 +,+++ e6 U8,*H8

2. !a""a "a #$acc%&' e'e$a$%* de: a6 +,8 b6 +,F c6 +,G d6 +,*8

e6 +,HG f6 +,*F g6 +,H.8 h6 +,FH

H! Calla la fracción generatri" dea6 +,.* e6 +,8*H

i6 .,*8 6 8,HD B6 .,+* l6 *,.8

i6 .,H8

8,HFG +,+FD :+,+*F :+,++H

>
b6 +,8 c6 +,H8 d6 +,.8G

f6 +,H8* g6 +,./8 h6 +,*H8

6 .,*8 B6 8,+8 l6 8,+*F

"R4CTICA DE CLASE A .alla la ere$*+ dec!al de

.!

17

35

25

18

H!

4

17

17

60

B .alla la $u!a de la$ e+eratrce$ de +,.; +, y +,8* .,H; +, y +,.G.G.G!!! +,H.D.D.D!!!; H,+888!!! y .,.8***!!! 7 5

8! *! 2eeF! +,+.+ ! D,+++8 EscribeD! 3iecisiete milsimos! G! Suince enteros dos centsimos! Calla la generatri" de/! +,+8F .8! D,8D8D8D!!! .+! H,+F .H! +,GHHH!!! ..! +,*F*F*F!!! .*! 8..*G
*! Calla la diferencia entre y la generatri" de +,*!!! Calla la generatri" de los decimales y efectúa3 4

+ 035 −

7 20

F! ! +, # H # +,F 7 8,F 0444... − 0666.... + 10 0

D! 2

G!

 1 ( 075) 16  + − 4  2 15  25 ( 03) 2 +

00069 4+

/!

( 0363636...) 0 + − [ 3 4

.+!

+ 0694

"R4CTICA DOMICILIARIA @esponde las siguientes preguntas.! \Su es un decimal finito] 8! \' qu se llama generatri" de un decimal] H! \)or qu se dice que un decimal es periódico puro] *! \1uándo resulta un decimal periódico mi#to]

=E1C' 3E @E$4$Q>

I

I8++G

OBSERVACIONES

]

3

=irma del )rofesor =irma del ))!==! o 'poderado

/UHA DE A"RENDI?AJE N, 11 N#!bre úmeros 3ecimales C#+te+d#$  1omprendas la importancia del estudio de las operaciones con números decimales y ests en condiciones de resolver eercicios y problemas! MOTIVACI-N EectKa

2

.6

3

1

5 12

6

6 25

+ =

⋅

86 +,F 7 ., 9

6

*6 ., # +,8 9

F6

7

÷

12 14

H6

= 6 .8,H - .+ 9

2

D6

 2  =    3  3

=

25 36

G6 5+,8689

=

/6

0008 =

.+6 O"ERACIONES CON NMEROS DECIMALES 1% ADICI-N  SUSTRACCI-N DE NMEROS DECIMALES )ara sumar números decimales, se escriben ordenadamente en columnas 5dcimos sobre dcimos, centsimos sobre centsimos, milsimos sobre milsimos, etc!6 y se suman como si fueran enteros colocando la coma en el resultado! Eemplo- 4uma - F,H 7 +,8F* 4oluciónF,H _ En la sustracción es necesario operar con 7 +,8F*

decimales que tengan el mismo número de cifras, por lo tanto completamos con ceros cuando sea necesario! Eemplo- @esta- D,F U H,8* 4olución-

D,F+ : H,8*

*,8

ACTIVIDAD .6 @esuelve las operacionesa6 HD8,*D b6 8,H H,G *D8,+ 7 *+,+F .F,*D

c6 H8G,F : .,/

d6 ,FG :+,8*D

86 Escribe ordenadamente en columnas y resuelvea6 8,GH 7 .,* 7 ./H,*8 f6 8,H U F,* b6 .8*,G 7 8,F* 7 +,.8 g6 +,HG U +,8F.* c6 ,8* 7 ,H/ 7 +,/H h6 *,8 U +,.GH/ d6 H,FG U +, i6 +, U +,+++8 e6 *.,8H. U 8,F H6 @esuelvea6 ,*8 U +,F* 7 H8,G U 8, b6 .+, U 8.,* 7 .8,F U +,*F.

c6 UF,* U ,DG U 5+,H 7 *,G6 d6 U+,*D U58,GD 7 8,6 U FG,.

2% MULTI"LICACI-N DE NMEROS DECIMALES )ara multiplicar números decimales se procede como si fueran enteros y en el producto se separan con una coma las cifras decimales que tienen en total ambos factores! Eemplo- Multiplica- 8,D # +,*F 4olución- 8,D # +,*F .HF 7 .+G .,8.F

•

Eemplo- Multiplica- .8, # *,DGF 4olución.8, # *,DGF H+ 7 .++G GG8 F+*  ! +,8/.+

)ara multiplicar un número decimal por una potencia de .+, se despla"a la coma decimal hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la potencia! '?E>1$Q>

EemplosH,F*D # .+ 9 H,F*D H,F*D # .++ 9 HF,*D H,F*D # .+++ 9 HF*,D

,% e 'ecea$% e c/"ea c' ce$; ea/: H,F*D # .+++ +++ 9 H F*D++
ACTIVIDAD 1 Multlca a6 .F,* # H,* b6 8,D8 # ,+* c6 ,D # +,+8

d6 8,G # +, e6 U*,G/ # .G f6 H,F* # 8,D

g6 8,H # .F h6 +,D # 8G i6 U*8, # .H,F

2 Multlca e+ #r!a abreGada a6 F*,8D. # .+ e6 +,*8 # .+ b6 F*8D. # .++ f6 ,*8 # .++ c6 F*,8D. # .+++ g6 D,FH # .+++ d6 F*,8D. # .++++ h6 ,* # .++++

i6 +,+++G # .+ 6 +,+++G # .++ B6 +,+++G # .+++ l6 +,+++G # .++++

3 Re$uelGe la$ $ue+te$ #erac#+e$ c#!b+ada$ 5recuerde la r#rdad de la$ #erac#+e$ a6 .H, U +,F/ 7 H,F # +,8 d6 5F,8 U 8H,GF6 # 5./,+ U 8.6 b6 8F,H U 5+,+ # G,F6 7 H, e6 5,* # +,+G6 U 5,+* # H,F6 c6 +,F # G,H U 8,F # +,+* f6 D,8 7 H, # 5*,H U H,G6 3% DIVISI-N DE NMEROS DECIMALES '6 3$$4$Q> 3E 0> E>?E@< )<@- .+, .++; .+++ En este caso la coma se traslada a la i"quierda tantos lugares como ceros tiene la potencia .+! Eemplo.6 F*D - .+ 9 F*,D

86 F,HF - .+ 9 ,FHF

H6 *H,G - .++ 9 ,*HG

*6 +,G - .+++ 9 +,+++G

A6 )ara dividir decimales, se multiplica el dividendo y divisor por una misma potencia de .+ de tal manera que convierta al divisor en un entero, si no lo es, y luego se efectúa la operación cuidando ubicar correctamente la coma decimal en el cociente! 16 ACTIVIDAD 1% Calcula l#$ c#ce+te$ de e$t#$ dG$#re$ a6 DF - .+ d6 G8 - .+ g6 .D*+ - .+

6 .H - .+

b6 DF - .++

e6 G8 - .++

h6 .D*+ - .++

B6 .H - .++

c6 DF - .+++

f6 G8 - .+++

i6 .D*+ - .+++

l6 .H - .+++

2% EectKa e$ta$ dG$#+e$ a6 / - .+++ c6 .D* - .+++ +++ b6 DGH - .++ +++ %

d6 H*D8 - .++++

e6 G+D - .++++ f6 8DH - .+++++

Calcula e$ta$ dG$#+e$ a6 D8++ - .+ e6 U/ G++ - .++++ b6 HH++ - .+++

f6 H*D++ - .+++++

@% Real)a e$ta$ dG$#+e$ a6 +, - .+

d6 H*F, G - .+++

g6 *,H/ - .++

6 +,HG - .+++

b6 +,*F - .+

e6 +,D - .++

h6 ,H+ - .+++

B6 H,HD - .++++

c6 ,D - .+

f6 +,HF - .++

i6 +,/ - .+++

l6 H/* - .++++

% .alla el c#ce+te dec!al eact# de a6 F/ - 8 d6 .F -  b6 *H - G e6 // - .G c6 GD - *

f6 .H* - 8F

g6 DF - *G h6 /,D8. - . i6 H,DF - DF

6% Calcula el c#ce+te dec!al de e$ta$ dG$#+e$ ar#!a+d# a$ta l#$ !l$!#$ a6 D-.8

d6 8H - .F

g6 FG - 8H

b6 8* - ..

e6 HG. - /

h6 .8H - 8H

c6 *G - D

f6 ** - 

i6 FD+/. - ./

d6 F,8.* - /

g6 .+ H*8,.DF - H*

b6 *G,/ - .8

e6 ..F,D - .H

h6 +,++/H - F

c6 D,*+G - G

f6 8*D,H - /H

i6 8*HF,.. - 

EectKa la$ dG$#+e$ a6 DH,F - H

AGerua el c#ce+te de e$ta$ dG$#+e$ a6 H* - +,+ c6 8GF - H, b6 FH - +,++8 d6 F - +,G

e6 .GFFH - H,HD f6 .+8 - 8,8

.alla el c#ce+te de e$ta$ dG$#+e$ a6 *F,* - 8,D c6 H,G - 8,HF b6 /,D. - +,+++F d6 G,.8 - +,+H

e6 H./,DD - *,*.8 f6 .D/F,+H - .,.*

g6 *H+ - .,.FH h6 GH8 - 8.,+/

@% "OTENCIA DE BASE DECIMAL  EF"ONENTE NATURAL )ara elevar un número decimal a una potencia, se eleva como si fuese entero y de la derecha del resultado se separan con una coma tantas cifras como e#prese el producto del e#ponente por el número de cifras que tenga la base! 4egún esto para hallar 5+,++868 basta elevar 8 al cuadrado, 8 8 9 * y separar seis cifras decimales 5H # 8 9 6 E#ponente 5+,++868 9 +,+++++/ Aase )otencia eamos otros eemplosa6 5+,++F6H; basta elevar el F al cubo, F H 9 .8F, separar nueve cifras decimales 5H # H 9 /6 5+,++F6H 9 +,++++++.8F b6 5+,+++H6*; basta elevar el H a la cuarta; H * 9 G., separar diecisis cifras decimales 5* # *9.6 5+,+++H6* 9 +,++++++++++++++G. "RO"IEDADES DE LAS "OTENCIAS "RODUCTO DE "OTENCIAS DE I/UAL BASE El producto de dos o más potencias de la misma base es otra potencia de igual base, pero con un e#ponente que es la suma de los e#ponentes de los factores, o seaam! an 9 am7n Eemplos- Efectúa- a6 5+,H68 # 5+,H6H 9 5+,H687H 9 5+,H6F b6 5+,++86F # 5+,++868 9 5+,++86F78 9 5+,++86D COCIENTE DE DOS "OTENCIAS DE I/UAL BASE El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de igual base, pero con un e#ponente que es la diferencia de los e#ponentes de las potencias de dos, o seaam a (12) 3 (12)

2

n

= a m− n

= (12) 3− 2 = (12) 1 = 12

Eemplos- Efectúa- a6 (08) 6 (08)

3

= (08) 6−3 = (08) 3 = 0512

b6 "OTENCIA DE "OTENCIA

a e'c%a de $a e'c%a e %a" a 'a e'c%a de "a /%/a bae cy ex'e'e e e" $dc de " ex'e'e dad  ea (a m ) n

= a m× n

-

[( 02) ]

= (02) 3×5 = (02) 15

[( 001) ]

= (001) 2×4 = (001) 8

3 5

Eemplos- Efectúa- a6 2 4

b6 "OTENCIA DE UN "RODUCTO 2a potencia de un producto dado es igual al producto de la potencia %n& de cada uno de los factores! < sea5a # b # c6 n 9 an # bn # cn Eemplos- Efectúa a6 5+,8 # +,H68 9 5+,868 # 5+,H68 9 5+,+*6 # 5+,+/6 9 +,++H b6 5+,+* # F68 9 5+,+*68 # 5F6H 9 +,++++* # .8F 9 +,++G "OTENCIA DE UN COCIENTE 2a potencia de e#ponente %n& de un cociente, es igual al cociente de las potencias de e#ponente %n& del dividendo entre el divisor! < seaEemplos- Efectúa2

 14  (14) 2 196 196 = = = 49   =  02  ( 02) 2 004 4 a6 3

 08  ( 08) 3 0512 512 = = =8   = 3 0  4 0  064 64   ( 04) b6

ACTIVIDAD Efectúa las siguientes operaciones-

(04) 5 = (04) 2 a6 5+,++.68 # 5+,++86H

e6

i6 N5+,.68OH (001)

3

(001)

b6 5+,+H6 # 5+,+.6 *

F

f6

6 N5+,++.6HO* (0008) 5 (0008)

c6 5+,++H68 # 5+,++*6*

g6

B6N5+,+86FO8 (03) 4 (03) 3

d6 5+,H6F # 5+,++.68 h6 Efectúa las siguientes operaciones-

l6 N5+,++*68OH

3

a6 5+,. # +,++86*

d6 5+,++* # 68

g6

 28     07 

2

b6 5+,+8 # +,+H68

e6 5G # +,+++F6H

h6

 0032     0004  3

c6 5+,++. # +,*6H f6 5.8 # +,++868 i6 Empleando potencias de die", efectúa las siguientes operaciones-

 0016    0  004  

(0008) 4

(000045) 3

(002) 2 ×(0009) 2

(002) 2

(00003) 2

(00003) 3

a6

c6

e6

(00028) 2

(0006) 2 × (0002) 5

(008) 2 × (000001) 6

(004) 3

(0000004) 2

(02) 3 × (0001) 3

b6

d6

f6

% RADICACI-N DE NMEROS NATURALES DECIMALES 025

=

25 ×10 −2

Eemplo .!

@ecuerda que025

=

025

∴

025 × 10 −2

= 5 ×10 −1

025

n

' × .

n

' n

= n ' × n .

= '1 = '

= 5 ×10 −1 = 05 @pta!

RAH? CUADRADA DE DECIMALES )ara hallar la raí" cuadrada de un decimal, se separan en grupos de dos cifras a partir de la coma decimal hacia la i"quierda y hacia la derecha completando con ceros, si fuera necesario, la parte decimal; luego se procede como en la raí" cuadrada de números naturales pero cuidando ubicar correctamente la coma decimal en la raí"! ACTIVIDAD .! Efectúa las siguientes operaciones081

a6

d6 00225

b6

529

00289

c6

g6

e6

h6

3

0512

B6 4096

i6

0027

6 10404

3721

f6

3

625

169

3

l6

1728

8! Calla la raí" cuadrada dea6 G,/.8 c6 D8,/.G b6 ,DH8 d6 H*,D/.G

e6 FD,H*.F f6 H,.*.F/

g6 H/D,8.G h6 8+H,+8/

6% NOTACI-N CIENTH(ICA 2os números .+; .++; .+++; etc! uegan un papel muy importante en la notación decimal, y se llaman potencias de .+! un modo conveniente de indicar las potencias de .+ es mediante el uso de e#ponentes.+. 9 .+ .+8 9 .+ # .+ ó .++ .+H 9 .+ # .+ # .+ ó .+++ .+* 9 .+ # .+ # .+ # .+ ó .++++

 así sucesivamente, leemos %.+& %como die" a la cuarta&! En el trabao científico, se necesitan mtodos simples para representar números grandes, no resulta conveniente utili"ar el numeral .FF++++++ para indicar el número apro#imado de Bilómetros entre la ?ierra y el sol! 4in embargo, si nos damos cuenta que.FF++++++ 9 .FF # .++++++ )odemos decir que el sol dista .FF # .+  Bm! apro#imadamente a la ?ierra! 2a estrella más cercana 'lfa 1entauro está a 8F++++++++++++ millas, apro#imadamente de la tierra! )odemos e#presar este número así8F+++ +++ +++ +++ 9 8F # . +++ +++ +++ +++ )or tanto, podemos decir que 'lfa 1entauro está a 8F # .+ .8 millas de la ?ierra! ?ambin se puede decir que está a 8,F # .+ .8 millas de la ?ierra! )ara obtener 8,F # .+ .H se ha multiplicado y se ha dividido por .+ a la e#presión 8F # .+ .8! eamos25 × 10

12

=

25 × 1012 × 10 10

=

25 10

×1012 +1 = 25 ×1013

4i un número está e#presado por un número entre uno y die" multiplicado por una potencia de .+ dcimos que el número está e#presado en > 1$E>?=$1'! 1uando aprendamos más acerca de los e#ponentes, podremos e#presar cualquier número, grande o pequeño, en >otación 1ientífica! ACTIVIDAD E#presa cada uno de los siguientes números en notación científicaa6 .G +++ d6 HDG g6 .8 DF b6 *F,D e6 *D+ h6 HD8, c6 HG,D/ f6 F 8* i6 8F

PRÁCTICA DE CLASE

6 H+H B6 HD l6 H+/ +++ +++

.! El valor dea6

 1 + 04 − 3  ⋅ 5   4   2

3

−3

4

4

b6 D,F

c6

2

*! 2os

es-

−3

d6

5

b6

b6 D,D e6 >!'!

d6 +,8 e6 >!'!

c6 G,*

3 4

c6 +,..

F! 2a fracción e#presada como fracción decimal se escribe-

a6

H! El valor de la e#presión-

a6 :+,F

de .8,/ equivalen a-

a6 D,DD d6 ./,D*

8! El valor de la e#presión5+, U +,+F6 - +,F, esa6 +,FF b6 +,8 d6 .,. e6 +,F

 02 − 1  : 02;   3  

3

15

75

9

20

200

10

b6

c6

75

d6 es-

3

−1

5

2

c6

10

e6 >!'!

! El valor de la e#presión(05 − 002) ⋅ 06 045 : 09 + 2

a6 +,..F8 d6 .,.F8

e6 :+,F

;

es

b6 ..,F8 c6+,+D8 e6 >!'!

D! \Su número dividido por +,+H da como .*!Puana compra .,G+ m de tela! 4i cada m! cociente +,*F] a6 +,+.8 d6 .,8

cuesta 4I!HD,F+ \1uánto pagó] b6 +,.8 e6 +,+G

c6 .8,F

G! 4i- # 9 +,H, el valor de- #87#7.; esa6 8,8 b6 .,HH c6 +,.H d6 .,H/ e6 >!'! /! El valor de la e#presión 5+,+.6H esa6 . d6 +,++++.

b6 +,+. c6 +,++. e6 +,+++++. 04 ⋅ 00012

a6 +,+8

b6 +,++8

es-

c6

cada Bg!, \cuánto es su vuelto si paga con un billete de 4I!8+] .! 0n lote de terreno rectangular tienen G,F+ m de frente y 8+,*+ m de fondo! \cuánto cuesta el lote, si cada m 8 vale 4I!FD,DF] .D!\cuál es el número que sumado con sus

00024

.+!El valor de la fracción-

.F! )atricia compra D,F Bg! de arro" a 4I!.,D+

+,.G partes se convierte en H/]\cuál es el

1

número cuya diferencia con sus +,8G

5

partes es *]

3

.G! 4i a la diferencia de un número con +,D se

5

multiplica por .H y a este producto se le agrega H,F se obtiene .+! \cuál es el

d6 e6 >!'! ..! 2a e#presión- G,8.!.+:F corresponde aa6 +,+++++G8. b6 G8 .++ +++ c6 +,+++G8. d6 +,++++G8. e6 G8.+++

número] a6 .8 b6 +,.8

c6 +

d6 .,8 e6 .D,8

.8! El número +,+++GF es notación científica ./! \1uál es el número que al dividirse con se escribe comoa6 GF # .+: c6 GF # .+:H e6 G,F # .+:*

b6 G,F # .+:F d6 GF # .+H 1 3

3

− 05 +

7

+,FGH se obtiene

5

a6 8,F d6 +,+8F

9

]

b6 8F

c6 +,8F e6 +,8F

7 12

.H!El valor de la e#presióna6 +,F.*

b6 +,

es-

c6 +,HG

49

d6

216

e6 >!'!

.6 H,8* - +,G. es igual aa6 +,+* b6 +,* d6 *+ e6 *

"R4CTICA DOMICILIARIA *6 El decimal +,8H es igual a la fracción! c6 *++ 23 23 7

86 2a raí" cuadrada de +,+8G/ esa6 +,.D b6 .,D c6 +,+.D d6 +,++.D e6 .D

d6

−2 3

H6 2a fracción se e#presa en número decimal comoa6 :+, b6 :+,+ c6 :+, d6 :+, e6 :+,D

6 El producto +,++++8F # +,++* escrito en forma de potencia esa6 .+ # .+* b6 .+D c6 .#.+:D d6 . # .+:F e6 .++8 D6 4i- # 9 5+,6 7 5+,+F6 U 5+,*6 Entonces %#& equivale aa6 8,+8F b6 5+,*F68 c6 5+,F68 d6 +,H8F e6 .,+F 8

8

2

⋅10 2

a6 d6 * # .+8

1 4

b6 e6 *!.+:.+

23

23

90

99

e6

c6

30

.F6 \1uál es la fracción que dividida por su

 22     49 

3

inversa da como cociente

a6

11

13

5

7

7

12

b6

c6

7

d6

⋅10 2

b6

9

F6 'l dividir H,G por +,8; la amplificación correctaa6 H,G - 8 b6 H,G c6 HG, - 8 d6 HG, - 8+ e6 HG, - 8++

8

G6 El valor de5.+86:8 ! 5+,F # .+ :H6:8; es1

a6

10

11

e6 >!'!

.! Calla 2' suma de las cifras de la parte c6 8!.+:.+

/6 \cuál de las siguientes e#presiones es igual a +++] $! +, # .+H $$! +,+ # .+F $$$!  # .+8 $!  # .+H a6 $ y $$ b6 $$ y $$$ c6$$$ y $ d6 $$ y $ e6 $ y $

1 185

periódica de a6 .H b6 .8

! c6 .F

d6 ..

e6 /

.D! El valor e#acto de la siguiente operación es(01232323...)(3666...) 6777...

.+6 4i- +,+++++8.H 9 8,.H # .+p, entonces %p& esa6 G b6  c6 :D d6 :G e6 : ..6El producto de+,+++8 # +,++8 # +,+8 en notación científica esa6 +,G ! .+:.+ b6 +,+G ! .+:D c6 +,G!.+:/d6 G!.+:/ e6 5G!.+6:/

a6

a6

d6

3

7

4

b6

1

1

9

6

e6

c6

15

5

b6

1

3

45

5

(

3

e6

0216 − 04+

c6

) ÷ ( 01666... + 01)

b6 +,8F e6 :+,DF

c6 :+,8F 2

./! \cuánto le falta a +,H para ser igual a

de los

5

6

7

11

de

11

8

9

5

3

a6

b6

3

de D]

8

c6

16

9

11

11

1

7

7

5

6

8

d6 e6 8+! \qu parte de +,HF es +,H] a6

d6 =E1C' 3E @E$4$Q> =$@M' 3E2 )@<=E4<@ =$@M' 3E2 )'3@E < ')<3E@'3<

3

a6 +,8H d6 :+,8F

.*6 \1uál es la fracción que sumada con su inversa da por resultado 8,+GHHH[] 3

1

* =

.H6El número .+H+ +++ +++! en notación científica esa6 .+H!.+D b6 .+H!.+.+ G c6 .+,H!.+ d6 .,+H!.+.+ e6.,+H!.+/

2

1

d6 .G! 4implifica-

.86 5.+:8:.+:H68 resulta ser igual aa6 .+:8 b6 +,/// c6 G.!.+: d6 .+: e6 G.!.+:*

1

2

I

b6

15

6

16

7

I 8++G

e6

c6

E4 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

/UHA DE A"RENDI?AJE N, 12 N#!bre Ecuaciones de )rimer (rado con una ariable! C#+te+d#$  1omprendas la importancia del estudio de las ecuaciones de )rimer (rado con una ariable y ests en condiciones de resolverlas aplicando a la solución de problemas! MOTIVACI-N 0n ta#ista alquila un auto cuya tarifa diaria es 4I! 8+!++ más 4I!+,H+ por cada Bilómetro de recorrido! 4i en un día recorre *+ Bm! \cuánto pagará el ta#ista]

)agará- 8+ 7 +,H+ # *+ 9 8+ 7 .8 9 H8 soles Esta e#presión es una igualdad! 'hora bien si el mismo ta#ista el día siguiente paga en total 4I!HF,++ por dicho servicio, \cuántos Bilómetros recorrió] 4i representamos por %n& el número de Bilómetros recorridos, el problema se e#presa así8+ 7 +,H+n 9 HF Esta igualdad donde hay una letra 5cantidad desconocida6 se llama ecuación! 2a letra en este caso %n&, se llama variable y su valor debe verificar la igualdad! ECUACIONES DE "RIMER /RADO CON UNA VARIABLE 1% ECUACI-N Es la afirmación de que dos e#presiones son iguales! 0na ecuación de la forma- a# 7 b 9 +, donde a y b son números reales y a  +, se llama Ecuac*+ L+eal o Ecuac*+ de "r!er /rad#: porque el e#ponente de su variable es .! 'sí, son ecuaciones de primer grado x 2

1

+ = 10 4

# 7 H 9 /; 8# U G 9 .8; , etc! En la ecuación # 7 H 9 / por eemplo, # 7 H se llama )rimer miembro y / se llama 4egundo Miembro de la Ecuación! En esta ecuación, el valor de %#& es , porque-  7 H 9 /, es decir,  verifica a la igualdad; por tanto,  es la raí" o solución de la ecuación! 2a raí" o solución de una ecuación puede e#presar en forma conuntista, por lo que tambin suele llamarse 1onunto 4olución! 4i convenimos con denotar por 1s el conunto solución, podemos escribir 1s 9 j 'hora sean las ecuaciones- # U 8 9 H, 8# 9 .+! El valor de %#& en ambas ecuaciones es F, porque- F U 8 9 H, 85F6 9 .+! Estas ecuaciones que tienen la misma solución se llaman Ecuac#+e$ EuGale+te$% 2% RESOLUCI-N DE ECUACIONES DE "RIMER /RADO @esolver una ecuación es hallar el conunto solución de la ecuación!j Eemplo! 3ada la ecuación- *# 9 .8! 2a variable o incógnita es %#&, la raí" o valor de %#& que satisface la ecuación es- H! 2uego el conunto solución %H& de la ecuación es- 1s 9 Hj 3% "RO"IEDAD DE LA TRANS"OSICI-N DE T=RMINOS 1P Me!br# 2P Me!br# L# ue e$t "a$a 4umando @estando @estando 4umando Multiplicando 3ividiendo 3ividiendo Multiplicando @% RE/LA "ARA RESOLVER ECUACIONES DE "RIMER /RADO CON UNA VARIABLE )ara resolver una ecuación de primer grado con una variable se puede seguir este orden.6 4e suprimen los signos de colección, si los hay! 86 4e reduce la ecuación al común denominador, si es fraccionaria!

H6 4e resumen las variables en el )rimer miembro y los demás en el segundo 5transposición de trminos6! *6 4e reducen los trminos semeantes, si los hay! F6 4e despea la variable! 6 4e comprueba la ecuación resuelta, reempla"ando la variable por el valor hallado, reducindola a una identidad! % VOCABLO MATEM4TICO )ara que una ecuación est bien planteada; es recomendable que tengan en cuenta las %palabras& que a continuación mencionamos que traducidas al vocablo matemático, significan lo siguiente"alabra$ S+cad# Mate!tc# 3E 3E2 )@<301?<4 3E 2<4 Eemplos.6 El triple de un número H

#

86 El doble 8

de #

> la tercera parte de un número .IH

"alabra$ E4; E>; 4E@; 4E'; ?E>3@; E; ?$E>E; @E402?'; 3'!

#

>

S+cad# Mate!tc# $(0'23'3

.6 2a mitad de un número es la cuarta parte de 1

1

2

4

8+

# > 9 # 8+ 86 Su número hay que sumarle a G para que sea .8! >

7G

9

.8

ACTIVIDAD ?raduce los siguientes enunciados en la forma simbólica=<@M' E@A'2 =<@M' 4$MAQ2$1' 0n número aumentado en .F 0n número disminuido en G es igual a .H c6 @aúl tiene 4I!.++ más que 2uis y entre los dos tienen 4I!G++! H6 2a suma de dos números enteros consecutivos es 8F! *6 El perímetro de un cuadrado mide D8m! F6 2a suma de dos números impares consecutivos es F8! 6 El triple de un número disminuido en F es .+! D6 0n número disminuido en su cuarta parte es /! "R4CTICA DE CLASE @esuelve las siguientes ecuaciones

8# 7 . 9 D H# 7 F 9 .. F# U D 9 H 8# U . 9 .. U# 7 F 9 :H# U .H 8# U  9 H# :. :.* 7 # 9 F# 78 .. 7 :D# 9 :/ U H# :H# 7 8 U # 9 :F# 7 :/ 8# 7 NH# U 5* 7#6O 9 + # U NG U 5H# :.+6O 9 .+ N U 5H# U 86O U . 9 *# * 7 N# U 5/ 7 8#6Oj U H 9 G# U 8/ H+ U 85F U #6 9 .+ 2 x +

1

5 x −

3

x

1

x

1

3

3

2

x

= +

x

3

4

8

2 3 5

3

4

= x−

10

2

= 3x +

+ = +

+

1

1 4

.+6Puan tiene G reses más que 2uis y )edro tanto como Puan y 2uis untos! 4i entre los tres tienen / reses! \cuánto tiene cada uno] ..6 2a suma de dos números es . y su diferencia /! Calla los números! .86 0n número e#cede a otro en .*, su suma es H! Calla los números! .H6 @osa tiene el cuádruplo de dinero que 2idia; si diera 4I!*+ a 2idia entonces tendría el doble! \cuánto tiene cada una] .*6 2a edad de un padre es el triple que la de su hia y hace  años era el quíntuplo! \qu edad tiene cada uno] .F6 El perímetro de un terreno

@esuelve los siguientes problemas.6 0n número disminuido en D es igual a G \cuál es el número] 86 \cuál es el número que aumentado en .D es *H] H6 4i al triple de un número se le disminuye en D resulta el número aumentado en /! \cuál es el número] *6 \cuál es el número que aumentado en su cuarta parte es igual a H+] F6 2a suma de dos números consecutivos es ..F! halla los números! 6 2a suma de tres números pares consecutivos es :.8+! Callar los números! D6 El cuádruplo de la diferencia de un número con .H es 8G! \cuál es el número]! G6 2a mitad de la suma de un número con H/ es 8/! Calla el número! /6 En la elección para presidente de un aula se presentaron H candidatos! @osa obtuvo el triple de votos que María y Elena tanto como sus dos compañeras untas! 4i en total votaron *G alumnos! \cuál fue el resultado de la votación] 7 x

..6

8

x

13

2

12

− +

x + 27

.86

.H6

x

=

.*6

.F6

12

2

−

8

=

2 x + 1 x − 3 3

4

1

x + 3 x + 4 6

1

= x + 3

4 15 − x

x

= +2

−

5

+

3( x + 5) 36 3x + 7 10

=0

rectangular mide *Gm! 1alcula sus 7(4 x + 3) 4( x + 1) − =5 dimensiones si el largo es el doble que 10 15 .6 el ancho! .6El largo de un rectángulo e#cede al @esuelve los siguientes problemas .6 \1uál es el número que sumado a .+ ancho en Dm! y su suma es 8Hm! Calla nos da 8G] sus dimensiones, su área y su 86 \cuál es el número cuyo triple perímetro producto; aumentado en . es igual a 88] "R4CTICA DOMICILIARIA H6 \cuál es el número cuyo triple del número aumentado en 8 es igual a $6 @esuelve las siguientes ecuaciones *G] .6 .H U 8# 7 G 9 D# 7 . 86 H6 *6 F6 6 D6

.# U .H U .+# 9 G 7 ..# 7 8+ .8# 7 *# 7 . 9 F# 7 D 7 8+ H U N8# 7 5D U H#6O 9 G # 7 8 9 . U N* U 5F# U 6O D U # U N8# U 5./ U #6Oj 9 H# U .. + 9 8/ U # 7 NH# U 5F# 7 8/6Oj −2

G6

 1     2  x −

/6 2 x

.+6

5

3 4

−1

 1    3 

x + 19 = 

x+

1

1

3x

3

10

+

=

2 3

+ =

8 5 6

..6Calla un número, cuyo cuádruplo, disminuido en 8++ es igual al número aumentado en .+++! .86 4i al s#tuplo de lo que tengo le resto G8+, entonces me quedaría *+ GG+! \cuánto tengo] a6 D+F+ b6 G*+ c6 D+*+ d6 /F+ e6 >!'!

2

*6 \cuál

es

el

número

cuyos

3

;

5 6

aumentado en 8 es igual a sus disminuido en 8] F6 3ividir 8D en dos partes tales que una de ellas sea H unidades mayor que la otra! Calla dichas partes! 6 El doble de un número aumentado en D es H+! D6 El doble de un número, aumentado en .. es 8D! \cuál es el número] G6 2a suma de cuatro números consecutivos es F+! Calla el mayor! /6 2uego de sumar H+ a un número, se multiplica por G, se obtiene lo mismo que si al número se le hubiera aumentado en *F+! \cuál es el número] .+6 1sar es .G años menor que Manuel si la suma de sus edades es * años! \cuántos años tiene cada uno] .F6kilo tiene D años menos que 'drián, ambas edades suman F años! 4e deduce que$! kiBo tiene 8. años! $$! kilo tiene HF años $$$! 'drián tiene .G años! a6 4ólo $ b6 4ólo $$ c6 $ y $$ d6 4ólo $$$ e6 >!'!

.H6 1inco veces un número es .+ unidades más que el triple del mismo número! Calla el cuádruplo del número! a6 8+ b6 8* c6 H d6 *+ e6 . .*6 Calla un número entero sabiendo que la quinta parte del cubo de su diferencia con H es :8F! a6 :. b6 :8 c6 H d6 F e6 D =E1C' 3E @E$4$Q> =irma del )rofesor =irma del ))!==! o 'poderado

I

I8++G

.6 2a suma de la tercera parte y la cuarta parte de un número es igual a su mitad más 8! \qu número es] a6 .G b6 8 c6 .8 d6 8* e6 8G

OBSERVACIONES

INSTITUCI/N EDUCATIA PRIADA 1IRGEN DE GUADALU

NIVEL SECUNDARIA DE MENRES CICL VI !IMES"RE IV

R( *!te'ti+o *ATE*4TI #

8

1

Grado SECUNDARIA

IV B I M E S  R E 3el .H de
1asos! CAPITULO 02

/UHA N, 02 Su!at#ra$[[[[[[[[[[[[[[!D+ =ormula básica /UHA N, 03 4rea$ [[[[[[[[[[[[[[[[[[!D* ?riangulos, cuadrado, rectángulo, rombo, círculo! CAPITULO 03

/UHA N, 0@ "#rce+tae$[[[[[[[[[[[[[[D/ 'plicaciones! CAPITULO 04

REVISIÓN FECHA

GUÍAS

CUADERNO

EXTENSIÓN

FIRMA DEL PP.FF ó APODERADO Nº DE P.C.

FECHA NOTA FIRMA DEL PP.FF

01

02

03

04

05

0

GUIA DE APRENDIZAJE N5 )6 Tema: $e"a de $e Contenido: ,%/"e y d%$eca.

)( REGLA DE TRES SI*PLE

Es un método en el cual intervienen dos magnitudes proporcionales, que tiene como objetivo hallar un cuarto valor, dado tres valores correspondientes a estas dos magnitudes.

C!ases 1"1"

Dire#ta: (Cuando intervienen dos magnitudes directamente proporcionales). Esquema: D$%$ A

!

& 'ue(os

Costo )S*$

a1 ................... b1 a ................... b a1, b1, a son datos, mientras que ! es la inc"gnita. ,1 -1

=

,2 ,2

⇒

, . = -1 ⋅ 2 ,1

#or teor$a de magnitudes proporcionales se cumple que:

E$e%&!o: %o&$a compra ' huevos por % 1*. +Cunto le costar - huevos & 'ue(os

Costo )S*$

/0 72

 = 15⋅ 

1"'"

15 

72 /0

/ 0 % -

In(ersa: (Cuando intervienen dos magnitudes inversamente proporcionales). I$%$ A & 'ue(os

! & ,s

a1 ........................... b 1 a ........................... ! ,1$-1 = ,2$. ⇒ . = -1$

,1 ,2

#or teor$a de magnitudes proporcionales, se cumple que: a1, b 1 0 a son datos, mientras que x es la inc"gnita.

E$e%&!o: Cien obreros emplean '* d$as para hacer una obra. +Cuntos d$as emplean * obreros para hacer la misma obra

6( REGLA DE TRES CO*PUESTA Se 33,4, ,s 5u,no inte6(ienen 47s e os 4,gnitues 6oo65ion,3es

4. 8os hombres han cobrado 5* colones por un trabajo reali6ado por los dos. El primero trabaj" durante  d$as a ra6"n de 4 horas diarias 9 recibi" 1. n grupo de 2 carpinteros demoran 3 d$as en 1* colones. +Cuntos d$as, a ra6"n de 3 horas hacer ' mesas. 1 carpinteros +cunto demoran diarias, trabaj" el segundo en hacer ' mesas

PRACTICA DE CLASE

a) 2 d) -

b) 4 e) *

c) 3

a) ' d$as b) * d) ' e) 54

c) 53

. %i 5 conejos comen 5 6anahorias en 5 min., 1.5 hombres trabajando 2 horas diarias han hecho 2 metros de una obra en 1 d$as. +Cuntos d$as entonces un conejo comer  6anahorias, +en necesitarn * hombres trabajando 3 horas diarias cuntos minutos para hacer 3 metros de la misma obra a)  b) 5 c) ' a) 4 d$as b) ' c) 2 d) * e) 3 d) 1 e)3 11. %i 5 monitos comen 5 pltanos en 5 minutos luego 5. En ' d$as, 1* obreros han hecho 1' de una obra. +2 monitos se comern 2 pltanos en cunto +Cuntos d$as emplear otro grupo de 3 obreros, tiempo en terminar la obra a) ' d) 

b) 53 e) 1*

c) 12

a) 2 d) 12

b) 3 e) 

c) 5

'. n grupo de 4 jardineros demoran ' horas en 1.1 &rascos de alcohol de * cm se evaporan en * seg. luego * &rascos de alcohol de *cm +en podar los 3 m7 de un jard$n. +Cunto demorarn cunto tiempo se evaporarn 2 jardineros en podar otro jard$n de 'm7 a) 5 horas b) 3 d) ' e) ' 1'

c) *

a)  seg. b) 1 d) * e) '4

c) *

*. %i ' gallinas ponen 2 huevos en 2 horas, entonces 15.n ni;o crece 1 cm. cada 1 a;os. luego  ni;os crecern  cm. +en cuntos a;os 3 gallinas +cuntos huevos pondrn en 1 horas a) 12 d) 4

b) ' e) 1*

c) 1

a)  a;os b) 1 c) 1* d) 1 e) no se sabe

3. En 13 horas, 4 pintores han pintado los 52 de un 1'.%i 1 obreros hacen 1 obra en  d$as, +qué parte de la obra harn 1* obreros en ' d$as edi&icio +Cuntas horas demoraran 1 pintores, en terminar de pintar el edi&icio a) 15 b) 1* c) 51 d) *2 e)5* a) 12 b) ' c) 1 d)  e) 1*.breros ? d$as para 1 d$as a ra6"n de 5 raciones diarias cada b) @endimiento ? d$as hombre. %i se re&uer6an con ' hombres, c) 8i&$cil obra ? obra +cuntos d$as durarn los v$veres si cada hombre d) @endimiento ? obreros toma  raciones diarias e) obra ? obreros a) 1' b) 1 c) 1 13.%i 12 obreros hacen 5' de una obra en 1 d$as, d) 12 e) ' +cuntos obreros ms se necesitaran para que hagan la mitad de la obra en 3 d$as 2. 1 hombres, trabajando en la construcci"n de un puente hacen 5* de la obra en 2 d$as. %i retiran 2 a) ' b) 3 c) 2 hombres, +cunto tiempo emplearn los restantes d) 1 e) 1* para terminar la obra a) 1* 5 d) ' 15

b)12 5 e) * 5*

c)3 5

1-.1 obreros hacen 1- de una obra en 1* d$as. AREA D)MICILIARIA +En cuntos d$as  obreros harn '- de la 1. na obra puede ser hecha por  obreros en 1' obra d$as. +Cuntos obreros ha9 que incrementar para a) 5 b) 52 c) 5 que la obra se termine en 2 d$as d) - e) 1 a) 1* b) 1 c) 1 12.1 jardineros demoran 13 horas en podar 1m7 d) 2 e) 1' de jard$n. +Cuntos jardineros ms ser necesario contratar para que poden 53m7 9 empleen 2 . 1 obreros pueden hacer un trabajo en 4 d$as. horas 8espués de 2 d$as de trabajo se retiran * obreros. a) - b) 3 c) * +Con cuntos d$as de retraso se entregar la d) 32 e) - obra 14.na guarnici"n de 5* hombres tiene v$veres para a) 1* d$as b) 5 d$as c) 2 d$as 1 d$as a ra6"n de ' raciones diarias. %i se d) * d$as e) .D re&uer6an con 1* hombres. +Cunto debe ser las raciones diarias para que los v$veres duren ' 5.na guarnici"n de  hombres, tiene provisiones d$as a) ' b) * c) 3 para 3 d$as, al terminar el d$a 5 se retiran * d) e) 2 hombres. +Cunto tiempo podrn durar las provisiones que quedan al resto de la guarnici"n .%i 1 maquinas pueden producir 5* lapiceros en a) ' d$as b) '' d$as c) 2 d$as 1 horas +Cuntos lapiceros podrn producir en d) * d$as e) .D 12 horas ' mquinas a) 5 b) 3 c) '* d) 1 e) '2 '.2 obreros pueden haber una obra en  d$as. 8espués de * d$as de trabajo se retiran 5 obreros. 1.3 obreros pueden cavar una 6anja de 2m en +Con cuntos d$as de atraso se entregar la obra * d$as. +Cuntos d$as necesitan 1 obreros en a) 1 b) 1' c) 4 cavar una 6anja de 1 m cu9a dure6a es tres veces la del terreno anterior d) 1 e)  a) 2 b) 15* c) 1* d) 1 e)  *. n propietario tiene 3'4 corderos que puede alimentar durante 3* d$as. +Cuntos corderos .En ' d$as 1* obreros han hecho A de la obra deben vender si quiere alimentar su reba;o por 1* que les &ue encomendado. +Cuntos d$as emplear otra cuadrilla de 5 obreros doblemente d$as ms dando la misma raci"n hbiles en terminar la obra a) 1 b)  c) 5 a) 1 b) 12 c) 3 d) 12 e) 1 d) 1* e) 15 5.n trabajo puede ser hecho por 2 hombres en 13 3. n caballo atado con una soga de 5 m de largo d$as trabajando * horas diarias cuando hab$an demoran * d$as en comer el pasto que est a su hecho la mitad de la obra se retiraron la mitad de alcance. %i la soga &uera de 3 m. +Cuntos d$as los hombres. +Cuntos d$as adicionales habr que tardar en comer todo el pasto a su alcance darles para que acaben el trabajo a)  b) ' c) 12 -. En al construcci"n de un puente trabajaron 1* d) 1 e) 2 alba;iles durante 1 d$as, e hicieron las 5' partes '.Los * de una obra pueden hacerlo =m= obreros de la obra después se retiraron - de ellos. En en =m= d$as, si se contrata =m= obreros mas +en cuntos d$as conclu9eron las restantes la obra cuntos d$as acabarn la obra a) 4'm b)'4 c)2. na obra lo pueden hacer 2 hombres en cierto d) 1' e)tiempo . +Cuntos obreros se necesitarn aumentar para hacer 1' de la obra en un tiempo *.%i  hombres hacen un edi&icio en 5 meses. +Bué parte del edi&icio harn * hombres en 1* - del anterior trabajando la mitad de horas d$as (1 mes 0 5 d$as) diarias a) 1' d) 1*

b) 5 e)-

c) 5

4. n auto tarda 2 horas para recorrer un tra9ecto 9endo a 4 Fmh. +Cunto tardar en recorrer el mismo tra9ecto 9endo a 3 Fmh a) 1 b) * c) *3 d) 3 e) .D

1. D 9 G recorren cierta distancia, 9 los tiempos que emplean estn en la ra6"n 1*1. La velocidad de D es de *3 Hmh. +Cul es la velocidad de G a) 1 Fmh b)  Fmh c) 5 Fmh d) ' Fmh e) 2 Fmh 11.8os ruedas cu9os dimetros son 1,*m 9 ,' m estn movidas por una correa. Cuando la menor da  revoluciones. +Cuntas revoluciones da la ma9or a) 15-,* rev b) 1' rev d) 1-* rev e) .D

c) 12 rev

1.atal9 demora 3 horas en construir un cubo compacto de ' cm de arista, después de *' horas de trabajo. +Bué parte de un cubo de 1 cm de arista habr construido a) 1  d)  5

b) 1 5 e) ' *

c) 1 2

15.#erc9 es el doble de rpido que Iiguel 9 éste es el triple de rpido que JranFlin. %i entre los tres pueden terminar una tarea de Dritmética en 13 d$as. +En cuntos d$as Iiguel con JranFlin harn la misma tarea a) 1 d) '

b)  e) 2

c) 5

1'.n bue9 atado a una cuerda de -,* m de longitud puede comer la hierba que est a su alcance en  d$as. +Bué tiempo demorar$a para comer la hierba que est a su alcance, si la longitud de la cuerda &uera de 1*m. a) 1 d) 1

b) 4 e) 1*

c) 2

1*.#ara pavimentar 12 metros de pista 12 obreros tardan 1 d$as. +Cunto d$as se necesitarn para pavimentar 1m de la misma pista con ' obreros menos a) 12 d) 3

b)  e) .D

c) '

13.%i 13 obreros trabajando 4 horas diarias durante  d$as hacen 3 sillas. +Cuntos d$as necesitarn ' obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer un ciento de las mismas sillas a) 1 b)  c) 12

una 6anja de ' metros de largo 'm de ancho 9 5 metros de pro&undidad a) 1 b) *' c) *2 d) 31 e) ' 12.%i ' carpinteros &abrican 13 puertas en 4 d$as. +Cuntos d$as tardar$an '* carpinteros para hacer 1 puertas iguales a) * b) c) 3 d) 2 e) 1 14.#or 2 d$as de trabajo, 1 obreros han cobrado %.3'. +Cunto ganarn por 13 d$as, 1* obreros con los mismos jornales a) 13 b) 12 c) 1* d) 121 e) 1-' . obreros, en 1' d$as de 2 horas han reali6ado un trabajo de 1m de largo. +Cuntos d$as de horas emplearn ' obreros para hacer 4m del mismo trabajo a) 11 b) 1 c) 2 d) 5 e) 12 1.#or trabajar 2 horas diarias durante  d$as un pe"n ha ganado %.1. +Cuntas horas diarias habr trabajado en la misma obra si por 5 d$as le han pagado %.* a) 1 b) 1 c) 1' d) 13 e)  .%i con 1 Hg de pasto se alimenta a ' caballos durante * d$as. +Cuntos Fg de pasto se necesitarn para alimentar a 4 caballos en tres d$as a) 13 Fg b) 13 Fg c) 13 Fg d) 1' Fg e) .a. 5.%i 2 secretarias tardan 5 horas para digitar - pginas. +Cunto tardarn 3 secretarias para digitar 4 pginas a) 3 horas b) * horas c) 1,3 horas d)  horas e) .a. '.%i trabajando 1 horas diarias una cuadrilla de obreros tardan 12 d$as para terminar una obra, trabajando 3 horas diarias. +En cuntos d$as terminarn la misma obra a) 5 b) * c) 55 d) 2 e) *.%i * pollos cuestan %. 11,*. +Cunto costarn 1' pollos a) %. 35

b) %. 3

c) %. *

d) 1*

e) 5

d) %. ''

e) %. *5

1-.%i 12 hombres en 3 d$as, trabajando 1 horas cada d$a, pueden hacer una 6anja de m de largo, 5m de ancho 9 m de pro&undidad. +En cuntos d$as, de 2 horas, har$an 1 hombres

3.%i tres metros de pol9stel cuesta %. 1. +Cunto se pagar por *,* metros del mismo pol9stel a)  d) 5

b)  e) 14*

c) 12*

-.%i 1 obreros tardan 1 d$as para hacer una obra. +Cuntos obreros se necesitarn para hacer la misma obra en 1* d$as a) 11 obreros b) 1' obreros c) 1* obreros d) 15 obreros e) 1 obreros 2.n auto tarda 2 horas para recorrer un tra9ecto 9endo a 4 Fmh. +Cuntos tardar en recorrer el mismo tra9ecto 9endo a 3 Fmh a) 1h d) 15h

J E C  D 8 E @ E M <% J E % > @ J <@ I D 8 E L ##.JJ

b) 11h e) 1'h

4.n alba;il ha construido un muro en 13 d$as. %i hubiera trabajado ' horas menos habr$a empleado 2 d$as ms para hacer el muro. +Cuntas horas hubiera trabajado por d$a a) 3h d) 2 h

c) 1 h

5.n grupo de estudiantes tienen v$veres para un viaje de '2 d$as. %i se retiran el *K de los estudiantes. +para cuntos d$as ms alcan6aron los v$veres a) 1 d) 1*

c) 1h

((2

b) 1 h e) 13 h

> G % E @ M D C <>  E %

b) ' e) 3'

c) 13

GUIA DE APRENDIZAJE N5 )7 Tema: ,/a$%a Contenido: Md.

U*ATORIAS La suma: 1 O  O 5 O ......... O 1*, se e!presa usando s$mbolos matemticos como: donde: i * 1 se !!a%a !+%ite inerior i * 1- se !!a%a !+%ite su&erior =i=0representa a un nPmero natural.

i: 1 5

∑

i

i: 1

11

∑i 5

De igua! %anera: ./RMULAS 0ARA CALCULAR SUMAS 1" Su%a de !os n &ri%eros n2%eros natura!es: i: n

∑

i:18

n)n  1+ 2

i : 1  2  ;  $ $$ $$ $$ $$  n :

i: 1

∑

'" Su%a de !os n &ri%eros n2%eros &ares:

1 8 )1 8 9 1 +

i : 1 9 2 9 ; 9 $$$$$$ $$$ 9 1 8 :

2

i: 1

2n

i: n

∑

n:10

i:10

n )n  1 +

2 i : 2  /  #  $ $ $ $$ $ $ $ $  2 n :

: 171

∑

i: 1

2 i : 2  /  #  $$$$$$$$$  2 0 : 1 0 ) 1 0 - 1 + : 9 0

i: 1

3" Su%a de !os n &ri%eros n2%eros i%&ares: 2 n -1 i: n

∑

) 2 i - 1 + : 1  ;  5  $ $$ $ $ $ $ $ $  ) 2 n - 1 + : n

2

i: 1

i:12

∑

n: 12 2

) 2 i- 1 + : 1  ;  5  $ $ $ $ $ $ $ $ $ $  2 ; : 1 2 : 1 / /

i: 1

4" Su%a de !os #uadrados de !os n &ri%eros n2%eros natura!es: i: n

2

∑

i : 1  /  9  $ $$ $$ $$ $ $  n

2

n)n1+)2n1+ #

:

i: 1

n

2

i: 8

∑

: 1  /  9  $$$$$$  # / :

n:8

8 ) 8  1 + ) 2 $8  1 + #

i: 1

: 20/

-" Su%a de !os #u5os de !os n &ri%eros n2%eros natura!es: n i: n

∑ i: 1

;

;

i : 1  8  2 7  $ $$ $$ $$ $$ $$ $ n :

n)n1+ 2

67Su%a de una &rogresi8n arit%9ti#a:

2

;

i: #

∑ i: 1

: 1  8  2 7  $$$$$$$$$$  2 1 # :

n:#

#)#  1+ 2

2

: //1

* n

a + a n  =    n  2  1

7Su%a de un a &rogresi8n geo%9tri#a n

Sn

,1 6 =

6

−

−

1

1

;7Su%a de t9r%ino i!i%itados: #ara series geométricas cu9a ra6"n se encuentra:  Q q Q 1 *

a1

=

1

−

q

0R
% 0  O ' O 3 O . . . O 3

1. Calcular: % 0 1 O  O 5 O . . . O ' . Calcular:

% 0 1 O  O 5 O . . . O 2

5. Calcular: % 0 1 O  O 5 O . . . O 22 '. Calcular: % 0 1 O  O 5 O . . . O 1

a) 2- d) 3-*

b) 45 e) *'2

c) 2**

3.Calcular: % 0  O ' O 3 O . . . O 1 a) * d) 3*

b) *5 e) **

c) 5**

*. Calcular: % 0  O ' O 3 O . . . O  -.Calcular: % 0 1 O 5 O * O . . . O 3.Calcular: % 0  O ' O 3 O . . . O 53 -. Calcular: % 0  O ' O 3 O . . . O * 2. Calcular: % 0  O ' O 3 O . . . O 2 4. Calcular: % 0 1 O 5 O * O . . . O 1

a) 142 d) 13*

b) 143 e) 1**

c) 15*

2"Calcular: % 0 1 O 5 O * O . . . O 55 a) 52 d) 5 *

b) 43 e) *2

c) 24

1. Calcular: % 0 1 O 5 O * O . . . O '1 4.Calcular: % 0 1 O 5 O * O . . . O '* 11. Calcular: % 0 (1O5O*O...O4)(O'O3O...O5)

a) *' d) *4

1. Calcular:

b) *'4 e) 5S

%0(1O*)O(O*)O(5O*)O('O*)O...O(O*) S

= 12 + 22 + ;2 + /2 + $$$$+102

15. Calcular: S = 12

+ 22

+ 32

+ 42

+ $$$$ + 14 2

1'. Calcular:

a) '42 d) '3*

1.Calcular: % 0 1 O  O 5 O . . . O '

b) *43 e) *** S = 12

c) *3

+ 22 + 32 + $$$ + 17 2

11.Calcular:

%01  O1O  OO5  O5O...O5 5 O5

0RACICA DE CLASE II

= 12 + 22 + ;2 + $$$+ 112

1.Calcular:

a) 1-2* d) 1-3*

1*.Calcular:

c) '54

b) 1*'3 e) 1-** S =12

c) 1-33

+ 2 2 + 32 + $$$+ 202

1. Calcular: a) '42 d) '3*

b) 2- e) 5'*

c) 23

a) 5' d) *3*

b) 2* e) 42

c) 45

.Calcular: % 0 1 O  O 5 O . . . O  a) * d) 3* 5.Calcular: a) * d) 3*1

b) *5 e) 12

c) 5**

% 0 1 O  O 5 O . . . . . . O 32 b) *5 e) 5'3

c) 5**

'.Calcular: % 0  O ' O 3 O. . . . . . O  a) 15 d) 3'

b)  e) 12

c) 5*

13.allar el valor de R#S si: # 0 ,1 O , O ,5 O. . . O ,' a) 2, d) 2

b) 4,3 e) 2

c) 5'

(1OO5O...O44O1)O(1O44O...OO1) b) 1  e)  1

c) 1 5

(1O5O*O...O44O11)O(1O42O...O'O) b) * 1*1 e) * *1

c) *1 5

14.Cuntos sumandos presenta la siguiente serie: % 0 - O 4 O 11 O 15 O . . . O '* a) 1 d) 

b) 1

c) 15 e) 1

.allar R!S: 1 O 5 O * O - O . . . O ! 0 1* 3* a) 1* d) 11*

b) 15* e) '4

c) 1'*

1.Calcular: % 0 1 O  O 5 O . . . O '' b) 44 e) 42

a) 1 3 d) 1 '3*

b) 1 -* e) .a.

c) 1 *3

1*.allar: % 0 ' O * O 3 O. . . O '5 a) 3 d) '3*

b) 3 e) 3-

c) *3

3.Calcular: % 0  O ' O 3 O . . . O 13 a)  * d)  3*

b)  23 e)  **

a) 142 d) 134

b) 143 e) 1**

c) 5 **

c) 45

c) 15*

2.Calcular: % 0 1 O 5 O * O . . . O 5* b) 543 e) 5*2

c) 524

4.Calcular: % 0 1 O 5 O * O . . . O 'a) *' d) *4

b) *'4 c) *-3 e) *2 2 2 2 S = 1 + 2 + ; + $$$+ 1;

1.Calcular: a) -42 d) 23*

b) 243 e) 214 S

c) 23

= 12 + 22 + ;2 + $$$+ 182

11.Calcular: a)  14 d)  13*

b) 1 4'3 e) 1 4** S

AREA D)MNICILIARIA

a) 5' d) 43*

1'.allar la suma de los * primeros nPmeros naturales consecutivos.

a) 5' d) 55*

12.allar el valor de:

a) *  d) 1 

a) 13 3 b) 1*4 3 c) 13 *3 d) 13 '3* e) .a.

-.Calcular: % 0 1 O 5 O * O . . . O *

1-.allar el valor de:

a) 1  d) 1 1

15.Calcular: 2 2 2 2 S = )1 + 2 + ; + $$$ + 11 +)1 + 2 + ; + $$$+ 20+

c) 1 433

= 12 + 22 + ;2 + $$$+ 212

1.Calcular: a) 5 '42 d) 5 '3* 15.Calcular:

b) 5 511 e) 5 5'*

c) 5 23

.Calcular: % 0 1 O  O 5 O . . . O 3 a) 1 25 2** d) 1 3*

b) 1 2*5

S = )12

c) 1 a) 13 3 b) 14 3 c) 1* 1* d) 13 '3* e) .a.

e) 1 2

5.Calcular: % 0 1 O  O 5 O . . . O - a)  * d)  '2*

b)  *5 e)  5'3

c) 5 **

'.Calcular: % 0  O ' O 3 O . . . O ' a) 15 d) 3'

b)  e) 1*3

c) 5*

*.Calcular: % 0  O ' O 3 O . . . O 3' a) 1 - d) 1 3-*

b) 1 5 e) 1 *'2

+ 22 + 32 + $$$+ 102 +)1 + 2 + 3 + $$$+ 25+

c) 1 *3

1'.allar la suma de los 3 primeros nPmeros naturales consecutivos. a) 1 25 d) 1 23*

b) 1 2-* e) .a.

1*.allar: % 0 ' O * O 3 O. . . O '* a) -3 d) -*4

b) 3 e) 3-

# 0 ,1 O , O ,5 O . . . O ,*

1-. allar el valor de: (1OO5O...O144O)O(O144O...O5OO1)

b) * 1*1 e) ' *1

c) ' 4*

14.+Cuntos sumandos presenta la siguiente serie: % 0 - O 4 O 11 O 15 O . . . O '1 a) 1 d) 

b) 1

c) 142 e) 1

.allar R!S : 1 O 5 O * O - O . . . O ! 0 13 4 a) *4 d) 1* 1.Calcular: a) 1 ' d) 1 3*

b) 15* e) '4

c) 1'*

% 0 1 O  O 5 O . . . O '3 b) 1 21 e) 1 12

c) 45

b) 1,-* e) 1 -*

c) 12

*.Calcular:

c) ' 5

(1O5O*O...O4-O44)O(42O43O...O3O'O) a) *  d) ' 

c) *3

13. allar el valor de R#S si:

a) 1-, d) 1,-*

a) '  b) '  d) ' 1 e) ' 1 12. allar el valor de:

c) 1 *3

S = )12 + 22

+ 32 + $$$+ 152 +)1 + 2 + 3 + $$$+ 21+

a) 23 ' b) 4 3 c) * 1* d) 3 '3* e) .a. 3.allar la suma de los - primeros nPmeros naturales consecutivos. a)  35 d)  53*

b)  '2* e) .D.

c)  *3

-.allar: % 0 2 O 4 O 5 O. . . O -* a)  -3 d)  -*4

b)  '- e)  3-

c)  *3

2.allar el valor de R#S si: # 0 ,1 O , O ,5 O. . . O ,5 a) '*3, d) ',-*

b) ',-* e) ',3*

c) 1,2

4.+Cuntos sumandos presenta la siguiente serie: % 0 15 O 1* O 1- O . . . O '1

.Calcular: % 0  O ' O 3 O. . . O 3 a) 12 d) 3'

b)  e) 1*3

c) 5*

a) 14* d) 

b) 1 e) 1

c) 142

5. allar R!S: 5.Calcular: % 0 1 O 5 O * O . . . O 5 1 O 5 O * O - O . . . O ! 0 11 33' a) 142 d) 134

b) 143 e) 1'' S

c) 15* a) *4 d) 1*

b) 15* e) '4

c) 1'*

= 12 + 22 + ;2 + $$$ + 122

'.Calcular: a) 342 d) 33*

b) 343 e) 314

c) 3*

JECD 8E @EM<%
> G % E @ M D C <>  E %

((2

J <@ I D 8 E L #@>JE%>@ J <@ I D 8 E L ##.JJ

GUIA DE APRENDIZAJE N5 ) Tema: RA, AA, Contenido: ad$ad $%a'" $ec'" $/b $aec% c<$c".

4REAS SO*BREADAS

O"#e$%a&i'n: G

@egi"n unitaria C 



G 

8

1m  1m

D

E #lano :

D

C



ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES FÓRULA !ÁSICA



∆ AB: e=%"e$ AB > B > A > 

!

A∆

A!C

2

=

;

/

'

ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL a

G

A

C

C

<



I

=

A ∆ A!C

-' 2

?be$ac%&':

h

m

D

8

b

G

 , + -    '  2 

A!CD =

A h

Re(i'n Rom"oida) G L

D b

!<

C

C

: a"$a $e"a%a a

a

h

α

AC

D

A

ABC

=

8

b

bh

A

A!CD =

L

-'

2

Re(i'n Rom"a)

!

G



m

m d

A

1 D

C

-

C m

m 8 d

A! = AC

: cae A

A!C

=

A

-$ 2

A!CD

=

1 2 2

PRACTICA DE CLASE

Regi8n Re#tangu!ar G



C

A!

1) allar el rea del tringulo rectngulo DGC. %i !C

a

039

D

b

8

a)  d) 1

0 4. (@ecto en G) b)  e) 1*

c) -

A A!CD = ,-

Regi8n Cuadrada

) %i #B@% es un cuadrado de ' cm de lado, entonces el rea de la regi"n sombreadas es:

G

C



B

@

#

%

d

D

8



/ π 42

En la &igura:

a)

2 A!CD = 

A

/( 2 −

b) 2

/(/

También:

− π) 4

2( /

c) A!CD =

A

π) 42

− π) 42

d) 2

2π 4

2



e)

2

C=RCUL)

5) Calcular el rea de la regi"n sombreada si el rea ;2/42

del cuadrado DGC8 es

.

R C

G





>

En el gr&ico: @ : radio del c$rculo

D

d : dimetro 18 42

0 π@

D

b) 2

=

A

π

d)

/

9814

e)

') Calcular el rea del rectngulo DGC8, si el rea del

SEC)R CIRCULAR

12u2 D

>

c) 2

;2/4 2

1#242

#8 42

a)

También:

8

tringulo DCE es igual a

9 D8 0 5DE

G

θ

C

L

@

G

D

En el gr&ico: @ : radio del sector circular D>G θ : medida del ngulo central A

A!

=

θπR 2 ;#0>

8

E

5#u2

#0u2

a)

#/u2

b) 2

c) 2

##u

72u

d) e) *) El per$metro de la &igura es:

Ddems: L : longitud del arco DG A

A!

=

L $R

#

2

8

a) 1' d) 13 3) %i DG 0 1 m, +Cul es le per$metro de la &igura

b) 2 e) 12

c) 

15) %i a los lados de un cuadrado le agregamos 3cm

sombreada

9 4cm. Entonces su rea se duplica. +Cul es la longitud del lado del cuadrado

A

a) 13cm d) 14cm

!

a) * O π d) π O 

b) 1-cm e) .a

c) 12cm

1') La base de un tringulo es -1m 9 su altura

b) (π O *) c) *(π O ) e) *π O 

; 5

-) En la &igura mostrada, calcular el rea de la regi"n sombreada.

correspondiente mide los Encuentre su rea.

de la base.

a) 1*1,m b) 1*1,1m d) 1*1,5m e) .a

c) 1*1,m

1*)+Cul ser el rea de un tringulo rectngulo, si 84

2 #4 10 4

128 42

10842

18042

a)

b)

c)

su hipotenusa mide ' es el doble de otro

m 9 uno de sus catetos

a) 3'm d) 3-m

c) 33m

b) 3*m e) .a

13) %i en un tringulo rectngulo is"sceles su

2

1/04

d) e) inguna 2) El rea de un rectngulo es 5m. Encuentre las longitudes de sus lados, si su base es el triple que su altura.

2

hipotenusa mide 

m. Encuentre su rea.

a) *m b) 'm c) 5m d) m e) .a 1-)Encuentre la longitud del lado de un tringulo

a) 1m 5mb) 1*m *mc) m 5m

;

4)El per$metro de un rectngulo es de 1'm. 9 su diagonal mide *m. Encuentre su rea.

2

a) 1

a) 1 m b) 1 5m c) 1 'm d) 1 *m e) 1 3m

b) --cm e) .a

b) 4m e) 45m

c) 41m

a) 2 m

b) 4 m

d) - m e) .a

2

2

b)2

c) -

2

m

d) 3

e) .a

14)%i un tringulo equiltero tiene una altura de



c) 1 m

m

equiltero de rea igual a *'

;

longitud 13



m

;

2

1) El rea de un cuadrado es 12m. Encuentre el rea de otro cuadrado, cu9a diagonal mida die6 veces el lado del primero. 

m c) 1

m e) .a

a) 4



2

12)Encuentre la longitud de la altura de un tringulo

c) --2cm

11) %i un cuadrado tiene su diagonal igual a 5 +Cul ser su rea a) 244m d) 4m

m b) 11

d) 15

2



2

2

1) %i la base de un rectngulo es 13cm menos que el doble de su ancho. Encuentre su rea, si su per$metro es de 11cm. a) -32cm d) 3-2cm

m.

equiltero, si su rea es de -

d) 1*m 5me) .a



m. Encuentre su rea.

;

; 

a) *5

m b) *'

; 

m c) **

m

;

d) *3

m e) .a

)%i el rea de un paralelogramo es de 533m 9 su base mide 1*,*m. Encuentre la longitud de su altura. a) 5m

b) 'm

c) *m

d) 3m

21) " $ea de ' $/b e 90/ 2 % 'a de  d%a'a"e /%de 15/. @" e "a "'%d de "a $a d%a'a" a) 12/ d) 15/

b) 10/ e) .a

e) .a

6) !a""a$ e" $ea de "a $e%&' /b$eada.

,

c) 14/ ,

22).a d%a'a" /ay$ de ' $/b /%de 6/ / =e "a $a. 'ce'$e  "'%de % e" $ea de" $/b e 340/ 2. a) 2225/ b) 2325/ c) 2425/ d) 2525/ e) .a a a"$a de ' a$a"e"$a/ e de 30/ y  $ea e de 7602/2. 'ce'$e "a "'%d de  bae. a) 2533/ b) 2534/ c) 2535/

2

π a

#

8

a)

b) π,

d)

c)

5

5

e) .a

-) GD8 9 GC8 son sectores circulares de radio u. allar el rea sombreada.

23) a d%a'a" de ' $ec'" /%de 50/. %  $ea e e=%a"e'e a "a de ' $/b cya d%a'a" /e'$ e %a" a "a a"$a de" $ec'" y /%de 30/. 'ce'$e "a "'%d de "a d%a'a" /ay$ de $/b. b) 90/ e) .a

A

!

D

C

( π − 2) u2

π u2

a)

c) 70/

b) 2 (π

2

− 2) u

;π

c) e) .a.

TAREA DOICILIARIA 1) Encuentre la longitud de la base de un rectngulo, si su altura mide 1m. 9 su rea es de 52'm. a)5m b)'*m c)1''m d)1m e).D

− 1u2

d)

2) En el tringulo DGC, #, B 9 @ son puntos medios. Calcular el rea de la &igura sombreada, si DG01m. !

) La medida del rea de un rectngulo es *cm, si la longitud de su base es cinco veces la longitud de su altura. +Cules son sus dimensiones a)5m 9 1*m b)*m 9 1m c)m 9 '*m d)3m 9 *m e).D 5) %i el rea de un paralelogramo es de 5cm 9 la longitud de su altura mide 3cm. Encuentra la longitud de su base. a)cm b)*cm c)5*cm d)*cm e).D

%

A

? #0>

#0>

C

R

;

;

Oπ)m b) 12( 

a) 12( ;



') %i el rea de un paralelogramo es 12 m . 1 5

Ddems, su altura es

de la base. Encuentre su

9

2

d) 2536/ e) .a

a) 80/ d) 60/

π ,29

2

π a

c) 12( e) .a.

?π)m ;

O5π)m



d) 12(

Oπ)m

4) n rectngulo tiene un rea de 13m. %u largo

altura. a)3

b)-*

c)2

d)4*

e).D

*) Calcular el rea de un c$rculo de 2m de dimetro. a) 13πm d) 1πm

b) 12πm e) 1πm

c) 1'πm

mide 3 metros ms que su ancho. %us dimensiones sern: a) 11 9 14 m b) 1 9 12 mc) - 9 'm d) 1 9 14 me) .a. 1) allar el rea de un tringulo equiltero si su ;

altura es

.

; µ2

a)

b) ; 2

11) En la siguiente &igura. allar el rea del cuadrado DGC8. (=>= centro de la circun&erencia).

c)

µ2

d)

; ; µ2

;µ 2

/ ; µ2

e)

1') allar el rea sombreada. DG 0 3U 9

@ 0 1

D

>

!

C

G

a) 1 π d) 5* π

12  A

2

a) 1''

µ2

b) 1 2 µ2

G

C

D

8

µ2

c) 22

µ2

d) 1

c) 5 π

1*) +Cunto vale el rea sombreada, de la siguiente &igura. %i DGC8 es un cuadrado de lado 2.

D

µ2

b)  π e) ' π

e) *

1) allar el rea de la regi"n sombreada.

a) 5 d) 2

b) ' e) 13

c) 5

13) El per$metro de un rombo es -m. la diagonal 8

#

15

#

menor es los 8el rombo.

#

# #

#

;

a) 1 (π ?

;

) ;

c) 3 ( 5

? π)

b) 3 (  ;

? π)

d) 1 (

O π)

;

e) 1 ( 5

? π)

15) allar el rea de la parte sombreada en la siguiente &igura: (π 0 5, 1')

a) 52m d) 1- *

de la ma9or. Encuentre el rea.

b) 52'm e) .a

c) 523m

1-) allar el per$metro 9 el rea de un cuadrado de 5 metros de lado. a)'12 b)11 c) 44 d) 453 e) 14 12) allar el rea de un cuadrado cu9a diagonal mide 3 metros. a) 4 b) 53 c) 12 d) ' e) 5 14) El rea de un rectngulo, donde una dimensi"n es el doble de la otra, es de 5 metros cuadrados.

6

A

20 4

20 4

42

a) 23

allar el per$metro del rectngulo. a) 1 b) ' c) 53 d) 5 e) 

C

!

D

42

b) '2

) allar el per$metro de un trapecio cu9as bases miden - 9 1 siendo la longitud de sus lados no paralelos 5 9 *. a) b) *' c) 15,* d)  e) 14 42

c) *

42

d) 4

e) .a

JECD 8E @EM<%
> G % E @ M D C <>  E %

((2

J <@ I D 8 E L #@>JE%>@ J <@ I D 8 E L ##.JJ

GUIA DE APRENDIZAJE N5 )9 Tema: $ce'ae Contenido: %

Reg!a de tanto &or #iento 1. En un sal"n de clases se observa que de cada alumnos, ' son varones, es decir: 7 a lu m n o s        “ 4 v a r o n e s p o r c a d a 7 a lu m n o s ”







“4 por cada 7 < > 4 “ 7

/onde0

> ? @

1 1

Donde:

Ejemplos: V

1-> ? @

V

6 A>

? @

V

3;> ? @

V

: 6>

? @

4 varones

En una urna se observa que de cada * es&eras, 5 son de color negro, es decir: - es,eras       







3 negras

>G%E@MDC
“ 3 e s f e ra s n e g r a s p o r c a d a 5 e s fe r a s ” “3 por cada 5 < > 3 ” 5

EN .)RMA GENERAL:

De C/C a$e %a"e e' =e e d%%de ' a" a/ a /a$ C'C a$e e dec%$:

1>

? @

1 * 1 1 )AL ? @ 1 ? @ 1>

V  0 1 !  0 1K =Toda cantidad e!presa el 1K respecto de si mismo= EB
 o ta ! ? @ % & a r te s

          

"""""" """""""""" 











"""""

n



& o r



%



n



Cuanto

anto

1AA

Q W ,1

V K Q W 1AA Q W

B n & a r te s & o r # a d a % & a r te s 



1

'



n & a r te s



V 1K Q W

? @

%

AN) 0)R CIEN) >7

Es un caso particular de la regla del tanto por cuanto. En este caso, el total se divide en 1 pares iguales (n01), de las cuales se toman =n= partes, es decir:

1 -A

Q W ,

V *K Q W

QW

QW

V1K Q W

QW

QW

VK Q W

QW

QW

D#L #>@ C Dl aplicar el tanto por ciento (nK) a una cantidad (c), resulta: n > D#7 * 0

Be! n> d e # es 0 C

 o t a ! ? @ 1 ? @ 1 A A & a r te s

          

1 1 1 """""" 1 1 """""" 1 1AA 1AA 1AA 1AA 1AA 1AA 













n & a r te s

C' a$e $ cada 100C

Ejemplos: V El 'K de 12 V El -K de 4

0 0

Bn &or 1 ? @ n B 1

>#E@DC<>E% C> #>@CETDXE

B n & o r # ie n t o ? @

V 1K O 3K V 5K ? 12K V 3 N E 4 N F  ,4 - N E ; > N











n B 1

> n >

? @

n 1AA

-

0R
c) *K

0 -K 0 1K *

15. +Bué porcentaje de 15 es 5.5 a) ,*K d) ,'K

b) ,*K e) *K

c) K

1'. +Bué porcentaje de 14* es 1*3 . +El 1K de que nPmero es 5. a) 5 d) '

b) 51 e) 1*

c) '

5. +El *K de que nPmero es 5*. a) 1 d) '-

b) 1' e) 1*53

c) 11

'. +El -*K de que nPmero es '*. a) 3-d) '4

b) 12 e) 3

b) 1' e) 1*

c) 1

3. +8e qué nPmero es 2 el * 12K. a) 15' d) 13

b) 15'* e) 1*

b) 1K e) *K

c) 1K

1*.+La mitad de los * de ', qué porcentaje es de los Y de 53 a) K d) 1'K

b) 1-.-2K e) 1*K

c) K

13. +Los 5* de los '5 de 2,qué porcentaje es del K de la mitad de 1 

c) 5

*. +8e qué nPmero es '2 el 5 1*K. a)  d) 15'

a) K d) 2K

c) 1

a) ,2K d) ,*K

b) -,K e) 3,*K

c) 3,'K

1-.+Bué porcentaje de 12 es ,'* a) ,K d) ,'K

b) ,1K e) ,*K

c) K

12.+Bué porcentaje de los Y del 3K de ',es la mitad de 3.

-. +8e qué nPmero es  el 1K de *K. a)  d) 3'

b) 21 e) -1*

c) 2

2. +8e qué nPmero es - el 5 ZK a)  d) '

b) 1 e) 1*

c) 1

4. +8e qué nPmero es 1* el - ZK. a) 1 d) 1'

b) 1- e) 1'*

c) 

1. +El K del *K de * de qué nPmero es '. a) 1 d) '

b) 1 e) 13

c) 

11. +8e qué nPmero es el *K de 3, el 1K. a) 1* b) 1 c)  d) 1' e) 1*24 1. +Bué porcentaje de 4* es 5,' a) 5K b) 1K c) K d) 'K e) '*K

5.%i gastara el 'K del dinero que tengo 9 ganara el 52K de lo que quedar$a, perder$a %. *13. +Cunto tengo. a) '* b)  c) * d) 5 e) 5* '. na persona gasta el K de lo que tiene, luego el 5K de lo que le queda 9 por Pltimo gasta el 'K del nuevo resto, quedndose con tan s"lo 553 unidades monetarias. +Cunto ten$a al principio a) 2*  b) 2-  c) 24 * d) 43  e) 1  *.+Bué porcentaje de 1' es 1* . a) 3K d) K

b) 2K e) 1*K

b) 1,3-K e) 1*K

c) 13,3-K

14. +La mitad de uno qué porcentaje es del doble de uno. a) *K d) 'K

b) 1K e) 1*K

c) K

. +En una canasta tenia ' man6anas he comido 3 man6anas, que porcentaje me sobra a) *K d) 'K

b) -*K e) 3*K

c) 1K

1.+Bué porcentaje del doble del 3K de un nPmero es el 5K del K de los * del mismo nPmero. a) K d) 'K

b) 1K e) 1*K

c) K

.%i el 'K de los que votan a &avor de una moci"n es el 3K de los que votan en contra. +Bué parte de los votantes aprueban la moci"n. a) '* d) 1

b) 5* e) 11

c) 5

4.+El *K de que nPmero es -. a) 2 b) 11 c) 1 d) 1' e) 1* 1.+8e qué nPmero es 13' el 1 1'K. a) 1 b) 1 c)  d) 13 e) 1* 11. 8e qué nPmero es ' el K de *K. a) 2 b) -1 c)  d) ' e) 1* 1.+El K del *K de 1  de qué nPmero es '. a) 2 b) 1 c)  d) ' e) 1*

c) 'K

TAREA DOICILIARIA

15.+8e qué nPmero es el *K de 1, el 1K. a) 3 b) 1 c)  d) ' e) 1* 1'. +Bué porcentaje de 1 es 1

1.El K de 4. a) 1 b) 12 d) ' e) 1*

c) 

.El 1,*K de '. a) 2 b) 21 d) ' e) *

c) 

5.El 1*K de '2.

a) 1K d) 'K

a) K d) 'K

b) 1K e) *K

c) 5K

1*.+Bué porcentaje de 14 es 3,2 a) 5K b) 5K c) K d) 'K e) 1*K 13.+Bué porcentaje de 3' es 3,3

a) - d) 4'

b) 21 e) -1*

c) 4 a) ,K d) ,'K

'.El 1,*K del 1K de . a) 2 b) * c)  d) ' e) * *.El 'K de la mitad de 1. a)  b) 1 c) 4 d) ' e) 1* 3.5' K de  . a) 1 b) 1 d) 1* e) 15*

c) 11

-.El 55 15K de . a) 55,5 b) 33,3d) **,3 e) 3*,3-

c) -

2.+El 1K de que nPmero es 3'. a)  b) 3' c) 3 d) 3' e) 31* JECD 8E @EM<%JE%>@ J <@ I D 8 E L ##.JJ

((2

> G % E @ M D C <>  E %

b) ,1K e) ,*K

c) K

1-. +Bué porcentaje de 54 es 51 a) 2K b) 1K c) K d) 'K e) *K 12.+La mitad de los * de '2, qué porcentaje es de los Y de - a) ,-2K b) 1,-2K c) K d) 'K e) 1-,-2K 14.+La mitad de uno qué porcentaje es del triple de uno. a) ,3-K b) 1,3-K c) K d) 13,3-K e) 1*,3-K .+En una canasta tenia '2 naranjas he comido 1 naranjas, que porcentaje me sobra a) -*K b) -K c) 4K d) -'K e) 3*K

I(E(P( 1i&gen %e Gu!%!$ue2 C;I*BOTE IVEL SECUNDARIA % R I M E R Se.to 5i53o

CUAR"

A @  !IMES"RE

ÍNDICE

ctubre [ 14 de 8iciembre

N!"#$% &% '() G*+(), ✍

✍

✍

'nálisis dimensional 8 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! p! GD )rincipio de homogeneidad Estática ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! p! /. 3iagrama de cuerpo libre Energía mecánica ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! p! 1lases y formas de energía

%6og6,4,n1o 3,s ,5ti(i1,1es

REVISIÓN FECHA

GUÍAS

CUADERNO

EXTENSIÓN



01

02

03

04

05

0

G U Í A D E A P R E N D I Z A J E N º 1 6

TEMA: Dnlisis dimensional  CONTENIDOS: #rincipio de homogeneidad. Dplicaci"n

17 0RINCI0I) DE )M)GENEIDAD!: En toda suma o resta correcta de magnitudes físicas, cada uno de

los trminos debe tener la misma ecuación dimensional igual que la suma o diferencia! 

8+ Bg 7 .8 Bg : F Bg 9 8D Bg porque ! ! ! ! ! ! ! ! !

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!



!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

G+ m 7 /+ s 9 \] porque ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

A

E- !-'*)/ó- )/,

Empleo el principio de *omogeneidad # las reglas !+sicas en cada una de las siguientes ,rmulas ,sicas

./RMULA .=SICA

A0LICACI/N DEL 0RINCI0I) DE )M)GENEIDAD H REGLAS B
.

a

8

3 9 v!t : a−! t

b

9

:

a!t8 $ − # "

m! p + & ! $

c

%

 9 9 d

H π )

−

( tg θ '

'7 A0LICACI/N DE REGLAS H EL 0RINCI0I) DE )M)GENEIDAD!: 2a aplicación de las reglas y el principio

de homogeneidad, se divide en tres casos =órmulas dimensionales  Ecuaciones dimensionales  =órmulas empíricas

Empleo el principio de *omogeneidad en la resolucin de pro!lemas del tipo ,rmulas dimensionales

./RMULAS DIMENSI)NALES ENUNCIAD)

DESARR)LL)

Calla las dimensiones de %& para que la relaciónE  9 =  cos a 3ondeE  energía cintica =  fuer"a   velocidad 2a energía cintica de las molculas de un gas, se halla mediante H 8

b

E9

k?;

siendoE  energía cintica y ?  temperatura absoluta! Calla las dimensiones de 5k6 Empleo el principio de *omogeneidad en la resolucin de pro!lemas del tipo ecuaciones dimensionales

ECUACI)NES DIMENSI)NALES

A

ENUNCIAD)

DESARR)LL)

Calla las dimensiones de ' y A para que la ecuación sea dimensionalmente correctaa

& sen θ m 5 B8 + ( 6

'9 4iK  trabao, m  masa, 4  área

b

Calla la fórmula dimensional de %1&, si la e#presión es homognea! 'demásE  masa, )  velocidad! C E

'A 7

9 ) U S

Empleo el principio de *omogeneidad en la resolucin de pro!lemas del tipo ,rmulas empricas

./RMULAS EM0=RICAS ENUNCIAD)

2a presión 5)6 que eerce un chorro de agua sobre una placa vertical, está dada por la siguiente fórmula empírica) 9 kS3'` a 3ondeS 9 caudal 3 9 densidad; B 9 constante numrica; ' 9 área!

2a frecuencia de oscilación 5 f 6 en s :. de un pndulo simple depende de su b longitud 526 y de la aceleración de la gravedad 5(6! 3etermina una fórmula empírica para la frecuencia!

DESARR)LL)

I7

RESUELVA L)S 0R)BLEMAS, CUHAS S)LUCI)NES DEBEN C)NSAR EN SU CUADERN):

.6 4i la siguiente ecuación es homognea,  9  `B podemos afirmar quea6 NO9NO b6 N B O 9 . c6 N  O 9 . d6 N  O 9 . e6 N ` O 9 . 86 4i %E& es dimensionalmente correctaA

+

:

−

D

E9 )odemos afirmar quea6 NEO 9 NAO b6 N'O 9 NAO d6 N1O:N3O 9 N'O

t periodo, g  aceleración de gravedad

densidad del agua

B

>úmero,

b6 ? 9 B 

t 9 8π 3#! g y d6 :.I8

e6 >!'!

m#ay v" )m Ksenθ 9

;

c6 ?9 B e6 >!'!

a

4iv

velocidad

m

masa,

)

densidad

K

trabao, d6 8



d6 ? 9 B

D6 2a siguiente ecuación es dimensionalmente correcta! Calla- # 7 y 7 ", sia 9 b# cy d", donde-

*6 Calla 5# : y6!" en-

potencia

d

b densidad a6 . b6 8

c

c6 H

tiempo, presión! d6 + e6 >!'!

G6 En la siguiente ecuación hallar 5# 7 y6 I " , si la formula es correcta en dimensiones!

m# ay v " p

e6 >!'!

F6 Calla la fórmula empírica de la presión 5)6 del chorro de agua que cae sobre una placa vertical! 4i la presión está en función de) 9 B S #3 y' "

K m senθ 9 3ondeK

trabao, a

masa, v a6 8IH b6 X

I7

c6 ) 9BS3'8 e6 >!'!

2  

a6 ? 9 B

longitud de la cuerda halla #Iy en-

a aceleración! a6 . b6 :. c6 +

3

2  

3

c6 :.

caudal 5mH Is6

c6 N1O 9 N3O e6 NEO 9 N'O 6 El período o tiempo de oscilación de un pndulo simple %?& depende de la variación de las características del pndulo, tales como delongitud 526, aceleración de la gravedad 5g6 y su masa 5m6! Calla la probable fórmula!

H6 4i se sabe que-

b6 .I8

S

' área de la placa! a6 ) 9 BS3' b6 ) 9 BS838' 8 8 d6 ) 9 BS 3'

B

a6 .

3onde-

;

aceleración, p velocidad! c6 . d6 .I8

densidad, m e6 :HI8

RESUELVA L)S 0R)BLEMAS, CUHAS S)LUCI)NES DEBEN C)NSAR EN LAS )AS DEL .)LDER:

.6 2a siguiente ecuación es dimensionalmente H6 Calla las dimensiones de %a& y %b&, para que la correcta, halla las dimensiones de %& e %&fórmula sea dimensionalmente correctaKsenθ a l = E = bd 2 + 8 (f + ') m R ! 4i3onde= fuer"a K trabao ' área m masa a6 2? : 8 y 2.I8 b6 2? y 2:.I8 ) presión c6 2.I8 ? y 2? d6 2:8 ? y 2 .I8

e6 >!'! Q =

H FG

86 Calla la e#presión dimensional de, si la ecuación dimensionalmente correctaV=

I−H G

−

3F 3

!

3onde volumen a6 2? d6 2?U .

t tiempo b6 2? H

h

altura c6 ? U H e6 >!'!

d

densidad

@ radio :8 a6 2 y M : .2D ? c6 2? y M2? 8 e6 >!'!

b6 2H y M : .2D? : 8 d6 2?M y 2M : 8

*6 3etermina la formula dimensional de %  % en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta=9q!A! 7q!E , 3ondeA

velocidad

E intensidad de carga elctrica a6 2? $ b6 2:.? : .$ c6 2:.? $ d6 2? : .$ e6 >!'!! F6 4e sabe que-

4i=

M

x+y

D

*

@

radio de la hlice

3onde-

d

densidad del aire

2

longitud

B

número

?

tiempo

3

densidad

J velocidad angular Calla la formula física correcta! a6 ) 9 B@FJd b6 ) 9 B@FJHd c6 ) 9 B@JHd d6 ) 9 B@Jd e6 >!'!

2

M masa Callar # 7 y 7 "! a6 8 b6 . c6 *

d6 H

e6 : 8

6 2a hlice mayor de un helicóptero requiere una potencia 5)6, dada por la siguiente formula) 9 B ! @ # ! Jy ! d" ;

.ECA DE REVISI/N .IRMA DEL 0R).ES)R .IRMA DEL 00".." ) A0)DERAD)

I I 8++G

D6 Calla N'O si la fórmula es homogneaA-e'β +  = B 2 A  velocidad a6 28?:8 b6 2H?:H * * d6 2 ?

; 3onde-

O B S E R V A C I O N E S

c6 2?:. e6 >!'!


TEMA: Esttica CONTENIDOS: Esttica. Equilibrio. Juer6a. Juer6as especiales

17 ES<ICA!: Es parte de la mecánica de sólidos que estudia-

♦ ♦

2as propiedades generales de los cuerpos 2as condiciones de equilibrio de los cuerpos

4i observamos0n cuerpo en reposo  
Movimiento @ectilíneo 0niforme! 4on de dos clases- estático y cintico EJUILIBRI) ES<IC)

EJUILIBRI) CINKIC)

El cuerpo está en reposo

El cuerpo está en Movimiento @ectilíneo 0niforme VEL)CIDAD C)NSANE

a 9+ 37 .UERA!: Mide la interacción mutua y simultánea entre dos cuerpos! Esta magnitud hace que los

cuerpos estn en equilibrio, que cambien la dirección de su movimiento, o se deformen 2a fuer"a esta asociada con los efectos de Estirar

   

1omprimir Palar 'traer @epeler, etc!

47 .UERA .UERAS S ES0ECIA ES0ECIALES" LES"FF 0ES) 7.- Es la fuer fuer"a "a con que que la tier tierra ra atra atraee a todo todo cuer cuerpo po que que se encuentra en su cercanía nía! Es dire di rect ctam amen ente te prop pr opor orci cion onal al con con la a masa de los cuerpos y con la gravedad local! 4e representa por un vect vector or vert vertic ical al y diri dirigi gido do haci haciaa el centro de la tierra N)RMAL N7"F Es la fuer"a que se gene genera ra entr entree la supe superf rfic icie ie de los los cuerpos cuando estos se acercan a b distancia distanciass relativa relativamente mente pequeñas, pequeñas, predominando las fuer"as repulsivas! 4u línea de acción es perpendicular a la superficie de contacto fuer"a "a que que se se ENSI/N 7"F Es la fuer genera en el interior de una cuerda o un alambre o soga, etc! 4urge para c oponerse a los efectos de estira estiramie miento nto por parte parte de fuer"a fuer"ass e#ternas que actúan en los e#tremos de aquellos

-7 DIAG DIAGRA RAMA MA DE DE CUER CUER0) 0) LIB LIBRE RE!: 53!1!2!6 53!1!2!6 )ara reali"ar este diagrama de cuerpo, sistema físico, etc! se

debe considerar lo siguientea 4e debe aislar imaginariamente al cuerpo o sistema físico! 57 'l peso 5K6 del cuerpo se representa mediante un vector verticalmente 5dirigido hacia el centro de la tierra6 #7 En toda cuerda, soga, hilo, cadena, etc! se representa la fuer"a de tensión 5?6 que siempre sigue la dirección de la cuerda, representándolo mediante un vector que ala al cuerpo, previo corte imaginario d7 ' lo largo de una misma cuerda de peso despreciable, siempre actúa la misma fuer"a de tensión! e7 1uando hay contacto entre dos superficies sólidas, se presenta la fuer"a normal 5>6 que se representa mediante un vector perpendicular a la superficie en contacto que empua al cuerpo 7 4i e#istiesen barras comprimidas, se representa a la compresión mediante un vector que esta siempre empuando al cuerpo, cuerpo, previo corte imaginario

 ' a"' d%a$a/a de ce$ "%b$e (D..):

I7

EN CADA UNA DE DE L)S SISEMAS SISEMAS .=SIC)S .=SIC)S REALIA REALIA EL DIAGRAMA DIAGRAMA DE CUER0) CUER0) LIBRE LIBRE D"C"L"7: D"C"L"7:

N

A M E  S I S ) C I

1

'

3

4

A M A R G A I D )

SISEMA .ISIC)

DIAGRAMA DE CUER0) LIBRE

F



SISEMA .ISIC)

D

G

/

.+

..


I7 EN CADA UN) DE L)S SISEMAS SISEMAS .=SIC)S REALIA EL DIAGRAMA DIAGRAMA DE CUER0) CUER0) LIBRE LIBRE D"C"L"7: D"C"L"7: N 1 ' 3 4 A M E  S I S ) C I A M A R G A I D )

N

A M E  S I S ) C I A M A R G A I D )

-

6

SISEMA .ISIC)




/

.+

..

*

.ECA DE REVISI/N .IRMA DEL 0R).ES)R .IRMA DEL

I I 8++G


;

00".." ) A0)DERAD)


TEMA: Energ$a mecnica CONTENIDOS: Energ$a. Energ$a potencial. Energ$a cinética. Jormas de energ$a

17 C)NCE0) DE ENERG=A!: Es el agente capa" de producir un cambio en las propiedades de un cuerpo!

?ambin se puede definir como la capacidad de la materia para producir trabao!

VA%R

$E>E ' 4E@

"RANSRMA AL

ABUA

EN

$E>E ' 4E@

$E>E ' 4E@

CALR %% #@>#

?enemos dos clases de energía- potencial y cintica! '7 ENERG=A 0)ENCIAL ) DE 0)SICI/N!: Es la energía almacenada o inactiva, cuando un sistema tiene

la capacidad de producir trabao! 3epende de la posición! )or eemplo  

0na bala antes de ser disparada 0n tren estacionado 0n ugador antes del inicio de un partido de fútbol

' su ve", esta energía se divide en gravitatoria y elástica!

'"1 Energ+a &oten#ia! gra(itatoria 5Ep6!: Es aquella que se encuentra almacenada en los cuerpos no elásticos, cuando se encuentran a determinada altura! 4e halla mediante la siguiente fórmula-

Ep 0 m.g.h

ó

3ondeEp m g h K

    

Energía potencial Masa 'celeración de la gravedad 'ltura )eso

4us unidades en el 4$ se indican en el siguiente cuadroMAGNIUD

ENERG=A 0)ENCIAL E&7

MASA %7

ACELERACI/N DE LA GRAVEDAD g7

ALURA O7

0ES) 7

/I11

oule P

Bilogramo Bg

/,G m Is 8

metro m

neJton >

A

Empleo la ,rmula de energa potencia gra%itatorio para resol%er el pro!lema

S)LUCI/N 0R)BLEMA

1alcula la energía potencial gravitatorio de una roca de F+ Bg, que se encuentra a 8+ m, como se indica en la figura adunta 51onsiderar g 9 .+ mIs86

'"' Energ+a &oten#ia! e!Psti#a 5Epe6!: Es aquella que se encuentra almacenada en los cuerpos elásticos! 4e halla mediante la siguiente fórmula1 2

 3ondeEpe Energía potencial elástica k  1onstante de rigide" del resorte   2ongitud de estiramiento o elongación

4us unidades en el 4$ se indican en el siguiente cuadroMAGNIUD

ENERG=A 0)ENCIAL EL
C)NSANE DE RIGIDE DEL RES)RE Q7

EL)NGACI/N 7

0>$3'3

oule P

>eJton por metro >Im

metro m

Empleo la ,rmula de energa potencia el+stico para resol%er el pro!lema

S)LUCI/N 0R)BLEMA

1alcula la energía potencial elástica almacenada en un resorte, cuya constante de rigide" es /++ >Im y elongación de *+ cm

37 ENERG=A CINKICA!: Es aquella que poseen los cuerpos en movimiento! 3epende de la velocidad! )or

eemplo 0na bala al ser disparada 0n tren en movimiento  0n futbolista corriendo 

2a energía cintica de un cuerpo se calcula mediante la siguiente fórmula1 2



A

3ondeEc  Energía cintica m  Masa v  elocidad 4us unidades en el 4$ se indican en el siguiente cuadroMAGNIUD

ENERG=A CINKICA E#7

MASA %7

VEL)CIDAD (7

0>$3'3

oule P

Bilogramo Bg

metro por segundo mIs

Empleo la ,rmula de energa cin3tica para resol%er el pro!lema

S)LUCI/N 0R)BLEMA

1alcula la energía cintica de un automóvil de .F++ Bg se despla"a con una velocidad de 8F mIs

-7 .)RMAS DE ENERGIA!: E#isten varias formas de energía, las más importantes se indican en el

siguiente cuadro-

Escri!o los eemplos de cada tipo de energa5 a partir de la pr+ctica de la!oratorio reali"ado

.)RMA DE ENERG=A

C)NCE0)

Es capa" de producir cambios de posición, a Me#Pni#a velocidad, forma, etc! de los obetos

4e debe al fluo de electrones o de partículas cargadas

5

E!9#tri#a

#

Es de tipo atómico y es aquella que se libera en el Ju+%i#a momento que se reali"a una reacción química!

d

9r%i#a

2lamada tambin calorífica, resulta cuando los cuerpos arden o cuando se produce una reacción química

e

Nu#!ear

4e produce a partir de la desintegración del núcleo

EEM0L)

atómico

fuentes de la  Lu%inosa )rocede de las lu"

I7

C)M0LEA CADA 0REGUNA SEGN C)RRES0)NDA:

.6 $nserta las palabras en el lugar correcto)1$'2 E24?$1'

a6 b6 c6 d6 e6

)1$'2

4<2

E>E@('

1$>T?$1'

2a !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! es capa" de producir cambios en las propiedades de un cuerpo En la energía !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! predomina la velocidad 2a energía !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! depende de su posición 2a energía que poseen los cuerpos elásticos se denomina !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2a fuente principal de energía es el !!!!!!!!!!!!!!!!!!!

86 Entre los parntesis escriba la letra que relaciona el tipo de energía con concepto5A6 E>E@($' E2T1?@$1' 5 6 )rocede de las fuentes de la lu" 5b6 E>E@($' S0M$1' 5 6 @esulta cuando los cuerpo arden 56 E>E@($' 20M$><4' 5 6 4e libera en una reacción química 5)6 E>E@($' 1'2<@=$1' 5 6 Es producida por la electricidad H6 En el siguiente cuadro, establece diferencias entre las energías química y nuclear, con sus respectivos eemplosENERG=A JU=MICA

ENERG=A NUCLEAR

*6 Entre los parntesis esriba %& si la proposición es correcta o %=& si no lo es, con su respectiva ustificacióna6 ?odo tipo de cuerpo tienen algún tipo de energía ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5 6

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!

b6 2a energía potencial está en función de la velocidad ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5 6

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!

c6 Energía es un agente capa" de producir un cambio de propiedades en la materia ! ! ! ! ! ! ! ! 5 6

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!

d6 En los alimentos se encuentra la energía almacenada para los seres vivos ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5 6

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!

F6 ' partir del eemplo indicado señala la forma de energía que se produce, en el siguiente cuadroN 

. 8 H *

EEM0L) DE ENERG=A

.)RMA DE ENERG=A

El funcionamiento de un ventilador 2a combustión de la gasolina en el motor de un automóvil 2a e#plosión de una bomba atómica 2os números que se forman en una calculadora

II7 MARCA LA RES0UESA C)RRECA, CUHA USI.ICACI/N DEBE INDICARSE EN EL CUADERN):

.6 2a [[[[ es la capacidad de la [[[[ para a6 )otente b6 1intica c6 )otencial producir trabao d6 Mecánica e6 1alorífica a6 materia U energía b6 velocidad U materia c6 altura U materia d6 energía U velocidad F6 0n atleta que se despla"a con cierta velocidad, posee energía [[[ e6 energía U materia a6 potencial b6 mecánica c6 cintica 86 0n roca situada en un cerro, \qu tipo de d6 a y c e6 >!'! energía presenta]

a6 Mecánica d6 1alorífica

b6 1intica

c6 )otencial e6 >!'!

H6 0n resorte presenta energía potencial [[[ a6 gravitatoria b6 elástica c6 cintica d6 a y b e6 ?!'!

6 \1ómo se llama la energía que se produce en una reacción química] a6 elctrical b6 química c6 cintica d6 a y b e6 >!'!

D6 \Su tipo de energía tiene un cuerpo en movimiento] *6 2a energía almacenada en todo tipo de materia a6 Mecánica b6 1inemática c6 )otencial se denominad6 1intica e6 1alorífica III7 RESUELVA L)S SIGUIENES 0R)BLEMAS, CUHA S)LUCI/N DEBE REALIARSE EN EL CUADERN):

.6 0n automóvil de .F++ Bg se despla"a con una *6 1alcula la masa necesaria para obtener una velocidad de .F mIs! \1uál es su energía energía cintica de G.+ +++ P, si se despla"a cintica] con una velocidad de /+ mIs a6 88F++ P b6 HHDF++ P c6 HHDF+ P a6 8 kg b6 8+ Bg c6 8++ Bg d6 .GDF+ P e6 >!'! d6 8+++ Bg e6 >!'! 86 0n obeto tiene una masa de * Bg y se F6 0n ave de H Bg se encuentra volando a G mIs y encuentra a  m del piso! 1alcula su energía a una altura de 8 m! 1alcula su energía cintica potencial gravitatoria y potencial 8 51onsiderar g 9 .+ mIs 6 51onsiderar g 9 .+ mIs 86 a6 8F+ P b6 8*F P c6 8*+ P a6 + P U / P b6 /+ P U  P d6 8H+ P e6 >!'! c6 / P U  P d6 / P U + P e6 >!'! H6 2a constante de elasticidad de un resorte es de 8 >Im8 y es estirada +,* m, \cuál es la energía 6 2a constante de rigide" de un muelle es de potencial elástica] 8+++ >Im, si almacena .+ P, cuánto mide su a6 . P b6 ., P c6 +,. P elongación d6 +,+. P e6 >!'! a6 . m b6 +,. m c6 +,+. m d6 +,++. m e6 >!'!

I7

MARCA LA RES0UESA C)RRECA, CUHA USI.ICACI/N INDICA EN LAS )AS DEL .)LDER:

.6 Energía es la capacidad para producir [[[ a6 materia b6 átomos c6 trabao d6 magnitudes e6 calor 86 En el 4$, la unidad para e#presar energía esa6 neJton b6 Jatt c6 oule d6 metro e6 ?!'!

F6 1uando un fruto maduro cae de un árbol, presenta energía [[[ a6 potencial b6 elástica c6 cintica d6 cinemática e6 gravitatoria

6 2a [[[ es independiente en la energía cintica de del móvil H6 4i un cuerpo puede reali"ar trabao, podemos a6 masa b6 velocidad afirmar que posee [[[ c6 a y b d6 altura a6 fuer"a b6 potencia c6 masa e6 >!'! d6 trabao e6 energía D6 0na tanque de agua ubicado en la a"otea de un *6 El resorte de un lapicero posee energía [[[ edificio, posee energía potencial [[[ a6 masa b6 potencial c6 a y b a6 cintica b6 mecánica c6 elástica d6 altura e6 >!'! d6 gravitatoria e6 gravedad II7 C)M0LEA CADA 0REGUNA SEGN C)RRES0)NDA:

.6 3ado el nombre de las siguientes materiasSL

C

"M

MSCULS

MADERA

En el cuadro, escriba el nombre de cada materia y señala la forma de energía que representa cada uno de ellosMAERIA

.)RMAS DE ENERGIA

86 3escriba las características de las siguientes energías alternativas, con sus respectivos eemplosENERG=A ALERNAIVA

III7

CARACER=SICAS

a

C$3@02$1'

b

(E
c

4<2'@

d

EQ2$1'

F

A$<('4

f

M'@E
EEM0L)

RESUELVA L)S 0R)BLEMAS, CUHA S)LUCI/N DEBE REALIARSE LAS )AS DEL .)LDER:

.6 Calla la velocidad de un cuerpo de .++ Bg, si *6 0n mono se encuentra en un árbol a 8+ m de la su energía cintica es de G++ P superficie, calcula su masa si posee una energía a6 . mIs b6 +,* mIs c6 +,+F mIs potencial de .++ P 5g 9 .+ mIs 86 d6 * mIs e6 >!'! a6 D Bg b6 G Bg c6 / Bg d6 .+ Bg e6 >!'! 86 0n obeto tiene una masa de F Bg y! 1alcula su altura si la energía potencial gravitatoria es de F6 Calla la elongación de un resorte si posee una HF+ P 5g 9 .+ mIs 86 energía de 8++ P y su constante de elasticidad a6 * m b6 F m c6  m es *++ >Im d6 D m e6 >!'! a6 . m b6 8 m c6 H m d6 * m e6 >!'! H6 Calla la constante de elasticidad de un resorte si al estirarse +,8 m, su energía potencial 6 2a Ec de un proyectil de H Bg es F*++ P, halla su elástica es H++ P! velocidad a6 H+++ >Im b6 H++++ >Im a6  mIs b6 G mIs c6 / mIs c6 .F++ >Im d6 .F+++ >Im d6 + mIs e6 >!'! e6 >!'! .ECA DE REVISI/N .IRMA DEL 0R).ES)R .IRMA DEL 00".." ) A0)DERAD)

I I 8++G


I(E(P( 1i&gen %e Gu!%!$ue2 C;I*BOTE L SECUNDARIA % R I M E R

B R A D 

!IMES"RE - 2008 V I C i 5CUAR" 3o

FNDICE CUAR" !IMES"RE 1; e 5tu6e  19 e Di5ie46e N!"#$% &% '() G*+(), ✍

Cidró#idos ✍

cidos ✍

@adicales

>omenclatura inorgánica *! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!! p! .+F >omenclatura inorgánica F ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!! p! ... >omenclatura inorgánica  ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!! p! ..G

%6og6,4,no 3,s ,ti(i,es

REVISIÓN FECHA

GUÍAS

CUADERNO

EXTENSIÓN



01

02

03

04

05

0

0

G U Í A D E A P R E N D I Z A J E N º 1 7 TEMA: omenclatura inorgnica ' CONTENIDOS: idr"!ido. Jormulaci"n. omenclatura

17 .UNCI/N IDR/ID)%> 2lamado tambin A'4E porque presentan propiedades A4$1'4  

@esulta de combinar el ó#ido básico con el agua En su estructura contiene un metal y el IÓN HIDRÓXIDO o HIDROXILO 5
D I Ó C

4u formulación general es-

3onde 4ímbolo del metal M
M7v 5
Es+&i#o $! <=&u$! qu"i+! %e$ >i%&=?i%o@ %e !+ue&%o ! $os ee$os in%i+!%os

0R)CES)

aO1 (>)?1 TmO(>)?1

./RMULA a(>)a>

 Tm (>)

DuO5(>)?1

0R)CES)

./RMULA

0R)CES)

4nO'(>)?1

InO5(>)?1

aO1(>)?1

Cr O(>)?1

DlO5(>)?1

#oO'(>)?1

./RMULA

'7 CARACER=SICAS!: Entre características principales tenemosa7 57 #7 d7

1ambian de color a los indicadores'l PAPEL TORNASOL lo vuelve de color AZUL 1on la FENOLFTALEINA se torna de color ROJO GROSELLA 'l tacto son resbalosas o abonosas >eutrali"an a los ácidos, perdiendo todas sus propiedades )resentan sabor característico 5caústico o amargo6 e) ' los hidró#idos de los metales alcalinos 52i, >a, k, @b y 1s6 se les denomina ÁLCALIS

37 N)MENCLAURA CL@  cuadro aduntoID\>@

N)MENCLAURA

Cidró#ido de 5>ombre del metal6 Cidró#ido 5>ombre del metal6 )S) Cidró#ido 5>ombre del metal6 IC)

Es+&i#o $! <=&u$! qu"i+!  e$ no#&e %e$ >i%&=?i%o@ segn $! noen+$!tu&! +$'si+!

ELEMEN) JU=MIC)

Plata

S=MB)L ESAD)S DE 0R)CES) DE .)RMULACI/N ) )IDACI/N Ag 7. DgO1(>)?1  Dg>

78 Menor i (>) 7H Mayor iO5(>)?1 O

Niquel

Ni

?1



i(>)  i(>)5

Potasio

Mercurio

Cobre

47 N)MENCLAURA S)CQ%> 4e procede de la siguiente manera

4e escribe la palabra HIDRÓXIDO, seguido del nombre del metal

N)MENCLAURA CL
Cidró#ido de plata Cidró#ido niquel)S) Cidró#ido niqulIC)

D C 

=inalmente, entre parntesis, se coloca el valor de la '2E>1$' en números romanos, siempre y cuando el metal presente dos estados de o#idación!

Es+&i#o $! <=&u$! qu"i+!  e$ no#&e %e$ >i%&=?i%o@ segn $! noen+$!tu&! sto+

ELEMEN) S=MB)L) JU=MIC)

E")"

Magnesio

Mg

78

Platino

Pt

0R)CES) DE .)RMULACI/N

IgO(>) [1  Ig(>) 78 Menor #tO(>) [1  #t(>) 7* Mayor #tO'(>) [1  #t(>)'

N)MENCLAURA S)CQ

6idr$ido de magnesio 6idr$ido de platino 7II8 6idr$ido de platino 7IV8

Cinc Polonio Holmio Cobalto

I7

MARCA LA RES0UESA C)RRECA, CUHA USI.ICACI/N DEBE INDICARSE EN EL CUADERN):

.6 El hidró#ido resulta de combinar el ó#ido ! ! ! ! ! /6 El E!!'! a6 metal U agua b6 ácido U agua c6 básico U hidrógeno d6 ácido U o#ígeno .+6 =órmula del hidró#ido que está escrita correctamente ese6 básico U agua a6 $ao es característica de la función hidró#idod6 Mn58< $$6 1<8 $$$6 C>< $6 >aa< b6 >a8< c6 >aa5!'! 6 2a fórmula del hidró#ido cúprico esa6 1a5!'! D6 El E!!'! G6 El E!
e6 >!'!

.86 3e los compuestos químicos! \1uántos son hidró#idos] $6 Mn< $$6 >8< $$$6 1l8a8< a6 8 b6 H c6 * d6 F e6  .H6 =órmula del hidró#ido auroso esa6 'u5
c6 'u5!'!

.*6 2a fórmula del hidró#ido de plomo 5$$6 esa6 )b5!'! .F6 El E!!'! .6 El E!a en >a
d6 F

e6 >!'!

II7 C)M0LEA L)S CUADR)S SEGN C)RRES0)NDA:

.6 ' partir del nombre del hidró#ido identifica su tipo y dedu"ca su respectiva fórmulaN)MBRE DEL IDR/ID)

I0) DE N)MENCLAURA

0R)CES)

./RMULA

a Cidró#ido de cobalto 5$$6 b Cidró#ido platinoso c Cidró#ido de calcio d Cidró#ido mangánico e Cidró#ido de estaño 5$6 f Cidró#ido aúrico g Cidró#ido de litio h Cidró#ido de mercurio 5$6 i Cidró#ido plumboso 86 3e la fórmula del hidró#ido, identifica el metal y su E!
a

Cs>

b

i(>)5

c

Gi(>)5

d

Cu>

MEAL E")"

N)MENCLAURA CL

e Th(>)' f

#t(>)

g

g>

h

%n(>)'

i Du(>)5 H6 Escriba la fórmula del ó#ido básico y luego la fórmula del hidró#idoN)MBRE DEL /ID) B
a Q#ido de níquel 5$$6 b <#ido auroso c Q#ido polónico d <#ido de tulio 5$$$6 e <#ido de indio f <#ido de magnesio g Q#ido platinoso h Q#ido de cobalto 5$$6 i Q#ido cúprico

./RMULA DEL /ID) B
0R)CES)

./RMULA DEL IDR/ID)

P

*6 ' partir de la fórmula identifica el tipo de ó#ido 5básico, ácido6 o hidró#ido y escriba su nomenclatura 5clásica y stocB6./RMULA DEL C)M0UES)

I0)

0R)CES)

N)MENCLAURA CL

a >a8
I0)

0R)CES)

./RMULA

a Q#ido de calcio b 'nhidrido hipobromoso c Q#ido de mercurio 5$$6 d Q#ido de nitrógeno 56 e Cidró#ido platinoso f Cidró#ido cúprico g 'nhidrido sulfúrico h Q#ido estánnico i Cidró#ido de aluminio  'nhidrido nítrico

I7


.6 El hidró#ido resulta de combinar el ó#ido básico F6 =órmula del hidró#ido aúricocon el ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! a6 'u5!'! d6 o#ígeno e6 agua 6 2a fórmula del hidró#ido de plomo 5$6 es86 Es característica de la función hidró#idoa6 )b5!'! c6 a y b d6 1ompuesto binario e6 ?!'! D6 El E!!'! H6 3e los compuestos, \cuáles son hidró#idos] $6 >a!'! d6 $U$ e6 ?!'! /6 El E!!'! a6 'g< b6 )t
II7 C)M0LE C)M0LEA A L)S CUADR)S CUADR)S SEGN SEGN C)RRES0 C)RRES0)NDA )NDA::

.6

' part partir ir del del nombre nombre del hidró# hidró#ido ido ident identifi ifica ca su su tipo tipo y dedu"c dedu"caa su su respe respecti ctiva va fórmul fórmulaaN)MBRE DEL IDR/ID)

I0) DE N)MENCLAURA

0R)CES)

./RMULA

a Cidró#ido cuproso b Cidró#ido tálico c Cidró#ido de titanio 5$6 d Cidró#ido de francio e Cidró#ido de platino 5$$6 & Cidró#ido auroso g Cidró#ido de lantano h Cidró#ido de cobalto 5$$$6 i Cidró#ido plúmbico j Cidró#ido de magnesio 86 3e la fórmula del hidró#ido, hidró#ido, identifica el metal y su E!
a

@b>

b

Du>

MEAL E")"

N)MENCLAURA CL

c In(>)5 d

Dg>

e

Ti(>)'

f

Ca(>)

g

Cu>

h

#b(>)'

i g(>) H6 Escriba Escriba la fórmula fórmula del ó#ido ó#ido básico básico y luego luego la fórmula fórmula del hidró# hidró#idoidoN)MBRE DEL /ID) B
a Q#id Q#ido o de alum alumin inio io b <#id <#ido o aúr aúric ico o c Q#id Q#ido o de de ttit itan anio io 5$6 5$6 d <#id <#ido o de de gal galio io e <#id <#ido o de de coba cobalt lto o 5$$$ 5$$$66 f <#id <#ido o merc mercur uriioso oso g Q#id Q#ido o platí platíni nico co h Q#id Q#ido o de de ffie ierr rro o 5$$ 5$$66 i Q#id Q#ido o de de fra franc nciio

./RMULA DEL /ID) B
0R)CES)

./RMULA DEL IDR/ID)

*6 ' partir de la fórmula fórmula identifica identifica el tipo de ó#ido 5básico 5básico,, ácido6 o hidró#id hidró#ido o y escriba su nomenclatu nomenclatura ra 5clásica y stocB6./RMULA DEL C)M0UES)

I0)

0R)CES)

N)MENCLAURA CL

a `n5i8
I0)

0R)CES)

a Q#id Q#ido o de de mag magne nesi sioi oio o b 'nhi 'nhidri drido do perb perbró rómi mico co c Q#id Q#ido o de de cob cobre re 5$$6 5$$6 d Q#ido de fósforo 56 e Cidró#ido plumboso f Cidró#ido de litio g 'nhidrido hipoyodoso h Q#ido frrico i Cidr Cidró# ó#id ido o de de hol holmi mio o  'nhidrido hipocloroso .ECA DE REVISI/N .IRMA DEL 0R).ES)R .IRMA DEL 00".." ) A0)DERAD)

I I 8++G


./RMULA

m

G U Í A D E A P R E N D I Z A J E N º 1 8 TEMA: omenclatura inorgnica * CONTENIDOS: ]cido hidrcido 9 o!cido. o!cido. Jormulaci"n. omenclatura omenclatura

%> 4on compuestos que poseen en su estructura molecular uno o más átomos de 17 .UNCI/N 4on hidrógeno! 4e clasifican en dos gruposcidos hidrácidos  cidos o#ácidos 

'7 CARA CARAC CER ER=S =S ICA ICAS!: Entre características principales tenemosa7 1ambian de color a los indicadores57 #7 d7 e7

'l PAPEL TORNASOL lo vuelven de color ROJO 1on la FENOLFTALEINA se torna INCOLORO 1orroen a los metales )resentan sabor agrio >eutrali"an a los hidró#idos o bases, perdiendo todas sus propiedades En solución acuosa, conducen la corriente elctrica!

37
4e obtienen de combinar el hidrógeno con el no metal de los grupos $:' y $$:' El hidrógeno actúa con la '2E>1$'- 7.6

4u formulación general es-

m:  C7.

3ondem  4ímbolo del no metal C  4ímbolo del hidrógeno   alencia del no metal

El no metal de los grupos $ U ' y $$ U ', actúan con el estado de o#idación que se indica en el cuadro aduntoGRU0) DEL N) MEAL S=MB)L) DE L)S ELEMEN)S JU=MIC)S VALENCIA

VI T A

V II T A

-2

- 1

*6 N)MENCLAURA CL 4e escribe la palabra genrica ÁCIDO seguido del nombre del no metal terminando en el sufio C3@$1<, como se indica en el siguiente cuadro :

DÓ C

Es+&i#o $! <=&u$! qu"i+! %e$ '+i%o >i%&'+i%o@ en e$ +u!%&o !%unto

.)RMULACI/N

a

C7.4 : 8

b

C7.$ : .

c

C7.?e: 8

d

C7.= : .

e

C7.4e : 8

&

C7.Ar : .

g

C7.1l : .

./RMULA

N)MENCLAURA CL
I%enti+o e$ tio %e noen+$!tu&!  es+&i#o $! <=&u$! %e$ '+i%o >i%&'+i%o

0R)CES)

./RMULA

a cido clorhídrico b cido bromhídrico c cido selenhídrico d cido fluorhídrico e cido yodhídrico & cido ?elurhídrico g cido sulfhídrico -7 4on compuestos ternarios  

@esulta de combinar el ó#ido ácido 5anhídrido6 con el agua 4e diferencia del ácido hidrácido porque en su estructura presenta uno ó más átomos de o#ígeno

4u formulación general, se indica en el siguiente cuadro3ondeCAS)S ES0ECIALES 3ondeVALENCIA IM0AR VALENCIA 0AR B T 0 T As T S57  m 4ímbolo del no metal  < Cm o#ígeno! + M + .4ímboloCdel CHm+ M + H +M + 8 8m   alencia del no metal 8 8 8 C  4ímbolo del hidrógeno

D C 67 N)MENCLAURA CL 4e considera el nombre del anhídrido del cual proviene el ácido, como se indica :

I%enti+o e$ no et!$  su &ese+tiFo E(O(  e$eo $! &eg$! que $e +o&&eson%! !&!

N)MBRE DEL
N) MEAL E")"

0R)CES)

./RMULA

a cido hiposulfuroso b cido bismútico c cido crómico d cido mangánico e cido nitroso

I%enti+o e$ no et!$  su &ese+tiFo est!%o %e o?i%!+i=n  %ete&ino e$ no#&e %e$ '+i%o

./RMULA DEL N) MEAL DEERMINACI/N
a

C84<8

b

CAr<8

c

C84e<*

d

C>
e

CH)<8

0R)CES)

N)MENCLAURA

I7 MARCA LA RES0UESA C)RRECA, CUHA USI.ICACI/N DEBE INDICARSE EN EL CUADERN):

.6 El ácido resulta de combinar el ó#ido ! ! ! ! ! ! ! a6 C84<8 b6 C84!'! a6 no metal U agua b6 ácido U o#ígeno /6 El estado de o#idación del ?e en C8?eeutrali"a al hidró#ido ..6 El estado de o#idación del $ en C$ c6 ?iene sabor agrio a6 : 8 b6 8 c6 U . d6 . e6 H d6 Es un compuesto ternario e6 El elemento es no metal .86 El E!< $$6 C1l $$$6 C84<* .H6 =órmula del ácido o#ácido, escrita $6 CAr 6 C$ correctamente esa6 $U$$ b6 $$U$$$ c6 $$$U$ a6C'u< b6 C1a c6 k<8 $$$6 1l8CF $6 C>< $$6 C1l $$$6 C84 $6 C84<* $6 CAr 6 4< $6 C=

4on ácidos hidrácidosa6 $U$$ b6 $$U$$$ d6 $U$ F6 =órmula del ácido bromhídrico a6 Ar8< b6 Ar8C d6 Ar
c6 $$$U$ e6 $U$$$ c6 CAr e6 Ar5
6 2a fórmula del ácido hiperclórico esa6 C1l< b6 C1l<8 c6 C1l!'! D6 2a fórmula del ácido selenhídrico esa6 4e8< b6 C4e c6 C84e d6 C4e< e6 4e5
a6 8

b6 H

c6 *

d6 F

e6 

.F6 2a relación incorrecta esa6 C$Uc! yodhídrico b6 C1< es ácido ! ! ! ! ! ! ! ! y la fórmula de ácido sulfhídrico es ! ! ! ! ! ! ! ! a6 nitrhídricoUC4 b6 nitrosoUC48 c6 hiponitrosoUC4 d6 hiponitrosoUC84 e6 hipernitrosoUC84

II7 C)M0LEA L)S CUADR)S SEGN C)RRES0)NDA:

.6

3educir el nombre de los ácidos indicados en el siguiente cuadro! ./RMULA DEL N) MEAL DEERMINACI/N
0R)CES)

N)MENCLAURA

C81
86 3educir la fórmula de los ácidos o#ácidos indicados en el cuadro aduntoN)MBRE DEL
a cido hipobromoso b cido vanádico c cido hiponitroso d cido manganoso e cido sulfúrico & cido bórico g cido fosforoso

h cido hipoyodoso i cido selnico  cido hiperclórico

N) MEAL E")"

0R)CES)

./RMULA

P

H6 ' partir de la fórmula identifica el tipo de función química- ó#ido 5básico, ácido6, hidró#ido o ácido 5hidrácido u o#ácido6 y escriba su nomenclatura clásica./RMULA DEL C)M0UES)

I0) DE .UNCI/N JU=MICA

0R)CES)

N)MENCLAURA CL
a )b5
ELEMEN) E")"

0R)CES)

./RMULA

a Q#ido plumboso b Cidró#ido de sodio c cido sulfúrico d 'nhidrido perbrómico e cido arseníco & Q#ido de fierro 5$$6 g 'nhidrido hipocloroso

h cido fosfórico i Cidró#ido cuproso

I7


.6 El ácido resulta de combinar el anhidrido cona6 o#ígeno b6 no metal c6 hidrógeno d6 agua e6 ?!'! 86 2a proposición correcta de la función ácido esa6 )resenta grupo C7 b6 1orroen a los metales c6 4on hidrácidos u o#ácidos d6 >eutrali"a al hidró#ido e6 ?!'! H6 3e las fórmulas químicas, son ácidos o#ácidos$6 C$< $$6 C84 $$$6 C81
/6 El estado de o#idación del 4e en C84e<* a6 : 8 b6 8 c6 H d6 * e6  .+6 El estado de o#idación del Ar en CAr<* a6 : 8 b6 8 c6 H d6  e6 D ..6 El estado de o#idación del = en C= a6 : 8 b6 8 c6 U . d6 .

e6 H

.86 El estado de o#idación del 4 en C84 a6 : 8 b6 8 c6 U . d6 .

e6 H

.H6 =órmula del ácido, escrita correctamente esa6 15
a6 $U$$U d6 $U$$U$

b6 $$U$$$

c6 $$$U e6 $U$$$

F6 2a fórmula del ácido fluorhídrico a6 =8< b6 =8C c6 C= d6 =
e6 =<

.F6 2a relación incorrecta esa6 C84Uc! sulfhídrico b6 CAr
6 =órmula del ácido cloroso.6 2a relación incorrecta esa6 C1l< b6 C1l<8 c6 C1l!'! a6 C$Uc! yodhídrico b6 C$!'! e6 hipernitrosoUC84 II7 C)M0LEA L)S CUADR)S SEGN C)RRES0)NDA:

.6 3educir la fórmula de los ácidos o#ácidos indicados en el cuadro aduntoN)MBRE DEL
N) MEAL E")"

0R)CES)

./RMULA

a cido hipomanganoso b cido cromoso c cido nítrico d cido bismutico e cido antimónico & cido fosfórico g cido bromoso

h cido yodoso i cido selenioso  cido hipofosforoso

H6 ' partir de la fórmula identifica el tipo de función química- ó#ido 5básico, ácido6, hidró#ido o ácido 5hidrácido u o#ácido6 y escriba su nomenclatura clásica./RMULA DEL C)M0UES)

a k8
I0) DE .UNCI/N JU=MICA

0R)CES)

N)MENCLAURA CL
l CH)
N) MEAL E")"

0R)CES)

a Q#ido aúrico b Cidró#ido cobáltico c cido selenhídrico d 'nhidrido perclórico e cido crómico & cido selenioso g 'nhidrido bórico

h cido nítrico i Cidró#ido plúmbico  cido fluorhídrico B cido hiprbrómico l cido arsenioso

m cido yodoso n Cidró#ido cúprico ñ cido hipocloroso o Q#ido de aluminio .ECA DE REVISI/N .IRMA DEL 0R).ES)R .IRMA DEL 00".." ) A0)DERAD)

I I 8++G


./RMULA

GUÍA DE APRENDIZAJE Nº 19 TEMA: omenclatura inorgnica 3 CONTENIDOS: @adicales. Jormulaci"n. omenclatura

17 C)NCE0)!> 2lamados tambin iones! Es un átomo o grupo de átomos cargados elctricamente, que

se forman debido a la prdida o ganancia de electrones, generando 

$ón positivo 5catión6 $ón negativo 5anión6

D C

A !&ti& %e$ e$eento qu"i+o in%i+!%o &e&esento e$ +!ti=n !ni=n &ese+tiFo

ELEMEN) 0IERDE JU=MIC)

O$! M%$*$/!

1 % 2 %

RE0RESENACI/N DEL CAI/N

A*

A*1

A*1

ELEMEN) JU=MIC)

GANA

C'!$! A*

%$1 % 2 %

RE0RESENACI/N DEL ANI/N

C' 

C'1

C'1

'7 CAI/N%> 5$ón positivo6 4on aquellos de carga elctrica positiva, debido a le prdida de electrones!

?ambin se puede decir que se genera por la ganancia de protones 5C 76!

4e les nombra según la nomenclatura stoB y clásica, como se indica en el cuadro adunto!

Es+&i#o $! <=&u$!  noen+$!tu&! sto+  +$'si+! %e$ +!ti=n %e !+ue&%o !$ ee$o in%i+!%o

CAI/N

a b c d e

A*1 H2 C!2

A*1 H2


A* H

IGn o6o )I+ IGn 4e65u6io )II+

N)MENCALURA CL
IGn ,u6oso IGn 4e65H6i5o

P#4 N(

37 ANI/N%> 5$ón negativo6 4on aquellos de carga elctrica negativa, debido a la ganancia de electrones!

?ambin se puede decir que se genera por la prdida de protones 5C 76!

3e acuerdo al número de átomo se clasifican en- monoatómicas y poliatómicas!

3"1 Monoat8%i#as%> )ara nombrarlos se les añade el trmino 0@<, precedido del trmino ión!  $ón negativo 5anión6

Es+&i#o $! <=&u$!  noen+$!tu&! &ese+tiF! %e$ !ni=n %e !+ue&%o !$ ee$o in%i+!%o

a b c d e f

6. )*'7+&$/! A. '!$7+&$/! A. #$!"7+&$/! A. )%'%-7+&$/! A. :!&7+&$/! A. ;%'*$7+&$/!

H2S HC3 H9$ H2S% HI H2T%

ANI/N ./RMULA 2

S

2

S

N)MBRE 8

S

S*'4*$!

3"' 0o!iat8%i#as%> )rovienen de quitar . ó más iones hidrógeno 5C 76 a los ácidos o#ácidos! 4e les nombra cambiando el sufio <4< por $?< 5<4$?<6  $1< por '?< 5p$1< de p'?<6

D C

De%u,+o $! <=&u$! noen+$!tu&! %e$ '+i%o  !ni=n &ese+tiFo %e !+ue&%o !$ ee$o in%i+!%o

a b c d e f g h i 

I7

ANI/N ./RMULA

A. -+;$ICO A. #$!"OSO A. ($#ó-ICO A. ;%'*$OSO A. !)ó$ICO A. $ó"ICO A. 7/>!-/;$OSO A. )*'?$ICO A. '!$OSO A. 7/>!:!&OSO

N2O5  H2O  H2N2O  HNO3 9$2O3  H2O  H29$2O4  H9$O2

./RMULA

N)MBRE



C)M0LEA L)S CUADR)S SEGN C)RRES0)NDA:

.6 ' partir del ácido mencionado, dedu"ca su nombre, luego la fórmula y nomenclatura del radicalN)MBRE

a c! nítrico b 'c! clórico c 'c! perclórico d 'c! sulfhídrico e 'c! hipocloroso f 'c! mangánico g 'c! bromhídrico h 'c! bórico i 'c! perbrómico  'c! sulfúrico B 'c! clorhídrico l 'c! yódico m 'c! carbónico n 'c! fosfórico ñ 'c! brómico o 'c! clóroso p 'c! hiponitroso q 'c! fosforoso r 'c! manganoso s 'c! bromoso t 'c! yodhídrico

./RMULA

ANI/N N)MBRE

P

86 En el cuadro dedu"ca la fórmula del radical, de acuerdo al ácido dado./RMULA DEL ANI/N

a 51
0R)CES)

N)MENCLAURA

U8

b 54e
U 8

c 54<*6 U 8 d 5?e<*6

U 8

e 5>
U

h ArU. i 5)
U. U

l 5Ar<86 m 5?e
U8

n 54<86

U8

ñ 51l<*6

U

o 54e<86

I7

U

U8

C)M0LEA L)S CUADR)S SEGN C)RRES0)NDA:

.6 ' partir del ácido mencionado, dedu"ca su nombre, luego la fórmula y nomenclatura del radical
a c! bórico b 'c! cloroso c 'c! yódico d 'c! clorhídrico e c! teluroso f 'c! hiperbrómico g 'c! hipomanganoso h 'c! telurhídrico i 'c! brómico  c! vanádico B c! carbónico l 'c! cloroso m 'c! yodoso n 'c! sulfhídrico ñ c! hipoyodoso

./RMULA

ANI/N N)MBRE

o c! nítrico 86 En el cuadro dedu"ca la fórmula del radical, de acuerdo al ácido dado./RMULA DEL ANI/N

a 54i

0R)CES)

N)MENCLAURA

U* U H

c 54e
U

e 5>
U .

h 1l U. i 51l <6 U .  5$<*6 .ECA DE REVISI/N .IRMA DEL 0R).ES)R .IRMA DEL 00".." ) A0)DERAD)

U.

I I 8++G


I(E(P( 1i&gen %e

ECLBIA 1+'/) 0 2ro

REA A I C N E I C A I B  L  N

34EL

0 *E"53/'+4' /E (E3)+E*

"4"L)

0 4

I V BI MESTRE

INDICE I BI*ESTRE De$ )7 %e O+tu#&e !$ ) %e Di+ie#&e

/UHA N, 1 (ACTORES ABI-TICOS DEL ECOSISTEMA &&&&&&&&%%12'  $nteracción entre los organismos y sus medios recursos abióticos /UHA N, 16 (ACTORES BI-TICOS&&&&&&&&&&&&&&&&&&&%132 

@elaciones entre los seres vivos cadenas tróficas U pirámides tróficas

/UHA N, 1' CONTAMINACI-N&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&%13 

@elaciones entre los seres vivos

/UHA N, 18 LOS REINOS DE LA NATURALE?A&&&&&&&&&&&&&%%13Q  2os seres uni y pluricelulares

1uadro de revisión de las guías, cuaderno y e#tensionesREVISI-N =E1C' =$@M' 3E2 ))!==!

/UHA

CUADERNO

EFTENSI-N

1uadro de programación de prácticas calificadasN, DE "%C% =E1C' >
01

02

03

0@

0

06

GUHA N° )9: ACTORES ABI/TICOS DEL ECOSISTE*A

ECOSISTEMA Es un área muy complea constituido por factores abióticos 5lu", agua, temperatura6 denominados biotipo y factores b*tc#$ 5animales, plantas, protistas, bacterias6 denominado b#ce+e$$! 3ebe e#istir una entrada y una pálida continua de energía! 4e dividen en 8 grandes clases- los terrestres y los acuáticos! )ese a sus grandes diferencias ambos poseen los mismos componentes ecológicos y funcionan de manera similar! En los dos encontramos organismos autótrofos o productores y organismos heterótrofos o consumidores! BIOTO"O 1ada especie necesita ciertos materiales y determinadas condiciones ambientales para poder crecer y reproducirse! El hecho que encontremos un ser vivo en cierta región es el resultado de una complea interacción de factores físicos 5temperatura, lu", humedad, salinidad, presión, suelo6 y de factores biológicos 5plantas, animales, etc!6! Estos factores definen el +c# ec#l*c# 5función, papel6 que cumple cada organismo! 2a distribución de cada especie está determinada por sus límites de tolerancia a las variaciones en cada uno de los factores ambientales! La lu) 1onstituye la fuente de energía primaria para los organismos fotosintticos! El fluo de lu" es un ecosistema influye sobre el comportamiento adaptativo de animales y plantas, determinando la fotoperiocidad, es decir la respuesta fisiológica de las variaciones de la lu"!  Eect# $#bre l#$ a+!ale$%> 2os animales desarrollan sus actividades principales basándose en la intensidad de la lu"! El ritmo reproductivo y migratorio tambin depende de la intensidad de lu" diaria!



Eect#$ $#bre la$ la+ta$!: 2a mayor parte de las plantas son heliofilas, es decir, requieren lu" intensa, algunos como los musgos son esciófilas, es decir, requieren poca lu"! En las "onas donde se diferencian notoriamente el invierno del verano, la floración de las plantas es influida por el aumento de lu" 5plantas de día largo6 o por la disminución 5plantas de día corto6!

La te!eratura a!be+tal 2a temperatura nos informa sobre el calor acumulado en el ecosistema! $nfluye sobre el comportamiento de los animales, así los animales desrticos buscan alimento en la noche, donde los efectos del calor son menores! 2os animales eurter!#$ toleran grandes variaciones se temperatura, mientras que los e$te+#ter!#$ no toleran dichas variaciones! 2as aves y los mamíferos mantienen su cuerpo a temperatura constante, llamándose #!e#ter!#$ pues poseen mecanismo termorreguladores como los tegumentos que los aislan del medio ambiente! El resto de animales vertebrados, peces, reptiles son #ul#ter!#$ por lo que su temperatura es variable, dependiendo del ambiente! 1uando un homeotermo disminuye su temperatura corporal como sucede durante el sueño invernal se le llama eter#ter!#%

La c#+ce+trac c#+ce+trac*+ *+ de Sale$ Este factor afecta principalmente a los organismo acuáticos; lo cuales están adaptados ya sea el agua dulce o salada; estos organismos se denominan e$te+#al+#$ tales como los peces de río y de mar! 2os organism organismos os tolera tolerante ntess de varia variacio ciones nes de sal son eura eural+ l+#$ #$ como los peces de estuarios estuarios y peces migratorios! migratorios! 2as plantas se distribuyen distribuyen según su capacidad capacidad para vivir en suelos salinos 5halofitas, em! grama salada6 o pobre en sal 5glucositas, la mayoría6! Aua El agua estancada almacena calor y la evaporación origina la humedad atmosfrica permitiendo la vida de animales y plantas! 2a humedad del suelo afecta la distribución de las plantas adaptadas a una humedad específica! "la+ta$ dr*la$%> )lan )lanta tass acuá acuáti tica cas, s, pos poseen een neum neumat atóf ófor oros os 5flotadores6 y raíces capaces de absorber los nutrientes disueltos en el agua! Eemplo- victoria regia, lirio de agua etc!

"la+ta "la+ta$$ r* r*la la$ $ @equieren suel suelos os con con much muchaa hume humeda dad! d! Eemplo- el plátano y los helechos!

"la+ta$ !e$*la$ @equieren pequeña "la+ta$ er*la$er*la$- Están adaptados a suelos cantidad de humedad, pero de forma con poca humedad como los ambientes de los desiertos fríos y cálidos! ?emplos- 1actus, constante! Eemplo- )lantas frutales! tuna!

E$tructura del $uel# 2a estructura y composición del suelo determina la distribución de la biom biomas asaa vege vegeta tal! l! En el suel suelo o se dist distin ingu guen en vari varias as capa capass a las las cual cuales es se denom denomin inan an hori"ontes! .#r)#+te$ O Mantillo Mantillo de hoas y detritos detritos orgánicos! orgánicos! 3esintegració 3esintegración n gradual, gradual, materia materia orgánica parcialmente descompuesta! .#r)#+te A1 1apa superficial rica en humus, materia orgánica es desintegración muy avan"ada con presencia de raíces, actividad microbiana alta y organismos diversos!

.#r .#r)# )#+t +te e A2 A2 2os materia materiales les disuel disueltos tos por el agua agua son arrast arrastra rados dos hacia hacia abao! abao! ?ambin ?ambin llamado "ona de lavado y hori"onte de transición! .#r .#r)# )#+t +te e B =ormado por un componente mineral muy desmenu"ado! 1olor roi"o debido a la acumulación de ó#idos de hierro, aluminio, así como arcilla, con menor actividad microbiana! .#r)#+te C =ormado por fragmentos de rocas poco desmenu"adas capa donde la roca madre está en proceso de meteori"ación! 'ctividad microbiana generalmente muy baa! R#ca !adre arcal!e arcal!e+te +te racturad racturada a El agua puede filtrarse por las grietas! @oca madre que origina al suelo! La "re$*+ =acto =actorr abióti abiótico co que puede ser atmosfrico e hidrostático! 2a presión atmosfrica tiene un valor de D++mm! de Cg a nivel ivel del del mar! ar! En la altur lturaa, la pres presió ión n atmo atmosf sfri rica ca dism dismin inuy uyee y con con ella ella la cant cantid idad ad de o#íg o#ígen eno o disponible! ' ++ m sobre el nivel del del mar, ar, la pres presiión parc parciial del del o#ígeno es sólo de G+ mm Cg, los animales como la llama, vicuña y aves de los andes se han adaptado aumen umenta tand ndo o el núm número ero de sus sus glóbulos y por ende la hemoglobina! 2a presión hidrostática aumenta a ra"ón de una atmósfera por cada .+ metros de profundidad en el agua! El hombre soport soportaa hasta hasta  atmósf atmósfera eras! s! Muchos Muchos peces peces poseen poseen veiga veiga natatoria, que es una cámara que se llena de aire y funciona como un flotador! 2os organismos que viven por debao de los F+++ m! suelen ser planos por la elevada presión! Eemplo- los peces abisales los organismos que toleran grandes presiones se denominan bar*l#$! bar*l#$!

.bta .btat t Es el espacio geográfico limitado donde un individuo o población desarrolla sus actividade actividades! s! 'lgunos organismos tienen hábitat muy variados, variados, eur#c#$, eur#c#$, mientras otros tienen habitat limitado estenoicos!

P&'+ti+! %e C$!se I%

Re$ Re$#+ #+de de c#rr c#rrec ecta ta!e !e+t +te e a la$ la$ $u $ue e+t +te$ e$ re reu+ u+ta ta$ $ .! 2a respu respues esta ta fisi fisiol ológi ógica ca que que emit emitee un orga organi nism smo o ante ante las las vari variac acio ione ness de lu" lu" se denominaa6 fotoperíodo b6 nastia c6 fotoperiocidad d6 tropismo e6 refleo 8! 2os factore factoress que condic condicion ionan an o limita limitan n a los seres seres vivos vivos a determina determinados dos regione regioness se denominaa6 bioma b6 fotoperiocidad c6 clima d6 biotopo e6 biocenosis H! 2a capa del del suelo rica rica en humus humus y presenta presenta elevada elevada activid actividad ad microbiana microbiana esesa6 Cori Cori"o "on nte < b6 Cori" ori"o onte nte '. c6 Cori" ori"o onte nte 3 d6 Cori Cori""onte onte A e6 Cori Cori"o "ont ntee 1 *! 4i un e#ceso e#ceso de nutrientes nutrientes llega llega a un lago y provoca provoca la prolifera proliferación ción de algas algas y plantas plantas a este fenómeno se le denominaa6 Ecotono b6 1omensalismo c6 climas d6 eutroficación e6 amensalismo F! El papel papel de bacterias bacterias y hongos hongos dentro dentro de la la cadena cadena trófica trófica permitepermitea6 =luo de energía d6 @ecirculación de nutrientes b6 1ontaminación del suelo e6 'umento de la densidad poblacional c6 Mayor diversidad poblacional ! El área de distribuc distribución ión del organismo organismo representa representa su su [!!! mientras mientras que que su función función en el ecosistema representa el [[[[! a6 Aiotopo U nivel trófico d6 Cábitat U nicho ecológico b6 >icho ecológico : hábitat e6 Aiotopo U nicho ecológico c6 Cábitat : biotopo D! 2a comu comuni nida dad d biót biótic icaa es resu result ltad ado o de un larg largo o proce proceso so evol evolut utiv ivo o vinc vincul ulad ado o a las las condiciones ambientales! 2as plantas con mayor tolerancia a la lu" solar son llamadasa6 Eurohalinas b6 Estenotermas c6 Aarófilas d6 =otófilas e6 Eurióticas G! 2os organismo organismoss que viven viven en el fondo fondo marino como como cangreos cangreos y bival bivalvos vos están están en una región denominadaa6 >eustónica b6 )elagia c6
P&'+ti+! Doi+i$i!&"! .! Elabora Elabora un vocabu vocabulario lario con los los siguient siguientes es trminostrminos       

Ecosistema Ecología Aiotopo Aiocenosis Ecósfera 'utótrofa Ceterótrofo Celiófilo

       

Esciófilo Comeotermo )iquilotermo Ceterotermo Estenohalino Eurihalinos Calofita (lucofila

      

Cidrofilo Cigrófilo Mesófilo erofilo Aarófilos Euriocos Esteroicos

8! Elabora un mapa conceptual identificando a cada componente de los medios acuático, terrestre y areo! H! $dentifica correctamente los elementos bióticos de los humedales de illa María! *! $dentifica las características de los medios siguientes- )raderas, desiertos, bosques de conífera 5boreales o de taiga6, bosque deciduo, selva tropical, tundra! F! \Su es un ecosistema] \Su elementos lo integran] 3escribe alguno pró#imo a tu casa o a tu colegio o región] ! \Su diferencia hay entre hábitat y nicho ecológico] $ndica qu representan estos dos trminos en el caso de la rana de un estanque grafica! D! \1uál es el nicho ecológico de las aves marinas] (rafica!

GUHA N° ): CONTA*INACI/N A*BIENTAL "e4,s: Int6ou55iGn Juentes e 5ont,4in,5iGn 5onse5uen5i, e 3, 5ont,4in,5iGn$ I%

INTRODUCCI-N 4e llama C#!u+dad B*tca al conunto de poblaciones que viven en una "ona definida esta puede ser amplia o reducida! 2a interacción de los diversos tipos de organismos conservan la estructura y la función de la comunidad!

II%

NIC.O ECOLO/ICO Es la totalidad de adaptaciones, el uso de recursos y el estilo de vida al cual está acoplado un ser vivo, es decir $u r#e$*+% )or eemplo- El nicho ecológico de una pulga no es el perro, sino el tipo especial de vida de la pulga, adaptado como un parásito!

III%

BIOCENOSIS 5COMUNIDAD BIOL-/ICA 2os organismos de una comunidad se agrupan en categorías y desempeñan funciones de productores, consumidores y desintegradotes! 2os r#duct#re$ elaboran molculas orgánicas compleas a partir de sustancias inorgánicas simples, para lo cual usan la

energía como la del sol! 2os c#+$u!d#re$ utili"an el cuerpo de otros organismos, incluyendo el de otros consumidores como fuente de energía alimenticia! 'lgunos son c#+$u!d#re$ r!ar#$ como los herbívoros, por eemplo la llama, alpaca y vi"cachas! 2os c#+$u!d#re$ $ecu+dar#$ incluye a los depredadores carnívoros, por eemplo el pluma, el "orro!
IV%

CADENAS: REDES  "IR4MIDES ALIMENTICIAS El número de organismos de cada especie es determinado por la velocidad del fluo de energía por la parte biológica del ecosistema! 2a transferencia de la energía alimenticia desde su origen en los productores a travs de una sucesión de organismos, cada uno de los cuales devora al que le procede y es devorado a su ve" por el que le sigue, se llama cade+a al!e+tca% El conunto de cadenas de ecosistema constituye una red al!e+tca! El número de eslabone de la cadena es limitada 5a no más de cuatro o cinco6 esto se debe a la gran prdida de energía en la transmisión! El fluo de energía en los ecosistemas 5procedente de la lu" solar por medio de la fotosíntesis6 determina el peso total y número de cada organismo en el ecosistema! 2a pirámide alimenticia nos da referencia del número de organismos en cada nivel trófico! Es mayor en los niveles inferiores y menor en los niveles superiores!

RELACINES !ILKBICAS

A

B

I%

RELACIONES INTRAES"ECH(ICAS
II%

RELACIONES INTERES"ECH(ICAS 1uando interactúan de manera que ambos se benefician y no pueden vivir sin ella! Eemplo- 2as bacterias fiadoras de nitrógeno y las plantas leguminosas, los líquenes, las micorri"as! A%2% "r#t#c##erac*+%> 3os individuos se benefician de la asociación, pero pueden sobrevivir sin ella! Eemplo- cangreo que se camufla en celentreos! A%3% C#!e+$al$!#%> 0n individuo llamado inquilino vive dentro o sobre otro 5hospedador6 obteniendo protección! Eemplo- pe" gatillo y pepino de mar! I+teracc#+e$ +eatGa$ 1uando un individuo sufre daño o peruicio! B%1% C#!ete+ca%> 3os individuos luchan por la e#istencia, debido a que tienen el mismo nicho! B%2% A!e+$al$!#%> 0n individuo produce sustancias químicas que inhiben el desarrollo de otro! 4i son microorganismos se denomina a+tb#$

%$ Eemplo- )enicillium, sp! secreta penicilina que destruye bacterias! En plantas superiores se denomina alel#at;a% B%3% "ara$t$!#%> 0n individuo 5depredador6 mata a otro 5presa6 para alimentar de ella! Eemplo- 2echu"a y ratones!  



SIMBOSIS 2iteralmente significa GGr u+t#$% 4e define como la interacción estrecha de organismos de diferentes especies! 2a simbosis incluye al parasitismo, comensalismo, mutualismo, inquilinismo y protocooperación!

SUCESI-N ECOL-/ICA 2as comunidades de desarrollan en forma regular a travs de una serie de etapas hasta que alcan"an un estado de madure" o clima#! El proceso se desarrollo de una comunidad, se llama sucesión! )or eemplo, luego de una erupción volcánica sobre la lava fría, puede observarse primero una comunidad de líquines, seguida por musgos y helechos! Estas plantas luego serán sustituidas por pastos y hierbas, luego por arbustos pequeños y árboles de bosques en diferentes etapas! 1ada sucesión se llama seres!

GUHA N° ): CONTA*INACI/N A*BIENTAL "e4,s: Int6ou55iGn Juentes e 5ont,4in,5iGn 5onse5uen5i, e 3, 5ont,4in,5iGn$ I%

INTRODUCCI-NEs contaminación cualquier cambio abrupto en las características físicas, químicas o biológicas del ambiente 5tierra, aire, agua6 que puede afectar o afecta perudicialmente a la vida humana u otras especies vivas! 2a contaminación tambin afecta los procesos industriales, bienes culturales y deteriora los recursos naturales!

II%

(UENTES DE CONTAMINACI-N 2a mayor parte de los elementos contaminantes son residuos de las actividades humanas! El incremento de poblaciones y la falta de control en el procesamiento de los desechos incrementan la cantidad de contaminantes!

En los países industriali"ados la mayor proporción de contaminación proviene de los procesos productivos y transporte, un fenómeno semeante ocurre en los países subdesarrollados como consecuencias de las actividades e#tractivas 5minería, petróleo6, industria, transporte y la acumulación de desechos orgánicos 5basura6! 2a contaminación de los países industriali"ados, sin embargo, tambin alcan"a a los demás por su distribución a travs de la atmósfera! III%

CONSECUENCIAS DE LA CONTAMINACI-N A Eect# I+Ger+ader# 4e denomina así al conunto de fenómenos derivados del sobrecalentamiento de la atmósfera terrestre! 2a causa fundamental es la sobreacumulación de contaminantes gaseosos y particulados capaces de ab$#rber energía; el más importante es el 1<8 cuya concentración es crítica en las grandes ciudades y centros industriales! 2as consecuencias del sobrecalentamiento es la muerte progresiva de especimenes particulares sensibles al calor, disminución de la productividad agrícola y ganadera y en general la formación de grandes áreas carentes de vegetación! B LluGa cda Es la precipitación líquida que contiene grandes cantidades de sustancias ácidas, por la reacción entre los gases sulfurados 54<8, 4

D La de$trucc*+ de la caa de #)#+# El o"ono es un gas que en contacto con la materia orgánica se comporta como un ponente o#idante, sin embargo en la atmósfera al entrar en contacto con las radiaciones solares reacciona absorbiendo las radiaciones ultravioletas! 3e este modo el
P&'+ti+! %e C$!se I%

Re$#+de la$ $ue+te$ reu+ta$: u$tca+d# tu re$ue$ta e+ tu cuader+# .! El plancton presenta dos componentes- el fitoplancton y el "ooplancton, al primero se le considera un organismo debido a quea6 4e come el "ooplancton d6 Cace fotosíntesis b6 Es un depredador e6 4on consumidores terciarios c6 Es mutualista con los peces 8! 1uando dos especies coe#isten con beneficio mutuo, se denominaa6 3epredación b6 1olonia c6 )arasitismo d6 )rotocooperación e6 1ompetencia H! El proceso de cambios en el ecosistema se denomina-

a6 competencia b6 mutualismo c6 sucesión ecológica d6 biotopo e6 biocenosis *! 1uando el fluo de energía es mayor entonces la comunidad biológica llegaa6 'l declive c6 'l clima# e6 ' la contaminación b6 ' la autrotificación d6 ' la depredación F! 4e considera a[ como organismos descomponedoresa6 2as plantas c6 2os anfibios b6 2os mamíferos d6 2as bacterias

e6 2as aves

! 4i dos polluelos de cóndor no se abastecen de alimento y uno llega al e#tremo de comerse al otro, entonces ha e#istido un caso dea6 $nquilinismo c6 1ompetencia e6 'ntibiosis b6 )arasitismo d6 )rotocooperación D! En la región andina encontramos al puma y al "orro que en este ecosistema tiene como nicho ecológico sera6 1onsumidor primario c6 1onsumidores secundarios e6 1onsumidores terciarios b6 )roductores d6 =otosíntesis G! El roedor más grande del planeta el R#+$#c# se alimenta del forrae por lo tanto es una6 1onsumidor secundario c6 1onsumidor primario e6 3escomponedor b6 )roductor d6 1onsumidor terciario /! 3os o más especies entran en competencia cuandoa6 ?ienen ecosistemas diferentes d6 1uando comparten su biotopo b6 >o se alimentan de los mismo e6 iven en el mismo ecosistema c6 ?ienen el mismo nicho ecológico .+! El desgaste observado en las estatuas es manifestación dea6 2a corriente del niño d6 2a lluvia ácida b6 El efecto invernadero e6 2a destrucción de la capa de o"ono c6 2a eutroficación

P&'+ti+! Doi+i$i!&"! .!

Elabora un vocabulario con los siguientes trminos      

1omunidad biótica >icho ecológico )oblación 1onsumidores 3esintegradores )irámide alimenticia 2íquen

     

'ntibiosis 4imbiosis 'lelopatía )arásito 5endoparásito, ectoparásito6 3epredador $nquilinismo

8! \Su trmino utili"arías para denominar a todos los seres que viven en un árbol] 5ustifica tu respuesta6 H! \Su diferencias hay entre población y comunidad] 1ita un eemplo ilustrativo! *! 1ompara la simbiosis y el parasitismo! 1ita un eemplo ilustrativo para cada caso! (rafica! F! \Su relaciones interespecíficas son perudiciales para al menos uno de dos individuos] 1ita eemplo ilustrativo! (rafica! ! \)or qu se ha reciclar continuamente la materia de un ecosistema] D! \3e qu manera se pierde energía en los ecosistemas] E#plica tu respuesta! G! Enumera los diferentes niveles tróficos de una cadena y pon dos eemplos para cada uno! /! 1ita los tipos de organismos que son imprescindibles para la e#istencia del ecosistema! \1uáles no lo son]! .+!\Su entiendes por sucesión ecológica] \1uántos tipos e#isten] \Su diferencias hay entre ellos] ..! \Su es la niebla fotoquímica] \1ómo se forma] .8! \1uáles son las principales efectos de la contaminación atmosfrica] .H! \Su contaminantes provocan la lluvia ácida] \' partir de qu fuentes se originan] .*!\Su otros tipos de contaminación ambiental e#isten] >ombramiento y hay una descripción ligera! (rafica! .F! @esulta siempre perudicial el efecto invernadero! E#plícalo! .! 1oloca 56 o 5=6 según correspondaa6 El efecto invernadero es causado por un aumento en la concentración de 1<8!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5[[!6 b6 2a desertificación hace que disminuya considerablemente el efecto invernadero!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5[[!6 c6 2a capa de o"ono está formado por una me"cla de <8!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5[[!6 d6 ' partir de ó#idos en suspensión puede formarse la lluvia ácida!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!5[[!6

GUHA N° )8: LOS REINOS DE LA NATURALEZA I%

INTRODUCCI-N ' medida que los biólogos empe"aron a desenredar los hilos de la evolución de las especies, los primeros esquemas de clasificación se modificaron para que reflearán las

relaciones evolutivas! 3esde los tiempos de 'ristóteles, eran considerados dos grandes reinos de organismo, el de las plantas o vegetales y el de los animales! 'ctualmente, desde hace poco más de un siglo, se incrementó el número de reinos o cuatro- el de los moneras, que agrupa a los procariotas; el de los protistas, que estaba integrado por organismos uni o pluricelulares, pero de estructura muy simple y sin teidos, el de las metafitas o vegetales pluricelulares con teidos; y el de los meta"oos o animales pluricelulares! En .// @obert C! KhitaBer propuso el esquema de clasificación de cinco reinos, que tiene amplio uso en la actualidad- monera, protista, fungi, metafitas y meta"oos! II%

CARACTERHSTICAS DE LOS CINCO REINOS )ara colocar un organismo en uno de estos cinco reinos el biólogo se hace las siguientes preguntas.! \4on las clulas del organismos eucarióticas o procarióticos] 8! \Es el organismo multicelular o pluricelular] H! \Es el organismo autótrofo 5elabora su propio alimento6 o es heterótrofo 5se alimenta de otros organismos6] Modo principal de nutrición

Movilidad 5movimiento6

)ared celular

@eproducción

@eino

?ipo 1elular

>úmero de 1lulas

Monera

)rocariótico

0nicelular

'bsorbente o fotosinttica

Móvil y no móvil

)resente)eptidoglicana

(eneralmente ase#ual, rara ve" se#ual

Móvil y no móvil

)resente en formas algales, varía

4e#ual y ase#ual

)rotista

Eucariótico

0nicelular

'bsorbe, ingiere o fotosinteti"a

Meta"oos

Eucariótico

Multicelular

$ngiere

Móvil en alguna etapa

'usente

4e#ual y ase#ual

=ungi

Eucariótico

En su mayoría multicelular

'bsorbe

(eneralmente no móvil

)resentequitina

4e#ual y ase#ual

Metafitas

Eucariótico

Multicelular

=otosinteti"a

(eneralmente no móvil

)resentecelulosa

4e#ual y ase#ual

4in embargo en la actualidad, los biólogos han encontrado dentro del grupo de los moneras grandes diferencias, formándose por tal motivo dos grupos que deben ser colocadas en su propio reino- 'rcheobacterias y eubacterias! )roponiendo por tal motivo seis reinos- 'rcheobacterias, euebacterias, protista, fungi, animalia 5meta"oo6 y plantee 5metafita6! Arce#bactera$ )resentan en su membrana plasmática lípidos que difieren considerablemente de las que poseen las clulas eucarióticas, así como, de las procarióticas, así como tambin en la composición de sus paredes celulares y la secuencia de sus unidades de su!,5te6i,s '@> ribosomal! Ci,no,5te6i,s 1omprenden tres grupos,+ Mone6, a La !ete+a$ Aacterias anaeróbicas que convierten el 1< 8 en metano 51C*  gas Mi5o3,s4,s de los pantanos6!Ri5ettsi,s 4e locali"an en los pantanos, plantas de tratamiento de aguas negras, manantiales calientes, respiradores de las profundidades del mar y los C3,4ii,s estómagos de las vacas! b La$ al*la$ Aacterias que viven en soluciones salinas concentradas como las del A3g,s Mar%6otist, Muerto! + %6otooos c La$ ter!#acd*la$ )rosperan en ambientes calientes y ácidos como en los manantiales a"ufrosos calientes! Musgos 2os análisis recientes de las secuencia de nucleótidos de '@> de las archeobacterias han
Di5oti3eGne,s Mono5oti3eGne,s

+ ungi

e+ Met,oos

i5o4i5etes As5o4i5etes

Di37sti5os

Esongi,6ios Cni,6ios CtenGJo6os %6otoso4,s ,5e3o4,os

%3,te34itos Ne4e6tinos

"6i37s5ti5os

Ne47toos %6otoso4,s seuo,5e3o4,os B,st6ot6i5os RotJe6os A5,nto5Pt,3os ?uino66in5os

%6otoso4,s 5e3o4,os

Siun5u3oieos Equiu6oieos !6iooos ",6tig6,os !6,quiGoos ni5GJo6os AnP3ios Mo3us5os A6t6Goos Equinoe64os

Deute6osto4,s )toos 5e3o4,os+

U6o5o6,os CeJ,3o5o6,os RIENO MONERA- Este reino incluye a los seres vivos de organi"ación procariotaVe6te6,os Co6,os

estructura citoplasmática muy sencilla con carencia de todos los organelos, e#ceptos los ribosomas y lo que es más característico, la ausencia de una membrana nuclear que envuelva al material hereditario! 4on unicelulares y microscópicos; considerados U probablemente los más antiguos o primitivos que surgieron en la evolución biológica sobre la tierra! )ertenecen a este reino- las bacterias, ciano bacterias, micoplasmas, ricBetsias y las clamideas!

III%

BACTERIAS )equeños organismos cuyo tamaño varía desde menos de una micra hasta unas pocas micras! 52os más pequeños  microplasmas6! CARACTERHSTICAS 4u tamaño varía en las diferentes especies, pero todas son microscópicas!  1arecen de membrana nuclear!  )oseen un único cromosoma circular  2os peptidoglicanos, el ácido diaminopimtico y el ácido teicoico son únicos de los procariotas!  2a mureina es un peptidoglicano propio de la pared celular  )resentan un solo organelo  los ribosomas 1arecen de clorofila, pero tienen otros pigmentos fotosintticos como la bacter#cl#r#la 9 la bacter#Grd+a%  )resentan diversas formas- así unas se denominan cocos, bacilos y espirilos!  4u modo de nutrición puede ser autotrófica a heterotrófica!  2a fotosíntesis bacteriana no produce o#ígeno! )ueden ser aeróbicas, aneorobicas o facultativas! E#isten algunas bacterias que producen calor 5termógenas6, lu" 5fotogenas6, pigmentos 5cromógenas6; mientras otras viven a temperaturas elevadas 5termófilas6 Muchas forman endosporas 5estado de vida latente6 2ocomoción- algunas tienen flagelos y otras no; pueden ser monótricas; anfitricas, lofótricas, peritricas o átricas! @eproducción- es ase#ual y casi e#clusivamente por fisión binaria transversa! 4e les divide en dos grupos, los (ram:positivas y las (ram:negativas! 1omposición de la pared celular (ram U negativas- ..:88 lípidos  (ram U positivas- . U * lípidos C#c#$ Aacterias en forma de esferas que tienen, generalmente un diámetro de +,F a . µm! 'lgunos están en pareas 5diplococos6 Eemplo- diplococcus pneumoniae 5causa la neumonía bacteriana6 2os e$tret#c#c#$: son cocos que forman cadenas, como el estreptococcus thermophilus que se usa para hacer yogurt! 2os e$tal#c#c#$, forman estructuras como racimos de uvas, como el staphylococcus aureus es un coco que vive sobre la piel de los seres humanos! Bacl#$ Aacterias en forma de cilindros alargados! arían de tamaño, desde +,F hasta 8+ µm de largo! 2os bacilos suelen presentar cadenas lineales, ya que su división tienen lugar en una sola dirección! 2os que crecen en cadenas se llaman estreptobacilos! 2a escherichia coli 5E! 1oli6 es un bacilo que vive en los intestinos de los seres humanos! E$rl# ?ienen la forma de un espiral o sacacorchos, varían en largo, desde unos pocas micras hasta F+ µm! 1recen sólo como clulas individuales, no en cadenas ni racimos! Eemplo el treponema pallidum 5causante de la sífilis6!

MOR(OLO/IA BACTERIANA

4 bimestre ciencias

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