4 Ejercicios de Fisica Moderna(Para Quimik)

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA DEPARTAMENTO DE FÍSICA

PROGRAMA DE REGULARIZACI´ÓN FÍSICA MODERNA E INTR. A LA MEC. CUANT. PROF.. MAGALÍ REYES MAZZINI

NATURALEZA CORPUSCULAR DE LA RADIACION 1. RADIACION DEL CUERPO NEGRO. 2. ELECTRONES Y EFECTO FOTOLECTRICO 3. RAYOS X y EFECTO COMPTON 4. CREACION DE PARES

1. RADIACION DEL CUERPO NEGRO. RADIACION TERMICA RADIACION.

Radiación es una transferencia de energía en forma de ondas electromagnéticas (OEM); de modo que puede propagarse en el vacío (No necesita de un medio que la soporte) con una velocidad: vOEM

1

c

3 10 108 m / s en el espacio libre

0 0

v OEM =

c

: en un medio cualesquiera.

n

n = n( )

índice de refracción del medio. En general en los medios dispersivos, éste es selectivo respecto de la LDO o de la frecuencia de la OEM.

La evidencia observacional nos muestra que todo cuerpo que se encuentre a una temperatura T (por sobre el cero absoluto, es decir, T > 0 °K) emite energía en forma de Radiación Térmica, generada por el movimiento de las partículas ionizadas que forman parte de la superficie del cuerpo. La Radiación Térmica consiste en OEM que están preferentemente en el rango infrarrojo, y cuya naturaleza, obviamente es igual a la de Luz visible, pero de longitud de onda mayor. ¿ Por qué los cuerpos emiten REM ?. Como un argumento de plausibilidad, diremos que las moléculas de la superficie de los cuerpos eventualmente están ionizadas, estas moléculas tienen en general un movimiento vibratorio; de modo que la supercie del cuerpo la podemos considerar como un conjunto de partículas cargadas eléctricamente y sometidas a una aceleración. La Electrodinámica Clásica predice que toda partícula cargada eléctricamente y sometida a una aceleración aceleración radía energía en forma de ondas electromagnéticas. electromagnéticas.

Frenado brusco de cargas rápidas (“BREMSSTRAHLUNG¨) (“BREMSSTRAHLUNG¨) - RAYOS X (RAYOS ROENTGEN ) Cuando una partícula cargada rápida ( alta velocidad), como ser: protones, electrones, etc., chocan contra un blanco metálico, una parte importante de la energía total de la partícula se transforma en Radiación Electromagnética (REM). Este es el principal mecanismo de producción en Radiación en Tubos de Rayos X. (BREMSSTRAHLUNG:radiación (BREMSSTRAHLUNG:radiación de frenado). Luego de su descubrimiento en 1895 por Wilhem Röntgen, fue reconocido que los Rayos X resultan del repentino frenado de una carga en movimiento, ( la radiación resultante fue llamada bremstrahlung por el físico Sommerfeld). Como hemos dicho anteriormente, éste es el principal mecanismo de producción de Rayos X, tanto en la industria como en la investigación.Resumiendo: RADIACION TERMICA: TERMICA: Radiación de OEM cuyas frecuencias se encuentran en el rango infrarrojo.

Cavidad a temperatura constante se comporta como cuerpo negro

1



ESPECTRO ELECTROMAGNETICO

Luego podríamos decir que la emisión y absorción de radiación por parte de los cuerpos, se produce como resultado de las vibraciones de las partículas cargadas que hay dentro de las moléculas del cuerpo. Entender este fenómeno de absorción y emisión significa entender la interacción entre partículas cargadas y radiación, en una instancia, entender la interacción “Materia ⇔ Energía”. Como veremos luego, esto implicará salirse del Marco Clásico; tener una nueva concepción del mundo que nos rodea.

CUANTIFICACION DE LA RADIACION Poder emisivo monocromático, e λ :[W/ m 3] : Energía que emite el cuerpo por unidad de área en la unidad de tiempo, con una LDO λ. e λdλ : energía emitida por unidad de área en la unidad de tiempo, con una LDO que está en el rango [ λ, λ + dλ].

2



En el gráfico, corresponde al área del rectangulito de ancho infinitesimal dλ. ∞

e = ∫ e λ 0

dλ = IREM

(1)

Poder emisivo total: Energía emitida por unidad de área y de tiempo, (incluyendo todas las LDO). El poder emisivo total corresponde por tanto a la INTENSIDAD de la radiación emitida por el cuerpo. En el gráfico corresponde al área bajo la curva. La curva eλ, se llama curva espectral del cuerpo a la temperatura T. Cada cuerpo tiene una familia de curvas espectrales, una para cada temperatura.

• •

El poder emisivo monocromático, también lo podemos definir en función de la frecuencia:

e

: energía emitida por el cuerpo por unidad de área en la unidad de tiempo con una frecuencia ν:

⎡ J ⎤ eν : ⎢ 2 ⎥ ⎣ m Hz ⎦ e d : energía emitida por unidad de área en la unidad de tiempo, co una frecuencia que está en el rango,

[ν , ν + dν ]

∞

e = ∫ e ν dν

(2)

0

Comparando las relaciones (1) y (2), como tienen los mismos límites de integración, se tiene que :

e λdλ = e νdν

, esto implica que :

eλ = |

dν c | e ν = 2 eν dλ λ

eν = |

dλ c | eλ = 2 eλ dν ν

uλ, densidad monocromática: energía emitida por unidad de volumen con una longitud de onda dada λ. Densidad de energía emitida por el cuerpo.

∞

u = ∫ u λ dλ 0

u ,densidad monocromática: energía emitida por unidad de volumen con una frecuencia Densidad de energía emitida por el cuerpo.

∞

u = ∫ u νdν 0

Aquí también podemos decir: u λdλ = u νdν viceversa.

4 c

Se puede demostrar que: u = e

; y por lo tanto

Coeficiente de absorción monocromática:

Relación que nos permite pasar de u

4 u λ = eλ c

a

u ,y

4 u ν = eν c

. 3



E λ (a) = I λ(a) = u λ(a) : característico de cada cuerpo. E λ(i) I λ (i) u λ(i) 0 ≤ αλ ≤ 1

αλ =

Coeficiente de reflexión: r λ

rλ =

E λ(r) = I λ(r) = u λ(r) : característico de cada cuerpo. 0 ≤ r ≤ 1 λ E λ (i) I λ (i) u λ(i)

Por conservación de la energía, para un cuerpo determinado tenemos:

αλ + rλ = 1 RELACION ENTRE LA CAPACIDAD PARA EMITIR Y LA CAPACIDAD PARA ABSORBER RADIACION. 1. Tres cuerpos en una Cavidad. Sean A, B y C tres cuerpos que inicialmente están a distinta temperatura Se colocan en un recipiente a temperatura constante ( paredes adiabáticas) hasta alcanzar el equilibrio termodi námico. Por lo tanto sólo pueden intercambiar energía entre ellos. Finalmente :

TA = TB = TC Supongamos que: e A > eB : esto significa que A emite más que B. e A > eC : esto significa que A emite más que C En el equilibrio termodinámico, esto implicará: A debe absorber más que B, y A debe absorber más que C. De modo que, existe una relación directa entre la capacidad para emitir y la capacidad para absorber radiación.

2. Un cuerpo en una Cavidad. Sea una cavidad a temperatura constante (paredes adiabáticas), dentro de la cual hay un cuerpo, que a la larga conseguirá el equilibrio termodinámico. Respecto del cuerpo en el interior de la cavidad sean: dQλ : Energía que incide por unidad de área y tiempo con LDO ε [λ, λ + dλ]. eλ : poder emisivo monocromático; característico del cuerpo. eλdλ: energía que emite por unidad de área y tiempo con LDO ε [λ, λ + dλ]. αλ : coeficiente de absorción monocromática; característico del cuerpo. αλdQλ: energía que absorbe por unidad de área y tiempo con LDO ε [λ, λ + dλ] En el equilibrio termodinámico, energía emitida debe ser igual a la energía absorbida. Por lo tanto:

e λdλ = α λ dQλ Primera Ley de Kirchhoff(1895)

⇒

e λ = dQλ = f(λ, T) α λ dλ

e λ = α λf(λ, T)

La relación entre el poder emisivo monocromático y el coeficiente de absorción monocromática de un cuerpo no depende de la naturaleza del cuerpo (es igual para todos los cuerpos); sólo es función de la longitud de onda (de la radiación al interior de la cavidad) y de la temperatura. ∴

UN BUEN EMISOR ES UN BUEN ABSORBENTE.

4



CUERPO NEGRO Definición de Cuerpo Negro (C.N.). Un cuerpo que a cualquier temperatura absorbe toda la radiación que incide sobre él, cualquiera sea la longitud de onda .

C.N. ⇒ αλ =1 ∀λ ello ⇒∴

C.N. ⇒ eλ = f(λ,T)

De modo que: “Todos los cuerpos negros tienen la misma distribución de energía”. “Todos los cuerpos negros tienen las mismas curvas espectrales”. En todos los cuerpos negros, e λ experimenta la misma variación al cambiar la temperatura. Cuerpos reales que se aproximan a un C.N.: Cuerpo recubierto con negro de humo. Cuerpo recubierto con negro de Platino. El Sol, es un radiador o emisor ideal. Las estrellas. La aproximación consiste en que la distribución de la energía que emite el cuerpo tiene la forma característica de la de cuerpo negro.

Veamos a continuación los antecedentes empíricos, que se tenían de la distribución de la energía emitida por un cuerpo negro, (1879) a (1893).

ANTECEDENTES EXPERIMENTALES:

5



Teoría de Rayleigh y Jeans. (Postrimerías del siglo IXX) El primer intento teórico para formular una Ley de distribución de la energía del cuerpo negro lo realizaron Rayleigh y Jeans. Rayleigh y Jeans asumieron que: La radiación contenida en una cavidad de paredes metálicas a la temperatura T, en el estado de equilibrio termodinámico, tiene el mismo espectro que el del cuerpo negro cuando se encuentra a la misma temperatura. O sea, la forma como se distribuye la radiación emitida por el cuerpo negro es la misma que la de la radiación contenida dentro de la cavidad. En el estado estacionario, la radiación se encuentra en forma de OEM estacionarias, con nodos sobrelas paredes metálicas; es decir la REM está en forma de Vibraciones Electromagnéticas (VEM) permitidas. Rayleigh y Jeans calcularon el número de vibraciones electromagnéticas permitidas en el interior de la cavidad. Para el volumen unitario y para una frecuencia determinada encontraron: Luego calcularon la energía media asociada a cada VEM. Esta energía depende de la temperatura, como se ha visto en teoría cinética.

< ε > VEM = KT

6



Con lo que completan sus cálculos:

uν =

8πν 2 KT expresión que se conoce con el nombre de Ley de radiación de Rayleigh y Jeans. c3

Comparación entre la predicción teórica de Rayleigh y Jeans y los resultados experimentales. En el límite de frecuencias pequeñas ( o longitudes de ondas largas) el espectro propuesto por Rayleigh y Jeans se aproxima a los resultados experimentales. Pero a medida que las frecuencias crecen ( o λ tiende a cero ) la teoría predice que u , mientras que los resultados experimentales muestran que u permanece siempre finita e igual a cero para una frecuencia infinita. Esta discrepancia entre el espectro deducido por Rayleigh y Jeans y el espectro real se conoce en Física con el nombre de “catástrofe ultravioleta”.

ERRORES FUNDAMENTALES DE LA TEORIA DE R-J 1) VEM podrá tener cualquier energía; E (entre o e ∞). energía continua 2) No consideran la interacción entre los constituyentes de la cavidad (partículas) y la radiación c ontenida en ella (energía). “La termodinámica, la mecánica estadística clásica no nos sirven para forma correcta la radiación del cuerpo negro”

interpretar en

TEORIA DE PLANK: 1901 Planck:

“Si la radiación dentro de la cavidad está en equilibrio con los átomos de las paredes, debe existir una correspondencia entre la forma de distribución de energía de la radiación y la forma de distribución de energía de los átomos constituyentes de las paredes,”

POSTULADOS DE PLANCK 1) La materia (paredes de la cavidad) está constituida por osciladores armónicos, (átomos radiantes), donde cada uno de ellos oscila con una frecuencia ν. Estos O.A. se distribuyen de acuerdo a la Ley de Distribución de − jhυ

BOLTZMANN: n j = n 0 e KT 2) Cada oscilador armónico, sólo puede tener determinados valores de la energía y éstos son múltiples enteros de ( hν ). Cuantum de Radiación (Quantum de radiación) 3) El intercambio de energía de los O.A. con el CAMPO DE RADIACION (dentro de la cavidad) es discreto 4) La energía se propaga de manera continua. 5) El Nº de O.A. = Nº de VEM en cada unidad de volumen

nυ =

8πυ2 : Nº de O.A. por unidad de volumen con una frecuencia ν. c3

Postulado 1) y Postulado 2)

⇒ Energía media de los O. A. es:

ε

OA

hυ

= e

hυ KT

−1

densidad monocromatica de la energia, segun prediccion teorica de Planck

7



u

8πυ2 c3

h h KT

e

5

1

u

8 hc e

hc KT

1

COMPARACION ENTRE LA PREDICCION TEORICA DE PLANCK Y EL EXPERIMENTO h = 6,63 ⋅ 10

[ J ⋅ seg ]Constante de Planck K = 1,38 ⋅ 10 [ J /º K ] Constante de Boltzmann −34

−23

Excelente acuerdo entre la predicción teórica de Planck y los resultados experimentales. Lo extraordinario de la teoría de Planck radica en los postulados 2 y 3, donde , la energía de los O.A. sólo puede variar por saltos , DISCRETOS, esto ⇒ “La emisión y la absorción de radiación deben ser procesos discretos”. La emisión sólo puede ocurrir cuando un O.A. sufra una transición discontinua de un estado en que posee una determinada energía a otro con una energía que difiere del primero, en una cantidad “ hν“, donde ν es la frecuencia de la radiación emitida.

Un O.A. o cualquier otro sistema físico capaz de emitir REM tiene en general, u na serie de valores no presentándose nunca, energías intermedias entre las permitidas.

discretos posibles o niveles de energía,

“NIVELES DE ENERGIA”: No es una consecuencia de la FISICA CLASICA, sino que representa una modificación empírica y radical de la misma, necesaria para poner de acuerdo a la teoría con el experimento.

8



DISTRIBUCIÓN DE BOLTZMANN 1. Energías continuas (Teoría de Rayleigh-Jeans) ∞

ε

∫ εe = ∫ e

−βε

0

∞ −βε 0

dε

dε

⇒

d ⎡ ∞ −βε ⎤ d ⎡ 1⎤ 1 ln ⎢ ∫ 0 e dε ⎥ = − ⎢ ⎥ = ⎦ dβ ⎣ dβ ⎣ β ⎦ β

ε =−

⇒

K es la constante de Boltzmann, T es la temperatura absoluta

Donde:

ε = KT β=

y

1 KT

2. Energías discretas (teoría de Planck)

εn = nε0 energía de cada oscilador en el estado “n”. Con ε0 =: hν

∑ εe = ∑e ∞

ε

ε =

o

n

−βε n

∞ −βε n o

∑ εe = ∑e ∞ o

n

−β nε 0

∞ −β nε 0 o −βε 0 0 −βε 0

εe d ⎡ 1 − e−βε 0 ⎤⎦ = ⎣ dβ 1− e

⋅

=−

−1 ∞ d ⎡ ∞ −βnε0 ⎤ d d = − ⎡⎣ ∑ o (e−βε 0 )n ⎤⎦ = − ln ⎡⎣1 − e−βε 0 ⎤⎦ ln ⎣ ∑ o εn e ⎦ dβ dβ dβ

ε eβε0 = βε 0 0 = βε 0 e e −1

Recordemos que :

∑

∞ 0

hν e

hν KT

⇒

hν

ε =

−1

x n = 1 + x + x2 + x3 + .......... + xn =

e

hν KT

−1

1 1− x

EJERCICIOS DE RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA PROBLEMA Nº1 ¿Qué cantidad de energía radia el Sol en un minuto?. Considere que la radiación del Sol se aproxima a la de un Cuerpo Negro. La temperatura del Sol en su superficie es aproximadamente 5.800 oK y su radio medio es 6,95 108 m. σ = 5,67 10-8 [W/m²oK4 ]. PROBLEMA Nº2 La potencia de radiación de un cuerpo negro es igual a 34 KW . Hallar la temperatura de este cuerpo, sabiendo que el área de su superficie es igual a 0,6 m².

PROBLEMA Nº3 Hallar la magnitud de la "constante solar" ,es decir, la cantidad de energía radiante que emite el Sol por minuto a través de una superficie igual a 1 cm², situada perpendicularmente a sus rayos y a la misma distancia que se encuentra la Tierra, de él. La temperatura en la superficie del Sol es 4.800 oK;. considere que la radiación del Sol se aproxima a un Cuerpo Negro, y que la distancia media entre Tierra y Sol es 1,5 10 11 m. PROBLEMA Nº4 Hallar qué cantidad de energía emite 1 cm² de la superficie de un cuerpo por segundo, sabiendo que el poder emisivo monocromático máximo de la radiación , ( eλ )max , corresponde a la λ = 484[nm]

PROBLEMA Nº5 a) Determinar cuánto disminuirá la masa del Sol durante un año a causa de la radiación que emite. b) Asumiendo que la radiación del Sol sea constante, calcule cuánto tiempo tardará el Sol en reducirse a la mitad. Rsol = 6,95 108m. Msol = 1,97 1030 Kg. Tsol = 5.800oK. 9



PROBLEMA Nº6 1. En la historia de la Física , ¿A qué se llamó "LA CATÁSTROFE ULTAVIOLETA" ?. 2. Dada una energía E constante y un número de moléculas N constante. ¿Cómo se distribuye esta energía entre las N moléculas, de tal manera que la energíade las moléculas sea constante? 3. Haga un resumen comparativo entre los "Postulados de la Teoría de Rayleigh & Jeans" y los "Postulados de la Teoría de Planck"; para la radiación del C.N. 4. Demuestre que la energía media asociada a los OSCILADORES ARMONICOS por Planck está dada por:

h

= e

h KT

-1

PROBLEMA Nº7 Dada la densidad de energía monocromática de la radiación de un cuerpo negro: 8πhν 3 1 Obtenga la densidad de energía monocromática en función de la LDO: = uν

c 3 e hν/ KT -1

u = 8 hc

-5

ehc/

KT

-1

PROBLEMA Nº8 a)Obtenga la densidad total de energía, "u" de la REM emitida por un Cuerpo Negro en función de la Temperatura. Hint. Integre la expresión dada en el Prob. 7. u=

8

5

4

4

K T 15 h 3 c 3

b) Compare este resultado con la Ley de Stefan-Bolztmann. 5 4 c) Si u = 4 T 4 , demuestre que : h = ( 2 K ) 3/2 c

15 c 2

PROBLEMA Nº9 Escribir la forma asintótica de la Ley de Radiación de Planck , (Ec. probl.7), para: a) Frecuencias muy altas, ν → ∞ . (Obtendrá la semi-empírica de Wien). b) Frecuencias muy bajas, ν → 0 .

(Obtendrá la Ley de Rayleigh-Jeans).

8πh ν 3 − hν e KT c3 8πν 2 u ν = 3 KT c

uν =

SOLUCIONES: Probl.1 E = 2,337 10 28 [Joules]. Probl.2 T = 999,853 oK. Probl.3 I = 1.377,470 [W/m²] = 8,265 [J/cm²min] Probl.4 E = 7.307,916 [J]. Probl.5 t = 2,276 10 20[seg] = 7,218 1012 años.

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4 Ejercicios de Fisica Moderna(Para Quimik)

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