4 - Exercícios de Dimensionamento de Eixos

ME5510/NM7510: Elementos de Máquinas I Departamento de Engenharia Mecânica do Centro Universitário da FEI Professores: Alberto ieira !r"# D$alma de %o&'a# (enat o Mar)&es e *illiam Mal&f

Exercícios

Dimensionamento de ei+os de transmiss,o de pot-ncia

ista es)&emática + foto da transmiss,o transmiss,o (icardo ./ 0111"ricardo"com 0111"ricardo"com22

E+emplo de soft1are integrado de pro$eto# sim&la3,o e otimi'a3,o de &m sistema de transmiss,o 0111"sim&lation4"com 111"sim&lation4"com22

Conte5do da lista: Diagrama de corpo livre de elementos de transmiss,o# diagrama de concentra3,o de tens,o# cálc&lo de rea36es de apoio e momento res<ante na fle+,o obl7)&a# crit8rios de pro$eto 0rigide' 9 tor3,o# %oderberg e A%ME para solicita3,o dinâmica com fle+,o alternada e tor)&e constante2 P&blica3,o: ;<=# >&t?@" Altera36es: a r&gosidade 0do en&nciado e do gabarito2 do e+erc7cio  foi alterada para <;µm 0de: Bµm2" o e+erc7cio <: a interfer-ncia C 0antes era A2# geometria geometri a do ei+o foi modificada# a3o classe " 0antes era @"2" (esposta alt erada"


Exercícios

1) Cálculo de eixos: determinaço de es!orços > ei+o da fig&ra abai+o foi &sinado com a3o classe de resist-ncia "" As engrenagens cil7ndricas de dentes retos 0ECD(s2 s,o fi+adas por interfer-ncia do tipo C" > md&lo da engrenagem maior 8 Bmm 0@2" !á o da engrenagem menor 0=2 8 Gmm" > acoplamento 8 ideal o& se$a transmite apenas momento tor3or" A confiabilidade do pro$eto 8 @@#@@H" (olamentos fi+ados por a$&ste desli'ante" Adote (t;#G?m" A pot-ncia de entrada 8 G hp e a cons&mida no acoplamento 8 < hp" Despre'e perdas e considere os dados fornecidos no desenho" Determine os esfor3os transmitidos pelos elementos montados" As dimens6es est,o em mm e fig&ras fora de escala" Adote cho)&es m8dios" Calc&le o diâmetro na se3,o na )&al a ECD( @ dentes está fi+ada" Adotar coeficiente de seg&ran3a <#" .<.Pa"

Motora Z=20 P=25hp

n=3600rpm

"es#ostas: na engrenagem motora /B@#Bm" F t<=G#< e FrBB@#GB" a engrenagem movida: iB#@" /B#<m" nmovidaJ=B#J rpm" %eg&ndo par de EC(Ds: /<G#@m" FtJK#@ e FrK#B" Acoplamento: /< ponto de interesse está 9 =;mm para a direita do centro da ECD(" MG

Exercícios

$) Cálculo de eixos: determinaço de es!orços >s elementos da transmiss,o mecânica da fig&ra abai+o foram dimensionados para &ma pot-ncia de BKcv" >s elementos montados no ei+o 0pinh,o e polia maior2 foram fi+ados por interfer-ncia forma C" >s rolamentos mostrados no desenho s,o considerados pontos de apoio" As engrenagens tem md&lo mGmm# α;o e as polias tem µ;#B e a==o e s,o fabricadas em al&m7nio" As dimens6es est,o em mm e fig&ras fora de escala" (t;#=?m e .<.Pa"

a2 obtenha o diagrama de esfor3os para o ei+o e os diagramas de tor)&e e de momento fletor nos dois planos" b2 calc&le o momento fletor res<ante res<ant e e o tor)&e nas se36es A e Q"

Respostas:

(olamento A: es)&erda do ei+o" (olamento Q: direita do ei+o"

M A JJJ#J+<;= mmN MQ@J#+<;= mm" F <@;#N F =J#N F p=;@;#KN F sJ<=#N F tG@G<#JN Fr

Exercícios

%) Cálculo de eixos: !atores de concentraço de tenso com&inados Um ei+o 8 trefilado a frio &tili'andoOse a3o com σ( G;MPa" >s raios de concordâncias s,o &sinados com r?d;#;G" Uma polia 8 montada ao ei+o por interfer-ncia F>(MA C" Determine o fator de concentra3,o de tens,o combinado na regi,o de montagem da polia" (esposta: > fator L FF para o ado3amento 8 obtido da tabela III por interpola3,o# obtendoOse L FF<#J@" Para a$&ste sob press,o F>(MA C# o fator L FF 8 obtido na fig&ra  para σ( G; MPa# o& se$a L FF#<" > fator combinado: K FF combinado = 1 + (K FF Geometria − 1) + K FF Fixação − 1 = 1 + (1,79 − 1) + (2,10 − 1) = 2,89

') (iaramas de concentraço de tenso * modi!icado da a#ostila Determine o diagrama de concentra3,o de tens,o para a ponta do ei+o na )&al a polia de transmiss,o 8 fi+ada" As dimens6es est,o em mm e as fig&ras fora de escala" > acoplamento e a polia s,o fi+ados ao ei+o atrav8s de &ni6es ranh&radas DI GBK=" %&ponha )&e o ei+o tenha <;;mm de diâmetro em ambas e+tremidades" >s alo$amentos de anel elástico tem r?d;#K" >s rolamentos s,o montados por interfer-ncia da forma D" /odos ado3amentos s,o feitos com r?d;#;G com e+ce3,o do ponto marcado com r?d;#<" >  material do ei+o 8 a3o com σ( <;;; MPa" ( t;#G ?m e .<.Pa"

Pro$eto

Diagrama de concentra3,o de tens,o da ponta de ei+o onde a polia está montada

(espostas parciais: Fi+a3,o: rolamento 0interfer-ncia forma DN σ( <;;;MPaNL FF fi+a3,o<#@2" Polia 0ranh&rasN σ( <;;;MPaNL FF fi+a3,o #K2" .eometria: Ado3amentos 0r?d;#;GN σ( <;;;MPaNL FFgeometria#=2" Anel elástico 0r?d;#KN σ( <;;;MPaNL FFgeometria<#

Exercícios

5) (iaramas de cor#o li+re %&ponha )&e as fig&ras abai+o representam alg&ns elementos montados em ei+os de transmiss,o de pot-ncia" As linhas s,o a representa3,o es)&emática do diâmetro primitivo das engrenagens cil7ndricas de dentes retos o& do diâmetro das polias" Para cada caso# determine 0se poss7vel2 o sentido do tor)&e# rota3,o# as for3as trocadas e s&as pro$e36es ortogonais conforme descrito abai+o:

•

For3as para ECD(s: F perpendic&lar ao ponto de contato entre os dentes" For3as para polias: F <# F"

•

Pro$e36es para ECD(s: F# Ft e Fr" Pro$e36es para polias: F<# F# Fp# F%"

Para os itens a# b# c e d fa3a os diagramas desses elementos considerando )&e s,o Ecdrs" Depois refa3a os diagramas dos itens a# b# c e d considerando )&e os elementos il&strados s,o polias"

(espostas: a2 Ecdr es)&erda: rota3,o horária 0dada2# Ft vertical para cima# Fr hori'ontal para es)&erda# tor)&e antiOhorário" Ecdr direita: rota3,o antiOhorária# Ft vertical para bai+o# F r hori'ontal para direita# tor)&e antiOhorário" b2 Ecdr es)&erda: rota3,o antiOhorária 0dada2# F t vertical para bai+o# Fr hori'ontal para es)&erda# tor)&e horário" Ecdr direita: rota3,o horária# Ft vertical para cima# F r hori'ontal para direita# tor)&e horário" c2 Ecdr es)&erda: rota3,o horária 0dada2# F t vertical para bai+o# Fr hori'ontal para es)&erda# tor)&e horário" Ecdr direita: rota3,o antiOhorária# Ft vertical para cima# F r hori'ontal para direita# tor)&e horário" a2 Polia es)&erda: rota3,o horária 0dada2# F< na parte de bai+o da correia 0para bai+o e para direita2# F na parte de cima da correia 0para cima e para direita2# F P hori'ontal para direita# Fs vertical para bai+o# tor)&e antiOhorário" Polia direita: rota3,o horária# F< para cima e para es)&erda# F  para bai+o e para es)&erda# F P hori'ontal para es)&erda# Fs vertical para cima# tor)&e horário" h2 Ecdr es)&erda: Ft vertical para cima# Fr hori'ontal para es)&erda# tor)&e antiOhorário" Ecdr direita: Ft vertical para bai+o# Fr hori'ontal para direita# tor)&e horário 0dado2" ,o 8 poss7vel determinar o sentido das rota36es" Comentários: nos itens f# g# h# i n,o 8 poss7vel determinar o sentido das rota36es dos elementos" Foi fornecido somente o tor)&e de &m dos elementos" E isso 8 s&ficiente para determinar o sentido das for3as"


Exercícios

,) Cálculo de eixos: > ei+o da fig&ra abai+o transmite ei+o 8 constr&7do com a3o classe de resist-ncia K" 0d5ctil2 e com .;#.Pa" /odas s&perf7cies foram &sinadas" >s rolamentos foram montados por a$&ste for3ado 0forma A2# ( t;#G?m# confiabilidade  @@#@@H" os arredondamentos considere r?d;#;G" As dimens6es est,o em mm e as fig&ras est,o fora de escala" Adote valores intermediários e cho)&es fortes" Considere o âng&lo de press,o das ECD(s de ;"

Respostas parciais: dcB<#GmmN θ#;radN θcK#BKradN F<<@JG#BN F G;N /<@B#@mN /BJ#<mNiB#GN

FP<@J#=N F %JJK#GN F /<<B;N F ( B;@<N  Q<@0 ↓2N  A =J=G#= 0 ↑2N M4R K;<#mN M 4

Exercícios

7) Cálculo de eixos: torque constante e !lexo alternada >btenha o fator de seg&ran3a pelo crit8rio A%ME para o diâmetro de =Gmm do ei+o do con$&nto mecânico il&strado na fig&ra abai+o" Considere )&e o tor)&e aplicado 8 &nidirecional e constante" %,o dados: polias: d;;mm 0motora2# DG;;mm# µ;#=;N a=Ko# tor)&e na polia motora: ;; m# material: a3o K" 0d5ctil2 e %n (EAS  G MPa" Cotas est,o em mm e as fig&ras fora de escala "  Adote valores intermediários" ( t<#G ?m e .<.Pa"

Respostas: no ponto A nFB#K< e no ponto Q n F<#K

MA

= MVA2 + MH 2A = J#@B m e M B = MVB2 + MH 2B = <
Fl&+o de pot-ncia: mesmo do e+er7cio B dessa lista"


Exercícios

-) Cálculo de eixos: exercício 1 da a#ostila * modi!icado > ei+o central da fig&ra abai+o# s&$eito a &m tor)&e de B;;m conforme indicado# deve ser dimensionado a fle+oOtor3,o seg&ndo os crit8rios de fadiga" Determine os diâmetros d<# d e o fator de seg&ran3a da parte central do ei+o 0 ∅B;mm2" Adote valores intermediários"

Considere os seg&intes dados adicionais: • material do ei+o: a3o d5ctil <"@ • acabamentos: retificado nos assentos dos rolamentos e na parte central com (<;µmN &sinado nas s&perf7cies de d < e d • cho)&es leves# ( /;#Go ?mN .a3o;# .Pa" • confiabilidade de @@H • temperat&ra normal • nf# • Pinh,o: mJmmN <@ dentesN α; o • Coroa: mKmmN << dentesN α; o • Dimens6es est,o em mm • Fig&ras est,o fora de escala


Exercícios

(espostas parciais do e+erc7cio : n,o 8 necessário 0nem poss7vel2 determinar o sentido da rota3,o nas engrenagens"

For3as nos elementos: o < o par de ecdrs: T =

F T 1 ⋅ d

2

→ 400 ×103 =

F T 1 ⋅ 7 ⋅19

2

F r 1

= F t 1 tan (α ) = 6015 tan( 20 ) = 2189,3 N " o o par de ecdrs: 400 ×103 =

F r 2

= F t 2 tan(α ) = 1190,5 tan(20 ) = 433,3 N "

o

→ F T 1 = 6015N e

F T 2 ⋅ 6 ⋅112

2

→ F T 2 = 1190,5N

o

(ea36es de apoio:  A GK@#N Q=G#N  A @KB#<N QKB<#B" Cálc&lo do dpr8Opro$eto: para as regi6es nas )&ais o diâmetro 8 desconhecido tornaOse necessário s&a  determina3,o" Utili'andoOse o tor)&e do ei+o B;;m# a rigide' 9 tor3,o ( t;#G ?m 0deveOse &tili'ar o valor em rad?mm2" d pré − projeto

=4

32 ⋅ T π ⋅ G ⋅ Rt

=

4

32 ⋅ 400 × 103 π ⋅ 80,8 × 103 ⋅ 4,4 × 10 −6

= 58,2mm

Cálc&lo de %n real: o limite de fadiga real depende do local do ei+o" Para cálc&lo de d< e d temos: %n tericoK;; MPaN Cconfiabilidade;#
= C carga ⋅ C tam ⋅ C sup ⋅ C temp ⋅ C conf ⋅ C div ⋅ S n = 193 MPa . Para cálc&lo de nf temos: Ctamanho 1,189 ⋅ 40 −0,097 = 0,831 N Cacab"s&p";#JK 0gráfico com (<; µm2" S n real = 220 MPa . S n real


Exercícios

Cálc&lo de L FF: os elementos fi+ados ao ei+o tem L FF#=G 0chaveta e ranh&raN dG#mmNσr<;;MPa2" As varia36es de geometria apresentam L FF# 0r?d;#;GNσr<;;MPa2 e L FF<#J 0r?d K?B;;#
M H = F r 2 ⋅ (30 + 20 + 50 ) − H A ⋅ 50 = 14840 Nmm

= F t 2 ⋅ (30 + 20 + 50) − V A ⋅ 50 = 70845 Nmm. M = 72382,6 Nmm M = F ⋅ (40 + 50) − H B ⋅ 50 = 80747 Nmm Sado direito: H r 1 M V = F t 1 ⋅ (40 + 50) − V B ⋅ 50 = 229280 Nmm. M = 243083Nmm M V

Ent,o &tili'aOse o momento fletor maior na se3,o de est&do )&e 8 do lado direito" AplicandoOse o crit8rio da A%ME: d <Jmm N dB#Kmm e nf =#= 0n,o ocorre falha por fadiga2" 1

1 3  2 2 2 3 3  32 ⋅ 2,2  4,15 ⋅ 38 ×10  3  1⋅ 400 ×10     + ⋅     = 27 mm d 1 =  ⋅  π 193 4 1080          1

3  2 2 2 3 3  32 ⋅ 2,2  4,15 ⋅160 × 10  3  1⋅ 400 ×10     + ⋅     = 42,6mm d 2 =  ⋅  π 193 4 1080          1

  32 ⋅ n f 40 =   π 

1

 1,7 ⋅ 243 ×10  3  1⋅ 400 × 10  + ⋅  220   4  1080

⋅ 

3

2

3

  

2

  

1 2

3   → n f = 3,3  


Exercícios

.) Cálculo de eixos: exercício $ da a#ostila * modi!icado > acoplamento mostrado na fig&ra abai+o transmite B; hp a KK; rpm para o ei+o" Esse deve ser dimensionado seg&ndo os crit8rios de fadiga da A%ME" Considere: material do ei+o: a3o classe " 0d5ctil2 acabamentos: (Bµm nos assentos dos rolamentos e (< µm nas demais s&perf7cies# cho)&es m8dios# confiabilidade de G;H# temperat&ra normal# nf" Para as polias admita correias trape'oidais com aBB o e µ;#=;" Cotas est,o em mm e as fig&ras fora de escala" Adote valores  intermediários" Considere condi36es de momento fletor severo 0( t;#G ?m2 e .<.Pa"

(olamento A 0es)&erda2 montado por interfer-ncia da forma A e rolamento Q 0direita2 montado por interfer-ncia da forma C" > tor)&e mostrado na fig&ra indica o sentido do tor)&e na polia menor 0fi+ada ao ei+o de est&do2" Considere r?d; para todas regi6es" PedeOse: a2 determinar os diâmetros d< 0distante B;mm pra direita da polia2 e d 0distante <;mm pra direita do rolamento Q# locali'ado 9 direita do ei+o2N b2 verificar o dimensionamento da se3,o locali'ada e+atamente no centro do ei+o 0d=;mm2N c2 o rolamento da es)&erda tem larg&ra de Gmm e 8 montado por interfer-ncia" Determine )&al deve ser o diâmetro interno deste rolamentoN d2 o rolamento da direita 0a&+iliar2 tem larg&ra apro+imada de ;mm" %e o rolamento escolhido for o K=;J 0d  =Gmm2# montado com a$&ste desli'ante# determine o fator de seg&ran3a 9 fadiga para o ei+o no assento desse rolamento"


Exercícios

(espostas parciais do e+erc7cio @ For3as nos elementos: a distância entre centros foi fornecida no en&nciado" a polia menor calc&laOse: θ = π −

D − d d c

= π −

400 − 200

= 2,742rad θ c = .

500

θ

 a  sen   2 

=

2,742

 44 sen  2

o

  

= 7,319rad

.

2 ⋅ T 1 40 ×103 ⋅ 745 2 ⋅ 431165 = 431165 Nmm F 1 = T = = = 4851,5 N 2π d ⋅ (1 − e − µθ c ) 200 ⋅ (1 − e −0,3⋅7 ,319 ) 660 ⋅ 60 2 ⋅ T 1 2 ⋅ 431165 = = 539,9 N F 2 = 0 , 3 7 , 319 − 1) d ⋅ (e µθ c − 1) 200 ⋅ (e ⋅ .

.

.

 π − 2,742   = (4851,5 + 539,9) ⋅ cos  = 5284,15 N 2  2     π − θ   π − 2,742  F s = (F 1 − F 2 ) ⋅ sen  = (4851,5 − 539,9) ⋅ sen  = 855,7 N 2  2    F p

π − θ 

= (F 1 + F 2 ) ⋅ cos 

Cálc&lo das rea36es de apoio: ambos os planos est,o e)&ilibrados estaticamente" Ent,o no plano vertical podeOse afirmar )&e: F P ⋅ 260

∑ M = 0 ∴V = 200 = 6869,4 N ↑ ∑ F = 0 ∴V = 1585,25 N ↓ B

y

A

B

o plano hori'ontal podeOse afirmar )&e: F S ⋅ 260

∑ M = 0 ∴ H = 200 = 1112,4 N ↑ ∑ F = 0∴ H = 256,7 N ↓ B

Diagrama de corpo livre: n,o 8 necessário m&ito menos poss7vel determinar o sentido de rota3,o dos elementos"

y

A

B

Fle+,o obl7)&a e tor)&e: > tor)&e para todo o ei+o 8 B=<

M d 1

= (F P ⋅ 40 )2 + ( F S ⋅ 40)2 = 214119,5 Nmm

M d 2

= (F S ⋅ 270 + H B ⋅ 10 − H A ⋅ 210)2 + ( F P ⋅ 270 + V B ⋅ 10 − V A ⋅ 210)2 ≈ 0

M nf

= ( H B ⋅ 100 )2 + (V B ⋅ 100)2 = 160590 Nmm 2

Exercícios

2

M itemc

 25  25   25     25  =  F P ⋅   40 + 20 +  − V A ⋅   +  F S ⋅  40 + 20 +  − H A ⋅   = 302999,3 Nm 2  2    2     2  

M itemd

= (F S ⋅ 250 − H A ⋅ 190 )2 + ( F P ⋅ 250 − V A ⋅ 190 )2 = 16059 Nmm

Cálc&lo do dpr8Opro$eto: para as regi6es nas )&ais o diâmetro 8 desconhecido tornaOse necessário s&a  determina3,o" Utili'andoOse o tor)&e do ei+o B=<
=4

32 ⋅ T π ⋅ G ⋅ Rt

=4

32 ⋅ 431165 π ⋅ 81 × 10 3 ⋅ 8,73 × 10 −6

= 50mm

Cálc&lo de L FF: os elementos fi+ados ao ei+o tem L FF#<< 0polia fi+ada com chaveta forma AN d pr8O pro$etoG;mmNσr;;MPa2# L FF=#G 0rolamento A por interfer-ncia forma AN σr;;MPa2# L FF#G 0rolamento Q por interfer-ncia forma CN σr;;MPa2# L FF#< 0acoplamento por entalhes# dpr8Opro$etoG;mmNσr;;MPa2" As varia36es de geometria apresentam L FF=#B 0r?d;Nσr;;MPa2" Combinados: para os itens a e b L FF d< e dB#G 0combina3,o entre #< e =#B2e L FF nf < 0n,o tem fator de concentra3,o de tens,o nessa regi,o2" Para o item c L FF G#KG 0combina3,o entre =#G e =#B2" Para o item d o L FF=#B" Cálc&lo de %n real: o limite de fadiga real depende do local do ei+o" Para cálc&lo de d< e d temos: %n tericoB;; MPaN Cconfiabilidade
= 175 MPa (para item c e d) e ;

= 163 MPa (para item b)

Crit8rio da A%ME: os valores da tabela abai+o foram &sados na frm&la da A%ME" Cálculo

nf

L FF

Item a: d< Item a: d Item b: nf

2 2 d=30 2 d=35

4,5 4,5 1 5,65 3,4

Item c: d Item d: nf

%n real MPa 155 155 163 175 175

M Nmm

L //

T Nmm

214119,5 0 160590 302999,3 16059

1 1 1 1 1

431165 431165 431165 431165 431165

σe MPa 640 640 640 640 640

Resposta 50,3mm 22,8mm 2,3 58,5mm 6,4


Exercícios

10) Cálculo de eixos: exercício % da a#ostila * modi!icado A transmiss,o por correias trape'oidais da fig&ra abai+o foi pro$etada para transmitir =hp" As dimens6es est,o em mm e as fig&ras fora de escala" Para as polias admita aB; o e µ;#=" > ei+o 8 feito com a3o classe B"K# retificado nos assentos dos rolamentos e r&gosidade de ; µm nas demais s&perf7cies" Adote cho)&es fortes# confiabilidade de @@#@@H# material d5ctilN nf#GN para os arredondamentos considere rs rolamentos s,o montados por a$&ste desli'ante" Adote valores intermediários" Dimensione o ei+o obtendo os valores de d<# d e d= seg&ndo o crit8rio da A%ME" %abeOse )&e a polia motora tem rota3,o de <;; rpm 0sentido indicada no desenho2" >s diâmetros das polias est,o indicados no desenho" Considere o rolamento A a)&ele montado no trecho da es)&erda do ei+o e o rolamento Q a)&ele montado no trecho da  direita" ( t;#< ?m e .<.Pa"


Exercícios

Fl&+o de pot-ncia: a polia menor d;mm 8 a motora e transmite =hp para a maior DK;mm )&e está no ei+o" Essa pot-ncia 8 transmitida pela e+tens,o do ei+o at8 a polia menor d=;mm" Da7 a energia seg&e para a polia maior DJ;mm )&e está fora do ei+o" A pot-ncia )&e entra 8 ig&al a pot-ncia )&e sai" ,o s,o considerados os rendimentos das transmiss6es feitas pelos elementos citados" For3as nos elementos: as distâncias entre centros n,o foram fornecidas no en&nciado" 680 + 3 ⋅ 280

as polias < e  com d;mm e DK;mm calc&laOse d c = (eali'amOse os cálc&los na polia menor: T I =

θ = π −

F 1 =

D − d d c

2 ⋅ T 1

= π −

d ⋅ (1 − e − µθ c )

=

680 − 280 760

= 2,615rad " θ c =

2 ⋅189700 280 ⋅ (1 − e −0, 32⋅7 , 646 )

2

= 760mm

D 680 32 ×103 ⋅ 745 = 189700 Nmm " i = = 2π d 280 1200 ⋅ 60 θ

 a  sen   2 

= 1483,43N " F 2 =

=

2,615

 40 sen  2

o

2 ⋅ T 1

d ⋅ (e µθ c − 1)

  

=

= 2,43

= 7,646rad " 2 ⋅189700 280 ⋅ (e 0 ,32⋅7 , 646 − 1)

= 128,43N "

π − θ 

 π − θ   = 1556,31N F S 1−2 = (F 1 − F 2 ) ⋅ sen  = 352,7 N  2   2  as polias = e B com d=;mm e DJ;mm calc&laOse d c = 840mm " a polia menor: T 3 = 189700 ⋅ 2,43 = 460700 Nmm " θ = 2,665 rad " θ c = 7,792rad " F 1 = 3138,7 N F 2 = 259,3 N " F P1−2

= (F 1 + F 2 ) ⋅ cos 

F P 3− 4

= 3302 N F S 3−4 = 679,7 N "

Cálc&lo das rea36es de apoio: ambos os planos est,o e)&ilibrados estaticamente" Considere o rolamento A montado na es)&erda e o rolamento Q montado na direita" Ent,o no plano vertical podeOse afirmar )&e: F ⋅ 620 − F S 3− 4 ⋅ 250 = 1892,81 N ↑ ∑ M B = 0 ∴V A = P1−2

∑ F = 0 ∴V y

B

420

o plano hori'ontal podeOse afirmar )&e: F ⋅ 620 + F P 3− 4 ⋅ 250 = 2486,13 N ↑ ∑ M B = 0 ∴ H A = S 1−2

∑ F = 0 ∴ H

= 1016,21 N ↓

y

B

420

= 1168,57 N ↑

Cálc&lo do dpr8Opro$eto: para as regi6es nas )&ais o diâmetro 8 desconhecido tornaOse necessário s&a  determina3,o" Utili'andoOse o tor)&e / = no ei+o BK;J;;mm# a rigide' 9 tor3,o ( t;#< ?m 0deveO se &tili'ar o valor em rad?mm2" d pré − projeto

=4

32 ⋅ T π ⋅ G ⋅ Rt

=4

32 ⋅ 460700 π ⋅ 81× 103 ⋅ 1,75 × 10 −6

= 76mm

Diagramas de corpo livre: os elementos fi+ados ao ei+o de interesse est,o marcados com &m c7rc&lo vermelho para melhor identifica3,o"


Exercícios

Fle+,o obl7)&a e tor)&e: para determinar d < &tili'aOse o ponto A do desenho# para d  &tili'aOse o ponto Q do desenho e para d = &tili'aOse o ponto C do desenho" Assim: M A

= [V B ⋅ (340 − 15) − F S 3−4 ⋅ (75)]2 + [ H B ⋅ (340 − 15) − F P3−4 ⋅ (75)]2 = 308971 Nmm

M B

= [V B ⋅ (340 − 15 + 20) − F S 3−4 ⋅ (75 + 20)]2 + [ H B ⋅ (340 − 15 + 20) − F P 3−4 ⋅ (75 + 20)]2 = 299687 Nmm

M C =

[F S 1−2 ⋅ (60)]2 + [F P1−2 ⋅ (60)]2 = 95746,5 Nmm

Crit8rio da A%ME: os valores da tabela abai+o foram &sados na frm&la da A%ME" %n real σe Cálculo M Nmm d nf L FF L // T Nmm d< d d=

2,5 2,5 2,5

2,25 1,25 2,25

MPa 43,8 48,4 43,8

308971 299687 95746,5

1 1 1

460700 460700 460700

MPa 240 240 240

74mm 58,6mm 50,94mm


Exercícios

11) Cálculo de eixos: exercício ' da a#ostila * modi!icado > ei+o da fig&ra abai+o deve ser dimensionado para a eleva3,o de &ma carga má+ima de SIA%: a  B; o 0âng&lo de abert&ra do canal2 e µC  ;# 0coeficiente de atrito correia?polia2 EI4>: a3o classe "K# acabamentos: retificado nos assentos dos rolamentos# (B µm nas demais s&perf7cies cho)&es fortes# confiabilidade de @@"@@H# considerar material d5ctil# nf=" Para os arredondamentos considere r?d;#s rolamentos s,o montados por a$&ste desli'ante" Adote  valores intermediários" (t ?m e .<.Pa"


Exercícios

1$) Cálculo de eixos: exercício 5 da a#ostila * modi!icado > ei+o )&e comp6e o sistema mecânico da fig&ra seg&inte deve ser dimensionado para a transmiss,o de &m tor)&e constante de G;; m" A transmiss,o por correia trape'oidal tem polias de ;;mm e B;;mm en)&anto )&e as ECD(s tem = dentes# =< dentes e md&lo de Bmm" A distância entre os centros das polias 8 de =K;mm" As dimens6es est,o em mm e fig&ras fora de escala" Considere a temperat&ra de trabalho pr+ima de =; o" As chavetas &sadas s,o da forma A" P>SIA%: a  B= o e µC;#G" E.(EA.E%: α<o" EI4>: material do ei+o: a3o classe <"@ 0d5ctil2# .<.Pa" Acabamentos: (B; µm nos assentos dos rolamentos# &sinado nas demais s&perf7cies# cho)&es fortes# confiabilidade de @;H# nf#GN para todos arredondamentos considere r?d;#;G" Adote valores intermediários e considere o momento fletor como sendo m&ito leve" >s rolamentos s,o fi+ados por a$&ste desli'ante" > rolamento A está posicionado 9 es)&erda e o Q 9 direita do ei+o" Determine os diâmetros d< # d e d= pelo crit8rio A%ME e normali'e pela DI="


Exercícios

(espostas parciais do e+erc7cio < De maneira es)&emática podeOse considerar )&e os elementos est,o dispostos conforme fig&ra a seg&ir" Para facilitar os cálc&los# os mesmos foram marcados de acordo com a n&mera3,o abai+o: Polia < 0polia menor na )&al o tor)&e 8 fornecido2# polia  0polia maior# montada no ei+o de est&do2# Ecdr = 0engrenagem cil7ndrica de dentes retos# tamb8m montada no ei+o de interesse2 e Ecdr B 0roda dentada )&e está engrenada com a =2" Como o sentido do tor)&e no elemento < foi dado# podeOse afirmar )&e a for3a no lado mais tracionado da correia s pode ser no sentido e dire3,o do vetor F< marcado no desenho" Dessa forma por a3,o e rea3,o marcamOse os vetores F < e F  na polia  e tornaOse poss7vel determinar /" o ei+o s e+istem dois elementos )&e transmitem pot-ncia" Como o ei+o deve ser estaticamente e)&ilibrado# podeOse afirmar )&e /= 8 de mesma magnit&de por8m sentido contrário 9 /" Por isso sabeOse determinar a dire3,o e sentido de F t pois 8 essa for3a )&e gera o tor)&e na ecdr=" Por a3,o e rea3,o marcamOse as for3as no elemento B" ote )&e nesse e+er7cio n,o 8 poss7vel 0nem preciso2 determinar o sentido das rota36es# m&ito menos afirmar )&ais s,o os elementos motores e movidos" ote tamb8m )&e na polia at&am somente as for3as F < e F" Por8m por ra'6es didáticas &tili'amOse as somatrias vetorias nos ei+os principal 0a)&ele )&e &ne as polias2 e sec&ndário 0normal ao principal2" Dessa forma na fig&ra ficam representadas )&atro vetores de for3a mas apenas e+istem os dois citados acima" esse e+erc7cio as polias se encontram defasadas ang&larmente" Ent,o por )&est,o de melhor vis&ali'a3,o dos planos# foi feita a decomposi3,o vetorial das for3as FP e F% nos ei+os clássicos + e V"

Posi3,o dos elementos: os elementos montados no ei+o est,o posicionados como seg&e" d<: @;mm 9 direita do centro da polia " d: <=;mm 9 direita do d < d=: J;mm 0
For3as nos elementos: a distância entre centros foi fornecida no en&nciado 0=K;mm2" a polia menor calc&laOse: θ = π −

F 1 =

2 ⋅ 500000 200 ⋅ (1 − e

− 0, 25⋅7 ,04

)

400 − 200

= 2,586rad θ c = .

360

= 6039 N ; F 2 =

2 ⋅ 500000 200 ⋅ (e 0 , 25⋅7 , 04 − 1)

2,586

 43   sen 2   o

= 7,04rad

.

= 1039N

π − 2,58 

 π − 2,58   = 6800,8 N ; F S = (6039 − 1039) ⋅ sen  = 1385,6 N "   2 

F P

= (6039 + 1039) ⋅ cos 

F X

= 6800,8 ⋅ cos(62 ) − 1385,6 ⋅ cos(28 ) = 1969,4 N (→); F Y = 6800,8 ⋅ sen(62 ) + 1385,6 ⋅ sen(28 ) = 6655,25N (↑)



o

2

o

o

o


a polia maior calc&laOse: i = determinar: T3 =

F T ⋅ m ⋅ Z 3

2

400

Exercícios

= 2 → T 2 = 500 ⋅ 2 = 1000 Nm = T 3 as engrenagens podeOse .

200

→ 1000 ×103 =

F T ⋅ 4 ⋅ 23

2

→ F T = 16129N e F r 1 = 16129 ⋅ tan(18 ) = 5240 ,63 N " o

(ea36es de apoio: devido ao posicionamento dos pontos de interesse# n,o 8 necessário o cálc&lo das rea36es de apoio" De )&al)&er maneira foi calc&lado nesse e+erc7cio apenas para )&e o est&dante possa e+ercitar novamente os conhecimentos de resist-ncia dos materiais" Por ra'6es didáticas# separamOse as for3as nos planos vertical e hori'ontal" Ent,o no plano vertical podeOse afirmar )&e: F ⋅ (160 + 120 + 380) − F r ⋅ (120 + 380) ∑ M B = 0 ∴V A = Y 380

= −4663,7 N então está errado o sentido no diagrama V A ↓ ∑ F y = 0 ∴ F Y + V B = F r + V A =∴V B = 3249 N ↑

V A

o plano hori'ontal calc&laOse: F ⋅ (160 + 120) − F t ⋅ (120) ∑ M A = 0 ∴ H B = X 380

= 6544,5 N ↑ ∑ F y = 0 ∴ F X + F t + H B = H A ∴ H A = 24642,9 N ↓

H B

Cálc&lo do dpr8Opro$eto: para as regi6es nas )&ais o diâmetro 8 desconhecido tornaOse necessário s&a  determina3,o" Utili'andoOse o tor)&e do ei+o <;;;m# a rigide' 9 tor3,o ( t ?m 0deveOse &tili'ar o valor em rad?mm2" d pré − projeto

=4

32 ⋅ T π ⋅ G ⋅ Rt

=4

32 ⋅ 1000 × 10

3

π ⋅ 81 × 10 3 ⋅ 3,49 × 10 −5

= 43,6mm

Cálc&lo de %n real: o limite de fadiga real depende do local do ei+o" % n tericoK;; MPa" M&itos fatores de convers,o s,o com&ns" esse e+erc7cio s,o: C confiabilidade;#@JN Ctemperat&ra
1 1,8 + 2,5

= 0,465 ;#BGBN Ctamanho 1,189 ⋅ 43,6 −0,097 = 0,824 N Cacabamento s&perficial;#KG 0rolamentos

2

com r&gosidade de B; µm e σr<;;MPa2N Cacabamento s&perficial 4,51 ⋅ 1200−0, 265 = 0,689 0o&tros partes &sinadas2N S n real d 1;d 2 = 142,26 MPa e S n real d 3 = 134 ,2 MPa . Cálc&lo de L FF: os elementos de transmiss,o de pot-ncia 0polia  e ecdr=2 fi+ados ao ei+o tem L FF fi+a3,o#< 0estimativa gráfica: chaveta forma A?ranh&rasN d pr8Opro$etoG;mmNσr<;;MPa2 e devido as varia36es de geometria apresentam L FF geometria# 0r?d;#;GNσr<;;MPa2" Combinados: para os itens d < e d:L FF d< e d=#@" Como os rolamentos s,o montados por a$&ste desli'ante L FF fi+a3,o< e devido as varia36es de geometria apresentam L FF geometria# 0r?d;#;GNσr<;;MPa2" Combinado para o d=:L FF d=#"


Exercícios

Fle+,o obl7)&a e tor)&e: M d 1

= [F Y ⋅ (90)]2 + [F X ⋅ (90)]2 = 624652 Nmm

M d 2

= [F Y ⋅ (220) − F r ⋅ (60)]2 + [F X ⋅ (220) + F t ⋅ (60)]2 = 1812374,8 Nmm

M d 3

= [ H A ⋅ (10) − H B ⋅ (390)]2 + [V A ⋅ (10) − V B ⋅ (390)]2 = 2608937,4 Nmm

> leitor pode se perg&ntar se a afirma3,o feita anteriormente no te+to 8 correta" Pois afirmo&Ose )&e n,o era necessário o cálc&lo das rea36es de apoio e as mesmas foram &sadas na fle+,o obl7)&a para o cálc&lo de d=" Por8m a afirma3,o 8 correta" > momento fletor combinado no d= poderia ter sido obtido pelo m8todo dos cortes descartandoOse a parte 9 direita de d= e &tili'andoO se as cotas da es)&erda" Por8m $á )&e havia sido feito o cálc&lo das rea36es# foi &tili'ado somente como c&riosidade" As respostas devem ser as mesmas &ma ve' )&e o ei+o está em e)&il7brio estático"

Crit8rio da A%ME: os valores da tabela abai+o foram &sados na frm&la da A%ME" %n real σe Cálculo M Nmm dcalculado nf L FF L // T Nmm d< d d=

2,5 2,5 2,5

3,9 3,9 2,8

MPa 144,26 144,26 134,2

624652 1812374,8 2608937,4

1 1 1

1000000 1000000 nulo

MPa 1080 1080 1080

75,85mm 108,2mm 111,5mm

dDIN3 78 mm 110 mm 115 mm


Exercícios

1%) Cálculo de eixos: > ei+o da fig&ra aciona os dispositivos < 0locali'ado 9 direita mas n,o representado na fig&ra2 e  0locali'ado 9 es)&erda mas n,o representado na fig&ra2 )&e consomem respectivamente ; e K hp" Essa cone+,o 8 feita por acoplamentos ideais" A polia maior 8 fi+ada ao ei+o por meio de chaveta" Determine 0A%ME2 se ocorrerá fadiga no assento da polia de diâmetro =; mm" P>SIA%: a  BB o e µ;#=K" As dimens6es est,o em mm e as fig&ras fora de escala" EI4>: material do ei+o: a3o classe K" 0d5ctil2# .;#.Pa" Acabamentos retificado nos rolamentos e &sinado nas demais s&perf7cies# cho)&es leves# confiabilidade de @@H" Para os arredondamentos considere r?d;#;G" Adote valores intermediários e condi3,o do momento fletor leve"


Exercícios

Respostas parciais do exercício 13:

Análise do fl&+o de pot-ncia: a polia motora 8 a menor e transmite energia atrav8s da correia para a polia maior )&e está no ei+o" %olidário ao ei+o tem dois acoplamentos" A energia de Khp 8 ent,o dividida no centro da polia" > dispositivo < 0locali'ado 9 direita2 consome ;hp" !á o  0locali'ado 9 es)&erda2 consome Khp" Acoplamentos ideais transmitem apenas tor)&e" A pot-ncia de entrada 8 ig&al 9 pot-ncia de sa7da" Entram Khp e saem ;hp na direita e Khp na es)&erda" ,o s,o considerados os rendimentos das transmiss6es feitas pelos elementos citados" For3as nos elementos: a distância entre centros foi fornecida no en&nciado" a polia menor calc&laOse: θ = π −

i=

D d

=

T menor =

320 80

d c

= π −

320 − 80 500

= 2,661rad " θ c =

= 4 "a maior a rota3,o vale BG; rpm"

T maior i

D − d

θ

 a  sen   2 

T maior =

=

2,661

 44   2   o

= 7,103rad "

sen

26 × 103 ⋅ 745 = 411040 Nmm " 2π 450 ⋅ 60

= 102800 Nmm

20 × 103 ⋅ 745 6 ×103 ⋅ 745 = 316000 Nmm e T dispositivo 2 = = 95000 Nmm T dispositivo1 = 2π 2π 450 ⋅ 450 ⋅ 60 60 2 ⋅ T 1 2 ⋅ T 1 2 ⋅102800 2 ⋅ 102800 F 1 = N F " = = 2786 = = = 216N " 2 d ⋅ (1 − e − µθ c ) 80 ⋅ (1 − e −0,36⋅7,103 ) d ⋅ (e µθ c − 1) 80 ⋅ (e0 ,36⋅7 ,103 − 1)

 π − 2,661   = (2786 + 216) ⋅ cos  = 2915,7 N 2 2      π − θ   π − 2,661  F s = (F 1 − F 2 ) ⋅ sen  = (2786 − 216) ⋅ sen  = 611,6 N 2  2    F p

π − θ 

= (F 1 + F 2 ) ⋅ cos 


Exercícios

Cálc&lo das rea36es de apoio: rolamento A 0es)&erda2 e Q 0direita2 Plano vertical:

∑ M

Plano hori'ontal:

= 0 → V B =

F P ⋅ 80

∑ F = 0 → V = 1749,4 N ↑

= 1166,3N ↑ " 200 F ⋅ 80 = 244,6 N ↑ " M A = 0 → H B = s 200

A

∑

y

A

∑ F = 0 → H y

A

= 367 N ↑

Cálc&lo do momento fletor no ponto de interesse: para o cálc&lo deveOse determinar a fle+,o obl7)&a res<ante no ponto distante @; mm 9 es)&erda do centro do rolamento Q 0fi+ado 9 direita2" M H

= V B ⋅ 90 = 104967 Nmm e M V = H B ⋅ 90 = 22014 Nmm. Assim M =

2 M V 2 + M H

= 107251 Nmm "

Cálc&lo de L FF: os elementos fi+ados ao ei+o tem L FF<# 0chavetaN d=;mmN σrK;;MPa2" As varia36es de geometria apresentam L FF<# 0r?d;#;GNσrK;MPa2" Combinado: L FF #K" Cálc&lo de %n real: o limite de fadiga real depende do local do ei+o" % n terico=;; MPaN Cconfiabilidade;#
= C carga ⋅ C tam ⋅ C sup ⋅ C temp ⋅ C conf ⋅ C div ⋅ S n = 122,7 MPa .

AplicandoOse o crit8rio da A%ME: nf<#

Exercícios

1') Cálculo de eixos: $ do #rimeiro semestre de $00' A fig&ra abai+o representa &ma transmiss,o por ECD(s" %abendoOse )&e a engrenagem motora transmite ;cv a
α;o # rigide' a tor3,o para o pr8Opro$eto: ( /<#G o ?m e .a3o;# .Pa" Utili'e %n real(MA D2" Fig&ras fora de escala e dimems6es

em mm" Adote valores intermediários.

m=2.5mm

18mm

m=4mm

engrenagem motora n=1760rpm

A

Z=47 Z=23

giro

B

Z=19 Z=41 Z=número de dentes

150

70

65

d


Exercícios

Análise do fl&+o de pot-ncia: a ecdr motora 0<@2 8 a menor e transmite energia atrav8s da maior 0B<2 para o ei+o" %olidário ao ei+o tem o&tra ecdr 0=2" A energia 8 ent,o transmitida para BJ" A pot-ncia de entrada 8 ig&al 9 pot-ncia de sa7da .

T 1 = F t =

P n1

=

2 ⋅ T 1 d 1

20 × 735 ⋅ 60 2π ⋅ 1760

=

= 79 ,8 Nm ;

2 ⋅ 79,8 × 10 3 2,5 ⋅ 19

T 1 T 2

=

d 1 d 2

∴ T 2 = 172 ,2 Nm

= 3360 N ; F r = F t ⋅ tan α = 1223 N

= T 3 = 172,2 Nm 2 ⋅ T 3 2 ⋅ 172,2 × 10 3 F t = = = 3744 N ; F r = F t ⋅ tan α = 1363 N 4 ⋅ 23 d 3

T 2

1° par de ECDR’s (α = 20°)

2° par de ECDR’s (α = 20°)

Plano vertical

∑ M = 0∴V ⋅ 135 + 3744 ⋅ 70 = 3360 ⋅ 150 ∴V = 1792 N (↓) ∑ F = 0 ∴V = V + 3744 + 3360 ∴V = 8896 N (↑) A

B

B

A

B

A

Plano horizontal

∑ M = 0∴ H ⋅ 135 = 1223 ⋅ 150 + 1363 ⋅ 70 ∴ H = 2066 N (↓) ∑ F = 0 ∴ H + 1363 = H + 1223 ∴ H = 1936 N (↑) A

B

A

Esforços presentes no eixo a) Esforços na seção de estudo (encaixe do rolamento B):

M vertical

B

B

A

Cálculo das reações nos apoios

= 1792 ⋅ 0,009 = 16,2 Nm e M horizontal = 2066 ⋅ 0,009 = 18,6 Nm então : M = M V 2 + M H 2 = 24,7 Nm .

Torque: nulo pois a região do assento do rolamento (nesse exercício) não tem torque! T =0. Analise o fluxo de potência para desenhar o diagrama de torque e chegar nessa conclusão. b) Fatores de concentração de tensão: Ajuste forçado: Kf=1,4 (página 11-19, forma D, 600 MPa) Arredondamento: Kf=1,3 (página 11-22, r/d=0,2, 600 MPa). K F 12 = 1 + (1,4 − 1) + (1,3 − 1) = 1,7 . c) Cálculo do diâmetro:   32 ⋅ n f d =   π 

1

1

1 3  3 2 2 2  K ⋅ M  2 3  K ⋅ T  2  2  3    1,7 ⋅ 24,7 × 10  3 1 ⋅ 0   + ⋅  t    =  32 ⋅ 1,6 ⋅    + ⋅    = 16,6mm ⋅  f      4  σ e    150 4  480     S n    π         1

real


Exercícios

15) Cálculo de eixos: $ do #rimeiro semestre de $005 A fig&ra abai+o representa &ma transmiss,o mecânica composta de &m par de polias e & m par de ECD(s" o ei+o il&strado na fig&ra# a engrenagem 8 montada via interfer-ncia moderada 0forma Q2 en)&anto )&e a polia maior 8 fi+ada por ranh&ras DI GBK" /odos os o&tros a$&stes s,o desli'antes" > valor das for3as nos vários elementos está indicado a seg&ir: Fr 
100

100

100

T1 4 5 °

5 2 Ø

r5 120

120

230


Exercícios

2"I34 da questo 15 * $ do #rimeiro semestre de $005 <2 For3as nos elementos e no ei+o de interesse: vetores il&strativos e fora de escalaX Plano Vertical

Devido 9 polia:

+

Plano vertical:

F1

× sen 45 − F s × sen 45 = F Y 2500 × 0,7 − 800 × 0,7 = 0 ∴1190 N (↑) F P

T2

F1

FP

F2

o

Plano hori'ontal:

× cos45 + F s × cos45 = F X 2500 × 0,7 + 800 × 0,7 = 0 ∴ 2310 N (↑) F P

T3 Fr

FS

F2

Plano + Horizontal

Ft

o

o

o

Devido 9 ECD(: Plano vertical: F r = 1500 N (↑) " Plano hori'ontal: F t = 4600 N (↑ )

2 (ea36es de apoio: rolamento A entre polia e ECD( ? rolamento Q á direita da ECD( M B = 0 ⇒ 2310 × 0,3 + 4600 × 0,1 − H A × 0,2 = 0 ⇒ H A = 5765 N (↓)

Plano hori'ontal:

∑ ∑ F = 0 ⇒ 2310 + 4600 − 5765 − H x

Plano vertical:

B

= 0 ⇒ H B = 1145 N (↓)

∑ M = 0 ⇒ 1190 × 0,3 + 1500 × 0,1 − V × 0,2 = 0 ⇒ V = 2535 N (↓) ∑ F = 0 ⇒ 1190 + 1500 − 2535 − V = 0 ⇒ V = 155 N (↓) B

y

A

A

B

B

=2 Simite de resist-ncia 9 fadiga real: % n;#G+;;B;; MPa

S n real

= C carga ⋅ C tam ⋅ C sup ⋅ C temp ⋅ C conf ⋅ C div ⋅ S n

Sn REAL

= 1 × 1,189(25)−0,097 × 0,814 × 4,51(800 ) −0, 265 × 1 ×

B2 Fatores de concentra3,o de tens,o

1 1,7

× 400 = 128MPa

G2 Crit8rio da A%ME

/or)&e no ei+o d p Z × m = F t × T eixo = F t × 2 2 Fle+,o obl7)&a no ei+o M =

16 × 3 2

= 110,4 Nm

(F X × 60)2 + (F Y × 60)2 = 156Nm

  32 ⋅ n f d =   π    32 ⋅ n f 25 =   π  n f

= 4600 ×

1

3  K ⋅ M  2 3  K ⋅ T  2  2   + ⋅  t    ⋅  f 4  σ e     S n      1

real

 2,15 ⋅ 156 × 10 ⋅  128 

= 0,6 (ocorre fadiga!)

1

3

2

 3  1 ⋅ 110,4 × 10  + ⋅  4  680 

3

  

2

2  


Exercícios

1,) Cálculo de eixos: % do seundo semestre de $00, As for3as mostradas na fig&ra a&+iliar correspondem aos esfor3os de lamina3,o at&ando sobre o cilindro na distância m8dia entre os mancais" %abeOse )&e:

• As engrenagens poss&em âng&lo de press,o α  ;o e mK mm • >s rolamentos A e Q s,o montados por interfer-ncia leve 0tipo D2" • Fadiga: Ctemp

4 - Exercícios de Dimensionamento de Eixos

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