CUATRO OPERACIONES INTRODUCCIÓN Las operaciones fundamentales de la adición, sustracción, multiplicación y división los aplicamos directamente. Una ama de casa recurre a éstas para la distribución más adecuada de sus ingresos. En las empresas dado que las materias primas, ingresos, egresos, sueldos y impuestos, etc. son cuantificados, se genera para que haya relaciones, operaciones del presupuesto. La distribución, planificación y la información, se realizan siempre las operaciones fundamentales. unque !ltimamente quienes realizan solo operaciones están siendo reemplazados por calculadoras, computadoras, máquinas que pueden realizar las operaciones en menos tiempo. "o de#a de ser importante conocer los aspectos básicos de dichas operaciones y propiedades que se cumpla en este y la que vamos a desarrollar.
ADICIÓN A
A B C
C
B
=
$ manzanas
% & manzanas
%
' manzanas
(
)* +anzanas
En general: ado - ó más canti antid dade dess sum sumando andoss la oper operaci ación ón adic adición ión consi consiste ste en reuni reunirr dichas dichas canti cantidad dades es e una sola sola llam llamad adaa suma, suma, al cual cual tiene tantas unidades como todos los sumandos #untos.
1 7 2 9 7 E#emplo adición en otras bases
4 3
3umandos 3uma total E#emplo adición en base diez /agrupación de )0 en )01
1
4
3 6
2 2
2
4 + 3
6
2
9
4 9
5
4 8
6 4
8 4
+
6 5 47 3 6 67
$ % & % ' ( )*
2
4
3
4
+8
9
4
9
5
4
7
6
3
7
8
7 7 8
1 4 39 6 79
2
6
5 7 5 68 6 5 68
+
2 8 19
SUMAS NOTABLES: ).2
S
1 2 3 ... n
n. n
1
2
+
-.2 '.2
S 1 3 5 ... 2n 1 n
2
S
S 2 4 6 ... 2n n. n 1
2 2 2 2 *.2 S 1 2 3 .... n
&.2 S 13
3
3
2 3 ... n
3
n. n 1 2n 1 6
n. n 1 2
4.2
S
a
0
1
a a
2
a
3
....... a
n
n n 1 n
3 a
n 1 a
1
1
). 5alcular el valor de 637 si
S 1 5 2 6 3 7 ... 20 24
a1 '$*0 d1 '44*
b1 '&80 e1 '$)0
20 sumandos
a1 '&)8 b1 '&-0 d1 '&<0 e1 '$00
c1 '&-)
4. :allar a % b % c % m % n, s@ abc 1mn cba .
2
$.2 S 1.2 2.3 3.4 .... n. n 1
12 (3) 23( 4) 34 (5) 45(6)....
onde
a
c b
b a
a1 -4
b1 -8
d1 -<
e1 '0
c c1 ')
SUSTRACCIÓN
c1 '4)0
-. 3i a % b % c ( )*9 hallar M ab3 c 2 b 4ac bca
Es una operación inversa a la adición, tal que dados dos n!meros llamados minuendo y a1 )&&* b1 )444 c1 )4&* sustraendo la operación sustracción hace d1 )844 e1 )$&* corresponder un tercer n!mero llamado diferencia, tal que sumado con el sustraendo '. :allar ; % y % a9 si de cómo resultado el minuendo. a1x a 2 x a 3x ... a 7 x 38y1 Es decir a1 $ b1 4 c1 < +A3( d1 8 e1 )0 onde *. 3abiendo que + +inuendo 21ab 24ab 27ab ... 69ab xyz6 3 3ustraendo iferencia =5uál es el valor de a % b % ; % y % z>
a1 -4 b1 -< c1 -8 d1 '0 e1 ') &. :allar la suma de las ' !ltimas cifras de la siguiente suma ' % &' % '&' % &'&' %?9 si dicha sumatoria tiene -* sumandos. a1 )0 b1 )) c1 )d1 )' e1 )* $. :allar el valor de 3 en el sistema decimal.
PROPIEDADES 1.
M S D
2.
M S D 2M
Aplicaciones: <. En una sustracción9 la suma de sus términos es 4-, además el minuendo es dos veces más que el sustraendo, calcule la diferencia. Bpta -* 8. La suma de los términos de una sustracción es 3C. 4*- y el producto del
sustraendo por la diferencia es $$<<. calcule el sustraendo sabiendo que es mayor que la diferencia. Bpta&&-
Aplicaciones:
si a 74 b 5 ba 2 c7a bba 68 calcule a ; b ; c Bpta '0
)0.
Ejemplo:
3ustracción en base )0. 1
1
4
1
8
2
9
5
1
2
3
M'nuendo Sus*)aendo D'(e)enc'a
4
5
0
7
2
8
4
5
1
6
6
2
En otras bases 4
3
2
4 8
3
4
1
0 7
1
4
3
2 8
2
4
5
3 7
)).
ab6 ba 6 d 2 6 y d 2 6 ed 6 156 ab7 de 7
Bpta 122 7 5onsiderando las siguientes diferencias 5
2
1 7
3
5
1
2
5
5
3
7
3
9
6
1
8
7
9 9 9
5
1
3
3
1
5
1
7
6
8 8 8
9
3
5
5
3
9
3
11
8
términos es )*-. 3i la suma del sustraendo más el minuendo es )00, hallar la diferencia. a1 -$ b1 4) c1 -8 d1 *e1 )' )*. En una resta, si al minuendo se le agrega - unidades en las decenas y al sustraendo se le aumenta & unidades en las centenas, entonces la diferencia disminuye en a1 &b1 &-0 c1 &0d1 *<0 e1 '40 )&. Un n!mero de tres cifras abc es tal que abc cba mn 3 3i se sabe que la suma de sus cifras es )89 hallar el valor de a 2 b 2 c 2 . a1 )&0 b1 )&) c1 )&d1 )*8 e1 )&' 5omplemento aritmético /5/"11 El complemento aritmético de un n!mero entero positivo es igual a la cantidad de unidades que le falta a dicho n!mero para ser igual a una unidad de orden inmediato superior a su cifra de mayor orden.
3i 5alcular
)'. En una sustracción, la suma de sus '
E#emplo
12 12 12
5 /'1 ( 101 3 7
PROPIEDAD:
5 /-<1 ( 10 2 28 72
3i a D c, además abc cba mn!
se cumple m%p(A) n(A)
Aplicaciones )-.
3i 4ab ba 4 es de ' cifras. demás ab ba " 4. calcule -a % 'b Bpta )4 y -
5 /4'01 ( 103 730 270
5/$'*01 ( 10 4 6340 3660
En general 3ea el numeral 6"7 que tiene 6F7 cifras en base )0 $% #
10 &
#
Aplicaciones )$.
)4.
)8.
3i 5 abc abco 397 5alcule a ; b ; c 3i $%abcde ee 5alcule /a % b % c % d % e1
$.%. abc 4 c b 4 a 4 Bpta )*
Bpta '$ -o)ma !),c*'ca +
abcd asum'endo d 0 $%abcd 9 a 9 b 9 c10 d $% abcd 10
4
Ejemplo: es*a de 10
la suma de cifras de esta suma en base -4. a1 '- b1 '$ c1 '0 d1 '& e1 *0 -). 5alcule el resto de dividir ac en*)e mn si además
a b c si $% abc a 5 a 1 b 2
5alcule
Bpta)0
Forma pracica $% 42317 9 46572 9
Es una operación que consiste en lo siguiente dado dos n!meros 67 y 6G7 multiplicando respectivamente se halla un tercer n!mero 6H7 llamado producto el cual se compone tantas veces el multiplicando como veces indica el multiplicador. Isea
es*a es*a de 8 de 9 7
es*a es*a de 6 de 7 $% 213000
5
es*a es*a de 4 de 5
Multiplicación
es*a es*a de 9 de 10
$% 530013
cba 8 2nm 8
es*a de 10
$% 3 2 01 0 0
)<.
b . é como respuesta 2 9
forma a 3a b
a1 )8 b1 )0 c1 )* d1 -0 e1 )--. La suma de los complementos aritméticos de los n!meros 1a1 2a 2 3a 3 ... 9a 9 es '8)&. determine el valor de 6a7. a1 ) b1 8 c1 * d1 ' e1 $ 6 bc -'. 3i $.%. abc cba 5alcule a % b % c a1 )< b1 )- c1 -- d1 -0 e1 )*
$% 363423 es*a de 9
5alcule a % b % c a1 8 b1 )- c1 < d1 )' e1 )0 -0. 5alcule la suma de todos los n!meros de la
$.%. abc 8
$% 346228 65372 es*a de 9
3i se cumple que
% % % % % % / b eces / 1
%x
E#emplo +ultiplicar )'-& por -'& Hrocedimiento
4
Mu*'!'cando
1 3 2 5 x Mu*'!'cado) 2 3 5
)oduc*os a)c'aes
6 6 2 5
)oduc*os *o*a
3 9 7 5
1
4
3
3
0
3
4
4
2
3
4
2
0
1
2
5
x
5
5
5
2
1
5
Aplicaci!n -<. 3i
mn ! 7 x 21 7
.... 43 7
5alcule n !
2 6 5 0
Bpta< -8. El producto de dos n!meros es 4-09 si se
3 1 1 3 7 5
Aplicaciones -*. En una multiplicación si al multiplicando se le aumenta & unidades, el producto aumenta en -00. si al multiplicador se le aumenta 4 unidades, el producto aumenta en 8). calcule la suma de cifras del producto inicial. Bpta4
Aplicaci!n -&.
$% abca 7 b 2 dd 7
5alcule
a b c d
Bpta )* -$. l multiplicar un n!mero por '-$ se obtuvo como suma de productos parciales a *4'<<. calcule dicho n!mero. Bpta *'0< -4. umentando en & unidades a los factores de una multiplicación el producto aumenta en <&. calcule la suma de los factores, si se diferencian en $. Bpta)-
En oras "ases: +ultiplicar
423 5
por
42 5
aJaden $ unidades al multiplicando, el producto entonces <)$ =5uál es el multiplicador> a1 4b1 '$ c1 *& d1 )$ e1 ''0. En la multiplicación de dos n!meros, si a
uno de ellos se le quita ' decenas, el producto disminuye en )0<'0. :allar uno de dichos n!meros. a1 '-0 b1 '$) c1 *)d1 ')4 e1 '-$ '). :allar E(/b%c12/a%d1, si en la multiplicación abcd 95 ,la diferencia
de los productos parciales es )&'4-. a1 )b1 $ c1 ' d1 < e1 )0 '-. El producto de un n!mero por 6a7 es **< y por 6b7 es ''$. :allar el producto de este n!mero por el mayor n!mero capic!a de ' cifras que se puede formar con 6a7 y 6b7. a1 *<$0< b1 &*'0c1 &)$0< d1 '<*)$ e1 -4&*<
División DIVISIÓN /En los n!meros enteros1
d B q
( d.q % B
cifras de " si es el menor n!mero posible mayor que -00.
onde ividendo q 5ociente demás 0 B K d ).
d ivisor B Besto o residuo
d q
'*. l dividir
abc
entre
bc
se obtuvo ))
de cociente y <0 de residuo, calcule a % b % c.
ivisión E;acta /B ( 01
0
Bpta )-
( d.q Bpta )8
E#emplo
*< )0 * -.
*< ( )-.*
'&. l dividir
ivisión entera o ne;acta /0 K B K d1
2.1 Por defecto. d B q
residuo má;imo, si al dividendo se le el nuevo cociente es -*, calcule a % b % c y en cuánto var@a el cociente luego de la alteración.
*<
( 8.& %'
( d /q%)1 A BM
Bpta )* '$.En una división entera ine;acta, si al dividendo y al divisor se les multiplica por
/q %)1 5ociente por e;ceso BM Besto por e;ceso E#emplo *< 8 $ $ PROPIEDADES
*, el resto por defecto aumenta en 8$9 *<
( 8.$ 2 $
pero si se dividen entre ', el resto por e;ceso disminuye en $0. 3i la suma de los cocientes, por defecto y por e;ceso es '49
). B % BM ( d E#emplo 3i B ( ' y BM ( $ ' % $ ( d d ( 8 -.
entre -' se obtiene un
aumenta 40 y se vuelve a dividir entre -'
( d.q % B
q ( cociente por defecto B ( Besto por defecto E#emplo
*< 8 ' & 2.2 Por Exceso d BM /q %)1
abc
hallar el dividendo. a1 -)8$ d1 ')-<
/B9 BM1 má;imo ( d A) /B9BM1 m@nimo ( ) e#emplo " )< B q 3i B má;imo B ( )4
b1 ---< e1 -000
c1 )8&$
'4.La suma de los * términos de una división entera ine;acta es igual a &**. :allar el dividendo si el cociente es )- y el resto, la mitad del divisor.
Aplicaciones ''. l dividir " entre
2a
residuo má;imo a
1 b
se obtuvo como 9 calcule la suma de
a1 &$* d1 *<0
b1 *40 e1 *4&
c1 *$-
a1& '<.La suma de los * términos de una división es *48. 3i se multiplica al dividendo y al divisor por $, la nueva suma de términos es -4<8. :allar la suma de todos los
b1*
c14
d1<
e1'
**.:allar a % b % c % d % e 3i abcde7 5 7abcde a1)4
b1)<
c1)8
d1-0
e1-)
dividendos que cumplen con dicha *&.eterminar el má;imo n!mero de ' cifras
condición. a1 <&* d1 <8*
b1 *<) e1 *$<
cuyo 5 resulta ser el producto de sus
c1 *-<
cifras de orden impar.
'8.5alcule el resto de dividir
ac
en*)e
mn
si además $.%. abc 8
b1 88)
d1 8<8
e1 88*
*$.3i
cba 8 2nm 8
a1 )8 b1 )0 c1 )*
a1 880
d1 -0 e1 )-
*0.La suma de los complementos aritméticos
abcd 9 x 4444 9
c1 8<*
....7108 9
:alle a % b % c % d a1 )*
b1 )<
d1 )$
e1 )4
c1 )&
de los n!meros 1a1 2a 2 3a 3 ... 9a 9
es '8)&. *4.:allar H, sabiendo que
determine el valor de 6a7. a1 ) b1 8
c1 * d1 '
*). 3i $.%. abc
cba
b1 )-
c1 --
ar como respuesta la suma de las cifras
6 bc
de H.
d1 -0 e1 )*
*-.:alle m, si
m A n % p ( 4 A q además m A q ( -. b1 &
d1 8
e1 )
c1 4
*'.3i abc4 4cba 4635 y b % c ( < :allar a % b 2 c
a1 )0
b1 ))
d1 )*
e1 )$
c1 )-
Csco!1"#$%#2$1&
abc( n) mpq(n) cba( n) donde
a1 '
24 28 34 42 ... 2575
e1 $
5alcule a % b % c a1 )<
