44031- Elementos de Maquina - Tomo I - Febrero 2000

Elementos de Máquina

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INDICE INDICE..............................................................................................................................................1 UNIDAD Nº 1: ..................................................................................................................................3 TENSIONES Y DEFORMACIONES............................................................................................3 1.1.- CONCEPTO DE TENSIÓN............................................................................................................3 Cubo elemental.............................................................................................................................5 Análisis de tensiones ....................................................................................................................6 Circulo de MOHR.......................................................................................................................11 Análisis de tensiones en casos particulares...............................................................................14 1.2.- DEFORMACIONES...................................................................................................................20 Relación entre tensiones y deformaciones.-...............................................................................21 Metales dúctiles y frágiles..........................................................................................................24 Maleabilidad...............................................................................................................................25 1.3- TEORÍAS DE FALLA.................................................................................................................26 Teoría de Falla de la Máxima Tensión Tangencial ..................................................................27 Teoría de Falla de la Máxima Energía de Distorsión:..............................................................28 Conclusiones...............................................................................................................................29 UNIDAD Nº 2: ................................................................................................................................30 EFECTOS PRODUCIDO POR LAS TENSIONES VARIABLES...........................................30 CONCEPTO DE CONCENTRACIÓN DE TENSIONES..........................................................30 CONCENTRACIÓN DE TENSIONES - FACTOR GEOMÉTRICO KT..................................................................32 Vigas con agujeros......................................................................................................................34 ATENUADORES DE LA CONCENTRACIÓN DE TENSIONES...............................................35 Influencia del material en los efectos de la concentración.......................................................36 2.1.- EFECTOS PRODUCIDOS POR LAS TENSIONES VARIABLES...................................................................38 Estado de tensiones variables.....................................................................................................38 Resistencia a la fatiga y límite de fatiga....................................................................................39 Aproximación práctica del diagrama σ = f (N) ......................................................................41 Tensión límite para una vida finita............................................................................................41 Tipo de fractura en la falla por fatiga........................................................................................43 Efecto de la concentración de tensiones bajo fatiga.................................................................44 Diagrama de SYRSON................................................................................................................46 Factores modificativos del límite de fatiga................................................................................46 Efecto de los factores modificativos para una vida finita.........................................................54 Daños por fatiga acumulada......................................................................................................55 UNIDAD Nº 3: ................................................................................................................................57 SISTEMAS UTILIZADOS PARA LA TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA MECÁNICA................................................................................................................57 3.1.- TRANSMISIONES FLEXIBLES......................................................................................................57 Transmisiones por correa...........................................................................................................57 Otros tipos de correas.................................................................................................................59 Transmisiones de bandas planas................................................................................................61 Teorema de Prony generalizado.................................................................................................63 Condiciones que deben cumplir los esfuerzos en los ramales para que se verifique la transmisión del movimiento sin deslizamiento por resbalamiento (sin tener en cuenta las pérdidas por fricción).................................................................................................................65 Deslizamiento..............................................................................................................................69 Correas trapeciales.....................................................................................................................70 Selección de correas trapeciales................................................................................................70 Diseño de la polea......................................................................................................................71

23/01/OO Ingeniería

UNLZ – Facultad de


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Transmisión del movimiento por cadenas..................................................................................73 Uso Estático a la tracción..........................................................................................................86 3.2.- TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO MEDIANTE ENGRANAJES..................................................................88 Superficies primitivas..................................................................................................................88 Clasificación general de engranajes..........................................................................................92 Transmisiones Helicoidales e Hipoidales..................................................................................93 Transmisiones Helicoidales........................................................................................................94 Transmisiones hipoidales............................................................................................................95 Engranajes para ejes paralelos..................................................................................................96 Ley Fundamental del Engrane...................................................................................................96 Ley de Engrane...........................................................................................................................98 Ruedas CILÍNDRICAS de Dientes rectos. ................................................................................98 Elementos geométricos. Definiciones.........................................................................................98 Paso del dentado:.....................................................................................................................100 Equivalencia entre el Módulo y el Diametral Pitch................................................................102 Relaciones geométricas del dentado........................................................................................102 Relación de Transmisión en función de los Diámetros Primitivos y del Número de Dientes. ...................................................................................................................................................103 Elementos Cinemáticos del Engrane. .....................................................................................104 Definiciones..............................................................................................................................104 Recta de presión:......................................................................................................................104 Ángulo de Presión α :..............................................................................................................104 RUEDAS CILÍNDRICAS CON DIENTES INCLINADOS.................................................................................106 Ruedas cilíndricas con dientes helicoidales............................................................................106 DISTINTAS CONSTRUCCIONES DE REDUCTORES....................................................................................109 Cajas de engranajes de ejes paralelos.....................................................................................109 Cajas de engranajes de ejes concurrentes...............................................................................111 Cajas de engranajes de ejes paralelos combinados con engranajes de ejes concurrentes....112 Cajas de engranajes de ejes alabeados....................................................................................112 Cajas de engranajes de ejes paralelos combinados con engranajes de ejes alabeados.........113




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UNIDAD Nº 1: TENSIONES Y DEFORMACIONES 1.1.- CONCEPTO

DE

TENSIÓN

Consideremos un cuerpo sólido, que está en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas exteriores. Estas fuerzas exteriores provocarán deformaciones del sólido hasta que por desplazamiento de sus partículas se originen fuerzas moleculares de cohesión que restablezcan el equilibrio.

Figura Nº 1 Si suponemos cortando el cuerpo por un plano imaginario π ,se pondrán en evidencia esas fuerzas interiores como la acción que ejerce cada una de las dos partes sobre la adyacente. La magnitud y dirección de las fuerzas interiores, en general serán distribuidas y distintas a lo largo de la superficie de corte. De tal manera que si en el contorno de un punto cualquiera A se considera una superficie elemental ∆ F, sobre ella actuará una fuerza interior elemental ∆ P. ∆P Hallando el límite del cociente . ∆F ∆P dP lím = =T ∆F →0 ∆F dF




4

La magnitud T recibe el nombre de tensión en el punto A y tiene las dimensiones de una fuerza por unidad de superficie (se la mide en Kg./m2; Kg./cm.2; Mpa; etc.). El concepto de tensión es complicado. Es una magnitud vectorial puesto que dP también lo es pero es en última instancia una abstracción, ya que no es posible su verificación experimental. Para un mismo punto A de un sólido corresponden infinitas tensiones, cada una de ellas subordinada a un plano, el plano de corte elegido. Tensiones normales y tangenciales.σ T A

τ

τ

π

Figura Nº 2 El vector T representativo de la tensión en el punto A del plano descomponerse según la normal y la tangente al plano π

π

podrá

Esas componentes reciben el nombre de tensión normal σ y tensión tangencial τ respectivamente.




5

Cubo elemental.

Sea el punto A, el plano π que contiene a A y una terna xyz arbitrariamente elegida con origen en A (en la figura se ha desplazado el plano π por comodidad de representación, pero en realidad pasa por A). Sea además T la tensión en el punto A.

Figura Nº 3 La tensión T o sus componentes σ y  siempre podrán descomponerse según los planos coordenados y se tendrán las componentes normales σx , σy ,σz y las componentes tangenciales τ xy ,τ xz , τ yz ,τ yx , τ zx ,τ zy , (el primer subíndice indica el eje normal al plano que actúa y el segundo subíndice indica el eje coincidente con su dirección). Cuando en el sólido imaginamos el plano de corte imaginario π se originan dos caras, una sobre cada parte en que queda dividido el cuerpo. Sobre ellas actúan vectores T opuestos.

τ σ

A

σ

A

τ Figura Nº 4 En consecuencia, podemos imaginar un cubo elemental de tal manera que sus caras paralelas dos a dos correspondan a las componentes, según los planos coordenados, de las caras originadas por el plano de corte π El cubo elemental así concebido está en equilibrio estático. Las tensiones normales actuando en las caras opuestas del cubo serán entonces opuestas entre sí. En consecuencia su signo debe independizarse del sentido de los ejes. Consideraremos positivas a las tensiones normales cuando produzcan tracción y negativas cuando produzcan compresión.




y

σ

σ

τ

x

z y

z

z

σ

x

y z

τ

x y

y z

τ

A τ

σ

σ y

τ τ

6

x z

x

z x

z

σ

y

Figura Nº 5 Las tensiones tangenciales actuando en las caras opuestas del cubo constituyen pares de fuerzas. Las tensiones tangenciales serán positivas cuando produzcan un par de sentido positivo (horario) y negativas cuando un par antihorario. Además puede demostrarse (teorema de Cauchy) que las de subíndice invertido son iguales:

τ xy = τ yx , τ xz = τ zx , τ yz = τ zy Análisis de tensiones En los órganos de máquinas es muy común encontrar piezas solicitadas por cargas de muy distinta naturaleza que originan una superposición de tensiones en distintos planos. Por ejemplo las cargas sobre un eje pueden solicitarlo a flexión, torsión y tracción simultáneamente; el ajuste de una tuerca sobre el tornillo puede originar tracción y torsión simultáneamente, etc. La variedad de combinaciones que pueden presentarse hace necesario investigar las condiciones de tensión que provocan la situación más critica. Es muy conveniente para analizar el estado de tensiones en un punto A aislar un cubo elemental como el visto, sobre cuyas caras actuaran tensiones normales y tangenciales, como resultado de resolver las cargas externas según las direcciones de una terna xyz, arbitrariamente elegida. Estudiaremos el problema en un estado plano. En este caso σ z = 0. Supongamos que la figura representa la proyección de un cubo elemental para un caso dado en el que x ,  y , y las  yx sean positivas y las  xy negativas.




7

Figura Nº 6 Si suponemos ahora el cubo elemental cortado por un plano cualquiera podemos estudiar las tensiones σ y que actúan sobre él, estableciendo el equilibrio de todas las fuerzas. Operando podemos llegar a las siguientes relaciones fundamentales: σx + σy σx − σy + cos 2ϕ + τ xy sen 2ϕ 2 2 σx − σ y τ =− sen 2ϕ + τ xy cos 2ϕ 2 σ=

En las cuales, según la figura:

σx y Son las tensiones normales sobre los planos constituidos por las caras del cubo considerado.

xy = yx ; 

Son las tensiones tangenciales sobre los mismos planos ( positivo;  xy negativo).

τ yx

es

Son las tensiones normal y tangencial sobre un plano cualquiera cuya orientación queda definida por el ángulo ϕ que forma su normal nn con la dirección positiva del eje x.




8

Figura Nº 7 Interesan los valores máximos de esas magnitudes. Variando el ángulo ϕ se demuestra que existen planos ortogonales (planos principales) sobre los cuales las tensiones normales resultan ser la máxima y la mínima posible (tensiones principales  1y 2 respectivamente).

σx + σy 1 2 σ m á . x= σ 1; σ 2 = ± σ x − σ y + 4τ 2x y 2 2 m í .n

(

Serán  1 o

)

σ2 según el signo considerado.

La orientación de los planos principales queda definida por: tg 2ϕ1 =

2τ xy σx − σ y

Sucede lo mismo con las tensiones tangenciales:

(

)

2 1 τ m á . x= ± σ x − σ y + 4τ x y2 2 m í n. Actuando sobre planos orientados según: tg 2ϕ2 = −

Como :

σx − σy

tg 2ϕ 1 = −

2τ xy

1 tg 2ϕ 2

Los planos principales y aquellos sobre los cuales las tensiones tangenciales son máximas están a 45º entre sí. 23/01/OO Ingeniería



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Resulta muy cómodo al aplicar estas fórmulas representar en forma esquemática el cubo elemental considerado y la orientación de los planos principales y las de las tensiones máxima y mínima. Sea por ejemplo el esquema del cubo elemental siguiente: y σy τ

σx

xy

x x

y z Figura Nº 8

Para representar la orientación de los planos principales se puede proceder con la siguiente secuencia (Figura Nº 9) : 1. 2. 3. 4.

Trazar los ejes x e y. Dibujar la proyección del cubo elemental. Dibujar las tensiones σx ,  y con sus sentidos. Dibujar el ángulo ϕ1 con su signo (positivo: horario, negativo: antihorario). 5. Quedan definidos los planos principales y las tensiones principales

1, 2.

Para representar los planos de τ máx. y aplicando el ángulo ϕ2. (Figura Nº 10).


mín.

se procede en forma similar



10

Figura Nº 9 Proyección del cubo elemental

Figura Nº 10




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Circulo de MOHR. La variación de las componentes y cuando el ángulo ϕ cambia resulta muy útil representarla gráficamente con el circulo de MOHR. En esa representación las componentes σ y correspondientes a un plano cualquiera definido por la inclinación ϕ de su normal son las coordenadas de puntos pertenecientes a una circunferencia. En efecto, tomemos un par de ejes y τ y representemos las tensiones del cubo elemental σx,  y , τ xy ,  yx. (Figura Nº 13).




Figura Nº 11

12

Figura Nº 12

Figura Nº 13

El valor de  x, en cierta escala, se lleva sobre el eje Del mismo modo  y con el segmento OB.

obteniéndose el punto A.

Sobre A, se lleva la tensión τ xy respetando su signo, como ordenada, obteniéndose C. Del mismo modo sobre B la tensión τ yx obteniéndose D. Los puntos C y D se unen con una recta que cortará el eje  en E. El punto E es el centro del círculo de MOHR, que se traza de modo que pase por C y D. Los puntos C y D representan el estado de tensiones definido por σ x;σy;-xy; + yx. Para esta situación ϕ = 0 de forma que la EC represente el eje x, y la recta ED el eje y. En este diagrama entonces el ángulo de 90º entre los ejes x e y queda representado por un ángulo de 180º, doble del real.




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Las tensiones principales quedan definidas por los puntos F y G y las tensiones de corte máxima y mínima por los puntos H e I respectivamente. El convenio de signos utilizado es: tracción, positivo; compresión, negativo; las tensiones de corte serán positivas cuando el par tiene sentido de giro horario. Los ángulos positivos se miden con sentido de giro horario.




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Análisis de tensiones en casos particulares Tracción simple Una barra bajo la acción de una fuerza P como se representa en la figura, constituye un caso de tracción simple. y

s x P

Es un ejemplo típico de un estado de tensiones unidimensional. Para el sistema de ejes adoptado: P σx = , σ y = 0, σ z = 0, τ xy = 0 S El cubo elemental y el círculo de MOHR se representarán: τ

y

τm

á x .

2 ϕ1

σx

σx

σ x =1 σ e j σe

σ = y σ = 0 2 e j e y

x

τm

z

x

í n

-τ

Por lo que: σ1 = σ x

;

σ 2 = 0 , σ máx. =

σ x σ1 = 2 2

, ϕ1 = 0 º ; ϕ 2 = −45º

y

y

ϕ2 = σ

1

σx

σ

ϕ1 = 1

0

σx x

°

τm σx

τm

á x .

σ τm


í n .

á x .

τm

4

x

x

í n .


5

°


15

En consecuencia:

σ máx . = σ 1 =

P s

para ϕ = 0

1 τ máx . = σ máx . para ϕ = 45° 2 El valor de la tensión tangencial máxima τ máx. es la mitad de la máxima tensión normal. Sin embargo tiene gran importancia debido a que hay materiales que fallan por esas tensiones tangenciales antes que por las normales, por ser menos resistentes a las tensiones de corte. b)

Compresión simple: y

S P

x

σx = −

P S

, σy = 0

,

τ xy = 0 = τ yx

El cubo elemental y el circulo de MOHR: τm

y σx

σ

x

á σx .

σ = 0 1 σy = 0 σ

σ2 σx

x τm

z

σ1 = 0

tg 2ϕ1 =

tg 2ϕ2 =

σ2 = −σx 2τxy − σx

=

τmáx =

0 − σx

σx − σy σ = x 2τxy 0


í n

σx 2

∴ϕ1 = 0º

Se toma 45° pues tiende a ∞ por el lado positivo.

∴ϕ2 = −45 º



y

σ2

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y τm

σ2 σx

x ϕ = 1

0

°

τm

á x .

í n .

τ

τm

m

í n

.

x

ϕ á x . 2

Corte simple: Un ejemplo de este tipo de solicitación puede apreciarse en el esquema en que la sección AA del remache esta bajo la acción cortante de las chapas. y

P A

P

x

A

Un cubo elemental mostrará tensiones que, supuestas uniformemente distribuidas, valen: τyx =

P S

Las tensiones normales son todas nulas: σ x = σy = σz = 0

τy x τx x

El circulo de MOHR indica que: 23/01/OO Ingeniería

y

σ

e je x

τm á P x . σ1 = σ2 = τmáx . = S σ1

2

σ

e je y

y

- τm

ín .



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La representación de los planos principales y la representación de los planos de máxima y mínima tensión tangencial: tg 2ϕ1 =

2τ xy

σx − σy

=

(

2 − τ xy 0

) = −∞

tg 2ϕ 2 = −

∴ ϕ1 = − 45

σx − σy 2τ xy

=0

∴ ϕ2 = 0

Torsión Simple: Una barra solicitada por un momento torsor Mt como la representada en la figura y

τy x

σ2

σ1

τx y

σ1

τm τm σx

x

τ xy

y

ϕ = 4- 5 1

á

x .

x

ín .

σ2

τm

ín .

ϕ = 0 2

τm

á

°

x .

τy x es un ejemplo típico para este caso. Esta solicitación origina tensiones tangenciales que se distribuyen linealmente sobre la sección según la siguiente expresión:

y

z

M t x

τm

á x y. τx

z

y

d

/ 2

z

En donde: τ

M t τxz = y Jp

M

t

- tensión tangencial.




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Mt Jp

- Momento torsor. -Momento de Inercia Polar de la sección (para secciones circulares π .d4 Jp= 32

y

- distancia al centro de la sección.

La tensión máxima se verificará para y=

d 2

Mt d Mt M = = t J Jp 2 Wp p d/2 Siendo Wp módulo resistente polar (para secciones circulares). τ máx . =

Un cubo elemental mostrará las siguientes tensiones:

y τx z

Con σx = σy = σz = 0 τ τ x =z

x

El círculo de MOHR:

σ

e je z

e je x

z

2ϕ

σx = τm

τ

m

σ=

σ y0

á

x .

1

ín .

La representación de los planos principales y los planos de máxima y mínima tensión tangencial.

tg2ϕ1 =

2 τ xz =∞ σ x − σz ∴ ϕ1 = 45º


tg2ϕ 2 = −

σx − σz =0 2 τ xz ∴ϕ2 = 0



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y σ1

τm

σ2 τm x

σ2

σ1

ϕ = 4 5 ° 1

σ

á

ín .

ϕ2 =

x .

τm

x

τm

á

x .

0 x

ín .

z

Con frecuencia es conveniente calcular el momento torsor a partir de la potencia y velocidad de rotación del eje. En ese caso, teniendo en cuenta la expresión de la potencia mecánica y adecuando las unidades:

N c. v =

=

F kg . π. d cm . n v / min. F. V = = 75 60 seg / min .75.100 cm / m F. π. d . n 2. π. n. Mt Kg.cm = 450000 450000 ∴ Mt Kg.cm = 71620


N c .v n v / min



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1.2.- DEFORMACIONES Se dice que un cuerpo está en estado de deformación cuando por la acción de fuerzas exteriores sus partículas o moléculas sufren desplazamientos. Por ejemplo una barra sometida a tracción simple sufre una deformación medida por el alargamiento δ d 0

l

l0

El alargamiento referido a la longitud inicial nombre de alargamiento especifico ε

ε=

δ

l0

recibe el

l − l0 δ = l0 l0

P Figura Nº 11 A su vez se produce una contracción transversal (estricción). d0 − d εq µ= d0 ε Experimentalmente se ha comprobado que la relación es constante dentro de límites elásticos. Recibe el nombre de relación de Poisson. El valor de µ para los distintos metales oscila entre 0,25 y 0,35. Para el acero puede tomarse 0,30.

εq =

En corte simple la deformación se mide por la variación angular de un elemento sometido a tensiones tangenciales puras. P

δ γ=

δ 

Siendo γ = ángulo de distorsión.

l Figura Nº 1 2 En torsión simple las deformaciones se miden por el ángulo de torsión ϕ En flexión simple por el ángulo de giro θ de dos secciones rectas.




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Figura Nº 1 3

Relación entre tensiones y deformaciones.Experimentalmente se ha comprobado que las deformaciones producidas en un cuerpo por la acción de fuerzas exteriores pueden desaparecer total o parcialmente, lo que ocurra depende de las propiedades del material y de la magnitud de las fuerzas. Se dice que las deformaciones ocurren dentro del período elástico cuando al desaparecer las fuerzas externas el cuerpo recobra totalmente su forma original. El investigador inglés Robert Hooke en 1678 expresó matemáticamente esos resultados experimentales formulando su ley fundamental: “Dentro del periodo elástico, las deformaciones son proporcionales a las tensiones que las producen”.-

= Ε . ε En la cual : σ=

P = tensión normal (Kg/cm2 ) A

E = Módulo de elasticidad longitudinal. (Kg/cm2 ) ε=

δ = 0

Alargamiento por unidad de longitud o alargamiento específico (adimensional).

Figura Nº 1 4




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El módulo de elasticidad así definido es característico de cada material y se aplica a tensiones normales. La relación entre tensiones y deformaciones puede representarse gráficamente. La curva típica para el acero es la siguiente:

Figura Nº 1 5 Este diagrama puede ser usado para definir importantes magnitudes. En efecto, puede observarse que desde 0 a P se cumple la ley de Hooke de proporcionalidad entre las tensiones y deformaciones quedando definida en el punto P la tensión en el límite de proporcionalidad σ P . A partir de este punto el comportamiento es más complicado. La curva comienza a apartarse de la línea recta hasta el punto E que marca la tensión en el limite de elasticidad σ E y hasta donde de descargarse la probeta, no quedarían deformaciones permanentes. A partir del punto E el alargamiento crece muy rápidamente hasta que en F se presenta un súbito alargamiento sin apreciable aumento de la tensión. Este fenómeno llamado fluencia del material es de suma importancia porque define puntos muy marcados en el diagrama, las tensiones de fluencia superior e inferior σFS , τ F respectivamente. Este último, límite inferior de fluencia  F es de particular importancia ya que al alcanzar su valor frente a cargas estáticas, significa alcanzar una falla inadmisible en la práctica. En consecuencia obliga a considerarlo un verdadero estado de rotura. Para materiales que no presentan el punto de fluencia tan definido como asimismo un límite de proporcionalidad sumamente bajo y difícil de precisar se adopta




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como límite de fluencia a la tensión que produce una deformación permanente de 0,2 %. Finalmente se alcanza la tensión de rotura σR

.

Aunque experimentalmente se comprueba que el alargamiento de la barra viene acompañado de una contracción lateral bastante acentuada, las tensiones se definen siempre con respecto a la sección primitiva. Análogamente pueden obtenerse diagramas en ensayos a la compresión y determinar puntos característicos similares. Para deformaciones producidas por torsión la ley de Hooke se expresa : τ = G .γ En la cual : = G= γ =

tensión tangencial módulo de elasticidad transversal ángulo de distorsión

(Kg/cm.2). (Kg/cm.2). (adimensional)

γ

γ Figura Nº 1 6 La relación existente entre el módulo de elasticidad transversal y el longitudinal se expresa por: G=

E 2( 1 + µ)

En la cuál µ = módulo de Poisson. (adimensional)




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Metales dúctiles y frágiles El diagrama tensión - deformación nos permite poner en evidencia el comportamiento distinto de los metales dúctiles y frágiles. En efecto, consideremos los diagramas de dos metales que tengan la misma resistencia como los siguientes:

Figura Nº 1 7 En el primero se muestra un material que alcanza su rotura luego de una gran deformación plástica. En el segundo en cambio la deformación es pequeña. Se dice entonces que son metales dúctiles y frágiles respectivamente. La ductilidad de un material es medida por el porcentaje de alargamiento que se alcanza hasta la fractura. Si este porcentaje en probetas de 2” excede del 5% se considera dúctil. También da una medida de la ductilidad el porcentaje de reducción de la sección recta (estricción). No existen materiales que se comporten netamente como dúctiles o frágiles. Es más correcto hablar de estados dúctiles o frágiles. No obstante ello, la división aunque falta de rigor, tiene utilidad práctica en gran número de circunstancias. La ductilidad es una propiedad importante. Los materiales dúctiles pueden absorber grandes sobrecargas y en lo que respecta a la elaboración, define si el material permite su trabajo en frío. Operaciones de doblado, estampado, desplegado, etc., requieren forzosamente metales dúctiles. Son materiales dúctiles: aceros de bajo contenido de carbono, hierros, bronces, latones, aleaciones de aluminio, etc. Son materiales frágiles: aceros duros, fundiciones duras, fundiciones de hierro y aluminio, etc. El contenido de Carbono ejerce notable influencia sobre las características de ductibilidad en los aceros. El siguiente gráfico muestra superpuestos diagramas con distinto porcentaje de Carbono e ilustra al respecto claramente:




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Figura Nº 1 8

Maleabilidad Maleable es un término que es frecuentemente usado como dúctil. De hacer una distinción la maleabilidad puede ser considerada como cualidad de dúctil en la compresión. Un material maleable es, entonces, aquel capaz de ser batido, recalcado, prensado, etc.




1.3- TEORÍAS

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DE FALLA

La falla de los miembros resistentes, cuando están sometidos a cargas estáticas, consiste ordinariamente en uno de los dos comportamientos siguientes: a) Deformación permanente al superar la tensión límite de fluencia. b) Fractura frágil o sea la ruptura sin presentar fluencia apreciable. El dimensionamiento de los elementos de máquinas sometidos a un estado de tensiones combinados dobles o triples se complica, pues si bien es posible determinar con exactitud para cada punto de la pieza la magnitud de las tensiones generadas, el tipo de falla que presentará depende de las características intrínsecas, internas y de la estructura del material, como así también de las condiciones externas, tales como la temperatura, estado tensional, tipo de solicitación, velocidad de aplicación de la carga, etc. La aplicabilidad de cualquiera de las teorías de falla que conoceremos más adelante, depende, en gran medida, del modo en que se produzca o en que se supone ha de producirse la falla. Una alternativa para eliminar este tipo de incertidumbre es la realización de ensayos que reproduzcan las condiciones idénticas al uso de la pieza mecánica; pero esto no siempre es posible por diversas razones de índole económica o técnica, por lo tanto se procura solucionar el problema con los elementos de juicio obtenidos de los ensayos simples de rutina como el de tracción estática. Si se somete una barra de metal dúctil a un esfuerzo de tracción axil gradualmente creciente originando un estado de tensión simple en cualquier sección recta de la misma, cuando la carga alcanza un cierto valor, el material comienza a experimentar deformaciones anelásticas o permanentes.

σ

σf

εf

ε

Se supone que cuando esta pequeña deformación permanente ha adquirido un valor medible, ello constituye un daño estructural que denominamos falla. En estas circunstancias, esta falla se debió a un estado de fluencia generalizada. Este fenómeno se atribuye esencialmente al deslizamiento según planos a través de los granos cristalinos del metal, y se supone que está directamente vinculado a las tensiones tangenciales, por este motivo, se considera que la propiedad del 23/01/OO Ingeniería



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material dúctil que limita a su capacidad resistente es el límite elástico o de fluencia. En el momento que se llega al comienzo de la fluencia (considerada entonces como la acción que destruye la función resistente de la pieza) en el ensayo de tracción, otras cuatro magnitudes o características del material también alcanzan valores relevantes, de modo que han sido propuestas y utilizadas en el cálculo como medida de la resistencia máxima utilizable: 1) La tensión principal alcanza el límite elástico o el límite de fluencia a tracción del material. σ = F/S = σf 2) La tensión tangencial máxima alcanza el valor: τ = ½ F/S τ f = ½ σf 3) El alargamiento unitario ε alcanza el valor εf. 4) El trabajo total de deformación w absorbido por unidad de volumen alcanza el valor: w = ½ (σf 2/ E) 5) El trabajo de distorsión wd absorbido por unidad de volumen alcanza su valor máximo. Los cinco valores limitativos consignados ocurren simultáneamente en una probeta ensayada a tracción, en el cual el estado tensional es simple, y por lo tanto imposible determinar cuál de estas magnitudes es la que origina la falla. Pero, si el estado de tensión es doble o triple, los cinco valores no se alcanzan simultáneamente, y entonces se plantea una cuestión de mucha importancia para el proyectista, y es establecer cual de las cinco magnitudes ha de considerarse limitativa de las cargas que pueden aplicarse a la pieza sin producirse la falla. Por este motivo, las cinco magnitudes expuestas sugieren otras tantas teorías de falla o sea cinco criterios diferentes para predecir la acción anelástica, en base a datos obtenidos del ensayo de tracción simple, cuando el estado tensional no es simple. A continuación se analizarán las dos Teorías de Falla que mejor se adaptan a los materiales dúctiles que son los de uso más habitual en el dimensionamiento de los elementos de máquinas:

Teoría de Falla de la Máxima Tensión Tangencial Esta teoría parece estar bastante bien justificada para materiales dúctiles y para aquellos estados de tensión en donde se desarrollan tensiones tangenciales




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relativamente grandes, ella enuncia que: “en un estado bidimensional de tensiones, la falla se produce cuando la τ máx. en algún punto alcanza el valor de la τ que produce la falla en el ensayo de tracción simple”.

τ max. =

1 2

cσ − σ h+ 4τ 2

= τf

y

2 xy

σ x −σ y

i + 4τ

x

En tracción simple: τf =

1 σf 2

En consecuencia para un estado plano resulta:

σf =

d

2

2 xy

Para dimensionar no se puede legar a este valor, por lo que se introduce un coeficiente de seguridad Cs

σ

f

= σ adm. ≥

dσ − σ i 4τ 2

x

y

2 xy

CS Teoría de Falla de la Máxima Energía de Distorsión: Esta teoría surgió de los estudios analíticos de Huber, Von Mises y Henckey, y de las comprobaciones experimentales de Bridman sobre diversos materiales que demostraron que éstos no experimentan deformaciones permanentes cuando se los somete a un estado de tensión triple producido por presiones hidrostáticas muy elevadas. Ella enuncia que: “en un estado tensional cualquiera la falla ocurrirá cuando la energía de distorsión acumulada en un punto cualquiera es igual a la energía de distorsión acumulada hasta el punto de fluencia en el ensayo de tracción simple”. Por consiguiente, como en los ensayos hidrostáticos el trabajo total de deformación se utiliza únicamente en producir cambio de volumen, se dedujo que la energía absorbida por el cambio de volumen no tiene efecto en la falla por fluencia y que ese tipo de falla está vinculado exclusivamente con la energía absorbida por el cambio de forma. Considerando, entonces esto último (cambio de forma) se puede llegar a la siguiente expresión:

σ 2 = σ12 + σ 22 − σ1 . σ 2 σ 2 = σ 2x − σ x . σ y + σ 2y + 3τ 2xy En función de las tensiones principales o de las tensiones σx y σy. Para el dimensionamiento:

σ adm. = 23/01/OO Ingeniería

σf

CS

≥ σ 2x − σ x σ y + σ 2y + 3τ 2xy UNLZ – Facultad de


29

Conclusiones Esta visto que en el diseño racional de un elemento de máquina se requiere conocer o presuponer el modo general de falla que corresponderá bajo las condiciones de servicio dadas (normalmente falla por fluencia o por fractura) y elegir una magnitud (tensión, deformación, energía, etc.) que se considera vinculada con la falla. Esto significa que habrá un valor máximo de dicha magnitud tomada como referencia y que limitará las cargas aplicables; además, se señaló que ese valor máximo debe ser determinado mediante un ensayo adecuado del material, ese valor suele designarse como la resistencia máxima utilizable del material. El ensayo adecuado para determinar el valor máximo de la magnitud significativa tomada de referencia es uno de tracción simple. Interesa señalar que si fuera posible siempre efectuar un ensayo apropiado de modo que la pieza estuviera sometida a la misma clase de tensiones que se prevén para el uso real, las teorías de falla sería innecesaria.




30

UNIDAD Nº 2: EFECTOS PRODUCIDO POR LAS TENSIONES VARIABLES CONCEPTO DE TENSIONES

CONCENTRACIÓN

DE

Es muy importante que el diseñador de elementos mecánicos desarrolle un sentido intuitivo o práctico para descubrir la presencia del efecto aumentador o concentrador de tensiones, de modo que pueda prever qué hacer al respecto. A continuación se presenta un método gráfico, que permite reflejar con simplicidad el fenómeno y extraer conclusiones .prácticas. Supongamos tener una barra sometida a una carga exterior de tracción. La carga se distribuye uniformemente en la sección transversal de la pieza. En cada punto de la sección la carga se transmite por las fuerzas de enlace interno del material a los puntos contiguos. La sucesión de éstos enlaces internos forman las líneas de fuerza, mostradas en líneas finas continuas, y el conjunto de éstas líneas la llamaremos flujo de fuerza. El número de líneas de fuerza debe ser igual en cualquier sección de la pieza. La densidad de líneas de fuerza, es decir la cantidad de líneas por unidad de área, determina la magnitud de las tensiones. En las figuras siguientes vemos piezas con diferentes discontinuidades geométricas. En las zonas alejadas a las discontinuidades, las líneas están espaciadas en forma uniforme, a medida que las líneas se van acercando al cambio de sección, las más alejadas del centro tendrán que flexionarse para poder pasar por la sección más estrecha. La intensidad de la concentración del esfuerzo es proporcional al grado de flexión de las líneas de flujo de fuerza.




31

Se puede deducir de los dibujos que una manera de disminuir el efecto de la concentración de tensiones es dar a las discontinuidades geométricas de la pieza una forma progresiva que haga más suave la flexión de las líneas de fuerza. Así, vemos que el factor de concentración de tensiones será de mayor valor en la pieza (a) que en la (c); del mismo modo será superior en (b) que en (d). Con este concepto adquirido, podemos interpretar cualitativamente lo que sucede en una pieza sometida a tracción con un agujero central.

En (b) la pieza en tracción con una distribución de líneas de fuerza sin alteraciones. En (c) la presencia del agujero implica una fuerte flexión de las líneas de fuerza más cercanas a él. En (d) está graficada, (en determinada escala) las tensiones normales, de un valor en secciones alejadas del agujero, y de un valor mayor y con pico de incremento en la sección donde está el agujero. El valor máximo del pico de tensión se determina a través del Factor Geométrico de Concentración de Tensiones Kt.




CONCENTRACIÓN

DE TENSIONES

32

- FACTOR GEOMÉTRICO KT.

Las hipótesis corrientes de la Resistencia de Materiales suponen distribuciones de tensiones teóricas que en las condiciones reales de equilibrio en general no se cumplen. En consecuencia las tensiones calculadas bajo esos supuestos son tensiones nominales de valores aceptables y útiles en muchos casos, y en otros las discrepancias son más importantes y se hace necesario hacer un análisis más cuidadoso. Se demostró en ensayos experimentales, muchas veces corroborados por la Teoría de la Elasticidad, que los orificios, cambios bruscos de sección, ajustes prietos, etc. producen redistribuciones de tensiones, concentrándolas de tal manera que en algunos puntos adquieren valores muy superiores a los de las tensiones nominales.

F

σ nom =

F πd 2 4

F

Sea por ejemplo, un eje entallado como el de la figura, en el que se representó esquemáticamente la distribución real de tensiones superpuesta a la teórica de valor uniforme σ nominal. Se define como Factor de concentración de tensiones, factor de forma o factor geométrico Kt al cociente entre la tensión real máxima y la tensión nominal.

Kt =

σmax . σnom .

En la mayor parte de los casos las soluciones teóricas para determinar las distribuciones de tensiones reales, son muy complicadas o no son posibles,




33

recurriéndose entonces a ensayos con modelos, fijando los resultados en gráficos o tablas para su posterior aplicación práctica. El uso más común del factor geométrico se encuentra en el diseño de árboles, ejes y barras en las cuales la presencia de gorrones, ranuras, chaveteros, roscas, ajustes prietos, etc. obliga a una consideración prolija de la magnitud de sus efectos. El factor geométrico depende en estos casos de la configuración geométrica y las dimensiones. En consecuencia, puede decirse que obedece a una función del tipo Kt = F (ρ ,D, d) por lo que los gráficos se disponen en razón de esas variables. Sirva de ejemplo típico el siguiente gráfico. En la bibliografía ad hoc se puede encontrar una profusa información que cubre todos los casos.

A =

D

πd 4

2

/d

ρ /d Existe muy poca información sobre los efectos simultáneos de dos o más causas de concentración. En general el factor resultante nunca es la suma ni el producto pero resulta algo superior que el mayor de ellos. La actitud conveniente es evitar en lo posible superposiciones de concentraciones. Un caso muy importante es el efecto de concentración que se produce en las proximidades de




34

orificios y grietas. Sea por ejemplo un orificio de forma elíptica en una placa cargada como en la figura Se puede demostrar y los ensayos lo corroboran, que la tensión máxima tiene lugar en los extremos del eje mayor en donde el factor geométrico vale:

Kt = 1 +

2a b

Siendo a y b los semiejes mayor y menor respectivamente de la elipse. El menor valor de Kt corresponde a agujeros circulares para los cuales a = b y en consecuencia Kt = 3. Por lo tanto la sola existencia de un agujero provoca un efecto de concentración que eleva la tensión en un entorno por lo menos tres veces respecto a la nominal. Cuando la relación a/b es muy grande el valor de Kt indica la aparición de grandes tensiones. De tal manera que en el caso de grietas o fisuras las tensiones en los extremos pueden alcanzar valores tan elevados que la grieta puede autopropagarse aún con muy pequeños valores de la carga. Esta propagación puede detenerse a menudo taladrando pequeños agujeros en cada extremo de la misma reduciendo el factor geométrico al valor Kt = 3. Por otra parte, si la elipse o grieta es paralela a la dirección de la carga de modo que a< b el efecto de concentración puede hacerse despreciable.

Vigas con agujeros La importancia del efecto de concentración provocado por la existencia de agujeros en vigas, depende de la posición del agujero. Si éste está en las proximidades del eje neutro y no es demasiado grande, no tiene mayor importancia. En cambio si está sobre las fibras exteriores en que la tensión por flexión es naturalmente elevada, en los bordes del agujero pueden producirse tensiones peligrosas mayores que las σ máx. = M/W.




35

En vigas curvas es necesario considerar la no coincidencia del eje baricéntro con el eje neutro.

Una discusión muy importante de los efectos de concentración por tensiones residuales, tratamientos térmicos y otros efectos puede encontrarse en el libro de Diseño de Elementos de Máquinas, de Faires.

ATENUADORES DE LA CONCENTRACIÓN DE TENSIONES El diseñador de elementos mecánicos puede reducir los efectos de la concentración de tensiones mediante un estudio cuidadoso de las líneas de fuerza, modificando el diseño con pequeños cambios que mejoren la distribución de éstas. Se pueden efectuar debilitamientos locales complementarios en las cercanías de la fuente principal de la concentración de modo de obtener un efecto positivo. En la figura siguiente, vemos que la realización de agujeros más pequeños, ubicados adecuadamente, permiten que las líneas de fuerza flexionen más suavemente reduciendo el valor del factor de concentración de tensiones.




36

Un tope en un eje, según sea su diseño, puede presentar una concentración de tensiones o no. Un tope con una dimensión longitudinal pequeña, no permite la difusión de las líneas de fuerza.

Influencia del material en los efectos de la concentración Si la magnitud de la tensión máxima sobrepasa el límite de proporcionalidad del material la distribución de tensiones depende de las características de ductilidad del material. En efecto, un material dúctil puede someterse pasada la fluencia a una deformación considerable, sin gran aumento de la tensión. Debido a esto, la distribución de tensiones, pasado el punto de fluencia, se aproxima cada vez más a la distribución uniforme como consecuencia del reordenamiento que se produce al alcanzar los puntos más solicitados la fluencia, y todo aumento de carga es tomado por los otros puntos ya que los que alcanzan fluencia se deforman plásticamente. No ocurre lo mismo con materiales frágiles que por no poseer fluencia, mantienen los picos de tensión hasta la rotura.




37

En el esquema se representa con  la distribución de tensiones teóricas con nominal uniforme. Es la distribución de tensiones real con un pico máximo que ocasiona el efecto de concentración.  Es la distribución final en materiales dúctiles cuando algunos puntos alcanzan el valor de tensión de fluencia. Resulta entonces que la concentración de tensiones es particularmente peligrosa en el caso de materiales frágiles. En los cálculos prácticos, tratándose de cargas estáticas, como consecuencia de lo dicho, la concentración de tensiones no se tiene en cuenta en materiales dúctiles pero siempre se aplica en materiales frágiles.




2.1.- EFECTOS

38

PRODUCIDOS POR LAS TENSIONES VARIABLES

Estado de tensiones variables La información obtenida de ensayos en condiciones estáticas, si bien es de mucha importancia en estructuras resistentes, resulta insuficiente al analizar el comportamiento de piezas de máquinas. En efecto, es muy común que en estos casos, por la existencia del movimiento, las tensiones dejen de ser constantes, adquiriendo valores variables en el tiempo. Por ejemplo los ejes que giran, aunque soporten cargas estáticas, sufren en sus secciones rectas por efecto de la flexión, tensiones que alternativamente toman valores positivos y negativos; las cargas transmitidas a las bielas y vástago por el émbolo en los motores varían en magnitud de acuerdo a las explosiones en el cilindro. Analizando los distintos tipos de solicitaciones posibles, se pueden definir los siguientes casos:

Estático Variable

Alternativo

Intermitente

Figura Nº 1 9 Régimen de tensión estático es aquel en que la magnitud de la tensión no sufre variación alguna con el transcurrir del tiempo. La representación de esta situación en un sistema coordenado σ; t es una recta como se indica en la figura. Se llama régimen o estado de tensiones alternativa cuando la tensión varía periódicamente entre dos valores extremos de distinto signo e igual valor absoluto. En el régimen o estado de tensiones intermitente la tensión varía periódicamente de cero a un valor absoluto máximo (positivo o negativo). Se dice que se está ante un régimen o estado de tensiones variable cuando el valor de la tensión varía periódicamente entre dos limites extremos.



Elementos de Máquina Conviene definir:

39

Tensión media:

σm =

σmá x. + σmín . 2

Tensión alternativa:

σa =

σmá x. − σmín . 2

De esta manera cualquiera sea el régimen de tensiones con relación al tiempo podrá interpretarse como la superposición de un estado estático de tensión media σm y un estado alternativo de tensión alternada  a. En todos los casos:

σmá x. = σm + σa

Resistencia a la fatiga y límite de fatiga La experiencia indica que si la tensión que actúa sobre una pieza es variable, al cabo de un cierto número de variaciones, puede sobrevenir la rotura aunque los valores máximos sean menores que la tensión de rotura y aún el de fluencia del material. Esta forma de rotura se denomina falla o rotura por fatiga. Este comportamiento distinto de los materiales ante la presencia de tensiones variables parecería se debe a una pérdida de cohesión, originando lo que podría considerarse como un cansancio, envejecimiento o fatiga del material que reduciría su resistencia. Su consideración en piezas de máquinas es imprescindible. Con el objeto de determinar la resistencia de los materiales a la falla por fatiga, se efectúan ensayos que utilizan probetas sometidas a cargas que provocan tensiones variables de magnitud definida y se cuenta el número de veces que varían hasta que sobreviene la rotura. La máquina de ensayo más ampliamente usada es la que utiliza una probeta de la forma y cargada como se indica en la figura. De esta manera la probeta resulta solicitada a flexión pura (sin esfuerzos cortantes).

Haciéndola girar, cada elemento de sus secciones transversales estará sometido a un estado de tensiones alternativas.




40

Ensayadas varias probetas con distintas cargas y contados los números de vueltas hasta producirse la rotura se obtienen valores que representados en un plano σ = f (N) permiten trazar la gráfica que indica la resistencia a la fatiga de un material en función del número de repeticiones de la solicitación.

σ σR σw

* * *

** ** * * * ** * * * * * * * ** N N ú m e r o d e r e p e t ic io n e s o c ic lo s

Se comprueba que a medida que se disminuye la tensión máxima aplicada aumenta el número de repeticiones o ciclos hasta un valor en que cualquiera sea el número de ciclos la rotura no acontece. Este valor recibe el nombre de Límite de fatiga, Tensión límite o Fatiga límite. Con la máquina descripta se obtiene el llamado Límite de Fatiga a Flexión Rotatoria. Otras máquinas de ensayo permiten obtener el límite de Fatiga a Torsión Alternativa, Tracción - Comprensión, etc., valores que para un mismo material raramente coinciden. El número de ciclos necesario para definir la tensión límite en los ensayos de fatiga varía con el material: Aceros y algunas aleaciones de Magnesio Maderas Hierro forjado Fundiciones Algunas aleaciones de Aluminio

: : : : :

1 millón de ciclos. 2 millones de ciclos. 5 millones de ciclos. 10 millones de ciclos. 500 millones de ciclos.

Por debajo de los 1.000 ciclos se desprecia cualquier efecto de fatiga. Frecuencias por debajo de 10.000 ciclos/minuto no alteran los resultados. Frecuencias mayores incrementan levemente el valor de la Tensión límite. Trabajos en frío, bruñido, tratamientos térmicos o cualquier procedimiento de endurecimiento superficial elevan la Tensión límite; en cambio la corrosión la reduce en un 40%.-




41

Aproximación práctica del diagrama σ = f (N) Se acostumbra representar la curva de resistencia a la fatiga en escala logarítmica de base 10. La experiencia acumulada en los resultados de muchos ensayos permite asegurar

que no se comete gran error si por debajo de 103 = 1.000 ciclos el problema se puede considerar como estático, y que las abscisas 106 = 1.000.000 de ciclos (para el acero) son suficiente para definir el límite de fatiga. 0 ,9 σ R

lo g . σ

σw 103 104 105

106 107

lo g . Ν

Con esos supuestos, se puede reconstruir con suficiente aproximación el diagrama σ = f (N) simplemente con la información suministrada por ensayos de rutina y/o tablas de materiales de manuales, uniendo los puntos 0,9 σR en la ordenada al origen (103) y la tensión límite  W en la ordenada correspondiente a 106.

Tensión límite para una vida finita Una aplicación inmediata del diagrama aproximado es hallar la resistencia a la fatiga correspondiente a una vida finita N. En muchos casos no se justifica calcular las piezas sobre la base de una vida infinita ya que su utilización real será menor. En consecuencia se podrá utilizar para el dimensionamiento una tensión superior a la tensión límite y obtener así un mejor aprovechamiento del material. El diagrama σ = f (N) aproximado puede expresarse analíticamente por la ecuación de una recta.




42

lo g . σ lo g . σ

0 ,9 σ R

σW

= - m . lo g . N + b ( 1 )

w N

N

σw 10

3

10

4

N 10

5

10

6

lo g . N 10

7

Ecuación valida para 103 < N< 106 y en la cual w es la tensión límite a considerar para una vida finita de valor N. Las constantes m y b se pueden calcular como sigue: N

0,9σR log 0,9σR − log σW σW m= 6 3 = log 10 − log 10 log 103 log

La pendiente m:

m=

1 0,9σR log 3 σW

La ordenada al origen b se calcula teniendo en cuenta que para log.N = 103 se cumple:

0,9σ R 1 log 0,9σ R = − log .log103 + b 3 σW

despejando : ∴ b = log 0,9σ R + log

0,9σ R σW

b = log

De la (1):

( 0,9σ )

2

R

σW

log σWN = − log N m + b b = log σWN + log N m = log σWN N m 10b = σWN N m

σWN =


10b Nm

N =m

10 b σWN



43

Tipo de fractura en la falla por fatiga Existe una gran diferencia entre el modo de producirse la rotura en las probetas de acero dúctil ensayadas estáticamente, y las que se ensayan a tensiones alternativas. En el primer caso, antes de la rotura se produce una gran fluencia de material y en la sección de rotura se aprecian fibras muy estiradas debido a la deformación de los cristales. La rotura por solicitación alterna es muy distinta. Donde existe algún defecto local del material (escoria, burbuja, etc.) se origina un efecto de concentración de tensiones que provoca la iniciación de una fisura. Una vez formada, se extiende progresivamente por la acción de la fatiga del material hasta que, por la reducción de la sección, acontece la rotura súbita. En las piezas que presentan concentración de tensiones debida a acuerdos, gargantas y agujeros, la fisura se inicia corrientemente en esas zonas y se extiende alrededor del punto de máxima tensión en forma de anillos concéntricos. Este tipo de falla por fatiga es característico y muy común en órganos de máquinas. La fractura por fatiga presenta un aspecto muy similar a la fractura de los materiales frágiles, aún cuando el material sea dúctil.

La superficie de rotura por fatiga muestra dos sectores bien definidos. Un sector de fino y aterciopelado aspecto, en el cual se ha desarrollado y propagado la falla, y otro de grano grueso de sección arrancada violentamente. El sector fino se atribuye a la abrasión y aplastamiento recíproco entre las interfases de la grieta que avanza durante el proceso de carga cíclica, lo que hace que los granos sean alisados y la superficie pulida. La fractura violenta se presenta cuando la sección restante ya no es sufiente para resistir la carga. Una gran sección residual o de fractura violenta es prueba de una gran tensión

En la zona de fractura pulida, con frecuencia aparecen huellas de un desarrollo gradual de la grieta en forma de líneas. La existencia de éstas líneas está vinculada a una interrupción en el desarrollo de la grieta por detención de la aplicación de las cargas, o por variación de la resistencia de pequeñas partes o microvolúmenes del material o también al posible cambio de la magnitud de las cargas que actúan sobre la máquina. Por lo expuesto se deduce que las dimensiones y la forma de la zona de fractura violenta dependen de las condiciones de la carga, de la magnitud de las tensiones nominales y del valor del coeficiente de concentración de tensiones. 23/01/OO Ingeniería



44

En la tabla siguiente (extraída de "Elementos de Máquinas" de V.Dobrovolski y otros. Ed. MIR - 1976) se muestran unos esquemas de fracturas por fatiga típicos. Ésta tabla permite deducir algunas características referidas al motivo de la falla. El estudio y comprensión de las formas de fracturas posibilita determinar las condiciones que se deben mejorar para evitar que se repitan.

Efecto de la concentración de tensiones bajo fatiga En general los factores que tienen en cuenta los efectos de la concentración de tensiones en piezas cargadas estáticamente y en forma alternada son distintos. El primero es función solamente de las proporciones geométricas de la pieza, mientras que en el caso de fatiga, si bien también depende de las proporciones geométricas resulta además afectado por el material, el tratamiento térmico y el tamaño absoluto de la pieza. El factor de concentración de tensiones por fatiga se define de manera similar al factor de forma Kt, como la relación: K f =

Límite Límite

de fatiga de fatiga

sin concentrac con concentrac

ión ión

R.E. Peterson en ensayos a fatiga alternativa de probetas fuertemente concentradas encontró: a)

El factor Kf es ligeramente menor que Kt, aunque en algunos casos llegan a coincidir.

b)

El tamaño de la probeta influye en los resultados. En probetas pequeñas la resistencia a la fatiga tiende a coincidir con la nominal, o sea que Kf se aproxima al valor unitario; en probetas grandes por el contrario, las




45

diferencias entre la resistencia a la fatiga y la nominal son notables, tendiendo Kf al valor teórico Kt. Como corolario de sus ensayos, Peterson propuso la introducción de lo que llamó “Índice de sensibilidad q” conocido también como sensibilidad al entallado al que definió matemáticamente con la expresión: q=

de la que se deduce:

K f −1 Kt − 1

K f = 1 + q. ( Kt −1)

De donde se desprende que Kf es función del factor geométrico y del índice de sensibilidad al entallado. Para el cálculo de Kf es necesario determinar previamente Kt por medio de las tabulaciones y gráficos ya vistos. La literatura técnica no es tan completa como sería de desear respecto de los valores de q, disponiéndose de algunos pocos gráficos o tablas. El índice de sensibilidad de entallado depende de:   

el material el tratamiento térmico el tamaño absoluto de la pieza

En aceros de grano grueso los valores de q son bajos; en aceros de grano fino los valores de q son altos. Todo tratamiento térmico que produce un afinamiento del grano eleva el valor de q. De lo expuesto se deduce que puede emplearse el valor teórico Kt cuando se proyectan órganos de máquinas de gran tamaño y en el caso de aceros de grano fino. En el caso de dimensiones pequeñas y materiales bastos se debe tratar de evaluar q y emplear. K f = 1 + q. ( Kt −1)

La sensibilidad al entallado no es muy significativa cuando el radio del acuerdo es mayor de 1 mm. para aceros templados y revenidos. Tampoco para radios mayores de 4 mm. en aceros recocidos.




46

Diagrama de SYRSON La evaluación de q depende del tamaño absoluto de la pieza, en consecuencia, como en los problemas de proyecto las dimensiones no se conocen de antemano, no puede evaluarse q. Para obviar esta dificultad, y con carácter de primera aproximación, Syrson, Noll y Cloks crearon un diagrama experimental en función de Kt para aceros tratados térmicamente y de acuerdo a la dureza para tener en cuenta el tamaño del grano.

Factores modificativos del límite de fatiga La resistencia a fatiga de una pieza de máquina puede ser alterada por distintas causas cuyos efectos se consideran por medio de factores modificativos :

σ

W*

= Wb . Cc . Cf . Cm . CR . CT . CL . Cd

W* σWb Cc Cf Cm CR CT CL Cd


= = = = = = = = =

Tensión límite de trabajo modificada. Tensión límite a flexión rotatoria. Factor por el tipo de solicitación o carga. Factor por el acabado superficial. Factor por la medida o tamaño. Factor por la confiabilidad. Factor por la temperatura. Factor por la vida esperada. Factor por efectos diversos.



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La aplicación de estos factores se justifica en aquellos casos en que se procura aprovechar los resultados de ensayos a fatiga de rutina que pueden encontrarse en la bibliografía ad-hoc. Si la importancia de la pieza lo justifica, correspondería realizar los ensayos que más reflejen o reproduzcan las condiciones de la aplicación.

σ

Wb : Tensión límite a flexión rotatoria

Se obtiene: 1. Por ensayos directos. 2. Por datos en la bibliografía ad-hoc. 3. Por datos empíricos. Como por ejemplo cierta correlación observada entre σWb y la tensión de rotura del ensayo a la tracción simple R.  wb(Kg/mm2)

σ

wb

= 70 Kg./mm2

wb = 0,5 R

R (Kg./mm2) Por esta razón en algunos casos en que no se dispone de la información adecuada puede estimarse:  Para aceros: σwb = 0.40/0.50 R para R ≤ 140 Kg./mm2

wb = 70 Kg./mm2 para R ≥ 140 Kg./mm2 También puede tomarse wb = 250 x [ Nº Brinell ]  Para fundiciones de hierro y acero: wb = 0,40 R  Para aluminio y magnesio : wb = 0,30 / 0,40 σR en este caso el limite de fatiga no esta tan definido. Se utiliza 10 8 ó 5x108 ciclos como mínimo.




48

Cc : Factor por el tipo de solicitación o carga La información sobre el límite de fatiga en general se refiere a flexión rotatoria. Para otros tipos de solicitación la información es mucho más escasa. En consecuencia es práctica corriente utilizar σwb y modificarlo adecuadamente con el factor Cc. Puede tomarse: Cc = 0,8 Cc = 0,45/0,55

Cf

para tracción - compresión alternativa para torsión alternativa

: Factor por el acabado superficial

Las rugosidades superficiales debidas a la mecanización actúan como pequeñas entallas. La experiencia demuestra que el acabado superficial tiene un efecto muy significativo sobre la resistencia a la fatiga, de tal manera que las barras pulidas tienen muy buena resistencia a la fatiga, en cambio la corrosión produce una baja muy importante de la misma. La influencia del acabado superficial sobre la resistencia a la fatiga se considera con el factor de acabado superficial Cf. Para aceros, fundiciones de hierro y de acero, el factor Cf puede obtenerse de gráficos como el siguiente:

D u r e z a B r in n e ll f

80

%

120

160

200

240

280

320

360

400

f = 1 C f

420 1

100 90

2

1 .1 1 .2

80 70

3

60

Factor de acabado superficial

1

1 .7

7

50

1 .4

8

2 .0

5 6

40

4

30

2 .5 3 .3 5 .0 10

20 10 0

Acabado superficial equivalente

C

M á x im a r e s is t e n c ia a la t r a c c ió n

R

15.467

14.763

14.050

13.350

12.655

11.952

11.249

9.843

9.140

8.437

7.734

7.030

6.327

5.624

4.921

4.218

3.515

10.546

(Kg. / cm

2.812

2

σR

σ

1. Pulimentación de Espejo 2. Pulido esmerilado 23/01/OO Ingeniería


Elementos de Máquina 3. 4. 5. 6. 7. 8.

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Mecanizado Con entalla circular puntiaguda Con cascarilla de laminado en caliente Bajo agua ordinaria Bajo agua salada Forjado simple

 Para materiales no ferrosos, Cf puede tomarse igual a la unidad porque los fabricantes de esos materiales en general lo incluyen en sus características. Está muy difundido y en muchos casos es muy útil la utilización del gráfico que brinda la tensión límite a flexión rotatoria σ wb reducida por el efecto de acabado superficial.

wb Cf =  wb f

pulido mecanizado laminado corrosión σR

Cm : Factor de tamaño La experiencia demuestra que cuanto mayor es el tamaño absoluto de una pieza, menor es su resistencia a fatiga. Se supone que una de las razones para la reducción de la resistencia a fatiga, debido al tamaño es que cuanto mayor es el volumen de material, mayor será la probabilidad de existencia de defectos o imperfecciones donde se inicia la falla. Se encuentra que probetas de 2’’ (50,8 mm.) de diámetro tienen un límite de fatiga 15% menor que el límite de fatiga hallado con probetas de 0,30’’ (7,6 mm.). Para estos casos entonces, Cm deberá ser del orden de 0,85. Para piezas de diámetros mayores de 50 mm. Deberá apreciarse cuidadosamente y, presumiblemente, Cm resultará menor de 0,85.




50

CR : Factor de confiabilidad P o b la c ió n e s f u e r z o s

µ

d

µ

e

σ

S

P o b la c ió r e s is t e n c

n ia

d

e

Esfuerzos y resistencia S: Gráfica de distribuciones de esfuerzos y de resistencias, en la que se indica el esfuerzo µ

σ

y la resistencia media µ S.

Para definir el significado exacto de la confiabilidad, se supondrá que se tiene un gran grupo o población de partes mecánicas. Se puede asociar cierta resistencia S y cierto esfuerzo σ a cada pieza. Pero como hay un gran número de ellas, existe una población de resistencias y una de esfuerzos. Estas dos poblaciones podrían tener distribuciones semejantes a las mostradas en la figura. Se designará por µ S para denotar la media estándar de la resistencia mientras que se usará µσ para la media estándar del esfuerzo. Aunque la resistencia generalmente es mayor que el esfuerzo, la figura muestra que el extremo de la derecha de la distribución del esfuerzo puede traslaparse con el extremo de la izquierda de la distribución de las resistencias y, por tanto, originar algunas fallas. Para determinar la confiabilidad se combinan las dos poblaciones mediante las ecuaciones de la estadística. Los resultados representados en diagramas σ -N son valores medios de numerosos ensayos. En consecuencia la probabilidad de que representen la verdadera resistencia es de un 50%. Considerando lo expuesto mas arriba, distintos investigadores establecieron que la distribución de las resistencias a fatiga puede representarse con una distribución normal y sugirieron una desviación típica o estándar del 8% del límite de fatiga cuando no se disponen de valores reales de ensayo. Para obtener el límite de fatiga correspondiente a una confiabilidad especificada, se resta un determinado número de desviación típica del límite de fatiga medio. De esta manera el factor de confiabilidad puede estimarse: CR = 1 - 0,08 D La tabla siguiente nos da el número de desviaciones para distintas confiabilidades:



Elementos de Máquina Confiabilidad

Multiplicador de la desviación (D) 0 1.288 1.645 2.326 3.091 3.719 4.753

0.50 0.90 0.95 0.99 0.999 0.9999 0.999999

51 Factor d confiabilidad (CR ) 1 0.897 0.868 0.814 0.753 0.702 0.620

CT : Factor de Temperatura Las piezas que funcionan a temperaturas elevadas pueden fallar por creep, fluencia o fatiga o una combinación de ambas. Además a altas temperaturas puede originarse corrosión y en consecuencia reducir la resistencia a fatiga. El factor de temperatura CT trata de tener en cuenta esos efectos pero la información general al respecto es muy escasa y en consecuencia es difícil su consideración. De todos modos, para los aceros de usa el valor con 620 CT = 460 + T T en grados Farenheit. Recordamos que:

F 9 I + 32 H 5K

F = Cx

El estudiante debe analizar y determinar a partir de qué temperatura en ºC el factor CT comienza a ser relevante.

C

L

: Factor de vida

σwN 10b CL = = m σw N σw El factor de vida es un factor que trata de tener en cuenta la siguiente circunstancia: De acuerdo a lo visto la tensión límite σwb es la tensión capaz de soportar el material un número infinito de repeticiones (106 en consideraciones prácticas) log  0,9 

R

wN wb N N


106

log. UNLZ – Facultad de


52

Si en una determinada aplicación el número total de repeticiones va a ser menor que 106, por ejemplo N en la figura, ¿por qué no usar σwN en vez de σw?. Este aprovechamiento mejor del material se obtiene con el factor de vida CL que puede definirse como: σ CL = wN σwb Es decir, aplicando CL a la tensión límite  wb se aumentará su valor. Recordando las expresiones deducidas para vida finita: 10 b CL = m N σwb Ejemplos : Para una vida de 100.000 ciclos = 105 = N σ CL = wN = σw

10b

(105 )m σw

Suponiendo que : σR = 40 ; 0,9σR = 36 ; σw = 30 1 0,9σR 1 36 m = log = log 3 σw 3 30 m=

1 log 1,2 = 0,026 3

b = log

b = log

CL =

( 36 ) 2 30

101,635

(10 )

5 0,026

( 0,9σR ) 2 σw

= log 43 ,2 = 1,635

= x30

43 ,1 43 ,1 = = 1,06 1,349 x30 40 ,46

Cd : Factor de efectos diversos Otros factores que pueden influir en el límite de fatiga son : a) b) c) d) e)


Tensiones residuales. Características direccionales del material. Defectos internos. Cementado. Corrosión.



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f) Metalizado. g) Proceso Tenifer h) Proceso Tenifer QPQ Analizaremos brevemente cada uno de estos factores: a)

Tensiones residuales. Las tensiones residuales debidas a tratamientos térmicos, trabajos en frío o algún otro método de elaboración pueden mejorar o empeorar la resistencia a fatiga. Generalmente, si la tensión residual en la superficie de la pieza es de compresión, su resistencia a fatiga mejora. La razón para que así suceda es que todas los fallas por fatiga son roturas a tracción y cualquier circunstancia que reduzca las tensiones de tracción, reducirá también la posibilidad de rotura por fatiga. Las operaciones de granallado, martillado o el laminado en frío proporciona tensiones de compresión en la superficie de la pieza y juegan un papel importante en el mejoramiento de su resistencia a la fatiga.

b)

Características direccionales: Las piezas que han sido laminadas, forjadas o estiradas como las planchas o barras, por ejemplo, a veces presentan límites de fatiga según la dirección transversal, del 10 al 20% menores que en la dirección longitudinal. Probablemente esta diferencia sea debida al alargamiento de los granos e inclusiones en la dirección del laminado.

c)

Defectos internos: Para su evaluación debemos considerar la calidad del material, seguridad en sus propiedades, conocimientos de su origen, su respuesta a normas, etc.

d)

Cementado: Las piezas que se cementan para resistir el desgaste o para conseguir una mayor resistencia a la flexión o a la torsión, pueden fallar en la capa exterior o en el núcleo, según la distribución de tensiones. En la figura puede apreciarse fácilmente el efecto en una pieza cementada solicitada a flexión (en torsión es similar).




54

Se ve en la figura que las fibras exteriores del núcleo alcanzan su límite de fatiga antes que la capa superficial cementada. En consecuencia, en este caso, el fallo se verificará en el núcleo. e)

Corrosión: Es de esperar que las piezas que trabajan en atmósferas corrosivas tengan una resistencia a la fatiga más baja. Esto es verdad, naturalmente, y se debe a la rugosidad y picado que produce la sustancia corrosiva. Si la corrosión es anterior ya se debió tener en cuenta con el factor de acabado superficial. Pero cuando las tensiones y la corrosión son simultáneas el debilitamiento es mucho mayor.

f)

Metalizado: Los recubrimientos metálicos como el cromado, niquelado y cadmiado reducen el límite de fatiga incluso hasta en un 35%. En algunos casos el efecto es tan severo que es necesario eliminar el proceso de metalizado.

g)

Proceso Tenifer: incrementa la resistencia a fatiga de flexión rotativa y de rodadura. Consiste en la nitrocarburación superficial por difusión de carbono.

h)

Proceso Tenifer QPQ: disminuye la resistencia a fatiga por resultar de un proceso de nitrocarburación más enfriamiento en baños oxidantes salinos que confieren características anticorrosivas.

Efecto de los factores modificativos para una vida finita Resulta muy interesante representar la repercusión de los coeficientes modificativos en el diagrama de resistencia a la fatiga σ = f (N)

Es evidente que la aplicación de los coeficientes modificativos al límite de fatiga no debe afectar a la tensión de rotura σ R ya que la resistencia estática no se altera por esos factores. Esto trae como consecuencia que la resistencia a la fatiga para una duración finita intermedia N1 resulta menos afectada que el límite de resistencia para duración infinita.




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Si bien esta circunstancia debería estar considerada en el valor del coeficiente de vida CL siempre es conveniente, en aquellos casos en que su importancia lo justifique, analizar en detalle su influencia.

Daños por fatiga acumulada Si el daño provocado por la fatiga es progresivo, es lícito suponer que en la estimación de la resistencia a fatiga de una pieza que ya ha trabajado un cierto número de ciclos, no pueden dejar de considerarse los efectos de la fatiga acumulada. Por ejemplo: Sea una probeta que ha sufrido durante NA ciclos una tensión alternativa de amplitud σ A. Para esa misma tensión la vida total posible es N B, por lo tanto la duración remanente a esa tensión será NB - NA ciclos. En consecuencia la probeta ha sufrido un daño y se pregunta: Cuál es el nuevo valor de límite de fatiga?

Algunos ensayos han indicado que el daño o perjuicio que influye en el límite de fatiga se verifica durante las sobretensiones. Los resultados acusan una gran dispersión aparentemente por algunos efectos colaterales como endurecimiento del material por trabajo y debilitamiento por pérdida de ductilidad. Por otra parte las experiencias enseñan que no hay pérdida de resistencia a la tracción. Estas consideraciones dan los elementos para un método que, si bien no riguroso, permite, con las reservas del caso, solucionar el problema. Un método para ello puede apreciarse por simple observación de la figura.




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Sea DBE el diagrama  - N de la probeta virgen. Supongamos ahora que se aplica durante NA ciclos una tensión alternativa σA. A esa tensión A, la resistencia a la fatiga se representa en B, con una duración de NB ciclos. Por lo tanto el excedente de vida es NC = NB - NA. Ahora situemos el punto C y construyamos la línea DCF que es el nuevo diagrama σ - N con un nuevo límite de fatiga más bajo σ‘w.

w - ′ w representa la reducción de límite de fatiga provocado por la sobretensión. Existen otros métodos para resolver el problema pero el descripto, llamado método de Manson, es de fácil aplicación y muy conveniente cuando no se dispone de datos de ensayos específicos.




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UNIDAD Nº 3: SISTEMAS UTILIZADOS PARA LA TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA MECÁNICA 3.1.- TRANSMISIONES

FLEXIBLES

Los elementos de máquina flexibles como bandas, cables o cadenas, se utilizan para la transmisión de potencia a distancias comparativamente grandes. Cuando se emplean estos elementos, por lo general sustituyen a grupos de engranes, ejes y sus cojinetes o dispositivos de transmisión similares. Por lo tanto, simplifican mucho una máquina o instalaciones mecánicas y son, así, un elemento importante para reducir costos. Además son elásticos y generalmente de gran longitud, de modo que tienen una función importante en la absorción de cargas de choque y en el amortiguamiento de los efectos de fuerzas vibrantes. Aunque esta ventaja es importante en lo que concierne a la vida de una maquina motriz, el elemento de reducción de costo suele ser el factor principal para seleccionar estos medios de transmisión de potencia.

Transmisiones por correa Las bandas o correas se utilizan para transmitir potencia entre dos ejes paralelos. Tales ejes deben estar situados a cierta distancia mínima, dependiendo del tipo de banda utilizado, para trabajar con la mayor eficacia. Las bandas tienen las siguientes características: 1. Pueden utilizarse para grandes distancias entre centros. 2. Debido a los efectos de deslizamiento y estirado que se producen en las bandas, la razón entre las velocidades angulares de los ejes no es constante, ni exactamente igual a la razón entre los diámetros de las poleas. 3. Cuando se utilizan bandas planas puede obtenerse acción de embrague si se pasa la banda de una polea libre a una polea de fuerza. 4. Cuando se emplean bandas V (o trapeciales) es posible obtener alguna variación en la relación de velocidad angular, si se emplea una polea menor con lados cargados por resortes. Por tanto, el diámetro de la polea es función de la tensión de la 23/01/OO Ingeniería



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banda y puede modificársele cambiando la distancia entre centros. 5. Generalmente es necesario algún ajuste de esta distancia cuando se utilizan las bandas. 6. El empleo de poleas escalonadas es un medio económico para cambiar la relación de velocidad. Antiguamente, las bandas planas estaban hechas de cuero curtido con corteza de roble, o de tela, como de algodón o rayón, impregnada de caucho o hule. Actualmente se construyen en materiales sintéticos de alto coeficiente de roce y alma tejida con hilos de nylón, tienen su mayor aplicación donde las velocidades angulares son altas. Las bandas planas son muy eficaces para altas velocidades, pueden transmitir grandes potencias, son muy flexibles, y no requieren poleas de gran diámetro. Las bandas V (o de sección trapecial) están hechas de tela y cuerdas, generalmente de algodón o de rayón, impregnadas de caucho. A diferencia de las bandas planas, las bandas V pueden trabajar con poleas más pequeñas y a distancias entre centros más cortas. Además, cierto número de ellas puede utilizarse en una sola polea, constituyendo así una transmisión múltiple.

Una banda V eslabonada se compone de un gran número de eslabones de tela impregnada de goma, unidos por sujetadores de metal apropiados. Este tipo de banda puede abrirse en cualquier punto y ajustarse a una longitud determinada quitando algunos de los eslabones. Lo anterior elimina la necesidad de distancia ajustables entre centros y simplifica la instalación. Permite cambiar la tensión para obtener la eficacia máxima, y también reduce el inventario de tamaños de bandas que habrían de tenerse en existencia en el almacén. Una banda sincronizante es una banda patentada, hecha de Neoprene, de goma o caucho e hilos de nylon o fibra de vidrio ; está provista de dientes que se ajustan a




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ranuras formadas en la periferia de las poleas. La banda sincronizante no se estira ni resbala y, en consecuencia, transmite potencia con relación constante de velocidad angular. El hecho de que la banda sea dentada proporciona varias ventajas sobre las bandas ordinarias. Una de ellas es que no se necesita tensión inicial, de modo que pueden utilizarse transmisiones de centros fijos. Otra es que se elimina la restricción de las velocidades; los dientes hacen posibles que se pueda mover la banda a casi cualquier velocidad baja ó alta. Las desventajas son el costo inicial de la banda y la necesidad de ranurar las poleas.

Otros tipos de correas Correas sección V unidos entre sí. La banda superior unificada está sometida a tensión. La transmisión se diseña de misma manera que si fuera una correa sección V separadas. La unión le da rigidez lateral al conjunto de correas, asegura una mejor distribución de la carga y una entrada en línea recta en la ranura de la polea. Se recomienda su uso en transmisión con fuertes cargas de pulsación, choques y sobrecargas instantáneas.





60



61

Transmisiones de bandas planas Los materiales utilizados para bandas planas son tela o cuerdas impregnadas de caucho (o hule), por separado o en combinación, plástico o caucho reforzados y cuero. Algunos de estos materiales pueden empalmarse para obtener el tamaño de lazo deseado, en tanto que otros se fabrican de una pieza. Las bandas de cuero pueden transmitir grandes potencias a velocidades moderadas para una larga duración, pero pueden sufrir estiramiento o concentración y son costosas. Las bandas de plástico y de caucho reforzados pueden soportar cargas de potencia hasta de 3kW por mm. de ancho de la banda, a velocidades de esta hasta de 200 m/s. Otros factores que influyen en la selección de los materiales para bandas son la confiabilidad y duración o vida deseadas, los tamaños de polea y el costo. Cuando se utiliza una disposición de banda normal horizontal, la impulsora debe girar de modo que el lado flojo quede en la parte superior. Esto da un ángulo de contacto mayor en ambas poleas. Cuando la transmisión es vertical, o la distancia entre centros es corta, puede obtenerse un ángulo de contacto mayor utilizando una polea loca de tensión o polea tensora. Ahora se investigará la relación que hay entre las tensiones en una banda y la potencia a transmitir. Para que el sistema pueda transmitir una determinada potencia, es preciso que el elemento flexible ya en el estado de reposo, se aplique con una cierta Tensión de Montura to.. De esta manera durante el movimiento se engendrará el rozamiento necesario. Refiriéndonos a la figura, podemos observar que esta tensión de montura se obtiene con la colocación más o menos forzada de la correa sobre las poleas y que su valor aunque difícil de medir, evidentemente será igual para ambos ramales cuando la instalación está en reposo.

Durante el movimiento la polea motriz tiende a alargar el ramal conductor, aumentando su tensión a un valor T1 = t0 + ∆ T1 y por el contrario el ramal conducido tiende a acortarse disminuyendo su tensión a T2 = t0 - ∆ T2.




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Si estas deformaciones se producen dentro del límite elástico, serán proporcionales a las tensiones que las producen. Admitiendo que sean iguales, podemos establecer la igualdad ∆ T1 = ∆T2 y por consiguiente: T 1 - t0 = t0 - T2 de donde se deduce que la tensión inicial de montura vale: t0 =

T1 + T2 2

Por supuesto que estas tensiones de los ramales se ponen en evidencia recién cuando se supone seccionada la correa. Son las reacciones internas que se consideran aplicadas en los extremos de las secciones de corte para mantener el equilibrio. Es digno aclarar que las magnitudes T1 , T2 y t0 son en realidad verdaderas fuerzas reactivas medidas en Kg. La denominación de tensiones la hacemos siguiendo la costumbre adoptada en la mayoría de los textos, más preciso sería el nombre de Esfuerzo. El equilibrio de la polea motriz exige que se cumpla la condición: P = T1 - T2 Siendo P la fuerza útil periférica que suministra la polea de radio R1 cuando se le aplica un momento motor Mm por lo que:

P=

Mm N = 71.620 R1 n1 R1

Sí P > T1 - T2 la correa resbalaría sobre la polea y parte del trabajo de P se perdería entonces en el rozamiento entre correa y polea. La correa no debe resbalar sobre la polea, para ello deben cumplirse las condiciones necesarias para que se genere el rozamiento suficiente. Este problema lo estudiaremos mediante el TEOREMA DE PRONY.




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Teorema de Prony generalizado Considere aisladamente un elemento de correa de longitud dl arrollado sobre una polea de radio R y para mantener el equilibrio dinámico, aplicadas sobre él, todas las fuerzas exteriores que lo solicitan y las fuerzas que se ponen en evidencia.

Proyectando el conjunto de fuerzas en equilibrio sobre dos ejes ortogonales xy se deberá cumplir:

 dα dα − s e n − ( T + d )Ts e n = 0 y) d +cd QT 2 2  x)  dα dα − µ d QT − c o s + ( T + d )Tc o s = 0  2 2 para angu los infin itesimos

∴cos

sen


dα →0 2

dα →1 2

dα dα ( radianes ) → 2 2



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r e e d mo p : l a z a n  dα dα  d + d c − TQ − ( T + d ) T= 0 d o dα n i dn i mef i ndo iT t e. s  2 2 2  − µ .d − TQ+ T + d = 0T d e o r2s decº e i d an e , s p r e

reemplazando obtendremos:

 d +cd QT− .dα = 0   dT  − µ .d Qd+ =T 0 ∴ d Q= µ resolviendo el sistema se obtiene: dT − T. dα = 0 µ

dc +

Podemos darle a dc una forma más conveniente. Si suponemos que el movimiento circular es Uniforme: dc = dm . ac ac =

v2 R

dm =

dG d R. dα = q. = q. g g g

dc = q.

R. d α v 2 v2 . = q. . dα g R g

∴dc = Fc . dα

dc = es la fuerza centrifuga originada en elemento de correa d.




65

q = peso de la correa por unidad de longitud.

Donde

q. v 2 g

Kg m 2/ m seg 2/ = Fc [ Kg ] m seg 2/

Fc = es una expresión de la fuerza centrifuga Sustituyendo queda: Fc . dα + dT - T dα = 0 µ

∴

dT = µ .dα " Ecuación D iferencial de Equili brio Dinam ico" T − Fc

Integrando en el tramo de correa comprendido por el ángulo α

∫

T1

T2

ln

α dT = µ∫0dα T − Fc

T1 − Fc = µ.α T2 − Fc

∴

T1 − Fc = e µα T2 − Fc que es la expresión del Teorema de Prony Generalizado, que tiene en cuenta la fuerza centrifuga derivada del movimiento de rotación y que es aplicable para la consideración del equilibrio de órganos friccionantes, tales como las correas sobre poleas y tambores.

Condiciones que deben cumplir los esfuerzos en los ramales para que se verifique la transmisión del movimiento sin deslizamiento por resbalamiento (sin tener en cuenta las pérdidas por fricción) 1. La diferencia de esfuerzos debe ser igual a la fuerza útil periférica (I) P = T1 - T2 Esta condición no es suficiente. Hay infinitos pares de valores T 1 y T2 que la cumplen, pero no todos son capaces de transmitir el movimiento. Por ejemplo sí T2 = 0 y T1 = P pero no hay suficiente presión sobre la polea para impedir el deslizamiento por resbalamiento. 2. Los esfuerzos de la correa deben ser lo suficientemente grandes como para que la presión sobre las poleas origine el rozamiento necesario para que




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impida el resbalamiento. Esta condición esta comprendida en las conclusiones del Teorema de Prony generalizado que para el caso límite de equilibrio, establece: (II)

T1 = T2 . eµα - Fc (eµα - 1)

Es suficiente que e verifique que: (III)

T1 ≤ T2 . eµα - Fc (eµα - 1)

T1 > T2

Las ecuaciones (I) y (III) nos expresan matemáticamente las condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir los esfuerzos en los ramales de la correa para que se realice la transmisión del movimiento sin resbalamiento. Representadas sobre un par de ejes coordenados para valores constantes de eµ α y P se observa que existe un valor mínimo de T2 por debajo del cual no hay pares de valores T1 y T2 capaces de transmitir el movimiento sin resbalamiento. Analíticamente, el valor límite T2 min y el correspondiente T1 pueden obtenerse resolviendo el sistema de ecuaciones (I) y (II).

T1 = (T1 - P) eµα -Fc (eµα -1)

P + T2 = T2 eµα - Fc (eµα -1)

T1 . (1 - eµα ) = P. eµα - Fc(eµα -1)

T2 . (eµα -1) = P + F (eµα - 1)

P. e µ α T1 m i=n µ α + Fc e −1

C

∴

T2 m i n=

P +F e µ α− 1 c

De las expresiones anteriores se revela que la influencia de la fuerza centrífuga Fc es desfavorable para la transmisión, ya que obliga a incrementar los esfuerzos mínimos requeridos para que haya transmisión de movimiento. F c es en general despreciable salvo cuando las velocidades periféricas son muy grandes. Además se pone de manifiesto que los esfuerzos T1 y T2 disminuyen cuando aumenta el valor de eµα o lo que es lo mismo el producto  conclusión también evidente a poco que se analice el gráfico anterior. En efecto, el punto de intersección de las rectas que fija el valor T2 min aumentará la zona apta elevando la pendiente de II.




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Estas condiciones indican la conveniencia de adoptar materiales con un coeficiente µ elevado y disponer un ángulo α lo más grande posible. Veamos a continuación las formas prácticas de conseguirlo: 1º

Aumento del arco de contacto α El aumento del ángulo de contacto α se consigue en la práctica disponiendo una tercer polea (loca), que recibe el nombre de rodillo tensor. En efecto, si en la transmisión de la figura se dispone un rodillo como el indicado en línea de puntos es evidente que se consigue un aumento apreciable de α que de valores siempre menores de 180º pasa a valores del orden de los 220º y 230º. Esto trae como consecuencia que a pesar del inconveniente de provocar flexiones en ambos sentidos en perjuicio de la resistencia de la correa, se consigan una serie de ventajas que hacen del mismo un sistema sumamente interesante por: a. b. c. d. e.

Reducción de la distancia entre ejes. Mayores relaciones de transmisión. Menores tensiones T1 y T2. Reducción de las cargas sobre los ejes y cojinetes de las poleas. Quitando el rodillo tensor no hay posibilidad de dañar la correa cuando se coloca y por otra parte no deja librada al azar la tensión de montura lo que depende entonces únicamente de la acción del rodillo tensor. f. Cuando la distancia entre ejes es grande y las cargas variables la correa oscilan muy fácilmente dejando de ejercer presión sobre las poleas, se dice entonces que “flota”, fenómeno que se evita con el rodillo. g. Aprovechamiento de las características de autorregulación del arco de contacto. En efecto si la transmisión sufre una sobrecarga el ramal tenso sufrirá un alargamiento y como consecuencia el




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ramal flojo permitirá un desplazamiento del rodillo tensor de tal manera que aumenta el arco de contacto α Esta en condiciones el sistema de transmitir la potencia adicional que significa la sobrecarga. h. En transmisiones verticales o de mucha inclinación evita que la correa se salga fácilmente de la polea inferior. 2º

Aumento del coeficiente de roce µ Es evidente que el aumento de µ se ha de buscar mediante una adecuada elección de los materiales que han de rozar entre sí, pero hemos de concentrar nuestra atención al artificio que haciendo trabajar la correa en forma de cuña ha permitido el desarrollo de las llamadas correas trapeciales (correas en “V”).

µα Q

En las correas planas la condición de equilibrio estaba dada por: dT = µ . dQ o sea que el incremento de esfuerzo debía ser igual a la fuerza de rozamiento desarrollada. En cambio si la correa es trapecial trabajando sobre una polea con garganta como en la figura:

la fuerza de rozamiento se desarrolla sobre las dos caras laterales y entonces: a)

dT = µ 2 dN pero de la figura:


2dN sen

γ = dQ 2

2. dN =

dQ sen γ 2


Elementos de Máquina reemplazando en a)∴

d T=

µe =

69

µ dQ s e nγ 2 µ

sen γ 2

Por lo que en lugar del coeficiente de roce µ existente entre los materiales en contacto, la correa trapecial se comporta como si existiría un coeficiente µefectivo mayor. Para poleas standard de garganta  = 38º. 1 1 = = 3,07 sen γ 2 sen 19 º

por lo que µe alcanza valores de 2,5 a 3,5 veces mayores para correas trapeciales. Las correas trapeciales son los órganos envolventes de más reciente aplicación que la técnica moderna utiliza en la transmisión de la energía entre dos árboles cuando no se exige en forma rigurosa la constancia del coeficiente de transmisión. Su utilización se ha extendido rápidamente, de tal manera que prácticamente ha desplazado los otros medios hasta ahora usados.

Deslizamiento Durante el funcionamiento puede producirse un deslizamiento entre la correa y las poleas. Este efecto tendrá como consecuencia importante la posible alteración en la relación de transmisión prevista. Es necesario tener en cuenta dos clases de deslizamiento debido a causas completamente distintas: 1.

Deslizamiento por resbalamiento: Provocado por un exceso de la carga transmitida o por defecto de la tensión de montura que permite que se verifique la relación: P > T1 - T 2 Sucede entonces que la correa comienza a resbalar hasta que finalmente se sale de la polea. Este tipo de deslizamiento se reduce o se elimina cumpliendo con las condiciones derivadas del Teorema de Prony. Es decir con un adecuado rozamiento entre polea y correa.

2.

Deslizamiento por deformación elástica: Según se ha visto se cuenta con dos ramales, tenso y flojo, de esfuerzos T1 y T2 respectivamente. Durante el movimiento, la correa entra floja sobre la polea conducida y durante su abrace sobre ella, el esfuerzo que la solicita aumenta del valor T2 al mayor T1, provocando por consiguiente un alargamiento de la correa. Esta deformación durante su abrace provoca un movimiento de avance de tipo ondulatorio longitudinal de la correa sobre la polea conducida, en tanto que al propio tiempo y en virtud del frotamiento la arrastra. Este tipo de deslizamiento, por su origen, no es




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posible eliminarlo. Podrá reducirse con una adecuada selección del material de la correa que deberá ser de características elásticas, con alto modulo de elasticidad. En consecuencia a los efectos de considerar el deslizamiento en la expresión de la relación de transmisión, se agrega un coeficiente ψ de tal manera:

i=

n2 d + δ ( 1 − ψ) = n1 D + δ

ψ se toma entre 0.02 y 0.03 lo que equivale a admitir un deslizamiento del 2% al 3%.

Correas trapeciales Introducción El enorme desarrollo alcanzado por las transmisiones mediante correas trapeciales es resultado de sus notorias ventajas con respecto a los otros sistemas. Ellas son: 1. Compactas. La distancia C entre poleas puede ser tan corta como las poleas lo permitan. 2. El deslizamiento se reduce al mínimo. 3. Silenciosas. 4. No precisan aplicación de antideslizantes. 5. Capacidad de absorber choques. (Menos que las planas) 6. Menor carga sobre los cojinetes. 7. Funcionamiento uniforme. (No hay uniones) 8. Fáciles de instalar y efectuar cambios de relaciones de transmisión. Solo los costados laterales de la correa deben estar en contacto con la polea. La correa queda aproximadamente al ras con el diámetro exterior de la polea y la garganta de esta debe ser lo suficientemente profunda para dejar un huelgo de 2 a 5 mm. en el fondo de la misma. Cuando la potencia es grande se pueden emplear transmisiones de múltiples correas.

Selección de correas trapeciales En general, el cálculo de transmisiones por correas trapeciales se basa en la información brindada por los fabricantes que, mediante gráficos, tablas o ábacos insertados en ese catálogo dan los elementos necesarios para la selección de la correa adecuada. La mayoría de las firmas proveedoras siguen la siguiente secuencia de cálculo: 1. 2. 3.

Determinar el factor de servicio. Determinación de la potencia de cálculo NC. La potencia nominal Nm se afecta con el factor de servicio. En función de la potencia N en el catalogo se aconseja la sección (A, B, C, etc.) mas conveniente.


C



71

4.

Dimensionamiento de poleas y correas. a. Diámetro de la polea menor. En función de la sección de correa en tablas se dan los valores más apropiados. b. Diámetro de la polea mayor. D = i xd . c. Distancia entre centros C=a.D a=2a6. d. Longitud de correa. Aproximación a los valores normales (de tabla) y distancia definitiva entre centros. 5. Determinación del Nº de correas necesario. a. Velocidad tangencial. b. Capacidad por correa. (A arco de contacto de 180º) N’

c.

Corrección por arco de contacto.

d. Corrección por longitud de correa. En algunos manuales se aconseja que para secciones tipo C y largo menor de 100” debe usar el 90% de su capacidad. e. Capacidad corregida por correa N’’. f. Número de correas a utilizar Nº de correas = Nc N”

Diseño de la polea El material de las poleas generalmente es la fundición gris, aunque también se emplea el aluminio o chapas de hierro soldadas. El diseño se reduce al dimensionamiento de la corona o llanta, los brazos y el cubo mediante fórmulas empíricas recomendadas en manuales. Por ejemplo, el manual Dubbel. (Pág. 787-788).a) Correa o llanta. Se hace lo más delgada posible con el objeto que al enfriarse pueda seguir las contracciones de los brazos y no se generen tensiones internas peligrosas. 1)

Espesor en los bordes. D S= + 2 mm. y como mínimo 3 mm. 300



Elementos de Máquina 2)

72

Ancho.

B = 1,1 b + 10 mm. Las normas DIN recomiendan los valores de b y B, ancho de correa y polea respectivamente. b (mm) 30 B 40 (mm) 3)

40 50

120 140

170 200

Bombeado. ω=

Las normas DIN fija: B (mm) ω (mm) b)

140 170

40 a 100 1

1 1 a B( mm ) 4 3

120 a 170 1,5

200 a 230 2

260 a 300 2,5

350 3

Brazos.

Nº de brazos mínimo =

1 1 a D( mm ) 7 8

La sección de los brazos puede ser cualquiera, generalmente elíptica con una relación entre los ejes de la elipse de

1 1 a . 2 2 ,5

Hacia la llanta se reduce la sección en la relación

5 ( cubo ) 4 ( llanta )

c) Cubo. D =1,6 a 2 d. L = 1/2 B ≥ 1,5 d. 1 = 0,4 a 0,5 d. d) Eje. Se aplican los métodos de dimensionamiento de árboles y ejes conocidos. Si hay torsión únicamente d =10 ,5 a 14 ,4

3

N . n

e) Chaveta. En función del diámetro del eje.



Elementos de Máquina Nros. de brazos

1 1 a 7 8

73

bg

D mm.

Transmisión del movimiento por cadenas




74

En las instalaciones mecánicas, las cadenas son un medio de transmisión de potencia de un árbol motor a otro conducido. Puede ser empleada para transmitir el movimiento entre dos arboles de una misma máquina, como así también entre un motor eléctrico, o cualquier otra fuente de energía, y un mecanismo independiente. Toda transmisión por cadena esta compuesta por una rueda dentada motriz, una o mas ruedas dentadas conducidas y la cadena que forma un anillo cerrado que las une. Para las transmisiones de potencia mas usuales se utiliza la cadena de rodillos, con la cual se logra un rendimiento de hasta 98% y una relación de velocidad constante entre el árbol conducido y conductor. Con el empleo de cadenas, las instalaciones resultan relativamente livianas frente a la magnitud de potencia que son capaces de transmitir; además, su relativo escaso desgaste favorece su empleo aún bajo circunstancias desfavorables como ambientes polvorientos, corrosivos, húmedos o salinos. Veamos como está constituida una cadena a rodillos para transmisión: Geometría de la cadena de transmisión a rodillos:

La figura muestra una cadena simple de rodillos, en ella podemos identificar: P:

Paso: Es la principal dimensión de la cadena y la que sirve para identificarla. Es la medida que separa los centros de dos pernos consecutivos de la cadena.

DR:

Diámetro del rodillo: Es la medida del diámetro externo del rodillo de la cadena.

W:

Ancho interno: Es la distancia que separa las dos caras internas opuestas de las placas del eslabón interno.

Eslabón interno:




75

Esta constituido por dos placas, cada una de ellas con dos agujeros, dentro de los cuales se colocan forzados sendos tubitos. Sobre estos últimos, a su vez van montados los rodillos, que pueden girar libremente reduciendo así el rozamiento en el momento del contacto con los dientes de la rueda dentada.

Eslabón externo: Esta constituido por dos placas, cada una de ellas con dos agujeros, dentro de los cuales se colocan sendos pernitos de unión. Estos pueden estar remachados si la cadena no es desmontable, o bien con chaveta partida si lo es. La cadena de rodillos para transmisión del movimiento debe estar constituida por una sucesión de eslabones internos y externos que le dan continuidad y flexibilidad. Eslabón de unión: Es un eslabón externo desmontable que se utiliza para unir ambos extremos de la cadena y así formar un anillo cerrado.

Falso eslabón: Es un eslabón que intercalado en la cadena, permite obtener un anillo cerrado con número impar de pasos. Está constituido por dos placas no planas, un perno (como en el eslabón externo), un tubito y un rodillo (como en el eslabón




76

interno). Es decir, este eslabón funciona como si fuera mitad eslabón interno y mitad externo. Se recomienda evitar su uso tratando que los largos de la cadena a utilizar sean equivalentes a un número par de pasos. Los materiales utilizados son los aceros de aleación tratados térmicamente. Los pernos y tubitos van cementados y endurecidos para aumentar su resistencia al desgaste, luego las placas y rodillos del eslabón se los granalla para aumentar su resistencia a fatiga. También suelen fabricarse con un tratamiento de carbonitrurado para usos en ambientes abrasivos. En ambientes ácidos el material utilizado es el acero inoxidable, con un notable incremento del costo. Las cadenas pueden proveerse con una sola fila de rodillos: cadena simple, o con hasta 4 filas de rodillos: cadena cuádruple. La dimensión característica en estos casos es la distancia entre los centros de los rodillos. Las cadenas se fabrican bajo diferentes normalizaciones internacionales: Norma ISO o “serie europea”: Con esta denominación se han reagrupado las cadenas constituidas bajo la norma italiana UNI; la inglesa BS, la francesa NF y al alemana DIN. Norma ASA o “serie americana”: corresponden a las construidas bajo las normas establecidas en Estados Unidos de Norteamérica. La normalización no solo ha unificado dimensionalmente a todos los fabricantes sino que permite la intercambiabilidad en cualquier parte del mundo. Las cadenas de la serie europea son las más usualmente utilizadas pues cubren cómodamente la mayoría de las aplicaciones. Se utilizan desde 1/10 de HP, con velocidades de la rueda menor desde 500 a 3000 r.p.m. Se fabrican de 1; 2; 3 y 4 filas de rodillos. Las cadenas de la serie americana se diferencian con respecto a las anteriores, en una mayor resistencia a la fatiga. Se fabrican en 1 hasta 4 filas de rodillos, aunque también se proveen de hasta 14 filas en construcciones especiales. Dentro de esta serie existe la serie americana reforzada ASA H que, derivada de la anterior se diferencia en un mayor espesor de las placas del eslabón. Esta particularidad permite su aplicación a transmisiones con fuertes cargas de impacto como en el uso petrolero o agrícola.




77

Geometría de las ruedas dentadas para cadenas de transmisión de rodillos: Para obtener un correcto acoplamiento entre la cadena y las ruedas dentadas, la construcción de éstas últimas deben respetar determinadas dimensiones. Algunas de las dimensiones derivan de consideraciones geométricas y otras de la experiencia. Las Ruedas se identifican fundamentalmente por el paso P y el número de dientes z. En la figura siguiente podemos definir, además otras magnitudes:

P

½

p

E je

θ rp D iá m e tro in t e D iá m e t ro p rim D iá m e tro e x te M á x im o d iá m d e la m a z a

rio r it iv o rio r e t ro

L a rg o d e la m a z a

D

p

Diámetro primitivo: Es el diámetro de la circunferencia que pasa por los centros de los pernos de la cadena cuando esta se envuelve sobre la rueda. Diámetro interno o de fondo del diente: Es el diámetro de la circunferencia tangente a los puntos mas internos del hueco ente los dientes. Diámetro externo: Es el diámetro de la circunferencia que circunscribe la extremidad del diente mas alejada al centro de la rueda. Considerando que: y que: Reemplazando y despejando:


sen Φ/2 = (P/2) / (Dp/2) Φ= 360º/z Dp =

P 180 º sen z



78

Los materiales son:  Acero al carbono, acero forjado o hierro fundido en casos de grandes dimensiones.  Materiales no ferrosos o acero inoxidable también son utilizados para casos especiales. En algunos casos es necesario el endurecimiento de los dientes para aumentar su resistencia al desgaste. Ello puede ser imperativo en relaciones de transmisión 1:4 o mayores, ruedas de 24 o menos dientes a más de 600 rpm, y aquellas que funcionarán en ambientes corrosivos o abrasivos. Aspectos mecánicos de una transmisión por cadena: Las fuerzas actuantes en una transmisión por cadenas presentan características propias como ser una importante carga dinámica cuando el rodillo hace contacto con un diente de la rueda dentada y las fuerzas inerciales producidas por la acción de cuerda.




79

En la figura inferior, el rodillo A esta ubicado sobre la circunferencia primitiva de la rueda, o sea a una distancia R del centro de la misma. Un instante después, la rueda ha girado un ángulo Φ y el rodillo se ubica a una distancia r menor a la anterior (figura superior). Esta variación se conoce como acción de cuerda. Si la rueda dentada conductora gira a una velocidad angular constante de n rpm, la velocidad lineal de la cadena varía desde: a

Vmín. = 2 . π . r . n Vmáx. = 2 . π . R. n

Y vuelve a disminuir a Vmín., así sucesivamente. Estas variaciones de velocidad implican aceleraciones, y estas a su vez, fuerzas: F = m. a




80

A este efecto se lo conoce como variación cordal de la velocidad. Si hacemos:

r = R. cos Φ Φ = 180º / z

y además

podemos analizar la variación porcentual del efecto cordal en función del número de dientes z: ∆ V/V [%] = 100. (Vmáx. – Vmín.) / Vmáx. = (1 – cos 180/z) = 100 En el gráfico siguiente observamos la disminución de la variación cordal de la velocidad a medida que aumenta la cantidad de dientes de la rueda.

1 9 5 2 1 0 ,

%

∆v / v

Z

1 1 2 82

5 0 5 0 5

V a ria c ió n c o rd a l d e la v e lo c id a d %

∆v

2 0 1 0 0 0

1 N

ú m

e

0 r o

d

e

d

2 0 ie n t e

Por otra parte existen las aceleraciones verticales porque en realidad la cadena brinca a causa de esta variación del radio. El cambio de dimensión radial que hace brincar a la cadena es: ∆ R = R – r = R. (1 – cos 180/z) es decir, el efecto cordal de variación del radio se comporta igual que el de la variación cordal de la velocidad puesto que están asociados a través del radio de la circunferencia primitiva y disminuye con el aumento del número de dientes z, llegando a ser casi despreciable para z = 25 dientes. Al igual que en una transmisión por correas, la fuerza centrifuga induce cargas de tracción, y por lo tanto la potencia transmisible disminuye a partir de una determinada velocidad.



s ,

3 Z


81

Hasta este limite (ver figura) la falla en la cadena sucede por fatiga en la placa del eslabón. Al estudiar el fenómeno de la fatiga de los materiales, supimos que la falla se presenta a tensiones menores a las de rotura o inclusive de fluencia. Por lo tanto surge que la capacidad de carga estática a tracción de las cadenas no es la característica válida para el cálculo de una transmisión con movimiento.

C a p a c id a d d e p o t e n c ia

R o t u ra d e d e e s la b ó la f a t ig a A

B p

la n

p

o

la r

c

a

B V id a d d e l c a r o d illo

e im p a c t o s q u illo C d e B C

R o t u ra d e L u b ric a n t e A

V e

lo

c

id

a

d

p

e

lic

u

la

D

A velocidades superiores al límite anterior, el impacto del rodillo sobre el diente de la rueda y el desgaste entre el rodillo y perno son los limitantes. Finalmente se alcanza un punto en que la capacidad disminuye rápidamente hasta anularse cuando la carga es suficientemente grande como para romper la película lubricante. Por estos motivos, los fabricantes de cadenas presentan las tablas de capacidades de HP en función de las rpm para una vida útil de 15000 hs. de funcionamiento con un factor de servicio = 1. A modo de referencia, indican que un alargamiento del 2% para cadenas de paso pequeño o 3% para aquellas de paso grande, respecto de la longitud inicial, es una indicación de cadena gastada. Si no se efectúa el cambio, la cadena tiende a saltar un diente cuando debería acoplarse, produciendo efectos dinámicos indeseados sobre la transmisión. Las ecuaciones utilizadas para calcular la potencia nominal presentadas en las tablas de los fabricantes son: •

Potencia máxima transmisible en función de la fatiga en la placa del eslabón: N[CV]= 0,004056. (z)1.08.n0.9.(P/2,54)(3 – 0,0275 P)

•

Potencia máxima transmisible en función del impacto entre el rodillo y el tubito de unión de las placas del eslabón: N[CV]=0,481.Kr.(100.z/n)1.5.P0.8 eligiéndose de ambos el menor valor.

En estas ecuaciones: z: número de dientes de la rueda menor. 23/01/OO Ingeniería


Elementos de Máquina n: P: Kr:

82

rpm de la rueda menor. paso en cm. 29 para las cadenas número 25 y 35. 3,4 para las número 41. 17 para las cadenas 40 a 240.

Aspectos referidos a la lubricación de las cadenas Una lubricación apropiada es de suma importancia para garantizar una vida útil larga y continuidad en el servicio. Durante el funcionamiento, varias superficies de la cadena entran en contacto entre sí: -

El perno del eslabón exterior con el tubito del eslabón interior. El tubito del eslabón interior y el rodillo. La cara interna de la placa del eslabón externo con la cara externa de la placa del eslabón interno. Las caras internas de las placas del eslabón interno y los laterales del diente de la rueda.

Además, la lubricación protege a la cadena de la oxidación y contribuye a disminuir el ruido. El lubricante a utilizar debe ser lo suficientemente fluido para penetrar en los pequeños intersticios existentes, no deberá romper su película aún frente a grandes cargas manteniendo separadas las superficies, y sus propiedades lubricantes tendrán que mantenerse aún en las condiciones ambientales y de uso para la cual ha sido proyectada la instalación. En general, los fabricantes aconsejan un buen aceite mineral, y para considerar la variación de la viscosidad en función de la temperatura de uso aconsejan:

Temperatura [ºC] -5 a 5


Lubricante recomendado SAE 20 UNLZ – Facultad de

Elementos de Máquina 5 a 40 40 a 50 50 a 60

83

SAE 30 SAE 40 SAE 50

Los aceites a base mineral tienden a producir depósitos carbonosos a temperaturas cercanas a los 140ºC, por ese motivo para aplicaciones en instalaciones con altas temperaturas, como por ejemplo en hornos continuos de cocción de pan o galletitas, donde la temperatura puede llegar a los 300ºC se recomienda un lubricante a base de grafito en polvo disuelto en una solución volátil, la cual al evaporarse deja una película grafitada sobre las superficies. En el caso de aplicaciones para la industria alimenticia se utilizan los aceites vegetales o parafinados medicinales que no contaminan y aseguran una adecuada lubricación. En función de la velocidad y la carga, el lubricante debe ser aplicado en una forma apropiada, la cual es recomendada por los fabricantes y se clasifican en 4 métodos: (Véase las figuras 13 y 14 en la guía de trabajos prácticos de Transmisiones por Cadenas) Lubricación Tipo I: Aplicación manual periódica El aceite se aplica con pincel o aceitera manual. Para transmisiones abiertas, se aplica en la zona interior de la cadena. Cuando ésta envuelve la rueda dentada la

fuerza centrifuga expande el aceite y por capilaridad penetrará en los intersticios. Este sistema es apto para velocidades lineales de hasta 90 m/min. Generalmente dos aplicaciones semanales de aceite son suficiente, dependiendo de las horas diarias de servicio. Lubricación Tipo II: por goteo El sistema de goteo aplica el aceite entre las placas del eslabón externo y el interno, de modo que por acción de capilaridad y el propio movimiento, el lubricante penetra entre las partes a proteger.




84

El número de gotas por minuto debe ser tal de asegurar la perfecta lubricación del sistema, generalmente de 4 a 10 gotas por minuto. De todos modos con la inspección periódica se encontrará la cantidad mas apropiada al tipo de servicio a que está sometida la instalación. Se recomienda el uso de este sistema para transmisiones que no superen los 400 m/min. Lubricación Tipo III: por baño Este sistema garantiza una buena lubricación, con una menor frecuencia de inspección.

La rueda conductora y conducida y la cadena están encerradas en una caja que contiene el lubricante y una parte de la transmisión se sumerge en él. 23/01/OO Ingeniería



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El nivel del lubricante debe estar más o menos a la mitad de la cadena en su parte más baja. Apto para instalaciones de hasta 700 m/min. Lubricación Tipo IV: por circulación forzada Este sistema se utiliza en transmisiones de alta velocidad y aquellas particularmente comprometidas.

Una bomba manda en forma continua el aceite directamente sobre la cadena. Se lubrica del lado interno del anillo cerrado que forma la cadena con las ruedas. Los fabricantes indican en sus manuales la cantidad de litros por minuto por cada fila de rodillos en función de la velocidad angular, el número de dientes de la rueda menor y el paso. Para velocidades mayores a 700 m/min. Aspectos relacionados al montaje de una transmisión por cadenas La distancia entre centros puede ser relativamente corta, entre 30 a 50 veces el paso, pero se recomienda que el ángulo de abrace sea como mínimo 120º, esto se logra con relaciones de transmisión igual o menores de 1:3. Para el caso de cargas variables se recomienda una distancia entre centros menor, si la distancia entre centros es fija se recomienda la utilización de ruedas intermedias tensoras. Si es regulable, la variación debe ser por lo menos de 1,5 veces el paso. Contrariamente a lo que ocurre en las transmisiones por correas, el ramal flojo debe estar en el lado inferior de las instalaciones horizontales. Esto debe ser así, pues ambos ramales pueden llegar a tocarse cuando la cadena se alargue por desgaste, y además, porque la rueda conductora tiende a retener a la cadena cuando ésta comienza a salir. (en el ramal flojo).1




86

Uso Estático a la tracción El uso del término “tracción”, cuando se refiere a cadenas, está indicando la transmisión de una fuerza desde un extremo al otro de la misma. Muy distinta esta aplicación a la de transmisión de una potencia desde un eje motor a otro conducido. El trabajo en tracción de una cadena es, generalmente, un movimiento de traslación alterno y no forma un anillo cerrado con las ruedas dentadas. En muchísimos casos, se utiliza la cadena como órgano a la tracción en lugar de los cables de acero, pues, con relación a éstos presenta las siguientes ventajas: 1) La cadena puede envolverse sobre una rueda dentada de diámetro menor que aquella polea admisible para el cable de acero. 2) La cadena se puede lubricar más fácilmente y más eficazmente que el cable de acero. 3) Las cadenas son más fáciles de montar y desmontar. Sus accesorios de unión en los extremos no trabajan por fricción y no requieren el frecuente control y ajuste como en los accesorios de los cables. 4) El uso de las cadenas permite transformar un movimiento rotatorio de una rueda dentada en un movimiento trasladante de una carga sin peligro de deslizamiento. Esta transformación sincrona no es segura con el conjunto de cables de acero y polea. Naturalmente que la cadena tiene sus propias limitaciones y en muchos casos los cables de acero presentan innegables ventajas técnicas y económicas respecto de las cadenas. Las siguientes figuras ilustran casos típicos de cadenas como órgano a la tracción.

En todos los casos, la elección del tipo y tamaño de la cadena se realiza ren función de la velocidad de traslación, de consideraciones de resistencia al desgaste y de la presencia o no de choques. La figura a muestra el montaje del contrapeso de un trépano u otra máquina herramienta equivalente. La cadena se articula sobre dos ruedas dentadas y en la




87

mayoría de los casos su velocidad es muy baja, con ciclos de funcionamientos infrecuentes. La carga sobre la cadena es esencialmente estática y no es necesario preocuparse por el desgaste admisible o la resistencia al impacto o a la fatiga. En la figura b se muestra el caso típico del empleo de una cadena a la tracción en un elevador hidráulico. La cadena, fijada en un extremo, se articula en una rueda y se une en el otro extremo a la plataforma de elevación de la carga. A su vez, la rueda se monta en el extremo del vástago del cilindro hidráulico, de modo que la velocidad de traslación de la carga es el doble de la del extremo del vástago. En esta aplicación, el movimiento es frecuente y casi siempre en presencia de carga con impacto. En el caso de los autoelevadores, se deberá evaluar la magnitud de las solicitaciones dinámicas impuestas a la cadena por el propio movimiento del autoelevador, y por reflejo la solicitación a la fatiga de la misma. En la figura c se muestra un típico aparejo o elevador de carga a cadena, en el cual, ésta engrana en una rueda dentada, normalmente acoplada en el extremo de un motoreductor. Ésta aplicación también se usa en los casos de apertura de puerta de un horno o como esclusa en canales de riego. En éstas aplicaciones el movimiento es a baja velocidad, frecuente y con cargas de impacto. En conveniente aclarar que no es común utilizar como cadena a tracción a la de rodillos, no obstante que ésta admita ese uso. En general existen cadenas especialmente diseñadas para el uso en tracción. En las tablas de características técnicas y dimensionales de las cadenas de rodillos se incluye el dato de la carga de rotura, y en las de las cadenas especiales, además se indica la carga de trabajo, que por lo general es la décima parte de la de rotura.

1

-

-

Para la elaboración de este capítulo se consultó la siguiente bibliografía y catálogos: Diseño de Ingeniería Mecánica – Shigley, Mitchell – Ed. Mc Graw Hill – 1983 Diseño de Elementos de Máquina – Faires – De. Montaner y Simon SA – 1970 Rex Regina. Catálogo 071.- 10/70 – Varese – Italia Sircatene Spa. Catálogo 1990: Catene di trasmissione – Milan – Italia

Sircatene Spa. Catálogo 1990: Catene di trsporto – Milan – Italia




3.2.- TRANSMISIÓN

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DE MOVIMIENTO MEDIANTE ENGRANAJES

Superficies primitivas Nos proponemos estudiar la transmisión del movimiento a través de una cadena cinemática constituida por dos cuerpos en movimiento de rotación vinculados por contacto directo. Consideraremos los dos cuerpos R1 y R2 montados sobre dos ejes vinculados a un bastidor B. Estos dos ejes serán a su vez rectas sostén de los vectores rotación que definen los movimientos.

Queremos estudiar el movimiento relativo de R1 respecto de R2 (simbólicamente R1 / R2) y supondremos que las rotaciones Ω 1( ω 1 , x1 )

Ω2 ( ω2 , x2 )

cumplen con la condición:

ω2 = constante ω1 Generalizando el teorema de las velocidades relativas, podremos escribir: i=

 R1   R1   B    =  +   R2   B   R2 

R   R  = 1 +− 2  B   B  Ω12

= Ω1 +( −Ω2 )

Con lo que el movimiento de R1 respecto de R2 se obtiene componiendo Ω 1 y Ω 2 esta última con signo invertido. Las sucesivas posiciones de la resultante Ω del sistema de vectores Ω 12 s , definirán superficies regladas alrededor de cada eje, que pueden concebirse generadas por rotación del vector resultante en torno de x1 y x2. Las superficies así generadas reciben el nombre de superficies primitivas. En todo instante tienen una generatriz común que es justamente la recta sostén del vector resultante Ω 12 .




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Relación de transmisión Por definición se entiende por relación de transmisión al cociente de las velocidades angulares del elemento conducido sobre la del elemento conductor.

i=

ω2 ω1

ω2 = cte. implica que la posición del vector resultante Ω 12 (es ω1 también eje central del sistema de vectores) se mantiene invariable respecto de los ejes x1 y x2 y, en consecuencia, las superficies primitivas serán siempre regladas de revolución. ω2 Obsérvese que la relación = constante no impide que existan variaciones ω1 simultáneas de ω 1 y ω2 en el tiempo. La condición

Casos particulares - 1° Los ejes x1 y x2, son paralelos a)

Ω 1 y Ω 2 tienen sentido contrario

 R1    = ( Ω 1 ) + ( −Ω 2 ) = Ω12 ( e1 ,ω12 )  R2  Se reduce a una rotación Ω 12 vector paralelo a los ejes del movimiento x 1 y x2 y cuya recta sostén es el eje central. El movimiento relativo R1/R2 podrá ser definido por el rodamiento lineal sin resbalamiento de dos cilindros (cilindros primitivos). La suma de los momentos de los vectores rotación respecto del eje central tendrá que ser nula. En consecuencia: ω r ω1r1 = ω2 r2 ∴ 2 = 1 ω1 r2 conocidos: la relación de transmisión i =

ω2 y la distancia entre los ejes (r1 + r2) ω1

pueden determinarse r1 y r2 radios de los cilindros primitivos.




b)

Ω 1 y Ω 2 tienen el mismo sentido

2°)

Los ejes x1 y x2 son concurrentes

90

En este caso las superficies primitivas resultan ser conos con vértice común en el punto de concurrencia de los ejes.

sen β1 sen β2 = ω2 ω1 i=

3°

ω2 sen β1 = ω1 sen β2

Los ejes x1 y x2 son alabeados.

En este caso la composición de los vectores Ω 1 y - Ω 2 es un poco mas complicada y la resultante Ω 12 viene acompañada con el vector traslación VT . Las superficies primitivas son hiperboloides de revolución que ruedan y a la vez se produce un deslizamiento a lo largo de la generatriz de contacto.




91

El proceso es el siguiente: a) b) c) d) e)

Se tienen los ejes alabeados x1 y x2 , rectas sostén de los vectores Ω 1 y Ω 2 . Su distancia mínima es d (perpendicular común a ambos ejes). Debemos determinar la posición del eje central del sistema. Se traslada -Ω 2 paralelamente a si mismo hasta el plano B. Aparece el vector traslación V = ( −Ω2 ) ∧ d Se obtiene Ω 12 = Ω 1 + (- Ω 2 ). El sistema inicial queda reemplazado por los vectores Ω 12 y V .

f)

Descomponiendo V en sus componentes VN y VT normal y coincidente aΩ 12 es posible anular VN trasladando Ω 12 a un punto tal A que el par de traslación sea igual y de sentido contrario a VN .

g)

De esta manera el sistema inicial queda definitivamente reemplazado por los vectores Ω 12 y VT que definen el movimiento rototraslatorio resultante.

Las sucesivas posiciones relativas a los sólidos S1 y S2 del vector Ω 12 definirán dos superficies regladas que serán las superficies primitivas.




92

Si la condición de constancia de la relación de transmisión no se mantiene resultan engranajes de superficies primitivas no cilíndricas, por ejemplo para el caso de ejes paralelos, y el aspecto puede resultar como los engranajes de la figura que son elípticos.

Engranajes de estas formas especiales son muy raramente utilizados y no se justifica su estudio en este curso.

Clasificación general de engranajes Existe una gran variedad de engranajes. Todos ellos responden a los conceptos vistos. A los efectos de tener una idea mas clara de los distintos tipos intentaremos clasificarlos y estudiarlos según la posición relativa de los ejes entre los cuales se transmite el movimiento. Se tendrán entonces engranajes para ejes paralelos, concurrentes y alabeados. Cada uno de estos grupos se caracterizara por la forma de la superficie primitiva asociada. Posición de los ejes Paralelos

Forma de la sup. primitiva Cilindros

Concurrentes

Conos

Alabeados

Hiperboloides


Denominación del Disposición de los engranaje dientes Cilíndricos Rectos Inclinados Helicoidales Cónicos Rectos Inclinados Curvos Helicoidales Hiperbólicos Hipoides Tornillo y rueda



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Transmisiones Helicoidales e Hipoidales Las transmisiones helicoidales e hipoidales se emplean para transferir un par de torsión entre los árboles, cuyos ejes se cruzan. Como es sabido por el curso de la teoría de los mecanismos y de las máquinas, al realizar una transmisión entre tales dos árboles, las axoides del movimiento relativo son las superficies de los hiperboloides de la revolución de una hoja 1 y 2. Si en estos hiperboloides se hacen dientes con iguales pasos normales e iguales ángulos de engrane, se obtiene una transmisión que asegurará una relación de engranaje constante. Prácticamente se utiliza sólo una parte estrecha de las superficies de los hiperboloides primitivos, la cual se substituye en el sector que se aprovecha por una superficie cónica o cilíndrica. A consecuencia de esto, en vez del contacto lineal tiene lugar un contacto por puntos entre los dientes que se tocan.




94

El ángulo de cruzamiento de los ejes de los árboles de estas transmisiones puede ser cualquiera, pero en la práctica con frecuencia se emplean las transmisiones con ángulo de cruzamiento δ = 90°. El inconveniente de las transmisiones helicoidales o hipoidales consiste en el deslizamiento a lo largo de los dientes, como consecuencia de lo cual, el coeficiente de rendimiento de estas transmisiones es más bajo que el de las transmisiones por engranajes cilíndricos y cónicos, además las potencias que se transfieren con ellos son considerablemente inferiores. La ventaja de estas transmisiones que examinamos es su funcionamiento silencioso, el cual es más fácil de obtener que en las transmisiones por engranajes cilíndricos y cónicos.

Transmisiones Helicoidales Utilizando para las ruedas dentadas, la parte media de las β piñ superficies de los hiperboloides conjugados se obtiene una transmisión helicoidal. En este caso, las ruedas dentadas que forman la transmisión helicoidal β rued serán cilíndricas con dientes oblicuos, con ángulos de inclinación de los dientes β pin y rued. en los cilindros primitivos correspondientes. Debido a que aquí el contacto de los dientes es por puntos, la potencia transmisible no es grande (no pasa de algunos kilovatios). Por eso, estas transmisiones no han adquirido mucha difusión.




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Transmisiones hipoidales Si para las ruedas de engranaje con ejes cruzados se utilizan las partes de las superficies alejadas del centro de los hiperboloides, se obtiene una transmisión hipoidal (el ángulo entre los ejes de las ruedas es igual a 90°).

Las transmisiones hipoidales han obtenido más amplia aplicación que las helicoidales y se emplean para transmitir potencias del orden de varias decenas de kilovatios. Se emplean en las transmisiones de los puentes traseros de los automóviles, así como en algunas máquinas textiles, por ejemplo para transmitir la rotación de un árbol a varias decenas de husos. En los casos en que la relación de engranaje es pequeña, la transmisión hipoidal puede sustituir la transmisión por tornillo sin fin que es más cara de fabricar y requiere habitualmente, el empleo de metales no ferrosos.




Superficies de los engranajes de fricción resbalamiento, son hiperboloides de revolución.

96

alabeados.

Para

mínimo

Engranajes para ejes paralelos Introducción Si se materializaron las superficies primitivas podrían utilizarse para la transmisión del movimiento. Por ejemplo en el caso de ejes paralelos si se cargaran los cilindros primitivos con una fuerza lateral Q el movimiento de uno arrastraría al otro por rozamiento.

Para que exista arrastre se debe verificar: R= µ Q > P Q≥

P µ

M1 =P R1 Q = Fuerza lateral

Si µ = 0,1, Q deberá ser 10 veces mayor que P lo que es un grave inconveniente para transmisión de potencias importantes. Por ello se agregan dientes. Claro esta que al agregar estos nuevos elementos se deben cumplir algunas condiciones para que no se alteren los movimientos. Dichas condiciones se establecen en la Ley fundamental del engrane.

Ley Fundamental del Engrane




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La ley fundamental del engrane define las condiciones que se deben cumplir para transmitir el movimiento con relación de transmisión constante. ω2 = cte y consideremos que el sólido S1 ω1 de la figura, por contacto directo en el punto N arrastra al sólido S2. La velocidad del punto N según se considere pertenezca a S1 o S2 será:

Se tiene entonces por hipótesis que i =

V1 = ω1 R1 V2 = ω2 R2

ω1 n

S

t

O

1

R R p

Descomponiendo las V1 y V2 según la normal nn

1

1

b

R

1

T

1

p

y tangente tt a los perfiles, por semejanza de triángulos se puede escribir:

2

1

A

T

1

1

V

2

V

1

De O1A1N ≈ NN1V1 N1 Rb1 = V1 R1 Rb N1 = V1 1 = Rb1 ω1 R1

N N

2

I t

P

R S

2

N

1

A

2

2

n R

2

ω2

O

2

p R

2

y de O2A2N ≈ NN2V2

b

N 2 Rb2 = V1 R2 Rb N 2 = V2 2 = Rb2 ω 2 R2

2

Como las velocidades N1 y N2 deben ser iguales para que se mantenga el contacto> Rb1 ω 1 = Rb2 ω 2

∴

ω 2 Rb1 = ω 1 Rb2

Además por semejanza de triángulos O1A1I ≈ O2A2I Rb1

O I Rp = 1 = 1 Rb2 O2 I R p 2

∴

ω 2 R p1 = = cte ω1 R p2

En consecuencia el punto I es un punto fijo o lo que es lo mismo cualquiera sea el punto N de contacto de los perfiles, los mismos deben pasar siempre por un punto fijo I. El punto I es fijo porque además debe cumplirse que O1O2 = R p1 + R p 2 = cte . El punto I recibe el nombre de Punto primitivo.




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Ley de Engrane ω2 = i se mantenga constante la perpendicular a los perfiles, ω1 en el punto de contacto debe pasar en todo instante por el punto primitivo. Perfiles que cumplen con esta ley reciben el nombre de perfiles conjugados.

Para que la relación

Circunferencias primitivas son aquellas que con centro en O1 y O2 pasan por el punto primitivo. Pueden concebirse los perfiles conjugados solidarios a las circunferencias primitivas. Estas rotarán con velocidades ω1 y ω2 respectivamente y tendrán un rodamiento puro en el punto de tangencia I. Se plantea un primer problema; el de la determinación de los perfiles que cumplen con esta condición. Está aceptado en la técnica que el perfil del diente responde a una curva Evolvente de círculo de la familia de las curvas cicloidales, se genera para el caso extremo que el radio ρ de la ruleta tome un E v o lv e n te valor infinito transformándose en una recta. T P

R A

b

La recta (o ruleta) rueda sin resbalar sobre la circunferencia base, y un punto cualquiera de ella tomando como referencia y que era punto común A con la base, irá generando una trayectoria en el plano llamada evolvente.

ρ =

Casi la totalidad de los engranajes en la industria tienen sus dientes con perfiles tallados con evolventes de círculo. Estos dentaddos se destacan por las siguientes características: a) Permiten su tallado con mayor rapidez y precisión. b) Resultan insensibles a diferencias en el montaje en lo que respecta a la distancia entre ejes. c) Resulta un diente más robusto. Esta característica es importante para la transmisión de potencia. d) Todas las ruedas de igual paso son armónicas (pueden engranar entre sí).

Ruedas CILÍNDRICAS de Dientes rectos. Elementos geométricos. Definiciones Las ruedas dentadas o de engranajes, consisten en una llanta o corona en la cual se encuentran empotrados una serie de dientes iguales cuyas superficies laterales o flancos cumplen con las leyes cinemáticas del engrane. Estas superficies están limitadas radialmente, en el caso más general, por los cilindros de cabeza, de raíz y sus proyecciones sobre el plano radial representan respectivamente:




99

Perfil del diente: Constituido por curvas cíclicas o evolventes. Circunferencia de cabeza o exterior : De diámetro De. Circunferencia primitiva : De diámetro Dp. (Intersección de las superficies primitivas). Circunferencia de raíz o interior : De diámetro Di. Circunferencia base :La circunferencia desde la cual se desarrolla la curva evolvente. De diámetro Db.




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Se definen además como: Altura de cabeza k: A la distancia radial entre la circunferencia de cabeza y la circunferencia primitiva. Altura de raíz W: A la distancia radial entre la circunferencia primitiva y la de raíz. Altura del diente h: k + W a la altura total del diente. Se verifica entonces que De = Di + 2h = Dp + 2k Juego de cabeza : Sk = W - k Ancho del diente b: A la dimensión del diente en dirección paralela al eje de rotación.Espesor del diente h: Llamado también lleno. Hueco del diente v : Llamado también vacío. Juego de los flancos: Sf = v - l Diferencia entre el vacío y el lleno de los dientes. El espesor y el vacío del diente teóricamente tendrían que ser iguales, condición que en las máquinas modernas de tallado prácticamente se consigue, pero siempre se da cierta diferencia que constituye el juego de los flancos. Cubo : Es la parte de la rueda que se vincula al eje o árbol por medio de una chaveta. Brazos : Son los elementos de la rueda que unen la llanta al cubo.Radio del acuerdo : Es la curva de transición de radio ρ que une el diente a la corona.

Paso del dentado: Se llama paso del dentado t a la distancia medida sobre la circunferencia primitiva entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos. Si z es el número de dientes, se verificará lo siguiente: z . t = π . Dp Dp = t/ . z De la que se deduce que: como z es siempre un número entero, el Dp será un número racional, siempre que lo sea el cociente t/. Esto obliga a que el paso t sea siempre un múltiplo de π a fin de que su irracionalidad quede excluida como magnitud determinante del diámetro de la circunferencia primitiva Dp. En la práctica resultan ser mediciones muchísimo más fáciles las del diámetro primitivo Dp ó del exterior De antes que el paso t, por lo tanto reviste interés que 23/01/OO Ingeniería



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tales dimensiones sean números racionales. Estas circunstancias han llevado a adoptar en la práctica una unidad ó módulo como característica del dentado, que se estandariza y en función del cual se expresan las dimensiones de las ruedas dentadas. Tal unidad ha sido definida según el país de origen, aunque siempre partiendo de la relación: z.t=π .Dp por lo tanto haremos distinción entre: a)

Sistema métrico o alemán : En este sistema se define como módulo M a la relación: M ( mm) =

t ( mm) Dp( mm) = π z

Recibe además el nombre de paso diametral porque resulta también de dividir el Dp por el número de dientes z. Los valores de M se hallan normalizados por el DIN 780. 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 b)

Tabla de valores de modulo standard M (mm) 3 5 7 3.25 5.25 --3.5 5.5 7.5 3.75 5.75 --4 6 8 4.25 6.25 9 4.5 6.5 10 4.75 --11

12 13 14 15 16 17 18 20

Sistema ingles Se define el modulo ingles o Diametral Pitch  1  π Z P' ' =  = =  pu lg.  t ( pu lg ) Dp ( pu lg )

 1  El valor t ( pu lg) = π P   = Cp( pu lg) recibe el nombre de Circular  pu lg  Pitch. Los valores de P también se hallan normalizados.

Tabla de valores estándar de P” y su equivalencia con el módulo P” 23/01/OO Ingeniería

Mmm

P’

Mmm

P”

Mmm


Elementos de Máquina 1 1¼ 1½ 1¾ 2 2¼ 2½ 2¾

25.4 20.32 16.93 14.51 12.7 11.29 10.16 9.24

3 3½ 4 5 6 7 8 9

8.47 7.26 6.35 5.08 4.23 3.63 3.17 2.82

102 10 11 12 14 16 18 20 22

2.54 2.31 2.12 1.81 1.59 1.41 1.27 1.15

Como ha de haber un número entero de dientes en cada engranaje, los Dp en consecuencia y las distancias entre centros posibles no tienen una variación continua. Los intervalos son menores a mayor P”.[Dp = z/P”] Por ejemplo: s i

z

z

= 2 0 y =

s i

z

z

P

2 1

P

= 2 0 y =

P

2 1

P

= 4" D p =

4 "

D p

= 2" D p =

2 "

D p

En el caso que la distancia entre centros deseada no pueda ser obtenida para el diametral Pitch dado, es necesario el uso de un circular Pitch especial. El sistema de circular Pitch se aplica también a los engranajes fundidos y en los casos en que los dientes sean mayores que el diametral Pitch (P < 1).

Equivalencia entre el Módulo y el Diametral Pitch Podemos escribir:

π

t( m m

)= t " .2 5

. M( m m

)=

M( m m

)=

π ,4. . .

 1 P"  p u l g 

2 5 ,4.   

2 5 ,4 P"

en consecuencia, dada la equivalencia irracional de la pulgada con los milímetros, no existe correspondencia exacta entre M y P.

Relaciones geométricas del dentado 1) Sistema de Módulo α = 20º 23/01/OO Ingeniería



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k=M w = 1,166 M Sk = 0,166 M El radio de acuerdo ρ puede expresarse teniendo en cuenta la figura: ρ = S k + ρ sen α Sk ∴ρ = 1 − sen α Por lo que los valores a y Sk fijados Sk ρ= = 1,52 S k = 0,252 M 1 − sen 20 º 2) Sistema Diametral de Pitch

3) Sistema AGMA α = 14º30’ y profundidad total

1 = P" 1,1 5 7 w = P" Z pm = 3 2 í n

k

S

ρ

( 2 2 )

Relación de Transmisión en función de los Diámetros Primitivos y del Número de Dientes. Se define a la relación de transmisión como el cociente del número de vueltas n2 de la rueda conducida sobre el número de vueltas n1 de la rueda motriz. n i= 2 n1 Teniendo en cuenta que en el punto de tangencia de las circunferencias primitivas las velocidades son iguales: π.Dp 1.n1 π.Dp 2 .n2 v= = 60 60 Dp 1.n1 = Dp 2 .n2 y además, como:




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Dp = z. M i=

n2 Dp1 z1 = = n1 Dp2 z2

Elementos Cinemáticos del Engrane. Definiciones. Recta de presión: Es la recta de acción de la fuerza con que el flanco del diente de la rueda conductora actúa sobre el correspondiente de la rueda conducida. Evidentemente, la presión transmitida entre los flancos actuará siempre sobre la normal común y que por su condición de superficies conjugadas ha de pasar todo instante por el punto primitivo. En el caso de perfiles a evolvente la recta de presión es invariable. Es la tangente común a las circunferencias bases.

Ángulo de Presión α : Es el ángulo que forma la recta de presión con la tangente común a las circunferencias primitivas. En el caso de los perfiles a evolvente es invariable. Se encuentra normalizado según DIN 867 en 20º, en otras normas, también se emplea 14º30’; 15º y 22º30’. Cuanto mayor es el ángulo de presión α: 1. Los dientes resultan más anchos en su base y en consecuencia son más resistentes. 2. Disminuye el zpmin que evita la interferencia. (z < 14). 3. Disminuye la velocidad relativa entre los flancos. 4. Aumenta la presión radial, y por lo tanto sobre los apoyos. 5. Disminuye la duración del engrane. 6. La forma de los flancos es más convexa.




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Línea de Engrane Es el lugar geométrico de los puntos en que se verifica el contacto entre los flancos de los dientes. En los dientes a evolventes la línea de engrane es la recta de presión limitada por los respectivos círculos de cabeza. La longitud de la línea de engrane no puede sobrepasar los puntos de tangencia con las circunferencias base.




RUEDAS

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CILÍNDRICAS CON DIENTES INCLINADOS

En este tipo de ruedas, los dientes tienen cierta inclinación definida por el ángulo ϕ con respecto al eje de rotación.

Se pueden definir dos pasos: tc = Paso circunferencial: Medio sobre la rueda frontal. tn = Paso normal: Distancia entre dos puntos homólogos de dientes consecutivos medida sobre el cilindro primitivo normalmente a los dientes. Se puede establecer: t n ≅ t c cos ψ (aproximadamente, porque los pasos están medidos sobre los arcos) Al definir dos pasos quedan definidos dos módulos: t Mc = c Módulo circunferencial: n t M n = n ≅ M c cos ϕ Módulo normal: n Y dos ángulos de presión: Ángulo de presión circunferencial: αc Ángulo de presión normal: αn El primero es el ángulo de presión tomado sobre la rueda frontal y el segundo es el ángulo que forma la fuerza que actúa normalmente a los dientes en contacto con el plano tangente a los cilindros primitivos.

Ruedas cilíndricas con dientes helicoidales Si el tallado de los dientes inclinados de una rueda cilíndrica se realiza de tal manera que el flanco del diente es una superficie helicoidal se dice entonces que es una rueda cilíndrica de dientes helicoidales. Estudiaremos previamente la superficie denominada helicoide desarrollable.




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Helicoide desarrollable En la figura se representa en perspectiva un helicoide desarrollable, y a dicha figura habrá que remitirse para interpretar adecuadamente lo que a continuación se enuncia. Sobre un cilindro de radio r0 cilindro de base, tracemos una hélice de paso p y ángulo de inclinación β 0. El lugar geométrico de todas las tangentes a la hélice es una superficie reglada denominada helicoide desarrollable. Las principales cualidades de esta superficie, son: 1) es una superficie reglada y de desarrollable. 2) Los planos π tangentes al cilindro base cortan al helicoide según una de las rectas generatrices. 3) Las secciones del helicoide con planos normales al eje del cilindro base son evolventes de círculo con su punto de arranque sobre la hélice. 4) Las secciones del helicoide con cilindros concéntricos al cilindro base y de radio R > r0, son hélices de igual paso y en consecuencia tendrán un ángulo de inclinación menor. En efecto, si R es el radio del cilindro concéntricco al cilindro de base, el ángulo de inclinación β de la helicoide que se obtiene como traza p de su intersección con el helicoide, β0 β debe verificar la condición:

2 πro 2πR


p = 2πr0 tg β = 2πR tg β r tg β = 0 tg β0 R



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ro

π

β0 β0

l

c il i n

d

r o

c il in R

b d

s e

r o

e

x t e

r i o r

n

o

e

ro

0

p

β0


a

la

d

e

β


n g

r a

n e


DISTINTAS

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CONSTRUCCIONES DE REDUCTORES

Los engranajes pueden ser dispuestos, combinándose entre ellos en una gran variedad de alternativas. Las disposiciones que se mostrarán a continuación se deben tomar como ejemplos, pues no se pretende ser exhaustivo, sólo descriptivo. En términos generales, una transmisión por engranajes implica a un miembro o elemento de máquina dentado que se acopla con otro miembro dentado y le transmite movimiento. Generalmente se desea que el elemento conducido se mueva a una velocidad angular uniforme cuando el conductor lo hace también a velocidad constante. La disposición de los ejes y engranajes puede desempeñar un papel importante en la facilidad o complejidad para lograr determinadas relaciones de transmisión, capacidad en potencia a transmitir, rendimiento o compacidad. A continuación veremos algunas construcciones de cajas de engranajes, reductoras de velocidad con o sin motor acoplado. Utilizaremos la clasificación ya vista en función de la disposición de los ejes de las superficies primitiva para ir presentando las diferentes construcciones.

Cajas de engranajes de ejes paralelos Para ejes paralelos, los engranajes son cilíndricos, con dentados rectos o helicoidales. Para construcciones con engranajes de dientes rectos o helicoidales, de buen diseño y fabricados con tecnologías avanzadas se pueden lograr rendimientos del 99%; en condiciones malas de fabricación, el rendimiento puede ser inferior al 90%. La unidad más simple en éste caso es aquella compuesta por un engranaje conductor y uno conducido, y se denomina de una etapa. Con el mismo concepto puede tenerse equipos de dos etapas, de tres etapas, etc. La figura siguiente muestra un conjunto motor—reductor de dos etapas de reducción. Esta construcción es conocida como “co—axil” porque el eje de salida está alineado con el eje de entrada. Esta construcción tiene patas de modo de fijar el equipo a una base por medio de bulones. En la punta de eje de salida puede colocarse un acople al eje conducido, o una transmisión flexible respetando la carga radial límite que indica el fabricante.




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La figura siguiente muestra un conjunto motor—reductor de dos etapas de reducción. En esta figura en particular, el eje de salida es hueco y permite colocarlo directamente sobre la punta de eje saliente de la máquina. Esto facilita el montaje porque evita la construcción de bases y la consiguiente alineación. Otra construcción similar tiene eje de salida macizo para aquellos montajes con acople o poleas de transmisión hacia la máquina conducida.




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Cajas de engranajes de ejes concurrentes En algunas transmisiones de hace necesario la derivación del movimiento en dirección perpendicular a la dirección del movimiento principal, o bien, por razones de espacio disponible, en oportunidades es más cómodo la disposición del motor (en el caso de los moto—reductores) perpendicularmente al eje conducido. Los engranajes de ejes concurrentes se utilizan como reductores únicos o principales, sólo en casos particulares respondiendo a lo indicado anteriormente.




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Cajas de engranajes de ejes paralelos combinados con engranajes de ejes concurrentes En muchos casos resulta adecuado combinar una unidad de ejes paralelos y agregarle una primera o última etapa de engranajes de ejes concurrentes. Esto permite en determinadas condiciones hacer la transmisión más compacta ocupando menos espacio alrededor de la máquina accionada. La siguiente figura nos muestra un conjunto motor—reductor de tres etapas de reducción, en el cual la segunda etapa en dos ejes concurrentes.

Cajas de engranajes de ejes alabeados En la técnica se utiliza casi exclusivamente el par de engranajes de ejes alabeados conocido como tornillo sin fin y corona, que, como sabemos, deriva del par de engranajes helicoidales del centro de la superficie hiperboloide. Este tipo de construcción satisface la mayoría de los requerimientos de las transmisiones de baja potencia e índices de reducción relativamente altos. Los reductores a sin fin y rueda tienen muy bajo rendimiento, entre 60 y 75%, pero son compactos, económicos y muy fáciles de construir. En general se recomienda que su uso se límite a accionamientos secundarios, o principales pero con baja carga horaria.




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Cajas de engranajes de ejes paralelos combinados con engranajes de ejes alabeados La figura siguiente muestra un moto—reductor donde se ha combinado una primera etapa de engranajes de ejes paralelos con una segunda y final de ejes alabeados. Con esta construcción se amplía la gama de reducciones ofrecida. El par cilíndrico puede ser colocado como primera etapa o como etapa final.



44031- Elementos de Maquina - Tomo I - Febrero 2000

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