Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo
Dedicatoria
Dedicamos este trabajo trabajo a Dios por el inm inmen enso so
amor amor
y
la
miser iseric icor ordi dia a
infinita que nos tiene. Así mismo dedico esta investigación a quienes
con
su
apoyo
y
amor
incondicional nos inculcan el deseo a salir adelante.
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Agradecimiento Agradecimiento
A nu nues estr tros os padr padres es,, quié quiéne nes s son son el motivo
y
la
fuerza
para
seguir
adel adelan ante te y de esta esta mane manera ra pode poderr alcanzar nuestras metas. Agra Ag rade dece cemo mos s colaboraron
a
las las
pers pe rson onas as que que
con
nuestra
investigación, tanto en la recopilación de fuentes y asesoramientos.
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SUMARIO FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN VIGAS RESUMEN INTRODUCCION CAPITULO I:
I. GENERALIDADES 1. DEFINICION DE VIGA 2. TIPOS DE VIGAS 2.1 VIGA EN VOLADIZO 2.2 VIGA SIMPLEMENTE APOYADAS 2.3 VIGAS CON VOLADIZO 2.4 VIGAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS 2.5 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS 3. TIPOS DE CARGAS 4. FUERZAS Y MOMENTOS INTERNOS EN VIGAS 5. MOMENTO RESISTENTE 6. DEFINICION DE MOMENTO FLECTOR 7. DEFINICION DE ESFUERZO CORTANTE 8. CRITERIOS DE SIGNOS CAPITULO II: II. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR 1. DEFINICION 2. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE
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3. DIAGRAMA DEL ESFUERZO CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR
4. ECUACIONES DE DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO
CAPITULO III: III.
EJEMPLO DE APLICACIÓN
CONCLUSIONES BIBLIOGRAFIA
RESUMEN La fuerza cortante es aquella sección de una viga, para la que el momento flector es máximo, el esfuerzo cortante es nulo o cambia de signo pasando por un mínimo Para simplificar el estudio de las vigas es conveniente representar de modo gráfico la variación del momento flector y de la fuerza cortante a lo largo de la viga obteniéndose el diagrama de fuerza cortante Q de una viga es una línea, cutas abscisas representan distancias a lo largo de la viga y cuyas ordenadas indican fuerzas cortantes verticales en las distintas secciones de la misma. El diagrama de momento flector M de una viga es una línea o curva cuyas abscisas representas distancias a lo largo de la viga y cuyas coordenadas indican los momentos flectores en las correspondientes secciones.
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En ambos diagramas se toman valores positivos sobre el eje de referencia y negativos por debajo
INTRODUCCION Un
problema
fundamental
de
la
resistencia
de
materiales
es
la
determinación de las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones producidas por las fuerzas que se aplican a un elemento o a una estructura. El estudio de la flexión es más complejo debido a que los efectos de las fuerzas aplicadas son variables de una a otra sección de la viga. Estos efectos son de dos tipos claramente diferenciados, la fuerza cortante y el momento flexionante, al que a menudo se le llama simplemente momento.
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CAPITULO I I. GENERALIDADES:
1. DEFINICION DE VIGA Una barra sometida a fuerzas o pares situ ad os en un plano que contiene a su eje longitudinal se llama viga . Se supone que
las
fuerzas
actúan
perpendicularmente
dicho
eje
longitudinal.
Viga
simplemente
solicitada sobrecarga distribuida.
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a
apoyada,
flexión
por
uniformemente
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Flexión de una viga simplemente apoyada.
2. TIPOS DE VIGAS 2.1VIGA EN VOLADIZO:
Si la viga está sujeta so lamente en un extremo, de tal manera que su eje no pueda girar en ese punto, se llama viga en voladizo. 2.2VIGA SIMPLEMENTE APOYADAS:
Una viga que está apoyada libremente en los de extremos se llama viga simplemente apoyada. Este término imp lic a que los apoyos extremos son capaces de ejercer sobre la barra solamente fuerzas y no momentos. Por tanto, no existe impedimento al giro de los extremos de la barra en los apoyos
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cuando flecha bajo las cargas. Más abajo se representa, dos vigas simplemente apoyadas. 2.3VIGAS CON VOLADIZO:
Una viga apoyada libremente en dos puntos y que tiene un o los dos extremos que continúan más allá de esos puntos se llama viga con voladizos.
2.4VIGAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS:
Todas las vigas consideradas antes, los vo ladizos, las simplemente apoyadas y las con voladizos extremos son tales, que se pueden determinar las reacciones en los apoyos utilizando las ecuaciones del equilibrio estático. Los valores de estas reacciones son independientes de las deformaciones de la viga. Se dice que son vigas estáticamente deter minadas.
2.5VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS:
Si el número de reacciones que se ejercen sobre la viga excede del número de ecuaciones del equilibrio estático, hay que suplementar estas ecuaciones con otras basadas en las deformaciones de la viga. En este caso, se dice que esta es estáticamente indeterminada.
Una viga en voladizo que está apoyada en el extremo, u n a viga empotrada rígidamente en los dos extremos y una viga que se extiende sobre tres o más apoyos son ejemplos de vigas indeterminadas.
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3. TIPOS DE CARGAS:
Las cargas comúnmente aplicadas a una viga pueden consistir en
fuerzas
aisladas
(aplicadas
uniformemente repartidas,
en
un
punto),
cargas
en cuyo caso se expresa la
magnitud por cierto número de kilogramos por metro de longitud de viga, o cargas variables uniformemente, como se muestra a continuación. Una viga puede estar cardada también por un par aplicado a ella. La. Magnitud del par se suele expresar en kg-cm.
4. FUERZAS Y MOMENTOS INTERNOS EN VIGAS:
Cuando una viga está cargada con ucrz. is y pares, en la barr a se
producen
tensiones
internas.
En
general,
existen
tensiones normales y cortantes. Para determinar su magnitud en cada sección es necesario conocer la fuerza y el momento resultantes que actúan en dicha sección, que pueden hallarse apl ica ndo las ecuaciones del equ ilib rio estático. 5. MOMENTO RESISTENTE:
El momento resistente o momento polar es una magnitud geométrica que caracteriza resistencia de un prisma mecánico sometido a flexión. De hecho, el momento resistente es calculable a partir de la forma y dimensiones de dicha sección transversal, y
representa la relación entre
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las
tensiones
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máximas sobre dicha sección transversal y el esfuerzo de flexión aplicado sobre dicha sección. 6. DEFINICION DE MOMENTO FLECTOR:
Cuando una viga está cargada con ucrz.is y pares, en la bar ra se
producen
tensiones
internas.
En
general,
existen
tensiones normales y cortantes. Para determinar su magnitud en cada sección es necesario conocer la fuerza y el momento resultantes que actúan en dicha sección, que pueden hallarse apl ica ndo las ecuaciones del equ ilib rio estático. 7. DEFINICION DE ESFUERZO CORTANTE:
El esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una viga o un pilar. Se designa variadamente como T, V o Q.
8. CRITERIOS DE SIGNOS:
El criterio habitual de signos para el esfuerzo cortante y el momento flector aparece en los esquemas siguientes.
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Así, u n a fuerza que t ie nd e a flechar la viga de modo que la concavidad esté hacia arriba, como se repre se nta en el esquema superior izquierdo, se dice que produce un momento flector positivo. Una fuerza que tiende a cortar la parte izquierda de la viga hacia arriba respecto a la parte derecha, como se indica en esquema in fe ri or izq uie rdo , se dice que produce un esfuerzo cortante positivo.
Un
método
más
sencillo
para
determinar
el
signo
algebrai co del momento flector en una sección cualquiera es considerar que las fuerzas exteriores dirigidas hacia arriba producen momentos flectores posit ivos y las dirigid as hacia abajo, momentos negativos.
CAPITULO II II.
FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR 1. DEFINICION:
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La suma algebraica de los momentos de las fuerzas exteriores situadas a un lado de la sección A, respecto a un eje que pasa por la sección A, se llama momento flector en A y se representa por la ecuación: R1x – P1(x-a) – P2(X-B).
La suma algebraica de todas las fuerzas verticales situadas a un lado, por ejemplo el izquierdo de la sección A se llama esfuerzo cortante en esa sección:
R1-P1-P2
2. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE: El esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una viga o un pilar. Se designa variadamente como T, V o Q.
Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión.
Es una solicitación típica en vigas y pilares y también en losas ya que todos estos elementos suelen deformarse predominantemente por flexión. El momento flector puede aparecer cuando se someten estos elementos a la acción un momento (torque) o también de fuerzas puntuales o distribuidas
3. DIAGRAMA DEL ESFUERZO CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR: Diagrama de momento flector
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Para elementos lineales el momento flector
M f( x )
se define como una
función a lo largo del eje transversal del mismo, donde " x " representa la longitud a lo largo del eje. El momento flector así definido, dadas las condiciones de equilibrio, coincide con la resultante de fuerzas de todas las fuerzas situadas a uno de los dos lados de la sección en equilibrio en la que pretendemos calcular el momento flector. Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas, cargas distribuidas y momentos, el diagrama de momento flector varía a lo largo del mismo. Así mismo las cargas estarán completadas en secciones y divididas por tramos de secciones.
Método de las secciones: El primer método que se usa para la construcción de diagramas de momentos es el método de secciones, el cual consiste en realizar cortes imaginarios a lo largo de un elemento y aplicar las ecuaciones del equilibrio. Supóngase que se realiza un corte imaginario sobre una viga, como la pieza continúa en su lugar, se puede considerar que se encuentra empotrado a la otra parte de la viga, por lo que existen reacciones que impiden el desplazamiento. En el caso del momento, es posible realizar una suma de momentos en el punto en el que se realizó el "corte". Se debe contar cada fuerza, carga distribuida y momento hasta donde se realizó el corte. En el método de secciones es necesario realizar un corte por cada factor que cambie la distribución del diagrama de momentos.
Método de los tramos: Otro método usado para la construcción de diagramas de momentos son las funciones discontinuas, que sirve para construir una función continua a tramos. En el caso de que un elemento estuviera sometido
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a varias fuerzas, cargas y momentos la cantidad de cortes que serían necesarios vuelve al procedimiento tedioso y repetitivo. Si se observa con cuidado, la ecuación de momento aumenta un término por cada corte que se realiza debido a la nueva fuerza, carga distribuida o momento que se agrega. El uso de las funciones discontinuas consiste en agregar funciones que se "activen" cuando se llega a cierta posición (donde antes se colocaba el corte). Estas funciones se definen como sigue:
4. ECUACIONES DE DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y
MOMENTO:
Las vigas son miembros estructurales diseñados para soportar cargas aplicadas perpendicularmente a sus ejes. En general, las vigas son barras largas, rectas, que tienen un área de sección transversal constante. A menudo, se clasifican con respecto a cómo están soportadas.
Por ejemplo, una viga soportada mediante un rodillo en el otro extremo, mientras que una viga en voladizo esta fija o empotrada en un extremo y libre en el otro. El diseño real de una viga requiere un conocimiento detallado de la variación de la fuerza cortante interna V y del momento flexionante M que actúan en cada punto a lo largo del eje de la viga. Después
de
completar
este
análisis
por
fuerza
y
momento
flexionante, podemos aplicar la teoría de la mecánica de materiales y
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un apropiado código de diseño para determinar el área de la sección transversal requerida de una viga.
Las variantes de V y M como funciones de la posición X a los largo del eje de la viga pueden obtenerse usando el método de las secciones. Sin embargo es necesario seccionar la viga a una distancia arbitraria X de un extremo en vez de hacerlo en un punto específico. Si los resultados se grafican, a las representaciones graficas de V y M como funciones de X se les llama, respectivamente, diagrama de fuerza cortante y diagrama de momento flexionante.
En general, las funciones de fuerza cortante y de momento flexionante serán discontinuas, o sus pendientes serán discontinuas en puntos donde una carga distribuida cambia o donde son aplicadas fuerzas o momentos de par concentrados. Debido a esto, esas funciones deben ser determinadas para cada segmento de la viga localizado entre dos cualesquiera discontinuidades de la carga. En el ejemplo, las secciones localizadas en X1, X2, X3 tendrán que usarse para describir la variación de V y M en toda la longitud de la viga en la figura.
La fuerza normal interna no será considerada en el siguiente análisis por dos razones, en la mayoría de los casos, las cargas aplicadas a una viga actúan perpendicularmente al eje de la viga y, por tanto, producen solo una fuerza cortante y un momento flexionante internos.
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Para fines de diseño, la resistencia de la viga a la fuerza cortante, y particularmente a la flexión, es más importante que su capacidad de resistir una fuerza normal.
Determinar las ecuaciones y diagramas del esfuerzo cortante y del momento flector de la viga apoyada de la figura, sometida a una carga uniforme “q” y una carga puntual “P”, tal y como se indica:
- Obtención de las reacciones
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- Determinación de las fuerzas de sección
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Diagrama de esfuerzos cortantes
Diagrama de momentos flectores
Deformada de la viga
Capítulo III: Ejemplo aplicada en la realidad:
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Datos: Puente: 105Ton x 103kg = 105x103 kg x 9.81N = 1030050N = 1030.05 KN Camión: 18 Ton x 103 kg = 18x103 kg x 9.81 N = 176580N = 176.58 KN Reacciones: ∑MR1= 1030.05kn (15m) + 176.58kn (22.5m) – R2 (30m) = 0
R2 = 647.46 kn ∑MFy= -1030.05kn – 176.58kn + R1 + 647.45 kn = 0
R1 = 559.17 kn
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