SECCIÓN 4.5
Gráficas de la tangente, cotangente, secante y cosecante
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4.5 Gráficas de la tangente, cotangente, secante y cosecante Aprenderá acerca de... ■
La función tangente
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La función cotangente
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La función secante
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La función cosecante
La función tangente La gráfica de la función tangente se muestra a continuación. Como sucede en los casos de las gráficas de seno y coseno, esta gráfica nos indica muchas propiedades de la función. En el siguiente recuadro se encuentra un resumen de las características de la tangente:
. . . porque Esto proporciona las funciones de las razones trigonométricas restantes.
FUNCIÓN TANGENTE f ( x x)
– π /2,
/2 por –4, 4
π
tan x. Dominio: Todos los reales excepto los múltiplos impares de 2. 2. Rango:: Todos los reales. Rango Continua (por ejemplo, continua en su dominio). Crece en cada intervalo de su dominio. Simétrica con respecto al origen (impar). Sin cota superior ni inferior. Sin mínimos ni máximos locales. Sin asíntotas horizontales. Asíntotas verticales x k • 2 para todos los impares enteros k. Compor Com portam tamien iento to en los extr extremo emos: s: lím tan x y lím tan x no existen. (Los valores x x de las funciones oscilan continuamente entre e sin aproximarse a un límite).
→
→
y
x
– –
FIGURA 4.45 La función tangente tiene asíntotas justo en donde la función coseno es cero. y
3
–
Ahora analizaremos las razones de que la gráfica f ( x x) tan x presente el comportamiento señalado. De las definiciones de las funciones trigonométricas (sección 4.2) se sigue que sen x tan x . cos x A diferencia de las sinusoidales, la función tangente tiene un denominador denominador que puede ser cero, lo que hace que la función sea indefinida en ese caso. Eso ocurre un número infinito de veces: en todos los valores de x para los cuales cos x 0. Es por eso que la función tangente tiene asíntotas verticales en esos valores (figura 4.45). La función tangente es cero justo donde la función seno también también es cero: todos los múltiplos enteros de (figura 4.46). Ya que sen x y cos x tienen como periodo 2 , tal vez espere espere que el el periodo periodo de la funciónn tangente funció tangente sea el mismo. Las gráficas gráficas muestran, muestran, sin embargo, embargo, que es .
x π
π
–3
FIGURA 4.46 La función tangente es cero justo en donde la función seno también es cero.
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CAPÍTULO 4
Funciones trigonométricas trigonométricas
Las constantes a, b, h y k influyen en el comportamient comportamientoo de y a tan(b( x x h) k en la misma forma que lo hacen en la gráfica de y a sen(b( x x h) k . La constante a genera un estiramiento o compresión vertical, b afecta al periodo, h provoca una traslación horizontal y k causa que se tenga una traslación vertical. Sin embargo, embar go, los términos términos amplitud y corrimiento de fase no se emplean, emplean, como se hace únicamente para las sinusoidales.
EJEMPLO 1 Gráfica de la función tangente Describa la gráfica de la función y tan 2 x en términos de una función trigonométrica básica. Localice las asíntotas verticales y grafique cuatro periodos de la función. SOLUCIÓN El efecto del 2 es una compresión horizontal de la gráfica de efecto del 1 es un reflejo con res y tan x por un factor de 1/2, mientras que el efecto pecto al eje x. Ya que las asíntotas verticales de y tan x son múltiplos impares de /2, el factor de compresión provoca provoca que las asíntotas verticales de y tan 2 x sean múltiplos impares de /2 (figura 4.47a). El reflejo respecto al eje x (figura 4.47b) no cambia las asíntotas.
Debido a que el periodo de la función y tan x es , el periodo periodo de la función función (nuevamente, gracias al factor factor de compresión) /2. De esta mane y tan 2 x es (nuevamente, ra, para cualquier cualquier interval intervaloo de longitud 2 se observarán cuatro periodos. En la figura 4.47b se utiliza la ventana [ , ] por [4, 4] 4]..
– π , π por –4, 4] a)
Las otras tres funciones trigonométricas (cotangente, secante y cosecante) son recíprocas de la tangente, el coseno y el seno, respectivamente. (Ésa es la razón por la que, probab probablemen lemente, te, las calculadora calculadorass no tengan botones botones para esas funciones.) funciones.) Estas funciones básicas son interesantes pero innecesarias, pues se puede hacer la modelación trigonométrica y la resolución de ecuaciones con las otras tres. No obstante, destinamos una breve sección sección a cada una de ellas en este libro. – π , π por –4, 4 b)
La función cotangente La función cotangente es la recíproca de la función tangente. Esto es,
FIGURA 4.47 La gráfica de a) y tan 2 x se refleja sobre el eje x para producir la gráfica b) y tan 2 x (ejemplo 1).
cos x
cot x . sen x
La gráfica de y cot x tendrá asíntotas justo donde la función seno es cero (figura 4.48) y su valor es cero justo donde la función coseno también es cero (figura 4.49). y
y
3
x π
–
x π
π
–3
FIGURA 4.48 La función cotangente tiene
FIGURA 4.49 La función cotangente es cero
asíntotas justo en donde la función seno es cero.
justo en donde la función coseno también es cero.
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SECCIÓN 4.5
CÁLCULO DE LA COT COTANGENTE ANGENTE CON LA CALCULADORA Si su calculadora no tiene un botón “cotan”, se recomienda que utilice el hecho de que la cotangente y la tangente son recíprocas. Por ejemplo, la función del ejemplo 2 puede ingresarse en la calculadora como como o y 3 y 3 /tan ( x /2) 1 o com (tan (t an ( x / 2))1 1. Recuerde que no puede ingresarlo como y 3 ta tan n1( x /2) 1. (El exponente 1 en esa posición representa una función inversa y no una recíproca.)
Gráficas de la tangente, cotangente, secante y cosecante
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EJEMPLO 2 Gráfica de la función cotangente Describa la gráfica de f ( x x) 3 cot ( x x /2) 1 en términos de una función trigonométrica básica. Localice las asíntotas verticales y grafique dos periodos. SOLUCIÓN La gráfica se obtiene de la gráfica de y cot x pero efectuando un alargamiento horizontal con un factor de 2, un alargamiento vertical con un factor de 3 y una traslación vertical hacia arriba de 1 unidad. El alargamiento horizontal hace que el periodo de la función sea 2 (dos veces el periodo de y cot x) y las asíntotas estén en los múltiplos pares de . En la figura 4.50 se pueden apreciar dos periodos de la gráfica de f .
La función secante Las características importantes de la función secante pueden inferirse a partir del hecho de que es el recíproco de la función coseno. Siempre que cos x 1, su funció funciónn recípro recíproca, ca, sec x, es también también 1. La gráfica gráfica de de la función secante tiene asíntotas donde el valor de la función coseno es cero. El periodo de la función secante es 2 , el mismo mismo que su recíp recíproco, roco, la función función coseno. coseno.
–2 ,
La gráfica de y sec x se muestra junto con la gráfica de y cos x en la figura 4.51. Un máximo local de y cos x corresponde a un mínimo local de y sec x, mi mien en-tras que mínimo local de y cos x corresponde a un máximo local de y sec x.
por –10, 10
FIGURA 4.50 Dos periodos de f ( x)
3 c o t ( x 2) 1 (ejemplo 2). x 2)
2 x
– – –
Presentación de una gráfica con una giba
La figura 4.52 muestra que las gráficas de y sec x y y 2 cos x parecen no intersecarse nunca. Si se alarga verticalmente la gráfica reflejada del coseno en un número suficientemente grande, ¿continuará sin intersecarse con la gráfica de la secante?, ¿o hay una valor (positivo) suficientemente grande de k tal que la gráfica de y sec x sí interseque a la gráfica de y k cos x?
y
–2π
EXPLORACIÓN 1
π
π
FIGURA 4.51 Las características de la función secante se infieren del hecho de que es recíproca de la función coseno coseno..
1. Intente con algunos valores de k en su calculadora, calculadora, ¿se intersecan intersecan las
gráficas? 2. Su exploración debió haberlo conducido a conjeturar que las gráficas
de y sec x y y k cos x nunca se intersecarán para cualquier valor positivo de k . Verifique Verifique esta conjetura comprobando algebraicamente que la ecuación k cos x sec x no tiene soluciones reales cuando k es un número positivo.
–6.5, 6.5] por [–3, 3]
FIGURA 4.52 La gráficas de y sec x y y 2 cos x (exploración 1). Copyright (c)2010 Pearson Education, Inc.
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CAPÍTULO 4
Funciones trigonométricas trigonométricas
EJEMPLO 3 Resolución algebraica algebraica de una ecuación trigonométrica Determine el valor de x entre y 3 /2 que satisface la ecuación sec x 2. SOLUCIÓN Construimos un triángulo de referencia en el tercer cuadrante que tenga la razón apropiada, hip/ady, igu igual al a 2. Si se elige que la coordenada x sea igual a 1 y la hipotenusa mida 2, el cálculo será más sencillo (figura 4.53a). 4.53a). El triángulo resultante tiene ángulos de 30° 60°90°, que determina determina un ángulo ángulo de 240°, el cual equiv equivale ale a 4 /3 radianes (figura 4.53b).
Por lo tanto, tanto, la respuesta respuesta es 4 /3. y
y
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–1
x
x
2
a)
b)
FIGURA 4.53 Un triángulo de referencia en el tercer cuadrante a) con hip/ady 2 determina un ángulo b) de 240 grados, el cual equivale a 4 /3 radianes (ejemplo 3).
La función cosecante Importantes características de la función cosecante se infieren del hecho de que es recíproca de la función seno. Siempre que sen x 1 su recíproco csc x también es 1. La gráfica de la función cosecante tiene asíntotas donde la función seno es igual a cero. El periodo de la función cosecante es 2 , la misma misma que su recíproco, recíproco, la función función seno. seno. En la figura 4.54 se nuestra la gráfica de y csc x junto con la gráfica de y sen x. Un máximo local de y sen x corresponde a un mínimo local de y csc x, mientras que un mínimo local de y sen x corresponde a un máximo local de y csc x.
y
–
x π
–
FIGURA 4.54 Las características de la función cosecante se infieren del hecho de que es recíproca de la función seno.
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Gráficas de la tangente, cotangente, secante y cosecante
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EJEMPLO 4 Resolución gráfica de una ecuación trigonométrica Determine el número positivo más pequeño x tal que x2 csc x. SOLUCIÓN No existe alguna forma algebraica para solucionar este problema, así que se resolverá gráficamente. El punto de intersección de las gráficas y x2 y y csc x que tiene el valor de la coordenada positiva x más pequeña se muestra en la figura 4.55. Se utilizó la graficadora para determinar que x 1.068.
¿LA GRÁFICA DE LA COSECANTE FORMA CURVAS PARÁBOLAS? La figura 4.55 muestra una parábola que interseca a una de la infinidad de curvas en forma de U que surgen a partir de la gráfica de la función cosecante. De hecho, la parábola interseca a todas aquellas curvas que están por arriba del eje de las x , ya que la parábola se extiende para cubrir el dominio completo de y x 2, que es ¡todos los números reales! Las curvas de la función cosecante no se extienden, ya que las asíntotas las acotan. Eso significa que las curvas en forma de U de la función cosecante no son parábolas.
–6.. , 6. ] po –6 porr –3 –3,, 3
FIGURA 4.55 Una solución gráfica de una ecuación trigonométrica (ejemplo 4).
Terminaremos esta sección con una tabla que resume las propiedades de las seis funciones trigonométricas básicas. Debe considerarse que la “ n” qu quee ap apar arec ecee en muchos lugares de la tabla toma todos los valores enteros posibles: 1, 2, 3, ......
Resumen: Funciones trigonométricas básicas Función
Periodo
Dominio
sen x cos x tan x cot x sec x csc x
2 2
Todos los reales Todos los reales x 2 n
2 2
Rango
x n x 2 n x n
1, 1 1, 1
Todos los reales reale s Todos los reales reale s , 1 1, , 1 1,
Asíntotas Ninguna Ninguna x 2 n x n x 2 n x n
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Ceros n 2 n n 2 n
Ninguna Ninguna
Par Impar Impar Par Impar Impar Par Impar
