4. FLEXIÓN En la figura 64 se representa una viga simplemente apoyada que está bajo la acción de una carga P y cuya sección transversal es rectangular. Figura 64. 64. Viga Sometida a la flexión
Cuando se aplica una carga de magnitud magnitud P perpendicular al eje eje longitudinal de la la viga, esta estará sometida sometida a la flexión. flexión. La flexión en esta viga producirá esfuerzos normales y cortantes; aparte de esto, también presentará deflexión. En el estudio de este fenómeno es indispensable la utilización de los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector; como los esfuerzos cortantes y normales son absorbidos en la sección transversal de la viga, se deberá conocer el momento estático, el centroide y el momento de inercia de la sección. La carga “ P” (perpendicular al eje de la viga) dará origen a la flexión, por lo tanto concernirá analizarse el comportamiento de las fibras en la sección transversal, y determinar la magnitud de los esfuerzos. Figura 65. 65. Visión de la deflexión de una viga *
*
Figura 66. 66. Sección transversal
BEER, Ferdinand P. y otros. Mecánica de Materiales, tercera edición México: McGraw-hill: 2004. p186.
Al flexionarse la viga representada en la figura 65, se observa que parte de ella se se comprime y la otra se tensiona, mientras una superficie permanece inalterada bajo la acción de los esfuerzos inducidos; esta superficie se le conoce como neutra y contiene lo que se llama el eje neutro que alberga a las fibras de la viga que no soportan ni esfuerzos ni deformaciones. Por encima o por debajo de esta superficie, las fibras presentarán acortamiento o alargamiento por efecto de la flexión. Esta deformación en las fibras es producida por las fuerzas internas que tratan de mantener en equilibrio a la viga. Ahora, se observa que la deformación es de tamaño y por lo tanto las fuerzas que la producen son perpendiculares al área que la soporta (en ese caso la sección transversal), como la dirección de la fuerza es perpendicular el área resistente se concluye que se originan esfuerzos normales (de compresión o de tensión). 4.1 ESFUERZO NORMAL La figura 67 representa una viga bajo la acción de una carga cuya dirección es perpendicular al eje longitudinal de una viga. Figura 67. 67. Viga bajo la acción de esfuerzos normales
La viga soporta una carga P, por consiguiente, en la sección transversal se producen esfuerzos normales por flexión tal como lo muestra la figura 68 y puede determinarse utilizando la expresión σ = My/I. Figura 68. 68. Sección transversal de una viga bajo esfuerzo normal
Al flexionarse la viga representada en la figura 65, se observa que parte de ella se se comprime y la otra se tensiona, mientras una superficie permanece inalterada bajo la acción de los esfuerzos inducidos; esta superficie se le conoce como neutra y contiene lo que se llama el eje neutro que alberga a las fibras de la viga que no soportan ni esfuerzos ni deformaciones. Por encima o por debajo de esta superficie, las fibras presentarán acortamiento o alargamiento por efecto de la flexión. Esta deformación en las fibras es producida por las fuerzas internas que tratan de mantener en equilibrio a la viga. Ahora, se observa que la deformación es de tamaño y por lo tanto las fuerzas que la producen son perpendiculares al área que la soporta (en ese caso la sección transversal), como la dirección de la fuerza es perpendicular el área resistente se concluye que se originan esfuerzos normales (de compresión o de tensión). 4.1 ESFUERZO NORMAL La figura 67 representa una viga bajo la acción de una carga cuya dirección es perpendicular al eje longitudinal de una viga. Figura 67. 67. Viga bajo la acción de esfuerzos normales
La viga soporta una carga P, por consiguiente, en la sección transversal se producen esfuerzos normales por flexión tal como lo muestra la figura 68 y puede determinarse utilizando la expresión σ = My/I. Figura 68. 68. Sección transversal de una viga bajo esfuerzo normal
En una viga al flexionarse simultáneamente se presentan esfuerzos normales de compresión y de tensión por encima y por debajo de la superficie neutra, tal como es representado en la figura 69. Figura 69. 69. Fuerzas de tensión y compresión inducidas en la Sección transversal de una viga
Estas fuerzas al producir deformaciones de tamaño dan lugar a fuerzas normales que se calculan en función de los momentos flectores originados por las cargas externas perpendiculares a la viga. En el estudio de los esfuerzos de flexión siguientes hipótesis:
[
σ
] se deben tener en cuenta las
= My/I
• Las secciones planas inicialmente planas siguen planas una vez se produce • • • • •
la flexión. La viga es inicialmente recta y de sección constante. La viga es homogénea y cumple con la ley de hooke. El módulo de elasticidad será igual a la tensión y a la compresión. Las cargas aplicadas son perpendiculares al eje longitudinal de la viga (flexión pura). Existe linealidad o proporcionalidad entre los esfuerzos y la deformación (cero en el eje neutro y máxima en la fibra más alejada).
Para hallar la expresión que permite determinar el esfuerzo normal de la flexión se debe seguir el siguiente proceso:
1. Escoger una fibra cualquiera a una distancia “ ρ” del eje neutro, tal como se observa en la figura 70 y analizar el comportamiento de los esfuerzos en un elemento diferencial (figura 71). Figura 70. 70. Diferencial de carga aplicado en un elemento diferencial
Figura 71. 71. Esfuerzos de flexión en el elemento diferencial
2. Determinar la fuerza inducida sobre la fibra en estudio (figura 72) y del momento respecto al eje neutro. Se produce un esfuerzo de magnitud σ ‘sobre la dP = σ ‘dA fibra. La magnitud de la fuerza sobre el diferencial de área: Figura 72. 72. Fuerzas sobre una fibra
σ
r
La fibra neutra no sufre deformación, luego el valor del esfuerzo es cero y como los esfuerzos son proporcionales, entonces en el extremo (la fibra más alejada) se tendrá el mayor valor de esfuerzo. Debido a que hay proporcionalidad entre los esfuerzos y la deformación tal como lo muestra la figura 72:
σ '/ ρ = σ máx. / c σ ' = ( ρ / c) σ máx.
Despejando: .
Reemplazando en el valor de la fuerza sobre la fibra: dP = [( ρ / c) σ max ] dA
El momento de dP respecto al eje neutro es: dM = ρdP; dM = = ρ [( ρ / c) σ max ] dA; dM = ( σ max / c) ρ²dA
3. Evaluar el momento de cada una de las fibras con respecto al eje neutro .
∫ dM = ∫ ( σ max / c) ρ² dA; M= ( σ max / c) ∫ ρ² dA ; el término momento de inercia.
∫ ρ² dA es el segundo momento de un área o
El momento de inercia se designa con la letra I, y sus unidades son m4 en el sistema internacional y pulg 4 en el sistema británico. Entonces:
M = ( σm ax /c) I ;
σ max = M*C /I
De modo general el esfuerzo sobre una fibra a una distancia del eje neutro es:
σ = M* ρ /I Donde:
σ = Esfuerzo en el punto
M = Momento flexionante
ρ = Distancia respecto al eje neutro I = Momento de inercia
ANÁLISIS DIMENSIONAL (SI)
σ [N/m²] = M[N-m] ρ[m] ; 4
I[m ]
Las unidades del esfuerzo son Pascal en el sistema internacional y libras/pulg² en el sistema inglés. EJEMPLO. Conociendo que una viga tiene de sección transversal un perfil en C y que se flexiona con el eje vertical, con un momento de 120 pulg.-kips, determine la magnitud de la fuerza que actúa en la parte sombreada de la figura.
OBJETIVO. Hallar las fuerzas promedio en el área sombreada DATOS. Momento flector M=120 pulg.-kips ANÁ LISIS. La fuerza que actúa sobre el área sombreada es igual a: F = σ A; donde; σ= esfuerzo promedio, A = área sombreada σprom= (σ A + σB)/2
Los esfuerzos en los extremos superior e inferior del perfil “C” de acuerdo al eje vertical en son:
σ A = M ρ A / I (extremo superior ) σB = M ρB /I (extremo inferior)
GEOMETRÍA DE LA SECCIÓN: centroide y el momento de inercia. Se divide la sección en las áreas 1, 2 y 3.
El centroide se determina utilizando la expresión
X =
X = 6 [12*3] pulg3 + 6 [12*3] pulg3 +2[4*12] pulg3 ; [[12*3] + [12*3] + [4*12 ]] pulg 2
Σ
∫ xdA / Σ ∫ dA
X = 4.4 pulg
Distancia desde el centroide hasta el punto A; ρ A = 0.4 pulg; Distancia desde el centroide hasta el punto B; ρB = 4.4 pulg Momento de inercia de la sección 1: (I1)y = 1/3 b1h13 = 1/3 * 3 * 123 = 1728 pulg4 Momento de inercia de la sección 2: (I2)y = 1/3 b2h23 = 1/3 * 3 * 123 = 1728 pulg4 Momento de inercia de 3: (I3)y = 1/3 b3h33 = 1/3 * 12 * 43 = 256 pulg4
Momento de inercia respecto al eje y: Iy = Iy1 + Iy2 + Iy3 Iy = 1728+1728+256 pulg4 Iy= 3712 pulg4 Trasladando el momento de inercia al eje que pasa por el eje neutro (teorema de ejes paralelos): Iy = (IEN)y + A X2 IEN = 3712 – [120][4.4] 2 IEN = 1388.8 pulg4 Los esfuerzos inducidos en los puntos A y B σA
= M*yA / I = 120 pulg.-kips * 0.4 pulg ; 1388.8 pulg4
σ A = 34.562 psi σB = M*yB / I = 120 pulg-kips * 4.4 pulg ;
1388.8 pulg4
σB = 380.184 psi
El esfuerzo promedio sobre el área sombreada es el promedio de los esfuerzos en los puntos A y B; σ prom = 207.373 psi. La fuerza promedio en el área sombreada se determina mediante el producto del esfuerzo promedio y el área sombreada; Fprom = 207.373 psi * 12*4 pulg2 ; Fprom= 9.953 kips EJEMPLO. Una viga soporta las cargas uniformemente distribuida w1=100 kN/m y w2= 80 kN/m, la caga puntual P1= 500 kN y el momento flector M1= 200 kN.m, si la sección transversal de la viga es la dada en la figura, determinar: a) el esfuerzo normal de flexión máxima b) el esfuerzo normal de compresión a 5 cm del eje neutro c) el esfuerzo normal en eje neutro
70cm
OBJETIVO. Hallar los esfuerzos normales según los ítems pedidos DATOS. w1= 100 kN/m, w2= 80 kN/m, P1= 500 kN, M1= 200 kN.m ANÁLISIS. GEOMETRÍA. Centroide y momento de inercia LOCALIZACIÓN DEL EJE NEUTRO Y =
∑ YdA / ∑ dA
Y = [35*150*70]- [40*40*60]-[30*40*60]-[30*50*60] [(150*70)-(40*60)-(40*60)-(50*60)] Y = 40,55 cm. MOMENTO DE INERCIA: Ix = (Ix)1 – (Ix)2 – (Ix)3 – (Ix)4
Área de la superficie 1: Ix1 = 1/3 b1 h1 = 1/3 * 150 * (70)3; Ix1 = 17,15 * 10 6 cm4 Área de la superficie 2: como el área no toca el eje hay que utilizar el teorema de los ejes paralelos Ix2 = (Ixc)2 + A2 Y22 Ix2 =1/12 40*(60)2 + 60*40(40)2; Ix2 =4,56*106 cm4 Área de la superficie 3: Ix3 = 1/3 b3 h3 = 1/3 * 40 * (60)3; Ix1 = 2,88*106 cm4 Área de la superficie 4: Ix4 = 1/3 b4h4 = 1/3 * 50 * (60)3; Ix4 = 3,6*106 cm4 El momento de inercia con respecto al eje x Ix = [17,15 – 4,56 – 2,88 – 3,6]*10 6 cm4 Ix =6,11*106 cm4 Utilizando el teorema de los ejes paralelos para hallar el momento de inercia respecto al eje neutro
Ix = IEN + Ay2 IEN = 6,11*106 – [2700cm4 ][40,5cm]2; IEN = 1,681325*106 cm4
IEN = 16,81325 * 10-3 m4 Ahora, analizando el comportamiento estático de la viga:
∑ Fy = 0 ; ∑ M A = 0;
-V + 1000 + 500 – 960 = 0 ;
V= 540 kN
M A + 1000(5) + 500(10) + - 960(16) – 200 = 0 ; M A = 5560 kN – m Diagrama de Fuerza Cortante y Momento Flector
El esfuerzo de corte transversal máximo es: Vmax = 960 kN; Para x= 2; v = 0; entonces V= -540 + 100 x; x = 5,4m El momento flector máximo es: Mmax = 7018 kN - m a) La magnitud del esfuerzo normal de flexión máximo es: σmax = M*Y/I ; σmax = 7018 (0,405)/16,8132*10-3 σmax = 169051*103 kN/m2
b) La magnitud esfuerzo normal de compresión a 5 cm. del eje neutro σmax = 7018 (0,05)/16,8132*10-3 σmax = 20870*103 KN/m2
c) La magnitud del esfuerzo normal en el eje neutro
σ = 0, la superficie neutra no está cargada, por tanto no hay fuerza ejercida. 4.2 FLEXIÓN EN VIGAS COMPUESTAS DE DOS O MÁS MATERIALES 4.2.1 VIGAS COMPUESTAS La deducción realizada en la sección anterior está basada en la suposición de que el material es homogéneo, con un módulo dado de elasticidad. Si el elemento sometido a flexión pura está hecho de dos o más materiales, con distintos módulos de elasticidad, la aproximación para la determinación de esfuerzos es diferente. Para determinar los esfuerzos en una viga compuesta se emplea el método de la sección homogénea (sección equivalente). Este método se basa en el principio de que la carga y la deformación no varían. Figura 73. Sección transversal de una viga compuesta de dos materiales distintos.
La figura 73 representa la sección transversal de una viga sometida a flexión y compuesta por dos materiales. Ambos materiales están firmemente sujetos. El punto A es el punto común entre los dos materiales. En el punto A, las fibras del material 1 y el material 2, el equilibrio estático establece que P1= P2; entonces: σ1 = P1 / A1; σ2 = P2 / A2;
Luego: σ1 A1 = σ2 A2
Ambas fibras en el punto A sufrirán las mismas deformaciones de tal modo que: ε1 = ε2; como σ1 =E1 ε1;
σ2 =E2 ε2;
Entonces: σ1/ E1 = σ2 / E2 σ1 E2 = σ2 E1; como; σ1 = σ2 A2 / A1;
Reemplazando se obtiene: A1 = (E2/ E1) * A2
A1 = n * A2
Donde La razón entre los módulos de elasticidad se conoce como la relación de transformación y se representa por la letra n, entonces: n = E2 / E1 Entonces, A1 = n *A2 Se tendría una sección equivalente homogénea de un solo material, la sección equivalente estaría conformada por un solo material, en este caso el material uno (1) y los esfuerzos inducidos serán lineales respecto al eje neutro. Esta situación es representada en la figura 74. Para que la sección sea homogénea tendrá que transformarse la superficie del material dos (2) en una superficie equivalente del material uno (1), y en este caso es donde se utiliza la relación de transformación. Para ello se multiplica la magnitud de la base por la relación de transformación. En la sección homogénea los esfuerzos calculados tendrán la misma magnitud de los esfuerzos que en la sección original.
Figura 74. Sección equivalente de la sección Transversal de sólo material 1 Material 1
Figura 75. Sección equivalente de la sección transversal de sólo material 2 Material 2
La sección homogénea también se podrá tomar suponiendo que la sección es de material dos (2). En este caso la sección será del material de menor resistencia. La sección equivalente necesitará menor superficie del material más débil, y por eso la base del material de menor resistencia se multiplicará por el factor (1 / n). La sección dada se representa en la figura 75. Retomando la figura 74 que representa la sección homogénea, los esfuerzos de flexión en los materiales serán: En el material uno (1): σf = M y / I EN (sección homogénea)
En el material dos (2): σf = n (M y / I EN) (sección homogénea)
Se observa que este esfuerzo se multiplica por la transformación debido a que la sección homogénea se supone hecha del material de menor resistencia. 4.2.2 VIGA DE CONCRETO CON REFUERZO EN ACERO La figura 76 representa la sección transversal de una viga de concreto que para soportar de mejor modo la flexión se le adicionó como refuerzo varillas de acero. CONCRETO: Falla frágil, presenta un buen comportamiento a los esfuerzos de compresión y mal comportamiento a la tensión. ACERO: Falla dúctil; presenta un buen comportamiento tanto a los esfuerzos de compresión como a los de tensión. Figura 76. Sección de una viga reforzada con varillas de acero
En este caso, como lo indica la figura 77, la parte superior de la sección está sometida a comprensión y por debajo del eje neutro a tensión, de modo que la parte superior la comprensión será absorbida por el concreto y en la parte inferior la tensión por la varillas de acero. Figura 77. Representación de los esfuerzos inducidos en la sección Transversal de una viga de concreto con refuerzo de varillas de acero
Para este tipo de viga la sección homogénea es la representada en la figura 78:
Figura 78. Sección homogénea de una viga de concreto reforzada con refuerzo de varillas de acero.
POSICIÓN DE LA LÍNEA NEUTRA: Para localizar la posición del eje neutro se aprovechará que la suma de los momentos estáticos respecto a un eje es cero. Tomando como referencia la línea neutra: [x/2] [bx] - [d-x] [nAcero] = 0 ½ bx² + nxacero – dnAacero = 0 Es la posición del eje neutro y se obtiene resolviendo la ecuación cuadrática. EL MOMENTO DE INERCIA: Calculando el momento de inercia respecto al eje neutro. IEN = 1/3 bh³ + nAcero [d-x]² Los esfuerzos de flexión en el material son: Para el concreto: σmax, comp. = M x / I EN
Para el acero: σmax, min. = n M [d-x] / I EN;
Se observa que el esfuerzo debe multiplicarse por la relación de transformación, teniendo en cuenta la situación de que la sección homogénea es de concreto y se representa n veces el área de las varillas de acero.
EJEMPLO. Una viga simplemente apoyada tiene una sección transversal compuesta por dos materiales, soportando una carga variablemente distribuida. Determinar los esfuerzos normales máximos a tensión y compresión y el esfuerzo normal máximo a una distancia de 250 mm del apoyo fijo
Sección transversal de la viga
OBJETIVO. Determinar los esfuerzos normales máximos (tensión y compresión) DATOS. Aluminio: E= 10*106 psi Acero:
E= 30*106 psi
ANÁLISIS. ESTÁTICA: trazando un diagrama de cuerpo libre de la viga se tiene:
∑ Fy = 0 ; ∑ M A = 0;
Ay + Dy = 6 kN -0,200 * 3 – 0,225 * 3 + 0,450 Dy = 0
Ay= 3,16 kN Dy= 2,83 kN Diagramas de fuerza cortante y momento flector:
Tomando un corte a una distancia “x” del apoyo de la izquierda:
40/0,150 = h/(x-0,150);
h = 266,7x - 40
La ecuación de fuerza cortante transversal en el punto de corte : V = 3,16 – (x-0,150) (60-[266,7x -40]) – 1/2 (x-0,150) (266,7x-40) Reemplazando para V= 0; dará que; x= 0,211 La ecuación del momento flector en el punto de corte: M = 3,16x – (x-0,150)(100-266,7x)(x-0,150/2) – 1/2 (x-0,150) (266,7x40) 2/3(x-0,150) Para x= 0,211; M= 0,5667 kN – m = M max GEOMETRÍA DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL: n = Eacero/Ealuminio = 200 GPa / 70 GPa; n = 2,8571 La sección equivalente tendrá las siguientes dimensiones:
Localización del eje neutro Y =
∑ YdA / ∑ dA
Y = [32,5 * 428,571 * 65]- 2 [40*139,2855*50]- [45*126*40] [428,571-2[139,2855*50]-[126*40]] Y = 13,6595 mm MOMENTO DE INERCIA: Determinando el momento de inercia con respecto al eje “x”: Área uno (1): (I1)x = 1/3 bh 3 = 1/3 (428,571)(65)3 ( I1)x = 39,23*106 mm4 Área dos (2): Se aplica el teorema de los ejes paralelos IX = (IC)2 + A2 Y22 IX = 1/12 b2 h23 + A2 Y22 IX = 1/12(139,2855*(50)3) + (139,2855*50)(40)2 IX2 = 12,5937*106 mm4 Área tres (3): Como es igual al I X2, entonces IX2 = IX3 Área cuatro (4): IX4 = 1/12(126)(40)3 + (126*40)(45)2 IX4 = 10,878*106 mm4 El momento de inercia se obtiene sumando los momentos de inercia de las áreas uno a cuatro: IX = 39,23*106 -12,5937*106 – 12,5937*106 – 10,878*106 IX = 3,1646*106 mm4 El momento de inercia con respecto al eje neutro: IY = IEN + AY2 IEN = 3,164*106 – [8888,565] [13,6595]2
IEN = 1,5061*106 Los esfuerzos normales máximos de tensión y compresión son: σmax, tensión aluminio = M y/IEN = 0,566*103*0,0513405 / 1,5061*10-6 σmax, tensión aluminio = 19,31788 MPa σmax, tensión acero = n [ M y/I EN ]
= 2,8571[0,5667*103(1513,6595)/1,5061*10-6] σmax, tensión acero = 1,44 MPa σmax, compresión acero = n [ M y/I EN ]
= 2,8571 [0,5667*103 * 0,013695/ 1,5061*10-6]
σmax, compresion acero = 14,68 MPa
El esfuerzo normal de flexión a 250 mm del apoyo es: (σmax)250mm = M250Y/IEN = 0,53611*103 * 0,0513405/ 1,5061*10-6 (σmax)250mm = 18,28 MPa EJEMPLO. Una viga de concreto cuya sección transversal es un canal en C con refuerzos de varillas de acero, soporta una carga uniformemente distribuida y una carga puntual. Si el esfuerzo permisible de tensión en el acero es de 30 ksi y el esfuerzo permisible de compresión en el concreto es de 3 ksi, determine el valor de la máxima carga w o. Considere el modulo de elasticidad del acero 30*10 6 psi y del concreto 3.5*106 psi.
Sección transversal de la viga
OBJETIVO. Hallar el valor de la carga w 0
DATOS. Acero (σ permisible) tensión 30ksi
E= 30*106 psi
Concreto (σ permisible) compresión = 3ksi
E= 3.5*105psi
ANÁLISIS. ESTÁTICA. Trazando un diagrama de cuerpo libre de la viga:
∑ Fy = 0 - Ay + 4w 0 – 2w0 + 4w0 – By = 0 Ay + By = 6wo
∑ M A = 0 4w0 (2) - 2w0(7) + 4w0(12)- By(14) = 0 By = 3w0 Ay = 3w Por relación de triángulos: 4w0 /4 = 3w0/ x ;
x = 3 pies
El diagrama de momento flector se construye a partir de las áreas del diagrama de fuerza de corte; entonces: M A’ = M A + [-1/2*3*3w0] M A’ = -4.5w0 Mc’ = MB + [3*w0] Mc’ = -4w0 + [3*w0] Mc’ = -w0 MD’ = MD + [-w0/2] MD’ = -4w0 + [-w0/2] MD’ = -4.5w0
ME = MD’ + [3w0/3] ME = -4.5 w0 + [3w0/3] ME = 4.5 w0 Diagramas de momento flector y fuerza cortante:
GEOMETRÍA. Centroide y momento de inercia de la sección homogénea:
Relación de transformación (n): n = 30*106/3.5*106 = 8.571428571 Área equivalente de las varillas de acero: A equivalente = 8.571428571 * 6 [π/4 (1/2)2] A equivalente = 10.0979 pulg2 Localización del eje neutro: [x/2 * 2x]*2 – [23 - x]* 10.0979 =0 2x2 – 232.25 + 10.0979x = 0; la solución de la ecuación cuadrática da que: X1 = 8.5456;
X2 = -13.592
El momento de inercia tomando como referencia el eje neutro: IEN = [1/3*2*(8.5434)3]*2 + 10.0979 + [23-8.5434] 2 IEN = 2941.83 pulg4 Para el concreto: σmax = M Y / I EN ; 3*103 = 4.5w0 * [144 pulg2 ]* 8.5434pulg/ 2941.83 pulg4
w0 = 1594.16 lb / pulg Para el acero: σmax = n M y / I EN
30*103= 8.571 [4.5w0 [144][14.4566]]/2941.83 w0 = 1099.12 lb/pulg
El valor de w0 que no ocasionará una falla catastrófica tanto en el acero como en el concreto es w0 = 1099.12 lb/pulg. 4.3
FLEXIÓN ASIMÉTRICA
El estudio de la flexión generalmente se da en un plano de simetría tal como se ve en la figura 79, pero se puede dar el caso, que bajo las condiciones de carga se presente una variación de la orientación del momento y por pequeño que sea puede causar un aumento del esfuerzo normal de flexión. Figura 79. Viga sometida a la acción de la flexión simétrica
Si la viga soporta una carga P con una dirección determinada como la representada en la figura 80 dará lugar a los flectores My e Mz tal como lo indica la figura 81. Figura 80. Componentes rectangulares de la fuerza P.
Figura 81. Momentos flectores debidos a las fuerzas Py y Pz
Analizando los efectos producidos por el momento flector My, y según la figura 82 se tiene: Figura 82. Fuerzas inducidas a los momentos flectores My y Mz
La suma de los esfuerzos de flexión en el eje “x” es: σx= Myz/Iy – Mzy/ Iz
El momento total:
EJEMPLO. Se aplica el par M a la viga cuya sección se muestra en un plano que forma un ángulo β con la vertical, halle:a) El esfuerzo en el punto A, b) el esfuerzo en el punto B, c) el ángulo que forma el eje neutro con el plano horizontal *
*
BEER, Ferdinand P. y otros. Mecánica de Materiales, segunda edición México: McGraw-hill: 2004. p250.
OBJETIVO. Determinar los esfuerzos en los puntos A, y B; DATOS. Momento flector de magnitud 60 pulg-kips, β 50 =
ANÁLISIS. My = Mcos40º (+); My = 45.96 pulg - Kips Mz = Msen40º (-); Mz = 38.57 pulg – Kips MOMENTO DE INERCIA: Al eje Z:
Iz = 1/12 b h 3 – [π/64 d4]*2 Iz = 1/12 (10)(6)3 – [π/64 (2)4]*2 Iz = 178.43 pulg 4 Al eje y: Iy = 1/12 b h 3 – [π/64 d4- d2 A]*2 Iy = 1/12 (6) (10)3 – [π/64 (2)4- (2.5)2 π/64 (2)2 ]*2 Iy = 459.16 pulg 4 a) Esfuerzo en el punto A: σ A= MyCy/Iy + MzCz/ Iz σ A= 45.96*103(5)/459.16 + 38.57*103 (3)/178.43 σ A= 1.149 Ksi
b) Esfuerzo en el punto B: σB= -MyCy/Iy + MzCz/ Iz σB= -45.96*103(5)/459.16 + 38.57*103 (3)/178.43 σB= 0.148 Ksi
c) Ángulo que forma el eje neutro con el plano horizontal tang Φ = Iz/Iy tang θ
θ = 130º
º
Φ = arctan [(178.43/459.16)tan 130º];
Φ = - 24.85º;
Φ = 24.85º
4.4
PERFILES COMERCIALES
Las secciones transversales de mayor uso con vigas sometidas a flexión son las rectangulares y cuadradas, y es donde la expresión σ = My / I que permite determinar los esfuerzos de flexión se cumple con mayor precisión. Para otro tipo de secciones como por ejemplo triangular se deberán utilizar factores de corrección. Figura 83. Sección transversal de mayor uso en flexión
Con este tipo de sección existe el inconveniente, que la distribución del esfuerzo es dispar a las fibras más cercanas respecto de las más alejadas; cerca del eje neutro la magnitud del esfuerzo es muy baja, y lejos del eje neutro la magnitud del esfuerzo es muy alta, en cambio el perfil comercial permite una mejor distribución de los esfuerzos. Los perfiles comerciales de uso más común son los de ala ancha (W), ala corta (S), en canal (C) y ángulo (L). En el anexo D se presentan en el Sistema Internacional de Medidas las propiedades de los perfiles mencionados. El perfil comercial lo conforman el ala (o patín) y el alma, quién es el que soporta el mayor porcentaje de los esfuerzos. En la figura 84 se presentan las secciones transversales de los perfiles comerciales más comunes. Como estos perfiles son comerciales se encuentran ya tabulados; además de las dimensiones se dan el área del perfil, módulo resistente, momento de inercia y el centroide. En la figura 85 se presentan las dimensiones de un perfil comercial W que normalmente se encuentran tabuladas:
Figura 84. Perfiles Comerciales
Figura 85. Dimensiones de un perfil comercial
Donde: d bf tw tf
= = = =
altura longitud del patín espesor del alma espesor del patín
Tomando como ejemplo la sección transversal de una viga conformada por una platina a la cual se ha soldado cuatro (4) perfiles en un ángulo 45x45x8
De las tablas: Para un perfil en ángulo de 45x45x8, se obtiene: A = 656 mm2 m = 5,15 kg/ m Ix = 0,118*106 mm4 Localización del eje neutro; Y = 90 mm Momento de inercia respecto al eje neutro: IEN = 1/ 12 bh2 + [4 [Ixx + A d2]]; IEN = 1/ 12 * 30 * [180] 3 + 4 [0,118*106 + 656(75,8)] IEN = 30,128*10-6 m4 4.5. CONCENTRADOR DE ESFUERZOS En la figura 86 se ve secciones transversales que presentan reducciones en sus áreas y al existir esta reducción se va presentar un incremento apreciable en la magnitud del esfuerzo. Este incremento debe tenerse en cuenta, luego para hallar el esfuerzo la expresión algebraica de la magnitud de este esfuerzo se multiplica por un factor k llamado concentrador de esfuerzo. Entonces:
σ
MY
= k
I
.
Los valores de k se encuentran tabulados mediante gráficas (ver anexo E), tablas. Pueden hallarse en cualquier texto de Mecánica de Materiales. Figura 86. Elementos sometidos a flexión y que presentan reducción de área
4.6. ESFUERZO CORTANTE HORIZONTAL: Al flexarse una viga al someterse a la aplicación de una carga, no sólo se producirá un esfuerzo normal si no que la flexión dará lugar a un deslizamiento de superficies adyacentes a la largo de su longitud, y como ya se ha estudiado anteriormente significa que existe un esfuerzo de corte. En el estudio del cortante por flexión, se iniciará analizando una viga cargada como se representa en la figura 87. Figura 87. Viga de sección transversal Rectangular y sometida a flexión
Tomando el elemento diferencial dx de la figura 87 y analizando su equilibrio estático: En el lado izquierdo del elemento diferencial los efectos internos resistentes son la fuerza de corte resultante V y el momento flector resistente M. En el lado derecho se presenta un incremento en los valores de fuerza cortante V+dV y en el momento flector M+dM (ver figura 88) Figura 88. Diagrama de cuerpo libre elemento diferencial
Ahora, la figura 89 muestra como se distribuye el esfuerzo normal en ambos lados del elemento diferencial; desde un valor mínimo en el eje neutro hasta valores máximos en las fibras externas σ ab ,σ cd
Figura 89. Comportamiento del esfuerzo normal en el elemento diferencial
La magnitud del esfuerzo en ambos lados es σab= M ρ/I σcd= [ M+dM] ρ/I
Tomando una fibra a una distancia “y “del eje neutro como lo representa la figura 90, se observa que los esfuerzos inducen fuerzas de magnitudes F cd y Fab; cuya magnitud se haya mediante: dF= σ dA; [dF] AB= σ AB dA C
dF=( M y /I) dA;
∫
Fab = My / IdA 0
Análogamente: C
Fcd =
⎛ [M + dM ]y ⎞ ∫0 ⎜⎝ I ⎠⎟dA .
Figura 90. Esfuerzos Normales a partir de la fibra neutra
Tomando la sección por encima de la fibra “y” se observa que Fcd > Fab
Figura 91. Análisis de fuerzas en una sección a una distancia “y” del eje neutro
Como debe existir el equilibrio estático, la acción de las fuerzas F ab y Fcd son equilibradas por una fuerza interna resistente de magnitud P tal como puede verse en la figura 91, entonces: Fcd – Fab = P Remplazando las magnitudes de F ab y Fcd C
C C ⎛ M + dM ]y ⎞ ⎛ My ⎞ ⎛ dMy ⎞ P = ∫⎜ ⎟dA = ∫ ⎜ ⎟dA ⎟dA - ∫ ⎜ I I I ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 0 C
dM ydA ; donde; P= I 0
∫
C
∫ ydA es el momento estático Q, entonces; 0
P = (dM Q) / I En la figura 91 se observa que la fuerza P es paralela al área que lo contiene presentándose deslizamiento entre superficies adyacentes, lo que da lugar a un esfuerzo cortante. La magnitud del esfuerzo de corte es: p dMQ / I dM Q τ τ ; = = = τ = Fresistente interna / área resistente; H H bdx bdx dX Ib Como V =
dM , dX
entonces τ H =
VQ Ib
De la expresión algebraica para determinar el esfuerzo de corte se concluye que está en función de la geometría de la sección transversal de la viga (Q, I, b) y la fuerza cortante lateral (V). El subíndice H significa que el esfuerzo de corte es horizontal. Un análisis dimensional del cortante, es igual a N/m 2.
τ
H
[N/m2]= V[N]Q[m 3]/I[m4]b[m] ; y un Pascal
Las Unidades del esfuerzo cortante horizontal en el sistema internacional es el Pascal y en el sistema inglés es la libra por pulgada al cuadrado, tal como se esperaba según el análisis dimensional deducido anteriormente. EJEMPLO. Una viga en C hecha de madera y reforzada con una platina metálica, debe soportar cargas distribuidas, variables y puntuales, según se muestra en la figura. Determinar el esfuerzo de corte máximo y el esfuerzo normal de tensión máximo por flexión.
OBJETIVO. Hallar los esfuerzos normales (máximo a tensión) DATOS. Cargas y dimensiones dada en la figura. Módulo de elasticidad del acero 200 Gpa. Módulo de elasticidad de la madera 10 Gpa. ANÁLISIS. A partir del diagrama de cuerpo libre, y con las ecuac iones de equilibrio estático se obtienen las reacciones: By = 1951kN; Ey = 135kN;
En el punto de inflexión:
20 / 6 = h / (x-5);
h = 20/6 (x-5)
20- h’ = 20 /6 (x-5);
h’ = 20 – 20/6 (x-5)
Diagrama de momento flector y fuerza cortante
La ecuación de fuerza cortante es: v = -150 + 195 – (x-5)[20 – 20/6(x-5)] – 1/2 (x-5)(20/6)(x-5) Cuando v = 0; x = 8 cm. Partiendo de las áreas del diagrama de fuerza cortante se construye el diagrama de momento cortante: M A = 0 MB = M A + [Área] AB; MB = 0 + (-225) MB = -225 kN.m MC = MB + [ Area]BC Mc = -135 kN.m MC’ = MC + [ Area]C’C La ecuación que permite hallar el momento flector resistente en el segmento comprendido de la carga de área triangular es: M = -150(x-1.5) + 195(x-3) – (x-5)[20 – 20/6(x-5)](x-5)/2 – 1/2(x-5)20/6(x-5)2/3(x-5) M = -75 kN.m; x = 8 cm SECCIÓN HOMOGÉNEA:
RELACIÓN DE TRANSFORMACIÓN. n = E acero / E Madera; n = 200 / 10 = 20 LOCALIZACIÓN DEL EJE NEUTRO.
Y =
∑ YdA
=
12,5 [500*25] – 15[237,5*20]*2 – 17,5 [15*15]
∑ dA
[500*25] – 2[237,5*20] – [15*15] Y = 3,5360 cm
MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE NEUTRO: IEN = 1/3 * 500 [3,5360] 3 + 1/3 * 500 [5 – 3,5360] 3 + [(1/12*25*203) + [25*20(10 + (5- 3,5360))2]] – [(1/12 * 15 *15 3) + 15 * 15 [7.5 + 5 (5-3,35360)]2] IEN = 42,1776*103 cm4 La magnitud del esfuerzo normal de flexión máximo a la tensión es: (σmax)tensión = sucede en la platina de acero;
(σmax)tensión = n MmaxY / IEN
(σmax)tensión = 20[(225*103)* (35360/100)/42.177*10-5] (σmax)tensión = 377,27 Mpa El esfuerzo de corte máximo es: τ
max
= (n V Q) / (I b)
Q = 3,5360/2 * [500*3,5360];
Q = 3,12588*10-3 m3
τ
max
= [150*103 * 3,12588*10-3/ 42,1776*10-5(5)]
τ
max
= 4,45 MPa
4.7. FLUJO CORTANTE Para poder soportar mejor la acción de la flexión en una viga muchas veces la sección transversal de esta se constituye uniendo varios elementos por medio de sujetadores que pueden ser tornillos, clavos, pernos etc.… En la figura 92, la sección horizontal consta de tres elementos unidos por medio de sujetadores (puntillas); los elementos unidos soportan lógicamente la flexión y el sujetador ayuda absorbiendo parte de la flexión pero estará sometido a fuerzas cortantes que podrán incidir en la falla del sistema.
Figura 92. Vigas conformadas por elementos unidos mediante sujetadores
⎛ dM ⎞ ⎟ ∫ ydA ; dado en el análisis del esfuerzo de corte en la I ⎝ ⎠
Partiendo de que P= ⎜
sección anterior; dividiendo ambos lados de la ecuación por dx; se tiene: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
dMQ I
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞⎛ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎠⎜⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
= p = dM Q dX dX dX I
dM/dX se define como la fuerza de corte transversal y P/dX como la fuerza de corte por unidad de longitud que anteriormente se definió como flujo cortante (q); Q es el momento estático de la sección transversal de uno de los elementos unidos e I el momento de inercia tomando al eje neutro como referencia. Entonces:
q = VQ / I
Un análisis dimensional de la expresión da: ⎡ N ⎤ V [N ]Q m 3 q ⎢ ⎥ = I [m 4 ] ⎣ m ⎦
Indica que la unidad en el sistema internacional es el newton/metro y en el sistema inglés libra/pulgada; luego la fuerza de corte sobre el elemento sujetador es F=q s, donde s es el espaciamiento entre los elementos sujetadores. El esfuerzo cortante, entonces se calcula como τ =F/A. EJEMPLO. Una viga en I cuya área de sección transversal es igual a 5 pulg 2 y cuyo momento de inercia es de 25 pulg 4 se refuerza con una placa soldada en su patín superior con dos cordones continuos de soldadura, como se ve en la figura.
Si la viga se somete a una fuerza cortante máxima de 5000 libras, calcule la fuerza cortante por pulgada necesaria para los cordones superiores de la viga en I. *
OBJETIVO. Determinar la fuerza de corte por unidad de longitud de modo que no se exceda una fuerza de corte transversal de 5000 libras. DATOS. Área transversal = 5 pulg2; momento de inercia = 25 pulg 4, fuerza de corte máxima transversal = 5000 libras. ANÁLISIS. LAS FUERZAS EN LOS CORDONES DE SOLDADURA 2F=qs Espaciamiento entre los elementos de sujeción 2, por que son dos cordones de soldadura q = 2F/s, flujo de corte, q = VQ/I, V= 5000 Lb LOCALIZACIÓN DEL EJE NEUTRO: Y = [1/4]*[4*1/2]+ [7/2][5] ; [(4+1/2)+5]
Y = 2.57143 “
MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE NEUTRO: IEN = [1/12*4*[1/2]3 + [4*1/2][2.57143-1/4]2 ] + [25 + (5*[7/2-2.57143])] *
LARDNER T.J. y ARCHER, R. R. Mecánica de sólidos, primera edición. México: McGraw-Hill, 1996. p333.
IEN = 40.13 pulg4 MOMENTO ESTÁTICO DE LA PLATINA Q1 = (2.57143-1/4)(4*1/2); Q1 = 4.6428 pulg3 También se puede determinar el momento estático mediante: Q2 = (3-2.07143)(5);
Q2 = 4.64285 pulg3
EL FLUJO DE CORTE: q = VQ/I = (5000 * 4.6428)/40.131 q = 578.46 Lb/pulg LA Fuerza por unidad de longitud por cordón de soldadura se halla empleando: 2F = q s;
2F = 578.46 Lb/pulg; entonces:
F = 289.23 lb/pulg 4.8 DISEÑO DE VIGAS POR RESISTENCIA: Al producirse la flexión en la viga, ésta puede fallar por exceder la resistencia por esfuerzo normal o por esfuerzo de corte. Aquí, nuevamente los conceptos de resistencia y esfuerzo deben diferenciarse. El esfuerzo es el hallado mediante el modelo matemático y la resistencia es igual a a capacidad de soportar el esfuerzo generado y no debe sobrepasar los límites por esfuerzo normal, ni tampoco sobrepasar los límites por esfuerzos de corte. Anteriormente se recalcó que no se puede sobrepasar los límites del esfuerzo normal o cortante para, ello se seguirá el siguiente proceso: ESFUERZO NORMAL: 1. Determinar el esfuerzo admisible por medio de tablas de propiedades de materiales (fluencia, último), el esfuerzo de fluencia si el material es dúctil o el esfuerzo último si es frágil; también el factor de seguridad correspondiente. 2. Determinar los valores de fuerza cortante y momento flector, previo al análisis de las reacciones pertinentes. Generalmente es aconsejable trazar los diagramas de fuerza cortante (DFC) y momento flexionante (DMF). 3. Determinar el módulo resistente S, S min = Mmax/σperm
4. Con un valor de S min buscar en tablas de perfiles comerciales un valor de S superior al Smin y de los que cumplan seleccionar el de menor peso (más ligero) según se vaya a utilizar un perfil W, S, C o L. 5. Con el perfil seleccionado determinar el cortante máximo y momento máximo que produce el peso propio de la viga y determinar el valor de S que produce ese peso. 6. Corroborar que no exceda los límites del esfuerzo normal comparando los módulos resistentes: Sperfil seleccionado ≥ Smin + Speso del propio perfil ESFUERZO CORTANTE: 1. Determinar el valor del esfuerzo cortante admisible de las tablas de propiedades de los materiales. 2. Del diagrama de fuerza cortante obtener el V max. 3. Calcular la localización el eje neutro y el momento de inercia. 4. Determinar el valor del esfuerzo cortante
τ
H
=
VQ Ib
5. Corroborar que el esfuerzo cortante máximo no sobrepase la resistencia del material (esfuerzo admisible o de esfuerzo de falla). EJEMPLO. Dos canales de acero laminado se sueldan espalda con espalda para formar un perfil de viga en I como se muestra en la figura. Si el esfuerzo permisible a la tensión es de 15 ksi y el esfuerzo permisible al cortante es de 4.5 ksi, Seleccione el perfil en C que soporte las cargas externas sin que falle la viga.
OBJETIVO. Seleccionar el perfil más ligero de tal modo que no se excedan los esfuerzos normales y cortantes. DATOS. Cargas y dimensiones dadas en la figura. ANÁLISIS. ESFUERZO NORMAL DE FLEXIÓN.
∑ MA = 0 ∑ Fy = 0
-15 (2.5) – 8 (10) + Dy (12) = 0; Ay – 15 – 8 + Dy = 0;
Dy = 235/24 kips
Ay = 317/24 kips
Diagramas de fuerza cortante y momento flector:
Las magnitudes del momento flector en los puntos característicos que permiten construir el diagrama de momento flexionante son: M A’ = M A + Área AB = [317/24 + 317/72]/2 = 29.0767piest-kips MB = M A’ + Área A’B = 29.0767 + [43/72 * 43/24]/2 = 585/24 pies-kips MC = MB + Área BC = 685/24 + [43/24*5] = 235/12 MD = 0
317 / 24 / x = 15 / 5 X = 317 / 72 pies EL MÓDULO RESISTENTE DEBIDO SOLO A LAS CARGA EXTERNAS S MIN Los valores máximos de fuerza de corte y momento flexionante son: Vmax = 317/24 kips;
Mmax = 29.0767 pies-kips
El módulo resistente (S) es: Smin = Mmax/σperm = 29.0767*103 * 12 / 15*103 pulg3 Smin = 23.26136 pulg3 (para los dos perfiles) Con el módulo resistente de un sólo perfil, se toma de las tablas S=11.63068 pulg 3 y se escoge un perfil con designación C10 X15.3, donde S = 15.8 pulg3.
De tablas se toma las dimensiones del perfil seleccionado: Área = 449 pulg2; d = 10 pulg;
bf = 2.6 pulg;
tf = 0.436 pulg.
tw = 0.240 pulg; I xx = 67.4 pulg4; Iyy = 2.28 pulg4
X = 0.634 pulg
Peso = 15.3 lb/pie Ahora, es necesario determinar el módulo resistente (S) causado por el propio peso de la viga:
El momento flector máximo por el propio peso de los perfiles seleccionados es de Mmax = [183.6/2 *6]/2; M max = 275.4 Lb – pie. El módulo resistente que tiene en cuenta el propio peso es: Speso = 2754 *12 / 15*103 = 0.22032 pulg 3 COMPROBACIÓN PERMISIBLE:
QUE
NO
SE
EXCEDE
EL
ESFUERZO
NORMAL
