´ UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIER´IA DE MINAS, GEOLOG´IA Y CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIER´IA CIVIL
CURSO ´ MECANICA DE FLUIDOS I (IC-347)
´ CUARTA PRACTICA DOMICILIARIA DOCENTE: ´ PRADO, Jaime Leonardo Ing. BENDEZU 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 11.
INTEGRANTES (GRUPO 11): AGUIR GUIRRE RE GAR GARC´IA, Leeshlee AGUIRR AGUIRRE E JANAMP JANAMPA, Junior Junior CARH CARHUA UAPO POMA MA MEJ MEJ´IA, Anibal CRUZ CRUZ LLOCLL LLOCLLA, A, Pa Paul ulino ino DE LA LA CRUZ CRUZ QUIS QUISPE, PE, Giord Giordy y Rona Ronald ld ESCOB ES COBAR AR VENT VENTURA URA,, Jona Jonatha than n Joel Joel GARC´IA VALER, Javier GUTIER GUTIERREZ REZ ROBLE ROBLES, S, Richar Richard d QUINCH QUINCHO O HUAN HUANCAH CAHUAR UARI, I, Genar Genaroo QUISPE QUISPE ANCHA ANCHAYHUA, YHUA, Jhony Jhony ´ VARGAS ARGAS AVILA, Yuri
Ayacucho-Per´u 2018
1
Soluci´on on de ejercicios
Soluci´ on de ejercicios
1.1 Traslaci´on y Rotaci´on de Masas L´ıquidas Ejercicio 1.1
Dada la funci´ on de l´ınea equipotencial φ = ax2 + bxy − cy2 , donde a,b y c son valores constantes. a) Comprobar que el flujo es irrotacional b) Hallar la funci´on de la l´ınea de corriente. c) Hallar la aceleraci´ on. d) Hallar el gradiente de presiones.
Soluci´on:
2
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
3
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
4
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
5
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
Ejercicio 1.2
En la figura N° 1, se muestra dos reservorios conectados por una tuber´ıa lisa de 20 cm. de di´ ametro y 120m. de longitud, por donde discurre un l´ıquido a raz´on de 5kg/seg., la viscosidad din´amica del l´ıquido es 1.59 ∗ 10 4 kg /(m − seg ). Hallar la densidad del l´ıquido y el caudal con que discurre. −
Soluci´on: Datos: D = 0.2m L = 120m µ = 1.59 ∗ 10
4
−
kg m.seg
kg m ˙ = 5 seg (flujo masico)
6
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
˙ = Q ∗ ρ Se sabe que m
m ˙ = 5 = Q ∗ ρ =⇒ m ˙ = A ∗ V ∗ ρ 5 = π
ρ =
Vicosidad cinematica: ν =
µ ρ
Numero de Reynolds: Re =
∗(
0.2 2 2
) ∗ V ∗ ρ
500
............. (∗) π ∗ V −4
= 1.59 ρ10 ∗
V ∗D ν
Re =
( π500ρ ) ∗ 0.2 ∗ ρ ∗
4
1.59 10
−
∗
Re = 2.00194897 ∗ 105
Ya que nos dice que el tubo es liso entonces ε = 0, ahora halllamos coeficiente de friccion: 2.51 √ 1f = −2log ( 2.00194897 ∗ 10 ∗ √ f ) f = 1.5634 ∗ 10 5
2
−
Por conservacion de la energia: E A = E B + hf 40 = 20 + hf =
⇒ hf = 20
Ahora usamos la ecucaion de Darcy: f ∗ L ∗ V 2 1.5634 ∗ 10 2 ∗ 120 ∗ V 2 hf = =⇒ 20 = 2∗D∗g 2 ∗ 02 ∗ 9.81 −
V = 6.4677
m seg
Reemplazamos en ∗: ρ = ρ =
500
π ∗ V
500 π 6.4677
∗
ρ = 24.607
7
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
kg m3
Soluci´ on de ejercicios
Ejercicio 1.3
Demostrar matem´ aticamente que las l´ıneas equipotencial son perpendiculares a las l´ıneas de corriente.
Soluci´on: La figura, representa gr´aficamente las l´ıneas de corriente y las equipotenciales, en las que el elemento arco ds de las l´ıneas equipotenciales podemos definirlo como:
(
∂φ ∂φ )dx + ( )dy = 0 ∂x ∂y
Donde obtenemos: ∂φ ) ∂x = − dy ∂φ dx ( ) ∂y
(
El elemento arco ∆s las l´ıneas de corriente podemos definirlas como: ∆x
∂φ ∂x
=
∆y
∂φ ∂y
Igualando estas dos ecuaciones tendremos: ∆x
dy
=−
∆y
dx
para
Φ
constante,
dΦ = 0 sera :
(V y )dy + ( V x )dx = 0 dy Vx =− dx Vy
Lo que nos da el significado de la ortogonalidad de las dos curvas, que cuando las graficamos nos da una malla por lo que se le conoce como malla de corriente. 8
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
Ejercicio 1.4
En el sistema discurre agua de coeficiente de viscosidad cinem´ atica (v = 10 6 m2 /seg ), la bomba tiene una potencia de 120 HP con una eficiencia del 80%, L1 = 150m, f1 = 0.016, L2 = 300m., f2 = 0.019, L3 = 200m., f3 = 0.0183, L4 = 30m y f4 = 0.0174. Considerando flujo de r´egimen turbulento con superficie hidr´ aulicamente lisa. Hallar: a) Los di´ametros de las tuber´ıas b) Los caudales en cada tuber´ıa c) El espesor de la sub capa laminar −
130m 100
1
4 2 30m 3
5m Bomba
Soluci´on: Datos:
f 1 = 0.016; L1 = 150 f 2 = 0.019; L2 = 300 f 3 = 0.0183; L3 = 200 f 4 = 0.0174; L4 = 30 γ = 10 6 m2 /s P ot = 120HP η = 0.8 −
9
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
√ 1
√ 1
f
= −2log (
2.51
√ )
Re f 2.51
= 2log ( ) 0.016 Re1 0.016 Re1 = 178016.724 Re2 = 77210.821 Re3 = 92162.56 Re4 = 117459.816 4Q Re = πDγ 4Q D = πReγ γQhB P ot = 76η 120 76 0.8 hB = 1000 Q4 7.296 hB = Q4 Q1 = Q 2 + Q3 . . . (1)
−
√
× × ×
Ec. de energ´ıa en (A - C) E A = E C + hf 1 + hf 3 − hB + hf 4 f 1 L1 Q21 f 3 L3 Q23 f 4 L4 Q24 7.296 + + ]0.0826 − 130 = 100 + [ 5 5 5 D1 D3 D4 Q4 2 2 2 7.296 f 1 L1 Q1 f 3 L3 Q3 f 4 L4 Q4 + + ]0.0826 − 30 = [ 4Q1 5 4Q3 5 4Q4 5 Q4 ( ) ( ) ( ) πRe 1 γ πRe 3 γ πRe 4 γ 5 5 f 1 L1 Re1 f 3 L3 Re3 f 4 L4 Re54 7.296 5 + + ] 30 = [ 0.02478 − γ Q31 Q33 Q34 Q4 10
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
30 = 2.5
32
× 10 [ 10.7 × 10 30 = −
26
4.29
× 10
+
0.24
26
× 10
+
0.12
26
× 10 ] − 7.296 Q Q
3 Q31 Q33 4 4 6 6 6 0.6 × 10 0.3 × 10 7.296 + + − Q3 = Q4 Q31 Q33 Q34 Q4 10.7 × 10 6 0.9 × 10 6 7.296 . . . (2 ) 30 = − 3 3 Q1 Q3 Q3 −
−
−
−
−
En (A - B) E A = E B + hf 1 + hf 2 f 1 L1 Q21 f 2 L2 Q22 + 130 = 30 + D15 D25 f 1 L1 Re51 f 2 L2 Re52 32 = [ + ] 100 2.5 × 10 Q31 Q32 4.29 × 1026 0.16 × 1026 32 [ + ] 100 = 2.5 × 10 Q31 Q32 10.7 × 10 6 0.4 × 10 6 + 100 = Q31 Q32 0.4 × 10 6 Q2 = 3 10.7 × 10 6 100 − Q31 Q1 − Q3 = Q 2 −
−
−
Q3 = Q 1 Q1
En (2)
10.7
6
−
× 10
Q31
(Q1 − Q1
× 10 0.4
3
3 1
100Q
−
−
6
−
0.4
3
× 10 − 10.7 × 10
100Q31
6
−
× 10 − 10.7 × 10
6
−
)
3
7.296
− Q1 − Q1
b) Caudales en cada tuber´ıa. Q1 = 1.4 × 10 3 m3 /s Q2 = −4.7 × 10 4 m3 /s Q3 = 1.9 × 10 3 m3 /s Q4 = 1.9 × 10 3 m3 /s −
−
−
−
b) Di´ametros de las tuber´ıas.
D1 = D1 = 11
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
6
−
30 =
6
−
0.9
+
−
4
×
4Q1 πRe 1 γ 1.4 10
×
3
−
π 178016.724 × 10
6
−
3
0.4 3 1
100Q
6
−
× 10 − 10.7 × 10
6
−
)3
Soluci´ on de ejercicios
D1 = 0.01m D2 = 0.0077m D3 = 0.026m D4 = 0.0206m
Velocidades. V × δ = 11.6, V = γ V 1
=
9.81D1 f 1 Q21
gDhf 4L
× 0.0826 = 0.75m/s
4D15 L1 V 2 = 0.49m/s V 3 = 0.17m/s V 4 = 0.27m/s
c) Espesor de la subcapa laminar. δ = δ 1 =
11.6
11.6 6
−
× 10
× γ
V
= 1.46 × 10
V 1 δ 2 = 2.39 × 10 δ 3 = 6.91 × 10 δ 4 = 4.36 × 10
5
−
5
−
5
−
12
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
5
−
Soluci´ on de ejercicios
Ejercicio 1.5
En la figura N° 3 se tiene dos reservorios (A y B) y las tuber´ıas (1 y 2) de hierro fundido con una rugosidad absoluta de 0.25 mm. por donde se trasporta agua desde A hasta B y luego descargar en C, el tubo (1) de 0.2m. de di´ametro tiene una longitud de 400m. y el tubo (2) tiene una longitud de 500m. considerando p´erdidas por fricci´on y locales hallar el caudal que discurre por el sistema y el di´ametro del tubo (2). Cota = 20.00m.
A
(1) Cota = 5.00m.
B
Cota = 0.00m.
Figura N° 03 (2) C
Soluci´on: Datos:
= 0.00025m L1 = 400m L2 = 500m D1 = 0.2m
13
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
14
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
15
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
16
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
En el sistema de la figura siguiente, se muestran tres reservorios y una bomba que tiene una potencia de 160H.P., La presi´o n en el punto A es 42.00m de agua, si la v´alvula “X” produce una perdida de 2.00m.. Calcular los caudales en cada tuber´ıa y la cota del Reservorio “R”, todas las tuber´ıas son de fierro fundido nuevas (Coeficiente de Hazen y Williams C = 120).
Ejercicio 1.6
COTA=??
X R COTA=30.5
P " 8 1 = D
D = 2 4 "
L = 3 ,0 0 m
m 0 5 4 , 2 = L
B om b a A B
3 .5 m
D =2 0" L= 1, 2 20 m
M
COTA=11.6m
D =2 4" L= 2, 6 8 0m
Soluci´on: Datos: D1 = 24” L1 = 300m D2 = 20” L2 = 1220m D3 = 12” L3 = 2680 D4 = 18” L4 = 2450m P OT = 160HP Presion = 42m hx = 2M C = 120
Calcular caudales y cota de R=??
17
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
W
Soluci´ on de ejercicios
•
•
Determinamos la cota piezometrica en A es 3.5+42=45.5 .Sabiendo la cota de P lo cual significa que nuestro flujo va de A a R. POR HAZEN WILLIAMS Q = 0.000426 ∗ C ∗ D 2.63 ∗ (S )0.54
(1.1)
Q = 0.000426 ∗ C ∗ D 2.63 ∗ (hf /L)0.54
(1.2)
Donde : S=hf/L
Depejando hf hf = L
∗ Q) ∗ ( 2347.42 C∗D
1.85
(1.3)
2.63
Considerar : Q=L/S ; L=km ; D=pulg •
Continuando el calculo S 1 =
45.5
− 30.5 = 5.00m/km
3
(1.4)
Remplazando en EC. (1.1) : Q1 = 0.000426 ∗ (120) ∗ (20)2.63 ∗ (5)0.54
(1.5)
Q1 = 321.916L/s = 0.321m3 /s •
(1.6)
En la bomba se tiene P OT = HB =
γ ∗ Q ∗ HB 76n
76 n P OT
∗ ∗ γ ∗ Q
(1.7)
(1.8)
Pero HB HB = EA − EB
(1.9)
Sabemos que EA=42m •
Entonces reemplazando en Ec (1.9) 42
76 ∗ 1 ∗ 160 − EB = 1000 ∗ 0.321
EB = 4.118m
•
(1.10) (1.11)
Por CONTINUIDAD tenemos : Q1 = Q2 = 0.321m3 /s
18
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
(1.12)
Soluci´ on de ejercicios
•
Calculando la perdida de hf2 del tramo (B-M) : hf 2 = L 2 ∗ ( hf 2 = 1.220 ∗ (
2347.42 Q2
∗
2.63
C ∗ D 2
)1.85
2347.42
∗ 321.916 ) 120 ∗ 20
(1.13) 1.85
(1.14)
2.63
hf 2 = 6090.00m = 6.090km
(1.15)
Tenemos las cotas piezometricas : Cota piezometrica de B=3.5+4.118=7.618 Cota piezometrica de M=7.618+6.090=13.708 Cota M=13.708 entonces va de M hacia W •
Hallamos S2 : S2 =
•
•
13.708
− 11.6 = 0.787m/km
2.680
Entonces hallamos Q3 : Q3 = 0.000426 ∗ (120) ∗ (12)2.63 ∗ (0.787)0.54
(1.17)
Q3 = 30.95l/s
(1.18)
(1.19)
Mediante la CONTINUIDAD tenemos : Q2 = Q 3 + Q4 321.916 = 30.95 + Q4
Q4 = 290.966L/s •
hf 4 = 2.450 ∗ (
(1.21)
2347.42 Q4 1.85 ) C D 42.63
∗
∗
2347.42
∗ 290.966 ) 120 ∗ 18
(1.22) 1.85
(1.23)
2.63
hf 4 = 16.938m = 1.69km
(1.24)
Luego la Cota del reservorio R=cota piezometrica de M+P(presion) del la valvula X +hf4: CotaR = 13.708 + 2 + 16.938
CotaR = 32.646m
19
(1.20)
Entonces calculamos hf4 : hf 4 = L 4 ∗ (
•
(1.16)
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
(1.25)
Soluci´ on de ejercicios
Ejercicio 1.7
Una turbina Pelton de 0.9m de di´ ametro tangente al eje del chorro (di´ametro Pelton) posee unas cucharas que deflectan al chorro de agua un a´ngulo de 160°. El chorro es de 7.6cm. de di´ ametro. Despreciando la fricci´on, hallar la potencia desarrollada por la rueda y la eficiencia hidr´ aulica cuando ω = 300 r. p.m. y la presi´on antes de la tobera es de 7.05kgf/cm2. Considerar que no hay p´erdidas en la tobera.
160°
Soluci´on:
20
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
21
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
Ejercicio 1.8
En el sistema de la figura, se muestran tres reservorios y una bomba que tiene una potencia de 140H.P., La presi´on en el punto A es 35m de agua, Calcular los caudales en cada tuber´ıa, la direcci´on del flujo y la cota de la superficie libre del agua en reservorio “R”, todas las tuber´ıas son de fierro fundido nuevas ( = 2.5x10 4 m.) −
Cota = ??. cota =40m. R.
D = 0 .3 L = m 2 ,0 0 0 m
D = 0 .3 L = m 3 ,0 0 0 m
cota = 5m.
A
B
D = 0 .3 m
L = 1,0 0 0m
Soluci´on:
22
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
cota =10m.
3 . m = 0 D 0 m , 5 0 1 L =
Soluci´ on de ejercicios
D en pulgadas = 11.81 pulg = 0.3m 10.64 γQH B → P = H B = Q2 76 6 1.74 × 10 × L × Q1.85 hf = , C = 130 C 1.85 × D4.87 Q1 = Q2 . . . (1) Q2 = Q4 + Q3 . . . (2)
Tramo P - R E P = E R − H B + hf 1 + hf 2 + hf 4 + E Bmb 10.64 1.74 × 106 1.85 1.85 1.85 + [L1 Q1 + L2 Q2 + L4 Q4 ] 1.85 4.87 + 5 40 = E R − Q2 C D 10.64 + [3000Q1.85 + 1000Q1.85 + 2000Q1.85 ]1.28 × 10 35 = E R − 1 2 4 Q2 10.64 + 3.8Q1.85 + 1.28Q1.85 + 2.6Q1.85 35 = E R − , Q1 = Q2 1 2 4 Q2 10.64 . . . (3 ) + 5.1Q1.85 + 2.6Q1.85 35 − E R = − 2 4 Q2
3
−
En tramo P - M Ec. de energ´ıa. E P = 30 + E M − H B + f h1 + f h2 + f h3 + E B 10.64 + [3000Q1.85 + 1000Q1.85 + 1500Q1.85 ]1.28 × 10 40 = 10 − 1 2 3 Q2 10.64 + 3.8Q1.85 + 1.28Q1.85 + 1.9Q1.85 25 = − , Q1 = Q2 1 2 3 Q2 10.64 + 5.1Q1.85 + 1.9Q1.85 25 = − . . . ( 4) 2 3 Q2
3
−
En tramo P - A
40 = 30 + 5 + hf 1 5 = 1.28
3
−
× 10
(L1 Q1.85 ) 1
5 = 3.8Q1.85 , Q1 = 1.16lt /s 1
Q1 = Q2 = 1.16lt /s
En (4)
35 =
1.85 3
−9.2 + 6.7 + 1.9Q 27.3 = Q1.85 3
Q3 = 6lt /s Q4 = Q2 − Q3 23
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
+ 5
Soluci´ on de ejercicios
,
de (2) Q4 = 1.16 − 6 Q4 = −4.8lt /s
En (3) 35
− E R = −9.2 + 6.7 − 47.3 E R = 84.8m
24
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
Ejercicio 1.9
Un chorro de agua de 50 mm de di´ ametro, choca contra una placa cuadrada, la cual forma 30o con la direcci´ on del chorro. La velocidad del agua en el chorro es de 18 m/s y choca contra la placa en su centro de gravedad. Despreciando el rozamiento, y el peso de la placa, se pide:
Soluci´on: De la fig se tiene:
25
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
P A = P B = P C = P atm
Tramo A-B 2 2 P A V A P B V B + = + 4 2g 2g γ γ
V A = V B
Tramo A-C 2 P A V A P V 2 + = C + C γ γ 2g 2g
V A = V C F x = δQA V A cos30µ − (δQ 1 V A − δQ 2 V A ) F x = δQA (V A cos30µ − Q1 V A + Q2 ) F y = −δQ A V A sen30µ
F y = −1000AV A sen30µ
2 F y = −1000AV A sen30µ
F y = −318.1N
Momento con respecto a O 318.1
× L2 = L × P
P = 159N
26
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
Ejercicio 1.10 La bomba BC transporta agua hasta el deposito F y en la fig. 7-10 se
muestra la l´ınea de alturas piezom´etricas. Determinar: a) La potencia suministrada al agua por la bomba BC. b) La potencia extra´ıda por la turbina DE. c) la cota d ela superficie libre mantenida en el dep´osito F. Sol: 950CV, 67.3CV, 89.6 m.
Soluci´on:
27
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
Soluci´ on de ejercicios
28
E.P Ingenier´ıa Civil-UNSCH
