Desviación Estándar de X:
X
La desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada de su varianza:
σ X =
σ X
2
Ejemplo El número de licitaciones que gana al año una empresa consultora, se modela con una variable aleatoria X con distribución de probabilidad:
x P(X=x)
0 1 2 3 4 0.15 0.30 0.25 0.20 0.10
Encontrar la media, la desviación estándar y el coeficiente de variación de X.
Solución: De la distribución de probabilidad: X P(X=x)
0 0.15
1 0.30
2 0.25
3 0.20
4 0.10
4
E ( X ) =
∑ x P ( X = x ) =1, 8 licitaciones x =0
4
2
2
Var ( X ) = E ( X ) − µ =
∑
2
2
x P ( X = x ) − µ
x =0
2
2
Var ( X ) = 4, 7 − (1, 8) = 1, 46 licitaciones
… sigue solución
X
= E ( X ) = 1.8 licitaciones 2
σ X = Var ( X ) = 1.46 licitaciones 2 σ X =
CV X =
2
σ X = 1.21 licitaciones σ X µ X
= 0.67
Desviación Estándar de X:
X
La desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada de su varianza:
σ X =
σ X
2
Ejemplo El número de licitaciones que gana al año una empresa consultora, se modela con una variable aleatoria X con distribución de probabilidad:
x P(X=x)
0 1 2 3 4 0.15 0.30 0.25 0.20 0.10
Encontrar la media, la desviación estándar y el coeficiente de variación de X.
Solución: De la distribución de probabilidad: X P(X=x)
0 0.15
1 0.30
2 0.25
3 0.20
4 0.10
4
E ( X ) =
∑ x P ( X = x ) =1, 8 licitaciones x =0
4
2
2
Var ( X ) = E ( X ) − µ =
∑
2
2
x P ( X = x ) − µ
x =0
2
2
Var ( X ) = 4, 7 − (1, 8) = 1, 46 licitaciones
… sigue solución
X
= E ( X ) = 1.8 licitaciones 2
σ X = Var ( X ) = 1.46 licitaciones 2 σ X =
CV X =
2
σ X = 1.21 licitaciones σ X µ X
= 0.67
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Función de densidad de una v.a. continua La función f ( x), es función de densidad de probabilidad de la v.a. continua X, si satisface: i) f ( x) ≥0 para todo x∈ ( ℜ = números reales). ii)
∫
+ ∞ −∞
f ( x ) dx = 1
iii) P( A) = P[ x ∈ A] =
∫ f ( x)dx para todo intervalo A ⊂ ℜ A
Probabilidad para una v.a. continua con función de densidad f(x) P[a ≤ X ≤ b] =
b
∫ f ( x)dx a
P[ a ≤ X ≤ b]
Probabilidad para una v.a. continua con función de densidad f(x) Si
x 0
es un valor de la v.a. continua P [ X = x 0 ] = P [ x 0 ≤ X ≤ x 0 ] =
X ,
∫
x 0
entonces:
f ( x )dx = 0
x 0
Como consecuencias se tiene: a)
P ( A) =
0, no implica A
= ∅.
b) P[a ≤ X ≤b] = P[a ≤ X
Ejemplo Si las ventas diarias (en miles de soles) en una tienda de abarrotes se modelan con una variable continua X con función de densidad de probabilidad
f ( x ) = cx ,
0 ≤ x ≤ 10
Encontrar:
a ) El valor de c . b)
P ( X < 5 ).
c)
P ( X ≥ 8 ).
Solución: 10
a)
∫ (cx ) dx = 1 → 50 c = 1 → c = 0.02 0
b) c)
5
∫
P( X < 5) = 0.02 x dx = 0.25 0 10
∫
P ( X ≥ 8) = 0.02 x dx = 0.36 8
Gráficamente:
f(x) P(X < 5) = área sombreada 0.20 0.10
5
10
X
Función de Distribución Acumulada La función de distribución acumulada de la variable aleatoria continua X con función de densidad f(x) es: F ( x )
= P ( X ≤ x )
tal que: a
∫
F (a) = P( X ≤ a) = f ( x) dx −∞
∀a ∈ ℜ
Propiedades: Función de Distribución Acumulada Si F(x) es la función de distribución acumulada de la v.a. continua X, con densidad f(x), entonces: 1) 2)
Si x1 ≤ x2
x →−∞
dF ( x )
4)
F ( x1 ) ≤ F ( x2 )
P ( a < X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) Lim F ( x ) = 0
3)
→
d
= f ( x )
y
Lim F ( x ) = 1 x →+∞
Ejemplo Si las ventas diarias (en miles de soles) en una tienda se modela con variable continua X con función de densidad de probabilidad f ( x ) = 0 . 02 x ,
0 ≤ x ≤ 10
Encontrar: a) La función de distribución acumulada de la variable aleatoria X. b) P(X ≤ 5).
Solución: a
a) F ( a )
= P ( X ≤ a ) =
∫ f ( x ) dx 0
a
=
∫
0 . 02 x dx = 0 . 01 a 2
0
F ( x ) =
0 0 . 01 x 2 1
x < 0 0 ≤ x ≤ 10 x > 10
b)
P ( X ≤ 5 ) = F ( 5 ) = 0 . 25
Media o esperanza de X Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x). La media o esperanza de X es: ∞
µ X = E ( X ) =
∫ xf ( x ) dx = ∫ xf ( x ) dx −∞
x∈ R x
Esperanza de una función de la variable aleatoria continua X Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x). H(x) es una función de X y también es una v.a. El valor esperado de H(X) es: ∞
∫
E ( H ( X )) = H ( x) f ( x)dx = −∞
∫ H ( x) f ( x)dx x∈ R x
Varianza de X Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x), entonces la varianza de X es: 2 σ X
2 σ X
=
2 = E [( X − µ X )2 ] = E ( X 2 ) − µ X
∫ ( x − µ
X
x∈ R x
∫
) f ( x) dx = x f ( x) dx − µ X 2
x∈R x
2
2
Desviación Estándar de X La desviación estándar de la variable aleatoria X es: σ X =
σ X
2
Ejemplo Un fabricante produce cierto tipo de aceite. La demanda mensual (en miles de litros) es una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad: f(x) = 0,5
si 2 < x < 4
Por cada litro vendido se obtiene una ganancia de 3 soles, mientras que por cada litro no vendido durante el mes se pierde 1 sol. Si el fabricante debe decidir al comienzo del año cuánto producirá mensualmente, ¿cuál será el nivel de producción que maximizará su utilidad esperada?
Solución: Supongamos que la producción mensual de aceite para el próximo año es k miles de litros:
3000 X −1000(k − X ) , 2 < X < k U ( X ) = , k < X < 4 3000k 4000 X −1000k , 2 < X < k U ( X ) = , k < X < 4 3000k
Ejemplo:variable aleatoria Experimento: lanzar dos monedas Variable aleatoria: X=número de sellos observados Eventos simples S
CC
0
CS
1
SC
S
SS S
X
S
2
Probabilidad en el rango de una v.a.
Sea X una v.a. elemento de R X:
discreta
y
a
un
P [ X = a ] = P ({w ∈ Ω / X ( w ) = a })
En el ejemplo anterior: P(X = 2) = P ({ccs, csc, scc}) = 3/8
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta
X
se describe como una
función de probabilidad representada por f (x ) que asigna a cada valor de la variable aleatoria, la probabilidad de que es f (x ) = P (X = x ).
X
asuma ese valor, esto
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta Toda función de probabilidad cumple lo siguiente: 0 ≤ f ( x ) ≤ 1
∑ x ∈ R X
f ( x ) =
∑ P ( X = x ) = 1 x ∈ R X
Si A ⊂ R X , entonces P ( X ∈ A) = ∑ f ( x ) x ∈ A
El dominio de la función f(x) se puede extender a todos los reales si se define f(x) = 0 para todo x que no pertenece al rango de X.
Ejemplo: Dist. discreta de probabilidades Experimento: lanzar dos monedas Variable aleatoria: X=número de sellos observados
X S S S
S
Función de probabilidad
0
f(0) = P(X=0) = 1/4
1
f(1) = P(X=1) = 2/4
2
f(2) = P(X=2) = 1/4
Ejemplo Sea la variable aleatoria X = número de expedientes rechazados por documentación incompleta, en un día. Usando información disponible en los archivos, se observó el número de expedientes rechazados por documentación incompleta por día, en una muestra de 200 días. Los resultados fueron: - 32 días no se rechazaron expedientes - 48 días se rechazó un expediente - 70 días se rechazaron dos expedientes - 30 días se rechazaron tres expedientes - 16 días se rechazaron cuatro expedientes - 4 días se rechazaron cinco expedientes
… sigue ejemplo a) Usar la información anterior para construir una distribución de probabilidades para X b) Calcular la probabilidad de que en un día cualquiera sean rechazados mas de tres expedientes por documentación incompleta. c) Calcular la probabilidad de que en un día cualquiera sean rechazados a lo mas dos expedientes por documentación incompleta.
Solución X = número de expedientes rechazados por documentación incompleta, en un día a) Su distribución de probabilidades se construye usando las frecuencias relativas: x
0
1
2
3
4
5
P(X=x)
32/200 = 0,16
48/200 =0,24
70/200 =0,35
30/200 =0,15
16/200 =0,08
4/200 =0,02
b) P(sean rechazados mas de 3 expedientes en un día) = P(X>3) = P(X=4)+P(X=5) = 0,08+0,02 = 0,10 c) P(sean rechazados a lo mas 2 expedientes en un día) = P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = 0,16+0,24+0,35=0,75
Función de Distribución Acumulada • La función de distribución acumulada
de la variable aleatoria X,
: R →
es una función F ( x ) = P ( X ≤ x ) • Si X es una variable aleatoria discreta: F ( a ) = P ( X ≤ a ) =
∑ P ( X = x ) x ≤ a
Propiedades: Función de Distribución Acumulada Si F(x) es la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X, entonces: 1)
Si x1 ≤ x2
2)
P ( a < X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a )
3)
Lim F ( x ) = 0 x →−∞
→
y
F ( x1 ) ≤ F ( x2 )
Lim F ( x ) = 1 x →+∞
Ejemplo Sea X el número de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces. Encontrar: a) La función de distribución acumulada de la
variable aleatoria X. b) P(X ≤ 1) c) P(1< X ≤ 3)
Ejemplo Sea
X
una variable aleatoria discreta que
denota el número de averías que un operario resuelve en una jornada de trabajo, con función de probabilidad dada por: f ( x ) =
Halle el valor de
k x + 1 k
;
x = 0,1, 2, 3
y encuentre y grafique la
función de distribución acumulada de
X .
Media o esperanza de X: µx Sea X una variable aleatoria discreta. La esperanza de X es una media ponderada de los valores posibles de X cada uno con un peso igual a su probabilidad de ocurrencia:
µ X = E ( X ) =
∑ xP ( X = x ) x∈ R X
R x representa
el rango de X
Esperanza de una función de X • Sea X una variable aleatoria discreta. • H(x) es una función de X y también es una v.a. • La media o valor esperado de H(X) es:
E ( H ( X )) =
∑ H ( x)P( X = x) x∈ R X
VARIABLES ALEATORIAS
Variable aleatoria Dado un espacio muestral Ω, en donde se encuentra definida una probabilidad P, se llama variable aleatoria a toda función de Ω al conjunto de números reales. Ω
X w
Reales R X
Fig.
6.1
x = X(w)
