Figure 3: Ejercicio 7. b) La suma de m1 y m2 .
Ejercicio 15. Los trabajadores están introduciendo equipo en un elevador de carga en la parte superior de un edificio. Sin embargo, lo sobrecargan y el cable desgastado se rompe. En el momento del accidente la masa del elevador cargado es de 1600kg . Al caer el elevador, los carriles guía ejercen sobre él una fuerza retardatoria constante de 3700N . Con qué rapidez chocará el elevador contra el fondo del pozo a 72m debajo?
Ejercicio 16. Tan sólo dos fuerza actúan sobre un cuerpo. Una fuerza tiene magnitud 20N , la otra tiene magnitud de 35N y sus direcciones difieren en 80 grados. La aceleración resultante tiene una magnitud de 20m/s2 . Cuál es la masa del cuerpo?
Ejercicio 17. Dos bloques están en contacto entre ellos sobre una superficie sin roce. Una fuerza es aplicada en dirección horizontal sobre el bloque más grande. a) Si m 1 = 2.3kg , m 2 = 1.2kg y F = 3.2N encuentre la magnitud de la fuerza entre los dos bloques. b) Muestre que si una fuerza de la msima magnitud se aplica somre el bloque más pequeño, pero ne la dirección opuesta, la magnitud de la fuerza entre los bloques es de 2.1N , que no es el mismo valor del punto anterior. c) Explique la diferencia.
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Ejercicio 18 Una losa de 42kg se encuentra en un piso sin fricción. Un bloque de 9.7kg está arriba de ella. El coeficiente de fricción estática entre el bloque y la losa es 0.53, y el de fricción cinética es 0.38. Sobre el bloque actúa una fuerza horizontal de 110N . Cuáles son las aceleraciones resultantes a) de el bloque? b) la losa?
Ejercicio 19 Conduce usted un automóvil a una rapidez de 85km/h, cuando observa una barrera en la carretera 62m adelante. a) Cuál es el coeficiente mínimo de fricción estática entre las llantas y la carretera que le permitirá detenerse sin chocar contra la barrera? b) Suponga que va a 85km/h en un gran estacionamiento vacío. Cuál es el coeficiente mínimo de fricción estática que le permitiría virar el automóvil en un círculo de 62m de radio, y evitar así una colisión con un muro situado 62m adelante?
Ejercicio 20 A qué distancia de la Tierra debe encontrarse una sonda espacial en línea con el Sol, de modo que la atracción gravitacional de éste equilibre la de aquélla?
Ejercicio 21 Nueve partículas pequeñas, con una masa m, están dispuestas uniformemente alrededor de un anillo de radio R . a) Calcule la fuerza gravitacional neta de las partículas debida a las ocho partículas restantes. b) Determine el período rotacional del anillo necesario para evitar que éste se colapse bajo la atracción gravitacional mutua de las partículas.
Ejercicio 22 Dos partículas P y Q están inicialmente en reposo a una distancia de 1.64m. P tiene una masa de 1.43kg y Q una masa de 4.29kg . Las dos partículas se atraen con una fuerza constante de 1.79 × 10 −2 N . Sobre el sistema no operan fuerzas externas. a) Describa el movimiento del centro de masa. b) A qué distancia de la posición original de P chocarían las partículas?
Ejercicio 23 Localice el centro de masa de una placa semicircular homogénea. Suponga que R es el radio del círculo. Ejercicio 24 Dos esferas de titanio se acercan entre sí frontalmente con la misma rapidez y chocan en forma elástica. Tras la colisión, una de ellas, cuya masa es 300g permanece en reposo. Qué masa tiene la otra esfera?
Ejercicio 25 Tras una colisión totalmente inelástica, dos objetos de la misma masa y con la misma rapidez inicial viajan juntos a la mitad de la rapidez inicial. Determine el ángulo entre las velocidades iniciales de ambos.
Ejercicio 26 Una fuerza opera sobre una partícula de 2.80kg en forma tal que la posición de esta última en función del tiempo está dada por x = 3t − 4t2 + t3 m. 6
a) Determine el trabajo realizado por la fuerza durante los primeros 4.0s. b) Con qué rapidez instantánea efectúa trabajo en la partícula en el tiempo t = 3.0s?
Ejercicio 27 Un objeto de masa m acelera uniformemente del reposo, y alcanza una rapidez vf en el tiempo tf . a) Demuestre que el trabajo realizado en él en función del tiempo t en términos de vf y tf es
1 vf 2 2 W = m 2 t 2 tf b) Cuál es la potencia instantánea aplicada al objeto en función del tiempo t?
Ejercicio 28 Sobre un objeto de 1.18kg actúa una fuerza neta conservativa dada exactamente por F x = −3x − 5x2 N . a) Determine la energía potencial del sistema cuando x = 2.26m. Suponga que U (0) = 0. b) El objeto tiene una rapidez de 4.13m/s en la dirección negativa x cuando se halla en x = 4.91m. Encuentre su rapidez al cruzar x = 1.77m.
Ejercicio 29 Un extremo de un resorte vertical se sujeta al techo. Se le pone un peso en el otro y se baja lentamente hasta que alcanza su posición de equilibrio. Demuestre que la pérdida de energía potencial gravitacional del peso es igual a la mitad de la ganancia de energía potencial del resorte. Por qué no son iguales las dos magnitudes?
Ejercicio 30 El siguiente modelo representa lo que se conoce como circuito de Chua
dv1 = R(v2 − v1 ) − g(v1 ) dt dv2 C 2 = R(v1 − v2 ) + i dt di L = −v2 dt C 1
con C 1 , C 2 capacitancias constantes conocidas, R resistencia constante conocida, L inductancia constante conocida. La función g(v1 ) viene dada por
1 1 g(v1 ) = m o v1 + (m1 − mo )|v1 + B p | + (mo − m1 )|v1 − B p | 2 2 con mo , m1 y B p constantes conocidas. Proponga y fundamente la clasificación del presente modelo acorde con los puntos vistos en clases.
Ejercicio 31 Dado el siguiente modelo dy 2 = y dt2 7
encuentre la ecuación de recursion a través de la discretización de Euler implícita. Si las condiciones iniciales son y(0) = 2 y y(0) ˙ = 1 ¿ Qué valor predice el modelo de recursión para y(2h)?
Ejercicio 32 Repita el ejercicio anterior para el caso de Runge-Kutta de ˙ = 1 ¿ Qué segundo orden. Si las condiciones iniciales son y(0) = 2 y y(0) valor predice el modelo de recursión para y(2h)?
Ejercicio 33 Una partícula está sometida a una aceleración de magnitud a(t) = cos(t). Proponga un modelo para describir su movimiento. ¿ Cuál es la posición, según su modelo, para t = π ? Ejercicio 34 Dado el siguiente modelo y = sin(t) ˙ Encuentre la ecuación de recursión dada un aproximación de Euler explícita. Si y(0) = 0, calcule y(1), y(2) e y(3) para h = π/4, h = π/2 y h = π . Comente los resultados obtenidos.
Ejercicio 35 Considere un movimiento parábolico en dos dimensiones. Asuma el tiempo de vuelo T y el alcance R conocidos. Reescriba el modelo cinemático en función de R y T . Ejercicio 36 La siguiente tabla contiene datos medidos del movimiento observado de una partícula Tiempo Medición x Medición y Tiempo Medición x Medición y
0 1.00 1.01 5 221.51 99.01
1 45.11 40.21 6 265.60 89.21
2 89.21 69.61 7 309.70 69.60
3 133.31 89.21 8 353.80 40.21
4 177.41 99.00 9 397.91 1.00
Proponga un modelo para describir el movimiento observado.
Ejercicio 37 Considere la situación presentada en el Ejercicio 16 (si aún no lo ha resuelto asuma m = 0.5). Considere en esta ocasión que la magnitud de la primera fuerza es F 1 constante y la magnitud de la segunda fuerza es F 2 constante, con un ángulo entre las dos fuerzas de θ , conocido y también constante. Proponga un modelo para la posición del cuerpo en cuestión. Si el cuerpo está en la posición (1, 1) al tiempo t = 1, ¿Cuál es el valor de la razón entre la magnitud de las dos fuerzas F 1 /F 2 ?
8
Guía de Ejercicios #2 Alejandro Rojas 27/11/2010 *
⋄ Ejercicio 1. ¿ Cuál sería la altura de la atmósfera si la densidad del aire fuese: (a) uniforme? (b) decreciera con la altura en forma lineal hasta cero? Asuma que a nivel del mar la presión de la atmósfera es de 101 kP a y que la densidad del aire es de 1,3 kg/m3 .
⋄ Ejercicio 2. La tripulación de un submarino dañado que se encuentra a una profundidad de 100 m bajo la superficie intenta escapar. ¿ Qué fuerza debe ser aplicada sobre una escotilla rectangular de salida de largo 1,2 m y ancho 0,6 m que se abre hacia afuera? Asuma que la densidad del agua de mar es de 1024 kg/m3 y que la presión al interior del submarino es igual a la presión atmosférica a nivel del mar.
⋄ Ejercicio 3. Para el manómetro de la figura 1, calcule pA − pB . ⋄ Ejercicio 4. Para el manómetro de la figura 2, calcule la presión en el punto A. ⋄ Ejercicio 5 . La figura 3 muestra un manómetro que se utiliza para conocer la diferencia de presiones en una tubería. Calcule ( pA − pB ). ⋄ Ejercicio 6. La figura 4 muestra un manómetro tipo pozo inclinado, en el que la distancia L indica el movimiento en el nivel del fluido del instrumento conforme se aplica la presión pA en el tubo. El fluido manométrico tiene una gravedad específica de 0,87 y L = 115 mm . Ignore el descenso del nivel del fluido en el tubo y calcule pA . ⋄ Ejercicio 7 . Al analizar ciertas características geológicas de la Tierra, a veces conviene suponer que en lo profundo de ella la presión en algún nivel horizontal de compensación es idéntica en una extensa región, e igual a la ejercida por el peso del material de arriba. En otras palabras, la presión en el nivel de compensación está dada por la fórmula de presión hidrostática (de fluido). Ello exige, por ejemplo, que las montañas tengan raices de baja densidad (ver figura 5). Supongamos una montaãna de 6 K m de altura. Las rocas continentales tienen *
Last modified 1 de diciembre de 2010.
1
Figura 1: Problema 3.
Figura 2: Problema 4.
una densidad de 2,90 g/cm3 ; bajo el continente está el manto, con una densidad de 3,30 g/cm3 . Calcule la profundidad D de la raíz (sugerencia: calcule la presión para el punto A y el punto B en la figura).
⋄ Ejercicio 8. Del punto A al punto B de la tubería de la figura 6, fluye agua a 10o C , a razón de 0,37 m3 /s. Si la presión en A es de 66,2 k P a, calcule la presión en B .
2
Figura 3: Problema 5.
Figura 4: Problema 6.
⋄ Ejercicio 9. Para el sistema mostrado en la figura 7 calcule (a) El flujo volumétrico de agua que sale de la tobera. (b) La presión en el punto A.
⋄ Ejercicio 10. En la figura 8 mostramos un manómetro empleado para indicar la diferencia de presión entre dos puntos en un sistema de tubería. Calcule el flujo volumétrico del agua en el sistema, si la deflexión del manómetro h es de 250 mm.
⋄ Ejercicio 11 . A través del medidor venturi de la figura 9 fluye hacia abajo aceite con gravedad específica de 0,90. Si la deflexión del manómetro h es de 28 pulgadas, calcule el flujo volumétrico del aceite.
⋄ Ejercicio 12. En la figura 10 ilustramos un sistema donde fluye agua desde un 3
Figura 5: Problema 7.
Figura 6: Problema 8.
tanque a través de un sistema de tuberías de distintos tamaños y elevaciones. Para los puntos A − G calcule la carga de elevación, la carga de presión y la carga de velocidad.
⋄ Ejercicio 13. Una tubería horizontal conduce aceite cuya gravedad específica es de 0.83. Si dos instrumentos indican lecturas de presión de 74,6 psig y 62,2 psig, respectivamente, calcule la pérdida de energía enre ellos.
4
Figura 7: Problema 9.
Figura 8: Problema 10.
⋄ Ejercicio 14. En la figura 11 se muestra un arreglo para determinar ls pérdida de energía debida a cierto elemento de un aparato. La entrada es por una tubería de 2 pulgadas cédula 40 (diam. ext.= 2,375 pulg, esp. pared= 0,154 pulg, diam. int.=2,067 pulg) y la salida por otra de 4 pulgadas cédula 40 (diam. ext.=4,5 pulg, esp. pared=0,237 pulg, diam. int.=4,026 pulg). Calcule la pérdida de energía entre los puntos A y B , si el agua fluye hacia arriba a 0,20 pie3 /s. El fluido manométrico es mercurio (sg= 13,54).
5
Figura 9: Problema 11.
Figura 10: Problema 12.
⋄ Ejercicio 15. El arreglo mostrado en la figura 12 se utiliza para medir la pérdida de energía en una válvula. La velocidad del flujo de aceite es de 1,2 m/s. Calcule el valor de K si l;a pérdida de energía se expresa como Kv 2 /2g . ⋄ Ejercicio 16. LA bomba de la figura 13 transmite aceite hidráulico cuya gravedad específica es de 0,85, a razón de 75 L/min. La presión en A es de −20 kP a, y en B es de 275 kP a. La pérdida de energía es 2,5 veces la carga de velocidad en la tubería de descarga. Calcule la potencia que la bomba transmite al aceite. 6
Figura 11: Problema 14.
Figura 12: Problema 15.
7
Figura 13: Problema 16.
Tubería de 2 pulgadas cédula 40 (diam. ext.= 60,3 mm, esp. pared=3,91 mm, diam. int.=52,5 mm). Tubería de 1 pulgada cédula 40 (diam. ext.= 33,4 mm, esp. pared=3,38 mm, diam. int.=26,6 mm)
⋄ Ejercicio 17. Calcule la potencia que se transmite al motor hidráulico de la figura
Figura 14: Problema 17.
14, si la presión en el punto A es de 6,8 M P a y en el punto B es de 3,4 M P a. La entrada del motor es una tubería de acero de 1 pulgada (espesor de la pared 8
de 0,065 pulgadas), la salida es otra tubería de 2 pulgadas (espesor de pared de 0,065 pulgadas). El fluido es aceite (sg= 0,90) y la velocidad del flujo es de 1,5 m/s en el punto B.
⋄ Ejercicio 18. En la figura 15 observamos el diagrama de un sistema de potencia
Figura 15: Problema 18.
de fluido para una prensa hidráulica que se emplea para extruir elementos de caucho. Conocemos los datos siguientes - El aceite tiene sg de 0,93. - El flujo volumétrico es de 175 gal/min. - La potencia de entrada a la bomba es de 28,4 hp. - La eficiencia de la bomba es de 80 %. - La pérdida de energía del punto 1 al punto 2 es de 2,80 lb − pie/lb. - La pérdida de energía del punto 3 al punto 4 es de 28,50 lb − pie/lb. - La pérdida de energía del punto 5 al punto 6 es de 3,50 lb − pie/lb. - Tubería de 3 pulgadas cédula 40 (diam. ext.= 3,5 pulg, esp. pared=0,216 pulg, diam. int.=3,068 pulg). - Tubería de 2 12 pulgada cédula 40 (diam. ext.= 2,875 pulg, esp. pared= 0,203 pulg, diam. int.=2,469 pulg) Calcule: (a) La potencia que la prensa retira del fluido. (b) La presión en el punto 2, en la entrada de la bomba.
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(c) La presión en el punto 3, en la salida de la bomba. (d) La presión en el punto 4, en la entrada de la prensa. (e) La presión en el punto 5, en la salida de la prensa.
⋄ Ejercicio 19 . El arreglo que aparece en la figura 16 mide la diferencia de pre-
Figura 16: Problema 19.
siones entre la entrada y salida del motor de fluido. El flujo volumétrico de aceite hidráulico (sg = 90) es de 135 gal/min. Calcule la potencia que el motor toma del fluido. Si el motor de fluido tiene una eficiencia del 78 %. ¿Cuánta potencia transmite el motor? Tubería de 1 12 pulgada cédula 80 (diam. ext.= 1,9 pulg, esp. pared=0,2 pulg, diam. int.= 1,5 pulg). Tubería de 2 12 pulgada cédula 80 (diam. ext.=2,875 pulg, esp. pared= 0,276 pulg, diam. int.=2,323 pulg).
⋄ Ejercicio 20 . Un colector de agua de 18 pulgadas de diámetro está hecho de tubo de concreto de alta presión. Calcule la pérdida de energía a lo largo de 1 metro, si conduce 7,50 pies3 /s de agua. (Rugosidad concreto ε = 1,2 · 10−4 metros, 4 · 10−4 pies). ⋄ Ejercicio 21. ¿A qué temperatura en la escala Fahrenheit se tiene que el valor numérico es el doble del número en la escala Celsius para la misma temperatura? ¿A qué temperatura en la escala Fahrenheit se tiene que el valor numérico es la mitad del número en la escala Celsius para la misma temperatura?
⋄ Ejercicio 22 . Supóngase que en una escala de temperatura lineal X, el agua hierve a −53,5o X y se congela a −170o X . ¿Cuál es el equivalente en escala X de 340 K ? (Aproxime la temperatura de congelación del agua en grados kelvin a 273K en vez de 273,16K )
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⋄ Ejercicio 23. En una escala de temperatura lineal X, el agua se congela a −125o X y hierve a 375o X . En otra escala de temperatura lineal el agua se congela a −70o Y y hierve a −30o Y . ¿A qué temperatura en grados X corresponde una temperatura de 50o Y ? ⋄ Ejercicio 24. Una persona prepara cierta cantidad de té helado mezclando 520 gramos de té caliente (esencialmente agua) con una masa igual de hielo a 0 o C . ¿Cuál es la temperatura y la masa finales del resto del hielo, si el té caliente inicial tenía una temperatura de: (a) 90o C , (b) 70o C ?
⋄ Ejercicio 25. Supongamos que un gas ideal le agregamos 20,9 J de calor. Entonces su volumen pasa de 63 a 113 cm3 , en tanto que la presión permanece constante a una atmósfera. (a) ¿Cuánto cambia la energía interna del gas? (b) ¿Si la cantidad de gas presente es 2·10−3 mol, determine el calor específico molar a presión constante? (c) Determine el calor específico molar a volumen constante.
⋄ Ejercicio 26 . Un tazón de cobre de 146 gramos contiene 223 gramos de agua; el tazón y el agua tienen una temperatura de 21 o C . Se deja caer en el agua un cilindro muy caliente de cobre de 314 gramos. Esto la hace hervir, 4,7 gramos se convierten en vapor y la temperatura final del sistema entero es de 100o C . (a) ¿Cuánto calor se transfiere al agua? (b) ¿Cuánto al tazón? (c) ¿Cuál era la temperatura original del cilindro?
⋄ Ejercicio 27. Calcule el trabajo efectuado por un agente externo al comprimir 1,12 moles de oxígeno partiendo de un volumen de 22,4 litros y de una presión de 1,32 atm a 15,3 litros con la misma temperatura. ⋄ Ejercicio 28. Un gas ideal sufre una compresión adiabática de p = 122 kP a, V = 10,7 m3 , T = −23o C a p = 1450 kP a, V = 1,36 m3 . (a) Calcule el valor de γ . (b) Determine la temperatura final. (c) ¿Cuántos moles de gas hay? (d) ¿Cuál es la energía cinética traslacional total por mol antes de la compresión y después de ella? (e) Encuentre la razón de la rapidez raiz cuadrática media antes de la compresión a la que existe después.
⋄ Ejercicio 29 . Un motor lleva 1 mol de un gas monoatómico ideal durante el ciclo que se describe en la figura 17. EL proceso AB tiene lugar a volumen constante, el proceso BC es adiabático y el proceso CA se produce a una presión constante. 11
Figura 17: Problema 29.
(a) Compare el calor Q, el cambio de la energía interna E int , y el trabajo W en los tres procesos y en el ciclo en general. (b) Si la presión inicial en el punto A es de una atmósfera, encuentre la presión y el volumen en los puntos B y C .
⋄ Ejercicio 30 . Una máquina de Carnot opera entre las temperaturas T 1 y T 2 . Hace
Figura 18: Problema 30.
funcionar un refrigerador de Carnot que opera entre dos temperaturas distintas 12
T 3 y T 4 , ver figura 18. Encuentre la razón |Q3 |/|Q1 | a partir de las cuatro temperaturas.
⋄ Ejercicio 31 . Alcohol Etílico tiene un punto de ebullición de 78 o C , de congelamiento de −114o C , un calor de vaporización de 879 kJ/kg, un calor de fusión de 109 kJ/kg, y un calor específico de 2,43 kJK . Cuanta energía debe ser removida en forma de calor para que 0,51 k g de alcohol etílico, inicialmente en forma de gas a 78o C , se conviertan en sólido a una temperatura de −114o C . ⋄ Ejercicio 32. Figura 19 muestra un ciclo cerrado para un gas (la figura no está a
Figura 19: Problema 32.
escala). El cambio en la energía interna del gas cuando es llevado de a a c sobre el camino abc es de −200 J . Desde c hasta d , 180 J deben ser agregados como calor. 80 J adicionales como calor se necesitan entre d y a . ¿Cuánto trabajo es hecho por el gas durante el proceso termodinámico entre c y d?
⋄ Ejercicio 33 . Una muestra de 2,5 moles de un gas ideal se expanden a través de un proceso isotérmico reversible a T = 360 K hasta que el volumen final es el doble del volumen inicial. ¿Cuál es el incremento en entropía del gas?
⋄ Ejercicio 34 . Una máquina de Carnot ideal tiene una eficiencia del 22 %. Esta opera entre reservorios térmicos constantes con una diferencia de temperatura de 75o C .¿Cuál es la temperatura del reservorio a menor temperatura? ¿Cuál es la temperatura del reservorio a mayor temperatura?
⋄ Ejercicio 35. Un bloque de 600 gramos de cobre a 80o C es colocado en 70 gramos de agua a 10o C en un contenedor aislado (calor espec ´fico del cobre: 386J/kg K ; calor espec´fico del agua: 4180 J/kg K ).
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(a) ¿Cuál es la temperatura de equilibrio del sistema agua-cobre? (b) ¿Cuál es el cambio de entropía del cobre? (c) ¿Cuál es el cambio de entropía del agua? (d) ¿Cuál es el cambio de entropía del sistema agua-cobre?
⋄ Ejercicio 36 . Un refrigerador de Carnot extrae 35 kJ de calor durante cada ciclo, operando con un coeficiente de desempeño de 4,6. (a) ¿Cuál es la energía por ciclo transferida como calor a los alrededores del refrigerador? (b) ¿Cuánto es el trabajo hecho por ciclo?
⋄ Ejercicio 37. Un refrigerador de Carnot hace 150 J de trabajo para remover 560 J de calor desde el reservorio térmico a menor temperatura. (a) ¿Cuál es el coeficiente de desempeño del refrigerador? (b) ¿Cuánto calor por ciclo es emitido hacia los alrededores?
14
Modelación de Procesos (543207-1) Tarea #1 S2-2010 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 09/09/2010 *
Instrucciones •
Escriba abajo su nombre completo.
•
Esta tarea es individual.
•
Fecha de entrega: 16/09/2010 en clases.
•
El uso de computador para escribir el informe es fuertemente aconsejado.
•
Si escribe sus respuesta a mano, asegúrese de hacerlo con letra legible y clara.
Nombre completo:
———————————————————————————————
*
Modificado el 22 de septiembre de 2010. arn/ARN
1
Figura 1: Esquema planta azucarera.
Problema 1 Aproxime la función sin(x) por una serie de Taylor alrededor de x = 0, x = π/4 y x = π . Investigue, usando Matlab, la precisión de las expansiones de primer orden, segundo orden, tercer orden, etc. en serie de Taylor.
Problema 2 En la figura propuesta se presenta esquemáticamente una planta azucarera. Liste las distintas etapas que en su opinión están involucradas en este proceso productivo. Proponga las posibles variables de entrada, variables de salida, variables de estado para cada una de las etapas anteriores.
Problema 1
2
1.5
1
0.5
0 cos(x) Aprox. Lineal Taylor Aprox. 2ndo orden Taylor Aprox. 3er orden
−0.5
−1
0
1
2
3
4
5
6
Figura 2: Aproximación de Taylor alrededor de x = 0.
Problema 2 Azul : Etapa chancadora de caña de azucar. Entradas: caña de azucar, agua. Salidas: jugo de caña de azucar, bagasse (fibra de caña). Morado : Etapa Clarificadora y decantadora. Entradas: jugo de caña de azucar de la etapa chancadora. Salidas: jugo de caña de azucar clarificado, residuos (cake). Variable de estado: nivel de jugo al interior de cada estanque. Verde : Etapa de Evaporadores. Entradas: jugo de caña de azucar clarificado, vapor. Salidas: jarabe, vapor. Variable de estado: nivel de jugo al interior de cada evaporador. Amarillo : Etapa de cristalización. Entradas: jarabe, vapor. Salidas: azucar, molasa. Naranjo : Etapa de generación de vapor. Entrada: bagasse (fibra de caña), agua. Salidas: vapor, energía eléctrica (tanto para la planta como para distribución).
2 cos(x) Aprox. Lineal Taylor Aprox. 2ndo orden Taylor Aprox. 3er orden
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
0
1
2
3
4
5
6
Figura 3: Aproximación de Taylor alrededor de x = π/4.
2 cos(x) Aprox. Lineal Taylor Aprox. 2ndo orden Taylor Aprox. 3er orden
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
0
1
2
3
4
5
6
Figura 4: Aproximación de Taylor alrededor de x = π .
Figura 5: Esquema planta azucarera.
Modelación de Procesos (543207-1) Tarea #2 S2-2010 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 09/09/2010 *
Instrucciones
• Escriba abajo su nombre completo. • Esta tarea es individual. • Fecha de entrega: 30/09/2010 en clases. • El uso de computador para escribir el informe es aconsejado. • Si escribe sus respuesta a mano, asegúrese de hacerlo con letra legible y clara. • Se descuenta un punto de la nota máxima por día de atraso (incluye Sábado y Domingo).
• Se puede entregar la tarea en forma electrónica en formato pdf. No se aceptan
otros formatos. La fecha y hora de entrega es la que aparezca en el Inbox del correo del profesor (sin discusión).
Nombre completo:
——————————————————————————————— *
Modificado el 21 de septiembre de 2010. arn/ARN
1
Figura 1: Circuito eléctrico.
Considere el circuito de la figura donde Q (t) es una fuente de corriente; C 1 y C 2 son valores de capacitancias; R1 y R2 son valores de resistencias eléctricas. El modelo de este circuito resulta ser o
dV 1 Q = dt C 1 dV 2 Q = dt C 2
o
o
− C 1R 1
−
(V 1 + V 2 ) 1
1
V 1 C 2 R1
− C
2
�1
R1
+
1 R2
�
V 2
Considere C 1 = C 2 = 2[µF ] ( µ = 10−6 ) y R1 = R 2 = 2,2[M Ω] ( M = 10 6 ).
Problema 1 Simule el modelo usando Matlab con Q (t) = 10−5 sin(t + 2 ) y condiciones iniciales cero (es decir V 1 (0) = 0 y V 2 (0) = 0). ¿ Cuál es el valor de V 1 (t) y V 2 (t) para t = 3? π
o
√
Problema 2 Simule el modelo usando Matlab con
Q (t) = o
�
0 10−5
t < 0 t 0
≥
y condiciones iniciales cero (es decir V 1 (0) = 0 y V 2 (0) = 0). ¿ Cuál es el valor de V 1 (t) y V 2 (t) para t = 37?
Problema 1
Figura 2: Simulink para el Problema 1.
−5
1 ) t (
o
Q
x 10
0 −1 0
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
5 ) t (
1
V
0 −5 0
5 ) t (
2
V
0 −5 0
Tiempo [s]
Figura 3: Gráficas para el Problema 1.
Problema 2
Figura 4: Simulink para el Problema 2.
−5
2 ) t (
o
Q
x 10
1 0 0
50
100
150
200
50
100
150
200
50
100 Tiempo [s]
150
200
40 ) t (
1
V
20 0 0
10 ) t (
2
V
5 0 0
Figura 5: Gráficas para el Problema 2.
Modelación de Procesos (543207) Tarea #3 S2-2010 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 07/10/2010 *
Instrucciones •
Escriba abajo su nombre completo.
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Esta tarea es individual.
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Fecha de entrega: 14/10/2010 en clases.
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El uso de computador para escribir el informe es aconsejado.
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Si escribe sus respuesta a mano, asegúrese de hacerlo con letra legible y clara.
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Se descuenta un punto de la nota máxima por día de atraso (incluye Sábado y Domingo). Se puede entregar la tarea en forma electrónica en formato pdf. No se aceptan otros formatos. La fecha y hora de entrega es la que aparezca en el Inbox del correo del profesor (sin discusión). Ante multiples envíos se considerará tan sólo el primer archivo recibido.
Nombre completo:
——————————————————————————————— *
Modificado el 21 de octubre de 2010. arn/ARN
1
Problema Considere el siguiente modelo
d2 y dy + 3 + 2y = 3u dt2 dt con condiciones iniciales cero. (a) Simule la respuesta del modelo (es decir obtenga y(t)) para u(t) = sin(wt) con w = 1. Presente el esquema en Simulink. (b) Obtenga el período T b de la señal de salida y(t) para w = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 (Sugerencia: genere un m-file para detectar cruces por cero). Presente sus resultados como una tabla de dos columnas, una con los valores de w dados y la otra con los valores de wb = 2π/T b . Considere ahora el siguiente modelo
d2 y dy +3 + 2y = 3eu 2 dt dt también con condiciones iniciales cero. (c) Obtenga las ecuacion(es) de recursión usando el método de Euler explícito. (d) Use el resultado en el punto (c) para simular la respuesta del modelo (es decir obtenga y(t)) para u(t) = sin(wt) con w = 1. Presente el m-file con la implementación de las ecuacion(es) de recursión. (e) Obtenga el período T e de la señal de salida y(t) para w = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 (Sugerencia: elimine el valor medio de la señal). Presente sus resultados como una tabla de dos columnas, una con los valores de w dados y la otra con los valores de we = 2π/T e . (f) Comente y compare los resultados en los puntos (b) y (e). Sugerencia: en ambos escenarios descarte la data transiente inicial.
Solución:
(a) Figura 1: Simulink para el primer modelo.
(b)
1 w wb = 2π/T b 0.9996
2 1.9988
3 2.9972
4 3.9981
5 4.9946
w 6 wb = 2π/T b 5.9928
7 6.9906
8 7.9871
9 8.9824
10 9.9747
Figura 2: M-file para la detección de cruces por cero.
(c)
y1 (kh + h) = y 1 (kh) + hy2 (kh) y2 (kh + h) = y 2 (kh) + 3heu(kh)
2hy1 (kh)
−
−
3hy2 (kh)
(d) Figura 3: M-file para la implementación con Euler explícito del segundo modelo.
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
20
40
60
80
100
tiempo
(e)
Figura 4: Comparación de respuesta con simulink a paso de simulación máximo de 0,001, línea azul, y Euler explícito con h = 0,001, línea roja segmentada, para w = 1.
w we = 2π/T e = we 2π/T e (ajust.)
1 0.9458 0.8895
2 1.9680 1.9547
3 3.0129 3.0634
4 4.0822 4.1729
5 5.1425 5.2752
w we = 2π/T e we = 2π/T e (ajust.)
6 6.1808 6.3720
7 7.2154 7.4643
8 8.2629 8.5528
9 9.3061 9.6377
10 10.3299 10.7215
Valor de h = 0,001, tiempo de simulación hasta 100 s , eliminando los primeros 30 s por la presencia de transientes.
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5 20
30
40
50
60 tiempo
70
80
90
100
Figura 5: Comparación para w = 1 de la respuesta oscilatoria sin valor medio, línea azul, y sin valor medio ajustado para lograr simetría, línea roja segmentada.
10 w
b
9
w
e
8
w (ajustado) e
7 6 5 4 3 2 1
(f)
2
4
6
8
10
w
Figura 6: Comparación de w versus wb , línea contínua, y versus we , línea segmentada, we ajustado, línea segmentada punteada. El primer modelo es lineal por lo que no altera la frecuencia de la señal de entrada (la frecuencia de la señal de salida es la misma que la de la señal de entrada). El segundo modelo es no-lineal por lo que altera la frecuencia de la señal de entrada (pendiente distinta a 1).
Modelación de Procesos (543207-1) Tarea #4 S2-2010 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 04/11/2010 *
Instrucciones • Escriba • Esta
abajo su nombre completo.
tarea es individual.
• Fecha
de entrega: 11/11/2010 en clases.
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puede entregar la tarea en forma electrónica en formato pdf. No se aceptan otros formatos. La fecha y hora de entrega es la que aparezca en el Inbox del correo del profesor (sin discusión). Ante multiples envíos se considerará tan sólo el primer archivo recibido.
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Modificado el 18 de noviembre de 2010. arn/ARN
1
Problema Considere el manómetro de la figura: (a) Considere un desplazamiento ∆ ∈ R+ para la columna de mercurio en la posición 1. Cómo cambia la presión medida pA . (b) Considere un desplazamiento − ∆ con ∆ ∈ R + para la columna de mercurio en la posición 1. Cómo cambia la presión medida pA . (c) Cuál es la presión máxima medible pA . (d) Cuál es la presión mínima medible pA . (e) Dado un cambio infinitesimal en la altura de la columna de mercurio en la posición 1, proponga un modelo para el cambio infinitesimal en la presión pA . (f) Grafique la presión p A como función de ∆ en [∆ min , ∆max ], considerando como fluidos manométricos todos los fluidos listados en la tabla abajo. Presente las
gráficas necesarias.
Acetona Benceno Etilenglicol Gasolina Glicerina Queroseno Aceite de linaza Mercurio Propano Aguarrás
sg
γ [kN/m3 ]
ρ [kg/m3]
0,787
7 ,72
787
3 ,16×10
0,876
8 ,59
876
6 ,03×10
1,100
10,79
1100
1 ,62×10
0,68
6,67
680
2 ,87×10
1,258
12,34
1258
9 ,60×10
0,823
8 ,07
823
1 ,64×10
0,930
9 ,12
930
3 ,31×10
13,54
132,8
13540
1 ,53×10
η [P a · s]
ν [m2 /s]
−4
4,02×10
−4
6,88×10
−2
1,47×10
−4
4,22×10
−1
7,63×10
−3
1,99×10
−2
3,56×10
−3
1,13×10
−4
2,22×10
−3
1,57×10
0,495
4 ,86
495
1 ,10×10
0,870
8 ,53
870
1 ,37×10
−7 −7 −5 −7 −4 −6 −5 −7 −7 −6
Solución (a) Notamos de la figura que un desplazamiento ∆ positivo en 1 , obliga a un desplazamiento − ∆ en 2. Como resultado la presión en A resulta ser entonces
p˜A = p 1 + γ Hg (0,25 + 2∆) − γ H O (0,4 + ∆) 2
Dado que el punto 1 está abierto a la atmósfera tenemos que p1 = 0 manométrica. El cambio en la presión pA debido a ∆ se obtiene como
∆ pA = p˜A − pAo = γ Hg (2∆) − γ H O (∆) 2
con pAo la presión en A para ∆ = 0. (b) Notamos de la figura que un desplazamiento ∆ negativo en 1 , obliga a un desplazamiento ∆ en 2. Como resultado la presión en A resulta ser entonces
p˜A = p 1 + γ Hg (0,25 − 2∆) − γ H O (0,4 − ∆) 2
Dado que el punto 1 está abierto a la atmósfera tenemos que p1 = 0 manométrica. El cambio en la presión pA debido a ∆ se obtiene como
∆ pA = p˜A − pAo =
γ (2∆) + γ H O (∆)
− Hg
2
con pAo la presión en A para ∆ = 0. (c) La presión máxima medible con el manómetro propuesto involucra el máximo desplazamiento de la columna de mercurio, antes que rebalse. Esto es equivalente a un ∆ de 0,15 por lo que
pˆA = γ Hg (0,55) − γ H O (0,55) = 67,66kP a 2
(d) La presión mínima medible con el manómetro propuesto involucra el máximo desplazamiento de la columna de mercurio a la izquierda. Asumimos, como simplificación y a falta de otros datos que esto corresponde al punto 4, por lo que este desplazamiento máximo (o mínimo si se quiere) es equivalente a un −∆ = −0,40. Esto da como resultado una presión p A mínima de
pˇA = (e)
γ (0,55) = −73,0551kP a
− Hg
dpA = (2γ Hg dt
γ H O )
−
2
dh dt
60
40
20 ] a P k [
0
A
p
−20
−40
−60
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0
0.1
∆
(f)
1
0
−1
] −2 a P k [ A −3
p
−4
−5
−6
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1 ∆
Modelación de Procesos (543207-1) Tarea #5 S2-2010 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad Universidad de Concepción 18/11/2010 *
Instrucciones •
Escriba abajo su nombre completo.
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Esta tarea es individual.
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Fecha de entrega: 25/11/2010 en clases. clases.
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El uso de computador para escribir el informe es aconsejado.
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Se descuenta descuenta un punto de la nota máxima máxima por día de atraso (incluye Sábado Sábado y Domingo). Se puede entregar la tarea en forma electrónica en formato pdf. No se aceptan otros formatos. La fecha y hora de entrega es la que aparezca en el Inbox del correo del profesor (sin discusión). Ante multiples envíos se considerará tan sólo el primer archivo recibido.
Nombre completo:
——————————————————————————————— * Modificado
el 1 de diciembre de 2010. arn/ARN
1
Problema 1 Escriba un programa en Matlab que simule la trayectoría al azar de una partícula (no olvide entregar el m-file). Ésta parte del origen y después puede realizar un paso con incrementos ∆x ∆x y ∆y ∆y asignados aleatoriamente entre 1 y 1. −
(a) Permita que la partícula “recorra” 200 pasos, y grafique el movimiento en el plano x y . Escoja la escala de la gráfica para acomodar justamente los datos. −
(b) Permita que la partícula “recorra” 2000 pasos, y grafique el movimiento en el plano x y . Escoja la escala de la gráfica para acomodar justamente los datos. −
(c) Permita que la partícula “recorra” 20000 pasos, y grafique el movimiento en el plano x y . Escoja la escala de la gráfica para acomodar justamente los datos. −
Compare las tres gráficas ¿ Crece su tamaño con el número de pasos? ¿ Se parecen entre si? Si las gráficas se barajan, podría identificarlas?
Problema 2 Genere un programa en Matlab para simular la ley de distribución de velocidades de Maxwell (no olvide entregar el m-file) P ( P (v) = 4π
�
M 2πRT
�
3 2
v 2 e−
2
Mv 2RT
Considere el caso del oxígeno y grafique la distribución resultante para temperaturas T = 300 K . M = 32 gramos es la masa molar, R = de T = 20 K , T = 80 K y T es la constante molar de gas. 8,31 31 J/mol J/mol K es o
o
o
o
Solución
Problema 1
12
10
8
y
6
4
2
0 −2
−1
0
1
2 x
Problema 2
3
4
5
6
45 40 35 30 25 y
20 15 10 5 0 −5 −5
0
5
10
15
20
25
30
x
40
20
0
−20 y
−40
−60
−80
0
20
40
60
80 x
100
120
−3
x 10 9
8
7
6
5
) v ( P
4
3
2
1
0 0
200
400
600
800 v
1000
1200
1400
Modelación de Procesos (543207-1) Quiz #1 S2-2010 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 16/09/2010 *
Instrucciones
• Escriba abajo su nombre completo. • Este quiz es individual. • Escriba sus respuesta a mano, asegúrese de hacerlo con letra legible y clara.
Nombre completo:
———————————————————————————————
*
Modificado el 14 de septiembre de 2010. arn/ARN
1
Problema 1 El modelo para describir el comportamiento de un interés compuesto está dado por P (kT + T )
− (1 + I )P (kT ) = 0,
donde P (kT ) es el capital, I es el interés mensual, T es igual a un mes y k Un estudiante considera que el modelo en (1) es un modelo:
• No-Lineal. • Con parámetros constantes. • Instantáneo. • Causal. • Con parámetros concentrados. • De tiempo continuo. Está usted de acuerdo con la clasificación propuesta por el estudiante? Argumente para cada aspecto, tanto si está de acuerdo o en desacuerdo.
(1)
∈ N.
Solución: El sistema propuesto es
• Lineal. Asuma y [kT ] = P (kT + T ), u [kT ] = P (kT ), el sistema entonces se convierte en
y [kT ] = f (u[kT ]) = (1 + I )u[kT ] Considere ahora u[kT ] = au1 [kT ] + bu 2 [kT ] con a, b constantes conocidas. Tenemos entonces que f (au1 [kT ] + bu 2 [kT ]) = (1 + I )(au1 [kT ] + bu2 [kT ])
= (1 + I )au1 [kT ] + (1 + I )bu2 [kT ] = a (1 + I )u1 [kT ] + b(1 + I )u2 [kT ] = af (u1 [kT ]) + bf (u2 [kT ])
• De parámetros constantes si I es un interés fijo. De parámetros cambiantes en el tiempo si es que el Banco Central cambia las tasas de interés y el banco en particular decide transferir el cambio al cliente y si el tipo de instrumento financiero lo permite, entonces I podría ser variable o mejor dicho variante en el tiempo.
• Dinámico. El valor de P (kT ) cambia con el tiempo. Nótese además que es razonable suponer que I ∝ T . Supongase entonces que I = αT , con α > 0 constante conocida. Podemos reescribir (1) como P (kT + T ) T
− P (kT ) = αP (kT )
→ 0 obtenemos
Tomando límite cuando T
dP = αP (t). dt La presencia de una derivada en el tiempo aclara que el sistema es por tanto dinámico.
• Causal. La salida del sistema depende de valores presentes y pasados de la entrada.
• Con parámetros concentrados. No hay dependencia espacial. No hay derivadas parciales.
• De tiempo discreto. No hay valor asociado a P (kT ) para kT = mes y k ∈ N.
√
2 dado T = 1
Modelación de Procesos (543207-1) Quiz #2 S2-2010 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 30/09/2010 *
Instrucciones •
Escriba abajo su nombre completo.
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Este quiz es individual.
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Lea la(s) pregunta(s) detenidamente.
•
•
•
Escriba sus respuestas con letra clara y legible. Escriba sus respuestas con lapiz pasta. Respuestas con lapiz mina no tienen derecho a solicitar recorrección.
Nombre completo:
——————————————————————————————— *
Modificado el 28 de septiembre de 2010. arn/ARN
1
Figura 1: Esquema Simulink.
Pregunta I (2 puntos): dado el esquema de la figura, deduzca el modelo simulado. Pregunta II (4 puntos): la siguiente tabla resume los resultados de 10 mediciones de sendas simulaciones, para distintos valores de los parámetros de un modelo, junto con una medición del proceso real (todo bajo similares condiciones iniciales y señal de entrada aplicada). ?’ Qué modelo sugeriría usted escoger? (Fundamente). Tiempo Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Proceso real
1 0 0 0 0
2 0.20 0.11 0.13 0.28
3 0.62 0.35 0.49 0.60
4 0.82 0.44 0.72 0.93
5 0.92 0.48 0.84 0.98
6 0.96 0.49 0.91 0.98
7 0.98 0.50 0.95 0.93
8 0.99 0.50 0.97 0.90
9 1.00 0.50 0.98 0.98
10 1.00 0.50 0.99 1.02
Solución: el modelo propuesto está dado por dy1 dt dy2 dt
= K 1 u
−
K 2 (y1 + y2 )
= K 3 u
−
K 4 y1
K 5 y2
−
Simple inspección de los datos elimina el modelo 2. Aplicando función de error cuadrático entrega los siguientes resultados error1 = 0,03 error2 = 1,68 error3 = 0,11
El mejor modelo, dados los datos disponibles, es el primero.
Modelación de Procesos (543207-1) Quiz #3 S2-2010 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 14/10/2010 *
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Modificado el 13 de octubre de 2010. arn/ARN
1
F(t)
m
x=0
x
Problema Considere el caso representado en la Figura .
Pregunta I (2 puntos): obtenga el modelo para la posición x (t) del bloque en cuestión. Pregunta II (2 puntos): obtenga la ecuación de recursión resultante de usar el método de Euler explícito (Asuma h el tiempo de sampleo conocido). Pregunta III (2 puntos): obtenga el valor de x(2h) para m = 1, k = 1, F (t) = 1 para todo t y con condiciones iniciales x (0) = 0, x˙ (0) = 0 y F (0) = 1.
Solución: Pregunta I (2 puntos): F (t) − kx = ma
¨ + kx = F (t)
⇒ m x
Pregunta II (2 puntos): defina y (t) = x˙ , el modelo de la pregunta I se puede reescribir como y˙ =
F (t) m
k
−
m
x
Usando Euler explícito entonces obtenemos y (i + 1) = y (i) + h
�
F (i) m
−
k m
�
x(i)
x(i + 1) = x (i) + hy (i)
Pregunta III (2 puntos): con los valores propuestos obtenemos y (1) = y (0) + h
�
F (0) m
−
k m
x(0)
�
�1 �
= h
�1 �
= 2h
= 0 + h
1
−
0
x(1) = x (0) + hy (0) = 0 + h · 0 = 0 y (2) = y (1) + h
�
F (1) m
−
k m
�
x(1)
= h + h
x(2) = x (1) + hy (1) = 0 + h · h = h 2
1
−
0
Modelación de Procesos (543207-1) Quiz #4 S2-2010 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 11/11/2010 *
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Modificado el 18 de noviembre de 2010. arn/ARN
1
Problema 1 (4 pt.) ¿ Cuál sería la altura de la atmósfera si la densidad del aire fuese: (a) uniforme? (b) decreciera con la altura en forma lineal hasta cero? Asuma que a nivel del mar la presión de la atmósfera es de 101 kP a y que la densidad del aire es de 1 ,3 kg/m3 .
Problema 2 (2 pt.) La tripulación de un submarino dañado que se encuentra a una profundidad de m bajo la superficie intenta escapar. ¿ Qué fuerza debe ser aplicada sobre una escotilla rectangular de salida de largo 1 ,2 m y ancho 0 ,6 m que se abre hacia afuera? Asuma que la densidad del agua de mar es de 1024 kg/m3 y que la presión al interior del submarino es igual a la presión atmosférica a nivel del mar. 100
Solución. Problema 1 (a) Si la densidad es uniforme tenemos que
pB
= p A
−
ρgh
donde el punto A se ubica a nivel del mar, mientras que el punto B se ubica en el límite entre la atmósfera y el espacio. La presión es en el punto B se asume como cero por el vacío del espacio, esto nos da entonces una altura de la atmósfera de
p −ρg
− A
h =
=
−101000 −1
,3 · 9,81
= 7,9278
≈
8
(b) Si la densidad dismimuye en forma lineal debemos plantear entonces que h
pB
= p A
−
∫ ρgdy ∫ � � 0
h
pB
= p A
−
ρo g
1−
0
pB
= p A
h =
−
ρo gh + ρo g
pA − pB 2 ρo g
=2
y h
�� gdy
h
2 101000 − 0 1,3 · 9,81
= 15,8556
≈
16
Problema 2 Dadas las dimensiones de la escotilla tenemos que su área es de A = 1,2 · 0,6 = 0,72 m2 . A esa profundidad tenemos que la presión está dada por
pB
= p A + ρgh
⇒
pB = 0 + 1024 · 9,8 · 100 = 1003,520 kP a
donde el punto A se ubica a nivel del mar, mientras que el punto B se ubica en la escotilla. La fuerza que debe ser aplicada es por tanto mayor que la fuerza desarrollada sobre la escotilla debido a la presión es decir (en magnitud)
F > pA = 1003520 · 0,72 = 722530 N ≈ 720000 N
Modelación de Procesos (543207-1) Quiz #5 S2-2010 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 25/11/2010 *
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Modificado el 23 de noviembre de 2010. arn/ARN
1
Problema 1 (4 pt.) Supóngase que en una escala de temperatura lineal X, el agua hierve a −53,5o X y se congela a −170o X . ¿Cuál es el equivalente en escala X de 340 K ? (Aproxime la temperatura de congelación del agua en grados kelvin a 273K en vez de 273,16K )
Problema 2 (2 pt.)
Figura 1: Problema 1. De un depósito grande fluye agua a razón de 1,77 pie3 /s por un sistema de tubería, como se aprecia en la figura. Calcule la cantidad total de energía que se pierde en el sistema debido a la válvula, codos, entrada de tubería y fricción del fluido ( g = 32,2 pie/s2 , γ = 62,4lb/pie3 ).
Solución. Problema 1 Considere los siguientes puntos p1 = (373, −53,5) y p2 = (273, −170). La pendiente es
m =
170 + 53,5 = 1,165 273 − 373
−
La relación entre ambas temperaturas está entonces dada por
T x = 1,165(T k − 373) − 53,5 por lo que T k = 340K son iguales a T x = 1,165(340 − 373) − 53,5 = −91,945o X . Problema 2 Recordemos la ecuación general de la energía
p1 v2 p2 v2 + z1 + 1 + hA − hR − hL = + z2 + 2 γ 2g γ 2g En este ejemplo reconocemos p1 = p2 = 0 (manométrica), mientras que v1 ≈ 0, además como no hay dispositivos mecánicos presentes entonces h A = h R = 0. Como resultado obtenemos que
v22 z1 − hL = z 2 + 2g
⇒
hL = (z1 − z2 ) −
v22 2g
De la figura tenemos que z1 = 25 y z2 = 0, mientras que v2 = Q2 /A2 = 1,77/(π(3/24)2 ) = 36,0581. Reemplazando esto en la ecuación de arriba nos da
hL = 25 − 0 −
36,05812 = 4,8108 pie 2 · 32,2
Modelación de Procesos (543207) Prueba #1 S2-2010 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 27/10/2010 *
Instrucciones • No de vuelta la hoja hasta que se le indique. • Escriba su nombre completo en cada hoja que entregue. • Esta prueba es individual. • Cualquier intento de copia será castigado con nota mínima 1. • Esta prueba es sin apuntes y sin calculadora. • Esta prueba consiste de cuatro (4) preguntas. • Tiempo: 100 minutos. • Lea todas la(s) pregunta(s) detenidamente. • Todas las preguntas ponderan igual. • Escriba sus respuestas con letra clara y legible.
Nombre completo: ——————————————————————————————— *
Modificado el 25 de octubre de 2010. arn/ARN
1
Problema 1 Considere el siguiente modelo adimensional para la concentración de metano θ1 y la temperatura θ2 al interior de un reactor catalítico de flujo reversible µ ∂θ 1 ∂θ 1 = φv 1 + k1 (1 − θ1 )e 1+θ2 ∂t ∂x µ ∂θ 2 ∂θ 2 = φv 2 + k2 (1 − θ1 )e 1+θ2 ∂t ∂x
donde los parámetros v1 , v2 , µ, k1 y k2 son conocidos. Proponga y fundamente la clasificación del presente modelo acorde con los puntos vistos en clases.
Problema 2 Se simularon tres distintos modelos para el mismo proceso real. Las mediciones (por 1000) resultantes de la señal de salida (todo bajo similares condiciones iniciales y señal de entrada aplicada) se resumen en la siguiente tabla. Tiempo Modelo 1 (por 1000) Modelo 2 (por 1000) Modelo 3 (por 1000) Proceso real (por 1000)
0 10000 10000 10000 10000
4 1296 400 -6000 2019
8 168 16 3600 408
12 22 1 -2160 82
16 3 0 1296 17
20 0 0 -778 3
24 0 0 467 1
28 0 0 -280 0
32 0 0 168 0
36 0 0 -101 0
40 0 0 60 0
(a) Ordene los modelos de mejor a peor. ¿Qué modelo sugeriría usted escoger? Fundamente su respuesta. (b) Se sabe que los tres modelos son resultado de sendas aproximaciones del mismo modelo en tiempo continuo usando el método de Euler explícito. Comente, a la luz de esta información, los resultados resumidos en la tabla anterior.
Problema 3 Dado el modelo
x˙ = λx con λ ∈
− R
y x (0) = x o (condición inicial) conocidas.
(a) Obtenga la ecuación de recursión resultante del uso del método de Euler explícito sujeto a un tiempo de sampleo h1 . (b) Obtenga la ecuación de recursión resultante del uso del método de Runge Kutta de segundo orden sujeto a un tiempo de sampleo h 2 . (c) Asuma h1 = h 2 = h conocido, como el tiempo de sampleo en ambos casos. Muestre que la aproximación de Runge Kutta de orden 2 es mejor que la aproximación con el método de Euler explícito.
Problema 4
Figura 1: Problema 5
Un bloque de masa m inicialmente en reposo comienza a desplazarse por un plano inclinado como en la Figura1. (a) Plantee un modelo para la posición del bloque sobre el plano inclinado en función de m, θ y µk (coeficiente de roce cinético). (b) Se observa que al tiempo t = 2 segundos el bloque se ha desplazado 10 metros sobre el plano inclinado. Asuma m y θ conocidos ¿ Qué valor de µk debe entonces usar en su modelo para que describa la observación reportada?
Solución:
Problema 1 El modelo propuesto es
• No-lineal. • De parámetros constantes. • Dinámico. • Causal. • Con parámetros distribuidos. • De tiempo continuo. • Análogo. • Determinista.
Problema 2 El proceso real está dado por x˙ = −0,4x con xo = 10. Parte (a)
e1 = | modelo1 − real| = [ 0
0,723 0,240 0,060 0,014 0,003 0,0 0 1 0 0 0 0
]
e2 = | modelo2 − real| = [ 0
1,619 0,392 0,081 0,017 0,003 0,0 0 1 0 0 0 0
]
e3 = | modelo3 − real| = [ 0
8,019 3,192 2,242 1,279 0,781 0,466 0,280 0,168 0,101 0,060
e21 = 2,3365,
e22 = 11,1267,
]
e23 = 328,4127
El mejor modelo, de los propuestos, es el modelo 1, seguido por el modelo 2 y finalmente el peor es el modelo 3. Parte (b) La data del modelo 1 es un Euler explícito con h = 1. La data del modelo 2 es un Euler explícito con h = 2. La data del modelo 3 es un Euler explícito con h = 4. El modelo 1 es el modelo más preciso, el modelo 2 es menos preciso por lo tanto con un h mayor. El modelo 3 oscila por lo que está empezando a presentar problemas de estabilidad numérica debido a una mala elección de h .
10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 0
5
10
15
20 25 tiempo
30
35
40
45
Figura 2: Respuestas de los distintos modelos ( h = 1, línea negra, h = 2, línea negra segmentada, h = 4 línea negra punteada) y el proceso real (línea azul)
Problema 3 Parte a
x(kh + h) = (1 + λh)x(kh) Parte b
x(kh + h) = (1 + λh +
(λh)2 )x(kh) 2
Parte c Con h conocido tenemos del primer método que
x(kh) = (1 + λh)k xo mientras que del segundo método obtenemos
x(kh) = (1 + λh +
(λh)2 k ) xo 2
Finalmente nótese que ambas son aproximaciones truncadas (serie de Taylor alrededor de cero) de (eλh )k , donde el segundo método contiene un término adicional con respecto al primer método por lo que es más preciso para el mismo h.
Problema 4 Parte a Análisis de cuerpo libre nos entrega, en la dirección del plano inclinado, la siguiente suma de fuerzas
mg sin(θ) − µk mg cos(θ ) = ma ⇒ ¨ x = g sin(θ ) − µk g cos(θ ) Modelo para la posición sobre el plano inclinado, escogiendo el origen como xo , está entonces dado por
x(t) = [g sin(θ ) − µk g cos(θ)]
t 2
2
Parte b Para dar razón de la observación propuesta debemos entonces plantear
x(2) = 10 ⇒ [ g sin(θ ) − µk g cos(θ)]
g sin(θ ) − 5 4 = 10 ⇒ µ k = 2 g cos(θ )
Dado que por definición µk ≥ 0 , se puede también observar que θ ≥ 31 o .
Modelación de Procesos (543207) Prueba #2 S2-2010 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 21/12/2010 *
Instrucciones • No de vuelta la hoja hasta que se le indique. • Escriba su nombre completo en cada hoja que entregue. • Esta prueba es individual. • Cualquier intento de copia será castigado con nota mínima 1. • Esta prueba es sin apuntes. • Se permite el uso de calculadora ciéntifica no programable. • Esta prueba consiste de cinco (5) preguntas. • Tiempo: 100 minutos. • Lea todas la(s) pregunta(s) detenidamente. • Ponderación: P1 (15 %), P2 (30 %), P3 (15 %), P4 (15 %), P5 (25 %). • Escriba sus respuestas con letra clara y legible.
Nombre completo: ——————————————————————————————— *
Modificado el 21 de diciembre de 2010. arn/ARN
1
Problema 1 (15 %) La figura muestra un tanque cerrado que contiene gasolina flotando sobre el agua. Calcule la presión del aire por arriba de la gasolina. ( γ H O = 9,81kN/m3 ) 2
Problema 2 (30 %) A través del motor de fluido de la figura circula agua a 10o C ( γ H O = 9,81kN/m3 ), a razón de 115 L/min. La presión de A es de 700 kP a, y en B es de 125 kP a. Se estima que debido a la fricción en la tubería existe una pérdida de energía de 4 N · m/N en el agua que fluye. (g = 9,81 m/s2 ) 2
(a) Calcule la potencia que el agua transmite al motor de fluido. (b) Si la eficiencia mecánica del motor de fluido es del 85 %, calcule la potencia de salida.
Problema 3 (15 %) La figura muestra dos caminos que pueden ser tomados por un gas desde un punto inicial i hasta un punto final f . El camino 1 consiste de un proceso isotérmico (la magnitud del trabajo durante este proceso es de 50 J ), un proceso adiabático (la magnitud del trabajo durante este proceso es de 40 J ), un proceso isotérmico (la magnitud del trabajo durante este proceso es de 30 J ) y un proceso adiabático (la magnitud del trabajo durante este proceso es de 25 J ). ¿Cuál es el cambio en energía interna del sistema, si el gas se desplaza del punto i al punto f siguiendo ahora el camino 2?
Problema 4 (15 %) Una máquina de calor ideal de Carnot tiene una eficiencia del 22 % operando entre reservorios térmicos a temperaturas constantes, con una diferencia de temperatura de 75o C . (a) ¿Cuál es la temperatura T L del reservorio térmico a menor temperatura? (b) ¿Cuál es la temperatura T H del reservorio térmico a mayor temperatura?
Problema 5 (25 %) Un bloque de 600 gramos de cobre ( ccu = 386 J/kgK ) a una temperatura de 80o C es colocado en 70 gramos de agua (cH O = 4180 J/kgK ) a una temperatura de 10o C en un contenedor aislado. 2
(a) ¿Cuál es la temperatura de equilibrio del sistema cobre-agua? (b) ¿Cuál es el cambio de entropía del cobre? (c) ¿Cuál es el cambio de entropía del agua? (d) ¿Cuál es el cambio de entropía del sistema completo cobre-agua?
Solución:
Problema 1 Directamtente de la figura tenemos
paire = p atm + 0,457 · 13,54 · 9,81 − 1,381 · 1 · 9,81 − 0,5 · 0,68 · 9,81 = p atm + 60,70 − 13,55 − 3,36 = p atm + 43,79 La presión del aire al interior del estanque es de 43,79 kP a manométrica, o equivalentemente 144,79 kP a absoluta.
Problema 2 La ecuación general de la energía nos da
pA v2 pB v2 + zA + A − hR − hL = + zB + B γ H O 2g γ H O 2g 2
Despejamos h R como pedido
2
2 2 pA − pB v A − vB hR = + (zA − zB ) + − hL γ H O 2g 2
Factores conocidos son hL = 4 , zA = 1,8, zB = 0, pA = 700 kP a y pB = 125 kP a. Por determinar son los factores vA y v B
Q 115/60000 = = 3,91 m/s AA 4,9087 · 10−4 Q 115/60000 vB = = = 0,43 m/s AB 4,4178 · 10−4 vA =
Reemplazando estos números resulta en
hR =
700 − 125 3,912 − 0,432 + 1,8 + − 4 = 57,1834 9,81 2 · 9,81
La potencia que el agua transmite al motor de fluido es entonces
P R = h R γ H O Q = 57,1834 · 9,81 · 103 · 2
115 = 1076Nm/s 60000
Con la información sobre la eficiencia mecánica e M del motor podemos ahora deducir la potencia de salida del motor como
P o = e M pR = 0,85 · 1076 = 914,6 W atts
Problema 3 El cambio de energía interna sólo depende del estado inicial y final, no de los procesos termodinámicos particulares que nos llevan de uno a otro. Es decir, el camino 1 es equivalente al camino 2. En particular tenemos
W a = 50 (dado) W b = 40 (dado) W c = −30 (dado) W d = −25 (dado) W tot = 35
Qa = 50 (proceso isotérmico Q = W ) Qb = 0 (proceso adiabático Q = 0) Qc = −30 (proceso isotérmico Q = W ) Qd = 0 (proceso adiabático Q = 0) Qtot = 20
Finalmente la primera ley de la termodinámica nos dice que ∆E int = Qtot − W tot = 20 − 35 = −15.
Problema 4 Dada la información sobre la eficiencia ec recordemos que
ec = 1 −
T L T H − T L = 0,22 ⇒ = 0,22 T H T H
Por otro lado se nos dice que ∆T = 75 o C = T H − T L . Reemplazando esto en la ecuación de arriba nos da
75 75 = 0,22 ⇒ T H = = 341 K T H 0,22 La temperatura T L se obtiene como T L = T H − 75 = 266 K .
Problema 5 Dada la información tenemos las siguientes expresiones para el calor extraído desde el cobre y el calor recibido por el agua
Qcu = mcu ccu (T f − 80) QH O = m H O cH O (T f − 10) 2
2
2
Notando que |Qcu | = |QH O | y reemplazando la información para m cu , ccu , mH O y cH O tenemos que 2
2
0,6 · 386 (80 − T f ) = 0,07 · 4180 (T f − 10) ⇒ T f =
∫ = ∫
2
0,6 · 386 · 80 + 0,07 · 4180 · 10 = 40,927 o C 0,6 · 386 + 0,07 · 4180
De la definición para el cambio de entropía tenemos que T f
∆S cu
T i T f
∆S H O = 2
T i
mcu ccu dT = mcu ccu log (T f /T i ) = 0,6 · 386log (314/353) = −27,1146 T mH O cH O dT = m H O cH O log (T f /T i ) = 0,07 · 4180log (314/283) = 30,4146 T 2
2
2
2
El cambio de entropía del sistema completo estám dado por la suma de los dos cambios de entropía, es decir ∆S tot = ∆S cu + ∆S H O = −27,1146+30,4146 = 3,3. Dado que el sistema es aislado, este cambio de entropía es la “marca” de un proceso irreversible. 2
Modelación de Procesos (543207) Prueba #1 S2-2011 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 09/12/2011 *
Instrucciones
• No de vuelta la hoja hasta que se le indique. • Escriba su nombre completo en cada hoja que entregue. • Esta prueba es individual. • Cualquier intento de copia será castigado con nota mínima 1. • Esta prueba es sin apuntes. • Se permite el uso de calculadora ciéntifica no programable. • Esta prueba consiste de cuatro (4) preguntas. • Ponderación: P1 (16 %), P2 (20 %), P3 (30 %), P4 (34 %). • Lea todas la(s) pregunta(s) detenidamente. • Escriba sus respuestas con letra clara y legible. • Tiempo: 100 minutos. Nombre completo: ——————————————————————————————— *
Modificado el 14 de diciembre de 2011. arn/ARN
1
Problema 1 Considere el siguiente modelo promedio resultante de estudios sobre oscilaciones inducidas por el viento
˙ x =
−ζx − λy + xy − ζy + 12 x2 − y2 y = λx ˙ donde ζ ∈ R+ es un factor de amortiguamiento y λ ∈ R+ es un factor de sintonización.
�
�
Proponga y fundamente la clasificación del presente modelo acorde con los puntos vistos en clases.
Problema 2 Considere el modelo dado por
x = λx ˙ ˙ Dada una observación (no entregada) se proponen cinco modelos alternativos y = y(t) evaluado en
¯ con λ ¯ λy 0,2, 0,4, 0,6, 0,8 para los que el error e(t) = x(t) t 1, 2, 3, 4, 5 satisface
∈ {
∈ {
}
t / e(t) 1 2 3 4 5
}
−
¯ 0,2 λ =
¯ 0,4 λ =
¯ 0,6 λ =
¯ 0,8 λ =
¯ 1 λ =
0.5393 1.6081 3.6357 7.3839 14.2005
0.2688 0.8744 2.1377 4.6564 9.5298
-0.0615 -0.2202 -0.5918 -1.4138 -3.1667
-0.4649 -1.8531 -5.5653 -14.9231 -37.6793
-0.9576 -4.2892 -14.6277 -44.9888 -131.4943
(i) Calcule el error cuadrático para cada uno de los 5 valores de λ propuestos. (ii) A la luz de lo obtenido en los puntos anteriores ¿ Qué modelo escogería? (fundamente).
Problema 3 Dado el siguiente modelo
x = x + y ˙ y = x + ˙ 2y Plantee las ecuaciones de recursión usando el método de (i) Euler implícito. (ii) Euler explícito para x(t) y Euler implícito para y(t) Asuma h conocido y evalúe x(2h), y(2h) para las condiciones iniciales x(0) = 1 e y(0) = 1.
Problema 4 Considere el movimiento parabólico en dos dimensiones de una partícula con velocidad inicial vo1 conocida y con ángulo de elevación θ1 también conocido. Una segunda partícula es lanzada desde el mismo punto inicial después de un tiempo T conocido, para llegar de vuelta al suelo en el mismo lugar y al mismo tiempo que la primera partícula.
(a) ¿ Cuál es el valor máximo de T tolerable tal que la segunda partícula cumpla con lo especificado (llegar de vuelta al suelo en el mismo lugar y al mismo tiempo que la primera partícula)? (b) Plantee el modelo para la posición de esta segunda partícula (modelo cinemático) en función de vo1 , θ1 y T .
Solución:
Problema 1 El modelo propuesto es
• No-lineal (Dado por ejemplo xy ). • De parámetros constantes (Dado por supuesto que ζ y λ son número reales positivos fijos).
• Dinámico (Por la presencia de derivadas en el tiempo). • Causal (Por ser un sistema físico). • Con parámetros concentrados (Al no haber derivadas en otras variables que no sea el tiempo).
• De tiempo continuo (Al haber derivadas y no diferencias). • Análogo (En principio al no haber limitación en los valores que puedan alcanzar tanto x como y ).
• Determinista (Al no haber ningún elemento estocástico en el modelo). Problema 2 (i)
¯ 0,2 λ =
∑
t e
2
(t) 272.2722
¯ 0,4 λ =
¯ 0,6 λ =
¯ 0,8 λ =
¯ 1 λ =
117.9050
12.4293
1677.1
19548
¯ = 0,6, (ii) A la luz de lo obtenido en los puntos anteriores la mejor elección es λ dado que muestra el menor error cuadrático. Esto no dista mucho del valor real λobs = 0,4 2 = 0,5657 usado en xobs (t).
√
Problema 3 (i)
x(k + 1) =
1 1
− y(k + 1) = 1−
− 2h
h y(k) 1 3h + h2 h 1 h x(k) + y(k) 3h + h2 1 3h + h2 3h + h2
x(k) +
− − −
Los valores para x(2h) e y(2h) se obtienen como
� �
x(2h) = y(2h) (1 =
(1
− −
�− �−
2
���
1 1 2h h 1 2 2 h 1 h 1 3h + h ) 1 1 4h + 5h2 2h 3h2 2 2h 3h 1 2h + 2h2 3h + h2 )2
−
−
−
−
=
�� � � � 1 1
1−2h+2h2 (1−3h+h2 )2 1−h2 (1−3h+h2 )2
(ii)
− h − h2 h x(k + 1) = x(k) + y(k) 1 − 2h 1 − 2h h 1 y(k + 1) = x(k) + y(k) 1 − 2h 1 − 2h 1
Los valores para x(2h) e y(2h) se obtienen como 2
1 x(2h) 1 h h2 h 1 = 2 y(2h) h 1 1 (1 2h) 3 4 1 1 2h + 2h + h 2h h2 h3 = 2h h2 h3 1 + h2 (1 2h)2
� �
�− �−
−
−
−
���
− −
− −
=
�� � � � 1 1
1−h2 +h3 +h4 (1−2h)2 1+2h−h3 (1−2h)2
Problema 4 Parte a El máximo valor tolerable de T es el tiempo de vuelo de la primera partícula, es decir θ ) T max = t v1 = 2v sin( . g Parte b Con la información dada tenemos que la primera partícula obedece las siguientes ecuaciones cinemáticas o1
1
x1 (t) = x o + vo1 cos(θ1 )t y1 (t) = y o + vo1 sin(θ1 )t
− g2 t2
De esto obtenemos el tiempo de vuelo tv1 y el alcance R 1 como
tv1 =
2vo1 sin(θ1 ) , g
R1 = x o +
2vo21 cos(θ1 )sin(θ1 ) g
La segunda partícula requiere estar en la misma posición R para el tiempo T + tv2 , con tv2 el tiempo de vuelo de la segunda partícula. De esto se deduce que
T + tv2 = t v
2v 1 sin(θ1 ) 2) ⇒ 2v 2 sin(θ − T, = g g o
1
o
y
2
2
⇒ 2v 2 cos(θg2)sin(θ2) = 2v 1 cos(θg1)sin(θ1) o
R2 = R1
o
Considere ahora el factor t2v 2 /R2 y observe que entonces
θ2 = tan
−1
� g 2
2v 1 sin(θ1 ) o
g 2 o1
2v
2
� � ⇒
− T
v o2 =
cos(θ1 )sin(θ1 ) g
El modelo pedido es entonces
2vo1 sin(θ1 ) g
�
− T
x2 (t) = xo + vo2 cos(θ2 )(t
− T ) g y2 (t) = y + v 2 sin(θ2 )(t − T ) − (t − T )2 2 o
θ
o
=0.7854 (rad/s), v =5 (m/s), θ =0.6384 (rad/s), v =5.1109 (m/s), T=0.1
1
o1
2
o1
0.7 0.6 0.5 0.4
y
0.3 0.2 0.1 0 −0.1 0
0.5
1
1.5 x
2
Figura 1: Ejemplo Problema 4
2.5
3
g 2sin(θ2 )
θ
1
=0.7854 (rad/s), v =5 (m/s), θ =0.6384 (rad/s), v =5.1109 (m/s), T=0.1 o1
2
o1
3 2 x
1 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4 tiempo
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4 tiempo
0.5
0.6
0.7
0.8
1 0.5 y
0 −0.5
Figura 2: Ejemplo Problema 4
Modelación de Procesos (543207) Prueba #2 S2-2011 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 27/01/2012 *
Instrucciones • No
de vuelta la hoja hasta que se le indique.
• Escriba • Esta
su nombre completo en cada hoja que entregue.
prueba es individual.
• Cualquier • Esta • Se
prueba es sin apuntes.
permite el uso de calculadora ciéntifica no programable.
• Esta •
intento de copia será castigado con nota mínima 1.
prueba consiste de cuatro (4) preguntas.
Ponderación: P1 (30 %), P2 (20 %), P3 (30 %), P4 (20 %).
• Lea
todas la(s) pregunta(s) detenidamente.
• Escriba
sus respuestas con letra clara y legible.
• Tiempo:
100 minutos.
Nombre completo: ——————————————————————————————— *
Modificado el 1 de marzo de 2012. arn/ARN
1
Figura 1: Problema 1
Problema 1 (30 %) Asuma la constante del resorte K , masa m, coeficiente de roce viscoso µk y ángulo θ en la Figura 1 como conocidos. (a) Encuentre un modelo para la posición del bloque. (b) Encuentre el desplazamiento cuando la aceleración se hace cero y bosqueje su gráfica como función de θ . (c) Un estudiante de Modelación de Procesos opina que la posición está descrita por
x(t) = sin(αt) + β con α, β reales por determinar. ¿Comparte usted dicha opinión? (fundamente). (d) Plantee la ecuación de recursión usando el método de Euler explícito (Ayuda: defina una variable auxiliar x = y ) ˙
Problema 2 (20 %) La Figura 2 muestra una parte de un sistema de protección contra incendios donde una bomba impulsa agua a 60 [o F ] desde un depósito y la lleva al punto B a razón de 1500 [gal/min]. Calcule la altura h que se requiere para el nivel del agua en el estanque, con el fin de mantener una presión de 5,0 [ psig] en el punto A.
Datos - Factor de conversión de galones a pie cúbicos:
1 [ pie3 /s] 449 [gal/min] .
Figura 2: Problema 2
- Diámetro externo de una tubería de acero de 10 pulgadas cédula 40: 10,750 [ pul]. - Diámetro interno de una tubería de acero de 10 pulgadas cédula 40: 10,020 [ pul]. - Viscosidad cinemática del agua a 60 [ o F ]: 1,21 · 10−5 [ pie2 /s]. - Rugosidad ϵ del acero: 1,5 · 10−4 [ pie]. - Fórmula para el cálculo directo del factor de fricción:
f =
0,25
�log � 10
1 3,7 D ϵ
+
5,74 0,9 N R
��
2
con D , diámetro interno de la tubería, ϵ rugosidad de la tubería, N R número de Reynolds.
Problema 3 (30 %) Para el mismo sistema de protección contra incendios esbozado en la Figura 2 donde una bomba impulsa agua a 60 [ o F ] desde un depósito y la lleva al punto B a razón de 1500 [gal/min]. Si suponemos que la presión en A es de 5,0 [ psig], calcule la potencia en [hp] que transmite la bomba al agua con objeto de conservar una presión de 85 [ psig] en el punto B. Incluya la pérdida de energía debido a la fricción, pero ignore las demás.
Datos - Factor de conversión de galones a pie cúbicos: - Factor de conversión de lb pie/s a hp:
1 [ pie3 /s] 449 [gal/min] .
1 [hp] 550 [lb pie/s] .
- Diámetro externo de una tubería de acero de 8 pulgadas cédula 40: 8,625 [ pul]. - Diámetro interno de una tubería de acero de 8 pulgadas cédula 40: 7,981 [ pul]. - Viscosidad cinemática del agua a 60 [ o F ]: 1,21 · 10−5 [ pie2 /s]. - Rugosidad ϵ del acero: 1,5 · 10−4 [ pie]. - Fórmula para el cálculo directo del factor de fricción:
f =
0,25
�log � 10
1 3,7 D ϵ
+
5,74 0,9 N R
��
2
con D , diámetro interno de la tubería, ϵ rugosidad de la tubería, N R número de Reynolds.
Problema 4 (20 %) Considere un bloque de hielo con una masa 510 [g] a una temperatura de −10 [o C ]. Si se sabe que ch = 2220 [J/kg K ] es el calor específico del hielo, L F = 333 [kJ/kg] es el calor de fusión del agua y c l = 4190 [J/kg K ] es el calor específico del agua en estado líquido: (a) ¿Cuanto calor se necesita para que el agua alcance una temperatura de 12 [ o C ]? (b) Si se agregan tan sólo 150[kJ ] en forma de calor ¿Cuál es el estado final del agua (sólido, líquido, etc.) y cuál es su temperatura?
Solución:
Problema 1 (a) Hacemos un diagrama de cuerpo libre y reconocemos tres fuerzas actuando sobre la masa: - La componente del peso a lo largo del plano inclinado. - La fuerza de roce. - La fuerza del resorte. La suma de fuerzas para la masa m se hace con respecto a un sistema de coordenadas paralelo al plano inclinado, con dirección positiva hacia la derecha
ma = mg sin(θ) − µk mg cos(θ) − Kx ¨ y despejando, tenemos el modelo buscado Dado que a = x x ¨ = g sin(θ) − µk g cos(θ) −
K x m
(b) Para una aceleración cero, acorde al modelo, se tiene que
xao =
mg (sin(θ) − µk cos(θ)) K
El dibujo como función de θ se presenta en la figura respectiva. Nótese que un ángulo mayor de 90o no tiene sentido en el contexto del problema. (c) Se puede verificar por substitución, lo que entrega los siguientes valores para α y β
α =
√ K m
,
β =
mg (sin(θ) − µk cos(θ)) K
(d) Con la ayuda propuesta planteamos
y = g ˙ sin(θ) − µk g cos(θ) −
K x m
x = y ˙ Usamos ahora una aproximación de Euler explícito por lo que
y(nh + h) − y(nh) K = g sin(θ) − µk g cos(θ) − x(nx) h m x(nh + h) − x(nh) = y(nh) h Ahora reemplazamos la segunda ecuación en la primera (tanto para y(nh + h) como para y(nh)) x(nh+2h)−x(nh+h) x(nh+h)−x(nh) − h h
h
= g sin(θ) − µk g cos(θ) −
K x(nx), m
1 0.8 0.6 o a
x
0.4 0.2 0
−0.2 0
0.5
1
1.5
θ
Figura 3: Gráfica de x ao (θ) con
m K gµ k =
1 y µk = 0,2.
por lo que la ecuación de recursión queda como
�
x(nh + 2h) − 2x(nh + h) + x(nh) 1 + h con n
∈
�
2 K
m
= h 2 (g sin(θ) − µk g cos(θ)) ,
N.
Problema 2 Planteamos la ecuación general de la energía entre el punto 1, a la altura h en el interior del estanque, y el punto A
p1 v2 + z1 + 1 γ 2g
−
hL =
pA v 2 + zA + A γ 2g
En el punto 1 tenemos presión atmosférica por lo que p 1 = 0, además de la figura z 1 = h y v 1 ≈ 0. En el punto A sabemos que zA = 0 y que pA = 5 [ psig]. Necesitamos calcular tanto hL como vA . Empecemos con vA 3
pie /s] 1500 [gal/min] · 4491 [[gal/min] QA vA = = = 6,1008 [ pie/s] 2 AA π 10,020
�
2·12
�
Para hL en la parte (a) del problema empezamos por calcular el número de Reynolds
N R =
6,1008 · 10,02 vD 12 = = 4,21 · 105 −5 · ν 1,21 10
es decir el flujo es turbulento. Con esto debemos entonces encontrar la rugosidad relativa ϵ/D = 1,5·10−4 /(10,020/12) = 1,7964 · 10−4 por lo que usando la fórmula para f tenemos
f =
0,25
�log � 10
1 3,7 D ϵ
+
5,74 0,9 N R
2
��
= 0,0156
La pérdida por fricción resulta ser
hL = f ·
L v2 · = 0,0156 · D 2·g
45 6,10082 10,020 2 · 32,2 = 0,4921 [ pies] 12
Esto resulta en una altura h de líquido al interior del estanque de 2 p A v A 5 · 144 6,10082 h = h L + + = 0,4921 + + = 12,6085 [ pies] γ 2g 62,4 2 · 32,2
Problema 3 Planteamos la ecuación general de la energía entre el punto A y B
pA v 2 pB v 2 + zA + A + hA − hL = + zB + B γ 2g γ 2g De la figura sabemos que zA = 0 y zB = 25, vA es conocido de la parte A, por ec. de continuidad vB es
vB =
AA 3,3408 vA = 2 = 9,6163 [ pie/s] AB π 7,981 2·12
� �
Las pérdidas por fricción son ahora función de la velocidad v B , no vA , por lo que recalculamos el número de Reynolds
9,6163 · 7,981 vD 12 N R = = = 5,2857 · 105 −5 ν 1,21 · 10 El flujo sigue siendo turbulento, la rugosidad relativa cambia a 2,2554 · 10−4 , por lo que el factor de fricción f se calcula como
f =
0,25
�log � 10
1 3,7 D ϵ
Las pérdidas por fricción se cuantifican como
hL = f ·
+
5,74 0,9 N R
2
��
= 0,0157
L v2 2625 9,61632 · = 0,0157 · 7,981 = 88,9781 [ pies] D 2·g 2 · 32,2 12
De todo esto se deduce hA como
hA = h L +
p B v 2 + zB + B γ 2g
−
pA γ
−
2 vA 2g
= 86,144 +
85 · 144 9,61632 + 25 + 62,4 2 · 32,2
−
5 · 144 62,4
−
6,10082 = 299,4515 2 · 32,2
Con esto finalmente calculamos la potencia como
P A = h A γQ = 296,6178 · 62,4 · 3,3408 = 62425 [lb pie/s] ⇒ P A = 113,5 [hp]
Problema 4 (a) El primer paso es estimar el calor necesario para subir la temperatura del hielo desde
10 [ o C ] hasta 0 [ o C ]
−
Q1 = c h mh (T f − T i ) = 2220 · 0,51 · (0 − (−10)) = 11,322 [kJ ] Ahora calculamos el calor necesario para hacer cambiar completamente de estado la masa de agua
Q2 = LF mh = 333 · 0,51 = 169,83 [kJ ] Finalmente calculamos el calor necesario para subir la temperatura del agua en estado líquido otros 12 grados
Q3 = c l ml (T f − T i ) = 4190 · 0,51 · (12 − 0) = 25,643 [kJ ] El calor total necesario es entonces de Qtot = Q1 + Q2 + Q3 = 11,322 + 169,83 + 25,643 = 206,795. La mayor cantidad de calor se requiere para transforma el estado del agua, desde sólido a líquido. (b) Si se entrega calor a la masa de hielo en una cantidad total de 150 [kJ ], entonces de (a) sabemos que hay suficiente calor para que todo el hielo suba su temperatura de los −10 [ o C ] originales hasta los 0[o C ]. El calor sobrante es de 138,6780 [kJ ]. Con esta cantidad de calor restante tenemos que
mh =
138,678 = 0,4165 [kg] 333
es decir el calor restante permite la transformación del estado sólido al estado líquido de tan sólo 41,65 [g] de hielo. En conclusión el estado final del agua es de 41,65 [g] en estado líquido y 9,35 [g] en forma de hielo a una temperatura de 0 [ o C ].
Modelación de Procesos (543207) Prueba Recuperación S2-2011 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 05/03/2012 *
Instrucciones • No
de vuelta la hoja hasta que se le indique.
• Escriba • Esta
su nombre completo en cada hoja que entregue.
prueba es individual.
• Cualquier • Esta • Se
prueba es sin apuntes.
permite el uso de calculadora ciéntifica no programable.
• Esta •
intento de copia será castigado con nota mínima 1.
prueba consiste de cuatro (4) preguntas.
Ponderación: P1 (20 %), P2 (30 %), P3 (30 %), P4 (20 %).
• Lea
todas la(s) pregunta(s) detenidamente.
• Escriba
sus respuestas con letra clara y legible.
• Tiempo:
100 minutos.
Nombre completo: ——————————————————————————————— *
Modificado el 25 de febrero de 2012. arn/ARN
1
u1 = u 3
y1
S 1
+
u3
+
y3
(a)
y2
S 2
u2 = u 3 S 3
r1
+ +
u1
S 1
y1 = u 2
y2
S 2
(b)
S 3
Figura 1: Problema 1.
Problema 1 (20 %) Considere el sistema S 1 y el sistema S 2 descritos respectivamente por
x˙ 1 = A 1 x1 + B1 u1 y1 = C 1 x1
x˙ 2 = A2 x2 + B2 u2 y2 = C 2 x2
con A1 , B1 , C 1 , A2 , B2 y C 2 matrices conocidas. Si se define un sistema equivalente S 3 con
x˙ 3 = A3 x3 + B3 u3 y3 = C 3 x3 ¿ Cuáles son los valores de A3 , B 3 y C 3 como funciones de las matrices A1 , B1 , C 1 , A2 , B2 y C 2 (a) para la configuración representada en la Figura 1 (a) (b) para la configuración representada en la Figura 1 (b), con r1 señal conocida, si x 3 =
�x � 1
x2
?
Problema 2 (30 %) La Figura 2 muestra una parte de un sistema de protección contra incendios donde una bomba impulsa agua a 15 [o C ] desde un depósito y la lleva al punto B a razón de 5600 [L/min]. Obtenga un modelo para la altura h del agua en el estanque como función de la presión de pA en el punto A.
Figura 2: Problemas 2 y 3.
Datos - Diámetro externo de una tubería de acero de 10 pulgadas cédula 40: 273,1 [mm]. - Diámetro interno de una tubería de acero de 10 pulgadas cédula 40: 254,5 [mm]. - Viscosidad cinemática del agua a 15 [ o C ]: 1,15 · 10−6 [m2 /s]. - Rugosidad ϵ del acero: 4,6 · 10−5 [m]. - Fórmula para el cálculo directo del factor de fricción:
f =
0,25
�log � 10
1 3,7 D ϵ
+
5,74 0,9 N R
��
2
con D , diámetro interno de la tubería, ϵ rugosidad de la tubería, N R número de Reynolds.
Problema 3 (30 %) Para el mismo sistema de protección contra incendios esbozado en la Figura 2 donde una bomba impulsa agua a 15 [ o C ] desde un depósito y la lleva al punto B a razón de 5600 [L/min]. Si suponemos que la presión en A es de 34,5 [kP a], calcule la potencia en [hp] que transmite la bomba al agua como función de la presión pB en el punto B. Incluya la pérdida de energía debido a la fricción, pero ignore las demás.
Datos - Factor de conversión de kW a hp:
1,341 [hp] 1 [kW ] .
- Diámetro externo de una tubería de acero de 8 pulgadas cédula 40: 219,1 [mm]. - Diámetro interno de una tubería de acero de 8 pulgadas cédula 40: 202,7 [mm]. - Viscosidad cinemática del agua a 15 [ o C ]: 1,15 · 10−6 [m2 /s]. - Rugosidad ϵ del acero: 4,6 · 10−5 [m]. - Fórmula para el cálculo directo del factor de fricción:
f =
0,25
�log � 10
1 3,7 D ϵ
+
5,74 0,9 N R
��
2
con D , diámetro interno de la tubería, ϵ rugosidad de la tubería, N R número de Reynolds.
Figura 3: Problema 4.
Problema 4 (20 %) Considere la Figura 3. En ella se muestra el esquema simplificado para la obtención del siguiente modelo de un automóvil:
M w + ζ ¨ w + Kw ˙ = B2 u donde
�m 0 � � M = , K = 0 � ζ + ζ ζ = �0�(ζ l ζ l ) I 1
−
B2 =
1
1 1 −
2
2 2
, u = f (t)
k1 + k2 −(k1l1 − k2 l2 )
−(k1l1 − k2 l2 ) k1 l12 + k2 l22
�
−(ζ 1 l1 − ζ 2 l2 ) ζ 1 l12 + ζ 2 l22
, w =
�w � 1
θ
,
�
,
La fuerza f (t) provee la fuente de excitación del sistema para pruebas estructurales. En particular, y por simplicidad, se consideran los siguientes valores específicos:
m = 1400[Kg], I = 206[Kgms2 ], k1 = 3600[Kg/m], k2 = 3800[Kg/m] ζ 1 =ζ 2 = 40[Kgs/m], l1 = 1,4[m], l2 = 1,7 [m] (i) Clasifique el modelo propuesto según lo visto en clases. (ii) Obtenga el modelo de diferencias usando el método de Euler explícito, dado un tiempo de muestreo h.
Solución:
Problema 1 (a)
A3 =
�A
B3 =
�B �
0 A2
1
0
�
1
B2
�
C 3 = C 1
C 2
�
(b)
A3 =
�A
B3 =
�B �
B1 C 2 A2
1
B2 C 1
�
1
0
�
C 3 = 0 C 2
�
Problema 2 Planteamos la ecuación general de la energía entre el punto 1, a la altura h en el interior del estanque, y el punto A
p1 v12 + z1 + γ 2g
2 pA v A + zA + − hL = γ 2g
En el punto 1 tenemos presión atmosférica por lo que p 1 = 0, además de la figura z 1 = h y v 1 sabemos que zA = 0. Necesitamos calcular tanto hL como vA . Empecemos con vA 3
1 [m /s] 5600 [L/min] · 60000 QA [L/min] vA = = = 1,8347 [m/s] 2 0,2545 AA π
�
2
�
Para hL en la parte (a) del problema empezamos por calcular el número de Reynolds
N R =
vD 1,8347 · 0,2545 = = 4,0603 · 105 ν 1,15 · 10−6
≈
0. En el punto A
es decir el flujo es turbulento. Con esto debemos entonces encontrar la rugosidad relativa ϵ/D = 4,6 · 10−5 /(0,2545) = 1,8075 · 10−4 por lo que usando la fórmula para f tenemos
f =
0,25
�log � 10
1 3,7 D ϵ
+
5,74 0,9 N R
2
��
= 0,0156
La pérdida por fricción resulta ser
hL = f ·
L v2 13,7 1,83472 · = 0,0156 · = 0,1441 [m] D 2 · g 0,2545 2 · 9,81
Esto resulta en una altura h de líquido al interior del estanque de
h = h L +
2 p A v A pA 1,83472 + = 0,1441 + + = 0,3157 + 0,1019 · pA [m] γ 2g 9,81 2 · 9,81
Problema 3 Planteamos la ecuación general de la energía entre el punto A y B
pA v 2 pB v 2 + zA + A hA − hL = + zB + B γ 2g γ 2g De la figura sabemos que zA = 0 y zB = 7,6, vA es conocido de la parte A, por ec. de continuidad vB es
vB =
AA 0,0933 vA = AB π 0,2027 2
�
2
�
= 2,8912 [m/s]
Las pérdidas por fricción son ahora función de la velocidad v B , no vA , por lo que recalculamos el número de Reynolds
N R =
vD 2,8912 · 0,2027 = = 5,0961 · 105 −6 ν 1,15 · 10
El flujo sigue siendo turbulento, la rugosidad relativa es 2,2694 · 10−4 , por lo que el factor de fricción f se calcula como
f =
0,25
�log � 10
1 3,7 D ϵ
+
5,74 0,9 N R
2
��
= 0,0157
Las pérdidas por fricción se cuantifican como
hL = f ·
L v2 (792,5 + 7,6) 2,89122 = 0,0157 · = 26,4026 [m] · D 2 · g 0,2027 2 · 9,81
De todo esto se deduce hA como
hA = h L +
p B v 2 + zB + B γ 2g
−
p A γ
−
2 v A 2g
= 26,4026 +
pB 2,89122 + 7,6 + 9,81 2 · 9,81
−
34,5 9,81
−
1,83472 = 30,7403 + 0,1019 · pB 2 · 9,81
Con esto finalmente calculamos la potencia como
P A = h A γQ = (30,7403 + 0,1019 · pB ) · 9,81 · 0,0933 = 28,1458+0,0933 pB [kW ] ⇒ P A = 37,7435+0,1251 pB [hp]
Problema 4 (i)
• Lineal. • De
parámetros constantes.
• Dinámico • Causal • Con • De
(Por la presencia de derivadas en el tiempo).
(Por ser un sistema físico).
parámetros concentrados (Al no haber derivadas en otras variables que no sea el tiempo).
tiempo continuo (Al haber derivadas y no diferencias).
• Análogo. • Determinista.
(ii)
�1400 0
0 206
� �w (kh + � � 2800 + 7400h � �w (kh + � kh + 2h 2 h) 7400h 1420h 1420h kh + h h)) + θ (kh + kh + 2h 2 h) 1420h h 412 + 18038h 18038h θ (kh + kh + h h)) �1400 1420 � �w (kh) � � 7400h 7400 h + 80h 80h 1420h 1420 h + 12h 12 h kh) −
1
1
−
+
−
1420h h + 12h 12 h2 −1420
2
−
2
206 − 18038 18038h h + 194h 194h2
�
0 = 2 θ (kh) kh) h f ( f (kh) kh) 1
Modelación de Procesos (543207) Quiz #1 S2-2011 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 04/11/2011 *
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Modificado el 2 de noviembre de 2011. arn/ARN
1
Figura 1: (a): Flujo en canal abierto a lo largo de un eje longitudinal indexado por x . El flujo Q(x, t) se define como Q (x, t) = A (x, t)V (x, t). (b): Sección transversal de un canal abierto. La figura ilustra la definición definición de perímetro perímetro mojado P , área mojada A y ancho superior T (x, t).
Las ecuaciones de Saint-Venant 1 describen el comportamiento de un flujo unidimensional a través de un canal abierto y están dadas por
∂A( ∂A (x, t) ∂ Q(x, t) + = 0, 0, ∂t ∂x ∂Q( ∂Q (x, t) ∂ Q2 (x, t) + + gA( gA(x, t) ∂t ∂x A(x, t)
�
�
� ∂Y ( ∂Y (x, t) ∂x
+ S f f (x, t)
−
�
(1)
S b (x) = 0,
donde Q es el flujo, A es el área transversal, g es la constante gravitacional ( g = 9,8 m/s2 ), Y es el nivel de agua (altura), S b es la pendiente del canal y S f f es el roce debido a la pendiente definido como
S f f =
Q2 n2 . A2 R4/3
El factor R se define como R = R = A/P A/P , mientras que n es el coeficiente de Manning. Un estudiante considera que el modelo en (1) es un modelo: •
No-Lineal.
•
Digital.
•
Instantáneo.
•
Causal.
•
Con parámetros concentrados.
•
De tiempo discreto.
Está Está usted usted de acuerd acuerdo o con la clasifi clasificac cación ión propue propuesta sta por el estudi estudiant ante? e? Argum Argument entee para para cada cada aspect aspecto, o, tanto si está de acuerdo o en desacuerdo. 1
Hydrosystems ”, Springer, 2009. X. Litrico y V Fromion, “ Modeling and Control of Hydrosystems
Modelación de Procesos (543207) Quiz #2 S2-2011 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 18/11/2011 *
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Modificado el 15 de noviembre de 2011. arn/ARN
1
Qo
C 1
R1
C 2
R2
Figura 1: Circuito eléctrico para la pregunta I.
Pregunta I (3 puntos): dado el esquema de la Figura 1, con Qo una fuente de corriente y R 1 = R2 , proponga um modelo adecuado para los voltajes V 1 y V 2 en los condensadores (Ayuda: el voltaje V R1 sobre la resistencia R1 satisface V R1 = V 1 + V 2 ). Dado el modelo proponga variables de entrada, variables de salida, y parámetros. Pregunta II (3 puntos): dado el diagrama de bloques de la Figura 2, obtenga el sistema (bloque) equivalente entre: (i) U y X 1 . (ii) U y X 2 . (iii) U e Y .
H 1 (s)
U
X 1 H 2 (s)
+ +
X 2
+
−
H 4 (s)
Y
H 3 (s)
Figura 2: Conexión de subsistemas para la pregunta II.
Solución: (I) El modelo propuesto está dado por dV 1 Qo = dt C 1 dV 2 Qo = dt C 2
−
−
V 1 + V 2 RC 1 V 1 + 2 V 2 RC 2
donde R = R1 = R2 . Variable de entrada Qo , variables de salida V 1 y V 2 (también pueden ser consideradas de estado), parámetros C 1 , C 2 , R1 y R2 . (II)
(i) X 1 = H 1 H 2 · U (ii) X 2 = (H 1 H 2 + H 3 ) · U (iii) Y = ( H 1 H 2 + H 3 )
H 4
1+H 4
·
U
Modelación de Procesos (543207-1) Quiz #3 S2-2011 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 02/12/2011 *
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Modificado el 29 de noviembre de 2011. arn/ARN
1
Pregunta I (3 puntos): dado el siguiente modelo
x = x + y ˙ y = x + ˙ 2y Plantee las ecuaciones de recursión usando el método de Euler explícito. Asuma h conocido y evalúe x(3h), y(3h) para las condiciones iniciales x(0) = 1, y(0) = 1.
Pregunta II (3 puntos): una partícula describe un movimiento parabólico desde el origen. Se observa que su trayectoria tiene un alcance de R metros y una altura máxima de R/2 metros. Encuentre la magnitud de la velocidad inicial v o y el ángulo de elevación θ (como funciones de R) que den razón de lo observado.
Solución: (I) Aplicamos el algoritmo de Euler explícito para así obtener
x(k + 1) − x(k) = x(k) + y(k) h y(k + 1) − y(k) = x(k) + 2y(k) h Reordenando los términos tenemos que las ecuaciones de diferencia para x e y satisfacen
x(k + 1) = (1 + h)x(k) + hy(k) y(k + 1) = hx(k) + (1 + 2h)y(k) Los valores en k=3 se pueden obtener como 3
�x(3h)� �1 + h h � �x(0)� = y(3h) �1 +h 3h +1 6h+ 2h+ 5hy(0) 3h + 9h + 8h ��1� = 3h + 9h + 8h 1 + 6h + 15h + 13h �1 + 6h + 15h1 + 13h � 2
2
3
2
3
3
2
3
2
=
3
1 + 9h + 24h2 + 21h3
(II) Recordemos que el movimiento parabólico queda descrito por
x(t) = x o + vox t g y(t) = y o + voy t − t2 2 Con la información propuesta tenemos que
R = v o cos θtv R tv = v o sin θ 2 2
−
g 2
2
�t � v
2
Donde t v = (2vo sin θ)/g. Igualando ambas ecuaciones a través del valor de R se obtiene
vo2 sin2 θ 2v 2 sin θ cos θ = o g g
⇒ tan θ = 2 ⇒ θ = 63,4349
o
es decir θ no es función de R. Para vo simplemente reemplazamos θ en calquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo la primera
vo =
√ Rg
≈ 3,5 sin2θ
√
R
Modelación de Procesos (543207-1) Quiz #4 S2-2011 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 16/12/2011 *
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Modificado el 12 de diciembre de 2011. arn/ARN
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Figura 1: Sistema masa deslizante.
Problema Una partícula se puede deslizar a lo largo de una pista con extremos elevados y con una parte central plana, como se aprecia en la figura. La parte plana tiene una longitud L. Las partes curvas de la pista no tienen fricción, mientras que la parte plana presenta un coeficiente de roce cinético de µk = 0,2. La partícula se suelta en el punto A, que se encuentra a una altura h = L/2 por sobre la parte plana. ¿ Donde se detendrá finalmente la partícula?.
Solución. Al soltarse la partícula desde el punto A esta parte en reposo. La energía en A viene dada sólo por su componente de energía potencial con respecto a la parte plana
U i = mg
L 2
donde m es la masa de la partícula. La presencia de fricción en la parte plana sugiere un cambio en la componente de energía térmica en la cantidad de
E termL = f k L = mg
L 5
en cada pasada por la parte plana de largo L. Nuevamente, el cuerpo se suelta por lo que se deduce que no hay fuerza externa actuando sobre la partícula, además al partir en reposo y terminar en reposo tanto la energía cinética inicial como la final son cero, por lo que
W = ∆K + ∆U + ∆E term 0 = 0 + ∆U + ∆E term ∆U = ∆E term U f U i = (E termf E termi) −
−
−
−
Supongamos además que al quedar finalmete en reposo, la partícula se encontrará en algún punto de la parte plana, por lo que U f = 0. Del mismo modo, al empezar el movimiento la partícula aún no experimenta roce por lo que E termi = 0
mg
−
L = 2
E termf
−
Asumamos ahora que E termf = κE termL es un multiplo κ aún por determinar de la energía térmica disipada a lo largo de una pasada completa de la partícula por la parte plana de largo L. De esto tenemos que
mg
−
L = 2
κmg
−
L 5
por lo que se deduce que κ = 2,5 y la partícula se detendrá en el medio de la parte plana después de dos pasadas completas.
Modelación de Procesos (543207) Quiz #5 S2-2011 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 30/12/2011 *
Instrucciones • Escriba • Este
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quiz es individual.
• Escriba
sus respuesta a mano, asegúrese de hacerlo con letra legible y clara.
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Modificado el 28 de diciembre de 2011. arn/ARN
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Problema 1 (4 pt.) ¿ Cuál sería h, la altura de la atmósfera, si la densidad del aire: (a) fuese uniforme, es decir ρ(y) = ρ o ? 2
(b) decreciese en forma cuadrática hasta cero, es decir ρ(y) = ρ o (1 − y/h) ? Asuma que a nivel del mar la presión de la atmósfera es de 101 kP a y la densidad del aire es de ρ o = 1,3 kg/m3 .
Problema 2 (2 pt.) La tripulación de un submarino dañado que se encuentra a una profundidad de
100 m bajo la superficie intenta escapar. ¿ Qué fuerza debe ser aplicada sobre una escotilla de escape octogonal, con un área de 0,72 m2 y que se abre hacia afuera? Asuma que la densidad del agua de mar es de 1024 kg/m3 y que la presión al interior del submarino es igual a la presión atmosférica a nivel del mar.
Solución. Problema 1 (a) Si la densidad es uniforme tenemos que
pB = p A − ρo gh donde el punto A se ubica a nivel del mar, mientras que el punto B se ubica en el límite entre la atmósfera y el espacio. La presión es en el punto B se asume como cero por el vacío del espacio, esto nos da entonces una altura de la atmósfera de
h =
p = −ρo g − A
101000 = 7927,8 ≈ 8 −1,3 · 9,81 −
(b) Si la densidad dismimuye en forma exponencial debemos plantear entonces que h
pB = p A −
∫ ρgdy ∫ � � y � � ρ 1 gdy h � 2 y 1 y � ρ g y + h 2 h 3 0
h
pB = p A −
2
o
−
0
2
pB = p A −
o
−
3
h
2
0
pA − pB 101000 − 0 h = 3 =3 = 23,759 ≈ 24 Km ρo g 1,3 · 9,81 Problema 2 A esa profundidad la presión está dada por
pB = p A + ρgh
⇒
pB = 0 + 1024 · 9,8 · 100 = 1003,520 kP a
donde el punto A se ubica a nivel del mar, mientras que el punto B se ubica en la escotilla. La fuerza que debe ser aplicada para poder abrir la escotilla debe ser mayor que la fuerza desarrollada sobre la escotilla debido a la presión es decir (en magnitud)
F > pA = 1003520 · 0,72 = 722530 N ≈ 720000 N
Modelación de Procesos (543207) Quiz Recuperativo S2-2011 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 13/01/2012 *
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• Escriba abajo su nombre completo. • Este quiz es individual. • Lea la(s) pregunta(s) detenidamente. • Escriba sus respuestas con letra clara y legible. • Escriba sus respuestas con lapiz pasta. • Respuestas con lapiz mina no tienen derecho a solicitar recorrección.
Nombre completo:
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Modificado el 17 de enero de 2012. arn/ARN
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Problema 1 (3pt.) En la figura el fluido sale a través de una tobera suave y redondeada. El diámetro del estanque D t es de 50 cm , mientras que el diámetro de la tobera de salida es de 5 cm . La altura h 1 se mide en 2,3 m a un tiempo 10 s . ¿ A qué tiempo t 2 alcanza el nivel del agua al interior del estanque una altura de h2 = 1,05 m?
Problema 2 (3pt.) A través del motor de fluido de la figura circula agua a 10o C ( γ H O = 9,81kN/m3 ), a razón de 115 L/min. La presión de A es de 700 kP a, y en B es de 125 kP a. Se estima que debido a la fricción en la tubería existe una pérdida de energía de 4 N · m/N en el agua que fluye. (g = 9,81 m/s2 ) 2
(a) Calcule la potencia que el agua transmite al motor de fluido. (b) Si la eficiencia mecánica del motor de fluido es del 85 %, calcule la potencia de salida.