5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST OTPORNO ST MA MATERIJALA I
KOSO O SA SAVIJ VIJANJ ANJE E ČISTO KOS
Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni inercije inercije popre poprečnog preseka. preseka. Koso savijanje je savijanje je slučaj kada ravan savijanja seče osu štapa z, a ne poklapa se ni sa jednom od glavnih ravni inercije inercije popre poprečnog preseka. preseka. Pri kosom savijanju štap se savija istovremeno oko obe glavne ose poprečnog preseka. preseka.
KOSO O SA SAVIJ VIJANJ ANJE E ČISTO KOS
Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni inercije inercije popre poprečnog preseka. preseka. Koso savijanje je savijanje je slučaj kada ravan savijanja seče osu štapa z, a ne poklapa se ni sa jednom od glavnih ravni inercije inercije popre poprečnog preseka. preseka. Pri kosom savijanju štap se savija istovremeno oko obe glavne ose poprečnog preseka. preseka.
PRIMERI U KOJIMA SE JAVLJA ČISTO KOSO KOS O SA SAVIJ VIJANJ ANJE E y y x, y – teži težišn šnee ose ose
x
x
y
y
x x
(1), (1), (2) (2) – glavne glavne centralne ose
PRIMERI U KOJIMA SE JAVLJA ČISTO KOSO SA SAVIJANJE – kr krovna ovna rožnja rožnjača rožnjača
rožnjača
ČISTO KOSO
SAVIJ SA VIJANJ ANJE E
Posmatra se greda izložena dejstvu momenata ±M na krajevima tako da ravan savijanja π - π prolazi kroz težište popre čnog preseka i zaklapa sa glavnom osom inercije y ugao α. Vektor rezultujućeg momenta savijanja ± M upravan je na ravan savijanja i ima dve svoje komponente: ± Mx = ± M cos α
± My = ± M sin α
ČISTO KOSO SAVIJANJE
Momenti Mx i My izazivaju savijanje štapa oko odgovaraju ćih osa: Mx oko ose x i My oko ose y, tj. izazivaju čisto pravo savijanje u glavnim ravnima inercije yz, odnosno xz. Pri čistom kosom savijanju greda je opterećena na savijanje u ravni π koja seče osu štapa z, ali se ne poklapa ni sa jednom od glavnih ravni.
ČISTO KOSO SAVIJANJE
ČISTO KOSO SAVIJANJE – NORMALNI NAPON
Momenti Mx =Mcosα deluju u ravni yz, pa u ta čki (x,y) preseka izazivaju čisto pravo savijanje, tj. normalni napon
σz =
Mx Ix
y
Momenti My =Msinα deluju u ravni xz i u ta čki (x,y) preseka izazivaju čisto pravo savijanje, tj. normalni napon
σz =
My Iy
x
ČISTO KOSO SAVIJANJE – NORMALNI NAPON
Važi princip superpozicije:
Ukupan normalni napon u tački (x,y) preseka nastao usled jednovremenog dejstva momenata Mx i My jednak je algebarskom zbiru napona koji se javljaju posebno od komponente Mx i komponente My σz =
Mx Ix
y+
My Iy
x
Naponi od Mx i My su kolinearni – deluju upravno na presek pa se mogu algebarski sabrati.
ČISTO KOSO SAVIJANJE – NORMALNI NAPON
σz =
σz =
Mx Ix
M cos α Ix
y+
y+
My Iy
x
M sin α Iy
M x = M cos α
x
M y = M sin α
σz je linerana funkcija koordinata x i y
Ukupan normalni napon u tački (x,y) preseka nastao od istovremenog dejstva spregova Mx i My
ČISTO KOSO SAVIJANJE – NORMALNI NAPON
Normalni naponi u poprečnom preseku:
Ukupan normalni napon
Normalni napon od Mx
Normalni napon od My
ČISTO KOSO SAVIJANJE – DILATACIJE Primenom Hukovog zakona određuju se podužne i poprečne dilatacije Podužna dilatacija:
ε=
σ E
Poprečna dilatacija
ε p = − ν ε
εz =
1 Mx
My
y+ E Ix Iy
x
My ν M x y+ x εx = − E I x Iy
My ν M x y+ x εy = − E Ix Iy
ČISTO KOSO SAVIJANJE –NEUTRALNA OSA Kao kod čistog pravog savijanja, i kod čistog kosog savijanja postoje u preseku tačke u kojima je normalni napon jednak nuli.
Neutralna osa predstavlja geometrijsko mesto ta čaka u poprečnom preseku u kojima je normalni napon jednak nuli. σz = 0, Pošto je:
M ≠ 0,
cos α sin α M y+ x = 0 Ix I y cos α sin α y+ x=0 Ix
Iy
Ovo je jednačina prave kroz koordinatni početak koja je u slučaju kosog savijanja neutralna osa n-n. Za razliku od pravog savijanja neutralna osa nije upravna
na ravan dejstva spregova π.
ČISTO KOSO SAVIJANJE –
POLOŽAJ NEUTRALNE OSE cos α
y+
sin α
x=0
Ix Iy Jednačina neutralne ose može da se napiše u obliku:
Ix y = − tgα x Iy y = tgβ x
tgβ =
y x
=−
Ix Iy
tgα
ČISTO KOSO SAVIJANJE – POLOŽAJ
NEUTRALNE OSE Za razliku od čistog pravog savijanja, kod čistog kosog savijanja neutralna osa nije upravna na ravan π u kojoj deluju spregovi M. β
Ix β = arc tg = arc tg − tgα Iy x Ugao β određuje položaj neutralne ose n-n (mereno od pozitivnog smera x ose). y
Upravno na pravac neutralne ose n-n nalazi se osa s-s , koja predstavlja presek ravni savijanja grede i ravni poprečnog preseka.
ČISTO KOSO SAVIJANJE
– MAKSIMALNI NORMALNI NAPON. USLOV ČVRSTOĆE σz =
σz =
Mx Ix
y+
M cos α Ix
y+
My Iy
x
M sin α Iy
Ukupan normalni napon kod kosog savijanja je linarna funkcija koordinata x i y. Normalni napon je jednak nuli na neutralnoj osi, linearno raste sa udaljenjem ta čke od te ose, a najveće vrednosti dostiže u najudaljenijim ta čkama od neutralne ose.
x
ČISTO KOSO
σz =
M cos α Ix
y+
SAVIJANJE – DIMENZIONISANJE
M sin α Iy
x
Pri dimenzionisanju grede mora biti zadovoljen uslov:
ČISTO KOSO SAVIJANJE – PRIMER Greda pravougaonog poprečnog preseka b x h = 6 x 12cm opterećena je na krajevima momentom M = 1 kNm, kao na slici. Odrediti položaj neutralne ose poprečnog preseka i maksimalni napon. α � ��� � ���� � ����
�� � ������
��� ������
Ix y = − tgα x = −4 3 x I y
y = tgβ x
tg β = −4 3
β = arc tg ( −4 3 ) = 820
ČISTO KOSO SAVIJANJE – PRIMER Maksimalni napon je u najudaljenijim tačkama od neutralne ose , tj. u tačkama A i B.
σz =
M cos α Ix
y+
M sin α Iy
x
Odrediti maksimalni normalni napon i položaj neutralne ose .
Ose x i y su glavne centralne ose inercije. Obe komponente momenta su negativne, što je na slici prikazano. U odnosu na neutralnu osu najudaljenije su tačke B i D. Tačka B se nalazi na delu preseka koga obe komponente momenta zatežu, dok se tačka D nalazi na delu preseka koga oba momenta pritiskaju.
Maksimalni napon zatezanja se javlja u tački B, a najveći napon pritiska u tački C.
EKSCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I
EKSCENTRIČNI PRITISAK ILI ZATEZANJE
Ekscentrični pritisak je složeno naprezanje koje se sastoji od aksijalnog naprezanja i kosog savijanja.
Sila koja deluje u pravcu paralelnom osi nosača u tački A (ex, ey) redukuje se na težište pa postoji:
Sila u težištu preseka i moment usled redukcije sile na težište
EKSCENTRIČNI PRITISAK ILI ZATEZANJE y
y
Ukoliko je greda opterećena na krajevima aksijalnom silom koja ne prolazi kroz težište poprečnog preseka imamo slučaj ekscentrič nog naprezanja grede. ex i ey – ekscentriciteti sile
y
EKSCENTRIČNO NAPREZANJE y
Redukcijom sile F na težište poprečnog preseka dobija se sila F koja deluje u težištu preseka u pravcu ose štapa i spregovi sa momentima:
Mx = F⋅ ey
My = F ⋅ ex
koji izazivaju čista prava savijanja oko osa x i y. Ekscentrični pritisak predstavlja kombinaciju aksijalnog naprezanja i savijanja grede u ravni xz i ravni yz
EKSCENTRIČNI PRITISAK – NORMALNI NAPON Napon koji se javlja u gredi se može odrediti pomo ću izraza:
napon usled My
σz = − napon usled aksijalne sile
F A
−
Mx Ix
y−
My Iy
x
napon usled Mx
Momenti Mx i My izazivaju čista prava savijanja oko osa x i y (u svim tačkama kvadranta u kome je tačka A taj napon je negativan). Sila F izaziva aksijalno naprezanje (normalni napon je sa znakom minus jer sila pritiska ceo presek).
σz = −
y
F A
−
Mx Ix
y−
My Iy
x
U svim tačkama kvadranta u kome je tačka A važi ovaj izraz.
σz = −
F A
−
F ⋅ ey Ix
y−
F ⋅ ex Iy
x
Sila pritiska ceo presek, momenti u odnosu na ose x i y su takvi da izazivaju negativan napon u svim tačkama kvadranta u kome se nalazi tačka A.
Stanje napona je linearno ali nije homogeno, jer zavisi od položaja tačke u poprečnom preseku.
Stanje napona je linearno ali nije homogeno, jer zavisi od položaja tačke u poprečnom preseku.
•
σz = −
F A
±
Mx Ix
y±
My Iy
•
x •
Sila F se uzima u apsolutnom iznosu; Koordinate tačke u kojoj deluje sila (ex i ey) se uzimaju sa svojim znacima; Koordinate tačke u kojoj se određuje napon (x i y) su tekuće koordinate.
σz = − σA = − σB = − σC = − σD = −
F A F A F A F A F A
± + −
−
+
Mx Ix Mx Ix Mx Ix Mx Ix Mx Ix
y±
My Iy
yA + yB +
yC −
yD −
x
My Iy My Iy My Iy My Iy
xA xB
xC
xD
EKSCENTRIČNI PRITISAK – NORMALNI NAPON σz = − σz = − σz = −
F A
F A
F
−
−
Mx Ix
F ⋅ ey Ix ey A
y− y−
My Iy F ⋅ ex Iy
ex A
y+ 1 + A Ix Iy
Mx = F⋅ ey
x x
My = F ⋅ ex ix
2
=
Ix A
iy
=
ey ex F x = − 1 + 2 y + 2 x A ix iy
ex i ey – koordinate napadne tačke sile – ekscentriciteti, x i y – koordinate tačke poprečnog preseka u kojoj se određuje napon, ix i iy – glavni centralni poluprečnici inercije popre čnog
preseka grede
2
Iy A
EKSCENTRIČNO NAPREZANJE – NEUTRALNA OSA Neutralna osa je geometrijsko mesto ta čaka u kojima je normalni napon σz=0 ey ex F σz = − 1 + 2 y + 2 x = 0 A ix iy Kako je F A
≠0
1+
ey ix
2
y+
ex iy
2
x=0
Jednačina neutralne ose
Neutralna osa je prava linija koja ne prolazi kroz težište preseka (postoji slobodan član u jednačini prave).
EKSCENTRIČNO NAPREZANJE – NEUTRALNA OSA
Neutralna osa:
1+
ey ix
y+
2
ex iy
2
x=0
Odsečci neutralne ose na koordinatnim osama x i y su: 2
x=0 → y=b=−
y=0 → x=a=−
ix
ey 2 iy
2
a
=−
iy
ex
2
b=−
ix
ey
ex Iz dobijenih obrazaca se vidi da ovi odse čci ne zavise od veličine sile F, već samo od položaja njene napadne ta čke (ex i ey) i oblika poprečnog preseka (ix i iy, tj. Ix i Iy).
EKSCENTRIČNO NAPREZANJE – VEZA POLOŽAJA NEUTRALNE OSE I CENTRALNE ELIPSE INERCIJE x2 iy
2
+
y2 ix
2
−1 = 0
Jednačina glavne centralne elipse inercije:
Ako se pretpostavi da se napadna tačka A (ex, ey) sile F nalazi baš na elipsi inercije, tada će za konjugovanu tačku B (-ex, -ey) , koja je takođe na elipsi, jednačina tangente na elipsu imati oblik:
−
ex iy
2
x−
ey ix
2
y −1 = 0
tj.
ex iy
2
x+
ey ix
2
y +1 = 0
što se popudara sa jedna činom neutralne ose. Prema tome, važi pravilo:
Ako je kod ekscentričnog pritiska napadna tačka sile na centralnoj elipsi inercije, tada se neutralna osa poklapa sa tangentom na elipsu inercije u konjugovanoj ta čki.
Ukoliko se napadna tačka sile pomera po pravoj koja prolazi kroz težište poprečnog preseka, neutralna osa se paralelno pomera u istom smeru.
Ukoliko se napadna tačka sile pomera po pravoj m-m koja ne prolazi kroz težište poprečnog preseka, odgovarajuća neutralna osa se obrće oko tačke A za koju je prava m-m neutralna osa.
SPECIJALNI SLUČAJ EKSCENTRIČNOG PRITISKA NAPADNA TAČKA SILE JE NA JEDNOJ OD GLAVNIH
OSA INERCIJE Neka je napadna tačka sile je na osi x, koja je glavna osa, tada je: Izraz za normalni napon tada je: σ z = −
e x ≠ 0, e y = 0
F A
−
a jednačina neutralne linije je u tom slu čaju:
F ⋅ ex Iy
1+
x=−
ex iy
F
1 + A
ex iy
x=0
tj. neutralna osa je u tom slu čaju prava paralelna sa osom y.
Kada je napadna tačka sile na osi y neutralna osa je prava paralelna sa osom x, a kada ne na osi x, neutralna osa je prava paralelna sa osom y.
x
Primer: Naći ekstremne vrednosti normalnog napona za stub pravougaonog poprečnog preseka, opterećenog u tački A ekscentričnom silom pritiska F x
A = b ⋅ h, y
σz = −
ix =
F A
−
h
2
12
, iy =
F ⋅ ey Ix
F ⋅ ey
y−
b
2
12
, ex = 0, ey = e
F ⋅ ex Iy
x
F 12 e 2 y + 1 A Ix Iy bh h Sledi da će ekstremne vrednosti napona biti na krajnjim vlaknima, tj. za y=±h/2: F 6e σz,max = − − + 1 bh h
σz = −
F
−
y−
F ⋅ ex
x =−
F 6e - + 1 bh h Neutralna osa ima jedna činu:
σz,min = −
tj. paralelna je osi x.
y=−
h2 12 e
Položaj neutralne linije ne zavisi od veličine sile F, već samo od položaja njene napadne tačke i oblika poprečnog preseka. Neutralna linija se nalazi uvek u dijagonalno suprotnom kvadrantu u odnosu na kvadrant u kome je napadna ta čka sile. Težište poprečnog preseka je uvek između neutralne ose i napadne tačke sile. Što je napadna tačka sile udaljenija, to je neutralna linija bliža težištu. Ako se napadna tačka sile nalazi na nekoj od osa, neutralna linija je upravna na tu osu.
JEZGRO PRESEKA Neutralna osa je geometrijsko mesto tačaka u kojima je normalni napon jednak nuli. Ona deli površinu poprečnog preseka na dva dela: u jednom delu su naponi zatezanja, a u drugom, u kome se nalazi napadna tačka sile pritiska, su naponi pritiska. Neutralna osa se udaljuje od težišta preseka kada mu se napadna tačka približava i obratno. Kada se toliko približi težištu da neutralna osa dodiruje presek, tada je u dodirnoj tački N normalni napon jednak nuli, a u svim tačkama preseka vlada napon istog znaka. Ako se tačka još približi težištu, neutralna osa je van preseka, pa je opet u svim ta čkama preseka napon istog znaka.
U konstrukcijama se često koriste ekscentrično pritisnuti stubovi izrađeni od materijala koji dobro podnose pritisak, a veoma slabo zatezanje (beton). U tom slučaju moraju napadne tačke sila da budu takve da neutralna osa bude van površine preseka, ili da ga dodiruje. Napadne tačke sila čije neutralne ose obavijaju konturu preseka omeđuju deo površine preseka koja se naziva jezgro preseka. Pogodnim odabiranjem dimenzija preseka nastoji se da se u takvim konstrukcijama postigne da napadna sila rezultante pritiskajućih sila padne unutar jezgra preseka.
EKSCENTRIČNO NAPREZANJE GREDE – JEZGRO PRESEKA Skup napadnih tačaka sila, čije neutralne ose tangiraju (obavijaju) konturu poprečnog preseka grede, ograničava malu površinu oko težišta poprečnog preseka grede koja se naziva jezgro preseka.
Ukoliko je napadna tačka sile unutar jezgra, u svim tačkama preseka vlada napon istog znaka. Ako je napadna tačka sile van jezgra, u jednom delu preseka je zatezanje, a u drugom pritisak. Određivanje jezgra preseka je od velike važnosti u tehni čkoj praksi jer pojedini materijali (beton) dobro podnose pritisak, a veoma slabo zatezanje.
JEZGRA POPREČNIH PRESEKA NEKIH RAVNIH FIGURA Ukoliko sila deluje na konturi jezgra odgovaraju će neutralne ose su tangente na konturu poprečnog preseka (ne smeju je seći).
JEZGRO KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA Odsečci neutralne ose na koordinatnim osama x i y su:
2
=−
a
4
R π ix
= iy =
Ix A
=
4 =R R 2π 2
iy
ex
2
b=−
ix
ey
Traži se položaj tačke A pri kome bi neutralna osa n – n tangirala krug poluprečnika R. Odsečci ove ose su: a = ∞ i b = −R. 2 R 2 iy 2 ⇒ a=∞=− ⇒ e =0 a=− ex
x
ex
2
2
b=−
ix
ey
R R 2 ⇒ b = −R = − ⇒ ey = ey
Zbog simetrije sledi da je jezgro preseka krug poluprečnika R/4.
4
re van e ezgra prese a za pravougaoni poprečni presek dimenzija bxh
2
a
bh 2 ix
Odsečci neutralne ose n1-n1 na koordinatnim osama x i y su: a
=
b 2
=−
iy
ex
b=−
ey
3
h2 12 = = = , A bh 12 Ix
2
ix
hb 2 iy
3
b2 12 = = = A bh 12 Iy
, b = ∞,
Neutralnoj osi n1-n1 odgovara tačka A1(ex,ey):
b b = − 12 ⇒ e x = − 2 ex 6 b A ⇒ 1 − ,0 2 h 6 Neutralnoj osi n -n odgovara tačka A (e ,e ): 2 2 2 x y 2 b ∞ = − 12 ⇒ e y = 0 ey ∞ = − 12 ⇒ e x = 0 ex h Odsečci neutralne ose n2-n2 na ⇒ A 0, − 2 koordinatnim osama x i y su: 6 h2 h h h = − 12 ⇒ e y = − , a = ∞, b = 2 ey 6 2 b2
Odsečci neutralne ose n3-n3 na koordinatnim osama x i y su: a
b
= − , b = ∞, 2
Neutralnoj osi n3-n3 odgovara tačka A3:
b ,0 6
A3
Odsečci neutralne ose n4-n4 na koordinatnim osama x i y su: Neutralnoj osi n4-n4 odgovara tačka A4 sa koordinatama:
a
h
= ∞, b = − , 2
A 4 0,
h
6
Osim tačaka A1, A2, A3 i A4, kojima odgovaraju neutralne ose koje se poklapaju sa ivicama pravougaonika, u svakom temenu pravougaonika ima beskona čno mnogo tangenata na konturu pravougaonika. Njima odgovaraju tačke na konturi jezgra. Prava A1A2 je deo konture jezgra koja odgovara svim mogućim neutralnim osama koje dodiruju pravougaonik u temenu P. Sli čno važi i za strane A2A3,
A3A4 i A4A1. Prema tome jezgro pravougaonika ima oblik romba sa dijagonalama b/3 i h/3.
Poligonalnom konveksnom preseku odgovara poligonalno jezgro i to tako da svakom vrhu datog poligona odgovara strana konture jezgra, a svakoj strani poligona odgovara vrh konture jezgra. Ako presek nije konveksan, otpadaju iz razmatranja one tangente na vrhovima P1 i P2 koje bi sekle površinu preseka, tj. Za konstrukciju jezgra merodavne su tangente n1-n1, n2-n2, n3-n3, n4-n4 i n5-n5. Postupak: odrede se redom sve karakteristične tačke konture jezgra koje odgovaraju tangentama koje obavijaju (ne seku) konturu preseka, pa se spajanjem tih ta čaka dobija cela kontura jezgra preseka.
EKSCENTRIČNO NAPREZANJE – DIMENZIONISANJE Pri dimenzionisanju ekscentrično pritisnute grede neophodno je da bude zadovoljen uslov:
σz
max +
≤ σ doz
+
σz
max −
≤ σdoz
−
gde su σdoz+ i σdoz- dozvoljeni naponi na zatezanje, odnosno pritisak.
Ekstremne vrednosti napona javljaju se u tačkama najudaljenijim od neutralne ose poprečnog preseka, pa su te tačke merodavne za dimenzionisanje.
Primer – Ekscentrično naprezanje – Jezgro preseka – Dimenzionisanje Za poprečni presek kao na slici odrediti položaj neutralne ose ako ekscentrična sila pritiska F = 100 kN deluje u ta čki A. Dimenzionisati nosač ako je σdoz = 16 kN/cm2. Odrediti jezgro preseka.
Primer – Ekscentrično naprezanje – Dimenzionisanje
Primer – Ekscentrično naprezanje – određivanje jezgra preseka n1-n1: n2-n2: n3-n3: n4-n4:
Primer – Ekscentrično naprezanje Drveni stub pravougaonog poprečnog preseka 15 x 20 cm opterećen je ekscentričnom silom pritiska od 90 kN koja deluje u tački N (3 cm,3 cm). Odrediti položaj neutralne ose i maxsimalne normalne napone.
