MATEMATICA III 5TA PRÀCTICA CALIFICADA DESARROLLADA
CÓDIGO: MA 133 SECCIÓN: N PERIODO ACADÉMICO: 2017 - I
ROJAS-CERNA-VICTOR ROJAS-CERNA-VICTOR DANIEL
20160639D 20160141F 20160148K
1.-Calcule todas las soluciones de la ecuación esférico, si
SOLUCION
−
en el sistema de coordenadas
. . + +3 + 2 ∇ + 2 =
´
′
´
′′
′
Donde lo obtenido vendría ser el
′
′
′′
′′
′
′
Del dato obtenemos una ecuación diferencial:
+ 2 1 ′′
′
Resolviendo encontramos 3 ecuaciones:
+ ++ + ;≠, ,≠ + ; + + ;
{
⃑ . ⃑ [ ] ;; + +
2. Demuestre en coordenadas curvilíneas ortogonales la fórmula de la divergencia de un campo vectorial . Es decir:
SOLUCION
Sea el campo vectorial
Donde:
Donde
ℎ1 ̅ ℎ1 ̅ ℎ1 ̅ ℎ , ℎ , ℎ ,, ∇ ̅ + ̅ + ̅ ∇. ̅ + ̅ + ̅. + + ∇. ̅ + ̅ + ̅. ℎ1 ̅ + ℎ1 ̅ + ℎ1 ̅ ∇. ℎ1 + ℎ1 + ℎ1 ∇. ℎ + ℎ + ℎ ∇. ℎℎ1ℎ ℎℎ+ ℎℎ1ℎ ℎℎ+ ℎℎ1ℎ ℎℎ . ⃑ [ + + ] son los factores de escala.
La divergencia también estará expresada en
Aplicando la divergencia:
3. Determine el área de la superficie del paraboloide
z
x
2
y
2
debajo del plano
x y z 1 .
SOLUCION
figura de la intersección
área proyectada sobre el plano XY
igualamos Z para ver cuál es la proyección de la intersección del paraboloide y el plano
1 + + 12 ++ 12 3/2
Parametrizamos para hallar el AREA
+ 12 cos∅ + 12 sin∅ cos∅ si n ∅+1/2 , cos∅ sin∅1/2, cos∅ sin∅+1/2
G
-1/2,
)
Donde:
≤∅≤ ≤≤ ⃑ ,
Sabemos que para hallar el vector Donde
=
y
Haciendo operaciones obtendremos :
⃑ ‖ . √ √ ‖, +− + ∮ +
4. Utilice el teorema de Stokes para calcular es la circunferencia
donde
, encontrando una superficie con frontera cuya
orientación tiene el sentido contrario a las manecillas del reloj visto desde arriba.
SOLUCION Del problema se puede observar que el campo vectorial es:
̅ 22, 2, 1
Para aplicar el teorema de Stokes tenemos que obtener el rotor de y la superficie cual solo importa la curva que lo limita o encierra.
,
de la
̅ . ̅ ∇×. ∇×1+1 ;; + 9 0,0,1 . ̅ 1+1 ;;.0,0,1 . ̅
Como el teorema de Stokes no importa la superficie que se tome sino de la curva que delimita cierta superficie, convenientemente tomamos la circunferencia , en el plano cuya normal viene dada por .
,
Hallando los límites de integración: En
coordenadas polares:
0≤≤3 , 0≤≤2
Reemplazando se tiene:
. ̅ . ̅ . ̅ 814 ++− 5. Determine el plano tangente al paraboloide
(i
0 1 0 00 00 00 0 1 0 0 0 0 +⃑ 00 00 00 01 00 00 Por diadas sabemos =
Por propiedad sumamos
+
z
x
2
y
2
cuya normal sea el vector
k ) (i j k i )
⃑001 000 000 00 10 00 100 +⃑ 1,0,1 y
=
…..(1)
0 1 0 ⃑ 1,0,1 01 00 00
=(1,1,0)
Tomamos gradiente a la función g(x,y,z)
⃑ , . (, ,+)⃑ || ,, : + + ∅ ∅ ∙ || ,, ≠0 ,, / , , ∈ | | +,+,⁄ . : + +
Lo restante es netamente reemplazar, el problema radicaba en hallar el vector normal. 6. El teorema de Coulomb establece que el campo eléctrico
debido a una carga
puntual en el origen viene dado por
una constante.
Siendo
y
, siendo
. Obtenga el flujo a través de S hacia afuera.
SOLUCION
Sea el flujo el cual se define como:
Se puede apreciar que
Sea
no está definido en el origen de coordenadas entonces:
; por lo tanto:
Sea la esfera de radio
Parametrizando la esfera se tiene:
Para una esfera:
0≤≤2 , 0≤≤ , , , ,
, ∅ , ∙ , , ∅ + + ∅ + + ∅ + + ∅2 + + ∅4 ∅ ∙ || ∙
Se puede observar que el flujo es independiente del R que se tome.
∙ × ∙ ̅ × ̅ ̅ ×̅ ∙ ̅ ×̅ ̅ ∙̅ ∙̅ ∙ ̅ ∙ ̅ ∙̅ + : : +.
7. Escriba una formula equivalente sin emplear el producto cruz de la siguiente expresión (
)(
).
SOLUCIÓN: (
)(
)=(
) (
)
= = = =
=(
)(
)
)(
)
8. Calcule el flujo del campo vectorial ( ) = (xy,
superficies
SOLUCION:
:
;
;
, sen(xy)), a través de las
Al ser una superficie cerrada aplicamos el teorema de la divergencia para la función vectorial:
∭ +2+0 3
∭ ∭3 − − =− = = 3 − 3 2 =− = 2 1+ =− 2 +4 18435 ⃑ ⃑ : + + + + ∬ ∇ ∙ ∭∇∙∇ + ∇ ∇2,2,0 ∇0, 2,2 ∇ 4 ∭8 +4 9. Evaluar
, siendo
,
.
SOLUCION
(Primera identidad de Green)
,
Pasando a coordenadas esféricas:
= ∅= =8 sin∅si n +4 si n ∅cos si n ∅∅ = ∅= =4 sin∅+4 sin∅ sen∅ = ∅= =4 sin∅∅ 815 = ∅= =4 sin∅ sen∅ 2415 10. Calcule el área lateral de un tronco de cono circular de bases circulares es la longitud de la altura del tronco.
SOLUCION
Sea la ecuación del tronco de cono
Donde:
+ s sec∅
+ + sec∅ || 2 2 + ,,
y . Además
+ ; + ; 1 ∫∫ − +1 = = +1 + = = + + + + (pasando a polares)
