6-ALGEBRA 2do (1 - 4)

Capítulo 1.

Leyes de Exponentes I .....................................................

9

Capítulo 2.

Leyes de Exponentes II ...................................................

17

Capítulo 3.

Ecuaciones Exponenciales ...............................................

25

Capítulo 4.

Polinomios – Grados y Valor Numérico ........................

32

Capítulo 5.

Polinomios Especiales .......................................................

39

Capítulo 6.

Productos Notables I ........................................................

46

Capítulo 7.

Productos Notables II .......................................................

53

Capítulo 8.

División Algebraica I ........................................................

60

Capítulo 9.

División Algebraica II .......................................................

67

Capítulo 10.

División Algebraica III .....................................................

74

Capítulo 11.

Factorización en Z I .........................................................

81

Capítulo 12.

Factorización en Z II .......................................................

88

Capítulo 13.

Ecuaciones de Primer Grado ...........................................

95

Capítulo 14.

Ecuación Cuadrática ......................................................... 102

Capítulo 15.

Sistema de Ecuaciones Lineales ...................................... 109

Capítulo 16.

Inecuaciones de Primer Grado ........................................ 116

Álgebra - 2do Sec.

Leyes de Exponentes I

LA LEYENDA DEL AJEDREZ

Hace tiempo, vivió un rey llamado DINUS, cuyo territorio estaba siendo invadido por las tropas de uno de sus vecinos (o sea otro rey) llamado MALIGNUS. DINUS estaba desesperado, pues casi todas sus tropas estaban siendo derrotadas; solamente le quedaba una gran tropa compuesta por soldados, caballería, elefantes montados, expertos sablistas y todo el pueblo guiado por la reina. Es aquí donde _____ llega al reino de DINUS y le dice: - ¡¡¡ Habla DINUS !!! ... ¿cómo has estado chocherita? - Un poco preocupado causita... estoy que pierdo una pequeña guerrita. - Entonces he llegado justo a tiempo DINUS, aquí te traigo un juego llamado AJEDREZ. Estoy seguro que si lo aprendes a jugar, solucionará tus problemas -dijo ________. - No seas palta causita... estoy en plena guerra y tú me traes un jueguito... ¡¡Luego dicen que yo soy el taradinus!!! - Es que no me entiendes -dijo -éste es un juego de estrategia.

1

Observa: los soldados que tienes vienen a ser los PEONES; la caballería de tus tropas está representada por estos dos CABALLOS; los elefantes son estas dos TORRES; los sablistas son estas dos piezas llamadas ALFILES; toditito el pueblo está simbolizado por esta pieza llamada REINA, y esta última pieza simboliza al REY, es decir, a ti. Practiquemos un rato y verás que con las estrategias que aprendas ganarás la guerra. Pasaron unas horas y DINUS aprendió muchas estrategias, las cuales aplicó al día siguiente en la batalla. ¡Y al finalizar el día!... ¿Qué creen que pasó muchachos?... DINUS ganó la guerra. A la semana siguiente fue llamado ____ a la presencia del rey, y este dijo: - Oye ______ ese jueguito que me trajiste está recontra chévere. ¡Imagínate que hasta me hizo ganar una guerra! ... ¿Cómo dijiste que se llama ... Monopolio, no es cierto? - ¡¡NOO!!... este juego se llama AJEDREZ!! ... ¡de veras que eres bien, pero bien TARADINUS! dijo ______ un tanto molesto. - Bueno, bueno, dejemos de lado el nombre, te llamé pues por tu ayuda brindada, voy a premiarte con cualquier cosa que me pidas. Pídeme lo que quieras y te lo daré... ¡ah! pero eso sí, nada que ver con mis figuritas de los MEDABOTS... ¿Ok? - ¡Ches!... y justo tienes la 5, la que me faltaba... pero bueno ni modo. Ya que insistes, voy a pedirte lo siguiente: Como habrás visto, el tablero de ajedrez tiene 64 casilleros. Quiero que me des 1 grano de arroz por el primer casillero, 2 granos por el segundo, 4 granos por el tercero, 8 por el cuarto, 16 por quinto, y así sucesivamente.

5

Álgebra - 2do Sec. - ¡Uy!... Qué fácil!!! -dijo DINUS-mañana mismo te entrego esa recompensa. Y el rey pensó que bastaba ir con S/. 10 a comprar en Metro, Santa Isabel o Plaza Vea, tres bolsitas de arroz COSTEÑO (¡buena con el cherry!) para cubrir la recompensa de ______, sin embargo uno de sus ministros dijo al rey que la cantidad total de granos sería inmensa, imposible de cumplir así toda la tierra estuviese cubierta por campos de cultivo. Así todos los mares se sequen y sean también campos de cultivo... esa cantidad es INMENSA!!! El rey avergonzado al no poder pagar la recompensa, le dio a _______ todo su reino. Y como diría alguien: ESO ES TO, ESO ES TO, ESO ES TODO AMIGOS!! Si quieres saber cuántos granos de arroz hubiera sido la recompensa, realiza los siguientes cálculos: CASILLERO

1.º ⇒ 2.º ⇒ 3.º ⇒ 4.º ⇒ 5.º ⇒ : 64.º ⇒

1. EXPONENTE NATURAL Es un número natural que indica la cantidad de veces que ha sido multiplicado otro número llamado Base, obteniéndose la Potencia. a x a x a x ... x a = an

Ejemplo: EXPONENTE 5

2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 = 32   5 veces BASE

2. PRODUCTO DE BASES IGUALES

20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 : 263 = ???

Se suman los exponentes.

Quizás estas operaciones te tomen un tiempo hacerlas (2 ó 3 días) así que voy a darte una ayuda. El resultado final es: D I E C I O C H O T R I L L O N E S , C U AT R O C I E N T O S CUARENTA Y SEIS MIL SEISCIENTOS CUARENTA Y C U AT R O B I L L O N E S S E T E N TA Y T R E S M I L S E T E C I E N TO S N U E V E M I L LO N E S , Q U I N I E N TO S CINCUENTA Y UN MIL SEISCIENTOS DIECISÉIS; o si

lo prefieres en números: 18 446 644 073 709 551 616 granos de arroz ¡¡INMENSO!!... no crees? ¡Ah! lo olvidaba, una vez conocido este número, el rey no tuvo más remedio que estudiar matemáticas, para poder ser tan hábil como _____, así que decidió estudiar en el mejor de los colegios: MENTOR

;n∈N

“n” veces

GRANOS DE ARROZ

Suma los resultados y obtendrás la recompensa.

6

Potenciación

am x an = am+n

POTENCIA

; m, n ∈ N

Ejemplo: 23 x 22 = 23+2 = 25 = 32 3. POTENCIA DE POTENCIA Se multiplican los exponentes. ([am]n)p = am.n.p Ejemplo: (22)3 = 22.3 = 26 = 64 4. EXPONENTE NEGATIVO a-n =

1 a-n

; a ≠ 0, n ∈ N

Esto nos indica que la base (diferente de cero, por cierto) se invierte.

Álgebra - 2do Sec. 2. Calcula:

Ejemplos:

1 1 a) 2-3 = 23= 8

A=

316 . 812 98

Resolución:

1 1 b) 7-2 = 72= 49

A=

316 . 38 316

= 38

5. EXPONENTE NULO a0 = 1

316 . (34)2 = (32)8

; a ∈ R, a ≠ 0

Ejemplos: a) (-17)0 = 1

3 3 33 3 3

E=2

OJO

Observa bien estos dos ejemplos, ¿cuál es la diferencia?

0

b) -17 = -1

3 3 33 3

=2

3n (34 + 33) = 3n (33 - 32) 108 = =6 18

F=

1

=3 =3 = 22

31

3

= 2 2 = 28 = 256

10n+3 - 10n+2 10n+2

E= Resolución:

F= =

1. Efectúa:

E=

10n(103-102) = 10n . 102 900 =9=3 100

1000-100 100

(x2)4 . (x5)6 . x20 (x7)8

Resolución: x8 . x30 . x20 x8+30+20 = x56 x56 58 x = 56= x58-56 = x2 x

E=

81 + 27 27 - 9

5. Calcula:

Ejemplo:

b) 2

3n+4 + 3n+3 3n+3 - 3n+2

F=

En este tipo de ejercicios se efectúa la potencia empezando desde el exponente más alto.

70 23

= 23 = 8

Resolución:

np

am

a) 3

3 3 3

=2

4. Efectúa:

6. EXPONENTES CONSECUTIVOS

20

3

¿Por qué se dice elevar al cuadrado o al cubo? Estas expresiones son residuos de la época griega, en la cual los productos xx (x2) o xxx (x3) solo se entendían como áreas o volúmenes. Por eso nosotros, cuando calculamos el producto de un número x por sí mismo, decimos que estamoselevandox“alcuadrado”,aunquenopensemos,en absoluto,estarcalculandoeláreadeuncuadradodeladox.

7

Álgebra - 2do Sec.

1) Simplifica:

4) Reduzca:

[{23}4]5 (229)2

[(73)4]5 . [(74)5]6 (711)11 . {(74)7}2

Rpta: _______

Rpta: _______

5) Reduzca:

2) Calcula: 0

3

5 20

20 + 23 + 20 + 5

152 . 813 9 . 274

Rpta: _______

Rpta: _______

6) Reduzca:

3) Simplifica:

0 1-871-6

-8 + [5 + 876] 0

0

+ (-8)

0

2n+4 + 2n+3 2n+3 - 2n+2

Rpta: _______

1) Efectúa: a2 . b3 . a4 . b5 . a6 . b7

Rpta: _______

4) Simplifica:

25 . 37 . 49 48 . 23 . 36

Rpta: _______

Rpta: _______

5) Calcula:

2) Simplifica:

({24}5)7 ({234}2)2

316 . 812 98 Rpta: _______

Rpta: _______

3) Efectúa: 22 [(24)2]-3 . (22)(2 )

6) Reduzca: Rpta: _______

3n+2 . 3n+1 3n+1 – 3n Rpta: _______

8

Álgebra - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 1

Efectúa: 1

( x ) .( x ) (x ) 3 2

7 3

Efectúa: 1 .x

15

(x2)4 . (x5)6 . x20

6 7

(x7)8

a) -1 b) 1 d) -2

c) 2 e) -4

Resolución:

a) x b) x2 4 d) x Resolución:

Clave: Efectúa: 2

Clave: 2

19

16

Calcula el valor de la expresión: 602 . 3754 . 158

13

35 . 40 . 27

304 . 1510 . 58

(30)30 . (45)5 . 1418

c) x3 e) x5

a) 28 b) 5/3 d) 3/5

c) 3/28 e) 28/3

a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave: 9

Álgebra - 2do Sec. 3 Calcula:

3 Reduce:

3

{[(72)3]4}5 . 76

2

711 . (721)10

a) 7 b) 72 d) 74

c) 73 e) 75

Resolución:

{(73)4}5 {(74)5}6 (711)11 {(74)7}2

a) 43 b) 53 3 d) 7 Resolución:

Clave:

4Calcula:

n+3

10

Clave:

4 Realiza:

n+2

- 10

a) 0 b) 1 d) 3

c) 2 e) 4

Resolución:

a) 0 b) 1 d) 3

c) 2 e) 4

Resolución:

Clave: 10

2n+4 - 2n+3 2n+2 - 2n+1

10n+2

c) 63 e) 83

Clave:

Álgebra - 2do Sec. Calcula: 5 E=

Calcula: 5 20

05

10

3 +3 +3 +2 0

a) 2 b) 3 d) 5

c) 4 e) 6

Resolución:

C=

0

3

05

20 + 23 + 20 + 52

a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

Resolución:

Clave:

Clave:

Realiza: 6 -2

-2

( ) ()

1 1 + 10 6

-2

-2

() ()

1 1 + 13 12

a) 2 b) 4 d) 8

2

-2

() () 1 1 5 4

c) 6 e) 20

Resolución:

Efectúa: 6

-2

-3

-1

( 12 ) + (15 ) + (151 )

a) 10 b) 11 d) 13

c) 12 e) 14

Resolución:

Clave:

Clave: 11

Álgebra - 2do Sec. Calcula: 7

4 . 4 . 4 ... 4 - 16 . 16 . 16 ... 16 20 factores

10 factores

3.3.3...3    − 9.9.9...9   

c) 280 e) 220

a) 0 b)1 d) 240

Calcula: 7

Resolución:

40 factores

20 factores

a) 3 b) 0 d) 2 Resolución:

Clave: Reduce: 8

D=

6

9

a) 1 b) 2/3 d) 8/27

Clave: Reduce: 8

4

() () ( ) 2 9 8 . . 3 4 27

c) 3/2 e) 9/4

Resolución:

R=

c) 3 e) 5

Resolución:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

153 . 64 93 . 42 . 125

a) 1 b) 2 d) 4

Clave:

12

c) 9 e) 1

Álgebra - 2do Sec.

Leyes de Exponentes II

RADICACIÓN Dentro de las matemáticas, existen lo que se denominan: PARADOJAS; que son resultados matemáticosabsurdos,obtenidosapartirdesituaciones verdaderas y lógicas. A continuación voy a mencionarte una de ellas, sigue con cuidado cada paso del proceso: * 0 = 0  Igualdad de dos números * 4 - 4 = 2 - 2  Equivalencia de la igualdad anterior. * 4(1 - 1) = 2(1 - 1)  Factorizando 4 y 2 a izquierda y derecha, respectivamente. 2 (1 - 1) * 4 = (1 - 1)  Pasando a dividir (1 - 1) y luego simplificando la fracción. * 4 = 2  Sacando mitad. * 2 = 1  Resultado final ... TOTALMENTE ABSURDO !! ¿Dónde está el error?... Averígualo!!! En la naturaleza del hombre y en el origen de su razonamiento lógico, se fueron construyendo los diferentes conjuntos de números que ahora conocemos como: Naturales (N), Enteros (Z), Racionales (Q), Irracionales (I) y Reales (R).

2

6 Los Números Naturales. Fueron concebidos desde la época prehistórica siendo usados por los primitivos al calcular el número de animales cazados, los frutos recolectados, etc. 6 Los Números Enteros. Nacieron a partir de la concepción del número “0”, debido a que por el desarrollo comercial, las gananciasserepresentabanconcantidadespositivas, las pérdidas por cantidades negativas, justamente el “0” fue ideado para marcar el límite entre positivos y negativos (esto lo puedes ver claramente en la recta numérica). 6 Los Números Racionales. Se crearon a raíz de problemas típicos como:”Dividir una manzana en tres partes iguales”, etc. Además se consideran las equivalencias entre fracciones y decimales. 6 Los Números Irracionales. Nacieron debido, estrictamente, a una exigencia en el avance matemático - científico. 6 Los Números Reales. Considerando a la reunión de todos los conjuntos anteriores. Esta clasificación de los números, ha sido utilizada poco a poco en la categoría de los exponentes, es decir: * 23 = 8  Observa el exponente: 3 ∈ N * 2-3 =

1 1 = 23 8  Observa el exponente: -3 ∈ Z

13

Álgebra - 2do Sec. ¿Te diste cuenta?... hemos usado exponentes del tipo natural, del tipo entero... y ahora ¿qué falta? ¡Ajá! ¡acertaste! Ahora veremos exponentes del tipo racional.

1. Indica el equivalente de: a) 21/3 = _________________

b) 32/5 = _________________

Así: 41/2  ¿A qué será igual esto?

c) 41/2 = _________________

Radicación 1. EXPONENTE FRACCIONARIO

d) 271/2

= _________________

e) 161/4

= _________________

f ) 321/5

= _________________

; n ≠ 0, m, n ∈ Z

am/n = n am Ejemplo: 1 2

2

1

a) (5) = 5 = 5

2. Reduce:

1 6

2

b) (8) = 6 81 = 6 231 = 2 OJO

a)

Se pueden simplificar estos números

b)

2. RAÍZ DE RAÍZ m n p

a=

m.n.p

c)

5

3 4

5

= ____________

3

2

= ____________

8

= ____________

a m, n, p ∈ Z - {0}

d)

2 2

= ____________

e)

32 3 3 3 = ____________

f )

53 4 5 3 5 = ____________

Ejemplo: 3

a)

5 = 2.3 5 = 6 5 216 = 2.2.2 216 = = 22 = 4

b) c)

3

d)

3 4 5

1 8

2162

6

64 = 64 = 2 3 = 60 3

Ejemplo: a) 4 3 36 5 530 = 4 . 6 36 . 30 530 = 2 . 3 . 5 = 30 x + b) 3 3 4 3 5 = 8 317 = 317/8 x +x + c) 2 3 3 2 2 5 2 4 = 30 259 = 259/30 14

1. Determina el valor de:

J=4

3

166 +

Resolución: J = 24 (24)6 + 4 254 = 24 224 + 25 = 2 + 25 = 27

254

Álgebra - 2do Sec. -1

-1

-1

92 + 362 + 1253 -1 42 Resolución: 1/2

1/2

9

1/3

+ 36 + 125 41/2

9 + 36 + 3 125 4 3+6+5 2

14 2

5 7 5 3

x . x 5 8 x

Resolución: 5

5

x7 . x3 x8 x10 x8

Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo. LA IRRACIONALIDAD DE LA RAÍZ DE DOS

4 8 3 5

x x 3 3 4 5 x x Resolución:

E=

4(3) 8(3)+5

12 29

3(4) 3(4)+5

12 17

x x

=

x x

= 12 x12 = x 5. Calcula el valor de:

-1/2

A = 254

+

1 49

Según E. T. Bell, la segunda gran contribución de Pitágoras (mejor habría que decir“de la escuela pitagórica”) a las matemáticas fue, aunque le humillase y entristeciese, el descubrimiento de los números irracionales. Lo que no está tan claro es en qué contexto se realizó tal descubrimiento: muchos opinan que fue al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo isósceles, mientras que otros creen que fue al estudiar las propiedades del pentágono estrellado,símbolodelospitagóricos.Seacomofuere,ambos trabajosproporcionaronlosprimerosejemplosdenúmeros irracionales, la raíz de dos el primero y la razón áurea el segundo.

-1/2

Observación

Resolución: 1/2

E = 25(1/4) + [49]1/2 = 25 1/4 + 49 = 251/2 + 7 = 25 + 7 = 5 + 7 = 12

(am+b)p+γ mnp

15

Álgebra - 2do Sec.

1) Calcula:

4) Efectúa:

7 -100

-60

7 49 + 5 25 + 9

Rpta: _______

1 -2 -4 . 16

-3 1 8

+

Rpta: _______

2) Reduce:

5) Halla el valor de:

16

1/2

1/3

+ 27

1/4

+ 81

x.3x.4x 4

Rpta: _______

x.3x. x Rpta: _______

3) Efectúa:

6) Calcula el valor de:

-2-1 -16-16

2 2 2

1 100

Rpta: _______ Rpta: _______

1) Reduce:

4) Calcula el valor de: 25 + 49 + 144 + 400

-1/2

A = 254

+ 1 49

Rpta: _______

Rpta: _______

5) Calcula el valor de:

2) Reduce:

256

32 + 42 + 122 + 52

Rpta: _______

Rpta: _______

6) Calcula:

3) Calcula el valor de: -9-1/2 1 64

x. x. y. y Rpta: _______

Rpta: _______

16

-1/2


1

1 Simplifica:

Reduce:

G=

5 2 4

x . x ; x≠0 10 3 x

a) x1/10 b) x27/10

M =

c) x2

d) x1/29 e) x7/20

5

x7 . 5 x 3 5

x8

; x≠0

a)

3

3 x b) x4

c)

d)

3

x 8

e) 3 x 2

5

x2

Resolución: Resolución:

Clave:

2

Reduce:

Clave:

2

Calcula el valor de: 52. 3 5 5

7 7 7 2 3

2

a)

12

4 17 3 17 717 b) 7 c) 7

a)

12

5 5 12 515 b) 54 c) 5

d)

4

75

d)

4

55

e) 7 3

5

e) 5


Clave:

Clave: 17

Álgebra - 2do Sec. 3

Simplifica:

3

-(1/3)-1

Calcula el valor de:  1  −   1   5  M=    4  

[1/3] -1 [1/2]-(1/2) + (0,2)-1

a) 2 b) 1 c) 3 d) 1/3 e) 9

−1

   

a) 8 b) 16 d) 64

1/2

c) 32 e) 24


Clave:

4

Simplifica: n+4

Clave:

4

n+3

Calcule:

2 -2 2n+2 - 2n+1

10n+3 − 10n+2 10n+2

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Resolución:

Resolución:

Clave: 18

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Clave:


Reduce:

A=

{

1 27

-2/3

1 + 32

-4/5

1/2

}

5

Reduzca: 1/2

 1 −1/2  1 −4/ 3  B=   +  + 3  8  36  

a) 5 b) 8 c) 4 d) 3 e) 9

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

Calcula: 2-1

M=

9

2-1

3-1

Clave:

6

Reduce: −1 −4−2

+ 36 + 125 -1 42

a) 4 b) 6 c) 7 d) 9 e) 10 Resolución:

A = 279

a) 1/3 b) 1/4 d) 3

c) 2 e) 1/2

Resolución:

Clave:

Clave: 19


Indica el exponente final de x, luego de reducir:

O=

a) 1

4 8 3 5

x x

x x

7

3 3 4 5

b) 0

c) 2

d) 4 e) 5

Indica el exponente final de "x". Luego de reducir. 5 6 x x7 Q= 4 25 x x a) 27/20 b) 1/20 d) 27/3

c) 3/20 e) 1/3


Clave:

8

Simplifica:

Clave:

8

Simplifica:

48 radicales

8

T=

10

x 8 x 8 x ..... 8 x

U=

x 3 x x 3 x ..... x 3 x

b) x2

c) x3

a) 5 x

3

x 3 x 3 x ..... 3 x

b) 3 x

c) x10

d) x4 e) x5

d) 1 e) 15 x

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 20

x 5 x 5 x ..... 5 x 30 factores

96 radicales

a) x

50 factores 5

Álgebra - 2do Sec.

Ecuaciones Exponenciales

LAS TORRES DE BRAHMA

3

Brahma les dijo: “El día que acaben vendrán conmigo al Nirvana Eterno donde cesarán el dolor y la intolerancia”. ¿Cuánto tiempo nos queda? Brahma habló hace 5 000 años. La leyenda fue creada por el matemático francés Edouard Lucas en 1883. 1. CONCEPTO Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita está como exponente o también como base y exponente a la vez. Ej.:

Al terminar su obra Brahma (el creador), colocó tres clavos de plata alineados en el patio de un Monasterio de Bernares. En el clavo de la izquierda puso 64 discos de oro de distintos tamaños. El mayor el más bajo. Reunió a los monjes y les dijo: “desde hoy empezarán y sin descansar, pasarán los 64 discos de la izquierda a la derecha. Pero siempre respetarán mis tres mandamientos”. Los tres Mandamientos de Brahma: 1. La unidad es la fuente. Por eso nunca moveréis más de un disco en cada movimiento. 2. Ahorren energía. Habrán de hacerlo en el mínimo número de movimientos. 3. El poderoso no debe oprimir al débil. Jamás un disco mayor se situará sobre otro menor.

 3x + 3x+1 + 3x+2 = 39  x-x = 4 2. PROPIEDADES 1. Si: am = an → m = n ;

∀ a ≠ 0, 1, -1

Ejemplo: Resuelve 25x-1 = 1252-x Después de expresar 25 y 125 como potencias de 5, tenemos: (52)x-1 = (53)2-x Efectuando operaciones en los exponentes: 52x-2 = 56-3x Bases iguales, exponentes iguales: 2x - 2 = 6 - 3x Resolvemos y obtenemos que: x = 8/5 21

Álgebra - 2do Sec. 2. Si: xx = aa → x = a Resolución: -x

Ejemplo: Resuelve x = 4 Expresa el exponente negativo y el 4 como potencia de 2 en: 1 = 22 xx

2x+1 . (22)x+2 = 23 2x+1 . 22x+4 = 23 23x+5 = 23 → 3x + 5 = 3 3x = 3 - 5 3x = -2 x = -2/3

1 22 1 (-2)2

Resolución: 8x

23 = 29 x → 38 = 9 x 38 = 32 → 8x = 2 x (23) = 2 23x = 21 → 3x = 1 x = 1/3

⇔a>1∧b>0

ax = bx ⇒ a = b

Resolución: 1 2

xx = 3 (2/3)2 xx = (2/3)2/3 → x = 2/3

1. Halla “x” en: 125x-3 = 252x+1 Resolución: x-3

(53)

2x+1

= (52)

53x-9 = 54x+2 → 3x - 9 = 4x + 2 3x - 4x = 2 + 9 -x = 11 → x = -11 22

Resolución: (4x)4x = 23(8) 8 (4x)4x = (23) (4x)4x = 88 → 4x = 8 x = 8/4 x=2

Álgebra - 2do Sec.

1) Calcula “x” en: 54x+2 = 25

4) Resuelve: x-2 3

2

3-2x 5

. 2

x-1

. 2

=1

Rpta: _______

2) Halla “x” en: 2x+1 . 23x-5 . 25x-9 = 25

Rpta: _______

5) Resuelve: x+3 2x-5 34 = 316 Rpta: _______

Rpta: _______

3) Halla “x” en: 125x-3 = 252x+1

6) Calcula “x” en:

Rpta: _______

-3

-2

-1

( ( +( ( ( ( 1 3

2 5

4 + 11

x

= 216 Rpta: _______

4) Halla “x” en:

1) Calcula "x" en: 2x+1 3 = 27

8

x+3

3x+1

= 4 32

Rpta: _______

2) Resuelve:

Rpta: _______

5) Resuelve: 5

x-1

25

3

x+2

= 5

2x+1 . 4x+2 = 8 Rpta: _______

Rpta: _______

6) Resuelve:

3) Resuelve: 32x+1 . 3x+2 . 33x–7 = 9

8x

23 = 512 Rpta: _______

Rpta: _______

23


1 Halla “x” en: x-3 x 25 = 225

a) 1 b) 3 d) 4

1 c) -3 e) -1

Halla “x” en:

x −2

36

x

= 336

a) 2 b) 4 d) - 1

Resolución:

Resolución:

Clave: 2 Resuelve: 814x-1 = 9x+5

a) 1 b) 2 d) 5

Clave: 2 Halla “x” en: 4 27x = 924

c) 4 e) 3

Resolución:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Resolución:

Clave: 24

c) 3 e) - 2

Clave:


Resuelve:

3

Resuelve:

8 . 8 . 8 ... 8 = 4 . 4 ... 4

8 . 8 . 8 ... 8 = 16 . 16 . 16 ... 16

n veces

a) 4 b) 2 d) -8

(n+2) veces

c) 8 e) -2

Resolución:

(x+3) veces

“x” veces


Clave: 4

Resuelve:

Clave: 4

Resuelve:

34-x . 96+x . 2710-x = 814+x

27x-3 . 9x+1 = 81x+3

a) 1 b) 2 d) 3

c) 2/3 e) 1/8

c) 19/9 e) 6

Resolución:

a) 12 b) 18 d) 16

c) 19 e) 20

Resolución:

Clave:

Clave: 25


Resuelve:

5

Resuelve:

2x+5 + 2x+4 + 2x+3 = 28

3x+4 + 3x+2 + 3x = 273

a) -2 b) -1 d) 2

c) 1 e) 3

Resolución:

a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

Resolución:

Clave: 6

Resuelve:

6

a) 1 b) 2 d) 4

53x −6 25x −1

c) 3 e) 1/4

Resolución:

a) 1 b) 2 d) 4

=

1 125

c) 3 e) 5

Resolución:

Clave: 26

Resuelve:

1 62x-2 = x-1 16 144

Clave:

Clave:


Resuelve:

7

(4x)4x = 224

a) 1 b) 2 d) 4

Resuelve:

(2x)x = 212 c) 3 e) 1/4


Resolución:

Clave: 8

Halla “x” en:

Clave: 8

3

c) 3 e) 5

7

x

2 -2 =2 2x - 2

a) 1 b) 4 d) 1/4

Resuelve:

3x-1 + 3x-2 = 108 c) 3 e) 1/2

Resolución:

a) 3 b) 5 d) 7

c) 9 e) 1/5

Resolución:

Clave:

Clave:


Álgebra - 2do Sec.

Polinomios: Grados y Valor Numérico

... Y AQUÍ UN PROBLEMITA ... A un herrero le trajeron cinco cadenas de tres eslabones cada una, y le encargaron que las uniera formando una sola cadena. Antes de comenzar el trabajo, el herrero se dio a pensar cuántos eslabones tendría que abrir y volver a soldar. Llegó a la conclusión de que tendría que abrir y soldar cuatro eslabones. ¿No sería posible realizar este trabajo abriendo menos eslabones? Uno de los símbolos más conocidos en el mundo de las matemáticas es: > o < ; también ≥ o ≤

4

ejemplo, si tenemos los polinomios: P(x) = 5x2 - 3x + 7

Q(x) = 8x3 + 1

No se puede afirmar que: P(x) > Q(x) o Q(x) > P(x) Sin embargo, para salvar este problema se define, en lo que a polinomios se refiere, el grado absoluto (G.A.), y entonces podríamos hablar de “cierta relación de orden”. Si tenemos el polinomio: P(x) = 5x2 - 3x + 7, tendremos que: G.A.(P(x)) = 2 (mayor exponente) Si tenemos el polinomio: Q(x) = 8x3 + 1, tendremos que: G.A.(Q(x)) = 3 (mayor exponente) Luego, podemos afirmar que: [G.A.(P(x))] < [G.A.(Q(x))]

Estos símbolos permiten determinar que una cantidad es mayor o menor que otra. Por ejemplo, tenemos: 5 > 3 ; 1/2 < 4 ; 2 > -1 Así, podemos hablar entonces de una RELACIÓN DE ORDEN. Se ha establecido que dicha relación de orden puede ser aplicada a todo par de números reales, y esto lo puedes comprobar si tomas dos números reales diferentes cualquiera. Siempre verás que uno es mayor que otro. Observa :  Si tomamos 2 y 1/2, entonces: 2 > 1/2  Si tomamos -4 y -π, entonces: -4 < -π Lamentablemente las relaciones de orden no pueden ser aplicadas a toda entidad matemática. Así, por 28

Para elegir los materiales adecuados, en cuanto a calidad y cantidad, para construir un puente, los ingenieros analizan las variables que intervienen antes de llevar a la práctica su proyecto, como la geología del terreno, resistencia al viento, cambio de temperatura y fluidez del tráfico automovilístico. Estas variables son expresadas matemáticamente mediante polinomios para así poder hacer los cálculos respectivos y no cometer errores imprevistos.

Álgebra - 2do Sec. Polinomio Es la reunión de dos o más monomios mediante sumas y restas.

1. Halla el grado absoluto de: P(x, y) = 3x6y2 + 2x5y3 - 8x4y2 + 9y9 - 7x2y2

Ejemplo:

Resolución: P(x, y) = 5x5y4 - 9x2y7 + 7x8z1/2

Grados

Primero hallemos el grado absoluto de cada monomio: P(x, y) = 3x6y2 + 2x5y3 - 8x4y2 + 9y9 - 7x2y2 GA=8 GA=8 GA=6 GA=9 GA=4

Como se observa el mayor GA es 9.

1. GRADO ABSOLUTO (G.A)

Entonces: GA(P) = 9

Es el mayor de los G.A. de los monomios que conforman al polinomio. Ejemplo: Halla el G.A. del polinomio: P(x, y) = 7x4y3 - 1/2x2y7 + 5 xy5 GA = 7

GA = 9

GA = 6

Como se observa, el mayor G.A.

es 9.

2. En el polinomio: P(x, y) = 4xmy7 + 5x2ym, halla GA(P) si GR(x) = 10. Resolución: Si GR(x) = 10, entonces m = 10. Luego: P(x, y) = 4x10y7 + 5x2y10 GA=17

por lo tanto:

⇒ G.A.(P(x)) = 9 2. GRADO RELATIVO (G.R) Es el mayor de los G.R. de los monomios que conforman al polinomio.

2 7

P(x, y) = 7x y - 1/2x y + 5 xy

5

GRy = 3 GRy = 7 GRy = 5

El mayor de todos los G.R.(y)

es 7.

⇒ Luego G.R.y(P(x, y)) = 7

Valor Numérico Se reemplaza las variables del polinomio, por números indicados. Ejemplo: Dado el polinomio: P(x, y) = 7x4y3 - 1/2x2y7 + 5xy5 Halla el V.N. si x = 0, y = 1.

GA(P) = 17

3. Si el grado relativo de “x” es 9 en P(x, y) = 21x3yn - 8(xy)3n - xny5, halla el grado relativo de “y”. Resolución:

Ejemplo : Halla el G.R.(y) del polinomio: 4 3

GA=12

Si GR(x) = 9, entonces 3n = 9 luego: n = 3 reemplazando en el polinomio: P(x, y) = 21x3y3 - 8x9y9 - x3y5 observamos: GR(y) = 9 4. Si P(x, y) = (2x + y)2 + (2x - y)2, calcula P(-1; -2) Resolución: Reemplazamos los valores numéricos para“x = -1”y“y = -2”. P(-1,-2)=(2(-1)+(-2)2)+(2(-1)-(-2)2) = (-2 - 2)2 + (-2 + 2)2 = (-4)2 + (0)2 = 16 + 0 = 16 5. Si W(x) = x + 2, halla W(W(3)) Resolución:

Si reemplazamos tenemos: P(0, 1) = 7.04.13 - 1/2 . 02 . 17 + 5 . 0 . 15

P(0, 1) = 0 - 0 + 0 P(0, 1) = 0

Primero hallamos W(x) para “x = 3”. W(3)=(3)+2 =5 luego:

W(W(3)) = (5) + 2 =7 29

Álgebra - 2do Sec.

1) Halla el G.A. en cada caso. A(x, y) = x7 + y9 B(x, y) = x3y4 + x2y6 C(x, y) = x4y8 + x8y5 D(x, y) = (x2y3)4 + xy17

4) Calcula “a” si el siguiente polinomio es de cuarto grado: 1 P(x) = 3 2 + 9xa-4 - xa-3 2 Rpta: _______ Rpta: _______

2) Halla el grado relativo (G.R.) en cada caso. P(x, y) = x2y3 + x4y6 + y7 G.R.(x) = G.R.(y) = Q(x, y) = x4y6 + xy6 + y8 G.R.(x) = G.R.(y) = 3)

5) Halla la suma de coeficientes de P(x) si este polinomio es de grado 7.

1 P(x) = 3mxm - xm+2 - xm+4 3 Rpta: _______

Rpta: _______ 6)

Halla el G.A. de: E(x, y) = (x4)5 (y6)7

Si w(x) = x + 2, halla w(w(3)). Rpta: _______

Rpta: _______

1) Calcula P(1; 2), sabiendo que: P(x, y) = x3 + y3 + 3xy(x + y) Rpta: _______

4) Halla el G.A en cada caso: A(x, y) = x7 + y9 B(x, y) = x3y4 + x2y6 C(x, y) = x7y8 + x8y5 D(x, y) = (x2y3)4 + xy17 Rpta: _______

2) Si g(x) = 2x - 1, calcula g(g(3)). Rpta: _______

3) Si f(x) = x2 + x + 1, halla f(3). Rpta: _______

5) Halla el GR(x) y el GR(y) en cada caso: P(x, y) = x2y3 + x4y6 + y7 Q(x, y) = x4y6 + xy6 + y8 S(x, y) = 2x3 + 5y9 T(x, y) = xy2 + xy6 + x5y9 Rpta: _______ 6) Calcula "a" si el siguiente polinomio es de quinto grado. 1 P(x) =2 3 + 7xa− 3 − xa−2 3 Rpta: _______

30


1

Halla "M" si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 12. 1 P(x) = 6 + xm - 3 2xm+7 + xm+3 5

a) 5 b) 6 d) 7

c) 10 e) 12

1

Halla “m” si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 10. P(x) = 7 + 5xm+6 - 3xm+7 a) 1 b) 5 d) 4

c) 3 e) 2


Clave: 2 Calcula F(-0, 2) si se sabe que: F(x) = 2 + 25(3x + 1) a) -1 b) 0 c) 12 d) 5 e) 10 Resolución:

Clave: 2

Halla P(1) + P(-1) si se sabe que: P(x) = 1 + x + 2x2 + 3x3

a) -1 b) -2 d) 6 e) -1/2

c) 1/2

Resolución:

Clave:

Clave: 31


Si:

P(x) = 2x5 - 3x4 + 2x3 + 2x - 3 halla P(-1) a) -15 b) -10 c) -5 d) -1 e) -12 Resolución:

3

Si:

calcula F(1).

a) 1 b) 5 d) 2

1 1 F(x) = x2 + x + , 2 3

7 6

c) 4 e) 3

Resolución:

Clave: 4

Si: P(a) = 3a2 + a + 3, calcula: P(0) + P(1) E= P(-1)

a) -2 b) -1 d) 4

c) 2 e) 1/2

Clave: 4

Si H(x) = 5x2 - x + 2, halla: H(1) + H(2) + H(3)

a) 24 b) 68 d) 48

c) 82 e) 70


Clave: 32

Clave:


Halla P(3) si se sabe que: P(x) = 3(x+1)(x - 1) + (x+1)2

5

Halla P(5) si se sabe que: P(x) = 2(x+1)(x - 4) + (x+3)2

a) 24 b) 16 d) 18

a) 72 b) 73 d) 75

c) 40 e) 42

Resolución:

c) 74 e) 76

Resolución:

Clave: 6

En el polinomio: P(x, y) = 4xmy7 + 5x2ym halla GA(P) si GR(x) = 10.

a) 11 b) 10 d) 5

c) 12 e) 7

Resolución:

Clave: 6

En el polinomio: P(x, y) = xmy5 + xm+2y halla GR(x) si GA(P) = 12. a) 10 b) -9 d) 7

c) 11 e) 9

Resolución:

Clave:

Clave: 33


Si el grado relativo de “x” es 9 en: P(x, y) ≡ 21x3yn - 8(xy)3n - xny5 halla el grado relativo de “y”.

a) 1 b) 3 d) 9

c) 6 e) 12

Resolución:

7

Dado el polinomio: P(x, y) ≡ 2xa+by2 - 3xa+1yb + 5xayb-1 si su grado absoluto es 10 y su grado relativo a “y” es 4, halla el grado relativo a “x”.

a) 3 b) 5 d) 8

c) 7 e) 9

Resolución:

Clave:

8

Del siguiente polinomio se conocen los siguientes datos: G.R.(x) = 7; G.R.(y) = 8 P(x, y) = 2xm+1 - 3xmyn + 5yn+2 ¿cuál es el G.A. de P(x, y)?

a) 12 b) 10 d) 14

c) 9 e) 11

Clave: 8

Halla el grado absoluto de: P(x, y) = 3x6y2 + 2x5y3 - 8x4y2 + 9y9 - 7x2y2

a) 4 b) 6 d) 8

c) 7 e) 9

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:


Álgebra - 2do Sec.

Polinomios Especiales

5

1. POLINOMIO ORDENADO Polinomio donde el G.R. de una variable, en cada monomio, crece o decrece. Ejemplo: x10 + 9x7 + 5x2

Polinomios y tecnología 1

+ x2

+ 3x4

+ 5x7 +

2x9 + 7x12 +

3x13 + x17 + 4x20

Existen unas funciones, denominadas splines, que son utilizadas para aproximar curvas. En varios programas de computadoras se usan para construir gráficos en 2D (dos dimensiones), 3D (tres dimensiones),

2. POLINOMIO COMPLETO Polinomio que presenta respecto a una variable, término independiente, término de grado 1, término de grado 2, término de grado 3 y así sucesivamente. Ejemplo: 2x5 + 7x + 2x2 + x3 + 2 + 5x4

spline de grado 1 Yuxtaposición de segmentos. Polinomios de grado 1.

animaciones, ondas de audio y otros. Estas funciones se construyen uniendo puntos, yuxtaponiendo trozos de polinomios que pasan por estos puntos. A los splines se les asigna un grado de acuerdo al grado de los polinomios que se utilizan.

3. POLINOMIO HOMOGÉNEO

Polinomio que tiene monomios de igual G.A.

Ejemplos: 3x4y3 + 7x2y5 4x5y2 - 3x6y 6x8y3 + 3x4y7 - 4x10y

8+3

4+7

spline de grado 2 Yuxtaposición de trozos de polinomios de grado 2. Por cada tres puntos en cada uno de estos cuadros pasa la gráfica de un polinomio de grado 2.

10 + 1 35

Álgebra - 2do Sec. 3. POLINOMIOS IDÉNTICOS Polinomios que poseen el mismo V.N. para cualquier valor asignado a las(s) variable(s). Ejemplo: x2 + 7 = x2 + 7 3

2

x + x + x + 7 Unpolinomioestáconformadopormonomiosdela misma forma que un tren lo está por vagones. Por ejemplo: si sumas los monomios x3, x2, x y 7 lo que se obtiene es x3 + x2 + x + 7, que es un polinomio. 4. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO Polinomio cuyo V.N. es cero para cualquier valor asignado a la(s) variable(s). Ejemplo: Un polinomio nulo es como un tren sin vagones. 0x3 + 0x9 + 0x7 + 0

1. Si: P(x, y) = 4x3ym + 5x7y5 - 2xny8 es un polinomio homogéneo. Halla (m + n). Resolución Si el polinomio es homogéneo cada término debe tener el mismo grado absoluto, entonces: 3+m=7+5=n+8 luego:

por lo tanto:

m=9 n=4 m + n = 13

2. Si se cumple: (m - 2)x2 + 6x + (p - 4) ≡ 6x2 + nx + 10, halla “m + n + p”. Resolución Observamos: m-2=6→m=8 6=n→2=6 p - 4 = 10 → p = 14 por lo tanto: m + n + p = 28 36

3. Si:

(a + b - 2)x3 + (a + c - 3)x + (b + c - 5) ≡ 0, determina “a - b + c”. Resolución Como el polinomio es idénticamente nulo se cumple: a+b-2=0 a+c-3=0 b+c-5=0 el sistema de ecuaciones se cumple para: a=0 b=2 c=3 nos piden:

a - b + c = 0 - (2) + 3 = 1

4. Si: P(x) = 3x3a - 9 + xa+b-3 + 6(x2)4b+a-c es completo y ordenado ascendentemente, calcula “a + b + c”. Resolución Si el polinomio es completo y ordenado, el primer término será de grado cero, el segundo de grado uno y el tercero de grado dos. Entonces: 3a - 9 = 0 → a=3 a+b-3=1 → b=1 2(4b + a - c)= 2 → c=6 por lo tanto: a + b + c = 10 5. Si: P(x) = ax3 + bx + n ≡ 0 determina: M = 2003a + 2004b + 2005n Resolución Si el polinomio P(x) es idénticamente nulo, entonces: a=0 b=0 n=0 luego: M = 20030 + 20040 + 20050 =1+1+1 =3

Álgebra - 2do Sec.

1) Señala en la siguiente relación, los polinomios homogéneos. a) P(x,y) = x2y5 + x3y4 b) P(x,y) = x5y5 + x2y8 - x9y c) P(x, y) = x6y7 + x10y3 + x5y7 d) P(x, y) = 2x4y13 - 7x7y10 - 3x8y9 + x15y2 e) P(x, y) = 5x2y7 + x9y + xy9 Rpta: _____

4)

Rpta: _____

5)

2) Indica en la siguiente relación, cuál no es un polinomio completo. a) P(x) = 5x + 3x2 + 2 b) P(x) = 4 + 7x3 + x - 3x2 c) P(x) = 2x5 - 4x2 + 4 + x4 - 7x3 + 9 d) P(x) = 5x4 + 3 - 3x2 + 3x e) P(x) = x4 + x2 + 1 Rpta: _____

Si: P(x, y) = x2y8 + xmy5 + xny7 , es un polinomio homogéneo, halla mn.

Si: ax3 + 3x2 + cx + 4 ≡ 2x3 + bx2 + 7x + d , halla a + b + c + d. Rpta: _____

6)

Si: (a - 3)x2 + (b - 1)x + c - 5 ≡ 0 , halla abc.

3) Si: P(x) = 5x3 + x + 7 + 4xm , es un polinomio completo, halla "m".

Rpta: _____

Rpta: _____

1) Indica cuál de los siguientes polinomios no es ordenado. a) b) c) d) e)

4)

Si: P(x, y) = x4y5 + x2ym es un polinomio homogéneo, halla "m". Rpta: _____

P(x) = 5x9 + x4 + 7x2 P(x) = 4 + 2x5 + x7 P(x) = x3 + 5x4 - 3x10 + 9x12 P(x) =3x3 - 10x30 +2x17 + x13 - 5x5 + 1 P(x) = 8x7 + 9x10 - 4x12 + 13x11 - x20 Rpta: _____

2)

¿Cuántos polinomios son completos?

A(x) = x2 + 5x - 1 B(x) = x + 51x2 - x3 + 13 C(x) = 1 + x + x2 + x4 D(y) = y2 + 7y + 13 + y3

Rpta: _____

3) Si: P(x) = x4 + 2x2 - x3 + 4xm - 5x0 es un polinomio completo y ordenado, halla "m".

5)

Se tiene ax + b ≡ 5x + 2, halla ab. Rpta: _____

6)

Si (a - 1)x + b ≡ 0, halla a + b. Rpta: _____

Rpta: _____

37


1

Si: P(x, y) = 4x3ym + 5x7y5 - 2xny8 , es un polinomio homogéneo, halla m + n. a) 8 b) 6 d) 14

1

c) 7 e) 13

Halla el grado del polinomio homogéneo. P(x, y) = 24x5y7 + x2y10 + xy11 a) 10 b) 12 d) 16

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Si: P(x) = 7x8 + 2x5 + 3xm + x2 , es un polinomio ordenado, halla la suma de los valores que puede tomar m. a) 3 b) 4 d) 11

c) 120 e) 15

c) 7 e) 10

Clave:

2

Si: P(x, y) = 9x13 + 5x10 - xm + 8x8 + 7x2 + 5 es un polinomio ordenado, halla "m". a) 10 b) 11 d) 9

c) 13 e) 5


Clave: 38

Clave:


Si: P(x) = 8xm+1 + m-n + 2xn + 4xp , es un polinomio completo, determina el mínimo valor del término independiente. a) 1/3 b) 1/2 d) -3

3

c) -1 e) -7

Si: P(x) = x4 + 5xm + mm +xn + 7x es un polinomio completo, halla la suma de los valores que puede tomar el término independiente. a) 17 b) 27 d) 19

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

c) 12 e) 7

n

n

Si: P(x, y) = ax8yb + axym + bxm y + bxay14 es un polinomio homogéneo, halla la suma de coeficientes. a) 12 b) 36 d) 48

c) 60 e) 24

Clave:

4

Si: P(x, y) = axmyn + nx2y7 + mx8yq + qxbyc es un polinomio homogéneo, halla la suma de sus coeficientes. a) 7 b) 14 d) 37

c) 21 e) 47

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave: 39


Si: ax2 + b ≡ n + mx2, halla:

5

a-n b-m + a m a) 1 b) -1 d) 2

c) 0 e) -2

Si: (a - 2)x2 + (b - 3)x + c + 1 ≡ 2x2 + 4x + 3, halla: ab c a) 7 b) 2 d) 4

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

Calcula la suma de coeficientes del polinomio: P(x, y) = a2xa+7 - bxayb + abyb+4 sabiendo que es homogéneo. a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39 Resolución:

Clave:

6

Halla “(a + b)(ab)”, sabiendo que: P(x, y) = xa-2bya+b - 15xby2b+a + 2xa-by8 es un polinomio homogéneo. a) 60 b) 100 c) 160 d) 200 e) 240 Resolución:

Clave: 40

c) 14 e) 28

Clave:


Si el polinomio: P(x) = 18xa-18 + 32xa-b+15 + 18xc-b+16 es completo y ordenado ascendentemente, calcula “a + b + c”. a) 18 b) 32 c) 36 d) 68 e) 92

7

Resolución:

Si:

P(x) = xa+b + 2xb+c + 3xc+d + 4xd+4 es completo y ordenado ascendentemente, calcula “abcd”. a) -12 b) 12 c) -6 d) 6 e) -3 Resolución:

Clave:

8

Si: P(x) = (ab - 8)x5 + (ba - 9)x + (c - ab)x7 ≡ 0 halla: a b+c a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9 Resolución:

Clave:

8

Si: P(x) = ax3 + bx + n ≡ 0 determina: M = 2003a + 2004b + 2005n a) 3 b) 4007 c) 2004 d) 2005 e) 6012 Resolución:

Clave:

Clave:


Álgebra - 2do Sec.

Productos Notables I

I. Concepto Son resultados que se obtienen inmediatamente, de ciertas multiplicaciones indicadas, sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva. Algunos de ellos son: 1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)(a - b) = (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Ejemplo:

(a + b)(a - b) = a2 - b2 Ejemplo:

Por dato: (x + 3)2 - (x + 2)(x - 2) ≡ mx + n → x2 + 6x + 9 - (x2 - 4) ≡ mx + n → 6x + 13 ≡ mx + n Luego: m=6 n = 13 nos piden:

m + n = 19

Resolución: Desarrollando cada producto notable: (x + 2)2 + (x - 2)2 = x2 + 4x + 4 + (x2 - 4x + 4) = 2x2 + 8 5. Reduce: (x + 3)(x - 3) - (x + 2)(x - 2) y halla como respuesta el término independiente.

Resolución: (m + n)2 = m2 + n2 + 2mn

Sabemos: Reemplazando:

2

(m + n) = 5 + 2(2) → (m + n)2 = 9

Resolución:

4. Simplifica: (x + 2)2 + (x - 2)2.

(x + 5) (x - 5) = x2 - 52 = x2 - 25

1. Si m2 + n2 = 5 y mn = 2, halla m + n.

42

Resolución:

Desarrollando cada producto notable: (x + 1)2 - (x - 1)2 = x2 + 2x + 1 - (x2 - 2x + 1) = 4x

2. DIFERENCIA DE CUADRADOS

Luego:

2. La expresión (x + 3)2 - (x + 2)(x - 2) se reduce a mx + n. Halla m + n.

3. Simplifica: (x + 1)2 - (x - 1)2.

(x + 4) (x + 4) = (x + 4)2 = x2 + 2(x)(4) + 42 = x2 + 8x + 16

6

m + n = ±3

Resolución: Desarrollando: (x + 3)(x - 3) - (x + 2)(x - 2) = (x2 - 9) - (x2 - 4) = x2 - 9 - x2 + 4 = -5 Por lo tanto el término independiente es -5

Álgebra - 2do Sec. Ten en cuenta Mientras nosotros representamos las magnitudes por letras que se sobreentiende son números (conocidos o desconocidos) con los cuales operamos usando las reglas del Álgebra, hace más de 2000 años los griegos representaban las magnitudes como segmentos de línea recta y los operaban según las reglas de la geometría. Tenían el Libro II de los Elementos de Euclides (matemático griego que vivió en el siglo IV a.C.) que es un álgebra geométrica, que les servía más o menos para los mismos fines que nuestra álgebra simbólica. La proposición 4 del Libro II: “si una línea recta se corta de una manera arbitraria, entonces el cuadrado construido sobre el total es igual a los cuadrados sobre los segmentos y dos veces el rectángulo contenido por ambos segmentos”, es una manera larga de decir que (a +b)2 = a2 + 2ab + b2, pero su evidencia visual es mucho más impactante que su contrapartida algebraica moderna. He aquí la demostración:

a

a

b

a2

ab

ab =

b ab

b2

a2

+

+

b2

ab

El área del cuadrado mayor es (a + b)2. Esta área también se puede calcular adicionando las áreas de los cuadrados y rectángulos interiores. Luego: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Edouard Lucas Matemático francés nacido el 4 de abril de 1842 en Amiens y muerto en París el 3 de octubre de 1891. Trabajó en el observatorio de París y más tarde fue profesor de matemáticas en la capital del Sena. Se le conoce sobre todo por sus trabajos sobre la serie de Fibonacci y por el test de primalidad que lleva su nombre, pero también fue el inventor de algunos juegos recreativos matemáticos muy conocidos como el de las Torres de Hanoi. Edouard Lucas fue educado en la Escuela Normal Superior de Amiens. Posteriormente trabajó con Le Verrier en el observatorio de París. Sirvió como oficial de artillería en el ejército francés durante la guerra de 1870 contra Prusia. Tras la derrota francesa, Lucas volvió a París, donde se dedicó a la enseñanza de las matemáticas en dos institutos parisinos: el Liceo de San Luis y el Liceo Carlomagno. Lucas murió de una forma un tanto peculiar de una probable septicemia a consecuencia de un corte en una mejilla sufrido en un banquete que le produjo una inflamación y se complicó con fatales consecuencias.

43

Álgebra - 2do Sec.

1) Indica la relación correcta: a) (x - 10)2 b) (x - 6)2 c) (x - 7)2

( ( (

) x2 - 20x + 100 ) x2 - 14x + 49 ) x2 - 12x + 36

4) La expresión: (x + 3)2 - (x + 2)(x - 2) se reduce a mx + n. Halla m + n. Rpta: _____

5)

2) Desarrolla cada caso:

¿Cuál es el grado del siguiente polinomio? P(x) = (2x + 3)2 - 8x2 + (2x - 3)2 + x

a) (m + 2)(m - 2) = b) (2a + 3)(2a - 3) = c) (x2 + 3x)(x2 - 3x) =

Rpta: _____

6) Reduce: 3)

Indica la relación correcta: a) (x - 10)2 b) (x - 7)2

( (

( ( (

(x + 3)(x - 3) + (x + 2)(x - 2), y halla por respuesta el mayor coeficiente. Rpta: _____

) x2 - 20x + 100 ) x2 - 14x + 49

1) Relaciona correctamente: a) (x + 5)2 b) (x + 3)2 c) (x + 2)2

) x2 + 4x + 4 ) x2 + 10x + 25 ) x2 + 6x + 9

2) Halla la respuesta en cada caso:

4) Si: (2x + 8)2 = mx2 + nx + p halla m + n + p. Rpta: _____

5)

Reduce la expresión: (x + 1)2 + (x + 3)2 - (x - 1)2 - (x - 3)2

a) (2x + 1)2 = ______________________

Rpta: _____

b) (4x2 - x)2 = ______________________ 6) Simplifica: 3)

Relaciona correctamente: a) (x + 5)2 b) (x + 2)2

44

( (

) x2 + 4x + 4 ) x2 + 10x + 25

(x + 1)2 + (x - 2)2 y halla como respuesta la suma de coeficientes. Rpta: _____


1

Reduce:

1

(p + 7)2 - (p - 7)2 a) 4 p b) 7p d) 28p

c) 12p e) 48p

Simplifica: (x + 1)2 - (x - 1)2 a) 2x b) 4x d) 8x Resolución:

Resolución:

Clave:

2

c) 5x e) 9x

Reduce:

2

(m + 5)2 + (m - 5)2 a) 4m2+25 b) 2m2-25 2 d) m + 25

Clave:

c) 2m2+25 e) 2m2+50

Resolución:

Simplifica: (x + 2)2 + (x - 2)2 a) 2x2 + 8 b) 2x2 + 4 2 d) 2x - 1

c) 2x2 + 1 e) 2x2 + 3

Resolución:

Clave:

Clave: 45


La expresión: (x+4)2 – (x+3)(x–3) Se reduce a: mn + n Halla: m + n a) 23 b) 13 d) 33

3

La expresión: (x + 3)2 - (x + 2)(x - 2) se reduce a mx + n. Halla m + n. a) 13 b) 17 d) 18

c) 43 e) 53

c) 6 e) 19


Clave:

4

Si a + b = 4 y ab = 1 halla I = (a2 + b2)2. a) 190 b) 196 d) 198

4 c) 197 e) 194

Si: m2 + n2 = 5 y mn = 2 halla m + n. a) 2 b) 3 d) 1

c) 5 e) 4

Resolución:

Resolución:

Clave: 46

Clave:

Clave:


Calcula el valor de:

5

2 22

M=32 1+3(22+1)(24+1)(216+1)(232+1)(264+1) a) 4 b) 8 d) 160

Calcula:

c) 16 e) 64

1+3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

a) 2 b) 4 d) 8

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

Desarrolla: M = (a/4 + b/2)2 - (a/4 - b/2)2 a) 4ab b) ab/2 d) 8ab

c) 6 e) 10

c) ab e) ab/8

Clave:

6

Desarrolla: (a + 5)2 - (a - 5)2 a) 20a b) a2 + 25 d) 10a

c) 25 - a2 e) 5a2


Clave:

Clave: 47


La suma de 2 números es 7 y la diferencia de sus cuadrados es 21. Halla la diferencia entre los números. a) 14 b) 3 d) 6

7

La suma de dos números es 7 y su producto es 12. Halla la suma de sus cuadrados. a) 49 b) 24 d) 50

c) 5 e) 7

c) 25 e) 64


Clave:

8

Halla el valor de: A = x2 + 2x - 5 si x = 3 - 1. a) 3 b) 3 d) 1

Clave:

8 c) -3 e) 0

Resolución:

Halla el valor de: A = x2 + 2x +3 si x = 5 - 1. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Resolución:

Clave:

Clave:


Álgebra - 2do Sec.

7

Productos Notables II

Identidad de Stevin (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Ejemplos:

* (x + 2)(x + 3) = x2 + (2 + 3)x + 2 . 3 = x2 + 5x + 6

Geométricamente la identidad de Stevin se demuestra así: x a 2 x x ax = x2 + bx + ax + ab b bx ab

* (x + 5)(x - 2) = x2 + (5 - 2)x + (5)(-2) = x2 + 3x - 10

Según sus áreas:

* (x - 7)(x + 2) = x2 + (-7 + 2)x + (-7)(2) = x2 - 5x - 14

* (x - 2)(x - 1) = x2 + (-2 - 1)x + (-2)(-1) = x2 - 3x + 2

(x + a) (x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + (a + b)x + ab

Binomio al Cubo Formas desarrolladas: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Simon Stevin

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Formas abreviadas: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) Ejemplo 1:

El matemático más eminente en los Países Bajos fue Simon Stevin de Brujas. Stevin, que apoyaba la facción protestante encabezada por Guillermo de Orange en su lucha contra la católica España, fue tolerante, sino indiferente, en materia religiosa. Bajo el príncipe Mauricio de Nassau ocupó el cargo de Intendente General y de Comisario de Obras Públicas, y durante un tiempo fue tutor del príncipe en Matemáticas.

Si x + y = 6 y xy = 7, halla: N = x3 + y3. Resolución: Recordando el producto notable. (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) Reemplazando: 63 = x3 + y3 + 3(7)(6) Despejando: x3 + y3 = 63 - 3(7)(6) 3 x + y3 = 90 49

Álgebra - 2do Sec. Ejemplo 2:

Resolución:

Si x - 1/x = 1, calcula P = x3 - 1/x3. Resolución:

Por la identidad de Stevin: M=(x+3)(x+2)=x2+(3+2)x+3.2 = x2 + 5x + 6

3

3

3

Recordando: (x - 1/x) = x - 1/x - 3(x)(1/x)(x - 1/x) Reemplazando: 13 = P - 3(1) Despejando: 1+3=P P=4

Pero: x2 + 5x = 2 Entonces:

M = x2 + 5x + 6 = (2) + 6 = 8

4. Si (x - 4)(x + 2) = mx2 - nx - p, determina n + p - m.

1. Si (x + 2)(x2 - 2x + 4) = ax3 + b, calcula a + b. Resolución: Recordando: (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 En el problema: (x + 2)(x2 - (x)(2) + 22) ≡ ax3 + b x3 + 23 ≡ ax3 + b Entonces a = 1, b = 8 Luego a + b = 1 + 8 = 3 2.

En la expresión: (a + b)(a2 - ab + b2), se cumple que: a + b = 2 y a2 - ab + b2 = 5. Halla M = a3 + b3. Resolución: Recordando: (a + b)(a2 - ab + b2) ≡ a3 + b3 Reemplazando los datos: (2)(5) ≡ a3 + b3 10 ≡ a3 + b3 Por lo tanto: M = a3 + b3 = 10

3. Determina el valor numérico de M = (x + 3)(x + 2) sabiendo que x2 + 5x = 2. 50

Resolución: Por la identidad de Stevin: (x - 4)(x + 2) = x2 + (-4 + 2)x + (-4)(2) = x2 - 2x - 8 Por dato:

mx2 - nx - p ≡ x2 - 2x - 8

Luego: m = 1 , n = 2 , p = 8 Entonces: n+p-m= 2+8-1= 3 5. Si a + b = 3 y ab = 1, halla a3 + b3. Resolución: Recordando: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Reemplazando: (3)3 = a3 + b3 + 3(1)(3) 3 27 = a + b3 + 9 18 = a3 + b3 Por lo tanto:

a3 + b3 = 18

Álgebra - 2do Sec.

1) Si: halla:

4) Reduce: N = (x + 3)(x + 2) + (x - 3)(x - 2) - 2x2

(x - 2)3 = mx3 + nx2 + px + q m+p+q m+n

Rpta: _____ Rpta: _____

2) Se cumple que: (x - 3)(x2 + 3x + 9) = mx3 + n Halla m + n.

5)

Determina el valor de: a3 - b3 si a - b = 6 y a2 + ab + b2 = 8 Rpta: _____

Rpta: _____

3) Reduce:

(a - b)3 + b3 + 3ab(a - b) a3

G=

6)

Calcula: (x + 4)(x + 8) si: x2 + 12x = 4

4)

Simplifica:

Rpta: _____

Rpta: _____

1) Si: (x + 1) = ax + bx + cx + b a+b halla K = c+d 3

3

2

Rpta: _____ Rpta: _____

5) Si: a + b = 3 y ab = 1 halla: a3 + b3 en la siguiente expresión: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

2) Si:

M = (x + 2) (x - 1) - (x + 3) (x - 2)

(x + 2)(x2 - 2x + 4) = ax3 + b calcula a + b.

Rpta: _____

Rpta: _____

6)

3) Simplifica: M = (a + b)3 - 3ab(a + b) Rpta: _____

Determina el valor numérico de: M = (x + 3) (x + 2) sabiendo que x2 + 5x = 2 Rpta: _____

51


1

Multiplica:

1

* (x + 3) (x - 4) = * (x + 2) (x - 7) = * (x - 8) (x + 5) =

Efectúa los siguientes productos: * (x + 2) (x + 3) = * (x + 5) (x + 4) = * (x + 1) (x + 7) =

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Reduce:

2

(1 - 2x)2 + 4x - 4x2 + 3

a) 2 b) 3 d) 1

c) 4 e) 0

Resolución:

Reduce: (2x + 1)2 - 4x2 - 4x a) 0 b) 1 d) 3

c) 2 e) 4

Resolución:

Clave: 52

Clave:

Clave:


Si: (x + 2) (x + 5) = mx2 + nx + p halla: m + p - n a) 1 b) 5 d) 2

3 c) 3 e) 4

Si: (x - 4) (x + 2) = mx2 - nx - p determina: n + p - m. a) 4 b) 3 d) 1

c) 2 e) 5

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Simplifica:

4

(x + 2)(x - 1) - x2 - x + 3 a) 2 b) 0 d) 1

Clave:

c) 3 e) 4

Resolución:

Simplifica: (x + 1)(x + 2) - x2 - 3x - 2 a) 3 b) 0 d) 1

c) 2 e) -2

Resolución:

Clave:

Clave: 53


Efectúa: (x2 + 5x + 5)2 - (x + 1)(x + 2) (x + 3)(x + 4) a) 1 b) 2 d) 4

5

c) 3 e) 5

Reduce la expresión: (x + 1)(x + 3) - x2 - 3 + 12x a) 2x b) 3x d) 12x

c) 10x e) 16x

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

Si: a + b = 4 y ab = 1 halla: S = a3 + b3 a) 52 b) 51 d) 49

Clave:

6 c) 50 e) 60

Si x + y = 4 ; xy = 2, calcula x3 + y3. a) 64 b) 40 d) 45

c) 54 e) 50


Clave: 54

Clave:


Si x + 1/x = 3, calcula el valor de: G = x2 + x3 + x-2 + x-3 a) 5 b) 6 d) 8

7

Si x + 1/x = 4, halla x2 + 1/x2. a) 12 b) 13 d) 15

c) 4 e) N. A.

c) 14 e) 16


Clave:

8

Reduce:

8

Q = (x + y)(x - y) + y2 a) x b) x2 2 d) y

Clave:

c) xy e) y

Resolución:

Simplifica: N = (x + y)2 - (x - y)2 a) 2 xy b) 4 xy d) x

c) 4xy e) xy

Resolución:

Clave:

Clave:


Álgebra - 2do Sec.

División Algebraica I

Es una operación que consiste en hallar una expresión denominada Cociente dadas otras denominadas Dividendo y Divisor.

En el esquema:

D d r q

Donde: D : Dividendo d : Divisor q : Cociente r : Residuo

siempre se cumple:

Identidad Fundamental de la División.

24 = 4 6

-28 = -7 4

-35 = 5 -7

16 = -8 -2

LEYES DE EXPONENTES bm = bm-n bn

x5 5-2 3 =x =x x2 b24 24-10 =b = b14 b10

Ejemplo 1: 25 7 21 3 4

Dividendo = 25 Divisor = 7 Cociente = 3 Residuo = 4

Según la identidad fundamental de la división: 25 = 7 . 3 + 4 Ejemplo 2:

1. División entre Monomios Para dividir monomios, la parte constante se divide de acuerdo a la Ley de Signos y la parte variable según la Ley de Exponentes. Ejemplos: 35x8 8-3 = 7x = 7x5 5x3 36x12 = -9x12-8 = -9x4 -4x8

59 9 54 6 5

56

Ejemplos:

Ejemplos: D = dq + r

Luego:

8

D = 59 d =9 q =6 r =5

59 = 9 . 6 + 5

El Dato La división de signos iguales da (+). La división de signos diferentes da (-).

Álgebra - 2do Sec. 2. División de un Polinomio entre un Monomio

Resolución: Al dividir: x5 + x4 = x3

Para este caso debemos utilizar la propiedad distributiva: a+b+c a b c = + + m m m m

Por dato: x2 + x ≡ xm + xn

= 1 4. Si

= 2x2 + 4x + 6x7

5

Al dividir: x4m+2 + x5m-3 x2m-2 =

8

= 5x - 2x + 7x

x4m+2 + x5m-3 11 12 = x + x , halla m , m ∈ Z. x2m-2

Resolución:

35x8 - 14x10 + 49x13 7x5 35x8 14x10 49x13 = + 57x 7x5 7x5

*

3

m . n= 2 2 2

Luego:

4x5 + 8x4 + 12x10 * 2x3 4x5 8x4 12x10 = 3+ + 2x 2x3 2x3

x4 x3

= x2 + x

Ejemplos:

x5 + x3

x4m+2 + x2m-2

x5m-3 x2m-2

= x2m+4 + x3m-1 Por dato: 1. Halla el resultado de la siguiente división 12

La identidad se cumple para: m=4

10

x -x x7

Luego:

5. Reduce: x12 - x10 = x7

x12 x7

x10 x7

= x5 - x3

2. Halla el resultado de la siguiente división: x8 + x10 + x5 x5 Resolución:

4

x8 +5 x

x10 +5 x

x +x m n = x + x , halla x3 m.n 2

3. Si

5 6 M = 27x2 y,4si x3y2 = 3 9x y

Resolución: 27x5y6 3 2 = 3x y 9x2y4 = 3(3) =

9

Recuerda

= x3 + x5 + 1 5

m= 4 = 2

Resolución:

x8 + x10 + x5 = x5

x11 + x12 ≡ x2m+4 + x3m-1

x5 x5

Recuerda siempre que la división entre cero no está definida, por ejemplo: 5/0, -7/0, 24/-0, -4/-0. Ley de Signos: (+) = (+) (+)

(-) =(-) (+)

(-) = (+) (-)

(+) =(-) (-)

57

Álgebra - 2do Sec.

1) Luego de dividir -36x3y2z4 entre 3x2yz3, se obtiene mxnypzq. m Calcula: n+p+q Rpta: _____

4) Simplifica:

M=

25x8y7 12x10y10 5x3y3 6x5y6 28x4y3 -x5y8 + 4 6 7x3y xy Rpta: _____

2) Calcula el cociente en: 32x8y5 + 16x7y12 8x4y2

5)

Reduce: 32x5y3 - 64x7y9 72x10y10 - 36x8y4 + 9x6y3 8x3y2

y halla por respuesta GR(x)+GR(y) de este cociente. Rpta: _____

3) Reduce: 8x6y9 6x8y7 12x4y3 32x8y12 + + 3x3y 8x7y10 4x2y7 -3x4y5 Rpta: _____

1) Al dividir 12x3y entre 4xy, se obtiene mxn. Halla: n m + 1 Rpta: _____

2) Si de:

Rpta: _____

6) Calcula el valor de: L=

si x2 = 2 y x4 = 4.

4)

Reduce:

M=

50x5 + 55x7 5x3 Rpta: _____

16x7 + 32x9 + 8x4 4x3 11 20x + 40x13 + 10x8 5x7 Rpta: _____

15x8y7 - 12x10y5 3x3y3

se obtiene un cociente, calcula GR(y) del cociente. Rpta: _____

5)

Reduce:

G=

20x5 + 15x7 24x7 + 16x9 + -8x5 5x3 Rpta: _____

3) Simplifica: 15x3y5 20x7y2 5xy4 10x5y

6) Reduce: Rpta: _____

58

M=

27x5y6 3 2 , si x y = 3 9x2y4 Rpta: _____


1

Halla el resultado de la siguiente división:

1

x8 + x10 + x5 x5 a) x3 + x5 + x2 b) x3 + x5 + x c) x3 + x4 + x2 d) x3 + x5 + 1 e) x3 + x5 + x4

Al dividir: x5 + x3 x2 se obtiene: a) x3+x2 b) x3+x4 d) x3 + x5

c) x+x2 e) x3+x

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Qué resultado se obtiene al dividir: 2x4 + 8x7 2x3 a) x + 4x4 b) x2 + 4x4 c) x2 + x d) 2x2 + x4 e) 2x4 + 2x2

Clave:

2

Halla el resultado de la siguiente división: x12 - x10 x7 a) x5-x4 b) x2-x3 5 3 d) x -x

c) x5-x e) x4-x3


Clave:

Clave: 59


Si:

3

x4m+2 + x5m-3 = x11 + x12 x2m-2 halla m ; m ∈ Z. a) 4 b) 2 d) 6

Si: x5 + x4 = xm + xn x3 halla: m.n 2

c) 3 e) 8

a) 2 b) -1 d) -2

Resolución:

c) 1 e) 4

Resolución:

Clave:

4

Efectúa la siguiente operación de división de un polinomio entre un monomio: K = (36x22 + 18x12 + 9x10) ÷ (3x5)

4

Efectúa la siguiente operación de división de un polinomio entre un monomio: M = (25x25 - 32x15 + 45x10) ÷ (5x8)

a) 12x17 + 6x7 + 3x5 b) 2x17 + 6x7 + 3x5 c) x17 - 6x7 + 3x5 d) 5x17 - 6x7 + 3x5 e) 5x17 - 6x7 + x5

a) 5x17 - 7x7 + 9x2 b) x17 - 7x7 + 9x2 c) 6x17 - 7x7 + 9x2 d) 9x17 + 7x7 + 9x2 e) 6x17 + 7x7 + x2

Resolución:

Resolución:

Clave: 60

Clave:

Clave:


Divide el siguiente polinomio: E = (32x16 - 36x14 - 16x12) ÷ (4x5) y luego marca la respuesta correcta.

5

Efectúa la siguiente operación de división de un polinomio entre un monomio: I = (14x11 - 28x12 + 21x13) ÷ (7x7)

a) 8x11 + 9x9 - 4x7 b) 8x11 - 9x9 - 4x7 c) 8x11 - 9x9 + 4x7 d) 8x11 - 3x9 - 4x7 e) 8x11 + 3x9 - 4x7

a) x4 - 4x5 + 3x6 b) x4 + 4x5 + 3x6 c) x4 + x5 + 3x6 d) 2x4 - 4x5 + 3x6 e) x4 + x5 - 3x6

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

Simplifica: T = (35x22 + 25x12) ÷ (5x10)

Clave:

6

Efectúa:

J = (16x20 + 36x10) ÷ (4x5)

a) x12 + 3x2 b) 7x12 + 5x2 c) 15x12 + 3x2 d) 5x12 - 3x2 e) 5x12 - 2x2

a) 4x15 + 9x5 b) 4x15 - 5x5 c) 4x15 - 2x5 d) 3x15 - 2x5 e) 2x15 - 2x5

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave: 61


Efectúa la siguiente división: Ñ = (16x20 + 20x10) ÷ (4x5)

7

a) 4x15 + 5x5 b) 4x15 - 5x5 c) 4x15 - 2x5 d) 3x15 - 2x5 e) 2x15 - 2x5

Efectúa la siguiente división: P = (35x25 - 25x15 + 15x10) ÷ (5x8) a) 5x17 - 7x7 + 9x2 b) x17 - 7x7 + 9x2 c) 7x17 - 5x7 + 3x2 d) 6x17 + 7x7 + 9x2 e) 6x17 + 7x7 + x2


Clave:

8

Divide: 36xm+7yn+2z4 entre 4xm+2ynz3 a) 9x2y5z b) 16x2yz 2m n d) 9x y z

c) 9x5y2z e) 8xy2z5

Resolución:

Clave:

8

Divide: 48xm+2yn+1 entre 24xmyn a) 4xmy b) 12x2yn 2 d) 2x y Resolución:

Clave:

Clave:


c) xmyn e) 4x2y-2

Álgebra - 2do Sec.

9

División Algebraica II

Coeficientes del dividendo; mismo signo

1. Método de Ruffini Unpolinomiodeprimergradoesaquélcuyomayorexponente es igual a uno. Es un caso particular del Método de Horner. Se emplea para dividir un polinomio entre otro de primer grado.

12

5

3

Ejemplos: Polinomios de primer grado: 2x - 4 ; 7x + 5 ; x - 4 ; 3x + 5 ; x + 1 Un polinomio de primer grado es aquél cuyo mayor exponente es igual a uno.

x = 1/4

⇒ Se baja el 1.er coeficiente del dividendo.

2. Esquema

12

3

5

Coeficientes del Dividendo x = 1/4

Variable del divisor despejada

12

+

⇒ Se multiplica el 1.er coeficiente por x = 1/4. ÷ El coeficiente pr incipal del divisor

12

Resto Coeficientes del cociente

Siempre un espacio

3

3

x = 1/4 12

Ejemplo: Divide:

5

12x2 + 5x + 3 4x - 1

⇒ Sumamos. 12

Paso 1: Igualamos el divisor a cero 4x - 1 = 0 Paso 2: Despejamos la variable 4x - 1 = 0 x = 1/4 Paso 3: Planteamos el esquema

x = 1/4

5

3

3 12

8

63

Álgebra - 2do Sec. ⇒ Multiplicamos por x = 1/4. 12

2. Completa el esquema de Ruffini: 5

1

3

4

x = -3

-3 7

3

x = 1/4

2

8

12

Resolución: Completando: 1

x

x = -3

⇒ Sumamos directamente porque ya encontraremos el resto. 12

x = 1/4 12

5

+ 3

3

2

8

5

12

5

10

-3

-3

1

7

1

3x2 + x - 7y señala el resto. x-2

3. Divide

Resolución: Dividamos: 3 x=2

⇒ Luego:

4

3

+ 3

1

-7

6

14

7

7

Por lo tanto el resto es 7 x = 1/4 x4

12 3

3

2

8 2

5

Resolución: Al dividir:

Co e f. d e l cociente

Respuesta: Q(x) = 3x + 2 R(x) = 5

1. Halla b si la siguiente división es exacta. x2 + 8x + b x+3

Por lo tanto: 64

-3

21

1 -7

1

8

b

-3

-15

5

0

b = 15

Q(x) = x - 7 R(x) = 1

Entonces: Q(x) + R(x) = x - 6 5x2 + 7x + n x+1

Planteamos el esquema de Ruffini:

1

-20

5. Halla n si la división es exacta:

Resolución:

x = -3

1 -4 x = -3

Luego:

1

x2 - 4x - 20 , y señala el cociente más el resto. x+3

4. Divide

Resolución: Completando el esquema de Ruffini: 5 7 n

División exacta

x = -1 5

-5

-2

2

0

Por lo tanto: n = 2

División exacta

Álgebra - 2do Sec.

1) Halla el cociente de la siguiente división:

4) Halla el residuo de la siguiente división:

x2 + 5x - 7 x-2

10x3 - 33x + 9x2 - 22 5x + 2 Rpta: ________

Rpta: ________

5)


Halla b si la siguiente división es exacta. x2 + 8x + b x+3

x2 - 2x - 4 x-2

Rpta: ________

Rpta: ________

6) Al dividir, halla la suma de coeficientes del cociente:


6x2 + 9x + 2 2x - 1

2x3 - x2 + 3x - 4 2x - 3

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Halla el cociente de la siguiente división:

4) Halla el residuo de la siguiente división: 6x2 + 22x + 7 3x + 5

x2 + 8x + 18 x+3 Rpta: ________


Rpta: ________

5)

Halla “a” si la siguiente división es exacta. 2x3 + x2 + ax - 6 x-1

x2 + 3x + 11 x+2

Rpta: ________

Rpta: ________ 6)

2x4 + x3 - x - 2x2 2x + 1

3) Halla el residuo de la siguiente división: 6x2 + x + 4 3x - 1

Rpta: ________

Dada la siguiente división exacta:

halla el mayor coeficiente del cociente Rpta: ________

65


1

Completa el siguiente esquema de Ruffini: 1 x = -3

1

Completa el siguiente esquema de Ruffini:

4

2

-3

x=2

6 2

7 Resolución:

3

7

Resolución:

Clave:

2

Divide:

2

3x2 + 4x + 8 x+1 e indica el cociente. a) 3x - 1 b) 3x + 2 d) 3x - 8

c) 3x + 1 e) 3x - 2

Resolución:

Divide:

2x2 + 3x + 2 x-1 y halla por respuesta el cociente. a) 2x + 3 b) 2x + 5 d) 2x + 4

c) 2x - 1 e) 2x + 7

Resolución:

Clave: 66

Clave:

Clave:


Divide:

3

x2 - 4x - 20 x+3 y señala el cociente más el resto. a) x - 5 b) x - 4 d) x - 1

Divide:

x2 + 5x + 1 x-2 e indica el cociente más el resto. a) x + 22 b) x - 10 d) x - 9

c) x - 7 e) x - 6

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Calcula la suma del cociente y residuo en la siguiente división: 2x3 - 6x2 - 18x + 11 2x + 4 a) x2 + x + 1 c) x2 - 3x + 5 d) x2 + 2x + 8

c) x - 2 e) x - 7

b) x2 - 5x + 3 e) x2 - 5x + 8

Clave:

4

Indica el cociente al dividir: 4x4 + 4x3 - 11x2 - 6x - 6 2x - 1 a) 2x3 + 3x2 - 4x + 5 b) 2x3 + 3x2 - 4x - 5 c) 2x3 - 3x2 + 4x - 5 d) 2x3 - 3x2 - 4x + 5 e) 4x3 + 6x2 - 8x - 10


Clave:

Clave: 67


Al dividir x4 - 2x2 - 6 entre x + 3, el residuo es: a) 36 b) 42 d) 57

5

c) 15 e) -12

Halla el residuo en: 2x4 - 5x3 + 3x - 6 x-2 a) 12 b) -12 d) -8

c) 11 e) 4


Clave:

6

Indica el residuo de la siguiente división: 7

Clave:

6

Efectúa la siguiente división e indica el residuo. 6x3 - 5x2 - 4x + 4 x-1

6

2x - 4x + 2x + 3 x-2 a) 5 b) 6 d) 8

c) 7 e) 9

c) 2 e) 3

Resolución:

Resolución:

Clave: 68

a) -1 b) 1 d) -2

Clave:


¿Cuál es el valor que deberá tener “k” para que al dividir 4x5 - 2x3 + k - 2 entre x - 2, el residuo sea cero? a) 110 b) -110 d) -6

7

Halla el valor de “k” para que el polinomio P(x) = x3 + 2x2 - x + k, sea divisible entre x - 2. a) -13 b) 13 d) -14

c) 42 e) 50

c) 15 e) -15


Clave:

8

Calcula “m” si la división es exacta. 6

5

4

3

2x + 2 2 x - 3x - 3 2x + 6x + m 2 x+ 2 a) 2 b) 1 d) 0

c) -2 e) 6

Clave:

8

Al efectuar la división, encuentra la suma de coeficientes del cociente. ( 3-1)x4-(1+ 3)x3+2x2+( 3+1)x-2 3-1 x- 3-1 a) 3 b) 3 - 1 d) 3 + 3

c) 3 + 1 e) - 3


Clave:

Clave:


Álgebra - 2do Sec.

10

División Algebraica III

Teorema del Resto

Resolución:

Este método se utiliza para obtener el resto o residuo de una división por simple inspección.

Paso 1 :

PROCEDIMIENTO

Paso 2 : R = D(1) = 2(1)3 - 3(1)2 + 2(1) - 6 =2-3+2-6 = -5

Paso1: Se iguala el divisor a cero y se despeja la variable.

x-1=0 → x=1

Paso 2: Se reemplaza el valor de la variable en el dividendo y el valor obtenido es el resto. Ejemplo 1: Halla el resto en la siguiente división: x2 - 2x - 4 x+3 Resolución: Paso 1 :

x+3=0 → x = -3

Paso 2 : R = D(-3) = (-3)2 - 2(-3) - 4 =9+6-4 = 11

El álgebra geométrica griega sorprende a veces al lector moderno como excesivamente artificial y difícil, pero para aquellos que la utilizaron y que sin duda llegaron a manejar sus operaciones con soltura, debió parecer una herramienta muy cómoda probablemente. La propiedad distributiva a(b + c + d) = ab + ac + ad tuvo que resultar indudablemente mucho más obvia para un escolar griego que para un estudiante actual que aborda el álgebra por primera vez, ya que el primero podía dibujar fácilmente las áreas de los rectángulos que aparecen en el teorema. Para razonar de esta manera basta recordar que el área de un rectángulo se calcula de la siguiente manera: Sea el siguiente rectángulo: m

Área = mn

A=3.5

a

c

tiene área: 15u2

5

n b

Ejemplo 2:

3

c

b

d =a

+a

d +a

Halla el resto en la siguiente división: 2x3 - 3x2 + 2x - 6 x-1 70

Área total = a(b + c + d) = ab + ac + ad

Álgebra - 2do Sec. 4. Calcula el resto de: x4 + x2 x-1

Resolución: 1. Halla “b” en la siguiente división: 2

2x - x + b x-1

si el resto que se obtiene es 7. Resolución: Hacemos d(x) = 0

→ x-1=0 x=1

Por el Teorema del Resto, reemplazando en el dividendo: R(x) = D(1) = 2(1)2 - (1) + b =2-1+b =1+b Luego por dato: 7=1+b b= 6 3x2 + bx - 3 tiene resto 5. Halla“b”. 2. La siguiente división x-2

Si hacemos d(x) = 0 → x - 1 = 0 x=1 Por el Teorema del Resto: R(x) = D(1) = (1)4 + (1)2 =1+1 = 2 5. Halla el residuo de: x2 + 3x + 11 x+1 Resolución: Hacemos d(x) = 0 → x+1=0 x = -1 Por el Teorema del Resto: R(x) = D(-1) = (-1)2 + 3(-1) + 11 = 1 - 3 + 11 = 9

Resolución: Hacemos d(x) = 0

→ x-2=0 x=2

Por el Teorema del Resto, reemplazando en el dividendo: R(x) = D(2) = 3(2)2 + b(2) - 3 = 12 + 2b - 3 = 9 + 2b Por dato: 9 + 2b = 5 b = -2 3. Calcula el resto de: (x - 1)2004 + (2x - 1)2003 + x - 1 x-1

Mientras nosotros representamos las magnitudes por letras que se sobreentiende son números (conocidos o desconocidos) con los cuales operamos usando las reglas del Álgebra, hace más de 2000 años los griegos representaban las magnitudes como segmentos de línea recta y los operaban según las reglas de la geometría. Tenían el Libro II de los Elementos de Euclides (matemático griego que vivió en el siglo IV a.C.) que es un álgebra geométrica, que les servía más o menos para los mismos fines que nuestra álgebra simbólica. La proposición 4 del Libro II: “si una línea recta se corta de una manera arbitraria, entonces el cuadrado construido sobre el total es igual a los cuadrados sobre los segmentos y dos veces el rectángulo contenido por ambos segmentos”, es una manera larga de decir que (a +b)2 = a2 + 2ab + b2, pero su evidencia visual es mucho más impactante que su contrapartida algebraica moderna. He aquí la demostración: a

b

2

a

ab

b ab

b2

Resolución: Si hacemos d(x) = 0

a

→ x-1=0

x=1 Por el Teorema del Resto: R(x) = (0)2004 + (1)2003 + (0) =0+1+0 = 1

ab =

a2

+

+

b2

ab

El área del cuadrado mayor es (a + b)2. Esta área también se puede calcular adicionando las áreas de los cuadrados y rectángulos interiores. Luego: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 71

Álgebra - 2do Sec.

1) Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo. x2 - x + 1 x-2

4) Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo. 3x2 + 2x 3x - 1

Rpta: ________

Rpta: ________

2) Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo. x2 + 3x + 11 x+1

5)

La siguiente división: 3x2 + bx - 3 x-2 tiene resto 5. Halla “b”. Rpta: ________

Rpta: ________

3) Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo. 3x4 + 3x3 + x + 8 x+1

6)

Halla el resto en la siguiente división: 4x5 - 8x4 + 3x + 1 x-2 Rpta: ________

Rpta: ________

1) Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo. x2 + x + 5 x-1

4) Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo. 2x2 + x 2x - 1

Rpta: ________

Rpta: ________

2) Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo. 2x3 + 3x - 2x2 + 2 x-1

5) Halla “b” en la siguiente división: 2x2 - x + b x-1 si el resto que se obtiene es 7.

Rpta: ________

3) Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo. x2 - 2x - 4 x+2 Rpta: ________

72

Rpta: ________

6)

Calcula el resto de: x4 + x2 x-1 Rpta: ________


1

Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo: 6x3 + 2x2 - 12x + 5 x-1 a) 1 b) 3 d) 4

1

c) 9 e) 6

Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo: 2x3 - 3x2 + 6x - 4 x-1 a) 2 b) 1 d) -1

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo: 3x4 - x3 + 6x2 - 8x + 12 x+1 a) 12 b) 30 d) 14

c) 5 e) 3

c) -11 e) 18

Resolución:

Clave:

2

Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo: x3 - 2x2 + 6x + 4 x+1 a) -5 b) -1 d) 12

c) 4 e) 9

Resolución:

Clave:

Clave: 73


Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo: x4 + x3 - 6x2 + 8x - 4 x-2 a) 1 b) 10 d) -3

3

c) -8 e) 12

Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo: x3 - 5x2 + 4x - 3 x-2 a) -2 b) -7 d) 6 Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo: x4 + x3 - 3x2 + 2x - 15 x+2 a) -23 b) 13 d) -11

c) 16 e) 19

Resolución:

Clave:

4

Utilizando el Teorema del Resto, halla el residuo respectivo: x3 + 2x2 - 3x - 1 x+2 a) 6 b) 5 d) 12

c) -4 e) 3

Resolución:

Clave: 74

c) 11 e) 9

Clave:


Halla el resto en: (x - 3)20 + 16 x-4 a) 17 b) 12 d) 14

5

Halla el resto: 4x30 + 1 x-1 a) 1 b) 2 d) 4

c) 13 e) 18

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

Halla “a” si el resto de la división es 7. 4x20 + 2x + a x+1 a) 3 b) 4 d) 7

c) 3 e) 5

c) 5 e) 8

Resolución:

Clave:

6

Halla “a” si el resto es 9 en: x3 + x2 + 3x + a x-1 a) 2 b) 3 d) 5

c) 4 e) 8

Resolución:

Clave:

Clave: 75


Halla el resto en: (x + 5)(x + 4)(x + 3)(x + 2) ... (x - 2)(x - 1) x+1 a) 1 b) 2 d) 16

7

c) 0 e) 8

Halla el resto en: (x-3)8+(x-3)7+(x-3)6+(x-3)5+(x-3)2+16 x-4 a) 20 b) 16 d) 22

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

c) 21 e) 28

Calcula el residuo de dividir: 3x12 - 4x9 - x6 + 2x3 - 1 entre x3 + 2 a) 60 b) 65 c) 71 d) 74 e) 80

Clave:

8

Halla el resto: x60 + x80 + x90 + x20 + 4 x10 + 1 a) 2 b) 4 d) 8

c) 6 e) 12


Clave:

Clave:


Álgebra - 2do Sec.

Factorización en Z I

MÉTODO DE LAS IDENTIDADES

11

El primer factor (4x2 + 9) es primo; pero el segundo factor obtenido (4x2 - 9) no lo es:

Este método se basa en los productos notables, es decir, si se nos proporciona un polinomio cuya forma conocemos, podemos escribir la multiplicación indicada de factores que le dio origen.

E = (4x2 + 9) (4x2 - 9) 2x 3 E = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)

A. DIFERENCIA DE CUADRADOS B. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO a - b = (a + b)(a - b) 2

2

Ejemplo 1: Factoriza: 9x2 - 16 Resolución: Extraemos la raíz cuadrada a ambos términos. 9x2 = 9 x2 = 3x 16 = 4 La expresión factorizada será: 9x2 - 16 = (3x + 4)(3x - 4)

Ejemplo 2: Factoriza: E = 16x4 - 81 Resolución: Escribiendo la diferencia de cuadrados dada como la suma por la diferencia de sus raíces cuadradas.

Extraemos la raíz cuadrada a ambos términos. a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 ↓ ↓ a b 2ab Ejemplo 1: Factoriza: ⇒ M = 4x2 + 12x + 9 2x 3 2(2x)(3) El polinomio M (factorizado) se escribe como el cuadrado de la suma de las raíces. M = (2x + 3)2

E = 16x4 - 81

↓

↓

4x2 9 E = (4x2 + 9)(4x2 - 9)

En el siglo XVII para representar los signos (+) y (-) se usaban las letras P de plus para la suma y M de minus para la resta, respectivamente.

77

Álgebra - 2do Sec. Ejemplo 2: Ejemplo 2: Factoriza: Factoriza: F = 27x9 - 8y6 ⇒ N = x2 + 10xy + 25y2 Resolución: x 5y 2(x)(5y)

* Raíz cúbica del 1.er término. 3

N = (x + 5y)2 Cuidado: La expresión (2x + 3)2 equivale a escribir: (2x + 3)(2x + 3)

Ejemplo 3: Factoriza:

⇒ P = m16 - 2m8t2 + t4 m8 t2

2(m8)(t2)

Si el doble del producto de las raíces de los extremos es negativo, la expresión factorizada es el cuadrado de la diferencia de las raíces. P = (m8 - t2)2 C. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

27x9 = 3 27 . 3 x9 = 3x3

* Raíz cúbica del 2.º término. 3

8y6 = 3 8 . 3 y6 = 2y2

E = (3x3 - 2y2) (9x6 + 6x3y2 + 4y4)

1. Factoriza: w5x3 + w5y3 + 3w5xy(x + y) Resolución: w5x3 + w5y3 + 3w5xy(x + y) = w5(x3 + y3 + 3xy(x + y)) = w5(x + y)3

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) Ejemplo 1: Factoriza: E = a6 + 125 Resolución: * Raíz cúbica del 1.er término 3 6 a = a6/3 = a2 * Raíz cúbica del 2.º término 3 125 = 5 * La suma de estas dos raíces cúbicas constituyen el primer factor buscado. E = a6 + 125 = (a2 + 5) ( ............ ) * El factor trinomio se calcula así: - Los términos extremos son los cuadrados de los términos del factor binomio. E = a6 + 125 = (a2 + 5)(a4 + ... + 25) - El término central es el producto de los términos del factor binomio con el signo cambiado. E = (a2 + 5)(a4 - 5a2 + 25) 78

2. Factoriza: (x2 + xy)2 - (y2 + xy)2, y señala el factor primo que menos se repite. Resolución: (x2 + xy)2 - (y2 + xy)2 = (x + xy + y2 + xy)(x2 + xy - (y2 + xy)) = (x2 + 2xy + y2)(x2 - y2) = (x + y)2(x + y)(x - y) = (x + y)3(x - y) 2

El factor primo que menos se repite es (x - y). 3. Factoriza: x2 + y2 - 2xy - z2 y da por respuesta la suma de factores primos. Resolución: x2 + y2 - 2xy - z2 = (x2 - 2xy + y2) - z2 = (x - y)2 - z2 = (x - y + z)(x - y - z) Luego la suma de factores primos es (2x + 2y).

Álgebra - 2do Sec.

1) Factoriza: wx2 + wy2 - 2 wxy, y señala el factor primo que más se repite.

4)

Factoriza:

(x2 - xy)2 - (y2 - xy)2, y da por respuesta la suma de factores primos.

Rpta: ________

2) Factoriza: x4 - 81, e indica un factor primo.

Rpta: ________

5)

Factoriza:

z2 - x2 - y2 - 2xy, y da por respuesta la suma de factores primos.

Rpta: ________

3) Factoriza: (2w - 1)2x3 - (2w - 1)2y3 - 3(2w - 1)2xy(x - y), e indica la suma de coeficientes de un factor primo.

Rpta: ________

6) Factoriza:

(x - y)2 + x3 - y3 - 3xy (x - y), y da por respuesta la suma de coeficientes de un factor primo.

Rpta: ________

1) Factoriza: m3x2 + m3y2 + 2m3xy, y señala el factor primo que menos se repite.

Rpta: ________

4)

Factoriza:

(x2 + xy)2 - (y2 + xy)2, y señala el factor primo que menos se repite.

Rpta: ________

2) Factoriza: x2 - 25, e indica un factor primo.

Rpta: ________

5)

Rpta: ________

3) Factoriza: (w + 2)4x3 + (w + 2)4y3 + 3(w + 2)4xy(x + y), y señala la suma de coeficientes de un factor primo. Rpta: ________

Factoriza:

x2 + y2 - 2xy - z2, y da por respuesta la suma de factores primos. Rpta: ________

6) Factoriza: (x + y)2 + x3 + y3 + 3xy (x + y), e indica la suma de coeficientes de un factor primo.

Rpta: ________

79


1

Factoriza y señala uno de los factores de: xy + wz - wy + xz a) (x + w) b) (y + z) d) (z - y)

1

c) (w - x) e) (y - z)

Señala un factor de: P = ax + bx - ay - by a) a - b b) 1 d) 2

c) x + y e) a + b

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Factoriza: a(x - 1) - b(1 - x) + cx - c e indica un factor. a) x + 1 b) 1 d) a + c

2 c) x - 1 e) a + b + c

Señala un factor de: (x + 1)(y - 2) + 3x(x + 1) a) (x + 1) b) (y + 2) d) 1

c) (x - 1) e) (y - 2)

Resolución:

Resolución:

Clave: 80

Clave:

Clave:


Factoriza: m2a2 - m2 - 4a2 + 4, e indica el número de factores primos. a) 2 b) 3 d) 5

3

c) 4 e) 1

Factoriza: a2m + a2n - b2m - b2n, e indica el número de factores primos. a) 5 b) 1 d) 3

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Factoriza: ab (ax3 - by3) + xy (a3x - b3y), y luego indica un factor primo. a) by + ax b) a + b d) x + y

c) 4 e) 2

c) ay - bx e) ab + xy

Resolución:

Clave:

4

Indica el número de factores primos de: mn4 - 5m2n3 - 4m3n2 + 20m4n a) 2 b) 3 d) 5

c) 7 e) 4

Resolución:

Clave:

Clave: 81


Después de factorizar, señala uno de los factores: ax - ay - bx + by - cx + cy a) (x + y) b) (a - b - c) d) (a - b + c)

5

c) (y - x) e) (a + b + c)

Señala uno de los factores de: xm - xp + xn + my - py + ny a) (m - n + p) c) (m + n - p ) d) (x - y)

b) (m - n - p) e) (m + n)


Clave:

6

Halla la diferencia de los factores primos de: 64x4y6 - 36z6 a) 12x2y2 b) 12z3 3 d) 12y

c) 12x2 e) 12x3y2

Resolución:

6

Factoriza: N = 36x4 - 16y6 y halla la suma de sus factores primos. a) 10x2 b) 12x2 3 d) 8y

c) 6x2 e) 12y3

Resolución:

Clave: 82

Clave:

Clave:


Indica un factor de: b2 + c2 - a2 - d2 + 2ad + 2bc a) a + b b) 1 d) a - 2

7

c) b - c e) b+c - a+d

Factoriza: (ax - 3b)2 - (bx - 3a)2 e indica un factor. a) a + b b) x + 1 d) x + b Resolución:

Resolución:

Clave:

8

c) a + 3 e) b - 3

Luego de factorizar: señala un factor primo.

x2+2xy+bx+by+y2,

a) x + b b) y + 2b d) x + y + b

c) y + b e) x + 2

Clave:

8

Factoriza: x2 - y2 + 7x + 7y, e indica la suma de coeficientes de uno de sus factores primos. a) 2 b) 3 d) 5

c) -2 e) 7


Clave:

Clave:


Álgebra - 2do Sec.

12

Factorización en Z II

MÉTODO DEL ASPA SIMPLE Recuerda

Si un polinomio no tiene las características de un trinomio cuadrado perfecto, entonces podría ser factorizado por el método del aspa simple.

Fa c t o r i z a r u n p o l i n o m i o e s t ra n s fo r m a r l o e n u n a multiplicación indicada de factores primos.

Ejemplo 1: Factoriza: 6x2 + 11x + 4 Resolución:

Ejemplo 2:

• Descomponemos el término 6x2 en dos factores que multiplicados nos permitan volver a obtener 6x2.

Factoriza: N = 18x4 + 5 + 21x2

• Descomponemos el término 4 en dos factores que multiplicados nos permitan volver a obtener 4. Es decir: 6x2 + 11x + 4 3x 4 2x 1

Resolución:

•

Hallamos la suma de los productos en aspa de los cuatro términos hallados:

6x2 + 11x + 4 3x 4 → 8x 2x 1 → 3x 11x Como la suma coincide con el término central, tomamos los factores en forma horizontal.

Es decir:

6x2 + 11x + 4 = (3x + 4) (2x + 1) 3x 4 2x 1 84

• Ordenando el polinomio: N = 18x4 + 21x2 + 5 • Descomponemos los términos extremos: N = 18x4 + 21x2 + 5 6x2 +5 3x2 + 1

N = (6x2 + 5)(3x2 + 1)

Nota Si el polinomio es de una sola variable, entonces debe estar ordenado en cuanto a los exponentes de dicha variable, este orden puede ser ascendente o descendente.

Álgebra - 2do Sec. Ejemplo 3:

3. Luego de factorizar: (x + 2)2(x - 1)2 - (x2 + x + 10) indica el factor primo cuadrático.

Factoriza: R = 100x2 + 91xy + 12x2 Resolución:

Resolución:

Cuando los términos extremos tengan muchos divisores es preferible colocar todas las posibilidades.

(x + 2) 2 (x - 1) 2 - (x 2 + x + 10) = [(x+2)(x-1)]2 - ((x+2)(x-1) + 12) = [(x+2)(x-1)]2 - [(x+2)(x-1)] - 12 aspa simple = ((x + 2)(x - 1) - 4)((x + 2)(x - 1) + 3) = (x2 + x - 2 - 4)(x2 + x - 2 + 3) = (x2 + x - 6)(x2 + x + 1) aspa simple

R = 100x2 + 91xy + 12y2 25 10 20 50 100 4 10 5 2 1

2 3 1

6 4 12

R = (25x + 4y)(4x + 3y)

= (x + 3)(x - 2)(x2 + x + 1) Luego el factor primo cuadrático es: (x2 + x + 1) 1. Factoriza: x2 - 17x - 60 e indica la suma de sus factores primos.

4. Factoriza: x2 + 4x - 21 e indica la suma de factores primos.

Resolución: x2 - 17x - 60 x - 20 -20x (+) x 3 3x -17x Entonces: x2 - 17x - 60 = (x - 20)(x + 3) Luego la suma de sus factores primos es: (x + 20) + (x + 3) = 2x - 17

2. Factoriza: x4 - 13x2 + 36 y da por respuesta la suma de los factores primos. Resolución: 2

x x2

x4 - 13x2 + 36 -9 -4

Luego: x4 - 13x2 + 36 = (x2 - 9)(x2 - 4) = (x + 9)+(x - 9)+(x + 2)+(x - 2)

Resolución: x2 + 4x - 21 = (x + 7)(x - 3) Luego la suma de factores primos es: (x + 7) + (x - 3) = 2x + 4

5. Factoriza: x2 + 10x + 21 e indica la suma de factores primos. Resolución: x2 + 10x + 21 = (x + 7)(x + 3) Luego la suma de factores primos es: (x + 7) + (x + 3) = 2x + 10

Nos piden: (x + 9)+(x - 9)+(x + 2)+(x - 2) = 4x 85

Álgebra - 2do Sec.

1) Indica un factor primo de: x2 - 6x + 5 Rpta: ________

4) Factoriza: x2 - 17x + 60, e indica la suma de factores primos. Rpta: ________

2) Factoriza: x2 + 4x - 21, e indica la suma de factores primos.

5) Factoriza: x2 + 59x - 60, e indica un factor primo.

Rpta: ________

3) Determina la suma de coeficientes de un factor primo de: x2 - 10x + 21

Rpta: ________

6)

Factoriza y relaciona:

Polinomio 2

a) 2x + 5x - 3 b) 2x2 - x - 3 c) 2x2 - 5x - 3 d) 2x2 + x - 3

Rpta: ________

( ( ( (

) ) ) )

2x - 1 x-3 x+1 2x + 3

4) Luego de factorizar: x2 - 16x + 60, señala la suma de factores primos.

1) Luego de factorizar: x2 + 6x + 5, señala un factor primo. Rpta: ________

2) Factoriza: x2 + 10 x + 21, e indica la suma de factores primos.

Rpta: ________

5) Factoriza: x2 - 17x - 60, e indica la suma de factores primos. Rpta: ________

Rpta: ________

3) Factoriza: x2 - 4x - 21, e indica la suma de coeficientes de un factor primo. Rpta: ________

86

Factorprimo

6)

Factoriza y relaciona:

Polinomio 2

a) 2x + 5x + 3 b) 2x2 + 7x + 3 c) 2x2 - 5x + 3 d) 2x2 - 7x + 3

( ( ( (

Factorprimo ) ) ) )

x-1 2x - 1 2x + 3 x+3


1

Factoriza: 20x2 - 6x + 36, y señala la suma de coeficientes de un factor primo. a) -1 b) 1 d) 22

1

c) 12 e) -22

Factoriza: 15x2 + 11x - 12, y señala la suma de coeficientes de un factor primo. a) 4 b) 7 d) 5

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Factoriza:

c) 3 e) -7

2

6x2 - xy - 2y2

a) 2x + y b) 2x d) 3x + y

Clave:

c) 3x e) 2x - 2y

Resolución:

Factoriza:

10x2 - 13x - 3

a) 2x - 3 b) 2x d) 2x - 5

c) 5x + 3 e) 5x - 3

Resolución:

Clave:

Clave: 87


Luego de factorizar: x4 - 26x2 + 25, indica el número de factores primos. a) 2 b) 3 d) 4

3

Factoriza: x4 - 13x2 + 36, y da por respuesta la suma de factores primos. a) 2x + 5 b) 2x2 d) 3x

c) 5 e) 1

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Factoriza e indica la diferencia de los factores de: Q = (x + 2y)2 - 9 a) 5 b) x + 2y d) 9

c) 4x2 e) 4x

c) 6 e) 0

Clave:

4

Factoriza: x2 - 16 e indica la suma de los T.I. de cada uno de sus factores. a) 5 b) 4 d) 10

c) 8 e) 1


Clave: 88

Clave:


Factoriza la expresión: N = (a + b)2 - c2 e indica la suma de sus factores. a) 2(a + b) b) 2(b + d) d) a + c

5

c) 2c e) 2(a + c)

Factoriza la siguiente expresión: N = 7a2 - 7b2 e indica un factor. a) 7 b) 2a + b d) 2a

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

c) 2b + a e) 2b

Factoriza: f(x, y) = (4x2 + 4x + 1) - y2 e indica el producto de coeficientes de un factor primo. a) -4 b) -3 c) -2 d) -1 e) 0

Clave:

6

Determina el número de factores primos de: (x2 - 8x)2 - (3x - 6)2 a) 3 b) 2 d) 5

c) 4 e) 7


Clave:

Clave: 89


Factoriza e indica la suma de sus factores: x2 + 4ax + 3a2 a) 2x + 4a b) x - a d) 2x + a

7

c) 2x - 4a e) x + a

Factoriza: x2 + 3cx - 10c2 e indica la suma de sus factores. a) x + c b) 3x + c d) 3x - 2c

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Factoriza: (x + y + z) (x + y + z + 2w) - 8w2, luego indica la suma de coeficientes de un factor primo. a) 2 b) 7 d) 5

c) 3 e) 6

Resolución:

Clave:

8

Luego de factorizar: (x + 2)2(x - 1)2 - (x2 + x + 10) indica el factor primo cuadrático. a) x2 - x + 1 c) 2x2 + 1 d) x2 + 1

e) x2 + 2

Clave:

NOTA

90

b) x2 + x + 1

Resolución:

Clave:

Sello y Firma del Profesor

c) 2x + 3c e) x - c

Álgebra - 2do Sec.

13

Ecuaciones de Primer Grado

I.

CLASIFICACIÓN DE LAS IGUALDADES

Absoluta (Identidad) Siempre cumple. Ejemplo: 7=7

I G U A L D A D

Relativa (Ecuación) Se cumple en algunos casos. Ejemplo: x+4=7 ↑ 3 ← Este valor se llama solución porque verifica la igualdad.

Compatible Tiene solución. Ejemplo: x2 + x - 2 = 0 es compatible porque x = 1 es solución. Incompatible No tiene solución. Ejemplo: x2 = -4 No existe ningún número real que verifique la igualdad.

II. ECUACIÓN POLINOMIAL

Ejemplos:

* Si:

Forma general: a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0; a ≠ 0

Donde: * a0; a1; a2; ... ; an: Coeficientes numéricos * x : Incógnita * n ∈ N

Determinada Tiene finitas soluciones Ejemplo: x2 = 49 sus soluciones son dos exactamente: x = 7 ; x = -7

Indeterminada Tiene infinitas soluciones Ejemplo: x + y = 7 ↓ ↓ 3 4 son algunos 1 6 valores que 0 7 verifican la -5 12 igualdad

n = 1: a0x + a1 = 0

Ecuación de 1.er grado

* Si:

n = 2: a0x2 + a1x + a2 = 0

Ecuación de 2.º grado

91

Álgebra - 2do Sec. III. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Forma general: ax + b = 0; a ≠ 0 Donde: * a y b son coeficientes numéricos. * x es la incógnita. Resolución: Consiste en determinar el conjunto solución De la forma general: ax + b = 0 ; a ≠ 0 ax = -b x = -b/a Luego la solución es -b/a y el conjunto solución (C.S.) es: C. S. = {-b/a}

IV. E C UAC I Ó N PA R A M É T R I C A D E P R I M E R GRADO Ecuación de la forma: Ax = B Donde: * A y B son parámetros (constantes representadas por letras). * x es la incógnita.

Resolución: 2x + 7 - 2(x - 1) = 3(x + 3) → 2x + 7 - 2x + 2 = 3x + 9 9 = 3x + 9 9 - 9 = 3x 0 = 3x 0/3 = x x= 0 2. Resuelve: 2x - 9 3x + 4 = 3 2 Resolución: (2x - 9) - 2 = (3x + 4) . 3 4x - 18 = 9x + 12 -18 - 12 = 9x - 4x -30 = 5x -30/5 = x x = -6 →

3. Resuelve: x -x= x -9 2 4 Resolución:

Ejemplo: * (m + 1) x = m * 2x = 4 Esta última ecuación no es paramétrica porque 2 y 4 no son parámetros.

V. DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN PARAMÉTRICA De la forma: Ax = B * Si A ≠ 0 y B es cualquier número. ⇒ La ecuación es compatible determinada. * Si A = 0 y B = 0 ⇒ La ecuación es compatible indeterminada. * Si A ≠ 0 y B = 0 ⇒ La ecuación es incompatible.

92

1. Resuelve: 2x + 7 - 2(x - 1) = 3(x + 3)

x - x - x = -9 2 4 2x - 4x - x = -9 4 -3x = -9 4 -3x = (-9)4 -(9)4 x= -3 x = 12 5. Resuelve: (x + 5)(x - 5) = (x - 3)2 - 16 Resolución: x2 - 25 = x2 - 6x + 9 - 16 6x = 9 - 16 + 25 6x = 18 x = 18/6 x= 3

Álgebra - 2do Sec.

1)

Resuelve: 2x + 7 - 2(x - 1) = 3(x + 3)

4)

Rpta: __________

Resuelve: 1 x 1 2x + x - = + 16 2 6 3 9 Rpta: __________

2)

Resuelve: 2x - 9 3x + 4 = 3 2 Rpta: __________

3)

Resuelve:

5) Resuelve: 3(x - 4) + 5(x - 2) = 2(x - 6) - 4(5 - x) Rpta: __________

6)

x x -x= -9 2 4

Resuelve:

(x + 5)(x - 5) = (x - 3)2 - 16

Rpta: __________

1) Resuelve: 3(x - 1) - 4(5 - x) = 2(6 + x) Rpta: __________

2)

Resuelve:

4)

Resuelve: 2x x 3 -8= + 3 6 4 Rpta: __________

5) Resuelve: 3x - 1 - (x - 4) - [2(x - 3) - 3(1 - 2x)] = -x - 2

x+1 2x - 1 = 2 3 Rpta: __________

3)

Rpta: __________

Resuelve:

Rpta: __________

6) Resuelve: 2(x - 4)2 - (x + 3)2 = (x - 1)(x + 3)

x 3 1 + =x+ 2 4 4 Rpta: __________

Rpta: __________

93


1

Resuelve: 19 - 15(3x + 1) = 36 - 6(5x - 3) - 5(x + 7) a) -3/2 b) 1/2 d) 1/8

1

c) 1/3 e) 3/4

Resuelve: (13x - 4)(x + 2) = (3x + 1)(5x - 3) - (2x2 + 5) a) 1 b) 0 d) -2 Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Resuelve:

Clave:

2

x x-2 5 = x-2 x 2

a) 7,5 b) 3,5 d) 2,5

c) 4,5 e) 2

Resolución:

Resuelve:

x x +2= 3 4

a) -20 b) -24 c) -30 d) 40 e) 24 Resolución:

Clave: 94

c) -1 e) 1/2

Clave:


Si 2x - 3 = x + 1, halla x. 3 4 3 a) x = 6 b) x = 10 d) x = 9

3 c) x = 7 e) x = 8

Resuelve:

x 1 x + =42 4 4

a) x = 3 b) x = 6 d) x = 7

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Si: 3(x - 4) + 6 = 5(x + 1) - 13; halla x. a) 1/9 b) 1/4 d) 1/3

c) x = 5 e) x = 2

c) 1/2 e) 1/8

Clave:

4

Resuelve: 3(x + 1) + 4(2x - 1) = 5(x + 5) - 2(x - 3) a) 2 b) 3 d) 5

c) 4 e) 6


Clave:

Clave: 95


Resuelve: 15(2x + 1) - 2 = 3(-2x + 8) - 2 a) 1/5 b) 1/6 d) 1/4

5

c) 1/8 e) 1/7

Resuelve:

4 (x + 2) = 2 + [4(x - 2)] 3

a) 13/4 b) 15/4 d) 3

c) 16/4 e) 17/5


Clave:

6

Resuelve:

x x 1 1 1 x + - = + 2 3 5 2 3 5

a) -1 b) 0 d) 2

c) 1 e) 3

Resolución:

6

Halla “x” en:

5x - 4 = x - 12 7

a) 16 b) 28 d) 30

c) 20 e) 18

Resolución:

Clave: 96

Clave:

Clave:


Resuelve:

1 1 (x - 2) + 2 = (x - 2) + 6 3 5

a) 64 b) 60 d) 30

7

c) 48 e) 32

Resuelve:

1 3 2 (x + 5) + (x + 6) = x + 4 2 2 3

a) 10 b) 20 d) -21 Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Resuelve:

c) 30 e) -10

x+1 1-x 7 -6+ = 2 5 10

a) 20 b) -12 d) -16

c) 9 e) 10

Resolución:

Clave:

8

Resuelve:

5x - 8 7x - 4 = x-1 x+2

a) 20 b) 15 d) 35

c) 30 e) 40

Resolución:

Clave:

Clave:


Álgebra - 2do Sec.

14

Ecuación Cuadrática

3. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

1. FORMA GENERAL ax2 + bx + c = 0

a ≠ 0; 2 raíces

-b + D -b - D + 2a 2a -b + D - b - D 2a

x1 + x2 =

FORMA DE RESOLUCIÓN 1. Aspa simple

=

x2 + 5x + 6 = 0 x 3 x 2

* Suma

-2b -b = 2a a -b x1 + x2 = a =

(x + 3)(x + 2) = 0 x+3=0 ∨ x+2=0 x = -3 ∨ x = -2

* Diferencia x1 - x2 =

Recuerda Si A . B = 0, se cumple: A = 0

∨

B=0

* Producto x1 . x2 =

2. FÓRMULA GENERAL x=

-b ± b2 - 4ac 2a

x2 - 2x - 4 = 0 a = 1 ; b = -2 y c = -4 Reemplazando:

x1 = 1 + 5

98

=

( -b 2a+ D (( -b2a- D ( (-b)2 - ( D)2 4a2

b2 - b2 + 4ac 4ac c = 2= 4a2 4a a c x1 . x2 = a

=

4. NATURALEZA DE LAS RAÍCES 2

-(-2) ± (-2) - 4(1)(-4) 2(1) 2±2 5 x= 2 x=

D a

x2 = 1 - 5

∆ = b2 - 4ac

Si ∆ > 0 : Raíces reales y diferentes ∆ = 0 : Raíces reales e iguales ∆ < 0 : Raíces complejas y conjugadas

Álgebra - 2do Sec. 2. Halla el discriminante de: x2 + 3x + 1 = 0

Recuerda Raíces Simétricas u Opuestas

Raíces Recíprocas o Inversas

x1 = -x2

x1 =

1 x2

se desprende

sedesprende

x1 . x2 = 1

x1 + x2 = 0 Ecuaciones Equivalentes

ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0 mx2 + nx + p = 0 ; m ≠ 0 si poseen las mismas raíces; se cumple: a b c = = m n p

Resolución: Recuerda: D = b2 - 4ac D : discriminante En el problema: a = 1, b = 3 y c = 1 Luego: D = (3)2 - 4(1)(1) D= 5

3. Halla la menor solución de: x2 + 3x + 1 = 0 Resolución: Por la fórmula general: x=

-b ± b2 - 4ac 2a

Para el problema: a = 1, b = 3 y c=1 Luego: x=

1. Si la ecuación: (4 - K)x2 + 2Kx + 2 = 0; K > 0 tiene raíces iguales, halla 2K + 1.

=

Para el problema: a = 4 - K, b = 2K y c = 2 (2K)2 = 4(4 - K)(2) 4K2 = 4(8 - 2K) K2 = 8 - 2K K2 + 2K - 8 = 0 (K + 4)(K - 2) = 0 como K > 0, entonces K = 2. Luego nos piden:

2K + 1 = 5

-(3) ± 5 2

Entonces la menor solución es: -(3) - 5 2

Resolución: Si las raíces son iguales, entonces el discriminante es igual a cero: D = b2 - 4ac = 0 b2 = 4ac

-(3) ± (3)2 - 4(1)(1) 2(1)

4. Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 3x2 + 7x + 5 = 0 Resolución: Por la propiedad de las raíces: x1 + x2 = -b/a x1 . x2 = c/a Para el problema: a = 3, b = 7 y c=5 Luego:

x1 + x2 = -7/3 x1 . x2 = 5/3

99

Álgebra - 2do Sec.

1) Indica el conjunto solución de: x2 - 4x + 3 = 0

4) Halla la menor solución de: x2 + 3x + 1 = 0

Rpta: __________

Rpta: __________

2) Resuelve: x2 + 9x + 14 = 0; y luego indica la menor solución.

5)

Rpta: __________

3) Halla el discriminante de: x2 + 3x + 1 = 0 Rpta: __________

Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 3x2 + 7x + 5 = 0; y da por respuesta uno de estos resultados. Rpta: __________

6)

Encuentra la ecuación que dio origen a: * x1 - x2 = 5; x1 x2 = 150 * x1 + x2 = -1; x1 - x2 = 5 Rpta: __________

1) Señala el conjunto solución de: x2 - 6x + 5 = 0

4) Halla una solución de: x2 + 4x + 2 = 0

Rpta: __________

Rpta: __________

2) Resuelve: x2 + 10x + 21 = 0; y luego indica la mayor solución.

5)

Rpta: __________

3) Halla el discriminante de: x2 + 4x + 2 = 0 Rpta: __________

100

Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 2x2 + 5x - 9 = 0; e indica el mayor resultado. Rpta: __________

6)

Encuentra la ecuación que dio origen a: * x1 + x2 = 5; x1 x2 = 6 * x1 + x2 = 11; x1 x2 = 10 Rpta: __________


1

Luego de calcular la suma y el producto de las soluciones de: 7x2 - 3x - 4 = 0; señala el menor resultado. a) - 3/7 b) 4/7 d) 3/7

1

Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 4x2 - 5x + 7 = 0 y luego uno de estos resultados es: a) -5/4 b) -7/4 d) 7/4

c) - 4/7 e) - 4/3

c) 4/7 e) 4/5


Clave:

2

Si la ecuación: (4 - k)x2 + 2kx + 2 = 0; k > 0 tiene raices iguales, halla 2k + 1 a) 2 b) 4 d) 5

c) 7 e) 3

Resolución:

Clave:

2

Halla el menor valor de k para que la ecuación (4k + 8)x2 - 4kx + 1 = 0 tenga raíces iguales. a) -2 b) -4 c) -1 d) -3 e) 2 Resolución:

Clave:

Clave: 101


Si una solución de la ecuación: x2 - 6x + b = 0 es el doble de la otra, halla b2. a) 4 b) 81 d) 9

3

c) 64 e) 16

Si una solución de la ecuación mx2 - 3mx + 5 = 0 es cinco veces la otra, halla m. a) 3 b) 2 d) 5

Resolución:

c) 4 e) 1

Resolución:

Clave:

4

Encuentra la suma y el producto de la raíz de: 3x2 - 5x + 4 = 0 a) S = 5/3, P = 4/3 c) S = 5, P = 3 d) S = 5, P = 3/4

b) S = 5/2, P = 3/4 e) N. A.

4

Encuentra la suma y el producto de la raíz de: 2x2 - 6x + 18 = 0 a) S = 3, P = 8 c) S = 3, P = 9 d) S = -3, P = -9

b) S = 4, P = -9 e) N. A.

Resolución:

Resolución:

Clave: 102

Clave:

Clave:


Encuentra la ecuación que dio origen a: x1 + x2 = -5/12; x1 x2 = -1/6 a) 3x2 + 5x + 2 = 0 c) 12x2 + 5x - 2 = 0 d) 3x2 + 5x + 2 = 0

5

b) 6x2 + 3x - 2 = 0

Encuentra la ecuación que dio origen a: x1 + x2 = 13/2; x1 x2 = -21/2 a) 2x2 - 13x - 21 = 0 c) 2x2 - 3x - 21 = 0 d) 2x2 - 13x + 11 = 0

e) N.A.

Resolución:

Calcula el valor de “C” si la ecuación Cx2 = 4x - 1, presenta solución única. a) 0 b) 8 d) 1

e) N.A.

Resolución:

Clave:

6

b) 2x2 - 3x + 1 = 0

c) 4 e) 2

Resolución:

Clave:

6

Determina el valor de “m” para que la ecuación: x2 + 4 - mx = 0 / m > 0 tenga una única solución. a) 9 b) 7 d) 4

c) 2 e) 6

Resolución:

Clave:

Clave: 103


Si: mx2 - (m - 5)x + 1 = 0, halla “m”; además x1 x2 = x1 + x2, donde x1 y x2 son soluciones de la ecuación inicial. a) 8 b) 2 d) -1

7

Si: x1 y x2 son soluciones de x2 - 4x + 2 = 0, calcula: x1 + x2 + x1x2 + x12 + x22 a) 17 b) 27 d) 16

c) 4 e) 6

c) 19 e) 18


Clave:

8

Si α < β, halla α/β; donde α y β son soluciones de: (x - 1)2 = (2x + 2)2 a) 9/2 b) -1/9 d) 1/9

c) 9 e) -9

Clave:

8

Si: x=-3 es una solución de: 9x2+(5n+1)x - 3=0 halla la suma del valor de n y la otra raíz. a) 1/9 b) 5 d) 46/9 Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:


c) 6/9 e) -1/9

Álgebra - 2do Sec.

Sistema de Ecuaciones Lineales

S I S T E MA L I N E A L D E E C UAC I O N E S D E D O S VARIABLES Son ecuaciones del tipo:

ax + by = c dx + ey = f

donde “x” e “y” son las incógnitas; y a, b, c, d, e, y f son constantes. ¿ Q U É S I G N I F I C A “ R E S O LV E R U N S I S T E MA D E ECUACIONES”? Significa hallar los valores de las incógnitas (generalmente x e y), de tal manera que al reemplazar en las ecuaciones se verifique la igualdad. MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS Existen muchos métodos para resolver SISTEMAS DE ECUACIONES, algunos más sencillos que otros. Estudiaremos tres de ellos: 1. Método de Reducción o Eliminación En este método, el objetivo es eliminar una de las incógnitas sumando o restando ambas ecuaciones. Ejemplo: Resuelve el sistema:

x + 2y = 12 ...... ecuación 1 4x - y = 3 ...... ecuación 2

Resolución:

x + 2y = 12 2[4x - y] = 2[3]

Sumando:

x + 2y = 12 8x - 2y = 6 9x = 18 x=2

Así obtenemos:

y=5

Este valor será sustituido en cualquier ecuación.

2. Método de Igualación Se despeja una misma variable en ambas ecuaciones, luego se igualan ambos resultados. Ejemplo: Resuelve el sistema: x + 2y = 12 ...... ecuación 1 4x - y = 3 ...... ecuación 2 Resolución: Despejando “y” en 1 . x + 2y = 12 → 2y = 12 - x → y = 12 - x 2 Despejando “y” en 2 . 4x - y = 3 → 4x = 3 + y → 4x - 3 = y

12 - x = 4x - 3 2 12 - x = 2(4x - 3) 12 - x = 8x - 6 12 + 6 = 8x + x 18 = 9x

Luego igualamos ambos resultados:

Si sumanos ambas ecuaciones no se elimina ninguna incógnita, así que multipliquemos por 2 la ecuación 2 .

Tenemos:

15

Este artificio es muy usado en la resolución de sistemas.

⇒

x=2

105

Álgebra - 2do Sec. Reemplazando el valor de «x» en 1 o en 2 tenemos:

2. Resuelve:

{

2 + 2y = 12 2y = 12 - 2

y = 10= 5 2

⇒

y = 5

{

Resolución:

4x - 3y = -3 ............(1) x + y = 1 ..........(2)

Hacemos: EC(1) + 3EC(2) 7x = 0

Ejemplo:

{

x+y=1

Resolución:

3. Método de Sustitución Es similar al método anterior; con la diferencia de que únicamente se despeja una variable en una ecuación, y este resultado se reemplaza en la otra ecuación. Resuelve el sistema:

4x = 3y - 3

x=0

Reemplazando en EC(1): x + 2y = 12 .....ecuación

1

4x - y = 3 ........ ecuación

2

y=1

3. Resuelve:

{

De 1 despejando a la incógnita "x". x = 12 - 2y

4x - 9y = -1 2x + 6y = 3

Indica "x".

Este resultado lo reemplazamos en 2 :

Resolución:

4(12 - 2y) - y = 3 48 - 8y - y = 3 48 - 3 = 8y + y 45 = 9y ⇒ y =5

{

4x - 9y = -1 ............(1) 2x + 6y = 3 ..........(2)

Hacemos: 2[(EC(1)] + 3[EC(2)]: 2(4x - 9y) = -2 3(2x+6y) = 9 8x - 18y+6x + 18y = 7

Este valor se reemplaza en 1 o en 2 y obtenemos el valor de "x". x + 2(5) = 12 x = 12 - 10 ⇒ x=2

(+)

x= 1 2

14x = 7

4. Resuelve:

1. Resuelve:

{

Resolución:

2x - y = 9

{

1 x+y = 2 2

Resolución:

{

x - y = 4 ............(1) 2x - y = 9 ..........(2)

2x + y = 4 ............(1) x + y = 1 ..........(2)

Hacemos: EC(1) - EC(2)

Hacemos: EC(2) - EC(1) x = 5 reemplazamos en EC(1)

106

{

x-y=4

2x - 4 = -y

y=1

x = 3

y = -2

Álgebra - 2do Sec.

1) Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:

{

2x + y = 10 x + y= 7

4) Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema: x+y=3 2x - 1 = 4(1 - y)

{

Rpta: __________

Rpta: __________

2) Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema: 3x + 2y = 9 2x - y = -1

5) Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema: x+1 =y 3 y-1 =x-7 2

{

Rpta: __________

3) Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema: x - 2y = 4 2x + 3y = 1

{

{

Rpta: __________ 6) Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:

{

Rpta: __________

2x - 4 = -y 1 x+y = 2 2 Rpta: __________

1) Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema: x-y=3 2x + y = 12 Rpta: __________

4) Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema: x - 8y = 0 2y + 3 x = 13

2) Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema: x - 3 = 2y 3y - 1 = x

5) Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema: x+3 =2 y y+6 =-1 x Rpta: __________

{

{

Rpta: __________

3) Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema: y =x+2 2x = 5 - y

{

Rpta: __________

{

Rpta: __________

{

6) Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema: x - y - 1= 0 2 x+ y =2 2 5 Rpta: __________

{

107


1

Resuelve por el método de eliminación el siguiente sistema: x + y = -1 3x + 2y = 0

1

{

{

a) (2; -3) b) (4; -5) d) (-2; 3)

Resuelve por el método de eliminación el siguiente sistema: y - 8 = 2x x + 2y = 3(y - 3) a) (1; 10) b) (2; 7) d) (4; 7)

c) (-2; 1) e) (6; -7)

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Resuelve por el método de eliminación el siguiente sistema: 2x - 4 = -y

{

1 x+y = 2 2

a) (2; -5) b) (2; -5) d) (1; 7)

c) (3; -2) e) (4; -3)

Resolución:

Clave:

2

Resuelve por el método de eliminación el siguiente sistema: x - y - 1= 0 2 x+ y =2 2 5

{

a) (2; 5) b) (5; -3) d) (1; 3)

c) (4; 3) e) (3; -1)

Resolución:

Clave: 108

c) (3; -2) e) (4; -9)

Clave:


Resuelve por el método de eliminación el siguiente sistema: 5 x y= 3 2 2x + 1 = y 3 2

{

a) (1 ; 7/6) b) (2 ; 2/3) d) (4/5 ; 2/6)

3

Resuelve por el método de eliminación el siguiente sistema: x = 2y - 1 3 6x + 4 = 3y

{

a) (–5/3 ; –2) b) (1/2 ; –4) d) (1/15 ; –1/2)

c) (1/3 ; 7/2) e) (1/3 ; 1/2)

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Resuelve: Halla b/a

c) (1/3 ; –1/2) e) (3/2 ; 1/5)

{

4

a + 7b =15 3a - 7b = -11

a) 4 b) 3/2 d) 2

Clave:

c) 5/2 e) 3

Resolución:

Resuelve: Halla x + y

{

2x +9y = -38 x - 9y = 35

a) -6 b) -7 c) -9 d) -8 e) -5 Resolución:

Clave:

Clave: 109


Resuelve por el método de eliminación el siguiente sistema: x + 2y = 5 x + 3y = 6

5

{

{

a) (3; 1) b) (2; -5) d) (7; -2)

Resuelve por el método de eliminación el siguiente sistema: 4x = 3y - 3 x+y=1

c) (3; -3) e) (4; -1)

a) (2; 3) b) (4; -5) d) (0; 1)

Resolución:

c) (-2; 1) e) (6; -7)

Resolución:

Clave: Resuelve el sistema: ) x = 5 + 3y ............. (1) 7x - 39 = 9y ............ (2) Halla x + y

{

a) 20/3 b) 19/3 d) 18/3

c) 21/3 e) 22/3

Resolución:

Resuelve el sistema: 7m - 2n + 34 = 0 5m + 3n + 11 = 0 Halla m + n

a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) -1 Resolución:

Clave: 110

6

{

6

Clave:

Clave:


Resuelve el sistema e indica la mayor solución:

{

7

2x + 3y = -2 2x - 6y = 1

a) 1/2 b) 1/5 d) 2

c) 1/4 e) 1/3

{

Si: 7x + 5y = 33/2 3x - 6 = y son dos ecuaciones simultaneas, halla el valor de (x - y). a) 1/2 b) -1/3 c) -1/2 d) 4 e) 1/3

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Resuelve por el método de eliminación el siguiente sistema: x-y=4 2x - y = 9

{

a) (6; 2) b) (5; 1) d) (7; 3)

c) (-3; 7) e) (4; -2)

Clave:

8

Resuelve por el método de eliminación el siguiente sistema: x+ y + 1

{

3 x + 8y = 0

=5

a) (3; -12) b) (4; -3) d) (5; -1)

c) (-2; 16) e) (16; -2)

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:


Álgebra - 2do Sec.

Inecuaciones de Primer Grado

16

INECUACIÓN

b. Intervalo Cerrado

Es la desigualdad entre dos polinomios, pero también pueden ser otras expresiones, verificable para ciertos valores de la incógnita.

Ejemplo :

INECUACIÓN DE PRIMER GRADO Es la desigualdad entre dos polinomios de primer grado, siendo el C.S. (es decir los valores que puede tomar la incógnita) de la forma:

+ ∞

a

Si se consideran los extremos:

 Representación gráfica:

3

o

7

 Representación simbólica: [3 ;7]  Representación mediante desigualdades: 3 ≤ x ≤ 7

− ∞

; a∈R

a

c. Intervalo Semiabierto o Semicerrado

¿Cómo se resuelve una inecuación? Se resuelve de manera idéntica a la ecuación, procurando mantener a la incógnita con el coeficiente positivo. Los valores que verifican una inecuación, es decir su C.S., son INTERVALOS.

Es una misma de los anteriores.

TIPOS DE INTERVALOS a. Intervalo Abierto

No se consideran los extremos: Ejemplo : Observa el siguiente intervalo y sus diferentes representaciones:  Representación gráfica: 3

7

 Representación simbólica: 〈3; 7〉  Representación mediante desigualdades: 3 < x <7 112

El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

Álgebra - 2do Sec. 4. Resuelve: (2x+1)(x-2) ≤ x(x+5)+(x - 5)(x+1) 1. Resuelve: 2(x + 1) < 3(x - 2) 5 10

Resolución: (2x2 - 4x+x - 2) ≤ x2+5x+x2 - 4x - 5

Resolución: 2x + 2 < 3x - 6 5 10 2x + 2 < 3x - 6 1 2

2x2 - 3x - 2 ≤ 2x2 + x - 5

-3x - 2 ≤ x - 5

-4x ≤ -3

x ≥

2(2x + 2) < 3x - 6

C.S = 〈3/4; +∞〉

4x + 4 < 3x - 6

4x - 3x < -6 - 4

5. Resuelve:

x < -10

3 4

C.S. = 〈∞; -10〉

2. Resuelve: x+3 <2+ 4

(x+1)(x-5)+(x+2)2 < (2x+1)(x-1)+2

Resolución: (x2-4x-5)+(x2+4x+4) < (2x2-2x+x-1)+2

x+2 3

Resolución:

2x2 - 1 < 2x2 - x + 1

-1 < -x + 1

x+3 - x+2 <2 4 3 3(x+3) - 4(x+2) < 2 12

x < 2 C.S. = 〈-∞; 2〉

3(x + 3) - 4(x + 2) < 2(12)

3x + 9 - 4x - 8 < 24

-x + 1 < 24 -x < 23 x > -23 C.S. = 〈-23; +∞〉

3. Resuelve: (2x - 3)2 > (2x + 5)(2x - 1) Resolución: 4x2 - 12x + 9 > 4x2 + 8x - 5 -12x + 9 > 8x - 5

-20x > -14 -14 x < -20

x<

7 10

La velocidad con la que Euler elabora trabajos matemáticos es legendaria. Cuando finalizaba un artículo se lo enviaba al editor de las actas de la Academia de San Petersburgo. Este lo colocaba en lo alto de un montón al que después acudía cuando necesitaba material para llenar las actas, de modo que los artículos de Euler muchas veces se publicaron en orden inverso al de elaboración. Lo peor es que su afán de perfeccionar sus resultados hacía que Euler volviese varias veces sobre un mismo tema y escribiese distintos artículos en orden creciente de perfección y complejidad sobre el asunto. Al publicarse algunos de estos trabajos en orden cronológicamente inverso, es fácil imaginar la confusión en la que se ve sumido el pobre investigador que se sumerge en dichas actas.

C.S. = 〈-∞; 7/10〉 113

Álgebra - 2do Sec.

1) Resuelve la siguiente inecuacion y da su conjunto solución (C.S.). 4x + 3(x - 1) ≤ 5x + (1 - 2x)

4) Resuelve: x+5 - x-2 x ≤ -3 3 2 6

Rpta: __________

Rpta: __________

2) Resuelve la siguiente inecuacion y da su conjunto solución (C.S.). 4(1 - x) + 2(2 -x) ≥ 5 -11 (x - 5)

5) Indica el C.S. de: (x+4)(x - 4) - (x+5)(x+1) > 2x - 7 Rpta: __________

Rpta: __________

3) Da el C.S. de: x+3 <2+ 4

x+ 2 3

6) Resuelve: (x - 2)(x + 1) + x(x - 1) ≤ (2x + 1)(x - 3) + 4 Rpta: __________

Rpta: __________

1) Resuelve la siguiente inecuacion y da su conjunto solución (C.S.). 17 + 3x - (x+ 2) ≥ 4 -x

4) Resuelve: x - 5 - 2x ≥ 3x - 1 4 2 Rpta: __________

Rpta: __________

5) Halla el C.S. de: (x+1)(x+2) - (x+3)(x - 5) > x - 1

2) Resuelve la siguiente inecuacion y da su conjunto solución (C.S.). 2x + 1 > 2 - (x - 8) +13

Rpta: __________

Rpta: __________

3) Resuelve: 2 (x+ 1) 3(x - 2) < 5 10 Rpta: __________

114

6) Resuelve: (x - 2)(x + 1) + x(x - 3) ≤ (2x - 3)(x - 1) - 1 Rpta: __________


1

Resuelve:

1

x+4 +2 > x 3

a) 〈-∞; 6] b) 〈-∞; 8] d) 〈-∞; 9]

c) 〈-∞; 7] e) 〈-∞; 5]

Resuelve:

5x+1 +1 ≤ x 6 a) 〈-∞; 9] b) 〈-∞; 7] d) 〈-∞; -9] Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Resuelve:

c) 〈-∞; 8] e) 〈-∞; 10]

Clave:

2

9x + 12 > 2x - 2

Resuelve:

123 - 321x ≥ 122 - 320x

a) 〈-2; ∞〉 b) 〈2; ∞〉 c) 〈-3; ∞〉 d) 〈1; ∞〉 e) 〈-4; ∞〉

a) 〈-∞; 2] b) 〈-∞; -3] c) 〈-∞; 1] d) 〈-∞; 4] e) 〈-∞; -1]

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave: 115


Halla el conjunto solución de: 5x - 8 < 4 + 2x a) C.S. = 〈-∞; 4〉 c) C.S. = 〈-∞; 8〉 d) C.S. = 〈-∞; 3〉

3

Resuelve: 5x - 9 ≤ 2x + 15 a) 〈-∞; 9] b) 〈-∞; ∞〉 c) 〈9; 30〉 d) 〈-∞; 8] e) N.A.

b) C.S. = 〈-∞; 2〉 e) C.S. = 〈-∞; 4/3〉


Clave:

4 (x + 8)2 - (x - 8)2 ≤ - (x2 + 49)

4

3 ¿Cuál es el intervalo de x?

a) 〈1; ∞〉 b) 〈-∞; -1〉 d) 〈-∞; -1]

c) [-1; ∞〉 e) 〈-∞; 1〉

Resolución:

¿Cuál es el intervalo de x? 2 2(x+5)(x - 2) ≤ 8+ (x+2)(3x - 1) 3 a) 〈-∞; ∞〉 b) 〈-∞; 5〉 c) 〈-∞; 20/3〉 d) N. A. e) 〈-∞; 10] Resolución:

Clave: 116

Clave:

Clave:


Resuelve: 2 (x - 5)2 +1 (x+4)(x - 6) ≥ x52 3 6 6

5

a) 〈-∞;38/21〉 b) [17/3;+∞〉 c) 〈-∞;38/21] d) 〈-∞;1/7〉 e) [23/21;+∞〉

Halla el conjunto solución de: 2 1 5 (x - 5)2+ (x+4)(x - 6) ≥ .x2 3 6 6 a) C.S. = 〈-∞; 20/3] c) C.S. = 〈-∞; 28/21] d) C.S. = 〈-∞; 25/26]

b) C.S. = 〈-∞; 23] e) C.S. = 〈-∞; ∞]


Clave:

6

Resuelve:

Clave:

a) 〈-∞; 8〉 b) 〈-∞; 9〉 c) 〈-∞; 7〉 d) 〈-∞; ∞〉 e) N. A.

Resuelve la inecuación: 3 2 (x + 1) < (x - 2) 10 5 a) C.S. = 〈-∞; 8〉 b) C.S. = 〈-∞; -8〉 c) C.S. = 〈-∞; -5〉 d) C.S. = 〈-∞; 10〉 e) C.S. = 〈-∞; -10〉

Resolución:

Resolución:

6

1 x (x - 5)- 2 ≤ 1 - ; 3 4 entonces el conjunto solución es:

Clave:

Clave: 117


Resuelve: 6(x+5)(x - 2) ≤ 26+2(x+2)(3x - 1)

7

Resuelve: (x + 1)(x - 5)+(x + 2)2 < (2x + 1)(x - 1)+2

a) 〈-∞;13/2〉 b) 〈-∞;41/4] c) 13/2;+∞〉 d) 〈-∞;13/2] e) 〈-13/2;+∞〉

a) 〈-∞; 2〉 b) [2; +∞〉 c) 〈-∞; 2] d) 〈-2; 2〉 e) 〈2; +∞〉

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Resuelve: (3x-1)(x+5) < 3(x+2)(3x-1)

Clave:

8

Resuelve: (2x+1)(x - 2) ≤ x(x+5)+(x - 5)(x+1)

a) 〈-∞;-1/11〉 b) 〈-1/11;+∞〉 c) 〈-∞;1/11〉 d) 〈1/11; -1/11] e) [-1/11;+∞〉

a) 〈-∞;3/4〉 b) [-3/4;+∞〉 c) 〈3/4;+∞〉 d) [-3/4;3/4] e) [3/4;+∞〉

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:


6-ALGEBRA 2do (1 - 4)

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