6. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Lámina 52
Síntesis Sínte sis de los controlado controladores res por retro retroalim alimenta entación ción Para el diagrama de bloques mostrado, tenemos: R(s)
Gc (s)
M(s)
C(s)
G(s)
C ( s )
–
R( s )
De donde: Gc ( s ) =
G ( s )Gc ( s )
=
1 + G ( s )Gc ( s )
C ( s) / R ( s ) (51) G ( s ) 1 − [C ( s ) / R ( s )] 1
=>
(50)
Fórmula de síntesis del controlador
C(s)/R(s) = respuesta deseada
Ejemplo: (s)/R(s) (s) = 1 , se tendría: Si el control fuera perfecto, entonces: C (s) = R (s) ó C (s)/R
Gc ( s ) =
1
1
G ( s) 1 − 1
=
1
1
G ( s) 0
=∞
(52)
=>
Pero: En la práctica, el proceso oscilaría (no se cumple la condición)
6. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Lámina 53
Especificación de la respuesta de circuito cerrado Se desea una respuesta con retardo de primer orden: ∆r
C ( s ) R ( s )
1
= τ c
s +1
(53)
Remplazando (53) en (51):
0,63∆r τc
t
0
Gc ( s ) =
1
1
G ( s ) τ c s
(54)
El controlador tiene acción integral. τc es el único parámetro de ajuste
Dahlin propuso originalmente esta respuesta y definió el parámetro de ajuste como: λ = 1/ τc. Rara vez es necesario especificar respuestas de segundo orden o superiores. Si el proceso contiene tiempo muerto, se debe incluir en el controlador.
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Lámina 54
Modos del controlador y parámetros de ajuste, según el tipo de proceso (respuesta de primer orden) Proceso con respuesta instantánea : G ( s ) = K Según (54):
Gc ( s ) =
1
1
G ( s ) τ c s
=
1 1 K τ c s
(55)
Controlador integral puro, recomendable para procesos muy rápidos: control de flujo, gobernadores de turbinas de vapor, etc. Proceso de primer orden: G ( s ) = K /( s + 1) Según (54):
1 1 Gc ( s ) = 1 + K τ c τ s
(56)
Controlador proporcional-integral, con los parámetros de ajuste:
K c =
1 K τ c
I
=
(57)
τI
= fijo Kc = variable
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Lámina 55
Modos del controlador y parámetros de ajuste
Proceso de segundo orden:
G ( s ) = K / [(τ 1 s + 1)( 2 s + 1)]
Siendo: τ τ1 = constante de tiempo más larga del proceso τ τ2 =
constante de tiempo más corta del proceso
Gc ( s ) =
Según (54):
1 1 + (τ 2 s + 1) (58) K τ c τ 1s τ 1
Controlador PID industrial, con los parámetros de ajuste:
K c =
τ 1
K τ c
I
=
1
τ D
=
2
(60)
τI , τD =
fijo Kc = variable
Los controladores PID se usan en control de temperatura, de manera que la acción derivativa compense el retardo del sensor. Esto se observa en la Ec. anterior en donde τ τ D compensa a τ τ2 . Proceso de orden superior: se acostumbra aproximarlos por procesos de primer orden más tiempo muerto.
Lámina 56
6. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Modos del controlador y parámetros de ajuste
Proceso de primer orden más tiempo muerto: Según (54): Gc ( s ) =
1 1 t 0 s 1 + e K τ c τ s
− t 0 s
/(τ s + 1)
(61) Respuesta especificada c(t)
Este controlador es irrealizable ya que require un tiempo muerto negativo, como se ve en la gráfica:
Mejor
0,63∆r respuesta
0
Por lo tanto, se debe especificar un tiempo muerto en la respuesta deseada:
El controlador sintetizado resulta:
G ( s ) = Ke
=>
Gc ( s ) =
to
posible t
τc
C ( s )
=
R ( s ) s +1 K
e τ c
− t 0 s
s +1
1 τ c
s +1− e
− t 0 s
(62)
(63)
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Lámina 57
Modos del controlador y parámetros de ajuste − t s
El término e 0 no se puede implementar analógicamente, pero si digitalmente. El término se conoce como “predictor” o “compensación de tiempo muerto” Por Taylor:
e
− t 0 s
= 1 − t 0 s +
1 2!
Aproximando con los dos primeros términos de (64), la Ec. (63) queda: Este es un controlador PI (sin tiempo muerto) con el siguiente ajuste:
=>
1
(t 0 s )2 − (t 0 s )3 + ... (64) 3!
Gc ( s ) =
K c =
1 1 + (66) K (τ c + t 0 ) τ s τ
K (τ c + t 0 )
I
=
(67)
Esta aproximación por Taylor solo es válida si t0 << τc . Es decir, el controlador PI anterior (sin tiempo muerto) es una buena aproximación de un controlador sintetizado sólo si t0 << τc . Nótese que cuando τc → 0, entonces , de (67): Kc max = τ /Kt0
6. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Lámina 58
Modo derivativo para procesos con tiempo muerto −t 0s
Si el término e se remplaza por la aproximación de Padé:
e
− t 0 s
= (1 −
t 0
t 0
s ) /(1 +
2
2
s)
(69)
La aproximación de Padé es más precisa que los dos primeros términos de Taylor (coincide en los tres primeros términos de Taylor).
en (63), entonces se obtiene para el controlador:
Gc ( s ) =
1 1 + (t 0 / 2) s 1 + (71) K (τ c + t 0 ) τ s 1 + τ ´s τ
Este es un controlador industrial de la forma: 0,05 ≥ α ≤ 0,1
=>
´=
t
τ c 0
τ
2(τ c + t 0 )
1 τ D s + 1 Gc ( s ) = K c 1 + τ s ατ s + 1
I
D
(59)
Comparando con (71), los parámetros de ajuste son:
K c =
τ
K (τ c + t 0 )
I
=
τ D
= t 0 / 2
(72)
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Lámina 59
Modo derivativo para procesos con tiempo muerto
Tabla 6-5. Modos del controlador y fórmulas de ajuste para síntesis Dahlin Proceso
Controlador
G(s) = K
I
Kc = 1 / Kτc ajustable
G(s) = K / (τs+ 1)
PI
Kc = τ / Kτc ajustable τ I = τ
G(s) = K / (τ1 s+ 1)(τ2 s+ 1) τ1 > τ2
PID
Kc = τ1 / Kτc ajustable τ I = τ1 τ D = τ2
G(s) = Ke-tos / (τs+ 1)
PI, PID (PI => τ D = 0) (PID si t o > τ /4)
Parámetros de ajuste
Kc = τ / K(t o + τc ) ajustable τ I = τ τ D = t o / 2
Para controladores digitales, modificar los parámetros para PID así: K´c = Kc(1+ τ D / τ I )
τ´ I = τ I + τ D
τ´ D = τ D [τ I /(τ I + τ D ) ]
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Lámina 60
Modo derivativo para procesos con tiempo muerto
Otras reglas que se utilizan para procesos con tiempo muertos son: Si se desea IAE mínima: Para entrada de perturbaciones: Si 0,1 < t o / τ < 0,5
hacer τc = 0 y usar controlador PI (τ D = 0)
Si 0,1 < t o / τ < 1,5
hacer τc = 0 y usar controlador PID
Para cambios en el punto de control: Si 0,1 < t o / τ < 1,5
hacer τc = (2/3) t o para controlador PI (τ D = 0) hacer τc = (1/5) t o para controlador PID
Utilizar estas fórmulas con el último renglón de la tabla anterior (6-5) Si se desea un sobrepaso del 5%, para entradas en el punto de control: Recomendación de Martin: hacer τc = t o , de donde:
K c =
τ
K (τ c + t 0 )
=
0,5 τ
(76) K t 0
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Lámina 61
Modo derivativo para procesos con tiempo muerto
Ejemplo 6-14: Para el intercambiador de calor del ejemplo 6-5, determinar los parámetros de ajuste mediante el método de síntesis. Comparar con los ajustes para IAE mínima para entradas del punto de control, Tabla 6-4. El modelo POMTM se obtuvo en el ejemplo 6-9:
=>
G ( s) =
K = 0,8 %/% τ = 33,8 s t o = 11,2 s
0,8e −11, 2 s 33,8 s + 1
Como se tiene tiempo muerto, se aplica (71) para la síntesis del controlador:
1 1 + 5,6 s Gc ( s ) = 1 + 0,8(τ c + 11,2) 33,8s 1 + τ ´s 33,8
´=
τ
5,6τ c τ c
+ 11,2
Como t o > τ /4, se usa un controlador PID. Si deseamos IAE mínima para perturbación, obtenemos: Haciendo τc = 0
=>
Kc = τ / K( t o + τc ) = 33,8 / (0,8*11,2) = 3,8 %/%
6. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Lámina 62
Modo derivativo para procesos con tiempo muerto. Ejemplo 6-14
Si deseamos IAE mínima para entrada del punto de control, obtenemos: τc =
(1/5) t o = (1/5)*11,2 = 2,24 s
Kc = τ / K(t o + τc ) = 33,8 / [0,8*(11,2 + 2,24)] = 3,1 %/% Para un sobrepaso del 5 % en la entrada del punto de control, de (76):
K c =
0,5 τ
0,5 33,8 = = 1,9 % / % K t 0 0,8 11,2
Los tiempos de derivación e integración para los casos anteriores son (Tabla 6-5): τ I = τ = 33,8 s = 0,81 min
τ D = t o / 2 = 5,6 s = 0,071 min
Los parámetros para IAE mínima para entradas del punto de control, según la Tabla 6-4 (para un PID) son: Kc =
a 1 t 0
K
b1
=
1,086 11,2
0,80 33,8
-0,869
= 3,5 % / %
6. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Lámina 63
Modo derivativo para procesos con tiempo muerto . Ejemplo 6-14
τ I
τ D
=
τ
=
a 2 − b2 ( t 0 / )
t 0 = a 3τ
b3
33,8 0,740 − 0,130(11,2 / 33,8)
11,2 = 0,348 * 33,8 * 33,8
= 48,5 s (0,81 min )
0,914
= 4,3 s (0,071 min )
Se observa que los resultados de los distintos métodos son muy parecidos.
Ejemplo 6-15: Un proceso tiene la función de transferencia mostrada abajo. Comparar las respuesta con un controlador PI a un cambio en el punto de control, tipo escalón , con ajuste mediante: a) Razón de asentamiento de 1/4 de Ziegler-Nichols b) IAE mínima c) Síntesis del controlador para un sobrepaso del 5 %
G ( s) =
1,0e −0, 26 s s2 + 4s +1
−0 , 26 s
1,0e Factorizando el ( ) G s = denominador: (3,73s + 1)(0,27 s + 1)
6. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Lámina 64
Modo derivativo para procesos con tiempo muerto . Ejemplo 6-14
Como τ2 << τ1 , podemos aplicar la regla práctica para un modelo POMTM, por lo que: τ ' = τ 1 = 3,73 min t 'o = τ 2 = 0,27 min De donde:
t o = t o
proceso
Los parámetros del modelo POMTM serán:
+ t 'o = 0,26 + t 'o = 0,26 + 0,27 = 0,53 min
τ
K = 1,0
= 3,73 min
t o = 0,53 min
a) Razón de asentamiento de 1/4, Tabla 6-2 para un PI: K c =(0,9 / K)(t o / τ) – 1 = (0,9 / 1,0)(0,53/3,73) – 1 = 6,3 %/% τ1 = 3,33 t o =
3,33*0,53 = 1,76 min
b) IAE mínima para cambios en el punto de control, Tabla 6-4 para un PI :
Kc =
0,758 0,53
1,0 3,73
-0,861
=
4,1 % / %
τ I
=
3,73 1,02 − 0,323(0,53 / 3,73)
= 3,83 min
6. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Lámina 65
Modo derivativo para procesos con tiempo muerto . Ejemplo 6-14
c) Síntesis del controlador con ajuste para sobrepaso del 5 % : De la Ec. (67), para un PI:
I
= τ = 3,73 min
Para un sobrepaso del 5,% , según Martin, hacer τc = t o = 0,53 min Y según (76): K c =
0,5 τ
2.0 Ajuste razón de asentamiento de 1/4
0,5 3,73
= = 3,57 % / % K t 0 1,0 0,53
Para graficar las respuestas del sistema ante cada ajuste, se utiliza un computador (Matlab). La gráfica se muestra a la derecha, según Martin. Nótese que las respuestas IAE mínima y de síntesis, son las mejores.
IAE mínima para cambios en el punto de control
1.0
Síntesis, 5 % de sobrepaso
0
2
4
6
8
10
6. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Lámina 66
Prevención del reajuste excesivo El reajuste excesivo se debe a la acción integral (para error cero), la cual puede saturar la salida del controlador, como se observa en el siguiente ejemplo: m(t) TIC
Tfijo(t)
T(t) Alimen tación
Sobrepaso debido al reajuste
T(t) Tfijo
TT
t
Vapor 20 15 Producto T Condensado
m(t) psig 3
Salida del controlador Abierta
Cerrada
t
6. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Lámina 67
Prevención del reajuste excesivo
Cuando la temperatura del tanque alcanza el punto de control, la salida del controlador vale (En ese instante el error es cero):
m(t ) = m + K c e(t ) +
K c τ I
e(t )dt = 20 psig
La válvula de control no se empieza a cerrar sino cuando la salida del controlador disminuya por debajo de 15 psig. Si el controlador fuera solo proporcional, con una BP de 25 % (Kc = 4), el error mínimo necesario para empezar a cerrar la válvula es de:
m = m + K c e = 15 e=
m − 20 K c
=
15 − 20 4
20 + K c e = 15
= −1,25 psig ( −10,4 % del rango )
Es decir, la temperatura subiría por encima de la referencia hasta un cierto valor, para que empiece a cerrarse la válvula el controlador está excedido.
6. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Lámina 68
Prevención del reajuste excesivo
El problema del reajuste excesivo de evita: • Tener el controlador en manual hasta que se alcance la temp. de referencia. Luego pasarlo a automático. • Limitando la salida del controlador. Formas de limitación: La función de transferencia de un PI es:
M ( s ) = K c 1 +
1 E ( s ) = K c E ( s ) + M I ( s ) τ I s
M I ( s ) =
1 τ I
s
K c E ( s )
Limitando la salida del controlador PI: Esta forma de evitar el gran sobrepaso debido al reajuste excesivo no funciona M(s) se limita a 15, pero MI(s) se satura.
E(s)
R(s)
– C(s)
15
Kc 1 s
τ 1
3 MI(s)
M(s)
(77)
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Lámina 69
Prevención del reajuste excesivo
Limitando la salida de la acción de integración del PI: De (77):
τ I
sM I ( s ) = K c E ( s )
(78)
De las ecuaciones anteriores: M I ( s ) =
y
K c E ( s ) = M ( s ) − M I ( s )
(79)
1 M ( s ) (80) τ I s + 1
Implementado el controlador PI teniendo en cuenta la ecuación anterior: Esta forma si funciona:
E(s)
R(s)
M(s) se limita a 15 y
15
Kc
–
MI(s) también debido al retardo de primer orden.
M(s)
3 C(s)
Se denomina: Conmutador por lotes.
MI(s)
1
Realimentación para ajuste
s +1
τ 1
Cuando el error se hace negativo:
m(t ) = 15 + K c e(t ) < 15
, ya que e(t) < 0
La válvula empieza a cerrarse en forma inmediata