TEMA 6
FLEXIÓN PURA SIMÉTRICA 6.1. Introducción.- 6.2. Flexión Pura y flexi ón no uniforme. Definiciones.- 6.3.Deformaciones.6.4.Tensiones Normales.-6.5. Diseño de vigas.-
6.1.- INTRODUCCIÓN En el tema anterior vimos cómo las cargas al actuar sobre una viga generan acciones internas en forma de esfuerzos cortantes y momentos momentos flectores. En este tema y siguientes estudiaremos estudiaremos las tensiones y las deformaciones relacionadas relac ionadas con esos esfuerzos cortantes y momentos flectores. De esta forma, estaremos en disposición dis posición de abordar los problemas de diseño y comprobación de las vigas sometidas a flexión. El efecto de la aplicación de un sistema de cargas sobre una viga se traduce en que esta se flexiona de forma que su eje longitudinal, inicialmente recto, adopta una forma curva llamada curva de deflexión o curva elástica.
P A y
B v
B x
A
Figura 6.1. Curva de deflexión
Como sistema de referencia adoptamos unos unos ejes coordenados (Figura 6.1), con el origen localizado en un punto sobre el eje longitudinal de la viga, el eje x positivo x positivo se dirige hacia la derecha y el eje y eje y positivo, positivo, hacia arriba. El eje z eje z se se orienta de manera que los tres ejes forman un sistema coordenado dextrógiro.
Resistencia de Materiales
Suponemos que las vigas son simétricas respecto al plano xy, lo que significa que el eje y es un eje de simetría de la sección transversal; además, todas las cargas actúan en el plano xy, y por tanto la deflexión ocurre en este mismo plano, conocido como plano de flexión. La deflexión (v) de cualquier punto de la viga a lo largo de su eje es el desplazamiento de ese punto desde su posición original, medido en la dirección y.
6.2.-
FLEXIÓN PURA SIMÉTRICA Y FLEXIÓN NO UNIFORME
Al abordar el análisis de vigas es frecuente distinguir entre flexión pura y flexión no uniforme. Cuando en una sección recta de una viga la resultante de las fuerza s situadas a un lado de la sección es nula y el momento resultante se encuentra contenido en la sección, se dice que la viga está sometida a flexión pura. Dicha flexión se considerará simétrica si la componente del momento se encuentra contenida en uno de los ejes principales de inercia de la sección.
y
y
Vy
V
Mf
R N
My M
x
Vz
Mz
z
Mx
x
z Figura 6.2. Análisis de la flexión
La flexión pura se refiere a la flexión de una viga bajo un momento flector constante, por tanto ocurre sólo en regiones donde el esfuerzo cortante es cero (C= dM/dx). Por el contrario, la flexión no uniforme se refiere a flexión en presencia de esfuerzos cortantes , lo que significa que el momento varía a lo largo del eje longitudinal de la viga. Otros tipos de flexión que no cumplen las condiciones anteriores y que se estudiaran en los próximos temas son:
Flexión esviada, desviada o asimétrica: Momento con dos componentes en los ejes y, z locales y principales de inercia de la sección.
M f M z k M y j
Flexión compuesta: Combinación de esfuerzo axil y flector.
M f N
Flexión simple: Combinación de esfuerzo axil, cortante y flector.
M f N V
126
Flexión alabeada: Combinación con momento torsor.
Tema 6
Flexión Pura Simétrica
Como ejemplos de flexión pura, consideremos una viga simplemente apoyada cargada con dos pares M 1 que tienen la misma magnitud, pero actúan en direcciones opuestas (Figura 6.3.a.). Estas cargas producen un momento flector constante M = M 1 , a todo lo largo de la viga, siendo nulo el esfuerzo contarte. En la figura 6.3.b. se muestra otro ejemplo de flexión pura, en ella la viga en voladizo está sometida a un par horario M 2 en el extremo libre. En esta viga no existe esfuerzo cortante y el momento flector es constante en toda su longitud ( M = - M 2). En las figuras 6.3.c, d. se muestran ejemplos de vigas cuyos estados de carga originan valores no nulos de esfuerzos cortantes y axiles dando lugar a solicitaciones de flexión no uniforme.
M1
M1 A
M2
B
A
B
M1
M2
a)
b)
A
B
A
P
B
F
P
FL PL F
P
P
c)
d)
Figura 6.3. a) y b) Vigas en flexión pura, c) y d) Vigas en flexión no uniforme.
127
Resistencia de Materiales
La viga simple de la figura 6.4 es un ejemplo de una viga que está parcial mente en flexión pura, en flexión no uniforme. La región central de la viga está en flexión pura al ser el esfuerzo cortante cero y el momento flector constante. Las partes de la viga cercana a los extremos se encuentran en flexión no uniforme porque están presentes esfuerzos cortantes y axiles y los momentos flectores varían. P
P
a
a F B
A
P -P
Pa
F Mf =cte Mf +V+N
Mf +V
Figura 6.4. Viga simple con su región central en flexión pura y sus regiones extremas en flexión no uniforme.
6.3.-
DEFORMACIONES
Cuando se aplican cargas a una viga, el eje longitudinal adopta la forma de una curva. Las deformaciones y las tensiones resultantes en la viga se relacionan directamente con la curvatura de la curva de deflexión o curva elástica. Consideremos de nuevo una viga en voladizo sometida a una carga P que actúa en su extremo libre (Figura 6.5). Para el análisis identificaremos dos puntos m1 y m2 , sobre la curva de deflexión. El punto m1 se selecciona a una distancia arbitraria x del origen de coordenadas y el punto m2 se localiza infinitamente próximo a una pequeña distancia ds medida a lo largo de la curva. En cada uno de estos puntos dibujamos una línea perpendicular a la tangente a la curva de deflexión; es decir, perpendicular a la misma curva. Estas líneas, llamadas radios de curvatura se cortan en el punto O´ , que es el centro de curvatura de la curva de deflexión.
128
Tema 6
Flexión Pura Simétrica
La curvatura se define como la inversa del radio de curvatura. Es decir:
1
(6.1) P
A B
y d m2 m1
B x
A
ds dx
x
Figura 6.5. Curvatura de una viga flexionada
La curvatura nos da una medida de la agudeza de la deformación de una viga. Si la carga que actúa sobre la viga es pequeña, ésta permanecerá casi recta, el radio de curvatura será muy grande y la curvatura muy pequeña. Si la carga se incre menta, aumentará la flexión, el radio de curvatura será más pequeño y la curvatura será mayor. De la geometría del triangulo O´m1 m2 (Figura 6.5), obtenemos:
d ds
(a)
en donde d (medido en radianes) es el ángulo infinitesimal entre las perpendicula res y ds es la distancia medida a lo largo de la curva de deflexión entre los puntos m1 y m2. Combinando la ecuación (a) con la (6.1) obtenemos:
1
d
ds
(6.2)
Si la curvatura es constante (al ser M f = Cte.), el radio de curvatura también será constante y la curva de deflexión será un arco de circunferencia. Las deflexiones de una viga suelen ser muy pequeñas comparadas con su longitud, lo que significa que las curvas de deflexión son casi planas. En consecuenci a, la distancia ds a lo largo 129
Resistencia de Materiales
de la curva puede considerarse igual a su proyección horizontal dx. En estas condiciones especiales, la ecuación para la curvatura es:
1
d
dx
(6.3)
Más adelante, en el estudio de las tensiones normales en vigas veremos que la curvatura en un punto particular sobre el eje de una viga depende del momento flector en dicho punto y de las propiedades mecánicas de la viga; forma de la sección transversal de la viga y tipo de material, por tanto, si la viga es prismática y el material es homogéneo, la curvatura variará sólo con el momento flector. En consecuencia una viga sometida a flexión pura tendrá curvatura constante y una viga sometida a flexión no uniforme, curvatura variable. El criterio de signos para la curvatura depende de la orientación de los ejes coordenados. Si el eje x es positivo hacia la derecha y el eje y es positivo hacia arriba, como se muestra en la figura 6. 6, la curvatura es positiva cuando la viga se flexiona con su concavidad hacia arriba y el centro de curvatura queda arriba de la viga. Por el contrario, la curvatura es negati va cuando la viga se flexiona con su concavidad hacia abajo y el centro de curvatura queda debajo de la viga.
+
-
Curva positiva
Curva negativa x
x
Figura 6.6. Criterio de signos para la curvatura de una viga flexionada
Deformaciones unitarias longitudinales.
Las deformaciones longitudinales unitarias pueden encontrarse en una viga analizando su curvatura y las deformaciones asociadas. Para ello, consideremos la porción AB de una viga sometida a flexión pura con momentos flectores positivos M (Figura 6.6a). Suponemos que la viga de eje longitudinal recto tiene una sección transversal simétrica respecto el eje y como se muestra en la figura 6.6b. Debido a la acción de los momentos flectores, la viga se flexiona en el plano xy (plano de flexión) y su eje longitudinal deformado toma una forma circ ular (curva ss en la figura 6.6c). La flexión se produce con la concavidad hacia arriba, lo que corresponde a una curvatura positiva. Las secciones transversales de la viga, como las secciones mm y pq permanecen planas y normales al eje longitudinal después de la deformación (hipótesis de Navier – Bernoulli) (1). (1) El hecho de que las secciones transversales de una viga sometida a flexión pura permanezcan planas es tan fundamental para la teoría de vigas que a menudo se considera como una hipótesis; sin embargo, podríamos llamarlo también un teorema, porque puede demostrarse de manera rigurosa basados en la simetría de la viga y su carga que implica que todos los elementos de la viga (como el elemento mnpq) deben deformarse de manera idéntica, lo que es posible sólo si las secciones transversales permanecen planas durante la flexión.
130
Tema 6
Flexión Pura Simétrica
Debido a las deformaciones las secciones transversales mm y pq giran respecto de sí mismas sobre ejes perpendiculares al plano de flexión ( xy). Las fibras longitudinales situadas en la parte convexa (inferior) de la viga se alargan, mientras que las de la parte cóncava (superior) se acortan. De esta forma, la parte inferior de la viga está traccionada y la parte superior comprimida. En alguna zona entre la parte superior e inferior de la viga existe una superficie en la que las fibras longitudinales no cambian de longitud. Esta superficie, indicada por la línea de trazo discontinuo ss, se llama superficie neutra de la viga. Su intersección con cualquier plano transversal se llama eje neutro de la sección transversal, (el eje z es el eje neutro de la sección transversal en la figura 6.6b. Los planos que contienen las secciones transversales mm y pq en la viga deformada (Figura 6.7c) se interceptan en una línea que pasa por el centro de curvatura O’ . El ángulo entre esos dos planos se denota con d y la distancia de O’ a la superficie neutra ss es el radio de curvatura . La distancia inicial dx entre los dos planos (Figura 6.6a ) no cambia en la superficie neutra (Figura 6.6c), por lo que;
d dx
Sin embargo, el resto de las fibras longitudinales entre los dos planos se alargan o se acortan, con lo que se generaran deformaciones unitarias longitudinales x. Para evaluar estas deformaciones, consideremos una fibra característica ef de longitud dx situada a una distancia y de la superficie neutra en la viga inicialmente recta. Estamos suponiendo ahora que el eje x se encuentra a lo largo de la superficie neutra de la viga no deformada. Por supuesto, cuando la viga se flexiona, la superficie neutra se mueve con la viga, pero el eje x permanece fijo en su posición. Sin embargo, la línea longitudinal ef en la viga deformada permanece a la misma distancia y de la superficie neutra. La longitud L1 de la línea ef después de la deformación es:
L1 y d haciendo d
dx
y
dx dx
El alargamiento sufrido por la fibra ef será:
l L1 dx y
dx
La deformación longitudinal unitaria correspondiente es igual al alargamiento dividido entre la longitud inicial: L dx y x 1 y dx
(6.4)
La ecuación anterior, conocida como Ley de Navier , muestra que las deformaciones longitudinales en la viga son proporcionales a la curvatura y varían linealmente con la distancia y a la superficie neutra. Cuando la fibra está arriba de la superficie neutra, la distancia y es positiva, entonces x será una deformación negativa y representará un acortamiento. Por el contrario, si la 131
Resistencia de Materiales
fibra está por debajo de la superficie neutra, la distancia y será negativa y la deformación x será positiva y representará un alargamiento. y
y A
M
m
p
e
f
M
y
dx
s
O
B
n
s
x
z
O
q (b)
(a)
O´
d B
A p
m
M
M
s
s
f
e dx
n
y
(c)
q
Figura 6.7. Deformaciones de una viga sometida a flexión pura
La expresión de la ley de Navier se obtuvo sólo a partir de la geometría de la viga deformada, las propiedades del material no entraron en la deducción. Así pues, las deformaciones en una viga sometida a flexión pura varían linealmente con la distancia desde la superficie neutra, sin importar la forma de la curva tensión-deformación del material. Deformaciones unitarias transversales.
Las deformaciones unitarias longitudinales ( x ) van acompañadas por deformaciones unitarias transversales ( y , z ), es decir, deformaciones lineales en las direcciones y y z , debido a los efectos del coeficiente de Poisson ( ). Sin embargo, no dan lugar a tensiones transversales porque las vigas tienen libertad para deformarse en sentido lateral. Esta condición de tensión es análoga a la de una barra prismática sometida a esfuerzo longitudinal de tracción o compresión y, por tanto, los elementos longitudinales en una viga sometida a flexión pura están en un estado de tensión uniaxial. z x
132
y
Tema 6
Flexión Pura Simétrica
Las deformaciones transversales provocan que el ancho de la sección transversal disminuya por debajo del eje z y aumenta arriba. La forma alterada de una viga rectangular sometida a flexión pura se muestran en la figura. La curvatura en el plano xy es positiva y en el plano yz es negativa, es decir, de signos opuestos, apareciendo superficies del tipo “silla de montar”.
Figura 6.8. Deformación total de una r ebanada de viga de sección rectangular sometida a flexión pura 6.4.-
TENSIONES NORMALES
Como los elementos longitudinales de una viga están sometidos sólo a tracción o compresión, podemos hacer uso ahora de la curva tensión-deformación del material para determinar las tensiones a partir de las deformaciones. La relación tensión-deformación para un material en comportamiento elástico lineal es la ley de Hooke:
x
E x
Ey
Eky
(6.5)
Esta ecuación muestra que las tensiones normales que actúan sobre la sección transversal varían linealmente con la distancia y desde la superficie neutra. Esta distribución de la tensión se representa en al figura 6.9 para el caso en el que el momento flector M es positivo y la viga se flexiona con curvatura positiva. En este caso, las tensiones x son negativas (de compresión) arriba de la superficie neutra, y positivas (de tracción) debajo de ella. Para que la ecuación (6.5) sea de valor práctico, debemos localizar el origen de coordenadas de manera que podamos determinar la distancia y; es decir, debemos ubicar el eje neutro de la sección transversal. También necesitamos obtener una relación entre la curvatura y el momento flector, de manera que podamos sustituirla en la ecuación y obtener una ecuación que relacione las tensiones con el momento flector. Estor dos objetivos se alcanzan determinando la resultante de las tensiones x que actúan sobre la sección transversal. 133
Resistencia de Materiales
En general, la resultante de las tensiones normales consta de dos componentes: 1) Una fuerza que actúa en la dirección x, y 2) un par de flexión que actúa alrededor del eje z ; sin embargo, la fuerza axial es cero cuando una viga está sometida a flexión pura. Así pues, podemos escribir las siguientes ecuaciones de equilibrio considerando un elemento de área dA en la sección transversal, localizado a una distancia y del eje neutro (figura 6.9): y y dA x
c1 y
M z x
O
O
C2
Figura 6.9. Tensiones normales en una viga de material elástico lineal.
1) La fuerza resultante en la dirección x es igual a cero: E x dA y dA Ek y dA 0
A
A
A
Como la curvatura k y el módulo de elasticidad E son constantes diferentes de cero, no intervienen en la integración sobre el área de la sección transversal. Por tanto, podemos eliminarlas de la ecuación y obtenemos
y dA 0 A
Esta ecuación establece que el momento estático del área de la sección transversal, evaluado con respecto al eje z , es cero, en otras palabras, el eje z debe pasar por el centro de gravedad de la sección transversal. Puesto que el eje z también es el eje neutro, llegamos a la siguiente conclusión: el eje neutro pasa por el centroide del área de la sección transversal cuando el material obedece la ley de Hooke y no hay fuerza axial actuando sobre la sección transversal. 2) El momento resultante de las tensiones normales transversal es igual al momento flector M : M
A
x y dA
E
y A
2
x
que actúan sobre la sección
dA kE y 2 dA A
La integral del último término de la ecuación es el momento de inercia I del área de la sección transversal con respecto al eje z , es decir con respecto al eje neutro. Podemos rescribir la ecuación: 1 M M k E I k (6.6.) EI
134
Tema 6
Flexión Pura Simétrica
Esta expresión, conocida como la ecuación momento-curvatura muestra que la curvatura es directamente proporcional al momento flector M e inversamente proporcional a la cantidad EI , que se conoce como rigidez por flexión de la viga. La rigidez por flexión es una medida de la resistencia de la viga a la flexión, de forma que, cuanto mayor es la rigidez, menor es la curvatura para un momento flector dado. Una vez localizado el eje neutro y obtenido la relación momento-curvatura, podemos determinar las tensiones en función del momento flector. Sustituyendo la expresión para la curvatura (Ec. 6.6) en la expresión para la tensión (Ec. 6.5), obtenemos
x
M y
I
Esta ecuación, llamada fórmula de la flexión, muestra que las tensiones son directamente proporcionales al momento flector M e inversamente proporcionales al momento de inercia I de la sección transversal. Además, las tensiones varían linealmente con la distancia y desde el eje neutro. Si el momento flector en la viga es positivo, las tensiones de flexión serán positivas (de tracción) sobre la parte de la sección transversal donde y es negativa, es decir sobre la parte inferior de la viga y negativas en la parte superior. Si el momento flector es negativo, las tensiones se invertirán. Esas relaciones se ilustran en la figura 6.10.
+M
-M
Figura 6.10. distribución de tensiones normales
Las tensiones de flexión máximas de tracción y de compresión que actúan en cualquier sección transversal ocurren en puntos localizados a la mayor distancia del eje neutro. Si denotamos con y s e yi a las distancias desde el eje neutro a las fibras más alejadas en las direcciones y positiva y negativa respectivamente, las tensiones normales máximas correspondientes 1 y 2 son
1
M y s
I
M
W s
2
M yi I
M
W i
Las cantidades W s y W i se conocen como módulos resistentes de la sección transversal. La ventaja de expresar las tensiones máximas en función de los módulos resistentes surge del hecho de que cada modulo resistente combina las propiedades importantes de l a sección transversal de 135
Resistencia de Materiales
la viga en una sola cantidad. Esta cantidad se puede tabular en los manuales como una propiedad de la viga. Si la sección transversal de una viga es simétrica con respecto al eje z así como con respecto al eje y (sección transversal doblemente simétrica), entonces y s = yi = y, siendo entonces las tensiones máximas de tracción y compresión iguales en valor absoluto y el módulo resistente único. Para una sección transversal rectangular con ancho b y altura h el momento de inercia y el módulo resistente son I
b h3 12
W
b h2 6
Para una sección circular de diámetro d , estas propiedades son I
d 4
64
W
d 3
32
El análisis realizado en este tema es para flexión pura de vigas prismáticas compuestas de materiales elásticos con comportamiento lineal. Si la viga está sometida a flexión no uniforme, los esfuerzos cortantes producen alabeo (distorsión fuera del plano) en las secciones transversales. Entonces no se cumple la hipótesis de Navier-Bernoulli, pues una sección transversal plana antes de la deformación deja de serlo. El alabeo debido a las deformaciones tangenciales complica el comportamiento de la viga de manera considerable, sin embargo, la experiencia demuestra que la presencia de las tensiones tangenciales y el alabeo asociado no alteran significativamente las tensiones normales calculadas con la fórmula de la flexión. 6.5.-
DISEÑO A FLEXIÓN
El proceso de diseñar una viga requiere la consideración de muchos factores, entre ellos el tipo de estructura, los materiales a utilizar, las cargas a soportar, las condiciones ambientales y el coste. Sin embargo, desde el punto de vista resistente, la tarea se reduce a selecci onar una forma y tamaño de viga tales que las tensiones que se generan no superen las tensiones admisibles del material. Considerando sólo las tensiones debidas al momento flector, el diseño de una viga se realiza calculando el módulo resistente de sección requerido; por ejemplo, si la viga es de sección doblemente simétrica y el material se comporte de igual forma a tracción que a compresión, podemos calcular el módulo requerido dividiendo el momento flector máximo entre la tensión admisible del material. max
M max W
adm
W
M max
(6.7)
adm
Para garantizar que no se rebase esta tensión debemos escoger una viga que proporcione un módulo resistente por lo menos tan grande como el obtenido con la ecuación (6.7).
136
Tema 6
Flexión Pura Simétrica
Si la sección transversal no es doblemente simétrica, o si las tensiones admisibles son diferentes a tracción y a compresión, hay que determinar dos módulos resistentes uno basado en tracción y otro en compresión. Para minimizar el peso y ahorrar material, debemos escoger una viga que tenga la menor área transversal y que proporcione los módulos resistentes requeridos. La viga más eficiente es aquella en la que el material se l ocaliza tan lejos como sea posible del eje neutro. Cuanto más lejos esté una cantidad dada de material del eje neutro, mayor resulta el módulo resistente y cuanto mayor es el módulo resistente mayor es el momento flector que puede resistir. Como ilustración, consideramos una sección transversal de forma rectangular de base b y altura h (Fig. 6.11). El módulo resistente de la sección es
I
1 12
ymax
h
bh h
3
W
bh
2
A h
6
6
0,167 A h
2
b
Figura 6.11
Esta ecuación muestra que la eficiencia de una sección transversal rectangular de área dada aumenta conforme se incrementa la altura h (y el ancho b se reduce para mantener el área constante). Por supuesto, existe un límite práctic o para el incremento de la altura, porque la viga se vuelve lateralmente inestable cuando la relación entre la altura y la anchura resulta muy grande. Una viga muy esbelta fallará debido al pandeo lateral, no por falta de resistencia del material. A continuación comparemos una sección transversal circular de diámetro d (Fig. 6.12) con una sección transversal cuadrada con la misma área. El módulo resistente del círculo es
W c
d 3
32
1 d 2
1 d A d 0,125 A d 8 4 8
El lado a de un cuadrado con la misma área que el círculo es
Ac
Acd
d 2
4
a2
a d
2
137
Resistencia de Materiales
a
a
d
Figura 6.12
El modulo resistente del cuadrado es
W cd
1
a
6
3
1 6
A a
1
A d
6
2
0,147 A d
de donde obtenemos W cd W c
1,18
Este resultado muestra que una viga de sección transversal cuadrada resiste mejor la flexión que una viga circular con la misma área. La razón estriba en que en un círculo existe una cantidad relativamente mayor de material cerca del eje neutro. La forma ideal de la sección transversal para una viga de áre a A dada y altura h se obtendría colocando la mitad del área a una distancia h/2 arriba del eje neutro y la otra mitad a una distancia h/2 abajo del eje neutro (Fig. 6.13). Para esta forma ideal obtenemos A/2 2
A h A h I 2 4 2 2 h
W
I h
2
2
0,5 A h
A/2 Figura 6.13
Estos límites teóricos son aproximados, en la práctica por medio de secciones doble T y secciones I, que tienen la mayor parte del material en las alas se consiguen módulos aproximados W
138
0.35 A h
