INSTITUTO PROVINCIAL DE ADULTOS
Departamento de Matemáticas
EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS
Ejercicio nº 1.- Calcula 1.- Calcula los valores de a y b para que f ( f (x ) sea continua y derivable en R: 2 x 2 f (x ) = 2 bx
+ ax
si
x ≤ 1
+ 2 x − 1
si
x > 1
Solución: •
Continuidad: - Si x ≠ 1: f ( f (x ) es continua, pues está formada por funciones continuas. - En x = x = 1: lím f (x ) = lím (2 x 2
)
2 + a lím f (x ) = lím (bx 2 + 2 x − 1) = b + 1 x →1 x →1 f (1) = 2 + a x →1−
x →1−
+
+
+ ax =
Para que sea continua, ha de ser 2 + a = a = b + b + 1, es decir: a = a = b – b – 1 •
Derivabilidad: - Si x ≠ 1: f ( f (x ) es derivable, y su derivada es: es: 4 x + a f ' (x ) = 2bx + 2
si
x < 1
si
x > 1
- En x = x = 1: Para que sea derivable, debe ser: ser: f ' (1− ) = 4 + a 4 + a = 2b + 2 f ' (1+ ) = 2b + 2 •
→
a = 2b − 2
Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que: a = b − 1
b − 1 = 2b − 2
a = 2b − 2
→
b = 1
→
a = 0
1
Ejercicio nº 2.- Halla la derivada de las funciones:
(
)
a) y = x − x e x
b) y =
x 2 − 1 3 x 3 + 2
Solución:
a) y ' = 1 −
b) y ' =
1
x 1 e x + x − x e x = 1 − + x − x e 2 x 2 x
2 x (3 x 3
(
)
2) − ( x 2 − 1) · 9 x 2 ( 3 x 3 + 2 ) 2 +
=
6 x 4
4 x − 9 x 4 + 9 x 2 (3 x 3 + 2) 2
+
=
−
3 x 4 + 9 x 2 + 4 x (3 x 3 + 2 ) 2
Ejercicio nº 3.- Halla la derivada de estas funciones: a) y = (3 x 2
4)
−
2 x b) y = ln 3 x + 1
5
Solución: a) y ' = 5 (3 x 2 b) y ' =
=
4 ) 6 x = 30 x (3 x 2 4
−
1 2 (3 x + 1) − 2 x · 3 · 2 x (3 x + 1) 2 3 x + 1 1 x (3 x + 1)
=
=
−4
)4
(3 x + 1) 6 x + 2 − 6 x (3 x + 1) · 2 · = 2 x (3 x + 1) 2 2 x (3 x + 1) 2
=
1 2
3 x
+
x
Ejercicio nº 4.- Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x ) = 4x 3 – 2x + 1 que son paralelas a la recta y = 10x + 2. Solución: •
Si son paralelas a la recta y = 10x + 2, tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser: f '(x ) = 10 f ' (x ) = 12 x 2
•
−
2 = 10
→
12 x 2
= 12
→
x 2
=1
→
x = −1 x = 1
Ordenadas en los puntos: f (–1) = –1; f (1) = 3
•
Ecuaciones de las rectas tangentes: - En x = –1 - En x = 1
→ →
y = –1 + 10 (x + 1) y = 3 + 10 (x – 1)
→
→
y = 10x + 9
y = 10x – 7
2
Ejercicio nº 5.- Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: f (x ) = (x –2)2 (x + 1) Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa. Solución: •
Derivada: f '(x ) = 2 (x – 2) (x + 1) + (x – 2)2 = (x – 2) [2 (x + 1) + x – 2] = = (x – 2) (2x + 2 + x – 2) = 3x (x – 2) = 3x 2 – 6x f ' (x ) = 0
•
→
3 x (x − 2) = 0
→
x = 0 x = 2
Signo de f '(x ):
f (x ) es creciente en (– ∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 2). Tiene un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0). •
Segunda derivada: f ''(x ) = 6x – 6 f ''(x ) = 0 •
→
6x – 6 = 0
→
x = 1
Signo de f ''(x ):
f (x ) es convexa en (– ∞, 1); es cócava en (1, +∞). Tiene un punto de inflexión en (1, 2).
Ejercicio nº 6.- La función f (x ) está definida por: 2 x si x < 0 2 f (x ) = x + x + 1 si 0 ≤ x < 2 5 si x ≥ 2
Estudia su continuidad y su derivabilidad. Solución: •
Continuidad: - Si x ≠ 0 y x ≠ 2
→
f (x ) es continua, pues está formada por funciones continuas.
3
- En x = 0: lím (x 2 + x + 1) = 1 f (x ) es continua en x = 0. x →0
lím f (x ) = lím 2 x = 1
x →0 −
x →0 −
lím f (x ) =
x →0 +
f (0 ) = 1
+
- En x = 2: lím f (x ) = lím (x 2
x →2 −
lím f (x ) =
x →2 +
•
x + 1) = 7 f (x ) no es continua en x = 2. lím 5 = 5 x →2 +
x →2 −
+
Derivabilidad: - Si x ≠ 0 y x ≠ 2 2 x ln 2 f (x ) = 2 x + 1 0
→
f (x ) es derivable, y su derivada es:
si
x < 0
si
0 < x < 2
si
x > 2
- En x = 0: Como f '(0 – ) = ln 2 ≠ f '(0+) = 1, f (x ) no es derivable en x = 0. - En x = 2: No es derivable, pues no es continua.
Ejercicio nº 7.- Deriva las siguientes funciones: a) f (x ) =
4 + x x 2 + 1
b) f (x ) = e x cos x + ln x
Solución: 1 a) f ' (x ) =
2 x
2
( x
+ 1) − ( 4 +
( x 2
+ 1)
2
=
− 3 x − 16 x 2
2 x ( x
x 2
x ) · 2 x =
2
+1
−
8 x + 2 x x 1
2 x ( x 2
+ 1)
2
x 2
=
+ 1 − 16 x
2 x ( x 2
x − 4 x 2 + 1)
2
=
x + 1
+ 1)
2
b) f ' (x ) = e x cos x − e x sen x +
1 x
Ejercicio nº 8.- Calcula la derivada de estas funciones: a) f (x ) =
2 x x + 3
b) f (x ) = ln (x 3
)
− 3 x
4
Solución: 1
a) f ' (x ) = 2
b) f ' (x ) =
2 x x + 3 1
x 3
− 3 x
·
2 ( x + 3) − 2 x x + 3 2 x + 6 − 2 x 6 x + 3 · = = 2 2 ( x + 3) ( x + 3) 2 2 x 2 2 x ( x + 3) 2
· (3 x 2
)
−3 =
=
3 x + 3 2 x ( x + 3) 2
3 x 2 − 3 x 3 − 3 x
Ejercicio nº 9.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x ) = 2x 2 – 3x + 1, que es paralela a la recta 2x + 3y – 1 = 0. Solución: • Si es paralela
y ' =
a la recta 2x + 3 y − 1 = 0
y =
−2 x + 1
3
, tendrá la misma pendiente :
−2
3
f ' (x ) = 4 x − 3 = •
→
−2
3
4 x =
→
7 3
→
x =
7 12
Ordenada en el punto: 7 − 5 f = 12 72
•
Ecuación de la recta tangente: y =
−5
−
72
2 7 x − 3 12
→
y =
2 23 x + 3 72
−
Ejercicio nº 10.- Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de inflexión: f (x ) =
x 4 12
−
x 3 9
−
x 2
+1
Solución: •
Derivada: f ' (x ) =
x 3 3
−
x 2 3
−
2 x
5
f ' (x ) = 0
3
→
x
−
2
x 3
− 6 x
x = 0 x (x − x − 6 ) =0 3 x 2 − x − 6 = 0 2
=
→
x =
1 ± 1 + 24 2
x = 0 x = 3 •
Signo de f' (x ):
f (x ) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (0, 3); es creciente en (−2, 0) ∪ (3, +∞). Tiene − 7 − 17 un mínimo en − 2, y otro en 3, . Tiene un máximo en (0, 1). 9 4 •
•
Segunda derivada: 2 x −2 3
f ' ' (x ) = x 2
−
f ' ' (x ) = 0
→
3 x 2
− 2 x − 6 =
0
→
x =
2 ± 4 + 72 6
=
2 ± 76 x ≈ −1,12 6 x ≈ 1,79
Signo de f '' (x ):
f (x ) es decreciente en (−∞; −1,12) ∪ (1,79; dos puntos de inflexión:
+∞);
es convexa en (−1,12; 1,79). Tiene
(−1,12; 0,03) y (1,79, −1,99)
Ejercicio nº 11.- Dada la función: 2 f (x ) = x − 2 x 2 − 2 x − 6
si
x < 0
si
0 ≤ x < 4
si
x ≥ 4
estudia su continuidad y su derivabilidad.
Solución: •
Continuidad: - Si x ≠ 0 y x ≠ 4: f (x ) es continua, pues está formada por funciones continuas. - En x = 0:
6
lím f (x ) = lím 2 = 2
f (x ) no es continua en x = 0. lím f (x ) = lím (x − 2) = −2 x →0 x →0 x →0 −
x →0 −
+
+
- En x = 4: lím f (x ) = lím (x − 2) = 2
lím f (x ) = lím (x 2 − 2 x − 6) = 2 f (x ) es continua en x = 4. x →4 x →4 f (4 ) = 2 •
x →4 −
x →4 −
+
+
Derivabilidad: - Si x ≠ 0 y x ≠ 4: f (x ) es derivable, y su derivada es: 0 f ' (x ) = 1 2 x − 2
si
x < 0
si
0 < x < 4
si
x > 4
- En x = 0: No es derivable, pues no es continua. - En x = 4: Como f '(4 – ) = 1 ≠ f '(4+) = 6, f (x ) no es derivable en x = 4.
Ejercicio nº 12.- Halla la derivada de:
(
)
a) f (x ) = 5 x − 3 e x
b) f (x ) =
2 x ( x + 1) x 2 − 2
Solución: 5 x + 5 x − 3 e e x + 5 x − 3 e x = 2 x 2 x 5
a) f ' (x ) =
b) f (x ) =
2 x 2 x 2
f ' (x ) =
(
+ 2 x −2
( 4 x + 2) ( x 2
2
=
)
− 2 x − 8 x − 2
( x
− 2)
2) − ( 2 x 2 ( x 2 − 2) 2 −
+
2 x ) · 2 x
=
4 x 3
− 8 x +
2 x 2 − 4 − 4 x 3 ( x 2 − 2) 2
−
4 x 2
=
4
2
Ejercicio nº 13.- Deriva estas funciones: a) y = sen 2 (x 2
−3
)
b) y =
4 x (3 x + 1) 2
7
Solución: a) y ' = 2 sen (x 2 – 3) cos (x 2 – 3) · 2x = 4x sen (x 2 – 3) cos (x 2 – 3) b) y ' =
4 (3 x + 1) 2
−
4 x · 2 (3 x + 1) · 3
(3 x + 1)
4
=
( 3 x + 1) [ 4 (3 x + 1) − 24 x ] ( 3 x + 1)
4
=
12 x + 4 − 24 x ( 3 x + 1)
3
=
− 12 x +
4
(3 x + 1)
3
Ejercicio nº 14.- 2
Dada la función f (x ) = e 3 x −3 , escribe la ecuación de su recta tangente en el punto de abscisa x 0 = –1.
Solución: •
Ordenada en el punto: f (–1) = 1
•
Pendiente de la recta: 2
f ' (x ) = e 3 x −3 · 6 x
f (–1) = –6 •
Ecuación de la recta tangente: y = 1 – 6 (x + 1)
→
y = –6x – 5
Ejercicio nº 15.- Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función: f (x ) =
x 2
− 2 x + 2
x − 1
Solución: •
Dominio = R − {1}
•
Derivada: f ' (x ) =
(2 x − 2 ) (x − 1) − (x 2 − 2 x + 2) 2 x 2 − 2 x − 2 x + 2 − x 2 + 2 x − 2 = (x − 1)2 (x − 1)2
f ' (x ) = 0
•
→
x 2
− 2 x =
0
→
=
x 2
− 2 x
(x − 1)2
x = 0 x (x − 2) = 0 x = 2
Signo de f' (x ).
f (x ) es creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 1) ∪ (1, 2). Tiene un máximo en (0, −2) y un mínimo en (2, 2).
8
Ejercicio nº 16.- Halla los valores de m y n para que la siguiente función sea continua y derivable en R: x 2 f (x ) = 2 x
+ 3 x + m
si
x ≤ −1
− nx
si
x > −1
Solución: •
Continuidad: - Si x ≠ −1: f (x ) es continua, pues está formada por funciones continuas. - En x = −1: lím f (x ) = lím (x 2
m ) = m − 2 lím f (x ) = lím (x 2 − nx ) = n + 1 x → −1 x → −1 f (− 1) = m − 2 x → −1−
x → −1−
+
+
+ 3 x +
Para que sea continua, ha de ser m – 2 = n + 1, es decir: m = n + 3 •
Derivabilidad: - Si x ≠ −1: f (x ) es derivable, y su derivada es: 2 x + 3 si f ' (x ) = 2 x − n si
x < −1 x > −1
- En x = −1: f '(–1 – ) = 1; f '(–1+) = –2 – n Para que sea derivable, ha de ser 1 = –2 – n , es decir: n = –3 •
Uniendo las dos condiciones anteriores: m = n + 3 m = 0 n = −3 n = −3
(En este caso quedaría f (x ) = x 2 + 3x para todo x ).
Ejercicio nº 17.- Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f (x ) = 3 x 2
+
x 2 sen x
b) f ( x ) =
2 x 2 − 3 x e x
Solución: a) f ' (x ) =
2 3
3 x
+
2 x sen x + x 2 cos x
9
b) f ' (x ) =
( 4 x − 3 ) e x − ( 2 x 2 (e x ) 2
− 3 x )
e x
=
e x ( 4 x − 3 − 2 x 2 (e x ) 2
+ 3 x )
=
−
2 x 2
+ 7 x − 3
e x
Ejercicio nº 18.- Obtén la derivada de estas funciones: a) f (x ) = log 2 (3 x 2
−2
)
b) f (x ) = (e x + 3 x 3 )
2
Solución: 1
1 6 x · 6 x = 2 3 x − 2 ln 2 (3 x − 2) ln 2
a) f ' (x ) =
·
2
b) f '(x ) = 2 (e x + 3x 3) · (e x + 9x 2)
Ejercicio nº 19. Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva y =
x − 2 en el punto de corte con el x + 1
eje de absisas. Solución: •
Punto de corte con el eje X : y = 0
•
x − 2 x + 1
→
x − 2 = 0
→
x = 2
→
Punto (2, 0 )
Pendiente de la recta: y ' =
x + 1 − ( x − 2) ( x + 1) 2
y ' (2) = •
→
3 9
=
=
x + 1 − x + 2 ( x + 1) 2
=
3 ( x + 1) 2
1 3
Ecuación de la recta tangente: y =
1 (x − 2) 3
→
y =
1 2 x − 3 3
Ejercicio nº 20.- Considera la función: f (x ) = 2x 3 + 9x 2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos. b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión. Solución: a) f '(x ) = 6x 2 + 18x + 12
10
f '(x ) = 0 x =
•
→
−3±
6 (x 2 + 3x + 2) = 0
9−8 2
=
− 3 ±1
2
→
x = −1 x = −2
Signo de f '(x ):
f (x ) es creciente en (– ∞, –2) ∪ (–1, +∞); es decreciente en (–2, –1). Tiene un máximo en (–2, –3) y un mínimo en (–1, –4). b) f ''(x ) = 12x +18 f ' ' (x ) = 0 •
→
12 x + 18 = 0
→
x =
−18
12
=
−3
2
Signo de f ''(x ):
− 3 − 3 f (x ) es convexa en − ∞, , ; es cóncava en 2 2
+ ∞ .
Tiene un punto de
− 3 − 7 inflexión en , . 2 2
11