RESISTÊNCIA AO ESCOAMENTO ESCOAMENTO UNIFORME
Resistência ao Escoamento
Resultante do atrito entre a água e as superfícies de contato
Profundas discordâncias entre os hidráulicos ”experimentais “e ”experimentais “e os ”hidrodinâmicos ”hidrodinâmicos””
Advento da Mecânica dos Fluidos no início do Século XX
Conceito de camada limite Ludwig Prandtl – Teoria da camada limite, década de 1920
Região afastada do corpo sólido onde o fluido é suposto perfeito (U=cte., μ≈0, esc. irrotacional) Teoria Hidrodinâmica Clássica
Região de pequena espessura, próxima ao corpo sólido, onde a velocidade decresce, tendendo a zero
A esta região dá-se o nome de “Camada Limite”
As perdas entre o fluido e o corpo ocorrem dentro dessa camada; fora dela o escoamento pode ser considerado sem atrito.
Camada Limite
0
subcamada laminar distribuição parabólica da velocidade
0 subcamada
turbulenta distribuição logarítmica da velocidade
Região afastada do corpo sólido onde o fluido é suposto perfeito (U=cte., μ≈0, esc. irrotacional) Teoria Hidrodinâmica Clássica
Região de pequena espessura, próxima ao corpo sólido, onde a velocidade decresce, tendendo a zero
A esta região dá-se o nome de “Camada Limite”
As perdas entre o fluido e o corpo ocorrem dentro dessa camada; fora dela o escoamento pode ser considerado sem atrito.
Camada Limite
0
subcamada laminar distribuição parabólica da velocidade
0 subcamada
turbulenta distribuição logarítmica da velocidade
Rugosidade e tipos de escoamento
liso
ondulado
rugoso
Perfis da superfície do canal com k < Altura característica de rugosidade
k
Rugosidade relativa:
k/Rh
Altura crítica de rugosidade C – Coeficiente de Chézy ~
k c
5C
C 8 g / f
K < K c Escoamento Hidraulicamente Liso
k >k c Escoamento Hidraulicamente Rugoso
g U
Diagrama de Moody Modificado : C versus Re Regiões: Hidráulicamente liso, transição e plenamente rugoso
Tipos de escoamento rugoso
Escoamento com rugosidade isolada: vorticidade inteiramente dissipada no próprio elemento
Escoamento com rugosidade combinada: influência da vorticidade entre elementos distintos
Escoamento quase liso: fluxo passa sobre as cristas dos elementos rugosos
ANÁLISE GLOBAL DA RESISTÊNCIA AO ESCOAMENTO Escoamento uniforme: caso particular do escoamento variado
montante
jusante
x y U
x + Δ x y + (dy/dx) Δ x U + (dU/dx) Δ x
Forças atuantes:
Pressão: F 1 A y
F 2 A y
F 3 A
dy dx
x
Sendo y a altura do centróide da área de fluxo A e o peso específico da água
Peso:
W A xsen sen tg
dz
W A
dx
dz dx
x
Atrito: F f 0 P x 0
: tensão de arraste
Resultante:
F F 1 ( F 2 F 3 ) W F f dy
dz
F A y A y A dx x A dx x 0 P x
dy
F A x
dx
dz 0 P dx
A
Com base na equação da Quantidade de Movimento:
F AU U dx x U
AU U
dU dx
dy
x U A x
dx
dz 0 P dx
A
dy dz P 0 g dx dx dx A
U dU
dy
0 Rh
dx
dz U dU dx
g dx
0 Rh
d z y U dx 2 g
com J
2 d z y U dx 2 g
F Q( U U )
dU
2
0 Rh J
Sendo Rh o raio hidráulico e J a declividade da linha de energia.
2
2
1
1
Com base nos princípios de Análise Dimensional, pode-se escrever: 0 K U 2 K U 2 g
sendo K uma constante adimensional dependente de: - número de Reynolds, rugosidade interna do canal e da geometria 2 Rh J K U g
Fazendo C
g K
U
g
Rh J K
U C Rh J
Coeficiente de Chézy Fórmula de Chézy
U C Rh J (1718 – 1798)
Antoine de Chézy, engenheiro francês, desenvolveu seus estudos em 1768, quando projetava um canal no rio Yvette, próximo à Paris
C =φ(Re, rugosidade, geometria) – similar a “f”
f bastante estudado – condutos padronizados...
C
Diversidade e variabilidade das grandezas envolvidas Dificuldades de pesquisa em canais abertos 8 g f
Relação de “C” e “f” C
Análise para pequenos condutos/canais, com rugosidades reduzidas R0
kV 0
para condutos circulares
R 0 = Reynolds
de arraste
= viscosidade
k=
cinemática
comprimento de rugosidade característico
Rugosidade da superfície do canal V 0
0
gRh J
V 0 = velocidade
de arraste
Escoamento “Liso” : R 0 < 4 C 28 ,6 Re
1
5 (Re < 10 )
8
R 8 g C 4 2 g log e 2 , 51 C Escoamento “em
transição”:
Ábacos ; Colebrook
k 2 ,5 2 log 12 Rh R f 8 g e
C
Escoamento “Rugoso” :
5 (Re> 10 )
12 Rh 2 log 8 g k
C
Nikuradse
ESCOAMENTO UNIFORME Escoamento uniforme: Intensa utilização prática
Facilidade de cálculo Aproximação pertinente em muitas situações práticas
Características
Equilíbrio
entre
as
forças
de
aceleração e de resistência
Constância
dos
parâmetros
hidráulicos no espaço e tempo
Premissas básicas
Canal prismático
Declividade constante
Rugosidade constante Comprimento razoável
Não interferência das extremidades montante e jusante
J
d U 2 z y dx 2 g
dU dx dy dx
0 J
0
dH dx
dz dx
J I
0 Rh I
U C Rh I sendo I a declividade do fundo do canal
Equilíbrio das forças : F 0
Profundidade Normal : y n
Definição do fator de resistência:
Formulações semi-empíricas: Ganguillet, Kutter, Bazin, etc. 1 C Rh n
1/ 6
KRh
1/ 6
1 1 U Rh1/ 6 Rh1/ 2 I 1/ 2 Rh2 / 3 I 1/ 2 n n
Combinando com a Equação da Continuidade: Q
1 n
ARh2 / 3 I 1 / 2
Robert Manning, engenheiro irlandês (1816-1897)
Principal difusor da equação que leva seu nome, apresentada pela primeira vez pelo engenheiro francês Philippe Gauckler em 1867
Á mesma época de Manning, Strickler, na Suiça, difunde na Europa Continental equação similar “Coeficiente de Strickler ” : K = 1/n
Cálculo do escoamento uniforme Aplicação da Fórmula de Manning:
Q
1
n
AR h2/3 I 1/ 2
Verificação do funcionamento – Cálculo direto: Variáveis geométricas (A e R h ) conhecidas cálculo de Q, n, I
Seções definidas geometricamente: tabelas e gráficos
Seções complexas/irregulares: composição de áreas e integração
Exemplo Um canal trapezoidal revestido com grama, com inclinação dos taludes de 1(V):2(H), base de 7,00 m e declividade de 0,06%, apresenta um coeficiente de rugosidade de Manning de 0,025. Determinar a vazão transportada, em regime uniforme, sabendo-se que nesta situação a profundidade normal é 5,00 m Solução: Para utilizar a Fórmula de Manning, são conhecidos n = 0,025 e I = 0,0006 m/m; Com yn = 5,00 m e z = 2, Cálculo das variáveis geométricas: A = y ( b + zy ) = 5,00 x ( 7,00 + 2 x 5,00 ) = 85,00 m2
2 1 / 2
P b 2 y ( 1 z )
Rh
7 2 y( 5 )1 / 2 7 4 ,47 29 ,35 m
85m 2 29 ,35m
2 ,90 m
Assim, pode-se escrever: Q
1 0 ,025
x 85 x ( 2 ,90 ) 2 / 3 x ( 0 ,0006 )1 / 2 170 m 3 / s
Dimensionamento – Cálculo indireto:
Problema de "dimensionamento hidráulico":
Variáveis hidráulicas conhecidas Qn 1 2
I /
cálculo das variáveis geométricas
ARh2 / 3
Curvas auxiliares para determinação das profundidades para canais de seções quaisquer
Gráficos e tabelas auxiliares para seções parametrizáveis
(Q.n)/(I1/2 b8/3) ou (Q.n)/(I1/2D8/3)
Exemplo Um canal trapezoidal, com largura de base de 3m e taludes laterais 1:1, transporta l5 m 3 /s. Pede-se calcular a profundidade de escoamento, sabendo-se que a rugosidade é de 0,0l35 e a declividade é de 0,005 m/m. Solução: Para utilizar o gráfico apresentado acima, calcula-se a seguinte expressão, que é variável de entrada, em abscissa, no gráfico auxiliar: Qn b
8 / 3 1 / 2
I
15 x0 ,0135
3
8 / 3
x0 ,005 1 / 2
0 ,153
Assim, pelo gráfico, com z = 1,0, obtém-se: y / b 0 ,32 y 0 ,32 x3 ,00 m y 0 ,96 m
Exemplo 2/3 Determinar a curva auxiliar de cálculo (y x AR h ) para uma seção do canal do Ribeirão Arrudas, em Belo Horizonte, sabendo-se que a declividade média neste trecho é de 0,0026 m/m, sendo sua rugosidade avaliada em cerca de 0,022. Calcular a capacidade máxima deste e a profundidade de escoamento para uma vazão de 600 m3/s.
Solução: Para y entre 0 e 1,5m 2/3 10 ,50 x0,50 2/3 6 ,60 y 1,0m A 10,50m 2 ; P 21,10m; Rh A/P 10 ,50 /21,10 0,50m; ARh
y 1,5m A 15,75m 2 ; P 21,21m; ARh 2/3 12,92
Para y entre 1,5 e 5,0 m y 2m A 10 ,50 15 ,75 26 ,25m 2 ; P 21 ,21 1 ,00 22 ,21m; ARh 2 / 3 29 ,34 y 3m A 31 ,50 15 ,75 47 ,25m 2 ; P 21 ,21 3 ,00 24 ,21m; ARh 2 / 3 73 ,79 y 4 m A 52 ,50 15 ,75 68 ,25m 2 ; P 21 ,21 5 ,00 26 ,21m; ARh 2 / 3 129 ,17 y 5m A 73 ,50 15 ,75 89 ,25 m 2 ; P 21 ,21 7 ,00 28 ,21m; ARh 2 / 3 192 ,33 y 6 m A 94 ,50 15 ,75 110 ,25m 2 ; P 21 ,21 9 ,00 30 ,21m; ARh 2 / 3 261 ,31 y 6 ,5 m A 105 ,00 15 ,75 120 ,75m 2 ; P 21 ,21 10 ,00 31 ,21m; ARh 2 / 3 297 ,56
Sabe-se que Qn/i 0,5 = ARh2/3. A segunda coluna da tabela auxiliar mostrada a seguir é, portanto, também igual à Qn/i 0,5. Caso se divida os valores da 2ª coluna por (n/i 0,5 ), ter-se-ão os valores de Q mostrados na 3ª coluna. No presente exemplo, n=0,022 e
i=0,0026. Portanto, n/i0,5 = 0,022/0,00260,5 = 0,4315. Desta forma, se os valores da 2ª coluna da tabela-auxiliar forem divididos por 0,4315, ter-se-ão as vazões, em função de y, constituintes do gráfico mostrado a seguir. y 0 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 6,5
ARh 0 6,60 12,92 29,34 73,79 129,17 192,33 261,31 297,36
Q (m /s) 0 15,30 29,95 68,00 171,03 299,38 445,77 605,65 689,20
7,0 6,0 5,0 ) 4,0 m ( y3,0
2,0 1,0 0,0 0
100
200
300
400
500
600
700
800
Q (m3/s)
Assim, a capacidade de vazão máxima do canal é de cerca de 689m 3 /s. O gráfico de y em função de Q mostrado anteriormente permite concluir que o nível de água no canal para a vazão de 600 m3/s é de, aproximadamente, 5,9 m. Neste caso, ter-se-á uma borda livre de 0,60m.
Instabilidade do Escoamento Uniforme
Velocidades e declividades elevadas
formação de “roll waves”
Número de Verdenikov (Chow, 1959):
x U V w U
x :
expoente de Rh (utilizando Manning, x =2/3)
V w:
velocidade absoluta das perturbações
V w-U: celeridade :
das perturbações (C )
fator de forma
1 Rh
dP dA
=
1 para canais largos
=
0 para canais muito estreitos
2 3
F r
< 1 Escoamento uniforme estável 1 Formação de ondas
Exemplo Verificar se haverá formação de ondas num canal retangular, com 5,0 m de largura, declividade longitudinal de 2%, e coeficiente de Manning de 0,013, quando transportar 10m 3 /s.
Solução: Cálculo da profundidade normal Qn b
8 / 3 1 / 2
10 x0 ,013
I
5
8 / 3
x0 ,021 / 2
0 ,013
Assim, pelo gráfico, com z=0, obtém-se y / b 0 ,06 y 0 ,075 x5 ,0 m y 0 ,38 m
U=Q/A=10,0/(5,0.0,38)=5,3 m/s Fr
U gy
5 ,3 9 ,81 0 ,38
2 ,7
Como b é muito maior que y (b/y=13,2), o canal pode ser considerado largo e, portanto, =1
2 3
F r
2 3
1 2 ,7 1 ,8
Como > 1, haverá formação de ondas.
O COEFICIENTE DE RUGOSIDADE DE MANNING Dificuldades para determinação do coeficiente de rugosidade:
Variabilidade de superfícies de atrito
Influência de fatores não-explicitos (turbulência?)
Determinação direta do coeficiente de rugosidade
determinação das cotas de fundo e das características hidráulicas em duas seções (1 e 2) distintas, separadas pela distância x; determinação das velocidades médias de escoamento nas duas seções; aplicação da Equação de Bernoulli entre as duas seções, permitindo a determinação da declividade da linha de energia: 2 2 z y U 1 z y U 2 1 1 2 2 2 g 2 g J x
cálculo de “n” médio pela aplicação da fórmula de Manning utilizando as características médias
entre as duas seções: 2 / 3 1 / 2 Rh J n U
Fixação do coeficiente de rugosidade
Estimativa a partir da granulometria do leito
Leitos planos, sem transporte sólido: 1/ 6 n 0,038d 90
(Meyer-Peter e Muller, 1948)
d 90: diâmetro da peneira (m) com 90% dos grãos passando
Canais revestidos: Henderson (1966) n C m 3,28d 50
1
6
d 50: diâmetro da peneira (m) com 90% passando C m: 0,034 a 0,039
Canais gramados: Kouwen at al.(1969 e 1980) n
Rh
0,3048
1
6
C 19,97 log Rh 0,3048 I 0,4 1, 4
C: Coeficiente relativo ao tipo de grama e altura de corte, variando de 15,8 a 37,7 (Akan, 2006)
Estimativa através de incrementação
Método Cowan
n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4 ) m5
- n0: valor básico para um canal retilíneo, uniforme e com superfícies planas, de acordo com o material associado à superfície de contato; - n1: correspondente às irregularidades, tais como erosões, assoreamentos, saliências e depressões na superfície, etc. - n2: correspondente à freqüência de ocorrência de variações de forma, conforme as possibilidades de causar perturbações no fluxo - n3: correspondente à presença de obstruções, como matacões, troncos, etc. - n4: baseado na influência da vegetação no escoamento, segundo o tipo, densidade e altura da vegetação - m5: baseado no grau de meandrização do curso d’água
Condições do canal n0 Solo Rocha Material envolvido Pedregulho fino Pedregulho graúdo n1 Liso Pequeno Grau de irregularidade Moderado Severo n2 Gradual Variações da seção transversal Alternâncias ocasionais Alternâncias freqüentes n3 Desprezível Pequeno Efeito de obstruções Apreciável Severo n4 Baixa Média Vegetação Alta Muito alta m5 Pequeno Grau de meandrização Apreciável Severo
Valores 0,020 0,025 0,024 0,028 0,000 0,005 0,010 0,020 0,000 0,005 0,010 – 0,015 0,000 0,010 – 0,015 0,020 – 0,030 0,040 – 0,060 0,005 – 0,010 0,010 – 0,025 0,025 – 0,050 0,050 – 0,100 1,000 1,150 1,300
Estimativa do coeficiente de rugosidade através de tabelas Coeficientes de rugosidade para canais artificiais Revestimento Concreto pré-moldado Concreto com acabamento Concreto sem acabamento Concreto projetado Gabiões Espécies vegetais Aço Ferro fundido Aço corrugado Solo sem revestimento Rocha sem revestimento
Rugosidade mínima 0,011 0,013 0,014 0,018 0,022 0,025 0,010 0,011 0,019 0,016 0,025
usual 0,013 0,015 0,017 0,020 0,030 0,035 0,012 0,014 0,022 0,023 0,035
máxima 0,015 0,018 0,020 0,022 0,035 0,070 0,014 0,016 0,028 0,028 0,040
Coeficientes de rugosidade para canais naturais Tipo
Características
Rugosidade mínima
usual
máxima
Canais de pequeno porte em Limpos planície (B < 30 m) Trechos lentos
0,025
0,033
0,045
0,050
0,070
0,080
Canais de pequeno porte em Leito desobstruído montanhas (B < 30 m) Leito com matacões
0,030
0,040
0,050
0,040
0,050
0,070
Seções regulares
0,025
-
0,060
Seções irregulares
0,035
-
0,100
Pastagens
0,025
0,030
0,035
Culturas
0,020
0,040
0,050
Vegetação Densa
0,045
0,070
0,160
Canais de grande porte (B > 30 m) Planícies de inundação
Estimativa através de analogia com canais existentes Identificação do curso d’água em estudo com curso d’água existente, para o qual o coeficiente de
rugosidade foi determinado
uso de coletâneas de fotos com coeficiente de rugosidade medidos (French, Chow, etc.)
http://wwwrcamnl.wr.usgs.gov/sws/fieldmethods/Indirects/nvalues/index.htm
0,018
0,029
0,110
0,018
0,030 0,125
0,035 0,020
0,150
Coeficientes de rugosidade para seções simples com rugosidade variável
- Rugosidade variável ao longo do perímetro molhado - Seção analisada como um todo
Coeficiente de rugosidade global: m 3 / 2 P i ni n i1 P
2 / 3
Exemplo Calcular o coeficiente de rugosidade global para uma canalização com seção transversal constituída parcialmente com gabiões (n = 0,030) e solo com revestimento vegetal (n = 0,040).
Solução: Associado à rugosidade com n=0,030, tem-se a área retangular central, com 11,00 m de largura e 2,00 m de altura. Assim, o perímetro molhado associado é: P 1 = 2,00 m + 11,00 m + 2,00 m = 15,00 m. Associado à rugosidade com n=0,040, tem-se as duas áreas triangulares laterais, com 3,00 m de largura e 1,50 m de altura. Assim, o perímetro molhado é: P 2 = 2 x (3,002 + 1,502 )1/2 = 6,71 m. m 3 / 2 P i ni Resolvendo através da equação n i 1 P
2 / 3
o coeficiente de rugosidade global “n” é:
n = [(0,0303/2 x 15,00 + 0,040 3/2 x 6,71) / (15,00 + 6,71)] 2/3 = 0,033
Coeficiente de rugosidade para seções compostas
- Rugosidade variável ao longo do perímetro molhado - Seções compostas necessidade de subdivisão
Cálculo do Coeficiente de rugosidade equivalente: Metodologia do U.S. Corps of Engineers:
m
n n
i 1
A
i
Ai
- delimitação arbitrária das áreas associadas através de verticais
Exemplo Calcular o coeficiente de rugosidade equivalente para o córrego Ressaca, em Belo Horizonte, cuja seção transversal é mostrada a seguir.
Solução: m
n Com base na equação n
n
i 1
i
Ai
A
0 ,030 x11 ,0 x3 ,5 2 x0 ,040 x3 ,0 x1 ,5 / 2
n = 0,031
11 x 3 ,5 2 x3 ,0 x1 ,5 / 2
tem-se:
Cálculo da vazão através do Fator de Condução: - divisão da seção composta em diversas subseções - cálculo do Fator de Condução para cada subseção: K
A 5/ 3 nP 2 / 3
- vazão associada a cada subseção: Q = K I 1/2
- vazão total: soma das vazões associadas à cada subseção - Cálculo dos coeficientes de Coriolis e Boussinesq:
m Ai i 1
2
m K i 11
3
m
m
K 13
A i 1
2 i
A
i 1
i
m K i 11
m
2
K 12
A i 1
i
Exemplo Sabendo-se que o canal fluvial descrito esquematicamente na figura, apresenta uma declividade de 0,002 m/m, pede-se calcular a vazão transportada, estimando-se o valor da rugosidade equivalente pelo processo do U. S. Corps of Engineers.
Solução: Com base na equação K A1=(10x5)/2 = 25 m2
A 5/ 3 nP 2 / 3
tem-se:
P 1 10 2 5 2 11 ,18m
A2=15x5 = 75 m 2
P 2 15m
A3=(5+10)x5/2 = 37,5 m 2
P 3
A4=20x10= 200,0 m2
P 4 20 ,0 m
K 1
25 5/3 0,035.11,18 2/3 K 2
5 2 5 2 7 ,07 m
K 3
K 4
1219 ,0
7 5 5/3 0,025.15 2/3
8762 ,6
37 ,5 5/3 0,030.7,07 2/3
200 ,0 5/3 0,040.20,0 2/3
3797 ,5
23172 ,3
