Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas Escuela de Ingeniería de Sistemas
ABP 1: Músicos siderales CB 313 – 313 – Física Física Moderna
Profesor:
Cañote Fajardo, Percy Victor
Sección:
U
Alumnos: 20110214J
Guzmán Velásquez, Rayza Milagros
20110031B
Díaz Hernández, JoseEduardo Manuel
20090264G
Lucero Ramos, Jhon Fernando
20072554G
Vega Jimenez, Alex Alonso
28 de Abril de 2014 Lima – Lima – Perú Perú
Tabla de contenido 1.
Músicos siderales ................................................................................................ 3
2.
Marco Teórico...................................................................................................... 4 Postulados de la Teoría de la relatividad general ....................................... 4 Transformaciones de Lorentz ..................................................................... 4 Dilatación del tiempo .................................................................................. 4 Contracción de la longitud .......................................................................... 5 Efecto Doppler relativista ............................................................................ 5
3.
Objetivos ............................................................................................................. 5
4.
Planteamiento de la Paradoja: ............................................................................. 6
5.
Análisis de la Paradoja: ....................................................................................... 7
6.
Hipótesis y conjeturas: ......................................................................................... 7
7.
Supuestos que se te tienen para el problema: ..................................................... 8
8.
Soluciones planteadas ......................................................................................... 9 Solución 1: Usando el Efecto Doppler ........................................................ 9
9.
Referencias ....................................................................................................... 14
1. Músicos siderales Marlon y Rocío son dos hermanos que forman un dúo de músicos muy talentosos que tienen muchas cosas en común, entre otras, haber nacido el mismo día y el mismo año. Existe entre ellos un sentimiento fraternal que les ha permitido alcanzar un buen nivel de comprensión, tanto en el plano familiar como profesional. El día en que ambos cumplen 20 años, Marlon recibe la noticia de haber sido contratado en excelentes condiciones económicas para tocar en una importante banda de rock universal. El detalle del contrato consiste en que el lugar de trabajo está ubicado en un planeta que se encuentra a 8 años luz de la tierra, motivo por el cual se produce una obligada separación entre los dos. Rocío, que además de la música muestra mucho interés por temas referidos a la Física, ha conseguido la información de que la compañía de viajes interestelares “APOCALIPSIS”, que llevará de viaje a Marlon, atravesará el espacio a una velocidad de crucero igual a 0,8c (“c” es la velocidad de la luz en el vacío) y que además el viaje durará 6 años. Esto ha llamado poderosamente la atención de Rocío, pues sus conocimientos de Mecánica Clásica le han permitido calcular que este viaje debería durar 10 años. El carácter inquieto de Rocío le ha llevado a consultar sus predicciones con el personal de vuelo, quienes le han ratificado en todas las formas que el viaje, efectivamente, durará 6 años.
¿Cómo se explica que este viaje emplee menos tiempo de lo que le corresponde?
Al despedirse, Marlon le propone a Rocío enviarse mutuamente señales de luz cuando cumplan años. Si al llegar al lejano planeta Marlon decide emprender el retorno de forma inmediata, el número de señales recibidas por ambos hasta el instante del reencuentro, ¿será exactamente el mismo?
2. Marco Teórico Postulados de la Teoría de la relatividad general 1. Principio especial de relatividad - Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. En otras palabras, no existe un sistema inercial de referencia privilegiado, que se pueda considerar como absoluto. 2. Invariancia de c - La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal, c, que es independiente del movimiento de la fuente de luz.
Transformaciones de Lorentz Las transformaciones de Lorentz fueron introducidas por Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928), que las había introducido fenoménicamente para resolver ciertas inconsistencias entre el electromagnetismo y la mecánica clásica. Establece las siguientes relaciones:
Con
()
√
Dilatación del tiempo En base al experimento mental del vagón que se propuso para demostrar que la simultaneidad no es un concepto absoluto. Se obtuvo una expresión que nos define lo que se conoce como dilatación del tiempo.
El intervalo de tiempo en la ecuación mostrada se denomina tiempo propio. El tiempo propio es denotado por , se define como el intervalo de tiempo entre dos eventos según lo mide un observador que ve los eventos ocurriendo en el mismo punto del espacio. Es decir el tiempo propio siempre es el tiempo medido por un observador que se mueve junto al reloj. Es por ello que es conveniente expresar la ecuación de la siguiente manera:
Contracción de la longitud La longitud de un objeto medido por alguien que se encuentra en un sistema de referencia en movimiento con respecto al objeto siempre es menor que la longitud propia, a este efecto es lo que llamamos contracción de la longitud. Y se expresa de la siguiente manera:
Efecto Doppler relativista En física, el efecto Doppler relativista es el cambio observado en la frecuencia de la luz procedente de una fuente en movimiento relativo con respecto al observador. El efecto Doppler relativista es distinto del efecto Doppler de otro tipo de ondas como el sonido debido a que la velocidad de la luz es constante para cualquier observador independientemente de su estado de movimiento. A su vez, requiere para su explicación el manejo de la teoría de la relatividad especial. El cambio en frecuencia observado cuando se aproxima a la fuente viene dado por la siguiente expresión:
√ √ El cambio en frecuencia observado cuando se aleja de la fuente viene dado por la siguiente expresión:
√ √ 3. Objetivos
Conocer los postulados de la Relatividad Especial de Albert Einstein sobre la indetectabilidad del Movimiento Absoluto Uniforme y la constancia de la Velocidad de la Luz. Comparar las medidas realizadas en diferentes sistemas de referencia inerciales que se mueven con velocidad constante unos respecto de otros.
Evaluar las consecuencias de la aplicación de la Teoría de la Relatividad en la medición de los intervalos de tiempo y de espacio, así como en la frecuencia de la luz cuando la fuente se desplaza con una velocidad comparable al de la propia luz.
4. Planteamiento de la Paradoja: Tomando como sistema de referencia a Rocío en la Tierra, este SRI será estacionario. Entonces para ella, Marlon se aleja con una velocidad de 0.8c, y según lo propuesto en el problema tendrá que recorrer una distancia de 8 años luz al planeta X. Para Rocío: Según la mecánica clásica. t
d
8añosluz
10años
0.8c
v
Tiempo total de viaje = 2.(10)=20 Dado que para Marlon hay otro Sistema de Referencia, el cual es dentro de la nave; entonces, Marlon tendrá un tiempo propio, el cual lo hallamos por dilatación del tiempo:
1
1 0.8c
c
2
5 3
5 3
Tiempo total de viaje = 2.(6)= 12 Entonces dentro del sistema de referencia de Marlon, este asume que no es él quién se está moviendo a una velocidad de 0.8c sino que es Rocío quien lo hace; es decir, que para él la tierra es la quien se mueve a dicha velocidad mientras el permanece en reposo.
Por lo que Marlon hace el siguiente cálculo para hallar el tiempo transcurrido para Rocío mientras llega al planeta X.
√ ()
Tiempo total de viaje = 2.(3.6)=7.2 años. Así que para Marlon habrán transcurrido 12 años y para un observador en la tierra sólo 7.2 años. Según esto Rocío sería 4.8 años más joven que él. Lo que sería contradictorio con los cálculos realizados anteriormente. Es allí donde surge la PARADOJA.
5. Análisis de la Paradoja: La Relatividad Especial nos dice que el tiempo se dilata con la velocidad, de modo que para alguien que viaja a una gran velocidad, el tiempo transcurre más lento que para alguien que esté estacionario. Por lo tanto se espera que cuando estos hermanos, se encuentren en la Tierra, el viajero sea más joven que su hermana; Para ella, habrán pasado 20 años desde que su hermano emprendió el viaje; para su hermano, sólo habrán pasado 6. Esta es una forma muy sencilla de explicar el efecto de la dilatación temporal de la Relatividad Especial. Pero esto es explicado en base a la perspectiva de la hermana que se queda en la tierra, si analizamos desde el punto de vista del hermano. En su sistema de referencia (la nave), sería la Tierra la que se mueve con respecto a él, por lo que sería su hermana (en la Tierra) la que experimentara la dilatación temporal. Al regresar, el viajero esperaría encontrarse a su hermana más joven que él. Es decir, ambos esperan ver a su otro hermano más joven que él o ella mismo. Y lógicamente, esto no puede ocurrir. O tienen la misma edad, o uno es más joven que el otro, pero no puede ser que ambos sean más jóvenes que el otro simultáneamente. Pues bien, eso sí es una paradoja.
6. Hipótesis y conjeturas: La medida del tiempo no es absoluta, y que dados dos observadores el tiempo medido por estos observadores, en general, no coincide sino que la diferente medida de tiempos depende del estado de movimiento relativo entre ellos. Es decir: Si Rocío fuera el observador O y su hermano, que viaja en la nave de “APOCALIPSIS”, el observador O’, entonces los intervalos de tiempo que cada uno experimentará serán diferentes, para Marlon el tiempo pasa más despacio
que para Rocío. Y si Marlon fuera el observador O y su hermana, que está en la tierra, el observador O’, entonces los intervalos de tiempo que cada uno experimentará serán diferentes, para Rocío el tiempo pasa más despacio que para Marlon, esto debido a que, ahora Marlon está estacionario.
7. Supuestos que se te tienen para el problema:
Despreciamos la velocidad de rotación y traslación de la tierra. Despreciamos el efecto de atracción de los planetas y dela tierra hacia la nave. Despreciamos las aceleraciones (al despegar de Tierra y al llegar al planeta).
8. Soluciones planteadas Solución 1: Usando el Efecto Doppler Viaje de ida de Marlon Cuando la Tierra se aleja respecto de Marlon durante sus 6 años de viaje de ida recibe las señales con una frecuencia f, tal que:
Donde
√ √
es la frecuencia con que Rocío manda las señales (una señal al año).
Por lo tanto Marlon recibe una señal cada tres años en su viaje de ida que dura 6 años, entonces en la ida solo recibe dos señales.
Viaje de retorno de Marlon Para Marlon la tierra ahora se acerca por lo que se aplica
Donde
√ √ es la frecuencia con que Rocío manda las señales (una señal al año).
Por lo tanto en su viaje de retorno recibirá tres señales por año, y como el viaje de retorno también dura 6 años, entonces recibirá 18 señales.
Resumiendo Señales recibidas en su viaje de ida Señales recibidas en su viaje de regreso
() ()
TOTAL: 20 señales Estas 20 señales enviadas por Rocío indican que para ella han pasado 20 años.
Espera de Rocío Cuando la nave se aleja respecto de Rocío recibe las señales con una frecuencia f, tal que:
Donde
√ √
es la frecuencia con que Marlon manda las señales (una señal al año)
Por lo tanto Rocío recibe una señal cada tres años
En el décimo año para Rocío, Marlon manda la última señal a tierra (última de su viaje de ida) que dura 8 años en llegar a Rocío. Por lo tanto durante los 18 primeros años de Rocío ella recibe 6 señales de luz.
Luego del décimo año, cuando la nave se acerca se aplica
Donde
√ √ es la frecuencia con que Marlon manda las señales (una señal al año).
Por lo tanto en los dos últimos años recibirá tres señales por año, entonces ella recibirá 6 señales más.
Resumiendo Señales recibidas por Rocío en el viaje de ida de Marlon
() Señales recibidas en su viaje de regreso
()
TOTAL: 12 señales Las 12 señales que llegan a Rocío indican que para Marlon han pasado 12 años.
Solución 2: Análisis Relativístico En el problema, los dos observadores están en distintos sistemas de referencia. Rocío que se encuentra en la tierra, no percibe ni contracción de longitudes ni dilatación del tiempo. Como la nave de Marlon viaja con una velocidad 0.8c (muy cercana a la de la luz), entonces los cálculos de mecánica clásica que usa Rocío nos llevarán a un error notable.
Para el tiempo dilatado se hace uso de la ecuación inversa que hace referencia al tiempo
t
v x
c
t
Para 2 tiempos
v x t t 1 1 2 c v x t t 2 2 2 c
2
Para el caso de un SRI estacionario, es decir no se desplaza y por lo tanto X’ será el mismo, la ecuación quedaría de la siguiente forma
t t t t 1 2 1 2 t t
Usando mecánica clásica
t
d
8añosluz
10años
0.8c
v
1
1 0.8c
c
2
5 3
5 3
El tiempo propio de Marlon usando dilatación del tiempo para un SRI estacionario
La diferencia en años de ida es 4, por lo tanto de ida y de vuelta será 8 años, en donde Rocío envejece más.
Despreciando el arranque, frenado y cambio de dirección de la nave, tomaremos a este como SRI NO estacionario.
Calculando la longitud percibida por Marlon y su tiempo propio
L'
L
8
4.8añosluz L' 4.8añosluz
5/3 t '
L' V
4.8 añosluz 0.8c
6años
Debido a que este es un SRI NO estacionario, no se puede despreciar la posición inicial ni final, por lo tanto, haciendo uso de las ecuaciones directas de Lorentz.
t 1 '
(t 1
t 2 '
(t 2
v c
v c
t '
t
6 5/3
c
v
2
c
x2 )
v
t ' (t t
x1 )
2
2
2
( x2 x1 ))
( x )
0.8c c
2
(8c ) 10
La diferencia en años de ida es 4, por lo tanto de ida y de vuelta será 8 años, en este caso también Rocío envejece más. La paradoja principalmente se daba por el mal uso de la ecuación particular para SRI estacionarios, aplicando a un SRI NO estacionario.
9. Referencias
Física Moderna – Serway, Moses, Moyer http:/es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad_especial http://eltamiz.com/2007/05/18/relatividad-sin-formulas-dilatacion-del-tiempo/ http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Doppler http://es.wikipedia.org/wiki/Corrimiento_al_rojo http://www.fisica-relatividad.com.ar/temas-especiales/corrimiento-al-rojo http://www.umng.edu.co/www/resources/r15_09.pdf
