YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT FAKÜLTESİ JEODEZİ VE FOTOGRAMETRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
ÖLÇME TEKNİĞİ ANABİLİM
MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ DERS NOTLARI Prof. Dr. Ömer AYDIN
İSTANBUL, 2005
i BÖLÜM 1 1. 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 1.2.1 1.2.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.2.1 1.3.3 1.3.4 1.3.4.1 1.3.4.2 1.3.4.3 1.4 1.5 1.6
MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİNDE KULLANILAN ÖLÇÜ ALETLERİ VE ÖLÇME YÖNTEMLERİ UZUNLUK ÖLÇÜSÜ Mekanik Uzunluk Ölçüsü Optik Uzunluk Ölçüsü Elektronik Uzunluk Ölçüsü GPS İle Uzunluk Ölçüsü AÇI ÖLÇÜSÜ Yatay Açı Ölçüsü Ve Hataları Düşey Açı Ölçüsü Ve Hatası YÜKSEKLİK ÖLÇÜSÜ Geometrik Nivelman Hassas Trigonometrik Yükseklik Ölçüsü Trigonometrik Nivelmanda Hataların Yükseklik Farkına Etkisi GPS Tekniği İle Yüksekliklerin Belirlenmesi Özel Yöntemler Hidrostatik Nivelman Mikro Nivelman Mekanik Yükseklik Ölçüsü DOĞRULTU BELİRLEME ÖLÇÜLERİ ÇEKÜLLEME MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİNDE LAZER TEKNİĞİ
BÖLÜM 2 2. 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 2.2.1 2.3 2.4 2.5 2.6 2.6.1
APLİKASYONLAR YATAY APLİKASYON Noktaların Aplikasyonu Yatay Aplikasyonda Yapılan Hatalar Yatay Aplikasyonun Hassasiyet Yönünden İncelenmesi DÜŞEY APLİKASYON Düşey Aplikasyonda Doğruluk AÇI APLİKASYONU BİR DOĞRULTUNUN APLİKASYONU DOĞRULARIN APLİKASYONU PARSELLERİN APLİKASYONU Parselasyon planlarının aplikasyonu
BÖLÜM 3 3. 3.1 3.2 3.3
KURPLARIN APLİKASYONU KURP ASAL ELEMANLARININ HESABI BİSEKTRİS NOKTASININ DİK KOORDİNAT YÖNTEMİNE GÖRE KOORDİNATLARI SOME NOKTASINA ULAŞILAMAMA DURUMUNDA KURP ELEMANLARININ TAYİNİ VE APLİKASYONU 3.4 KURP ARA NOKTALARININ APLİKASYONU 3.4.1 Dik koordinat yöntemiyle aplikasyon 3.4.2 Dörtte bir yöntemi 3.4.3 Işınsal Yöntemle Kurpların Aplikasyonu 3.4.3.1 Poligon Noktalarından Işınsal Yönteme Göre Kurp Ara Noktalarının Aplikasyonu 3.4.4 Kirişler Poligonu Yardımı İle Aplikasyon 3.5 BİLEŞİK KURPLAR
ii BÖLÜM 4 4. 4.1 4.1.1 4.1.1.1 4.1.1.2 4.1.1.3 4.2 4.3 4.4 4.5 4.5.1
BİRLEŞTİRME EĞRİLERİ KLOTOİD Klotoidin Ara Noktalarının Aplikasyonu Dik Koordinat Yöntemiyle Aplikasyon Işınsal Yöntem İle Aplikasyon Kestirme Yöntemi İle Aplikasyon LEMNİSKAT KÜBİK SPİRAL KÜBİK PARABOL SINUSOID Simpson Kuralının Geçiş Eğrileri Uygulamalarında Kullanılması
BÖLÜM 5 5.
DÜŞEY KURP(GRADYENT) HESAPLARI
BÖLÜM 6 6.
DEVER
BÖLÜM 7 7.
ŞEV KAZIKLARININ ÇAKILMASI (TOTANMAN HESAPLARI)
BÖLÜM 8 8. 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
TÜNEL APLİKASYONU TÜNEL EKSENİNİN JALONLARLA BELİRLENMESİ TÜNEL EKSENİ DOĞRULTUSUNUN POLİGONLARLA BELİRLENMESİ NİRENGİ YÖNTEMİ İLE TÜNEL APLİKASYONU TÜNEL İNŞAATI SIRASINDA YAPILACAK İŞLER VE APLİKASYON TÜNELDE KURP APLİKASYONU
BÖLÜM 9 9.
YOL APLİKASYONU ÖDEVİ
BÖLÜM 10 10. DEFORMASYON ÖLÇMELERİ 10.1 GENEL BİLGİLER 10.1.1 Deformasyon Ağları 10.1.2 Deformasyon Belirlemede İncelik İstemi 10.1.3 Yapılardaki Geometrik Değişimler 10.2 DEFORMASYON ÖLÇME YÖNTEMLERİ 10.2.1 Fiziksel Ölçme Yöntemleri 10.2.2 Jeodezik Ölçme Yöntemleri 10.2.2.1 Yatay Yöndeki Deformasyonlar 10.2.2.1.1 Hassas Nirengi Ağı Yöntemi 10.2.2.1.2 Aliyman Yöntemi 10.2.2.1.3 Hassas Poligon Yöntemi 10.2.3 Düşey Yöndeki Deformasyonlar 10.3 DEFORMASYON ÖLÇÜLERİNİN DOĞRULUK DERECESİ 10.3.1 Hassas Nirengi Yöntemi 10.3.2 Aliyman Yönteminin Doğruluk Derecesi 10.3.2.1 Direkt Yöntem 10.3.2.2 Açı Yöntemi 10.3.3 Hassas Poligonda Hata Teorisi
iii 10.3.4 Hassas Nivelmanın Doğruluk Derecesi 10.3.5 Trigonometrik Nivelmanda Doğruluk Derecesi
TEŞEKKÜR “Mühendislik Ölçmeleri Ders Notlarının” hazırlanmasında yardımlarını esirgemeyen Ölçme Tekniği Anabilim Dalı Araştırma Görevlilerinden Dr. Atınç PIRTI, Yüksek Mühendis Hediye ERDOĞAN, Yüksek Mühendis Ercenk ATA, Yüksek Mühendis Burak AKPINAR, Yüksek Mühendis N.Onur AYKUT, Yüksek Mühendis Fatih POYRAZ ve Yüksek Mühendis Taylan ÖCALAN’ a teşekkür eder, bundan sonraki akademik çalışmalarında başarılar dilerim.
Prof. Dr. Ömer AYDIN Ekim – 2005 İstanbul
1 BÖLÜM 1 1. MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİNDE KULLANILAN ÖLÇÜ ALETLERİ VE ÖLÇME YÖNTEMLERİ Bu bölümde mühendislik ölçmelerinde kullanılan klasik aletler özet olarak ele alınacak ve daha sonra özel ölçme aletlerine yer verilecektir. Özellikle son yıllarda geliştirilen aletler incelenecektir. Mühendislik ölçmelerinde kullanılan ölçü elemanları şunlardır: • Kenar – uzunluk • Açı – doğrultu • Yükseklik – Yükseklik Farkı • Doğru – Doğrultu • Çekül doğrusu – Çekül düzlemi – Eğim Mühendislik ölçmelerinde kullanılmakta olan ölçümler genel olarak 3 gruba ayrılabilir: 1.1
• • • •
1.1.1
UZUNLUK ÖLÇÜSÜ Mekanik uzunluk ölçüsü Optik uzunluk ölçüsü Elektronik uzunluk ölçüsü GPS ile uzunluk ölçüsü Mekanik Uzunluk Ölçüsü
Çelik şerit metre, invar teller ve ölçü lataları ile yapılan uzunluk ölçüleridir. 1.1.2 Optik Uzunluk Ölçüsü • 2 m ‘ lik baz lataları ve saniye teodolitleri • Çift görüntülü redüksiyon takeometreleri (Redta 002) • Baz redüksiyonlu takeometreler (BRT 006) ile yapılan ölçmelerdir. Baz latası ile S=
b γ Cot 2 2
S2 m s = ± b
(1)
2
2 2 mγ S 2 . 2 + mb b ρ
Şekil 1. b hatasız alındığında ölçülen uzunluğun ortalama hatası
S 2 mγ ms = ± b ρ olur ve hatası S2 ile orantılıdır. Paralaktik açının hatasız olması durumunda
ms = ±
S mb b
(2)
olur ve hata S mesafesi ile orantılı olarak değişir. 60 lı yıllardan itibaren elektronik uzaklık ölçerlerin kullanılmaya başlamasıyla birlikte optik uzunluk ölçüsü önemini kaybetmiş bulunmaktadır. Baz latası ile uzunluk ölçüsünde hassasiyeti arttırmak için değişik kombinasyonlar oluşturulmaktadır. Örneğin baz latası, ölçülecek uzaklığın ortasına kurularak, uzunluğun iki ucundan açılar ölçülerek uzaklık bulunabilir.
2 Redta 002 ile uzunluklar BRT 006 ile uzunluklar 1.1.3
ms = ± 1 – 2 cm ms = ± 6 cm
hassasiyetle ölçülebilir.
Elektronik Uzunluk Ölçüsü
Elektronik uzunluk ölçüsü ikiye ayrılır. • •
Elektro optik uzunluk ölçüsü Elektromagnetik uzunluk ölçüsü
Işık dalgalarının kullanılması ile uzunlukların ölçülmesine elektrooptik uzunluk ölçüsü, mikro dalgaların kullanılmasıyla uzunlukların ölçülmesine elektromagnetik uzunluk ölçüsü denilmektedir. Aşağıda elektrooptik uzunluk ölçüsünün genel şeması verilmektedir. Gönderici Optik
Işık Kaynağı
Işık Modülatörü
Faz Farkı
Osilatör Reflektör
Faz ölçer
Alıcı Optik
Kuvvetlendirici
Fotosel
Şekil 2. Işık dalgaları ile faz ölçü yönteminin prensibi Faz farkı ölçüsü • •
Analog faz ölçüsü Sayısal (Dijital) faz ölçüsü olarak ikiye ayrılır.
Sayısal faz ölçüsünde eğik uzunluk ekranda görünür. Elektro optik uzunluk ölçüsünde ölçülen uzunluk 2S’ = r λ + R λ
(3)
eşitliği ile ifade edilir. Burada;
λ = ct =
c c0 = f nf
,
n=
c0 c
,
R=
∆ϕ 2π
olup R λ ∆φ C
: peryodların sayısı : dalga uzunluğu : faz açısı farkı : ışık hızı
f c n c0
: frekans : hesap sabitesi : kırılma indisi : boşluktaki ışık hızıdır.
Örneğin: λ=10 m olması için f=30 MHz lik frekans uygulanması gerekir. Elektronik olarak ölçülen uzunluk genel olarak
S = D ′ + K ′ + K ′′ + K1 + K 2 + K 3 + K 4 + K 5 eşitliği ile verilmektedir. Burada
(4)
3 D′ K ′, K ′′, K1
: Ölçülen uzunluk
K 2, K 3, K 4, K 5
: Geometrik indirgemeler
: Meteorolojik düzeltmeler
şeklinde ifade edilir. Ölçülen eğik uzunluğa getirilecek düzeltmeler aşağıdaki şekildedir. a ) METEOROLOJİK DÜZELTMELER Toplam meteorolojik düzeltme
∆S1 = K ′ + K ′′ + K1 = S ′′′ − D ′
(5)
eşitliği ile ifade edilmektedir. •
Hız düzeltmesi: Aletin verdiği değer ile gerçek optik yol arasındaki farka hız düzeltmesi denir.
K ′ = D − D′
•
Birinci Hız Düzeltmesi
K ′ = ( N 0 − N )10 −6 D′
(6)
Grup kırılma indisi
N = (n − 1)10 −6
,
dir. Burada;
n=
c0 c
c0 = Boşluktaki ışık hızı c = Ortamdaki ışık hızıdır.
Şekil 3.
Boşluktaki grup kırılma indisi aşağıdaki gibidir.
f N 0 = − 110 −6 f0 İkinci Hız Düzeltmesi
K ′′ = −(k − k 2 )
D′3 R2
(7)
Işın Yolu Eğikliği Düzeltmesi
K1 = −k 2
D′3 24 R 2
R : Yer yarıçapı R’: Işın kür. yarıçapı D’ ≤ 23 km, K1 ≤ 1 mm.
(8)
4 b ) GEOMETRİK İNDİRGEMELER Eğim düzeltmesi:
K 2 = S ′′ − S ′′′ K2 =
,
D ≅ S ′′′ olarak alınırsa
( HB − HA) 2 ( HB − HA) D − 2D 2( R + HA)
(9)
eşitliği ile verilmektedir. Deniz yüzeyine indirgeme düzeltmesi:
K 3 = S ′ − S ′′ HA K3 = − S ′′ R
(10)
Yeryüzü eğriliği düzeltmesi:
K 4 = S0 − S ′ K4 =
D′3 24 R 2
(11)
Elipsoide indirgeme düzeltmesi:
K 5 = ±( S 0 − S ) f S K 5 = ± ∆N 0 R
(12)
NA :Elipsoit Yüksekliği NB :Elipsoit Yüksekliği ∆N :Geoit ondülasyonu (∆N:Elipsoidal yükseklik farkıdır) ∆N=NA-NB
H :Ortometrik yükseklik H :Elipsoit yüksekliği N=h–H
1.1.4
GPS İle Uzunluk Ölçüsü
GPS tekniği yöntemi ile noktalara ait koordinatlar elde edilir. Bu sayede noktalar arasındaki uzunluklar koordinatlardan bulunabilir.
5 1.2
AÇI ÖLÇÜSÜ
1.2.1
Yatay Açı Ölçüsü Ve Hataları
Teodolitin iki dürbün durumunda ölçülen doğrultu açılarının ortalama hatası mr için sınır değerleri
mr2 = m02 + mt2 , bir açıçın ort. hatası mα = 2 mr dir. Burada; m0=okuma hatası, mt= tatbik hatası, mα= bir açının ortalama hatasıdır. Yatay açı ölçümünde bir doğrultunun ortalama hatası,
[VrVr ] (n − 1)( S − 1)
mr = ±
şeklindedir.
(13)
n : silsile sayısı S : doğrultu sayısıdır. 1.2.2
Düşey Açı Ölçüsü Ve Hatası
Düşey açı ölçüsü denilince zenit açısı ölçüsü anlaşılmaktadır. Zenit açısı ölçüsünde;
Mz = ±
1 2 (m0 + mb2 + ma2 + mt2 ) 2
(14)
eşitliği ile verilmektedir. m0 : Birim ölçünün ortalama hatası mb : Ortalama bölüm hatası 1.3
mt : Ortalama tatbik hatası ma : Ortalama okuma hatasıdır.
YÜKSEKLİK ÖLÇÜSÜ
Mühendislik ölçmelerinde yükseklikler; • • • • 1.3.1
Geometrik nivelmanla Hassas trigonometrik nivelmanla GPS tekniği yöntemi ile Özel yöntemlerden birine göre elde edilirler. Geometrik Nivelman
Geometrik nivelmanda, hassas nivelman uygulanmaktadır. Bu yöntemde yükseklik farkının hassasiyeti: - Alete - Miraya - Atmosferik koşullara bağlıdır. Nivelman aletleri 5 gruba ayrılmaktadır. Kullanım
Grup
mkm
En yüksek hassasiyet
I
≤± 0.5 mm
Yüksek hassasiyet
II
≤± 1mm
Orta hassasiyet
III
≤± 4 mm
Düşük hassasiyet
IV
≤± 8 mm
En düşük hassasiyet
V
≥± 8 mm
6 1 km gidiş – dönüş nivelmanında ortalama hata;
mkm = ±
1 1 dd [ ] 2 n S
(15)
eşitliği ile hesaplanır. d : ∆h1 - ∆h2 = Gidiş ölçüsü – Dönüş ölçüsü n : Alet kurulan nokta sayısı S : Nivelman yolu uzunluğudur. 1.3.2
Hassas Trigonometrik Yükseklik Ölçüsü
Mühendislik ölçmelerinde geometrik nivelman yanında hassas trigonometrik yükseklik tayini önemli rol oynar. Uzun mesafelerde bu yöntem çok büyük faydalar sağlamaktadır. Bu yöntemde ışığın kırılmasının etkisi çok önemlidir. Trigonometrik yükseklik ölçüsü 500 m’ den büyük uzunluklar için ele alınacaktır.
Şekil 6. Küreselliğin ve ışığın kırılmasının etkisi aşağıdaki şekilde gösterilebilir.
Z
S2 2
k 2R
Işığın kırılmasının yükseklik farkına etkisi
S cot Z
Z
S2 küreselliğin yükseklik farkına etkisi 2R
1 S
R
2’
Şekil 7. Trigonometrik yükseklik ölçüsünde kırılmanın ve yer küreselliğinin etkisi Tek taraflı gözlemlerle trigonometrik yükseklik tayininde aşağıdaki eşitlik kullanılır.
∆h = S cot Z +
1− k S 2 +i−t 2 R sin 2 Z
7 Tek taraflı gözlemlerle yükseklik farkını veren hassas formül,
Z = 100 g
alındığında
∆h = S cot Z +
1− k 2 S +i −t 2R
(16)
olur. Burada; ∆h Z k R S i t
:Yükseklik farkı :Zenit açısı :Kırılma katsayısı :Yer yarıçapı :Yatay uzunluk :Alet yüksekliği :İşaret yüksekliğidir.
Karşılıklı gözlemlerle trigonometrik yükseklik tayini aşağıdaki şekilde yapılmaktadır a ) Yerüstü İşareti Piramit İse
Şekil 8. Karşılıklı gözlemlerle trigonometrik yükseklik tayini
1 1 S (cot Z 1, 2 − cot Z 2,1 ) + ( K 1 − K 2 ) + i1 − i2 + t1 − t 2 2 2 1 1 − k 2 1 1 ( K1 − K 2 ) = S − 2 sin 2 Z 2 4R Z sin 1, 2 2 ,1
∆h =
K 1 : Işın yolu eğriliği düzeltmesi K 2 : Eğim düzeltmesi i1 ,i2 :Alet yükseklikleri t1 ,t 2 :İşaret yükseklikleri
K 1 ve K 2 düzeltmelerinin yükseklik farkına etkisi 10-2 mm’ den küçük olduğundan ihmal edilebilir. Böylece karşılıklı gözlemlerle yükseklik farkını veren eşitlik;
İlk önce ölçülen zenit açıları işaretin tepesine indirgenir. ∆Z 1 =
t1 − l1 ρ S
,
∆Z 2 =
t 2 − l2 ρ S
(17)
8 indirgenen açılar Z 1 = Z '1 + ∆Z 1
,
Z 2 = Z ' 2 + ∆Z 2
(18)
Düzeltilmiş zenit açıları kullanılarak iki nokta arasındaki yükseklik farkı, 1 S (cot Z 1, 2 − cot Z 2,1 ) + t1 − t 2 2
(19.1)
H + H 2 Z 2 − Z1 ∆h = S 1 + 1 + t1 − t 2 tg 2R 2
(19.2)
∆h =
Z 2 − Z1 2 ∆h = S * Sin + t1 − t 2 Cos Z 2 − Z 1 + γ
(19.3)
2 şeklini alır. 1 ve 2 nolu istasyon noktalarında atmosferik koşullar aynı ise yukarıdaki eşitlik geçerli olur. Yükseklik farkı karşılıklı gözlemlerle hesaplanırken hassasiyet hesabında ∆h = f(S, Z, k, i, t, R) fonksiyonu kullanılır. Fonksiyonun hatası aşağıdaki şekildedir.
m∆2h = m S2 + m Z2 + mk2 + mi2 + mt2 + m R2 ÖRNEK: A ve B noktaları arasında karşılıklı olarak ölçü yapılmış ve
Z '1 = 93 g .6692 Z ' 2 = 106 g .3016
ta= 5 m
ia=1.40 m
tb= 48 m
ib=1.45 m
S = 5683.45m
olarak elde edilmiştir. Noktalar arasındaki yükseklik farkını hesaplayınız. ÇÖZÜM:
∆Z 1 = 403cc ∆Z 2 = 375 cc Z 1 = 93 g .7095 Z 2 = 106 g .3391
γ = 586 cc 19.1’ den 19.2’ den 19.3’ den
∆h = 565.813 m ∆h = …………m ∆h = 565.838 m
9 b ) Pilye Kullanılması Durumunda
Şekil 9. Pilye kullanılması durumda ölçülen zenit açıları işaretin dibine indirgenir. ∆Z 1 =
t1 + l1 ρ S
∆Z 2 =
,
t 2 + l2 ρ S
(20)
İndirgenen açılar, Z 1 = Z '1 − ∆Z 1
,
Z 2 = Z ' 2 −∆Z 2
(21)
Yükseklik farkını veren eşitlik, ∆h = S
cot Z 1 − cot Z 2 − t1 + t 2 2
(22)
olur. ÖRNEK: A ve B noktaları pilye olarak tesis edilmiş ve aşağıdaki ölçüler yapılmıştır. Noktalar arasındaki yükseklik farkını bulunuz.
Z '1 = 97 g .7394 Z ' 2 = 102 g .3243
İ1 = 0.29m
t1 = 0.64m
H A = 1800m
İ 2 = 0.24m
t 2 = 0.45m
HB = ?
ÇÖZÜM:
H B = 1891.434m 1.3.2.1 Trigonometrik Nivelmanda Hataların Yükseklik Farkına Etkisi
∆h = S cot Z +
1− k 2 S +i −t 2R
(23)
1. Kenar Hatasının Etkisi
1− k m∆hs = ± cot Z + R
S m S
1− k S terimi küçük terim olduğundan ihmal edilebilir. R m∆hs = ± cot Zm s = ± tan α m S
(24)
10 2. Zenit Açısının Etkisi
m∆hZg = ±
S mZ sin 2 Z ρ
(25)
Z = 100 g alındığında, m∆hZg = ±
S
ρ
mZ
olur.
Zenit Açısı Hatası 3cc 10cc 0.47 (mm) 1.57 (mm) 0.94 3.14 1.41 4.71 1.89 6.28 2.36 7.85
S(m) 100 200 300 400 500
3. Kırılma Katsayısının Hatasının Etkisi
m∆hk = ± mk = ±
S2 mk 2R
(26)
k = ±0.0325 alındığında 4
2 m ∆hk = ±2.55 S km
[mm] S
100 m
200 m
300 m
400 m
500 m
m∆hk
0.03 mm
0.10 mm
0.23 mm
0.41 mm
0.64 mm
4. Yer yarıçapının hatasının etkisi
1− k 2 S mR 2R 2 500 m’ den küçük mesafelerde bu etki çok küçüktür. Örneğin mR ± 2 km ise
m∆hR = ±
m∆hR = ±
1 − 0.13 .0.5 2.2 km = ± 0.005 mm 2 2.6381
(27)
olur.
5. Alet ve işaret yüksekliklerinin hatasının etkisi
m∆hi = ± mi
m∆ht = ± mt
m∆h( i − t ) = ± mi2 + mt2
(28)
Bu hataların miktarı
m ∆h( i − t ) = ±(1.5 − 2.5) mm
arasında verilmektedir.
11 6. Toplam Hataların Etkisi
m∆h = ± cot 2 Zm S2 +
S 2 m Z2 S4 2 + mk + m∆2h( i −t ) sin 4 Z ρ 2 4 R 2
(29)
n tane ∆hi’ nin toplamı ∆H ise n
∆Η = ∑ ∆hi i =1
ve
m∆h = ± m∆2h1 + m∆2h 2 + .............. + m∆2hn olur. 1.3.3
GPS Tekniği İle Yüksekliklerin Belirlenmesi
GPS tekniği ile noktaların elipsoidal yükseklikleri belirlenmektedir. Ölçü bölgesinde geometrik nivelman ile ortometrik yüksekliği bulunan dayanak noktalarından yararlanarak jeoit yükseklikleri elde edilir. Çalışma bölgesinin tamamını kapsayacak şekilde homojen dağılmış, dayanak noktalarının bir fonksiyonu olarak tanımlanmış bir model aracılığı ile ortometrik yüksekliği bilinmeyen noktaların elipsoidal yükseklikleri kullanılarak, ortometrik yükseklikleri elde edilebilir. Pratikte jeoit yüksekliği tanımlama da kullanılan modeller polinomal yöntemler, multiquaadratikler, ağırlıklı ortalama yöntemleri, sonlu elemanlar, kollokasyon vb. gibi sıralanabilir. Uygulanabilirlik, süreklilik sağlaması, hesap kolaylığı ve literatürdeki uygulamalar bakımından en yaygın yöntemlerden biri polinomal yöntemlerdir. Dayanak noktalarının xi, Yi koordinatları ve
Ni jeoit ondülasyonundan yararlanarak fonksiyon katsayıları belirlenir.
Seçilen polinomun derecesine göre tüm katsayıların anlamlılık testleri yapılmalı ve en uygun polinom katsayıları belirlenmelidir. Bundan sonra belirlenen katsayılar ve koordinatlar sayesinde elde edilen jeoit yükseklikleri ile yeni noktalar için H=N-h formülüyle ortometrik yükseklikler elde edilir. 1.3.4
Özel Yöntemler
Mühendislik ölçmelerinde yükseklik farkları aşağıdaki özel yöntemlere göre de belirlenmektedir. Bu yöntemler aşağıda verilmektedir. 1.3.4.1 Hidrostatik Nivelman Hidrostatik nivelmanın esası bileşik kaplar prensibine dayanır. Yüksek hassasiyette ölçmeler için kullanılır. İki gruba ayrılır: -
Sabit sistem (genellikle büyük mesafelerdeki ölçüler için) Hareketli (seyyar sistem)
Basit hidrostatik nivelman aleti bir hortuma bağlı santimetre taksimatlı iki cam borudan oluşur. Aşağıdaki şekil hortumlu düzeç prensibini içermektedir. Basit Bernouilli denklemi: P+φ.g.h=sabit şeklindedir. Burada;
(30)
12 p : atmosferik basınç φ : sıvının yoğunluğu g : yerçekimi ivmesi h : sıvının yüksekliğidir. Bu eşitlik durgun haldeki ve eşit ağırlıktaki sıvılar (su) için geçerlidir. Ölçü kısa mesafede (max 50 m uzunluk) yapıldığından her iki taraftaki etkinin dikkate alınması gerekir. Sıvı yüzeyi her iki cam boruda aynıdır ve yükseklik farkı geometrik nivelmanda ki gibi okuma değerlerinin farkından bulunabilir. Şekle göre yükseklik farkı ∆h=a-b
Cam Boru
Su Seviyesi a
b 0
Sıkıştırma Mandalı
0 ∆h
Bağlantı Hortumu
A
B Şekil 10. Hidrostatik nivelman sistemi Basit hidrostatik nivelman da cam borudan su seviyelerinin bulunduğu yerler okunur. Bu okuma değerlerinden faydalanarak yükseklik farkı bulunur. Hassas presizyonlu hidrostatik nivelman da yerleri değişebilen iki ölçü sistemi geliştirilmiştir. Ölçü sistemini de bölüm birimi 1 mm olan bir skala kullanılır. Ölçüde bir ölçü iğnesi suyun üst seviyesine değince durum bir göstergede okunur. Bölüm kısmında mm’ ler mikrometre tamburasında 10-1 ve 10-2 mm’ ler okunur, 10-3 mm’ leri de tahmin etmek mümkündür. Ölçülen yükseklik farkına aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi sıfır noktası eki düzeltmesi getirmek gerekir. Günümüzde bu sistemin elektroniği yapılmıştır. Cam skala yerine elektronik aletler kullanılmaktadır. Su yüzeyinin üst seviyeleri olan a ve b değerleri bu aletlerde dijital olarak okunmaktadır. K= KA-KB
Sistem B
Sistem A A’
B’ KA
0
KB K
0
Şekil 11. Hidrostatik nivelmanda sıfır noktası eki düzeltmesi
13 1.3.4.2 Mikro Nivelman Rusya’ da 0,5 – 1,5 m gibi kısa mesafelerdeki yükseklik farklarını ölçmek için mikro nivelman aleti geliştirilmiştir. 3
4 2 1 ℓ Şekil 12. Mikro nivelman prensibi Bu alet 3 ayak üzerine oturtulmuş bir gövdeden ibarettir. Bu gövde iki silindirik düzeçle yataylanmaktadır. 2 nolu boyuna düzecin inceliği p = 2” – 10” ve enine düzecin inceliği p = 30 “ dir. Direkt olarak yükseklik farkının ölçümü için 4 nolu mikrometre vidası 3 nolu bir ölçü saatine bağlanmıştır. Aşağıdaki ölçü yöntemleri kullanılır. 1. Kayma miktarı ölçülen düzeçle 2. Kabarcığı ortalanmış düzeçle Birinci sistemde yükseklik farkının hesabında
∆h =
p.i.A
(31)
ρ
eşitliği kullanılır. p i ℓ
: düzecin verisi : silindirsel düzecin bölüm çizgilerindeki hareketi : oturma noktaları mesafesidir.
Bu yöntemle çok küçük yükseklik farkı ölçülebilmektedir. İkinci yöntemde düzeç mikrometre vidası yardımıyla ayarlanarak kullanılabilir. Ölçü hassasiyetini artırmak ve sıfır noktası hatasını yok etmek için her yükseklik farkı bulunmasında alet 200 grad döndürülerek ölçü yapılır. Ölçü hatası:
m∆h ≤ ±(1 − 2).10 −2 mm
dir.
Mikro nivelman, eğim tespitinde ve yüzeylerin deformasyonunda kullanılır. Örneğin makinelerin ve fiziksel aletlerin yerleştirilmesinde en iyi yerleştirme işlerinde kullanılır. Elektronik düzeçler yardımıyla mikro nivelman otomatik duruma getirilebilir.
14 1.3.4.3 Mekanik Yükseklik Ölçüsü
Mekanik yükseklik ölçüsü deyince düşey olarak asılan çelik şeritler veya invar teller yardımıyla yüksekliklerin ölçülmesi anlaşılır. Bu yöntem esasen düşey mesafe ölçüsü olarak da adlandırılır. Prensip olarak iki yol vardır. 1. Düşey mesafe ölçüsü ile direkt yükseklik tespiti 2. Nivelman bağlantısı ile düşey mesafe ölçüsüdür. Birinci yol M1’ den M5’ e kadar ölçü markalarının okunması ve 2. yol P0 ve Pu arasındaki yükseklik farklarının tespiti şeklinde görülmektedir. Bir kuyunun mevcudiyeti durumunda çelik şerit serbestçe asılmayabilir. Yükseklik farkı için aşağıdaki eşitlik geçerlidir. 1.Yol ∆hi ,i − k = M i − M i − k 2.Yol ∆ho ,u = Au + ( M u − M o ) − Ao M: Çelik şerit okuması A: Mira okumasıdır. Örnek:
Ao = 1.10
M o = 0.20
M u = 10.40
Au = 1.30
∆ho ,u = 10.00
m
olur.
Şekil 13. Mekanik Yükseklik Ölçüsü 1.4
DOĞRULTU BELİRLEME ÖLÇÜLERİ
Doğrultular; - Mekanik doğrultu belirleme: Çelik şerit, çekül, jalon - Optik olarak doğrultu belirleme: Teodolit ve optik çeküllerle yapılmaktadır. 1.5
ÇEKÜLLEME
5 m’ den büyük yüksekliklerin doğrultuları çekülleme yöntemiyle belirlenir. Optik çeküller kullanılarak doğrultular belirlenebilir. Yüksek binaların, kulelerin, minarelerin ve benzeri mühendislik yapılarının düşeyliği optik çeküllerle belirlenmektedir. Teodolitlerle bir binanın düşeyliği kontrol edilirken plan durumu 1,2,3,4 olan bir binada, subasman belirlendiğinde 1-2 kenarı doğrultusunda projedeki bina yüksekliği kadar bir mesafede A noktası tesis edilir. Aynı şekilde 1-4 kenarı doğrultusunda aynı mesafede bir B noktası tesis edilir. Her üç yada beş kat inşa edildiğinde teodolit A noktasına kurularak 1–2 kenarı, B noktasına kurularak 1-4 kenarı kontrol edilir. Optik çekülle de yüksek binaların düşeyliği kontrol edilebilir. Binanın köşe noktalarına yakın mesafede sabit noktalar alınarak bu işlem yapılabilir.
15 Teodolitlerde çekül düzlemi belirlenmesi
Teodolitlerle bir binanın düşeyliği kontrol edilirken, plan durumu 1,2,3,4 olan bir binada, subasman belirlendiğinde 1-2 kenarı doğrultusunda projedeki bina yüksekliği kadar bir mesafede A noktası tesis edilir. Aynı şekilde 1-4 kenarı doğrultusunda aynı mesafede bir B noktası tesis edilir. Binanın her üç beş katı inşa edildiğinde teodolit A noktasına kurularak 1-2 kenarı, B noktasına kurularak 1-4 kenarı kontrol edilir. Optik çekülle de yüksek binaların düşeyliği kontrol edilebilir. Binanın köşe noktalarına yakın mesafede sabit noktalar alınarak bu işlem yapılabir.
16 Doğrultuların çeküllenmesi • • •
Düzeçli çekül aleti ile Kompansatörlü çekül aleti ile Sıvı yataylamalı çekül aleti ile yapılmaktadır.
Yukarıdaki şekilde : ml: Çekül aletinin hatası mZ: Merkezleme hatası mN: İşaretleme hatası olmak üzere çekülleme hatası mL
m L = ± ml2 + m Z2 + m N2
(32)
Eşitliğinden hesaplanır. Örnek H = 100 m, ml = 1/100 000 = ±1 mm mZ ≤ 0.5 mm , mN ≤ ±0.3 mm
m L ≤ ± 12 + 0.5 2 + 0.3 2 = ±1.16mm dir. 1.6
MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİNDE LAZER TEKNİĞİ
Klasik jeodezinin yöntemleri pasif hedef ışınlarının kullanılmasını öngörmektedir. Lazer ışınlarının bulunmasıyla jeodezide aktif ışınlar kullanılmaya başlanmıştır. Bir lazerin çalışma şekli elektro magnetik ışın ve madde arasındaki değişime bağlıdır. Bir laser ışınının yapı olmasında üç koşul vardır. 1. Uygun enerji nivolu atom malzeme olarak kullanılır. 2. Bir enerji pompası 3. Işık kuvvetlendirici için optik bir rezonatör kullanılır. Optik rezonatör iki plan paralel aynadan oluşur. Şekilde görüldüğü gibi bunlardan biri reflektör, diğeri de ışık bölücü olarak adlandırılır. Lazer malzemesi olarak bir gaz, bir sıvı, bir sağlam gövde ya da yarı iletken malzeme bulunur. Sabit gövdeli laser uydu jeodezisinde impuls ölçüsü için Rubin-Lazer olarak kullanılır. Lazer ışıma zorlanmış ışımadır. Yani lazer kendi kendine bir ışık kaynağı değildir. Bazı gazların, kristallerin veya yarı iletkenlerin atomlarına elektromagnetik, ısı, ışık gibi sürekli enerji verildiğinden, bu maddelerin iç yapılarında şartlanma oluşur ve şartlanma optik düzenler ile birleştirilerek güçlendirilmiş ışımaya dönüştürülür. Lazerler üç grupta toplanır. 1. Katı Lazerler (Ruby kristali) 2. Gaz Lazerler (Helyum-Neon-CO2) 3. Yarı iletken junetion lazerler (Ga-Ar) EDM de gaz lazer (He-Ne) kullanılır. λ=0.6328µm kırmızı renkte görünür. Şekil 17. Lazer prensibi Lazerin mühendislik ölçmelerinde kullanılma alanları : 1. 2. 3. 4.
Faz karşılaştırma yöntemine göre mesafe ölçüsü İnterferans yöntemine göre prezisyonlu uzaklık ölçüsü Doğrultu ve çekülleme (doğrultu işaretlenmesi) Yükseklik ve açı ölçüsü
17 Lazer aletleri ve bu aletlerde yapılan işler aşağıdaki şekildedir: Ölçü Vazifesi Doğrultu, kontrol Yükseklik ölçüsü Açı ölçüsü Çekül doğrultusu
Alet Tipi Laser doğrultu aleti Laser nivosu Laser teodoliti Laser çekülü Laser ölçüsünün hassasiyeti: Doğrultu stabilitesinin hatası: (mL) = (1…..4)-5 10.S mL Laserin doğrultu stabilitesinin hatası mA Alıcıda ayarlama ve okuma hatası mR Reflektör hatası mÜ aserden alıcıya taşıma hatasıdır. Toplam hata :
M G = ± m L2 + m A2 + m R2 + 2mÜ2 mR = ± (2…..6)10-6S mÜ = ± 1 mm
[
m A = ± (0.5mm) 2 + (0.5.....1)10 −5 S
[
(33)
]
2
mG = ± (1.5mm) 2 + (2.5.....7.5)10 −5 S S(m) mG(mm)
100m 2…8 mm
]
200m 5….15mm
2
300m 8….22mm
400m 10..30mm
18 BÖLÜM 2 2.
APLİKASYONLAR
Plan üzerinden sayısal ortamda alınan değerlerin veya önceden yapılmış ölçü değerlerinin zemine işaretlenmesine “APLİKASYON” denilmektedir. Aplikasyon ölçü işinin tersi olarak da tanımlanabilir. Genel anlamda yerine işaretlemek şeklinde de düşünülebilir. Aplikasyon ikiye ayrılır: 1. Yatay Aplikasyon 2. Düşey Aplikasyon 2.1
YATAY APLİKASYON
Noktaları zeminde işaretlemek için yatay düzlemdeki konum elemanlarından faydalanılır. Aplikasyon elemanları genellikle plandan alınır. Noktaların aplikasyonu için poligon noktalarından yararlanılır. Poligon kenarları işlem doğrusu alınarak aplikasyon değerleri plandan alınır ve noktalar zeminde işaretlenir. Gerekiyorsa aplikasyon için yeni poligon noktaları tesis edilebilir. Aplikasyon noktaları olarak, işin hassasiyetine göre bina ve belirgin parsel köşeleri, telefon ve elektrik direkleri kullanılabilir. 2.1.1
Noktaların Aplikasyonu
Bir noktanın aplikasyonu için gerekli aplikasyon değerleri plandan alınır. Aplikasyonda kullanılan yöntemler şunlardır: abcdef-
Bağlama yöntemi Dik koordinat yöntemi Işınsal yöntem Kestirme yöntemi Total Stationlarla (elektronik) aplikasyon GPS ile aplikasyon
a- Bağlama Yöntemi
Şekil 18. Bağlama yöntemi ile aplikasyon P noktasının zeminde işaretlenmesi için plandan alınan a ve b aplikasyon değerleri A ve B noktalarında aynı anda kesiştirilerek P noktasının yeri bulunur, a değeri çelik şerit metre boyundan fazla ise A noktasında a uzunluğunda bir yay çizilir. Sonra B noktasından b uzunluğunda bir yay çizilerek bu iki yayın kesim noktası P elde edilir. Kontrol için üçüncü C noktasından yararlanılır. Bağlama yöntemi a ve b değerlerinin çelik şerit metre boyundan küçük olması durumunda verimli olur. Aksi durumda zaman alıcıdır. Bu nedenle uygulama alanı sınırlıdır. b- Dik Koordinat Yöntemi Dik koordinat yöntemi ile aplikasyonda AP dik ayağı uzunluğu ile PP dik boyu aplikasyon değerlerine göre P noktası işaretlenir. Şekilde görülen AB ölçü doğrusudur. AP kontrol ölçüsüdür.
19
Şekil 19. Dik koordinat yöntemi ile aplikasyon Q noktasının aplikasyonu için AQ' dik ayağı ve QQ’ dik boyu aplikasyon değerlerinden faydalanılır. PQ kenarı plandan alınarak kaydedilir. Birden fazla nokta aplikasyonunda dik açı kontrolü yapılmalıdır. c- Işınsal Yöntem Işınsal yöntemde P noktası (α, AP ) aplikasyon değerlerine göre zeminde belirlenir. A noktasına teodolit kurulur. B başlangıç olarak a açısı kadar alınır ve P doğrultusu belirlenir. Bu doğru üzerinde AP uzunluğu kadar alınarak P noktası işaretlenir.
Şekil 20. Işınsal yönteme göre aplikasyon
Kontrol için C noktasından β ve CP elemanlarıyla kontrol sağlanır. Son yıllarda elektronik takeometrelerle bu işlem çok daha pratik bir şekilde yapılabilmektedir. d- Kestirme Yöntemi Kestirme yönteminde iki teodolit, bir jalon ya da bir çekül kullanılır. Aletler A ve B noktalarına kurulur. Bu noktalardan α, β ya da φ, Ψ aplikasyon açılarına göre P noktasına ait doğrultular belirlenir. P noktası civarında bir jalon AP ve BP doğrusu üzerinde hareket ettirilir. Öyle bir an gelir ki P noktası hem AP hem de BP üzerinde olur. Böylece P noktası işaretlenmiş olur.
Şekil 21. Kestirme yöntemiyle aplikasyon Aplikasyon değerlerinin bulunmasında ve aplikasyon sırasında yapılacak hatalardan dolayı P noktasının yeri değişir. Bunun için P noktası üçüncü bir noktadan kestirilerek kontrol edilmelidir.
20 e- Total Station ile Aplikasyon • •
Koordinat değerleri kullanılarak aplikasyon Işınsal aplikasyon (açı ve uzunluk kullanılarak)
Araziye çıkılmadan önce büroda, aplikasyonu yapılacak olan ada, parsel veya yapının köşe koordinatları sayısal haritada belirlenerek, ASCII formatında bir koordinat listesi oluşturulur (Tablo 1). Total station aleti, bilgisayara bir kablo yardımıyla bağlanır. Aktarma programı açılır, gerekli aktarım ayarları yapıldıktan sonra, total station aletinde yeni bir iş oluşturulur ve aplike edilecek noktaların koordinatları bu iş içine aktarılır. Tablo 1. ASCII formatında nokta koordinatları NN X Y Z 3186,4544176.543, 610222.695,55.702 3187,4544171.970,610211.715,55.592 3188,4544156.682,610200.094,55.626 3189,4544157.505,610179.551,55.494 Arazide, koordinatı daha önceden bilinen poligon veya nirengi noktalarına total station aleti kurulup düzeçlenir. Alet açılır ve büroda oluşturulan ve aplike edilecek koordinatların bulunduğu iş dosyasına girilir. En az bir noktaya bakılmak suretiyle istasyon tanımlaması yapılır. Arazide daha fazla poligon varsa bu noktalara da bakılıp kontrollü yapılır. İstasyon tanımlaması yapıldıktan sonra, aplikasyon programı yardımıyla aşağıdaki işlemler sırayla yapılarak aplikasyon tamamlanır:
•
Aplike edilecek noktanın numarası alete girilir ve ekranda çıkan doğrultuda alet döndürülür ve yatay hareket sabitlenir.
• •
Reflektörcü, operatör tarafından bu doğrultuya sokulur ve alet ile ölçüm yapılır. Total station aletinin ekranında reflektörcünün içe, dışa, sağa, sola kaç metre daha gideceği görünür. Reflektörcü bu ölçülere göre operatör tarafından yönlendirilerek, tekrar ölçüm yapılır. Hareket uzunlukları yaklaşık sıfır oluncaya kadar bu işleme devam edilir ve sıfıra yakın olduğunda nokta arazide işaretlenir.
•
Aplikasyon tamamlandıktan sonra, aplike edilen ada, parsel veya yapının tekrar alımı yapılarak, proje ölçüleri ile röleve ölçüleri karşılaştırılır. Bunların örtüşmesine dikkat edilmelidir. f- GPS Tekniği ile Aplikasyon RTK GPS Yöntemi ile Aplikasyon: Klasik yöntem ve Total Station ile aplikasyon yöntemlerine benzer şekilde gerçekleştirilir. 1- 1 Referans ve 1 gezici olmak üzere iki GPS alıcısından oluşan bir sistem mevcuttur. Gezici ünitede aplikasyon koordinatlarının yüklü olduğu bir el bilgisayarı (HUSKY) mevcuttur. Husky her türlü hava koşullarında kullanılabilir ve dayanıklı malzemeden yapılmıştır. 2- Koordinatları bilinen referans noktasına ölçü boyunca sabit kalacak şekilde GPS aleti kurulur. Husky yardımı ile referans noktasının bilinen koordinatları referans noktasındaki alıcıya girilir. (Herhangi bir datumda, örneğin ED50, WGS84, ITRF veya YEREL). Genelde ED50 veya lokal koordinatlar kullanılmaktadır. Bu koordinatlar 3° lik dilimde UTM projeksiyon koordinatlarıdır. (sağa, yukarı, ortometrik yüseklik, elipsoidal yükseklik)
21 3- Referans istasyonundaki alet çalışır: Her epokta (ölçü aralığında) ölçü ile belirlenmiş taşıyıcı faz uzunlukları (alet-uydu arası) ile referans noktası ve uyduların bilinen koordinatlarından hesaplanmış taşıyıcı faz uzunlukları arasındaki farklar düzeltme olarak belirlenir. Her epok için (10’’ de bir) bu düzeltmeler bir radyo dalgası üzerine modüle edilerek referans istasyonunda bulunan bir radyo modem yardımı ile yayınlanır. RTK GPS te “taşıyıcı faz düzeltmeleri”, DGPS de “Pseudorange (Kod)” düzeltmeleri kullanılır. 4- Gezici alıcı da çalıştırılarak belli bir süre (tam sayı bilinmeyeni çözülene kadar) statik ölçü yapılır (örneğim 3–5 dakika). Tamsayı bilinmeyeni çözüldükten sonra gezici alıcı hiçbir şekilde kapatılmadan ölçülerek yeni noktalar üzerinde birkaç epokluk veri toplanır. Bu süre uydu sayısı ile ters orantılıdır. Uydu sayısı artınca süre düşer, azalınca artar. Ortak uydu sayısı 4 ün altına düşerse tamsayı bilinmeyeni yeniden çözdürülmelidir. Gezici alıcı üzerinde bulunan anten referans istasyonunun yayınlamış olduğu düzeltmeleri alarak kendi taşıyıcı faz uzunluklarını düzelterek konumlama yapar. Böylece eş zamanlı olarak yapılmış ölçme ile bir takım sistematik hatalar (saat hataları, atmosfer vb) giderilmiş olur. 5- Bu yöntemle aplikasyon yapılmak isteniyorsa gezici alıcıdaki husky aletine daha önce girilmiş olan aplike edilecek noktaların koordinatları kullanılır. Aplikasyon sırasında hangi nokta aplike edilmek isteniyorsa huskye komut vermek suretiyle bu nokta çağırılır. Yine husky söz konusu noktaya erişebilmemiz için bizi yönlendirir. İki boyutlu bir eksen üzerinde ileri-geri, sağa-sola yönlendirmeler yaparak tam aplike edilecek noktaya ulaşabilmemizi sağlar. Koordinat farkları sıfır olana kadar gezici alıcı hareket ettirilir. Böylece aplikasyon yapılmış olur. Kontrol için noktayı işaretledikten sonra birkaç epokluk rölöve ölçüsü yapılır. Referans ile gezici alıcı arasındaki uzaklık ölçü doğruluğu açısından 10–15 km yi geçmemelidir. Çünkü referans ve gezici alıcıların kullandığı düzeltmelerin aynı atmosferik koşulları içerdiği kabul edilir. Ayrıca kullanılan radyo modemden kaynaklanan kısıtlamalardan dolayı gezici-referans arasındaki uzaklık sınırlandırılmıştır. Bu uzaklık arazinin topografyasına da bağlıdır. 2.1.2
Yatay Aplikasyonda Yapılan Hatalar
Yatay aplikasyonda iki çeşit hata yapılmaktadır. a- Aplikasyon değerlerini elde ederken yapılan hatalar b- Aplikasyon sırasında yapılan hatalar
a- Aplikasyon değerleri elde edilirken yapılan hatalar Aplikasyonda kullanılacak veriler ya plan üzerinden ya da hesapla bulunur. Hesapla bulunan bu değerlerin, kontrol hesabı veya kontrol ölçüsü ile doğrulukları denetlenebilir Değerler plandan elde edilecekse planın ölçeği, kullanılan ölçü aleti ve ölçü şekli sonucu etkileyen faktörlerdir. Plan ölçeği ne kadar büyükse elde edilen hassasiyet o oranda büyüktür. Örneğin 1/500’ lük plandan alınan bir uzunluk 1/1000' lik plandan alınan değerlerden iki kat daha hassastır. Büyük ölçekli plandan ölçü alınması tercih edilir. Büyük ölçekli haritaların yapım yönetmeliğine göre plan ve haritadan ölçü alınarak yapılan uygulamalarda istenen incelik:
d = 0.008 S + 0.0003.S + 0.02 d = 0.008 S + 0.0003.S + 0.05
belirli noktalarda belirsiz noktalarda
eşitliklerinin verdiği yanılma sınırlarını geçemez. M, ölçü alınan planın ölçeğinin paydasıdır. Kullanılan ölçü aleti de sonucu etkiler. Örneğin yarım mm taksimatlı bir cetvelle plandan alınan değer, mm taksimatlı cetvelle alınan değerden daha hassastır. Aynı şeyler açıölçerler için de söylenebilir.
22 b-Aplikasyon sırasında yapılan hatalar Bu hatalar aletlerde, ölçü şeklinden çalışma koşullarından meydana gelebilir. Eğer bir açıölçer (takeometre), (c) mertebesinde ise (cc) mertebesinde hata yapıldığı kabul edilmelidir. Eğer bir uzunluk birden fazla şerit boyuyla elde edilecekse her şerit boyu ölçüsünde bir hata yapılır. Aynı şekilde hava koşulları da ölçüyü etkiler. Ölçüler iyi hava koşullarında yapılmalıdır. 2.1.3
Yatay Aplikasyonun Hassasiyet Yönünden İncelenmesi
Yukarıda açıklanan yatay aplikasyon yöntemlerini hassasiyet yönünden aşağıdaki gibi incelemek mümkündür. Değişik aplikasyon yöntemlerinde hassasiyetlerin incelenmesinde bir fonksiyon ortalama hatasının hesaplanması bağıntısından faydalanılır. F = f (x,y,z) 2
2
2
∂f ∂f ∂f m = m x2 + m y2 + m z2 ∂x ∂z ∂y 2 F
a- Bağlama yönteminde hassasiyet P noktası a ve b uzunluklarından faydalanarak bulunmaktadır. Kolaylık için a=b alınmıştır.
cos α =
c/2 c , cos α = b 2b
bu eşitlikten α açısı bulunabilir. YP = YA +b.Sin(t-α) yazılabilir. b ve α ya göre kısmi türev alınırsa dyP = Sin ( t – α )db – b.Cos ( t – α )dα
α = arcCos
dα =
c → dα = 2b
c b 4b 2 − c 2
1 1−
c2 4b 2
Şekil 22
c db 2b 2
db
olur. Ortalama hata ;
c2 mb2 4b 2 − c 2 c2 m x2 = Cos 2 (t − α )mb2 + Sin 2 (t − α ) 2 mb2 2 4b − c m y2 = Sin 2 (t − α )mb2 + Cos 2 (t − α )
elde edilir. P noktasının konum hatası ; -
MP = ±
2b 4b 2 − c 2
Ölçülen b kenarının ortalama hatasına, b ve c kenarlarının büyüklüğüne bağlıdır.
Burada b nin şerit boyundan büyük olmamasına dikkat edilmelidir.
mb
(1)
23 b- Dik koordinat yönteminde hassasiyet YP = YA +AP’Sint+PP’Sin(t+θ+200)
Şekil 23. dYP=dya+ sint.dAP'+ AP'.cosdt+ Sin(t+ θ ± 200).dPP'+PP'Cos( t + θ ± 200) dt+ PP'Cos(t + θ ± 200)dθ Aynı şekilde X yazılıp diferansiyel alınır. Ortalama hata 2 2 2 2 2 2 2 m y2 = Sin 2 tm AP ' + Cos tm PP ' + PP ' Sin tmθ / ρ
2 2 2 2 2 2 2 m x2 = Cos 2 tm AP ' + Sin tm PP ' + PP ' Cos tmθ / ρ
m k2 = m
2
y
+ m
2
x
2 2 2 2 2 M K2 = m AP ' + m PP ' + PP ' mθ / ρ
(2)
elde edilir. Örnek: AP’ = 50m ± 2cm, PP’ = 10m ± 0.5cm, Prizmayla çıkılan dikin hatası mθ = 1’ ise
M K2 = 2 2 + 0.5 2 + 1000.
1 , M K = ±2.1 cm 3400 2
Bu yöntemde aplikasyon yapılan bir noktanın konum hatası, dik ayağı ve dik boyunun ortalama hatalarına, dik açının hatasına bağlıdır. c- Işınsal yöntemin hassasiyeti Işınsal yöntemin aplikasyonunda φ ve S elemanları kullanılır. A ve B noktaları konum hatası ile yüklü iseler, dolayısıyla P noktası da etkilenecektir. P noktasının koordinatları ; YP = YA + S.Sin(t- φ) XP = XA + S.Cos(t- φ) bağıntısıyla bellidir. Diferansiyel alınırsa; dyP = SCos(t- φ)dφ+Sin(t-φ)ds dxP = SSin(t-φ)dφ+Cos(t-φ)ds olur. Şekil 24.
24 Ortalama hata
m y2 = S 2 Cos 2 (t − ϕ ) m x2 = S 2 Sin 2 (t − ϕ )
mθ2
ρ
mθ2
ρ
+ Sin 2 (t − ϕ )ms2
2
2
+ Cos 2 (t − ϕ )ms2
olarak elde edilir. Konum hatası;
mk2 = S 2
mϕ2
ρ
2
+ m s2
(3)
olur. Kutupsal yöntemle yapılan aplikasyonun hassasiyeti S kenarının büyüklüğüne, φ açısının ve S kenarının ölçü hassasiyetine bağlıdır. Örnek : Takeometre aleti ile yapılan aplikasyonda AP = 60m ± 2 cm, mθ = 1c olduğuna göre;
mk2 = 60 2
1 + 0.02 2 2 6366
mk = 2 cm olur.
d- Kestirme yönteminde hassasiyet P noktası A ve B noktalarından (α,β) açılarıyla kestirilir. P noktasının konum hatası
mk = ±
m
c ρ Sin 2 γ
Sin 2α + Sin 2 β
(4)
bağıntısıyla belirlenir. Burada m, α ve β açılarının ortalama hatasıdır. Kestirme yönteminde hassasiyet α ve β açılarının büyüklüklerine bağlıdır. e- Total Stationlarla aplikasyonda hassasiyet
Şekil 25.
Nokta konum doğruluğu
M P2 = m s2 + S 2
mα2
ρ
2
= m x2 + m y2
mS = ±( 2 mm + 2 ppm ) , mα = 10cc
(5)
alet prospektüsünden alınır. f- GPS yönteminde hassasiyet Yatayda 1–2 cm, düşeyde 3–4 cm dir. R
b
P
Statik yöntemde; Ticari yazılımlarla değerlendirmede b<20 km, akademik yazılımlarla değerlendirmede (Bernese, Gamit gibi) b bazı ölçü süresine bağlı olarak MP = ± (1mm+1ppm)
(6)
Kinematik yöntemde; MP = ± (5mm+2ppm) doğrulukla nokta konumları elde edilir.
(7)
25
2.2
DÜŞEY APLİKASYON
Yüksekliklerin aplikasyonu iki şekilde yapılabilir a- Geometrik nivelmanla b- Trigonometrik nivelmanla Su Basman Kotunun Verilmesi :
. Şekil 26. İmar yönetmeliğine göre subasman kotu 1 m ye kadar yükseltilebilir. Ancak yükseklik h’ ı geçemez. Parselin yüksek tarafında parsel kenarının yolun bordürünün uç noktası 10 m kotu alınır. Buna göre bina uzantısının bordürün uç noktasını kestiği noktanın kotu (9.50) subasman kotu olarak alınır. Binanın en üst betonu bu noktadan 6.5 m den fazla olamaz. a- Geometrik nivelmanla düşey aplikasyon
Şekil 27 A noktasına göre B noktasının geometrik nivelmanla aplikasyonu yapılacaksa, n-1 noktasına kadar geometrik nivelman yapılır. En son
in = ∑ g − (i1 + i 2 + ......in − 1 + ∆h ) değeri okununcaya kadar mira hareket ettirilir.
26 Örnek: A ve B noktaları arasındaki yükseklik farkının 2.125 olması istenmektedir. A’ da 3.540 okuması yapıldığına göre B de hangi okuma yapılmalıdır? Çözüm : ∆h = g – i 2.125 = 3.540 – i
i = 1.415
Mirada 1.415 m okununcaya kadar mira hareket ettirilir. b- Trigonometrik yükseklik tayini HB = HA + SCotZ + i – t
(8)
Eşitliğinden B noktasının yüksekliği elde edilir.
Şekil 28.
Trigonometrik olarak yüksekliklerin aplikasyonunda noktanın işaretleneceği düşey doğrultu belli ise A noktasına alet kurulur, alet yüksekliği ölçülür, S mesafesi ölçülür, işaret yüksekliği sıfır alınarak istenen yüksekliği verecek Z açısı hesaplanır. Bu değerler okununcaya kadar teodolitte dürbün düşey doğrultuda hareket ettirilir. B noktası işaretlenir. Bu şekilde B noktası bulunamıyorsa B' ye gözlem yapılıp, Z ‘ okunur ve bu noktanın yüksekliği hesaplanır. B ile B‘ arasındaki yükseklik farkı bir cetvel ile işaretlenerek B noktası bulunur. Örnek : i = 1.50m, S = 80 m dir. HB – HA = 8.25 m verildiğine göre B nin aplikasyonu için Z ne olur? Çözüm : HB – HA = SCotZ + i
CotZ =
HB − HA −i S
Z = 94g.6412
Şekil 29.
27 2.2.1
Düşey Aplikasyonda Doğruluk
a. Geometrik Nivelmanda Doğruluk
m∆h = ± k S km eşitliği ile elde edilmektedir. b. Trigonometrik Nivelmanda Doğruluk h = S’.CosZ
m = Cos Z .m + S Sin Z 2 h
2
mh = ± S .SinZ .
2 s
2
m z2
ilk terim ihmal edilince;
ρ2
mZ
ρ
Bir noktanın üç boyutlu konum doğruluğu:
m P2 = m S2 + S 2 .
mα2
ρ2
+ S 2 .Sin 2 Z
m Z2
ρ2
(9)
eşitliğinden elde edilmektedir. 2.3
AÇI APLİKASYONU
Açıların aplikasyonunu ikiye ayırmak mümkündür. a- Dik açıların aplikasyonu b- Herhangi bir açının aplikasyonu a- Dik açıların aplikasyonu Dik açıların aplikasyonu aşağıdaki aletlerle yapılabilir. - Prizma ile - Çelik şerit, jalon, çekül ile - 3, 4, 5 yöntemi ile - Açıölçer ile Aplikasyonda kullanılan sistem, alımın tersi olarak dik çıkmaktır. Bunun için nokta dik çıkılan doğru üzerine işaretlenir. İşaretlenen noktaya bir çivi ya da kazık çakılır. Çelik şerit metre ile de 3, 4, 5 üçgeni teşkil edilerek dik çıkılır. Dik çıkmada yapılan hata, dik boyunun uzunluğunun karesi ile orantılıdır.(1.3.b). b- Herhangi bir açının aplikasyonu Herhangi bir açının aplikasyonu teodolit kullanılarak yapılır. 2.4
BİR DOĞRULTUNUN APLİKASYONU
Şekil 30. Bir doğrultunun aplikasyonu Bir doğrultunun aplikasyonu, bir açının aplikasyonundan ibarettir. Bazen doğrultu açısı dolaylı yoldan bulunur. Örneğin (BX) açıklık açısı
28 (BX) = (AB) + β ± 200 eşitliğinden bulunur. Teodolit B noktasına kurulur. A noktası başlangıç alınır. (BX) kadar açı alınarak BX doğrultusu işaretlenir. 2.5
DOĞRULARIN APLİKASYONU
Doğruların aplikasyonu denilince bir doğruyu belirleyen iki noktanın aplikasyonu anlaşılır. Bazen doğru üzerinde veya uzantısı üzerinde nokta tesisi gerekir. a- Bir doğru parçasının uzatılması En basit şekilde bir doğru parçasının uzatılması şöyle yapılır. A ve B noktalarına birer jalon dikilir. Jalonlardan birinin 1-2 m arkasına geçilir. A ve B jalonlarına çakışacak şekilde AB uzantısı üzerinde bir C noktası işaretlenir.
Şekil 31. Bir doğru parçasının uzatılması AB uzunluğu büyükse noktalardan birine teodolit kurulur. Karşı noktaya dikilen jalona bakılır. Dürbün düşey doğrultuda hareket ettirilerek araya nokta işaretlenir. Doğruyu uzatmak söz konusu ise, uzatma hangi yönde olacaksa alet yakın noktaya kurulur. C noktasının kontrollü ve hassas bir şekilde işaretlemek için dürbünün birinci ve ikinci durumunda, C1 ve C2 noktaları işaretlenir. C1 ve C2'nin orta noktası C noktası olarak alınır. Doğru üzerinde en iyi nokta işaretleme teodolitle yapılır. Ayrıca doğru üzerinde veya uzantısı üzerinde nokta işaretlemesi prizma yardımıyla da yapılabilir. b- Birbirini görmeyen noktalar arasında nokta işaretlenmesi A ve B nin arasında yaklaşık olarak doğru üzerine yakın bir P noktası seçilir ve α ölçülür. a ve b mesafeleri haritadan alınır. Buna göre ;
α=
a ε AB
d = bα = a β = dan elde edilir.
β=
b ε AB
ab ε AB ρ Şekil 32.
P’den d kadar hareket ettirilerek yeni bir nokta bulunur. Açı tekrar ölçülür, θ = 200g ise nokta AB üzerindedir. Ayrıca α, β küçük açılar olduğundan a + b = AB alınır. Buna göre:
d=
ab ε a+b ρ
bulunur.
(10)
29 Örnek: α = 199g.02,
d=
a = 800m , b = 600m ise
800.600 98 = 5.28 m bulunur. 800 + 600 6366
c – Ara noktaların poligon güzergahı yardımıyla aplikasyonu
Şekil 33. Ara noktaların poligon güzergahı yardımıyla aplikasyonu AB arası ağaçlık, bina, orman gibi nedenlerle kapanmış olabilir. AB noktalarını birleştiren doğru üzerinde 1’, 2', 3' gibi noktalar işaretlenecektir. Bunun için ilk önce A, B noktaları arasında bir poligon güzergâhı oluşturulur. Şekildeki gibi 1, 2, 3 poligonları tesis edilir. Poligon kenarlarının AB doğrusunu kesmesine dikkat edilir. Poligon kenarları ve kırılma açıları ölçülür. Sonra hesaba geçilir. -
A1 kenarı Y ekseni A1 kenarına A noktasında dik olan doğru X ekseni olarak alınır. A’ nın koordinatları A(0,0) alınarak 1, 2, 3, B noktalarının koordinatları hesaplanır.
-
tgα =
-
Aplikasyon elemanları
Xb den α hesaplanır. Yb
11’ = Y1.tgα 22’ = -Y2.tgα + X2 33’ = Y3.tgα - X3
φ1 = 200 – t1 φ2 = 400 – t2 φ3 = 200 – t3
(11)
eşitliklerinden hesaplanır. Genel olarak; li = Yi.tgα - Xi şeklinde yazılabilir. İ değeri pozitif ise yönü X yönünde, negatif ise ters doğrultudadır. Genel olarak; li >0 için li <0 için
φi = 200 - ti φi = 400 - ti
şeklinde ifade edilir. li ve φi aplikasyon değerleri bulunduktan sonra φ açıları ve l uzunluklarına göre 1’, 2’, 3’ noktaları işaretlenir. Bu noktalar AB doğrusu üzerinde olur.
30 Örnek: S1 = 151.12 m S2 = 258.23 m S3 = 96.85 m S4 = 213.37 m
2.6
β1 = 107g.3230 β2 = 310g.8900 β3 = 110g.5100
PARSELLERİN APLİKASYONU
Bir parselin aplikasyonu için gerekli elemanlar plandan alınır. Plandan değer alınırken 1/5 mm hata yapılabileceği düşünülürse 1/1000 ölçekli bir plandan değer alındığında bu hatanın sınırı ±20 cm'dir. Plan ölçekleri ne kadar büyük olursa alınan aplikasyon değerlerinin doğruluğu o kadar yüksek olur.
Şekil 34. Şekilde görülen parselin dik koordinat yöntemine göre aplikasyonu yapılacağı zaman, köşe noktalanın dik boyu ve dik ayağı uzunluklarına göre işaretlenir. Ayrıca kenarların pisagor kontrolleri yapılmalıdır. Günümüzde aplikasyon değerleri elektronik ortamda sayısal olarak elde edilmektedir.
31 2.6.1
Parselasyon Planlarının Aplikasyonu
Parselasyon planlarının önce ada aplikasyon krokileri hazırlanır. Ada köşelerinin aplikasyon değerleri plandan alınır ya da köşe noktalarının koordinatları küçük nokta - yan nokta olarak hesaplanır. Ada köşelerinin aplike edilebilmesi için kavşaklara yeteri kadar poligon tesis edilmelidir. Parsellerin aplikasyonu ada köşelerinin aplikasyonundan sonra yapılır. Ada köşelerine ve poligonlara göre parsellerin aplikasyon krokileri hazırlanır ve bu krokilere göre parseller zemine işaretlenir.
Şekil 35. Bir parselasyon planının aplikasyonu
32 BÖLÜM 3 3.
KURPLARIN APLİKASYONU
Karayolu, demiryolu ve benzeri güzergâhları, mücbir noktalar arasını arazi koşullarına göre, kırık çizgilerle bağlarlar. Bu çizgi yol eksenidir. Kırık noktalara some noktası denir.
Şekil 36. Some noktaları S harfi ile gösterilir. Yol üzerinde hareket eden araç kırık noktalarda dönüş yapamaz. Kırık çizgiler bir eğri ile birleştirilirler. Bu eğri daire yayıdır ve bu yaya kurp denir. Kurp aliymana ( yolun doğru olan kısmına) değme noktasında teğettir. Kurbun başlangıç noktası ,bitim noktası , şeklinde gösterilir. Φ = A, = C harfleri ile gösterilecektir. AC yayına developman boyu denir. Bu yayın orta noktası bisektris olarak isimlendirilir ve B harfi ile gösterilir. Burada ∆ = gösterilecektir. 3.1
KURP ASAL ELEMANLARININ HESABI
∆ R T L BS
: : : : :
γ ile
37. Şekil kurp elemanlarının tayini Projeden hesaplanır Proje mühendisi tarafından takdir edilir. Teğet boyu (tanjant) hesaplanır. Developman boyu hesaplanır. Bisektris hesaplanır.
Bir kurbun asal elemanlarını veren eşitlikler aşağıdaki gibidir.
T = Rtg
γ 2
,
D=
2πR R − R = R(Secγ / 2 − 1) γ , BS = cos γ / 2 400
(1)
33 Örnek : ∆ = 93g.7420, R = 1200 m olduğuna göre Çözüm : T = 1087.48 m L = 1766.98 m BS = 419.44 m olur. 3.2
BİSEKTRİS NOKTASININ DİK KOORDİNAT YÖNTEMİNE GÖRE KOORDİNATLARI
X = R.Sinγ / 2 Y = R(1 − Cosγ / 2) = 2 R.Sin 2 γ / 4 S = 2 R.Sinγ / 4 KB = R(1 − Cosγ / 2) = 2 R.Sin 2 γ / 4
(2)
Şekil 38. Bisektris noktasının aplikasyonu Örnek : γ = 70g.80, R = 400 m olduğuna göre bisektris noktasının koordinatları (2) eşitliğine göre: X = 211.14 m, Y = 60.26 m, S = 219.57 m olmaktadır. 3.3
SOME NOKTASINA ULAŞILAMAMA DURUMUNDA KURP ELEMANLARININ TAYİNİ VE APLİKASYONU
Some noktasının nehir, deniz, uçurum, ağaçlık bölge gibi yerlere düştüğünde bu noktalara alet kurmak mümkün olmaz. Aliyman doğrultuları üzerinde E ve F noktaları alınarak şekilden φ, λ ve b ölçülür. Sinüs teoreminden;
SE = b.
Sinλ Sinϕ , SF = b. Sin(ϕ + λ ) Sin(ϕ + λ )
(3)
eşitlikleri yazılabilir. Ayrıca,
γ = ϕ + λ , t = R.tg t = SE + EA = SF + FC EA = t – SE, FC = t – SF
γ
2
hesaplanır. (4)
elde edilir. SF doğrusu üzerinde EA kadar, FC doğrusu üzerinde de FC kadar alınarak kurbun başlangıç ve bitim noktaları işaretlenmiş olur.
Şekil 39.
34 3.4
KURP ARA NOKTALARININ APLİKASYONU
3.4.1
Dik koordinat yöntemiyle aplikasyon
Kurp ara noktaları dik koordinat yöntemine göre aplike edilecekse teğet (aliymanın uzantısı) X ekseni, A başlangıç noktası, OA da Y ekseni olarak alınır.
Şekil 40. Kurp üzerindeki noktaların eşit aralıklarla dağılmasını sağlamak için iki yol izlenir. a- Developman boyu b- Sapma açısı nokta sayısının bir fazlasına bölünür. Bu durumda yay uzunluğu;
l=
D l Buna karşı gelen merkez açı ε = ρ bağıntısından hesaplanır. n +1 R
Ara noktaların koordinatları
X i = R.Sinε Yi = R − RCosε = 2 R.Sin 2 (ε / 2) yazılarak aşağıdaki genel eşitlikler elde edilir.
X i = R.Sinε Yi = 2 R.Sin 2 (ε / 2)
(5)
Şekil 41. Ara noktalarının eşit yaylara göre hesabı Örnek: Bir kurbun başlangıç kilometrajı 130,75 m, bitiş kilometrajı 250,80 m dir. R=300 m olup kurp üzerinde eşit aralıklı 4 ara noktanın aplikasyonu yapılacaktır. Dik koordinat yöntemine göre koordinat değerlerini hesaplayınız ve kontrolü yapınız.
35 250.80 − 130.75 ρ = 25.4754 grad R γ ε= = 5.0951 n +1 γ=
X1 = R sin ε = 23.98 m X 2 = R sin 2ε = 47.82 m X 3 = R sin 3ε = 71.34 m X 4 = R sin 4ε = 94.41 m X C = R sin 5ε = 116.87 m
ε = 0.96 m 2 2ε Y2 = 2R sin 2 = 3.84 m 2 3ε Y3 = 2R sin 2 = 8.61 m 2 4ε Y4 = 2R sin 2 = 15.24 m 2 5ε YC = 2R sin 2 = 23.70 m 2 Y1 = 2R sin 2
Şekil.42.
Kontrol X B = R sin γ = 116.87 m YB = R sin 2
3.4.2
γ = 23.70 m 2
Şekil 42.
Dörtte bir yöntemi
Kurp ara noktalarının hassas olarak işaretlenmesi gerekmiyorsa ya da γ açısı küçükse yaklaşık bir yöntem olan dörtte bir yöntemi uygulanır.
e= R−
R2 R +t 2
2
, e = 2 R.Sin
2
γ 4
(6)
Şekil 43. Dörtte bir yöntem Aplikasyon için BC kirişinin orta dikmesi üzerine e'=e/4 kadar alınarak D noktası bulunur. Sonra BD ve DC nin orta dikmesi e''= e'/4 kadar alınarak E ve F noktaları bulunur. Aynı şekilde kurbun diğer yarısının aplikasyonu yapılabilir.
36 3.4.3
Işınsal Yöntemle Kurpların Aplikasyonu
Aplikasyonu elemanları aşağıdaki şekilde hesaplanır. Nokta No 1
Açıklık Açısı ε/2
2
ε
3
3ε/2
4
4ε/2
Aplikasyon uzunluğu
(7)
ε 2 2ε A 2 = 2RSin 2 3ε A3 = 2RSin 2 4ε A 4 = 2RSin 2
A1 = 2RSin
Şekil 44. Kutupsal yöntemle aplikasyon 3.4.3.1
Poligon Noktalarından Işınsal Yönteme Göre Kurp Ara Noktalarının Aplikasyonu
NN
Y
X
P1
2505.00
2400.00
P2
2765.00
2315.00
Φ2
2642.00
2499.00
T2
2790.00
2367.00
S2
2737.00
2457.00
S2
1
X
2
3 4
γ2=42.5476 5
6
7
8
9
F2
T2
L9
LT2
R P2
P1
ε R=300 m
γ=42g.5476
O
εn
Şekil 45.
Kurp üzerinde 20 m aralıklarla aplikasyon yapılacaktır.
ε =
γ
10
ε =2.1274
K i = 2 R.Sinε i
Kurp üzerindeki aplikasyon noktalarının koordinat hesabı
φ 2 S 2 = Arctg
2737.5 − 2642 95.5 = Arctg → (φ 2 S 2 ) = 73.9027 (φ 2 S 2 ) = 126.0973 − 41.5 2457.5 − 2499
φ 2T2 = Arctg
2790 − 2642 148 = Arctg → (φ 2T2 ) = 53.6339 (φ 2T2 ) = 146.0973 − 132 2367 − 2499
S 2T2 = Arctg
2790 − 2737.5 52.5 = Arctg → ( S 2T2 ) = 33.4650 ( S 2T2 ) = 166.5350 − 90.5 2367 − 2457.5
37 (φ 2 1) = (φ 2 S 2 ) + ε = 126.0973 + 2.1274 = 128.2247
K 1 = 20.047
(φ 2 2) = (φ 2 S 2 ) + 2ε = 126.0973 + 4.2548 = 130.3521
K 2 = 40.071
(φ 2 3) = (φ 2 S 2 ) + 3ε = 126.0973 + 6.3821 = 132.4794
K 3 = 60.050
(φ 2 4) = (φ 2 S 2 ) + 4ε = 126.0973 + 8.5095 = 134.6068
K 4 = 79.962
(φ 2 5) = (φ 2 S 2 ) + 5ε = 126.0973 + 10.6369 = 136.7342
K 5 = 99.785
(φ 2 6) = (φ 2 S 2 ) + 6ε = 126.0973 + 12.7643 = 138.8616
K 6 = 119.496
(φ 2 7) = (φ 2 S 2 ) + 7ε = 126.0973 + 14.8917 = 140.9890
K 7 = 139.075
(φ 2 8) = (φ 2 S 2 ) + 8ε = 126.0973 + 17.0190 = 143.1163
K 8 = 158.497
(φ 2 9) = (φ 2 S 2 ) + 9ε = 126.0973 + 19.1464 = 145.2437
K 9 = 177.743
(φ 2 10) = (φ 2 S 2 ) + 10ε = 126.0973 + 21.2738 = 146.3711
K 10 = 196.790
Not: γ sapma açısı S some noktası aplike edildikten sonra teodolitle arazide ölçülmektedir. Hesaplarda ölçülen γ açısı kullanılmaktadır.
Y 1 = Yφ 2 + K1.Sin(φ 2 1) = 2642 + 20.047 * Sin128.2247 = 2660.11 X 1 = Xφ 2 + K1.Cos (φ 2 1) = 2499 + 20.047 * Cos128.2247 = 2490.40 Y 2 = Yφ 2 + K 2.Sin(φ 2 2) = 2642 + 40.071 * Sin130.3521 = 2677.60 X 2 = Xφ 2 + K 2.Cos (φ 2 2) = 2499 + 40.071 * Cos130.3521 = 2480.61 Y 3 = Yφ 2 + K 3.Sin(φ 2 3) = 2642 + 60.050 * Sin132.4794 = 2694.40 X 3 = Xφ 2 + K 3.Cos (φ 2 3) = 2499 + 60.050 * Cos132.4794 = 2480.61 Y 4 = Yφ 2 + K 4.Sin(φ 2 4) = 2642 + 79.962 * Sin134.6068 = 2710.44 X 4 = Xφ 2 + K 4.Cos (φ 2 4) = 2499 + 79.962 * Cos134.6068 = 2457.64 Y 5 = Yφ 2 + K 5.Sin(φ 2 5) = 2642 + 99.785 * Sin136.7342 = 2725.63 X 5 = Yφ 2 + K 5.Cos (φ 2 5) = 2499 + 99.785 * Cos136.7342 = 2444.56 Y 6 = Yφ 2 + K 6.Sin(φ 2 6) = 2642 + 119.496 * Sin138.8616 = 2739.91 X 6 = Yφ 2 + K 6.Cos (φ 2 6) = 2499 + 119.496 * Cos138.8616 = 2430.50 Y 7 = Yφ 2 + K 7.Sin(φ 2 7) = 2642 + 139.075 * Sin140.9890 = 2753.23 X 7 = Yφ 2 + K 7.Cos (φ 2 7) = 2499 + 139.075 * Cos140.9890 = 2415.52 Y 8 = Yφ 2 + K 8.Sin(φ 2 8) = 2642 + 158.497 * Sin143.1163 = 2465.51 X 8 = Yφ 2 + K 8.Cos (φ 2 8) = 2499 + 158.497 * Cos143.1163 = 2399.68 Y 9 = Yφ 2 + K 9.Sin(φ 2 9) = 2642 + 177.743 * Sin145.2437 = 2776.71 X 9 = Yφ 2 + K 9.Cos (φ 2 9) = 2499 + 177.743 * Cos145.2437 = 2383.05 Y 10 = Yφ 2 + K10.Sin(φ 2 10) = 2642 + 196.790 * Sin146.3711 = 2790.65 X 10 = Yφ 2 + K10.Cos (φ 2 10) = 2499 + 196.790 * Cos146.3711 = 2367.45
38 7665 − 2505 260 = Arctg → ( P1 P2 ) = 79.8847 → ( P1 P2 ) = 120 g .1153, P1 P2 = 273.54m − 85 2315 − 2400 2642 − 2505 137 ( P1T2 ) = Arctg = Arctg → ( P1T2 ) = 60 g .1634 P1T2 = 169.03m 2499 − 2400 99 2660.11 − 2505 155.11 ( P11) = Arctg = Arctg → ( P11) = 66 g .4065 P11 = 179.53m 2490.40 − 2400 90.4 2667.60 − 2505 172.60 ( P1 2) = Arctg = Arctg → ( P1 2) = 72 g .1843 P1 2 = 190.50m 2480.61 − 2400 80.61 2695.40 − 2505 189.40 ( P1 3) = Arctg = Arctg → ( P1 3) = 77 g .5572 P1 3 = 201.80m 2469.68 − 2400 69.68 2710.44 − 2505 205.44 ( P1 4) = Arctg = Arctg → ( P1 4) = 82 g .5862 P1 4 = 213.37 m 2457.64 − 2400 57.64 2725.63 − 2505 220.63 ( P1 5) = Arctg = Arctg → ( P1 5) = 87 g .3130 P1 5 = 225.08m 2444.58 − 2400 44.58 2739.91 − 2505 234.91 ( P1 6) = Arctg = Arctg → ( P1 6) = 91g .7803 P1 6 = 236.88m 2430.50 − 2400 30.50 2753.23 − 2505 248.23 ( P1 7) = Arctg = Arctg → ( P1 7) = 96 g .0249 P1 7 = 248.71m 2415.52 − 2400 15.52 2765.51 − 2505 260.51 ( P1 8) = Arctg = Arctg → ( P1 8) = 99 g .9218, ( P1 8) = 100 g .0782, P1 8 = 260.51m − 0.32 2399.68 − 2400 ( P1 P2 ) = Arctg
( P1 9) = Arctg
2776.71 − 2505 271.71 = Arctg → ( P1 9) = 96 g .0337, ( P1 9) = 103 g .9663, P1 9 = 272.24m 2383.05 − 2400 − 16.95
( P1T2 ) = Arctg
2790.65 − 2505 285.65 = Arctg → ( P1T2 ) = 92 g .7768, ( P1T2 ) = 107 g .2232, P1T2 = 287.50m 2367.45 − 2400 − 32.55
β aplikasyon açılarının aplikasyon hesabı
β T2 = ( P1 P2 ) − ( P1T2 ) = 120.1153 − 60.1634 = 59.9519 β 1 = ( P1 P2 ) − ( P11) = 120.1153 − 66.4065 = 53.7088 β 2 = ( P1 P2 ) − ( P1 2) = 120.1153 − 72.1843 = 47.9310 β 3 = ( P1 P2 ) − ( P1 3) = 120.1153 − 77.5572 = 42.5581 β 4 = ( P1 P2 ) − ( P1 4) = 120.1153 − 82.5862 = 37.5291 β 5 = ( P1 P2 ) − ( P1 5) = 120.1153 − 87.3130 = 32.8023 β 6 = ( P1 P2 ) − ( P1 6) = 120.1153 − 91.7803 = 28.3350 β 7 = ( P1 P2 ) − ( P1 7) = 120.1153 − 96.0249 = 24.0904 β 8 = ( P1 P2 ) − ( P1 8) = 120.1153 − 100.0782 = 20.0371 β 9 = ( P1 P2 ) − ( P1 9) = 120.1153 − 103.9663 = 16.1490 β F2 = ( P1 P2 ) − ( P1 F2 ) = 120.1153 − 107.2232 = 12.8921 Arazide aplikasyon şöyle yapılır. Teodolit P1 poligon noktasına kurulur. P2 noktası başlangıç olarak (β1,Li) aplikasyon değerlerinden faydalanarak kurp üzerindeki noktaların aplikasyonu yapılır. Yukarıda hesaplanan Li değerlerinden anlaşılacağı üzere büyük kurplarda Li’nin büyük değerleri için çelik şeritle aplikasyon zordur. Ancak günümüzde aplikasyon ışınsal yönteme göre elektronik takeometrelerle çok pratik olarak yapılmaktadır.
39 Aplikasyon, ayrıca kurp ara noktalarının koordinatlarına göre de çok pratik olarak Total Station’larla yapılabilir. Alet yine P1 noktasına kurulur. P1 koordinatları alete yerleştirilir. Kurp üzerine yansıtıcı tutularak ara noktaların koordinatları alete okunarak aplikasyon yapılır. 3.4.4
Kirişler Poligonu Yardımı İle Aplikasyon
A noktasında sürekli olarak kurp ara noktalarının aplikasyonunu yapmak mümkün değilse, bu kez kurp üzerinde sık sık nokta değiştirilir. Tünel aplikasyonunda bu yöntem uygulanır. Bunun için bir kirişler poligonu oluşturulur. Böyle bir poligonda kurp ara noktaları eşit aralıklarla yerleşeceğinden AC arasındaki poligon eşit kenarlı bir poligondur. Kenar;
S = 2.R.Sin
ε
(8)
2
bağıntısından hesaplanır. Poligon başlangıç ve bitişindeki kırılma açıları
β 0 = β n = 200 +
ε
(9)
2
bağıntısından aralıktaki kırılma açıları
β 0 = β1 = .................... = β n −1 = 200 + ε
(10)
eşitliğinden bulunur. β ve S değerleriyle aplikasyon yapıldığından ve kontrol elemanı olmadığından ölçülerin çok dikkatli yapılması gerekir. Tünelde kurp aplikasyonu yapılırsa kenarlar gidiş-dönüş ya da elektronik uzaklık ölçerlerle, açılar ise iki dürbün durumunda aplike edilir. Noktanın ortalama yeri bulunur, dα kadar düzeltme getirilerek kesin doğrultu belirlenir.
S
β1
βn-1
s
s
β0
βn
A ε
ε
ε
ε ε
C
O Şekil 46. 3.5
BİLEŞİK KURPLAR
Bazı durumlarda yol ekseni oluşturan doğruları tek eğriler ile birleştirmek mümkün olmaz. Dağlık arazilerde bu durumlarla karşılaşılabilir. Böyle durumlarda bir daire yayı yerine birkaç daire yayı kullanılır. Bunlara birleşik kurp denir. Birleşik kurpta yarıçaplar birbirinden farklı olup, en çok daire yaylarının birleşme noktasındaki teğetleri aynı doğrudur.
40 A noktası başlangıç, AS teğeti X ekseni olarak alınırsa:
X c = R2 Sinγ + ( R1 − R2 ) Sinγ 1
(11)
Yc = R1 + ( R1 − R2 )Cosγ 1 − R2 Cosγ
(12) (13)
R − R2 Cosγ − ( R1 − R2 )Cosγ 1 Y = 1 Sinγ Sinγ t1 = X c − SD = X c − Yc Cotγ
t 2 = CS =
t 2 = CS =
DA − EC − O1 F Sinγ ∆
∆
CSD benzer O 2CE
‘dir.Bu benzerlikten yararlanarak;
O 2 F = ( R1 − R2 ) Sinγ 1
A y
X c = O2 F + O2 E
Xc S1
x t1
O2 E = R2 Sinγ Yc = O1 A − O1 F − EC
R1 γ1 γ2
O1 A = R1 O1 F = ( R1 − R2 )Cosγ 1
F γ 1 O2
EC = R2 Cosγ 1
O1
S
γ1 γ t2 B R2 γ
D
C E
Şekil.47. Birleşik Kurp
eşitlikleri yazılabilir. Bir doğruya aynı noktada teğet olan iki dairenin merkezleri teğetin iki yanında ise böyle kurplara Ters Kurp denir.
S1 S 2 = t1 + t 2 = R1tg
γ1 2
+ R2 tg
γ2 2
Şekil 48. Üç daire yayı birleşik kurp
Şekil 49. Ters kurp
41 BÖLÜM 4 4.
BİRLEŞTİRME EĞRİLERİ
Bir yolun aliyman kısmında eğrilik 1/R=0 dır. Aliymandan R yarıçaplı daireye geçildiği zaman eğrilik 1/R değerini alır ve eğriliğin kurb boyunca bu değeri sabit kalır. Kurp çıkışında aliymana girildiğinde eğrilik yine sıfır olur. Böylece kurba giriş ve çıkışta bir kesinlik meydana gelir.
K Eğrilik 1/R 0
doğru
K Yay 1/R Geçiş Eğrisi Uzunluğu 0 Li A B R yarıçaplı doğru daire
Şekil 50. Doğru ve daire yayında eğrilik fonksiyonu
Daire Geçiş Eğrisi C
D
Li
Şekil 51.Doğru, klotoid ve daire yayında eğrilik fonksiyonu
Araçların süratli kullanıldığı otobanlarda bu durum sakıncalıdır. Çünkü araç aliymanda hiçbir yan kuvvetin etkisinde olmamasına karşın, kurba girdiğinde P = ( mv ) / R merkezkaç kuvvetin etkisinde kalır. Burada m aracın kütlesi, v aracın hızı ve R kurbun yarıçapıdır. Kurplarda merkezkaç kuvvetinin etkisini azaltmak için ya v hızı azaltılır ya da R yarıçapı büyütülür. Bu da yolun hız esprisine terstir. 2
Merkezkaç kuvvetini etkisiz duruma getirmek için yola enine eğim “Dever” verilir. Bu eğim birden bire verilmez. Yolun belli bir kısmından başlayarak yavaş yavaş artırılır. Aliymanda sıfır olan eğrilikten, 1/R değerine ulaşma ve istenilen dever değerine varmak için aliymanla R yarıçaplı kurp arasına, eğriliği yavaş yavaş artan bir eğri yerleştirilir. Bu eğriye “Birleştirme Eğrisi” denir. Birleştirme eğrisine geçiş kurbu veya rakortman kurbu da denilmektedir. R yarıçaplı kurp ile geçiş kurbu birleştirme noktasında aynı doğruya teğettirler. Geçiş eğrisi olarak; • • • • 4.1
Klotoid Lemniskat Kubik spiral ve benzerleri Sinüsoid kullanılmaktadır. KLOTOİD
Geçiş eğrisi olarak en çok kullanılan bir eğridir. Denklemi L.R = A olup, L geçiş eğrisi uzunluğu ile R kurb yarıçapının çarpımı bir A sayısının karesine eşittir. A’ ya kurbun parametresi denilmektedir. A=1 olarak alınırsa bu klotoide birim klotoid denir. Uygulamada klotoid cetvelleri kullanılmaktadır. Bu cetvellerden bazıları birim klotoide göre hazırlanır ve esas klotoide geçmek için uzunluklar A ile çarpılır. Açılar aynı kalır. Ayrıca geçiş eğrisinin herhangi bir noktasına kadar olan uzunluğunun o noktadaki eğrilik yarıçapının çarpımı parametrenin karesine eşittir. Örneğin geçiş eğrisinin herhangi bir noktadaki yarıçapı ρi, o noktaya kadar olan uzunluk Li ise klotoidin denklemi, 2
L.ρ i = A 2 şeklinde ifade edilir.
(1)
42
τ
y RCosτ Ym S
L σ
Xm
Kb
0
R RSinτ
Ks
Tk
∆R
A=6
Y
τ
5
A=8 x
A=10
S Tu
Şekil 52. Klotoidin Elemanları
Şekil 53. Klotoidin parametrelerinin değişmesi
Bir klotoidin elemanları şunlardır: A :Parametre M :Dairenin merkezi R :Klotoid ile kurbun, ortak noktası Ks deki eğrilik yarıçapı Kb :Klotoidin başlangıcı (Aliyman sonu) Ks :Klotoidin sonu (Kurbun başlangıcı) L :Klotoidin boyu ∆R :Rakordman payı Xm,Ym :Daire merkezinin koordinatları X,Y :Ks’nin dik koordinatları Tk :Kısa teğet Tu :Uzun teğet σ, S :Ks’nin ışınsal koordinatları τ :Ks noktasındaki teğetin açısı Klotoidin elemanları aşağıdaki eşitliklerden hesaplanabilir,
A 2 = L.R R ve L proje mühendisi tarafından takdir edilir. 5 9 3
X = L-
L
40A 4
+
L
3456A 8
,
Y=
L
6A 2
−
L7 336A 6
−
L11 42240A10
....
L ρ . 2R YM = Y + RCosτ
τ=
X M = X − RSinτ ∆R =Y M − R = Y − R (1 − Cosτ) Tk = Y / Sinτ Tu = X − YCotτ S = X2 + Y2 Y σ = Arctg X
(2)
43 Örnek: A=600, R=400 olarak verilmektedir. Klotoidin asal elemanlarını hesaplayınız.
L = A 2 / R = 900m L τ = 1.125 radyan .ρ = 71g .6197 2R L5 L9 X = L+ = 792.768 m 40 A 4 3456 A8 L3 L7 L11 Y= − − = 308.218m 6 A 2 336 A 6 42240 A10 YM = Y + RCosτ = 480.689
τ=
X M = X − RSinτ = 431.861 ∆R = YM − R = 80.6 TK = Y / Sinτ = 341.604
TU = X − YCotτ = 645.476 S = 850.576
σ = 23 g .6060 Görüldüğü gibi klotoidin elemanlarının hesabı zaman alıcıdır. Bu nedenle klotoid cetvelleri hazırlanmıştır. Cetveller genellikle birim klotoide göre hazırlanır. Bu cetveller hazırlanırken; X=Ax, L=Al Y=Ay, R=Ar alınır. Açılar aynı kalmaktadır. Yukarıdaki örneğe göre birim klotoid için hazırlanan cetvellerle geçiş kurbu üzerinde 100 m aralıklarla alınan noktaların koordinatlarının hesabı aşağıda gösterilmiştir.
TK KB L
Şekil 54.
1
2
3
4
5
6
7
0.166
-
-
-
0.833
-
1.166
x=Klotoid
0.1666635
-
-
-
0.8233423
-
1.1137781
Y=cet.de
0.0007716
-
-
-
0.0956232
-
0.2560330
X=Ax
99.998
199.938
299.532
398.029
494.005
585.173
668.268
739.060
Y=Ay
0.463
3.707
12.486
29.525
57.374
98.228
153.620
223.991
I=L/A
Örneğin, 1 noktasının koordinatları X=600 * 0.1666635=99.998 m , Y=600 * 0.0007716=0.463 m
8
44 şeklinde hesaplanır. Geçiş kurbu üzerindeki 2,3,….,8 noktalarının koordinatları da benzer şekilde hesaplanır. X, Y’ler bulunduktan sonra koordinatlara göre aplikasyon işlemi yapılabilir. Bir klotoidin tayini genellikle grafik olarak yapılmaktadır. Bunun için planda çizilen güzergah üzerine çeşitli ölçek ve A parametre değerlerine göre hazırlanmış klotoid şablonları oturtulur. Klotoidin çeşitli noktalarında, o noktadaki eğrilik yarıçapları yazılıdır. Ayrıca aynı şablon üzerinde uygun gelen klotoidin parametresi parametre olarak, klotoidin biteceği yere rastlayan noktadaki yarıçap ise kurp yarıçapı olarak alınır.
Şekil 55. Klotoid şablonu Klotoidin hesapla tayininde klotoidin bağlanacağı kurbun yarıçapına ve geçiş eğrisinin uzunluğuna göre yukarıdaki hesap işlemleri uygulanır. Klotoidle ilgili eşitlikler aşağıdaki şekilde elde edilmektedir.
R L
E YE
r
B x
A
1/R
1/r
B L
Şekil 56. Bir klotoid şekli ve eğriliği
1 1 : = B : L → rB = LR = Sabit r R veya klotoidin parametresi A ile tanımlanırsa,
ρ .Li = A 2
yazılabilir. Bir dairenin R yarıçapı gibi bir klotoidin de A parametresi en önemli elemanıdır.
A=a=1 alınırsa buna birim klotoid denir.
Y
M τE
R
S σ xX
P K
Tu
∆R
F
τE
TK
E N
XE t
Şekil 57. Bir klotoidin şekli
X
45 Eğrilik, Yay Uzunluğu, Koordinatlar Herhangi bir noktada klotoidin eğriliği
B 1 1 = = 2B r RL A B=L için
1 1 = 2L R A şeklindedir. τ klotoidin teğet açısıdır. Şekilden dB=r.d τ yazılabilir. Buradan,
1 B = r RL y τ
dt r
db dy dx τ
O
Şekil 58. Klotoid parçası B.dB=R.L.d τ İntegral alınarak
B2 = R.Lτ 2 yazılır. Herhangi bir noktaya kadar yay uzunluğu
B = ± 2 RLτ olur. Eğrilik,
1 = r
2 RLτ = RL
2r = RL
2r 1 2τ = 2 A A
herhangi bir noktadaki yarıçap
x
46 RL 2τ
r=
dur. Diğer taraftan
dX = dBCosτ = rCosτ dτ dY = dBSinτ = rSinτ dτ integral alınırsa; τ
τ
X = ∫ rCosτ dτ
, Y = ∫ rSinτ dτ
0
0
r yerine değeri konulursa τ
RL Cosτ dτ 2 ∫0 τ
X =
Sinτ = τ − Cosτ = 1 −
τ3 3!
τ2 2!
+ +
τ5 5!
τ4 4!
τ
, Y=
RL Sinτ dτ 2 ∫0 τ
− .......... + ......... − .......... + .........
Klotoidin herhangi bir noktasının koordinatları
τ2 τ4 τ2 τ4 = Li 1 − + + X = 2 RLτ 1 − 10 216 10 216 τ τ 3 τ τ 3 τ5 τ5 = Li − + + Y = 2 RLτ − 3 42 1320 3 42 1320
(3)
elde edilir.
τ≅
X2 X4 1 + 2 RL 20 R 2 L2
alınarak
X3 X6 3X 4 Y= 1+ − 6 RL 40 R 2 L2 336 R 3 L3 veya
Y=
X3 6 A2
3X 4 X6 1 + − 4 336 A 6 40 A
yazılabilir. Eğri üzerinde herhangi bir noktada rB=RL dir. Bir eğrinin denklemi B= f (τ) şeklinde ise bu eğri herhangi bir noktadaki eğrilik yarıçapı r = şeklindedir. Klotoidde,
dB dτ
47
B
dB = RL dτ
olur. Bunun integrali alındığında,
B2 = RLτ + sabit 2 bulunur. B sıfır olduğunda τ=0 olur ve integrasyon sabiti sıfırdır. Eğri denklemi
B = RL 2τ eğrinin son noktası için
L = A Rτ yazılabilir. Bu bağıntı ve LR=A2 bağıntısı dikkate alınarak R, L, A, τ arasında
A2 L A = = L 2τ 2τ A2 L= = 2τR = A 2τ R L L2 A2 = = τ= 2R 2 A2 2R 2 R=
(4)
dir. Ayrıca
A 2 = RL =
L 2τ
= R 2τ
bağıntısı yazılabilir. Y ve X eşitliklerinde
τ=
klotoidin herhangi bir noktasının koordinatları
L5 L9 + 40 A 4 3456 A8
(5)
L3 L7 L11 − + 6 A 2 336 A 6 42240 A10
(6)
X = L− Y=
L2 yerine konulursa önce verilen (0) eşitliklerindeki 2A 2
eşitlikleri elde edilir. Ancak bu eşitliklerden hesaplama zaman alıcıdır. yeğlenmektedir.
Bu nedenle (3) eşitlikleri
48 Teğet Açısı, Teğet, Rakordman Payı
Şekil 59. Klotoid
r = R alınarak
1 = R
1 = r
2 RLτ = RL
2τ = RL
2τ = RL
2τ 1 = 2τ eşitliğinde yerine konulursa; 2 A A
2τ A2
yazılabilir. Teğet açısı için;
τ =
L L2 A2 = = 2 R 2 A2 4 R 2
(7)
ve buradan,
L = 2 Rτ L R= 2τ yazılır. Şekil 59’ dan ∆R rakordman payı,
∆R = YE − R(1 − Cosτ E )
(8)
49
YE ≅
L2 L2 ve 1 − Cosτ E ≈ ( τ E nin küçük değerleri için) 6R 8R 2
L2 L2 L2 , ( L < R) ∆R = − = 6 R 8R 24 R
(9)
Daire merkezinin koordinatları,
YM = R + ∆R ;
X
M
= X
E
− R Sin τ
E
(10)
elde edilir. Klotoidin diğer elemanları
YE Sinτ E
Kısa teğet :
TK =
Uzun teğet:
TU = X E − YE Cotτ E
Normal:
N=
(11)
YE = Tk Tanτ E Cosτ E
T = TU + Tk2 + N 2 = X E + YE Tanτ E
(12)
(13)
(14)
eşitlikleri ile elde edilmektedir. Bu eşitliklerde T, klotoidin başlangıç F noktasına olan uzunluktur (Şekil 59). Simetrik Geçiş Eğrisi Klotoid Elemanlarının Hesabı Daire yayının her iki tarafında klotoid uzunlukları eşitse buna simetrik geçiş eğrisi denilmektedir. Aşağıda simetrik geçiş eğrisine ait bir örnek verilmektedir.
Şekil 60. Simetrik geçiş eğrisi
50 Örnek: A= 150 m, R = 350 m, γ = 60 hesaplayınız.
0
(66,6667 grad) olarak verildiğine göre, klotoidin elemanlarını
Çözüm:
L=
A2 = 64.286 m R
τ=
L = 0.09184 radyan 2R
τ =τ ∆R ≅
200
π
= 5.847 grad
L2 = 0.492 m 24 R
τ2 τ4 = 64.232 m + X = A 2τ 1 − 10 216 τ τ 3 τ5 = 1.967 m + Y = A 2τ − 3 42 1320 ∆R = YE − R (1 − Cosτ E ) = 0.492 m X M = X E − R Sinτ E = 32.134 m; YM = 350.492 TK =
YE = 21.446 m Sinτ E
TU = X E − YE
YE = 42.876 m Tanτ E
T = X M + ( R + ∆R)Tan
(
)
b = γ − 2τ grad R
π 200
γ 2
= 234.490 m
= 302.233 m
Simetrik Olmayan Bir Geçiş Eğrisi İçin Eleman Hesabı Daire yayının iki tarafındaki geçiş eğriliği farklı uzunluklarda ise bu tür eğrilere simetrik olmayan geçiş eğrileri denilmektedir. Aşağıda simetrik olmayan geçiş eğrisine ait bir örnek verilmektedir.
51
Şekil 61. Simetrik olmayan geçiş eğrisi Örnek : T1 = 87.25 m γ = 32.20 grad A1=120 m R = 200 m A2= ? Çözüm : •
A = 120 alınarak aşağıdaki değerler bulunur.
L1=72.00 m τ1=0,1800 rad, τ1= 11.459 grad ∆R1=1.079 m X1=71.767 m Y1=4.310 m XM1=35.961 m TK1=24.075 m TU1=48.081 m
52 •
2.Teğet üzerine M noktasının koordinatları:
R + ∆R2 = (T1 − X M 1 )Sinγ + (R + ∆R1 )Cosγ = 200.752 m T2 − X M 2 = (R + ∆R1 )Sinγ − (T1 − X M 1 )Cosγ = 52.120 m •
∆R2 = 0.7522 alınarak,
L2 ≅
(24 R + 6∆R2 )∆R2
= 60.117 m
A2 = RL2 = 109.651 m
τ 2 = 0.1503 rad = 9.561 grad X2 = 59.981 m Y2 = 3.007 m XM2 = 30.036 m TK2 = 20.068 m TU2 = 40.096 m T2 = 82.593 m
γ − (τ 1 + τ 2 ) = 11g .18 b = 35.101 m Toplam uzunluk 167.218 m Klotoid Hesabına Ait Bir Sayısal Örnek Verilenler Teğet (X ekseni) P1, P2, M noktasının koordinatları ve R Koşul: YM > R ( R > 0) NN 1 2 M
Y(m) 62488.65 62913.55 62580.36
X(m) 99244.63 98962.80 98246.33
R = 780 m İstenenler: L, A, τ, XE, YE, TK, TU, T
53
Şekil 62. Klotoid Çözüm
t12 = 137. g 2842
S12 = 509.871 m
t1M = 194. g1680
S1M = 1002.504 m
t 2M = 27. g 7117
S 2M = 790.155 m
p = S1M Cos (t1M − t12 ) = 628.235 m q = S 2M Cos (t12 − t 2M ) = −118.364 m (Dik ayağı dışta kalıyor) Kontrol
p − q = S12 YM =
(S )
M 2 1
− p2 =
(S ) − q 2 2
2
M
∆R = YM − R = 1.239 m
L = 24 R∆R = 152.313 m A = RL = 344.680 m
τ=
L = 0.097637 = 6 g .2157 2R
τ2 τ4 = 152.168 m X E = L1 − + 10 216
= 781.239 m
54 X M = X E − RSinτ E = 76.132 m X E6 3 X E4 1 + − 4 336 A 6 40 A
YE =
X E3 6 A2
TK =
YE = 50.850 m Sinτ E
TU = X E − YE
YE = 101.560 m Tanτ E
T = X M + ( R + ∆R )Tan N=
= 4.957 m
γ 2
= 152.654 m
YE = 4.981 m Cosτ E
Geçiş eğrisinin başlangıcı O = p − X M = 552.102 m P2’ ye göre X değeri,
O = p − X M − S12 = 42.231 m
;
E = X E + O = 194.400 m
M = −q = 118.364 m
;
PN = T + O = 194.885 m
Kesin A, Rmin ve Yaklaşık Olarak Verilen A Parametre Değerleriyle Simetrik Olmayan Tepe Klotoidi
Şekil 63.
55 Verilenler Rmin, A1, ≈A2, γ İstenen Her iki parça için klotoidin elemanları, teğet uzunlukları T1 ve T2 Çözüm A1 ve Rmin değerleri yardımıyla ilk klotoid parçasının elemanlarının bulunması, τ1 değerinin hesaplanmasıyla, tepe klotoidine teğet açılarının toplamı teğet kesim açısına eşittir, böylece
γ = τ1 +τ 2
ya da
τ 2 = γ −τ 2
Klotoidin ikinci parçası için bulunan uzunlukları,
Z1 Sinτ 2 = (TK 1 + TK 2 ) Sin(200 − γ )
τ 2 açısı alınarak, Rmin değerleriyle L, A değerleri hesaplanır. Teğet Z2 Sinτ 1 = (TK 1 + TK 2 ) Sin(200 − γ )
Sin(200 − γ ) = Sinγ
Z1 =
Sinτ 2 (TK 1 + TK 2 ) Sinγ
Z2 =
Sinτ 1 (TK 1 + TK 2 ) Sinγ
T1 = TL1 + Z 1
T1 = TL1 +
Sinτ 2 (TK 1 + TK 2 ) Sinγ
T2 = TL 2 +
elde edilir. Örnek: Verilenler
γ = 19.7205 grad A1 = 75 m A2 ≈ 90 m Rmin = 150 m İstenen Her iki klotoid parçası elemanları, teğet uzunlukları, T1 ve T2 Çözüm A1 = 75 m Rmin = 150 m
Sinτ 1 (TK 1 + TK 2 ) Sinγ
56 Birinci klotoid parçası için hesaplanan değerler
L1 = 37.5 m
X 1 = 37.44 m
TK 1 = 12.52
∆R1 = 0.39 m
Y1 = 1.56 m
TL1 = 25.02
τ 1 = 7.9578 grad ( gon)
X M 1 = 18.74 m
τ2
açısının hesaplanması
τ 2 = r −τ1 τ 2 = 19.7205 − 7.9978 = 11.7627 gon τ2
açısı yardımıyla Rmin = 150 m alınarak ikinci klotoid parçası için asal elemanlar:
τ2 =
L2 ρ ⇒ L2 = 55.43 m 2R
A2 = 91.18 m
∆R2 = 0.85 m X M 2 = 27.68 m
TK 2 = 18.54 m
X2 = 55.24
TL 2 = 37.02
Y2 = 3.41
τ 2 = 11.7627 gon
T1 ve T2 uzunluklarının hesaplanması
T1 = TL1 +
Sinτ 2 (TK 1 + TK 2 ) Sinγ
T1 = 25.02 +
Sin11.7627(12.52 + 18.54) Sin19.7205
T1 = 43.74 m
T2 = TL 2 +
Sinτ 1 (TK 1 + TK 2 ) Sinγ
T2 = 37.02 + T2 = 49.72 m
Sin7.9578(12.52 + 18.54) Sin19.7205
57 A1, A2 Ve R Değerleriyle Simetrik Olmayan Geçiş Eğrisi Verilenler A1, A2 ve R İstenenler T1 ve T2 teğet uzunlukları, daire yayının b yay uzunluğu Çözüm Her iki klotoid parçası için asal elemanlar hesaplanır (Şekil 64). Böylece,
t1 = ( R + ∆R1 )Tan
γ
t 2 = ( R + ∆R2 )Tan
2
γ 2
T1 = X m1 + t1 + d T2 = X m 2 + t 2 − d Bu toplamada işaretlere dikkat edilmeli, çünkü d ’nin değeri negatif olarak elde edilebilmektedir. Daire yay parçasının merkez açısı;
α = γ − (τ 1 + τ 2 ) Yay uzunluğu
Rπα b= elde edilir (Şekil 64). 200
Şekil 64.
58 Örnek: Verilenler A1 = 150 m A2 = 90 m R = 200 m
γ = 30.1800 gon İstenenler
T1, T2, b ve tüm klotoid elemanları Çözüm
A1 = 150 m
A2 = 90 m
L1 = 112.50 m
L2 = 40.50 m
∆R1 = 2.63 m
∆R2 = 0.34 m
X m1 = 56.10 m
X m 2 = 20.24 m
X 1 = 111.61 m
X 2 = 40.46 m
Y1 = 10.49 m
Y2 = 1.37 m
TK 1 = 37.78 m
TK 2 = 13.51 m
TU 1 = 75.31 m
TU 2 = 27.02 m
τ 1 = 17.9049 gon
τ 2 = 6.4458 gon
t1 = ( R + ∆R1 )Tan
γ
t 2 = ( R + ∆R2 )Tan
2
γ 2
T1 = X m1 + t1 + d T1 =100.03 m T2 = X m 2 + t 2 − d T2 =73.66 m α = γ − (τ 1 + τ 2 ) = 5.8293 Rπα = 18.31 m b= 200
t1 = 48.95 m t 2 = 48.40 m
59
Şekil 65.
Dönüm Eğrisi Uygulaması
Şekil 66
60 Verilenler: Teğet kesim noktaları TSg, TS12, TS10, TS11’nin koordinatları Teğet uzunluğu T1, Tw1, Tw2, T2 Daire yayı uzunlukları b1 ve b2 Çözüm: a) Klotoidin bütün elemanlarının hesabı b) Küçük nokta ve yan nokta hesabına göre M1 daire merkez açısının koordinatları c) TS 12 TS11 teğet üzerine M1 merkez noktasının koordinatlarının dönüşümü Sonuçlar: nm1 ve Zm1 d) M 1 M 2 merkez noktaları arasındaki uzaklıkların hesaplanması
M 1M 2 =
(R1 + R2 + ∆Rw1 + ∆Rw2 )2 + ( X mw1 + X mw2 )2
e)a, b ve c uzunluklarının hesaplanması a = (R2 + ∆ R2)-nm1 b=
2
M 1M 2 − a 2
c = Zm1-b- Xm2 f) Yan nokta hesabına göre M2 merkez noktasının koordinatlarının hesabı M2
g)M1 ve M2 koordinatlarından elde edilen v M 1 açıklık açısının hesabı h)δ açısının hesabı i) tan δ =
X mw1 + X mw2 R2 + R1 + ∆Rw1 + ∆Rw 2
61
Şekil 67 j)γ10 ve γ11 açılarının hesabı TS
TS
Teğet kesim noktalarının koordinatlarından, açıklık açısı vTS 10g ve vTS1112 hesaplanarak düğüm teğetlerinin açıklık açısı γw ; vw = v M 1 ± δ – 100 gon M2
elde edilir. δ’nın işareti farklı faktörlere bağımlıdır. Teğet kesim açıları γ10 ve γ11 TS
γ10= vTS 10g - vw
ve
TS
γ11= vTS1112 - vw
k)Teğet uzunlukları T1, Tw1, Tw2, T2’ nin hesaplanması, simetrik olmayan geçiş eğrisinde uygulanan yöntem ve formüller uygulanarak elde edilir. l)Teğet kesim açıları γ10 ve γ11 elde edilen teğet uzunlukları N, T1, Tw1, Tw2 ve T2’ den TSg, TS10, TS11, TS12 kontrol poligonlarının hesaplanması m)Daire yay uzunlukları b1 ve b2’ nin hesaplanması
α 1 = γ 10 − (τ 1 + τ w1 )
R πα b1 = 1 1 200
α 2 = γ 11 − (τ 2 + τ w 2 )
R πα b2 = 2 2 200
62 Örnek:
Şekil 68 Verilenler: Teğet kesim noktalarının koordinatları NN TSg (TS10’) (TS11’) TS12
Y
X
140.10 -149.48 215.92 307.92
530.27 320.51 280.12 20.46
Yay Elemanları A1= 100 m R1= 75 m Aw1= Aw2= 85 m R2= 125 m A2= 140 m Klotoid başlangıç noktasına olan uzaklık N=73.13 m İstenenler: A1, Aw1 ve A2 için klotoid elemanları Teğet uzunlukları T1, Tw1, Tw2, T2 Teğet kesim noktalarının koordinatları TS10 ve TS11 b1 ve b2 daire yayı uzunluğu
63 Çözüm: a)
R2= 75 m Aw1= 85 m Lw1=96.33 m ∆Rw1=5.08 m Xmw1=47.51 m Xw1=92.44 m Yw1=20.02 m τ w1 =40.8851 gon
R1= 75 m A1= 100 m L1=133,33 m ∆R1=9.60 m Xm1=64.95 m X1=123,18 m Y1=37.33 m τ 1 =56.5884 gon
R2= 125 m Aw2= 85 m Lw2=57.80 m ∆Rw2=1.11 m Xmw2=28.85 m Xw2=57.49 m Yw2=4.44 m τ w 2 =14.7187gon
R2= 125 m A2= 140 m L2=156,80 m ∆R2=8.08 m Xm2=77.38 m X2=150,74 m Y2=31.87 m τ 2 =39. 9288 gon
b) Küçük nokta ve yan nokta koordinatlarının hesabı
S=
(YE − Y A ) 2 ( X E − X A )2
Mesafe
NN
∆Si
TSg
o=
YE − Y A Se
a=
XE − XA Se
Y Yn=Yn-1+o.Sn o= -0.80986 +140.10
X Xn=Xn-1+a.Sn a=-0.58663 +530.27
+28.27 +49.63 +77.90 +177.75 -99.85 -49.63 -149.48
+449.27 -68.52 +380.75 -128.76 +251.99 +68.51 +320.51
138.08 FpM1 (-84.60) M1 219.49 Fp (+84.60) TS10 S=
İlave hesaplamalar N=73.13 XM1=64.95 138.08 R=75.00 ∆R1=9.60 84.60
357.57
c) TS12TS11' teğetleri üzerine, M1 merkez noktasının koordinatlarının dönüşümü NN
S
o=
YE − Y A Se
a=
XE − XA Se
Yn=YA+oS ∆Y Y
Xn=XA+aS ∆X X
o=0.33396 307.92 -230.02
a=0.94257 20.46 360.29
M1
77.90 138.02
380.75 -100.63
TS11’
215.92 -92.00
280.12 259.66
S=275,48 TS12
+a. ∆Y -o. ∆X np
+a. ∆X +o. ∆Y zp
0.00 -261.81 120.32 -96.49 130.09 -33.61 -0.01 0.00
0.00 339.60 76.82 416.42 -94.85 -46.09 275.48 275.45
TS12 M1 TS11’
64 d) M 1 M 2 merkez noktalarının mesafesinin hesabı
M 1 M 2 = ( R1 + R2 + ∆Rw1 + ∆Rw 2 ) 2 + ( X mw1 + X mw 2 ) 2 M 1 M 2 = (75 + 125 + 5.08 + 1.11) 2 + (47.51 + 28.85) 2 M 1 M 2 =219.88 m e) a, b, c uzunluklarının hesabı a= ( R2 + ∆R2 ) − n m1 a= 36.59 m b=
2
M 1M 2 − a 2
b= 216.81 c= Zm1-b-Xm2 = 416.42 – 216.81 – 77.38 = 122.23 m f) S=
(YE − Y A ) 2 + ( X E − X A ) 2
o=
Mesafe NN TS12
Y Yn=Yn-1+oSn o=-0.33396 307.92 -66.66 241.26 -125.44 115.82 -25.34 90.48 125.44 215.92 -92.00
∆Si S=275.48 0.00 199.61
FPn2 -133,08 M2 75.87 Fp 133.08 TS11 275.48 M2
g) v M 1 açısının hesabı ve
YE − Y A Se
a=
XE − XA Se
X Xn=Xn-1+aSn a=0.94257 20.46 188.15 208.61 -44.45 164.16 71.52 235.68 44.44 280.12 259.66
M2
M 1M 2 =
R2+∆R2=133.08
M 1 M 2 merkez noktaları arasındaki mesafenin kontrolü
Y X ---------------------------------------------------------M1
c=122.23 Xm2=77.38 199.61
77.90
380,75
115,82 164,16 ---------------------------------------+37.92 -216,59
37.92 2 + 216.59 2 = 219.88 m
M2
tan v M 1 = M2
+ = 0,17508 −
v M 1 = 188.9659
65 h) δ açısının hesaplanması tan δ =
X mW 1 + X mW 2 R1 + R2 + ∆RW 1 + ∆RW 2
tan δ =
76.36 = 0.37034 206.19
δ = 22.5794 gon i) Teğet kesim açıları olan γ10 ve γ11 hesabı M2
v M 1 = 188.9659 gon δ = 22.5794 -100 --------------------------VW = 111.5453 gon TSg +140,10 +530,27 TS10 -149,48 +320,51 --------------------------------------------
VTSTS910 ' =
− 1.38053 −
TS11’ 215,92 280,12 TS12 307,92 20.46 --------------------------------------------
VTSTS1112' =
+ 0,35431 −
VTSTS910 ' = 260.0911
VTSTS1112' = 178.3224
-VW = 111.5453 --------------------------------------γ10 = 148.5458 gon
-VW = -111.5453 ---------------------------------------γ11 = 66,7771 gon
j) Teğet uzunluklarının hesabı TS10 yayında
γ 10 2
TS11 yayında
= 74.2729
γ 11 2
= 33,3886
R1+∆R1= 84.60 R1+∆Rw1= 80.08 ∆Rw1+∆R1= -4.52 ----------------------------
R2+∆R2= 133,08 R2+∆Rw2= 126,11 ∆Rw2+∆R2= 6.97 ----------------------------
t1 = tan
t1 = tan
γ 10 2
( R1+∆R1)
γ 11 2
( R2+∆Rw2)
t1 = 197,82 m -------------------------------
t1 = 72.96 m -------------------------------
t 2 = tan
t 2 = tan
γ 10 2
( R1+∆Rw1)
t2 = 187,25 m -------------------------------
γ 11 2
( R2+∆R2)
t2 = 76.99 m --------------------------------
66 d=
∆RW 1 − ∆R1 Sinγ 10
d=
d = -6.25 m -------------------------------T1= Xm1 + t1 + d T1= 64.95 + 197.82 – 6.25 T1= 256.52 m -------------------------------TW1= XmW1 + t2 + d TW1= 47.51 + 187,25 + 6.25 TW1= 241,01 m
∆R2 − ∆RW 2 Sinγ 11
d = 8.04 m --------------------------------TW2= XmW2 + t1 + d TW2= 28.85 + 72.96 +8.04 TW2= 109.85 m --------------------------------T2= Xm2 + t2 - d T2= 77.38 + 76.99 – 8.04 T2= 146,33 m
k) Kontrol poligonlarının hesabı NN β α S ∆Y ∆X Y X ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------TS9 260.0911 329.65 -266.97 -193.38 140.10 530.27 TS10 51.4542 111.5453
350.86
+345.11
-63.28
-126.87
336.89
178.3224
268.56
+89.69
-253.14
218.24
273.61
TS11 266.7771
TS12
307.93 20.47 ----------------------------(307.92) (20.46)
Şekil 69. l) Daire yay uzunluklarının hesabı
α1 α1 α1
=
b1 ve b2
γ 10 − (τ 1 + τ W 1 )
= 148.5458-(56,5884 + 40,8851) = 51.0723
R πα 75π 51.0723 b1 = 1 1 = 200 200 b1 = 60.17 m
α2 α2 α2
=
γ 11 − (τ W 2 − τ 2 )
= 66,7771-(14,7187 – 39,9288) = 12.1296
R πα 125π 512.1296 b2 = 2 2 = 200 200 b2 = 23.82 m
67 4.1.1
Klotoidin Ara Noktalarının Aplikasyonu Klotoidin ara noktaları • • •
Dik koordinat yöntemiyle Işınsal yöntemle Kestirme yöntemiyle aplikasyonu yapılabilir.
4.1.1.1 Dik Koordinat Yöntemiyle Aplikasyon a- Teğetten Aplikasyon
Şekil 70. Dik koordinat yöntemi AC arasına eşit aralıklı n tane nokta aplike edilmek isteniyorsa, örneğin yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi L1, L2, L uzunlukları bulunur. (7) eşitliklerinden τ 1 ,τ 2 ,τ değerleri bulunur. (1) eşitliğinden de
ρ1 , ρ 2 , ρ değerleri hesaplanır. Sonra (5) eşitlikleri kullanılarak klotoidin ara noktalarının ve son noktasının aplikasyon değerleri bulunur. 4.1.1.2 Işınsal Yöntem İle Aplikasyon
Şekil 71.
S=
X 2 +Y2 ,
tgγ =
Şekil 72.
Y , X
σ = arctg
Açı ve uzunluğa göre kirişten aplikasyon yapılır.
Y X
(15)
68 4.1.1.3 Kestirme Yöntemi İle Aplikasyon Bu yöntem uzunluk ölçüsünü gerektirmediği için ve ayrıca yüksek presizyon sağladığı için tercih edilmektedir. İki teodolitle KB ve KS noktalarında aplikasyon yapılmaktadır. δi ve ∈i açıları koordinatlardan hesaplanır.
Şekil 73. Kestirme yöntemi
4.2
LEMNİSKAT
Lemniskat, birleştirme kurpları içerisinde ideal birleştirme kurbu klotoidine en yakın eğridir. Lemniskatın kutupsal koordinatlara göre denklemi; S2 = A2 Sin 2σ veya A2 = 3RSL şeklindedir. S, σ eğri üzerindeki bir noktanın ışınsal koordinatları A, eğrinin büyüklüğünü belirleyen parametreler
Şekil 74. Lemniskat
(16)
69
Şekil 75. Lemniskatın en önemli özelliği sapma açısı (∆)’nın, teğet-kiriş açısı ( τ )’nin üç katına eşit olmasıdır. ∆ R
:projeden hesaplanır :Lemniskat ile kurbun orta noktaları LK ve KL deki eğrilik yarıçapı, proje mühendisi tarafından belirlenir. :Lemniskatın kiriş uzunluğu :Lemniskatın parametresidir. A2=3RSLeşitliğinden hesaplanır. :Lemniskatın uzunluğudur.
SL A L L=
A 2
(2 tgσ −
2 1 tg 5 σ + tg 9 σ .......... 5 12
bağıntısı ile hesaplanır. XP, YP lemniskat üzerindeki bir P noktasının aliyman doğrultusuna göre dik koordinatlarıdır. XP=SP cos σ P Sin2 σ P =SP/3R
YP=SPsin σ P
(17)
dir. Burada SP seçilir. σ P , SP lemniskat üzerindeki bir P noktasının kutupsal koordinatlarıdır. T teğet uzunluğudur. T=R(3sin σ -2sin3 σ )+R(3cos σ -2cos3 σ )tg
∆ 2
b kurp uzunluğudur. α = ∆ − 2τ L alınarak b=
(18) πRα bağıntısından hesaplanır. 200
70 4.3
KÜBİK SPİRAL
Şekil 76.
∆ R LS τS τp
X, Y
:Projeden hesaplanır :Spiral ve kurbun ortak noktaları Sk ve Ks deki eğrilik yarıçapı, proje mühendisi tarafından takdir edilerek belirlenir. :Spiralin uzunluğu (SB-Sk) proje mühendisi tarafından takdir edilerek belirlenir. L :SK daki teğet açısıdır. τ S = S ρ 2R τP LP :Spiral üzerindeki bir P noktasındaki teğet açısıdır. Bir LP uzunluğu için = τS L S bağıntısından hesaplanır. :Sk noktasının aliyman doğrultusuna göre dik koordinatları
10 τ2 τ X = L S (1 − S + S − ......) 10 216
τ3 τ5 τ Y = L S ( S − S + S − ......) 8 42 1320
(19)
bağıntıları ile hesaplanır. XP, YP :Spiral üzerindeki P noktasının aliyman doğrultusuna göre dik koordinatlarıdır. Yukarıdaki bağıntılarda LS yerine LP ve τ S yerine de τ P konularak hesaplanır. T Teğet uzunluğudur. m=Y-R(1-cos τ S ) n=X-Rsin τ S eşitliklerinden ∆ olarak hesaplanır. 2 B kurp uzunluğudur. α = ∆ − 2τ S alınarak
T=n+(R+m)tg
b=
πRα bağıntısı ile hesaplanır. 200
71 4.4
KÜBİK PARABOL
Klotoid
X ≅ l=SL alınırsa Y=
X3 X3 = 6RX 6RL
(20)
Kübik Parabol
denklemi yazılabilir. C=LR, C sabitedir.
Şekil 77. Kübik parabol ve klotoidin grafiği Kübik parabolün elemanları kübik spiral gibi hesaplanır. Kübik parabol demiryollarında çok kullanılır. Çünkü geçiş kurbu yatık ve kısadır. Bazı yaylarda yukarıdaki eşitliğin ikinci kısmı kullanılmaktadır. Kübik parabol için X=l Y=
l3
(21)
6A 2
değerleri kullanılmaktadır.
4.5
SINUSOID
Günümüzde klotoidin yüksek hızlarda, hareket dinamiğine karşın oluşturduğu sakıncaların daha üstün geçiş eğrileriyle bertaraf edildiği ortaya çıkmıştır. Bu tarz için ideal çözüm olan sinusoid eğrisi, çok yüksek hızlı manyetik raylı sistemlerde ve diğer mühendislik yapılarında uygulanmaktadır.
Şekil 78. Sinüsoid eğrisi ve asal eleman değerleri
72 Şekil 78’e göre sinüsoidin eğrilik fonksiyonu k=
1 R
L 2πL 1 − Sin L E 2π L E
(22)
τ teğet açısının diferansiyel değişimi 1 1 L 1 2πL dτ = dL = ( Sin ( ))dL − r R L E 2π LE
elde edilir. Herhangi bir P noktasındaki τ teğet açısı L
τ = ∫ dτ = L =0
L 1 L2 2πL + E (cos( ( ) − 1)) R 2L E 4π 2 LE
(23)
LE = Sinüsoidin uzunluğu R = Bağlanılan Daire Yarıçapı bulunmaktadır. Şekil 78 deki diferansiyel üçgenden dy=dL sin τ
,
dx=dLcos τ
,
X= ∫ cos τdL
ve Y=
L
∫ sin τdL
L =0
L
(24)
L =0
formülleri elde edilir. Bu integrallerin hesabı için en uygun yöntem, yapılan bir program yardımıyla (dL=1 m alınarak) Y ve X değerlerinin elde edilmesidir. Sinüsoidin asal eleman değerlerinin hesaplanması klotoiddekinin aynısıdır. Teğet açısı τE =
L E 200 2R π
(25)
Rakordman payı ∆R = YE − R (1 − cos τ E )
(26)
Daire merkezinin koordinatları XM = XE-R sin τ E YM=R+∆R
(27)
73 Kısa teğet Tk =
YE sin τ E
(28)
Uzun teğet TU=XE-YEcot τ E
(29)
Normal N=
YE = Tk tan τ E cos τ E
(30)
Teğet uzunluğu T=Tu+ Tk 2 + N 2 = X E + YE tan τ E
(31)
formülleriyle hesaplanabilir. 4.5.1
Simpson Kuralının Geçiş Eğrileri Uygulamalarında Kullanılması
Geçiş eğrileri olarak kullanılan klotoid, sinüsoid ve diğer eğrilerin koordinatlarının hesaplanması için uygulanan sayısal integrasyon yöntemleriyle Fresnel integrallerinin çözümüne ait genel bir yaklaşım olan Simpson kuralı bu bölümde incelemiş ve sayısal örnekler verilmiştir. Harita ve Kadastro Mühendisi, yol inşaatında oluşturulan güzergâhı, mevcut bir poligon ağına bağlamaktadır. Bu çalışma, yüksek bir duyarlılık ister. Çünkü güzergâhın cm’ye kadar doğrulukla araziye aplikasyonu gerekmektedir. Ayrıca hesaplama işi ise oldukça zaman alıcıdır. Yol inşaatında, Hharita ve Kadastro Mühendisinin işlevi iki kısımda toplanabilir. Bunlardan birisi güzergâhın hesabı, diğeri ise aplikasyonudur. Güzergâh elemanları olarak bilinen, doğru ile daire yayı arasına yerleştirilen geçiş eğrilerinin (Klotoid, sinüsoid, v.d.) hesaplanmasına ait genel bir yaklaşım yöntemi olan simpson kuralı aşağıdaki gibi açıklanabilir. Belirli integrallerin hesaplanması için sayısal integrasyon yöntemleri olduğu gibi, belirsiz integrallerin hesaplanması için de çeşitli yöntemler mevcuttur. Birçok sayısal integrasyon yöntemleri, temel olarak f(L) fonksiyonunun
[a,b]
aralığında, n eşit parçada, ∆L =
b−a n
yay parçalarına bölünmesi ile
hesaplanmaktadır. Burada ; k = 0, 1, 2, 3, 4,……..,n , yK = f (LK) = f (a+k ∆L) şeklindedir. Genel olarak n değeri arttıkça bu yaklaşımın doğruluğu da artmaktadır. Şekil 78’de verilen diferansiyel üçgen yardımıyla geçiş eğrisi yay parçasının üzerindeki noktaların koordinatları, dX = dL Cosτ (32) dY = dL Sinτ
74 L
L
L =0
L =0
∫ CosτdL = ∫ f (L)dL
X =
L
L
L =0
L =0
(33)
Y = ∫ SinτdL = ∫ f (L)dL
(34)
eşitlikleri ile ifade edilmektedir. Simpson kuralının genel eşitliği, b=L
∫ f(L) dL ≈
3 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... + f(L 0 + n ∆ L)
∆L f(L 0 ) + 4f(L 0 + ∆L) + 2f(L 0 + 2 ∆ L) + 4f(L 0 + 3∆ L) + ........
a =0
(35)
olup açılım yapılırsa ve (4) eşitliği, (2) ve (3) eşitliklerine uygulanırsa b ∆L x + 4x1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 + 4x 5 + ....... + 2x n − 2 + 4x n − 1 + x n X = ∫ f(L)dL ≈ 3 0 a
]
(35a)
b ∆L y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 + 4y 5 + ....... + 2y n − 2 + 4y n − 1 + y n Y = ∫ f(L)dL ≈ 3 a
]
(35b)
[
[
elde edilmektedir. Bu yöntemin geçiş eğrisine uygulanması aşağıdaki biçimdedir. Eğrilik, k=
dτ alınarak geçiş eğrisinin dL
herhangi bir noktasındaki teğet açısı, L
τ = ∫ kdL + c
(36)
0
eşitliğiyle hesaplanmaktadır.
S YE
Tu
Şekil 79. Geçiş eğrisi (33) ve (34) eşitliklerinin hesaplanması, çok karmaşık işlemleri içermektedir. Ancak program ya da tablolar yardımıyla sonuçlara ulaşılabilmektedir. Simpson yöntemi, program düzenlemesini ve karmaşık işlemleri ortadan kaldırarak, pratik şekilde hesaplama yapılması ve hassas sonuçlara ulaşmamızı sağlamaktadır. Bu yöntem geçiş eğrileri olan klotoid ve sinüsoidin herhangi bir noktasındaki koordinatlarının hesaplanmasına, teğet açıları ( τ ) ve yay aralığı ( ∆L ) esas alınarak,
75 bitim noktasının (E) koordinatlarının ve bu koordinatlar yardımıyla da diğer elemanların bulunmasını sağlamaktadır. Simpson yönteminin, geçiş eğrilerine uygulandığında (35) eşitliğindeki değerler b − a LE − L0 = n n
∆L =
(37)
L0 = Geçiş eğrisinin başlangıcı LE = Geçiş eğrisinin uzunluğu n = Geçiş eğrisinin bölündüğü parça sayısı ∆L = Geçiş eğrisinin yay uzunluğunu ifade etmektedir. (35) eşitliğindeki L0, L0+∆L, L0+2∆L, L0+3∆L, …………, L0+n∆L yay parçalarına karşılık gelen teğet açıları(τ), (36) eşitliği yardımıyla hesaplanabilir. (36) eşitliğinden elde edilen teğet açısı, (33) ve (34) eşitliğinde yerine konularak (35a ve 35b) eşitlikleri yardımıyla çözülebilmektedir. Simpson yöntemi, klotoid için aşağıdaki şekilde uygulanabilir. A2 = R L k=
k=
(38)
1 R
(39)
L
(39a)
A2
olup k değeri, (5) eşitliğinde yerine konularak teğet açısı,
τ=
L2
(40)
2A 2
elde edilir. Simpson kuralının genel eşitliğiyle, (33) ve (34) eşitlikleri uygulanarak klotoid için herhangi bir noktanın ve bitim noktasının(E) koordinatları Tablo 1’de hesaplanmıştır. Sinüsoid için (36) eşitliği uygulanarak, k=
1 R
L 2πL 1 − Sin L E L E 2π
1 R
L2 L + E 2L E 4π 2
(41)
teğet açısı, τ=
2πL Cos − 1 LE
(42)
elde edilir. Bu yöntemin, sinüsoide uygulanması aşağıdaki tablolarda verilmektedir. Simpson yöntemi, geçiş eğrilerinin koordinatlarının hesaplanması için bilgisayar programı yapmadan, karmaşık işlemlerin ortadan kalkmasını, pratik şekilde hesap yapılmasını ve hassas sonuçlara ulaşılmasını sağlamaktadır.
76
SİMPSON KURALI YARDIMIYLA KLOTOİD KOORDİNATLARININ HESABI (DOĞRU – DAİRE ARASINDA UYGULANMASI) Klotoid ve sinüsoid geçiş eğrileri (LE=250 m, R=1000 m) için 25 m aralıklarla Y, X koordinatları ve asal eleman değerleri aşağıda hesaplanmıştır. L LE R
:Geçiş eğrisinin herhangi bir noktadaki uzunluğu (m) :Geçiş eğrisinin uzunluğu (m) :Bağlanılan daire yarıçapı (m) L2 τ(rad) = 2A 2 Y (m) X (m) LE (m) R (m) L (m) τ (rad) sin τ cos τ 0,0000 0,0000 1,0000 Y0 = 0,000 X0 = 1,000 250 m 1000 m 0 4X1 = 4,000 n =10 25 0,0013 0,0012 1,0000 4Y1 = 0,005 0,0050 0,0050 1,0000 2Y = 0,010 2X2 = 2,000 50 L − L0 2 ∆L = E = 25 75 0,0113 0,0112 0,9999 4Y = 0,045 4X3 = 4,000 3 n 0,0200 0,0200 0,9998 2Y = 0,040 2X 100 4 4 = 2,000 m 4X5 = 3,998 125 0,0313 0,0312 0,9995 4Y5 = 0,125 2X6 = 1,998 150 0,0450 0,0450 0,9990 2Y6 = 0,090 4X7 = 3,992 175 0,0613 0,0612 0,9981 4Y7 = 0,245 2X8 = 1,994 200 0,0800 0,0799 0,9968 2Y8 = 0,160 4X9 = 3,980 225 0,1013 0,1011 0,9949 4Y9 = 0,404 X10 = 0,992 250 0,1250 0,1247 0,9922 Y10 = 0,125 Y = 1,249 m X = 29,953 m ∆L ∆L YE = Y XE = X 3 3 YE =10,405 m XE =249,610 m
Klotoidin orta nokta koordinatlarının hesaplanması için n=4 alınmalı ve
∆L =
LE − L0 = 62.5 m n
Simpson eşitliği orta nokta koordinatları için b ∆L X = ∫ f(L)dL ≈ x 0 + 4x 1 + x 2 =1.302 m 3 a
[
]
b ∆L y 0 + 4y 1 + y 2 =124.987 m Y = ∫ f(L)dL ≈ 3 a
[
Sinüsoidin asal elemanları τ E = 7.9577 grad ∆R = 1.021m X M = 124.983m YM = 1001.021m TU = 179.442m Tk = 70.769m N = 8.892m T = 249.658m
]
77 SİMPSON KURALI YARDIMIYLA SİNÜSOİD KOORDİNATLARININ HESABI (DOĞRU – DAİRE ARASINDA UYGULANMASI) τ(rad) =
LE (m) 250 m
R (m) 1000 m
n =10 L − L0 ∆L = E n ∆L = 25 m AS=
L2 2L E
2πL − 1 BS = Cos LE LE CS = 4π 2
L (m) 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250
AS 0,000 1,250 5,000 11,250 20,000 31,250 45,000 61,250 80,000 101,250 125,000
1 R
L2 L + E 2 L E 4π 2
BS 0,000 -0,191 -0,691 -1,309 -1,809 -2,000 -1,809 -1,309 -0,691 -0,191 0,000
CS 6,333 6,333 6,333 6,333 6,333 6,333 6,333 6,333 6,333 6,333 6,333
2πL Cos − 1 LE
τ (rad) 0,0000 0,0000 0,0006 0,0030 0,0085 0,0186 0,0335 0,0530 0,0756 0,1000 0,1250
sin τ 0,0000 0,0000 0,0006 0,0030 0,0085 0,0186 0,0335 0,0529 0,0756 0,0999 0,1247
cos τ 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9994 0,9986 0,9971 0,9950 0,9922
m Sinüsoidin orta nokta koordinatlarının hesaplanması için n=4 alınmalı ve
∆L =
LE − L0 = 62,5 m n
Simpson eşitliği orta nokta koordinatları için b ∆L X = ∫ f(L)dL ≈ x 0 + 4x 1 + x 2 = 124.996 m 3 a
[
]
b ∆L y 0 + 4y 1 + y 2 = 0.510 m Y = ∫ f(L)dL ≈ 3 a
[
Klotoidin asal elemanları τ E = 7.9577grad ∆R = 2.603m X M = 124.935m YM = 1002.603m TU = 166.804m Tk = 83.457 m N = 10.487 m T = 249.610m
]
Y (m) Y0 = 0,000 4Y1 = 0,000 2Y2 = 0,001 4Y3 = 0,012 2Y4 = 0,017 4Y5 =0,074 2Y6 =0,067 4Y7 =0,212 2Y8 =0,151 4Y9 =0,399 Y10 =0,125 Y =1,059 m ∆L YE = Y 3 YE=8,823
X (m) X0 =1,000 4X1 =4,000 2X2 =2,000 4X3 =4,000 2X4 =2,000 4X5 =3,999 2X6 =1,999 4X7 =3,994 2X8 =1,994 4X9 =3,980 X10 =0,992 X = 29,959 m ∆L XE = X 3 XE =249,658 m
78 Yapılan uygulamalarda eşit geçiş eğrisi uzunluğu (LE= 250 m) ve bağlanılan daire yarıçapı (R=1000 m) dikkate alınarak sinusoid ve klotoid için büyüklükler hesaplanmıştır. Görüldüğü gibi sinusoid küçük ordinat değerlerine (Y) ve buna bağlı olarak da küçük rakordman payına (∆R) değerlerine sahip olmaktadır. Ayrıca her iki eğride de bitim noktası (E) deki teğet açıları ( τ E ) birbirine eşittir. Yukarıdaki Sinüsoide eğrisine ait τ formülünde cos
2πL işleminde LE
π=180o alınmakta ve formüldeki
diğer π değerleri ise ( π=3,141592654) alınarak τ değerleri elde edilir. Ayrıca sinüsoidde ki rakordman payı için ∆R =
L2E 61,21R
formülüde kullanılmaktadır.
(43)
79 BÖLÜM 5 5.
DÜŞEY KURP(GRADYENT) HESAPLARI
Düşey kurplar ya parabol olarak ya da daire yayı olarak uygulanırlar. Daha çok karesel paraboller kullanılır. Düşey kurplarda kullanılan parabolün denklemi; y=±
x2 2H
şeklindedir. H, parabolün tepe noktasındaki eğrilik yarıçapıdır.
Şekil. 80 Parabolik düşey kurp boyunca bütün uzunluklar yatay olarak ve meyil üzerindeki noktadan düşey kurba olan uzaklıklarda düşey olarak ölçülür. Bu kabulden dolayı meydana gelecek hata, düşey doğrular arasındaki açılması çok az olması nedeniyle çok küçüktür ve ihmal edilebilir. Uygulamada aksi söylenmediği sürece düşey kurplar simetriktir ve teğet uzunlukları birbirine eşittir. Tekne kurb için
y=+
X2 2H
(1)
Tepe kurb için
y=-
X2 2H
(2)
eşitlikleri kullanılmaktadır.
Şekil. 81
80
Şekilde görüldüğü gibi S1, S2 eğimleri farklıdır. Dönüş noktası S kurp üzerindeki en yüksek ve en alçak noktadır. Bu noktalarda eğriye çizilen teğet yataydır. Yani eğim sıfırdır. Bu tanıma göre düşey kurpları işaret değiştirmeyen kurpta dönüş noktası yoktur. X2 2H
y=
y 'a =
y' =
x H
y' =
y' =
Xb H
Xa S = 1 H 100 HS1 100 HS 2 Yb = 100 Xa =
xb =
Xa H
En yüksek ya da en çukur noktaların yeri
Yb S 2 = H 100
Teğetler arasındaki uzaklık
L=
Hm , 100
m = S1 + S 2
K noktasının durumunun tespiti: K(y, x) olsun. K dan geçen ve eğimi S1 olan doğrunun denklemi y − ya = y 'a x − xa
y = y 'a ( x − x a ) + y a
y − yb = y 'b x − xb
y = y 'b ( x − x b ) + y b
y=
x2 2H
ya =
x a2 2H
x 2b
yb =
2H
değerleri yerine konulursa x y 'a = a H
y 'b =
xb H
x2 x2 x xa (x − x a ) + a = b (x − x b ) + b H H 2H H
Bu eşitlik açılıp kısaltmalar yapılırsa, X=
1 (x a + x b ) 2
T=Ta=Tb=
f=
L x a + x b Hm = = 2 2 200
T2 T Hm T HmT mT =T = = = 2H 2H 200 2H 400H 400
81
f=
mT 400
f =( f=
Hm 2 1 H2m2 1 Hm 2 ) = = 200 2H 40000 2H 80000
Hm 2 80000
S noktasındaki koordinat sistemini A noktasına kaydıralım. y=
y=Y+ya y=
x2 2H x a2 2H
Y + ya =
(X + x a ) 2 2H
x=X+xa
Y=
X X 2 + 2Xx a + x a2 X2 − ya = +X a H 2H 2H
Bir düşey kurpta tekne ve tepe durumunda genel eşitlikler aşağıdaki gibidir. Y=X
S1 X 2 + 100 2H
Tekne Durumu için
Y=X
S1 X 2 − 100 2H
Tepe Durumu için
(3) (4)
Düşey kurbun diğer elemanları T =
Xa =
f =
S1 + S
H 2
(5)
2
100
HS1 HS 2 , Xb = 100 100
(6)
T2 2H
(7)
eşitliklerinden elde edilmektedir. Örnek:
B Aliyman
A
Aliyman M
S1=-%4
S S2= %3
K Şekil 82.
82 Parabolik düşey kurpta H=2500 m K noktasının piketajı 370,80 m K noktasının yüksekliği 120,34 m olarak verildiğine göre a- Düşey kurbun asal elemanlarını b- 20 m de bir aplikasyon değerlerini bulunuz. Çözüm:
H S1 + S 2 2500 4 + 3 = = 87.50 m 2 100 2 100 HS1 2500 4 Xa = = = 100 m 100 100
T=
A nın piketajı: 370,80- 87,5 = 283,30 m
HS 2 2500. 3 = = 75 m 100 100 X a + X b = 100 + 75 = 175 m = 2T
Xb =
B nin piketajı: 370,80 +87,5 = 458,30 m Dönüş noktası piketajı: 283,30+100=383,30 m 458,30-75 =383.30 m
f =
T2 87.5 2 = = 1,53 m 2 H 2500 2
A nın kotu: 120,34+ 87,5*0.04 = 123,84 m B nin kotu: 120,34+ 87,5*0.03 = 122,965 m M nin kotu: 120,34+ f = 121,870 m Nokta (A) 283,30 300 320 340 360 (M) 370.80 380 (S) 383.30 400 420 440 (B) 458,30
X 0 16.70 36.70 56.70 76.70 87.50 96.70 100 116.70 136.70 156.00 175
Y=
78.30 75.00 58.30 38.30 18.30 0
0 -0.61 -1.20 -1.63 -1.89 -1.97 -2.00 -2.00 -1.94 -1.73 -1.36 -0.875
S X2 X+ 100 2H
-1.12 -1.125 -1.07 -0.86 -0.48 0
Kot (Hi) =Ha+y 123.840 123.230 122.640 122.210 121.950 121.870 121.840 121.840 121.900 122.110 122.480 122.965
83 Tekne ve tepelerin proje hızına bağlı min. yarıçapları V (km/s) 40 50 60 70 80 100
Hmin (m) Tepe 500 1000 2500 3500 5000 10000
Hmin (m) Tekne 400 800 1500 2000 3000 5000
Açıklama Yalnız yan yollar için Yalnız ana yollar için
İmar planı uygulama kılavuzlarında düşey kurp hesapları için bazı sınırlamalar vardır. Yol cinsi Ana trafik ve trafik caddeleri Ana caddeler Yollar
Boyuna eğim Normal En çok %5 %7 %6 %10 %8 %12
84 BÖLÜM 6 6.
DEVER
Kurba giren araç P=
W V2 g R
(1)
merkezkaç kuvvetinin etkisi altındadır. W V R G
: Aracın ağırlığı : Aracın hızı : Eğrilik yarıçapı : yerçekimi ivmesidir.
Merkezkaç kuvvetinin etkisini araca yavaş yavaş verdirmek için bir birleştirme eğrisi kullanılır. Bu etkiyi ortadan kaldırmak için yolun enine eğimi azar azar azaltılır. Buna “dever” denir. Aynı durum demiryollarında söz konusu olduğunda kurbun dış kenarındaki ray yükseltilir. Karayollarında enine eğim q
V2 tgα = q = 0.00443 R
(2)
eşitliği ile verilmektedir. Yolun aliyman kısmında, iki şeritli yolda, yolun eksenine göre iki yöne yağan yağmur suların akması için dever verilir. Bu dever genellikle %2 dir. Kurpta ise dever merkezkaç kuvvetinin tesirini etkisiz duruma getirecek büyüklüğe ulaşmalıdır. • • •
Önce çatı şeklindeki yol kesiti aynı yönde eğime getirilir. Eğim kurbun başlangıcına kadar azar azar artırılarak istenen eğime ulaşılır. Yolun aynı eğime getirilmesi birleştirme eğrisi başında tamamlanmalı, aynı eğimde istenen eğime geçişte birleştirme eğrisi boyunca sağlanmalıdır. Dever daire boyunca aynen devam eder. Kurptan çıkışta ise, kurba girişteki işlemin tersi uygulanır.
Şekil 83. Dever
85
Şekil.84. Şekildeki d uzaklığı, yani çatıdan aynı eğime geçiş için gerekli olan uzaklık profil kesitten şöyle hesaplanır.
qa q d /2 d 2 = → a = q d / 2+ L q 2 d + 2L qa d +qa 2L = q d 2qaL=d(q-qa) d=
2q a L q − qa
Örnek 1: qa= %2, q=%6, L=60 m. Çatı durumunda aynı eğime geçiş için gerekli olan q uzaklığını hesaplayınız. 22 d= 60 = 60 m 6−2 Örnek 2: qa= %2, q=%5, L=60 m d=
22 60 = 80 m 5−2
Birleştirme eğrisinin bulunmaması durumu Eğer yolda birleştirme eğrisi yoksa bu durumda yine dever verilir. Fakat rakordman boyunun (yaklaşım boyu) 2/3 ü yolun aliyman kısmında, 1/3 ü ise kurb içine alınır. Rakordman boyu L ise L = 0.0354
V3 R
eşitliği ile bulunur. 45 den küçük rakordman boyları 45 m olarak alınır. Rakordman dış kenarındaki yükselme lineer olarak yapılır. Buna göre rakordman başlangıcından itibaren herhangi bir l uzaklığındaki deverin değeri qx,
86 q x = q a + (q − q a )
l L
eşitliğinden bulunur. Normal olarak qa nın değeri -%2 dir. Örnek 3: qa= -%2, q=%6, L=45 m olduğuna göre l=32 m için qx değeri nedir? 32 q x = −0.02 + (0.06 + 0.02) 45
Rakordman ve dever tafsilatı:
Şekil 85. Örnek 4:
Şekil 86. a. V=80 km/h olduğuna göre max deveri bulunuz b. Rakordman boyu 60 m olduğuna göre D’den 50 m sonraki bir noktada dever değerini bulunuz.
87 e=
a).
0.00443.80 2 = 0.0567 = 0.06 500
dkm = 3150-40=3110=3+110
a)
Dever diyagramı
Şekil 87. 8 2 60.2 = →X= = 15m 60 X 8 6 45 = → P1P 2 = 5m P1P 2 35
qx = P1P2 = % 35 qx=qa+(q-qa)
l 50 = −0.02 + (0.06 + 0.02) = 0.0467 L 60
Örnek 5:
Şekil 88. Verilenler: Km A=5+150 R=500 m
a- C nin kilometrajı b- Rakordmanın uçları D, B, E,F’nin kilometreleri
γ = 30 o V=100 km/h L= 60 m
c- D den 30 m (kurp yönündeki) ilerideki noktada dever durumu d- deverin % 5 olduğu yerin kilometrajı
Çözüm a-
b-
AC =
2πR 30 = 261.80 m 360 57.5
Km C = 5150+261,80=5+110 Km D = Km A–40 = 5150–40=5+110 Km B= Km A+20=5150+20=5+17080 Km E= Km C – 20 = 5411,80 – 20 = 5+391 Km F = Km C + 40 =5+45180
88 c-
e=
0,00443V 2 0.00443.100 2 = = 0.09 R 500 0.11 60 = 0.02 X X = 10.91 m 30 − 10.91 = 19.09 m
Şekil 89. qx 19.09 = → q x = 0.035 0.02 10.91 30 q x = −0.02 + (0.09 + 0.02) = 0.035 60 X2 0.05 0.050.10,91 = → X2 = = 27,28 m 0.02 10.91 0,02 d- Km K = KmD + 10.91 + 27.28 = 5110 + 38.19 = 5148 Km K = 5 + 148 49
Örnek 6:
Şekil 90. a. Max. Deveri ve yaklaşım boyu uzunluğunu bulunuz. b. Yaklaşım boyunun ve noktalarının (D, E,F,G) kilometrajlarını bulunuz. c. D noktasından 60 m ötedeki dever değerini bulunuz.
a-
q = tgα = 0.00443
L = 0.0354
V2 = 0.09 R
V3 = 65.52 400
D=
2πR γ = 201.95 m 400
89
2 2 L = 5145 − 64.52 = 5145 − 43.01 = 5101.99 m 3 3 1 1 Km E = KmA + L = 5145 + 64.52 = 5145 + 21.51 = 5166.51 m 3 3 1 KmF = KmC − L = 5346.95 − 21.51 = 5325.44 m 3 2 KmG = KmC + L = 5346.95 + 43.01 = 5389.96 m 3
b-
Km D = KmA −
c-
q x = q a + (q − q a )
d-
qx = % 8
l 60 = −0.02 + (0.09 − (0.0299)) 2 64.52
90 BÖLÜM 7 7.
ŞEV KAZIKLARININ ÇAKILMASI (TOTANMAN HESAPLARI)
Bir dik üçgenin dik kenarı ∆h ve dik kenarlar arasındaki oran a/∆h=k biliniyorsa, a ile b kenarlarının kesim noktaları, diğer bir ifade ile a kenarı A= k. ∆h
(1)
Şekil 91. b kenarının eğimi ve ∆h aynı kalırken, a kenarının eğimi değiştirilirse a ve b’ nin kesim noktası aşağıdaki şekilde bulunabilir.
Şekil 92. a kenarının yatay olmaması a kenarının eğiminin ne şekilde değiştiği bilinmiyorsa, a ile b’nin kesim noktası arama ile bulunabilir. 1) a1 kenarının yatay olduğu düşünülerek (1) bağıntısından a1=k. ∆h bulunursa, C noktası T noktasına A’ dan daha yakındır. 2) ∆h1 ölçülebilirse a2=k. ∆h1 olur ve D noktası bulunur. 3) Bu kez ∆h3 ölçülürse a3=k. ∆h2 den bulunur. Bu işleme a sıfıra yaklaşıncaya kadar devam edilir. T’ nin yeri bu şekilde basamaklama metodu ile bulunabilir. Şev kazıklarının çakılmasında temel prensip şudur: Arazide a kenarı araziye, b kenarı da eğimi belli olan şeve karşılık gelir. Arazide a kenarının kırıklı olması problemin çözümüne herhangi bir değişiklik getirmez. Şev kazıklarının çakılabilmesi için, şev kazığı çakılacak enine kesitin bilinmesi gerekir.
91 DOLGU DURUMU a0 h0 a m0 m K
:Yarı platform genişliği :Dolgu yüksekliği :Şev kazıklarının platform kenarına uzaklığı :Eksen kazığındaki mira okuması :Platform kenarındaki mira okuması :Eğim oranı (Yatayın düşeye oranı)
Şekil 93. Dolgu durumu dır. Şekil 93’den ∆h= m0+ m1+ h0
(2)
dan bulunur. Eğer koşullar uygunsa enine kesit üzerindeki tüm mira okumaları nivo yerinden kaldırılmadan yapılmalıdır. Değilse gerektiği zaman nivonun yeri değiştirilir. ∆h bulunduktan sonra a1=∆h. k1 bağıntısından bulunur. Arazide bu uzunluk kadar alınır ve m3, m2 mira okumaları yapılır. Sonra ∆h1=m3-m2 bulunur ve a2=k1- ∆h1 hesaplanır, araziye uygulanır, m4 okuması yapılır. ∆h değeri ∆h2=m4-m3 hesaplanır. İşleme ∆hi değeri sıfır oluncaya kadar devam edilir. Eğer herhangi bir aşamada ∆h değeri pozitif iken negatife dönüşürse hesaplanan ai değeri geriye doğru alınır. Böyle bir duruma arazinin eğiminin değişiklik gösterdiği durumlarda rastlanır. Örnek: Verilenler: h0=2.70 m, k=3/2, a0=5.00 m Çözüm: Önce eksen kazığında m0 ve enine kesit doğrultusunda a0=5 m alınarak m1 okumaları yapılır. Bu okumalar m0=1.20 m ve m1=3.55 m olsun. ∆h hesaplanır.
Şekil 94.
92 ∆h= m1-m0+h0=3.55–1.20+2.70=5.05 a1=k. ∆h=3/2. 5.05=7.58 A’ dan itibaren enine kesit doğrultusunda 7.58 m alınır. A ile C’ de mira okumaları yapılır. m3=2.26 ve m2=1.48 okumaları yapılmıştır. ∆h1 ve a2 değeri ∆h1= m3-m2=2.26-1.48=0.78 m a2=k. ∆h1=3/2. 0.78=1.17 m olarak hesaplanır. Sonra C’ den itibaren enine kesit doğrultusunda a2=1.17 m alınır. D’ de m4=2.54 mira okuması yapılır. ∆h2= m4-m3=2.54–2.26=0.28 m a3=k1. ∆h2=0.42 m D’ den itibaren 0.42 m alınır. Bulunur. Bu noktada m5=2.60 okuması yapıldıktan sonra ∆h3= m5-m4=2.60–2.54=0.06 m a4=k1. ∆h3=0.09 m elde edilir. Noktanın yeri yaklaşık olarak bulunmuş demektir. E’ den itibaren 0.09 m alınıp işlem devam edeceği gibi E’ den itibaren 0.10–0.12 m uzağa (F noktası) şev kazığı çakılabilir. Örnek: Verilenler: h0=2.70 m, k=3/2, a0=5.00 m
Şekil 95. Önce m0 ve m1 mira okumaları yapılır, ∆h hesaplanır. m0=1.82 m, m1=1.38, ∆h= m1-m0+h0=2.26, a1=k1. ∆h=3.39 A’dan itibaren enine kesit doğrultusunda 3.39 m alınır. Bulunan B’de m2=0.83 m okuması yapılır. ∆h1= m2-m1=0.83–1.38=-0.55 m, a2=k1. ∆h1=3/2. (-0.55)=-0.82 m a2 negatif çıktığı için B’den itibaren A’ya doğru 0.82 m alınarak C bulunur ve m3=1.03m okunur. ∆h2= m3-m2=1.03-0.83=0.20 m, a3=0.30 m C’den itibaren B doğrultusunda 0.30 m alınarak D bulunur ve m4=0.99 m okunur. ∆h3= m4-m3=0.99-1.03=-0.04 m, a4=3/2. (-0.04)=-0.06 m
93 a4 negatif çıktığı için E noktası, D’den itibaren A doğrultusunda 0.04 veya 0.05 m alınarak E bulunur. Bu nokta şev kazığının çakılacağı nokta olarak belirlenir. Eğer kesit dolgu olduğu halde kazığında yarma varsa (Şekil 96) ∆h’ın değeri ∆h= m1-m0+h0 bağıntısından bulunur.
Şekil 96. Dolgu kesitte eksen kazığında yarma olması Arazi düz ise, şev kazığı platform kenarına mira tutulmadan da işaretlenebilir (Şekil 97).
Şekil 97. Şev kazığının yarı platform genişliğine mira tutulmadan işaretlenmesi Şev kazığının eksen kazığına uzaklığı a=a0+ a1 a1= (m1-m0+h0).k1 ve a= a1+(m1-m0+h0).k1 eşitliğinden bulunur. Bu eşitlikte hem m1, hem de a bilinmediğinden eşitlik ancak deneme ile sağlanır. Bu şekilde çözüme “Totanman” denir. Bu durumu bir örnekle açıklarsak: Verilenler: h0=2.70, k1=3/2, a0=5.00 m a için ilk tahmini değeri 9 m olsun. m0=2.62 ve m1=3.38 okumaları yapılsın. a =500+(3.38–2.62+2.70).3/2=10.19 m Bulunan değer seçilen değerden büyük olduğu için, aynı doğrultuda eksenden 11.00 m uzağa mira tutulur. m2=3.65 okuması yapılır. Buna göre: a=500+(3.65–2.62+2.70).3/2=10.60 m elde edilen değer 11.00 m’den küçük olduğundan eksene daha yakın bir nokta, örneğin 10.50 m uzaklıkta bir nokta seçilir. m3=3.60 okunur. a=500+(3.60–2.62+2.70).3/2=10.52 m tahmin edilen değer yaklaşık elde edildiğinden, şev kazığı bu noktaya çakılır.
94 YARMA DURUMU Yarma durumunda prensip aynıdır, yalnız kesitin şekli değişir. Yarmada a0 değeri a0=ax+∆a
(3)
eşitliğinden bulunur. axyarı platform genişliği, ∆a hendek genişliğidir.
Şekil 98. Yarma Durumu
Şekil 99. Hendek üstü genişliğinin bulunması Hendek genişliği k2 ve k3 oranları ile h hendek derinliğine bağlıdır. ∆a=h (k2+k3) Eğer k2=1/1, k3=4/1 ve h=0.50 ise ∆a=0.50 (1/1+4/1)=2.50 m
(4)
olur. ∆h ise ∆h=h0-(m1-m0)= h0-m1+m0 eşitliğinden bulunur. Diğer işlemler aynı dolgu durumunda olduğu gibidir. Örnek: Verilenler: h0=1.45, k2=1/1, k3=4/1, (Şekil. 96) h=0.50, a0=5.00 m Çözüm: a0=ax+∆a=5.00+0.50(1/1+4/1)=7.50 m Eksen kazığından 7.50 m uzağa mira tutularak m1=2.35 ve eksen kazığında m0=1.62 okumaları yapılır. ∆h= 1.45–2.35+1.62=0.72 m bulunur. k2=1/1 olduğundan
95 a1= ∆h. k2=0.72 olur. Mira 0.72 m uzağa tutulur, m1=2.50 m okuması yapılır. ∆h1=m2-m1=2.50–2.35=0.15 a2= ∆h1. k2=0.15. 1/1=0.15 işleme bu şekilde devam edilerek a’nın sıfır olduğu yer bulunur. Bu tür çalışmalarda birkaç cm.lik yaklaşımlar kabul edilebilir. Eğer yarma durumunda, eksen kazığında dolgu varsa ∆h=m0-h0 olur.
Şekil 100. Yarma kesitte eksen kazığında dolgu olması Yani h0 değeri negatif olarak alınır. a=a0+(m0-m1-h0). k2 eşitliğini sağlayıncaya kadar işlem yapılarak şev kazığının yeri belirlenir. Burada a0, yarı platform genişliği+hendek üstü genişliğidir. DEVER OLMASI DURUMU: Birinci sınıf yollarda yola verilecek dever ve kaplama dikkate alınır. Ve hesaplar buna göre yapılır.
Şekil 101. Şevli kaplamalı dolgu kesit Örneğin dolgu durumunda, kaplama yüksekliği 0.25, dever %2, platform genişliği 13 m, şev eğimi 3/2 ise X=0.25. 3/2=0.38 m dir. Kaplama konulabilmesi için açılabilecek yol genişliği 6.50+0.38=6.88 m ve dh=6.88. 0.22=13.8 cm≈14 cm
96 dir. h0 dolgu yüksekliği hesaba katılırken dh değerinin bu değerden çıkartılması gerekir. Dolgu yüksekliği projeden alınır. Yolun aliyman kısmında kesit Şekil 101’deki gibi olduğu halde kurp veya rakortman Şekil 102’deki gibidir.
Şekil 102. Kurpta dever Yarıyol genişliği: 6.50+0.38=6.88 m dir. dh1 ve dh2 değerleri dh1=6.88. q1 dh2=6.88. q2 bağıntılarından hesaplanır. dh'lar q1 ve q2’nin işaretlerine göre pozitif veya negatif değer alırken Şekil 102’de yol eksenin sağı -%4, solu %4 eğimindedir. Bulunan dh’ler projeden alınan h0 yüksekliğine eklenir. Buna göre dh1=6.88. (-%4)=-0.28 dh2=6.88. (%4)=0.28 olur. Projeden alınan h0=2.60 ise burada Yolun sağı için h0=2.60–0.28=2.32 m Yolun solu için h0=2.60+0.28=2.88 m olmaktadır. Dolgu durumunda şev eğimi dolgu yüksekliğine göre verilmektedir. Örneğin: H<1.50 m için şev 4/1 1.50≤H<3.00 m için şev 3/1 3.00≤H<5.00 m için şev 2/1 H≥5.00 m için şev 3/2 alınmaktadır. Yarma durumunda yarma genişliği = 13 m, Hendek şevi= 4/1 kaplama yüksekliği = 0.25 yarma şevi=1/1 hendeğin kaplama altındaki derinliği =0.50 m, dever=%2 ise x Buna göre a0 x=0.25. 4/1=1.00 m olur. a0=7.50+2.50=10.00 m dh=7.50. 0.02=15 cm olur. Projeden alınan h0 değerine dh eklenerek kullanılacak h0 bulunur. Burada deverin eğimi negatif, dh’nın da değeri negatif olduğundan elde edilen değer h0 değeri ile toplanmıştır.
97 BÖLÜM 8 8.
TÜNEL APLİKASYONU
8.1
TÜNEL EKSENİNİN JALONLARLA BELİRLENMESİ
Şekil 103. A ve B tünelin uç noktaları olsun. A ve B den geçen düşey düzlemde tepe üzerinde jalonlarla doğrultuya girmek suretiyle bir C noktası belirlenir, sonra A ve B noktalarına kurulan teodolitlerle I ve II jalonları hassas bir şekilde doğrultuya sokulur. C noktasına kalıcı bir direk dikilir. C noktasına yöneltilen teodolitlerin gözlem eksenleri tünel ekseninden geçen düşey düzlem içerisindedir. AC ve BC uzunlukları elektronik uzaklık ölçerlerle ölçülür. A ve B arasındaki ∆H yükseklik farkı gidiş-dönüş nivelmanı yapılarak belirlenir. Teodolitin optik eksenine verilecek eğim
tan α =
∆H AB
eşitliğinden hesaplanır. Tünel açılması işine iki taraftan başlanır. A ve B noktalarına teodolitler kurulur. C deki işarete bakılır. Aletlerin yatay hareket vidaları kapatılır. Teodolitin gözlem ekseni α eğim açısına getirilir. Gözlem eksenleri doğrultularında tünel açılır. A ve B noktaları bir tepe tarafında ise ve AB doğrultusunda tinel açılacaksa ve tünelin her iki ucundan kazı işlemine başlanacaksa tepenin diğer tarafında AB doğrultusu üzerinde C ve D noktaları işaretlenir.
Şekil. 104-a
98
Şekil. 104-b Bunun için Şekil 102-a’da görüldüğü gibi AB doğrultusu üzerinde teodolit ile doğrultu verilerek bir R noktası işaretlenir. Teodolit R noktasına kurularak A, B noktalarına yöneltilir. Yatay hareket vidası sıkıştırılır. Dürbün yatay eksen etrafında döndürülerek AB doğrultusu üzerinde bir P noktası işaretlenir. Şekilde görüldüğü gibi bu işlem teodolitin iki dürbün durumunda yapılır. P1 ve P2’nin orta noktası P olur. Sonra Şekil 102-b’de görüldüğü gibi teodolit P noktasına kurulur. A, B noktalarına bakılır. Alet 200g döndürülür. Tepenin diğer tarafında dürbünün iki durumunda C ve D noktaları işaretlenir. Tünel ekseninin eğimi için AP ve DP uzaklıkları ölçülür. A ve D noktaları arasındaki yükseklik farkı ∆H nivelmanla belirlenir, α eğim açısı hesaplanır. Teodolit A noktasına kurulur. Gözlem ekseni B’ye yöneltilir. Düşey daireye α eğim açısı verilir. Gözlem ekseninin tepeyi deldiği nokta tünelin kazı işi için giriş noktasıdır. D noktasında aynı işlem yapılır. α eğim açısı teodolite verilir. Tünelin diğer taraftaki G2 giriş noktası bulunur. Şekilde A noktasında eğim (-), D noktasında eğim (+) dır. Eğer tepenin üzerinde tek P noktasından tepenin iki yanını görmek mümkün olamıyorsa bu kez tepe üzerindeki aşağıdaki Şekil. 103’de görüldüğü gibi aynı düşey düzlem içerisinde ard arda yeteri kadar P noktaları alınır. En son P noktasından C, D işaretlenir.
Şekil 105.
99 8.2
TÜNEL EKSENİ DOĞRULTUSUNUN POLİGONLARLA BELİRLENMESİ
Çok kısa tüneller yukarıdaki yöntemle belirlenir. 1500 m den kısa tünellerde tünelin A ve B uç noktaları bir poligon güzergâhı ile birbirine bağlanır. Poligon
Şekil 106. güzergâhının Si kenarları elektronik uzaklık ölçerlerle, βi kırılma açıları en az iki tam silsile olarak ölçülür. AP1 doğrultusu X ekseni olarak alınır. A’nın koordinatları herhangi bir değer ya da (0,0) alınır. Poligon hesabı yapılır. A ve B’nin koordinatlarından (AB) açıklığı hesaplanır. φ ve ψ aplikasyon açıları φ= (AB)-(AP1) ψ= ( BP4)-(BA) eşitliklerinden hesaplanır. Teodolit A noktasına kurulur. P1 başlangıç alınır. Teodolit φ açısı kadar döndürülerek temel eksen doğrultusu belirlenmiş olur. Aynı şekilde tünelin diğer ucunda B’ye kurulan teodolit P4 başlangıç alınır. Teodolit ψ açısı kadar döndürülerek tünel ekseni belirlenmiş olur. Tünel açma işine iki taraftan başlanır.
Tanα =
∆H AB den hesaplanır. AB
ÖRNEK
Şekil 107.
100
Nokta A B
Y 17887.25 17985.09
S1 = 87.21 S2 =121.90 S3 = 53.65 S3 = 89.01 S4 = 94.15 S5 = 86.81
NN A P1 P2 P3 P4 P5 B
X 3178.07 2785.42
β1 = 207g.2659 β2 = 288g.1686 β3 = 190g.3989 β4 = 213g.7529 β5 = 204g.3459
β
α
S
∆Y
∆X
207.2659 288.1686 190.3989 213.7529 204.3459
0.0000 7.2659 95.4345 85.8334 99.5863 103.9322
87.21 121.90 53.65 89.01 94.15 86.81
0.00 13.88 53.51 86.82 94.15 86.84
87.21 121.11 3.83 19.64 0.61 -5.36
tan (AB) =
335.00 − 0.00 227.04 − 0.00
(AB) = 62.0814
φ = (AB) – (AP1) = 62.0814 tan (BP5) =
248.36 − 335.00 (BP) = 303.9334 232.4 − 227.04
ψ = (BP5) – (BA) = 41.8520 φ = 62.0814 ψ = 41.8520 bulunur.
Y 0.00 0.00 13.88 67.39 154.21 248.36 335.00
X 0.00 87.21 208.32 212.15 231.79 232.40 227.04
101 8.3
NİRENGİ YÖNTEMİ İLE TÜNEL APLİKASYONU
1500 m den uzun tünellerin aplikasyonunda nirengi yöntemi uygulanır. Tünel uç noktaları arasına uygun üçgenlerden oluşan ya zincir ağ yada karışık nirengi ağı tesis edilir. Teknik yönetmelik esaslarına uygun olarak açı ve kenar ölçüleri yapılır. Dengeleme yapılarak, nirengi noktalarının kesin koordinatları elde edilir.
Şekil 108. Şekilde görüldüğü gibi bir nirengi ağı kurulur. Memleket koordinat sistemine bağlı olarak veya yerel bir koordinat sistemi kullanarak nirengi noktalarının koordinatları elde edilir. Açıklıklardan, φ = (A1) – (AB) ψ = (B3) – (BA) aplikasyon açıları hesaplanır. Tünelin eğimi A, B noktalarının yükseklik farkları ile AB uzunluğundan hesaplanır. 8.4
TÜNEL İNŞAATI SIRASINDA YAPILACAK İŞLER VE APLİKASYON
Tünel inşaatı sırasında, tünel uç noktaları arasındaki doğru, inşaat aşamalarına bağlı olarak kısa doğru parçaları şeklinde aplike edilir. Aplikasyona tünel giriş noktalarından başlanır. A ve B arasındaki noktalarda poligon açıları 200 grad olarak devam eder.
Şekil 109. A, B : Tünel giriş noktaları 1, 2, 3 : Ara aplikasyon noktaları I, II : Ana aplikasyon noktaları Ana aplikasyon noktaları galeri ≈ 1500 m ilerledikten sonra tesis edilir. Doğrultular saniye teodoliti ile verilir. Günümüzde laser teodolit kullanılmaktadır. Tünel açılması sırasında ara aplikasyon noktaları ana aplikasyon noktalarına bağlanır.
102 Günümüzde tünelin başlangıç tarafındaki A,1 noktalarının ve tünelin son tarafındaki B,3 noktalarının koordinatlarının GPS tekniği yöntemi ile belirlenmesi yeterlidir. Bir zincir ya da santral ağ kurmaya gerek yoktur. Diğer işlemler yani aplikasyon aynı şekilde yapılmaktadır. Aplikasyon çalışması sırasında tünel ekseninin kotları geometrik nivelmanla devamlı izlenir. Hataların yayılması kritik özellik taşır. Enine hata;
q=
m n D p 3
eşitliğinden hesaplanır. q m D n d
Enine hata (metre biriminden) Açı hatası (saniye biriminden) Tünelin uzunluğu (metre biriminden) Ana noktalar arasındaki parça sayısı, n=D/d Ana noktalar arasındaki uzaklıklar
Ana noktalar arasındaki uzaklık arttıkça enine hata q azalmaktadır. ÖRNEK D= 10 km, m= 20cc ise d nin değişik değerlerine göre enine hata q nun değerleri şöyledir. d= 50 m için
q=
200 20 10000 = 2.56m 3 636620
d= 100 m için
q=
100 20 10000 = 1.81m 3 636620
d= 500 m için
q=
20 20 10000 = 0.80m 3 636620
Tünel ortasında doğrultu hatası, yani enine sapma, aşağıdaki çizelgede verilen değerleri aşmamalıdır. Tünel Uzunluğu(m) Max. Kabulabilir Hata(cm) 8.5
500
1000
2000
4000
6000
8000
16
21
27
36
44
50
TÜNELDE KURP APLİKASYONU
Tünel ekseninin bir kısmı kurp olmaktadır. Tünelin iki başındaki doğrultular proje şartı olarak arazide verilir. Şekil 108 de bunun basit bir örneği görülmektedir. Arazide verilen doğrular MN ve PQ dur. Bu doğruların kesim noktası S olup arazinin arızalı olmasında dolayı yayına varılamayan bir noktadır. G1,G2 A,C P1, P2, P3, P4
Tünelin giriş noktaları Kurbun başlangıç ve bitim noktaları Kurp ara noktaları olup, bu noktaların hepsi tünel inşaatı sırasında aplike edilecektir.
103
Şekil 110. Sıra ile aşağıdaki yol izlenir; 1) 2) 3) 4)
MN ve PQ doğruları arasındaki α açısı hesaplanır. NS ve SP uzunlukları hesaplanır. T = AS = CS teğet boyları hesaplanır. N ve P arasında prezisyonlu nivelman yapılır.
1 ve 2 nin yapılabilmesi için yer üstünde N,1,2,P poligon güzergahı oluşturulur. Bu güzergahın açı ve kenarları ölçülür. Buradan α = 4*200 – (βN + β1 + β2 + β3 ) olur. N,1, 2, P poligon güzergahının koordinat hesabı yapılır. δ = (N1) – (NP) γ = (PN) – (P2) NP =
(YN − YP ) 2 + ( X N − X P ) 2
θ1 = 200 - βN + δ θ2 = 200 – βP + γ β = 200 – α SP =
Sinθ 1 NP, Sinα
SN =
Sinθ 2 Sinα
Daire yarıçapı projeden bilinir. T = R tan
α 2
NA = SN - R tan CP = SP - R tan
α 2
α
2
eşitlikleri ile aliymandaki tünel açma uzunlukları bulunur. 4, N, P arasında gidiş dönüş nivelmanı yapılır ve ∆H hesaplanır.
104 Kurp uzunluğu
AC = R
α ρ
dan hesaplanır. N, P arasındaki uzunluk; L = NA + AC + CP ile hesaplanır. Tünel ekseninin eğimi, m=
∆H L
dir. Tünelin aliyman (doğrusal) kısmında gözlem ekseni m kadar eğimlendirilir. Kurpta φ açısına karşılık gelen yay uzunluğu b ile, kiriş uzunluğu ise S ile gösterilirse A’dan P1’e, P1’den P2’ye, P2’den P3’e, P3’den P4’e, P4’den de C’ye gözlem ekseni, tan γ =
b b ∆H m= s s L
kadar eğimlendirilir. P1, P2, P3, P4 kurp ara noktalarının kiriş boyu S olduğuna göre φ merkez açısı,
Sin
ϕ 2
=
S R
eşitliğinden hesaplanır.
S = 2 RSin NN A
ϕ 2
eşitliği kullanılır. Aplikasyon elemanları aşağıdaki şekilde hesaplanır. Aplikasyon Açısı 200 -
ϕ 2
1
200 -
ϕ
2
200 -
ϕ
C
200 -
ϕ 2
Aplikasyon Uzunluğu
2 RSin 2 RSin 2 RSin 2 RSin
ϕ 2
ϕ
2
ϕ
2
ϕ
2
105 BÖLÜM 9 9.
YOL APLİKASYONU ÖDEVİ A 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Yol geçilecek arazinin haritası Yol ekseninin geçirilmesi Şablonlar yardımı ile kurp yarıçapının belirlenmesi Yolun başlangıç ve bitim noktaları ile some noktalarının koordinatlarının paftadan grafik olarak sayısallaştırılması Koordinatlardan aliymanların uzunlukları ve açıklık açılarının hesabı Açıklık açıları farkından some noktalarındaki sapma açılarının hesabı Yatay kurpların asal elemanlarının (t, D, BS=f) hesabı Yolun boyu, kurbun başlangıç ve bitim noktalarının kilometrajlarının hesabı Kurp uç noktaları dik koordinatlarının, some noktalarının koordinatları ile teğet boylarından hesabı. Ayrıca bisektris noktasının koordinatlarının hesabı. Dik koordinat yöntemine göre 20 m aralıklarla kurp ara noktalarının aplikasyon elemanlarının hesabı
B 1. Yolun boykesitinin çıkarılması (Yükseklikler paftadan alınacak) 2. Kırmızı kotun çizilmesi 3. Düşey kurbun tesbit edilmesi ve kurp hesabı (H=1000-2000 m) C 1. Dever diyagramının çizilmesi D 1. Kurbun iki ucuna yakın yerlerde poligon noktalarının işaretlenmesi (Poligon noktaları paftadan okunacak. Poligon kenarı hesapla bulunacak. Bulunan kenar birkaç cm değiştirilerek arazide ölçülmüş kenar gibi elde edilecek.) 2. Poligon noktalarına göre kurp ara noktalarının aplikasyon elemanlarının hem dik koordinat, hem de ışınsal yönteme göre hesaplanması.
106
1 / 1000
107 AB YOLU GEÇKİ EKSENİ
Şekil 111.
Başlangıç Noktası Some Noktası Some Noktası Some Noktası Bitim Noktası
KOORDİNAT ÇİZELGESİ Nokta No Y(m) A 10761.50 S1 10753.40 S2 10777.80 S3 10721.00 B 10737.50
X(m) 7178.30 7101.50 6996.50 6947.20 6853.00
Açıklık Açıları ve Aliymanların Uzunlukları tan (AS1) =
YS 1 − Y A X S1 − X A
(AS1) = 206g.6896
:
AS1 = 77.23 m
tan (S1S2) =
YS 2 − YS 1 X S 2 − X S1
(S1S2) = 185g.4642
:
S1S2 = 107.80 m
tan (S2S3) =
YS 3 − YS 2 X S3 − X S2
(S2S3) = 254g.4927
:
S2S3 = 75.21 m
(S3B) = 188g.9610
:
S3B = 95.63 m
tan (S3B) =
Y B − YS 3 X B − X S3
SAPMA AÇILARI
γ1 γ2 γ3
= (AS1) - (S1S2) = (S2S3) - (S1S2) = (S2S3) - (S3B)
γ1 γ2 γ3
= 21g.2254 = 69g.0285 = 65g.5327
108 KURP YARIÇAPLARI R1 = 90.00 m R2 = 35.00 m R3 = 55.00 m YATAY KURP ASAL ELEMANLARININ HESABI t1 = tan R1 tan t2 = tan R2 tan t3 = tan R3 tan
γ1
t1 = 15.14 m
2
γ2
t2 = 21.08 m
2
γ3
t3 = 31.10 m
2
D1 =
2πR1 γ1 400
D2 =
2πR 2 γ2 400
D2=37.95 m
D3 =
2πR3 γ3 400
D3=56.62 m
f1 =
f2 =
f3 =
D1=30.01 m
R1 - R1 γ1 Cos 2 R2 γ Cos 2 2
f1= 1.27 m
- R2
f2 = 5.86 m
R3 - R3 γ3 Cos 2
f3= 8.19 m
NN
R (m)
1 2 3
90.00 35.00 55.00
γ
(g)
21.2254 69.0285 65.5317
T (m)
D (m)
f (m)
15.14 21.08 31.10
30.07 37.95 56.62
1.27 5.86 8.19
YATAY KURP BAŞLANGIÇ VE BİTİM NOKTALARININ KİLOMETRAJLARI Km A = 0 + 22 Km A1= Km A +AS – t1 Km C1= Km A1+D1 Km A2= Km C1 +S1S2 – t1 –t2 Km C2= Km A2 +D2 Km A3= Km C2 +S2S3 – t2 – t3 Km C3= Km A3 +D3 Km B3= Km C3 +S3B – t3
Km A = 0 + 22 Km A1= 0 + 084.90 Km C1= 0 + 114.10 Km A2= 0 + 185.68 Km C2= 0 + 223.63 Km A3= 0 + 246.66 Km C3= 0 + 303.28 Km B = 0 + 367
109 YATAY KURP BAŞLANGIÇ VE BİTİM NOKTALARININ KİLOMETRAJLARI YA1 = YA + AA1 Sin (AS1) XA1 = XA + AA1 Cos (AS1) YC1 = YS1 + t1 Sin (S1S’) XC1 = XS1 + t1 Cos (S1S2) YA2 = YS1 + S1S2 – t2 Sin (S1S2) XA2 = XS1 + S1S2 – t2 Cos (S1S2) YC2 = YS2 + t2 Sin (S2S3) XC2 = XS2 + t2 Cos (S2S3) YA3 = YS2 + S2S3 – t3 Sin (S2S3) XA3 = XS2 + S2S3 – t3 Cos (S2S3) YC3 = YS3 + t3 Sin (S3B) XC3 = XS3 + t3 Cos (S3B)
YA1 = 10754.99 m XA1 = 7116.55 m YC1 = 10756.83 m XC1 = 7086.75 m YA2 = 10773.03 m XA2 = 7017.03 m YC2 = 10761.88 m XC2 = 6982.68 m YA3 = 10744.49 m XA3 = 6967.59 m YC3 = 10726.37 m XC3 = 6916.57 m
BİSEKTRİS NOKTALARININ KOORDİNAT HESABI B1 için
X1 = R1 Sin ( γ 1 /2)
B2 için
Y1 = 1.25 m
X2 = R2 Sin ( γ 2 /2)
X2 = 18.06 m
Y2 = R2 Sin ( γ 2 /4)
Y2 = 5.02 m
X3 = R3 Sin ( γ 3 /2)
X3 = 27.07 m
Y3 = R3 Sin ( γ 3 /4)
Y3 = 3.56 m
2
B3 için
X1 = 14.93 m
Y1 = R1 Sin ( γ 1 /4) 2
2
KURP ARA NOKTALARININ APLİKASYON ELEMANLARI HESABI (Dik Koordinat Yöntemine Göre) I.Yatay Kurp İçin ε1 =
100 − 84.09 ρ = 11g.2540 90.00
ε2 =
114.10 − 100 ρ = 9g.9739 90.00
X1 = R1 Sin ε1 = 15.83 m X2 = R1 Sin (ε1+ ε2) = 29.46 m II.Yatay Kurp İçin ε1 =
200 − 185.68 ρ = 26g.0468 35
ε2 =
220 − 200 ρ = 36g.3783 35
εn =
223.63 − 220 ρ = 6g.6026 35
Y1 = 2R1 Sin2 (ε1/2) = 1.40 m Y2 = 2R1 Sin2 (ε1+ ε2)/2 = 4.96 m
110 X1 = R2 Sin ε1 = 13.92 m X2 = R2 Sin (ε1+ ε2) = 29.08 m X3 = R2 Sin (ε1+ ε2 + εn) = 30.94 m
Y1 = 2R2 Sin2 (ε1/2) = 2.89 m Y2 = 2R2 Sin2 (ε1+ ε2)/2 = 15.52 m Y3 = 2R2 Sin2 (ε1+ ε2 + εn)/2 = 18.64 m
III.Yatay Kurp İçin ε1 =
260 − 246.66 ρ = 15g.4409 55 280 − 260 ρ = 23g.1498 55
ε=
εn =
303.28 − 300 ρ = 3g.7966 55
X1 = R3 Sin ε1 = 13.21 m X2 = R3 Sin (ε1+ ε) = 31.34 m X3 = R3 Sin (ε1+ 2ε) = 45.36 m X4 = R3 Sin (ε1+ ε + εn) = 47.14 m
Y1 = 2R3 Sin2 (ε1/2) = 1.61 m Y2 = 2R3 Sin2 (ε1+ ε)/2 = 9.80 m Y3 = 2R3 Sin2 (ε1+ 2ε)/2 = 23.90 m Y4 = 2R3 Sin2 (ε1+ ε + εn)/2 = 26.66 m
DÜŞEY KURP HESABI Düşey kurp için;
H=1000 m hA=98.00 m hB3=84.50 m hB=90.00 m
S1= tan α1=
∆H A − B3
S1= – %5.337
S2= tan α2=
∆H B − B3
S2= %5.924
T=
A – B3=252.97 m B3 – B=92.84
H S1 + S 2 = 56.31 m 2 2
Xa=
HS1 = 53.37 m 100
Xb=
HS 2 = 59.24 m 100
2T= Xa+Xb=112.62 m f=
T2 = 1.58 m 2H
B3 noktasının piketajı
: 274.97 m
T1 noktasının piketajı
: 274.97 – 56.31 = 218.66 m
T2 noktasının piketajı
: 274.97 + 56.31 = 331.28 m
111 Dönüş noktasının piketajı
: 218.66 + 53.37 = 272.03 m : 331.28 – 59.24 = 272.04 m
Kot T1 = 84.50 + 56.31* %5.3337 = 87.51 m Kot T2 = 84.50 + 56.31* %5.924 = 87.51 m Kot M = 84.50 + f =86.08 m
ENKESİT NOKTALARININ KİLOMETRAJ VE PROJE KOTLARI ÇİZELGESİ
NN A 1 2 A1 B1 C1 3 4 5 A2 B2 C2 A3 6 B3 7 C3 8 9 10 B
Tekne için, Y=
S X2 + 100 2 H
Kilometraj 0 + 022 0 + 042 0 + 062 0 + 084.09 0 + 099.10 0 + 114.10 0 + 122 0 + 142 0 + 162 0 + 185.68 0 + 204.66 0 + 223.63 0 + 246.66 0 + 262 0 + 274.97 0 + 282 0 + 303.28 0 + 322 0 + 342 0 + 362 0 + 367.81
Kotlar (m) 98.00 96.93 95.86 94.69 93.88 93.08 92.66 91.60 90.53 89.26 88.25 87.25 86.40 86.13 86.09 86.13 86.57 87.33 88.47 89.66 90.00
112 DEVER HESABI V = 40 km/h
I. YATAY KURP İÇİN R = 90 m d = 0.00443
Ld = 0.0354
V2 R
d = 0.08
V Ld = 25.17 m < 45 m OLMAZ R
II. YATAY KURP İÇİN d = 0.00443
V2 R
Ld = 45 m ALINMIŞTIR.
d = 0.20 > 0.10 OLMAZ d = 0.10 ALINMIŞTIR.
Ld = 0.0354
V Ld = 64.73 m ? 65 m R Ld = 45 m ALINMIŞTIR.
III. YATAY KURP İÇİN d = 0.00443
V2 R
d = 0.13 > 0.10 OLMAZ d = 0.10 ALINMIŞTIR.
V Ld = 41.19 m < 45 m Ld = 0.0354 R Ld = 45 m ALINMIŞTIR.
113 DEVER DİYAGRAMLARI
114
KOORDİNAT DÖNÜŞÜMLERİ Y1= YA + ∆Y X1= XA + ∆X ------------------------∆y = a ∆x + b ∆y ∆x = b ∆x – a ∆y -------------------------
NN A1 C1 1 A2 C2 1 2 A3 C3 1 2 3
a = Sin =
∆y∆x − ∆x∆y ∆x 2 + ∆y 2
b = Cos =
∆y∆y − ∆x∆x ∆x 2 + ∆y 2
ESKİ SİSTEM y x 0.00 0.00 4.96 29.46 1.40 15.83 0.00 0.00 18.64 30.94 2.89 13.92 15.52 29.08 0.00 0.00 26.66 47.14 1.61 13.21 9.80 31.34 23.90 45.36 ∆y = + 1.84 ∆x = - 29.80 ∆y = -11.15 ∆x = - 34.35 ∆y = -18.12 ∆x = - 51.02
YENİ SİSTEM Y X 10754.00 7116.55 10756.83 7086.75 10757.21 7100.82 10773.03 7017.03 10761.88 6982.68 10773.37 7002.82 10764.50 6985.20 10744.49 6985.20 10726.37 6916.57 10745.18 6954.30 10740.25 6935.04 10728.78 6918.80
115 BÖLÜM 10 10.
DEFORMASYON ÖLÇMELERİ
10.1
GENEL BİLGİLER
Büyük mühendislik yapıları ile bu yapıların çevreleri geçici ya da kalıcı faktörlerin etkisi altında bulunurlar. Bu etkilerden dolayı yapılardaki konum ve şekil değişimlerine genel anlamda “DEFORMASYON” denilmektedir. Yapılardaki konum ve şekil değişimlerinin belirlenmesi ya da yer küresinin kabuk hareketlerinin izlenmesi için yapılan ölçmelere “DEFORMASYON ÖLÇMELERİ” denilmektedir. Yapılardaki deformasyonlar fiziksel ya da jeodezik yöntemlerle saptanabilirler. Jeodezik yöntemler aşağıdaki şekillerde meydana gelen deformasyonların belirlenmesinde kullanılırlar. 1.Yapılardaki deformasyonlar a- Binaların oturmaları b- Rüzgarın ve güneşin etkisiyle kulelerin ve fabrika bacalarının hareketleri c- Trafik yükü altında köprülerin eğilmeleri d- Değişen su basıncında barajların gövdesinde meydana gelen şekil değişimleri 2.Yapı önlemlerinin ya da zemin tahminlerinin sonucu oluşan hareketler a-Yamaç kaymaları b-Yeraltı su seviyesinin düşmesiyle meydana gelen oturmalar c-Maden sahalarında madenlerin çıkarılmasından dolayı meydana gelen oturmalar ve çökmeler 3. Tektonik kuvvetlerin etkisiyle meydana gelen yer kabuğu hareketleri Deformasyonların meydana gelmeleri ve büyüklükleri hakkında kesin bir açıklama yapılamaz. Ancak daha az ya da daha çok olasılıkla bu açıklamanın doğruluğundan söz edilebilir. Değişik zaman aralıklarında (peryodlarında) yapılan ölçmelerin değerlendirilerek zaman ve büyüklük parametrelerine bağlı olarak değişimlerin belirlenmesi ve yorumlanmasına da “DEFORMASYON ANALİZİ” denilmektedir. Deformasyon ölçmelerinin analizi için genellikle matematik istatistiğin yöntemlerinden faydalanılır. Tek bir ölçü ile deformasyonlar hakkında yorum yapılamaz. Farklı ölçüler ya zamana bağlı olarak değişik zamanlarda ya da özel koşulların oluştuğu zamanlarda yapılır. Örneğin bir yapıdaki çökmelerin belirlenmesi için ölçmeler belirli aralıklarda yapıldığı halde barajlardaki ölçüler genellikle su seviyesinin maksimim ya da minimum olduğu dönemlerde yapılır. Jeodezik ölçmeler yardımıyla bir noktanın uzaydaki değişimi belirlenirken yatay ölçmeler ayrı, yükseklik ölçmeleri ayrı ele alınmaktadır. Ölçmelerin yapılabilmesi için sabit başlangıç noktalarına gereksinim vardır. Noktaların yataydaki durumlarının belirlenmesinde sabit noktalı bir deformasyon ağı oluşturulur. Yükseklik ölçmeleri diğer ölçmelerden bağımsız olarak düşünülebilir. Sabit noktanın yüksekliği ya deniz seviyesinden itibaren ya da gelişigüzel alınabilir. Bunun deformasyon ölçüsü bakımından önemi yoktur. Çünkü istenen, ölçmeler arasındaki farkı belirlemektir.
116 Deformasyon ölçülerinin akış diyagramı aşağıdaki şekilde gösterilebilir. Problemin yeri (örneğin baraj kontrolü)
Konunun ayrıntılı açıklaması - Deformasyonların türü, büyüklüğü ve hızı - Doğruluk istemleri - Ölçü peryodları arasındaki zaman
Ölçme programının hazırlanması - Ölçme yönteminin seçimi - Ağ şeklinin saptanması - Kritik durumlarda: doğruluğa ilişkin ön hesaplamalardan ölçme modelinin kontrolü
Organizasyon ve teknik ön çalışmalar - Kontrol ağının yerinin seçimi ve işaretlenmesi - Masraflara ilişkin gerekli bağlantılar vb. - Gerekli işletme faaliyetlerinin durdurulmasına ilişkin anlaşmalar
Kontrol ağının ölçülmesi ve hesaplanması (sıfır ölçüsü)
Sonuçların gösterimi ve arşivlenmesi
hayır
Ölçüler yinelenmeli mi?
Sonuçların yorumlanması
evet Değişimlerin saptanması için yineleme ölçmeleri Değişimlerin (deformasyonların) signifikantlığının kontrolü
10.1.1 Deformasyon Ağları Deformasyon ağının şekli amaca göre değişmektedir. Araştırılması gereken objenin yapısı önemli bir ölçüttür. Örneğin kule noktalarının bir düşey düzlemden sapmalarının belirlenmesi için bir tek gözlem noktası yeterlidir. (Şekil. 109). Bir toprak setteki hareketlerin belirlenmesi için bir poligon güzergahından faydalanılır (Şekil. 111). Bu güzergahın noktaları hareket bölgesinin dışında bulunmalıdır. Bir çöküntü alanında yalnız bir yükseklik ağı yeterli olabilir (Şekil. 110). Bu ağın sabit noktaları çöküntü alanının dışında tesis edilmelidir.
117
Şekil 112. Bir kulenin kontrolünde obje noktaları ve ölçü noktaları
Şekil 113. Bir çöküntü alanının bulunmasında yüzey ağı
Şekil 114. Bir setin kontrolü için poligon güzergahı Kontrol ağının oluşumu için objenin şekli yanında obje büyüklüğü de önemli bir rol oynar. Örneğin, bir makinedeki şekil değişikliğinin belirlenmesi için yapılan deformasyon ölçüleri, uzun bir tüneldeki deformasyon ölçülerinden farklı bir ağı gerektirir. Belli bir doğrultudan sapmaların belirlenmesinde sapma doğrultusuna dik bir gözlem doğrultusu oluşturulur (aliyman, Şekil. 115) Kontrol ağı ölçme yöntemleriyle birlikte belirlenir. Yani ağ nokta hareketlerinin belirlenmesine uygun olmalıdır. Trigonometrik yöntemle deformasyon belirlemede çok sayıda istasyon noktasından faydalanılır. Fotogrametrik yöntemde ise bir pas noktası (sabit nokta) ve alım için gereği kadar durak noktası yeterlidir.
118
Şekil 115. Gözlem doğrultusunda enine hareketlerin bulunması için aliyman
Şekil 116. Trigonometrik kontrol ağı
10.1.2 Deformasyon Belirlemede İncelik İstemi Belirlenecek deformasyonların büyüklüğüne göre incelik saptanır. Bir objedeki m tane obje noktalarından birinin beklenen kayması Di (i=1,2,....,m) ve Di nin belirlenmesi için gerekli σi standart sapması için σi 0.03 Di ifadesi kullanılır. Kritik deformasyonlar incelik konusunda önemli bir rol oynar. Eğer deformasyonlar ölçü hatalarından meydana geliyorsa, bunlar bilinmeyen olarak kalacağından deformasyonların anlaşılması çok büyük sorunlar ortaya çıkarır. Bundan sakınmak için aşağıdaki eşitsizlik kullanılır. σi 0.2 Dki 10.1.3 Yapılardaki Geometrik Değişimler Bir mühendislik yapısında meydana gelen geometrik değişimler aşağıdaki şekilde gösterilebilir.
Şekil 117. Şekil 118. Bir yüksek direğin geometrik değişimi
119
Şekil 119 sıcaklıktan dolayı örnek bir objedeki değişimleri gösteriyor. Şekil 120 içi boş bir çelik köprü levhasındaki kabarmaları göstermektedir.
Şekil 119 Bir yapı parçasının sıcaklıktan dolayı değişimi
Şekil 120. bir çelik köprünün levhasındaki kabarmalar
120
10.2
DEFORMASYON ÖLÇME YÖNTEMLERİ
Deformasyon ölçme yöntemleri genel olarak ikiye ayrılır: 1. Fiziksel ölçme yöntemleri 2. Jeodezik ölçme yöntemleri
Deformasyon Ölçme Yöntemleri
Jeodezik Ölçme Yöntemleri
Jeodezik Yöntemler
Yatay Deformasyonlar
1. Hassas Nirengi Yönt 2. Aliyman Yöntemi 3. Hassas Poligon Yönt
Düşey Deformasyonlar
Fiziksel Ölçme Yöntemleri
Fotogrametrik Yöntemler Yersel Fotogrametrik yöntem
1. Kaya basıncı ölçen uçlar 2. Kuvvet ölçen uçlar 3. Toprak basıncı ölçen uçlar 4. Gerilim Ölçen uçlar 5. Su basıncı ölçen uçlar 6. Eğim ölçen uçlar
1. Hassas geometrik Yönt 2. Hassas Trigonometrik Nivelman Yönt 3. Hidrostatik Nivelman
Şekil 121.
10.2.1 Fiziksel Ölçme Yöntemleri Fiziksel ölçme yöntemlerinden elde edilen sonuçlar relatif özellikte olup genellikle ölçüler uzaktan ölçme tekniğine göre yapılır. Ölçmeler barajdan uzakta ve güvenli bir yerden izlenebilir. Ölçme aletleri yapıların içine veya dışına yerleştirilir. Aletler özel kablolarla ölçüm merkezlerine bağlanırlar. Şekil. 121’de gösterilen yöntemlerden biri uygulanarak fiziksel yöntemle deformasyon belirlemesi yapılabilir. 10.2.2 Jeodezik Ölçme Yöntemleri Jeodezik ölçümler Şekil. 121’de görülen yöntemlerden birine göre yapılmaktadır. Yatay ve düşey yöndeki deformasyonlar değişik yöntemler uygulanarak belirlenebilirler.
121
10.2.2.1
Yatay Yöndeki Deformasyonlar
10.2.2.1.1
Hassas Nirengi Ağı Yöntemi
Mühendislik yapılarında (büyük binalarda, köprülerde, barajlarda, yerkabuğu hareketlerinin tesbitinde) deformasyonların tesbiti için nirengi ağı oluşturulur. Şekil. 122’da bir barajdaki deformasyonları belirlemek için tesis edilen nirengi ağı ve diğer noktalar görülmektedir.
Şekil 122. Bu ölçme yönteminde kullanılan noktaları şu şekilde sınıflandırabiliriz. a-Ölçme Noktaları Jeodezik ağın noktalarına ölçme noktaları denir. Şekil 122’deki A,B,C,D,E noktaları ölçme noktalarıdır. Bu noktalara gözlem noktası da denilmektedir. Ölçme noktaları deformasyonları belirlenecek yapının özelliğine göre sağlam zeminlerde pilye olarak tesis edilirler. Nirengi ağının şekli, duruma göre santral, zincir, köşegenli dörtgen olabilir. Barajlarda deformasyon belirlerken gözlem noktalarının baraj gövdelerinden uzaklığı 150 metreyi geçmemelidir. Ölçme noktaları içine demir döşenmiş betondan kare ya da daire kesitli pilye olarak inşa edilirler. Yüzeyleri, dış etkenlerden korunması için uygun malzeme ile kaplanırlar. Pilyeler genellikle sağlam zeminde 2.00 derinliğinde 1.50-1.75 m genişliğinde kare tabanlı bir çukur açılır. Çukurun tabanına 20-25 cm aralıklarla demir hasır döşenir. Çukurun ortasına yaklaşık 3.00 m. Boyunda demir bir kafes yerleştirilir. Taban 25-30 cm yüksekliğe kadar harçla doldurulur. Demir kafese önceden hazırlanmış kalıp geçirilir. Kalıbın içi harçla doldurulur. Beton donmadan öne zorunlu merkezlendirme altlığı yatay şekilde betona yerleştirilir. Yataylama da zorunlu merkezlendirme başlığı üzerinde su terazisi kullanılmaktadır. Beton kuruduktan sonra kalıp sökülür ve betonun üzeri kaplanır. Ölçmelere başlamadan önce pilye işaretinin oturması için bir süre beklenir. Ölçü için merkezlendirme altlığının üzerine zorunlu merkezlendirme başlığı yerleştirilir. Alet bu başlığa bağlanarak ölçmeler yapılır.
122
b-Obje Noktaları (Deformasyon Noktaları) Bu noktalar deformasyon belirlenecek yapıda uygun yerlere yerleştirilir. Barajlarda ise mansap tarafındaki yüzey üzerinde ve kret üzerinde seçilirler. Barajlarda gövdenin deformasyon eğrilerinin oluşturulabilmesi için değişik yüksekliklerde ve birbirine paralel sıralar şeklinde tesis edilirler. Bir gözlem pilyesinin yapısı 1. Beton kapak 2. Tecrit malzemesi (izocam) 3. Demirli beton gövde 4. Süperlit (sert plastik) 5. Gezinti platformu 6. Merkezlendirme altlığı 7. Etriyeli demir
Şekil 123 Bir pilyenin kesiti ve ölçüleri
123
Gövde yüzeyindeki obje noktalarına gözleme işareti olarak metalden yapılmış 2-4 cm çapında ve baş kısmı siyah-beyaz ya da kırmızı-beyaz boyanmış özel çiviler yerleştirilir. Aşağıda değişik hedef işaretleri ve bunların boyutları görülmektedir. Şekil. 122’de 1, 2, 3, 4, 5 noktaları obje noktalarıdır.
Şekil 124. Hedef işaretleri
Şekil 125. Pelzer’e göre bir obje noktasının işareti c-Yöneltme Noktaları (Cihetleme Noktaları) Kontrol ve obje noktalarından oluşan kısmi ağın, tümden hareketlerinin saptanmasında ve inceliğin artırılması için yönelmede kullanılan noktalardır. Bu noktalar barajın basınç alanı dışında ve sağlam zeminlerde kayalarda tesis edilebilirler. Gözleme işareti olarak iç içe siyah-beyaz daireleri içeren özel metal plakalar yerleştirilir. Genellikle bu noktalar üzerinde ölçme yapılmaz. Şekil. 122’de Q1 Q2 noktaları yöneltme noktalarıdır.
124
Şekil 126. Cihetleme noktası
d-Sigorta Noktaları Kontrol noktalarının olası deformasyonlarının büyüklüğünü ve yönünü belirlemek için bu noktaların 1020 m yakın çevresine tesis edilen noktalardır. Sigorta noktaları, kontrol noktalarının etrafına homojen şekilde yayılmalıdır. Bu noktalar sağlam kayalar ya da zemine yerleştirilen taşlar üzerindeki özel çivileri ile belirlenir. Şekil. 122’de a1, a2, a3, a4 ve b1, b2, b3, b4 noktaları sigorta noktalarıdır.
Deformasyon Ağının Ölçümü Deformasyon ölçülerine başlamadan önce aletlerin eksen koşulları kontrol edilir. Varsa hataları giderilir. Elektronik uzunluk ölçerlerin kalibrasyonları yapılır. Ölçümler belirlenen plana göre ve atmosferik etkilerin en az olduğu saatlerde yapılır. Açı ölçmeleri Wild T3. Kern DKM3 gibi saniyenin ondalığı okunabilen aletlerle yapılır. Açılar en az 4 tam silsile olarak ölçülmelidir. Uzunluklar 1 km’de i1mm presizyon sağlayan aletlerle ölçülmelidir. Örneğin, Kern Mekometer 3000. Tellürometer MA 100 uzaklık ölçerleri gibi. Ağın ölçümü sırasında deformasyonların oluşmadığı varsayıldığından ölçüler kısa zamanda bitirilmelidir. Deformasyonların yorumlanmasında faydalı olabilecek sıcaklık, rüzgar hızı, barajlarda rezervuardaki su seviyesi gibi bilgiler kaydedilir. İlk ölçümler en geç yapı işletmeye açılmadan önce yapılmalıdır. Ağın ilk konumunu belirlemek üzere yapılan ilk ölçmelere “sıfır ölçmeleri ya da referans ölçmeleri” denilmektedir. Barajlarda ölçmeler rezervuara su doldurulurken değişik su yüksekliklerinde ve doldurulduktan sonra değişik zaman aralıklarında yapılır. Bina, köprü, kule ve benzeri mühendislik yapılarında deformasyonlar belirlenirken zaman aralığı 3-6 ay şeklinde alınabilir. Genel olarak ölçmeler t0, t1, t2, .... peryodlarında yapıldı şeklinde adlandırılır. Ölçme peryodlarında zaman aralığı: -
Beklenen deformasyonun büyüklüğüne Beklenen deformasyonun hızına Yapıyı etkileyen faktörlerin değişimine bağlıdır.
125
10.2.2.1.2 Aliyman Yöntemi Bu yöntemle baraj gövdesinin üst kısmında (kret üzerinde), kömür havzalarında yatay deformasyonlar tesbit edilebilirler. Bu amaçla baraj kretinin ekseninden ya da eksene paralel geçen bir aliyman (düz doğru) seçilir. Aliymanın üç noktaları baraj gövdesinin dış kısmında sağlam zemin üzerine pilye olarak inşa edilir. Aliyman doğrultusunda ve kret üzerinde obje noktaları seçilir. Bu noktalara özel işaretler monte edilir. Aliymanın bir ucuna teodolit, diğer ucuna gözleme plakası, obje noktalarına da hareketli özel gözleme plakası (mira) yerleştirilir. Doğrultudan sapmalar: a-Direkt yöntem b-Açı yöntemiyle belirlenebilir.
Şekil 127. Aliyman yöntemi Direkt yöntemde aliymandan olan sapmalar direkt olarak ölçülerek deformasyonlar belirlenir. Açı yönteminde ise açı okumak suretiyle noktaların aliymandan kayma miktarları hesaplanır. Ölçüler, aliymanın her iki ucundan ve dürbünün iki durumunda yapılır. Elde edilen sapmaların ortalaması o noktadaki deformasyon olarak kabul edilir. Kısa aliymanlarda hareketli gözleme işaretleri kullanılarak, her noktadaki deformasyonlar doğrudan ±0.1 mm lik bir presizyonla ölçülebilir. 200 m den büyük aliymanlarda açı yöntemi kullanılır. Aliyman doğrusunun baraj kretinin 70 cm yukarısından geçmesi gerekir. Daha alçak geçişlerde ışık kırılması etkili olur. 10.2.2.1.3 Hassas Poligon Yöntemi Hassas nirengi ağı yöntemi hem zaman alıcı hem de bazı amaçlar için istenilen sonuçları vermediğinden her zaman uygulanamaz. Yüksek hassasiyet istenen işlerde hassas poligon yöntemi uygulanır. Hem acı hem de uzaklık ölçüsü yapılır. Baraj kreti doğru olan beton barajlarda ve toprak barajlarda bu yöntem uygulanır. Barajın kreti boyunca poligon geçkisi tesbit edilir. Poligon geçkisinin başlangıç ve bitim noktaları baraj gövdesinin dışında sağlam kayalar üzerine pilye olarak tesis edilir. Kenar uzunlukları 20-30 m kırılma açıları 200 civarında alınır. Kenar ölçüleri elektronik uzaklık ölçerlerle, açılar teodolitlerle 2 ya da 4 tam silsile olarak ölçülür. 10.2.2 Düşey Yöndeki Deformasyonlar Düşey yöndeki deformasyonlar hassas geometrik nivelman, hassas trigonometrik nivelman ve hidrostatik nivelman yöntemlerinden biriyle belirlenebilir. En çok hassas geometrik nivelman yöntemi uygulanmaktadır. Başlangıç noktası olarak hareket alanının dışında en az iki nivelman röper noktasından çıkış alınır. Ölçmelerde hassas geometrik nivelmanın tüm koşulları yerine getirilir. Ölçmeler 1 km de ±0.2 mm presizyon sağlayan nivolarla yapılır. Ölçülerde invar mira ve mira altlıkları kullanılır. Hidrostatik nivelman ise genellikle barajın gövde içindeki galerilerde uygulanır. Barajlardaki düşey deformasyonların büyüklüğü ve seyri: -
Yüklemenin şekli ve büyüklüğüne Temel zeminin şekline
126 Zeminin jeolojik yapısına bağlıdır. Aşağıdaki şekillerde görüldüğü gibi ölçülerden faydalanarak oturma ve kabarma eğrileri çizilebilir.
Şekil 128.
Şekil 129.
127
10.3
DEFORMASYON ÖLÇÜLERİNİN DOĞRULUK DERECESİ
10.3.1 Hassas Nirengi Yöntemi Noktaların konumları önden kestirme ile belirlenir. Önden kestirmenin doğruluk derecesi
mK =
m.c sin α2 + sin α2 ρ sin α2
eşitliği ile hesaplanır. Burada m, bir açının ortalama hatasıdır. 10.3.2 Aliyman Yönteminin Doğruluk Derecesi 10.3.2.1
Direkt Yöntem
AC aliyman doğrusu, k kayma miktarı olmak üzere
k =S
sin α sin(α + β)
eşitliğinden hesaplanır. Kaymanın ortalama hatası
m α2 m = S 2 ρ 2 K
2
α + S 2 ρ
4
mβ ρ
2
eşitliğinden bulunur. 10.3.2.2
Açı Yöntemi
Açı yönteminde kayma miktarı
k=S
α ρ
eşitliğinden hesaplanır. s: ölçü noktasının sabit noktaya uzaklığı α: Aynı noktada değişik zamanlarda yapılan iki ölçü arasındaki farktır. Kaymanın ortalama hatası
mK = S
α ρ
eşitliğinden hesaplanır.
128
10.3.3 Hassas Poligonda Hata Teorisi Deformasyon ölçüleri için oluşturulan poligon güzergahları genellikle eşit kenarlı ve kırılma açıları 200o civarındadır. Koordinat sistemi enine kayma yönünde olacak şekilde seçilir. Enine Kayma a- Açık Poligonda
e = ±S
m n (n − 1)(2n − 1) ρ 6
eşitliği ile verilmektedir. N nokta sayısıdır. İlk nokta 2. noktadır. (n-1).s=L olduğuna göre son noktanın kayması
e = ±L
m n (n − 1) ρ 6(n − 1)
L: Toplam güzergah uzunluğu n: Nokta sayısı S: Kenar uzunluğu olarak belirlenir.
e=L
m n ρ 3
olur. Bu eşitlik, poligonlarda mümkün olduğu kadar az, fakat uzun kenarların alınması gerektiğini göstermektedir. b- Dayalı ve Bağlı Poligonlarda Enine Kayma Miktarı
e=S
m n 4 + 2n 2 − 3 192n ρ
eşitliği ile verilmektedir. L= (n-1) s olduğundan
e=S
m n 4 + 2n 2 − 3 ρ 192(n − 1) 2 n
olur. n nin değerleri için eşitlik
e=L
m n 8ρ 3
olmaktadır.
129
10.3.4 Hassas Nivelmanın Doğruluk Derecesi
mh = m n eşitliği ile belirlenir. 10.3.5 Trigonometrik Nivelmanda Doğruluk Derecesi Tek taraflı gözlemlerde yükseklik farkı
h = S cot Z +
1− k 2 S +i−t 2R
eşitliğinden S, Z, i, t, k, R değişken alınarak m ∆h hesaplanır.
130 KAYNAKLAR 1. Aygül, E., Barajlarda Jeodezik Deformasyon Ölçmeleri ve Analizi, Doçentlik Tezi, 1982, İstanbul 2. Aydın, Ö., Mühendislik Ölçmeleri Ders Notları, Y.Ü., 1983, İstanbul 3. Aydın, Ö., Erkaya, H., Deformasyon Ölçmeleri Ders Notları 4. Barışkaner, A., Beton Barajlarda Deformasyon Ölçümleri, Yeterlik Çalışması, 1976, Konya 5. Bertold Witte, Huber Schmidt, Vermessungkunde und Grundlagen der Statik für Bauwesen, 1989, Aachen 6. Deniz, R., Özgen, G., Elektromagnetik Dalgalarla Jeodezik Ölçmeler, İTÜ, 1986, İstanbul 7. Hennecke, Müller, Werner : Handbuch Ingenieurvemessung, Grundlagen VEB Verlag für Bauwesen, Berlin 8. Hennecke, Müller, Werner : Handbuch Ingenieurvemessung,Hochbau und Überwachunsmessung, VEB Verlag für Bauwesen, Berlin 9. Jacobs Erwin : Die Sinüsoide als neuzeitlinch Trassierungselement, Verm. Ing. 1/87, Mülheim a.d. Ruhr. 10. Kahmen, H., Elektronische messverfahren in der Geodaesie. Herbert Wichmann Verlag, 1978, Karlsruhe 11. Knabenschuh, H., Vermessunstechnische Kontrollen im Rahmen der Brückenüberwachung, Verm. Ing. 3/80 12. Löschner, F., Geodaetische Deformationsmessungen an Bauwerken, AVN 3/70 13. Osterloh, H., Srassenplannung mit Klothoiden und Schleppkurven 14. Özgen, G., Topoğrafya, Ölçme Bilgisi, İTÜ, 1984, İstanbul 15. Pelzer, H., Deformationsmessungen, ZfV, 1976, Sonderheit Nr.:19 16. Tüdeş, T., Aplikasyon, KTÜ Yayın No: 105, 1979, Trabzon 17. Tüdeş, T., Baraj Deformasyonlarının Jeodezik ve Fotogrametrik Metodlarla Ölçülmesi ve Keban Barajı Örneği, 1982, Trabzon 18. Yol Etüt Proje Mühendislik Hizmetleri Teknik Şartnamesi Taslağı, İTÜ, İstanbul 19. Karayolları Aplikasyon İşleri Teknik Şartnamesi Taslağı, Y.Ü., İstanbul