Nombre de la materia
Cálculo diferencial e integral Nombre de la Licenciatura
Ingeniería Industrial y Administración Nombre del alumno
J Matrícula
000 Nombre de la Tarea
Tarea T area por por actividades actividades de la semana semana 3 Unidad 2
Derivadas Nombre del Profesor
Díaz Fecha
de marzo
“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.”
Unidad 2.Derivadas
Cálculo diferencial e integral
Albert Einstein
ACTIVIDAD 3 Introducción:
A continuación debere de responder los problemas determinados por la profesora en donde debere definir e identificar geométrica y algebraicamente el concepto de derivada, ademas de calcular derivadas explícitas de funciones continuas, derivadas de funciones implícitas y derivadas de orden superior para su interpretación en gráfica.
Desarrollo de la actividad:
Al modelar las situaciones de nuestro entorno para expresar la relación existente entre las variables involucradas en términos de operaciones algebraicas y al describir la dinámica de estas situaciones, nos encontramos con que la variación de alguna de estas variables en un periodo determinado, implica la variación simultánea de las otras variables con respecto al tiempo. Por principio conceptual, sabemos que la variación de una variable con respecto al tiempo es, en sí misma, una velocidad y que éstas son expresables en términos de derivadas, que son divisiones de diferenciales de cada variable, como
!omo e"emplo, supongamos que se está inflando un globo esférico, al inflarlo más y más, su volumen aumenta en función de la cantidad de gas o aire que se le introdu#ca, $diferente a la situación de inflar un balón cuyo volumen no aumenta, aunque si su presión interna%, así como aumenta también el área de su superficie. &a cantidad de aire que se introduce al globo por unidad de tiempo es una razón de cambio (una razón es una división) y se expresa como la derivada , es decir, la variación del volumen del globo por unidad de tiempo. 'i se sabe que la velocidad con que el aire entra al globo es de, por e"emplo, ( metros c)bicos por minuto $lo que significa que el volumen del globo aumenta dos metros c)bicos cada minuto% puede expresarse esta información como
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Cálculo diferencial e integral
!omo se sabe, el volumen de un globo esférico $o en general de una esfera% depende del radio r del mismo y puede ser de interés investigar cómo es la variación del radio r con respecto al tiempo, $esto es, determinar
% cuando
. *gualmente, puede ser de interés determinar la variación
del área A de la superficie del globo con respecto al tiempo,
+e eco, se conoce que el -rea A y el olumen V de una esfera se expresan en función del radio de la misma por medio de las relaciones
Así, aplicando los principios del cálculo diferencial, bien sea derivando implícitamente a A y a V con respecto a t, o aplicando el concepto de la regla de la cadena en la forma de se pueden obtener expresiones para las ra#ones de cambio
,ó
,
. 'i en el contexto del problema
se especifican valores para las variables r, A o V, las ra#ones de cambio
pueden darse en
forma explícita como valores concretos. +e eco, en el contexto de los problemas que se relacionan con este tema, la información provee al menos una ra#ón de cambio conocida y alguna información específica de las variables involucradas y se pide determinar otra$s% ra#ón$es% de cambio. 'e propone la siguiente estrategia para resolver problemas de /a#ones de cambio relacionadas 1.
&ea el problema con cuidado y muca atención identificando sus partes.
2.
+ibu"e o genere un bosque"o o diagrama del problema.
3.
Asigne letras a todas las cantidades y variables que sean función del tiempo.
4.
Exprese la información dada y la relación de variables en términos de derivadas.
.
Escriba una ecuación que relacione las diversas variables del problema.
3
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Cálculo diferencial e integral
Aplique aspectos geométricos de la relación de estas variables, para eliminar por
!.
sustitución algunas de ellas, de"ando solo las que son importantes y0o solicitadas para cálculo. 1se la regla de la cadena o derivación implícita respecto de t en la ecuación resultante
".
del punto 2. 'ustituya la información dada en la ecuación resultante y resuelva para la ra#ón de
#.
cambio desconocida.
$%em&'o 1
'e bombea aire dentro de un globo esférico, de modo que su volumen aumenta a ra#ón de 3con qué rapide# crecen el radio del globo y su área cuando el diámetro es de 24 cm5 o'ución.
!omo se puede anali#ar, al aumentar el volumen del globo, aumenta también su radio y su área superficial $6igura 7%. &a información suministrada se8ala que la ra#ón de cambio del volumen respecto del tiempo es de
, y se desea calcular la ra#ón de cambio del radio respecto del tiempo y la ra#ón de cambio del área respecto del tiempo, cuando el diámetro es de 24 cm., o el radio es de (2 cm.
"lo#o
r
radi o
!
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6igura 7. 9lobo que crece al inflarse Asignando V, r y A a las variables olumen, radio y -rea respectivamente, las ra#ones de cambio dada y solicitadas se expresan como
. Así, el problema a resolver se expresa como
Dado
, calcular
cuando r = 25 cm.
&as relaciones que conectan V, r y A son
En primer lugar, utili#ando la relación
y derivando ambos lados de la ecuación con
respecto a t tenemos
!omo
, despe"ando
se tiene que
!uando r : (2, se tiene que
$
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Cálculo diferencial e integral
Así, el radio del globo crece a ra#ón de
Para calcular la ra#ón de cambio
cuando su diámetro es de 24 cm.
, partimos de la relación
. +erivando a ambos lados
con respecto a t, se tiene
!omo
, y si r : (2 cm., se tiene que
'e concluye que el área del globo crece a ra#ón de
cuando su diámetro es de 24 cm. ó (2 cm
de radio.
$%em&'o 2
1na escalera de 74 m. de largo está apoyada contra una pared vertical. 'i el extremo inferior de la escalera resbala ale"ándose de la pared a ra#ón de
3con qué rapide# resbala acia aba"o su
extremo superior cuando su extremo inferior está a ; m. de la pared5 $6igura (%. o'ución.
%
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Cálculo diferencial e integral
'e entiende que el piso es ori#ontal y que la pared es vertical, por lo que el piso es perpendicular a la pared.
Asignando * a la distancia de la pared al extremo inferior de la escalera < + a la distancia del piso al extremo superior de la escalera, la información dada nos se8ala que
calcular
y se desea
cuando x : ; m.
+ado que el piso y la pared son perpendiculares, el sistema Piso=Pared=Escalera forman un triángulo rectángulo en el que el piso y la pared son los catetos y la escalera la ipotenusa y por principio geométrico, se cumple el >eorema de Pitágoras, por lo que la siguiente relación es válida
+erivando ambos lados de esta ecuación respecto de t, se obtiene
&
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Cálculo diferencial e integral
+espe"ando
se tiene su expresión de ra#ón de cambio
!uando x : ; m., de la relación
se concluye que y : ? m., por lo que
El signo negativo del resultado, significa que el valor + de la distancia del extremo superior de la escalera al piso está disminuyendo. !uando la escalera resbala.
$%ercicio (Va'or .- &untos)
'i una bola de nieve se funde de modo que su área superficial disminuye a ra#ón de
,
encuentre la ra#ón a la cual disminuye el diámetro cuando éste es de 74 cm.
'
