Actividad4 Álgebra Lineal

Nombre de la materia XXXX

Unidad 3: Espacios vectoriales IR2 y IR3 Álgebra lineal

Nombre de la Licenciatura XXXX Nombre del alumno XXXX Matrícula XXXX Nombre de la Tarea XXXX

ACTIVIDAD 4 Objetivo:

Unidad # Nombre de unidad

Nombre del Profesor XXXX 1. Reconocer las propiedades del espacio y subespacio vectorial. 2. Distinguir si un conjunto de vectores es linealmente independiente o dependiente. Feca XXXX 3. Identificar si un conjunto de vectores son base de un espacio vectorial.

Forma de evaluación:

2


Criterios

Ponderaci!n

Presentacin! formato de tareas "#$%! ortograf&a y redaccin

1'(

Desarrollo de puntos solicitados) desarrollo de la idea principal y

*'(

cada uno de los elementos solicitados! ejemplos espec&ficos. #otal

1++(

Instrucciones: Revisa detalladamente los siguientes ejemplos y apoyate en ellos para responder los ejercicios.

"em$lo % Determina si el conjunto de vectores dado es o no una base para el espacio IR 2. ,ustifica tu respuesta. & ' () * )+ * ' ) * 4 + , -omo estamos ablando de - ) necesitamos ) vectores! los cuales ya tenemos! entonces basta comprobar /ue son linealmente independientes. Para ello0 Para ello suponemos dos constantes a y b. ue multiplican a los vectores y la suma es igual a +. i la solucin es tal /ue! a y b sea ambas i.ual a /! entonces los vectores son linealmente independientes. a ' () * )+ 0 b ' ) * 4 + 1 / %+

()a 0)b 1 /

)+

)a 04b 1 /

Despejando de la primera ecuacin )a 1 )b a 1 )b 2 )3 a 1 b3

3


-omo a  b! sustituimos en la segunda ecuacin0 )b 0 4b 1 / b 1 / b1/ Como a 1 b 1 /* entonces son linealmente inde$endientes 5 si .eneran a - )

*NOTA: Si nos hubieran dado 2 vectores y éstos deben enerar a !" o !# o !$% etc& No son base ya 'ue% (ara enerar a !n se re'uieren n vectores& "em$lo ) Determina la base /ue genera el siguiente espacio vectorial al despejar la variable y 0

M 1 & ' 6 * 5 * 7 + 8 96 0 45 0 7 1 / , Para ello debemos despejar primero a la variable 5: 45 1 5 1

(7 ( 96

( '%24+7 ( '924+6

4ora escribiremos un vector como sigue0

6 5 7 Pero como

5 1

( '%24+7 ( '924+6 ! entonces0 6 ( '%24+7 ( '924+6 7

4ora rescribimos 5ste vector como una suma! el primer t5rmino considera a 6  + mientras /ue el segundo considera a 7  +) -omo sigue0 6 ( '%24+7 (

1

/ ( '%24+7

0

6 ( '924+6

'924+6 7

7

/

4


i factori7amos0 6 ( '%24+7 (

1

7

/ ( %24

0

% ( 924

6

'924+6 7

%

/

$ntonces los vectores 8 + ! 91:; ! 1 < y 8 1 ! 93:; ! + < $s la base /ue genera al $spacio vectorial. =NOTA: SI NOS )II+!AN ,A I-+NSI.N% /ASTA!0A +N1ONT!A! +, N-+!O +

3+1TO!+S + ,A /AS+% +N +ST+ 1ASO SON 2 4 +S+ +S +, N-+!O + 3+1TO!+S% +S ,A I-+NSI.N +, +S)A1IO& "em$lo 9 6 ')*9+! determina sus coordenadas relativas a la base B

=

{ (1,1), ( 1, 2)} −

olo debemos suponer 2 constantes a y b /ue multiplican a las bases y cuya suma es igual al vector 6 >2! 3? -omo sigue0 6 ')*9+ 1 a'%*)+0b'(%*)+ %+ )+

) 1 a(b 9 1 )a0)b

Despejando de 1? a 1 )0b ;ustitu5endo en )+ 9 1 ) ')0b+0)b 9 1 40)b0)b 9 1 4 04b 4b 1 9(4 1 (%

5


b 1 (%24 a 1 )0b 1 ) (%24 1 < a 1 924 "ntonces el resultado es= 6 ')*9+ 1 924'%*)+(924'(%*)+

esarrollo de la actividad: "ercicio % Determina si el conjunto de vectores dado es o no una base para el espacio IR 2. ,ustifica tu respuesta. & ' (4 * 4+ * ' 4 * > + ,

"ercicio ) Determina la base /ue genera el siguiente espacio vectorial al despejar la variable y 0

M 1 & ' 6 * 5 * 7 + 8 ?6 0 5 07 1 / ,

6


"ercicio 9 6 '?*+! determina sus coordenadas relativas a la base B

=

{ (1,1), ( 1, 2)} −

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