Ing. Reynaldo Sosa Domínguez
Física III
AGRUPAMIENTO DE CAPACITORES. SERIE.
El diagrama b representa al condensador equivalente de los tres condensadores del diagrama a. Cuando los condensadores están conectados en serie, el inverso de la capacitancia equivalente es igual a la suma de los inversos de la capacitancia de los condensadores conectados en serie. Matemáticamente corresponde a la siguiente expresión: 1 / C = 1 / C 1 + 1 / C2 + 1 / C3 Despejando a la capacidad equivalente C de la expresión anterior se tiene: C = 1 / ( 1/C 1 + 1/C2 + 1/C3 ) En caso de que solo sean dos condensadores en serie, se puede aplicar la siguiente expresión: C = C1 C2 / ( C1 + C2 ) (solamente para dos capacitores) Cuando se tienen condensadores en serie, el voltaje total (o diferencia de potencial total) es la suma de los voltajes en cada uno de los condensadores (la diferencia de potencial en cada uno de los condensadores). Matemáticamente corresponde con la siguiente expresión: V = V1 + V2 + V3 En condensadores en serie la carga total es igual a la carga en cada uno de los condensadores. Lo dicho anteriormente queda manifestado por la siguiente expresión. Q = Q1 = Q2 = Q3
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Física III
PARALELO.
El diagrama b representa al condensador equivalente de los tres condensadores del diagrama a. Cuando los condensadores están conectados en paralelo, la capacitancia equivalente es igual a la suma de la capacitancia de los condensadores conectados en paralelo. Matemáticamente corresponde a la siguiente expresión: C = C1 + C2 + C3 En condensadores en paralelo la carga total es igual a la suma de la carga en cada uno de los condensadores. Lo dicho anteriormente queda manifestado por la siguiente expresión. Q = Q1 + Q2 + Q3 Cuando se tienen condensadores en paralelo, el voltaje total (o diferencia de potencial total) es igual a los en cada uno de los condensadores (la diferencia potencial en cada uno de losvoltajes condensadores). Matemáticamente corresponde con la de siguiente expresión: V = V1 = V2 = V3 PROBLEMA.
Dos condensadores de capacidades 3 pF y 6 pF, respectivamente, están conectados en serie y el conjunto a una tensión de 1000 V. Calcular: a) La capacitancia total (2 pF). b) La carga total del sistema (2 nC). c) La diferencia de potencial en terminales de cada condensador (V 1 = 667 V, V2 = 333 V). d) La energía almacenada en el s istema (1.0 x 10 -6 J). En la solución del problema se hará uso de la siguiente tabla:
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Capacitancia x 10-12 F 3 6 CT = 2
Física III
Carga x 10-9 C 2 2 QT = 2
Tensión V V667 V333 VT = 1000 V
Energía x 10-6 J 0.667 0.333 W = 1.0
Cálculo de la capacidad: C = C1 C2 / ( C1 + C2 ) = 3 x 6 / ( 3 + 6 ) = 2 pF Cálculo de la carga: Q = C V = 2 x 10 -12 x 1000 = 2 x 10-9 C Cálculo de la diferencia de potencial en las terminales de los condensadores: V1 = Q1 / C1 = 2 x 10-9 / 3 x 10-12 = 667 V V2 = Q2 / C2 = 2 x 10-9 / 6 x 10-12 = 333 V Cálculo de las energías en los condensadores: W1 = (1/2) x 2 x 10-9 x 667 = 6.67 x 10 -7 J W2 = (1/2) x 2 x 10-9 x 333 = 3.33 x 10 -7 J W = (1/2) x 2 x 10 -9 x 1000= 1 x 10 -6 J La tabla contiene los resultados que se solicitan en el problema. PROBLEMA.
Tres condensadores de capacidades de 3 pF, 6 pF y 15 Pf, respectivamente, están conectados en serie y el conjunto a una tensión de 1000 V. Calcular: a) La capacitancia total. b) La carga total del sistema. c) La diferencia de potencial en terminales de cada condensador. d) La energía almacenada en el sistema. Hacemos uso de la siguiente tablita: Capacitancia pF 3 6 15 CT =1.76
Carga x 10-9 C 1.76 1.76 1.76 QT =1.76
Tensión V 587 293 117 VT = 1000 V
Energía x 10-7 J 5.17 2.58 1.03 W = 8.8
Cálculo de la capacidad total:
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CT
Física III
1 =
1
C1
1
1 +
=
1
C2
+
1
C3
3
1 +
6
= 1.76 x 10 -12 F
1 +
15
Cálculo de la carga total: QT
=
C T VT
=
(1.76 pF )(1000V )
=1 .76
x10
−9
C
Cálculo de la diferencia de potencial en los bornes de los capacitores: V1
=
V2
=
V3
=
Q1 C1
Q2 C2
=
=
Q3 C3
=
1 .76 x10 3 x10
−9
−12
1 .76 x10 6 x10
−9
−12
1 .76 x10 15 x10
C = 586.66 V F C F
−9
−12
C
F
= 293.33 V
= 117.33 V
Cálculo de la energía en los condensadores: W = (1/2) x 1.76 x 10-9 x 1000 = 8.8 x 10-7 J W1 = (1/2) x 1.76 x 10-9 x 587 = 5.17 x 10 -7 J W2 = (1/2) x 1.76 x 10-9 x 293 = 2.58 x 10-7 J W3 = (1/2) x 1.76 x 10-9 x 117 = 1.03 x 10 -7 J La tabla muestra los resultados que se solicitan en el problema. PROBLEMA.
Dos condensadores de 200 pF y 600 pF están conectados en paralelo y se cargan con una diferencia de potencial de 120 V. Calcular: a) La capacitancia total. b) La carga total del sistema. c) La diferencia de potencial en terminales de cada condensador. d) La energía almacenada en el sistema. Haremos uso de la siguiente tabla en la solución del problema. Capacitancia (pF) 200 600 CT=800
Carga ( x10
−
8
2.4 7.2 QT=9.6
C)
Tensión (V) 120 120 VT=120V
Energía ( x10
−
6
J)
1.44 4.32 W=5.76
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Física III
Cálculo de la capacidad total: CT
=
C1
+
C2
= 200
+ 600
pF
pF
800 pF
=
Cálculo de la carga total: QT
=
C T VT
(800 pF )(120 V )
= 9 .6
=
x10
−8
C
Cálculo de las cargas de los condensadores: Q1
=
C1V1
Q2
=
C 2V 2
=
( 200 pF )(120 V )
= 2 .4
x10
−8
C
(600 pF )(120 V )
= 7 .2
x10
−8
C
=
Cálculo de las energías de los condensadores: La fórmula es: W = (1/2) Q V W = (1/2) x 9.6 x 10-8 x 120 V = 5.76 x 10-6 J W1 = (1/2) x 2.4 x 10-8 x 120 V = 1.44 x 10-6 J W2 = (1/2) x 7.2 x 10-8 x 120 V = 4.32 x 10-6 J La tabla presenta los resultados solicitados en el problema. PROBLEMA.
Tres condensadores de 200 pF, 600 pF y 15 pF están conectados en paralelo y se cargan con una diferencia de potencial de 120 V. Calcular: e) La capacitancia total. f) La carga total del sistema. g) La diferencia de potencial en terminales de cada condensador. h) La energía almacenada en el sistema.
Capacitancia (pF) 200 600 15 CT=815 CT
QT
=
C1
=
+
C2
C T VT
Carga ( x10
8
Tensión (V) 120 120 120
C)
−
2.4 7.2 0.18 QT=9.78
+
C3
= 200
pF
+ 600
(815 pF )(120 V )
=
VT=120V pF
+15
= 9 .78
pF
x10
−8
Energía ( x10
6
−
J)
1.44 4.32 0.108 5.868
815 pF
=
C
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Q1
=
C1V1
Q2
=
C 2V 2
Q3
=
C 3V 3
Física III
( 200 pF )(120 V )
= 2 .4
x10
−8
C
=
(600 pF )(120 V )
= 7 .2
x10
−8
C
=
(15 pF )(120 V )
=
WT
=1 /
2QT VT
W1
=1 /
2Q1V1
W2
=1 /
2Q2 V2
=
W3
=1 /
2Q3V 3
=
=1 .8
8
1 / 2(9.78 x10
−
=
1 / 2( 2.4 x10
=
1 / 2(7.2 x10
1 / 2(1.8 x10
x10
−8
C
C )(120 V )
= 5.868
x10
8
C )(120 V )
=1 .44
x10
8
C )(120 V )
= 4 .32
x10
C )(120 V )
= 0 .108
−
−
8
−
−6
−6
x10
−6
J
J J
−6
J
PROBLEMA.
De acuerdo con el circuito de capacitores que se presenta en el dibujo adjunto, calcular: a) la capacidad equivalente del sistema, b) la carga en cada capacitor, c) la ddp en cada uno de los condensadores y d) la energía almacenada en cada uno de ellos.
La capacidad equivalente de los condensadores C 1, C2 y C3 (están en paralelo) es: C123 = C 1 + C 2 + C 3 = 3 + 5 + 4 = 12 mF; todos los resultados se registrarán en la tabla adjunta.
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Física III
A continuación se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C están en serie:
123
y C4, que
C1234 = 1 / ( 1/ C 123 + 1 / C4 ) = 1 / ( 1 / 12 + 1 / 4 ) = 3 mF A continuación se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C 5 y C6, que están en paralelo: C56 = C5 + C6 = 4 + 2 = 6 mF Ahora se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C56 y C7, que están en serie: C756 = 1 / ( 1 / C 7 + 1 / C56 ) = 1 / ( 1 / 3 + 1 / 6 ) = 2 mF Ahora se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C paralelo: CE = C1234 + C756 = 3 + 2 = 5 mF
1234
y C756, que están en
Teniendo las capacidades equivalentes, se procede a calcular las cargas eléctricas de cada uno de los condensadores. La fórmula es: Q = C V = 5 x 10 tabla adjunta.
-3
x 96 = 480 x 10 -3 coulombs; resultado que también se anota en la
Dado que para capacitores en paralelo lo que es igual es el voltaje, entonces, C 1234 y C756 tienen el mismo voltaje, razón por la cual su voltaje es de 96 V. Se calcula, pues, la carga de acuerdo con la ecuación: Q=CV Q1234 = C1234 V1234 = 3 x 10-3 x 96 = 288 x 10-3 C -3
-3
Q756 = C756 V756 = 2 x 10 x 96 = 192 x 10 C Como comprobación, la suma de Q1234 y Q 756 debe ser igual a Q E y se cumple (lo puede verificar con los datos anotados en la tabla). Ahora se calcula el voltaje de los condensadores C 123 y C 4, que se encuentran en serie y para los cuales, lo que es igual es la carga eléctrica; entonces el voltaje es: V=Q/C V123 = 288 x 10 -3 / 12 x 10-3 = 24 volts, y V4 = 288 x 10-3 / 4 x 10-3 = 72 volts. Como comprobación la suma de V123 y V4 debe ser 96 V, cosa que es verdad. Ahora se calcula el voltaje de los condensadores C 7 y C 56, que se encuentran en serie y para los cuales, lo que es igual es la carga eléctrica; entonces el voltaje es:
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Física III
V7 = 192 x 10-3 / 3 x 10-3 = 64 volts, y V56 = 192 x 10-3 / 6 x 10-3 = 32 volts. Como comprobación la suma de V7 y V56 debe ser 96 V, cosa que es cierto. Ahora se calcula la carga eléctrica de los condensadores C 1, C 2 y C 3, que se encuentran en paralelo y para los cuales, lo que es igual es el voltaje (el voltaje es de 24 V); entonces la carga es: Q=CV Q1 = C1 V1 = 3 x 10-3 x 24 = 72 x 10-3 C Q2 = C2 V2 = 5 x 10-3 x 24 = 120 x 10-3 Q3 = C3 V3 = 4 x 10-3 x 24 = 96 x 10-3 C. Como comprobación, la suma de estas tres cargas debe ser de 288 x 10 cierto.
-3
, lo que es
Ahora se calcula la carga eléctrica de los condensad ores C 5 y C 6, que se encuentran en paralelo y para los cuales, lo que es igual es el voltaje (el voltaje es de 32 V); entonces la carga es: Q5 = C5 V5 = 4 x 10-3 x 32 = 128 x 10-3 C Q6 = C6 V6 = 2 x 10-3 x 32 = 64 x 10-3 C. Como comprobación, la suma de estas dos cargas debe ser de 192 x 10 cierto.
-3
, lo que es
A continuación se calcula la energía almacenada en cada capacitor con la ecuación: W = (1/2)(QV); los correspondientes resultados están registrados el la tabla adjunta.
C x 10-3 F
Q x 10-3 C
V V
W x 10-3 J
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Física III
C1
3
72
C2
5
120
C3
4
96
C4
4
288
C5
4
128
C6
2
64
C7
3
192
C123
12
288
C56
6
192
C1234
3
288
C756
2
192
CE
5
480
2 4 2 4 2 4 7 2 3 2 3 2 6 4 2 4 3 2 9 6 9 6 9 6
864 1440 1152 10368 2048 1024 6144
23040
No tiene sentido calcular la energía para los capacitores equivalentes, razón por la cual no aparecen valores en las casillas correspondientes.
48
