Universidad Universidad Nacional Aut´ onoma onom a de M´ exico exic o
Algebra Lineal I Tarea 3 1. Sea C ([0, ([0, 1]) = f : [0, [0, 1]
→ R | f es f es funci´on Definimos un producto interior interior en C ([0, ([0, 1]) como sigue: on continua}. Definimos para f para f y g en C en C ([0 ([0,, 1]), f ( f (x), g (x) = f ( f (t)g (t)dt (a) Verificar erificar que f ( f (x), g (x) es realmente un producto interior en C ([0 C ([0,, 1]). (b) Si f Si f ((x) = x y x y g( g (x) = e , calcular calcular f ( f (x), g (x). , g y f + (c) Para f Para f y g del g del inciso anterior, calcualar f f + g y verificar las desigualdades de Cauchy-Scwarz {
1
0
x
y del tri´angulo. angulo.
(d) Si definim definimos os , : C ([0 C ([0,, 1]) C ([0, ([0, 1])
× → R como sigue: para f para f y g y g en en C C ([0, ([0, 1]), f ( f (x), g (x) = ¿Es f ( f (x), g (x) es un producto interior en C ([0 C ([0,, 1]) ? 2
1 2
f ( f (t)g(t)dt. dt.
0
2
2. Verificar erificar si las siguientes siguientes funciones funciones definen definen o no productos interiores interiores en los espacios espacios dados: (a) En
2
, (a, b), (c, d) = r = r((ac + ac + bd bd)) con r con r
+
∈ R . (b) En R , (a, b), (c, d) = ac = ac − bd. bd. (c) En R , (a, b), (c, d) = ac = ac − bc − ad + ad + 4bd 4bd.. (d) En M (R), A, B = tr = tr((A + B + B), donde tr((A) es la traza de A. A . ), donde tr (e) En V En V = P [ P [R], f ( f (x), g(x) = f ( f (t)g (t)dt R
2 2
2
1
−1
1
(f) En P En P [[R], f ( f (x), g (x) =
f (t)g (t)dt, dt, donde f donde f (x) es la derivada de f ( f (x).
0
3. Sean (V, (V, +, ) un K -espacio -espacio vectorial con producto interior , y β = v¯1 , v¯2 ,..., v¯n una base ordenada de V . . Si λ1 , λ2 ,...,λn son cualesquiera n escalares en K , demostrar que existe exactamente un vector ¯u V V tal que u, u ¯, v¯j = λ = λ j para todo j todo j 1, 2,...,n
·
∈ {
{
}
∈
}
4. Sea (V, (V, +, ) un K un K -espacio -espacio vectorial con producto interior. Probar:
· (a) ¯u ± v¯ = ¯u ±2Re u, u ¯, v¯ + ¯v (b) ¯u − ¯v ≤ ¯u − v¯ 5. Sea (V, (V, +, ·) un K -espacio -espacio vectorial con producto interior y supongamos que ¯u y v¯ son vectores ortogonales en V . . Probar que: ¯u + ¯v = ¯u + ¯v 6. Sea (V, (V, +, ·) un K un K -espacio -espacio vectorial con producto interior. Probar que: ¯u + ¯v + ¯u − v¯ = 2 ¯u +2 ¯v 7. Sea T Sea T : V → V un operador lineal en un espacio vectorial vectorial con producto producto interior interior V y V y supongamos que para todo v¯ ∈ V , , T (¯ T (¯ v ) = ¯v . Probar que T que T es es inyectiva. 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8. Sea V Sea V un K-espacio vectorial. Aplicar el procedimiento de Gram-Schmidt a cada subconjunto dado S de V de V para obtener una base ortogonal de S . Tambi´ en en obtener una base ortonormal de S y obtener los coeficientes de Fourier para el vector dado:
(a) V = R3 , S = S = (1, (1, 0, 1), 1), (0, (0, 1, 1), 1), (1, (1, 3, 3) y v¯ = (1, (1, 1, 2).
{ } (b) V = R , S = S = {(1, (1, −2, −1, 3), 3 3)5, (3,(3, 6, 3,−−11),1), (1,(19, 4, 2,8)}7 y v−¯ =17(−1, 2, 1, 1). −1 (c) V = M (R), S ), S = = −1 1 , 5 −1 , 2 −6 y A = −4 4
2
27 8
9. Sean V V un espacio con producto interior y W un W un subespacio de dimensi´on on finita de V . V . Si v¯ / W , W , probar que existe u ¯ V tal V tal que u ¯ W ⊥ y v, ¯ v¯, ¯ u = 0.
∈
∈
∈
10. Sean β una base para un subespacio W de un K -espacio vectorial con producto interior V y u ¯ V . Probar que ⊥ ¯ W si y s´olo si u ¯, v¯ = 0 para todo ¯v β . u
∈
∈
∈
11. Sean V un K-espacio vectorial con producto interior S y S 1 subconjuntos de V y W un subespacio de V . Probar: (a) S (S ⊥ )⊥ ; as´ı S
⊥ ⊥
⊆ ⊆ (S ) . (b) S ⊆ S implica que S ⊆ S . ⊥
⊥
1
1
(c) W = (W ⊥ )⊥ (Sugerencia: utilizar el ejercicio 9). ⊥
(d) V = W
⊕ W
.
12. Sean V = C ([0, 1]) y , el producto interior en V definido en la pregunta 1. Si W es el subespacio de V generado por x, x . Obtener una base ortonormal de W .
{ √ }
13. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita. (a) Probar que un operador lineal T : V
→ V es invertible si y s´olo si cero no es un valor propio de T .
(b) Sea T : V V un operador lineal invertible. Probar que un escalar λ es un valor propio de T si y s´olo si λ−1 es valor propio de T −1 .
→
14. (a) Probar que matrices similares tienen el mismo polinomio caracter´ıstico. (b) Probar que la definici´on de polinomio caracter´ıstico de un operador lineal en un espacio vectorial de dimensi´ on finita V es independiente de la elecci´on de la base de V . 15. Sea A
∈ M (K ) con polinomio caracter´ıstico: f (t) = (−1) n
n n
t + an−1 tn−1 +
· · · + a t + a . Probar que det(A) = f (0) = a . Deducir que A es invertible si y s´olo si a = 0. 0
1
0
0
16. Para cada uno de los siguientes operadores lineales en el espacio vectorial V , verificar si T es diagonalizables y si es el caso obtener una base β tal que [T ]β sea una matriz diagonal. (a) V = P 3 (R) y T definida por T (f (x)) = f (x)+f (x), donde f (x) y f (x) son la primera y segunda derivada de f (x), respectivamente. (b) V = R3 y T definida por T (x,y,z) = (y, x, 2z).
−
(c) V = M 2 (R) y T definida por T (A) = A t .
17. Sea T un operador lineal definido en un espacio vectorial de dimensi´on finita V con valores propios distintos λ1 , λ2 , . . . , λk de multiplicidades m 1 , m2 , . . . , mk , respectivamente. Suponga que β es una base de V tal que [T ]β es una matriz triangular superior. (a) Probar que las entradas de la diagonal de [ T ]β son λ1 , λ2 , . . . , λk y que cada λi aparece mi veces para i 1, 2,...,k .
∈ {
}
k
m λ . (b) Probar que tr ([T ] ) = β
i i
i=1
(c) det([T ]β ) = (λ1 )m (λ2 )m 1
2
·· · (λ ) k
mk
.
18. Sean T un operador lineal invertible definido en un espacio vectorial de dimensi´on finita V y λ un valor propio de T . Probar que el subespacio invariante de T correspondiente a λ es el mismo que el subespacio invariante de T −1 correspondiente a λ −1 . (ver ejercicio 13b).