Álgebra
2
EDUCACIÓN SECUNDARIA
ÁLGEBRA 2 El libro de ÁLGEBRA 2, para el segundo año de educación secundaria, se complementa con el CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 2 y ha sido elaborado por el Departamento Académico de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. S. A.C. ubicado en Av. Tacna Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima.
Título de la obra:
Álgebra 2
Título de la colección: Geniomatic Educación Secundaria Hernán Hernández Bautista Director Académico: Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista Elvis Valerio Solari Asesor Académico:
Elvis Valerio Solari
Eduard o Tomas Granados Marcelo Diseño y Diagramación: Eduardo Norma Guadalupe Guerrero Noel Marco Antonio Lizárraga Podestá Podestá
Corrección de Estilo:
Victor Francisco Bautista
Fotografía:
Yuri Hernández Hernánd ez Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web
Primera edición: Tiraje:
Setiembre 2015 5000 ejemplares
Editado por: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426-4853 www.editorialingenio.pe E-mail:
[email protected] Impreso en los talleres gráficos de Corporación Gráfica Navarrete S.A. Carretera Central 759 km 2 Sta. Anita - Lima 43 Impreso en Octubre 2015 Teléfono: (01) 362-0606 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso escrito de GENIOMÁTIC Número de Proyecto Editorial: 31501001501087 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-13911 ISBN: 978-612-4302-01-5
PRESENTACIÓN AL MAESTRO: El Estado peruano dirige la política educativa a través del Ministerio de Educación. Sin embargo, la tarea educativa es responsabilidad de todos los peruanos, en especial de los profesores, los alumnos, las autoridades docentes y los padres de familia. familia . El Diseño Curricular Nacional (DCN) de Educación Básica Regular, formulado por el Ministerio de Educación, fija el marco de nuestro trabajo educativo, labor l abor que desarrollamos con los textos escolares de Matemática Geniomátic de educación secundaria. Compartimos la propuesta de “ofrecer una educación integral a los estudiantes mediante una formación científica, humanística y técnica. Afianzar su identidad personal social. Profundizar los aprendizajes logrados en el nivel de Educación Primaria. Orientar al desarrollo de capacidades que permitan al educando acceder a conocimientos humanísticos, científicos y tecnológicos en permanente cambio. Formar para la vida, el trabajo, la convivencia democrática, el ejercicio de la ciudadanía y para niveles superiores de estudio. Tenemos en cuenta las características, las necesidades y los derechos de los púberes y adolescentes“. a dolescentes“. La labor docente, particularmente en Matemática, es una tarea apremiante en la que Geniomátic pretende apoyar, por lo que esperamos que este texto sea una herramienta útil y eficiente que aligere el trabajo con sus estudiantes.
AL ESTUDIANTE: ¿Qué piensas de la Matemática? El concepto que tengas de la Matemática es muy importante para tu aprendizaje. Algunos piensan que la Matemática es un conjunto de reglas y fórmulas que hay que memorizar para el examen. Otros piensan que es un invento de muchos genios, difícil de comprender. comprender. Ambas ideas pueden perjudicar tu aprendizaje. La Matemática es lógica y sentido común. Si en una caja pones 10 manzanas y le agregas 5 más, tendrás 15 manzanas. Si manejo un carro que yendo a 100 kilómetros por hora y frena en 50 metros, el sentido común me dice que necesito unos 100 metros por adelante, para que en caso de una emergencia tenga tiempo de reaccionar y frenar con tranquilidad. En caso contrario, debo bajar la velocidad. Los conocimientos matemáticos son muy útiles para resolver problemas de cuantificación, como calcular áreas de terrenos, cantidad de materiales para construcción, estimar el tiempo de producción de un artefacto, etc. Este libro te ofrece una oportunidad para involucrarte en el maravilloso mundo de las ideas matemáticas, donde no hay límites para tu curiosidad, donde puedes explorar, explorar, imaginar, cuestionar, cuestionar, verificar, verificar, proponer, proponer, preguntar, preguntar, responder preguntas desde tu punto de vista, compartir tus inquiei nquietudes y trabajar en equipo. En este texto encontrarás los conocimientos matemáticos siempre asociados a una aplicación práctica que te servirá de guía para que hagas lo mismo con los ejercicios de la actividad. Además, cuentas con alcances en la columna derecha, que te reforzarán, ayudarán e informarán sobre el tema principal. Los cuatro textos van acompañados por un cuaderno de trabajo que contiene ejercicios similares a los de la actividad y otros, seleccionados en tres niveles de dificultad, para que puedas practicar, reforzar y profundizar tus conocimientos.
2
3
ESTRUCTURA DEL TEXTO Sección inicial de la unidad Imagen motivadora Fotografía ilustrada que conecta una situación real con el tema de aprendizaje.
Número de la unidad Título de la unidad Imagen secundaria Imagen que muestra un detalle relacionado con el tema de la lectura.
Aprendizajes esperados y actitudes Contiene el listado de las capacidades que desarrollarás en la unidad.
Lectura motivadora Explica la relación entre la Matemática y una situación objetiva. Además, formula preguntas que propician el análisis y la reexión sobre el tema.
Sección central Número de capítulo Título del capítulo Recuperación de saberes previos Plantea situaciones que te servirán de base para iniciar el tema nuevo. Es algo que conoces o has tratado en los capítulos anteriores.
Formalización Contiene las deniciones y conceptos de los términos matemáticos.
Generación del conicto cognitivo Es una pregunta que tendrás que responder con el desarrollo o al terminar el capítulo.
Información complementaria Lecturas, notas, observación, historias, recursos tecnológicos, que contribuyen a reforzar y recrear el tema.
Problemas Plantea una aplicación desarrollada del tema.
Problemas Actividad Es un conjunto de preguntas sobre análisis, reexión, valoración, demostración, cálculo, búsqueda de relaciones, para que desarrolles, individual o colectivamente, con apoyo de tu profesor o tus compañeros.
4
2
Plantea una aplicación desarrollada del tema.
ÍNDICE SECCIÓN INICIAL
SECCIÓN CENTRAL Capítulo 01:
01
Exponentes y radicales
ACTIVIDAD 7
Actividad 01
8
9
Actividad 02
11
12
Actividad 03
14
15
Actividad 04
16
Actividad 05
18
19
Actividad 06
21
Capítulo 07: División de polinomios Método clásico
23
Actividad 07
25
Capítulo 08: Métodos de división polinomial I Método de Rufni
26
Actividad 08
27
Capítulo 09: Métodos de división polinomial II Método de Horner
28
Actividad 09
30
Capítulo 10: Divisibilidad Algebraica Teorema del resto
31
Actividad 10
32
33
Actividad 11
35
36
Actividad 12
39
41
Actividad 13
42
Actividad 14
44
Deniciones Teoremas Capítulo 02: Expresiones algebraicas Término algebraico Términos semejantes - reducción Capítulo 03:
Polinomios Valor numérico Grado de un polinomio
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Capítulo 04:
Polinomios especiales Homogéneo, ordenado, completo
Capítulo 05:
Productos notables I Binomio al cuadrado
6
Capítulo 06:
Productos notables II
17
Binomio al cubo
02
FACTORIZACIÓN
Capítulo 11:
Factorización
Capítulo 12:
Métodos de factorización
Factorización sobre Z Método del aspa Método de los divisores binómicos
22
Capítulo 13:
03
Ecuaciones lineales Ecuación e identidad Ecuación de primer grado
ECUACIONES ALGEBRAICAS 40
Capítulo 14: Ecuaciones de segundo grado I Resolución de una ecuación cuadrática
43
Capítulo 15: Ecuaciones de segundo grado II Resolución por aspa simple
45
Actividad 15
46
Capítulo 16: Ecuaciones de segundo grado III Resolución por formula general Propiedades de las raíces
47
Actividad 16
48
Capítulo 17: Desigualdades Intervalos Operaciones con intervalos interval os
49
Actividad 17
51
Capítulo 18: Inecuaciones de primer grado con una incógnita Resolución de una inecuación
52
Actividad 18
53
55
Actividad 19
58
59
Actividad 20
61
62
Actividad 21
63
64
Actividad 22
66
Capítulo 23: Gráca de funciones Diagrama sagital y cartesiano
67
Actividad 23
69
Capítulo 24: Modelación de funciones Problemas
70
Actividad 24
72
Capítulo 19:
04
Relaciones binarias Producto cartesiano Relaciones: Dominio y rango
Capítulo 20:
Propiedades de las relaciones Reexiva, simétrica, transitiva
RELACIONES Y FUNCIONES
Capítulo 21:
Funciones
Dominio y rango Notación
Capítulo 22:
Funciones lineales Evaluación de una función Función afín y función lineal
54
2
5
Unidad
01
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FABRICACIÓN DE AUTOS Cuántos autos fabricar, es un problema que los fabricantes deben resolver todos los años. Si fabrican pocos pierden ventas, si fabrican muchos, tendrán capital retenido y afrontar gastos de almacenaje. Para resolver el problema sus economistas, en base a las ventas anteriores, la proyección económica del mercado y otros parámetros, deben obtener una expresión que calcule el número de autos a fabricar. - Encuentra una expresión algebraica algebraica que exprese tu gasto personal personal al mes. http://www.motoryracing.com/co http://www.motory racing.com/coches/noticia ches/noticias/como-es-p s/como-es-proceso-fab roceso-fabricacion-coch ricacion-coche-i/ e-i/
APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones •
•
•
•
Comunica y representa
Reconoce las propiedades de la teoría de exponentes. Identifica términos semejantes. Usa el valor numérico de una expresión algebraica. Relaciona operación es con E.A. 6
2
•
•
•
Clasifica las expresiones algebraicas.
Elabora y usa estrategias •
Describe los polinomios especiales. Expresa el desarrollo de una expresión algebraica como un producto notable.
•
Emplea diversas estrategias para resolver problemas con teoría de exponentes. Emplea diversas estrategias para realizar operaciones con expresiones algebraicas y productos notables.
Razona y argumenta •
•
•
Explica la importancia de la utilización de la teoría de exponentes. Justifica el uso de las expresiones algebraicas. Propone estrategias para calcular el producto notable.
01
O L U T Í P A C
EXPONENTES Y RADICALES ¿Cuál de las igualdades es incorrecta?
2
22⋅23 = 22+3
2
La igualdad 43 = (43) , ¿es correcta?
(22)3 = 22⋅3 6 3
I B I M E S T R E
3
=
DEFINICIONES 1.- Exponente natural
2.- Exponente cero
24 = 2222
Observación
a0 = 1 a R a 0
4 factores
• (25 + 34)0 = 1
• (5486)0 = 1
Exponente
an = aaa...a n N, n 1
a1 = a
1n = 1
Base
0n = 0
para n > 0
Problema 1
Solución:
Reemplazando: 24 = 2222 = 16 5 3 16–16 = (35 – 53)0 = 1 (3 – 5 ) 2 4 = 44 = 16
4 2 Reduce: (35 – 53)2 – 4
Rpta.: 1
3.- Exponente negativo
•
3
1
1
−
=
a–n =
•
3
5
1
2
−
4.- Exponente fraccionario
=
5
1
2
=
5
3
•
25
24 =
4
2
•
3
32 =
3
5
Índice
1
m n
a≠0 ∧ n ∈ N
an
m ∈ N ∧ n ≥ 2
n m a = a
Exponente
Problema 2
Solución:
Efectúa: 923–3 + 2–425
9
2
⋅3
−3
+
2
−4
⋅2
5
9 =
3
2 3
+
2
5
2
4
81 =
27
32 +
16
=
3
+2 =
5
Nota
Rpta.: 5
TEOREMAS 1.- Producto y cociente de bases iguales (2 + 4) factores
3234 = 33 3333 3234 = 32+4 = 36 2 f
anam = an+m
a
Problema 3 3
2
m
= a a
Reduce
−2
4 f
En general:
6
n
3 = 5 5 3
−n
a = b b a
m−n
0
a ≠
n
Solución: 7
8
3 ⋅3 ⋅3 2
3
3 ⋅3 ⋅3
24
9 6
3
7 + 8+ 9
3
2 + 3+ 4
4 3
6
=
3
3
24
3
9
3 =
6 9
3
3
=
3
4
3
3
=
3
4− 3
=
3
Rpta.: 3 2
7
CAPÍTULO 01
EXPONENTES Y RADICALES
3.- Raíz de raíz
2.- Potencia de potencia
(23)2 = 2323 = 23+3 = 26
mn
(an)m = (am)n = anm
•
4.- Potencia de un producto E R T S E M I B I
a = mn a m, n ∈ N
3 5
15
2 =
3
•
2
7 =
6
7
5.- Raíz de un producto
(34)2 = (34)(34) = 3242
n
ab
=
n
a
⋅
n
b
2
Ten Presente
(ab) = a b n
n n
•
6.- Potencia de una fracción 3
a = b b
a
3 3
n
b
n
=
4
81
8
27 27
⋅
=
2 3 ⋅
=
6
COROLARIOS
(axb y)n = axnb yn
b ≠ 0 ∧ n ∈ N
m
2
4
3
4
4
=
2
4 4
3
4
=
p
an b c
=
m
a mn b
mnp
c
2
(
3
n
a
)
m
n
a
=
m
Solución:
( x 4 )5 ( x 3 ) 2 ( x 2 ) −
−5
4
16
≠ 0, n ∈ N
y determina el exponente de x en: 2
=
3
4
Reduce
3
⋅
a = na b nb
n
Problema 4
9
8 27
3
7.- Raíz de una fracción
4 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4 5 5 5 5 5 ⋅ 5 ⋅ 5 5 n
3
−
4
x
9
x
− 15
20
y
⋅x − 10
−6
x
⋅x
8
6
y
10
=
x
9
x
20
−15 + 8
=
9
x x
20 −7
−3
27
5 2
9
(x y ) (x y )
x
=
20 ⋅
x
7
9 =
x
27 =
x
9
=
x3
Rpta.: 3
Actividad 01 01 1
7
M=
0
1
2 ×2 ×2 ×2 4 × 8 × 16 16 × 2
2
-5
-10
?
Efectúa la siguiente operación: G=
( 22 )
-3 ×
( 2 -5 ) 3
falsas: I. (2x4)(3x6) = 5x10 III. (2x3)4 = 2x12
¿Cuál es el exponente de 2, al simplicar la expresión:
Simplifca aplicando
ciación: M=
( 24 )
4 ×
2
7 -5
3
( 4 x 3 )0 8
4
Simplifca M = 81/3 + 251/2
9
5
2 81 ⋅ 81
+
6
( 22 )
9
9
3
Determina si las armaciones son verdaderas o
8
2
4
4
+
3
x36
12
3 4
16 25
+
×
5
( 34 )
16
×
3
×3
(3 ) 3
2
2
3
×
2
×
2
10 6
)
1 6
64
Reduzca la siguiente expresión: 3
Efectúa la siguiente operación: 3 3
4 3
Aplica las propiedades de la radicación y calcula:
9
5
+ (x
4
⋅ 3 4 ⋅ 35
( 33 ) 4
Simplifca aplicando propiedades:
propiedades de la poten3
II. x6 y9 x4 y7 = x2 y2 IV. [(x2)3]4 = x9
( 52 )
( 32 )
3
2
( x 2 y 3 ) 4 × ( x 3 )2 Simplifca E = 3 ( x 3 )3 × y 8
2
02
O L U T Í P A C
EXPRESIÓN ALGEBRAICA ¿Cuánto es un litro de azúcar más un kilogramo de azúcar?
¿Cuál es la diferencia entre variables y constantes?
Personaje I B I M E S T R E
En 1687 Isaac Newton estableció que los cuerpos siempre se atraen como dos imanes. La fuerza con la que se atraen estaba expresada por la Ley de Gravitación Universal. F
F=G
m1m2
Constante (6,710–11)
d
d2
(Inglaterra, 1643 -1727) Exponente
Para calcular la fuerza con que se atraen la Tierra y la Luna es suciente reemplazar m1 por la masa de la Tierra, m2, por la de la Luna y d, por la distancia de la Tierra a la Luna. G siempre mantendrá su valor. Una expresión algebraica está dada por variables y constantes unidas mediante operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, exclusivamente. Son expresiones algebraicas
No son expresiones algebraicas
• 3x3 + 2xy2 – 5x
• 3x – 2x + 4xy
•
4x
2
−2
y
x
3
•
z
1 2
Isaac Newton
Variable
Cumbre de la mecánica clásica. En 1687 publicó sus "Principios", para muchos el mayor libro cientíco jamás escrito, donde establece las leyes de la mecánica clásica, incluida la ley de gravitación universal. Como nunca antes estas leyes ensancharon el campo de la mecánica, explicando, al mismo tiempo, una amplia gama de fenómenos no relacionados previamente: las órbitas excéntricas de los cometas, las mareas y sus variaciones, la precisión del eje de la Tierra y el movimiento de la Luna al verse perturbado por la gravedad del Sol.
senx − 3 tan y
Asimismo, Newton destaca por sus
Problema 1 Reconoce las expresiones algebraicas.
1. 4xy–1
2.
x+y
4
3. xx + y y
4. 1 + 2x + 32x
Solución:
Son expresiones algebraicas 1 y 2. Rpta.: 1; 2
tiene 1 término
2x3 + 3x2
tiene 2 términos
Un término algebraico es una expresión algebraica que entre sus elementos no incluye la adición ni la sustracción.
PARTES
4 x3 y7z4 –
7 Constante (coeciente)
Exponentes
Variables
Dos términos algebraicos son semejantes si tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes, respectivamente. Términos semejantes.-
glo XIX, cuando fue revivida la teoría ondulatoria de Huygens y se llegó a comprender la naturaleza dual de la luz. Descompuso la luz y estableció que la luz blanca es una mezcla de diferentes tipos de rayos que son refractados en ángulos distintos.
TÉRMINO ALGEBRAICO 3x2 y
trabajos de óptica. Concebía la luz como el movimiento de pequeñas cápsulas, teoría que reinó hasta el si-
No menos relevante es que Newton sentara los fundamentos del cálculo diferencial e integral. Su "método de uxiones" concebía la integración como el proceso inverso a la diferenciación. Lo escribió en 1671, pero fue traducido al inglés y publicado en 1736.
2
9
CAPÍTULO 02
Son términos semejantes
No son términos semejantes
• –36x3 y2 y 45 y2x3
• 37x3 y2 y 37x2 y3
Problema 2
Los términos E R T S E M I B I
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
2
mxm–1 y3
y
nx5 yn+1, son semejantes. Calcula m + n.
Solución: • m – 1= 5 m = 6
Ten Presente
• n + 1= 3 n = 2
m + n = 6 + 2 = 8
Rpta.: 8
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJAN SEMEJANTES TES Para saber qué cantidad de azúcar hay en 1 kg y 1 L de azúcar, expresamos todo en kilo gramos o bien todo en litros.
1 kg + 1 L = 1,75 kg
0,75 kg
1 kg + 1 L = 2,33 L
1 litro pesa 0,75 kg y 1kg ocupa 1,33 L.
1,33 L
Se pueden reducir sólo términos semejantes. En caso contrario, se deja expresado como una adición de términos. • 3x2 + 10x2 = 13x2
• 2x2 + 3x3 – 5x2 – x3 = –3x2 + 2x3
• 15xy – 8xy + 3xy = 10xy
• 3x + 2 y – 6 y + 8x + z = 11x – 4 y + z
Problema 3
Reduzca los términos semejantes mx3 y2m – nxn–1 y6. Solución: • n – 1 = 3 n = 4
• 2m = 6 m = 3
mx3 y2m – nxn–1 y6 = 3x3 y6 – 4x3 y6 = –x3 y6
Rpta.: –x3 y6
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Entera (ERE): 2x y ; Racional (ER) (Exponente positivo) (Exponentes enteros Fraccionaria (ERF): 2xy de las variables) (Exponente negativo) Irracional (EI) (Exponentes fracciona
3 2 1 xy 2 3
Expresión Algebraica
2
–2; 3 x 3
1
2
2
5 x 3 y ; 2 3 xy ;
Problema 4
¿De qué clase es la expresión (n 5)?
n+ 4
n+1
4x
3
y
3 − 2n
, si
−2 x
Solución: n+4 5 −n son enteros sólo si n = 2. Luego y 3 3
2
3
y
x
3 y
rios de las variables)
10
+3
5−n
y
3
es racional entera
n +1
4x
3
y
3 − 2n
=
1
4x y
−1
Rpta.: E.R.F.
NOTACIÓN Las expresiones algebraicas se suelen denotar de esta manera:
E(x; y) = 3ax3 y2 Con lo cual se está diciendo que sólo x e y son las variables y que a pesar de ser letra le tra a no lo es, es una constante.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Problema 5
CAPÍTULO 02
Si los términos:
Problema 6 Halla el valor de:
4x2a+1 y5; 12x7 y3b–1 son semejantes,
K = 3a – (2a – 3b) + 5a – (2a + b) – 2b
halla el valor de a + b.
Solución:
5
K = 3a – 2a + 3b + 5a – 2a – b – 2b K = (3a – 2a + 5a – 2a) + (3b – b – 2b) K = 4a + 0 K = 4a
Solución:
De los exponentes: 2a + 1 = 7 a = 3 3b – 1 = 5 b = 2 Luego: a + b = 3 + 2 a + b = 5 Rpta.: 5
Rpta.: 4a
Actividad 02 02 01
Clasifca la expresión algebraica: 2 4 6
E( x , y , z ) =
x y
z +
07
02
Si los términos
6x3a + 2 y 5x14 – a,
rímetro de cada gura.
3 xy z
Representa con una expresión algebraica el pe -
−2
y
a)
son semejantes,
calcula a.
x
x
x
x y
03
Indica los términos semejantes y simplifca:
y
y
b)
(3x2 + 2 y3) – (2x2 – 4 y3) + 3(x2 + y3) 04
y
Reduce los términos semejantes en la expresión:
M = –2x – (–4x + y) – {–[4x + ( y y – x) – (– y + x)]} 05
cuántas de las siguientes expresiones son racional fraccionaria Determina
P(x, y) = Q(x; y) = R(x; y) =
3x 2 5
x
2
+
2y
2
xy + 3 x
+
2x
3
b. 0,25xy; 3xy2; –7xy2; 2xy
6
y 06
términos se-
a. 3x2 y4; – y4; 4x2 y4; 3 y4
−6
− 3y
Copia en tu cuaderno y agrupa los
mejantes:
2x
−
3
08
En cada expresión identifca los términos seme jantes y redúcelas. a. 4x3 – 6x3 + 11x3 + 10x b. 17x2 y + 10xy2 + 3x2 y – 6xy2
09
Halla ab si t1 = –4xa+1 yb–2
jantes. 10
y t2 = ax7 ya son seme-
Reduce la expresión:
P(x) = 2mxn–1 + (n + 1)xm+1 – mnx3 formada por términos semejantes.
2
11
I B I M E S T R E
03
O L U T Í P A C
POLINOMIOS
¿En una expresión alal gebraica racional entera la variable puede tomar el valor de
2? 3
¿Qué es un polinomio mónico?
P( x x) = 3 x4 + 2 x2 3
2
4
E R T S E M I B I
2
Ten Presente
Notación Polinomial Los polinomios se denotan así:
Un polinomio es una expresión una expresión algebraica racional entera, cuyos entera, cuyos coecientes indican el campo numérico en el que está denido, y cuyas variables pueden tomar cualquier valor numérico. La expresión te
3 4
P( x) = 2 x 3
−
3 4
x 2 + 1 es un polinomio. Como tiene un coecien-
(número racional) entonces es un polinomio denido en el campo ra-
cional, pero x puede tomar cualquier valor numérico. Q (x , y) = 3x 2
3xy − y 3 es
un polinomio denido en el campo real, puesto que contiene un coeciente irracional ( 3 ) . +
P(x):
polinomios de varia ble x
P(x; y): polinomios de varia bles x e y Ejemplo:
En P(x; y) = 3x2 – 2xy + axy2 Solo x e y son variables, a no lo es.
M(x) = 3x2 – 2x + 4x–1 no es un polinomio porque no es una E.A.R entera. Problema 1
Señala el campo numérico en el que están denidos los polinomios: 1. P(x) = 3x3 – x2
2.
Q (x ; y) =
3 5
xy
3. M(x; y) = 3 x – 2 y
Solución:
1. Enteros
2. Racionales
3. Reales
Expresión general de un polinomio en una variable: Grado del polinomio
Término independiente
P(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an (a0 ≠ 0) Coeficiente principal
Coeficientes
Calculemos el valor de P(x) = 3x2 – 2x + 5 para x = 4. P( 4) = 3 ( 4)2 − 2 ( 4) + 5 ⇒ P( 4) = 45 48
8
El valor numérico de un polinomio es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por determinados valores. 12
Ten Presente
De acuerdo al número de tér minos, los polinomios reciben nombres especiales. • Polinomio de un término Monomio: 4xy2 • Polinomio de dos términos Binomio: 2x + 3 y • Polinomio de tres términos Trinomio: x2 y + xy2 + y3 • Polinomio de varios términos: Multinomio: x + y + z + 1
VALOR NUMÉRICO Sustituimos x por 4:
2
2
POLINOMIOS
CAPÍTULO 03
Problema 2
La ganancia G(en miles de soles) de una empresa en función del número de artículos n que fabrica está dada por G( n) = −5 n + 5 n . ¿Cuál es su 2
32
2
ganancia si fabrica 8 artículos y cuál, si fabrica 16 artículos? Solución:
5
−
Si fabrica 8 artículos: G(8) =
(8 ) 2
32
5
+
2
20
10
−
5
−
(16)2
32 1 4 24 3 −
40
I B I M E S T R E
{
1 4 2 4 3
Si fabrica 16 artículos: G(16) =
( 8) ⇒ G(8) = 10
+
5 2
(16) ⇒ G(16) = 0
{
40
Rpta.: S / . 10 000 y S /. 0,00
SUMA DE COEFICIENTES Y Y TÉRMINO TÉRMINO INDEPENDIENTE Sea:
Suma de P(1) = 5(1) 3 – 4(1)2 + 9 P(1) = 5 – 4 + 9 = 10 coeficientes P(x) = 5x3 – 4x2 + 9 Término 3 2 P(0) = 5(0) – 4(0) + 9 P(0) = 9
2
Ten Presente
Polinomio Mónico
independiente
En todo polinomio P(x), P(1) nos da la suma de coecientes y P(0), el término independiente.
Es aquel cuyo coeciente prin cipal es 1. x3 – 3x2 + 4 es mónico
Problema 3
3x2 + x – 3 no es mónico.
Calcula la suma de coecientes y el término independiente de: P(x) = (x – 2)3 + (x + 1)2 Solución:
Suma de coecientes: P(1) = (1 – 2)3 + (1 + 1)2 = –1 + 4 = 3 Término independiente: P(0) = (0 – 2)3 + (0 + 1)2 = –8 + 1 = –7 Rpta.: 3 y –7
GRADO DE UN POLINOMIO Grado relativo (GR) relativo (GR) respecto a una va riable es el mayor exponente que tiene dicha variable en el polinomio. Grado absoluto absoluto (GA) para un mono mio es la suma de los grados relativos y para un polinomio, el grado del término con mayor grado absoluto. Problema 4
Si el G.A. de P(x; y) = 3
2
GRx P( x ; y ) = 3x 7 y + 2x 6 y 5
GR y −
5xy 8
GA = 8
GA =11
GA = 9
GA de P(x; y): 11
xn y5
– 4x4 yn+2 es 8, calcula n.
−
4x 4 y n
+
GA = 2
2
1 2 3
12 4 4 3
GA = n + 5
GA = n+ 6
n + 6 = 8 n = 2
El grado del término indepen diente de un polinomio no nulo es cero. P( x) = 2 x2
Solución: P( x ; y ) = 3x n y 5
Ten Presente
GA de P Rpta.: 2
+
5 x
−
GA = 1
6
GA = 0
Cuando no se precisa si el gra do de un polinomio es relativo o absoluto, se entiende que es absoluto.
2
13
CAPÍTULO 03
POLIMONIOS
Problema 5 Si P(x) = (2x + 1)(x – 1) + 2
Problema 6
Calcula el valor de m y n si en el polinomio: P(x, y) = xm+5 yn–1 + x +6 yn–4 el GR( y y) = 7 y el GA(P) = 20 Dé como respuesta 2m + 3n.
halla el valor de E = P(2) + P(3) P(0)
Solución: E R T S E M I B I
P(2) = (2(2) + 1)(2 – 1) + 2 = (5)(1) + 2 = 7 P(3) = (2(3) + 1)(3 – 1) + 2 = (7)(2) + 2 = 16 P(0) = (2(0) + 1)(0 – 1) + 2 = (1)(–1) + 2 = 1 Luego:
Solución:
GR( y y) = 7 n – 1 = 7 n = 8 GA(P) = 20 m + n + 4 = 20 m = 8 Finalmente: 2m + 3n = 2(8) + 3(8) = 40
E = P(2) + P(3) = 7 + 16 = 23 E = 23 P(0)
1
1
Rpta.: 40
Rpta.: 23
Problema 7
Calcula el valor de a, si el término independiente de P(x) = (x + a)(x + 5) es 30.
Problema 8 Si P(x + 1) = P(x) + 3, halla el valor de
M = P(4) – P(3).
Solución:
Solución:
del dato: P(0) = 30, entonces: P(0) = (0 + a)(0 + 5) 30 = 5a a = 6
Si x = 3 P(3 + 1) = P(3) + 3 P(4) = P(3) + 3 P(4) – P(3) = 3 M=3 Rpta.: 3
Rpta.: 6
Actividad 03 03 1
2
Si P(x) = 2x + 1, calcula el valor de: P(2) + P(1) L= P(0)
Si P(x) = ax + 10 y P(2) = 6, calcula el valor de a.
8
Calcula el valor de a, si el término independiente de P(x) = (x + a)(x + 4) es 28.
9
Calcula el coeciente de:
Si P(x) = 2x + 1, calcula el valor de P(x + 1). ax2a – 1 + x2a – 3 ,
3
Dado el polinomio P(x) = GA(P) = 13, calcula a.
4
Si el monomio Q(x) = xa ya + 4 es de grado 3, calcula el valor de a.
5
Dado el monomio M(x; y) = 4 mnx2m + 3n y5n – m, se tiene: GA(M) = 10 y GR( x) = 7. Señala su coeciente.
6
7
Si P(x + 2) = 2x + 3, calcula P(3).
donde
a
1 M( x ; y ) = ⋅ 2b x 3 a+2 b y 5 a − b 5 cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a "x", 14. 10
Si: P(x) es de 5to grado. Q(x) es de 4to grado. R(x) es de 3er grado. calcula el grado de:
( P4 − Q 3 ) R PQ(P − Q)2
14
2
04
O L U T Í P A C
POLINOMIOS ESPECIALES ¿Cuál es el grado de los polinomios?
¿Cuándo dos polinomios son idénticos?
x ; y) = 3 x3y2 P( x
Personaje
x ; y) = ( x x – 2)5y3 + x4(y2 – 1)3 Q( x
I B I M E S T R E
Los polinomios especiales son aquellos que se distinguen por alguna característica particular.
Evariste Galois
POLINOMIO HOMOGÉNEO 2
P( x ; y ) = 4x y
3
−
2 xy
4
+
3
5x y
Polinomio de más de una variable y más de un término, donde cada término tiene el mismo grado.
2
1 2 3
{
1 2 3
GA = 5
GA = 5
GA = 5
(1811 - 1832) Matemático francés. Hijo de una familia de políticos y juristas. A los doce años ingresó en el College Royal de Louis le Grand, donde enseguida mostró exex -
Problema 1
Solución:
Calcula la suma de coecien tes del polinomio homogéneo: P(x; y) = mxn y2 – nxy7 + 3xm+1
P( x ; y ) = mx n y 2
− nxy
7
+
123
{
GA = 8
GA = 8
n = 6
3x m
+
traordinarias aptitudes para las matemá-
1
tica. Con sólo dieciséis años, interesado
{
GA = 8
en la resolución de ecuaciones de grado
m = 7
superior, esbozó lo que más adelante
coef. = m – n + 3 = 7 – 6 + 3 = 4
se conocería con el nombre genérico de
Rpta.: 4
«teoría de Galois». A pesar de sus revolucionarios des-
POLINOMIO ORDENADO
cubrimientos, o tal vez por esa misma causa, todas las memorias que publicó
P(x) = 3 – 2x + 3x2 – x5
Ordenado ascendentemente
Q(x) = x4 – 3x2 + x – 1
Ordenado descendentemente
Exponentes de sus variables están ordenados
con sus resultados fueron rechazadas por la Academia de Ciencias, algunas de ellas por matemáticos tan eminentes como Cauchy, Fourier o Poisson.
POLINOMIO COMPLETO
Subsiguientes intentos de entrar en la
P(x) = x – 3x3 + x2 – 5 + x4 Este polinomio de grado 4 es completo porque contiene todos los términos Ordenando: desde grado cero hasta grado 4. P(x) = x4 – 3 3 + x2 + x – 5
Escuela Politécnica se saldaron con sendos fracasos, lo cual le sumió en una profunda crisis personal, agravada en 1829 por el suicidio de su padre. Miembro activo de la oposición
Problema 2
Sea el polinomio completo y ordenado: P(x) = 2x2a – x3 + 3xb + x + 3 Calcula P(a – b).
Solución:
a = 2 2a 3 b x − x + 3x + x + 3 P( x) = 2 b = 2 GA = 2 GA = 4
antimonárquica, se vio implicado en un duelo de motivaciones aún hasta hoy confusas. Previendo su más que posible muerte en el lance, trabajó febrilmente
a – b = 0 P(0) = T.I. de P = 3 Rpta.: 3
en una especie de testamento cientíco que dirigió a su amigo Auguste Chevalier. A los pocos días tuvo lugar el duelo
POLINOMIOS IDÉNTICOS
P(x; y) = x(3x + 2 y) Cualquiera sean los valores que demos a x e y, 2 Q(x; y) = 2x(x + y) + x los polinomios P y Q tendrán el mismo valor numérico. Son idénticos.
y el matemático, herido en el vientre, murió unas horas después, apenas cumplidos los veintiún años. Leer más: http://uriel-antonio-moreno-forero http://uriel-antonio-moreno-forero.. webnode.es/news/padre-del-algebra-abstracta/
P(x; y) Q(x; y)
2
15
CAPÍTULO 04
POLINOMIOS ESPECIALES
Teorema
Los polinomios: Son idénticos siempre que: P(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an a = b , a = b , ... an = bn Q(x) = b xn + b xn–1 + ... + b x + b 0 0 1 1 0
1
n–1
n
Problema 3 E R T S E M I B I
Determina (a + b + c) si (a – 1)x3 + 5x2 + bx 7x3 + (c + 2)x2 – 3x. Solución: a – 1 = 7 a = 8
•
•
5 = c + 2 c = 3
•
b = – 3
a + b + c = 8 – 3 + 3 = 8
Rpta.: 8
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO El polinomio P(x) = ( x + 1)2 – (x – 1)2 – 4 x siempre resulta igual a cero cual quiera sea el valor que le demos a x. P(x) es idénticamente nulo y se expresa así: P(x) 0 Teorema.- El polinomio P(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + a0 es idénticamen-
te nulo siempre que todos sus coecientes sean cero: a0 = a1 = ...= an = 0 Problema 4 Calcula a + b, si el polinomio P(x) = (2 – a)x5 + (b + 3)x2 es
Solución: 2 – a = 0 a = 2
•
b + 3 = 0 b = – 3 a + b = 2 – 3 = –1 •
idénticamente nulo.
Rpta.: –1
Actividad 04 04 1
En la identidad: ax2 + (a + b)x 5x2 + 9x halla el valor de (a ⋅ b).
2
Si el polinomio P(x; y) = xa – 1 y + 4x2 y es homogéneo, halla el valor de "a".
3
Si el polinomio: P(x) = 9x3 + 15x2n – 4 + (n + 2)x + 1
6
7
Si Q(x) = ax3 + bxb – 1 + 6 xa – 5 es un polinomio completo y ordenado, determina el valor de la suma de sus coecientes.
8
Siendo P(x) y Q(x) dos polinomios idénticos, determina a × b.
es ordenado y completo, determina el valor de
• P(x) = (a – 2)x3 + 5x2
"n". 4
Calcula a + b + c
si el polinomio P(x; y) = xa + 3 y2 + 5xb – 5 y + 6x8 yc + 4 + x10 y9 es homogéneo.
9
10 5
– 3x2b + x1 + 5a
Sea el polinomio P(x) = 8 completo y ordenado. Evalúa P(a – 2b)
Siendo el Polinomio: Q(x) = (a – 1)x7 + (3b + 6)x5 – (2a – 2)x3 idénticamente nulo, halla ab.
Siendo P(x) = 12x8–a + xa–1 – ax4–a + 3 un polinomio ordenado, halla a. Determina m + n en
xa
16
2
• Q(x) = bx2 – 3x3
el polinomio homogéneo: 24
P(x) = x
n
n
−
2x 6
+
2x
m−
3
05
O L U T Í P A C
PRODUCTOS NOTABLES I PRODUCTOS NOTABLES ¿Son correctas estas igualdades?
Si (ab)2 = a2b2, ¿por qué es falso (a + b)2 = a2 + b2?
a(b + c) = ab + ac
I B I M E S T R E
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
En la multiplicación algebraica se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación.
a(b + c) = ab + ac
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
Hay ciertas multiplicaciones que, por la particularidad de sus factores, dan productos que podemos obtener sin realizar la operación de multiplicación, por lo que se llaman productos notables.
Recuerda
(a – b)2 = (b – a)2
BINOMIO AL CUADRADO
Ejemplo:
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
(a – b)2 = (a – b) (a – b)
(a + b2) = a2 + ab + ba + b2
(a – b2) = a2 – ab – ba + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Ejemplos:
Ejemplos:
• (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
• (x – 1)2 = x2 – 2x + 1
• (2x + 3) = (2x)2 + 2(2x)3 + 32 = 4x2 + 12x + 9
• (3 y – 2)2 = (3 y)2 – 2(3 y)2 + 22 = 9 y2 – 12 y + 4
• (3x + 2 y)2 = (3x)2 + 2(3x)(2 y) + (2 y)2 = 9x2 + 12xy + 4 y2
• (n2 + 3x)2 = (n2)2 – 2n23x + (3x)2 = n4 – 6n2x + 9x2
(x – 2)2 = (2 – x)2
Observación 2
x + 1 = x + 1 + 2 x x 2
2
2
Problema 1
Solución:
Dados: a2 + b2 = 14 y ab = –5, calcula (a + b)2.
Se sabe que: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab Reemplazando: (a + b)2 = 14 + 2(–5) (a + b)2 = 4 Rpta.: 4
x − 1 = x + 1 − 2 x x 2
{
2
2
x + 1 = x + 1 + 2 x x 2
4
2
2
x − 1 = x + 1 − 2 x x 2
4
2
DIFERENCIA DE CUADRADOS (a + b) (a – b) = a2 – ab + ba – b2
4
4
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Ejemplos:
• (x + 1) (x – 1) = x2 – 1 • (2x + 3) (2 x – 3) = (2x)2 – 32 = 4 x2 – 9
• (2x + 3 y) (2x – 3 y) = (2x)2 – (3 y)2 = 4x2 – 9 y2 • (x2 + y2) (x2 – y2) = x4 – y4 2
17
CAPÍTULO 05
PRODUCTOS NOTABLES I
Problema 2
Solución:
Reduzca:
( x − 1)( )( x + 1)( )( x 2
( x − 1)( x + 1)( x
2
+
+
=
( x2
=
x4 − 1 + 1 = x4
1) + 1
−
1)( x 2
+
1) +1
14 4 244 3
1) + 1
x 2 −1
=
x2
Rpta.: x2 E R T S E M I B I
TRINOMIO AL CUADRADO (a + b + c)2 = (a + b) + c2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) • (x + y + 1)2 = x2 + y2 + 1 + 2(xy + x + y)
Ejemplos:
• (2x – 3 y + z)2 = 4x2 + 9 y2 + z2 + 2(2xz – 6xy – 3 yz) Problema 3
Problema 4
Calcula a2 + b2 + c2 , si a + b = – c y ab + bc + ac = – 12
Calcula
Solución:
Solución:
Si a + b = – c a + b + c = 0
x y y + x
4
x +y 2
x y
2
Se sabe que: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) Reemplazando
1 4 24 3
2
11
x
=
=
x y
y
2 2
+2+
x
2 2
y
+
y
y
=
x
11
x
2 2
2
2
⇒
Rpta.: 24
+
2
02 = a2 + b2 + c2 + 2(–12) 12 1 − 2
x
, si
2
x x y y 2 = + 2 + y y x x y
a2 + b2 + c2 = 24
4
x
4
+
y
2
2
x y
4
=
119
Rpta.: 119
Actividad 05 1
Simplifca: F=
2
3
− ( a − 1)
2
a+b
−
7
Reduzca:
8
Si a2 + b2 + c2 = 50; ab = 15; ac = 20 y bc = 12
a−b
)(
a +b +
a
−b )
Si x4 + b = (x + 1)(x – 1)(x2 + 1), calcula (2 + b)2. Efectúa:
18
a
2
=
2+
2 +
2
R = (a + b + c)2 – (a – b – c)2
2
B=
99 ( 10 + 1) ( 10 + 1) − 10 + 2 2
4
8
halla a + b + c. 9
10 5
1 , calcula a8 + a8 .
Si a2 +
Simplifca:
(
1
6
a
Si a2 + b2 = 25 y ab = 12, calcula el valor de (a + b)2.
A=
4
( a + 1)
2
e Reduzca: P =
x
+e
−x
2
2
2
e − e − − 2 x
x
Si a + b = 4c–1, calcula: E = (a + b + c)2 – (a + b)2 – c2
PRODUCTOS NOTABLES II ¿De qué maneras diferentes se puede expresar a3?
06
O L U T Í P A C
Si (ab)3 = a3b3, ¿por qué (a + b)3 = a3 + b3 es falso?
a3 = aaa a3 = a2a a3 = aa2
Personaje
BINOMIO AL CUBO (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a +
Forma simplicada de los binomios al cubo
b)(a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
"IDENTIDADES DE CAUCHI"
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Ejemplos:
• (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
• (2x – 3)3 = (2x)3 – 3(2x)23 + 3(2x)32 – 33 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27
Problema 1
Demuestra que:
Simón Stevin (Países Bajos 1548 - 1620) Es el matemático más inminente de los Países Bajos, además del de ingeniero dos son los rasgos más sobresalientes de este notable hombre. Su educación tardía, pues comenzó su educación formal recién a los 30 años, graduándose en 1583. El otro rasgo es su interés simultáneo
(a + b)3 + (a – b)3 = 2a3 + 6ab2
por la teoría y la práctica. Sostenía que el conocimiento sin uso en la vida práctica no merece la atención.
Solución: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(1) (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (2) Sumando miembro a miembro: (a + b)3 + (a – b)3 = 2a3 + 6ab2
l.q.q.d.
Siguiendo este doble interés siguió muchos proyectos prácticos para nes teóricos. Al mismo tiempo
PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN (IDENTIDAD DE STEVIN) (x + a) (x + b) = x2 + xb + ax + ab
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
sobrepasa sus planes originales, a n de incrementar sus comprensión teórica. Su trabajo es fundamental para el desarrollo de la matemática del siglo XVI. A él debemos nuevos conocimientos
Ejemplos:
• (x + 3)(x + 5) = x2 + 8x + 15
• (x + 3)(x – 10) = x2 – 7x – 30
• (x + 7)(x – 2) = x2 + 5x – 14
• (x – 5)(x – 4) = x2 – 9x + 20
y descubrimientos en el desarrollo de los números decimales, las leyes de gravedad, la hidrostática, de las rampas y la forticación. En el campo de la ingeniería desarrolló un
Problema 2 Reduzca: (x + 3)(x – 5) – (x – 7)(x + 5)
innovador sistema de drenaje. Asimismo, patentó numeras invenciones relativas al drenaje y dragado, junto
Solución: (x + 3)(x – 5) – (x – 7)(x + 5) = x2 – 2x – 15 – ( x2 – 2x – 35)
= x2 – 2x – 15 – x2 + 2x + 35 = 20 Rpta.: 20
con una mejora del molino de viento y el asador mecánico.
2
19
I B I M E S T R E
CAPÍTULO 06
PRODUCTOS NOTABLES II
Problema 3
Sabiendo que a + b = 8 y ab = –19, calcula (a + 7)(b + 7). Solución:
(a + 7)(b + 7) = (7 + a)(7 + b) = 72 + (a + b) ⋅ 7 + ab = 49 + 56 – 19 = 86 E R T S E M I B I
8
Rpta.: 86
–19
Recuerda Problema 4
Simplica:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
x( x + 1)( x + 2)( x + 3) + 1
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Solución:
x( x + 1)( x + 2)( x + 3) + 1
( x2
=
+
3 x)( x 2
+
(a + b)(a – b) = a2 – b2
3 x + 2 ) +1
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2
Haciendo x2 + 3x = a:
+ 2(ab + bc + ac)
a( a + 2) + 1 = a 2 + 2 a + 1
=
( a + 1)2
=
a +1
Reponiendo: x2 + 3x + 1
Rpta.: x2 + 3x + 1
SUMA DE CUBOS (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 a + b a3 – a2b + ab2 ba2 – ab2 + b3 a3 + b3
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
Ejemplos:
• (x + 1)(x2 – x + 1) = x3 + 1
• (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) = 8x3 + y3
• (x + 3)(x2 – 3x + 9) = x3 + 27
• (3x + 2 y)(9x2 – 6xy + 4 y2) = 27x3 + 8 y2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Problema 5
Problema 6
Si x3 + y3 = 18, calcula: (x + y) (x + y)2 –3xy
Si x + y = 5 y xy = 7, calcula: x3 + y3
Solución:
Solución:
(x + y)(x + y)2 – 3xy
• (x + y)2 = 52 x2 + 2xy + y2 = 25
(x + y) x2 + 2xy + y2 – 3xy (x + y) x2 – xy + y2 = x3 + y3 = 18
Rpta.: 18
20
2
Recuerda
7
x2 + y2 = 11
• Se sabe que: (x + y)(x2 + y2 – xy) = x3 + y3 5(11 – 7) = x3 + y3 x3 + y3 = 20 Rpta.: 20
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
PRODUCTOS NOTABLES II
CAPÍTULO 06
DIFERENCIA DE CUBOS (a – b)(a2 + ab + b2) = a2 + ab + b2 a – b a3 + a2b + ab2 –a2b – ab2 – b3 a3 – b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 I B I M E S T R E
Ejemplos:
• (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1
• (3x – y)(9x2 + 3xy + y2) = 27x3 – y3
• (x – 5)(x2 + 5x + 25) = x3 – 125
• (x – 2 y)(x2 + 2xy + 4 y2) = x3 – 8 y3
Problema 7
Problema 8
Calcule: E = (x – y)(x – y)2 + 3xy si x3 – y3 = 27.
Si x2 + y2 = 25 y x – y = 3, calcula x3 – y3.
Solución:
• Se sabe que: ( x – y)2 = x2 + y2 – 2xy Reemplazando: 32 = 25 – 2xy xy = 8
Solución:
E = (x – y)(x2 – 2xy + y2) + 3xy E = (x – y)(x2 + xy + y2)
• (x – y)(x2 + y2 + xy) = x3 – y3 3(25 + 8) = x3 – y3 x3 – y3 = 99
E = x3 – y3 E = 27 Rpta.: 27
Rpta.: 99
Actividad 06 1
2
3
Efectúa:
(x + 1)3 – (x – 1)3
Si x3 + y3 = 28 y xy(x + y) = 12, calcula x + y
8
Si a2 + b2 = 24 y a⋅b = 6, calcula a3 + b3
9
Si x2 + y2 = 11 y x – y = 3,
x
=
7
, halla
x6 + 1 x3
Si x +
Si a + b = 7 y ab = 2, calcula a2 + a3 + b2 + b3
4
1 1 Si n + = 3 , halla n3 + 3 n n
5
Si x2 – 3x + 1 = 0, calcula P=
6
1
7
x+
1
x
halla (x2 – y2)(x4 + x2 y2 + y4) 10
3
+x +
1
Si a = 2014 y b = 2013, calcula
E = 6 (a2 + ab + b2)(a3 + b3)(a – b) + b6
x3
Si a + b = 4 y ab = 3, halla a3 + b3
2
21
Unidad
a s n e r P a L e d o d a m o T : o t o F
02
Inti Raymi en Sacsayhuamán, Cusco
FACTORIZACIÓN ¿QUÉ TENEMOS EN COMÚN? Como es sabido el Perú es un país con una gran variedad cultural, sin embargo, hay elementos culturales que son comunes a todos. La identidad cultural es el sentimiento de pertenencia a una cultura determinada. Debemos propiciar la interculturalidad que consiste en la identificación de culturas diferentes compartiendo un espacio común, sin necesidad de pérdida de raíces, participando, cooperando y conviviendo armónicamente con el uso de las reglas del juego democrático y del respeto de las personas y de las normas que hagan posible la auténtica igualdad de oportunidades - ¿Qué danzas practican en tu tu región? ¿Cuál es la comida típica típica de tu provincia?
www.ugr.es/~iramirez/PluriMultiInter.doc
APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones •
•
•
•
Comunica y representa
Reconoce los casos de división algebraica. Relaciona divisiones con cocientes. Usa los criterios de divisibilidad algebraica. Interpreta la factorización de polinomios. 22
2
Elabora esquemas para realizar la división de polinomios.
•
•
•
Expresa la importancia de la divisibilidad algebraica. Comunica el resultado de sus factorizaciones.
Elabora y usa estrategias •
•
Emplea diversas estrategias para resolver divisiones con polinomios. Halla la factorización de un polinomio por diversos métodos.
Razona y argumenta •
•
•
Explica la importancia de dividir polinomios. Justifica el uso de la divisibilidad algebraica Propone conjeturas para factorizar polinomios.
07
O L U T Í P A C
DIVISIÓN DE POLINOMIOS ¿Cuál es el resultado de la división?
8 x5 + 4 x4 – 6 x3
¿La división es distributiva por la izquierda?
2 x2
Dividir un polinomio D(x) entre otro d(x) consiste en hallar dos polinomios q(x) y R(x) que satisfagan la identidad: Dividendo
D(x) d(x) q(x) + R(x) Divisor
Resto
Cociente
[ D( x)] ° ≥ [d( x)] ° R( x) ° < d( x) ° [ ] [ ]
Grado de d(x)
Ejemplo:
La división de x3 + 7x2 – 6x + 1 entre x2 + 2x es:
x3 + x2 – 2x + 1 x2 + 2x
4x + 1 x – 1 resto cociente
Nota La división es distributiva por la derecha mas no por la izquierda. A( x ) + B( x) C( x )
A( x)
=
+
C( x )
B( x) C( x )
⇒ x3 + x2 – 2x + 1 ≡ (x2 + 2x)(x – 1) + 4x + 1 6x
CLASES DE DIVISIÓN
2
+
3x
3x
División exacta (R(x) 0) D(x) d(x) q(x)
División inexacta (R(x) 0) D(x) d(x) q(x) + R(x)
x3 + 1 (x + 1)(x2 – x + 1)
x3 + 3 (x + 1)(x2 – x + 1) + 2
¿Cuál es el cociente de dividir x2 – 4 entre x + 2?
2
3x
+
3x 3x
= 2x + 1
De acuerdo al resto o residuo la división polinomial puede ser:
Problema 1
=
6x
A( x) B( x) + C( x)
≠
A( x)
+
B( x)
A( x) C( x )
Solución:
Sabemos que x2 – 22 = (x + 2)(x – 2) Entonces el cociente es (x – 2) Rpta.: x – 2
PROPIEDADES DE GRADOS 1. El grado del cociente es igual a la diferencia entre el grado del dividendo y el del divisor.
[q( x)] ° = [ D( x)] ° − [d( x) ] °
2. El grado máximo que puede alcanzar el resto es uno menos que el del divisor.
[R( x)] °máx
=
[d( x)] ° − 1
Problema 2
Si se divide x8 + 3x entre x3 + 3, ¿cuál es el grado máximo que puede tener el residuo? Solución:
Grado del divisor es: x3 + 3° = 3 Grado máximo del resto: R(x)° = 3 – 1 = 2
Rpta.: 2
2
23
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 07
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
MÉTODO CLÁSICO DE DIVISIÓN O DIVISIÓN NORMAL Veamos con un ejemplo. Dividamos 2x3 + x2 – 12x + 12 entre 2x – 3 • Dividimos 2x32x = x2.
2x3 + x2 – 12x + 12 2x – 3 –2x3 + 3x2 x2 4x2 – 12x
• x2 multiplicamos por el divisor y el producto lo ubicamos debajo del dividendo pero con signo cambiado, y luego sumamos. • Dividimos 4x22x = 2x y procedemos de la misma forma que en el caso anterior.
2x3 + x2 – 12x + 12 2x – 3 –2x3 + 3x2 x2 + 2x – 3 Cociente 4x2 – 12x –4x2 + 6x –6x + 12 6x – 9 3 Resto o residuo
E R T S E M I B I I
• Dividimos –6x2x = –3 –3 y y procedemos como en los casos anteriores. • Dado que el grado del resto es me nor que el del divisor, la división ha culminado.
2x3 + x2 – 12x + 12 (2x – 3)(x2 + 2x – 3) + 3 Problema 3
Problema 4
Al dividir el polinomio: x10 – 3x7 + 3x5 – 9x2 + 3x – 1 entre x7 + 3x2, el resto resulta idéntico a ax + b. Calcula a + b.
Halla la suma de los coecientes del cociente de: (x3 + 6x2 + 11x + 6) ÷ (x + 3) Solución:
x3 + 6x2 + 11x + 6 x + 3 x3 + 3x2 x2 + 3x + 2
Solución: x10 – 3x7 + 3x5 – 9x2 + 3x –
–x10
– 3x5
1
3x2 + 11x 3 x2 + 9 x 2x + 6 2x + 6 0
x7 + 3x2 x3 –
3
– 9x 2 + 9x2
– 3x7 3x7
3x – 1 ax + b
Resto
Q(x)
Q(x) = x2 + 3x + 2 = (1) 2 + 3(1) + 2 = 6
a + b = 3 + (– 1) = 2
Rpta.: 6
Rpta.: 2 Problema 5
Problema 6
¿Cuál es el resto de dividir x11 – 2x9 + 3x3 + 2x2 – 6x entre x8 + 3?
Al dividir 30x8 y9z7 entre 6x5 y4z3 se obtiene axb yczd, calcula el valor de a + b + c + d.
Solución:
Solución: x11 – 2x9 + 3x3 + 2x2 – 6x
–x11
–3x3 –2x9 +2x9
Resto
30x8 y9z7 = 5x3 y3z4 a = 5 5 4 3 6x y z b=3
x8 +
3 3– 2 x x
c=5 d=4
+ 2x2 – 6x + 6x 2x2
a + b + c + d = 5 + 3 + 5 + 4 = 17 Rpta.: 2x2
24
2
Rpta.: 17
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
CAPÍTULO 07
Problema 7
Halla el valor de a y b para que la división sea exacta (x4 + 4x3 + 6x2 + ax + b) ÷ (x2 + 2x + 1) Solución:
x4 + 4x3 + 6x2 + ax + b x2 + 2x + 1 x4 + 2x3 + x2 x2 + 2x + 1 2x3 + 5x2 + ax 2x3 + 4x2 + 2x x2 + (a – 2)x + b x2 + 2x + 1 (a – 4)x + (b – 1) 0
a – 4 = 0 a = 4 ; b – 1 = 0 b = 1
Rpta.: 4 y 1
0
Actividad 07 07
1
en tu cuaderno la tabla con los res pectivos cocientes. Completa
5
verdadera. a) El grado grado del dividendo es igual al grado del divisor por el grado del cociente.
12x7 y10z4 –28x8 y6z2 50x6 y5z10
4x4 y2z3
b) Si la división de dos polinomios es exacta el grado del resto es cero.
–2x6 y3z4
c) En una división de polinomios el grado del resto es menor que el grado del cociente.
x7 y5 2
Determina
la suma de coecientes de la divi -
sión:
6
Al dividir 50x6 y7z2 entre 5x4 y6z2 se obtiene axb yc. Calcula el valor de a + b + c.
7
Divida por el método clásico:
(15x6 y2 – 6x4 y5 + 3x4 y3)(3x2 y) 3
Copia en
tu cuaderno y divida por el método
(19x2 + 9x4 – 4 + 6x3 – 12x)(8x – 3x2 + 1)
clásico: a) (20x2 + 19x + 6) (4x + 3)
e indica la suma del cociente y el residuo.
b) (4x3 – 18x2 + 6x4 – 4) (2x2 – 4) 8 4
Analiza y determina qué armación es siempre
Copia en tu cuaderno y completa los recuadros
I. (6x3 + 11x2 – 6x – 5)(2x + 1)
de la división: 3x3 + x2 – 4x + – x3 + 6x2 8x2 – x – x2 + 16x 12x + 8 – x + 32
II. (x4 – x2 + x – 2)(x – 1)
x – 2 x2 + 8x +
Indica la división exacta:
9
10
Si la división de 3x2 + 2x4 + ax + 5x3 – b entre x + 2 es exacta, calcula 2a + b. Si la división: (6x4 + a – 7x2 + 5x3 – bx) (1 + 3x + 2x2) es exacta, halla ab.
2
25
I I B I M E S T R E
MÉTODOS DE DIVISIÓN POLINOMIAL I
08
O L U T Í P A C
¿De qué grado es el resto de dividir cualquier polinomio entre x + 5?
¿Es posible dividir polinomios sólo usando sus coe cientes?
x9 + 2 x5 – 3 x2 + 7 x + 5
Personaje Entre los métodos de división tenemos:
MÉTODO DE LOS COEFICIENTES SEPA SEPARADOS RADOS Es similar al método clásico. Prescindimos de las variables y sólo usamos los coecientes. Dividamos: E R T S E M I B I I
x4 + 3x3 – 2x2 – 3x + 1 entre x2 – 2.
Obsérvese que el divisor es de 2° grado y no contiene el término de grado 1 o lineal, por lo que lo reemplazamos por cero. Como el divisor es de 2° grado y el resto solo tiene dos términos, éste es de grado 1, y ha culminado la división. Problema 1
1 3 –2 –1 0 +2 3 0 –3 0 0 0
–3 1 1 0 –2 1 3 0 –3 1 6 3 1 0 0 3 1 q(x) = 1x2 + 3x + 0 = x2 + 3x R(x) = 3x + 1
Solución: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 5
Calcula el resto de dividir: x4 + 5 entre x2 + 3x
x2 + 3x + 0
1 –1
0 –3 –3 3
0 0 0 0 0 9 0 9 0 –9 –27 –27
5 1 3 1 –3 5
0 9
5 0 5 R(x) = –27x + 5 Rpta.: –27x + 5
(Italia, 1765 - 1822) Su padre, Basilio Rufni, era médico. De niño parecía destinado a la carrera religiosa. Estudió matemática, literatura, losofía, medicina y biolo gía en la Universidad de Módena. Paolo Rufni es conocido como el descubridor del llamado método de Rufni que permite hallar los coe cientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio x – a. Sin embargo, no fue ésta su mayor contribución al desarrollo de la matemática. Hacia 1805 elaboró una demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grado quinto y superiores, aunque cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels Henrik Abel.
MÉTODO DE RUFFINI Este método se usa para divisiones cuyo divisor d ivisor es de la forma x a. Veamos con un ejemplo. 3 3 –5 4 Dividamos 3x3 + 3x2 – 5x + 4 entre x – 3 x = 3 9 36 93 Si igualamos x – 3 a 0, resulta 3 12 31 97 x – 3 = 0 x = 3 Resto Distribuimos los coecientes tal como 3x2 + 12x + 31 se muestra y procedemos como indican las echas. Cociente
26
Paolo Ruffini
2
Además, descubrió y formuló la regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones (1814), se anticipó a la teoría de grupos desarrollada más tarde por Galois. Estableció las bases de la teoría de las transformaciones de ecuaciones, etc.
MÉTODOS DE DIVISIÓN POLINOMIAL I
CAPÍTULO 08
Problema 2
Problema 3
Problema 4
Calcula el resto de dividir: x4 + 5x3 + 2x2 + 7x – 9 entre x + 5
Calcula la suma de coecientes del cociente de dividir: 2x4 + 9x + 7 entre x + 2
Determina el valor de a para que la división 2x3 + 5x2 + ax + 3 entre x + 3 sea exacta.
Solución:
Solución:
Solución:
x + 5 = 0 x = –5
x + 2 = 0 x = –2
x + 3 = 0 x = –3
1 x
= –5
5
7
–9
–5
0 –10
15
0
2 –3
6
1
2
Resto
2
2
0 0 9 7 –2 –4 8 –16 14 2 –4 8 –7 21 coef. = 2 – 4 + 8 – 7 = –1
x
= –3
5
a
–6
3
3 –3( a + 3)
2 –1 (a + 3)
Resto: 3 – 3( a + 3) = 0 a = –2 Rpta.: –2
Rpta.: –1
Rpta.: 6
0
Actividad 08 3
1
Divida
2x + x
2
−
x +1
x−2
aplicando el método de
7
I. El resto es 4. II. La suma de coecientes del cociente es 2. III. La división es exacta.
Rufni y calcula el cociente y el residuo. 2
x2 + 2x3 − 5x + 2 e indica la suma de Divida x+2
coecientes del cociente.
Divida por Rufni x3 + x – 4x2 – 8 entre x – 4 e indica la veracidad o falsedad de:
8
Calcula m si el resto de: x
3
5
Halla la suma del cociente y el resto en: 2x
4
− 8x
2
+ 2x
4
−
3x
x
−
2
−
2x − m
2
, es 14
+ 7 x − 11
9
x−2
Completa el siguiente diagrama y luego indica
el producto de los valores hallados: 4
Divida
x3
− 3x
2
+ 3x − 1
por el método de Ruf -
x−1
+1 –3
ni e indica si la división es exacta o inexacta.
–2
–4 2
5
3
–5
–3 2
–3
9 –12 –2
6
Divida
10
6 –6
8
3 –4
Halla a para que el residuo de la división:
6 12
Luego, indica la suma de los valores hallados. 6
–8
Completa el siguiente diagrama de Rufni:
2
2
x
3
−
ax x
2
−
− a
ax
−
a
2
−2
sea 5a + 11.
x 4 − 60 e indica la suma de coecientes x−2
del cociente y el residuo.
2
27
I I B I M E S T R E
MÉTODOS DE DIVISIÓN POLINOMIAL II
09
O L U T Í P A C
¿De qué grado es el cociente de esta división?
¿Si el divisor es de la forma ax2 + bx, se puede aplicar el método de Rufni?
x20 – x2 + 1 x + 3
MÉTODO DE HORNER Para dividir por este método el di videndo, divisor, cociente y resto deben ser polinomios completos y ordenados descendentemente. E R T S E M I B I I
Si faltase algún término se completa con términos de coeciente cero. El proceso se ejecuta sólo con los co ecientes. Dividamos:
2x
2
3
o o n d a g i i s b n m o a c c
dividendo
En D(x) d(x)
i v i s o r
R(x) Q(x) cociente
• [R(x)]° < [d(x)]°
resto
1 ––11 2 3 –4
2 4 1 –1 –1 2 3 –4 6 1 2 4 cociente 1x2 + 2x + 4
x 4 − x 3 + 2x 2 + 0x + 7 x 2 − 3x + 4
0
7
• Distribuimos los coecientes en el esquema de Horner. El primer coeciente del divisor no cambia de signo. • Trazamos la línea discontinua des pués de 2 coecientes del dividendo, contando de derecha a izquierda, porque el divisor es de grado 2.
0
7
–8 12 –16 4 –9 residuo 4x – 9
• Dividimos 11 = 1, el cual se multiplica por los restantes coecientes (con signo cambiado) del divisor.
→ 1(3) = 3 ∧
• El producto va en la y siempre corrido un lugar a la derecha respec to a los coecientes del dividendo.
→
• Esta vez la suma de la primera co lumna la dividimos entre el primer coeciente del divisor y procedemos como en los casos anteriores. • Finalmente, sumamos las dos últimas columnas para obtener el residuo.
28
• [Q(x)]° = [D(d)]° – [d(x)]°
x + x +7 2 4 + x − 3x −
1
1 3 –4
d
4
Completamos y ordenamos:
1 3 –4
Recuerda Esquema de división de Horner
2
1(–4) = –4
3
–4
→ –1 + 3 = 2
2÷1 = 2 2×3 = 6
∧
2×(–4) = –8
MÉTODOS DE DIVISIÓN POLINOMIAL II
CAPÍTULO 09
Problema 1
Problema 2
Determina el resto de la división:
Completa la división e indique la suma de los números correspondientes a los cuadros oscuros.
6x
4
x 3 − 6x − 9 2 3x + x + 5 −
Solución:
Completando el dividendo: 6x
4
−
2
3
2
4 14
4
2 6
Personaje
3 –1
x 3 + 0x 2 − 6x − 9 2 3x + x + 5
Por horner: 3 –1 –5
4
Solución:
6 –1 0 –2 –2 –10 1
–6
–9
5 3 15 2 6 residuo 2x + 6
2 –1 –3 cociente 2x2 – x – 3
3 –1 2
–4
William George Horner
=2
– 2 + 12 = 14
• 3 + –4 = Rpta.: 2x + 6
–2 12
4 14 14
• 4 = 2 •
3
(Inglaterra, 1789 – 1837)
=4
A los 14 años se convirtió en maestro, cuatro años después se convirtió en director de la misma escuela en
= –1
2+4–1=5 Rpta.: 5
Como investigador, sólo tiene en su
Problema 3
Problema 4
Determina m + n para que esta división sea exacta.
Determina m + n para que el resto de la división
2x
3
+x
2x
2
2
3x4 + 2x3 + mx3 – x + 3n 3x3 – x2 + x – 2
− mx + 2n
− 3x + 5
Solución:
2 3 –5
Estados Unidos gracias al también matemático De Morgan, que lo utilizó en sus artículos divulgativos, aunque
Solución:
2 1
1 – m 2n 3 –5 6 –10 2 0 0
• –m – 5 + 6 = 0 m = 1
Por Horner 3 1 –1 2
3
1
• 2n – 10 = 0 n = 5
2 m 1 –1 1 1
2
–1 3n 2 –1 2 0
5
• m – 1 + 1 = 2 m = 2
m + n = 1 + 5 = 6
• 3n + 2 = 5 Rpta.: 6
haber una contribución, el llamado algoritmo de Horner para dividir polinomios, publicado por la Royal Society en 1819. Este método alcanzó cierta popularidad en Inglaterra y
sea 2x2 + 5
Por Horner
que estudió. En 1809 se trasladó a Bath, donde fundó su propio colegio.
m + n = 3
nalmente se popularizó la regla de Paolo Rufni, descrito y publicado en 1814, por el cual le fue concedida la medalla de oro por la Italian Mathematical Society for Science. Sin embargo, ni Rufni, ni Horner fueron los primeros en descubrir este método ya que Zhu Shijie (China, 1270 - 1330) lo había empleado 500 años antes.
n = 1
Rpta.: 3
2
29
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 09
MÉTODOS DE DIVISIÓN POLINOMIAL II
Problema 5
Problema 6
El residuo de la división: (2x4 – 3x3 + 2x2 – 50) ÷ (x2 + 2x – 3) es ax + b. Determina el valor de T = a + b.
Determina (m + n) para que el polinomio: P(x) = x4 – 3x3 + mx + n sea divisible por
4.
Solución:
1 2 –4
Solución:
2 –3 0 0 –50 –4 6 14 –21 r(x) = –65 x + 16 –44 66 ax + b 2 –7 22 –65 16 Q(x) r(x) • a = –65 y b = 16 T = a + b = –65 + 16 = –49 Rpta.: –49
x2 – 2x +
1 –2 3
1 –3 0 2 –4 –2
m
n
4 –12 24 1 –1 –6 (m – 8) (n + 24) 0
0
• m – 8 = 0 m = 8 ∧ • n + 24 = 0 n = –24 m + n = 8 + (–24) = –16 Rpta.: –16
Actividad 09 09 E R T S E M I B I I
1
Divida
6 4
12 x + 2 x
3
x − 5x − 9 2 3x − x − 2 −
6x
4
− 4x
4x
2
2
+ 5x − 2
− 2x + 1
4
7
Divida
6x
4
− 5x
3
2x
2
+ mx mx + 4
2
x +1
6x
4
− 10 x
3
− 2x
2
+x +m
+ x +1
6
5 0 –3 –9 –1
3
+ 2x − 3
2m –3n –3 5
15
*
*
1 –5 –5
2
3x + x − 2
por el método de Horner e indica lo correcto:
9
5
− 9x
4
3
+ 14x − mx 3
3 x + 2x − 6
es exacta. 10
Halla el término independiente del cociente, luego de efectuar:
Calcula m, n y p si la división: 12 x
I. El cociente tiene grado 2. II. La suma de coecientes del resto es 9. III. El T.I. del cociente es 4.
Calcula p y q, si la división 4
4
− 4x
3
3x + 1
2
x − 6x + 5
2
+ x + 10x − 2
2
x + px + q 2
6x
30
deja como resto m,
La división de polinomios mediante el esquema es exacta. Calcula (m + n)2. 2 –1 –3
aplicando el método de Horner e indica la suma de Q(x) y R(x). Divida
2
2
calcula m.
+ 6x + x − 1 −
Si
3
3 x + 4 x + mx x
8
5
2
sabiendo que su cociente toma el valor numérico 2, para x = 1.
por el método de Horner e indica la suma de coecientes del cociente.
4
− 5x
Divida 8x
3
3
2x + 1
por el método de Horner e indica el residuo. 2
Halla el residuo de
2
es exacta.
2
+ nx − p
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA ¿La división mostrada es exacta o inexacta?
10
O L U T Í P A C
¿Se puede calcular el resto de una división polinomial sin efectuar la división?
3 x3 + 4 x2 – x + 6
x + 2 Personaje Recordemos que una división es exacta cuando el residuo es idénticamente nulo, e inexacta cuando no lo es.
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA Se dice que un polinomio D(x) de grado nulo es divisible entre otro d(x), también de grado no nulo, si el resto de dividir D(x) entre d(x) es idénticamente nulo. Entonces d(x) es divisor o factor de D(x).
René Descartes Problema 1
Determina cuál de los polinomios, 4x3 + 3x + 5 ó 2x3 + 3x2 + 4, es divisible entre 2x2 – x + 2. Solución:
Para saber si es divisible debemos calcular el resto. Por Horner: •
2 1 –2
4
3 5 2 –4 1 –2 2 1 0 3 R(x) = 3 No es divisible 0
•
2 1 –2
2
una gran máquina. Preconizaba la extensión de las leyes de la mecánica a toda la naturaleza.
Pero su gran contribución a la matemática es la creación de la geometría analítica. A partir de su preocupación de que los geómetras griegos acrecían de un sistema fundamental de ataque, comenzó a manejar líneas
TEOREMA DEL RESTO O DE DESCARTES El resto determina si un polinomio es divisible o no entre otro. Por eso, calcular el resto sin efectuar la división es de mucha ayuda para determinar la divisibilidad de un polinomio entre otro. Precisamente el Teorema del resto nos permite dicho cálculo.
Si sustituimos x = a en (1), tenemos: Se observa que: El resto de dividir P(x) entre x – a es P(a)
P(a) = (a – a)q(a) + R
0
y guras tridimensionales en una gráca. Dibujaba la gráca marcando unidades de una línea horizontal y una línea vertical. Así, cualquier punto de la gráca podía describirse con dos números.
P(x) x – a R q(x) P(x) = (x – a)q(x) + R
Uno de los más altos intelectos que contribuyó a crear la llamada edad de la Razón. Pienso y luego existo, era su máxima losóca. Pensaba que el mundo podía ser comprendido como
3 0 4 1 –2 2 –4 1 2 0 0 R(x) = 0 Es divisible
Supóngase que queremos hallar el resto de dividir P(x) entre x – a. Entonces dividimos :
(Francia 1596 – Suecia 1650)
(1)
Aunque conservaba las reglas de la geometría euclidiana, combinaba el álgebra y la geometría para formar una nueva disciplina matemática, la geométrica analítica.
P(a) = R
2
31
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 10
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA
Solución: Divisor x – 3 P(3) = Resto
Problema 2
Calcula el resto de 2x
3
−
3x
2
+
P(x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 4
5x − 4
P(3) = 2(3) 3 – 3(32) + 5(3) – 4 = 38 R = 38 15 54 27
x−3
Rpta.: 38
E R T S E M I B I I
Problema 3
Solución:
Calcula el resto de dividir P(x) = 2(x – 3)5 + 3(x – 2)3 – 6x entre x – 4
Divisor x – 4 Resto = P(4) P(4) = 2(4 – 3) 5 + 3(4 – 2) 3 – 6(4) = 2 2 24 –24
Rpta.: 2
Problema 4
Solución:
Evalúa para qué valor de a, el polinomio:
Para que P( x) sea divisible entre x + 2 el resto, o sea P(–2) debe ser cero.
P(x) = 3x4 + 2x3 + ax2 – 20
P(–2) = 3(–2) 4 + 2(–2) 3 + a(–2)2 – 20 = 0 48 – 16 + 4a – 20 = 0 a = –3
es divisible entre x + 2.
Rpta.: –3
Actividad 10 10
1
Halla el resto de dividir x2 – 4x + 20 entre x + 3.
7
Halla el valor de a para que el polinomio
P(x) = x6 + x4 – ax2 – 6 2
de (x100 + 1) ÷ (x + 1) aplicando el teorema del resto.
Calcula el resto
sea divisible entre x2 + 1. 8
3
Aplica el teorema del resto y da como respuesta
el residuo:
4
Calcula a + b + c para que el polinomio:
x4 – ax3 + 2x2 + bx + ac – a2 – 7a
(x3 – 4x2 + 6x – 8) ÷ (x – 2)
Halla el valor de k , si el entre x – 1 es 7. x3 + kx + 2k entre
resto de dividir
sea divisible entre x – a. 9
Determina la
suma de coecientes del residuo
de: (2 x + 1)(3 x + 4)( 4x + 1)(6 x + 1)
5
Halla el (x – a).
12 x 2
resto al dividir x2 – (a + 1)x + 3a entre 10
6
Calcula el resto de dividir
x 2005
− 2004 x − 2003
x −1 32
2
+ 7x
Calcula el valor de n y m, si el polinomio
x3 + mx2 + nx + 3
es divisible entre x – 1 y x + 1.
11
O L U T Í P A C
FACTORIZACIÓN ¿Cuál es el desarrollo de las expresiones?
x + y)2 ( x +
¿Qué relación hay en tre productos notables y factorización?
x – y)3 ( x – 2
Ten Presente
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2.
Recordemos que La expresión del primer miembro se puede transfor mar en el segundo (producto notable) y la del segundo en el primero (factorización).
FACTOR DE UN POLINOMIO Producto notable
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 Factorización
Unas veces conviene tener el polinomio desarrollado y otras, factorizado. Depende de qué estemos resolviendo. Ya vimos los lo s productos notables, ahora veremos la factorización, el proceso inverso. Poner las expresiones en for ma de producto de factores.
Dado P(x), se dice que F(x), un polinomio no nulo, es factor de P(x), si existe q(x), tal que: P(x) = F(x) q(x) factor de P(x) • x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) factores de x3 + y3
Polinomio sobre un campo
Como se ha visto en el capítulo 3, el campo numérico en el que está denido un polinomio depende de sus coecientes.
POLINOMIO IRREDUCTIBLE
El polinomio x2 – 4 está en Z. Si lo expresamos como (x + 2)(x – 2) sigue estando en Z. El polinomio x2 – 2 está en Z. Si lo expresamos como ( x + 2 )( x − 2 ) ya no está en Z.
Un polinomio es irreductible cuando no puede ser expresa do como el producto de dos o más factores. • x2 + y, 3x – 1 2x2 – 3 y
En el momento de factorizar debemos decidir en qué campo lo haremos, puesto que un polinomio factorizable en un campo no siempre lo es en otro. Por ejemplo x2 – 2 es factorizable en R x2 – 2 = ( x + 2 )( x − 2 ) pero no lo es en Z.
Todo polinomio de primer grado es irreductible: • x + 1; 1; 5x – y; 2x – 1
FACTORIZACIÓN SOBRE Z
FACTOR PRIMO
Factorizar un polinomio es transformarlo en la multiplicación indicada de sus factores primos o sus potencias.
El factor primo de un polino mio es un factor irreductible.
La factorización sobre Z implica que un polinomio en Z, una vez factoriza do, se debe mantener en Z.
CANTIDAD DE FACTORES Sea:
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Factores primos: (x + 1); ( y y + 3); (z – 1) son 3
1. Criterio del factor común
1.a. Factor común monomio • x y + xz + xw = x( y y + z + w)
• xy2a + xyb + x2 yc = xy(ay + b + cx) • 20x3 + 15x2 + 10x = 5x(4x2 + 3x + 2) MCD
con menor exponente
(x + 1)3( y y + 3)2(z – 1)1
Cada término tiene el factor x, el cual se factoriza. El factor x figura en los 3 términos, y se extrae con el menor exponente. Similar, el factor y. Al multiplicar 5x por el paréntesis debe resultar el primer miembro.
Número de factores: (3 + 1)(2 1)(2 + 1)(1 1)(1 + 1) – 1 = 23
2
33
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 11
FACTORIZACIÓN
Problema 1
Factoriza: 15x3 y2 – 12x2 y2 + 9x2 y3 Solución: 3x2 y25x – 3x2 y24 + 3x2 y23 y = 3x2 y2 (5x – 4 + 3 y)
1.b. Factor común polinomio • 2x(m + n) – 3 y(m + n) = (m + n)(2x – 3 y)
m + n figura en los dos
términos y se factoriza. De 8 y 4 se extrae 4. De x2 y x3 se extrae x2, asimismo, ( y y2 – 1)
• 8x2( y y2 – 1) + 4x3( y y2 – 1) = 4x2( y y2 – 1)(2 + x) Problema 2
Factoriza: 18x3 y2(z + 1) – 24 x2 y2(z + 1) Solución:
De 18 y 24, extraemos MCM = 6. De x3 y x2 extraemos x2. Además los fac tores comunes y2(z + 1). 18x3 y2(z + 1) – 24x2 y2(z + 1) = 6x2 y2(z + 1)(3x – 4) E R T S E M I B I I
1.c. Factor común por agrupación ax2 – by2 + ay2 – bx2 = ax2 – bx2 + ay2 – by2
Agrupamos convenientemente
= x2(a – b) + y2(a – b)
Extraemos los factores comunes
= (a – b)(x2 + y2)
Extraemos el factor común polinomio
Problema 3 Factoriza: x5 + y5 + x2 y2(xy + 1) e indica el número de factores primos. Solución:
Multiplicando: x5 + y5 + x3 y3 + x2 y2
Factor común: x3(x2 + y3) + y2( y y3 + x2)
Agrupando: (x5 + x3 y3) + ( y y5 + x2 y2)
Factor común (x2 + y3): (x2 + y3)(x3 + y2)
2. Por identidad
Recordemos (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 (x + y)(x – y) = x2 – y2 (x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3 (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 Problema 4
Solución:
Simplica: x
4
−
xy
x
3 2
+ −
Factorización x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 x2 – y2 = (x + y)(x – y) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
En el numerador: 3
x y y
2
−y
x( x
3
−y
3
x
) + y(x 3 2
−
y
3
)
2
4
Factorizando:
(x 3
−
y
3
)(x + y )
( x + y )( x − y )
En el numerador:
( x − y )( x 2
=
2
x
3
−
y
3
x−y
+ xy + y
x−y
34
−y
2
)
=
x
2
+
xy + y
2
Observación Cuando un polinomio contiene en todos sus términos la misma variable con diferentes exponentes, se extrae como factor común la variable con el menor de los exponentes. • 3x5 + 2x3 – 5x4 = x3(3x2 + 2 – 5x) • 2x4 y + x3 y2 + 3x2 y3 = x2 y(2x2 + xy + 3 y2)
FACTORIZACIÓN
Problema 5
1)2
Luego de factorizar 5( x + + 2(x + 1) se obtuvo (x + c)(ax + b); entonces el valor de L = a + b + c es: Solución: = 5(x + 1) 1)2 + 2( 2(x + 1) 1)
CAPÍTULO 11
Problema 6 Cuando se factoriza
x2 + bx +
49, se obtiene ( x + a)2. Halla el valor de P = a + 3b (a y b son positivos). Solución: x2 + bx + 49 = (x + a)2 x2 + bx + 49 = x2 + 2ax + a2
= (x + 1) {5(x + 1) + 2} = (x + 1) (5x + 7) 7) a = 5 ; b = 7 ; c = 1 Luego: L = a + b + c = 5 + 7 + 1 L = 13
• a2 = 49 a = 7 • b = 2a = 2(7) b = 14 14 P = a + 3b = 7 + 3(14) = 7 + 42 = 49 Rpta.: 13
Rpta.: 49
Actividad 11 1
02
Relaciona correctamente las columnas:
1. 4x2 + 4xy + y2 2. 16x2 – 9 y2 3. x2 – 6xy + 9 y2
A. (x – 3 y)2 B. (2x + y)2 C. (4x – 3 y)(4x + 3 y)
Indica verdadero
(V) o falso (F), según corres -
06
a2 – b2 + 9c2 + 6ac
e indica la suma de sus factores primos. 07
Al factorizar el polinomio (x – 3)3 + 125 se obtie nen dos factores de la forma: (x + a)(x2 + bx + c) Halla a – b + c.
08
Factoriza:
09
Luego de factorizar:
ponda. a) x2 – 12xy + 36 y2 = (6x – y)2 b) 9x2 + 12xy + 4 y2 = (3x + 2 y)2 c) x4 – y4 = (x + y)(x – y)(x2 – y2) 03
04
Relaciona correctamente con su equivalente:
A. 4x2 – y2
1.
B. 8x3 + y3
2. (2x + y)(4x2 – 2xy + y2)
C. 27x3 – 125 y3
3. (2x + y)(2x – y)
Indica verdadero
(V) o falso (F), según corres -
05
Se muestran muestran dos mayólicas cuadradas, con sus respectivas áreas. Determina la medida de los lados.
x2 + 10xy + 25 y2
P(x; y) = x3 – y3 + xy(x – y) e indica sus factores primos.
P(x) = x2(x4 – 1) – 2x(x4 – 1) + x4 – 1
(3x – 5 y)(9x2 – 15xy + 25 y2)
ponde: • x3 + 8 = (x – 2)(x2 + 2x + 4) • 8 – x3 = (2 – x)(4 – 4x + x2) • x3 + 27 = (x + 3)(x2 – 3x + 9)
Factoriza
indica verdadero o falso, según corresponda.
• P(x) tiene 3 factores primos. • La suma de sus factores primos es (x + 1)2 • (x2 + 2) es uno de sus factores primos. 10
Un parque cuadrado cuya área es: es: (16x2 + 24xy + 9 y2) m2 tiene en su interior una piscina de forma cúbica que cuando está llena contiene un volumen de: (x3 – 6x2 + 12x – 8) m 3 Expresa en forma factorizada el área que no co -
rresponde a la piscina.
9x2 – 12xy + 4 y2 2
35
I I B I M E S T R E
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
12
O L U T Í P A C
¿Cuál es el producto de las multiplicaciones?
¿Todo polinomio de segundo grado es factorizable?
x + 3)( x – x – 1) ( x + x + 5)( x – x – 3) ( x + x – 3)( x – x – 4) ( x –
Recuerda
MÉTODO DEL ASPA Cuando el polinomio presenta una de estas for mas se utiliza el aspa simple.
x2 – 3x + 10 x2 – 4xy – y2
Polinomios de esta forma son factorizables siem pre que provengan del producto de dos binomios con término común.
ax2n + bxn + c E R T S E M I B I I
ax2n + bxn ym + cy2m
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab • (x – 2)(x + 3) = x2 + x – 6 • (x + 5)(x – 7) = x2 – 2x – 35
Veamos algunos ejemplos: • x2 + 5x – 14 = (x – 2)(x + 7) –2 x x 7
• 6x4 – x2 – 15 = (2 x2 + 3)(3x2 – 5) 2x2 3x2
Problema 1
Simplica:
3 –5 Problema 2
x
2
+
2 x − 15
x2 − x − 6
Si
.
Solución:
x2 + 2x – 15 = (x – 3)(x + 5)
Numerador:
x−y
5
, calcula
Solución:
Numerador:
x
Denominador:
–3 2
x x
( x − 3)( x + 5) ( x − 3)( x + 2)
x x+5 x+2
Reemplazando:
2x
2
2
− +
xy − y
2
3 xy + y
2
.
y – y
2x2 + 3xy + y2 = (2x + y)(x + y) 2x
=
2x
2x2 – xy – y2 = (2x + y)(x – y) 2x
x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2)
Reemplazando:
3 =
–3 5
x x
Denominador:
x+y
y y
( 2 x + y )( x − y ) ( 2 x + y )( x + y )
=
x−y
=
x+y
5 3
Rpta.: 5/3 Problema 3
Problema 4
Factoriza mx2 – mx + n(x – 1).
Si x2 + ax – b se factoriza como (x + 7)(x + 3), calcula a + b.
Solución:
mx2 – mx + nx – n mx2 – x(m – n) – n = (mx + n)(x – 1) mx x
36
Solución: (x + 7)(x + 3) = x2 + 10x + 21 x2 + ax – b
a = 10 y b = – 21 a + b = 10 – 21 = – 11
n
–1
Rpta.: –11
2
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
CAPÍTULO 12
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS P(x) = (x – 3)(x + 2)(x – 1)
Si en P(x) hacemos P(3), resulta:
P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6
P(3) = (3 – 3)(3 + 2)(3 – 1) P(3) = 0
0
P(x) resulta cero para x = 3. Por ello se dice que 3 es un cero o raíz del poli nomio P(x). Se deduce que también se anula para x = –2 y x = 1. Por lo tanto los ceros de P(x) son: 3; –2 y 1. En sentido inverso. Si 3 es un cero de P( x) entonces x – 3 es un factor de P(x). Hallando los ceros del polinomio podemos determinar los factores de la forma (x a). Posibles ceros de P(x) =
divisores del término independiente divisores del coeciente principal
Recuerda
Supongamos que no conocemos los ceros de P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6.
• x2 – 1 = (x + 1)(x – 1)
1; 2; 3; 6 divisores de 6 Busquemos sus posibles ceros: = 1; 2; 3; 6} divisores de 1 1
• x3 – 1 = (x – 1) (x2 + x + 1)
• x4 – 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x – 1)
Vamos probando probando con cada uno:
• Para x = 1: P(1) = (1)3 – 2(1)2 – 5(1) + 6 = 0 x – 1 es un factor de P(x). El otro factor lo hallamos dividiendo por Rufni P(x) entre x – 1: x = 1
1 –2 –5 1 –1 1 –1 –6 x2 – x – 6
6 –6 0
P(x) = (x – 1)(x2 – x – 6) –3 2 P(x) = (x – 1)(x – 3)(x + 2) x x
Problema 5
Factoriza x3 + 2x2 – 5x – 6 e indica la suma de factores primos: Solución:
1; 2; 3 divisores de 6 Posibles ceros = = {1; 2; 3} divisores de 1 1 Para x = 1: P(1) = (1)3 + 2(1)2 – 5(1) – 6 = – 8 0 x – 1 no es factor de P(x) Para x = –1: P(–1) = (–1) 3 + 2(–1) 2 – 5(–1) – 6 = 0 x + 1 es un factor de P( x)
El otro factor lo determinamos dividiendo por Rufni. 1
2 –5 –1 –1 x = –1 1 1 –6 –6 x2 + x – 6
–6 6
P(x) = (x + 1)(x2 + x – 6) P(x) = (x + 1)(x – 2)(x + 3)
0
x x
–2 3
(x + 1) + (x – 2) + (x + 3) = 3x + 2 Rpta.: 3x + 2
2
37
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 12
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Problema 6
Determina la suma de los factores lineales que resulta de factorizar: A( x) = x3 – 4x2 + x + 6. Solución:
Posibles ceros =
divisores de 6 = {1; 2; 3; 6} divisores de 1
Para x = 1: A(1) = (1)3 – 4(1)2 + 1 + 6 = 4 0 Para x = –1: A(–1) = (–1) 3 – 4(–1) 2 – 1 + 6 = 0 x + 1 es un factor de A( x). El otro factor lo obtenemos dividiendo por Rufni A( x) entre x + 1. x =
–1
1 –4 1 6 –1 5 –6 0 1 –5 –5 6 x2 – 5x + 6
A(x) = (x + 1)(x2 – 5x + 6) A(x) = (x + 1)(x – 2)(x – 3) x x
–2 –3
(x + 1) + (x – 2) + (x – 3) = 3x – 4 Rpta.: 3x – 4 E R T S E M I B I I
Problema 7
x3
ax2
Problema 8
Al factorizar el polinomio P(x) = – –x+a tiene a: (x – 2) como factor. Indica la suma de los otros factores.
Luego de factorizar el polinomio P(x) = x4 + 6x3 – x – 6, determina la suma de coecientes del factor primo no lineal.
Solución:
Solución:
Si (x – 2) es un factor, entonces 2 es un cero de P( x).
Posibles ceros =
Luego: P(2) = 23 – a(2)2 – 2 + a = 0 a = 2
P(x) = x3 – 2x2 – x + 2
Dividimos entre (x – 2) para obtener el otro factor x =
2
1 –2 –1 2 2 0 –2 1 0 –1 –1 0 x2 –
divisores de –6 = {1; 2; 3; 6} divisores de 1
Para x = 1: P(1) = (1) 4 + 6(1)3 – 1 – 6 = 0 (x – 1) es un factor de P(x) Para x = –6: P(–6) = (–6) 4 + 6(–6) 3 – (–6) – 6 = 0 (x + 6) es un factor de P( x) Dividiendo sucesivamente por Rufni entre x – 1 y x + 6 1 6 0 –1 –6 1 7 7 6 x=1 1 7 7 6 0 –6 –6 –6 –6 x = –6 1 1 1 0 no es factorizable x2 + x + 1
1
P(x) = (x – 2)(x2 – 1) P(x) = (x – 2)(x + 1)(x – 1) (x + 1) + (x – 1) = 2x
P(x) = (x – 1)(x + 6)(x2 + x + 1) coef.. = 3 coef
Rpta.: 2x
38
2
Rpta.: 3
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Problema 9
Si uno de los ceros de
x3 – 3x2 + bx – 2 es 1, calcula b.
Solución: Si x = 1, es un cero entonces se cumple P(1) = 0, luego:
(1)3 – 3(1)2 + b(1) – 2 = 0
CAPÍTULO 12
Problema 10 Elabora la lista de los posibles ceros de:
P(x) = 2x4 – 5x2 + 4x – 6. Solución:
Posibles ceros =
1 – 3 + b – 2 = 0 b – 4 = 0 b = 4
Divisores de 6 Divisores de 2
=±
{1; 2; 3; 6} {1; 2}
1 3 = ± 1; 2; ; ; 3; 6 2 2 Rpta.: 4
I I B I M E S T R E
Actividad 12 12 1
¿Cuáles de los siguientes polinomios son primos? a) x – 3 b) xy + 2x
c) 200 2
3
6
Factoriza
x3 + 3x2 – 25x – 75
e indicala suma de los T.I. de sus factores.
d) 3a + 5b 7
4n3 + 26 n2 + 26 n – 20 y señale uno de sus factores.
8
Factoriza
Relaciona cada
polinomio con su factor común monomio (FCM). a) 16x2 y2 + 8xy3 + 2xy2
(1) 2xy2
b) 2x2 y + 3xy2 + 4xy
(2) 3x2 y
c) 6x2 y – 12x2 y2 + 3x2 y
(3) xy
Al factorizar x2 + 2x – 3, se obtiene ( x – a)(x + b). Halla P = ab.
Factoriza
25t3 + 60t2 + 21t + 2 e indica la suma de los coeficientes de sus factores primos.
9
Factoriza x3 – 7x + 6 y da como respuesta uno de
sus factores lineales. 4
5
Si (x + 1) es un factor de x2 + cx – 2, y (2x – 1) es un factor de dx2 + 5x – 4, entonces el valor de cd es:
10
Halla la suma de los factores primos del polino -
mio:
P(x) = 2x3 – x2 – 2x +1
Al factorizar: (x – 5)(x – 7)(x + 6)(x + 4) – 504 la suma de los factores lineales es:
2
39
Unidad
03
Quebrada Honda. Ancash
ECUACIONES ALGEBRAICAS CICLO DEL AGUA La cantidad de agua que se precipita sobre una cuenca se distribuye de la siguiente manera: ACIÓN PITACI ECIPIT PRECI
IÓ N RAC IÓ PO RA VA PO E VA
IÓ N RAC IÓ A N S P I RA T R T RA
precipitación = escorrentía + infiltración + evapotranspiración Se puede medir los diferentes términos de esta ecuación a excepción de la infiltración, que se calcula reemplazando los valores conocidos. Esta información nos permite estimar la cantidad de agua subterránea que puede haber en una cuenca.
E S C O R R E N IÓ N RAC IÓ PO RA VA PO E VA T Í A FILT ILTR RACIÓ IÓN N
- ¿Qué importancia tienen tienen las aguas subterráneas? subterráneas? AGUAS AGUA S S SU UBTER ERRÁ RÁN NEA EAS S
- ¿De dónde proviene el agua que consumes? consumes? http://www.ana.gob.pe/bibliotec http://www.ana.go b.pe/biblioteca/estudios/ag a/estudios/aguas-subte uas-subterraneas.asp rraneas.aspxx
APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones •
•
•
Comunica y representa
Determina el conjunto solución de una ecuación lineal y de segundo grado. Usa las propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática. Aplica las propiedades de las desigualdades. 40
2
Representa en forma gráfica los intervalos y las operaciones con ellos.
•
•
Determina en una recta numérica el conjunto solución de una inecuación.
Elabora y usa estrategias •
•
Emplea diversas estrategias para resolver ecuaciones lineales y de segundo grado. Resuelve problemas con intervalos e inecuaciones.
Razona y argumenta •
•
•
Explica la importancia de resolver problemas mediante ecuaciones. Justifica el uso de las inecuaciones en la resolución de problemas. Propone ejemplos de ecuaciones.
13
O L U T Í P A C
ECUACIONES LINEALES ¿Para qué valor de x se cumple esta igualdad?
¿Cuántos pares de valores para x, y; satisfacen esta igualdad? x + y = 10
x – 3 =7 2
2
Ten Presente
Una ecuación tiene dos miem bros: x+3
ECUACIÓN E IDENTIDAD
5
La igualdad (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 siempre es verdadera cualquiera sea el valor de x. x – 3 En cambio la igualdad = 7 es verdadera verdadera sólo cuando x = 17. 2 x – 3 (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 es una identidad; mientras que = 7, una ecuación, 2 en la que x es la incógnita y 17, la solución de la misma. Resolver una ecuación
3x – 2 x + 1 no es tan fácil = 5 4 encontrar el valor de x que satisfaga la igualdad. El procedimiento que nos permite hallarlo se llama resolución y consiste en el empleo de un conjunto de técnicas y métodos basados en las propiedades de la igualdad. Cuando estamos frente a una ecuación, como
3x – 2 = 2 = 10 3x – 2 + 2 = 2 = 10 + 2 3x = 12 1 1 3x = 12 3 3 12 x = = 4 3
Observa el 2, 2, que que estaba restando, parece que pasara a sumar al 2° miembro y el 3, 3, que que estaba multiplicando, a dividir. Estas transposiciones son una consecuencia de la aplicación de las propiedades de la igualdad. i gualdad. Problema 1
Resuelva
Problema 2
3 x + 15 4
−
2
=
x.
Solución: 3 x + 15
=
La solución de 3 x − 2 = 5x − 3a 7 a+2 es 10. Calcula a. Solución:
x+2
3x + 15 = 4(x + 2)
Si 10 es una solución, la igualdad se verica cuando 10 reemplaza a x:
3x + 15 = 4x + 8
3(10) − 2
4
15 – 8 = 4x – 3x x = 7
7
=
1° mi miem embr broo
x−2
4
2° mi miem embr broo
Conjunto Solución Es el conjunto formado por todas las soluciones de una ecua ción. Para: x(x2 – 9)(x + 2) = 0 Conjunto solución: C.S. = {0; 3; –3; –2}
Clasificación de las ecuaciones 1. Por su estructura:
- Algebraica: x2 – x = 3 - Trascendente: senx = 0
Transposición de términos
Una de las formas prácticas de resolver una ecuación es transponiendo términos de un miembro a otro.
=
5(10) − 3 a
2. Por el número de soluciones
- Compatible: • Determinada: Número limitado de soluciones • Indeterminada: Innitas soluciones - Incompatible: No tiene solución
Propiedades de la igualdad 1. x = y y = x 2. x = y y = z x = z 3. x = y x + a = y + a 4. x = y xa = ya
a+2
4(a + 2) = 50 – 3 a a = 6 Rpta.: 7
Rpta.: 6
2
41
I I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 13
ECUACIONES LINEALES
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA • 3x – 2 = x + 1 Es una ecuación de primer grado. • 2x2 – 5x = 7 No es una ecuación de primer grado.
2
Ten Presente
Toda ecuación de primer grado se puede reducir a la forma: –b Si a 0 x = tiene solución única ax + b = 0, a, b R a Forma general de una ecua- Si a = 0 y b 0 es incompatible ción lineal o de primer grado
Si a = 0 y b = 0 es compatible indeterminada
Problema 3
Problema 4
Resuelva la ecuación lineal: ax3 – 6x2 – 2x3 + bx2 – ax + b = 0 Solución:
La ecuación lineal en x: mx + 3x – n – 5 = 0, tiene innitas soluciones. Calcula m + n.
ax3 – 2x3 – 6x2 + bx2 – ax + b = 0
Solución:
(a – 2)x3 + (–6 + b)x2 – ax + b = 0 para que sea 0 0 lineal
(m + 3)x – (n + 5) = 0 Tiene innitas soluciones (compatible indeterminada) si: m + 3 = 0 n + 5 = 0 m = –3 n = –5 m + n = –8 Rpta.: –8
a – 2 = 0 –6 + b = 0 a = 2 b = 6
Reemplazando: –2x + 6 = 0 x = 3
Rpta.: 3
Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones con las mismas incógnitas son equivalentes si tienen el mismo conjunto solu ción. Ejemplo: x+3 x+6
Si
=
2
3
y 2(x – a) = 8
son equivalentes, calcule a: Resolución: x+3 x+6 =
2
3
⇒
3x + 9
=
2 x + 12
x = 3
x = 3 también es solución de
2(x – a) = 8: 2(3 – a) = 8 a = –1
Actividad 13 13 E R T S E M I B I I I
1
2
3
4
5
Resuelva las siguientes ecuaciones:
7
a) 6(x + 1) – ( y y + x) = 8x – ( y y + 3) b) 2(x – 2)2 = (x + 1)(x – 1) + x(x – 2) c) 2(x – 5)(x + 3) – x(x – 2) = (x + 1)2
La ecuación mx – 5(x + 2) = 2x – 10 es compatible indeterminada, halla el valor de m.
8
Si la igualdad:
Halla el valor de n si x nx
el conjunto solución de la
ecuación 2 + 10 + 3 = nx es {12}. 4x – 1 Si las ecuaciones: ax – 2 = 10 ∧ 3 = 5, son equivalentes halla el valor de a. Determina el valor de a, si la solución ecuación: x + 4 + x – a = x – 9 es 8. 3 2
Determina la solución de la ecuación lineal:
Si 2 es la raíz de la ecuación ax – 5 – 1 = x , 3 calcula el valor de a. 42
2
se reduce a una ecuación de primer grado, halla x. 9
Entre Rita y Rosa tienen 60 discos compactos. Si Rita le diera a Rosa 5 CDs, entonces Rita tendría el triple de discos que Rosa. ¿Cuántos discos compactos tiene Rita?
10
En un centro comercial se tienen las siguientes ofertas: • Lata de atún lete a S / . 5. • Lata de atún lomo a S / . 4.
de la
(a + 3)x2 + a = 2x + 29 6
ax3 – 4x2 + ax – 3a = ab – bx2 + 2x3
Si compro una decena de latas de lete más que de lomo, gastando en total S / . 104, ¿cuántas latas de atún compro en total?
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO I ¿Cuáles son los ceros del polinomio?
14
O L U T Í P A C
¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación (x2 – 4)(x2 – 9) = 0?
P( x x) = x3 – 6 x2 + 11 x – 6
Estas ecuaciones son cuadráticas o de segundo grado. Todas ellas se pueden reducir a la for ma general:
x2 – 2x – 3 = 0
(x – z)2 = 9 x+5 3
9 =
ax2 + bx + c = 0
x −1
Datos
a 0
Problema 1
Solución:
¿Qué valor no puede tomar m para que la ecuación 3x2 – mx2 + 2x – 3 = 0 sea cuadrática?
Factorizando x2: (3 – m)x2 + 2x – 3 = 0 Para que sea cuadrática: 3 – m ≠ 0 m ≠ 3 m no puede ser 3. Rpta.: 3
Una ecuación de grado n tiene n raí ces. Una ecuación cuadrática puede tener solución en un conjunto numé rico y no tener en otro. Por ejemplo x2 = 2 tiene solución en R, ( ± 2 ) , pero no tiene solución en Q ni Z. Problema 2
positivo siempre es positivo 1. ¿Qué valor tiene x en x2 = 9?
Extraemos raíz cuadrada a ambos miembros: x2
RAÍZ AÍZ Y Y SOLUCIÓN SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Una ecuación cuadrática siempre tie ne dos raíces, pero no siempre dos soluciones.
La raíz cuadrada de un número
=
(+)
• x2 – 3x + 2 = 0 Raíces: x1 = 1; x2 = 2 C.S. = {1; 2} Tiene 2 raíces y 2 soluciones. • x2 – 4x + 4 = 0 Raíces: x1 = 2; x2 = 2 C.S. = {2} Tiene una raíz doble y una solución.
Solución: Si x = 3 es una raíz, entonces la ecuación se verica cuando 3 reemplaza a x:
¿Qué valor debe tomar a para que una de las raíces de x2 – ax + 3 = 0 sea 3? 32 – a(3) + 3 = 0 a = 4
x
9
( +) 2
32
=
x =3 x=3
∨
x = −3
∴ x puede tomar dos valores
2. ¿Qué valor tiene x en
x= 9? x= 9 (+)
x=3 ∴ x toma un solo valor.
Rpta.: 4
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Ecuación de la forma x forma x2 = a
x2 = 9
Aquí una de las ecuaciones cuadráticas más simples.
x2
Extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros. x es 3 ó –3. Cualquiera de estas raíces cumple con la igualdad.
=
9
x = 3 x = 3 x = –3
2
43
I I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 14
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO I
Problema 3 Resuelva 2x2 – 3(x + 6) = 14 – 3 x
Solución: 2x2 – 3x – 18 = 14 – 3 x x2 = 16 x = 4 Rpta.: C.S. = {4; –4}
e indica el C.S.
2
Ten Presente
Ecuación de la forma x forma x(( x x – a) a) = 0
x(x – 7) = 0
Aquí tenemos el producto de dos factores igual a cero. El producto de dos factores es cero cuando uno de ellos es cero. Si x(x – a) es cero, entonces o bien x es 0, o bien x – a es cero. De esta deducción se obtienen las raíces.
x =
0
x –
7=0
x =
0
x =
7
C.S. = {0; 7}
Si (x – a)(x – b) = 0 x – a = 0 x – b = 0 x = a x = b Ejemplo:
Problema 4
Solución: 4x2 – 5x + 10 = 5(3x + 2) ⇒ 4x2 – 20x = 0
Resuelva la ecuación 4x
2
−
5 x + 10 10 5
=
4x(x – 5) = 0, como 4 0
3x + 2
e indica el C.S.
x – 5 = 0 x = 0 x = 5
⇒ x = 0
(x + 3)(x – 5) = 0 x = –3 x = 5 C.S. = {–3, 5}
Rpta.: C.S. = {0; 5}
Actividad 14 14 1
Determina si es verdadero (V) o
corresponda. a) x2 = 81 x = 9 x = –9 b) x2 = 36 x = 6 x = –6 c) x2 = 1 C.S. = [–1; 1] E R T S E M I B I I I
2
Relaciona
5
c. –1 es una solución de la ecuación: x2 – 3x – 1= 0
A. {1; 2} B. {–1; –2} C. {–2; 1}
7
1 4 d. 2x2 + 3 = 5
c. 5x2 – 1 =
Relaciona
8
44
A. {0; –4} B. {0; 3} C. {–4; 4} 2
Dadas las siguientes ecuaciones de 2° grado: • (a – 1)x2 + 6x = 7
• (b + 2)x2 + 3x = 8
determina los valores que no pueden tomar a y b. 9
Un comerciante compra tantos artículos como el precio disminuido en 3. Si en total gasta S/. 180, ¿cuántos artículos compró?
10
Una plancha metálica de dimensiones enteras tiene 48 m2 de área. Si el largo mide 2 metros más que el ancho, halla el perímetro de la plancha.
cada ecuación con su conjunto solu-
ción. 1. x2 – 3x = 0 2. x2 + 9 = 25 3. x2 + 4x = 0
e indiqua el C.S. de las siguientes ecuaciones: a. (x – 3)(x – 5) = 0 Resuelva
b. (2x – 1)(3x + 2) = 0
Determina el conjunto solución de la siguientes
b. 3x2 – 50 = 25
falso (F):
b. El coeciente principal de toda ecuación de segundo grado es diferente de 0.
c. x2 – 100 = 0 d. x2 – 6 = 0
ecuaciones: a. 4x2 – 5 = 4
Determina si es verdadero (V) o
a. El C.S. de toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces.
Resuelva las siguientes ecuaciones:
a. x2 – 81 = 0 b. x2 – 16 = 0 4
6
cada ecuación con su conjunto solu-
ción: 1. (x + 2)(x – 1) = 0 2. (x – 1)(x – 2) = 0 3. (x + 1)(x + 2) = 0 3
falso (F), según
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Factorice por aspa simple los polinomios
15
O L U T Í P A C
¿Hay ecuaciones cuadráticas que no se pueden factorizar por aspa simple?
P( x x) = x2 – 8 x + 15 Q( x x) = 6 x2 – 19 x + 10
RESOLUCIÓN POR ASPA SIMPLE DE ECUACIONES CUADRÁTICAS Las ecuaciones cuadráticas se pueden transformar a la forma: (ax + b)(cx + d) 0 Entonces para resolver razonamos de esta forma: "El producto de dos factores es cero cuando uno de ellos es cero". El modo práctico de poner como el producto de dos factores es factorizando por aspa simple.
Resolvamos: 3x2 + 19x – 14 = 0 Factorizamos por aspa simple el 1° miembro. 3x2 + 19x – 14 = 0 3x
–2
x
ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
7
El producto de dos factores es cero cuando uno de los facto res es cero.
(3x – 2)(x – 7) = 0 3x – 2 = 0 x – 7 = 0 x = 2 x = 7 3
C.S. =
Recíprocamente: si uno de los dos factores es cero, entonces el producto es cero.
{ } 2 3
Recuerda
;7
Problema 1
¿Cuál de las siguientes ecuaciones se puede resolver por aspa simple? a. x2 + 9x + 8 = 0 b. x2 + x + 3 = 0 c. x2 – x – 2 = 0 I I I B I M E S T R E
Solución:
a. 8 = 18
b. 3 = 13
c. –2 = (–2)(1)
1+8=9
?
–2 + 1 = –1
Rpta.: a y c Problema 2
Determina la menor raíz de 3(x – 1)x = x + 15 Solución: 3x2 – 3x = x + 15
3x2 – 4x – 15 = (3x + 5)(x – 3) = 0 3x x
5 x = – 5 ; x = 3 1 2 3 –3
Rpta.: – 5 3
Problema 3
Calcula la suma suma de raíces raíces de: (2x + 3)2 = (x – 2)2 Solución: 4x2 + 12x + 9 = x2 – 4x + 4
3x2 + 16x + 5 = (3x + 1)(x + 5) = 0 3x x
1 x = – 1 ; x = –5 1 2 3 5
x1 + x2 = – 1 – 5 = – 16 3
3
Rpta.: – 16 3
2
45
CAPÍTULO 15
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II
Problema 4
Calcula el producto de raíces de: abx2 + 2b2x + 3a2x + 6ab = 0. Solución: abx2 + (2b2 + 3a2)x + 6ab = 0
2b 3a
ax bx
x1 = – 2b , x2 = – 3a
(ax + 2b)(bx + 3a) = 0
x1x2 = −
2b
a
a
b
− 3 a = b = 6 Rpta.: 6
Actividad 15 15 1
Luego de factorizar por aspa simple, relaciona con su respectivo conjunto solución. a)
2
x2 + 5x + 6 = 0
b) x2 – 4x – 5 = 0
B. {–1; 5}
c) x2 – 7x + 6 = 0
C. {–3; –2}
Resuelva la ecuación:
5(6x2 + x) = 1 + 4x
A. {1; 6}
e indica el producto de sus raíces. 7
Reduzca y resuelva la ecuación:
2x(x + 3) – 2(3 x + 5) = – x
Resuelva las siguientes ecuaciones:
a. x2 – 3x + 2 = 0 E R T S E M I B I I I
6
8
b. x2 + 5x + 4 = 0
Resuelva:
(x – 1)2 – (x + 1) – 1 = (x + 1)(x – 3) + (x – 2)(x –3)
c. x2 + 2x – 3 = 0 9 3
Completa aplicando aspa simple:
La altura h que alcanza un cohete se expresa en función del tiempo(t) como:
2x2 – 5x + 2 = 0
h(t) = t2 – 15t
¿Qué tiempo demora en alcanzar una altura de 100 m? C.S. {___; ___} 4
Resuelva la ecuación:
3x2 + x – 4 = 0 y halla la suma de sus raíces. 5
El ingreso mensual mensual de un un vendedor está dado por la ecuación: I(x) = – x2 + 90x en la que x es el número de artículos que vende. ¿Cuántos ar tículos vendió si su ingreso mensual es S / . 800?
46
2
10
Resuelva
abx2 + ab(a + b)x + a2b2 = 0
e indica su C.S.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO III ¿Cuál de estos polinomios es un trinomio cuadrado perfecto?
16
O L U T Í P A C
¿Antes de resolver se pue de predecir la naturaleza de la raíz de una ecuación cuadrática?
P( x x) = 9 x2 – 6 x – 8 Q( x x) = 4 x2 + 12 x + 9
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FÓRMULA GENERAL No todas las ecuaciones de 2° grado se pueden resolver factorizando por aspa simple. En tal caso se completan a cuadrados. Por ejemplo, resolvamos x2 + 6x + 1 = 0
ax2 + bx + c = 0
(2ax)2 + 2(2ax)b + b2 – b2 + 4ac = 0 T.C.P.
x2 + 2(x)(3) + 32 + 1 – 1 – 32 = 0
(x + 3)2 –
−b ±
x=
−3 + 2
2 , −3 − 2 2
Problema 1
2
b − 4 ac 2a
x = –3 – 2 2
{
Toda ecuación de segundo gra do tiene solución en el conjunto de los números complejos.
2ax + b = b2 – 4ac
x + 3 = ±2 2
C.S. =
(2ax + b)2 = b2 – 4ac
8 =0
(x + 3)2 = 8
x = –3 + 2 2
Nota
Multiplicamos por 4a: 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
Discriminante:
}
∆ = b2 – 4ac
Solución:
Resuelva x2 – 4x – 1 = 0
x=
−( −4) ±
( −4) 2 − 4(1)( −1)
2(1)
x =
I I I B I M E S T R E
4±2 5 2
x1 = 2 + 5 ; x2 = 2 – 5
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Sean 3 y 7 las raíces de una ecuación cuadrática, entonces ( x – 3)(x – 7) = 0 de donde: x2 – 10x + 21 = 0. Se observa que el coeciente de x es – (3 + 7) y el término independiente 3 7. Veamos en forma general: Sean x1 y x2 las raíces de ax2 + bx + c = 0, entonces: ax2 + bx + c (x – x1)(x – x2) x
2
b +
a
x+
c ≡
a
x
2
−
( x1 + x2 )x +
x1 x2
⇒
Ejemplo:
En x2 + 6x – 8 = 0: x1 + x2 = – 6 ; x1x2 = –8 y
b x1 + x2 = − a c x1 x2 = a b 1 1 + = − x x c 2 1 1
x1
1 +
x2
6 = −
−8
3 =
4
2
47
CAPÍTULO 16
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO III
Problema 2
Solución:
Calcula la suma de las raíces de 3x2 – 6x + 8 = 0
x1 + x2
−6 ⇒ x + x = 2 = − 3 ⇒ 1
2
Rpta.: 2
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA A PARTIR DE DE SUS SUS RAÍCES Si las raíces de una ecuación cuadrática son 3 y –7, entonces la ecuación resulta: (x – 3)(x + 7) = 0 Multiplicando: x2 + 4x – 21 = 0
¿Cuál es la ecuación cuyas raíces 1 y 2
−
3 4
Ecuación: (x – x1)(x – x2) = 0 x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0
Problema 3
son
Raíces: x1 ; x2
Problema 4 Si x1 y x2 son las raíces de:
3x2 – 2x + 1 = 0, calcula (x1 + 3)(x2 + 3)
?
Solución:
Solución:
De la ecuación: x1 + x2 = –
Ecuación 1 3 1 3 = 0 x − − x + − = 2 4 2 4
x 1 x2
2
x2 +
x 4
3 −
8
=
3
3
3
1 2 7 = + 3 = = 3 3 3
Rpta.: 8x2 + 2x – 3 = 0
E R T S E M I B I I I
2 =
(x1 + 3)(x2 + 3) = x1x2 + 3(x1 + x2) + 9
0
8x2 + 2x – 3 = 0
× 8:
=
1
2
−
Rpta.: 7/3
Actividad 16 16 1
Determina cuántas de las siguientes ecuaciones
6
no es conveniente resolver por aspa simple. a) x2 + 5x + 3 = 0 b)
x2 + 4x – 5 = 0
c)
x2 + 2x – 6 = 0
y cuyo producto de raíces, 31. 7
2
Resuelva e indica la mayor raíz de: x2 – 6x + 7 = 0
3
Resuelva e indica la suma de raíces de:
9
determina p de modo que
e indica el producto de las raíces.
10
Siendo x diferente de +1 y de –1, resuelva la ecuación: x 2 3 −
−
48
2
x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x2 – px + 36 = 0
Resuelva (x + 3)2 = x2 + (x – 1)2
x − 1 x + 1 x2 − 1
Calcula la suma de la raíces de la ecuación:
2x2 – 5x – 1 = 0
x2 + 2x = 5
5
Resuelva la ecuación x2 – 2x – 6 = 0
e indica la mayor raíz. 8
4
Construya la ecuación cuya suma de raíces es 13
=
0
1
x1
+
1
x2
=
5 12
.
Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación x2 + 10 = 5 x, calcula el valor de: −1 1 + 1 x1 x2
17
O L U T Í P A C
DESIGUALDADES ¿Cuántos números enteros están comprendidos entre –5 y + 5, sin contar a ellos mismos?
–5
Si un número comprendido entre 1 y 6, se multiplica por 3, ¿entre qué números queda comprendido el resultado?
5
2
Ten Presente
Signos de la desigualdad a > b: "a mayor que b" a < b: "a menor que b" a b: "a mayor o igual que b" a b: "a menor o igual que b"
Definiciones a R es positivo a > 0 a R es negativo a < 0 a > b a – b > 0 a < b a – b < 0 a b a < b a = b a b a > b a = b a < b < c a < b b < c
Ley de tricotomía a, b, c R se verica una, y sólo una, de las siguientes: a < b
a=b
Tipos de intervalos 1. Intervalo cerrado
x
–3
5
• x ∈ [–3; 5] • –3 ≤ x ≤ 5
a>b 2. Intervalo abierto
x
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA DESIGUALDAD 1. Ley de monotonía
a < b a + c < b + c 2. Propiedad transitiva
3. Si a < b a + c c < d 4. Si a < b
Si a < b b < c a < c Problema 1 Si 2x + 3 < 9, demuestra que 3x – 5 < 4 Demostración 2x + 3 + (–3) (–3) < < 9 + (–3)
–1
< b + d
ac < bc ac > bc
• x ∈ 〈–1; 6〉 • –1 < x < 6
si c > 0 si c < 0
I I I B I M E S T R E
3. Intervalo semiabierto
x
2x < 6 2x 1 < 6 1 2 2 < 3 3 < 3 3 x x
–3
3x – 5 < 4
2
• x ∈ 〈–3; 2]
3x < 9 3x + (–5) (–5) < < 9 + (–5)
• –3 < x ≤ 2
l.q.q.
x
–3
INTERVALOS
2
• x ∈ [–3; 2〉 • –3 ≤ x < 2
Números reales (R)
Entre los números reales y los puntos de una recta numérica existe una co rrespondencia bionívoca: a cada pun to le corresponde un número real y a cada número real, un punto de la recta.
6
origen
–3 –2 –1
R–
0
1
2
3
R+
Esta correspondencia nos permite representar al conjunto de los números reales (R) mediante una recta llamada recta real. 2
49
CAPÍTULO 17
DESIGUALDADES
Intervalo
Es un subconjunto de los números reales, comprendido entre dos números llamados extremos. 2
Intervalo abierto No incluye los extremos
Intervalo cerrado Incluye los extremos
5 1 < x < 5 x < 1; 5 >
–3
Intervalo semiabierto Incluye uno de los extremos
6 –3 x 6 x –3; 6
–2 4 –2 x < 4 x –2; 4
Problema 2
b) x –3; 7
Intervalos Infinitos 1. a; +
2. –; a
Representa mediante un intervalo las siguientes desigualdades: a) –2 < x 0 b) –3 x < 7 c) –5 x –1 Solución: a) x –2; 0
Ten Presente
3. a; +
c) x –5; –1
OPERACIONES CON INTERVALOS
4. –; a
Como los intervalos son conjuntos, con ellos se pueden realizar todas las operaciones con conjuntos. Unión ()
Intersección
–3; 4 –2; 6 = –3; 6
–6; –1 –3; 2 = –3; –1 2
–3 E R T S E M I B I I I
–2
4
6
–6
–1
–3
Ten Presente
2
Diferencia
Complemento
–1; 5 – 2; 7 = –1; 2
2; 7 = R – 2; 7 = –; 2 7; +
Transposición de términos En una desigualdad se puede transponer los términos:
–1
2
5
2
7
Problema 3 Si x –4; 0 x –3; 1, ¿en qué intervalo se encuentra x? Solución:
x –4; 1
0
Si
5
<
3
3x − 1 4
>
2
¿a qué intervalo pertenece x?
1
Rpta: –4; 1
2
• El término que está suman do en un miembro se trans pone al otro restando. 3x – 6 > 12 3x > 12 + 6 • El término que está divi diendo (o multiplicando) se transpone al otro multipli cando (o dividiendo), pero si es negativo el sentido de la desigualdad se invierte. 4x
3
50
∧
2x – 1< 15 3x – 1 > 8 2x < 16 3x > 9 x < 8 x > 3 x –; 8 3; + = 3; 8
x –4; 0 –3; 1
–3
Problema 4 2x − 1
Solución:
Si x –4; 0 x –3; 1
–4
7
8 Rpta: 3; 8
−5
<
12
⇒
x<
12 4
x < 20 ⇒ x >
20 −5
DESIGUALDADES
CAPÍTULO 17
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Las propiedades de las desigualdades nos permitirán resolver inecuaciones:
1. Ley de monotonía a < b a + c < b + c
5. 0 a < b x 0 ac < bd 0 c < d
2. Propiedad transitiva Si a < b y b < c a < c
6. Si a > 0 a–1 > 0 Si a < 0 a–1 < 0
3. Se pueden sumar miembro a miembro las desigualdades del mismo sentido. a < b + a + c < b + d c < d 4.
ac < bc Si a < b ac > bc
7.
0
<
a
<
b
1 ⇒
1 >
a a
<
b
<0 ⇒
b
1
1 >
a
b
8. 0 < a < b 0 < a2 < b2
si c > 0 si c < 0
a < b < 0 a2 > b2 > 0
Problema 5 2x − 1
Problema 6
Si 1 < x < 5, ¿en qué intervalo se encuentra 2x – 3?
Si > 1 , ¿en qué intervalo 3 se encuentra 3x + 2?
Solución:
Solución: 2x – 1 > 3 2x > 4
se encuentra 2 x − 3 ? Solución:
2 < 2x < 10 10 2 – 3 < 2x – 3 < 10 – 3 –1 < 2x – 3 < 7
x > 2 3x > 6 3x + 2 > 6 + 2 3x + 2 > 8
Problema 7 Si x –3; 5, ¿en qué intervalo 3
x < 5 ⇒ −6 ≤ 2 x < 10 −6 − 3 ≤ 2 x − 3 < 10 10 − 3 2x − 3 7 −9 ≤ 2 x − 3 < 7 ⇒ −3 ≤ <
−3 ≤
3
Rpta.: 8; +
Rpta.: –1; 7
3
Rpta.: –3; 7/3
I I I B I M E S T R E
Actividad 17 01
05
Si x –2; 4, ¿a qué intervalo pertenece 4x + 3?
06
Si 16 < 3x + 1 25, halla el intervalo al que pertenece P = 2x – 3.
Dados los intervalos: A = {x R / –1 < x 2} B = {x R / 0 x < 3} determina cuántos elementos enteros tiene AB.
07
Si –6 < 2 y < 4, ¿a qué intervalo pertenece –3 y + 5?
08
Si –7 < x – 9 < 7 y 3x + 4 ab, halla ab
Sean los conjuntos: A = {x/x – 2 ≥ 3} y B = {x/x + 4 > –2} Calcula A ∩ B.
09
Si x 5; 9, ¿a qué intervalo pertenece
10
Calcula el mínimo valor de:
Relaciona correctamente:
A x es positivo
a
x < 0
x es negativo
b
x 0
C x es no positivo
c
x > 0
B
02
03
04
Calcula A ∪ B, si A = {x/x + 1 < 15} y B = {x/x – 2 > 5}
4 2x + 3
?
P(x) = x2 – 10x + 23; x R
2
51
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
18
O L U T Í P A C
¿Cuántos valores enteros puede tomar x en esta desigualdad?
La inversa de un número negativo, ¿es negativo o positivo?
x + + 3 ≤ 8 3 < 2 x 2
1− 3 Para x = 1 : 2 < 3 ⇒ −1 < 3 (V ) x−3 5−3 < 3 Para x = 5 : < 3 ⇒ 1 < 3 (V ) 2 2 1 11 11 − 3 Para x = 11 : 2 < 3 ⇒ 4 < 3 (F)
En la desigualdad
2
Ten Presente
La desigualdad de arriba es verdadera sólo para algunos valores de la incóg nita (x) y no para otros. Una inecuación es una desigualdad que se satisface para un conjunto de va lores de la incógnita, llamado conjunto solución (C.S.). Resolver una inecuación es encontrar su C.S.
Conjunto solución y solución particular En la inecuación: 1<
ax + b 0
La resolución es similar a la de las ecuaciones, con la particularidad de que cuando se transpone un número negativo, ya sea dividiendo o multiplicando, el sentido de la desigualdad se invierte. Problema 1
Problema 2
3x − 1
Resuelva
2
Resuelva
≤7
Solución: 3x – 1 14
Solución: 3 – 2x > 5
3x 15
–2x > 2
x≤
15
⇒
3
C.S. = –; 5
x≤5
Problema 3
Resuelva
2≤
x<
3 − 2x 5
2 ⇒ −2
1
x < −1
C.S. = –; –1
Problema 4
x+1 3
Resuelva
< 4
−2 ≤
Solución: 6 x + 1 < 12
Solución: –4 2 – 3x < 4
5 x < 11
−6 ≤ −3 x < 2 ⇒
C.S. = 5; 11
52
>
2 − 3x 2
−6 −3
≥
<2
−3 x −3
>
2 −3
2 2 ⇒ 2 ≥ x > − ⇒ C.S. = − ; 2 3 3
2
3
≤
18
4
≤
19
<
C.S. = 4 ; 9]
RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN E R T S E M I B I I I
≤
2x
8
ax + b 0
ax + b < 0
5
5 < 2 x − 3 ≤ 15 15
Una inecuación de primer grado con una incógnita es aquella que se reduce a una de las siguientes formas: ax + b > 0
2x − 3
Una solución particular es cualquier valor de x que pertenezca al conjunto solución. Son soluciones particulares: x = 5;
x = 6,3;
x = 7,1
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
CAPÍTULO 18
Problema 5
Problema 6
Halla el conjunto solución de la desigualdad 3x + 1 < 2x + 3 < x + 6
El conjunto solución del intervalo
Solución:
Simplicando resulta: x – 1 0 ∧ x ≠ 1 (porque x – 1 ≠ 0) x 1 ∧ x ≠ 1
(x – 1)2 0, es: x – 1
Solución:
Separando las inecuaciones: Parte II 3x + 1 < 2x + 3 < x + 6 Parte I Parte I: Parte II: 3x + 1 < 2x + 3 2x + 3 < x + 6 3x – 2x < 3 – 1 2x – x < 6 – 3 x < 2 x < 3
Entonces C.S. = 1; +∞
Luego: C.S. = –∞; 2〉 Problema 7
El cuádruple de un número excede a su doble en menos de 18. ¿Cuántos números enteros positivos impares cumplen dicha condición?
Los números impares positivos que cumplen son: 1; 3; 5 y 7, en total 4 números.
Solución:
Sea el número "x", entonces: 4x – 2x < 18 exce excedde
Resolviendo: 4x – 2x < 18 2x < 18 x < 9
menos de 18
Actividad 18 18 1
Resuelva 3(x – 1) < 2(x + 3).
2
Resuelva (x – 1)2 – x(x + 1) > 3(x – 1).
3
Resuelva
4
−2 x 3
7
x − 8 ≤ 5 − 2 + 4 .
4
3x − 1
<
3
x+5
+
6
2
Resuelva 5x + 1 < 6x + 3 < 7x + 9.
6
Calcula el valor de a para que el conjunto solu 1 ción de la inecuación x – a > sea el intervalo
6
3
3 es siempre co-
Si (5x + 3) ∈ 〈–1; 4〉, halla la variación de x.
2 x − 3
5
〈–3; +∞〉.
x + 3
III. x ∈ 〈–∞; 12] 8
−
≤
II. x ∈ [6; +∞〉
Resuelva: 2x + 1
x – 2 La desigualdad 2 rrecta si: x + 2 x – 3 I. ≤ 2 3
9
Halle la suma suma de cifras de un número entero, sa biendo que su triple t riple aumentado en 8 es menor que 80, y que su doble disminuido en 4 es mayor que 40.
10
El número de naranjas que tiene José es tal que su quíntuple aumentado en 12 no excede a 63 y que su triple disminuido en 9 es mayor que 20. Halla el número de naranjas.
2
53
I I I B I M E S T R E
Unidad
04
RELACIONES Y FUNCIONES LA CADENA ALIMENT ALIMENTARIA ARIA La cadena alimentaria o cadena trófica describe qué seres vivos se alimentan de otros que habitan el mismo ecosistema. En la cadena cada especie es un eslabón, cada una se alimenta del precedente y es alimento del siguiente. La vida de una especie es una función de la abundancia del eslabón precedente. Si desaparece un eslabón, por falta de alimento desaparecerán con él los eslabones posteriores y debido a la ausencia de sus depredadores, se superpoblará el nivel inmediatamente anterior. anterior. Finalmente se desequilibrará el ecosistema - ¿De qué se alimenta el cóndor? http://hnncbiol.blogspot.co http://hnncb iol.blogspot.com/2008/01/c m/2008/01/cadenas-a adenas-alimentarias-clic-e limentarias-clic-en-link-azul.html n-link-azul.html
APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones •
•
•
•
Comunica y representa
Relaciona funciones con su dominio y su rango. Usa las propiedades de las relaciones. Identifica la regla de correspondencia de una función. Modela problemas con funciones. 54
2
Representa en forma gráfica las relaciones binarias y las funciones.
•
•
•
Elabora un esquema sobre las gráficas de funciones. Traza la gráfica de una función lineal y afín.
Elabora y usa estrategias •
•
Emplea diversas estrategias para resolver problemas con relaciones y funciones. Elabora diversas estrategias para identificar los distintos tipos de funciones.
Razona y argumenta •
•
Argumenta el uso de la modelización de funciones en la resolución de problemas. Propone ejemplos y contraejemplos de relaciones y funciones.
19
O L U T Í P A C
RELACIONES BINARIAS ¿Se puede obtener el producto cartesiano de dos intervalos?
¿Cuántas parejas mixtas de baile se pue de formar con 4 hombres y 5 mujeres?
PAR ORDENADO
Nota
Juan Ortiz Soto y Juan Soto Ortiz, no son la misma persona. En los apellidos siempre va primero el paterno y luego el materno. Un par ordenado es la abstracción de dos elementos ordenados, como los apellidos paterno y materno. Es evidente que mientras que a b, entonces (a, b) (b, a). Problema 1
¿Hay algún valor de x para el cual los pares ordenados (x, 2x – 1) y (3x – 4; 3x + 1) sean iguales?
Primera componente
(a; b)
Par ordenado Segunda componente
Defnición Formal
(a, b) = {{a}; {a; b}} Esto es una forma de decir "a primero, luego b"
(a, b) = (c, d) a = c b = d • (3; –2) = (3; –2) • (7; 1) (1; 7)
Solución (x; 2x – 1) = (3x – 4; 3x + 1)
x = 3x – 4 2x – 1 = 3 x + 1 x = 2 x = –2
No es posible que x sea 2 y – 2 a la vez. Rpta.: No existe
PRODUCTO CARTESIANO Conjuntos A = {3; 5} B = {2; 4; 6}
Producto Cartesiano AB = {(3; 2), (3; 4), (3; 6), (5; 2), (5; 4), (5; 6)} BA = {(2; 3), (2; 5), (4; 3), (4; 5), (6; 3), (6; 5)}
En general, para dos conjuntos no nulos A y B, el producto cartesiano se dene así: AB = {(a, b) / a A b B} Problema 2 Sean A = {a; b; c; d} y B = {x, y, z, v}.
¿Cuántos elementos tiene BA? Solución n(A) = 4 y n(B) = 4
Observación n(AB) = n(BA) = n(A)n(B)
I V B I M E S T R E
Problema 3
Si MN = {(2; 1); (3; 1), (4; 1)}, cal cula n(M) + n(N) Solución:
Se observa que: M = {2; 3; 4} n(M) = 3 N = {1} n(N) = 1 n(M) + n(N) = 3 + 1 = 4
n(BA) = n(A)n(B) n(BA) = 44 = 16 Rpta.: 16
Rpta.: 4 2
55
CAPÍTULO 19
RELACIONES BINARIAS
REPRESENTACIÓN GRÁFICA El producto cartesiano se puede representar grácamente. Consideremos los conjuntos A = {1; {1; 2; 3; 4} y B = {1; {1; 2; 3} 3},, y representemos grácamente AB: Diagrama del árbol Diagrama sagital Diagrama cartesiano 1 (1; 1) 1 2 – (1; 2) 3 – (1; 3) B 1 (2; 1) 1• 2 3 2 – (2; 2) •1 2• 3 – (2; 3) 2 •2 3• 1 (3; 1) 1 •3 2 – (3; 2) 3 4• 1 2 3 4 A 3 – (3; 3) 1 (4; 1) 4 2 – (4; 2) 3 – (4; 3) El diagrama sagital y el diagrama del árbol se utilizan cuando los elementos son discretos.
2
Ten Presente
Relación en A Para denir una relación de A en B, no es necesario que A y B sean diferentes. Se puede denir una relación en el mismo conjunto A.
RELACIÓN Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una relación R de A en B, es cualquier subconjunto del producto cartesiano AB.
Entonces R es un subconjunto AA o A2. Ejemplo:
Problema 4
Sean
A = {2; 3; 4; 5} y B = {1; 2; 3; 4} ¿Cuál es la relación R de A en B, tal que los elementos de cada par sumen 6? Solución:
R = {(x; y) AB} / x + y = 6
A = {1; 2; 3; 4; 5} R = {(x; y) A2 / x = y}
R = {(1; 1), (2; 2), (3; 3),
(4; 4), (5; 5)} Gráco de R:
R = {(2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1)}
A 1•
DOMINIO Y Y RANGO RANGO DE UNA RELACIÓN Dados los conjuntos A y B, se ha denido una relación R de A en B. Aquí:
E R T S E M I B V I
A es el conjunto de partida. B es el conjunto de llegada. Se observa que no todos los elementos de A ni de B entran en la relación. El conjunto de los elementos de A que entran en la relación se llama dominio dominio y y el conjunto de los elementos de B que entran en la relación, rango rango.. Dominio de R: Dom(R) = {1; 2; 3} Rango de R: Ran(R) = {1; 2; 3} 56
2
2•
A = {1; 2; 3; 4; 5}
5• 4•
B = {1; 2; 3; 4} R = {(x; y) AB / x + y = 4} R = {(1; 3), (2; 2); (3; 1)}
A
B
1• 2• 3• 4• 5•
•1 •2 •3 •4
Conjunto de partida
Conjunto de llegada
Dominio
3•
Rango
RELACIONES BINARIAS
Problema 5
CAPÍTULO 19
B
El gráco muestra una relación de A en B. Determina el dominio y el rango.
3 2 1
Solución:
1 2 3 4 5 6 7 8 A
Dom(R) = {1; 2; 3; 5; 6; 7} Ran(R) = {1; 2; 3}
REGLA DE CORRESPONDENCIA 2
Una relación R de A en B es un subcon junto de AB. Los elementos de AB que pertenecen a R son solo aquellos que sa tisfacen la regla de correspondencia. En el ejemplo, de los 67 = 42 elementos de A B, sólo 3 pertenecen a R; los que satisfacen la regla de correspondencia y = 2x + 1.
Sean: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} R = {(x; y) AB / y = 2x + 1} R = {(1; 3)(2; 5)(3; 7)}
Problema 6 Solución:
1 + 3 = 4; 2 + 2 = 4; 3 + 1 = 4 R = {(1; 3), (2; 2), (3; 1)}
GRÁFICO CARTESIANO DE UNA RELACIÓN y
y
3 2 1
3 2 1
1 2 3 4 5 x R = {(x, y) Z2/ y = x – 1}
Para gracar una relación primero se gracan dos o tres puntos, con los que se deduce la forma del gráco, y luego se completa lo que falta. Por ejemplo, si la regla de correspondencia es y = 2x, cuando x = 1, y = 2, se obtiene el punto (1; 2). Para x = 2, y = 4, se obtiene el punto (2; 4). Finalmente se unen estos puntos.
Dados A = {1; 2; 3; 4} y B = {1; 2; 3}, halla R = {( x; y) AB / x + y = 4}
En una relación R de A en B, donde los elementos de A y B son enteros, su gráco es un conjunto de puntos.
Ten Presente
Dominio y Rango en el gráfico y 4
1 2 3 4 5 x R = {(x, y) R2/ y = x – 1}
Si los elementos de A y B son reales, entonces su gráco es una línea o una región del plano cartesiano.
3
R
2 1 –2 –1 –1
1
2
3 x
–2
Problema 7
Graca las siguientes relaciones, y en cada caso indica el dominio y rango: R1 = {(x, y) R2/x + y = 3}, R2 = {(x, y) R2/ y 2}, R3 = {(x, y) /x –3; 3 y 0; 2}
Dom(R) = –2; 3 Ran(R) = –2; 4
I V B I M E S T R E
Solución
3 2 1
x + y = 3
1 2 3 Dom(R1) = R Ran(R1) = R
y 1 –1
y = 2
y 2
y 2
1
1 2
x
Dom(R2) = R Ran(R2) = –; 2
–3 –2 –1
R3
1 2 3
x
Dom(R3) = 3; 3 Ran(R3) = 0; 2 2
57
CAPÍTULO 19
RELACIONES BINARIAS
Problema 8
Problema 9
En una relación R = {(x; y) ∈ N × N/x + y = 4}
Dados los conjuntos: A = {x/x ∈ N; 1 ≤ x < 6} 6} y B = {x + 2/ x ∈A} denimos la relación “R” de “A” en “B” como: R = {(a; b) A×B/ a + b = 8} Calcula la suma de los elementos del rango.
indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
1. Dom(R) = {0; 1; 2; 3} 2. Ran(R) ⊂ Dom(R)
( (
) )
Solución:
Solución:
R = {(0; 4); (1; 3); (2; 2); (3; 1); (4; 0)}
A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {2; 4; 5; 6; 7} R = {(1; 7)(2; 6)(3; 1)(4; 4)(5; 3)} R(R) = {7; 6; 5; 4; 3} 7 + 6 + 5 + 4 + 3 = 25
1. D(R) = {0; 1; 2; 3; 4} {0; 1; 2; 3} .... (F) 2. R(R) = {0; 1; 2; 3; 4; } D(R) ....
(V)
Rpta.: 25
Actividad 19 19 1
Dada la igualdad (x + y; x – 2 y) = (11; 2),
B = {x Z / 6 x 15 x es par}
calcula xy.
halla n(AB)
2
Dados los conjuntos: A = {5; 6; 9}, B = {1; 2; 4} y C = {5; 6}, calcula (A ∩ C) × B
3
Relaciona cada diagrama cartesiano con su dia -
6
Sea la relación “R” denida en los números naturales por: R = {(x; y) ∈N × N/x + y = 5} Calcula el número de elementos de Dom(R) ∩ Ran(R).
7
En la relación: R = {(3; 0), (2; –1), (2; 1), (4; 0)}, halla la suma de los elementos del dominio.
8
En la relación: R = {(–1; 1); (3; –1), (4; 3), (3; –3)}, suma de los elementos del rango. halla la suma
9
Indica cuál
grama sagital. 1) A
a) B 6 5 2
E R T S E M I B V I
4
2) A
•2
•5
•6
B
•2
•5
•3
•6
5 A
6 b–2
(2c; 3d) (3; 2) a+1 4
10
A
Dados los conjuntos: A = {x Z / x2 – 3x + 2 = 0 x = 3} 58
2
o cuáles de las relaciones son subconjuntos de A×B, si A = {1; 3; 6} y B = {2; 6}. R1 = {(3; 2), (3; 6), (4; 3)} R2 = {(4; 6), (1; 6)} R3 = {(3; 6), (4; 3), (1; 2)} R4 = {(4; 2)}
De gráco cartesiano, halla ab + cd B
5
•3
3 A
b) B 6 2 3
B
Si A = {3; 4} y B = {5}, indica verdadero (V) o falso (F). I. A×B es una relación ( II. B×A es una relación ( III. A×B y B×A tienen la misma cantidad de elementos. (
) ) )
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES ¿Cómo es el gráco de las relaciones en R con las reglas de correspondencia mostradas?
20
O L U T Í P A C
¿La relación de amistad es de equivalencia?
y=x y = –x
RELACIÓN REFLEXIVA
125304
Una relación R en A2 es reexiva si todos los elementos de A están relacio nados consigo mismo. R en A2 es reexiva, si R1 es reflexiva porque todos 1• 3• los elementos de A están con 2• su bucle. R1 = {(1; 1)(2; 2)(3; 3)}
A
x A, (x; x) R
R2 no es re• flexiva porque 1 el 2 no está • • relacionado 3 2 consigo mismo. R2 = {(1; 1)(1; 2)(2; 3)(3; 3)}
Problema 1 Calcula x + y, sabiendo que R = {(2; x + 2), (3; y – 1)}, es una relación reexiva.
Matemática en la vida
RELACIÓN DE AMISTAD
La relación de amistad no es de equivalencia, puesto que no es transitiva: si a es amigo de b y b es amigo de c, a no necesariamente es amigo de c. Si la relación de amistad fuera de equivalencia el mundo estaría dividido en clases de amigos (grupos de amigos).
Solución:
Se observa que R está denido en {2; 3}. Para que sea reexiva debe contener (2; 2) y (3; 3). Entonces: x + 2 = 2 x = 0 y – 1 = 3 y = 4 x + y = 0 + 4 = 4
Rpta.: 4
RELACIÓN SIMÉTRIC SIMÉTRICA A Supongamos que (3; 5) R. Para que sea simétrica, también (5; 3) debe per tenecer a R. R en A2 es simétrica, si (x; y) R ( y y; x) R A 3
5 4 R1
Es simétrica porque (3; 4) y (4; 3) así como (3; 5) y (5; 3) están en R 1
A 3 4 R2
No es simétrica porque están 5 (3; 5) y (4; 5) pero no (5; 3) ni (5; 4)
I V B I M E S T R E
Problema 2 Calcula x + y, si R = {(3; 5), (7; x), ( y y; 3), (1;7)}, es una relación simétrica. Solución:
Como (3; 5) R (5; 3) R y = 5 x + y = 1 + 5 = 6 Como (1; 7) R (7; 1) R x = 1
Rpta.: 6 2
59
CAPÍTULO 20
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
RELACIÓN TRANSITIVA Supóngase que (3; 7) R y (7; 2) R. Para que R sea transitiva (3; 2) debe pertenecer a R. R en A2 es transitiva, si (x; y) R ( y y; z) R (x; z) R A 3 7
R1 es transitiva
A 3 7
1
1 2
2 R2
R1
R2 no es transitiva. Están (3; 7) y (7; 2) pero no está (3; 2). También está (3; 1) y (1; 3) pero no está (3; 3)
Problema 3
¿Qué elementos le faltan a la l a relación R = {(3; 5), (5; 3), (5; 4)} para que sea transitiva?
Faltan: (3; 5) (5; 4) R (3; 4) R (3; 3), (3; 4) y (5; 5) Solución:
(3; 5) (5; 3) R (3; 3) R (5; 3) (3; 5) R (5; 5) R
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA R en A2 es de equivalencia si es reexiva, simétrica y transitiva Problema 4
Demuestra que la relación de congruencia entre triángulos es de equivalencia. Solución:
- Todo triángulo es congruente a sí mismo es reexiva. - Si un triángulo T1 es congruente a otro T2, T2 es congruente con T1. - Si un triángulo T 1 es congruente a otro T 2 y T2 congruente con T3, entonces T1 es congruente con T3. Es transitiva. - Como es reexiva, simétrica y transitiva, entonces es una relación de equivalencia.
E R T S E M I B V I
Problema 5
Problema 6
Dado el conjunto: A = {2; 3; 4}; se tiene la relación reexiva en A2 R = {(2; a); (2; 3); (b; 4); (3; c); (3; 2)} Calcula a × b + c.
Si la relación: R = {(5; 5) (3; m2 + n)(2; 3m – 7) (19; 3)(1 ; 1)} es simétrica, calcula: m×n + m + n
Solución:
Por ser simétrica: (5; 2) R, entonces (2; 5) R 3m – 7 = 5 m = 4 (19; 3) R, entonces (3; 19) R m2 + n = 19 n = 3 Luego: m×n + m + n = (4)(3) + 4 + 3 = 19
Por ser reexiva tenemos que: (2; 2); (3; 3) y (4; 4) es tán en R. Entonces comparando: a = 2; b = 4; c = 3 Luego: a × b + c = 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11 Rpta.: 11 60
2
Solución:
Rpta.: 19
Actividad 20 1
Sea el conjunto A = {–1; 0; 1}. Si se se dene la relación:
6
R = {(x; y) ∈ A2/x2 + y2 = 1}
• R1 = {(3; 5), (6; 6), (5; 3)}
indica verdadero (V) o falso (F).
1. 2. 3. 4. 2
R es reexiva R es simétrica R es transitiva R es de equivalencia
( ( ( (
) ) ) )
• R2 = {(4; 5), (5; 3), (3; 5), (5; 4)} • R3 = {(5; 3), (4; 4), (5; 5)}
Dado el conjunto A = {1; 2; 3; 3; 4; 5; 7; 9}, indica verdadero (V) o falso (F). 1. R1 = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5)} es reexiva ( 2. R2 = {(5; 3), (2; 7), (3; 5), (7; 2), (2; 2)} es simétrica ( 3. Dado B = {1; 3; 7; 9} la relación R3 = {(7; 1), (3; 3), (1; 3), (7; 3)} es transitiva. (
3
7
Si la relación R = {(7; 7), (4; a), (3; 3), (b; 2), (6; 6)} es reexiva, halla a + b.
8
En el conjunto A = {1; {1; 2; 3} se dene la relación: R = {(1; 1), (2; 2), (1; 2), (2; 1), (3; 3), (3; 1), (1; 3)}
)
Establezca la falsedad (F) o la veracidad (V) de:
) )
Se tiene la relación simétrica
1. “R” es reexiva.
(
)
2. “R” es simétrica.
(
)
3. “R” es transitiva.
(
)
9
R = {(5; 7), (7; 2a + b), (1; 8), (3b – 1; 1)}
3. R3 = {(3; 7), (3; 2), (7; 2), (2; 5), (3; 5), (7; 5)} 10
2. R2 = {(1; 1), (3; 3), (4; 4)}
5
2. R2 = {(2; 3), (3; 3), (3; 5), (5; 7)}
Dado el conjunto A = {1; {1; 2; 3; 4}, ¿cuáles son relaciones reexivas? 1. R1 = {(1; 1), (2; 2), (4; 4)}
Si T = {x ∈ N/x es primo; x < 8}, ¿cuántas relaciones en T2 son transitivas? 1. R1 = {(2; 3), (3; 3)}
denida sobre un conjunto A. Calcula (a + b). 4
Dado el conjunto A = {3; 4; 5; 6}, 6}, ¿cuál de las relaciones no es simétrica?
Sea la relación: R = (a; b) → R* = (b; a)
3. R3 = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4)}
R = {(5; 9), (3; 7), (4; 6), (11; 2)}
Dado el conjunto donde se dene la relación R,
R* = {(7; a), (2; b), (c; 5), (6; d)}
es verdadero:
Halle a + b + c + d. n
1. n(R) = 3 2. R es transitiva
m
p
3. R es reexiva I V B I M E S T R E
2
61
21
O L U T Í P A C
¿Cuál es el diagrama sagital de estas relaciones?
FUNCIONES ¿Hay relaciones que no son funciones?
R1 = {(2; 5), (3; 6), (2; 7)} R2 = {(1; 2), (2; 5), (3; 5)}
Una función es una relación. En una función f, de A en B, a todo elemento x de A le corresponde un solo elemento y de B.
f 1
A
En una función no puede haber dos pares distintos con la misma primera componente.
f 2
1• 2• 3•
•2 •5 •6
M
B
2• 3• 4•
•5 •7 •6
N
Es función. A 2 le corresponde solo 5. A 3 también.
No es función, a 2 le corresponden 5 y 7.
3 2 1
3 2 1 1 2 3
1 2 3
Es función.
No es función. A x = 2 le corresponden 2 y 3.
DOMINIO Y Y RANGO RANGO Dado que la función es una relación, el dominio y el rango tienen la misma denición: el dominio es el conjunto de todas las primeras componentes y el rango es el conjunto de las segundas componentes. Problema 1
Determina el dominio y el rango de la función cuya gráca se muestra. Solución:
Dominio: Dom( f f ) = {1; 2; 3; 4} Rango: E R T S E M I B V I
3 2 1
f
1 2 3 4
Ran( f f ) = {1; 2; 3}
NOTACIÓN En la función f = {(4; 5), (6; 8), (7; 9)}, 5 es imagen de 4, lo cual se denota así: (4) = 5. Asimismo: f (6) (6) = 8 y f (7) (7) = 9 f (4) Problema 2
En A = {2; 3; 4} se dene la función f cuyos cuyos elementos del rango son: (2) = 4; f (3) (3) = 2 y f (4) (4) = 3. Halle f . f (2) Solución: = {(2; 4), (3; 2),(4; 3)} f =
62
2
2
Ten Presente
A 2• 3• 5•
f
B
•4 •8 •9
imagen de 2 imagen de 3 imagen de 5
FUNCIONES
CAPÍTULO 21
Problema 3
Problema 4
Sean
Dada la función: f = = {(2; 5), (3; f (3)), (3)), (4; f (4))} (4))}
A = {1; 2; 3; 4} y B = {2; 4; 5; 6; 7; 8} Si f es es una función de A en B cuya regla de corres pondencia es f (x) = 2x, determina el rango.
donde f (3) (3) = f (2) (2) + 1 y f (4) (4) = 2 f (3) (3) – 3, determina el rango de f .
f (1) (1) = 2(1)= 2 (2) = 2(2)= 4 f (2) Como f (x) = 2x (3) = 2(3)= 6 f (3)
f (2) (2) = 5
Ran( f f ) = {2; 4; 6; 8}
f ) = {5; 6; 9} Ran( f
Solución:
Solución:
(3) = (2)+ 1 f (3) (3) = 5 + 1 = 6 f (3) f (2)
5 f (4) (4) = 2 f (3) (3) – 3 f (4) (4) = 2(6) – 3 = 9
(4) = 2(4)= 8 f (4)
Actividad 21 21 1
¿Cuál(es) de estas relaciones relaciones son funciones?
6
= {(1; 3), (2; 5), (–1; 3)} f = g = {(–2; 1), (–5; 2), (–2; 4)}
Si F = {(a + b; b), (ab; a – b), (a; 1), (3b; a – 1)} es una función cuyo rango es un conjunto unitario, determina su dominio.
h = {(0; 3), (2; –1), (5; –1)} 7 2
3
Si F = {(3a – 1; 4), (8; 4), (3 b; 7), (6; 7)} es una fun ción formada por 2 pares ordenados, entonces a – b es:
Si el siguiente siguiente conjunto de pares ordenados representa una función
8
5
En una función F = {(2; F(2)), (4; F(4)), (6; F(6)), (8; F(8))} denida en A = {2; 4; 6; 8}, se tiene que: • F(2) = 4 • F(4) = F(2) + 2 • F(6) = F(4) – F(2) • F(8) = F(2) + 2 Calcula la suma de los elementos del rango.
II. f (–5) (–5) < 2
III. f (2) (2) > 0
IV. f (5) (5) = 9
Dada la función en R: determina la
falsedad (F) o la veracidad (V) de las proposiciones:
calcula a + b.
Sean los conjuntos A = {1; 2; 3; 3; 4}; B = {3; 4; 5; 66}} Si se dene la función: F = {(x; y) ∈ A×B/ y = 2x} Calcula la suma de los elementos de su rango.
I. f (2) (2) = 4
F(x) = (x – 1)2 + 2x + 3
= {(2; 4a – b), (3; b), (2; 3), (5; 6), (3; 1)} f =
4
Si: f (x – 1) = x + 3, entonces es verdadero:
1. F(–2) < F(2)
(
)
2. F(–3) = F(3)
(
)
3. F(–5) > F(2)
(
)
9
El dominio de la función: G = {(2; b + c), (b; c), (c; b)} es DG = {2; 4; 6}. La suma de los elementos de su rango es:
10
Calcula la
suma de los elementos del rango de la función h(x) = (x + 1)(x – 1) + 1 , si Dom(h) = {1; 2; 3}.
2
63
I V B I M E S T R E
22
O L U T Í P A C
FUNCIONES LINEALES
¿Se puede deducir la regla de correspondencia de f (x)?
¿Una recta vertical o una horizontal, pueden ser la gráca de una función?
x f ( x x) 1 2 2 5 3 8 4 11
TABULACIÓN f (x) = 2x + 1
Elaboremos la gráca de la función f (x) = 2x + 1, x R. Para ello damos valores a x y obtenemos su imagen f (x). Este proceso se llama tabulación. Con los pares obte nidos gracamos los puntos.
x
–1
0
1
2
f (x)
–1
1
3
5
2
Ten Presente
f(x)
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Como la función es en R, unimos los puntos y obtenemos una línea. Cuando la función está denida en R, su gráco es una línea.
Problema 1
Graca la función f ( x)
1 =
2
x 1 −
1 2 3 4
x
0
2
4
6
f (x)
–1
0
1
2
Graca la función: f (x) = 3, x –2; 4 Solución:
x
–2
–1
0
1
f (x)
3
3
3
3
f(x)
–1 0 1 2 3 4 5 6 –1
E R T S E M I B V I
–1
Problema 2
Solución:
2 1
–1
Una función f de de A en B ( f f : A B) es una función real de varia ble real, si y sólo si A y B son subconjuntos de R, lo cual implica tanto el dominio como el rango, son números reales.
f(x)
–3 –2 –1
1 2 3 4
EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN Aquí el gráco de una función f (x). Evaluar f en en un punto es determinar el valor de f en en ese punto. En el punto –3, la función vale –2: (–3) = –2. f (–3) En el punto 2, la función vale 2: f (2) (2) = 2 En 3, la función vale 1: f (3) (3) = 1. 64
2
Y 3 2 f(x) 1 –3 –2 –1 –1 1 2 3 –2 –3
X
FUNCIONES LINEALES
CAPÍTULO 22
Problema 3
Si en el punto x = 2, la función f (x) = (x – 1)2 + ax vale 9, ¿cuánto vale en el punto x = a – 1? Solución:
f (2) (2) = 9 (2 – 1)2 + 2a = 9 a = 4 f (x) = (x – 1)2 + 4x
(3) = (3 – 1) 2 + 4(3) = 16 a – 1 = 4 – 1 = 3 f (3)
Rpta.: 16
FUNCIÓN AFÍN Y FUNCIÓN LINEAL 2
Ten Presente
Estas dos funciones tienen por gráco una rec ta. La diferencia radica que la primera no pasa por el origen de coordenadas y la segunda sí. La primera es una función afín y la segunda, una función lineal. Sus reglas de correspondencia son polinomios de primer grado. Función Afín Función Lineal f (x) = mx + b; b 0 F(x) = mx Para gracar estas funciones es suciente eva luarlas en dos puntos, así se obtienen dos puntos de paso, por lo que se traza la recta y se ob tiene la gráca. Problema 4
Graca la función afín f (x)
2 =
Solución:
3
b
Función Afín
y =
8 2
f (3) = ( 3) − 1 ⇒ f ( 3) = 1 3
Problema 5 Si f (x) =5x – 8 y g(x) = x – 3
calcular f ( g g(5)). Solución:
Calculando por partes. g(5) = 5 – 3 g(5) = 2 Luego: f ( g g(5)) = f (2) (2) = 5(2) – 8 = 10 – 8 = 2
a x
Función Lineal
x 1
FUNCIÓN LINEAL Muchos autores consideran función lineal a toda función cuya gráca es una recta, pasen o no por el origen de coordenadas. A nuestro parecer, esta diferenciación no es vital. Es válida cualquiera de las posiciones, sólo se debe tener presente la posición del que la formula.
FUNCIÓN CONSTANTE
−
Es aquella que tiene la regla de correspondencia
f (x)
2
f (0) = ( 0) − 1 ⇒ f ( 0) = −1
b + x m y = intercepto
1 –1
f (x) = (k , k ) R
1 2 3 3 2 1
Problema 6
Dada la función: (0) = 3 ; f (1) (1) = 5 f (x) = ax + b y f (0) halla H = a + b.
Y f (x) = 3
X
Función constante f (x) = 3
Solución:
Cuando x = 0 en la función: (0) = a(0) + b f (0) 3 = 0 + b b = 3 Cuando x = 1 (1) = a(1) + b f (1) 5 = a + 3 a = 2
I V B I M E S T R E
Finalmente: H = a + b = 3 + 2 = 5 Rpta.: 5
2
65
CAPÍTULO 22
FUNCIONES LINEALES
Problema 7
Problema 8
Determina la función lineal afín que pasa por los puntos: (1; 5) y (3; 11)
Calcula el área de la región formada por la función F(x) = –2x + 4 y los ejes coordenados.
Solución:
Solución:
Sea la función f (x) = ax + b De los pares ordenados tenemos: (1; 5) f (x) a + b = 5 (2; 11) f (x) 3a + b = 11 11
La función pasa por los puntos (0; 4) y (2; 0).
4
El área del triángulo es: A = (4)(2)/2 A =4
0
De donde: a = 3 ; b = 2
F(x) = –2x + 4
2
La función es: f (x) = ax + b f (x) = 3x + 2
Rpta.: 4
Actividad 22 1
Indica cuáles de las siguientes son funciones li -
6
Si la función afín F(x) = ax + b pasa por el punto (0; 4) y F(2) = 10, calcula el valor de a.
7
Determina la función afín que pasa por los pun-
neales y cuáles, funciones afín.
2
a) y = 2x b) f (x) = x + 4
d) f (x) = 2x – 1 e) y = 4x
c) y = x 3
f) f (x) = x
tos (–2; 3) y (2; 6).
Tabula las siguientes funciones.
a) f (x) = 2x + 3; x Z, –1 < x 5 b) g(x) = 3x + 1; x N, x 4 5 3
9
Las grácas grácas de las funciones F(x) = 4x – 11 y G(x) = x – 2 se intersectan en el punto ( a; b). Calcula M = a + b.
b) g(x) = 2x + 1
10
Si el gráco de f(x) = mx + b es:
La tabla muestra la relación entre la cantidad de nuevos soles recibidos y la cantidad de quesos vendidos (c/u pesa 1 kg) N° de quesos Dinero en S/.
E R T S E M I B V I
Calcula el área de la región formada por la función F(x) = –3x + 9 y los ejes coordenados.
Representa grácamente las funciones:
a) f (x) = 3x 4
8
4 60
6 8 10 90 120
12
20
–1 –2
Escriba la regla de correspondencia y completa
la tabla. 5
El valor de m es:
Un gastero cobra 25 soles por una visita a domicilio y 10 nuevos soles por cada hora de tra bajo. Completa la tabla y escriba la regla de co rrespondencia. N° de horas Nuevos soles
66
1
0
2
2
3
4
5
3 2 1 0
–1
Y
X
1 2 3
GRÁFICA DE FUNCIONES ¿Cuál es la gráca de estas funciones?
f ( x x) =
23
O L U T Í P A C
¿Cómo es la gráca de f (x) = x – 1?
2 x + 2 3
3 g ( x x) = x 2
f
g
A
N
M
B
3 2 1 –3 –2 –1
Es función
No es función
3 2 1 1 2 –1 –2
Es función
–2 –1
1 2 –1 –2
No es función
Diagrama Sagital
Diagrama Cartesiano
En un diagrama sagital la función se reconoce porque de cada elemento del dominio sale sólo una echa.
En un diagrama cartesiano la fun ción se reconoce cuando al trazar una recta vertical corta a la gráca a lo más en un punto.
Problema 1
Problema 2
En el gráco calcula: M = f (2) (2) f (4) + f (1) (1) – f (3) (3) f (4)
En el gráco calcula: E = f (1) (1) f (2) + f (–1) (–1) – f (4) (4) f (2)
f
1• 2• 3• 4•
Toda función es una rela ción, pero no toda relación es función.
2 1
•2 •4 •6
–1 –1
1 2 3 4
Solución:
(–1) = 1; f (1) (1) = –1; f (2) (2) = 0; f (4) (4) = 2 f (–1)
Solución:
E = (–1)0 + 1 – 2 = –1
M = 46 + 2 – 4 = 22
Rpta.: –1
Rpta.: 22 Problema 3
f
En el gráco, halla Dom( f f ) Ran( f f )
1• 2• 3• 4•
Solución:
Dom( f f ) = {1; 2; 3}
Observación
I V B I M E S T R E
•4 •6 •8
Ran( f f ) = {4; 8}
Dom( f f ) Ran( f f ) = {1; 2; 3; 4; 8}
Rpta.: {1; 2; 3; 4; 8}
2
67
CAPÍTULO 23
GRÁFICA DE FUNCIONES
Problema 4
3 2 1
En el gráco determina Dom( f ). f ) Ram( f f ).
–2 –1 0
–1
1
2
3
4
Solución: 3 2 1 –2 –1
Dom( f f ): ): –2; 1 2; 4
–2 –1
Ran( f ): f ): –1; 1 2; 3 –11 2 3 4
2
3 4
Dom( f f ) Ran( f f ): ): –1; 1 2; 3
Problema 5
Problema 6
¿Cuál de los siguientes diagramas representa una función?
En la función:
R1
A
1• 2• 3•
R2 B
A
B
1• 2• 3•
•3 •4
F
A 3• 4• 5•
R3
A
•3 •4
1• 2• 3•
B
•3 •4 Calcula: L =
Solución: R1 sí es una función.
F(3) + F(4) 1 + 2 = L = 1 F(5) 3
L=
Problema 7
Problema 8
Dadas las funciones:
Calcula DF RF
Rpta.: 1
F
G
•5 •6
8
•a •13 •10
F
1 –2
Si F(2) + G(6) = F(4), calcula a.
Solución:
Solución:
DF = [–2; 6]
F(2) + G(6) = F(4) 6 + a = 5 a = –1
6
RF = [1; 8] –2
1
6 8
[1; 6] Rpta.: –1
68
•1 •2 •3
F(3) + F(4) F(5)
dos con 2 elementos. R3 sí es una función.
2• 3• 4•
B
Solución:
R2 no es una función porque 1 y 2 están relaciona -
E R T S E M I B V I
1
2
Rpta.: [1; 6]
Actividad 23 1
F
En la función:
A
6
1• 2• 3•
B
•a
3
6
•b
3 2
0
¿Cuál de los siguientes grácos representa una función? I II A A • B • • B • • • • • • • • • • • • •
5
7
De las funciones: f
g
2
5
3
3
1 2 3 4
8
De los grácos:
5 6
Y 3 2
f
y = f (x)
2
3• 4•
X
•5 •8
calcula
Dadas las funciones F y G: F
9
m
(3) + g(3) f (3) (4) + g(2) f (4)
Dada la gráca gráca de la función F: F
9
4
5
A 1• 2• 3•
8
Si G(F(5)) + G(4) = F(G(2)), calcula m. 5
De los grácos:
determina
Y
G
F
6
A
3 2
3• 6•
•2 •4
4 X
calcula el valor de J =
3 X
G
2
8
g
1 2
(0) – f (3) (3) + f (5) (5) + f (6) (6) Calcula: f (0)
1
2 4 5
(2) + f ( g g(4)) – g(2) halla H = f (2)
Y 4
4
7
A halla el valor de L = G(2) + G(7) – G(5)
El gráco de “ f ” es:
3
G
8
(1) + f (2) (2) f (1) calcula el valor de M = 2 f (3) (3) 2
De la función:
B
B
10
De la gura:
F(3) + F(1) F(2) Y 4
I V B I M E S T R E
f
1 –2
G(F(2)) + G(F(4)) 2F(4)
•2 B •4 •6
7 X
calcula Dom f ∩ Ran f
2
69
24
O L U T Í P A C
MODELACIÓN DE FUNCIONES ¿Se puede expresar en función del tiempo la trayectoria que recorre un balón de fútbol?
Jairo compra helados a 3 soles cada uno. Si tiene 20 soles, ¿cuánto le queda después de comprar x helados ?
José tiene ahorrados S / . 200 y a partir de este mes ha decidido ahorrar S / . 50 mensuales. En un mes tendrá S / . 50 más en su ahorro. En dos meses más tendrá 2 50 = 100 soles más en su ahorro. Así cada mes su ahorro aumentará en 50 soles. Busquemos una función que exprese su estado de cuenta para cualquier número x de mes. En x meses su ahorro aumentará en 50 x soles, entonces tendrá un total de 200 + 50 x. Si representamos en A(x) el monto de su ahorro, entonces: 125304
Ahorro
A(x) = 200 + 50 x (x = # de meses) Obsérvese que para x = 0, o sea, cuando no haya pasado ningún mes, tiene:
400
A(0) = 200 + 50(0) A(0) = 200
200
5 0 x + 2 0 0 = ) A ( x
Matemática en la vida
Cuando hayan pasado 10 meses, tendrá: 1 2 3 4 5 mes
A(10) = 200 + 50(10) A = 700 Problema 1
Problema 2
Juliana compra helados de S / . 3 para sus amigos. Exprese el gasto de Juliana en función del número de amigos, si para ella compra un helado de S / .5 .5 E R T S E M I B V I
Solución: Sea G(x) el gasto, donde x es el
número de amigos. En cada amigo gasta S / . 3, entonces en x amigos gasta 3x. Además gasta S / . 5 en su helado, entonces el gasto total es:
Un reservorio de agua de 500 L de capacidad contiene 100 litros de agua y tiene un grifo de entrada que vierte 10 litros por minuto. Expresa el contenido del reservorio en función del tiempo, en minutos, a partir del momento en que se abre el grifo de entrada. Solución: 10 L/min
100 L
En t minutos entra 10 t litros, entonces:
V(t) = 100 + 10 t pero 100 + 10 t 500 5 0 0 L
100 si t 0 Función: V(t)=
G(x) = 3x + 5, x N
t 40
100 + 10t si 0 < t 40
70
2
Cuando nos dicen que hay mandarina de S / . 3,00 el kilogramo, pero también las hay de S / . 2,00 y S / . 1,50 el kilogramo, inmediatamente pensamos que las más caras son mejores (precio función de calidad), y decidimos la compra en función de nuestra economía.
MODELACIÓN DE FUNCIONES
Y En el gráco el punto x se 4 A mueve desde 0 hasta 4 y de termina el triángulo OPB. Problema 3
Expresa el área del triángulo OPB en función de x. 0
CAPÍTULO 24
Problema 4
P B
4 X
x
Una empresa alquila camionetas a 230 soles hasta un máximo de 200 km y a 2 soles más por cada kilómetro adicional. Expresa el costo del alquiler en función del número de kilómetros y graque la función. Solución:
Solución:
4 y
4 Área: A(x) = y (1) 2 PQB isósceles:
A P 4–x Q
x
0
4–x
x
y = 4 – x B
4
(2)
(2) en (1): A(x) = 4(4 – x) 2 A(x) = 8 – 2x
Obsérvese que cuando x = 4, el área del triángulo es cero y cuando x = 0, el área es 8, igual al área del i OAB.
S/. 230
S/. 2/km
200 x Sea C(x) el costo del alquiler en función de la dis tancia x en kilómetros. 1. C(x) = 230 si 0 < x 200 2. Supongamos que se recorrieron x kilómetros, con x > 200, entonces hay un exceso de (x – 200) km. Como se paga S/. 2 por cada kilómetro adicional, entonces por los (x – 200) se paga 2( x – 200) adicionales. En total se paga: C(x) = 230 + 2( x – 200) si x > 200 0
C(x)
230 Rpta.: A(x) = 8 – 2x
C(x) =
200
230
si 0 < x 200
2x – 170 si x > 200
X
Problema 5
Problema 6
El costo variable de fabricar llantas para bicicletas es de 30 soles por unidad, y los costos jos por día son de 90 soles. Escriba la función lineal afín del costo total. ¿Cuánto cuesta fabricar 25 llantas por día?
El ingreso a un local comercial de venta de videos es 4 soles, y cada video cuesta 10 soles. Halla la expresión que representa el gasto que hace una persona al comprar "x" videos. ¿Cuánto gasta la persona si compra 10 videos?
Solución:
Solución:
Sea f (x) que representa el costo total, se tiene: f (x) = 30x + 90 Fabricar 25 llantas cuesta: f (25) (25) = 30(25) + 90 = 750 + 90 = 840
Sea f (x) que representa el costo total, se tiene: f (x) = 4 + 10x Comprar 10 videos, le cuesta: f (10) (10) = 4 + 10(10) = 104
Rpta.: S/. 840
Problema 7
Un rectángulo tiene 40 m de perímetro. Exprese su área como función de uno de sus lados. Solución:
x y
y x
Rpta.: S/. 104
I V B I M E S T R E
Dato: 2x + 2 y = 40 x + y = 20 Despejando y: y = 20 – x Se sabe: Área = xy A = x(20 – x) A = 20x – x2 A(x) = 20x – x2 Rpta.: 20x – x2
2
71
Actividad 24 24 01
02
03
04
El costo jo de producción de galletas nas es de 5000 soles al mes y el costo variable para producir cada kilo es de 180 soles. ¿Cuál será la fun ción del costo total? Una empresa inicia sus actividades anuales de venta de cierto producto. Se observa que las ventas a medida que transcurren los años, están dadas por la relación V(x) = 3x + 10, donde x representa a la cantidad de años transcurridos desde el inicio de las ventas, y V( x) el monto de la venta en miles de Euros. ¿Cuánto vende la empresa el primer año de ventas? Una empresa de agua potable cobra mensual mensual3 mente 20 de costo jo y 5 por m de agua consumida. ¿Cuál será el costo de d e consumir 300 m3 de agua?
y: la ganancia del casino, en miles de dólares.
¿A cuánto asciende la ganancia máxima? 07
Cuando el precio de un producto es S / . 300 se venden 50 unidades y si es de S / . 372 se venden 41. ¿Qué cantidad se demandaría si el producto fuera gratuito?
08
Una fabrica de helados tiene un costo total de S / . 4600 por 50 helados y un costo de S / . 6400 por 70 helados. Determina: a) El costo de producción de cada helado. b) El costo jo.
09
Un video club ofrece dos opciones para alquilar videos: a) Opción A: $20 de abono abono anual más $2,5 por video alquilado.
Los visitadores visitadores médicos cobran cobran por cada cada día S / . 45, más S / . 15 de comisión por visitar cada consultorio. Halla la función relacionada al número de consultorios y el monto que cobra al mes.
b) Opción B: $30 de abono anual más $2 por video alquilado. Halla, para cada opción, la expresión del ahorro anual en función del número x de videos alqui -
lados. 05
06
Suponga que los clientes demandan 40 unidades de un producto cuando el precio es $12 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $ 18 cada uno. Halla la ecuación de la demanda, suponiendo que es una función afín. Las ganancias en dólares de cierto casino, está representada por la ecuación y = 400x – x2, donde: x: representa el número de juegos en un día.
E R T S E M I B V I
72
2
10
El importe de una correspondencia enviada por correo varía de acuerdo a su peso. Por cada 10 gramos se cobra $20, con un valor jo de parti da, de $50. Establezca la función que relaciona el importe y el peso.