Álgebra Teoría de ecuaciones 5.
NIVEL BÁSICO
Si a es una solución entera positiva de la ecuación x 3
x2
−α
x − 12 = x
+α
determine la suma de cifras de a 5. 1.
Si a, b y n son números enteros positivos y la solución positiva de la ecuación
A) 5 D) 8
1
bx
n −
1
−
a
=
+ 1 n, halle b
0 es 2
b a
.
6.
B) 6
Dada la ecuación paramétrica (2 n − x ) n =
2 2
A) D)
B)
1 2
1
2
p
2
+
q ( p − q ) =
≠ q
2
;
pq ≠
3.
7.
0
B) p + q
Dado el polinomio
A) D)
4.
n
2
B)
2
( n + 1)
C) E)
2
D)
bn + c a+ b an + c a+ b
B)
an + c a− b
C) E)
8.
−
ax
2
+
bx
+
8
B) – 4
C) 3 E) 6
Dada la ecuación polinomial 5 (2 x
2
(2 n + 1) 2
A) 3 D) 1 9.
A)
bn − c a+ b
UNMSM 2013 - II
=
0
B) – 1
C) – 3 E) – 2
Se compran dos piezas de tela, una a x soles el metro y otra, que tiene x metros más, a y soles el metro; si por cada pieza se pagó lo mismo, ¿cuántos metros se compraron en total?
bn + c a−c
)2 ( x + 2) ( x − 1) 3
−1
de modo que m: representa la suma de raíces n: representa la suma de soluciones calcule el valor de 3 mn.
3 n
En un examen, un alumno gana a puntos por cada respuesta correcta y pierde b puntos por cada respuesta equivocada. Después de haber contestado n preguntas, obtiene c puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?
A)
3
2
donde n es entero positivo, halle el valor de . n
x
A) 2 D) – 2
En la siguiente ecuación
( n − 1)
=
si a es una raíz doble, determine el valor de b.
C) − p E) 3
( x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3) + ... + ( x + n) =
C) 3 E) 0
( p − q ) ( 3 p + 4q ) + q 2 x P( x )
A) 2 D) − q
B) –1
NIVEL INTERMEDIO
Despeje x de la siguiente ecuación. p x
( n 2 − 2) + 2
A) 1 D) 2
UNMSM 2013 - II 2.
x
determine el valor del parámetro n para que la ecuación tenga infinitas soluciones.
C) 2 E) 2 2
4
C) 7 E) 9
D)
x ( x
+
y)
( y − x ) x ( x
+
y)
( x − y )
B)
x
+
y
x
−
y
C) E)
y ( x
+
y)
( x − y ) x ( xy
+
1)
xy
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Álgebra 10.
Si en la ecuación paramétrica
14.
( n2 + n − 4) x = n ( x − n + 2)
Sea
(I) k
se considera a n como parámetro, determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones y elija la secuencia correcta. I. Si (I) tiene infinitas soluciones, entonces n > 0.
0, 8 1 − (a + 6)
=
1 − ( a + 6 )
−
x
−
11.
3
+ x + n =
=
0.
Halle la expresión equivalente
0,8
+
a16 / 9
C) VVF
B) 1 + a4 / 3 + a8 / 3
E) FFF
0, 6
C) 1 + a
+
a22 / 3
D) 1 + a8 / 81 + a16 / 81
Si a es una solución de la ecuación x
6
A) 1 + a D) VVV
3
de k.
III. Si (I) es inconsistente, entonces n es entero. B) FFV
1
donde a es una raíz de la ecuación x 3
II. Si n < 0, entonces (I) tiene solución única.
A) VFV
0 ,8
E) 1 − a 0,8 + a16 / 9
0
UNMSM 2002
y (α − 1) es solución de la ecuación x
2
− n +1=
0
determine el valor de a si se sabe que es entera. A) 2
B) – 2
D) 3 12.
15.
falsedad (F) con respecto a una ecuación. I. Toda ecuación tiene conjunto solución.
C) – 3
II. Si una ecuación es compatible determina-
E) – 1
da es posible que posea más de una solución.
De un segmento de recta, se toma su mitad, de este último se toma su tercera parte, luego, de este último, se toma su cuarta parte, y finalmente de este último se toma su sexta parte. Al final queda 25 cm. ¿Cuál es la longitud del segmento en metros?
III. La ecuación ( x A) VVV
B) 3, 6 m
D) 7, 2 m
C) 7
m
E) 6, 8 m
2)
1
−
=
0 es
B) VFV
todos los pares de números enteros positivos a y b, tales
x
n
n
+ ax − +
bx
−
que las ecuaciones
2013 = 0 2014
=
0
tengan al menos una raíz real en común. Dé
Si se sabe que el polinomio P( x )
=
( x − 2) a + b ( x + 1) b+ c ( x 2 −
x
−
)
b
c+ a
tiene 12 raíces, determine la suma de raíces.
A) 4027 B) 4026 C) 4023
A) 8 D) 12
B) 6
C) FFF E) FFV
como respuesta el valor de 13.
incompatible.
Dado un número natural n mayor que 10, halle
x
NIVEL AVANZADO
−
D) VVF 16.
A) 3, 2 m
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o
C) – 4
D) 4028
E) 14
E) 4025
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a + b.
Álgebra Ecuación cuadrática 6.
NIVEL BÁSICO
Si las ecuaciones en x
x 1.
2
3 x
2
−
x
+
x − 10 = 0
A) 0 D) 2.
6
=
B)
1
b=0
2
b − 2a
;
b ≠
2a
C)
6
E)
19
NIVEL INTERMEDIO
6 7.
C) – 1 E) 5
A) 5 D) – 7
C) 3 E) 5
En la ecuación − 2 ( n − 3 ) x + 4 n = 0. Determine los valores que puede tomar n para que la ecuación posea raíces iguales. Dé como respuesta la suma de estos valores. C) 10 E) 2 UNMSM 2004 - I
Dada la ecuación cuadrática x 2 + x + 2 = 0 de raíces m y n, determine una ecuación cu yas raíces sean m3 y n3 .
B) – 6
C) 7 E) 6 UNMSM 2013 - I
2
B) 9
Si una raíz de la ecuación ( n + 1) ( x 2 + 2 x ) = ( n + 3 ) (3 x + 5) es la inversa aditiva de la otra, halle el valor de n.
Si la ecuación kx 2 + x 2 − 4 x + 3 k − 7 = 0 tiene raíces recíprocas, k es B) 2
C) 6 E) 3
2
2
B) 1
B) 4
UNMSM 2014 - I
UNMSM 2004 - I
5.
+
−7
Si la ecuación ( x − 2) + 2 x = n tiene raíces múltiples, determine el valor de n.
A) 1 D) 0
2x
5 ( a − b)
8.
4.
+
0
A) 5 D) 1
3
A) 4 D) – 3
+ x + a =
0
11
A) 3 D) – 3 3.
−
2
tienen una raíz en común, calcule
Determine la suma de la menor raíz con la ma yor raíz de las siguientes ecuaciones, respectivamente. 2 x
2
Para que una de las raíces de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 sea la mitad de la otra, ¿cuál debe ser la relación entre los coeficientes? A) 2 b2
=
9 ac
B) 4 b2
=
9c
C) 2 b2
=
9a
D) b2 = 8ac E) 9 b2 = 2ac 9.
Si las raíces de la ecuación ax
2
+
(a ≠ 0)
bx + c = 0
son r y s , halle la ecuación cuyas raíces sean ar + b y as + b. A) x 2 − ax + bc = 0 B) x 2 + bx + ac = 0
A) x 2 − 5 x + 8 = 0 B) x 2 − 7 x + 8 = 0 C) x 2 + 7 x + 8 = 0 D) x 2 + 5 x + 8 = 0 E) x 2 − 8 x + 8 = 0
C) x 2 + bx − ac = 0 D) x 2
−
bx
−
ac
=
0
E) x 2 − bx + ac = 0 UNMSM 2004 - II
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Álgebra 10.
Si se sabe que las raíces de la ecuación 2 x + bx + 30 = 0 son positivas y la diferencia entre ellas es 7, ¿cuál es el valor que toma b? A) – 31 D) – 11
11.
B) – 13
14.
C) – 17 E) 11
A)
La ecuación cuadrática 2
( a − b) = 0 ; P( 1) = 24 − tiene por raíces a y (α − 1). Determine una
P( x )
=
ax
bx
+
+
ecuación cuadrática cuyas raíces sean a y
D)
12.
A) B)
2
C)
2
D)
2
E)
2
8 x
−
+
8 x
+
20
−
8 x
+
+
8 x
−
−
20 x
−
20
=
0
=
0
20
=
0
20
=
0
8
=
0
+
2
+
b+ a m
x
+
3
B)
2 −1 +
3
+1
2
5
5
C)
+1
2
E)
2
5
+1
5
−1
Si las ecuaciones cuadráticas E1 :
( a − 2) x 2
E 2 : ax
2
+
+
( a − 4 ) x + ( a − 1) =
3 ( a + 1) x
+
( a − 3) =
0
0
son equivalentes, calcule el valor de a. A) a
m− a b − m
=
5
= −
3
B) a =
En una recta, se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S. Si PQ = a; PR = m; PS = b y QR = RS , halle una raíz de la ecuación x
−1 +
b. 15.
2
Un segmento de recta de longitud de 1 m se divide en dos partes, de tal manera que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. Halle el valor del mayor de los segmentos en metros.
0
2
C) a = −5
∨
a=
D) a = −5
∨
a=
2 3 3 2
E) a = 3 A) 1 D) – 2
B) – 1
C) 2 E) 3 UNMSM 2012 - I
NIVEL AVANZADO 13.
Cierto día unos amigos se van al cine a ver una película de estreno. Cada entrada cuesta S/. p, pero al momento de pagar se dan cuenta que n de ellos no tienen más que S/.5, por lo que el resto decide prestarles la diferencia de manera equitativa. Si al final todos vieron la película, ¿cuántos amigos fueron al cine? A) D)
2 np p + 5
2 np p − 5
B)
2 n p − 5
C)
np
16.
La base mayor de un trapecio isósceles mide igual que una diagonal y la base menor mide el doble de la altura. Halle la razón entre las longitudes de la base menor y la mayor, en el orden indicado.
A) B) C) D)
p − 5
E) E) 2 n
2+
7
6 7−4 2 2 7−2 7 2 2+
6
6 −1 +
7
2
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UNMSM 2012 - I
Álgebra Ecuación de grado superior 6.
NIVEL BÁSICO 1.
Dada la ecuación cúbica x 3 + px + q = 0 , halle la relación entre p y q para que tenga dos raíces iguales.
Si las cuatro raíces de la ecuación 2 4 2 x − 30 x + ( m + 1) = 0 están en progresión aritmética, halle la suma de los valores de m. A) – 2 D) 2
B) – 10
C) 8 E) 18 UNMSM 2012 - I
A) 4 p
3
+
27q
=
27q
B) 4 p3 C) 4 p
2
2
=
27q
2
NIVEL INTERMEDIO
3
D) 4 p2 + 27q 3 E) p3 2.
+
q
2
=
0
=
0
=
7.
108
Dado el polinomio cúbico y completo P( x )
=
x
n + 3
−
x
2− n
−
2x
+
2x
n
A) 4
determine una de sus raíces. A) – 1 D) 2 3.
Si
A = B
En la ecuación x 3 − mx 2 + 5 x + m = 6, halle el menor valor de m para que tenga solo 2 raíces iguales.
=
B) 2
{x
∈Z
{x ∈Z
x
5
−
5x
D) −1 − 2 C) – 2 E) 2 2
3
=
B) −1 + 2
8.
β
( x − 3) ∈ A}
halle ( A ∪ B) − ( A ∩ B )
A) −
A) {−3; 6} D)
B) {−3; 0; 3; 6}
E) 6
6
Dada la ecuación mx 3 − x + 4 = 0, de raíces α; β y θ, halle el valor de m si se sabe que α 2β + 1
} y
36 x
C) – 4
6
+
β 2θ + 1
+
θ
3
θ 2α + 1 α 8
B)
2
=1
C)
3
3
E)
8
8 5 5 4
C) {−3; 0; 3} 9.
D) {−3; 3}
P( x )
E) {0; 3; 6}
4.
A) −
2
B) 0
D) – 9
C)
D)
2
UNMSM 2004 - I
10.
Dada la ecuación 5 x 3 − 7 x 2 − 3 x + 2 = 0, si se sabe que tiene una única raíz racional positiva, determine la suma de las otras raíces. A) 1 D) – 5
B) – 1
C) 5 E)
1 5
−
3x
2
+
nx + n + 1;
n ∈Z
B)
3 2
−1
C)
1 2
E) 5
2
Dada la ecuación bicuadrada 2 x
5.
3
A) 2
17
E) 8
2x
=
determine cuál de las siguientes alternativas puede ser una de sus raíces.
UNMSM 2004 - I
Halle la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación 4 x 4 − 17 x 2 + 4 = 0. 1
Dado el polinomio
4
−
(2 n − 3) x 2
−
2 ( 2n + 1) = 0
determine los valores de n para que no tenga raíces reales. A) n > 0 D) n <
B) n < 0
1
C) n > E) n <
2
1 2 −1
2
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Álgebra 11.
En la figura, ABCD es un paralelogramo. Si los
14.
Dada la ecuación x 3 − 3 x 2 + x − 1 = 0
valores numéricos de las áreas (en cm 2) de los
determine otra ecuación cúbica, cuyas raíces
triángulos ABQ, DQR
sean el cuadrado de las anteriores.
polinomio
P( x )
=
x
3
y
−
CDR son las raíces del
28 x
2
+
261x
810,
−
halle
el área del paralelogramo ABCD.
A) x 3 − 3 x 2 + x − 1 = 0 B) x 3 − 7 x 2 + x − 5 = 0
B
C
C) x 3 − 5 x 2 + 7 x − 3 = 0 D) x 3 − 7 x 2 + 5 x − 1 = 0
R
E) x 3 A
D
Q
15.
A) 52 cm2 D) 56 cm
B) 48 cm2
2
7x
S
2
A)
3
B)
3
C)
3
D)
3
E)
3
3.
=
C) 2
−
7 x
−
x 2 − 11x + 3 =
−
7 x
2
−
7 x
2
−
x
2
x+3=
+ 11
0
x−3=
0
+ 13
x−3=0
+
13 x
−
3
=
D)
0
+ 11
16.
0
x
3
de
−
px
1
a
2
2
+
1
+
b
2
a
2
−
a +1
c
2
3 3
donde
≠
0, halle el valor
A) D)
2
+
2 pr
2 r q
2
+
2 r
2p
b
2
−
b+1
+
c −1 c
2
−
c +1
2 3
+ mx
2
− n =
− mx + n −
B) – 1
.
B)
b − 1
3
A) 1
C) q
+
determine el valor de
4
las raíces de la ecuación
1
0
2
0 =
0
son equivalentes, dé como respuesta el valor
qx − r = 0 , +
b y c,
a −1
de m/n. b y c son
=
Si las ecuaciones x
NIVEL AVANZADO Si a,
1
E) 1
x
13.
−
B) 2
tes enteros que tenga por dos de sus raíces 3 y
5x
A) 0
Determine una ecuación cúbica de coeficien2−
−
Dada la ecuación cúbica 2 x 3 − 3 x + 5 = 0,
UNMSM 2014 - I 12.
2
de raíces a,
C) 36 cm2 E) 72 cm
−
q
2
− 2 pr
2 r
C) E)
q
2
−
2p D)
2 r q
2
+
2 r
2 r
E)
3 4 4 3
3 3
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Álgebra Desigualdades e Intervalos 6.
NIVEL BÁSICO
Dado los intervalos −2 ≤ x <
3 ;
−4 ≤ y <
4
determine la longitud de k = x + y + xy. 1.
Halle el número real que no puede ser escri x + 1 to en la forma r = para algún x ∈ R.
A) 30 D) 33
x
A) 2 D) – 1
B) 0
C) 1 E) 3
B) 31
C) 32 E) 34
NIVEL INTERMEDIO
UNMSM 2004 - II 2.
7.
Dados los conjuntos A = { x
∈R
a < ax
b;
<
ab <
0}
{ x ∈ R 2 − x ∈ A} C = { x ∈ R 2 x ∈ B}
B
=
halle ( A − B ) ∩ ( B − C ).
5 A) − ; 3 2 D) 3.
−2;
B) 5; + ∞
5 10
C) − ;
2 3
5 10 E) − ; 2 3
10 3
B) 24
4.
B
=
∈R
2x
{2 x ∈ Z
−
3x
3
−
<
>
1 + x para algún x > 0
B) x
+
x
=
1 + 2 x para
C) x
+
x
=
1 − x para algún x > 0
D) x
+
x
<
1 + x para todo x > 0
E) x
+
x
=
x
+
4
algún x > 0
x para todo x > 0
Dado los intervalos −2 x ≤ 1 < 3 x ∧ 3 y < 1≤ − 2y , determine el intervalo al cual pertenece x+y xy
5 A) − ; 3 2 D) 9.
5 10
C) − ;
B) 5; + ∞
2
5 10 E) − ; 2 3
10
−2;
3
3
Dado los conjuntos
{ x ∈ R x + 2 ≤ 3 x − 2} B = {2 − x > −1 3 x − 3 ≤ 5 x}
x + 2}
2 ∈ A}
B) 4
x
A =
determine el cardinal de B ∩ R + . A) 3 D) 6
+
k =
Dados los conjuntos A = { x
5.
8.
C) 23 E) 26 UNMSM 2005 - I
A) x
UNMSM 2005 - I
Un ómnibus parte de Ica a Lima con cierto número de pasajeros y se detiene en Pisco. Si ba jase la tercera parte, en el ómnibus quedarían más de 15 personas, en cambio, si bajase la mitad, en el ómnibus quedarían menos de 13. ¿Cuántas personas partieron de Ica? A) 25 D) 30
Marque la afirmación verdadera.
A)
C) 5 E) 7
Si Carla es mayor que Félix, Lilia y Eduardo tienen la misma edad, Lilia es menor que Félix, Lucía y Eduardo han nacido en el mismo mes y año; es siempre cierto: A) Lilia es menor que Lucía. B) Félix es menor que Eduardo. C) Lucía es menor que Carla. D) Carla y Eduardo nacieron el mismo año. E) Lucía y Carla tienen la misma edad. UNMSM 2014 - I
halle A ∆ B.
10.
−2;
1
B) 5;
+ ∞
C)
−∞
;
D)
−
E)
−
−
1
∪
2; 5
2; 1
∪
5;
+∞
1; 2
∪
5;
+∞
Dado los intervalos A 1; 7] y B =
−
=
n;
2n
−
3
halle los valores de n para que B ⊂ A. A) 3;
B) [ 3; 5]
+ ∞
C) 3; 5] E) 3; 5
D) 3; 5
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Álgebra 11.
Con respecto a las raíces del polinomio P( x )
=
x
4
−
2x
3
+
3x
2
−
4x
+
5,
14.
marque la alter-
nativa correcta. A) No tiene raíces negativas. B) Solo tiene dos raíces negativas. C) Tiene cuatro raíces negativas. D) Solo tiene tres raíces negativas. E) Solo tiene una raíz negativa.
•
•
UNMSM 2007 - I 12.
Cinco amigos, Juan, Pedro, Roberto, Luis y Carlos, tienen cierta cantidad de dinero. Indique quién de ellos tiene menos dinero, a partir de la siguiente información: • Carlos dice: Yo tengo más dinero que uno de ellos. Roberto dice: Eso es cierto, pero no más que yo. Pedro opina: Si Carlos me quitara lo que tie ne Luis, yo tendría más que él. • Juan dice:Yo tengo más dinero que Carlos, pero no más que Roberto.
Si a, b y c son números tales que a < bc < c 2 < ac, indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si c > 0, entonces, 0 < b < c. II. Si a < 0, entonces, a < c < b < 0. III. Si a > c, entonces, b > 0. A) VFV B) FFF C) VFF D) VVV E) FFV
A) Pedro B) Luis C) Carlos D) Juan E) Roberto 15.
Dado el polinomio P( x )
=
A) − Si se define la siguiente familia de intervalos
B) −
+ n + 1 determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones y elija la secuencia correcta.
I n =
I i
i =1
5
II.
1
−
5
I.
I i i =1
3
( a − b) x 2
−
+
(1 − ab) x + ( a − 3)
halle los valores de a + b (a, b ∈ R) para que tenga a a como única raíz real.
NIVEL AVANZADO 13.
x
; n ; n ∈ Z
D) −
16.
a+ b< 3
<
a+ b<
1 2
2 3
<
7 2
3 2
a+ b<
7 2
Determine la cantidad de pares ( x; y ) ∈ Z 2 , tales que cumplan
I n+1
2 x − y ≤ 20 3 x + y ≤ 60 x ≥ 0
C) VVVV E) VFFF
A) 693 D) 697
III. ∃ x ∈ I n ; n > 1 / ∀ y ∈ I1 : x + y > 10
B) VVFF
<
E) 1 < a + b < 5
1 = − ; 1 6
A) VFVF D) VVVF
2
C) a + b >
1 = − ; 5 2
IV. ∀ n > 1 se cumple I n ∪ I1 ⊂
3
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B) 695
C) 694 E) 698
Álgebra Teoremas de desigualdades 6.
NIVEL BÁSICO
1.
2 x + 5
Si
−3
pertenece al intervalo 5; 8 , enton-
ces el intervalo al cual pertenece
27 9 B) ; 25 8
27 9 ; 5 7
A)
7
D) − ; − 8
x + 1 x + 2
es
27 9 ; 25 8
C)
27 9 E) ; 23 8
23
25
9 B) −4; 4
9
4
D) − ; 4 4 Si a y 1 2
≤
b
3
ab a+ b
7.
E)
A) 3 D) 4
θ
X
a
b
Determine la variación del sen q. A) 1 − a 2 ; 1 B) 1 − a2 ; 1 − b2
B) 0
C) a; 1 − b2
C) 3 E) 7
D) [ 0; 1]
+
E) 0; 1 − b2 8.
3 − x ; x ∈ [−3; 3 ]
B) 1
C) 30 E) 25
2
1 1 T = ( x + y) + x y si se sabe que { x; y} ⊂ R
C) 0 E) 2
Halle el menor valor de m si se sabe que xy + 3 x ≤ m 1 ≤ x ≤ 5 −1 ≤ y ≤ 3 B) 18
Halle el mínimo valor de la expresión 2
UNMSM 2013 - I
A) 5 D) 21
6
2
1
, determine el valor de a2 − b2 .
3+ x
3
Sea q un número real, tal como se muestra en el gráfico.
9 C) − ; 4 4
Halle el máximo número entero, menor o igual que la expresión =
−
Y
UNMSM 2005 - II
E
C) − 6
NIVEL INTERMEDIO
son dos números reales positivos y
A) 1 D) 5
5.
D) −2
B) −2 2
9 E) −4; 4
9
4.
2
Determine el intervalo al cual pertenece la expresión k = x − x 2 + 2, donde x ∈ −2; 2]. A) −4;
3.
A) −3
UNMSM 2008 - II
UNMSM 2001 2.
Si a y b son dos números reales, tales que a2+ b2=3, ¿cuál es el menor valor que puede tomar a + b?
A) 2 D) 16 9.
B) 4
+
.
C) 9 E) 18
Sean x; y números reales, tales que 2 x – 3 y – 7. Determine el menor valor entero que toma la expresión k = x 2 + y 2 . A) 3 D) 6
B) 4
C) 5 E) 7
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Álgebra 10.
Determine la cantidad de valores enteros que
14.
−1
tiene la expresión k = 14 ( x 2 − x + 2) .
Dada la expresión k =
Considere a x como cualquier número real.
x
2
+ x −1
x
2
− x +1
∀ x ∈ R
determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) A) 6
B) 7
D) 9
C) 8
de las siguientes proposiciones y elija la se-
E) 11
cuencia correcta. I. El mínimo valor de k es –1.
11.
II. El máximo valor entero de k es 1.
Dada la expresión f
=
x
+
n
x
−
n
si x ∈
n
8
III. k tiene por longitud . 3
; 2 n], halle la variación de f .
A) VVV
; 3] 15.
Se tiene la expresión T =
2x
−1
2
+1
x
. 1
D) 0; 3] E) −3; 0
Determine los valores de T , tal que x > .
Se tienen 3 números reales (α; β; θ ), tales que
A) 0; 1]
2
2
2
2
α + 2β + 3θ = 12 . = α + 2β + 3θ
A) −6 ≤ r ≤ 6
16.
E)
−2
2
determine la variación de k =
A) R − B) R −
Dada la ecuación x 3
− mx
2
+ nx −
cuyas raíces positivas son
D) 49
=
18,
5 −1
2
Dado los intervalos
3 < z ≤ 5
NIVEL AVANZADO
A) 43
E)
6 ≤ r ≤ 2 6
a + 2 b + 3c
2
−2 ≤ y < 0
2 ≤ r ≤ 6 2
D) 0 < r ≤ 6
5 − 1
C) 0;
−3 < x ≤ 4
B) − 6 ≤ r ≤ 6 C) −6
1 − 5 ;1 B) 2
5 −1 ;1 D) 2
Determine la variación de la expresión
13.
E) VFF
−∞
C) 3; + ∞
12.
C) FFF
D) VVF
A) R − {3} B)
B) VFV
36
a; b y c ,
=
0,
además,
calcule el valor de m + n. B) 45
C) 47 E) 53
{
1 2 3 ; ; 5 5 5 3 5
; 2
1 2 C) R − ; 5 5 3 D) R − ; 5 E) R −
1 2 ; 5 5
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2
}
x+y zx − zy
.
; 2
Semestral San Marcos TEORÍA DE ECUACIONES
ECUACIÓN CUADRÁTICA
ECUACIÓN DE GRADO SUPERIOR
DESIGUALDADES E INTERVALOS
TEOREMAS DE DESIGUALDADES
