1 Preguntas propuestas
Semestral UNI • Aptitud Académica • Cultura General • Matemática • Ciencias Naturales
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2 3 4
Álgebra Números complejos I
A)
3
2
B)
5
3
3
2
5
C)
3
3
2
5
1
5
2
3
NIVEL BÁSICO 3
D) 1.
Se cumple w=1+2 i+3 i2+4 i3+...+4 ni4 n – 1; n ≥ 34. Determine
Re( w) 2 Im( w)
A) 2 B) 1 C) 1/2 D) 1/4 E) 4 2.
=
i
6.
1− i
+
+
1 − i
1−
1+
3 − 5 i
D)
−
| z − a|2
a
B)
b
;
a, b ∈
b
C)
a
a+ b a
a+ b
E) 1
b
NIVEL INTERMEDIO
7.
Sea α =
1
+
2
i 2
Si además se cumple que a27+a n –1=0, calcule un valor de n.
a + 1 + bi a + (1 + i ) b
A) 1 B) 2/9 C) – 6/49 D) 5/3 E) 0 Determine el módulo de z. 3 + 4i ·(1 − i )4 ·(cos 15 + i sen 15) 3
2
1 − i
Halle (a – b) si
=
C) 14 E) 11
Si z ∈C de parte real no nula, calcule el valor de
A)
1 + i
I. z es un complejo real II. z es un complejo imaginario puro III. | z|=2 IV. | z|=1
z
B) 12
| z + b|2 − | z − b|2
A) 30 D) 58
es equivalente a un imaginario puro de módulo 2 (a; b ∈ R),
4.
Sea z ∈C, tal que | z|+3 i= z – 2. Determine |4 z+5|.
z + a
5 + 3 i
A) VFVF B) FVVF C) VFFV D) FVFV E) VFFF 3.
5
A) 13 D) 10
Determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F), luego de reducir z
5.
E)
3
2 i + 23 · (1 − 3i )
B) 45
C) 37 E) 100
2 ∧ | z |= 1, = z 1
8.
Si A = z ∈ C / Im z −
entonces A es un conjunto A) infinito. B) de tres elementos. C) de dos elementos. D) nulo. E) unitario.
2
Álgebra 9.
10.
Determine el argumento principal de )·( bc+ ba; ac– b2)·( )·(ac+ bc; ab– c2) z=(ab+ac; bc–a2)·(
C)
A) 0 D) p /3
D)
B) p
Si z=2[cos70+ isen70]; | w|=3; | z+ w|2=21. determine Re( wz). A) 8 D) 2
11.
C) p /2 E) p /4
B) 3
4
[
6
6
−
z · w,
2
3
−
2
2
Si i
1 y se tiene la igualdad
=
−
n
1 + i (1− ) = (1 − i )(1+ i )n 2 i
2
calcule el valor de A) 3 D) 2 12.
z + w
2 | z | + | w |
B) 4
+ u
1
1 + w
+
1+
w2
+
A) 1006 D)
... +
B)
A) 1 D) 5 16.
1 1+
w2013
2013
100
A)
i
E) 2013
4
A) – 2 D) 1/2
D) 17.
B) 1
C) – 1 E) 2
Al unir los afijos de los complejos z1=(– a, 0); z2=(0, – a)/ a > 0; z3=( x, y) pertenece al primer cuadrante, se genera un triángulo equilátero de lado 3. Determine y.
+
B)
6
2
+
100
3
5
B)
4
4
−1
100
C)
E)
3
Sea z= x+ yi / / z39=1; z≠1. Determine Determi ne Re( z+ z2+ z3+... z z37). x
−1 +
x
B)
2
2
D) x2+ y2
−1
E)
2
+
y
+
y
2
x
1+
x
3
y
x
1−
2
2
+
2
x
−1 −
x
C)
2
2
+
3
+1
4 100
−1
3
x
A)
C) 3 E) 7
4
A) 14.
3
100
Si a, b ∈C /|a – b|=|a|=| b|>0, halle el valor
a b de + b a
B) 2
Si se cumple la identidad (1+ x+ x2)1000≡ a0+a1 x+a2 x2+...+a2000 x2000 determine a0+a4+a8+...+a2000.
C) 1006 i
2
2013 2
calcule el valor de n.
C) 1 E) 5
Si w2013=1; w≠1, evalúe 1
13.
− u +
]
NIVEL AVANZADO
C) 6 E) 4
z + w
2
−
2
E)
15.
u = Si z, w∈C / u
3
y
2
2
3+3 4
Álgebra 18.
Sean z1; z2; z3 números complejos, tal que z1+ z2+ z3=0 ∧ | z1|=| z2|=| z3|=1
2 1 +
determine z A) – 1
2 2 +
z
z
D) 1 19.
z +
1
= a;
z ≠
z + z z
=
1; z
=
C) 2
A) máx| z|=1; mín| z|=1/2
E) 4
| a| + a | a| − a B) máx| z|= ; mín| z|= 2 2
C) máx| z|=
1
con z=cos x+ isen x; x∈[0; 2p〉. A) 6 D) 4
B) 8
0.
Determine el máximo y mínimo valor de | z|.
Determine el número de soluciones en z
Sea a un número real positivo, tal que z
2 3.
B) 0
20.
D) máx| z|= C) 10 E) 2
E) máx| z|=
a + a2 + 9 2
−
; mín| z|=
a + a2 + 4 2
a + a2 + 4 2
4
−
2
; mín| z|=
, mín| z|=
−
a + a2 + 9
a + a2 + 4 2
a + a2 + 4 2
Álgebra Números complejos II
4.
Indique una de las raíces cúbicas del número
complejo z
NIVEL BÁSICO
i
A) 2 e 1.
Si z es un número complejo, tal que p arg( z(1+i))= y | z i|=8, 6 determine el número complejo z representado en su forma exponencial.
i
D) 2 e 5.
=
4 3
11π 9
−
4 i. i
B) 2 e
35π 9
21π 18
i
C) 2 e i
E)
2 e
23 π 18 39 π 11
Si se sabe que 1, w, w2 son las raíces cúbicas de la unidad, determine el valor de la expresión 50 w
i π
i π
−
−
12
A) 8 e
B) 6 e
i π −
5
C) 5 e
4
E
i π −
D) 3 e – ip 2.
E)
2 e
3
(1 − i
5
)
3
6
4 (1 − i )
(cos θ + i sen θ)7
6.
8
(cos θ − i sen θ)
2 i
A) e
C)
2 e
A) 12
3.
13π +15θ 6
e
B) 5
C)
5
E)
4 5
Dado el complejo
Calcule m si se sabe que el argumento principal de z( z – i) es 45º. A) 4/5
B) 3/5
D) 2/5
C) 5/3 E) 1
7π 11
=
II. cos θ =
III. e e
iθ
A) FVF D) VFV
8.
1 i θ
i
3 − 4 i },
z=2 m+(1 – m) i; m ∈R+
− 5π +15θ i 3
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I.
+
NIVEL INTERMEDIO 7.
i
3 + 4i
D) 4
D) 1 E) e
{ z ∈ C / z =
A=|a|+| b|+|c|+| d |
− 13π +15θ 6 2 i
=
además, M ={a, b, c, d }. Calcule el valor de la expresión
11+ 3θ 7
i
B) 2 e
C) w E) 1
Si M es un conjunto definido por M
se obtiene
B) w2
A) w+1 D) – 1
Al simplificar el número complejo z =
3 w 2 w = [ w w ]
e
+ e− iθ 2
Si |8+( z – 1) i|=1, indique en qué cuadrante se encuentra el
, ∀θ ∈ 0; 2π
= e− sen θ , ∀θ ∈0; 2π B) FVV
C) VVF E) VVV
5
complejo
A) primero B) segundo C) cuarto D) tercero E) ninguno
5cis
π · z. 4
Álgebra 9.
Al representar gráficamente en el plano de Argand
5
1−
3 i una
13.
Efectúe
1 + i cot 15 4 ; i = −1 1 − i cot 15
de las raíces se encuen-
tra en el tercer cuadrante, determine su argumento.
A) 22p
A)
B)
15
5
p
18 p
D) 10.
7
C)
E)
15
19 p 15 17 p
C)
3
2
2
i
i
15
C)
D)
− n
1 2 1 2
3 +
−
2 3 2
i
i
E) 1
2
( w − 1)
14.
n w
2
1
S= w+2 w2+3 w3+...+( n –1) w n–1
B)
2
3 +
B) − −
Si w≠1 es una raíz enésima de la unidad, ¿a qué es equivalente la siguiente suma?
A)
1 −
−1
Sean 1, w1, w2, ..., w10. los raíces de orden 11 de la unidad.
n
Determine
2
(1 − w ) (1 − w )... (1 − w )
( w − 1)
2 1
2 2
2 10
D) 0 A) 0
E) 1 11.
Determine el área del polígono regular formado al unir los afijos de las raíces cuartas del complejo z
=
D) 11
E) 110
1+ i
A) 2 4 2
B) 3
2
D) 4 4 2
C) 4 E)
2
A) icotq B) itan2q
M ={ z ∈C / z=2+ t(–1+ i); t ∈[0; 1]}
3π = w ∈ C / w = z· cis , 4
z
D) 6
2
B) 5
C) i
∈ M
encuentre en N el complejo de mayor argumento principal. A)
Si z=cos2q+ isen2q, entonces calcule
1 + z tan θ 1 − z
2
Dados los conjuntos
N
C) 10
NIVEL AVANZADO 15.
12.
B) 1
C) − 2 E) 7
D) icot2q E) – 1 16.
Se tiene z3+ w 7=0; z5 · w11=1. Halle | w|. A) 1/2 D) 1
B) 2
6
C) 3 E) 1/4
Álgebra 17.
Sea z un complejo cuyo argumento principal 5p es . Determine el argumento principal de
Im
Im Re
A)
11
B)
Re –1
1
z− | z |
. z+ | z | A)
Im
p
B)
11 p D) 2
18.
p
C)
4
2p 2
Re
1/2
C)
E) 0 Im
Im
Si A es un conjunto definido por
Re
D)
E)
Re
A={ z – i /2Re( z)+3 Im( z) ≤ 4},
entonces la figura que mayor representa es 20. Im 7/3
Señale la figura que mejor representa la gráfica del conjunto M
7/2
A)
Re
= z ∈ C /
−i
z=
Im –1
Im
A)
1 –1
Re
7/2
B)
1
Re – 7/3 Im
–1
B)
Im 7/3
C)
–1
1 Re 1
Re
– 7/2 Im 1 Im
C)
–1
D)
Re –1
1
Re –1
–2
Im Im
E)
Re
D)
–1
– π /6
Re –2
Im
19.
Determine la gráfica que mejor representa
1 + z = 1 B = z ∈ C / Re 1 − z
π /6
E)
–1
1 Re –1
7
2
( w)
∧ | w| > 1 ∧ 0 ≤ arg w ≤
π 3
Álgebra Ecuaciones polinomiales I
A) – 3/2
7.
Si a es una solución de la ecuación x 2 − 3 x + 1 = 0, determine a18+a6+1. A) 1 D) 3
2.
B) – 1
C) 2 E) – 3
La ecuación polinomial ( x – n)4(2 x+3) P( x – P)2(5 x – 1) n=0 admite 10 raíces cuya suma es Determine P / n. A) – 1/4 D) 1/4
3.
B) 1/3
8.
10
ab
a+ b
x +
−
bc
−
ca
c+a
=
B) {abc}
{
a+ b a
;
a+ b b
3 b
( a − 1)2
+
c
( b − 1)2
A) 2 D) 4
C) {ab+ bc+ac} E) a+ b+c 10.
+
3
( c − 1) 2
B) 2/3
C) 3 E) 3/2
Dada la ecuación en x 8 m3 x – 4 n= n(36 x – n+2), mn≠0, halle n2 – m2 para que tenga infinitas soluciones.
}.
A) 10 D) 27
1 Calcule n + 1 B) 1
C) 6 E) – 6
Dada la ecuación polinomial x3 – x2+2 x – 1=0 de raíces a, b, c determine 3 a
m +
A) 1/2 D) 2
B) 5
a+ b+ c
Sea la ecuación cuadrática x2 – ( m – 2) x+2 n=1, m, n ∈ Q. de CS =
6.
x +
b + c
A) {0} D) 1
C) 1 E) 5
Para {a, b, c}∈R , resuelva en x −
C) 6 E) 12
Sean a, b, c, d , e raíces de x5+ x2+1=0. Determine a5+ b5+c5+ d 5+ e5
+
x
B) – 3
NIVEL INTERMEDIO 9.
5.
Sea la ecuación polinomial x3+3 x – 2=0 de raíces m, n, p. Calcule ( m+ n)3+( m+ p)3+( p+ n)3
A) 0 D) – 5
C) – 1/3 E) 1/5
B) 2
E) 1
A) 3 D) – 6
131
Calcule el valor de n para que la siguiente ecuación de incógnita x no tenga solución. ( n2 – 3 n+2)=( n2 –4 n+3) x A) 0 D) 3
4.
C) 0
D) 1/2
NIVEL BÁSICO 1.
B) – 1
C) 3/2 E) – 1
Dada la ecuación 2ax2+(3a – 1) x+(a+ b)=0 Halle un valor de b para que exista un solo valor de a que permita que las raíces de la ecuación sean iguales.
11.
B) 12
C) – 27 E) 31
Sea la ecuación cuadrática ( x − 3)2 +
(
7 + 2 10
)x
=
5 − 6x
Indique el módulo de una raíz.
A) 1 D)
B) 2
1+
3
C) – 2 E)
2
8
34
Álgebra 12.
Si m > n > 0, entonces
1
=
m
−
m
−
n
y
= m +
m x2
16.
m x
Dada la ecuación polinomial x3+ x – 1=0 de raíces x1, x2, x3,
m− n
son raíces de la ecuación
determine (2 – x1)(2 – x2)(2 – x3).
A) mx 2 – nx+ m=0
A) 10 D) 8
2
B) mx + mx+ n=0 C) mx2 – mx+ n=0 D) nx2 – 2 mx+ m=0
B) 11
C) – 8 E) 9
NIVEL AVANZADO
2
E) nx +2 mx+ m=0 17. 13.
Si las raíces de la ecuación x
2
mx – ( m+3) x+2 m+1=0 ( m≠0)
difieren en 2 unidades, determine el conjunto
{
}
9
; −1 11
{
C) −
18.
; 1 11
D) {1; 9}
r
8
9
Sean x1, x2, x3 las raíces de la ecuación x3 – 2 nx 2 – 72=0. Halle x1· x2 si x1+ x2+2 x3=5 n, n∈R. A) 36 D) 24
19.
B) 12
Determine
Si
L
C) 14 E) 60
( m − n)2
A) 1 D) 4
−
· 18
4
r
0
=
C) 0 E) 2
r s
)
4 mn
+
20.
( p − m)2
(
2
pm n
−
)
4 pm
B) 3
+
(
C) 0 E) 3/2
9
2
−
r
b +
)
4 np
a
C) 4
2 3
B
{
=
E)
4 3
}
2 n − 1 2 n + 3 ; es el conjunto solución n − 1 n + 1
b =
−
4 ac
( a + b + c )2
B) 12
C) 4 E) 2
Sean a, b, c raíces de x3 – 9 x2+11 x – 1=0 y S
( n − p)2 np m
s +
B) 1
A) 16 D) 8
Determine el valor de 2
1 x +
de ax 2+2 bx+4c=0, a≠ 0, calcule
Sean { m, n, p} el conjunto solución de x3+ x – 100=0.
(
)
Sea la ecuación cuadrática
D)
2
mn p
r
B) 1/4
2
15.
+ 12
A) 0
{ }
(
ax 2+ bx+ b=0; a ≠ 0, ab > 0 de raíces r > s>0.
}
9
E) 2;
+
A) 1 D) 1/2
A) {2; 3} B)
2
tiene como conjunto solución al conjunto {a}; a ∈R, calcule el valor de 3 – r ·21– r /2·a
de valores reales que puede admitir m.
14.
Si la ecuación cuadrática
=
a
+
b
+
c.
Calcule S4 – 18 S2 – 8 S. A) 27 D) – 37
B) – 54
C) – 27 E) – 47
Álgebra Ecuaciones polinomiales II NIVEL BÁSICO
5.
Si x1, x2, x3, x4 son raíces de x4 – 2 x2+3=0
calcule x14
x24
+
A) – 2 1.
Dada la ecuación polinomial. 2 x4+ax3+ bx2+cx – 4=0, {a, b, c, d } ⊂ Q y siendo a+ i y 2 dos de sus raíces, calcule 2
a
+
2
b
+
c
2
6.
D) 1/2
A) 125
E) 0
D) 144
racionales.
7.
+
E) 0
B) 256
C) 48 E) 128
Resuelva e indique las soluciones enteras de x 2
2
2 x + bx +cx + dx+ e=0, tal que una raíz es 3
C) – 8
Determine q, tal que las raíces de la ecuación
C) 2/3
Dada la ecuación polinomial de coeficientes 3
B) – 4
estén en progresión aritmética. B) 5
4
x44
x4– 40 x2+ q=0
ab + bc + ac + 1
2.
+
D) – 12
+1
A) 4
x34
+
+
3x
+1=
2x
2
x 2
+
6x
+
5
+
3x
+1
2 . Determine e.
A) {– 4; – 2; 1; – 1} A) 2
B) 1
D) 1
C) – 2
B) {– 4; – 2; 1}
E) 1/2
C) {– 1; 2} D) {2; 1}
3.
Si (2+ i) es una raíz doble de la ecuación
E) {– 1; – 2}
x5+ax4+ bx3+cx2+ dx+25=0
de coeficientes reales, determine el valor de
8.
1
a+ b+c+ d .
A) 17
x 4
B) 18
D) – 18 4.
Indique el número de soluciones reales de
C) 19
−
x2 + 2
1 +
x4 + x2 − 8
A) 2 D) 5
E) – 17
2 =
x4 − 3
B) 4
C) 6 E) 8
NIVEL INTERMEDIO
Dada la ecuación bicuadrada x4+(a+ b – 1) x3+( b+c – 8) x+(a+c – 3) x+1=0
donde el número de raíces excede en 2 uni-
9.
Dada la ecuación
dades al número de soluciones, calcule un
2 x4 – 4 x3+cx2+ dx+ e=0
valor de
de coeficientes racionales.
2
5 a · b· c a+ b+ c
A) 8 B) 1
B) 16
C) 1/8 E) – 8
Si dos de sus raíces son 1 + 2; 1 + i, determine d + e. A) – 12
B) – 6
D) 12
C) – 10 E) 0
10
Álgebra 10.
Dada la ecuación 5 x
4
2+
+
5x
2
+
A) 1 5
=
0 de
Determine x1 A) 1
+
x2
+
x3
+
x4
B) 4
11.
.
E) – 3
Resuelva en R 2
x − 1 − x + 1 x x
x 3
+ x2 + x + 1 + x = x 3 − x 2 + x − 1
C) 2
D) 1/4
C) 1/2
D) 3
raíces x1, x2, x3, x4. 15.
B) – 1
E) 3
2
4
e indique el número de soluciones.
Halle el intervalo en que debe variar λ para A) 1
que la ecuación
B) 2
C) 3
D) 4
x4+(1– λ) x2+2(λ – 3)=0
tenga solo dos raíces reales.
16.
E) 5
Determine la solución real de x 3 + 3 x
A) λ ∈ 〈– ∞; 2〉
3 x
B) λ ∈ R – {5} C) λ ∈ 〈– 6; 7〉
A)
2
+1
5 =
3
4
3
4
+1
3
4
−1
3
2
+1
3
2
−1
3
D) λ ∈ 〈– ∞; 3〉 E) λ ∈ 〈0; 3〉 12.
B)
Sea la ecuación x4 – 2 x2+81=0 de raíces C)
x1, x2, x3, x4. Determine el área generada por x1, x2, x3, x4 en el plano de Gauss.
D) 3 4 + 3 2
13.
A) 6
5
D) 8
5
B) 4
C) 4
5
E) 5
E)
3
4
−32
Si el número n 1 + 3 b es solución real de la ecua-
ción x6 – 3 x4+3 x2 – 3=0, determine ( b n+ n b). A) 2 D) 8
B) 5
C) 13 E) 28
NIVEL AVANZADO
17.
Indique el número de soluciones de la siguien-
te ecuación fraccionaria 14.
Luego de resolver x 3
1 +
x
3
3 +
x
+
3 x
+
1 3x
2
3 +
x
2
=
14
se tiene que x0 es una solución.
Indique
x0 x0
1 +
x − 1
A) 2 D) 6
+1
11
1 +
x−2
1 +
x−3
B) 3
π =
x−4
2
C) 4 E) 8
Álgebra 18.
ax 4 − bx 2 − c = 0 Si las ecuaciones 4 2 bx − cx − a = 0
19.
P( x)=a8 x8+a7 x7+...+a0
tiene todas sus raíces reales positivas, tal que
son equivalentes, calcule la mayor solución real. Considere que a; b; c ∈R.
A)
B)
C)
D) E)
1 2 1 2
1 2 1 2
a8=1, a7=– 4, a6=7.
Halle a0. A)
2+2 3
2−
1+
5
B)
6
2
1 8
2
C) − E)
1 8
2
1 16
2 20.
10 − 2 5
1
D) 28
3
2+2 5
El polinomio
Sea S el conjunto de puntos (a; b) con a; b ∈ [0; 1], tal que la ecuación x4+ax 3 – bx2+ax+1=0 tiene al menos una raíz real. Determine el área de S.
A) 1 D) 1/4
B) 1/2
12
C) 2 E) 1/6
Álgebra Desigualdades
A) 〈– 2; 0〉 B) 〈0; +∞〉 C) 〈– ∞; 0〉 D) 〈– 3; +∞〉 E) 〈– ∞; – 1〉
NIVEL BÁSICO 1.
Sean los intervalos A=〈– 1; 2] B=〈0; 3]
5.
Determine la variación de la expresión E =
C =〈– 5; 3〉
+
A) 6
D) 0;
B) 7
C) 5
Si A; B son conjuntos definidos por A = { x ∈ R / x < 1 ↔ x > 0} y
A) 3 D) 10
1
; x
>
0
B) 0;
2
3
1
C) 1;
3
2
E) 〈1; 2]
2
B) 4
C) 6 E) 15
A) 6 D) 4
b −
a− b
a
>
0
C) 8 E) 12
Halle el menor número N , tal que se cumple
A) 16 D) 4/13
< b
a
B) 9
3 – x2 – x4 ≤ N ; ∀ x ∈ R.
2
a
≥ K
NIVEL INTERMEDIO
Si a < b < 0, halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones. b
Sean a; b; c números reales positivos. Determine el máximo valor de K si abc
7.
II.
+
( a + b )( b + c )( a + c )
2 x = x ∈ Z / ∈ A 16 entonces el número de elementos de B es
I.
x
E) 8
B
2
A) 〈0; 1]
6.
3.
x
Determine el número de elementos enteros en C – ( A – B).
D) 4 2.
2x
8.
B) 13/4
C) 9/4 E) 4/9
Si ∀ x ∈ R: (1+a+a2) ≤ K · (a4+a2+1), luego el mínimo valor de K es
III. Si a≠– b → a(a+ b) > (a+ b) · b
b +1
IV. a−1 >
a
A) V VVF D) VVFF 4.
A) B) VFVV
C) FV VV E) FVVF
Si a∈〈0; b〉, halle el intervalo al cual pertenece la expresión 2
a 2
2
a b
3
B)
4
−b
9.
C) E)
4 3 2 3
Determine la variación de la expresión M =
3x x
2
−
x
D) [– 2; 3]
13
3
D) 3
A) [– 1; 3] 4
1
+
; 1
x
∈R
B) [– 2; 2]
C) [– 1; 2] E) [– 1; 1]
Álgebra 10.
Dada la ecuación 4 x4 – ax 3+ bx2 – cx+5=0
NIVEL AVANZADO
de raíces r 1, r 2, r 3, r 4 positivos, tal que r1 2
r2
+
4
+
r3 5
+
r 4 8
=
16.
1
A =
halle la mayor raíz
A) 1/2 D) 7/3 11.
B) 1
C) 2 E) 5/4
12.
C) 1200 E) 1160
E =
(8 x 2 − 12 x + 12) 2 x − 1
A) 4
; x
>
27
C) 2 · 4
64
18.
3
2x
+
7
+
3
C) 5 E) 9
15.
C) 8 E) 4
A) 4 D)
a
2
3
65
+
9
+
2
b
20.
E) 2 2 − 2
x x
6
4
+
−
x
2
2 x3
−
C) 3 + 4 E) 9
1
; x
>
1
B) 1/6
C) 2 E) 1/8
Indique la variación de la expresión =
x
2
+
x
+1−
x
2
−
x
+1
si x ∈ R. A) 〈– 1; 1〉
13
C) 1/2
Determine el máximo valor de
M
+ 16
B) 2
4
B) 1
A) 1/2 D) 1/3
Sea a+ b=4; tal que Halle el menor valor de f donde =
C) 6 E) 9
2
D) 19.
a, b ∈R+ 0.
f
+
A) 2 2
si x, y>0 / x+ y=1. B) 3 2
; x > 0
B) 2
x 2 + 2 − x 4 x
2y + 7
A) 2 D) 2 · 3 4
3 7 C) ; 2 3
Sea x un número real positivo, encuentre el máximo valor posible de
Calcule el máximo de L =
5 2
27
Sabiendo que 2 p=a+ b+c calcule el máximo valor de k, siendo a, b, c lados de un triángulo que verif ique p3 – 3abc ≥ k( p – a)( p – b)( p – c) B) 3
3
3 E) ; +∞ 2
A) 4 D) 8
2
A = 14.
;
x + 1 + x 3 + 1 x x 3
E) 1 + 3 4
A) 1 D) 7
7
B)
2
2 .
x + 1 6 − x 6 + 1 − 2 x x 6
1
D) 3 + 33 4 13.
3
x ∈ 1;
3
64
B) 4 4
+ x +1 si x + 1
Encuentre el mínimo de
Determine el mínimo de x
2
D) [1; 2〉 17.
B) 1260
x
A) 0;
Determine el máximo producto xy (72 – 3 x – 4 y); donde x, y > 0 A) 1100 D) 1152
Indique el intervalo al cual pertenece
2
B) [– 1; 1]
1
1
3
3
D) − ;
C) 〈– 2; 2〉 1
1
2
2
E) − ;
14
Álgebra Inecuaciones cuadráticas
5.
Determine la suma de valores de k, de modo que la inecuación
NIVEL BÁSICO 1.
x2 – kx+9 < 0 tenga CS=φ
Siendo a < b < 0, resuelva x a
+
b
x
≥
a
b
+
A) 12
a
6.
2.
;
tiene raíces positivas, entonces A) a < – 3
+ ∞
−m
+
x
np
D) A ∪ B
−n
x
+
mp
−
p
nm
1 > 2 + m
1 n
+
1
7.
p
C) a > – 3 E) a < 6
Determine el intervalo del parámetro a, de modo que la desigualdad a x2 – 2 x+a ≤ 1 se cumpla para todo x ∈ R
A) 〈 m; +∞〉
1 − 5 1 + 5 ; A) 2 2
B) 〈– ∞; m+n+p〉 C) 〈 m+ n+ p, +∞〉
B) 〈– ∞; 0〉
D) 〈 m – n – p; +∞〉 E) 〈– ∞, m – n – p〉
C) −∞;
1− 5
2
La inecuación x 2
−
2 3x
+1<
0
D)
tiene como conjunto solución a A)
3 − 1;
3 +1
B)
2 − 1;
2 +1
C)
3
−
2;
D) − 3 ;
3
3
+
E)
2
8.
Al resolver la inecuación cuadrática 2
1+ 5 2
;
+ ∞
1− 5
R−
2
;
1+ 5 2
NIVEL INTERMEDIO
E) 2 − 3; 2 + 3 4.
B) 2 < a ≤ 6
Para { m, n, p} ⊂ R+ resuelva la inecuación en x x
3.
Si la ecuación cuadrática (a – 2) x2 – 2ax+(a+3)=0
D) 〈ab; +∞〉 a+ b
E) 52
b
C) 〈a – b; +∞〉 1
C) 48
D) 0
A) 〈– ∞; a+ b〉 B) 〈 – a – b; +∞〉
E)
B) 6
2
ax + bx+a > 2
se obtiene como conjunto solución al intervalo
Se sabe que el conjunto solución de bc( ax
−
b + c
es m,
1)
+
+ ∞
ab(cx
−
1)
a+ b
. Halle m −
1 − 2; 1 + 2 . Determine a+ b.
A) – 1 D) 1
B) 2
C) – 2 E) 3 15
A) 1/ a D) 1/ d
B) 1/ b
+
ac(bx
1 a
−
a+c
1)
>
1
a+ b+ c
− si {a, b, c} ⊂ R+. b
C) 1/ c E) a
Álgebra 9.
Dado el conjunto S
=
{
x
∈R
13.
/ sen t( x − 1) < t( x − 1); 0 <
t<
π
2
}
Resuelva la siguiente inecuación en x. x2+ m2+ n2+ p2 > x( m+ n+ p); { m, n, p} ⊂ R+
calcule la suma de los cinco menores elementos enteros de S.
A) B)
A) 10
B) 18
D) 23 10.
C) 20
C)
E) 29
D) φ E) m2 + n2 + p2 ; + ∞
Dados los conjuntos C
{ x ∈R / x ≤ 5
∨ x>
R + R – R
8}
A
=
B =
{ x ∈R / ( x 2 + 3 x + 7) ( x 2 − 9) ≥ 0}
14.
Se tiene el conjunto
{
2
(
)
}
T = t ∈ R / ∀x ∈ R : x − 2 2 − sen 2t x + 1 ≥ 0
Si T ⊂ 〈0, 2p]; calcule el cardinal del conjunto T . Halle A ∩ B. A) 0 D) 3
A) [5; 8〉 B) [– 3; 3]
C) 2 E) 5
D) [8; +∞〉
Dado el sistema de desigualdades y − x 2 + 6 x − 12 ≥ 0 2 y − x ≤ 4
E) 〈5; 8]
Determine el máximo valor de x+ y.
Respecto al conjunto A dado por
A) 6 D) 10
15.
C) [– 3; 5 〉 ∪ 〈8; +∞〉
11.
B) 1
{
},
B) 7
C) 8 E) 9
2 A = x ∈ R / 5 x − 1 < ( x + 1) ≤ 7 x + 15
indique la secuencia correcta de verdadero
NIVEL AVANZADO
(V) ó falso (F). 16.
I. ∃ x ∈ A /1 – x > 0 II. A ∩ {1, 2, 6}=φ III. Los elementos de A suman 20. A) VFV
B) FVF
D) FFV 12.
C) VFF
I. es posible que CS=〈0; 1〉.
E) FFF
II. es posible que CS=〈1; 3〉.
Sabiendo que P( x) ≤ 0; ∀ x ∈〈 – 8; 5] ∪ [7; +∞〉 P( x )
= −x
2
+
En la siguiente inecuación x2 – ∆ x+∆ < 1 donde ∆ representa el discriminante del polinomio cuadrático x2 – ∆ x+(∆ – 1), podemos afirmar que
( 2a + 1) x + b + 2 /
III. siempre se cumple que CS ⊂ 〈0; 3〉. IV. Car(CS ∩ Z) > 1. A) solo I
a ∨ b ∈ R; calcule 2 a – b.
B) solo II C) solo III
A) 0 D) 42
B) 54
C) 48
D) I y II
E) 36
E) I, II y III 16
Álgebra 17.
Dado el polinomio de coeficientes reales
19.
P( x)= x3+ax 2+ bx+c
Si a; b ∈ Z+ , tal que 2
b
2
+
b
+
a
=
4
tal que sus tres raíces son reales positivas,
a
además, sea el polinomio Q( x)= x2 – 2 x+3. Se
determine el número de (a, b) que sean solu-
ción de la ecuación.
sabe que P(Q( x))=0 tiene todas sus raíces imaginarias. Determine la variación de c.
A) 1 A) − 8; 0 B)
−
C)
−∞
27;
B) 2 C) 0
+∞
; 8
D) 4
D) R E) 18.
−
E) infinitas 8;
+∞
20.
Dados los polinomios
Dados los polinomios f ( x)= x3 – 3 x2+5 x – 17
2
f ( x)=2 x +2 x – 4 g( x)= x2 – x+2
g( x)= x3 – 3 x2+5 x+11
encuentre el número de valores reales que
Si f (a)=0; g(b)=0; a ∧ b ∈R
toma x para que A) 1 D) 4
f ( x ) g( x )
B) 2
sea un número natural.
calcule a+b.
C) 3
A) 3
E) 5
D) 5
17
B) 4
C) 6 E) 2
Álgebra Inecuaciones polinomiales
A) 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈0; 2〉 B) 〈– ∞; 0〉 ∪ 〈2; +∞〉 C) 〈– 2; 0] ∪ 〈0; +∞〉 D) 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈2; +∞〉 E) 〈– ∞; 2〉 –{0}
NIVEL BÁSICO 1.
Resuelva la siguiente inecuación. x4+3 x3+7 x2+15 x+10 ≤ 0
6.
( x + 1)3 ( x − 7)5 ( x2 + k)
A) 〈– 2; – 1〉 B) 〈– 1; 2〉 C) [– 2; – 1] D) 〈1; 2〉 E) 〈– 2; 2〉 2.
( x − 1)8 ( x 2 − x + 3) ( x − 5)4
1 − 37
−
2 1 − 39
−
B) C)
2 1 − 37 2
A) [– 1; 7] – {1; 5} B) 〈– 1; 7〉 – {1; 5} C) [0; 6] – {1; 6} D) [1; 6] – {1; 5} E) [1; 7] – {5; 1}
;
1 + 37
−
;
2 7.
1 + 39
−
;
2
4.
>
0
se verifica para x ∈ R – {1}; halle en qué inter valo oscila a. A) 〈– 1; 1〉
B) 3
C) 1 E) 5
Si la inecuación polinomial ( x+1)a · (3 x – 2) b+1 · ( x+2)c > 0
a > −2} − ; − c b calcule el menor valor de (a+b+c). x
B) 5
C) 6 E) 8
Resuelva la inecuación fraccionaria x + 2 x − 2 ≥ x − 2 x + 2
( a − 1) x 2 + (1 − a) x − 1 x − 1
2
tiene CS = { x ∈ R
5.
+
1 + 37
Luego de resolver la inecuación ( x – 4)2( x+3)5( x – 1)7 · x2013 > 0 se obtiene como CS=〈a; b〉 ∪ 〈c; +∞〉 – { d } Halle a+b+c+d .
A) 4 D) 7
3
−
E) φ
A) 2 D) 4
Si la inecuación x
D) R
3.
≤0
Si k > 0.
Resuelva e indique el conjunto solución. ( x2 – 4)( x – 1)( x+3) < 21 A)
Resuelva la inecuación
B) 〈– 3; 3〉
D) [ – 2; 2〉
C) 〈– 2; 2〉 E)
NIVEL INTERMEDIO 8.
Si A es el conjunto solución de x5 – 2 x4 – 10 x3+4 x2+16 x > 0 B es el conjunto solución de ( x4 – 256)( x3+3) x2 < 0 determine A ∩ B. A)
−
B)
−
C)
−
D)
−
3
3;
2
−
4; − 2
∪
−
2; − 3 3
∪
4; − 2
∪
E) φ 18
0; 2
∪
2; 0 −
2; 0 2; 4
−
1 1 ; 2 2
Álgebra 9.
Si la inecuación polinomial ( x – 4) m · (2 x – 1) n · ( x+3)2 p ≥ 0
13.
Resuelva en x x + b
1 tiene CS = [ n; + ∞ ∪ −3; p
x + a
x − b
−
2 ( b2 − ab)
≤
x − a
2
2
x − a
tal que a < b < 0.
calcule el menor valor de m+n+p. A) 8 D) 4 10.
B) 7
A) 〈– ∞; a〉 ∪ [ b; – a〉 B) 〈– a; a〉 ∪ 〈0; 2 b〉 C) 〈– a; a〉 ∪ [ b; 2 b] D) 〈– a; a〉 ∪ [2 b; +∞〉 E) 〈– ∞; – b] ∪ 〈 – a; – a〉 ∪ [2 b; +∞〉
C) 6 E) 2
Resuelva x8+ x5+ x4 – 4( x4+ x+1) > 0 14.
1
A) 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈2; +∞〉
x − 8
B) 〈– ∞; – 1〉 ∪ 〈1; +∞〉 C)
−∞ −
D)
−
;
2
2; 2
E) φ 11.
Halle un intervalo solución que se obtiene al resolver la inecuación ( x+1)(2 x+1)( x – 2)(2 x – 3)+1 ≤ 0 1+ 5 1+ 2 2 ; 2 2
A)
x−6
+
1
x+8
A) FVVF D) FVVV 15.
1 + 5 1 + 2 2 B) ; 2 2
+
1
x+6
≥0
B) FFVV
C) VVFF E) VVVF
Si ∀ x ∈ R, se cumple −3 <
1 − 2 1 + 2 2 C) ; 2 2
x
2
x
2
−
kx + 1
+
x +1
<
3
Entonces halle el conjunto de valores reales que admite k.
D) 1 − 5 ; 1 + 2 2
A) 〈– 5; 11〉 D) 〈– 5; 1〉
E) 1 + 5 ; 1 + 2 2 12.
1
+
e indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Un intervalo solución es [0; 6〉. II. Existen cinco soluciones enteros negativos. III. Su conjunto solución tiene infinitos elementos. IV. La suma de las soluciones enteras negati vas es – 34.
2; + ∞
∪
Resuelva la inecuación fraccionaria
B) 〈3; 64〉
C) 〈0; 11〉 E) R+
NIVEL AVANZADO
Resuelva 2
Ax + xG + A − 3 2 x − 3
≥1
16.
4
si A > 0 ∧ G2+4 < 4(G+ A2). A) 〈1; +∞〉 D)
1 2
;+∞
B)
2 3
;+∞
Halle el conjunto solución de 3
( x3+2 x2 – 1) ( x4 – 16) ( x3+125) ≤ 0 C) E)
19
3 2
5 2
;+∞
;+∞
A) 〈– ∞; – 5] ∪ [– 2; 2] B) 〈– ∞; 3] C) 〈2; +∞〉 D) 〈– ∞; 4〉 E) φ
Álgebra 17.
Resuelva la inecuación polinomial (1+ x+x2+ x3+ x4+ x5)2 – x5 ≥ 0 e indique el complemento de su conjunto solución. B) R –
A) R D) φ 18.
19.
x 2013 − 1 x 2015 − 1 x2017 − 1 x − 1 ⋅ x − 1 ⋅ x − 1 > 0
C) R+ E) R – {0}
A) 〈0; 1〉 B) 〈1; +∞〉 C) 〈– ∞; – 1〉 D) 〈– ∞; – 1〉 ∪ 〈0; 1〉 E) R – {1}
Si x0 es una solución particular de la inecuación polinomial x3+9 x ≥ 3( x2+3), ¿qué podemos afirmar? 20.
A) x0 y negativo C) x0 D) x0
≥ 1+
3
2−
3
4
≥ 1+
3
4−
3
2
E) x0
3
≥
4−
2
Dada la inecuación ( x – 1)– 1+( x – 2)– 1 ≥ 2014 determine la longitud de su conjunto solución.
B) x0 ∈ 〈– 1; 1〉
3
Resuelva la inecuación fraccionaria
A) 1007 – 1 D) 2014 – 1
B) 1006 – 1
20
C) 2014 E) 1007
Álgebra Expresiones irracionales
6.
1 − x
NIVEL BÁSICO 1.
x − 5
=
13 −
2
3−
+
x2
>
3+
x2 +
1− 3x
2
1 1 ; A) − 3 3
S es el conjunto solución de la ecuación 2+
Resuelva
1 1 ; B) − − {0} 3 3
x
Indique lo correcto.
C) x ∈ R A) S ⊂ 〈4; 6〉 B) S ⊂ 〈5; 6〉 C) S ⊂ 〈8; 10〉 D) S ⊂ 〈12; 14〉 E) S ⊂ 〈14; 15〉 2.
D)
7.
3.
3
;
1 3
2x − 3
=
5x
x 2 + 9 x − 8 > x − 12
−7
B) 2
Resuelva en Z −
e indique el número de elementos del conjunto solución.
determine el número de soluciones. A) 1 D) 4
1
E) [– 1; 1]
Luego de resolver la ecuación irracional 3 x − 4 +
−
C) 3 E) 0
A) 7 B) 5 C) 8 D) 4 E) 9
Luego de resolver x + x + 5 + 2 x = 25 − 2 x 2 + 5 x
indique el número de soluciones. A) 0 D) 3 4.
B) 1
NIVEL INTERMEDIO
C) 2 E) 4
8.
Luego de resolver la inecuación x + 6
<
2 x +1 +
x
se obtiene como CS=〈a; +∞〉. Determine la suma de cifras de 34 a. A) 4 D) 5 5.
¿Qué podemos afirmar de la siguiente ecuación?
B) 2
2 x + 2 + ... +
2 x +10 =
x +
x +1 + ... +
A) No tiene solución. B) Tiene infinitas soluciones. C) Tiene 2 soluciones. D) Tiene una solución. E) Tiene 10 soluciones.
C) 3 E) 1
Resuelva la inecuación 3
x 3 + 3 x 2 + 6 x − 2 +
1−
x
<
9.
x +1
Luego de resolver la ecuación 2 x − 3 +
A) 〈0; 1] D)
−
8 8 ; 9 9
8 B) −∞; 9
C) E)
21
;
−∞
8 −
; 3]
−∞
9
3
4x
=1
indique el número de soluciones A) 6 D) 0
B) 1
C) 3 E) 4
x +9
Álgebra 10.
Luego de resolver la ecuación irracional 3
3
C) 〈– ∞; 2] ∪ {0} D) 〈– ∞; 1] – {0} E) 〈– ∞; 0〉 ∪ [1; 2]
3
x − 2 + x 3 − x − 24 = x 3 − 26
determine la suma de cubos de las soluciones. 15.
A) 61 D) 64 11.
B) 62
C) 63 E) 65
3
entonces L=m · n es
x
=9−
indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. Presenta 6 soluciones. II. Tiene solución única. III. Si S es el conjunto solución, entonces S ⊂ 〈0; 2〉. A) VFF D) FVF 12.
8 − x 2 16 − x2 50 − x 2 −1 x −1 x −1 ≥ 0 x
Luego de resolver la ecuación
(2 + x −1)
B) VFV
C) FVV E) FFF
A) 0 D) 8
16.
C) 4 E) 16
2
¿qué podemos afirmar? A) No tiene solución.
A) 5 D) 9
C) La suma de soluciones es 1/4.
B) Tiene 2 soluciones.
C) 7 E) 8
D) Tiene solución x0 ≥ 2. E) Tiene solución única x0 ∈ 1; 2 .
Resuelva la siguiente inecuación. 27 − x −
3
6−
x −9 ≥0
17.
7 A) −∞; 0 ∪ 1; 4 B) −∞; 0 ∪ 0; 2
Resuelva la ecuación 5
A) x ∈ 〈5; 7〉 B) x ∈ R – 〈2; 1〉 C) x=18 D) x ∈ 〈9; 12〉 E) x ∈ [4; 7〉 Resuelva la inecuación 2 − x + 4 x − 3 ≥2 x
2
1 1 x + − x − = 1 x x
se obtuvo como CS=〈– ∞; a] ∪ 〈 b; +∞〉. Determine a+b. B) 6
2
Respecto a la ecuación
Luego de resolver la inecuación
6
14.
B) 1
NIVEL AVANZADO
x + 3 − 2 2 > − x + 4 x − 6 x + 2 − 3
13.
Si [ m; n] es el conjunto solución de la siguiente inecuación
20 + x = 1+ 5 x − 11; x
∈R
e indique el número de soluciones. A) 1 D) 4 18.
B) 2
C) 3 E) 0
Dado el conjunto
{
S = x ∈R
−x
2
}
+ 6 x − 5 > 8 − 2x
calcule Inf( S)+Sup( S). A) 9 D) 7
B) 8
22
C) 38/5 E) 23/5
Álgebra 19.
Resuelva la inecuación x
2
x
2
− ax + 1 + ax + 1
+
x
2
x
2
− bx + 1 + bx + 1
20.
<
2− a 2+ a
+
2 − b
D) {1}
B) R
2 x + 1 < 3
3 x + 2
2 + b
1 A) − ; + ∞ 2
con x > 0; a > 0; b > 0. A) [2; + ∞〉
Resuelva la siguiente inecuación irracional.
C) φ E) [1; +∞〉
23
1 D) − ; 0 2
2
B) 〈– ∞; 0〉
C)
−
1 2
;+
1 2
1 E) − ; 0 2
Álgebra Valor absoluto
A) 0 D) 1/2
NIVEL BÁSICO
1.
Calcule A
=
5.
2b x
x 1 para x = 2
x
−
a b
2
−
2
A) 3 D) 4
a
si se sabe que 0 < a < b. A) D) 2.
a b
(a − b)
6.
B) b – a
C)
b(b − a)
b a
x −1 − x
=
−x +
C) 5 E) 1
Resuelva la inecuación ≤x
( x +1) +1
A) [2; + ∞〉 B) 〈– ∞; 2] C) 〈0; 2] D) [0; 2] E) 〈2; +∞〉
Dado el conjunto
{
B) 2
x + 4 − 9 + x 2
(a − b)
E) a – b
a
M = x ∈R
Luego de resolver la ecuación
se obtiene como CS={a}. Determine 3a – 1.
1
b
+
C) 1 E) 4
x 2 − 6 x + 9 = 2 x − 1
1
−
B) 2
1}
indique su cardinal. 7.
A) 0 D) 3 3.
B) 1
C) 2 E) más de tres
Resuelva la siguiente ecuación. x x − 1 + x − 2 + x
A) R – D) R+
x 2 = x − 3 x −x +
1− 3 A) 2 1+ 5 1− 5 B) 2 ; 2
1+ 15 1− 15 E) 2 ; 2
B) R
C) φ E) Z+
NIVEL INTERMEDIO 8.
¿Cuántas soluciones admite la siguiente ecuación? x 6
1+ 7 1− 7 ; C) 2 2 1+ 11 1− 11 D) 2 ; 2
Determine el complemento del CS de la siguiente inecuación. x − 2 − x + 3 ≥ 5
−
1
= −
x5 x3 x −
A) 0 D) 6 9.
−
B) 2
C) 4 E) 1
Resuelva x 2 x x −
−
=
x
e indique la suma de todas sus soluciones. 4.
Luego de resolver la ecuación x2 – 4 x+2=| x – 2| determine el producto de soluciones.
A) 3 D) 4
B) 1
24
C) 2 E) – 3
Álgebra 10.
Al resolver la ecuación |ax+1|=x+a se obtuvo infinitas soluciones. Indique el valor que toma a. A) 1 D) – 1
B) 0
A) {1/2; – 1/2} B) {1/2; – 1/2; 1/4; – 1/4} C) {1/2; – 1/2, 0} D) [– 1/2; 1/2] E) [– 1; +1]
C) 2 E) A ∨ D 15.
11.
Resuelva la ecuación x
1
−4 +
4
4−
+
x
17 +
4
=4
x − 1 − 11 − 9
e indique el producto de todas sus soluciones. A) 12 D) 144 12.
B) 36
2 x −
x
−2
x +1 =
≤6
entonces indique el valor de M =(a – b)(c+d )( e – f )
C) 72 E) 108
A) 512 B) 450 C) 392 D) 338 E) 288
Luego de resolver la ecuación 2
Si A=[a; b] ∪ [c; d ] ∪ [ e; f ] con a < b < c < d < e < f es el conjunto solución de
x 4 + x 2 +1 x 2 + x +1
indique el cardinal de su conjunto solución. A) 1 D) 4
B) 2
C) 3 E) 5
NIVEL AVANZADO 16.
13.
Resuelva
1 1 x − + x + = 1 x x
x + 2 − 3 x − 2 ≤0 x − x + 3
A)
;
−∞ −
3
∪
2
A) 4 D) 0
[0; 2] 17.
3 B) x ∈− ; 2 2
B) 2
C) 1 E) 3
Si al resolver la inecuación x 2 − x −1 − 2 x − 4
2
≤ x − 3x + 3
3 C) x ∈− ; 0 ∪[2; + ∞ 2
se obtiene como conjunto solución S, entonces indique lo correcto.
3 D) x ∈− ; 0 ∪[2; + ∞ 2
A) S ⊂ 〈– ∞; – 2]
E) x ∈ 14.
Determine el número de soluciones de
−
3 2
B) 〈– 1; 1〉 ⊂ S 1− 5 1+ 5 ; C) S ⊂ 2 2
;2
Resuelva la ecuación x 2 − x +
1 4
+
x2 + x +
1
4
D) S = =1
1− 5 1+ 5 ; 2 2
E) S=〈– 1; 1〉 25
Álgebra 18.
Dada la inecuación x 2 − 2 x + 1 + x 2 − 8 x + 16
≥
A) – 1 B) – 1/2 C) – 1/3 D) 1 E) 1/2
x 2 − 10 x + 25
determine el número de soluciones enteros del complemento del CS. A) 1 D) 3
B) 0
10
19.
1 Si x ∈ 0; n =1 n
C) 2 E) más de 3
20.
Si { x; m} ⊂ Z, indique el número de pares ordenados ( x; m) que verifican la siguiente ecuación. | x2 – 1|+| x2 – 9|= mx
determine el mínimo valor de x 3 + x 4 − 1 x + 1
A) 8 D) 6
B) 19
26
C) 12 E) 14
Álgebra Funciones reales
I) 〈0; 1] J) 〈 – 1; 1] – {0}
NIVEL BÁSICO 21.
26.
Si f es una función definida por f ={(3; |a|), ( – 1; a2 – 2 b), (3; b), ( – a; – b), ( – 1; 3)} indique el valor de verdad (V) o falsedad (F). I. Dom f ={ – 1; 3} II. Ran f ={1; 3} III. El máximo valor de f es 1. IV. El mínimo valor de f es 0. V. f ( – 1)=3 A) VVVVV D) VVVVF
22.
B) VFVFV
f ( x )
=
25
−
x
2 −
A) [ – 5; 5] D) [ – 3; 3]
B) [0; 1〉
27.
f ( x )
=
3
−
3x
+
−
x
2
;
−
4
=
2
x
+ +
1
1
; x
1
> −
2; + ∞
D) 〈0; +∞〉 E) 2 2 − 2; + ∞
C) [0; 1] E) 〈1; +∞〉
NIVEL INTERMEDIO
en la cual su dominio es A y { x1; x2} ⊄ A. Calcule g( x1)+ g( x2) si g( x)= x+7. C) 10 E) 13
Dada la función 1 − x ⋅ f( x ) ; x ≥ 0 f ( x ) = x f( x ) − 1; x < 0
Sean los conjuntos A={1; 2} ; B={1; 2; 3; 4} se define f : A2 → B tal que f ( x; y)= x+y. Halle la suma de elementos del rango. A) 8 D) 11
29. 25.
x
C)
2
B) 14
4
B) 2 2 − 2; + ∞
C) [ – 2; 3] E) [ – 5; – 2]
( x + 2) ( x − 1)
A) 12 D) 18
−
A) 2; 2 2
Sea la función x
3x
Halle el rango de la función f ( x )
28. 24.
−
A) [4; 5 〉 B) 〈1; 5] C) 〈2; 6] D) [1; +∞〉 E) 〈– ∞; 2]
Dada la función f ={(1 – t; t2+2 t)/ t ∈R+} determine Dom f ∩ Ran f . A) 〈0; 1〉 D) 〈0; +∞〉
2
entonces halle el intervalo positivo de su dominio.
2
B) [ – 5; 2]
x =
21
Determine la intersección el dominio y rango de la siguiente función. f( x )
23.
C) VVFFF E) FFFFV
Si f es una función definida por
F) 〈 – 1; 1〉 – {0} G) 〈 – 1; 1] H) 〈 – 1; 0〉 ∪ 〈0; 1〉 27
C) 10 E) 12
Si f es una función definida por f ( x)=| x – 4|+| x – 5|+3 con x ∈ [1; 6] entonces indique su rango. A) [4; 10] B) 〈4; 10] C) [4; 10〉 D) 〈4; 10〉 E) 〈4; +∞〉
halle su rango.
B) 9
Álgebra 30.
Si f es una función definida por 5 x − 2 ; x > 2 f ( x ) = x − 1 − 2 ; − 2 ≤ x ≤ 2 2 x 2 ; x < − 2 entonces indique su rango. A) [ – 2; 1] ∪ 〈2; +∞〉 B) 〈 – 2; 1] ∪ 〈2; +∞〉 C) [1; 2] D) 〈1; 2] E) 〈 – 1; 2]
31.
A) 8/3 D) – 13/4 34.
B) – 4/5
Halle Dom f ∩ Ran f si f( x )
=
2+
x
−
5
A) 〈5; +∞〉 D) 5; 35.
1 +
x
−
5
B) 〈5; 7〉
9
C) 〈5; 8〉 E) f
2
Halle el rango de la función f ( x )
Sea f es una función definida por f : A → R / ( x – 2) f ( x)+ f ( – x)=3 Indique A.
C) – 3/8 E) – 11/5
x =
x
2
−
2
A) 〈 – ∞; 0] ∪ [8; +∞〉 B) 〈 – ∞; 0] ∪ [4; +∞〉 C) 〈 – ∞; 0] ∪ [6; +∞〉 D) 〈 – ∞; 0] ∪ [2; +∞〉 E) R – {1}
A) R B) R – {3; – 3} C) R − {− 3; 3 } D) {− 3; 3 } E) {3; – 3} 32.
Si f es una función definida por f ( x )
x =
x
2
−1
NIVEL AVANZADO 36.
+1
entonces halle su rango.
E) 33.
−
2; 2
Dada la función 2
f ( x )
x x =
+ 2 − 3 x − 1 2 x
de Dom f =〈1; 2〉 Señale el valor mínimo de f .
−
−
B) [1; +∞〉
2 D) ; 1 2
2 − 1 2 + 1 ; B) 2 2
( 2 + 1) 2 − 1 ; D) − 2 2
=
A) [0; 1]
A) R – {0}
2 2 ; C) − 2 2
Si f( x ) 1 x x determine el rango.
37.
C) [ – 1; 1] 2 2 ; E) − 2 2
Determine el dominio de la función f si A → R x → f ( x) tal que f ( x )
=
6
x
5 −
2x
3
x
−
x
x
6
3
A) 〈 – 2; 2〉 – {0} B) [ – 2; 2]C C) 〈 – ∞; – 3〉 ∪ 〈3; +∞〉 D) 〈 – ∞; – 2] ∪ [2; +∞〉 E) R
28
Álgebra 38.
Considere f( x )
=
16 − ( x 2
+
2) sgn x −
x
−
A) 〈0; 1] B) [ – 1; 1] C) [a1; a n] D) 〈a1; a n〉 E) f
x
Halle el Dom f . A) { – 8; – 7; ...; 7; 8} 40.
B) { – 16; – 15; ...; 15; 16} C) { – 12; – 11; ...; 11; 12}
39.
Dada la función f , cuya regla de correspondencia es
(
2x
2
f( x) =
E)
indique un rango.
Z
Sea la función f , tal que f( x )
=
a0 x
−1+
a1x
−1+
... +
impar y a0 a1 a2 ... a n < 0 Halle el dominio de f .
29
an x − 1
A) R0+ B) {0} C) 〈1; +∞〉 D) {1} E) [0; 1]
−
x+
2x − x
D) { – 6; – 5; ...; 5; 6}
2
+
5 x −2 x
2
1 / 2
1)
−2 −2 x −
Álgebra Gráficas de funciones reales I
D)
1
NIVEL BÁSICO 1.
1 1
2
–7
x
4.
B)
Y
X
–5
2 x − 1 = sgn
A)
Y
X
Esboce la gráfica de la función f ( x )
E)
Y
Y
Dadas las gráficas de funciones cuadráticas, determine el área sombreada en función de . Y
X
C)
X
1/2
y= x2 – 4
Y
X X
y= – x2+4
D)
E)
Y
Y
A)
2
(2 −16 )
B)
3
(2 −8)
D) (16 −2 )
X
X
2.
Indique la pendiente de la función lineal f : R→R , tal que f (2)=3; f (3)=2 f (4). A) 2 D) – 2
3.
B) – 1
C) 1 E) 3/2
B)
Y
f ( x )
A)
12 X
–5
–7
–7
1
C)
=
3
+
x
x
B)
Y
–1
X
–1
X
Y
1 –1
X
Y
1
D)
2
x
1
X
–5
Y
4
(2 −16 )
Y
1 2
C)
Indique la gráfica más aproximada para la función f de regla de correspondencia.
Determine la gráfica de A( x)=ax2+ bx+c si se sabe que pasa por (0; 1), (2; – 7) y (1; – 5). A)
2
E)
2
5.
C) (2 −8)
E)
Y
X
1
1 X
–1
–7
30
Y
X
Álgebra 6.
Calcule el área comprendida entre las gráficas de las funciones f ( x)=| x – 3| y g( x)=5 – | x – 4|
A) 〈 – ∞; 3] B) 〈 – ∞; 2] D) 〈 – ∞; 0〉 ∪ 〈3; +∞〉 10.
A) 15 u 2 D) 16 u2
B) 18 u2
C) 20 u2 E) 12 u2
C) 〈 – ∞; 1] E) 〈0; 3〉
Sea f ( x)=(a – 2) x2+ax+a una función cuya representación gráfica es la siguiente. Y
7.
Se sabe que f( x ) = a − x + b es una función, tal que f (0)=1 y f (3)=0. Esboce su gráfica. A)
B)
Y
Y
x0
X
3 –1
C)
–1
X
3
X
Indique el valor de (3a+ x0).
Y
A) 2 D) 8
3 –1
D)
B) 4
C) 6 E) 10
X
E)
Y
11.
Y
Se muestra la gráfica de la función definida por f( x )
3 –1
X
–1
= −
1 2
x
2
+
bx
−
2
Halle el menor valor entero que admite. X Y
A) – 3 B) – 2
NIVEL INTERMEDIO
0
X
C) – 1 8.
Sea f una función cuya gráfica se muestra a continuación.
D) 0 E) 1
Y raíz cuadrada valor absoluto
12.
Dada la gráfica de la función f .
4
Y
a
1 –3
–1
m 1
b
X
1
Calcule a+b. A) 7 D) 13 9.
f ( x)=2 –| x – n|
B) 9
C) 11 E) 15
Si f ( x)=ax2 – 2ax+3 de raíces x1, x2 y x1<1< x2, halle los valores de a. 31
X
Calcule n+ f ( m). A) 1 D) 3/2
B) 2
C) 3 E) 1/2
Álgebra 13.
Calcule el valor de m si las gráficas de las funciones f ( x )
x2
=
8
; g( x )
=
−
x
−
15.
Sean f ( x)=2 x – n y g( x)= x2+ mx – 4 dos funciones cuyas gráficas se muestran. Si { m; n} ⊂ Z,
m en el plano car-
calcule la suma de las coordenadas del punto P.
tesiano son
Y
Y y= f ( x)
X
P y= g( x)
A) 1 D) 4
B) 2
X
P
–8
C) 3 E) 1/2
A) – 8 B) – 6
14.
Se muestran los siguientes gráficos.
C) – 10 D) – 12
Y
E) – 7
f
NIVEL AVANZADO 1
3
–2 –1
X g
16.
Sea f una función cuya gráfica se muestra en el plano cartesiano. Y
Indique para qué valor de m se cumple la siguiente relación. f ( x) · g( x) · ( x2+4 x+7)( mx2+3 x+ m – 1) > 0;
4
parábola
∀ x ∈ R –3
1 + 10 A) m ∈ 0; 2
g(2)+ g(0)+ g( – 2)
1 − 10 C) m ∈ ;+∞ 2
E) m ∈
4
6
Si g( x)= f (1 – x)+ x, calcule el valor de
B) m ∈ R
D) m ∈
2
1 − 10 2 ;
−∞
;0
A) 23/3 B) 22/3 C) 20/3
1 − 10
D) 8
2
E) 6 32
X
Álgebra 17.
Sean las funciones f ∧ g f ( x)= px+ q
Y
2
g( x)= bx +cx+ d
b
Calcule el área de la región mostrada en el plano cartesiano.
a+ b 2
Y 2
(a; 2a – 1) –
a
X
f
2
X
(1 – a; 0)
A) 3/4
(– 1; – a) α
V
B) 3/2
D) 9/4
y= – 10
C) 9/2 E) 3
tanα=2 20.
A) 5/2
B) 25/4
D) 25/2 18.
Dada la gráfica
C) 10/3
Y
E) 25/3
Halle el rango de la función f ( x)=| x – 1|+| x – 2|+| x – 3|+| x – 4|
y= qx+a
y= px+ b S( x)
A) [1; + ∞〉 B) [2; +∞〉
X
C) [3; +∞〉 D) [4; +∞〉 además b2=( q – 2)( q – p) p.
E) [5; +∞〉
Determine el mayor valor del área sombreada. 19.
Sea f ( x)= mx+b donde m es el mayor entero posible de la función lineal cuya gráfica se mues-
A) 1
tra. Calcule el área de la región sombreada.
D) 1/4
33
B) 2
C) 1/2 E) 1/3
Álgebra Gráficas de funciones reales II
Y
E)
NIVEL BÁSICO
5 –2
1.
7 X
3
Determine el gráfico de F si F
1 1 = < x; x ∈ R ∧ x 100 x
A)
B)
Y
100
3. Y
Bosqueje la gráfica de la siguiente función. f ( x)= x2(4 – x2)
100 1
Y
Y
1
A)
X
B) X
X
100 X
100
C)
Y
Y
100
C) 1
X
X
100 Y
D)
E)
Y
Y
100
1 100
D) X
1
E) X
X
Grafique A( x)=( x – 3)2( x+2)( x – 5)( x – 7)3
4.
Dada la función f ( x)= x2 – x, grafique Y
Y
A)
7 –2
3
5
X
f ( x
).
Y
A)
B) X
Y
B)
X
100
– 100 2.
Y
X
Y
–2 –1
5
7 X
C)
Y
C)
X
–2
3
5
X Y
Y
Y
D)
5
D) –2
3
E)
7 X
X
34
X
Álgebra 5.
Sea f una función real cuya gráfica es
Y
Y
Y
A)
B) X
X
f
Y
X
C) X
Esboce la gráfica de h( x)= f (| x| – 1). Y
Y
Y
A)
B)
Y
D)
X
X
X
E) X
Y
7.
C)
Si f es una función cuya gráfica es la siguiente, esboce la gráfica de f (1 – | x|).
X
Y
Y
Y
–1 1 4
D)
E) X
X
Y
Y
A) 6.
X
–1
Dada la siguiente gráfica.
B)
1 –1
Y
–4
X
–1
4 X
Y
f ( x)
C) 1
4 X
–1
1
X Y
Y
D) determine la gráfica de g( x)= – f (1 – x). 35
E) –2
2
X
X
Álgebra Y
NIVEL INTERMEDIO A) 8.
Sea P( x) un polinomio mónico de menor grado
X
posible cuya gráfica es
Y
Y
B) P X Y
4 –3
0
X
2
C) 3 4 X
–4 –3 Y
Si (5; 8l) ∈ P, entonces, indique el valor de l. A) 3
B) 36
C) 24
D) 20 9.
D)
Y
Si f es una función definida por E)
2 f ( x ) = x − 2 entonces indique la figura que mejor represenx
+
ta la gráfica de f (| x|). Y
A)
Determine la gráfica de la siguiente función. f ( x )
x =
x
−
X
B)
1
C)
2
X
2
X
1 2 X
Y
X Y
Y
–1
Y
Y
A)
Y
C) 1
E)
X
X
–1
10.
2
B) X
D)
3 4 X
–4–3
11.
Y
3 4 X
–4 –3
E) 18
2
Si f es una función definida por f ( x)= x – 6 x x ∈ [1; 4], entonces indique la figura que mejor representa la gráfica de g( x)=| f (| x|)|.
Y
Y
2
2
D)
E) 2 X
36
2 X
Álgebra 12.
Sea
Y
Y
Y
A)
4
B) –1
F
2
1
1 –2 –1
X
X
Y
–3 –2 –1
5
1
C)
X
–1
grafique g( x)=|1 – | F ( – x)||.
2 3
X
Y
Y
Y
D)
A)
E)
1
2 3 X
X
X Y
14.
B)
Sea f : 〈0; +∞〉 → R, tal que Y
X
f
Y
C)
X
1 X Y
entonces indique la gráfica de 1/ f .
D) X
Y
Y
Y
A)
B)
1
E)
X
X X
13.
Y
Si la gráfica de la función f es
1
C)
Y
X
2 1 Y
Y
–3
–2
–1
X
D)
E) 1
determine la gráfica de f ( – | x – 1|) – 1.
37
X
1
X
Álgebra 15.
Determine la gráfica de la función f( x )
=
9 − (x
2−
+
2)
Y
Y
2
A) Y
B)
Y
1
A)
B)
2
5 X
2
5 X
2
5 X
2
5
Y
X X
C)
Y
C)
Y
Y
X
D) Y
E)
Y
2
D)
X
5 X
E) X
X
18.
Se muestra la gráfica de f . Y
NIVEL AVANZADO 16.
2
Indique la gráfica de la función f( x )
=
3
x − x ; x ∈ [ 0; 4 ]
0 Y
Y
A)
X
2
–2 23
B) 2 3 4
1
4
X
X
Grafique g( x )
=
1 2
f (2 x ). Y
Y Y
A)
2 3 4
C)
4
1
1
X
–1
X
B)
2
1 –1
1
2 X
1
2
Y Y
2
Y
C) 2
D)
E) X
1
2 X
2 3 4 –2
X
Y
Y
2
17.
Grafique f( x ) =
25 −
D) x
2
x13 − 100 x x − 2 + 1
⋅ sgn
1
2
E)
4 X
–1
X
–2
38
Álgebra 19.
En la gráfica adjunta se muestra f . Determine el conjunto solución de f
2
( x) − 9
20.
Si la gráfica del polinomio P( x)= x4+ax3+ bx2+cx+1 es
≥0
Y Y
3
punto de tangencia
5
α
7
2
β
σ
X
X
–3
halle el menor valor de a+2b+q.
–5
A) 4 B) 0 C) 2 D) 6 E) 8
A) 〈0; 2] ∪ [5; 7] B) 〈0; 2] C) [5; 7] D) 〈0; 7] E) R
39
P
Álgebra Gráfica de relaciones
Y
5
NIVEL BÁSICO 2 1.
Determine ( m+n) si la relación R={(2; a); ( m; 3 b); ( n; 6); (a; b+1)} es una relación simétrica. A) 7 D) 10
2.
4.
C) (5; 4) E) (2; 3)
A) 10 D) 6
x ≤ y≤
NIVEL INTERMEDIO 7.
B) 8
Sea la relación R={( x; y) ∈ R2 / 9 ≤ x2+ y2 ≤ 16} Determine el dominio de la relación.
Indique las inecuaciones que corresponde a la gráfica mostrada.
La gráfica de la relación R={(– 3; 3), ( b; 7), (7; 6), (3; a)} resulta ser los vértices de un paralelogramo, y los pares ( b; 7), (3; a) representan vértices opuestos. Determine (a+b). A) 4 B) 5 C) 6 D) 2 E) 3
C) 12 E) 9
A) 〈3; 4〉 B) [9; 16] C) [– 4; 4] D) [3; 16〉 E) 〈4; 9] 6.
A) 2 ≤ x ≤ 5 ∧ 2 ≤ y ≤ 5 B) 2 ≤ x+y ≤ 5 C) 2 ≤ | x|+|y| ≤ 5 D) 2 ≤ | x+y| ≤ 5 E) 2 ≤ | x| ≤ 5 ∧ 2 ≤ |y| ≤ 5
x + 4
2
5 X
corresponde a
C) 8 E) 5
B) (4; 3)
2
–5
Determine el área de la región generada por la relación R = ( x; y)
5.
B) 6
El eje X y las rectas L 1: y=– x+5 y L 2: y=2 x – b; b > 0 forman un triángulo de área 3 unidades cuadras. Indique el punto de intersección de las rectas L 1 y L 2. A) (3; 2) D) (3; 4)
–2 –2
C) 9 E) 11
Determine el número de elementos de la segunda relación. R={(a; b) / ab=4(a+b)} A) 4 D) 10
3.
B) 8
–5
8.
La relación R={( x; y) ∈ R2 / y=mx+b, x ∈ [– 2; 0]} representa la mediana del triángulo que tiene por vértices los puntos de coordenadas (– 4; 0), (0; 0), (0; 3). Halle ( m+b); m ≥ 0. A) 9/2 B) 7/2 C) 4 D) 11/2 E) 5 40
Álgebra 9.
Indique la gráfica de la relación R, tal que
x
R = ( x; y) ∈ R2
A)
2
≤ y ≤
4
Indique la gráfica de la relación R
x 2
=
{( x; y)
2
∈R
A)
Y
B)
Y
11.
y ≤ 2 − 1− x
∧
}
y≥0
Y
X X
X
Y
B) C)
Y
X X
D)
Y
E)
Y
Y
C)
X X
X
Y
D) 10.
Grafique la relación R={( x; y) ∈ R2 / ( x2+ y2 – 1)( y – x2) ≥ 0} A)
B)
Y
X
Y Y
E) X
X
X
12.
C)
Y
A) 2 u 2 D) 8 u2
X
13.
D)
E)
Y
Halle el área de la región R={( x; y) ∈ R2 / | x – 2| – 2 ≤ y ≤ 2 – | x – 2|}
X
R = ( x; y) ∈ R2
X
A) 4 p u2 D) 2p u2
41
C) 4 u2 E) 10 u2
Determine el área de la región
{
Y
B) 6 u2
0≤ y≤ 4−( x
B) p u2
C)
−
p
2
2)
u
}
2
9
E) 16p u2
Álgebra 14.
Grafique la relación R. R={( x; y) ∈ R2 / x3 ≤ y ≤ | x+2| – | x – 2|} A)
B)
Y
X
Sean las relaciones R1={( x; y) ∈ R2 / y ≤ – | x – 1|+2}
Y
R2 X
=
{( x; y) ∈R2 / y ≥ −
grafique R1 ∩ R2.
Y
Y
E)
A)
Y 1
X
X
NIVEL AVANZADO
B)
1
X
1
X
Y 2
15.
Dadas las relaciones f ={( x; y) ∈ R2 / x+2 y < 1} g={( x; y) ∈ R2 / ( x – 1)2+( y – 1)2= r 2} Si r ∈ A, para que g ∩ f =f, determine la longitud A. A) D)
16.
4
B)
5 4 5
3
C)
2
4
5
E)
–1
C)
5 5
Y 1
–1
1
X
2 5 5
Grafique la relación
{
}
R = ( x; y)∈R2 x 2 + y2 −16≤ 0 ∧ x − y2 ≤ 0 ∧ x− y+ 4 ≥ 0
D)
Y 2
A)
Y
B) X
C)
1
Y
X
E)
Y
X
–1
Y 2
1
X
42
X
Y
X
X
17.
D)
E)
Y
X
C)
Y
D)
1 − x − 1}
Álgebra 18.
Halle la gráfica del sistema
x 2 + y 2 < 2 2 y ≤ x A)
x X
Y
B)
Y
D)
–1
Y
20.
X
Grafique el siguiente conjunto.
{
A)
Y
B)
Y
π
4
≤ arg Z ≤
C)
π
4
Y
X
X
X
X
19.
– 3/2
T = Z ∈C / Z − 2 + Re( Z ) ≥ 0 ∧ −
E)
Y
Y
X
X
D)
E)
Y
X
X
C)
Y
C)
Y
Grafique Z + 2 ≤ 1 Z ∈ C / Z + 2 Z ≥ Z ∧ Z + 1
A)
Y
X
D)
Y
B)
X
X
43
Y
E) X
Y
X
}
Álgebra Álgebra de funciones
Dadas las funciones f ={(1; 2), (0; 3), (– 2; 1), (3; – 1), (4; 0)} g( x)= x2 – 1; x ∈ 〈– 2; 4] halle la suma de los elementos del rango de (2 f+g). B) 30
6.
x
=
+
3;
x
∈ −
C) 15 E) 5
3; 3
3.
B) 1
C) 2 E) 3
Si F ( x)= x3 G={(1; 1), (2; 4), (0; 0), (– 1; 1)} halle la suma de elementos del rango de F + 2G
A) 1 D) 8 4.
B) 3
Halle el rango de la función h( x )
=
x+2
+
2−
x
A) 2; 2 2 B) 0; 2 C) 〈0; 2] D) 〈2; 4〉 E) 〈– 1; 2〉 5.
Dadas las funciones f ( x)=3 x2 – 1; x ∈ 〈– 2; 6〉 g( x)=2 x – 1; x ∈ 〈– 1; 1〉 calcule el Dom( f o g).
C) 4 E) 7
A)
x − 2 ; 3 < x ≤ 5 x − 3
B)
x − 3 ; 3 < x ≤ 5 x − 2
C)
x − 2 ; 3 < x ≤ 4 x − 3
D)
x − 3 ; 3 < x ≤ 4 x − 2
E)
x − 4 ; 3 < x ≤ 4 x − 3
NIVEL INTERMEDIO 7.
G
Dadas las funciones
determine ( g o f )( x).
además (G2+ f )(a)=3. Según ello, determine el valor de a. A) 4 D) 0
E) 〈– 1; 7〉
f ( x)=2 x – 5; 3 < x ≤ 5 x + 1 g( x ) = ; 1 < x ≤ 3 x − 1
Sean las funciones f ={(4; 3), (3; 2), (1; 0), (0; 0), (2; 1) } G( x )
C) 0
2
D) 〈0; 4〉
A) 25 D) 12 2.
B) − ; 1
2 2
NIVEL BÁSICO 1.
1
1 7
A) − ;
Dé el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Las funciones f( x )
=
II. Si f( x )
(x =
2
5) y g( x )
−
x ; g( x )
=
−
=
x
2
−
5 son iguales.
x , entonces
( f+g)( x)=0. III. Si f( x ) = x; g( x )
x∈
= sen x;
π 0; 2 y
x∈
0;
π 2
π entonces el Ran( f + g) = 0; 1 + 2 A) VFF B) FVF C) FVV D) VVF E) VVV 44
Álgebra 8.
Se definen las funciones f ={(– 1; 2), (2; 2), (3; 7), (4; 3), (5; – 3)} x − 2 g( x ) = x + 2 sgn x + 2 si – 1 < x < 9 y h=f+g, halle la suma de elementos del CS de h( x) > 6. A) 5 D) 8
9.
B) 9
A) 〈1; 5] D) 〈0; 5〉 12.
=
h( x ) =
x
−
x
2
1
x
A)
g
9
grafique ( g · h)( x).
Dadas las funciones f , g, h; tal que f
C) R E) f
Sea las funciones g( x )
C) 7 E) 14
B) 〈3; 7〉
Y
Y
B)
3
3
h
x → x + 1← x − 1 → x −1
halle ( f o g o h)( x). A) x+3 D) – x+5 10.
–3
B) x+1
1+ x; − 1 ≤
f( x ) =
g( x )
D)
x <2
X Y
1
Determine la gráfica de f o g. Y
13.
B)
Y
X
C)
X
3 X
3 X
A)
B)
Y
Y
Y
D)
E)
Y
3
x+2 x − 1
+
x
;
C)
Y
Y
X
Dadas las funciones =
X
X
X
f ( x )
Y
Dadas las funciones f ( x)= x2 – 1; x ∈ 〈– 1; 4〉 g( x)=5 x+1; x ∈ 〈0; 3] grafique ( f o g).
X
11.
E)
3
x ; x < 0 = 2 x − 1; x ≥ 0
A)
3 X
3
–3
Sean las funciones
1
Y
C)
C) 2 x+1 E) 6 – 2 x
–3
3 X
x
X
D) >
E)
Y
Y
2
g( x)=2 x; x ∈ 〈– 1; 5] X
halle el dominio f o g. 45
X
Álgebra 14.
Si f (sen x+cos x)=sen2 x halle Ran( f ).
g( x )
A) [– 1; +∞〉 B) [0; 2]
5 − x + x − 3 ; = x − 2 ; x ≥ 2 2 x Y
A)
x
< −4
Y
B)
C) [0; + ∞〉 – 10
D) [– 1; 1] E) [– 2; 2]
2
C)
Dada la función f : [0; 1〉 →
–4 –2
5
– 10
X
– 10
–4 5
5
X
–4 –2
X
1 2 18.
1 2
;0
9 − x2
Sean las funciones f( x)
−
x
+
x − 3 = x 2 sgn ; 6 ≤ x ≤ 12 x − 5
g( x ) =
Halle el rango de la función =
5
Y
E) 2
D) [0; 1〉
h( x )
2
X
Y
D)
B) 1; 2
16.
–4
Y
– 10
1 ; 1 A) − 2 2
E) −
X
R
halle la intersección de los dominios de f (2 x2) y f ( x+1).
C) 0;
5
– 10
NIVEL AVANZADO 15.
–4
+ 3 x; 3 ≤ x < 5 2 x − 4
x − 2
1
Esboce la gráfica de ( f o g).
3+ 3
A)
A) 3 − 6 ; 0
B)
Y
Y
B) [0; 3] 3 4 X
C) 0; 6 − 3 D) 0; 3
C)
X
Y
E) 3 − 6 ; 3 17.
3 4 X
Grafique la función ( f · g) donde f ( x )
x sgn ( x 2 − x + 3) ; − 10 ≤ = 2 1 ; x ≥ 5 2 x + 5 x + 2
D) x
E)
Y
Y
<5 3 5 X
46
3 5 X
Álgebra 19.
Si se conoce f ( x ) y
g( x )
=
x
2
−
=
x +1 x + 2
4 x + 8;
; x ∈ [ 0; 6
20.
Sean n n n−1 n n + ... + C ; g ( x ) = f n ( x ) = C n x n n 0 x + C1 x
funciones reales de variable real. Resuelva la ecuación
x ∈ [0; 2
determine el dominio de ( f o f )( x) – ( g o f )( x). A) [0; 6 〉 B) [0; 2〉 C) 〈2; 6〉 D) [2; 6] E) 〈3; 6〉
( g2 o f2 + g3 o f 3 )( x ) ( g4 o f4 + g5 o f 5 )( x )
=
2
−
Halle el número de soluciones. A) 0 D) 3
47
B) 1
C) 2 E) más de 3
Álgebra Función inversa
5.
Halle x2+ y2 si se sabe que f ={(5; – 1), (– 3; 2), (2 x – y; –1), ( y – x; 2), ( x; x2+ y2)} es una función inyectiva. A) 1 D) 7
2.
=
B) 3
C) 5 E) 9
6.
Sean las funciones f : A → B; f ( x)= x+3 biyectiva; además g: B → 〈3; 7〉; g( x)=2 x+1; sobreyectiva. Halle el número de elementos enteros del con junto A. A) 0 D) 3
B) 1
A)
2 − x x
D)
x − 2 x
A)
=
2 x + 3 ; x − 1
x
∈
B)
x +1
C)
x − 1
B)
2 + x x 2 x
x − 1
Y
1 –1
C) 2 E) 4
A=
2
E)
Y
1 X
–1
X
Y
Sea f : A → R una función tal que f ( x )
=
Si f es una función definida por f ( x)= x| x|+1, entonces ¿cuál es la gráfica de f *?
C) 3.
x +1 ∗ ; g( x ) x − 1
f * o h= g*, halle h( x*).
NIVEL BÁSICO 1.
Si f ( x )
1
7 9 ; 2 2
–1 X
halle f * si existe. ∗
A) f ( x )
=
B) f (∗ x )
=
C) f (∗ x )
=
∗
D) f ( x )
=
x + 3 x − 2 x + 3 x − 2 x − 2 x + 3 x − 2 x + 3
; x ∈ ; x ∈
7 ;4 2
; x ∈
24 ;4 7
; x ∈
7 9 ; 2 2
E)
Y
Y
1 –1
X
X
NIVEL INTERMEDIO
Calcule J ∗2 + J ( −1).
Sean las funciones f ={(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1)} g={(1; 1), (2; 4), (3; 2), (4; 3)} Calcule la suma de elementos del rango de la función. f o ( f o ( f o g*))
A) – 3/7 B) – 5/7 C) 1/7 D) 3/7 E) 5/7
A) 2 B) 7 C) 9 D) 10 E) 15
7.
E) No existe f * 4.
D)
24 ;4 7
Sea J ( x )
=
2 x
7
4
+ 4x
2
+2
; x ≤ 0
48
Álgebra 8.
Respecto a la función f : tal que A
1; 1 y
=
−
f ( x )
A→
−
1 2
;+∞
Y
4
x =
1
−
x
6 X
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. f es inyectiva II. f es sobreyectiva III. No existe f * A) VVF D) VFF 9.
B) VVV
f : [ −1; 1 f ( x )
II.
C) FVF E) FFV
f( x )
→
1 es sobreyectiva x − 1 x
=
=
A) VVV D) VFF
; 0]
−∞
+
5− 5−
x
2
+
2x,
x
12.
1; 0
∈ −
− x 2; x < 0 III. f ( x ) = 1 tiene inversa > x ; 0 x
Y
1
3 2
B)
X
Y
1 2
Sea la función f : [5; 6] → [a; b] cuya regla de correspondencia es f ( x)= x2 – 8 x+7 Halle (a+b) para que f ( x) sea biyectiva.
D) 4, 5 +
Si se sabe que f( x )
A)
A) VVF B) FFV C) VVV D) VFV E) FFF
A) 12, 5 +
B) VVF
halle la gráfica f *.
es inyectiva.
11.
según ello, dé los valores de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. f es biyectiva II. | f | no es biyectiva III. Existe g*; donde g( x ) = f( x ) + f ( x )
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada proposición. I.
10.
–4
53 2
B) −3, 5 +
53 2
53 2
C) −8 +
C)
Y
1
D) 53
2
X
2
X
Y
1
2
E) −12, 5 +
Sea la función f : [0; 6] → [– 4; 4]
53 2
E)
Y
1
4 2
49
X
X
=
2 + 1− x
C) FVV E) FFV
Álgebra 13.
Sea la función f =
17.
{( x; x2 − 2 x + 4) /
x −1≥
}
0
f ( x )
Determine la gráfica de f * si existe. A)
B)
Y
C)
3
X
18.
E)
Y
1
14.
–3
X
X
Si se sabe que h( x+3)= x3+9 x2+27 x ∗
h( x)
=
+
33
( f ( 37) 1). +
A) 96 D) 98
B) 17
C) 37 E) 99
Dadas las funciones reales g( x )
=
1 x
f ( x )
1+ x x
C) 〈– ∞; – 1〉 E) 〈– 2; 2〉
Se sabe que f o g 2 5
=
3
; f 4 2 5
=
4
; f ∗3 3 4
=
Determine la función inversa de 1 2
x
5 ∈ 1; 2
E) No existe f – 1 19.
Dé los valores de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones acerca de la función.
1 f( x )
2
x≤
9 2 + x ; x ∈[1; 2] 4 D) f −1 = 1 − 5 ; x ∈ − 1 ; 3 2 − x 3 5
* * ; x ≠ 0 halle el dominio de de f o g .
A) 〈– 1; 1〉 B) 〈1; +∞〉 D) 〈– 1; 1〉 – {0} 16.
=
C) 1/21 E) 2/21
x +5 1 3 C) f −1 = ; x ∈ − ; 3 5 2 − x
NIVEL AVANZADO 15.
B) 1/3
1( 2) 2 1 − 5 + 8 x − 4 x ; B) f −1 = x + 5 ; x ∈ − 1 ; 3 2 − x 3 5
∗
calcule f
5x + 6
1 5 2 2 8 x − 4 x + 9 ; x ∈ 1; 2 A) f −1 = x + 5 ; x ∈ − 1 ; 3 − {0} − x 3 5
1
además f( x )
4
2 x − x + 2 + 1; − 1 ≤ f ( x ) = 2 − 7 ; 2 < x < 4 x + 1
X
3
+
−
X
Y
Y
2
A) 1/2 D) 1/8
1
D)
x
x 2
Halle (a+b) si f es una función suryectiva.
1
3
=
Y
1 3
Sea f : 〈1; 5〉 → 〈a; b〉
=
−x
2
−
8 x − 12 +
−x
2
−
4x
si f ∧ g son funciones biyectivas.
I. Existe f (∗ x ) II. f ( x) tendrá inversa para x ∈ 〈– 3; – 2〉 III. f ( x) es inyectiva si x ∈ 〈– 4; – 3〉
A) 1 D) 157/30
A) FVF D) VVV
Determine f
o
g∗ 1 2
+
g∗ 1 2
B) 3/4
+ f∗4 3
+ f 1 2
C) 1/2 E) 173/60
B) VFV
50
C) FFV E) FVV
Álgebra 20.
Determine la gráfica de la función inversa de f 2 x +1
x
=
C)
Y
2
+ x +1 ; x > 0 2 x − x + 1 x
1 X
–1
A)
Y
D)
3
Y
3
1
1 1
B)
2
X
E)
Y
1
2
X
1
2
X
Y
3
2 1
1 1
3 X
51
Álgebra Funciones exponenciales y logarítmicas
A) x > 10 B) 0 < x < 2 C) x > 1 D) x > 3 E) 0 < x < e
NIVEL BÁSICO 1.
Determine el rango de la función exponencial 2 f ( x)=5 – x +6 x – 8+2 si x ∈ R.
5.
A) 〈– ∞; 7] B) 〈2; 7] C) 〈2; +∞〉 D) [2; 7〉 E) 〈1; 8] 2.
Determine la gráfica de la función logarítmica f( x )
= log2
A)
− 1
Y
–1
Grafique la función exponencial
x
1
X
f ( x)=21 – | x|
A)
B)
Y
2
B)
Y
Y
1
2
X
X
X
C) C)
2
Y
Y –2
2
2 –1 1
X
X
D) D)
E)
Y
2
Y
Y
2
–2
X
X
Y
Luego de resolver la inecuación exponencial x 2 −3 x −1
2 3
9 > 4
x −2
–1
A) 2
B) −2
6
D) 6
6
6.
C) − E) – 2
Determine el dominio de la función f ( x)
=
log (log( x
−
2)
1
X
se obtiene como CS=〈a; b〉. Determine a – b.
4.
2
X
E) 3.
–1 1
)
Resuelva la inecuación logarítmica ln( x2 – 1) ≤ ln(1 – x)
21
A) 〈– ∞; – 1〉 ∪ 〈1; +∞〉 B) 〈– 1; 2] C) 〈– ∞; – 1〉 D) 〈– ∞; – 2] ∪ 〈– 1; +∞〉 E) [– 2; – 1〉 52
Álgebra 10.
NIVEL INTERMEDIO 7.
Halle el valor de x que satisface la ecuación a3 – x · b5 x – 1=a x+5 · b3 x+1
A) B)
log b + log a
A) 100 000 D) ln10 000
log b − log a 1 log b − log a
11.
C) loga+log b D) log b – loga E) 8.
log b + log a 12.
Determine la gráfica de la función =
1
2
−
x −
B) 2
2
A)
B)
Y
C) – 2 E) 1
Determine el conjunto solución. log 1 ( x 2 − 8 x + 15 ) < log
1
C) 1020 E) 625
B) 15 625
Resuelva log16(log4(2 – x2)) < 0 Dé como respuesta la suma de los extremos finitos del conjunto solución. A) – 1 D) 0
log b − log a
f ( x )
En un laboratorio se observa que una población de bacterias después de t minutos está dada por f ( t)=10 000 e kt. Si la población inicial aumentó en 25 % en 10 minutos, determine la población después de 20 minutos.
2 2
x2 − 3 x + 2
Y
1
A) 〈0; 1〉
2
B) f
C) 2;
1
−1
−1
X
−1
D) 〈2; 3〉 1
Y
−1
5
5 ;3
Determine la gráfica de la función f( x )
1
1
13
E)
X
13.
C)
13
=
A)
log2 (1 −
x
)+1 B)
Y
Y
X
1
D)
E)
Y
Y
−1
–1
2
1 1
X
1
−1
1
–1
1 X
1 X
Y
C) X
2
9.
Determine el producto de soluciones en la siguiente ecuación exponencial. x x x + 2 5 ⋅8
=
1 –1
1 X
10
D)
A) – 2[log52 – 1] B) log52 – 1 C) log25+1 D) – 2[log25+1] E) – 2[log52+1]
–1
53
Y
E)
Y
1 X
–1
1 X
Álgebra 14.
Resuelva x < ln( e2 – 1+ e2 – x) e indique el número de soluciones enteros positivos. A) 0 D) 10
B) 1
NIVEL AVANZADO Determine el rango de la función f .
1 f ( x ) = 2
16− x2 + 2− x2
A) [2 – 6; 214]
B)
2 3
D)
C) 2 E) 23 18.
15.
3 +1
A)
−1
3 +1
C)
4 3
E)
2
x
−1
4
x
En la ecuación x − 2 x + 2 = 2 determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Presenta 2 soluciones reales. II. Presenta 3 soluciones reales. III. No tiene solución real. IV. Una solución se encuentra en el inter valo 2; 2. A) VFFF D) FVVV
B) 〈1; +∞〉
3 +1
B) FFVF
C) FVFV E) VVFF
C) [2 – 4; 218] 19.
D) [2 – 14; 2 – 6]
x 2
2
E) 〈0; +∞〉 16.
Si f ( x )
=
21− x
4 + x2 +1
es sobreyectiva
tal que f : [ a; b] → 2
−20
;2
20.
A) – 2 D) – 4
B) – 1
Luego de resolver la ecuación log
3
( x ) − 1
3
=
x 3
halle el valor de log 3 x.
C) – 3 E) – 5
−
2x 2 −
x =
x 2
A) 1 D) 3
−2
determine a+b ({a; b} ⊂ R– )
17.
Indique el número de soluciones en −
1
B) 0
C) 2 E) 4
5 a + 5 a +5 a +5 a + 5 a
3 4 5 Si e 1 2 es solución de la ecuación logarítmica 5
45
3 10
2 x − ln4 x − ln3 x − ln x donde a1, a2, a3, a4, a5 ∈ Z+
ln
10
=
determine a1+a2+a3+a4+a5. A) 32 D) 34
B) 31
54
C) 33 E) 35
5 ln x
+1
Álgebra Sucesiones reales
5.
NIVEL BÁSICO 1.
2
A)
B)
3 n + 1
2
3 n 2
2 n
C)
−1
6.
2
2
D)
2 n
3 n − 1
3 n
E)
2 n − 1
n
3 n
−1 2 n
Determine el valor de convergencia de la sucesión n
a n
2.
2
{a n} / a n= n +10 n+1
A) 4 D) 7
B) 5
n !
B) 1/2
C) 6 E) 8
n+1
Calcule lím x n; x
n
2 =
Considerando la sucesión A) 3 D) 1/6
a n=a n – 1+8( n – 1); ∀ n > 1 ∧ a1=1
halle el término enésimo y
1 + 5 →∞ a
lím n
n
A) (2 n+1)2; 0
8.
B) (2n – 1) ; 5 C) n2; 1 2
n
2
+
3
+
3
n+1 n
B) 2
C) 1 E) 0
Si
n ∑ i i =1 n − ; n ∈ N n + 2 2
2
D) ( n + 1) ;
C) 5/2 E) 0
NIVEL INTERMEDIO 7.
1
es una sucesión que converge a
5
E) ( n – 1)2; – 1 4.
2
A) 1/3 D) 1
{ b n}={8; 15; 22; 29; 36; ...}
3.
=
Se definen las sucesiones
n ⋅ bn ? ¿A qué valor converge la sucesión a n
n
A) es divergente B) converge a 1 C) converge a 2 D) converge a 4 E) converge a 2
Determine el n-ésimo término de la sucesión 27 48 3; 4; ; ; ... 5 7 2 n
Dada la sucesión a +1 = 2 + a donde a0=2, ¿qué se puede afirmar?
A) 2 D) – 5
Respecto a la sucesión n
a + n + b + n { x n} / x n = n n
n
9.
B) 3
=
n
¿qué se puede afirmar? A) converge a a+b B) converge a a×b C) converge a ea+e b D) converge a ea+b E) diverge
A)
1 a
+
1 b
B) a+b C) a – b D) 1/ a b E) 1/ 55
a
− n
+
−n
b
y 0 < a <
8
C) 5 E) 1/7
Sea { S n} una sucesión. Halle si S n
G +1
lím Sn
n→∞
b<1
, halle G.
Álgebra 10.
Analice la convergencia de la sucesión { S n} n ≥ 1; donde 2
S n
14.
1 1 1 1 = 2 + 3 + 4 + ... + ( n + 1) 4 4 4 4
converge a A) 2
A) converge a 1/4 B) diverge C) converge a 1/9 D) converge 7/4 E) converge 7/9 11.
5 12 29 79 2; ; ; ; ; ... 2 5 12 29
n
3
D)
2
B)
15.
−1
2
E)
3 +1
+1
B) VVV
( )
C) FFV E) VFF
B) 2
C) 1/2 E) 1/3
Se define la sucesión x n+1 = x n +
determine
2 + 9 + 8 xn ;
x2013 2012
x0 =
0
.
Sea la sucesión a1 = 3 1320 ; a2 a3
=
3
=
3
A) 4021 B) 4022 C) 4025 D) 4026 E) 4027
1320 + 3 1320
1320 + 3 1320 + 3 1320 ; ...
indique el valor de lím
→∞
[a
n
A) 11 D) 12 13.
C)
Dada la sucesión n n ; n ∈ N entonces la sucesión converge a A) 1 D) 0
16.
12.
2 2
NIVEL AVANZADO
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. Toda sucesión acotada es convergente. II. Existe una sucesión {a n} monótona convergente. III. Toda sucesión convergente es acotada. A) FVV D) FVF
La sucesión
n
+1 − an ] +
a + 1 →∞ a − 1
lím n
n
17.
n
B) 1,1
C) 1,2 E) 1,3
Sea la sucesión { S n} definido por n n 1 + 3 1 − 3 + S n = 2 2
¿qué se puede afirmar?
indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguiente proposiciones. I. S n ∈ Q, ∀ n ∈ N II. S n es monótona III. 2 S n+2= S n+S n+1; ∀ n ∈ N
A) converge a cero B) es creciente C) diverge D) converge a 1 E) converge a 1/2
A) VFV B) FVV C) VVV D) FFV E) VVF
n ! Respecto a la sucesión n n
56
Álgebra 18.
A) e30 B) e15 C) 30 D) ln30 E) ln15
Dada la sucesión {a n} n ≥ 1 donde 1/ n
a n =
(1 + n + n2 ) , ¿qué se puede afirmar?
A) es divergente B) converge a 0 C) converge a 1/2 D) converge a 1 E) diverge a (+∞) 19.
20.
Dada la sucesión n 1 1 1 8 n + 27 n + 125 n { b n} / bn = 3
indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de convergencia.
57
Se define la sucesión 2a n +2=3a n+1 – a n; a1=1; a2=2 Determine lím(2a n – a n – 1). A) 4 B) 3 C) 2 D) 5/2 E) 7/2
Álgebra Series numéricas
6.
NIVEL BÁSICO
Determine cuál de las siguientes series convergen. ∞
∑
I.
− 2 2 n
n=
1.
Calcule la siguiente suma. S=20×12+19×22+18×32+...+2×192+1×202
∞
III.
Sea la sucesión Determine
D) 3.
1 = 3
a n
n
1
1
B)
3
4
1
C) 1
1
2
B)
2
3
5
C) E)
6
3
1
1
B) 3
2 2
A) 4 D)
10 000
21 +
1 000 000
+
... +
21 10 ... 0
A)
21 − 21 10 99 100
B)
20 − 20 10 99 100
C)
21 + 21 10 99 100
D)
21 + 21 10 999 100
E)
21 − 21 10 999 100
1
1
5 6 5
C) 6 E) 10
Calcule el valor de la suma +
21 +
1
1
2
A) 1 D) 8
1
n
20 veces
n=11 + 4 + 9 + ... + n
5.
1
∑ n=1
2
2 n + 1
∑
IV.
1
Halle el valor de la suma 100
Determine ∞
1
2
∞
n 2
∑ n!
21
E)
2
7.
3 n + 4 n ∑ 12 n n =1
4.
n
2
NIVEL INTERMEDIO
lím Sn .
∞
D)
∑= n n+−
n→∞
Halle el punto de convergencia de la serie
A)
II.
A) I, II, III y IV B) II y III C) I y III D) I, II y III E) I, III y IV
se define S n=a1+a2+...+a n .
A)
n=1
A) 2150 B) 15 670 C) 16 170 D) 15 870 E) 2130 2.
∞
1
5 2
3 +
2
2
4 +
2
3
+
UNI 2000 - I 8.
Determine log2 2 + log 2 4 4 + log 2 8 8 + log 2 16 16 + ...
...
B) 3
1
C) 6
A) 3
E) 5
D) 2
B)
5 2
C) 1 E) 4
58
Álgebra ∞
9.
A) D) 10.
1
1
B)
9
4
C)
3
2
9
5
E)
9
+∞
9
14.
Dada la serie
9
A) D)
29 +
7
2
7
99 +
3
7
148
353 +
4
7
61
+
son dadas por
...
n k
∑x
S n ( x ) =
indique la
secuencia correcta después de determinar si 353
C)
60
194
la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
343
I. S n( n) diverge cuando n tiende a +∞
60
E)
60
II.
194
S n
Calcule el valor de la serie ∞
; cuyas sumas parciales
k = 0
149
B)
k
∑ x k= 0
Calcule el valor de S. S =
11.
A) VVV B) VFV C) VVF D) FVV E) FVF
2 n Calcule ∑ . n+1 3 n =1 3 1
1 converge a 2 cuando n tiende a +∞ 2 1 converge a 0 cuando n tiende a +∞ 100
III. S n
1
∑ (2 n)!
n= 0
–1
A) e+ e D) 12.
B)
e − e−1
C)
2
e + e−1
e − e−1 4
Calcule la suma de la serie 1
1
1× 2 × 3
+
A) 1 D)
2×3×4
3×4×5
B) 2
1
+
C) E)
2
...
I.
∑ n=1
1 2
C) FFF E) FFV
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. La serie
∑a
n
n
1 4
3 8
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. ∞
15.
B) FVF
+∞
1 +
A) VVF D) FVV
2
E)
4
S =
13.
e + e−1
=1
la sucesión { S n} de sumas parciales es convergente ( S n=a1+a2+...+a n). +∞
II. Si
∑a
n
n
es convergente, entonces lím a n=0.
=1
+∞
+∞
III. Si ∑ a es convergente y n
n
=1
entonces es divergente
+∞
n + n
3 n2 − n + 1 II. ∑ 2 es convergente 1 + + n n n=1 ∞
2 n + 3 n III. ∑ es convergente ! n n=1
59
A) VVV B) VFV C) VFF D) FFF E) FVV
∑ b n es divergente, n=1
∑ ( a n + bn ) es divergente. n=1
∞
es convergente si y solo si
Álgebra NIVEL AVANZADO 16.
A)
Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones y elija la secuencia correcta. +∞
2
n =1 n
( n + 1)
∑ 2 + (−1)
II.
converge
2
+∞
19.
200
E)
200
4 999 999 300 2 999 999 400
Determine 1 +
1
si
converge
C)
5 999 999
(1⋅ 2)2
n
3 999 999
B)
3000
1
2 n + 1
∑
I.
D)
1999 999
(2 ⋅ 3)2
1 +
2
1
2
1 +
1
2
+
3
1
2
+
(3 ⋅ 4 )2
+
4
...
+
2
...
π
2
.
=
6
n =1
+∞
∑
III.
n
( −1)
n=1
n
π cot 3 diverge
A)
D)
A) VVV B) VFV C) FFF D) FFV E) VFF 17.
1+ 3 2!
2
A)
D)
e
+
1+ 3 + 3
2
2
+
3!
1+ 3 + 3
B)
−
e
e
2
e
+
3
...
+
C)
E)
2
1+
1
π
2
1
π
C)
−1
6
−
π
E)
3
2
2 −
2
−
3
3
2
2
3
Determine 1 3
1 −
2
1 +
5
1 +
7
1 −
4
1 +
2
e
log (1 + x ) = +1
2
e3
−
−
2
2
+
1+
1 2
2
1 +
3
2
+ ...+
1+
x 2 x− 2
log (1 − x ) =
e
4
1 2
1 1999
1 2
8
2
A) 2 log 1
+
B)
3
2
x log (1 − x 4 ) = − x 4 −
3
4!
3
−1
+
Determine S =
−
4
π
9
1 +
11
1 −
6
+
...
si se sabe que
3
e3
2
S = 1 +
Determine 1+
18.
20.
π
+
2000
1
2
D) log 3
+
x 2 x+ 2
B)
4 3
−
x3 3 +
x12 3 −
x3 3
log 2
−
x4 4 +
+
x4 4
x16 4
+
...
...
+
...
3
C) log 2 2
E) 3 log
2
60
1 2
Álgebra Matrices
2 4
3
D) E)
1 0
1
NIVEL BÁSICO 1.
Calcule el mínimo valor de xyz.
x 2 4 z
x 1 −1 / 4 + = 4 −2 1 −1 y
2
A) 1 D) – 1/2 2.
B) 1/4
5
4.
C) 1/2 E) – 1
1 0 , calcule A n; n>5. −1 1
Si A =
1 A) − n
1
− n n
1
D)
2 i − 3 j; i > j 3 i − 2 j; i ≤ j
A=(a ij )2×2; donde a ij =
Determine B= A – AT .
D)
−3
3
0 −3
3
E) 3.
1
6.
1 0
1 −2 , 0 1
n ( n − 1) 2
B) n( n+1)
C) – n( n+1) E)
x x
Si la matriz M =
A) 1 D) – 2
7.
n (1 − n) 2
y
y
; x ≠ y
∧
xy ≠ 0
B) 2
C) 1/2 E) 0
1 2 . 4 −3
Sea la matriz A =
Si F ( x)= x2+2 x – 11, calcule F ( A).
3
1
1 1 A) 0 1
−3 −7 −3 −1
−3 C) −7
E)
NIVEL INTERMEDIO
2 5
Determine x · y.
B)
− n 0
0
es idempotente, calcule x+ y.
2 3 +y= −1 4
−7 A) −3
0 1 C) n 1
T
0
4 x − y = 1
1 0
D) n(1 – n)
Sean las matrices x e y; tal que x
1 B) n
Dada la matriz A =
A)
0 −2 2 0 1
0
calcule la suma de los elementos de la matriz B= A+ A2+ A3+...+ A n; n ∈ N ∧ n ≥ 2013.
−1 / 3 0
0
C)
5.
0 −3 3 0
B) 1 / 3
0
2 y
Se sabe que
A)
5
D)
1 3
61
−1 −2
0 0
1 1 B) 1 0
0 0 C) 0 0 E)
1 0
1 0
Álgebra 8.
Sean A y B matrices cuadradas que cumplen
5 3
A+( B+ I )2=
7 4
2 1 −2 −5
A2+( B – I )2=
si A es idempotente, calcule el valor de 4 · traz( B). A) 10 D) 16 9.
B) 12
C) 15 E) 20
Dada la matriz
2 cos2 θ M = sen2θ
θ 2 2sen θ
sen2
determine la matriz M 5. A) 10 M D) 20 M 10.
B) 8 M
1 A = 0 1
0 1 0
12.
0 1 1
11.
Conocida la matriz
1 0 1
2 2 2
3 6 3
que se transforma mediante operaciones elementales por filas en otra matriz equivalente obtenida es diagonal. Calcule la tercera potencia de esta matriz.
8 B) 0 0
0
0 64 0
8 0
27 0
1 C) 0 0
0
1 D) 0 0
0
0 125 0
0 27 0
8 0
0
0 125
0
0
0
64
27 0
0 64
x a Si la matriz A = 1 es involutiva, b x calcule el valor de abx. Considere x2≠ – 1. A) 1 D) – 2
calcule la suma de los elementos de la matriz A n+1; n ∈N ∧ n ≥ 2013. A) 2 n+1+1 B) 2 n+1 C) 2 n – 1 D) 2 n+2+1 E) 2 n – 1+1
0
1 E) 0 0
C) 4 M E) 16 M
Dada la matriz
1 A) 0 0
13.
B) 0
C) 2 i E) i
Si w es la raíz cúbica no real de la unidad, además A
0 = i
0
i
y
B
w = 0
2 w 0
halle la suma de elementos de la matriz C . C = ( A 4 + B 3 )( A 8 + B 6 )( A 12 + B 9 ) ... ( A 4 k + B 3 k ) ; k ∈ Z+
A) 2 k+4 B) 2 4 k+1 C) 2 k+1 D) 2 k E) 2 k –1
62
Álgebra 14.
1 Si la matriz A = 2 b
a
+b 5 x
18.
a 3
0
n
si A n
es simétrica, calcule traz( A–1) A) – 15 D) – 13 15.
B) – 14
Calcule traz[ A1+ A2+ A3+ A4+...]
|a|<1; | b|<1 C) – 12 E) – 16
A)
Halle la suma de los elementos de la matriz
B)
P( A) si P( x)=2 x19 – x18+2; donde
0 A = −1 0
1
−1 0
A) 1 D) 2
C)
−1 1 0
D)
B) 3
E)
19.
Sean las matrices A=(a ij )3×3 y B=( b ij )3×3; a ij ∈R donde A es escalar y B no es singular, tal que
5 B t · A ⋅ 0 0
x 2 0
y
2 z = m 1 n
0 8
r
17.
B) 3
2a
2
1 + b
b +
1− a
1 − b 2
2a
b +
1− a
2
1 − b 2
2a
+
1− a
2 b
2
1 + b
2a + b
2
1− a + b
Si A y B son matrices involutivas de orden 3 donde a b x − 5 c A · B = 7 − x d e f 20 calcule {traz[( A+ B)2]}– 1
0 B 5
A) 0,01 D) 0,2 20.
C) – 9 E) – 6
¿Qué lugar geométrica en el plano xy representa
−
1− a
2 b
0
Determine traz( A). A) 9 D) 6
2
2a
2
C) 4 E) –1
NIVEL AVANZADO 16.
n
a 0 b − b = + ; n ∈ Z+ 0 a 0 0
x 1 cos t si t ∈R? y = 2 + 2 sen t
A) elipse B) circunferencia C) recta D) hipérbola E) parábola
Sea x
e
J
=
B) 0,02
a 0 y la función exponencial = 0 b
1+
x
1!
x
+
2
2!
x
+
3
3!
+ ...
Halle e J .
1 A) 0
1 0
e− a 0 D) − b e 0
63
C) 0,03 E) 0,1
0 0 B) 0 0
ea 0 C) 0 e b a x 0 E) 0 b x
Álgebra Determinantes
5.
Dada la ecuación matricial a
Si A y B son dos matrices definidas por A
3 −1 = ; 4 2
B
0 = −1
2
A− B
−
A + B
2B
B) 15
A) 0 D) 27/4
Si A
6.
B) 1
4 · B =2 I ; A = 0 1
0
T
A) 0,2 D) – 0,6
c
d
e
f
g
h
i
+
a
d
b h
e
g +
i
0
c
b
a
f
e
d
i
h
g
2 0
1
c ; 2 c
1
b 2
b
C) 8 E) 0
Sea la matriz 2a 2 A = 1 + a a( 3a − 2)
1 + b2 1+ c2 b( 3 b − 2) c( 3c − 2) 2b
2 + 2 + 2 ; abc ≠ 0 a b c
0 −1 1
B) 0,4
B) 16
(a+ b+c) A) – 1 D) 20
2c
∧
B) 1
a= b+c
C) 0 E) 4
NIVEL INTERMEDIO
C) 0,6 E) – 0,8
7.
Sea la matriz
2 3 −1 −2
A =
Dadas las matrices
1 A = a a2
20 1
0 301 0
si A es una matriz singular, calcule
C) 4/27 E) 9/4
calcule | B|. ( I : matriz identidad).
4.
b
D) – 8
calcule | A|.
3.
a
A) 1/8
C) 20 E) 60
Dada la matriz A=(a ij )3×3, tal que 3 − a ij ; si i ≠ j a ij = − a ij ; si i = j
T
0
−1
A) 10 D) 25 2.
101 17 = 0 602 0 3
calcule
1
determine el valor de E =
c
d e f 202 π 0 402 g h i 0 0
NIVEL BÁSICO 1.
b
0 B = 1 a + b
1
c 2 c
1
b 2
b
B= A+ A3+ A5+...+ A2 n – 1; n ∈N. Halle | B|.
A) n2 D) n4
señale lo correcto.
B) – n4
C) – n E) – n2
A) | A|=| B| B) | A|=ab| B|
8.
Siendo A una matriz cuadrada no singular, tal
3 5
a C) A = B b
que A = A
D) | A|=(a – b)| B| E) | A|=(a+ b)| B|
A) 6 D) 9/2
, halle traz( A–1). 6 4
B) – 9/2
64
C) – 9 E) 9
Álgebra 9.
Si M es es una matriz definida por
6 5 = M = 5 5
7
8
7
8
5
8
5
5
5 5 5 5
13.
determine el valor de det( M ). ). A) 5 D) 25 10.
B) 10
C) 15 E) 30
Sea la matriz A=(a ij )4×4, tal que
1; i ≠ j a ij = x; i = j
14.
B) – 2
1
w
w2
w3
w
w2
w3
1
w2
w3
1
w
w3
1
w
w2
B)
C) 3 3 i E) – i
2 3 i
Resuelva 1 + x
C) – 3 E) – 4
C) 1 E) λ| A|
Si w es una raíz cúbica compleja no real de la unidad, calcule el valor de
A) 3 i D) 0
Determine la suma de soluciones de la ecuación | A|=0. A) 1 D) 3
B) λ2
A) 0 D) λ
x x
x
x
x
x
x
1+
x
x
2+
x
x
x
x
=
x
0
x
3+
indique el valor de x. 11.
Si −1 a 1 A = b + c 1 b + c
1 a+c −1 b
1 a+ c
A) 6 D) 0
1 a+ b 1 a + b 1 − c
15.
+
2
b
ab c
2
ac
+
ac
2
a
bc
2
bc
A) 2 abc D) 8a3 b3c3
b
+
2
a
B) a2 b2c2
C) 4a2 b2c2 E) 4abc
NIVEL AVANZADO
a+ b+ c ab + bc + ac
16. 12.
2
ab
A) 1 B) abc C) 0 D) a+ b+c
C) 6/9 E) – 6/17
Calcule c
determine | A|.
E)
B) 17
Sean A; B y P matrices cuadradas de orden n que satisfacen la condición
Calcule el determinante de la matriz siguiente. sen
1 0
1
0
· P – 1 con | B|≠ 0 B –1=( AP – 1) – 1 P A) 1+cos 21 D) 1+cos1
calcule el valor de =|λ I – A| – |λ I – B| E =|
65
B) 1 – cos21
C) 1 – cos1 E) 1 – sen1
Álgebra 17.
Sea la matriz a + b A = a + d a + c
q, m, p, r , n ∈ N.
c+ d b+ c b+d
calcule ( m+ n+ p+ q+ r ) máximo.
c
d b
A) 18
B) 20
C) 9
D) 10 si | A|=0, además, a+ b+c+ d ≠ 0 a, b, c, d ∈R halle | B|
19.
donde a d B = c b
b
c
a
b
d
a
c
d
d
b a c
Si se cumple que 1
1
1
1
1
0
a
b
1
a
0
c
1
b
c
0
C) (3 b+a)3 D) (4 b+a)(a – b)4 E) (3 b+a)
20.
Resuelva la siguiente ecuación i
Sea la expresión si se cumple que f( 4)
f ( 3)
f( 6)
f( 2)
f( 4)
f ( 3)
f( 6)
f( 5)
f( 2)
f ( 3)
f( 6)
f( 5)
f ( 4 ) f ( 2)
x
x
− x i x − x − x i − x − x − x
f ( x)= x3 – 3 x2+2 x
f( 5)
m2 + n2 + p2 + 2mnp − 1
A) – a – b – c B) a+ b+c – 2 C) a+ b+c – 3 D) 3 – a – b – c E) a+ b+c
B) (3 b+a)a3
f( 6)
=
calcule m+ n+ p.
A) (3 b+a)(a – b)3
18.
E) 15
x x x
i
eπ = 2 i 2
;
−1 = i
i
dé como respuesta la menor raíz. =
m! n! p! q! r ! 2 −
A) – 1 D)
−
B) – 2 3
66
C)
−
7
E)
−
5
Álgebra Sistema de ecuaciones lineales e interpretación geométrica
C) – 5 D) – 1/5 E) – 1/2
NIVEL BÁSICO 4. 1.
x + y = − 3 3 x + 5 y = n
El sistema de ecuaciones
3 x + 2 y = 3 5 x − ny = m
tiene solución única en el tercer cuadrante del plano xy ( x<0; y<0), entonces indique los va-
tiene por solución a ( n; 2). Halle el valor de m. A) – 1
B) 0
lores de n.
C) – 3
D) 6 2.
Dado el sistema
A)
E) 2
B)
Dado el sistema kx + 2 y = 3 2 x − ky = k − 1
−3; 3 −9;
5
C) −15; − 9 D) 0; 5 E)
−9; 0
halle los valores de k para que x > 0. 5.
A)
−2
5
B) 0; C) D) E) 3.
; 0 2
;
2 5
no admite solución.
5
−∞
5
A) – 1
2
B) – 2 C) 2
;+∞
−2
5
Para qué valor de a el sistema ( a + 3) x + ( 2a + 3) y = 18 ( a − 3) x + ( a − 1) y = 6
D) 1 E) 0
;0 6.
El sistema de ecuaciones
ax + by = c 2 x − 3 y = 5
Si el sistema de ecuaciones ( 2 + 3a) x − (2b − 3) y = 2 ( a − 16) x − ( 4 b − 1) y = −6 es indeterminado, halle el valor de a+ b.
tiene por CS = t; Calcule el valor de
2 t − 5 3
/ t ∈ R
A) 3
a+ b
B) 2
c
C) 5 D) 6
A) – 1
E) 7
B) – 2
67
Álgebra 9.
NIVEL INTERMEDIO 7.
de y en el siguiente sistema.
ax + by + cz = 1 2 2 2 a x + b y + c z = 1 3 3 3 a x + b y + c z = 1
El sistema a( x + y) + x + 8 y = 7 3( x − 1) = − ay será indeterminado e incompatible para a=a1 a +a y a=a2 (en ese orden). Halle 1 2 .
A) 0
2
B) 1
C)
( a − 1) ( c − 1) D) ( a − b) ( c − b) b
A) – 1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 8.
Utilizando la regla de Cramer, calcule el valor
10.
E)
a −1 a− b c −1 c− b
A partir del sistema x+2 y+3 z=4
8 x+7 y+6 z=5
Dado el sistema de ecuaciones a1x + b1y = c1 a2 x + b2 y = c2 a x + b y = c 3 3 3
9 x+10 y+11 z=12 Calcule y+2 z. A) 3
que están representadas por las rectas L 3, respectivamente.
L 1, L 2,
B) no existe C) la solución queda expresada en función de un parámetro.
Y
D) para calcularlo es necesario resolver una
L 1
ecuación diofántica. E) El sistema es indeterminado, luego hay varias soluciones.
L 3
L 2
X
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. El sistema tiene infinitas soluciones. II. El sistema no tiene solución. III. El sistema tiene 3 soluciones. A) VFF B) VVV C) FVF D) FFF E) FFV
11.
Si el siguiente sistema x1 − 2 x2 = − 3 x − 2 x + x = 0 2 3 4 x3 + mx4 = − 5 −2 x1 + x4 = 2 tiene solución única, indique el conjunto de valores reales que m puede admitir.
A)
R−
{}
D)
R−
{ }
5
B)
8
5
−
8
68
R−
{ } 8
−
5
C)
R−
E)
R
{} 8 5
Álgebra 12.
Halle la suma de valores que puede asumir el parámetro n para que el sistema homogéneo ( n + 1) x + y + z = 0 x + ( n − 1) y + z = 0 x + y + nz = 0
NIVEL AVANZADO 16.
8 A = m ∈ R / 0 0
tenga infinitas soluciones. A) 4 D) 1 13.
B) 2
C) 0 E) 3
respecto a las siguientes proposiciones. I. n( A)=2 II. A ⊂ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} II. La suma de los elementos del conjunto A es 16. A) FVF
17.
4
C) m ≤
9
9
E) m ≤
4
C) FVV E) FFF
Indique los valores de m para que el sistema lineal
( m + 1) x + y + z = 2 − m x + ( m + 1) y + z = −2 x + y + ( m + 1) z = m
Halle los valores de m para que el sistema tenga soluciones reales.
B) m ≥
B) VVV
D) VVF
A) – 2 B) 4 C) 2 D) 3 E) 1 14. Se tiene sistema de ecuaciones x 2 − y = 2 x − m x + y = 2
15.
2 x
Indique la secuencia correcta (V) o falsedad (F)
x + y + xy = 17 x + z + xz = 5 y + z + yz = 26
D) m ≥
x 3 1 y = m y 0 5 z z 3
tiene infinitas soluciones?
Halle la suma de valores de x si tenemos el siguiente sistema.
A) m<2
Sea A un conjunto definido por
sea compatible determinado.
4
A) m ≠1; m ≠ 2
9
B) m ≠ 2; m ≠ – 3
9
C) m ≠ 0; m ≠ – 3
4
D) m ≠ – 1; m ≠ 0
Indique el número de soluciones que se obtiene al resolver x + y + z = 9 1 1 1 + + =1 x y z xy + xz + yz = 27
E) m ∈R 18.
Sean a, b ∈R+
∧
a≠b
se requiere que la solución del sistema
ax + y − b = 0 bx − y − a = 0 está ubicado dentro del triángulo con vértices
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
(0; 0), (a; 0), (0; b). De lo anterior, indique lo correcto. A) a < 1 D) a2 > b 69
B) a > b > 1 C) b > a > 1 E) b < 1
Álgebra 19.
Al resolver el sistema en R.
20.
x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 12 x + xy + y = 0
{(
x x; y; z ) /
se obtiene como solución.
A)
{(1
{(1 C) {(1 B)
D) E)
}
+
7 ; 1 − 7 ) ; (1 − 7 ; 1+ 7 )
+
5 ; 1 − 5 ) ; (1− 5; 1+ 5 )
+
3 ; 1 − 3 ) ; (1− 3 ; 1+
{(2 {(7
3 ); (2 −
El conjunto solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas x, y, z es
} 3 )} } 3 )}
3; 2+ 3 )
+
3; 2 −
+
3; 7 − 3 ) ; (7 − 3; 7+
−
2
4
y =
−
3
2
z =
−
3
}
1
si el punto (3; – 2; 5) pertenece al plano cuya ecuación lineal es una de las ecuaciones del sistema; y tiene la forma ax+ by+cz=15, determine dicha ecuación A) 23 x+ y – 11 z=15 B) – 23 x – y+22 z=11 C) – 23 x+13 y+22 z=15 D) 23 x – 22 y – z=–11 E) – 23 x+22 y+11 z=10 UNI 2013
70
Álgebra Programación lineal
2.
Determine el máximo valor de la función f ( x; y)=2 x+ y sujeto a las restricciones.
NIVEL BÁSICO 1.
x + y ≤ 10 x ≤ y x ≥ 0 ∧
Grafique la región factible del problema siguiente. Máx f ( x; y)=2 x – 5 y+3
2 x − 3 y ≤ 3 x + y ≤ 4 2 x + 2 y ≤ 13 x ≥ 0; y ≥ 0
A) 15 D) 5 3.
Y
A) X
Y
X
4.
Y
C) X
≥0 B) 25
C) 20 E) 10
Respecto al problema de programación lineal Máx z=2 x+3 y 2 y + 3 x ≤ 19 3 y + 2 x ≤ 21 Sujeto a y + 2 x ≤ 12 x ≥ 0; y ≥ 0 Indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. (3; 2) es una solución factible. II. Tiene infinitas soluciones. III. El recinto convexo que se obtiene tiene 6 vértices. A) FVF D) VVV
B)
y
B) VFF
C) VFV E) VVF
Al maximizar x+ y; x, y ∈ R, sujeto a las siguientes condiciones. 2 x + 3 y ≥ 6 2 x + y ≤ 6 y ≤ 4 x ≥ 0 y ≥ 0 Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda. I. Los puntos (2; 2) y (4; 1) pertenecen a la región admisible. II. La región admisible es un polígono de cuatro lados. III. El valor óptimo es 5.
Y
D) X
Y
A) VVF B) VVV C) VFV D) FVV E) FVF
E) X
71
Álgebra 5.
Unos grandes almacenes encargan a un fa-
7.
bricante pantalones y chaquetas deportivas.
Dado el problema de programación lineal Maximizar f ( x; y)=3 x+2 y
El fabricante dispone para la confección de
Sujeto a 2 x + y ≤ 18 2 x + 3 y ≤ 42 3 x + y ≤ 24 x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1,5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 soles y el de
Indique su valor óptimo.
la chaqueta en 40 soles. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan
A) 23
una venta máxima?
D) 33 8.
A) 370 y 250
B) 15
C) 24 E) 42
Se tiene un polígono formado por los puntos
B) 1000 y 200
(– 2; 3), (3; 5), (10; 20), (0; – 4), (–10; 0)
C) 375 y 250
Determine la secuencia correcta de verdad (V)
D) 250 y 750
o falsedad (F) según corresponda.
E) 475 y 150
I. Dicho polígono es convexo. II. Si quitamos el punto (– 2; 3) el polígono es
NIVEL INTERMEDIO
convexo. III. El máximo valor de f ( x; y) =– 20 x+15 y es en
6.
el punto (– 2; 3), no considere el punto (3; 5).
Al maximizar x+ y; x, y ∈R sujeto a las siguientes condiciones: 2 x + 3 y ≥ 6 2 x + y ≤ 6 y ≤ 4 x ≥ 0 y ≥ 0
A) VVV
B) FVF
D) FFF 9.
C) VFV E) FVV
Un herrero con 80 kg de acero y 120 kg de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente,
Indique la alternativa correcta después de
a 20 000 y 15 000 bolívares cada una para sacar
determinar si la proposición es verdadera (V)
el máximo beneficio. Para la de paseo emplea-
o falsa (F).
rá 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para la
I. Los puntos (2; 2) y (4; 1) pertenecen a la
de montaña 2 kg de ambos metales. ¿Cuántas
región admisible.
bicicletas de paseo y de montaña venderá?
II. La región admisible es un polígono de cuatro lados.
A) 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña
III. El valor óptimo es 5.
B) 10 bicicletas de paseo y 40 de montaña C) 25 bicicletas de paseo y 35 de montaña
A) VVF D) FVV
B) VVV
C) VFV
D) 30 bicicletas de paseo y 20 de montaña
E) FVF
E) 40 bicicletas de paseo y 20 de montaña
72
Álgebra 10.
Un fabricante de cremas desea producir cremas
12.
Jaime se dedica a la compra y venta de papaya
de tipo A y B, utilizando materia prima de cali-
y naranja. Todos los días temprano en la ma-
dades C1 y C2. Las cantidades de materia prima
ñana visita a su proveedor de frutas en el mer-
para cada tipo de crema y lo que quiere ganar
cado mayorista y hace las compras del día. El
por gramo se expresa en el siguiente cuadro.
día anterior recibe los pedidos de sus clientes
¿Qué cantidades en gramos de cada tipo de-
y estos suman 600 kilos de papaya y 1200 kilos
berá producir, respectivamente, para obtener
de naranja. Jaime transporta las frutas en su
la máxima ganancia si se sabe que el almacén
camioneta que tiene una capacidad de car-
cuenta con 80 g de materia prima de calidad
ga de 1600 kilos. Si compra el kg de papaya a S/.1,30 y lo vende a S/.1,60 y el kg de naranja lo
C1 y 70 g de calidad C2?
compra a S/.1,00 y lo vende a S/.1,20, determi-
Crema
C1(g)
C2(g)
Ganancia/g
A
2
1
S/.0,4
B
1
3
S/.0,5
ne cuántos kilos de cada fruta debe comprar para maximizar sus ganancias. A) solo 1200 kilos de naranja B) solo 600 kilos de papaya y 1000 kilos de naranja
A) 24 y 12
C) solo 1600 kilos de papaya
B) 38 y 34
D) 400 kilos de papaya y 1200 kilos de naranja
C) 12 y 30
E) entre 400 y 600 kilos de papaya y 1000 y 1200 kilos de naranja
D) 34 y 12 E) 30 y 40 13. 11.
Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones y elija la secuencia correcta. I. Todo problema de programación lineal tiene solución.
Sea S la región limitada por las siguientes inecuaciones. y − x ≤ x
2
− y ≤
4; 0;
y+
x
2
≤
6
− x − y ≤ −2
al minimizar f ( x; y) sobre S, señale lo correcto.
II. La solución óptima siempre se halla en un punto extremo.
A) Si f ( x; y)= x+ y, entonces se tiene infinitas
III. Un problema de programación lineal tiene más de un valor óptimo.
soluciones. B) Si f ( x; y)= y – x, entonces ción. C) Si f ( x; y)=
A) VVV B) VFV
D) Si f ( x; y)=
x
2 x
2 soluciones.
C) FVF D) FFF
+ y
− y
E) Si f ( x; y)= y −
E) FFV
73
x
2
4 ; 16 es solu 13 3
, entonces (2; 0) es solución. , entonces se tiene infinitas
, entonces (6; 3) es solución.
Álgebra 14.
Sea F ( x1; x2)= 1+ bx2 la función objetivo del problema P, tal que a; b ∈ Z. P: minimizar F ( x1; x2) sujeto a ( x1; x2) ∈ S ⊂ R2 Si el lado CD de la región admisible S que se indica es solución del problema P, determine a+ b, de modo que el valor óptimo de F esté entre 20 y 25.
( x; y) ∈ S que dan el valor máximo y mínimo para a=2 x+3 y cuando esta recta se traslada paralelamente a sí misma. Y
Y C =(2;
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
5)
S X
D=(4;
3)
S
A)
32 ; 7
30 (0; 3) 7
B)
32 ; 7
30 (1; 0) 7
C)
32 ; 7
30 (3; 0) 7
D)
32 ; 7
30 (0;1) 7
E)
24 ; 7
30 (1; 0) 7
X
15.
L 1
L 3 L 2
La región admisible S y el crecimiento de la función objetivo del problema, maximizar f ( x; y) S · a · ( x; y) ∈ S se muestra en la siguiente figura. Y
(3; 4)
4 3
UNI 2006 - II
2 crecimiento
1 17.
8
1 2 3 4
–1
X
–2
Sea f ( x; y)=ax – by; {a; b} ⊂ Z+ ∧ a+ b=48 la función objetivo, sujeto a la siguiente región factible. Y
Si ( x, y) es la solución del problema, determine f ( x, y). A) 10/3 D) 25/3
B) 14/3
4 3 2
C) 20/3 E) 28/3
1 1
NIVEL AVANZADO
16.
Las rectas L 1: 3 x+8 y=48; L 2: 3 x+ y=18, L 3: 3 x+ y=3 y el conjunto S (figura sombreada) se muestran a continuación. Halle los puntos
2
3
4
5
X
Determine el máximo valor de a · b si el problema de programación lineal tiene infinitos puntos óptimos. A) 432 D) 532
B) 612
74
C) 512 E) 234
Álgebra 18.
Dado el problema de programación lineal opt. z=ax+ by; 3 b > a > b > 0, sujeta a la región convexa.
Si A( n; n), determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. I. Si a= b y a > 0, entonces C es la solución óptima. II. Si a+ b=0 y > 0, entonces B es la solución óptima. III. Si a= b y a < 0, entonces A es la solución óptima.
Y D
5
E
C
A) VVV D) VVF
1 F
1
3
4
19.
B) VFV
20.
Se muestra un recinto convexo. Y
50
10
C) FVF E) FFF
Siendo máx f : S ⊂ R2 → R, tal que f ( x; y)=ax+ by. Considere que S es un cuadrado cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Y
20
A
C
X
3
a b
<
7
.
III. Si a > 0 > b, entonces su valor mínimo lo alcanza en el origen. A) FFF D) VVV
D X
75
50 60 70
Dada la función objetivo f ( x; y)=ax+ by, señale la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Si a > b > 0, entonces es posible que su máximo lo alcance en (60; 10). II. Para que su valor máximo sea x=20 debe satisfacer a> b>0 y
B
C) FFF E) VFF
X
determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda. I. Su máximo lo alcanza en D y su mínimo lo alcanza en A. II. Es posible trazar una diagonal del polígono ABCDEF , tal que su máximo sea en el punto F . III. Si la función objetivo fuese z=ax – by su máximo lo alcanza en A. A) FFV D) VVV
B) VFV
B) VFV
C) FVF E) VVF
Semestral UNI
NÚMEROS COMPLEJOS I
NÚMEROS COMPLEJOS II
ECUACIONES POLINOMIALES I
ECUACIONES POLINOMIALES II
DESIGUALDADES
INECUACIONES CUADRÁTICAS
Semestral UNI INECUACIONES POLINOMIALES
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Semestral UNI
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ÁLGEBRA
DE FUNCIONES
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FUNCIONES EXPONENCIALES LOGARÍTMICAS
SUCESIONES REALES
