Algebra de Sullivan 9na Ed

SULLIVAN ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA i" * / ■

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NOVENA EDICIÓN

PEARSON

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Preparación para la clase. "Lee el Libro" Recurso

Descripción

Beneficio

Página

Cada capítulo comienza con... Introducción y proyecto de capítulo

Cada capítulo comienza con un artículo actual y termina con un proyecto relacionado.

El artículo describe una situación real. El proyecto te permite aplicar lo que aprendiste para resolver un problema relacionado.

400,501

Proyectos con base en Internet

Los proyectos permiten la integración de tecnología de hojas de cálculo que los estudiantes necesitarán para ser miembros productivos de la fuerza laboral.

Los proyectos dan a los estudiantes la oportunidad de colaborar y usar matemáticas para resolver situaciones que se presenten en sus vidas.

400,501

íD

Cada sección comien zacon... Objetivos de aprendizaje

1

Cada sección comienza con una lista de objetivos. Éstos también aparecen en la parte del texto donde se cubren.

Éstos dirigen tus estudios haciendo énfasis en lo que es lo más importante y señalando donde se lo puedes encontrar.

421

La mayoría de las secciones contienen...

REPARACIÓN PARA ESTA SECCIÓN

La mayoría de las secciones comienzan con una lista de conceptos clave de repaso con número de páginas.

Resuelve ahora los

Estos problemas evalúan si tienes los problemas de la sección conocimientos previos necesarios para la siguiente sección. "¿Estás listo?"

¿Alguna vez se te lo que aprendiste? Este recurso señala el material previamente aprendido que será usado en esta sección. Repásalo y siempre estarás preparado para avanzar.

421

¿No estás seguro de necesitar el repaso de "Preparación para esta sección"? Resuelve los problemas de la sección "¿Estás listo?". Si te equivocas en alguno, ¡sabrás exactamente qué necesitas repasar y dónde repasarlo!

421,432

"Resuelve Ahora"

Éstos siguen la mayoría de los ejemplos y te dirigen a un ejercicio relacionado.

Aprendemos mejor cuando hacemos las cosas. 428,430 Solidificarás tu entendimiento de los ejemplos si tratas de resolver un problema similar inmediatamente, para que estés seguro de que entiendes lo que acabas de leer.

ADVERTENCIA

Se dan advertencias en el texto.

Éstas señalan errores comunes y te ayudan a evitarlos.

453,454

Exploraciones y visualizacion del concepto

Éstas representan actividades con aparatos para construir gráficas para introducir un concepto nuevo o consolidar uno recién presentado.

Obtendrás un entendimiento más profundo e intuitivo de teoremas y definiciones.

245,426

Aquí se dan descripciones alternativas de definiciones y teoremas selectos.

¿A veces las matemáticas te parecen incomprensibles? Aquí se traducen las matemáticas a simple español.

430

Éste aparece junto a la información que es esencial para el estudio del cálculo.

Pon atención, ¡si dedicas más tiempo ahora, tendrás mejores resultados después!

429

Estos proporcionan instrucciones de "cómo resolver", ofreciendo un planteamiento guiado, paso a paso, para resolver un problema.

Con cada paso que se presenta a la izquierda y las matemáticas que se presentan a la derecha, los estudiantes pueden ver inmediatamente cómo se utiliza cada paso.

332-333

Marcados con Éstos son ejemplos y problemas que requieren que construyas un modelo matemático a partir de datos o de una descripción verbal. Los números de los problemas de tarea de ¡Modélalo! están resaltados.

Es raro que un problema se dé de la forma "Resuelve la siguiente ecuación". Por el contrario, la ecuación se debe desarrollar con base en una explicación del problema. Estos problemas requieren que desarrolles modelos que te permitan describir el problema de forma matemática y sugerir una solución.

320, 351-360

P r o b l e m a s d e l a s e c c ió n

r En p alab ras

Icono de cálculo £ ¡NUEVO! EJEM PLO S D E

escaparate ¡NUEVO!

¡Modélalo! Ejemplos y problemas

e

V

\

Práctica "Trabaja en los problemas" Descripción

Recurso

Beneficio

Página

"Evalúa tu entendimiento" contiene una variedad de problemas al final de cada sección. Problemas de la sección "¿Estás listo?"

Éstos evalúan tu retención del material previo que necesitarás. Las respuestas se dan al final de la sección de ejercicios. Este recurso está relacionado con el de "Preparación para esta sección".

¿Siempre recuerdas lo que aprendes? La mejor 421,432 forma de averiguarlo es trabajar en estos problemas. Si te equivocas en alguno, sabrás exactamente qué necesitas repasar y dónde repasarlo.

Conceptos y vocabulario

Estas preguntas de respuesta rápida, principalmente de completar los espacios en blanco o de verdadero/falso, evalúan tu entendimiento de definiciones y conceptos clave de la sección actual.

Es difícil aprender matemáticas sin conocer su lenguaje. Estos problemas evalúan tu entendimiento de las fórmulas y del vocabulario.

432

Ejercicios

Relacionados con los ejemplos de la sección, estos problemas proporcionan práctica directa.

Es importante profundizar y desarrollar tus habilidades. Estos problemas te dan amplia práctica para lograrlo.

432-434

¡NUEVO! Práctica mixta

Estos problemas ofrecen una profunda evaluación de las habilidades aprendidas en la sección por medio de problemas relacionados a uno o más conceptos u objetivos. Estos problemas pueden requerir que uses las habilidades desarrolladas en secciones anteriores.

El aprendizaje de las matemáticas es un proceso constructivo. Muchos conceptos están relacionados entre sí. Estos problemas te ayudan a ver cómo las matemáticas se van construyendo sobre sí mismas y cómo se relacionan los conceptos.

434-435

Aplicaciones y extensiones

Estos problemas te permiten aplicar tu aprendizaje a problemas de la vida real. También te permiten extender los conceptos aprendidos en la sección.

Podrás ver que el material aprendido en la sección tiene muchos usos en la vida diaria.

435-437

Explicación de conceptos: discusión y escritura

Los problemas de "Discusión y escritura" están marcados. Éstos promueven la discusión en clase, la expresión verbal de ideas matemáticas y los proyectos de escritura e investigación.

Para verbalizar una idea, o para describirla claramente en forma escrita se necesita un entendimiento real. Estos problemas promueven ese entendimiento. Muchos son difíciles, pero obtendrás los resultados de lo que inviertas en ellos.

437

¡NUEVO! Ejercicios interactivos

En grupos de ejercicios selectos, se dan applets para proporcionar una experiencia directa.

Los applets permiten que los estudiantes interactúen con las matemáticas en un ambiente de aprendizaje activo. Por medio de la exploración de varios escenarios, el estudiante puede visualizar las matemáticas y desarrollar un entendimiento conceptual más profundo del material.

257

P ro b lem a s d e

Muchos ejemplos te dirigen a un problema relacionado de la tarea. Estos problemas relacionados están marcados con un lápiz.

Si no puedes resolver algún problema, busca en las secciones de "resuelve ahora" el problema más parecido y consulta el ejemplo relacionado para ver si te ayuda.

421,432

LA SEC CIÓ N

"Resuelve ahora" \ Calculadora gráfica

ífeii

y

Estos problemas opcionales requieren del uso Por lo general, tu profesor te orientará sobre de un dispositivo gráfico y están marcados por si debes o no resolver estos problemas. Si los un icono especial. resuelves, te ayudarán a verificar y visualizar tus resultados analíticos.

427

Repaso "Estudia para exámenes” Recurso

Descripción

Beneficio

Página

El repaso del capítulo al final de ada capítulo contiene... "Cosas que debes saber"

Una lista detallada de teoremas importantes, fórmulas y definiciones del capítulo.

¡Repasa esto y sabrás el material más importante del capítulo!

494-495

"Debes poder..."

Contiene una lista completa de objetivos por sección, ejemplos que los ilustran y ejercicios de práctica que evalúan tu entendimiento.

Resuelve los ejercicios recomendados y dominarás el material clave. Si obtienes alguna respuesta incorrecta, repasa las páginas sugeridas y vuelve a intentarlo.

495-496

Ejercicios de repaso

Proporcionan una oportunidad para hacer un repaso profundo y practicar las habilidades clave relacionadas con los objetivos de aprendizaje de cada sección.

La práctica hace al maestro. Estos problemas combinan ejercicios de todas las secciones, lo que te da la oportunidad de hacer un repaso profundo desde un solo lugar.

496-499

EXAMEN DEL CAPÍTULO

Alrededor de 15 a 20 problemas que se pueden usar como examen del capítulo. Asegúrate de resolver el examen del capítulo como si fuera un examen real, ¡sin apuntes!

Prepárate. Resuelve el examen de práctica como si fuera examen real. Así estarás listo para el examen de tu profesor. Si obtienes un resultado incorrecto, ve el video de preparación para examen de capítulo.

500

REPASO ACUMULATIVO

Estos grupos de problemas aparecen al final de cada capítulo, empezando con el capítulo 2. Combinan problemas de capítulos anteriores y dan un repaso acumulativo continuo.

Éstos son muy importantes ya que asegurarán que no olvides nada mientras avanzas. Te ayudarán a estar constantemente preparado para el examen final.

500-501

PROYECTOS DEL CAPÍTULO

En los proyectos se aplica lo que aprendiste en el capítulo. Existen proyectos adicionales en el Centro de Recursos del profesor (IRC, por sus siglas en inglés).

El proyecto te da una oportunidad de aplicar lo que aprendiste en el capítulo para resolver un problema relacionado con el artículo presentado al principio del capítulo. Si tu profesor lo permite, éstos proporcionan excelentes oportunidades para trabajar en equipo, que generalmente es la mejor manera de aprender matemáticas.

501-502

En capítulos selectos se da un proyecto con base en Internet.

Los proyectos dan a los estudiantes la oportunidad de colaborar y usar matemáticas para resolver situaciones que se presenten en sus vidas.

501-502

0

¡NUEVO! Proyectos con base en Internet

Para el estudiante Es probable que al empezar tus estudios te sientas preocupado por el gran número de teoremas, definiciones, procedimientos y ecuaciones. Te preguntarás si podrás aprendértelo todo a tiempo. No te preocupes, esto es normal, tiste libro de texto se escribió pensando en ti. Si asistes a clase, trabajas duro, lees y estudias este libro, podrás adquirir el conocimiento y las herramientas necesarias para tener éxito. A continuación describo cómo puedes usar este libro para tu beneficio.

Lee cuidadosamente Cuando estés muy ocupado, creerás que es más fácil dejar de leer el texto c ir directa mente a los problemas. No lo hagas... este libro incluye un gran número de ejemplos y explicaciones claras para ayudarte a descomponer las matemáticas en pavrs que son fáciles de entender. Leer te permitirá tener un entendimiento más claro, más allá de la simple memorización. Lee antes de la clase (no después) para que puedas hacer preguntas sobre cualquier cosa que no hayas entendido. Te sorprenderás de cuánto más aprovecharás la clase si haces esto.

Usa los recursos En clase, uso muchos métodos diferentes para comunicarme. Estos métodos incorpo rados en el libro, se llaman “recursos”. Los recursos tienen \arios propósitos, desde hacer un repaso oportuno del material que aprendiste antes (justo cuando lo necesi tes), hasta proporcionar sesiones organizadas de repaso que te as udarán a prepararte para los exámenes. Aprovecha estos recursos y podrás dominar el material. Para facilitar lo anterior, he proporcionado una guía breve para obtener el ma yor provecho de este libro. Ve las páginas de “Preparación para la clase". “Práctica" y “Repaso" al inicio del libro. Dedica quince minutos para repasar la guía \ familia rizarte con los recursos, explorando las páginas sugeridas. Mientras vayas les endo. usa los recursos. Ésta es la mejor forma de obtener el mayor beneficio de este libro. No dudes en contactarme a través de Pearson Educalion si tienes alguna pre gunta. sugerencia o comentario que pueda mejorar este texto. Espero saber de ti y te deseo la mejor suerte con tus estudios.

¡Mis mejores deseos! Micluiel Satin an

ESTUDIA MAS INTELIGENTEMENTE CHAPTER

o)Test Prep VIDEOS

Soluciones paso a paso en video para todos los ejercicios de examen del capítulo del texto. \miNOMETRÍA

PEARSON

NOVENA EDICIÓN na&BSS£&a£S8a3¡iB¡B

DA CLIC PARA SELECCIONAR UN CAPITULO f

(ECHNiCAL RR iU lliEÍ.IEN rS

E X IT

Capítulo 6: Funciones logarítmicas y exponenciales Capítulo 6

PROBLEMAS DE EXAMEN DEL CAPÍTULO

P T IÍT I I 3 I i a i i j u 6 L U L J J 9 I 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Copyright © 2012 Pearson Educatlon, Inc. Todos los derei

s reservados

Subtítulos disponibles en Inglés y en español

SE PUEDE TENER ACCESO A LOS VIDEOS DE PREPARACIÓN PARA EXAMEN DEL CAPITULO A TRAVÉS DE:

Interactive DVD Lecture Series

MyMathLab

Y O ü íB

A m i fam ilia Katy (Murphy) y Pat

Shannon, Patrick, Ryan

Mikey Yola Dan y Sheila Colleen (O'Hara) y Bill

Michael, Kevin, Marissa Maeve, Sean, Nolan Kaleigh, Billy, Timmy

ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA NOV E NA EDI CI ÓN

ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA NOVENA

EDICIÓN

Michael Sullivan Universidad del estado de Chicago

Traducción

Susana Bravo Bénard

Revisión Técnica

Ing. Raúl Alvarado Paz

Dr. Carlos Sacasa Flores

UNAH Matemáticas SPS Honduras

Universidad Tecnológica de Honduras

Prof. Oscar García Ovalle

M. Sc. Dennisse de Sandoval

Universidad de San Carlos Guatemala

Universidad Rafael Landívar Guatemala

Francisco Caciá Álvarez

PH. D. John Sandoval

Universidad Galileo Guatemala

Universidad Mariano Calvez Guatemala

PEARSON

y /P a to s de catalogación bibliográfica Autor: Sullivan, Michael. Álgebra v Trigonometría Educación media superior 9a edición Pearson Educación de México, S.A. de C.V, México, 2013 ISBN: 978-607-32-2192-4 Área: Bachillerato Formato: 21 X 27 cm

Páginas: 1176

Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Algebra & Trigonometry, 9th edition por Michael Sullivan, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Pearson, Copyright © 2012. Todos los derechos reservados. Authorized translation from the English Language edition, entitled Algebra & Trigonometry, 9th Edition by Michael Sullivan, published by Pear son Education Inc., publishing as Pearson, Copyright © 2012. ISBN 13: 978-0-321-71656-9 (Student edition) Esta edición en español es la única autorizada. Edición en inglés Editor-in-Chief: ■ Anne Kelly Sponsoring Editor: ■ Dawn Murrin Assistant Editor: ■ Joseph Colella Executive MarketingManagen ■ Roxanne McCarley Marketing Assistant: ■ Katherine Minton Senior Managing Editor: ■ Karen Wernholm Associate Managing Editor ■ Tamela Ambush Senior Production Project Manager: ■ Peggy McMahon Production Editor ■ Bob Walters, Prepress Management, Inc. Senior Design Supervisor: ■ Andrea Nix Art Direction and Cover Design: ■ Barbara T. Atkinson Interior Design: ■ Tam ara Newman Image Manager/ Image Management Services: ■ Rachel Youdelman Photo Researcher: ■ Caroline Commins Permissions Project Supervisor ■ Michael Joyce Media Producer: ■ Vicki Dreyfus Senior Author support/Technology Specialist: ■ Joe Vetere Manufacturing Manager ■ Evelyn Beaton Senior Manufacturing Buyer: ■ Carol Melville Composition: ■ MPS Limited, a Macmillan Company Technical Illustrations: ■ Precision Graphics and Laserwords Printer/Binder: ■ Courier/Kendallville Cover Printer: ■ Lehigh-Phoenix Color/Hagerstown Text Font: ■ Times Ten Roman ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA Novena edición en español Dirección general: Philip De la Vega ■ Dirección K-12: Santiago G utiérrez ■ Gerencia editorial K-12: Jorge Luis íñiguez ■ Coordinación editorial Bachillerato: Lilia Moreno ■ Edición sponsor: Berenice Torruco ■ Coordinación de arte y diseño K-12: Asbel Ramírez ■ Supervisión de arte y diseño: Mónica Galván ■ Edición de desarrollo: Mireille Bravo ■ Asistencia editorial: Mirna Serapio ■ Composición y diagramación: ED ITEC ■ Investigación iconográfica: Miriam Serna ■ Lectura de pruebas: Juan Carlos H urtado y Vivaldina J a u b e rt. Director regional K-12 América Latina: Eduardo Guzmán Barros Directora de contenidos K-12 América Latina: Clara Andrade

ISBN LIBRO IMPRESO: 978-607-32-2192-4 ISBN E-BOOK: 978-607-32-2193-1 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-2191-7 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 16 15 14 13

D.R. © 2013 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Avenida Antonio Dovalí Jaime No. 70, Torre B, Piso 6, Colonia Zedec Ed Plaza Santa Fe, Delegación Alvaro Obregón, México, Distrito Federal, CP 01210 Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 1031

Esta obra se terminó de imprimir en septiembre de 2014 en los talleres de Litogràfica Ingramex, S.A. de C.V. Centeno 162-1, Col. Granjas Esmeralda, C.P. 09810, México, D.F.

PEARSON

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico. magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

Contenido Para el estudiante

ii

Prefacio para el profesor

xvi

índice de aplicaciones

xxiii

Créditos de las fotografías

R.l

Números reales

2

R.2

Bases de álgebra

17

R.3

Bases de geometría

30

R.4

Polinomios

39

R.5

Factorización de polinomios

49

R.6

División sintética

58

R.7

Expresiones racionales

62

R.8

Raíces enésimas; exponentes racionales

73

Ecuaciones y desigualdades

81

1.1

Funciones lineales

82

1.2

Ecuaciones cuadráticas

92

1.3

Números complejos; ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos

104

Ecuaciones radicales; ecuaciones de forma cuadrática; ecuaciones factorizables

113

1.5

Solución de desigualdades

119

1.6

Ecuaciones y desigualdades que incluyen valor absoluto

130

1.7

Solución de problemas: interés, mezcla, movimiento uniforme, aplicaciones de tareas de tasa constante

134

Repaso del capítulo

143

Exam en del capítulo

147

Proyectos del capítulo

148

1.4

2

xxx

Gráficas 2.1

Fórmulas de distancia y punto medio

150

2.2

Gráficas de ecuaciones condos variables; intersecciones; simetría

157

2.3

Rectas

167

2.4

Círculos

2.5

Variación

>

182 188

ix

X

Contenido


194


197

Repaso acum ulativo

197

Proyecto del capítulo

197

3.1

Funciones

200

3.2

Gráfica de una función

214

3.3

Propiedades de las funciones

222

3.4

Directorio de funciones; funciones definidasen partes

234

3.5

Técnicas para obtener gráficas:transformaciones

244

3.6

Modelos matemáticos; construcción de funciones

257

Repaso del capitulo

263


268

Repaso acum ulativo

269


269

4.1

Funciones lineales y sus propiedades

272

4.2

Modelos lineales: construcción de funciones lineales a partir de datos 282

4.3

Funciones cuadráticas y sus propiedades

288

4.4

Modelos cuadráticos construidos a partir de descripciones verbales o de datos

300

Desigualdades que incluyen funciones cuadráticas

309


313


316

Repaso acum ulativo

317

Proyectos del capitulo

318

5.1

Funciones y modelos polinomiales

320

5.2

Propiedades de las funciones racionales

342

5.3

Gráfica de una función racional

353

5.4

Desigualdades polinomiales v racionales

368

5.5

Ceros reales de una función polinomial

374

5.6

Ceros complejos; teorema fundamental del álgebra

387


393


397

Repaso acum ulativo

397


398

4.5

5

Contenido

6 6.1

Funciones compuestas

401

6.2

Funciones inyectivas; funciones inversas

408

6.3

Funciones exponenciales

421

6.4

Funciones logarítmicas

437

6.5

Propiedades de los logaritmos

450

6.6

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

459

6.7

Modelos financieros

466

6.8

Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial; Ley de Newton; modelos de crecimiento y decaimiento logístico

476

Construcción de modelos exponenciales, logarítmicos y logísticos a partir de datos

486


494


500

Repaso acum ulativo

500


501

6.9

503

Funciones trigonométricas 7.1

Ángulos y su medida

504

7.2

Trigonometría de triángulos rectángulos

517

7.3

Cálculo del valor de funciones trigonométricas de ángulos agudos

529

7.4

Funciones trigonométricas de cualquier ángulo

540

7.5

Enfoque del círculo unitario; propiedades de las funciones trigonométricas

550

7.6

Gráficas de las funciones seno y coseno

561

7.7

Gráficas de las funciones tangente, cotangente, cosecante y secante

576

Corrimiento de fase; ajuste de curva sinusoidal

583


594


600

Repaso acum ulativo

601


602

7.8

8

Trigonometría analítica v-

•*

.

8.1

Funciones inversas de seno, coseno y tangente

604

8.2

Funciones trigonométricas inversas (continuación)

616

8.3

Ecuaciones trigonométricas

622

8.4

Identidades trigonométricas

632

8.5

Fórmulas de la suma y la resta

640

8.6

Fórmulas de ángulo doble y medio ángulo

652

8.7

Fórmulas de producto a suma y de suma a producto

662

XI

XÜ

Contenido


666


670

Repaso acum ulativo

670


671

Aplicaciones de funciones trigonométricas 9.1

Aplicaciones que incluyen triángulos rectángulos

673

9.2

Ley de los senos

678

9.3

Ley de los cosenos

689

9.4

Área de un triángulo

696

9.5

Movimiento armónico simple; movimiento amortiguado; combinación de ondas

702


711


714

Repaso acum ulativo

715


716

Coordenadas polares; vectores

11

672

717

10.1 Coordenadas polares

718

10.2 Ecuaciones polares y sus gráficas

727

10.3 El plano complejo; teorema de De Moivre

742

10.4 Vectores

749

10.5 Producto punto

763


770


773

Repaso acum ulativo

774


774

Geometría analítica

776

11.1 Cónicas

777

11.2 La parábola

778

11.3 La elipse

787

11.4 La hipérbola

797

11.5 Rotación de ejes; forma general de una cónica

810

11.6 Ecuaciones polares de cónicas

818

11.7 Curvas planas y ecuaciones paramétricas

823


836


839

Repaso acum ulativo

840


840

Contenido

Sistemas de ecuaciones y desigualdades

X III

842

12.1 Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución y eliminación

843

12.2 Sistemas de ecuaciones lineales: matrices

858

12.3 Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes

873

12.4 Álgebra de matrices

882

12.5 Descomposición en fracciones parciales

899

12.6 Sistemas de ecuaciones no lineales

907

12.7 Sistemas de desigualdades

916

12.8 Programación lineal

923


930


935

Repaso acum ulativo

936


936

Sucesiones; inducción; teorema del binomio

938

13.1 Sucesiones

939

13.2 Sucesiones aritméticas

949

13.3 Sucesiones geométricas; series geométricas

955

13.4 Inducción matemática

966

13.5 Teorema del binomio

970


976


979

Repaso acum ulativo

979


980

Conteo y probabilidad

~

.0

■

no i

14.1 Conteo

982

14.2 Permutaciones y combinaciones

987

14.3 Probabilidad

996


1006


1008

Repaso acum ulativo

1009


1009

X ¡V

Contenido

1

Rectángulo de visualización

2

Representar ecuaciones gráficamente usando undispositivo gráfico

3

Uso de un dispositivo gráfico para localizar intersecciones y probar la simetría

A5

4

Uso de un dispositivo gráfico para resolver ecuaciones

A6

5

Pantallas cuadradas

A8

6

Representar desigualdades gráficamente usando un dispositivo gráfico

A9

Uso de dispositivo gráfico para resolver sistemas de ecuaciones lineales

A9

7 8 9

Al A3

Representar ecuaciones polares gráficamente usando un dispositivo gráfico

A11

Representar ecuaciones paramétricas gráficamente usando un dispositivo gráfico

Al 1

Respuestas índice

R1 II

Tres series diferentes Los estudiantes tienen diferentes metas, formas de aprender y niveles de prepara ción. Los profesores tienen distintas filosofías de enseñanza, estilos y técnicas. En lugar de hacer una serie que se adaptara a todos, los Sullivan han escrito tres series diferentes. Todas comparten la misma meta: desarrollar un nivel de entendimien to matemático alto y una apreciación de la manera como las matemáticas pueden describir el mundo que nos rodea. Sin embargo, la forma de alcanzar esa meta es diferente en cada serie.

Serie contem poránea, novena edición La serie contemporánea tiene un enfoque más tradicional, aunque moderno, res pecto al tratamiento de las matemáticas de precálculo. La cobertura de dispositivos gráficos es opcional y se puede incluir o no, de acuerdo con el criterio del profesor: Álgebra Uni ersitaria, Álgebra y Trigonometría, Trigonometría, Precálculo.

Serie mejorada con dispositivos gráficos, quinta edición Esta serie proporciona una integración más profunda de los dispositivos gráficos en los temas, permitiendo que el estudiante explore conceptos matemáticos y que se vaya dando una idea de temas que generalmente se estudian en otros cursos. Al usar la tecnología, el enfoque para resolver algunos problemas difiere del de la se rie contemporánea, mientras que el énfasis en el entendimiento de los conceptos y la construcción de fuertes habilidades no cambia: Álgebra Uni ersitaria, Álgebra y Trigonometría, Trigonometría, Precálculo.

Serie de conceptos a través de funciones, segunda edición Esta serie difiere de las otras dos en el uso de un enfoque de funciones que sirve como principio organizador para unir conceptos. Primero se presentan las funcio nes en diferentes formatos. Este enfoque refuerza la regla de cuatro, que establece que las funciones se pueden representar de manera simbólica, numérica, gráfica y verbal. Cada capítulo presenta un nuevo tipo de función y después desarrolla todos los conceptos relacionados con esa función en particular. En lugar de desarrollar las soluciones de las ecuaciones y desigualdades como temas separados, lo hace dentro del contexto de las funciones correspondientes. La cobertura de gráficas con dis positivos gráficos es opcional y se puede incluir o excluir, dependiendo del criterio del profesor: Álgebra Uni ersitaria; Precálculo, con un enfoque de círculo unitario a trigonometría; Precálculo, con un enfoque de triángulo rectángulo a trigonometría.

XV

cimientos de matemáticas y miedo a ellas, lotivados y preparados. Para algunos, éste so de matemáticas; mientras que para otros in para futuros cursos de matemáticas. He 0 pensando en los dos grupos. 'entaja de ser el autor de una serie exitot realimentación que recibo de maestros ue han usado ediciones anteriores. Estoy gradecido por su apoyo. Prácticamente to; realizados a esta edición son el resultado comentarios y sugerencias. Espero haber ornar sus ideas para hacer esta serie una : enseñanza y aprendizaje, construida so bases de la octava edición, aún mejor para tudiantes.

1la novena edición aporcionar aquí una lista de los recursos, i encontrar en las primeras páginas de este iblecen los recursos en su contexto ade3loques de construcción de un sistema jue ha sido ensamblado cuidadosamente ara ayudar a los estudiantes a obtener el 0 posible del tiempo que invierten en sus ivor, tome un momento para revisar esto a sus estudiantes al inicio del curso. Mi ha mostrado que cuando los estudiantes rsos son más exitosos en la materia.

[iones en la novena edición ; capítulo, los cuales, aplican los conceptos tulo a una situación de la vida real los cuamejorados para dar a los estudiantes una actualizada. Muchos proyectos son nuevos dos en Internet, por lo que requieren que tes encuentren información en línea para er los problemas. lathXL: “El autor lo resuelve”. El autor livan trabaja por secciones en ejercicios en los que generalmente los estudiantes na mayor explicación y asesoría. Estos 1resultado de las experiencias de Sullivan •or Internet. : escaparate, se usan para presentar ejemforma guiada. Los estudiantes pueden ver inte cómo se utiliza cada paso de un projemplos de “cómo resolverlo” vienen en un ¡os columnas en donde la columna izquierda aso para resolver el problema y la columna :stra el álgebra completa con anotaciones.

Muchos de los problemas que involucran datos requie ren que los estudiantes primero determinen el modelo apropiado (lineal, cuadrático, etc.) que mejor se ajuste a los datos y justifiquen su elección. • Los grupos de ejercicios se encuentran clasificados de acuerdo con su propósito al final de cada sección. Hemos extendido los ejercicios de la sección Estéis listo?” para mejor uso del estudiante que necesita un repaso oportuno de los conceptos usados en la sección. Los ejercicios de conceptos y ocabulario han sido ac tualizados. Estos ejercicios de completar el espacio en blanco y verdadero/falso han sido escritos para servir como exámenes orales. Se han agregado ejercicios de práctica mixta. Estos problemas proporcionan una eva luación profunda de las habilidades desarrolladas en la sección, por medio de problemas que se relacionan con más de un objetivo. En ocasiones, requerirán informa ción de secciones anteriores, con el fin de que los estu diantes usen las habilidades desarrolladas a lo largo del curso. Los problemas de aplicaciones y extensiones han sido actualizados y se han agregado un número mayor de problemas con información y datos de fuentes para hacerlos más contemporáneos y relevantes. Los ejerci cios de explicación de conceptos: disensión y escritura han sido actualizados y reformulados para estimular la discusión de los conceptos en foros de discusión por Internet. También se pueden usar para alentar la dis cusión dentro de la clase. Finalmente, en la edición con anotaciones para el profesor, he seleccionado proble mas que pueden servir como ejemplos de problemas de tarea. Estos están subrayados y se pueden asignar en MyMathLab® si así se desea. • El repaso del capítulo ahora identifica ejemplos para retomar cada objetivo del capítulo.

Cam bios en la novena edición • CONTENIDO ° Capítulo 3, sección 3 Se agregó un objetivo nue vo: “usar una gráfica para localizar el máximo absoluto y el mínimo absoluto”. También se hace mención del teorema de valor extremo. ° Capítulo 4, sección 3 Se agregó un objetivo nue vo: “encontrar la función cuadrática a partir de su vértice y de un punto dados”. ° Capítulo 5, sección 1 Se agregó un nuevo objeti vo: “construir modelos cúbicos a partir de los da tos”. ° Capítulo 5, sección 5 Se eliminó la regla de los signos de Descartes, ya que su valor es redundante respecto a la información obtenida de otras fuentes. ° Capítulo 6, sección 3 Se ha amplió la definición de una función exponencial.


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Capítulo 10, sección 5 Se agregaron más aplica ciones de la descomposición de vectores.

• ORGANIZACIÓN ° Capítulo R, sección 5 El objetivo “completar cuadrados” se movió del capítulo 1 a esta sección. ° Capítulo 8 Las dos secciones de ecuaciones trigo nométricas, ecuaciones trigonométricas (I) y ecua ciones trigonométricas (II) se consolidaron en una nueva sección en el capítulo 8, sección 3, llamada ecuaciones trigonométricas. Además, las ecuacio nes trigonométricas que usan identidades especia les se organizaron en secciones estratégicas a lo largo del capítulo. 9 Capítulo 10 El material con aplicaciones de vec tores que anteriormente estaba en la sección 5 sobre producto punto, cambió a la sección 4 para enfatizar las aplicaciones del vector resultante.

Uso eficaz de la novena edición de acuerdo al plan de estudios Para satisfacer las diferentes necesidades de los diversos planes de estudio, este libro incluye más contenido de lo que probablemente se cubre en un curso de álgebra y tri gonometría. Como se puede ver en la gráfica, este libro ha sido organizado con la idea de darle flexibilidad de uso. Dentro de cada capítulo algunas secciones son opcionales (ver los detalles después de la gráfica) y se pueden omitir sin perder la continuidad.

Capítulo 2

••

X V II

Gráficas

Este capítulo establece las bases para las funciones. La sección 2.5 es opcional. Capítulo 3

Funciones y sus gráficas

Tal vez es el capítulo más importante. La sección 3.6 es opcional. Capítulo 4

Funciones lineales y cuadráticas

La elección de temas depende del plan de estudios par ticular. Las secciones 4.2 y 4.4 se pueden omitir sin perder continuidad. Capítulo 5

Funciones polinom iales y racionales

La elección de temas depende del plan de estudios par ticular. Capítulo 6

Funciones exponenciales y logarítm icas

Las secciones 6.1-6.6 van en orden. Las secciones 6.7,6.8 y 6.9 son opcionales. Capítulo 7

Funciones trigonom étricas

En un curso corto, se puede omitir la sección 7.8. Capítulo 8

Trigonom etría analítica

En un curso corto, se pueden omitir las secciones 8.2, 8.6 y 8.8. Capítulo 9

A plicaciones de funciones trigonom étricas

En un curso corto, se pueden omitir las secciones 9.4 y 9.5. Capítulo 10


Las secciones 10.1-10.3 y las secciones 10.4 y 10.5 son in dependientes y se pueden cubrir por separado. Capítulo 11

Capítulo R

Repaso

Este capítulo consiste de material de repaso. Se puede usar como la primera parte del curso o, más tarde, como un repaso oportuno cuando se requiera el contenido. Para ayudar en el proceso de repaso, se hacen referencias específicas a este capítulo a lo largo de todo el libro. Capítulo 1

Geom etría analítica

Las secciones 11.1-11.4 van en orden. Las secciones 11.5, 11.6 y 11.7 son independientes entre sí, pero cada una re quiere de las secciones 11.1-11.4. Capítulo 12

Sistem as de ecuaciones y desigualdades

Las secciones 12.2-12.7 se pueden cubrir en cualquier or den, pero cada una requiere de la sección 12.1. La sección 12.8 requiere de la sección 12.7.


Este capítulo consiste principalmente en un repaso de temas de álgebra intermedia, debido a que este material es un requisito previo necesario para los temas que se tratarán. El estudio de números complejos y ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo es opcional y se puede posponer o saltar completamente, sin perder la continuidad.

Capítulo 13

Sucesiones; inducción; teorem a del binomio

Aquí hay tres partes independientes: las secciones 13.1-13.3; la sección 13.4 y la sección 13.5 Capítulo 14

Conteo y probabilidad Las secciones van en orden.

Prefacio para el profesor omo profesor de matemáticas en una universidad pública, durante 35 años, entiendo las diversas ne cesidades de los estudiantes de álgebra y trigonome tría. Los estudiantes varían desde los menos preparados, con pocos conocimientos de matemáticas y miedo a ellas, hasta los muy motivados y preparados. Para algunos, éste es su último curso de matemáticas; mientras que para otros es la preparación para futuros cursos de matemáticas. He escrito este texto pensando en los dos grupos. Una gran ventaja de ser el autor de una serie exito sa es la amplia realimentación que recibo de maestros y estudiantes que han usado ediciones anteriores. Estoy sinceramente agradecido por su apoyo. Prácticamente to dos los cambios realizados a esta edición son el resultado de sus atinados comentarios y sugerencias. Espero haber sido capaz de tomar sus ideas para hacer esta serie una herramienta de enseñanza y aprendizaje, construida so bre las exitosas bases de la octava edición, aún mejor para profesores y estudiantes.

C

Recursos de la novena edición En lugar de proporcionar aquí una lista de los recursos, éstos se pueden encontrar en las primeras páginas de este libro. Ahí se establecen los recursos en su contexto ade cuado, como bloques de construcción de un sistema de enseñanza que ha sido ensamblado cuidadosamente año tras año, para ayudar a los estudiantes a obtener el mayor provecho posible del tiempo que invierten en sus estudios. Por favor, tome un momento para revisar esto y discutirlo con sus estudiantes al inicio del curso. Mi experiencia me ha mostrado que cuando los estudiantes usan estos recursos son más exitosos en la materia.

Nuevas secciones en la novena edición • Proyectos de capítulo, los cuales, aplican los conceptos de cada capítulo a una situación de la vida real los cua les han sido mejorados para dar a los estudiantes una experiencia actualizada. Muchos proyectos son nuevos y están basados en Internet, por lo que requieren que los estudiantes encuentren información en línea para poder resolver los problemas. • Videos de MathXL: “ El autor lo resuelve” . El autor Michael Sullivan trabaja por secciones en ejercicios de MathXL, en los que generalmente los estudiantes requieren una mayor explicación y asesoría. Estos videos son el resultado de las experiencias de Sullivan enseñando por Internet. • Ejemplos de escaparate, se usan para presentar ejem plos en una forma guiada. Los estudiantes pueden ver inmediatamente cómo se utiliza cada paso de un pro blema. Los ejemplos de “cómo resolverlo” vienen en un formato de dos columnas en donde la columna izquierda describe el paso para resolver el problema y la columna derecha muestra el álgebra completa con anotaciones.

xvi

• Modélalo. Estos ejemplos y ejercicios están claramen te marcados con un icono Su objetivo es que el estudiante desarrolle su habilidad para construir mo delos a partir de datos y de descripciones verbales. Muchos de los problemas que involucran datos requie ren que los estudiantes primero determinen el modelo apropiado (lineal, cuadrático, etc.) que mejor se ajuste a los datos y justifiquen su elección. • Los grupos de ejercicios se encuentran clasificados de acuerdo con su propósito al final de cada sección. Hemos extendido los ejercicios de la sección “¿Estéis listo?” para mejor uso del estudiante que necesita un repaso oportuno de los conceptos usados en la sección. Los ejercicios de conceptos y ocabulario han sido ac tualizados. Estos ejercicios de completar el espacio en blanco y verdadero/falso han sido escritos para servir como exámenes orales. Se han agregado ejercicios de práctica mixta. Estos problemas proporcionan una eva luación profunda de las habilidades desarrolladas en la sección, por medio de problemas que se relacionan con más de un objetivo. En ocasiones, requerirán informa ción de secciones anteriores, con el fin de que los estu diantes usen las habilidades desarrolladas a lo largo del curso. Los problemas de aplicaciones y extensiones han sido actualizados y se han agregado un número mayor de problemas con información y datos de fuentes para hacerlos más contemporáneos y relevantes. Los ejerci cios de explicación de conceptos: disensión y escritura han sido actualizados y reformulados para estimular la discusión de los conceptos en foros de discusión por Internet. También se pueden usar para alentar la dis cusión dentro de la clase. Finalmente, en la edición con anotaciones para el profesor, he seleccionado proble mas que pueden servir como ejemplos de problemas de tarea. Estos están subrayados y se pueden asignar en MyMathLab® si así se desea. • El repaso del capítulo ahora identifica ejemplos para retomar cada objetivo del capítulo.

Cam bios en la novena edición • CONTENIDO ° Capítulo 3, sección 3 Se agregó un objetivo nue vo: “usar una gráfica para localizar el máximo absoluto y el mínimo absoluto”. También se hace mención del teorema de valor extremo, o Capítulo 4, sección 3 Se agregó un objetivo nue vo: “encontrar la función cuadrática a partir de su vértice y de un punto dados”. ° Capítulo 5, sección 1 Se agregó un nuevo objeti vo: “construir modelos cúbicos a partir de los da tos”. ° Capítulo 5, sección 5 Se eliminó la regla de los signos de Descartes, ya que su valor es redundante respecto a la información obtenida de otras fuentes. ° Capítulo 6, sección 3 Se ha amplió la definición de una función exponencial.

Prrfaclo p .v j el profesor

* Capitulo 10, «ccvion 5 Se agregaron más aplica* cioncs ilc la descomposición de vectores. • ORGANIZACIÓN * Capitulo R. sección 5 El objetivo "completar cuadrados" se movió del capitulo l a esta sección. * Capitulo 8 Las dos secciones de ecuaciones trigt>nométrtais, etUiH iones tnyonometnuLs (!) y «riui* cione.s trigtmométruus (II i se consolidaron en una nueva sección en el capitulo 8, sección 3, llamada ecuaciones trigonométricas. Además, las ecuacio nes trigonométricas que usan identidades especia les se organizaron en secciones estratégicas a lo largo del capitulo. 1 Capitulo 10 El material con aplicaciones de vec tores que anteriormente estaba en la sección 5 sobre producto punto, cambió a la sección 4 para enfatizar las aplicaciones del vector resultante.

Uso eficaz de la novena edición de acuerdo al plan de estudios Para satisfacer las diferentes necesidades de los diversos planes de estudio, este libro incluye más contenido de lo que probablemente se cubre en un curso de ályebm y trifonometría. Como se puede ver en la gráfica, este libro ha sido organizado con la idea de darle flexibilidad de uso. Dentro de cada capítulo algunas secciones son opcionales (ver los detalles después de la gráfica) y se pueden omitir sin perder la continuidad.

Capitulo 2

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Gráficas

Este capítulo establece las bases para las funciones. La sección 2.5 es opcional. Capitulo 3

Funcionas y sus gráficas

Tal vez es el capitulo más importante. La sección 3.6 es opcional. Capítulo 4

Funcionas lineales y cuadráticas

La elección de temas depende del plan de estudios par ticular. Las secciones 4.2 y 4.4 se pueden omitir sin perder continuidad. Capitulo 5

Funcionas polinom iales y racionales

La elección de temas depende del plan de estudios par ticular. Capitulo 6

Funciones exponenciales y logarítm icas

Las secciones 6.1 -6.6 van en orden. Las secciones 6.7,6.8 y 6 .9 son opcionales. Capitulo 7


En un curso corto, se puede omitir la sección 7.8. Capítulo 8

Trigonom etría analítica

En un curso corto, se pueden omitir las secciones 8.2,8.6 y 8.8. Capítulo 9

Aplicaciones de funciones trigonom étricas

En un curso corto, se pueden omitir las secciones 9.4 y 9.5. Capitulo 10


Las secciones 10.1-10.3 y las secciones 10.4 y 10.5 son in dependientes y se pueden cubrir por separado. Capítulo 11

Capitulo R

Repaso

Este capítulo consiste de material de repaso. Se puede usar como la primera parte del curso o, más tarde, como un repaso oportuno cuando se requiera el contenido. Para ayudar en el proceso de repaso, se hacen referencias específicas a este capítulo a lo largo de todo el libro. Capítulo 1

Geom etria analitica

Las secciones 11.1-11.4 van en orden. Las secciones 11.5, 11.6 y 11.7 son independientes entre sí, pero cada una re quiere de las secciones 11.1-11.4. Capitulo 12


Las secciones 12.2-12.7 se pueden cubrir en cualquier or den, pero cada una requiere de la sección 12.1. La sección 12.8 requiere de la sección 12.7.


Este capítulo consiste principalmente en un repaso de temas de álgebra intermedia, debido a que este material es un requisito previo necesario para los temas que se tratarán. El estudio de números complejos y ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo es opcional y se puede posponer o saltar completamente, sin perder la continuidad.

Capitulo 13

Sucesiones; inducción; teorem a del binomio

Aquí hay tres partes independientes: las secciones 13.1-13.3; la sección 13.4 y la sección 13.5 Capítulo 14


Las secciones van en orden.

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Agradecimientos Los libros de texto son escritos por autores pero evolu cionan de una idea a su forma final, a través de los esfuer zos de muchas personas. Don Dellen fue quien inicial mente sugirió este libro y las series. A Don se le recuerda por sus extensas contribuciones a las publicaciones y a las matemáticas. Agradezco también su ayuda y estímulo en la prepa ración de esta edición a las siguientes personas:

• Cuando este libro iba camino a la imprenta, Bob Walters, director de producción, falleció tras una larga y valiente batalla contra una enfermedad pulmonar. Él era un querido y viejo amigo, un verdadero profesio nal en el más amplio sentido de la palabra. • Revisores de la exactitud de datos: C. Brad Davis, quien leyó el manuscrito entero y verificó la exactitud de las respuestas. Su atención a los detalles es impre sionante; Timothy Britt, por crear el Manual de Solu ciones y verificar la exactitud de las respuestas. • Revisiones: Larissa Williamson, University of Flori da; Richard Nadel, Florida International University; Robin Steinberg, Puma CC; Mike Rosenthal, Florida International University; Gerardo Aladro, Florida In ternational University; Tammy Muhs. University of Central Florida; Val Mohanakumar, Hillsborough CC.

• De Pearson Education: Anne Kelly por sus contri buciones sustanciales, ideas y entusiasmo; Roxanne McCarley, una admiradora y partidaria; Dawn Murrin, por su inigualable talento para obtener detalles correc tos; Bob y Carol Walters por sus magníficas habilidades organizacionales en la dirección de la producción; Pe ggy McMahon por sus intervenciones y por dirigir las etapas finales de producción; Chris Hoag por su apoyo continuo y genuino interés; Greg Tobin por su lide razgo y compromiso con la excelencia y al equipo de Pearson Math and Science Sales por su continua con fianza y apoyo personal a nuestros libros.

Por último quiero ofrecer mi profundo agradecimien to a los dedicados usuarios y revisores de mis libros cuyas perspicaces sugerencias forman la columna vertebral de cada revisión del libro de texto. Mi lista de endeudamiento crece y crece. Si he olvidado a alguien, por favor acepten mis disculpas. Gracias a todos.

James Africh, College of DuPage Steve Agronsky, Cal Ploy State University Grant Alexander, Joliet Junior College Dave Anderson, South Suburban College Richard Andrews, Florida A&M University Joby Milo Anthony, University of Central Florida James E. Arnold, University of Wisconsin-Milwaukee Adel Arshaghi, Center for Educational Merit Carolyn Autray, University of West Georgia Agnes Azzolino, Middlesex County College Wilson P Banks, Illinois State University Sudeshna Basu, Howard University Dale R. Bedgood, East Texas State University Beth Beno, South Suburban College Carolyn Bernath, Tallahassee Community College Rebecca Berthiaume, Edison State College William H. Beyer, University of Akron Annette Blackwelder, Florida State University Richelle Blair, Lakeland Community College Kevin Bodden, Lewis and Clark College Barry Booten, Florida Atlantic University Larry Bouldin, Roane State Community College Bob Bradshaw, Ohlone College Trudy Bratten, Grossmont College Tim Bremer, Broome Community College Tim Britt, Jackson State Community College Michael Brook, University of Delaware Joanne Brunner, Joliet Junior College Warren Burch, Brevard Community College Mary Butler, Lincoln Public Schools Melanie Butler, West Virginia University Jim Butterbach, Joliet Junior College William J. Cable, University of Wisconsin-Stevens Point Lois Calamia, Brookdale Community College Jim Campbell, Lincoln Public Schools

Roger Carlsen, Moraine Valley Community College Elena Catoiu, Joliet Junior College Mathews Chakkanakuzhi, Palomar College Tim Chappell, Penn Valley Community College John Collado, South Suburban College Alicia Collins, Mesa Community College Nelson Collins, Joliet Junior College Jim Cooper, Joliet Junior College Denise Corbett, East Carolina University Carlos C. Corona, San Antonio College Theodore C. Coskey, South Seattle Community College Donna Costello, Plano Senior High School Paul Crittenden, University of Nebraska at Lincoln John Davenport, East Texas State University Faye Dang, Joliet Junior College Antonio David, Del Mar College Stephanie Deacon, Liberty University Duane E. Deal, Ball State University Jerry DeGroot, Purdue North Central Timothy Deis, University of Wisconsin-Platteville Joanna DelMonaco, Middlesex Community College Vivian Dennis, Eastfield College Deborah Dillon, R. L. Turner High School Guesna Dorman, Tallahassee Community College Cheryl Doolittle, Iowa State University Karen R. Dougan, University of Florida Jerrett Dumouchel, Florida Community College at Jacksonville Louise Dyson, Clark College Paul D. East. Lexington Community College Don Edmondson. University of Texas-Austin Erica Egizio, Joliet Junior College Jason Eltrevoog, Joliet Junior College Christopher Ennis, University of Minnesota Kathy Eppler, Salt Lake Community College


Ralph Esparza, Jr., Richland College Garret J. Etgen, University of Houston Scott Fallstrom, Shoreline Community College Pete Falzone, Pensacola Junior College W.A. Ferguson, University of Illinois-Urbana/ Champaign Iris B. Fetta, Clemson University Mason Flake, student at Edison Community College Timothy W. Flood, Pittsburg State University Robert Frank, Westmoreland County Community College Merle Friel, Humboldt State University Richard A. Fritz, Moraine Valley Community College Dewey Furness, Ricke College Randy Gallaher, Lewis and Clark College Tina Garn, University of Arizona Dawit Getachew, Chicago State University Wayne Gibson, Rancho Santiago College Robert Gill, University of Minnesota Duluth Nina Girard, University of Pittsburgh at Johnstown Sudhir Kumar Goel, Valdosta State University Adrienne Goldstein, Miami Dade College, Kendall Campus Joan Goliday, Sante Fe Community College Lourdes Gonzalez, Miami Dade College, Kendall Campus Frederic Gooding, Goucher College Donald Goral, Northern Virginia Community College Sue Graupner, Lincoln Public Schools Mary Beth Grayson, Liberty University Jennifer L. Grimsley, University of Charleston Ken Gurganus, University of North Carolina James E. Hall, University of Wisconsin-Madison Judy Hall.West Virginia University Edward R. Hancock, DeVry Institute of Technology Julia Hassett, DeVry Institute-Dupage Christopher Hay-Jahans, University of South Dakota Michah Heibel, Lincoln Public Schools LaRae Helliwell, San Jose City College Celeste Hernandez, Richland College Gloria P. Hernandez, Louisiana State University at Eunice Brother Herron, Brother Rice High School Robert Homburg, Western Connecticut State University Lynda Hollingsworth, Northwest Missouri State University Charla Holzbog, Denison High School Lee Hruby, Naperville North High School Miles Hubbard, St. Cloud State University Kim Hughes, California State College-San Bernardino Ron Jamison, Brigham Young University Richard A. Jensen, Manatee Community College Glenn Johnson, Middlesex Community College Sandra G. Johnson, St. Cloud State University Tuesday Johnson, New Mexico State University Susitha Karunaratne, Purdue University North Central Moana H. Karsteter, Tallahassee Community College Donna Katula, Joliet Junior College

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Arthur Kaufman, College of Staten Island Thomas Kearns, North Kentucky University Jack Keating, Massasoit Community College Shelia Kellenbarger, Lincoln Public Schools Rachael Kenney, North Carolina State University Debra Kopcso, Louisiana State University Lynne Kowski, Raritan Valley Community College Yelena Kravchuk, University of Alabama at Birmingham Keith Kuchar, Manatee Community College Tor Kwembe, Chicago State University Linda J. Kyle, Tarrant Country Jr. College H.E. Lacey, Texas A & M University Harriet Lamm, Coastal Bend College James Lapp, Fort Lewis College Matt Larson, Lincoln Public Schools Christopher Lattin, Oakton Community College Julia Ledet, Lousiana State University Adele LeGere, Oakton Community College Kevin Leith, University of Houston JoAnn Lewin, Edison College Jeff Lewis, Johnson County Community College Janice C. Lyon, Tallahassee Community College Jean McArthur, Joliet Junior College Virginia McCarthy, Iowa State University Karla McCavit, Albion College Michael McClendon, University of Central Oklahoma Tom McCollow, DeVry Institute of Technology Marilyn McCollum, North Carolina State University Jill McGowan, Howard University Will McGowant, Howard University Angela McNulty, Joliet Junior College Laurence Maher, North Texas State University Jay A. Malmstrom, Oklahoma City Community College Rebecca Mann, Apollo High School Lynn Marecek, Santa Ana College Sherry Martina, Naperville North High School Alec Matheson, Lamar University Nancy Matthews, University of Oklahoma James Maxwell, Oklahoma State University-Stillwater Marsha May, Midwestern State University James McLaughlin, West Chester University Judy Meckley, Joliet Junior College David Meel, Bowling Green State University Carolyn Meitler, Concordia University Sarnia Metwali, Erie Community College Rich Meyers, Joliet Junior College Eldon Miller, University of Mississippi James Miller, West Virginia University Michael Miller, Iowa State University Kathleen Miranda, SUNY at Old Westbury Chris Mirbaha, The Community College of Baltimore County Val Mohanakumar, Hillsborough Community College Thomas Monaghan, Naperville North High School Miguel Montanez, Miami Dade College, Wolfson Campus

XX


Maria Montoya, Our Lady of the Lake University Susan Moosai, Florida Atlantic University Craig Morse, Naperville North High School Samad Mortabit, Metropolitan State University Pat Mower, Washburn University A. Muhundan, Manatee Community College Jane Murphy, Middlesex Community College Richard Nadel, Florida International University Gabriel Nagy, Kansas State University Bill Naegele, South Suburban College Karla Neal, Lousiana State University Lawrence E. Newman, Holyoke Community College Dwight Newsome, Pasco-Hernando Community College Denise Nunley, Maricopa Community Colleges James Nymann, University of Texas-El Paso Mark Omodt, Anoka-Ramsey Community College Seth F. Oppenheimer, Mississippi State University Leticia Oropesa, University of Miami Linda Padilla, Joliet Junior College E. James Peake, Iowa State University Kelly Pearson, Murray State University Dashamir Petrela, Florida Atlantic University Philip Pina, Florida Atlantic University Michael Prophet, University of Northern Iowa Laura Pyzdrowski, West Virginia University Neal C. Raber, University of Akron Thomas Radin, San Joaquin Delta College Aibeng Serene Radulovic, Florida Atlantic University Ken A. Rager, Metropolitan State College Kenneth D. Reeves, San Antonio College Elsi Reinhardt, Truckee Meadows Community College Jose Remesar, Miami Dade College, Wolfson Campus Jane Ringwald, Iowa State University Stephen Rodi, Austin Community College William Rogge, Lincoln Northeast High School Howard L. Rolf, Baylor University Mike Rosenthal, Florida International University Phoebe Rouse, Lousiana State University Edward Rozema, University of Tennessee at Chattanooga Dennis C. Runde, Manatee Community College Alan Saleski, Loyola University of Chicago Susan Sandmeyer, Jamestown Community College Brenda Santistevan, Salt Lake Community College Linda Schmidt, Greenville Technical College Ingrid Scott, Montgomery College A.K. Shamma, University of West Florida Martin Sherry, Lower Columbia College Carmen Shershin, Florida International University Tatrana Shubin, San Jose State University Anita Sikes, Delgado Community College Timothy Sipka, Alma College

Charlotte Smedberg, University of Tampa Lori Smcllegar, Manatee Community College Gayle Smith, Loyola Blakefield Leslie Soltis, Mercyhurst College John Spellman, Southwest Texas State University Karen Spike, University of North Carolina Rajalakshmi Sriram, Okaloosa-Walton Community College Katrina Staley, North Carolina Agricultural and Technical State University Becky Stamper, Western Kentucky University Judy Staver, Florida Community College-South Neil Stephens, Hinsdale South High School Sonya Stephens, Florida A&M University Patrick Stevens, Joliet Junior College John Sumner, University of Tampa Matthew TenHuisen, University of North Carolina, Wilmington Christopher Terry, Augusta State University Diane Tesar, South Suburban College Tommy Thompson, Brookhaven College Martha K. Tietze, Shawnee Mission Northwest High School Richard J. Tondra, Iowa State University Suzanne Topp, Salt Lake Community College Marilyn Toscano, University of Wisconsin, Superior Marvel Townsend, University of Florida Jim Trudnowski, Carroll College Robert Tuskey, Joliet Junior College Mihaela Vajiac, Chapman University-Orange Richard G. Vinson, University of South Alabama Jorge Viola-Prioli, Florida Atlantic University Mary Voxman, University of Idaho Jennifer Walsh, Daytona Beach Community College Donna Wandke, Naperville North High School Timothy L. Warkentin, Cloud County Community College Hayat Weiss, Middlesex Community College Kathryn Wetzel, Amarillo College Darlene Whitkenack, Northern Illinois University Suzanne Williams, Central Piedmont Community College Larissa Williamson, University of Florida Christine Wilson, West Virginia University Brad Wind, Florida International University Anna Wiodarczyk, Florida International University Mary Wolyniak, Broome Community College Canton Woods, Auburn University Tamara S. Worner, Wayne State College Terri Wright, New Hampshire Community Technical College, Manchester George Zazi, Chicago State University Steve Zuro, Joliet Junior College Michael Sullivan Chicago Stale University (Universidad del estado de Chicago)

RECURSOS PARA EL ESTUDIANTE Los siguientes complementos están disponibles para el estudiante: •

Manual de Soluciones para el estudiante (ISBN 10:0321717112; ISBN 13: 9780321717115) Soluciones completas de los ejercicios impares.

•

Repaso de álgebra (ISBN 10: 0131480065; ISBN 13: 9780131480063) Cuatro capítulos de repaso de álgebra intermedia. Ideal para un curso más lento o para repaso individual.

•

Videos en DVD para álgebra y trigonometría, 9e (ISBN 10: 0321716663; ISBN 13: 9780321716668) Las grabaciones en DVD contienen breves videos de Michael Sullivan III resolviendo ejemplos clave del libro. Los videos de preparación para examen del capítulo (también incluidos) proporcionan soluciones completas de los ejercicios de exa men del capítulo. Los videos de preparación para examen del capítulo también están disponibles en MyMathLab® o en YouTube® (entra a www.youtube.com/SullivanAlgandTrig9e). Los videos tienen subtítulos opcionales. Curso en Internet de MathXL® (se requiere código de acceso)

MathXL® es un poderoso sistema de tareas por Internet, tutoriales y evaluaciones que acompaña a los libros de texto de mate máticas o estadística de Pearson Education. Con MathXL® los profesores pueden: • Crear, editar y asignar tareas por Internet y exámenes usando ejercicios generados con algoritmos y que se relacionan con el libro a nivel objetivo. • Crear y asignar sus propios ejercicios en Internet e importar exámenes TestGen para mayor flexibilidad. • Mantener registros de todo el trabajo del estudiante, dándole seguimiento en el libro de calificaciones en línea de MathXL®. Con MathXL® los estudiantes pueden: • Tomar exámenes de capítulo en MathXL® y recibir planes de estudio personalizados basados en los resultados de sus exámenes. • Usar el plan de estudios para enlazar directamente los ejercicios tutoriales con los objetivos que necesiten estudiar y volver a evaluar. • Tener acceso a suplementos animados y videos de ejercicios selectos directamente. MathXL está disponible para maestros calificados que lo adopten. Para mayor información, visita nuestra página de Internet http://espanol.niym athlabglobal.com /login_espanol.htin o póngase en contacto con su representante de ventas de Pearson. Curso MYMathLab® por Internet (se requiere código de acceso)

MyMathLab® es un curso por Internet específico del texto, fácilmente personalizable y que integra instrucciones multimedia interactivas con el contenido del libro de texto. MyMathLab le da las herramientas que necesita para impartir todo o una parte de su curso por Internet, ya sea que sus alumnos se encuentren en la escuela o que trabajen desde en su casa. • E jercicios interactivos de tarea, que se relacionan al nivel objetivo con el libro y que son generados algorítmicamente para practicar ilimitadamente y tener dominio. La mayoría de los ejercicios tienen respuesta libre y dan soluciones guiadas, problemas de muestra y tutoriales de asistencia de aprendizaje para mayor ayuda. • Tareas personalizadas, ejercicios que usted puede diseñar para satisfacer las necesidades de su grupo. MyMathLab diseña una tarea para cada estudiante basada en los resultados de sus exámenes. Cada estudiante recibe una tarea que contiene solo los problemas que aún necesita dominar. • Plan de estudios personalizado, generado cuando los estudiantes completan un cuestionario, examen o tarea, que indica los temas que deben ser dominados y dirige a ejercicios para los temas que los estudiantes aún requieren repasar. Usted puede personalizar su plan de estudios para que los temas disponibles concuerden con el contenido de su curso. • A uxiliares de aprendizaje m ultim edia, como clases en videos y podcasts, animaciones y un texto multimedia completo, ayudan a los estudiantes a mejorar su entendimiento y desempeño de forma independiente. Usted puede asignar estos auxiliares multimedia de aprendizaje como tareas para ayudar a sus estudiantes a entender los conceptos. • El adm inistrador d e tareas y exám enes le permite asignar tareas, cuestionarios rápidos y exámenes que se califican auto máticamente. Seleccione la mezcla adecuada de preguntas del banco de ejercicios de MyMathLab, ejercicios creados por el instructor y/o pruebas de TestGen®. • Libro de calificaciones, diseñado específicamente para matemáticas y estadística, da seguimiento automático a los resulta dos de los estudiantes, le permite estar al tanto del desempeño de cada estudiante y le da control sobre el cálculo de las ca lificaciones finales. También pueden añadir calificaciones fuera de Internet'(de papel y lápiz) a este libro de calificaciones. • El generador de ejercicios de M athX L le permite crear ejercicios estáticos y algorítmicos para sus tareas por Internet. Puede usar la lista de ejercicios de muestra como un punto de inicio sencillo o puede editar cualquier ejercicio relacionado con el curso.

xxi

• El acceso al centro de asesoría Pearson (www.pearsontutorserviccs.com) se incluye automáticamente en MyMathLab. El centro de asesoría está manejado por instructores de matemáticas calificados que dan asesorías especificas sobre el libro de texto a los estudiantes, por medio de un número telefónico gratuito, fax, correo electrónico y sesiones interactivas en línea. Este contenido está en inglés. • NUEVOS recursos para Álgebra y Trigonometría, 9e, Sullivan O Los videos de “El autor lo resu elve” muestran a Michael Sullivan III trabajando por secciones en ejercicios de MathXL. que generalmente son en los que los estudiantes solicitan más explicaciones y asesorías. Estos videos son el resultado de las experiencias de las clases en línea de Sullivan. O Las muestras de tareas presentadas por el autor, se indican subrayadas dentro de los grupos de ejercicios al final de la sección, en la edición con anotaciones para el instructor y se pueden asignar en MyMathLab. O Los ejercicios MathXL de proyecto del capítulo permiten a los instructores asignar problemas basados en Internet, sobre los nuevos proyectos de capítulo. Los estudiantes realizan sus tareas en el Flash®-based MathXL Player, el cual, es compatible con casi cualquier navegador (Firefox®, Safari™ o Internet Explorer®) y con casi cualquier sistema operativo (Macintosh® o Windows®). MyMathLab está accionado por CourseCompass™, el medio de aprendizaje y enseñanza en línea de Pearson Education y por MathXL*. nues tro sistema de tareas, asesorías y evaluaciones por Internet. MyMathLab está disponible para profesores calificados que lo adopten. Para mayor información, visite www.mymathlab.com o contacte a su representante de Pearson.

xxií

: índice de aplicaciones Acústica

Astronomía

Combinatoria

amplificación del sonido, 498 bocina, 709 diapasón, 709-710 galerías con eco. 793-94,839 intensidad del sonido, 449

ángulo de elevación del Sol, 676 año luz, 29 distancia de la Tierra a su luna, 29 distancia de los planetas al Sol, 948 órbitas planetarias, 793 Júpiter, 796 Marte, 796 Mercurio, 823 Neptuno, 841 Plutón, 796,841 Tierra, 796

apilado de cajas, 994 arreglo de banderas, 993, 1008 arreglos de libros, 994,1007 candados de combinación, 995 códigos de aeropuertos, 988 códigos binarios, 1008 códigos de letras, 988,1008 combinaciones de blusas y faldas, 986 combinaciones de camisas y corbatas, 986 combinaciones de letras, 1007 disposición de los asientos, 1007 fila de personas, 989,994 formación de códigos, 994 formación de comités, 992,994-95,1008 comités del Senado, 995 formación de palabras, 992-93, 995,1008 formación de números, 986,994, 995,1008 números telefónicos, 1007 palabras código de dos letras, 985 permutaciones de fechas de nacimiento, 990, 994, 995,1001-2,1006,1008 posibilidades de números de placas, 994, 1007,1009 selección de objetos, 995 voltaje de un foco, 1008

Aerodinámica

modelado de movimiento de naves, 774-75 Aeronáutica

desastre del Challenger, 485

Aviación Agricultura

administración de granjas, 929 área de pastoreo para una vaca, 700-701 asignación de cosechas, 934 cercado de un campo, 914 eliminación de un tocón, 762-63 minimización de costos, 929 riego de un campo, 102

lanzamientos orbitales, 855 modelado de movimiento de naves, 774-75 Biología

Armas

alcohol y manejar, 445,450 biomasa de levaduras como función del tiempo, 489-90 crecimiento bacterial, 477-78,490-91 E-coli, 223,273 curación de heridas, 435,449 edad de la madre vs. síndrome de Down, 288 longitud ósea, 315-316 tasa de estridulación de un grillo y temperatura, 309 tipos de sangre, 986-87

artillería, 313,621 cañones, 318

clasificación de productos de madera, 483

Arqueología

Cálculo

edad de herramientas antiguas, 478-79 edad de un árbol, 484 edad de un fósil, 484 fecha de la muerte de un hombre prehistórico, 498

área bajo la curva, 257, 615-16 área bajo una gráfica, 232 doblar una esquina cargando una escalera, 630-31 maximización de la construcción de canaletas para lluvia, 660-61 movimiento de proyectiles, 630-31 regla de Simpson, 307

animal, 930 comida rápida, 856, 857 comidas "light", 129 contenido de una hielera, 1009 dieta de hospital, 857,871 dulces, 286 estofado de cerdo, 485 galletas de las niñas exploradoras, 1005 helado, 929 mezcla de caramelos de colores, 1009 número de comidas posibles, 984-85 pasas, 286-87 tiempo de calentamiento de una jarra de cerveza, 485 tiempo de enfriamiento de una pizza, 484

Carpintería

Computadoras y computación

declive, 181

computadoras personales Dell, 491-92 búsquedas en Internet, 112 gráficas, 761. impresoras láser, 142

Área. Ver también Geometría

bajo la curva, 615-16 de un segmento de círculo, 713 de un triángulo isósceles, 661 del Triángulo de las Bermudas, 700 del sector de un círculo, 514

Arquitectura

arco parabólico, 307 asientos de un estadio de fútbol, 954 construcción de un estadio, 954 dimensiones de ventanas, 102 diseño de mosaicos, 954, 978 diseño de pisos, 952-53,978 diseño de pista de carreras, 796 diseño de ventanas, 307 edificio Burj Khalifa, 31 escalera de tabique, 954,978 Torre Freedom, 539 ventana especial, 307, 315 ventana Norman, 37,307 Arte

enmarcar un cuadro, 147 piezas finas decorativas, 537-38

Bosques

Clima

caída de rayos, 805-6, 809 enfriamiento del aire, 954 evitar una tormenta tropical, 694 factor de enfriamiento por el viento, 243, 499 humedad relativa, 436 huracanes, 340 medición de precipitación pluvial, 769 presión atmosférica, 435,449 rayos y truenos, 146 satélites meteorológicos, 187

Comida y nutrición

Comunicaciones

antena parabólica, 783-84,785 cargos telefónicos, 280 comparación de compañías de teléfono, 315 dispersión de rumores, 435,449 instalación de TV por cable, 262 larga distancia, 281 servicio de teléfono celular, 199, 242,269

xxiii

X X ÍV

Indice de aplicaciones

teléfonos de botones, 665,710 uso de teléfono celular, 487-88,493 Construcción

antena de TV, 785 de bardas, 302,306,315,914 costo mínimo de, 366 de cercado alrededor de un estanque, 142 alrededor de un jardín, 142 maximización del área de, 302,306,315 de carreteras, 539, 687,712 de cerca alrededor de un jardín, 103 de cerca alrededor de una alberca, 103 de faros, 786 de un corral para niños, 259-60 de un estadio, 307,954 de un juego de columpios, 695 de un tambo de acero, 367 de un tubo cilindrico, 914 de una alberca, 37, 38 de una caja, 99-100,102,914 de una caja abierta, 262-63 cerrada, 267 de una canaleta para lluvia, 307,532-33, 660-61 de una cerca de un campo rectangular, 306 de una escalera de tabique, 978 de una lata, 396 de una lata de café, 143 de una linterna, 785-86 de una rampa, 686 rampa de acceso, 180 de una tienda de campaña, 699 dimensiones del patio, 103 inclinación del techo, 677 instalación de tubería de ventilación, 796 instalación de TV por cable, 262 preferencias de casas, 1007 Crimen. Ver también Leyes y aplicación de la ley Criptografía

matrices en, 898-99 Decoración

árbol de navidad, 32 Demografía

crecimiento de la población de conejos, 947 crecimiento de la población de moscos, 484 edad y diplomas de preparatoria, 309 estado civil, 987 índice de diversidad, 448-49 población divorciada, 304-5 tasa de nacimiento de mujeres solteras, 299 tasas de mortalidad, 1008 tasas de pobreza, 396

Deportes

apuestas exactas, 1009 basquetbol, 995 tiros libres, 220,677-78 tiros por debajo, 220 béisbol, 835,995,1007 campo, 694,695 diamante, 156 dimensiones del homc, 699 estadio, 694 ligas menores, 156,516-17 porcentaje de embasamiento, 282-83 Serie Mundial, 995 biatlón, 143 salto en bungec, 373 cálculo de tiros en billar, 539 carreras de relevos, 1007 carreras, 142, 147,911-12,914 desempeño olímpico, 197 fútbol, 142,796 golf, 220 golf, 827-28,835 distancia al green, 693 trampas de arena, 621 héroes olímpicos, 143 lanzamiento de martillo, 601 natación, 715,733 tenis, 142 Tour de France, 670 Dirección

de juegos pirotécnicos, 808-9 de la aguja de una brújula, 762 de la caída de un rayo, 809 de un nadador, 773 de una aeronave, 757-58, 761,773 de una lancha de motor, 762 para cruzar un río, 762 Diseño

de piezas finas decorativas, 537-38 de toldos, 688 de un campo de béisbol de ligas menores, 516 de un rociador de agua, 515 de una caja con área superficial mínima, 366-67 Diseño de paisajes. Ver también Jardines y jardinería

altura de un árbol, 686 cerca de un estanque, 315 cerca de un estanque rectangular, 315 eliminación de un tocón, 762-63 plantar árboles, 871 riego de pasto, 515 Distancia

a la Luna, 686 a lo largo de un estanque, 538 a una meseta, 538 a la orilla, 538,600,687 a una torre, 688

alcance de un avión, 143 alcance de una escalera, 538 altura de la Gran Pirámide de Kcops, 38,688 de la Torre CN, 539 de la Torre Freedom, 539 de la Torre Eiffel, 538 de la Torre Wíllis, 677 de montañas, 498,683,686 de un árbol, 686 de un edificio, 600, 677 de un globo aerostático, 538 de un helicóptero, 712 de un puente, 686 de un terraplén, 677 de una aeronave, 498,686,688 de una estatua en un edificio, 535 de una nube, 534-35 de una pelota botando, 964.978 de una persona en la rueda de la fortuna, 630 de una torre, 538,539 del Monte Everest, 29 del Monumento a Washington, 539 del rostro de Lincoln en el Mt. Rushmore, 538 ancho de desfiladero, 538 de un río, 534, 599 del Río Misisipi, 677 caminando, 222 circunferencia de la Tierra, 516 de búsqueda y rescate, 146 de Chicago a Honolulú, 616 de explosión, 809 de la Tierra a una estrella. 677 de un faro que gira. 583 de un globo aerostático al aeropuerto. 714 desde la intersección, 156 de una tormenta. 146 desde casa, 222 desde la intersección. 261-62 desde Honolulú a Melboume. Australia. 616 en el mar. 687. 712 entre ciudades, 510-11.515 entre dos objetos, 538 entre dos vehículos en movimiento. 156 hacia una intersección, 261-262 entre la Tierra y Mercurio. 688 entre la Tierra y Venus. 688 entre rascacielos. 677 longitud de un lago. 599 de un sendero de montaña. 539 de un teleférico. 686 del cable de tensión. 539.540.694 magnitud limitante de un telescopio. 498 oscilación de un péndulo, 960.964 recorrida en bicicleta, 222 recorrida por una rueda. 37 sonido para medir la, 118-19


topografía, 713 Triángulo de las Bermudas, 38 visibilidad del rayo del faro de Gibb's Hill, 38,674-75,678 visual, 38 Economía

desempleo, 1008 deuda federal per cápita, 474 ecuaciones de demanda, 398 índice de Precios al Consumidor (IPC), 475 inflación, 474 ingreso relativo de un niño, 899 modelo IS-LM en, 856 multiplicador, 965 paquete de estímulo federal de, 2009,474 precio y demanda de una computadora personal Dell, 491-92 propensidad marginal a consumir, 965 tasa de participación 213 tasas de pobreza, 396 umbral de pobreza, 157 Editorial

diseño de página, 267 Educación

cálculo de calificaciones, 129 calificaciones, 91 composición del profesorado, 1006 costos de universidad, 474, 964-65 curva de aprendizaje, 436,449 diplomas entregados, 984 de preparatoria, 309 doctorados, 1005 diseño de exámenes, 1007 distribución por edad de universidades comunitarias, 1009 examen de opción múltiple, 994 examen de verdadero/falso, 994 financiamiento de una educación universitaria, 498 matrícula y cuotas universitarias, 898 máximo nivel alcanzado, 936-37 préstamo estudiantil, 268 interés en un, 898 vacaciones de primavera, 929 videojuegos y promedio de calificaciones, 287 viaje de estudios, 374 Electricidad

cableado, 1007 carga de un capacitor, 710 circuitos de corriente alterna (ac), 574, 592 circuitos paralelos, 112 resistencia en, 352 corriente alterna (ac), 600,651 corriente en un circuito RC, 436 corriente en un circuito RL, 436,449 costo de, 240-41 focos, 1009

generadores de corriente alterna (ac), 574-75 impedancia, 112 índices para, 129,180 ley de Ohm, 126 reglas de Kirchhoff, 856-57, 872 resistencia, 70,72,193,352 voltaje doméstico, 133 en Estados Unidos, 29 foráneo, 29 Electrónica

bocinas, 709 comparación de televisores, 103 curva de diente de sierra, 661,710 micrófonos, 166 Encuestas

análisis de datos, 983-84,986 cartera de acciones, 987 de asistencia en sesión de verano, 986 de compra de electrodomésticos, 986 de número de televisores en una casa, 1005 Energía

calor solar, 786 control de termostato, 255-56 planta nuclear, 809 solar, 166,769 Entretenimiento

cine, 615 ganancias de teatro, 857 subscriptores a TV de cable, 492-93 tasa de clientes de la Montaña Rusa de Demon, 435-36 Farmacia

ingestión de vitaminas, 856,872 Finanzas, 9t. Ver también Inversión(es)

ahorro para un auto, 473 para una casa, 964 apreciación del precio de casas, 473 balance de chequera, 29 billetes en la cartera, 1008 cambios de divisas, 408 cargos telefónicos de larga distancia, 281 comisión de ventas, 128-29 compra de ropa, 936 compra de sistema de computación, 474 compra de un auto usado, 473 costo de comida rápida, 856 de gas natural, 242 de la electricidad, 240-41 de la renta de un auto, 243 de tierras, 713 de un auto, 92,180 de un lote triangular, 699 de un viaje transatlántico, 213,221

XXV

de una pizza, 92 minimización de, 315,366 costos universitarios, 474,964-65 depreciación, 435,493 de un auto, 465,501-2 descuentos, 408 división del dinero, 88, 91 ecuación de costos, 192 ecuación de ingresos, 192 facturas de agua, 129 financiamiento de una educación universitaria, 498 fondo de amortización, 964-65 función de costos, 280 función de ingresos, 196 herencia, 147 hipotecas pagos, 189,192,196 segunda,474 tasas de interés de, 474 hipótesis del ciclo de vida, 308 impuestos, 280 declaración de impuestos por Internet, 233 ingreso federal, 243,420 lujos, 280 ingresos vs. tasa de crimen, 493 interés en cuentas de ahorro, 474 maximización de ingresos, 299,300-301, 306 minimización de costos, 299 opciones salariales, 965-66 paquete de estímulo federal de, 2009,474 planeación financiera, 136-37,855-56, 868-69, 871 precios de comida rápida, 857 precio vs. cantidad de demanda, 281 préstamos, 141 a estudiantes, 898 de auto, 947 interés en, 81,136,146,148,268, 898 repago de, 473 promesa del hombre rico, 965 reembolsos, 856 salario neto, 212 tarifas de electricidad, 180 tarjetas de crédito débito, 947 interés de, 473 pago de, 243,947 valor futuro del dinero, 340-41 Física, 91

ángulo de elevación del Sol, 676 caballos de fuerza, 193 camión tirando, 762 carga de frenado, 770 carga segura para una viga, 193 cuerda vibrando, 192 diámetro de un átomo, 29 efecto de elevación en el peso, 221 efecto Doppler, 366 energía cinética, 141,193

XXVÍ


equilibrio estático, 758-59,762,763,773 estiramiento de un resorte, 192 fuerza, 141,761 de atracción entre dos cuerpos, 192 del viento en una ventana, 191,193 para mantener una carreta en una colina, 767 resultante, 761 gravedad, 352,374 en Júpiter, 212 en la Tierra, 212,420 inclinación del sendero de una montaña, 674 intensidad de la luz, 146,193 ley de Newton, 192 ley de Ohm, 126 longitud de onda de la luz visible, 29 momento de inercia, 665 movimiento amortiguado, 705 movimiento armónico, 704 movimiento de proyectiles, 102-3,302-3, 306,537,550,630,631, 655-56, 661, 665, 827-28, 834-36,839 artillería, 313,621 objeto lanzado, 834 movimiento de un objeto, 704 movimiento de un péndulo, 119,514,710, 960 péndulo simple, 192 periodo, 256,421 movimiento simulado, 829 movimiento uniforme, 148-39,141,146, 147,261-62,835,839 objetos en caída, 192 objeto lanzado, 146 pelota, 308,312 objeto lanzado verticalmente, 312 pelotas que rebotan, 978 pérdida de energía a través de una pared, 190 peso, 193,196 de un auto, 762 de un barco, 762 de un piano, 758 peso máximo que puede soportar la madera de pino, 190 presión, 141,192 producto de inercia, 661 sonido para medir distancia, 118-19 tensión, 758-59, 762,773 tensión de los materiales, 193 tercera ley de Kepler del movimiento planetario, 196 trabajo, 141 transferencia de energía, 630 trayectoria de misiles, 318 velocidad del sonido, 133 velocidad en planos inclinados, 80 Fotografía

distancia de la cámara, 539 Geografía

área de un lago, 700,713

área del Triángulo de las Bermudas, 700 inclinación de un sendero de montaña, 674,712 inclinación de una colina, 757 Geología

terremotos, 450 Geometría

ángulo de una escalera, 714 ángulo entre dos líneas, 651 área superficial de un cubo, 29 de un globo, 407 de una esfera, 28 área de un cuadrilátero, 715 área de un semicírculo, 699,715 cilindro inscrito en un cono, 262 inscrito en una esfera, 262 volumen de, 193,408 círculo área de, 141,700 centro de, 188 circunferencia de, 28,141 inscrito en un cuadrado, 261 longitud de cuerda de, 695 radio de, 188, 914 cuadrado área de, 37,141 perímetro de, 141 cubo área superficial de, 29 longitud de la orilla de, 387 volumen de, 29 ecuación de la recta, 882 esfera área superficial, 28 volumen de, 28 método de Descartes de raíces equivalentes, 914 polígonos, diagonales de, 103 puntos colineales, 882 rectángulo área de, 28,212,258-59 dimensiones de, 92,102,146, 914 inscrito en un semicírculo, 261, 661 perímetro de, 28 proporción agradable de, 147 semicírculo inscrito en un, 261 triángulo área de, 28, 699,700,715,882 circunscrito, 689 de Pascal, 947 equilátero, 28 inscrito en un círculo, 261 isósceles, 212,715,914 lados de, 715 longitud de los catetos, 146 rectángulo, 538,676 volumen de un cono, 193,408 volumen de un globo, 407

Gobierno

correo de primera clase, 243 déficit federal, 498 deuda federal per cápita, 474 impuesto federal de ingresos, 213,243,420 declaración de impuestos por Internet, 233 paquete de estímulo federal de, 2009,474 retenciones del impuesto federal, 129 Ingeniería

Arco Gateway (San Luis), 786 caballos de fuerza, 193 carga de aplastamiento, 119 carga segura para una viga, 193 eléctrica, 527 faro, 639,786, 838 galerías con eco, 796,839 inclinación de la Torre de Pisa, 687 momento de inercia, 665 motores de pistones, 695 pendiente de un camino, 181 peso máximo que puede soportar la madera de pino, 190 pistones y barras, 695 producto de inercia, 661 puentes altura de, 575 arco parabólico, 315,786,839 arco semielíptico, 796,839 Golden Gate, 303-4 sistema de caminos, 726 suspensión, 307,786 volante, 713 Inversión(es), 88,91,141,146

401K, 964, 978 anualidad, 961-62, 964 cargos de financiamiento, 473 cuenta de ahorros, 469-70 cuenta de mercado de dinero, 470 Cuenta Individual de Retiro, 474,498, 961-62,964, 978 diversificada, 857 duplicado de, 471-72,475 en acciones acciones de NASDAQ, 994 acciones de NYSE, 994 análisis, 318 apreciación, 473-74 carteras de, 987 precio de, 965 en bonos, 930 de cupón cero, 471,474-75 del Tesoro, 871,872,920,922,924 en CDs, 930 en títulos de renta fija, 474-75,930 interés compuesto en, 466-67,468, 469-70,473-74 retorno en, 473-74,929,930 tasa de crecimiento para, 473-74 tiempo para alcanzar el objetivo, 473,475 triplicado de, 472,275


Jardines y jardinería. Ver también Diseño de paisajes

barda para, 142 cerca alrededor de, 103

objetos que se acercan a una intersección, 835 revoluciones de un disco circular, 37 simulación, 829 uniforme, 138-39, 141,835

Juegos

de dados, 1009 granos de trigo en un tablero de ajedrez, 965 lotería australiana, 1009 Jugar

en columpios, 715 tirando de una carreta, 761,768 Leyes y aplicaciones de la ley

crímenes violentos, 213 ingresos vs. tasa de crimen, 493 robos de automóviles, 1005 Mecánica, 91. Ver también Física Medicina. Ver también Salud

concentración de medicamentos, 233, 366 curación de heridas, 435,449 edad vs. colesterol total, 493 medicamentos, 435,449 presión arterial, 630 propagación de enfermedades, 499 Medición

de precipitaciones pluviales, 769 métodos ópticos para, 639 Medio ambiente

fugas de aceite, 408 leyes de control de contaminación de lagos, 947 Mejoras en el hogar

pintar una casa, 857 Meteorología

altura de una sonda meteorológica y presión atmosférica, 488-89 Mezclas. Ver también Química

agua y anticongelante, 142 cemento, 143 mezcla de dulces, 141 mezcla de tés, 141 mezcla de variedades de café, 137-38, 141,147,923, 934 nueces mixtas, 141,855,923, 934 Movimiento, 710. Ver también Física

alcanzar al tren, 839 carrera de la tortuga y la liebre, 914 de un péndulo, 710 de una pelota de golf, 220 de una persona en la rueda de la fortuna, 630 en un círculo, 515 manecillas del reloj, 514,599

Música

ganancias de, 256 Navegación

comercial, 686-87 cruce de un río, 762 dirección de la aguja de una brújula, 762 error en corrección, 691-92,713 tiempo perdido por, 687 evitar una tormenta tropical, 694 rescate en el mar, 683-84,686 revisión de plan de vuelo, 694 rumbo, 675,693 de un avión, 677 de un barco, 677,713 Negocios

administración de un mercado de carne, 929 administración de un restaurante, 856 asistencia a un teatro, 92 aumento de precios, 91 de un auto nuevo, 129 balines de precisión, 29 cajas de cobro, 1005 cálculo de gastos, 142 comisiones, 315 costo de manufactura, 29,141, 340,373, 922-23 de producción, 233,408,898,935 de productos básicos, 408 de transporte de productos, 243 de un camión rentado, 147 de una lata, 364, 367 marginal, 299,315 minimización de, 315, 929 demanda de computadoras, 491 de dulces, 192 de jeans, 287 depreciación, 400 depreciación de equipo, 964 depreciación en línea recta, 276-77,280 descuentos en precios, 91,92,408 desempleo, 1008 diseño de producto, 930 ecuación de costos, 180-192 ecuación de demanda, 315, 398 ecuación de ingresos, 192 exportación de cigarros, 491 función de costos, 280 promedio, 217 función de ganancia, 213 función de ingresos, 196 ganancia, 898

XXVÜ

de estatuillas, 936 de una compañía de puros, 256 maximización de, 927-28,929-30 impuestos, 373 ingresos, 141,299,312-13 de música digital, 256 de un teatro, 857 de una aerolínea, 930 de una tienda de ropa, 887 diarios, 299 maximización de, 299,306 mensuales, 299 publicidad y, 287 manufactura de camiones de juguete, 922-23 máquinas copiadoras, 147 mezcla de café, 141 mezcla de dulces, 141 mezcla de nueces, 141 oferta y demanda, 277-78,280 órdenes de galletas, 934 precio vs. cantidad de demanda, 281 precio y demanda de una computadora personal Dell, 491-92 producción de automóviles, 407-8,872 producción de jugo de naranja, 872 programa de producción, 929 promoción de productos, 181 publicidad, 287,316 renta de autos, 279 renta de camiones, 180,281 renta de un vehículo de recreación, 317 salario, 954 aumentos en el, 964, 978 neto, 212 salario de un vendedor de autos, 180 por hora, 89-91 tamaño de una barra de caramelo, 103 tasa de llegada de coches a Jiffy Lube, 435,449 tasa de retorno de, 474 tasa en las ventanillas para automóvil de Burger King, 431 de Citibank, 435,449 de McDonald's, 435 tienda de ropa, 1007 transporte de productos, 923 valor residual, 498 ventas comisión por 128-129 de boletos de cine, 843,848,855 netas, 156 Oceanografía

ángulo de refracción, 631-32 ecuación para hacer lentes, 72 espejos, 809 desaparición de la luz a través de un vidrio, 435 índice de refracción, 631-32 intensidad de la luz, 193 proyección de láser, 661

xxviii


rayo de láser, 676 refracción de la luz, 632 telescopio reflector, 786 Pediatría

altura v í . circunferencia de la cabeza, 287,420 Pirotecnia

juegos pirotécnicos, 808-9 Población. Ver también Demografía

bacterial, 484,485,490-91 como función de la edad, 212 crecimiento de, 484,485 crecimiento de E-coli, 233,273 de especies en peligro de extinción, 485 de la mosca de la fruta, 482 de los Estados Unidos de Norteamérica, 465,492, 980 de truchas, 947 en declive, 484 insectos, 352,484 mundial, 465,492,498, 938 Probabilidad

cajas de cobro, 1005 composición del salón de clase, 1005 de ganar la lotería, 1006 exponencial, 431,435,449 ingreso anual de una familia, 1005 juego de Monty Hall, 1009-10 juegos de "Atínale al precio", 1005 Poisson, 435-36 programa de TV "¿Vas o no vas?", 981 Psicometría

pruebas de CI, 129 Publicidad. Ver también Negocios

precio y demanda de una computadora personal Dell, 491-92 Química, 91

concentración de fármacos, 366 decaimiento radiactivo, 484,491,498 leyes de gases, 193 mezcla de ácidos, 146 moléculas de azúcar, 142 partículas alfa, 809 pH, 448 pureza del oro, 142 radiación de Chernóbil, 485 reacciones, 307 reacciones de descomposición, 485 soluciones salinas, 142,146 volumen de un gas, 128 Salud. Ver también Medicina

edad vs. colesterol total, 493 ejercicio, 129 esperanza de vida, 128 gastos en, 213 hipótesis del ciclo de vida, 308

latidos cardiacos durante el ejercicio, 274-75 peso corporal ideal, 420 presión arterial, 630 uso de cigarros en adolescentes, 180 Seguridad

cámaras de seguridad, 676 Sismología

calibración de instrumentos, 839 Sucesiones. Ver también Combinatoria

asientos en un anfiteatro, 954 asignación de asientos en un estadio de fútbol, 954 diseño de pisos de azulejos cerámicos, 952-53 Teatro Drury Lañe, 954 Tasa. Ver también Velocidad

alcanzar a un camión, 834 alcanzar a un tren, 834 apuestas por Internet, 1005 bienes raíces comisiones, 128-29 costo de terrenos, 713 costo de un lote triangular, 699 corriente de un río, 856 costo por persona de la montaña rusa Demon, 435-36 de llenado de un tanque, 147 de vaciado de tanques de aceite, 143,146 de una alberca, 143 de una tina, 143 de un auto, 515 para mantenerse a la par con el Sol, 516 revoluciones por minuto de las llantas de una bicicleta, 515 de poleas, 517 Recreación salto en bungee, 373 velocidad de bandas automáticas, 141—42 de corriente, 141 de un avión, 143 de un ciclista, 143 de una lancha de motor, 141 del sonido, 133 por tasa por galón y, 308-9 promedio, 143 Temperatura

conversión de, 408,420 conversión de Fahrenheit a Celsius, 87 corporal, 29,133 de un calentador portátil, 499 de un sartén, 498 del aire, 954 después de medianoche, 340 factor de enfriamiento por el viento, 499 función sinusoidal de la, 588-89 medición, 180

mensual, 592-93,600 relación entre las escalas, 256 tasa de estridulación de un grillo y, 309 tiempo de calentamiento de una jarra de cerveza, 485 tiempo de enfriamiento de una pizza, 484 Tiempo

de la salida del sol, 516,615 de un viaje, 527, 537 horas de luz al día, 398,503,590-91,594, 600,602,615 la altura de una persona en la rueda de la fortuna como función del, 630 para ir de una isla a un pueblo, 262 para que se caliente una jarra de cerveza, 485 para que se enfríe una pizza, 484 para que un bloque resbale por un plano inclinado, 537 para un rescate en el mar, 146 Tiempo libre y recreación

pista de patinaje comunitaria, 268 rueda de la fortuna, 187,630,688, 709 TV por cable, 262 viaje de estudios, 374 videojuegos y promedio de calificaciones, 287 Topografía

distancia entre casas, 713 Trabajo, 768

ángulo de una rampa, 770 cálculo de, 768, 769, 773 carretilla para jalar, 761 jalar una carreta, 768 tareas de tasa constante. 934 trabajo juntos, 140.142,146 Transporte

sal para deshielo, 621 riel de inclinación en las Cataratas del Niágara, 677 Transporte aéreo

estacionamiento en el Aeropuerto Internacional O'Hare, 242 millas de viajero frecuente, 687 modo de espera, 630 revisión de un plan de vuelo, 694 soporte de la aeronave, 677 velocidad y dirección de la aeronave, 757-58, 761-62,773 Varios

ajuste de curvas, 856,871,934 área de cercado con alambre, 261 área superficial de un globo, 407 asignación de asientos en un banquete, 929 biorritmos, 575 conjuntos de Mandelbrot, 749


contenedor de café, 502 diámetro de un alambre de cobre, 29 doblar un alambre, 914 doblar una esquina cargando una escalera, 527,583,630-31 dueños de mascotas, 1005 error de cálculo, 156 escaleras para cítricos, 954 lectura de libros, 133 motores, 29 rescate en el mar, 683-84, 686 satélites de vigilancia, 678 sección transversal de una viga, 213,220 volumen de un globo, 407 Vehículos de motor

alcohol y manejar, 445,450 acercándose a una intersección, 835 auto para escapar, 313 balanceo de llantas, 516,599 carga de frenado, 769-70,773 cigüeñales, 687 compra de auto usado, 473

con Sistema de Posicionamiento Global (GPS), 499 depreciación, 400,493 depreciación de, 465, 501-2 distancia de frenado, 299,420 precio de un auto nuevo, 129 préstamos para, 947 producción automotriz, 407-8, 872 reparación de frenos y afinación, 1008 velocidad promedio de un auto, 143 velocidad y millas por galón, 308-9 Velocidad

angular, 515, 599 como función del tiempo, 222,261-62 de carruseles, 599 de corriente, 515-16,934 de la Luna, 515 de la rotación de un faro, 599 de un avión, 761,773 de un camión, 676 de un nadador, 773 de un planeador, 599 de un teleférico, 516

X X ÍX

del chorro de propulsión de un jet, 934 del viento, 856 lineal, 512-13 de la Tierra, 515 revoluciones por minuto de una polea, 515 Viajes. Ver también Viaje aéreo; Navegación

conductores detenidos por la policía, 501 estacionarse en el Aeropuerto Internacional de O ’Hare, 242 manejando a la escuela, 192 rumbo, 713 Vivienda

apreciación del precio de casas, 473 número de cuartos en, 212 renta de departamentos, 308 Volumen

de agua en un cono, 262 de gasolina en un tanque, 80 de hielo en una pista de patinaje, 268

Créditos de las fotografías

XXX

Capítulo R

Página 1, Glowimagcs; Página 31, Joi/Wikícommons.

Capítulo 1

Páginas 81,103,133,146 y 148, Glowimagcs.

Capítulo 2

Páginas 149 y 197; Gctty Imagcs; Páginas 166 y 180. Glowimagcs; Pá gina 187, Bao!u46/Wikicommons.

Capítulo 3

Páginas 199, 220, 256 y 269, Glowimagcs; Página 212. JPL-C'altech/ NASA.

Capítulo 4

Páginas 271 y 318, Ryan Lawler/Wikícommons: Página 307, Bill Nícholls/Wikicommons.

Capítulo 5

Páginas 319,367 y 399, Glowimagcs.

Capítulo 6

Páginas 400 y 502, Glowimagcs; Página 456. Samuel Fecman/Wikicommons; Página 465, col. 1. Thinkstock; Página 465 col. 2. Glowim agcs; Página 470, Thinkstock: Página 485. Thinkstock.

Capítulo 7

Páginas 503,575 y 602, Wikieommons; Páginas 515 y 539. Thinkstock; Página 539, Sergey Karpov/ Shuttcr-stock; Página 575. Srdjan Draskovic/Drcamstime.

Capítulo 8

Páginas 603 y 671. Latinstock.

Capítulo 9

Páginas 672 y 716. Wikieommons; Página 700. Alexan-dre Fagundes De Fagundes/Dreamstime; Página 702. Thinkstock.

Capítulo 10

Páginas 717 y 774. Thinkstock; Páginas 739.747 y 759. Wikieommons.

Capítulo 11

Páginas 776 y 840, JPL/Caltech/NASA: Página 794. Thinkstock.

Capítulo 12

Páginas 842 y 936. Latinstock; Página 8%. Wikieommons.

Capítulo 14

Páginas 981,1002 y 1009. Wikieommons.

ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA NOVENA

EDICIÓN

"•s *i

Repaso Contenido Números reales Bases de álgebra Bases de geometría

R.4 Polinomios R.5 Factorización de polinomios R.6 División sintética

R.7 Expresiones racionales R.8 Raíces enésimas; exponentes racionales

Un Vistazo >

El capítulo R, como su nombre lo Indica, contiene material de repaso. Tu profesor puede escoger cubrirlo todo o solo parte de él, ya sea como un capítulo normal al principio del curso o, más tarde, como un repaso oportuno cuando el contenido se requiera. De cualquier forma, cuando se necesite esta información, se hará referen cia especial a este capítulo para que pueda ser repasado.

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2

C A P ÍT U L O R

Repaso

R.1 Números reales PREPARACIÓ N PARA ESTE LIBRO

Antes de empezar, lee la sección “Para el Estudiante’’ en la página ii

al principio de este libro. OBJETIVOS 1 Trabajar con conjuntos (p. 2) 2 Clasificar los números (p. 4) 3 Evaluar expresiones numéricas (p. 8) 4 Trabajar con las propiedades de los números reales (p. 9)

1 Trabaja con conjuntos Un conjunto es una colección bien definida de distintos objetos. Los objetos de un conjunto se llaman elem entos. Con bien definidos queremos decir que existe una regla que nos permite determinar si un objeto dado es un elemento del conjunto. Si el conjunto no tiene elementos se llama conjunto vacío o conjunto nulo y se denota con el símbolo 0 . Por ejemplo, el conjunto de dígitos consiste en la colección de números 0 ,1 .2 .3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,8 y 9. Si usamos el símbolo D para denotar al conjunto de dígitos, podemos escribir D = [0,1,2, 3,4,5, 6, 7, 8, 9} En esta notación, las llaves ( ) se usan para contener a los objetos o elem entos en el conjunto. A esta forma de denotar a un conjunto se le conoce como notación des criptiva. Otra forma de denotar al conjunto es la notación constructiva, donde el conjunto D de dígitos se escribe como D =

{ x T____ J [

xes un dígito)

E sto se lee “D es el conjunto de t odas las x tal que x es un dígito"

EJEM PLO 1

Uso de la notación descriptiva y de la notación constructiva (a) E = {x | x es un dígito par) = (0, 2, 4, 6, 8} (b) 0 = {x\x es un dígito impar} = {1,3,5,7,9} Dado que los elementos de un conjunto son distintos, nunca incluimos elementos repetidos. Por ejemplo, nunca escribimos (1,2,3,2); la forma correcta de escribirlo es {1,2,3}. El orden en el que se escriben los elementos no es importante ya que un con junto es una colección. {1, 2, 3}, (1,3, 2}, (2,1, 3}, etc. representan el mismo conjunto. Si todo elemento del conjunto A es también un elemento del conjunto B. decimos que A es un subconjunto de B y lo escribimos como A C B. Si dos conjuntos A y B tienen los mismos elementos, decimos que A es igual a B v lo escribimos como A - B. Por ejemplo, {1,2,3} C {1,2,3,4,5} y (1,2,3} = {2,3,1).

DEFINICIÓN

EJEM PLO 2

Sean A y B conjuntos, la intersección de A con B. que se denota como A H B, es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a A como a B. La unión de A con B, que se denota como A U B, es el conjunto de los elementos que pertenecen ya sea a A o a B o a los dos.

Determinar la intersección y la unión de los conjuntos Sean A = {1,3,5,8}, B = {3,5,7} y C = (2,4.6,8}, determina: (a) A n B

(b) A U B

(c) ß n ( A U C )

S E C C IÓ N R . l

Solución

Números reales

3

(a) A n B = {1,3,5,8} n {3,5,7} = {3,5} (b) A U B - {1,3,5,8} U {3,5,7} = {1,3,5,7, 8} (c) B n (A U C) = {3,5, 7} n [{1, 3, 5, 8} U {2,4, 6, 8}] = {3,5,7} H {1,2,3,4,5,6,8} = {3,5}

Resuelve ahora

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13

Cuando trabajamos con conjuntos, generalmente designamos como conjunto universal U al conjunto que contiene todos los elementos que queremos considerar. Una vez que el conjunto universal ha sido designado, podemos considerar elementos del conjunto universal que no se encuentren en un conjunto dado.

DEFINICIÓN

EJEM PLO 3

Si A es un conjunto, el complem ento de A , llamado A es el conjunto que consis te en todos los elementos del conjunto universal que no están en A *

Determinar el complemento de un conjunto Si el conjunto universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y si A = {1, 3, 5, 7, 9}, entonces ~Á—{2, 4, 6, 8). Siguiendo la definición de complemento podemos concluir que A U A = U y A D A = 0 . ¿Entiendes por qué?

Figura 1

s v o b s s s s

^-Resuelve ahora

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17

A veces es muy útil trazar diagramas de los conjuntos. A estos diagramas se les llama diagramas de Venn y representan a los conjuntos como círculos dentro de un rectángulo, que simboliza el conjunto universal. Estos diagramas a menudo nos ayu dan a visualizar diferentes relaciones entre los conjuntos. Ver figura 1. Si sabemos que A C B, podemos usar el diagrama de Venn en la figura 2(a). Si sabemos que A y B no tienen elementos en común, es decir, si A D B = 0 , podemos usar el diagrama de Venn de la figura 2(b). Decimos que los conjuntos A y B de la figura 2(b) son disjuntos.

(b)

Conjuntos disjuntos A C \ B =
Las figuras 3(a), 3(b) y 3(c) usan diagramas de Venn para ilustrar las definiciones de intersección, unión y complemento, respectivamente. Conjunto universal

k

(c) Complemento An B

AU B

* Algunos libros usan la notación A ’para el complemento de A .

À

4

C A P ÍT U L O R

Repaso

2 Clasifica los números Es útil clasificar los distintos tipos de números con los que trabajamos como conjun tos. Los números para contar o números naturales son los números del conjunto (1, 2,3,4...}. (Los tres puntos llamados elipsis, señalan que el patrón continúa indefi nidamente). Como su nombre lo indica, estos números se usan frecuentemente para contar cosas. Por ejemplo, hay 26 letras en nuestro alfabeto, hay 100 centavos en un dólar. Los números enteros son los números del conjunto (0,1, 2, 3...}, es decir, los números para contar más el número 0. El conjunto de los números para contar es un subconjunto del conjunto de los números enteros.

DEFINICIÓN

Los números enteros son el conjunto de números {..., - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . }

^

Estos números son útiles en muchas situaciones. Por ejemplo, si tienes $10 en tu cuenta de cheques y das un cheque por $15, puedes representar tu saldo actual como -$ 5 . El objetivo de expandir un sistema de números, por ejemplo el de los números enteros positivos al de números enteros, es poder manejar problemas nuevos y, ge neralmente, más complicados. Los números enteros nos permiten resolver problemas que requieren del uso de números naturales positivos y negativos, como en ganancias/ pérdidas, altitud sobre/bajo el nivel del mar, temperatura arriba/debajo de 0 F, etc. Pero los números enteros no son suficientes para resolver todos los problemas. Por ejemplo, no pueden responder a la pregunta: “¿qué parte de un dólar son 38 centavos?” Para contestar esa pregunta, hacemos nuestro sistema de números más 38 amplio de manera que incluya a los números racionales. Por ejemplo, yyy es la res puesta a la pregunta: “¿qué parte de un dólar son 38 centavos?

DEFINICIÓN

Un número racional es un número que puede ser expresado como el cociente ^ de dos enteros. El número entero a se llama numerador y el número entero b, b que no puede ser 0, se lama denominador. Los números racionales son los números del conjunto \ x x = —, donde a y b son números enteros y b * 0 b

J

Ejemplos de números racionales son - , —, - , —- y —y . Dado que y para cual quier entero a, se deduce que el conjunto de enteros es un subconjunto del conjunto de números racionales. Los números racionales se pueden representar como decimales. Por ejemplo, los números racionales y, y, —- y — se pueden representar como decimales, simple mente realizando la división que indican: 7 = 0.75 4

| = 2.5 Z

- § = -0 .6 6 6 ... = -0 .6 3

¿ = 0.1060606... = 0.106 66

3 5 Observa que las representaciones decimales de - y - terminan o tienen fin. Las 2 7 4 2 representaciones decimales d e ---- y — no terminan, pero muestran un patrón de re2 3 66 petición. En —- el número 6 se repite indefinidamente, lo cual se indica por la barra 7 sobre el 6; en — el bloque 06 se repite indefinidamente, como se indica por la ba66 rra sobre el 06. Se puede mostrar que cada número racional puede ser representado por un decimal que termina o que no termina, pero que tiene un bloque de dígitos que se repiten y viceversa. Por otro lado, algunos decimales no encajan en ninguna de estas categorías. A estos decimales les llamamos números irracionales. Todo número irracional se pue

S E C C IÓ N R .l

Números reales

5

de representar por un número decimal que no se repite y que no termina. En otras palabras, los números irracionales no se pueden escribir de la forma donde a y b son enteros y b * 0. ® Los números irracionales ocurren de manera natural. Por ejemplo, considera el triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos tienen longitud de 1. Ver figura 4. La longitud de la hipotenusa es \/2 , que es un número irracional. Además, el número que equivale al cociente entre la circunferencia C y el diáme tro d de cualquier círculo, denotado por el símbolo n, es un número irracional. Ver figura 5.

DEFINICIÓN

El conjunto de números reales es la unión del conjunto de números racionales con el conjunto de números irracionales. La figura 6 muestra la relación que hay entre distintos tipos de números.*

Figura 6

EJEM PLO 4

Clasificación de los números en un conjunto Haz una lista de los números del conjunto { -3 ,i , 0.12, V 2 ,7t, 10,2.151515...(donde el bloque 15 se repite)) 3 que sean: (a) Números naturales (d) Números irracionales

Solución

(b) Números enteros (e) Números reales

(c) Números racionales

(a) 10 es el único número natural. (b) - 3 y 10 son enteros. (c) -3 ,1 0 ,

0.12 y 2.151515... son números racionales. 3 (d) V2 y 7t son números irracionales. (e) Todos los números listados son números reales.

Resuelve ahora

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2 3

* El conjunto de los números reales es un subconjunto del conjunto de los números complejos. Estudiare mos los números complejos en el capítulo 1, sección 1.3.

6

C A P ÍT U L O R

Repaso

Aproximaciones Todo decimal puede ser representado por un número real (racional o irracional) y todo real puede ser representado por un decimal. En la práctica, la representación decimal de un número irracional se da como una aproximación. Por ejemplo, usando el símbolo ~ (que se lee como “aproximada mente igual a”) podemos escribir V 2 * 1.4142

tt

* 3.1416

Cuando aproximamos decimales, podemos redondear o truncar hasta un número dado de lugares decimales.* El número de lugares establece la localización del dígito final en la aproximación decimal. Truncar: elimina todos los dígitos que siguen después del dígito final especifi

cado en los decimales. Redondean identifica el dígito final especificado en los decimales. Si el dígito que le sigue es 5 o mayor, suma 1 al dígito final; si el dígito que le sigue es 4 o menor, deja el dígito final tal como está. Finalmente, trunca lo que esté después del dígito final.

EJEM PLO 5

Aproximación de un decimal a dos lugares Aproxima 20.98752 a dos lugares decimales por: (a) truncado (b) redondeo

Solución

El dígito final en 20.98752 es 8, ya que está localizado a dos lugares del punto decimal. (a) Para truncar, eliminamos todos los dígitos que siguen del dígito 8. La forma trun cada de 20.98752 a dos lugares decimales es 20.98. (b) El dígito que le sigue al dígito final 8 es el dígito 7. Como 7 es mayor a 5. su mamos 1 al dígito final 8 y truncamos. La forma redondeada de 20.98752 a dos lugares decimales es 20.99.

EJEM PLO 6

Aproximación de un decimal a dos y cuatro lugares

Número

Redondeado a dos lugares decimales

Redondeado a cuatro lugares decimales

Truncado a dos lugares decimales

Truncado a cuatro lugares decimales

(a)

3.14159

3.14

3.1416

3.14

3.1415

(b)

0.056128

0.06

0.0561

0.05

0.0561

893.46

893.4613

893.46

893.4612

(c) 893.46125

•J T

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2 7

Calculadoras Las calculadoras son máquinas finitas. Esto quiere decir que son incapaces de mos trar decimales que contengan un número grande de dígitos. Por ejemplo, algunas calculadoras son capaces de mostrar solo ocho dígitos. Cuando un número requiere más de ocho dígitos, la calculadora trunca o redondea. Para saber cómo tu calculado ra maneja los decimales, divide 2 entre 3. ¿Cuántos dígitos ves? El último dígito es 6 o 7? Si es 6, tu calculadora trunca; si es 7, tu calculadora redondea. * A veces decimos “corregido a un número dado de lugares decimales" en vez de “truncado".

S E C C IÓ N R .l

Números reales

7

Existen diferentes tipos de calculadoras. Una calculadora aritmética solo puede sumar, restar, multiplicar y dividir números; por lo tanto, este tipo no es adecua do para este curso. Las calculadoras científicas tienen todas las capacidades de las calcu-ladoras aritméticas y además contienen teclas de funciones con nombres ln, log, sin, eos, tan, xy, inv, etc. A medida que avances en este libro, irás descubriendo cómo usar muchas de las teclas de funciones. Las calculadoras gráficas tienen todas las capacidades de las calculadoras científicas y contienen una pantalla que puede desplegar gráficas. Para aquellos que tengan acceso a una calculadora gráfica, hemos incluido co mentarios, ejemplos y ejercicios marcados con una [jj, que indica que se necesita una calculadora gráfica. También hemos incluido un apéndice que explica algunas ca racterísticas de las calculadoras gráficas. Los comentarios, ejemplos y ejercicios se pueden omitir sin perder continuidad, si así lo deseas.

Operaciones En álgebra, se usan letras tales como x, y, a, b y c para representar números. Los sím bolos usados en álgebra para las operaciones de suma, resta, multiplicación y división son + ,- ,- , y /. Las palabras que usamos para describir los resultados de esas operacio nes son suma, sustracción, producto y cociente. La tabla 1 resume estas ideas. Operación

Símbolo

Palabras

Adición

a+b

Suma: a más b

Sustracción

a- b

Resta: a menos b

Multiplicación

a-b,(a)-b,a- (b), (a) • (fe), ab, (a)b,a(b),(a)(b)

Producto: a por b

División

a/b 0 ^b

Cociente: a entre b

En álgebra, generalmente evitamos usar el signo X para la multiplicación y el signo -f- para la división, tan familiares en aritmética. Observa también que cuando dos expresiones se colocan una al lado de la otra sin signo de operación como en ab, o entre paréntesis, como (a)(¿>), se entiende que las expresiones, llamadas factores, se multiplican. Además, es preferible no usar números mixtos en algebra. Cuando se usan nú meros mixtos, se entiende que se está realizando una suma; por ejemplo 2 - quiere 3 ^ decir 2 + - En álgebra, el uso de números mixtos puede ser confuso ya que la au4 sencia de un símbolo de operación entre dos términos generalmente se toma como 3 11 multiplicación. La expresión 2 - se escribe más bien como 2.75 o como — . El símbolo =, llamado signo igual se lee como “igual a” o “es”, se usa para ex presar la idea de que el número o expresión del lado izquierdo del signo de igual es equivalente al número o expresión del lado derecho.

EJEM PLO 7

Escritura de proposiciones usando símbolos (a) La suma de 2 y 7 es igual a 9. En símbolos, esta proposición se escribe como 2 + 7 = 9. (b) El producto de 3 y 5 es 15. En símbolos, esta proposición se escribe como 3-5 = 15. .

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

39

8

C A P ÍT U L O R

Repaso

3 Evaluación de expresiones num éricas Considera la expresión 2 + 3 • 6. No está claro si debemos sumar 2 y 3 para obtener 5 y después multiplicar por 6 para obtener 30; o si primero debemos multiplicar 3 por 6 para obtener 18 y después sumar 2 para obtener 20. Para evitar ambigüedades de este tipo, usamos la siguiente convención. r r r r

En palabras Multiplica primero, después suma.

Acordamos que cuando las operaciones de suma y multiplicación separen tres números, siempre se realizará primero la operación de multiplicación, seguida por la operación de suma. Para 2 + 3-6, tenemos 2 + 3 -6 = 2 + 18 = 20

EJEM PLO 8

Encontrar el valor de una expresión Evalúa cada expresión. (a) 3 + 4-5

Solución

(c) 2 + 2 -2

(b) 8 -2 + 1

(a) 3 + 4-5 = 3 + 20 = 23

(b) 8 -2 + 1 = 16 + 1 = 17

Primero multiplica

Prim ero m ultiplica

(c) 2 + 2-2 = 2 + 4 = 6

-Resuelve ahora

el

problema

si

Para primero sumar 3 y 4 y después multiplicar el resultado por 5, usamos pa réntesis y escribimos (3 + 4) • 5. Siempre que aparezcan paréntesis en una expresión, quiere decir “¡realiza primero las operaciones dentro de los paréntesis!”

EJEM PLO 9

Encontrar el valor de una expresión (a) (5 + 3 )-4 = 8 -4 = 32 (b) (4 + 5) • (8 - 2) = 9 -6 = 54 Cuando dividimos dos expresiones, como en: 2 + 3 4 + 8 se entiende que la barra de la división hace la función de los paréntesis, es decir 2 + 3

(2 + 3)

4 + 8

(4 + 8)

Reglas para el orden de las operaciones 1. Empieza por el paréntesis que esté más adentro y trabaja hacia afuera. Re cuerda que al dividir dos expresiones se considera como si el numerador y el denominador estuvieran entre paréntesis. 2. Resuelve multiplicaciones y divisiones, empezando de izquierda a derecha. 3. Resuelve sumas y restas, empezando de izquierda a derecha.

S E C C IÓ N R .l

EJEM PLO 10

Números reales

9

Encontrar el valor de una expresión Evalúa cada expresión (a) 8 -2 + 3 (c)

Solución

(b) 5 -(3 + 4) + 2

2 + 5 2 + 4-7

(d) 2 + [4 + 2-(10 + 6)]

(a) 8-2 + 3 = 1 6 + 3 = 19 í Primero multiplica

(b) 5• (3 + 4) + 2 = 5*7 + 2 = 3 5 + 2 = 37 t ^ t Primero lo que está entre paréntesis Multiplica antes de sumar

2 + 5 = 2 + 5 = 1_ 2 + 4 • 7 ” 2 + 28 “ 30 (d) 2 + [4 + 2-(10 + 6)] = 2 + [4 + 2-(16)] = 2 + [4 + 32] = 2 + [36] = 38 Ten cuidado si usas calculadora. En el ejemplo 10(c) necesitas usar paréntesis. Ver figura 7.* Si no los usas, la calculadora dará como resultado la expresión:

Figura 7

( 2 + 5 ) / < 2 +4 * 7 )

.2333333333

ñ n s^ F ra c

2 + ^ + 4- 7 = 2 + 2.5 + 28 = 32.5 2

7 /3 0 lo cual es incorrecto.

«’■“»»“ ‘-Resuelveahora

los

problemas

57

y

65

4 Trabaja con las propiedades de los números reales

w

Usamos el signo igual para indicar que una expresión es equivalente a otra. En la siguiente lista podemos ver cuatro propiedades importantes de una igualdad. Aquí a, b y c representan números reales. 1. La propiedad reflexiva establece que un número siempre es igual a sí mis

mo, es decir, a = a. 2. La propiedad simétrica establece que si a = b, entonces b = a. 3. La propiedad transitiva establece que si a = b y b = c, entonces a = c. 4. El principio de sustitución establece que si a - b , podemos sustituir b por a

en cualquier expresión que contenga a a. Consideremos ahora algunas propiedades de los números reales.

EJEM PLO 11

Propiedades conmutativas (a) 3 + 5 = 8 5+3 = 8 3+ 5 = 5 + 3

(b) 2-3 = 6 3-2 = 6 2-3 = 3-2

Este ejemplo muestra la propiedad conmutativa de los números reales, que dice que el orden en el que se realizan la adición y la multiplicación no afecta el resultado final. * Observa que hemos convertido la forma decimal a su forma fraccionaria. Consulta tu instructivo para saber cómo hace esto tu calculadora.

10

C A P ÍT U L O R

Repaso

Propiedades conmutativas a+b=b+a

da)

a-b = b ‘ a

(Ib )

En este caso, al igual que en las siguientes propiedades y las de las paginas 11 a 13, a, b y c representan números reales.

EJEM PLO 12

Propiedades asociativas (a) 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9

(b) 2- (3 -4 ) = 2-12 = 24

(2 + 3 ) + 4 = 5 + 4 = 9

(2-3) -4 = 6 -4 = 24

2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

2- (3 -4 ) = (2 -3 )-4

La forma en que sumamos o multiplicamos tres números reales no afectará el resultado final. Expresiones como 2 + 3 + 4 y 3 * 4 * 5 n o son ambiguas, aún si la suma o multiplicación se realiza en un par de números a la vez. A esta propiedad se le llama propiedad asociativa.

Propiedades asociativas a

+ (b + c ) = ( a + b) + c = a + b + c

(2a)

(b • c) = (a • b) • c = a • b • c

(2b)

a

Propiedad distributiva

a- (b + c) = a 'b + a -c

(3a)

(a + b ) ’ C - a ‘ C+ b'C

(3b)

La propiedad distributiva se puede usar de dos maneras diferentes.

EJEM PLO 13

Propiedad distributiva (a) 2 ‘ ( x + 3 ) = 2 ’ X + 2 ’ 3 = 2x + 6

Utilizada para quitar paréntesis.

(b) 3x + 5.X = (3 + 5)* = 8x

Utilizada para combinar dos expresiones.

(c) (x + 2)( jc + 3) = x{x + 3) + 2(x + 3) = {x2 + 3x ) + ( 2x + 6) = x 2 + (3jc + 2.t) + 6 = x 2 + 5.r + 6

Resuelve ahora

EL PROBLEMA

8 7

Los números reales 0 y 1 tienen propiedades únicas, llamadas p ro p ie d a d e s de identidad.

EJEM PLO 14

Propiedades de identidad (a) 4 + 0 = 0 + 4 = 4

(b) 3-1 = 1-3 = 3

S E C C IÓ N R .l

Números reales

11

Propiedades de identidad 0+«=fl+0=fl

(4a)

a* 1 = 1 -(¡ = a

(4b)

Denominamos al 0 como identidad aditiva y al 1 como identidad multiplicativa. Para cada número real a existe un número real - a , llamado inverso aditivo de a, que tiene la siguiente propiedad: Propiedad del inverso aditivo

a + (~a) = - a + a = 0

EJEM PLO 15

(5a)

Encontrar el inverso aditivo (a) El inverso aditivo de 6 es - 6 , ya que 6 + ( - 6 ) = 0 (b) El inverso aditivo de - 8 es - ( - 8 ) = 8, ya que - 8 + 8 = 0. Al inverso aditivo de a, es decir, -a , comúnmente se le llama el negativo de a o el opuesto de a. El uso de esos términos puede ser peligroso ya que sugieren que el inverso aditivo es un número negativo, lo cual puede no ser el caso. Por ejemplo, el inverso aditivo de - 3 , o - ( - 3 ) , es igual a 3, que es un número positivo. Para cada número real a diferente de cero existe un número real - , llamado inverso multiplicativo de a, el cual, tiene las siguientes propiedades:

Propiedad del inverso m ultiplicativo

1 = —• 1 a = i1 a‘— a a

s ia ^ 0

(5b)

Al inverso multiplicativo —de un número real a diferente de cero se le conoce como el recíproco de a.

EJEM PLO 16

Determinar el recíproco 1 , 1 , (a) El recíproco de 6 es - , ya que 6 *—= 1. 1 ’ 1 (b) El recíproco de - 3 es — , ya que - 3 • — = 1. 2 3 2 3 (c) El recíproco de - es - , ya que —• - = 1.

Con estas propiedades para sumar y multiplicar números reales podemos definir las operaciones de suma y resta de la siguiente manera:

DEFINICIÓN

La diferencia a - b, que también se lée “a menos b", se define como: a - b - a + {-b)

(6)

12

C A P ÍT U L O K

Repaso

Para restar b de a, suma el opuesto de b a «.

DEFINICIÓN

Si b es un número real diferente de cero, el cociente

que también se puede

leer como “tí dividido entre h" o “la razón de a en b ", se define como: a 1 r = a •r b

EJEM PLO 17

b

si b *

0

<7)

Trabajo con diferencias y cocientes (a) 8 - 5 = 8 + ( - 5 ) = 3 (b) 4 - 9 = 4 + ( - 9 ) = - 5

Para cualquier número a, el producto de a por 0 siempre es 0, esto es:

r r

En palabras

r

El re su lta d o de m ultiplicar

r

por cero e s cero.

M ultiplicación por cero

a -0 = 0

(8)

Para un número a diferente de cero. Propiedades de la división

0 - = 0 a

N O T A L a d iv isió n e n t r e

0

a - = 1 a

— — x im p lica e n c o n t r a r u na x t a l que 0 • x = 2 . P e ro

'

(9)

no e s t á d e fin id a . U na ra z ó n e s p a ra e v it a r ia s ig u ie n te d if ic u lt a d :

2

0

si ú * 0

'

O•x

e s igual a

O para

t o d a x, a s ' q u e «o

2

e x is t e ningún n úm ero x t a l que — = x.

■

Reglas de los signos

«(-/>) = -(«/>) -(-o ) =

EJEM PLO 18

a

( - f l ) b = -(tí/>) tí -a tí - / ) ~ ~ÍT ~

( - t i ) ( - / ) ) = «ib -a tí

/)

(10)

Aplicación de las reglas de los signos (a) 2 ( - 3 ) = - ( 2 - 3 ) = - 6

(c)

_3_ _ - 3 _ _ 3

-2

“

2

_x_ =

(e ) - 2

-2

-4

2 .V A

(b) ( - 3 ) ( - 5 ) = 3 - 5 = 15 4

^ = 5

= _I . 2 "V

J

S E C C IÓ N R .I

Números reales

Propiedades de cancelación

ac = be ac _ a be b

EJEM PLO 19

implica que a = b si c * 0 si b # 0, c # 0 ( 11)

Uso de las propiedades de cancelación (a) Si 2x = 6, entonces 2x = 6 2 jc - 2*3 x = 3

NOTA Seguimos la p ráctica común de u sa r diagonales cruzadas para indicar cancelaciones. ■

(b)

Factoriza 6. Cancela los 2.

3 2

18 = (Kfr 12 “ 2 -tf Î

Cancela los 6.

r

En palabras

Propiedad del producto cero

Si un producto equivale a O, r entonces uno o ambos factores son O.

EJEM PLO 20

Si ab - 0, entonces a = 0, b = 0 o ambas

Uso de la propiedad del producto cero Si 2x - 0, entonces 2 = 0 o x = 0. Como 2 ^ 0 , entonces x - 0.

Aritm ética de los cocientes

EJEM PLO 21

Suma, resta, multiplicación y división de cocientes 2 ^ 3

5

2 -2

3 -5

2 - 2 + 3*5

+ 2 _ 3 - 2 + 3- 2 ~

3-2

4 + 15 _ 19 “

6

“

ó

Por la ecuación (13)

2 3

Î Por la ecuación (6 )

Por la ecuación'(IO)

3 • 3 + 5 • (- 2 ) =

5- 3

9 + (-1 0 ) “

t Por la ecuación (13)

15

-i ~ Ü

1 “ _ 15

( 12)

13

14

C A P ÍT U L O

R

Repaso

NOTA Inclinar lae diagonal« de can celación en dirección« diferentes para factores diferentes, como se muestra aquí, es una práctica buena que se debería seguir, ya que ayuda a encontrar si hay errores, ■

, 8 15 8-15 (C) 3* 4 , 3-4

2 -4 * 3 5 2-5 3 -4 • 'i 1

Por la ecuación (14 J

Por la

10

ecuación

(11)

3 /lv 5 3 9 3-9 27 (d) 7 “ 5 ’ 7 " 5-7 ~ 35 g

Por la ecuación (14)

Por

la ecuación (15)

NOTA Cuando escribam os cocientes seguiremos la convención común de hacerlo en s u s t é r minos más pequeños. E s to quiere decir que los escribimos de ta l forma que c u a l q u er ‘'a cto r común entre el numerador y el denominador Ha sido eliminado usando la s propiedades de can celación, ecuación (11). Por ejemplo, 9 0 _ 1 5^ 6

15

2 4

4

~

24X2 -------- = 15x

»

R B lU B lV B

» h o r»

I O S

4 •-0

4 • 0 • x • * --------------------- = 3 • 0 • x

p r o b l e m a s

4x — 3

x *

O ■

6 7 ,

7 1

r

8 1

A veces es más sencillo sumar dos fracciones usando el mínimo común múltiplo (MCM), El MCM de dos números es el número más pequeño múltiplo de ambos.

EJEM PLO 22

Determina el mínimo común múltiplo de dos números Encuentra el mínimo común múltiplo de 15 y 12.

Solución

Para determinar el MCM de 15 y 12, se revisan los múltiplos de 15 y 12. 15,

30,

45,

60,

75,

90.

105.

120....

12,

24,

36,

48,

60,

72.

84,

96.

108.

120,...

Los múltiplos en común están en gris. El mínimo común múltiplo es 60.

EJEM PLO 23

Uso del mínimo común múltiplo para sumar dos fracciones . 8 5 Determina: — + —

Solución

Usamos el MCM de los denominadores de las fracciones y reescribimos cada una usando el MCM como denominador común. El MCM de los denominadores (12 y 15) es 60. Reescribe cada fracción usando 60 como el denominador. A A 15 + 12 “ _ ~

A t A 5 15 *4 + 12*5 32 15 60 60 32 + 15 60

- A ~ 60 _ A 20

“

Resuelve ahora el problema 75

S E C C IÓ N R .l

Números reales

15

Comentario histórico l sistema de números reales tiene una historia que se remon

donaron el concepto de número, expresando características de los

ta por lo menos a la antigua Babilonia (1800 a.C.). Es notable,

números enteros en términos de segmentos de línea.

E

En astronomía, sin embargo, los métodos babilónicos inclu lo similares que eran las actitudes de la antigua Babilonia a yendo el sistema de números de Babilonia continuaron en uso. En las nuestras. Como hemos dicho en el texto, la dificultad fundam en 1585 Simón Stevin (1 548-1620) inventó el sistema decimal, inclu tal con los números irracionales está en que no pueden ser escritos yendo las reglas de cálculo, tal vez utilizando el sistema babilónico como cocientes de números enteros o, equivalentemente, como de números como modelo. [Otros como al-Kashi de Samarcanda

decimales que se repiten o terminen. En Babilonia se usaba un siste ma con base 60 para escribir los números, de la misma forma que

(m. 1429), ya habían tenido progresos en esa dirección.] El sistema

nosotros usamos un sistema con base 10. Usaban tantos lugares

decimal, oculta de manera tan eficiente las dificultades, que ape

para n como la exactitud del problema requiriera, tal y como hoy

nas hasta el comienzo de 1800 se empezó a sentir la necesidad de

usamos

mayor precisión. Alrededor de 1880, Georg Cantor (1 845-1918) y Richard Dedekind (1 831-1916) proporcionaron definiciones pre cisas de los números reales. La definición de Cantor, aunque más t

o 7r ~ 3.1416

o

7r ~ 3.14159

abstracta y precisa, tiene sus raíces en el sistema numérico decimal (y por tanto en el de Babilonia).

O 7T as 3.14159265358979

Los conjuntos y la teoría de conjuntos surgieron como subpro ducto del estudio hecho para aclarar los fundamentos del sistema

dependiendo de la precisión que necesitemos. Las cosas eran muy diferentes para los griegos, cuyo sistema nu

de números reales. La teoría de conjuntos se ha convertido en una

mérico permitía únicamente el uso de números racionales. El descu

disciplina muy amplia por sí misma y muchos matemáticos la con

brimiento de que V 2 no era un número racional se consideró como

sideran la base sobre la cual, las matemáticas modernas están

una falla fundamental en el concepto de número. El asunto fue tan

construidas. Los descubrimientos de Cantor de que los conjuntos

serio, que se dice que la Hermandad Pitagórica (una sociedad mate

infinitos también pueden ser contados y de que tienen diferentes

mática de la época) ahogó a uno de sus miembros por revelar este

tamaños son algunos de los resultados más asombrosos de las ma

secreto tan terrible. Posteriormente, los matemáticos griegos aban

temáticas modernas.

R .l Evalúa tu enten dim ien to Conceptos y vocabulario 1. L o s n ú m ero s en e l c o n ju n to j j t x e n te r o s y

b*

0j

= -, b

d o n d e a y b so n

5.

Verdadero o Falso

L o s n ú m er o s ra c io n a les tie n e n d e c i

m a les q ue term in an o n o term in an co n un b lo q u e d e dígitos q u e se rep ite.

se llam an n ú m er o s _

6. Verdadero o Falso

2. E l v a lo r d e la ex p r e sió n 4 + 5 • 6 - 3 e s .

L a p ro p ied a d d e p ro d u cto ce ro e s ta

b le c e q u e e l p ro d u c to d e cu a lq u ier n ú m er o y ce ro es igual a cero .

3. E l h e c h o d e q u e 2jc + 3x = (2 + 3 )x e s una c o n se c u e n c ia d e 7.

la p r o p ie d a d __________

Verdadero o Falso

E l m ín im o co m ú n m ú ltip lo d e 12 y 18

e s 6. 4. “E l p ro d u cto d e 5 y x

+

3 e s igu al a 6 ” se p u e d e escribir

8. Verdadero o Falso

c o m o __________

N o e x iste un n ú m er o q u e se a a la v ez

ra cio n a l e irracional.

Ejercicios E n los problemas 9-20, usa U = conjunto universal = ( 0 , 1 ,2 ,3 , 4 , 5,6,7,8,9}, A —(1,3, 4 , 5,9}, B — {2,4 , 6, 7,8) y C —{1,3,4, 6} para encontrar cada conjunto. 9. A U B

10. A U C

íi. a n b

12. A H C

\l3 .

(A U B jflC

14. ( ¿ n ß ) u c

15. A

16. C

\l7 .

ADB

18. B U C

19. A U B

20. B n c

E n los problemas 21-26, haz una lista de los números en cada conjunto que sean (a) números naturales, (b) enteros, (c ) números ra cionales, (d) números irracionales y (e) números reales. 21. A

25.

- j - 6 , i , -1.333...

E « { \/2 ,„ ,V '2 +

(lo s

! ,» • +

3 se

re p ite n ),

tt,

2, ó j

22.

B - j ~ , 2.060606. . .

26.

f

= { - V 2 ,» +

(lo s b lo q u e s

V 2 ,|

+

10.3j

06 se

rep iten ),

1.25, 0,1, V ó j

16

CAPÍTULO R

Repaso

En los problemas 27-38, aproxima cada número por (a) redondeo y (h) truncado a tres lunares decimales. \

27.

18.9526

33. 9.9985

28. 25.86134

29. 28 .6 5 3 1 9

3 0 . 9 9 .0 5 2 4 9

34. 1.0006

35. 7

36.

1 9

3 1 . 0 .06291

3 2 . 0 .0 5 3 8 8

3 7 . 521 15

38. ? ! 5

En los problemas 39-48, escribe cada proposición usando símbolos. \

39.

4 0 . El p ro d u c to 5 y 2 e s igu al a 10.

La sum a d e 3 y 2 e s igual a 5.

41. La sum a d e * y 2 es igual al p ro d u c to d e 3 y 4.

4 2 . La su m a d e 3 y y e s igual a la su m a d e 2 y 2,

43.

El p rod u cto d e 3 y y e s igual a la su m a d e I y 2.

4 4 . El p ro d u c to d e 2 y

45.

La d iferen cia de x m en o s 2 e s igual a 6.

4 6 . La d ife re n c ia d e 2 m e n o s y e s igual a 6.

47.

El c o c ie n te d e x d iv id id o en tre 2 e s 6.

4 8 . El c o c ie n te d e 2 d iv id id o e n tr e

x es

igual al p r o d u c to d e 4 y 6.

x es 6.

E n los problemas 49-86, evalúa cada expresión.

\

49. 9 - 4 + 2

50. 6 - 4 + 3

53. 4 + 5 - 8

57. 6 - [3 * 5 + 2* (3 - 2)1 61.

1 0 - [6 - 2 * 2 + (8 — 3)]*2

63.

(5 - 3 ) i

51. - 6 + 4 * 3

52. 8 - 4 * 2

54. 8 - 3 - 4

55. 4 + l

56. 2 - ^

5 8 . 2 • (8 — 3 ( 4 + 2 ) | - 3

5 9 . 2 • (3 - 5 ) + 8 * 2 — 1

60. 1 - ( 4 * 3 - 2 + 2 )

\

62. 2 - 5 - 4 - ( 6 * ( 3 - 4 ) | 4 + K

\

\

67.

71.

3 _ 10

\

65.

10

21

100

25" 2 7

6

25

3

8

15

9

2

6 8 .5 .2 9 10

69.

3

„

5 9 73. - + 6 5

2

5

75.

1

3

2

20

15

1 + 2

TI.

76. 1 + « 15 9

18 + 12

79.

4

72- 3

80. — - 2 35 14

\

81.

2 - 4

5 - 3

5 ’ 21

4 + 5

\

64. - - 1 2 5 21

1

7

30

18

7 6 .1 - + 14 21

5

5

Í8

2Í 82. y

11 27

83.

1 3

7

2 ' 5 + 10

84.

1 3

„ 3 3 85. 2 * - + 4 8

+ 1 1 5 6

35

“ ■

, 5 1 3' ¿ ~ 2

E n los problemas 87-98, usa la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. \

87. 6 (x + 4 ) 3 91.

2

1\

4A' ' 2)

95. (x - 2)(.v + 1)

8 8 . 4 ( l v - 1)

89. x (x - 4 )

9 0 . 4 x (x + 3 )

,2-# +

9 3 . (x + 2 ) ( x + 4 )

94» (x + 5 )(x + 1)

9 6 . (.v - 4 ) (x + 1)

9 7 . ( v - 8)(.v - 2)

9 8 . (x - 4 ) ( x - 2 )

0

Explicación de conceptos: discusión y escritura 99. E xp lica a un a m ig o c ó m o se usa la p ro p ied a d d istrib u tiva para justificar el h e c h o d e q u e 2 v + 3.v = 5.v. 100. E xp lica a un a m igo p o r q u é 2 + 3 * 4 = 1 4 . m ien tra s q u e (2 + 3 ) • 4 = 20.

101. E x p lic a p o r q u é 2 (3 • 4 ) n o e s lo m ism o q u e (2 • 3 ) • (2 • 4 ). 4 + 3 102. E x p lic a p o r q u é - - - - - i

4 3 n o e s lo m ism o q u e - +

S E C C IÓ N R .2

103. ¿La resta es conmutativa? Justifica tu conclusión con un ejemplo. 104. ¿La resta es asociativa? Justifica tu conclusión con un ejemplo. 105. ¿La división es conmutativa? Justifica tu conclusión con un ejemplo. 106. ¿La división es asociativa? Justifica tu conclusión con un ejemplo. 107. Si 2 = .t, ¿por qué x = 2? 108. Si x = 5, ¿por qué x 2 + x = 30? 109. ¿Existen números reales que sean racionales e irracionales a la vez? ¿Existen números reales que no sean ninguno de los dos? Explica tu razonamiento.

Bases de álgebra

17

111. Un número racional se define como el cociente de dos en teros. Cuando se escribe como decimal, el decimal se repi te o termina. Si observamos el denominador del número racional, hay una manera de decir de antemano si su forma decimal se repetirá o terminará. Haz una lista de números racionales y sus decimales. Ve si puedes descubrir el pa trón. Consulta libros de teoría de números para corroborar tu conclusión. Escribe un pequeño ensayo sobre lo que en contraste. 112. En este momento son las 12 del día, hora del centro. ¿Qué hora será 12,997 horas a partir de esa hora? a 0 113. Tanto - (con a * 0) como - no están definidos, pero por diferentes razones. Escribe un párrafo o dos en donde ex pliques las diferentes razones.

110. Explica por qué la suma de un número racional y uno irra cional tiene que ser irracional.

R.2 Bases de álgebra OBJETIVO S 1 Trazar las gráficas de desigualdades (p. 18)

2 Determinar distancias en la recta de números reales (p. 19) 3 Evaluar expresiones algebraicas (p.20) 4 Determinar el dominio de una variable (p. 21) 5 Usar las leyes de los exponentes (p. 21) 6 Evaluación de raíces cuadradas (p. 23) 7 Usar la calculadora para evaluar exponentes (p. 24) 8 Usar la notación científica (p. 24)

La recta de los números reales Los números reales se pueden representar por medio de puntos en una línea llamada recta de los números reales. Existe una correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos en una línea. Esto quiere decir que a todo número real le corres ponde un punto de la línea y que cada punto de la línea tiene un número real único asociado a él. Elije un punto en la recta en algún lugar cerca del centro y llámale O. Este punto, llamado origen, corresponde al número real 0. Ver figura 8. El punto que se encuentra 1 unidad a la derecha de O corresponde al número 1. La distancia entre 0 y 1 determina la escala de la recta numérica. Por ejemplo, el punto asociado con el numero 2 está dos veces más lejos de O que 1. Observa que una flecha al final del extremo derecho de la recta indica la dirección en la que los números incrementan. Los puntos a la izquierda del origen corresponden a los números reales - 1 , - 2 , etc.

Figura 8 Recta de los números reales 2 unidades Escala

ñ

1 unidad

O —I_I_1_J__ L 1V2 2 -1 4 °

3ir La figura 8 también muestra los puntos asociados con los números racionales - - y —y con los números irracionales V2 y tt.

DEFINICION

Al número real asociado con un punto P se le llama coordenada de P y a la recta cuyos puntos tienen coordenadas asignadas recibe el nombre de recta de los números reales.

Resuelve ahora

J el

problema

11

18

CAPÍTULO R

Repaso

Figura 9

O _i___ i_i_i_i_i_i_i_i—i—i—i— -3

- 2 - f- l- J 0 \ 1 § 2 Números reales ' negativos Cero

La recta de los números reales se compone de tres clases de números reales, como se muestra en la figura 9.

3

Números reales positivos

1. Los números reales negativos son las coordenadas de los puntos a la

izquierda del origen O. 2. El número real cero es la coordenada del origen O. 3. Los números reales positivos son las coordenadas de los puntos a la

derecha del origen O.

Propiedades de m ultiplicación de los núm eros positivos y negativos

1. El producto de dos números positivos es un número positivo. 2. El producto de dos números negativos es un número positivo. 3. El producto de un número positivo y de un número negativo es un número negativo.

1 Gráfica de desigualdades

(c) a > b

Una propiedad importante de la recta de números reales surge del hecho de que dados dos números (puntos) a y b, a está a la izquierda de b, a está en el mismo lugar que b o a está a la derecha de b. Ver figura 10. Si a está a la izquierda de b, decimos que “a es menor que b” y lo escribimos como a < b. Si a está a la derecha de b, decimos que “a es mayor que b” y lo escri bimos como a > b. Si a está en el mismo lugar que b, entonces a = b. Si a es menor o igual que b, escribimos « ¿ ¿ . D e la misma forma, a > b quiere decir que a es mayor o igual que b. En resumen, los símbolos <, >, < y > se llaman símbolos de desigualdad. Observa que a a quiere decir lo mismo. No importa si escribimos 2 < 3 o 3 > 2. Además, si a a, entonces la diferencia b - a e s positiva. ¿Entiendes por qué?

EJEM PLO 1

Uso de símbolos de desigualdad

Figura 10 a

b

(a) a -1 6 (b) 4 > - 1

(c) —6 < 0 (c) 8 > 0

En el ejemplo l(a) concluimos que 3 < 7 ya sea porque 3 está a la izquierda de 7 en la recta real o porque la diferencia, 7 - 3 = 4, es un número real positivo. De la misma forma concluimos en el ejemplo l(b) que - 8 > -1 6 ya sea porque - 8 está a la derecha de -1 6 en la recta de números reales o porque la diferencia, - 8 - (-1 6 ) = - 8 + 16 = 8, es un número real positivo. Ver ejemplo 1 otra vez. Observa que el símbolo de desigualdad siempre apunta en la dirección del número menor. Una desigualdad es una proposición en la que dos expresiones se relacionan por un símbolo de desigualdad. A estas expresiones se les llaman los lados de una desigualdad. Las desigualdades de la forma a a s e llaman desigualdades estrictas, mientras que a las desigualdades de la forma a ^ b o b ^ a s e conocen como desigualdades no estrictas.

Basándonos en lo anterior podemos concluir que a > 0 equivale a decir que a es positivo a < 0 equivale a decir que a es negativo

19

SECCIÓN R.2 Bases de álgebra

A veces leemos a > 0 diciendo que “a es positivo.” Si a > 0, entonces a > 0 o a = 0, y se lee como “a es no negativo”.

RbsubIvbahora EJEM PLO 2

los

15

problemas

v

25

Gráficas de desigualdades (a) En la recta de los números reales, haz una gráfica de todos los números x para los que x > 4. (b) En la recta de los números reales, haz una gráfica de todos los números x para los que r ¿ 5 .

Solución

Figura 11 -2 -1

0

4

5

6

i» ■

7

Figura 12 ,1

I

-2 -1

I___ l

i

0 1

2 3 4 5 6 7

l

i

(a) Ver figura 11. Observa que usamos un paréntesis izquierdo para indicar que el número 4 no es parte de la gráfica. (b) Ver figura 12. Observa que usamos un corchete derecho para indicar que el nú mero 5 es parte de la gráfica.

___ \ ----- 1----- L

-Resuelve ahora

el

problema

31

2 Encontrar distancias en la recta de los números reales Figura 13 . 4 unidades

3 unidades

_ J -----*-----1------1------L

4— i---1— 4

-5 -4 -3 -2 -1

0

1 2

3

DEFINICIÓN

El valor absoluto de un número a es la distancia de 0 a a en la recta numérica. Por ejemplo, - 4 está a 4 unidades de 0 y 3 está a 3 unidades de 0. Ver la figura 13. Por lo tanto, concluimos que el valor absoluto de - 4 es 4 y que el valor absoluto de 3 es 3. A continuación se da una definición más formal de valor absoluto.

El valor absoluto de un número real a se denota por el símbolo |fl| y se define por las reglas \a \-a

\a \~ - a

sirtsO

s ia < 0

Por ejemplo, como - 4 < 0, debemos usar la segunda regla para obtener I—4 l = - ( - 4 ) = 4.

EJEM PLO 3

Cálculo del valor absoluto (a) |8| = 8

(b) |0| = 0

(c) | 15| - - ( - 1 5 ) = 15

Observa de nuevo la figura 13. La distancia de - 4 a 3 es de 7 unidades. Esta distancia es la diferencia de 3 - (-4 ), que se obtiene restando la coordenada menor de la mayor. Sin embargo, como |3 - (—4)| = |7| = 7 y |- 4 - 3 | = |—7| = 7, podemos usar el valor absoluto para calcular la distancia entre dos puntos sin importar cuál sea menor.

DEFINICIÓN

Si P y Q son dos puntos en la recta de números reales con coordenadas a y b, respectivamente, la distancia entre P y Q, que se denota por d(P, Q), es d(P,Q ) = \ b - a \

J Como |b - a\ = \a - b\, entonces d{P, Q) = d (Q , P).

20

C A P ÍT U L O R

Repaso

Encontrar distancias en la recta numérica

EJEMPLO 4

Sean P, Q y R puntos en una recta de números reales con coordenadas - 5 , 7 y - 3 , respectivamente. Encuentra la distancia (a) entre P y Q

Solución

(b) entre Q y R

Ver figura 14. P

Figura 14

4

R

i___ 4 i__ i

-5 -4

-3 -2 -1

1

i

i

i

i

0

1

2

3

4

Q

1-1 --- 4

5 6

7

H*--------------- d(P,Q) = |7 - (- 5 )| = 12 ----- H |<------ d(Q, R) = | -3 - 7 | = 10 — —H

(a) d(P, Q )= \l - ( —5)| = |12|= 12 (b) d(Q ,R ) = |- 3 - 7 | = |-1 0 |= 1 0

•'™—


3 Evaluar expresiones algebraicas Recuerda que en álgebra usamos las letras como x,y, a ,b ,y c para representar núme ros. Si la letra usada representa cualquier número de un conjunto dado de números, se llama variable. Una constante es un número fijo, como 5 o V3, o bien, una letra que representa un número fijo (posiblemente no especificado). Las constantes y las variables se combinan usando las operaciones de suma, res ta, multiplicación y división para formar expresiones algebraicas. Ejemplos de expre siones algebraicas incluyen: 3 -----1- t

x + 3

Ix - 2y 7

Para evaluar una expresión algebraica, sustituye el valor numérico de cada va riable.

EJEMPLO 5

Evaluación de una expresión algebraica Evalúa cada expresión six = 3 y y = - l . (a) x + 3y

Solución

(b) 5xy

(c) -

(d) |-4 x + y|

(a) Substituye 3 por x y - 1 por y en la expresión x +3y. x + 3y = 3 + 3( —1) = 3 + ( - 3 ) = 0 í X =

3 ,y

=

-1

(b) Six = 3 y y - - 1 , entonces 5xy = 5(3)(—1) = -1 5 (c) Six = 3 y y = - 1 , entonces 3y = 3 ( - l ) = - 3 -3 3 2 - 2x 2 - 2(3) ~ 2 - 6 ~ - 4 ~ 4 (d) Si x = 3 y y - - 1, entonces 1-4* +

y \

= 1-4(3) + ( - 1 )| = | - 1 2 + ( - 1 )| = |-1 3 | = 13

ResuelvBahora

los

problemas

39

y

47

t

S E C C IÓ N R .2

►

Bases de álgebra

21

4 Determ inar el dominio de una variable J

Cuando trabajamos con expresiones o fórmulas con variables, a las variables solo se les puede permitir tomar valores de un determinado conjunto de números. Por ejemplo, en la fórmula para el área A de un círculo de radio r, A = nr , la variable r está restringida necesariamente a los números reales positivos. En la expresión —, la variable x no puede tomar el valor de 0, ya que la división entre 0 no está definida.

DEFINICIÓN

El conjunto de valores que puede tomar una variable se llama dominio de la variable.

J

EJEM PLO 6

Determina el dominio de una variable El dominio de la variable x en la expresión 5 x - 2 es {.v| jc^ 2), ya que si x = 2, el denominador se convierte en 0, lo cual no está definido. J

EJEM PLO 7

Circunferencia de un círculo En la fórmula de la circunferencia C de un circulo de radio r, C = 2irr el domino de la variable r, que representa el radio del círculo, es el conjunto de los números reales positivos. El dominio de la variable C, que representa la circunferen cia del círculo, también es el conjunto de los números reales positivos. Cuando describimos el dominio de una variable podemos usar la notación de conjuntos o de palabras, la que sea más conveniente. vtbb¡s^-~-Resuelve

I

ahora

el

problema

57

5 Uso de las leyes de los exponentes Los exponentes enteros proporcionan una forma abreviada para representar multi plicaciones repetidas de un número real. Por ejemplo, 34 = 3 -3 • 3 • 3 = 81 Además, muchas fórmulas tienen exponentes. Por ejemplo, • La fórmula para el valor de los caballos de fuerza H de un motor es

donde D es el diámetro de un cilindro y A es el número de cilindros. • Una fórmula para la resistencia R del flujo de sangre en un vaso sanguíneo es

donde L es la longitud del vaso sanguíneo, r es el radio y C es una constante positiva.

22

C A P ÍT U L O R

Repaso

DEFINICIÓN

Si a es un número real y « es un entero positivo, el símbolo a” representa el producto de n factores de a. Esto es:

Se entiende que a 1= a.

J

Entonces a 2 = a - a , a3 = a - a - a , etc. En la expresión a", a es la base y n el expo nente o potencia. Leemos a" como “a elevada a la potencia n " o “a a la n ” . General mente leemos a2 como “a cuadrada” y a3 como “a cúbica”. Cuando se trabaja con exponentes, la operación de eleva r a una po te n cia se rea liza antes que cualquier otra operación. Como ejemplos:

4.32 = 4.9 = 36

22 + 32 = 4 + 9 = 13

-2 4 = -1 6

5 - 32 + 2 -4 = 5 - 9 + 2 - 4 = 45 + 8 = 53

Usamos paréntesis para indicar qué operaciones deben realizarse primero. Por ejemplo: (- 2 )4= (—2)(—2)(—2)(—2) = 16

DEFINICIÓN

(2 + 3)2= 52 = 25

Si a 5* 0, definimos a°= 1 si a 5*0 fe

DEFINICIÓN

Si a 5* 0 y n es un entero positivo, definimos sia 5* 0

a n=— a

Siempre que encuentres un exponente negativo, piensa en “recíproco”.

EJEM PLO 8

Evaluación de expresiones con exponentes negativos

Resuelve ahora

el

problema

75

y

95

Las siguientes propiedades, llamadas leyes de los exponentes, se pueden demos trar usando las definiciones anteriores. En la lista a y b son números reales y m y n son enteros.

TEOREMA

Leyes de los exponentes ama" = am+n am

(a"')'' = a"1"

1 - 7 =

. s' 0 * °

(ab)n = anbn fa \" an U ) = ^ s if ,# 0

K

S E C C IÓ N R.2

[ EJEM PLO 9

23

Bases de álgebra

Uso de las leyes de los exponentes (a) x~3 • .v5 = x 3+5 = x 2 x ¿ 0

(b) (x~3)2 = jT~3'2 3'2 “= x '6 “= ~b x * 0

(c) (2x)3 = 23>x3 = 8a:3

2 \ 4 24 16 ( d ) U3.) - ? - M

-2

(e) —r = x 2 ( 5) = x 3, x * 0 .V J

Resuelve ahora EJEM PLO 10

el

problema

n

Uso de las leyes de los exponentes Escribe cada expresión de modo que todos los exponentes sean positivos. / v— 3\ — 2

jcV 2 (a) —r— x ^ 0, y # 0 x3y

Solución

(a)

x 5y~2 _ x 3y

Xs

x3

„-3 \-2

(b)

,3y

-i

y~7 y

xÔ ,

(b)

-

^5-3. = X

„2 „-3 _ J l = xry - x ~ '— = — y y

.,-2-1 _

3\-2

_ ( 0 _ = ________ = ( 3 y - 'y 2 3 - \ y - ' y 2

-Resuelve ahora

y * 0

¿y~\

el

problema

1 2 9y

9/ y ,2

87

6 Evaluación de raíces cuadradas r En palabras r V 3 6 auiere decir “encuentra r el| numero , no negativo cuyo f ' cuadrado sea 3 6 ”

_

DEFINICIÓN

Un número real es cuadrado cuando está elevado a la potencia 2. La operación in versa de elevar al cuadrado es encontrar la raíz cuadrada. Por ejemplo, como 62= 36 y ( - 6 ) 2= 36, los números 6 y - 6 son raíces cuadradas de 36. El símbolo V , llamado signo de radical, se usa para denotar la raíz cuadrada no negativa o principal. Por ejemplo, V36 = 6. Si a es un número real no negativo, el número no negativo b tal que b2= aes la raíz cuadrada principal de a y se denota como b = Vfl.

J

Los siguientes comentarios son importantes: 1. Los números negativos no tienen raíces cuadradas (en el sistema de números reales), ya que el cuadrado de cualquier número real es no negativo. Por ejemplo, V—4 no es un número real, ya que ho existe ningún número real cuyo cuadrado sea -4 . 2. La raíz cuadrada principal de 0 es 0, ya que O2= 0. Esto es, Vü = 0. 3. La raíz cuadrada principal de un número positivo es positiva. 4. Si c > 0, entonces ( V e)2 = c . Por ejemplo ( V 2 )2 = 2 y ( V 3 )2 = 3.

EJEM PLO 11

Evaluación de raíces cuadradas (a) V 64 = 8

(b)

(c) ( V L 4 )2 = 1.4

Los ejemplos 11 incisos (a) y (b) son ejemplos de raíces cuadradas perfectas, debido a que 64 = 82 y — = ( - J .

24

C A P ÍT U L O K

Repaso

Considera la expresión V a l Como ar * 0, la raí/ cuadrada principal de a1 c*tá definida si a > 0 o si a < 0. Sin embargo, ya que la raí/ cuadrada principal ex no ne gativa, necesitamos un valor absoluto para asegurar un resultado no negativo, Esto quiere decir,

donde a es cualquier número real

(2)

Liso de la ecuación (2)

E J E M P L O 12

(b) \ / ( - 2 . 3 ) 2 = |-2 .3 | = 2.3

(a) \ / ( 2 3 ) i = \2.3\ = 2.3 (c) \ / 7 2 = \x\

Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

83

7 Uso de la calculadora para evaluar exponentes Tu calculadora tiene una tecla con el símbolo de interalación. a . o bien la tecla j j *}. las cuales, se usan para hacer cálculos que involucran exponenlcs.

E J E M P L O 13

Exponentes en una calculadora gráfica Evalúa: (2.3)'

Figura 15

[273*5

Solución La figura 15 muestra el resultado usando una calculadora gráfica TI-K4. 64.36343 Resuelve ahora el problema i i 3 8 Uso de notación científica Las medidas de cantidades físicas pueden variar desde muy pequeñas has ta muy grandes. Por ejemplo, la masa de un protón es aproximadamente 0.0000(XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX)167 kilogramos y la masa de la Tierra es aproximada mente 5,9N0,(XX).(XX),(XX).(XX),(XX).(XX).(XX) kilogramos. Obviamente estos números son tediosos de escribir y difíciles de leer, así es que usamos exponentes para reescribirlos.

DEFINICIÓN

Cuando un número ha sido escrito como el producto de un número x. donde 1 ^ .v < 10. multiplicado por una potencia de 10. se dice que está escrito en no tación científica. En notación científica. Masa de un protón = 1.67 x 10'r kilogramos Masa de la Tierra = 5.98 x 10N kilogramos Conversión de un decimal a notación científica Para convertir un número positivo a notación científica: 1. Cuenta el número N de lugares que hay que mover el punto decimal para llegar al número .v, donde 1 < .v < 10. 2. Si el número original es mayor o igual a 1. la notación científica es .v x H)\ Si el número original está entre 0 y 1. la notación científica es x x 10 \

S E C C IÓ N R .2

EJEM PLO 14

Bases de álgebra

25

Uso de notación científica Escribe cada número en notación científica. (a) 9582

Solución

(b) 1.245

(c) 0.285

(d) 0.000561

(a) El punto decimal en 9582 sigue al 2. Cuenta hacia la izquierda del punto decimal 9

5 8 2 . , U - Í ___I

3 2 1

y detente después de tres lugares, ya que 9.582 es un número entre 1 y 10. Como 9582 es mayor que 1, escribimos 9582 = 9.582 x 103 (b) El punto decimal en 1.245 está entre el 1 y el 2. Como el número ya está entre el 1 y el 10, su notación científica es 1.245 x 10° = 1.245. (c) El punto decimal en 0.285 está entre el 0 y el 2. Contamos 0 . 2 8 5 L_1 1 y nos detenemos después de un lugar, ya que 2.85 es un número entre 1 y 10. Como 0.285 está entre el 0 y el 1, escribimos 0.285 = 2.85 x l 0 - ‘ (d) El punto decimal en 0.000561 se mueve de la siguiente manera: 0 .0

0 0 5 6 1

12 3 4 Como resultado, 0.000561=5.61 x 10“4

ReSue|Ue ahora

EJEM PLO 15

el

problema

i i9

Cambio de notación científica a decimales Escribe cada número como decimal. (a) 2.1 X 104

Solución

(a)

(b) 3.26 X 10~5

2.1 X 104 =2

. 1

0

l____ i-

t

1 2

(b) 3.26 X 10~5 = 0

0

0

t ■i 5

(c) 1 x 10~2 = 0

0 1

4

0

(c) 1 x 10~2 104 =21,000

0 0 x 1___r

3 4 0

3

.

T .T ...t__ J 3 2

.0 x 10~2

1

= 0.01

t__t__ «J 2.

Resuelve ahora

1

el

problema

127

2 6 x

10~5 = 0.0000326

26

C A P ÍT U L O K

Repaso

E J E M P L O 16

Uso de notación científica (a) 121 diámetro de la célula viva más pequeña es de aproximadamente 0.00001 cen tímetros (cm).* Expresa este número en notación científica. (b) El área de la superficie de la Tierra es de aproximadamente 1.97 x 10* millas cuadradas.** Expresa el área de la superficie como un número entero.

Solución

(a) 0.00001 cm = 1 X 10 ' cm ya que el punto decimal se mueve cinco lugares y el número es menor que 1. (b) 1.97 x 10" millas cuadradas = 197,000,000 millas cuadradas. j

Resuelvo ahora el problema i 53 COMENTARIO En una calculadora, un número como 3.615 X 1012 aparece como 36*5£>2 *

Potencias tic base diez, Philip and Phylis Morrison. IWH Information Please Almanac.

*•

Comentario histórico do a un lado de una ecuación, también debe ser sumado al otro a palabra álgebra se deriva de la palabra árabe al-jahr. lado para “restaurar" la igualdad. El título de la obra, traducido Esta palabra forma parte del título de una obra del siglo IX, con libertad, es “La ciencia de la reducción y cancelación" Por “Hisáb al-jabr w’al-muqflbalah”, escrita por Mohammed ibn Músa al-Khwñrizmi. La palabra a l-ja h r quiere decir "unasupuesto que hoy en día álgebra significa mucho más que eso. restauración" y se refiere al hecho de que si un número es suma

L

R.2 Evalúa tu entendim iento Conceptos y vocabulario 1. U n a ------------ es una letra que se usa en álgebra para re presentar cualquier número de un conjunto dado de nú meros.

7. Verdadero o Falso La distancia entre dos puntos diferen tes en la recta de los números reales siempre es mayor que cero.

2. En la recta de números reales, el número real cero es la coordenada d e ________

8. Verdadero o Falso El valor absoluto de un numero real siempre es mayor que cero.

3. Una desigualdad de la forma a > b se llam a________

9. 1 erdadero o Falso Cuando un número se expresa en nota ción científica, se escribe como el producto de un número .v. 0 s . t < l . y una potencia de 10.

4. En la expresión 2\ el número 2 se llama________ y el 4 se llam a________ 5. En notación científica, 1234.5678 = _______ 6. Verdadero o Falso El producto de dos números reales ne gativos siempre es mayor que cero.

10. Verdadero o Falso Para multiplicar dos expresiones que tienen la misma base, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

Ejercicios *3 11. En la recta de los números reales, marca los puntos con coordenadas 0.1, - 1 ,

-2.5, 7 . v 0 .1 5. 4

3 1 2 12. Repite el problema 11 para las coordenadas 0, -2.2, -1.5, - , - y - . En los problemas 13-22, sustituye el signo de interrogación po r <, > o =, según corresponda.

14.5 7 6 18. V 2? 1.41

19. | 7 0.5

\

15. - 1 7 - 2

1 6 .- 3 7 - ^

17.

20. 1 7 0.33

21. 1 7 0.67

21 - 7 015 4

jt 73.14

S E C C IÓ N R .2

Bases de álgebra

27

* En los problemas 23 -2 8 , escribe cada proposición como una desigualdad.

t 23. x es positivo 2 6.

24.

y es mayor que - 5

z es negativo

27. x

\

es menor o igual que 1

25. .t es menor que 2 28. x

es mayor o igual que 2

En los problemas 29-32, haz una gráfica de los números x en la recta de los números reales. 2 9.

.t & - 2

3 0 . .v < 4

\

31. * > - 1

32. * < 7

En los problemas 33 -3 8 , usa la recta de números reales dada para calcular cada distancia. A

B C

D

E

— i---1___i___i__i__ i___ i___i__ i___ i__ i__ - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 3 3. d ( C, D)

3 4 . d( C, A )

35. d{ D, E )

3 6 . d( C, E )

38. d ( D, B )

37. d { A , E )

\

En los problemas 39-46, evalúa cada expresión s i x = - 2 y y = 3.

\ , 3 9 . x + 2y 43.

40.

3.r + y

41.

x + y

2.r

44.

x - y

5*y + 2

42.

3x + 2y 45.

x - y

- 2 x + xy

AA ----------2 X ~ 3 46.

2 + y

E n los problemas 47-56, determina el valor de cada expresión si x = 3 y y = -2 .

\

47. \x +

y|

4 9 . \x\ +

4 8 . \x - y\

52. M

53.

y

|4jc - 5y|

54.

5 0 . |a:|

|y|

|3* + 2y|

55.

*

- |y|

51. —

x

||4jc| - |5y||

3|jc| + 2|y|

56.

E n los problemas 57-64, determina cuáles de los valores de a a d, si existen, deben ser excluidos del dominio de la variable en cada expresión. (a) x = 3 \5 7 . ^

-

x2 + 1

1

59.

58.

X

61.

(d) x = - 1

(c) x = 0

(b) x = 1

X

x2 + 1

x3

/

62.

63.

x2 - 1

60.

x2 - 9 x 2 + 5x - 10

-9 x2 - x + 1 64.

—x

x

x2 + 9

x3 + x

E n los problemas 65-68, determina el dominio de la variable x en cada expresión. 65.

66.

x - 5

-6

67.

x + 4

68.

x + 4

x -2 x - 6

E n los problemas 69-72, usa la fórmula C = ~ { F - 32) para convertir de grados Fahrenheit a grados Celsius, para encontrar la temperatura en grados Celsius de cada valor dado en grados Fahrenheit. 6 9. F =

32°

70. F

71. F

= 212°

= 77° -

72. F

=

-4 o

E n los problemas 73-84, simplifica cada expresión. 7 3.

(-4 )2

74 .

-4 2

\

7 9.

(3~2)-1

80. ( 2 ~ T 3

75. 4“2 81.

76. - 4 -2

\

77. 3“6 • 34

78.

V36

\

83. \ / ( - 4)2

84- V ( ~ 3)2

82.

V25

4-2 • 43

E n los problemas 8 5 - 94, simplifica cada expresión. Escribe la respuesta de manera que todos los exponentes sean positivos. Cuando un exponente sea 0 o negativo, suponemos que la base no es 0. 85. (8 a:3)2

86. (~ 4*2) 1

-2

( - 2 )3x \ y z) 2

x Ly 90.

xy2

91.

32x y 3z

\

87. (x 2y ') 2

88.

a:Y

(a: 'y)3

89.

4a: 2(yz) -i1 92.

23/ y

94.

*

m

¡

xy4 / 5a:" \6y

28

CAPITULO R

Repaso

E n los p ro b lem a s 95 - lito, determ ina el valor de rada exp resió n s l x » 2 y y » - l .

\

9*. « V

95. 2x y 1

96. - 3 jt 'y

97.

99. (¿y)2

KH). (* + y)2

101.

V x 2

102. ( V i) 7

104. \ / r 2 + \ / í *

105.

xf

106. y*

103. v V + y 2

107. Encucntru el valor de la expresión 2*’ -

5 x J + 5x -

108. Encuentra el valor de la expresión 4*’ + 3a' 109. ¿Cuál es el valor de

x 7 + y2

4 sí x ■ 2. ¿Cuál es su valor si a ■ 17

jt+ 2 si x

■ 1. ¿Cuál es su valor si x - 2?

~?

110. ¿Cuál es el valor de (0.l)’(20)*?

(222)4

E n los p ro b le m a s I I I - 1 I H , usa la calculadora para eva lu a r cada expresión. R e d o n d e a tu respuesta a tres lunares dec anales

.

\

111 (H.2)h

112. (3.7)’

115. (-2.8)h

116. -(2.8)*

\

113. (6.1 )"J

114. (2.2)^

117. (-8.11) 4

118. -(811) 4

E n los p ro b lem a s 1 1 9 - I2f), escribe cada n ú m e ro en no ta ció n científica.

119.454.2

120.32.14

121. 0,013

121 000421

123. 32.155

124. 21.210

125. 0.000423

126. 0 0514

129. 1.214 X 10 ' 133. 8 1 x 10 »

130. 9JW x |0 * 134. 6 453 x 10 '

\ E n los p ro b lem a s 1 2 7 -1 5 4 , escribe cada n ú m e ro c o m o decim al. 127. 6.15 X 104 131.1.1x10»

128.9.7x10’ 131 4.112x10»

A p lic a c io n e s y e x te n s io n e s E n los p ro b lem a s 1.15 —144, expresa cada p ro p o sició n c o m o u n a ecuación q u e in clu ya las \ a n a b les indicadas

135. Área de un rectángulo El área A de un rectángulo es el producto de su longitud / y su ancho iv. / A

139. Área de un triángulo equilátero El área A de un triángulo equilátero es — multiplicado por el cuadrado de la kmp4 tud x de un lado.

iv

136. Perímetro de un rectángulo El perímetro P de un rectángu lo es el doble de la suma de su longitud / y su ancho w. 137. Circunferencia de un círculo La circunferencia C de un cír culo es el producto de n y de su diámetro d.

i 140. Perímetro de un triángulo equilátero EJ perímetro P de un

triángulo equilátero es 3 veces la longitud i de un lado. 141. Volumen de una esfera El volumen V de una estera es -

por a-, multiplicado por el cubo del radio r.

138. Area de un triángulo El área A de un triángulo es la mitad del producto de su base />y su altura li. 141 Área de la superficie de una esfera El área de la superficie

.5de una esfera es 4 por sr. multiplicado por el cuadrado del radio r.

S E C C IÓ N R .2

*■ 143. Volumen de un cubo El volumen

V de un cubo es el cubo

Bases de álgebra

29

un radio que no difiere más de 0.01 cm. Si x es el radio del balín, una fórmula que describe esta situación es:

de la longitud x de un lado.

\x - 3| < 0.01

s ' L yy c____

(a) ¿Es aceptable un balín de radio x = 2.999? (b) ¿Es aceptable un balín de radio x = 2.89?

_

x

152. Temperatura corporal La temperatura normal del cuerpo humano es de 98.6°F. Una temperatura x que difiere de la normal por 1.5°F no se considera saludable. Una fórmula que describe esto es:

144. Área de la superficie de un cubo El área de la superficie S de un cubo es 6 veces el cuadrado de la longitud x de uno de los lados.

\x - 98.6| > 1.5

145. Costo de fabricación El costo semanal de producción C por fabricar x relojes está dado por la fórmula C = 4000 + 2x, donde la variable C esta en dólares. (a) ¿Cuál es el costo de producir 1000 relojes? (b) ¿Cuál es el costo de producir 2000 relojes?

(a) Demuestra que una temperatura de 97°F no es salu dable. (b) Demuestra que una temperatura de 100°F es saludable. 153.

Distancia de la Tierra a la Luna La distancia de la Tierra a la Luna es de aproximadamente 4 X 108 metros.* Expresa esta distancia como un número entero.

146. Saldo de una chequera Al principio de mes, Miguel tenía un saldo de $210 en su cuenta de cheques. Durante el mes siguiente, depositó $80, hizo un cheque por $120, hizo otro depósito de $25 y giró otros dos cheques, uno de $60 y el otro de $32. También le cobraron una comisión mensual por servicios de $5. ¿Cuál es su saldo al final del mes?

154. Altura del Monte Everest La altura del Monte Everest es

E n los problemas 147 y 148, escribe una desigualdad usando el valor absoluto para describir cada proposición.

156. Diámetro de un átomo El diámetro de un átomo es aproxi

147. x está por lo menos a 6 unidades de 4. 148. x está a más de 5 unidades de 2. 149. Voltaje en EE.UU. En Estados Unidos de Norteamérica, el voltaje normal de una casa es de 110 volts. Es aceptable que el voltaje real x difiera del voltaje normal por máximo 5 volts. Una fórmula que describe esto es:

de 8848 metros.* Expresa esta altura en notación científica.

155. Longitud de onda de la luz visible La longitud de onda de la luz visible es de aproximadamente 5 X 10“7 metros.* Ex presa esta longitud de onda como un decimal. madamente 1 X10“10metros.* Expresa este diámetro como un decimal.

157. Diámetro de un alambre de cobre El alambre de cobre más delgado del mercado es de aproximadamente 0.0005 pulga das de diámetro.! Expresa este diámetro usando notación científica.

158. El motor más pequeño El motor más pequeño que se ha hecho mide menos de 0.05 centímetros de ancho.** Expre sa este ancho usando notación científica.

\x - 110| < 5

(a) Demuestra que un voltaje de 108 volts es aceptable. (b) Demuestra que un voltaje de 104 volts no es aceptable.

159. Astronomía Los astrónomos definen un año luz como la distancia que un rayo de luz viajará en un año (365 días). Si la velocidad de la luz es de 186,000 millas por segundo, ¿cuántas millas hay en un año luz? Expresa tu respuesta en notación científica.

150. Voltaje en otros países En otros países, el voltaje normal en una casa es de 220 volts. Es aceptable que el voltaje real x difiera del normal por 8 volts. Una fórmula que describe

esto es:

160. Astronomía ¿Cuánto tarda un rayo de luz en llegar a la Tie rra desde el Sol, si el Sol está a 93,000,000 millas de la Tierra? Expresa tu respuesta en segundos, usando notación científica.

|jc - 2201 < 8 . (a) Demuestra que un voltaje de 214 volts es aceptable. (b) Demuestra que un voltaje de 209 volts no es aceptable.

161. ¿ i equivale a 0.333? Si no es así, ¿cuál es más grande? ¿Por

151. Fabricación de balines de precisión La compañía FireBall fabrica balines para equipo de precisión. Uno de sus pro ductos es un balín con un radio establecido de 3 centíme tros (cm). Los únicos balines aceptables son los que tienen

162.

cuánto? 2 ¿ - equivale a 0.666? Si no es así, ¿cuál es más grande? ¿Por cuánto?

Explicación de conceptos: discusión y escritura 163. ¿Existe un número real positivo “más cercano” a 0? 164.

Juego de Números ¡Estoy pensando en un número! Está entre el 1 y el 10, su cuadrado es racional y está entre 1 y 10. El número es más grande que p. Da el número corregido hasta dos lugares decimales (esto es, truncado a dos posi ciones decimales). Ahora piensa en un número, descríbelo y reta a un compañero a que lo adivine.

* P o te n c ia s d e b a se d ie z , Philip and Phylis Morrison. 1 1998 In fo rm a tio n P le a se A lm a n a c .

165. Escribe un breve párrafo que ilustre las similitudes y dife rencias entre “menor que” (<) y “menor o igual que” (s). 166. Menciona una razón de por qué la proposición 5 < 8 es verdadera.

30

C A P ÍT U L O R

Repaso

R.3 Bases de geometría OBJETIVOS 1 Usar el teorema de Pitágoras y de su recíproco (p. 30) 2 Conocer las fórmulas geométricas (p. 31) 3 Entender los triángulos congruentes y los triángulos similares (p. 32)

1 Uso del teorema de Pitágoras y su recíproco Figura 16

b Cateto

El teorema de Pitágoras es una proposición sobre triángulos rectángulos. Un trián gulo rectángulo es aquel que contiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90°. El lado de un triángulo opuesto al ángulo de 90° se llama hipotenusa: a los otros dos lados se les llama catetos. En la figura 16 hemos usado c para representar la longitud de la hipotenusa y a y b para representar la longitud de los catetos. Observa que el uso del símbolo r para denotar al ángulo de 90°. A continuación enunciamos el teo rema de Pitágoras.

TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Esto es. en el trián gulo rectángulo mostrado en la figura 16: c2 = a2+ b2

(1)

J Al final de esta sección, se incluye una demostración del teorema de Pitágoras.

EJEM PLO 1

Determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo En un triángulo rectángulo, un cateto tiene una longitud de 4 y el otro de 3. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?

Solución

Como el triángulo es un triángulo rectángulo, usamos el teorema de Pitágoras con a = 4 y b = 3 para encontrar la longitud c de la hipotenusa. De la ecuación (1). tenemos: c2 = a2 + b2 c2 = 4: + 32 = 16 + 9 = 25 c = V 25 = 5

Resuelve ahora el problema i 3 El recíproco del teorema de Pitágoras también es verdadero.

RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo, si el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, el triángulo es un triángulo rectángulo. El ángulo de 90° es el opuesto al lado más largo.

Demostraremos esto al final de esta sección.

EJEM PLO 2

Verificar si un triángulo es un triángulo rectángulo Demuestra que un triángulo cuyos lados miden 5,12 y 13 de longitud es un triángulo rectángulo. Identifica la hipotenusa.

Solución

Elevamos al cuadrado las longitudes de los lados. 5: =25,

12- =144.

13-' = 169

K

S E C C IÓ N K J

»

B.iscs de geometría

31

Observa que la suma de los primeros dos cuadrados (25 y 144) es igual al cuadrado del tercero ( 1 6 9 ) . Por lo tanto, el triángulo es un triángulo rectángulo. El lado m á s largo. 13, es el de la hipotenusa. Ver figura 17.

*■" ■

Resuelve ahora n problema

21

Aplicación del teorema de Pitágoras El edificio más alto del mundo es el Burj Khalifa en Dubái, Emiratos Árabes Unidos; mide 2717 pies y tiene 160 pisos. La torre de observación está a 1450 pies sobre el nivel del suelo. ¿Qué tan lejos puede ver una persona (con ayuda de un telescopio) desde la torre de observación? Para el radio de la Tierra usa 3690 millas. / líenle Wikipcdiu 2010

Solución

Del centro de la Tierra, traza dos radios: uno que vaya hacia Burj Khalifa y el otro que vaya al punto más lejano que una persona puede ver desde la torre de observación. Ver figura 18. Aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo. 1450 Como I milla = 5280 pies, entonces 1450 pies = —— millas. Entonces tenemos 5280

,

*

, +

(

1450y

- ( 3% 0+

ññ)

d2 = ( 3960 + ^

) - (3960)2 * 2175.08

d « 46.64 Una persona puede ver casi 47 millas desde la torre de observación. Figura 18

Resuelve ahora

E l PROBLEMA 5 3

2 Fórm ulas geométricas Algunas fórmulas geométricas son útiles para resolver problemas de álgebra. Para un rectángulo de longitud / y ancho a

a 1

/ 1 x ¡h \ Z _ _ _ _ _ _ i_ _ _ _ _ _ _ b

Área = la

Perímetro = 21 + 2a

Para un triángulo con base b y altura h 1 Area = -b h 2

32

C A P ÍT U L O R

Repaso

Para un circulo de radio r (diámetro d = 2r), Circunferencia = 2nr = 7rd

Área = 7tt2

Para una caja rectangular cerrada de longitud /, ancho w y altura h Área de superficie = 2lh + 2ah + 2la

Volumen = lah Para una esfera de radio

r

Área de la superficie = 477r2

Volumen = -7 rr3 3

Para un cilindro circular recto de altura h y radio r Área de la superficie = 2Trr + 2-irrh

Volumen = Trr2/?


el

problema

29

Uso de fórmulas geométricas Un adorno navideño tiene la forma de un semicírculo sobre un triángulo. ¿Cuántos centímetros cuadrados (cm2) de cobre se necesitan para hacer el adorno si la altura del triángulo es de 6 cm y el largo de la base es de 4 cm?

Solución

Ver figura 19. La cantidad de cobre necesaria está representada por el área som breada. Esta área es la suma de las áreas del triángulo y del semicírculo. El triángulo tiene una altura h = 6 y base b = 4. El semicírculo tiene un diámetro d = 4, entonces su radio es r = 2. Área = Área del triángulo + Área del semicírculo 1

1

1

= ~ b h + -77T2 =

~(4)(6)

+

1 - tt-22

b = 4;h = 6 ; r = 2

= 12 + 27r « 18.28 cm2 Se requieren 18.28 cm2de cobre aproximadamente.

‘'’'““ “■“‘■ "'RbsubIvb ahora

el

problema

47

Triángulos congruentes y triángulos sim ilares r r En palabras f~ Pos triángulos son congruenr te s si son del mismo t amaño y tienen la misma forma.

DEFINICIÓN

A lo largo del texto haremos referencia a los triángulos. Empecemos con una discu sión acerca de los triángulos congruentes. De acuerdo con dictionary.com. la palabra congruente quiere decir coincidiendo exactamente cuando se sobrepone. Por ejem plo, dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida y dos segmentos de línea son congruentes si tienen la misma longitud. Dos triángulos son congruentes si cada uno de sus ángulos correspondientes tiene la misma medida y cada uno de sus lados correspondientes tiene la misma longitud. En la figura 20, los ángulos correspondientes son iguales y las longitudes de los lados correspondientes son iguales: a = d, b = e y c —f. Concluimos que estos triángulos son congruentes.

S E C C IÓ N R.3

Figura 20

Bases de geometria

33

Triángulos congruentes

No es necesario verificar que los tres ángulos y los tres lados son del mismo tama ño para determinar si dos triángulos son congruentes.

Determ inación de triángulos congruentes 1. Caso ángulo-lado-ángulo. Dos triángulos son congruentes si dos de sus án

gulos son iguales y las longitudes de los lados correspondientes entre los dos ángulos son iguales. Por ejemplo, en la figura 21(a), los dos triángulos son congruentes por que dos ángulos y el lado correspondiente son iguales. 2. Caso lado-lado-lado. Dos triángulos son congruentes si las longitudes de los lados correspondientes de los triángulos son iguales. Por ejemplo, en la figura 21(b), los dos triángulos son congruentes por que los tres lados correspondientes son iguales. 3. Caso lado-ángulo-lado. Dos triángulos son congruentes si las longitudes de dos lados correspondientes son iguales y los ángulos entre estos dos lados son los mismos. Por ejemplo, en la figura 21 (c), los dos triángulos son congruentes por que dos lados y el ángulo correspondiente son iguales.

DEFINICIÓN

r

En palabras

Dos triángulos son similares r si tienen la misma forma, pero (posiblemente) diferentes r tamaños.

Dos triángulos son similares si los ángulos correspondientes son iguales y las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales.

Por ejemplo, los triángulos en la figura 22 son similares debido a que los ángulos correspondientes son iguales. Además, las longitudes de los Jados correspondientes son proporcionales porque cada lado del triángulo de la derecha es dos veces más largo que cada lado correspondiente en el triángulo de la izquierda. Esto es, la razón d e f de los lados correspondientes es una constante: — = - = — = 2. a b e

34

C A P ÍT U L O R

Repaso

No es necesario verificar que los tres ángulos sean iguales y que los tres lados sean proporcionales para determinar si dos triángulos son congruentes.

Determ inación de triángulos sim ilares 1. Caso ángulo-ángulo Dos triángulos son similares si dos de los ángulos co

rrespondientes son iguales. Por ejemplo, en la figura 23(a), los dos triángulos son similares porque dos de sus ángulos son iguales. 2. Caso lado-lado-lado Dos triángulos son similares si las longitudes de los

tres lados de cada triángulo son proporcionales. Por ejemplo, en la figura 23(b), los dos triángulos son similares porque 10 _ _5_ _ 6_ _ 1 30 15 18 3'

3. Caso lado-ángulo-lado Dos triángulos son similares si dos lados correspon

dientes son proporcionales y los ángulos entre los dos lados son iguales. Por ejemplo, en la figura 23(c), los dos triángulos son similares porque 4 12 2 7 = — = - y los ángulos entre los lados son iguales. o

lo

ó

Figura 23

(b)

EJEM PLO 5

Uso de triángulos similares Sabiendo que los triángulos de la figura 24 son similares, encuentra la longitud faltante x y los ángulos A , B y C.

K S E C C IÓ N R.3

% V

Solución

x

Bases de geometría

35

Debido a que los triángulos son similares, los ángulos correspondientes son iguales. Así es que A = 90°, B = 60° y C = 30°. Además, los lados correspondientes son pro• , , . 3 6 porcionales, es decir, - = —. Resolvemos la ecuación para x. 3 5 , 3 5x-~ 5 3.r *

_ 6 x < 6 = 5 x ‘— x = 30 = 10

Multiplica ambos lados por 5x. Simplifica. Divide ambos lados entre 3.

La longitud faltante es de 10 unidades.

"■™ri -Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

41

Empezamos con un cuadrado con lados de longitud a + b. En este cuadrado formamos cuatro triángulos rectángulos, cada uno con catetos iguales en longitud a a y b. Ver figura 25. Todos estos triángulos son congruentes (dos lados y su ángulo correspondiente son iguales). Como resultado, la hipotenusa de cada uno es la misma, llamada c y la parte central sombreada en la figura 25 indica un cuadrado de área igual a c2. D e m o stra c ió n d e l te o re m a de P itá g o ra s

b

Figura 25

a

El área del cuadrado original de lados a + b es igual a la suma de las áreas de los cuatro triángulos (cada uno de área ^ ab) más el área del cuadrado de lado c. Esto es, , l i l i , (a + b)2 = -a b + -a b + -a b + -a b + c2 v ' 2 2 2 2 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 Figura 26

a2 + b2 - c2 La demostración está completa.

.

■

D e m o stra ció n d e l re c íp ro c o d e l te o re m a d e P itá g o ra s Empezamos con dos triángulos: uno que sea triángulo rectángulo con catetos a y b y el otro que sea un triángulo con lados a, b y c tal que c2= a2+ b2. Ver figura 26. Por el teorema de Pitá goras, la longitud x del tercer lado del primer triángulo es

x 2= a2+ b2 Pero c2= a2+ b2. Entonces, x 2—c2 X- c (b)

c2 = a2 +

b2

Los dos triángulos tienen los mismos lados y, por lo tanto, son congruentes. Esto quie re decir que los ángulos correspondientes son iguales, así que el ángulo opuesto al lado c del segundo triángulo es igual a 90°. La demostración está completa. ■

36

CAPÍTULO K Repaso

R.3 Evalúa tu entendim iento C o n c e p t o s y v o c a b u la r io ________________________

1. Un triángulo_______ es aquel que contiene un ángulo de 90 grados. El lado más largo se llama-----------

9.

V erdadero o F a lso

Ln triángulo» de la figura ton «mularcv

10.

V erdadero o F a lso

Lo» triángulo» de la figura vm «mular».

2. Para un triángulo con base b y altura h, la fórmula para el área A e s ----------3. La fórmula para la circunferencia C de un círculo de radio r e s -----------4. Dos triángulos s o n _______ si los ángulos corres pondientes son iguales y las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales. 5. Verdadero o Falso En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. 6. Verdadero o Falso El triángulo con lados de longi tud 6,8 y 10 es un triángulo rectángulo. 7. Verdadero o Falso El volumen de una esfera de ra dio r es - 77-r2. 3

8. Verdadero o Falso Los triángulos de la figura son congruentes.

Ejercicios En los problemas II-16, se dan las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo. Encuentra la hipotenusa. 11. 14.

n = 5, f t = 1 2

a=

4,

b=

12. a = 6. /> = 8

3

15.

a=

7.

b=

24

\

13.

a=

16.

a=

10, 14.

b

b=

= 24 48

En los problemas 17—24, se dan las longitudes de los lados de un triángulo. Determina cuáles son triángidos rectángulos. Para los que lo sean, identifica la hipotenusa. \

17. 3 ,4 ,5

18. 6 ,8 ,1 0

19. 4 .5 .6

20. 2 .2 .3

21. 7 ,2 4 ,2 5

22. 1 0 ,2 4 .2 6

2 3 . 6 .4 .3

2 4 . 5 .4 .7

A d e un re c tá n g u lo d e 4 p u lg a d a s d e largo y 2 p u lg a d a s d e a n ch o . área A d e un r e ctá n g u lo d e 9 c e n tím e tr o s d e largo y 4 c e n tím e tr o s d e

25.

E n cu en tra el área

26.

E

27.

E n cu en tra el área

A de

28.

E n cu en tra e l área

\ . 29.


30.


A d e un triá n g u lo d e A y la circ u n fe re n c ia A y la circ u n fe re n c ia

31.

E n cu en tra e l v o lu m e n V y el área d e la su p e rficie 5 d e una caja recta n g u la r co n 8 p ie s d e la rg o . 4 p ie s d e a n c h o y 7 p ie s d e altura.

32.

E n cu en tra e l v o lu m e n V y el área d e la su p e rficie S d e una caja recta n g u la r co n 9 p u lg a d a s d e la rg o . 4 p u tea d as d e a n c h o \ 8 p ulgad as d e altura.

n cu en tra el

a n ch o .

un triá n g u lo d e 4 p u lg a d a s d e altura y 2 p u lg a d a s d e b a se. 9 c e n tím e tr o s d e altura y 4 c e n tím e tr o s d e b a se. C d e un c írc u lo d e 5 m e tr o s d e rad io. C d e un círc u lo d e 2 p ies d e rad io.

33. E n cu en tra el v o lu m e n V y e l á rea d e la su p e rficie S d e una e sfe ra d e 4 c e n tím e tr o s d e rad io. 34. E n cu en tra el v o lu m e n V y e l área d e la su p e rficie S d e una e s fe r a d e 3 p ie s d e rad io. 35. E n cu en tra el v o lu m e n V y e l área d e la su p e rficie S d e un c ilin d r o circular r e c to d e 9 p u lg a d a s d e ra d io 36.

E n cu en tra el v o lu m e n V

y e l á rea

d e la su p e r fic ie S d e un cilin d r o circular r e c to d e 8 p u lg a d a s d e r a d io

y 8 p u lg a d a s d e altura. y 9 p u lg a d a s d e altura.

t

S E C C IÓ N R J

Bases de geometria

37

E n los p ro b le m a s 41 - 4 4 , cada p a r de triángulos es sim ilar. E n cuentra la lo n g itu d x fa lta n te y los á n g u lo s A , B, y C / altantes.

I Aplicaciones y extensiones

45. ¿Cuántos pies recorre una rueda de 16 pulgadas de diáme tro después de cuatro revoluciones?

46. ¿Cuántas revoluciones completará un disco circular de 4 pies de diámetro cuando haya rodado 20 pies?

49. Arquitectura Una ventana Norman consiste en un rectán gulo con un semicírculo en la parte superior. Encuentra el área de la ventana Norman mostrada en la ilustración. ¿Cuánta madera se necesita para el marco de la ventana?

47. En la figura mostrada, A B C D es un cuadrado con 6 pies de largo por lado. El ancho del borde (la parte sombreada) entre el cuadrado exterior E F G H y A B C D es de 2 pies. Encuentra el área del borde.

50. Construcción Una alberca de forma circular de 20 pies de 48. Observa la siguiente figura. El cuadrado

A B C D tiene un área de 100 pies cuadrados, el cuadrado B E F G tiene un área de 16 pies cuadrados. ¿Cuál es el área del triángulo C G F l

diámetro está rodeada por una tarima de madera de 3 pies de ancho. ¿Cuál es el área de la tarima? ¿Cuánto se requie re de cerca para rodear la tarima?

38

C A P ÍT U L O R

Repaso

51. ¿Qué tan tilla es la Gran Pirámide? Se dice que en una oca sión el filósofo griego Tales de Mileto visitó Egipto y calcu ló la altura de la Gran Pirámide de Keops por medio de su sombra. Tales sabía que cada lado de la base de la pirámide media 252 pasos y que su propia altura era 2 pasos. Midió la sombra de la pirámide, la cual resultó ser 114 pasos y determinó que el largo de su sombra era de 3 pasos. Ver ilustración. Usando triángulos similares, determina la altu ra de la Gran Pirámide en términos del número de pasos.

52. El Triángulo de la» Bermuda* Karen está investigando el Triángulo de las Bermudas, que se delimita de manera aproximada por Hamilton, Bermudas; San Juan, Puerto Rico y el Fuerte Lauderdale, Florida. En su mapa, Karen mide las distancias en línea recta de Hamilton a Fuerte Lau derdale, de Fuerte Luaderdale a San Juan y de San Juan a Hamilton; y obtiene como resultado aproximadamente 57 milímetros (mm), 58 mm y 53.5 mm, respectivamente. Sí la distancia real del Fuerte Lauderdale a San Juan es de 1046 millas, aproxima las distancias reales de San Juan a Hamil ton y de Hamilton a Fuerte Lauderdale. T'uente: Reproducida con permiso de Red R iver Press, Inc., Winnipeg, Canadá.

F u en te: www.ansclm.edu/homcpapc/dbaniich/thalcs.htm. En esta página se da la referencia de otra fuente: S e lec cio n es, de Julia E. Diggins, S trin g, S tra ig h teilg e, a n d S h a d o w , Viking Press, New York, 1965, Ilustraciones por Corydon Bell.

F u en te:

www.cn.w ikipcdia.org/w ikt Bermuda_Trían tic

En los problemas 53 -5 5 , usa el hecho de que el radio de la Tierra es de 3960 millas y 1 milla = 5280 pies.

53. ¿Qué tan lejos puedes ver? La torre de control del U.S.S.

55. ¿Qué tan lejos puedes ver? La cubierta de un destructor está

Silversides, un submarino de la Segunda Guerra Mundial

a 100 pies sobre el nivel del mar. ¿Qué tan lejos puede ver una persona desde la cubierta? ¿Qué tan lejos puede ver una persona desde el puente que se encuentra a 150 pies sobre el nivel del mar?

ahora permanentemente en Muskego, Michigan, se en cuentra aproximadamente a 20 pies sobre el nivel del mar. ¿Qué tan lejos puedes ver desde la torre de control? 54.

¿Qué tan lejos puedes ver? Una persona de 6 pies de altu

56. Supón que m y

n son enteros positivos con m > n. Si a = m2- n2, b = 2mn y c = nv + n: . demuestra que a . b y c son

ra está parada en la playa de Fuerte Lauderdale, en Florida y está viendo hacia el Océano Atlántico. De pronto apa rece un barco en el horizonte. ¿Qué tan lejos está el barco de la orilla?

las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. (Esta fórmula se puede usar para encontrar los lados de un trián gulo rectángulo que sean enteros, como 3. 4. 5; 5. 12, 13; etc. Estas tercias de enteros se llaman tercias de Pitágoras).

Explicación de conceptos; discusión y escritura 57. Tenemos 100 pies de borde flexible para albercas y queremos construir una alberca. Experimenta con albercas de for ma rectangular con perímetros de 1000 pies. ¿Cómo varían sus áreas? ¿Cuál es el rectángulo con la mayor área? Ahora, calcula el área de una alberca circular con un perímetro (cir cunferencia) de 1000 pies. ¿Qué forma de alberca elegirías? Si escoges la rectangular, ¿qué dimensiones prefieres? Justi fica tu elección. Si tu única consideración es tener una alber ca de la mayor área posible, ¿qué forma escogerías?

58.

El faro de Gibb en Southampton. Bermudas. que está en operación desde 1846. tiene una altura de 117 pies sobre una colina de 245 pies de altura, así que su rayo de luz está a 362 pies sobre el nivel del mar. Un marinero afirma que la luz puede ser vista en el horizonte a 26 millas de distancia. Verifica si esta información es correcta. El marinero dice también que los barcos que están a 40 millas de distancia pueden ver la luz y que los aviones que vuelan a 10.000 pies la pueden ver a 120 millas de distancia. Verifica si estas pro posiciones son acertadas. ¿Qué suposición hizo el marinero acerca de la altura del barco?

S E C C IÓ N R .4

Polinomios

39

R.4 Polinomios 1 Reconocer monomios (p. 39)

OBJETIVO S

2 Reconocer polinomios (p. 40)

3 4 5

Sumar y restar polinomios (p. 41) Multiplicar polinomios (p. 42) Conocer las fórmulas de productos notables (p. 43)

6 Dividir polinomios usando la división larga (p. 44)

7

Trabajar con polinomios de dos variables (p. 47)

Hemos dicho que el álgebra es una generalización de la aritmética en la cual se usan letras para representar números reales. De ahora en adelante, usaremos las letras al final del alfabeto, como x, y y z, para representar variables y las letras al principio del alfabeto, como a, b y c, para representar constantes. En las expresiones 3x + 5 y ax + b, se entiende que x es una variable y que a y b son constantes, aún si las cons tantes a y b no están especificadas. Te darás cuenta de que el contexto suele propor cionar claramente el significado implícito.

1 Reconocer monomios

DEFINICIÓN

Un monomio de una variable es el producto de una constante y una variable elevada a una potencia entera no negativa. Un monomio tiene la forma

NOTA Los números enteros no negativos son los enteros 0 ,1,2,3... ■

donde a es constante, x es una variable y k ^ 0 es un entero. La constante a se llama coeficiente del monomio. Si a ^ 0, entonces k se le llama el grado del monomio.

EJEM PLO 1

Ejemplos de monomios M onomio

EJEM PLO 2

2*3

-V

Grado

2

6

(a) 6jc2 (b) - V

Coeficiente

2

3

(c) 3

3

0

Dado que 3 = 3 • 1= 3xí!, x

(d) —5jc

-5

1

Dado que

(e) U

1

4

Dado que x4 = T x4

^

0

—5x = —5x'

Ejemplos de expresiones que no son monomios 1 1 (a) 3x1/2 no es un monomio, debido a que el exponente de la variable .c es - y ^ no es un entero no negativo. (b) 4x~3no es un monomio, debido a que el exponente de la variable x es - 3 y - 3 no es un entero no negativo. i

^- Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

7

40

C A P ÍT U L O R

Repaso

2 Reconocer polinomios Dos monomios con la misma variable elevada a la misma potencia se llaman térmi nos semejantes. Por ejemplo, 2a4 y - 5 a4 son términos semejantes. En cambio, los monomios 2a:3 y 2a5 no son términos semejantes. Podemos sumar o restar términos semejantes usando la propiedad distributiva. Por ejemplo, 2a2+ 5a2= (2 + 5) a2= 7a2

y

8a ? - 5a3= (8 - 5)a3= a3

La suma o resta de dos monomios que tienen grados diferentes se llama binomio. La suma o diferencia de tres monomios con tres grados diferentes se llama trinomio. Por ejemplo, a2 -

2 es un binomio.

a3 -

3a + 5 es un trinomio.

2a2+ 5a2+ 2 = 7a2+ 2 es un binomio.

DEFINICIÓN

Un polinomio en una variable es una expresión algebraica de la forma a x n+ a

r r

a,,_1 +

... + a x + a.

(1)

donde an, an_v..., a,, a0 son constantes,* llamadas coeficientes del polinomio, n ^ 0 es un entero y a es una variable. Si an ^ 0, recibe el nombre de coeficiente principal, ax" se llama término principal y n es el grado del polinomio.

En palabras

Un polinomio es una suma de r monomios.

Los monomios que forman un polinomio se llaman términos. Si todos los coefi cientes son 0, el polinomio se llama polinomio cero y no tiene grado. Los polinomios generalmente se escriben en la forma estándar, empezando con el término diferente de cero de mayor grado y siguiendo con los términos en orden descendiente de acuerdo con su grado. Si falta una potencia de a, se debe a que su coeficiente es cero.

EJEM PLO 3

Ejemplos de polinomios Polinomios

Coeficiente

Grado

- 8 a3 + 4a2 - 6a + 2

- 8 ,4 , - 6 ,2

3

3a2 - 5 = 3a2 + 0* a + ( —5)

3, 0, - 5

2

8 - 2a + a2 = 1 • a2 + (~ 2 ) a + 8

00
2

5a + V 2 = 5a1 + V 2

5, V 2

1

3 = 3 • 1 = 3 - a°

3

0

0

0 Sin grado

Aunque hasta ahora hemos usado a para representar a una variable, letras como y o z también se usan frecuentemente. 3a4 - a2+ 2 es un polinomio (en a) de grado 4. 9y3 —2y 2+ y - 3 es un polinomio (en y) de grado 3. z5+ 7r es un polinomio (en z ) de grado 5. Expresiones algebraicas como 1 A

—

y

a2

+ 1 A+ 5

-----------

* La notación a n se lee “a subíndice n". El número n se llama subíndice y no se debe confundir con un exponente. Usamos subíndices para distinguir una constante de otra cuando se requiere un numero grande o indeterminado de constantes.

t S E C C IÓ N R .4

Polinomios

41

no son polinomios. La primera no es polinomio debido a que — = x 1 tiene un expo nente que no es un entero no negativo. Aunque la segunda expresión es el cociente de dos polinomios, el polinomio del denominador tiene grado mayor que 0, así que, la expresión no puede ser un polinomio.

— ----"-Resuelveahora

el

p r o b l e m a

17

3 Suma y resta de polinomios Los polinomios se suman y restan combinando términos semejantes.

EJEM PLO 4

Suma de polinomios Encuentra la suma de los polinomios: 8x3 —2x2+ 6x —2 y 3x4 —2x3+ x2+ x

Solución

Podemos encontrar la suma de dos formas. Suma horizontal: la idea aquí es agrupar términos semejantes y después combinarlos. (8x3 — 2x2+ 6x — 2) + (3x4 —2x2 + x2+ x) = 3x4+ (8x3 - 2x3) + (~2x2+ Jt2) + (6jc + Jt) - 2 = 3x* + 6x2 - x2+ 7 - 2 Suma vertical: la idea aquí es alinear los términos semejantes de cada polinomio en forma vertical y después, sumar los coeficientes. x4

x3

x2

x'

x°

8x3 - 2x2 + 6x - 2 + 3x4 - 2x3 + x 2 + x 3x4 + 6x3 - x2 + I x - 2 Los dos polinomios se pueden restar de manera horizontal o vertical.

EJEM PLO 5

Resta de polinomios Determina la diferencia de: (3x* —4x3+ 6x2 —1) —(2x* — 8x2 — 6x + 5)

Solución

Resta horizontal: ( 3x 4 - 4x 3 + 6x 2 - 1) - ( 2x 4 - 8x2 - 6x + 5)

= 3jc4 - 4x 3 + 6jc2 - 1 + ( —2jc4 + 8.t2 + 6x - 5) Asegúrate de cambiar el signo de cada término en el segundo polinomio.

= ( 3x 4 - 2x 4) + (-4 * 3) + (6.v2 + 8^2) + 6.v + (-1 - 5) t Agrupa términos semejantes

= x 4 - 4;t3 + 14jc2 + 6jc — 6

42

C A P ÍT U L O R

Repaso

COMENTARIO La re sta vertical se u sará cuando dividamos polinomios. ■

R e sta vertical: alineamos los términos semejantes, cambiamos el signo de cada coefícíente del segundo polinomio y sumamos. X4

-

X3

x2

x1

x°

X4

3 / - 4x3 + 6x2 - 1 = [2jc4 - 8x2- 6x + 5] = +

x3

X2

X*

x°

3x4- 4x3 + 6x2 - 1 -2 x 4 + Hx2 + 6x - 5 *4 - 4x3 + 14jc2 + 6x - 6

i

Tú puedes elegir usar cualquiera de estos dos métodos para sumar o restar poli nomios. Para ahorrar espacio, usaremos con mayor frecuencia el formato horizontal.

Rosuelveahora

el

p r o b l e m a

2 9

4 Multiplicar polinomios Dos monomios se pueden multiplicar usando las leyes de los exponentes y las propie dades conmutativa y asociativa. Por ejemplo: (2jc3) • (5X4) = (2 • 5) • (x3• x4) = lOx3*4 = IOjc7 El producto de los polinomios se determina por el uso repetido de la propiedad dis tributiva y de las leyes de los exponentes. Una vez más, puedes escoger usar el for mato horizontal o el vertical.

EJEMPLO 6

Multiplicación de polinomios Encuentra el producto de: (2x + 5)(jc2 - x + 2)

Solución

Multiplicación horizontal: (2x + 5 ) ( x 2 -

x + 2) = 2 x (x 2 -

x + 2 ) + 5ÍX2 -

x + 2)

f Propiedad distributiva =

(2x'x2 -

2 x -x + 2x-2) +

(5 'X 2 - 5 -x

+

5-2)

T Propiedad distributiva (2x3 - 2 X 2 + 4x) + t Leyes de los exponentes

=

= 2x3 + 3x2 -

x +

(5X2 - 5jc + 10)

10

í Combina términos semejantes.

Multiplicación vertical: la idea aquí es muy parecida a la de multiplicar un número de dos dígitos por uno de tres dígitos.

(+)

x2 - x + 2 ___________ 2-Y + 5 2x3 - 2x2 + 4x E ste renglón es - x + 2). _____ 5 -Y2 — 5x + 10E ste renglón es 5ÍX 2 - x + 2). 2x3 + 3 x 2 - x + \ 0 Sumade los dos renglonesanteriores.

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

45

S E C C IÓ N R .4

Polinomios

43

5 Conocer las fórm ulas de productos notables Ciertos productos, llamados productos notables, se encuentran con frecuencia en ál gebra. Podemos calcularlos fácilmente usando el método P IE S ( F O I L ) - Primeros términos, los términos Internos, los términos Externos y los Segundos términos (por sus siglas en Ingles, First, Outer, /nner, Last). |-Pr¡merosj

ax + b )(cx + d)

: a x(cx + d) + b (cx + d)

Internos

Primeros

'•Segundos-1 _

EJEM PLO 7

Externos

Internos Segundos

ax • ex + ax • d + b • ex + b • d acx2 + adx + bcx + bd acx2 + (ad + be).x + bd

Uso del método PIES (a) (x - 3)(.t 4- 3) = x2+ 3.v - 3.r - 9 = x2 - 9 P (b) (c) (d) (e)

I

E

S

(x + 2)2= (x + 2){x + 2) = x 2+ lx + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 (.r - 3)2= (* - 3)(x - 3) = Jt2 - 3jc - 3x + 9 = x 2 - 6x + 9 (x + 3)(.v +1) = .r2+ x + 3jc+ 3 = Jt2+ 4x + 3 (2t + l)(3.v + 4) = ó*2+ &r + 3* + 4 = 6;t2+ 11* + 4

Resuelve ahora

l o s

p r o b l e m a s

47

y

55

Algunos productos reciben nombres especiales por su forma. Los siguientes pro ductos notables se basan en los ejemplos 7 incisos (a), (b) y (c).

D iferencia de cuadrados (jc - a ) ( x + a) = x 2 - a2

(2)

Binom ios al cuadrado o cuadrados perfectos

EJEM PLO 8

( x + a Y = x 2 + 2ax + a2

(3a)

( x - a Y - x 2 - 2ax + a2

(3b)

Uso de fórmulas de productos notables (a) (x - 5)(jc + 5) = Jt2 - 52= jc2 - 25 (b) (* + 7)2= r ! + 2 -7 -;t + 72= r ! + 14jc + 49 ( c ) (2jc + l ) 2 = ( 2 x ) 2 + 2 • 1 • 2* + l 2 = 4 jc 2 + 4 a : +

Piferencia de dos cuadrados Binomio al cuadrado 1

(d) (3x - 4)2= (3jc)2 - 2 •4 • 3* + 42= 9*2 - 24.t + 16

Resuelve ahora

l o s

p r o b l e m a s

Observa que usamos 2x en lugar de x en la fórmula (3a) Sustituye x por 3x en Ja fórmula

6 5 , 67

y

69

Veamos más ejemplos que nos llevan a fórmulas generales.

44

C A P ÍT U L O R

Repaso

EJEMPLO 9

Binomio al cubo (a )

(jc +

2 ) 3 = (x

+ 2 ) ( jc + 2)2 = (jc + 2)(x2+ 4x + 4) = (x2+ 4x2+ 4x) + í2x2 + 8jc + 8) = jc3+ 6jc2 + 12jc + 8

(b) ( x - \ y = ( x - \ ) ( x - \ y = (x - \)(x2 - 2 x + \) = (jc 3 =

jc 3

2 jc 2 +

— 3 jc 2

jc )

-

(.c 2 -

Fórm ula

(Za/

Fórmula (3b) Z c + 1)

3 jc — 1

Binom io al cubo o cubo perfecto ( jc

+ a)2= jc3 + 3 ax2 + 3a2x + a3

( jc -

a )3=

Resuelve ahora EJEMPLO 10

EL

jc3

-

3 « .c 2 + 3a2x

(4a)

- a3

(4b)

85

PROBLEMA

Obtener la diferencia de dos cubos (jc - 1)(jc2 - 2x + 4) = jc(jc2+ jc+1 ) - 1(jc2+ jc + 1) = x3+ x2+ x - x 2 - x - 1 = .r3 - 1

EJEMPLO 11

Obtener la suma de dos cubos (jc + 2)(jc2 - Zc + 4) = .c ( jc2 - Zc + 4) + 2(.r2 - Zr + 4) = jc3 - 2jc2+ 4.c + Zc2 - 4.c + 8 =

jc-3 +

8

Los ejemplos 10 y 11 nos llevan a otros dos productos notables.

Diferencia de dos cubos

(.v - íí)(.v2+ a x + a2) =

x ■-

(.v + fl)(.v 2 -

jc3 +

a2

(5)

Sum a de dos cubos fl.v + a 2) =

o3

(6 )

6 División de polinom ios usando la división larga El procedimiento para dividir dos polinomios es similar al procedimiento para dividir dos enteros.

S E C C IÓ N R .4

EJEM PLO 12

Polinomios

45

División de dos enteros Divide 842 entre 15.

Solución Divisor

56 15J842 75 ~92

*— Cociente *— Dividendo <— 5-15 (restar)

90

*— 6 • 15 (restar)

2

*— Residuo

„ , 842 2 Por lo tanto, -j-j- = 56 + — . •-J En el proceso de la división larga detallado en el ejemplo 12, el número 15 se llama divisor, el número 842 se llama dividendo, el número 56 se llama cociente y el número 2 se llama residuo. Para verificar la respuesta obtenida en un problema de división, multiplica el cociente por el divisor y suma el residuo. La respuesta debe ser el dividiendo.

(Cociente) (Divisor) -l- Residuo = Dividendo

Por ejemplo, podemos verificar los resultados obtenidos en el ejemplo 12 de la si guiente manera: (56)(15) + 2 = 840 + 2 = 842 Para dividir dos polinomios, primero escribimos cada uno de ellos en su forma estándar. De ahí se sigue un proceso similar al del ejemplo 12. El siguiente ejemplo ilustra este procedimiento.

EJEM PLO 13

División de dos polinomios Encuentra el cociente y el residuo cuando 3jc3+ 4x2+ x + 7 se divide entre

Solución NOTA Recuerda, un polinomio e stá en forma estánd ar si su s térm i nos están e scrito s de acuerdo con su grado descendiente. ■

x2+ 1

Cada polinomio está en forma estándar. El dividendo es 3.t3+ 4x2+ x + 7 y el divisor es x 2+ 1. P

a so

1:

Divide el término principal del dividendo, 3 r \ entre el término principal del divisor, x2. Escribe el resultado, 3x, encima del término 3 r \ como sigue: 3x x2 + 1)3.r3 + 4.t2 + x + 1

P

a so

2: Multiplica 3* por x2+ 1 y escribe el resultado debajo del dividendo. 3x x2 + l)3x3 + 4x2 + x + 7 3 jc3

+ 3 jc

«— 3x- (x2 + 1) = Z)#1 + 3x

r Observa que alineamos el término 3x debajo x para facilitar el siguiente paso. P

a so

3: Resta y baja los términos que quedan. 3x_______________ x 2 + l)3.t3 + 4x2 + x + 7 3.t3 + 3.V 4.V2 —2.t + 7

Resta (cambia de signos y suma).

«— Baja

el 4x*' y el 7.

46

C A P ÍT U L O R

Repaso P

a so

4:

Repite los pasos 3x

+

1 -3

usando 4 x 2 -

+ 7 como el dividendo.

4

+ 1)3a3 + 4jc2 +

x2

2x

x

+ 7

3 x 3_________ + 3 x 4x2 -

Divide 4x 2 entre x2 para obtener 4.

2x + 7

4x2

+

Multiplica x2 +1 por 4 ; resta.

4

—2 x + 3

Como x 2 no divide a - 2 x exactamente (es decir, el resultado no es un monomio), el proceso termina aquí. El cociente es 3 x + 4 y el residuo es - 2 x + 3.

y

Verifica:

(Cociente)(Divisor) + Residuo = ( 3x + 4 ){x 2+ 1 ) + ( - 2 * + 3 ) = 3x3 + 3x + 4x2 + 4 + ( - 2 x + 3 )

= 3jc3+ 4x2+ x + 7 = Dividendo Entonces 3x3 + 4x2 + x + 7

-2x + 3 = 3x + 4 +

jt2 + 1

xz + 1

El siguiente ejemplo combina los pasos incluidos en la división larga.

EJEM PLO 14

División de dos polinomios Encuentra el cociente y el residuo cuando —5

x 4 - 3x3+ 2x

Solución

se divide entre

x2 - x +

1

Para escribir este problema de división, es necesario dejar un espacio para el término falta en el dividendo.

x 2 que

x2 — 2x D iviso r —>

x2 -

x + l)x 4 x4 —

R e s t a r —»

X3

+

+

2x — 5

x 2 + 2 jc — 5

—2 x 3 + 2 x 2 -

2x

- 3 x 2 + 4x R estar —>

Dividendo

x2

-2x3 Restar —>

*— Cociente

— 3

3x3

— 3 a :2 +

5

3x — 3 x — 2

Verifica:

Residuo

(Cociente)(Divisor) + Residuo = (x2 -

2x ~ 3 ) ( x 2 - * +

1 ) + jc- 2

= x4 - x 3+ x 2 - 2 x 3 + 2x2 - 2 x - 3 x 2+ 3x - 3 + X - 2 = x4

- 3a:3+ 2a:2 —5 = Dividendo

Como resultado x4 -

3a:3 + 2a: - 5 x2 — x +

1

2

x2 -

_

2x -

„ x - 2 3 + —r------------------a :2

-

a:

+

1

SECCIÓN R.4 Polinomios

47

El proceso de la división de dos polinomios nos lleva al siguiente resultado:

TEOREM A

Sea Q un polinomio de grado positivo y P un polinomio cuyo grado es mayor o igual que el grado de Q. El residuo después de dividir P entre Q es el polinomio __j cero o un polinomio cuyo grado es menor que el grado del divisor Q.

■

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

93

7 Trabajo con polinomios de dos variables Un monomio de dos variables x y y tiene la forma axny"\ donde a es una constante, x y v son variables y n y m son enteros no negativos. El grado de un monomio es la suma de las potencias de las variables. Por ejemplo, 2xy \

x 2y 2, y x 3y

son monomios, todos de grado 4. Un polinomio de dos variables at y y es la suma de uno 0 más monomios de dos variables. El grado del polinomio de dos variables es el grado más alto de todos los mo nomios con coeficientes diferentes a cero.

EJEM PLO 15

Ejemplos de polinomios de dos variables 3.v2+ 2x3y + 5

ttx3 -

y2

x4 + 4;t3y —xy3+ y4

Dos variables,

Dos variables,

Dos variables,

el grado es 4.

el grado es 3.

el grado es 4.

La multiplicación de polinomios de dos variables se maneja de la misma manera que en los polinomios de una variable.

EJEM PLO 16

Uso de fórmulas de productos notables Para multiplicar (2x - y)2, usa la fórmula (3b) de binomio al cuadrado con 2x en lugar de x y y en lugar de a. (2x - y)2= ( 2jc)2 - 2 •y • 2x + y 2 = 4x2 - 4xy + y2 i«™**—^ -

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

j

79

R.4 Evalúa tu entendim iento Conceptos y vocabulario 1. El polinomio 3X4 - 2x3+13x2 - 5 es de grado------------ 4. Verdadero o Fa lso 4 r 2es un monomio de grado -2 . El coeficiente principal es 5. Verdadero o F a lso El grado del producto de dos polinomios diferentes de cero es igual a la suma de sus grados. 2. (x1 —4)(x2+ 4) = 3. (jc - 2)(x2+ 2* + 4) =

6. Verdadero o Fa lso (jc + a)(x2+ ax + a) = jc1+ a3.

48

CAPÍTULO R

Repaso

Ejercicios En los problemas 7—16 indica si la expresión es un monomio. S i lo es, nombra las variables y el coeficiente y di de qué grado es el monomio. Si no es un monomio, explica p o r qué.

\

7. 2x3

8. -4 x 2

12. 5x2y3

9. «

10. -2 x 3

11. -2xy2

-7

15. x2+ y2

16. 3x2+ 4

X

13. — y

En los problemas 17-26, indica si la expresión es un polinomio. Si lo es, di de qué grado es. Si no lo es, explica p o r qué.

\

17. 3x2 - 5

18. 1 - 4x

19. 5

20. —ir

22.

23. 2y3 - V 2

24. 10z2+ z

25.

-

x

+

2

21. 3x2 - ^

x

3X3 + 2x - 1

x2 + 5

x2 + X + 1

x3 - !

En los problemas 27-46, suma, resta o multiplica como se indica. Expresa tu respuesta como un solo polinom io en la form a estándar.

\

\

27. (x2+ 4x + 5) + (3x - 3)

28. (x3+ 3jc2 - 4) + (x2 - 4x + 4)

29. (x3 - 2x2+ 5x + 10) - (2x2 - 4x + 3)

30. ( x 2 - 3 x - 4 ) - ( x 3 - 3 x 2 + x + 5 )

31. (6xs + x3+ x) + 2(3x2+ x - 4)

3 2 . (1 0 x 5 - 8 x 2) + ( 3 x 2 - 2x2 + 6 )

33. (x2 - 3x + l) + 2(3x2+ x - 4)

34. - 2 ( x 2 + x + l ) + ( - 5 x 2 - x + 2 )

35. 6(x3+ x2 - 3) - 4(2x3 - 3x2)

36. 8 (4 x 3 - 3 x 2 -

37. (x2 - x + 2) + (2x2 - 3x + 5) - (x2+ 1)

3 8 . ( x 2 + 1) - ( 4 x 2 + 5 ) + ( x 2 + x - 2)

39. 9(y2 - 3y + 4) - 6(1 - y2)

4 0 . 8 (1 - y 3) + 4 ( l + y + y 2 + y 3)

41. x(x2+ x - 4 )

4 2 . 4 x 2( x 3 - x + 2 )

43. -2x2(4x3+ 5)

4 4 . 5 x 3( 3 x - 4 )

45. (x + l)(x2+ 2x - 4)

4 6 . ( 2 x - 3 ) ( x 2 + x + 1)

1) - 6 ( 4 x 3 + 8 x - 2)

E n los problemas 47 64, multiplica los polinomios usando el método F O IL . Expresa tu respuesta como un solo polinom io en la forma estándar.

\

47. (x + 2)(x + 4)

48. (x + 3)(x + 5)

49.

50. (3x + l)(2x + 1)

51. (x - 4)(x + 2)

52. (x + 4)(x - 2)

53. (x - 3)(x - 2)

54. (x - 5)(x - 1)

56. (2x - 4)(3x + 1)

57. ( - l r + 3 ) ( x - 4 )

58. ( - 3 x - l) ( x + l)

59. ( - x - 2 )(-2 x - 4)

60. ( -2 x - 3)(3 - x)

61. (x - 2v)(x + y)

62. (2x + 3y)(x - y )

63. (~ 2 x - 3y)(3x + 2y)

64. (x - 3y)(-2v + y)

\

(2x + 5)(x + 2)

55. (2v + 3)(x - 2)

En los problemas 65 88, multiplica los polinomios usando las fórm ulas de productos notables. Expresa tu respuesta como un solo polinomio en la forma estándar.

\

65. (x - 7)(x + 7)

66. (x - l)(x + 1)

\

69. (x + 4)2

70.

(x + 5)2

71.

(x - 4)2

72.

(x - 5)3

74.

(5x - 3)(5x + 3)

75.

(2x - 3)2

76.

(2v - 4)2

73.

(3x + 4)(3x - 4)

\

67. (2v + 3)(2v - 3)

68. (3x + 2)(3.v - 2)

SECCIÓN R.5 Factorización de polinomios * 77. (x + y)(x - y )

78. (x + 3y)(x - 3.v)

79. (3.x + y)(3x - y )

80. (3.x + 4y)(3x - 4y)

82. (x - y)2

83. (x - 2y)2

84. (2x + 3y)2

86. (.t + 1)'

87. (2x + 1)'

88. (3.x - 2)3

\

49

M 81. (x + y Y \ 8 5 . (x - 2)'

En los problemas 89-104, determina el cociente y el residuo. Verifica tu trabajo comprobando que (Cociente) (D ivisor)

Residuo = Dividendo

89. 4.x3 - 3.x2 + x + 1dividido entre x + 2

90. 3.x3- x2+ x - 2 dividido entre x + 2

91. 4.x3 - 3.x2+ x + 1dividido entre x2

92. 3x3- x2+ x - 2 dividido entre x2

\ . 93. 5.x4 - 3.x2 + x + 1dividido entre x2+ 2

94. 5.x4- x2+ x - 2 dividido entre x2+ 2

95. 4.x5 - 3.x2+ x + 1dividido entre 2c3 - 1

96. 3x5- x2+ x - 2 dividido entre 3x3 - 1

97. 2x* - 3.x3+ x + 1dividido entre 2x2+ x + 1

98. 3X4- x3+ x - 2 divididoentre 3x2+ x + 1

99. -4.x3 - x2 - 4 dividido entre x - 1

100. -3X4 - 2x - 1 dividido entre x - 1

101. 1 - x2+ x* dividido entre x2+ x + 1

102. 1 - x2+ x4dividido entre x2 - x + 1

103. x2 - a1dividido entre x - a

104. x5 - as dividido entre x - a

Explicación de conceptos: discusión y escritura 105. Explica por qué el grado del producto de dos polinomios

diferentes de cero equivale a la suma de sus grados. 106. Explica por qué el grado de la suma de dos polinomios de

grados diferentes es igual al mayor de sus grados. 107. Da una proposición cuidadosa acerca del grado de la suma

de dos polinomios del mismo grado.

108. ¿Prefieres sumar dos polinomios usando el método hori zontal o el vertical? Escribe brevemente al respecto defen diendo tu elección. 109. ¿Prefieres memorizar la regla para el cuadrado de un binomio (x + a)2 o usar el método PIES para obtener el producto? Escribe brevemente al respecto defendiendo tu elección.

R.5 Factorización de polinomios OBJETIVOS 1 Factorizar la diferencia de dos cuadrados y la suma y diferencia de dos

cubos (p. 50)

2 Factorizar cuadrados perfectos fp. 51) 3 Factorizar un polinomio de segundo grado: x 2 + Bx + C (p. 52) 4 Factorizar agrupando (p. 53) 5 Factorizar un polinomio de segundo grado: A x2+ B x+ C , A ^ 1 (p. 54)

6 Completar cuadrados (p. 56)

Considera el siguiente producto: (2x + 3)(x - 4) = 2x2 - 5x -1 2 Los dos polinomios del lado izquierdo se llaman factores del polinomio del lado de recho. Expresar un polinomio dado como el producto de otros polinomios, es decir, encontrar los factores de un polinomio se llama factorización.

50

C A P ÍT U L O R

Repaso

COMENTARIO En loe números en te ro s, 3x + 4 se factorlza como 3 (x + 5 ). Ee el número no entero | el <\ue hace que 3x + 4 sea primo en loe enteroe. En la mayoría de loe ca so s, eetaremoe factorízado en loe enteroe. ■

Nuestro trato aquí estará restringido a la factorización de polinomios con una variable en productos de polinomios con una variable, donde todos los coeficientes sean enteros. A esto le llamamos factorización sobre enteros. Cualquier polinomio se puede escribir como el producto de 1 por 61 mismo o como -1 por su inverso aditivo. Si un polinomio no se puede escribir como el pro ducto de otros dos polinomios (excepto 1 y -1 ), entonces se dice que el polinomio es primo. Cuando un polinomio ha sido escrito como un producto que consiste solo de factores primos, se dice que ha sido completamente factorizado. Ejemplos de polino mios primos (sobre los enteros) son: 2,

3,

5, x, x + \,

x - 1, 3*+ 4, x 2 + 4

El primer factor que buscamos en un problema de factorización es un monomio común presente en cada término del polinomio. Si existe, usamos la propiedad distri butiva para factorizarlo. Continuamos factorizando los monomios que son factores hasta que no quede ninguno.

EJEM PLO 1

Identificación de monomios factores comunes

Polinomios

Factor común monomio

Factor restante

Forma factorizada

2x + 4

2

x + 2

2x + 4 = 2{x + 2)

3* - 6

3

x -2

3x - 6 = 3(x - 2)

2x2 - 4x + 8

2

x2 - 2x + 4

2X2 - 4* + 8 = 2(*2 - 2* + 4)

8x

- 12

4

2x - 3

8jc - 12 = 4(2* - 3)

x2

+

X

x + 1

JC2 +

x 3 - 3jc2

X2

x - 3

x3 - 3 .r - x2(x - 3)

6jc2 + 9x

3x

2* + 3

ó*2 + 9* = 3x(2x + 3)

X

X

=

x (x

+ 1)

Observa que una vez que se han eliminado todos los monomios factores comunes de un polinomio, el factor restante es o un polinomio primo de grado 1 o un polinomio de grado 2 o mayor. (¿Entiendes por qué?)

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

5

Factorización de la diferencia de dos cuadrados y la sum a y diferencia de dos cubos Cuando factorizas un polinomio, primero debes buscar monomios factores comunes. Después debes ver si puedes usar una de las fórmulas especiales mencionadas en las secciones anteriores. Diferencia de cuadrados Cuadrados perfectos

x2 - a2= (.r - a) (x + a) x 2+ 2ax + a2- (.v + o)2 x 2 - 2ax + a2= (.v - a)2 .r1+ a 3 = (x + a)(.r2 - ax + a 2) x3 - a2= (.v - a) (x2 - ax + a2)

Suma de dos cubos Diferencia de dos cubos

EJEM PLO 2

Factorización de la diferencia de dos cuadrados Factoriza completamente: x2 - 4

Solución

Observa que x2 - 4 es la diferencia de dos cuadrados, .v2y 22. .v2 - 4 = (.v - 2)(.v + 2)

*

SECCIÓN R.5 Factorización de polinomios

EJEM PLO 3

51

Factorización de la diferencia de dos cubos Factoriza completamente: x3 - 1

Solución

Como x3 - 1 es la diferencia de dos cubos, x3 y l 3, x3 - l = (x - l)(x2+ x + l)

EJEM PLO 4

Factorización de la suma de dos cubos Factoriza completamente: x3+ 8

Solución

Como .r1+ 8 es la suma de dos cubos, x3 y 23, x3+ 8 = (x + 2)(jc2 —2x + 4)

EJEM PLO 5

Factorización de la diferencia de dos cuadrados Factoriza completamente: Xa - 16

Solución

Como jc4 - 16 es la diferencia de dos cuadrados, Xa= (x2)2y 16 = 42, jc4 -

16 = (x2 - 4 ) ( x 2+ 4)

Pero jc2 - 4 es también la diferencia de dos cuadrados. Entonces, Xa - 16 = (jc2 - 4)(jc2+ 4) = (jc - 2)(jc + 2)(jc2+ 4)

Resuelve ahora

l o s

p r o b l e m a s

15

33

y

t2 Factorización de cuadrados perfectos Cuando el primer y tercer término de un trinomio son positivos y son cuadrados per fectos, como x2, 9x2, 1 y 4, verifica si el trinomio es un cuadrado perfecto.

EJEM PLO 6

Factorización de un cuadrado perfecto Factoriza completamente: jc2+ 6x + 9

Solución

El primer término, jc2, y el tercer término, 9 = 32, son cuadrados perfectos. Debido a que el término de en medio, 6jc, es dos veces el producto de jc y 3, tenemos un cua drado perfecto. jc2+ 6jc +

EJEM PLO 7

9 = (jc + 3)2

Factorización de un cuadrado perfecto Factoriza completamente: 9x2 —6x + 1

Solución

El primer término, 9jc2 = (3jc)2, y el tercer término, 1 = l 2, son cuadrados perfectos. Debido a que el término medio, —6jc, es - 2 veces el producto de 3x y 1, tenemos un cuadrado perfecto. 9jc2 - 6jc+ 1 = (3jc - l) 2

EJEM PLO 8

Factorización de un cuadrado perfecto Factoriza completamente: 25jc2+ 30x + 9

Solución

El primer término, 25jc2 = (5jc)2, y el tercer término, 9 = 32, son cuadrados perfectos. Como el término de en medio, 30x, es el doble del producto de 5x y 3, tenemos un cuadrado perfecto. 25x2+ 30x + 9 = (5x + 3)2 ■a—

Resuelve ahora

l o s

p r o b l e m a s

25

y

99

j

52

C A P ÍT U L O R

Repaso

Si un trinomio no es un cuadrado perfecto, se puede factorizar usando la técnica que presentamos a continuación.

3 Factorización de un polinomio de segundo grado: x 2 + B x + C La idea de factorizar un polinomio de segundo grado como x 2 + Bx + C es ver si se puede igualar al producto de dos polinomios de primer grado, tal vez equivalentes. Por ejemplo, sabemos que (* + 3)(jt + 4) = x2+ 7* + 12 Los factores de x 2+ Ix + 12 son x + 3 y x + 4. Observa lo siguiente: jt2 + Ix + 12 = (x + 3)(* + 4) '------- 12 es el producto de 3 y 4 7 es la suma ele 3 y 4

En general, si x2+ Bx + C = (x + a){x + b) = x 2 (a + b) x + ab, entonces ab = C y a + b = B. Para factorizar un polinomio de segundo grado x 2+ Bx + C, encuentra números enteros cuyo producto sea C y cuya suma sea B. Esto es, si existen números a, b, donde a b - C y a + b = B, entonces x2+ Bx + C = (x + a)(x + b)

EJEM PLO 9

Factorización de un trinomio Factoriza completamente: x2+ Ix + 10

Solución

Primero determina todos los pares de enteros cuyo producto sea 10 y luego calcula sus sumas. Enteros cuyo producto es 10

1,10

- 1 ,- 1 0

2,5

- 2 ,- 5

Suma

11

-11

7

-7

Los enteros 2 y 5 tienen como producto 10 y suman 7, que es el coeficiente del térmi no de en medio. Entonces x2+ Ix + 10 =

EJEM PLO 10

(a:

+ 2)(.v + 5)

Factorización de un trinomio Factoriza completamente: x 2 - 6.t + 8

Solución

Primero determina todos los pares de enteros cuyo producto sea 8 y luego calcula sus sumas. Enteros cuyo producto es 8

1,8

- 1 ,- 8

2,4

-2 , - 4

Suma

9

-9

6

-6

Como - 6 es el coeficiente del término medio, x2 - 6x + 8 = (x —2)(jc - 4)

53

SECCIÓN R.5 Factorización de polinomios

EJEM PLO 11

Factorización de un trinomio Factoriza completamente: x 2 - x - 12

Solución

Primero determina todos los pares de enteros cuyo producto sea -1 2 y luego calcula sus sumas. Enteros cuyo producto es - 1 2 Suma

1 ,-1 2

-1 ,1 2

2 ,- 6

11

-11

-4

- 2 ,6 4

- 3 ,4

3 ,- 4

1

-1

Como - 1 es el coeficiente del término de en medio, x 2 —x — 12 = (jc + 3)(x - 4)

EJEM PLO 12

Factorización de un trinomio Factoriza completamente: x2+ 4x - 12

Solución

Los enteros - 2 y 6 tienen un producto de -1 2 y una suma de 4. Entonces, x2+ 4x — 12 = (x - 2) (x + 6) Para evitar errores en la factorización, siempre verifica tu respuesta multiplican do el resultado para ver si es igual a la expresión original. Cuando ninguna de las posibilidades nos sirve, el polinomio es primo.

EJEM PLO 13

Identificación de un polinomio primo Demuestra que x2+ 9 es primo.

Solución

Primero determina los enteros cuyo producto sea 9 y luego calcula sus sumas. Enteros cuyo producto es 9

1,9

Suma

10

- 1 ,- 9 -1 0

3,3

- 3 ,- 3

6

-6

Como el coeficiente del término de en medio en x2+ 9 = x2+ Ox + 9 es 0 y ninguna de sus sumas es igual a 0, concluimos que x 2+ 9 es primo. El ejemplo 13 muestra un resultado más general:

TEOREMA

Cualquier polinomio de la forma x2+ a2, a real, es primo.

-Resuelve ahora

LOS

PROBLEMAS

39

Y

83

4 Factorización por agrupam iento No siempre existe un factor común en cada término del polinomio, a veces, solo se puede encontrar uno para diferentes grupos de términos que en conjunto forman al polinomio. Cuando esto sucede, el factor común puede ser factorizado de cada grupo por medio de la propiedad distributiva. Esta técnica se llama factorización por agrupamiento.

EJEM PLO 14

Factorización por agrupamiento Factoriza completamente por agrupamiento: (x2+ 2)x + (x2+ 2) • 3

Solución

Observa el factor común x2+ 2. Aplicando la propiedad distributiva, tenemos (x2 + 2)x + (x2+ 2) • 3 = (x2+ 2)(x+ 3) Como x2+ 2 y x + 3 son primos, la factorización está completa.

•J

54

C A P ÍT U L O R

Repaso

El siguiente ejemplo muestra un problema de factorización que encontramos en cálculo.

EJEM PLO 15 ) Factorización por agrupamiento Factoriza completamente por agrupamiento: 3(x — l) 2(x + 2)4 + 4(x —1)3(x + 2)3

Solución

Aquí, (x - \ ) \ x + 2)3 es un factor común de 3{x - l) 2(x + 2)4 y de 4(x - l)3(x + 2)3. Consecuentemente, 3(jc - l) 2(x + 2)4+ 4(x - 1)3(x + 2)3= ( x - l) 2(x + 2)3[3(x + 2) + 4(x - 1)] = (x - 1)2(* + 2)3[3* + 6 + 4 x - 4] = ( x - l ) 2(x + 2)3(7x + 2)

,

Factorización por agrupamiento

EJEM PLO 16

Factoriza completamente por agrupamiento: x3 - 4x2+ 2x - 8

Solución

Para saber si se puede llevar a cabo la factorización por agrupamiento, agrupamos los dos primeros términos y los dos últimos. Después buscamos un factor común en cada grupo. En este ejemplo, podemos factorizar x2de jc3 - 4x2y 2 de 2x - 8. El factor restante en cada caso es el mismo, x - 4. Esto quiere decir que la factorización por agrupamiento funcionará de la manera siguiente: x 3 - 4x2+ 2x - 8 = (x3 - 4x2) + ( 2 x - 8 ) = x2( x - 4 ) + 2 ( x - 4 ) = ( x - 4 ) ( x 2+ 2) Como x2+ 2 y x - 4 son primos, la factorización está completa.

«“ “^Rgsuelve ahora

l o s

p r o b l e m a s

s i

y

127

5 Factorización de un polinomio de segundo grado: A x 2 + B x + C, A

Para factorizar un polinomio de segundo grado A x 2+ Bx + C, cuando A * 1 y A, B y C no tienen factores comunes, sigue los siguientes pasos: Pasos para factorizar Ax2 + Bx + C, donde A ^ 1 y A, B y C no tienen factores com unes P a s o I: P aso 2: P aso 3: P aso 4:

EJEM PLO 17

Encuentra el valor de A C Encuentra un par de enteros cuyo producto sea A C y cuya suma sea B. Esto es, encuentra a y b tal que a b = A C y a + b = B. Escribe A x 2+ Bx + C = A x 2+ ax + bx + C. Factoriza esta expresión por agrupamiento.

Factorización de un trinomio Factoriza completamente: 2x2+ 5x + 3

Solución

Al comparar 2x2+ 5x + 3 con A x 2 + Bx + C, encontramos que A = 2, B = 5 y C = 3. P a s o 1 : El valor de A C es 2 • 3 = 6. P a s o 2: Determina los pares de enteros cuyo producto sea A C = 6 y calcula sus sumas. Enteros cuyo producto es 6

1,6

- 1 .- 8

2,3

- 2 ,- 3

Suma

7

-7

5

-5

SECCIÓN K.5 P

a so

3:

Factorizadón de polinomios

55

Los enteros cuyo producto es 6 y cuya suma es B = 5 son 2 y 3 .

i .....'

t '

2c2 + 5x + 3 = 2c2 + 2c + 3x + 3 P

a so

4:

Factoriza por agrupamiento 2t- + 2c + 3x + 3 = (2c2 + 2c) + (3x + 3) = 2c(.c + l) + 3 (.t+ 1) = (.r+ l)(2 c + 3)

Como resultado, 2c2 + 5x + 3 = (x + l)(2 c + 3)

EJEM PLO 18

Factorizadón de un trinomio Factoriza completamente: 2c2 - x - 6

Solución

Al comparar 2 r - x - 6 con A r + Bx + C, encontramos que A =2, B = - l y C= -6 . P a s o 1: El valor de A C es 2 • ( - 6 ) = -12. P a s o 2 : Determina los pares de enteros cuyo producto sea A C = -1 2 y calcula sus sumas.

P

Enteros cuyo producto es - 1 2

1 ,-1 2

Suma

-11

a so

3:

-1 .1 2 11

2 ,- 6

- 2 ,6 4

-4

3 ,- 4 -1

- 3 ,4 1

Los enteros cuyo producto es ■12 y cuya suma es B = - \ son - 4 y 3. r ~ i — r - .................'r lx 2 - x - 6 = 2 r2 - 4.r + 3x - 6

P

a so

4:

Factoriza por agrupamiento. 2 r - .t - 6 = (2r2 - 4x) + (3x - 6) = 2 r(jc -2 ) + 3(A :-2) = ( jc -

2 )(2 r+ 3)

6 = ( jc -

2 )(2 v + 3 )

Como resultado obtenemos 2 jc 2 —

Resuelve ahora

EL

jc

-

PROBLEMA

57

' RESU M EN Tipo de Polinomio

M étodo

Ejemplo

Cualquier polinomio

Busca monomios que sean factores comunes. (¡Siempre haz esto primero!)

6x2+ 9x = 3x(2c + 3)

Binomios de grado 2 o mayor

Determina si es un producto notable:

Trinomios de grado 2

Diferencia de dos cuadrados, ;t2- a2

.V2 - 16 =

( jc

- 4)(.c + 4)

Diferencia de dos cubos, jc3 - a3

x3 - 64 =

( jc

- 4)(x2+ 4x + 16)

Suma de dos cubos, x3+ a3

x3+ 27 = (x + 3)(x2 - 3x + 9)

Determina si es un cuadrado perfecto, (x ± a)1

x2+ 8x + 16 = (x + 4)2 x2 - 10x + 25 = (x —5)2

Cuatro términos o más

Factorizadón x2+ Bx + C (p. 52)

x2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Factorización Ax2+ Bx + C (p. 54)

6x2+ x - 1 - (2x + l)(3x - 1)

Por agrupamiento

2x3 - 3x2+ 4x - 6 = (2x - 3)(x2+ 2)j

56

C A P ÍT U L O K

Repaso

6 Completar cuadrados La idea de completar cuadrados en una variable es ajustar una expresión de la forma *2+ bx para hacerla un cuadrado perfecto. Los cuadrados perfectos son trino mios de la forma jc2+ 2ax + a2= (x + a)2 o x2 - 2ax + a2= (x - a)2 Por ejemplo, jc2+ 6jc+ 9 es un cuadrado perfecto ya que x 2+ 6x + 9 = + 3)2. De igual forma,/?2 - 12/?+ 36 es un cuadrado perfecto ya que/?2 - )2p + 36 = (p - 6 f. Entonces, ¿cómo “ajustamos” la expresión x 2 + bx para hacerla un cuadrado perfecto? Lo hacemos sumando un número. Por ejemplo, para hacer x 2+ 6x un cua drado perfecto, suma 9. ¿Pero cómo sabemos que debemos sumar 9? Si dividimos el coeficiente en el término de primer grado, 6, entre 2 y después elevamos el resultado al cuadrado, obtenemos 9. Este método funciona en general.

Completar cuadrados Identifica el coeficiente del término de primer grado. Multiplica este coefi ciente por —y después, eleva el resultado al cuadrado. Esto es, determina el 2 ( \ N2 valor de b en jc2 + bx y calcula

\2

EJEMPLO 19

Completar cuadrados Determina el número que se debe sumar a cada expresión para completar su cuadra do. Después factoriza la expresión. Inicio

Suma

Resultado

Forma factoriada

y2 + 8y

( r 8)’ * 16

y2 + 8y + 16

(y + 4)2

x 2 + 12x + 36

(x + 6)2

o2 - 20o + 100

(o - 10)2

x 2 + 12x

( H

o2 - 20a

! * 36

( f ( —20)) = 100

P2 ~ 5p

P2 ~ 5P + j

H

) ‘

•J Observa que la forma factorizada de un cuadrado perfecto es x 2 + bx +

Figura 27

--------

y Área = y 2

Área = 4 y

R g s U G IV C 9 h o r 8

x2 - bx +

EL

p r o b l e m a

69

4 Área = 4y

¿Te has preguntado por qué le llamamos a convertir una expresicín en un cua drado perfecto completar el cuadrado ’? Observa el cuadrado en la fisura 27. Su área es (y + 4)*. El área en la parte superior izquierda es y2 y las áreas de las partes superior derecha e inferior izquierda son 4y (dando un área total de 8v). La suma de estas áreas es y2 + 8y. Para completar el cuadrado, necesitamos sumar el área del rectángulo en la esquina inferior derecha: 4 * 4 = 16. Obtenemos como resultado y2+ 8y + 16 = (y + 4)2.

SECCIÓN R.5

*

Factorización de polinomios

57

í^R.5 Evalúa tu en ten d im ien to .i

Conceptos y vocabulario 1. Si se factoriza completamente, 3x3 - 12x = ________ 3.

Verdadero o F a lso El polinomio x2 + 4 es primo.

2. Si un polinomio no puede ser escrito como el producto de

Verdadero o F a lso 3x3 - 2x2 - 6x + 4 = (3* - 2)(x2+ 2).

4.

otros dos polinomios (excepto 1 y - 1 ), se dice que el poli nomio e s ________

Ejercicios E n los problemas 5 -1 4 , factoriza cada polinom io eliminando los monomios factores comunes.

V 5. 3r + 6 10. x3 - x2+ *

6. I x - 14

7. ax2+ a

11. 2x2 - 2 x

12. 3x2 - 3*

8. ax - a

9. x3+ x2+ x

13. 3x2y - 6xy2+ 12xy

14. 60x2y - 48xy2+ 72x3y

E n los problemas 15-22, factoriza la diferencia de dos cuadrados. \ l 5 . x 2- 1

16. x2 - 4

17. 4x2 - 1

18. 9x2 - 1

20. x2 - 25

21. 25x2 - 4

22. 36x2 - 9

;

19. x2 - 16

E n los problemas 23 -3 2 , factoriza los cuadrados perfectos.

\

23. x2+ 2x + 1

24. x2 - 4x + 4

25. x2+ 4x + 4

26. x2 - 2x +1

27. x2 - 10x + 25

28. x2+ 10x + 25

29. 4x2+ 4x + l

30. 9x2+ 6 x + l

1

1 31. 16x2+ 8x +1

32. 25x2+ lOx + 1

E n los problemas 3 3 -3 8 , factoriza la suma o la diferencia de dos cubos. 33. x3 - 27

\

34. x3+ 125

35. x3+ 27

36. 27 - 8x3

3 7 . 8x3+ 27

38. 64 - 27x3

En los problemas 39 -5 0 , factoriza cada polinomio.

\

39. x2 + 5x + 6

40. x2+ 6x + 8

41. x2 + 7x + 6

42. x2+ 9x + 8

43. x2+ 7x + 10

44. x2+ l lx +10

45. x2 - lOx + 16

46. x2 - 17x + 16

31. x2 - 7x - 8

48. x2 - 2x - 8

49. x2+ 7x - 8

50. x2+ 2x - 8

j E n los problemas 51 -5 6 , factoriza p o r agrupamiento. \

51. 2x2+ 4x + 3x + 6

52. 3x2 - 3* + 2x - 2

53. 2x2 - 4x + x - 2

.

¡

54. 3x2 + 6x - x - 2

55. 6x2 + 9x + 4x + 6

.

56. 9x2 - 6x + 3x - 2

E n los problemas 57-68, factoriza cada polinomio.

\

59.

2z2+ 5z + 3

60. 6z2 + 5z + 1

3x2 + 10x + 8

63.

3x2 - 2x - 8

64.

3x2 - 10x + 8

3x2 - 14x + 8

67.

3x2+ lOx - 8

68.

3x2 - lOx - 8

57. 3x2+ 4x + 1

58.

2x2+ 3x +

54.

3x2+ 2x - 8

62.

65.

3x2+ 14x + 8

66.

l

En los problemas 6 9 - 74, determina el número que deberá ser sumado para completar el cuadrado de cada expresión. Después actoriza cada expresión.

\ 6 9 . x 2+10x

70. p 2+ 14/7

71. y2 - 6y

58

C A P ÍT U L O R

Repaso

Ejercicios m ix to s----------------------——---------- --------------En los problemas 75 -122, factoríza completamente cada polinomio. Si el polinomio no puede ser factorizado, indica que es primo.

\

\

75. *2 - 36

76. *2 - 9

77. 2 - 8*2

78. 3 - 27*2

79. *2+ l l * + 10

80. * 2 + 5* + 4

81. *2 - 1 0 * + 21

82. * 2 - 6* + 8

83. 4*2 - 8* + 32

84. 3*2 - 1 2 * + 15

85. * 2 + 4* + 16

86. *2+ 12* + 36

87. 15 + 2* - * 2

88. 14 + 6* - *2

89. 3*2 - 12* - 36

90. *’ + 8*2 -

91. y 4 + 1l y 3 + 30y2

92. 3y3 - 18y2 - 48y

93. 4*2 + 12* + 9

94. 9*2 - 1 2 * + 4

92. 6*2 + 8* + 2

96. 8*2 + 6* - 2

97. jc4 —81

98. x4 - 1

100. x* + 2*3 + 1

101. *7 - *5

102. x4 - x5

103. 16*2 + 24* + 9

104. 9*2 - 24* + 16

105. 5 + 1 6 * - 16*2

106. 5 + 1 1 * - 16*2

107. 4y2 - 16y + 15

108. 9y2 + 9y - 4

109. 1 - 8*2 - 9x*

110. 4 - 14*2 - S*4

99. x® - 2*3 + 1

111. *(* + 3) -

112. 5(3* - 7) - *(3* - 1 )

113. (* + 2 )2 - 5(* + 2)

114. (* - l ) 2 - 2(* - 1)

115. (3* - 2 )3 - 27

116. (5* + l ) 3 - 1

117. 3(*2+ 10* + 25) - 4(* + 5)

118. 7(*2 - 6* + 9) - 5(* - 3)

119. *3+ 2*: - * - 2

120. *3 - 3*2 - * + 3

121. x4 - * 3+ * - 1

122. *4 + *3+ * + l

6(* + 3)

20*

—

Aplicaciones y extensiones A En los problemas 123-132, se dan expresiones que encontramos en cálculo. Factoriza completamente cada expresión.

\

123. 2(3* + 4)2+ (2* + 3) • 2(3* + 4) • 3

124. 5(2* + 1)2+ (5* - 6) • 2(2* + 1) • 2

125. 2*(2* + 5) + *2-2

127. 3*2(8* - 3) + *3- 8

127. 2(* + 3)(* - 2)3 + (* + 3)2• 3(* - 2)2

128. 4(* + 5)3(* - 1)2+ (* + 5)4• 2(* - 1)

129. (4* - 3)2+ * • 2(4* - 3) • 4

130. 3*2(3* + 4)2+ *3• 2(3* + 4) • 3

131. 2(3* - 5) • 3(2* + l) 3+ (3* - 5)2• 3(2* + l)2• 2

132. 3(4* + 5)2• 4(5* + 1)2+ (4* + 5)3• 2(5* + 1) • 5

133. Demuestra que *2+ 4 es primo.

134. Demuestra que .v2 + * + 1 es primo.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 135. Inventa un polinomio que se pueda factorizar en un cuadrado perfecto.

136. Explica a un compañero qué es lo que búscanos primero en un problema de factorización. ¿Qué buscarías después?

R.6 División sintética OBJETIVO 1 Dividir polinomios usando división sintética (p. 58)

^1 Dividir polinomios usando división sintética Para encontrar el cociente y el residuo cuando un polinomio de grado 1 o mayor se divide entre * - c, existe una versión reducida de la división larga llamada división sintética, lo cual facilita la tarea.

S E C C IÓ N R .6


59

Para ver cómo funciona la división sintética, usamos la división larga para dividir el polinomio Zr3 - a 2 + 3 entre x - 3. 2.v2 + 5a + 1 5 .V - 3)2.t3 - a 2 2.V3 - 6.v2 5? 5a 2 - 15jc 15a + 3 15a - 45 48 y

V erifica:

*— Cociente

<— Residuo

(Divisor) • (Cociente) + Residuo = (a - 3)(2a2+ 5a + 15) + 48 = 2a3+ 5a2+ 15a -

6

a

2-

15a - 4 5 + 48

= Zt3 —a 2 + 3 El proceso de división sintética surge de escribir la división larga de una forma más compacta, usando notación más simple. Por ejemplo, en la división larga ante rior, los términos resaltados no son realmente necesarios ya que son idénticos a los términos directamente encima de ellos. Cuando eliminamos estos términos, tenemos 2a2 + 5a + 1 5 - 3)2 a3 - a 2

a

- 6

a

+ 3

2

5a2 - 15a 15a - 45 48 La mayoría de las a que aparecen en este proceso también se pueden eliminar, siem pre y cuando tengamos cuidado de la posición de cada coeficiente. En este sentido, tendremos que usar 0 como el coeficiente de a en el dividendo, ya que la potencia de a no aparece. Ahora tenemos

a

2a2 + 5a + 15 - 3 J2 ” 0 ___ - 6 5 - 15 15

3

- 45 48 Podemos hacer esto más compacto moviendo los renglones hacia arriba hasta que los números resaltados estén alineados horizontalmente.

A

—3)2 O

+ 5a + 15_ Renglón 1 —1 0 3 Renglón 2 — 6 — 15 —45 Renglón 3 5 15 48 Renglón 4

Como el coeficiente principal del divisor siempre es 1, sabemos que el coeficiente principal del dividendo también será el coeficiente principal del cociente. Entonces colocamos el coeficiente principal del cociente, 2, en la posición indicada por el círcu lo. Ahora, los tres primeros números en el renglón 4 son precisamente los coeficien tes del cociente y el último número en el renglón 4 es el residuo. Entonces, el renglón

60

C A P ÍT U L O R

Repaso

1 no se necesita realmente, así que podemos comprimir el proceso a tres renglones, donde el último renglón contiene los coeficientes del cociente y el residuo. X

— 3)2

—1 0 3 Renglón1 - 6 - 1 5 - 4 5 Fíiqlín 2 (r» tí)

2

5

Í5

48

Recuerda que los números en el renglón 3 se obtienen restando los números en el renglón 2 de los del renglón 1. En lugar de restar los números del renglón 2, po demos cambiar el signo de cada número y sumarlos. Con esta modificación, nuestra división se verá así X

—

3 JÍ.

—1 6 5

2

0 15 15

3 45 48

R e n g ló n

1

Renglón 2 h u m a ) Renglón3

Observa que los números en el renglón 2 son el triple de los números del renglón 3. Nuestra última modificación sustituye el x - 3 por 3. Los números en el renglón 3 dan el cociente y el residuo, como se muestra a continuación. 3)2 —1 ____ 6 2 5

0 3 Renglón 1 15___ 45 Renglón 2 (9v>rs) 15 48 Renglón 3

Cociente

Reendoo

2x2 + 5x+ 15

48

Veamos un ejemplo paso a paso.

EJEM PLO 1

Uso de la división sintética para encontrar el cociente y el residuo Usa la división sintética para encontrar el cociente y el residuo cuando x } —4jc2 —5 se divide entre .r - 3

Solución

Paso 1: Escribe el dividendo en orden descendiente de las potencias de x. Después copia los coeficientes y recuerda insertar un 0 para cada potencia de x que falle. 1 ~4 0 ~5

R e n g ló n

1

Paso 2: Inserta el símbolo usual de división. En la división sintética, el divisor es de la forma .v - c y c es el número colocado a la izquierda del símbolo de divi sión. Como en este caso el divisor es x - 3. insertamos 3 a la izquierda del símbolo de división. 3 )1

P

a so

—4

0

~4 0

i_________ 1 a so

R raglón 1

3: Baja el 1 dos renglones y colócalo en el renglón 3. 3 jl

P

—5

—5

Rrrv^lpn 1

Renglón

2 Rervjlón 3

4: Multiplica el último elemento del renglón 3 por 3 y coloca el resultado en el renglón 2, una columna a la derecha. 3' 1

4 0 “ 5 rrnjtfn 1

___ 3__ Rrrvtón 2 1 —1 Reviví 3 P

a so

5: Suma el elemento del renglón 2 al elemento arriba de él en el renglón 1 y coloca la suma en el renglón 3. 3h -4 0 -5 Rnyon 1 3 Ríiylín 2 Renaláo 3

S E C C IÓ N R .6


61

Paso 6: Repite los pasos 4 y 5 hasta que no haya más elementos en el renglón 1. 3)1 —4 0 ~5 3 —3 —9 l*- —1 - —3 *' —14

RenglónI Renglón 2 Renglón 3

P aso 7: El último elemento del renglón 3, el -1 4 , es el residuo; los otros elementos en el renglón 3, el 1, - 1 y - 3 , son los coeficientes (en orden descendiente) de un polinomio cuyo grado es 1 menos que el del dividendo. Esto es el co ciente. Entonces, Cociente = x2 - x - 3

Residuo = -1 4

y Verifica: (Divisor)(Cociente) + Residuo = (jc- 3 ) ( jc2 - jc- 3 ) + (-1 4 ) - (jc3 —jc2 —3jc —3jc2+ 3jc-i- 9) + ( —14) = jc3 —4jc2 - 5 = Dividendo Veamos un ejemplo en el que los siete pasos se combinan

EJEM PLO 2

Uso de la división sintética para verificar un factor Usa la división sintética para demostrar que jc + 3 es un factor de 2jc5+ ójc4 —2jc3+ 2jc2 - 2x + 3

Solución

El divisor es jc + 3 = jc - (-3 ), así que colocamos - 3 a la izquierda del símbolo de división. Los elementos del renglón 3 se multiplican por - 3 , se colocan en el renglón 2 y se suman al renglón 1. —3)2 2

5 —6

—2 3

—1

1

2 —2 —3 3 —1

1

3 —3 0

Renglón

1

Renglón 2 Renglón 3

Como el residuo es 0, tenemos (Divisor)(Cociente) + Residuo = (jc4- 3)(2jc4 - jc3+ jc2 - jc+ 1) = 2jc5 + 5jc4 - 2jc3+ 2jc2 —2jc + 3 Podemos ver que jc+ 3 es un factor de 2x5+ 5x4 - 2jc3+ 2jc2 - 2jc + 3. Como lo ilustra el ejemplo 2, el residuo de la división proporciona información de si el divisor es o no factor. Esto se verá con más detalle en el capítulo 5.

--------------Resuelve ahora

los

p r o b l e m a s

7

y

17

R.6 Evalúa tu entendim iento Conceptos y vocabulario 1. Para verificar la división, la expresión que se está dividiendo, el dividendo, debe ser igual al producto d e . más e l________ 2. Para dividir 2x2 - 5x + 1 entre x + 3 usando la división sintética, el primer paso es escribir.

r-

3. Verdadero o F a lso Cuando usamos la división sintética, el divisor siempre es un polinomio de grado 1, cuyo coeficiente princi pal es 1. , . r + 2x + 1 _31 4. Verdadero o F a lso -2 /5 3 2 1 quiere d e c ir-------------— --------- = 5jc2 - I x + 16 + x + 2 x + 2 -1 0 14 -3 2 5 - 7 16 -31

Ejercicios E n los problemas 5—16, usa la división sintética para encontrar el cociente y residuo cuando: 5. x 3 - x 2 + 2x + 4 se divide entre x - 2

6. x 3 + 2x2 - 3x + 1 se divide entre x + 1

7. 3jc3 - 2jc2 - jc+ 3 se divide entre x - 3

8. - 4 x 3 - 2x2 - x + 1 se divide entre x + 2

62

CAPÍTULO R

Repaso 10 . x* + x1+ 2 se divide entre x —2

9. x5 - 4x3+ x se divide entre x + 3 11. 4xf’ - 3x4+ x2+ 5 se divide entre x - 1

12 . x ’ + 5* ’ - 10 se divide entre x + 1

13. ().lx3+ 0.2x se divide entre x + 1.1

14.

15. xs - 1 se divide entre x —1

16. x5+ 1 se divide entre x + 1

0.1Jt2 - 0.2 se divide entre x + 2.1

En los problemas 17-26, usa la división sintética para determinar si x - c es un factor del polinomio dado. 18. -4x3+ 5x2+ 8; x + 3 \ 17. 4x3 - 3x2 - 8x + 4; x - 2 19. 2>x* - 6x3 - 5x + 10; x - 2

20.

4X4 - 15x2 - 4;x - 2

21. 3x6+ 82x3+ 27;x + 3

22.

2x* - 18x* + x2 - 9;x + 3

23.

4x6 - 64x4+ x2 - 15;x + 4

24. x* - lóx4+ x2 - 16;x + 4

25.

2X4 - x 3+ 2x - l;x - |

26. 3X4+ x3 - 3x + 1; x + ^

Aplicaciones y extensiones 27. Encuentra la suma dca, b, cyd si x3 - 2x2 + 3x + 5 x+2

= flX 2

+ fcx + c +

x+2

Explicación de conceptos: discusión y escritura 28. Cuando dividimos un polinomio entre x - c , ¿prefieres usar la división larga o la división sintética? ¿El valor de c influye en tu decisión? Justifica tu respuesta.

R.7 Expresiones racionales OBJETIVOS 1 Reducir de expresiones racionales a sus términos mínimos (p. 62) 2 Multiplicar y dividir expresiones racionales (p. 63) 3 Sumar y restar expresiones racionales (p. 64)

4

Usar el método del mínimo común múltiplo (p. 66)

5 Simplificar expresiones racionales con cocientes mixtos (p. 68)

1 Reducción de expresiones racionales a sus términos mínimos Al resultado de obtener el cociente de dos polinomios se le llama expresión racional. Algunos ejemplos de expresiones racionales son: (a)

x3 + 1 X

(b)

3x2 + x - 2 x2 + 5

(c)

X

(d)

xr (x - y)2

Las expresiones en los incisos (a), (b) y (c) son expresiones racionales de una variable, x, mientras que la expresión del inciso (d) es una expresión racional de dos variables, x y y. Las expresiones racionales se describen de la misma manera que los números racionales. En la expresión (a), el polinomio .v3 + 1 se llama numerador v x se llama denominador. Cuando en el numerador y el denominador de una expresión racional no existen factores comunes (excepto 1 y - 1 ). decimos que la expresión racional está reducida a sus términos mínimos o simplificada. El polinomio en el denominador de una expresión racional no puede ser igual a • r3 + 1 0, ya que la división entre 0 no está definida. Por ejemplo, en la expresión ------ , x no puede tomar el valor de 0. El dominio de la variable x es {x|x * 0}. -r

S E C C IÓ N R .7


63

Una expresión racional se reduce a sus términos mínimos factorizando el nume rador y denominador completamente y cancelando cualquier factor común usando la propiedad de cancelación: ac a 7— = 7 si b * 0, c * 0 ( l) b€ b

EJEM PLO 1

Reducción de una expresión racional a sus términos mínimos - f 4 v 4" 4

Reduce a sus términos m ín im o s :-------------x2 +

Solución

3x +

2

Empieza por factorizar el numerador y denominador. x 2 + 4 x + 4 = ( jc + 2 ) ( x + 2 ) x 2 + 3 x + 2 = (x + 2 ) (x + 1)

ADVERTENCIA Aplica la propiedad de cancelación solo a expresiones racionales o\ue estén factorizadas. ¡Asegúrate de cancelar solo los fac tores comunes! ■

Como aparece el factor común x + 2 , la expresión original no está en sus términos mínimos. Para reducirla a sus términos mínimos usa la propiedad de cancelación: x2 +

4x

+

+

4 _

2) ^

x +2

x2 + 3x + 2 ~ { x - ^ T j { x + 1) ~ x + 1

Reducción de expresiones racionales a sus términos mínimos

EJEM PLO 2

Reduce cada expresión racional a sus términos mínimos. (a)

Solución

, . C

x3 x3 -

8

(b)

2X2

x3 - 8 ) ^ 8 - 2x

8 x2 -

2x x -

12

±x— T f ( x 2 + 2x + 4) x2 + 2x + 4 x 2U -— 2J “ 7

X

=

x2 —x —12 m ***jua-*-Resuelve

2(4 - x)

= 2 ( - l H * — 4J =

-2

(x - 4)(x + 3)

.(x— 4X(x + 3)

x+3

ahora

el

p r o b l e m a

*

5

2 Multiplicación y división de expresiones racionales Las reglas para multiplicar y dividir expresiones racionales son las mismas que para d

Q

multiplicar y dividir números racionales. Si - y —, b * 0, d ¥=0 son dos expresiones racionales, entonces ^ ^

Cuando uses las ecuaciones (2) y (3) con expresiones racionales, asegúrate de primero factorizar completamente cada polinomio para poder cancelar los factores comunes. Deja tu respuesta en forma factorizada.

64

C A P ÍT U L O R

Repaso

Multiplicación y división de expresiones racionales

EJEM PLO 3

Realiza la operación indicada y simplifica el resultado. Deja tu respuesta en forma faclorizada. a + 3

(a)

x2 - 2x + 1 4 a 2 + 4 X2 + X x2 + X

a2 (b ) 2

-

4

A2 - A -

12

X 1

Solución

(a)

x 2 - 2x + 1

4a2

+

A2 + A -

*3 + X

( * - ’ 1)2 , 4( a2 + 1 ) a( a2 + 1 ) {x + 2)(x -

4 2

(x -

1 ) > ( 4 ) ( a 2-

x ( x 2^ V ) ( x +

k

1)

1)

2 ) ( jt -

1)

x + 3 ... x2 - 4 _ x + 3 x3 - 8 x2 - x - 12 x 2 — 4 x 2 - x - 12 x3 - 8

* + 3 (a - 2 ) ( a

{ x - 2)(x2 + 2x + 4) +

2)*

( a - 4)( a

+ 3)

—' T j i x 2 + 2x + 4) i^xr—12J (x + 2)( jc - 4)X'JT~t—3y x2 + 2x + (* + 2)(x -

Resuelve ahora

4

x #

-3 , -2 ,2 ,4

4)

LOS PROBLEMAS 1 7 Y 2 5

.3 Suma y resta de expresiones racionales r En palabras r~ Para sumar (o restar) dos r expresiones racionales con el r' mismo denominador, conserva el denominador común y suma (o resta) los numeradores.

Las reglas para sumar y restar expresiones racionales son las mismas que las reglas para sumar y restar números racionales. Por lo tanto, si los denominadores de dos ex presiones racionales que se van a sumar (o restar) son iguales, sumamos (o restamos) los numeradores y conservamos el denominador común. Si ^ y ^ son dos expresiones racionales, entonces a b

c b

7* + ~ =

EJEM PLO 4

a +c b

a b

c b

a —c b

(4)

si b * 0

Suma y resta de expresiones racionales con denominadores iguales Realiza la operación indicada y simplifica el resultado. Deja tu respuesta en forma factorizada. (a)

Solución

(a)

2 .v2 -

4

.v +

2 jc +

5

2.v +

2 .v 2 -

4

x +

2 .v +

5

2 .v +

3 5

3

1*

5

3 .v +

2

x -

.v * 3

(2.v2 - 4) + (,v + 3) 2.v + 5

5 2 .v 2 +

a-

-

2.v + 5

2

1 _

~

( 2 .v -

1 ) ( .v +

2.v + 5

1)

3

t S E C C IÓ N R .7

¡>;

_ 3 x + 2 _ .Y -

X .y -

>■—

EJEM PLO 5 ..............................

3

-

y

(3 .v +

3

.y -

x -

2) _

3

=

3.Y * -

- 2 .y -

2 =

- 2 ( .y +

-y - 3

“

.y - 3


65

2

3

1)

* J

Suma de expresiones racionales cuyos denominadores son el inverso aditivo uno del otro Realiza la operación indicada y simplifica el resultado. Deja tu respuesta en forma factorizada.

Solución

Observa que los denominadores de las dos expresiones racionales son diferentes. Sin embargo, el denominador de la segunda expresión es el inverso aditivo del denomi nador de la primera. Esto es: 3-

=

.y

- .y

+ 3 = —1 • (x —3) = -( . y - 3)

Entonces 2.y

5 _ 3 - x

3

.y -

2.y .y -

5 - ( .y -3 )

3

2x Jt-3

-5 -

jc

3

r

t

±-=£

3 - x = -(x - 3)

2-y + ( - 5 ) _ 2* - 5

l

x —3 ..................

. 'Resuelvo ahora

l o s

p r o b l e m a s

37

x —3

43

y

Si los denominadores de dos expresiones racionales que se van a sumar o restar no son iguales, podemos usar las fórmulas generales para la suma y resta de expre siones racionales.

b-d

a d + be

ll

+

d

Lj -O

EJEM PLO 6

II

b

c

<3

a - + a

c

a- d

b-c

b

d

b-d

b-d

si b

# 0, d # 0

(5 a )

si b

# 0 , d i* 0

(5 b )

bd

b-d

ad -

be

bd

Suma y resta de expresiones racionales con denominadores diferentes Realiza la operación indicada y simplifica los resultados. Deja tu respuesta en forma factorizada. x - 3

(a)

Solución

(a)

x + 4 x -

3

+

4

jc

x x -

x #

x * -4 , 2 2 x —3

x - 2

Jt +

------------------- • ---------------------

jc

(;c

+ 4

-

x —2

3)( y - 2) ( jc +

x2 -

-f-

4

x

-------------------

x + 4

x -

+

4)( jc)

(¿y +

2

4)( jc - 2)

5x + 6 + x2 + 4x ( x + 4 ) ( jc -

2)

2x2 -

x + 6

( x + 4 ) ( jc -

2)

—2 , 0 , 2

66

C A P ÍT U L O R

Repaso

X1

^

1 _

x2

x _ x2 - 4 ' 1 = x \ x ) - (x2 - 4)(1)

x2 - 4 ~ X ~ x 2 - 4 x

X2 - 4 X

(x2 - 4)(x)

(5b)

x3 - x2 + 4 = (x - 2)(x + 2)(x)

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

47

4 Uso del método del mínimo común múltiplo Si los denominadores de dos expresiones racionales se van a sumar (o restar) tienen factores comunes, comúnmente, no usamos las reglas generales dadas en las ecua ciones (5a) y (5b). Al igual que con las fracciones, aplicamos el método del mínimo común múltiplo (MCM). El método del MCM usa el polinomio de menor grado que tiene cada polinomio denominador como factor.

E l m é t o d o M C M p a r a s u m a r y r e s t a r e x p r e s io n e s r a c io n a le s

El método del mínimo común múltiplo (MCM) consiste de cuatro pasos: Paso 1: Factoriza completamente el polinomio en el denominador de cada ex

presión racional. Paso 2: El MCM de los denominadores es el producto de cada uno de estos

factores elevado a una potencia igual al mayor número de veces que cada factor aparece en los polinomios. Paso 3: Escribe cada expresión racional usando el MCM como denominador común. Paso 4: Suma o resta la expresión racional usando la ecuación (4). Empecemos con un ejemplo que solo requiere usar los pasos 1 y 2.

EJEM PLO 7

Encontrar el mínimo común múltiplo Encuentra el mínimo común múltiplo para los siguientes pares de polinomios: x(x - 1 )2(jc + 1) y 4(x - 1 ) (x + l) 3

Solución

Paso 1: Los polinomios ya están factorizados completamente como x(x - l ) 2(x + 1) y 4(.r —l)(.r + l) 3 Paso 2: Empieza por escribir los factores del lado izquierdo del polinomio. (O pue des empezar con el del lado derecho). -V(.Y - 1 ) :(.Y+ 1) Ahora observa el lado derecho del polinomio. El primer factor, 4, no apa rece en nuestra lista, así es que lo insertamos 4.v(.v - l):(.v +1) El siguiente factor, ,v - 1, ya está en nuestra lista, así que no requiere de ningún cambio. El factor final es (.v + l)-\ Como nuestra lista solo tiene x + 1 elevado a la primera potencia, sustituimos x + 1 por (x + 1 ) \ El MCM es 4x(x —l ) 2 (x + l ) 3

SECCIÓN R.7 Expresiones racionales

67

Observa que el MCM efectivamente es el polinomio de menor grado que contie ne a x(x - l ) 2(x + 1 ) y 4(;t - 1 )(x + l) 3 como factores.

...... . EJEM PLO 8

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

53

Uso del mínimo común múltiplo para sumar expresiones racionales Realiza la operación indicada y simplifica el resultado. Deja tu respuesta en forma factorizada. x 2x - 3 ~TL--------------- 1" -----x2 + 3x + 2 x2 - 1

Solución

x s* - 2 , - 1 ,1

Paso 1: Factoriza completamente los polinomios en los denominadores. x 2+ 3x + 2 = (x + 2)(x + 1) * 2 -

1 = ( X ~ 1 )(* + 1)

P aso 2: El MCM es (x + 2)(x + 1)(jc - 1). ¿Entiendes por qué? Paso 3: Escribe cada expresión racional usando el MCM como denominador. x

_

x2 + 3x + 2

x

_

(x + 2)(x + 1)

*

x - 1 _

(* + 2)(x + 1) x - 1

x ( x - 1) (x + 2)(x + 1)(* - 1)

Multiplica el numerador y el denominador por x - 1 para obtener el MCM en el denominador.

2x — 3 _ 2x — 3 _ 2x - 3 x +2 _ (2x - 3 ) ( s + 2) x2 - 1 (x - l)(x + 1) (x - l)(x + 1) x + 2 (x - l)(x + l)(x + 2) Multiplica el numerador y el denominador por x + 2 para obtener el MCM en el denominador.

P aso 4: Ahora podemos sumar usando la ecuación (4). x

2x - 3 _

x2 + 3x + 2 + x2 - 1

x(x - 1)

(2x - 3 )(s + 2)

{x + 2)(x + l)(x - 1) + (x + 2){x + l)(jf - 1) _ (jc2 - x) + (2jc2 + x - 6) (x + 2)(x + l)(x — 1) _

EJEM PLO 9

3x2 - 6 _ 3 (x 2 — 2) (x + 2)(x + l)(x - 1) (x + 2)(x + 1) ( jc - 1)

Uso del mínimo común múltiplo para restar expresiones racionales Realiza la operación indicada y simplifica el resultado. Deja tu respuesta en forma factorizada. _j?________ x + 4 x i1 —1,0 x2 + x x2 + 2x + 1

Solución

P aso 1: Factoriza completamente los polinomios en los denominadores. jc2+ jc = x(x + jc2 +

Paso 2: El MCM es jc(jc + l) 2.

1)

2 jc + 1 = ( x + l ) 2

68

C A P ÍT U L O R

Repaso P

a so

3í Escribe cada expresión racional usando el MCM como denominador 3

3______ x

3

x2 + x ~ x(x + x 4- 4

1)

~ x(x + \ )

x +4

* 2 + 2 a: + 1 ~ (x + l )2 P

a so

4:

jt

+ 4

_

3 (x

+

x(x

+ l )2

X + 1 t

( * + l ) 2

+ i

_

*

a íjt

+ 4)

jt( j :

+ 1)2

1)

Resta, usando la ecuación (4). 3___________ x + 4

x2 + x

=

x2 + 2x + 1

3 ( jt + 1 )

x(x + 4)

_

x(x + 1 )2

* ( * + l )2

x(x +

_ 3 ( jc + 1 ) -

jc( jt 3 jc + 3 -

4)

+ 1)2 x2

-

4.r

x(x + l ) 2 -x2 - x +

3

jr(x + l )2 ........ -Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

j

6 3

5 Simplificación de expresiones racionales con cocientes mixtos Cuando aparecen sumas y/o diferencias de expresiones racionales en el numerador y/o denominador de un cociente, el cociente se llama cociente mixto.* Por ejemplo. x2

1+ x

x2 - 4

x

x +2

- 3 - 1

son expresiones con cocientes mixtos. Simplificar una expresión con cocientes mixtos significa escribirla como una expresión racional reducida a sus términos míni mos. Podemos hacer esto de dos maneras. Simplificación de expresiones racionales con cocientes mixtos Método 1: Maneja por separado el numerador y denominador del cociente

mixto, realizando las operaciones que se indiquen y simplificando el resultado. Después simplifica la expresión racional que se obtuvo. Método 2: Encuentra el MCM de los denominadores de todas las expresiones racionales que aparezcan en el cociente mixto. Multiplica el nume rador y el denominador del cociente mixto por el MCM y simplifica el resultado. Usaremos los dos métodos en el ejemplo que se da a continuación. Al estudiar cada método cuidadosamente, podrás descubrir situaciones en las que un método sea más sencillo que el otro.

EJEM PLO 10

Simplificación de un cociente mixto 1 3 2 + T Simplifica: ±---- ± x + 3 4

r at - 3 o ’

* Algunos textos usan el término fracción compleja.

i

S E C C IÓ N K .7

‘

Solución


69

Méunlo l: Primero realizamos las operaciones indicadas en el numerador y des pués dividimos. 1

3

l •x + 2 •3

2

_a _

2 » .r

x

+ 3 4" |

x

+ 6

_

2.t _ ,t + h

“ x + 3 _ .v + 3 7 4 4

4

2.r

.v + 3

Regla para sumar cocientes Regla para dividir cocientes

( jc + 6)*4

2 , 2 , (.v + 6)

2(x

+ 6)

T 777773) = 277(777) = 77777) Regla para multiplicar cocientes

Método 2: Las expresiones racionales que aparecen en la expresión racional com pleja son 1 3 x + 3 2 ’ ,v’ 4 El MC\1 de sus denominadores es 4.v. Multiplicamos el numerador y el denominador del cociente mixto por 4.v y después simplificamos. (i

1 3 - + -

3\

4 .v ( j +

1

- J

4 .f -

3 +

4 .v -

2 ____ x_

x

+ 3 4

” Multiplica í el numerador y el denominador por 4x.

4-r ‘ (-t + 3) Usa la propiedad distributiva en el numerador.

1 3 2*2.r*— + 4.t • — ______ 2_______ x_ 4 .v (.r + 3)

2(-r + 6) .r(.v + 3)

2 .t + 12

.v(.t + 3)

4 Factoriza

Simplifica

E JE M P LO 11

Simplificación de cocientes mixtos 2 xr x -

Simplifica:

Solución

4

2.r - 2

+ 2 * * 0, 2,4 - 1

Usaremos el método 1. jt2 x

- 4

2a -

2

+ 2

a2 2( a - 4) ------ - + x - 4 x - 4 x

2 a: — 2

j

X

X

X

(X + 4 ) ( X x

el

x

(x + 4 )( a:— 2 T __ a_ x - 4 je — 2

- 4

- 4

p r o b l e m a

2 -

2)

(a + 4 ) • x

Resuelve ahora

2x -

X

x - 2

x

.v2 + 2.v - 8 -v - 4

73

70

C A P ÍT U L O K

Repaso

Aplicaciones Solución de una aplicación en electricidad

EJEM PLO 12 . — —I . — —

V. ■

Un circuito eléctrico tiene dos resistores conectados en paralelo, como se muestra en la figura 28. Si la resistencia de cada uno es R t y R, ohms, respectivamente, su resis tencia combinada R se da por la fórmula:

F igura 2 8

«i — W v— _ ^ V r2

/?. + l<2 Expresa R como una expresión racional, es decir, simplifica el lado derecho de esta fórmula. Evalúa la expresión racional con /?, = 6 ohms y R2= 10 ohms.

I

Solución

Usaremos el método 2. Si consideramos 1 como la fracción y, entonces las expresio nes racionales en el cociente mixto son

r

/?,’ r 2

El MCM de los denominadores es /?,/?,. Multiplicamos el numerador y denominador del cociente mixto por R tR, y simplificamos

J_

R\R2

\ - r ,r 2

1 _1_

— •R\R2 + — • R\R2

+ Ri

**1

*1*2 R2 + R {

Ki

Entonces, r2

+ /?,

Si /?, = 6 y R2= 10, entonces 6-10 _ 60 10 -h 6 “ 16

— 4

ohms

R.7 Evalúa tu entendim iento Conceptos y vocabulario 1. Cuando el numerador y denominador de una expresión racional no contienen factores comunes (excepto 1 y -1), la expresión racional está----------2. MCM es una abreviación de ----------- -----------

"'r - 4v ^ 1 erdadero o Falso La expresión racional--- ———está reducida a sus términos mínimos. 4. Verdadero o Falso El MCM de I r ’ + 6 r y 6iJ + 4r’ es

---------------

4.v'(.v + 1).

Ejercicios En los problemas 5-16, reduce cada expresión racional a sus términos mínimos. 2>x + 9 jc2 - 9

24.r2 12a 2 - 6.v

+ 4.v - 5 x2 - 2x + 1 a2

6. 10 .

14.

4.v2 + 8.v 12a + 24 .v2 + 4.v + 4 a2 - 4 0 .V“

.V A2

+

X

- 2

„

-v2 - 2.t

l%

„

H*

3.v - 6

y2 -

25

2 y 2 - 8y - 10 a2 + 5.v -

2 - x

12 .

14 16.

15 r

+ 24.r

>-----

3 .r

3y 2 - y - 2 3.V2 + 5 y + 2 Ir

+ 5.v - 3 l - Iv

t

S E C C IÓ N R .7

j

‘iE n

\

17.


71

lo s p r o b le m a s 1 7 - 3 4 , r e a liza la o p e r a c ió n in d ic a d a y sim p lific a e l re su lta d o . D e ja tu re sp u e sta en fo r m a f a c to r iz a d a .

21.

3* + 6 5*2

x2 - 4

4* - 8 -3*

12 -

* 18. J 2*

19.

6 * + 10

12

22.

6*

4X2 x3 - 64 2* x2 - 16

27

6x -

5*

23.

18

4x -

6* 6 x 2 - 25 jc2 -t- 4jc - 5 Jt2 + 2 x - 15 x2 + x -

24.

27.

8* x2 - 1 10* *+ 1

\2 5 .

28.

x2 -

26.

7* + 12

x2 + x -

32.

12

x -2 4* *2 - 4* + 4

29.

4- * 4+* 4* *2 - 16

*2 + 7* + 6 *2 + * - 6

33.

2*2 - * - 28 3*2 - * - 2 4*2 + 16* + 7 3*2 + 11* + 6

x2 + 5x - 6

x2 - x - 1 2

x2

+

5*

+

*2 - 3* - 10 x 2 + 2 x - 35

12 *3 + 1 *2 + * 4* - 2

* 2 + 4 x - 21 x2 + 9x +

14

12* 5* + 20 4*2 x2 - 1 6

12*

x 2 + l x + 12

31.

x2 - 4 3* - 9 2x + 4

20.

6

30.

3+* 3- * *2 - 9 9*3 9*2 + 3* - 2

34.

12*2 + 5* - 2 9*2 - 6* + 1

8*2 - 10* - 3

E n los p r o b l e m a s 35-5 2 , realiza la operación indicada y simplifica el resultado. D eja tu respuesta en f o r m a factorizada.

.. * 2

3 *

5 2

35. — + —

38.

41.

3X2 2*

1

2*

1

-

*+ 1 * - 3

42.

5* - 4 3* + 4

45. 1 ~

-

39.

*

6 *

50.

____9_

3* + 5 2* - 4 2* - 1 ~ 2* - 1

44.

\4 7 .

-

6 *

\3 7 .

3 6 . ---------

1 -

*

* 2* - 3 -------1---------*+ 1 *- 1 2* - 3 *- 1

48.

2* - 3 x - 3

4 * -

+

2* - 5 3* + 2

46.

x + 2

3jc 2* *- 4 ' *+ 3 1

2* + 1 *+ 1

4

\43.

2 1

4

2* - 3

40. —— —

1 4

* +

3*

x2

2* - 3 +

*

+

x - 2

2 — x

2

5 *- 5

*+5

49.

*- 3_ *+4 * + 2 * - 2

„ „

*

-

1

?52. — — +

51. — — + * x2 - 4

*+4 3* + 2

*3

*

*2 + 1

E n los p roblemas 53-60, encuentra el M C M de los polinomios dados.

\ . 5 3 . x2 - 4,

54. x 2 - x - 12,

x2 — x - 2

56. 3*2 - 27, 59. * 3 - * ,

57. 4*3 - 4 * 2 + * ,

2*3 - * - 15 *3 - 2 * 2 + *,

*3 - l

60. * 2 + 4 * + 4,

55. * 3 - * ,

* 2 - 8* + 16 2*3 - * 2, * 3 + 2*3,

*3

-

*2

58. * - 3,

*2

(* + 2)3

E n los p r oblemas 61-72, realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado. Deja tu respuesta en f o r m a factorizada.

61.

64.

*2 —7* + 6 3*

*2 —2* —24 x - 4

x - 1 ~ x2 -

67.

70.

-

2* + 3 2

*2 + 2* 2

(* - l)2

+ ---

-

* + 1

-* 2

8

*- 3

x2

x + 1 + 5* - 24

x \6 3 .

4* *2 - 4

3 + (* - 1)2(* + 1) ' (* - 1)(* + l)2

66.

68,

2* - 3 *2 + 8* + 7

69. - -

*- 2 (* + l)2

2 *2 + * - 6

2 (* + 2)2(* - 1)

65.

2* + 1

*+4 *

62.

1 *

x2 + x

(* + 2)(* - l)2

*3 - *2

1

1

_ { x + h)2 -

* 2_

72

C A P ÍT U L O R

Repaso

E n lo s p r o b le m a s 7 3 —84, re a liza las o p e ra c io n e s in d ic a d a s y sim p lific a e l re su lta d o . D e ja tu re sp u e sta en fo r m a fa c to r iz a d a .

2

\7 3 .

jc

75.

74.

+ 1 x

jc

x +

+ 4 x —3 jc - 2 X+ 1 JC+ 1

jc

77.

81. 1 -

78.

1

1 jc

82. 1 -

2

1

jc -

2

79.

+3

83.

+ 1

jc

- 1

+

5

jc jc -

JC

80.

3

x + 3

4(jc + 2)-' 84.

3(jc - l) " 1 + 2

3

(x + 1):

JC2 jc -

2(jc - l) " 1 + 3

1

x

-

2x

2 ( jc - 1 jc + 2 jc + 1 jc 2x - 3 JC + 1 x jc -

- 2

jc +

76.

- 1

3 +

x

1-

-

-

3

3(jc + 2)~' - 1

JC f

E n los problemas 8 5 - 92, se d a n expresiones q u e encontramos en cálculo. R e d u c e cada expresión a sus términos mínimos.

. (4

(2jc + 3) -3 —(3jc - 5)-2 85.

88

.

(3jc - 5)2 jc-2jc - ( jc2

jc +

86

- 4) • 1

jc• 2jc -

(3jc + 1) *2jc -

(X2

(2jc -

jc2 • 3

+ l)2

5 ) * 3JC2

90.

(3jc + l)2

(x2 ~ 4)2

(jc2 + 1) *1

87.

(5jc - 2)2

89.

( jc2

1)-5 - (5jc - 2)-4

(2x -

+ 1) •3 - (3jc + 4) • 2jc

( jc2

91.

- jc^'2

5 )2

+ 9) • 2 - (2jc - 5) *2jc

92.

(jc2 + 9)2

(x2 + l)2 Aplicaciones y extensiones 93. La ecuación para hacer lentes L a lo n g itu d fo ca l / d e un

94. C ircuitos eléctricos U n circ u ito e lé c tr ic o c o n tie n e tres re

le n te co n ín d ice d e refracción n es

sisto r es c o n e c ta d o s e n p a ra le lo . Si la r e siste n c ia d e cad a uno es

J = (» "!) d o n d e /?, y

R2so n

/?!

co m b in a d a

R2

R2y R} o h m s, r e sp e c tiv a m e n te , R s e da p o r la fórm ula:

I = iR Ri

lo s rad ios d e la cu rvatura d e la su p e rfi

J_ R2

su resisten cia

_L R}

cie a n terior y p o sterio r d el le n te. E s c r i b e / c o m o una e x p resió n racion al. E v a lú a la ex p r e sió n racion al para n /?, = 0.1 m etro s y R2= 0.2 m etros.

= 1.5,

E x p re sa

R

c o m o u n a e x p r e sió n ra cio n a l. E v a lú a

/?, = 5 o h m s,

R2= 4 o h m s

y

R}=

R

para

10 o h m s.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 95. L as sig u ie n te s e x p r e sio n e s se llam an fracciones continuas:

1 1+?

1+ ^ T

1+

1+'

, 1+

i

1+

1+7 7 i

JC

1+ 1+

C ada u na se sim p lifica a una ex p r e sió n d e la form a ax + b bx + c

E n cu en tra lo s v a lo res su c e siv o s d e a, b y c c o n fo r m e “c o n tin ú a ” la fracción . ¿ P u e d e s v e r lo s p a tr o n e s q u e sig u e n e s to s v a lo res? In v estig a lo s n ú m ero s d e F ib o n a c ci e n la b ib lio te ca . E scrib e un in fo rm e d e lo q u e e n c o n tr a ste . 96. E x p lica a un co m p a ñ e r o cu á n d o u sas e l m é to d o d el M C M

9 7 . ¿C u ál d e lo s d o s m é to d o s d a d o s e n e l te x to para sim p lificar

para sum ar d o s e x p r e sio n e s ra c io n a les. D a d o s e je m p lo s

c o c ie n te s m ix to s p r e fie r e s? E scrib e un b rev e p árrafo e x p li ca n d o tus ra zo n es.

d e su m a d e d o s e x p r e sio n e s ra c io n a les, una en la q u e u ses e l M C M y otra en la q u e n o lo u ses.

K

S U C C IÓ N R.8

73

Ralees enésimas; exponentes racionales

R.8 Rafees enésimas; exponentes racionales P r e p a r a c i ó n PA R A e s t a SECCIÓ N

Antes de empezar, repasa lo siguiente:

• Exponentes, raíces cuadradas (sección R.2, pp. 21-24) Resuelva ahora los problemas de la sección " ¿ E s tá s listo ?" de la página 154.

OBJETIVOS 1 Trabajar con raíces enésimas (p. 73)

2 Simplificar radicales (p. 74) 3 Racionalizar denominadores (p. 75) 4 Simplificar expresiones con exponentes racionales (p. 76)

1 Trabajo con raíces enésimas DEFINICIÓN

La raíz enésima principal de un número real a, n s 2 un entero, simbolizada por v a , se define de la siguiente forma: Va = b

quiere decir

a

= b"

donde a > 0 y b > 0 si n es par y a, b son cualquier número real si n es impar.

r r En palabras r El símbolo V a significa “dame el r número que cuando lo eleve a la r n sea igual a a". r

EJEM PLO 1

J

Observa que si a es negativo y n es par, entonces V a no está definida. Cuando está definida, la raíz enésima principal de un número es única. El símbolo V a para la raíz enésima principal a se llama radical; el entero n se llama índice y a se llama radicando. Si el índice de un radical es 2, llamamos a V a la raíz cuadrada de a y omitimos el índice 2 escribiendo simplemente V a . Si el índice es 3, llamamos a V a la raíz cúbica de a.

Simplificación de raíces enésimas principales (b) V ^ 6 4 = ^ / ( - 4 ) 3 = - 4 (d) y ÿ ï P ï f = |- 2 | = 2 Estos son ejemplos de raíces perfectas, ya que cada una se simplifica a un número racional. Observa el valor absoluto en el ejemplo 1 inciso (d). Si n es par, la raíz ené sima principal debe ser no negativa.

En general, si n > 2 es un entero y a es un número real, tenemos

« «

Resuelve ahora

Va" = a

si n s 3 es impar

da)

V a " = loi

si n a 2 es par

(Ib)

el

p r o b l e m a

7

Los radicales proporcionan una forma de representar a muchos números irracio nales. Por ejemplo, no existe un número racional cuyo cuadrado sea 2. Mediante el uso de radicales, podemos decir que V2 es el número positivo cuyo cuadrado es 2.

74

CAPÍTULO R

Repaso

Uso de la calculadora para aproximar raíces

j j [ EJEM PLO 2

Usa una calculadora para aproximar "'^16.

Solución

h—itu t —Resuelve ahora

Figura 29

5 *06

La figura 29 muestra el resultado usando una calculadora gráfica T I-8 4 .

1.741101127

e l

p r o b l e m a

io i

2 Simplificación de radicales Sean n > 2 y m > 2 enteros positivos y sean a y b números reales. Suponiendo que todos los radicales están definidos, tenemos las siguientes propiedades: Propiedades de los radicales (2a)

b* 0

(2b)

(2c)

S fd * = (^ a )m

Cuando nos referimos a los radicales, la instrucción “simplifica” quiere decir que elimines de los radicales cualquier raíz perfecta que aparezca como factor. EJEM PLO 3

Simplificación de radicales (a) V 32 = V l6 ^ 2 - V Í6 • \ í l = 4 \¡2 í í Factoriza 16, un (2a) cuadrado perfecto.

(b) N/l6 = N/íÜ2 = V 8 - V 2 = t t Factoriza 6 , un cubo perfecto.

= 2^2

(2a)

(c) ^ - l ó * 4 = \ ^ - 8 - 2 - x3- x - ^ ( - 8 jc3)(2;c) t í Factoriza los cubos Agrupa cubos perfectos, perfectos dentro deI radical.

- ^ / { - 2 x f - 2 x = ^ / { - 2 x f - ^ 2 x - - 2 x ^ Í2 x t ( 2 a)

“ ^ —- Resuelveahora

l o s

p r o b l e m a s

ii

y

i

7

Dos o más radicales se pueden combinar siempre y cuando tengan el mismo índi ce y el mismo radicando. A estos radicales se les llama radicales semejantes. EJEM PLO 4

Combinación de radicales semejantes (a) —8VL2 + \ñ> = -8 V ¿ L 3 + V 3 = - 8 - \Í 4 V3 + V3 = -1 6 V 3 + V 3 = - 1 5 \/ 3

S E C C IÓ N R .8

(b )

+

4 ^ /W x = \ / 2V

jc

+

Rafees enésimas; exponentes racionales

75

+ 4 \/¥ x

V - l * x

= r f(2 ÏŸ ‘^ +

+

= Ix 'V x - 1 • V x + 12 V x — (2x + ll) V x

........ . -Resuelve ahora

e l

33

p r o b l e m a

Racionalización de denominadores Cuando aparecen radicales en cocientes, es común reescribir el cociente de forma que no hayan radicales en el nuevo denominador. A este proceso se le conoce como racionalización de denominador.

La idea es multiplicar por una expresión apropiada para que el nuevo denomina dor no contenga radicales. Por ejemplo: Si el denominador contiene el factor

Para obtener un denominador libre de radicales

Multiplica por

Vi Vi - 1 V2 + 3 V5 + Vi V2

Vi V3 + 1 V2 - 3 V s - V d

V4

(Vi)2= 3 (Vi)2- 12 = 3 - 1 = 2 (V2 ) 2 - 32= 2 - 9 = -7 (V5 ) 2 - (Vi)2= 5 - 3 = 2 V4-V2 = V8 = 2

Cuando racionalices el denominador de un cociente, asegúrate de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la expresión.

EJEM PLO 5

Racionalización de denominadores Racionaliza el denominador de cada expresión: (a)

Solución

1

5

(b)

Vi

(c)

4V2

V2 V i - 3V 2

(a) El denominador contiene el factor V i , así que multiplicamos el numerador y denominador por V i para obtener J _ _ J _ _V3 = V3

V3 V3

V3

= V3

(V 3 )2

3

(b) El denominador contiene el factor V2, así que multiplicamos el numerador y denominador por V2 para obtener 5

4V 2

5

V2

4V2 V 2

5V2

5V2

5V2

4(V 2)2

4-2

8

(c) El denominador contiene el factor V 3 - 3V 2 , así que multiplicamos el nume rador y denominador por V 3 + 3V 2 para obtener V2 V 3 - 3V2

V2

V 3 + 3V

V 3 - 3V2 V 3 + 3V2

V 2 V 3 + 3(V 2 )2 3 -1 8

-Resuelve ahora

2

el

p r o b l e m a

(V 3 )2 - (3V2)2

Vó + 6 -15

47

V 2 (V 3 + 3V2)

6 + Vó 15

76

C A P ÍT U L O R

Repaso

4 Simplificación de expresiones con exponentes racionales Los radicales se usan para definir exponentes racionales.

D EFIN ICIO N

Si a es un número real y n s 2 es un entero, entonces

= V~a

(3)

siempre que V a exista.

J

Observa que si n es par y a < 0 entonces V a y aVn no existen. EJEM PLO 6

D EFIN ICIO N

Escritura de expresiones que contienen exponentes fracciónales como radicales (a) 41,/2 = V 4 = 2

(b) 81/2 = V 8 = 2 V 2

(c) (-2 7 )1/3 - ^ 2 7 - - 3

(d) 161/3 = V Ï 6 = 2 ^ 2

Si a es un número real y m y n son enteros que no contienen factores comunes, con n > 2, entonces 7m/n

s/a m = ( V a ) '

(4)

siempre y cuando V a exista.

J

Tenemos dos comentarios acerca de la ecuación (4): TYl 1. El exponente — debe estar en términos mínimos y n debe ser positivo. 2. Cuando simplificamos la expresión racional amln, se puede usar ya sea \/a ™ o ( V a ) m, dependiendo de la que sea más fácil de simplificar. Generalmente es más sencillo sacar la raíz cuadrada primero, como en ( V a )m. EJEM PLO 7

Uso de la ecuación (4) (a) 43/2 = ( V Í ) 3 = 23 = 8

(b) ( - 8 ) 4/3 = (n/ ^ 8 ) 4 = ( - 2 ) 4 - 16

(c) (32)-2/5 = (^ 3 2 ) -2 = T 2 = -

(d) 256/4 = 253/2 = ( V Ü ) 3 - 53 = 125

-Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

55

Se puede mostrar que las leyes de los exponentes también se cumplen para ex ponentes racionales. El siguiente ejemplo ilustra el uso de las leyes de los exponentes para simplificar. EJEM PLO 8

Simplificación de expresiones que tienen exponentes racionales Simplifica cada expresión. Expresa tu respuesta de manera que solamente haya ex ponentes positivos. Suponemos que las variables son positivas.

(a) (*2/3y)(* 2y)

2 x lV

(b)

V

2/3

' 9 jc 2y 1/3 \ 1/2

(C )

x^y

S E C C IÓ N R .8

Solución

Raíces enésimas; exponentes racionales

77

(a) (x 2/3y){x~2y )l/2 = (x2/3y )[( jc~2) 1/2y1/2] = j & y x - 'y 1/2 = (x2^ (yV 3 ’ x l) ( y y 1^2) = x - \ /3y3/2

3,3/2 = ^3 (b)

(c)

..2/3 \ 3

'2 x W ' ..

„2/3

.

V2^ 1/3/

'9^2y / 3V /2

(2x1/3)3

/ 9jc2- (1/3) V /2

x 1/ ^

EJEM PLO 9

23( x 1/3)3

I ^ V /2 “ U 2/3y

-Resuelve ahora /j \

( , 2/3)3

el

p r o b l e m a

8x 91/2(x5/3)1/2

~

( / /3)

1/2

3x5/6 ,1/3

71

Los siguientes dos ejemplos ilustran operaciones algebraicas que necesitarás sa ber para resolver ciertos problemas de cálculo.

Escritura de expresiones como un solo cociente Escribe la siguiente expresión como un solo cociente en el que únicamente aparezcan exponentes positivos. (x2 + 1)1/2 + x*^-(x2 + 1)_1/,2*2x

Solución

(x2 + 1)1/2 + x - |; ( x 2 + 1)“ 1/2-2 x = (x2 + 1)1/2 +

* i 1/2 1/2

(x2 + l ) 1/2(x2 + l ) 1/¿ + x' (x2 + 1)1/2 (x2 + 1) + x2 (*2 + 1 ) 2x2 + 1 (*2 + i)

-Resuelve ahora EJEM PLO 10

p r o b l e m a

1/2

77

Factorización de una expresión que contenga exponentes racionales Factoriza:

Solución

e l

1/2

^ x ^ 3(2x + 1) + 2x4^3

Empieza escribiendo Zx4'3 como una fracción con 3 como denominador. 4 , 4x1/3(2x + 1) 6 x 4/3 4x '/3(2x + 1) + 6x4/3 ^ xj/3(2x + 1) + 2x4/3 = ------K — -------1 + — = ------ y ---------í

5uma las dos fracciones

2x 1,/3[2(2x + 1) + 3x] t

í

2 y x1/3 son factores comunes

Resuelve ahora

el

2x^3(7x + 2)

p r o b l e m a

Simplifica

89

78

C A P ÍT U L O R

Repaso

Comentario histórico ^ 1 sím bolo de radical,

|

V, fue

todas variantes de V 8 . La n otación

usado por primera vez en

J e s la forma manuscrita de la letra r (de la palabra en latín = raíz), aunque esto no está com probado. Pasó m ucho

I.

La barra sobre el símbolo de radical actual, como se ve

V se convirtiera en el sím bolo estándar de V,

la raíz cuadrada y m ucho más para que

V,

V,

V a2+

etc. fueran e s

lab + ó2,

es el último sobreviviente del vínculo, una barra colocada sobre una expresión para indicar lo que ahora indicamos con paréntesis. Por ejemplo,

tandarizados. Los índices de la raíz se colocaban en cualquier posición concebible, siendo

Vi, V(D8, v V8 1

para V i 6

locam os ahora.

radix

tiem po antes de que

V V i 6 era com ún

Para los añ os 1700, el índice se había estab lecid o co m o lo c o

r “ * forma impresa por C hristoff R udolff en 1525. Se cree que

3

ab + c = a(b

c)

+

R.8 Evalúa tu entendim iento "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas resaltadas entre paréntesis. (PP. 2 1 -2 4 )

;~32 =

1. ( ~ 3 ) 2 =

2. V l 6 =

; \ / ( - 4 )2 =

(pp. 2 1 -2 4 )

Conceptos y vocabulario 3. E n el sím b o lo 5. L e llam am os a

Va

el e n te r o

Va

n se

4.

llam a

la

de

a.

Verdadero 0 Falso

V-32

6. Verdadero 0 Falso \ / ( ~

=

-2

3 )4 =

_3

Ejercicios En los problemas 7-42, simplifica cada expresión. Considera que todas las variables son positivas.

\ 7.

V27

\ll. \Í

8. Vl6

9.

12. V54

13.

V vy

>y—8.r4 . Vfxy*7.

10.

V

14.

y/Á»?

18.

> JV V 8 1 .t V

m

is.

i6.

19. viói

20. y /9 ?

21 .

y /íx * V l 2 x

22.

V 5 Í\/2 0 V

23. (V5 Vi)2

24.

25.

(3 V ó )(2 \^ )

26.

(5 V Í)(-3 V 5 )

27. 3\/2

+ 4\/2

28. 6 V Í - 4\/5

30.

2 V Í 2 - 3V27

31.

(V 5

+ 3 )(V 3

35.

(V x -

- l)

l)2

(V 3

\1 7

VTÖ)4

32. (V5 -

2 )(V s

36. (Ve + V5)2

29. -

+ 3)

\

V Í8 + 2 \ Í

33. 5V2 - 2V54 37. \^ 1 6 .v 4 -

V 2I

39. \/8 x 3 - 3V50Í

40.

3.vV9v + 4 V 25y

41. \

42.

8xy - V 25.v:r + V S.rV

/

16x*y - 3x^2xy + 5 ^ - 2 xyA

34. 9 V 2 4 -

38. V 3 1 t

+

V8Í

y/l?

En los problemas 43-54, racionaliza el denominador de cada expresión. Considera que todas las variables son positivas.

44. \47.

V3 5- V 2

48.

45. -V5

2

vi

V3 V2 V7 + 2

49.

2 - vi 2 + 3V Í

46.

-V3 vi

50.

v i - i 2V 3 + 3

S E C C IÓ N R.8

51.

52.

V2

Ralees enésimas; exponentes racionales

-2

Vx + h - Vx

V 7T h + Vx - h

\/9

V * + /) + V Í

\ / i + /i - v V - h

79

En los problem as 5 5 -6 6 , simplifica coila expresión.

\ 55. 8: 59. 163'

56. 4.3/2

57. ( —27),/3

58. 16V4

60. 253/2

61. 9~3/2

62. !6"3/1

9 \3 /2

63.

64. 0

2 7 \2/3

©

8 V 2'3 * • ©

SV ^

«(i)

f/i /<« problemas 67-74, simplifica cada expresión. Expresa tu respuesta de forma que solamente aparezcan exponentes positivos. Considera que las variables son positivas. 67. x3V ' V 1/2

Vi.

68. jr /V /V 1/4

(x2y),/3(xy2)J/3 r 2'nr 2/3■

72.

70. (x4/ ) 3/4

6 9 . (.r \v 6)'/3

( * y ) ,/ 4( . í V ),/2

(1 6 .t2y -1^3)3/4 71

( 0 ) 3/4

74.

--------- -------- -—

*

( V

),/4

(4.r-'y1/3)3/2 (,ty)3/2

Aplicaciones y extensiones En los problemas 75-88, se dan expresiones que aparecen en cálculo. Escribe cada expresión como un solo cociente en el que sola mente aparezcan exponentes positivos y/o radicales. 75.

(1 + *) 1/2

+ 2(1 + x)1/2

\ 7 7 . 2x(x2 + 1),/2 + x2- ^

+ x -

81.

x-

„ x >5

lV\ + x

-1

82.

x > -4

84.

X >

1 + X

x2

-(x 2- ! ) (x2 - ! ) 1/2

1/2 x < -1 or x > 1

x2

l± f-2 xV x 2Vx________ 87. (1 + x2)2

x*-l

\K8x + 1 Vx - 2 80. ---- , —- + ---------------- 3V (x - 2)2 24 y (8x + l)2 V x2+ 1 -

(x + 4)1/2 - 2x(x + 4)“1/2 8 3 .------------------ ------------x+4

85.

x> 0

78. (x + 1)1/3 + x - - { x + 1)“2/3

+ l)_,^-2x

79. V4.t + 3 ---- t-—-.— + V x - 5 ------7 1 2V x - 5 5V4x + 3

v r

76. -í-í-J + x1/2 2x1/2

x>-l

x *2, x

,

1 8

2x

2V x 2 + 1 x2 + 1 (9 - x2)l/2 + x2(9 - x2)-'/2 9 - x2

-3 < x < 3

+ 4) 1/2 . (x2 + 4)1/2x2- +x2(x2 4

86

2 x ( 1 - x2) '/3 + | x3( 1 - x2) - 2/3

88.------------------- TTñ------------

x> 0

x * -1 , x * l

(1 - X2) 2/}

¿f, En los problemas 89-98, se dan expresiones que aparecen en cálculo. Factoriza cada expresión. Expresa tu respuesta de manera que solamente aparezcan exponentes positivos. 4 9 0 . (x2 + 4 ) 4/3 + x*^(x2 + 4 ) ^ 3 > 2 x \ 8 9 . (x + 1)3/2 + x - - ( x + l)'/2 x — 1 91. ó x '^ x 2 + x) -

8 x 3/z

- 8x1/2

x> 0

92. 6x^2(2x + 3) +

x 3/*2

*8

x^ 0

C A P ÍT U L O R

Repaso

94. 2 * ( 3 * + 4 )4/3 + * 2 - 4 ( 3 * + 4 ),/3

93. 3 (*2 + 4 )4/3 + x - 4 ( x 2 + 4 ) 1/ 3 - 2 *

96. 6 ( 6jc + 1 ) i/ 3(4 jc - 3 )3/2 + 6 ( 6* + l ) 4/ 3(4 * - 3 )

95. 4 (3 * + 5 ) 1/ 3(2 * + 3 )3/2 + 3 (3 * + 5 ) 4/ 3(2 * + 3 )1/2 * 2=

97. 3 x ~ 1'2

+ | * 1/2

98. 8 jc1/3 - 4 jc' 2/3

* > 0

*

x 2

4^ i

80

* 0

En los problemas 99-106, usa una calculadora para aproximar cada radical. Redondea tu respuesta a dos lugares decimales. 100. \ ñ

V2

103.

2 + V3

104.

\

3 ^ - V2

V 5 - 2

107. Cálculo de la cantidad de gasolina en un tanque

106.

105. --------- p ----

-------

V3

V2 + 4

3 - V5

102.

101. \^ 4

2

V 3 - y/4 V2

U n a g a so lin e ra S h ell a lm a ce n a su g a so lin a en ta n q u e s su b te r rá n eo s co n fo r

m a d e cilin d ros circulares re cto s c o lo c a d o s d e la d o . V e r ilu stra ció n . E l v o lu m e n

V de

g a so lin a e n e l ta n q u e (e n g a lo n e s) s e da

p or la fórm ula: 96

V

—

---- 1-- u—u--

- 0.608

h es la altura d e la g a so lin a (en p u lg a d a s) m ed id a p o r u n a varilla Si h = 12 p ulgad as, ¿ cu á n to s g a lo n e s d e g a so lin a h a y en el tan q u e? Si h = 1 p u lgad a, ¿ cu á n to s g a lo n e s d e g a so lin a h ay en el ta n q u e ?

donde (a ) (b )

a

d e p ro fu n d id a d .

___ _ )

108. P lanos Inclinados L a v e lo c id a d final v d e un o b je to e n p ies so b re se g u n d o (ft/s) d e sp u é s d e resb a la r p o r un p la n o in clin a d o sin fricción d e altura

h p ies

es

v donde

v0es

=

\ / 64h

+

Vq

la v elo c id a d inicial (e n ft/s) d el o b je to .

( a ) ¿C uál es la v elo c id a d final v d e un o b je to q u e resb a la p o r un p la n o in clin a d o sin fricción q u e tien e 4 p ies d e altura? C o n sid era q u e la v e lo c id a d in icial e s 0. ( b ) ¿C uál es la v elo c id a d fin al v d e un o b je to q u e resb a la p o r un p la n o in clin a d o sin fricción q u e tie n e 16 p ies d e altura? C o n sid era q u e la v e lo c id a d in icial e s 0. ( c ) ¿C uál es la v elo cid a d final v d e un o b je to q u e resb a la p o r un p la n o in clin a d o sin fricción q u e tie n e 2 p ies d e altura co n u na v e lo c id a d in icial d e 4 ft/s?

En los problemas 109-112, requerirás de la siguiente información. Periodo de un Péndulo El periodo T, en segundos, de un péndulo de longitud l, en pies, se puede aproximar por la fórmula T = 2n

En los problemas 109-112, expresa tu respuesta en forma de raíz cuadrada y en forma decimal. 109. E n cu en tra e l p erio d o T d e un p é n d u lo cu ya lo n g itu d e s d e 64 p ies. 110. E n cu en tra e l p erio d o T d e un p é n d u lo cu ya lo n g itu d e s d e 16 p ies. 111. E n cu en tra el p erio d o 112. E n cu en tra el p e r io d o

T de T de

un p é n d u lo cu ya lo n g itu d e s d e 8 p ulgad as. un p é n d u lo cu ya lo n g itu d e s d e 4 p u lgad as.

Explicación de conceptos: discusión y escritura. 113. D a un e je m p lo q u e m u e str e q u e

\fcf-

n o e s igu al a

a. Ú s a lo

para ex p lica r p or q u é

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. 9 ;- 9

2. 4; 4

\f¿

= |n|.

K

r

Ecuaciones y desigualdades Contenido 1.1 1 .2 1 .3

1 .4

Ecuaciones lineales Ecuaciones cuadráticas Números complejos; ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos Ecuaciones radicales; ecuaciones de forma cuadrática; ecuaciones factorizables

1 .5 1 .6 1 .7

Solución de desigualdades Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto Resolución de problemas con aplicaciones de: interés, mezcla, movimiento uniforme, trabajo a velocidad constante.

• • •

Repaso del capítulo Evaluación del capítulo Proyectos del capítulo

Financiamiento de una compra C u a n d o h a c e m o s u na co m p ra im p o r ta n te , c o m o un a u to m ó v il o una ca sa , e s co m ú n q u e n e c e s ite m o s fin a n c ia m ie n to p o r m e d io d e un p rés ta m o d e u na in stitu ció n c o m o u n b a n c o . ¿ A lg u n a v e z te has p reg u n ta d o c ó m o d eter m in a el b a n co lo s in te r e se s m e n su a le s a pagar? ¿C u ál e s el in te ré s total d e l p résta m o a pagar? ¿ Q u é p a p e le s ju e g a n la tasa d e in te rés y la d u ración d el p résta m o ? V e e l p r o y e c to d e l ca p ítu lo 1 para In tern et.

— Ver el proyecto I con base en Internet del capítulo—

U n V i s t a z o > En el capítulo 1 titulado, Ecuaciones y desigualdades, se repasan varios temas de álgebra intermedia. No te asustes si tu profesor decide no incluir a los números complejos. Este libro ha sido diseñado para que el tema de números complejos pueda incluirse u omitirse sin que haya confusión más adelante.

82

C A i’ í'i 1)1,0 I

Ecuaciones y devlguald.idc»

1.1 Ecuaciones lineales P

r e p a r a c i ó n p a r a e s t a s e c c ió n

* \ Antes d e empezar, repasa la siguiente:

• Propiedades de los números reales (sección K.l, pp. 9-13) \

• Dominio de una variable ívceeión K 2 p - 1)

Resuelva ahora los problemas de la sección "¿Está» listo?" de la página 90,

OBJETIVOS 1 Resolver una ecuación lineal (p. 84) 2 Resolver ecuaciones que llevan a ecuaciones lineales (p. 86) 3 Resolver problemas que se pueden modelar con ecuaciones lineales

Una ecuación de una variable es una proposición en la que do* expresiones, en la* que al menos una conliene la variable, son iguales. A las expresiones *c les conoce como los lados de una ecuación. Como una ecuación c* una proposición, puede ver verdadera o falsa, dependiendo del valor de la variable. A no ver que se restringa de otra manera, los valores admisibles de la variable son aquellos en el dominio de la variable. Estos valores admisibles de la variable, si los hay. que resultan en una proposición verdadera se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Resolver una ecuación significa encontrar todas las soluciones de la ecuación. Por ejemplo, (odas las siguientes son ecuaciones de una sanable, x: x + 5 = 9

x2 + 5x = 2x - 2

--------■ 0 x + 1

x /r 2 + 9 * 5 v

La primera de estas proposiciones, x + 5 = 9, es verdadera cuando x = 4 y falsa para cualquier otro valor de x. Esto quiere decir que 4 es solución de la ecuación .v + 5 = 9. También decimos que 4 satisface la ecuación x + 5 “ 9. ya que cuando sustituimos 4 por x. obtenemos una proposición verdadera. En ocasiones una ecuación tendrá más de una solución. Por ejemplo, la ecuación

tiene .v = -2 y .v = 2 como soluciones. Generalmente escribiremos la solución de una ecuación en notación de conjun tos. A este conjunto se le conoce como conjunto solución de la ecuación. Por ejem plo. el conjunto solución de la ecuación jr - 9 = 0 es (- 3 . 3|. Algunas ecuaciones no tienen solución real. Por ejemplo, r + 9 = 5 no tiene so lución real, ya que no existe un número real cuyo cuadrado al sumarle 9 sea igual a 5. Una ecuación que se satisface para cada valor de la variable para la cual los dos lados están definidos se conoce como identidad. Por ejemplo, la ecuación 3.v + 5 = x + 3 + 2x + 2 es una identidad porque la proposición es verdadera para lodo número real x. Un método para resolver una ecuación es reemplazar la ecuación original por una sucesión de ecuaciones equivalentes hasta que se obtiene una ecuación para la cual la solución sea obvia. Por ejemplo, todas las ecuaciones siguientes son equivalentes. 2x + 3 = 13 2x = 10 v= 5 Concluimos que el conjunto solución de la ecuación original es |5|. ¿Cómo obtenemos ecuaciones equivalentes? En general, existen cinco formas de hacerlo.

S E C C IÓ N 1.1

Ecuaciones lineales

83

>*v

Procedim ientos para obtener ecuaciones equivalentes 1. Intercambia los dos lados de la ecuación: Sustituye

3=x

por x = 3

2. Simplifica los lados de la ecuación combinando términos semejantes, elimi nando paréntesis, etc.: Sustituye por

(x + 2) + 6 = 2x + (x + 1) x + 8 = 3x + 1

3. Suma o resta la misma expresión en ambos lados de la ecuación: Sustituye por

3x - 5 = 4 (3* - 5) + 5 = 4 + 5

4. Multiplica o divide ambos lados de la ecuación por la misma expresión dife rente de cero: 3x x - 1

Sustituye

x —1

x * 1

3x 6 (x - 1) ■ ( * ! ) = x - 1 x - 1

por

5. Si un lado de la ecuación es 0 y el otro lado puede ser factorizado, podemos usar la propiedad de producto cero* e igualar cada factor a 0: ADVERTENCIA Elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación no ne cesariamente lleva a una ecuación equivalente. ■

Sustituye

x(x —3) = 0

por

x= 0 o x- 3=0

Cuando te sea posible resolver una ecuación mentalmente, hazlo. Por ejemplo, La solución de 2x = 8 es x = 4. La solución de 3x — 15 = 0 es x = 5.


el

p r o b l e m a

9

Solución de una ecuación Resuelve la ecuación 3x - 5 = 4

Solución

Sustituye la ecuación original por una sucesión de ecuaciones equivalentes. 3x — 5 = 4 (3x — 5) + 5 = 4 + 5

Suma 5 a ambos lados.

3x = 9

Simplifica.

3x 3

= —

Divide ambos lados entre 3.

—3

Simplifica.

—

X

9 3

La última ecuación, x = 3, tiene como solución única el número 3. Todas estas ecua ciones son equivalentes, así que el 3 es la única solución de la ecuación original, 3x - 5 = 4. *La propiedad del producto cero establece que si a b = 0, entonces a = 0 o b = 0, o ambas iguales a 0.

84

C A P ÍT U L O 1


y Verifica: E s

una buena costumbre comprobar la solución sustituyendo 3 por x en la

ecuación original.

3jc - 5 = 4 3(3) — 5 - 4

9 —5 —4 4=4 La solución es correcta. El conjunto solución es {3}.

tT==2==:_-Resuelve ahora

el

23

p r o b l e m a

Pasos para resolver ecuaciones Haz una lista de cualquier restricción sobre el dominio de la variable. Simplifica la ecuación sustituyendo la ecuación original por una suce sión de ecuaciones equivalentes siguiendo los procedimientos que se vieron anteriormente. Paso 3: Si el resultado del paso 2 es un producto de factores igual a 0, usa la propiedad del producto cero e iguala cada factor a 0 (procedimien to 5). Paso 4: Verifica tu solución o soluciones. , Paso 1: Paso 2:

1 Solución de ecuaciones lineales Las ecuaciones lineales son ecuaciones como 3* + 12 = 0 D EFIN ICIÓ N

-2jc + 5 = 0

i,- V 3 = 0

Una ecuación lineal de una variable es equivalente a una ecuación de la forma ax + b = 0 donde a y b son números reales y a

0.

J

En ocasiones, se le llama ecuación de primer grado a una ecuación lineal debido a que el lado izquierdo es un polinomio en x de grado 1. Es relativamente sencillo resolver una ecuación lineal. La idea es despejar la variable: ax + b

0

a ^ 0

ax

—b

Resta b a ambos lados.

x

----

-b a

Divide ambos lados entre a, a # O.

La ecuación lineal ax + b = 0, a ^ 0, tiene la solución única dada por la fórmula b x = — . a

EJEM PLO 2

Solución de una ecuación lineal Resuelve la ecuación:

j ( * + 5)

4 = i(2.v - 1)

SECCIÓN 1.1 Ecuaciones lineales

Solución

85

Para eliminar las fracciones de la ecuación, multiplica ambos lados por 6, el cual es el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones - y Í(X + 5) - 4 = 1 (2 * - 1) 1 (* + 5) - 4 = 6

(2.r-l)

Multiplica ambos lados por 6 , el MCM de 2 y 3. Usa la propiedad distributiva en el lado izquierdo y la propiedad asociativa en el derecho.

3(.c + 5) - 6 -4 = 2(2 jc - 1) 3.t + 15 - 24 = 4.r - 2

Usa la propiedad distributiva.

3.t - 9 = 4x - 2

Combina términos semejantes.

3x- 9 + 9 = 4*- 2 + 9

Suma 9 a cada lado.

3.v = 4* + 7

Simplifica.

3.r —4.V = 4* + 7 —4*

Resta 4x de cada lado.

-* = 7

Simplifica.

x = -7 /

Verifica:

Multiplica ambos lados por —1.

h x + 5) - 4 = l ( - 7 + 5) - 4 = i ( - 2 ) - 4 = - 1 - 4 = - 5 1 (2* - 1) = l [ 2 ( - 7 ) - 1] = 1 ( —14 - 1) = " ( - 1 5 ) = - 5

Como las dos expresiones son iguales, la solución x = - 7 es correcta y el conjunto solución es {-7}. | Resuelve ahora el

p r o b l e m a

33

Solución de una ecuación lineal usando calculadora

EJEM PLO 3

Resuelve la ecuación:

2.78-t +

17.931

= 54.06

Redondea la respuesta a dos lugares decimales.

Solución

Para evitar errores de redondeo, despeja x antes de usar la calculadora. 2.78jc +

2 = 54.06 17.931 2.78x = 54.06

17.931 2' 17.931 2.78

Resta

17.931

■a ambos lados.

54.06 X =

Divide ambos lados entre 2.70.

Ahora usa tu calculadora. La solución redondeada a dos lugares decimales es 19.41. S Verifica: Guarda la solución sin redondear 19.40592134 en la memoria y procede a

evaluar 2.78jc +

2 17.931 '

(2.78) (19.40592134) +

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

17.931 65

= 54.06

86

CAPÍTULO I

Ecuación« y d«lgufll
2 Resolver ecuaciones que llevan a ecuaciones lineales Solución de una ecuación que lleva a una ecuación lineaJ

EJEM PLO 4


Solución

(2y + l)(y - I) - (y + 5)(2y - 5)

(2y + I)(y - 1) - ( y + 5)(2y - 5) 2.V2 —y — I ■ 2y2 + 5y - 25 - y - 1 ■ 5y - 25 - y m 5y - 24

P g * ’.0

Suma 1a ',»4» lado

-6 y = -24

P e n i» ZfJ tic '.» A * » 4 0

0*a4c

y = 4 y

2y / 4c '.» 4 0 *4fj

<<"/« -6'.

Verifica: (2y + l)(y - I) - [2(4) + 1](4 - 1) - (8 + 1)(3) - (9){3) - 27 (y + 5)(2y - 5) - (4 + 5)[2(4) - 5] - (9)(8 - 5) - (9/(3) - 27 Como las dos expresiones son equivalentes, la solución y ■ 4 c* correcta. El conjunto solución es |4j.

EJEM PLO 5

Solución de una ecuación que lleva a una ecuación lineaJ Resuelve la ecuación:

Solución

x - 2 ( x - 1)4*— Tf-

^ J

= — í— + --------- - ---------

—

.r - 2

x - I

(x - I)(x - 2)

Primero observa que el dominio de la variable es |x | x * 1.x * 2}. Elimina las frac ciones de la ecuación multiplicando ambos lados por el MCM de los denominadores de las tres fracciones, (.r - 1)(.r - 2).

x - 1

(x - 1)(x - 2)

= (x ~ l)(x - 2)

3x - 3 = 4x— tT(x - 2)

I x - 1 1

» *"-*►:-* lado* zxr (» - 1)(* - 2) Canea*« m d ju : aquenta

(x - l)(x - 2)

+ 4*— rrt*—

. ’J&a la propedad J*9trtoJUtrs

V -

c* cjum »4T. zjtrurs m d tado áencho,

3x - 3 = (x - 2) + 7

Comtvj ténrwio*

3x - 3 = x + 5

E -ry 3 a cada ax*

2x = 8

•a

x = 4 y

D M de

z*x» a j c .

r^’.rr 2.

Verifica: —:1 . - — — = 1 x - 2 4 -2 2

x -1

(x - l)(x - 2)

4-1

(4 — 1)(4 - 2)

1 7 2 7 9 3 3 ~ 3*2 - 6 * b _ n _ 2

( orno las dos expresiones son equivalentes, la solución x = 4 es correcta. El conjunto solución es (4). R e su e lv e a h o r a

n

probkm a

59

[ EJEM PLO 6 ] Una ecuación sin solución Resuelve la ecuación:

" + 2 = —— x - I

S E C C IÓ N

P-

Solución

1.1

Ecuaciones lineales

87

Primero observa que el dominio de la variable es {.v |.v ^ 1). Como los dos cocientes en la ecuación tienen el mismo denominador, x - 1, podemos simplificar multiplicando ambos lados por.v - l. La ecuación obtenida es equivalente a la ecuación original, ya que estamos multiplicando por.v - 1, que es diferente de 0. (Recuerda,* ± 1). 3.v

. + 2=

1

3 •V -

1

3 ■4*— V 1) =

3

Usa la propiedad distributiva en el lado izquierdo, cancela en el lado Izquierdo.

2 .v -

2 =

3

Simplifica.

5 .v -

2 =

3


5.v =

5

Suma 2 a cada lado.

3.v '4 * —

17 +

2 • (.v -

3 .v +

Multiplica ambos lados por x - 1; cancela del lado derecho.

*

= 1


La solución parece ser 1. Pero recuerda que * = 1 no pertenece al dominio de la va riable. La ecuación no tiene solución.


el

p r o b l e m a

49

Conversión de Celsius a Fahrenheit En los Estados Unidos la temperatura se mide en grados Fahrenheit (°F) y en grados Celsius (°C), los cuales están relacionados por la fórmula C = ~ (F - 32). ¿Cuáles son las temperaturas en grados Fahrenheit correspondientes a las temperaturas en grados Celsius de 0o, 10°, 20°, and 30°C?

Solución

Podríamos resolver cuatro ecuaciones para F sustituyendo C por 0, 10, 20 y 30, para cada caso. Sin embargo, es más sencillo y rápido despejar F de la ecuación C = ~ (F - 32) y luego sustituir los valores de C. C = g (F — 32) 9C = 5(F - 32)

Multiplica ambos lados por 9.

9C = 5F - 160

Usa la propiedad distributiva.

5F - 160 = 9C

Intercambia los lados.

5F = 9C + 160 F = j C + 32

Suma 160 a cada lado. Divide ambos lados entre 5.

Ahora realiza la aritmética necesaria.

NOTA El ¡cono Q es un icono de (Modélalo!. Indica que el problema o discusión involucra modelado. ■

0°C:

F = ¡ ( 0 ) + 32 = 32°F

10°C:

F = |( 1 0 ) + 32 = 50°F

20°C:

F = |( 2 0 ) + 32 = 68°F

30°C:

F = |( 3 0 ) + 32 = 86°F

3 Resolución de problemas que pueden ser modelados con ecuaciones lineales Aunque cada situación tiene características únicas, podemos proporcionar una serie de pasos a seguir para resolver problemas aplicados.

88

C A P ÍT U L O 1


Pasos para resolver problem as aplicados Paso 1:

NOTA E s una buena práctica e s coger una variable que te recuerde lo desconocido. Por ejemplo, usa t para el tiempo. ■

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4: Paso 5:

EJEM PLO 8

Lee el problema cuidadosamente, tal vez dos o tres veces. Pon aten ción a la pregunta que se hace para identificar qué es lo que estás bus cando. Si puedes, determina posibilidades realistas para la respuesta. Asigna una letra (variable) para representar lo que estás buscando y, si es necesario, expresa cualquier cantidad restante desconocida en términos de esta variable. Haz una lista de todos los hechos conocidos y tradúcelos a expresiones matemáticas. Éstos pueden tomar la forma de una ecuación (o, más tarde, de una desigualdad) que incluya a la variable. La ecuación (o desigualdad) se conoce como m odelo. Si es posible, dibuja un diagra ma con las etiquetas adecuadas para ayudarte. En ocasiones una tabla o gráfica son útiles. Resuelve la ecuación para la variable y después contesta la pregunta, generalmente usando una oración completa. Verifica la respuesta con los hechos del problema. Si concuerda, ¡feli cidades! Si no, inténtalo otra vez.

Inversiones

Solución paso a paso

Se invierte un total de $18,000, una parte en acciones y otra parte en bonos. Si la can tidad invertida en bonos es la mitad de la invertida en acciones, ¿cuánto se invirtió en cada categoría?

Paso 1: Determina qué es lo que estás buscando.

Se nos pide encontrar la cantidad de dos inversiones. Estas cantidades deben dar un total de $18,000. (¿Entiendes por qué?).

Paso 2: Asigna una variable para representar lo que buscas. Si es necesario, expresa cualquier cantidad restante desconocida en términos de esta variable.

Si x es igual a la cantidad invertida en acciones, el resto del dinero, 18,000 cantidad invertida en bonos.

Paso 3: Traduce las proposi ciones a leguaje matemático. Puede ser útil dibujar una figura que represente la situación. En ocaciones, se puede usar una tabla para organizar la Información. Utiliza la información para construir tu modelo.

Elabora una tabla:

Paso 4: Resuelve la ecuación y contesta la pregunta original.

Cantidad en acciones

Cantidad en bonos

Razón

x

18,000 - x

El total invertido es $18,000

También sabemos que: La cantidad total invertida en bonos 18,000 -

es

es la

la mitad de la invertida en acciones.

=

jc

jc,

- ( jc)

2v '

18,000 - ;t 18,000

Suma x a ambos lados.

18,000

Simplifica.

(f)l8,000

Multiplica ambos lados por

12,000

2 3‘

Simplifica.

Así que, se invirtieron $12,000 en acciones y $18,000 - $12,000 = $6000 se invirtieron en bonos. Paso 5: Comprueba tu respuesta con los hechos presentados en el problema.

El total invertido fue de $12,000 + $6000 = $18,000 y los $6000 invertidos en bonos, son la mitad de lo invertido en acciones, es decir, $12,000. |

*^3====^ResUelve ahora

el

p r o b l e m a

8 3

t S E C C IÓ N L 1

EJEM PLO 9

Ecuaciones lineales

89

Determinación del salario por hora Shannon ganó $435 en una semana trabajando 52 horas. Su jefe le paga salario y medio por cada hora extra que trabaje después de 40 horas. Con esta información, ¿puedes determinar cuánto gana Shannon por hora normalmente?

Solución

P aso 1:

Estamos buscando el salario por hora. Nuestra respuesta estará expresada en dólares por hora.

Paso 2:

Sea x el pago normal por hora, x se mide en dólares por hora.

P aso 3:

Elabora una tabla: Horas trabajadas

P aso 4:

Salario por hora

Salario

Normal

40

X

40x

Horas extra

12

1.5x

12(1.5x) = 18x

La suma del salario normal más las horas extra es igual a $435. De la tabla, 40* + 18* = 435. 40x + 18* = 435 58* = 435 * - 7.50 El salario normal de Shannon es de $7.50 por hora.

P aso 5:

Cuarenta horas dan un salario de 40(7.50) = $300 y 12 horas extra dan un salario de 12(1.5)(7.50) = $135, lo cual, da un total de $435. Resuelve ahora

RESUMEN

el

p r o b l e m a

85

Pasos para resolver una ecuación lineal

Para resolver una ecuación lineal, sigue los siguientes pasos: Paso 1:

Haz una lista de cualquier restricción sobre la variable.

Paso 2:

Si es necesario, elimina las fracciones de la ecuación multiplicando ambos lados por el mínimo común múl tiplo (MCM) de los denominadores de todas las fracciones.

Paso 3:

Elimina los paréntesis y simplifica.

Paso 4:

Agrupa todos los términos que contienen a la variable en un lado y los restantes en el otro.

Paso 5:

Simplifica y resuelve.

Paso 6:

Verifica tu solución o soluciones.

...... ................

.........-

Comentario histórico a resolución de ecuaciones se encuentra entre las actividades

La solución a este problema usando solo palabras es la forma

matemáticas más antiguas y los esfuerzos para sistematizar

más antigua del álgebra. Problemas de este tipo se resolvían exac

esta actividad determinaron en gran medida la forma de las

tamente de esta forma en Babilonia en 1800 a.C. No sabemos casi

L

matemáticas modernas. Considera el siguiente problema y su solución usando solo pala

nada de las matemáticas de antes de esta fecha, aunque muchos

bras: resuelve el problema de cuántas manzanas tiene Jim si:

expertos creen que la sofisticación de los textos más antiguos co nocidos indican que existió un largo periodo de desarrollo anterior.

"Las cinco manzanas de Bob y las de Jim suman doce" pensando,

años y, aunque ahora suena extremadamente tedioso, fue utilizado de forma eficaz por muchas generaciones de matemáticos. Los ára

El método de escribir ecuaciones con palabras se usó por miles de

"Las manzanas de Jim son doce menos las cinco de Bob" y des

bes desarrollaron gran parte de la teoría de las ecuaciones cúbicas,

pués concluyendo,

escribiendo ecuaciones en palabras. Alrededor de 1500 d.C., la ten dencia para abreviar palabras en las ecuaciones escritas empezó a

"Jim tiene siete manzanas".

aproximarse a la notación moderna, por ejemplo, la palabra en latín Estos pasos mentales se traducen al álgebra como: 5 + x = 12 x = 12 - 5 = 7

et (que significa y) se convirtió en el signo más, + . Aunque el uso ocasional de letras para representar variables se remonta a 1200 d.C., la práctica no se generalizó hasta alrededor de 1600 d.C. El desarro llo después de eso fue rápido y para 1635, la notación algebraica no difería mucho de la que usamos hoy en día.

90

iU LO

ca pí

1 Ecuaciones y desigualdades

1.1 Evalúa tu entendim iento "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercidos. Si obtienes una respuesta incorrecta. lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1.

El h ech o d e q u e

2(x + 3) = 2x + 6 se

3,

d eh e a la p ro p ied a d

£| d o m in io

expresión —£— e%

d e la v ariab le e n la

x - 4

______________________ (pp. 9 - H ) 2.

El h ech o de q u e 3* = 0 im plica q u e

x=

0 e s un resu lta d o

---------------------------- —

>(p.2l)

Verdadero o fa ls o

L a so lu c ió n d e la e c u a c ió n 3x - 8 * 0

de la p r o p ie d a d _____________________. (pp. 9 -1 3 )

Conceptos y vocabulario 4. Verdadero o falso

7.

M ultip licar a m b o s la d o s d e una e c u a

3 CS 8 ’

ción p or cu alq u ier n ú m ero da una ec u a c ió n eq u iv a len te. 5.

U n a ecu a ció n q u e se sa tisfa ce para cu a lq u ier valor de la variable para la que lo s d o s la d o s está n d e fin id o s se llam a

8. Verdadero o fa ls o

E x iste n e c u a c io n e s q u e n o tie n e n s o

lu ción .

6.

U na ecu a ció n de la form a

ax

+

b

*= 0 se llam a ec u a c ió n

o e c u a c ió n ______________

______________.

Ejercicios En los problemas 9-16, resuelve mentalmente cada ecuación.

\

9. 7x = 21 13.

2.v - 3 = 0

10. 6* = -24

11. 3a + 15 = 0

12. 6x + 18 = 0

14. 3x + 4 = 0

ic 15. -1a = -5

2 9 16. —j = —

3

En los problemas 17-64, resuelve cada ecuación. 17. 3a + 4 = a 18. 2a + 9 = 5a

20. 5y

-18

=

y

-

21. 6 -

a

19. 2r - 6 - 3 - f

= 2a + 9

22. 3 - 2x = 2 - x

23. 3 + 2n = 4n + 7

24. 6 - 2mi = 3m + 1

25.

26. 3(2 -

27. 8a - (3a + 2) = 3a - 10

28. 7 - (2 x -

a)

= 2a - 1

29. \ x + 2 = ^ - \ x 2

2

2 (3 + 2 a ) = 3 ( a - 4 )

31. |

2

2

V „

32. 1 - | a = 6

2

1

1

„

\ 3 J . jj> - j / . + 5

- 5 =

a

1) = 10

4

1 1 2 _ 5 '*

4 5

35. 0.9/ = 0.4 + 0.!/

36. 0.9/ = 1 + /

37.

38.

39. - + - = 3 y y

4 5 40. - - 5 = —

42. - - - = -

43. ( a + 7)( a - 1) = ( a + 1):

45. a(2a - 3) = (2a + 1)(a - 4)

46. x ( l + 2 * ) = (2 a -

+ 16 = 3a

„ 1 41. 2

2 +-

3 =4

a

z{z2 +

3

1) =

+

3

a

44. ( a + 2)(a - 3) = ( a + 3)2 z*

+

v

6

\

49.

a

56.

x

A +

A

3

+ 2

2

+ 4

3

a

a*

54.

+ 6

2 a-

ei 31*

1

53.

3

_ 2

-6

=

2v A +

1

50.

57.

- 4

3a

4

3

.r - 4

A + 2

_ *1 “

52.

55.

A -

1

6/

+

7

3/

4/ -

1

2/ - 4

+

8 58.

= .

2v

r

8 - \s

48. »■(4 - i r ) =

A

k

\

6

+

2

~2

+3=

1 )(a - 2)

1 - 2

a

A* - 9

A+ 3

5 = 2x - 3

a

+

5

8»*- + 5 4»*- —3 10» - 7 “ 5» + 7

.r

- 9

S E C C IÓ N 1.1

>

y \

\

-3

7

x + 5 * (x +■ 5 )(.t - 2) 4 -3 + •>- - t " s - -

6i

60.

-4

1

X

63.

x2 -

1

1

r

2.» + 3 * . » -

.» + 3 9

V -

-3

X

X2

5 3 _ + y + 3 v - 4 " y + 6 .r + 1

64.

+ x

91

2

61.

(2,t + 3 )(.t - 1)

Ecuación« lineales

x2 + 2x

.t + 4

-3

.r + ,r

.r + 3 . 1 + 2

En ¡m problemas 65-Ó& uto unii calculadora parti resolver cada ecuación. Redondea la solución a dos lugares decimales.

1*U

21.3 65. 3.2.» +

66 . 6.2.» - —

1*4.23

65.871

18

67. 14.72 - 21.58.1

! 2.11

- 0.195

21.2

14

2.6

2.32

68 . 18.63.» — —— = ——

.» + 2.4

- 20

A p li c a c io n e s y e x t e n s io n e s En los problem as 69-74. resuelve cada ecuación. Las letras a, b, y c son constantes. 69. ax - b =

71 -

+ -

X

X

75.

c.

u * 0

■ c.

70. 1 - ax = b.

_

I

.

71. -

a * 0

a

2

1

E n cu en tra e l n ú m er o a para e l q u e .» = 4 e s so lu c ió n d e la ec u a c ió n

^6.

b

c, a * 0, b * 0. a * - b

b + c

b - c

x + a

x - a

74. ---------= ---------- ,

73. ---------+ ---------- = --------- x - a x + a x - 1

c * 0

+ 7 =

c * 0, a * 0

E n cu en tra e l n ú m er o b para el q u e x - 2 e s so lu c ió n d e la e c u a c ió n

x

+

2a

= 16 +

ax - ba

x

+ 26 =

x

- 4 + 2 bx

Los problem as 77-82 incluyen algunas fórm ulas ipie aparecen en las aplicaciones. Resuelve cada fórm ula para la variable indicada.

88. C álculo de calificaciones TI. Electricidad

para R

— = — + — A /\| A2

El e x a m e n final co n ta rá c o m o

d o s ter cio s d e la ca lifica c ió n final. M ik e tie n e c a lifica c io n e s d e 8 6 , 8 0 ,8 4 y 90. ¿ Q u é ca lifica c ió n n ece sita o b te n e r M ike

78.

Finanzas

.................

79. M ecánica

A

=

P( 1

+

rt)

r

para

en e l e x a m e n final para o b te n e r una B, la cu a l, eq u iv a le a una ca lifica c ió n p r o m e d io d e 80? ¿ Q u é ca lifica ció n n e c e si

mr

t = —

para R

ta para o b te n e r una A , la cu a l, eq u iv a le a una califica ció n d e 90?

80. 81. 81

Q uím ica

M atem áticas M ecánica

83. Finanzas

84.

PV = n R T

v =

para T

89. N egocios: precio de d escuento

a

5 = --------

1 - r

-g t

para

+ v 0 para

r

U n co n stru cto r d e casas

red u ce el p rec io d e un m o d e lo en 15% . Si el n u e v o p recio e s d e $ 4 2 5 ,0 0 0 , ¿cuál era el p rec io orig in a l? ¿ C u á n to se p u e d e ahorrar si se co m p ra e l m o d e lo ?

t

S e va a invertir un to ta l d e $ 2 0 ,0 0 0 , una parte

90. N egocios: precio de d escuento

U n v e n d e d o r d e a u to s,

en b o n o s y otra parte en ce r tific a d o s d e d e p ó s ito (C D ). Si

en una o fer ta d e fin d e a ñ o , rebaja el p rec io d e lista d e

la ca n tid a d in vertid a en b o n o s e x c e d e a la in v ertid a e n C D p or $3000, ¿ cu á n to sera in v er tid o en ca d a tip o d e in v er

los m o d e lo s d el a ñ o p a sa d o un 15% . Si un cier to m o d e lo d e cu a tro p u erta s tie n e un p rec io de d e sc u e n to d e $8000,

sió n ?

¿cu ál era el p recio d e lista? ¿ C u á n to se p odría ahorrar

Finanzas

S ea n y G e o r g e se van a d ivid ir un total d e

$10,0 0 0 en tre lo s d o s, G e o r g e recibirá $ 3 0 0 0 m e n o s q u e S ean . ¿ C u á n to recibirá cad a uno? \ . 85. C álculo de salarios por hora

S andra, a q u ien se le p aga

un salario y m ed io por h oras ex tra s q u e trabaje d e sp u é s d e 4 0 h oras, g a n ó un salario se m a n a l d e $442 p or trabajar 48 h oras. ¿C uál es su sa lario regular por h ora?

86. C álculo de salarios por hora

A L eigh se le paga un sa

lario y m e d io p or h oras ex tra s q u e trabaje d e sp u é s d e 40 h oras y d o s v e c e s el sa la rio n orm al p or horas q u e trabaje en d o m in g o . Si L eigh g a n ó un sa la rio sem a n a l d e $456 por trabajar 50 h oras, 4 d e las c u a le s fu ero n en d o m in g o , ¿cuál e s su sa lario regular por hora? 8 7 . C álculo de calificaciones El e x a m e n final con tará c o m o d o s e x á m e n e s. B r o o k e tie n e c a lific a c io n e s d e 80, 83, 71, 61 y 95. ¿ Q u é califica c ió n n ece sita o b te n e r B r o o k e e n el ex a m e n final para o b te n e r un p r o m e d io de 80?

co m p ra n d o el m o d e lo d el a ñ o an terior?

91. N egocios: aum ento al precio de libros

U n a librería d e la

u n iversid ad su b e el p recio q u e p aga p or lo s lib ros a una ed ito ria l en un 35% . Si el p rec io d e v en ta de un lib ro e s de $ 92.00, ¿ cu á n to p a g ó la librería p or el libro?

92 92.

C A P ÍT U L O 1


F in anzas p erson ales: c o s to d e un a u to

9 7 . C o m p a r tie n d o e l c o s to d e u na p izza

El p recio d e lista

Ju dy y T o m a c u e r

dan co m p a rtir el c o s to d e una p iza d e $ 1 8 , b a sá n d o se en

su gerid o d e un au to n u e v o e s de $18,000. El c o s to para el

2

d istribuidor es el 85% d el p recio d e lista. ¿ C u á n to p agarías

cu á n to c o m e cad a u n o. Si T o m c o m e - d e la ca n tid a d q u e

si el v en d ed o r está d isp u esto a acep tar $100 por en cim a del co s to del au to?

c o m e Ju dy, ¿ cu á n to d e b e p agar cad a u n o?

93. N egocios: asistencia al teatro

El g eren te del T e a tr o C o [S u g eren cia : p u e d e sob rar p izzaj.

ral q uiere saber si la m ayoría de sus clien tes son ad u lto s o niños. U n día en ju lio, se v en d ieron 5200 b o leto s y el total recau dad o fue d e $29,961. El b o le to d e ad m isión d e ad ulto

Porción de Tom

cu esta $7.50 y el de n iñ o $4.50. ¿C u án tos ad u ltos asistieron ? 94. N eg o c io s: p recio s d e d e sc u e n to

U n traje de lana co n d e s

cu en to d el 30% por v en ta d e liq u id ación tie n e un p recio de $399. ¿C uál era el p recio original d el traje? 95. G e o m e tr ía

El p erím etro d e un rectá n g u lo e s d e 60 p ies.

E n cu en tra el largo y el a n ch o si el largo e s 8 p ie s m ás q u e el ancho. 96. G e o m e tr ía

E l p erím etro d e un rectá n g u lo e s d e 42 m e

tros. E n cu en tra el largo y el a n ch o si el largo e s d o s v e c e s

Porción de Judy

su ancho.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 98. ¿C uál es el error?

99.

U n p a so en la sig u ie n te lista c o n tie n e

La ec u a c ió n

un error. Id en tifíc a lo y ex p lica q u é e s lo q u e está in co rrec * II

to

to.

3x - 2 x = 3x = x2 + 3x = x2 + 3x - 10 = ( * - 2){x + 5 ) = x+ 5 = 1=

2 2x + 2 x2 + 2x + 2 x2 + 2x - 8 {x - 2){x + x+ 4 0

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

4)

n o tie n e so lu c ió n , p e r o al r e so lv e r la , o b te n e m o s q u e x = - 3 . E scrib e un b rev e p árrafo d o n d e e x p liq u e s q u é o ca sio n a q u e e s to p ase. 100. In v en ta u na e c u a c ió n q u e n o ten g a so lu c ió n y d á sela a un c o m p a ñ e r o para q u e la re su elv a . P id e a tu co m p a ñ e r o q u e escrib a c o m e n ta r io s d e tu e c u a c ió n .

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. D istrib u tiva

2. P ro d u cto c e r o

3.

| x | j: ^ 4 )

1.2 Ecuaciones cuadráticas P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s e c c ió n


• Factorización de polinomios (sección R.5, pp. 49-55)

• Raíces cuadradas (sección R.2. pp. 2 3 -2 4 )

• Propiedad de producto cero (sección R.l,p. 13)

• Completar el cuadrado (sección R.5. p. 56)

\

Resuelve ahora los problemas de la sección " ¿ E s tá s

listo ?"

de la página 101.

OBJETIVOS 1 Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización (p. 93) 2 Resolver ecuaciones cuadráticas completando cuadrados (p. 95)

3 Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática (p. 96) 4 Resolver problemas que se pueden modelar con ecuaciones cuadráticas

(p. 99)

L as

ecuaciones cuadráticas

so n e c u a c io n e s co m o :

2.v2

+

x

+ 8 = 0

3.\~ — 5.v + 6 = 0

.V2 — 9 = 0

S E C C IÓ N 1.2

D EFIN ICIO N


93

Una ecuación cuadrática es una ecuación equivalente a una de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números reales y a

0.

(1 )

J

Cuando una ecuación cuadrática está escrita de la forma ax2 + bx + c - 0 se dice que está en su forma estándar. A veces, una ecuación cuadrática se llama ecuación de segundo grado, ya que el lado izquierdo es un polinomio de grado 2. Discutiremos tres formas de resolver ecuaciones cuadráticas: por factorización, completando cuadrados y usando la fór mula cuadrática.

1 Solución de una ecuación cuadrática por factorización Cuando una ecuación cuadrática está escrita en su forma estándar ax2 + bx + c = 0, es posible factorizar la expresión del lado izquierdo como el producto de dos polino mios de primer grado. Después, usando la propiedad del producto cero e igualando cada factor a 0, podemos resolver las ecuaciones lineales resultantes y obtener la solución de la ecuación cuadrática. EJEM PLO 1

Solución de una ecuación cuadrática por factorización Resuelve la ecuación: (a) x2 + 6x = 0

Solución

(b) 2x2 —x + 3

(a) La ecuación está en la forma estándar especificada en la ecuación (1). El lado izquierdo se puede factorizar como: x2 + 6x = 0 x{x + 6) =

0

Factoriza.

Usando la propiedad del producto cero, iguala cada factor a 0 y después re suelve las ecuaciones de primer grado obtenidas. x = 0

O

X + 6 = 0

X -

O

X

0

Propiedad de producto cero.

= -6

Resuelve.

El conjunto solución es {0, -6}. (b) Escribe la ecuación 2x2 = x + 3 en forma estándar sumando - x - 3 en ambos lados. 2x2 = x + 3 2x2 — x — 3 = 0

Suma —x — 3 en ambos lados.

Ahora podemos factorizar el lado izquierdo como: (2x — 3 ) ( x + 1) = 0

Factoriza.,

de manera que, 2x — 3 = 0 3

x —— 2

O

X

+ 1 = 0 x = —1

Propiedad del producto cero Resuelve.

El conjunto solución es Cuando se factoriza el lado izquierdo de una ecuación como dos ecuaciones li neales con la misma solución, se dice que la ecuación cuadrática tiene soluciones repetidas. A esta solución también se le llama raíz de multiplicidad 2 o raíz doble.

94

C A P ÍT U L O 1 Ecuaciones y desigualdades

EJEMPLO 2

Solución de una ecuación cuadrática por factorizadón Resuelve la ecuación:

Solución

9*2 - 6x + 1 = 0

La ecuación ya está en forma estándar y el lado izquierdo se puede factorizar como: 9x2-f)x + 1 = 0 ( 3 jc -

por lo tanto

1 ) ( 3 jt -

1 X~ 3

°

1) = 0

1 X= 3

1 Esta ecuación solamente tiene la solución repetida - El conjunto solución es

Resuelve ahora

l o s

p r o b l e m a s

ii

y

{i}-

21

El método de la raíz cuadrada Supón que queremos resolver la ecuación cuadrática x2= p

(2)

donde p > 0 es un número no negativo. Procede como en los ejemplos anteriores. X2 — p = 0

Escribe en la forma estándar. Factonza (en los reales).

( * — V p )(* + V p ) = 0

X = Vp

O

X — -V p

Resuelve.

Tenemos el resultado siguiente: Si*2 = p y p > 0, entonces x = V p o jt = - V p .

(3)

El uso de la proposición ( 3 ) se llama método de la raíz cuadrada. Observa que en la proposición ( 3 ) , si p > 0 la ecuación x 2 = p tiene dos soluciones, x = V p y x - —V p . Generalmente abreviamos estas soluciones como x = ± V p . que se lee “x más menos la raíz cuadrada de p ”. Por ejemplo, las dos soluciones de la ecuación 4

Jt2 =

son x y como V

4 =

= ± V4

Usa el método de la raíz cuadrada,

2, tenemos .v = ± 2

El conjunto solución es (-2,2}.

EJEM PLO 3

Solución de una ecuación cuadrática usando el método de la raíz cuadrada Resuelve cada ecuación. (a) x2 = 5

Solución

(b) (,v - 2)2 = 16

(a) Usa el método de la raíz cuadrada para obtener x2 = 5 x = ± \T 5 •Y = V s

Usa el método de La raíz cuadrada.

O JC= - V 5

El conjunto solución es { - V 5, V5}.

SE C C IÓ N 1.2


95

(b) Usa el método de la raíz cuadrada para obtener Á

{x - 2)2 = 16 x - 2

± V Í6

=

Usa el método de la raíz cuadrada.

* - 2 = ±4 x - 2 - A

o

* - 2 = —4

x —6

o

x = —2

El conjunto solución es (-2 , 6).

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

3i

2 Solución de una ecuación cuadrática com pletando cuadrados

EJEM PLO 4

Solución de una ecuación cuadrática completando cuadrados Resuelve completando cuadrados: x 2 + 5x + 4 = 0

Solución

Siempre comienza este procedimiento reordenando la ecuación de modo que la cons tante quede del lado derecho. *2 + 5* + 4 = 0 x 2 + 5jc = - 4 Como el coeficiente de x2 es 1, podemos completar el cuadrado en el lado izquierdo (\ \ 2 25 sumando í —• 5 1 = — . Por supuesto, en una ecuación, lo que se suma del lado iz25 quierdo también se debe sumar del lado derecho. Por lo tanto, suma — en ambos 4 lados. 25 c + — 25 = - 4 + — x 22 + 5x 4 4 x +

5 N2

25

Suma — en ambos lados. 4

9 4

5

Factoriza.

9

x +

2 = ± y

jc +

5 3 - - ±2 2


5 3 x - —— ± — 2 2 5 3 x = —— + - = - 1 2 2

o

5 3 x = - - - - = -4 2 2

El conjunto solución es (-4 , -1}. 'LA

SOLUCIÓN

OBTENER USANDO

A

LA

ECUACIÓN

FACTORIZANDO. ESTA

EN

EL

TRABAJA

EJEMPLO DE

NUEVO

4 EL

TAMBIÉN EJEMPLO

SE

PUEDE

4

TÉCNICA.

El siguiente ejemplo ilustra una ecuación que no puede ser resuelta por factorización.

EJEM PLO 5

Solución de una ecuación cuadrática completando cuadrados Resuelve completando el cuadrado:

Solución

2*2 - &t - 5 = 0

Primero reescribe la ecuación de manera que la constante esté en el lado derecho. 2x2 — 8x - 5 = 0 2x2 —8jc = 5

96


Después, divide ambos lados entre 2 para que el coeficiente de x J sea 1. (Esto nos permite completar el cuadrado en el siguiente paso). 7

5

x 2 - 4x = -

Finalmente completa el cuadrado sumando 4 en ambos lados. x2 - 4 x + 4 = - + 4

—W? jc

- 2 = ±

V 26

x = 2 ±

NOTA SI queremos una aproxi mación de e s ta s soluciones, re dondeada a, digamos, dos luga res decimales, usaríam os una ca l culadora para obtener { - 0 .5 5 ,4 .5 5 } ■

Usa el m étedo de la raíz cuadrada.

fi-

VS

V t3

v /i

N/26

N/Í

V i

\/Í

2

V26

í V 26 V 26l El conjunto solución es j 2 ---- — , 2 + —j — >.

-Resuelve ihort el problema 35

3 Solución de una ecuación cuadrática usando la fórm ula cuadrática Podemos usar el método de completar cuadrados para obtener una fórmula general para resolver cualquier ecuación cuadrática ax2 + b x + c = 0

NOTA No se pierde generalidad si asumimos que a > 0 , ya que si a < 0 , podemos m ultiplicar por —1 para obtener una ecuación equiva lente con un coeficiente principal positivo. ■

a * 0

Al igual que en los ejemplos 4 y 5, reordenamos los términos como ax2 + b x = —c

a > O

Como a > 0, podemos dividir ambos lados entre a para obtener jr

7

b +

-

a

c jc =

—

a

Ahora el coeficiente de .r: es 1. Para completar el cuadrado en el lado izquierdo, suma el cuadrado de ^ del coeficiente de .v, esto es. suma

en ambos lados. Después

Siempre que b 2 — 4ac s 0. podemos usar el método de la raíz cuadrada para obtener

b _ ± \ / I r — 4<íc 2a

2a

La raíz cuadrada He un cederte es dual al cociente de las ra íces cuadrada». Además, \

4 a- = 2j ¡ ya que a > 0 .

S E C C IÓ N 1.2

b

"•V

M

\ J b 2 - Aac

X = — — ± -------r ---------

2a

2a


97

& Su m a----- en ambos lados. 2a

- b ± \ / b 2 - Aac = ----------- --------------

Combina los cocientes en el lado derecho.

2a

¿Qué pasaría si b2 - Aac fuera negativo? Entonces la ecuación (4) establece que la expresión de la izquierda (un número real al cuadrado) es igual a la expresión de la derecha (un número negativo). Como esto es imposible para los números reales, con cluimos que si b2 - Aac < 0, la ecuación cuadrática no tiene solución real. (Discuti remos las ecuaciones cuadráticas para las que la cantidad b2 - 4ac < 0 a detalle en la siguiente sección).

TEOREM A

Fórmula cuadrática Considera la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0

a i 10

Si b2 - Aac < 0, esta ecuación no tiene solución real. Si b2 — Aac > 0, la solución o soluciones de esta ecuación se dan por medio de la fórmula cuadrática:

x =

- b ± \ J b 2 - Aac 2a

(5)

La cantidad b 2 — 4 a c es llamada discriminante de la ecuación cuadrática, ya que su valor nos indica si la ecuación tiene soluciones reales. De hecho, también da infor mación de cuántas soluciones podemos esperar obtener.

D iscrim in an te d e una ecu ación cu ad rática

Para una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0: 1. Si b2 - Aac > 0, existen dos soluciones reales diferentes.

2. Si b2 - Aac = 0, existe una solución repetida, una raíz de multiplicidad 2. 3. Si b2 - 4ac < 0, no existe solución real.

Cuando te pidan encontrar las soluciones reales de una ecuación cuadrática, siempre evalúa primero el discriminante para ver si existen soluciones reales.

EJEM PLO 6

Solución de una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática Usa la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones reales, si las hay, de la ecua ción: 3*2 —5x + 1 = 0

Solución

La ecuación está en la forma estándar, así que la comparamos con ax2 + bx + c — 0 para encontrar a ,b y c . 3x2 — 5a: + 1 - 0 ax2 + bx + c = 0

a = 3, t>= -5 , c = 1

98

C A P ÍT U LÖ 1 Ecuaciones y desigualdades

Con a = 3 , b = - 5 y c = 1, evalúa el discriminante b7 - Aac. b7 - 4uc = í - 5 ) 7 - 4 (3 )0 ) * 2 5 - 1 2 - 1 3 Como b2 - Aac > O, existen dos soluciones reales que pueden obtenerse usando la fórmula cuadrática. x =

- h ± \ / b 2 - 4ac _ - ( - 5 ) í V Í 3 = 5 ± V \ 3 6 2(3) 2a

.

V Ü

f 5 -

5 +

V Í3 \

El conjunto solución es <----- ------ , ------~----- J.

EJEM PLO 7

Solución de una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática Usa la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones reales, si existen, de la ecuación ^■ x 2 - 30x + 18 = 0

Solución

La ecuación está dada en la forma estándar. Sin embargo, para simplificar la aritmé tica, elimina las fracciones. =T*2 -

3 0 * + 18 = 0

2

25JC2 — 60* + 36 = 0

(IX2 + bx + c = Con a = 25, b =

-6 0

yc =

36.

0

Elimina fraccione*, múltiples por Z Compara con la forma eo táM ar.

evalúa el discriminante.

b2 - 4ac = ( - 6 0 ) 2 - 4(25) (36) = 3600 - 3600 = 0 La ecuación tiene soluciones repetidas, las cuales podemos encontrar mediante el uso de la fórmula cuadrática. - b ± \ / b 2 - 4ac _ 60 ± V o

* =

la

~

50

60

6

“ 50 “ 5

El conjunto solución es

EJEM__________ PLO 8

Solución de una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática Usa la fórmula cuadrática para determinar las soluciones reales, si existen, de la ecuación 3.r + 2 = 4*

Solución

La ecuación dada no está en la forma estándar. 3.x- + 2 = 4* 3.V — 4 * + 2 = 0

ax

+

bx

+

c

= 0

E&críhfla en la forma rsíáruar.

Compara con la forma otxérciar.

Con a = 3, b = - 4 y c = 2, tenemos b: ~ 4
b: -

4a c < 0, la ecuación no tiene solución real.

Resuelve ahora

LOS

PROBLEMAS

45

Y

55

I

S E C C IÓ N 1.2

EJEM P LO 9


Solución de una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática Calcula las soluciones reales, si las hay, de la ecuación 9 + — x

Solución

99

—r = 0 , X ^ 0

jr

En su forma actual, la ecuación 3 2 9 + -------- r = 0 no es una ecuación cuadrática. Sin embargo, se puede transformar en una, multipli cando cada lado por jc2. El resultado es 9*2 + 3* - 2 = 0 Aunque multiplicamos cada lado por x 2, sabemos que x 2 i=- 0 (¿entiendes por qué?), así que esta ecuación cuadrática es equivalente a la ecuación original. Con í? = 9, ¿> = 3 y c = —2, el discriminante es b2 - 4ac = 32 - 4(9)(—2) = 9 + 72 = 81 Como b2 - 4ac > 0, la nueva ecuación tiene dos soluciones reales. - b ± \ J b 1 - 4ac X~

2a

-3 + 9 _ 6 * ~ 18 18

- 3 ± V 81 ~

1 3

2(9) °

-3 ± 9 ~

18

= —3 — 9 _ —12 _ X~ 18 ~ 18 ~~

2 3


RESUMEN

Procedimiento para resolver una ecuación cuadrática

Para resolver una ecuación cuadrática, primero escríbela en su forma estándar: ax2 + bx + c = 0 Después: P aso 1 :

Identifica a, b y c.

P aso 2 :

Evalúa el discriminante, b2 - Aac.

P aso 3 :

a) Si el discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución real. b) Si el discriminante es cero, la ecuación tiene una solución real, una raíz repetida. c) Si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

Si puedes ver los factores de forma rápida, usa el método de factorización para resolver la ecuación. De otra ma nera, usa la fórmula cuadrática o el método de completar cuadrados.

4 Resuelva problem as que se pueden m odelar usando ecuaciones cuadráticas Muchos problemas aplicados requieren de la solución de una ecuación cuadrática. Veamos uno que probablemente encuentres nuevamente de forma ligeramente dife rente si estudias cálculo.

[ EJEM PLO 10

Construcción de una caja De cada esquina de una lámina de metal cuadrada, corta un cuadrado de 9 cm de lado. Dobla hacia arriba las orillas para formar una caja abierta. Si se quiere que la caja tenga una capacidad de 144 centímetros cúbicos (cm3), ¿cuáles deben ser las di mensiones de la lámina de metal?

100


C A P ÍT U L O 1

Solución

Usa la Figura 1 como guía. Hemos llamado x al largo del lado del cuadrado de la lámina de metal. La caja tendrá una altura de 9 cm y su base cuadrada medirá x - 18 de cada lado. Por lo tanto, el volumen V (largo X ancho X altura) de la caja es: V = (x - 18)(jc - 18) • 9 = 9(x - 18)2

F ig u ra 1

-xcm ■

h

9cm xcm O r - 18 x - 18 Volumen = 9(x — 18)(x — 18)

V e r if ic a : Si com enzam os con una lám ina de m etal de 22 por 22 centím etros, corta un cuadrado de 9 centímetros cuadrados de cada esquina y dobla las orillas hacia a rri ba, obtenem os una caja cu yas d im en sio n es son 9 por 4 por 4, con un volum en de 9 x 4 x 4 = 144 cm3, como se pedía.

Como el volumen de la caja debe ser de 144 cm3, tenemos 9(x - 18)2 = 144

V - 144

(x - 18)2 = 16

Divide cada lado entre 9.

x - 18 = ±4 x = 18 ± 4 x = 22 o x = 14


Descarta la solución x = 14 (¿entiendes por qué?) y concluye que la lámina de metal debe medir 22 centímetros por 22 centímetros.

Resuelve ahora

el

problema

97

Comentario histórico os problemas que usan ecuaciones cuadráticas se pueden encontrar en la literatura matemática más antigua. Los babi lonios y egipcios ya resolvían tales problemas antes de 1800 a.C. Euclldes resolvía ecuaciones cuadráticas geométricamente en su Data (300 a.C.) y los hindúes y árabes tenían reglas para resolver cualquier ecuación cuadrática con raíces reales. Como los números negativos no se usaban con libertad antes de 1500 d.C., había va-

L

ríos tipos de ecuaciones cuadráticas, cada una con su propia regla. Thomas Harrlot (1560-1621) Introdujo el método de factorlzaclón para obtener soluciones y François Viète (1540-1603) Introdujo un método que consiste esencialmente en completar el cuadrado. Antes de los tiempos modernos, era común Ignorar las raíces ne gativas (si las había) y las ecuaciones con raíces cuadradas de can tidades negativas se consideraron sin solución hasta los años 1500.

Problemas históricos 1. Una de las soluciones de al-Khwárízmí Resuelve x2 + 12x = 85 dibujando el cuadrado que se muestra. El área de los cuatro rectán gulos sin relleno y el cuadrado del centro es x2 + 12x. Ahora Iguala mos esta expresión a 85 para obtener la ecuación x 2 + 12x = 85.

SI sumamos los cuatro cuadrados de las esquinas obtendremos un cuadrado más grande de área conocida. Completa la solución. 2. El método de Viète Resuelve x2 + 12x — 85 = 0 considerando q uex = u + z. Entonces (u + z)2 + 12(u + z) - 85 = 0

1

1

_

_ 3

!3 j

!

X

1 1 1

¡x

Área = x 2

3

x\

1

Área = 3x

3! 1

CO !

-------1 1

X

Ahora selecciona z tal que 2z + 12 = 0 y termina la solución. 3. Otro método para obtener la fórmula cuadrática Observa la ecu ación (4) de la página 96. Reescrlbe el lado derecho como V V - 4oc' ^ y después réstalo a cada lado. El lado derecho 2a

1

1

:3

! 1 1 1

1 1 1

1

u2 + (2z + 12)u + (z2 + 12z - 85) = 0

3! j _____

es ahora 0 y el lado Izquierdo es la diferencia de dos cuadrados. SI factorlzas la diferencia de dos cuadrados, podrás obtener fácil mente la fórmula cuadrática y, además, la expresión cuadrática está factorlzada, lo cual en ocasiones es útil.

S E C C IÓ N 1.2

101


1.2 E v a lú a tu e n te n d im ie n to '¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de los ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas •ntre paréntesis. 1. Factoriza x2 —5x - 6 (pp. 49-55) 2. Factoriza Zt2 - x - 3 (pp. 49-55) 3 . El conjunto solución de la ecuación ( *

-

3)(3* + 5)

= 0

es

y x2 = |*|. (pp. 23-24)

4.

V erdadero o f a ls o

5.

Completa el cuadrado de x2 + 5*. Factoriza la nueva ex presión. (p. 56)

.(p. 13) Conceptos y vo cabulario 6. A la cantidad b2 - 4ac se le conoce como_____________ de una ecuación cuadrática. Si es _____________ , la ecuación no tiene solución real. 7 . V erdadero o f a ls o Las ecuaciones cuadráticas siempre tienen dos soluciones reales.

8. V erdadero o fa ls o Si el discriminante de una ecuación cuadrática es positivo, entonces la ecuación tiene dos soluciones que son negativas una de otra.

Ejercicios En los problemas 9-28, resuelve cada ecuación factorizando. 9. x 2

- 9x = 0

x1 +

=

0

14.

v2 + I v +

6

4*

13.

z2 + z ~

17.

3r2 - 48 = 0

18. l y 2 -

4JC2 + 9 = 12x

22. 2 5 X 2

+ 16 =

6 6x - 5 = —

^

12

V21.

25.

6

=

10.

0

\

11.

=0

x2 - 25 = 0

15. 2 X 2

50 = 0

40*

- 5* - 3

= 0

19.

x(x - 8) + 12 = 0

23.

6(p 2

x

x2 - 9 = 0

16.

3*2 + 5* + 2 = 0 + 4) = 12

20. * ( *

- 1) = 5p

24.

4(* ~ 2 ) 3 = -3 * - 3 + * *(* - 3)

-,

26. * H------= 7

12.

2(2u2 - 4u) + 3 = 0

28. — —— = 4 + * + 4

En los problemas 29-34, resuelve cada ecuación usando el método de la raíz cuadrada. 29.

32.

x2 = 25 (x + 2)2 =

3 0. x 2 = 36

\ 3 1 .

3 3. (2 y + 3 ) 2 = 9

1

(x -

l )2 = 4

34.

(3z ~

37.

x2 - \ x = 2 16

40.

2*2 - 3* - 1 = 0

2 )2

= 4

En los problemas 35-40, resuelve cada ecuación completando el cuadrado. V35. x2 + 4* = 21 38.

x2 + \ x - ^ = 3 3

36. x2 - 6x = 13 ,

0

39. 3 * 2

1 +x - - =0

0

En los problemas 41-64, calcula las soluciones reales, si las hay, de cada ecuación. Usa la fórmula cuadrática. *2 +

4 1.

x2 —4* + 2 = 0

42.

44.

x2 + 6x + 1 = 0

\ ,4 5 .

47.

4/ - y+2=0

48. 4r 2

50.

2X2 = 1 - 2 *

5 1. 4 * 2 = 9 *

53. 9f 2 -

6/ + 1 = 0

4*

+2=

2*2 - 5* + 3 = + t + 1=

43.

0

46. 2*2 + 5 * +

0

3

=

0

49. 4 * 2 = 1 - 2 *

0

54. 4 m2 - 6 u + 9 = 0

*2 —4 * - 1 = 0

52. 5 * = 4*2

v

3 ,1

\ 5 5 . - *

- 4 * - 2

1

„ = °

3

x -2

102

C A P ÍT U L O I

56. -x 2 59.

x -

Ecuaciones y deilgualdades

3=0

+ 2) = 3

2x(x

62. 4 + —----; = 0 x

x¿

5 , 1 57. .-xz - x - -

5*.

60. 3x(x + 2) - 1

61. 4 - -

„ 3x 1 63. ——- + —= 4 x- 2 X

M

1

-

X- 5

X

-2 * -

x- 3

+ ' -4 X

E n los p ro b le m a s 6 5 - 7 0 , encuentra las so lu c io n e s reales d e cada ecuación, s i las hay. U sa la fó r m u la i u a d r á tu a y u n a c a lcu la d o ra E xp resa cu a lq u ier so lu c ió n red o n d ea d a a d o s lunares decim ales.

65. x 1 - 4.lx + 2.2 = 0

66. x2 + 3.9* + 1.8 = 0

67. x2 * \ / } x - 3 - 0

68. x 2 + V 2 x - 2 = 0

69. irx2 - x - ir = 0

70. irte2 + n x - 2 - 0

E n los p ro b le m a s 71 - 76, usa el d isc rim in a n te pa ra d e te rm in a r si u n a ecu a ció n cu a d rá tica tien e dos soluciones reales diferentes, una so lu c ió n real repetida o n in n u n a so lu c ió n real, sin resolver la ecuación.

71.

2.í 2 - 6* + 7 = 0

74. 25x2 - 2()x

72. x 2 + 75. 3 x 2

+ 4=0

7

4x +

+ 5x

= 0

- 8

- 0

30x

73. Ox2

-

76. 2r

- 3x

+ 25 = 0

-

7 = 0

Práctica mixta

£>i /o.vp ro b le m a s

7 7 -0 0 , d e te rm in a las s o lu c io n e s reales, si las h a y, d e cada ecuación. U sa c u a lq u ie r m é to d o .

77. x2 - 5 = 0

78.

=0

79. 16x*’ - 8 i + 1 = 0

80. 9.v2 - 12jc + 4 = 0

81. lOx2 - 19x - 15 = 0

82. 6 x* + 7x - 20 = 0

83. 2 +

84. 2 = y + óy2

85. x* + V2x = -

87. x2 + x = 4

88. x2 + x = 1

86.

z = 6 z2

^-.v2 = VÍ2 x + .v

1

2

89. -----r + x - 2 .v +

x2

-

6

3x 90. ------ +

7.v + 1

1

.v2 -

x

-

2

1

x-

1

4 - 7x x* + x -

2

A plicaciones y extensiones

91. Teorema

de

Pitágoras

¿ C u á n to s tr iá n g u lo s r e c tá n g u lo s

tie n e n una h ip o te n u s a q u e m id e 2v +

3 m e tr o s

y c a te to s

q u e m id en 2v - 5 m e tr o s y x + 7 m e tr o s? ¿ C u á le s so n las d im e n s io n e s d e lo s triá n g u lo s?

92. Teorema de Pitágoras

¿ C u á n to s tr iá n g u lo s r e c tá n g u lo s

/

tie n e n una h ip o te n u s a q u e m id e 4.v + 5 p u lg a d a s y c a te to s q u e m id e n 3.v - 13 p u lg a d a s y x p u lg a d a s? ¿ C u á le s s o n las d im e n s io n e s d e lo s triá n g u lo s?

93. Dimensiones de una Ventana El á rea

v e n ta n a recta n g u la r d e b e se r d e 143 p ie s c u a d r a d o s. Si la lo n g itu d d e b e ser 2 p ie s m á s g r a n d e q u e e l a n c h o , ¿ c u á le s so n las d im e n s io n e s?

94. Dimensiones de una ventana El á rea

¿C uál e s e l rad io m á s co r to q u e se p u e d e usar si se q u iere q u e

d e a p ertu ra d e una

el c a m p o q u ep a c o m p le ta m e n te d e n tr o d el circu lo d e n e g ó ? \

97.

Construcción de una caja

S e q u ie r e c o n stru ir u na caja

a b ier ta d e un p e d a /o d e la m in a d e m e ta l cu a d ra d a , q u ita n d o un c u a d r a d o d e 1 p ie d e la d o d e ca d a e s q u in a \ d o b la n d o

d e una v e n ta n a re c

h a cia arriba las o rilla s. Si la ca ja d e b e te n e r 4 pies, c ú b ic o s

tangular d e b e ser 30b c e n tím e tr o s c u a d ra d o s. Si el la rg o e x

d e c a p a c id a d , ¿ q u e d im e n s io n e s d e b e te n e r la la m in a d e m e ta l?

c e d e al a n ch o en 1 ce n tím e tr o , ¿ cu á le s so n las d im e n sio n e s?

95. Geometría

D e te r m in a las d im e n s io n e s d e un r e c tá n g u lo

c u y o p e r ím e tr o e s 2 6 m e tr o s y cu y a á rea e s d e 4 0 m e tr o s cu a d ra d o s.

96. Riego de un campo

U n a sp erso r ajustable q u e riega agua

98. Construcción de una caja

R e t o m a n d o e l p r o b le m a 9 7 .

c o n sid e r a q u e la la m in a d e m e ta l e s u n r e c tá n g u lo c u y o la r g o e s e l d o b le d e su a n c h o .

99. Física

S e la n z a una p e lo t a v e r tic a l m e n te h a cia a m tv i

en un patrón circular e s c o lo c a d o e n el c e n tr o d e un ca m

d e s d e e l t e c h o d e un e d ific io d e 9 o p ie s d e altu ra c o n u na

p o cu ad rad o cuya área e s 1250 p ies cu a d ra d o s (v e la figura).

v e lo c id a d in icia l d e 8 0 p ie s p o r s e g u n d o . L a d ista n c ia s

S E C C IÓ N 1.2

*■ v

(en pies) de la pelota al suelo después de r segundos es s = 96 + 80í - 16f2. a)

b) ¿Cuántos segundos tardará la pelota en pasar el techo del edificio en su caída? con una velocidad inicial de 20 metros por segundo. La distancia 5 (en metros) del objeto al suelo después de t se gundos es s = -4.9r2 + 20r. a)

¿Cuándo estará el objeto a 15 metros sobre el suelo?

b) ¿Cuándo llegará al suelo? c)

¿El objeto alcanzará una altura de 100 metros?

101. Reducción del tamaño de una barra de chocolate Una

©

barra de chocolate jumbo de forma rectangular mide 12 centímetros de largo, 7 centímetros de ancho y 3 centíme tros de espesor. Debido al incremento en los costos del cacao, la administración decide reducir el volumen de la barra en un 10%. Para lograrlo, decide que la nueva barra debe tener los mismos 3 centímetros de espesor, pero que el largo y el ancho deben ser reducidos un número igual de centímetros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la nueva barra de chocolate?

103

-10 pies 7* -h ;v 6 ... **■s. *h T x,r' i 7; ri -ç

¿Cuántos segundos tardará la pelota en llegar al suelo?

100. Física Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba


106. Dimensiones de un patio Un contratista ordena 8 yardas cúbicas de cemento premezclado, el cual, será usado para hacer un patio de 4 pulgadas de espesor. Si el largo del patio debe ser dos veces el ancho, ¿cuáles serán las dimen siones del patio? (1 yarda cúbica = 27 pies cúbicos)

107. Comparación de televisores El tamaño de la pantalla de un televisor está determinado por la longitudo de la diago nal de la pantalla rectangular. Tradicionalmente los tele visores vienen en un formato de 4:3, es decir, la razón del largo y el ancho de la pantalla rectangular es 4 a 3. ¿Cuál es el área de un televisor tradicional de 37 pulgadas?, ¿Cuál es el área de un televisor de alta definición de 37 pulgadas cuya pantalla está en un formato de 16:9? ¿Cuál de las dos pantallas es más grande?

[Sugerencia: Si * es la longitud de una pantalla con formato 3 4:3, entonces —x es el ancho].

108. Comparación de televisores Retoma el problema 107.

102. Reducción del tamaño de una barra de chocolate Re toma el problema 101, considera que la reducción es del

20% .

103. Construcción de un borde alrededor de una alberca Una alberca circular mide 10 pies de diámetro. Para crear un borde circular de ancho uniforme alrededor de la alberca, debe usarse una yarda cúbica de concreto. Si el borde debe tener una profundidad de 3 pulgadas, ¿cuál será el ancho del borde? (1 yarda cúbica = 27 pies cúbicos). Vea la Figura.

Encuentra el área de la pantalla de un televisor tradicional de 50 pulgadas y compáralo con un televisor de plasma de 50 pulgadas cuya pantalla está en formato 16:9. ¿Cuál de las dos pantallas es más grande? 109. La suma de los números enteros consecutivos 1 ,2 ,3 ,..., n, está dada por la fórmula -

h(h

+ !)• ¿Cuántos números

enteros consecutivos, empezando por el 1, se deben sumar para obtener un total de 666?

110. Geometría Si un polígono de n lados tiene -n(rc ~ 3)> diagonales, ¿cuántos lados tendrá un polígono de 65 diago nales? ¿Existe un polígono de 80 diagonales? 111. Demuestra que la suma de las raíces de una ecuación cua drática es ——. a

112. Demuestra que el producto de las raíces de una ecuación cuadrática es —. a

104. Construcción de un borde alrededor de una alberca Re toma el problema 103, considerando que la profundidad del borde es de 4 pulgadas.

105. Construcción de un borde alrededor de un jardín Un jar dinero, que acaba de completar un jardín de flores rectan gular que mide 6 pies por 10 pies, ordena 1 yarda cúbica de cemento premezclado que será usado para crear un bor de de profundidad uniforme alrededor del jardín. Si el borde debe tener una profundidad de 3 pulgadas, ¿qué tan ancho tiene que ser? (1 yarda cúbica = 27 pies cúbicos).

113. Encuentra k tal que la ecuación k x 2 + x + k = 0 tenga una solución real repetida. 114. Encuentra k tal que la ecuación x 2 - k x + 4 = 0 tenga una solución real repetida. 115. Demuestra que las soluciones reales de la ecuación a x 2 + b x + c = 0 son los negativos de las soluciones reales de la ecuación a x 2 - b x + c = 0. Considera que b 2 - 4a c > 0. 116. Demuestra que las soluciones reales de la ecuación ax2 + bx + c = 0 son los recíprocos de las soluciones reales de la ecuación ex2 + bx + a = 0. Considera que b2 —4ac s 0.

104


Explicación de conceptos: discusión y escritura 117. ¿Cuál de los siguientes pares de ecuaciones son equivalen tes? Explica por qué. (a) x2 = 9; x = 3 (b) x = V 9 ; * = 3 (c) (x - 1)( jc - 2) = (x - l)2; x - 2 = x - l

118. Describe tres maneras en las cuales se puede resolver una ecuación cuadrática. Indica cuál preferirías y explica por qué la elegiste. 119. Explica los beneficios de evaluar el discriminante de una ecuación cuadrática antes de intentar de resolverla.

120. Inventa tres ecuaciones cuadráticas: una que tenga dos so luciones diferentes, una que no tenga solución real y una que tenga exactamente una solución real.

121. Es posible que la palabra cuadrática se refiera a cuatro (icuad ), sin embargo, una ecuación cuadrática es una ecua ción que contiene un polinomio de grado 2. Investiga el origen del término cuadrática como se usa en la expresión ecuación cuadrática. Escribe un breve ensayo con la infor mación que encuentres.

Respuestas a los ejercid o s de la sección "¿Estás listo?' 1. {x - 6)( jc + 1)

2. (2 x - 3)(JC + 1)

q - H

4. Verdadero

5. x 2 + 5x +

25

= H )2

1.3 Números complejos; ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos* P

r e p a r a c ió n

para

esta

s e c c ió n


•

Clasificación de números (sección R .l, pp. 4-5)

• Racionalización de denominadores (sección R.8, p. 45)

\

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 111. OBJETIVOS 1 Sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos (p. 105) 2 Resolver ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos (p, 109)

Números com plejos Una propiedad de un número real es que su cuadrado sea no negativo. Por ejemplo, no existe un número real x para el cual x2 — -1 Para arreglar esta situación, introducimos un nuevo número llamado unidad imaginaria.

DEFINICIÓN

Una unidad imaginaria, que se denota por /, es un número cuyo cuadrado es —1. Esto es, ___ _ _

------------------------------------------------------------------------------ J Esto no debe sorprenderte. Si nuestro universo consistiera únicamente de ente ros, no existiría un número x para el que 2x - 1. Esta circunstancia desafortunada 1 2 fue arreglada introduciendo números como ~ y los números racionales. Si nues tro universo consistiera solo de números racionales, no existiría un número .r cuyo cuadrado fuera 2. Esto quiere decir que no habría un número x para el cual x2 = 2. Para arreglar esto, introducimos los números como V2 y 1v/5, los números irraciona les. Los números reales, como recordarás, incluyen a los números racionales y a los números irracionales. Ahora, si nuestro universo consistiera solo de números reales, entonces no existiría un número x cuyo cuadrado fuera —1. Par arreglar esto, intro ducimos un número i, cuyo cuadrado es - 1 . *Esta sección se puede omitir sin perder continuidad.

S E C C IÓ N 1 J


105

En la progresión descrita, cada vez que encontrábamos una situación no adecua da, introducíamos un nuevo sistema de números para arreglarla. El sistema de nú meros que resulta de introducir el número / se llama sistema de núm eros com plejos.

DEFINICIÓN

Los núm eros com plejos son números de la forma a + b i , donde a y b son nú meros reales. Al número real a se le conoce como la parte real del número a + bi\ el número real b es la parte imaginaria de a + bi; e i es la unidad imagi naria, así que P = —1.

J

Por ejemplo, el número complejo - 5 + 6i tiene la parte real - 5 y la parte ima ginaria 6. Cuando un número complejo está escrito de la forma a + bi, donde a y b son números reales, decimos que está en su forma estándar. Sin embargo, si la parte ima ginaria de un número complejo es negativa, como en el número complejo 3 + (-2 )/, lo usual es escribirlo de la forma 3 - 2/. Además, el número complejo a + 0/ generalmente se escribe simplemente como a. Esto ayuda a recordarnos que los números reales son un subconjunto de los nú meros complejos. El número complejo 0 + bi generalmente se escribe como bi y en ocaciones se le conoce como número imaginario puro.

1 Sum a, resta, m ultiplicación y división de núm eros com plejos La igualdad, suma, resta y multiplicación de números complejos se define de for ma que se conserven las reglas familiares de álgebra para los números reales. Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales. Esto es,

Ig u ald ad d e n ú m eros com p lejos

a + bi = c + di

si y solo si a = c y b = d

(1)

Dos números complejos se suman formando el número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes ima ginarias. Esto es,

Sum a de n úm ero s com p lejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(2)

Para restar dos números complejos, usa la siguiente regla:

D iferencia de núm eros com p lejos

(a + bi) — (c + di) - (a — c) + (b — d)i

EJEM PLO 1

Suma y resta de números complejos (a) (3 + 5i) + ( —2 + 3i) — [3 + ( —2)] + (5 + 3)/ = 1 + 8/ (b) (6 + 4/) - (3 + 6/) = (6 - 3) + (4 - 6)/ = 3 + ( - 2 ) / = 3 - 2 /


(3)

106


Los productos de los números complejos se calculan como se ilustra en el ejem plo 2.

EJEM PLO 2

Multiplicación de números complejos (5 +

3/)

• ( 2 + 7/) = T

5-

(2 + 7/) +

3 /(2


+ 7/) = 10 + í

35/

+ 6/ + 21/2


= 10 + 41/ + 21 ( —1) t /* = -1 = -1 1 + 41/ Con base en el procedimiento del Ejemplo 2, el producto de dos números com plejos se define de la forma siguiente: Producto de n úm eros com p lejos

(a + bi) • (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

(4)

No intentes memorizar la fórmula (4). En su lugar, cuando sea necesario multi plicar dos números complejos, sigue las reglas habituales para multiplicar dos bino mios, como en el Ejemplo 2, teniendo en cuenta que i2 = - 1 . Por ejemplo. (2/)(2/) = 4 r = - 4 (2 + /)(1 —/) = 2 —2/ -+-/ —/- = 3 —i ' =

-

-Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

19

Las propiedades algebraicas de suma y multiplicación, como la propiedad con mutativa, asociativa y distributiva, se siguen utilizando para los números complejos. La propiedad de que todo número complejo diferente de cero tiene un inverso mul tiplicativo, o recíproco, requiere de mayor estudio.

DEFINICION

Si z = a + bi es un número complejo, entonces su conjugado, que se denota por z, se define como Z = a + b i- a -b i

Por ejemplo, 2 + 3/ = 2 - 3/ y - 6 - 2/ = - 6 + 2i.

EJEM PLO 3

Multiplicación de un número complejo por su conjugado Encuentra el producto del número complejo z = 3 + 4/ y su conjugado c.

Solución

Como z — 3 — 4/, tenemos que zz = (3 + 4/)(3 - 4/) = 9 - 12/ + 12/ - 16r = 9 + 16 = 25 El resultado obtenido en el ejemplo 3 tiene una importante generalización.

TEOREM A

El producto de un número complejo y su conjugado es un número real no nega tivo. Es decir, si z = a + bi entonces zz = ir + b~

(5)

J

S E C C IÓ N 1.3

Demostración


Si

z = a + bi,

107

entonces

ZZ = (a + bi)(a - bi) = a2 - (bi)2 = a2 - b2i2 — a2 + b2 Para expresar el recíproco de un número complejo

z

m

diferente de cero en su for

ma estándar, multiplicamos el numerador y el denominador de —por z. Es decir, si z z - a + bi es un número complejo diferente de cero, entonces 1 a

+

_ 1 _ 1 z _ z _ a — bi bi z z z zz a2 + b2 T Usa (5).

a

b

~ a2 + b2 ~ a2 + b2¡

EJEM PLO 4

Escritura del recíproco de un número complejo en forma estándar E scribe-------- en su forma estándar a + bi, esto es, encuentra el recíproco de 3 + 4i. 3 + 4/

Solución

La idea es multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de 3 + 4i, esto es, por el número complejo 3 —4i. El resultado es 3 - 4/ 3 1 1 3 - 4/ 3 + 4i ~ 3 + 4/ 3 - 4/ ” 9 + 16 " 25

4 25

Para expresar el cociente de dos números complejos en forma estándar, multipli ca el numerador y el denominador del cociente por el conjugado del denominador.

EJEM PLO 5

Escritura del cociente de dos números complejos en forma estándar Escribe cada una de las siguientes expresiones en forma estándar. (a)

Solución

^

1 + 4¿ 5 - 12i 1 + 4/ 1 + 4/ 5 + 12/ 5 + 12/ + 20/ + 48/^ 5 - 12/ ~ 5 — 12/ *5 + 12/ “ 25 + 144 -4 3 + 32/ 169 ~~

43 32 . 169 + 1691

2 - 3/ 4 + 3/ _ 8 + 6/ - 12/ - 9i2 4 — 3/ ’ 4 + 3/ _ 16 + 9 17 - 6/ _ 17 _ 6_. 25 ~ 25 25*


EL

PROBLEMA

27

Escritura de otras expresiones en forma estándar Si z = 2 —3/ y w = 5 + 2/, escribe cada una de las siguientes expresiones en forma estándar. (b ) z

+w

(c)

z

+z

108

CAPÍTULO I Ecuaciones y cieilgualcJades

Solución

z

z .ñ

(2

- 3/)(5_-_2/)

10 -

4/

(a) w = iv • w = (5 4 2/)(5 - 2/) 4

-

19/

29

'

4

19 .

29

29'

- J 5 / +_hfi

25 4 4

(b) ¿ T iv = (2 - 3/) 4- (5 4- 2/) » f - / - 7 4- / (c) z 4- Z = (2 - 3/) 4- (2 4- 3/ ) - 4

^

El conjugado de un número complejo tiene ciertas propiedades generales que nos serán útiles más adelante. Para un número real a = a + 0/. el conjugado c s t / 3Sci4r 0 r * d - 0 í * f l Esto es,

TEOREMA

El conjugado de un número real es el propio número real. A continuación se dan otras propiedades del conjugado que son consecuencia directa de la definición. En cada proposición, z y h*representan números complejos

TEOREMA

El conjugado del conjugado de un número complejo es el propio número com plejo. (!)

= Z

(6>

El conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de sus conjugados. z + IV = Z 4- w

(7 )

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de sus conjugados. Z

• H‘

-

Z

■u

(g)

J Las demostraciones de las ecuaciones (6). (7) y (8) se dejarán como ejercíaos.

Potencias de / Las potencias de i siguen un patrón que es útil saber.

,* =

i**r

=

•

.*> r = -1

11

o • x. 11

< 1

= i

-1

13 = i2%i = —l*i = —i

r = »"•/’ =

i4

f i = í4-/4 = 1

\ así sucesivamente. Las potencias de i se repiten cada cuatro potencias.

EJEM PLO 7

Evaluación de las potencias de i (a) r 7 = r 4• 13 = ( f i f . f i = l * ./ ' = - ¡ (b) i *

«

'

=

{f i f -i

=1*., = /

S E C C IÓ N U •i

EJEM P LO 8

(


109

Escritura de la potencia de un número complejo en la forma estándar

i

Escribe (2

Solución

+ / )'

en forma estándar.

Usa la fórmula de producto notable para (.v

+

a)'

( .t + ti) ' = . r 1 + 3 u x 2 + 3 < r.v + « '

Al utilizar la fórmula de producto notable,

OTA O tra forma de e n c o n tra r 2 + i)'

e» multiplicar ( 2

+ í)‘ ( 2 + i).

(2

■

m

.. .......

+

i)3 =

23 +

3 *i •2 2 +

12/

=

8 +

=

2+11/.

Resuelva ahora el problema

+

3 •i2 •2 +

6 ( - l)

+

i3

(-/)

J

41

2 Solución de ecuaciones cuadráticas en el sistem a de núm eros com plejos Las ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo no tienen soluciones reales. Sin embargo, si extendemos nuestro sistema de números de manera que incluya nú meros complejos, las ecuaciones cuadráticas siempre tendrán solución. Como la solu ción de una ecuación cuadrática involucra la raíz cuadrada del discriminante, comen zamos con un análisis de las raíces cuadradas de números negativos.

DEFINICIÓN

Cuando escribimos \/—N = VÑ¡ asegúrate de escri7¡r / fuera deI símbolo V . ■

Si N es un número real positivo, definimos a la raíz cuadrada principal de - N , denotada por V - / V , como Vwv = VÑi

\D V ER TEN C IA

[

EJEM PLO 9

donde / es la unidad imaginaria e P = —1.

Evaluación de la raíz cuadrada de un número negativo (a) V - T = V I / = / (b) V =4 = V 4 i = 2i (c) = V 8 / = 2V2/

[ EJEM PLO 10

^

Solución de ecuaciones Resuelve cada ecuación en el sistema de números complejos, (a) x 2 = 4

Solución

(b) x 2 = - 9

(a) x2 - 4 x = ± V 4 - ±2 La ecuación tiene dos soluciones, - 2 y 2. El conjunto solución es {-2,2}. (b) *2 = - 9 x = ± V —9 = ± V 9 / = ±3/ La ecuación tiene dos soluciones, - 3 / y 3/. El conjunto solución es (—3/, 3/}.

..........* "Resuelve ahora

l os

p r o b l e m a s

49

y

53

|

110

C A P ÍT U L O 1

Ecuaciones y desigualdades A PVERTEN C IA Cuando tra b a je s con raíces cuadradas de números negativos no e sta b le z c a s la raíz cuadrada de un producto igual al producto de la s ra íce s cuadradas (lo cual se puede nacer con números positivos). Para ver por que, observa e ste calculo: sabem os que \/ÍC'Ó — 10. Sin embargo, también es verdad que 100 = ( —2 5 ) ( —4 ), entonces 10 = \ f \0 0 = V ( - 2 5 ) ( - 4 ) * ^ - 2 5 V ~ 4 = ( V 2 5 / ) ( V 4 / ) = (5 /)(2 /) = 10/2 = - 1 0

t Aquí está el error.

■

Como hemos definido la raíz cuadrada de un número negativo, podemos enun ciar la fórmula cuadrática sin restricciones.

TEOREM A

F ó rm u la c u a d rá tic a

En el sistema de números complejos, la solución de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = O, donde a ,b y c son números reales y a O, se da por la fórmula

x =

- b ± \ / b2 — 4ac

(9)

2a

J EJEM PLO 11

Solución de una ecuación cuadrática en el sistema de números complejos Resuelve la ecuación x 2 - 4x + 8 = 0 en el sistema de números complejos.

Solución

Aquí, a = 1, b = —4, c = 8 y b2 —4ac = 16 —4(1)(8) = —16. Usando la ecuación (9), encontramos que - ( - 4 ) ± V ^ 1 6 _ 4 ± V l 6 i _ 4 ± 4i 2( 1)

2

~

2

2 ± 2i

La ecuación tiene dos soluciones, 2 —2/ y 2 + 2í. El conjunto solución es {;2 - 2i, 2 + 2/}. y

V erifica:

2 + 2/: 2 - 2/:

(2 + 2¿)2 - 4 ( 2 + 2/) + 8 = 4 + '8¿ + 4 r - . 8 ' - S ¿ + S = 4 -4 = 0 (2 - 2/)2 - 4(2 - 2/) + 8 = 4 - S í + 4/2 - 8 + ^ + 8 = 4 - 4 = 0

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

J

59

El discriminante b2 —4ac de una ecuación cuadrática aún sirve como una forma para determinar el tipo de las soluciones.

Tipo de so lu cion es de una ecu ación cu ad rática

En el sistema de los números complejos, considera la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 con coeficientes reales. 1. Si b2 —4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. 2. Si b2 —4ac = 0, la ecuación tiene una solución real repetida, una raíz doble. 3. Si b2 — 4ac < 0, la ecuación tienen dos soluciones complejas que no son reales. Donde una de las soluciones es el conjugado de la otra.

S E C C IÓ N 1.3


111

La tercera conclusión de la tabla es la consecuencia del hecho de que si b2 —4ac = - N < 0 entonces, por la fórmula cuadrática, las soluciones son

"V.

i

_ - b + \ A 2 - 4ac

-b + W

2a

¡

-b + V Ñ i

-b

2a

2a

2a

V Ñ , 2a

y _ -b - y V

- 4ac _ - b - W

2a

j _ -b - V Ñ i _ -b _ V Ñ .

2a

2a

2a

2a

donde la primera solución es el conjugado de la segunda y viceversa.

EJEM PLO 12

Determinación del tipo de solución de una ecuación cuadrática Sin resolver la ecuación, determina el tipo de solución de cada ecuación. (a) 3*2 + 4* + 5 = 0

Solución

(b)2*2 + 4x + 1 = 0

(c) 9.x2 - 6x + 1 = 0

(a) Aquí a = 3, b = 3 y c = 5, entonces b2 - 4ac = 16 - 4(3)(5) = -4 4 . Las soluciones son dos números complejos que no son reales y son el conjugado uno del otro. (b) Aquí a = 2,6 = 4 y c = 1, entonces b1 - 4ac = 16 - 8 = 8. Las soluciones son dos números reales diferentes. (c) Aquí a — 9, b — —6 y c = 1, entonces b2 — 4ac = 36 —4(9)(1) = 0. La solución es un número real repetido, es decir, una raíz doble.

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

73

1.3 Ev alú a tu e n te n d im ie n to '¿Estás listo?” La s respuestas se dan al final de los ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas entre paréntesis. 1. Di qué números son enteros y qué números son racionales en el conjunto siguiente: (pp. 4-5)

j-3 ,0 ,

2. Verdadero o fa ls o Los números racionales e irracionales están en el conjunto de los números reales, (pp. 4-5) 3 3. Racionaliza el denominador d e ------- —. (p. 45)

2 + V3

Conceptos y vocabulario 4. En el número complejo 5 + 2i, el número 5 se conoce como la p a r te ____________ , el número 2 es la parte ____________ y el número i se llama la _____________ 5 5. La ecuación x 2 = —4 tiene el conjunto solución


El conjugado de 2 + 5/ es - 2 - 5i.

7. Verdadero o fa ls o ros complejos.

Todos los números reales son núme

8. Verdadero o fa ls o Si 2 - 3i es solución de una ecuación cuadrática con coeficientes reales, entonces - 2 + 3/ tam bién es solución.

Ejercicios En los problemas 9-4 6 , escribe cada expresión en la form a estándar a + bi.

9. (2 - 3/)

+ (6 + 8/)

13. (2 - 5i)

- (8 + 6¿)

10. (4 + 5i) + ( - 8 + 2i)

11. ( - 3 + 2i) - (4 - 4/)

12. (3 - 4/) - ( - 3 - 4/)

14. ( - 8 + 4/) - (2 - 2i)

15. 3(2 - 6¿)

16. -4 (2 + 8/)

17. 2/(2 - 3/)

18. 3/(—3 + 4/)

21. ( - 6 + /)( —6 - /)

22. ( - 3 + /)(3 + /)

25. 2 T *

26. 2 - 1 -2 1

l

(\ ^ VI \

•U +—

l)

30.

(VI \

2

\ l 9 . (3 - 4/)(2 + /) - 3

^

í ;; í.V 27

31. (1 + ¿)2

20. (5 + 3/)(2 - ¿)

-7 ^ <

+-

‘

32. (1 - i ) 2

CAPÍTULO 1 Ecuaciones y desigualdades

112

36. f 23

33. í23

34. i'4

35. r 15

38. 4 + ¿3

39. 6/3 - 4/5

40. 4/3 - 2/2 + l

43. /7(1 + i2)

44. 2/4(l + i2)

45. íA 4 /“ + /2 + 1

37.

\ 4 1 . (1 + 0 3

- 5

42. (3/)4 + l

46. i1 + /* + /3 + i

E n los problemas 47-52, realiza las operaciones indicadas y expresa tu respuesta en la form a a + bt.

47. V = 4

48. \ / —9

50. \ / h 54

51. \ / ( 3 + 4/')(4' “ 3)

\

49. V =25 52. \ / ( 4 + 3/)(3i - 4)

£ « / o í problemas 53-72 resuelve cada ecuación en el sistema de números complejos.

\5 3 .

jc2

+ 4= 0

54. x 2 - 4 = 0

55. x2

-

59. x 2

- 6x

\

16

=

56. x 2 + 25 = O

0

+ 10 = O

60. x 2 - 2x + 5 = O

57. x 2 - 6x + 13 = 0

58. x 2 + 4x + 8 = 0

61. 8jc2 —4jc + 1 = 0

62. 10x2 + 6x + 1 = 0

63. 5x2 + 1 = 2x

64.

65. x 2 + x + 1 = 0

66. x 2 - x + 1 = 0

67. x 3 - 8 = 0

68. x3 + 27 = O

69. x4 = 16

70. x 4 = 1

71. x 4 + 13jc2 + 36 = 0

72.

1 3 x 2 + 1 = 6 jc

x 4 + 3X2

- 4

= O

- E n los problemas 73-78, sin resolver la ecuación, determina el tipo de solución de cada ecuación en el sistema de los números complejos.

\

73. 3x2 - 3x + 4 = O

74. 2x2 - 4x + l = O

75. 2x2 + 3x = 4

76. x2 + 6 = 2x

77. 9x2 - 12x + 4 = 0

78. 4x2 + 12x + 9 = 0

79. 2 + 3i es una solución de una ecuación cuadrática con coeficientes reales. Encuentra la otra solución.

80. 4 - i es una solución de una ecuación cuadrática con coeficientes reales. Encuentra la otra solución.

E n los problemas 81 - 84, z = 3 - 4i y w - 8 + 3i. Escribe cada expresión en la form a estándar a + bi. 81.

z

+

z.

82.

w- w

zz.

83.

Aplicaciones y extensiones 85.

84.

z - w

________________________________________ __

Circuitos eléctricos La impedancia Z, en ohms, de un circuito se define como la razón del fasor de voltaje V, en volts, a través del elemento al fasor de corriente /, en amV

peres, por los elementos. Esto es, Z = —. Si el voltaje a través de un circuito es de 18 + i volts y la corriente es de 3 - 4i amperes, determina la impedancia.

86. Circuitos paralelos En un circuito de corriente alterna con dos caminos paralelos, la impedancia total Z, en ohms, 1 1 1 satisface la formula — = — + — donde Z es la impedancia Z Zj Z,2

del primer camino y Z, es la impedancia del segundo ca mino. Determina la impedancia total si las impedancias de los dos caminos son Z, = 2 + / ohmns y Z , = 4 —3/ ohms. 87. Usa z = a + bi para demostrar que z + Z = 2a y

z - z = 2bi. 88. Usa z - a + bi para mostrar que z — Z. 89. Usaz = « + /)/yu’ = c +
= z +

h\

90. Usa z = a + bi y tv = c + di para mostrar que z • w = z • »v.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 91. Explica a un compañero cómo sumarías dos números com plejos y cómo multiplicarías dos números complejos. Ex plica las diferencias en los dos casos.

94. Explica cómo se relaciona el método de multiplicación de dos números complejos con el de multiplicación de dos bi nomios.

92. Escribe un breve párrafo donde compares el método usa do para racionalizar el denominador de una expresión ra dical y el método usado para escribir el cociente de dos números complejos en la forma estándar.

95.

93. Usa un buscador de Internet para investigar los orígenes de los números complejos. Escribe un párrafo describiendo lo que encontraste y preséntalo a tus compañeros de clase.

¿Cuál es el error? Un estudiante multiplicó \ / - 9 y V - 9 de la manera siguiente: V - 9 * V - 9 = V ( —9 )(-9 ) = V 81 = 9 El profesor marcó el problema como incorrecto. ¿Por qué?

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. Enteros: {-3,0); números racionales

2. Verdadero

3. 3(2 - V 3 )

SKTlrtN 1.4

Ecuación** r.idic.il*'', ecuación** dp forma cuadrática;

ecuacionesfactoricable* 113

i 1.4 Ecuaciones radicales; ecuaciones de forma :! | cuadrática; ecuaciones foctorizables P

r e p a r a c ió n

para

esta

s e c c ió n

Antes tir empt'zur, repasa lo siguiente:

• Raíces cuadradas (sección R.2, pp. 23-2-1) • Faclori/actón de polinomios (sección R.5, pp. 49-55) \

R um tve ahora

los problemas d e la sección “¿ E sta s

• Raíces enésimas; exponentos racionales (sección R.8 . pp. 73-75)

listo ? " d e

la pagina

117.

O BJETIVO S 1 Resolver ecuaciones radicales (p.113) 2 Resolver ecuaciones de forma cuadrática (p.114) 3 Resolver ecuaciones por factorización (p.116)

1 Solución de ecuaciones radicales Cuando la variable de una ecuación aparece dentro de una raíz cuadrada, raíz cubica, etc., es decir, cuando aparece en un radical, la ecuación se conoce como ecuación ra dical. Algunas veces una operación adecuada puede cambiar una ecuación radical a una que sea lineal o cuadrática. Un procedimiento usado comúnmente es el de aislar el radical más complicado de un lado de la ecuación y eliminarlo elevando cada lado a una potencia igual al índice del radical. Ten cuidado, ya que puedes obtener solu ciones aparentes que no sean soluciones de la ecuación original. A estas soluciones se les llama soluciones extruñus. Por lo tanto, debemos revisar todas las respuestas cuando trabajemos con ecuaciones radicales.

EJEM PLO 1

Solución de una ecuación radical Encuentra las soluciones reales de la ecuación:

Solución

N/2x - 4 - 2 = 0

La ecuación contiene un radical cuyo índice es 3. Despeja el radical del lado izquierdo. V / 2.v -

4 - 2

V / 2 .t -

= 0 4 = 2

Ahora eleva cada lado a la tercera potencia (el índice del radical es 3) y resuelve. 2.x — 4 ) ' = 2'1

(

2x — 4 =

8

2 x = 12 X = 6

y

Verifica:

Eleva cada lado a la potencia 3. Simplifica. Suma 4 a ambos ¡ados. Divide ambos lados entre 2.

\ / 2(6) - 4 - 2 = ^ 1 2 - 4 - 2 = > ^ 8 - 2 = 2 - 2 = 0.

El conjunto solución es (6).


I el

p r o b l e m a

7

Solución de una ecuación radical Encuentra las soluciones reales de la ecuación: V x - 1 = x - 7

Solución

Eleva ambos lados al cuadrado, ya que el índice de la raíz cuadrada es 2. Vx - 1= x - 7

( V x — 1)2 = (x — 7)2 X

—1 =

X2

15x + 50 = 0

— 14x + 49

Eleva ambos lados al cuadrado. Elimina los paréntesis. E s c rib e en la

forma e s tá n d a r.

114

CAPÍTULO 1 Ecuaciones y desigualdades

(x - 10)(JC - 5) = 0 x = U) o x = 5 S

Verifica:

Factor-iza. Aplica la propiedad del producto cero y rcoudve.

_____

________

x = 10: V x - 1 = V T Ó - 1 = V 9 = 3 y j t - 7 = 1 0 - 7 = 3 x = 5: V x - í = \ A - 1 = V 4 = 2 y j r - 7 = 5 - 7 = - 2 La solución je = 5 es extraña; la única solución de la ecuación es x = 10. El conjunto solución es {10}.

1

■ ■ Resuelve ahora el problema 19

En ocasiones es necesario elevar cada lado a una potencia más de una vez para resolver la ecuación radical.

Solución de una ecuación radical

EJEM PLO 3

Encuentra las soluciones reales de la ecuación:

Solución

V2x + 3 - V x + 2 = 2

Primero escogemos despejar la expresión radical más complicada (en este caso V 2 jc + 3) en el lado izquierdo.

Vlx + 3 = Vx + 2 + 2 Ahora eleva al cuadrado ambos lados (el índice del radical de la Izquierda es 2).

(V2x

( V x + 2 + 2)2

+ 3)2 =

E leva a m b o e la d o e al c u a d 'a d o .

2x +

3=

( \ / r + 2 )2 + A V x +2 + 4

2jc + 2jy +

3= 3=

jc

+ 2 + 4 \ / . t + 2+4 jy + 6 + 4V*~ + 2

Elimina los paréntesis.

Simplifica. Combina términos semejantes.

Como la ecuación aun contiene un radical, despejamos el radical restante en el lado derecho y elevamos una vez más ambos lados al cuadrado. Jt - 3 = 4 \/.r + 2

{x - 3)2 = .y2 - 6.r + 9 = x2 - 22.v - 23 = (.v - 23)(.v + 1) = x = 23 o .y =

Despeja el radical en el Iado derecho.

(4 V .t + 2)2 Eleva ambos ladee al cuadrado.

16.y + 32

Elimina los paréntesis.

0

Escribe en forma estándar.

0

Factonza.

-1

La ecuación original parece tener el conjunto solución {-1. 23}. Sin embargo, no lo hemos comprobado. Verifica:

.y = 23:

V l x + 3 - V x + 2 = \ / 2(23) + 3 - V 23 + 2 = V 4 9 - V 25 = 7 - 5 = 2

x = -1 :

V 2. y + 3 - V . y + 2 = \ / 2 ( —1) + 3 - V - \ + 2 = v T - V i = 1 - 1 = 0 La ecuación tiene solamente una solución, 23; la solución - 1 es extraña. El conjunto solución es {23}.

■ Resuelvo ahora 2

el

problema

29

Solución de ecuaciones de form a cuadrática La ecuación .y4 + .y2 - 12 = 0 no es cuadrática en .y, pero es cuadrática en .v2. Esto es, si = .y2, obtenemos una ecuación cuadrática: u2 + ti - 12 = 0. Esta ecuación se puede resolver para u. posteriormente, usando u = .y2, podemos encontrar las soluciones .r de la ecuación original. u

S E C C IÓ N 1.4

Ecuaciones radicales; ecuaciones de forma cuadrática; ecuaciones factorizables

115

En general, si una sustitución apropiada de u transforma una ecuación en otra de la forma: au2 + bu + c = 0

a ¥= 0

entonces la ecuación original se llama ecuación de tipo cuadrático o ecuación de forma cuadrática.

La dificultad para resolver este tipo de ecuaciones está en determinar si la ecua ción es en realidad una ecuación de forma cuadrática. Una vez que sepas que la ecuación es de forma cuadrática, es fácil reconocerla, pero se necesita práctica para que puedas identificar esas ecuaciones por ti mismo.

EJEM PLO 4

Solución de una ecuación de forma cuadrática Encuentra las soluciones reales de la ecuación:

Solución

(x + 2)2 + ll( x + 2) - 12 = 0

Para esta ecuación, sea u — x + 2. Entonces u2 = (x + 2)2 y la ecuación original (x + 2)2 + ll( x + 2) - 12 = 0 se convierte en u2 + 11« — 12 = 0

Sea u = x2 + 2. Entonces u2 = (x + 2)2.

(u + 12)(« — 1) = 0

Factoriza.

u — —12

Resuelve.

o

u —1

Pero queremos resolver para x. Como u - x + 2, tenemos que x + 2 = —12

o

x + 2 = 1

x = -1 4 Verifica:

jc

- -1 4 :

x = -1

( - 1 4 + 2 )2 + 11( —14 + 2) - 12

- (- 1 2 ) 2 + 11 ( —12) - 12 = 144 - 132 - 12 = 0 x

= -

1:

( - 1 + 2)2 + 11(—1 + 2 ) - 12 = 1 + 11 - 12 = 0

La ecuación original tiene el conjunto solución {—14, -1 ).

EJEM PLO 5

Solución de una ecuación de forma cuadrática Encuentra las soluciones reales de la ecuación:

Solución

(x2 - l) 2 + (x2 - 1) - 12 = 0

Para la ecuación (x2 — l) 2 + (x2 - 1) - 12 = 0, sea u = x2 - 1 tal que u2 = (x2 - l) 2. Entonces la ecuación original (x2 - l ) 2 + (x2 - 1) - 12 = 0 se convierte en u2 + u

—

12

=

0

Sea

u=

x2 — 1. E n to n ce s u2 — (x2 — 1)2.

( u + 4 )(u - 3 ) = 0

F a c to riz a .

u = —4

Resuelve.

o

u=3

Pero recuerda que queremos resolver para x. Como u = x 2 — 1, tenemos x2 - 1 = - 4 x2 = —3

o x2 —1 = 3 x2 = 4

La primera de éstas no tiene solución real, la segunda tiene el conjunto solución {-2,2}. y / Verifica:

x = -2 : x = 2:

(4 - l ) 2 + (4 - 1) - 12 = 9 + 3 - 12 = 0 (4 — l ) 2 + (4 — 1) — 12 — 9 + 3 — 12 = 0

La ecuación original tiene el conjunto solución {-2, 2).

I

116

C A P ÍT U L O I


Solución de una ecuación de forma cuadrática

EJEM PLO 6

Encuentra las soluciones reales de la ecuación:

Solución

Para la ecuación x

2V x - 3 = 0, sea u

+

x

2V* - 3 = 0

+

Vx. Entonces u 2 = x y la ecuación orí-

=

x + 2V 5 - 3 = 0

8inal

se convierte en u 2 + 2u - 3 = 0

3)( m - 1)

(m +

U = —3

O

Sea

u = Vx. Entonces

=

0

Factonza.

u =

1

Resuelve.

i / = x.

Como u = V x , tenemos que V x = - 3 o V x = 1. La primera de éstas, V x = - 3 , no tiene solución real debido a que la raíz cuadrada de un número real nunca es ne gativa. La segunda, V x = 1, tiene la solución x = 1. Verifica:

1

+

2V T - 3 = 1 + 2

—

3 = 0

La ecuación original tiene el conjunto solución j 1}. urm m uam *— 0 T R O

MÉTODO

COMO

SI

MANERA

PARA

RESOLVER

UNA

ECUACION

FUERA PARA

EL

j

EJEMPLO

RADICAL.

6

SERIA

RESUELVE

CONSIDERARLO DE

ESTA

PRACTICAR.

La idea ya debe estar clara. Si una ecuación contiene una expresión elevada al cuadrado, puedes hacer una sustitución para obtener una ecuación cuadrática.

3 Solución de ecuaciones por factorización Ya hemos resuelto ciertas ecuaciones cuadráticas usando factorización. Veamos ejemplos de otros tipos de ecuaciones que pueden resolverse por factorización.

EJEM PLO 7

Solución de una ecuación por factorización Resuelve la ecuación:

Solución

x*

=

4x:

Empieza por agrupar todos los términos de un lado. Dejando al cero de un lado y la expresión que se quiere factorizar en el otro. x4 x4 - 4.\“

=

4.ir 0

— 4)

=

0

X2(x 2

0

X“ =

x

=

0

o

x

=

=

o

.V2 —4 = 0

-2

•V2 x

o

= =

Factoriza. Aplica la p rc p ie Ja J de 1producto cení.

4 2

El conjunto solución es { -2 ,0 , 2). Verifica:

x

=

X =

-2 : 0:

= 2:

(-2 )4

=

16 y 4 ( - 2 ) 2 = 16

O4 = 0 y 4 • O2

=

24 = 16 y 4 • 2“

=

0

Así es que - 2 « s o tu e r. Así es que C es solución.

16

Así es que 2 es solución.

■

t

S E C C IÓ N 1.4 Ecuaciones radicales; ecuaciones de forma cuadrática; ecuaciones factorizables

EJEM P LO 8

Solución de una ecuación por factorización .v’ - x2 - 4.v + 4 = 0


Solución

¿Recuerdas el método de factorización por agrupamiento? (Si no, repásalo en pp. 53-54). Agrupa los términos de x' - x 2 - 4.v + 4 = 0 de la siguiente manera: (x' - x ) - (4.v - 4) = 0 Factoriza x2 del primer grupo y 4 del segundo. x (.t - 1) - 4(.t - 1) = 0 Esto muestra como factor común a (.v - 1), así es que tenemos ( .t 2 - 4 ) ( jc -

1) = 0

(.V — 2)(x + 2)(.V X

—

2 = 0

o

—1)= 0

F a c to r iz a d e

o

.V + 2 = 0

X = 2

X — 1 = 0

X = —2

.t = 1

n u evo .

Iguala cada facto r a O.

Resuelve.

El conjunto solución es {-2, 1,2). Verifica: .v = - 2 : X

( —2 ) 3 - ( ~ 2 ) 2 - 4 ( —2 ) + 4 = - 8 — 4 + 8 + 4 = 0

=

1:

l3 - l2 - 4( 1)

+

4

=

2:

23 -

+

4 =

’

22 -

4(2)

» -Resuelve ahora

1- 1- 4

=

el

8 -

4 -

p r o b l e m a

+

8 +

4

- 2 es solución.

=

0

1 e s s o lu c ió n .

4 =

0

2 es solución.

79

1.4 Ev a lú a tu e n te n d im ie n to "¿Estás listo?" La s respuestas se dan al fin a l de los ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

I. Verdadero o fa ls o La raíz cuadrada de un número real no negativo es siempre no negativa, (pp. 23-24)

2. \ ^ 8 = ____________ (pp. 73-75) 3. Factoriza 6x' - 2x2 (pp. 49-55)

Conceptos y vo cabulario________________________________________________________________________________________ 4. Cuando una solución aparente no satisface la ecuación original, se le llama solución____________ .

6. Verdadero o fa ls o Las ecuaciones radicales algunas veces tienen soluciones extrañas.

5. Si u es una expresión que incluye a x, la ecuación au2 + bu + c = 0, a =£ 0 se llama ecuación____________

Ejercicios

10 . V s t

13.

\^ 5 x

+

3

=

-2

-4 = 2

16. Vx2 + 16 = V5 Vl9. Vl5 - 2x = x 22. x =

2S/-x

- 1

25. 3 + V3x + 1 = x 28. V3x + 7 + V* + 2 = 1

8.

11. ^ 1 -

2x

II N>

7. V2í - 1 = 1

En los problemas 7-40, encuentra las soluciones reales de cada ecuación. \

117

-3 = 0

9. V3f + 4 = -6 12. V^l —2x - 1 = 0

14. \/2x - 3 = -1 17. x = 8Vx

15. VV + 2x = -1 18. x = 3Vx

20. V 12 - X = X

21. x = 2Vx - 1

23.

\J x 2

- x- 4=x+2

26. 2 + Vl2 - 2x = x \ 29. V3x + 1 - Vx - 1 = 2

24. \ / 3 - x + x2 = x - 2 27. V2x + 3 - Vx + 1 = 1 30. V3x - 5 - Vx + 7 = 2

118

CAPÍTULO I Eeuacloneiydttlflualdíd**

31. V T ^ l V x - Vx 34. (3x - 5)1/2 - 2 37. (x2 + 9)1/2 - 5

38. (

32. V u ) + 3Vx * V x 35. (5x - 2) 1/1 - 2 . «9 39.

x'n ~

3x,'? -

33. (3* ♦ 36. (2x ♦

\)m •

43. i r 4 -

2x: -

0

4 l l , f * * -1 49. x*4 - 9x*4 * 0

iones reales d e cada ecu a ció n

41. 44. 47. 50.

x4 - 5x2

+4-

2x4 - 5x2 (x

1 2 -0

+ 2 ) 2 + 7(x + 2) +

(2 - x ) 2 + (2

-

42. x4 - 10r2 + 25 - 0 45. / ' + 7x* - K - 0 48. (2x + 5)2 - (2x + 5) -

0

12-0

- x) - 20

- 0

0

6

! = .V =

65.

+

x

1

+2

'- 4 = 0 V

49. (3x ♦ 4 )l

- 0

54. x + HVx - 0

55. x +

\íx

57.

58.

l in

- 4r'

61.

\ í ^

l xn - 2 l'14

+ 1 -0

63.

x2

66 .

---- ---- ; + — (x - 1 )* x -

-0

+ 3x + \ / x 2 + 3x 7 1

-

r_ ( y 7M v -

— as +1

\ \ J l)

-

•

-

64. r 2 - 3x

6

67. 3*

12

y

8

0

*0

643* ♦ 4) * 9 - 0

52. 1(1 - y)2 + 5(1 - y) * 2 - O

2

20 4

6

*4- 0 - x

~ \ / r

- 7x"' -

-

6 -0

70. 3i4 1 + í r 2 1 - 2 - 0

69. 2x*v) - 5x,/J - 3 - 0

2r

+

6

\ 51. 2(t + I)2 - 5(.» + I) - 3

60. x,/2 - 3* 1/4 + 2

+4=0

46. i* - 7i* -

1*

. 7

\

\y - l C

7

En los problemas 7.?-88, determina las soluciones reales de cada ecuación por factonzactón 73.

x-’ - 9x = 0

77.

.r1 + x‘ -

80.

r ’ + 4.v2 -- x - 4 = 0

74.

20 .v = 0

83. 2 .r' + 4 = x2 + 8 x 86.

3.v' +

12 .v =

5x2 + 20

x4 - r2 = 0

75.

4r‘ = i x 2

78.

x’ + 6 x*’ -- 7x - 0

81.

x1 - 3 r -- 4i +

84.

3.r’ + 4r2 = 27x +

87.

x(x2 - 3x) ' » + 2 (x* -- .Ix)4’ = 0

76. \

-

12

0

36

79. X2 82.

x4 - 4x*

+ x2 - x -

1

-

0

r - 3x* - x * 3 » 0

85. 5r* + 451 - 2 r + 18 88.

3x( x2

*

2jr)* - - 2 (r

En los problemas 89-94, determina las soluciones reales de cada ecuación. Usa una calculadora para etpm ar cualquier tobtaóm redondeada a dos lugares decimales. 89. * - 4.v,/2 + 2 = 0

90. jr J + 4 \ ' /y + 2 = 0

91. i 4 + \ 3 r - 3 = 0

92. v4 + V l x 2 - 2 = 0

93. jt( 1 + f)2 =

94. x ( l * r)2 » 2 - ar(1 * r)

n + 1+ t

Práctica mixta x +3 95. Si k = 1-----y k} - k - 12. determina x.

o r +3 96. Si k = ------ v Ir - 3A = 28. determina t. t - 4

Aplicaciones 97. Física: uso del sonido puru medir distancia La distancia de la superficie del agua en un pozo se puede encontrar dejando caer un objeto al pozo y midiendo el tiempo transcurrido hasta que se escuche un sonido. Si i es el tiempo (medido en segundos) que le toma al objeto golpear el agua, enton ces /, obedece la ecuación s — lblj, donde .ves la distancia (medida en pies). Vs , Se sigue que t¡ = . Supon que f, es el tiempo que le toma al sonido del 4 impacto del objeto para llegar a tus oídos. Como las ondas de sonido viajan a una velocidad aproximada de 1100 pies por segundo, el tiempo t. que toma para recorrer la distancia s será /: = : . Ve la ilustración.

S E C C IÓ N 1.5


119

Si + t2es el tiempo total que ha transcurrido desde el momento en que se deja caer el objeto hasta el momento en el que se escucha un sonido, tenemos la ecuación s Tiempo total transcurrido = ------1------F 4 1100 Encuentra la distancia a la superficie del agua si el tiempo total transcurrido desde que se dejó caer el objeto hasta que llega al agua es de 4 segundos. 98. Carga de compresión Un ingeniero civil relaciona el espesor T, en pulgadas y la altura H, en pies, de un pilar cuadrado de madera con su carga de compresión L, en toneladas, usando el modelo T =

4,

25

Si un pilar cuadrado de madera tiene 4

pulgadas de espesor y 10 pies de altura, ¿cuál es su carga de compresión? 99. Péndulo de Foucault El periodo de un péndulo es el tiempo que le toma al péndulo completar una oscilación. El periodo 7, T en segundos, se da por la fórmula T = donde / es la longitud, en pies, del péndulo. En 1851, Jean Bernard Leon Foucault demostró la rotación axial de la Tierra por medio del uso de un gran péndulo que colgó del Panteon de Paris. El pe riodo del péndulo de Foucault era de aproximadamente 16.5 segundos. ¿Cuál era su longitud?

Explicación de conceptos: discusión y escritura 100. Inventa una ecuación radical que no tenga solución. 101. Inventa una ecuación radical que tenga una solución extraña. 102. En el proceso de solución de ecuaciones radicales, discute el paso en donde se da la posibilidad de obtener soluciones extrañas. ¿Por qué no existe esa posibilidad para las ecua ciones cuadráticas y lineales?

103. ¿Qué estuvo mal? En un examen, Jane resolvió la ecua ción \¡2 x + 3 - x = 0 y escribió que el conjunto solución era {-1,3}. Jane obtuvo 3 de 5 puntos por el problema. Jane te pregunta por qué recibió 3 de 5 puntos en el problema. Proporciona una explicación.

Respuestas a los ejercidos de la sección "¿Estás listo?" 1. Verdadero

2. - 2

3. 2x2(3x - 1)

1.5 Solución de desigualdades P r e p a r a c ió n

p a r a e s t a s e c c ió n


• Bases de álgebra (sección R.2, pp. 17-26) \

Resuelve ahora los

p ro b lem a s d e la se c c ió n "¿Estás listo?" d e la p ág in a 127.

OBJETIVOS 1 Usar la notación de intervalos (p. 120) 2 Usar las propiedades de las desigualdades (p. 121) 3 Resolver desigualdades (p. 123) 4 Resolver desigualdades combinadas (p. 124)

Supon que a y b son dos números reales y que a < b. Usaremos la notación a < x < b para decir que x es un número entre a y b. La expresión a < x < b es equivalente a las dos desigualdades a < x y x < b. De la misma forma, la expresión a < x x > 2, es preferible invertir los símbolos de la desigualdad y escribir 2 < x < 3 de manera que, al leer de izquierda a derecha, los valores vayan de menor a mayor. Una proposición como 2 ^ x ^ 1 es falsa ya que no existe un número x para el cual 2 í r y r á l . Por último, nunca uses símbolos mezclados como en 2 ^ x ^ 3.

120


Uso de notación de intervalos Sean a y b dos números reales con a < b.

DEFINICIÓN

Un intervalo abierto, cjue se denota por (a, b), consiste en reales x para los cuales a < x < b. Un intervalo cerrado, que se denota por \a, b \, consiste en reales x para los cuales a ^ x ^ b. Los intervalos semiabiertos o semicerrados son (a, b J, que los números reales x para los cuales a < x á h y \a, b), que los números reales x para los cuales a ^ x < b.

todos los números todos los números consisten en todos consisten en todos

J

En cada una de estas definiciones a es llamado el extremo izquierdo y h el extremo derecho del intervalo. El símbolo oo (se lee como “infinito”) no es un número real, sino una forma de notación para indicar que la dirección positiva no tiene límite. El símbolo -o c (se lee como “infinito negativo”) tampoco es un número real, sino una forma de notación para indicar que la dirección negativa no tiene límite. Mediante el uso de los símbo los oo y - o o podemos definir otros tipos de intervalos: [a, oo)

Consiste en todos los números reales x para los cuales x s: a.

(a, oo)

Consiste en todos los números reales x para los cuales x > a.

(-oo, a]

Consiste en todos los números reales x para los cuales jc< a.

(—oo, a) (-oo, oo)

Consiste en todos los números reales x para los cuales x < a. Consiste en todos los números reales.

Observa que oo y - o o nunca se incluyen como puntos extremos ya que ninguno es un número real. La tabla 1 resume la notación de intervalos, la notación de desigualdades corres pondiente y sus gráficas. Tabla 1

Intervalo

Desigualdad

a
-t------------- b

b

i------------- ¥

b)

as x a

- ( ------------

El intervalo abierto (a,

b)

El intervalo cerrado [a,

b]

El Intervalo semiabierto [a,

El intervalo ( - » , a]

EJEM PLO 1

Gráfica

a < x<

xs a

El intervalo (-<», a)

x< a

El intervalo (-<*, x )

Todos los números reales

a

b

a

b

a

b

b

a a a

------- 1-------a

--------}------a

Escritura de desigualdades usando notación de intervalos Escribe cada desigualdad usando notación de intervalos. a) 1 < * < 3

Solución

b) - 4 < jc < O

c) x > 5

d) .v < 1

a) 1 < x < 3 describe todos los números x entre 1 y 3, incluidos ambos números. En notación de intervalos, escribimos [1,3]. b) En notación de intervalos, - 4 < .t < O se escribe (- 4 ,0 ) .

S E C C IÓ N 1.5


121

(c) x > 5 consiste en todos los números x mayores que 5. En notación de intervalos, escribimos (5, oo). (d) En notación de intervalos, x < 1 se escribe como (-o o , 1]. ^

EJEM PLO 2

Escritura de intervalos usando la notación de desigualdades Escribe cada intervalo como una desigualdad que incluya a x. (a) [1,4)

Solución

(b) (2,oo)

(c) [2,3]

(d) ( - o o , -3 ]

(a) [1,4) consiste en todos los números x para los cuales 1 < x < 4. (b) (2, oo) consiste en todos los números x para los cuales x > 2. (c) [2,3] consiste en todos los números x para los cuales 2 < x < 3. (d) ( o o , - 3 ] consiste en todos los números x para los cuales x < - 3 .

-Resuelve ahora 2

l o s

p r o b l e m a s

1 1 , 23

31

y

Uso de las propiedades de d esigualdades El producto de dos números reales positivos es positivo, el producto de dos números reales negativos es positivo y el producto de O por O es 0. Para cualquier número real a, el valor de a2es Oo positivo, es decir, a2es no negativo. A esto se le llama propiedad de no negatividad.

P ro p ied ad de no n eg ativid ad r

En palabras

Para cualquier número real a,

r El cuadrado de un número real r nunca es negativo.

a2 > O

(1)

Si sumamos el mismo número en ambos lados de la desigualdad obtenemos una desigualdad equivalente. Por ejemplo, como 3 < 5, entonces 3 + 4 < 5 + 4 o 7 < 9 . Esto se conoce como la propiedad de suma de desigualdades.

P ro p ied ad de sum a de d e sig u ald ad e s r

r En palabras

Para números reales a, b y c,

La propiedad de suma

r establece que el sentido o r dirección de una desigualdad r no cambia si se suma el mismo r número de cada lado.

Si a < b, entonces a + c b, entonces a + c > b + c.

(2b)

La figura 2 ilustra la propiedad de suma (2a). En la figura 2(a), vemos que a está a la izquierda de b. Si c es positivo, entonces a + c y b + c cada uno está a c unidades a la derecha de a y b, respectivamente. En consecuencia, a + c debe estar a la izquierda de b + c, esto es, a + c < b + c. La figura 2(b) ilustra la situación cuando c es negativa. F ig u ra 2

- c unidades

c unidades ciinidades

- c unidades

«--------- •-- a------------•--a b a+c 6+c (a) Si a O, entonces a+c
UNA

PROPIEDAD

ILUSTRACIÓN DE

SUMA

a+c

b+c

(b)

SIMILAR

(2b).

A LA

a

b

Si a< by c< O, entonces a +c 2 ,entoncesx + ( - 2 ) > 2 + ( - 2 ) o x - 2 > 0.


EL

PROBLEMA

39

Multiplicación de una desigualdad por un número positivo Expresa como una desigualdad el resultado de multiplicar cada lado de la desigual dad 3 < 7 por 2.

Solución

Empieza con 3 <7 Al multiplicar cada lado por 2 obtenemos los números 6 y 14, por lo tanto tenemos 6 < 14

EJEM PLO 5

J

Multiplicación de una desigualdad por un número negativo Expresa como una desigualdad el resultado de multiplicar cada lado de la desigual dad 9 > 2 por - 4 .

Solución

Empieza con 9> 2

r

r En palabras

c

La multiplicación por un

r número negativo invierte la r desigualdad.

r

n

En palabras

c' r r n r

Las propiedades de la multiplicación establecen que el sentido o dirección de una desigualdad se mantiene igual si ambos lados se multiplican por un número real positivo, mientras que la dirección se r invierte si ambos lados se multiplican por un número real negativo.

EJEM PLO 6

Al multiplicar cada lado por - 4 obtenemos los números —36 y - 8 , por lo tanto tenemos -3 6 < - 8 Observa que al multiplicar ambos lados de 9 > 2 por el número negativo —4 la dirección del símbolo de desigualdad se invirtió. Los ejemplos 4 y 5 ilustran las siguientes propiedades de m ultiplicación para desigualdades:

Pro p ied ades de m ultip licación para d e sig u ald a d e s

Para números reales a ,b y c, Si a 0, entonces ac < be. Si a be.

(3a)

Si a > b y c > 0, entonces ac > be. Si a > b y c < 0, entonces ac < be.

(3b)

Propiedad de multiplicación de desigualdades (a) Si 2x < 6, entonces ^ (2 x ) < | ( 6 ) o r < 3 .

(b) S i - ^ > 12, entonces - 3 ^ - ^ r J < -3 (1 2 ) o x < -3 6 . (c) Si -4 x < - 8 , entonces —^ -4

> — o x > 2. -4

(d) Si - x > 8, entonces ( - l ) ( - x ) < (-1 )(8 ) o x < - 8 . J

^— — Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

45

V

S E C C IÓ N 1.5

'r r En palabras r r r r r ^

La propiedad de I recíproco establece que el recíproco de un número real positivo es positivo y el recíproco de un número real negativo es negativo.


123

P ro p ied ad del reciproco p ara d e sig u ald a d e s

„

1

1

S i« > 0, entonces — > ü a

Si - > 0, entonces a > 0 a

(4a)

Si a < 0, entonces — < 0 a

Si — < 0, entonces a < 0 a

(4b)

3 Solución de desig uald ad es Una desigualdad de una variable es una proposición que involucra dos expresiones en donde, por lo menos, una contiene una variable separada por uno de los símbolos de desigualdad < , < , > o > . R esolver una desigualdad significa encontrar todos los valores de la variable para los cuales la proposición es verdadera. A estos valores se les llama soluciones de la desigualdad. Por ejemplo, las siguientes son desigualdades que involucran una variable x: jc

+ 5 < 8

2x - 3 > 4

x2 - 1 < 3

* + * > 0 x —2

Al igual que con las ecuaciones, un método para resolver una desigualdad es sustituirla por una serie de desigualdades equivalentes hasta que se obtenga una desigualdad con una solución obvia, como x < 3. Podemos obtener desigualdades equivalentes aplicando algunas de las mismas propiedades que las que se usan para encontrar ecuaciones equivalentes. La propiedad de suma y las propiedades de mul tiplicación forman las bases para los procedimientos siguientes. Procedim ientos que no cam bian el sím bolo de desigualdad 1. Simplifica ambos lados de la desigualdad combinando términos semejantes y eliminando paréntesis: Sustituye por

x + 2 + 6 > 2 x + 5(x + 1) x + 8 > Ix + 5

2. Suma o resta la misma expresión en ambos lados de la desigualdad:

Sustituye por

3x - 5 < 4 (3jc - 5) + 5 < 4 + 5

3. Multiplica o divide ambos lados de la desigualdad por la misma expresión positiva: Sustituye

4x > 16

por

— > ~-

Procedim ientos para invertir el sentido o dirección del sím bolo de desigualdad 1. Intercambia los dos lados de la desigualdad: Sustituye

3< x

por x > 3

2. Multiplica o divide ambos lados de la desigualdad por la misma expresión negativa. Sustituye

0 . , —2x > 6

por *

~2x 6 ----- < — -2 -2

Como se observa en los ejemplos siguientes, las desigualdades se resuelven usan do muchos de los mismos pasos que usamos para resolver ecuaciones.

124

C A P ÍT U L O 1


Cuando escribimos la solución de una desigualdad, podemos usar notación de conjuntos o notación de intervalos, la que sea más conveniente.

Solución de una desigualdad

EJEM PLO 7

Resuelve la desigualdad: 3 —2x < 5 Haz una gráfica del conjunto solución.

Solución

3 — 2a: < 5 3 - 2 j c- 3 < 5 - 3

Resta 3 en ambos lados. Simplifica.

—2 x < 2

-2x ~ -2

2 > -2

x >

Divide ambos lados entre —2. (Cambia el sentido del símbolo de desigualdad.)

1

Simplifica.

Figura 3 — i--------1----------_________ l________ L

-L

-3

2

- 2 - 1

0

1

El conjunto solución es { j c | x > -1} o, usando notación de intervalos, todos los números del intervalo ( - 1 , oo). Ver figura 3 para la gráfica.

EJEM PLO 8

Solución de una desigualdad Resuelve la desigualdad: 4x + 7 > 2x - 3 Haz una gráfica del conjunto solución.

Solución

4x + 7 > 2x - 3 4x + l — 7 > 2 x - 3 — 1 4x > 2x - 10

Simplifica.

4x — 2x > 2jc — 10 — 2.r 2x > -1 0

R esta 2x en ambos lados. Simplifica.

2x -1 0 --- > -----

2

R esta 7 de ambos lados.

Divide ambos lados entre 2. (El sentido del símbolo de desigualdad no cambia).

2

* > -5

Simplifica.

Figura 4

- 1----- f-----1------1---L -6

-5

-4

-3

-2

—i -1

El conjunto solución es {* | x a —5} o, usando notación de intervalos, todos los núme ros del intervalo [—5, oo). Ver figura 4 para la gráfica.

k,“ ®“ ^-Resiielve ahora

e l

p r o b l e m a

5 3

4 Solución de d esigualdades com binadas

EJEM PLO 9

Solución de una desigualdad combinada Resuelve la desigualdad: - 5 < 3x - 2 < 1 Haz una gráfica del conjunto solución.

Solución

Recuerda que la desigualdad —5 < 3x —2 < 1 es equivalente a las dos desigualdades -5 < 3 * - 2

y

3x —2 < 1

S E C C IÓ N 1.5


125

Resolvemos cada desigualdad por separado 3x - 2 < 1

- 5 < 3* — 2 - 5 + 2 < 3 x —2 + 2

, . .

.

.

Suma 2 a ambos lados.

—3 < 3jc

Simplifica.

3x < 3

-3 3* — < — 3 3


—

-1 < x

Simplifica.

'------ 1------(------1------)------L

1

<

3 3

* < 1

—1 < x

F ig u r a 5

0

3x 3

El conjunto solución del par original de desigualdades consiste en todas las x para las cuales

I I

-3 - 2 - 1

3x — 2 + 2 < l + 2

2

x < 1

Esto se puede escribir de forma más resumida como {jc| - 1 < x < 1}. En notación de intervalos, la solución es (- 1 ,1 ) . Ver figura 5 para la gráfica. Observa que en el procedimiento anterior la solución de las dos desigualdades requirieron exactamente los mismos pasos. Un atajo para resolver la desigualdad original de manera algebraica es trabajar con las dos desigualdades al mismo tiempo, de la siguiente manera: -5 < 3x — 2 < 1 5 + 2 < 3 x —2 + 2 C 1 + 2 3x -3 < < 3 3x -3 3 — < < 3 3 T -1 < X < 1

EJEM PLO 10

Suma 2 en cada parte. Simplifica. Divide cada parte entre 3. Simplifica.

Solución de una desigualdad combinada Resuelve la desigualdad:

„ 3 — 5jc -1 < — -— < 9

Haz una gráfica del conjunto solución.

Solución

-1 < 2 (-l)

3 — 5x 2

< 9

3 - 5*

2(9)

-2 < 3 - 5x < 1 8 3 ^ 18 — 3 - 2 - 3 < 3 - 5x

F ig u ra 6

-5 < -5 > — -5

—5x —5jc ^5~

< 15 15 > — -5

1> -3 <

x X

> -3 < 1

+-

Multiplica cada parte por 2 para eliminar el denominador. Simplifica. Resta 3 en cada parte para aislar al término que contiene a x. Simplifica. Divide cada parte entre —5 (invierte el sentido de cada símbolo de desigualdad). Simplifica. Invierte el orden de manera que los números crezcan de izquierda a derecha.

-4 -3 -2 -1 El conjunto solución es {x| - 3 s x < 1), esto'es, todas las x del intervalo [-3 , 1]. La figura 6 muestra la gráfica.

Resuelve ahora

el

problema

73

126

C A P ÍT U L O 1


EJEM PLO

11

Uso de la propiedad del recíproco para resolver una desigualdad Resuelve la desigualdad: (4x — l ) “1 > 0 Haz una gráfica el conjunto solución.

Solución

Como (4 x - 1)-1 = — -— y como la propiedad del recíproco establece que cuando v 4x - 1 —> 0 entonces a > 0, tenemos a

(4 x - l ) ' 1 > 0

— -—

4x - 1

> 0

4x — 1 > 0

Propiedad del recíproco.

4x > 1

1 * > 4 F ig u ra 7

i------ 1---- ■*->- El conjunto solución es

esto es, todas las x en el intervalo

oo^. La

figura 7 muestra la gráfica. Resuelve ahora EJEM PLO

12

el

83

p r o b l e m a

Creación de desigualdades equivalentes Si - 1 < x < 4, encuentra a y b tal que a < 2x + 1 < b.

Solución

La idea aquí es cambiar la parte central de la desigualdad combinada de x a 2x + 1 usando las propiedades de las desigualdades. -1 < X < 4 -2 < 2x < 8 -1 < 2x + 1 < 9

Multiplica cada parte por 2. Suma 1 a cada parte.

Entonces a - —1 y ¿> —9. Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

91

Aplicación EJEM PLO

13

Física: Ley de Ohm En electricidad, la ley de Ohm establece que E = IR , donde E es el voltaje (en volts), I es la corriente (en amperes) y R es la resistencia (en ohms). Una unidad de aire acon dicionado tiene una resistencia de 10 ohms. Si el voltaje varía de 110 volts a 120 volts, entonces, ¿cuál será el intervalo de corriente que consuma el aire acondicionado?

Solución

El voltaje está entre 110 y 120, así que 110 110 110 110 10 11

< E < 120 < I R < 120 < 7(10) < 120 i m 120 " 10 10 < I < 12

Ley de Ohm, E = /R K

= 10

Divide cada parte entre 10. Simplifica.

El aire acondicionado usará entre 11 y 12 amperes de corriente.

•J

S E C C IÓ N 1.5


127

1‘,5 E v a lú a tu e n te n d im ie n to "¿Estás listo?" L a s respuestas se dan al fin a l de los ejercicios. S i obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. Gráfica la desigualdad x

2. Verdadero o falso

- 2 . (pp. 17-26)

- 5 > 3 (pp. 17—26)

Conceptos y vo cabulario 3. Si cada lado de una desigualdad se multiplica por un nú mero _____________, entonces el sentido del símbolo de la desigualdad se invierte.

E n los problem as 6 -9 , supón que a < b y c < 0.

4. U n _______________________ _________ _____________, que se denota como [a, b ], consiste en todos los números reales x para los que a s .v < b. 5. La . establece que el sentido o dirección de una desigualdad se mantiene igual si cada lado se multiplica por un número positivo, mientras que la dirección se invierte si cada lado se multiplica por un número negativo.


a + c < b +c


a —c < b - c


ac < be


—< — c c

10. Verdadero o falso El cuadrado de cualquier número real es siempre no negativo.

Ejercicios E n los problem as 11-16, expresa la gráfica mostrada en el tono más claro usando notación de intervalos. También expresa cada una como una desigualdad que incluya a x.

.

11

1

-1

14. -1

H-

.

12

4-

- J------- (r -2

15. -1

1

-1

+-

1

4-

13.

+■

1

-1 16.

1

-1

E n los problem as 17-22 se da una desigualdad. Escribe la desigualdad obtenida si: a) b) c) d)

Sumas 3 de cada lado de la desigualdad dada. Restas 5 de cada lado de la desigualdad dada. M ultiplicas cada lado de la desigualdad dada p o r 3. M ultiplicas cada lado de la desigualdad dada p o r - 2 .

17. 3 < 5

18. 2 > 1

19. 4 > - 3

20. - 3 > - 5

22. 1 - 2x > 5

21. 2x + 1 < 2

E n los problemas 23-30 escribe cada desigualdad usando notación de intervalos e ilustra cada desigualdad usando la recta de los números reales.

, 23. 0 < x < 4 27. x > 4

24. - 1 < x < 5

25. 4 < x < 6

26. - 2 < x < 0

28. x < 5

29. x < - 4

30. x > 1

E n los problemas 31 -3 8 escribe cada intervalo como una desigualdad que incluya a x e ilustra cada desigualdad usando la recta de los números reales.

k31. [2,5] 35. [4,oo)

32. (1,2)

33. ( - 3 , - 2 )

34. [0,1)

36. ( -o o ,2 ]

37. ( - o o ,- 3 )

38. ( -8 , oo)

E n los problemas 39 -5 2 completa la desigualdad con el símbolo adecuado. <39. Si x < 5, entonces x — 5

0.

41. Six > - 4 , entonces x + 4

0.

40. Six < - 4 , entonces x + 4

- 0.

42. Six > 6, entonces x - 6

0.

43. Si x s - 4 , entonces 3x

-12.

44. Six s 3, entonces 2x

45. Six > 6, entonces -2 x

-12.

46. Six > - 2 , entonces -4 x

8.

47. Six s 5, entonces - 4 x

-20.

48. Six ^ - 4 , entonces -3 x

12.

49. Si2x > 6, entonces x 51. S i~ x * — 3, entonces x

50. Si3x < 1 2 , entonces x

3. -6 .

52. Si ——x > 1, entonces x

6.

4. -4 .

128

C A P ÍT U L O I


i respuesta

u sa n d o

notación de conjunto» o notación d e intervalo»

lla r

una gráfica del conjunto solución.

\

53. a + 1 < 5

54. a - 6 < 1

55. 1 - 2» * 3

56. 2 - 3a s 5

57. 3a - 7 > 2

58. 2s + 5 > 1

59. 3a - 1 a 3 + .v

60. 2a - 2 a 3 + a

61. -2 (x + 3) < 8

62. -3(1 - a) < 12

63. 4 - 3(1 - a ) s 3

64. K - 4(2 - x) s -2a

65. ~ ( x ~ 4 ) > a + 8

66. 3a + 4 > ^ ( a - 2)

67.

68. - 2 2 + 7 3 6

69. í) s» 2a - 6 s 4

70. 4 s 2 i + 2 s lü

71. -5 £ 4 - 3.v £ 2

72. -3 s 3 - 2a 25 9

74. 0 < Í ± i < 4

75. 1 < 1 - ~x < 4

76.

78. (.r - 1)( a + 1) > ( a - 3)(x + 4)

79. a(4 a ♦ 3) 25 (2a * 1):

X

„

,

X

(4a + 2 )'1 < 0

“ • 2 £

A + 1 3

3

81

< 4

V

83.

1

- 5) £ (3x - I ) 2

A 4

1

a (9 a

V

80.

-

\73. - 3 < í' - | <0 4 o

' 77. { x + 2 ) ( x - 3) > (.v - l)(jr + 1)

A ■£ 2

A+ 1

1 3

2

2 ^ 3

3

\

X,

^ 84. ( 2 a - 1) 1 > 0

A

5

88. 0 < (3 a + 6 )'1 < ~

87. 0 < (2a - 4) 1 <

^~ 8 6 . < ) < ! < ? 1 * 3

85. 0 < - < ~

A p li c a c io n e s y E x t e n s io n e s En los problemas S9 -9 S, determina a y b.

89. Si -1 < .v < 1, entonces a < x + 4 < b. 90. Si - 3 < ,v < 2, entonces a < x - 6 < b. \

91. Si 2 < .v < 3, entonces a < - 4 a < b.

a) ¿Hasta qué edad puede esperar visir un hombre pro medio de 30 años? Expresa tu respuesta como una desigualdad.

92. Si - 4 < x < 0, entonces a < - x < b.

b) ¿Hasta que edad puede esperar visir una mujer pro medio de 30 años? Expresa tu respuesta como una desigualdad.

93. Si 0 < x < 4. entonces a < 2x + 3 < b.

c)

94. Si - 3 < x < 3, entonces a < 1 —2x < b. 95. Si - 3 < x < 1. entonces a < —

- < />.

x + 4

96. Si 2 < .v < 4, entonces a < ------ - < /». x - 6

¿Quién puede esperar vivir más. un hombre o una mujer? ¿Por cuántos años mas? I n em e: A d m in is tr a c ió n d e S e g u rid a d S octaL P e rio d o d e vida. 2005

f* v

¿ O

97. Si 6 < 3.v < 12, entonces a < a 2 < b. 98. Si 0 < 2v < 6, entonces a < x3 < b. 99. ¿Cuál es el dominio de la variable en la expresión V 3.v + 6?

200b

2050

100. ¿Cuál es el dominio de la variable en la expresión V o + 2.v? 101. Un adulto joven se define como una persona mayor de 21, pero menor de 30 años. Expresa esta proposición usando desigualdades. 102. Se puede definir a las personas de edad madura como aquellas que tienen más de 40 y menos de 60 años. Expresa esta proposición usando desigualdades.

e

Esperanza de vida La administración del Seguro Social determinó que en 2005 el hombre promedio de 30 años podía esperar vivir por lo menos 46.60 años más y la mu jer promedio de 30 años podía esperar vivir por lo menos 51.03 años más.

104. Química general Para cierto gas ideal, el volumen 1' (en centímetros cúbicos) es igual a 20 veces la temperatura T (en grados Celsius). Si la temperatura vana de 80‘‘ a 120*0. ¿cuál es el intervalo correspondiente del volumen del gas? * 105. Bienes raíces Un agente de bienes raíces acepta vender unos departamentos de acuerdo con el siguiente programa de comisiones: $45.000 más 25% del precio de venta que exeeda de $900.000. Suponiendo que los departamentos se venderán en un precio entre S900.000 \ $1.100.000., en qué interv alo varia la comisión del agente? ¿Como vana la comisión como porcentaje del precio de venta?

S E C C IÓ N 1.5

106.


129

Comisión de ventas Un vendedor de autos usados reci

113. Cálculo de calificaciones En tu clase de economía de pri

be una comisión de $25 más 40% del precio de venta que exceda el costo del dueño. El dueño asegura que los au tos usados normalmente se venden al menos en el costo del dueño más $21X1 y a lo mucho al costo del dueño más $3000. Por cada venta realizada, ¿en qué intervalo puede esperar el vendedor que varíe su comisión?

mer grado, obtuviste calificaciones de 68, 82, 87 y 89 en los primeros cuatro de cinco exámenes. Para obtener una calificación de B, el promedio de las calificaciones de los primeros cinco exámenes debe ser mayor o igual que 80 y menor que 90. a) Resuelve la desigualdad para encontrar el intervalo de calificaciones que necesitas en el último examen para obtener una B. b) ¿Qué calificación necesitas si el quinto examen cuenta el doble?

107. Retención de impuesto federal El método de porcentaje para retener el impuesto federal sobre ingresos (2010) es tablece que a una persona cuyo salario semanal, después de descontar las retenciones, es mayor que $693 pero me nor que $1302, se le debe retener $82.35 más el 25% de lo que exceda a $693. ¿En qué intervalo varía la cantidad retenida si el salario semanal varía entre $700 y $900?

¿Qué necesito para obtener una B?

Fuente: Em ployer’s Tax Guide. Internal Revenue Sen-ice, 2010.

108. Ejercicio Sue quiere bajar de peso. Para una pérdida sana de peso, el Colegio Americano de Medicina Deportiva (ACSM, por sus siglas en inglés) recomienda entre 200 y 300 minutos de ejercicio a la semana. Los primeros seis días de la semana Sue hizo 40,45,0,50,25 y 35 minutos de ejerci cio. ¿Cuántos minutos de ejercicio deberá hacer Sue el sép timo día para cumplir con las recomendaciones del ACSM?

114. Comidas “light" Para poder etiquetar alimentos como

109. Tarifas de electricidad El precio que la Compañía Commonwealth Edison cobró por electricidad en enero de 2010 fue de 9.44? por kilowatt-hora. Además, cada reci bo mensual contiene un cargo al consumidor de $12.55. Si los recibos del año pasado variaron desde $76.27 hasta $248.55, ¿en qué intervalo varió el consumo de electrici dad (en kilowatt-horas)?

115.

El número a + - se llama la media aritmética de a y b.

Fuente: Commonwealth Edison Co., Chicago, Illinois, 2010.

110. Recibos de agua El pueblo de Oak Lawn cobra a los propietarios de casas $37.62 cada cuatro meses más $3.86 por cada 1000 galones de agua usados después de 10,000 galones. En 2010 el recibo de un propietario varió del más bajo igual a $122.54 hasta el más alto de $68.50. ¿En qué intervalo varió el uso de agua? Fuente: Village o f O ak Law n, Illinois, Enero 2010.

116. 117. 118.

111. Aumento en el precio de un auto nuevo El aumento del costo del vendedor a un auto nuevo varía entre 12% y 18%. Si el precio marcado es de $18,000, ¿en qué intervalo varía el costo del vendedor?

119.

2 Retoma el problema 115 como referencia. Demuestra que la media aritmética de a y b es equidistante de a y b. Media geométrica Si 0 < a < b, demuestra que a < V a b < b. El número Vafe se llama la media geomé trica de a y fe. Retoma los problemas 115 y 117 como referencia. De muestra que la media geométrica de a y fe es menor que la media aritmética de a y fe. Media armónica Para 0 < a < fe, sea h definida por 1 = 1 /1 1\ h

112. Prueba de CI Un examen estándar de coeficiente inte lectual tiene como promedio 100. De acuerdo con las es tadísticas de las personas que hacen el examen, el 2.5% de los que obtengan las calificaciones más altas tendrán calificaciones de más de 1.96o sobre el promedio, donde o (sigma, un número llamado desviación estándar) depende de la naturaleza del examen. Si o = 12 para este examen y, en principio, no hay límite superior posible de calificación, escribe el intervalo de calificaciones posibles para el 2.5% de las personas con las calificaciones más altas.

“light”, la Administración de Comida y Medicinas de los Estados Unidos requiere que el producto alterado con tenga un tercio o menos calorías que el producto regular o que contenga la mitad o menos grasa que el producto regular. Si una porción de crema batida light contiene 20 calorías y 1.5 gramos de grasa, ¿qué es cierto respecto al número de calorías o los gramos de grasa en una porción de crema batida regular? „. . , a + b Media aritmética Si a < b, demuestra que a < —- — < b.

120.

121.

2 \a + b )

Demuestra que a < fe < fe. El número fe se llama la media armónica de a y fe. Retoma los problemas 115,117 y 119 como referencia. De muestra que la media armónica de a y b es igual a la media geométrica elevada al cuadrado y dividida entre la me dia aritméticá. Otra propiedad del recíproco Demuestra que si 0 < a < fe, 1 1 entonces 0 < — < - . fe a

Explicación de conceptos: discusión y escritura 122. Inventa una desigualdad que no tenga solución. Inventa

una que tenga exactamente una solución. 123. La desigualdad*2 + 1 < - 5 no tiene solución real. Explica por qué. 124. ¿Prefieres usar la notación de desigualdades o la notación de intervalos para expresar la solución a una desigualdad? Explica tus razones. ¿Hay circunstancias especiales en las que prefieras una sobre la otra? Da ejemplos.

125. ¿Cómo le explicarías a un compañero las razones que sir ven de base para las propiedades de la multiplicación de desigualdades (página 122), es decir, el sentido o dirección de una desigualdad se mantiene igual si cada lado se mul tiplica por un número real positivo, mientras que la direc ción se invierte, si cada lado se multiplica por un número real negativo?

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" i.

-+ -4

-2

2. Falso 0

130

C A P ÍT U L O I


1.6 Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto P r e p a r a c ió n


A n tes de em pezar, repasa lo siguiente:

• Bases de álgebra (capítulo R. sección R.2, pp. 17-26) Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 132.

\

OBJETIVOS 1 Resolver ecuaciones con valor absoluto (p. 130) 2 Resolver desigualdades con valor absoluto (p. 130)

1 Solución de ecuaciones con valor absoluto Recuerda que, en la recta de los números reales, el valor absoluto de a es igual a la distancia del origen al punto cuya coordenada sea a. Por ejemplo, existen dos puntos cuya distancia desde el origen es de 5 unidades, - 5 y 5. Por lo tanto, la ecuación | x j = 5 tendrá el conjunto solución (-5 , 5). Esto nos lleva al resultado siguiente:

TEOREM A

Si a es un número real positivo y u es cualquier expresión algebraica, entonces es equivalente a u = a

\u \ = a

EJEM PLO 1

o

u = -a

(1)

Solución de una ecuación con valor absoluto Resuelve las ecuaciones: (a) \ x + 4| = 13

Solución

(b) | 2r - 3 1 + 2 = 7

(a) Presenta la forma de la ecuación (1), donde u = x + 4. Por lo tanto, existen dos posibilidades. * + 4 = 1 3 o x + 4 = - 13 .v = 9 o x = -1 7 El conjunto solución es {—17, 9}. (b) La ecuación | 2t - 3| + 2 = 7 no presenta la forma de la ecuación (1). Por lo tanto, procedemos de la siguiente manera: |2.v - 3| + 2 = 7 \2x — 3| = 5 2x - 3

=

5 o

2x - 3

=

-5

2x

=8 o

2.v = - 2

x

=4 o

x = -1

Resta 2 de

c a ía b j :

A p lica (l).

El conjunto solución es {-1 ,4 ). = 3=I"-Resuelve ahora el p r o b l e m a

9

2 Solución de d esigualdades con valor absoluto

EJEM PLO 2~~] Solución de una desigualdad con valor absoluto Resuelve la desigualdad | -V| < 4 Figura

8

Solución

Menos de 4 unidades H — desde el origen 0 ------H

0 _j — (__ i__ i__ i__ i_i__ i__ i__ -5 -4 -3 -2 -1

0 1

2

3

4

Estamos buscando todos los puntos cuya coordenada .v esté a una distancia menor de 4 unidades desde el origen. La figura 8 ilustra la situación. Como cualquier numero .v entre - 4 y 4 satisface la condición | .v| < 4, el conjunto solución consiste en todos los números x para los cuales - 4 < x < 4. esto es. todas las .v del intervalo ( - 4 .4 ) . J

S E C C IÓ N 1.6

TEOREM A

Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto

131

Si a es un número positivo y si u es una expresión algebraica, entonces |u|<

a

es equivalente a

- a 0 ______i_____

J La figura 9 ilustra la proposición (3).

EJEM PLO 3

Solución de una desigualdad con valor absoluto Resuelve la desigualdad: | 2 x + 4 1< 3 Haz una gráfica del conjunto solución.

Solución

+ 4| < 3

\2x

E sto sigue la forma de la proposición (3 ), la expresión u = 2x + 4 e stá dentro de las barras de valor absoluto.

-3 < 2x + 4 <3 -3-4<2* + 4- 4 < 3 -4 -7 < 2x < -1 -7 2x -1 ---- < --< ---2 2 2 -Z á

1______L

.1

2

-2

-4 1o

7

2

2

EJEM PLO 4

1 ’

2

Simplifica. Divide cada parte entre 2.

2 f


g u ra 1 0

Resta 4 de cada parte.

Simplifica.

x

2

Aplica la proposición (3 ).

7

1j

esto es, todas las

x

en el intervalo

. Ver figura 10 para la gráfica del conjunto solución.

Solución de una desigualdad con valor absoluto Resuelve la desigualdad: | 1 - 4x | < 5 Haz una gráfica del conjunto solución.

Solución

|l — 4jc| < 5

E s ta expresión sigue la forma de la proposición (2), la expresión u — 1 — 4x está dentro de las barras de valor absoluto. Aplica la proposición (2).

-5 < 1 - 4x < 5 -5 - 1 < 1 - 4x - 1 < 5 - 1 -4x < 4 -6 < 4 -6 -4x — > > — -4 -4 -4 3 - > > -1 X

Resta 1 de cada parte. Simplifica. Divide cada parte entre —4, lo cual invierte el sentido de los símbolos de desigualdad. Simplifica.

2 - 1

<

X

3 < -

Arregla el orden.

2

F ig u ra 11

1--- 1--- 1--- 1--- ^__L 1 ) 1 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 122 2

El conjunto solución es j .xj—1 < 1 3

4

X

3j / 3\ < —>, esto es, todas las x del intervalo 1 - 1 , — V

Ver figura 11 para la gráfica del conjunto solución. Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

3 9

132

c a pí

l'U L O I


EJEM PLO 5

Solución de una desigualdad con valor absoluto Resuelve la desigualdad: | x \ > 3 Ha/ una gráfica el conjunto solución.

Solución F ig u ra 12

J ____I____I---- L

-5 -4 -3 -2 -1

0

1 2

-í— t3

4

Estamos buscando todos los puntos cuya coordenada x esté a una distancia mayor de 3 unidades desde el origen. La figura 12 ilustra la situación. Concluimos que cual quier númerox menor que —3 o mayor que 3 satisface la condición | x | > 3. Ln conse cuencia, el conjunto solución consiste en todos los números x para los cuales x < - 3 o x > 3, esto es, todas las x en ( -oo, - 3 ) U (3, o c ).*

TEOREMA

Si a es un número positivo y u es una expresión algebraica, entonces

F ig u ra 13

|í/| > a, a > 0 i 0

iJ -a

es equivalente a

u < - u

o

u> u

(4)

| »| > a

es equivalente a

u

s -a

o

u

Í5)

a

J

rL *p *r

La figura 13 ilustra la proposición (5).

a

EJEM PLO 6

|tí|>fl

Solución de una desigualdad con valor absoluto Resuelve la desigualdad: | 2 x - 5 1 > 3 Haz una gráfica del conjunto solución.

Solución

\2 x

— 5| > 3

e stá

2x

-5

- 5 < -3

o

2.r - 5 > 3

+ 5 < -3 + 5

o

2.r - 5 + 5 > 3 + 5

2.r < 2 2x

2

2

2

— < x

F ig u ra 14

■ -1' - 1 1 - 2 -1

0 1

_!►*.

1 2

3

4

5

6

7

forma de la proposición ( 4 ) . la «presión u = 2x dentro de la s b a r r a s de va lo r a b so lu to .

E s t o sig u e la

<

1

o

2.r > 8

o

— > -

o

,r > 4

2x

8

2

2

—5

A p lica la p ro p o rc ió n (4 ). 5um a 5 a

caaa

p a rte .

Sim p lifica. D ivide c a d a p a r t e

entre

2.

S im p lifica.

El conjunto solución es {.v | x < 1 o x > 4J, esto es. todas las x en ( -oo. 1) U (4, x.). V'er figura 14 para la gráfica del conjunto solución. I ADVERTENCIA Un e rro r com ún que s e debe de e v ita r e s t r a t a r de e s c r ib ir la so lu ció n * < 1 o * > 4 com o la d e sig u a ld a d co m b inad a 1 > x > 4 , lo cu a l, e s in c o rre c to debido a que

no e x iste n números p a ra

lo s c u a le s 1 > x y x > 4 .

........ ...

Resuelve ahora

■

el

problema

43

*Recuerda que el símbolo U significa la unión de dos conjuntos. Consulta la página 2. si es necesario.

1.6 Evalúa tu en ten d im ien to ______________ ¿Estás listo? L a s respuestas se dan al final de los ejercicios. S i obtienes una respuesta incorrecta, lee las pát;¡nas marcadas entre paréntesis.

1. | ~ 2 | =

(PP- 1 7 -2 6 )

2.

\ 'erdadero o f a l s o

\x

|^

0

para todo número real .r.

(p p . 1 7 -2 6 )

Conceptos y vocabulario 3. El conjunto solución de la ecuación | .v| —0 es________. 4. El conjunto solución de la desigualdad | ,v| < 5 es (vl--------------------I-

5.

V e rd a d e ro o f a l s o

La ecuación | v | = -2 no tiene solu-

ción. 6.

V e rd a d e ro o f a l s o La desigualdad | v| ^ -2 tiene como conjunto solución al conjunto de los números reales.

4 S E C C IÓ N 1.6

Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto

133

Ejercicios E n los problem as 7-5 4 . resuelve caita ecuación.

7. |2.v| = 6

8. |3.t| = 12

II. |l - 4/| + 8 = 13

15. |-2| jc = 4 19.

t

2

3 * 5

23. 4 - |2.t|

27. 31.

r

-

*12. |1 - 2?| + 6 = 9

16. |3|.r = 9

=

2

20 .

X 2

=

3

24.

5 -

28.

1 x~

1c

3 jc - 2

=

3

—*)

2-t - 3

\3 2 .

1 3

1 2*

+

x\

2.c f 1 3.r

+4

\

9.

|2.v + 3 | = 5

> 13. |-2.v| = |8|

10.

|3.r - 1| = 2

*14. |-.,| = |l|

17. ||.r| = 9

m. j |. . | = 9

21. |m - 2|

22. \2 - v\ =

= - |

-1

25. |.r - 9| = 0

26.

29.

30. |.r2 + 3.v - 2| = 2

¡x2

+ .r - l| = 1

33. |.r + 3.v| = |jc2 - 2.v|

34.

\x2 - 16|

=0

\x2 - 2x\ = |.r2 + 6x\

E n los problem as 3 5 -6 2 , resuelve cada desigualdad. Expresa tu respuesta usando notación de conjuntos o notación de intervalos. Haz una gráfica del conjunto solución.

35. |2.t| < 8

36. |3.r| < 15

37. |3.c| > 12

38. 2-v| > 6

, 39. |.r - 2| + 2 < 3

40. \x + 4| + 3 < 5

41. |3r - 2| < 4

42. 2u + 5| < 7

, 43. |2.t - 3| 2: 2

44. |3.r + 4| > 2

45. |1 - 4.c| - 7 < - 2

46. 1 - 2.c| - 4 < -1

47. |1 - 2.c| > 3

48. |2 - 3.r| > l

49. |-4.r| + |—5| < 1

51. |-2.t| > |-3 |

52. |-.r - 2| > 1

53. -|2.r - 1| > - 3

54. -|1 - 2x\ > - 3

55. |2jc| < -1

56. |3.v| > 0

57. |5jc| s -1

58. |6.v| < - 2

i i 1 60. 3 — |jc + 1| < -

1 61. 5 + \x — l| > -

62.

59.

2.r + 3 3

1 < 1 2

y 50. - A ~ M * 2

2x - 3 2

1 > 1 ' 3

Aplicaciones y extensiones 63. Temperatura corporal La temperatura “normal” del

©

cuerpo humano es de 98.6°F. Si una temperatura x que di fiere de la normal por al menos 1.5° se considera no sana, escribe la condición para una temperatura no sana x como una desigualdad con valor absoluto y resuelve para .r.

64. Voltaje doméstico En Estados Unidos, el voltaje en las casas es de 110 volts. Sin embargo, no es raro que el voltaje real varíe del normal por al menos 5 volts. Expresa esta situación como una desigualdad con valor absoluto. Usa x como el voltaje real y resuelve para x.

65. Lectura de libros Una encuesta de Gallup que se llevó a cabo del 20 al 22 de mayo de 2005, encontró que los nor teamericanos leen en promedio 13.4 libros al año. Gallup está 99% seguro de que el resultado de esta encuesta difie re por menos de 1.35 libros del promedio real jc. Expresa esta situación como una desigualdad con valor absoluto y resuelve la desigualdad para jc para determinar el intervalo en el que cae el valor promedio real.

Nota: En estadística, a este intervalo se le conoce como un intervalo de confianza del 99%. 66 . Velocidad del sonido De acuerdo con información del Hill Aerospace Museum (Base de la Fuerza Aérea Hill, Utah), la velocidad del sonido varía dependiendo de la al titud, presión barométrica y temperatura. Por ejemplo, a 20,000 pies, 13.75 pulgadas de mercurio y -12.3°F, la ve locidad del sonido es de aproximadamente 707 millas por hora, pero la velocidad puede variar de este resultado has ta 55 millas por hora al cambiar las condiciones. a) Expresa esta situación como una desigualdad con va lor absoluto. b ) Usando jc como la velocidad del sonido, resuelve para .v con el fin de determinar un intervalo para la veloci dad del sonido. Expresa el hecho de que x difiere de 3 por menos de — 2 como una desigualdad con valor absoluto. Resuelve para jc. Expresa el hecho de que x difiere de - 4 en menos de 1 como una desigualdad con valor absoluto. Resuelve para jc. Expresa el hecho de que jc difiere de - 3 en más de 2 como una desigualdad con valor absoluto. Resuelve para x. 70. Expresa el hecho de que jc difiere de 2 por más de 3 como una desigualdad con valor absoluto. Resuelve para x.

C A P ÍT U L O I

134


80. Demuestra que | a - h \ ¿z | a| - | h \. [Sugerencia: Aplica la desigualdad del triángulo del pro blema 79 a | a| * | (a - h ) + h \ J. 81. Si a > 0, demuestra que el conjunto solución de la des igualdad x2 < a consiste en todos los números x para los cuales

En los problem as' 7 1 -7 6 , encuentra a y b.

71. 72. 73. 74.

Si | x - 11< 3, entonces a < x + 4 < b. Si | x + 2 1< 5, entonces a < x - 2 < b. Si | x + 4 1s 2, entonces a l x - 3 ^ b. Si | * - 3 1ts 1, entonces a 3x + 1 s b.

75. Si I x - 2 1^ 7, entonces a s

1 1

jc — 10

s h.

-V a < x < Va

1

76. Si | * + 11^ 3, entonces a £ ^ ¡ 7 5 s "• 77 . Demuestra que si a > 0, b > 0 y Va <

[Sugerencia:/) -

a

Vfe, entonces a < = (V5 - Va)(V/> + Va)-]

b.

78. Muestra que a s | a | 79. Demuestra la desigualdad del triángulo | a + b | s | a | + | b |. [Sugerencia: Expande | a + b |2 = (a + /))2y usa el resultado

82. Si a > 0, demuestra que el conjunto solución de la des igualdad x 1> a

consiste en todos los números x para los cuales x

< - Va

o

x >

Va

del problema 78], En los problemas 83 - 90, usa los resultados obtenidos en los problemas 81 y 82 para resolver cada desigualdad.

83. x 2 < 1

84. x2 < 4

85. x2 a 9

86. x 2 > 1

87. x2 — 16

88. V s 9

89. x2 > 4

90. x2 > 16

91. Resuelve |3x - |2x + lj| = 4.

92. Resuelve |x + |3x - 2|| = 2.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 93. La ecuación |x | = - 2 no tiene solución. Explica por qué.

95. La desigualdad | x | > 0 tiene el conjunto solución

94. La desigualdad | x | > -0.5 tiene a todos los números reales como solución. Explica por qué.

lr I x * ®). E xpl'ca P°r 9U¿-

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. 2

2. Verdadero

1.7 Solución de problemas con aplicaciones de: interés, mezcla, movimiento uniforme, trabajo a velocidad constante OBJETIVOS 1 Traducir descripciones verbales a expresiones matemáticas (p. 135)

2 Resolver problemas de interés (p.136) 3 Resolver problemas de mezclas (p. 137) 4 Resolver problemas de movimiento uniforme (p. 138)

5 Resolver problemas de trabajo a velocidad constante (p. 140)

Los problemas de aplicación (en palabras) no se encuentran en la forma “Resuel ve la ecuación...”. Por el contrario, proporcionan información usando palabras, una descripción verbal del problema real. Así es que para resolver problemas aplica dos, debemos poder traducir la descripción verbal al lenguaje de las matemáticas. Para esto usamos variables que representen cantidades desconocidas y luego encon tramos relaciones (como ecuaciones) que involucren estas variables. A este proceso se le conoce como m odelado matemático.

SECCIÓN 1.7 Solución de problemas con aplicaciones de: Interés, mezcla, movimiento uniforme, trabajo a velocidad constante

135

C u alq u ier solución del p ro b le m a m atem ático se d eb e c o m p ro b a r co n tra el p ro blem a m atem ático , la descripción verbal y el p ro b le m a real. V e r figura 15 p a ra una ilustración del proceso de modelado.

**v

,J

1 Traducción de descripciones verb ales a expresiones m atem áticas

EJEM PLO 1

Traducción de descripciones verbales a expresiones matemáticas (a) P ara el m ovim iento uniform e, la velocidad co n stan te de un o b jeto es igual a la distancia reco rrid a dividida e n tre el tiem po req u e rid o p a ra recorrerla. T ra d u c c ió n : Si r es la velocidad, d la distancia y t el tiem po, entonces r — —.

(b) Sea x un núm ero. E l n ú m ero 5 veces m ás grande que x es 5x. El n ú m ero 3 veces m en o r que x es x - 3. E l n ú m ero que excede a x en 4 es x + 4. E l n ú m ero que, cu ando sum a a x , da 5 es 5 —x .

------------------Resuelve ahora el p r o b l e m a

i

Siem pre verifica las unidades usadas p ara m edir las variables en un problem a apli cado. E n el ejem plo la , si r se m ide en millas po r hora, entonces la distancia d debe ser expresada en millas y el tiem po t debe ser expresado en horas. Es una buena costum bre verificar las unidades p ara estar seguro de que son consistentes y tienen sentido. A continuación se rep iten los pasos que se dieron an terio rm en te p ara resolver problem as aplicados:

Pasos para resolver problem as aplicados Paso 1: L ee el problem a cuidadosam ente, tal vez dos o tres veces. Pon atención

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4: Paso 5:

especial a la pregunta que se hace para identificar qué es lo que se está buscando. Si puedes, determ ina posibilidades realistas para la respuesta. A signa una letra (variable) para rep re sen ta r lo que estás buscando y, si es necesario, expresa cualquier cantidad restan te desconocida en té r m inos de esta variable. H az una lista de todos los hechos conocidos y tradúcelos a expresio nes m atem áticas. E stos pueden to m ar la form a de una ecuación o una desigualdad que incluya a la variable. Si es posible, dibuja un diagram a con la inform ación adecuada p ara ayudarte. E n ocasiones una tabla o gráfica son útiles. R esuelve la ecuación para la variable y después contesta la pregunta, g eneralm ente usando una oración com pleta. V erifica tu respuesta con los hechos del problem a. Si concuerda, ¡feli cidades! Si no, in tén talo o tra vez.

136

C A P ÍT U L O 1


2 Solución de problem as de interés El interés es dinero que se paga por el uso del dinero. La cantidad total del préstamo (ya sea de un banco para una persona en forma de préstamo o de una persona a un banco en forma de cuenta de ahorros) se llama capital. La tasa de interés, expresada como un porcentaje, es la cantidad cobrada por el uso del capital en un periodo de terminado de tiempo, generalmente anual (es decir, por año).

Fórmula de interés simple Si se pide un préstamo de P dólares por un periodo de t años a una tasa de inte rés anual r, expresada como un decimal, el interés / cobrado es / = P rt

(1)

El interés cobrado de acuerdo con la fórmula (1) se llama interés simple. Cuando uses la fórmula (1), asegúrate de expresar r como un decimal.

EJEM PLO 2

Finanzas: Cálculo del interés sobre un préstamo Supon que Juanita pide un préstamo de $500 por 6 meses con una tasa de interés simple de 9% al año. ¿Cuál es el interés que se cobrará a Juanita por el préstamo? ¿Cuánto deberá Juanita después de 6 meses?

Solución

La tasa de interés está dada por año, así que el tiempo real de la duración del présta mo tiene que ser expresada en años. El interés cobrado será el capital, $500, multipli cado por la tasa de interés (9% = 0.09) y por el tiempo en años,

Interés cobrado = / = P r t = (500)(0.09)

= $22.50

Después de 6 meses, Juanita deberá lo que pidió prestado más el interés: $500 + $22.50 = $522.50

EJEM PLO 3

Planeación financiera Candy tiene $70,000 para invertir y quiere una ganancia anual de $2800. lo cual, re quiere una tasa de retorno global de 4%. Puede invertir en un certificado de depósito asegurado por el gobierno, pero sólo paga 2%. Para obtener 4%. ella decide invertir parte de su dinero en bonos corporativos no asegurados que pagan 7%. ¿Cuánto debe invertir en cada tipo de inversión para lograr su objetivo?

Solución

P aso 1: Se buscan dos cantidades en dólares: el capital para invertir en los bonos

corporativos y el capital para invertir en los certificados de depósito. P aso 2: Sea x la cantidad (en dólares) que se va a invertir en bonos. Entonces 70.000

—x es la cantidad que se va a invertir en certificados. (¿Entiendes por qué?). P aso 3: Establecemos una tabla:

Capital ($)

Tasa

Tiem po (años)

In te ré s($)

Bonos

X

7% = 0.07

1

0.07x

Certificados

70,000 - x

2% = 0.02

1

0.02(70,000 - x)

Total

70,000

4% = 0.04

1

0.04(70,000) = 2800

t

SECCIÓN 1.7 Solución de problemas con aplicaciones de: interés, mezcla, movimiento uniforme, trabajo a velocidad constante

137

Como el interés total de la inversión es igual a 0.04(70,000) = 2800, tenemos la ecuación 0.07.V + 0.02(70,000 - x ) = 2800 (Observa que las unidades son consistentes: las unidades de los dos lados son dólar). P aso 4: 0.07* + 1400 - 0.02* = 2800

0.05* = 1400 * = 28,000 Candy deberá invertir $28,000 en bonos y $70,000 - $28,000 = $42,000 en certificados. P aso 5: El interés de los bonos después de 1 año es de 0.07($28,000) = $1960; el

interés de los certificados después de 1 año es de 0.02($42,000) = $840. El interés anual total es $2800, es decir, la cantidad requerida. j .

- Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

17

3 Solución de problem as de m ezclas Las refinerías algunas veces producen gasolina, la cual, es una mezcla de dos o más tipos de combustible; las panaderías ocasionalmente mezclan dos o más tipos de ha rina para su pan. Estos problemas se llaman problemas de mezclas ya que combinan dos o más cantidades para formar una mezcla.

EJEM PLO 4

Mezcla de café La gerente de Starbucks decide experimentar con una nueva mezcla de café. Ella mezclará un café colombiano de grado B que se vende por $5 la libra con un café árabe de grado A que se vende por $10 la libra para obtener 100 libras de la nueva mezcla. El precio de venta de la nueva mezcla será de $7 por libra y no deberá haber diferencia entre las ganancias de vender la nueva mezcla y de vender los otros tipos. ¿Cuántas libras de café colombiano grado B y de café árabe grado A se requieren?

Solución

Sea * el número de libras de café colombiano grado B. Entonces 100 —* es el número de libras del café árabe grado A. Ver figura 16.

F ig u r a 16

x

$5 por libra

$10 por libra

$7 por libra

libras de café colombiano grado B

100 - x libras de café árabe grado A

100 libras

+

de mezcla

Como no debe de haber diferencia entre vender el café de grados A y B y la mezcla, tenemos: í Precio por libra) í # de libras ) de grado B j \ d e grado B j

í Precio por libra ) í # libras ) _ í Precio por libra ) í # de libras ) de grado A J \ degrado A / ' \ de la mezcla / \d e la mezcla/

\

$5

*

\

+

$10

• (100 - *)

$7

100

138

C A P ÍT U L O 1


Tenemos la ecuación 5* + 10(100 - x ) = 700 5* + 1000 - 10* = 700 - 5 * = -3 0 0 * = 60 La gerente debe mezclar 60 libras de café colombiano grado B con 100 - 60 = 40 libras de café árabe grado A para obtener la mezcla deseada. y

Verifica:

. tc—

Las 60 libras de café grado B se venderían por ($5)(60) = $300 y las 40 libras de café grado A se venderían por ($10)(40) = $400; la ganancia total, $700, equivale a la ganancia obtenida de vender la mezcla, como se deseaba. ^ 1

Resuel ve ahora

e l

p r o b l e m a

21

4 Solución de problemas de movimiento uniforme Cuando los objetos se mueven con una velocidad constante, se dice que tienen mo vimiento uniforme. Cuando se conoce la velocidad promedio de un objeto, se puede interpretar como su velocidad constante. Por ejemplo, un ciclista que viaja a una velocidad promedio de 25 millas por hora está en movimiento uniforme. Fórm ula de m ovim iento uniform e Si un objeto se mueve a una velocidad promedio v, la distancia d recorrida en el tiempo t se da por medio de la fórmula (2)

d — vt

Esto es, Distancia = Velocidad • Tiempo.

EJEM PLO 5

Física: movimiento uniforme Tanya, una corredora de larga distancia, corre a una velocidad promedio de 8 millas por hora (mi/h). Dos horas después de que Tanya sale de su casa, tú sales en tu auto y sigues la misma ruta. Si tu velocidad promedio es de 40 mi/h, ¿Cuánto tiempo pasará para que alcances a Tanya? ¿Qué tan lejos estará cada uno de su casa?

Solución

Ver figura 17. Usamos t para representar el tiempo (en horas) que le toma a tu auto alcanzar a Tanya. Cuando esto ocurre, el tiempo total transcurrido para Tanya es de t + 2 horas.

Establece la siguiente tabla: Velocidad mi/h

Tiempo h

Distancia mi

Tanya

8

r+2

8(t + 2)

Honda

40

f

40f

SECCIÓN 1.7 Solución de problemas con aplicaciones de: interés, mezcla, movimiento uniforme, trabajo a velocidad constante

139

Como la distancia recorrida es la misma, llegamos a la siguiente ecuación: 8(/ + 2) = 40/ 8/ + 16 = 40/ 32/ = 16 / = x hora 2 \

Le tomará - hora al auto alcanzar a Tanya. Cada uno habrá recorrido 20 millas. V e r if ic a :

En 2.5 horas, Tanya recorre una distancia de (2.5)(8) = 20 millas. En ^ hora, el auto recorre una distancia de f ^1(40) = 20 millas, millas.

EJEM PLO 6 i

!

Física: movimiento uniforme Una lancha de motor viaja río arriba una distancia de 24 millas en un río cuya co rriente corre a 3 millas por hora (mi/h). El viaje de ida y vuelta toma 6 horas. Supo niendo que la lancha mantuvo una velocidad constante relativa al agua, ¿cuál fue la velocidad?

Solución l

Ver figura 18. Usamos r para representar la velocidad constante de la lancha re lativa al agua. Entonces la velocidad real río arriba es de r — 3 mi/h y la veloci dad real río abajo es r + 3 mi/h. Como distancia = velocidad x tiempo, entonces Distancia . Haz una tabla. T ,e m p 0 = w í d d S

Figura 18 Velocidad mi/h

-24 millas

Distancia mi

Río arriba

r- 3

24

Río abajo

r+3

24

Tiem po h

distancia velocidad 24

r- 3 24

r+3

Como el tiempo total de ida y vuelta es de 6 horas, tenemos: 24

24 r —3 r + 3 24(r + 3) + 24(r - 3)

6 6

Suma los cocientes en el lado izquierdo.

6

Simplifica.

6(r2 - 9)

Multiplica ambos lados por r 2 — 9.

0

Escribe en forma estándar.'

r2 - 8r - 9

0

Divide entre 6.

(r — 9)(r + 1)

0

Factoriza.

-1

Aplica la propiedad del producto cero y resuelre.

(r - 3 ) ( r + 3)

48r r2 - 9 48 r 6 r2 — 48r — 54

r = 9

o

r

Descartamos la solución r = —1 mi/h, así que la relocidad de la lancha con respecto al agua es de 9 mi/h. J

Resuelve ahora

el

problem a

27

140

C A P ÍT U L O !


^ Solución de problem as de trabajo a velocidad constante Esta sección involucra trabajos que se realizan a velocidad constante. Nuestra supo sición es que si un trabajo se puede realizar en t unidades de tiempo, entonces - del trabajo se realiza en 1 unidad de tiempo. EJEM PLO 7

Trabajando juntos para realizar una tarea El padre de Danny le pide a las 10 am quitar las hierbas del jardín. Como lo ha hecho antes, Danny sabe que le tomará 4 horas si trabaja solo. A su hermano mayor, Mike. le toma 6 horas hacer el mismo trabajo. Como Mike quiere ir a jugar golf con Danny y tiene una reservación para la 1 pm, acepta ayudar a Danny. Suponiendo que no hay perdida ni ganancia en la eficiencia, ¿a qué hora terminarán si trabajan juntos? ¿Podrán llegar a su cita de golf a tiempo?

Solución

Realiza la tabla 2. En 1 hora, Danny hace - del trabajo y en 1 hora Mike hace - del 4 6 trabajo. Sea t el tiempo (en horas) que les toma hacer el trabajo juntos. En 1 hora. entonces, - del trabajo estará completo. El razonamiento es el siguiente:

Tabla 2

Danny

t H o ra s p a ra

P a rte d el

h a c e r el

t r a b a jo h e c h a

tr a b a jo

e n 1 h o ra

4

Mike

6

Juntos

t

1

/Parte hecha por Danny\ \ en 1 hora )

/Parte hecha por Mike\ _ / Parte hecha juntos en 1 hora / \ en 1 hora

\

De la tabla 2,

4

1

1

1

2_

t 1

—+ — 4 6

1 6 3_

1

12 + 12

t

_5_

t 1_

12

t

5 1 = 12 t = —

Si trabajan juntos, el trabajo se puede terminar en

yy

horas o 2 horas 24 minutos.

Llegarán a tiempo a jugar golf, ya que terminarán a las 12:24 p.m. Resuelve ahora

EL P R O B L E MA

33

1.7 Evalúa tu en ten d im ien to Conceptos y vocabulario 1. El proceso de usar variables para representar cantidades desconocidas y después encontrar relaciones que involu cran a estas variables se conoce com o________________ . 2. El dinero que se paga por el uso del dinero se llama 3. Se dice que los objetos que se mueven a velocidad constan te están e n ________________ ______________ _. 4. Verdadero o fa lso A la cantidad cobrada por el uso de capital por un periodo dado de tiempo se le llama la tasa de interés.

5. Verdadero o fa lso Si un objeto se mueve con una veloci dad promedio v. la distancia d recorrida en el tiempo / se da por medio de la fórmula d = vi. 6. Supon que quieres mezclar dos tipos de café para obtener 100 libras de mezcla. Si x representa el número de libras de café A, escribe una expresión algebraica que represente el número de libras de café B .

S E C C IÓ N 1.7

Solución de problemas con aplicaciones de: interés, mezcla, movimiento uniforme, trabajo a velocidad constante

141

Aplicaciones y extensiones E n los problem as 7 - 16, traduce cada oración a una ecuación matemática. Asegúrate de identificar el significado de todos los símbolos.

V

7. Geometría El área de un círculo es el producto del número 7r por el cuadrado del radio. 8.

Geometría La circunferencia de un círculo es el produc to del número tt por dos veces el radio.

9. Geometría El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de uno de sus lados.

10. Geometría El perímetro de un cuadrado es igual a cua tro veces la longitud de un lado.

11. Física La fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración.

I La presión es igual a la fuerza por unidad de área.

12. Física 13. Física El trabajo es igual a la fuerza por la distancia. 14. Física La energía cinética es igual a un medio del produc to de la masa por el cuadrado de la velocidad.

15. Negocios El costo variable total de la fabricación de

x

lavaplatos es de $150 por lavaplatos multiplicado por el número de lavaplatos fabricados.

16. Negocios La ganancia total de vender x lavaplatos es de $250 por cada lavaplatos multiplicado por el número de lavaplatos vendidos.

23. Negocios: mezcla de nueces Una tienda de nueces vende nuez de la India por $9.00 la libra y almendras por $3.50 la libra. Pero al final del mes las almendras no se han vendido bien, así que para vender 60 libras de almendras, el geren te decide mezclar las 60 libras de almendras con algunas nueces de la India y vender la mezcla por $7.50 la libra. ¿Cuántas libras de nuez de la India debe mezclar con las almendras para asegurar que no haya cambio en las ganan cias?

24. Negocios: mezcla de dulces Una tienda de dulces vende cajas de dulces que contienen caramelos y cremas. Cada caja se vende por $12.50 y contiene 30 piezas de caramelo (todas las piezas son del mismo tamaño). Si producir los caramelos cuesta $0.25 y producir las cremas cuesta $0.45, ¿cuántos se necesitan de cada uno en una caja para obte ner una ganancia de $3?

25. Física: movimiento uniforme Una lancha de motor pue de mantener una velocidad constante de 16 millas por hora con relación al agua. La lancha completa un viaje río arri ba hasta un cierto punto en 20 minutos, el viaje de regreso tarda 15 minutos. ¿Cuál es la velocidad de la corriente? Ver Figura.

V17. Planeación Financiera Betsy, quien recientemente se ju biló, requiere $6000 de ingresos adicionales al año. Tiene $50,000 para invertir en bonos de clasificación B que pa gan 15% al año o en certificados de depósito (CD) que pagan 7% al año. ¿Cuánto dinero debe invertir en cada uno para obtener exactamente $6000 de intereses al año?

18. Planeación financiera Después de 2 años, Betsy (ve el problema 17) se da cuenta de que ahora necesita $7000 al año. Suponiendo que la demás información es la misma, ¿cómo debe reinvertir su dinero?

19. Operaciones con bancos Un banco prestó $12,000, una parte a una tasa del 8% al año y el resto a una tasa del 18% al año. Si el interés recibido fue de $1000, ¿cuánto se prestó con la tasa del 8%?

20. Operaciones con bancos Wendy, una ejecutiva de prés tamos en un banco, tiene $1,000,000 para prestar y se le pide obtener una tasa de retorno promedio del 18% al año. Si puede dar préstamos con una tasa de 19% o con una de 16%, ¿cuánto puede prestar con la tasa de 16% para cumplir con su requerimiento?

V 2 1 . Mezcla de tés La gerente de una tienda que se especia liza en la venta de té decide experimentar con una nueva mezcla. Ella mezclará un té Earl Grey que se vende por $5 la libra con un té Orange Pekoe que se vende por $3 la libra para obtener 100 libras de la nueva mezcla. El precio de venta de la nueva mezcla será de $4.50 por libra y no deberá haber diferencia en la ganancia de vender la nueva mezcla y vender los otros tipos. ¿Cuántas libras de té Earl Grey y Orange Pekoe se requieren?

26. Física: movimiento uniforme Una lancha de motor viaja río arriba en un río que tiene una corriente de 3 millas por hora. El viaje río arriba tarda 5 horas y el viaje de regreso tarda 2.5 horas. ¿Cuál es la velocidad de la lancha? (Supon que la lancha mantiene una velocidad constante con rela ción al agua).

Física: movimiento uniforme Una lancha de motor man tuvo una velocidad constante de 15 millas por hora con relación al agua en su viaje de 10 millas río arriba y de regreso. El tiempo total del viaje fue de 1.5 horas. Usa esta información-para encontrar la velocidad de la corriente. 28. Física: movimiento uniforme Dos autos entran a la auto pista de Florida por el Boulevard Comercial a las 8:00 a.m, cada uno dirigiéndose a Wildwood. La velocidad promedio de un auto es de 10 millas por hora más que la del otro. El auto que va más rápido llega a Wildwood a las 11:00 a.m, - hora antes que el otro auto. ¿Cuál era la velocidad pro2 medio de cada auto? ¿Qué tan lejos viajó cada uno?

22. Negocios: mezcla de café Un fabricante de café quiere

29. Bandas móviles automáticas La velocidad de una banda

vender una nueva mezcla de café por $3.90 la libra mez clando dos tipos de café que se venden por $2.75 y $5 por libra respectivamente. ¿Qué cantidades de cada café tiene que usar para obtener la mezcla deseada?

móvil automática es generalmente 2.5 pies por segundo. Karen recorre 50 pies en ese tipo de banda en 40 segundos. El recorrido es en la dirección del movimiento de la banda y luego de regreso en dirección opuesta al movimiento de la banda. ¿A qué velocidad camina normalmente Karen?

[Sugerencia: Supon que la masa total de la mezcla deseada de café es de 100 libras].

Fuente: Answers.com

142 30.

C A P ÍT U L O

1


Hundas m óv iles au tom á tica s La estación d e tren d e Ciare M on lp arn assc en París tien e una versión de banda m óvil a u tom ática de alta velocid ad . Si Jean ('la u d e cam in a so b re la banda, p u ed e recorrer 200 m etros en 3 0 se g u n d o s m e n o s q u e

- OTE

si so lo se para sob re la banda sin cam inar. Si Jean C lau de

' *09

cam ina a una velocid a d norm al d e 1.5 m etro s por se g u n d o ,

■

¿cuál e s la v elo cid a d d e la b and a m ó v il d e M o n lp a rn a ssc ?

Fuen le: A nswcrs. com 3 1 . T e n is

O i o o

U n a ca n ch a d e ten is co n m e d id a s o fic ia le s tie n e un

área de 2,SOS p ies cu a d ra d o s. Si m id e ó m e tr o s m á s d e lar g o q u e d e a n ch o , d eter m in a la m ed id a d e la ca n ch a .

38.

Im p reso ra s lá ser

C á lc u lo d e g a sto * d e n e g o c ie n

I b e re se , u na v e n d e d o

ra q u e trab aja e n e x te r io r e s , u sa su a u to p ara n e g o c io s y

Fuente: Asociación ele Tenis de E E .U U . 32.

lr m 0 0 » O O O OO » «

d iv e r sió n . E l a ñ o p a s a d o v ia jó 3 0 ,0 0 0 m illa s, u sa n d o

A una im p reso ra IIP L aserJet 1300 le

g a lo n e s d e g a so lin a . Su a u to p u e d e reco rrer 40 m illa s por g a

to m a 10 m in u to s m ás c o m p le ta r un tra b a jo d e im p r esió n

ló n e n la a u to p ista y 25 m illa s p o r g a ló n e n la ciu d a d . L ila

d e 300 p á g in a s d e lo q u e le to m a a una im p r eso r a H P L a serJet 2 4 2 0 co m p le ta r el m ism o trab ajo. Si trabajan ju n ta s,

p u e d e d e sc o n ta r d e su s im p u e s to s t o d o lo q u e v ia je e n b a u to p ista , p e r o n ad a d e lo q u e viaja e n la ciu d a d . ¿ C u á n ta s

las d o s im p reso ra s p u e d e n c o m p le ta r el trab ajo en 12 m i

m illa s p u e d e d ecla ra r I h c r c s c c o m o g a sto s d e n e g o c io ?

n u tos. ¿ C u á n to le to m a a ca d a una c o m p le ta r el trab ajo p or si so la ? ¿C uál e s la v e lo c id a d d e ca d a im p r eso r a ?

39.

M e z c la d e a g u a y a n tic o n g e la n te

¿ C u á n ta a g u a ve d e b e

a g reg a r a 1 g a ló n d e a n tic o n g e la n te p u r o p ara o b te n e r una

Fuente: Hewlett-Packard

s o lu c ió n q u e te n g a 6 0 % d e a n tic o n g e la n te ?

3 3 . T ra b a ja n d o ju n to s en unu ta rea

T r cn t p u e d e en tre g a r

su s p e r ió d ic o s en 30 m in u to s. A L o is le to m a 2 0 m in u to s

44).

M e z c la d e a g u a y a n tic o n g e la n te

E l sis te m a d e e n fr ia

m ie n to d e c ie r to a u to h e c h o e n e l e x tr a n je r o tie n e u na c a

h acer la m ism a ruta. ¿ C u á n to le s to m a ría en tr e g a r lo s p e

p a cid a d d e 15 litro s. Si e l sis te m a se lle n a c o n u n a m e z e b

r ió d ic o s si trabajaran ju n to s?

d e 4 0 % d e a n tic o n g e la n te , ¿ q u é c a n tid a d d e e s ta m e z

3 4 . T ra b a ja n d o ju n to s en u n a tarea

P a trice, p o r sí s o lo , p u e

cla d e b e r á d r e n a r se y se r r e e m p la z a d a p o r a n tic o n g c b n t e

d e pintar cu a tro cu a rto s e n 10 h oras. Si co n tra ta a A p ril

p u r o para q u e e l sis te m a s e lle n e c o n u n a s o lu c ió n d e 6 0 %

para q u e le a y u d e , p u e d e n h a cer el m ism o tra b a jo e n 6

d e a n tic o n g e la n te ?

h oras. ¿ C u á n to tie m p o le to m a rá a A p r il p in tar cu a tr o cu a rto s si trabaja so la ?

41.

Q u ím ica : s o lu c io n e s sa lin a s

¿ C u á n ta a g u a s e d e b e e v a

p orar d e 32 o n z a s d e u n a s o lu c ió n sa lin a al 4% para o b t e 3 5 . C ercar un ja rd ín

U n ja r d in e r o tie n e 4 6 p ie s d e ce rc a q u e

n er u na s o lu c ió n sa lin a al 6 % ?

usará para cercar un jard ín recta n g u la r q u e tie n e un b o rd e 42.

d e 2 p ies d e a n c h o q u e lo ro d ea . V e r figura.

Q u ím ica : s o lu c io n e s sa lin a s

¿ C u á n ta a g u a se d e b e e v a

p orar d e 2 4 0 g a lo n e s d e u n a s o lu c ió n sa lin a al 3% para

(a ) Si el largo d el jard ín d e b e se r d o s v e c e s su a n c h o , ¿ c u á

p ro d u c ir u na s o lu c ió n sa lin a al 5 % ?

le s será n las d im e n s io n e s d el jard ín ? 43.

(b ) ¿C uál e s el área d el jard ín ?

P u r ez a d e l o r o

La p u r eza d e l o r o s e m id e e n q u ila te s,

c o n b a se e n e l o r o p u r o d e 24 q u ila te s. O tr a s p u r era s d e l

(c ) Si el la rg o y a n c h o d el jard ín d e b e n se r ig u a le s, ¿ c u á le s

o r o se e x p r e sa n c o m o p a r te s p r o p o r c io n a le s d e l o r o p u ro .

serían las d im e n s io n e s d el ja rd ín ? (d ) ¿C uál sería el área d e l ja rd ín re cta n g u la r?

2i

P or lo ta n to , e l o r o d e 18 q u ila te s e s — o 75% o r o pu-

p

"»4

ro. o r o d e 12 q u ila te s e s — o 50% o r o p uro, e t c ¿ C u á n to o r o 24 d e 12 q u ila te s s e d e b e m e z c la r c o n o r o p u r o para o b te n e r

I I I

6 0 g r a m o s d e o r o d e 16 q u ila te s?

I367

44.

Q u ím ica : m o lé c u la s d e a zú ca r

U n a m o lé c u la d e a zú car

tie n e e l d o b le d e á to m o s d e h id r ó g e n o q u e d e á to m o s d e o x íg e n o y un á to m o m á s d e c a r b ó n q u e d e o x íg e n o . Si la m o lé c u la d e a zú ca r tie n e un to ta l d e 4 5 á to m o s , ^ cu á n to s 3 6 . C o n str u c ció n

U n e s ta n q u e e stá r o d e a d o d e u n a tarim a

d e m a d era d e 3 p ie s d e a n c h o . La reja q u e r o d e a a la ta ri m a e s d e 1(K) p ie s d e largo.

45.

U n a carrera

M ik e p u e d e co r r e r u n a m illa e n 6 m in u to s

y D a n p u e d e co r r e r u n a m illa e n 9 m in u to s. Si M ik e le da a

(a ) Si el esta n q u e e s cu ad rad o, ¿ cu á les so n sus d im e n sio n e s?

D a n una v en ta ja d e I m in u to , ¿ q u é tan le jo s d e la sa lid a

(b ) Si el esta n q u e es rectan gu lar y el largo d el esta n q u e d e b e

reb a sa rá M ik e a D a n ? ¿ C u á n to ta rd a rá ? V e r F igura.

ser tres v e c e s su an ch o , ¿ cu á les so n su s d im e n sio n e s? (c ) Si e l e s ta n q u e e s circu la r, ¿cu ál e s su d iá m e tr o ? (d ) ¿ C u á l d e e s to s e s ta n q u e s tie n e m a y o r á rea? 37.

so n d e o x íg e n o ? ¿ C u á n to s d e h id r ó g e n o ?

F ú tb o l

U n r e c e p to r p u e d e co r r e r 100 y a rd a s e n ^ s e g u n

d o s. U n d e fe n s a lo p u e d e h a c e r e n 10 s e g u n d o s. El r e c e p tor re c ib e un p a se e n la yard a 20 c o n el d e fe n s a d e tr á s e n la yard a 15. (V e r fig u r a ). Si n o h ay o tr o s ju g a d o r e s c e rc a , ¿ en q u é yard a a lca n za rá e l d e fe n s a al r e c e p to r ? (S u g eren cia : E n e l tie m p o t d etrá s d e l re ce p to r].

=

0 , e l d e fe n s a e s tá 5 y a rd a s

t

Reposo del capitulo

46.* Alcance de un avión Un avión de rescate recorre 3(X) millas

© 47.

48.

49.

50.

51.

por hora cuando no hay viento. Lleva suficiente combustible para 5 horas de vuelo. Si al despegar encuentra un viento en contra de 30 mi/h. ¿qué tan lejos puede volar y regresar a salvo? (Considera que el viento permanece constante). Nadado de barcos de petróleo Un barco de petróleo se puede vaciar con la bomba principal en 4 horas, lina bomba auxiliar puede vaciar el barco en 9 horas. Si la bomba prin cipal empezó a las 9 am, ¿a qué hora se debe encender la bomba auxiliar para que el tanque esté vacío a medio día? Mezcla de cemento Una bolsa de cemento de 20 libras contiene 25% de cemento y 75% de arena. ¿Cuánto ce mento puro se debe agregar para producir una mezcla que tenga 40% de cemento? Vaciado de una tina lina tina de baño se llena en 15 mi nutos con las dos llaves abiertas y el tapón puesto. Si se cie rran las dos llaves y se quita el tapón, la tina se vaciará en 20 minutos. ¿Cuánto tardará en llenarse la tina si se abren las dos llaves y se quita el tapón ? Uso de dos bombas Una bomba de 5 caballos de poten cia (hp) puede vaciar una alberca en 5 horas. Una bom ba menor, de 2 hp vacía la misma alberca en 8 horas. Las bombas se usan juntas para empezar a vaciar la alberca. Después de dos horas, la bomba de 2 hp deja de funcionar. ¿Cuánto tardará en vaciar la alberca la otra bomba? Biatlon Supon que vas a participar en un biatlón de 87 millas que consiste en correr y en carrera de bicicleta. Du rante la parte de correr, tu velocidad promedio es de 6 mi-

52.

53.

54.

143

lias por hora y durante la carrera de bicicleta, tu velocidad promedio es de 25 millas por hora. Terminas la carrera en 5 horas. ¿Cuál es la distancia que corriste? ¿Cuál es la dis tancia de la carrera en bicicleta? Ciclistas Dos ciclistas salen de la ciudad al mismo tiem po, uno se dirige al este y el otro al oeste. El que se dirige al oeste pedalea 5 mi/hr más rápido que el que se dirige al este. Después de 6 horas están separados por una distancia de 246 millas. ¿Qué tan rápido va cada ciclista? Comparación de héroes olímpicos En las Olimpiadas de 1984, C. Lewis de los Estados Unidos ganó la medalla de oro en la carrera de 100 metros con un tiempo de 9.99 segundos. En las Olimpiadas de 1896, Thomas Burke, también de los Estados Unidos, ganó la medalla de oro en la carrera de 100 metros en 12.0 segundos. Si corrieran en la misma carre ra, cada uno repitiendo el mismo tiempo respectivamente, ¿por cuántos metros le ganaría Lewis a Burke? Construcción de una lata de café Una lata de café de 39 onzas de Hills Bros, requiere 188.5 pulgadas cuadradas de aluminio. Si su altura es de 7 pulgadas, ¿cuál es su radio? [Sugerencia: El área de la superficie 5 de un cilindro recto es S = 2 tr r + lir r lu donde r es el radio y h es la altura].


Pensamiento crítico Tú eres el gerente de una tienda de ropa y acabas de comprar 100 camisas de vestir por $20.00 cada una. Después de 1 mes de vender las camisas al precio regular, planeas ponerlas en oferta al 40% de su precio de venta. Sin embargo, aún quieres tener una ganancia de $4 en cada camisa sobre el precio de oferta. ¿A qué precio debes dar las camisas inicialmente para asegurar esto? Si, en lugar de 40% de descuento las ofreces a 50% de des cuento, ¿a cuánto se reducen tus ganancias? 56. Pensamiento crítico Inventa un problema que requiera resolver una ecuación lineal como parte de su solución. Intercambia problemas con un compañero. Escribe una crítica del problema de tu compañero. 57. Pensamiento crítico Sin resolver, explica qué está mal en el siguiente problema de mezcla: ¿Cuántos litros de 25% de etanol se deben agregar a 20 litros de 48% de etanol para obtener una solución de 58% de etanol? Ahora re suelve la solución algebraica. ¿Qué sucede?

55.

58. Cálculo de velocidad promedio En su camino de Chica

59.

go a Atlanta, un auto promedia 45 millas por hora y en su camino de Atlanta a Miami, promedia 55 millas por hora. Si Atalanta está a medio camino entre Chicago y Miami, ¿cuál es la velocidad promedio de Chicago a Miami? Dis cute una solución intuitiva. Escribe un párrafo defendien do tu solución intuitiva. Después resuelve el problema de forma algebraica. ¿Tu solución intuitiva es igual que la al gebraica? Si no, encuentra el error. Velocidad de un avión Recientemente en un vuelo de Phoenix a Kansas City, a una distancia de 919 millas náuti cas, el avión llegó 20 minutos más temprano. AI abandonar el avión, le pregunté al capitán, “¿Cuál es nuestro viento en cola?” El respondió, “No lo sé, pero nuestra velocidad relativa a la tierra fue de 550 nudos.” ¿Cómo puedes de terminar si se tiene suficiente información para encontrar el viento en cola? Si es posible, encuentra el viento en cola. (1 nudo = 1 milla náutica por hora)

R E P A S O D E L C A P ÍT U L O Cosas que debes saber

Fórmula cuadrática (pp. 97 y 110)

±

y j t f . _ ^ (¡c

Si ax2 + bx + c = 0, a ^ 0, entonces x = ---------- ------------2a

Si b1 - 4ac < 0, entonces no existen soluciones reales.

Discriminante (pp. 97 y 110) Si b2 - 4ac > 0, existen dos soluciones reales distintas. Si b2 - 4ac = 0, existe una solución real repetida. Si b2 - 4ac < 0, entonces no hay soluciones reales, pero existen dos soluciones complejas distintas que no son reales; las solucio nes complejas son el conjugado uno del otro.

144

C A P ÍT U L O 1


N o ta c ió n d e In te r v a lo s (p . 120)

^ x < b}

[«. b ]

{x\a

[a , b )

{x\a <

x <

{a,b}

{x\a <

x

(a, b)

{x\a <

x <

b]

s b) b)

a a}

[a, o o )

{x\x

(a, oo)

{x \ x > a }

( - 0 0 , a]

{x\x

( - o o , a)

{x\x <

( — 00 , o o )


£ a} a}

P r o p ie d a d e s d e d e sig u a ld a d e s

Propiedad de la suma (p. 121)

Si a < b, entonces a + c b, entonces a + c > b + c

Propiedades de la multiplicación (p. 122)

a) Si a 0, entonces ac < be Si a be

Propiedades del recíproco (p. 123)

Si a > 0, entonces - > 0

Si a < 0, entonces - < 0

1 S i- > 0, entonces a > 0

Si— < 0, entonces a < 0

a

a

(b) Si a > b y c > 0, entonces ac > be Si a > b y c < 0, entonces ac < be

a

a

V a lo r a b so lu to

Si | u |

= a, a> 0, entonces u = —a o u - a (p. 130)

Si | u |

< a, a> 0, entonces - a ^ u < a (p. 131)

Si | u |

> a, a> 0, entonces u ^ - a o u > a (p. 132)

O bjetivos --------------------------------------------------------------------------Sección

1.1

D ebes de p o d e r...

1 Resolver ecuaciones lineales(p. 84) 2 Resolver ecuaciones que llevan a ecuaciones lineales (p. 86) 3

1.2

Resolver problemas que se pueden modelar con ecuaciones lineales (p.87)

1 Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización (p. 93.) 2 Resolver ecuaciones cuadráticas completando cuadrados (p. 95) 3 4

Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática (p. 96) Resolver problemas que se pueden modelar con ecuaciones cuadráticas (p. 99)

Ejercicio s d e rep aso

1-3 4-6 8

1-6,11-12 7,8,36 82,101

1,2 4,5 6-9 10

10,13,14,33-35 9,10,13-16,19,20.33-35 9,10,13-16,19.20,33-35 84,90,95,96,100,102

1.3

1 Sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos (p. 105) 2 Resolver ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos (p. 109)

1-5 9-12

61-70 71-78

1.4

1 Resolver ecuaciones radicales (p. 113) 2 Resolver ecuaciones de forma cuadrática (p. 114)

1-3 4-6 7,8

17,18,23-30.37,38 21,22,31,32 43-46

1,2 3-6 7,8 9.10

47-60 47-60 47,48 49-52

1 Resolver ecuaciones con valor absoluto (p. 130) 2 Resolver desigualdades con valor absoluto (p. 130)

1 2-6

39-42 53-60

1 Traducir descripciones verbales a expresiones matemáticas (p. 135)

1 2,3 4 5,6 7

79, SO 81,82 82.93,94,97 83,85-89,104.105 91.92.99,103

3

1.5

4

1.6 1.7

Resolver ecuaciones por factorización (p. 116)

1 Usar la notación de intervalos (p. 120) 2 Usar las propiedades de las desigualdades (p. 121) 3

Resolver desigualdades (p. 123) Resolver desigualdades combinadas (p. 124)

2 Resolver problemas de interés (p. 136) 3 4 5 V.

Ejem p lo s

Resolver problemas de mezclas (p. 137) Resolver problemas de movimiento uniforme (p. 138) Resolver problemas de trabajo a velocidad constante (p. 140)


145

Ejercicios de repaso E n ‘los problem as 1 -4 6 , encuentra las soluciones reales, si las hay, de cada ecuación. (Donde aparecen, a, b, m y n son constantes positivas).

2. - - 2 = 4 4

I-2 - ? " 8 4. (6 — 3x) — 2(1 +

7.

c

6

x - 1

5

jc)

= 6jc

5.

„ 4 - 2x 3

3* x _ 1 T ~ 3 ~ 12

„ 4x - 5 „ 8. ----- — = 2 3 - 7x

* * 1

3. -2 (5 - 3jc) + 8 = 4 + 5* 1 6

„

6. — ------ t- — = 2x

3 7

x ^ —

9. x (l — x) = 6 1 — 3x x + 6 1 12' — = — + 2

10. x (l + x) = 6 13. ( x - l ) ( 2 x + 3) = 3

14. x(2 - x) = 3(x - 4)

15. 2x + 3 = 4x2

16. 1 + 6x = 4x2

17. aJ / x2 - 1 = 2

18. \ / l + x3 = 3

19. x ( x + 1) + 2 = 0

20. 3x2 - x + 1 = 0

21. x4 - 5x2 + 4 = 0

22. 3x4 + 4x2 + 1 = 0

23. V 2 x - 3 + x = 3

24. V 2 x - 1 = x - 2

25. $ 2 x + 3 = 2

26. V 3 x + 1 = - 1

27. V x + 1 + V x - 1 = V 2 x + 1

28. V 2 x - 1 - V x - 5 = 3

29. 2x1/2 - 3 = 0

30. 3x1/4 - 2 = 0

5/

^1. x-6 - 7x“3 - 8 = 0

32. 6x_1 - 5x_1/2 + 1 = 0

33. x2 + m2 = 2m x + (nx)2 n t4 1

34. b2x 2 + 2ax = x 2 + a2 b ^ 1

35. 10a2x2 - 2afcx - 36Z>2 = 0

1 1 2 3 6 .-----------1----------= — x ^ O , x ^ m, x ^ n x —m x —n x

37. x / ^ 2 + 3x + 7 - \ A 2 - 3x + 9 + 2 = 0

38. \ / x 2 + 3x + 7 — \ / x 2 + 3x + 9 = 2

39. |2x + 3| = 7

40. |3x - l| = 5

41. |2 — 3x| + 2 = 9

42. |l — 2x| + 1 = 4

43. 2x3 = 3x2

44. 5x4 = 9x3

45. 2X3 + 5x2 - 8x - 20 = 0

46. 3x3 + 5x2 - 3x - 5 = 0

E n los problemas 47-60, resuelve cada desigualdad. Expresa tu respuesta usando notación de conjuntos o notación de intervalos. Haz una gráfica del conjunto solución. 2x + 3

„ 2x - 3 x 47' 5 + 2 S 2

48.

- < 6x - 4

49. - 9 <

50. - 4 < 2X ~ 2 < 6

_ 3 - 3x 51. 2 < — —— < 6 12

52. - 3 <

53. |3x + 4| < |

54. |l - 2x| < |

55. |2x —

56. |3x + 1| > 10

57. 2 + |2 - 3x| < 4

58. i + 2

59. 1 — |2 — 3x| < - 4

60. 1

3

2x — 1

-4 5 - 3x

2x - 1

< 6

< 1

< -2

E n los problemas 61 - 70, usa el sistema de números complejos y escribe cada expresión en la form a estándar a + bi.

61. (6 + 3¿) - (2 - 4¿)

62. (8 - 3¿) + ( - 6 + 2i)

63. 4(3 - i) + 3 ( -5 + 2i)

64. 2(1 + / - 3(2 - 3/)

65.

66

67. i50

.

68 i 29

3 + i 69. (2 + 3i); \3

.2-

i

70. (3 - 2i)3

146

CAPÍTULO 1


E n los problemas 7 ! -7b, resuelve cada ecuación en el sistema de números complejos.

71. x2 + x + I = 0

72. x 2 - x + I = 0

73. 2x2 + * - 2 * 0

74. 3^r2 - 2x

75. x 2 + 3 = x

7 6 . 2 x2 + \ = 2 x

77. *(1 - x) = 6

78. * 0 + * ) * 2

-

1=0

79. Traduce la siguiente proposición a una expresión matemá tica: El perímetro p de un rectángulo es la suma de dos veces su largo / y dos veces su ancho w. 80. Traduce la siguiente proposición a una expresión matemá tica: El costo total C de fabricar x bicicletas en un día es de $50,000 más $95 multiplicado por el número de bicicletas fabricadas. 81. Operaciones en bancos Un banco presta $9000 al 7% de interés simple. Al final de 1 año, ¿cuánto se debe de inte rés por el préstamo? 82. Planeación financiera Stevc, quien se acaba de jubilar, requiere $5000 al año de ingresos extra. Tiene $70,000 para invertir en bonos de calificación A que pagan 8% al año o en certificados de depósito (CD) que pagan 5% al año. ¿Cuánto dinero debe invertir en cada uno para obte ner exactamente $5000 de interés al año? 83. Rayos y truenos Se ve un rayo y el trueno que resulta se oye 3 segundos más tarde. Si la velocidad promedio del sonido 1100 pies por segundo, ¿qué tan lejos está la tor menta?

88. Física: movimiento uniforme Dos abejas salen de dos lu gares separados por 150 metros y vuelan sin parar de ida y vuelta, entre estos dos lugares con velocidades promedio de 3 metros por segundo y 5 metros por segundo, respecti vamente. ¿Cuánto tiempo pasa para que las abejas se en cuentren por vez primera? ¿Cuánto tiempo pasa para que se encuentren por segunda vez? 89. Física: movimiento uniforme Un tren Metra sale de la estación Union en Chicago a las 12 del día. Dos hora más tarde, un tren Amlrak sale de la misma vía y viaja a una velocidad promedio de 50 millas por hora, más rápido que la del tren Metra. A las 3 p.m. el tren Amtrak está 10 millas detrás del tren Metra. ¿A qué velocidad va cada uno? 90. Física Un objeto es lanzado desde el techo de un edificio de 1280 pies de altura con una velocidad inicial de 32 pies por segundo. La distancia s (en pies) del objeto a la tierra después de t segundos es s = 1280 - 32/ - 16r. (a) ¿Cuándo llegará el objeto al suelo? (b) ¿A qué altura está el objeto después de 4 segundos?

84. Física: intensidad de la luz

La intensidad I (en candelas) 900 de cierta fuente de luz obedece la ecuación / = —y , donde x

x es la distancia (en metros) a la luz. ¿En qué intervalo

de distancias se debe colocar un objeto de la fuente de luz de manera que la intensidad de la luz esté entre 1600 y 3600 candelas? 85. Extensión de la búsqueda y rescate Un avión de búsque da tiene una velocidad de 250 millas por hora y tiene sufi ciente combustible para al menos 5 horas de vuelo. Si hay un viento que promedia 30 millas por hora y la dirección de la búsqueda es la misma del viento en un sentido y en contra del viento en el otro sentido, ¿qué tan lejos puede viajar el avión antes de que tenga que regresar? 86. Extensión de la búsqueda y rescate Si el avión descrito en el problema 85 es capaz de agregar un tanque suple mentario que le permitirá volar otras 2 horas, ¿qué tan le jos puede extender su búsqueda? 87. Rescate en el mar Una balsa, puesta a flote desde un bar co que se hunde a 150 millas de la costa, se dirige directa mente hacia la estación de guardacostas a una velocidad de 5 millas por hora. En el momento en que la balsa queda a la deriva, un helicóptero de rescate sale de la estación de guardacostas. Si la velocidad promedio del helicópte ro es de 90 millas por hora, ¿cuánto le tomará al helicóp tero alcanzar a la balsa?

91. Trabajando juntos para completar una tarea Clarissa y Shawna, si trabajan juntas, pueden pintar el exterior de una casa en 6 días. Clarissa puede completar este traba jo por sí misma en 5 días menos que Shawna. ¿Cuánto le toma a Clarissa completar el trabajo por sí misma? 92. Vaciado de un tanque Dos bombas de diferentes tama ños. trabajando juntas, pueden vaciar un tanque de com bustible en 5 horas. La bomba más grande puede saciar este tanque en 4 horas menos que la bomba más pequeña. ¿Cuánto tardara la bomba pequeña en hacer el trabajo, si la bomba grande está descompuesta? 93. Química: soluciones salinas ¿Cuánta agua se debe agre gar a 64 onzas de una solución salina al 10% para obtener una solución salina al 2%? 94. Química: soluciones salinas ¿Cuánta agua se debe eva porar de 64 onzas de una solución salina al 2% para obte ner una solución salina al 10%? 95. Geometría La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 centímetros. Encuentra las longitudes de los cate tos si su suma es de 17 centímetros. 96. Geometría La diagonal de un rectángulo mide 10 pulga das. Si el largo tiene 2 pulgadas más que el ancho, encuen tra las dimensiones del rectángulo. 97. Química: mezcla de ácidos L!n laboratorio tiene 60 cen tímetros cúbicos (env') de una solución que tiene 40% de ácido clorhídrico (HCI). ¿Cuántos centímetros cúbicos de una solución al 15% de HCI deben mezclarse con los 60 cnT del ácido al 40%. para obtener una solución de 25%? ¿Cuánto hay de la solución al 25%?

t Examen del capítulo

;9$.

Enmarcado de una pintura Un artista tiene 50 pulgadas

de madera de roble para enmarcar una pintura. El marco debe tener un borde de 3 pulgadas de ancho alrededor de la pintura. a) Si la pintura es un cuadrado, ¿cuáles son las dimensio nes? ¿Cuáles son las dimensiones del marco? b) Si la pintura es rectangular y el largo mide el doble de su ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la pintura? ¿Cuáles son las dimensiones del marco? 99. Uso de dos bombas Una bomba de 8 caballos de poten cia (hp) puede llenar un tanque en 8 horas. Una bomba más pequeña, de 3 hp, puede llenar el mismo tanque en 12 horas. Las bombas se usan juntas para empezar a llenar el tanque. Después de dos horas, la bomba de 8 hp deja de funcionar. ¿Cuánto le tomará a la bomba más pequeña llenar el tanque? 100. Proporción aceptable Una fórmula que establece la re lación entre el largo / y el ancho w de un rectángulo de “proporción aceptable” es / 2 = w(l + w). ¿Cómo se debe de cortar una hoja de tablaroca de 4 pies por 8 pies para que el resultado sea un rectángulo de “proporciones acep tables” con un ancho de 4 pies? 101. Finanzas Una herencia de $900,000 se va a dividir entre 1 Scott, Alice y Tricia de la siguiente manera: Alice recibirá 3 1 - de lo que Scott reciba, mientras que Tricia recibirá - de 4 2 lo que Scott reciba. ¿Cuánto recibe cada uno?

102. Negocios: determinación del costo de un camión rentado Un grupo de 20 personas de la tercera edad puede rentar un camión para una excursión de un día por $15 por per sona. La compañía que lo renta accede a descontar 10(2 del

103.

104.

147

precio de cada boleto por cada pasajero adicional después de 20, que vaya a la excursión, con un máximo de 44 pa sajeros (la capacidad del camión). Si el recibo final de la compañía fue de $482.40, ¿cuántos adultos de la tercera edad fueron a la excursión y cuánto pagó cada uno? Uso de copiadoras Una copiadora nueva puede hacer un trabajo en 1 hora menos que una copiadora vieja. Juntas pueden hacer el trabajo en 72 minutos. ¿Cuánto le tomaría a la copiadora más vieja hacer el trabajo por sí sola? Emparejando una carrera En una carrera de 100 metros, Todd cruza la meta 5 metros por delante de Scott. Para ha cer las cosas más parejas, Todd sugiere a Scott que vuelvan a competir, pero esta vez Todd empezará 5 metros antes de la salida. a) Suponiendo que Todd y Scott pueden correr al mis mo paso que antes, ¿la segunda carrera termina en empate? b) Si no, ¿quién gana? c) ¿Por cuántos metros gana? d) ¿A cuántos metros de la salida deberá empezar Todd para que la carrera termine en empate? Después de correr la segunda vez, Scott, para hacer las co sas más parejas, sugiere a Todd que él (Scott) empiece la carrera 5 metros delante de la salida. e) Suponiendo nuevamente que corren al mismo paso que en la primera carrera, ¿la tercera carrera termina en empate? f) Si no, ¿quién gana? g) ¿Por cuántos metros? h) ¿Cuántos metros más adelante debe empezar Scott para que la carrera termine en empate?

105. Física: movimiento uniforme Un hombre camina a una velocidad promedio de 4 millas por hora junto a las vías de un tren. Un tren de carga, que va en la misma dirección a una velocidad promedio de 30 millas por hora, requiere de 5 segundos para rebasar al hombre. ¿Qué tan largo es el tren de carga? Da tu respuesta en pies.

Los videos Test Prep del capítulo son soluciones paso a paso disponibles en el DVD, entre los recursos de video, en

MyM¡itftíab \ o en el canal de YoilÍifli$ ~de este texto. Ver página de Recursos del estudiante para ver la dirección exacta del canal de YouTube de este texto.

E X A M E N D E L C A P ÍT U L O

E n los problemas 1 -7 , determina las soluciones reales, si las hay, de cada ecuación.

1 .^ -

3

x

5

2

12

5. \2x - 3| + 7 = 10

2. x ( x — 1) = 6

3. x 4 - 3x2 - 4 = 0

6. 3.r3 + 2x2 — 12jc —8 = 0

7. 3x2 - .r + 1 = 0

4. V2.v - 5 + 2 = 4

E n los problemas 8-1 0 , resuelve cada desigualdad. Expresa tu respuesta usando notación de intervalos. Haz una gráfica del conjunto solución. 8. -3 < 3X ~ 4 < 6

-2

9.

\3x

+ 4| < 8

11. Escribe-------en la forma estándar a + 3 - i

10. 2 +

\2x - 5| a 9

bi.

12. Resuelve la ecuación 4x2 - 4x + 5 = 0 en el sistema de números complejos. 13. Mezcla de café Una tienda de café tiene 20 libras de un café que se vende a $4 por libra. ¿Cuántas libras de café que se venden a $8 por libra se deben mezclar con 20 libras de café de $4 por libra para obtener una mezcla que se venda por $5 por libra? ¿Cuánto habrá del café de $5 por libra para vender?

148

C A P ÍT U L O 1


PROYECTOS DEL CAPÍTULO porcentaje. El tiempo /, medido en meses, es la duración del préstamo. Por ejemplo, un préstamo a 30 años requiere 1 2 X 30 = 360 pagos mensuales. r

ßyij

P r o y e c to co n b a se en In te rn et. F in a n c ia m icn to d e u n a co m p ra En algún punto de tu vida es probable que necesites pedir dinero para financiar una compra. Por ejemplo, la mayoría de nosotros finan ciaremos la compra de un auto o de una casa. ¿Cuáles son las matemáticas detrás de un financiamiento? Cuando pe dimos dinero prestado a un banco, éste usa una ecuación compleja (o fórmula) para determinar cuánto tendrás que dar cada mes para pagar el préstamo. Existen un número de variables que determinan el pago mensual. Estas va riables incluyen la cantidad pedida, la tasa de interés y la duración del préstamo. La tasa de interés se determina con base en las condiciones económicas actuales, la dura ción del préstamo, el tipo de objeto que se quiere comprar y tu historial crediticio. Para ver cómo juzgan los bancos tu solvencia, lee el artículo “Como trabajan las fuentes de crédito” (“How credit scores work”) en littp://money.

I.

howstuffworks.com /personal-fiiiance/debt-im wagem enl/ credit-score.htm La siguiente fórmula da el pago mensual P requerido para pagar un préstamo L con una tasa de interés r, ex

presado como un decimal, pero generalmente dado como

P - pago mensual L = monto del préstamo r = t a s a anual de interés expresada como dec'mai t = duración del préstamo, en meses

1. Las tasas de interés cambian diariamente. Muchas pági nas de Internet cuentan con listas de las tasas de interés actuales para préstamos. Ve a www.bankrute.com (o a otra página que liste las tasas de interés para préstamos) y encuentra la mejor tasa de interés para un préstamo para comprar un auto nuevo a 48 meses. Usa esta tasa para de terminar los pagos mensuales en un préstamo para un auto de $20,000. 2. Determina el monto total a pagar por un préstamo multipli cando el pago del préstamo por la duración del préstamo. 3. Determina el monto total de intereses pagados restando el monto del préstamo del total pagado de la pregunta 2. 4. Muy seguido decidimos cuánto podemos pagar y usamos eso como información para determinar el monto del prés tamo. Supon que puedes hacer un pago mensual de $500. Usa la tasa de interés de la pregunta 1 para determinar la cantidad máxima que puedes pedir prestada. Si tienes $5000 para dar un anticipo del auto, ¿cuál es el valor máxi mo del auto que puedes comprar? 5. Repite las preguntas 1 a 4 usando un préstamo para un auto nuevo a 60 meses, un préstamo para un auto usado a 48 meses y un préstamo para un auto usado a 60 meses.

6. Podemos usar una hoja de cálculo, como Excel, para amortizar el préstamo. Un programa de amortización de un préstamo es una lista de los pagos mensuales, descomposición del capital e intereses, junto con un saldo actual del préstamo. Crea un programa de amortización de préstamo para cada uno de los cuatro escenarios de préstamos discutidos arriba usando la guía siguiente. Puedes usar un buscador de Internet para investigar teclas específicas para crear tu programa de amortización de préstamo en la hoja de cálculo. Damos una hoja de cálculo con fórmulas incluidas como guía. Usa la hoja de cálculo para veri ficar tus resultados de las preguntas 1 a 5. N ú m ero In fo rm a c ió n d e l p r é s ta m o

Monto del préstamo $20,000.00 Tasa de interés anual 0.05 Duración del préstamo (años) 4 Número de pagos =B4*12

de pago

1 2 3

In te r é s to C a n tid a d d e p a g o

In te r é s

=PMT($B$3/12,$B$5,-$B$2,0) =B2*$B$3/12 =PMT($B$3/12,$B$5,-$B$2.0) = H2*$B$3/12 =PMT($B$3/12,$B$5,-$B$2,0) = H3*$B$3/12

C a p ita l

S a ld o

= E 2 -F 2 = B 2 -G 2 = E 3 —F3 = H 2 —G3 = E 4 -F 4 = H 3 —G4

pagado

=B2*SBS3 =I2+F5 = I3+ FJ

7. Visita una página de venta de autos como w w w .cars.com ,www.vehix.com o ww.autobvtel.com. Investiga los tipos de vehículos que puede comprar con un pago mensual de $500. Escoge un auto que comprarías, basado en el análisis en las preguntas 1-6. Asegúrate de justificar tu decisión e incluir el impacto de la duración del préstamo en tu decisión. Puedes considerar otros factores en tu decisión tales como costos de mantenimiento y costos del seguro. C itas:

Obringer, Lee Ann. “How Credit Scores Work.” 16 July 2002. HowStuffWorks.com. http://money.howstuffworks.com/personalfinance/debt-management/credit-score.htm 15 March 2010; Excel © 2010 Microsoft Corporation. Usado con permiso de Microsoft. E l siguiente proyecto también está disponible en el Centro de Recursos del Instructor ( C R I) : II.

P r o y e c to M o to r o la ¿ C u á n to s t e lé fo n o s c e lu la r e s p u e d o h a cer ? Un ingeniero industrial usa un modelo que incluye ecuacio nes para asegurar que los niveles de producción satisfagan la demanda.

•Jfc..

Gráficas Contenido 2 .1

Fórm ulas de distancia y punto m edio

2 .4

Círculos

•

Repaso acum ulativo

2 .2

Gráficas de ecuaciones de dos variables;

2 .5

Variación

•

Proyecto del capítulo

2 .3

intersecciones; sim etría

•


Rectas

•


Las primeras Olimpiadas modernas: Atenas, 1896

El nacimiento de los juegos olímpicos modernos Por John Gettings — “Doy por iniciados los primeros Juegos Olímpicos Internacionales en Atenas.” Con estas palabras el 6 de abril de 1896 el Rey Jorge I de Grecia le dio la bienvenida a la multitud que es taba reunida en el recién construido Estadio Panateneo a los Juegos Olímpicos modernos de verano. El evento fue idea del Barón Pierre de Coubertin de Francia, quien viajó por todo el mundo para ganar apoyo para su sueño de que las naciones dejaran atrás sus conflictos nacionales y se unieran, todo en nombre del deporte. El programa de los Juegos incluía atletismo, esgrima, levantamiento de pesas, tiro con rifle y pistola, tenis, ciclismo, natación, gimnasia y lucha. Aunque participaron 14 naciones, la mayoría de los atletas eran griegos. Los juegos llegaron a su clímax en el día 5 con el primer maratón de la era moderna. La idea de tener un evento que conmemorara los Juegos Olímpicos Antiguos fue sugerida por un amigo de Coubertin y fue reci bida con una gran expectativa. La carrera iba de Maratón a Atenas (con una distancia aproximada de 22-26 millas) y fue vista por más de 100,000 personas, el ganador fue un corredor griego, Spiridon Louis. Gettings , The First Modern Olympics, Athens, 1986, ©2000-2010 Pearson Education, publishing as Infoplease. Reproducido con permiso. — V e r e l p ro y e c to co n base en In te rn e t d el ca p ítu lo -

< E n R e s u m e n Enel capítulo Rrevisamos las bases del álgebray lageometríay enel capítulo 1 estu diamos las ecuaciones de unavariable. U n V i s t a z o ^ Ahora conectamos el álgebray lageometría por medio del uso del sistema de coordenadas rectangulares paragraficarecuaciones endos variables. La¡deade usarunsistema de coordenadas rectangulares se remon taatiempos antiguos, cuando ese sistema se usaba para latopografía y planeación de ciudades. En200 a.C., Apolonio de Perga usó una forma de coordenadas rectangulares en su trabajo con cónicas, aunque este uso no sobresale tanclaramen tecomo enel tratomoderno. El uso esporádico de coordenadas rectangulares continuó hasta los años 1600. Paraentonces, el álgebra se habíadesarrollado lo suficiente paraque René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) pudie randarel paso crucial, el uso de coordenadas rectangulares paratraducir problemas geométricos en problemas algebraicos yviceversa. Este pasofue importante por dos razones. Laprimera, permitióa los geómetras yalgebristas adquirir nuevas per cepciones de sus materias, las cuales, anteriormente se habíanconsiderado como materias separadas, peroque apartirde ese momento se observó que estaban conectadas de maneras importantes. La segunda, estas nuevas percepciones hicieron posible el desarrollo del cálculo, el cual, amplió el número de áreas en las cuales se podíanaplicar las matemáticas e hizo po sible unentendimiento mucho más profundo de estas áreas.

149

150

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

2.1 Fórmulas de distancia y punto medio Preparación para esta sección •

A m e s de em p ezar, repasa lo sig u ie n te :

Bases de álgebra (capítulo R, sección R.2, pp. 17-26)

\

•

Bases de geometría (capítulo R, sección R.3, pp. 30-35)

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 154.

OBJETIVOS

1

Usar la fórmula de distancia (p. 151))

2 Usar la fórmula de punto medio (p. 153)

Coordenadas rectangulares

F ig u ra 1

J ___I__ I___L

-4

-2

0

-2

-4

F ig u ra 2

y 4

( 3 1)

3

•

3,2)

2 1 1 1 i 4 2

■k T . . 0

-4

3

3

, x

•

-

3

f- 1

F ig u ra 3

y Cuadrante II x<0,y>0

Cuadrante 1 x>0,y>0 X

Cuadrante III x< 0, y< 0

Cuadrante IV x> 0, y< 0

Para localizar un punto en la recta de los números reales, le asignamos a éste un nú mero real, llamado la co o rd en a d a d e l p u n to . Cuando trabajamos en el plano de dos dimensiones localizamos los puntos por medio de dos números. Empezamos con dos rectas de números reales localizadas en el mismo plano: una horizontal y una vertical. A la recta horizontal se le llama eje x , a la recta vertical se le llama eje y y al punto de intersección se le llama origen O . Observa la figura 1. Le asignamos coordenadas a cada punto de estas rectas numéricas usando una escala conveniente. Generalmente usamos la misma escala en cada eje, pero en la práctica se pueden usar diferentes escalas apropiadas para la aplicación. El origen O tiene un valor de ü en el eje a y en el eje y. Asociamos los puntos en el eje x a la derecha de O con números reales positivos y los que están a la izquier da de O con números reales negativos. Los puntos en el eje y por encima de O se asocian con números reales positivos y los que están por debajo de O se asocian con números reales negativos. En la figura 1, el eje .v y el eje y están etiquetados como x y y, respectivamente, y hemos usado una flecha al final de cada eje para denotar la dirección positiva. El sistema de coordenadas aquí descrito se llama sistema de coordenadas rec tangulares o cartesianas.* El plano formado por el eje .r y el eje y a veces se llama el plano jry y los ejes x y y se conocen como ejes coordenados. Podemos localizar cualquier punto P en el plano jry usando un par ordenado (.r.y) de números reales. Sea x la distancia con signo del eje y a P (co n sig n o quiere decir que si P está a la derecha del eje x , entonces x > 0 y si P está a la izquierda del eje y. entonces a: < 0); y sea y la distancia con signo del eje .v a P . El par ordenado (.r.y) que se conoce como las coordenadas de P , nos da suficiente información para localizar el punto P en el plano. Por ejemplo, para localizar un punto cuyas coordenadas son (-3 ,1 ), recorre 3 unidades sobre el eje .v a la izquierda de O y después una unidad hacia arriba. La coordenada se traza colocando un punto en este lugar. Observa la figura 2, en donde localizamos los puntos con coordenadas (-3 ,1 ). (-2 .-3 ). (3 .-2 ) y (3.2). El origen tiene coordenadas (0,0). Cualquier punto sobre el eje x tiene coordenadas de la forma (,v,0) y cualquier punto sobre el eje y tiene coordenadas de la forma (O.y). Si (,v,y) son las coordenadas del punto P, entonces a x se le llama la coordenada x o abscisa de P y y es la coordenada y u ordenada de P. Identificamos el punto P por las coordenadas (.v,y) escribiendo P - ( x , y ) . Generalmente decimos "el punto (.r.y)” en lugar de “el punto cuyas coordenadas son (.v.y)”. Los ejes coordenados dividen al plano x y en cuatro secciones llamadas cuadran tes, como se muestra en la figura 3. En el cuadrante I, la coordenada .v y la coordena da y de todos los puntos son positivas; en el cuadrante II. x es negativa y y es positiva; en el cuadrante III, .v y y son negativas y en el cuadrante IV, x es positiva y v es negativa. Los puntos sobre los ejes coordenados no pertenecen a ningún cuadrante. "

-R esuelve ahora el p r o b l e m a

13

* En honor a René Descartes (1596-1650), un matemático, filósofo y teólogo francés.

S E C C IÓ N 2.1


151

COMENTARIO En una calculadora gráfica puedes escoger la escala en cada eje. Una vez que hayas hecho esto, obtendrás el rectángulo de visualizaron. En la figura 4 se presenta un rectángulo de visualizarán típico. Debes leer ahora la sección 1, Rectángulo de vieuaHzación en el apéndice. ■ F ig u r a 4

1 Uso de la fórm ula de distancia Si se usan las mismas unidades de medida, tales como pulgadas, centímetros, etc., para ambos ejes, entonces todas las distancias en el plano x y se pueden medir usando esta unidad de medida.

[ EJEM PLO 1

Determinar la distancia entre dos puntos Determina la distancia d entre los puntos (1,3) y (5,6).

Solución

Primero localiza los puntos (1,3) y (5,6) en la gráfica y conéctalos por medio de una recta. Observa la figura 5(a). Estamos buscando la longitud de d. Empezamos trazan do una recta horizontal de (1,3) a (5,3) y una recta vertical de (5,3) a (5,6), formando un triángulo rectángulo, como se ve en la figura 5(b). Un cateto del triángulo tiene longitud 4 (debido a q u e |5 - l| = 4) y la longitud del otro es 3 (debido a que |6 —3| = 3). Por el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la distancia d que buscamos es d2 =

42 + 32 = 16 + 9 = 25 d = V25 =

5

La fórmula de la distancia nos proporciona un método directo para calcular la distan cia entre dos puntos.

TEOREM A

F ó rm u la d e la d is ta n c ia

La distancia entre dos puntos P x = (x^y,) y P 2 = (x v y 2), que se denota por d { P J 2\ t s

r r

En palabras

r r r r _ c r r

Vara calcular la distancia entre dos puntos, determina la diferencia de las coordenadas x, elévala al cuadrado y suma esto al cuadrado de la diferencia de las coordenadas y. La raíz cuadrada de esta suma es la distancia.

d { P \ , P 2) =

V

(* 2

- *i)2 +

(yi -

y\)2

( 1) J

Sean (A^y^ las coordenadas del punto P { y sean (x 2,y 2) las coordenadas del punto P r Considera que la recta que une a P, P, no es ni horizontal ni vertical. Observa la figura 6(a) en la página 152. Las coordenadas de P3 son ( x v y x). La distancia horizontal de P, a P3es el valor absoluto de la diferencia Dem ostración de la fórmula de la distancia

152

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

de las coordenadas x, |x2-x ,|. La distancia vertical de P3a P2 es el valor absoluto de la diferencia de las coordenadas y, |y2- y,|. Observa la figura 6(b). La distancia d ( P t P j que buscamos es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo y, por el teore ma de Pitágoras, se deduce que

[d(p], p 2)}2 = ta - *il2 + \yz

= ¿ ( p ,, p 2)

(* 2

- *i)2 +

(yz -

*i)2 +

= \/(x z -

îl2

-

y\)2

(yz -

y\)2

Figura 6

(a)

(b)

Ahora, si la recta que une P, y P 2es horizontal, entonces la coordenada y de P, es igual a la coordenada y de P v esto es, y, = y r Observa la figura 7(a). En este caso, la fórmula de distancia (1) funciona, ya que para y, = y 2se reduce a d ( P i , P2) = V ( x z - * i)2 + O2 = V ( * 2 - * i)2 = 1*2 - *il y |P2 = (x1.y2) t ; 1*2 7 * 1 d(Pr P2)

h

■ ,

Lp, = (J^.y,)

h

1

r

<,

X

(b)

Se sigue un desarrollo similar si la recta que une a P, y P, es vertical. Observa la figura 7(b). ■

EJEM PLO 2

Uso de la fórmula de distancia Determina la distancia d entre los puntos (-4,5) y (3,2).

Solución

Usando la fórmula de distancia de la ecuación (1), la distancia d es d =

V [3 - (—4)]2 + (2 - 5)2 =

V i 2

+ (~3)2

= V49 + 9 = V 5S « 7.62 •-J

— sr— Resuelve ahora

l o s

p r o b l e m a s

17

y

21

La distancia entre dos puntos P t = (x^y,) y P, = (x,,y,) nunca es un núme ro negativo. Además, la distancia entre dos puntos es 0 sólo cuando los pun tos son iguales, es decir, cuando Xj = x, y y, = y,. También, como (x, - x,)’ = (x, - x,)2y (y2- y,)2= (y, - y2)2, no hay diferencia si se calcula la distancia de P, a P, o de P2 a Pp esto es, d ( P r P2) = d ( P r P,). En la introducción de este capítulo se mencionó que las coordenadas rectangu lares nos permiten traducir problemas geométricos en problemas algebraicos y vice versa. En el siguiente ejemplo se muestra cómo se puede usar el álgebra (la fórmula de distancia) para resolver problemas geométricos.

S E C C IÓ N 2.1

^-■ *

í EJEM P LO 3 ..... ... . ... -.

L

153


Uso del álgebra para resolver problemas geométricos Considera los tres puntos A = (-2,1), B = (2,3) y C = (3.1). (a) (b) (c) (d)


Localiza cada punto en la gráfica y forma el triángulo A B C . Determina la longitud de cada lado del triángulo. Verifica que el triángulo sea un triángulo rectángulo. Determina el área del triángulo.

(a) La figura 8 muestra los puntos A , B y C y el triángulo A B C . (b) Para determinar la longitud de cada lado del triángulo, usa la fórmula de distan cia, ecuación (1). d { A , B) =

\/[2-

( - 2 ) ] 2 + (3 - l ) 2 = V l 6

d { B , C) =

\ / ( 3~

2 )2 + (1 ~ 3)2

d(A . C) =

y/[3-

( —2)]2 + (1 - l ) 2 = V 25

+ 4 = V 20=2 V

= Vi + 4

5

= V5

+ 0 = 5

(c) Para comprobar que el triángulo es un triángulo rectángulo, debemos demostrar que la suma de los cuadrados de las longitudes de dos de los lados es igual al cua drado de la longitud del tercer lado. (¿Por qué es suficiente esto?). Si observas la figura 8, parece razonable que el ángulo recto está en el vértice B. Verificamos para ver si [ d ( A , B ) f + [ d ( B , C ) f = [ d ( A , C )]2

Usando los resultados en el inciso (b), [ d ( A , B ) f + [ d ( B , C)]2 = ( 2 V ó ) 2 + ( V 5 ) 2

= 20 + 5 = 25 = [ d ( A , C ) f Por el recíproco del teorema de Pitágoras se deduce que el triángulo A B C es un triángulo rectángulo. (d) Como el ángulo recto está en el vértice B , los lados A B y B C forman la base y la altura del triángulo. El área es Área = ^ (base)(altura) = - ( 2 V 5 ) ( V 5 ) = 5 unidades cuadradas

Resuelve ahora

el

problema

2 9

2 Uso de la fórm ula del punto m edio F ig u ra 9

Ahora se derivará una fórmula para las coordenadas del punto m edio de un segm en to de recta. Sean P x = y,) y P 2 = (x 2, y 2) los puntos extremos de un segmento de recta y sea M = ( x , y ) el punto en el segmento de recta que está a la misma distancia de P x que de P r Observa la figura 9. Los triángulos P XA M y M B P 2 son congruentes. ¿Puedes ver por qué? d ( P x, M ) = d ( M , P 2) está dada; Z A P XM = ¿ B M P * y Z P XM A ZMP^B. Por lo tanto, tenemos un ángulo-lado-ángulo. Como los triángulos P XA M y M B P 2 son congruentes, los lados correspondientes tienen la misma longitud, esto es x - x x= x 2 - x 2x = x x+ x 2 X

=

X1

y - y x = y 2- y

2y

+ x2

= y 1+ y 2 y\

y

+ ■ > '2

= — ò—

*Un postulado de geom etría establece que la transversal P \ P 2 forma ángulos congruentes correspondien tes a los segmentos de recta paralelos P ¡ A y M B .

154

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

TEOREMA r r En palabras r Para encontrar el punto medio

Fórm ula d el p u n to m ed io

El punto medio M = (x,y) del segmento de recta de l \ = { x vy f a P 2 = (x 2,y2) es

r de un segmento de recta, pror media las coordenadas x y y d e r los puntos terminales.

M = (x,y) =

x i + *2 y\ + y2

( 2)

J

r

Encontrar el punto medio de un segmento de recta

EJEM PLO 4

Encuentra el punto medio del segmento de F, = (-5,5) a P 2 = (3,1). Haz una gráfica de los puntos F, P 2 y de su punto medio. F ig u ra 10

Solución

Aplica la fórmula de punto medio (2) tomando las coordenadas (;c,y) del punto medio M son x\ + x 2

x

-5 + 3

,

y\

= — -z— = — z — = - i y

Resuelve ahora

el

problema

= -5 , y, = 5, x 2= 3 y y 2 = 1. Entonces

y =

+ yi

— ó— =

5 + 1

=3

35

2.1 Evalúa tu en ten d im ien to "¿Estás listo?" L a s respuestas se dan al fin a l de los ejercicios . S i obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. En la recta de los números reales, al origen se le asigna el núm ero________ (p. 17)

5. El área A de un triángulo cuya base es b y cuya altura es h es .4 = ________ (p. 31)

2. Si -3 y 5 son las coordenadas de dos puntos en la recta de los números reales, la distancia entre estos dos puntos es (pp. 19-20)

6. Verdadero o fa ls o Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado incluido de uno es igual a dos ángulos y el lado incluido del otro. (pp. 32-33)

3. Si 3 y 4 son los catetos de un triángulo rectángulo, la hipo tenusa e s ________ (p. 30) 4. Usa el recíproco del teorema de Pitágoras para demostrar que un triángulo cuyos lados miden 11,60 y 61 de longitud es un triángulo rectángulo, (pp. 30-31)

Conceptos y vocabulario 7. Si ( x, y) son las coordenadas de un punto P en el pla no xy, entonces x se llama la _______ de P y y es la _______ de P. 8. Los ejes coordenados dividen al plano x y en cuatro secciones llamadas________ 9. Si tres puntos distintos P , Q y R están sobre una recta y si d{P, Q ) = d ( Q, R ), entonces Q se llama_______ de la línea del segmento de P a R.

10. Verdadero o fa ls o La distancia entre dos puntos es a ve ces un número negativo. 11. Verdadero o fa ls o El punto (-1.4) está en el cuadrante IV del plano cartesiano. 12. Verdadero o fa ls o El punto medio de un segmento de recta se calcula con el promedio de las coordenadas .r y con el promedio de las coordenadas v de los puntos terminales.

Ejercicios E n los problemas 13 y 14, haz una gráfica de cada punto en el plano .xy. Indica en qué cuadrante o en qué eje coordenado se localizan los puntos.

\ 13.

(a) A = (-3,2)

(d) D = (6,5)

(b) B = (6,0)

(e) £ = (0,-3)

(b) B = (-3 ,-4 )

(c) C = (-2,-2)

(f) P - (6,-3)

(c) C= (-3,4)

14. (a) A = (1.4)

(d) D = (4.1)

(e) E = (0.1) (f) P - (-3,0)

S E C C IÓ N 2.1


155

Haz una gráfica de los puntos (2,0), (2,-3), (2.4), (2,1) y (2,-1). Describe el conjunto de todos los puntos de la forma (2, y), j donde y es un número real. 16. Haz una gráfica de los puntos (0,3), (1,3), (-2.3), (5,3) y (-4,3). Describe el conjunto de todos los puntos de la forma (x , 3), donde x es un número real. En los problem as 17-28, determina la distancia d(P,, P,) entre los puntos P . v P ,

18.

y\

2 -P2 = (2.1) P,

= (0. 0) 1 1

-2 -1

-

2 x

y. fW -2 ,1 )2 > , = (0. 0) N s ! i i , "2 -1

20.

y\ (-2¿2L 1 1

2 x

"2 -1

1 1»

2 x

21. P, = (3,-4); P; = (5,4)

22. P, = (—1,0); P 2= (2,4)

23. P , = (-3,2); P , = (6,0)

24. P, = (2,-3); P2= (4,2)

25. P , = (4,-3); P , = (6.4)

26. P, = (-4 ,-3 ); P2= (6,2)

27. P, = («,/>); P2 = (0,0)

28. P, = (a,íi); P2= (0,0)

y, /w - i.i¿ 5 i i - 2 -i

P2 = (2.2) 1 1 » 2 x

£>i /os problem as 29-34, haz una gráfica de cada punto y form a el triángulo A B C . Verifica que el triángulo sea un triángulo rectángulo. Determina su área. 29.

31. 33.

A = (-2,5); B = (1,3); C = (-1,0)

/f = (-5 ,3 );B = (6 ,0 );C = (5 ,5 ) A = (4,-3); S = (0,-3); C = (4,2)

30. A = (-2,5); B = (12,3); C = (10,-11) 32. A = (-6,3); B = (3,-5); C = (-1,5) 34. A = (4,-3); B = (4,1); C = (2,1)

E n los problemas 35-42, encuentra el punto medio del segmento de recta que une los puntos P ; y P,.

35.

P, = (3,-4); P2 = (5,4)

36. P, = (-2,0); P2= (2,4)

37.

P, = (-3,2); P2= (6,0)

38. P, = (2,-3); P2= (4,2) 40. P, = (-4 ,-3 ); P2= (2,2) 42. P, = (a,o); P2= (0,0)

39. P, = (4,-3); P2= (6,1)

41. P, = (a,b); P2= (0,0) A plicaciones y extensiones 43. Si el punto (2,5) se recorre 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo, ¿cuáles son sus nuevas coordenadas? 44. Si el punto (-1,6) se recorre 2 unidades hacia la izquierda y 4 unidades hacia arriba, ¿cuáles son sus nuevas coordena das? 45. Determina los puntos que tienen una coordenada x igual a 3 y cuya distancia al punto (-2 ,-1 ) es 13. (a) Usando el teorema de Pitágoras. (b) Usando la fórmula de la distancia. 46. Determina todos los puntos que tienen una coordenada y igual a -6 , cuya distancia al punto (1,2) sea 17. (a) Usando el teorema de Pitágoras. (b) Usando la fórmula de la distancia. 47. Determina todos los puntos en el eje x que estén a 6 unida des de un punto (4,-3). 48. Determina todos los puntos en el eje y que estén a 6 unida des del punto (4,-3). 49. El punto medio del segmento de P , a P2 es (-1,4). Si P , = (-3,6), ¿qué es P2? 50. El punto medio del segmento de P ; a P2 es (5,-4). Si P 2= (7,-2), ¿qué es P ;? 51. Geometría Las medianas de un triángulo son los segmen tos de recta que van de cada vértice al punto medio del lado opuesto (ver la figura). Determina las longitudes de las me dianas del triángulo con vértices en A = (0,0), B = (6,0) y (4,4).

52. Geometría Un triángulo equilátero es uno en el que los tres lados tienen la misma longitud. Si dos vértices de un triángulo equilátero son (0,4) y (0,0), encuentra el tercer vértice. ¿Cuántos de estos triángulos son posibles?

53. Geometría Encuentra el punto medio de cada diagonal de un cuadrado que tiene lados de longitud s. Llega a la conclusión de que las diagonales de un cuadrado se intersectan en sus puntos medios.

[Sugerencia: Usa (0,0), (0,s), (s,0) y (s, s) como los vértices del cuadrado], 54.

Geometría Verifica que los puntos (0,0), (a,0) y ^ sean los vértices de un triángulo equilátero. Después de muestra que los puntos medios de los tres lados son los vér tices de un segundo triángulo equilátero (usa el problema 52 como referencia).

156

<'AI>ÍTUI.Ü2 Gráfico«

Un ¡,,s problemas .5.5-ÏH. determina la longitud dríada lad» de an manual» rtpeilfkado p»r l»t tre* puni»* P, P, y P, induo u *i tri,h,K,dn es an triángulo isósceles, an traînai» rectángulo. magano de est»* » and,»* U n triángulo Isóurln r* quelque tm , p»< lo menos dos halos de la misma longitud) Distancia dr un objeto rn m u s im tr m to a m p u n to fijo I ti 55. (2.1 );/»,-(-4.!);/’, - ( 4.-3) globo aerostático que se dirige »1 cele too una vekjtadad
2‘ bas«

l ítenle: l ina udaiUil ile béisbol. Hedido, iones y reglas oficiales.

F.rror dr rilniki Cuando un dibujante tra/a 1res recta* que se deben inicrscciar en un punió, la* recta» pueden no intcrvcctarvc como se quena y entonce«, *e forma un trunguio m o n e o Si csie inanguk* erroné*' c* largo y delgado una aproximación para la kxali/actón del punió deseado r* el punto medio de la teda más cuna l a figura muestra «no de estos luángukn

2010

I urmir.

60. I.igus menores de béisbol I I diamante de una cancha de béisbol de las ligas menores es un cuadrado de 60 pies de lado. ¿Cuál es la distancia directa del homc a la segunda base (la diagonal del cuadrado)?

»*•*•

umgb rdu d u tch * \T l C'TCtKslOQhim

61. Béisbol Consulta el problema 59. Sobrepon un sistema de coordenadas rectangulares sobre el diamante de una can cha de béisbol de manera que el origen esté en el homc. el eje positivo v esté en la dirección de homc a la primera base y el eje positivo y esté en la dirección dcl homc a la tercera base. (a) ¿Cuáles son las coordenadas de la primera base, se gunda base y tercera base? Usa pies como la unidad de medida. (b) Si el jardinero derecho se encuentra en (310. 15). ¿cuál es la distancia del jardinero derecho a la segunda base? (c) Si el jardinero central se encuentra en (300. 300). ¿cuál es la distancia dcl jardinero central a la tercera base?

62. Béisbol He las ligas menores Consulta el problema 60 So brepon un sistema de coordenadas rectangulares sobre el diamante de una cancha de béisbol de manera que el origen esté en el homc. el eje \ positivo esté en la dirección del homc a la primera base y el eje v positivo esté en la direc ción del homc a la tercera base. (a) ¿Cuáles son las coordenadas de la primera base, segunda base y tercera base? Usa pies como la unidad de medida. (b) Si el jardinero derecho se encuentra en (ISO. 20). ¿cuál es la distancia del jardinero derecho a la segunda base? (c) Si el jardinero central se encuentra en (220.220). ¿cuál es la distancia dcl jardinero central a la tercera base?

63. Distancia entre objetos en molimiento Un Dodge Neón y un camión Mack salen de una intersección al mismo tiem po. Ul Neón se dirige al este a una velocidad promedio de 30 millas por hora, mientras que el camión se dirige al sur con una velocidad promedio de 40 millas por hora. Deter mina la expresión para la distancia
(a) Incucnlta una estimación para el punto de inlerscc cion deseado (b) Fncucntra la longitud de la mediana del punto medio encontrado en el incoo (a) Comulta el probkm» 51 66. Ventas netas La figura ilustra cómo han acodo las »enta» netas de las tiendas W d Mari dcvJc 2»tt2 hasía .v i 6 l va la fórmula dcl punto medio pata estimar las ventas neta* de las tiendas \\ al-Mart en 20tt5 , Corno se compara tu respi tado con el valor publicado de 52X2.000 mdlooes? lu crn lr T ien .ij,

IlW l/aft

Inc . Rej*i>**r \n m sl 2HV

Ticiutai Wat Man tac Ver:« netas «r $ múes 3# -«times

S E C C IÓ N 2.2

Gráficas de ecuaciones de dos variables; intersecciones; simetría

p T . Umbral de pobreza

Los umbrales de pobreza se determi nan por la Oficina de Censos de los Estados Unidos. El um bral de pobreza representa el ingreso anual mínimo domés tico para una familia que no se considera pobre. En 1998 el umbral de pobreza para una familia de cuatro con dos hijos menores de 18 años fue $16,530. En 2008, el umbral de pobreza para una familia de cuatro con dos hijos meno-

157

res de 18 años fue $21,834. Suponiendo que los umbrales de pobreza se incrementan en forma de línea recta, usa la fórmula del punto medio para estimar el umbral de pobreza de una familia de cuatro con dos hijos menores de 18 años en 2003. ¿Cómo se compara tu resultado con el umbral de pobreza real en 2003 de $ 18,660? F u e n te : O fic in a d e C e n s o s d e U.S.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 68. Escribe un párrafo que describa al plano cartesiano. Des pués escribe un segundo párrafo que describa cómo se ha cen las gráficas de los puntos en el plano cartesiano. Tus

párrafos deben incluir los términos “ejes coordenados”, “coordenadas”, “trazar gráficas”, “coordenada x " y “coor denada y”.

R espuestas a los ejercicio s de la sección "¿Estás listo?" 1. 0

2 .8

3 .5

4. I I 2 + 602 = 121 + 3600 = 3721 = 612

5. A =

6. Verdadero

bh

2

2.2 Gráficas de ecuaciones de dos variables; intersecciones; simetría Preparación para esta sección •

\

A n te s de q u e em pieces, repa sa lo sig u ien te:

Solución de ecuaciones lineales (sección 1.1, pp. 82-87)

•

Solución de ecuaciones por factorización (sección 1.2, pp. 93-94)

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 164. OBJETIVOS 1 Representar ecuaciones gráficamente por medio de puntos (p.157) 2 Encontrar intersecciones a partir de la gráfica (p. 159)

3 Determinar intersecciones a partir de una ecuación (p. 160) 4 Probar la simetría de una ecuación con respecto al ejex, al eje y y al origen.

(p. 160) 5 Encontrar intersecciones a partir de la gráfica (p. 163)

1 Gráfica de ecuaciones por representación de puntos U n a ecuación de dos variables, digam os x y y, es una proposición en la cual dos expresiones que incluyen a x y y son iguales. Las expresiones se llam an lados de la ecuación. C om o una ecuación es una proposición, pu ed e ser v erd ad era o falsa, d e p en d ien d o del valor de las variables. Se dice que cualquier valor de x o y que nos dé una proposición v erd ad era satisface la ecuación. P o r ejem plo, las siguientes son ecuaciones de dos variables x y y: x2 + y 2 = 5

2 x -y = 6

y = 2x + 5

x 2- y

L a p rim era de ellas, x 2 + y 2 = 5, se satisface p o r x = 1, y = 2, ya que l 2 + 22 = 1 + 4 = 5. O tro s valores de x y y, com o x = —1 y y = —2, tam bién satisfacen esta ecuación. N o se satisface p o r x = 2 y y — 3, debido a que 22 + 32 = 4 + 9 = 13 # 5. L a gráfica de una ecuación de dos variables x y y cosiste en el conjunto de puntos en el plano x y cuyas coordenadas (x,y) satisfacen la ecuación. Las gráficas juegan un papel im p o rtan te p a ra ayudarnos a visualizar las rela ciones que existen e n tre dos variables o cantidades. La figura 11 en la página 158 m u estra la relación e n tre el nivel de riesgo de un portafolio de acciones y la tasa anual p rom edio de reto rn o . A p a rtir de la gráfica podem os ver que, cuando se invierte el 30% de las acciones en com pañías extranjeras, se m inim iza el riesgo.

158

C A P ÍT U L O 2 Gráficas F ig u ra 11

Fuenlc: T. Rowc Price

Nivel de riesgo (%)

EJEM PLO

1

D eterm inar si un punto está en la gráfica de una ecuación Determina si los siguientes puntos están en la gráfica de la ecuación (a) (2,3)

Solución

2x

- y = 6.

(h) (2,-2)

(a) Para el punto (2,3), verifica si x = 2, y = 3 satisface la ecuación

Ix

- y = 6.

2 x - y = 2(2) - 3 = 4 - 3 = l * 6 La ecuación no se satisface, así es que el punto (2.3) no está en la gráfica de 2 x (h) Para el punto (2,-2),

-y

= 6.

I r - v = 2 (2 ) -(-2 ) = 4 + 2 = 6 La ecuación se satisface, así es que el punto (2,-2) está en la gráfica de I r - y = 6. Resuelve ahora

EJEM PLO 2

e l

p r o b l e m a

Gráfica de una ecuación por representación de puntos Haz una gráfica de la ecuación:


1 1

y = 2.r + 5

Queremos encontrar todos los puntos (.r,y) que satisfacen la ecuación. Para localizar algunos de esos puntos (y tener una idea del patrón de la gráfica), asigna algunos números a .t y encuentra los valores correspondientes de y. Si

E n to n c e s

P u n to e n la g r á fic a

x=0

y = 2(0) + 5 = 5

(0 .5 )

x= 1

y = 2(1) + 5 = 7

(1 .7 )

x = -5

y = 2(-5) + 5 = - 5

( - 5 .- 5 )

x = 10

y = 2(10) + 5 = 25

(1 0 ,2 5 )

Al hacer una gráfica con estos números y después unirlos, obtenemos la gráfica de la ecuación (una recta), como se ve en la figura 12.

J EJEM PLO

3

Gráfica de una ecuación por representación de puntos Haz una gráfica de la ecuación: y = ,r

Solución

La tabla 1 muestra varios puntos de la gráfica. En la figura 13 trazamos estos puntos y los conectamos con una curva suave para obtener la gráfica (una parábola).

S E C C IÓ N 2.2

C O M E N T A R IO O t r a

fo rm a

de

ob

t e n e r la g r á f ic a d e una e c u a c ió n e s u s a r un d is p o s itiv o p a ra g r a f ic a r .

tiv o p a r a

un d is p o s i graficar ecuaciones, en el

a p é n d ice .

■

L ee la s e c c ió n 2 , U so d e

F ig u ra 14

X

il X

Tabla 1


-4

16

(- 4 ,- 1 6 )

-3

9

(-3,9)

-2

4

(-2,4)

-1

1

H ,1 )

0

0

(0,0)

1

1

(1,1)

2

4

(2,4)

3

9

(3,9)

4

16

(4,16)

159

F ig u ra 13

( x ,y )

Las gráficas de las ecuaciones que se muestran en las figuras 12 y 13 no incluyen todos los puntos. Por ejemplo, en la figura 12, el punto (20,45) es parte de la gráfica de y = 2x + 5, pero no se incluye. Debido a que la gráfica de y - 2x + 5 se puede extender tanto como se quiera, usamos flechas para indicar que el patrón mostrado continúa. Cuando se traza una gráfica es importante presentar una parte de la gráfica suficiente para que cualquiera que la observe pueda “ver” el resto de ella como una continuación obvia de lo que efectivamente se representó. A esto se le llama gráfica completa. Una forma de obtener la gráfica completa de una ecuación es trazar un número suficiente de puntos en la gráfica hasta que se forme un patrón evidente. Después se conectan estos puntos con una curva suave que sigue el patrón sugerido. Pero, ¿cuántos puntos son suficientes? Algunas veces el conocimiento de la ecuación nos lo indica. Por ejemplo, en la siguiente sección aprenderemos que, si una ecuación tiene la forma y = m x + b, entonces su gráfica es una línea recta. En este caso, solo se necesitan dos puntos para obtener la gráfica. Uno de los propósitos de este libro es investigar las propiedades de las ecua ciones para poder decidir si una gráfica está completa. A veces haremos gráficas de ecuaciones por medio de puntos. Pronto investigaremos algunas técnicas que nos permitirán representar una ecuación sin trazar tantos puntos. Dos técnicas que a veces reducen el número de puntos requeridos para hacer una gráfica de una ecuación incluyen encontrar intersecciones y probar la simetría.

2f Intersecciones de una gráfica Los puntos, si existen, en los que la gráfica cruza o toca los ejes de coordenadas se llaman intersecciones. Ver figura 14. La coordenada x de un punto en el que la gráfica cruza o toca el eje x es la intersección con x y la coordenada y de un punto en donde la gráfica cruza o toca al eje y es la intersección con y . Para que una gráfica esté com pleta, se deben mostrar todas sus intersecciones.

EJEM P LO 4

Enco ntrar intersecciones de una gráfica Encuentra las intersecciones de la gráfica d éla figura 15. ¿Cuáles son sus interseccio nes con x? ¿Cuáles son sus intersecciones con y?

Solución

Las intersecciones de la gráfica son los puntos

F ig u ra 15

(-3 ,0 ), (0,3), g , o ) , ( o ,

(0, -3 .5 ), (4.5,0)

Las intersecciones con x son -3 , —y 4.5; las intersecciones con y son —3.5, 3 ’^ J En el ejemplo 4, debes observar el siguiente uso: si no se especifica el tipo de intersec ción (en x o y), entonces indica la intersección como un par ordenado. Sin embargo, si se especifica el tipo de intersección, entonces ihdica la coordenada de la intersección especificada. Para intersecciones con x, indica la coordenada x de la intersección; para intersecciones con y, indica la coordenada y de la intersección. -Resuelve ahora

EL

p r o b l e m a

39

i n c i s o

(a )

160

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

jf3 C O M E N T A R IO P a ra m u ch a s e cu a cio n e s puede no s e r ta n sencillo

trar

encon

la s In terse ccio n es. En e s o s c a

Encontrar intersecciones a partir de una ecuación Las intersecciones de una gráfica se pueden encontrar a partir de su ecuación usando el hecho de que los puntos en el eje * tienen coordenada* y iguales a 0 y los puntos en el eje y tienen coordenadas x iguales a 0.

s o s se puede u s a r un disp ositivo p ara

Procedim iento para encontrar intersecciones

h a ce r g rá fica s, Lee la primera p a rte

un dispositivo para hacer gráficas para localizar In tersecciones y verificar simetría, en el apéndice p ara aprender a localizar de la secció n 3 , U so de

1. Para encontrar la intersección en x, si existe, de cualquier gráfica ecuación, hacemos y = 0 en la ecuación y resolvemos para x, donde número real. 2. Para encontrar la intersección en y, si existe, de cualquier gráfica ecuación, hacemos x = 0 en la ecuación y resolvemos para y, donde número real.

In te rse ccio n e s usan d o un disp ositivo p ara h a ce r g rá fica s.

■

de una x es un de una y es un

Encontrar intersecciones a p artir de una ecuación

EJEM P LO 5

Encuentra las intersecciones con x y las intersecciones con y de la gráfica de y = x: - 4. Después, haz la gráfica de y = x 2 - 4 por representación de puntos.

Solución

Para encontrar las intersecciones en *, hacemos y = 0 y obtenemos la ecuación X2 - 4 = 0

(x + 2 )(x - 2) = 0 * + 2 = 0 X = -2

o

* —2 = 0

o

* = 2

y = K¿ - 4 con y = 0 Factonza. Propiedad de} producto cero f.csue'ue.

La ecuación tiene dos soluciones. -2 y 2. Las intersecciones con * son - 2 y 2. Para encontrar las intersecciones con y. hacemos * = 0 en la ecuación. y

r’ - 4 = 0-’ _ 4 = -4

La intersección con y es -4. Como *2a 0 para toda *. deducimos de la ecuación y = jr - 4 que y a -4 para toda x. Esta información, las intersecciones, y los puntos de la tabla 2 nos permiten hacer la gráfica de v = x 2- 4. Ver figura 16.

*

Figura 16

4 Prueba de sim etría con respecto al eje x, con respecto al eje y y con respecto al origen en una ecuación Acabamos de ver la función de las intersecciones para obtener puntos clase en la gráfi ca de una ecuación. Otra herramienta útil para hacer gráficas de ecuaciones involucra la simetría, particularmente la simetría con respecto al eje x, al eje v y al origen.

D E F IN IC IÓ N

Se dice que una gráfica es simétrica con respecto al eje * si. para cada punto (.v,.v) en la gráfica, el punto (*,-y) también está en la gráfica.

J

S E C C IÓ N 1 2

Gráficas de ecuaciones de dos variables; Intersecciones; simetría

161

La figura 17 ilustra esta definición. Observa que cuando una gráfica es simétrica con respecto al eje x, la parte de la gráfica por encima del eje .r es un reflejo de la parte por debajo y viceversa. Figura 17

Simetría con respecto al eje x

EJEM P LO 6

Puntos sim étrico s con resp ecto al eje x Si una gráfica es simétrica con respecto al eje x y el punto (3,2) está en la gráfica, entonces el punto (3,-2) también está en la gráfica. I

c. F ig u ra

18

D E F IN IC IÓ N

Simetría con respecto al eje y

Se dice que una gráfica es simétrica con respecto al eje y si para cada punto (.v,y) en la gráfica, el punto (-.t,y) también está en la gráfica.

J

La figura 18 ilustra la definición. Observa que cuando una gráfica es simétrica con respecto al eje y, la parte de la gráfica que está a la derecha del eje y es un reflejo de la parte que está a la izquierda y viceversa.

EJEM P LO 7

Puntos sim étricos con respecto al eje y Si una gráfica es simétrica con respecto al eje y y el punto (5,8) está en la gráfica, entonces el punto (-5,8) también está en la gráfica.

D E F IN IC IÓ N

Se dice que una gráfica es simétrica con respecto al origen si para todo punto (jr,y) en la gráfica, el punto (-.v,-y) también está en la gráfica. __j

F ig u ra 19

Simetría con respecto al origen

La figura 19 ilustra esta definición. Observa que la simetría con respecto al ori gen se puede ver de tres formas: 1. Como un reflejo en el eje y seguido por un reflejo en el eje x. 2. Como una proyección a lo largo de una recta que pasa por el origen de manera que las distancias al origen sean iguales. 3. Como la mitad de una rotación completa sobre el origen.

EJEM P LO 8

Puntos sim étricos con respecto al origen Si una gráfica es simétrica con respecto al origen y el punto (4,2) está en la gráfica, entonces el punto (-4 ,-2 ) también está en la gráfica. j — —- Resuelve ahora

los

problemas

29 y 39

(b )

Cuando la gráfica de una ecuación es simétrica con respecto a un eje de coorde nadas o al origen, el número de puntos que necesitas trazar para poder ver el patrón se reduce. Por ejemplo, si la gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje y, entonces una vez que los puntos a la derecha del eje y han sido trazados, se puede obtener un número igual de puntos en la gráfica reflejándolos sobre el eje y. Por esto, antes de hacer la gráfica de una ecuación debemos determinar primero si tiene algu na simetría. Las siguientes pruebas se usan para ese propósito.

162

C A P ÍT U L O 2 Gráficas

P ru eb as de sim e tría Para probar la simetría de la gráfica de una ecuación con respecto al Eje x

Sustituye y por -y en la ecuación y simplifica. Si obtienes una ecuación equivalente, la gráfica de la ecuación es simétrica con respecto al eje x.

Eje y

Sustituye x por -x en la ecuación y simplifica. Si obtienes una ecuación equivalente, la gráfica de la ecuación es simétrica con respecto al eje y.

Origen Sustituye x por -x y y por -y en la ecuación y simplifica. Si obtienes una ecuación equivalente, la gráfica de la ecuación es simétrica con respecto al origen.

EJEM P LO 9

Prueba de sim etría para una ecuación 4x2 Prueba la simetría de y = —z------• 7 x2 + 1

Solución

Ejex:

Para probar la simetría con respecto al eje x, sustituye y por -y. Como 4x 2

Eje y:

.

.

4.r2

-, la gráfica de la ecuación no es no es equivalente a y = x2 + 1 ** x2 + 1 simétrica con respeto al eje x. Para probar la simetría con respecto al eje y. sustituye x por -x. Como 4 (-x )2 4x2 4x~ y = ------ ;------= —;------- es equivalente a y = —------. la gráfica de la

-y

7

=

( —.v ) 2 + 1

X2 + 1

M

•

X- + 1

ecuación es simétrica con respecto al eje y. Origen: Para probar la simetría con respecto al origen, sustituye x por -x y y por -y.

-y

=

- .v =

M -x )2 (-x)2 + 1

Sustituye * per - x y y por —y.

4x2 S im p lifica.

x2 + 1

y - -

4.V2 x2 + 1

Multiplica ambo» iaacs por —1.

Como el resultado no es equivalente a la ecuación original, la gráfica de la 4r ecuación y = —^ — no es simétrica con respecto al origen.

.r + 1

Visualización del concepto La figura 20 muestra la representación de y simetría con respecto al eje y?

"

Ax1

r + 1

Figura 20

,

usando un dispositivo para hacer gráficas. ¿Ves la

5

J Resuelvo ahora

el p r o b l e ma

59

S E C C IÓ N 2.2

*I


163

5 G ráficas de ecuaciones clave Los siguientes tres ejemplos usan intersecciones, simetría y representación de puntos para obtener las gráficas de ecuaciones clave. Es importante conocer las gráficas de estas ecuaciones clave, ya que las usaremos más tarde. La primera de éstas es y = x i.

E J E M P L O 10

G ráfica de la ecuación y = x3 por intersecciones, prueba de s i m e tría y rep resentación de puntos Haz una gráfica de la ecuación y = jc3 representado los puntos. Determina cualquier intersección y primero prueba su simetría.

;

■

Solución

Primero determinamos las intersecciones. Cuando x = 0, entonces y - 0 y cuando y = 0, entonces x - 0. El origen (0,0) es la única intersección. Ahora probamos la simetría. Eje x:

Sustituye y por -y. Como -y = x 3 no es equivalente a y = x 3, la gráfica no es simétrica con respecto al eje x. Eje y: Sustituye x por -x. Como y = (-x )3= - x3 no es equivalente a y = x 3, la gráfica no es simétrica con respecto al eje y. Origen: Sustituye x por -x y y por -y. Como - y = (-x )3 = —.x3 es equivalente a y = x3 (multiplica ambos lados por -1 ), la gráfica es simétrica con respecto al origen.

F ig u r a 21

y\

8 -

,

~6

,

,

, W

H ,-1

* (2 , 8)

-/(U ) p-/l 1 I

) f

1 ! I 6

r

x

Para representar y = x3, usamos la ecuación para obtener varios puntos en la gráfica. Debido a la simetría, solo tenemos que localizar puntos en la gráfica para los cuales x 3 0. Observa la tabla 3. Como (1,1) está en la gráfica y la gráfica es simétrica con respecto al origen, el punto (-1 ,-1 ) también está en la gráfica. Traza los puntos de la tabla 3 y usa la simetría. La figura 21 muestra la gráfica.

( - 2 , - 8) J - 8

E J E M P L O 11

3, il

Tabla 3

/

X

(x,y)

0

0

(0,0)

1

1

(1,1)

2

8

(2,8)

3

27

(3,27)

G ráfica de la ecuación x - y 1 (a) Haz una gráfica de la ecuación x - y 2. Encuentra cualquier intersección y primero prueba su simetría. (b) Haz una gráfica de jc = y2, y > 0.

Solución

(a) La única intersección es (0,0). La gráfica es simétrica con respecto al eje*. (¿Pue des ver por qué? Sustituye y por -y). La figura 22 muestra la gráfica. (b) Si restringimos a y tal que y > 0, la ecuación * = y2, y > 0 se puede escribir de ma nera equivalente como y = Vx. La porción de la gráfica de * = y2en el cuadrante I es, por lo tanto, la gráfica de y = V x. Ver figura 23. F ig u ra

F ig u ra 23

x = y2

y = V x

F ig u ra 2 4

COMENTARIO P a r a

a

ver la g rá fic a de la e cu a ció n x = y 2 en una c a lc u la d o ra g rá fic a , n e c e s it a s

r e p r e s e n ta r d o s e cu a cio n e s,

figura 2 4 .

Y,

=

Vx y Y2 =

—

Vx..

A n a liza re m o s e s t o en el ca p ítu lo 3 . V er ■

164

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

E J E M P L O 12

Gráfica de la ecuación y = Haz una gráfica de la ecuación y = ba su simetría.

Determina las intersecciones y primero prue

Primero busca las intersecciones. Si x = 0, obtenemos 0 en el denominador, lo cual,

Solución

Tabla 4

1

hace que y no esté definida. Concluimos que no hay intersecciones en y. Sí y = 0. obtenemos la ecuación - = 0, la cual, no tiene solución. Concluimos que no hay x 1 intersecciones en el eje x. La gráfica de y = ~ no cruza o toca ninguno de los ejes de coordenadas. Ahora probamos la simetría: 1 Eje x: Sustituimos y por -y y obtenemos - y = —, lo cual, no es equivalente a 1 * ■y = 1 1 . Eje y: Sustituimos x por -x y obtenemos y = — = ——,1° cual, no es equiva lente a y = —. x Origen: Sustituimos x por -x y y por -y y obtenemos - y = — J o cual, es equi1 X valente a y = —. La gráfica es simétrica con respecto al origen. Ahora establece la tabla 4, incluyendo varios puntos de la gráfica. Debido a la simetría con el origen, usamos solo los valores positivos de .r. Por la tabla 4 se infiere 1 que si x es un numero grande y positivo, entonces y = —es un numero positivo cercav 1 no a 0. También se infiere que si x es un número positivo cercano a 0. entonces y = —

co ^

F ig u ra 25

-Im - cío

/ \ ( 1 .1) /

( - 2 .- 1 )

V J 2- 1 ) r ' i 3

/

r x

es un número grande y positivo. Con esta información podemos hacer la gráfica de la ecuación. j La figura 25 ilustra algunos de los puntos de la gráfica de y = —. Observa cómo se usaron la ausencia de intersecciones y la existencia de simetría con respecto al origen.

(- 1 ,- 1 ) Y (- - M I

1

--3

0

COMENTARIO C o n s u lta

el ejemplo 2 del a p én d ice, s e c c ió n 3 , p a ra la re p re s e n ta c ió n d e

y =

u san d o un d isp o sitiv o p a ra h a c e r g r á f ic a s .

2.2 Evalú a tu en ten d im ien to "¿Estás listo?" L a s respuestas se dan al fin a l de los ejercicios, S i obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. Resuelve la ecuación 2(x + 3) - 1 = -7. (pp. 82-85)

2. Resuelve la ecuación

- 9 = 0. (pp. 93-94)

Conceptos y vocabulario 3.

Los puntos, si existen, en donde una gráfica cruza o toca los ejes de coordenadas se llam an________

4.

Las intersecciones en x de la gráfica de una ecuación son aquellos valores de ,v para los cuales________

5.

Si para cada punto (,v,y) en la gráfica de una ecuación el punto (-.v,y) está también en la gráfica, entonces la gráfica es simétrica con respecto a ________

6. Si la gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eie y y ~4 es una intersección en el eje x de esta gráfica, entonces________ es también una intersección en el eje x .

7. Si la gráfica de una ecuación es simétrica con respec to al origen y (3 ,-4 ) es un punto en la gTáfica. entonces es también un punto en la gráfica. 8. V erdadero o fa ls o Para encontrar las intersecciones en y de la gráfica de una ecuación, haz .v = 0 y resuelve para y. 9. V erdadero o fa ls o La coordenada y de un punto donde la gráfica cruza o toca al eje ,v es una intersección en x. 10.

V erdadero o f a ls o Si una gráfica es simétrica con respec to al eje .v, entonces no puede ser simétrica con respecto al eje y.

S E C C IÓ N 2.2


165

Ejercicio s En los problemas 11-16, determina cuáles de los puntos dados están en la gráfica de la ecuación. 11. Ecuación: y = x4 - V x 12. Ecuación: y = x3 - 2V x 13. Ecuación: y2= jc2+ 9 Puntos: (0.0); (1,1); (-1,0)

14. Ecuación: y3 = x + 1

Puntos: (0.0); (1,1); (1,-1)

Puntos: (0,3); (3,0); (-3,0)

15. Ecuación: x2+ y2= 4

16. Ecuación: jr+ 4y2= 4

Puntos: (0,2); (-2,2); ( Vi,

Puntos: (1.2); (0.1); (-1.0)

Vi)

Puntos: (0,1); (2,0); ^2,

En los problemas 17—28, encuentra las intersecciones y liaz una gráfica cada ecuación representando los puntos. Asegúrate de marcar las intersecciones.

\

19. y = 2.t + 8

20. y = 3.v —9

22. y = x2 - 9

23. y = - x 2 + 4

24. y =

26. 5.v + 2y = 10

27. 9.v2 + 4y = 36

28. 4x2 + y = 4

17. y = .r + 2

18. y =

21. y = .v2 - 1 25. 2.t + 3y = 6

jc —6

-

jc2

+

1

En los problemas 29-38, haz una gráfica de cada punto. Después traza el punto que le es simétrico con respecto a (a) el eje x, (b) el eje y (c) el origen. 29. (3,4) 30. (5,3) 31. (-2,1) 32. (4,-2) 33. (5,-2) 34. (-1,-1) 35. (-3,-4) 36. (4,0) 37. (0,-3) 38. (-3,0) En los problemas 39-50, se da la gráfica de una ecuación, (a) Encuentra las intersecciones, (b) Indica si la gráfica es simétrica con respecto al eje x, al eje y y al origen.

En los problemas 51—54, dibuja una gráfica completa de manera que tenga el tipo de simetría indicada.

52. Ejejc

53. Origen

166


E n lo s p r o b le m a s 5 5 - 7 0 , in d ic a las in te rse c c io n e s y p r u e b a la sim e tría .

\

58. y =

55. y2 = * + 4

56. y2 = x + 9

57. y = N^r

59. x2 + y - 9 = 0

60. x2 - y ~ 4 = 0

61.

63. y = x 2 - 27

64. y = x4 - 1

65. y = x2 - 3x - 4

3* 67. y = jc2 + 9

68. y =

9x2 + 4y2 = 36

K2 - 4

62. 4x2 + y2 * 4 66. y

70. y

x2 + 4 jc4

2jc

+ 1 2-r5

En los problemas 71-74, bosqueja cada ecuación. 71. y = jc3

72. x = y2

73. y = V i

75. Si (3,6) es un punto en 77. Si (a,4) es un punto en

la gráfica de y = 4x + 1, ¿qué es 6? la gráfica de y = x2+ 3x, ¿qué es a?

76. 78.

7X.

y = -

Si (-2,b) es un punto en la gráfica de 2x + 3y = 2. ¿

Si (a,-5 ) es un punto en la gráfica de y = x 2 + 6x. ¿q

A p li c a c io n e s y e x t e n s io n e s ______________________

79. Como el punto (1,2) está en la gráfica de una ecuación que es simétrica con respecto al origen, ¿qué otro punto está en la gráfica?

80. Si la gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje y y 6 es una intersección en x de esta gráfica, menciona otra intersección en x. 81. Si la gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al origen y - 4 es una intersección en x de esta gráfica, men ciona otra intersección en x. 82. Si la gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje x y 2 es una intersección en y, menciona otra intersec

84. Energía solar Los generadores de energía eléctrica solar de Kramer Junction, California usan canales parabólicos para calentar un fluido de transmisión de energía a altas temperaturas. Este fluido se usa para generar vapor que impulsa un sistema de conversión de energía para producir electricidad. Para canales de 7.5 pies de ancho, una ecua ción para la sección transversal es 1óy2 = 120x - 225.

ción en y.

83. Micrófonos En los estudios y los escenarios, los micrófonos cardioides se prefieren por la riqueza que le dan a las voces y por su habilidad para reducir el nivel del sonido de los la dos y parte trasera del micrófono. Considera que un patrón cardioide se da por la ecuación (x 2+ y2- x2) = x1+y2. (a) Determina las intersecciones de la gráfica de la ecuación, (a) Prueba la simetría con respecto al eje x , al eje y y al origen. F u en te:

tvw \v. n o ta viva , c o m

(a) Determina las intersecciones de la gráfica de la ecuación. (b) Prueba su simetría con respecto al eje x. al eje y y al origen. F u e n te : D e p a r ta m e n to d e E n e r g ia d e E s ta d o s U n id o s .

E x p lic a c ió n d e c o n c e p t o s : d is c u s ió n y e s c r it u r a

¿¡£85. (a) Haz una gráfica de y = V x 2,y = x ,y = |x |y y = (V x )2 y marca qué gráficas son las mismas. (b) Explica por qué las gráficas de y = V ? y y = |.v| son iguales. (c) Explica por qué las gráficas de y = x y y = ( V x )2 no son iguales. (d) Explica por qué las gráficas de y = V x 2y y = x n o s o n iguales. 86. Explica qué se entiende por una gráfica completa. 87. Dibuja una gráfica de una ecuación que contenga dos in tersecciones en x, en una de ellas la gráfica cruza el eje x y en la otra la gráfica toca el eje x. 88. Inventa una ecuación que tenga intersecciones (2,0), (4,0) y (0,1). Compara tu ecuación con la de un compañero. Co menten las similitudes.

89. Dibuja una gráfica que contenga los puntos (-2 .-1 ). (0.1). (1,3) y (3,5). Compara tu gráfica con las de otros estu diantes. ¿La mayoría de las gráficas son casi líneas rectas? ¿Cuántas de ellas son “cunas"? Discute las diversas for mas en que estos puntos se pueden conectar. 90. Se quiere probar la simetría de una ecuación con respecto al eje x, al eje y y al origen. Explica por qué si dos de estas simetrías están presentes, la tercera también tiene que es tar presente. 91. Dibuja una gráfica que contenga los puntos (-2.5). (-1.3) y (0,2), es decir, que sea simétrica con respecto al eje y. Compara tu gráfica con la de otros estudiantes, comenten las similitudes. ¿Puede una gráfica contener estos puntos y ser simétrica con respecto al eje .v? ¿Con respecto al ori gen? ¿Por qué o por qué no?

S E C C IÓ N 2.3

Rectas

167

Ejercicios interactivos 'regunta a tu maestro si los applets que se dan a continuación son de interés para ti. no con el cursor. ¿Cómo se relacionan las coordenadas del 92. Simetría con el eje y Abre el applet de simetría con el eje y. punto A y las coordenadas del punto B? Mueve el punto A por diversos lugares del plano cartesia no con el cursor. ¿Cómo se relacionan las coordenadas del 94. Simetría con el origen Abre el applet de simetría con el punto A y las coordenadas del punto B? origen. Mueve el punto A por diversos lugares del plano cartesiano con el cursor. ¿Cómo se relacionan las coorde 93. Simetría con el eje x Abre el applet de simetría con el eje x. nadas del punto A y las coordenadas del punto B? Mueve el punto A por diversos lugares del plano cartesia Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?"

2. (-3,3}

1. {-6}

2.3 Rectas OBJETIVOS 1 Calcular e interpretar la pendiente de una recta (p. 167)

2 Representar gráficamente rectas dados un punto y la pendiente (p. 170) 3 Determinar la ecuación de una recta vertical (p. 170)

4 Usar la forma punto-pendiente de una recta; identificar rectas horizontales (p. 171)

5 Determinar la ecuación de una recta dados dos puntos (p. 172) 6 Escribir la ecuación de una recta en la forma pendiente-ordenada (p. 172)

7 Identificar la pendiente e intersección con el eje y de una recta a partir de su ecuación (p. 173) 8 Representar gráficamente rectas escritas en la forma general usando inter secciones (p. 174)

9 Determinar ecuaciones de rectas paralelas (p. 175) 10 Determinar ecuaciones de rectas perpendiculares (p. 176)

En esta sección estudiaremos un tipo de ecuación que contiene dos variables, llama da ecuación lineal, y su gráfica, la recta.

Calcula e interpreta la pendiente de una recta Considera la escalera de la figura 26. Cada escalón contiene exactamente la misma huella y la misma elevación vertical. La razón de la elevación a la huella, llamada pendiente, es una medida numérica de la inclinación de la escalera. Por ejemplo, si la huella se incrementa y la elevación vertical se mantiene igual, la escalera se vuelve menos inclinada. Si la huella se mantiene igual pero la elevación vertical se incremen ta, la escalera se vuelve más inclinada. Esta característica importante de una recta se define de mejor forma usando coordenadas rectangulares.

Figura 26

D E F IN IC IO N

Sean P = (xv y l) y Q = (x2,y2) dos puntos diferentes. Si x x± x2, la pendiente m de la recta no vertical L que contiene a P y Q se define por la fórmula m =

yi ~ y i x 2 “ *1

Xi A x 2

( 1)

Si x, = x 2, L es una recta vertical y la pendiente m de L no está definida (ya que esto nos daría una división entre 0).

J

La figura 27(a) en la página 168 muestra una ilustración de la pendiente de una recta no vertical, la figura 27(b) muestra una recta vertical.

168

CAPÍTULO 2 Gráficas

í

Figura 27 h

xi

(b) La pendiente no está definida, L es vertical

Como ilustra la figura 27(a), la pendiente m de una recta no vertical se puede ver ramo m =

yi -

y

i

x 2 - JC,

Huella o Elevación vertical

m =

y 2 ~ y\ _ Cambio en v _ Ay x 2 ~ X\ Cambio en x Ax

Esto es, la pendiente m de una recta no vertical mide qué tanto cambia y cuándo Ay cambia x de x, a xv La expresión — se llama razón de cambio promedio de y con 2 Ax respecto a x. Resultan útiles dos comentarios acerca del cálculo de la pendiente de una recta no vertical: 1. Cualesquiera dos puntos diferentes en una recta se pueden usar para calcular la pendiente de la recta. (Ver figura 28 que lo justifica).

Figura 28 Los triángulos ABC y PQR son similares (ángulos iguales), asi que las razones de los lados correspondientes son proporcio nales. Entonces

yi - y i

La pendiente usando P y O = x2 - x, d(B, C) = La pendiente usando AyB d(A,C)

Dado que se pueden usar dos puntos diferentes para calcular la pendiente de una recta, la razón de cambio promedio siempre es el mismo número. 2. La pendiente de una recta se puede calcular de P = (x,,y,) a Q = (x,,y,) o d e Q a P ya que

EJEM P LO 1

V; -

Vi

*2 “

*1

_

Vi -

>’2

V, -

.V2

D eterm inación e interpretación de la pendiente de una recta dados dos puntos La pendiente m de la recta que contiene los puntos (1.2) y (5 .-3 ) se puede calcular como 2 ~ (~ 3) 5 5 5 o como m 4 1- 5 4 Por cada cambio de 4 unidades en .v, y cambiará -5 unidades. Esto es. si .v se incre menta en 4 unidades, entonces y decrecerá en 5 unidades. La razón de cambio promedio de y con respecto a .v es tm

Resuelve ahora

los

problemas

i i

y

i

7

S E C C IÓ N 2.3

[ EJEM P LO 2

Rectas

169

D eterm inación de las pendientes de diversas rectas que contienen el m ism o punto (2,3) Calcula las pendientes de las rectas L v L v L, y LAque contienen los siguientes pares de puntos. Haz una gráfica de las cuatro rectas en el mismo eje de coordenadas. <2, = ( - l ,- 2 ) p = ( 2,3) w /, = (2,3) (?2= (3,-1) <2, = (5,3) P = ( 2,3) P = (2,3) 0 4 = (2,5)

Solución Fig u ra 2 9

Sean mv m2, my y mAlas pendientes de las rectas L,, L;, L, y L4, respectivamente. Entonces m, =

-2 -3 -1-2

-5 -3

= —— = —

Una elevación d e 5

dividida

e n tr e una huella

de 3.

- 1 - 3 - 4

m •, = —---- — = — = - 4 3 -2 1 3-3 0 = 5 ^ = 3 = ° m4 no está definida porque

= jc2 = 2

Las gráficas de esas rectas se dan en la figura 29.

^

La figura 29 ilustra lo siguiente: 1. Cuando la pendiente de una recta es positiva, la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha {L x). 2. Cuando la pendiente de una recta es negativa, la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha (L2). 3. Cuando la pendiente es 0, la recta es horizontal (L3). 4. Cuando la pendiente no está definida, la recta es vertical (L4).

Visualización del concepto F ig u r a 3 0

En la misma pantalla, dibujo la gráfica de las siguientes ecuaciones: V, = 0

La p endiente de la r e c t a e s

1

Y2 = —x

4

1 Y3 = —x K, =

x

O. 1

La p endiente de la r e c t a e s — . 4

1 La p endiente de la r e c t a e s

.

La pendiente de la r e c t a e s 1.

Ys = 2x

La pendiente de la r e c t a e s 2.

Y6 = 6x

La pendlente-de la r e c t a e s

6.

^ Visualizando el concepto F ig u ra 31

a En la misma pantalla, dibuja la gráfica de las siguientes ecuaciones: Yi =

0

La pendiente de la r e c t a e s

Y2

1 ~~x

La pendiente de la r e c t a e s —

=

1

Ver Figura 31.

O. 1

1

Y3 = ——x

La pendiente de la r e c t a e s — ^ ■

Ya

La pendiente de la r e c t a e s —1.

=

—x

Ys = —lx

La pendiente de la r e c t a e s —2.

Y6

La pendiente de la r e c t a e s —6 .

=

-6 x

170


Las figuras 30 y 31 en la página 169 muestran que entre más cerca esté una recta de la posición vertical, mayor es su pendiente,

2f Gráfica de rectas dados un punto y la pendiente Gráfica de rectas dados un punto y la pendiente

EJEM P LO 3

Solución Figura 32

Traza la gráfica de una recta que contenga el punto (3,2) y tenga pendiente de: 3 4 (a) 7 ' i 4 Elevación . El hecho de que la pendiente sea - quiere decir que (a) La pendiente = Huella ~ n ' 4 por cada movimiento horizontal (huella) de 4 unidades hacia la derecha, habrá un movimiento vertical (elevación vertical) de 3 unidades. Ver figura 32. Si co menzamos en el punto dado (3,2) y nos movemos 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba, llegamos al punto (7,5). Trazamos la recta que pasa por este punto y el punto (3,2) y obtenemos la gráfica. (b) El hecho de que la pendiente sea 4 _ _4

5 "

Elevación Huella

5

quiere decir que por cada movimiento horizontal de 5 unidades hacia la derecha habrá un movimiento vertical correspondiente de - 4 unidades (movimiento ha cia abajo). Si comenzamos en el punto dado (3,2) y nos movemos 5 unidades a la derecha y después 4 unidades hacia abajo, llegamos al punto (8.-2). Trazamos la recta que pasa por estos puntos y obtenemos la gráfica. Observa la figura 33. De forma alternativa podemos establecer

Elevación =

4 _ 4 _ Elevación 5 -5 Huella

Elevación = i_L

es decir, por cada movimiento horizontal de -5 unidades (movimiento hacia la izquierda) habrá un movimiento vertical correspondiente de 4 unidades (ha cia arriba). Este enfoque nos lleva al punto (-2,6), que también se encuentra en la gráfica de la figura 33. -Resuelve ahora

el

problema

23

3 Ecuación de una recta vertical EJEM P LO 4

Gráfica de una recta Haz una gráfica de la ecuación:

Solución

.v = 3

Para hacer la gráfica de x = 3, determinamos todos los puntos (.r. v) en el plano para el cual .v = 3. No importa qué coordenada de v se use. el valor correspondiente de la coordenada en x es siempre igual a 3. Como consecuencia, la gráfica de la ecuación x = 3 es una recta vertical con intersección en .v igual a 3 y pendiente no definida. Ver figura 34.

Figura 34 y\

4 (3,3)' (3, 2)' ) (3.1)' ►

1

1

-1 -1

1 (1 (3, 0) (3. -1)'

1

1, 5 x

SECCIÓN 2.3 Rectas

171

Como sugiere el ejemplo 4, tenemos el siguiente resultado: TEO REM A

Ecuación de una recta vertical Una recta vertical se da por la ecuación de la forma x =a donde a es la intersección con x.

J

C O M E N T A R IO P a r a obtener la g rá fic a de una SU necesitamos expresar la e cu a ció n en la forma y

e cu ació n

usando

un

dispositivo p a ra h a c e r g r á f ic a s . 3 no se puede e x p r e s a r de

= {e xp resió n en x}. P ero x =

e s t a fo rm a . P a r a re so lv e r e s t e problem a, la m ayo ría de lo s d is p o s itiv o s p a ra g r a f ic a r tien en fo rm a s e s p e c ia le s p a ra d ib u ja r r e c t a s v e r t ic a le s . DRAW , U N E , P L O T y V E R T so n a lg u n a s de la s m á s co m u n es. C o n s u lt a tu m anual

para

correcta para

d e te rm in a r la m etodología

tu d isp o sitiv o .

■

4 Uso de la form a punto-pendiente de una recta; identificación de rectas horizontales

¡g u ra 35

Sea L una recta no vertical con pendiente m y que contiene al punto (*,,>»,). Ver figu ra 35. Para cualquier otro punto (.t,y) en L tenemos y — Vi m = ---------------

x - x{

o

v - V, = m ( x - x . )

Forma punto-pendiente de la ecuación de una recta Una ecuación de una recta no vertical con pendiente m que contiene el punto (•W ,) es y - y = m { x - x {)

(2 )

J EJEM P LO 5

U so de la form a punto-pendiente de una recta

F ig u ra 3 6

Una ecuación de la recta con pendiente 4 y que contiene el punto (1,2) se puede de terminar usando la forma punto-pendiente con m - 4, = 1 y y, = 2.

y. 6

(2 ,6 )

-

y Elevación = 4 ( 1 .2 ) s

1 -2

^

1

1 T Huella

/ 1 i /

i

-

y = 4x i 5

i

i

i

i

i r 10 x

EJEM P LO 6

—

m = 4, x, = 1, y, = 2

2

R esu elve p a ra y.

Ver figura 36 para la gráfica. Resuelve ahora

Ì

= '” (* “ *i)

y — 2 = 4{x - 1)

= 1 i

y\

el

problema

45

Ecuación de una recta horizontal Encuentra la ecuación de una recta horizontal que contiene le punto (3,2).

Solución F ig u ra 3 7

y ~ y\ = m (x - *i) y — 2 = 0 • (x — 3)

Y\

4 ’

Como todos los valores de y son iguales en una recta horizontal, su pendiente es 0. Para obtener una ecuación, usamos la forma punto-pendiente con m = 0, x x= 3 y y, = 2.

0 ,2 )

y —2 = 0 1 -1

1 _ 1

1 1 3

1

1 r 5 x

y = 2 Ver figura 37 para la gráfica.

m = O, x,

= 3, y y, = 2

172

C A P ÍT U L O 2

Gràfici»

Como sugiere el ejemplo 6, leñemos el siguiente resultado.

TEO REM A

E cu a c ió n d e u n a re cta h o r iz o n ta l

Una recta horizontal está dada por una ecuación de la forma y =b donde h es la intersección con y.

5 Ecuación de la recta dados dos puntos EJEM PLO

D eterm ina la ecuación de la recta dados dos puntos

7

Determina la ecuación de la recta que contiene los puntos (2.3) y (-4 .5 ) Dibuja ia gráfica de la recta.

Solución

Primero calcula la pendiente de la recta.

F ig u ra 38

Usa el punto (2.3) y la pendiente m = - - para obtener la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta. 1 U 3

~

2)

Ver figura 38 para la gráfica. En la solución del ejemplo 7 pudimos haber usado el otro punto. (-4.5). en lugar del punto (2.3). La ecuación que obtendríamos, aunque se sea diferente, es cquisalente a la ecuación que obtuvimos en el ejemplo. ( Inténtalo tú mismo). Resuelve ahora n

problemi

37

6 Escritura de la ecuación de una recta en la form a pendiente-ordenada Otra ecuación útil de una recta se obtiene cuando se conoce la pendiente m y la inter sección /> con y. En este caso, conocemos la pendiente m de la recta y el punto (O.M en la recta, entonces usamos la forma punto-pendiente, ecuación (2). para obtener la siguiente ecuación:

y - b = m (x - 0) o y = m.r + b

TEO REM A

F o rm a p e n d ie n te -o r d e n a d a d e la e c u a c ió n d e u n a re cta

Una ecuación de una recta con pendiente m e intersección b en v es V = inx + h

(3)

J Resuelve ahora

Il

PROBLEMA

p e n d i e n t e

S1

(DA

LA R E S P U E S T A

-o rd en ad a)

IN

fORMA

S E C C IÓ N 2.3

gyra39 y=mx +2

173

Visualización del concepto

V4 = 3x + 2

= - 3x + 2

Rectas

L J Para ver el papel que juega la pendiente m, dibuja la gráfica de las siguientes rectas en la misma pantalla.

y, = 2 K = x +2

y, = 2

V ^-x + 2 6

V4= 3x + 2 Yi = -3x + 2 Ver figura 39. ¿Qué puedes concluir acerca de las rectas y = mx + 2?

Visualización del concepto LJ Para ver el papel que juega la intersección b en y, dibuja la gráfica de las siguientes rectas en la misma

¡gura 40 y = 2x + b V2 = 2x + 1

pantalla.

Ya = 2x + 4 j , ^ J 2x _ 1

:igura 41

J

y, = 2x

4/ / / / y5 = 2 x - 4

y2= 2x+1

yj=2x-i y4= 2x + 4 ys= 2x-4 Ver figura 40. ¿Qué puedes concluir acerca de las rectas y = 2r + bl -4

J

7 Identificación de la pendiente e intersección con y de una recta a partir de su ecuación Cuando la ecuación de una recta está escrita en forma pendiente-ordenada, es fácil encontrar la pendiente m y la intersección b con y de la recta. Por ejemplo, considera que la ecuación de una recta es y = —2x + 7 Compara esta ecuación con y = mx + b y = -2.tr 4- 7

t

y =

t

mx + b

La pendiente de la recta es - 2 y su intersección con y es 7. Resuelve ahora

EJEM P LO 8

el

problema

71

D eterm inación de la pendiente e intersección con y Determina la pendiente m e intersección b en y de la ecuación 2x + 4y = 8. Haz una gráfica de la ecuación.

Solución

Para obtener la pendiente e intersección en y, resuelve para y para escribir la ecua ción en forma pendiente-ordenada. 2jc + 4y = 8 4y = —2x + 8 1

y = ——X

+ 2 y = mx + b

1 El coeficiente de x, — , es la pendiente y la intersección en y es 2. Haz una gráfica 2 . 1 de la recta usando el hecho de que la intersección en y es 2 y la pendiente es ——. Después, empezando con el punto (0,2), muévete 2 unidades a la derecha y 1 unidad hacia abajo al punto (2,1). Observa la figura 41. Resuelve ahora

el

problema

77

174


8 Gráfica de rectas escritas en la forma general usando intersecciones Consulta el ejemplo 8. La forma de la ecuación de la recta 2x * 4y ■ 8 ve llama la forma neutral. D E F IN IC IÓ N

La ecuación de una recta está en forma general* cuando está escrita a m o Ax

donde

A , II

+

Hy 9

C

y C son números reales y A y

(4| H

no pueden ser ambas 0.

.

Si II = 0 en (4), entonces A *■0 y la gráfica de la ecuación es una recta vertical x = — Si H / 0 en (4), entonces podemos resolver la ecuación para v y escribir La A ecuación en forma pendiente-ordenada como lo hicimos en el ejemplo 8. Otro enfoque para representar gráficamente la ecuación (4) es encontrar Las in tersecciones. Recuerda que las intersecciones de la gráfica de una ecuación son los puntos donde la gráfica cru/a o toca al eje de coordenadas. EJEM PLO 9

Gráfica de una ecuación en form a general usando sus intersecciones H a/ una gráfica de la ecuación 2v + 4y = 8 a partir de sus intersecciones.

Solución

Para obtener las intersecciones en .t. hacemos y = 0 en la ecuación y resolvemos para r 2 x + 4y = 8 2 x + 4(0) = 8

Sea y * 0.

2x = 8 X

= 4

Q r.iá e

arrbo* UdO0 f" Ve 2.

La intersección con x es 4 y el punto (4,0) está en la gráfica de la ecuación. Para obtener la intersección en y. hacemos x = 0 en la ecuación y resolvemos para i 2.v + 4y = 8

Figura 42

2(0) + 4y = 8

Sea * = O .

4y = 8 V= 2

CK'-iie a»nt>c«9 Uao» r^Tr? 4

La intersección con y es 2 y el punto (0.2) está en la gráfica de la ecuación. Dibuja los puntos (4.0) y (0.2) y traza la recta que pasa por los puntos. Observa la figura 42. Resuelve ahora n p r o b l e m a 9 i

Cada recta tiene una ecuación que es equivalente a una ecuación esenta en la forma general. Por ejemplo, una recta vertical cuya ecuación es ■V= <1 se puede escribir en la forma general 1 •x + 0• y - a

A»t.P*0.C *i

Una recta horizontal cuva ecuación es y -b se puede escribir en la forma general 0 • .v + 1 • y = b Algunos libros usan el término forma estándar

a*

0, P * t. C 9

i-

SECCIÓN 2.3 Rectas

175

Las rectas que no son ni verticales ni horizontales tienen ecuaciones generales de la forma A x + By = C

A

^ O y E> =£ 0

Dado que la ecuación de cada recta se puede escribir en la forma general, cualquier ecuación equivalente a la ecuación (4) se llama ecuación lineal.

Ecuación de rectas paralelas

:ig u r a 4 3

Cuando dos rectas (en un plano) no se intersectan (es decir, no tienen pun tos en común), se dice que son paralelas. Ver figura 43. Hemos dibujado ahí dos rectas paralelas y hemos construido dos triángulos rectángulos al dibujar lados para lelos a los ejes de coordenadas. Los triángulos rectángulos son similares. (¿Puedes ver por qué? Dos ángulos son iguales.) Como los triángulos son similares, las razones de los lados correspondientes son iguales. TEO R EM A

C r it e r io p a ra re c ta s p a ra le la s

Dos rectas no verticales son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales y tienen diferentes intersecciones con y. ^ El uso de las palabras “si y solo si” en el teorema anterior quiere decir que se dan dos proposiciones, una la inversa de la otra. Si dos rectas no verticales son paralelas, entonces sus pendientes son igua les y tienen dos intersecciones con y diferentes. Si dos rectas no verticales tienen pendientes iguales y tienen diferentes intersecciones con y, entonces son paralelas.

E J E M P L O 10

D em ostración de que dos rectas son paralelas Demuestra que las rectas dadas por las siguientes ecuaciones son paralelas: L y 2x + 3y = 6, L 2: 4x + 6y = 0

I,


Para determinar si estas rectas tienen pendientes iguales y diferentes intersecciones con y, escribe cada ecuación en forma pendiente-ordenada: L \.

2x + 3y = 6

Lj.

3y = - 2 x + 6 2 y = ~3X + 2 Pendiente = - —, intersección con y = 2

4x + 6y - 0 6y = - 4 x 2 y = ~3X

Pendiente = - —, intersección con y = 0

2 Como estas rectas tienen la misma pendiente, ——, pero diferentes intersecciones en y, las rectas son paralelas. Observa la figura 44. |

E J E M P L O 11

D eterm inación de una línea que sea paralela a una recta dada Determina la ecuación de la recta que contenga el punto (2,-3) y que sea paralela a la recta 2x + y = 6.

Solución

Dado que las rectas son paralelas, la pendiente de la recta que buscamos es igual a la pendiente de la recta 2x + y = 6. Empieza por escribir la ecuación de la recta 2x + y = 6 en forma pendiente—ordenada.

176

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

La pendiente es -2 . Como la recta que buscamos también tiene pendiente - 2 y contiene el punto (2,-3), usa la forma punto-pendiente para obtener su ecuación.

Figura 45

Forma punto-pendiente

y - yi = m (x - * i )

to 1 II

II

Cvf

*" C\J

1 II £

= - 2 ( x - 2)

y - (- 3 )

Simplifica.

y + 3 = —2x + 4

Forma pendiente-ordenada

y = -2 x + 1

Forma general

2x + y = 1

Esta recta es paralela a la recta 2 x + y = 6 y contiene el punto (2,-3). Ver figura 45.

& T sm E ^-Pesuelve ahora

el

problema

59

Ecuaciones de rectas perpendiculares Cuando dos rectas se intersectan en ángulo recto (90°), se dice que son perpendicu lares. Observa la figura 46. El siguiente resultado da una condición para que dos rectas sean perpendiculares en términos de sus pendientes.

TEO REM A

Criterio para rectas perpendiculares Dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si el producto de sus pen dientes es -1.

Aquí demostramos la parte “solo si” de la proposición anterior:

Si dos rectas no verticales son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es —1.

En el problema 128 se te pide que demuestres la parte “si” del teorema, esto es:

Si dos rectas no verticales tienen pendientes cuyo producto es —1, entonces las rectas son perpendiculares.

Figura 47

Demostración Sean m l y m 2las pendientes de dos rectas. No se pierde generalidad (esto es, no se afecta ni al ángulo ni a las pendientes) si colocamos las rectas de ma nera que se intersecten en el origen. Observa la figura 47. El punto A = (1 ,m 2) está en la recta que tiene pendiente m 2 y el punto B — (1 ,m^) está en la recta que tiene pendiente m y (¿Ves por qué tiene que ser cierto esto?) Considera que las rectas son perpendiculares. Entonces el triángulo O AB es un triángulo rectángulo. Como resultado del teorema de Pitágoras se entiende que

[d(OA)]2+ [d(0,B)f =

[ ¿ ( A ,5 ) P

Usamos la fórmula de distancia para obtener los cuadrados de estas distancias

[ d(0, A ) ] 2 = (1 [d(0, Æ)]2 = (1

—O)2 + (m 2 — O)2 = 1 + ni2 - O )2 + (m { — O)2 = 1 + m \

[d(A, B )]2 = (1

—l ) 2 + (m 2 —my)2 = m 2 — 2m im 2 + ni\

(5 )

t

S E C C IÓ N 2 J

l *

Rectas

177

Si usamos estos hechos en la ecuación (5) obtenemos

*

/

\

/

\

( l + nr: ) + (l + wij) = rrn -

2 /ntr/i2

+ m*

que si se simplifica se puede escribir como m,/N, = -1 Si las rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1.

■

Tal vez te parezca más sencillo recordar la condición para que dos rectas sean perpendiculares por la observación de que la igualdad = -1 quiere decir que w, y m , son recíprocos negativos una de la otra, esto es, m t = —— o rn2 = —— .

D eterm inación de la pendiente de una recta perpendicular a o tra recta

E J E M P L O 12

3 2 Si una recta tiene pendiente - , cualquier recta que tenga pendiente - - e s perpen dicular a ella. * |

D eterm inación de la ecuación de una recta perpendicular a una recta dada

E J E M P L O 13

Determina una ecuación de una recta que contenga el punto (1,-2) y que sea perpen dicular a la recta x + 3.v = 6. Haz una gráfica de las dos rectas.

Solución

Primero escribe la ecuación de la recta dada en forma pendiente-ordenada para en contrar su pendiente. .t + 3y = 6 3y = —X + 6

y = ——X + 2

R esu elve p a ra y. E s c ríb e lo en la

La recta dada tiene una pendiente igual a —

forma y =

mx

+ b.

Cualquier recta perpendicular

a ésta tendrá una pendiente igual a 3. Como requerimos que el punto (1,-2) esté en esta recta con pendiente 3. usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta. y — y i = m (x — .Vi) Forma punto-pendiente

F ig u ra 4 8

y - ( - 2 ) = 3(.v - 1)

m = 3,

xt

=

1,y, = - 2

Para obtener otras formas de la ecuación, procedemos de la siguiente manera: y + 2 = 3(.t — 1) y + 2 = 3x — 3 y = 3x — 5 3x — y = 5

Sim p lifica.

Forma pendiente-ordenada Forma qenerai

La figura 48 muestra las gráficas.

•"■■■■“ ^—RbsiibIvb ahora

0

el

problema

65

ADVERTENCIA A s e g ú r a te de u s a r una p a n ta lla cuadrada cuando dib ujes g r á f ic a s de r e c t a s perpen diculares. De o t r a manera, el ángulo e n tre la s d o s r e c t a s aparecerá distorsionado. En la se cció n 5 del ap én d ice s e e n cu e n tra una d isc u sió n so b re p a n t a lla s c u a d r a d a s .

■

178

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

2.3 Evalúa tu entendimiento Conceptos y vocabulario 7. Dos rectas no verticales tienen pendientes m, y m2, res pectivamente. Las rectas son paralelas si ________ y la ________ es diferente, las rectas son perpendiculares sí

1. La pendiente de una recta vertical e s ------------ - la pen diente de una recta horizontal e s ------------2. Para la recta 2jc + 3y = 6, la intersección en x e s ------------ y la intersección en y e s ________ 3. Una recta horizontal se da por una ecuación de la forma ________ , donde b es la ________

8. Las rectas y = 2x + 3 y y = ax + 5 son paralelas si a = -------------

4.

Las rectas verticales tienen una pen

9. Las rectas y = 2x - l y y = ax + 2 son perpendiculares si a = -------------

5. Verdadero o fa lso

La pendiente de la recta 2y = 3x + 5 es 3.

6. Verdadero o fa lso

El punto (1,2) está en la recta 2 x + y = 4.

10. Verdadero o fa ls o Las rectas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas una de la otra.

Verdadero o fa ls o

diente no definida.

Ejercicios E n los problemas 11-14, (a) determina la pendiente de la recta y (b) interpreta la pendiente.

E n los problemas 15-22, haz una gráfica de cada p ar de puntos y determina la pendiente de la recta que los contiene. Traza la recta.

15. (2,3); (4,0) 19. (-3,-1); (2,-1)

16. (4,2); (3,4) 20. (4,2); (-5,2)

\

17. (-2,3); (2,1) 21. (-1,2); (-1,-2)

18. (-1,1); (2,3) 22. (2.0); (2,2)

En los problemas 23-30, haz una gráfica de la recta que contiene al punto P y tiene pendiente m.

\

23. P = ( í , 2 ) ; m = 3

24. P = (2,1); m = 4

25. P = (2,4); m = - |

26. P = (1.3); m = - |

27. P = (—1,3); m = 0

28. P = (2,-4);/w = 0

29. P = (0,3); pendiente no definida 30. P = (-2,0); pendiente no definida

E n los problemas 31—36, se da la pendiente y un punto de una recta. Usa esta información para localizar tres puntos adicionales en la recta. La s respuestas pueden variar.

[Sugerencia: No es necesario determinar la ecuación de la recta. Ve el ejemplo 3]. 31. Pendiente 4; punto (1,2) 4 34. Pendiente—; punto (—3,2)

32. Pendiente 2; punto (-2,3) 35. Pendiente—2; punto (—2,—3)

33. P e n d i e n t e p u n t o (2.-4) *• 36. Pendiente—1; punto (4,1)

E n los problemas 37-44, encuentra la ecuación de la recta L .

L es perpendicular ay=2x

L is perpendicular

toy=-x

S E C C IÓ N 2.3

Rectas

179

Brizos problem as 45-70, determina una ecuación para la recta con las propiedades dadas. Expresa tus respuestas usando ya sea la forma general o la form a pendiente-ordenada de la ecuación de una recta, la que prefieras.

45. Pendiente = 3; que contenga el punto (-2,3)

46. Pendiente = 2; que contenga el punto (4,-3)

2

47. Pendiente = - - ; que contenga el punto (1,-1)

48. Pendiente =

49. Que contenga los puntos (1,3) y (-1,2)

50. Que contenga los puntos (-3,4) y (2,5)

51. Pendiente = -3 ; intersección con y = 3

52. Pendiente = -2; intersección con y = - 2

53. Intersección en * = 2; intersección con y = -1

54. Intersección en x = -4; intersección con y = 4

55. Pendiente no definida; que contenga el punto (2,4)

56. Pendiente no definida; que contenga el punto (3,8)

57. Horizontal; que contenga el punto (-3,2)

58. Vertical; que contenga el punto (4,-5)

59. Paralela a la recta y = 2t; que contenga el punto (-1,2)

60. Paralela a la recta y = -3*; que contenga el punto (-1,2)

61. Paralela a la recta 2x - y = -2; que contenga el punto (0,0)

62. Paralela a la rec ta x - 2 y = -5 ; que contenga el punto (0,0)

63. Paralela a la recta x = 5; que contenga el punto (4,2)

64. Paralela a la recta y = 5; que contenga el punto (4,2)

1

1

que contenga el punto (3,1)

65. Perpendicular a la recta y = —* + 4; que contenga el punto (1,-2) 2

66. Perpendicular a la recta y = 2x -3 ; que contenga el punto ( 1 - 2)

67. Perpendicular a la recta 2x + y = 2; que contenga el punto (-3,0)

68. Perpendicular a la recta x - 2 y = -5 ; que contenga el punto (0,4)

69. Perpendicular a la recta x = 8; que contenga el punto (3,4)

70. Perpendicular a la recta y = 8; que contenga el punto (3,4)

E n los problem as 71-90, encuentra la pendiente y la intersección en y de cada recta. D ibu jo la gráfica de la recta.

71. y = 2 x + 3

72. y = - 3 * + 4

73. j y = x — 1

74. j * + y = 2

75. y = —x + 2

77. * + 2y = 4

78. —x + 3y = 6

79. 2x - 3y = 6

80. 3* + 2y = 6

81. x + y = 1

82. x — y = 2

83. * = - 4

84. y = - 1

85. y = 5

86.

87. y - x = 0

88. x + y = 0

89. 2y - 3* = 0

90. 3* + 2y = 0

1

76. y = 2x + —

* =

2

\

E n los problemas 91-100, (a) encuentra las intersecciones de la gráfica de cada ecuación y (b) dibuja la gráfica de la ecuación.

\ 91. 2x + 3y

94. 6x -

= 6

4y

= 24

97. =-x + \ y = 1

2

37

98.

a:

92. 3* - 2y = 6

93. - 4 x + 5y = 40

95. 7x + 2y = 21

96. 5x + 3y = 18

- -y = 4

99. 0.2* - 0.5y = 1

100. -0 .3 * + 0.4y = 1.2

102. Determina una ecuación para el eje y.

101. Determina una ecuación para eje x.

E n los problem as 103—106, se dan las ecuaciones de dos rectas. Determina si las rectas s.on paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.

103. y = 2* - 3 y = 2* + 4

104. y = \ x - 3 y = -2 * + 4

105. y = 4* + 5 y = -4 * + 2

106. y = —2* + 3

E n los problemas 107—110, escribe una ecuación de cada recta. Expresa tus respuestas usando ya sea la form a general o la form a pendiente-ordenada de la ecuación de una recta, la que prefieras.

107.

110.

109.

108.

-2

-2

-2

180

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

Aplicaciones y extensiones (a) Escribe una ecuación lineal que relacione el cargo men sual C, en dólares, con el número x de kilowatts-hora usados en un mes, O s x s 600. (b) Dibuja la gráfica de esta ecuación. (c) ¿Cuál es el cargo mensual por usar 200 kilowatts-hora? (d) ¿Cuál es el cargo mensual por usar 500 kilowatts-hora? (e) Interpreta la pendiente de la recta.

111. Geometría Usa las pendientes para demostrar que el triángulo cuyos vértices son (-2,5), (1,3) y (-1,0) es un triángulo rectángulo.

112. Geometría Usa las pendientes para demostrar que el cua 113.

drilátero cuyos vértices son (1,-1), (4,1), (2,2) y (5,4) es un paralelogramo. Geometría Usa las pendientes para demostrar que el cua drilátero cuyos vértices son (-1,0), (2,3), (1,-2) y (4,1) es un rectángulo.

114. Geometría Usa las pendientes y la fórmula de la distancia para demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son (0,0), (1,3), (4,2) y (3,-1) es un cuadrado.

115. Renta de camiones Una compañía de renta de camiones renta un camión de mudanzas por un día y cobra $29 más $0.20 por milla. Escribe una ecuación lineal que relacione el costo C, en dólares, de rentar el camión con el número x de millas manejadas. ¿Cuál es el costo de rentar el camión si se manejan 110 millas? ¿Si se manejan 230 millas?

116. Ecuación de costo Los costos fijos de la operación de un

F u e n te : C o m m o n w e a lth E d is o n C o m p a n y , e n e ro , 2 0 1 0 .

120.

Tarifas eléctricas en Florida La compañía de Luz y Fuer za de Florida proporciona electricidad a clientes residencia les por un cargo mensual al consumidor de $5.69 más 8.48 centavos por kilowatt-hora hasta 1000 kilowatts-hora. (a) Escribe una ecuación lineal que relacione el cargo men sual C, en dólares, con el número x de kilowatts-hora usados en un mes, 0 < x £ 1(XX). (b) Dibuja la gráfica de esta ecuación. (c) ¿Cuál es el cargo mensual por usar 200 kilowatts-hora? (d) ¿Cuál es el cargo mensual por usar 500 kilowatts-hora? (e) Interpreta la pendiente de la recta. F u e n te : F lo rid a P o w e r & L ig h t C o m p a n y , f e b r e r o , 2 0 1 0 .

negocio son los costos en los que se incurre sin tomar en cuenta el nivel de producción. Estos incluyen renta, salarios fijos y costos de renta de maquinaria. Los costos variables de la operación de un negocio son los costos que pueden cambiar con el nivel de producción. Los costos variables incluyen materias primas, salarios por hora y electricidad. Considera que un fabricante de pantalones tiene costos fijos de $500 y costos variables de $8 por cada par de pantalones que fabrica. Escribe una ecuación lineal que relacione el costo diario C, en dólares, de la manufactura de pantalones con el número x de pantalones fabricados. ¿Cuál es el costo de manufacturar 400 pares de pantalones? ¿740 pares?

122. Medición de temperatura La escala Kelvin (K) para me

117. Costo de manejar un auto El costo anual fijo por tener un

123. Rampa de acceso Se construye una rampa de acceso

auto pequeño es de $1289, suponiendo que el auto está com pletamente pagado. El costo de manejar el auto es de aproxi madamente $0.15 por milla. Escribe una ecuación lineal que relacione el costo Cy el número x de millas manejadas por año.

de madera para poder llegar a una plataforma que está a 30 pulgadas sobre el suelo. La rampa cae 2 pulgadas por cada 25 pulgadas de huella.

121. Medición de temperatura La relación entre grados Celsius (°C) y Fahrenheit (°F) para medir la temperatura es lineal. Determina una ecuación lineal que relacione °C y °F si 0 C corresponden a 32°F y 100°C corresponden a 212°F. Usa la ecuación para encontrar la medida en grados Celsius de 70' F. dir temperatura se obtiene al sumar 273 a la temperatura en Celsius. (a) Escribe una ecuación lineal que relacione K y °C. (b) Escribe una ecuación lineal que relacione K y °F (Ver el problema 121).

F u e n te : w w w .p a c e b u s .c o m

118. Salario de un vendedor de autos Dan recibe $375 por se mana por vender autos nuevos y usados en una distribuido ra de Oak Lawn, Illinois. Además, recibe 5% de la ganancia en cualquier venta que realice. Escribe una ecuación lineal que represente el salario por hora S de Dan cuando ha teni do ventas que generan una ganancia de x dólares.

119. Tarifas eléctricas en Illinois La compañía Commonwealth Edison proporciona electricidad a los clientes residenciales por un cargo mensual al consumidor de $10.55 más 9.44 centavos por kilowatt-hora hasta 600 kilowatts-hora.

(a) Escribe una ecuación lineal que relacione la altura v de la rampa sobre el suelo y la distancia horizontal x de la plataforma. (b) Encuentra e interpreta la intersección en .r de la gráfica de tu ecuación. (c) Los requerimientos de diseño estipulan que la huella máxima debe ser de 30 pies y que la pendiente máxima sea de una caída de 1 pulgada por cada 12 pulgadas de huella. ¿Esta rampa cumplirá con los requisitos esta rampa? Explica. (d) ¿Qué pendientes se pueden usar para obtener la el evación de 30 pulgadas y todavía cumplir con los re querimientos de diseño? F u e n te : w w w .a d a p tiv e a c c e s s .c o m /w o o d _ r a m p s .p h p

124. Uso de cigarros Un informe en la base de datos Child Trend indica que en 1996,22.2% de los estudiantes del gra do 12 hacían uso diario de cigarros. En 2006. 1221% de los estudiantes del grado 12 hacían uso diario de cigarros.

i S E C C IÓ N 2.3

¡2 * (a) Escribe una ecuación lineal que relacione el porcentaje

<*

y de estudiantes de grado 12 que fuman cigarros diariamente con el número x de años posteriores a 1996. (b) Encuentra las intersecciones de la gráfica con tu ecuación. (c) ¿ Las intersecciones tienen alguna interpretación útil? (d) Usa tu ecuación para predecir el porcentaje para el año 2016. ¿Es razonable este resultado? Fuente: www.childrentrendsdatabank.org

125. Promoción de productos

O

Una compañía de cereales determina que el número de personas que comprarán uno de sus productos en el primer mes en que se introduce está relacionado linealmente con la cantidad de dinero que se gasta en promoción. Si se gastan $40,000 en promoción, entonces se venderán 100,000 cajas de cereal y si gastan $60,000, entonces se venderán 200,000 cajas.

Rectas

181

(a)Escribe una ecuación lineal que relacione la cantidad A gasta da en promoción con el número x de cajas que la compañía pretende vender. (b) ¿Cuánta promoción se necesita para que se vendan 300,000 cajas de cereal? (c) Interpreta la pendiente. 126. Demuestra que la recta que contiene los puntos (a, b) y (6,a), a ^ b , e s perpendicular a la recta y = x. También demuestra que el punto medio de (a, b) y (b, a) está en la recta y = x. 127. La ecuación Zx - y = C define una familia de rectas, una rec ta para cada valor de C. En los mismos ejes de coordenadas traza la gráfica de los miembros de la familia cuando C = -4 , C = 0 y C = 2. ¿Puedes sacar una conclusión de la gráfica acerca de cada miembro de la familia? 128. Demuestra que si dos rectas no verticales tienen pendientes cuyo producto es —1, entonces las rectas son perpendicula res. [Sugerencia: Consulta la figura 47 y usa el recíproco del teorema de Pitágoras.]

Explicación de conceptos: discusión y escritura 129. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene la gráfica de la fi gura? (Puede haber más de una respuesta). (a) 2x + 3y = 6 (b) - 2 x + 3y = 6 (c) 3x - 4_y = -12 (d) x - y = 1 (e) *->< = -1 | (f ) y = 3x -5 (g) y = 2x + 3 (h) y = —3x + 3 130. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene la gráfica de la fi gura? (Puede haber más de una respuesta). (a) 2x + 3y = 6 (f) y = - 2 x -1 (b) 2 x - 3 y = 6 (g) y = - | jc + 10 (c) 3x + 4y = 12 (h) y = x + 4 (d) x - y = 1 (e) x - y = - 1 131. La figura muestra la gráfica de dos rectas paralelas. ¿Cuál de los siguientes pares de ecuaciones puede tener tal gráfica? (a) x - 2y = 3 (d) x - y = - 2 x + 2y = 7 2x - 2y = - 4 (b ) x+ y =2 (e) x + 2y = 2 x + y = —1 x + 2y = -1 (c) x - y = - 2 x -y = 1 132. La figura muestra la gráfica de dos rectas perpendiculares. ¿Cuál de los siguientes pares de ecuaciones puede tener tal gráfica? (a) y - 2 x = 2 (d) y - 2x = 2 x + 2y = -1 y + 2x = - í (b) y - 2x = 0 (e) 2x + y = - 2 2y+ x = -2 2y + x = 0 (c) 2 y - x = 2 2y + x = —2

133.

m

es la pendiente El símbolo que se usa para denotar la

pendiente de una recta es la letra m. Investiga el origen de este simbolismo. Empieza por consultar un diccionario de francés y busca la palabra monter. Escribe un breve ensayo de lo que encuentres.

134. Grado de un camino El término

grado se usa para des cribir la inclinación de un camino. ¿Cómo se relaciona este

término con la noción de la pendiente de una recta? ¿Es muy empinado un grado de 4%? Investiga los grados de al gunos caminos en las montañas y determina sus pendientes. Escribe un breve ensayo de lo que encuentres.

135. Carpintería Los carpinteros usan el término

declive para describir la inclinación de escaleras y techos. ¿Cómo se relacionan el declive y la inclinación? Investiga declives comunes usados para escaleras y techos. Escribe un breve ensayo de lo que encuentres.

136. ¿Se puede escribir la ecuación de cualquier recta en forma pendiente-ordenada? ¿Por qué? 137. ¿Tiene toda recta exactamente una intersección con x y una con y? ¿Existen rectas que no tienen intersecciones?

138. ¿Qué puedes decir de dos rectas que tienen pendientes iguales e intersecciones con y iguales? 139. ¿Qué puedes decir al respecto de dos rectas que tienen la misma intersección con y? Considera que la intersección con y no es 0. 140. Si dos rectas diferentes tienen la misma pendiente pero di ferentes intersecciones con x , ¿pueden tener la misma in tersección con y? 141. Si dos rectas diferentes tienen la misma intersección con y pero diferente pendiente, ¿pueden tener la misma intersección con x?

142. ¿Qué forma de la ecuación de una recta prefieres usar? Justifica tu posición con un ejemplo que demuestre que tu elección es mejor que otras. Da tus razones.

143. ¿Dónde está el error? Se le pide a un estudiante que en cuentre la pendiente de la recta que une a (-3,2) y (1,-4). 3 Él dice que la pendiente es —. ¿Es correcto esto? Si no, ¿dónde está el error?

182

CAPÍTULO 2

Gráficas

Ejercicios Interactivos Pregunta a tu profesor si el applet que se da a continuación es de interés para ti. 144. Pendiente Abre el applet de la pendiente. Mueve el punto B alrededor del plano cartesiano con el cursor. (a) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (2,7). ¿Cuál es la pendiente de la recta? (b) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (3,6). ¿Cuál es la pendiente de la recta? (c) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (4,5). ¿Cuál es la pendiente de la recta? (d) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (4,4). ¿Cuál es la pendiente de la recta? (e) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (4,1). ¿Cuál es la pendiente de la recta? (f) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (3,-2). ¿Cuál es la pendiente de la recta? (g) Mueve lentamente a B al punto donde la coordenada en x sea 1. ¿Qué le pasa al valor de la pendiente cuando la coordenada x se aproxima a 1? (h) ¿Qué se puede decir de una recta cuya pendiente es positiva? ¿Qué se puede decir de una recta cuya pendiente es negativa? ¿Qué se puede decir de una recta cuya pendiente es 0? (i) Considera los resultados de los incisos (a) a (c). ¿Qué se puede decir sobre la inclinación de una recta con pen diente positiva si se incrementa la pendiente? (j) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (3,5). ¿Cuál es la pendiente de la recta? Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (5,6). ¿Cuál es la pendiente de la recta? Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (-1,3). ¿Cuál es la pendiente de la recta?

2.4 Círculos P rep aració n p ara e sta sección Antes de empezar, repasa lo siguiente: • Completar cuadrados (capítulo R, sección R.5, p. 56) \

• Método de la raíz cuadrada (sección 1.2, pp. 94-95)

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 185. OBJETIVOS 1 Escribir la forma estándar de la ecuación de un círculo (p. 182) 2 Representar un círculo gráficamente (p. 183) 2 Trabajar con la forma general de la ecuación de un círculo (p. 184)

1 Ecuación en form a estándar de un círculo Una ventaja de un sistema de coordenadas es que nos permite traducir una proposi ción geométrica a una proposición algebraica y viceversa. Considera, por ejemplo, la siguiente proposición geométrica que define a un círculo.

D E FIN IC IÓ N Figura 49

y.

Un círculo es un conjunto de puntos en el plano xy que se encuentran a una distancia fija r de un punto fijo \h ,k). La distancia fija r se llama radio y el punto fijo (h, k) se llama centro de un círculo. __^

(x. y)

T

\

f

La figura 49 muestra la gráfica de un círculo. Para determinar la ecuación, sean (x,y) las coordenadas de cualquier punto en un círculo de radio r y centro (h,k). En tonces la distancia entre los puntos (x,y) y (h,k) siempre tiene que ser igual a r. Esto es, por la fórmula de distancia

v ___/

\/(x - h )2 + (y - k ) 2 = r o equivalentemente, (x - h)2+ (y - k)2= r2

D E FIN IC IÓ N

La forma estándar de la ecuación de un círculo con radio r y centro (h ,k ) es ( x - h ) 2+ ( y - k)2= r2

( 1 ) -J

♦

S E C C IÓ N 2.4

TEO REM A

Circuios

183

La forma estándar de una ecuación de un círculo de radio r con centro en el origen (0,0) es 5i '

x* + v* = r

i

J D E F IN IC IÓ N

Si el radio r —1, el circulo cuyo centro está en el origen se llama círculo unitario y tiene la ecuación x2+ y2= 1

J Ver figura 50. Observa que la gráfica del círculo unitario es simétrica con respecto al eje x, al eje y y al origen.

Figura 50 Círculo unitario x1+ y2= 1

EJEM P LO 1

Form a estánd ar de la ecuación de un círculo Escribe la forma estándar de la ecuación de un círculo de radio 5 y centro (-3,6).

Solución

Al usar la ecuación (1) y sustituir los valores r = 5, h = -3 y k = 6 tenemos (x - h)2+ (y - k)2= r2 (.x + 3)2+ (y - 6)2= 25 Resuelve ahora el p r o b l e m a 7

, 2 Gráfica de un círculo EJEM P LO 2

G ráfica de un círculo Dibujo la gráfica de la ecuación:

Solución

(x + 3)2+ {y - 2)2= 16

Dado que la ecuación está en la forma de la ecuación (1), su gráfica es un círculo. Para dibujar la gráfica de la ecuación, compara la ecuación dada con la forma estándar de la ecuación de un círculo. La comparación nos da información acerca del círculo. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16 (x - ( 3 ))2 + (y - 2)2 = 42 ¡ t t (x - h)2 + {y - k )2 = r

Figura 51

Observamos que h = -3, k = 2 y r = 4. El círculo tiene su centro en (-3,2) y un radio de 4 unidades. Para dibujar la gráfica de este círculo, primero traza su centro (-3,2). Como el radio es 4, podemos localizar cuatro puntos en el círculo si trazamos puntos 4 unidades a la derecha, cuatro a la izquierda, arriba y abajo a partir del centro. Estos cuatro puntos se pueden usar como guías para obtener la gráfica. Observa la figura 51. Resuelve ahora

los

problemas

23

incisos

(a )

y

(b )

184

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

Intersecciones de un círculo

EJEM PLO 3

Para el círculo (x + 3)2 + (y - 2)2= 16, determina las intersecciones de sus gráficas, sí existen.

Solución

Ésta es la ecuación que discutimos y representamos gráficamente en el ejemplo 2. Para encontrar las intersecciones en x, si existen, hacemos y = 0. Entonces (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16 (x + 3)2 + (0 - 2)2 = 16

y - o

(x + 3)2 + 4 = 16

S im p lifica.

(x + 3)2 = 12

S im p lifica.

x + 3 = ± V l2

A p lica el m é to d o de la ra íz c u a d ra d a .

x = - 3 ± 2 \/3

R e su elve p a ra x.

Las intersecciones c o n x son —3 — 2 \ / 3 ~ —6.46 y - 3 + 2 V 3 ~ 0.46. Para determinar las intersecciones con y, si existen, hacemos x = 0. Entonces (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16 (0 + 3)2 + (y - 2)2 - 16 9 + (y - 2)2 - 16 (y - 2)2 = 7 y - 2 = ±V 7 y = 2 ± V7 Las intersecciones con y son 2 - V 7 ~ -0.65 y 2 + V 7 « 4.65. Observa de nuevo la figura 51 para verificar la localización aproximada de las intersecciones. " " ■ ■ “^ R gíu glvgah ora

ir

el

problema

23

(c)

Trabaja con la form a general de la ecuación de un círculo Si eliminamos los paréntesis de la forma estándar de la ecuación del círculo dado en el ejemplo 2, obtenemos (x + 3)2+ ( y - 2 ) 2=16 x 2+ 6x + 9 + y 2—4y + 4 = 16 que al simplificar es equivalente a x 2 + y 2+ 6x - 4y —3 = 0

(2)

Se puede demostrar que cualquier ecuación de la forma x 2+ y 2 + ax + by + c —0 tiene una gráfica que es un círculo o un punto, o no tiene gráfica alguna. Por ejemplo, la gráfica de la ecuación x2 + y 2= 0 solo es el punto (0,0). La ecuación x2 + y 2 + 5 = 0 o t 2 + y2 = -5 , no tiene gráfica, ya que la suma de los cuadrados de números reales nunca es negativa. D E F IN IC IÓ N

Cuando una gráfica es un círculo, la ecuación x 2+ y2 + ax + by + c —0 se conoce como la forma general de la ecuación de un círculo. Resuelve ahora

el

problema

13

S E C C IÓ N 2.4

Círculos

185

Si una ecuación de un círculo está en la forma general, usamos el método de completar cuadrados para poner la ecuación en forma estándar lo que nos permitirá identificar su centro y su radio.

EJEM P LO 4

G ráfica de un círculo cuya ecuación está en la form a general Dibuja la gráfica de la ecuación x2 + y2+ 4x - 6y + 12 = 0

Solución

Agrupa los términos que tengan x, agrupa los términos que tengan y y coloca la cons tante del lado derecho de la ecuación. El resultado es (x2 + 4x) + (y2- 6y) = —12 Ahora, completa el cuadrado de cada expresión en paréntesis. Recuerda que cual quier número que sumes del lado izquierdo de la ecuación también se tiene que su mar del lado derecho. (x2 + 4x + 4) + (y2 - 6y + 9) = -1 2 + 4 + 9

F ig u r a 5 2

y

(-2, 4)

- /H

(-3.3)4 / y \ ( - 2 ,3 )1

i

-

(x + 2)¿ + (y — 3 Y — 1

(-2,2) 1 -3

1

= 9

- 4

Factoriza.

Esta ecuación es la forma estándar de la ecuación de un círculo de radio 1 y centro (-2 ,3 ). Para hacer la gráfica de la ecuación usa el centro (-2 ,3 ) y el radio 1. Ver figura 52.. 1

1 * 1 X

Resuelve ahora

1

EJEM P LO 5

el

problema

27

U so de un dispositivo para tra z a r gráficas para obtener la representación de un círculo Dibuja la gráfica de la ecuación x 2+ y 2= 4

Solución

Esta es la ecuación de un círculo con centro en el origen y radio 2. Para dibujar la gráfica de esta ecuación, resuelve para y. x 2 + y2 = 4

_ 4 —x y„2¿ — y = ± w 4 — X2

Resta x2 en cada lado. Aplica el método de la raíz cuadrada para resolver para y.

Se tienen que dibujar las gráficas de dos ecuaciones: primero traza la gráfica de Yx - V 4 - jc2 y después, la de y 2 = —\ / 4 - x 2 en la misma pantalla cuadrada. (El círculo aparecerá como óvalo si no usas una pantalla cuadrada). Observa la figura 53.

2.4 Evalú a tu e n ten d im ien to "¿Estás listo?" L a s respuestas se dan al fin a l de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. Para completar el cuadrado de x 2 + l(k, debes (sumar/restar) el núm ero________ (p. 56)

Conceptos y vocabulario 3. Verdadero o fa ls o

___________________________________________________________ __

Toda ecuación de la forma


El radio del círculo x 2+ y2= 9 es 3.

x2 + y2 +


El centro del círculo (x + 3)2+ (y - 2)2= 13 es (3,-2).

ax + by + c = 0 tiene un círculo como gráfica.

4.

2. Usa el método de la raíz cuadrada para resolver la ecuación (x - 2)2= 9. (pp. 94-95)

Para un círculo, el -_______ es la distancia del centro a cualquier punto del círculo.

186 C A P ÍT U L O 2 Gráficas Ejercicio s_________________________ ______________ ____________________________ E n los problemas 7—10, determina el centro y el radio de cada círculo. Escribe la form a estándar de la ecuación.

E n los problemas 11-20, escribe la form a estándar y la form a general de la ecuación de cada círculo de radio r y centro (h ,k). Dibuja la gráfica de cada círculo.

11. r = 2; ( h, k) = (0,0)

12. r = 3; ( h, k) = (0,0)

15. r = 5; ( h, k) = (4,-3)

16. r = 4; (h,k) = (2,-3)

19.

r - |;

(A. *) - ( |. o)

\ l 3 . r = 2; ( h , k ) = (0,2)

14. r = 3; ( h , k ) = (1,0)

17. r = 4; (A,*) = (-2,1)

18. r = 7;(h,k) = (-5,-2)

r - 1-; (* ,* )-( o ,- i)

20.

E n los problemas 21-34, (a) determina el centro (h, k) y radio r de cada círculo, (b) dibuja la gráfica de cada círculo y (c) encuentra las intersecciones si existen.

\

21. x2 + y 2 = 4

22. x2 + (y - l ) 2 = 1

24. 3(x + í)2 + 3{y - l) 2 = 6

25. x2 + y 2 - 2x - 4y - 4 = 0

26. x2 + y 2 + 4x + 2y - 20 = 0

27. x 2 + y2 + 4x - 4y - 1 = 0

28. x2 + y2 - 6x + 2y + 9 = 0

29.

30. x 2 + y2 + x + y - - = 0

31. 2x2 + 2y2 - 12* + 8y - 24 = 0

32. 2X2 + 2 / + 8x + 7 = 0

33. 2x¿ + 8* + 2y L = 0

34. 3*2 + 3y2 — Í2 y = 0

1

\

23. 2{x - 3)2 + 2 / = 8

jc2

+ y2 - x + 2y + 1 = 0

E n los problemas 35-42, determina la form a estándar de la ecuación de cada círculo.

35. Centro en el origen y que contenga el punto (-2,3)

36. Centro (1,0) y que contenga el punto (-3,2)

37. Centro (2,3) y tangente al eje x

38. Centro (-3,1) y tangente al eje y

39. Con puntos terminales del diámetro en (1,4) y (-3,2)

40. Con puntos terminales del diámetro en (4,3) y (0,1)

41. Centro (-1,3) y tangente a la recta y = 2

42. Centro (4,-2) y tangente a la recta x = 1

E n los problemas 43-46, asocia cada gráfica con la ecuación correcta.

(a) ( x - 3 ) 2+ (y + 3)2= 9

(b) (x + 1 )2+ ( y - 2 ) 2= 4

43.

44.

4

6

(c) ( x - 1)2 + (y + 2)2 = 4 45.

4

(d) (.t + 3)2+ (y - 3)2= 9 46.

6

O U

4

S E C C IÓ N 2.4

Círculos

187

A p lica cio n e s y e x te n sio n e s________________ 47. Determina el área del cuadrado en la figura.

51. Satélites meteorológicos La Tierra está representada en un mapa de una porción del sistema solar como si su superficie fuera un círculo con la ecuación . r + y 2+ 2 t + 4y - 4091 = 0. Un satélite meteorológico circula 0.6 unidades sobre la Tierra con el centro de su órbita circular en el centro de la Tierra. Deter mina la ecuación para la órbita del satélite en este mapa.

48. Determina el área de la región sombreada de la figura, si suponemos que el cuadrilátero dentro del círculo es un cua drado.

52 . La

recta tangente a un círculo se puede definir como la rec ta que intersecta al círculo en un solo punto, llamado punto de tangencia. Observa la figura.

i Q

Rueda de la fortuna La primera rueda de la fortuna fue construida en 1893 por el constructor de puentes George W. Ferris, en Pittsburgh, Pensilvania. Originalmente se fabricó para la Feria Mundial de Chicago, pero posterior mente fue reconstruida para la Feria Mundial de San Luis en 1904. Tenía una altura máxima de 264 pies y la rueda te nía un diámetro de 250 pies. Determina una ecuación para la rueda si el centro de la rueda está en el eje y. F u e n te : in v e n to r s .a b o u t.c o m

50. Rueda de la fortuna En 2008, el Volador de Singapur se inauguró como la rueda de la fortuna más grande del mun do. Tiene una altura máxima de 165 metros y un diámetro de 150 metros, con una rotación completa que toma aproxi madamente 30 minutos. Determina una ecuación para la rueda si el centro de la rueda está en el eje y. F u e n te : W ik ip e d ia

Si la ecuación del círculo es x 2 + y 2 = r2 y la ecuación de la recta tangente es y = m.x + b, demuestra que: (a) r ( l + rn2) = b2 [Sugerencia: La ecuación cuadrática x 2+ {mx + b) 2= r 2tiene exactamente una solución]. (b) El punto de tangencia es

- r 2m r2

b

'T

(c) La recta tangente es perpendicular a la recta que con tiene el centro del círculo y el punto de tangencia.

53. El método griego El método griego para determinar la ecuación de la recta tangente a un círculo usa el hecho de que en cualquier punto de un círculo las rectas que contie nen el centro y la recta tangente son perpendiculares (ver el problema 52). Usa este método para determinar una ecua ción de la recta tangente al círculo x 2 + y 2 = 9 en el punto

(L2V2). Usa el método griego descrito en el problema 53 para determinar una ecuación de la recta tangente al círculo x 2 + y 2- 4 x + 6y + 4 = 0 en el punto (3, 2V2 - 3). Consulta el problema 52. La recta x - 2y + 4 = 0 es tangente al círculo en (0,2). La recta y = 2x - 7 es tangente al mismo círculo en (3,-1). Encuentra el centro del círculo. Determina la ecuación de la recta que contiene los centros de dos círculos x 2+ y 2- 4 x + 6y + 4 = 0

y x 2'+ y 2+ 6x + 4y + 9 = 0

Si se pone a girar un círculo de radio 2 a lo largo del eje x , ¿cuál es la ecuación para el recorrido del centro del círculo? Si la circunferencia de un círculo es 6-tr, ¿cuál es su radio?

188

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

E x p lic a c ió n d e c o n c e p t o s ; d is c u s ió n y e s c r it u r a

59. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la gráfica mostrada? (Puede haber más de una respuesta). (a) (x - 2)2+ (y + 3)2= 13 (b) (x - 2)2+ (y - 2)2= H (c) (x - 2)2+ (y - 3)2 = 13 (d) (x + 2)2+ ( y - 2 ) 2= 8 (e) x 2 + y2- 4x - 9y = 0 (f) x 2 + y 2 + 4x - 2y = 0 (g) x2+ y2- 9 x - 4 y = 0 (h) x2+ y2- 4 x - 4 y = 4

60. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones uirrcvpondc a la gráfica mostrada? (Puede haber más de una respuesta), (a) (x - 2j ‘ + y2= 3 (b) (x + 2)2+ y2= 3 (c) x 2 + ( y - 2)2= 3 (d) (x + 2)2+ y2= 4 (e) x2 + y 2 + lOx +16 = 0 (f) x2+ y2+ 10x-2y = I (g) x2+ y2+ 9x + 10 = 0 (h) x2+ y2-9 x - 10 = 0

61. Explica cómo se puede usar el centro y radio de un círculo para dibujar la gráfica de un círculo. 62. ¿Dónde está el error? Un estudiante estableció que el centro y radio de la gráfica cuya ecuación es (x + 3)2 + (y - 2): = 16 vm (3,-2) y 4 respectivamente. ¿Por qué es esto incorrecto? E j e r c ic io s in t e r a c t i v o s ______________________ Pregunta a tu profesor si los applets siguientes son de interés para ti.

63. Centro de un círculo A bre el applet de “Círculo: el papel que juega el centro”. Pon el cursor en el centro del círculo y manten apretado el botón del mouse. Mueve el centro alrededor del plano cartesiano y observa como cambia la ecuación del círculo. (a) ¿Cuál es el radio del círculo? (b) Traza un círculo cuyo centro esté en (1,3). ¿Cuál es la ecuación del círculo? (c) Traza un círculo cuyo centro esté en (-1,3). ¿Cuál es la ecuación del círculo? (d) Traza un círculo cuyo centro esté en (-1 ,-3 ). ¿Cuál es la ecuación del círculo? (e) Traza un círculo cuyo centro esté en (1,-3). ¿Cuál es la ecuación del círculo? (f) Escribe algunas oraciones que expliquen el papel que juega el centro del círculo en la ecuación del círculo. 64. Radio de un círculo A bre el applet “ Círculo: el papel que juega el rad io”. Coloca el cursor en el punto B y mantén apretado el botón del mouse. Mueve el punto B alrededor del plano cartesiano.

(a) ¿Cuál es el centro del círculo? (b) Mueve el punto B en el plano cartesiano directamente sobre el centro de manera que le radío del círculo sea 5. (c) Mueve el punto B en el plano cartesiano directamente sobre el centro de manera que le radio del círculo sea 4, (d) Mueve el punto B en el plano cartesiano directamente sobre el centro de manera que le radio del círculo sea 3. (e) Encuentra las coordenadas de dos puntos con coorde nadas de números enteros en el cuarto cuadrante, en el círculo que resulta en un círculo de radio 5 con centro igual al que encontraste en el inciso (a). (0 Usa el concepto de simetría con el origen, recta vertical que pasa por el centro de un círculo y recta horizon tal que pasa por el centro de un círculo para encontrar otros tres puntos con coordenadas de números enteros en los otros tres cuadrantes que caen en el circulo de radio cinco con centro igual al que encontraste en el inciso (a).

R e s p u e s t a s a lo s e j e r c ic io s d e la s e c c ió n " ¿ E s t á s L is t o ? "

1. suma; 25

2. 1-1,5)

2.5 Variación OBJETIVOS 1 Construir un modelo usando variación directa (p. 189) 2 Construir un modelo usando variación inversa (p. 189) 3 Construir un modelo usando variación conjunta o combinada (p. 190)

J

Cuando se desarrolla un modelo matemático para un problema de la sida real, con frecuencia se involucran relaciones entre cantidades que se expresan en términos de proporcionalidad: La fuerza es proporcional a la aceleración. Cuando un gas ideal se mantiene a temperatura constante, la presión y el volu men son inversamente proporcionales. La fuerza de atracción entre dos objetos celestes es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. El ingreso es directamente proporcional a las ventas.

SECCIÓN 2Ü

, I m *

Variación

189

Cada una de las proposiciones anteriores ilustra la idea de variución o de cómo una cantidad varía en relación a otra. Las cantidades pueden variar directamente, inver samente o conjuntamente.

1 Construcción de un m odelo m ediante el uso de variación directa D E F IN IC IÓ N

Sean ,v y y dos cantidades. Entonces y varía directam ente con x o y es directa m ente proporcional a .v, si existe un número k diferente de cero tal que y = kx

Figura 54 i

=

kx;k

Al número k se le llama constante de proporcionalidad.

> 0,x 2 0

La gráfica en la figura 54 ilustra la relación entre y y x y si y varía directamente a x y k > 0, x a 0. Observa que la constante de proporcionalidad es, de hecho, la pen diente de la recta. Si sabemos que dos cantidades varían directamente, entonces el saber el valor de cada cantidad en una instancia nos permite escribir una fórmula que es verdadera en todos los casos.

EJEM P LO 1

Pagos de hipoteca El pago mensual p de una hipoteca varía directamente con la cantidad prestada B. Si el pago mensual en una hipoteca a 30 años es de $6.65 por cada $1000 prestados, determina una fórmula que relacione el pago mensual p con la cantidad prestada B para un hipoteca en estas condiciones. Después, determina el pago mensual p cuando la cantidad prestaba B es de $120,000.

Solución

Como p varía directamente a B , sabemos que p —kB para alguna constante k. Como p = 6.65 cuando B = 1000, se sabe que 6.65 = A:( 1000)

(120 000,798)

k — 0.00665

R e so lv e r p a ra k.

Como p = kB, 40 80 120 160 Cantidad prestada (000)

B

p = 0.00665B Especialmente, cuando B = $120,000, p = 0.00665($120,000) = $798 La figura 55 ilustra la relación entre el pago mensual p y la cantidad prestada B. -Resuelveahora

los

problemas

3

y

21

Figura 56 y = - ; k > 0 ,x > 0

2 Construcción de un modelo m ediante el uso de variación inversa

x

Sean x y y dos cantidades. Entonces y varía inversamente con .r o y e s inversa m ente proporcional a x, si existe una constante k diferente de cero tal que ^ =

La gráfica de la figura 56 ilustra la relación entre y y x si y varía inversamente con x y k > 0, x > 0.

J

190

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

Peso máximo que puede cargar un pedazo de madera de pino

EJEM PLO 2

Observa la figura 57. El peso máximo W que puede cargar un pedazo de madera de pino de 2 pulgadas por 4 pulgadas varía inversamente a su longitud /. Los experimen tos indican que el peso máximo que puede cargar un pedazo de madera de pino de 2 por 4 y 10 pies de largo es 500 libras. Escribe una fórmula general que relacione el peso máximo W (en libras) con la longitud / (en pies). Determina el peso máximo W que puede cargar si tiene una longitud de 25 pies.

Figura 57

Solución

Como

W

para alguna constante

varía inversamente a /, sabemos que

k.

Como

W =

500 cuando /= 10, tenemos que

k =

Como

W =

5000

k T

Figura 58

W =

5000 /

Especialmente, el peso máximo de 25 pies de largo es

W

W =

que puede cargar un pedazo de madera de pino

5000 = 200 libras 25

La figura 58 ilustra la relación entre el peso

Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

W

y la longitud /.

31

3 Construcción de un modelo mediante el uso de variación conjunta o combinada Cuando una cantidad variable Q es proporcional al producto de dos o más variables, decimos que Q varía conjuntamente con estas cantidades. Por último, pueden ocurrir combinaciones de variación directa y/o inversa. A esto se le conoce como variación

combinada.

EJEM PLO 3

Pérdida de energía a través de una pared La pérdida de energía a través de una pared varía conjuntamente con el área de la pared y la diferencia entre la temperatura interior y exterior y varía inversamente respecto al grosor de la pared. Escribe una ecuación que relacione estas cantidades.

Solución

Empieza por asignar símbolos para representar las cantidades: L A =

Pérdida de energía Área de la pared

T d

= Diferencia de temperatura = Espesor de la pared

Entonces

donde

k

es la constante de proporcionalidad.

S E C C IÓ N 2.5

Variación

191

En la variación directa e inversa las cantidades que varían pueden estar elevadas a alguna potencia. Por ejemplo, en el siglo XVII, Johannes Kepler (1571-1630) descu brió que el cuadrado del periodo de revolución T alrededor del Sol variaba directamen te con el cubo de su distancia media a al Sol. Esto es, T 2 = k a 3, donde k es la constante de proporcionalidad.

EJEM PLO 4

Fuerza del viento en una ventana La fuerza F del viento sobre una superficie plana colocada en ángulo recto respecto a la dirección del viento varía conjuntamente con el área A de la superficie y el cuadra do de la velocidad v del viento. Un viento de 30 millas por hora que sopla sobre una ventana que mide 4 pies por 5 pies tiene una fuerza de 150 libras. Ver figura 59. ¿Cuál es la fuerza sobre una ventana, que mide 3 pies por 4 pies, causada por un viento de 50 millas por hora?

Solución

Como

F

varía conjuntamente

a A y v 2,

tenemos

F —k A v 2

donde k es la constante de proporcionalidad. Se dice que = 4-5 = 20 y v = 30. Entonces

F ig u ra 5 9

F —

150 cuando

A

150 = A:(20)(900) Viento k

Como F

F = kó V , F = 150, A = 20, v= 3 0

1

-

120

= k A v 2, F

=

120

A v2

Para un viento de 50 millas por hora que sopla sobre una ventana de área = 3 • 4 = 12 pies cuadrados, la fuerza F es

A

F =

Resuelve ahora

e l

120

(12) (2500) = 250 libras

p r o b l e m a

39

2.5 Ev alú a tu en te n d im ie n to Conceptos y vocabulario 1.

Si x y y so n d o s c a n tid a d e s , e n to n c e s y e s d ir e c ta m e n te p r o p o r c io n a l a * si e x is te u n n ú m e r o k d ife r e n te d e c e r o

1.

tal q u e ___________

Verdadero o falso Si y v a ría d ir e c ta m e n te c o n k x, e n to n c e s y = —, d o n d e k e s u n a c o n sta n te .

r e s p e c to a

Ejercicios En los problemas 3—14, establece una fórmula general para describir cada variación. \ i . y varía d ir e c ta m e n te c o n x\y = 2 cuando x = 10 4 . v varía d e d ir e c ta m e n te 5.

A

7.

F varía

9. z

varía d ir e c ta m e n te c o n

in v e r sa m e n te c o n

x2\ A = 4ir c u a n d o x = 2

6.

V V a ría

d2; F = 10

8.

y

cuando

d=

5

varía d ir e c ta m e n te c o n la su m a d e lo s cu a d r a d o s

de

x y y; z = 5

cuando

x-

3 y

y=

4

10 .

c o n f; v = 16 c u a n d o

d ir e c ta m e n te c o n

t=2

x3; V = 36n c u a n d o x =

varía in v e r sa m e n te c o n V r ; y

= 4 cu an dox = 9

T varía c o n ju n ta m e n te c o n e l c u b o d e la raíz x y e l cu a d ra d o d e d \ T - 18 c u a n d o x = 8 y d =

de

3

3

192

C A P ÍT U L O 2

11. M varía

Gráficas

d ire c ta m e n te c o n el cu a d ra d o d e

de

in v e r sa m e n te c o n la raíz cu a d ra d a d e

x, M —2 4

cu an d o

x —9

y

d —4

12 . z varía d ir e c ta m e n te co n la su m a d el c u b o d e x y co n el c u a d r a d o d e y; z = 1 c u a n d o x —2 y y - 2

13. 14.

E l cu a d ra d o d e

T varía

d ir e c ta m e n te co n el c u b o d c a e in v e r sa m e n te c o n el c u a d r a d o d e

E l cu b o d e z varía d ir e c ta m e n te co n la su m a d e lo s c u a d r a d o s d e

x y y', z

= 2 cu an do

d ,T —2 c u a n d o a -

yd - 4

2

x —9 y y —4

Aplicaciones y extensiones En los problemas 15—20, escribe una ecuación que relacione las cantidades. 15. Geometría E l v o lu m e n V d e una e sfe r a varía d ir e c ta m e n 25. Física: estiramiento de un resorte La e lo n g a c ió n E d e una b á scu la d e r e so r te varía d ir e c ta m e n te c o n e l p e s o a p lica d o te co n e l cu b o d e su ra d io r. La c o n sta n te d e p r o p o r c io n a li W (v e la fig u r a ). Si E = 3 c u a n d o W = 2 0 , d e te r m in a £ cu a n dad e s -j-, d o W= 15.

16. Geometría c

E l cu a d ra d o d e la lo n g itu d d e la h ip o te n u sa

d e un triá n g u lo re c tá n g u lo varía c o n ju n ta m e n te c o n la

su m a d e lo s cu a d ra d o s d e las lo n g itu d e s d e su s c a te to s

b. L a

ay

c o n sta n te d e p r o p o r c io n a lid a d e s 1.

17. Geometría

E l área

A

d e un triá n g u lo varía c o n ju n ta m e n

te c o n la lo n g itu d d e la b a se

by

d e la altu ra

h. L a

W

c o n sta n te

d e p ro p o rcio n a lid a d e s —.

18. Geometría

E l p erím e tr o

26. Física: vibración de una cuerda p

u n a c u e r d a c o n te n s ió n c o n s ta n te varía in v e r sa m e n te co n

w. La

la lo n g itu d d e la cu e r d a . Si la c u e r d a tie n e 4 8 p u lg a d a s d e

ta m e n te co n la su m a d e las lo n g itu d e s d e su s la d o s / y c o n sta n te d e p ro p o r c io n a lid a d e s 2 .

19. Física: ley de Newton

La fu erza

la r g o y v ib ra 2 5 6 v e c e s p o r s e g u n d o , ¿ cu á l e s la lo n g itu d de

F (e n

n e w to n s ) d e a tra c

ció n en tre d o s c u e r p o s varía c o n ju n ta m e n te c o n su s m a sa s

m y M (e n

d

(e n m e tr o s) e n tr e e llo s. L a c o n sta n te d e p r o

p o rcio n a lid a d es

G=

periodo

El

simple cu a n d o

vertical es m en o r a 5 o. E l p e r io d o

Tde

e l á n g u lo c o n la

2tt

varía d ir e c ta m e n te c o n la ca n tid a d p resta d a

B.

c o n la c a n tid a d p resta d a

B

si la ca n tid a d p r esta d a

22. Pago de hipoteca

B es

para u n a h i

$ 1 4 5 ,0 0 0 .

B

si la ca n tid a d p resta d a

23. Física: objetos en caída

B es

C o n sid e r a q u e la d e m a n d a

D

d e d u lc e s e n e l

p.

c in e v e n d e 156 b o lsa s d e d u lc e . E x p r e sa la d e m a n d a d e d u lc e s en té r m in o s d e su p r e c io . (b ) D e te r m in a e l n ú m e r o d e b o lsa s d e d u lc e s q u e s e v e n d er á n si e l p r e c io a u m e n ta a $ 3 p o r b o lsa . E l tie m p o

t que

te to m a lle g a r a la

s.

(a ) C o n sid e r a q u e te to m a 4 0 m in u to s lle g a r a la e s c u e la

s

c u a n d o tu v e lo c id a d p r o m e d io e s d e 3 0 m illa s p o r h ora. q u e c a e u n o b je to

e s d ir e c ta m e n te p ro p o r c io n a l al c u a d r a d o d e l tie m p o

t

E x p r e sa e l tie m p o q u e te to m a lle g a r a la e s c u e la en

de

té r m in o s d e la v e lo c id a d p r o m e d io .

la caíd a. Si un o b je to c a e 16 p ie s en 1 se g u n d o , ¿ q u é tan

(b ) C o n sid e r a q u e tu v e lo c id a d p r o m e d io e s d e 4 0 m illa s

le jo s ca e rá e n 3 se g u n d o s? ¿ C u á n to tie m p o le to m a r a ca e r 64 p ies?

24. Física: objetos en caída

29. Demanda

e s c u e la v a ría in v e r sa m e n te c o n tu v e lo c id a d

$ 1 7 5 ,0 0 0 .

L a d ista n c ia

d e lib ras d e a lm e n d r a s q u e s e c o m p ra r o n . D e s p u é s ,

30. Manejar a la escuela

para u n a h ip o te c a

c o n e s a s c o n d ic io n e s . D e s p u é s , d e te r m in a el p a g o m en su a l

p

A

(a ) C u a n d o e l p r e c io d e lo s d u lc e s e s d e $ 2 .7 5 p o r b o lsa , el

p d e u n a h ip o te c a v a p resta d a B. Si e l p a g o m e n su a l

c o n la ca n tid a d p resta d a

d e lib ra s d e a lm en d r a s q u e

c in e e s tá in v e r sa m e n te r e la c io n a d a c o n su p r e c io

ta d o s, d eter m in a la e c u a c ió n lin e a l q u e r e la c io n a e l p a g o

p

A

d ras c o m p r a d a s fu e 3.5.

d e u na h ip o te c a a 15 a ñ o s e s $ 8 .9 9 p o r ca d a $ 1 0 0 0 p r e s m e n su a l

E l c o s to C d e a lm e n d r a s to sta d a s varía

d ir e c ta m e n te c o n e l n ú m e r o

d e te r m in a e l c o s to C c u a n d o e l n ú m e r o d e lib ras d e a lm e n

E l p a g o m e n su a l

ría d ir e c ta m e n te la ca n tid a d

g d e g a lo R c u a n d o el

el n ú m ero

n ú m e r o d e g a lo n e s d e g a so lin a v e n d id o s e s 10.5.

ro

Si e l p a g o

p o te c a c o n e s a s c o n d ic io n e s . D e s p u é s , d e te r m in a e l p a g o

p

R con

n e s d e g a so lin a . D e s p u é s , d e te r m in a e l in g r e so

u n a e c u a c ió n lin e a l q u e r e la c io n e e l c o s to C c o n e l n ú m e

d e p resta d o s, d eter m in a la e c u a c ió n lin ea l q u e re la c io n a el

m en su a l

g a lo n e s

lib ra s d e a lm e n d r a s to sta d a s q u e s e c o m p r ó e s 5. d eter m in a

m en su a l d e u na h ip o te c a a 3 0 a ñ o s e s $ 6 .4 9 p o r ca d a $ 1 0 0 0

p

g de

d e g a so lin a q u e se v e n d e n . Si e l in g r e so e s S 47 .4 0 c u a n d o el

se c o m p r e n . Si e l c o s to e s d e $ 2 3 .7 5 c u a n d o e l n ú m e r o d e

tud / (e n p ies). L a co n sta n te d e p ro p o rcio n a lid a d e s — — . V 32 Pago de hipoteca E l p a g o m e n su a l p d e u n a h ip o te c a

p a g o m e n su a l

E n la e s ta c ió n S h ell d e la e sq u in a ,


28. Ecuación d e costo

un p é n d u lo sim p le (e n

se g u n d o s) varía d irecta m e n te a la raíz cu ad rad a d e su lo n g i-

©

R varía

lin ea l q u e r e la c io n e e l in g r e so

d e un p é n d u lo e s el

tiem p o req u erid o para una o sc ila c ió n , g e n e r a lm e n te n o s referim o s al p én d u lo c o m o

27. Ecuación de ingresos

n ú m e r o d e g a lo n e s v e n d id o s e s 12 , d e te r m in a una e c u a c ió n

6 .6 7 X 10~u .

20. Física: Péndulo simple

u n a c u e r d a q u e vib ra 5 7 6 v e c e s p o r s e g u n d o ?

el in g r e so

k ilo g ra m o s) e in v e r sa m e n te c o n el c u a d r a d o d e

la d istan cia

L a ra zó n d e v ib ra c ió n d e

d e un r e c tá n g u lo varía c o n ju n

p o r h o ra . ¿ C u á n to te to m a r á lle g a r a la e s c u e la ? *

L a v e lo c id a d v d e un o b je to en

ca íd a e s d ir e c ta m e n te p r o p o r c io n a l al tie m p o

t de

la ca íd a .

Presión

E l v o lu m e n

V de

u n g a s q u e s e m a n tie n e a te m

p era tu ra c o n s ta n te e n u n c o n te n e d o r c e r r a d o varía in v e r sa m e n te c o n su p r e s ió n

P.

S i e l v o lu m e n d e l g a s e s d e 6 0 0

Si, d e s p u é s d e 2 s e g u n d o s la v e lo c id a d d e l o b je to e s d e 6 4

c e n tím e tr o s c ú b ic o s (cnv1) c u a n d o la p r e s ió n e s d e 150 m ilí

p ie s p o r s e g u n d o , ¿ cu á l se rá su v e lo c id a d d e s p u é s d e 3 s e

m e tr o s d e m e r c u r io (m m H g ). d e te r m in a e l v o lu m e n c u a n

g u n d o s?

d o la p r e s ió n e s d e 2 0 0 m m H g.

t S E C C IÓ N 2.5

32. ~Resistencia

i en

193

u n c ir c u ito e s in v e r s a m e n te

lib ras c u a n d o la v e lo c id a d d e l v ie n to e s d e 22 m illa s p o r h ora,

. p r o p o r c io n a l a su r e s is te n c ia Z m e d id a e n o h m s. C o n sid e r a

d e te r m in a la fu e rz a so b r e u n á rea d e u n a su p e rficie d e 47 .1 2 5

q u e c u a n d o la c o r r ie n te e n u n c ir c u ito e s d e 3 0 a m p e r e s la

p ie s cu a d ra d o s c u a n d o la v e lo c id a d d e l v ie n to e s d e 36.5 m i

r e siste n c ia e s d e 8 o h m s. D e t e r m in a la c o r r ie n te e n e l m is

lla s p o r hora.

L a c o r r ie n te

m o c ir c u ito c u a n d o la r e s is te n c ia e s d e 10 o h m s.

33. Peso

39. Caballos de fuerza

L o s c a b a llo s d e fu e r z a (h p ) q u e un e je

E l p e s o d e u n o b je to s o b r e la su p e r fic ie d e la T ier ra

p u e d e tra n sm itir d e m a n e r a se g u r a v a ría n c o n ju n ta m e n te

v a ría in v e r s a m e n te c o n e l c u a d r a d o d e la d ista n c ia al c e n tr o

c o n su v e lo c id a d (e n r e v o lu c io n e s p o r m in u to , rp m ) y e l

d e la T ierra . S i M a ría p e s a 125 lib ra s c u a n d o e s tá e n la s u

c u b o d e su d iá m e tr o . S i u n e je d e c ie r to m a te ria l d e 2 p u l

p e r fic ie d e la T ier ra (3 9 6 0 m illa s d e l c e n tr o ), d e te r m in a su

g a d a s d e d iá m e tr o p u e d e tra n sm itir 3 6 h p a 7 5 rp m , ¿ q u é

p e s o si M a ría e s tu v ie r a e n la c im a d e l M o n te M c K in le y (3 .8

d iá m e tr o d e b e te n e r e l e je p a ra tra n sm itir 4 5 h p a 125 rpm ?

m illa s d e la su p e r fic ie d e la T ie r r a ).

34. Intensidad de la luz

40. Química: ley de los gases

L a in te n sid a d / d e la lu z (m e d id a e n

E l v o lu m e n

d ire cta m e n te co n la tem p era tu ra

Te

V d e un

gas id eal varía

in v er sa m e n te co n la p re

ta n cia al fo c o . C o n sid e ra q u e la in te n sid a d d e u n f o c o d e 100

P. E scrib e una e c u a c ió n q u e r e la c io n e a V, T y P u sa n d o k c o m o co n sta n te d e p ro p o rcio n a lid a d . Si u n cilin d ro co n tie n e

w a tts a u n a d ista n cia d e 2 m e tr o s e s d e 0.0 7 5 p ie s -c a n d e la .

o x íg e n o a u n a tem p era tu ra d e 3 0 0 K y u na p resió n d e 15 at

p ie s - c a n d e la ) varía in v e r sa m e n te c o n e l cu a d ra d o d e la d is

sió n

m ó sfe ra s, e n un v o lu m e n d e 100 litros, ¿cu ál e s la co n sta n te d e

D e te r m in a la in te n sid a d d e l f o c o a u n a d ista n c ia d e 5 m etro s.

35. Geometría

V de

E l v o lu m e n

h.

p ro p o rcio n a lid a d

u n c ilin d r o circu la r r e c to v a

ría c o n ju n ta m e n te c o n e l c u a d r a d o d e su r a d io ij

Variación

ry

V.

p istó n se in tro d u ce e n un cilin dro y

tem p era tu ra a 3 1 0 K , ¿cu ál e s la p resió n d el gas?

la c o n s ta n te d e p r o p o r c io n a lid a d e s p. V e r la figu ra. E s

c r ib e u n a e c u a c ió n p ara

k ? Si u n

d ism in u y e e l v o lu m e n o c u p a d o p o r e l gas a 8 0 litros y e le v a la

su altu ra

41. Física: energía cinética

L a en e r g ía cin é tic a

K

d e u n o b je to

e n m o v im ie n to varía c o n ju n ta m e n te c o n su m a sa

my

e l cu a

d ra d o d e su v e lo c id a d v. S i u n o b je to q u e p e sa 25 k ilo g ra m o s y se m u e v e a u n a v e lo c id a d d e 10 m e tr o s p o r se g u n d o tie n e u n a en e r g ía cin é tic a d e 125 jo u le s , d e te r m in a su en er g ía c in é tica c u a n d o la v e lo c id a d e s 15 m e tr o s p o r se g u n d o .

42. Resistencia eléctrica de un alambre

L a r e siste n c ia e l é c

trica d e u n a la m b r e varía d ir e c ta m e n te c o n la lo n g itu d d el

36. Geometría

a la m b r e e in v e r sa m e n te c o n e l c u a d r a d o d e l d iá m e tr o E l v o lu m e n

V de

u n c o n o circu la r r e c to varía

d e l a la m b r e. S i u n a la m b r e d e 4 3 2 p ie s d e lo n g itu d y 4 m ilí

c o n ju n ta m e n te c o n e l c u a d r a d o d e su r a d io r y su altu ra h. 77 L a c o n sta n te d e p r o p o r c io n a lid a d e s V e r la figura. E s c r i

m e tr o s d e d iá m e tr o tie n e u n a r e siste n c ia d e 1.24 o h m s, d e

b e u n a e c u a c ió n para

te r m in a la lo n g itu d d e u n a la m b r e d e l m ism o m a te ria l cu ya

V.

r e siste n c ia s e a 1 .4 4 o h m s y c u y o d iá m e tr o se a 3 m ilím etro s.

43. Medición de la tensión en materiales

L a te n sió n e n el m a te

rial d e u n a p ip a su jeta a p resió n in tern a varía co n ju n ta m en te c o n la p r e sió n in tern a y e l d iá m e tr o in te rn o d e la p ipa, e in v e r sa m e n te c o n el e s p e so r d e la p ipa. L a te n sió n e s 100 libras p o r p u lg a d a cu ad rad a c u a n d o e l d iá m e tr o e s d e 5 p u lgad as, e l e s p e so r e s d e 0.75 p u lg a d a s y la p resió n in tern a es d e 25 libras p o r p u lg a d a cu ad rad a. D e te r m in a la te n sió n cu a n d o la p r e sió n in tern a e s d e 4 0 libras p o r p u lg a d a cu ad rad a, si el

37. Peso de un cuerpo ,

d iá m e tr o e s d e 8 p u lg a d a s y e l e s p e so r e s d e 0 .5 0 pulgad as.

E l p e s o d e u n c u e r p o e n la su p e r fic ie

d e la T ierra v a ría in v e r sa m e n te c o n e l c u a d r a d o d e la d is

44. Carga segura para una viga

L a m á x im a ca rga se g u r a para

ta n cia al c e n tr o d e la T ierra . Si u n c u e r p o p e sa 55 lib ras

u n a v ig a r e cta n g u la r h o r iz o n ta l varía c o n ju n ta m e n te c o n el

c u a n d o e s tá a 3 9 6 0 m illa s d e l c e n tr o d e la T ie r r a , ¿ c u á n to

a n c h o d e la viga y al cu a d ra d o c o n e l g ro so r d e la viga,

p esa r á c u a n d o e s té a 396 5 m illa s d e l c e n tr o ?

e in v e r sa m e n te c o n su lo n g itu d . Si u n a viga d e 8 p ies p u e d e

38. Fuerza del viento en una ventana

L a fu erza q u e e je rce e l v ie n to en u na su p erficie p la n a varía c o n ju n ta m e n te co n

cargar h asta 7 5 0 libras c u a n d o la v ig a tie n e 4 p u lgad as d e a n

e l área d e la su p erficie y e l c u a d ra d o d e la v e lo c id a d d e l v ie n

para u n a vig a sim ilar d e 10 p ie s d e largo, 6 p u lg a d as d e a n ch o

to . Si la fu erza so b re un á rea d e 2 0 p ies cu a d ra d o s e s d e 11

y 2 p u lg a d a s d e esp e so r?

c h o y 2 p u lg a d a s d e e sp e so r , ¿cu ál e s la carga segu ra m áxim a

E x p li c a c ió n d e c o n c e p t o s : d is c u s ió n y e s c r it u r a 4 5 . E n e l sig lo X V I I J o h a n n e s K e p le r d e sc u b r ió q u e e l cu a d ra d o d e l p e r io d o T d e la ro ta c ió n d e u n p la n e ta a lr e d e d o r d el S o l varía d ir e c ta m e n te c o n e l c u b o d e su d ista n c ia m e d ia

4 7 . U s a u n a situ a c ió n q u e n o s e h a y a d isc u tid o e n e l te x to para escrib ir u n p r o b le m a d e la v id a rea l q u e cr ea s q u e in v o lu cra d o s v a r ia b le s q u e varían in v e r sa m e n te . In te rc a m b ia tu p ro b le m a c o n e l d e o tr o e s tu d ia n te para r e so lv e r y co m e n ta r.

a

al S o l. V e a la b ib lio te c a e in v e stig a e s ta le y y la s o tra s d o s le y e s d e K e p le r. E scrib e u n b r e v e e n s a y o a ce rc a d e las le y e s y d e la im p o r ta n cia h istó ric a d e K e p le r. 4 6 . U s a u na situ a c ió n q u e n o se h a y a d isc u tid o e n e l te x to para escrib ir un p r o b le m a d e la v id a rea l q u e cr ea s q u e in v o lu cra d o s v a ria b le s q u e va ría n d ir e c ta m e n te . In te rc a m b ia tu p r o b le m a c o n e l d e o tr o e s tu d ia n te para r e so lv e r y co m e n ta r .

48.

U s a u na situ a ció n q u e n o se h a y a d iscu tid o e n el tex to para escribir un p ro b lem a d e la vid a real q u e crea s q u e in volu cra tres v a ria b les q u e varían co n ju n ta m en te. In tercam b ia tu p ro b lem a c o n e l d e o tr o e stu d ia n te para re so lv e r y com en tar.

194 CAPÍTULO 2

Gráficas

REPASO DEL CAPÍTULO C osas q u e d e b e s sab er

Fórmulas F órm u la d e la d istan cia (p. 151)

d = \ / ( * 2 - * i) 2 + t e

( x\

F órm u la d el p u n to m e d io (p. 154)

P en d ien te (p. 167)

+ *2 y i + yi\

V 2 ’

( x , y )

y\)2

~

m - Z?— Zl s i x

2

J

* x 2; in d e fin id a si x , = x 2

X2 - X] R ec ta s p aralelas (p. 175)

P e n d ie n te s ig u a le s (m , = m 2) y d ife r e n te s in te r se c c io n e s co n

y (b, * b2) V a ria ció n d irecta (p. 189)

y -k x

V a ria ció n in versa (p. 189)

k

Ecuaciones de rectas y círculos R ec ta vertical (p. 171)

x = a\ a e s

la in te r se c c ió n c o n x

R ec ta h o rizo n ta l (p. 172)

y = b\ b e s

la in te r se c c ió n c o n

F orm a p u n to -p e n d ie n te d e la e c u a c ió n d e una recta (p. 172)

y-

y, =

m(x -

x ,);

m es

y

la p e n d ie n te d e la re cta , (x ^ y ,) e s un

p u n to e n la recta F orm a p en d ie n te-o rd e n a d a d e la e c u a c ió n d e u n a recta (p . 172)

y = mx + b\ m e s

la p e n d ie n te d e la r e cta ,

la in te r se c c ió n c o n

b es

y

F orm a g en era l d e la ec u a c ió n d e u na recta (p . 174)

Ax + By + C; A, B, n o

F orm a está n d a r d e la e c u a c ió n d e u n círc u lo (p . 182)

x 2+

y1= 1

F orm a g en er a l d e la ec u a c ió n d e un círc u lo (p . 184)

x 2+

y2+ ax + by + c = 0, c o n

p u e d e n se r a m b a s 0

r e str ic c io n e s e n

a, b y

c A

O b j e t iv o s Sección D ebes p o d e r...

2.1 2.2

2.3

U sa r la fó rm u la d e d ista n cia (p . 151)

1 -3

l( a ) —6(a ), 4 8 , 4 9 (a ), 50

U sa r la fó rm u la d e p u n to m e d io (p . 153)

4

l ( b ) - 6 (b ), 50

R ep r e se n ta r e c u a c io n e s g r á fic a m e n te tra z a n d o p u n to s (p . 157)

1 -3

7

E n co n tra r in te r se c c io n e s a p artir d e una gráfica (p . 159)

4

8

3

E n co n tra r in te r se c c io n e s a p artir d e u n a e c u a c ió n (p . 160)

5

9 -1 6

4

P rob ar la sim etría d e u n a e c u a c ió n c o n r e sp e c to al e je x , al e je y y al o rig en (p. 160)

6 -9

9 -1 6

5

S a b er r e p r esen ta r gráficas d e e c u a c io n e s c la v e (p . 163)

1 0 -1 2

i 2 1 2

1 C alcu lar e in terp reta r la p e n d ie n te d e u n a recta (p . 167)

1 ,2

2 R ep re se n ta r gráficas d e recta s d a d o un p u n to y la p e n d ie n te (p . 170)

3

4 5 ,4 6 l ( c ) - 6(c ), l ( d ) 6(d ), 4 9 (b ), 51 47

3

D e te r m in a r la e c u a c ió n d e u n a recta v er tica l (p .1 7 0 )

4

29

4

U sa r la fo rm a p u n to -p e n d ie n te d e u na recta; id e n tific a r re cta s h o r iz o n ta le s (p. 171)

5 ,6

2 7 ,2 8

5

D e te r m in a r la e c u a c ió n d e una recta d a d o s d o s p u n to s (p . 172)

7

3 0 -3 2

8

2 7 , 2 8 ,3 0 - 3 6

8

3 7 -4 0

9

4 1 -4 4

1 0 ,11

3 3 ,3 4

1 2 ,1 3

3 5 ,3 6

1

1 7 -2 0 , 50

2 ,3

2 1 -2 6

4

2 3 -2 6

6 E scrib ir la e c u a c ió n d e u n a recta e n fo rm a p e n d ie n te -o r d e n a d a (p . 172) 7

Id en tifica r la p e n d ie n te e in te r se c c ió n e n y d e u n a recta a partir d e su e c u a ció n (p. 173)

8 R ep r e se n ta r grá fica s d e recta s escr ita s e n la fo rm a g e n e r a l u sa n d o in te r se c c io n e s (p . 174) 9 2.4

Ejem p lo s Ejercicio s de repaso

D e te r m in a r e c u a c io n e s d e re cta s p a ra le la s (p . 175)

10 D e te r m in a r e c u a c io n e s d e re cta s p e r p e n d ic u la r e s (p . 176) 1 E scrib ir la fo rm a está n d a r d e la e c u a c ió n d e un c írc u lo (p . 182) 2 R ep r e se n ta r g r á fic a m e n te a un círc u lo (p. 183) 3

T rabajar c o n la fo rm a g e n e r a l d e la e c u a c ió n d e un c írc u lo (p . 184)

Repaso del Capítulo

M Sección D ebes p o d e r... i

2 .5

E jem plos Ejercicios de repaso 5 2 , 5 3 ,5 5

C o n stru ir un m o d e lo u sa n d o v a r ia c ió n in v er sa (p . 189)

1 2

C o n stru ir un m o d e lo u sa n d o v a r ia c ió n co n ju n ta o c o m b in a d a (p . 190)

3 ,4

55

1

C o n stru ir un m o d e lo u sa n d o v a ria ció n d ire cta (p . 189)

2 3

195

54

Ejercicios de repaso En los problemas 1-6 , determina lo siguiente para cada par de puntos: (a) La distancia entre los puntos

8. H a z u n a lista d e las in te r s e c c io n e s d e la si g u ie n te gráfica.

(b ) E l p u n t o m e d i o d e l s e g m e n to d e r e c ta q u e c o n tie n e lo s p u n to s (c) L a p e n d ie n te d e la re c ta q u e c o n tie n e lo s p u n to s (d ) I n te r p r e ta la p e n d ie n te q u e d e te r m in a s te en e l in c is o (c) 1.

( 0 ,0 ); ( 4 ,2 )

2 . ( 0 ,0 ); ( - 4 , 6 )

3.

( 1 ,- 1 ) ; ( - 2 , 3 )

4 . ( - 2 , 2 ) ; ( 1 ,4 )

5.

( 4 ,- 4 ) ; ( 4 ,8 )

6. ( - 3 , 4 ) ; ( 2 ,4 )

7.

D ib u ja la grá fica d e

It

y=

a :2 +

4 tr a z a n d o p u n to s

En los problemas 9-16, haz una lista de las intersecciones y prueba la simetría con respecto al eje x y y al origen.

.

9.

2x = ^y2

; i 3 . >> -

y* + 2 ^

+ 1

10.

y = 5x

11.

x2 +

4 y2 = 16

14.

y = x3 -

15.

x2 + x + y2 + 2y

= 0

12.

9x2 - y2 = 9

16.

x2 + 4x + y2 - 2y =

0

En los problemas 17-20, determina la forma estándar de la ecuación del círculo cuyo centro y radio se dan a continuación. 17. (h,k) = ( - 2 , 3 ) ; r = 4 18. (h,k) = (3 ,4 ); r = 4 19. (h,k) = ( - 1 , - 2 ) ; r = 1 20. (h,k) = ( 2 ,- 4 ) ; r = 3 En los problemas 21—26, encuentra el centro y radio de cada círculo. Dibuja la gráfica de cada círculo. Encuentra las intersecciones de cada círculo, si existen. 21. x2 + {y -

l )2 = 4

24. x2 + y2 + 4x \

-

22.

4y -

( x + 2 )2 +

25. 3x2 +

1 = 0

3 y2

y2 = 9 - 6x +

23.

x2 +

y2 - 2x + 4y - 4

26. 2x2 + 2y2 - 4x

12y = 0

= 0

= 0

En los problemas 27-36, determina una ecuación de la recta cuyas características se dan. Expresa tu respuesta usando ya sea la forma general o la forma pendiente-ordenada de la ecuación de una recta, la que prefieras. 27. P e n d ie n te = - 2 ; q u e c o n te n g a e l p u n to ( 3 , - 1 ) 28. P e n d ie n te = 0; q u e c o n te n g a e l p u n to ( - 5 , 4 ) , 29. 31.

30. In te rse cc ió n

V ertica l; q u e c o n te n g a e l p u n to ( - 3 , 4 ) In te r se c c ió n c o n

y=

—2; q u e c o n te n g a e l p u n to

33.

P a ra lela a la recta 2jc + 3 y = - 4 ; q u e c o n te n g a e l p u n to ( - 5 , 3 )

34.

P a ra lela a la recta

35.

P er p e n d ic u la r a la recta

36.

P er p e n d ic u la r a la recta 3 x

x + y = 2; q u e x+y=

32. Q u e

( 5 ,- 3 )

co n

x = 2; q u e co n te n g a

el p u n to ( 4 ,- 5 )

c o n te n g a lo s p u n to s ( 3 , - 4 ) y (2 ,1 )

c o n te n g a e l p u n to ( 1 , - 3 ) 2; q u e c o n te n g a e l p u n to ( 4 , - 3 )

- y = -4 ;

q u e c o n te n g a e l p u n to ( - 2 , 4 )

En los problemas 37-40, determina la pendiente e intersección en y de cada recta. Haz una gráfica de la recta y marca las intersecciones. 37. 4x - 5y

= -2 0

38.

3* + 4y

=

1

12

1

1

3

39. - x - - y = - -

1

40. - - x + - y =

En los problemas 41—44, determina las intersecciones de la gráfica de cada recta. !

i

41. ,

2x -

3y = 12

42. * - 2y = 8

í

i

43. -x + - y = 2 '

i

i

44 . - x - - y = l

0

196

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

45.

B o sq u eja una gráfica d e y =

46.

B o sq u eja una gráfica d e

47.

y

52.

x3.

B.

Si el p ago

d e p r é sta m o , d e te r m in a la e c u a c ió n lin ea l q u e re la c io n a el p a g o m en su a l

D em u estra q u e lo s p u n to s

A=

(3 ,4 ),

B=

D em u estra q u e lo s p u n to s

( -1 ,1 ) y C = ( -2 ,3 )

m en su a l

A = (-2 ,0 ), B = ( -4 ,4 )

y C = (8 ,5 )

53.

co n e l m o n to d e l p r é sta m o

p cuando

e l m o n to

E c u a c ió n d e In g r e so s el in g re so

B para

R varía

B d el

p r é s ta m o e s $ 1 6 5,000,

E n la e s ta c ió n E s s o d e la esq u in a,


lin ea l q u e r e la c io n e e l in g r e so

R con

L o s p u n to s term in a le s d el d iá m e tr o d e un círcu lo so n ( - 3 , 2 )

R cuando

el

n ú m e r o d e g a lo n e s d e g a so lin a v e n d id o s e s 1 1 .2 . 54.

P e s o d e un c u e r p o

El p e s o d e un c u e r p o varía in v ersa m en

te co n el cu a d ra d o d e su d ista n cia al c e n tr o d e la T ierra. Su

U sa n d o sus p en d ien tes, d em u estra q u e los p u n to s

C= ( 8, - 1 ) están

g a lo n es

el n ú m e r o g d e g a lo

n es d e g a so lin a . D e s p u é s , d e te r m in a el in g r e so

la ec u a c ió n están d a r d e e s te círcu lo.

g de

n ú m e r o d e g a lo n e s v e n d id o s e s 13, d e te r m in a u n a ec u a c ió n

vértices.

y ( 5 ,- 6 ) . D eter m in a el c e n tr o y el rad io d el círcu lo. E scrib e

una h i

d e g a so lin a q u e s e v e n d e n . Si e l in g r e so e s $4 6 .6 7 c u a n d o el

(b ) P or m ed io d e las p e n d ie n te s d e las recta s q u e u n en lo s

£ = ( 6, 1 ) y

p

p o te c a co n e s a s c o n d ic io n e s . D e s p u é s , d eter m in a e l pago

(a ) P or m e d io d el r e cíp r o co d el teo r em a d e P itágoras

51.

d e una h ip o te c a va

H a z una gráfica d e la recta co n p e n d ie n te - q u e c o n te n g a el

son lo s vértices de un trián gu lo rectá n g u lo en d o s form as:

50.

p

m en su a l d e una h ip o te c a a 3 0 artos e s $ 8 5 4 .0 0 p or $ 1 3 0 / / / )

son los vértices d e un trián gu lo isó sceles. 49.

E l p a g o m en su a l

= V x

p u n to ( 1 , 2 ). 48.

P a g o d e h ip o te c a

ría d ir e c ta m e n te c o n e l m o n to d e l p r é sta m o

A = (2 ,5 ),

en una recta.

p o n ie n d o q u e el rad io d e la T ierra e s d e 3 9 6 0 m illas, ¿cu án to p esará un h o m b re a una altura d e 1 m illa so b re la su perficie d e la T ierra si p esa 2 0 0 libras en la su p e rficie d e la T ierra?

55. T ercera le y d e K e p le r d el m o v im ie n to p la n e ta r io d o d el p erio d o d e re v o lu c ió n

T de

La tercera ley d e K c p le r d el m o v im ie n to p la n e ta r io e s ta b le c e q u e e l cu a d ra

un p la n e ta varía d ir e c ta m e n te co n el c u b o d e su d ista n c ia m e d ia

a al

S o l. Si la d ista n cia m ed ia

d e la T ierra al S ol e s d e 93 m illo n e s d e m illa s, ¿cu ál e s la d ista n cia m ed ia d el p la n e ta M e rc u r io al S o l. d a d o q u e M e rc u r io tien e un “a ñ o ” d e 88 días?

56.

57.

D esa r ro lla cu a tro p r o b le m a s q u e se te p u e d e p ed ir q u e re su e lv a s d a d o s d o s p u n to s ( - 3 , 4 ) y ( 6 .1 ) . C a d a p r o b lem a d e b e ten er un c o n c e p to d ife re n te . A se g ú r a te d e q u e tus in d ic a c io n e s se d en d e m a n era clara. D e sc r ib e cad a una d e las sig u ie n te s grá fica s e n el p la n o xy. Ju stifica tu d esc rip ció n . (a )

jc =

0

(b ) y = 0

(c )

x +y = 0

(d ) x y = 0

( e ) jr + y - = 0

58. C o n sid era q u e tie n e s un c a m p o recta n g u la r q u e r e q u ie re ser re g a d o . T u siste m a d e rie g o c o n s is te e n un b r a z o d e lo n g itu d v a riable q u e gira d e m a n era q u e el p atrón d e r ie g o se a un círcu lo . D e c id e d ó n d e p o n e r e l b ra zo y q u é lo n g itu d d e b e te n e r para q u e e l ca m p o se rieg u e c o m p le ta m e n te d e m a n era e fic ie n te . ¿ C u á n d o e s d e s e a b le u sar m á s d e u n b ra zo ? [S u geren cia: U sa un siste m a d e c o o r d e n a d a s re cta n g u la r es e n la p o sic ió n q u e s e m u e str a e n las figu ras. E scrib e las e c u a c io n e s para lo s círcu lo q u e fo rm en lo s b ra zo s d e rieg o .]

y -

CHAPTER

*To Test Prep

EXAMEN DEL CAPÍTULO 'En los problemas 1-3. lisa P, - {l,3) y

V

V ID E O S 1

8. E sc r ib e la form a g e n e r a l d el c ír c u lo c o n c e n tr o en ( 4 , - 3 ) d e

P , = (5, - / ) .

ra d io 5.

1.

D e te r m in a la d ista n c ia d e P , a P „

2.

D e te r m in a e l p u n to m e d io d e l s e g m e n to d e recta q u e u n e a

i.

**, y pv (a ) D ete r m in a la p e n d ie n te d e la recta q u e c o n tie n e a P , y P ,.

9.

10.

H a z u n a g rá fica d e y = . r - 9 tr a z a n d o lo s p u n to s.

5.

B o s q u e ja la g rá fica d e

y2 = x.

p e r p e n d ic u la r q u e c o n te n g a al p u n to (0 ,3 ) .

11. Resistencia debida a un conductor

La re siste n c ia (en

o h m s) d e un c o n d u c to r circu la r varía d ir e c ta m e n te c o n la

6. H a z u na lista d e las in te r s e c c io n e s y p ru eb a la sim etría:

d ista n c ia d el c o n d u c to r e in v e r sa m e n te c o n e l cu a d ra d o d el

+ y = 9.

ra d io d el c o n d u c to r . Si 5 0 p ie s d e a la m b r e c o n un rad io de

6 x 10"' p u lg a d a s tie n e n una re siste n c ia d e 10 o h m s, ¿cuál se rá la re siste n c ia d e 100 p ies d el m ism o a la m b re si e l rad io se in c r e m e n ta a 7 x 10 3 p u lg a d a s?

E scrib e la form a p e n d ie n t e - o r d e n a d a d e la recta c o n p e n d ie n te - 2 q u e c o n tie n e al p u n to ( 3 .- 4 ) . H a z la g rá fica d e la

j '

Para la recta 2.v + 3y = 6 , e n c u e n tr a una recta p a ra lela q u e c o n te n g a al p u n to ( 1 , - 1 ) . T a m b ié n e n c u e n tr a una recta

4.

7.

E n cu en tra el ce n tr o y rad io d el círculo.v: + y 2 + 4 . v - 2 y - 4 = 0. D ib uja la gráfica d e e s te círculo.

(b ) In terp reta e sta p e n d ie n te .

jt

Los videos de preparación para examen del capítulo son soluciones paso a paso disponibles en el DVD de Recursos en Video, en ntyMÜá¡L¿ | o en el canal de YouGUJ de este texto. Consulta la página de recursos del estudiante para ver la dirección exacta de la página Web para el canal de YouTube de este texto.

recta.

'REPASO ACUMULATIVO En los problemas 1-8, determina las soluciones reales de cada ecuación.

1. j 3.

3,r - 5

2.

= 0

2 jt — 5 jc -

3=

0

i 5 ,.r + 2x + 5 = 0

7.

|.t

-

2| = 1

. r - .t -

12 = 0

4. x2 - 2x

-

6. V l x

+

1= 3

+

4x

8.

V .T

2

= 2

En los problemas 11-14, resuelve cada desigualdad. Haz una grá fica del conjunto solución. 11. 2.t — 3 < 7 12. - 1 < .t + 4 < 5 - 2|

< 1

14. |2 + jc| >

D e te r m in a la d ista n c ia e n tr e lo s p u n to s P = ( - 1 , 3 ) y

Q = ( 4 .- 2 ) . D e te r m in a ta d e P a Q.

16.

= 0

En los problemas 9 y 10, resuelve cada ecuación en el sistema de números complejos. 9 . x2- - 9 10. .r2 - 2 r + 5 = 0

13. |*

15.

¿ C u á l d e lo s sig u ie n te s p u n to s e stá e n la g rá fica d e y =

jc3 -

3.r + 1?

(a ) ( - 2 , - 1 )

17. 18.

e l p u n to m e d io d e l s e g m e n to d e re c

(b ) ( 2 ,3 )

(c ) ( 3 ,1 )

B o sq u e ja la g ráfica d e y = a:3. D e te r m in a la e c u a c ió n d e la recta q u e c o n tie n e lo s p u n to s ( - 1 , 4 ) y ( 2 , - 2 ) . E x p r e sa tu r e sp u e sta e n fo rm a d e p e n d ie n te - o r d e n a d a .

19.

D e te r m in a la e c u a c ió n d e la recta p erp en d icu la r a la recta

y = 2x + \

q u e c o n tie n e al p u n to (3 ,5 ) . E x p re sa tu resp u esta

e n form a p e n d ie n te -o r d e n a d a y d ibuja la gráfica d e la recta.

20.

T ra za la gráfica d e la e c u a c ió n

x2+ y2- 4x + 8y

-5

=0

3

PROYECTO DEL CAPÍTULO Proyecto del capítulo basado en Internet. Predicción del desempeño olímpico L a

m ed id a d el d e s e m

p e ñ o h u m a n o e n e l tie m p o a v e c e s sig u e u na fu erte rela ció n lin ea l p or p e r io d o s r a z o n a b le m e n te p e q u e ñ o s. E n 2004 lo s J u e g o s O lím p ic o s d e V e r a n o reg resa ro n a G r ec ia , el h ogar de lo s J u e g o s O lím p ic o s a n tig u o s y lo s p rim er o s J u e g o s O lím p ic o s m o d e r n o s. L o s d a to s a c o n tin u a c ió n r e p r esen ta n lo s tie m p o s (e n h o ra s) d e lo s h o m b re y m u jer es g a n a d o r e s d el m aratón.

1

Año

Hombres

Mujeres

1984

2.16

2.41

1988

2.18

2.43

1992

, 2.22

2.54

1996

2.21

2.43

2000

2.17

2.39

r ú e n le : w w w .h ic k o k s p o r ts .c o m /h is to r y /o lm ta n d f.s h tm l

197

198

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

1. T o m a n d o el a ñ o c o m o la v a ria b le in d e p e n d ie n te y el v a lo r

4.

q u e rela cio n a n esta s v a ria b les (h a z lo se p a r a d o para h o m

5.

¿ S ervirían tu s e c u a c io n e s para p r ed ec ir lo s tie m p o s ga n a

b res y m u jeres) u sa n d o lo s d a to s d e lo s a ñ o s 1992 y 1996.

d o r e s d el m a ra tó n e n lo s J u e g o s O lím p ic o s d e 21 0 4 ? ¿Por

C om p ara las e c u a c io n e s y c o m e n ta las sim ilitu d e s o d ife

q ué o por q ué no?

rencias. 2.

R e p ite las p a rtes 1 y 3 u sa n d o lo s d a to s para lo s a ñ o s 1996 y 20 0 0 . ¿ C ó m o s e c o m p a ra n tu s r e su lta d o s?

d e l tie m p o d e lo s g a n a d o r es, d eterm in a e c u a c io n e s lin e a le s

In terp reta las p e n d ie n te s d e tus e c u a c io n e s e n la p arte 1.

6. E s c o g e tu e v e n t o fa v o r ito d e lo s J u e g o s O lím p ic o s d e in v ie r n o y e n c u e n tr a el v a lo r g a n a d o r ( e s t o e s , la d istan cia,

¿ T ien en una in terp re ta c ió n ra z o n a b le las in te r se c c io n e s en

tie m p o o a lg o sim ila r ) en d o s J u e g o s O lím p ic o s d e in v iern o

y? ¿P or q u é o p or q u é n o?

a n te r io r e s a 2 0 0 6 . R e p ite las p a rtes 1 a 3 u sa n d o el e v e n to

3. U s a tus e c u a c io n e s para p red ec ir e l tie m p o d el g a n a d o r en las O lim p ia d a s d e 2004. C om p ara tus p r e d ic c io n e s c o n el resu lta d o real (2 .1 8 h oras para h o m b re s y 2 .4 4 h oras para m u jeres). ¿ Q u é tan b ien p red ijero n tus e c u a c io n e s lo s tie m p o s g an ad ores?

q u e s e le c c io n a s te y lo s a ñ o s y co m p a ra co n lo s resu lta d o s r e a le s d e lo s J u e g o s O lím p ic o s d e T u rín , Italia.

I

K

Funciones y sus gráficas Contenido 3.1 3 .2 3 .3 3 .4

Funciones Gráfica de una función Propiedades de las funciones Directorio de funciones; funciones definidas por partes

3 .5 3 .6

Técnicas para elaborar gráficas: transformaciones Modelos matemáticos: construcción de funciones

• • • •

Repaso del capítulo Examen del capítulo Repaso acumulativo Proyectos del capítulo

Elección de un plan de teléfono celular i La mayoría de los consumidores primero escogen una compaj ñía de teléfonos celulares y después escogen un plan apropiado que ofrece esa compañía. La elección del tipo de plan depenI de del uso del teléfono. Por ejemplo, ¿son importantes los I mensajes de texto? ¿Cuántos minutos piensas usar el telé! fono? ¿Quieres un plan que te permita navegar por la red? Las matemáticas que aprenderás en este capítulo te pueden ayudar a elegir el mejor plan para tus necesidades. -Verproyecto con base en Internet del capítulo-

Hasta ahora la discusión se ha centrado en téc nicas para construir gráficas de ecuaciones de dos variables.

Un Vistazo

> En este capítulo veremos un tipo especial de ecuación que involucra dos variables, llamada función. Este capítulo expone lo que es una función, explica cómo hacer gráficas de funciones, las propiedades de las funciones y cómo usar funciones en problemas aplicados. Aparentemente la palabra función fue introducida por Rene Descartes en 1637. Para él, una función simplemente quería decir cualquier potencia entera positiva de una variable x. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quien siempre hizo énfasis en el lado geométrico de las matemáticas, usó la palabra función para denotar cualquier cantidad asociada con una curva, como las coordenadas de un punto en la curva. Leonhard Euler (1707-1783) usó la palabra para denotar cualquier ecuación o fórmula que incluyera , variables y constantes. Su idea de una función era similar a la que se ve con mayor frecuencia en los cursos que preceden al cálculo. Más tarde, el uso de funciones en ecuaciones de investigación de flujo de energía llevó a una definición muy amplia, gracias a Lejeune Dirichlet (1805 -1859), quien describió una función como una correspondencia entre dos conjuntos. Ésta es la definición que usaremos aquí.

199

200

C A P ÍT U L O 3

Fundones y sus gráficas

3.1 Funciones P r e p a r a c ió n


A n te s d e e m p e z a r , r e p a s a lo s ig u ie n te :

In terv a lo s (se c c ió n 1.5, pp. 120—121)

E v a lu a c ió n d e e x p r e s io n e s a lg e b r a ic a s, d o m in io d e u na v a ria b le (c a p ítu lo R , se c c ió n R .2 , pp. 2 0 - 2 3 )

R eso lu ció n de d esig u a ld a d es (sec ció n 1.5, pp. 1 2 3 -1 2 6 )

\


OBJETIVOS 1 Determinar si una relación representa una función (p. 200) 2 Determinar el valor de una función (p. 203) 3 Determinar el dominio de una función definida por una ecuación (p. 206)

4 Formar la suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones (p. 208j

1 Determinar si una relación representa una función Frecuentemente encontramos situaciones donde una variable está ligada de alguna manera al valor de otra variable. Por ejemplo, el nivel de educación de una persona está relacionado con su ingreso anual. El tamaño del motor está ligado con el kilome traje que da un auto. Cuando el valor de una variable está ligado al valor de otra varia ble, tenemos una r e la c ió n . Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos. Si x y y son dos elementos de estos conjuntos y si existe una relación entre x y y, entonces decimos que x corresponde a y o que y depende de x , y lo escribimosx —* y . Hay diversas maneras para expresar relaciones entre dos conjuntos. Por ejemplo, la ecuación y = 3jc —1 muestra una relación entre x y y. Establece que si tomamos un número x , lo multiplicamos por 3 y le restamos 1, obtenemos el valor correspon diente de y. En este sentido jc sirve como la entrada de la relación y y como la salida de la relación. También podemos expresar esta relación como una gráfica, como se muestra en la figura 1. Una relación no solo se puede expresar en forma de gráfica o como una ecua ción, sino que también se puede expresar con una técnica llamada m a p e o . Un mapa ilustra una relación mediante el uso de un conjunto de entradas y dibujos de flechas hacia el elemento correspondiente en el conjunto de salidas. Los pares ordenados se pueden usar para representar x —* y como (jc, y ).

Figura 1

EJEM PLO 1

Mapas y pares ordenados como relaciones La figura 2 muestra una relación entre estados y el número de representantes que tiene cada estado en la Cámara de Representantes. A la relación se le puede llamar “número de representantes”.

Figura 2 Estado Alaska

Número de Representantes ---- *■ 1

Arizona — -____ California Colorado-------Florida Dakota del Norte

— ^ 7 -'*■ 8

¿0 53

En esta relación Alaska corresponde al número 1, Arizona corresponde al número S. etc. Si usamos los pares ordenados, esta relación se puede expresar como {(Alaska,!), (Arizona,8), (California,53), (Colorado.7), (Florida. 25). (Dakota del Norte.l)}

SECC IÓN Al Fundón«

■gura 3

FVrsonj

Numero {»(«fónico

201

Uno de los conceptos más importantes en álgebra es el de f u n c ió n . Una función es un tipo especial de relación. Para entender la idea de una función, volvamos a observar la relación del ejemplo 1. Si preguntamos, "¿cuántos representantes tiene Alaska?”, punirás responder "1”. De hecho, cada entrada de e s ta d o corresponde a una sola salida de numero d e r e p r e s e n ta n te s . Consideremos una segunda relación donde tenemos una correspondencia entre cuatro personas y sus números telefónicos. Ver figura .V Observa que Coleen tie ne dos números telefónicos. Si te preguntan, "¿cuál es el número telefónico de Collccn?”. no puedes asignarle un único numero. Veamos otra relación. La figura 4 es una relación que muestra una correspondencia entre a n im a le s y su e s p e r a n z a de vida. Si te piden que determines la esperanza de vida de un perro, responderías "II artos". Si te piden que determines la esperanza de vida de un conejo, todos responderíamos "7 artos”. Figura 4 Esperanza de vida —

Ammal !

.

PljFfQ

<« 11

Cor>«|0 !___________

I

Observa que las relaciones presentadas en las figuras 2 y 4 tienen algo en común. ¿Qué es? Lo que tienen en común es que cada entrada corresponde exactamente a una salida. Esto nos lleva a la definición de fu n c ió n .

DEFINICIÓN

Sean X y >' dos conjuntos no vacíos.* Una fundón de A' a Y es una relación que asocia a cada elemento de A’ exactamente un elemento de Y . __j El conjunto A' se llama dominio de la función. Para cada elemento .v en .V. el ele mento y en >' se llama valor de la función en x o la imagen de r. El conjunto de todas las imágenes de los elementos en el dominio se llama rango de la función. Ver figura 5. Dado que puede haber elementos en V' que no estún en la imagen de alguna x en A', el rango de una función puede ser un subconjunto de Y . como se ve en la figura 5. No todas las relaciones entre dos conjuntos son funciones. El siguiente ejemplo muestra cómo determinar si una relación es una función.

EJEM PLO 2

Determinar si una relación representa una función Determina cuáles de las siguientes relaciones representan una función. Si la relación es función, determina su dominio y rango. (a) Ver figura 6. Para esta relación, el dominio representa el número de calorías en un emparedado de un restaurante de comida rápida y el rango representa el con tenido de grasa (en gramos).

Figura 6

Calorías

Grasa

/ u<-n/rr Página Web de cada compañía.

1

•Los conjuntos X y Y generalmente son conjuntos de números reales, lo cual nos da funciones reales. Los dos conjuntos también pueden ser conjuntos de números complejos y entonces hemos definido una función compleja. En su definición más amplia (gracias a Lejeune Dirichlet). X y Y pueden ser cualquier conjunto.

202

C A P ÍT U L O 3


(b) Ver figura 7. Para esta relación el dominio representa las gasolineras en Con dado Collier, Florida y el rango representa el precio por galón de la gavilína regular sin plomo en julio de 2010. (c) Ver figura 8. Para esta relación el dominio representa el pe*> (en quilates) de diamantes talla pera y el rango representa su precio íen dólares).

Figura 7 Gasolinera

Solución

(a) La relación en la figura 6 es una función debido a que cada elemento del dominio corresponde exactamente a un elemento del rango. El dominio de la función es {470, 670,630,540, 360) y el rango de la función es {31.40. 39. 29. 16). (b) La relación en la figura 7 es una función debido a que cada elemento del domi nio corresponde exactamente a un elemento del rango. El dominio de la función es {Mobil, Shell, Sunoco, 7-Eleven). El rango de la función es {2.69. 2.71. 2.72). Observa que es aceptable que más de un elemento del dominio corresponda al mismo elemento en el rango (Shell y 7-Eleven venden gasolina a S2.72 por galón). (c) La relación de la figura 8 no es una función debido a que cada elemento del do minio no corresponde exactamente a un elemento del rango. Si escogemos el dia mante de 0.71 quilates del dominio, no podemos asignarle un precio único. •

Resuelve ahora

r

r En palabras r Para una función, ninguna enr trada tiene más de una salida. r El dominio de una función es el conjunto de entradas; el rango re el conjunto de salidas.

EJEM PLO 3

Precio regular por galón

Figura 8 ! urntr. litado am fxrrmrvi de Diamond* .cam

el

p r o b l e m a

15

La idea detrás de una función es su capacidad para hacer predicciones. Si se conoce la entrada, podemos usar la función para determinar la salida. Con “no fun ciones" no tenemos esta capacidad para predecir. Observa de nuevo la figura 7. Las entradas son {410, 580, 540, 750, 600, 430). La correspondencia es n ú m e r o d e g r a m o s d e g r a s a y las salidas son (19, 29, 24. 33, 23). Si preguntas “¿cuántos gramos de grasa tiene un emparedado de 410 calorías?", podemos usar la correspondencia para con testar “19". Observa ahora la figura 8. Si te preguntan, “¿cuál es el precio de un dia mante de 0.71 quilates?”, no puedes dar una única respuesta debido a que tenemos dos salidas por una sola entrada "0.71". Por esta razón, la relación de la figura 8 no es una función. También podemos pensar en una función como un conjunto de pares ordenados (,v,y) en el que ningún par ordenado tiene el mismo primer elemento y el segundo elemento diferente. El conjunto de todos los primeros elementos x es el dominio de la función y el conjunto de todos los segundos elementos y es el rango. Cada elemen to x en el dominio corresponde exactamente a un elemento y en el rango.

Determinar si una relación representa una función Determina si cada relación representa una función. Si es una función, indica su do minio y rango. (a) {(1.4), (2,5), (3.6), (4.7)) (b) {(1,4). (2,4), (3.5). (6.10)) (c) {(-3,9), (-2.4), (0.0), (1.1). (-3,8))

S E C C IÓ N 3.1

Solución

Funciones

203

(a) Esta relación es una función debido a que no existen pares ordenados con el mis mo primer elemento y segundo elemento diferente. El dominio de esta función es (1,2,3,4} y su rango es (4,5,6,7). (b) Esta relación es una función debido a que no existen pares ordenados con el mismo primer elemento y segundos elementos diferentes. El dominio de esta función es (1,2,3,6} y el rango es (4,5,10). (c) Esta relación no es una función debido a que existen dos pares ordenados, (-3,9) y (-3,8), que tienen el mismo primer elemento y diferente segundo elemento. En el ejemplo 3 inciso (b), observa que 1 y 2 en el dominio tienen la misma ima gen en el rango. Esto no viola la definición de una función; dos primeros elementos diferentes pueden tener el mismo segundo elemento. Una violación de la definición ocurre cuando dos pares ordenados tienen el mismo primer elemento y diferente segundo elemento, como en el ejemplo 3 inciso (c).

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

19

Hasta ahora hemos mostrado cómo identificar cuando una relación es una fun ción para relaciones definidas por mapeos (ejemplo 2) y pares ordenados (ejemplo 3). Pero las relaciones también se pueden expresar como ecuaciones. A continuación analizaremos las circunstancias en las que las ecuaciones son funciones. Para determinar si una ecuación donde y depende de x es una función, gene ralmente lo más sencillo es resolver la ecuación para y . Si cualquier valor de x en el dominio corresponde a más de un valor de y , la ecuación no define una función; de otra forma, sí define una función.

EJEM PLO 4

Determinar si una ecuación es una función Determina si la ecuación y = 2 x - 5 define una función de x .

Solución

EJEM PLO 5

La ecuación nos dice que tomemos una entrada de x , la multipliquemos por 2 y le res temos 5. Para cada entrada x , estas operaciones dan una sola salida de y . Por ejemplo, si x = 1, entonces y = 2(1) - 5 = -3. Si x = 3, entonces y = 2(3) - 5 = 1. Por esta razón, la ecuación es una función.

Determinar si una ecuación es una función Determina si la ecuación x 2 +

Solución

y1=

1 define a y como función de x.

Para determinar si la ecuación x 2 + y 2 = 1, la cual define un círculo unitario, es una función, resolvemos la ecuación para y . x2 + y 2= 1 y2 = "1 - x 2 y =

± V l - x2

Para valores de x entre -1 y 1, obtenemos dos valores de y . Por ejemplo, si x = 0, entonces y = ±1, así que resultan dos salidas para la misma entrada. Esto quiere decir que la ecuación x 2 + y 2 - 1 no define una función.

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

33

2 Determina el valor de una función Generalmente las funciones se denotan por letras como / , F , g , G y otras. Si / es una función, entonces para cualquier número x en su dominio la imagen correspondiente en el rango se designa con el símbolo f ( x ) , que se lee como “/ de x " o como “/ en x". Nos referimos a f ( x ) como el valor de / en el número x\ f ( x ) es el número que resulta

204

C A P ÍT U L O 3


cuando se aplica la función / al valor dado de x; f ( x ) es la salida que corresponde a .r o la imagen de x ; / ( x ) no quiere decir “/ multiplicado por x ”. Por ejemplo J a función

dada en el ejemplo 4 se puede escribir como y

= f(x)

= 2 x -5. Entonces / (

2

) = ~ 2.

La figura 9 ilustra algunas otras funciones. Observa que en cada función, por cada x en el dominio existe un valor en el rango.

(a) f(x) = x 2

Domain

(c) Figura 10

(b) F(x) = 1

Range

Domain

g(x) = Vx-

Range

(d) G(x) = 3

A veces es útil pensar en una función / como una máquina que recibe como entra da un número del dominio, lo manipula y da un valor de salida. Ver figura 10. Las restricciones a esta máquina de entrada/salida son las siguientes:

Entrada de x

l

1. 2.

Solo acepta números del dominio de la función. Por cada entrada hay exactamente una salida (la cual se puede repetir para dife rentes entradas).

Para una función y = /(* ), la variable x se llama la variable independiente, debi do a que se le puede asignar cualquiera de los números permisibles del dominio. La variable y se llama variable dependiente, debido a que su valor depende de .t. Se puede usar cualquier símbolo para representar a las variables dependientes e independientes. Por ejemplo, si / es la f u n c ió n c ú b ic a , entonces / se puede escribir como /(*)= x 3 o f ( t ) = t3 o f ( z ) = z 3. Las tres funciones son lo mismo. Cada una nos dice que elevemos al cubo la variable independiente para obtener la salida. En la práctica, los símbolos que se usan para las variables dependiente e independiente se basan en el uso común, como usar la C para el costo en los negocios. La variable independiente se llama también el argumento de la función. El pen sar en la variable independiente como un argumento puede facilitar el encontrar el valor de la función. Por ejemplo, si / es la función definida por /(.v) = . r \ entonces / nos dice que elevemos el argumento al cubo. Por lo tanto /(2 ) quiere decir que ele vemos 2 al cubo, f ( a ) quiere decir que elevemos a al cubo y f ( x + h ) quiere decir que elevemos la cantidad x + h al cubo.

EJEM PLO 6

Encontrar los valores de una función Para la función / definida por f ( x )

= 2x2-

3x, evalúa

0 0 /(3 )

(b) f ( x ) + /( 3 )

(c) 3/(.r)

(d)/(-.r)

0 0 -/0 0

(0/(3*)

(g) /(* + 3)

(h )

f(x

+

h) - f ( x )

h*0 h

SECCIÓN 3.1 Fundones S o lu c ió n

205

( a ) S u s titu y e 3 p o r .t e n la e c u a c ió n p a ra f , f ( x ) = 2 t 2 - 3 a , p a ra o b te n e r / ( 3 ) = 2 (3 )2- 3 (3 ) = 1 8 - 9 = 9 L a im a g e n de 3 es 9. ( b ) f { x ) + / ( 3 ) = ( I r ’ - 3.v) + ( 9 ) = 2 r - 3 a + 9 ( c ) M u lt ip lic a la e c u a c ió n p a ra / p o r 3. 3 / (.v ) = 3 ( 2 r - 3.v) = 6 a 2 - 9 a ( d ) S u s titu y e - v p o r x e n la e c u a c ió n p a ra / y s im p lific a .

x) = 2 ( - .v ) : - 3 ( - a ) = Z r + 3 a

Observa aquí el uso de los paréntesis.

( e ) - / ( a ) = - ( 2 r - 3 a ) = - 2 v 2 + 3a ( f ) S u s titu y e 3 a p o r

a

e n la e c u a c ió n p a ra / y s im p lific a .

/ ( 3 a ) = 2 (3 a ) 2 - 3 (3 a ) = 2 (9 a ) 2 - 9 a = l& t 2 - 9 a (g ) S u s titu y e

a

+ 3 por

a

e n la e c u a c ió n p a ra / y s im p lific a .

/ ( .v + 3 ) = 2 ( a + 3 )2 - 3 ( a + 3 ) = 2 ( a 2 + 6a + 9 ) - 3a - 9 = 2 t 2 + 1 2 t + 18 - 3 a - 9 = Z r 2 + 9a + 9 ( h ) / ( a + h) - / (

a

) = [ 2 ( a + h ) 2 - 3 ( a + //)] -

h f{x + h)

[2 . a2 - 3 a ]

h

|

2(x + h)¿ - 3(x + h) 2 ( .r 2 + 2 x/i + /i2) - 3 a - 3 h — 2 x 2 + 3 a

h

=

=

Simplifica.

2 a 2 + 4 x h + 2 h 2 — 3/j - 2 a 2 ^

_ 4 a h + 2h 2 -

3h

Distribuye y combina términos semejantes.


h _ h {4a + 2 h - 3 )

=

Factoriza la h.

h Elimina las h dividiéndolas.

= 4 a + 2/ j — 3

O b se r v a e n e s te e je m p lo q u e / ( a L a e x p r e s i ó n e n e l in c is o

(h) s e

+ 3) ¥=f (x)

lla m a

+

^_J

/( 3 ) , / ( - a ) # - / ( a ) y 3 / ( a ) ^ / ( 3 a ).

cociente de diferencias d e / ,

u n a e x p r e s ió n

im p o r t a n t e e n c á l c u lo .

Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

3 9

y

7 5

L a m a y o r ía d e la s c a l c u la d o r a s t i e n e n t e c la s e s p e c i a l e s q u e t e p e r m it e n e n c o n t r a r e l v a lo r d e a lg u n a s f u n c i o n e s q u e s e u s a n f r e c u e n t e m e n t e . P o r e j e m p l o , d e b e s p o d e r e n c o n t r a r la f u n c ió n c u a d r á t ic a / ( a ) = a 2, la f u n c ió n d e r a íz c u a d r a d a / ( a ) = V a , la f u n c ió n r e c íp r o c a / ( a ) = — = a -1 y m u c h a s o t r a s q u e d is c u t ir e m o s m á s a d e la n t e e n e s t e lib r o ( c o m o e l ln a y lo g a ). V e r if ic a e n tu c a lc u la d o r a lo s r e s u lt a d o s d e l e j e m p lo 7 q u e s e d a a c o n t in u a c i ó n .

206

C A P ÍT U L O 3


Determinar valores de una función en una calculadora

EJEM PLO 7

(a)

f ( x ) = x2

/ ( 1.234) = 1.2342 = 1.522756

(b)

F ( x ) = ]-

F(

(c)

g(x) = V x

1

0.8103727715 1.234 g( 1.234) = VË234 « 1.110855526 1.234) =

COMENTARIO Las calculadoras gráficas se pueden usar para evaluar cualquier función que quieras La figura 11 muestra el resultado obtenido en el ejemplo 6 Inciso (a ) por una calculadora gráfica Tl-d¿ Plus con la función a ser evaluada, f(x) = 2x* - 3 x en Yj.

Figura 11

Y i (3 >

Pioti Pioti Plot3 W iB 2X *-3 X nY2 = nY3 = nY h= s Y e= sYfi = nY? =

9

Forma implícita de una función

0

COMENTARIO La forma explícita de una función es la forma que requiere una calculadora gráfica.

En general, cuando una función / está definida por una ecuación en x y en y , decimos que la función / se da de forma implícita. Si es posible resolver la ecuación para y en términos de x, entonces escribimos y = f ( x ) y decimos que la función se da de forma explícita. Por ejemplo,

Forma implícita

Forma explícita

3jc + x2 -

y y

xy

y -

5

y = 6

~

f ( x) =

~3x

+

5

= /(* ) - *2 - 6

= 4

/ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- '

RESUM EN

Hechos importantes acerca de funciones

(a) Para cada x en el dominio de una función / , existe exactamente una imagen f ( x ) en el rango, sin embargo, un elemento del rango puede ser el resultado de más de una x en el dominio. (b) / es el símbolo que usamos para denotar a la función. Es el símbolo de la ecuación (regla) que se usa para obtener a partir de una x en el dominio, una f ( x ) en el rango. (c) S i y = f ( x) , entonces x es la variable independiente o argumento de / , y y es la variable dependiente o el valor de / en x. v ________________________________________________________________________________________________________________________________________^

3 Dominio de una función definida por una ecuación Frecuentemente el dominio de una función / no está especificado, en cambio se da solamente la ecuación que define la función. En esos casos acordamos que el dominio d e / es el conjunto más grande de números reales para los cuales el valor de f ( x ) es un número real. El dominio de una función / es el mismo que el dominio de la variable .v en la expresión f ( x ) .

EJEM PLO 8

Encontrar el dominio de una función Encuentra el dominio de cada una de las siguientes funciones: 3.t (a) f ( x ) - .v2 + 5.v (b) g ( x ) = .y2 - 4 (c)

h(t) =

V 4 - 3/

(d) F(.v) =

V 3. y + 12 .Y - 5

S E C C IÓ N 3.1

■yo

Solución En palabras

'

r El dominio g que encontramos en C el ejemplo &b es {xlx ^ -2 , x # 2}. r

E s ta notación se lee, “el dominio de la función g es el conjunto de todos los números reales x tales que x es diferente de - 2 y x es diferente de 2.”

Funciones

207

(a) La función nos dice que elevemos un número al cuadrado y después le sumemos cinco veces el número. Como estas operaciones se pueden realizar con cualquier número real, concluimos que el dominio de / es el conjunto de los números reales. (b) La función g nos dice que dividamos 3jc entre x 2- 4. Como la división entre 0 no está definida, el denominador x 2 - 4 no puede ser 0, entonces x no puede ser igual a - 2 o 2. El dominio de la función g es { jc|jc^ -2 , x ^ 2}. (c) La función h nos dice que saquemos la raíz cuadrada de 4 - 3/. Pero solo los nú meros no negativos tienen raíces cuadradas reales, así que la expresión bajo la raíz cuadrada (el radicando) debe ser no negativa (mayor o igual a cero). Esto requiere que 4 - 3í > 0 -3 í > -4 t

4 =£ T

{'M}°

El dominio de h e s .

el intervalo ( —oo —

(d) La función Fnos dice que saquemos la raíz cuadrada de 3jc + 12 y dividamos este resultado entre x - 5. Esto requiere que 3 x + 12 > 0, así que x > -4 y también que x - 5 9* 0, entonces x ^ 5. Si combinamos estas dos restricciones, el dominio de F es { jc|jc5 :-4 , x ^ 5 } .

Para las funciones que estudiaremos en teste libro, los siguientes pasos pueden ser útiles para encontrar el dominio de las funciones definidas por una ecuación y cuyo dominio es un subconjunto de los números reales.

Encontrar el dom inio de una función definida por su ecuación 1. Empieza con el dominio como el conjunto de los números reales. 2. Si la ecuación tiene denominador, excluye cualquier número que haga que el denominador sea igual a cero. 3. Si la ecuación tienen un radical de índice par, excluye cualquier número que haga que la expresión dentro del radical sea negativa.

-Resuelve ahora

el p r o b l e m a

51

Si x está en el dominio de una función / , decimos que / está definida en x o que / ( jc) existe. Si x no está en el dominio de / , decimos que / no está definida en je o X

que / ( jc) no existe. Por ejemplo, si / ( jc) = —r-----, entonces /(O ) existe, pero / ( l ) y jr — 1

/(-1 ) no existen. (¿Entiendes por qué?) No hemos dicho mucho acerca de determinar el rango de una función. Dire mos más sobre esto cuando veamos la gráfica de una función en la siguiente sección. Cuando una función está definida por una ecuación, puede ser difícil encontrar el rango. Por lo tanto, en general será suficiente para nosotros con determinar única mente el dominio de la función cuando la función esté definida por una ecuación. Expresaremos el dominio de una función mediante el uso de desigualdades, notación de intervalos, notación de conjuntos o palabras, lo que sea más conveniente. Cuando usamos funciones en problemas aplicados, el dominio puede estar res tringido por consideraciones físicas o geométricas. Por ejemplo, el dominio de la fun ción / definida por / ( jc) = jc2es el conjunto de todos los números reales. Sin embargo, si / se usa para obtener el área de un cuadrado cuando se conoce la longitud jc de un lado, entonces debemos restringir el dominio de / a los números reales positivos, debido a que la longitud de un lado nunca puede ser 0 o negativa.

208

C A P ÍT U L O 3


Determinar el dominio de una aplicación

EJEM PLO 9

Expresa el área de un círculo como función de su radio. Determina el dominio.

Solución

Ver figura 12. La fórmula para el área A de un círculo de radio r e s A = irr2. Si usamos r para representar la variable independiente y A para representar la variable depen diente, la función que expresa esta relación es A{r)

= 7rr2

Aquí el dominio es {r\r > 0}. (¿Puedes ver por qué?)

.

Observa en la solución del ejemplo 9 que el símbolo A se usa de dos formas: se usa para nombrar la función y para representar la variable dependiente. Este doble uso es común en aplicaciones y no debe causar dificultad alguna.

Resuelve ahora

EL

89

PROBLEMA

4 Forma la suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones Ahora introducimos algunas operaciones con funciones. Veremos que las funciones, como los números, se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Por ejemplo, si f(x) = x2 + 9 y g(x) = 3x + 5, entonces f(x)

La nueva función y

=

+

g(x)

=

(x 2 + 9)

+

(3jc+ 5) = x2 + 3x + 14

x2 + 3x + 14 se llama la función s u m a f + g. De forma similar,

f(x) -g{x) - (x2 + 9)(3x + 5) = 3x3 + 5jc2 + 27x + 45

La nueva función y = 3x3 + 5x2 + 27x + 45 se llama la función producto f-g. A continuación se dan las definiciones generales.

DEFINICION r r c r r r

En palabras Recuerda que el eímbolo D representa la intersección. Quiere decir que debes encontrar los elementos comunes en ambos conjuntos.

DEFINICION

Si / y g son funciones: La s u m a / + g se define como (/ +

g)(x) = f ( x) + g(x)

El dominio de / + g consiste en los números x que están en el dominio de ambas. f y g. Esto es, el dominio de / + g = dominio de / fl el dominio de g. La d i f e r e n c i a f - g es la función definida por ( f - g)(x) = f( x) - g(x)

El dominio de f - g consiste en los números .v que están en el dominio de ambas, f y g. Esto es, el dominio de / - g = dominio de / fl el dominio de g.

DEFINICION

El p r o d u c t o / * g es la función definida por ( f mg)(x) =f ( x) *g( x)

-----------------------J El dominio de f - g consiste en los números x que están en el dominio de ambas. / y g. Esto es, el dominio de f - g = dominio de / H dominio de g.

t S E C C IÓ N 3.1

Funciones

209

%

DEFINICIÓN

/

El cociente - es la función definida por g

/(* )

g( x ) * o

g(x)

f

El dominio de —consiste en los números x para los cuales g(jc) ^ 0 y que están en £ el dominio de ambas, / y g. Esto es, /

el dominio de

EJEM PLO 10

= {.r |g(x) ^ 0} f l dominio de / f l dominio de g.

o

Operaciones con funciones Sean / y g dos funciones definidas como

f(x) =

1

y

g(x) = ov” /

x + 2 '

x —

1

Determina las siguientes operaciones y el dominio en cada caso.

(t>) (/ - g)(*)

(a) ( / + g)(x)

Solución

( c ) (f ' g ) ( x )

El dominio de / es {jc| jc ^ —2} y el dominio de g es {x | jc ^ 1}. (a) ( / + g ) M =

f(x)

+ g(x) =

— 1)

2)(x

+

X x -

jc( jc

1

(jc +

~ ~ + 2

x +

( a: +

1

+ 2)

x2 + 3x — 1

2)(x —

1)

(x

+

2)(x

— 1)

El dominio de / + g consiste en los números x que están en el dominio de / y en el dominio de g. Entonces el dominio d e f + g e s { x \ x ^ - 2 , x ^ 1}. (b) ( / - g ) ( x ) = f ( x ) - g(x) =

(x

1 x + 2

x - 1 + 2)( jc — 1)

x x(x

(x +

—1 + 2)

2)(x

— 1)

-(x2 + x

+ 1)

(x + 2)(x

— 1)

El dominio de f - g consiste en los números x que están en el dominio de / y en el dominio de g. Entonces el dominio de f - g es {jc|jc^ -2 , x ¥= 1}.

(c) ( f ' g) ( x)

=

/(jf)-g (j 0 =

1 x + 2

x — 1 _

(x + 2)(x —

1)

El dominio de f - g consiste en los números x que están en el dominio de / y en el dominio de g. Entonces el dominio de f - g es { x \ x ^ - 2 , x # 1}.

(d)f £ V ) = / w g(x)

^

i

x -i

x + 2 x -

x -i + 2)

x(x

1

El dominio de L consiste en los números x para los que g(x) # 0 y que están en g

el dominio de / y en el dominio de g. Como g ( x ) = 0 cuando x = 0, excluimos el f 0 al igual que el -2 y 1 del dominio. El dominio de —es {x |jc # -2, x ^ 0, x # 1}. g

-Resuelve ahora

el p r o b l e m a

63

210

C A P ÍT U L O 3

Fundones y sus gráfica»

Hn cálculo a veces es útil considerar una función com plicada com o la sum a, dife rencia, produelo o cociente de funciones más simples. Por ejemplo.

F{x) => x 12 + \ / i es la suma de f [ x) = x} y g( x) - V x . I H X

\

m

’

=

** ~ J- es el cociente de f ( x x

)=

x1 - 1 y

g (x ) = x 7 *

1.

2+ I

R ESUM EN Una relación entre dos conjuntos de núm eros reales de tal forma que cada x en el primer conjunto, el dominio, tiene exactamente un núm ero y correspondiente en

Función

el segundo conjunto. F.I rango es el conjunto de valores y de la función que son las imágenes de los valores

x en el dominio. Una función f puede estar definida im plícitamente por una ecuación que inclusa x y y, o explícitamente si se escribe y = f(x). Dom inio no espccificudo

Si una función f está definida por una ecuación y no tiene dom inio especificado, en tonces el dominio se considerará como el conjunto más grande de núm eros reales para los cuales la ecuación define un número real.

Notación de funciones

y

= /(*)

/ es un símbolo para la función. x es la variable independiente o argumento, y es la variable dependiente. a ) es el valor de la función en x. o la imagen de x.

/(

3.1 Evalúa tu en ten d im ien to "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al filial de estas ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. La d esig u a ld a d - 1 <

x<

3 se p u e d e escrib ir e n n o ta c ió n d e

in terv a lo s c o m o __________ ( pp. 120 - 1 2 1 ) 2. Si x = - 2 , el v alor d e la e x p r e sió n 3.v 2 - 5.v +

3. El dominio de la variable en la expresión ----- es 1

---------------- (P P . 2 0 - 2 3 ) e s __________

(pp. 2 0 - 2 3 )

4

4. Resuelve la desigualdad: 3 - 2* > 5. Dibuja la gráfica del conjunto solución. (pp I23-126>


Si / e s una fu n ció n d e fin id a p o r la e c u a c ió n y = / ( . i ) , e n to n c e s

x

se llam a la v a r i a b le __________ y y e s la v a ria b le

6. El co n ju n to d e to d a s las im á g e n e s d e e le m e n to s e n el d o m i n io d e una fu n ció n se lla m a __________ 7. Si el d o m in io d e / so n to d o s lo s n ú m er o s re a le s en e l in te r v a lo [0 ,7 ] y el d o m in io d e y so n to d o s lo s n ú m e r o s r e a le s en el in terv a lo [ - 2 ,5 ] , el d o m in io d e / + ros rea les en el in t e r v a lo __________

g(x) ____ 0 q u e

g so n

to d o s lo s n ú m e

8 está n e n el d o m in io d e a m b a s ____ y

9 . Si /( .v ) = .i + 1 y g(jr) =

10. 11.


14.


x\

e n t o n c e s __________ = i ' - ( i - 1)

Toda relación c-s una función V e rd a d e ro o f a l s o El dominio de ( / «cMi) cv>nsistc en k*s números ,vque están en el dominio de ambas/y g. 12. V e rd a d e ro o f a l s o La s anable independiente a seccs se conoce como el argumento de la función. 13. V e rd a d e ro o f a l s o Si no se especifica el dominio para la función /. entonces se considera que el dominio de f es el conjunto de los números reales.

es {.v|.v * *2}.

El dominio de la función

= —--- 4

S E C C IÓ N 3.1

211

Funciones

Ejercicios En los problemas 15-26, determina si cada relación representa una función. Indica el dominio y rango de cada función. \

15.

Persona

Cumpleaños

17.

Horas trabajadas

16.

Padre

18.

Salario

Hija

Nivel de estudios

Ingreso promedio

{ ( 2 , 6 ), ( - 3 , 6 ), (4 , 9 ) , ( 2 , 1 0 ) }

20.

{ ( - 2 , 5 ) , ( - 1 , 3 ) , (3 , 7 ) , ( 4 , 1 2 ) }

21.

{ ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , (3 , 3 ) , ( 4 , 3 ) }

22.

{ ( 0 , - 2 ) , ( 1 ,3 ) , ( 2 ,3 ) , ( 3 ,7 ) }

23.

{ ( - 2 , 4 ) , ( - 2 , 6 ), ( 0 , 3 ) , (3 , 7 ) }

24.

{ ( - 4 , 4 ) , ( - 3 , 3 ), ( - 2 , 2 ) , ( - 1 , 1 ) , ( - 4 , 0 ) }

25.

{ ( - 2 , 4 ) , ( - 1 , 1 ) , ( 0 ,0 ) , ( 1 ,1 ) }

\l9 .

26.

{ ( - 2 , 1 6 ) , ( - 1 , 4 ), ( 0 ,3 ) , ( 1 ,4 ) }

En los problemas 27-38, determina si la ecuación define a y como una función de x. 21. y = x2

28. y

31. y2 = 4 —x2

32. y = ± V í - 2x

35. y = 2x2 - 3 x + 4

36. y

=

x2

30. y

29. y = 1

34. x + y2 = 1

\,3 3 . x =

3x - í

37. 2xl

* + 2

= |*|

+ 3 / = 1

38. *2

(f) fi *

(g) f i 2*)

4y2 = 1

-

En los problemas 39-46, determina lo siguiente para cada función: (a) / ( 0) \

(b) / ( l )

3 9 . / ( * ) = 3JC2 +

(c)f(-í)

2x

40.

- 4

(d)f(-x) / ( * ) = - 2 *2 + * -

44. / ( * ) = V * 2 + *

43- / ( * ) = M + 4

(e)-f(x) 1

41. f(x)

=

45. /( * ) =

+ 1)

x2 + 1 2x + 1 3x - 5

(h) f{x

42. /( * ) =

+

h)

x2 - 1 * + 4

1

46. / ( * )

(x + 2Y

En los problemas 47-62, determina el dominio de cada función. 41. \ s i .

/(* ) = -5 * + 4

48. f{x) = x2 + 2

g (x ) =

52. h(x) =

x2 -

16

2x *2 - 4

56. G(*) = V i - *

55. h{x) = V 3 * - 12

49. f(x)

=

53. E{x)

=

57. f(x)

=

x2 + 1

x

—2

*

+ *

3

50. f(x) =

x +4 * - 4x x

,

54. G(x) = —3-------58. f{x)

=

62. h(z)

=

V* - 9 59. p{x) =

* -

60. q { x ) = V - x - 2

1

/ o í problemas 63-72, para las funciones dadas f

=

Vt - 4 3r - 21

(b ) ( f - g ) ( x )

(c) (f-g)(x)

( d ) ( ^ j ( x)

(e)(f + g)(.3 )

( f ) i f~g)i 4 )

( g ) i f ’g)i 2 )

W (0 (!)*

/( * ) = 3* + 4;

65. / ( * ) = * -

1;

g (* ) =

2x

g (jc) = 2 *2

-

3

Vx - 4 Vz + 3 z - 2

y g, determina lo siguiente. Para los incisos (a)-(d), determina también el dominio.

(a ) i f + g)(x)

\.6 3 .

l

61. P(t)

x2

x2 + 1

6 4 . / ( * ) = 2 * + 1;

66. / ( * ) = 2 *2 + 3;

g (* ) = 3* - 2 g (* ) =

4x3 +

1

212

C A P ÍT U L O 3

67. f ( x) =

V *;

69. f ( x)

1

s

71. f(x) 73.

=


68.

g{x) = 3 x - 5

2x +

= —— 3x -

3

, ,

g(x) =

2

4x 3x - 2

D a d a / ( * ) = 3* + 1 y ( / + g ) ( * ) = 6 - ^ * , d eter m in a la fu n ción

g(x) = x

= |* |;

70. f(x) =

g(x) = ^

+

f(x)

72,

/ ( * ) = V * + 1;

74.

D a d a /(* )

75.

f{x)

79. f(x)

j?(*) = \

-

determina la fu n c ió n g.

g.

£ En los problemas 75-82, determina el cociente de diferencias de f, es decir, determina Asegúrate de simplificar. \

g(x) = V4~-~*

V x ^ l;

76. f(x)

4x + 3

=

=

80. /( * ) =

= *

-3 * + 1 1

x + 3

f ( x + h) - f(x) -------------- ------------ ,

h * 0 , para cada función.

77. /( * ) = x2 - x + 4

78. f(x) = 3x2 - 2 x + 6

81. /(* ) = V *

82. /(* ) = V * + 1

[Sugerencia: R a c io n a liz a el n u m er a d o r .]

Aplicaciones y extensiones f(x) = 2x3+ Ax2+ 4 * -5 y f (2)- 5, ¿cu ál e s el v a lo r d e .4 ? 84. Si / ( * ) = 3x2- Bx + 4 y / ( - 1 ) = 12, ¿cu ál e s el v a lo r d e fí? 83.

N d e u n id a d e s h a b ita c io n a le s (e n m i n c u a r to s, d o n d e r e s un e n te r o y 2 ^ r s 9.

re p r e se n ta el n ú m e r o

Si

llo n e s ) q u e tie n e n

(a ) Id en tific a las v a ria b le s d e p e n d ie n te e in d e p e n d ie n te .

85.

.

86

87.

Si / ( * ) =

j y /(O ) = 2, ¿cu ál e s e l v a lo r d e

Al

(b ) E v a lú a

Si / ( * ) = ^

Si / ( * ) =

^ ^ y /(2 ) =

¿cu ál e s e l v a lo r d e

B2

95.

2X — A x_ 2

88 .

A

Geometría

y /(^ ) =

¿cu ál e s e l v a lo r d e

Al

¿E n

Efecto de la gravedad en la Tierra

H(x)

Geometría

E x p resa el área

A

E x p re sa e l á rea

Construcción de funciones Construcción de funciones

(b ) ¿ C u á n d o e stá a 15 m e tr o s d e altu ra la p ied ra ? ¿ C u á n d o

A

e s tá a 10 m e tr o s? ¿ C u á n d o e stá a 5 m etro s? (c )

d e un triá n g u lo re c tá n g u lo

E x p re sa e l sa la r io n e to

G

de

96.

T iffa n y , una v e n d e d o r a p or

¿ C u á n d o lle g a la p ied ra al su e lo ?

Efecto de la gravedad en Júpiter

Si u n a p ied ra c a e d e sd e

u n a altu ra d e 2 0 m e tr o s e n e l p la n e ta J ú p iter, su altura

H

(e n m e tr o s) al tran scu rrir * s e g u n d o s e s a p ro x im a d a m en te //( * ) = 20 - 1 3 * 2 (a ) ¿ C u á l e s la altu ra d e la p ied ra c u a n d o * = 1 se g u n d o ? ¿ C u a n d o * = 1.1 se g u n d o s? ¿ C u a n d o * = 1.2 se g u n d o s?

artícu lo v en d id o . E x p resa su sa la rio n e to G c o m o fu n ció n d el n ú m ero d e a rtícu lo s v e n d id o s *.

(b ) ¿ C u á n d o está a 15 m e tr o s d e altura la p ied ra ? ¿ C u á n d o

Población como función de la edad

(c )

P(a) = 0 .0 1 5 a 2-

La fu n ció n

4 .9 6 2 a + 2 9 0 .5 8 0

R ep re sen ta la p o b la c ió n P (e n m illo n e s) d e e s ta d o u n id e n se s q u e tien en a o m ás a ñ o s d e ed a d . (a ) Id en tifica las va ria b le s d e p e n d ie n te e in d e p e n d ie n te . (b ) E v a lú a P (2 0 ). P ro p o rc io n a una e x p lic a c ió n v er b a l d el sig n ifica d o d e P ( 20 ). (c )

94.

= 2 0 - 4 .9 .r

¿ C u a n d o * = 1.3 se g u n d o s?

co m isió n , gan a $100 c o m o sa la rio b a se m ás $10 p o r ca d a

93.

m etro s)

d e un re c tá n g u lo c o m o fu n

una p erso n a q u e gan a $10 p or h ora c o m o fu n ció n d el n ú m e ro d e h oras trabajad as *.

92.

H (e n

¿ C u a n d o ,r = 1.1 se g u n d o s? ¿ C u a n d o , t = 1.2 se g u n d o s?

y fi?

isó s c e le s c o m o una fu n ció n d e la lo n g itu d * d e u n o d e su s la d o s igu ales.

91.

Si una p ied ra c a e d e sd e

(a ) ¿ C u á l e s la altura d e la p ied ra c u a n d o .r = 1 se g u n d o ?

ció n d e su lo n g itu d * , si la lo n g itu d d el re c tá n g u lo e s el d o b le d e su an ch o.

90.

N( 3 ).

al transcurrir * s e g u n d o s e s a p r o x im a d a m e n te

y / ( l ) n o e s tá d e fin id a , ¿ cu á le s so n lo s v a lo res d e

P r o p o r c io n a u na e x p lic a c ió n v erb a l d el

u n a altu ra d e 2 0 m e tr o s a la T ierra , la altura

d ó n d e n o está d efin id a / ?

\8 9 .

N( 3 ).

sig n ific a d o d e

E va lú a P (0 ). P r o p o r c io n a u na e x p lic a c ió n v er b a l d el sig n ifica d o d e P{ 0 ).

Número de cuartos N(r)

La fu n ció n

= - 1 . 4 4 r + 1 4 .5 2 r - 14.96

e s tá a 10 m e tr o s? ¿ C u á n d o e stá a 5 m etro s? ¿ C u á n d o lle g a la p ied ra al su e lo ?

S E C C IÓ N 3.1

fj.

‘Casto de viaje transatlántico

U n B o e in g 7 4 7 cru za el

HM). Crímenes

C

V(x) re p r esen ta el n ú m er o d e crí x y P(x) rep resen ta el p ro p ied a d c o m e tid o s en el a ñ o x.

m e n e s v io le n to s c o m e tid o s e n el a ñ o

O c é a n o A tlá n tic o (31XX) m illa s) c o n u n a v e lo c id a d a é r e a d e 5 0 0 m illa s p or h ora. E l c o s to

C o n sid e ra q u e

213

Funciones

n ú m er o d e c r ím e n e s a la

(e n d ó la r e s) p o r p a sa je r o

D e te r m in a una fu n ció n /'q u e re p r e se n te e l total co m b in a d o

e s tá d a d o por C (.v ) = 100 +

x

lo

d e c r ím e n e s v io le n to s y c r ím e n e s a la p ro p ied a d en el a ñ o .r.

36,(XX) + -

101. Cuidud» de la salud

C o n sid e r a q u e

P(x) r e p r esen ta

el p o r

c e n ta je d e in g r e so s q u e se g a sta e n c u id a d o s a la sa lu d en el d o n d e .v e s la v e lo c id a d e n tierra (v e lo c id a d a é r e a ± v ie n to ).

año

(a ) ¿ C u á l e s e l c o s to p o r p a sa je r o p ara c o n d ic io n e s sin

una fu n c ió n / / q u e r e p r e s e n te lo s g a sto s to ta le s en cu id a d o

e /(.v) r e p r e se n ta e l in g r e so e n e l a ñ o .v. D e te r m in a

a la sa lu d e n el a ñ o .v.

v ie n to ? (b ) ¿ C u á l e s e l c o s to p o r p a sa je r o c o n un v ie n to e n co n tra

(c )

x

102. Impuestos


x a n te s

r e p r e se n ta el in g r e so d e un

¿ C u á l e s e l c o s to p or p a sa je r o c o n un v ie n to d e c o la d e

lo s im p u e s to s d e e sa p e r so n a en e l a ñ o .v. D e te r m in a una fu n ció n

(d ) ¿C u ál e s e l c o s to p or p a sa je r o c o n u n v ie n to e n co n tra d e 100 m illa s p o r h ora?

98. Area de sección transversal

E l á rea d e la s e c c ió n tra n sv er

A(x)

q u e r e p r e s e n te lo s in g r e so s n e to s to ta le s d e la

x.

103. Función de ganancias C o n sid e r a q u e la g a n a n cia R d ó la r e s d e v e n d e r x te lé fo n o s c e lu la r e s, e n c e n te n a s,

en

R(x) = - 1 . 2 r

+

220.V.

es

E l c o s to C , en d ó la r e s, d e v e n d e r .t

te lé fo n o s c e lu la r e s e s C (x ) = 0 .0 5 x ' - 2 x 2 + 6 5 x + 500.

= 4 . v v l - .v: , d o n d e .v r e p r e s e n

(a ) D e te r m in a la fu n ció n d e g a n a n c ia s,

ta la lo n g itu d , en p ies, d e la m itad d e la b a se d e la viga. V e r

P(x) = R(x) - C(x).

(b ) D e te r m in a la g a n a n c ia si .r = 1500 te lé fo n o s ce lu la r e s

figura. D ete r m in a e l área d e la se c c ió n tran sversal d e la viga

v e n d id o s.

si la lon gitu d d e la m itad d e la b a se d e la viga e s d e la sig u ie n (c )

te form a:

In te rp re ta

P( 15).

104. Función de ganancias

(a ) U n te r c io d e un p ie.

re p r esen ta

p e r so n a (in g r e so s d e sp u é s d e p agar im p u e s to s) e n e l a ñ o

sal d e u n a v ig a co r ta d a d e un tr o n c o d e 1 p ie d e ra d io está d a d a p or la fu n ció n

N

d e lo s im p u e s to s y

T(x)

in d iv id u o al a ñ o

100 m illa s p or h ora?

d ó la r e s, d e v e n d e r (b ) La m itad d e un p ie. (c)

l(x)

d e 5 0 m illa s p o r h ora?

x

en d ó la r e s, d e v e n d e r

D o s te r c io s d e un p ie.

C o n sid e r a q u e la g a n a n cia R , en r e lo je s e s

x r e lo je s

R(x) =

(a ) D e te r m in a la fu n ción d e la ga n a n cia , (b ) D e te r m in a la gan a n cia si

4(x) = 4 x \ / l - x 2

(c)

3 0 x . E l c o s to C,

e s C(.v) = O .lx 2 +

x = 30

P(x) =

Ix + 400. R(x) - C (.t).

re lo jes v en d id o s.

In terp reta P (3 0 ).

105. A lg u n a s

fu n c io n e s

f(a + b)

=

f(a)

+

/

f(b)

tie n e n

la

p r o p ie d a d

de

para cu a lq u ie r n ú m e r o real

que

a y b.

¿ C u á le s d e las sig u ie n te s fu n c io n e s tie n e n esta p ro p ied a d ?

99.

1

Economía

La

tasa de participación e s e l n ú m e r o

(a )

h(x) = Ix

(b ) g ( x ) = x 2

(c )

F(x)

(d )

= 5 jc -2

G(x) =

1

de p erso

n as d e la fu erza lab oral d iv id id a e n tr e la p o b la c ió n civ il ( e x c lu y e n d o m ilita re s). S e a e n el a ñ o

x y P(x)

L(x) e l

ta m a ñ o d e la fu erza lab oral

la p o b la c ió n civ il e n e l a ñ o

x.

D e te r m in a

u na fu n ció n q u e r e p r e s e n te la tasa d e p a rticip a c ió n fu n ció n d e

R com o

x.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 106. ¿ S on las f u n c i o n e s / ( x ) =

x-

1y

g(x)

—1 = -------- — lo m ism o ?

108. E n cu en tra una fu n ció n

x

E x p lica .

H q u e m u ltip liq u e un n ú m e r o x p or 3, x y d ivid a el resu ltad o en tre tu edad.

d e sp u é s reste el c u b o d e

107. In v estig a c u á n d o , h istó r ic a m e n te , a p a r e c ió p o r p rim era v e z e l u so d e la n o ta c ió n d e fu n c io n e s

y - f(x).

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?'

i. (-13)

2.21.5

3 . { jc | jc =5^—4}

4. {x\x <

- ! } - . ----- f-1

214

C A P ÍT U L O 3


3.2 Gráfica de una función P

r e p a r a c ió n

•

\

para

esta

s e c c ió n

A n te s d e e m p e z a r , r e p a s a l o s ig u ie n te :

Gráficas d e ecuaciones (se c c ió n 2.2, pp. 1 5 7 -1 5 9 )

•

I n te r se c c io n e s (s e c c ió n 2 ,2 , pp. 159-1 6 0 )

Resuelve ahora los problemas d e la sección "¿Estás listo?" d e la página 218.

OBJETIVOS 1 Identificar la gráfica de una función (p. 214) 2 Obtener información a partir de o sobre una gráfica o función fp. 215)

En aplicaciones, una gráfica frecuentemente demuestra con mayor claridad la rela ción entre dos variables de lo que lo haría una ecuación o una tabla. Por ejemplo, la tabla 1 muestra el precio promedio de la gasolina en una gasolinera particular en Texas (para los años 19X0-2(X)9 ajustada por inflación, basada en dólares de 2(MPi). Si trazamos estos datos y luego conectamos los puntos, obtenemos la figura 13. Tabla 1

F ig u ra n

Año

Precio

1980

3.41

1981 1982

3.26 3.15

1983 1984

2.51

1985

Precio

Año

Precio

1990 1991

2.25

2000

1.85

1.90

2001

1.40

1992

1.82

2002

1.86

1993 1994

1.70

1.79

1.85

2003 2004

1995

1.68

2005

1.87

2006 2007

2.62

2008

2.10

2009

2.45

Año

2.51 2.46

1986 1987

1.63 1.90

1996 1997

1988

1.77

1998

1.65 1.50

1989

1.83

1999

1.73

Precio promedio de la venta de gasolina (dólares de 2008)

2.13 2.60 3.29

Fílenle: http://www.randomuseless.info/gnsprice/gaspricc.hlml

En la gráfica podemos ver que el precio de la gasolina (ajustado por inflación) cayó de 19X0 a 19X6 y subió rápidamente de 2003 a 2007. La gráfica también muestra que el precio más bajo ocurrió en 2001. Adquirir información como ésta a partir de una ecuación requiere hacer ciertos cálculos. Observa de nuevo la figura 13. La gráfica muestra que para cada fecha en el eje horizontal existe un solo precio en el eje vertical. La gráfica representa una función, aunque la regla exacta para ir de fecha a precio no se da. Cuando una función está definida por una ecuación en x y v. la gráfica de la fun ción es la gráfica de la ecuación, es decir, el conjunto de puntos (x.v) en el plano y\ que satisface la ecuación.

Identificación de la gráfica de una función r En palabras r Si cualquier recta vertical in-

^ tersecta a una gráfica en más de un punto, la gráfica no es la

r gráfica de una función. TEO REM A

No toda colección de puntos en el plano .yv representa la gráfica de una función. Recuerda, para que sea una función, cada número .v en el dominio tiene exactamente una imagen y en el rango. Esto quiere decir que la gráfica de una función no puede tener dos puntos con la misma coordenada .v y diferente coordenada y. Por lo tanto, la gráfica de una función debe satisfacer la siguiente prueba de la recia vertical. P ru e b a d e la re cta v e rtic a l

Un conjunto de puntos en el plano jry es la gráfica de una función si y solo si toda recta vertical intersecta a la gráfica en un punto a lo más. __j

S E C C IÓ N 3.2

EJEM PLO 1

215


Identificación de la gráfica de una función ¿Cuál de las gráficas de la figura 14 son gráficas de funciones?

Figura 14 y 4

; /

y3 ■ !

j l

_____

_J

f

^ H v í)

f

-4

3*

-3

(a) y = x2

Solución

f

.i i i

4

x

yj(1, - 1 ) I

4M

~3

6 x

i

h

*

----

-* !i i

fi i i

(d) x 2 + y 2 = 1

(c) x = y 2

(b) y = x 3

-1V

Las gráficas en la figura 14(a) y (b) son gráficas de funciones debido a que cada línea vertical intersecta a cada gráfica en a lo más un punto. Las gráficas en la figura 14(c) y (d) no son gráficas de funciones, debido a que hay una recta vertical que intersecta a cada gráfica en más de un punto. Observa que en la figura 14(c) la entrada 1 co rresponde a dos salidas, -1 y 1. Es por esto que la gráfica no representa una función.

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

15

2 Obtener información a partir de o sobre una gráfica de una función Si ( x , y ) es un punto en la gráfica de una función / , entonces y es el valor de / en x, esto es, y = f { x ) . También, si y = / ( x), entonces (x,y) es un punto en la gráfica de / . Por ejemplo, si (-2,7) está en la gráfica de / , entonces /(- 2 ) = 7 y si /(5 ) = 8, entonces el punto (5,8) está en la gráfica de y = /(x ). El siguiente ejemplo ilustra cómo obtener información acerca de una función si se da su gráfica.

EJEM PLO 2

Obtener información de una gráfica de una función Sea / la función cuya gráfica se da en la figura 15. (La gráfica de / puede representar la distancia y a la que se encuentra un péndulo respecto a su posición de reposo en el tiempo x. Los valores negativos de y indican que el péndulo está a la izquierda de la posición de reposo y los valores positivos de y indican que el péndulo está a la dere cha de su posición de reposo).

F igu ra 15

(0,4)

(4-rr, 4)

(2tt, 4)

(a) ¿Cuál es el valor de /(O), / 0 j ^ J y /( 3 tt)? : W ,°) / , :

\

fe ,°) /

fe o ) \

K *-4 )

,

f e o )

r*

(3ir, -4 )

Solución

(b) ¿Cuál es el dominio de /? (c) ¿Cuál es el rango de /? (d) Enumera las intersecciones. (Recuerda que éstos son los puntos, si existen, don de la gráfica cruza o toca los ejes de coordenadas). (e) ¿Cuántas veces la recta y = 2 intersecta la gráfica? (f) ¿Para qué valores de x f ( x ) = -4? (g) ¿Para qué valores de x f ( x ) > 0? (a) Dado que (0 , 4 ) está en la gráfica de / , la coordenada y igual a 4 , es el va lor de / en la coordenada x igual a 0 , esto es, / ( O ) = 4 . De manera simio r»

lar, encontramos que cuando

x

= — , entonces

y

=

0, así que /

Cuando x = 3 v , entonces y = -4 , por tanto, / ( 37t) = -4. (b) Para determinar el dominio de / , observamos que los puntos en la gráfica de / tienen incluso, coordenadas x entre 0 y 47r, y que para cualquier número x entre 0 y 477, existe un punto (jc, f ( x ) ) en la gráfica. El dominio de / es {x|0 < x < 47t} o el intervalo [0, 47t],

216

C A P ÍT U L O 3


(c) Todos los puntos en la gráfica tienen coordenadas e incluso, entre - 4 y 4, y para | cada número y , existe cuando menos un número x en el dominio. El rango de / ; es { y |- 4 i£ y < 4 } o el intervalo [-4,4]. (d) Las intersecciones son los puntos

0, observa la figura 15 y determina los valores de x de 0 a 47 T, para los cuales la coordenada y es positiva. Esto ocurre en „

\ , , í3 v

5 tt

°’ 27u ( ,T - T jc

K

< — o

2

-, 47T

3 tt

7T

p ara 0 0 I tt

577

— 2

— 2

< x <

o —- <

jc

2

< 477.

Cuando la gráfica de la función está dada, su dominio se puede ver como la som bra creada por la gráfica en el eje x por rayos verticales de luz. Su rango se puede ver como la sombra creada por la gráfica en el eje y por rayos horizontales de luz. Usa esta técnica para la gráfica que se da en la figura 15.


9

el p r o b l e m a

y 13

Obtener información de la gráfica de una función Considera la función:

ft \

/(* ) =

x

+

1

x

+

2

(a) Determina el dominio de / . (b) ¿El punto ^ 1 ,

está en la gráfica de /?

(c) Si x = 2, ¿a qué equivale / ( jc)? ¿Qué punto está en la gráfica de /? (d) Si f ( x ) = 2, ¿a qué equivale .y? ¿Qué punto está en la gráfica de /? (e) ¿Cuáles son las intersecciones en .v de la gráfica de / , (si existen)? ¿Qué punto o puntos están en la gráfica de /?

Solución

(a) El domino de / es {x | x ^ -2}. (b) Cuando x = 1 , entonces ft \

/(* )

=

/ ( 1) =

El punto ^ 1 , (c) Si x

=

x

+

jc

+ 2

1

1 + 1

2

1 + 2

3

está en la gráfica de / ; el punto ^ 1, ^ no lo está,

2, entonces f(x)

=

m

=

X + 1 .v + 2

2 + 1

2 + 2 El punto [ 2, - Iestá en la gráfica de / . {

4

(d) Si /(.c) = 2, entonces /(-v ) = 2 jc

+ 1

JC

+ 2

= 2

3 4

4

S E C C IÓ N 3.2

x + \ = 2(x + 2) .v + l = 2v + 4 x = -3


217

Multiplica ambos lados por x + 2. Elimina los paréntesis. Resuelve para x.

Si /(.v) = 2. entonces .v = -3. El punto (-3.2) está en la gráfica de / . (e) Las intersecciones con .v de la gráfica de f son las soluciones reales de la ecua ción f ( x ) = 0 que están en el domino de / . La única solución real de la ecuación / ( * ) = —■ -+ ^ = (). es x = - l . así que -1 es la única intersección con

x.

Como

/( - 1 ) = 0, el punto (-1,0) está en la gráfica de / .

— EJEM P LO 4

Resuelve ahora

EL

problema

2 5

Función de costo promedio El costo promedio C de la fabricación de x computadoras por día se da por la función C(.v) = 0.56.r - 34.39.V + 1212.57 +

20,000

Determina el costo promedio de la fabricación de: (a) (b) (c) (d) ^ (e)

Solución

30 computadoras por día 40 computadoras por día 50 computadoras por día Haz una gráfica de la función C = C (.v), 0 < .v < 80 Crea una TABLA con TblStart = 1 y ATbl = 1. ¿Qué valor de x minimiza el costo promedio?

(a) El costo promedio de la fabricación de x = 30 computadoras es C(30) = 0.56(30)^ - 34.39(30) + 1212.57 +

20,000

30

= $1351.54

(b) El costo promedio de la fabricación de x = 40 computadoras es C(40) = 0.56(40)2 - 34.39(40) + 1212.57 +

20,000

40

= $1232.97

(c) El costo promedio de la fabricación de x = 50 computadoras es C(50) = 0.56(50)2 - 34.39(50) + 1212.57 + Ver figura 16 para la gráfica de

C

20,000

50

$1293.07

= C(x).

Con la función C = C(.t) en T, creamos la tabla 2. Bajamos hasta encontrar un valor de x para el cual Y x sea el más pequeño. La tabla 3 muestra que fabricar jc = 41 computadoras minimiza el costo promedio a $1231.74 por computadora.

Figura 16 4000

Tabla 2

Tabla 3

X ÏÏ1 21179 1 1114b 2 77B1.1 3 G4B4 4 S0S4.fi 5 43S9.7 6 JBSfi.4 7 V i B . 5 6 X 2 - 3 4 .39X...

Vi X 1240.7 3B 39 1235.9 1233 40 nreftj 41 1232.2 42 1234.4 43 123B.1 44 V 1 = 1 2 3 1 .7 4 4 8 7 8 0 5

-Resuelve ahora

el p r o b l e m a

31

218

C A P ÍT U L O 3


RESUMEN Grúficu de unu fundón

El conjunto de puntos

que satisfacen la ecuación y = f i x ) .

Prueba de la recta vertical

Un conjunto de puntos es la gráfica de una función siempre y cuando cualquier recta vertical intersecte la gráfica en a lo más un punto.

( x, y )

3.2 Evalúa tu en ten d im ien to ____________ "¿Estás listo?" Las respuestas se (lan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. Las intersecciones de la ecuación x: _______ (pp. 159-160)

+

4y2 = 16 son

2.

V e rd a d e ro o f a l s o El punto (-2.-6) = 2y -2. (pp 157159)

está en la gráfica d e

la ecuación x


3. Un conjunto de puntos en el plano xy son la gráfica de una función si y solo si cualquier línea______ intersecta la gráfica en solo un punto. 4 . Si el punto (5,-3) es un punto en la gráfica de /, entonces / ( -------- ) = ----------

5. Encuentra a tal que el punto (-1,2) esté en la gráfica de /(x) = ax2 + 4.

6.


Una función puede tener más de una

intersección con y. 7. 8.

La gráfica de una función y = f i t ) siempre cru/a el eje v. V e rd a d e ro o f a l s o La intersección en y de la gráfica de la función y = /(.r). cuyo dominio son lodos los números reales, es /(O). V e rd a d e ro o f a l s o

Ejercicios

^.9. Usa la gráfica dada de la función / para responder los incisos (a)-(n).

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

Encuentra /(O) y /(-6). Encuentra /(6) y /(11) ¿/(3) es positiva o negativa? ¿/(-4) es positiva o negativa? ¿Para qué valores de x, f(x) = 0? ¿Para qué valores de .v, / (.v) > 0? ¿Cuál es el dominio de /? ¿Cuál es el rango de /? ¿Cuáles son las intersecciones con .v? ¿Cuáles son las intersecciones con y?

(k) ¿Qué tan seguido la recta y = ^ intersecta la gráfica? (l) ¿Qué tan seguido la recta .v= 5 intersecta la gráfica? (m) ¿Para qué valores de x , f ( x ) = 3? (n) ¿Para qué valores de .v, /(.v) = -2?

10. Usa la gráfica dada de la función / para responder los inci sos (a)-(n).

(a) Encuentra f (0) y f (6). (b )

(c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n)

E n c u e n tr a /(2 ) y / ( - 2 )

es positiva o negativa? «'/(-l) es positiva o negativa? ¿Para qué valores de t. /(.r) = 0? ¿Para qué valores de x. f (.i) < 0? ¿Cuál es el dominio de f? ¿Cuál es el rango de f? ¿Cuáles son las intersecciones con x? ¿Cuáles son las intersecciones con y? ¿Qué lan seguido la recta v = -1 intersecta la gráfica'1 ¿Qué tan seguido la recta .v= 1 intersecta la gráfica? ¿Para qué valores de v. / (x) = 3? ¿Para qué valores de x. /( x ) = -2? ¿ f(^ )

S E C C IÓ N 3.2


219

los problemas 11-22, determina si la figura mostrada es la gráfica de una función usando la prueba de la recta vertical, lo es, úsala para determinar:

p

) El dominio y el rango. <)Las intersecciones, si existen. jCualquier simetría con respecto al eje x, al eje y o al origen.

:n los problemas 23-28, responde las preguntas de las funciones ádas. 53. f(x) = 2x2- x - l

(d ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e / ? ( e ) Indica las in te rse cc io n es co n x, si ex iste n , d e la gráfica d e / . (f)

x - -2,

¿a q u é e q u iv a le / ( * ) ? ¿ Q u é p u n to e s tá e n la

f(x) = - 1 ,

si e x is te a lg u n a , d e la

“ • «*> * 7 + T

g rá fica d e / ? (c ) S i

y,

g rá fic a d e / . Y2 -f- 2

(a ) E l p u n to ( - 1 , 2 ) , ¿ e s tá e n la g rá fic a d e / ? (b ) Si

In d ic a la s in te r s e c c io n e s c o n

¿a q u é e q u iv a le x ? ¿ Q u é p u n to o p u n to s

(a ) E l p u n to ^

1 ^ , ¿ e stá e n la g rá fic a d e / ?

e s tá n e n la grá fica d e / ? (b ) Si x = 0, ¿q u é e s / ( x ) ? ¿ Q u é p u n to está e n la gráfica d e / ?

(d ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e / ? ( e ) Indica las in terseccio n es co n (f)

x, si e x iste n , d e la gráfica d e / .

(c ) S i

/ ( * ) = - 3 x 2 + 5x (a ) E l p u n to ( - 1 , 2 ) , ¿ e s tá en la g rá fic a d e / ? (b ) Si

x-

- 2 , ¿a q u é e q u iv a le / ( x ) ? ¿ Q u é p u n to e s tá e n la

(d ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e / ? ( e ) In dica las in te rse cc io n es co n x, si ex iste n , d e la gráfica d e / . (f)

In d ic a las in te r s e c c io n e s c o n

2 7 - / ( * ) = -jc t t T + i (a ) E l p u n to ( - 1 ,1 ) , ¿ e s tá e n la g rá fica d e / ?

e s tá n e n la grá fica d e / ?

x, si ex iste n , d e la gráfica d e / .

(b ) Si x -

-

(a ) E l p u n to ( 3 ,1 4 ) , ¿ está e n la g rá fica d e / ? (b ) Si x - 4 , ¿a q u é e q u iv a le / ( x ) ? ¿ Q u é p u n to e s tá e n la

(c ) Si f ( x) = 1, ¿a q u é e q u iv a le x ? ¿ Q u é p u n to o p u n to s e stá n e n la g rá fica d e / ? ( e ) Indica las in te rse cc io n es co n x, si ex iste n , d e la gráfica d e / . (f) In d ica la s in te r s e c c io n e s c o n y, si e x is te a lgu n a, d e la g rá fica d e / .

gráfica d e / ?

=

¿a q u é e q u iv a le / ( * ) ? ¿ Q u é p u n to e stá e n la

(d ) ¿C u á l e s e l d o m in io d e / ?

7^6

(c ) Si / ( x )

2,

g rá fica d e / ?

In d ica la s in te r s e c c io n e s c o n y , si e x is te a lg u n a , d e la gráfica d e / .

2s- / w

si e x is te a lg u n a , d e la

2x2

( c ) Si / ( x ) = - 2 , ¿a q u é e q u iv a le x ? ¿ Q u é p u n to o p u n to s (d ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e / ? (e ) Indica las in terseccio n es c o n

y,

g rá fic a d e / .

grá fica d e / ?

(f)

= i , ¿a q u é e q u iv a le x ? ¿ Q u é p u n to o p u n to s

e s tá n e n la g rá fica d e / ?

g rá fica d e / . 24.

f(x')

In d ica las in te r s e c c io n e s c o n y, si e x is te a lg u n a , d e la

2, ¿a q u é e q u iv a le x ? ¿ Q u é p u n to o p u n to s

e s tá n e n la grá fica d e / ?

2* . M

-

~

220

C A P ÍT U L O 3

Funciones y sus gráficas ( d ) ¿C u á l e s e l d o m in io d e / ? ( e ) Indica las in te rse cc io n es co n

(a ) E l p u n to ( I _ ^ \ ¿ está en la gráfica d e / ? \2’ 3) (b ) Si x = 4, ¿a q u é e q u iv a le / ( * ) ? ¿ Q u é p u n to e stá e n la

( f)

x, si e x iste n , d e y, si e x is te

In d ic a la s in te r s e c c io n e s c o n

la gráfica d e / . a lg u n a , d e la

g rá fica d e / .

gráfica d e / ? (c ) Si f(x) = 1, ¿a q u é e q u iv a le x ? ¿ Q u é p u n to o p u n to s está n en la gráfica d e / ?

Aplicaciones y extensiones______________________ -------- -- ---------------------------------------------------------------------------------------------F u en te: T h e P h y s ic s o f F o u l S h o ts,

2 9 . T iros libres D e acu erd o co n el físico P eter B ran cazio, la cla ve d e un tiro libre ex ito so en el b a sq u etb o l está en el arco del . tiro. B rancazio d eterm in ó q u e el án g u lo ó p tim o d el arco d e s

Discover, V ol. 2 1 , N o . 10,

O c t o b e r 2000.

>31.

M o v im ie n to d e una p e lo ta d e g o lf

S e g o lp ea una p elo ta de

g o lf co n una v elo cid a d inicial d e 130 p ies p or se g u n d o con

d e la línea d e tiro libre e s d e 45 grados. E l arco tam b ién d e p en d e d e la velocid ad a la q u e se lanza la p elota. Si un ju gad or

una in clin ación d e 4 5 ° e n la h orizon tal. E n física, se esta b lece

lanza un tiro libre, aven ta n d o la p elo ta co n un án g u lo d e 45

q u e la altura

h de

la p e lo ta d e g o lf está d ad a p or la fun ción

-32x2

grados d esd e una p osició n d e 6 p ies so b re el su e lo , e n to n c e s la trayectoria d e la p elo ta se p u e d e m o d ela r p or la fu n ción ,

h(x) donde

h es

W

44x2

donde

= ------- j— I- * + 6

la altura d e la p e lo ta so b re el su e lo ,

x es

■

x es

l

W

+ x

la d ista n c ia h o riz o n ta l q u e la p e lo ta ha recorrido.

la d is

tancia hacia a d ela n te d e la p e lo ta e n fr e n te d e la lín ea d e tiro libre y v es la v elo cid a d in icial a la q u e se lan za la p e lo ta en p ies p or se g u n d o . C o n sid era q u e un ju g a d o r lan za u n a p e lo ta co n una v elo cid a d in icial d e 28 p ies p o r se g u n d o . (a ) D e te r m in a la altu ra d e la p e lo ta c u a n d o h a v ia ja d o 8 p ie s e n fr e n te d e la lín e a d e tiro lib re. (b ) D e te r m in a la altu ra d e la p e lo ta c u a n d o h a v ia ja d o 12 p ie s e n fr e n te d e la lín e a d e tiro lib re. (c ) E n cu en tra p u n to s a d ic io n a le s y h a z u n a g rá fica d e la tra y ecto ria d e la p e lo ta . (d ) E l c e n tr o d e l aro e stá 10 p ie s so b r e e l s u e lo y 15 p ie s m ás d e la n te d e la lín e a d e tiro lib re. ¿ C a er á la p e lo ta e n la ca n a sta ? Si n o , ¿ c o n q u é v e lo c id a d in icia l s e d e b e (a ) D e te r m in a la a ltu ra d e la p e lo ta c u a n d o h a re co r rid o 100 p ies.

lan zar la p e lo ta para q u e e n tr e e n la ca n a sta ? F u en te: T h e P h y s ic s o f F o u l S h o ts ,

Discover, V ol. 21, N o . 10,

(b ) ¿ C u á l e s la a ltu ra c u a n d o h a r e c o r r id o 3 0 0 p ies?

O c to b e r 20 0 0 .

3 0 . T iro s d e a b u e lita

(c ) E l ú ltim o ju g a d o r d e la N B A e n u sar

un tiro p or d e b a jo d e l b r a z o (u n tiro d e “ a b u e lita ” ) fu e el d e la n te r o R ick B arry , q u e p e r te n e c e al S a ló n d e la F a m a y s e retiró en 1980. B a rry c r e e q u e lo s ju g a d o r e s a c tu a le s d e la N B A p o d ría n in c r e m e n ta r su p o r c e n ta je d e tiro s li b res si u saran tiro s p o r d e b a jo d el b ra zo . C o m o e s o s ti ros se lan zan d e sd e u n a p o sic ió n m á s b aja, e l á n g u lo d el tiro se d e b e in crem en ta r . Si un ju g a d o r la n za u n tiro li b re “d e a b u e lita ” , so lta n d o la p e lo ta a un á n g u lo d e 7 0 g ra d o s d e sd e u na p o sic ió n d e 3.5 p ie s so b r e e l s u e lo , la tra y ecto ria d e la p e lo ta s e p u e d e m o d e la r p o r la fu n c ió n

136x2 h(x) = --------, ----- 1- 2.1x + 3 .5 , d o n d e h e s la altura d e la v p elo ta sob re el su elo , x e s la distancia hacia a d ela n te d e la p e lota en frente d e la lín ea d e tiro libre y v e s la v elo cid a d inicial co n la q u e la p elo ta se lanza en p ies p o r seg u n d o . (a ) E l c e n tr o d e la ca n a sta e stá a 10 p ie s so b r e e l s u e lo y 15 p ie s fr e n te a la lín e a d e tiro lib re. D e te r m in a la v e lo c i d ad in icial c o n la q u e se tie n e q u e la n za r la p e lo ta para q u e e n tr e en la ca n a sta .

¿ C u á l e s la altu ra c u a n d o h a r e c o r r id o 5 0 0 p ies?

(d ) ¿ Q u é tan le jo s s e g o lp e ó la p e lo ta ? ¡i£^ ( e ) U s a un d is p o s itiv o p ara e la b o r a r g rá fica s p ara o b te n e r i:; 1

la r e p r e s e n ta c ió n d e la fu n c ió n (f)

m in a r la d ista n c ia q u e la p e lo ta h a r e c o r r id o c u a n d o la a ltu ra d e la p e lo ta e s d e 9 0 p ies.

(g) C re a u n a T A B L A c o n T b lS ta r t = 0 y A T bl = 25. D e n tro d e lo s 25 p ie s m á s c e r c a n o s , ¿ q u é tan le jo s lle g a la p e lo ta a n te s d e q u e a lc a n c e su a ltu ra m á x im a ? ¿C u ál e s la altu ra m á x im a ? (h ) A ju sta e l v a lo r d e A T b l h a sta q u e d e te r m in e s la d is ta n c ia , d e n tr o d e 1 p ie , q u e la p e lo ta re co r re a n te s d e a lc a n z a r su altu ra m á x im a . 3 2 . Á r e a d e s e c c ió n tra n sv er sa l

1 p ie e s tá d a d a p o r la fu n c ió n

A(x)

=

4 . r V l - .r2,

d o n d e .v r e p r e s e n ta la lo n g itu d , e n p ie s , d e la m ita d d e la b a se d e la v ig a . V e r figu ra. A(x) = 4 x \ / l — x 2

la v e lo c id a d q u e e n c o n tr a ste e n e l in c is o (a ). D e te r m in a la altu ra d e la p e lo ta c u a n d o h a r e c o r r id o 9 p ie s fre n te a la lín e a d e tiro lib re. (d ) E n c u e n tr a p u n to s a d ic io n a le s y h a z u n a g rá fic a d e la tra y e cto ria d e la p e lo ta d e b a sq u e tb o l.

E l á rea d e la s e c c ió n tra n s

v e r sa l d e u n a v ig a q u e s e co r ta d e u n tr o n c o c o n ra d io d e

(b ) E scrib e la fu n ció n d e la tr a y e c to r ia d e la p e lo ta u sa n d o (c )

h = lt(x).

U s a u n d is p o s itiv o p ara e la b o r a r g rá fica s para d e te r

x

.

K

S E C C IÓ N 3.2

)

J a ) D e te r m in a e l d o m in io d e

\

(b ) U s a un d is p o s itiv o p ara h a c e r g r á fic a s p ara o b te n e r la

2J

A.

r e p r e s e n ta c ió n d e la fu n c ió n (c )

221

(a ) S i A m y p e s a 1 2 0 lib ra s al n iv e l d e l m ar, ¿ c u á n to p e sa

A

e n P ik e ’s P e a k , e l c u a l, e s tá 1 4 ,1 1 0 p ie s so b r e e l n iv e l d e l m ar?

= A (.v).

(b ) U s a un d isp o sitiv o para h a cer gráficas para o b te n e r la re

C re a u n a T A B L A c o n T b lS ta r t = 0 y A T b l = 0.1 p ara

(c )

tran sversal? ¿ C u á l d e b e se r la lo n g itu d d e la b a se d e la

Costo de un viaje transatlántico

W c o n fo r m e h ca m b ia

d e 0 a 5 m illas.

(d ) ¿ A q u é a ltu ra p e sa r á A m y 11 9 .9 5 lib ras?

U n B o e in g 7 4 7 cr u z a el

d e 5 0 0 m illa s p o r h o ra . E l c o s to C (e n d ó la r e s ) p o r p a sa je

C rea u n a T A B L A c o n T b lS ta rt = 0 y A Tbl = 0.5 para v er c ó m o varía el p e s o

viga para m a x im iza r e l á rea d e la s e c c ió n tra n sv ersa l? O c é a n o A tlá n t ic o (3 0 0 0 m illa s) c o n u n a v e lo c id a d a é r e a

m = 120 libras.

p resen ta c ió n d e la fu n ció n W = VV^). U sa

0 < . v < 1 . ¿ Q u é v a lo r d e * m a x im iza e l á rea d e la se c c ió n

3.


( e ) ¿ E s r a z o n a b le tu r e sp u e sta d e l in c is o (d )? E x p lic a .

35.

ro e s tá d a d o p o r

L a g rá fic a d e d o s fu n c io n e s , / y g , s e ilu stra a c o n tin u a c ió n . U s a la g rá fic a p a ra c o n te s ta r lo s in c is o s ( a ) - ( f ) .

3 6 ,0 0 0 C ( . v ) = 100 + - ^ + donde

x es

x

la v e lo c id a d e n tierra (v e lo c id a d a é r e a ± v ie n to ).

(a ) U s a u n d is p o s itiv o p ara h a c e r g r á fic a s p a ra o b te n e r la r e p r e s e n ta c ió n d e la fu n c ió n C = C (x ). ( b ) C rea u n a T A B L A c o n T b lS ta r t = 0 y A T b l = 50. (c )

D e n tr o d e la s 5 0 m illa s p o r h o r a m á s c e r c a n a s, ¿ q u é v e lo c id a d e n tierra m in im iz a e l c o s to p o r p a sa je r o ?

Efecto de la elevación en el peso

Si u n o b je to p esa

m libras

al n iv el d el m ar, e n to n c e s su p e s o VT (e n libras) a u n a altura de

h m illas so b re

el n iv el d el m ar se da a p ro x im a d a m en te por

W(h)

=

(

mI

4000 4000 +

h

(a )

( / + g )(2 )

(b ) ( / + g ) ( 4 )

(c)

( f - g ) ( 6)

(d) ( g - / ) ( 6)

(e)

(/-g )(2 )

( f) ( £ ) ( 4 )

xplicación de conceptos: discusión y escritura 6.

1.

D e s c r ib e c ó m o p r o c e d e r ía s p a ra e n c o n tr a r e l d o m in io y r a n g o d e u n a fu n c ió n si s e te d a su grá fica . ¿ C ó m o c a m b ia ría tu e s tr a te g ia si s e te d a la e c u a c ió n q u e d e fin e la fu n c ió n e n lu g a r d e su g rá fica ? ¿C uántas in terseccio n es en

x p uede

ten er la gráfica d e una fu n ción ? ¿C uán tas in terseccio n es e n

y p u e d e ten er la gráfica d e una función?

¡8. ¿ U n a g rá fica q u e c o n s is te e n u n s o lo p u n to , e s u n a fu n c ió n ? ¿ P u e d e s esc r ib ir u n a e c u a c ió n d e d ic h a fu n c ió n ? ¡9. R e la c io n a ca d a u n a d e la s s ig u ie n te s f u n c io n e s c o n la g rá fic a q u e m e jo r d e sc r ib a la situ a c ió n .

10.

(a ) E l c o s to d e co n stru ir u n a c a sa c o m o fu n c ió n d e su á rea. (b ) L a a ltu ra d e u n h u e v o q u e s e d e ja c a e r d e u n e d ific io d e 3 0 0 p ie s c o m o fu n c ió n d e l tie m p o . (c)

L a altu ra d e u n a p e r s o n a c o m o fu n c ió n d e l tie m p o .

(d ) L a d e m a n d a d e B ig M a c s c o m o fu n c ió n d e l p r e c io . ( e ) L a a ltu ra d e u n n iñ o e n u n c o lu m p io c o m o fu n c ió n d e l tie m p o .

R e la c io n a ca d a u n a d e la s s ig u ie n te s fu n c io n e s c o n la grá fic a q u e m e jo r d e sc r ib a la situ a c ió n . (a ) L a te m p e ra tu r a d e un ta z ó n d e so p a c o m o fu n c ió n d e l tie m p o . (b ) E l n ú m e r o d e h o ra s d e lu z al d ía e n u n p e r io d o d e 2 a ñ o s. (c ) L a p o b la c ió n d e F lo r id a c o m o fu n c ió n d e l tie m p o . (d ) L a d ista n c ia v ia ja d a e n a u to c u a n d o se m a n e ja a u n a v e lo c id a d c o n sta n te c o m o fu n c ió n d e l tie m p o . ( e ) L a altu ra d e u na p e lo ta d e g o lf q u e s e g o lp e a c o n u n p a lo # 7 d e h ie r r o c o m o fu n c ió n d e l tie m p o

222 41.

C A P ÍT U L O 3


sear. S a le d e su casa, ca m in a 2 cu a d ra s en 5 m in u to s a una

(d ) (c)

v e lo c id a d c o n sta n te y s e da cu e n ta d e q u e o lv id ó cerrar

(f)

la p u erta. E n to n c e s B árbara co r re a su ca sa e n 1 m in u to .

(g ) D e f = 4 .2 a / = 5.3

C u a n d o e stá en su p u erta , le to m a 1 m in u to en c o n tr a r las

(h ) ¿ C u á l fu e la m a y o r d ista n c ia a la q u e K e v in e s tu v o de

C o n sid e ra la sig u ie n te situ a ció n : B árbara d e c id e ir a p a

lla v e s y cerrar la p u erta . B árbara ca m in a 5 cu a d ra s en 15 (i)

m in u to s y d e sp u é s d e c id e trotar a casa. L e to m a 7 m in u to s llegar a casa. T raza una gráfica d e la d ista n cia d e B árbara

44.

D e / = 2 .8 a / = 3 D e / = 3 a / = 3 .9

D el

= 3 .9 a

t=

4 .2

su ca sa ? ¿ C u á n ta s v e c e s r e g r e só K e v in a su ca sa ?

La s ig u ie n te g rá fic a r e p r e s e n ta la v e lo c id a d

v

(e n m illas

p o r h o r a ) d e l c o c h e d e M íc h a e l c o m o fu n ció n d e l tie m p o /

d e sd e su casa (en cu a d ra s) c o m o fu n ció n d el tie m p o . 4 2 . C o n sid e ra la sig u ie n te situ a ció n : A J a y n e le g u sta ir e n b i

(e n m in u to s).

cicle ta p or el b o sq u e. E n la reserv a d e b o sq u e , s e su b e a su b icic le ta y a sc ien d e p o r un c a m in o in c lin a d o d e 2000 p ie s en 10 m in u to s. D e s p u é s baja p o r e l c a m in o in c lin a d o en 3 m in u to s. L o s s ig u ie n te s 5 0 0 0 p ie s so n d e te r r e n o p la n o y cu b re la d ista n cia e n 2 0 m in u to s. D e sc a n s a 15 m in u to s. D e s p u é s J a y n e viaja 1 0,000 p ie s en 3 0 m in u to s. T ra za una gráfica d e la d ista n cia q u e reco rre J a y n e (e n p ie s) c o m o 43.

fu n ció n d el tiem p o . L a sig u ie n te gráfica r e p r e se n ta la d ista n c ia

d (e n

m illa s) a

la q u e K ev in se e n co n tr a b a d e ca sa c o m o fu n c ió n d el tie m po

t

(a ) ¿ E n q u é in te r v a lo d e tie m p o M ic h a e l e s ta b a v ia ja n d o

(en h o ra s). R e s p o n d e las p r e g u n ta s b a sá n d o te en la

m á s rá p id o ?

gráfica. E n lo s in ciso s ( a ) - ( g ) , ¿ cu á n ta s h o ra s p a sa ro n y

(b ) ¿ E n q u é in te r v a lo o in te r v a lo s d e tie m p o M ich a el ten ía

q u é tan lejo s esta b a K e v in d e ca sa e n e s te tie m p o ?

v e lo c id a d c e r o ? (c)

¿ C u á l fu e la v e lo c id a d d e M ic h a e l e n tr e 0 y 2 m in u to s?

(d ) ¿C u ál fu e la v e lo c id a d d e M ich a el e n tr e 4 .2 y 6 m in u to s? ( e ) ¿C u ál fu e la v e lo c id a d d e M ich a el e n tr e 7 y 7.4 m in u to s? (f) 45.

¿ M ic h a e l lle v a b a v e lo c id a d c o n s ta n te ?

D ib u ja {.vi—3 s

la

g rá fic a

x s 8, x *

de

una

fu n c ió n

cu yo

d o m in io

5) y c u y o r a n g o e s { y l-1 :£ y ^ 2 .

¿ Q u é p u n to s e n e l r e c tá n g u lo - 3 s

jt

y*

es 0).

< 8 . - 1 ^ y — 2. n o

p u e d e n e s ta r e n la g r á fic a ? C o m p a r a tu grá fica c o n la d e o tr o s e s tu d ia n te s . ¿ Q u é d ife r e n c ia s e n c u e n tr a s? 46.

(b ) D e f = 2 a f = 2.5 (c ) D e

t = 2.5

a

t-

¿ E x is te a lg u n a fu n c ió n cu y a g rá fic a s e a sim é tr ic a c o n r e s p e c to al e je

2.8

xl

E x p lic a .

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. ( - 4 , 0 ) , ( 4 ,0 ) , ( 0 , - 2 ) , (0 , 2 )

2. F a lso

3.3 Propiedades de las funciones P

r e p a r a c ió n

para

esta

s e c c ió n


In te rv a lo s (s e c c ió n 1.5, p p. 1 2 0 -1 2 1 )

•

In te r se c c io n e s (s e c c ió n 2 .2 , p p . 1 5 9 -1 6 0 ) P e n d ie n te d e u n a recta (s e c c ió n 2 .3 , p p. 1 6 7 -1 6 9 )

^

Resuelve ahora los

p r o b le m a s d e la s e c c ió n

O BJETIV O S

F o rm a p u n to - p e n d ie n t e d e u n a r e c ta (s e c c ió n 2 .3 , P- 171)

•

S im e tr ía ( s e c c ió n 2 .2 . p p . 1 6 0 -1 6 2 )

"¿Estás listo?" d e la p á g in a 2 3 0 .

1 Determinar funciones pares e impares a partir de una gráfica (p. 223)

2 Identificar funciones pares e impares a partir de una ecuación (p. 224) Usar una gráfica para determinar si una función es creciente, decreciente o constante (p. 224) 4 Usar de una gráfica para localizar máximos y mínimos locales (p. 225) 5 Usar de una gráfica para localizar el máximo y mínimo absoluto (p. 226)

|*Í 6 Usar de un dispositivo para elaborar gráficas para aproximar máximos y mínimos locales y determinar si una función es creciente o decreciente (p. 228) Encontrar la tasa de cambio promedio de una función (p. 228)

S E C C IÓ N 3.3

Propiedades de las fundones

223

Para obtener la gráfica de una función y = /(.r), es útil saber ciertas propiedades que tie ne la función y el impacto de estas propiedades en la forma en la como se verá la gráfica.

>; 9

li t

Determinar funciones pares e impares a partir de una gráfica Las palabras par e impar, cuando se aplican a la función / , describen la simetría que existe en la gráfica de la función. Una función / es par si y solo si, el punto (.v, y) está en la gráfica de / y entonces el punto (-.v,_v) también está en la gráfica. Usando notación de funciones definimos una función par de la manera siguiente:

DEFINICIÓN

Una función / es par si, para cualquier número .r en su dominio, el número - x también está en el dominio y

/(-•O = /(-O

-------------------------------------------------------J Una función / es impar, si y solo si, un punto (x,y) está en la gráfica de / y enton ces (-.r,-y) también está en la gráfica. Usando notación de funciones definimos una función impar de la manera siguiente:

DEFINICIÓN

Una función / es im par si para cada número x en su dominio, el número - x también está en el dominio y

/(-*)= - m

-------------------------------- J Consulta la página 162, donde se dan las pruebas de simetría. Los siguientes re sultados son evidentes.

TEOREM A

Una función es par si y solo si su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Una función es impar si y solo si su gráfica es simétrica con respecto al origen.

J

EJEM PLO 1

Determinación de funciones pares e impares a partir de la gráfica Determina si cada una de las gráficas dadas en la figura 17 es la gráfica de una función par, una función impar o una función que no es ni par ni impar.

Figura 17

(a) La gráfica en la figura 17(a) es la de una función par, ya que su gráfica es simétri ca con respecto al eje y. (b) La función cuya gráfica está dada en la figura 17(b) no es ni par ni impar, ya que la gráfica no es simétrica con respecto al eje y, ni es simétrica con respecto al origen. (c) La función cuya gráfica se muestra en la figura 17(c) es impar, ya que su gráfica es simétrica con respecto al origen.

Resuelve ahora

el

problema

21

( a ) , (b)

y

(d)

224

C A P ÍT U L O 3


Y

Identificar funciones pares e impares a partir de la ecuación Identificar funciones pares e impares algebraicamente

EJEM PLO 2

Determina si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de las dos. Después determina si la gráfica es simétrica con respecto al eje y o con respecto al origen. (a) f ( x ) =x 2- 5 (b) g (x) = x ’ -1 (c) h(x) = 5x3- x (d) F(x) = \x\

Solución

(a) Para determinar si / es par, impar o ninguna de las dos, sustituye x por - x en f ( x ) = x 2- 5 . Entonces f ( - x ) = (-x)2- 5 = x 2- 5 = f ( x ) Como /( - * ) = /(* ), concluimos que / es una función par y la gráfica de / es simé trica con respecto al eje y. (b) Sustituye x por - x en g(x) = x 2 -1. Entonces g(-x) = (-x)2- 1 = -x 3- 1 Como g(-x) i 1g(jc) y g(-x) # -g(x) = - ( x 2- 1) = - x2 + 1, entonces concluimos que g no es ni par ni impar. La gráfica de g no es simétrica con respecto al eje y y tampoco es simétrica con respecto al origen. (c) Sustituye x por -x en h(x) = 5x3 - x. Entonces h (-x) = 5(-x)2-

(-* )

= -5x2 + x = -(5 jc3- x) = -h(x)

Como h(-x) = -h(x), h es una función impar y la gráfica de h es simétrica con respecto al origen. (d) Sustituye x por -x en F{x) = \x\. Entonces F(-x) =

| - jc| = |- 1 l- W = |* | =

F(x)

Como F(-x) = F(x), F es una función par y la gráfica de F es simétrica con respec to al eje y.

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

3 3

3 Uso de una gráfica para determinar si la función es creciente, decreciente o constante Considera la gráfica que se da en la figura 18. Si la observas de izquierda a derecha notarás que partes de la gráfica van hacia arriba, partes van hacia abajo y partes son horizontales. En tales casos, se describe la función como creciente , decreciente o cons tante, respectivamente.

EJEM PLO 3

Determinar funciones crecientes, decrecientes o constantes a partir de su gráfica ¿En qué partes es creciente la función de la figura 18? ¿En qué partes es decre ciente? ¿En qué partes es constante?

S E C C IÓ N 3.3

Solución


225

P a r a c o n t e s t a r la p r e g u n t a d e s i u n a f u n c ió n e s c r e c ie n t e , d e c r e c ie n t e o c o n s t a n t e u s a m o s d e s i g u a l d a d e s e s t r i c t a s q u e i n c l u y e n l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e jc o u s a m o s i n

DVERTENCIA Describimos el com>rtamiento de una gráfica en térmi)s de su s valores en x. No digas que gráfica de la figura 18> es creciente ¿I punto al punto. Mejor di que es •eciente en el intervalo ( - 4 ,0 ) . ■

t e r v a lo s a b ie r t o s * d e c o o r d e n a d a s x . L a f u n c ió n c u y a g r á f ic a e s t á d a d a e n la f ig u r a 18 e s c r e c i e n t e e n e l i n t e r v a l o a b i e r t o ( - 4 , 0 ) o p a r a - 4 < jc < 0 . L a f u n c i ó n e s d e c r e c i e n t e e n l o s i n t e r v a l o s a b i e r t o s ( - 6 , - 4 ) y ( 3 , 6 ) o p a r a - 6 < x < - 4 y 3 < jc < 6 . L a f u n c i ó n e s c o n s t a n t e e n e l in t e r v a lo a b ie r t o ( 0 , 3 ) o p a r a 0 < x < 3.

E n s e g u id a se d a n d e f in ic io n e s m á s p r e c is a s :

DEFINICION ES

U n a fu n c ió n / e s y

jc 2

7, c o n

en

.c, <

U n a fu n c ió n / e s de

jc ,

y

jc 2

en

creciente jc , ,

e n u n in t e r v a lo a b ie r t o

7 si

en

7, l o s

jc ,

t e n e m o s / ( j c , ) < / ( jc 2) .

decreciente e n

u n in t e r v a lo a b ie r t o

7si

7, c o n jc , < jc 2, t e n e m o s / ( j c , ) > / ( jc 2) . constante e n u n i n t e r v a l o a b i e r t o 7 s i

U n a fu n c ió n / e s jc

p a r a c a d a e le c c ió n d e

p a r a c u a lq u ie r e le c c ió n

p a r a t o d o s lo s v a lo r e s d e

v a l o r e s d e / ( jc ) s o n i g u a l e s .

___^

L a f ig u r a 1 9 ilu s t r a la s d e f in ic io n e s . L a g r á f ic a d e u n a f u n c ió n c r e c ie n t e s u b e d e iz q u ie r d a a d e r e c h a , la g r á f ic a d e u n a f u n c ió n d e c r e c ie n t e b a ja d e iz q u ie r d a a d e r e c h a y la g r á f ic a d e u n a f u n c ió n c o n s t a n t e se m a n t ie n e a u n a a lt u r a c o n s t a n t e .

Figura 19

/

/

'\

¡f(x,) I X, I r*---------------

y

y

y.

i i i ¡f(x2) I

i \

f(Xi)¡

X2

I

X |

(a) Para x , < x 2 enl, f ( x , ) < f ( x 2); f es creciente enl

1 1 ]f(x,)

I f ( x 2) ¡

*1

I

*2 I1

\

x*

X >>1I

l1-^í -----------------

(c)

(b)

P a ra x , < x 2 enl, f ( x , ) > f ( x 2); f es decreciente eri

Resuelve ahora

el

problema

11, 13,15,

y

1 0 1 ¡f(x2) x*2

x

1---------------- ► !

Para to dax enl, los valores de f son ¡guales;f es constante eri

21 ( c )

4 Uso de una gráfica para localizar máximos y mínimos locales C o n s i d e r a q u e / e s u n a f u n c i ó n d e f i n i d a e n u n i n t e r v a l o a b i e r t o q u e c o n t i e n e a c. S i e l

f

v a lo r d e / e n c e s m a y o r o ig u a l q u e lo s v a lo r e s d e / e n

7, e n t o n c e s

/ t i e n e u n m ín im o

lo c a l e n c \ V e r f i g u r a 2 0 ( b ) .

Figura 20

ftiene un mínimo local ene.

*El intervalo abierto (a , b ) consiste en todos los números rea les x para los cuales a < x < b . t Algunos textos usan el térm ino r e la tiv o en lugar de lo c a l.

226

C A P ÍT U L O 3


DEFINICIONES

Una función / tiene un máximo local en c si existe un intervalo abierto / que contenga a c, tal que para toda x en / , f ( x ) < /(c ). /(c ) se llama valor máximo local de /. Una función / tiene un mínimo local en c si existe un intervalo abierto I que contenga a c, tal que para toda x en / , f ( x ) s : /(c ). f ( c ) se llama valor mínimo local de /.

iI

J

Si / tiene un máximo local en c, entonces el valor de / en c es mayor o igual que los valores de / cercanos a c. Si / tiene un mínimo local en c , entonces los valores de f e n c son menores o iguales que los valores de / cercanos a c. La palabra l o c a l se usa para sugerir que esto solo sucede cerca de c , es decir, en un intervalo abierto que contiene a c, en el que el valor de f ( c ) tiene estas propiedades.

EJEM PLO 4

Encontrar máximos y mínimos locales a partir de la gráfica de una función y determinar en dónde la función es creciente, decreciente o constante

Figura 21

La figura 21 muestra la gráfica de la función / . (a) ¿En qué valores de x , si existen, tiene / un máximo local? Enumera los valores máximos locales. ? (b) ¿En qué valores de x , si existen, tiene / un mínimo local? Enumera los valores mínimos locales. (c) Encuentra los intervalos en los que / es creciente. Encuentra los intervalos en los que / es decreciente.

ADVERTENCIA El valor en y es el va lor máximo local o valor mínimo local y tiene lugar en algún valor de x. Por ejemplo, en la figura 21 decimos que f tiene un mínimo local en 1 y el valor máximo local es 2.

■

El dominio de / es el conjunto de los números reales. (a) / tiene un máximo local en 1, ya que para toda x cercana a 1, tenemos que f ( x ) < / ( 1). El valor máximo local es /(1 ) = 2. (b) / tiene mínimos locales en -1 y en 3. Los valores mínimos locales son /( - 1 ) = 1 y / (3) = °. (c) La función cuya gráfica se da en la figura 21 es creciente para todos los valores de x entre -1 y 1 y para todos los valores de x mayores a 3. Es decir, la función es creciente en los intervalos (-1,1) y (3,oo) o para -1 < x < 1 y x > 3. La función es decreciente para todos los valores de x menores que -1 y para todos los valo res de x entre 1 y 3. Es decir, la función es decreciente en los intervalos (-o o ,-l) y (1,3) o para x < - l y l < x < 3 .

------Resuelve ahora

el

problema

17

y

19

Figura 22

5 Uso de una gráfica para localizar el máximo y mínimo absoluto Observa la gráfica de la función / de la figura 22. El dominio de / es el intervalo cerrado \a, b] . Además, el valor más grande de / es f ( u ) y el valor más pequeño de / es f ( v ) . A estos se les llama respectivamente m á x i m o a b s o lu to y m ín i m o a b s o lu to de / en [a, b \

dominio: [ a , b] para toda xen [a, b], f(x) < f(u) para toda xen [a, b], f(x) =» f(v) máximo absoluto: f(u) mínimo absoluto: f(v)

DEFINICIÓN Sea / una función definida en un intervalo I . Si existe un nú mero « e n / para el cual / ( x ) < / ( u ) para toda x en / , entonces f ( u ) es el máximo absoluto d e / en I y decimos que el máximo absoluto de/ se encuentra en u. Si existe un número v en I para el cual f ( x ) a f ( v ) para toda x en /, entonces / ( v ) es el mínimo absoluto de / en / y decimos que el mínimo absoluto de f se encuentra en v.

;

S E C C IÓ N 3.3


227

Algunas veces, al máximo absoluto y mínimo absoluto de una función / se les llama valores extremos de / en I. El máximo absoluto o el mínimo absoluto de una función / pueden no existir. Veamos algunos ejemplos.

EJEM PLO

Encontrar el máximo absoluto y el mínimo absoluto a partir de la gráfica de una función Para cada gráfica de una función y = f ( x ) de la figura 23 encuentra el máximo abso luto y el mínimo absoluto, si existen.

Solución

(a) La función / cuya gráfica se da en la figura 23(a) tiene al intervalo cerrado [0,5] como dominio. El valor más grande de / es /(3 ) = 6, el máximo absoluto. El valor más pequeño de / es /(O) = 1, el mínimo absoluto. (b) La función / cuya gráfica se muestra en la figura 23(b) tiene como dominio {jc11 < ;c ^ 5, x ^ 3}. Observa que excluimos al 3 del dominio debido a que hay un “hoyo” en (3,1). El valor más grande de / en su dominio es /(5 ) = 3, el máximo absoluto. No existe mínimo absoluto. ¿Puedes ver por qué? Al trazar la gráfica y acercarte al punto (3,1), no hay un valor más pequeño. [¡En cuando creas haber encontrado el valor más pequeño, puedes trazar un punto aún más cercano a (3,1) y obtener un valor aún más pequeño!] (c) La función / cuya gráfica se da en la figura 23(c) tiene como dominio al intervalo [0,5]. El máximo absoluto de / es /(5 ) = 4. El mínimo absoluto es 1. Observa que puedes encontrar el mínimo absoluto 1 en cualquier número del intervalo [1,2]. (d) La gráfica de la función / que se ilustra en la figura 23(d) tiene como dominio el in tervalo [0,oo). La función no tiene máximo absoluto, el mínimo absoluto es /(O) = 0. (e) La gráfica de la función / de la figura 23(e) tiene como dominio a {jc|1 s x < 5, x * 3}. La función / no tiene mínimo absoluto ni máximo absoluto. ¿Puedes ver por qué?

En cálculo existe un teorema con condiciones que garantizan que una función tendrá un máximo y un mínimo absoluto.

TEOREM A

Teorema del valor extremo Si / es una función continua* cuyo dominio es un intervalo cerrado [«, b], en tonces / tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto en [a, b].

J

Resuelve ahora

el

problema

45

♦Aunque se requiere de cálculo para dar una definición precisa, diremos por lo pronto que una función continua es aquella cuya gráfica no tiene saltos u hoyos y se puede trazar sin levantar el lápiz del papel.

228

C A P ÍT U L O 3


% 6 Uso de un dispositivo para elaborar gráficas para aproximar máximos locales y mínimos locales y para determinar dónde es creciente y dónde es decreciente una función ( lateralmente se requiere de cálculo para localizar los valores exactos en los que una función / tiene un máximo local o un mínimo local. Sin embargo, se puede usar un dispositivo para elaborar gráficas para aproximar estos valores usando las caracterís ticas MAXIMUM y MINIMUM.

EJEM PLO 6

Uso de un dispositivo para elaborar gráficas para aproximar máximos locales y mínimos locales y para determinar dónde es creciente y dónde es decreciente una función (a) Usa un dispositivo para hacer gráficas para obtener la representación de f ( x ) = fu' - 12.v + 5 para -2 < x < 2. Estima dónde f tiene un máximo local y don de f tiene un mínimo local. (b) Determina dónde es / creciente y dónde es decreciente.

Solución

(a) Los dispositivos para elaborar gráficas tienen una característica que encuentra el punto máximo o mínimo de una gráfica dentro de un intervalo dado. I raza la gráfica de la función / para -2 < x < 2. I-as instrucciones MAXIMUM y MINI MUM requieren que primero determinemos el intervalo abierto / Después el dispositivo para elaborar gráficas aproximará el valor máximo o mínimo en el intervalo. Al usar MAXIMUM encontramos que el valor máximo local es 11.53 y se da cuando .i = -0.82. redondeado a dos lugares decimales. Ver figura 24(a). Al usar MINIMUM, encontramos que el mínimo local es -1.53 y se da cuando .v = 0.82. redondeado a dos lugares decimales. Ver figura 24(b). 30

30

-10

-10

Figura 24

(«)

(b)

(b) En las figuras 24(a) y (b) vemos que la gráfica de f es creciente de .r = -2 a x = -0.82 y de x = 0.82 a x = 2. por tanto. / es creciente en los intervalos (-2 .-0 82) y (0.82.2) o para -2 < .v < -0.82 y 0.82 < .v < 2. La gráfica es decreciente de .r = -0.82 a x = 0.82. por tanto, f es decreciente en el intervalo (-0.82.0.82) o para -0.82 < x < 0.82.

^

Resuelvo ahori o phobum* 53

7 Encuentra la tasa de cambio promedio de una función En la sección 2.3 vimos que la pendiente de una recta se puede interpretar asmo la tasa de cambio promedio. Para encontrar la tasa de cambio promedio de una función entre cualesquiera dos puntos en su gráfica, calcula la pendiente de la recta que contiene los dos puntos.

DEFINICIÓN

Si a y />. íí * ó. son el dominio de una función y = dio d e /d e a a b se define como Tasa de cambio promedio =

Av A.v

f(x).

la tasa de cambio prome

f(b )-f(a ) b

- ti

a *■ b

(1)

J El símbolo Ay en (1) es el "cambio en y” y A.v es el "cambio en v". La tasa de cambio promedio de / es igual al cambio en y dividido entre el cambio en .v.

i S E C C IÓ N 3.3

EJEM PLO 7


229

Encontrar la tasa de cambio promedio Encuentra la tasa de cambio promedio de f ( x ) = 3.v2: (a) De 1 a 3 (b) De 1 a 5 (c) De 1 a 7

Solución

(a) La tasa de cambio de f ( x ) = 3.v: de 1 a 3 es Ay = /( 3 ) ~ / ( ! ) = 27 - 3 = 24 _ A.v 3 -1 3 -1 2

Figura 25

(b) La tasa de cambio de f ( x ) = 3.v2 de 1 a 5 es Ay = /( 5 ) ~ / ( l ) = 7 5 - 3 A.v 5-1 5-1 (c) La tasa de cambio de /(.v) = 3jv2 de 1 a 7 es Ay

/( 7 ) ~ / ( l )

147-3

Ax

7-1

7-1

Observa la figura 25 para la gráfica de f ( x ) - 3x2. La función / es creciente para .v > 0. El hecho de que la tasa de cambio promedio sea positiva para toda x v x v x x^ x 2 en el intervalo (1,7) indica que la gráfica es creciente en 1
Resuelve ahora el problema

61

La recta secante La tasa de cambio promedio de una función tiene una interpretación geométrica im portante. Observa la gráfica de y = f ( x ) de la figura 26. Hemos marcado dos puntos en la gráfica: (a, f (a)) y (b,f(b)). La recta que contiene a estos dos puntos se llama recta secante, su pendiente es f(b) - f(a)

TEOREM A

P e n d ie n te d e la recta se ca n te

La tasa de cambio promedio de una función de a a b es equivalente a la pen diente de la recta secante que contiene los dos puntos («,/(«)) y (b , f ( b )) en su gráfica.

J

EJEM PLO 8

Encontrar la ecuación de la recta secante Considera que g(x) = 3x2- 2x + 3. (a) Determina la tasa de cambio promedio de g de -2 a 1. (b) Determina una ecuación de la recta secante que contenga a (-2,g(-2)) y (l,g (l)). (c) Usando un dispositivo para elaborar gráficas, traza en la misma pantalla la gráfi ca de g y la recta secante que obtuviste en el inciso (b).

230

C A P ÍT U L O S

Funcione» y »u» gráfica»

Solución

(a) La lasa de cambio promedio de g ( x ) = 3-rJTasa de cambio promedio

2x

+ 3 de -2 a I c%

1 - ( - 2)

g(1)«3(1)2-2/1) * 3 * 4

4-19

g(-2) « 3f-2)2 - 2(-2) ♦ 3 » 19 - f - - 5

Figura 27

?4

(b) La pendiente de la recta secante que contiene a ( - 2 . g ( ~ 2 ) ) * (-2.19) y (I. /?(!)) = (1.4) es m tci = -5. Usamos la forma punto pendiente para encontrar la ecuación de la recta secante. y

- y t = m wc(X

y

- 19 = - 5 ( jt - ( —2)) *1 * -2. yl »^(-2) * 59, n’®«. * -6

y

—19 = —5x -

10

Simplifica

+

9

Forma pendiente-ordenad» d e Sa recta bocarte

y

—- 5 x

-

,r j )

Fo n rsa

punía-pendiente de l a

r e c t a fr e c a ^ T -e

(c) La figura 27 muestra la gráfica de g incluyendo la recta secante y = -5x + 9. II

PROBliMA

67

3.3 Evalúa tu entendimiento "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis 1. El intervalo (2.5) se puede escribir como la desigualdad ________(pp.120-121) 2. La pendiente de la recta que contiene los puntos (-2.3) y (3,8) e s __ (pp. 167-169) 3. Prueba la simetría con respecto al eje jr. al eje y y al origen de la ecuación y = 5x] - 1. (pp. 160-162)

Escribe la forma punto-pendiente de la recta con pendien te 5 que contiene al punto (3.-2). (p. 171) 5. Las intersecciones de la ecuación y = jr - 9 son________ (p p .159-160)

4.

Conceptos y vocabulario 6. Una función / e s ________en un intervalo abierto / si, para cualquier elección de .v, y x, en /. con .v, < ,r„ tenemos que/(.v,)/(.v;).

9. Verdadero o falso Una función / tiene un máximo local en c si existe un intervalo abierto / que contenga a c de manera que para toda i en /. f( t) s f(c). 10. Verdadero o falso Las funciones pares tienen gráficas que son simétricas con respecto al ongen.

Ejercicios En los problemas 11-20, usa la gráfica de la función f que se da. \ 11. ¿Es f creciente en el intervalo (-8,-2)? 12 . ¿Es f decreciente en el intervalo (-8,-4)? V 13. ¿Es / creciente en el intervalo (2,10)? 14 . ¿E s/ decreciente en el intervalo (2.5)? V 15. Indica los intervalos en donde / es creciente. 16. Indica los intervalos en donde / es decreciente. V 17. ¿Existe un valor máximo local en el 2? Si existe, ¿cuál es? 18. ¿Existe un valor máximo local en el 5? Si existe, ¿cuál es? ' ,l)- Indica los números en donde / tiene un máximo local. ¿Cuále: son los valores de las máximos locales? 20. Indica los números en donde / tiene un mínimo local. ¿Cuálesson los valores de los mínimas locales?

S E C C IÓ N 3.3


231

En los problemas 21-28, se da la gráfica de la función. Usa la gráfica para determinar: (a) Las intersecciones, si existen (b) El dominio y el rango (c) Los intervalos en los que es creciente, decreciente o constante (d) Si es par, impar o ninguna de las dos

En los problemas 29-32, se da la gráfica de una función f. Usa esta gráfica para determinar: (a) Los números en los que f tiene un valor máximo local, si existen. ¿Cuáles son los valores máximos locales? (b) Los números en los que f tiene un valor mínimo local, si existen. ¿Cuáles son los valores mínimos locales?

En los problemas 33-44, determina algebraicamente si cada función es par, impar o ninguna de las dos. = —3jc2 -

35.

g(x)

G(x) - Vx

39.

f ( x) = x + \x\

M *) = x2 - i

43.

h{x) =

'3 3 . f (x) = 4x3

34.

f ( x)

37. F(x) = '\fx

38.

41*g(x) = h

42.

=

2x4 -

x2

—x 3*2 - 9

5

36.

h(x) = 3*3 + 5

40-

f(x) = ^ 2 x 2 + 1

44.

F(x)

=

£ m

En los problemas 45-52, para cada gráfica de una fiinción y = f(x) determina el máximo absoluto y el mínimo absoluto, si existen.

232

C A P ÍT U L O 3


si.

52.

y¡ 2

y¡

(3, 2)

(1.3)

-

--------1---1 (- 2 - - 2) 2 .

(2.0)/ (4,1) ' f 1 x 1 / 3 J

/

( - 1 , 1 ) 5 / (0.2)1 (3,1) *

i ~1

i (2^0) 3

r*

-2

(—U~3)1

En los problemas 53-60, usa un dispositivo para hacer gráficas para obtener la representación de cada función en el intervalo que se indica y aproxima cualquier valor máximo local y mínimo local. Determina dónde es creciente la función y dónde es decreciente. Redondea las respuestas a dos lugares decimales.

53. f(x) = x3 - 3* + 2 (-2,2)

54.

55. /(* ) = x5 - x5 (-2,2)

56. f(x)

57. f{x) = -0.2*3 - 0.6*2 + 4x - 6 (-6, 4)

58. /(* ) = -0.4*3 + 0.6*2 + 3* - 2 (-4 ,5 )

59. f(x) = 0.25*4 + 0.3*3 - 0.9*2 + 3 (-3,2)

60. /(* ) = -0.4*4 - 0.5*3 + 0.8*2 - 2 (-3 ,2 )

6 1 . D e te r m in a la tasa d e c a m b io p r o m e d io d e / ( * )

~- 2x2+ 4

(a ) d e 0 a 2 (b ) d e 1 a 3 (c )

62.

de 1 a 4

D e te r m in a la tasa d e c a m b io p r o m e d io d e / ( * ) = - * 3 + 1 (a ) d e 0 a 2 (b ) d e 1 a 3 (c )

63.

de - 1 a 1

D e te r m in a la ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e

g(x) = *3- 2x + 1

(a ) d e - 3 a - 2 (b ) d e - 1 a 1 (c ) d e 1 a 3

64.

D e te r m in a la ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e

h(x) - x 2- 2 x + 3

(a ) d e - 1 a 1 (b ) d e 0 a 2 (c )

de 2 a 5

65. / ( * ) = 5* - 2 (a ) D e te r m in a la ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e 1 a 3. (b ) D e te r m in a la e c u a c ió n d e la re cta s e c a n te q u e c o n tie n e

\

/(* )

= x3 - 3X2 + 5 (-1 ,3 ) =

x4 - x2 (-2 ,2 )

66. /(*) = -4x + 1 (a) Determina la tasa de cambio promedio de 2 a 5. (b) Determina la ecuación de la recta secante que contiene a(2,/(2))y(5,(/(5)). 67. g(x) = x2- 2 (a) Determina la tasa de cambio promedio de -2 a 1. (b) Determina la ecuación de la recta secante que contiene a (-2, g(-2)) y (1, &(!))• 68. g(x) - x2+ 1 (a) Determina la tasa de cambio promedio de -1 a 2. (b) Determina la ecuación de la recta secante que contiene a (-l,g (-l))y (2, g(2)). 69. h(x) =x2- 2x (a) Determina la tasa de cambio promedio de 2 a 4. (b) Determina la ecuación de la recta secante que contiene a (2, h(2)) y (4, h(4)). 70. h(x) - 2 x 2+x (a) Determina la tasa de cambio promedio de 0 a 3. (b) Determina la ecuación de la recta secante que contiene a (0, /j(0)) y (3, h(3)).

a ( 1 > /( 1 ) ) y ( 3 , / ( 3 ) ) .

Práctica m ix ta-------------------------------------71. g(x)

= *3 - 27*

(a ) D e te r m in a si

72.

g es

p ar, im p a r o n in g u n a d e las d o s.

(b ) E x iste un v a lo r m ín im o lo c a l d e - 5 4 e n 3. D e te r m in a e l v a lo r m á x im o lo c a l. / ( * ) = - * 3 + 12* (a ) D e te r m in a si / e s par, im p a r o n in g u n a d e las d o s. (b ) E x iste un v a lo r m á x im o lo c a l d e 16 e n 2. D e te r m in a el v a lo r m ín im o lo c a l.

73. F(x) = x4 + 8*2 + 8 (a ) D e te r m in a si

F es

par, im p a r o n in g u n a d e las d o s.

(b ) E x iste un v alor m á x im o lo c a l d e 2 4 e n * = 2. D e t e r m in a un se g u n d o v a lo r m ín im o lo c a l. $ (c ) C o n sid e ra q u e e l á rea b a jo la gráfica d e

F en tr e

* = 0

y * = 3 q u e se en c u e n tr a a c o ta d a en la p a rte in fe r io r

por el eje * es de 47.4 unidades cuadradas. Usando el resultado del inciso (a), determina el área bajo la gráfica de F entre * = -3 y * = 0 acotada en la parte inferior por el eje *. 74. G(*) = -*4+ 32*2+ 144 (a) Determina si G es par, impar o ninguna de las dos. (b) Existe un valor máximo local de 400 en * = 4. Deter mina un segundo valor máximo local. ¿f, (c) Considera que el área bajo la gráfica de G entre * - 0 y * = 6 que está acotada en la parte inferior por el eje * es de 1612.8 unidades cuadradas. Usando el resul tado del inciso (a), determina el área bajo la gráfica de G entre* = - 6 y * = 0 acotada en la parte inferior por el eje *.

S E C C IÓ N 3.3


233

I Aplicaciones y extensiones *4. 75. Costo mínimo promedio El costo promedio por hora en dólares, C, de producir* cortadoras de pasto se puede mo delar por la función C(x) = 0.3*2 + 21* - 251 + -y?(a) Usa un dispositivo para hacer gráficas para obtener la representación de C = C(*). (b) Determina el número de cortadoras de pasto que se deben producir para minimizar el costo promedio. (c) ¿Cuál es el costo promedio mínimo? 76. Concentración de un medicamento La concentración C de un medicamento en el torrente sanguíneo / horas des pués de ser administrado se modela por la función C(t) = -0.002*4+ 0.039/3- 0.285/2+ 0.766/ + 0.085 (a) ¿Después de cuantas horas será más alta la concen tración? (b) Una mujer en periodo de lactancia debe esperar hasta que la concentración sea menor a 0.5 antes de ama mantar a su hijo. Después de tomar el medicamento, ¿cuánto debe esperar para darle de comer a su hijo? 77. Crecimiento de E-col¡ Se coloca una cepa de E-coli Beu 397-recA441 en un caldo con nutrientes a 30° Celsius y se deja que crezca. Se recolectan los datos que se muestran en la tabla. La población se mide en gramos y el tiempo en horas. Como la población P depende del tiempo t y cada entrada corresponde exactamente a una salida, podemos decir que la población es una función del tiempo, entonces P(t) representa la población en el tiempo /. (a) Determina la tasa de cambio promedio de la población de 0 a 2.5 horas. (b) Determina la tasa de cambio promedio de la población de 4.5 a 6 horas. (c) ¿Qué ocurre con la tasa de cambio promedio conforme pasa el tiempo?

1

Tiempo (horas), t

Población (gramos), P

0

0.09

2.5

0.18

3.5

0.26

4.5

0.35

6

0.50

78. Declaraciones de impuestos por Internet El presidente Bill Clinton consolidó la ley del Acta de reestructuración y reforma del servicio de rentas internas (RRA, por sus siglas en inglés) en 1998. Uno de los principales objetivos del RRA fue promover declaraciones de impuestos por Internet. Los datos en la siguiente tabla muestran el porcentaje de decla raciones de impuestos individuales que se mandaron elec trónicamente para los años de 2000-2008. Como el porcen taje P de declaraciones hechas electrónicamente depende del año y cada entrada corresponde exactamente a una salida, el porcentaje de declaraciones hechas electrónica

mente es una función del año, entonces P(y) representa el porcentaje de declaraciones hechas electrónicamente para el año y. (a) Determina la tasa de cambio promedio del porcentaje de declaraciones por Internet de 2000 a 2002. (b) Determina la tasa de cambio promedio del porcentaje de declaraciones por Internet de 2004 a 2006. (c) Determina la tasa de cambio promedio del porcentaje de declaraciones por Internet de 2006 a 2008. (d) ¿Qué pasa con la tasa de cambio promedio conforme pasa el tiempo?

") Año

Porcentaje de declaraciones por Internet

2000

27.9

2001

31.1

2002

35.9

2003

40.6

2004

47.0

2005

51.8

2006

54.5

2007

58.0

2008

59.8

F u e n te :

Internal Revenue Service

79. Para la función /(*) = *2, calcula cada tasa de cambio pro medio: (a) de 0 a 1 (b) de 0 a 0.5 (c) de 0 a 0.1 (d) de 0 a 0.01 (e) de 0 a 0.001 gj (f) Usa un dispositivo para hacer gráficas para obtener la representación de cada una de las rectas secantes junto con /. (g) ¿Qué crees que pasa con las rectas secantes? (h) ¿Qué pasa con las pendientes de las rectas secantes? ¿Se acercan a algún número? ¿Cuál es ese número? 80. Para la función /(*) = *2, calcula cada tasa de cambio pro medio: (a) de 1 a 2 (b) de 1 a 1.5 (c) de l a 1.1 (d) de l a 1.01 (e) de l a 1.001 Q (f) Usa un dispositivo para hacer gráficas para obtener la representación de las rectas secantes junto con /. (g) ¿Qué crees que pasa con las rectas secantes? (h) ¿Qué pasa con las pendientes de las rectas secantes? ¿Se acercan a algún número? ¿Cuál es ese número?

234

C A P ÍT U L O 3


& Los problemas 81-88 requieren de la siguiente discusión de una recta secante. La pendiente de una recta secante que contiene los dos puntos (x,f(x)) y (x + h,f(x + h) en la gráfica de una función y =f(x) se pueden dar como f(x

+

h)

-

f(x)

_

f{x

h)

+

(x + h) - x

-

f{x)

h* 0

h

En cálculo a esta expresión se le llama cociente de diferencias de f. (a) Expresa la pendiente de la recta secante de cada función en términos d e x y h. Asegúrate de simplificar tu respuesta. (b) Determina m$ccpara h - 0.5, 0.1 y 0.01 en x = 1. ¿A qué valor se aproxima msec cuando h se aproxima a 0? (c) Determina la ecuación para la recta secante enx = 1 con h - 0.01. ij

(d) Usa un dispositivo para hacer gráficas para obtener la representación de f y de la recta secante que obtuviste en el inciso (c) en la misma pantalla.

81. / ( x ) = 2x

82. f(x) = - 3x + 2

+ 5

85. f(x) = 2x2 - 3x + 1

86. f ( x) = - x 2 + 3x

- 2

83. f ( x) = x2 + 2x

84. f(x) = 2 x 2 + x

87. f(x)

88. f(x) =

= ^

4

X

Explicación de conceptos: discusión y escritura 89.

T ra za la g rá fica d e u n a fu n c ió n q u e te n g a la s sig u ie n te s

93.

¿ P u e d e u n a fu n c ió n se r p a r e im p a r? E x p lic a .

p ro p ied a d e s: d o m in io : t o d o s lo s n ú m e r o s re a le s; rango:

94.

U s a n d o u n d is p o s itiv o p a ra e la b o r a r g rá fic a s, o b té n la g rá

to d o s lo s n ú m e r o s rea le s; in te r se c c io n e s: ( 0 , - 3 ) y ( 3 ,0 ); un

fica d e

v a lo r lo c a l m á x im o d e - 2 e s tá e n - 1 ; u n v a lo r lo c a l m ín im o

e n c o n tr a r lo s v a lo r e s m á x im o s lo c a le s e n ( - 3 , 3 ) . C o m e n ta

d e - 6 e s tá e n 2. C o m p a r a tu g rá fica c o n la d e tu s c o m p a ñ e ros. C o m e n te n c u a lq u ie r d ife r e n c ia .

95.

e n ( - 1 ,2 ) . D e n u e v o co m p a r a tu g rá fic a c o n la d e tu s c o m

¿ C u á n ta s in te r se c c io n e s e n

x puede

96.

D e m u e s tr a q u e u n a fu n c ió n c o n s ta n te

f(x) = b

tie n e u n a

ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e 0. C o m p a r a la ta sa d e ca m b io p r o m e d io d e

te n e r u n a fu n c ió n d e fi

y = y/ 4 - x2 e n

e l in te r v a lo [ - 2 ,2 ] , E x p lic a

c ó m o p u e d e ocu rrir e s to .

n id a en un in te rv a lo si e s c r e c ie n te e n e l in te rv a lo ? E x p lic a .

92.

U n a fu n c ió n / tie n e u n a ta sa d e c a m b io p r o m e d io p o sitiv a e n e l in te r v a lo [2 ,5 ]. ¿ E s / c r e c ie n te e n [2 ,5 ]? E x p lica .

p a ñ e r o s y c o m e n te n c u a lq u ie r d ife r e n c ia .

91.

= 5 e n e l in te r v a lo ( - 3 , 3 ) . U s a M A X I M U M para

e l r e su lta d o q u e o b te n g a s d e la c a lcu la d o r a .

9 0 . T rabaja d e n u e v o e n e l p r o b le m a 8 9 c o n la sig u ie n te in fo r m a c ió n ad icio n a l: c r e c ie n te e n ( o o ,- l ) , ( 2 ,oo); d e c r e c ie n te

y

C o n sid e r a q u e u n a m ig o tu y o n o e n tie n d e la id e a d e fu n c io n e s c r e c ie n te s y d e c r e c ie n te s . D a u n a e x p lic a c ió n q u e e s c la r e z c a la id e a , in c lu y e n d o g rá fica s.

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?' 1 .2 <

x <5

2.1

3 . sim étr ica c o n r e s p e c to al e je

4. y

y

+ 2 =

5(x -

3)

5 . ( - 3 , 0 ) , ( 3 ,0 ) , ( 0 ,- 9 )

3.4 Directorio de funciones; funciones definidas por partes P r e p a r a c ió n

•

para esta

SECCIÓN Antes de empezar, repasa lo siguiente:

I n te r s e c c io n e s (s e c c ió n 2 .2 , p p . 1 5 9 - 1 6 0 )

•

G r á fic a s d e e c u a c io n e s c la v e (s e c c ió n 2.2: e je m p lo 3, p. 158; e je m p lo 10, p. 163; e je m p lo 11, p. 163; e je m p lo 12, p. 164)

Resuelve ahora los

p ro b lem a s d e la se c c ió n "¿Estás listo?" d e la p ág in a 241.

OBJETIVO S

1

Trazar las gráficas de las fundones Incluidas en el directorio de funciones (p. 234)

2

Trazar las gráficas de funciones definidas por partes (p. 239)

J t Trazar las gráficas de las funciones incluidas en el directorio de

funciones Primero introducimos algunas fundones nuevas, empezando con la función raíz cuadrada. En la página 163 trazamos la gráfica de la ecuación y = V x . La figura 28 muestra la gráfica de la función / ( x) - V x. Basándonos en la gráfica tenemos las siguientes propiedades;

S E C C IÓ N 3.4

«

Directorio de funciones; funciones definidas por partes

235

Figura 28 P ro p ied ad e s de f(x) = V x

1. El dominio y rango son el conjunto de números reales no negativos. 2. La intersección en x de la gráfica de f ( x ) = V x es 0. La intersección en y de la gráfica de f { x ) = V x es también 0. 3. La función no es par ni impar. 4. La función es creciente en el intervalo (0,oo). 5. La función tiene un mínimo absoluto de 0 en x = 0.

EJEM PLO 1

Gráfica de la función raíz cúbica (a) Determina si /( * ) = V x es par, impar o ninguna de las dos. Indica si la gráfica de / es simétrica con respecto al eje y o simétrica con respecto al origen. (b) Determina las intersecciones de la gráfica de / ( x ) = V x si existen. (c) Traza la gráfica de f { x ) = V x .

Solución

(a) Como / ( - * ) = V =jc = - V x = - f ( x ) la función es impar. La gráfica de / es simétrica con respecto al origen. (b) La intersección en y es /(O ) = V 5 = 0. La intersección en x se encuentra resolviendo la ecuación / ( jc) = 0. f(x)

= 0

Vx =

0 f(x) = ^x"

X — 0 Eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

La intersección en jc también es 0. (c) Usa la función para crear la tabla 4 para obtener algunos puntos de la gráfica. Debido a la simetría con el origen, encontramos solo puntos (jc,y) para los cuales jc > 0. La figura 29 muestra la gráfica de f ( x ) = V x

Tabla 4

X

y = f[x) = V x

(x,y)

0

1 8

1 2

"fN OO

(0,0)

0

1

1

(1,1)

2

V 2 ~ 1.26

(2-^2)

8

2

(8,2)

•J De los resultados del ejemplo 1 y la figura 29 tenemos las siguientes propiedades de la función raíz cúbica.

P ro p ied ad es de f(x) = V x

1. El dominio y el rango son el conjunto de todos los números reales. 2. La intersección en jc de la gráfica de / ( jc) = V x es 0. La intersección en y de la gráfica de / ( jc) = V x también es 0. 3. La gráfica es simétrica con respecto al origen. La función es impar. 4. La función es creciente en el intervalo ( - 00, 00). 5. La función no tiene ningún mínimo ni ningún máximo local.

236

C A i'í'i 111.0 3


EJEM PLO 2

Gráfica de la función de valor absoluto (a) Determina si f ( x ) = |x| es par, impar o ninguna de las dos, Indica si la gráfica de / es simétrica con respecto al eje y o respecto al origen, (b) Determina las intersecciones de la gráfica de f ( x ) = \x\, sí existen, (c) Tra/a la gráfica de f ( x ) = \x\.

Solución

(a) Como /<-*) = M = W = /<*) la función es par. La gráfica de / es simétrica con respecto al eje y . (b) La intersección en y es /(O) = |0| = 0. La intersección en r se encuentra al resolver la ecuación f ( x ) = 0 o |x| = 0. Así que la intersección en x es 0. (c) Usa la función de la tabla 5 para obtener algunos puntos para la gráfica. Debido a la simetría con el eje x, solo necesitamos encontrar puntos ( x . y ) para los cuales x 3: (). La figura 30 muestra la gráfica de f ( x ) = jjr|.

A partir de los resultados del ejemplo 2 y la figura 30 tenemos las siguientes pro piedades de la función de valor absoluto. P ro p ied ad es de f(x) = |x|

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales. El rango de / es {ytvô}. 2. La intersección con x de la gráfica de f ( x ) = [xj es 0. La intersección con y de la gráfica de f ( x ) = |x| también es 0. 3. La gráfica es simétrica con respecto al eje y . La función es par. 4. La función es decreciente en el intervalo (-oc.0). Es creciente en el inter valo (0,oo). 5. La función tiene un mínimo absoluto de 0 en x = 0.

Visualización del concepto Traza la g rá fica de y = (xj en un a p a n ta lla cu a d ra d a y co m p a ra co n lo q u e v e s e n la fig u ra 30. O b serva q u e alg u n a s ca lcu la d o ra s g rá fica s u san ab s(x) p ara el v a lo r ab so lu to .

A continuación se da una lista de funciones claves que hemos discutido. Al estu diarla. pon atención especial a las propiedades de cada función, particularmente a la forma de cada gráfica. Conocer estas gráficas, incluyendo los puntos clave en cada gráfica, te dará bases de más técnicas para graficar. Función co n stan te Figura 31

Fu n ció n co n sta n te

f(x)

y

(0,b) Ver la figura 31. X

=b

h

es un número real

S E C C IÓ N 3.4

Directorio de funciones; fundones definidas por partes

237

El dominio de una rundún constante es el conjunto de todos los números reales; su rango es el conjunto que consiste únicamente en el número b. Su gráfica es una recta horizontal cuya intersección en y es b. La función constante es una función par. Figura 32 F u n c ió n id e n tid a d

Fu nció n id en tid ad

/(* ) = -v

Ver figura 32. El dominio y el rango de la función identidad son el conjunto de todos los núme ros reales. Su gráfica es una recta cuya pendiente es 1 y cuya intersección con y es 0. La recta consiste en todos los puntos para los cuales la coordenada x es igual a la co ordenada v. La función identidad es una función impar creciente en todo su dominio. Observa que la gráfica biseca los cuadrantes I y III. Figura 33 F u n c ió n c u a d ra d a Fu nció n cu ad rad a

/(*)= ■ t 2

Ver figura 33. El dominio de la función cuadrada / es el conjunto de todos los números reales, su rango es el conjunto de los números reales no negativos. La gráfica de esta fun ción es una parábola cuyas intersecciones están en (0,0). La función cuadrada es una función par y es decreciente en el intervalo (-oo,0) y creciente en el intervalo (0,oo). Figura 34 F u n c ió n cú b ica

Función cúbica f(x)=x>

Ver figura 34. El dominio y rango de la función cúbica es el conjunto de todos los números rea les. La intersección de la gráfica está en (0,0). La función cúbica es impar y creciente en el intervalo ( - 0 0 , 0 0 ). Figura 35 F u n c ió n ra íz c u a d ra d a

y 2

Función raíz cu ad rad a

f(x)--

O .n ^ '

I , (0, 0) -1

f(x)

IT S

= V I

_ i __ 1__ 1— ►

Figura 36 Fu n ció n raíz cú b ica

5x

Ver figura 35. EL dominio y rango de la función raíz cuadrada es el conjunto de los números negativos. La intersección de la gráfica está en (0,0). La función raíz cuadrada no es par ni impar y es creciente en el intervalo (0,oo). Función raíz cúbica f(x)

= Vi

Ver figura 36. El dominio y rango de la función raíz cúbica es el conjunto de todos los números reales. La intersección de la gráfica está en (0,0). La función raíz cúbica es una fun ción impar y creciente en el intervalo ( - 0 0 , 0 0 ).

238

C A P ÍT U L O S

Fundones y su» gráficas

Función reciproca

Figura 37

F u n c ió n re c ip ro c a

Consulta el ejemplo 12 en la página 164 para una discusión de la ecuación y Ver figura 37. x El dominio y rango de la función reciproca es el conjunto de t
Figura 38

F u n c ió n v a lo r a b s o lu to

Ver figura 3H. El dominio de la función valor absoluto es el conjunto de todos los números rea les, su rango es el conjunto de los números reales no negativos. 1.a intersección de la gráfica está en (0,0). Si .t Ss 0, entonces f ( x ) = x y la gráfica de f es parte de la recta y = x; si .v < 0, entonces f ( x ) - -x y la gráfica de f es parte de la recta y = -x. La función valor absoluto es una función par, es decreciente en el intervalo (-oc,0) y creciente en el intervalo (0,oo). La notación cnl(x) significa el mayor entero menor o igual a x. Por ejemplo. ent(l)=l,

cnt(2.5) = 2,

e n t ^ J = 0.

e n t / - ^ = -l,

ent(jr) = 3

Frecuentemente encontramos este tipo de correspondencia en las matemáticas y. por lo tanto, recibe un nombre.

DEFINICIÓN

Función mayor entero f ( x) = cnt(x)* = mayor entero menor o igual a x

__1 Obtenemos la gráfica de / ( x) = ent(.v) al trazar diversos puntos. Ver tabla 6. Para valores de .v. -1 < .v < 0. el valor de f ( x) = ent(.v) es -1 : para valores de x . 0 s j < 1. el valor de / es 0. Ver figura 39 con la gráfica. Tabla 6

X -1 1 2 1 4 0 1 4 1 2 3 4

Figura 39 F u n c ió n m a y o r e n te ro

y = f(x) = ent{x) -1

y (x,y)

(-1,-1) (_\

V 2'

1 0

4

-ii ')

1 A V 4’ 7 (0,0) (

0

a»)

0

&•)

0

(;•»)

-i i. i -2

_L

W 2

4

x

-3

El dominio de la función mayor entero es el conjunto de todos los números rea les, su rango es el conjunto de los enteros. La intersección en y de la gráfica es 0. Las intersecciones en .v se encuentran en el intervalo [0.1). La función mayor entero no es par ni impar. Es constante en cada intervalo de la forma [k, k + 1), con k un numero entero. En la figura 39 usamos un punto negro sólido para indicar, por ejemplo, que en .v = 1 el valor de / es /(1 ) = 1, usamos un círculo vacio para ilustrar que la función no toma el valor de 0 en v = 1. ‘ A lgunos libros usan la notación

f(x) -

[x] en lugar de ent(.v).

t S E C C IÓ N 3.4

s Figura 40 j

>.

f(x) = ent (x)

239

Aunque una definición precisa requiere de la idea de límite que se discute en cálculo, se dice de manera general que una función es continua si su gráfica no tiene saltos u hoyos y se puede trazar sin levantar el lápiz del papel en el que se traza la gráfica. Veamos el contraste con una función discontinua. Una función es discontinua si su gráfica tiene saltos u hoyos, de manera que su gráfica no se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. De la gráfica de la función mayor entero podemos ver por qué se llama también función escalón. En x = 0, x = ± x = ±2, etc., esta función es discontinua debido a que para valores enteros, la gráfica “salta” de un valor a otro sin tomar ninguno de los valores intermedios. Por ejemplo, a la izquierda inmediata de x = 3, las coordenadas y de los puntos en la gráfica son 2 y en x = 3; y a la derecha inmediata de x = 3, las coordenadas y de los puntos en la gráfica son 3. Así que la gráfica tiene saltos.

6

(a)


Modo conexo

COMENTARIO Cuando tra c e s gráficas de una función con un dispositivo para elaborar gráficas pue des escoger el m odo co n exo , en el que los puntos trazados en la pantalla se conectan, lo cual da la impresión de que la gráfica no tiene salto s, o el m odo de p u n to s , en el que solo aparecen los puntos trazados. Cuando se hace la representación de la función mayor entero con un dispositivo para elabo rar gráficas, puede ser necesario hacerlo en modo de puntos para prevenir que el dispositivo “conecte los puntos” cuando f(x) cambia de un valor entero al siguiente. Observa la figura 4 0 . ■

(b) Modo de puntos

Las funciones que hemos estudiado hasta ahora son básicas. Cuando encuentres alguna de ellas, debes tener una imagen mental de su gráfica. Por ejemplo, si encuen tras la función f ( x ) = x 2, debes ver en tu mente una imagen como la de la figura 33. e,niaaESBE^Resu6lve ahora

el

problema

9

al

16

2 Gráficas de funciones definidas por partes Algunas veces se define una función usando ecuaciones diferentes en partes diferen tes de su dominio. Por ejemplo, la función valor absoluto f ( x ) - \x\ en realidad está definida por dos ecuaciones: f ( x ) = x si x & 0 y f ( x ) = - x si x < 0. Por conveniencia generalmente se combinan estas ecuaciones en una sola expresión como x /( * ) = M = { _ x

Si X > 0 Si x < 0

Cuando se define una función con diferentes ecuaciones en diferentes partes de su dominio, se le llama función definida por partes.

EJEM PLO 3

Análisis de una función definida por partes La función / se define como - 2 jc + 1 Si —3 < jc < 1 Si te = 1 /(*) = < 2 x2 Si x > 1 (a) Determina / ( —2), /(1 ) y /(2 ). (c) Localiza las intersecciones. (e) Usa la gráfica para encontrar el rango de / .

Solución

(b) Determina el dominio de / . (d) Traza la gráfica de / . (f) ¿Es / continua en su dominio?

(a) Para determinar /(-2 ) observa que cuando x = -2 la ecuación para / está dada por f ( x ) = -2x + 1. Entonces /(-2 ) = —2(—2) + 1 = 5 Cuando x = 1, la ecuación para / es f ( x ) = 2, Esto es, /(l) = 2 Cuando x = 2, la ecuación para / es f (x) = x 2. Entonces /(2 ) = 22 = 4

240

c a f ît

U LO 3


(b) Para determinar el dominio de / , observa su definición. Como / está definida para toda x mayor o igual a -3, el dominio de / es {x\x a -3} o el intervalo [-3,-x). (c) La intersección en y de la gráfica de la función es /(O). Como la ecuación para / cuando x = 0 es f ( x ) = -2x + 1, la intersección en y es /(O) = -2(0) + 1 = 1 . Las intersecciones en x de la gráfica de una función / son las soluciones reales de la ecuación f ( x ) = 0. Para encontrar las intersecciones en x de / , resuelve f ( x ) = 0 para cada “parte” de la función y después determina si los valores de x, si existen, satisfacen la condición que define a la parte. f(x) = 0 -2x + 1 = 0 -3 < -2 jc = -1 1

a

f(x) =0 <1 2=0 x=1 No tiene solución

fix) = 0 x 2= 0 x =0

.V> 1

La primera posible intersección en x, x = satisface la condición -3 £ x < 1, por 1 , 2 lo tanto x = - es una intersección en x. La segunda posible intersección en x, Figura 41

x = 0, no satisface la condición x > 1, entonces x = 0 no es una intersección en x. La única intersección en x es - . Las intersecciones son (0,1) y

2

a«)

(d) Para trazar la gráfica de / , trazamos “cada parte”. Primero, la recta y = -2x + 1 y conservamos solo la parte para la cual -3 ^ x < 1. Después trazamos el punto (1,2) debido a que, cuando x = 1, f ( x ) = 2. Por último, trazamos la parábola y = x 2 y conservamos solo la parte para la cual x > 1. Ver figura 41. (e) De la gráfica podemos concluir que el rango de / es {y[y > -1} o el intervalo (-l,oo). (f) La función / no es continua debido a que hay un “salto” en la gráfica en x = 1.


EL P R O B L E M A 2 9

Costo de la electricidad En el verano de 2009, la compañía Duke Energy suministró electricidad a residencias en Ohio por un cargo mensual al consumidor de $4.50 más 4.2345? por kilowatt-hora (kWhr) por los primeros 1000 kWhr suministrados en el mes y 5.3622? por kWhr para todo uso por encima de 1000 kWhr en el mes. (a) ¿Cuál es el cargo por el uso de 300 kWhr en un mes? (b) ¿Cuál es el cargo por usar 1500 kWhr en un mes? (c) Si C es el cargo mensual de x kWhr, desarrolla un modelo que relacione el cargo mensual y los kilowatt-hora usados. Esto quiere decir que expreses C como fun ción de x. Fuente: Duke Energy, 2009.

Solución

(a) Para 300 kWhr, el cargo es de $4.50 más 4.2345? = $0.042345 por k\Vhr. Esto es. Cargo = $4.50 + $0.042345(300) ) = $17.20 (b) Por 1500 kWhr, el cargo es $4.50 más 4.2345? por kWhr por los primeros 1000 kWhr más 5.3622? por kWhr por los 500 kWhr por encima de 1000. Esto es. Cargo = $ 4 . 5 0

+ $ 0 .0 4 2 3 4 5 (1 0 0 0 )

+ $ 0 .0 5 3 6 2 2 (5 0 0 )

= $ 7 3 .6 6

(c) Sea * el número de kilowatts-hora que se usaron. Si O ^ .v s 1 0 0 0 . el cargo men sual C (en dólares) se puede encontrar multiplicando .v veces $ 0 . 0 4 2 3 4 5 y su mando el cargo mensual al consumidor de $ 4 . 5 0 . Por lo tanto, si 0 ^ x ^ 1 0 0 0 . entonces C(x) = 0 .0 4 2 3 4 5 .V + 4 .5 0 .

S E C C IÓ N 3.4

Directorio de fundones; funciones definidas por partes

241

Para .v > l(HX), el cargo es 0.042345( 1000) + 4.50 + 0.053622(.v - 1000), debido a que .v - 10(X) equivale al uso por encima de los 1000 kWhr, lo cual cuesta $0.053622 por kWhr. Es decir, si x > 1000, entonces C(.v) = 0.042345(1 (XX)) + 4.50 + 0.053622(.r - 1000) = 46.845 + 0.053622 (.t - 1000) = 0.053622t- 6.777 La regla para calcular C obedece dos ecuaciones: 500 1000 Uso(kWhr)

1500 x

= (°-042345* + lo.053622.V -

C(.r)

4.50 6.777

Si 0: .v < 1000 Si * > 1000

El modelo

Ver figura 42 con la gráfica

3.4 Evalúa tu entendimiento "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de los ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 3. Indica las intersecciones de la ecuación y = x3 - 8. (pp. 159-160)

1. Bosqueja la gráfica de y = V i. (p. 163) 2. Bosqueja la gráfica de y = —. (pp. 164-165)

Conceptos y vocabulario 7. Verdadero o falso La función de raíz cúbica es impar y es decreciente en el intervalo (- 00, 00). 8. Verdadero o falso El dominio y el rango de la función recíproca es el conjunto de todos los números reales.

4. La función / (jc) = .r es decreciente en el intervalo________ 5. Cuando se definen funciones por medio de más de una ecuación, se llaman funciones-----------------6. Verdadero o falso La función cúbica es impar y es cre ciente en el intervalo (- oo,oo).

Ejercicios En los problemas 9-16, asocia cada gráfica con su función. A. Función constante

B. Función identidad

C. Función cuadrada

D. Función cúbica

E. Función raíz cuadrada

F. Función recíproca

G. Función valor absoluto

H. Función raíz cúbica

\ 9.

\

10

.

\ ll.

\ 13.

\

14.

\

15.

En los problemas 17-24, bosqueja la gráfica de cada función. Asegúrate de marcar tres puntos en la gráfica.

17. f { x ) = x

18. f (x) = x2

19. f (x) = x3

20. f{x) = V x

21. / ( * ) = 7

22.f(x) = M

23. f(x) = V i

24. f (x) = 3

x 25. Si f(x) = < 2 2x + 1 determina (a) /(-2) 27. Si/(* ) = U

- 4

_

2

determina (a) /(0)

-3x 26. Si f{x) = < 0 2x2 + 1

Si x < 0 Si x = 0 Si x > 0 (b) /(0)

determina (a) /(-2)

(c) /(2)

Si —1 < x 2 Si 2 < x < 3 (b )/(l)

(c)/(2)

Si x < -1 Si jc = —1 Si x > -1 (b )/(-l)

(c)/(0)

Si—2 < x < 1 Si 1 < x < 4 (d)/(3)

determina (a) /( - l)

(b)/(0)

(c )/(l)

(d)/(3)

242

C A P ÍT U L O 3


En los problemas 29-40: (a) Determina el dominio de cada función, (d) A partir de la gráfica, encuentra el rango. 2x

Si x s* 0

-2 x - 3 . J1+ x 35. /(x ) = < , x2 38./(x ) =

[2 - x .V x

(c) Traza la gráfica de cada función.

(b) Localiza cualquier intersección, (e) ¿Es f continua en su dominio? 30. f(x)

3* ■( 4

33. f(x) =

Si x s -2

Si x * 0 Si a: = 0

x +3 5 „-x + 2

Si x < 0 Si x 0

n 36. f(x) = < X tfx

Si -3 s x < 1 Si x > 1

39. / ( a ) = 2 ent(x)

3 l . f ( x) = ( ~ 2X + 3 1 \3x - 2

Si -2 s x < Si x = 1 Si x > 1

2x + 5 34. /(* ) = , -3 - 5 a:

Si x < 0 37./(x ) = | Si Jt > 0

|x| x3

S,x<í Sí x 2= 1 Sí —3 s a: < 0 Si x = Ü Sí x > 0

Si - 2 ^ x < 0 Si x > 0

40. /(x ) = ent(2x)

En los problemas 41-44, se da la gráfica de una función definida por partes. Escribe una definición para cada función. 41. 42. 44. y 43. y 2 ( 2 , 1)

(-1,1)'

( 2. 1 )

(

\

2

\

( 2.

2)

_ \( 1 .1 )

( - 1. 1) \ J______L

-2

(

__ 1____ 1___ , 1

J______L

2 x

0 , 0)

1

(0, 0)

"2

1 r 2 x

1 -2

1

^ (0, 0)

\

(2 . 0) *

-t?

2 *

"2

/ ( - 1, - 1)

45. Si /(x) = ent(2x), determina (a)/(1.2)

(b)/(1.6)

4 6 . Si / ( x ) = en t^

(c)/(-1.8)

( a ) / ( 1 .2 )

d e te r m in a

(b)/(1.6)

(c) /(-1.8)

Aplicaciones y extensiones 47. Servicio de teléfono celular Sprint PCS ofrece un plan mensual de teléfono celular por $39.99. Éste incluye 450 minutos a cualquier hora y cobra $0.45 el minuto por cada minuto adicional. La siguiente función se usa para calcular el costo mensual de cada usuario: | 39.99 Si 0 < x < 450 (0.45x - 162.51 Si x > 450 donde x es el número de minutos incluidos usados. Cal cula el costo mensual del teléfono celular para el uso del siguiente número de minutos: (a) 200 (b) 465 (c)451 C(x) =

F u en te: S p r in t P C S

48. Estacionamiento en el Aeropuerto Internacional O'Hare La tarifa F (en dólares) de estacionamiento a corto plazo (no más de 24 horas) por estacionarse x horas en el estacio namiento principal del Aeropuerto Internacional O'Hare se puede modelar por la función 3 Si 0 < x £ 3 5 ent (x + 1) +1 Si 3 < x < 9 ,50 Si9
F u en te: O 'H a r e In te rn a tio n a l A i r p o r t

49. Costo del gas natural En abril de 2009, Peoples Energy tenía el siguiente esquema de tarifas por el uso de gas natural en residencias familiares:

Cargo mensual por servicio $15.95 Cargo por termina de servicio Primeras 50 termias $0.33606/termia $0.10580/termia Más de 50 termias Cargo por gas $0.3940/termia (a) ¿Cuál es el cargo por el uso de 50 termias al mes? (b) ¿Cuál es el cargo por el uso de 500 termias al mes? (c) Desarrolla un modelo que relacione el cargo mensual C por x termias de gas. (d) Haz una gráfica de la función que encontraste en el in ciso (c). F u en te: P e o p le s E n e rg y , C h ic a g o , Illin o is. 2 0 0 9

50. Costo del gas natural En abril de 2009, Nicor Gas tenía el siguiente esquema de tarifas por el uso de gas natural en residencias familiares: $8.40 Cargo mensual por servicio Cargo por distribución Primeras 20 termias $0.1473/termia Siguientes 30 termias $0.0579/termia $0.0519/termia Más de 50 termias Cargo por surtir el gas $0.43/termia (a) ¿Cuál es el cargo por el uso de 40 termias al mes? (b) ¿Cuál es el cargo por el uso de 150 termias al mes? (c) Desarrolla un modelo que relacione el cargo mensual C por x termias de gas. (d) Haz una gráfica de la función que encontraste en el inciso (c). F u en te: N ic o r G a s, A u r o r a , Illin o is , 2 0 0 9

4 S E C C IÓ N 3.4

%

r

O

243


>

«51» Impuesto federal por ingresos E n la s ig u ie n te ta b la se m u e str a n d o s e s q u e m a s p a ra ta rifa s d e , in g r e so g ra v a b le y y e s e l im p u e s to q u e s e d e b e , c o n str u y e u n a fu n c ió n y = f(x) p ara e l e s q u e m a

im p u e s to s d e l 2 0 0 9 . S i

x

es el

X.

ESQUEMAS DE TARIFAS DE IMPUESTOS 2009 2 Esquema X—-Soltero Si el impuesto gravable Pero no excede de excede de

Esquema Y-1 —Cónyuges que declaran juntos o viudos calificados El impuesto es esta cantidad

Más este %

Del excedente sobre

Si el impuesto El impuesto gravable es esta Pero no excede de excede de cantidad

+

10%

$0

$0

$16,700

$8 35.00

+

15%

8,350

16,700

67,900

82,25 0

4,675 .0 0

+

25 %

33,950

67 ,90 0

82,25 0

171,550

16,750.00

+

28 %

82,250

171,550

37 2,9 50

41 ,7 5 4 .0 0

+

33 %

108,216.00

+

35 %

$0

$8,350

8,350

33,95 0

33,950

37 2,950 F u e n te :

e

-

-

Más este %

Del excedente sobre

+

10%

$0

$1,670.00

+

15%

16,700

137,050

9,350.00

+

25 %

67,90 0

137,050

208,850

26 ,637.50

+

28%

137,050

171,550

208,850

372,950

46 ,741.50

+

33%

20 8,8 50

37 2,9 50

372,950

-

100,894.50

+

35 %

37 2,950

-

Internal Revenue Service

Impuesto federal por ingresos

C o n su lta la ta b la d e e s

q u e m a s d e ta rifa s d e im p u e s to s 2 0 0 9 . S i

x

e s e l im p u e s to

g ra v a b le y y e s e l im p u e s to q u e s e d e b e p a g a r, c o n str u y e

y = f(x) p a ra e l e s q u e m a Y - l . 53. Costo de transporte de productos U n a c o m p a ñ ía

u su a r io u n a ta sa d e in te r é s d e 1.5% al m e s p o r lo s p rim er o s

$1000 q u e s e d e b e n y d e 1 % al m e s p o r c u a lq u ier sa ld o sin p a g a r q u e e x c e d a lo s $1 0 0 0 . D e te r m in a la fu n c ió n

g

que

in d ic a e l m o n to d el in te r é s c o b r a d o al m e s e n un s a ld o d e

u n a fu n c ió n

de ca

m io n e s tra n sp o r ta p r o d u c to s e n tr e C h ic a g o y N u e v a Y o rk ,

g. 57. Factor de enfriamiento por viento

x

d ó la r e s. H a z la g rá fic a d e

E l fa cto r d e e n fr ia

u n a d ista n c ia d e 9 6 0 m illa s. L a p o lític a d e la c o m p a ñ ía e s

m ie n to p o r v ie n to r e p r e s e n ta la te m p e r a tu r a e q u iv a le n te

co b ra r p o r ca d a lib ra $ 0 .5 0 p o r m illa p o r la s p rim er a s 100

d e l v ie n to a u n a v e lo c id a d e stá n d a r d e l v ie n to q u e p ro d u c e

m illa s, $ 0 .4 0 p o r m illa p o r la s s ig u ie n te s 3 0 0 m illa s, $0.25

la m ism a p é rd id a d e e n e r g ía q u e la te m p e r a tu r a y v e lo c i

p o r m illa p o r la s s ig u ie n te s 4 0 0 m illa s y n o c o b r a p o r las

d ad d el v ie n to d a d o s. U n a fó rm u la para ca lcu la r la te m p e

160 m illa s r e sta n te s.

ratu ra e q u iv a le n te e s

(a) H a z u n a gráfica d e la rela ció n en tre e l c o s to d e transporte 0 s t ) <

en d ólares y las m illas d e la ruta co m p le ta d e 9 6 0 m illas. (b ) D e te r m in a e l c o s to c o m o fu n c ió n d e la s m illa s p o r tra n sp o r te en tr e 100 y 4 0 0 m illa s d e C h ica g o .

(1 0 .4 5 + 1 0 V ü -

(c ) D e te r m in a e l c o s to c o m o fu n c ió n d e las m illa s p o r

33 -

w )(3 3 -

t) 1.79 <

W = < 33 -

2 2 .0 4

v

< 20

v > 20

t)

1 .5 9 5 8 (3 3 -

1.79

tra n sp o r te e n tr e 4 0 0 y 8 0 0 m illa s d e C h ic a g o .

54.

Costos de rentar un auto

R e n ta r u n a u to c o m p a c to en

d o n d e v r e p r e se n ta la v e lo c id a d d e l v ie n to (e n m e tr o s p or

t r e p r e se n ta

F lo r id a e n N a tio n a l C ar R en tal® c u e s ta $95 p o r se m a n a .

seg u n d o ) y

C a d a d ía e x tr a c u e s ta $ 2 4 p o r d ía h a sta q u e la ta rifa d ia

cu la e l fa c to r d e tem p e ra tu r a p o r v ie n to p ara lo sig u ien te:

ria e x c e d a la ta rifa se m a n a l, e n c u y o c a s o la ta rifa q u e s e

(a ) U n a tem p e ra tu r a d e l aire d e 10°C y u n a v e lo c id a d d el v ie n to d e 1 m e tr o p o r s e g u n d o (m /s).

a p lic a e s la s e m a n a l. A d e m á s , c u a lq u ie r p a r te d e u n d ía c u e n ta c o m o d ía c o m p le t o . E n c u e n tr a e l c o s to C d e r e n tar u n a u to c o m p a c to c o m o fu n c ió n d e l n ú m e r o

x de

la tem p e ra tu r a d e l aire (°C ). C a l

(b ) U n a tem p e ra tu r a d el aire d e 10°C y u n a v e lo c id a d d el v ie n to d e 5 m /s.

d ía s

u s a d o s , d o n d e 7 < x s 14. H a z la g rá fic a d e e s ta fu n c ió n . 55. Pago mínimo de tarjetas de crédito L o s u su a r io s d e tar

(c ) U n a tem p e ra tu r a d el aire d e 10°C y u n a v e lo c id a d d el

je ta s d e c r é d ito d e b a n c o s, tie n d a s d e p a r ta m e n ta le s, co m -,

(d ) U n a tem p e ra tu r a d e l aire d e 10°C y u n a v e lo c id a d d el

v ie n to d e 15 m /s. v ie n to d e 25 m /s.

p a ñ ía s p e tr o le r a s, e tc ., r e c ib e n fa ctu ra s m e n s u a le s q u e in d ica n e l m o n to m ín im o q u e h a y q u e p a g a r e n u n a cierta

( e ) E x p lic a e l sig n ific a d o físic o d e la e c u a c ió n q u e co r re s p o n d e a 0 < v < 1.79.

fec h a . E l m o n to m ín im o d e p e n d e d e l m o n to to ta l q u e se d e b e . U n a co m p a ñ ía d e ta rjeta s d e c r é d ito u sa las sig u ie n te s reglas: P o r u n a factu ra m e n o r a $ 1 0 , se d e b e p agar la ca n tid a d to ta l. Para u n a fa ctu ra d e p o r lo m e n o s $ 1 0 p e r o m e n o s d e $5 0 0 , e l m o n to m ín im o e s d e $10. S e d e b e p a gar un m o n to m ín im o d e $ 3 0 e n u n a fa ctu ra d e p o r lo m e n o s $ 5 0 0 p e r o m e n o s d e $ 1 0 0 0 , u n m ín im o d e $ 5 0 p o r una

(f)

E x p lic a e l sig n ific a d o físic o d e la e c u a c ió n q u e co r re s p o n d e a v > 20 .

58. Factor de enfriamiento por viento

T rab aja d e n u e v o en

e l p r o b le m a 5 7 in c iso s ( a ) - ( d ) c o n una tem p era tu ra d el aire ig u a l a -1 0 ° C .

59. Correo de primera clase

E n 2 0 0 9 e l S e r v icio P o sta l d e

factu ra d e p o r lo m e n o s $ 1 0 0 0 p e r o m e n o s d e $ 1 5 0 0 y un

E .U . c o b r ó $1 .1 7 p o r tim b re s para co r r e sp o n d en cia p lan a

m ín im o $70 p o r u n a fa ctu ra d e $ 1 5 0 0 o m ás. D e te r m in a la

d e p rim era c la se (c o m o p o r e je m p lo un so b re d e 8 .5 ” p or

fu n c ió n / q u e d escrib a e l m o n to m ín im o a p agar p o r una

x d ó la re s. H a z u n a g rá fica d e / . 56. Pago de intereses en tarjetas de crédito C o n su lta

11J’) q u e p esa r a n h asta 1 o n z a , m ás $0 .1 7 p or ca d a o n za a d ic io n a l h a sta 13 o n z a s. D e sa r r o lla un m o d e lo q u e re la

factu ra d e

e l p ro

c io n e C, la tarifa para tim b re s d e c o r r e o d e p rim era cla se

b le m a 55. E l u su a rio d e la ta rjeta d e c r é d ito p u e d e p agar

q u e se c o b r ó p o r c o r r e sp o n d e n c ia p la n a q u e p esara

cu a lq u ier ca n tid a d en tr e e l m o n to m ín im o y la ca n tid a d to

zas. H a z u na g ráfica d e la fu n ció n .

tal q u e s e d e b e . L a co m p a ñ ía q u e e m ite la tarjeta co b ra al

F u e n te : U n ite d S ta tes P o s ta l S e rv ic e

x

on

244

C A P ÍT U L O 3


Explicación de conceptos: discusión y escritura En los problemas 60-67, usa un dispositivo para elaborar gráficas. 60. Exploración Elabora la gráfica de y = x2. Después, en la misma pantalla, traza y =x2+ 2, seguida de y = x2+ 4, segui da de y - x2- 2. ¿Que patrón observas? ¿Puedes predecir la gráfica de y = x2- 4? ¿La de y = x2+ 5? 61. Exploración Elabora la gráfica de y = x2. Después en la misma pantalla traza y = (x - 2)2, seguida de y = (x - 4)2, seguida de y - (x + 2)2. ¿Qué patrón observas? ¿Puedes predecir la gráfica de y = (x + 4)2? ¿La de y = (x - 5)2? 62. Exploración Elabora la gráfica de y - |jc|. Después en la misma pantalla traza y = 2\x \ seguida de y = 4|x|, seguida de

65. Exploración Elabora la gráfica de y = x3. Después en la misma pantalla traza y = (x - 1)’ + 2. ¿Pudiste haber predícho el resultado? 66. Exploración Elabora la gráfica de y = x2, y = x* y y = en la misma pantalla. ¿Qué similitudes observas en cada gráfica? ¿Qué diferencias observas? 67. Exploración Elabora la gráfica de y = jc3, y = x5y y = x1 en la misma pantalla. ¿Qué similitudes observas en cada gráfica? ¿Qué diferencias observas? 68. Considera la ecuación Si x es racional Si x es irracional

y = -\x\. ¿Qué patrón observas? ¿Puedes predecir la gráfica de y = ~\x\l ¿Ladey = 5|x|? 63. Exploración Elabora la gráfica de y = x2. Después en la misma pantalla traza y = -x2. ¿Qué patrón observas? Aho ra trata con y = |x| y y = -|x|. ¿Qué puedes concluir? 64. Exploración Elabora la gráfica de y = Vx. Después en la misma pantalla traza y = V -x . ¿Qué patrón observas? Ahora intenta con y -2 x + \ y y = 2(-x) + 1. ¿Qué puedes concluir?

¿Es esto una función? ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su rango? ¿Cuál es su intersección con y, si existe? ¿Cuáles son sus intersecciones con x, si existen? ¿Es par, impar o ninguna de las dos? ¿Cómo describirías su gráfica? 69. Define algunas funciones que pasen por (0,0) y (1,1) y sean crecientes para x s 0. Empieza tu lista con y = V x , y = x, y y = x2. ¿Puedes proponer un resultado general acerca de esas funciones?

Respuestas a los problemas de la sección "¿Estás listo?" 3. (0,-8), (2,0)

3.5 Técnicas para elaborar gráficas: transformaciones O BJETIVO S

1

Trazar gráficas de funciones usando traslaciones verticales y horizontales (p. 244)

2

Trazar gráficas de funciones usando compresiones y estiramientos (p. 247)

3 Trazar gráficas de funciones usando reflexiones en el eje x y el eje y (p. 250)

J

Si en este punto te pidieran que trazaras la gráfica de cualquiera de las funciones definidas por y = x, y = x 2, y = x 3, y - V x , y — V x , y — —, o y = |x|, tu respuesta debería de ser, “si, reconozco estas funciones y conozco las formas generales de sus gráficas”. (Si ésta no es tu respuesta, repasa la sección anterior, figuras 32 a la 38). En ocasiones, se nos pide que tranzar la gráfica de una función que es “casi” la misma que una que ya sabemos representar. En esta sección desarrollaremos técni cas para hacer tales gráficas de funciones. A estas técnicas en conjunto se les llama transformaciones.

1 Gráficas de funciones usando traslaciones verticales y horizontales EJEM PLO 1

Traslación vertical hacia arriba Usa la gráfica de /(x ) = x2 para obtener la gráfica de g(x) = x2 + 3.

Solución

Empieza por obtener algunos puntos en las gráficas de / y g. Por ejemplo, cuando x = 0, entonces y = /(0 ) = 0 y y = g(0) = 3. Cuando x = 1, entonces y = /(1 ) = 1 y

S E C C IÓ N 3.5

Técnicas para trazar gráficas: transformaciones

245

y = #(1) = 4. La tabla 7 muestra estos y algunos otros puntos de cada gráfica. Observa que cada coordenada y de un punto en la gráfica de g es 3 unidades más grande que la coordenada y correspondiente al punto en la gráfica de / . Podemos concluir que la gráfica de g es idéntica a la de / , excepto que está corrida verticalmente hacia arriba 3 unidades. Ver figura 43.

Figura 43

Tabla 7

EJEM PLO 2

Traslación vertical hacia abajo Usa la gráfica de /(.v) = .r: para obtener la gráfica de g(x) = x 2- 4.

Solución

La tabla 8 muestra algunos de los puntos en las gráficas de / y g. Observa que cada coordenada y de g es 4 unidades menor que la coordenada y correspondiente de / . Para obtener la gráfica de g a partir de la gráfica de / , resta 4 de cada coordena da y en la gráfica de / . La gráfica de g es idéntica a la gráfica de / excepto que está corrida 4 unidades hacia abajo. Ver figura 44. y

Il

Tabla 8

II

X

= 9 (x) = x2 - 4

-2

4

-1

1

-3

0

0

-4

1

1

-3

2

4

0

0

Exploración

Figura 45 Y2 = x 2 + 2

Traza la gráfica de las sig u ien tes fu n cio n e s en la m ism a pantalla: = x2 / 2= x 2+ 2 / , = x 2- 2

Yy = x 2 en la pantalla, la Y2= x 2 + 2 es id én tica a la de / , = x 2, excep to que está corrida 2 u n idades v e rticalm e n te hacia arriba. La gráfica de Y} = x 2 - 2 es id éntica a la de Yt = x 2, excep to que está corrida 2 u n idades v e rtical La fig ura 45 ilustra las gráficas. D ebes h ab er o bservad o un patrón gen eral. Con gráfica de

m e n te hacia ab ajo .

___________________________________________________________________________________________ j

Llegamos a las siguientes conclusiones:

ResuBlve ahora

el p r o b l e m a

39

246

CAPÍTULO 3


EJEM PLO 3

Traslación horizontal hacía la derecha Usa la gráfica de / ( jc) = x 2 para obtener la gráfica de # ( jc) = (x - 2 f .

Solución Figura 46 2 unidades

La función g(x) = (jc - 2)2es básicamente una función cuadrada. La tabla 9 muestra algunos puntos de las gráficas de / y g. Observa que cuando f (x) = 0 entonces x = 0 y cuando g(jc) = 0, entonces x = 2. Además, cuando / ( jc) = 4, entonces x = -2 o 2, y cuando g(x) = 4, entonces x = 0 o 4. Observa que las coordenadas x de la gráfica de g son dos unidades más grandes que las coordenadas en x correspondientes de la gráfica de / para cualquier coordenada y dada. Podemos concluir que la gráfica de g es idéntica a la de / , excepto que está corrida dos unidades horizontalmente hacia la derecha. Ver figura 46. y = g(x)

Il II

Tabla 9

X

= (x - 2)2

-2

4

16

0

0

4

2

4

0

4

16

4

Exploración T raza la g ráfica de las sig u ien tes fu n cio n e s en la m ism a pantalla:

K,=x2 T2 = (x - 3 )2 V'j = (x + 2)2 La fig ura 47 ilustra las gráficas. D ebes h ab e r o b servad o un patró n g e n era l. Con T, = x 2 en la p an talla, la gráfica d e

Y2 = (x - 3 )2es

id én tica a la de / , = x 2, e xce p to q u e está co rrida 3 u n id ad es h o rizo n talm en te h acia la d e rech a. La gráfica d e Vj = (x + 2 )2es id én tica a la d e V, = x 2, e xcep to q u e está co rrida 2 u n id ad e s h o rizo n talm en te h acia la izqu ierd a.

Llegamos a la siguiente conclusión.

r r

En palabras

r Si un número h se resta de r r

r

c r

r

x en y = f(x), la gráfica de la nueva función y = f(x - h) es la gráfica de y = f(x ) corrida h unidades horizontalmente a la derecha. Si h se suma a x, el corrimiento es de h unidades horizontales a la izquierda.

EJEM PLO 4

Si el argumento x de una función / se sustituye por jc - h, h > 0, la gráfica de la nueva función y = f ( x - h) es la gráfica de / corrida horizontalm ente a la dere cha h unidades. Si el argumento x de una función / se sustituye por jc + h, h > 0, la gráfica de la nueva función y = f ( x + h) es la gráfica de / corrida horizontalm ente a la izquierda h unidades.

Traslación horizontal a la izquierda Usa la gráfica de / ( jc)

Solución

=

jc2

para obtener la gráfica de g(.r) =

(jc

+ 4)2.

Una vez más, la función g(jc) = (jc + 4)2es básicamente la función cuadrada. Su gráfica es la misma que la de / , excepto que está corrida 4 unidades horizontalmente a la izquierda. Ver figura 48.

Resuelve ahora

el

problema

43

S E C C IÓ N 3.5


247

Observa la diferencia entre traslaciones horizontales y verticales. La gráfica de /(.v) = V x + 3 se obtiene al correr la gráfica de y = V x, 3 unidades hacia a r r ib a , porque evaluamos primero la función raíz cuadrada y después sumamos 3. La gráfica de g ( x ) = V x + 3 se obtiene al correr la gráfica de y = V x, 3 unidades a la iz q u ie r d a , porque sumamos 3 unidades a x antes de evaluar la función de raíz cuadrada. A veces se combinan traslaciones horizontales y verticales.

I EJEM PLO 5

Combinación de traslaciones verticales y horizontales Traza la gráfica de la función /(x ) = (x + 3)2- 5

Solución

Trazaremos la gráfica de / por pasos. Primero observa que la regla para / es básica mente la función cuadrada, así que empieza con la gráfica de y = x2 como se muestra en la figura 49(a). Después, para obtener la gráfica de y = (x + 3)2, corre la gráfica de y = x2, 3 unidades horizontalmente a la izquierda. Ver figura 49(b). Por último, para obtener la gráfica de y = (x + 3)2 - 5, corre la gráfica de y = (x + 3)2, 5 unidades verticalmente hacia abajo. Ver figura 49(c). Observa los puntos trazados en cada gráfica. Es útil usar puntos clave para poder visualizar las transformaciones que se han llevado a cabo.

y

Aerifica:

Traza la gráfica de Y 1 = f {x) = (x + 3)2- 5 y compara con la gráfica de la figura 49(c).

En el ejemplo 5, si se hubiera realizado la traslación vertical primero, seguido de la traslación horizontal, se habría obtenido la misma gráfica. Inténtalo.

Resuelve ahora

EL P R O B L E MA 4 5

2 Gráfica de funciones usando compresiones y estiramientos EJEM PLO 6

Estiramiento vertical Usa la gráfica de /(x ) = |x| para obtener la gráfica de g(x) = 2|x|.

Solución

Para ver la relación que hay entre las gráficas de / y g, crea la tabla 10, dando pun tos de cada gráfica. Para cada x, la coordenada y de un punto en la gráfica de g es 2 veces más grande que la coordenada y correspondiente en la gráfica de / . La gráfica de /(x ) = |x| se estira verticalmente por un factor de 2 para obtener la gráfica de g(x) = 2|x| [por ejemplo, (1,1) está en la gráfica de / , pero (1,2) está en la gráfica de g]. Ver figura 50.

248

C A P ÍT U L O 3


Tabla 10

y = f(x) X

EJEM PLO 7

=

y = g (x )

M

= 2 |x |

-2

2

4

-1

1

2

0

0

0

1

1

2

2

2

4

Compresión vertical Usa la gráfica de f ( x ) = \x\ para obtener la gráfica de g(x) = - \x [

Solución

Para cada x, la coordenada y de un punto en la gráfica de g es ^ de la coordenada y correspondiente en la gráfica de / . La gráfica de f ( x ) = \x\ se comprime verticalmente por un factor de - para obtener la gráfica de g(x) = —\x\ [por ejemplo, (2,2) está en 2 2 la gráfica de / , pero (2,1) está en la gráfica de g]. Ver tabla 11 y figura 51. Figura 51

Cuando el lado derecho de una función y = f ( x ) se multiplica por un número positivo a, la gráfica de la nueva función y = af(x) se obtiene al multiplicar cada coordenada y en la gráfica de y = f ( x ) por a. La nueva gráfica es una versión verticalm ente com prim ida (si 0 < a < 1) o verticalm ente estirada (si a > 1) de la gráfica de y = f(x).

Resuelve ahora

el

problema

47

¿Qué sucede si el argumento x de una función y = f ( x ) se multiplica por un nú mero positivo a creando una nueva función y = f { ax ) l Para encontrar la respuesta, observa la siguiente exploración.

i*%] Exploración L ü í T raza la gráfica d e las sig u ien tes fu n cio n e s en la m ism a p antalla:

y, = f (x) = V i

Y2 = f(2x)

= V 2x

V3 = f ( V ) =

Crea una tabla de valo res para e xp lo rar la relación e n tre las co o rd en ad as x y

Resultado D ebes

^

y d e cada fu n ció n .

h ab e r o b ten id o las gráficas en la fig ura 52. V er tabla 12(a). O b serva q u e (1 ,1 ), (4 ,2 ) y

(9 ,3 ) son punto s en la gráfica de T) = V x . A d em ás, (0 .5 ,1 ), (2 ,2 ) y (4 .5 ,3 ) son p u n to s en la gráfica de

Y2 = % / Íx . Para una co o rd en ad a y dada, la co o rd en ad a x en la gráfica d e Y2 es ^ de la co o rd en ad a x

i S E C C IÓ N . U

X 0

Tabla 12 -JT x

.5 1 2 H H.5

Vx A

Vi 0 i

1.H1S2 2 2.1213 3

9

Técnicas para trazar gráficas: transform aciones

Vi X 0 0 i 1 1 S1H2 2 1 2 2.020*1 0 3 5 *1.2*126 10 V3BT
BE 0 i

1 H1S2 2 028*1 3 H.2H20

2.

VíBT<2X)

249

BE 0 70711 1 l.*ii*i2 2 2.1213 3

(b)

(a)

Po d em o s co n clu ir q u e la g ráfica de Vj = V / 2 x se o b tie n e m u ltip lican d o la co o rd en ad a x d e cada pu n to en la g ráfica d e V| =

Vx

por

La g ráfica de V2 =

\ Í2 x es la gráfica d e Vi = V x comprimida h o rizo n

talm e n te . V er tabla 12(b). O b serva q u e (1 ,1 ), (4 ,2 ) y (9 ,3 ) son p u n to s en la gráfica de V, = que (2 ,1 ), (8 ,2 ) y (1 8 ,3 ) son puntos en la gráfica d e V3 =

V x . Adem ás, observa

.P a ra una co o rd en ad a y dada, la co o rd en ad a

V2

„

[i

x en la g ráfica de V, es el do b le d e la co o rd en ad a x en Vr Po dem o s co n clu ir q u e la g ráfica de V3 = J -

se o b tie n e m u ltip lican d o la co o rd en ad a x de cada p u n to de la gráfica de V, = V x por 2. La gráfica V3 =

es la g ráfica de V, =

V x estirada h o rizo n talm en te.____________________________________________________ .

Basándonos en los resultados de la exploración, tenemos el siguiente resultado: Si se multiplica el argumento .v de una función y = /(.v) por un número positivo a, la gráfica de la nueva función y = f(ax) se obtiene al multiplicar cada coorde nada x de v = /(.t) por

El resultado es una compresión horizontal si a > 1 y un a estiramiento horizontal si 0 < a < 1.

EJEM PLO 8

Gráficas usando estiramientos y compresiones La gráfica de y = f ( x ) se muestra en la figura 53. Úsala para encontrar las gráficas de (a) y = 2f(x)

Solución

(a)y = f(3x)

(a) La gráfica de y = 2f ( x ) se obtiene multiplicando cada coordenada y de y = f (x) por 2. Ver figura 54. (b) La gráfica de y = / ( 3.v) se obtiene de la gráfica de y = f ( x ) multiplicando cada coordenada x de y = f ( x ) por

Figura 53

Ver figura 55.

Figura 55

Figura 54

y=f( 3x) Resuelve ahora EL

problema

63

incisos

(e)

y

(g)

250

C A P ÍT U L O 3


Gráficas de funciones usando reflexiones en el eje x y el eje y. EJEM PLO 9

Reflexión en el eje x Traza la gráfica de la función f ( x ) = - x 2

Solución

Empieza con la gráfica de y = jc2, como se ve en negro de la figura 56. Para cada punto (jc,_y) en la gráfica de y = x 2, el punto (x ,- y ) está en la gráfica de y = - x 2, como se indi ca en la tabla 13. Traza la gráfica de y = -x 2 reflejando la gráfica de y = jr2en el eje x.


EL P R O B L E M A

49

Reflexión en el eje y Traza la gráfica de la función f ( x ) = V - x

Solución

Primero observa que el dominio de / consiste en todos los números reales .r para los cuales - , r > 0 o , equivalentem ente,x < 0. Para obtener la gráfica de f { x ) = V ^ x . empezamos con la gráfica de y = V x , como se muestra en la figura 57. Para cada punto (.v,_y) en la gráfica de y = V x , el punto (-.r.,v) está en la gráfica de y = V - x . Obtén la gráfica de y = reflejando la gráfica de y = V x en el eje _v. Ver figura 57.

Cuando se conoce la gráfica de la función _v = /(.r), la gráfica de la nueva fun ción y = f ( - x ) es la reflexión en el eje y de la gráfica de la función y = f(x).

4 S E C C IÓ N 3.5


251 'v

" R E S U M E N D E T É C N IC A S P A R A T R A Z A R G R Á F IC A S Para representar gráficas:

Traza la gráfica de f y:

Cambio funcional en f ( x )

Traslaciones verticales y - f (.v) + k, k > 0 y = /(. y) - k , k > 0

Sube k unidades la gráfica de / . Baja k unidades la gráfica de / .

Suma k a f(x). Resta k de f(x).

Traslaciones horizontales y = f ( x + h), h > 0 y = f ( x - h), h > 0

Corre la gráfica de / h unidades a la izquierda. Corre la gráfica de f h unidades a la derecha.

Sustituye x por x + h. Sustituye x por x - h .

Multiplica cada coordenada y en y = f ( x ) por a. Estira la gráfica de / verticalmente si a > 1. Comprime la gráfica de / verticalmente si 0 < a < 1.

Multiplica f ( x ) por a.

Multiplica cada coordenada .y de y = f ( x ) por a Estira la gráfica de / horizontalmente si 0 < a < 1. Comprime la gráfica de / horizontalmente si a > 1.

Sustituye x por ax

Refleja la gráfica de / en el eje x.

Multiplica f { x ) por -1.

Refleja la gráfica de / en el eje y.

Sustituye x por -x.

Compresión 0 estiramiento y = af(x), a> 0

y = f(ax), a> 0

Reflexión en el eje x y =-fix) Reflexión en el eje y y=H-x) \___________________________

EJEM PLO 11

J

Determinar la función obtenida a partir de una serie de transformaciones Determina la función que se representa gráficamente después de aplicar las siguien tes tres transformaciones a la gráfica de y = \x\. 1. Correr 2 unidades a la izquierda. 2. Correr 3 unidades hacia arriba. 3. Reflejar en el eje y.

Solución

1. Correr 2 unidades a la izquierda: sustituye x por x + 2. 2. Correr 3 unidades hacia arriba: suma 3. 3. Reflejar en el eje y: sustituye x por

Resuelve ahora

el

problema

27

y y y

\ x

+

2|

|x + 2| + 3 ¡-je + 2| + 3

252

C A P ÍT U L O 3


EJEM PLO 12

Combinación de procedimientos para trazar gráficas 3 Traza la gráfica de la función f ( x ) = • ■_ -

Solución

+ l . Determina el dominio y el rango d e / . 1. Ahora usa los siguientes pasos para

Es útil escribir / como / ( x) obtener la gráfica de / : P

a so

1:

y - — x

Función recíproca

paso2: ^=3- (j)=! P

P

a so

a so

3:

4:

y =

---------- --

y=

3 ---------- -x - 2

Multiplica por 3, estiramiento vertical de la gráfica de y =

por

un factor de 3. Sustituye x por x - 2; traslación horizontal 2 unidades a la

x -1

derecha. +

1

Suma 1; traslación vertical 1 unidad hacia arriba.

Ver figura 58. Figura 58

El dominio de y = —es {.r|jt * 0} y su rango es {y[y * 0}. Como nos trasladamos 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba para obtener / , el dominio de / es { jc|jc ^ 2 } y su rango es {y|y * 1}. . Si siguiéramos otro orden en los pasos que se dieron en el ejemplo 12, también obtendríamos la gráfica de / . Por ejemplo, intenta lo siguiente: P

a so

1:

y =

P

a so

2:

y

P

a so

3:

Función recíproca Sustituye x por x - 2, traslación horizontal 2 unidades a la

=

derecha. Multiplica por 3, estiramiento vertical de la gráfica de

y =

v = — ---- por un fa cto r de 3. x - 2 r

* P

a so

4:

y =

4- 1

Suma 1. traslación vertical 1 unidad hacia arriba.

Sugerencia: Aunque podemos alterar el orden en el que se llevan a cabo las transformaciones, considera usar el siguiente orden: 1. Reflexiones 2. Compresiones y estiramientos 3. Traslaciones

S E C C IÓ N 3.5

[ EJEM PLO 13

253


Combinación de procedimientos para elaborar gráficas Traza la gráfica de la función /(.v) = V l de / .

Solución

4- 2. Determina el dominio y el rango

x

Debido a que las traslaciones horizontales requieren de la forma

-

x

h,

empezamos

escribiendo /(.v) como /(.v) = V 1 - x + 2 = V - ( x - 1) + 2. Ahora usa los si guientes pasos: P

a so

1:

y= Vx

Función raíz cuadrada

P

a so

2:

y= V - x

Sustituye x por -x, refleja en el eje y.

y = \ / —( x — 1 ) =

PASO 3:

Sustituye x por x - 1, traslación horizontal

\ / 1 — X

1 unidad

a la derecha. PASO 4 :

y =\ / l — x + 2

Suma 2. traslación vertical 2 unidades hacia arriba.

Ver figura 59.

Figura 59

y\

y\

"

^

„

y

y\

5

5

5

^ ( ¿ 4 )

5 JO , 3)

J r 4 ,2 )

- ^ ( 1 .2 )

JO . 1) 1 1 1 1 1 5 (0 .0 )

(\

i

i

(a) v = f x

i

i r 5 *

i -5

) > , . 1 1 1 1 1 . 5 x (0 ,0 )

.W

Sustituye x p o r - x . refleja en el eje y

1 1 1 1 1 -5

(b) y = 'T^x S u stitu yexp o rx — 1.( c ) traslación horizontal de 1 unidad a la derecha_

i

i

i

- ( Î , 0)

i

r

i

5 x

_5

i

i

i

i

1 1 1 1 1 r 5 x

y = V - ( x - 1) Sum a2, (d) y = V1 - x + 2 =y _ x + 1 traslación <1 _ vertical 2 unidades hacia arriba.

El dominio de / es (-oo, 1] y su rango es [2,oo).

-Resuelve ahora

el

problema

5 5

3.5 Evalúa tu entendimiento Conceptos y vocabulario 1.

4.

C o n sid e r a q u e s e c o n o c e la g rá fic a d e u n a fu n c ió n / . E n to n c e s la gráfica d e

y

=

f(x -

2 ) s e p u e d e o b te n e r m e d ia n te 5.

u n a t r a s la c ió n ________________ d e la g rá fic a d e / h a cia la ________________ u na d ista n c ia d e 2 u n id a d e s. 2.

C o n sid e r a q u e s e c o n o c e la g rá fica d e u n a fu n c ió n / . E n to n c e s la gráfica d e

3.

y

Verdadero o falso L a gráfica d e y = -f(x) e s la r e fle x ió n x d e la g rá fica d e y - f(x). Verdadero o falso Para o b te n e r la grá fica d e f(x) = V x + 2, traslada la gráfica de y = V x horizon e n e l e je

talmente 2 unidades hacia la derecha.

= / ( - x ) s e p u e d e o b te n e r m e d ia n te


P ara o b te n e r la gráfica d e la fu n ció n

u na r e fle x ió n en e l e j e ________________ d e la g rá fica d e la

/( x ) = x3 + 5 , traslad a la gráfica d e y = x3 v e r tic a lm e n te 5

fu n ció n y = f(x). C o n sid e r a q u e se c o n o c e la g rá fica d e u n a fu n c ió n

u n id a d e s h a cia arriba.

L a grá fica d e

y -

g.

g ( x ) + 2 s e p u e d e o b te n e r m e d ia n te

u na t r a s l a c i ó n ________________ d e la g rá fica d e

g

h a cia

________________ u n a d ista n c ia d e 2 u n id a d e s.

Ejercicios

_________________

En los problemas 7-18, asocia cada gráfica con cada una de las siguientes funciones: A.

y = x2+ 2

B.

y = -x 2+ 2

C.

y = |x| + 2

D.

y = - |* | + 2

E.

y = (x - 2 )2

F.

y = ~ (x - 2 )2

G.

y = |x - 2|

H.

y = - |x + 2|

J.

y = -2 x 2

K.

y = 2|x|

L.

y = —2|x|

I.

y = 2x2

-3 &

3 x

254

C A P ÍT U L O 3


En los problemas 19-26, escribe la función cuya gráfica es la gráfica de y = je 3,

p e r o está:

1 9 . C orrid a a la d e r e c h a 4 u n id a d e s

2 0 . C o rr id a a la iz q u ie r d a 4 u n id a d e s

2 1 . C orrid a h a cia arriba 4 u n id a d e s

2 2 . C o rr id a h a c ia a b a jo 4 u n id a d e s

2 3 . R e fle ja d a e n e l e je

y

2 4 . R e fle ja d a e n e l e je

26.

2 5 . E stir a d a v e r tic a lm e n te p o r u n fa c to r d e 4

je

E stir a d a h o r iz o n ta lm e n te p o r u n fa c to r d e 4

En los problemas 27-30, determina la última función que se representa gráficamente, después de aplicar las siguientes transformado nes a la gráfica de y = V jc en el orden en el que se dan. 27.

28.

( 1 ) C o r r e r 2 u n id a d e s h a c ia a r r ib a ( 2 ) R e f l e j a r e n e l e je ( 3 ) R e f l e j a r e n e l e je

29.

x y

( 1 ) R e f l e j a r e n e l e je

(3 ) C o rr er 2 u n id a d e s h a cia a b a jo

x

30.

y = f(x), ¿ c u á l d e g r á f ic a d e y = - / ( je ) ?

( 3 , 6 ) e s u n p u n t o e n la g r á f ic a d e

s ig u ie n t e s p u n t o s d e b e e s t a r e n la

(1 ) C o rr er 2 u n id a d e s h a cia arriba (2 ) R e fle ja r e n e l e je

( 3 ) C o r r e r 3 u n id a d e s h a c ia la iz q u ie r d a

(a )

(6 ,3 )

(b ) ( 6 ,-3 )

(c)

(3 ,-6 )

(d ) ( -3 ,6 )

33.

je

(2 ) C o rr er 3 u n id a d e s h a cia la d e r e c h a

( 2 ) C o r r e r 2 u n id a d e s h a c ia a r r ib a

31. S i

(1 ) R e fle ja r e n e l e je

S i ( 1 , 3 ) e s u n p u n t o e n la g r á f ic a d e

y

(3 ) C o rr er 2 u n id a d e s h a cia a b a jo lo s

32.

y=

S i ( 3 , 6) e s u n p u n to e n la g rá fica d e

34.

2 / ( je ) ?

(a )

( 6 ,3 )

(b ) ( 6 , - 3 )

(c )

( 3 ,- 6 )

(d ) ( - 3 , 6 )

(d )Q ’ 3)

C o n s i d e r a q u e la s in t e r s e c c io n e s e n

y - /(•*) s o n

d e la g r á f ic a d e

x


je


lo s

(c )

( 2 ,2 )

(d ) ( 4 ,4 )

C o n sid e r a q u e la s in te r s e c c io n e s e n je )

je

d e la grá fica d e

s o n -8 y 1 . je

d e la gráfica d e

x

d e la grá fica d e

x

(c ) ¿ C u á le s s o n la s in te r s e c c io n e s e n


je

d e la gráfica d e

je

d e la gráfica d e

y = 2f(x)? je

(d ) ¿ C u á le s so n la s in te r s e c c io n e s e n


y

C o n s id e r a q u e la f u n c ió n

y

= / ( je ) e s c r e c ie n t e e n e l i n t e r

¿ S o b re

qué

in t e r v a lo

es

c r e c ie n t e

la

g r á f ic a

de

(a ) ¿ S o b r e q u é in te r v a lo e s d e c r e c ie n te la grá fica d e

y = f(x + 2 )?

= f(x + 2 )? ¿ So b re

38.

= /(-* )? C o n sid e r a q u e la fu n c ió n y = / ( j e ) e s d e c r e c ie n te en e l in

te r v a lo ( - 2 , 7 ) .

v a lo ( - 1 , 5 ) .

y=f(x-

je ) ?

y = / ( x-3)?

( d ) ¿ C u á l e s s o n la s in t e r s e c c io n e s e n

(b )

(b ) ( 8 ,2 )

(b ) ¿ C u á le s s o n la s in te r s e c c io n e s e n

y = /(-* )?

y

( 4 ,1 )

(a ) ¿ C u á le s s o n las in te r s e c c io n e s e n

y = 4 /( * )?

(a )

¿ cu á l d e lo s = / (-

y = f(x + 4 )?

= f ( x - 2 )?

( c ) ¿ C u á l e s s o n la s in t e r s e c c io n e s e n

37.

(a )

y = /(

= f(x + 2 )?

( b ) ¿ C u á l e s s o n la s in t e r s e c c io n e s e n y

x

36.

y 3.

( a ) ¿ C u á l e s s o n la s in t e r s e c c io n e s e n y

y

(b ) ( 2 ,3 )

(c) (1,6) 35.

/ ( je ) ,

y = / ( j e ) , ¿cu ál d e g rá fica d e y = / ( 2 x )?

S i ( 4 ,- 2 ) e s u n p u n to e n la g rá fic a d e s ig u ie n te s p u n to s d e b e e sta r e n la

( a )(l,| )

y-

s ig u ie n te s p u n to s d e b e e sta r e n la g rá fica d e

= / ( je ) , ¿ c u á l d e lo s

s ig u ie n t e s p u n t o s d e b e e s t a r e n la g r á f i c a d e

y

qué

in t e r v a lo

es

c r e c ie n t e

la

g r á f ic a

de

5 )?

(b ) ¿ S o b r e q u é in te r v a lo e s d e c r e c ie n te la gráfica d e y - / (

y = - / ( je ) ? d e y = / ( - je ) ?

je

-5 )?

( c ) ¿ Q u é se p u e d e d e c ir a c e r c a d e la g r á f ic a d e

(c ) ¿ Q u é s e p u e d e d e c ir a ce rc a d e la g rá fica d e y = - / ( j e ) ?

( d ) ¿ Q u é se p u e d e d e c ir a c e r c a d e la g r á f ic a

(d ) ¿ Q u é s e p u e d e d e c ir a ce rc a d e la g rá fica d e y = / ( - . r)?

t S E C C IÓ N 3.5

255


%

En los problemas 39-62, traza la gráfica de cada función usando las técnicas de traslación, compresión, estiramiento y/o reflexión. Empieza con la gráfica de la función básica (por ejemplo y = x2) y muestra todas las etapas. Asegúrate de indicar por lo menos tres puntos clave. Determina el dominio y el rango de cada función. \ 3 9 . f ( x) = x2 - 1

40. f ( x ) = x 2 + 4

41. g (x ) = x 3 + 1

\ 4 3 . h(x) = V x - 2

42. g ( x ) = .v3 - 1 S 4 5 . / ( jc) = (x - l ) 3 + 2

44. h(x) = \ / x + 1

46. / ( x) = (x + 2 ) 3 - 3

48. * ( jc) =

\ 4 9 . / ( * ) = —“tyx

51. f(x) = 2(x + l ) 2 - 3

50. f ( x) = - V x

52. f(x) = 3(x - 2 ) 2 + 1

54. g (x) = 3|jc + l | - 3

\ 4 7 . g(jc) = 4Vx

\ 5 5 . K x) = ' f - x ~ 2

53. g (x ) = 2 V x - 2 + 1 56. h(x) = ~ x + 2

57. / ( x) = ~ (x + l ) 3 - 1

58. f(x) = - W x - 1

59. g ( x ) = 2|1 - x\

60. g (x ) -- 4 V 2 - x

61. h(x) = 2 en t(x - 1)

62. h(x) = e n t (- x )

En los problemas 63-66, se ilustra la gráfica de una función f. Usa la representación de f como el primer paso para trazar la gráfica cada una de las siguientes funciones: (a)F(x)=f(x) + 3

(b) G(x) = f(x + 2 )

(c)P(x) = -f(x)

(e)Q(x)=^f(x)

(f) g(x) = f(-x)

(g) h(x) = f(2x)

63.

y 4

64.

_

y\

4

(0,2) ~ (2,2)

1 1 -4

\S

1

/

( - 4 ,- 2 )

(d)H(x)=f(x + l ) - 2

2

(4, 0) 1 1 1 ■ r 2 x

-4 -2 (-4, -2 ) /

v•

“2

/

V -2 (-2, -2 )

" (2>2) 2

\

4 x

(4 ,-2 )

Práctica m ix ta-----------------------------------------------------------------------------------------------En los problemas 67-74, completa el cuadrado de cada expresión cuadrática. Después, traza la gráfica cada función usando la téc nica de traslación. (Si es necesario, consulta el capítulo R, sección R.5 para repasar cómo completar cuadrados). 67. f(x) = x2 + 2x 68. f(x) = x2 - 6x \ ó 9 . f(x) = x2 - 8x + 1 70. f(x) = x2 + 4x + 2 71. f(x) = 2x2 - 12x + 19

72. f(x) = 3x2 + 6x + 1

73. f ( x ) = ~ 3 *2 - 12* - 17

74.

/(* ) = -

2x2 - 12x

Aplicaciones y extensiones______________________ . 75. L a e c u a c ió n y - ( x - c)2d e fin e a u n a familia de parábolas, u n a p a rá b o la para ca d a v a lo r d e

c. T r a za la g rá fica d e lo s c = 3 y c = - 2 e n lo s m is

m ie m b r o s d e la fa m ilia p ara c = 0 , m o s e je s d e co o r d e n a d a s.

76. R e p ite e l p ro b lem a 75 para la fam ilia d e p ará b o la s y - x2+ c.

77. Control del termostato

L o s e x p e r to s e n c o n se r v a c ió n

d e e n e r g ía estim a n q u e lo s p r o p ie ta r io s d e las v iv ie n d a s p u e d e ah orrar d e 5% a 10 % e n fa ctu ra s d e c a le n ta m ie n to d e l h o g a r e n in v ie r n o si p ro g ra m a n su s te r m o sta to s d e 5 a 10 g ra d o s m ás b a jo m ien tr a s d u e r m e n . E n la sig u ie n te gráfica, s e da la tem p e ra tu r a

T (e n

un h o g a r c o m o fu n ció n d e l tie m p o

g ra d o s F a h r e n h e it) d e

t (e n

h oras d esp u és de

la m e d ia n o c h e ) p o r u n p e r io d o d e 2 4 h oras.

Tiempo (horas después de media noche)

-

13

256

c a p ít

U L0 3

Funciones y sus gráficas (c ) C o m e n ta c ó m o el h a cer la lo n g itu d / m á s g ra n d e c a m

(a ) ¿ A q u e tem peratura está el ter m o sta to d u rante el día?

bia el p e r io d o

¿ A q u é tem peratura está el ter m o sta to d urante la n o ch e? (b ) El d u e ñ o d e

y = T(t) -

T=

en la casa. T raza la g rá fica d e e s ta n u e v a fu n ció n .

y

=

T(l

+ 1). E x p lic a c ó m o a fe c ta e s to la tem p e ra tu r a

R(0 ), R(3 )

y

La p royección de gan an cias

p{x) = - 0 .0 5 x 2 +

digital, en m illo n es d e dólares,

(c ) D e te r m in a

lOOx - 2 0 0 0

impuesto al pecado)

q u e le da a la c o m p a ñ ía la

o p c ió n d e p agar un im p u e s to fijo d e $ 10,000 p or d ía o un im p u e s to d e 10% so b r e las g a n a n c ia s. C o m o je fe fin a n c ie ro (C F O , p o r su s sig la s e n in g lé s ) d e la c o m p a ñ ía , d e b e s

e x p lic a q u é re p r e se n ta

d e c id ir cu á l d e lo s d o s im p u e s to s e s la m ejo r o p c ió n para

ca d a valor. (b ) D e te r m in a

p u r o s está n

El g o b ie r n o q u ie r e p o n e r un im p u e s to a lo s p u r o s (a v e c e s lla m a d o

13 7 3 * + 1080

R(5) y

x

d a d a s p or

el n ú m er o d e a ñ o s d e s p u é s d e 20 0 5 .

(a ) D e te r m in a

L as g a n a n c ia s d ia

rias d e una c o m p a ñ ía d e p u r o s p o r v e n d e r

para los añ os d e 2(X)5 a 2010 se p u e d e n estim ar por la fun ción

x es

T(2l),

=

7 (4 /).

81. Ganancias de una compañía de puros

F u en te: R o g c r A lb r ig h t, 5 4 7 W a y s to B e F u el S m a rt, 2 0 0 0

donde

7=

d e 2, 3 y 4 ca m b ia el p e r io d o 7 .

en la casa. T raza la g rá fica d e e s ta n u e v a fu n ció n .

R(x) = \l().lx2 +

7 (3 /) y

( e ) C o m e n ta c ó m o el m u ltip lic a r la lo n g itu d / p or fa cto re s

rep ro g ra m a el te r m o sta to a

78. Ganancias de música digital m u n d ia les to ta les R d e m úsica

T

(d ) A h o r a , traza la g rá fica d e las fu n c io n e s

la casa re p r o g ra m a el te r m o sta to a

2. E x p lic a c ó m o a fec ta e s to la tem p e ra tu r a

(c ) El d u e ñ o d e la ca sa

T.

r = R(x - 5 ). r(5 ), r ( 8) y r (1 0 )

la c o m p a ñ ía . (a ) E n la m ism a p a n ta lla traza la g rá fic a d e

y e x p lic a q u é r e p r e se n ta

T, =

ca d a valor.

p(x) - 10,000 y Y2 = (1

- 0 . 10 )p (x ).

(b ) B a s á n d o te e n la g rá fica , ¿ q u é o p c ió n e s c o g e r ía s? ¿P or

(d ) E n e l m o d e lo r, ¿ q u é r e p r e se n ta x ?

qué?

( e ) ¿ E x iste u na v en ta ja d e u sar e l m o d e lo r c u a n d o e stim a s

(c ) U s a n d o la te r m in o lo g ía q u e a p r e n d iste en e sta se c c ió n ,

la p r o y e c c ió n d e g a n a n c ia s d e un a ñ o e n lu g a r d e l m o

d e sc r ib e ca d a gráfica en té r m in o s d e la gráfica d e

d e lo /??

(d ) C o n sid e r a q u e el g o b ie r n o o fr e c e las o p c io n e s d e un

F u en te: e M a r k e te r .c o m , M a y o 2 0 0 6

79. Medición de temperatura

p{x).

im p u e s to fijo d e $ 4 8 0 0 o un im p u e s to d e 10% so b r e las

La r e la c ió n e n tr e la s e sc a la s

g a n a n c ia s. ¿ C u á l e s c o g e r ía s? ¿ P o r q u é ?

C e ls iu s (° C ) y F a h r e n h e it (° F ) para m e d ir te m p e r a tu r a se d a p or la e c u a c ió n

82. L a g rá fic a d e la fu n c ió n / s e ilu stra e n la figura.

F

9

=

-C

+ 32

(a ) T ra za la g rá fica d e

y

= [/(x ) |.

(b ) T r a za la g rá fica d e

y

=

f(\x\).

L a r e la c ió n e n tr e las e s c a la s C e ls iu s (° C ) y K e lv in (K ) e s 9 K = C + 273. R e a liz a la g rá fica d e la e c u a c ió n F = —C + 32 u sa n d o g ra d o s F a h r en h e it e n e l e je e l eje

x.

y

y g r a d o s C e ls iu s e n

U s a las téc n ic a s q u e v im o s e n e sta s e c c ió n para

o b te n e r la gráfica q u e m u e str e la r e la c ió n e n tr e las t e m p e ratu ras en K e lv in y F a h r e n h e it.

80. Periodo de un péndulo

E l p e r io d o

T

(e n s e g u n d o s ) d e

un p é n d u lo sim p le e s u n a fu n c ió n d e su lo n g itu d / (e n p ie s) 83.

d e fin id o p o r la e c u a c ió n

L a g rá fic a d e la fu n c ió n / se ilu stra e n la figura. (a ) T r a za la g rá fica d e v =

\f{x)\.

(b ) T r a za la g rá fica d e y = / ( |x | ) . d o n d e g ~ 3 2 .2 p ie s p o r s e g u n d o e s la a c e le r a c ió n d e la g ra v ed a d .

84.

C o n sid e r a q u e ( 1 ,3 ) e s u n p u n to e n la g rá fica d e y = (a ) ¿ Q u é p u n to e s tá e n la g ráfica d e v =

f(x + 3 )

(b ) ¿ Q u é p u n to e stá e n la g rá fica d e y = - 2 ( c ) ¿ Q u é p u n to e stá e n la g rá fica d e v = (a ) U s a un d is p o s itiv o para h a cer g rá fic a s para o b te n e r la r e p r e s e n ta c ió n d e la fu n c ió n

T = T(l).

(b ) A h o r a , traza la grá fica d e las fu n c io n e s 7 = 7 ( / + 2 ) y 7 = 7 ( / + 3 ).

+ 1),

f(2x

- 5? 2 ) + 1?

+ 3 )?

8 5 . C o n sid e r a q u e ( - 3 . 5 ) e s un p u n to e n la g rá fica d e y = g ( x ) . (a )

T = T(l

f(x -

f(x).

¿ Q u é p u n to e s tá e n la g rá fica d e y =

g(x +

1) - 3 ?

(b ) ¿ Q u é p u n to e s tá e n la g rá fic a d e v = - 3 g (.v - 4 ) + 3? (c ) ¿ Q u é p u n to e s tá e n la g rá fic a d e y =

g (3x

+ 9 )?

t S E C C IÓ N 3.5


257

Explicación de conceptos: discusión y escritura # 6 . C o n sid e r a q u e s e c o n o c e la g rá fic a d e u n a fu n c ió n / .

\

E l á rea b a jo la cu rva y =

E x p lic a c ó m o d ifie r e la g rá fic a d e y = 4 /( .v ) d e la g rá fic a d e

E x p lic a c ó m o d ifie r e la g rá fic a d e v =

f(.x) -

a c o ta d a en la p a rte in fe rio r

y a la d e r e c h a p o r .r = 4 e s ^

u n id a d e s c u a

d rad as. U sa n d o las id ea s q u e se p resen ta ro n en esta se cc ió n ,

8 7 . C o n sid e r a q u e s e c o n o c e la g rá fic a d e u n a fu n c ió n / . de y =

x

p o r e l e je

y = /( 4 .v ) .

Vx

¿cu ál c r ee s q u e se a el área b ajo la curva d e y = V ~ * a co ta

2 d e la g rá fica

f(.x - 2 ).

da e n su parte in ferior p o r e l eje

xya

la izq u ierda p or.r = - 4 ?

Ju stifica tu resp u esta.

Ejercicios interactivos: exploración de transform aciones Pregunta a tu profesor si los siguientes applets son interesantes para ti.

(i)

89. Traslaciones verticales Abre el applet de traslación ver tical. U s a tu cu rso r para arrastrar la b arra y c a m b ia r e l v a lo r d e k. O b se r v a e l p a p e l q u e tie n e k e n la g rá fic a d e g(x) = f(x) + k. d o n d e f(.x) = x2. 90. Traslaciones horizontales Abre el applet de traslación ho rizontal. U s a tu cu rso r para arrastrar la b arra y c a m b ia r el v a lo r d e h. O b se r v a e l p a p e l q u e tie n e h e n la g rá fica d e g(.r) = f(x - /i), d o n d e f(x) = x1. 91. Estiramientos verticales Abre el applet de estiramiento vertical. U s a tu cu rso r p ara arrastrar la b arra y c a m b ia r el v a lo r d e a. O b se r v a e l p a p e l q u e tie n e a e n la g rá fica d e g(x) = af(x ), d o n d e f(x) = |x|. 92. Estiramientos horizontales Abre el applet de estiramiento horizontal.

(ii)

¿Q u é coordenad a

g(x)

=

Vzx,


g(x)

=

V2x,

(iv )


(v i)

s e r e q u ie r e e n la g rá fica d e

x

se r e q u ie r e e n la g rá fica d e

=

yJ^jX'

yj^X,

s e r e q u ie r e e n la g rá fica d e

x

se r e q u ie r e e n la grá fica d e

si la c o o r d e n a d a y e s 2 ?

¿Q ué coordenada

SW =

x


¿Q ué coordenad a

g(x)

x

= V 2 x , si la c o o r d e n a d a y e s 3?

g(x) = tj^x, (v )

s e r e q u ie r e e n la gráfica d e


(iii) ¿ Q u é c o o r d e n a d a

g(x)

x


x

se r e q u ie r e e n la gráfica d e

si la c o o r d e n a d a y e s 3?

93. Reflexión en el eje y Abre el applet de reflexión en el eje y. M u e v e tu cu rso r para arrastrar la barra y c a m b ia r e l v a lo r

(a ) U s a tu cu rso r para arrastrar la b arra y ca m b ia r e l v a

de

a. O b se r v a e l p a p e l q u e tie n e a e n la g rá fica d e £ ( * ) = f i ax) = V ô ï ' d o n d e f{x) = Vx. ¿ Q u é le s p a sa a lo s p u n to s d e la g rá fica d e g c u a n d o 0 < a < 1 ? ¿ Q u é le s p asa a lo s p u n to s d e la g rá fic a c u a n d o a >11 lo r d e

a de 1

a - 1.

94. Reflexión en el eje x Abre el applet de reflexión en el eje x. M u e v e tu cu rso r para arrastrar la barra y ca m b ia r e l v a lo r de a de 1 a - 1.

(b ) Para e n te n d e r m ejo r e l c o n c e p to d e c o m p r e s io n e s h o r iz o n ta le s, lle n a la h o ja d e c á lc u lo a la d e r e c h a d e la gráfica d e la sig u ie n te m anera:

3.6 Modelos matemáticos: construcción de funciones OBJETIVO

1 Construir y analizar funciones (p. 257)

V1 Construir y analizar funciones L o s p r o b l e m a s d e la v id a r e a l g e n e r a l m e n t e d a n c o m o r e s u l t a d o m o d e l o s m a t e m á t i c o s q u e in v o lu c r a n f u n c i o n e s . E s t a s f u n c i o n e s s e d e b e n c o n s t r u ir b a s á n d o s e e n la i n f o r m a c i ó n d a d a . A l c o n s t r u ir f u n c i o n e s d e b e m o s p o d e r t r a d u c ir u n a d e s c r ip c i ó n v e r b a l a l l e n g u a j e d e la s m a t e m á t ic a s . H a c e m o s e s t o a s i g n a n d o s í m b o l o s q u e r e p r e s e n t e n la s v a r i a b le s d e p e n d i e n t e e i n d e p e n d i e n t e y d e s p u é s e n c o n t r a m o s la f u n c ió n o r e g la q u e r e l a c i o n e e s t a s v a r ia b le s .

EJEM PLO 1

Encontrar la distancia del origen a un punto en una gráfica S ea

P

= ( x , y ) u n p u n t o e n la g r á f ic a d e y =

( a ) E x p r e s a la d is t a n c ia d e si

x x

(d ) ¿ Q u é e s d si

x

(b ) ¿ Q u é e s (c)

¿Q ué es

d d

si

= 0? = 1? V 2 0 =

!

P

al o r ig e n

O

x2-

1.

c o m o f u n c ió n d e

x.

258

C A P ÍT U L O 3


(c) Usa un dispositivo para hacer gráficas para obtener la representación de la fun ción d = d ( x ) , x s 0. Redondea a dos lugares decimales, determina los valores de x donde d tiene un mínimo local. [Esto da los puntos en la gráfica de y = x 2 - 1 más cercanos al origen].

Solución

(a) La figura 60 ilustra la gráfica de y = x 1 - 1. La distancia d de

P

a O es

Figura 60 d =

Como

P

V

(x -

O) 2

+ ( y -

O) 2 =

\ J X1

+ y2

es un punto en la gráfica de y = x 2 - 1, sustituye x 2 - 1 por y. Después d{x) = \ / * 2

+

(* 2

- l )2 =

\ / X* -

X2 + \

La distancia d se expresa como función de x. (b) Si x = 0, la distancia d es d{0)

(c) Si x

+

02

1

=

V \

= 1

1, la distancia d es

=

^ (d) Si x

= V o4 -

=

d{ 1

) = V i4 - l2 +

1

=

1

V 2

- y - , la distancia d es 2

Figura 61

fi

Ì

7

V 3

2

I I (e) La figura 61 muestra la gráfica de Y x = \ / . r 4 - j:2 + 1. Usando la caracteLíd rística MINIMUM en un dispositivo para elaborar gráficas encontramos que cuando x ~ 0.71 el valor de d es el más pequeño. El mínimo local es d « 0.87, redondeado a dos lugares decimales. Como d ( x ) es par, por simetría, se si gue que cuando x « -0.71 el valor de d es también un mínimo local. Como (+0.71)2 - 1 « -0.50, los puntos (-0.71,-0.50) y (0.71,0.50) en la gráfica de y = x 2 —1 son los más cercanos al origen.

-Resuelve ahora EJEM PLO 2 Figura 62

e l

p r o b l e m a

i

Área de un rectángulo Un rectángulo tiene una esquina en el cuadrante I en la gráfica de y = 25 - .r2, otra en el origen, una tercera en la parte positiva del eje y y la cuarta en la parte positiva del eje jc. Ver figura 62. (a) Expresa el área A del rectángulo como función de jt. (b) ¿Cuál es el dominio de A

l

(c) Traza la gráfica de A = /4(jc). (d) ¿Para qué valor de x es mayor el área? (a) El área A del rectángulo es A = x y , donde y = 25 - x 2. Si sustituimos esta expre sión por y, obtenemos /4(.v) = x (25 - .v2) = 25.v - .r\ (b) Como (x , y ) está en el cuadrante I, tenemos que x > 0. También, y = 25 - .r2 > 0. lo cual implica que x 2 < 25, por lo tanto, -5 < x < 5. Si combinamos estas restriccio nes tenemos que el dominio de A es {.v|0 < x < 5} o (0,5), usando la notación de intervalos. (c) Ver figura 63 para la gráfica de A = /4(.v). (d) Usando MAXIMUM, encontramos que el área máxima es de 48.11 unidades cuadradas en x = 2.89 unidades, cada uno redondeado a dos lugares decimales. Ver figura 64.

S E C C IÓ N 3.6

Modelos Matemáticos: Construcción de Funciones

Figura 63

Figura 64

50

50

Resuelve ahora

EJEM PLO 3

259

EL

PROBLEMA

7

Construcción de un corralito* Un fabricante de corralitos para niños tiene un modelo cuadrado que se puede abrir en una esquina y se puede fijar en ángulo recto a una pared o, tal vez, al lado de la casa. Si cada lado tiene 3 pies de largo, la configuración abierta duplica el área dis ponible en la cual el niño puede jugar de 9 pies cuadrados a 18 pies cuadrados. Ver figura 65. Ahora supongamos que colocamos las bisagras en las esquinas exteriores para permitir una configuración como la que se muestra en la figura 6 6 . Figura 66

Figura 65

(a) Construye un modelo que exprese el área A de la configuración que se muestra en la figura 6 6 como función de la distancia x entre los dos lados paralelos. (b) Determina el dominio de A .

S Solución

(c) Determina A si x = 5. (d) Traza la gráfica de A = área máxima?

A(x).

¿Para qué valor de x es mayor el área? ¿Cuál es el

(a) Consulta la figura 6 6 . El área A que buscamos consiste en el área del rectángulo (de ancho 3 y largo x ) y el área de un triángulo isósceles (con base x y dos lados iguales de longitud 3). La altura h del triángulo se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras.

h

=

36 -

x1

♦Adaptado de P ro c e e d in g s, S u m m e r C o n fe re n c e f o r C o lle g e T ea c h e rs o n A p p l ie d M a th e m a tic s (University of Missouri, Rolla), 1971.

260

C A P ÍT U L O S


El área A que encierra el corralito es A =

área del rectángulo + área del triángulo =

3x +

- x ^ - V 36 -

x 2^

El área A expresada como función de x es A (x)

=

xV 36 - x2 3 jc +

El modelo

(b) Para encontrar el dominio de A , observa que x > 0, debido a que x es una longi tud. Además, la expresión bajo la raíz cuadrada debe ser positiva, así que 36 - Jt2 > 0 x 2 < 36 - 6 < x <6 Combinando estas restricciones, el dominio de A es 0 < x < 6 o (0,6), usando notación de intervalos. (c) Si x = 5, el área es

F ig u ra 6 7

24

A { 5)

= 3(5) + ^ \ / 3 6 - (5 ) 2 « 19.15 pies cuadrados

Si la longitud del corralito es de 5 pies, su área es de 19.15 pies cuadrados. (d) Ver figura 67. El área máxima es de aproximadamente 19.82 pies cuadrados, que se obtiene cuando x es aproximadamente 5.58 pies. .

3.6 Evalúa tu entendimiento Aplicaciones y extensiones \i.

S ea

e

P-

(x ,y ) un p u n to e n la g rá fic a d e

d d e P al o rig en

(a ) E x p re sa la d istan cia (b ) ¿ C u á n to e s

.

2

c o m o fu n c ió n d e

p a r te p o sitiv a d e l e je E x p r e sa e l á rea

x.

A

y

e n ( 0,y ) , c o m o s e v e e n la figura.

d e l tr iá n g u lo c o m o fu n c ió n d e

x.

d si x = 0?

(c ) ¿ C u á n to e s d si

a

y = x2- 8.

x-

1?

(d ) U s a u n d is p o s itiv o p ara h a c e r g rá fic a s p ara o b te n e r la r e p r e s e n ta c ió n

de d - d(x).

( e ) ¿P ara q u é v a lo r e s d e S ea

P = (jc,y)

x es

m ás p eq u eñ a

un p u n to en la g rá fic a d e

di

y - x2- 8.

(a ) E x p r e sa la d ista n c ia d d e P al p u n to ( 0 , - 1 ) c o m o fu n c ió n d e

0

x.

(b ) ¿ C u á n to e s d si

x = 01

(c ) ¿ C u á n to e s d si

x=

-l?

(d ) U s a u n d is p o s itiv o p ara h a c e r g rá fic a s p ara o b te n e r la r e p r e s e n ta c ió n

S ea

P = (x,y)

x d es

m ás p eq ueña?

d d e P al p u n to

y

=

Vx

\,7 .

(1 ,0 ) c o m o fu n c ió n

¿P ara q u é v a lo r e s d e

S ea

P-

x d es

m ás p eq ueña?

( x ,y ) un p u n to e n la g rá fica d e y = — X (a ) E x p resa la d istan cia d d e P al o rig en c o m o fu n ció n d e

x.

Q (b ) U s a un d isp o s itiv o para h a cer g rá fic a s para o b te n e r la re p r e s e n ta c ió n de d - d(x). (c ) 5.

¿P ara q u é v a lo r e s d e

x es

m ás p eq u eñ a

di

U n triá n g u lo re ctá n g u lo tie n e un v é r tic e en la g rá fica d e

y = x 3, x > 0,

e n ( .t,y ), o tr o e n e l o r ig e n y e l te r c e r o en

x

e n ( jc, 0 ). E x p r e sa e l á rea

A

d el

x.

U n r e c tá n g u lo tie n e u n a e s q u in a e n e l c u a d ra n te I en la g rá fic a d e

y = 16 - x 2, o tra

e n e l o r ig e n , u n a tercera e n la

p a rte p o sitiv a d e l e je y y la cu a rta e n la p a rte p o sitiv a d el

d - d(x).

(c )

x > 0,

triá n g u lo c o m o fu n c ió n d e

j*g (b ) U s a un d isp o s itiv o p ara h a c e r g rá fic a s p ara o b te n e r la r e p r e s e n ta c ió n d e

= 9 - x 2,

la p a rte p o sitiv a d e l e je

un p u n to e n la g rá fic a d e

(a ) E x p r e sa la d ista n c ia de*.

4.

y

de d - d(x).

( e ) ¿P ara q u é v a lo r e s d e 3.

6. U n tr iá n g u lo r e c tá n g u lo tie n e un v é r tic e e n la gráfica d e

en ( x,y ), o tr o en e l o r ig e n y e l te r c e r o e n la

e je

x.

V e r figura.

S E C C IÓ N 3.6 ^

(a ) E x p r e sa e l á re a

ft

A

x.

d e l r e c tá n g u lo c o m o fu n c ió n d e

A? A = A(x).

(c )

¿P ara q u é v a lo r d e

x

es

12. Geometría

A

=

A(x).

x es


Al

S e v a a co r ta r un a la m b r e d e 10 m e tr o s

d e la r g o e n d o s p e d a z o s. U n p e d a z o d e b e te n e r fo rm a d e

m á s g ra n d e >4?

tr iá n g u lo e q u ilá te r o y e l o tr o p e d a z o fo rm a d e círcu lo .

8. U n r e c tá n g u lo e s tá in sc r ito e n u n s e m ic ír c u lo d e r a d io 2.

©

D ib u ja la g rá fic a d e m ás p eq u eñ a

(b ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e j*|| (c ) T ra za la grá fica d e

261

Modelos Matemáticos: Construcción de Funciones

O b se r v a la figu ra. S e a

P = (x,y)

(a ) E x p r e sa e l á rea to ta l

e l p u n to e n e l c u a d r a n te I

A

q u e e n c ie r r a n lo s p e d a z o s d e

x

a la m b r e c o m o fu n c ió n d e la lo n g itu d

q u e e s u n v é r tic e d e l r e c tá n g u lo y q u e e s tá e n e l c írc u lo .

d e un la d o d e l

tr iá n g u lo e q u ilá te r o .

Al A = A{x).

(b ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e Q (c ) D ib u ja la g rá fica d e m ás p eq u eñ a

13.


x

U n a la m b r e d e lo n g itu d

x se

d o b la e n fo r m a d e un círcu lo .

(a ) E xp resa la circunferencia C d el círculo c o m o fun ción d e (a ) E x p r e sa e l á rea

A


x.

(b ) E x p r e sa e l á rea

(b ) E x p resa e l p erím e tr o p d el rectá n g u lo c o m o fu n ció n d e ( c ) D ib u ja la grá fica d e m á s g ra n d e

9.

A - A(x).

¿ P a ra q u é v a lo r d e

x

es

p - p(x).

¿P a ra q u é v a lo r d e

x

es

Al pl

P

A

d e l c ír c u lo c o m o fu n c ió n d e

U n a la m b r e d e lo n g itu d

x se

d o b la en fo rm a d e cu a d ra d o .

(a ) E x p re sa e l p e r ím e tr o p d el cu a d ra d o c o m o fu n ció n d e

15. Geometría

A

x.

x.

d e l cu a d r a d o c o m o fu n ció n d e

U n s e m ic ír c u lo d e r a d io

r e stá

x.

x.

in scr ito e n un

r e c tá n g u lo d e m a n e r a q u e e l d iá m e tr o d e l se m ic ír c u lo e s la

U n r e c tá n g u lo e s tá in sc r ito e n u n c ír c u lo d e r a d io 2. V e r figu ra. S ea

14.

(b ) E x p r e sa e l á rea

(d ) D ib u ja la g rá fica d e m á s g ra n d e

x.

es

Al

lo n g itu d d e l r e c tá n g u lo . V e r figura.

= ( x,y) e l p u n to e n e l c u a d r a n te I q u e e s u n

v é r tic e d e l r e c tá n g u lo y q u e e s tá e n e l c írc u lo .

A d el re ctá n g u lo c o m o fu n ció n d el rad io r d el se m icírcu lo . (b ) E x p resa e l p erím etro p d el rectán gu lo c o m o fu n ción d e r. 16. Geometría U n triá n g u lo e q u ilá te r o e s tá in scr ito e n un (a ) E x p re sa e l á rea

c írc u lo d e ra d io r. V e r figu ra. E x p r e sa la circ u n fe re n c ia C d e l c írc u lo c o m o fu n c ió n d e la lo n g itu d

x

[Sugerencia: P rim e ro (a ) E x p r e sa e l á re a

A


(b ) E x p resa e l p erím etro de

m ás g ra n d e

r2 -

— .]

d el rectá n g u lo c o m o fu n ción

A = A(x).


x

es

Al p = p(x).

D ib u ja la grá fica d e m á s g ra n d e

10.

d e m u e str a q u e

x.

x.

g¡ (c ) D ib u ja la gráfica d e (d )

p

d e u n la d o d el

^

triá n g u lo .


x

es

pl

U n círc u lo d e ra d io

17. Geometría c u lo d e rad io

r e s tá

in sc r ito e n u n cu a d ra d o . O b se r v a

A que

U n trián gu lo eq u ilá te r o está in scrito en un cír

r. V e r

figura d el p ro b lem a 16. E x p resa e l área

está d en tr o d el círcu lo, p e r o fu era d el trián gulo, c o m o

fu n ció n d e la lo n g itu d x d e un la d o d el triángulo. 18. Movimiento uniforme D o s a u to s sa le n d e una in te r se c c ió n

la figura.

al m ism o tie m p o . U n o se d irig e al su r a u n a v e lo c id a d c o n s ta n te d e 3 0 m illa s p o r h o ra y el o tr o s e d irige al o e s te c o n u n a v e lo c id a d c o n sta n te d e 4 0 m illa s p o r h ora (V e r figu ra). C o n str u y e un m o d e lo q u e e x p r e se la d ista n cia (a ) E x p r e sa e l á rea

r d el

A d el cu ad rad o

c o m o fu n c ió n d el ra d io

[Sugerencia: L o s

círcu lo .

(b ) E x p resa e l p erím e tr o

11. Geometría

a u to s c o m o fu n c ió n d el tie m p o

p d el cu a d ra d o

la rg o en d o s p e d a z o s. U n p e d a z o d e b e te n e r fo rm a d e c u a d ra d o y e l o tr o p e d a z o fo rm a d e c írc u lo . V e r figura.

10 m

(a ) E xpresa el área total A q ue encierran los p ed a zo s d e alam bre c o m o función d e la longitud * d e un lad o d el cuadrado. (b ) ¿C u ál e s e l d o m in io d e

Al

en tre lo s

a u to s sa le n d e la in te r se c c ió n co n

c o m o fu n ció n d e r.

S e va a co rta r u n a la m b r e d e 10 m e tr o s d e

d

t.

N

0-*—►E S

t = 0.]

262

c a i'ít

U LO 3


M o v im ie n to u n ifo rm e

D o s » u to s se a p r o x im a n a un» in

(a ) Si la in sta la c ió n c u e s ta $ 5 0 0 p o r m illa so b r e e l c a m in o y

ter sec ció n . U n o está » 2 m illa s al su r d e la in te r se c c ió n y

$ 7 0 0 p or m illa fu era d e l c a m in o , c o n str u y e un m o d e lo

se m u e v e a una v e lo c id a d c o n sta n te d e 3 0 m illa s p o r h ora.

q u e e x p r e s e el c o s to to ta l

A l m ism o tie m p o , el o tr o a u to estíí a 3 m illa s al e s te d e la

ció n d e la d ista n c ia

in te r se c c ió n y se m u e v e a u na v e lo c id a d c o n sta n te d e 4 0

al p u n to d o n d e la in sta la c ió n d e l c a b le sa le d e l c a m in o

m illa s p or hora.

In dica el d o m in io .

(a )

C o n str u y e un m o d e lo q u e e x p r e s e la d ista n c ia lo s a u to s c o m o fu n ció n d el tie m p o

[Sugerencia:

En

t=

d

e n tr e

i.

0, lo s a u to s e stá n a 2 m illa s al sur y 3

x=

1 m illa.

( c ) C a lc u la el c o s to sí

x-

3 m illa s.


I, d

es

m ás p e q u e ñ a ?

20. Cilindro inscrito en una esfera circu lar d e altura h y ra d io r e n

In scrib e un c ilin d r o r e c to u na e s fe r a d e r a d io fijo

O b ser v a la ilu stra ció n . E x p re sa e l v o lu m e n c o m o fu n ció n d e

V d el

R.

la in sta la ció n c o m o fun

C = C(x). U sa T R A C E C c u a n d o x cam b ia d e 0 a 5.

¡J id ) H a z una gráfica d e la fu n ció n para v er c o m o varía e l c o s to

(b ) U sa un d isp o s itiv o para h a cer g rá fic a s para o b te n e r la

d = d(l).

C de

m illa s) d e la caja d e c o n e x ió n

(b ) C a lc u la e l c o s to si

m illa s al e s te d e la in te r se c c ió n , r e sp e c tiv a m e n te .]

r e p r e s e n ta c ió n d e

x (e n

(c)

¿ Q u é v a lo r d e

x da

c o m o r e su lta d o e l c o s to m ín im o ?

23. Tiempo requerido para ir de una isla a un pueblo U n a isla e stá a 2 m illa s d e l p u n to m á s c e r c a n o P en la c o sta . U n p u e b lo e stá a 12 m illa s c o s ta a b a jo d e P. V e r ilu stra ció n .

c ilin d r o

h.

[Sugerencia: V = nPh.

O b se r v a ta m b ié n el tr iá n g u lo r e c

tá n g u lo ]

I I 21. Cilindro inscrito en un cono In scr ib e un c ilin d r o r e c to circu la r d e altura h y ra d io r e n un c o n o d e r a d io fijo R y altura fija H. O b ser v a la ilu stra c ió n . E x p r e sa e l v o lu m e n V d e l cilin d r o c o m o fu n ció n d e r.

(a ) Si u na p e r so n a p u e d e rem a r e n un b o te a una v e lo c i d ad p r o m e d io d e 3 m illa s p o r h ora y la m ism a p erso n a p u e d e c a m in a r a 5 m illa s p o r h o r a , c o n str u y e un m o d e lo q u e e x p r e s e el tie m p o

T que

to m a ir d e la isla al

p u e b lo c o m o fu n c ió n d e la d ista n c ia .t d e

[Sugerencia:

Pa

d o n d e la

p e r s o n a d eja e l b o te .

m ila res.]

(b ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e

T!

(c ) ¿ C u á n to to m a r á ir d e la isla al p u e b lo si la p e r so n a d eja e l b o te a 4 m illa s d e P ? ( d ) ¿ C u á n to tom ará si la p erso n a deja e l b o te a S m illas d e P?

24. Llenado de un tanque cónico

S e v ie r te ag u a en un c o n t e

n e d o r d e fo rm a d e c o n o r e c to circu la r d e 4 p ie s d e ra d io y 16 p ie s d e altu ra. O b se r v a la figura. E x p r e sa e l v o lu m e n d e l a g u a e n e l c o n o c o m o fu n c ió n d e la altu ra

[Sugerencia: E l 22. Instalación de TV por cable

S e le p id e a M e tr o M e d ia

h es V =

v o lu m e n

V de

h d el

V

agu a.

u n c o n o d e r a d io r y altura

j ir r /i.]

C a b le q u e d é se r v ic io a un c lie n te cu y a ca sa está a 2 m illa s d e l c a m in o so b r e e l cu a l, e stá e n te r r a d o e l c a b le . L a caja d e c o n e x ió n m ás ce rc a n a e stá lo c a liz a d a a 5 m illa s e n el c a m in o . V e r figura.

25. Construcción de una caja abierta

S e v a a co n stru ir una

caja a b ier ta d e b a se cu a d ra d a c o n un p e d a z o d e ca r tó n d e 2 4 p u lg a d a s p o r la d o c o r ta n d o un c u a d r a d o d e ca d a e s q u i na y d o b la n d o lo s la d o s h a cia arrib a. V e r figura.

4 Repaso del Capitulo

(a) Expresa el volumen V' «Je la caja como función de la longitud x de un lado del cuadrado que se cortó de cada esquina. (b) ¿Cuál es el volumen si se corta un cuadrado de 3 pulgadas? (c) ¿Cuál es el volumen si se corta un cuadrado de 10 pulgadas?

263

' ^ (d) Tra/a la gráfica de V = L(x). ¿Para qué valor de x, V'cs más grande? 26. Construcción de una cuja uliiertu Se requiere que una caja abierta de base cuadrada tenga un volumen de 10 pies cúbicos. (a) Expresa la cantidad A de material usado para construir esa caja como función de la longitud v de un lado de la base cuadrada. (b) ¿Cuánto material se requiere para una base de 1 pie por 1 pie? (c) ¿Cuánto material se requiere para una base de 2 pies por 2 pies? ^ (d) Usa un dispositivo para hacer gráficas para obtener la representación de A = A ( x ) . ¿Para qué valor de x es A más pequeña?

REPASO DEL CAPÍTULO Directorio de funciones Función constante (p. 236) f(x) = b La gráfica es una recta horizontal con intersección con y igual a h.

Función identidad (p. 237) f(x) =x La gráfica es una recta con pendien te 1 e intersección con y igual a tí.

Función cuadrada (p. 237)

Función raíz cuudrada (p. 237) f ( x ) = Vx

Función raíz cúbica (p. 237)

Función valor absoluto (p. 238)

Función mayor entero (p. 238) f ( x ) = ent(.r) y •-o 4 •-O 2 - *-o - +o 1 1 1 (t-n*. l i l i » x - 2 - 1L' 2 4 #-o

/ ( • t ) = r>

La gráfica es una parábola con inter sección. (tí, tí)

y t(x) -- b ( 0 .6 ) X

Función cúbica (p. 237) /< * ) = * ’

Función reciproca (p. 238)

«*>* í

m

=m

f ( x ) = ¿Cx

264

C A P ÍT U L O 3


Cosas que debes saber Función (pp. 201-203)

U n a r e la c ió n e n tr e d o s c o n ju n to s d e m a n e ra q u e ca d a e le m e n to x e n el p rim er c o n ju n to , el d o m in io , c o r r e s p o n d e a e x a c ta m e n te un e le m e n to d e e l c o n ju n to d e v a lo r e s

y

y

d e la fu n c ió n para lo s v a lo r e s d e

e n e l s e g u n d o c o n ju n to . E l ra n g o e s

x en

el d o m in io .

U n a fu n ció n ta m b ién se p u e d e c a r a cter iz a r c o m o un c o n ju n to d e p a res o r d e n a d o s ( x,y ) en lo s q u e n in g ú n p rim er e le m e n to se a so c ia c o n d o s s e g u n d o s e le m e n to s d ife r e n te s .

Notación de funciones (pp. 203-206)

y=f(x) f e s e l s ím b o lo d e fu n ció n . x e s el a r g u m e n to o v a ria b le in d e p e n d ie n te . y e s la v a ria b le d e p e n d ie n te . / ( x ) e s e l v a lo r d e la fu n ció n en x o la im a g en

x.

de

U n a fu n c ió n / se p u e d e d e fin ir im p líc ita m e n te p o r una e c u a c ió n q u e in c lu y e m e n te e s c r ib ie n d o

Cociente de diferencias de/ (pp. 205 y 234)

f(x

Dominio (pp. 206-208)

Si n o e stá e s p e c ific a d o , e l d o m in io d e u n a fu n c ió n

+

h)

-

f(x)

h

o e x p líc ita

h* 0

m á s g r a d e d e n ú m e r o s r e a le s para lo s c u a le s

Prueba de la recta vertical (p. 214) Función par/ (p.223)

f(-x)

= / ( x ) para to d a

Función impar/ (p. 223)

/(-x )

= -f(x)

Función creciente (p. 225)

xyy

y = /(x ).

f(x)

f,

d e fin id a p o r u n a e c u a c ió n , e s e l co n ju n to

e s un n ú m e r o real.

U n c o n ju n to d e p u n to s e n e l p la n o e s la g rá fica d e u n a fu n c ió n si y s o lo si to d a recta vertica l in te r se c ta la g rá fica e n a lo m á s un p u n to .

x d el

para to d a

d o m in io ( - x ta m b ié n d e b e e sta r e n e l d o m in io ).

x d el

d o m in io ( - x ta m b ié n d e b e e sta r en e l d o m in io ).

U n a fu n c ió n / e s c r e c ie n te e n un in te r v a lo a b ie r to

I si

para to d a x , y

x2e n

/ , c o n x , < x . te n e m o s

q u e / ( x , ) < / ( x 2).

Función decreciente (p. 225)

U n a fu n c ió n / e s d e c r e c ie n te en un in te r v a lo a b ie r to

I si

p ara t o d a x , y x , e n /, c o n x , < x , t e n e

m o s q u e / ( x , ) > / ( x 2).

Función constante (p. 225)

U n a fu n c ió n / e s c o n s ta n te e n un in te r v a lo a b ie r to

1 si

p ara to d a x e n / . lo s v a lo r e s d e / ( x ) so n

ig u a les.

Máximo local (p. 226)

c o n te n g a a

c de

U n a fu n c ió n / tie n e un m ín im o lo c a l e n c si e x is te un in te r v a lo a b ie r to / q u e c o n te n g a a

c de

U n a fu n c ió n / tie n e un m á x im o lo c a l e n m a n e ra q u e , p ara to d a x e n / ,

Mínimo local (p. 226)

f(x)

c si

e x is te un in te r v a lo a b ie r to

1 que

:£ / ( c ) .

m a n e ra q u e , para to d a x e n / , / ( x ) s / ( c ) .

Máximo absoluto y mínimo absoluto (p. 226)

S e a / u n a fu n c ió n d e fin id a e n un in te r v a lo /. Si e x is te u n n ú m e r o

u e n I para

e l cu a l

f(x) ^

/ ( « ) p ara to d a x e n /, e n t o n c e s / ( « ) e s e l m á x im o

a b s o lu to d e / e n / y d e c im o s q u e e n c o n tr a m o s e l m á x im o a b s o lu to d e / e n Si e x is te u n n ú m e r o

v

e n / para e l cu a l

f(x)

a b s o lu to d e / e n / y d e c im o s q u e e n c o n tr a m o s e l m á x im o a b s o lu to d e / e n

Tasa de cambio promedio de una función (p. 228)

L a ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e / d e

\y

u. f(v) v.

s / ( t > ) para to d a x e n / . e n to n c e s

a a b es f(b)

-

e s e l m ín im o

f(a)

Objetivos Sección 3.1

D eb es p o d e r...

Ejercicio s de rep aso

D e te r m in a r si u n a r e la c ió n r e p r e s e n ta u n a fu n c ió n , (p . 2 0 0 )

1 -5

1 ,2

E n co n tra r e l v a lo r d e u na fu n c ió n , (p . 2 0 3 )

6 ,7

3 - 8 , 2 3 .2 4 .7 1 ,7 2

/

E n con trar el d o m in io d e una fu n ción d efin id a p o r una ec u a c ió n , (p . 2 06)

8 ,9

9 -1 6

/

F orm ar la sum a, d iferencia, p rod u cto y co c ie n te d e d o s fun cion es, (p. 208)

10

1 7 -2 2

/

Id en tific a r la g rá fica d e u n a fu n c ió n , (p . 2 1 4 )

1

4 7 -5 0 /( a H f )

/

2

3.2

Ejem p los

2 5 (a -f).

3.3

, 3'

2 6 (a -f).

O b ten er inform ación a partir d e o sob re la gráfica d e una función, (p. 215)

2 -4

D e te r m in a r fu n c io n e s p a res e im p a r es a p artir d e su grá fica , (p . 2 2 3 )

1

2 7 (f), 2 8 (f)

Iden tificar fu n c io n e s p a res e im p a r es a partir d e una e c u a c ió n , (p . 2 2 4 )

2

2 9 -3 6

3

2 7 ( b ) , 2 S (b )

U sa r una g ráfica para d e te r m in a r si u n a fu n c ió n e s c r e c ie n te , d e c r e c ie n te o c o n sta n te , (p . 2 2 4 )

2 7 (a ).

2 7 ( e ) .2 7 ( g ) .2 S ( a ) .2 S ( e ) . 2 S (g )



Sección

0]

Ejem p los

Ejercicio s de rep aso

/

U s a r u n a g rá fica p ara e n c o n tr a r m á x im o s y m ín im o s lo c a le s , (p . 2 2 5 )

4

2 7 (c ), 2 8 (c )

S

U sa r u na gráfica para en co n tra r m á x im o s y m ín im o s a b so lu to s, (p. 226)

5

2 7 (d ), 2 8 (d )

6

3 7 - 4 0 , 7 4 (d ), 7 5 (b )

/

265

U s a r un d is p o s itiv o para e la b o r a r g rá fic a s p ara a p ro x im a r m á x im o s y m ín im o s lo c a le s y p a ra d e te r m in a r si u n a fu n c ió n e s c r e c ie n te 0 d e c r e c ie n te , (p . 2 2 8 )

3 .4

/

E n c o n tr a r la ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e u n a fu n c ió n , (p . 2 2 8 )

7 ,8

4 1 -4 6

/

T ra za r g rá fic a s d e la s fu n c io n e s d a d a s e n e l d ir e c to r io d e fu n c io n e s ,

1 ,2

5 1 -5 4

3 ,4

6 7 -7 0

(p . 2 3 4 )

3.5

/

T ra za r g rá fic a s d e fu n c io n e s d e fin id a s p o r p a rtes, (p . 2 3 9 )

/

T ra za r g rá fic a s d e fu n c io n e s u sa n d o tr a sla c io n e s v e r tic a le s y h o r iz o n

2 5 (f), 2 6 (f), 2 6 (g ), 55,

1 -5

5 6 ,5 9 -6 6

ta le s. (p . 2 4 4 )

/

T ra za r g rá fic a s d e fu n c io n e s u sa n d o c o m p r e s io n e s y e s tir a m ie n to s ,

6-8

2 5 (g ), 2 6 (h ), 5 7 ,5 8 ,6 5 ,6 6

(p . 2 4 7 )

/

T ra za r g rá fic a s d e fu n c io n e s u sa n d o r e fle x io n e s e n e l e je

xy

e n e l e je

2 5 (h ), 5 7 , 6 1 ,6 2 , 66

9 -1 0

y. (p . 2 5 0 ) 3 .6

7 3 -7 5

1 -3

C o n stru ir y a n a liza r fu n c io n e s , (p . 2 5 7 )

/

Ejercicios de repaso En los problemas 1 y 2, determina si cada relación representa una función. Para cada función, indica el dominio y rango. 1.

{ ( - 1 , 0 ) , ( 2 , 3 ) ,( 4 ,0 ) }

2 . { ( 4 ,- 1 ) , ( 2 , 1 ) ,( 4 ,2 ) }

En los problemas 3-8, determina lo siguiente para cada función: (c)f(-x) (a)f( 2 ) ( b) f ( - 2 )

( e ) f ( x - 2)

(d)-f(x)

5.

1

(f)f(2x)

f(x) = \ / * 2

- 4

4'

6. f{x) =

— 4|

7.

f(x) -

x2 - 4 x2

V 8- / ( * ) - x2 _ 9

En los problemas 9-16, determina el dominio de cada función.

9-

m - 739

10 . f(x)

12 . f(x) = V x + 2 15.

f(x)

=

x2 + 2x - 3

En los problemas 17-22, determina f 17.

f(x) = 2 - x;

20.

f(x) = 3x\

g(x)

+

= 3* + 1

g (x ) = 1 +

x

+

x2

,,

x

13.

h(x)

16.

F(x) =

g, f - g, / • g y L g 18.

f(x)

3x2 x - 2

ll.f(x) = Vl^ ~x

Vx \x\

14. g ( * ) = —

= ——

x2 - 3x - 4

para ca d a par d e fu n c io n e s . In d ica e l d o m in io d e ca d a una.

=

2x

-

1;

g (x ) =

2x +

I

... x + 1 1 21. / ( * ) = 7---i-; g W = x - 1

19.

f{x) = 3x2 + x

22 - / ( * ) =

En los problemas 23 y 24, determina el cociente de diferencias de cada función f, esto es, determina f(x + h ) ~ f(x)

23.

f{x) = - 2 X 2 + x

+ 1

h* 0

24.

f{x)

=

3x2 - 2x

+ 4

+ 1;

«W

g(x) = 3x = ~

266 25.

C A P ÍT U L O 3


U s a n d o la gráfica d e la fu n c ió n / q u e s e da:

26.

U s a n d o la g rá fica d e la fu n c ió n

g que

s e da:

(a ) D e te r m in a e l d o m in io y e l ra n g o d e (b )

g.

D e te r m in a g ( - l ) .

(a ) D e te r m in a e l d o m in io y e l ra n g o d e / . (c ) In d ic a las in te r se c c io n e s. (b ) In d ica la s in te r se c c io n e s. (d ) ¿P ara q u é v a lo r d e (c ) D e te r m in a / ( - 2 ) . (d ) ¿P ara q u é v a lo r d e ( e ) R e s u e lv e

f(x)

( e ) R e s u e lv e

x, f(x)

g(x)

> 0.

= -3 ? (f) T r a za la g rá fica d e

y = g(x -

2 ).

(g ) T r a za la g rá fica d e

y = g(x)

+ 1.

(h ) T r a za la g rá fica d e

y - 2g(x).

> 0.

( f) T ra za la g rá fica d e y = (g ) T ra za la g rá fica d e = (h ) T ra za la g rá fica d e

f(x -

x, g(x) = - 3 ?

3).

x'j

y - -f(x).

En los problemas 27 y 28, usa la gráfica de la función f para determinar: (a) El dominio y el rango de f. (b) Los intervalos en donde f es creciente, decreciente o constante. (c) Los valores mínimos locales y los valores máximos locales. ¡

(d) El máximo absoluto y el mínimo absoluto. (e) Si la gráfica es simétrica con respecto al eje x, al eje y y al origen. (f) Si la función es par, impar o ninguna de las dos. (g) Las intersecciones, si existen.

En los problemas 29-36, determina (algebraicamente) si la función dada es par, impar o ninguna de las dos. 2 9 . f ( x ) = *3 33.

4x

30. g ( x ) =

G(x) = 1 - x + x3

34.

4 + x2 1 + x4 1 + x + x2

H(x)

1

1

X

X

~3 1 .

h(x)

-= — 1 +' - 1r +1 11

32. F (x ) = \ / l

35.

f{x)

=

36. g ( x ) =

1 + x2

- x 3

f En los problemas 37-40, usa un dispositivo para hacer gráficas para obtener la representación de cada función en el intervalo que se indica. Aproxima cualquier valor local máximo y valor local mínimo. Determina dónde es creciente la función y dónde es decreciente. 37. 39.

f(x) = 2x3 — 5 *

+ 1

( -3 ,3 )

f(x) = 2x4 - 5x3 + 2x + 1

( - 2 , 3)

38.

f(x) = - x 3 + 3x - 5

40.

f(x) = - x 4 + 3x3 - 4x + 3

(-3 ,3 ) (-2 ,3 )

En los problemas 41 y 42, determina la tasa de cambio promedio de f: (a) De 1 a2 ( b) De Oa l (c) De 2 a 4 4 1 . f(x) = 8x2 - x 4 2 . f{x) = 2x3 + x En los problemas 43-46, determina la tasa de cambio promedio de 2 a 3 para cada función f. Asegúrate de simplificar. 43.

f { x) = 2 - 5x

44.

f(x)

=

2x2 +

7

45.

f(x)

= 3 jc - 4 *2

46.

f(x) = x2 -

3.v + 2

267

Repaso del Capítulo %

En los problemas 47-50, ¿la figura que se muestra es la gráfica de una función?

En los problemas 51-54, bosqueja la gráfica de cada función. Asegúrate de marcar al menos tres puntos. 51.

f { x)

= \x\

f ( x) = V x

52.

53.

f ( x) = V x

54.

f ( x) = -

En los problemas 55-66, traza la gráfica de cada función usando técnicas de traslación, compresión o estiramiento y reflexiones. Iden tifica cualquier intersección en la gráfica. Indica el dominio y, basándote en la gráfica, determina el rango. 55.

F(x)

= |.r| - 4

59.

h(x)

=

53.

h{x)

= ( jc -

Vx

1

-

l )2 + 2

56.

f { x) = |jc|

60.

h(x)

= Vx -

64.

h(x)

= ( jc +

+ 4

5 7 . g ( x ) = —2 |jc|

1

2)2 - 3

58.

g(x) = -\x\ f { x)

= ~Vx

61.

f { x) = V i - x

62.

65.

g(x)

66. g(x) = ~2(x + 2)3 - 8

=

3(x

-

l )3 + 1

+ 3

En los problemas 67-70, (c) Traza la gráfica de cada función.

(a) Determina el dominio de cada función.

(b) Localiza las intersecciones.

(d) Basándote en la gráfica, determina el rango.

(e) ¿Es continua f en su dominio?

67.

J3jc

f{x)

\x + 1 X

69.

Si - 2 < x < 1

f(x)

= < 1

3jc

Si

jc

68. f{x) = <

> 1

Si - 4 < * < 0

x Si x Si

70.

= 0

r/

\

S i / ( 1 ) = 4, d e te r m in a

A.

Ax

’

©

x

1

x

< 0

Si - 2 s jc < 2

2x - 1

Si jc > 2

g e s tá

d e fin id a p o r

,

+ 5

N

6 7 ^ 1

Si g ( - l ) = 0, d e te r m in a

U n a p á g in a c o n d im e n s io n e s d e 8

1

2

'

(a ) D e sa r r o lla un m o d e lo q u e e x p r e s e e l á rea

A

74.

A.

C o n str u c c ió n d e u n a ca ja cerra d a

S e r e q u ie r e q u e una

caja cerra d a d e b a se cu a d ra d a te n g a un v o lu m e n d e 10 p ies c ú b ic o s. (a ) C o n str u y e u n m o d e lo q u e e x p r e se la ca n tid a d

d e la p a r

x

d el

b o rd e.

A.

la lo n g itu d

A

de m a

1 p u lg a d a , 1.2 p u lg a d a s y 1.5 p u lg a d a s d e a n ch o .

x de

un la d o d e la b a se cu a d rad a.

(b ) ¿ C u á n to m a te ria l se n e c e sita para u n a b a se d e 1 p ie p o r 1 p ie? (c ) ¿ C u á n to m a te ria l s e n e c e sita p ara u n a b a se d e

(c ) D e te r m in a e l área d e la p a rte im p r esa para b o r d e s d e

Q (d ) R e a liz a la gráfica d e la fu n c ió n

8

teria l q u e s e u sará para h a cer tal caja c o m o fu n ció n d e

te im p r esa d e la p á g in a c o m o fu n c ió n d e l a n c h o

(b ) In d ica e l d o m in io y e l ra n g o d e

A

s W ’= 7 + 7 g(x)

a lr e d e d o r d e la p a rte im p r e sa e n la p á g in a , c o m o se

v e e n la figura.

<

S i jc > 0

U 2 <

7 2 . U n a fu n c ió n

p u lg a d a s p o r 11 p u lg a d a s tie n e u n b o r d e d e a n c h o u n ifo r me

3x -

-3

Si

> 0

7 1 . U n a f u n c i ó n / e s t á d e fin id a p o r

D is e ñ o d e p á g in a

f(x) =

1

* -

2

p ies

p o r 2 p ies? ^ (d ) T raza la gráfica d e

A = A(x).

A = A(x).

¿P ara q u é v alor d e

x, A

es

m ás p eq u e ñ a ? 7 5 . U n re c tá n g u lo tie n e un v é r tic e e n el cu a d ra n te I d e la gráfi

8^ pulgada

y = 10 - x 2, o tr o e n el o r ig e n , o tr o en la p arte p o sitiv a x y o tr o e n la p arte p o sitiv a d el e je y. E x p r e sa el á rea A d el r e ctá n g u lo c o m o fu n ció n d e x.

ca d e

d el e je (a ) 11 pulgada

^ (b ) E n c u e n tr a e l á rea m á x im a q u e se p u e d e en cerrar en e s te re ctá n g u lo .

Lo s v id e o s d e p re p a ra ció n p ara e x a m e n d el c a p ítu lo so n so lu c io n e s p aso a p a so d isp o n ib le s e n el D V D d e R ecu rso s e n V id eo ,

CHAPTER

en

* r 0 Test Prep

EXAMEN DEL CAPITULO•

la p á g in a d e re cu rso s d el e s tu d ia n te p ara v e r la d ire c ció n exacta

V ID E O S 1

W

1. D e te r m in a si ca d a r e la c ió n r e p r e s e n ta u n a fu n c ió n . Para

M yM a'tíüai l o e n el ca n a l d e Y o u ffflfi d e e ste te x to . C o n su lta

d e la p á g in a W e b p ara el ca n a l d e V o u T u b e d e e ste te x to .

'• 6. U s a un d is p o s itiv o p ara h a cer g rá fica s p ara o b te n e r la re

f(x) = - jt4 +

2 jc3 +

4x2 -

ca d a fu n c ió n , in d ica e l d o m in io y e l ra n g o .

p r e s e n ta c ió n d e la fu n c ió n

(a ) { ( 2 ,5 ) , ( 4 ,6 ) , ( 6 ,7 ) , ( 8, 8)}

in te r v a lo ( - 5 , 5 ) . A p r o x im a c u a lq u ie r v a lo r m ín im o local y

2 en el

c u a lq u ie r v a lo r m á x im o lo c a l r e d o n d e a d o s a d o s lu gares (b ) { ( 1 ,3 ) , ( 4 ,- 2 ) , ( - 3 , 5 ) , ( 1 ,7 ) }

d e c im a le s. D e te r m in a d ó n d e e s c r e c ie n te la fu n ció n y d ó n d e e s d e c r e c ie n te . 7.

,

,

J 2 jc + 1

C o n sid e r a la fu n c ió n g ( x ) =

'

\ [x

Si

- 4

jc

< —1

S i jc ^ - 1

(a ) T r a za la g rá fica d e la fu n ció n . (b ) In d ic a la s in te r se c c io n e s. (c ) D e te r m in a

g(- 5 ).

(d ) D e te r m in a g (2 ).

8. P ara la fu n c ió n / ( x) = 3x2 - 2x + 4 , d e te r m in a la ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e / d e 3 a 4. 9.

Para las fu n c io n e s

f(x)

= 2x2+ 1 y

g(x) - 3 x - 2 ,

d eter m in a

lo sig u ie n te y sim p lifica:

(a) (b ) (c )

10.

f - g

f-g f(x + h ) - f ( x )

R e a liz a la gráfica ca d a fu n ció n u sa n d o las téc n ica s d e trasla c ió n , c o m p r e sió n o e stir a m ie n to y r e fle x io n e s. E m p ie z a co n la gráfica d e la fu n ció n b á sica y m u estra to d a s las etap as. (a )

h (;c)

(b )

11.

La

=

-2(x

+ l )3 + 3

g ( * ) = |* + 4| + 2 ta sa

tu d ia n te

de

in te r é s v a r ia b le

ca m b ia ca d a

en

un

p r é s ta m o

de

es

1 d e ju lio , b a sa d a e n la tasa

d e p r é s ta m o s p r e fe r e n c ia le s d el b a n c o . P ara lo s a ñ o s d e

En los problemas 2-4, determina el dominio de cada función y evalúa cada función en x - -1.

1 9 9 2 -2 0 0 7 , e s ta ta sa se p u e d e a p ro x im a r p o r e l m o d e lo

r{x)

= - 0 .1 1 5 ; r + 1.183 jc + 5 .6 2 3 , d o n d e

añ os d esd e 1992 y 2. 4.

f(x)

= V 4 - 5*

h{x)

x - 4 x2 + 5x -

=

3. g ( * ) = ^ + 2 |

r es

x

es el núm ero de

la ta sa d e in te r é s c o m o p o rce n ta je.

y (a ) U s a u n d is p o s itiv o para e la b o r a r g rá ficas para estim a r la ta sa m á s alta d u r a n te e s te p e r io d o . ¿ E n q u é a ñ o se

36

d io la ta sa d e in te r é s m á s alta?

5 . U s a la gráfica d e la fu n c ió n / y:

(b ) U s a e l m o d e lo para e stim a r la ta sa e n 2 0 1 0 . ¿ P a rece r a z o n a b le e s te v a lo r? F u en te: R e s e r v a F e d e r a l d e E E .U U

12.

U n a p ista d e h ie lo tie n e la fo r m a d e un r e c tá n g u lo c o n s e m ic ír c u lo s a lo s la d o s. L a lo n g itu d d el r e c tá n g u lo e s d e 20 p ie s m e n o s q u e e l d o b le d e l a n c h o . E l e s p e s o r d e l h ie lo es d e 0 .7 5 p u lg a d a s. (a ) C o n str u y e u n m o d e lo q u e e x p r e s e e l v o lu m e n h ie lo c o m o u n a fu n c ió n d e l a n c h o

V

d el

x.

(b ) ¿ C u á n to h ie lo h a y e n la p ista si e l a n c h o e s d e 90 p ies?

(a ) E n cu en tra e l d o m in io y e l ra n g o d e / . (b ) In d ica las in te r se c c io n e s. (c ) D e t e r m i n a / ( l ) . (d ) ¿P ara q u é v a lo r o v a lo r e s d e (e ) R e s u e lv e

268

f(x)

< 0.

x, f(x) -

-3 ?

Proyectos del Capitulo

269

REPASO ACUMULATIVO »____ ___________________________ / /i los problemas l-A determina las salaciones reales de cada ecuación.

x

1.

3.i — S = 10

2. 3 .r —

= 0

3.

.vI.2 - Kv - 9 * 0

4. fu*’ - 5.v + • ! = ( )

5.

\lx

6. \ 2 v~+ 3 = 2

En los problemas I l-l-I, realiza la gráfica de cada ecuación. I I . 3jt - 2 y = 12

12. x

13. . r + (y - 3): = Ib

14.

15. + 3| * 4

2 - 3.t > 6

8. |2 r - 5 | < 3

9 . |4.r

+ 1| /

16.

P ara la e c u a c ió n 3 .r - 4 v = 12, d e te r m in a las in te r se c c io n e s

f\ -

D e te r m in a la fo rm a p e n d ie n te -o r d e n a d a d e la e c u a c ió n d e

En los problemas 17-1 ó, realiza la gráfica de cada función.

7

= (-2 ,-3 ) a

V*

la recta q u e c o n tie n e lo s p u n to s ( - 2 , 4 ) y ( 6, 8 ).

17.

10. ( a ) D e te r m in a la d ista n c ia d e

y =

f

y re v isa su sim etr ía .

En los problemas 7 -9 . resuelve cada desigualdad. Traza la gráfi ca del conjunto solución. 7.

=

f(x)

= ( jt +

2f

- 3

( 3 ,- 5 ) .

( b ) ¿ C u á l e s e l p u n to m e d io d e l s e g m e n t o d e recta d e P. a / -

18. f(x)

= ^

19. f ( x ) =

( c ) ¿ C u á l e s la p e n d ie n te d e la recta q u e c o n t ie n e lo s p u n

Si .v =s 2 Si .t > 2

to s / ’, y P ;?

PROYECTO DEL CAPÍTULO 3.

C o n sid e r a q u e p ie n sa s u sar 5 0 0 m in u to s c o n plan d e te x to s y d a to s ilim ita d o s. ¿ C u á l se ría e l c o s to m en su a l d e ca d a plan q u e e s tá s c o n sid e r a n d o ?

4.

C o n sid e r a q u e p ie n sa s u sar 5 0 0 m in u to s c o n te x to s ili m ita d o s y 2 0 M B d e d a to s. ¿ C u á l sería el c o s to m en su a l d e ca d a plan q u e e s tá s c o n sid e r a n d o ?

5.

C o n str u y e un m o d e lo q u e d esc rib a e l c o s to m en su a l C c o m o fu n ció n d el n ú m e r o d e m in u to s

m

u sa d o s s u p o

n ie n d o q u e tie n e s te x to s ilim ita d o s y 2 0 M B d e d a to s al m e s para ca d a plan q u e e stá s c o n sid e r a n d o .

6.

H a z u na gráfica d e la fu n ció n d el p r o b le m a 5.

7.

B asad o en tu u so particular, ¿cuál e s el m ejor plan para ti?

8.

A h o r a crea una hoja d e cá lcu lo E x c el para analizar lo s d iv erso s p la n es q u e está s an alizan d o. C o n sid era q u e q u ieres un plan q u e ofrezca 700 m in u to s co n un co s to de m in u tos a d icio n a les d e $0.40 p or m in u to por un total de $39.99 al m es. A d e m á s, q u ieres tex to s ilim itad os, lo cual cu esta $20 al m es y un plan de d a to s q u e ofrezca h as ta 25 M B al m es, co n el c o s to de cad a M B ad icion al de

I. Escoger un plan de teléfono celular Ju n ta

in fo r m a c ió n d e

$0.20. C o m o la estructura d e co sto s d e los p lan es d e te lé

tu fa m ilia , a m ig o s o a g e n c ia s d el co n su m id o r . D e s p u é s e s

fo n o s celu la res se basa en fu n cio n es d efin id as p or partes,

c o g e una co m p a ñ ía d e t e lé fo n o s c e lu la r e s q u e te p a rezca

n ece sita m o s p ro p o sicio n e s “si-e n to n c e s” en la hoja de

q u e o fr e c e el m ejo r se r v ic io . U n a v e z q u e la h a y a s s e le c

cá lcu lo para analizar el c o s to d el plan. U sa la hoja de cá l

c io n a d o , in v estig a lo s d ife r e n te s tip o s d e p la n e s q u e o fr e c e

cu lo q u e se da a co n tin u a ció n c o m o gu ía para desarrollar

la co m p a ñ ía v isita n d o su p á g in a W eb .

tu hoja d e cálcu lo. In clu ye e n tu hoja una variedad de

1.

p o sib les m in u tos y d a to s u sa d o s c o m o ayu da para tom ar

C o n sid e ra q u e p ie n sa s u sar 4 0 0 m in u to s sin p lan d e

. una d ecisió n acerca d e q ué plan e s m ejor para ti.

te x to s o d e d a to s. ¿C u á l se ría e l c o s to m en su a l d e cad a p lan q u e e stá s co n sid e r a n d o ? 2.

9.

C o n sid e ra q u e p ie n sa s usar 6 0 0 m in u to s c o n p lan d e te x to s lim ita d o s p e r o sin d a to s. ¿C u ál se ría el c o s to m en su a l d e ca d a p lan q u e e s tá s c o n sid e r a n d o ?

E scrib e un p árrafo d e fe n d ie n d o tu e le c c ió n d el plan q u e m ejo r sa tisfa ce tus n e c e sid a d e s.

10.

¿E n q u e se p a rec en lo s la z o s “s i-e n to n c e s ” a una fu n c ió n d e fin id a p o r p a rtes?

270

C A P ÍT U L O 3


C

B

A

m

D

J

i $

39.99

2

Cargo m ensual

3

Número de m inutos disponibles asignados

700

4

Número de minutos disponibles usados

700

5

Costo por minuto adicional

$

0.40

6

Costo mensual de mensajes de texto

$

20.00

7

Costo mensual por plan de datos

$

9.99

8

Datos asignados por mes (MB)

25

9

Datos usados

30 $

10 Costo por MB de datos adicional

0.20

11 12 Costo de minutos del teléfono

=IF(B4
13 Costo de los datos

=IF(B9
14 =B6+B12+B 3

15 Costo total 16

Los siguientes proyectos están disponibles en el Centro de recursos del instructor (IRC, por sus siglas en inglés):

II.

Proyecto en Motorola: servicio de Internet inalámbrico U s a

fu n c io n e s y su s g rá fic a s p ara a n a liza r e l c o s to to ta l d e v a rio s p la n e s

d e In te r n e t in a lá m b r ico .

III. Costo de TV por cable C u a n d o

la s r e g u la c io n e s g u b e r n a m e n ta le s y la s p r e fe r e n c ia s d e lo s c o n s u m id o r e s in flu y e n e l ru m b o d e

u n a n u e v a lín e a d e c a b le , s e p u e d e u sar e l t e o r e m a d e P itá g o r a s p ara d e te r m in a r e l c o s to d e la in sta la c ió n .

IV. Derrame de petróleo S e

u sa n fu n c io n e s p a ra a n a liza r e l ta m a ñ o y e s p a r c im ie n to d e u n d e r r a m e d e p e tr ó le o d e u n ta n q u e c o n

fu g a s.

Cita: E x c e l

© 2 0 1 0 M ic r o so ft C o r p o r a tio n . U s a d o c o n p e r m iso d e M ic r o so ft.

/

t

Funciones lineales y cuadráticas Contenido Funciones lineales y sus propiedades Modelos lineales: construcción de funciones lineales a partir de datos 4.3 Funciones cuadráticas y sus propiedades

4.1

4.2

Construcción de modelos cuadráticos a partir de descripciones verbales y de datos 4.5 Desigualdades que involucran funciones cuadráticas

4.4


El coeficiente Beta de las acciones In v ertir e n la b o lsa d e v a lo r e s p u e d e se r g r a tific a n te y d iv e r tid o , p e r o , ¿ c ó m o d e b e m o s se le c c io n a r la s a c c io n e s q u e v a m o s a co m p ra r ? L a s c o m p a ñ ía s d e in v e r sio n e s fin a n cier a s c o n tra ta n a m ile s d e a n a lista s q u ie n e s e stu d ia n la s a c c io n e s in d iv id u a le s y d e te r m i n a n e l v a lo r d e la c o m p a ñ ía d e te r m in a d a . U n a c a r a c te r ístic a q u e lo s a n a lista s c o n sid e r a n e s e l

coeficiente Beta d e

la s a c c io n e s. E l c o e fic ie n te B e ta m id e e l rie sg o

r e la tiv o d e l p a tr im o n io d e u n a c o m p a ñ ía c o m p a r a d o c o n e l d e la ca n a sta d e a c c io n e s d e l m e r c a d o , c o m o S ta n d a r d & P o o r ’s 5 0 0 . P e r o , ¿ c ó m o s e ca lcu la e l c o e f ic ie n t e B e ta ? í p ) — Ver

el proyecto basado en Internet del capítulo —

En Resumen

Hasta ahora nuestros estudios se han enfocado en gráficas de ecuaciones y funciones. Aprendimos a elaborar gráficas de ecuaciones usando el método de trazo de puntos, intersecciones y pruebas de simetría. Además, aprendimos lo que es una función y cómo identificar si una relación representa una función. También analizamos propiedades de las funciones, como dominio/rango, creciente/decreciente, par/impar y tasa de cambio promedio.

Un Vistazo >

A continuación estudiaremos clases de funciones. En este capítulo nos enfocaremos en funciones lineales y cuadráticas, sus propiedades y sus aplicaciones.

271

272

capí

HUÍ) 4

Fundones lineales y cuadráticas

4.1 Funciones lineales y sus propiedades P r e p a r a c ió n


A n te s d e e m p e z a r , repasa lo siguiente:

•

•

R e c ta s (s e c c ió n 2 .3 , pp. 1 6 7 -1 7 5 )

•

G rlifica s d e e c u a c io n e s d e d o s v a ria b les; in te r s e c c io

G r á fic a d e una fu n c ió n (s e c c ió n 3 ,2 . pp. 2 1 4 - 2 1 7 )

nes; sim etría (s e c c ió n 2 .2 , pp. 1 5 7 -1 6 4 )

F u n c io n e s d e la s p r o p ie d a d e s (s e c c ió n 3.3,

E c u a c io n e s lin e a le s (s e c c ió n 1.1, pp. 8 2 - 8 7 )

pp. 2 2 0 - 2 3 0 )

•

F u n c io n e s ís e c c ió n 3 .1 . pp. 2 0 0 - 2 0 8 )

Resuelva ahora lo s p ro b le m a s d e la s e c c ió n "¿Estás listo?" d e la p á g in a 27 8 . O BJETIV O S

1 Hacer gráficas de funciones lineales (p. 272) 2 Usar la tasa de cambio promedio para identificar funciones lineales (p. 272)

3 Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante íp. 275) 4 Construir modelos lineales a partir de descripciones verbales (p. 276)

1 G ráficas de funciones lineales En la sección 2.3 estudiamos las rectas. En particular, para rectas no verticales es tablecimos la forma pendiente-ordenada de la ecuación de una recta y = m x + b. Cuando escribimos la forma pendiente-ordenada de una recta usando notación de funciones, tenemos una f u n d ó n l ineal.

DEFINICIÓN

(Jna función lineal es una función de la forma f(x ) -m x-'t-b

La gráfica de una función lineal es una recta con pendiente m c intersección con y igual a b. Su dominio es el conjunto de lodos los números reales. __j A las funciones que no son lineales se les conoce como funciones no lineales.

EJEM PLO 1

Gráfica de una función lineal Traza la gráfica de la función lineal: /(.v) = -3 x + 7

Solución Figura 1

Ésta es una función lineal con pendiente m = -3 e intersección con y en b = 7. Para hacer la gráfica de esta función, trazamos el punto (0. 7). la intersección con y y usamos la pendiente para encontrar un punto adicional moviéndonos 1 unidad a la derecha y 3 unidades hacia abajo. Ver figura 1. i De forma alternativa pudimos haber encontrado un punto adicional evaluando la función en alguna .v * 0. Para x = 1, ten em o s/(l) = -3(1) + 7 = 4 y obtenemos el punto (1,4) en la gráfica. Resuelve ahora

LOS

p r o b l e m a s

13

i n c i s o s

(a )

r

(b )

Uso de la tasa de cam bio prom edio para identificar funciones lineales La tabla 1 muestra ciertos valores de la variable independiente .v y los valores correspon dientes de la variable dependiente y para la función f ( x ) = - av + 7. Observa que al incre mentarse en 1 el valor de la variable independiente, .v. la variable dependiente, y. disminuye en 3. Esto es. la tasa de cambio promedio de v con respecto a .v es una constante. -3.

SK C C IÓ N 4.1

Fundones lineales y sus propiedades

273

Tabla 1

N o e s c o i n c i d e n c i a q u e la t a s a d e c a m b i o p r o m e d i o d e u n a f u n c i ó n l i n e a l Ay / ( . r ) = —3 jc + 7 s e a la p e n d i e n t e d e la f u n c i ó n l i n e a l . E s t o e s , — =

m =

-3 . El

s ig u ie n te te o r e m a e s ta b le c e e s te h e c h o .

TEOREM A

Tasa de cambio promedio de una función lineal L a s fu n c io n e s lin e a le s t ie n e n u n a ta sa d e c a m b io p r o m e d io c o n s t a n t e . E s to e s , la t a s a d e c a m b i o p r o m e d i o d e u n a f u n c i ó n l i n e a l / (.v) =

Demostración

L a ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e Ay _

f ( x 2)

A .v

x2 - X\ mx2 - mx i

-

f{x0

_

mx + b

f ( x ) = mx + b

es

de

x { a x2,

^ x 2e s

(mx2 + b) - ( mx x + b) x2 - X\

m{ x2 - x{)

= ---------------------— -----------------------—

x2 - Xi

X2 - Xi

m

■

B a s á n d o n o s e n e l t e o r e m a q u e a c a b a m o s d e d e m o s t r a r , la t a s a d e c a m b i o p r o m e d io d e u n a fu n c ió n g ( ; t ) = -

—— Resuelveahora

e l

2 -x

2 + 5 es

p r o b l e m a

13

i n c i s o

( c )

S o l o la s f u n c i o n e s l i n e a l e s t i e n e n u n a t a s a d e c a m b i o p r o m e d i o c o n s t a n t e . E s t o n o s p e r m i t e u s a r la t a s a d e c a m b i o p r o m e d i o p a r a d e t e r m in a r s i u n a f u n c ió n e s l i n e a l o n o . E s t o e s p a r t ic u la r m e n t e ú til si la f u n c ió n e s t á d e f in i d a p o r u n c o n j u n t o d e d a t o s .

EJEM PLO 2

Uso de la tasa de cambio promedio para identificar funciones lineales (a )

S e i n t r o d u c e u n a c e p a d e E - c o l i B e u 3 9 7 - r e c A 4 4 1 e n u n a c a ja d e P e t r i a 3 0 ° C e l s i u s y s e d e j a q u e c r e z c a . S e c o m p i l a n l o s d a t o s m o s t r a d o s e n la t a b la 2 d e la p á g in a 2 7 4 . L a p o b l a c i ó n s e m id e e n g r a m o s y e l t i e m p o e n h o r a s . T r a z a lo s p a r e s o r d e n a d o s ( x , y ) e n e l p l a n o c a r t e s ia n o y u s a la t a s a d e c a m b i o p r o m e d i o p a r a d e t e r m in a r s i la f u n c i ó n e s lin e a l .

274

C A P ÍT U L O 4


(b) Los datos de la tabla 3 representan el número máximo de latidos del corazón que debe tener una persona saludable en un intervalo de tiempo de 15 segundos mien tras hace ejercicio para distintas edades. Traza los pares ordenados (x, y ) en el plano cartesiano y usa la tasa de cambio promedio para determinar si la función es lineal. Tabla 3

Tabla 2

Tiempo (horas), x

Población (gramos), y

(x,y)

0.09

(0,0.09)

0.12

( ,

0.16

(2,0.16)

0.22

(3,0.22)

0.29

(4,0.29)

0.39

(5,0.39)

1 0. 12)

Calcula la tasa de cambio promedio de cada función. Si la tasa de cambio promedio es constante, la función es lineal. Si la tasa de cambio promedio no es constante, la función es no lineal. (a) La figura 2 muestra la gráfica de los puntos de la tabla 2 en el plano cartesiano. Observa que es imposible trazar una línea recta que contenga todos los puntos. La tabla 4 muestra la tasa de cambio promedio de la población.

Población (gramos), y

Solución

Dado que la tasa de cambio promedio no es constante, sabemos que la función es no lineal. De hecho, como la tasa de cambio promedio incrementa conforme incrementa la variable independiente, la función crece a una tasa cre ciente. Así que no solo está incrementando la población con el paso del tiempo sino que también crece más rápido conforme pasa el tiempo. (b) La figura 3 muestra la gráfica de los puntos que se dan en la tabla 3 en el plano cartesiano. Podemos ver que los datos de la figura 3 están en una recta. La tabla 5 contiene la tasa de cambio promedio del número máximo de latidos del cora zón. La tasa de cambio promedio de los datos sobre latidos del corazón es cons tante, -0.25 latidos por año, por lo tanto, la función es lineal.

t S E C C IÓ N 4.1


275

•J Resuelve ahora

EL P R O B L E M A 21

3 Determ ina si una función lineal es creciente, decreciente o constante Consulta la sección Visualiza el concepto en la página 169. Cuando la pendiente m de una función lineal es positiva (m > 0 ), la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha. Cuando la pendiente m de una función lineal es negativa ( m < 0), la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha. Cuando la pendiente m de una función lineal es cero ( m - 0 ), la recta es horizontal. TEO REM A

Funciones lineales crecientes, decrecientes y constantes Una función lineal f ( x ) = m x + b es creciente en su dominio si su pendiente, , es positiva. Es decreciente en su dominio si su pendiente, m , es negativa. Es constante en su dominio si su pendiente, m , es cero.

m

EJEM PLO 3

Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante Determina si las siguientes funciones lineales son crecientes, decrecientes o constan tes. (a)/(jc) = 5jc-2 (b) g(*) = -2 x + 8 (d)

(c)

Solución

(a) Para la función lineal f ( x )

h(z) =

7

- 2, la pendiente es 5, la cual es positivo. La fun ció n /es creciente en el intervalo ( - 0 0 , 0 0 ). (b) Para la función lineal g ( x ) = - 2 x + 8 , la pendiente es -2 , la cual es negativo. La función g es decreciente en el intervalo ( - 0 0 , 0 0 ). .. 3 3 (c) Para la función lineal s ( t ) = .4~ t - 4, la pendiente es 4- , la cual es positivo. La función s es creciente en el intervalo ( - 0 0 , 0 0 ). ( d ) Podemos escribir la función lineal h como h (z) = 0z + 7. Dado que la pendiente es 0 , la función h es constante en el intervalo ( - 0 0 , 0 0 ).

Resuelve ahora

el

-5x

problema

13

inciso

(d)

276

C A P ÍT U L O 4


,4 Construir m odelos lineales a partir de descripciones verbales Cuando la tasa de cambio promedio de una función es constante, podemos usar una función lineal para modelar la relación entre las dos variables. Por ejemplo, si tu compañía de teléfono te cobra $0.07 por minuto sin importar el número de minutos usados, podemos modelar la relación entre el costo C'y los minutos usados* como la 0.07 dollar función lineal C ( x ) = 0.07* con pendiente m 1 minute

Modelos con funciones lineales Si la tasa de cambio promedio de una función es una constante m , se puede usar una función lineal / para modelar la relación entre las dos variables de la siguiente manera: /( x) = m x donde

EJEM PLO 4

b

es el valor de / en 0 , esto es,

b

+ b

= / ( 0 ).

Depreciación en línea recta El valor contable es el valor de los activos que usa una compañía para hacer su ba lance. Algunas compañías deprecian sus activos usando depreciación en línea recta de manera que el valor de los activos disminuya una cantidad fija cada año. El monto de la disminución depende de la vida útil que la compañía asigna a los activos. Consi dera que una compañía acaba de comprar una flota de autos nuevos para su grupo de ventas a un costo de $28,000 por auto. La compañía decide depreciar cada vehículo usando el método de depreciación en línea recta a lo largo de 7 años. Esto quiere $28,000 decir que cada auto se depreciará = $4000 por año. (a) Escribe una función lineal que exprese el valor contable V de cada auto como función de su edad x. (b) Haz la gráfica de la función lineal. (c) ¿Cuál es el valor contable de cada auto después de 3 años? (d) Interpreta la pendiente. (e) ¿Cuándo será igual a $8000 el valor contable de cada auto? [Sugerencia: Resuelve la ecuación V { x ) = 8000.]

Solución Figura 4

(a) Sea V(*) el valor de cada auto después de .r años, entonces V(0) representa el valor original de cada auto, es decir, V(0) = $28,000. La intersección en y de la función lineal es $28,000. Como cada auto se deprecia $4000 al año, la pendiente de la función lineal es -4000. La función lineal que representa el valor contable V de cada auto después de x años es

Valor en libro ($)

V(x)

= —4000.V + 28,000

(b) La figura 4 muestra la gráfica de V. (c) El valor contable de cada auto después de 3 años es V(3) = —4000(3) + 28,000 = $16,000 (d )

Debido a que la pendiente de V(*) = -4000.V + 28,000 es —4000, la tasa de cam bio promedio del valor contable es -$4000/año. Así que por cada año adicional que pase, el valor contable disminuye en $4000.

S E C C IÓ N

4.1


277

(e) Para determinar cuándo será igual a $8 (XX) el valor contable, resuelve la ecuación V ( .t ) = 8000

-4(XX).r + 28,(XX) = 8000 -4000 a: = -20.000 20,000 ---------- = 5

Resta 2 8 ,0 0 0 en ambos lados.

-

x =

—4000

Divide entre -4 0 0 0 .

El auto tendrá un valor contable de $8000 después de 5 años.

#J Resuelve ahora el problema | EJEM PLO 5

45

Oferta y demanda La oferta de un bien es la cantidad del producto que una compañía pone a la venta a un precio dado. La demanda de un bien es la cantidad del producto que los consu midores compran a un precio dado. Considera que la cantidad de oferta, 5, y la can tidad de demanda, D, de teléfonos celulares cada mes están dadas por las siguientes funciones: S(p)

= 60p - 900

D(p) = -15p + 2850 donde p es el precio (en dólares) del teléfono. (a) El precio de equilibrio de un producto se define como el precio en el que la oferta es igual a la demanda. Esto es, el precio de equilibrio es el precio en el que S { p ) = D ( p ) . Determina el precio de equilibrio de teléfonos celulares. ¿Cuál es la cantidad de equilibrio, la cantidad de demanda (u oferta) en el precio de equilibrio? (b) Determina los precios para los cuales la oferta es mayor que la demanda. Es decir, resuelve la desigualdad S ( p ) > D ( p ) . (c) Haz una gráfica de S = S ( p ) , D = D { p ) y marca el precio de equilibrio. (a) Para encontrar el precio de equilibrio, resuelve la ecuación 60p

S(p)

=

D{p).

900 = —15p + 2850 S(p) ==6 0 - 90 0 :

-

D(p) =: —15p+ 2 650

3750 Suma 9 0 0 de cada lado.

15p =

3750

Suma 15pde cada lado.

50


P =

+

60p =

l

Solución

El precio de equilibrio es de $50 por teléfono celular. Para encontrar la cantidad de equilibrio, evalúa ya sea S { p ) o D ( p ) en p - 50. 5(50) = 60(50) - 900 = 2100 La cantidad de equilibrio es de 2100 teléfonos celulares. A un precio de $50 por teléfono, la compañía producirá y venderá 2 1 0 0 teléfonos cada mes y no tendrá escasez o exceso de inventario. (b) La desigualdad S ( p ) > D ( p ) es 60p - 900 > -15 p + 2850

S(p)

> P(P)

60p

>

-15 p + 3750

Suma 9 0 0 de cada lado.

75p

>

3750

Suma 15p de cada lado.

50


p >

Si la compañía cobra más de $50 por teléfono, la oferta excederá la demanda. En este caso, la compañía tendrá un exceso de teléfonos en su inventario.

278

C A P ÍT U L O 4


(c) La figura 5 muestra las gráficas de S marcado.

= S{p) y D

=

D (p)

con el punto de equilibrio


4.1 Evalúa tu entendimiento "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1.

T ra za la gráfica d e

y = 2x -

3. (p p . 1 5 7 - 1 6 4 )

4 . R e s u e lv e 60 jt - 9 0 0 = - 1 5 * + 2 8 5 0 . (p p . 8 2 - 8 7 ) 5 . Si f ( x ) = x 2- 4, d e t e r m i n a / ( - 2 ) . (p p . 2 0 0 - 2 0 8 )

2 . D e te r m in a la p e n d ie n te d e la re cta q u e u n e lo s p u n to s ( 2 ,5 )

6. V erd a d ero o f a l s o L a g rá fic a d e la fu n c ió n f ( x ) = x 2 e s c r e

y ( - 1 , 3 ) . (p p . 1 6 7 - 1 7 5 ) 3 . D e te r m in a la tasa d e c a m b io p r o m e d io d e

f(x) = 3x2-

2, de

b, m

e s la

c ie n te e n e l in te r v a lo (0 ,o o ). (p p . 2 1 4 - 2 1 7 )

2 a 4. (p p . 2 2 2 -2 3 0 )

Conceptos y vocabulario 7 . P ara la gráfica d e la fu n c ió n lin e a l / ( x ) = m x + __________ y

b es

10.

l a ____________

V e rd a d e ro o f a l s o L a p e n d ie n te d e u n a r e cta n o v er tica l e s la ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e u n a fu n c ió n lin ea l.

8. Para la gráfica d e la fu n c ió n lin e a l H(z) = - 4 z + 3 , la p e n

y

d ie n te e s __________ y la in te r se c c ió n e n

11.

in crem en ta rá en 2 .

9 . Si la p e n d ie n te m d e la g rá fica d e u n a fu n c ió n lin e a l e s __________ , la fu n c ió n e s c r e c ie n te e n su d o m in io .

V e rd a d e ro o f a l s o S i la ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e una fu n c ió n lin e a l e s -2-, e n t o n c e s si y s e in c r e m e n ta e n 3 . .r se

e s ____________

12.

V e rd a d e ro

o fa ls o

La

ta sa

de

c a m b io

p r o m e d io

f{x) = 2x + 8 e s 8 .

Ejercicios En los problemas 13-20, se da una función lineal. (a) Determina la pendiente e intersección en y de cada función. (b) Usa la pendiente y la intersección en y para hacer la gráfica de la función lineal. (c) Determina la tasa de cambio promedio de cada función. (d) Determina si la función lineal es creciente, decreciente o constante. \l3 .

f(x)

=

2x +

3

14- / ( * ) = 4 * ~ 3

5 jc - 4

17.

h(x)

= —3.r + 4

19.

p{x)

=

= — —* + 4

18.

F(x)

=

20.

G(x)

= -2

15.

g(x) =

16.

h(x)

4

-x

+ 6

En los problemas 21-28, determina si la función que se da es lineal o no lineal. Si es lineal, determina su pendiente. 3

3—

T,37— 22.

II -s

\2 l.

X

X

y

=

Hx)

23.

y

X

=

Hx)

24.

X

y

=

Hx)

-2

4

-2

1/4

-2

-8

-2

-4

-1

1

-1

1/2

-1

-3

-1

0

0

-2

0

1

0

0

0

4

1

-5

1

2

1

1

1

8

2

-8

2

4

2

0

2

12

de

X

-2

-2 6

-2

-1

-4

-1

0

2

279

Funciones lineales y sus propiedades X

II

X

II

S E C C IÓ N 4.1 X

y = f[x)

-4

-2

8

-2

0

- 3 .5

-1

8

-1

1

y = f(x)

0

-3

0

8

0

4

- 2 .5

1

8

1

9

-2

2

8

2

16

1

-2

1

2

-1 0

2


f(x) = 4x - 1 y g (x ) = -2x + 5. f(x) = 0. (b ) R e s u e lv e f(x) > 0. (c ) R e s u e lv e f(x) = g (x). (d ) R e s u e lv e f(x) ^g(x). ( e ) R e a liz a la g rá fica d e y = f(x) y y = g (x ) y m a rca e l p u n to q u e r e p r e s e n ta la s o lu c ió n d e la e c u a c ió n f(x) = g ( x ) . C o n sid e r a q u e f(x) = 3 x + 5 y g (x) = - 2 jc + 15. (a ) R e s u e lv e / ( x ) = 0. (b ) R e s u e lv e f(x ) < 0. (c ) R e s u e lv e f(x ) = g ( x ) . (d ) R e s u e lv e f(x) >: g ( x ). ( e ) R e a liz a la grá fica d e y = / ( x ) y y = g (x ) y m a rca e l p u n to q u e r e p r e s e n ta la s o lu c ió n a la e c u a c ió n f(x) = g (x ).

C o n sid e r a q u e (a )

30.

31.

34.

P ara lo s in c is o s (a ) y (b ), u sa la sig u ie n te figura.

R e s u e lv e

P ara lo s in c is o s ( a ) - ( f ) , u sa la s ig u ie n te figu ra.

(b ) R e s u e lv e la 35.

32.

f{x)

= 50 .

f(x) = g {x). ec u a c ió n : f(x) ^ g ( * ) .

(a ) R e s u e lv e la ec u a c ió n :

(a )

R e s u e lv e

(c )

R e s u e lv e / ( x ) = 0.

(d ) R e s u e lv e / ( x )

(e)

R e s u e lv e / ( x) ^ 8 0 .

(f) R e s u e lv e 0 < / ( x ) < 80.

P ara lo s in c iso s (a ) y (b ), u sa la s ig u ie n te figura.

(b ) R e s u e lv e / ( x ) = 80.

> 50. (a ) R e s u e lv e la ec u a c ió n :

P ara lo s in c is o s ( a ) - ( f ) , u sa la sig u ie n te figu ra.

(b ) R e s u e lv e la ec u a c ió n : 36.

(a )

R e s u e lv e g ( x ) = 2 0 .

(c ) R e s u e lv e (e) 33.

g(x) = 0. g (x) s 60.

R e s u e lv e

f(x) =g(x). g(x) ^ f(x)
Para lo s in c iso s (a ) y (b ), u sa la sig u ie n te figura.

(b ) R e s u e lv e g ( x ) = 60. (d ) R e s u e lv e

g(x) > 20. g (x ) <

(f) R e s u e lv e 0 <

60.

f(x) = g(x). g(x) < f(x) ^ h (x). c o s to C en d ó la r e s d e

(a ) R e s u e lv e la ec u a c ió n :

P ara lo s in c is o s (a ) y (b ), u sa la s ig u ie n te figura.

(b ) R e s u e lv e la ec u a c ió n : 37.

R e n ta d e a u to s E l ren tar un c a m ió n d e m u d a n z a s p o r un d ía se m o d e la p or la e c u a c ió n C(.v) = 0.25.t + 35, d o n d e

x es

el n ú m er o d e m illas m anejadas.

(a ) ¿C u á l e s e l c o s to si m a n e ja s

x = 40

m illas?

(b ) Si e l c o s to d e ren tar el c a m ió n e s d e $80, ¿cu á n ta s m illas m a n e ja ste? (c ) C o n sid e ra q u e n o q u ie r e s q u e el c o s to e x c e d a $100. ¿C u á l e s el m á x im o n ú m e r o d e m illas q u e p u e d e s m a n e (a ) R e s u e lv e la ecu a ció n : (b ) R e s u e lv e la ec u a c ió n :

f(x) = g(x). f(x) >g(x).

jar? (d )

¿C u á l e s e l d o m in io d e C?

280 38.

c a p í 'I

U l,() 4


( 'lir io s telefónico*« El c o s to m en su a l

C,

( a ) ¿ C u á l e s e l d o m in io im p líc ito e n e s ta fu n ció n lin ea l?

e n d ó la r e s, p o r lla

ib ) ¿C u á l fu e e l im p u e s to al lu jo d e lo » Y a n k c c s d e N u e v a

m a d a s in te r n a c io n a le s d e un c ie r to p lan d e te lé fo n o c e lu la r s e m o d e la p or la fu n ció n

C(x) =

x

0 .3 8 * + 5 , d o n d e

Y ork cu y a n ó m in a d e s u e ld o s fu e d e $171,1 m illo n e s?

e s el

( c ) H a z la g rá fica d e la fu n c ió n lin ea l.

n ú m e r o d e m in u to s u sa d o s. (a ) ¿C u á l e s e l c o s to si h a b la s p o r te lé fo n o p o r

x=

( d ) ¿C u á l e s la n ó m in a d e s u e ld o s d e un e q u ip o q u e p aga un

5 0 m in u

im p u e s to al lu jo d e $ 1 1 .7 m illo n e s?

tos? ( b ) C o n sid e ra q u e tu factu ra m en su a l e s d e $ 2 9 .3 2 . ¿ C u á n to s m in u to s u sa ste el te lé fo n o ? (c ) C o n sid e ra q u e tu p r e s u p u e s to p e r m itid o e s $ 6 0 al m e s p or e l te lé fo n o . ¿C u á l e s el n ú m e r o m á x im o d e m in u to s q u e p u e d e s h ablar? (d ) ¿C'uál e s el d o m in io d e C s i un m e s tie n e 3 0 d ía s? V 39.

O fe r ta y d e m a n d a C o n sid e r a q u e la o fe r ta

I) d e

Sy

la d e m a n d a

p la y er a s en un c o n c ie r to e stá n d a d a s p o r las s ig u ie n te s

fu n cio n es:

donde

p

S(p)

= - 2 0 0 + 50 p

D(p)

= 1000 - 25p

El punto en el que las ganancias de una compañía son cero se llama punto de equilibrio ¡‘ara tos problemas 4 ? y 44, sea f< las nanatu ¡as de una compañía, C los costos de la compañía y x el número de unidades producidas y vendidas cada día. ( a) Determina el punto de equilibrio de la compañía, es decir, determina x tal que H = C. (b) Dctermina los valores de x tales que R(x) > Cíxj. Esto representa el número de unidades que la compañía debe vender para tener una ganancia. R(x) = Kx C(x) = 4 .5 * + 17.500 44. R(x) = 12x C(x) = I U r + 15.000

e s e l p r e c io d e las p la y er a s. \

45.

(a ) D e te r m in a e l p r e c io d e e q u ilib r io para p la y e r a s en e s e c o n c ie r to . (b ) D e te r m in a lo s p r e c io s para lo s c u a le s la d e m a n d a e s

8

c o m p a ñ ía e s c o g e d e p r e c ia r la c o m p u ta d o r a u sa n d o un m é to d o d e d e p r e c ia c ió n e n lín e a recta a lo la r g o d e 3 a ñ o s.

m a y o r q u e la o fe r ta .

( a ) E sc r ib e un m o d e lo lin ea l q u e e x p r e s e e l v a lo r c o n ta b le

(c ) ¿ Q u é c r e e s q u e pasará ta rd e o te m p r a n o c o n e l p r e c io

V de

d e las p la y er a s si la d e m a n d a e s m a y o r q u e la o fe r ta ? 40.

O fcrtu y d e m a n d a C o n sid e r a q u e la o fe r ta

D

Sy

(c ) H a z la gráfica d e la fu n c ió n lin ea l. ( d ) ¿C'uál e s e l v a lo r d e la c o m p u ta d o r a d e s p u é s d e 2 a ñ o s? ( c ) ¿ C u á n d o ten d rá la c o m p u ta d o r a un v a lo r d e $2 0 0 0 ?

S(j)) = -2CHK) + 3(XX)p 46.

D(/j ) = 10,(XX) - 1000/?

ju e g o d e b é isb o l.

i

un m é to d o d e d ep recia ció n en lín ea recta a lo largo d e 10 años. (a ) E sc r ib e un m o d e lo lin e a l q u e e x p r e s e e l v a lo r c o n ta b le

V de

m a y o r q u e la o fe r ta .

la m á q u in a c o m o fu n c ió n d e su e d a d x .

( b ) ¿ C u á l e s e l d o m in io im p líc ito d e la fu n d ó n q u e e n c o n

(c ) ¿ Q u é c r e e s q u e p asa rá ta rd e o te m p r a n o c o n e l p r e c io

tra ste e n el in c iso (a )?

d e lo s h o t d o g s si la d e m a n d a e s m a y o r q u e la o fe r ta ?

(c ) H a z la g rá fica d e la fu n c ió n lin ea l.

T(x) = 0 .1 5(.r - 8 3 5 0 ) + 8 3 5 r e p r e se n ta T d e una p e r s o n a so lte r a c u y o in e s d e x d ó la r e s p o r in g r e so s e n tr e $ 8 3 5 0

( d ) ¿C u á! e s e l v a lo r d e la m á q u in a d e s p u é s d e 4 a ñ o s?

Im p u e s to s La fu n ció n

( e ) ¿ C u á n d o ten d rá la m á q u in a un v a lo r d e $ 7 2 .0 0 0 ?

la factu ra p or im p u e s to s

46.

F u n d ó n d e c o s to L a fu n c ió n d e c o s to m á s sim p le e s la fu n

y $ 3 3 ,9 5 0 , in c lu id o , en 2009.

c ió n d e c o s to lin e a l. C(.v) =

Fuente: Servicio de Impuestos Internos de E.U.

en y.

¿C u ál e s la factu ra d e u n a p e r s o n a so lte r a si e l in g r e so

mx

+

b.

d o n d e la in te r s e c d ó n

r e p r e s e n ta e l c o s to fijo d e m a n e ja r un n e g c id o y la

m

r e p r e s e n ta e l c o s to d e c a d a o b je to p r o d u d d o .

C o n sid e r a q u e un fa b r ica n te d e b ic ic le ta s tie n e c o s to s fijos d ia r io s p o r $ 1 8 0 0 y p ro d u c ir c a d a b ic ic le ta c u e s ta $90.

n e to a ju sta d o e s d e $20,(XX)? (c ) ¿C u á l e s la v a ria b le in d e p e n d ie n te y cu á l e s la v a ria b le

(a ) E scrib e un m o d e lo lin ea l q u e e x p r e s e e l c o s to C d e fa b ricar ,v b ic ic le ta s al d ía.

d e p e n d ie n te ? (d )

b.

p e n d ie n te

(a ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e e sta fu n c ió n lin ea l? (b )

C o n sid era q u e una com p añ ía

$120,(XXI. La co m p a ñ ía e s c o g e d e p r e d a r la m áquina u san d o

(b ) D e te r m in a lo s p r e c io s para lo s c u a le s la d e m a n d a e s

g r e s o n e to a ju sta d o

D e p r e d a c ió n en lin ca recta

acaba d e com p rar una m áqu ina n u ev a para su fábrica por

e s e l p r e c io d e un h o t d o g .

(a ) D e te r m in a el p r e c io d e e q u ilib r io para h o t d o g s e n el

41.

x.

tra ste e n e l in c is o (a )?

la d e m a n d a

d e h o t d o g s en un ju e g o d e b é isb o l e s tá n d a d a s p o r las

p

la c o m p u ta d o r a c o m o fu n c ió n d e su ed a d

( b ) ¿ C u á l e s e l d o m in io im p líc ito d e la fu n ció n q u e e n c o n

s ig u ie n te s fu n cio n es:

donde

D e p r e c ia c ió n e n lín e a r e cta C o n sid e r a q u e u na co m p a ñ ía a ca b a d e co m p ra r una c o m p u ta d o r a n u e v a por $3 0 0 0 . La

H a z u na gráfica d e la fu n c ió n lin ea l so b r e e l d o m in io e s

( b ) H a z la g rá fica d e l m o d e lo . (c ) ¿ C u á l e s e l c o s to d e fab ricar 14 b ic ic le ta s e n un d ía?

p e c ific a d o e n e l in ciso (a ). ( e ) ¿ C u á l e s e l in g r e so n e to a ju sta d o d e u n a p e r s o n a so lte r a

(d ) ¿ C u á n ta s b ic ic le ta s s e p u e d e n fab ricar p o r S3~S0? F u n c ió n d e c o s to C o n su lta e l p r o b le m a 4 7 . C o n sid e r a q u e

si su factu ra d e im p u e s to s e s d e $ 3 7 0 7 .5 0 ?

e l d u e ñ o d e un e d ific io in c r e m e n ta la re n ta al fa b rica n te d e 42.

Im p u e sto al lu jo E n 2 0 0 2 las ligas m a y o r e s d e b é is b o l firm a

b ic ic le ta s e n $100 al m es.

ron un a c u e r d o la b o ra l c o n lo s ju g a d o r e s. E n e s te a c u e r d o ,

(a ) S u p o n ie n d o q u e e l fa b r ic a n te a b re su n e g o c io 2 0 d ía s al

cu a lq u ier

e q u ip o

cu y a

n ó m in a

de

s u e ld o s

e x c e d ie r a

$136.5 m illo n e s e n 2 0 0 6 ten d r ía q u e p a g a r un im p u e s to al lu jo d e 40% (p o r se g u n d a s o fe n s a s ). L a fu n c ió n lin ea l

T(j))

= Q.40(p - 136.5) d escrib e e l im p u e sto al lu jo

e q u ip o cu ya n ó m in a d e su e ld o s fue

Fuente: Grandes ligas de béisbol

p (e n

T de

un

m illo n e s d e d ó la re s).

m e s, ¿ c u á le s so n lo s n u e v o s c o s to s fijo s d ia rio s? (b ) E scrib e un m o d e lo lin ea l q u e e x p r e se e l c o s to C d e fabri car .v b ic ic le ta s en un d ía c o n e l in c r e m e n to d e la renta. (c ) H a z la g rá fic a d el m o d e lo . ( d ) ¿ C u á l e s e l c o s to d e fa b rica r 14 b ic ic le ta s e n un d ía ? ( e ) ¿ C u á n ta s b ic ic le ta s se p u e d e n fa b rica r p o r $3 7 8 0 ?

S E C C IÓ N 4.1

281


%

49. Renta de camiones %

50. Larga distancia

l i n a c o m p a ñ ía d e re n ta d e c a m io n e s

U n a c o m p a ñ ía d e t e lé fo n o s o fr e c e un p lan

ren ta un c a m ió n p o r un d ía p o r $ 2 9 m á s $ 0 0 7 p o r m illa.

d e larga d ista n c ia q u e c u e s ta $5 m ás $ 0 .0 5 p or m in u to .

(a ) E scribe un m o d e lo lineal q u e relacione el co sto C. en dólares,

(a ) E scrib e un m o d e lo lin e a l q u e r e la c io n e e l c o s to C , en

d e rentar el cam ión co n el n ú m ero x d e m illas m anejadas.

d ó la r e s, c o n lo s m in u to s

( b ) ¿ C u a l e s e l c o s to d e ren ta r e l c a m ió n si s e m a n e ja n 110

(b )

x para

h ablar.

¿C u á l e s e l c o s to p o r h a b la r 105 m in u to s? ¿ 1 8 0 m in u to s?

m illa s? ¿ 2 3 0 m illa s?

láctica mixta 51. Desarrollo de un modelo lineal a partir de datos g u ie n te s d a to s r e p r e s e n ta n e l p r e c io p y la d e m a n d a

L o s si

52. Desarrollo de un modelo lineal a partir de datos

p o r día

L o s si

g u ie n te s d a to s r e p r e se n ta n las d iv e r sa s c o m b in a c io n e s d e

(/ d e un m o n ito r L C D d e 2 4 ” .

r e fr e s c o y h o t d o g s q u e p u e d e co m p r a r Y o la n d a c o n $ 6 0 en un ju e g o d e b é isb o l.

Precio, p (en dólares)

Demanda, q

150

100

20

0

200

80

15

3

250

60

10

6

300

40

5

9

(a ) T ra za lo s p a res o r d e n a d o s

(px]) e n e l p la n o c a r tesia n o . q e s u n a fu n c ió n lin e a l d el

(a ) Traza los pares o rd en ad os (s,/i) en el p lano cartesiano. (b ) D e m u e str a q u e e l n ú m e r o d e h o t d o g s

(b ) D e m u e s tr a q u e la d e m a n d a p r e c io

p.

(d )

p

y

h que

se co m p ra n

e s u n a fu n c ió n lin e a l d e l n ú m e r o d e r e fr e sco s

s.

(c ) D e te r m in a la fu n c ió n lin e a l q u e d e sc r ib e la rela ció n

(c ) D e te r m in a la fu n c ió n lin e a l q u e d e sc r ib e la r e la c ió n en tr e

Hot dogs, h

Refresco, s

q.

e n tr e (d )

¿ C u á l e s e l d o m in io im p líc ito d e la fu n c ió n lin ea l?

s y h.

¿C u á l e s e l d o m in io im p líc ito d e la fu n ció n lin ea l?

( e ) C o n str u y e la g rá fica d e la fu n c ió n lin ea l e n e l p la n o ca r

( e ) C o n str u y e la grá fica d e la fu n c ió n lin e a l e n e l p la n o ca r

te sia n o q u e h ic iste e n e l in c iso (a ).

te s ia n o q u e h ic is te en e l in c is o (a ). (f) In terp reta la p e n d ie n te .

(f) In te rp re ta la p e n d ie n te .

(g ) In terp reta lo s v a lo r e s d e las in te r se c c io n e s.

(g ) In terp reta lo s v a lo r e s d e las in te r se c c io n e s.


¿ C u á l d e la s s ig u ie n te s fu n c io n e s p u e d e te n e r la g rá fica q u e

54.

¿ C u á l d e la s sig u ie n te s fu n c io n e s p u e d e te n e r la gráfica q u e

s e m u estra ? (P u e d e h a b e r m á s d e u n a r e sp u e sta .)

s e m u e str a ? (P u e d e h a b e r m á s d e u n a r e sp u e sta .)

(a )

(a) f(x) = 3x +

/(x ) = 2 x - 7

1

(b ) g W = - 3 x + 4

(b ) g ( * ) = - 2 x + 3

(c) H(x) = 5 (d ) F(x) = 3x + 4

(c)

(e) G(x) = \ x + 2

(e) G(x) = - § * +

(d )

H (x ) = 3

F(x) = - 4 x - \

55.

¿ B a jo q u é circu n sta n cia s e s im p a r u n a fu n c ió n lin ea l / ( x) — mx + í>? ¿ P u e d e u n a fu n c ió n lin ea l a lg u n a v e z se r par?

56.

E x p lic a c ó m o s e p u e d e u sar la g rá fica d e

f(x) = mx + b para

r e so lv e r

mx + b >

0.

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?"______________________________________ i.

3.

18

4.

{5 0 }

5.

0

6.

V erdad ero

282

C A P ÍT U L O 4


4.2 Modelos lineales: construcción de funciones lineales a partir de datos P r e p a r a c ió n

para esta

SECCIÓN A n t e s d e e m p e z a r , r e v is a lo sig u ie n te :

C o o r d e n a d a s r e c ta n g u la r e s (s e c c ió n 2 .1 , p p. 1 5 0 - 1 5 1 )

R e c ta s (s e c c ió n 2 .3 , p p . 1 6 7 - 1 7 5 )

F u n c io n e s (s e c c ió n 3 .1 , pp. 2 0 0 - 2 0 8 )

\

Resuelve ahora lo s

p ro b le m a s d e la s e c c ió n

"¿Estás listo?" d e la p á g in a 2 8 5 .

OBJETIVOS 1 Trazare interpretar diagramas de dispersión (p. 282) 2 Distinguir entre relaciones lineales y no lineales (p. 283)

3 Usar un dispositivo gráfico para encontrar la recta de mejor ajuste (p. 284)

1 Trazar e interpretar diagram as de dispersión En la sección 4.1 construimos modelos lineales a partir de descripciones verbales. Tam bién se pueden construir modelos lineales ajustando una función lineal a los datos. El primer paso es trazar los pares ordenados usando coordenadas rectangulares. La gráfica resultante se llama diagrama de dispersión.

EJEM PLO 1

Trazo e interpretación de diagramas de dispersión En el béisbol, el porcentaje en base de un equipo representa el porcentaje de veces que los jugadores llegan a la base. Los datos que se dan en la tabla 6 representan el número de carreras anotadas y y el porcentaje en base x para equipos de la Liga Na cional en la temporada 2008 de béisbol.

Equipo

Porcentaje en base, x

Carreras anotadas, V

[x, y)

A tlanta

34.5

753

(3 4 .5 ,7 5 3 )

San Luis

35.0

779

(3 5 .0 ,7 7 9 )

Colorado

33.6

747

(3 3 .6 ,7 4 7 )

H ouston

32.3

712

(3 2 .3 ,7 1 2 )

Filad elfia

33.2

799

(3 3 .2 ,7 9 9 )

San Francisco

32.1

640

(3 2 .1 ,6 4 0 )

Pittsbu rgh

32.0

735

(3 2 .0 ,7 3 5 )

Florida

32.6

770

(3 2 .6 ,7 7 0 )

C ach o rro s d e C h ica g o 35.4

855

(3 5 .4 ,8 5 5 )

A rizo na

32.7

720

(3 2 .7 ,7 2 0 )

M ilw au kee

32.5

750

(3 2 .5 ,7 5 0 )

W ashing to n

32.3

641

(3 2 .3 ,6 4 1 )

C in cin n a ti

32.1

704

(3 2 .1 ,7 0 4 )

San D iego

31.7

637

(3 1 .7 ,6 3 7 )

M ets de N ueva Yo rk

34.0

799

(3 4 .0 ,7 9 9 )

Los A ngeles

33.3

700

(3 3 .3 ,7 0 0 )

Basado en información de la página Web http://www. baseball-reference.com. A Sports Reference, LLC. F u en te:

(a) Traza un diagrama de dispersión de los datos, tomando el porcentaje en base como la variable independiente. Itey (b) Usa un dispositivo gráfico para trazar un diagrama de dispersión. I :il (c) Describe lo que sucede con las carreras anotadas conforme se incrementa el por centaje en base.

\ S E C C IÓ N 4.2

Solución

Modelos lineales: construcción de funciones lineales a partir de datos

283

(a) Para trazar el diagrama de dispersión, traza los pares ordenados de la tabla 6 con el porcentaje en base como la coordenada x y las carreras anotadas como la coor denada y . Ver figura 6 (a). Observa que los puntos en el diagrama de dispersión no están conectados. (b) La figura 6 (b) muestra el diagrama de dispersión usando una calculadora gráfica TI-84 Plus. (c) Podemos ver en los diagramas de dispersión que conforme se incrementa el porcentaje en base, la tendencia es que el número de carreras anotadas también se incremente.

1

Carreras anotadas vs. porcentaje

Figura 6

900

31 600

(b)

Resuelve ahora

el

pro b lem a

i i (a )

2 Distinguir entre relaciones lineales y no lineales Observa que los puntos de la figura 6 no siguen una relación lineal perfecta (como lo hacen en la figura 3 de la sección 4.1). Sin embargo, los datos muestran un patrón lineal. Hay nu merosas explicaciones sobre por qué los datos no son perfectamente lineales, pero una ex plicación sencilla es el hecho de que otras variables, además del porcentaje en base, juegan un papel en determinar las carreras anotadas, como el número de home runs anotados. Los diagramas de dispersión se usan para ayudarnos a ver el tipo de relación que existe entre dos variables. En este texto analizaremos una variedad de diferentes relaciones que pueden existir entre dos variables. Por ahora nos concentraremos en distinguir entre relaciones lineales y no lineales. Ver figura 7.

Figura 7

(a) Lineal

(b) Lineal

(c) No lineal

(d) No lineal

y = mx+ b, m> 0

y = mx+ b, m< 0

EJEMPLO 2

Distinguir entre relaciones lineales y no lineales

(e) No lineal

Determina si la relación entre dos variables de la figura 8 es lineal o no lineal. Figura 8

(a)

(b)

(c)

(d)

284

capli UI.O4

FlintIoneslineale»ycuadrAtlcsi

Solución

(a) Lineai

(b) No lineai

iti) No lineai

(c) No lineai

Resuelva ihopi u m o iu m * 5 fin esta sección estudiaremos datos cuyos diagramas de dispersión implican que existe una relación lineal entre las dos variables. Considera que un diagrama de dispersión de un conjunto de dalos parece estar linealmente relacionado como en la figura 7ía) o (b). Podemos m«>dclar los dalos si determinamos una ecuación de una recta que relacione las dos variables, Una forma de obtener un modelo para tales datos es tra/ar una recta entre dos punten en un diagrama de dispersión y determinar la ecuación de la recta.

EJEM PLO 3

Determinar un modelo para datos relacionados llnealmente Usa los datos en la tabla 6 del ejemplo 1 para: (a) Selecciona dos puntos y determina una ecuación de la recta que contenga los do» puntos. (b) I laz la gráfica de la recta en el diagrama de dispersión que obtuviste en el ejem plo 1 inciso (a).

Solución

(a) Selecciona dos puntos, digamos (32.7.720) y (35.4.855). La pendiente de la recta que une los puntos (32.7.720) y (35.4.855) es m —

855 - 720 35.4 - 32.7

135 = 50 2.7

La ecuación de la recta con pendiente 50 y que pasa por (32.7.720) se encuentra usando la forma punto pendiente con n i - 50. x, =32.7 y y, = 720. y - y = m(x - x,) y - 720 = 50(x - 32.7) y _ 720 = 5U.v - 1635 y = 5Qx -9 1 5

fonr.M punto-pendente ae * 'veis * - 327. y, - 720. ir » SO El meado

(b) La figura 9 muestra el diagrama de dispersión de la gráfica de la recta que encon tramos en el inciso (a). Figura 9

\

Carreras anotadas vt. porcentaje

Selecciona otros dos puntos y completa la solución. Haz la gráfica de la recta en el diagrama de dispersión que obtuviste en la figura 6.

Resuelva ahora n

problema i i

i n c i s o s

(b) v (c)

3 Uso de un dispositivo gráfico para encontrar la recta de mejor ajuste El modelo que obtuvimos en el ejemplo 3 depende de la selección de punios, los cuales, varían de persona a persona. Asi que el modelo que encontramos puede ser

S E C C IÓ N 4.2


285

diferente del modelo que tú hayas encontrado. Aunque el modelo del ejemplo 3 pa rece ajustarse bien a los datos, puede haber otro modelo que se “ajuste mejor”. ¿Crees que tu modelo se ajuste a los datos de mejor forma? ¿Existe una r e c ta d e m e jo r a ju s te ? Resulta que existe un método para encontrar un modelo que ajusta de mejor manera los datos relacionados linealmente (llamado recta del mejor ajuste).*

EJEM P LO 4

Encontrar un modelo para datos relacionados linealmente Usa los datos en la tabla 6 del ejemplo 1. (a) Usa un dispositivo gráfico para determinar la recta de mejor ajuste que modele la relación entre porcentaje en base y carreras anotadas. (b) Haz una gráfica de la recta de mejor ajuste en el diagrama de dispersión obte nido en el ejemplo Ib. (c) Interpreta la pendiente. (d) Usa la recta de mejor ajuste para predecir el número de carreras que un equipo anotará si su porcentaje en base es de 34.1.

Solución Figura 10

LinReg y=ax+b a=40.85323343 b = -6 1 7 .6635283 r 2= . 5634233101 r = .7506152877

Figura 11 900

(a) Los dispositivos gráficos contienen programas que encuentran la recta de mejor ajuste para una colección de puntos en un diagrama de dispersión. Al ejecutar el pro grama LINear REGression obtenemos los resultados que se muestran en la figura 10. La salida que da el dispositivo muestra la ecuación y = a x + b , donde a es la pen diente de la recta y b es la intersección en y . La recta de mejor ajuste que relaciona el porcentaje en base con las carreras anotadas se puede expresar como la recta: = 40.85x- 617.66

y

El modelo

(b) La figura 11 muestra la gráfica de la recta de mejor ajuste, junto con el diagrama de dispersión. (c) La pendiente de la recta de mejor ajuste es 40.85, lo que implica que por cada 1 por ciento que incremente el porcentaje en base, las carreras anotadas se incre mentan 40.85, en promedio. (d) Si x - 34.1 en la ecuación de la recta de mejor ajuste, obtenemos y - 40.85(34.1) - 617.66 « 775 carreras.

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

11

(d>y (e)

¿La recta de mejor ajuste efectivamente parece tener un buen ajuste? En otras palabras, parece que la recta describe fielmente la relación entre el porcentaje en base y las carreras anotadas? Y, ¿qué tan “buena” es esta recta de mejor ajuste? Observa de nuevo la figura 10. El último renglón de salida es r = 0.751. Este número, llamado coeficiente de correlación, r, - 1 < r < 1, es una medida de la fuerza de la relación lineal que existe entre dos variables. Entre más cerca esté | r | de 1, es más perfecta la relación lineal. Si r está cerca de 0, hay poca o ninguna relación lineal entre las variables. Un valor negativo de r, r < 0, indica que conforme x incrementa, y disminuye; un valor positivo de r, r > 0, indica que conforme x incrementa, y también incrementa. Los datos que se dan en la tabla 6, que tienen un coeficiente de correlación de 0.751, indican una relación lineal con pendiente positiva.

4.2 Evalúa tu entendimiento "¿Estás listo?" Las respuestas se dan alfinal de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee laspáginas marcadas entre paréntesis. l . T r a z a lo s p u n to s ( 1 ,5 ) , ( 2 ,6 ) , ( 3 ,9 ) , ( 1 ,1 2 ) e n e l p la n o ca r te-

2 . D e te r m in a la e c u a c ió n d e la recta q u e c o n tie n e lo s p u n to s

sia n o . ¿L a re la c ió n { ( 1 ,5 ) , ( 2 ,6 ) , ( 3 ,9 ) , ( 1 ,1 2 ) } e s u n a fu n -

( 1 ,4 ) y ( 3 ,8 ) . (p p . 1 6 7 -1 7 5 )

ció n ? (p p . 150 y 2 0 0 - 2 0 8 )

Conceptos y vocabulario__________ 3.

U n ________ sirve para a y u d a r n o s a v er e l tip o d e r e la c ió n q u e p u e d e e x istir en tre d o s v a ria b le s.

4.

Verdadero o falso

E l c o e fic ie n te d e c o r r e la c ió n es una m e

d id a d e la fu erza d e la r e la c ió n lin ea l e n tr e d o s v a ria b le s y d e b e esta r e n tr e - 1 y 1 , in clu id o s.

♦No analizaremos las matemáticas detrás de las rectas de mejor ajuste en este libro.

286

C A P ÍT U L O 4


Ejercicios____________________________________________________________________________________________ En los problemas 5-10, examina el diagrama de dispersión y determina si el tipo de relación es lineal o no lineal.

\

5.

6- y

y

35 30 25

14 12 10

20

15

8 6

10

4-

5

-

2

J__I__I__I__I__I__I__L_*.

5 10152025303540 *

-

-

•

j _ i_i_i_i_i_i_ 0 2 4 6 8 10121416 X

8. 50

30

20

En los problemas 11-16, (a) Traza un diagrama de dispersión. (b) Selecciona dos puntos del diagrama de dispersión y determina la ecuación de la recta que contiene los puntos seleccionados. (c) Construye la gráfica de la recta que determinaste en el inciso (b), en el diagrama de dispersión. jl'.j (d) Usa un dispositivo gráfico para encontrar la recta de mejor ajuste. (e) Usa un dispositivo gráfico para trazar el diagrama de dispersión y construir la gráfica de la recta de mejor ajuste.

Vil.

3 4

5

y

4 6

7 10 12 14 16

X

-2

y

7

14.

-1

6

0

7

8

9

X

12.

15.

1 2

6 3 2 0

3

5

7

9

11 13

V 0

2

3

6

9

X

13.

11

X

-2 -1

Y -4

X

-2 0

-1 7

-15

-1 4

-1 0

Y

100

120

118

130

140

16.

0 1 2 0

1 4

5

X

-3 0

-2 7

-25

-2 0

-1 4

Y

10

12

13

13

18


17. Caramelos Los siguientes datos representan la masa gramos) de diversas barras de caramelo y el nú © (en mero de calorías correspondiente.

Masa, X

Calorías, y

Hershey's Milk Chocolate’

44.28

230

Nestle's Crunch’

44.84

230

Butterfinger’

61.30

270

Baby Ruth'

66.45

280

Almond Joy’

47.33

220

Twix’ (with Caramel)

58.00

280

Snickers'

61.12

280

Heath'

39.52

210

xjr Barra de caramelo

Fuente: Megan Pocius, estudiante de Joliet Junior College

(a) Traza un diagrama de dispersión de los datos y toma la masa como la variable independiente. (b) ¿Qué tipo de relación parece existir entre la masa de una barra de caramelo y el número de calorías? (c) Selecciona dos puntos y determina un modelo lineal que contenga los puntos.

18.

(d) Construye la gráfica de la recta en el diagrama de dis persión que trazaste en el inciso (a). (e) Usa el modelo lineal para predecir el número de calo rías en una barra de caramelo que pesa 62.3 gTamos. (f) Interpreta la pendiente de la recta que determinaste en el inciso (c). Pasas Los siguientes datos representan la masa (en gra mos) de una caja de pasas y el número de pasas en la caja.

£Masa (en gramos), w

Número de pasas, N

42.3

87

42.7

91

42.8

93

42.4

87

42.6

89

42.4

90

42.3

82

42.5

86

42.7

86

42.5

86

Fuente: Jennifer Maxwell, estudiante de Joliot Junior College

S E C C IÓ N 4.2


(a) Traza un diagrama de dispersión de los datos tomando la masa como la variable independiente. (b) ¿Qué tipo de relación parece existir entre la masas de una caja de pasas y el número de pasas? (c) Elige dos puntos y encuentra un modelo que contenga los puntos. (d) Construye la gráfica de la recta en el diagrama de dis persión que trazaste en el inciso (b). (e) Usa el modelo lineal para predecir el número de pasas . en una caja que pesa 42.5 gramos. (f) Interpreta la pendiente de la recta que determinaste en el inciso (c). Juegos de video y promedio escolar El profesor Grant Alexander quería encontrar un modelo lineal que relacione el número de horas que un estudiante utiliza juegos de video cada semana, h, con el promedio escolar, G, del es tudiante. Él obtuvo una muestra aleatoria de 10 estudiantes de tiempo completo en su universidad y le pidió a cada es tudiante que indicara el número de horas que pasa jugando con juegos de video y su promedio escolar. Horas de videojuegos ¿- a la semana, A

Promedio escolar, G

0

3.49

0

3.05

2

3.24

3

2.82

3

3.19

5

2.78

8

2.31

8

2.54

10

2.03

12

2.51

(a) Explica por qué el número de horas que se juegan con videojuegos es la variable independiente y el promedio escolar es la variable dependiente. (b) Usa un dispositivo gráfico para trazar un diagrama de dispersión. (c) Usa un dispositivo gráfico para determinar la recta de mejor ajuste que modela la relación entre el número de horas de videojuegos cada semana con el promedio es colar. Expresa el modelo usando notación de funciones. (d) Interpreta la pendiente. (e) Haz una predicción para el promedio escolar de un es tudiante que utiliza videojuegos 8 horas cada semana. (f) ¿Cuántas horas crees que un estudiante juega con vide ojuegos que tiene un promedio escolar de 2.40? Altura vs. circunferencia de la cabeza Un pediatra quería en contrar un modelo lineal que relacionara la altura de un niño, H, con la circunferencia de la cabeza, C. Escogió 9 niños alea toriamente entre sus pacientes, midió su altura y la circunfe rencia de su cabeza y obtuvo los datos que se muestran. Sea H la variable independiente y C la variable dependiente. (a) Usa un dispositivo gráfico para trazar un diagrama de dispersión. (b) Usa un dispositivo gráfico para determinar la recta de mejor ajuste que modele la relación entre la altura y la circunferencia de la cabeza. Expresa el modelo usando notación de funciones. (c) Interpreta la pendiente. (d) Haz una predicción acerca de la circunferencia de un niño que mide 26 pulgadas de altura.

287

(e) ¿Cuál es la altura de un niño cuya circunferencia de la cabeza es de 17.4 pulgadas? Altura, H (pulgadas)

h |

Circunferencia de la cabeza, C(pulgadas)

25.25

16.4

25.75

16.9

25

16.9

27.75

17.6

26.5

17.3

27

17.5

26.75

17.3

26.75

17.5

27.5

17.5

Fuente: Denise Slucki, estudiante de Joliet Júnior College

21. Demanda de pantalones El administrador de Levi-Strauss quiere encontrar una función que relacione la demanda D de pantalones de hombre con p , el precio de los pantalones. Los siguientes datos se obtuvieron con base en el historial de precios de los pantalones.

(a) La relación definida por el conjunto de pares ordena dos (p ,D ), ¿representa una función? (b) Traza un diagrama de dispersión con los datos. (c) Usando un dispositivo gráfico, determina la recta de mejor ajuste que modele la relación entre el precio y la cantidad de demanda. (d ) Interpreta la pendiente. (e) Expresa la relación que determinaste en el inciso (c) usando notación de funciones. (f) ¿Cuál es el dominio de la función? (g) ¿Cuál será la demanda de pantalones si el precio es de $28 por par? 22. Mercadotecnia y ganancias por ventas Una compañía de mercadotecnia quiere encontrar una función que relacione las ventas S de un producto y A, la cantidad gastada en promover el producto. Los datos se obtienen de experiencias pasadas. La promoción y las ventas se miden en miles de dólares.

*

Gastos de promoción, A

Ventas, S

20 22

335 339

22.5 24

338 343

24

341

27

350

28.3

351

288

capí

lili.O 4

fundones lineales y cuadráticas

(a) La relación definida por el conjunto de pare» ordena dos (/I..V), ¿representa una función? (b) Traza un diagrama de dispersión de los datos. (c) Usando un dispositivo gráfico, determina la recta de mejor ajuste cpic modele la relación entre gastos de promoción y ventas.

(d) Interpreta la pendiente, (e) Expresa la relación que determinaste en el intivj (c) usando notación de funciones. (í) ¿Cuál es el dominio de la función? (g) Haz una predicción vibre las ventas si los gastos de promoción vm de $25,000,

E x p li c a c ió n d e c o n c e p t o s : d is c u s ió n y e s c r it u r a

2.L Kriuri de la madre vx. Síndrome de Down Un biólogo

24.

25. 26. 27.

quiere saber cómo afecta la edad de la madre a la tasa de incidencia de Síndrome de Down. Los datos en la tabla representan la edad de la madre y la tasa de inci dencia del Síndrome de Down por 1000 embarazos. Traza un diagrama de dispersión lomando la edad de la madre como la variable independiente. ¿Tiene sentido determinar la recta de mejor ajaste para estos datos? ¿Por qué? Determina la recta de mejor ajuste para los pares or denados (1,5) y (3.X). ¿Cuál es el coeficiente de co rrelación para estos datos? ¿Por qué es razonable este resultado? ¿Qué implica un coeficiente de correlación de 0? Explica por qué no tiene sentido interpretar la inter sección con y en el problema 17. Consul(aclproblcm al9.Resuelve(7(/i) O.Daunaintcrpretación de este resultado. Determina G (0). Da una interpretación de este resultado.

27 r~ l

1------

E d ad d e la

In c id e n c ia d e S ín d ro m e

m adre, x

de Down. y

33

24

34

31

35

4

36

5

37

67

38

83

39

10

40

13.3

41

167

42

222

43

28 6

44

333

45

50

lu e n le : l lo o k . i B

Aaociaiion. 249

.

Journal o f the American Medical

21134- 2038, 1983.

R e s p u e s t a s a lo s e j e r c ic io s d e la s e c c ió n " ¿ E s t á s li s t o ? "

i.

No. porque la entrada 1 corresponde a dos salidas diferentes.

y 12

2.

y = 2x + 2

-

96

-

3-

4.3 Funciones cuadráticas y sus propiedades P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s e c c ió n

A m e s
• Intersecciones (sección 2.2. pp. 159-160)

• Completar cuadrados (sección R.5. p. 56)

• Técnicas para elaborar gráficas: transformaciones (sección 3.5, pp. 244-253)

• Ecuaciones cuadráticas (sección 1.2. pp. 9 2 - 9 9 )

^

Resuelve ahora los

p ro b le m a s d e la s e c c ió n " ¿ E s tá s listo ? " d e la p á g in a 2 9 7 .

O B JETIV O S

Construir la gráfica de una función cuadrática usando transformaciones (p^ 290) Identificar el vértice y eje de simetría de una función cuadrática (p. 292) 3 Construir la gráfica de una función cuadrática usando su vértice, eje e intersecciones (p. 292) 4 Determinar una función cuadrática dado su vértice y otro punto (p. 295) 5 Determinar una función cuadrática dado su vértice y otro punto (p. 296) 1 2

S E C C IÓ N 4.3


289

Funciones cuadráticas

*

En seguida damos algunos ejemplos de funciones cuadráticas. F (x) = 3 .r - 5.í + 1

DEFINICIÓN

g(.v) = -6.v2 + 1

H (x) = - x 2 + - x

Una función cuadrática es una función de la forma f(x ) = nx2 + hx + c donde a, h y c son números reales y a a * 0. El dominio de una función cuadrá tica es el conjunto de todos los números reales.

r r En palabras r Una función cuadrática r

r r

es una función definida por un polino mio de segundo grado de una variable.

Muchas aplicaciones requieren del conocimiento de funciones cuadráticas. Por ejemplo, considera que Texas Instruments recopila los datos que se muestran en la tabla 7, que relacionan el número de calculadoras vendidas con el precio p (en dólares) por calculadora. Como el precio de un producto determina la cantidad que se venderá, tomamos el precio como la variable independiente. La relación entre el número x de calculadoras vendidas y el precio p por calculadora se da por la ecuación lineal .v = 2I,000-150p

Tabla 7 Precio por calculadora,

p (dólares)

Número de calculadoras, x

60

12,000

65

11,250

70

10,500

75

9,750

80

9,000

85

8,250

90

7,500

Entonces el ingreso R que se deriva de vender x calculadoras al precio p por cal culadora es igual al precio unitario de venta p de la calculadora multiplicado por el número x de unidades vendidas. Es decir, R —xp R(p) = (21,000 - 150/?) = -150/r + 21,000p

x = 21,000-150p

Así que el ingreso R es una función cuadrática del precio p. La figura 12 ilustra la gráfica de esta función del ingreso, cuyo dominio es 0
Ri

—

8 0 0 ,0 0 0 } 700.000 600.000 500.000 400.000 300.000

200.000

fe

100,000

i 14

I_____ I-------- L. 28

42

56

---'í —-5 J___ I___ 1___ 1___ I-----1 70

84

98

112

Precio p por calculadora (dólares)

126

140

290

C A P ÍT U L O 4


Figura 13 Trayectoria de una bala de cañón

Una segunda ecuación en la que aparece la función cuadrática es la del movi miento de proyectiles. Se puede probar basándose en la segunda ley de Newton de movimiento (la fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración, F= ma) que si se ignora la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil lanzado hacia arriba con una inclinación con la horizontal es la gráfica de una función cuadrática. Observa la figura 13 para una ilustración de lo anterior.

1 Gráfica de una función cuadrática usando transformaciones Ya sabemos cómo hacer la gráfica de la función cuadrática f(x ) = x 2. La figura 14 muestra la gráfica de tres funciones de la forma f(x ) = ax2, a > 0, para a = 1, a = y a = 3. Observa que entre más grande es el valor de a, la gráfica es más “estrecha” y entre más pequeño es el valor de a, la gráfica es más “ancha”. La figura 15 muestra las gráficas de f(x ) = ax2 para a < 0. Observa que estas grá ficas son reflexiones en el eje x de las gráficas de la figura 14. Basándonos en los re sultados de estas dos figuras, podemos llegar a algunas conclusiones generales acerca de la gráfica de f(x ) = ax2. Primero, conforme \a\ incrementa, la gráfica se vuelve “más alta” (un estiramiento vertical) y conforme \a\ se acerca a cero, la gráfica se vuelve “más baja” (una compresión vertical). Segundo, si a es positiva, la gráfica se abre hacia “arriba” y si a es negativa, la gráfica se abre hacia “abajo”. Figura 14

Figura 16 Eje de simetría

El vértice es el punto más alto

El vértice es el punto más bajo (a) a > 0 abre hacia arriba

Eje de simetría

(b) a < 0 abre hacia abajo

EJEMPLO 1

Las gráficas de las figuras 14 y 15 son representativas de las gráficas de todas las ecuaciones cuadráticas y les llamamos parábolas.* Consulta la figura 16, donde se ven dos parábolas. La de la izquierda abre hada arriba y tiene un punto más bajo: la de la derecha abre hacia abajo y tiene un punto más alto. El punto más alto o más bajo de una parábola se llama vértice. La recta vertical que pasa por el vértice en cada parábola de la figura 16 se llama eje de simetría (generalmente se dice so lamente eje) de la parábola. Como la parábola es simétrica con respecto a su eje, el eje de simetría de una parábola se puede usar para encontrar puntos adicionales en la parábola. Las parábolas que se muestran en la figura 16 son las gráficas de la función cua drática f(x ) = ax2 + bx + c ,a it 0. Observa que los ejes de coordenadas no se incluyen en la figura. Dependiendo de los valores de a, b y c, los ejes se pueden poner en cual quier lugar. Lo importante es que la forma de la gráfica de una función cuadrática se verá como una de las parábolas de la figura 16. En el siguiente ejemplo usaremos técnicas de la sección 3.5 para obtener las grá ficas de una función cuadrática/(.r) = ax2+ bx + c, a ^ 0. Completaremos el cuadrado y escribiremos la fu n ció n /d e la form a / ( . y ) = a(x - h ) 2 + k.

Gráfica de una función cuadrática usando transformaciones Traza la gráfica de la función f(x ) = 2x2+ &v + 5. Determina el vértice y eje de simetría.

*En este libro, más adelante estudiaremos parábolas usando una definición geométrica.

I

SECCIÓN 4.3 Funciones cuadráticas y sus propiedades

Solución

291

Empieza completando el cuadrado del lado derecho. f ( x ) = 2x2+ 8jc + 5 = 2(x2+ 4x) + 5 = 2(x2+ 4x + 4) + 5 - 8 = 2(x + 2)2- 3

F a c to riz a el 2 de 2X2 + &x. Completa el cuadrado de x2+ 4x sumando 4. Observa que el factor de 2 requiere que se sume y se reste fi>.

La gráfica de / s e puede obtener de la gráfica de y - x 2 en tres etapas, como se mues tra en la figura 17. Ahora, compara esta gráfica con la de la figura 16(a). La gráfica de f(x ) = 2x2+ &t + 5 es una parábola que se abre hacia arriba y tiene su vértice (punto más bajo) en (-2 ,-3 ). Su eje de simetría es la recta x - -2. Figura 17

Eje de y. simetría 3

\y

vyV

1

\ l i i .(0,0) 2

-

S\

-2

„ *

i i -3

-3 i 1.2)

( - 3 ,2)\

i\ / 1 1 1 „ JO, 0) 3 X

x= -2

h

1\ ¿ / 1 -3 (~_2,0)

i i

i 3

. x (-3,

_ -3

(a)

-3

y= x2

-3 Sustituye x porx+ 2; corre

Multiplica por 2, estiramiento vertical

aladerecha

Resuelve ahora

el

^ = 2 < * + 2 >2

problema

Vértice Resta 3, (-2. -3) corre 3 unidades (d) y = 2 ( x + 2)2- 3 hacia abajo

23

El método que usamos en el ejemplo 1 se puede usar para obtener la gráfica de cualquier función cuadrática f(x ) = ax2+ bx + c, a =4 0 de la siguiente manera:

/( * )

ax2 + bx + c a[ x 2 + —x ) + c />2 \

a\ x H— x + a y

2a)

4a2) -c

a[x + — ) + 2a,

Factoriza a de ax2 + bx.

+ c

4a

4ac - b2 4a

4a¿

Completa el cuadrado sumando — ¡Observa con atención este paso! Factoriza. b2 _

4a

b2 _ 4 a c — b2

4a

4a

4a

4a

Basándonos en estos resultados, podemos concluir lo siguiente:

b 4ac - b2 S ih = - — y k = ---- -------, entonces 2a J 4a / ( x) =ax2+ bx + c - a(x - h)2+ k

(1)

La gráfica de f{x) = a ( x - h ) 2+ k e s la parábola y = ax2 corrida horizontalmente h unidades (sustituye x por x - h) y verticalmente k unidades (suma k). Como re sultado, el vértice está en (h,k) y la gráfica abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. El eje de simetría es la recta vertical x = h.

292

C A P ÍT U L O 4


Por ejemplo, compara la ecuación (1) con la solución que se da en el ejemplo l .

f(x ) = 2(x + 2)2 - 3 = 2 ( x - ( - 2 ) ) 2 + (-3) = a(x - h ) 2 + k Concluimos que a = 2, por lo tanto la gráfica abre hacia arriba. Además encontramos que h = - 2 y k = -3 , por lo tanto el vértice está en (-2 ,-3 ).

Identificar el vértice y el eje de simetría de una función cuadrática No necesitamos completar cuadrados para obtener el vértice. En casi cualquier caso, es más fácil obtener el vértice de una función cuadrática / si recordamos que , b su coordenada x es n = - — . La coordenada y k se puede encontrar evaluando/en ~ Í - k = f (~Ta

Propiedades de la gráfica de una función cuadrática f(x ) = ax2+ bx + c Vértice =

aÔ

(

b ( b \\ b ----- f ------- Eje de simetría: la recta x = ——V 2a J V 2a J J 2a

( 2)

La parábola abre hacia arriba si a > 0, el vértice es un punto mínimo. La parábola abre hacia abajo si a < 0, el vértice es un punto máximo.

EJEM PLO 2

Localizar el vértice sin hacer una gráfica Sin hacer una gráfica, localiza el vértice y eje de simetría de la parábola definida por f(x ) —-3 x 2+ 6x + 1. ¿Abre hacia abajo o hacia arriba?

Solución

Para esta función cuadrática, a = -3 , b = 6 y c = 1. La coordenada x del vértice es . b 6 h = -2 -a = -~ 6 = 1 La coordenada y del vértice es k =f

b_ 2a

/( 1 ) = - 3 + 6 + 1 = 4

El vértice está localizado en el punto (1,4). El eje de simetría es la recta x = 1. Como a = -3 < 0, la parábola abre hacia abajo.

3 Gráfica de una función cuadrática usando su vértice, eje de simetría e intersecciones La localización del vértice y las intersecciones de un función cuadrática f(x ) = ax2+ bx + c,a # 0, junto con el saber si la curva abre hacia arriba o hacia abajo, generalmente nos da suficiente información para representarla gráficamente. La intersección con y es el valor de /e n x = 0, es decir, la intersección con y es /(0 )= c. Las intersecciones conx, si existen, se encuentran resolviendo la ecuación cuadrática ax2+ bx + c = 0

S E C C IÓ N 4.3


293

Esta ecuación tiene una, dos o ninguna soluciones reales, dependiendo de si el discri minante b2 - 4ac es positivo, 0 o negativo. Dependiendo del valor del discriminante, la gráfica de /tie n e intersecciones con * de la siguiente forma: Intersecciones con x de una función cuadrática 1. Si el discriminante b2 - 4ac > 0, la gráfica de f(x ) = ax2 + bx + c tiene dos inter secciones con x diferentes, es decir, cruza el eje x en dos lugares. 2. Si el discriminante b2- 4ac = 0, la gráfica de f(x ) = ax2+ bx + c tiene una inter sección con x y toca al eje x en el vértice. 3. Si el discriminante b2- 4ac < 0, la gráfica d e f(x ) - a x 2+ bx + c no tiene intersec ciones con x diferentes, es decir, no toca o cruza el eje x. La figura 18 ilustra estas posibilidades en parábolas que abren hacia arriba. Figura 18 fl¡x) =

Eje de simetría

Eje de simetría

=_ J

X- _ J L

x

ax2 + bx + c, a > 0

l

x

2a

Una intersección con x

Dos intersecciones con x

EJEM PLO 3

2a

Eje de simetría

x=—— 2a

X

No existen intersecciones con x

Gráfica de una función cuadrática usando su vértice, ejes e intersecciones (a) Usa la información del ejemplo 2 y la localización de las intersecciones para ob tener la gráfica de f ( x) = - 3 x 2 + 6x + 1. (b) Determina el dominio y el rango de /. (c) Determina dónde es creciente/y dónde es decreciente. (a) En el ejemplo 2 determinaos el vértice en (1,4) y el eje de simetría en x = 1. La intersección con y se determina haciendo x = 0. La intersección con y es /(O) = 1. Las intersecciones con x se determinan resolviendo la ecuación/(x) = 0. Esto da como resultado la ecuación

—3x2 + 6jc + 1 =

0

a ——3, t>= 6 , c = 1

El discriminante es b2 - 4ac —(6)2 - 4(—3)(1) = 36 + 12 = 48 > 0, entonces la ecua ción tiene dos soluciones reales y la gráfica tiene dos intersecciones con x. Usando la fórmula cuadrática determinamos que —b + V¿>2 — 4ac —6 + V 48 —6 + 4 \/3 X = ----------Ya = -6 ~ = 6 ~ “ - 015 Figura 19

Eje de simetría

y

x=1 —b — V¿>2 — 4ac * = -----------

- 6 - V 48 Ya = - 6

-6 - 4V 3 -

^ -6

“ Z l5

Las intersecciones con x son aproximadamente -0.15 y 2.15. La gráfica se ilustra en la figura 19. Observa cómo usamos la intersección con y y el eje de simetría, x = l, para obtener un punto adicional (2, l) en la gráfica.

294

C A P ÍT U L O 4


(b) El dominio d e / e s el conjunto de todos los números reales. Basándonos en la gráfica, el rango d e /e s el intervalo ( - 00,4). (c) La función / es creciente en el intervalo ( - 00,1) y decreciente en el intervalo (l,oo). •ÍTra",BBIES“" Construye la gráfica de la función en el ejemplo 3 completando el cuadra do y usando transformaciones. ¿Qué método prefieres?

Resuelve ahora

EL P R O B L E MA 31

Si la gráfica de una función cuadrática solo tiene una intersección con x o ninguna inter sección con x, generalmente es necesario trazar un punto adicional para obtener la gráfica.

EJEM PLO 4

Gráfica de una función cuadrática usando su vértice, ejes e intersecciones. (a) Traza la gráfica de f(x ) - x 2 - 6x + 9, determina si la curva abre hacia arriba o hacia abajo e indica su vértice, eje de simetría, intersección con y e interseccio nes con x, si existen. (b) Determina el dominio y el rango d e/. (c) Determina en dónde es creciente / y en dónde es decreciente.

Solución

(a) Para f ( x ) = x2- 6x + 9, tenemos a = l , b - - 6 y c = 9. Como a = 1 > 0, la parábola abre hacia arriba. La coordenada x del vértice es

Figura 20

Eje de simetría

La coordenada y del vértice es k = /(3 ) = (3)2- 6 (3) + 9 = 0 Por lo tanto, el vértice está en (3,0). El eje de simetría es la recta x = 3. La in tersección en y es /(O) = 9. Como el vértice (3,0) está en el eje x, la gráfica toca el eje x en la intersección en x. Si usamos el eje de simetría y la intersección en y en (0,9), podemos localizar el punto adicional (6,9) en la gráfica. Observa la figura 20. (b) El dominio de / es el conjunto de todos los números reales. Basándonos en la gráfica, el rango d e /e s el intervalo [0,oo). (c ) La función / e s decreciente en el intervalo (-o o ,3 ) y creciente en el in te r valo (3,oo).

Resuelve ahora

EJEM PLO 5

el

problema

37

Gráfica de funciones cuadráticas usando su vértice, eje e intersecciones (a) Traza la gráfica de f(x ) = 2x2 + x + 1, determina si la curva abre hacia arriba o hacia abajo e indica su vértice, eje de simetría, intersección con y e interseccio nes con x, si existen. (b) Determina el dominio y el rango de /. (c) Determina en dónde / e s creciente y en dónde es decreciente.

Solución

(a) Para f(x ) = 2x2+ x + 1, tenemos que a —2 , b = l y c = l . Como a = 2 > 0, la pará bola abre hacia arriba. La coordenada .v del vértice es h =

b_ 2a

1 4

S E C C IÓ N 4 J


% bJOTA En el ejemplo 5. como el vér tice está eokre el eje x y la parábola abre hacia arriba, podemos concluir

295

La coordenada y del vértice es

quff la gráfica de la función cuadráti ca no tendrá intersecciones en x. ■

Por lo tanto el vértice está en ( - El eje de simetría es la recta x = - - . La V 4’ 8 / 4 intersección con y es /(O) = 1. Las intersecciones con x , si existen, obedecerían la ecuación 2 r + .t + 1 = 0. Corno el discriminante es b2- 4ac = (1)2- 4(2)( 1) = -7 < 0, esta ecuación no tiene soluciones reales y por tanto, no tiene intersecciones con x.

Figura 21

Usamos el punto (0,1) y el eje de simetría x = - - para localizar el punto adicional / t ,\ 4 l ~ 2 >1 Jen la gráfica. Ver figura 21. (b)

El dominio de / es el conjunto de todos los números reales. Basándonos en la

^ gráfica, el rango de / es el intervalo 7 8’ J 1 (c) La funciónn / es decreciente dt en el intervalo ( - o o , - - ) y creciente en el intervalo! oo ). V 4’ ;

1

-Resuelve ahora el problema 41

Determinar una función cuadrática dado su vértice y otro punto Si se da el vértice (h,k) y un punto adicional de la gráfica de una función cua drática f ( x ) = a x 2 + b x + c, a ^ 0, podemos usar /(.r) = a(x - h)2 + k

(3)

para obtener la función cuadrática.

EJEM PLO 6

Determinar la función cuadrática dado su vértice y un punto Determina la función cuadrática cuyo vértice es (1,-5) y cuya intersección en y es -3. La gráfica de la parábola se muestra en la figura 22.

Solución

El vértice es (1,-5), entonces h = 1 y k = -5. Sustituye estos valores en la ecuación (3). f(x ) — a(x - h ) 2 + k

Ecuación (3 )

f(x ) = a(x - l) 2 - 5

h = 1,k = -5

Figura 22

Para determinar el valor de a, usamos el hecho de que /(O) = -3 (la intersección en y). f ( x ) = a ( x - l ) 2- 5

-3 = f l ( 0 - l ) 2- 5

x= 0, y= f(0) = —3

-3 = a - 5 a =2 La función cuadrática cuya gráfica se muestra en la figura 22 es f(x ) = a ( x - h ) 2+ k = 2 ( x - l ) 2- 5 = 2x2- 4 x - 3 ' (1,-5)

-8-

Resuelve ahora

el

problema

47

296

C A P ÍT U L O 4

Fundones lineales y cuadrática»

5 Determinar el valor máximo o mínimo de una función cuadrática La gráfica de la función cuadrática f(x ) = ax2 + bx + c es una parábola con vértice en

a#0

~ J j . Este vértice es el punto más alto de

la gráfica si u< 0 y el punto más bajo si a > 0. Si el vértice es el punto más alto (a < 0), entonces

~ e s el valor m áxim o de /. Si el vértice es el punto más bajo (a > 0),

entonces / ( - — ] es el valor m ínim o de /.

EJEM PLO 7

Encontrar el valor máximo o mínimo de una función cuadrática Determina si la función cuadrática f(x ) = x2 - 4x - 5 tiene un valor máximo o mínimo. Después, determina el valor máximo o mínimo. Compara f(x ) = x 2 - 4x - 5 con f(x ) = ax2 + bx + c. Entonces a = 1. b = -4 y c = -5. Como a > 0, la gráfica de / abre hacia arriba, así es que el vértice es un punto mínimo. El valor mínimo se encuentra en =

-

2a

~

~4

2 ( 1)

1 a = 1, b = - 4 El valor mínimo es / ( - ¿ ) = / (2 ) = 2 ; - 4 ( 2 ) - 5 = 4 - 8 - 5 = - 9

............

Resuelve ahora n

problema s s

f ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

RESU M EN

Pasos para construir la gráfica de una función cuadrática f[x) = axl + bx + cta^Q

O pción 1

Paso 1: Completa el cuadrado en .v para escribir la función cuadrática de la form a/(.r) = a(x - h ) 2 + k. Paso 2: Haz la gráfica de la función por etapas usando transformaciones. O pción 2

P aso 1: Determina si la parábola abre hacia arriba (a > 0) o hacia abajo (a < 0). P aso 2: Determina el vértice Paso 3: Determina el eje de simetría, x = - —- .

2a

Paso 4: Determina la intersección con v ,/(0), y las intersecciones con .v. si existen.

(a) Si b2- 4«c > 0, la gráfica de la función cuadrática tiene dos intersecciones con x, las cuales, se en cuentran resolviendo la ecuación ax2+ bx + c = 0. (b) Si b2- 4ac = 0, el vértice es la intersección con x. (c) Si b2- 4í/c < 0, no hay intersecciones con x. Paso 5: Determina un punto adicional usando la intersección con v y el eje de simetría.

v.

Paso 6: Traza los puntos y dibuja la gráfica.

j

S E C C IÓ N 4.3


297

4.3 Ev a lú a tu e n te n d im ie n to '¿Estás listo?” Las respuestas se dan alfinal de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee laspáginas marcadas entre paréntesis. 1. Indica las intersecciones de la ecuación y = x2 - 9. (pp.159-160) 2. Determina las soluciones reales de la ecuación 2x2+ 7x - 4 = 0. (pp. 92-99)

3. Para completar el cuadrado de x2 - 5.v, suma el número (p. 56) 4. Para trazar la gráfica de y = {x - 4)2, corre la gráfica de y = x2 una distancia d e _______ unidades a la ________ (pp. 244-253)

Conceptos y vocabulario 5. La gráfica de una función cuadrática se llama________ 6. La recta vertical que pasa por el vértice de una parábola se llama________ 7. La coordenada en x del vértice de f(x) = ax2 + bx + c, a ^ 0, es________

8. Verdadero o falso La gráfica de f(x) = 2x2+ 3x - 4 abre hacia arriba. 9. Verdadero o falso La coordenada y del vértice de f(x) = -x 2+ Ax + 5 es /(2). 10. Verdadero ofalso Si el discriminante b2- 4ac=0, la gráfi ca de/(x) = ax2+ bx + c, a ^ 0, tocará al eje x en su vértice.

Ejercicios En los problemas 11-18, asocia cada gráfica con cada una de las siguientes funciones. 11./(* ) = x2 - 1

12./(*) = - x 2 - 1

is -f{x) = x2 - 2 x + 2

16-f(x ) = x2 + 2x

13.f(x ) = x2 - 2x + 1 17.,f(x ) = x2 - 2 x

14.f(x ) = x2 + 2x + l 1S‘f(x ) = x2 + 2x + 2

2 x

En los problemas 19-30, construye la gráfica de la función f partiendo de la gráfica de y =x2y usando transformaciones (traslación, compresión, estiramiento y/o reflexión). [Sugerencia: Si es necesario, escribe /d e la forma f(x) = a(x - h)2+ k.] 19./W =

20. f ( x ) = 2x2 + 4

21. f ( x ) = (x + 2)2 - 2

22. f x = x - 3 2 - 10

23f( x ) = x2 + 4x + 2

24. /(* ) = x2 - 6x - 1

25. /(* ) = 2x2 - 4x + 1

26. / x - 3X2 + 6x

27 f ( x ) = - x 2 ~ 2 x

28. f { x ) = _ 2 * 2 +

+ 2

29. / ( * ) = -gx1 + x - 1

30. f{x) - - x 2 + - x - 1

E n los problemas 31-46, (a) construye la gráfica de cada función cuadrática determinando si ésta abre hacia arriba o hacia abajo e indica su vértice, eje de simetría, intersección en y, intersecciones en x, si existen, (b) Determina el dominio y el rango de la función, (c) Determina dónde la función es creciente y dónde es decreciente, y 31 . f { x ) =

X2

+ 2x

32. f { x ) = x2 - 4x

33. f j x ) = - x 2 - 6x

3 5 . / ( jc) = x 2 + 2 x - 8

36. f(x) = x 2 - 2 x - 3

\

37.

39. f(x) = 2X2 - x + 2

40. f{x) = 4 x 2 - 2 x + 1

\

41. f(x) = - 2 x 2 + 2 x - 3

43 .f(x) = 3 x 2 + 6 x + 2

44. f(x) = 2x2 + 5 x + 3

f{x)

=

x2

+

2x

+ 1

45. f ( x ) = - 4 x 2 - 6 x + 2

34. f ( x ) = - x 2 + 4x 38. f(x) = x2 + 6 x + 9 42. f{x) = - 3 x 2 + 3 x - 2 46. f(x) =

3x2

-

8x + 2

298

C A P ÍT U L O 4


En los problemas 47-52, determina la función cuadrática cuya gráfica se da.

52.

y

En los problemas 53-60, determina, sin hacer las gráficas, si la función cuadrática dada tiene un valor máximo o un valor mínimo y después determina el valor. S3.f(x) = 2x2 + 12* 54. /(* ) = ~2x2 + 12* \^55. /(* ) = 2X2 + 12* - 3 5 6 ./(* ) = 4X2 - 8* + 3 57./(*) = - x 2 + 10* - 4

58. /(* ) = ~2x2 + 8* + 3

59.

/( * ) = -3X2 + 12* + 1

60. f(x ) = 4X2 - 4x

A plicaciones y extensiones 61.La gráfica de la función /(*) = ax2+ bx + c tiene un vértice en (0,2) y pasa por el punto (1,8). Determina a, b y c.

62.La gráfica de la función f(x) = ax2+ bx + c tiene un vértice en (1,4) y pasa por el punto (-1, -8). Determina a ,byc.

En los problemas 63-68, Para las funciones dadas f y g: (a) Traza la gráfica d e fy g en el mismo plano cartesiano. (b) Resuelve f(x) = g(x). (c) Usa el resultado del inciso b para marcar los puntos en la intersección de las gráficas de f y g. (d) Sombrea la región para la cual /(*) > g(x), es decir, la región debajo d e fy por encima de g. 63. /(* ) =

2* - 1; g(*)

=

*2 - 4

66.

/(*)

=

-2 * - 1;

g(*)

= x2-

9

64. /(* ) = - x 2 + 4; g(x) = -2* + 1

67. f ( x ) = - x 2 + 9; g{x) = 2* + 1

65. / M =

68. /(* ) = - x 2 + 7* - 6; g(x) = x2 + x - 6

- x 2 + 5*; g(*) = *2 + 3*- 4

Resuelve los problemas 69 y 70 usando lo siguiente: Una función cuadrática de la forma /(*) = ax2+ bx + c con b2- 4nc > 0, también se puede escribir de la forma /(*) = a(x - rf)(x - r2), donde r, y r, son las intersecciones con x de la gráfica de la función cuadrática. 69. a) Determina la función cuadrática cuyas intersecciones con * son -3 y 1 con a = 1; a = 2; a = -2; a = 5. (b) ¿Cómo afecta el valor de a las intersecciones? (c) ¿Cómo afecta el valor de a el eje de simetría? (d) ¿Cómo afecta el valor de a al vértice? (e) Compara la coordenada * del vértice con el punto me dio de las intersecciones en *. ¿Qué puedes concluir? 70. (a) Determina la función cuadrática cuyas intersecciones con * son -5 y 3 con a = 1; a = 2; a = -2; a = 5. (b) ¿Cómo afecta el valor de a las intersecciones? (c) ¿Cómo afecta el valor de a el eje de simetría? (d) ¿Cómo afecta el valor de a al vértice? (e) Compara la coordenada * del vértice con el punto me dio de las intersecciones con *. ¿Qué puedes concluir?

71. Considera que /(*) = x2+ 4* - 21 (a) ¿Cuál es el vértice de/? (b) ¿Cuáles son las intersecciones con * de la gráfica de f! (c) Resuelve /(*) = -21 para *. ¿Qué puntos están en la gráfica de f! (d) Usa la información obtenida en los incisos (a) (c) para hacer la gráfica de /(*) = jt + 4* - 21. 72. Considera que /(*) = *: + 2x - 8 (a) ¿Cuál es el vértice de /? (b) ¿Cuáles son las intersecciones con * de la gráfica de/? (c) Resuelve /(*) = -8 para *. ¿Qué puntos están en la gráfica de /? (d) Usa la información obtenida en los incisos (a) (c) para hacer la gráfica de /(*) = .r + 2v - 8.

S E C C IÓ N 4.3

73. Determina el punto en la recta v = .v que esté más cerca de - (3.1). [Sugerencia: Expresa la distancia d del punto a la recta como una función de x y después encuentra el valor míni mo de [d(x)]2). 74. Determina el punto en la recta v = x + 1 que esté más cer ca de (4.1). 75. Maximizar el ingreso Considera que un fabricante de se cadoras de gas ha encontrado que cuando el precio unita rio es p dólares, el ingreso R (en dólares) es R(p) = -4 /r + 4000/> ¿Qué precio unitario debe establecer para maximizar el ingreso de las secadoras? ¿Cuál es el ingreso máximo? 76. Maximizar ingresos La compañía John Deere ha encon trado que el ingreso, en dólares, de la venta de cortadoras de pasto es una función del precio unitario p, en dólares, que cobra. Si el ingreso R es

299

(c) ¿Cuántos relojes se deben vender para maximizar la ganancia? ¿Cuál es la ganancia máxima? (d) Da una explicación razonable de por qué las respues tas que encontraste en los incisos (a) y (c) difieren. Explica por qué una función cuadrática es un modelo razonable para el ingreso. Negocios El ingreso R diario que se alcanza por la venta de x cajas de dulces se da por R(x) = 9.5.v - 0.04.r. El costo dia rio Cde vender.v cajas de caramelos es C(.v) = 1.25.x 4- 250. (a) ¿Cuántas cajas de caramelos se deben vender para maximizar el ingreso? ¿Cuál es el ingreso máximo? (b) La ganancia está dada por P(x) = R(x) - C(.v). ¿Cuál es la función de ganancia? (c) ¿Cuántas cajas de dulces se deben vender para maxi mizar la ganancia? ¿Cuál es la ganancia máxima? (d) Da una explicación razonable de por qué las respues tas que encontraste en los incisos (a) y (c) difieren. Explica por qué una función cuadrática es un modelo razonable para el ingreso. Distancia de frenado Una relación aceptada entre la distan cia de frenado d (en pies) y la velocidad de un auto, v, (en mph), es d = 1.1v + 0.06ir en concreto seco y sin inclinación. (a) ¿Cuántos pies tomará a un auto que viaja a 45 mph frenar en concreto seco y sin inclinación? (b) Si ocurre un accidente a 200 pies enfrente de ti, ¿cuál es la velocidad máxima a la que puedes ir para no es tar involucrado? (c) ¿Qué puede representar el término l.lu? Fuente: mvw2.nsta.org/Energy/fnJbraking.html Nacimientos de madres solteras En los Estados Unidos, la tasa de nacimientos B de mujeres solteras (nacimientos por cada 1000 mujeres solteras) para mujeres cuya edad a se modela por la función B(a) = - 0.27a2+ 14.23a - 120.16. (a) ¿Cuál es la edad de mujeres solteras con mayor tasa de nacimientos? (b) ¿Cuál es la mayor tasa de nacimientos de mujeres sol teras? (c) Evalúa e interpreta B(40). Fuente: United States Statistical Abstract, 2009 Determina una función cuadrática cuyas intersecciones con * sean -4 y 2 y cuyo rango sea [-18,00). Determina una función cuadrática cuyas intersecciones con x sean -1 y 5 y cuyo rango sea (- 00,9]. Sea f(x) = ax2+ bx + c, donde a, b y c son enteros impares. Si x es un entero, demuestra que f(x) tiene que ser un entero impar. [Sugerencia: x es un entero par o un entero impar.]

80.

R(P) = - \ p 2 + 1900p ¿qué precio unitario p debe cobrar para maximizar sus in gresos? ¿Cuál es el ingreso máximo? 77. Minimización del costo marginal El costo marginal de un producto se puede pensar como el costo de producir una unidad adicional del producto. Por ejemplo, si el costo marginal de producir el producto número 50 es de $6.20, cuesta $6.20 elevar la producción de 49 a 50 unida des. Considera que el costo marginal C (en dólares) para producir .t mil reproductores de mp3 se da por la función C(.r) = .r - 140.r + 7400 a) ¿Cuántos reproductores se deben fabricar para mini mizar el costo marginal? b) ¿Cuál es el costo marginal mínimo? 78. Minimización del costo marginal (Consulta el problema 77) El costo marginal C (en dólares) de fabricar x teléfo nos celulares (en miles) está dado por C(.t) = 5x2- 200.r + 4000 a) ¿Cuántos teléfonos celulares se deben de fabricar para minimizar el costo marginal? b) ¿Cuál es el costo marginal mínimo? 79. Negocios El ingreso mensual R alcanzado por la venta de x relojes se calcula por R(x) = 75x - 0.2x2. El costo men sual C de vender x relojes es C(;c) = 32t + 1750. a) ¿Cuántos relojes se deben vender para maximizar el ingreso? ¿Cuál es el ingreso máximo? b) La ganancia se da por P(x) = R(x) - C(x). ¿Cuál es la ' función de ganancia?


82.

82.

83. 84. 85.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 86. Desarrolla una función cuadrática que abra hacia abajo y tenga sólo una intersección en x. Compara la tuya con la

de otros en la clase. ¿Cuáles son las similitudes? ¿Cuáles son las diferencias? 87. En los mismos ejes de coordenadas, traza la gráfica de la fa milia de parábolas f ( x ) = x 2+ 2x + c, para c = -3 ,c = 0 y c = l. Describe las características de un miembro de esta familia. 88. En los mismos ejes de coordenadas, traza la gráfica de la familia de parábolas f ( x ) - x 2 + 2x + c, para b = -4, b = 0 y b = 4. Describe las características generales de esta familia.

89. Di cuales son las circunstancias que hacen que la gráfica de una función cuadrática f ( x ) = x 2+ 2x + c no tenga inter secciones en x. 90. ¿Por qué abre hacia arriba la gráfica de la función cuadrá tica si a > 0 y hacia abajo si a < 0 ? 9 j. ¿Puede tener una función cuadrática un rango de ( 00, 00)? Justifica tu respuesta. 92 . ¿Cuáles son las posibilidades para el número de veces que se intersectan las gráficas de dos funciones cuadráticas?

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo? 1. (0,-9), (-3 ,0 ), (3,0)

2.

j-4 ,ij

3.

ti 25 4

4. 4; derecha

300

c.’A

pili II,O 4

Tunt lonni lineales y cuadrática*

4.4 Construcción de modelos cuadráticos a partir de descripciones verbales y de datos Ames de empezar, repasa lo siguiente:

P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s e c c ió n

•

\

Solución de problemas (sección

1.7, pp. 134-140)

• Modelos lineales: construcción de funciones lineales a partir de dalos (sección 4.2, pp 2K2 2K5)

Resuelve ahora los

p rob lem as de la secció n " ¿ E s tá s listo ? " de la página 305.

OBJETIVOS 1 Construir modelos cuadráticos a partir de descripciones verbales (p. 300) ** 2 Construir modelos cuadráticos a partir de datos (p. 304)

En esta sección primero discutiremos modelos con la forma de una función cuadrá tica cuando se da una descripción verbal del problema. Terminaremos la sección ajustando una función cuadrática a los datos, que es otra forma de crear modelos. Cuando un modelo matemático está en la forma de una función cuadrática. Las propiedades de la gráfica de la función cuadrática pueden proporcionar información importante acerca del modelo. En particular podemos usar la función cuadrática para determinar el valor máximo o mínimo de una función. El hecho de que la gráfica de una función cuadrática tenga un valor máximo o mínimo nos permite contestar preguntas que involucran optimización, es decir, encontrar el valor máximo o mínimo en modelos.

1

Construcción de m odelos cuadráticos a partir de descripciones verbales En economía, el ingreso R . en dólares, se define como la cantidad de dinero que se recibe por la venta de un artículo y es igual al precio unitario de venta p. en dólares, del artículo multiplicado por el número x de unidades vendidas. Es decir. R - xp La ley de la demanda establece que p y x están relacionadas: conforme una in crementa, la otra disminuye. La ecuación que relaciona a p y a x se llama ecuación de demandu. Cuando la ecuación de demanda es lineal, el modelo de ingreso es una función cuadrática.

EJEM PLO 1

Maximización del ingreso El departamento de publicidad de Texas Instruments ha encontrado que. cuando se venden ciertas calculadoras a un precio /» por unidad, el número x de calculadoras vendidas está dada por la ecuación de demanda

.v = 21.000- 150/ j (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

Solución

Determina un modelo que exprese el ingreso R como función del precio p. ¿Cuál es el dominio de R ' l ¿Qué precio unitario se debe de usar para maximizar el ingreso? Si se cobra este precio, ¿cuál es el ingreso máximo? ¿Cuántas unidades se venden a este precio? Traza la gráfica de R . ¿Qué precio debe cobrar Texas Instruments para juntar por lo menos Só75.000 de ingreso?

(a) El ingreso

es R = x p , donde .v = 21.000 - 150/>. R = xp = (21 .(XX) - 150p) = -150p : + 21 .(XX)/» El irodeio R

(b) Como .v representa el número de calculadoras vendidas, tenemos x ^ 0. entonces 2UXX) - 150/» •> 0. Al resolver esta ecuación lineal encontramos que /»s 140. Ade más, Texas Instruments solo cobra un precio positivo por la calculadora, entonces p > 0. Combinando estas desigualdades, el dominio de R es {/>!() < /> < 40}.

S E C C IÓ N 4.4

Construcción de modelos cuadráticos a partir de descripciones verbales y de datos

301

(c) La función R es una función cuadrática con a = -150, b = 21,000 y c = 0. Como a < 0, el vértice es el punto más alto en la parábola. El ingreso R es máximo cuando el precio p es

i

b _

21,000

21,000

2a j _ 2 (-1 5 0 ) " ~ -300

$70.00

a = - 1 5 0 , b = 21,000

(d) El ingreso máximo R es R (7 0 ) = —150(70)2+ 21,000(70) = $735,000

(e) El núm ero de calculadoras vendidas está dado por la ecuación de dem anda x = 21,000 - 150p. A un precio de p = $70, x - 21,000-150(70) = 10,500 calculadoras vendidas. (f) Para hacer la gráfica de R , traza la intersección (140,0) y el vértice (70,735000). Ver figura 23.

Precio p por calculadora (dólares)

(g) Traza la gráfica de R = 675,000 y R(p) - -150/72 + 21,000/7 en el mismo plano de coordenadas cartesianas. Ver figura 24. Encontramos dónde se intersectan las gráficas resolviendo 675,000 = -150/72+ 21,000/7 Suma 15O/?2 - 21,OOOp en ambos lados.

150/72 - 21,000/7 + 6 7 5 ,0 0 0 = 0

p 2— 140/7 + 4500 = 0


(p - 50)(p - 90) = 0

Factoriza.

p = 50 Op

=

90

Usa la propiedad de producto cero.

F ig u ra 2 4

fíi 800,000T 700.000 600.000 | 500,000 5 . 400,000 |

300,000

1 “ 200,000 100,000

P Precio p por calculadora (dólares)

Las gráficas se intersectan con (50, 675,000) y (90,675,000). Basándonos en la gráfica de la figura 24, Texas Instruments debería cobrar entre $50 y $90 para ganar por lo menos $675,000 en ingresos.

Resuelve ahora

el

problema

3

302

C A P ÍT U L O 4


EJEM PLO 2

Maximización del área que encierra una cerca Un granjero tiene 2000 yardas de cerca para rodear un campo rectangular. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que encierra el área mayor?

Solución La figura 25 ilustra la situación. La cerca disponible representa el perí metro del rectángulo. Si x es la longitud y w es el ancho, entonces 2* + 2 w

=

2000

( 1)

El área A del rectángulo es A -xw Para expresar a A en términos de una sola variable, resuelve la ecuación (1) para w y sustituye el resultado en A = xw. Entonces A involucrará solo una variable x. [También puedes resolver la ecuación (1) para x y expresar A en términos de w. ¡Inténtalo!] 2x + 2w - 2000 2v = 2000 - 2x w —

2000 - 2x

= 1000 - x

Entonces el área A es A = xw = *(1000 - x ) = - x 1+ 1000x Ahora, A es una función cuadrática de x.

Figura 26

A ( x ) = - x 2+ 1000x

a = —1, b = 1000, c = 0

La figura 26 muestra la gráfica de A{x) = - x 2+ 100(k. Como a < 0, el vértice es un punto máximo en la gráfica de A. El valor máximo se encuentra en b 1000 X = “ 2Í = " 2 R ) =50° El valor máximo de A es A -

b 2a

= A(500) = -5 0 0 2 + 1000(500) = -250,000 + 500,000 = 250,000

El mayor rectángulo que se puede encerrar por 2000 yardas de cerca tiene un área de 250,000 yardas cuadradas. Sus dimensiones son de 500 yardas por 500 yardas,

Resuelve ahora

EJEM PLO 3

EL P R O B L E M A

7

Análisis del movimiento de un proyectil Se dispara un proyectil desde un acantilado 500 pies sobre el agua con una inclinación de 45° con la horizontal, con una velocidad inicial de 400 pies por segundo. En física, está establecido que la altura h del proyectil sobre el agua se puede modelar por —32jc2 h( x) = ------- r + x + 500 V’ (400)2 D onde x es la distancia horizontal del proyectil a la base del acantilado. Ver figura 27.

Figura 27

ft(x) 2500

2000 1500

1000 500

X

\

/ ’ 45°° 1000

2000

3000

4000

5000

x

SECCIÓN 4.4 Construcción de modelos cuadrátlcos a partir de descripciones verbales y de datos

303

(a) Determina la altura máxima del proyectil. (b) ¿Qué tan lejos partiendo de la base del acantilado el proyectil caerá al agua?

Solución

(a) La altura del proyectil está dada por una función cuadrática h (x ) = ^^4 + -t + 500 = ~ ^ - x 2 + x + 500 ' (400)* 5000 Queremos determinar el mayor valor de h. Como a < 0, el valor máximo se obtiene en el vértice, cuya coordenada en x es b

1

5000

2500

La altura máxima del proyectil es /i(2500) = ^ ¿ j ( 2500)2 + 2500 + 500 = —1250 + 2500 + 500 = 1750 ft (b) El proyectil caerá al agua cuando su altura sea cero. Para encontrar la distancia x recorrida, resuelve la ecuación - 1 ■, h (x) - — —x2 + x + 500 = 0 v ' 5000 El discriminante de esta ecuación cuadrática es

62 -

Visualizando el concepto

" ‘ 2 - 4( ^ ) < 5°°> - 1 A

Traza la gráfica de

Entonces

*» - i i ^ - ' + 500 0 £ x < 5500

Usa MAXIMUM para encontrar la al tura máxima del proyectil y usa ROOT o ZERO para encontrar la distancia de la base del acantilado a donde cae al agua. Compara tus resultados con los que obtuvimos en el ejemplo 3.

- b ± V b 2 - 4ac - 1 ± V Ë 4 _ f -458 2a ~ J ____ 1 _ \ ^ 15458 V 5000/ Descartamos la solución negativa. El proyectil caerá al agua a una distancia de aproximadamente 5458 pies de la base del acantilado.


P R OB L E MA 11

El puente Golden Gate El puente Golden Gate es un puente colgante que abarca la entrada a la bahía de San Francisco. Sus torres gemelas de 746 pies de alto están a 4200 pies de distancia una de la otra. El puente está suspendido por dos cables enormes de más de 3 pies de diá metro, la pista de 90 pies de ancho está a más de 220 metros sobre el agua. Los cables tienen forma parabólica* y tocan la superficie del camino en el centro del puente. Determina la altura del cable sobre el camino a una distancia de 1000 pies del centro.

Solución

Ver figura 28 de la página 304. Empieza por seleccionar la posición de los ejes de coordenadas de manera que el eje x coincida con la superficie del camino y el origen coincida con el centro del puente. Como resultado, las torres gemelas serán vertica les (altura 746 - 220 = 526 pies sobre el camino) y estarán localizadas a 2100 pies del centro. Además, el cable, que tiene forma de parábola, se extenderá de las torres, se abrirá hacia arriba y su vértice estará en (0, 0). Esta elección de localización de los ejes nos permite identificar la ecuación de la parábola como y = ax2, a> 0. Observa que los puntos (-21,000, 526) y (2100, 526) están en la gráfica. *Un cable suspendido por dos torres toma la forma de catenaria, pero cuando se suspende del cable una pista horizontal, el cable toma la forma de una parábola.

304

C A P ÍT 1)1,0 4


Basándonos en estos hechos, podemos determinar el valor de a en y = ax1. y = ax1 526 = «(21(X))2

x

=

2100, y

=

526

526 “

~

(21ÍXJ)2

La ecuación de la parábola es 526

7

,

(2100)2

La altura del cable cuando x = l(XX) es y = —1-----^(l(XX))2 ~ 119.3 pies 7

(21ÍX))2

El cable está a 119.3 pies sobre el camino a una distancia de UXXJ pies del centro del puente.

J Resuelve ahora

el

problema

13

2 Construcción de m odelos cuadrátícos a partir de datos En la sección 4.2 encontramos la recta de mejor ajuste para datos que parecen estar linealmente relacionados. Se mencionó que los datos también pueden seguir una re lación no lineal. Las figuras 29 (a) y (b) muestran diagramas de dispersión que siguen una relación cuadrática.

Figura 29

EJEMPLO 5

y=ax2 + bx+c.a> O

y= ax2 + bx+ c. a < O

(a)

(b)

Ajuste de una función cuadrática a los datos Los datos de la tabla 8 representan el porcentaje D de la población que está divor ciada para varias edades .v en 2(X)7. (a) Traza un diagrama de dispersión de datos tomando la edad como la variable independiente. Comenta acerca del tipo de relación que puede existir entre la edad y el porcentaje de la población divorciada. (b) Usa un dispositivo gráfico para encontrar la función cuadrática de mejor ajuste que modele la relación entre la edad y el porcentaje de la población que está divorciado. (c) Usa el modelo que determinaste en el inciso (b) para aproximar la edad para la cual es mayor el porcentaje de la población divorciada. (d) Usa el modelo que determinaste en el inciso (b) para aproximar el mayor por centaje de la población divorciada. (e) Usa un dispositivo gráfico para trazar la función cuadrática de mejor ajuste en el diagrama de dispersión.

S E C C IÓ N 4.4

Tabla 8


305

^ Porcentaje de divorciados, D ?

22

0.8

21

2.8

32

6.4

37

8.7

42

12.3

50

14.5

60

13.8

70

9.6

80

4.9

Fuente: United States Statistical Abstract, 2009

S o lu c ió n

(a) La figura 30 muestra el diagrama de dispersión, a partir del cual, parece que los datos siguen una relación cuadrática, con a < 0. (b) Al ejecutar el programa QUADratic REGression obtenemos los resultados que se muestran en la figura 31. La salida del dispositivo nos muestra la ecuación y - ax2 + bx + c. La función cuadrática de mejor ajuste que modela la relación entre la edad y el porcentaje de divorciados es D{x) = —0.0136*2 + 1.4794* - 26.3412

90

donde a representa la edad y D representa el porcentaje de divorciados. (c) Basándonos en la función cuadrática de mejor ajuste, la edad con el mayor por centaje de divorciados es b_ 2a

Figura 31 QuadReg y=ax2+bx+c a= - . 0136351781 b=1.47938 947 c= -2 6 .3 4 1 1 7 4 6 2

El modelo

1.4794 2 (—0.0136)

54 año

(d) Evalúa la función de D (x) en * = 54. Z)(54) = —0.0136(54)2 + 1.4794(54) - 26.3412

13.9 por ciento

De acuerdo con el modelo, las personas de 54 años tienen el porcentaje más alto de divorcios con 13.9 por ciento. (e) La figura 32 muestra la gráfica de la función cuadrática que determinaste en el inciso (b) trazada en el diagrama de dispersión.

Figura 32 17

90

Observa de nuevo la figura 31. La salida dada por la calculadora gráfica no incluye r, el coeficiente de correlación. Recuerda que el coeficiente de correlación es una medida de la fuerza de- una relación lineal que existe entre dos variables. La calcu ladora gráfica no da una indicación de qué tan bien se ajusta la función a los datos en términos de r debido a que una función cuadrática no se puede expresar como función lineal. O T s s s a s - -

Resuelve ahora

el

problema

2 5

4.4 Evalú a tu en ten d im ien to *1 "¿Estás listo?" L a s respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. Traduce la siguiente oración a una ecuación matemática: El ingreso total R de la venta de * hot dogs es $3 veces el número total de hot dogs vendidos, (pp. 134-140)

2. Usa un dispositivo gráfico para determinar la recta de me jor ajuste para los siguientes datos: (pp. 282-285) X

3

5

5

6

7

8

V

10

13

12

15

16

19

306

CAPÍTULO 4 Funciones lineales y cuadráticas

A plicaciones y extensiones \ 3 , Maximizarión del ingreso El precio/? (en dólares) y la cantidad x vendida de un producto obedecen la ecuación de demanda p = —- x + 100 o (a) Determina un modelo que exprese el ingreso R como función de x. (Recuerda, R = xp) (b) ¿Cuál es el dominio de R? (c) ¿Cuál es el ingreso si se venden 200 unidades? (d) ¿Qué cantidad x maximiza el ingreso? ¿Cuál es el in greso máximo? (e) ¿Qué precio deberá cobrar la compañía para maximizar el ingreso? 4. Maxiinización del ingreso El precio p (en dólares) y la can tidad x vendida de un producto obedecen la ecuación de demanda

9. Encerrar el área mayor con una cerca Un granjero que tiene 4000 metros de cerca quiere encerrar una parcela rectangular que tiene un río como una de sus fronteras. Si el granjero no cerca el lado del río, ¿cuál es el área más grande que se puede encerrar? (Ver figura)

4000 - 2x

p = - | jc + 100

5.

6.

\7 .

8.

(a) Determina un modelo que exprese el ingreso R como función de x. (Recuerda, R=xp) (b) ¿Cuál es el dominio de R? (c) ¿Cuál es el ingreso si se venden 100 unidades? (d) ¿Qué cantidad x maximiza el ingreso? ¿Cuál es el in greso máximo? \ (e) ¿Qué precio deberá cobrar la compañía para maximizar el ingreso? Maxiinización del ingreso El preciop (en dólares) y la cantidad x vendida de un producto obedecen la ecuación de demanda jc= -5/? + 100 0
10. Encerrar el área mayor con una cerca Un granjero con 2000 metros de cerca quiere encerrar una parcela rectan gular que tiene una autopista recta como una de sus fron teras. Si el granjero no cerca el lado de la autopista, ¿cuál es el área más grande que se puede encerrar? 11. Análisis del movimiento de un proyectil Se dispara un proyectil desde un acantilado 200 pies sobre el agua con una inclinación de 45° con la horizontal, y una velocidad inicial de 50 pies por segundo. La altura h del proyectil sobre el agua está modelada por h(x)

-32X2

------ir + X + 200

(50)2

donde x es la distancia horizontal del proyectil al acantilado. (a) ¿A qué distancia horizontal del acantilado llegará el proyectil a su mayor altura? (b) Determina la altura máxima del proyectil. (c) ¿A qué distancia horizontal del acantilado caerá al agua el proyectil? (d) Usando un dispositivo gráfico, obtén la gráfica de la función h, 0 ^ jc^ 200. (e) Usa un dispositivo gráfico para verificar las soluciones que determinaste en los incisos (b) y (c). (f) Cuando la altura del proyectil es de 100 pies sobre el agua, ¿qué tan lejos está del acantilado? 12. Análisis del movimiento de un proyectil Se dispara un proyectil con una inclinación de 45° con la horizontal y una velocidad inicial de 100 pies por segundo. La altura h del proyectil sobre el agua está modelada por h(x)

-32 a~ ( 100)2

donde x es la distancia horizontal del proyectil desde el punto donde se dispara. (a) ¿A qué distancia horizontal del punto donde se dispa ra alcanza el proyectil su mayor altura? (b) Determina la altura máxima del proyectil. (c) ¿A qué distancia horizontal del punto de disparo llega rá al suelo el proyectil? N (d) Usando un dispositivo gráfico, obtén la gráfica de la función //, 0 < .y < 350.

S E C C IO N 4.4


(e) Usa un dispositivo gráfico para verificar las soluciones que obtuviste en los incisos (b) y (c). (f) Cuando la altura del proyectil es de 50 pies sobre el sue lo, ¿qué tan lejos se ha desplazado horizontalmente? 13. Puente colgante Un puente colgante con un peso distribuido uniformemente a lo largo de su distancia tiene torres gemelas que se extienden 75 metros sobre la superficie del camino y están a 400 metros de distancia una de la otra. Los cables son de forma parabólica y están suspendidos de las partes superiores de las torres. Los cables tocan la superficie del camino en el centro del puente. Determina la altura de los cables en un punto a 100 metros del centro. (Considera que el camino no tiene pendiente alguna.) 14. Arquitectura Un arco parabólico tiene una amplitud de 120 pies y una altura máxima de 25 pies. Escoge los ejes de coordenadas apropiados para encontrar la ecuación de la parábola. Después, calcula la altura del arco en los pun tos correspondientes a 10 pies. 20 pies y 40 pies del centro. 15. Construcción de canaletas de lluvia Se va a construir una canaleta de lluvia de hojas de aluminio que miden 12 pulga das de acho doblando las orillas 90°. Ver ilustración. (a) ¿Qué profundidad dará la mayor sección transversal y por lo tanto, permitirá que fluya la mayor cantidad de agua? (b) ¿Qué profundidades permitirán que fluyan por lo me nos 16 pulgadas cuadradas de agua?

307

*

0

^ vy

A

1K. Arquitectura Una ventana especial tiene la forma de un rectángulo con un triángulo equilátero en la parte superior. Observa la figura. Si el perímetro de la ventana es de 16 pies, ¿qué dimensiones dejan entrar la mayor cantidad de luz?

[Sugerencia: Área de un triángulo equilátero = donde x es la longitud de un lado del triángulo.]

19. Reacciones químicas Una reacción química autocatalítica

fe

da como resultado la formación de un compuesto que cau sa que se incremente la tasa de formación. Si la tasa de reacción V está modelada por V(x) = kx(a - .v), donde k es una constante positiva, a es la cantidad inicial del compuesto y x es la cantidad variable del compuesto, ¿para qué valor de x se maximiza la tasa de reacción? 20. Cálculo: Regla de Simpson La figura muestra la gráfica de y = ax1+ bx + c. Considera que los puntos (—/i, y(l), (0, y,) y (/i, y,) están en la gráfica. Se puede demostrar que el área que encierra la parábola, el eje .vy las rectas x = - h y x = h, es h Área = —(2ahr + 6c) Demuestra que esta área también puede estar dada por

16. Ventanas Norman Una Ventana Norman tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo en la parte superior que tiene un diámetro igual al ancho del rectángulo. Ver figura. Si el períme tro de la ventana es de 20 pies, ¿qué dimensiones dejarán entrar la mayor cantidad de luz (maximizarán el área)? [Sugerencia: Circunferencia de un círculo = 2vr, área de un círculo = irr, donde r es el radio del círculo.]

Área = | ( y 0 + 4y, + y2)

£

21. Usa el resultado que obtuviste en el problema 20 para de

terminar el área encerrada por f(x) = -5x2+ 8, el eje x y las rectas jc= —1 y x = 1. f e 22. Usa el resultado que obtuviste en el problema 20 para de terminar el área encerrada por f(x) = 2xl + 8, el eje x y las rectas x = -2 y x = 2. f e 23. Usa el resultado que obtuviste en el problema 20 para de terminar el área encerrada por f(x) = x2+ 3x + 5, el eje x y 17. Construcción de un estadio La pista para atletismo tiene las rectas x = -4 y x = 4. la forma de un rectángulo con semicírculos en cada lado. Ver figura. El perímetro interno de la pista debe tener f e 24. Usa el resultado que obtuviste en el problema 20 para de terminar el área encerrada por f(x) = -x 2+x + 4, el eje x y 1500 metros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rec las rectas x = - l y x = 1. tángulo para maximizar el área del rectángulo?

308

c a p ít

U l,() 4


y 25. Hipótesis del cielo de vida Los ingresos de una persona U “ ■ Hipótesis del ciclo de vida Un lanzador de bala lanza una , !| p

bala con una inclinación de 45'' con la horizontal. Ixn si guientes datos representan la altura de la bala h en el ínv tante que se ha desplazado* pies horízontalmente

varían con su edad. La siguiente tabla muestra el ingreso medio / de hombres de diferentes grupos de edad en los Estados Unidos en 2006. Para cada grupo, sea el punto me dio de la clase la variable independiente x. Para la clase de “65 años o más”, supondremos que el punto medio es 69.5. ----------------

Edad

Punto medio de la clase, x

Ingreso medio, /

15-24 años

19.5

$10,964

25-34 años

29.5

$32,131

35-44 años

39.5

$42,637

45-54 años

49.5

$45,693

55-64 años

59.5

$41,477

69.5

$23,500

65 años o más

I'liente: Departamento de Censo de EE.UU (a) Usa un dispositivo gráfico para trazar el diagrama de dispersión de los datos. Comenta acerca del tipo de relación que puede existir entre las dos variables. (b) Usa un dispositivo gráfico para encontrar la función cuadrática de mejor ajuste que modele la relación en tre la edad y el ingreso medio. (c) Usa la función que obtuviste en el inciso (b) para de terminar la edad a la que una persona puede esperar tener el mayor ingreso. (d) Usa la función que obtuviste en el inciso (b) para pre decir el ingreso máximo. (e) Con un dispositivo gráfico, obten la gráfica de la función cuadrática de mejor ajuste en el diagrama de dispersión.

(a) Usa un dispositivo gráfico para trazar el diagrama de dispersión de datos. Comenta acerca del tipo de rela ción que puede existir entre las dos variables. (b) Usa un dispositivo gráfico para determinar la función cuadrática de mejor ajuste que modele la relación en tre la distancia y la altura. (c) Usa la función que obtuviste en el inciso (b) para de terminar qué tan lejos se desplazará la bola antes de alcanzar su altura máxima. (d) Usa la función que obtuviste en el inciso (b) para de terminar la altura máxima de la bola. (e) Con un dispositivo gráfico, obten la gráfica de la función cuadrática de mejor ajuste en el diagrama de dispersión.

¡3 Práctica mixta 27. ¿Qué modelo? Los siguientes datos representan los me tros cuadrados y la renta (dólares al mes) de departa mentos en el área de Del Mar de San Diego, California.

28.

¿Qué modelo? Un ingeniero recopila los siguientes datos m¡que muestran la velocidad s de un Toyota Camry y las m; lias por galón, Af, que da.

Velocidad,

s

(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de los datos tomando la superficie como la variable independiente. ¿Qué tipo de relación pa rece existir entre los metros cuadrados de los depar tamentos y la renta? (b) Basándote en tu respuesta del inciso (a), determina un modelo lineal o uno cuadrático que mejor descri ba la relación entre los metros cuadrados y la renta. (c) Usa tu modelo para predecir la renta de un departa mento en San Diego que tiene 850 pies cuadrados.

Millas por galón, M

30

18

35

20

40

23

40

25

45

25

50

28

55

30

60

29

65

26

65

25

70

25

(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dis persión de datos tomando la velocidad como la variable independiente. ¿Qué tipo de relación parece existir entre la velocidad y las millas que da el auto por galón?

S E C C IÓ N 4.5

(b) Basándote en tu respuesta del inciso (a), determina un modelo lineal o uno cuadrático que mejor descri ba la relación entre la velocidad y las millas que da el auto por galón.

Desigualdades que involucran funciones cuadráticas

309

30. ¿Qué modelo? Un grillo emite un sonido frotando sus alas rápidamente. Tal vez hayas notado que el número de chirridos parece incrementarse con la temperatura. La siguiente tabla da una lista de la temperatura (en grados Fahrenheit) y del número de chirridos por segundo para el grillo rayado de tierra.

(c) Usa tu modelo para predecir las millas por galón para un Camry que viaja a 63 millas por hora.

¿Qué modelo? Los siguientes datos representan el porcen taje de la población de EE.UU. cuya edad es x y que no tenían un diploma de bachillerato, hasta marzo de 2005.

Edad, a

Porcentaje sin diploma de bachillerato, P

30

13.3

40

11.6

50

10.9

60

13.7

70

22.3

80

30.2

Fuente: U.S. Census Bureau

x

Chirridos por segundo,

co co 07

N

Tem peratura,

20.0

93.3

19.8

80.6

17.1

69.7

14.7

69.4

15.4

79.6

15.0

80.6

16.0

76.3

14.4

75.2

15.5

C

Fuente: Pierce, George W. The Songs o f Insects. Cambridge, MA Harvard University Press, 1949, pp. 12 - 21

(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos tomando la edad como la va riable independiente. ¿Qué tipo de relación parece existir entre la edad y el porcentaje de la población sin diploma de bachillerato? (b) Basándote en tu respuesta del inciso (a), determina un modelo lineal o uno cuadrático que mejor des criba la relación entre la edad y el porcentaje de la población que no tiene diploma de bachillerato. (c) Usa tu modelo para predecir el porcentaje de perso nas de 35 años que no tienen diploma de bachillerato.

(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dis persión de datos tomando la temperatura como la varia ble independiente. ¿Qué tipo de relación parece existir entre la temperatura y los chirridos por segundo? (b) Basándote en tu respuesta del inciso (a), determina un mo delo lineal o uno cuadrático que describa mejor la relación entre la temperatura y el número de chirridos por segundo. (c) Usa tu modelo para predecir los chirridos por segundo si la temperatura es de 80°F.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 31. Consulta el ejemplo 1 en la página 300. Observa que si el

si el precio que se cobra es $0, pero ¿cómo puede ser $0 el ingreso si el precio que se cobra es $140?

precio que se cobra por las calculadoras es $0 o $140 el ingreso es $0. Es fácil explicar por qué el ingreso sería 0

Respuestas a los ejercidos de la sección "¿Estás listo?"______________________________________________ 2.

i. R = 3*

y = 1.7826*+ 4.0652

4.5 Desigualdades que involucran funciones cuadráticas P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s e c c ió n

• v \

A n te s de em pezar, repasa lo sigu iente:

Solución de desigualdades (sección 1.5, pp. 123-126)

•

Resuelve ahora lo s

la p á g in a 31 2.


O BJETIVO

"¿Estás listo?" d e

Uso de notación de intervalos (sección 1.5, pp. 120-121)

1 Resolver desigualdades que involucran una función cuadrática (p. 309)

1 Resolver desigualdades que involucran una función cuadrática En esta sección resolveremos desigualdades que involucran funciones cuadráticas. Haremos esto usando sus gráficas. Por ejemplo, para resolver la desigualdad ax2+ b x + c > 0

aï 0

310

C A P ÍT U L O 4


se hace la gráfica de la función /(* ) = ax2+ bx + c y, a partir de ésta, se determina en qué partes está la gráfica por encima del eje x, es decir, dónde /(* ) > 0. Para reváver la desigualdad ax2+ bx + c < 0, a # 0, se hace la gráfica de la función f(x ) = ax2+ bx + 1 y se determina en qué partes está debajo del eje x. Si la desigualdad no es estricta, incluye las intersecciones con x, si existen, en la solución.

EJEM PLO 1

Resolución de una desigualdad Resuelve la desigualdad x 2- 4x - 12 :£ 0 y haz una gráfica del conjunto solución

Solución

Traza la gráfica de la función f(x ) = x2- 4x - 12. Las intersecciones son Intersección con y:

/(O) = -12

Intersecciones con x, (si existen):

jc2—4a: —12 =

f en O.

E v a lú a

0

R esu elve

(x - 6)(x + 2) = 0

f(x) = O.

F a cto n za .

jr-6 = 0 o * + 2 = 0

A p lica la p ro p ;e d a ¿ de pro d u c to

cero.

x = 6 o x = -2 La intersección con y es -12, las intersecciones con x son -2 y 6. b -4 . El vértice está en x - - — - - — - 2. Como /(2 ) = -16, el vértice es (2,-16).

Figura 34 __ i ' [ ' ' i ' i ' i J ' i „ -4

-2

0

2

4

6

8

*

Ver figura 33 para la gráfica. La gráfica está por debajo del eje x para -2 < x < 6. Como la desigualdad original no es estricta, incluye las intersecciones en x. El conjunto solución es {.t|-2 ^.v < 6 } o , usando notación de intervalos, | —2. 6]. Ver figura 34 para la gráfica del conjunto solución. i

Resuelve ahora

EJEM PLO 2

el

problema

9

Resolver una desigualdad Resuelve la desigualdad 2x2< x + 10 y traza la gráfica del conjunto solución.

Solución

Método 1 Ordena la desigualdad de manera que el 0 quede en el lado derecho. 2v: < * + 10 2 v 2 - ,r - 1 0 < 0

R e s t a x + 10

de

am b o s lad o s.

Esta desigualdad es equivalente a la que queremos resolver. Ahora, traza la gráfica de la función f(.x) = Zx2 - x - 10 para encontrar dónde /(.v) < 0. Las intersecciones son Intersección con y:

/(0 )

Intersecciones con * (si existen):

=

-10

E v a lú a

2v: - * - 10 = 0

fe n O.

Resuelve r(x) = O.

(2v - 5)(.t + 2) = 0

Factonza.

2 t - 5 = 0 O .V+ 2 = 0

A p lica la p rcp

?,tad a e

producto ceno.

5 -V = -

o

.v = - 2

La intersección con v es -10, las intersecciones con x son -2 y - . El vértice está en *-=

2a

ertice es = — j- = 7 . Como / ( 7 ) = -10.125, el vérti 4 4 \4 /

-IO .I 2 5 J. Ver figura 35 para la gráfica.

S E C C IÓ N 4.5

Desigualdades que involucran funciones cuadráticas

311

La gráfica está por debajo del eje x (f(x) < 0) entre x = -2 y x = - . Como la desigualdad es estricta, el conjunto solución es j * - 2 < x < ^j o, usando notación de intervalos, ( - 2 , - ]. Método 2 Si f(x ) = 2v: y g(.x) = x + 10, la desigualdad que queremos resolver es f(x ) < g(x). Construye la gráfica de las funciones/(x) = Ix 1 y g(.v) = x + 10. Ver figura 36. Las gráficas se intersectan cuando f(x ) = g(x). Entonces 2x2 = x + 10 2x2 - x - 10 = 0

f(x) = 0(x)

(2.V — 5)(.r + 2) = 0

Factoriza.

2.r — 5 = 0

O JC + 2 = 0

5 x =2

o

Aplica la propiedad de producto cero.

. x = -2

Las gráficas se intersectan en los puntos (-2, 8) y

necesitamos encontrar en dónde la gráfica de / esté por debajo de la gráfica de g. Esto ocurre entre los puntos de intersección. Como la desigualdad es estricta, el

Figura 37 _l __ I—

-4

Para resolver/(.v) < g ( jc),

I__ I__ I__ 4 J __L

-2

0

2

conjunto solución es sj *x - 2 < x < r } o, usando notación de intervalos, ( - 2 , ^ 2 Ver figura 37 para la gráfica del conjunto solución.

4

J

Resuelve ahora

EJEM PLO 3

el

problema

5

y

i 3

Resolver una desigualdad Resuelve la desigualdad jc2 + ;c + l > 0 y traza la gráfica del conjunto solución.

Figura 38

Traza la gráfica de la función/(;e) = x2+x + 1. La intersección con y es 1, no existen in tersecciones con x (¿puedes ver por qué? Observa los discriminantes). El vértice está 1 1 3 b_ Los puntos (1,3) - , el vértice está en - —. Como en x 4 2’ 4 2a y (-1 ,1 ) también están en la gráfica. Ver figura 38. La gráfica de / está por encima del eje x para toda x. El conjunto solución es el conjunto de todos los números reales. Ver figura 39. i ! -L—

-4

1......,..1— — J.„——i.

-2

0

2

4

Resuelve ahora

EL P R OB L E MA 17

312

C A P ÍT U L O 4


4.5 Evalú a tu en ten d im ien to " ¿ E s t á s l i s t o ? " Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. Resuelve la desigualdad -3x - 2 <7 (pp. 123-126) 2. Escribe (-2,7] usando notación de desigualdades. (pp. 120-121) E j e r c ic io s

En los problemas 3-6, usa la figura para resolver cada desigualdad.

(a) f(x) > 0 (b) /(* )< 0

(a) g(x)<0 (b) g(x)> 0

(a) f(x)< g(x) (b) f(x)> g(x)

(a) g ( x ) > f ( x )

(b) f ( x ) > g ( x )

En los problemas 7-22, resuelve cada desigualdad. x2

x2 + 3* - jo > 0

- 3x - 10 < 0

11-jc2 - 9 < 0 15.2x2 < 5* + 3 19.4x2 + 9 < 6x

12. x2 - l < 0 16. ó*2 < 6 + 5x 20. 25x2 + 16 < 40*

\

\ \

9* x 2 - 4x > 0 13. x2 + * > 12 17. x2 - * + 1 < 0 21. 6(*2 - 1) > 5*

1(>- x2 + 8* > 0

14. x2 + 7* < -12 18. x2 + 2x + 4 > 0 22. 2(2x2 - 3x) > -9

P r á c t ic a m i x t a ----------------------------------------------

23. ¿Cuál es el dominio de la función f(x ) = V x2 - 16?

24. ¿Cuál es el dominio de la función /(x ) = V x —3X2?

En los problemas 25-32, usa las funciones dadas f y g. (a) Resuelve /(x) = 0. (e) Resuelve g (x) < 0.

(b) Resuelve g (x) = 0. (f) Resuelve /(x) > 1.

(c) Resuelve /(x) = g (x). (g) Resuelve /(x) > 1.

(d) Resuelve /(x) > 0.

25. /(x ) g(x) 29. /(x ) g(x)

26. /(* ) g(x) 30. f(x) g(x)

27.

28.

= = = =

x2 - 1 3x + 3 x2 - 4 -x 2 + 4

= = = =

-x 2 + 3 —3x + 3 x2 —2x + 1 -x 2 + 1

31.

/(* ) g(x) /(x ) g(x)

= = = =

~*2 + 1 4x + 1 x2 - x - 2 x2 + x - 2

32.

/(x ) g(x) /(x ) g(x)

= -X 2 + 4 = -x - 2 = -x 2 - x + 1 = —x2 + x + 6

A p lic a c io n e s y e x t e n s io n e s

33. Física Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La distancia s

(en pies) de la pelota sobre el suelo después de t segundos es s(t) = 80r- 16r2. (a) ¿En qué tiempo t llegará la pelota al suelo? (b) ¿En qué tiempo t estará la pelota a más de 96 pies so bre el suelo? 34. Física Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 96 pies por segundo. La distancia s (en pies) de la pelota sobre el suelo después de t segundos es s(t) = 961- 16r2. (a) ¿En qué tiempo t llegará la pelota al suelo? (b) ¿En qué tiempo t estará la pelota a más de 128 pies sobre el suelo? 35. Ingreso Considera que el fabricante de una secadora de gas para ropa ha encontrado que, cuando el precio unita rio es de p dólares, el ingreso R (en dólares) es R(p) = ~4p2+ 4000p


«, (a) ¿A qué precios /> el ingreso es 0? ■* (b) ¿Para qué intervalo de precios excede el ingreso a $800,01X1? 36. Ingreso La Compañía John Deere ha encontrado que el ingreso por las ventas de tractores es una función del pre cio unitario />. en dólares, que cobra. Si el ingreso R, en dólares, es R ( p ) = - -l p 2 + 1900/ j

z

(a) ¿A qué precios p es 0 el ingreso? (b) ¿Para qué intervalo de precios excede el ingreso a $ 1.200,000? 37. Artillería Un proyectil que se dispara del punto (0,0) con un ángulo respecto al eje positivo .v y sigue una trayectoria dada por

donde x = distancia horizontal en metros y = altura en metros v = velocidad inicial en metros por segundo (m/s) g = aceleración por la gravedad = 9.81 metros por se gundo al cuadrado (m/s2) c > 0 es una constante determinada por el ángulo de elevación. Un obús dispara un proyectil con una velocidad inicial de 897 m/s.

313

(a) Si el proyectil debe esquivar una colina de 200 metros de alto a una distancia de 2000 metros en frente del obús, ¿qué valores de c se permiten en la ecuación de trayectoria? (b) Si el objetivo en el inciso (a) es dar a un blanco en tie rra a 75 kilómetros de distancia, ¿es posible hacerlo? Si lo es, ¿para qué valores de c? Si no lo es, ¿cuál es la distancia máxima que recorrerá el proyectil? Fuente: www.answers.com 38. Auto para escapar Si usamos la ley de Hooke, podemos mostrar que el trabajo realizado para comprimir un resor te una distancia de .v pies desde su posición de reposo es W = - kx2, donde k es una constante de rigidez que depende del resorte. También se puede mostrar que el tra bajo que realiza un cuerpo en movimiento antes de que w vuelva al reposo se da por IV = — v2, donde w = peso del objeto (Ib), g = aceleración por la gravedad (32.2 ft/s2) y v = velocidad del objeto (en ft/s). Un estacionamiento tiene un resorte como amortiguador al final de una rampa para detener autos que quieran escapar. El resorte tiene una constante de rigidez k = 9450 lb/ft y debe poder de tener un auto de 4000 Ib que viaja a 25 mph. ¿Cuál es la menor compresión requerida del resorte? Expresa tu res puesta usando pies a la décima más cercana. [Sugerencia: Resuelve W > IV, x ^ 0], Fuente: www.sciforums.com

Explicación de conceptos: discusión y escritura 39. Demuestra que la desigualdad (* - 4)2 s 0 tiene exacta mente una solución. 40. Demuestra que la desigualdad (x - 2)2> 0 tiene un número real que no es solución. 41. Explica por qué la desigualdad x2+ x +1 > 0 tiene todos los números reales como conjunto solución.

42. Explica por qué la desigualdad x2- x + 1 < 0 tiene al con junto vacío como conjunto solución. 43. Explica las circunstancias bajo las cuales las intersecciones en x de la gráfica de una función cuadrática se incluyen en el conjunto solución de una desigualdad cuadrática.

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. {jc| j: > - 3} o (-3,oo)

2. -2 < x s 7

REPASO DEL CAPÍTULO Cosas que debes saber

Función lineal (p. 272) f(x) = mx + b

Función cuadrática (pp. 289-293) /( x) = ax2+ bx + c, a ^ 0

Tasa de cambio promedio = m La gráfica es una recta con pendiente m e intersección con y igual a b. La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. Vértice: b Eje de simetría: x = - — Intersección con y: /(0) = c Intersecciones con x: si existen, se obtienen al encontrar las soluciones reales de la ecuación ax2+ bx + c = 0

314

C A P ÍT U L O 4


\

Objetivos Sección D ebes p o d e r...

Ejem plos Ejercicios de repaso

4.1

1 2 3 4,5 1 2 4

l(a)-6(a), l(b) 6(b) 7,8 1(d)—6(d) 37, 38 46(a), 47(a) 46(b), 47(a) 46(c)

1

9-14

2

15-24

3-5

15-24

6 7 1-4 5 1-3

35,36 25-30, 39-44 39-45 47 31-34

4.2

4.3

1

4.4 4.5

0

i Representar funciones lineales gráficamente (p. 272) 2 Usar la tasa de cambio promedio para identificar funciones lineales (p. 272) 3 Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante (p. 275) 4 Construir modelos lineales a partir de descripciones verbales (p. 276) 1 Trazar e interpretar diagramas de dispersión (p. 282) 2 Distinguir entre relaciones lineales y no lineales (p. 283) 3 Usar un dispositivo gráfico para encontrar la recta de mejor ajuste (p. 284) 1 Representar una función cuadrática gráficamente usando transformaciones (p. 290) 2 Identificar el vértice y eje de simetría de una función cuadrática (p. 292) 3 Construir la gráfica de una función cuadrática usando su vértice, eje de simetría e intersecciones (p. 292) 4 Encontrar una función cuadrática dado su vértice y un punto (p. 295) 5 Encontrar el valor máximo o mínimo de una función cuadrática (p. 296) 1 Construir modelos cuadráticos a partir de descripciones verbales (p. 300) 2 Construir modelos cuadráticos a partir de datos (p. 304) 1 Resolver desigualdades que involucren una función cuadrática (p. 309)

k-

J

Ejercicios de repaso En los problemas 1-6: (a) Determina la pendiente e intersección en y de cada función lineal. (b) Determina la tasa de cambio promedio de cada función. (c) Dibuja la gráfica de cada función. Marca las intersecciones. (d) Determina si la función es creciente, decreciente o constante. 1. /(x ) = 2x - 5

2. g(x) = -4 x + 7

3. h(x) = ^x - 6

4. F(x) = - ^ x + 1

5. G(x) = 4

6.

//(x) = -3

En los problemas 7 y 8, determina si cada función es lineal o no lineal. Si la función es lineal, indica su pendiente. X

8.

y = f[x)

X

y = s(*) -3

-1

-2

-1

0

3

0

4

1

8

1

7

2

13

2

6

3

18

3

1

En los problemas 9-14, traza la gráfica de cada fiinción cuadrática usando transformaciones (traslaciones, compresiones, estiramien tos y/o reflexiones). 9. f (x) = (x - 2)2 + 2 10. /( x ) = (x + l ) 2 - 4 11. / ( x ) = - ( x - 4)2 12. /( x ) = (x - l ) 2 - 3

13. / ( x ) = 2(x + l ) 2 + 4

14.

/( x ) = - 3 ( x + 2)2 + 1

En los problemas 15-24, (a) construye la gráfica de cada función cuadrática, determinando si cada curva abre hacia arriba o hacia abajo, e indicando su vértice, eje de simetría, intersección con y e intersecciones con x, si existen, (b) Determina el dominio y rango de la función. (c) Determina dónde es creciente la función y dónde es decreciente. 15. /(x ) = (x - 2)2 + 2

16. /(x ) = (x + l)2 - 4

17. /(x ) = ^ x 2 - 16

18. /(x ) = - | x 2 + 2

19. /(x ) = -4x2 + 4x

20. /(x ) = 9x2 —6x + 3

21. /(* ) =

22. f ( x) = - x 2 + x + |

23. /(x ) = 3x2 + 4x - 1

+ 3x + 1

24. /(x ) = -2x2 - x + 4


315

En los problemas 25-30, determina si la función cuadrática dada tiene un valor máximo o un valor mínimo y después encuentra el valor.

25. / ( x ) = 3x2 - 6.v + 4

26. /(x ) = 2x2 + 8x + 5

27. f (x) = - x 2 + 8.r - 4

28. f ( x) = -.v2 - lOx - 3

29. /(x ) = -3 x 2 + 12x + 4

30. /(x ) = -2 x 2 + 4

En los problemas 31-34, resuelve cada desigualdad cuadrática. 31. x2 + 6x - 16 < 0

32. 3x2 - 2x - 1 > 0

En los problemas 35 y 36 determina lafunción cuadrática para la cual: 35. El vértice es (-1,2); contiene el punto (1,6) 36. El vértice es (3, -4); contiene el punto (4,2) 37. Comparación entre compañías telefónicas Marissa debe es coger entre dos compañías telefónicas para su proveedor de larga distancia. La Compañía A cobra una tarifa mensual de $7.00 más $0.06 por minuto, mientras que la Compañía B no tiene cargo mensual, pero cobra $0.08 por minuto. (a) Determina una función lineal que relacione el costo, C, con los minutos totales del teléfono, x, para cada compañía. (b) Determina el número de minutos x para los cuales la factura de la Compañía A es igual a la factura de la Compañía B. (c) ¿En qué intervalo de minutos x será menor la factura de la Compañía B que la factura de la Compañía A? 38. Comisiones por ventas Recientemente le ofrecieron a Bill una posición de ventas en una compañía de computadoras. Su salario sería de $15,000 al año más 1% de sus ventas anuales totales. (a) Determina una función lineal que relacione el salario anual de Bill, S, con sus ventas anuales totales, x. (b) En 2010, Bill tuvo ventas anuales totales por $1,000,000. ¿Cuál fue su salario? (c) ¿Cuánto tendría que vender Bill para ganar $100,000? (d) Determina las ventas que debe realizar Bill para que su salario exceda $150,000. 39. Ecuación de demanda El precio p (en dólares) y la cantidad x vendida de cierto producto obedecen la ecuación de demanda p = - ^ x + 150

0 < x < 1500

(a) Expresa el ingreso R como función de x. (b) ¿Cuál es el ingreso si se venden 100 unidades? (c) ¿Qué cantidad x maximiza el ingreso? ¿Cuál es el in greso máximo? (d) ¿Qué precio debe cobrar la compañía para maximizar su ingreso? " 40. Diseño de paisajes Un ingeniero que diseña paisajes tiene 200 pies de cerca para rodear un estanque rectangular. ¿Qué dimensiones darán como resultado el estanque más grande? 41. Rodear el área mayor con una cerca Un granjero tiene 10,000 metros de cerca y quiere rodear un campo rectan gular y después dividirlo en dos parcelas con una cerca paralela a uno de los lados. Ver figura. ¿Cuál es la mayor área que se puede rodear?

33. 3x2 2: 14x + 5

34. 4x2 < 13x - 3

42. Arquitectura Se quiere construir una ventana especial con forma de un rectángulo con semicírculos en cada lado de m anera que las dimensiones exteriores tengan 100 pies de longitud. Ver ilustración. Determina las dimensiones del rectángulo que maximizan esta área.

43. Minimización del costo marginal La compañía Callaway

44.

45.

Golf ha determinado que el costo marginal C de fabricar x palos de golf “Big Bertha” se puede expresar por la fun ción cuadrática C(x) = 4.9x2- 617.4x + 19,600 (a) ¿Cuántos palos se deben fabricar para minimizar el costo marginal? (b) A este nivel de producción, ¿cuál es el costo marginal? Un rectángulo tiene un vértice en la recta y = 10 - x, x > 0, otro en el origen, otro en la parte positiva del eje x y otro en la parte positiva del eje y. Expresa el área A del rectán gulo como una función de x. Determina la mayor área A que se puede encerrar por el rectángulo. Arco parabólico de un puente Un puente horizontal tiene la forma de un arco parabólico. Con la información que se da en la figura, ¿cuál es la altura h del arco a 2 pies de la orilla?

46. Longitud ósea Investigaciones que se llevaron a cabo en la NASA, dirigidas por la doctora Emily R. Morey-Holton midieron la longitud del húmero y tibia derechos en 11 ratas que se mandaron al espacio en el Spacelab Life Sciences 2. Se recopilaron los datos de la página 316. (a) Traza el diagrama de dispersión de datos tomando la longitud del húmero derecho como la variable inde pendiente. (b) Basándote en diagrama de dispersión, ¿crees que exis te una relación lineal entre la longitud del húmero de recho y la longitud de la tibia derecha? ['«¡(c) Usa un dispositivo gráfico para encontrar la recta de mejor ajuste que relacione la longitud del húmero dere cho y la longitud de la tibia derecha.

316

C A P ÍT U L O 4


(d) Haz una predicción acerca de la longitud de la tibia de recha de una rata cuyo humero mide 26.5 milímetros (m m ).

H ’ rl

Húmero derecho (mm), x

Tibia derecha (mm), y

24.80

36.05

24.59

35.57

24.59

35.57

24.29

34.58

23.81

34.20

24.87

34.73

25.90

37.38

26.11

37.96

26.63

37.46

26.31

37.75

26.84

38.50

Fuente: NASA Life Sciences Data Archive

47. Publicidad Una pequeña compañía de fabricación reco piló los siguientes datos sobre gastos de publicidad A (en miles de dólares) y el ingreso total R (en miles de dólares). (a) Traza un diagrama de dispersión de datos. Comenta el tipo de relación que puede existir entre las dos variables.

(b) La función cuadrática de mejor ajuste para estos datos es R(A) = -7.76.A1234567+ 411.88/1 + 942.72 Usa esta función para determinar el nivel óptimo de publicidad. (c) Usa la función para predecir el ingreso total cuando se lleva a cabo el nivel óptimo de publicidad. ¡4j (d) Usa un dispositivo gráfico para verificar que la función dada en el inciso (b) sea la función cuadrática de mejor ajuste. (e ) Usa un dispositivo gráfico para trazar un diagrama de dispersión de datos y después haz la gráfica de la función cuadrática de mejor ajuste en el diagrama de dispersión.

CHAPTER


H o le s t Prep \Z S

V ID E O S 1

Los videos de preparación para examen del capítulo son soluciones paso a paso disponibles en el DVD de Recursos en Video, en MyMamlb'X o en el canal de YoudS' de este texto. Ve a la página de recursos del estudiante para ver las direcciones Web exactas para el canal de YouTube del texto.

1. Para la función lineal /(x) = -4x + 3, (a) Determina la pendiente e intersección con y. (b) ¿Cuál es la tasa de cambio promedio de/? (c) Determina si/es creciente, decreciente o constante. (d) Traza la gráfica de /. En los problemas 2 y 3, determina las intersecciones de cada función cuadrática. 2. /(x) = 3x2- 4 x - 8 3. G(x) = -2x2+ 4x + l 4. Dado que/(x) =x2+ 3x y g(x) = 5* + 3, resuelve /(x) =g(x). Traza la gráfica de cada función y marca los puntos de intersección. 5. Construye la gráfica de /(x) = (x —3)2—2 usando transformaciones. 6. Para la función cuadrática /(x) = 3x2- 12x + 4, a) Determina si la gráfica abre hacia arriba o hacia abajo. b) Determina el vértice. c) Determina el eje de simetría. d) Determina las intersecciones. e) Usa la información de los incisos (a)-(d) para elaborar la gráfica de/. 7. Determina si /(x) = -2x2+ 12x + 3 tiene un valor máximo o mínimo. Después determina el valor máximo o mínimo.


317

8. Resuelve jt - Ulr + 24 2: 0. 9. Renta de vehículos rccrvucionalcs El costo semanal de rentar un vehículo rccreacional de 20 pies de largo es de $129.50 más $0.15 por milla. (a) Determina una función lineal que exprese el costo C como función de las millas manejadas m. (b) ¿Cuál es el costo de la renta del vehículo si se manejan 860 millas? fe) ¿Cuántas millas se manejaron si el costo de la renta del vehículo fue de $213.80?

REPASO ACUM ULATIVO 1. Determina la distancia ente los puntos P = (-1,3) y Q - (4.-2). Encuentra el punto medio del segmento de rec ta de que va de /’ a Q. 2. ¿Cuáles de los siguientes puntos están en la gráfica de y = r'-3.r + l? (a) (-2,-1) (b) (2.3) 3. 4.

5.

6. 7. 8.

11.

Considera la función f { x ) (a) ¿El punto ^1,

=

.

están en la gráfica de /?

(b) Si .t = -2, ¿a qué equivale /(.r)? ¿Qué punto está en la gráfica de /? (c) Si f ( x ) = 2, ¿a qué equivale .r? ¿Qué punto está en la gráfica de /?

(c) (3,1) X7 Resuelve la desigualdad 5.v + 3 s 0 y traza la gráfica del 12. ¿La función f { x ) = - — —- es par, impar o ninguna de las conjunto solución. dos? ‘ Determina la ecuación de la recta que contiene a los puntos ., 13. Aproxima los valores máximos locales y los valores míni (-1.4) y (2.-2). Da tu respuesta en forma pendiente-orde mos locales de f ( x ) =.r1- 5.v +1 en (-4,4). Determina dónde nada y traza la gráfica de la recta. es creciente la función y dónde es decreciente. Determina la ecuación de la recta perpendicular a la recta 14. Si / ( . r) = 3.v + 5 y g (.v) = I r + 1, y = 2v + 1 que contiene al punto (3,5). Da tu respuesta en (a) Resuelve f ( x ) = g(x) . forma pendiente-ordenada y traza la gráfica de la recta. (b) Resuelve/(.r) > g( x) . Haz la gráfica de la ecuación x2+ y2- 4.t + 8y - 5 = 0 15. Para la gráfica de la función /, La siguiente relación, ¿representa una función? {(-3,8), (1.3), (2,5), (3,8)}. Para la función definida por /(.r) = x2- 4.r + 1, determina: (a) /(2) (b) f(x) +/(2) (c) / ( - x) (d) - / ( JC)

(e) f (x + 2) f{x + h ) - f { x )

h* 0

3z ~ 1 6z - 7 10. La siguiente gráfica, ¿es la gráfica de una función? 9. Determina el dominio de h(z)

(a) Determina el dominio y el rango de /. (b) Determina las intersecciones. (c) ¿Es simétrica la gráfica con respecto al eje .v, al eje y y al origen? (d) Determina/(2). (e) ¿Para qué valor o valores de .r f(x) = 3? (f) Resuelve /(.v) < 0. (g) Traza la gráfica de y = f(x) + 2. (h) Traza la gráfica de y = /(-*) (i) Traza la gráfica de y = 2f(x). (j) ¿f es par, impar o ninguna de las dos? (k) Determina los intervalos en donde/es creciente.

318

C A P ÍT U L O 4


PROYECTO DEL CAPÍTULO columna F y el porcentaje de cambio en las acciones que tu elegiste en la columna G). Después selecciona los datos y elige el icono de diagrama de dispersión bajo Insertar. Comenta el tipo de relación que parece existir entre las dos variables.

3. Encontrar el coeficiente Beta. Para encontrar el coeficiente

I. El coeficiente Beta de las acciones Quieres invertir en la bolsa de valores, pero no estás seguro de qué acciones com prar. La información es la clave para tomar una decisión de inversión. Cierta información que usan muchos analistas es el coeficiente Beta de las acciones. Visita Wikipedia (http:// en.wik.ipedia.org/wiki/Beta_%28finance%29) e investiga qué mide el coeficiente Beta y qué representa.

Beta tenemos que encontrar la recta de mejor ajuste usan do mínimos cuadrados. La forma más sencilla es hacer clic en el diagrama de dispersión. En la parte superior de la pantalla verás una opción llamada “Chart Layouts”. Se lecciona la opción con una recta trazada en el diagrama de dispersión y /x marcada en la gráfica. La recta de mejor ajuste aparecerá en el diagrama de dispersión. Ver figura que se da a continuación.

1. Aproximación del coeficiente Beta de acciones. Escoge una compañía conocida, como Google o Coca-Cola. Ve una página Web como Yahoo! Finance (http.V/finance. yahoo.com) y encuentra el precio semanal de cierre de las acciones de esa compañía en el año pasado. Después encuentra el precio de cierre en el mismo periodo del Sandard & Poor’s 500 (S&P500). Para obtener los el historial de precios en “Yahoo! Finance” haz clic en la gráfica de precios, escoge “Basic Chart”, después baja y escoge “Historical Prices”. Escoge el periodo apropiado y escoge “Weekly”. Haz lo mismo para el S&P500 y copia los datos a una hoja de cálculo. Por último, ordena los datos en or den cronológico. Asegúrate de extender la selección para reorganizar todos los datos. Ahora, usando el precio ajus tado de cierre, calcula el porcentaje de cambio en el precio

• Serie 1

---- Lineal (serie 1)

P —P

de cada semana usando la fórmula % cambio = —--------.

Po Por ejemplo, si el precio de la semana 1 está en la celda DI y el precio de la semana 2 está en la celda D2, entonces %

,.

D2 - DI „ DI

cambio = ------------ . Haz esto de nuevo para los datos de

v

S&P500.

2. Uso de Excel para trazar un diagrama de dispersión. Toma el porcentaje de cambio en el S&P500 como la variable independiente y el porcentaje de cambio en las acciones que tu escogiste como la variable dependiente. La forma más sencilla de trazar un diagrama de dispersión en Excel es poner dos columnas de datos una junto a la otra (por ejemplo, tener el porcentaje de cambio en el S&P500 en la

La recta de mejor ajuste para estos datos es y = 0.9046.r + 0.0024. Puedes hacer clic en el Título de grá fica o cualquiera de los títulos para los ejes y escribir los nombres apropiados. El coeficiente Beta es la pendiente de la recta de mejor ajuste, 0.9046. Podemos interpretar esto diciendo que si el S&P500 incrementa en 1%, estas acciones se incrementarán en 0.9%, en promedio. Deter mina el coeficiente Beta de tus acciones y proporciona una interpretación. NOTA: Otra forma de usar Excel para en contrar la recta de mejor ajuste requiere del uso del paque tería de herramientas de análisis de datos (Data Analysis Tool Pack) bajo add-ins.

Los siguientes proyectos están disponibles en el Centro de recursos del profesor (IRC por sus siglas en inglés):

II. Cañones Un comandante de pelotón usa el peso de un misil, su velocidad inicial y la posición de su pistola para determinar a dónde puede ir el misil.

III. Primeras y segundas diferencias Las diferencias finitas proporcionan un método numérico que se usa para estimar la gráfica de una función desconocida.

IV. Experimento de laboratorio con calculadora (CBL por sus siglas en ingles). La simulación por computación se usa para estu diar las propiedades físicas de una pelota botando.

t

Funciones racionales y polinomiales Contenido 5.1 5 .2 5 .3 5 .4

Funciones y modelos polinomiales Propiedades de las funciones racionales Gráfica de una función racional Desigualdades polinomiales y racionales

5 .5 5 .6

Ceros reales de una función polinomial Ceros complejos; teorema fundamental del álgebra

• • • •


Duración del día La duración del día se refiere al tiempo de cada día desde el momento que la parte superior del disco solar aparece sobre el horizonte en la salida del sol hasta el momento cuando la parte superior solar des aparece en el horizonte durante la puesta de sol. La duración del día depende del día del año y de la latitud del lugar. La latitud da la localización de un punto en la Tierra al norte o al sur del ecua dor. En el proyecto basado en Internet al final de este capítulo, usaremos información de esta sección para investigar la relación entre la longitud del día y la latitud para un día específico del año.

■Ver el proyecto I con base en Internet del capítulo-

En el capítulo 3 empezamos a analizar funcio nes. Definimos su dominio, rango y variables dependiente e independiente, encontramos el valor de una función y trazamos sus gráficas. Seguimos con nuestro estudio de funciones dando una lista de las propiedades que pueden tener como ser par o impar y creamos un directorio de funciones, nombrando funciones clave y dando sus propiedades, incluyendo sus gráficas. En el capítulo 4 analizamos funciones lineales y funciones cuadráticas, las cuales, pertenecen al grupo de funciones polinomiales.

Un Vistazo

> En este capítulo analizaremos dos clases generales de funciones, funciones polinomiales y funciones racionales, y examinaremos sus propiedades. Las funciones polinomiales son, sin duda, las expresiones más simples en el álgebra. Por esta razón, frecuentemente se usan para aproximar otras funciones más complicadas. Las funcio nes racionales son razones de funciones polinomiales.

319

320

C A P ÍT U L O S

Funciones racionales y polinomiales

5.1 Funciones y modelos polinomiales P

r e p a r a c ió n

para esta

s e c c ió n


Polinomios (capítulo R. sección R.4, pp. 3
Resuelve Bhora los problemas de la sección " ¿ E s t á s

listo ? "

Técnicas para construir gráficas: Transformaciones (sección 3.5, pp. 224-251) Intersecciones (sección 2.2, pp. 159-160)

de la página 337.

OBJETIVOS 1 Identificar funciones polinomiales y su grado (p. 320) 2 Representar funciones polinomiales gráficamente, usando transformaciones (p. 324) 3 Identificar los ceros reales de una función polinomial y su multiplicidad (p. 325) 4 Analizar la gráfica de una función polinomial (p. 332) 5 Construir modelos cúbicos a partir de datos (p. 336)

1 Identificación de funciones polinom iales y su grado En el capítulo 4 estudiamos la función lin eal/( jc) = m x + b, la cual, se puede escribir como /(•*) = a,* + a0 y la función cuadrática f (x) = ax2 + bx + c, a # 0, que se puede escribir como f ( x ) = a2x 2 + aix + a0

a2 * 0

Estas dos funciones son ejemplos de una función polinomial.

D E F IN IC IÓ N

Una función polinomial es una función de la forma f ( x ) = a„xn + o,,-!*"-1 +

r r

En palabras

r

Una función polinomial e s la

<~ su m a

de

+ axx + a0

(1)

donde a , a „ .. . , a„ an son números reales y n es un número entero no negativo. El dominio de una función polinomial es el conjunto de todos los números reales.

m onom ios.

Una función polinomial es una función cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el mayor exponente al que .r aparece elevado. La función polinomial cero f{x) = 0 + 0.v + 0.v2 + ... + 0.V" no tiene grado asignado. Las funciones polinomiales son algunas de las expresiones más simples en álgebra. Son fáciles de evaluar: solo se requieren sumas y multiplicaciones repetidas. Por esta razón, se usan frecuentemente para aproximar otras funciones más complicadas. En esta sección investigaremos las propiedades de este grupo tan importante de funciones.

E JE M P LO

1

I d e n t if ic a c ió n d e f u n c io n e s p o l in o m ia le s

Determina cuáles de las siguientes funciones son funciones polinomiales. Para las que lo son, indica su grado; para las que no lo son, explica por qué no lo son. (a) f ( x ) = 2 - 3*4

(b) g(x) = V i

(c) h(x) =

(d) F(x) = 0

(e) G(x) = 8

(f) H ( x ) = -2 \~ \x - l ) 2

4 S E C C IÓ N 5.1

Solución


321

(a) f e s una función polinomial de grado 4. (b) g no es una función polinomial debido a que g(.v) = V x = x':, entonces la varia ble .v está elevada a la potencia

la cual, no es un entero no negativo.

(c) h no es una función polinomial. Es la razón de dos polinomios distintos y el poli nomio del denominador tiene grado positivo. (d) F e s la función polinomial cero; no tiene grado asignado. (e) G es una función constante diferente de cero, no tiene grado asignado G(.r) = 8 = 8.vu. (f) H ( x ) = -2 v \.v - 1): = - 2 vX.y2 - 2 x + 1) = - 2 v 5 + 4.v4 - 2 x \ Por lo tanto, H es una función polinomial de grado 5. ¿Puedes encontrar una forma de calcular el grado de H sin realizar la multiplicación? | -Resuelveahora

los

problemas

15

y

19

Ya se ha discutido a detalle las funciones polinomiales de grados 0,1 y 2. Obser va la tabla 1 para un resumen de las propiedades de las gráficas de estas funciones polinomiales. Tabla 1 G ra d o

O II

Sin grado

Fo rm a

N o m b re

G rá fic a

Función cero

El eje x

0

flx) = a0, a0 # 0

Función constante

Recta horizontal con intersección en y en o0

1

ffx) = o,x + a0, a, * 0

Función lineal

Recta no vertical y no horizontal con pendiente o, e intersección con y en a0

2

f(x) = Û2*2 + °\X + a0, a2

Función cuadrática

Parábola: la gráfica abre hacia arriba si o2> 0, la gráfica abre hacia abajo si a1< 0

0

Uno de los objetivos de esta sección es analizar la gráfica de una función po linomial. Si llevas un curso de cálculo, aprenderás que la gráfica de toda función polinomial es suave y continua. Por suave se entiende que la gráfica no tiene esquinas o picos, por continua se entiende que la gráfica no tiene saltos u hoyos y se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. Ver figuras l(a) y (b).

(a)

(b) No puede ser la gráfica de una

Gráfica de una función polinomial: suave, continua

función polinomial

Funciones de potencias Empezaremos el análisis de la gráfica de una función polinomial con \as funciones de potencias, que son un tipo especial de función polinomial. D E F IN IC IO N

r En palabras r

Una función de p o te n c ia s e s t á

r

definida por un so lo monomio.

Una función de potencias de grado

n

es una función de monomios de la forma

/( * ) = ax" donde a es un número real, a ^ 0 y n > 0 e s u n entero.

( 2)

J

CAPÍTULO s Funciones racionales y pollnomlales A continuación se dan algunos ejemplos de funciones de potencias. f ( x ) = 3x

f(x) = -5 x 2

grado 1

grado 2

f ( x ) = «jc3

/ ( x) = - 5 x 4

grado 3

grado 4

La gráfica de una función de potencias de grado 1, f (x) = ax, es una línea recta con pendiente a, que pasa por el origen. La gráfica de una función de potencias de grado 2,J'(x) = ax2, es una parábola con vértice en el origen, que abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. Si sabemos cómo hacer la gráfica de una función de potencias de la forma f (x) = x", tal vez una compresión o estiramiento o una reflexión en el eje x nos permi tirá obtener la gráfica de f>(x) = ax". Por lo tanto, nos enfocaremos en hacer gráficas de funciones de potencias de la forma / ( x) = x". Comenzaremos con funciones de potencias de grado par de la forma f (x) = x", n s 2 y con n par. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales y el rango es el conjunto de todos los números reales no negativos. Esta función de po tencias es una función par (¿puedes ver por qué?), así que su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Su gráfica siempre contiene al origen y a los puntos ( - 1 .1 ) y (1.1). Si n = 2, la gráfica es la parábola y = x 2 que abre hacia arriba, con vértice en el origen. Si ti > 4, la gráfica de f (x) = x", con ti par, estará más cerca del eje x que la parábola y = x 2, si - 1 < j c < l , j c ^ 0 y más lejos del eje x que la parábola v = x 2. si x < - 1 o si x > 1. La figura 2(a) ilustra esta conclusión. La figura 2(b) muestra las gráficas d c y = xAy y = x* para comparar. f(x) =xn

F ig u ra 2

y=xB

y-x4

X II o ■

X II o w

X II o in

10~8

0.0000656

0.0039063

O

En la figura 2 podemos ver que conforme incrementa n, la gráfica de /(.x) = xn. n > 2 y n par, tiende a hacerse más plana cerca del origen y a incrementar muy rápido cuando x está lejos de 0. Para n muy grandes, puede parecer que la gráfica coincide con el eje x cerca del origen, pero esto no sucede: realmente la gráfica toca al eje x solo en el origen (ver tabla 2). Además para n muy grande puede parecer que para x < - 1 o .v > 1 la gráfica es vertical, pero no lo es; solamente incrementa muy rápido en estos intervalos. Si agrandáramos las gráficas lo suficiente, estas distinciones se rían muy claras.

O C N I O

3.487-10~”

0.000001

f(x) = X40

ic r 40

1.216 • 10 21

9.095-10“'3

f{x) = X8 II

322

Visualización del concepto Traza la gráfica de V, = x4, Y2 = x8 y = x'J usando el rectángulo de visualización -2 ^ x < 2, -4 £ y < 16. Después, traza de nuevo la gráfica de cada una usando el rectángulo -1 £ x £ 1, 0 £ y £ 1. Observa la figura 3. Usa la función TRACE sobre una de las gráficas para que verifiques que para x cercanas a 0 la gráfica está por encima del eje x para x > 0 la gráfica es creciente.

S E C C IÓ N 5.1


323

F ig u r a 3

(a)

J P ro p ie d a d e s de las fu n cio n e s de potencias, f (x) = x n, d o n d e n es un e n te ro p o s itiv o par F ig u ra 4

1. f e s una función par, así que su gráfica es simétrica con respecto al eje y.

y=xn

2. Su dominio es el conjunto de todos los números reales. Su rango es el con junto de los números reales no negativos.

/?> 5

n impar

y

iy = x 3

3

3. La gráfica siempre contiene los puntos (- 1 ,1 ) , (0,0) y (1,1). 4. Conforme incrementa el exponente n, la función crece más rápido cuando x < —1 o * > 1; pero para x cercana al origen, la gráfica tiende a aplanarse y a estar más cerca del eje x.

■

i

i

i

.

■>

1.1)

r - / (0, 0)

,

,

.

3

x

i

>X

/

Hf r

-3

F ig u ra 5

1

l

i

-3

BT

7 (1 .1 )

i (0,0)

i ‘

3

ps

H .- D f

I

II >< c

y y=x9 3

-3

-

Ahora consideraremos las funciones de potencias de grado impar de la forma / ( x) = xn, n > 3 y n impar. El dominio y el rango de f e s el conjunto de los números reales. Esta función es una función impar (¿puedes ver por qué?), de tal forma que, su gráfica es simétrica con respecto al origen. Su gráfica siempre contiene al origen y los puntos ( - 1 , - 1 ) y (1,1). La gráfica de f (x) = x'\ cuando n - 3 se ha mostrado varias veces y se repite en la figura 4. Si n > 5, la gráfica de/ ( x) = xn, con n impar, estará más cerca del eje x que la d e y = x 3s i - l < j c < l y más lejos del eje x que la de y = jc3 si x < - 1 o si x > 1. La figura 4 también ilustra esta conclusión. La figura 5 muestra la gráfica de y = x5 y la gráfica de y = x 9 para poder com parar. Parece como si cada gráfica coincidiera con el eje x cerca del origen, pero no es así; cada gráfica cruza al eje x en el origen. Además parece que si x incrementa, la grá fica se vuelve vertical, pero esto no sucede; las dos gráficas crecen muy rápidamente.

Visualización del concepto Traza la gráfica de / = x3,' Y2 = x7 y Y3 - x" usando el rectángulo de visualización -2 £ x < 2, -16 < y ^ 16. Después, traza de nuevo cada gráfica usando el rectángulo -1 £ x £ l , - 1 < y < 1. Observa la figura 6. Usa la función TRACE sobre una de las gráficas para que verifiques que la gráfica es creciente y cruza el eje x en el origen.

-16

(a)

-1

/3 = xn

(b)

J

324

C A P ÍT U L O 5


Resumiendo: P r o p ie d a d e s d e la s fu n c io n e s d e p o t e n c ia s , f (x) = x", c o n n u n e n t e r o p o s itiv o im p a r

1. / e s impar, por lo tanto su gráfica es simétrica con respecto al origen. 2. Su dominio y rango son el conjunto de todos los números reales. 3. Su gráfica siempre contiene los puntos ( - 1 , -1 ) , (0,0) y (1,1). 4. Conforme crece el exponente n, la función crece más rápidamente cuando

pero para x cercanas al origen, la gráfica tiende a aplastarse y está más cerca del eje x.

jc<

- 1 ojc>1;

2 Gráfica de funciones polinom iales usando transform aciones El uso de los métodos de traslación, compresión, estiramiento y reflexión que estu diamos en la sección 3.5 junto con las propiedades que acabamos de presentar, nos permitirá obtener las gráficas de funciones polinomiales que son transformaciones de funciones de potencias. EJEM PLO

2

G r á f i c a d e u n a f u n c ió n p o l in o m ia l u s a n d o t r a n s f o r m a c io n e s

Traza la gráfica de: f (x) = 1 - x 5

Solución

Es útil reescribir/co m o f (x) = - x 5 + 1. La figura 7 muestra las etapas que se re quieren.

Figura 7

hacia arriba

EJEM PLO

3

y = -x 5+ 1 = 1 -x 5

G r á f i c a d e u n a f u n c ió n p o l in o m ia l u s a n d o t r a n s f o r m a c io n e s

Traza la gráfica de:

Solución

(c)

— (b) y = —x

(a) y = x 5

f(x) = - ( x - l)4

La figura 8 muestra las etapas que se requieren.

Figura 8

Multiplicar por compresión por un factor de Í

Sustituir x por x —1; correr 1 unidad a la derecha

(b)

(a) y = x 4

Resuelve ahora

los

(c) y = l ( x - 1)4

y = ( x - 1)4

problemas

27

y

33

S E C C IÓ N 5.1


325

3 Identificación de los ceros reales de una función polinom ial y su m ultiplicidad La figura ó muestra la gráfica de una función con cuatro intersecciones con x. O b serva que en las intersecciones con .v, la gráfica debe cruzar o tocar al eje x. Por lo tanto, entre intersecciones con x consecutivas, la gráfica está por encima del eje x o por debajo del eje x.

Si se factoriza completamente una función polinomial/, es fácil encontrar las in tersecciones de la gráfica en x si resolvemos la ecuación f (x) = 0 y usamos la propie dad de producto cero. Por ejemplo, si f (x) = (x - l)2(.v + 3), entonces las soluciones de la ecuación f(x)

=( x - l ) 2(.t + 3) = 0

son 1 y - 3 . Esto e s ,/( l) = 0 y / ( —3) = 0. DEFINICIÓN

S i/e s una función y r es un número real para el cual f{r) = 0, entonces r es un cero real de /. __j Como consecuencia de esta definición, las siguientes proposiciones son equiva lentes. 1. r es un cero real de la función polinomial/. 2. r es una intersección en x en la gráfica d e /. 3. x —r es un factor d e/. 4. r es una solución de la ecuación f (x) = 0.

Por lo tanto, los ceros reales de una función polinomial son las intersecciones con x de su gráfica y se detérminan al resolver la ecuación f(x) = 0.

EJEM PLO

4

D e t e r m i n a r u n a f u n c ió n p o l in o m ia l a p a r t i r d e s u s c e r o s

(a) Determina una función polinomial de grado 3 cuyos ceros son - 3 , 2 y 5. (b) Usa un dispositivo gráfico para trazar la gráfica de la función polinomial que determinaste en el inciso (a) para verificar tu resultado. S o lu c ió n

(a) Si r es un cero real de una función polinomial /, entonces x - r es un factor de /. Esto quiere decir que x - ( - 3 ) = jc + 3, x - 2 y . x - 5 s o n factores de /. Como resultado, cualquier función polinomial de la forma / ( x) = a(x + 3)(x - 2)(x - 5) donde a es un número real diferente de cero, es candidato. El valor de a causa un estiramiento, compresión o reflexión, pero no afecta las intersecciones con x en la gráfica. ¿Puedes saber por qué?

326

C A P ÍT U L O 5


Figura 10

(b) Escogemos trazar la gráfica d e /c o n a = 1. Entonces 40

/( x ) = (x + 3 )( je - 2)(x - 5) = x3 - 4x2 - U x + 30 La figura 10 muestra la gráfica de /. Observa que las intersecciones con x son - 3 ,2 y 5.

Visualización del concepto Traza la gráfica de la función que determinaste en el ejemplo 4 para a = 2 y a = -1. ¿El valor de o afecta a los ceros de fl ¿Cómo afecta el valor de a a la gráfica de f?

J

-Resuelve ahora

el

problema

4i

Si el mismo factor x - r ocurre más de una vez, a r se le llama cero repetido o múltiple d e / . Para mayor precisión, damos la siguiente definición.

D EFIN ICIO N

Si (x - r)m es un factor de una función polinom ial/ y (jc —r)m+1no es un factor d e /, entonces r se llama un cero de multiplicidad m d e /.*

J

E JE M P L O 5

Identificación de ceros y sus multiplicidades Para la función polinomial f ( x ) = 5(x - 2)(x + 3)2 x — 2 es un cero de multiplicidad 1 debido a que el exponente en el factor de x - 2 es 1. - 3 es un cero de multiplicidad 2 debido a que el exponente en el factor x + 3 es 2. ^ es un cero de multiplicidad 4 debido a que el exponente en el factor x - —es 4. •J «—

-Resuelveahora

el p r o b l e m a

49(a)

Considera que es posible factorizar completamente una función polinomial y como resultado, es posible localizar todas las intersecciones con x en su gráfica (los ceros reales de la función). Estas intersecciones con x dividen al eje x en intervalos abiertos y, en cada intervalo, la gráfica de la función polinomial estará por encima o por debajo del eje x. Veamos un ejemplo.

E JE M P L O 6

Gráfica de una función polinomial usando sus intersecciones con x Para la función polinomial:

/ ( .x) = x2(x — 2)

(a) Determina las intersecciones con x y en y de la gráfica de /. (b) Usa las intersecciones con x para determinar los intervalos en los que la gráfica de / está por encima del eje x y los intervalos en los que la gráfica de / está por debajo del eje x. . -v - jo ;

Solución

(c) Localiza otros puntos en la gráfica y conecta todos los puntos trazados con una curva suave y continua. (a) La intersección con y es/(O) = 02(0 - 2) = 0. Las intersecciones con .v satisfacen la ecuación f ( x ) = x \ x - 2) - 0 de donde determinamos que x2 — 0

O

x = 0

o

X

2

=

0

x = 2

Las intersecciones con x son 0 y 2. ♦Algunos libros usan los términos

raíz múltiple y raíz de multiplicidad m.

4 SECCIÓN 5.1 Funciones y modelos polinomiales

327

(b) Las dos intersecciones con .v dividen al eje x en tres intervalos: ( - o o ,0 )

(0,2)

(2,oo)

Como la gráfica de / cruza o toca al eje x sólo en x = O y x = 2, se deduce que la gráfica d e /e s tá por encima del eje x [/(.r) > 0] o por debajo del eje x, [f(x) < 0] en cada uno de los tres intervalos. Para ver dónde cae la gráfica, solo necesitamos escoger un número en cada intervalo, evaluar a h í / y ver si el valor es positivo (por encima del eje .r) o negativo (por debajo del eje jc). Ver tabla 3. (c) Al construir la tabla 3, obtuvimos tres puntos adicionales de la gráfica: ( - 1 , -3 ), (1, - 1 ) y (3, 9). La figura 11 ilustra estos puntos, las intersecciones y la curva suave y continua (la gráfica de / ) que los conecta.

Figurali

Tabla 3 0

2

In tervalo

(-oo, 0)

(0,2)

(2, oo)

N úm ero esco g id o

-1

1

3

f(1) = - 1

n 3) = 9

V a lo r d e

f

f(~ 1) =

“ 3

Lo ca lizació n en la gráfica

Por debajo del ejex

Por debajo del ejex

Por encima del ejex

P u n to en la g ráfica

( - 1 .- 3 )

( 1 ,- 1 )

(3,9)

Observa de nuevo la tabla 3. Como la gráfica de/(;c) = x 2(x - 2) está por debajo del eje x en ambos lados de 0 , la gráfica dt f t o c a al eje x en x - 0 , un cero de multi plicidad 2. Como la gráfica de /e s tá por debajo del eje x para x < 2 y por encima del eje x para x > 2, la gráfica de / cruza al eje x en x = 2, un cero de multiplicidad 1. Esto sugiere los siguientes resultados: S i r e s u n c e r o d e m u lt ip lic id a d p a r

El signo de f (x) no cambia de un lado a otro de r.

La gráfica / toca al eje x en r.

S i r e s u n c e r o d e m u l t i p l i c i d a d im p a r

El signo de f(x) cambia de un lado a otro de r.

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

La gráfica/ cruza al eje x en r.

49(b)

Com portam iento cerca de cero La multiplicidad de un cero se puede usar para determinar si la gráfica de una función toca o cruza el eje x en el cero. Sin embargo, podemos conocer más acerca del com portamiento de la gráfica cerca de sus ceros que solo si la gráfica cruza o toca el eje x. Considera la función f (x) = x \ x - 2) cuya gráfica se da en la figura 11. Los ceros d e /s o n 0 y 2. La tabla 4 en la página 328 muestra los valores de f (x) = x \ x - 2) y y = —2jc2 para x cercanas a 0. La figura 12 muestra los puntos (-0 .1 , -0.021), (-0.05, -0.0051), etc., que están en la gráfica de/(jr) = x 2(x - 2) junto con la gráfica de y = - 2 jc2 en el mismo plano cartesiano. De la tabla y la gráfica podemos ver que los puntos en la gráfica de f(x) = x \ x - 2) y los puntos en la gráfica de y = - 2 x 2 son

328

c a p ít

U LO 5

Fundones racionales y pollnomlales

f{x) = x2(x - 2)

-0.1

-0.021

-0.02

-0.05

-0.005125

-0.005

-0.03

-0.001827

-0.0018

-0.01

-0.000201

-0.0002

0

F ig u ra 12

y = -2x2

X

0

0

0.01

-0.000199

-0.0002

0.03

-0.001773

-0.0018

0.05

-0.004875

-0.005

0.1

-0.019

-0.02

indistinguibles cerca de x = 0. Entonces y = - 2 x 2 describe el comportamiento de la gráfica de f (x) = x 2(x - 2) cerca de x = 0. Pero, ¿cómo supimos que la función f (x) = x 2(x - 2) se comporta como y = - 2 x 2 cuando x es cercana a 0? En otras palabras, ¿de dónde salió y - - 2 x 2l Como el cero, 0, viene del factor x 2, evaluamos todos los factores en la función / en 0 con la excep ción de x 2. f ( x ) = x 2(x — 2) — 2) =

— 2x2

El f a c t o r x 1’ d a origen al c e r o , a s í que c o n se rv a m o s el f a c t o r

y h acem os x =

O en

lo s f a c t o r e s r e s t a n t e s

O.

p a ra e n c o n t r a r el co m p o rta m ie n to c e r c a d e

Esto nos dice que la gráfica de /(.t) = jc2(jc - 2) se comportará como la gráfica de y = - 2 x 2 cerca de .v = 0. Ahora analizaremos el comportamiento de f (x) = x2(x - 2) cerca de .r = 2, el otro cero. Como el cero, 2, se obtiene del factor x - 2, evaluamos todos los factores de la función en 2 con la excepción de x - 2. f ( x ) = *2(v * 2'-(x -

2)

'

El f a c t o r x -

2 d a o r i g e n al cero, a s í que co n s e rv a m o s

el f a c t o r x -

2 y h a c e m o s x = 2 en lo s f a c t o r e s r e s t a n t e s

p a ra e n c o n t r a r el c o m p o r t a m i e n t o c e r c a d e 2.

= 4(.v - 2 ) De tal forma, que la gráfica d e/(.r) = x 2( x - 2) se comportará como la gráfica de y = 4 ( x - 2) cerca de x = 2. La tabla 5 confirma que f ( x ) = x 2( x - 2) y y = 4 ( x - 2 ) tienen valores similares para.v cerca a 2. La figura 13 muestra los puntos (1.9, - 0 .3 6 1 ) , (1 .9 9 , - 0 .0 3 9 6 ), etc., que están en la gráfica de f ( x ) — .v:(.v - 2) junto con la gráfica de y = 4 (.r - 2) en el mismo plano cartesiano. Observamos que los puntos en la gráfica de f ( x ) = x 2( x - 2) y los puntos en la gráfica de y = 4 (.v - 2) son indistinguibles cerca de .v = 2. Por lo tanto, y = 4 (.v - 2), es una recta con pendiente 4, que describe el comportamiento de la gráfica de/(.v) = .r(.v - 2) cerca de x = 2. Tabla 5

Figura 14 y J__I__L

com o cerca de x = 0

2, 0)

I»

J . _______________

Se com p orta y =-2x2

(

f 2 -4

X

f(x) = x^x - 2)

y - 4(x - 2)

1.9

-0.361

-0.4

1.99

-0.0396

-0.04

1.999

-0.003996

-0.004

2

0

0

2.001

0.004004

0.004

2.01

0.0404

0.04

2.1

0.441

0.4

Figura 13 y

_

0.4 /y= 4(x-2 )

0.2 A

\

J9

¿i

l

f

I

1

T) 2.1

1

1

2.2

1

r

X

-0.2 -0.4

S e co m p orta com o y = 4 (x - 2 ) c e rca de x = 2

La figura 14 ilustra cómo usamos esta información para empezar a trazar la grá fica de f (x) = x 2(x - 2).

S E C C IÓ N 5.1


329

• La multiplicidad de un cero real determina si la gráfica cruza o toca el eje x en cero. • El comportamiento de la gráfica cerca de un cero real determina cómo toca o cruza la gráfica al eje x.

*

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

4 9 ( 0

Puntos de inflexión ¿ Ô b serv a de nuevo la figura 11 de la página 327. No podemos estar seguros de qué tan ^ abajo llega la gráfica entre x = 0 y x = 2. Pero sabemos que en algún lugar del inter valo (0.2) la gráfica d e /d e b e cambiar de dirección (de creciente a decreciente). Los puntos en los cuales la gráfica cambia de dirección se llaman puntos de inflexión. En cálculo se dan técnicas para localizar estos puntos. Así que no pediremos la localiza ción de puntos de inflexión en nuestras gráficas. Sin embargo, usaremos el siguiente resultado de cálculo que indica el número máximo de inflexiones que puede tener la gráfica de una función polinomial.

TEO REM A

P u n to s d e in fle x ió n

Si / es una función polinomial de grado n, entonces la gráfica de / tiene n - 1 puntos de inflexión. Si la gráfica de una función polinomial /tie n e n - 1 puntos de inflexión, el gra do de / es por lo menos n.

Por ejemplo, la gráfica de f (x) = .v2(.v - 2) que se muestra en la figura 11 es la gráfica de una función polinomial de grado 3 y tiene 3 - 1 = 2 puntos de inflexión: uno en (0,0) y el otro en algún lugar entre x = 0 y x = 2. Con base en el teorema, si la gráfica de una función polinomial tiene tres puntos de inflexión, el grado de la función debe ser al menos 4.

Exploración Se puede usar un dispositivo gráfico para localizarlos puntos de inflexión de una gráfica. Traza la gráfica de = x2(x - 2). Usa MINIMUM para localizar el punto de inflexión para 0 < x < 2. Ver figura 15.

Figura 15

_______________________________________________________________J Resuelve ahora

EJEMPLO 7

el

p r o b l e m a

49

(d)

I d e n t if ic a c ió n d e la g r á f ic a d e u n a f u n c ió n p o l in o m ia l

¿Cuáles de las gráficas de la figura 16 pueden ser la gráfica de una función polino mial? Para las que pueden serlo, indica los ceros reales y el grado mínimo que puede tener la función polinomial. Para las que no pueden serlo, indica por qué no.

330

C A P ÍT U L O 5


Solución

(a) La gráfica en la figura 16(a) no puede ser la gráfica de una función polinomial debido a que tiene un salto en x = - 1 . Recuerda que la gráfica de una función polinomial es continua, sin saltos u hoyos. (b) La gráfica en la figura 16(b) puede ser la gráfica de una función polinomial de bido a que la gráfica es suave y continua. Tiene tres ceros reales, en - 2 ,1 y 2. Como la gráfica tiene dos puntos de inflexión, el grado de la función polinomial debe ser al menos 3. (c) La gráfica en la figura 16(c) no puede ser la gráfica de una función polinomial debido a que tiene un pico en x - 1. Recuerda que la gráfica de una función po linomial es suave. (d) La gráfica en la figura 16(d) puede ser la gráfica de una función polinomial. Tie ne dos ceros reales, en - 2 y en 1. Como la gráfica tiene tres puntos de inflexión, el grado de la función polinomial es al menos 4. i Resuelve ahora

El

PROBLEMA

61

Com portam iento term inal Un último comentario respecto a la figura 11. Para valores muy grandes de x, ya sean positivos o negativos, la gráfica de f (x) = x 2(x - 2) se ve como la gráfica de y = x3. Para ver por qué, escribim os/en la forma f(x) =

- 2) =

- 2*’ = * > (l - f )

Ahora, para valores muy grandes de x, ya sean positivos o negativos, el término 2 —está cerca de 0. Así que para valores grandes de x x / ( x) = x3 - 2x2 = jc3( l - ^

~ .V3

El comportamiento de la gráfica de una función para valores grandes de x, ya sean positivos o negativos, se conoce como comportamiento terminal.

TEO REM A

C om p o rta m ien to term in al

Para valores grandes de x, ya sean positivos o negativos, la gráfica de una fun ción polinomial r

r En palabras r

El co m p o rta m ie n to te rm in a l de

r

una función polinomial s e p a re ce

r

a su té rm in o principal.

/ ( * ) = a„xn + a„-\xn 1 + ••• + a\X + a0 se parece a la gráfica de la función de potencias y = an-x

JJ

Por ejemplo, si f ( x ) = - 2 jc3 + 5.v2 + .v - 4, entonces la gráfica d e /s e compor tará como la gráfica de y = -2.v3 para valores muy grandes de .v, ya sean positivos o negativos. Podemos ver que las gráficas d e /y y = —Iv3 “se comportan” de la misma manera si consideramos la tabla 6 y la figura 17.

S E C C IÓ N 5.1

Tabla 6

X

y

f(x)

331

= -2 x 3

10

-1,494

-2,000

100

-1,949,904

-2,000,000

500

-248,749,504

-250,000,000

1,000

-1,994,999,004

-2,000,000,000

Observa que medida que x se vuelve un número positivo más y más grande, los valores de / se vuelven números negativos más y más grandes. Cuando esto sucede, decimos que / no está acotada en la dirección negativa. En lugar de usar palabras para describir el comportamiento de la gráfica de la función, explicaremos su com portamiento usando notación. Podemos simbolizar “el valor de / se vuelve un nú mero negativo más y más grande a medida que x se vuelve un número positivo más y más grande” escribiendo f (x) — oo cuando x -* oo (que se lee “los valores de / tienden a infinito negativo a medida que x tiende a infinito”). En cálculo, se usan límites para esta idea. Ahí, usamos el simbolismo lím f ( x ) = -o o , que se lee “el x-»°° límite de f (x) cuando x tiende a infinito es igual al infinito negativo”, para decir que f ( x ) - * — oo cuando x - * oo. Cuando el valor de un límite es infinito, quiere decir que los valores de la función no están acotados en la dirección positiva o negativa y le llamamos al límite un límite infinito. Cuando analizamos los límites con x no acotada en la dirección negativa o en la dirección positiva, nos referimos a los límites en el infinito. Observa de nuevo las figuras 2 y 4. Con base en el teorema anterior y el análisis de funciones de potencias, el comportamiento terminal de una función polinomial solo puede ser de 4 maneras. Ver figura 18.

¿ A

J

Comportamiento terminal f(x) = anxn + an_ 1xn 1 +

Figura 18


f(x) — oo cuando /(x)-*-oo cuando

f(x) -«-oo cuando

f(x) -*-oo cuando

1+ 3-|X + 3q

X-*-—00 .

f{x)~* -oo cuando

X-*-—00

X-*-oo

X-*-oo

(a)

(b)

(C)

(d )

n> 2 par; an> O

n > 2 par; an< O

n> 3 impar; an> O

n > 3 impar; an< O

Por ejemplo, si f ( x ) = ~ 2x4 + x3 + 4jc2 - I x + 1, la gráfica d e /s e parecerá a la gráfica de la función de potencias y = - 2 x 4 para valores grandes de \x\. La gráfica d e /s e comportará como la figura 18(b) para valores grandes de |*|. « » -« -» 'R esu elve ah o ra EJEMPLO 8

el

p r o b l e m a

49(

e )

I d e n t if ic a c ió n d e la g r á f ic a d e u n a f u n c ió n p o l in o m ia l

¿Cuál de las gráficas de la figura 19 puede ser la gráfica de f ( x ) = x4 + 5.x3 + 5.x2 — 5jc — 6?

332

C A P ÍT U L O 5


La intersección con y de / e s /(O) = - 6 . Podemos eliminar la gráfica en la figura 19(a), cuya intersección con y es positiva. No tenemos ningún método para encontrar las intersecciones con x de / así que investigaremos los puntos de inflexión de cada gráfica. C o m o /e s de grado 4, la grá fica d e /tie n e al menos 3 puntos de inflexión. Eliminamos la gráfica de la figura 19(c) debido a que esa gráfica tiene 5 puntos de inflexión. Ahora veamos el comportamiento terminal. Para valores grandes de x, la gráfica d e /s e comportará como la gráfica de y = x 4. Esto elimina la gráfica de la figura 19(d) cuyo comportamiento terminal es como la gráfica de y = - x \ Solo la gráfica de la figura 19(b) puede ser (y de hecho es) la gráfica de f (x) - x* + 5jc3 + 5x2 — 5x —6. j

S o lu c ió n

....... 11 - Resuelve ahora

el p r o b l e m a

R ESUM EN Gráfica de una fundón polinomial fM =

65

axn+

+ ... +

a¿< + aQ

a ±

0

Grado de la función polinom ial/: n La gráfica es suave y continua. Número máximo de puntos de inflexión: n — 1 En un cero de multiplicidad par: la gráfica de / toca el eje x. En un cero de multiplicidad impar: la gráfica d e /c ru z a el eje x. Entre los ceros, la gráfica d e /e s tá por encima o por debajo del eje x. Comportamiento terminal: para valores grandes de |*|, la gráfica d e /s e comporta como la gráfica de y - ax?.

4 A nálisis de la gráfica de una función polinom ial EJEMPLO 9

C ó m o a n a l iz a r la g r á f ic a d e u n a f u n c ió n p o l in o m ia l

Analiza la gráfica de la función polinomial / ( jc) = (2x + 1)(jc - 3)2. S o lu c ió n p a s o a p a s o

Paso 1: Determina el comportamiento terminal de la gráfica de la función.

Expande la función polinomial para poderla escribir en la forma / ( x) = anx n + a,,-!*"-1 + ••• + a^x + a0 f ( x ) = (2* + 1)(* - 3)2 = ( 2 x + 1 ) (te2 - 6 x + 9 ) = 2x3 -

1 2 x 2 + 18jc + x 2 — 6 x + 9

= 2x 3 — l l x 2 + 12x +

9

Multiplica. Combina términos semejantes.

La función polinom ial/es de grado 3. La gráfica d e /s e comporta como v = Zv5 para valores grandes de |jc|. Paso 2: Determina las

La intersección con y es /(O) = 9. Para encontrar las intersecciones con x, resolvemos

Intersecciones con x y en y de la gráfica de la función.

/ ( * ) — 0. / (- f) = 0

(2 jc + 1)( jc - 3)2 - 0 2x + 1 = 0 x -

2

o

(x - 3)2 = 0

o

x - 3 = 0 x =3

Las intersecciones con x son -

* S K C I Ó N 5.1 3 : P » t*rm ìiM lo * ( « r o * è t 4/u»'«.' >ón j #u muHIplk'íJjut ÜM t * r. ■* lnf(.vmj»vl<5n p j r J Jelermìnsr P> l j gÂfie-A cruza o te c a il f j i n fn cad a lwt<*r*ecctórt en *,

Funclow>t y morirlo* polinoml.ilr*

333

Li» ceri« de / son » - y 3. LI cero - * cs un cero de multiplicidad I. así que la «■

Altea d e /c ru z a el eje i en » ■ - v I I cero 3 cs un cero de multiplicidad 2. así que la gràfica de /to c a el e je .» en r ■ 3.

r**o 4¡ Determina el r>umero . t e p u n t o * .l e in fle x ió n en

Como la función polinontial es de grado 3 (paso I ), la gráfica de la función tendrá al menos 3 - 1 ■ 2 puntos de inflexión.

I j j r j f i o . i l dr> l a f u n c i ó n .

Pa*o 5: Petermlnj el com pon

Las dos intersecciones en \ son - - y 3.

.amiento tie Id gráfica de

f cere* .le Id interjección en *.

Cerca de • * : f ( x ) = (2a + I )(x - 3)2 =» (2.r + I) (2x + I)

Cerca de 3:

f(x)

©

25 25 ■ V +7 = (2.r + l)(.r - 3)2

Una recta con pendiente

25

* (2*3 + l)(.v - 3): = 7(.r - 3)* Paso 6: Junta toda la información de loe pasos 1 al 5 para obtener la gráfica de f.

Una parábola que abre hacía im b i

La figura 2()(a) ilustra la información que obtuvimos en los pasos I al 5. Evaluamos/ en - 1, 1 y 4 para ayudarnos a establecer la escala en el eje y. La gráfica de / se mues tra en la figura 2()(b).

F ig u ra 20

(a) 1

....... ’■

R E S U M E N Análisis de la gráfica de una función polinomial Paso 1:

Determina el comportamiento terminal de la gráfica de la función.

Paso 2:

Determina las intersecciones con .r y con y de la gráfica de la función.

Paso 3:

Determina los ceros de la función y su multiplicidad. Usa esta información para determinar si la gráfica cruza o toca el eje .r en cada intersección con .v. Paso 4: Determina el número máximo de puntos de inflexión en la gráfica de la función. Paso 5:

Determina el comportamiento de la gráfica cerca de cada intersección con .v.

Paso 6:

Usa la información en los pasos l al 5 para trazar la gráfica completa de la función.

334

C A P ÍT U L O 5


EJEMPLO

A n á lis i s d e la g r á f ic a d e u n a f u n c ió n p o l in o m ia l

10

Analiza la gráfica de la función polinomial /( x ) = x2(x - 4)(x + 1) S o lu c ió n

P aso 1: Comportamiento terminal: la gráfica de /s e parece a la gráfica de la función de potencias y = x4 para valores grandes de [x|. P aso 2: La intersección con y es /(O) = 0. Las intersecciones con x satisfacen la ecuación f ( x ) = x 2(x - 4)(x + 1) = 0 Por lo tanto, x2 = 0

o

x - 4 = 0

o

x = 0

o

x = 4

o

x + 1= 0 x = -1

Las intersecciones con x con - 1 , 0 y 4. P aso 3: La intersección 0 es un cero de multiplicidad 2, por lo tanto, la gráfica de / tocará el eje x en 0; 4 y - 1 son ceros de multiplicidad 1, así que la gráfica de /c ru zará el eje x en 4 y - 1 . P aso 4: La gráfica de/tendrá a lo mucho tres puntos de inflexión. P aso 5:Las tres intersecciones con x son - 1 , 0 y 4. Cerca d e -1 :

/( x ) = x2(x - 4)(x

+

1) «

( — 1)2( —1

- 4)(x

Cerca de 0:

/ ( x ) = x2(x — 4)(x

+

1) ~

x2(0 — 4 ) ( 0

Cerca de 4:

/ ( x ) = x2(x - 4)(x + 1) « 42(x — 4)(4 + 1) = 80(x - 4)

+

1)

+ 1) = —5(x

+

= — 4x2

1)

Una r e c t a con

pendiente

-5

Una p aráb o la que a b re h a cia ab ajo Una r e c t a con pendiente

50

P aso 6: La figura 21(a) ilustra la información que se obtuvo en los pasos 1-5. La gráfica d e /s e muestra en la figura 21(b). Observa que evaluam os/en - 2 , ——, 2, y 5 para ayudarnos a establecer la escala en el eje y.

J

H Exploración Traza la gráfica de V, = x2(x —4)(x + 1). Compara lo que ves con la figura 21 (b). Usa MAXIMUM/MINIMUM para localizar los tres puntos de inflexión. i Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

69

t S E C C IÓ N 5.1


335

Para las funciones polinomiales que no tienen coeficientes enteros y para funcio nes polinomiales que no se pueden factorizar fácilmente, al iniciar el análisis usamos un dispositivo gráfico. Esto se debe a que la cantidad de información que se puede obtener de un análisis algebraico es limitada.

1*

EJEMPLO

11

Cómo usar un dispositivo gráfico para analizar la gráfica de una función polinomial Analiza la gráfica de la función polinomial / ( * ) = *3 + 2.48x2 - 4.3155* + 2.484406

Solución paso a paso P a s o 1: Determina el comportamiento terminal de la gráfica de la función.

La función polinom ial/es de grado 3. La gráfica d e /s e comporta como y = *3 para valores grades de |*|.

P a s o 2 : Traza la gráfica de la función usando un dispositivo gráfico.

Ver figura 22 para la gráfica de /.

Usa un dispositivo gráfico para aproximar las intersecciones en x y en y de la gráfica.

La intersección con y es /(O) = 2.484406. En los ejemplos 9 y 10, se factorizó la función polinomial y por eso fue fácil encontrar las intersecciones * algebraicamente. Sin embargo, no es tan evidente como factorizar/en este ejemplo. Por lo tanto, usaremos la característica ZERO (o ROOT o SOLVE) del dispositivo gráfico y encontramos que la única intersección con * es —3.79, redondeada a dos lugares decimales.

P aso 3:

Usa un dispositivo gráfico para crear una tabla para encontrar puntos en la gráfica alrededor de cada intersección con x. P aso 4:

15

F ig u ra 2 2

La tabla 7 muestra valores de * de cada lado de la intersección con *. Los puntos ( —4, —4.57) y ( —2, 13.04) están en la gráfica, Tabla 7 -4 •2

kffl -4.574 13.035

V iB X A3 + 2 .4 l3 X £-4 ...

5: Aproxima los puntos de inflexión de la gráfica. P aso

Usa la información en los pasos 1 al 5 para tra z a r a mano la gráfica completa de la función.

P aso 6 :

A partir de la gráfica d e /q u e se muestra en la figura 22, podemos ver q u e /tie n e dos puntos de inflexión. Usando MAXIMUM, un punto está en ( —2.28, 13.36), redon deado a dos lugares decimales. Usando MINIMUM, el otro punto está en (0 .6 3 , 1), redondeado a dos lugares decimales. La figura 23 muestra la gráfica de /u san d o la información de los pasos 1 al 5. F ig u ra 2 3

yi

(-2.28,13.36)

Comportamiento terminal: se parece a y =x 3

(-2,13.04)-

(0, 2.484406)

336

C A P ÍT U L O 5

7: E n c u e n t r a el rango d e la fu n ció n . P aso

P aso

d:

Funciones racionales y polinomiales do m inio y el

U s a la g r á f ic a p a ra

d e t e r m in a r d ó n d e e s c r e c ie n t e la

El dominio y el rango d e /e s el conjunto de todos los números reales. Con base en la gráfica, / es creciente en los intervalos (-o o , -2 .2 8 ) y (0.63, oo). A dem ás,/es decreciente en el intervalo (-2.28,0.63).

fu n ció n y d ó n d e e s d e c r e c ie n t e .

Uso de un dispositivo gráfico para analizar la gráfica de una función polinomial P aso 1 :

Determina el comportamiento terminal de la gráfica de la función.

P aso 2 :

Traza la gráfica de la función usando un dispositivo gráfico.

P aso 3 :

Usa un dispositivo gráfico para aproximar las intersecciones con x y con y de la gráfica.

P aso 4 :

Usa un dispositivo gráfico para crear una tabla y encontrar los puntos en la gráfica alrededor de cada intersección con x.

P aso 5 :

Aproxima los puntos de inflexión de la gráfica.

P aso 6 :

Usa la información en los pasos 1 al 5 para trazar a mano la gráfica completa de la función.

P aso 7 :

Encuentra el dominio y el rango de la función.

P aso 8 :

Usa la gráfica para determinar dónde es creciente y decreciente la fun ción.

'Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

87

Construcción de m odelos cúbicos a partir de datos En la sección 4.2 encontramos la recta de mejor ajuste a partir de datos y en la sección 4.4 encontramos la función cuadrática de mejor ajuste. También es posible encontrar funciones polinomiales de mejor ajuste. Sin embargo, la mayoría de los estadísticos no recomiendan encontrar las funciones polinomiales de mejor ajuste de grado ma yor que 3. Si se tienen datos que siguen una relación cúbica, estos se deben ver como la figura 24(a) o (b).

Figura 24

y =

ax3 + bx2 + ex + d, a >

0

y = ax3 + bx2 + ex + d, a <

(a) EJEMPLO

12

0

(b)

Función cúbica de mejor ajuste Los datos en la tabla 8 representan el costo semanal C (en miles de dólares) de im primir x miles libros de texto. (a) Traza un diagrama de dispersión de datos tomando x como la variable indepen diente y C como la variable dependiente. Comenta el tipo de relación que puede existir entre las dos variables x y C. (b) Usando un dispositivo gráfico, encuentra la función cúbica de mejor ajuste C = C(x) que modele la relación entre el número de libros de texto y el costo. (c) Traza la gráfica de la función cúbica de mejor ajuste en un diagrama de dispersión. (d) Usa la función que encontraste en el inciso(b) para predecir el costo de imprimir 22 mil libros de texto a la semana.

t S E C C IÓ N 5.1


337

Solución

Tabla 8 Numero de libros de texto, x

Costo, C

0

100

5

128.1

10

144

13

153.5

17

161.2

18

162.6

20

166.3

23

1789

25

190.2

27

221.8

(a) La figura 25 muestra el diagrama de dispersión. Puede existir una relación cúbica entre las dos variables. (b) Al ejecutar el programa CUBIC REGression, obtenemos los resultados que se muestran en la figura 2b. La salida que da el dispositivo gráfico muestra la ecua ción y = u.v' + bx: + c.v +
F ig u ra 26

O D

□

» “D°

F ig u ra 2 7

CubicReg y = a x 3+ b x 2+cx+d a=.0154590051 b=-.5951424724 c = 9 . 150171681 d=98.43272255

(d) Evalúa la función C(.v) en x = 22. C(22) = 0.0155(22)’ - 0.5951(22)2 + 9.1502(22) + 98.4327 « 176.8 El modelo predice que el costo de imprimir 22 mil libros de texto a la semana será de 176.8 mil dólares, esto es $176,800. i

5.1 Evalúa tu entendimiento_______________________________________________________ " ¿ E s t á s l i s t o ? " Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas

entre paréntesis. 1. Las intersecciones de la ecuación 9.r + 4y = 36 son_____ . (pp. 159-160) 2. ¿La expresión 4.V3 - 3.6.r - V2 es una función polinomial? Si lo es, ¿cuál es su grado? (pp. 39-47) 3. Para obtener la gráfica de y = .t2 —4, debes correr la gráfi ca de y = x2una distancia d e__________ unidades hacia __________ .( pp.244-251) J 4. Usa un dispositivo gráfico para aproximar (redondeado a dos lugares) el valor máximo local y el valor mínimo local de f(x) = x3 - 2x2 - 4.r + 5, para -3 < x < 3. (p. 228)

5. Verdadero o falso Las intersecciones en x de la gráfi ca de una función y = f(x) son las soluciones reales de la ecuación /(.r) = 0. (pp. 215-217) 6. Si g(5) = 0, ¿qué punto está en la gráfica de g? ¿Cuál es el valor de la intersección en x correspondiente de la gráfica de g? (pp. 215-217)

C o n c e p t o s y v o c a b u l a r io ______________________ __

7. La gráfica de toda función polinomial e s __________ y 8. Si r es un cero real de multiplicidad par de una función /, entonces la gráfica de / __________ (cruza/toca) el eje x en r. 9. Las gráficas de las funciones de potencias de la forma f(x) = x", donde n es un entero par, siempre contienen los puntos___________ , ____________y _________ _ . 10. Si r es una solución de la ecuación f(x) = 0, nombra tres proposiciones adicionales que se pueden hacer acerca d e / y r si consideras que / es una función polinomial.

11. Los puntos en los cuales la gráfica cambia de dirección (de creciente a decreciente o de decreciente a creciente) se lla man ____________ . 12. La gráfica de la función f ( x ) = 3.t4 - x } + 5x2 - Zx - 7 se comportará como la gráfica d e____________ para valo res grandes de |x | . 13. Si f ( x ) = -2 jc5 -I- x 2 - 5jc2 + 7, entonces lím f ( x ) = _________ y lím f ( x ) - ______________ . x—y—oo

14.

x— y—ce

Explica qué quiere decir la notación lím / ( . x) -v->oo

=

-oo.

338

C A P ÍT U L O 5


E j e r c ic io s

En los problemas 15-26, determina qué funciones son polinomiales. Para las que lo sean, indica su grado. Para las que no lo sean, di por qué no lo son. \,1 5 . f (x) = 4jc + x3

16,

17. g(x) =

= 5x2 + 4x4

/ ( jc)

20. f ( x ) = x(x - 1 )

\ 1 9 . f (x) = 1 - i

18. h{x) = 3 -

1 - jc2

21 . g(x) = x3'2 - x2 + 2

22. h(x) = V x {V x - 1 )

23. F(x) = 5jc4 - 7tx3 + —

x2 — 5 24. F(x) = — 3 xr

25. G(x) = 2(x - l)2(x2 + 1)

26. G(jc) = - 3 jc2(jc + 2)3

En los problemas 27-40, usa transformaciones de la gráfica de y = x4o y = jc5para obtener la gráfica de cada función. \ 2 7 . f{x) =

( jc

+ l)4

28.

/ ( jc) = ( jc

- 2)5

29.

32. / ( jc) = 3jc5

31- /(* ) = 35.

/ ( jc)

=

- l) 5 + 2

36.

/ ( jc)

=

39.

/ ( jc)

= 4 - (x - 2)5

40.

/ ( jc)

=3-

( jc

( jc

/ ( jc)

=

\ 3 3 . f (x) =

+ 2)4 - 3 ( jc

jc5

- 3

- jc5

37. / ( jc) = 2(jc + l )4 + 1

= x4 + 2

30.

/ ( jc)

34.

/ ( jc) = - jc4

38. f ( x ) = \ ( x - l )5 - 2

+ 2 )4

£■« /oí problemas 41-48, desarrolla una función polinomial para los ceros reales y grados se dan. Las respuestas pueden variar depen diendo de la elección de coeficientes principales. \ 41. Ceros: -1 ,1 ,3 ; grado 3 42. Ceros: -2 ,2 ,3 ; grado 3 43. Ceros: -3,0,4; grado 3 44. Ceros: -4 ,0 ,2 ; grado 3 45. Ceros: -4 , -1 ,2 ,3 ; grado 4 46. Ceros: -3 , —1,2,5; grado 4 47. Ceros: -1 , multiplicidad 1; 3, multiplicidad 2; grado 3 48. Ceros: -2 , multiplicidad 2; 4, multiplicidad 1; grado 3 En los problemas 49-60, para cada función polinomial: (a) Lista cada cero real y su multiplicidad. (b) Determina si la gráfica cruza o toca el eje x en cada intersección con x. (c) Determina el comportamiento de la gráfica cerca de cada intersección con x (cero). (d) Determina le número máximo de puntos de inflexión en la gráfica. (e) Determina el comportamiento terminal, es decir, encuentra la función de potencias a la que se parece la gráfica de f para valores grandes de\x\. 50. / ( jc) = 4(jc + 4)( jc + 3)3

51. / ( jc) = 4(j¿ + 1)(jc - 2)3

52. / ( jc) = 2(jc - 3)(jc2 + 4)3

53. f ( x ) = —2 ^ x +

54.

/ ( jc)

= (x -

55.

56.

57.

/ ( jc)

= 3(x2 + 8XJC2 + 9)2

\49.

/ ( jc) =

3(jc - 7)(jc + 3)2

/ ( jc) = ( jc

- 5)3(jc + 4)2

58. / ( jc) = -2 ( jc2 + 3)3

/ ( jc)

=

( jc +

(jc + 4)3

V3)2(.c - 2)4

59. / ( jc) = - 2 jc2(jc2 - 2)

- l )3

60. /(.c) = 4.c(.r - 3)

En los problemas 61-64, identifica cuáles de las gráficas pueden ser las gráficas de una función polinomial. Para aquellas que lo sean, indica los ceros reales y el grado mínimo que puede tener la función polinomial. Para aquellas que no lo sean, di por qué no lo son.

I

SECCIÓN 5.1 Funciones y modelos polinomiales

339

Cl1 los problem as 65-68, construye una función polinom ial que pueda tener la gráfica dada. (Puede haber más de una respuesta).

E n los problem as 69-86, analiza cada función polinom ial siguiendo los pasos 1 a 6 en la página 333.

V69. /(x) 72. /(x)

= x 2{x

-3 )

= ( x - l)(x

+ 3)2

70. / w = x(x + 2)2

71. /(x) = (x + 4)(x - 2)2

73. /(*) = -2(x + 2)(x - 2)3

74. /(x) = “ |( x + 4)(:c - 1)

76. / w = (x - 1)(x + 4)(x - 3)

77. /(x) = x2(x - 2)(x + 2)

75.

f ( x ) = {X + l ) ( x

78.

f{x)

= ^(.r " 3 ) ( x + 4)

79. /(*) = (x + 1)2(x - 2)2

80. /(x) = (x + l)3(x --3)

81.

f(x)

=

82. /(*) = x2(x - 3)(x - 1)

83. /(x) = (x + 2)2(x --4 )2

85. / w = x2(x - 2)(x2 + 3)

86. /(x) = x2(x2 + l)(x: + 4)

-

x 2{x "3)C x

2)(x +

4)

+ 1)

84. /(x) = ( x - 2 ) \ x + 2)(x + 4)

V87. /(x) = x3 + 89.

O k> K)

En los problemas 87-94 , analiza cada función polinom ial siguiendo los pasos 1 al 8 en la página 336.

- 1.5876x - 0.31752

f(x)

=

x3 + 2.56r2 - 3.31x + 0.89

91. /(x )

=

x4 -

93. /(x )

=

2x4 -- 77X 3 + V5x - 4

88. /(x ) = x3 - 0.8x2 —4.6656x + 3.73248 90. /(x ) = x3 - 2.91x2 - 7.668x - 3.8151 92. /(x ) = x4 - 18.5x2 + 50.2619

2.5x2 + 0.5625

94. /(x ) = -1 ,2x4 + 0.5x2 - V3x + 2

P r á c t ic a m ix t a E n los problemas 95-102, analiza cada función polinom ial siguiendo los pasos 1 al 6 en la página 333.

[Sugerencia: Primero factoriza la función polinomial], 95. /( x ) = 4x - x 3

96. /( x ) = x - x 3

98. / ( x ) = x 3 + 2x2 - 8x

99. f { x ) = 2x4 + 12x3 - 8x2 - 48x

101. f ( x ) = - x 5 - jc4 + jc3 + jc2

97. f ( x ) = x 3 + x 2 - 12x 100. f ( x ) = 4x3 + 10x2 - 4x - 10

102. /( x ) = - x 5 + 5x4 + 4x3 - 20x2

E n los problemas 103-106, desarrolla una función polinom ial fc o n las características que se dan.

103. Ceros: -3,1,4; grado 3; intersección con y: 36

104. Ceros: - 4 , -1,2; grado 3; intersección con y: 16

105. Ceros: -5 (multiplicidad 2); 2 (multiplicidad 1); 4

106. Ceros: -4 (multiplicidad 1); 0 (multiplicidad 3); 2

(multiplicidad 1); grado 4; contiene al punto (3,128)

(multiplicidad 1); grado 5; contiene al punto (-2,64)

107. G ( x ) = (x + 3)2(x - 2)

(a) Identifica las intersecciones con x en la gráfica de G . (b) ¿Cuáles son las intersecciones con x de la gráfi ca de y = G (x + 3)? V

108. h(x) = (x + 2)(x - 4)3

(a) Identifica las intersecciones con x de la gráfica de h. (b) ¿Cuáles son las intersecciones con x de la gráfica de y = h(x - 2)?

340

CAPÍTULO 5 Fundones racionales y polinomiales

A p li c a c io n e s y e x t e n s i o n e s

109. Huracanes En 2005 el Huracán Katrina golpeó la costa golfo de los Estados Unidos matando a 1289 personas © del y causando un daño estimado de $200 mil millones. Los siguientes datos representan el número de grandes hura canes que han sufrido los Estados Unidos (categoría 3, 4 o 5) cada década de 1921 a 2000.

G ra n d e s h u ra c a n e s

J D écada, x

q u e g o lp e a r o n a E E .U U ., H

1 9 2 1 -1 9 3 0 ,1

5

1 9 3 1 -1 9 4 0 ,2

8

1 9 4 1 -1 9 5 0 ,3

10

1 9 5 1 -1 9 6 0 ,4

8

1 9 6 1 -1 9 7 0 ,5

6

1 9 7 1 -1 9 8 0 ,6

4

1 9 8 1 -1 9 9 0 ,7

5

1 9 9 1 -2 0 0 0 ,8

5

F u e n te : National Oceanic & Atm ospheric Administration

(a) Traza un diagrama de dispersión de datos. Comenta acerca del tipo de relación que puede existir entre las dos variables. (b) Usa un dispositivo gráfico para encontrar la función cúbica de mejor ajuste que modele la relación entre la década y el número de grandes huracanes. (c) Usa el modelo que obtuviste en el inciso (b) para pre decir el número de grandes huracanes que golpearon a los Estados Unidos entre 1961 y 1970. (d) Con un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dis persión de datos y después traza la gráfica de la función cúbica de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. (e) La preocupación acerca del número e intensidad de los huracanes se ha incrementado, pero algunos cien tíficos creen que esto es solo una fluctuación natural que podría durar una o dos décadas más. Usa tu mo delo para predecir el número de grandes huracanes que golpearán a los Estados Unidos entre 2001 y 2010. ¿Tu resultado parece ser consistente con lo que creen estos científicos? (f) De 2001 hasta 2009, 10 grandes huracanes golpearon a los Estados Unidos. ¿Esto confirma o contradice tu predicción en el inciso (e)? j-Tjj 110. Costo de manufactura Los siguientes datos representan el costo C (en miles de dólares) de fabricar autos Chevy Cobalts y el número x de Cobalts producidos. (a) Traza un diagrama de dispersión de datos tomando x como la variable independiente y C como la variable dependiente. Comenta el tipo de relación que puede existir entre las dos variables C y x. (b) Usa un dispositivo gráfico para encontrar la función cúbica de mejor ajuste C = C(x). (c) Traza la gráfica de la función cúbica de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. (d) Usa la función que obtuviste en el inciso (b) para pre decir el costo de fabricar 11 Cobalts. (e) Interpreta la intersección con y.

©

111. Temperatura Los siguientes datos representan la tempe ratura T (“Fahrenheit) en Kansas City, Missouri, x horas después de la media noche el 15 de mayo de 2010.

(a) Traza un diagrama de dispersión de datos. Comenta el tipo de relación que puede existir entre las dos varia bles. (b) Determina la tasa de cambio promedio en la tempera tura de las 9 a.m. a las 12 del día. (c) ¿Cuál es la tasa de cambio promedio de temperatura de las 3 pm a las 6 p.m.? j^j (d) Escoge la función que mejor se ajuste a los datos (li neal, cuadrática o cúbica) y úsala para predecir la tem peratura a las 5 p.m. (e) Con un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dis persión de datos y después traza la gráfica de la fun ción de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. (f) Interpreta la intersección con y. 112. Valor futuro del dinero Considera que realizas depósitos de $500 al comienzo de cada año en una cuenta individual de retiro (IRA por sus siglas en inglés) y ganas un interés r. Al comienzo del primer año, el valor de la cuenta será de $500; al comienzo del segundo año, el valor de la cuenta será de $500 + $500r

+

V alo r del 1o d e p ó sito

$500 = $500(1 + r) + $500 = 500r + 1000 V alo r del

2° d e p ó sito

SECCIÓN 5.1 Funciones y modelos polinomiales *

(a) Verifica que el valor de la cuenta al comienzo del ter cer año sea T (r ) = 500/-2 + 1500r + 1500.

341

(b) Usando un dispositivo gráfico, crea una tabla de valo res con Yx = / ( x ) =

(b) El valor de la cuenta al comienzo del cuarto año es F ( r ) = 500r* + 2000r + 3000r -I- 2000. Si la tasa anual de interés es de 5% = 0.05. ¿cuál será el valor de la cuenta al comienzo del cuarto año?

y Y> =

= 1 + x + *2

+ x 3 + x 4 para - 1 < .t < 1 con ATbl = 0.1. (c) Usando un dispositivo gráfico, crea una tabla de valo

^113. Una serie geométrica En cálculo aprenderás que ciertas funciones se pueden aproximar por funciones polinomiales. Exploraremos a continuación una de esas funciones.

res con Y i = / ( x ) = Y Z T x y y4 = S4W = 1 + * + *2

pj (a) Usando un dispositivo gráfico, crea una tabla de valo

(d) ¿Qué puedes observar acerca de los valores de la fun ción conforme se agregan más términos a la función polinomial? ¿Existen algunos valores de x para los cuales son mejores las aproximaciones?

res con y t = f ( x ) = — —

y Y2= s2(x) =

+ x 3 + x 4 + x 5 para - 1 < x < 1 con ATbl = 0.1.

i + x + x2

+ x 3 para - 1 < x < 1 con A Tbl = 0.1. E x p li c a c ió n d e c o n c e p t o s : d is c u s ió n y e s c r it u r a

114. La gráfica de una función polinomial, ¿puede no tener intersección en y? ¿Puede no tener intersección en x l Explica. 115. Escribe algunos párrafos que den una estrategia general para obtener la gráfica de una función polinomial. Ase gúrate de mencionar lo siguiente: grado, intersecciones, comportamiento terminal y puntos de inflexión.

(e) Es simétrica con respecto al origen, (f) Pasa por el origen. 120. La ilustración muestra la gráfica de una función polinomial.

116. Desarrolla una función polinomial que tenga las siguientes características: que cruce el eje Jt en - 1 y 4, que toque el eje x en 0 y 2 y que esté por encima del eje x entre 0 y 2. Dale a un compañero tu función polinomial y pide sus co mentarios al respecto por escrito.

(a) (b) (c) (d)

El grado de la función polinomial, ¿es par o impar? El coeficiente principal, ¿es positivo o negativo? ¿La función es par, impar o ninguna de las dos? ¿Por qué x 2 es necesariamente un factor de la función polinomial? (e) ¿Cuál es el grado mínimo de la función polinomial? (f) Formula cinco diferentes funciones polinomiales cu yas gráficas sean parecidas a la mostrada. Compara tus gráficas con las de otros estudiantes. ¿Qué similitudes ves? ¿Qué diferencias?

117. Desarrolla dos funciones polinomiales que tengan grado di ferente con las siguientes características: que crucen el eje x en - 2 , que toquen el eje x en 1 y que estén por encima del eje x entre - 2 y 1. Dale a un compañero tus funciones polinomiales y pide sus comentarios al respecto por escrito. 118. La gráfica de una función polinomial es siempre suave y continua. Nombra una función que estudiamos con ante rioridad que sea suave pero no continua. Nombra una que sea continua pero no suave. 119. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas con respecto a la gráfica de la función polinomial cúbica f ( x ) = jc3 + bx 2 + ex + d? (Proporciona las razones de tus conclusiones). (a) (b) (c) (d)

Intersecta el eje y en un solo un punto. Intersecta el eje x en a lo mucho tres puntos. Intersecta al eje x por lo menos una vez. Para | x | muy grandes, se comporta como la gráfica de* y = x 3.

E j e r c ic io s in t e r a c t i v o s

121. Diseña una función polinomial con las siguientes carac terísticas: grado 6; cuatro ceros reales diferentes, uno de multiplicidad 3; intersección con y 3; se comporta como y = - 5 x 6 para valores grandes de | jc | . ¿Esta función poli nomial es única? Compara tu función polinomial con la de otros estudiantes. ¿Qué términos serán los mismos en las de todos? Agrega algunas características, como simetría o nombrar los ceros reales. ¿Cómo modifica esto a la fun ción polinomial?

__________________________________________________________________________

Pregunta a tu profesor si el siguiente ejercicio de applet te es de interés. M u ltip licid a d y puntos de inflexión

A bre el applet de multiplicidad. E n la pantalla verás la gráfica de f ( x) = (x + 2)“ x b(x - 2)c

donde a = {1,2,3}, b = {1,2,3} y c = (1,2, 3, 4).

1. Mueve la barra deslizadora para el exponente a de 1 a 2 a 3. ¿Qué le pasa a la gráfica a medida que cambia el valor de a l En particular, describe el comportamiento de la gráfica alrededor del cero —2. 2. En la misma gráfica, mueve la barra deslizadora para el exponente a al 1. Mueve la barra deslizadora para el exponente b de 1 a 2 a 3. ¿Qué le pasa a la gráfica a medida que cambia el valor de b? En particular, describe el comportamiento de la gráfica alrededor del cero 0. 3. En la misma gráfica, mueve la barra deslizadora para el exponente b a l . Mueve la barra para el exponente c de 1 a 2 a 3 a 4. ¿Qué le pasa a la gráfica a medida que cambia el valor de c? En particular, describe el comportamiento de la gráfica alrededor del cero 2. 4. Experimenta con la gráfica ajustando a, b y c. Basándote en tus experiencias da una opinión acerca del papel que juega el ex ponente en el comportamiento de la gráfica alrededor de cada cero de la función.

342

c a p ít

U l,( ) 5


5. Olilán una gráfica de la función para los valores de a, b y c en la siguiente tabla, f Ja una opinión acerca de una relación entre el

grado de la función polinomial y el número de puntos de inflexión cuando hayas completado la tabla. En la tabla, a puede ser 1,2 o 3; b puede ser 1 ,2 o 3 y c puede ser 1 ,2,3 o 4.

V a lo r e s d e o,

byc

G ra d o d e la fu n c ió n p o lin o m ia l

N ú m e ro d e p u n to s d e in fle x ió n

= 1,c ■= 1 1,b = 1,c = 2

a = 1,b a ~

a = 1,6 = 1,c = 3 a = 1,b = 1, c = 4

= 1,6 = 2 ,c = 1 a - l,b = 2 , c = 2 a = 1,b = 2,c = 3 a = ] ,b = 2,c * 4 a = 1,6 = 3,c = 1 o = 1,b = 3,c = 2 o = 1,b = 3,c = 3 a - 1,b = 3,c = 4 a = 2 ,b = 1 ,c= 1 a = 2,b = 1,c = 2 o = 2,b = 1,c = 3 o = 2,b = 1,c = 4 a — 2, b = 2,c = 1 o = 2 ,b = 2 ,c = 2 a = 3,b = 3,c = 4 a

R e s p u e s t a s a lo s e j e r c ic io s d e la s e c c ió n " ¿ E s t á s l i s t o ? "

1. (-2,0), (2,0), (0,9) 2. Sí; 3 3. 4; abajo 4. El valor máximo local es 6.48 en .r = -0.67. el valor mínimo local es -3 en x = 2 5. Verdadero 6 . (5.0); 5

5.2 Propiedades de las funciones racionales P

•

r e p a r a c ió n

P A R A E S T A S E C C IÓ N

A n t e s d e e m p e z a r , r e p a s a lo s ig u ie n te :

Expresiones racionales (capítulo R, sección R.7, pp.62-69)

• División de polinomios (capítulo R, sección R.4, pp. 44-47) \

•

Gráfica de

•

Técnicas para construir gráficas; Transformaciones (sección 3.5, pp. 244-251)

f(x)

= - (sección 2^. ejemplo 12. p. 164)


OBJETIVOS 1 Determinar el dominio de una función racional (p. 343) 2 Determinar las asíntotas verticales de una función racional (p. 346) 3 Determinar las asíntotas horizontales u oblicuas de una función racional

(p. 347)

Las razones entre enteros se llaman n ú m e r o s r a c io n a le s . De manera similar, las razo nes entre funciones polinomiales se llaman fu n c io n e s r a c io n a le s . Algunos ejemplos de funciones racionales son x2 R (. x )

- 4

.v2 + .v + 1

F(x)

=

.v* - 4

G(.v)

3.tr v4 - 1

S E C C IÓ N 5.2

D EFIN IC IÓ N

Propiedades de las fundones racionales

343

Una función racional es una función de la forma

donde p y q son funciones polinomiales y q no es el cero polinomial. El domi nio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos para los cuales el denominador q es 0.

J

Determ ina el dom inio de una función racional

E JE M P L O 1

Determinar el dominio de una función racional 2x2 - 4 (a) El dominio de R{x) = ------- — es el conjunto de todos los números reales x exjc + 5 cepto —5, es decir, el dominio es {*U ^ -5 } . (b) El dominio de R(x) = —~ — es el conjunto de todos los números reales excepto x¿ - 4 —2 y 2, es decir, el dominio es {jc|* ¥=■ —2, x ^ 2}. (c) El dominio de R(x) =

2

X + - es el conjunto de todos los números reales.

x2 — 1 (d) El dominio de R(x) --------- —es el conjunto de todos los números reales excep to 1, es decir, el dominio es {*!* ^ 1}.

I

x2 - 1 A unque---------se reduce a x + 1, es importante observar que las funciones x - 1 R(x) =

x2 - l x —1

y f(x) = x + 1

no son iguales, ya que el dominio de R es {*U ^ 1} y el dominio d e /e s el conjunto de todos los números reales. -Resuelve

ahora

el

p r o b l e m a

15

p(x) Si R(x) = ------ es una función racional y p y q no tienen factores comunes, en<7(*) tonces la función racional R está en sus términos mínimos. Para una función racional /?(*) =

q{x)

en sus términos mínimos, los ceros reales, sí existen, del numerador

en el dominio de R son las intersecciones en x de la gráfica de R y, por lo tanto, jue gan un papel importante en la gráfica de R. Los ceros reales del denominador de R esto es, los números x, si existen, para los cuales q(x) = 0], aunque no están en el dominio de R, también juegan un'papel principal en la gráfica de R. Ya hemos analizado las propiedades de la función racional y = —. (Consulta el ejemplo 12, página 164). A continuación analizaremos la función racional H( x ) =

1

344

c a pí

r1)1,0 5


EJEM PLO

2 G r á f ic a d e y = —

Analiza la gráfica de //( x ) = - j . S o lu c ió n

El dominio de

ll(x)

= - l e s el conjunto de lodos los números reales excepto el O, x2

La gráfica no tiene intersección con y porque x nunca puede ser igual a 0 . La gráfica tampoco tiene intersección con x porque la ecuación I H x ) = O no tiene solución. Por lo tanto, la gráfica de / / no cruza ni toca ninguno de los ejes de coordenadas. Como

Tabla 9

=

-5

=

IKx)

números positivos

tc.

EJEM PLO

3

los valores de

U s o d e t r a n s f o r m a c io n e s p a r a o b t e n e r la g r á f ic a d e u n a fu n c ió n r a c io n a l

Traza la gráfica de la función racional: S o lu c ió n

x

El dominio de la gráfica de

R

R (x) =

—---- + 1

es el conjunto de todos los números reales excepto.v = 2. Para trazar

R . empieza

con la gráfica de v = —. Observa los pasos en la figura 29. x=2

Sumar 1. comer 1 unidad hacia amiba

(c) y =

1

l* - 2 ?

+1

S E C C IÓ N 5.2


345

A s ín t o t a s j

Ahora investigaremos el papel que juegan la recta vertical x = 2 y la recta horizontal y = 1 en la figura 29c. 1 Primero, vemos el comportamiento terminal de R(x) = ------ — + 1. La tabla 10(a) muestra los valores de R en jc = 10, 100, 1000, 10,000. Observa que, conforme .v se vuelve no acotada en la dirección positiva, los valores de R tienden a 1, entonces lím R(x) = 1. En la tabla 10(b) se muestra que conforme x se vuelve no acotada en la .r—>oo

dirección negativa, los valores de R también tienden a 1, entonces lím R(x) = 1. x -» °o

Aunque jc = 2 no está en el dominio de R, el comportamiento de la gráfica de R cerca de jc = 2 es importante. La tabla 10(c) muestra los valores de R en x = 1.5,1.9, 1.99,1.999 y 1.9999, en la cual se observa que conforme jc tiende a 2 para jc < 2, que se denota como jc -> 2 ', los valores de R crecen sin frontera, entonces el lím R( jc) = oo. .r— »2 De la tabla 10(d) observa que, conforme jc tiende a 2 para jc > 2, que se denota como jc -» 2+, los valores de R también crecen sin frontera, entonces el lím R(x) = oo. x -> 2

+

Tabla 10 X

RM

X

R(X)

X

X

RM

RM

10

1.0156

-10

1.0069

1.5

5

2.5

5

100

1.0001

-100

1.0001

1.9

101

2.1

101

1000

1.000001

-1000

1.000001

1.99

10,001

2.01

10,001

10,000

1.00000001

-10,000

1.00000001

1.999

1,000,001

2.001

1,000,001

1.9999

100,000,001

2.0001

100,000,001

(b)

(a)

(c)

(d)

La recta vertical jc = 2 y la recta horizontal y = 1 se llaman asíntotas de la gráfica de R.

D E F IN IC IÓ N

Sea R una función. Si cuando jc -> - o o o cuando x -* oo, los valores de R(.c) tienden a un número fijo L, entonces la recta y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de R. [Consulta las figuras 30(a) y (b).] Si cuando jc tiende a un número c, los valores | R{x) \ -* oo[/?(jc) -» —oo o R( cj) -> oo], entonces la recta jc = c es una asíntota vertical de la gráfica de R. [Consulta las figuras 30(c) y (d)].

(a)

(b) Comportamiento terminal: conforme x-> «, los valores de fl(x) tienden a L [jín^ fl(x) = L], Esto es, los puntos en la gráfica de R se acercan a la rectay = L \ y = L es una asíntota horizontal.

(c) Comportamiento terminal: Conforme x-» -«=, los valores de fl(x) tienden a L [„ÜflLfiíx) = L], Esto es, los puntos en la gráfica de R se acercan a la recta y = L,y = L es una asíntota horizontal.

Conforme x se acerca a c, los (d) valores de |fl(x)|->°o [ ! mc- fl(x) = oo; Jírn +/?(x) = °°]. Esto es, los puntos en la gráfica de R se acercan a la recta x = c, x = c es la asíntota vertical.

Conforme x se acerca a c, los valores de |/?(x)|—»<»

lim- m =

Jírn+ R(x) = »]. Esto es, los puntos en la gráfica de R se acercan a la recta x = c, x = c es la asíntota vertical.

346

C A P ÍT U L O 5


Una asíntota horizontal, cuando existe, describe el comportam iento terminal de la gráfica cuando x -» oo o cuando x -* —oo. La gráfica de una función puede inter-

F ig u ra 31

sectar una asíntota horizontal.

Una asíntota vertical, cuando existe, describe el comportamiento de la gráfica cuando x está cerca de un número c. La gráfica de una función racional nunca intersectará a una asíntota vertical.

Existe una tercera posibilidad. Si cuando x -* -o o o cuando x -* oo, el valor de una función racional R(x) se aproxima a una expresión lineal ax + b, a í 0, entonces la recta y = ax + b, a ± 0, es una asíntota oblicua de R. La figura 31 muestra una asín tota oblicua. Una asíntota oblicua, cuando existe, describe el comportamiento termi nal de la gráfica. La gráfica de una función puede intersectar a una asíntota oblicua.

fcT2S=m^ Regueive ahopa

el

PROBLEMA 2 5

2 Encontrar las asíntotas verticales de una función racional p(x ) Las asíntotas verticales de una función racional R(x) = ■ en sus términos míniq(x) mos, se localizan en los ceros reales del denominador de q(x). Considera que r es un cero real de q, entonces x - r es un factor de q. A medida que x tiende a r, represen tado com ox -> r, los valores de x - r tienden a 0, lo que causa que la razón se vuelva no acotada, esto es, | R(x) | -» oo. Basándonos en la definición, concluimos que la recta x = r es una asíntota vertical. TEO REM A

L o c a liz a c ió n d e la s a s ín to ta s v e rtic a le s

Si una función racio nal no está en sus términos mínimos, la aplicación de este teorema puede dar como resultado una lista inco rrecta de asíntotas verticales. ■ A D V E R T E N C IA

EJEM PLO

4

P(x )

, en sus términos mínimos, tendrá una asínQ(x ) tota vertical x = r si r es un cero real del denominador q. Esto es, si x — r es un p{x) factor del denominador q de una función racional R(x) = —7- 7 , en sus térmiq(x)' nos mínimos, R tendrá una asíntota vertical en x - r. Una función racional R(x)

J

D e t e r m i n a r la s a s ín t o t a s v e r t ic a l e s

Determina las asíntotas verticales, si existen, de la gráfica de cada función racional. x JJ, x X + 3 (b) R(x) F i» = X- 1 x2 - 4 x2 - 9 H ( x ) - 2X (d) G (x) = x 2 + 4x - 21 x¿ + 1 S o lu c ió n A D V E R T E N C IA En el ejemplo 4 (a), la asíntota vertical es x = 1. No digas que la asíntota vertical es 1. ■

(a) F está en sus términos mínimos y el único cero del denominador es 1. La recta x = 1 es la asíntota vertical de la gráfica de F. (b) R está en sus términos mínimos y los ceros del denominador x 2 - 4 son —2 y 2. Las rectas x — —2 y x = 2 son las asíntotas verticales de la gráfica de R. (c) H está en sus términos mínimos y el denominador no tiene ceros reales, porque la ecuación x 2 + 1 = 0 no tiene soluciones reales. La gráfica de H no tiene asín totas verticales. (d) Factoriza el numerador y el denominador de G(x) para determinar si está en sus términos mínimos. _ *2 ~ 9 = (* + 3)(x - 3) = jr + 3 x ^ 3 * x 2 + 4x - 21 (x + 7)(* - 3) x + 7 El único cero del denominador de G(x) en sus términos mínimos es - 7 . La recta x = - 7 es la única asíntota vertical de la gráfica de G. Como indica el ejemplo 4, las funciones racionales pueden no tener asíntotas verticales, pueden tener una asíntota o más de una asíntota vertical.

S E C C IÓ N 5.2


347

Exploración Traza la gráfica de cada una de las siguientes funciones racionales: RM =

1

RM =

1

1

1

.

(x - 1)2

RM =

(x - I)3

RM =

1

(x - I)4

Todas tienen la asíntota vertical x = 1. ¿Qué pasa con el valor de RM cuando x tiende a 1 por el lado derecho de la asíntota vertical; es decir, cuál es el lím RMl ¿Qué pasa con el valor de RM cuando x tiende a 1 por el lado izquierdo de la asíntota vertical, es decir, cuál es el lím fi(x)? ¿Cómo afecta la mul tiplicidad del cero en el denominador la gráfica de /??

J

Resuelve ahora

EL

p r o b l e m a

ASÍNTOTAS

47

(si

e x i s t e n

,

d e t e r m i n a

las

VERTICALES)

3 D eterm inar la asíntota horizontal u oblicua de una función racional El procedimiento para determinar asíntotas horizontales y oblicuas es un poco más complicado. Para determinar estas asíntotas, necesitamos saber cómo se comportan los valores de una función cuando .v -* - 0 0 o cuando x - * 0 0 . Esto es, necesitamos determinar el comportamiento terminal de la función racional. Si la función racional R ( x ) es propia, es decir, si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, entonces cuando x - > - 0 0 o cuando x - * 0 0 el valor de R ( x ) tiende a 0. Como consecuencia, la recta y = 0 (el eje jc) es una asíntota hori zontal de la gráfica.

TEO R EM A

E JE M P L O 5

Si una función racional es propia, la recta y = 0 es una asíntota horizontal de su gráfica. __j

Determinar una asíntota horizontal Determina la asíntota horizontal, si existe, de la gráfica de , x - 12 R (x

Solución

) = 74jt T T+ — 7T x + 1

Como el grado del numerador, 1, es menor que el grado del denominador, 2, la fun ción racional es propia. La recta y - 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de R . Para ver por qué y = 0 es una asíntota horizontal de la función R en el ejemplo 5, investigamos el comportamiento de R cuando x - * - o o y x - * oo. Cuando | x | es muy grande, el numerador de R , que es x - 12, se puede aproximar por la función de potencias y = x, mientras que el denominador de R , que es 4 x 2 + x + 1, se puede aproximar por la función de potencias y - 4 x 2. Al aplicar estas ideas a R ( x ) , encon tramos que . . x - 12 x 1 R(x) — ^ ~ i — ~¡ 0

4x2 + x + 1 í 4x2

Para |x| muy grandes

Esto muestra que la recta y Si una función racional

=

4x

j

Cuando x —> —oo o x —>oo

0 es una asíntota horizontal de la gráfica de

R.

p (x )

R (x) =

——r es impropia, esto es, si el grado del nume-

rador es mayor o igual que el grado del denominador, usamos la división larga para escribir la función racional como la suma de una función polinomial f ( x ) (el cociente) r\x)

más una función racional propia ——

c ¡\x )

(r(x)

es el residuo). Esto es, escribimos

348

C A P ÍT U L O 5


donde f { x ) es una función polinomial y ---- - es una función racional propia. Como r(x) r(x) —7 — es propia, —-— —>0 cuando x -» q{x)

o cuando x

-0 0

- * 00.

Como resultado,

q{x)

R(x) =

P(x)

cuando x

q(x) -> /(* )

—> - 0 0

o cuando

x —> 00

Las posibilidades se dan en seguida. 1. Si f ( x ) de R .

- b,

2. Si f ( x ) de R .

= ax

una constante, la recta y = +

ax

+

b

3. En todos los demás casos, la gráfica de asíntotas horizontales u oblicuas.

R

se acerca a la gráfica de / y no existen

b , a ¥=

0, la recta y =

es una asíntota horizontal de la gráfica

b

es una asíntota oblicua de la gráfica

Ilustramos cada una de las posibilidades en los ejemplos 6 ,7 y 8 .

E JE M P L O 6

Determinar asíntotas horizontales u oblicuas Determina la asíntota horizontal u oblicua, si existe, de la gráfica de H (x)

Solución

3x4 - x 2 JC3 — JC2 + 1

Como el grado del numerador, 4, es mayor que el grado del denominador, 3, la fun ción racional H es impropia. Para determinar una asíntota horizontal o una asíntota oblicua, usamos la división larga. + 3 ____________ x3 - *2 + l j í ? - x2 3x4 - 3x 3 + 3x 3x3 x2 - 3x 3x

3x3 -

+ 3

3x2 2x2 -

3x — 3

Como resultado, 3x4 H (x)

-

x2

X3 - X2

Cuando x ->

-0 0

o cuando

+ 1

3x

2jc2 - 3x - 3

+ 3

X3 - X2 +

1

x -> 00 ,

2 x 2 —3 x — 3 2x2 2 —r-----T--------« —- = x3 -

x2 + \

x3

o

X

Cuando x -> - 0 0 o cuando x -> 0 0 , tenemos que H ( x ) 3 x + 3. Llegamos a la conclu sión de que la gráfica de la función racional H tiene una asíntota oblicua y = 3 x + 3.

E JEM P LO 7

Determinar una asíntota horizontal o una oblicua Determina la asíntota horizontal u oblicua, si existe, de la gráfica de 8x2 R (x)

—x +

4x 2 - 1

2

S E C C IÓ N 5.2

S o lu c ió n


349

Como el grado del numerador, 2, es igual al grado del denominador, 2, la función racional R es impropia. Para determinar una asíntota horizontal u oblicua, usamos la división larga.

4x2 - l)8 x 2 - x + 2 8x2 - 2 - x + 4 Como resultado, x 8x2 - x + 2 „ -x + 4 R(x) = — —---- — - 2 + 4x2 - 1 4x - 1 Entonces, cuando x

-o o

o cuando x

oo,

-x + 4 -x -1 7 ~ 7 —~ —> 0 4x2 - 1 4x2 4x Cuando x -> - o o o cuando x -* oo, tenemos que R(x) -* 2. Podemos concluir que y = 2 es una asíntota horizontal de la gráfica. En el ejemplo 7, el cociente 2 obtenido por la división larga es el cociente de los / 8\ coeficientes principales del numerador y denominador polinomial I - I. Esto quiere decir que podemos evitar el proceso de división larga para funciones racionales en las que el numerador y el denominador son del mismo grado y llegar a la conclu sión de que el cociente de los coeficientes principales nos dará la asíntota horizontal. Resuelve ahora EJEM PLO

8

los

problemas

43

y

45

D e t e r m i n a r u n a a s ín t o t a h o r iz o n t a l o u n a o b lic u a

Determina la asíntota horizontal u oblicua de la gráfica de G(x) = S o lu c ió n

2x5 - x3 + 2 1

Como el grado del numerador, 5, es mayor que el grado del denominador, 3, la fun ción racional G es impropia. Para determinar una asíntota horizontal o una oblicua, usamos la división larga 2x2 - 1 + 2 x3 - l J L c5 r - x3 - 2x2 2x5 - x 3 + 2x2 + 2 + 1 - . r,3 2x¿ + 1 Como resultado, G(x) -

2x5 - x3 + 2 x3 - 1

2 2x2 + 1 = 2x2 - 1 + x3 - 1

Entonces, cuando x —> —00 o cuando x —> eso, 2x2 + 1 x3 - 1

2x2 _ 2 — ———» 0 x3 *

350

C A P ÍT U L O S


Cuando x -* -o o o cuando x — oo, tenemos que G ( x ) - * 2 x 2 - 1. Podemos concluir que, para valores grandes de | x |, la gráfica de G se acerca a la gráfica de y = 2 x 2 - 1. Esto es, la gráfica de G se parecerá a la gráfica d e y = 2 x 2 - 1 cuando x - * —o o o cuando x -* o o . Como y = 2;t2 - 1 no es una función lineal, G no tiene asíntota hori zontal ni oblicua. I

R E S U M E N Determinar una asíntota horizontal o una oblicua de una función racional Considera la función racional , . _

P ÍX) = q{x)

a nx"

+

a n- \ X n~ ]

+ ••• +

b mx m

+

b m^ x m~ l +

••• +

a\X

+

a0

b xx + b 0

en la que el grado del numerador es n y el grado del denominador es m . 1. Si n < m (el grado del numerador es menor que el grado del denominador), entonces nal propia y la gráfica de R tendrá la asíntota horizontal y = 0 (el eje x ) .

R

esuna función racio

2. Si n >

m (el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador), entonces R es impropia. Aquí se usa la división larga.

(a) Si

n - m

(el grado del numerador es igual al grado del denominador), el cociente que se obtiene será el an

número — , y la recta y bm

an = —

es una asíntota horizontal.

(b) Si n = m + 1 (el grado del numerador es uno más que el grado del denominador), el cociente que se obtiene es de la forma a x + b (una función polinomial de grado 1 ) y la recta y - a x + b es una asíntota oblicua. (c) Si n > m + 2 (el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en dos o más), el cociente que se obtiene es una función polinomial de grado 2 o mayor y R no tiene una asíntota horizontal ni una asíntota oblicua. En este caso para valores muy grandes de |jc|, la gráfica de R se comportará como la grá fica del cociente. Nota; La gráfica de

5 .2

una función racional tiene o una asíntota horizontal o una oblicua o no tiene asíntotas ni horizontales ni oblicuas.

■

E v a lú a tu e n t e n d im ie n t o

"¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1.

Verdadero o falso

E l c o c ie n t e d e d o s e x p r e s io n e s p o li

n o m ia le s e s u n a e x p r e s ió n r a c io n a l, (p p . 6 2 - 6 9 )

2.

¿ C u á l e s e l c o c ie n te y e l r e sid u o c u a n d o e n tr e *3 -

x2 +

3x* -

jc2 s e

d iv id e

3 . T r a za la g rá fica d e

4.

1. (p p . 4 4 - 4 7 )

y

= —. (p . 164)

C o n str u y e la g rá fic a d e

y

=

2(x + l )2 -

3 u sa n d o tra n sfo r

m a c io n e s. ( p p . 2 4 4 - 2 5 1 )


Verdadero o falso

E l d o m in io d e to d a fu n c ió n r a c io n a l

9.

6. Si c u a n d o x - » -oo o c u a n d o x -* oo, lo s v a lo r e s d e R(x) tie n d e n a u n n ú m e r o fijo L , e n to n c e s la r e cta ___________________ 7.

Si c u a n d o

x tie n d e

y

=

L es

___________________ d e la g rá fica d e

x = c es R.

L a g rá fica d e u n a fu n ció n racion al

L a g rá fica d e u na fu n ció n ra cio n a l

p u e d e in te r se c ta r a u n a a sín to ta v er tica l.

11.

Si u n a fu n c ió n r a c io n a l e s p ro p ia , e n t o n c e s __________________ e s u n a a sín to ta h o r iz o n ta l.

u n a ______________

___________________ d e la g rá fica d e


Si e l g ra d o d e l n u m e r a d o r d e u na fu n

c ió n r a c io n a l e s igu al al g ra d o d e l d e n o m in a d o r , e n to n c e s

8. Para u na fu n ció n ra c io n a l R, si e l g ra d o d e l n u m e r a d o r e s m en o r q u e e l g ra d o d e l n u m e r a d o r , e n to n c e s


una

R.

a a lg ú n n ú m e r o c, lo s v a lo r e s d e

| R(x) | —» oo, e n to n c e s la recta

Verdadero o falso

p u e d e in te r se c ta r a la a sín to ta h o r iz o n ta l.

e s e l co n ju n to d e t o d o s lo s n ú m e r o s r e a le s.

R

es

la ra z ó n d e lo s c o e fic ie n te s p r in c ip a le s g en er a la a sín to ta h o r iz o n ta l.

S E C C IÓ N S.2


351

Ejercicios En los problemas 13-24, determina el dominio de cada función racional. 13.

R{x) =

4.r j: -

3

(jc + 3 ) (4 -

jc)

jc

R(x) =

R(x)

17.

F(x)

20.

4 - 8

jc -

\

15.

H(x)

18.

Q(x) =

=

1)

2x2 - 5x -

3

-4 x 2 (x - 2){x +

4)

~ * ( 1 - x) 34

+ 5x - 2

3x2 + x

R(x)

x4 - 1 3 (4 -

3

*23. R(x)

+ 1

4

5x2 3 + x 3x(x -

6

19.

14.

“ • " W

x

- 6) 24.

4 ( 4 - 9)

F(x)

- T T T -2 (4

~ 4)

3 ( 4 + 4 jc + 4 )

En los problemas 25-30, usa la gráfica que se da para determinar (e) Las asíntotas oblicuas, si existen

(a) El dominio y rango de cada función

(b) Las intersecciones, si existen

(d) Las asíntotas verticales, si existen

(c) Las asíntotas horizontales, si existen 27.

En los problemas 31-42, construye la gráfica de cada función racional usando transformaciones. 31.

F{x)

= 2 + -

35.

H{x)

=

G(x) =

3 4 . / í ( jc) = -

= 3 + ^

36. G (x ) =

+ 1

1 +

Q(x)

j:

2

-2 jc

39.

32.

x

40.

(x

- 3 )2

F(x)

37.

Ryx) =

(* + 2

1

= 2 ------— r V 3 AT + 1

41.

R(x)

-1 jc2

+ 4 jc + 4

jc2

- 4

= ------ j JC

38.

R(x)

42.

R(x) =

1

= — =-rr + 1 x- 1 j:

- 4

352

c a p í t u i X) 5

Funciones racionales y pollnomlales

En los problemas 4.1-54, determina las asíntotas vertical, horizontal y oblicua, si existen, de cada función racional. \

\

43.

47.

R(x) = T(x)

=

51. R(x) =

3a

x +

44.

4

a4 a:4

-

R(x)

3ac + 5

=

4«. P(x) = —

4a2

x

I

6a:2 + 7a - 5

-

1

-

4x

45. H(x) =

49. (?( a ) =

8a 2 + 26x - 7

52. R(x) =

3a: + 5

\

x - 6

-

1

53.

a1 - 8 xL —5 a 4-

2a 2 -

5x^ 1 2

= 4 1

S I.

3 a 2 - 11a - 4 a4

G '( a ) =

A4 + I c u ) - -¡r r ir -

6

;

- 1

54. F( x) =

A2 - A

Í Í Ü

2a2 + 7a + 5 a4

- 16

a2

- 2a

A plicaciones y extensiones 55. Gravedad

E n física e stá e s ta b le c id o q u e la a c e le r a c ió n

d e b id a a la g ra v e d a d ,

g

(e n m /s2), a una altu ra

h

c ió n d e

so b re el n iv el d el m ar e stá d a d a p o r

g(l') =

RVÁc o m o

(a ) H a z /f, = 10 o h m s y traza la g rá fica d e

m e tr o s

fu n

Rr

(b ) D e te r m in a e in te rp re ta c u a lq u ie r a sín to ta d e la gráfica q u e o b tu v is te e n e l in c is o (a ).

3 .9 9 X 1 0 14

( c ) Si

h)2

(6 .3 7 4 X I0 6 +

R2 =

2 V 7 'Í|, ¿ q u é v a lo r d e

Rt d ará

un v a lo r d e

R

igu al a 17 o h m s?

Puente: en. wikipedia.org/wiki/Series_and_parallel_árcuiis

d o n d e 6 .3 7 4 x 1 0 a e s el ra d io d e la T ier ra e n m etro s. (a ) ¿C uál e s la a ce le r a c ió n p o r la g ra v ed a d al n iv el d el m ar?

ft5H. Método de Newton p(x) = anx"

(b ) La T o r r e W illis en C h ic a g o , Illin o is, m id e 4 4 3 m e tr o s

E n c á lc u lo a p r e n d e r á s q u e . si

an~\Xn~^

+

+ ••• +

a ,a

+ oo

d e altu ra. ¿C u ál e s la a c e le r a c ió n p o r la g ra v e d a d e n la e s u na fu n c ió n p o lin o m ia l. e n to n c e s la d eriv a d a d e

p a rte m ás alta d e la T o r r e W illis? (c ) La cim a d el M o n te E v e r e st e stá a 8 8 4 8 m e tr o s so b r e el

p'(x)

=

nanx"~'

(n

+

-

l)fl„ _ 1.t/l' 2 + ••• +

2azx

p(x)

es

+ a,

n iv e l d el m ar. ¿C u á l e s la a c e le r a c ió n p o r la g ra v e d a d

El método de Newlon e s un m é to d o e fic ie n te para aproxim ar

en la cim a d e l M o n te E v e r e st? (d ) D e te r m in a la a sín to ta h o r iz o n ta l d e ( e ) R e s u e lv e

g(h)

g(h).

las in te rse cc io n es co n

p( a ).

= 0. ¿ C ó m o in te r p r e ta s tu re sp u e sta ?

56. Modelo de población

x (o

ce r o s rea les) d e una fun ción , c o m o

L o s s ig u ie n te s p a so s d e sc r ib e n e l m é to d o d e N e w to n .

P a so 1: S e le c c io n a un v a lo r in icia l para x 0 q u e e s té cerca

S e d e sc u b r ió u na e s p e c ie rara d e

d e la in te r se c c ió n c o n a q u e se b u sca.

in s e c to en la se lv a tro p ica l d el A m a z o n a s . Para p r o te g e r a la e s p e c ie , lo s e c o lo g is ta s d e c la r a r o n al in s e c to e n p e li

P a so 2: D e te r m in a lo s v a lo r e s d e

a

u sa n d o la re la c ió n

g ro d e e x tin c ió n y lo tr a n sp o r ta r o n a un á rea p r o te g id a . L a p o b la c ió n

P d el

in s e c to

t m eses

d e s p u é s d e h a b e r sid o

P

tra n sp o r ta d o e s

d e c im a le s q u e q u ie ra s. P a so 3: E l c e r o a p r o x im a d o se rá

(a ) ¿ C u á n to s in s e c to s se d e sc u b r ie r o n ? E n o tra s p a la b ra s,

t = 0?

C o n sid e r a la fu n c ió n p o lin o m ia l

(b ) ¿C u ál será la p o b la c ió n d e s p u é s d e 5 a ñ o s? (c ) D e te r m in a la a sín to ta h o riz o n ta l d e

P{t). ¿C u ál e s

R

.

p(x)

=

a5 -

7 a - 40.

(b ) ¿ A q u é c o n c lu sió n p u e d e s lle g a r a ce rca d e un c e r o d e p ? E x p lic a .

S a b e m o s p o r la le y d e

O h m para c irc u ito s q u e la r e siste n c ia to ta l

a

(a ) E v a lú a p ( 5 ) y p ( - 3 ) .

la p o

b la ció n m a y o r q u e p u e d e m a n te n e r e l área p ro teg id a ?

57. Resistencia en circuitos paralelos

a,

y An+1 q u e c o n c u e r d e n c o n e l n ú m e r o d e lu g a res

2 + O.Olí

¿cu ál era la p o b la c ió n c u a n d o

- 1, , 29, . . .

^

( v„)

h a sta q u e o b te n g a s d o s v a lo r e s c o n s e c u tiv o s d e

5 0 (1 + 0.5r)

P( 0 =

p(Xn)

_

+1

(c ) U s a el m é to d o d e N e w to n para a p ro x im a r una in te r

de dos com

s e c c ió n c o n

p o n e n te s c o n e c ta d o s e n p a r a le lo e s tá d a d a p o r la e c u a c ió n

a,

r, - 3

< r<

5, d e

p(x)

a cu a tro lu gares

d e c im a le s. j6j (d ) U sa un d is p o s itiv o g r á fic o para o b te n e r la gráfica d e

Rtot d o n d e /?, y

p(.x) y para

R\ + R2

v er ifica r tu r e sp u e sta d e l in c is o (c).

( e ) U s a n d o un d is p o s itiv o g r á fic o , e v a lú a

p(r)

para v er ifi

car tu re su lta d o .

so n las r e siste n c ia s in d iv id u a le s.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 5 9 . Si la gráfica d e u n a fu n c ió n ra c io n a l

R tie n e

la a sín to ta v e r

61.

m in a d o r d e 60.

R.

E x p lic a p o r q u é .

Si la gráfica d e u na fu n c ió n r a c io n a l rizo n ta l

y

62.

R tie n e

= 2, e l g ra d o d el n u m e r a d o r d e

g ra d o d el d e n o m in a d o r d e

R.

la a sín to ta h o

R

E x p lic a p o r q u é.

e s igu al al

¿ P u e d e la g rá fica d e u n a fu n c ió n ra c io n a l te n e r u n a a sín to ta h o r iz o n ta l y u n a a sín to ta o b lic u a ? E x p lica .

tical a = 4, e l fa cto r a - 4 d e b e e sta r p r e s e n te e n e l d e n o

D e sa r r o lla u n a fu n c ió n r a c io n a l q u e te n g a a y = 2 v + 1 c o m o u n a a sín to ta o b lic u a . E x p lic a la m e to d o lo g ía q u e u sa ste .

I S E C C IÓ N 5.3


353

Respuesta a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?"

5.3 Gráfica de una función racional P r e p a r a c ió n

•

ESTA SECCIÓN A n t e s d e e m p e z a r , r e p a s a l o s i gu i e nt e :

para

I n te r s e c c io n e s (s e c c ió n 2 .2 , p p . 1 5 9 -1 6 0 )

\ Resuelve ahora lo s



la p á g in a 3 6 5 .

OBJETIVOS 1 Análisis de la gráfica de una función racional (p. 353) 2

Resolver problemas aplicados que involucren funciones racionales (p. 364)

1 A n á lis is d e la g rá fic a d e u n a fu n c ió n ra c io n a l Anteriormente comentamos que el cálculo proporciona las herramientas necesarias para trazar la gráfica de una función polinomial con exactitud. Lo mismo se aplica para funciones racionales. Sin embargo, podemos recopilar información de sus gráfi cas para tener una idea de la forma general y la posición de la gráfica. EJEM P LO 1

C ó m o analizar la gráfica de una función racional Analiza la gráfica de la función racional:

Solución paso a paso P a s o 1: F a cto riza el numerador y denominador de R. Determina el dominio de la función racional.

R{x)

El dominio de P a s o 2 : Escribe

R en su s térm inos

mínimos.

Localiza las in te rse c ciones de la g ráfica. Determina el comportamiento de la gráfica de R cerca de cada intersección con x, usando el mismo procedi miento que para funciones polinomiales. Traza cada intersección con x e indica el comportamiento de la gráfica cerca de ella. Paso

3:

R

es {*|* ^ - 2 ,

x2 x

4

(x + 2)(x

-

2

)

# 2}.

Como no hay factores comunes entre el numerador y denominador, términos mínimos.

R

está en sus

Como 0 está en el dominio de R , la intersección con y es R ( 0) = - . Las intersecciones con x se determinan por medio de los ceros reales del numerador de R que estén en el dominio de R . Al resolver* - 1 = 0, el único cero real del numerador es 1, así que la única intersección con * de la gráfica de R es 1. Analizamos el comportamiento de la gráfica de R cerca de * = 1: Cerca de 1:

* -

R{x) =

1

_

( * + 2 ) ( jc - 2 ) *

* -

1

_

(1 + 2 ) ( 1 - 2 ) “

1 3 *

j

Traza el punto (1, 0) y dibuja una línea que pase por (1, 0) con pendiente negativa. Ver figura 32(a) en la página 355.

Fundones racionales y polinomiales

tlc a le s . Traza cada a s ín to ta vertícal usando una línea punteada.

P a s o 5 : Localiza las a sín to tas ho rizontales o las a sín to tas oblicuas, si existen. Determina los puntos, si existen, en los cuales la gráfica de R intersecta a esta asíntota. Tra za las asín to tas usando una línea punteada. Traza cualquier punto en el que la gráfica de R intersecte a la asíntota.

Las asíntotas verticales son los ceros del denominador con la función racional en sus términos mínimos. Con R escrita en sus términos mínimos, encontramos que la gráfica de R tiene dos asíntotas verticales: las rectas x - - 2 y x = 2. Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, R es propia y la recta y = 0 (el eje jc) es una asíntota horizontal de la gráfica. Para determinar si la gráfica de R intersecta a la asíntota horizontal, resuelve la ecuación R ( x ) = 0:

jc

- 1 = 0 jc

= 1

La única solución es jc = 1, así que la gráfica de en ( 1 , 0 ). P a s o 6: Usa los ceros del nume rador y del denominador de R para dividir el eje x en intervalos. D eter mina en dónde la gráfica de R e stá por encima o por debajo del eje x escogiendo un número en cada in tervalo y evaluando ahí R. Traza los puntos que e n co n tra ste .

intersecta a la asíntota horizontal

R

Los ceros del numerador, 1, y los ceros del denominador, - 2 y 2, dividen al eje jc en cuatro intervalos: ( - o o ,- 2 )

(- 2,1 )

(1 , 2 )

( 2 ,o o )

Ahora construye la tabla 11.

-2

1

2

(-oo, -2 )

( - 2, 1 )

Número escogido

-3

0

Valor de R

/?(—3) = - 0.8

«(O) = 7 4

Localización de la gráfica

Por d eb ajo

Por e n cim a

Por debajo

Por encim a

del eje x

del e je x

del eje x

del e je x

X

(»■i)

(W)

(3 ,0 .4 )

Punto en la gráfica

00 Ö 1 ro

Intervalo

(2, oo)

( 1 , 2) 3

3

2

II

P a s o 4 : Localiza las a s ín to ta s ver-

O 4*

C A P ÍT U L O 5

UJ

354

La figura 32(a) muestra las asíntotas, los puntos de la tabla 11, la intersección con y , la intersección con jc y el comportamiento de la gráfica cerca de la interse cción con jc, 1. P a s o 7 : Analiza el com portam ien

to de la g ráfica de R cerca de la s a s ín to ta s e indica e ste com porta miento en la g ráfica.

• Como y = O (el eje jc) es una asíntota horizontal y la gráfica está por debajo del eje jc para jc < —2 , podemos bosquejar una parte de la gráfica poniendo una pe queña flecha por debajo del eje jc y lejos a la izquierda. • Como la recta jc = - 2 es una asíntota vertical y la gráfica está por debajo del eje .v para x < - 2 , ponemos una flecha muy por debajo del eje .v y que se aproxime a la recta jc = - 2 por la izquierda ( lím R ( . x ) = - o o ). • Como la gráfica está por encima del eje jc para —2 < asíntota vertical, la gráfica seguirá a la derecha de x =

< 1 y x = - 2 es una —2 en la parte superior

x

( lím +/?(jc) = 4-oo j. Explicaciones similares aclaran el uso de las otras flechas mostradas en la figura 32(b).

S E C C IÓ N 5 J P¿ » 0 U s a los resultados q u e obtuviste en los pasos 1 al 7 para construir la gráfica de K.

^

En


355

l a f i g u r a 3 2 ( c ) m u e s t r a la g r á f i c a d e R.

Exploración „ T raza la gráfica de

X—1 R{x) = —-----A 4

Resultado El an álisis q u e co m p letam o s en el ejem p lo 1 nos ayuda a e stab lece r el rectán g u lo de visualizació n para o b ten e r una gráfica co m p leta. En la figura 33(a) se m uestra la gráfica de

x — 1

R[x) = —------ en A ~~ A

m o do co n e xo y en la fig ura 33(b) se m uestra en m odo d e punto s. O bserva q u e la gráfica en la figura 33(a), tie n e rectas v erticales en x = - 2 y x = 2. Esto se d eb e al h echo de q u e, cu an d o el disp o sitivo g rá fico está en m o do co n e xo , co n ectará los p u n to s e n tre los p ixeles co n secu tivo s y pu eden ap arecer rectas v e rticales. S abem o s que la gráfica de

R no cruza las re c t a s x = - 2 y x = 2, porque R no está d efin id a en

x = - 2 o en x = 2. A sí que cu an d o hagas g ráficas d e fu n cio n e s racio nales, debes usar el m odo d e puntos para ev ita r rectas verticales extrañas que no son parte de la gráfica. Ver figura 33(b).

Figura 33

4

4

Modo conexo (a)

-Resuelve ahora

EL P R O B L E MA 7

R E S U M E N Análisis de la gráfica de una función racional R Paso 1:

Factoriza el numerador y el denominador de

Paso 2: Paso 3:

Escribe R en sus términos mínimos. Localiza las intersecciones de la gráfica. Las intersecciones con x son los ceros del numerador de R que están en el dominio de R . Determina el comportamiento de la gráfica de R cerca de cada intersección con x.

Paso 4:

Determina las asíntotas verticales. Traza la gráfica de cada asíntota vertical usando una línea punteada.

Paso 5:

Determina la asíntota horizontal o la asíntota oblicua, si existe alguna. Determina los puntos, si existen, en los que la gráfica de R intersectan a esta asíntota. Traza la gráfica de la asíntota usando una línea punteada. Traza cualquier punto en el que la gráfica de R intersecte a la asíntota. (C o n t i n ú a )

R.

Determina el dominio de la función racional.

J

356

c a i ’ít 1 ' )1,0 5

Fundones racionales y pollnomiales

P aso 6 :

Usa los coros del numerador y del denominador de R para dividir al eje x en intervalos. Determina, dón de la gráfica de R está por encima o por debajo del eje x escogiendo un número en cada intervalo para evaluar R . Traza los puntos que encuentres.

P aso 7 :

Analiza e indica el comportamiento de la gráfica de

P aso 8 :

Usa los resultados obtenidos en los pasos 1 al 7 para construir la gráfica de

EJEM P LO 2

R

cerca de cada asíntota.

A nálisis de la gráfica de una función racional Analiza la gráfica de la función racional:

Solución

R.

P aso

1:

R ( x ) = --------- —---------.

P

a so

2:

R e stá e n s u s t é r m in o s m ín im o s .

P

a so

R(x) =

El d o m i n i o

—1 ---------

d e R e s [x \ x ¿ OJ.

3: Como x no puede ser 0, no hay intersección con y. La gráfica tiene dos inter secciones con x , - 1 y 1 . ( jt + \ ) ( x - 1) ( x + 1 )(- 1 - 1) Cercado -1 : R ( x ) = -------------------- ~ ------------- j----------= 2(jr + 1) , ,

Cerca de 1:

% R(x)

(* + 1)(X - 1)

(1 +

1)(X

- 1)

= --------- —--------- = ----------- ---------- =

„

2(x -

1)

Traza el punto ( - 1 , 0 ) e indica en ese punto una recta con pendiente posi tiva. Ahora traza el punto (1,0) e indica ese punto una recta con pendiente positiva. P

a so

P

a so

NOTA Como el denominador de la función racional es un monomio, también podemos encontrar la a s ín to ta oblicua de la siguiente manera:

4:

El cero real del denominador con R en sus términos mínimos es 0. por lo que la gráfica de R tiene la recta x = 0 (el eje x) como asíntota vertical. Traza x = 0 usando una línea punteada.

5: Como el grado del numerador, 2, es uno mayor que el grado del denomi nador, 1, la función racional tendrá una asíntota oblicua. Para encontrar la asíntota oblicua usamos la división larga. x ______ x)x2 - 1 JT_____ -1

x

x

x

x

El cociente es .v, así que la recta y = x es una asíntota oblicua de la gráfica. Traza la gráfica de y = x usando una línea punteada. Para determinar si la gráfica de R intersecta la asíntota v = .r. resolvemos la ecuación R ( x ) = .v.

Como - —>O cuando x —> oo, y = x y es la a s ín to ta oblicua. ■

■*

x~ -

, 1 =

V

—1 = 0

?

Imposible

Podemos concluir que la ecuación — - — = .v no tiene solución y, por lo COMENTARIO Observa que R es una función Impar y, por lo ta n to , su gráfica es sim é trica con res pecto al origen. E s t a observación reduce el trab ajo para t r a z a r la gráfica de R. ■

P

a so

6:

tanto, la gráfica de R no intersecta la recta v = x . Los ceros del numerador son - 1 y 1, el cero del denominador es 0 . Usamos estos valores para dividir el eje x en cuatro intervalos: ( - o o . - l )

(-1,0)

(0,1)

(l,oo)

Ahora podemos construir la tabla 12. Trazamos los puntos de la tabla 12 y obtenemos la figura 34(a).

k S E C C IÓ N 5.3

Tabla 12


357

-1 (-oo, -1)

Número escogido

-2

Valor de R

f l( ~ 2) = - -


Por deb ajo

Por en cim a

Por d eb ajo

Por e n cim a

del e je x

del eje x

del eje x

del eje x

(-*-!)

Bi)

(H)

K)


P

( 1 ,o o )

Intervalo

( - 1, 0)

(

0, 1)

1

II

2

2

_

2

T

«HH

R(2 ) =

-

Como la gráfica de R está por debajo del eje .v para jc < —1 y por encima del eje x para .v > 1 y como la gráfica de R no intersecta la asíntota oblicua y = jc, la gráfica de R se acerca a la recta y = x como se muestra en la figura 34(b). Como la gráfica de R está por encima del eje x para - 1 < x < O, la gráfica de R se acercará a la asíntota vertical x = Oen la parte superior, a la izquierda de .v = O [ lím R ( x ) = oo]; como la gráfica de R está por debajo

a so

7:

a so

del eje x para O < .r < 1, la gráfica de R se acercará a la asíntota vertical x = O en la parte inferior, a la derecha de ,v = O [ lím R ( x ) = -o o ]. Ver figura 34(b). Jr~>0+ 8 : La gráfica completa se observa en la figura 34(c).

x->o

P

Figura 34 x = O

x = O

x = O

i i

i

y -

í

/= *

y - /

(T 1'° V

/ \\

\

OO I K

<

,

V i) J 1 ^(1,0)

1 3

r X

- i) ./ '

-3 - I i i

(b)

^ Visualización del concepto x2 — 1 T raza la gráfica de fl(x) = — - — y com para lo que ves con la figura 34(c). ¿Pudiste h aber predicho de la gráfica q u e y = x es una asínto ta oblicua? Traza la gráfica de y = x y utiliza ZOOM -OUT. ¿Qué puedes o bservar?

I


EL P R O B L E MA

Análisis de la gráfica de una función racional Analiza la gráfica de la función racional:

Solución

15

R{x) =

P

a so

1:

R

está completamente factorizada.

P

a so

2:

R

está en sus términos mínimos.

E l

x^ + 1 —~2—

dominio de

R

es { jc|jc *

0 }.

358

c a p ít

U LO 5

Funciones racionales y pollnomlales P

a so

P

a so

P

a so

3: No hay intersección con y . Como x* + 1 = 0 no tiene soluciones reales, no hay intersecciones con x. 4:

está en sus términos mínimos, entonces x = 0 (el eje x ) es una asíntota vertical de R . Tra/.a la gráfica de la recta x = 0 usando una línea punteada. R

5: Como el grado del numerador, 4, es dos más que el grado del denominador, 2, la función racional no tendrá una asíntota horizontal u oblicua. Usamos la división larga para encontrar el comportamiento terminal de R. ji c2 J x 4

+

1

El cociente es x 2, por lo tanto, la gráfica de R se acercará a la gráfica de y = x 2 cuando x - * - o o y cuando x - * o o . La gráfica de R no intersecta y = x 2. ¿Sabes por qué? Traza la gráfica de y = x 2 usando una línea punteada. P

a so

6:

El numerador no tiene ceros reales y el denominador tiene un cero real en 0. Dividimos el eje x en los dos intervalos (-o o ,0 )

(0 , o o )

y construimos la tabla 13. °

-x

Intervalo

t-o o ,0 )

(0, oo )

Número escogido

-1

1

Valor defl

«(-1) = 2

fl(1) = 2


Por en cim a

Por en cim a

del eje x

del e je x


(-1,2)

(1,2)

Traza los puntos ( - 1 ,2 ) y (1,2). P

a so

P

a so

7: Como la gráfica de R está por encima del eje .r y no intersecta y = x 2. pone mos flechas encima de y = x 2 como se muestra en la figura 35(a). Además, como la gráfica de R está por encima del eje .r, se acercará a la asíntota ver tical x = 0 en la parte superior a la izquierda de .v = 0 y en la parte superior a la derecha de x = 0. Ver figura 35(a). 8:

Figura 35

L a g r á f ic a c o m p le t a se m u e s t r a e n la f ig u r a 3 5 ( b ) . x = 0

x= 0

i i y N O T A Observa que en el ejemplo 3 ,

6

R es una función par. ¿Puedes ver la sim etría con el eie y en la gráfica de R? ■

(a)

-

(b) J

S E C C IÓ N 5.3


359

Visualización del concepto T raza la g ráfica de

RM =

x4 + 1 x2

y co m p ara lo q u e ves co n la fig ura 35(b). Usa M INIMUM para determ i-

n ar los dos p u n to s d e in fle xió n . Ingresa

Resuelve ahora EJEM P LO 4

e l

Y = x 2 y utiliza ZO O M -O UT. ¿Q ué es lo q u e ves?

p r o b l e m a

A nálisis de la gráfica de una función racional Analiza la gráfica de la función racional:

Solución

13

P

a so

1:

R (x)

3x2

=

x2

-

3 jc

+ * -

12

Factoriza R para obtener — 1)

3x(x R(x) = (x

El dominio de

R

es {x|x * - 4 ,

+

4)(x

x *

- 3)

3}.

está en sus términos mínimos.

P

a so

2:

R

P

a so

3:

La intersección con y es /?(0) = 0. Traza el punto (0,0). Como las soluciones reales de la ecuación 3 x ( x - 1) = 0 son je = 0 y je = 1, la gráfica tiene dos intersecciones en x , 0 y 1. Ahora determinaremos el comportamiento de la gráfica de R cerca de cada intersección con x. - 1)

3x(x

Cerca de 0:

R (x) =

Cercadel:

R{x)

3x(0 - 1)

(* + 4 ) ( je - 3)

(0 + 4)(0 - 3) “ 4 *

- 1) + 4)(jf _ 3) ~

3x(x

=

^

1

(1

3(1)( je - 1) 3 + 4 ) ( 1 _ 3) = ~ T ó (* “ ^

Traza el punto (0, 0) y muestra ahí una recta con pendiente positiva. Traza el punto ( 1 , 0 ) y muestra ahí una recta con pendiente negativa. está en sus términos mínimos. Las soluciones reales de la ecuación (je + 4)(x — 3) = 0 son x = - 4 y x = 3, por lo tanto, la gráfica de R tiene dos asíntotas verticales, las rectas x = —4 y x = 3. Traza estas rectas usando líneas punteadas.

P

a so

4:

R

P

a so

5:

Como el grado del numerador es igual al grado del denominador, la gráfica tiene una asíntota horizontal. Para determinarla, forma el cociente del coe ficiente principal del numerador, 3, y del coeficiente del denominador, 1. La gráfica de R tiene la asíntota horizontal y = 3. Para saber si la gráfica de R intersecta la asíntota, resuelve la ecuación R ( x ) = 3. . 3 je2 - 3 x R ( x ) = — ----------- — = 3 *2 + x 12 3x2 — 3 x — 3 x 2 + 3jc — 36 -

—6x = —36 x = 6 L a g r á f ic a i n t e r s e c t a la r e c t a y d e R. T ra za el p u n to P

aso

(6 , 3)

= 3 en

x

y la r e c t a y

= 6 y (6 , 3) e s u n p u n t o e n la g r á f ic a = 3 u s a n d o u n a lín e a p u n t e a d a .

6 : L o s c e r o s r e a le s d e l n u m e r a d o r , 0 y 1, y l o s c e r o s r e a le s d e l d e n o m i n a d o r , - 4 y 3 , d iv i d e n a l e j e x e n c i n c o in t e r v a lo s :

(- o o ,-4 )

( - 4 ,0 )

(0,1)

(1,3)

( 3 ,oo)

Construye la tabla 14. Traza los puntos de la tabla 14. La figura 36(a) mues tra la gráfica que tenemos hasta ahora.

360

C A P ÍT U L O 5


-4

1

0

3

Intervalo

( - 00, - 4 )

(-4,0)

Número escogido

-5

-2

Valor de/?

/?(—5) = 11.25

/?(-2) = -1.8


Por encim a

Por d ebajo

Por e n cim a

Por debajo

Por en cim a

del eje x

del eje x

del eje x

del e je x

del e je x


(-5,11.25)

(-2 ,-1 .8 )

a¿)

(2,-1)

(4,4.5)

P

a so

7:

(0,1) 1 2

«GK

(1,3)

(3,00)

2

4

fi(2) = -1

fl(4) = 4.5

• Como la gráfica de R está por encima del eje a para x < - 4 y solo cruza la recta y = 3 en ( 6 , 3 ) , cuando x tiende a —oo la gráfica de R se acercará a la asíntota horizontal y - 3 por la parte superior ( lím R ( x ) = 3 ) . • La gráfica de R se acercará a la asíntota vertical x = - 4 en la parte supe rior a la izquierda de x = - 4 ( lím R ( x ) = +oo) y en la parte inferior * —>-4

a la derecha de

x -

- 4 ( lím

x-> -4 +

R (x) =

-o o ).

• La gráfica de R se acercará a la asíntota vertical a = 3 en la parte inferior a la izquierda de x = 3 ( lím R ( x ) = -o o ) y en la parte superior a la derecha de

x -

3 ( lím

R (x)

= + 0 0 ).

• No sabemos si la gráfica de R cruza o toca la recta y - 3 en ( 6 , 3). Para ver si la gráfica toca o cruza la recta y = 3, trazamos un punto adicional a la derecha de ( 6 , 3). Usamos

x =

7 para encontrar

R ( 7)

= — < 3. La

gráfica cruza y = 3 en x = 6 . Como (6 ,3) es el único punto donde la grá fica de R intersecta la asíntota y - 3, la gráfica se debe acercar a la recta y — 3 por la parte inferior cuando x —» 0 0 ( lím R ( x ) = 3). Ver figura 36(b). F ig u r a 3 6

P

a so

8:

La gráfica completa se muestra en la figura 36(c).

S E C C IÓ N 5.3

o Exploración

T raza la g ráfica d e R(x)


361

3X2 - 3x

12

x^ + x -

Resultado La figura 37 m uestra la gráfica en m odo co n exo y la figura 38(a) la m uestra en m odo de p u n tos. N inguna d e las gráficas m uestra claram en te el co m p o rtam ie n to de la fu n ció n en tre las dos in terse c cio nes en x, 0 y 1 . T am p o co m uestran claram en te el h echo d e q u e la gráfica cruza la asínto ta h orizontal en

R para - 1 £ x s 2 [figura 38(b)] y para 4 < x < 60 [figura 39(b)].

(6,3 ) . Para ver m ejo r estas partes, trazam os

: ¡gura 37

Figura 38

10

10

0.5

Modo conexo

(a)

(b)

Las n u evas gráficas m uestran el co m p o rta m ie n to p ro d ucido por el an álisis. A dem ás, o bservam o s dos p u n to s de in fle xió n , uno en tre 0 y 1 y el otro a la derech a de 6 . R edondeados a dos lugares decim ales, esto s p u n to s de in flexió n son (0 .5 2 ,0 .0 7 ) y (1 1 .4 8 ,2 .7 5 ).

EJEM P LO 5

Análisis de la gráfica de una función racional con un hoyo 2x2 -

Analiza la gráfica de la función racional: Solución

i

P

a so

R (x) =

1: Factoriza R para obtener (2x

=

R(x)

El dominio de P

a so

2:

R

a so

- l)(x — 2 )

( x + 2 ) ( jc — 2 )

es {xU ^ - 2 ,

x ^ 2}.

En sus términos mínimos, R(x)

P

5x + 2

------ r---------xr - 4

=

^ x + 2

-2 ,

x *

1

3: La intersección con y es i?(0) =

x

^ 2

Traza el punto ( 0,

La gráfica tiene una intersección con x: Cerca de

2x R{x)

T

— T

T

2 jc -

1 “

T

1

7

2 =

5 (2*

-

1]

2 + 2

Traza el punto (

1

0 j mostrando una recta con pendiente positiva.

362

C A I’ ÍT U L O 5

Fundones racionales y pollnomlales P

a so

4:

Como

+ 2 es el único factor del denominador de R ( x ) en los t é r m i n o t la gráfica tiene una asíntota vertical, x = - 2 . Sin embargo, la fun ción racional no está definida en x = 2 ni en x = - 2 . Traza la recta x - - 2 usando una línea punteada. x

m ínim os,

P

a so

5:

Como el grado del numerador es igual al grado del denominador, la gráfica tiene una asíntota horizontal. Para determinarla, forma el cociente del coeficiente principal del numerador, 2 , y el coeficiente principal del deno minador, 1. La gráfica de R tiene la asíntota horizontal y = 2. Traza la recta y = 2 usando una línea punteada. Para determinar si la gráfica de R intersecta la asíntota horizontal y = 2. resolvemos la ecuación R ( x ) = 2. -

2x R (x) =

1

= 2

x + 2 2x

-

2x

- 1=

1

=

2 ( x + 2) 2x + 4

—1 = 4

La gráfica no intersecta la recta y P

a so

6:

Imposible = 2.

Observa la expresión factorizada para numerador y denominador, - 2 , ( - 00, - 2)

R

en el paso

1.

Los ceros reales del

y 2 , dividen al eje .r en cuatro intervalos:

( - 2, 1 )

( 1 , 2)

( 2, 00)

Construye la tabla 15. Traza los puntos de la tabla 15. T a b la 1 5

-2

P

1/2

Intervalo

( - 00, - 2)

H)

G*)

Número escogido

-3

-i

i

Valor de R

«(-3) = 7

« (-1 ) = - 3

Ri U

Localización en la gráfica

Por encim a

Por d ebajo

Por e n cim a

Por e n cim a

del e je x

del eje x

del eje x

del e je x


(-3 ,7 )

( - 1 ,- 3 )

(’■)

(3,1)

a so

7:

• De la tabla

15

( 2. x )

3

=

«3) = 1

1

sabemos que la gráfica de

R

está por encima el eje x para

.v < - 2 .

• Del paso 5 sabemos que la gráfica de R no intersecta la asíntota y = 2. Por lo tanto, la gráfica de R se acerca a v = 2 por la parte superior cuando .v -* - o o y se acerca a la asíntota vertical x = - 2 en la parte superior por la izquierda. • Como la gráfica de R está por debajo del eje x para - 2 < .v < —, la grá fica de R tiende a ,v = - 2 en la parte inferior por la derecha. NOTA La s coordenadas del hoye se obtuvieron evaluando R en sue térm inos mínimos en 2. R en su£ 2x - 1 térm inos mínimos es qu< x + 2 en x = 2 es

2(2) - 1

3

2 + 2

4'

• Por último, como la gráfica de

R

está por encima del eje ,v para x

no intersecta la asíntota horizontal v = 2. la gráfica de por la parte inferior cuando ,v -* oo. Ver figura 40(a). P

a so

8:

La figura 40(b) muestra la gráfica completa. Como en 2 , existe un hoyo en el punto

R

R

1

>

- y

tiende a y = 2

no está definida

S E C C IÓ N 5.3


363

-(3,1)— y =

^

Exploración Traza la gráfica de

2X2 — 5x •+■ 2 / 3\ R(x) = ------ ------------. ¿Pu edes v e r el hoyo en ( 2 - ]? A plica T R A C E en la gráfica.

V

X2 - 4

'4 /

¿O b tu viste un ERROR en x = 2? ¿Estás co n ven cid o d e q u e se re q u iere un an álisis algeb raico de una fu n ció n racional para po d er in terp reta r co rre ctam en te la gráfica o bten id a con un disp o sitivo gráfico?

j

Como muestra el ejemplo S, los ceros del denom inador de una función racional generan las asíntotas verticales o los hoyos en la gráfica.

*"’™ EJEM P LO 6

i—Resuelve ahora

el

problema

33

C o nstrucción de una función racional a p artir de su gráfica Determina una función racional que pueda tener la gráfica que se muestra en la figura 41.

en sus términos mínimos determina las intersecciones en x de su gráfica. La gráfica que se muestra en la figura 41 tiene intersecciones en x en - 2 (multiplicidad par, la gráfica toca el eje x ) y 5 (multi plicidad impar, la gráfica cruza el eje x). Así que una posibilidad para el numerador es p { x ) = ( x + 2 ) 2( x —5). El denominador de una función racional en sus términos mínimos determina las asíntotas verticales de su gráfica. Las asíntotas verticales de la gráfica son x = - 5 y x - 2. Como R ( x ) tiende a 00 por la izquierda de x - - 5 y R ( x ) tiende a - 0 0 por la derecha de x = - 5 , sabemos que (;t + 5) es un factor de multiplicidad impar en q { x ) . Además, R ( x ) tiende a - 0 0 por ambos lados de x = 2, entonces (* - 2) es un factor

364

C A P ÍT U L O 5

Fundones racionales y polinomiales

de multiplicidad impar en q ( x ) . Una posibilidad para el denominador es q ( x ) (x

- 2)2. Hasta ahora tenemos

R(x)

= ( x + 5)

{ x + 2)2( jc - 5) = -------------------- r. { x + 5)(jr - 2 ) ¿

La asíntota horizontal en la gráfica que se da en la figura 41 es y = 2, entonces sabemos que el grado del numerador debe ser igual al grado del denominador y el 2 cociente de los coeficientes principales debe ser Esto nos lleva a

Figura 42 5

1

2{x

+ 2)2( jc - 5)

R(x) =

(x + 5)(x - 2 ) ¿

10 \ % S ' Verifica:

j

La figura 42 muestra la gráfica de R en un dispositivo gráfico. Dado que la figura 42 se parece a la figura 41, hemos encontrado una función racional para R la cual se observa en la gráfica de la figura 41.

Resuelve ahora

el

problema

45

2 R e so lu c ió n d e p ro b le m a s a p lic a d o s q u e in v o lu c ra n fu n c io n e s ra c io n a le s

EJEMPLO 7

D eterm in a el costo m ínim o de una lata La compañía Reynolds Metal fabrica latas de aluminio con forma cilindrica, con una capacidad de 500 centímetros cúbicos

litro^. Las partes superior e inferior de las

latas están hechas de una aleación de aluminio especial que cuesta 0.05tf por centí metro cuadrado. Los lados de las latas están hechos de un material que cuesta 0.02c por centímetro cuadrado. (a) .*e¿¡ (b) (c) (d) Solución (a)

s

Figura 43

Parte superior

Expresa el costo del material para la lata como una función del radio r de la lata. Usa un dispositivo gráfico para obtener la gráfica de la función C = C(r). ¿Qué valor de r dará como resultado el costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo? La figura 43 ilustra los componentes de una lata en forma de cilindro circular recto. Observa que el material requerido para producir una lata cilindrica de altura h y radio r consiste en un rectángulo de área 2 n h r y dos círculos, cada uno de área n r . El costo total C (en centavos) de fabricar la lata es C = costo de la parte superior e inferior + costo de la parte lateral = 2(ttr2) (0.05) + (2-irr/i) (0.02) Área total de Costo/Unidad parte superior de área e inferior

Área total CoetolUnidad de la parte de área lateral

= O.IOtit2 + 0.04-nr/f Pero tenemos la restricción adicional de que la altura h y el radio r se deben de escoger de manera que el volumen V de la lata sea 500 centímetros cúbicos. Como V = n ^ h , tenemos que , , 500 500 = Ttr'h entonces h = — t trr

Figura 44 60

10 o

Si sustituimos esta expresión por /?, el costo C, en centavos, como función del radio r es __ O.lOirr3 + 20 , 500 ,. 20 O .IO C(r) " u t 2 + 0 . 0 4 n r * — r = 0 . 1 0 -nr" + — Tir2 f (b) Observa la figura 44 para la gráfica de C = C(r). (c) Usando el comando MINIMUM, el costo es mínimo para un radio de aproxima damente 3.17 centímetros. (d) El costo mínimo es C(3.17) ~ 9.47 é|

Resuelve ahora

el

problema

55

S E C C IÓ N 5.3

365


>'3 E v a l ú a t u e n t e n d i m i e n t o '¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas ■ntre paréntesis. — 1

1.

D e te r m in a la s in te r s e c c io n e s d e la g rá fica d e la e c u a c ió n y =

—z------- . (p p . x - 4

1 5 9 -1 6 0 )


5.

Si e l n u m e r a d o r y e l d e n o m in a d o r d e u n a fu n c ió n r a c io

3.

Verdadero o falso

L a g rá fica d e u n a fu n c ió n ra c io n a l a l

g u n a s v e c e s tie n e un h o y o .

n al n o tie n e n fa c to r e s c o m u n e s , la fu n c ió n ra c io n a l e s

x(x

«. m

L a g rá fica d e u n a fu n c ió n ra c io n a l n u n ca in te r se c ta la a sín

- 2)2

to ta _______________. 4.

Verdadero o falso

(a ) D e te r m in a e l d o m in io d e

L a g rá fic a d e u n a fu n c ió n ra c io n a l a l

R. x d e R.

(b ) D e te r m in a las in te r s e c c io n e s e n

g u n a s v e c e s in te r se c ta u n a a sín to ta o b lic u a .

Ejercicios En los problemas 7^44, sigue los pasos 1 al 8 en las páginas 355-356 para analizar la gráfica de cada función. V 7.

R(x)

11J5.

=

* + 1 jc( at

X3 -

x2 -

1

x4 -

16

H(x) = - 4---------

x2 + x - 1 2 x —4

27.

R(x)

31.

R(x) =

34.

R(x)

=

37.

R(x)

=

40.

f(x) = 2x + ^

43. / (

jc)

=

=

=

20.

G{x)

=

24.

H(x) =

28.

R{x)

x(x -

=

\ l 3 .

6

-

x3 + 1 2 „

G(x)

16.

x2 + 2x 3x x2 - l

v '

19. G(x) = 23.

6 x1 - x

12 . f? (x ) = 1

9.

(x - l)(x + 2)

+ 4)

- 7 T 7

H(x) =

8. R(x) =

x2 +

4

x4 -

1

x2 - x x +

12

-

P(x)

=

x2 + 3x - 10 x2 + 8jc + 15 x2 + 5x + 6 x + 3

+ -y

+

17.

R(x) =

21.

R{x)

=

25.

F(x)

=

29.

F{x)

=

32.

R(x)

=

35.

R(x)

=

38.

R(x )

=

41.

f(x) = x2 + -

44.

f{x) = 2 x + ^

x(x -

R{x)

=

!4 .

Q{x)

=

R{x)

=

26.

F{x)

=

30.

G(x) =

18.

- y - --------- -x + x - 6

(x -

1 )(^2 - 4 )

x2 - 3 x - 4 x + 2 x2 + x - 12 x + 2

- 3)

2x2 - Ix + 6 x2 + x - 3 0 x + 6 1

22.

x -

1

4- 1

x x2 + x - 12 R(x) = x2 - 4 -4 ( jc +

X

R(x) =

x2 + x - 12 x2 - x - 6

36.

R(x) =

8x2 + 26x + 15 2x2 — jc — 15

39.

f(x) = x

42.

f(x) = 2x2 +

—

l)(x2 -

x2 + 3x + 2 x - 1 x2 - x - 12

\3 3 .

4 )2

6*2 - Ix - 3

o

x2 + 1

2 jc + 4

10.

2 jc + 4

5

(X + 3)3

x

=

(x - l)(x + 2)(x

l )2

3* + 3

R(x)

+

1

x 16

En los problemas 45-48, encuentra una función racional que pueda tener la gráfica dada. (Puede existir más de una respuesta). 46.

y=1

x = -1

x = 1

1

9)

366

C A P ÍT U L O 5


A plicaciones y extensiones 49. Concentración de un fármaco

d e l s o n id o d e u n a fu e n te ( s) q u e o y e un o b se r v a d o r

L a c o n c e n tr a c ió n C d e

c ie r to fá rm a co en e l to r r e n te sa n g u ín e o d e un p a c ie n te

t

h o ra s d e s p u é s d e q u e s e le in y e c te e s tá d a d a p o r

c (0 =

q u e a m b o s, la fu e n te y e l o b se r v a d o r s e e stá n en m o v i m ie n to en la m ism a d ir e c c ió n , la r e la c ió n e stá d a d a p or

t 2t2

+ 1

(a ) D e te r m in a la a sín to ta h o r iz o n ta l d e

C(t).

¿ Q u é p a sa

c o n la c o n c e n tr a c ió n d e l m e d ic a m e n to c o n fo r m e se

donde

/ ' = to n o q u e p e r c ib e e l o b se r v a d o r

in c r e m e n ta t?

I

(b ) U s a n d o tu d is p o s itiv o g r á fic o , o b té n la g rá fic a d e

C = C{t).

J a

/

= to n o rea l d e la fu e n te

v

= v e lo c id a d d e l s o n id o e n e l aire (co n sid era 7 7 2 .4 m p h )

(c ) D e te r m in a e l tie m p o e n e l q u e la c o n c e n tr a c ió n e s m á s

v0 =

alta.

50. Concentración de un fármaco

v

L a c o n c e n tr a c ió n C d e

c ie r to fá rm a co e n e l to r r e n te sa n g u ín e o d e u n p a c ie n te

t

b u la n cia (c o n sir e n a ) q u e s e a ce rc a a ti p o r d etrá s. E l to n o

(a ) E sc r ib e u n a fu n c ió n / ' ( « , ) q u e d esc rib a e s ta situ a ció n .

25

(b ) S i / ' = 6 2 0 H z, d eterm in a la v elo cid a d d e la am bulancia. (a ) D e te r m in a la a sín to ta h o r iz o n ta l d e C (f). ¿ Q u é p a sa c o n la c o n c e n tr a c ió n d e l m e d ic a m e n to c o n fo r m e se

j'jj (c) U s a un d isp o s itiv o g r á fic o para o b te n e r la gráfica d e la fu n c ió n .

in c r e m e n ta /?

(d ) V e r ific a tu r e sp u e sta d e l in c iso (b ).

(b ) U s a n d o tu d is p o s itiv o g r á fic o , o b té n la g rá fic a d e

C=C( t ) .

Fuente: ivwiv. kettering.edu/~drussell/

(c ) D e te r m in a e l tie m p o e n e l q u e la c o n c e n tr a c ió n e s m ás

Minimización del área de superficie

alta.

Costo mínimo

= v e lo c id a d d e la fu e n te

rea l d e la sir e n a e s d e 6 0 0 H e r tz (H z ).

50r

t2 +

S

v e lo c id a d d e l o b se r v a d o r

C o n sid e r a q u e v a s p o r e l c a m in o a 4 5 m p h y o y e s u n a a m

h o ra s d e s p u é s d e q u e s e le in y e c te e stá d a d a p o r

c(r) =

(o)

c u a n d o u n o o lo s d o s e stá n e n m o v im ie n to . Si s u p o n e m o s

U n ite d P arcel S erv i

c e te ha c o n tr a ta d o para d ise ñ a r u n a caja cerrad a co n una S e q u ie r e ce rc a r u n á rea re c ta n g u la r s itu a

d a ju n to a un río, n o s e n e c e s ita ce r c a d e l la d o d e l río. E l

Q

b a se cu a d ra d a q u e te n g a u n v o lu m e n d e 10.000 p u lg a d a s cú b ica s. V e r ilu stra c ió n .

á rea q u e s e q u ie r e ce rc a r e s d e 1000 p ie s cu a d r a d o s. L a ce rc a p ara e l la d o p a r a le lo al río c u e s ta $5 p o r p ie lin e a l y

y

la ce rc a para lo s o tr o s d o s la d o s c u e s ta $8 p o r p ie lin eal; lo s p o s te s d e las e s q u in a s c u e s ta n $25 c a d a u n o . S e a

x

la

lo n g itu d d e u n o d e lo s la d o s p e r p e n d ic u la r e s al río. (a ) E s c r ib e u n a fu n c ió n C (* ) q u e d e sc r ib a e l c o s to d el p r o y e c to .

(a ) E x p r e sa e l á rea d e su p e r fic ie de

(b ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e C? (c ) U s a un d isp o s itiv o g r á fic o p ara o b te n e r la g rá fic a d e C = C(jr).

S de

la caja c o m o fu n ció n

x.

(b ) U s a n d o u n d isp o s itiv o g r á fic o , o b té n la gráfica d e la fu n c ió n q u e d e te r m in a ste e n e l in c is o (a ). (c ) ¿ C u á l e s la c a n tid a d m ín im a d e c a r tó n q u e s e p u e d e

(d ) D e te r m in a las d im e n s io n e s p ara la ce rc a m á s b arata.

Fuente: www.uncwil.edu/courses/mathlllhb/PandR/rational/rational.html 52. Efecto Doppler

x

E l e fe c to D o p p le r (n o m b r a d o a sí p o r

C hristian D o p p le r ) e s un c a m b io e n e l to n o (fr e c u e n c ia )

u sar para co n stru ir la caja? (d ) ¿ C u á le s so n las d im e n s io n e s d e la caja q u e m in im iz a n e l á rea d e su p e r fic ie ? ( e ) ¿ P o r q u é U P S p u e d e e sta r in te r e s a d o e n d iseñ a r u na caja q u e m in im ic e e l á rea d e su p e r fic ie?

I S E C C IÓ N 5.3

54. Miniinización del área de superfìcie

U n ite d P a rc el S e r v i

367


56. Material necesario para hacer un tambo

S e r e q u ie r e q u e

c e te h a c o n tr a ta d o p ara d ise ñ a r u n a caja a b ie r ta c o n u n a

un ta m b o d e a c e r o c o n fo rm a d e c ilin d r o circu la r r e c to te n

b a se cu a d ra d a q u e te n g a u n v o lu m e n d e 5 0 0 0 p u lg a d a s c ú

ga un v o lu m e n d e 100 p ie s c ú b ic o s.

b ica s. O b se r v a la ilu stra c ió n .

y

X (a ) E x p r e sa e l á rea d e su p e r fic ie de

S de

la caja c o m o fu n c ió n

jc.

j*íj (b ) U s a n d o u n d is p o s itiv o g r á fic o , o b té n la g rá fic a d e la fu n c ió n q u e d e te r m in a s te e n e l in c is o (a ). (c ) ¿ C u á l e s la ca n tid a d m ín im a d e c a r tó n q u e s e p u e d e u sar para co n stru ir la caja? (d ) ¿ C u á le s so n la s d im e n s io n e s d e la ca ja q u e m in im iz a n e l á rea d e su p e r fic ie ? ( e ) ¿ P o r q u é U P S p u e d e e sta r in te r e s a d o e n d ise ñ a r u na caja q u e m in im ic e e l á rea d e su p e r fic ie ?

55. Costo de una lata

S e r e q u ie r e q u e u n a la ta c o n fo rm a de

(a ) E x p r e sa la c a n tid a d d e m a te ria l

c ilin d r o circu la r r e c to te n g a u n v o lu m e n d e 5 0 0 c e n tím e tro s c ú b ic o s. L a p a rte su p e r io r y la p a rte in fe r io r e stá n h e ch a s d e un m a te ria l q u e c u e s ta 6(2 p o r c e n tím e tr o cu a d ra d o

cilin d ro .

d e 3 p ies? d e 4 p ies? (d ) ¿ C u á n to m a te ria l s e r e q u ie r e si e l ra d io d e l ta m b o es

(a ) E x p r e sa e l c o s to to ta l C d e l m a te ria l c o m o fu n c ió n d el H

r d el

(c ) ¿ C u á n to m a te ria l s e r e q u ie r e si e l ra d io d e l ta m b o es

c e n tím e tr o cu a d ra d o .

r d el

r e q u er id a para h a

(b ) ¿ C u á n to m a te ria l se r e q u ie r e si e l r a d io d e l ta m b o e s

y lo s la d o s e s tá n h e c h o s d e u n m a te r ia l q u e c u e s ta 4(2 p o r

ra d io

A

c e r el ta m b o c o m o fu n c ió n d e l r a d io

d e 5 p ie s?

cilin d r o . (C o n s u lta la fig u ra 4 3 ).

(b ) T raza la grá fica d e C =

C(r).


r es

H

( e ) T r a za la gráfica d e

A = A(r).


r, A

es m ás p eq u eñ a?

m ín im o e l c o s to d e C?


q u e te n g a u n a a sín to ta v er tica l e n

H a z la grá fica d e ca d a u n a d e la s s ig u ie n te s fu n cio n es:

x

= - 5 y otra en

y q u e te n g a u n a a sín to ta h o r iz o n ta l e n

y

x=6

= 3. C o m p a ra tu

fu n c ió n c o n la d e un c o m p a ñ e r o . ¿ E n q u é d ifier en ? ¿ C u á le s so n su s sim ilitu d e s?

61. C rea una fu n c ió n ra c io n a l q u e te n g a las s ig u ie n te s ca ra c terística s: q u e cr u c e e l e je

x = 1 u n a a sín to ta v e r tic a l? ¿ P o r q u é n o ? ¿ Q u é p asa x = 1? ¿ A q u é c o n c lu s ió n p u e d e s lle g a r a cerc a d e xn - 1 y - x - \ ' n > 1 un e n te r o , para x = 1 ? ¿Es

para

58.

a sín to ta h o r iz o n ta l e n

-2 ,

2. D a le tu fu n c ió n ra cio n a l a un

cas: tres c e r o s r e a le s, u n o d e m u ltip lic id a d 2 ; in te rse cc ió n

y

e n 1 ; a sín to ta s v e r tic a le s,

2x

x

=

-2y x = 3 y

a sín to

+ 1. ¿ E s ú n ica e sta fu n ció n racion al?

C o m p a ra tu fu n ció n co n la d e o tr o s e stu d ia n tes. ¿ Q u é será

¿ Q u é sim ilitu d e s o b se r v a s? ¿ Q u é d ife r e n c ia s? 5 9 . E sc r ib e a lg u n o s p á rra fo s q u e p r o p o r c io n e n u n a e str a te g ia g e n e r a l para h a cer la g rá fica d e u n a fu n c ió n ra c io n a l. A s e g ú ra te d e m e n c io n a r lo sig u ie n te: p ro p ia , im p r o p ia , in te r

ig u a l e n la d e to d o s? A g r e g a a lg u n a s ca ra cterística s c o m o sim etría o n om b rar lo s c e r o s rea les. ¿ C ó m o m o d ific a e s to la fu n c ió n ra cio n a l?

63. E x p lic a las circu n sta n cia s b ajo las c u a le s la gráfica d e una

s e c c io n e s y a sín to ta s. C rea u n a fu n ció n ra c io n a l q u e te n g a las sig u ie n te s ca r a c

x en 2, que

to q u e e l e je

x en

—1 ,

Respuesta al ejercicio de la sección "¿Estás listo?" o , y , ( lo) , ( - lo)

x en

y q u e ten g a una

r a c io n a l p o r escr ito .

ta o b lic u a y =

1.

y=

x = 1

62. C rea una fu n c ió n ra cio n a l c o n las s ig u ie n te s ca ra cterísti

H a z la gráfica d e ca d a u n a d e la s s ig u ie n te s fu n cio n es:

terísticas: q u e cru ce e l e je

3 , q u e to q u e el eje

c o m p a ñ e r o y p íd e le su s c o m e n ta r io s acerca d e tu fu n ció n

con

60.

x en

q u e ten g a una a sín to ta v er tica l e n

fu n ció n ra cio n a l p u e d e te n e r un h o y o .

368

C A P ÍT U L O 5


5.4 Desigualdades polinomiales y racionales P

r e p a r a c ió n

para esta

S E C C IÓ N A n t e s d e e m p e z a r , r e p a s a l o s i g u i e nt e :

R e s o lu c ió n d e d e sig u a ld a d e s lin e a le s (s e c c ió n 1.5,

•

p p . 1 2 3 -1 2 5 )

\ Resuelve ahora los

R e s o lu c ió n d e d e sig u a ld a d e s cu a d rá tica s (s e c c ió n 4 .5 , pp. 3 0 9 -3 1 1 )

p ro b lem a s d e la se c c ió n


la p ág in a 371.

OBJETIVOS 1 Resolver desigualdades polinomiales (p. 368)

2 Resolver desigualdades racionales (p. 369)

1 R e so lu c ió n d e d e s ig u a ld a d e s p o lin o m ia le s En esta sección resolveremos desigualdades que involucren funciones polinomiales de grado 3 y mayor, junto con desigualdades que involucren funciones racionales. Para ayudarnos a entender el procedimiento algebraico para resolver tales desigual dades, usaremos la información obtenida en las tres secciones anteriores acerca de gráficas de funciones polinomiales y racionales. Este enfoque sigue la misma metodo logía que usamos para resolver desigualdades que involucran funciones cuadráticas. EJEM P LO 1

Solución de una desigualdad polinomial usando su gráfica Resuelve (x + 3)(x - l ) 2 > 0, trazando la gráfica d e f ( x ) =

Solución

(x

+ 3)(x - l ) 2.

Traza la gráfica de f(x) - ( jc + 3)(jc - l ) 2 y determina los intervalos de x para los cuales la gráfica está por encima del eje x. Estos valores de x dan como resultado una f(x) positiva. Usando los pasos 1 al 6 de la página 333, obtenemos la gráfica que se muestra en la figura 45.

En la gráfica podemos ver qu e f ( x ) > 0 para - 3 < . x < l o . c > l . E l conjunto solución e s { x | - 3 < j r < l o x > l o usando la notación de intervalos ( - 3 , 1 ) U (1, oo). |

Resuelve ahora

el

problema

9

Los resultados del ejemplo 1 nos llevan al siguiente enfoque para resolver des igualdades polinomiales y racionales algebraicamente. Considera que la desigualdad polinomial o racional está en alguna de las formas f(x)

<

0

/(* ) >

0

f(x)

<

0

f(x)

>

0

S E C C IÓ N 5.4

Desigualdades polinomiales y racionales

369

Determina los ceros de / s i / e s una función polinomial y determina los ceros del nu merador y del denominador si / es una función racional. Si usamos estos ceros para dividir la recta de los números reales en intervalos, sabemos que en cada intervalo la gráfica de /e stá por encima del eje x \ f ( x ) > 0] o por debajo del eje .v [/(.v) < ()|. En otras palabras, hemos encontrado la solución de la desigualdad. EJEMPLO 2

C ó m o reso lver una desigualdad polinomial algebraicam ente Resuelve la desigualdad x 4 >

Solución paso a paso

x

algebraicamente y traza la gráfica del conjunto solución.

Reordena la desigualdad para que el 0 este1 en el lado derecho.

Paso 1: E s c rib f la desigualdad de manera que la expresión polinomial

>

f e sté en el lado izquierdo y el cero e sté en el lado derecho.

.v4 -

.V

.r > 0

R esta x en ambos lados de la desigualdad.

Esta desigualdad es equivalente a la que queremos resolver. Determina los ceros reales de f ( x )

Paso 2: Determ ina los cero s re a les (in terseccio n es con x de la g rá fic a ) de f.

= x* - x .t 4 -

resolviendo x 4 -

,t = 0

O

.V — 1 = 0

=

o

x

x

0

La ecuación .t2 + Paso 3: Usa los ceros que d e te r

x

=

1) ( .v2 + .v + 1) = 0

Factoriza la diferencia de dos cubos.

O

Igualaacerocadafactoryresuelve.

.V + .V + 1 = 0

1

+ 1 = 0 no tiene soluciones reales. ¿Puedes ver por qué?

(-o o ,0 )

Paso 4: Escoge un número en cada intervalo, evalúa f en ese número y determ ina si f es positiva o ne

(0,1)

(l,oo)

Selecciona un número de prueba en cada intervalo que determinaste en el paso 3 y evalúa/(.v) = x* - x en cada número para determinar si f ( x ) es positiva o negativa. Ver tabla 16.

gativa. S i es positiva, todos los valores de f en el intervalo son positivos. S i f es negativa, todos los valores en el intervalo son ne gativos.

0

1

Intervalo

( - 00, 0)

(0 ,1 )

(1, 00)

Número escogido

-1

1 2

2

Valor de f

f(- 1 ) = 2

f( 2) <

Positiva

Conclusión

N O T A S i la desigualdad no es e s

t r ic t a ( £ o s ) , incluye la s solu ciones de f ( x ) = O en el conjunto solución. ■

-

2-1 0 1 2

Factoriza x.

Usa los ceros para separar la recta de los números reales en tres intervalos:

m inaste en el paso 2 para dividir la re cta de los números reales en intervalos.

Figura 46

0.

* = 0

.v (.t 3 — 1) = 0 .v(.v -

x =

i ) ~

Negativa

= 14

¿ Positiva

Como queremos saber dónde es positiva f ( x ) , podemos concluir que f ( x ) > 0 para todos números x para los cuales jc < 0 o x > 1. Como la desigualdad original es estricta, los números x que satisfacen la ecuación x 4 = ,v no son soluciones. El con junto solución de la desigualdad x 4 > x es (.v| x < 0 o x > 1 } o, usando notación de intervalos, ( - o o , 0 ) U (1, °°). La figura 46 muestra la gráfica del conjunto solución. j ■

«

-Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

21

2 R e so lu c ió n d e d e s ig u a ld a d e s ra c io n a le s De la misma forma que presentamos un enfoque gráfico para ayudarnos a entender el procedimiento algebraico para resolver desigualdades que involucran funciones

370

C A I’ ÍT U L O 5


polinomiales, presentaremos un enfoque gráfico que nos ayudará a entender el proce dimiento algebraico para resolver desigualdades que involucren expresiones racionales.

EJEMPLO 3

Solución de una desigualdad racional usando su gráfica Resuelve

Solución

x ^

-

1

trazando la gráfica de

^


-

x K (x) =

x2 -

1

R(x)

\

y determina los intervalos de x en los que la gráfi-

4

ca está por encima o por debajo del eje dan como resultado

x íi(x) =

¿Entiendes por qué? Estos valores de x x - 1 positiva o cero. Hicimos la gráfica de R \ x ) = — - en el x.

ejemplo 1, sección 5.3 (pp. 353-354). Reproducimos la gráfica en la figura 47.

En la gráfica podemos ver que R ( x ) s 0 para - 2 < x ^ 1 o x > 2. El conjunto solu ción es {.v| —2 < a < 1 o .v > 2} o, usando notación de intervalos, ( - 2 , 1 ] U (2. 3 c).

Resuelve ahora

el

33

problema

Para resolver una desigualdad racional algebraicamente, seguiremos el mismo en foque que usamos para resolver una desigualdad polinomial algebraicamente. Sin em bargo, también debemos identificar los ceros del denominador de la función racional, debido a que el signo de una función racional puede cambiar en cualquier lado de una asíntota vertical. Te puedes convencer de esto si ves la figura 47. Observa que los valores de la función son negativos para .v < - 2 y positivos para x > - 2 (pero menor que 1 ).

EJEM PLO 4

Solución paso a paso Paso 1: Escribe la desigualdad de manera que la expresión racional f e sté en el lado izquierdo y el cero e sté en el lado derecho.

C ó m o reso lver una desigualdad racional algebraicam ente 3 algebraicamente y traza la gráfica del conjunto

Resuelve la desigualdad solución.

Reordena la desigualdad para que el 0 esté en el lado derecho. 4.v + 5 > 3 x + 2 4.v + 5 - 3 2: 0 Resta 3 en ambos lados de la desigualdad. x + 2 4.V + 5

.v + 2

------------- 3 * ---------- — U x + 2 x + 2

4.v + 5 - 3.v x + 2

6

> 0

X - 1 —— > U

x + 2

Multiplica 3 p o r ------- .

f

f

x+

2

Escríbelo como un solo cociente.


i S E C C IÓ N 5.4

’aso 2 : Determ ina los cero s reaes (in te rse ccio n e s en x d e la gráfi-

El cero de f ( x ) =

X — 1 ■■ es


1. A dem ás,/no está definida para x

=

371

-2 .

;a ) de f y los números reales para os cuales f no e s tá definida. ?a so 3 : Usa los ceros y los valores ndefinidos que d eterm in aste en el oaso 2 para dividir la re c ta de los números reales en intervalo s.

Usa el cero y el valor indefinido para separar la recta de los números reales en tres intervalos,

Paso 4 : Escoge un número en cada intervalo, evalúa f en ese número y determ ina si f es positiva o ne g ativa. S i f es positiva, todo s los valores de f en el Intervalo son positivos. S i f es negativa, todos los valores de f en el intervalo son negativos.

Escoge un número de prueba en cada intervalo que determinaste en el paso 3 y evax —1 lúa /( x ) = --------en cada número para determinar si /(x ) es positiva o negativa. x + 2

'

00’

¿ ,1)

\

'

00)

Ver tabla 17. Tabla 17

-2

1

(-o o ( -2 )

Número escogido

-3

Valor de f

f{~ 3) = 4

O

(1,oo)

Intervalo

Conclusión

Positiva

Negativa

2 I NJ |

*- 1-tfII

5

II

(-2 ,1 ) 0

Positiva

Como queremos saber dónde /(x ) es positiva o cero, podemos concluir que /(x ) > 0 para todos los números x para los cuales x < - 2 o x > l . Observa que no in cluimos - 2 en la solución porque - 2 no está en el dominio de/. El conjunto solución 4x + 5 de la desigualdad — s 3 e s { x |x < - 2 o x > 1 }, usando notación de interva F ig u ra 4 8 ___U -i

1—4

-4

-2

i

i

f_ i

0

2

i

los, (- o o , - 2 ) U [1, oo). La figura 48 muestra la gráfica del conjunto solución.

l

4

Resuelve ahora

RESU M EN P aso 1:

3 9

p r o b l e m a

Pasos para resolver desigualdades polinomiales y racionales algebraicamente

Escribe la desigualdad de manera que una expresión polinomial o racional / esté en el lado izquierdo y cero esté en el lado derecho en alguna de las siguientes formas: /(*)>

P aso 2 :

e l

i

0

/( * ) — 0

/(*)<

0

f(x)

<

0

Para expresiones racionales, asegúrate de que el lado izquierdo esté escrito como un solo cociente y encuentra el dominio de/. Determina los números reales en los cuales la expresión / e s igual a cero y si la expresión es racional, los números reales en los que la expresión / no está definida.

P aso 3 :

Usa los números que determinaste en el paso 2 para separar la recta de los números reales en intervalos.

P aso 4 :

Escoge un número de cada intervalo y evalúa / en ese número. (a) Si el valor d e /e s positivo, entonces/(x) > 0 para todos los números x en el intervalo. (b) Si el valor de / es negativo, entonces /( x )

>

0 para todos los números x en el intervalo.

Si la desigualdad no es estricta (> o < ), incluye las soluciones de /(x ) = 0 que estén en el dominio d e / en el conjunto solución. Asegúrate de excluir los valores de x donde/no esté definida. -

------

------- —.. .....

1

' — ... .

1 - " —.. —*

5 .4 E v a l ú a t u e n t e n d i m i e n t o _____________ ________________________________________________________________ "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1.

R e s u e lv e la d e sig u a ld a d 3 - 4 x > 5. H a z la g ráfica d el co n ju n to so lu c ió n , (p p . 1 2 3 -1 2 5 )

2.

R e su e lv e la d e sig u a ld a d x 2 - 5x < 24. H a z la gráfica d el co n ju n to so lu c ió n , (p p . 3 0 9 -3 1 1 )

372

c a p ít U LO 5

Funciones racionales y pollnomlales


V e rd a d e ro o f a l s o -2 <

x

U n n ú m e r o d e p ru eb a p a r a e l in te r v a lo

4. V erd a d ero o f a l s o

< 5 p u e d e ser 4.

e n c im a d el e je

x

La gráfica d e

para

x<

s 0 o

x 2

*

está por

x > 3, a sí x ------- - s 0 e s x - 3

q u e e l co n ju n to

0 o

so lu c ió n d e la d esig u a ld a d

{x\x

f(x)

3 }.

Ejercicios En los problemas 5-8, usa la gráfica de la función para resolver la desigualdad. 5. (a) f(x) > 0 6. (a ) f(x) (b) / w < o

< 0

(b ) / ( x) > 0

En los problemas 9-14, resuelve la desigualdad usando la gráfica de la función. [Sugerencia: L as g rá fica s se tra za ro n e n lo s p r o b le m a s 6 9 - 7 4 d e la s e c c ió n 5 .1]. \ 9 .

11. 13.

R e s u e lv e

f(x)

< 0, d o n d e

f ( x ) = a 2( a

R e s u e lv e

f(x)

^ 0, d o n d e

f(x)

R e s u e lv e

f(x)

£ 0, d o n d e

f(x)

-

3 ).

= (x + 4 ) (x -

10. R e s u e lv e 2 ) 2.

= - 2 ( a : + 2 )(.v - 2 ) \

f(x)

s

12.

R e s u e lv e / ( . r ) > 0 . d o n d e

14.

R e s u e lv e

f(x) <

f(x)

0. d ond e

0. d o n d e

f(x)

= a ( x + 2 ) 2. = (.r -

f(x) =

l ) ( x + 3 ) 2.

- ^ ( j r + 4 )(.r -

l ) 3.

En los problemas 15-18, resuelve la desigualdad usando la gráfica de la función. [Sugerencia: L as g rá fica s se tra za ro n e n lo s p r o b le m a s 7 - 1 0 d e la s e c c ió n 5 .3].

15. 17.

R e s u e lv e R { x )

R e s u e lv e

R(x)

>

0, donde R ( x )

^ 0, d o n d e

R(x)

= =

'V + * ,v ( j: + 4 ) 3.v + 3

16.

R e s u e lv e R ( x )

18.

R e s u e lv e

R(x)

<

0. donde

R(.x) = —------ * vx 1

s

0. donde

R(x) —

2x

2.v + 4 '

+ 4

•v -

1 ‘

En los problemas 19-48, resuelve cada desigualdad algebraicamente. 19.

( jc - 5 )2(.v + 2 ) < 0

22. a:3 + 8jc2 < 0

25. {x -

l) (.v -

2)(x

- 3) < 0

28. x3 + 2.v2 - 3.v > 0

20. (,v - 5)(.v + 2)2 > 0

\ 2 1 . .r3 - 4.v2 > 0

2 3 . 2.r* > - 8.v2

24. 3 a-3 < - 1 5 . r

26. (x +

27. a-3 - 2a-2 - 3.v > 0

1 ) ( .V + 2 )(.v + 3 ) < 0

29. a:4 > a-2

30. v4 < 9a-2

,- + <-)

S E C C IÓ N 5.4

3!. .v4 > 1


x + 1 x - 1

V

\ 3 3 . ----- - > 0

32. x3 > 1

%

34.

„

1

2

x - 2

3.v -

jr - 4 4 1 . -------- — < 2

42. ------- - > 1

..

x - 4

xix2 +

l)(x -

44.

9

2)

46.

1 )U + 1)

1

2x + 4 x 2(3 + x ) ( x + 4 )

5

x - 3

>

x

45.

+ 1

(■* + 5 ) ( x -

47. -------- r------------ < 0 x3 -

1)

(2 - x)3(3x - 2)

(3 - x ) 3( 2 x + 1)

> 0

1

x + 4 x - 2

x + 2

x - 4

-

\3 9 .

(.v + 5 )2

> 1

(* -

a:

38. ~ ^-------> 0

37 * - ^ r * °

43.

36. ----------------- s 0

.V

(-v -2 )2

40. ^

(-V - 3 ) ( x + 2 )

3 5 . (' - 1)(' + 1 ) S Q

^> 0 .v + 1

373

48. -------- r------------ < 0

X3 + 1

1

Práctica mixta En los problemas 49-60, resuelva cada desigualdad algebraicamente. 49.

( x + 1 ) ( jc - 3 ) ( x -

52.

.T2 + 3 x > 10

53.

55.

3 ( x 2 - 2 ) < 2 ( x - l )2 + x 2

56.

58.

50.

5) > 0

12

(2 x -

1) (x + 2 )(x + 5) < 0

51. 7 x - 4 > - 2 x 2

^ 4

= 2

54. £ ^ 1 . - 2 x + 2

x -

3

(x - 3 )(x + 2) < x 2 + 3x + 5

57. 6x - 5 < -

x

59. x 3 - 9 x < 0

x 4--- < 7 x

60. x 3 - x > 0

A plicaciones y extensiones 61. ¿P ara q u é n ú m e r o s p o s itiv o s e x c e d e r á e l c u b o d e un n ú m e r o cu a tro v e c e s su c u a d ra d o ? 62.

¿P ara q u é n ú m e r o s p o s itiv o s e l c u b o d e u n n ú m e r o será m e n o r q u e e l n ú m er o ?

63.

¿ C u á l e s e l d o m in io d e la fu n c ió n / ( x ) = V x 4 - 16?

64.

¿ C u á l e s e l d o m in io d e la fu n c ió n / ( x ) = V x 3 - 3 x 2?

65.

¿ C u á l e s e l d o m in io d e la fu n c ió n / ( x ) =

66.

z l, x + 4'

i-

x 3 j ¿ C u á l e s e l d o m in io d e la fu n c ió n / ( x ) =

g(x)

= —2 x 2 + 2

69. / ( x ) = x 4 - 4 g (x ) = 3x2

71. Costo promedio

x + 4'

73. Salto en Bungee

L a c o stu m b r e d e q u e una p e r so n a sa lte

d e sd e u n lu g a r e n a lto a m a rra d o d e un a c c e s o r io fle x ib le , tu v o su o r ig e n e n la isla d e P e n te c o s té s en el P a cífic o , se in tr o d u jo a la cu ltu ra o c c id e n ta l e n 1979 p o r el C lu b de D e p o r te s P e lig r o so s d e la U n iv e r s id a d d e O x fo rd . U n p a B u n g e e e s q u é ta n to se estira rá e l co r d ó n en la p arte baja d e la ca íd a . L a rig id e z d e l c o r d ó n e stá r e la c io n a d a co n la ca n tid a d d e e s tir a m ie n to p o r la e c u a c ió n 2 W(S +

L)

68. f(x) = x 4 - 1

g(x) = x - l 70. / ( x ) = x 4 g (x ) = 2 - x2 C o n sid e ra q u e el c o s to d ia rio C d e fabri

car b ic ic le ta s e stá d a d o p o r C (x ) = 8 0 x + 50 0 0 . E n to n c e s . 80 x + 5000 e l c o s to p r o m e d io d ia rio C e s tá d a d o C ( x ) = ------------------ • ¿ C u á n ta s b ic ic le ta s se d e b e n p ro d u c ir ca d a d ía para q u e el c o s to p r o m e d io n o se a m a y o r q u e $ 100 ?

72. Costo promedio

¿ C u á n ta s b ic ic le ta s se d e b e n p ro d u c ir ca d a d ía para q u e el c o s to p r o m e d io n o se a m a y o r q u e $ 100 ?

rá m e tr o im p o r ta n te q u e se d e b e sa b er a n te s d e saltar d el

99

En los problemas 67-70, determina dónde la gráfica de f está por debajo de la gráfica de g resolviendo la desigualdad f(x) ^ g(x).. Traza las gráficas de f y g juntas. 67. / ( x ) = x 4 - 1

c o s to p r o m e d io d ia rio C a h o ra e s C ( x ) = -------- —-------- .

C o n su lta el p r o b le m a 7 1 . C o n sid e r a q u e

e l g o b ie r n o im p o n e un im p u e s to d ia rio d e $1000 al fa b ri c a n te d e b ic ic le ta s d e m a n e ra q u e e l c o s to C d e fabricar x b ic ic le ta s ah ora e stá d a d o p o r C (x ) = 8 0 x + 6000. E l

donde

W = K = L = S =

p e s o d e la p e r so n a q u e sa lta (lib ras) rig id e z d e l c o r d ó n (lib ra s p or p ie) lo n g itu d lib re d el co r d ó n (p ie s) e s tir a m ie n to (p ie s)

(a ) U n a p e r so n a d e 150 lib ras q u ie re saltar d e una p la ta fo rm a am arrada a un c o r d ó n d e 4 2 p ies. Si la rigid ez d el co r d ó n n o e s m e n o r q u e 16 libras p or p ie, ¿cu á n to se estirará el co r d ó n ? (b ) Si lo s r e q u isito s d e seg u rid a d n o p erm iten q u e la p er so n a q u e sa lte se a c e rq u e m á s d e 3 p ie s al s u e lo , ¿cuál e s la altura m ín im a q u e se re q u ie re para la p la ta fo rm a d el in c iso (a )?

Fuente: American Institute ofPhysics, Physics News Update, No. 150, November 5, 1993.

374

C A P ÍT U L O 5


74. Fuerza gravitacional

m o s, la m a sa d e la lu n a e s d e 7 .3 4 9 x 10 22 k ilo g ra m o s y la

S e g ú n la le y d e N e w to n d e g r a v ita

c ió n u n iv e rsa l, la fu erz a a tra ctiv a

F e n tr e

d o s c u e r p o s está

d ista n c ia m e d ia d e la T ierra a la lu n a e s d e 3 8 4 ,4ÍX) k iló m e

dada por

tros. Para un o b je to e n tr e la T ierra y la lu n a, ¿ q u é tan lejos

F= G

d e la T ier ra e s m a y o r la fu e rz a d e la lu n a so b r e el o b jeto

m\m2

q u e la fu erza d e la tierra so b r e e l o b je to ?

Fuente: www.solarviews.com;en.wikipedia.org donde

mv m2 =

75. Visita de campo

las m a sa s d e lo s d o s c u e r p o s

r

=

d ista n c ia e n tr e lo s d o s c u e r p o s

G

=

c o n s ta n te g r a v ita c io n a l

L a Sra. W e st h a d e c id id o llev a r a su gru-

p o d e 5 o a u n a o b ra d e te a tr o . E l a d m in istra d o r d el tea tro a c c e d ió a d e sc o n ta r $ 0.20 d el p r e c io reg u la r d e l b o le to de $ 4 0 p o r ca d a b o le t o v e n d id o . E l c o s to d el c a m ió n , $500, se

= 6 .6 7 4 2 X 1 0 - 11 N • m 2 k g ~2

d iv id irá e q u ita tiv a m e n te e n tr e lo s e s tu d ia n te s. ¿ C u á n to s

C o n sid e r a q u e un o b je to v iaja d ir e c ta m e n te d e la T ierra

e s tu d ia n te s d e b e n a sistir p ara q u e e l c o s to p o r e s tu d ia n te

a la lu n a. L a m a sa d e la T ierra e s d e 5 .9 7 4 2 x 10 24 k ilo g ra -

se a m e n o r q u e $40?


77.

D e s a r r o lla u na d e sig u a ld a d q u e n o te n g a so lu c ió n . D e s a

para o b te n e r

rro lla u n a q u e te n g a e x a c ta m e n te u n a so lu c ió n .

[x\x s

L a d e sig u a ld a d

x4 +

1 < - 5 n o tie n e so lu c ió n . E x p lic a p o r

79.

qué. 78.

x + 4

m u ltip lic a n d o a m b o s la d o s d e la d e sig u a ld a d p o r

+

4 <

0. E s to le d io c o m o so lu c ió n

E sc r ib e u n a d e sig u a ld a d ra c io n a l c u y o c o n ju n to so lu c ió n s e a {jc| - 3 <

U n e s tu d ia n te tra tó d e r e so lv e r la d e sig u a ld a d ^

x

- 4 ) . ¿ E stá en lo c o r r e c to e l e s tu d ia n te ? E x p lica .

x

< 5).

^ 0

x -

3

Respuestas a Sos ejercicios de la sección "¿Estás listo?' 1.

x <

2.

- 00.

-2

-

{jc|—3 < x ^ 8 } o [ - 3 , 8] —|-

1-1 0

5.5 Los ceros reales de una función polinomial P R E P A R A C IÓ N P A R A E S T A S E C C IÓ N


E v a lu a c ió n d e fu n c io n e s (s e c c ió n 3 .1 ,

D iv is ió n d e p o lin o m io s (c a p ítu lo R ,

p p .2 0 3 -2 0 6 )

s e c c ió n R .4 , p p . 4 4 - 4 7 )

F a c to r iz a c ió n d e p o lin o m io s (c a p ítu lo R ,

C e r o s d e u n a fu n c ió n cu a d rá tica

s e c c ió n R .5 , p p . 4 9 - 5 5 )

(s e c c ió n 4 .3 , p p . 2 9 2 -2 9 3 )

D iv is ió n sin té tic a (c a p ítu lo R , s e c c ió n R . 6, p p . 5 8 - 6 1 )

Resuelve ahora los

p ro b lem a s d e la se c c ió n " ¿E stás listo ? " d e la p á g in a 384.

OBJETIVOS 1 Usar los teoremas del residuo y del factor (p. 375) 2 Usar el teorema de los ceros racionales para enumerar los ceros racionales posibles de una fundón polinomial (p. 378) Determinar los ceros reales de una función polinomial (p. 378) Solución de ecuaciones polinomiales (p. 381) Usar el teorema para cotas en ceros (p. 381) Usar el teorema del valor intermedio (p. 382)

E n la s e c c i ó n 5 .1 p u d i m o s id e n t i f i c a r l o s c e r o s r e a l e s d e u n a f u n c ió n p o l i n o m i a l d e b i d o a q u e la f u n c i ó n e s t a b a e n f o r m a f a c t o r iz a d a o s e p o d í a f a c t o r iz a r f á c i l m e n t e . P e r o , ¿ c ó m o e n c o n t r a m o s lo s c e r o s r e a le s d e u n a f u n c ió n p o lin o m ia l si n o e s tá f a c t o r iz a d a o n o s e p u e d e f a c t o r iz a r f á c i l m e n t e ?

S E C C I Ó N 5.5

375

Los ceros reales de una función polinomial

Recuerda que si r es un cero real de una función polinomial/, entonces f { r ) = 0 , r es una intersección con x de la gráfica de / x - r es un factor de f y r es una solu ción de la ecuación f ( x ) = 0 . Por ejemplo, si x - 4 es un factor de / entonces 4 es un cero real de f y 4 es una solución de la ecuación f ( x ) = 0 . Para funciones polinomiales y racionales, hemos visto la importancia de los ceros reales para su represen tación gráfica. Sin embargo, en la mayoría de los casos, los ceros reales de una fun ción polinomial son difíciles de encontrar usando métodos algebraicos. No tenemos fórmulas agradables como la fórmula cuadrática para encontrar los ceros de funcio nes polinomiales de grado 3 o mayor. Existen fórmulas para resolver cualquier ecua ción polinomial de tercer o cuarto grado, pero son bastante complicadas. No existen fórmulas generales para ecuaciones polinomiales de grado 5 o mayor. Para mayor información, consulta el comentario histórico al final de esta sección. 1 U so d e lo s te o re m a s d e l re s id u o y d e l fa c to r Cuando dividimos una función polinomial (el dividendo) entre otra (el divisor), ob tenemos un cociente polinomial y un residuo, siendo el residuo la función polinomial cero o una función polinomial cuyo grado es menor que el grado del divisor. Para verificar nuestro trabajo, realizamos la siguiente operación (Cociente)(Divisor) + Residuo = Dividendo Esta rutina para comprobar es la base de un famoso teorema llamado el algorit mo* de la división para funciones polinomiales, el que en seguida estableceremos sin dar su demostración. TEO REM A

Algoritmo de la división para funciones polinomiales Si /(. y) y g(x) denotan funciones polinomiales y si g(x) es una función polino mial cuyo grado es mayor que cero, entonces existen funciones polinomiales únicas q(x ) y r ( x ) tales que /(* )

g(x)

r(x)

= q{x) +

o

f(x)

g{x)

t

=

q (x )g (x ) + r(x) t

í

dividendo cociente divisor

(1)

t

residuo

donde r ( x ) es la función polinomial cero o un polinomio de grado menor al grado de g ( x ) .

J

r(x)

En la ecuación (1), f ( x ) es el dividendo, g(.t)es el divisor, q ( x ) es el cociente y es el residuo. Si el divisor g(jt) es una función polinomial de primer grado de la forma g(x) = x -

c

es un número real

c

entonces el residuo r ( x ) es o la función polinomial cero o un polinomio de grado 0 . Como resultado, para tales divisores, el residuo es algún número, digamos R , y f ( x ) = (x -

c)q(x) + R

(2 )

Esta ecuación es una identidad en x y es verdadera para todos los números reales x. Considera que x - c. Entonces la ecuación (2) se vuelve /( c ) = (c -

c)q(c) + R

f(c) = R

*Un algoritmo es un proceso sistemático en el que ciertos pasos se repiten un número finito de veces. Por ejemplo, la división larga es un algoritmo.

376

C A PÍT U L O 5


Sustituye / ( c) por R en la ecuación (2) para obtener + /( c )

f ( x ) = (x ~ c)q(x)

(3)

Acabamos de demostrar el teorem a del residuo. T E O R E M A D E L R E S ID U O

EJEMPLO 1

Sea / una función polinomial. Si f ( x ) se divide entre x es/(c).

entonces el residuo

Uso de teo rem a del residuo Determina el residuo si / ( x ) = (a)

Solución

- c,

x

- 3

x3

-

(b)

4x2 x

5 se divide entre

+ 2

(a) Podemos usar la división larga o la división sintética, pero es más fácil usar el teorema del residuo, que dice que el residuo es/(3 ). /( 3 ) - (3 ) 3 - 4(3 ) 2 - 5 = 27 - 36 - 5 = -1 4 El residuo es -1 4 . (b) Para determinar el residuo cuando dividimos f ( x ) entre x + 2 = x - (- 2 ) , evalúa / ( - 2 ). / ( —2) - ( —2 ) 3 - 4 ( - 2 ) 2 - 5 = - 8 - 16 - 5 = -2 9 El residuo es -2 9 .

|

Compara el método usado en el ejemplo la con el método usado en el ejemplo 1 del capítulo R, sección R.6 . ¿Qué método prefieres? Da tus razones.

Sj COM ENTARIO Un dispositivo gráfico proporciona o tra forma de determ inar el valor de una fun gí ción usando la c a ra c te rís tic a eVA LU Eate. Consulta tu instru ctivo para los detalles. Después verifica los re su ltad o s del ejemplo 1. ■

Una consecuencia útil e importante del teorema del residuo es el teorem a del factor.

TEO REM A D EL FA C TO R

Sea / una función polinomial. Entonces f(c) = 0.

x

-

c

es un factor de f ( x ) si y solo si j

El teorema del factor consiste en dos proposiciones separadas: 1. Si /(c ) = 0, entonces x - c es un factor de f ( x ) . 2. Si x —c es un factor de f ( x ) , entonces /(c ) = 0.

La demostración requiere de dos partes. D em ostración

1. Considera que /(c ) = 0. Entonces, por la ecuación (3), tenemos /(*) =

(x ~ c)q(x)

para alguna función polinomial q(x). Esto es, x —c es un factor de f ( x ) . 2.

Considera que x q tal que

- c

es un factor d e/(x). Entonces existe una función polinomial f ( x ) = (x ~ c)q(x)

SEC C IÓ N

lo* erro* reales de una función polinomi.il

377

Sustituyendo.t por c, encontramos que

* (c -

f(c)

■ ()•
c)q(c)

Esto completa la demostración. EJEMPLO 2

■

U so del teo rem a del factor Usa el teorema del factor para determinar si la función = 2.r' -

f(x)

x2

+ 2.c - 3

tiene el factor (a) Solución

x

- I

(b)

x

+ 3

El teorema del factor establece que si f ( c ) = 0. entonces x - c es un factor. (a) Como .v - I es de la forma x - c con c = 1. determinamos el valor de /(1 ). Esco gimos usar sustitución. / ( I ) = 2(1)3 -(1 )2 + 2(1) - 3 = 2 - 1 + 2 - 3 = 0 Por el teorema del factor, x - 1 es un factor de/(.t). (b) Para probar el factor x + 3, primero debemos escribirlo en la forma x - c. Como .v + 3 = .t - ( - 3 ) , encontramos el valor de / ( - 3 ) . Decidimos usar la división sintética. -3 )2

-1 -6 2 -7

2 21 23

-3 -6 9 -7 2

Como/ ( - 3 ) = -7 2 * 0, podemos concluir del teorema del factor que x - ( - 3 ) = x + 3 no es un factor de /(.r).

» ■■■ Resuelve ahora el problema

^ |

11

En el ejemplo 2(a), encontramos que x - 1 es un factor de /. Para escribir /e n forma factorizada, usamos la división larga o la división sintética. Usando la división sintética, l)2

-1

2

2

2

1

1 3

-3 3 0

El cociente es q ( x ) = 2 x 2 + x + 3 con un residuo de 0, como se esperaba. Podemos escribir / en forma factorizada como f(x ) = 2xs -

x 2 + 2x -

3 =

(x -

l)(2.v 2 +

x +

3)

El siguiente teorema se refiere al número de ceros reales que puede tener una función polinomial. Al contar los ceros de una función polinomial, contamos cada cero el mismo número de veces que su multiplicidad. TEO REM A

N ú m ero d e ce ro s re a le s

Una función polinomial no puede tener más ceros reales que su grado.

__^

D em ostración La demostración se basa en el teorema del factor. Si r es un cero real de una función polinomial /, entonces f { r ) = 0 y, por lo tanto, x - r e s un factor de f ( x ) . Cada cero real corresponde a un factor de grado 1. Como / no puede tener más factores de primer grado que su grado, se puede deducir el resultado. ■

378

C A P ÍT U L O 5


2 U so d el te o re m a d e lo s c e ro s ra c io n a le s p a ra e n u m e ra r lo s c e ro s ra c io n a le s p o s ib le s d e u n a fu n c ió n p o lin o m ia l El siguiente resultado, llamado teorema de los ceros racionales, proporciona informa ción acerca de los ceros racionales de una f u n d ó n p o lin o m ia l c o n c o e fic ie n te s e n tero s. TEO REM A

Teorema de los ceros racionales Sea / una función polinomial de grado 1 o mayor de la forma / ( x) =

a„x" +

+

••• +

ci\X +

fl0

an ¿ 0.

a{) * 0

donde cada coeficiente es un entero. Si —, en sus términos mínimos, es un cero

q

racional de / , entonces p debe ser un factor de a () y q debe ser un factor de a n.

EJEMPLO 3

E n u m e ra r los ceros racionales posibles Enumera los ceros racionales posibles de f { x ) = 2 jc 3 +

Solución

Ux2 -

Ix -

6

C om o/tiene coeficientes enteros, podemos usar el teorema de los ceros racionales. Primero enumeramos todos los enteros p que sean factores del término constante a u = - 6 y todos los enteros q que sean factores del coeficiente principal a y = 2 . ±1, ±2, ±3, ±1, ±2

p'. q:

±6

Factores de —6 Factores de 2

Ahora formamos todas las posibles razones —.

q

r En palabras r Para la función polinomial r f ( x ) = 2X3 + Ux2 - 7x - 6 , r sabem os que 5 no es un cero, r porque 5 no e s tá en la lista r de ceros racionales posibles. Sin embargo, —1 puede o no _ se r un cero.

1 3 —: ±1, ±2, ±3, ± 6 , ± - , ± — p

q

2

2

Si / tiene un cero racional, éste se encontrará en la lista, la cual, contiene lidades.

Resuelve ahora

EL P R O B L E MA

12

posibi-

•J

33

Asegúrate de entender lo que dice el teorema de los ceros racionales: para una función polinomial con coeficientes enteros, si existe un cero racional, éste es alguno de los enumerados. Puede ser que la función no tenga ceros racionales. Se puede usar la división larga, la división sintética o sustitución para probar cada cero racional posible y determinar si es en verdad un cero. Para facilitar el tra bajo, generalmente se prueba primero con los enteros. 3 D e te rm in a r lo s c e ro s r e a le s d e u n a fu n c ió n p o lin o m ia l EJEMPLO 4

C ó m o en co n trar los ceros reales de una función polinomial Determina los ceros reales de la función polinomial /(. y) = Escribe/en forma factorizada.

2.x3 +

1l.r2 - 7.v -

Solución paso a paso Paso 1 : Usa el grado de la funclon polinomial para determ inar el máximo número de ceros.

Como f e s una función polinomial de grado 3, existen a lo mucho tres ceros reales.

6.

S E C C IÓ N 5.5 ,P a s o

2 : S i la función polinomial

'tie n e coeficientes entero s, usa el • teorem a de los ceros racionales para id e n tifica r los números racio nales que podrían se r ceros. Usa el teorem a del fa c to r para d e te r minar si cada cero racional posible es un cero. S i lo es, usa la división s in té tic a o la división larga para fa c to riz a r la función polinomial. Repite el paso 2 h a sta que hayas 1 identificado todo s los ceros de la función polinomial y la función e sté com pletam ente fa cto riza d a .


379

Enumera los ceros racionales posibles que obtuviste en el ejemplo 3: ±1, ±2, ±3, ± 6 , ± - , ± De nuestra lista de ceros racionales posibles probaremos el 6 para determinar si es un cero de/. C om o/( 6 ) = 780 # 0, sabemos que 6 no es un cero d e /. Ahora probemos si - 6 es un cero. C o m o /( - 6 ) = 0, sabemos que - 6 es un cero y x —( —6 ) = x + 6 es un factor de/ . Usa la división larga o la división sintética para factorizar/. (No mostrare mos aquí la división, pero se aconseja que verifiques los resultados que se muestran). Después de dividir/entre x + 6 , el cociente es 2 x 2 - x - 1, entonces / ( a) =

2 x 3 + 11a 2 -

Ix -

6

= ( a + 6 ) ( 2 x 2 - x - 1)

Cualquier solución de la ecuación 2a2 - x - 1 = 0 será un cero de /. A la ecuación - 1 = 0 le llamamos ecuación deprimida de /. Como cualquier solución de 2a 2 —x — 1 = 0 es un cero d e/, trabajamos con la ecuación deprimida para encontrar los ceros restantes de/. La ecuación deprimida 2a2 —x — 1 = 0 es una ecuación cuadrática con discrimi nante b 2 - Acic = ( - 1 ) 2 - 4(2)( —1) = 9 > 0. La ecuación tiene dos soluciones reales, que se pueden encontrar factorizando. 2xz - x

2 a 2 - x — 1 = (2 a + 1 ) ( jc - 1) = 0 2x

+

1

-

o

0

x

—1 =

0

x = 1

X~ ~2

°

Los ceros de /s o n - 6 , - - , y 1. Factorizamos/completamente de la siguiente forma: / ( a ) = 2 a:3 + 11a 2 — 7a — 6 = ( a + 6 ) ( 2 x 2 — x — 1)

=

( x + 6 ) ( 2 x + 1 )( a - 1)

Observa que los tres ceros de/están en la lista de ceros racionales posibles.

R E S U M E N Pasos para encontrar los ceros reales de una función polinomial P aso 1 :

Usa el grado de la función polinomial para determinar el máximo número de ceros reales.

P aso 2 :

(a) Si la función polinomial tiene coeficientes enteros, usa el teorema de los ceros racionales para iden tificar aquellos números racionales que pueden ser ceros. (b) Usa sustitución, división sintética o división larga para probar cada cero racional posible. Cada vez que se encuentra un cero (y por lo tanto un factor), repite el paso 2 en la ecuación deprimida. Cuando tratamos de encontrar los ceros, debemos recordar usar (si es posible) las técnicas de factorización que ya conoces (productos notables, factorización por agrupamiento, etcétera).

EJEMPLO 5

En co n trar los ceros reales de una función polinomial Encuentra los ceros reales de / ( a ) = forma factorizada.

Solución

P

a so

P

a so

x5

- 5a4 + 12a2 - 24a2 + 32a - 16. Escribe/en

1: Existen a lo mucho cinco ceros reales. 2: Como el coeficiente principal es a $ = 1 , los ceros racionales posibles son los números enteros ±1, ±2, ±4, ± 8 y ±16, los factores del término cons tante, 16.

380

CAI’ÍTUI A) 5 Fundones racionales y pollnomlales Primero probamos el cero racional posible 1 usando la división sintética, 1

)l - 5 12 I _ -4 I -4 8

-2 4 8

—16

32 -1 6 -1 6 16 16 0

El residuo es /(1) = 0, así que 1 es un cero y x - 1 es un factor de /. Usando los ele* montos del último renglón de la división sintética, podemos comenzar a factorizar /. / ( * ) = x * - 5 x 4 + 1 2 *3 - 2 4 * 2 + 3 2 * = (* -

1 )(* 4 - 4 * ’ + 8x2 -

16

16* + 16)

Ahora trabajaremos con la primera ecuación deprimida: r/i(x) =

xA

- 4*’ + 8 x 2 - 16* + 16 = 0

2: Los ceros racionales posibles de
el paso

±8

y ± 16.

ljí -4 8 -1 6 ¡6 ____ 1 - 3 5-11 1 - 3 5-11 5 Como el residuo es 5.1 no es un cero repetido. Ahora probamos el 2. 2)l

-4 8 -1 6 2 -4 8 1 - 2 4 - 8

16 -1 6 0

El residuo es /(2 ) = 0. por lo tanto 2 es un cero y * - 2 es un factor de /. De nuevo usamos el último renglón y encontramos

/ ( * ) = .rs - 5 *4 + 12.it3 - 24*- + 32* - 16 = ( * - 1 )(* - 2)(.r3 - 2.V2 + 4 * - 8) Los ceros restantes satisfacen la nueva ecuación deprimida <72 (-v) = x 3 - 2.r + 4* -

8

= 0

Observa que
8

= 0

2 ) + 4 ( .v - 2 ) = 0

* -(* -

(.1- + 4)(.v - 2) = 0 *- + 4 = 0

o

.v - 2 = 0 * = 2

Como .x0 + 4 = 0 no tiene soluciones reales, los ceros reales de / son cero de multiplicidad 2. La forma factorizada de / e s /(.v) = .y5 - Sx* =

Resuelve ahora

+ 12 a"3

- 24.x- +

( a-

- l)(.v - 2) 2 (.x -+ 4)

el

problema

45

3 2 a-

- 16

1

y 2. y 2 es un

I S U C C IÓ N 5.5

jr

i ;

E JE M P L O 6

L o i ceros reales de una función polinom ial

381

R e s o lu c ió n d e e c u a c io n e s p o lin o m ia le s

Resolución de ecuaciones polinomiales Determina las soluciones reales de la ecuación: v' - 5i* + llr* - 24.V-’ + 32* - lo = 0

Solución

Las soluciones reales de esta ecuación son los ceros reales de la función polinomial f(x)

= .v5 - 5.v4 + 12 x y

-

24.x2

+ 32.t - I6

Usando el resultado del ejemplo 5, los ceros reales d e/ son l y 2. Entonces, (l, 2| es el conjunto solución de la ecuación. .r - 5jt4 + 12.r* - 24.r + 32.t - 16 = 0

Resuelva ahora

el

problema

57

En el ejemplo 5. se dice que el factor euadrático x 2 + 4 que aparece en la for ma íactori/ada d e / e s ir r e d u c ib le , porque la función polinomial x 2 + 4 no se puede factori/ar en los números reales. En general, un factor euadrático a x 2 + b x + c es irreducible si no se puede factori/ar en los números reales, es decir, si es primo en los números reales. Consulta los ejemplos 4 y 5. La función polinomial del ejemplo 4 tiene tres ceros reales y su forma factorizada contiene tres factores lineales. La función polinomial del ejemplo 5 tiene dos ceros reales diferentes y su forma factorizada contiene dos factores lineales diferentes y un factor euadrático irreducible.

TEO R EM A

Toda función polinomial con coeficientes reales se puede factorizar de manera única como un producto de factores lineales y/o factores cuadráticos irreduci bles (primos). Demostraremos este resultado en la sección 5.6, y, de hecho, sacaremos varias conclusiones acerca de los ceros de una función polinomial. Es útil presentar una con clusión ahora. Si una función polinomial con coeficientes reales es de grado impar, debe contener por lo menos un factor lineal. (¿Puedes ver por qué? Considera el comportamiento terminal de las funciones polinomiales de grado impar). Esto quiere decir que por lo menos debe tener un cero real.

TEO R EM A

Una función polinomial de grado impar que tiene coeficientes reales tiene por lo menos un cero real.

J

»S U so d el te o re m a

p a ra co ta s en ce ro s

La búsqueda de los ceros reales de una función polinomial se puede reducir un poco si se encuentran las c o ta s en los ceros. Un número M es una cota en los ceros de una función polinomial si cada cero está entre - M y M, incluido. Esto es, M es una cota en los ceros de una función polinomial/si -M

TEO R EM A

< cualquier cero real de / < M

C o ta s en lo s ce ro s

Sea / una función polinomial cuyo coeficiente principal es 1. f(x) = xn

Una cota

M

+
en los ceros reales d e /e s el menor de los dos números

M á x { l , k l + |fl,| + ••• + k , - i l } , l + Máx{ |rt„|, |«t |, • • •, k - i l } (4) Donde Máx ( } significa “escoge el elemento mayor en { }.”

J

382

capítui O j 5 Funciones racionales y polinomiales

E JEM P LO 7

Uso del teorema para determinar cotas en los ceros Determina una cota en los ceros reales de cada función polínomíal, (a) J'(x) =

Solución

+ 3jc3 - 9x2 + 5

(b) g (x) = 4*3 - 2 r 3 + 2x2 + 1

(a) El coeficiente principal d e /e s 1. /( * ) = x 5 + 3jc3 - 9x2 + 5

a* = 0, a., = 3,

= -0 , a, = O. arj = 5

Evalúa las dos expresiones en (4). M á x { l,k l + k l + ■■■ + k _ , 1} = Máx{ 1, |5| + |0| + |- 9 | + |3| + |0|) = Máx{ 1, 17} = 17 1 + M á x { k l . k l / - \ k - i l } = 1 + M áx{|5|, |0 |, |- 9 |, |3|, | 0 | }

= 1 + 9 = 10 El menor de los dos números, 10, es la cota. Todo cero real de /e s tá entre -1 0 y 10. (b) Primero escribimos g de manera que sea el producto de una constante y una función polinomial cuyo coeficiente principal sea 1 factorizando el coeficiente principal de g, 4. g(x) = 4;c5 - 2x3 + 2x2 + 1 = 4^.r5 - ^ x3 + ^ x2 +

Ahora evaluaremos las dos expresiones en (4) con aA = 0. a 3 =

«, = 0 y a 0 M áx{l, k l

1

a2 =

=

+ k l + ••• +

k -il}

= Máx< = Máx
M á x { k l- k l» - .. , le-! ©i COMENTARIO L a s c o ta s en los cead ros de una función polinomial pro porcionan buenas elecciones para Xmín y Xmáx deI rectángulo de vi su a liz a ro n . Con e s t a s elecciones se pueden ver to d a s la s in te rse c ciones en x de la g ráfica. ■

1 -

+ |0| +

+

+ lol

l

1«,,-!1} = 1 + Máx j

.lo l.

-ìh}

- 1 + 1 . 2 2 2 El menor de los dos números, - , es la cota. Todo cero real de g está entre 4 5 5 .i

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

69

Uso del teorem a del valor interm edio Figura 49 Si f[a) < 0 y f(b) > 0, hay un cero entreoyó.

El siguiente resultado, llamado teorem a del valor interm edio, se basa en el hecho de que la gráfica de una función polinomial es continua, esto es, no contiene “hoyos" ni “saltos”. Aunque la demostrackín de este resultado requiere de métodos avanzados de cálculo, es fácil “ver” por qué es verdadero este resultado. Ver figura 49.

TEO R EM A

Teorema del valor intermedio

Sea / una función polinomial. Si a ) tienen signos opuestos, existe por lo menos un cero real entre a y b.

J

S E C C IÓ N 5.5

E JE M P L O 8

Los ceros reales de una fundón polinomlal

383

Uso del teorema del valor intermedio para determinar un cero real Demuestra que f(x ) = x 5 - x 3 - 1 tiene un cero entre 1 y 2.

Solución

E v a lú a /e n 1 y en 2. / ( i) = - i

y

/( 2 ) = 23

Com o/(1 ) < 0 y /(2 ) > 0, podemos concluir por el teorema del valor intermedio que la función polinom ial/tiene por lo menos un cero entre 1 y 2. . ahopa EL PR0BLEMA 77

Veamos la función polinomial del ejemplo 8 más detalladamente. Con base en el teorema de los ceros racionales, ±1 son los únicos ceros racionales posibles. Como /(1 ) # 0, podemos concluir que el cero entre 1 y 2 es irracional. Podemos usar el teo rema del valor intermedio para aproximarlo.

Aproximación de los ceros reales de una función polinomial P aso 1 :

P aso 2 : P aso 3 :

P aso 4 :

Determina dos enteros consecutivos a y a + 1 tales que /te n g a un cero entre ellos. Divide el intervalo [«, a + 1] en 10 subintervalos iguales. E v alú a/en cada punto terminal de los subintervalos hasta que aplique el teorema del valor intermedio, entonces este subintervalo contiene un cero. Repite este proceso empezando con el paso 2 hasta que obtengas la precisión deseada.

Aproximación de un cero real de una función polinomial

E JE M P L O 9

f(x ) = x 5 - x3 - 1 tiene exactamente un cero entre 1 y 2. Aproxímalo correctamente a dos lugares decimales.

Solución

Divide el intervalo [1,2] en 10 intervalos iguales: [1,1.1], [1.1,1.2], [1.2,1.3], [1.3,1.4], [1.4,1.5], [1.5,1.6], [1.6,1.7], [1.7,1.8], [1.8,1.9], [1.9,2], Ahora determina el valor de / e n cada punto terminal hasta que aplique el teorema del valor intermedio. f(x) = x5 - x 3 - l

COM ENTARIO La característica de TABLA de una calculadora gráfica facilita considerablemente los cálcu los de la solución del ejemplo 9. ■

/(1 .0 ) = - 1

/(1.2) = -0.23968

/(1 .1 ) = -0.72049

/(1.3) = 0.51593

Podemos terminar aquí y concluir que el cero está entre 1.2 y 1.3. Ahora divide el intervalo [1.2,1.3] en 10 subintervalos iguales y e v alú a/en cada punto terminal. /(1220) = -0.23968

/(1.23) » -0.0455613

/(1.21) « -0.1778185

/(1.24) « 0.025001

/(1.22) » -0.1131398 Podemos concluir que el cero está entre 1.23 y 1.24, y así, corregido a dos lugares decimales, el cero es 1.23. F ig u ra 5 0

^ Exploración Examinaremos la función polinomial f que se dio en el ejemplo 9. El teorema de cotas en los ceros nos dice que todo cero está entre —2 y 2. Si hacemos la gráfica de f usando - 2 < x < 2 (ver figura 50), vemos que f tiene exactamente una intersección en x. Usando ZERO o ROOT, determinamos que este cero es 1.24, redondeado a dos lugares decimales. Corregido a dos lugares decimales, el cero es 1.23. Zero X=Í.Z36E0£?

J

v=o

-Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

89

384

CAPÍTULO 5


Existen muchos otras técnicas numéricas para aproximar los ceros de una fun ción polinomial. La que se da en el ejemplo 9 (una variación del método de bisección) tiene la ventaja de que siempre funciona, se puede programar fácilmente en una computadora y cada vez que se usa se logra otro lugar decimal de precisión. Observa el problema 115 para el método de bisección, el cual, pone al cero en una sucesión de intervalos, donde cada nuevo intervalo es la mitad de la longitud del intervalo anterior.

Comentario histórico Existen fórm ulas para resolver ecuaciones polinomiales de

E

solución en su libro Ars Magna (1545) dando el crédito a Tartaglia

tercer y cuarto grado y, aunque no son muy prácticas, tienen

pero comprom etiendo el secreto. Tartaglia explotó en amargas re

una historia interesante.

crim inaciones y cada uno escribió folletos que reflexionaban acerca

En los años 1500 en Italia, los concursos de m atemáticas eran

de las matemáticas, el carácter moral y la experiencia del otro.

un pasatiempo popular y las personas que tenían métodos para

La ecuación de cuarto grado fue resuelta por un estudiante de

resolver problemas los m antenían en secreto. (Las soluciones que

Cardano, Lodovico Ferrari, y su solución también fue incluida, con

ya se habían publicado eran del conocim iento general). Niccolo de

crédito y esta vez con permiso, en el Ars Magna.

Brescia (1499-1557), com únm ente conocido como Tartaglia ("el

Se hicieron intentos para resolver la ecuación de quinto grado

tartam udo"), poseía el secreto para resolver ecuaciones cúbicas (de

en formas similares, pero todas fallaron. Al inicio del siglo xix, P.

tercer grado), lo cual, le daba una ventaja clara en los concursos.

Ruffini, Niels Abel y Evariste Galois encontraron formas de mostrar

Girolamo Cardano (1501-1576) descubrió que Tartaglia poseía el

que no es posible resolver ecuaciones de quinto grado por medio

secreto y, como estaba interesado en las cúbicas, se lo pidió a Tarta

de una fórmula, pero las pruebas requerían de la introducción de

glia. Tartaglia dudó por algún tiempo, pero finalm ente hizo que Car

nuevos métodos. El método de Galois se convirtió en una gran parte

dano jurara guardar el secreto y bajo juram ento a la media noche y

del álgebra moderna.

a la luz de las velas le dijo el secreto. Entonces Cardano publicó la

Problemas históricos Los problemas 1-8 desarrollan la solución de Tartaglia-Cardano de la ecuación cúbicay muestran por qué no es muy práctica.

4. Usa la solución para Hdel problema 3 y la ecuación H3 + K3 = - q para dem ostrar que

1. Demuestra que la ecuación cúbica general y 3 + by* 2+ cy + d = 0 1 se

puede

transform ar

en

una

ecuación

de

la

forma

b

x3 + px + q = 0 usando la sustitución y = x — —. 2. En la ecuación x 3 + px + q = 0, sustituye x por H + K. Sea 3 HK = - p y demuestra que H3 + K3 = -q .

5 . Usa los resultados de los problemas 2 al 4 para demostrar que la solución de x 3 + px + q = 0 es

3. Con base en el problema 2, tenem os dos ecuaciones 3H K = - p

y

H3 + K3 = —q

Resuelve para K en 3 HK = - p y sustituye en H3 + K3 = -q. Después demuestra que

6 . Usa el resultado del problema 5 para resolver la ecuación x 3 - 6x - 9 = 0.

7. Usa una calculadora y el resultado del problema 5 para resolver la ecuación x 3 + 3x - 14 = 0.

8 . Usa los métodos de esta sección para resolver la ecuación x 3 +

[Sugerencia: Busca una ecuación que sea de forma cuadrática].

5 .5

3x — 14 = 0.


"¿Estás listo?"

L a s respuestas se d a n al final de estos ejercicios. Si obtienes u n a respuesta incorrecta, lee las páginas m a r c a d a s

entre paréntesis.

1. D eterm ina/(-l) si/(x) = 2x 2 2. Factoriza la expresión 6x2 + x —

x. 2.

(pp. 203-206) (pp. 49-55)

3. Determina el cociente y residuo si 3.v4 - 5.r3 + Ix - 4 se divide entre x —3. (pp. 44^17 o 56-61) 4. Determina los ceros de/(.v) = .v2 + .v —3. (pp. 292-293)

S E C C IÓ N 5.5

385


..Conceptos y vocabulario ,4

5. En el p ro ceso d e la d ivisión p olin om ial (D iv iso r ) (C o c ie n te ) + _______________= _______________ .

9.

6. C u an d o se d ivid e una función p olin om ial / en tre a + c , el resid u o e s _________________ .

10.

Si / e s una función p olin om ial y .v - 4 es un factor de / , en to n ces / ( 4 ) = _________________ . V e r d a d e r o o falso

y si / ( 2 ) = 5, en to n c es

7. Si una fu n c ió n /, cu yo d o m in io es tod os los n úm eros reales, e s par y si 4 es un cero de / , e n t o n c e s _________________ es

5

/(-v) x - 2

tam b ién un cero. 8.

Si / e s una función p olinom ial de grado 4

V e r d a d e r o o falso T od a función polin om ial de grado 3 con c o e ficie n te s reales tien e exactam en te tres cero s reales.

= P(x) +

.v - 2

d on d e p (x ) es una función polinom ial de grado 3.

Ejercicios En los problemas 11-20, usa el teorema del residuo para determinar el residuo cuando f ( x ) se divide entre x - c. Después usa el teorema del factor para determinar si x - c es un factor de f ( x ) .

\

11. f ( x ) = 4a3 - 3.r - 8.r + 4; a - 2

12. f ( x ) = - 4 a3 + 5a2 + 8; a + 3

13. f ( x ) = 3a4 - 6 .r - 5.r + 10: .v - 2

14. / ( a )

= 4a4 - 15.v2 - 4; a - 2

15. /(.x)

=

3a6 + 82a3 + 27; a + 3

16. / ( a )

=

17. f { x )

=

4a6 - 64.v4 + a2 - 15; a + 4

18.

/(.v) = x b - 16a4 + a2 - 16; a + 4

20.

/ ( a ) = 3a4 + a3 - 3a + 1; a + -

19.

/ ( a ) = 2a4 - a3 + 2a - 1; a - -

2xb - 18.v4 +

a2

- 9;

a

+ 3

En los problemas 21-32, indica el número mínimo de ceros reales que puede tener cada función polinomial. No trates de determinar los ceros. 21. / (

a)

= -4

a7

+ x3 - x 2 + 2

22.

/ ( a) = 5a4 + 2a2 - 6a - 5

23.

/ ( a ) = 2a6 - 3a2 - a + 1

24. / (

a)

= - 3 a5 + 4 a 4 + 2

25.

/ ( a) = 3a3 - 2a2 + a + 2

26.

/ ( a ) = -A3 - A2 + A + 1

27. / (

a)

= -

28.

/ ( a) = a4 + 5a3 - 2

29.

/ ( a) = A5 + A4 + A2 + A + 1

30. / (

a)

=

31.

/ ( a) = a6 - 1

32.

/ ( a) = a6 + 1

a4

+

a2

- 1

-r5 - A4 + A3 - A2 + A

1

E n los problemas 33-44, enlista los ceros racionales posibles de cada función polinomial. No trates de determinar los ceros.

\

2a2 + 3

33.

/ ( a) = 3a4 - 3a3 + a2 - a + 1

34. / ( a ) =

a5

36.

/ ( a ) = 2a5 - a4 - a2 + 1

37. / ( a ) =

- 4 a3 -

a2

+

39.

/ ( a) = 6a4 - a2 + 9

40. / ( a ) =

- 4 a3 +

a2

+ a + 6

42.

/ ( a) = 3a5 - a2 + 2a + 18

43. / ( a ) = 6 a 4 + 2 a 3 - a 2 + 20

- a4 +

a

+

2

35. / ( a) = a5 - 6a2 + 9a - 3 38. / ( a) = 6a4 - a2 + 2 41.

/ ( a) = 2a5 - a3 + 2a2 + 12

44.

/ ( a) = - 6 a3 - a2 + a + 10

E n los problemas 45-56, usa el teorema de los ceros racionales para encontrar todos los ceros reales de cada función polinomial. Usa los ceros para facto rizar f en los números \

45. / ( a ) =

a3

+

2a2 - 5a - 6

46. / ( a ) =

a3

+ 8 a 2 + 11a - 20

48. / ( a ) =

2a3 +

a2

+

2a + 1

49. f ( x ) = 2a3 - 4a2 - 10a + 20

51. / ( a ) =

2a4 +

a3

-

7a2 - 3a + 3

52. / ( a )

= 2a4 -

54. / ( a ) =

a4

55. / ( a )

= 4a4 + 5a3 + 9a2 + 10a + 2

- a 3 - 6a 2

+ 4a + 8

a3

-

5a2 + 2a + 2

47. / ( a )

= 2a3 -

a2

50. / ( a )

= 3a3 +

6a 2 -

53. / ( a ) = 56. / ( a )

E n los problemas 57-68, resuelve cada ecuación en el sistema de los números reales. \

57. A4 59.

a3

+ 2a2 - 4a - 8 = 0

3a3 + 4a2 - 7a + 2 = 0

58.

2a3 + 3a2 + 2a + 3 = 0

60. 2a3 - 3a2 - 3a - 5 - 0

a4

+

a3

-

+ 2a - 1 15a - 30

3a2 -

a

= 3a4 + 4a3 + 7a2 +

+ 2 8a

+ 2

386

CAPÍTULO 5 Funciones racionales y polinomiales

61. 3x3 - x2 - 15x + 5 = 0

62. 2x3 - llx 2 + lOx + 8 = 0

63. x4 + 4x3 + 2x2 - x + 6 = 0

64. x4 - 2x3 + 10x2 - 18x + 9 = 0

, 2 , 8 65. x3 - -x 2 + -x + 1 = 0 3 3

3 66. x3 + -x 2 + 3x - 2 = 0

67. 2x4 - 19x3 + 57x2 - 64x + 20 = 0

68. 2x4 + x3 - 24x2 + 20x + 16 = 0

En los problemas 69-76, determina las cotas de los ceros reales de cada función polinomial. \ 6 9 . f (x) = x4 - 3x2 - 4

70. /(x ) = x4 - 5x2 - 36

71. /( x ) = x4 + x3 - x — 1

72. /(x ) = x4 - x3 + x - 1

73. /( x ) = 3x4 + 3x3 - x2 - 12x - 12

74. /(x ) = 3x4 - 3x3 - 5x2 + 27x - 36

75. /( x ) = 4x5 - x4 + 2x3 - 2x2 + x - 1

76. f (x) = 4x5 + x4 + x3 + x2 - 2x - 2

En los problemas 77-82, usa el teorema del valor intermedio para demostrar que cada función polinomial tiene un cero en el intervalo dado. \ 7 7 . /( x ) = 8x4 - 2x2 + 5x - 1; [0,1]

78. /(x ) = x4 + 8x3 - x2 + 2; [-1,0]

79. /( x ) = 2x3 + 6x2 - 8x + 2; [ - 5 ,- 4 ]

80. /(x ) = 3x3 - lOx + 9; [-3, -2]

81. / ( x ) = x5 - x4 + 7x3 - 7x2 - 18x + 18; [1.4,1.5]

82. /(x ) = x5 - 3x4 - 2x3 + 6x2 + x + 2; [1.7,1.8]

En los problemas 83-86, cada ecuación tiene una solución r en el intervalo indicado. Usa el método del ejemplo 9 para aproximar esta solución corregida a dos lugares decimales. 83. 8x4 - 2x2 + 5x - 1 = 0; 0 < r < 1

84. x4 + 8x3 - x2 + 2 = 0; -1 < r < 0

85. 2x3 + 6x2 - 8x + 2 = 0; -5 < r < -4

86. 3x3 - lOx + 9 = 0; -3 < r < -2

En los problemas 87-90, cada función polinomial tiene exactamente un cero positivo. Usa el método del ejemplo 9 para aproximar el cero corregido a dos lugares decimales. 87. f (x) = x33 +' x2 "2+1x" - 4

88. /(x ) = 2x4 + x2 - 1

\,89 . /(x ) = 2x4 - 3x3 - 4x2 - 8

90. /(x ) = 3x3 - 2x2 - 20

Práctica m ix ta -----------En los problemas 91-102, traza la gráfica de cada función polinomial. 91. /(x )

=x3 + 2x2 - 5x - 6

92. /(x ) = x3 + 8x2 + llx - 20

93. /(x ) = 2x3 - x2 + 2x - 1

94. f(x)

=2x3 + x2 + 2x + 1

95. /(x ) = x4 + x2 —2

96. /(x ) = x4 - 3x2 - 4

97. /(x )

= 4x4 + 7x2 - 2

98. /(x ) = 4x4 + 15x2 - 4

99. /(x ) = x4 + x3 - 3X2 - x + 2

100. /(x ) = x4 - x3 - 6x2 +4x + 8

101. /(x ) = 4x5 - 8x4 - x + 2

102. /(x ) = 4x5 + 12x4 - x - 3

Aplicaciones y extensiones 103. Determina k tal que f(x) = x3 - kx2 + kx + 2 tenga el fac tor x - 2. 104. Determina k tal que /(x) = x4 - kx3 + kx2 + 1 tenga el factor x + 2. 105. ¿Cuál es el residuo cuando /(x) = 2x20 - 8x10 + x —2 se divide entre x - 1? 106. ¿Cuál es el residuo cuando/(x) = -3 x 17 + x9 - x5 + 2x se divide entre x + 1?

107. Usa el teorema del factor para demostrar que x - c es un factor de x" - c" para cualquier entero positivo n. 108. Usa el teorema del factor para demostrar que x + c es un factor de x" + c" si n > 1 es un entero impar. 109. Una solución de la ecuación x3 - 8x2 + 16x - 3 = 0 es 3. Determina la suma de las soluciones restantes. 110. Una solución de la ecuación x3 + 5x2 + 5x - 2 = 0 es -2. Determina la suma de las soluciones restantes.

i S E C C IÓ N 5.6

l í l . Geometría

Ceros complejos: teorema fundamental del álgebra

387

¿Cuál es la longitud de la orilla de un cubo si, después de que se corta una rebanada de 1 pulgada de ancho de un lado, el volumen restante es de 294 pulgadas cúbicas?

Ahora, como p es un factor de los primeros n términos de esta ecuación, p también debe ser un factor del termino a^q". Como p no es factor de q (¿por qué?), p debe ser factor de af). De forma similar, q debe ser un factor de an.]

¿Cuál es la longitud de la orilla de un cubo si su volumen se puede duplicar al incrementar 6 centímetros en una orilla, incrementar 12 centímetros en una segunda orilla y disminuir 4 centímetros de la tercera orilla?

115. Método de bisección para aproximar ceros de una función/ Comenzamos con dos números enteros conse cutivos, a y a + 1, tales que f(a ) y f{a + 1) tengan signos opuestos. Evalúa / en el punto medio m x de a y a + 1. Si

113. Sea/(.r) una función polinomial cuyos coeficientes son nú meros enteros. Considera que r es un cero real de / y que el

/(m ,) = 0, entonces m, es el cero d e / y con eso termina mos. De otra manera, /(m ,) tiene signo opuesto a f ( a ) o a f(a + 1). Considera que f(a) y /(/w ) tienen signo opues to. Ahora e v a lú a /e n el punto medio m2 de a y mx. Repi te este proceso hasta que obtengas el grado de precisión deseado. Observa que cada iteración pone al cero en un intervalo cuya longitud es la mitad del intervalo anterior. Usa el método de bisección para aproximar el cero de f(x) = &c4 - lx 2 + 5x - 1 en el intervalo [0,1] corregido a tres lugares decimales.

112. Geometría

coeficiente principal de / e s 1. Usa el teorema de los ceros racionales para demostrar que r es un número entero o un número irracional. 114. Demuestra el teorema de los ceros racionales. [Sugerencia: Sea —>donde p y q no tienen factores comu-

<7 nes excepto 1 y - 1 , un cero de la función polinomial f ( x ) = anx n

+ a,,-!*"-1 + ••• +

a^x

+

[Sugerencia: El proceso termina cuando ambos puntos terminales concuerdan con el número de lugares decima les deseado].

a0

cuyos coeficientes son todos enteros. Demuestra que a„pn

+

an- \ p n~xq

+ ■•• +

axp q n~l

+

a0qn

=0

Explicación de conceptos: discusión y escritura 3

def(x) = 2x6 - 5.U + x 3 - x + 1? Explica.

116. ¿Es ^ un cero d e /(x ) = 2x3 + 3x2 - 6x + 7? Explica.

118. ¿Es - un cero

117. ¿Es i un cero d t f ( x ) = 4x3 - 5x2 - 3x + 1? Explica.

119. ¿Es - un cero d e f ( x ) = x 1 + 6xs - X* + x + 2? Explica.

2

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. 3

2. (3* + 2)(2 jc - 1)

3. Cociente: 3jc3 + 4x2 + 12jc + 43; Residuo: 125

4.

- 1 - V I3 - 1 + VT3

2

’

2

'N

P r e p a r a c ió n


A n te s de em pezar, repasa lo sigu iente:

Números complejos (sección 1.3, pp. 104-109)

\ _ Resuelve ahora lo s


O B JE T IV O S


Soluciones complejas de una ecuación cuadrática (sección 1.3, pp. 109-111) la p á g in a 392.

1 Usar el teorema de pares conjugados (p. 389) 2 Obtener una función polinomial con ceros especificados (p. 390) 3 Obtener los ceros complejos de una función polinomial (p. 391)

E n la sección 1.2 determ inam os las soluciones reales de una ecuación cuadrática. E sto es, encontram os los ceros reales de una función polinom ial de grado 2. D espués, en la sección 1.3 determ inam os las soluciones com plejas de una ecuación cuadrática. E sto es, encontram os los ceros com plejos de una función polinom ial de grado 2. E n la sección 5.5 determ inam os los ceros reales de funciones polinom iales de grado 3 o m ayor. En esta sección d eterm inarem os los ce ro s co m p le jo s de funciones polinom iales de grado 3 o m ayor.

388

c a p ít

ULO 5 Funciones racionales y polinomiales

D E F IN IC IÓ N

Una variable en el sistema de números complejos se llama variable compleja. Una función polinomial compleja/ d e grado n es una función de la forma f ( x ) - anx n +

\x" 1 + ••• + (i\X + a„

(I)

donde a n, a n_ v . . son números complejos, a n + (),« es un número entero no negativo y x es una variable compleja. Como anteriormente, an es el coeficiente principal de / . Un número complejo r es cero complejo d e /s i f(r) = 0 .

En la mayor parte de nuestro trabajo, los coeficientes en (1) serán números reales. Hemos aprendido que algunas ecuaciones cuadráticas no tienen soluciones rea les, pero que en el sistema de los números complejos, toda ecuación cuadrática tiene una solución, ya sea real o compleja. El siguiente resultado, demostrado por Karl Friedrich Gauss (1777-1855) cuando tenía 22 años,* proporciona una extensión a las ecuaciones polinomiales complejas. De hecho, este resultado es tan importante y útil que se conoce como el teorema fundamental del algebra. TEO REM A FU N D AM EN TA L DEL Á LG EBRA

Toda función polinomial com pleja / ( . y ) de grado n > 1 tiene por lo menos un cero complejo. i -J No demostraremos este resultado, debido a que la demostración va más allá del objetivo de este libro. Sin embargo, usando el teorema fundamental del álgebra y el teorema del factor, podemos demostrar el siguiente resultado:

TEO REM A

Toda función polinomial compleja / ( . y ) de grado n > 1 se puede factorizar en factores lineales (no necesariamente diferentes) de la forma f{x)

= a„(x

- r,)(.v -

r2) ......... ( x

- r„)

n

(2)

donde a n, rv rr . . . , rn son números complejos. Esto es, toda función polinomial compleja de grado « > 1 tiene exactamente n ceros complejos, los cuales se pueden repetir.

J

D em ostración

Sea f(x)

= íz„. v " +

«„-i-v" 1 + ••• + axx +

ÍI0

Por el teorema fundamental del álgebra, / tiene por lo menos un cero, digamos Entonces, por el teorema del factor, ,v - r, es un factor, y

rr

f ( x ) = (x - ri)qi(x) donde q^x) es una función polinomial compleja de grado n - 1 cuyo coeficiente principal es a n. Repitiendo este argumento n veces, llegamos a / ( . y ) = (. y -

r ,)(x - r2 ) ............(-v “ rn )q„(x)

d o n d e q n(x) e s u n a f u n c ió n p o lin o m ia l c o m p le j a d e g r a d o n — n = 0 c u y o c o e f ic ie n t e e s a n. E s t o e s ,' q1n'(.y') = a nx° = a n J y en to n c es / ( . y ) = a „(. y -

r,)(.Y -

r2)

............(. y -

r„)

Podemos concluir que toda función polinomial/ ( . y ) de grado n > te n ceros (no necesariamente diferentes).

1

tiene exactamen ■

*Gauss dio cuatro demostraciones diferentes para este teorema, la primera en 1799 fue el tema de su tesis doctoral.

< S E C C IÓ N 5.6

J


389

Uso del teorem a de pares conjugados Podemos usar el teorema fundamental del álgebra para obtener información útil acerca de los ceros complejos de funciones polinomiales cuyos coeficientes son nú meros reales.

T EO R EM A DE PARES C O N JU G A D O S

Sea /(.v) una función polinomial cuyos coeficientes son números reales. Si r = a + bi es un cero de / el conjugado complejo r = a - bi también es un cero d e /. En otras palabras, para funciones polinomiales cuyos coeficientes son números reales, los ceros complejos se dan por pares conjugados. Este resultado no debe ser muy sorprendente, debido a que las soluciones complejas de una ecuación cuadrática se dan por pares conjugados. D em o stració n

Sea / ( .t ) =

a „xn + an-\ x " ~ {

+ ••• +

cixx + a 0

donde a . a ....... an son números reales y a í 0. Si r = a + bi es un cero de / entonces /( r ) = f ( a + bi) = 0, entonces a„r" +

+ ••• + axr + a0 = 0

Obten el conjugado en ambos lados para tener a„r" + an-\r n~x + ••• + a tr + <íq = Ó anrn

+ a

r " _1 + ••• + f l j r + a0 = 0

rtjj(ir)" + í v T [ ( r ) " _1 + a „ (? )n +

El conjugado ¿le la suma es igual a la suma ¿le los conjuga¿los (ver sección 13).

+ f l j r + Í70 = 0

El conjuga¿lo de un producto es igual al producto de los conjugados.

+ ••• + a { r + (I q = o

El conjugado de un número real es igual al número real.

Esta última ecuación establece que f ( r ) = 0, esto es, r = a - bi es un cero d e /.

■

La importancia de este resultado debe quedar clara. Una vez que sabemos que, digamos, 3 + 4/ es un cero de una función polinomial con coeficientes reales, en tonces sabemos que 3 - Ai también es un cero. Este resultado tiene un corolario importante.

C O R O LA R IO

Una función polinom ial/de grado impar con coeficientes reales tiene al menos un cero real. J Como los ceros complejos se dan como pares conjugados en una función polinomial con .coeficientes reales, siempre existirá un número par de ceros que no sean números reales. Como consecuencia, c o m o /e s de grado impar, uno de sus ceros tiene que ser un número real. ■ D e m o s tra c ió n

Por ejemplo, la función polinomial/(.v) = Jt5 - 3x* + Ax3 - 5 tiene por lo menos un cero que es un número real, porque / es de grado 5 (impar) y tiene coeficientes reales.

E JEM P LO 1

Uso del teorema de pares conjugados Una función polinomial / d e grado 5 cuyos coeficientes son números reales tiene los ceros 1, 5/ y 1 + i. Encuentra los dos ceros restantes.

Solución

C om o/tiene coeficientes que son números reales, los ceros complejos aparecen como pares conjugados. Podemos concluir que -5 /, el conjugado de 5/, y 1 — el conjuga do de 1 + /, son los dos ceros restantes. -Resuelve ahora

el

problema

7

390

c a pí

l'U C O 5


2 Obtener una función polinomial con ceros especificados E JEM P LO 2

Obtener una función polinomial cuyos ceros están dados Obten una función polinomial / de grado 4 cuyos coeficientes sean números reales que tenga los ceros 1, 1 y - 4 + i.

Solución

Como - 4 + / es un cero, por el teorema de pares conjugados, - 4 - i también debe ser un cero de /. Por el teorema del factor, si /(c ) = 0, entonces x - c es un factor de f(x). Entonces podemos escribir / como / ( * ) = a(x - ! ) ( * - l)[jf ~ (~ 4 + /)][* - ( - 4 - /)] donde a es cualquier número real. Entonces f{x) = a(x

-

l ) ( x - l ) [ x - ( - 4 + /) ] [ x - ( - 4 - /)]

= í/( jc2 - 2x + 1)[je2 - ( - 4 + /)x - ( - 4 - /)x + ( - 4 + i)( —4 - /)] = a(x2 - 2x +

1 ) ( jy2

+ 4x - ix + 4x + ix + 16 + 4i - 4i - i2)

= a(x2 - 2x +

1)(.y2 + 8.y + 17)

= « ( . y4 + 8 x 3 + 17.y2 -

2x3

-

16 jc2 -

34. y + r 1 +

Hx

+ 17)

= a(x4 + 6x3 + 2.v2 - 26x + 17) Exploración Traza la gráfica de la función f que obtuviste en el ejemplo 2 para o = 1. ¿El valor de a afecta los ceros de f ? ¿Cómo afecta el valor de a a la gráfica de fl ¿Qué información acerca de f es suficiente para determinar una a única? Un análisis rápido de la función polinomial f nos dice lo que podemos esperar. Tenemos 3 puntos de reflexión. Para |x| grandes, la gráfica se comportará como y = x*. Existe un cero real repetido en 1 de multiplicidad par, así que la gráfica tocará el eje x en 1. La única intersección con x es 1, la intersección en y es 17. La figura 51 muestra la gráfica completa (¿Puedes ver por qué? La gráfica tiene exactamente tres puntos de inflexión). El valor de a causa un estiramiento o compresión; también ocurre una reflexión si a < 0. No se afectan los ceros. Si se conoce cualquier punto de la gráfica además de la intersección en x, entonces se puede deter minar a. Por ejemplo, si (2,3) está en la gráfica, entonces f(2) = 3 = o(37), entonces a = 3/37. ¿Por qué no sirve una intersección con x? j R esu ltad o

Figura 51

50

Ahora demostraremos el teorema que conjeturamos en la sección 5.5

TEO R EM A

Toda función polinomial con coeficientes reales se puede factorizar de manera única en los números reales en un producto de factores lineales y/o factores cuadráticos irreducibles. Toda función polinomial compleja f de grado n tiene exactamente n ceros y se puede factorizar en un producto de n factores lineales. Si los coeficien tes son reales, los ceros que sean números complejos siempre se darán como pares conjugados. Como resultado, si r - a + bi es un cero complejo, entonces también lo es r = a — bi. Como consecuencia, cuando los factores lineales x — r y .v - r de / se multipliquen, tendremos D em ostración

(.v - r)(x — r) = .y2 — (r + r)x + rr = x 2 - 2ax +
el

problema

i

7

S U C C IO N 5.6


391

O btener los ceros complej'os de una función polinom ial Los pasos para determinar los ceros complejos de una función polinomial son iguales que para determinar los ceros reales.

E JE M P L O 3

Obtener los ceros complejos de una función polinomial Obten los ceros complejos de la función polinomial /(.v) = 3.v4 + 5.x3 + 25.x2 + 45.v - 18 E scrib e/en forma íactorizada.

Solución

P aso 1: El grado d e /e s 4. Por lo tanto,/tendrá cuatro ceros complejos. P a s o 2: El teorema de los ceros racionales proporciona información acerca de los

ceros racionales posibles de funciones polinomiales con coeficientes ente ros. Para esta función polinomial (que tiene coeficientes enteros), los ceros racionales posibles son

±—, ± —, ± 1, ±2, ±3, ±6, ±9, ± 18 Primero prueba con 1:

l)3

5 25 45 -18 3 8 33 78 3 8 33 78 60 1no es un cero.

Prueba con -1:

-l)3

Prueba con 2:

2)3 5 25 45 -18 6 22 94 278 3 11 47 139 260 2 no es un cero.

Prueba con -2:

-2)3

5 25 45 -18 -3 -2 -23 -22 3 2 23 22 —40 —1 no es un cero

5 25 45 -18 -6 2 -54 18 3 -1 27 -9 0

C om o/ ( —2) = 0, entonces -2 es un cero y x + 2 es un factor de /. La ecua ción deprimida es

3.í 3 - .x2 + 27.x- - 9 = 0 R k p i t e e l paso 2 :

Factoriza la ecuación deprimida por agrupamiento.

3x3 - .x2 + 27.v - 9 = 0 ,X2(3.X — 1) + 9(3.v — 1) = 0 9) (3.x

(x 2 + .X2 +

9

=

0

.x2 = - 9 x = -3 /,

O

—

1)

= 0

3.X — 1 =

0 0

-x = 3/

0

Factoriza x2 de 3 ^ — >c y 9 de 27x — 9. Factoriza el factor común 3 x — 1 Aplica la propiedad de producto cero.

1 * = 3 1 r “ 3

Los cuatro ceros complejos d e /so n j -3 /, 3/, - 2 La forma factorizada d e /e s /(.x) = 3.x:4- + 5.x3 + 25.x2 + 45.x - 18 = 3(.x + 3i)(x - 3/)(.x + 2)(.x -Resuelve ahora

el

problema

33

392

CAPÍTULO 5 Funciones racionales y polinomíales

5.6 Evalúa tu entendimiento "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. Determina la suma y el producto de los números complejos 3 - 2/ y -3 + 5i. (pp. 104-109)

2. En el sistema de los números complejos, determina la solución compleja de la ecuación x2 + 2* + 2 = 0. ípp. 104-109)

Conceptos y vocabulario 3. Toda función polinomial de grado impar con coeficientes reales tendrá al menos_____________ ceros reales. 4. Si 3 + 4i es un cero de una función polinomial de grado 5 con coeficientes reales, entonces _____________ tam bién lo es.

5. Verdadero o falso Una función polinomial de grado n con coeficientes reales tiene exactamente n ceros comple jos. A lo mucho n de ellos son ceros reales. 6. Verdadero ofalso Una función polinomial de grado 4 con coeficientes reales puede tener -3 ,2 + /, 2 —/ y —3 + 5/co mo sus ceros.

Ejercicios En los problemas 7-16, se da información acerca de una función polinomial f(x) cuyos coeficientes son números reales. Determina los ceros restantes de f. 8. Grado 3; ceros: 4,3 + i \ 7 . Grado 3; ceros: 3,4 - i 9. Grado 4; ceros: i, 1 + i 10. Grado 4; ceros: 1,2,2 + i 11. Grado 5; ceros: 1, i, 2i 12. Grado 5; ceros: 0,1, 2, i 14. Grado 4; ceros: 2, - i, —i 13. Grado 4; ceros: i, 2, -2 16. Grado 6; ceros: i, 3 - 2i, - 2 + i 15. Grado 6; ceros: 2,2 + i, - 3 - i, 0 En los problemas 17-22, desarrolla una función polinomial f(x) con coeficientes reales que tenga el grado y los ceros dados. Las res puestas pueden variar dependiendo de la elección del coeficiente principal. V 17.

Grado 4;

ceros: 3 + 21; 4, multiplicidad 2

18. Grado 4;

ceros: i, 1 + 2i

19.

Grado 5; ceros: 2; - i ; 1 + i

20. Grado 6; ceros: /, 4 - i; 2 + i

21.

Grado 4; ceros: 3, multiplicidad 2; - i

22. Grado 5;

ceros: 1, multiplicidad 3; 1 + /

En los problemas 23-30, usa el cero dado para encontrar los ceros restantes de cada función. 23.

/(* ) =

x3 - 4x2 + 4x - 16; cero: 2i

25.

f (x) =

2x4 + 5*3 + 5*2+ 20* - 12;

27.

h{x) =

x4 - 9x3 + 21*2+ 21* - 130; cero: 3 - 2i

24. g(*) =

cero: - 2 i

29. h{x) = 3*5 + 2*4 + 15*3 + 10*2 - 528* - 352; cero: -4 /

*3 + 3.x2 + 25* + 75; cero: - 5 i

26. /?(*) = 3*4 + 5*3 + 25*2 + 45.v - 18: 28. / ( * ) = *4 - 7*3 + 14*2 - 38* - 60:

cero: 3/ cero: 1 + 3/

30. g(x) = 2*5 - 3*4 - 5.r3 - 15.r - 207* + 108: cero: 3/

En los problemas 31-40, determina los ceros complejos de cada función polinomial. Escribe f en su forma factorizada.

\

31. /(* ) = *3 - 1

32. /(* ) = *4 - 1

33. /(* ) = *3 - 8*2 + 25* - 26

34. /(* ) = *3 + 13*2 + 57* + 85

35. /(* ) = *4 + 5*2 + 4

36. /(* ) = *4 + 13*2 + 36

37. /(* ) = *4 + 2*3 + 22*2 + 50* - 75

38. /(* ) = *4 + 3*3 - 19*2 + 27* - 252

39. /(* ) = 3*4 - *3 - 9*2 + 159* - 52

40. /(* ) = 2*4 + * 3 - 35.x-2 - 113* + 65

t

S E C C IÓ N 5.6


393

Explicación de conceptos: discusión y escritura En los problemas 41 y 42, explica por qué son contradictorios los hechos que se dan.

41. f(x) es una función polinomial de grado 3 cuyos coeficien

1 - 2i. Explica por qué el cero restante tiene que ser un número real.

tes son números reales; sus ceros son 4 + /, 4 - /' y 2 + /.

42. f(x) es una función polinomial de grado 3 cuyos coeficien

44. /( y) es una función polinomial de grado 4 cuyos coeficien

tes son números reales; sus ceros son 2, / y 3 + i.

43. /(.v) es una función polinomial de grado 4 cuyos coeficien tes son números reales; tres de sus ceros son 2, 1 + 2 i y

tes son números reales; dos de sus ceros son - 3 y 4 - i. Explica por qué uno de los ceros restantes debe ser un nú mero real. Escribe uno de los ceros que faltan.

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 2. - 1 —/, —1 + i

1. Suma: 3i, producto: 1 + 21/

REPASO D EL C A P ÍT U LO Cosas que debes saber Función de potencias (pp. 321-324) Dominio: todos los números reales Rango: los números reales no negativos

/( y) = x", n > 2 par

Pasa por ( - 1 ,1 ) , (0,0), (1,1) Función par Decreciente en (-oo, 0), creciente en (0, oo)

f(x)

= r " ,f i> 3

Dominio: todos los números reales. Rango: todos los números reales

impar

Pasa por (—1, -1 ), (0, 0), (1,1) Función impar Creciente en (-oo, oo)

Función polinomial (pp. 320, 329-331) Dominio: todos los números reales

f{x) = anxn + a,,-!*"-1 + • • • + a\X + aQ, an

0

A lo más n - 1 puntos de inflexión Comportamiento terminal: se comporta como y = a x n para |.r| grandes

Ceros reales de una función polinomial / (p. 325)

Números reales para los cuales/( y) = 0; los ceros reales de / son las intersecciones en / de la gráfica de / .

Función racional (pp. 343-350) R(x)

P(x)

p, q son funciones pclinomiales y q no es el cero polinomial.

Dominio (y | í/( y) ¥= 0) Asíntotas verticales: con R(x) en sus términos mínimos, si q(r) = 0 para algún número real, entonces x = re s una asíntota vertical. Asíntota horizontal u oblicua: Ve el resumen en la página 350.

Teorema del residuo (p. 376) Teorema del factor (p. 376) Teorema de los ceros racionales (p. 378)

Si una función polinomial / ( . y ) se divide entre .y - c, entonces el residuo es f(c).

x - c es un factor de una función polinom ial/( y) si y solo si /(c ) = 0. S e a /u n a función polinomial de grado 1 o mayor de la forma /(y)

= a,,x" + a„-\xn~x + • •• + a^x + a0

a„ *

0,

a0 *

0

p

donde cada coeficiente es entero. Si —, en sus términos mínimos, es un cero racional <7 de /, entonces p es un factor de ag y q es un factor de an.

Teorema del valor intermedio (p. 382) Teorema fundamental del álgebra (p. 383) Teorema de pares conjugados (p. 389)

S e a /u n a función polinomial. Si a < b y f(a) y f(b) tienen signo opuesto, entonces existe al menos un cero real de / entre a y b. Toda función polinomial compleja / ( y) de grado n s 1 tiene por lo menos un cero com plejo. Sea / ( y) una función polinomial cuyos coeficientes son números reales. Si r = a + bi es un cero d e /, entonces su conjugado r = a - bi también es un cero d e /.

394

C A P ÍT U L O 5


Objetivos ---------------------------------Sección

5.1

D ebes p o d e r... 1 2 3 4 5

5.2

1 2 3

5.3

1 2

5.4

1 2

5.5

1 2 3 4 5 6

5.6

1 2 3

Ejem p los

Ejercicio s de repaso

2,3

1 -1 5-10

4-6 9-11 12

11-18 (a) y ib) 11-18 88

1

4

19-22 19-22

5-8

19-22

Analizar la gráfica de una función racional (p. 353) 1-5 Resolver problemas aplicados que involucren funciones racionales (p. 364) 7

23-34 . 87

Identificar funciones polinomiales y su grado (p. 320) Representar funciones polinomiales gráficamente usando transformaciones (p. 324) Identificar los ceros reales de una función polinomial y su multiplicidad (p. 325) Analizar la gráfica de una función polinomial (p. 332) Construir modelos cúbicos a partir de datos (p. 336)

1

Determinar el dominio de una función racional (p. 343) Determinar las asíntotas verticales de una función racional (p. 346) Determinar la asíntota horizontal u oblicua de una función racional (p. 347)

Resolver desigualdades polinomiales (p. 368) Resolver desigualdades racionales (p. 369)

1,2 3,4

35,36 37-44

Usar los teoremas del residuo y del factor (p. 375) Usar el teorema de los ceros racionales para enumerar los ceros racionales posibles de una función polinomial (p. 378) Determina los ceros reales de una función polinomial (p. 378) Resolver ecuaciones polinomiales (p. 381) Usar el teorema de cotas en ceros (p. 381) Usar el teorema del valor intermedio (p. 382)

1,2

45-50

3 4,5 6 7 8

51-58 53-58 59-62 63-66 67-74

Usar el teorema de pares conjugados (p. 389) Obtener una función polinomial con ceros especificados (p. 390) Determinar los ceros complejos de una función polinomial (p. 391)

1

2 3

75-78 75-78 79-86

Ejercicios de repaso En los problemas 1-4, determina si la función es una función polinomio!, una función racional o ninguna de las dos. Para aquellas que sean funciones polinomiales, indica su grado. Para las que no sean funciones polinomiales, di por qué no lo son. 1. f(x) = 4 x 5 - 3 x 2 + 5 x

-2

2. f{x) = —

3. f(x) = 3 .r + 5 x m

—

-

1

4.

f(x)

=

3

En los problemas 5-10, obtén la gráfica de cada función usando transformaciones (traslaciones, compresiones, estiramientos y reflexiones). Muestra todas las etapas. 5. f (x) = (x + 2)3

6. f(x) = - x 3 + 3

8. f(x) = (* - l )4 - 2

9 . f { x ) = {x - l )4 + 2

7. 10.

f (x) = -(.v f (x) =

(1

-

l)4

.v)3

En los problemas 11-18, analiza cada función polinomial siguiendo los pasos 1 al 6 en la página 333. 11. 14.

f(x) = x(x + 2)(x + 4) f(x) = (x - 2 ) { x + 4)2

17. f{x) = (x - 1)2(jc + 3)(* + 1)

12.

f(x) = x(x - 2)(x - 4)

13.

f (x) = (x - 2)2(x + 4)

15.

f(x) = -2.v3 + 4.v2

16.

f (x) =

18. f (x) =

(.v

-

4 )(.v

+

2 )2(.v

-

-4.V3 + 4.v

2)

En los problemas 19-22, determina el dominio de cada función racional. Determina cualquier asíntota horizontal, vertical u oblicua. 19.

R{x) =

x + 2

x2 - 9

20.

R(x)

x¿ + 4 x —2

21.

R(x) =

x2 + 3.v + 2 (.v + 2)2

22. R(x) = -3 .» - 1

Repaso del capitulo

395

íyi fr>s problemas 23-34, comenta acerca de cada función racional siguiendo los ocho pasos que se dan en la página 336. 2 3 . R(x) = —-----

2 7 . R(x) = ■ / X x -

3 1 . R( a) =

a

2 8 . R{x) =

6

- 6

2a 4 (a -

4- A

2 4 . R(x)

x¿ - 6 v + 9

3 2 . R(x) = -y

1)-

25.

aj

a

/ / (a ) =

26.

/ / (A ) -

r

A - 1

A (A - 2 )

.r 2 9 . F(x) = ~2 A* - 4 33. G ( a ) = —

- 9

+ 2 _

3a 3

3 0 . F(x)

x2 - 4

(a -

l)2

(a -

l)2

3 4 . F(a) = - ¡ — A - 1

A' - A - 2

En los problemas 35-44, resuelve cada desigualdad. Haz la gráfica del conjunto solución. 35.

a-3

+

a2

< 4v + 4

36. a3 + 4a 2 > a + 4

6

37. a

39. ^

40.

“ < 2

1 - A

„ A2 - 8 a + 12 4 3 . - - - - =- - - - - - - - - > 0 a 2 - 16

1

38. - A r - < 1 1 - 3a

A + 1

3 - 2a ------- - > 2 2a + 5 a (a2

+ 3

4 , . (* - 2 )(y

A - 3

42. — ----- — < 0

. 1> a 0

a (a

- 5)

+ a - 2)

4 4 . — r- - - - - - - - - - - - < 0 A- + 9 a + 20

En los problemas 45-48, encuentra el residuo R cuando f(x) se divide entre g(x). ¿Es g un factor de f? 45. / ( a ) = 8 a 3 - 3 a2 + a +

4;

g ( x) =

47. / ( a ) = a 4 - 2 a-3 + 15a - 2; 49.

g {x )

=

x

-

1

x + 2

Determina el valor de / ( a ) = 12a6 - 8 a4

g{x) = x

46. / ( a ) = 2 a 3 + 8 a2 - 5 a + 5; 48. / ( a ) = a 4 - a 2 + 2 a + 2;

g (x ) =

a

-

2

+ 1

+ 1 en a = 4.

50. Determina el valor de / ( a ) = - 1 6 a3 + 18a2 -

a

+ 2 en a = - 2 .

51. Enlista todos los ceros racionales posibles

de / ( a ) = 12a8 -

52. Enlista todos los ceros racionales posibles

de / ( a ) = - 6 a5 + a4 +2 a 3—a + 1.

a7

+6 a4- a3 + a - 3.

En los problemas 53-58, usa el teorema de los ceros racionales para determinar todos los ceros de reales de cada función polinomial. Usa los ceros para factorizar f en los números reales. i

53.

/ ( a ) = a 3 - 3a 2 - 6 a + 8

54. / ( a ) = a3 -

55.

/ ( a ) = 4 a 3 + 4 a 2 - 7a + 2

56.

/ ( a ) = 4 a 3 - 4 a 2 - 7a - 2

57.

/ ( a ) = a 4 - 4 a 3 + 9 a 2 - 20 a + 20

58.

/ ( a ) = a 4 + 6 a 3 + 11a 2 + 12a + 18

a2

- 10a - 8

En los problemas 59- 62, resuelve cada ecuación en el sistema de las números reales. 59. 2 a 4 + 2 a 3 -

11a 2 + a - 6 = 0

60.

61. 2 a 4 + 7 a 3 +

a2

62. 2 a 4 + 7 a 3 - 5 a 2 - 28 a - 12 = 0

- 7a - 3 = 0

3a 4 + 3a 3 -

17a 2 + a - 6 = 0

En los problemas 63-66, determina las cotas de los ceros reales de cada función polinomial. 63.

= a 3 - a 2 -- Ar /(a) = 4 a -+l 2

64. / ( a ) = a 3 + a 2 -

65.

/ ( a ) = 2 a 3 - 7a 2 -

66. / ( a ) = 3 a 3 - 7 a 2 - 6 a + 14

10a + 35

10 a - 5

En los problemas 67-70, usa el teorema del valor intermedio para demostrar que cada función polinomial tiene un cero en el intervalo dado. 67. / ( a ) = 3 a 3 - a 69.

1;

[ 0 ,1 ]

/ ( a ) = 8 a 4 - 4 a 3 - 2 a - 1;

68. / ( a ) = 2 a 3 - a 2 - 3; [0 , 1]

70.

[ 1 ,2 ]

/ ( a ) = 3 a 4 + 4 a 3 - 8 a - 2;

[ 1 , 2]

396

C A P ÍT U L O 5


En los problemas 71-74, cada función polinomial tiene exactamente un cero positivo. Aproxima el cero corregido a dos lugares deci males. 71. f(x) = x3 - * - 2

72. f (x) = 2x3 - x2 - 3

73. f(x) = 8x4 - 4x3 - 2x - 1

74. / ( x) = 3x4 + 4x3 - 8 x - 2

En los problemas 75-78, se da información acerca de una función polinomial compleja f(x) cuyos coeficientes son números reales. Determina los ceros restantes de f. Después determina una función polinomial con coeficientes reales que tenga los ceros. 75. Grado 3;

ceros: 4 + i, 6

76. Grado 3;

ceros: 3 + 4i, 5

77. Grado 4;

ceros: i, 1 + i

78. Grado 4;

ceros: 1,2,1 + i

En los problemas 79-86, determina los ceros complejos de cada función polinomial f(x). Escribe f en su forma factorizada. 79. f{x) = x3 - 3x2 - 6x + 8

80. f{x) = x3 - x2 - 10jc - 8

81. f (x) = 4x3 + 4x2 - I x + 2

82. f (x) = 4x3 - 4x2 - l x - 2

83. f (x) = x4 - 4x3 + 9x2 - 20x + 20

84. f(x) = x4 + bx3 + \\x 2 + \2x + 18

85. f (x) = 2x4 + 2x3 - llx 2 + x - 6

86. f (x) = 3x4 + 3x3 - \lx 2 + x - 6

87. Hacer una lata Se requiere que una lata con forma de ci lindro circular recto tenga un volumen de 250 centímetros cúbicos. (a) Expresa la cantidad A de material para hacer la lata como función del radio r del cilindro. (b) ¿Cuánto material se necesita si la lata tiene 3 centíme tros de radio? (c) ¿Cuánto material se necesita si la lata tiene 5 centíme tros de radio? |^j (d) Haz la gráfica de A = A ( r ) . ¿Para qué valor de r es más pequeña A l 88. Modélalo: tasas de pobreza Los siguientes datos repre sentan el porcentaje de familias en los Estados Unidos cuyo ingreso está por debajo del nivel de pobreza.

(b) Escoge una función de mejor ajuste para estos datos (li neal, cuadrática o cúbica) y usa esta función para prede cir el porcentaje de familias de los EE.UU. que estaban por debajo del nivel de pobreza en 2005 (t = 16). (c) Traza la función de mejor ajuste en el diagrama de dis persión que trazaste en el inciso (a). 89. Desarrolla una función polinomial con las siguientes carac terísticas: grado 6; cuatro ceros reales, uno de multiplicidad 3; intersección en y 3; se comporta como y = -Sx6 para valores grades de |.tl. ¿Es única esta función polinomial? Compara tu función polinomial con la de otros estudiantes. ¿Qué términos serán iguales en las de todos? Agrega algu nas características, como la simetría o nombrar los ceros reales. ¿Cómo modifica esto la función polinomial? 90. Desarrolla una función racional con las siguientes carac terísticas: tres ceros reales, uno de multiplicidad 2; inter sección en y 1; asíntotas verticales .r = -2 y x = 3: asíntota oblicua y = 2x + 1. ¿Es única esta función racional? Com para tu función racional con la de otros estudiantes. ¿Qué términos serán iguales en las de todos? Agrega algunas ca racterísticas, como la simetría o nombrar los ceros reales. ¿Cómo modifica esto la función racional? 91. La ilustración muestra la gráfica de una función polinomial. (a) ¿Es par o impar el grado de la función polinomial? (b) ¿Es positivo o negativo el coeficiente principal? (c) La función, ¿es par, impar o ninguna de las dos? (d) ¿Por qué .v2es necesariamente un factor de la función polinomial? (e) ¿Cuál es el grado mínimo de la función polinomial? (f) Desarrolla cinco funciones polinomiales diferentes cuyas gráficas puedan verse como la que se muestra. Compara las tuyas con las de otros estudiantes. ¿Qué similitudes ves? ¿Qué diferencias?

Año, í

P o rce n ta je p o r d e b a jo d e l n ivel d e p o b re z a , p

1990,1

10.9

1991,2

11.5

1992,3

11.9

1993,4

12.3

1994,5

11.6

1995,6

10.8

1996,7

11.0

1997,8

10.3

1998,9

10.0

1999,10

9.3

2000,11

8.7

2001,12

9.2

2002,13

9.6

2003,14

10.0

2004,15

10.2

Fuente: Departamento de Censo de EE.UU

£¡ (a) Traza un diagrama de dispersión de datos con un dis positivo gráfico. Comenta acerca del tipo de relación que parece existir entre las dos variables.

Los videos de preparación para el examen del capítulo son soluciones paso a paso disponibles en el DVD de recursos en video, en MyMatíÍLab\, o en el canal de YotlGÜEB' de este

¥ -

texto. Consulta la página de recursos del estudiante para ver la dirección exacta de la página Web para el canal de

EXAM EN D EL C A P ÍT U LO 1. Obten la gráfica de/(.v) = (x - 3)4 - 2 usando transforma ciones.

YouTube de este texto.

En los problemas 5 y 6, determina el dominio de cada función. Encuentra cualquier asíntota horizontal, vertical u oblicua.

2. Para la función polinomial g ( x ) = 2.v3 + 5.v2 - 28.r - 15,

(a) Determina el número máximo de ceros reales que puede tener la función. (b) Determina las cotas en los ceros de la función. (c) Enlista los ceros racionales posibles. (d) Determina los ceros reales de g. Factoriza g en los nú meros reales. (e) Determina las intersecciones en x y en y de la gráfica de g. (f) Determina si la gráfica cruza o toca el eje x en cada intersección en x. (g) Determina la función de potencias a la que se parece la gráfica de g para valores de | jc| grandes. (h) Determina el comportamiento de la gráfica de g cerca de cada intersección en .v. (i) Junta toda la información para obtener la gráfica de g. 3. Encuentra los ceros complejos de f ( x ) = x 3 - 4x2 + 25.v - 100.

4. Resuelve 3x3 + 2x - 1 = 8x2 - 4 en el sistema de los nú meros complejos.

5. g(x) 6. r(x) =

2x~ - I4x + 24 .v2 + 6.v - 40

■t2 + 2x - 3 x + 1

7. Bosqueja la gráfica de la función en el problema 6. Marca todas las intersecciones, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

En los problemas 8 y 9, escribe una función que cumpla con las condiciones dadas. 8. Función polinomial de cuarto grado con coeficientes rea les; ceros: - 2 ,0 ,3 + i. 9. Función racional; asíntotas: y = 2, x = 4; dominio: {*1* * 4, x * 9}

10. Usa el teorema del valor intermedio para demostrar que la función/(x) = -2 x2 - 3.t + 8 tiene al menos un cero real en el intervalo [0,4],

x +2 11. Resuelve------ - < 2 x - 3

1 REPASO A CU M U LATIVO ____________ 1. Determina la distancia entre los puntos P = (1, 3) y <2 = ( - 4 ,2 ) 2. Resuelve la desigualdad x 2 > x y haz la gráfica del conjun to solución. 3. Resuelve la desigualdad x 2 - 3.v < 4 y haz la gráfica del conjunto solución. 4. Determina una función lineal con pendiente —3 que con tenga el punto ( -1 ,4 ) . Haz la gráfica de la función. 5. Determina la ecuación de la recta paralela a la recta y = 2x = + 1 y que contenga el punto (3, 5). Expresa tu respuesta en forma pendiente-ordenada y haz la gráfica de la recta. 6. Traza la gráfica de la ecuación y = x 3. 7. La relación {(3, 6)',(1,3),(2,5),(3, 8)), ¿representa una fun ción? ¿Por qué o por qué no? 8. Resuelve la ecuación x 3 - 6x2 + 8x = 0. 9. Resuelve la desigualdad 3.r + 2 ^ 5.v — 1 y haz la gráfica del conjunto solución. 10. Determina el centro y radio del círculo x 2 + 4x + y 2 - 2y - 4 = 0. Traza la gráfica del círculo. 11. Para la ecuación y = x 2 — 9x, determina las intersecciones y prueba su simetría. 12. Determina la ecuación de una recta perpendicular a 3x - 2y = 7 que contenga el punto (1, 5). 13. La siguiente gráfica, ¿es una función? ¿Por qué o por qué no?

14. Para la función /(.v) ■x2 + 5x - 2. determina (b) f ( - x ) (a) /(3 ) (d) / ( 3x) (c) - /( * ) f ( x + h) - f(x) (e)

7 ---------- h * 0

15. Contesta las siguientes preguntas acerca de la función /w = 7 ^ 7 a) ¿Cuál es el dominio de /? b) El punto (2, 6), ¿está en la gráfica de /? c) Si x = 3, ¿a que es igual f(x)1 ¿Qué punto está en la gráfica de /? d) Si f(x) = 9, ¿a qué es igual xl ¿Qué punto está en la gráfica de /? e) ¿Es / una función racional o polinomial?

16. Traza la gráfica de la función/(.v) = -3.v + 7. 17. Traza la gráfica de f{x) = 2X1 - 4x + 1 determinando si su gráfica abre hacia arriba o hacia abajo y determinando su vértice, eje de simetría, intersección en y e interseccio nes en .v, si existen.

18. Determina la tasa de cambio promedio de f(x) = x2 + 3x + 1 de 1 a 2. Usa este resultado para determinar la ecua ción de la recta secante que contenga (1,/(1)) y (2,/(2)).

19. En los incisos (a) al / d e la página 398, usa la siguiente grá fica.

397

398

c a p ít

U LO 5

Funciones racionales y polinomlales

(a) Determina las intersecciones. (b) Basándote en la gráfica, indica si la gráfica es simétrica con respecto al eje x, al eje y y/o al origen. (c) Basándote en la gráfica, indica si la función es par, im par, o ninguna de las dos. (d) Indica los intervalos en los que / es creciente. Indica los intervalos en los que /e s decreciente. (e) Indica los números, si existen, en los que/tiene un va lor máximo local. ¿Cuáles son estos valores máximos locales? (f) Indica los números, si existen, en los que /tiene un valor mínimo local. ¿Cuáles son estos valores mínimos locales? 20. Determina algebraicamente si la función /(*) = x 25X' - 9q es par, impar o ninguna de las dos. 21. Para la función f(x)

2x + 1 si • { - 3x + 4 si

-3 < x < 2 x£2

(a) Determina el dominio de /. (b) Localiza las intersecciones.

(c) Traza la gráfica de la función. (d) Basándote en la gráfica, determina el rango. 22. Construye la gráfica de la función f(x) - —3( x + 1)2 + 5 usando transformaciones. 23. Considera que f(x) = x2 - 5x + 1 y g(x) = -4x - 7. (a) Determina / + g e índica su dominio. (h) Determina e indica su dominio. K 24. Ecuación de demanda El preciop (en dólares) y la canti dad x vendida de cierto producto obedecen la ecuación de demanda

(a) Expresa el ingreso R como función de x. (b) ¿Cuál es el ingreso si se venden 100 unidades? (c) ¿Qué cantidad x maximiza el ingreso? ¿Cuál es el in greso máximo? (d) ¿Qué precio debe cobrar la compañía para maximizar el ingreso? 1

PR O YEC TO S D EL C A P ÍT U LO 3. Determina la función lineal de mejor ajuste. Traza la grá fica de la función lineal de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. Para hacer esto en Excel, haz clic en cualquier punto con datos en el diagrama de dispersión. Ahora haz clic en el menú de “Gráfico", selecciona “Línea de ten dencia" en la región del análisis, selecciona “Más opciones de línea de tendencia". Selecciona el botón de “Lineal" y selecciona “Presentar ecuación en el gráfico". Ver figura 52. Mueve la ventana de opciones de línea de tendencia hacia un lado y verás la función lineal de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. ¿Crees que la función describe con precisión la relación entre la latitud y la duración del día?

Figura 52

j))} Proyecto con base en Internet. I. Duración del día Ve a http://en.wikipedia.org/wiki/ Latitude y lee acerca de la latitud hasta el subtítulo “Efec to de la latitud”. Ahora ve a http://www.orcliidciiltitrc.coni/ COD/daylcngtli.litndtióON. 1. Para un día en especial del año, escribe en una ta bla la duración del día para el ecuador ((LN). 5°N, 10°N,..., 60°N. Ingresa los datos en una hoja de cálculo de Excel, en una calculadora gráfica TI o en otra hoja de cálculo capaz de determinar funciones lineales, cuadráticas y cúbicas de mejor ajuste. 2. Traza un diagrama de dispersión de datos con la latitud como la variable independiente y la duración del día como la variable dependiente usando Excel, una calculadora gráfica TI u otra hoja de cálculo. El proyecto del capítulo 4 describe cómo hacer un diagra ma de dispersión en Excel.

Formal Timdhne

L.

i

j 4. Determina la función cuadrática de mejor ajuste. Tra1 " za la gráfica de la función cuadrática de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. Para hacer esto en Excel, haz clic en cualquier punto con datos en el diagrama de dispersión. Ahora haz clic en el menú “Gráfico”, seleccio na “Línea de tendencia” en la región del análisis, selec ciona “Más opciones de línea de tendencia”. Selecciona el botón de “Polinomial” y establece “orden” igual a 2. Selecciona “Presentar ecuación en el gráfico”. Mueve la ventana de opciones de línea de tendencia hacia un lado y verás la función cuadrática de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. ¿Crees que la función describe con preci sión la relación entre la latitud y la duración del día? 5. Determina la función cúbica de mejor ajuste. Traza la grá fica de la función cúbica de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. Para hacer esto en Excel, da clic en cualquier punto con datos en el diagrama de dispersión. Ahora da clic en el menú "Gráfico”, selecciona “Línea de tenden-


399

cia” en la región del análisis, selecciona “Más opciones de línea de tendencia". Selecciona el botón de “Polinomial” y establece “orden” igual a 3. Selecciona “Presentar ecua ción en el gráfico”. Mueve la ventana de opciones de línea de tendencia hacia un lado y verás la función cúbica de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. ¿Crees que la función describe con precisión la relación entre la latitud y la duración del día? 6. Cuál de los tres modelos parece ajustar mejor los datos? Explica tus razones. 7. Usa tu modelo para predecir las horas de luz en el día que seleccionaste para Chicago (41.85 grados de latitud norte). Ve al Oíd Farmer’s Almanac o a alguna página Web (como http://astro.unl.edu/classaction/animations/coordsmotion/day lighthoursexplorer.html) para determinar las horas de luz en Chicago para el día que seleccionaste. ¿Cómo se comparan los dos?

El siguiente proyecto está disponible en el Centro de recursos del profesor (IRC por sus siglas en inglés): II. Teoría de ecuaciones Se pueden encontrar los coeficientes de una función polinomial si se conocen sus ceros, una ventaja de usar polinomios al modelar. Cita: Excel © 2010 Microsoft Corporation. Usado con permiso de Microsoft.

I

■

Funciones exponenciales y logarítmicas Contenido 6.1 6 .2 6 .3 6 .4 6 .5

Funciones compuestas Funciones inyectivas; funciones inversas Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Propiedades de los logaritmos

6 .6 6 .7 6 .8

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales Modelos financieros Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial; ley de Newton; modelos de crecimiento y decaimiento logísticos

6 .9

• • • •

Construcción de modelos exponenciales, logarítmicos y logísticos a partir de datos. Repaso del capitulo Examen del capitulo Repaso acumulativo Proyecto del capitulo

Depreciación de autos Estás listo para comprar tu primer auto. Sabes que los autos se devalúan con el tiempo debido a la depreciación y que diferentes autos tienen diferentes tasas de deprecia ción. Así que debes investigar las tasas de depreciación para los autos que estés considerando comprar. Después de todo, entre menor sea la tasa de depreciación, mayor será el valor del auto el año siguiente. — V e r e l p r o y e c t o c o n b a s e e n I n te r n e t d e l c a p itu lo —

Hasta ahora nuestro estudio de las funciones se ha enfocado en funciones racionales y polinomiales. Estas funciones pertenecen al grupo de funciones algebraicas, es decir, funciones que se pueden expre sar en términos de sumas, diferencias, productos, cocientes, potencias o raíces de polinomios. Las funciones que no son algebraicas se llaman trascendentales (trascienden, o van más allá, de las funciones algebraicas).

Un Vistazo

> En este capítulo estudiaremos dos funciones trascendentales: la función exponencial y la función logarítmica. Estas funciones se dan frecuentemente en una amplia variedad de aplicaciones, como biolog a quími ca, economía y psicología. El capítulo comienza con un análisis de funciones compuestas, funciones ¡nyectivas y funciones inversas, conceptos que se necesitan para ver la relación entre las funciones exponenciales y logarítmicas.

400

S E C C IÓ N 6.1


401

6.1 Funciones compuestas P

r e p a r a c ió n

p a r a

e s t a

s e c c ió n


Determinación del valor de una función (sección 3.1, pp. 203-206) Dominio de una función (sección 3.1. pp. 206-208)

\

Resuelva ahora los problemas de la sección " ¿ E s tá s listo ? " de la página 406.

OBJETIVOS 1 Formar una función compuesta (p. 401) 2 Determinar el dominio de una función compuesta (p. 402)

1 Form ar una función com puesta Considera que un buque petrolero tiene una fuga de petróleo y quieres determinar el área de la mancha de petróleo alrededor del buque. Ver figura 1. El petróleo se fuga del buque de manera que el radio circular de la mancha de petróleo alrededor del barco se incrementa a una tasa de 3 pies por minuto. Por lo tanto, el radio r de la mancha de petróleo en un tiempo t, en minutos, está dado por r(t) = 31. Entonces, después de 20 minutos el radio de la mancha es r(20) = 3(20) = 60 pies. El área A del círculo es una función del radio r dada por A (r) = irr2. EL área de la mancha circular de aceite después de 20 minutos es ,4(60) = ir(60)2 = 360077 pies cuadrados. Observa que 60 = r(20), entonces ,4(60) = A (r(20)). ¡El argumento de la función A es la salida de una función! En general podemos encontrar el área de la mancha de petróleo como una fun ción del tiempo t evaluando A(r(t)) y obtener ,4(r(/)) = A(3í) = n(3t)2 - 9 n t2. La función A (r(/)) es un tipo especial de función llamada función compuesta. Como otro ejemplo, considera la función y = (2x + 3)2. Si escribimos y = / ( » ) = 1(2 y » = SÍX) = 2.v + 3, entonces, por un proceso de sustitución, pode mos obtener la función original: y - f ( u ) - f ( g { x ) ) = (2* + 3)2. En general, considera que / y g son dos funciones y que x es un número en el dominio de g. Al evaluar g en x, obtenemos g(x). Si g(x) está en el dominio de / , entonces podemos evaluar / en g(x) y obtendremos la expresión f(g(x)). La corres pondencia de .v a /(g(.v)) se llama función compuesta f ° g.

F ig u ra 1

D E F IN IC IÓ N

Dadas dos funciones/ y g, la función compuesta, que se denota por / ° g (y s e lee “/ compuesta con g” ), está definida por (/ ° g)(x)=f(g(x)) El dominio de / ° g es el conjunto de todos los números x en el dominio de g tal que g(jc) está en el dominio de / . Observa cuidadosamente la figura 2. Solo aquellas x en el dominio de g para las cuales g(jc) está en el dominio de / pueden estar en el dominio de / ° g. La razón es que si g(jc) no está en el dominio de / , entonces f (g( x) ) no está definida. Por lo tanto, el dominio de / ° g es un subconjunto del dominio de g y el rango de / ° g es un subconjunto del rango de / .

402

C A P ÍT U L O 6

Funciones exponenciales y logarítmicas

La figura 3 proporciona una segunda ilustración de la definición. Aquí x es la entrada de la función g, produciendo g(x). Entonces g(x) es la entrada de la función / , produciendo f(g(x)). Observa que la parte “interior” de la función g en f (g(x)) se resuelve primero.

Figura 3 ENTRADA x

EJEM P LO 1

SALIDA f(g(x))

Evaluación de una función com puesta Considera que f ( x ) = 2x2- 3 y g(x) = 4x. Determina: (a) ( / - g)( 1)

Solución

(b) (g - / ) ( ! )

(c) ( / o / ) ( - 2 )

(d) (g ° g ) H )

(a) (/ ° g)( 1) = /(g (3 )) - /(4) = 2*42 - 3 = 29 t

í

g (x ) = 4 x

fl¡x) = 2X2 -

3

^0) = 4 (b) (g ° / ) ( 1 ) = g ( / ( l ) ) = g ( - l ) = 4• ( —1) = - 4 t t ffx) = 2X2 — 3 g(x) = 4x ffl) = -1 (c) ( / o / ) ( - 2 ) = / ( / ( - 2 ) ) = /( 5 ) = 2 -5 2 - 3 = 47 T /f-2) = 2 (-2 )2 - 3 = 5 (d) (g 0 g ) ( “ l) = g ( g ( - l ) ) = g ( —4) = 4 - ( - 4 ) = - 1 6

Figura 4

f 3(-1) = - 4 COMENTARIO Las calculadoras gráficas se pueden usar para evaluar funciones com puestas.' 5ea Y = f(x) = 2X2 - 3 y Y = g(x) = 4x. Entonces, usando una calculadora gráfica TI-54 Plus. ( f ° ^)(1) se determina como se ve en la figura 4. Observa que éste es el resultado que obtuvimos en el ejemplo 1a. ■

a

Resuelve ahora & 2

EJEM P LO 2

e l

n

p r o b l e m a

Determ inar el dom inio de una función com puesta D eterm inación de una función com puesta y su dominio

Considera que f ( x ) = x 2+ 3x - 1 y g(x) =2x + 3. Determina:

(a) / ° g

(b) g ° /

Después determina el dominio de cada función compuesta.

Solución

El dominio de / y el dominio de g es el conjunto de todos los números reales. (a) ( / - g)(x) = / ( g ( * ) ) - f(2x + 3) = (2.v + 3)2 + 3(2.v + 3) - 1 t f(x) = x2 + 3 x - 1

= 4jc2 + 12.v + 9 4- 6x + 9 - 1 = 4.v2 + 18.v + 17 Como el dominio de ambas / y g es el conjunto de todos los números reales, el dominio de / ° g es el conjunto de todos los números reales. * Consulta el instructivo de tu calculadora para las teclas apropiadas.

SECCIÓN 6.1 Funciones compuestas

403

(b) (g o f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = g(.v2 + 3.v - 1) = 2(.v: + 3x - 1) + 3

r

g(x) = 2 x + 3

= 2.r2 + 6.v - 2 + 3 = 2.x2 + 6x + 1 Como el dominio de ambas / y g es el conjunto de todos los números reales, el dominio de g ° / es el conjunto de todos los números reales. Observa de nuevo la figura 2 de la página 401. Cuando determines el dominio de la función compuesta ( / 0 g)(.v) = /(g(.v)), ten en mente las siguientes dos cosas acerca de la entrada x. 1. Cualquier x que no esté en el dominio de g debe ser excluida. 2. Cualquier .v para la cual g(.v) no esté en el dominio de / debe ser excluida.

EJEM P LO 3

En co n trar el dom inio de f ° g 1 y g(x) x +2

Encuentra el dominio de / ° g s i/(.v )

Solución

=

Para ( / ° g)(.v) = f(g(x)), observa primero que el dominio de g es {*1*^ 1}, así que excluye el 1 del dominio de / 0 g. Después, observa que el dominio de / es {x|x # - 2}, lo que significa que g(x) no puede ser igual a -2 . Resuelve la ecuación g(x) = - 2 para determinar qué valores adicionales de .v excluir. 4 x - 1 4= 4= 2 jc = x = --------- =

-2

jj(x) = - 2

- 2 ( x - 1) - 2 jc + 2 -2 -1

También excluye -1 del dominio d e / 0 g. El dominio d e / 0 g e s { x \ x ^ - l , x ^ 1}. > / V e r if ic a :

definida,

entonces

P ara* = -1 , g ( - l ) = - ^ = - 2 , y ( / ° g )(—1) = / ( g ( - l ) )

/ ( 2) no

Para

x

=

1,

g(jc) = ------ - no x - 1 ( / ° g)(-r ) = /(# (* )) no está definida.

está

está definida.


EL

PROBLEMA

21

D eterm inar una función com puesta y su dominio 1 +

Considera que f ( x ) = Determina:

4

y g(x) =

(a) / ° g

(b) / 0 /

Después determina el dominio de cada función compuesta. El dominio de f e s { x \ x * - 2 } y el dominio d e g e s { x \ x * l } . - 1 1 (a) ( / 0 8)(x) = / ( * ( * ) ) = / x - i / -4 4 + 2(x - 1)

Solución

1^ 1

f[x) = ------x + 2

t

+2

x - 1 2x + 2

jt - 1 2(x + 1)

í

x —1 Multiplica por ' ' x - !

En el ejemplo 3, determinamos que el dominio de / ° g es { x \ x * - \ , x * 1}.

404

C A P ÍT U L O 6


También pudimos haber determinado el dominio de / 0 g encontrando pri mero el dominio d e g: {jcIjc^ I } . Excluimos el 1 del dominio d e / ° gcom o resul tado. Después observamos / ° g y notamos que x no puede ser igual a -1 , debido a que x = -1 da como resultado una división entre 0. Así que también excluimos -1 del dominio de / ° g. Por lo tanto, el dominio de / ° g es { x \ x ¿ - \ , x * 1}. (b) ( / ° f ) ( x ) = / ( / ( * ) ) = /

x + 2

+2

t x +2

*00

=

x +2 1 + 2(x + 2) t

Multiplica por

x + 2

x + 2 2x + 5

x + 2 x + 2'

El dominio de / ° / consiste en todas las x en el dominio de / , {*1 jc ^ -2} para las cuales /w

t

= * + 2 * -2

X + 2

-2

1

- 2 (x + 2 )

1

-2 x - 4

2x

-5 5

2

o, equivalentemente, 5 X / - -

El dominio de / 0 / es < x - 2 }' También pudimos haber determinado el dominio de / ° / si reconocemos que - 2 no está en el dominio de / y por lo tanto debe ser excluido del dominio de / ° / . Después, si observamos / ° / notamos que x no puede ser igual a ¿Puedes ver por qué? Por lo tanto, el dominio d e / ° f e s

x * -

5 x * —2 2’ }■

4TC===_ . Regue|ve ahopa Los pROBLEMAS 3 3 Y 3 5

Vuelve a ver el ejemplo 2, donde se ilustra que, en general, / 0 g ^ g 0 / . A ve ces / ° g es igual a g ° / , como se ve en el siguiente ejemplo.

EJEM P LO 5

D em ostración de que dos funciones com puestas son iguales Si / ( x) = 3x - 4 y g(x) = —(x + 4), demuestra que ( / ° g)(x) = (g 0 / ) ( * ) = * para toda jc en el dominio de / 0 g y de g 0 f .

Solución

( / 0 g){x) = f ( g ( x ) ) 'x + 4 =f 3 = 3 =

jc

jc

+ 4

1 X + 4 0(x) = g ( * + 4 ) = —

- 4

+ 4 - 4 =

jc

Sustituye g(x) en la regla para f, f(x) = 3 x — 4.

S E C C IÓ N 6.1

V^sualización del concepto


405

(g ° /) ( * ) = g ( f ( x ) )

Usando una calculadora gráfica, sea

= g(3x - 4)

f{x) = 3 x - 4

——[(3jc — 4) + 4]

Sustituye f(x) en Ia regla para g, g(x)

= flx) = 3x —4 y2 =

g M

= —(x +

4).

= j( x + 4)

= |( 3 x ) - x

Y3= f ° g,Y* = g ° f

Usando el rectángulo de visualización -3 < x < 3, -2 < y < 2, traza la gráfi- Podemos concluir que ( / ° g )(x ) = (g ° f ) ( x ) = x . ca solamente de Y} y YA. ¿Qué es lo que ves? Usa TRACE para verificar que . En la sección 6.2 veremos que existe una relación importante entre las funciones Y3 = Y4 . '

J / y g para las cuales ( / ° g)(x) = (g ° f ) ( x ) = x .

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

45

Aplicación de cálculo ftC Algunas técnicas de cálculo requieren que seamos capaces de determinar los com•4 ponentes de una función compuesta. Por ejemplo, la función H( x ) = V x + 1 es la composición de las funciones / y g, donde f ( x ) = V x y g(x) = x + 1, debido a que H( x ) = ( / o g )(x ) = f ( g ( x )) = f ( x + 1) = V * + 1.

EJEM PLO 6

D eterm in ar los com ponentes de una función com puesta Determina las funciones / y g tal que / ° g = H si H(x) = (jc2+ 1)50.

Solución

La función H toma x2 + 1 y la eleva a la potencia 50. Una forma natural de descom poner H es elevar la función g(x) - x2 + 1 a la potencia 50. Si hacemos f ( x ) - xso y g(x) = x 2+ 1, entonces

F ig u ra 5

'

( / 0 8 )(V = f ( g ( x ) ) - f ( x 2 + 1)

% (x )) = f(x 2 + 1)

= (X2 + 1)50

50

= ( jc2 + 1)JU = H( x )

H(x) =(x2 +1)50

Ver figura 5. Se pueden determinar otras funciones / y g para las cuales / ° g - H en el ejem plo 6. Por ejemplo, si f ( x ) - x 2y g(x) = (x2+ 1)25, entonces \50

_ ( / 0 g)(x) = f ( g ( x ) ) = f ( ( x 2 + l ) 25) = [(x2 + l)\25i2 25]2 = (x2 + 1)

Aunque las funciones f y g que se determinaron en el ejemplo 6 no son únicas, gene ralmente existe una selección “natural” de / y g que primero viene a la mente.

EJEM PLO 7

D eterm inar los com ponentes de una función com puesta Determina las funciones f y g tales que / ° g = H si H( x ) =

Solución

Aquí H es el recíproco de g(x) = x + 1. Si hacemos f ( x ) = - y g(x) = x + 1, encon tramos que (/ ° s ) M = -Resuelve ahora

el

f{g(x)) = f(x

problema

53

+ 1) = Y V i = H ('r)

406

CAPÍTULO 6 Funciones exponenciales y logarítmicas

6.1 Evalú a tu e n ten d im ien to "¿Estás listo?"

La s respuestas se dan al fin a l de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas

entre paréntesis.

1. Determina el valor de /(3) si / ( x ) = - 4 x 2 + 5x. (p p .203-206)

x - i 3. Determina el dominio de la función f ( x ) = x 2 - 25 (pp. 206-208)

2. Determina el valor de /( 3 ac) si f ( x ) = 4 - 2jc2. (pp. 203-206)

Conceptos y vocabulario 4. Dadas dos funciones/ y g, la_________________ , que se 6. Verdadero o falso El dominio de la función compuesta denota por / o g, está definida por / ° g(x) = ________ ( / 0 #) (ac) es igual al dominio de g(x). 5. Verdadero o falso f{g{x))=f(x)-g(x).

Ejercicios E n los problemas 7 y 8, evalúa cada expresión usando lo valores que se dan en la tabla.

(a) ( / 0 g)(l) (c) ( * « / ) ( - 1 ) (e) (g 0 g)(~ 2)

(b) ( f o g ) ( - 1)

(b) ( / ° g)(2)

-1

(a) ( / o g)(l) (c) (g o f ) ( 2)

-8

(e) (g ° g)(l)

(0 ( / 0 /)(3)

X

-3

-2

-1

0

1

2

3

flx)

-7

-5

-3

-1

3

5

7

3

0

-1

0

3

8

-3

-2

-1

0

1

2

3

f{x)

n

9

7

5

3

1

g [x)

-8

-3

0

1

0

8

g M

X

-3

E n los problemas 9 y 10, evalúa cada expresión usando las gráficas de y = f ( x )

9. (a) (g o / ) ( - ! )

(b) (g ° /)(0)

(c) ( / o * ) ( - l)

(d) ( / ° g)(4)

10. (a) (g o /)(1)

(b) (g ° /)(5)

(c) ( / ° *)(0)

(d) ( / o g)(2)

(d) (g ° /)(0) (0 ( / » / ) ( - ! )

(d) (g ° /)( 3 )

y y = g (x ) que se muestran en la figura.

/os problemas 11-20, para las funciones f y g dadas, determina:

(a) ( / ° g)(4)

V 11.

f ( x ) — 2x\

W (g ° / ) ( 2 ) g ( x ) = 3a:2 +

1

fe ;

( / ° /) ( ! )

(g 0 g)(0) 12. f { x ) = 3a: + 2; g(.r) = 2 . ^ - 1

frf>

1 13. f ( x ) = 4ac2 - 3; g(Ar) = 3 - ~ x 2

14. f ( x ) = 2,v2; g(x) = 1 - 3X2

15. f ( x ) = V x-, g(x) = 2x

16. f ( x ) = V x + 1; g(.r) = 3.v

17-

f{x) =

19- /

w

1 | ac|;

18. f ( x ) = \x - 2 |; g(.v) = - 3

g (A t) =

= 7TT;

a :2

=

+

.x- + 2

1

20. /( . y) = a:3/2; g(.v) =

E n los problemas 21-28, determina el dominio de la función compuesta f ° g.

.r + 1

. S E C C IÓ N 6.1

Í 'a M

-

407

24 / ( t >* 7 + T « « - !

«(■') = - -

2f. /(.<) = V i;


S(.r) = I x + 3

27. f ( x ) = .r + 1; g(.r) = V x - 1

26. /(.r) = .t - 2;

g(.v) = V i - jc

28. / ( .r ) = x 2 + 4;

g (.c) = V ^ 2

£>i /os problemas 29-44. para las funciones dadas f y g, determina: (a) f ° g

v

(b) g ° /

(c) f o /

(d) g o g

Indica el dominio de cada función compuesta. 2 9 . /(.r) = 2jc + 3; g(.t) = 3.v

30.

31. /(.r) = 3jc + 1; g(.t) = .r

32. /(.c) =

33.

f{x)

.35.

/(* ) -

= .r ;

g( x)

= .r2 + 4

/ ( jc )

g(x) = 2 x - 4

= -x; x

+ 1; g(x) = x 2 + 4

34. / ( . x) = x 2 + 1;

g( x) - \

g(.v) = 2.v2 + 3

“ •/w = 7T 3; sW " - !

x 3 7 . / (. r ) = —

; g (x )---

39. /(.r) = V i;

g(.r) = 2.v + 3

4

38- / w = 7 T 3 ; * W - § 40. / ( .c ) = V

41. f (x) = jc2 + 1; g(.v) = V .r - 1

42. / (

4 3 ./( ,) = 7 r í;

44- /(* ) = — — JC -

jc)

=

.

*<*> =

7

= !

jc2

- 2;

jc

g(jc) = 1 — 2 jc

+ 4;

g(x)

2.c - 1

. .

= V

jc

jc

- 2

+ 4

«(■*) = 2.c - 5

2

En los problemas 45-52, demuestra que ( / ° g)(x) - (g ° /)(.v) =.v. V 45. f(x ) = 2x;

g(x)

48. f(x) = x + 5;

g (x ) =

51. / ( .r ) = a x + b\

46. f(x) = 4 jc;

=

jc

49. / ( jc) = 2* — 6;

- 5

1

g (.c ) = — (x — b)

g(x)

a ^

g(x) = - ( jc + 6) 52- /(*) =

0

4 7 . / ( jc) = jc3;

= -x

g (jc ) = V i

5 0 . / ( jc) = 4 - 3jc;

g(.t) = -(4 - x)

g(x) = j

¿í £>i los p r o b l e m a s 53-58, determina funciones f y g tales q u e f ° g = H. \

5 3 . / / ( j c ) = (2 jc + 3 ) 4

54. / / ( jc ) = (1 +

55.

/ / ( jc) = \ A 2 + 1

56. H ( x ) =

57.

/ / ( jc) = |2 jc + l |

58. H ( x ) = \2x2 + 3|

jc 2)

3

V1

~ *2

It

í Aplicaciones y extensiones

____________________________________

59. Si / ( jc) = 2jc3- 3jc2+ 4jc- 1 y g(jc) = 2, determina el valor de ( / ° g ) M y (g ° /)(*)•

65.

Área de superficie de un globo El área de superficie 5 (en metros cuadrados) de un globo aerostático está dada por S ( r ) = 477-r2

60. Si / ( jc) = * * | , determina ( / 0 f)(x).

donde r es el radio del globo (en metros). Si el radio r se incrementa con el tiempo t (en segundos) de acuerdo con

61. Si / ( jc) = 2jc2 + 5 y g(jc) = 3x + a, determina a tal que la gráfica de / ° g cruce el eje y en 23. 62. Si / ( jc) = 3jc2 - 7 y g(jt) = 2 x + a, determina a tal que la gráfica de / 0 g cruce el eje y en 68.

2 ,

la fórmula r(t) = - r , r> 0 , determina el área de superficie 5 del globo como función del tiempo t.

66. Volumen de un globo El volumen

V (en metros cúbi cos) del globo aerostático del problema 65 está dado por 4 , V( r) = —7rr. Si el radio r es la misma función de t que en * ^ el problema 65, determina el volumen V como función del tiempo t.

En los problemas 63 y 64, usa las funciones f y g para determinar:

(a) f ° g

(b) g ° f

(c) el dominio de f ° g y de g « / (d) las condiciones para las cuales / ° g = g ° / 63. / ( jc) = aje + b\ g(jc) =cx + d „, , ax + b 64 n x ) = 7 m - s{x)~ mx

67.

Producción de automóviles El número N de automó viles producidos en cierta fabrica en un día tras t horas de operación está dada por N(t) = lOOr - 5í2, 0 s r < 10.

408

C A P ÍT U L O 6


Si el costo C (en dólares) de producir N autos es C(N) = 15,000 + 8000/V, determina el costo C como fun ción del tiempo t de operación de la fábrica. 68. Inquietudes ambientales La mancha de petróleo que se derrama de un buque tiene la forma de un círculo. Si el radio r (en pies) de la mancha después de t horas es r{t) = 20()V/, determina el área A de la mancha de petró leo como función del tiempo t. 69. Costo de producción El precio p, en dólares, de cierto producto y la cantidad x vendida obedecen la ecuación de la demanda p = —\ x + 100 0 x 400 4 Considera que el costo C, en dólares, de producir* unida des es Vi C = — - + 600 25 Si suponemos que todos los artículos producidos se ven den, determina el costo C como función del precio p. [Sugerencia: Resuelve para * en la ecuación de la deman da y después forma la composición.] 70. Costo de un producto El precio p , en dólares, de cierto producto y la cantidad * vendida obedecen la ecuación de la demanda p = - j x + 200 0 < * < 1000 Considera que el costo C, en dólares, de producir * unida des es vJC c = -¡ó - + 400 Considerando que todos los artículos producidos son ven didos, determina el costo C como una función del precio p. 71. Volumen de un cilindro El volumen V de un cilindro cir cular recto de altura h y radio re sV'= nFh. Si la altura es el doble del radio, expresa el volumen V como función de r. 72. Volumen de un cono El volumen V de un cono circular 1 , recto es V = - i r r h. Si la altura es el doble del radio, ex presa el volumen V como función de r.

Cambio de divisas Los comerciantes frecuentemente com pran moneda extranjera con la esperanza de ganar dinero cuando el valor de la moneda cambie. Por ejemplo, el 5 de junio de 2(X)9, un dólar de EE.UU. podía comprar 0.7143 euros y un euro podía comprar 137.402 yenes. Sea /(*) el número de euros que puedes comprar con * dólares y sea g(x) el número de yenes que puedes comprar con * euros. (a) Determina una función que relacione los dólares y los euros. (b) Determina una función que relacione los euros y los yenes. (c) Usa los resultados de los incisos (a) y ib) para deter minar una función que relacione los dólares y los ye nes. Esto es, determina (g ° f)(x)=g(f(x)). (d) ¿Cuánto es g(/(1000))? 5 74. Conversión de temperatura La función C(F) = - ( F- 32)

Q

convierte una temperatura en grados Fahrenheit, F. a una temperatura en grados Celsius, C. La función K(C) = C + 273, convierte una temperatura en grados Celsius a una temperatura en Kelvin, K. (a) Determina la función que convierte una temperatura en grados Fahrenheit a una temperatura en Kelvin. (b) Determina 80 grados Fahrenheit en Kelvin. 75. Descuentos El fabricante de una computadora ofrece des cuentos en el modelo del año anterior de la computadora. El primer descuento es una bonificación de $200 y el segun do descuento es de 20% menos en el precio regular, p. (a) Escribe una función / que represente el precio de oferta si solo se aplica la bonificación. (b) Escribe una función g que represente el precio de oferta si solo se aplica el descuento del 20%. (c) Determina / 0 g y g ° f. ¿Qué representa cada una de estas funciones? ¿Qué combinación de descuentos representa una mejor oferta al consumidor? ¿Por qué? 76. Si / y g son funciones impares, demuestra que la función compuesta f ° g también es impar. 77. Si / es una función impar y g es una función par. demuestra que las funciones compuestas / ° g y g ° f son ambas pares.

Respuestas a los ejercidos de la sección "¿Estás listo?" 2. 4 - 18.v2

1. -21

3. {-v|.y ^ -5 , .v * 5}

6.2 Funciones inyectivas; funciones inversas P

r e p a r a c ió n

p a r a

e s t a

s e c c ió n


• Funciones (sección 3.1, pp. 200-208) • Funciones crecientes/decrecientes (sección 3.3, pp. 224-225) \

• Expresiones racionales (capítulo R. sección R.7. pp. 62-69)

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 417. OBJETIVOS 1 Determinar si una función es inyectivaíp. 409) 2 Determinar la función inversa de una función definida por un mapa o un conjunto de pares ordenados (p. 411) 3 Obtener la gráfica de la función inversa a partir de la gráfica de la función (p. 413) 4 Determinar la función inversa de una función definida por su ecuación, (p. 414)

S E C C IÓ N 6.2


409

1 Determ ina si una función es inyectiva En la sección 3.1 mostramos cuatro formas diferentes de representar una función como (1) un mapa, (2) un conjunto de pares ordenados, (3) una gráfica y (4) una ecuación. Por ejemplo, las figuras 6 y 7 ilustran dos funciones diferentes represen tadas como mapas. La función de la figura 6 muestra la correspondencia entre los estados y su población (en millones). La función de la figura 7 muestra la correspon dencia entre animales y su esperanza de vida (en años).

Figura 6 Estado

Figura 7 Población (en millones)

Esperanza de vida (en años)

Animal

Considera que le pedimos a un grupo de personas que nombren el estado que tiene la población de 0.8 millones basándose en la función de la figura 6. Todos en el grupo responderían Dakota del Sur. Ahora, si le pedimos al mismo grupo de per sonas que nombren el animal cuya esperanza de vida es de 11 años basándose en la función de la figura 7, algunos responderían perro y otros responderían gato. ¿Cuál es la diferencia entre las funciones de las figuras 6 y 7? En la figura 6, podemos ver que no existen dos elementos en el dominio que correspondan al mismo elemento del rango. Este no es el caso de la figura 7: dos diferentes elementos del dominio corres ponden al mismo elemento del rango. Las funciones como la de la figura 6 tienen un nombre especial.

D E F IN IC IÓ N

r r En palabras r Una función no es inyectiva r si dos diferentes entradas corresponden a la misma r salida.

Una función es inyectiva si cualesquiera dos entradas diferentes del dominio corresponden a dos diferentes salidas del rango. Esto es, si .v, y x 2son dos entra das diferentes de una función / , entonces / es inyectiva si /(* ,) # f { * 2).

Dicho de otra forma, una función / es inyectiva si ninguna y del rango es la ima gen de más de una x en el dominio. Una función no es inyectiva si dos elementos di ferentes del dominio corresponden al mismo elemento del rango. Así que la función de la figura 7 no es inyectiva porque dos elementos diferentes en el dominio, perro y gato, ambos corresponden a 11. La figura 8 ilustra la diferencia entre funciones inyec tivas, funciones no inyectivas y relaciones que no son funciones.

(a)

Función inyectiva: cada x en el dominio tiene una y solo una imagen en el rango.

(b)

No es una función inyectiva: y, es la imagen de ambas x , y x ,.

(c ) No es una función: x , tiene dos imágenes,

y,

yy2.

410

C A P ÍT U L O 6


EJEM P LO 1

D eterm inar si una función es inyectiva Determina si las siguientes funciones son inyectivas. (a) Para la siguiente función, el dominio representa la edad de cinco hombres y el rango representa su colesterol HDL (por sus siglas en inglés) (mg/dL). Colesterol HDL

Edad

(b) {(-2, 6), (-1 ,3 ), (0,2), (1,5), (2,8)}

Solución

(a) La función no es inyectiva porque hay dos entradas diferentes, 55 y 61, que co rresponden a la misma salida, 38. (c) La función es inyectiva porque no hay dos entradas diferentes que correspondan a la misma salida.

Resuelve ahora

LOS

PROBLEMAS

11

Y

15

Para funciones definidas por una ecuación y = /( .x) y para las cuales la gráfica de / se conoce, existe una prueba sencilla, llamada la prueba de la recta horizontal, para determinar si / es inyectiva.

TEO R EM A Figura 9 f(x,) = f(x2) = h y x } ^ x2;fnoes una fundón inyectiva.

Prueba de la recta horizontal Si toda recta horizontal intersecta la gráfica de la función / en a lo mucho un punto, entonces / es inyectiva.

J

La razón de que esta prueba funcione se puede ver en la figura 9, donde la recta horizontal y = h intersecta la gráfica en dos puntos diferentes, (.r,, h) y (.r,. h). Como h es la imagen de ambas, x ] y .y , y .v, * .v2, / no es inyectiva. Basándonos de la figura 9 podemos explicar la prueba de la recta horizontal de otra manera: si la gráfica de cualquier recta horizontal intersecta la gráfica de una función / en más de un punto, entonces / no es inyectiva.

EJEM P LO 2

U so de la prueba de la recta horizontal Usa la gráfica de cada función para determinar si la función es inyectiva. (a) f ( x ) = x 2 (b) g { x ) - x 3

Solución

(a) La figura 10(a) ilustra la prueba de la recta horizontal para f ( x ) = x2. La recta horizontal y = 1 intersecta la gráfica de / dos veces, en (1,1) y en (-1 ,1 ), así que / no es inyectiva. (b) La figura 10(b) ilustra la prueba de la recta horizontal para g(.r) = x \ Como toda recta horizontal intersecta la gráfica de g exactamente una vez, g es inyectiva.

* S E C C IÓ N 6.2


411

Figura 10

(a)

Una recta horizontal intersecta la gráfica dos veces, f no es ¡nyectiva.

Resuelve ahora

EL

(b)

Toda recta horizontal intersecta la gráfica exactamente una vez, g es inyectiva.

PROBLEMA

19

Observa más cuidadosamente la función inyectiva g(x) = x \ Esta función es una función creciente. Como una función creciente (o decreciente) siempre tendrá valo res de y diferentes para valores de x diferentes, se puede concluir que una función que es creciente (o decreciente) en su dominio también es una función inyectiva.

TEO REM A

Una función que es creciente en un intervalo I es una función inyectiva en /. Una función que es decreciente en un intervalo I es una función inyectiva en /.

2

D E F IN IC IÓ N C

r En palabras r Considera que tienes una r función inyectiva f donde la r entrada 5 corresponde a r la salida 10. En la función r inversa f~\ la entrada 10 le r corresponde a la salida 5.

r

EJEM P LO 3

Determ ina la función inversa de una función definida por un mapa o un conjunto de pares ordenados Considera que / es una función inyectiva. Entonces, para cada x en el dominio de / , existe exactamente una y en el rango (porque / es una función); y para cada y en el rango de / , existe exactamente una .v en el dominio (porque / es in yectiva). La correspondencia del rango de / al dominio de / se llama la función inversa de / . Se usa el símbolo / “' para denotar la función inversa de / .

J

Analizaremos cómo determinar las funciones inversas para las cuatro represen taciones de funciones: (1 ) mapas, (2) conjuntos de pares ordenados, (3) gráficas y (4) ecuaciones. Empezaremos encontrando las funciones inversas de funciones represen tadas por mapas o por conjuntos de pares ordenados.

Determinar la función inversa de una función definida por un mapa Encuentra la función inversa de la siguiente función. Sea el dominio de la función ciertos estados y sea el rango la población del estado (en millones). Indica el dominio y el rango de la función inversa. Estado

Población (en millones) -

W ashington------

—

Dakota del Sur

— 0.8

►

Tennessee

•

6.1

8.3

Carolina del Norte

Solución

6.2

In d ia n a-----------

—

5.8

La función es inyectiva. Para encontrar la función inversa, intercambiamos los elementos del dominio con los elementos del rango. Por ejemplo, la función recibe como entrada a

412

C A P ÍT U L O 6

Fundones exponenciales y logarítmicas

Indiana y como salida 6.2 millones. Así que la función inversa recibe como entrada 6.2 millones y como salida a Indiana. A continuación se muestra la función inversa. Población (en millones)

Estado

6.2

Indiana

61

Washington

0.8

Dakota del Sur

8.3

Carolina del Norte

5.8

Tennessee

El dominio de la función inversa es {6.2, 6.1, 0.8, 8.3, 5.8). El rango de la función inversa es {Indiana, Washington, Dakota del Sur, Carolina del Norte, Tennessee}. , Si la función f es un conjunto de pares ordenados (jc. y), entonces el inverso de / , que se denota como / ', es el conjunto de pares ordenados (y, x ).

EJEM P LO 4

D eterm in ar la función inversa de una función definida por un conjunto de pares ordenados Determina la función inversa de la siguiente función inyectiva: {(-3, -27), (-2 . -8 ). ( - 1 ,- 1 ) , (0. 0), (1. 1). (2,8). (3, 27)} Indica el dominio y el rango de la función y su función inversa.

Solución

La función inversa de la función dada se determina intercambiando las entradas de cada par ordenado y, por lo tanto, está dada por {(-27, -3 ), (-8 , -2 ), (-1 , -1 ). (0.0), (1.1). (8, 2). (27.3)} El dominio de la función es (-3 , -2 , -1 , 0. 1, 2. 3}. El rango de la función es { -2 7 ,-8 , -1 ,0 ,1 ,8 , 27}. El dominio de la función inversa es {-27. -8 .-1 .0 .1 .8 .2 7 } . El rango de la función inversa es {-3, -2 . -1 ,0 ,1 ,2 .3 } . ^

Resuelve ahora F ig u ra 11

Dominio de f

Rango de I

l o s

p r o b l e m a s

1

f(x)'

y

29

Recuerda que si f es una función inyectiva. tiene una función inversa Ver figura 11. Con base en los resultados del ejemplo 4 y de la figura 11. tenemos ahora dos hechos aparentes acerca de una función inyectiva, / y su función inversa /'*. Dominio de / = Rango de / 1

ADVERTENCIA |Ten cuidado! f~' es un símbolo para la función inversa de f. El -1 usado en f~' no es un exponente. Esto es, f~' no es igual al recíproco de f; no es igual a

25

Rango de f = Dominio de

Observa de nuevo la figura 11 para visualizar la relación. Si empezamos con .r, aplica / y después aplica f ~ \ para obtener .v de nuevo. Si empezamos con x. aplica y después aplica / para obtener el número x de nuevo. De manera simple, lo que hace / lo deshace f ~l y viceversa. Observa la siguiente ilustración. Apioí i

AfXiCÍ f

fix)

Entrada .v del dominio de / A p lic -í f ~ '

Entrada .v del dominio d e / 1

rV u » = v A p»*CJ f

r '( .v )

"

En otras palabras. f ' ( f{x) ) = .v,

donde x está en el dominio de f

f ( f ' ( v)) = .v,

donde .v está en el dominio de

n r \ x ) ) = .v

i

SECCIÓN 6.2 Funciones inyectivas; fundones inversas

413

Considera la función f ( x ) = 2v, en la que multiplica el argumento x por 2. La función inversa / 1 deshace todo lo que hace / . Así que la función inversa de / es f~ \x )

Figura 12

=

-x ,

la cual, divide el argumento entre 2. Por ejemplo, / ( 3) = 2(3) = 6 y

6) = ^(6) = 3, así que / 1deshace lo que hizo / . Podemos verificar esto demos

1 1(x) =2x

trando que / ' '( / ( * ) ) = r ‘( 2.v) = ^(2x) = .vy / ( / " '( * ) ) =

r ' ( 2x) =*(2x) =x

= 2 ^ * ) = x.

Ver figura 12.

EJEMPLO 5

D eterm in ar funciones inversas (a) Verifica que la función inversa de g(x) = x3 sea g_1(x) = v x demostrando que g *(g(x)) = g '(.v3) =

= x

para toda .Ven el dominio de g

g(g- , (x)) = S Í ^ x ) = ( \^¡r)3 = x

para toda .v en el dominio de g~'

1 (b) Verifica que la función inversa de f ( x ) = 2 x + 3 sea / l(x) = - ( x - 3) demos trando que r \ f ( x ) ) = /~ '(2 .x + 3) = t [(2 j: + 3) - 3] = r( 2 x ) = x

/(r‘w)=/(ju-3))=2

para toda x en el dominio de /

+ 3 = ( x - 3 ) + 3 = x para toda x en el dominio de / “' .

D eterm in ar funciones inversas

EJEMPLO 6

Verifica que la función inversa de f ( x ) — — X

JL

sea / _1(^) = — + 1. ¿Para qué vaX

lores de.v, f ~' { f { x ) ) =x 2 ¿Para qué valores de x, f{f~'(x)) = x l

Solución

El dominio d e / es

1} y el dominio d e / -1 es {.v|x^0}. Ahora

/ _1(/(-r )) = /

= — |------ f 1 = x — 1 + 1 = x

siempre y cuando x ^ 1

x - 1 /( / - • ( x ) ) = f ( — + l j = —------------ = y = x - + 1- 1 x

Resuelve ahora Figura 13

el

p r o b l e m a

siempre y cuando x ^ O

33

3 Obtención de la gráfica de la función inversa a partir de la gráfica de la función Considera que (a, b) es un punto en la gráfica de una función inyectiva / definida p0r y = /(x ). Entonces b = f{a). Esto quiere decir que a = f~'(b), entonces (b, a) es un punto en la gráfica de la función inversa La relación entre el punto (a, b) en f y el punto (b, a) en / _1 se muestra en la figura 13. El segmento de recta con puntos terminales (a, b ) y (b, a) es perpendicular a la recta y = x y está bisecada por la recta y = x. (¿Puedes ver por qué?) Se puede concluir que el punto (b , a ) en / “' es el reflejo en la recta y = x del punto (a, b) e n /.

TEO REM A

La gráfica de una función inyectiva / y la gráfica de su función inversa / 1son simétricas con respecto a la recta y =x.

J

414 c Ai’f'i'Ui,() 6 Fundón«exponencial«»»ylogarítmica» La lisura 14 ilustra este resultado. Observa que una ve/ que se conoce la gráfica de /', se puede obtener la gráfica de f 1reílejando la gráfica de / en la recia y i

EJEM P LO 7

G raficar la función inversa La gráfica de la figura 15(a) es de una función invectiva y su función inversa.

Solución

=

Tra/a la gráfica de

Empieza por añadir la gráfica de y = x a la figura 15(a). Como los puntos (-2 . -1 ). (-1 .0 ) y (2. 1) están en la gráfica de / . los puntos ( - 1 .- 2 ) , (0 .-1 ) y (1.2) deben estar en la gráfica de f '. Tomando en cuenta que la gráfica de / 1es la reflexión en la reda y = .r de la gráfica de / . traza f '. Ver figura 15(b).

Resuelve ahora I I P R O B l i M A 4 3 D e te rm in a r la fu n c ió n in v e rs a d e u n a fu n c ió n d e fin id a p o r u n a e c u a c ió n El hecho de que las gráficas de una función invectiva f y su fundón inversa / sean simétricas con respecto a la recta y = v nos da más información. Nos dice que pode mos obtener f ' intercambiando los papeles de x y de y en f . Observa de nuevo la figura 14. Si / está definida por la ecuación v = /( • » )

entonces / 1está definida por la ecuación

v =f i y ) La ecuación .v = f(v) define a f 1¡ni/)l(ciuuncnt
— f

'(v)

Usturemos este prvxx'dimiento para determinar la fundón inversa de f ( x ) = 2v * 3. (Como / es una fundón lineal y es creciente, sabemos que / es invectiva y tiene función inversa).

t

S E C C IÓ N 6.2

EJEM P LO 8


415

Cóm o en co n trar la función inversa Encuentra la función inversa de mismos ejes de coordenadas.

3. Dibuja las gráficas de / y /"' en los

f ( x ) - 2x +

Solución paso a paso Paso 1: S ustitu ye f(x ) por y. En y = f(x ), intercambia las variables x y y para obtener x = f(y ). E sta ecuación define la función inversa f implícitamente.

Sustituye /(;t) por y en f ( x ) variables x y y para obtener

Paso 2: Si es posible, resuelve la ecuación Implícita para y en té r minos de x para obtener la forma explícita de f~\ y = f “'(x ).

Para determinar la forma explícita de la función inversa, resuelve x

= 2x + 3

para obtener y x —2y

= 2x

+ 3. Ahora intercambia las

+3

Esta ecuación define la función inversa /"' implícitamente. = 2y

+ 3 para y .

x — 2y + 3

2y + 3 = X

Propiedad reflexiva; si a = b, entonces b = a.

2y — x — 3

Resta 3 de ambos lados.

La forma explícita de la función inversa / 1es

~ 3)

f~\x) = Paso 3: Verifica el resultado demostrando que f~’(f (x ) = x y f ( f - '( x ) ) = x .

En el ejemplo 5(b) verificamos que / y / 1son funciones inversas. Las gráficas de f(x ) = 2x + 3 y su función inversa / -1(x) = —( x — 3) se muestran en la figura 16. Observa la simetría de las gráficas con respecto a la recta y

Figura 16

-x.

Procedim iento para encontrar la función inversa de una función inyectiva P aso 1 :

En y

- f(x),

intercambia las variables x y y para obtener

*=f ( y ) Esta ecuación define a la función inversa Paso 2:

implícitamente.

Si es posible, resuelve la ecuación implícita para para obtener la forma explícita de

y

en términos de

y=f~\x)

Paso 3:

Verifica el resultado demostrando que

• /"'(/(*)= * y f(f~1(x))=x

EJEM P LO 9

D eterm inar la función inversa La función m

.

=

„ . . 2x + 1 — ¡-

x * i

es inyectiva. Determina su función inversa y verifica el resultado.

Solución

P

a so

1:

Sustituye f ( x ) por y e intercambia las variables * y y en * 2x + 1 para obtener x

=

2y + 1 y -

1

x

416

CAPITULO 6 Funciones exponenciales y logarítmicas P

a so

2: Resuelve para y. 1

2y +

X = y -

x(y

— 1) =

2y

xy — X — 2y

1

+ 1 Multiplica ambos lados por y —1 + 1 Aplica la propiedad distributiva.

x y — 2y — x + 1

( X — 2 )y = X + 1 x

+ 1

Resta 2y en ambos lados; suma x en ambos lados. Factoriza. Divide e n tre x — 2.

La función inversa es f

X -{- \ ^ a ) = ------—

x i*

x —2

P

a so

3:

2

S u s titu y e y por f _1(x).

Verifica: 2x

+ 1

+ 1

2a + 1 + x —1 3a — —A A A 2a + 1 —2( a —1) 3

/-(/w ) = / - ( ^ ) = 2 ^ 1

A -

n r \x )) = f

X+ 1

A—2

-2

2( a —2 ) + 1 _ 2( a + 1) + a - 2 A +l . - 1 A—2

A + 1 — ( a —2)

l

3a 3

X

X

^ 2

Exploración

2x + 1 _ x +1 En el ejemplo 9 encontramos que si f(x) = -------, entonces f V ) = ------. Compara las asíntotas x- 1 x- 2 horizontales y verticales de f y de f~\ Resultado La asíntota vertical defesx=1 y la asíntota horizontal esy=2. La asíntota vertical def-1 es x = 2 y la asíntota horizontal es y = 1.

—Resuelve ahora los problemas

51

y

65

Si una función no es inyectiva, no tiene función inversa. Sin embargo, algunas veces una restricción apropiada en el dominio de tal función nos dará una nueva función que será inyectiva. Entonces, la función definida en el dominio restringido tendrá una función inversa. Veamos un ejemplo de esta práctica común.

E J E M P L O 10 ]

D eterm in ar la función inversa de una función con dominio restringido Determina la función inversa de y

Solución

- f ( x)

= a2 si a > 0. Traza las gráficas de / y f ~ \

La función y = a2no es inyectiva. [Consulta el ejemplo 2(a)]. Sin embargo, si restringi mos el dominio de esta función a a & 0, como se indica, tendremos una nueva función que es creciente y, por lo tanto, inyectiva. Como resultado, la función definida por y = / ( a ) = a2, a > 0, tiene una función inversa /"'. Sigue los pasos dados previamente para encontrar / “'. P

a so

1:

En la ecuación y

= a2, a > 0 ,

intercambia las variables a y y. El resultado es

a-

y

2

y &0

Esta ecuación define (implícitamente) a la función inversa.

S E C C IÓ N 6.2 P

a so

2:


417

Resuelve para y para obtener la forma explícita de la función inversa. Como solo se obtiene una solución para y: y = V x . Entonces / _l(.v) = V a .

y — 0.

P a so 3: y / V erifica:

/''(/(■ < )) = / '(■>•-) =

\ f x * =|.v| = ,t

/ ( r ' W ) = / ( V Í ) = ( V Í ) ! = .v La figura 17 ilustra las gráficas de f ( x ) = a2, x > 0. y f ~ \ x )

= Vx.

RESUMEN 1. Si una función / es invectiva, entonces tiene una función inversa / “'. 2. El dominio de / = rango de / '; el rango de / = dominio de / 3. Para verificar que f ' es la función inversa de / , demuestra que /~'(/(.v)) / ( / ’(.v)) = .v para toda .v en el dominio de /"'. 4.

Las gráficas de / y de /~ * son simétricas con respecto a la recta y

=x

para toda .v en el dominio de / y

= x.

v__________________________________________________________________________________________________________________________________________

6.2 Ev alú a tu e n te n d im ie n to "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. E l c o n ju n to d e p a re s o r d e n a d o s { ( 1 , 3 ) , (2 . 3 ) , ( - 1 , 2 ) } , ¿ e s u na fu n c ió n ? ¿ P o r q u é sí o p o r q u é n o ? (p p . 2 0 0 -2 0 0 8 ) 2.

+ 1

4. S im p lifica : ■

c r e c ie n te ? ( p p . 2 2 4 -2 2 5 ) 3.

-. (p p . 6 2 - 6 9 )

¿ D ó n d e e s c r e c ie n te la fu n c ió n / ( a ) = a :? ¿ D ó n d e e s d e

¿C uál es el d o m in io d e / ( . r ) =

A2 ,

x-

1

* --------— ? (pp. 2 0 0 -2 0 8 ) + 3 a - 18

Conceptos y vocabulario__________________________ 5.

Si a , y

a,

so n d o s en tr a d a s d ife r e n te s d e u n a fu n c ió n / , e n

8. Si / ”' d e n o ta la fu n ció n in v ersa d e / , e n to n c e s las gráficas d e / y /" ' so n sim é tr ic a s co n r e sp e c to a la r e c t a ------------------

to n c e s / e s in y ec tiv a s i ------------------------------

6. Si to d a recta h o riz o n ta l in te r se c ta la g rá fica d e u n a fu n ció n

9 . Si el d o m in io d e u na fu n ció n in y e c tiv a / e s [4, o o ), e l ran go d e su fu n c ió n in v ersa , / ' ' , e s ________________

/ en n o m á s d e un p u n to , / e s u n a f u n c ió n -------------------------

7. Si / e s u n a fu n c ió n in y e c tiv a y / ( 3 ) = 8, e n to n c e s


Si / y

g so n

fu n c io n e s in v er sa s, e l d o

m in io d e / e s el m ism o q u e e l ra n g o d e

/ “’(»)=-------------

g.

Ejercicios________________________________________ En los problemas 11-18, determina si la función es inyectiva. \,1 1 .

\l5 .

Dominio

{ ( 2 , 6 ), ( - 3 , 6 ), ( 4 , 9 ) , ( 1 , 1 0 ) }

17. { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 ,1 6 ) , ( 3 , 8 1 ) }

Rango

12.

Dominio

16.

{ ( - 2 , 5 ) , ( - 1 , 3 ) , ( 3 , 7 ) , ( 4 ,1 2 ) }

18.

{ ( 1 , 2 ) , (2 , 8 ), ( 3 ,1 8 ) , ( 4 ,3 2 ) }

Rango

co m

418

CAPÍTULO 6 Fundones exponenciales y logarítmicas

En los problemas 19-24, se da la gráfica de una fundón f. Usa la prueba de la recta horizontal para determinar si f es inyectiva. 19.

y

20.

J

J

/ l co 1

23.

yj

24.

j

...

1

1

x

-

3'

-----1-----_i_____________________________ 1___1___ __ i___1

-3

co 1

\ ? y »

1

1

i

y i

3\

9

i

3

-3

co

- 31// I

1\

co

y /

3

-3

1» 3 x

En los problemas 25-32, determina la función inversa de cada función inyectiva. Indica el dominio y el rango de cada función inversa. \ 25.

Precipitación anual (pulgadas)

Localidad Monte Waialeale, Hawái

460.00

Monrovia, Lib eria- - - - -

202.01

Pago Pago, Sam oa Americana

196.46

Moulmein, B urm a- - - - - - - - - -

191.02

Lae, Papua Nueva Guinea

182.87

26.

Ganancia neta doméstica (en millones)

Título u o Ic í j u u ld A Ju v

L a U U C I 1a

C/101

Ep iso d io Uno - la Amenaza Fantasma

e, 1. 61oXUdWíi6SU6 i3rQ U 6

04U U

UU luSICO

00 O/

F u e n te : I n fo r m a tio n P le a s e A lm a n a c

vpOOU

*

F u en te: I n fo r m a tio n P le a s e A lm a n a c

27.

Costo mensual de seguro de vida

Edad

F u e n te :

28.

Estado

Tasa de desempleo

F u e n te : U n ite d S ta te s S ta tis tic a l A b s tr a c t

eterm.com

\ 2 9 . { ( - 3 , 5 ) , ( - 2 , 9 ) , ( - 1 , 2 ) , ( 0 ,1 1 ) , ( 1 , - 5 ) }

\

>

CO 1

co

___ 1__

___1___1___ __ £ __1___I l

-3 22.

y

\

___1___ 1___1_^

-3

21.

y

3 1 . { ( - 2 , 1 ) , ( - 3 , 2 ) , ( - 1 0 , 0 ) , (1 , 9 ) , ( 2 , 4 ) }

3 0 . { ( - 2 , 2 ) , ( - 1 , 6 ) , ( 0 , 8 ) , (1 , - 3 ) , ( 2 , 9 ) } 3 2 . { ( - 2 , - 8 ) , ( - 1 , - 1 ) , ( 0 ,0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 8 ) }

En los problemas 33-42, verifica que las funciones f y g sean las funciones inversas una de la otra, demostrando que f{g[x)) = x y g{f(x ) ) = x. Indica todos los valores de x que se deben excluir del dominio de f y del dominio de g. 3 3 . / ( x ) = 3 * + 4;

35.

f{x)

= 4* -

37. / ( x ) = x 3 -

» •/(* )=

g (x ) = | ( x

- 4)

3 4 . f{x)

=

3

2x\

-

8; g ( x ) = - + 2

3 6 . f(x) = 2x + 6 ;

8; g(x) = V x + 8

3 8 . f(x)

7X ; g ( x ) = ~X

a -i ¿r \ 2x + 3 4 L /(* ) = x + 4 ;

, , 4x - 3 g (Jc) = 2 - x

=

( jc

40. / ( .y ) = x ; 42. / ( x ) =

-

g(x) = - ~ { x g (x )

=

2 ) 2, .V 3 : 2 ;

-

^x - 3 g (.v )

=

g (x ) = x

2x + 3 ;

* (* ) =

3)

l - 2x

Vx

+

2

S E C C IÓ N 6.2

Funciones inyectivas; funciones Inversas

¿lijos problemas 43-48, se da la gráfica de una función invectiva f. Traza la gráfica déla función inversa f sugerencia), se da también la gráfica de y = x.

419

Por conveniencia (y como

En los problemas 40-60, la función f es invectiva. Determina su función inversa y verifica tu respuesta. Traza la gráfica de f, f x en los mismos ejes de coordenadas.

y

y =

49. V ? l. 53. 55. 57.

f{x) = 3x f(x) =

4.V + 2

f{x) = x3 - \ f{x) = x2 + / ( . x) =

59- / ( * ) =

4

.v > 0

*

50.

f(x)

= - 4 .r

52.

f(x)

= 1 - 3.t

54.

f(x) = x3 +

56.

f(x) = x2 + 9

58.

f(x) = - - x

60.

JZ~2

f{x)

1 * > 0

4 x + 2

En los problemas 61-72, la función f es inyectiva. Determina su función inversa y verifica tu respuesta.

\

61.

f{x)

63.

f(x) =

65.

f(x)

67.

f(x) =

69.

f(x)

=

7L

f{x)

=

=

=

3 +

62.

f{x)

72.

f(x) =

2- x 2x 6 4 . f{x) = x - 1 3x + 1 66. f(x) = x 2x - 3 68. f(x) = x + 4 —3x - 4 7 0 . f(x) = x - 2

x

3x x + 2 2x 3x - 1 3~r + 4

2x - 3 2x + 3 x + 2 x2 —4 ~ h T Jr> 0

x2 + 3 x > 0 3x2


U s a la gráfica d e y =

f(x)

d a d a e n e l p r o b le m a 43 para

ev a lu a r lo sig u ien te: (a ) / ( - 1 ) 74.

76.

(b ) / ( 1 )

U s a la gráfica d e y =

(c ) / - * ( 1 )

f(x)

(d ) / ' • ( 2 )

d a d a e n e l p r o b le m a 4 4 para

ev a lu a r lo sig u ien te: (a ) / ( 2 )

(b ) / ( 1 )

7 5 . Si / ( 7 ) = 13 y / e s in y ec tiv a , ¿a q u é eq u iv a le / “'(1 3 )?

77.

Si

g( - 5 )

= 3 y / e s in y ec tiv a , ¿a q u é e q u iv a le g ~ '(3 )?

E l d o m in io d e u na fu n ció n in y ec tiv a / e s [5, oo) y su ran go e s [ - 2 , o o ). In d ica e l d o m in io y ra n g o d e

f~K

7 8 . E l d o m in io d e u na fu n ció n in y ec tiv a / e s [0, oo) y su ran go (c ) / - ( O )

(d ) / - > ( - 1 )

e s [5, o o ). In dica el d o m in io y ra n g o d e / “'.

420 79.

C A P ÍT U LO 6


E l d o m in io d e u na fu n c ió n in y c c tiv a

g es

( - oo, 0] y su ran

g o e s [0, oo ). In d ica el d o m in io y el ra n g o d e 80.

El d o m in io d e una fu n ció n in y c c tiv a

g es

85.

g

[ 0 ,1 5 ] y su ra n g o

U n a fun ción

y=J'(x) e s c r ec ie n te

'?

en el cu ad ran te II, ¿en q u é cuad ran te está la gráfica d e / '?

en el in terv a lo ( 0 ,5 ) . ¿ Q u é

y =f

87.

L a fu n c ió n

f(x)

= |j t | n o e s in y ec tiv a . D e te r m in a una r e v

'( jc)?

tricció n a p ro p ia d a e n el d o m in io d e / d e m a n era q u e la

U na función y=f{x) es d ecrecien te en el intervalo ( 0 ,5 ) . ¿ Q u é

n u e v a fu n c ió n r e su lta n te se a in y ec tiv a . D e s p u é s d eterm in a

c o n c lu sio n e s p u e d e s sacar acerca d e la gráfica d e 82.

f

86. U n a función f tien e una fun ción inversa. Si la gráfica d e / está

e s ( 0 , 8 ). In dica el d o m in io y el ra n g o d e g ' 1. 81.

U n a fun ción / tien e una fu n ción inversa. Si la gráfica d e / está en el cu ad ran te I, ¿en q u é cu ad ran te está la gráfica d e

con clu sion es p u ed es sacar acerca d e la gráfica d e

y=f

83.

D e te r m in a la fu n ció n in v ersa d e la fu n c ió n lin ea l

84.

D e te r m in a la fu n ció n in v er sa d e la fu n ció n

la fu n c ió n in v er sa d e / .

'(* )?

88. La fu n ció n f(x) = x* n o e s in y e c tiv a . D e te r m in a una res tricció n a p ro p ia d a e n el d o m in io d e / d e m a n era q u e la

f(x) = mx + b m * 0 f(x) =

x2 0

V r2 -

n u e v a fu n c ió n r e su lta n te se a in y c c tiv a . D e s p u é s d eterm in a la fu n ció n in v ersa d e / .

< r < r

En aplicaciones, los símbolos que se usan para las variables independientes y dependientes generalmente se basan en el uso común. Así que en lugar de usar y = f(x) para representar una función, un problema aplicado puede usar C = C(q) para representar el costo C de fabricar q unidades de un producto, debido a que en economía se usa q para la producción. Por esto, la notación inversa f ’ que se usa en un problema de matemáticas puras no se usa cuando se determinan las funciones inversas en problemas aplicados. En este caso, la función inversa de una función como C = C(q) será q = q(C). Entonces, C = C(q) es una función que representa el costo C como función de la producción q, mientras que q = q(C) es una función que representa la producción q como función del costo C. Los problemas 89-92 ilustran esta idea. 89.

Distancia de frenado de un vehículo

T o m a n d o e n c u e n ta

d

(e n p ie s ) q u e n e c e sita

el tie m p o d e r e a c c ió n , la d ista n c ia

un a u to para d e te n e r s e c o m p le ta m e n te c u a n d o viaja a

(a ) E x p re sa la tem p e ra tu r a e n g ra d o s C e ls iu s C c o m o una fu n c ió n d e la tem p e ra tu r a e n g ra d o s F a h r en h e it

r

(b ) V e r ific a q u e C =

(a ) E x p re sa la v e lo c id a d

r

fu n c ió n d e la d ista n c ia

q u e n e c e s ita para d e te n e r s e

Impuestos sobre el ingreso

T(g)

r = r(d) se a la fu n c ió n in v er sa d e d = d{r), r(d(r)) = r y d(r(d)) = d.

L a fu n c ió n

= 4 6 7 5 + 0 .2 5 (g - 3 3 ,9 5 0 )

r e p r e se n ta e l im p u e s to fe d e r a l so b r e e l in g r e so

d e m o str a n d o q u e

in g r e so n e to m o d ific a d o a ju sta d o e s 3 3 ,9 5 0 < g < 8 2 ,2 5 0 .

fu e d e 3 0 0 p ies.

(a ) ¿ C u á l e s el d o m in io d e la fu n c ió n 7 7 (b ) D a d o q u e el im p u e s to

L a c ir c u n fe r e n c ia

T que

se d e b e p a g a r e s u na fu n

ta d o g , d e te r m in a el ra n g o d e la fu n c ió n im p u e s to fe d e r a l so b r e e l in g r e so

(a ) E x p re sa la cir c u n fe r e n c ia C d e la c a b e z a c o m o fu n c ió n d e la altu ra 77. (b ) V er ifica q u e C = C (/7 ) se a la fu n c ió n in v er sa d e 77 = 77(C ), dem ostrando que 77(C (77)) = 77y C (77(C )) = c a b e z a d e un n iñ o q u e m id e 2 6 p u lg a d a s d e altura. U n m o d e lo p ara e l p e s o c o r p o r a l

W para h o m b r e s (e n k ilo g r a m o s) h (e n p u lg a d a s) e stá d a d o p o r

c o m o fu n c ió n d e

h c o m o fu n c ió n d e l p e s o W. V e r ific a q u e h = b(W) se a la in v er sa d e W = W(h), d e m o str a n d o q u e h(W(h)) =h y W(h{W)) = W.

(d ) ¿C u ál e s la altu ra d e un h o m b r e q u e tie n e u n p e s o id ea l d e 80 k ilo g ra m o s?

Impuestos sobre el ingreso

T{g) =

L a fu n ció n

1670 + 0 . 1 5 ( g - 1 6 ,7 0 0 )

r e p r e se n ta e l im p u e s to fe d e r a l so b r e e l in g r e so

T (e n

d ó la

r e s ) e n 2 0 0 9 , q u e d e b e p a g a r u n a p areja q u e d ecla ra c o n ju n ta m e n te , c u y o in g r e so n e to m o d ific a d o a ju sta d o e s g d ó la r e s, d o n d e 1 6 ,7 0 0 < g s 6 7 ,9 0 0 .

Tque

s e d e b e p a gar e s u na fu n

ta d o g , d e te r m in a e l ra n g o d e la fu n c ió n

T.

(c ) D e te r m in a e l in g r e so n e to a ju sta d o g c o m o fu n ció n d el im p u e s to fe d e r a l so b r e e l in g r e so

T.

¿ C u ál e s e l d o m i

n io y e l ra n g o d e e sta fu n ció n ?

95. Gravedad en la Tierra

Si u n a p ied ra c a e d e u na altura d e

100 m e tr o s a la T ier ra , la altu ra 77 ( e n m e tr o s) d e s p u é s d e

[Nota: E l p e s o co r p o r a l id e a l W para m u je r e s ( e n k ilo g r a m o s) c o m o fu n ció n d e la altu ra

h

(e n p u lg a d a s) e s tá d a d o

+ 2 .3 (/i - 6 0 )]

92. Conversión de temperatura

¿ C u ál e s e l d o m i

c ió n lin ea l c r e c ie n te d e l in g r e so n e to m o d ific a d o ajus

(b ) E x p re sa la altu ra

W(h) = 45.5

94.

(b ) D a d o q u e e l im p u e s to

= 5 0 + 2 .3 (/i - 6 0 )

(a ) ¿C u ál e s el p e s o id e a l para un h o m b r e q u e m id e 6 p ies?

p or

T.

(a ) ¿C u á l e s e l d o m in io d e la fu n c ió n 7 7

la altu ra

W(h)

T.

n io y e l ra n g o d e e sta fu n ció n ?

C.

(c ) H a z u na p r e d ic c ió n a ce rc a d e la c ir c u n fe r e n c ia d e la

id e a l

d ó la r e s, d o n d e

(c ) D e te r m in a e l in g r e so n e to a ju sta d o g c o m o fu n ció n d el

7 7 (C ) = 2 . 1 5 C - 10.53

91. Peso corporal ideal

dó

c ió n lin e a l c r e c ie n te d e l in g r e so n e to m o d ific a d o ajus

C d e la c a b e z a d e un n iñ o e stá r e la c io n a d a c o n la altu ra 77 d el n iñ o (a m b a s e n p u lg a d a s) m e d ia n te la fu n c ió n

(c )

g

a u to v iajab a si la d ista n c ia q u e n e c e s itó para d e te n e r s e

Altura y la circunferencia de la cabeza

T (en

la r e s) e n 2 0 0 9 , q u e d e b e p a g a r u n a p e r so n a so lte r a cu y o

(c ) H a z u n a p r e d ic c ió n a ce rc a d e la v e lo c id a d a la q u e un

90.

F(C(F) ) = F.

d o s F a h r e n h e it? 93.

c o m p le ta m e n te . (b ) V er ifica q u e

C ( F(C)) = C y

(c ) ¿C u ál e s la tem p e ra tu r a e n g ra d o s C e ls iu s si e s 70 g ra

9 0 .3 9

a la q u e via ja un a u to c o m o

d

F.

se a la fu n c ió n in v ersa d e

F=F(C), d e m o str a n d o q u e

m illa s p o r h ora e s tá d a d a p o r la fu n c ió n

d(r) = 6 . 9 7 r -

C(F)

t se g u n d o s

e s a p r o x im a d a m e n te 77(r) = 1 0 0 - 4 . 9 F

(a ) E n g e n e r a l, la s fu n c io n e s cu a d rá tica s n o s o n in v e c ti L a fu n c ió n

F(C)

=

co n v ie r te la tem p e ra tu r a d e C g r a d o s C e lsiu s a F a h r en h e it.

:C

+ 32

v a s. S in e m b a r g o , la fu n c ió n 77 e s in y e c tiv a . ¿ P o r q u é ?

F g ra d o s

(b ) D eter m in a la fu n ción inversa d e 77 y verifica tu resultado. (c ) ¿ C u á n to tard ará u n a p ied ra e n c a e r SO m etro s?

S E C C IÓ N b J 9Gt Periodo de un péndulo

E l p e r io d o

T

(en se g u n d o s) de

97.

421


D ada

un p é n d u lo sim p le c o m o fu n c ió n d e su lo n g itu d / ( e n p ie s )

ax + b ex + (I

/(•v)

e s tá d a d o p or d e te r m in a / '(.v). Si

* : ”\Z S

c * 0,

¿ b a jo q u é c o n d ic io n e s en

a, b, c

y d./ =/•■?

( a ) E x p r e sa la lo n g itu d / c o m o fu n c ió n d e l p e r io d o

T.

(b ) ¿C u án to m id e un p én d u lo cu y o p erio d o es d e 3 segu n d os?


¿ P u e d e n se r ig u a le s u n a fu n c ió n in v e c tiv a y su fu n c ió n in v er sa ? ¿ Q u é d e b e se r c ie r to a c e r c a d e la g rá fica d e / para

101. T o d a fu n c ió n im p ar, ¿ e s in y e c tiv a ? E x p lica .

C(g) r e p r e se n ta e l c o s to C , en d ó la r e s, d e g a u to s. E x p lic a lo q u e r e p r e s e n ta C 1(8 0 0 ,0 0 0 ).

102. C o n sid e r a q u e

q u e e s to su c e d a ? D a a lg u n o s e je m p lo s q u e a p o y e n tu c o n

fabricar

c lu sió n . 103. E x p lic a p o r q u é s e p u e d e u sar la p ru eb a d e la recta h o ri 9 9 . T ra za la grá fica d e u n a fu n c ió n in v e c tiv a q u e c o n te n g a lo s

z o n ta l para id e n tific a r fu n c io n e s a p artir d e una gráfica.

p u n to s ( - 2 . - 3 ) . ( 0 , 0 ) y ( 1 , 5 ) . A h o r a traza la g rá fica d e su fu n c ió n in v ersa . C o m p a r a tu g rá fic a c o n las d e o tr o s e s tu d ia n te s . C o m e n ta las sim ilitu d e s. ¿ Q u é d ife r e n c ia s v e s? 100. D a un e je m p lo d e una fu n c ió n c u y o d o m in io se a e l c o n ju n to d e lo s n ú m e r o s r e a le s y q u e n o se a c r e c ie n te ni d e c r e c ie n te e n su d o m in io , p e r o q u e se a in v e c tiv a .

[Sugerencia: U sa u na fu n c ió n d e fin id a p o r p a rtes].

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. S i, para ca d a en tra d a

x e x is te

u n a sa lid a

y.

4

2.

C r e c ie n te e n ( 0 , 00); d e c r e c ie n te e n ( - 00, 0 )

3.

{.r|.r * - 6 , x * 3 }

'

6.3 Funciones exponenciales P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s ec c ió n Antes de empezar, repasa lo siguiente: • • •

\

E x p o n e n te s (c a p ítu lo R , s e c c ió n R .2 , pp. 2 1 - 2 4 y

T a sa d e c a m b io p r o m e d io (s e c c ió n 3 .3 ,

s e c c ió n R . 8, pp. 7 3 - 7 7 )

pp. 2 2 8 -2 3 0 )

T é c n ic a s para co n str u ir gráficas: tr a n sfo r m a c io n e s

F u n c io n e s cu a d rá tica s (s e c c ió n 4 .3 , pp. 2 8 8 -2 9 6 )

(s e c c ió n 3 .5 , pp. 2 4 4 - 2 5 3 )

F u n c io n e s lin e a le s (s e c c ió n 4 .1 , pp. 2 7 2 -2 7 5 )

R e s o lu c ió n d e e c u a c io n e s (s e c c ió n 1.1, pp. 8 2 -8 7 y

A s ín to ta s h o r iz o n ta le s (s e c c ió n 5.2,

s e c c ió n 1.2, p p. 9 2 - 9 9 )

pp. 3 4 5 -3 4 6 )

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 432. O B JETIV O S

1 Evaluar funciones exponenciales (p. 421) 2 Representar funciones exponenciales gráficamente (p. 425)

3 Definir el número e(p. 428) 4 Resolver ecuaciones exponenciales (p. 430)

1 E v a lu a r fu n c io n e s e x p o n e n c ia le s w E n e l c a p í t u l o R , s e c c i ó n R . 8, d i m o s u n a d e f i n i c i ó n p a r a e l e v a r u n n ú m e r o r e a l

a

a

u n a p o t e n c i a r a c io n a l. B a s á n d o n o s e n e s a d is c u s ió n , d i m o s s ig n i f i c a d o a e x p r e s i o n e s d e la f o r m a

ar d o n d e la b a s e

a

e s un n ú m e r o r e a l p o s itiv o y e l e x p o n e n te

P e r o , ¿ c u á l e s e l s i g n if ic a d o d e el e x p o n e n te

x

a\

d o n d e la b a s e

a

r es

u n n ú m e r o r a c io n a l.

e s un n ú m e r o rea l p o s itiv o y

e s u n n ú m e r o ir r a c io n a l? A u n q u e u n a d e f i n i c i ó n r ig u r o s a r e q u ie r e

m é t o d o s d i s c u t i d o s e n c á l c u l o , la b a s e d e la d e f i n i c i ó n e s f á c il d e e n t e n d e r : s e l e c c i o n a u n n ú m e r o r a c io n a l

r que

s e f o r m e a l tr u n c a r ( r e m o v e r ) t o d o m e n o s u n n ú m e r o f in i t o

d e d í g i t o s d e l n ú m e r o ir r a c io n a l

jc.

E n t o n c e s e s r a z o n a b le e s p e r a r q u e

422

C A P ÍT U L O 6


Por ejemplo, considera el número irracional tt = 3.14159.... Entonces una aproxi mación de a n es a n « a3-14 donde se han eliminado los dígitos después de la posición de centésimas del valor para tt. Una mejor aproximación sería f l ' W f l 3-1415 9

donde se han eliminado los dígitos después la posición de cien milésimos. Si conti nuamos de esta forma, podemos obtener aproximaciones de a n hasta cualquier grado de precisión que deseemos. La mayoría de las calculadoras tienen una tecla | x y | o una tecla de signo de in tercalación [ a x,

A

| para trabajar con exponentes. Para evaluar expresiones de la forma

ingresa la base a, después presiona la tecla |

xy

| (o la tecla |

A

|), ingresa el expo-

nente x y presiona | = | (o | ENTER |).

EJEM P LO 1

U so de una calculadora para evaluar potencias de 2 Usa una calculadora para evaluar: (a) 21,4 (b) 21'41 (c) 21'414

Solución

(d) 214142

(e) 2

(a) 214 « 2.639015822

(b)

(c) 21,414 « 2.66474965

(d) 214142 « 2.665119089

V2

(e) 2

2 1Al

V2

« 2.657371628

í 2.665144143

-Resuelve ahora el problema i s Se puede demostrar que las leyes conocidas de los exponentes racionales tam bién funcionan para exponentes reales.

TEO REM A

Leyes de los exponentes Si s ,

t, a

y b son números reales con a ( r t v) ' -

II

i-A

< f ' d = a s+r

>

0yb

>

a st

a * = —S = a

0, entonces (,a b ) s = a s - b s

(i)'

( 1) -

■

J

In tro d u c c ió n al c r e c im ie n to e x p o n e n c ia l le

Considera que una función / tiene las siguientes dos propiedades: 1. El valor de / se duplica con cada incremento de 1 unidad en la variable indepen diente x. 2. El valor de / en x = 0 es 5, entonces /(O) = 5. La tabla 1 muestra los valores de la función / para x = 0 ,1 ,2 , 3 y 4. Buscamos una ecuación y — f ( x ) que describa a esta función / . El hecho clave es que el valor de / se duplica por cada incremento de 1 unidad en .v.

Tabla 1 X

f(x)

0

5

1

10

2

20

3

40

4

80

/( 0 ) = 5 /O ) = 2 /(0) = 2*5 = 5 • 21 / ( 2) - 2 /(1 ) = 2(5 -2 ) == 5*22

Duplica el valor d e f en O para obtener el valor en 1. Duplica el valor de f en 1 para obtener el valor en 2.

/ ( 3) = 2 /(2) = 2(5 *22) = 5 *23 /(4 ) = 2 /(3) = 2(5 *23) = 5*24 Este patrón nos lleva a /w

-

2f(x -

>.V-1 \ _

I S E C C IÓ N y

D E F IN I C I Ó N

Fundones exponenciales

423

Una función exponencial es una función de la forma _______________________________________ / ( . v ) =

_______________________________________

donde ti es un número rea! positivo ( í/ > 0). a ¿ 1 y C # 0 es un número real. El dominio de / es el conjunto de todos los números reales. La base a es el factor de crecim iento, y como /(O) = C a ° = C, a C le llamamos el valor inicial. A D V E R TE N C IA Es Im p o rta n t« distin g u ir una función de potencias, a (x ) = n s 2 . un e n te ro , d e una función exponencial, ff x ) = C * a \ a * 1. a > O. En una función d e potencias, la base es variable y el exponente es una c o n s ta n te . En una función expo nencial. la base es una c o n s ta n te y el exponente es una variable. ■

En la definición de una función exponencial, excluimos la base a = 1 porque esta función es simplemente la función constante f ( x ) = C* l' = C. También debemos ex cluir las bases que sean negativas; de otra manera, tendríamos que excluir muchos va lores de .v del dominio, tales como ,r = ^ y ,v = - , [Recuerda que ( - 2 ) 1/2 = \ / - 2 , _____ 2 4 (_3)3/4 _ -\j/(_3)3 = etc., no están definidos en el conjunto de los números reales]. Por último las transformaciones (traslaciones verticales y horizontales, re flexiones, etc.) de una función de la forma f ( x ) = Cu' también representan funciones exponenciales. Algunos ejemplos de funciones exponenciales son /(■O = 2'

f(jr) = ( i ) ' + 5

G(.v) = 2 - 3 * - J

Observa que para cada función, la base de la expresión exponencial es una constante, y el exponente contiene una variable. Observa que en la función, f ( x ) = 5 • 2 \ la razón de las salidas consecutivas es constante para incrementos de 1 unidad en la entrada. Esta razón equivale a la cons tante 2, la base de la función exponencial. En otras palabras, /(I )

5 -2 1

/(O)

5

.

í(2)

5 -2 2

m

5 -2 1

,

/( 3 )

5 -2 J

/( 2 )

5*22

,

Esto nos lleva al siguiente resultado.

TEO R EM A

Para una función exponencial f ( x ) = número real, entonces /(•v +

r r

Ca\

1)

donde

a >

/(.v + 1) =

0 y a # 1, si .y es cualquier

af{x)

f(x)

En palabras

J

f~ P ara cam bios d e 1 unidad en

la e n tra d a d e x d e una función r exponencial f( x ) = C • a \ la r razón d e salid as consecutivas r es la c o n s ta n te a.

r

Demostración

r

EJEM P LO 2

Cax

/( * + ! )

/(-v)

+

l

=

a t+1

x = a1 -

a

Cax

Id e n tific a c ió n de fu n cio n e s lin e a le s o e x p o n e n c ia le s Determina si la función dada es lineal, exponencial o ninguna de las dos. Para las que son lineales, determina una función lineal que modele los datos. Para aquellas que son exponenciales, determina la función exponencial que modele los datos. (c)

(b)

(a) X

-1 0

y 5 2

X

y

-1

32

o-

y

X -1

2

16

0

4

1

7

1

-1

1

8

2

-4

2

4

2

11

3

-7

3

2

3

16

424

C A P ÍT U L O (> Fundones exponenciales y logarítmicas

Solución

Para cada función, calcula la lasa promedio de cambio de y con respecto a x y la ra zón de salidas consecutivas. Si la tasa de cambio promedio es constante, entonces la función es lineal. Sí la razón de salidas consecutivas es constante, entonces la función es exponencial.

(b)

(a) Ver tabla 2(a). La tasa de cambio promedio por cada incremento de 1 unidad en x es -3 . Por lo tanto, la función es una función lineal. En una función lineal la tasa de cambio promedio es la pendiente m, entonces m = -3 . La intersección en y, / \ es el valor de la función en .v = 0. entonces b = 2. La función lineal que mejor modela los datos es /(.v) = m x + /> = -3.v + 2. (b) Ver tabla 2(b). Para esta función, la tasa de cambio promedio de -1 a 0 es 16 y la tasa promedio de cambio de 0 a 1 es —8. Como la tasa de cambio promedio no es constante, la función no es lineal. La razón de salidas consecutivas para un incremento de 1 unidad en las entradas es una constante.

Como la razón de

salidas consecutivas es constante, la función es una función exponencial con fac tor de crecimiento de
El valor inicial de la función exponencial es C = 16.

S E C C IÓ N 6.3

Por

lo

tanto,

la

8(x) = Cax = 16 - ^

función

exponencial

que


modela

los

datos

425 es

.

(c) Ver tabla 2(c). Para esta función, la tasa de cambio promedio de -1 a 0 es 2 y la tasa de cambio promedio de 0 a 1 es 3. Como la tasa de cambio promedio no es constante, la función no es una función lineal. La razón de salidas consecutivas de 7 -1 a 0 es 2 y la razón de salidas consecutivas de 0 a 1 es —. Como la razón de salidas consecutivas no es una constante, la función no es una función exponencial.

. •-J

k T O = = _ . R esu e|ve ahopa £L P R 0 B L E MA 2 5

2 G rá fic a d e fu n c io n e s e x p o n e n c ia le s Si sabemos cómo obtener la gráfica de una función exponencial de la forma f ( x ) = a \ entonces podemos usar transformaciones (traslaciones, estiramiento, etc.) para construir la gráfica de cualquier función exponencial. Primero trazamos la gráfica de la función exponencial / ( jc) = 2X.

EJEM P LO 3

G ráfica de una función exponencial Traza la gráfica de la función exponencial / ( jc) =

Solución

2X

El dominio de / ( jc) = 2 X es el conjunto de todos los números reales. Empezamos por localizar algunos puntos en la gráfica de / ( jc) = 2X como se ve en la tabla 3. Como 2X > 0 para toda x , el rango de / es (0, oo). Por esto podemos concluir que la gráfica no tiene intersecciones en x , y, de hecho, la gráfica estará por encima del eje x para toda jc. Como indica la tabla 3, la intersección en y es 1. La tabla 3 también in dica que cuando jc —» - oo los valores de f { x ) = 2 X se acercan más y más a 0. Podemos concluir que el eje x ( y = 0) es una asíntota horizontal de la gráfica cuando x —> —oo. Esto nos da el comportamiento terminal de jc grandes y negativas. Para determinar el comportamiento terminal de jc grandes y positivas, observa de nuevo la tabla 3. Cuando jc —s»oo, / ( jc) = 2X crece muy rápidamente, haciendo que la gráfica de / ( jc) = 2X se eleve muy rápidamente. Es evidente que / es una función creciente y, por lo tanto, es inyectiva. Usando toda esta información trazamos algunos puntos de la tabla 3 y los conec tamos con una curva suave y continua, como se ve en la figura 18.

Como veremos, las gráficas que se ven como las de la figura 18 se dan muy fre cuentemente en una variedad de situaciones. Por ejemplo, la gráfica de la figura 19

426

C A I’ ÍT U I.O 6


¡lustra el número de suhseriptores de teléfono# celulares al final de cada año de 1985 a 2008. Podemos concluir de esta gráfica que el número de subscriptores de teléfono# celulares crece e x p o n e n c ia lm e n te . Figura 19

Número de lubicriptoret de teléfonos celulares el final del aAo

Año Fuente: <02010 CTIA-Thc Wireless Association'8.

Figura 20

Tendremos más que decir acerca de situaciones que tienen crecimiento exponen cial más adelante en el capítulo. Por lo pronto seguiremos estudiando las propieda des de las funciones exponenciales. La gráfica de /(.v) = 2‘ de la figura 18 es representativa de todas las funciones ex ponenciales de la forma f ( x ) = a' con a > 1. Esas funciones son funciones crecientes y, por lo tanto, invectivas. Sus gráficas están por encima del eje .r. pasan por el punto (0,1) y a partir de ahí, se elevan muy rápidamente cuando .r —* x . Cuando x —* - x . el eje x ( v = 0) es una asíntota horizontal. No existen asíntotas verticales. Por último, las gráficas son suaves y continuas, sin esquinas ni saltos. La figura 20 ilustra las gráficas de dos funciones exponenciales más cuyas bases son mayores que 1. Observa que entre más grande es la base, más empinada es la gráfi ca cuando .v > 0 y cuando x < 0. entre más grande es la base, más cerca está la ecuación del eje x.

Visualización del concepto Traza la gráfica de Yt= 2’ y compara con lo que ves en la figura 18. Borra la pantalla y traza la gráfica de Y, = 3’ y Vj =6‘ y compara lo que ves con la figura 20. Borra la pantalla y traza la gráfica de V, = 10* y = 100*.

P ro p ied ad es de la función exp on en cial ffx) = < f, a > 1

Figura 21

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales o ( - x . oc). usando notación de intervalos; el rango es el conjunto de todos los números reales positivos o (0. oc). usando notación de intervalos. 2. No existen intersecciones en .v. la intersección en v es 1. 3. El eje .v (y = 0) es una asíntota horizontal cuando .v —* - oc í lim ir1 = 0 . 4. f { x ) = a \ donde a > 1. es una función creciente e invectiva.

5. La gráfica de / contiene los puntos (0.1). ( l.a ) y 6. La gráfica de f es suave y continua, sin esquinas ni saltos. Ver figura 21. Ahora considera f ( x ) = a \ cuando ( ) < « < ! .

4 S E C C IÓ N 6 J

EJEM P LO 4

427

Fundones exponenciales

G r á fic a d e u n a fu n ció n e x p o n e n c ia l

Obtén la gráfica de la función exponencial: / ( . t)

S o lu c ió n

El dominio de /(.v)

consiste en todos los números reales. Como anterior-

T a b la 4

mente. localizamos algunos puntos en la gráfica creando la tabla 4. Como

J

>

0

/ 1v X

para toda .v. el rango de / es el intervalo (0, oo). La gráfica está por encima del eje x y por lo tanto, no tiene intersecciones en x . La intersección en y es 1. Cuando .v —> - oo,

M - (i) (-)

-10

.,0 »

/(.v) =

- 8

El eje x (y = 0) es una asíntota horizontal cuando x —» oo. Es evidente que / es una función decreciente y por lo tanto, es inyectiva. La figura 22 ilustra la gráfica.

/i V»

-3

(i)

crece muy rápidamente. Cuando.r—»oo, los valores de f ( x ) tienden a 0.

/I\-J

-2

6 )

- 4

/IV ’

G) G) -

-1 0

(1 \ _ i \2 > ~ 2

1

(V f - i \2/

4

GB

3 10

a partir de la gráfica de y =

Pudimos haber obtenido la gráfica de y =

/ 1 \ ’° ( - 1 * 0.00098

2X

l\.t

usando transformaciones. La gráfica de y de la gráfica de y =

21

-

2

x

es una reflexión en el eje y

(sustituye x por - x ) . Ver figuras 23(a) y (b).

Figura 23

Visualización del concepto Usando un dispositivo gráfico, traza la gráfica simultáneamente de: (a)

y, = 3', Y

2

(b) y, = 6', y

2

/i y

-G) -(¿y

Concluye que la gráfica de y2 =

La gráfica de

,

para a >0 es la reflexión en el eje y de la gráfica de y, = 0".

f(x)

de la figura 22 es representativa de todas las funcio

nes exponenciales de la forma f { x ) = a \ cuando Ü< a < 1. Esas funciones son decre cientes e inyectivas. Sus gráficas están por encima del eje .v y pasan por el punto (0,1). La gráfica se eleva rápidamente cuando x —> -oo. Cuando .v —» oo, el eje x (y = 0 ) es una asíntota horizontal. No existen asíntotas verticales. Por último, las gráficas son suaves y continuas, sin esquinas ni saltos.

428

C A P ÍT U L O 6


Figura 24

La figura 24 ilustra las gráficas de dos funciones exponenciales más cuyas bases están entre 0 y 1. Observa que una base más pequeña da como resultado una gráfica que es más empinada cuando x < 0. Cuando x > 0, la gráfica de la ecuación con la base menor está más cerca del eje x.

P ro p ie d a d e s de la fu n ció n e xp o n e n cia l f(x) = a“, 0 < a < 1

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales o (—o o , o c ) , usando notación de intervalos; el rango es el conjunto de todos los números reales positivos o (0, o o ) usando notación de intervalos. 2.

No existen intersecciones en x , la intersección en y es 1.

3. El eje x (y = 0) es una asíntota horizontal cuando x —1►4. / ( * ) = a \

0<

a <

oo

J linwr* = 0j.

1, es una función decreciente e inyectiva.

5. La gráfica de / contiene los puntos ^ -1 ,

(0,1) y (1 , a ) .

6. La gráfica de / es suave y continua, sin esquinas ni saltos. Ver figura 25.

EJEM P LO 5

G ráficas de funciones exponenciales usando transform aciones Traza la gráfica de f ( x ) zontal de / .

Solución

= 2~'-3y

Empieza con la gráfica de y =

(a) y = 2*

2\

Sustituir x por - x , reflejar en el eje y.

determina el dominio, el rango y la asíntota hori

La figura 26 muestra las etapas.

(bt '

’

v —2 y

*

Restar 3. correr 3 unidades hacia abajo.

iq \

y = 2 x

—3

Como ilustra la figura 26(c), el dominio de f ( x ) = 2 x— 3 es el intervalo ( - o o , rango es el intervalo ( - 3 , o o ) . La asíntota horizontal de / es la recta y = - 3 . Resuelve ahora

el

problema

oo)

y el .

41

3 D e fin ic ió n d e l n ú m e ro e Como veremos en seguida, muchos problemas que se dan en la naturaleza requieren del uso de una función exponencial cuya base es un cierto número irracional, simbo lizado por la letra e.

S E C C IÓ N 6 J


429

A continuación se da una forma de llegar a este importante número e.

tr -

El núm ero e está definido como el número al que la expresión

D EFINICIÓ N

aT

se aproxima cuando limites como

n

—* oo. En cálculo, esto se expresa usando notación de

e

= lim ( 1 + -i v n j

J La tabla 5 ilustra lo que sucede con la expresión (2) cuando n toma valores cada vez más grandes. El último número en la columna derecha de la tabla está corregido a nueve lugares decimales y es igual que la entrada que se da para e en tu calculadora (si se expresa correctamente hasta nueve lugares decimales). La función exponencial f ( x ) = e \ cuya base es el número e , se da con tanta fre cuencia en aplicaciones que, comúnmente, se refiere a ella como la función exponen cial. La mayoría de las calculadoras tienen la tecla] e x |o | exp(.v) , que se puede usar para evaluar la función exponencial para un valor dado de x * n 1 2 5 10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 1,000,000,000

T a b la 6

1 n

1 + i n

(•*;)■

1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 10‘ 9

2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 1 + 10 9

2 2.25 2.48832 2.59374246 2.704813829 2.716923932 2.718145927 2.718268237 2.718280469 2.718281827

X

e*

-2

e’ 2 « 0.14

-1

e~' « 0.37

0

e °* 1

1

e' « 2.72

2

e2 « 7.39

y II

Figura 27

I (2, e2) 6


3

H - j ) > no.1)

Traza la gráfica de /, = e" y compara lo que ves con la figura 27. Usa eVALUEate o TABLE para verificar los puntos en la gráfica que se muestran de la figura 27. Ahora traza la gráfica de Y2= 2"y Y%= 3’ en la misma pantalla que T, = e. Observa que la gráfica de Yy= e" está entre estas dos gráficas. 1

O

1

ro

Ve | Il 1 o

Ahora usa tu calculadora para aproximar e ' para .v = -2 , x = -1, x = 0, x = 1 y x = 2, como hicimos para crear la tabla 6. La gráfica de la función exponencial /(.v) = e x se da en la figura 27. Como 2 < e < 3, la gráfica de y - e ' está entre las gráficas de y = 2X y y = 3'. ¿Puedes ver por qué? (Consulta las figuras 18 y 20).

EJEM PLO

I . 3 x

6

G rá fic a d e fu n cio n e s e x p o n e n cia le s u san d o tra n sfo rm a c io n e s Traza la gráfica de / ( jc) = zontal de / .

S o lu ció n

- e '~ y

Empieza con la gráfica de y

= ex.

y determina el dominio, el rango y la asíntota hori La figura 28 muestra las etapas.

* Si tu calculadora no tiene una de estas teclas, consulta tu instructivo.

430

C A P ÍT U I -O 6


Figura 28

Como ilustra la figura 28(c), el dominio de f ( x ) = - e * 3 es el intervalo (-oo,
Resuelve ahora el problema 53 4 R e so lu c ió n d e e c u a c io n e s e x p o n e n c ia le s Las ecuaciones que incluyen términos de la forma a \ donde a > 0 y a * 1, se llaman ecuaciones exponenciales. A veces esas ecuaciones se pueden resolver aplicando apropiadamente las leyes de los exponentes y la propiedad (3): r r En palabras

Si

c C uando dos expresiones r exponenciales con la m ism a base son ¡guales, entonces sus exponentes son Iguales.

EJ E MPL O 7

íi"

=

a'\

entonces

u = v.

(3)

La propiedad (3) es una consecuencia del hecho que las funciones exponenciales sean inyectivas. Para usar la propiedad (3). ambos lados de la igualdad tienen que estar escritos con la misma base. R e so lu c ió n d e e c u a c io n e s e x p o n e n c ia le s Resuelve cada ecuación exponencial. (a) 3A+1 = 81

S o lu c ió n

(b) 42a_1 = 8I+3

(a) Como 81 = 34, escribimos la ecuación como 3,+l = 81 = 3 4 Ahora tenemos la misma base, 3. en ambos lados. Haz los exponentes iguales uno al otro para obtener x + 1= 4 x =3 El conjunto solución es {3}. (b)

42í_1 = 8V+3 ( 22)(2.r-i) = (23)<*+3>

4 = 2^:3 = Z5

22(2.r-l) _ 2 3( c+3)

(* ')• =

2(2.v - 1) = 3(.V + 3)

S¡au = a', e n to n c e s u = v.

4.v - 2 = 3.v + 9 .v =

11

El conjunto solución es {11}.

Resuelvo ahora

el

. problema

63

S E C C IÓ N 6 J

EJEM P LO 8


431

Resolución de una ecuación exponencial Resuelve: e'*2 = (<•')’ r

Solución

Primero usa las leyes de los exponentes para obtener una sola expresión con la base t* en el lado derecho. /

( r ) • -1r = e

• e -3 = e2.r-3■

e

Como resultado, e*1 =

e 2* “ 3

—X = 2.V — 3 .V* + 2.1 — 3 = 0

Aplica la propiedad (3). Escríbf la ecuación cuadrática en la forma estándar.

(.V + 3 ) ( .l — I ) = 0

Factoriza.

X = —3

Usa la propiedad de producto cero.

O

X = 1

El conjunto solución es { - 3 , 1 } .

EJEM P LO 9

.

Probabilidad exponencial Entre las 9:00 p.m. y las 10:00 p.m., los autos llegan al auto Burger Ring con una tasa de 12 autos por hora (0.2 autos por minuto). La siguiente fórmula de estadística se puede usar para determinar la probabilidad de que un auto llegue a t minutos de las 9:00 p.m. F ( t ) = 1 - e-02' (a) Determina la probabilidad de que un auto llegue en los 5 minutos después de las 9:00 p.m. (es decir, antes de las 9:05 p.m.). (b) Determina la probabilidad de que un auto llegue en los 30 minutos después de las 9:00 p.m. (antes de las 9:30 p.m.). (c) Traza la gráfica de F usando tu dispositivo gráfico. —* (d) ¿A qué valor tiende Fcuando t se incrementa sin cotas en la dirección positiva?

Solución

(a) La probabilidad de que un auto llegue después de 5 minutos se encuentra eva luando F { t ) en t = 5. F { 5)

= 1 - e~°‘2(5) * 0.63212

T U sa una calculadora.

Podemos concluir que hay una probabilidad de 63% de que un auto llegue 5 mi nutos después de las 9:00 p.m. (b) La probabilidad de que un auto llegue después de 30 minutos se determina eva luando F ( l ) en t = 30. F(30) = 1 - e"02*30) « 0.9975 t

Usa una calculadora.

Figura 29

Hay una probabilidad de 99.75% de que un auto llegue 30 minutos después de las 9:00 p.m. *=- (c) Ver figura 29 para la gráfica de F. (d) Conforme pasa el tiempo se incrementa la probabilidad de que un auto lle gue. El valor al que tiende F se puede determinar haciendo que t —* oo. Como e -o-2i 30

_

1

se deduce que e-"2' —* 0 cuando

e0'2'

t —* oo.

Podemos concluir que

tiende a 1 cuando t crece. El análisis algebraico se confirma en la figura 29. ResuBlve ahora

el

problema

107

F

.

432

C A P ÍT U L O 6


f

—-------------—

RESUMEN Propiedades de las funciones exponenciales f { x ) = ax, a > 1

Dominio: el intervalo (-oo, oo); rango: el intervalo (0, oo) Intersecciones en x: ninguna; intersección en y : 1 Asíntota horizontal: eje jc ( y

-

0) cuando jc —> -o o

Creciente, inyectiva, suave, continua Ver la figura 21 para una gráfica típica. Dominio: el intervalo (-oo, oo); rango: el intervalo (0, oo)

f ( x ) = a x, 0 < a < l

Intersecciones en jc: ninguna; intersección en y : 1 Asíntota horizontal: eje jc ( y - 0) cuando jc —> -o o Decreciente, inyectiva, suave, continua Ver la figura 25 para una gráfica típica. Si a" — a v, entonces

u — v.

\ ________________

v

6.3 Ev alú a tu en te n d im ie n to "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. 4 3 = ______ ; 82/3 = ______ ; 3 “2 = _______ (p p . 2 1 - 2 4 y

4.

D e te r m in a la ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e / ( jc)

x = 0 a x = 4. (p p .

7 3 -7 7 )

x2+ 3x = 4.

2.

R e s u e lv e

(p p . 9 2 - 9 9 )

3.

Verdadero o falso

P ara o b te n e r la g rá fica d e

co rre la g rá fica d e

y =

jc3

5.

y(x

- 2 ) 3,

= 3jc -

5 de

2 2 3 - 2 3 0 :2 7 2 - 2 7 5 )

2x

Verdadero o falso

L a f u n c ió n / ( jc) = — —

tie n e a y = 2

c o m o a sín to ta h o r iz o n ta l, (p p . 3 4 5 -3 4 6 )

2 u n id a d e s a la iz q u ier d a ,

( p p .2 4 4 -2 5 3 )

Conceptos y vocabulario 6. U n a _________________________ e s u n a fu n c ió n d e la fo rm a

f(x) La 7.

Cax, d o n d e a > 0 , a ^ 1 y C b a se a e s e l __________________ y =

P ara

una

fu n c ió n

# 0 so n n ú m e r o s r e a le s. C e s e l _______________

e x p o n e n c ia l

10. Verdadero o falso L a g rá fica d e la fu n c ió n e x p o n e n c ia l / ( jc) ax, donde a 0 y a s* 1, n o tie n e in te r se c c ió n e n x. =

11.

/(* + 1)

12.


el c o n ju n to d e to d o s

13. 14.

Verdadero o falso E l r a n g o d e u n a fu n c ió n f(x) = ax, donde a > 0 y a ^ 1 , e s e l c o n ju n to

e x p o n e n c ia l

a

a*, donde

1 , p a sa p o r lo s tre s p u n t o s : ______ , ______ y

S i la g rá fica d e la fu n c ió n e x p o n e n c ia l / ( jc) = a*, y

a ^ 1,

e s d e c r e c ie n te , e n to n c e s

a

donde

d e b e ser m en o r

q u e _______

E l d o m in io d e u n a fu n c ió n e x p o n e n

ax, donde a > 0 y a * 1 , e s

lo s n ú m e r o s r e a le s. 9.

> 0 y

a> 0

/(* )

cial / ( jc) =

L a g rá fica d e to d a fu n c ió n e x p o n e n c ia l / ( jc) =

a

f{x) = Cax,

>

Si

3X= 3 \

e n to n c e s jc = ______

Verdadero o falso

L a s g rá fica s d e

y = 3Xy y

so n

id é n tic a s.

d e t o d o s lo s

n ú m e r o s rea les.

Ejercicios En los problemas 15-24, aproxima cada número usando una calculadora. Expresa tu respuesta redondeada a tres lugares decimales. \

15. (a ) 3 2,2

(b ) 3 223

(c ) 3 2 236

(d ) 3 ^

1 6 . (a ) 5 1-7

(b ) 5 173

(c ) 5 1-732

(d ) 5 ^

1 7. (a ) 2 314

(b ) 23,141

(c ) 231415

(d ) 2 '

18. (a ) 227

(b ) 2271

(c ) 22-718

(d )

19. (a ) 3 .1 27

(b ) 3 .1 4 2,71

(c ) 3 .1 4 1 2718

(d ) rr"

2 0 . (a ) 2 .7 31

(b ) 2 .7 1 314

(c ) 2 .7 1 8 3-141

(d ) e '

2 1 . e1'2

22 . e~13

2 3 . i?-0'85

2 4 . e 21

2e

S E C C IÓ N 6.3


433

;finios problemas 25-32, determina si la función dada es lineal, exponencial o ninguna de las dos. Para aquellas que sean funciones lineales, determina una función que modele los datos; para aquellas que sean exponenciales, determina una función exponencial que modele los datos. 25.

X

26.

f(x)

-1

g(x)

X

-1

3

27.

2

0

6

0

5

1

12

1

8

2

18

2

11

3

30

3

14

H(x)

X

28.

1

-1

1

i

4

2

16

3

64

2

-1

4

0

F(x)

3

1

0

3

1

2 9 4 27

8

29.

X

f(x) 3

-1

2

0

3

1

6

2

12

3

24

30.

X

g(x)

31.

H(x)

X

6

-1

2

0

1

0

4

1

0

1

6

2

3

2

8

3

10

3

10

-1

1

En los problemas 33-40, se da la gráfica de una función exponencial. Asocia cada gráfica con una de las siguientes funciones. (d) y = -3~x (c) y = - 3 X (b) y = 3~x (a) y = ¥ (g) y = 3l~x (h) y = 1 - 3* (f) y =y - 1 (e) y = ¥ ~ 1

40.

39.

1'

-y=o

2x

-2 y - - '- - - - - .

\

-

En los problemas 41-52, usa transformaciones para obtener la gráfica de cada función. Determina el dominio, rango y asíntota hori zontal para cada función. 43. f{x) = 3X~1 44. f{x) = 2X+2 42. f{x) = 3X - 2 41. / ( * ) = 2X + 1 45.

1

/(* ) = 3 - ( -

49. f{x)

\

-1

= 2 + 4 *-1

46. f(x) = 4 - Q )

47. f(x) = 3~x - 2

48. f(x) = - 3 X + 1

50. f{x)

51. f{x)

52. f{x)

= 1 -

2X+3

= 2 +

3x/2

= 1 -

2~x/3

En los problemas 53-60, empieza con la gráfica de y = e' [figura 27] y usa transformaciones para obtener la gráfica de cada función. Determina el dominio, el rango y la asíntota horizontal para cada función. 56. f(x) = ex - 1 53. f(x) = 54. f(x) = - e x 55. f(x) = ex+2 57. f(x) = 5 - e ~ x

58. f{x)

= 9 - 3e"

59. f{x) = 2 - e~xl2

60. f(x)

= 7 -

3e2x

434

CAPÍTULO 6 Fundones exponenciales y logarítmicas

En los problemas 61-80, resuelve cada ecuación.

( 'r _“

\

6 2 . 5* = 5 -6

0

1

66.

25

1

e r ” 64 4x2 _ 2X

63.

2~x =

67.

22 X :=

16

g - x + 14

6 9 . 3 *3 = 9*

70.

73 . y 1- 1 = 2 7 2*

7 4 . 5 *2+8 = 1252x

75.

4X• 2xl

e3x = e2~x

79.

eX2 =

77.

= e3*+S

8 1 . Si

4X =

8 3 . Si 3 ~

78.

3~x =

68.

5X+3 =

81

1

= 5

= 16*

7 2 . g-x+15 =

= 162

76.

i 3*

4~2x ?

8 2 . Si

2X =-

¿a q u é e q u iv a le 3 2x ?

8 4 . Si

5~x =

7, ¿a q u é e q u iv a le

* = 2,

71.

4

64.

1

92x ■21xL = 3 ”1

8 0 . (■e4)x■

2 eL

3 , ¿a q u é e q u iv a le

27x

to

65.

= 73

11

T

\

61.

4~ * ?

3 , ¿a q u é e q u iv a le 5 3* ?

En los problemas 85-88, determina la función exponencial cuya gráfica se da.

89.

D e te r m in a u n a fu n c ió n e x p o n e n c ia l c o n a sín to ta h o r iz o n -

90.

D e te r m in a u n a fu n ció n e x p o n e n c ia l c o n a sín to ta h o rizo n tal y = - 3 cu y a g ráfica c o n te n g a lo s p u n to s ( 0 , - 2 ) y ( - 2 , 1 ) .

tal _y = 2 cu y a grá fica c o n te n g a lo s p u n to s ( 0 , 3 ) y ( 1 , 5 ) .

Práctica mixta 91.


f(x) = 2X.

92.

(a ) ¿ A q u é e q u iv a le / ( 4 ) ? ¿ Q u é p u n to e s tá e n la g r á fi ca d e / ? (b ) Si

f(x) =


ca d e / ?

1

g(x)

= 4 r + 2.

(b ) Si

94.


1 = - , ¿a q u é e q u iv a le .v? ¿ Q u é p u n to está


g(x)

= 5 r - 3.

fica d e g?

= 66, ¿a q u é e q u iv a le

la gráfica d e

95.

f(x)

(a ) ¿ A q u é e q u iv a le g ( - l ) ? ¿ Q u é p u n to e stá e n la g rá

fica d e g?

g(x)

= 3'.

e n la g rá fica d e / ?

(a ) ¿ A q u é e q u iv a le g ( - l ) ? ¿ Q u é p u n to e s tá e n la g r á (b ) Si

f(x)

(a ) ¿ A q u é e q u iv a le / ( 4 ) ? ¿ Q u é p u n to e s tá e n la gráfi

— , ¿a q u é e q u iv a le x ? ¿ Q u é p u n to está 16 e n la gráfica d e / ?

93.


x? ¿ Q u é

(b ) Si g ( x ) = 122, ¿a q u é e q u iv a le

p u n to e s tá en

g?

F(x)

(a ) ¿ A q u é e q u iv a le fica d e / / ?

x7

¿ Q u é p u n to e stá

e n la gráfica d e g ?

96.

H(—6 )?

¿ Q u é p u n to e s tá e n la g rá

H{x)

(a ) ¿ A q u é e q u iv a le

F(—5 ) ?

¿ Q u é p u n to e s tá e n la g rá

fica d e F?

(b ) Si H(x) = 12, ¿a q u é e q u iv a le e n la gráfica d e / / ? (c ) D e te r m in a e l c e r o d e


H.

xl

¿ Q u é p u n to e stá

(b ) Si

F(x) =

2 4 , ¿a q u é e q u iv a le .r? ¿ Q u é p u n to e s tá en

la g rá fica d e F? (c ) D e te r m in a e l c e r o d e F.

S E C C IÓ N 6.3


435

Bn los problemas 97-100, traza la gráfica de cada función. Basándote en la gráfica, indica el dominio y el rango y encuentra cu alquier intersección. (e~x S i x < ' ~ \ e x S i.v > ' “

í-ex \- e ~ x

0

< 0

IV

98. / ( . v ) = | e _ , ,

0

S i.v < 0

100. f(x) =

S i.v 2 : 0

> 0

f ~e~

A plicaciones y extensiones 101. Ó p tic a

S i un s o lo v id r io b lo q u e a e l 3% d e la lu z q u e

p asa p o r é l, e l p o r c e n ta je

p

d e lu z q u e p a sa p o r

n v id rio s

s u c e s iv o s e s tá d a d o a p r o x im a d a m e n te p o r la fu n c ió n

p(n) =

s u c e s iv o s ? L a p r e s ió n a tm o sfé r ic a

p

en un g lo

b o o a v ió n d e c r e c e c o n fo r m e se in c r e m e n ta la altu ra. E sta p r e s ió n , m e d id a e n m ilím e tr o s d e m e r c u r io , s e r e la c io n a

h (en

k iló m e tr o s ) so b r e e l n iv e l d e l m a r p o r

la fu n ció n

p(h) =160e~°USh (a ) D e te r m in a la p r e s ió n a tm o sfé r ic a a u n a altu ra d e (b ) ¿ C u á l e s la p r e s ió n a u n a altu ra d e 10 k iló m e tr o s (m á s d e 3 0 ,0 0 0 p ie s )?

p, e n d ó la r e s, d e x a ñ o s se m o d e la co n p{x) = 1 6 ,6 3 0 (0 .9 0 )*

E l p r e c io

C iv ic D X se d á n d e

u n a u to H o n d a

(a ) ¿ C u á n to co sta r á u n C iv ic D X se d á n d e 3 a ñ o s? (b ) ¿ C u á n to co sta r á un C iv ic D X se d á n d e 9 a ñ o s?

104. Cicatrización de las heridas

L a cic a tr iz a c ió n n o rm a l d e la s h erid a s se p u e d e m o d e la r p o r u n a fu n c ió n e x p o n e n cial. Si A0 r e p r e s e n ta e l á rea o r ig in a l d e la h erid a y A e s ig u a l al á rea d e la h erid a , e n to n c e s la fu n c ió n

A(n)

= j 4 0e~°-35n

d e sc r ib e e l área d e la h erid a d e s p u é s d e n d ía s d e u n a h e rida q u e n o e s té in fe c ta d a , lo cu a l, retra sa ría la c ic a tr iz a c ió n . C o n sid e r a q u e la h erid a te n ía o r ig in a lm e n te u n área d e 100 m ilím e tr o s cu a d ra d o s. (a ) S i la h erid a s e e s tá c ic a tr iz a n d o , ¿ q u é ta n g ra n d e será e l á rea d e la h erid a d e s p u é s d e 3 d ía s? (b ) ¿ Q u é tan g ra n d e se rá d e sp u é s d e 10 d ías? 1 0 5. Medicamentos

(a ) D e te r m in a la p r o b a b ilid a d d e q u e un a u to lle g u e en lo s 10 m in u to s d e s p u é s d e las 12:00 p .m . ( e s d ecir, a n te s d e las 12:10 p .m .). (b ) D e te r m in a la p r o b a b ilid a d d e q u e u n a u to lle g u e en lo s 4 0 m in u to s d e s p u é s d e la s 12:00 p .m . ( e s d ecir, a n te s d e las 12:40 p .m .). (c ) ¿ A q u é v a lo r e s tie n d e F c u a n d o t se v u e lv e n o a c o ta d a e n la d ir e c c ió n p o sitiv a ? j^j (d ) T ra za la g rá fica d e T u s a n d o un d is p o s itiv o g rá fico , ( e ) U s a n d o IN T E R S E C T , d e te r m in a c u á n to s m in u to s se n e c e sita n para q u e la p r o b a b ilid a d se a d e 50% .

L a fu n c ió n

E n tr e las 5:00 p .m . y las 6:00 p .m . lo s a u to s lle g a n a J iffy L u b e c o n u n a tasa d e 9 a u to s p o r h o ra (0 .1 5 a u to s p o r m in u to ). L a sig u ie n te fó rm u la d e p r o b a b ilid a d s e p u e d e u sar para d e te r m in a r la p ro b a b ili d ad d e q u e un a u to lle g u e a t m in u to s d e las 5:00 p.m .:

F(t)

S e p u e d e u sar p ara d e te r m in a r e l n ú m e r o d e m ilig r a m o s D d e c ie r to m e d ic a m e n to q u e e s tá e n e l to r r e n te sa n g u í n e o d e un p a c ie n te h h o r a s d e s p u é s d e q u e e l m e d ic a m e n to se a a d m in istra d o . ¿ C u á n to s m ilig r a m o s esta r á n p r e s e n te s d e sp u é s d e 1 h ora ? ¿ D e s p u é s d e 6 h o ra s?

106. Esparcimiento de rumores

U n m o d e lo p ara e l n ú m er o d e p e r s o n a s e n u n a c o m u n id a d u n iv e rsita r ia q u e h an

o íd o c ie r to ru m or es

N = P{ l - é C

),M)

d o n d e P e s la p o b la c ió n to ta l d e la c o m u n id a d y d e s el n ú m e r o d e d ías q u e han p a sa d o d e sd e q u e e m p e z ó el ru m or. E n u n a c o m u n id a d d e 1000 e s tu d ia n te s, ¿ cu á n to s e s tu d ia n te s habrán o íd o e l ru m o r d e sp u é s d e 3 d ías?

\

107. Probabilidad exponencial

Entre las 12:00 p.m. y la l:00p.m. los autos llegan al autobanco de Citibank con una tasa de

= 1-

e-°'5'

(a ) D e te r m in a la p r o b a b ilid a d d e q u e lo s 15 m in u to s d e s p u é s d e las 5:00 te s d e las 5:15 p .m .). (b ) D e te r m in a la p r o b a b ilid a d d e q u e lo s 3 0 m in u to s d e sp u é s d e la s 5:00

un a u to lle g u e en p .m . ( e s d ecir, a n u n a u to lle g u e en p .m . (e s d ecir, a n

te s d e las 5:30 p .m .). (c ) ¿ A q u é v a lo r e s tie n d e F c u a n d o t se v u e lv e n o a c o ta da e n la d ir e c c ió n p o sitiv a ? (d ) T r a za la g rá fica d e T u s a n d o un d isp o s itiv o g rá fico . (e ) U s a n d o I N T E R S E C T , d e te r m in a c u á n to s m in u to s se n e c e sita n para q u e la p ro b a b ilid a d se a d e 60% .

109. Probabilidad de Poisson

E n tr e las 5:00 p .m . y las 6:00 p .m ., lle g a n lo s a u to s al A u to M a c c o n u n a tasa d e 20 a u to s p o r h ora. L a s ig u ie n te fó rm u la d e p ro b a b ilid a d se p u e d e u sar para d e te r m in a r la p r o b a b ilid a d d e q u e x a u to s lle g u e n e n tr e las 5:00 p .m . y las 6:00 p .m .

D(h) = 5 éT°-4/’

N

d e las 12:00 p.m.:

108. Probabilidad exponencial

2 k iló m e tr o s (m á s d e u n a m illa ).

103. Depreciación

t m in u to s 1 - e~°u

b ilidad d e q u e un a u to lle g u e a T(r) =

s u c e s iv o s ? (b ) ¿ Q u é p o r c e n ta je d e lu z p a sa rá a tr a v é s d e 25 v id rio s

c o n la altura

la d e p rob ab ilid ad se p u e d e usar para d eterm in ar la p ro b a

1 0 0 (0 .9 7 )"

(a ) ¿ Q u é p o r c e n ta je d e lu z p a sa rá a tr a v é s d e 10 v id rio s

102. Presión atmosférica

6 a u to s p or hora (0.1 a u to p o r m in u to ). L a sig u ien te fórm u

n/ ,

P(x)

=

20xe~20 x\

donde

x\ = x- (x (a ) D e te r m in a g u e n en tre (b ) D e te r m in a g u e n e n tr e

la las la las

-

1 ) • (x - 2 ) ........ 3 * 2 * 1

p ro b a b ilid a d d e q u e x = 15 a u to s lle 5:00 p .m . y las 6:00 p.m . p ro b a b ilid a d d e q u e x = 2 0 a u to s lle 5:00 p .m . y las 6:00 p.m .

110. Probabilidad de Poisson

L a g e n te lle g a a la fila para la Montaña Rusa Demon c o n u n a tasa d e 4 p erso n a s p or m in u to . L a sig u ie n te fó rm u la d e p ro b a b ilid a d se p u e d e u sar para d eter m in a r la p ro b a b ilid a d d e q u e x p erso n a s lle g u e n e n el sig u ie n te m in u to .

P(x)

4 V =

x\

436

U LO 6

c a p ít


114. Corriente en un circuito R C

donde

x\ = x ‘ (x -

1 ) • ( jc — 2 ) ........ 3 - 2 - 1

x=5

(a ) D e te r m in a la p ro b a b ilid a d d e q u e

p e r so n a s lle

g u en en el s ig u ie n te m in u to .

x = 8 p e r so n a s

(b ) D e te r m in a la p ro b a b ilid a d d e q u e

lle

i

po

(e n m ic r o se g u n d o s) e n un c ir c u ito

R

e n una re siste n c ia

/ =

La h u m e d a d

RC q u e

con siste

(e n o h m s ) , una c a p a cita n cia

m ic r o fa r a d s) y una fu erza e le c tr o m o tr iz

g u en en el s ig u ie n te m in u to .

111. Humedad relativa

La e c u a c ió n q u e rige la

ca n tid a d d e c o r r ie n te / (e n a m p e r e s) d e s p u é s d el tiem

E (e n

C

íen

v o lts ) es

£ . e - i/ (* C )

re la tiv a e s la razón

(e x p r e sa d a c o m o p o r c e n ta je ) d e la c a n tid a d d e v a p o r d e a g u a en e l aire y la ca n tid a d m á x im a q u e p u e d e r e te n e r a u na tem p e ra tu r a e s p e c ífic a . La h u m ed a d re la tiv a ,

R,

se

d e te r m in a u sa n d o la s ig u ie n te fórm u la: 4221

R donde

T es

4221

= lo ( r 1459.4 0 + 459.4

+2

la tem p e ra tu r a d el aire (e n °F ) y

D es

la te m

p eratu ra d el p u n to d e c o n d e n s a c ió n (e n ° F ). (a ) D e te r m in a la h u m e d a d r e la tiv a si la te m p e r a tu r a d el aire e s d e 50° F a h r e n h e it y la tem p e ra tu r a d el p u n to

(a ) Si

d e c o n d e n s a c ió n e s d e 4 1 ° F a h r en h e it. (b ) D e te r m in a la h u m e d a d r e la tiv a si la tem p e ra tu r a d el

120 v o lts,

R=

2 0 0 0 o h m s y C = 1.0 m icrofarad .

(t =

(c ) ¿C u ál e s la h u m ed a d re la tiv a si la tem p e ra tu r a d el aire y la tem p e ra tu r a d e l p u n to d e c o n d e n s a c ió n so n ig u a les?

0 )? ¿ D es

p u é s d e 1000 m ic r o se g u n d o s? ¿ D e s p u é s d e 3 0 0 0 m i

aire e s 68° F a h r e n h e it y la tem p e ra tu r a d el p u n to d e c o n d e n s a c ió n e s d e 5 9 ° F a h r en h e it.

c r o se g u n d o s? (b ) ¿ C u á l e s la c o r r ie n te m á x im a ?

I=

(c ) T ra za la g rá fica d e e sta fu n c ió n

t so b r e e l e je x. v o lts. R = 1000 o h m s

so b r e el e je (d ) Si

112. Curva de aprendizaje

E=

¿ cu á n ta c o r r ie n te /, flu y e in ic ia lm e n te

C o n sid e r a q u e un e s tu d ia n te t ie

E=

120

y

/ , ( / ) , m id ie n d o /

y

y C = 2 .0 m icrofarad s.

¿ cu á n ta c o r r ie n te / , flu y e in ic ia lm e n te ? ¿ D e s p u é s

n e q u e a p ren d er 5 0 0 p a la b ra s. Si e l e s tu d ia n te a p r e n d e 15

d e 1000 m ic r o se g u n d o s? ¿ D e s p u é s d e 3 0 0 0 m icro-

p a la b ra s e n 5 m in u to s, la fu n c ió n

se g u n d o s? ( e ) ¿ C u á l e s la c o r r ie n te m á x im a ?

L ( /) = 5 0 0 ( l - e 0«’61')

L

a p ro x im a e l n ú m e r o d e p a la b r a s a p ren d erá en

q u e e l e s tu d ia n te

(a ) ¿ C u á n ta s p a la b ra s a p r e n d e r á d e s p u é s d e 3 0 m in u to s? (b ) ¿ C u á n ta s p a la b ra s a p r e n d e r á d e s p u é s d e 6 0 m in u to s?

113. Corriente en un circuito R L

t

I (e n

L a e c u a c ió n q u e rige la

a m p e r e s) d e s p u é s d e l tie m p o

(e n s e g u n d o s ) en un c ir c u ito

c o n s is te en u na re siste n c ia

L

/ , ( f ) en lo s m ism o s

e je s d e c o o r d e n a d a s q u e / , ( / ) .

t m in u to s.

ca n tid a d d e c o r r ie n te

I=

(f) T ra za la g rá fica d e la fu n c ió n

R

RL

d e p rim er o r d e n q u e

115. Si / e s una fu n c ió n e x p o n e n c ia l d e la fo rm a f(x) = C • a' c o n fa cto r d e c r e c im ie n to d e 3 y / ( 6 ) = 12, ¿a q u é e q u iv a le /( 7 )?

116. Otra fórmula para e

U s a u n a c a lc u la d o r a para o b te n e r

lo s v a lo r e s d e

(e n o h m s ) , una in d u cta n c ia

(e n h e n r y s) y u na fu e rz a e le c tr o m o tr iz

E (e n

v o lts ) e s p ara

/ = f [ 1 - ']

R

n = 4 , 6,8

y 10. C o m p a ra ca d a r e su lta d o c o n

e.

[Sugerencia: 1! = 1 , 2 ! = 2 - 1 , 3 ! = 3 - 2 - 1 , /,! = / i ( zi -

i

117. Otra fórmula para e

1 ) .........( 3 ) ( 2 ) ( 1).]

U sa una ca lcu la d o r a para calcu lar

lo s d ife r e n te s v a lo r e s d e la e x p r e sió n . C o m p a ra lo s v a lo r es con

e. 2

+ 1___

1 + 1____

2 + 2__ (a ) Si

E=

120 v o lts,

R=

10 o h m s y

3

L=

+ 3___

5 h e n r y s, ¿ cu á n ta

4

co r r ie n te /, flu y e d e s p u é s d e 0 .3 se g u n d o s? ¿ D e s p u é s

+ 4 ______ e tc é te r a .

d e 0.5 se g u n d o s? ¿ D e s p u é s d e 1 se g u n d o ? (b ) ¿C u ál e s la co r r ie n te m á x im a ? (c ) T raza la gráfica d e e sta fu n c ió n

t so b r e v o lts, R = 5

so b re e l e je y y (d ) Si

E=

120

I=

£ 118. Cociente de diferencias / , ( / ) , m id ie n d o / /( .v +

e l e je .v. ohm s y

L=

h) -

Si / ( .v ) =

/ ( . y) =

10 h en ry s, ¿ cu á n ta

c o r rien te / , flu y e d e sp u é s d e 0 .3 se g u n d o s? ¿ D e s p u é s

a

a\


ah - 1

h* 0

119. Si / ( .v ) = a\ d e m u e str a q u e f ( Á + B) = f ( A ) \ f ( B ) .

d e 0.5 se g u n d o s? ¿ D e s p u é s d e 1 se g u n d o ?

120. Si f ( x ) = a \ d e m u e str a q u e / ( - . y ) = J ^ ) '

(e ) ¿C uál e s la c o r rien te m á x im a ? (f) T raza la gráfica d e la fu n c ió n e je s d e c o o r d e n a d a s q u e / , ( / ) .

I-

/ , ( / ) e n lo s m ism o s

121. Si

/ ( .y )

= a\


f(ax) =

[ / ( .y )]" .

S E C C IÓ N 6.4

■LoS problemas 122 y 123 proporcionan definiciones para otras \iosfunciones trascendentales.

[«| (b ) T r a za la g rá fica d e


f(x) = c o s h x

437

u sa n d o un d is p o s iti

v o g r á fic o .

122. L a función seno hiperbólico, q u e s e d e sig n a p o r s e n h x,

(c )

s e d e fin e c o m o

C o n su lta e l p r o b le m a 122. D e m u e s tr a q u e , para to d a

-v, s e n h .r =

(c o s h x )2 - (se n h .r )2 = 1

ex - e~x)

124. Problema histórico (a ) D e m u e s tr a q u e

f(x)

gj (b ) T ra za la grá fica d e

= se n h .v e s u n a fu n c ió n im p ar.

f(x) = se n h

P ierre d e F e r m a t (1 6 0 1 -1 6 6 5 ) c o n

je tu r ó q u e la fu n c ió n

.v u sa n d o un d is p o s iti

f{x) = 2(V)

v o g rá fic o . para

123. L a función coseno hiperbólico, q u e s e d e sig n a p o r c o s h x,

x

=

1, 2,

+ 1

3 , .. . , sie m p r e ten d r ía u n v a lo r ig u a l a un

n ú m e r o p rim o . P e r o L e o n h a r d E u le r (1 7 0 7 -1 7 8 3 ) d e m o s

s e d e fin e c o m o

tró q u e e sta fó r m u la n o s e c u m p le p ara cosh x

= ^{ex + e x)

c id o s p o r / p ara (a ) D e m u e s tr a q u e

f(x)

= cosh

x es

x=

5. U s a u n a

c a lc u la d o r a para d e te r m in a r lo s n ú m e r o s p rim o s p ro d u

x

= 1,

2,

3 , 4. D e s p u é s d e m u e str a q u e

/ ( 5 ) = 641 x 6 ,7 0 0 ,4 1 7 , e l cu a l, n o e s un n ú m e r o p rim o.

u n a fu n c ió n par.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 1 2 5 . L a s b a c te r ia s e n un c o n te n e d o r d e 4 litr o s s e d u p lic a n

128. C o n fo r m e c r e c e la b a se a d e u n a fu n ció n e x p o n e n c ia l

ca d a m in u to . D e s p u é s d e 6 0 m in u to s e l c o n te n e d o r e stá

/ ( . x)

lle n o . ¿ C u á n to ta rd ó e n lle n a r se la m ita d d e l c o n te n e d o r ?

d e su g rá fica para

126. E x p lic a c o n tu s p a la b r a s q u é e s e l n ú m e r o

e.

1 2 7. ¿ C r e e s q u e e x is ta u n a fu n c ió n d e p o te n c ia s q u e cr ez ca

a > 1 , ¿ q u é p a sa c o n e l c o m p o r ta m ie n to x > 0? ¿ Q u é p a sa c o n e l c o m p o r ta m ie n p ara x < 0 ?

donde

to d e su g rá fica

P r o p o r c io n a

p o r lo m e n o s d o s a p lic a c io n e s q u e u se n e s te n ú m er o .

= a\

fl V 129. L a s g rá fic a s d e y = a x y y = I - 1 so n id én tica s. ¿P or qué?

W

m á s r á p id a m e n te q u e u n a fu n c ió n e x p o n e n c ia l cu y a b a se e s m a y o r q u e 1? E x p lic a .

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1.

64; 4;

2.

{-4,1}

3.

F a lso

4. 3

5 . V er d a d er o

6.4 Funciones logarítmicas P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s ec c ió n Antes de empezar, repasa lo siguiente: • •

\

R e s o lu c ió n d e d e sig u a ld a d e s (s e c c ió n 1.5,

D e s ig u a ld a d e s p o lin o m ia le s y ra c io n a le s (s e c c ió n 5.4,

p p . 1 1 9 -1 2 6 )

p p . 3 6 8 -3 7 1 )

D e s ig u a ld a d e s cu a d rá tica s (s e c c ió n 4 .5 ,

R e s o lu c ió n d e e c u a c io n e s lin e a le s (s e c c ió n 1.1,

p p .3 0 9 -3 1 1 )

p p. 8 2 - 8 7 )

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 446. OBJETIVOS 1 Cambiar proposiciones exponenciales a proposiciones logarítmicas y proposiciones logarítmicas a proposiciones exponenciales (p. 438) 2 Evaluar expresiones logarítmicas (p. 438) 3 Determinar el dominio de una función logarítmica (p. 439)

4 Representar funciones logarítmicas gráficamente (p. 440) 5 Resolver ecuaciones logarítmicas (p. 444)

R e c u e r d a q u e u n a f u n c i ó n in y e c t i v a n e ( i m p l í c i t a m e n t e ) p o r la e c u a c i ó n

y = f ( x ) = ax, d o n d e a > 0 y a * 1

y = f(x) x = f(y).

t i e n e u n f u n c ió n in v e r s a q u e s e d e f i E n p a r t ic u la r , la f u n c ió n e x p o n e n c i a l

e s in y e c t i v a y p o r l o t a n t o , t i e n e u n a f u n c ió n in v e r s a

q u e s e d e f i n e im p l í c i t a m e n t e p o r la e c u a c i ó n

x - a y,

a > 0,

a^ 1

E s t a f u n c i ó n in v e r s a e s t a n i m p o r t a n t e q u e s e le d a u n n o m b r e ,

función logarítmica.

438

U LO 6

c a p ít


D E F IN IC IÓ N

r

La función logarítmica con base a , donde a > 0 y a / 1, se denota por y = Jojyr (que se lee “y es el logaritmo base a de x " ) y se define por y = logu x

En palabrae

si y solo si

x - ay

C C uando leas Ioq¡n x, piensa

r

"a elevada a me da x.”

El dominio de la función logarítmica y = lo g / es x > 0.

potencia

tmmj

Como ilustra esta definición, un logaritmo es un nombre para cierto exponente. Por lo tanto lo g / representa el exponente al que se debe elevar a para obtener x.

EJEM P LO 1

Relacionar logaritm os con exponentes (a) Si y = lo g /, entonces x = 3>. Por ejemplo, la proposición logarítmica 4 = log,81 es equivalente a la proposición exponencial 81 = 3 \ (b) Siy = log5x, entonces jc = 5y. Por ejemplo- 1 = log5^ -J e s equivalente a -

5 -'.

1 C a m b io d e p ro p o s ic io n e s e x p o n e n c ia le s a p ro p o s ic io n e s lo g a rítm ic a s y p ro p o s ic io n e s lo g a rítm ic a s a p ro p o s ic io n e s e x p o n e n c ia le s Podemos usar la definición de un logaritmo para convertir de la forma exponencial a la forma logarítmica y viceversa, como ilustran los siguientes dos ejemplos.

EJEM P LO 2

Cam bio de proposiciones exponenciales a proposiciones logarítm icas Cambia cada proposición exponencial a una proposición equivalente que incluya un logaritmo. (a) 1.23 =

Solución

(b) e* = 9

m

(c)

Usa el hecho de que y = lo g / y jc= a \ donde

a

a4

= 24

> 0 y a * 1, son equivalentes.

(a) Si 1.21= m , entonces 3 = log,, ni. (b) Si e* = 9, entonces b = logf 9 (c) Si a4 = 24, entonces 4 = logd24. Resuelve

ah o ra

el

p r o b l e m a

9

Cam bio de proposiciones logarítm icas a proposiciones exponenciales

EJEM P LO 3

Cambia cada proposición logarítmica a una proposición equivalente que incluya un exponente. (a) loga 4 = 5

Solución

(b) log,. h = - 3

(c) log, 5 = c

(a) Si loga 4 = 5, entonces a s = 4. (b) Si logr b - -3 , entonces t*“1= />. (c) Si log, 5 = c , entonces 3‘ = 5. lf = = = ...Resuelve ahora

el

problema

m

2 E v a lu a c ió n d e e x p r e s io n e s lo g a rítm ic a s Para encontrar el valor exacto de un logaritmo, escribimos el logaritmo en notación exponencial usando el hecho de que y = log x es equivalente a a r = x y que si n* = a \ entonces u = v.

V

S E C C IÓ N 6.4

439


D eterm in ar el valor exacto de una expresión logarítm ica

EJEM P LO 4

Determina el valor exacto de:

Solución

(a) log2 16

(b ) lo g 3^

(a) Para evaluar log2 16, piensa “2 elevado a qué potencia da 16.” Entonces,

(b) Para evaluar log3 — , piensa “3 27 1 elevado a qué potencia da— .’ Entonces,

y 2y

= log2 16 = 16

1

Cambia a forma

y = log3

exponencial.

2y = 24 y

= 4

16 = 24

27

1

3y =

Cambia a forma

27

exponencial.

Iguala exponentes.

Entonces, log2 16 = 4.

3 y = 3~3

— = -ir = 3 -3

y = -3

Iguala exponentes.

27 1

Entonces, log 3— = -3 .

Resuelve ahora

el

25

problema

3 D e te rm in a r e l d o m in io d e u n a fu n c ió n lo g a rítm ic a La función logarítmica y = logaJt se ha definido como la función inversa de la función exponencial y = a x. Esto es, si / ( x ) = a \ entonces f ~ ' ( x ) = loga x. Con base en lo es tudiado en la sección 6.2 sobre funciones inversas, para una función / y su función inversa tenemos Dominio de / “' = Rango de /

y

Rango de f ~ l = Dominio de /

Por consecuencia podemos concluir que Dominio de la función logarítmica = Rango de la función exponencial = (0 , 0 0 ) Rango de la función logarítmica = dominio de la función exponencial = ( - 0 0 , 0 0 ) En el siguiente recuadro resumimos algunas de las propiedades de la función logarítmica: y = loga;c (ecuación de definición: Dominio:

0
Rango:

x = a y)

—00 < y < 0 0

El dominio de una función logarítmica consiste en los números reales p o s i t i v o s , así que el argumento de una función logarítmica debe ser mayor que cero. EJEM P LO 5

D eterm inar el dominio de una función logarítm ica Determina el dominio de cada función logarítmica. (a)

Solución

F{x)

- log2(* + 3)

(b) g(x) =

(c)

(a) El dominio de F consiste en todas las x para las cuales x + 3 Usando notación de intervalos, el dominio de / es ( - 3 , 0 0 ). (b) El dominio de g está restringido a

h (x ) = >

Io§ i/2 M

0, esto es, x

>

-3.

Al resolver esta desigualdad, encontramos que el dominio de g consiste en todas las x entre -1 y 1, esto es, -1 < x < 1 o, usando notación de intervalos, (-1 ,1 ).

440

C A P ÍT U L O 6


(c) Como |*| > 0, siempre y cuando x # 0, el dominio de h consiste en todos los núme ros reales excepto cero o, usando notación de intervalos, (-o o , 0) U (0, oo). ,

Resuelve ahora 4

los

problemas

39

y

45

G rá fic a d e fu n c io n e s lo g a rítm ic a s Como las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas son inversas una de la otra, la gráfica de la función logarítmica y = loga* es la reflexión en la recta y = x de la gráfica de la función exponencial y = a x, como se muestra en la figura 30.

Por ejemplo, para representar gráficamente y = log2 x , traza la gráfica y = 2 X y refléjalo en la recta y — x. Ver figura 31. Para representar y = log)/3 x , traza la gráfica / l Y

de y = I — 1 y refléjalo en la recta y

-x .

Figura 31

Ver figura 32. Figura 32

w a a a sífc » - Resuelve ahora

Las gráficas de y

=

el

problema

59

loga* en las figuras 30(a) y (b) nos llevan a las siguientes propiedades.

P ro p ied ad es de la función logarítm ica f(x) = logax

1. El dominio es el conjunto de los números reales positivos o (0, oo), usando notación de intervalos; el rango es el conjunto de todos los números reales o (—oo, oo), usando notación de intervalos. 2. La intersección en * de la gráfica es 1. No hay intersección en y . 3. El eje y 4.

(x =

0) es la asíntota vertical de la gráfica.

Una función logarítmica es decreciente si 0 <

5. La gráfica de / contiene los puntos (1, 0),

( a,

a <

1 y creciente si a

1) y

6. La gráfica es suave y continua, sin esquinas ni saltos.

, —1^.

>

1.

S E C C IÓ N 6.4 >w.


441

Si la base de una función logarítmica es el número e, entonces tenemos la función Esta función se da tan frecuentemente en aplicaciones que tiene un símbolo especial, In, (del latín lo g a r ith m u s n a tu r a lis ) . Esto es,

logaritm o natural.

'-.En palabras y= &e escribe como r y = In x

y

= In x

si y solo si

x = ey

(1)

Como y = In .t y la función exponencial y = e* son funciones inversas, podemos obtener la gráfica de y = ln .v reflejando la gráfica de y = e x en la recta y = x . Ver la figura 33. Usando una calculadora con la tecla | ln |. podemos obtener otros puntos en la gráfica de f ( x ) = ln x. Ver tabla 7. Tabla 7

Inx

X

1

-0.69

2


Figura 34

y 3

1.10

Determina el dominio de la función logarítmica f ( x ) - -ln (x -2 ). Traza la gráfica de / . De la gráfica, determina el rango y la asíntota vertical de / . Determina la función inversa de / . Determina el dominio y el rango de Traza la gráfica de

(a) El dominio de / consiste en todas las x para las cuales x - 2 > 0 o, equivalente mente, x > 2. El dominio de / es {jc|jc> 2} o (2, oo), en notación de intervalos. (b) Para obtener la gráfica de y = -ln(jc - 2), empezamos con la gráfica de y = ln x y usamos transformaciones. Ver figura 34. x= 2

y 3 x=0

-

x= 0

1

1

I -1

3

G r á fic a d e u n a fu n ció n lo g a rítm ic a y su fu n ció n in v e rs a (a) (b) (c) (d) (e) (f)

S o lu ció n

0.69

y = ln x

Traza la gráfica de Yt = e* y Yt = In x en la misma pantalla cuadrada. Usa eVALUEate para verificar los puntos en la gráfica que se dan en la figura 33. ¿Puedes ver la simetría de las dos gráficas con respecto a la recta y =x?

EJEM PLO 6

2

/ ( 1 ,0 )

3 X

-1

-1 - 4 - 1 )

(a) y = ln x

x

( 1 ,0 ) V

-1

- 1 , reflejar en el eje x

(b) y= -In x

1

1 * 3 x

(e, - Ì T ' '

* Sustituir x por x - 2 , correr 2 unidades a la derecha

(c)

y=

- ln ( x - 2)

(c) El rango de f ( x ) = -ln(jt -2 ) es el conjunto de todos los números reales. La asíntota vertical es x = 2. [¿Puedes ver por qué? La asíntota original (* = 0) está corrida 2 unidades a la derecha.]

442

C A P ÍT U L O 6


(d) Para determinar / \ empezamos con y finida (implícitamente) por la ecuación x =

=

-ln(jc - 2). La función inversa está de

-ln (y - 2)

Resolvemos para y. ln(y — 2 ) De\a solo el logaritmo. —y —2 Cambia a una proposición = e x + 2 ReeueWe para y.

-x = e~ x y

exponencial.

La función inversa es f ' [ x ) = e ' + 2. (e) El dominio de / 1es igual al rango de / , que es el conjunto de todos los números reales del inciso (c). El rango de / 1es el dominio de / , que es (2, rx.) en notación de intervalos. (f) Para trazar la gráfica de usa la gráfica de / en la figura 34(c) y refléjala en la recta y = x . Ver la figura 35. También podemos obtener la gráfica de / X( x ) = e 1+ 2 usando transformaciones. Figura 35

Figura 36

Si la base de una función logarítmica es el número 10. entonces tenemos la fun ción logaritmo común. Si la base a de una función logarítmica no se indica, se entien de que es 10. Esto es. y

= logx

si y solo si

.r = KP

Como y = log x y la función exponencial y = 10‘ son funciones inversas, podemos obtener la gráfica de y = log x reflejando la gráfica de y = 10‘ en la recta y = .v. Ver la figura 36. EJEMPLO 7

G ráfica de una función logarítm ica y su función inversa (a) (b) (c) (d) (e) (f)

Solución

Determina el dominio de la función logarítmica f { x ) = 3 log(.v - 1). Traza la gráfica de / . De la gráfica, determina el rango y asíntota vertical de f . Determina f ~ \ la función inversa de / . Determina el dominio y el rango de /"'. Traza la gráfica de

(a) El dominio de / consiste en todas las .v para las cuales v - 1 > 0 o. equivalente mente. x > 1. El dominio de / es {.v|.v > 1} o (1 ,oo) en notación de intervalos. (b) Para obtener la gráfica de y = 3 log(.v - 1) empezamos con la gráfica de y = log .v y usamos transformaciones. Ver figura 37.

S E C C IÓ N 6.4

y*x= 1 (

1

443

( 11. 3)

2

10, 1) 10

y+x=

Fundones logarítmicas

12* -2 -2

Sustituir x por x — 1, traslación horizontal 1 unidad a la derecha

Multiplicar por 3, estiramiento vertical por un factor de 3. (c )

(b ) y = log ( x - 1 )

y = 3 log ( x - 1)

(c) El rango de / ( x ) = 3 log(x -1 ) es el conjunto de todos los números reales. La asíntota vertical es x - 1. (d) Empieza con y = 3 log(x - 1). La función inversa está definida (implícitamente) por la ecuación x = 3 log(y - 1 ) Resuelve para y .

10

*/3 = y — l y —

10*/3 + 1

Cambia a una proposición exponencial, Resuelve para y.

La función inversa d e / es f ~ 1( x ) = 10x/3 + 1. (e) El dominio de / “‘ es el rango de / , el cual, es el conjunto de todos los números reales, del inciso (c). El rango de / _1 es el dominio de / que es (1, o o ) , en notación de intervalos. (f) Para obtener la gráfica de / “', usamos la gráfica de / en la figura 37(c) y la refle jamos en la recta y = x. Ver figura 38. También podemos obtener la gráfica de f ~ 1( x ) = 10r/3 + 1 usando transformaciones.

y.

J

Resuelve ahora

el

problema

79

444

c a p í t u i -O 6


Solución de ecuaciones logarítmicas A las ecuaciones que contienen logaritmos se les llama ecuaciones logarítmicas. Se (Jebe tener cuidado cuando se resuelven ecuaciones logarítmicas algebraicamente. En la expresión log recuerda que u y M son positivas y a / 1. Asegúrate de ve rificar cada solución aparente en la ecuación original y descartar cualquiera que no corresponda. Algunas ecuaciones logarítmicas se pueden resolver cambiando la ecuación loga rítmica a su forma exponencial, usando el hecho de que y = loga x quiere decir a> = x.

EJEM P LO 8

Solución de ecuaciones logarítm icas Resuelve: (a) log3(4^ - 7) = 2

Solución

(b) log, 64 = 2

(a) Podemos obtener una solución exacta cambiando la ecuación logarítmica a su forma exponencial. log1(4x - 7) = 2 4x —

7 = 32

4x - 7

= 9

Cam bia a la fo rm a exponencial usando y significa a ' = x.

=

lo g ,*

16

4x =

x = 4

«/verifica:

lo g ,(4 .t-7 ) = lo g ,(4 * 4 -7 ) = log,9 = 2 3 = 9

El conjunto solución es {4}(b) Podemos obtener una solución exacta cambiando la ecuación logarítmica a su forma exponencial. log, 64 = 2 JT =

64

Cam bia a su fo rm a exponencial.

= ± V 6 4 = ±8

JC

M é to d o de la ra íz cu ad rad a

La base de un logaritmo es siempre positiva. Como resultado, podemos descartar -8 . Verificaremos la solución 8. « / Verifica:

logs64 = 2

&' = 64

El conjunto solución es {8}.

EJEM P LO 9

U so de logaritm os para reso lver una ecuación exponencial Resuelve

Solución

e 1'

=5

Podemos obtener la solución exacta cambiando la ecuación exponencial a su forma logarítmica. e1' = 5 Cam bia a su fo rm a logarítm ica usando el ln 5 = 2.v hecho de que si e-' = x entonces y = ln x. x =

ln 5 ——

~ 0.805

Solución e xa cta Solución aproxim ada


Resuelve ahora

los

problemas

87

y

99

S E C C IÓ N 6.4

I

E J E M P L O 10


445

Alcohol y m anejar La concentración de alcohol en la sangre ( BAC. por sus siglas en inglés) es una medida de la cantidad de alcohol en el torrente sanguíneo de una persona. Una BAC de 0.04% quiere decir que una persona tiene 4 partes de alcohol por 10JXX) partes de sangre en el cuerpo. El riesgo relativo se define como la probabilidad de que suceda un evento dividida entre la probabilidad de que suceda un segundo evento. Por ejemplo, si una persona con una BAC de 0.02% tiene 1.4 veces más probabilidades de tener un acci dente automovilístico que una persona que no ha tomado, el riesgo relativo de un ac cidente con una BAC de 0.02% es 1.4. Investigaciones médicas recientes sugieren que el riesgo relativo A* de tener un accidente cuando se maneja un auto se puede modelar por una ecuación de la forma

e

R = ei> Donde x es el porcentaje de concentración de alcohol en el torrente sanguíneo y k es una constante. (a) Las investigaciones indican que el riesgo relativo de que una persona tenga un accidente con una BAC de 0.02% es 1.4. Determina la constante k en la ecuación. (b) Usando este valor de k , ¿cuál es el riesgo relativo si la concentración es 0.17%? (c) Usando este mismo valor de k . ¿qué BAC corresponde a un riesgo relativo de 100? (d) Si la ley establece que cualquiera que tenga un riesgo relativo de 5 o más no debe poder manejar, ¿a qué concentración de alcohol en la sangre se debe arrestar a un conductor y acusarlo de manejar bajo la influencia de alcohol?

Solución

(a) Para una concentración de alcohol en la sangre de 0.02% y un riesgo relativo de 1.4, hacemos x = 0.02 y R = 1.4 en la ecuación y resolvemos para k.

R = ekx 1.4 = ek{om)

R

0.02A: = ln 1.4

k.

=

= 1.4; x = 0.02

Cambia a una proposición logarítmica.

o-,

1° 1 -4

- ~ 16.82

Resuelve para le.

(b) Para una concentración de 0 .1 7 % . tenemos x = 0.17. Usando k = 16.82 en la ecua ción. determinamos que el riesgo relativo R es ^ = ^=^(16.10(0.17)^ 17_5 Para una concentración de alcohol en la sangre de 0.17%, el riesgo relativo de un accidente es aproximadamente 17.5. Es decir, una persona con una BAC de 0.17% tiene 17.5 más probabilidades de tener un accidente automovilístico que una persona que no tiene alcohol en el torrente sanguíneo. (c) Para un riesgo relativo de 100, tenemos R = 100. Usando k = 16.82 en la ecuación R = g**' determinamos que la concentración x de alcohol en la sangre obedece a 100 = e l6'82 t 16.82.xr

= ln 100

X =

NOTA Una BAC

d e 0.1>0'L d a como

re su ltad o la pérdida de la conciencia en la m ayoría de las pereonao .

a

R = e kA. R = 10 0 : k = 16.32

In 100

Cambia a una proposición logarítmica. n

0.27

Resuelve para x.

1 6 .8 2

P a r a u n a c o n c e n t r a c i ó n d e a l c o h o l e n la s a n g r e d e 0 .2 7 % , e l r i e s g o r e la t iv o d e u n a c c i d e n t e e s d e 100 . ( d ) P a ra u n r ie s g o r e la tiv o d e 5 , t e n e m o s

R = e^,

R=

d e t e r m i n a m o s q u e la c o n c e n t r a c i ó n

5. U sa n d o

x

k =

1 6 .8 2 e n la e c u a c i ó n

d e a lc o h o l e n e l to r r e n te s a n g u ín e o

ob ed ece a 5 = e 16'82"

NOTA La m ayoría de los e s ta d o s usan 0 .0 3 7 . o 0.107, como el contenido de alcohol en la sangre para el cual se levanta una infracción por m an ejar bajo la Influencia de alcohol. ■

1 6 ,8 2 * = ln 5 ln 5 0 .0 9 6

* = 1 6 .8 2

U n c o n d u c t o r c o n u n a B A C d e 0 .0 9 6 % o m á s d e b e r í a s e r a r r e s t a d o y a c u s a d o d e m a n e j a r b a j o la in f l u e n c ia d e a lc o h o l.

446

C A P ÍT U L O 6


RESUMEN Propiedades de la función logarítmica Dominio: el intervalo (0, oo); rango: el intervalo ( oo, oo) Intersección con 1; intersección con y: ninguna; asíntota vert.cal: x = () (eje

f{x) = IognJC, a > 1 (y = loga x significa x = ay)

y); creciente; inyectiva Ver la figura 39(a) para una gráfica representativa. Dominio: con intervalo (0, oo); rango: con intervalo ( oo, oo) Intersección con jc: 1; intersección con y. ninguna, asíntota vertical, x —0 (eje y); decreciente; inyectiva Ver figura 39(b) para una gráfica representativa.

f ( x ) = \ogax, 0 < a < l (y = loguJf significa x - ay)

x= 0

Fig u ra 39

y 3

y\ 3logax 1 -3

1

"

1

7

X í i)

y \ / ( 1,0)

i r 3x

i -3

V d i

i__

(í - 1)

\

(1,0)\

3x

'a - ì N , y = iog¿x

-3 -

-3

x= 0 (a)

a> 1

(b)

0 < a< 1

V

9

6.4 Evalúa tu entendim iento "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. Resuelve cada desigualdad: ■r - 1 2. Resuelve la desigualdad > 0(pp. 368-371) (a) 3 x -7 < 8 -2 x (p p . 119-126) x +4 (b) x2- x - 6 > 0 (pp. 309-311) 3. Resuelve: 2x + 3 = 9 (pp. 82-87) Conceptos y vocabulario El dominio de la función logarítmica f( x ) = logo * es ----------5. La gráfica de toda función logarítmica f(x) = log x, donde a > 0 y a # 1, pasa por tres puntos:---------------------4.

y

La gráfica de la función logarítmica f{x) = log, .r, donde a > 0 y a ? í l,es creciente, entonces su base debe ser mayor 9u e------7. Verdadero o falso Si y = log, .t, entonces y = a'.

6.

8. Verdadero o falso La gráfica de f(x) = logj x, donde a > 0 y a ^ 1, tiene una intersección con .v igual a 1 y no tiene intersección con y.

Ejercicios En los problemas 9-16, cambia cada proposición exponencial a una proposición equivalente que incluya un logaritmo. \

9. 9 = 32

10.

16 = 42

H. a2 = 1.6

12.

= 2.1

2X = 1.2 14. 2> x = 4.6 15' = 8 16. e22 = M En los problemas 17-24, cambia cada proposición logarítmica a una proposición equivalente que incluya un exponente. 13.

\

17. log2 8 = 3

18. log3( ^ ) = -2

19. log,, 3 = 6

20.

log/, 4 = 2

21. log3 2 = x

22. log2 6 = x

23. ln 4 = x

24.

In .v = 4

SECCIÓN 6.4 Funciones logarítmicas

447

,Êh los problemas 25-36, determina el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora. S. 25. log2 1

26. logx 8

27. log5 25

28. log3( -

29. log1/2 16

30. log,/3 9

31 . iogl0VIÓ

32. Iog5f e i

33. log^4

34. log^9

35. lnV¿

36. ln e3

En los problemas 37-48, determina el dominio de cada función. 37. / ( jc) = ln(jc —3)

38. g(x) = In(x —1)

40. H{x) = log5 jc3

41. / ( jc) = 3 - 2 l0g4

43. f (x) = ln(r i T )

44. ,(x ) =

fe)

39. F(x) = log2 x2 42. g(x) = 8 + 5 ln(2x + 3)

H \

4 5 . g (x) -

47. /(x ) = V íñ x

46. h{x) = log3(

**• S M = b ü

En los problemas 49-56, usa una calculadora para evaluar cada expresión. Redondea tu respuesta a tres lugares decimales. 10 ln ; ln ln 5 52. 51. 50. 49. ln 0.1 0.04 3 log 80 - ln 5 2 ln 5 + log 50 log 15 + log 20 In4 + ln2 56. 53. 55. 54. log 5 + ln20 log 4 + log 2 ln 15 + ln 2 0 log 4 - ln 2 -

57. Determina a tal que la gráfica de f(x) = loga x contenga el punto ( 2 ,2 ). I (1 \ 58. Determina a tal que la gráfica de f(x) = logax contenga el punto I —, - 4 I. En los problemas 59-62, traza la gráfica de cada función y su función inversa en el mismo plano cartesiano. \

59.

/ (

jc

)

= 3X\ f ~ \ x ) = log3 x

60. /(x ) = 4X; f ~ \ x ) = log4 X 62. /(x ) = ( ^ ) \ r \ x ) = logijc

61- f{x) = ( ^ ) \ r \ x ) = logi x

En los problemas 63-70, se da la gráfica de una función logarítmica. Asocia cada gráfica con una de las siguientes funciones: (d) y = -lo g 3(-Jc) (c) y = log3 jc (a) y = log3 x (b) y = log3( — ) jc

64.

3

J __ i__ i

i S i__

~x = 0

LO 1

1 >-1 *

-1

68.

3 ix = 0

•»

—1—

. 1X

69.

-1

\

l

5 l 1^ ***- X

-3

70.

y 3 x= 0

3

jc

y

J

y\

- log3

1

__ /

i

-3

67.

66.

3 x= 0

3 - l1X = 1, 1 " 1

(h) y =

)

v

65.

y,

jc

co

y

—1 I

63.

(g) y = log3(l -

lo&í* - 1)

(f) y =

en

(e) y = log3 jc - 1

x= 1

= 0 -1

-3

\l 1 l 1 1w . f e ^ S x

-

-1 -3

f e

5x

-

En los problemas 71-86, usa la función dada para: (a) Determinar el dominio de f. (b) Obtener la gráfica de f. (c) De la gráfica, determinar el rango y cualquier asíntota def. (d) Determinar f - \ la función inversa de f . (e) Determinar el dominio y el rango de f~\ (f) Obtener la gráfica de /*'. \

7 1 . /(x ) = ln(x + 4 )

7 2./(x ) = ln(x - 3 )

7 3 ./(x ) = 2 + ln x

74./(x ) = -ln (-x )

448

C A P ÍT U L O 6


76. f ( x ) = -21n(x + 1)

77. f(x) = log(* - 4) + 2

78. f (x) = |lo g x “ 5

80. f(x) = \og{-2x)

81. f(x) = 3 + \og)(x + 2)

82. f (x) = 2 - log3(x + 1)

84. f{x) = 3ex + 2

85. /(* ) = 2xl3 + 4

86. /( jt) = - 3 xti

88. log5x = 3

89. log2(2x + 1) = 3

90. log3(3x - 2) = 2

91. log,4 = 2

92. 108,(1) , 3

93. ln ex = 5

94. ln e~2x = 8

95. log4 64 = x

96. log5625 = x

97. log3243 = 2x + 1

98. logft 36 = 5jc + 3

75. f(x) = ln(2.v) - 3 V 79. f(x) = | log(2x) 83. f(x) = ex+2 - 3

En los problemas 87-110, resuelve cada ecuación. V 87. log3x = 2

\

100. e~2x = |

101. e2x+s = 8

102. e~2x+i = 13

103. log3(;t2 + 1) = 2

104. log5(jc2 + x + 4) = 2

105. log28* = -3

106. log33X= -1

107. 5e0,2jr = 7

108. 8 • 102jr“7 = 3

109. 2 • 102-Jr = 5

110. 4e*+1 = 5

99. e3x = 10

P r á c t ic a m ix t a ---------------------------------------------------

111. Considera que G(x) = log3(2* +1) - 2. (a) ¿Cuál es el dominio de G? (b) ¿A qué equivale G(40)? ¿Qué punto está en la grá fica de G? (c) Si G(x) = 3, ¿a qué equivale xl ¿Qué punto está en la gráfica de G? (d) ¿Cuál es un cero de F!

112. Considera que F(x) = log,(j: + 1) - 3. (a) ¿Cuál es el dominio de FÌ (b) ¿A qué equivale E(7)? ¿Qué punto está en la gráfi ca de F! (c) Si F(x) = -1, ¿a qué equivale jc? ¿Qué punto está en la gráfica de FÌ (d) ¿Cuál es un cero de F?

E n los problemas 113-116, traza la gráfica de cada función. A partir de la gráfica, establece el cualquier intersección.

1 1 3 ./W = (¡n(' Jr) (ln x U S ./(x ) = { - '" * (ln x

SU<“ si x > 0 s i0 < ^ <1 si x ^ 1

114. /(x ) - ( ln(7 > , L—ln(—jc) 1 1 6 ./W - í ' nJ: (-ln x

dominio y el rango y determina

Si ' S si -1 < x < 0

si 0 < x < 1

si.v > 1

A p lic a c io n e s y e x t e n s io n e s 117. Química

El pH de una solución química está dado por la

fórmula pH = -logul [H+] donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro. Los valores del pH varían de 0 (acido) a 14 (alcalino). (a) ¿Cuál es el pH de una solución para la cual [H+] es 0.1? (b) ¿Cuál es el pH de una solución para la cual [H+] es 0.01? (c) ¿Cuál es el pH de una solución para la cual [H+] es 0.001? (d) ¿Qué pasa con el pH conforme disminuye la concen tración de iones de hidrógeno? (e) Determina la concentración de iones de hidrógeno de una naranja (pH = 3.5). (f) Determina la concentración de iones de hidrógeno en la sangre humana (pH = 7.4).

118. índice de diversidad El índice de diversidad de Shannon es una medida de la diversidad de una población. El índi ce de diversidad está dado por la fórmula H = ~(pl logp, +p2\ogp2+ ••• +pn log pn)

donde p ] es la proporción de la población que es la espe cie 1, p 2 es la proporción de la población que es la especie 2 y así sucesivamente. (a) De acuerdo con el Departamento de Censos de EE.UU, la distribución por razas en los Estados Unidos en 2007 fue de la manera siguiente: R a za

P ro p o rc ió n

Indios americanos o nativos de Alaska

0.015

Asiáticos

0.042

Negros o afroamericanos

0.129

Hispánicos

0.125

Nativos de Hawái o de las Islas del Pacífico

0.003

Blancos

0.686

Puenie: Departamento de Censos de EE.UU. Calcula el índice de diversidad de los Estados Unidos en 2007.

i

S E C C IÓ N 6.4

i *

(b) E! valor máximo del índice de diversidad está dado por = log (S). donde S es el número de categorías de razas. Calcula // ma\ .

(c) La razón de uniformidad está dada por £,, = ------, H max donde 0 s £ Ms 1. Si £ H= 1, existe uniformidad com pleta. Calcula la razón de uniformidad para los Esta dos llnidos. (d) Obten la distribución de razas para los Estados Uni dos en 2010 del Census Bureau. Calcula el índice de diversidad de Shannon. ¿La población de Estados Unidos se está volviendo más diversa? ¿Por qué? 119. Presión atmosférica La presión atmosférica p sobre un objeto disminuye conforme incrementa la altura. Esta pre sión, medida en milímetros de mercurio, está relacionada con la altura h (en kilómetros) sobre el nivel del mar por la función p ( h)

= 760e'
(a) Determina la altura de una aeronave si la presión at mosférica es de 320 milímetros de mercurio. (b) Determina la altura de una montaña si la presión at mosférica es de 667 milímetros de mercurio. 120. Cicatrización de heridas La cicatrización normal de he ridas se puede modelar por una función exponencial. Si Au representa el área original de la herida y A equivale al área de la herida, entonces la función A ( n ) = A tíe-°*n

describe el área de la herida n días después de una heri da que no presenta infección que retrase la cicatrización. Considera que una herida tenía originalmente un área de 100 milímetros cuadrados. (a) Si la herida se está cicatrizando, ¿después de cuántos días la herida será de la mitad de su tamaño original? (b) ¿Cuánto tiempo pasará para que la herida mida 10% de su tamaño original? 121. Probabilidad exponencial Entre las 12:00 p.m. y las 1:00 p.m., los autos llegan al auto Citibank con una tasa de 6 autos por hora (0.1 autos por minuto). La siguiente fór mula de estadística se puede usar para determinar la pro babilidad de que un auto llegue dentro de t minutos de las 12:00 p.m.

F(f) = 1 -

e~°u '

(a) Determina cuántos minutos se necesitan para que la probabilidad sea de 50%. (b) Determina cuántos minutos se necesitan para que la probabilidad sea de 80%. (c) ¿Es posible que la probabilidad llegue a 100%? Explica. 122. Probabilidad exponencial Entre las 5:00 p.m. y las 6:00 p.m., los autos llegan a Jiffy Lube con una tasa de 9 autos V olum en

del so n id o

En los problemas


449

por hora (0.15 autos por minuto). La siguiente fórmula de estadística se puede usar para determinar la probabilidad de que un auto llegue dentro de t minutos de las 5:00 p.m. F (t)

= I-

(a) Determina cuántos minutos se necesitan para que la probabilidad sea de 50%. (b) Determina cuántos minutos se necesitan para que la probabilidad sea de 80%. 123. Medicamentos La fórmula / ) = 5 e " Ah

se puede usar para determinar el número de miligramos D de cierto medicamento que está en el torrente sanguí neo de un paciente h horas después de haber adminis trado el medicamento. Cuando el número de miligramos llega a 2, el medicamento se debe administrar de nuevo. ¿Cuánto es el tiempo entre inyecciones? 124. Esparcimiento de rumores Un modelo para el número N de personas en una comunidad universitaria que han oído cierto rumor es N = P{ l - e - ° l5d)

donde P es la población total de la comunidad y d es el número de días que han pasado desde que comenzó el ru mor. En una comunidad de 1000 estudiantes, ¿cuántos días pasarán antes de que 450 estudiantes hayan oído el rumor? 125. Corriente en un circuito R L La ecuación que rige la can tidad de corriente / (en amperes) después del tiempo t (en segundos) en un circuito R L simple que consiste en una resistencia R (en ohms), una inductancia L en (henrys) y una fuerza electromotriz E (en volts) es / = f [1 - e~WL)‘} R

Si £ = 12 volts, R = 10 ohms y L = 5 henrys, ¿cuánto toma rá obtener una corriente de 0.5 amperes? ¿De 1.0 ampere? Haz la gráfica de la ecuación. 126. Curva de aprendizaje Los psicólogos a veces usan la función L { t ) = A ( \ - t r b) para medir la cantidad L aprendida en un tiempo t. El nú mero A representa la cantidad que se debe aprender y el número k mide la tasa de aprendizaje. Considera que un estudiante tiene una cantidad A de 200 palabras que apren der. Un psicólogo determina que el estudiante aprendió 20 palabras después de 5 minutos. (a) Determina la tasa de aprendizaje k. (b) ¿Aproximadamente cuántas palabras habrá aprendi do el estudiante después de 10 minutos? (c) ¿Después de 15 minutos? (d) ¿Cuánto le tomará al estudiante aprender 180 palabras?

127-130 usa el siguiente análisis: el volumen L ( x ) , medido en decibeles ( d B ), de un sonido de

intensidad x, medido en watts p o r metro cuadrado, está definido p o r L ( x ) = 10 log —, donde I (l = 10 12 watt p or metro cuadrado es el

lo

sonido menos intenso que puede detectar el oído humano. Determina el volumen, en decibeles, de cada uno de los siguientes sonidos.

127. Conversación normal: intensidad de x = 10~7 watt por me tro cuadrado. 128. Música de rock amplificada: intensidad de x = 10'*1*watt por metro cuadrado. 129. Tráfico pesado en la ciudad: intensidad de x = 10'3 watt por metro cuadrado.

130, Un camión de diesel que viaja a 40 millas por hora a 50 pies de distancia: intensidad 10 veces la de un auto de pa sajeros que viaja a 50 millas por hora a 50 pies de distancia cuyo volumen es de 70 decibeles.

450

C A P ÍT U L O 6


i • • u, w a l a de R ic h te r es una form a de convertir lecturas sisEsca la de R ichter Lo s problem as13 y . usan e s‘suie ‘ ¡ir ¡a mc,anitud M de un terremoto. Todos los terremotos mográficas a números que proporcionan una ; l milímetros a una distancia de 100 kilómetros del se comparan con un terremoto de nivel cero cuya lectura sismográfica m ■ , . rn r epicentro. Un terremoto cuya lectura sismográfica mide x milímetros tiene una magmtu x ,t

M(x) = *°gl ~ donde x 0 — 10 3 es la lectura de un terremoto de nivel cero a la misma distancia la magnitud de cada terremoto.

(a) Considera que una concentración de alcohol en el torrente sanguíneo de 0.03 por ciento da como resul tado un riesgo relativo de un accidente de 1.4. Deter mina la constante k en la ecuación. (b) Usando el valor de k, ¿cuál es el riesgo relativo si la concentración es 0.17 por ciento? (c) Usando el mismo valor de k , ¿qué concentración de alcohol corresponde a un riesgo relativo de 100? (d) Si la ley establece que cualquier persona con un ries go relativo de tener un accidente de 5 o más no debe poder manejar, ¿a qué concentración de alcohol en la sangre se debería arrestar a una persona y acusarla de manejar intoxicada? (e) Compara esta situación con la del ejemplo 10. Si tu fueras un legislador, ¿qué situación apoyarías? Da tus razones.

131. Magnitud de un terremoto Ciudad de México en 1985: 132.

Q

de su epicentro. E n los problemas 131 y 132, determina

lectura sismográfica de 125,892 milímetros a 100 kilóme tros del centro. Magnitud de un terremoto San Francisco en 1906: lectu ra sismográfica de 50,119 milímetros a 100 kilómetros del centro. Alcohol y manejar La concentración de alcohol en el torrente sanguíneo de una persona se puede medir. Con sidera que el riesgo relativo R de tener un accidente al manejar un auto se puede modelar por una ecuación de la forma R = ekx

donde x es el porcentaje de concentración de alcohol en el torrente sanguíneo y k es una constante.


134. Existe una función de la forma y = x a, 0 < a < 1, que crece más despacio que una función logarítmica cuya base es mayor que 1? Explica. 135. En la definición de una función logarítmica, la base a no puede ser igual a 1. ¿Por qué? 136.

Ed ad en añ o s N u e vo

1

2

3

4

5

$38,000

$36,600

$32,400

$28,750

$25,400

$21,200

Usa la fórmula Nuevo = viejo(e*') para determinar R . la tasa anual de depreciación, para un tiempo t específico. ¿Cuándo será el mejor momento para cambiar el auto? Consulta el libro de tarifas (“libro azul") y compara dos modelos parecidos en los que estés interesado. ¿Cuál tie ne mejor tasa de depreciación?

Pensamiento crítico Al comprar un auto nuevo, una consideración puede ser qué tan bien se mantiene el pre cio del auto con el paso del tiempo. Marcas de autos di ferentes tienen tasas de depreciación diferentes. Aquí se da una forma de calcular la tasa de depreciación de un auto. Considera que los precios actuales de cierto auto se muestran en la tabla.

R e s p u e s t a s a lo s e j e r c ic io s d e la s e c c ió n " ¿ E s t á s lis t o ? "

1. (a) r s 3

(b) x < - 2 o x > 3

2. r < - 4 o . v > l

3. {3}

6.5 Propiedades de los logaritmos O B J E T IV O S

1

Trabajar con las propiedades de los logaritmos (p. 450)

2 Escribir expresiones logarítmicas como la suma o diferencia de logaritmos (p. 452) 3 Escribir una expresión logarítmica como un solo logaritmo (p. 453)

4 Evaluar logaritmos cuya base no sea 10 ni e (p. 455)

1 Trabajo con las propiedades de los logaritm os Los logaritmos tienen algunas propiedades muy útiles que se pueden derivar directa mente de la definición y las leyes de los exponentes.

S E C C IÓ N 6.5

EJEM PLO 1

451

Establecer las propiedades de los logaritmos (a) Demuestra que loga 1 = 0 .

Solución


(b) Demuestra que loga a = 1.

(a) Este hecho se estableció cuando hicimos la gráfica de y = loga* (observa la figu ra 30 en la página 440). Para demostrar el resultado algebraicamente, hacemos y = logal. Entonces y = l°gfl i ay = 1

Cambia a una proposición exponencial.

ay - o0

a° = 1 porc\uea

> 0, a ^ 1

o II

Resuelve para y.

loga 1 = 0

y

= I

1

(b) Hacemos y = log a. Entonces y = logfl a ay = a

Cambia a una proposición exponencial.

ay = a1

a = a1

y = 1

Resuelve para y.

logfl a = 1

y = 1oqa a

Resumiendo:

log„ 1 = 0

TEOREM A

logfl a = 1

P ro p ie d a d e s d e io s lo g a ritm o s

En las propiedades que se dan a continuación, M y a son números reales positi vos, a ^ 1 y r es cualquier número real. El número log M es el exponente al que se debe elevar a para obtener A/. Esto es, = M

(1)

El logaritmo en base a de a elevado a una potencia es igual a esa potencia. Esto es, \ogaar = r (2) --------------------------------------------------------------------------------------------------- j "La demostración usa el hecho de que y = ax y y = loga * son funciones inversas. D e m o s t r a c i ó n d e la p r o p i e d a d

(1)

Para funciones inversas,

/( / - '( * ) ) = x Para toda* en el dominio de / “' Usando /(* ) - ax y /'•(* ) = loga *, encontramos que f { f ~ \ x )) = «logflJt = x Ahora hacemos x = M para obtener alog«M = M, donde M > 0. D e m o s t r a c i ó n d e la p r o p i e d a d (2 )

■

Para funciones inversas,

(/(* )) =í x para toda x en el dominio de / Usando /(* ) = ax y / “'(*) = log*, encontramos que / ( / “'(*)) = logaff‘ = * para todos los números reales * Ahora hacemos x = r para obtener log(ar = r, donde r es cualquier número real.

■

452

C A P ÍT U L O 6


EJEM PLO

Uso de las propiedades (1) y (2)

2

(a) 2lüg27r = 7t

(b) log,,.2 0.2_v/2 = - V 2

Resuelve ahora

el

(c) ln e*' =

15

problema

A continuación se dan otras propiedades útiles de los logaritmos. TEO REM A

P ro p ie d a d e s d e los lo g a ritm o s

En las siguientes propiedades, M, N y a son números reales positivos, a * 1 y r es cualquier número real. El lo g de un p ro d u c to es ig u a l a la su m a d e lo s lo g s

(3)

loga(MN) = loga M + loga /V El lo g de un c o c ie n te es ig u a l a la d ife re n c ia d e lo s lo g s

(4)

= ]Og* M - loga W El lo g de una p o te n cia es ig u a l al p ro d u c to d e la p o te n c ia y d e l lo g

loga M r = r loga M

(5)

ax = ex ln a

(6)

Demostraremos las propiedades (3), (5) y (6) y dejaremos la demostración de la propiedad (4) como ejercicio (ver problema 109). D em ostración de la p ro p ied a d (3) Sea A — log M y B = logaA. Estas expresiones son equivalentes a las expresiones exponenciales

aA = M

y aB= N

Ahora l°ga(3^V)

— I

—

lo g a a A+B

Ley de l os e xpone nt e s

=A + B = log„ M + loga N D em ostración de la p ro p ied a d (5)

Propiedad de (2 ) de los log aritm o s

Sea A - \ogaM. Esta expresión es equivalente a aA = M

Ahora l°ga M

loga(aA) — loga arA —

r -A

Ley de los exp o ne ntes Propiedad de (2 ) de los lo g aritm o s

= r loga M D em ostración de la pro p ied a d (6)

De la propiedad (1), con a = e, tenemos e'nM = M

Ahora hacemos M = ax y aplicamos la propiedad (5).

Resuelve ahora

el p r o b l e ma

19

i s< ribit una expresión logarítmica como una sum a o resta de logaritmos / f \ |r.^S l°Sar*tmos se pueden usar para transformar productos en sumas, cocientes en diferencias y potencas en factores. Estas transformaciones son útiles en ciertos problemas de calculo. K

i

SECCIÓN 6.5 PropirvUdc» de lo»logaritmo»

EJEM PLO 3

453

Escritura de una expresión logarítmica como una suma de logaritmos Escribe log^( i \ / . r + I ). x > 0, como una suma de logaritmos. Expresa todas las potencias como factores.

Solución

log^xN /.r + l) « log,, .* + log„ \Z .r’ f I lo g j

x + lo g rt( j r + I)

lo g jX 4- ” li>gí(( . r

EJEM PLO 4

+

log4(M-N) • iog4 Vf r- log.N

i: I)

\oq4 K{

=

rlog „M

Escritura de una expresión logarítmica como una diferencia de logaritmos Escribe r In ---------- : ( x - i) 3

Solución

x > I

como una diferencia de logaritmos. Expresa todas las potencias como factores. y In — 1---- r = In x: - ln(.t - 1)' = 2 In x - 3 ln(.v - 1) (x - I)3 V

r

t logJ M -

loqj N

loga Kf = r Ioq¿ M

Escritura de una expresión logarítmica como una suma y diferencia de logaritmos

EJEM PLO 5

Escribe x /x 2 + 1 lo t. ---------- t x > O b x ' ( x + l)4 como una suma y diferencia de logaritmos. Expresa todas las potencias como factores.

Solución ADVERTENCIA Cuando uses la® pro piedades (3 ) a la (5 ). ten cuidado con lo« valores que la variable puede tomar. For ejemplo, el dominio de la variable para lo^x es x > O y para log^x - 1) es x > 1. Si sumamos e s t a s funciones, el dominio es x > 1. E sto es. la igualdad log,x + \oqt ( x - 1 )

=

loe J x( x -

= logj V . r + 1 - lo g J.rV + I)4]

Propiedad (4 )

.r3(.v + l) 3

= k>g..\A2 + 1 “ [toga-*3 + *°g«(-v + O í

Propiedad (3 )

= logj(.t2 + 1)‘ 2 “ loft.-r3 - log„(.v + l)4 =

\

log,,(r2 + 1) - 3 logj .v - 4 log(J(.r + 1)

Resuelve ahora

1) ]

es verdadera solo para x > 1.

logj

Propiedad (5 )

el problema s i

■

Escribir una expresión logarítmica como un solo logaritmo Otro uso de las propiedades (3) a la (5) es escribir sumas y/o diferencias de logarit mos con la misma base como un solo logaritmo. Esta posibilidad se necesitará para resolver ciertas ecuaciones logarítmicas que estudiaremos en la siguiente sección.

EJEM PLO 6

Escritura de expresiones como un solo logaritmo Escribe cada uno de las siguientes expresiones como un solo logaritmo. 2 (a) log„ 7 + 4 logl( 3 (b) - ln 8 - ln(52 - 1) (c) log(( x + logu 9 + log(,(.r + 1) - log„5

454

C A P ÍT U L O 6


S o lu c ió n

(a) log,, 7 + 4 logfl 3 = log,, 7 + log„ 34 = lí>ga 7 + loga 81 = |Ogfl(7-81)

rM, MK

^

loí.M + I O f l.W ^ W W )

= loga 5 6 7

(b) | l n 8 - ln(52 - 1) = ln » 2fl - H * ' »

'" * M' = (\/£j2 ■ 2Z - 4

= ln 4 - ln 24

log# M - log.N = l o g / ~ J

= ln( s )

■-G) = lnl - ln6 ln 1 = O

= —ln 6 (c )

loga * + loga 9 + lo g a ( * 2 + 1 ) ~

^ga 5 = 10g J 9 x ) + lo g .í X2 + 1 ) - log, 5

lo^ xix2 +

=

1)1 -

lo g a 5

'9 * (x 2 + 1 )‘ = lo g a ’

A D V E R T E N C IA Un e rro r común que com eten alg u n os e s t u d ia n t e s e s e x p r e s a r el logant/no de u»-a su m a como una su m a de logaritm os.

Proposición c o rre c ta O tro e rro r

común

log,

(M +

log,

(MN) = log, M+log, N

N)

no e s

igual a

loga M + log,

N

Propíedad(3)

e s e x p re sa r la diferencia de lo g aritm o s com o un c o c ie n te de c a a r t log , M log, M - log, N

Proposición c o rre c ta

logfl M -

no e s lo m ism o que

log, N — lo g ,^ — ^

log,N

Propiedad ( 4 )

Un t e r c e r e rro r común e s e x p re sa r un logaritm o elevado a una p o te n cia com o el

producto de

la po

te n c ia por el logaritmo. (lo g , M )r Proposición c o rr e c t a

.▼ = =

no e s igual a

r lo g , M

log, Mr = r log, M

-Resuelve ahora

el

problema

Pro p ied ad ( 5 )

■

57

Otras dos propiedades de los logaritmos que debemos saber son consecuencias del hecho que una función logarítmica y = log, x es una función invectiva. TEO REM A

P ro p ie d a d e s d e lo s lo g a ritm o s

En las siguientes propiedades, M, N y a son números reales positivos, a * 1. Si M = N, entonces log,, M = log,, N.

O )

Si log,, M = log,, N. entonces M = N.

(8)

Cuando se usa la propiedad (7), empezamos con la ecuación M = N y decimos “aplica el logaritmo en ambos lados" para obtener log M = loe N. Las propiedades (7) y (8) son útiles para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, un tema que estudiaremos en la siguiente sección.

S E C C IÓ N 6.5


455

Evaluar logaritm os cuya base no es ni 10 ni e Los logaritmos base 10, logaritmos comunes, se usaron para facilitar cálculos aritmé ticos antes del uso general de calculadoras. (Lee el comentario histórico al final de esta sección.) Los logaritmos naturales, es decir, los logaritmos cuya base es el núme ro e, siguen siendo muy importantes porque surgen frecuentemente en el estudio de fenómenos naturales. Los logaritmos comunes generalmente se abrevian escribiendo log. donde se en tiende que la base es 10, tal como los logaritmos naturales se abrevian como In, donde se entiende que la base es e. La mayoría de las calculadoras tienen ambas teclas, log ln , para calcular el logaritmo común y el logaritmo natural de un número. Veamos un ejemplo para saber cómo aproximar logaritmos que tengan una base que no sea 10 ni e.

EJEM PLO 7

Aproxima un logaritmo cuya base no es ni 10 ni e Aproxima el log27. Redondea la respuesta a cuatro lugares decimales.

Solución

Recuerda, log2 7 quiere decir “2 elevado a qué exponente es igual a 7”. Si dejamos que y = log27, entonces 2y - 7. Como 22= 4 y 23= 8, esperamos que el logj 7 esté entre 2 y 3. 2y

7

ln 2y

ln 7

Propiedad (7)

y ln 2

ln 7

Propiedad (5 )

y

ln 7 ln 2

V alo r e x a cto

y

2.8074

Aproxim a el valor redondeado a c u a t r o lu g a re s d ecim ale s.

El ejemplo 7 muestra cómo aproximar un logaritmo cuya base es 2, cambiando a logaritmos cuya base es e. En general, usamos la fórmula de cambio de base.

TEOREM A

F ó rm u la d e c a m b io d e base

S i a ^ L b ^ l y M son números reales positivos, entonces

logfl M =

log;, M log b a

(9)

J Demostración Demostramos esta fórmula de la siguiente manera: Sea y = log(jA7. Entonces II

<3

log/, flv = log/, M y log/, a

=

log/, M log/, M

Fropiedad (7) Propiedad (5 )

Resuelve p a ra y.

y

log/, fl

„ l°g bM loga M = , logftfl

y = logd

M

Como las calculadoras solo tienen teclas para log y ln mula de cambio de base usa b = 10 o b = e. Esto es,

loga M =

log M loga

l0ga M =

In M ln a

en la práctica, la fór

( 10)

íwaata.— - Resuelve ahora

los

23

problemas

y 71

COMENTARIO Para representar funciones logarítmicas gráficam ente cuando la base e s diferente de e o 10 se requiere de la fórmula de cambio de base. Por ejemplo, para la gráfica de y —logyc trazaIn x riamos en lugar y = Inténtalo. „ Resuelve ahora

el

problema

79

------------------------------------------------------ —

i

RESUMEN Propiedades de los logaritmos En la siguiente lista a, b, M, N y r son números reales. Además, a > 0. a * 1, b > 0. b * 1, M > 0 y N > 0. Definición

y = loga x significa x = ay


logu 1= 0 ;

loga a = 1

fl'ogflM= A/;

loga flr = r

logfl {MN) = loga M + logfl N l0gfl( ^ ) = l0g" M ~ 108,1 N

loga M’ = r loga M a' = p*,n• Si M = N. entonces loga M = Iog# ,V. Si loga M = loga N, entonces M = S.

logb M logh a V___________________________________________________________ _ Form ula de cambio de base

log(, M =

Comentario histórico os logaritmos fueron inventados alrede dor de 1590 porJohn Napier (1550-1617) u ly Joost Bürgi (1552-1632), trabajando independientemente. Napier, cuyo trabajo tuvo la mayor influencia, era un lord escocés, un hombre reservado cuyos vecinos creían KP que tenía pactos con el diablo. Su enfoque de los logaritmos era muy diferente al nuestro; John Napier (1550-1617) estaba basado en la relación ente sucesiones aritméticas y geométricas, que estudiaremos en un capítulo más adelante, y no en la relación de función inversa de los logaritmos y las funciones exponenciales (descrita en la sección 6.4).

Las tablas de Napier, publicadas en 1614, presentan lo que ahora se Sa ma logaritmos naturales de senos y eran bastante complicadas de usar. Un profesor en Londres, Henry Briggs, se interesó en las tablas y visitó a Napier. En sus conversaciones desarrollaron la idea de logaritmos co munes, que fue publicada en 1617. Su importancia para los cálculos fue reconocida inmediatamente y para 1650. se estaban imprimiendo en lugares tan lejanos como China. Se mantuvieron como una herramienta Importante de cálculo hasta la llegada de la calculadora de bajo costo alrededor de 1972, lo cual, ha disminuido su importancia para hacer cálculos, más no su importancia teórica. Una consecuencia de la invención de logaritmos fue que la no tación del sistema decimal para números reales se volvio popular.

j

SECCIÓN 6.5 Propiedades de los logaritmos

457

».5 Ev alú a tu e n te n d im ie n to l o n c e p t o s y v o c a b u la r io 1 . log^l = % J* log.,
8. Si log,, x = log,, 6, entonces x = ____ . logs 7 9. Si log« M = -——r entonces M = M logs 8 ’

4. log,,«' = 5. log.,( M N ) =

+ _

6. l o j f ) = \N J

ln(.v + 3) ln(2jf)

10.

V e rd a d e ro 0 f a l s o

ln(.v + 3)

11.


12.


log2(3.r4) = 41og2(3.v) ln ^ -—7 = 2 ln 4

7. log., M r =

ln(2.v) =

E j e r c ic io s

En los problemas 13-28, usa las propiedades de los logaritmos para determinar el valor exacto de cada expresión. No uses una cal culadora. 13. logj3 71

14. log; 2_u

\

15. ln e~*

17. 2log- 7

18. eln8

\ . 19. log# 2 + log« 4

21. log* 18 - logft 3

22. log,s 16 - log# 2

\

25. 3Io835-Io834

26. 51o856+Io857

29. ln 6

30. ln j

31. ln 1.5

32. ln 0.5

33. ln 8

34. ln 27

35. ln Vó

36. ln

16. ln e ^2 20. log# 9 + log64 24. log3 8-log#9

23. log2 6 • log# 8

28. elog^ 9 27. elog¿ 16 En los problemas 29-36, considera que ln 2 = a y ln 3 = b. Usa las propiedades de los logaritmos para escribir cada logaritmo en tér minos de a v b.

En los problemas 37-56, escribe cada expresión como una suma y/o diferencia de logaritmos. Expresa las potencias como factores. x 40. log7 a5 39. .log2 ,3 38. log. 37. logs(25.r)

45. log(J(«2v3) u > 0, v > 0

46. log2^-~^

48. ln (;t\/l + x2) x > 0

49. log2

V 51. log

54. ln

x{x + 2) L(* + 3)2J ( jc -

*> 0

4)2_|2/3 x >4 T

44. ln(jcer)

43. l n ^ e

42. l n x

41. ln(e.r)

52. log ..

.

x3 x - 3,

a:

VVr + 1

L {x - 2)2 J

5 a: V i + 3 *

55. ln —----- - 5(x -

47. ln(jcV l -

a > 0, b > 0

4)á

50. log5

> 3

x> 2

53. ln

^ „

56. ln

x> 4

jc)

' a:2 + 1 a^

T

0 < jc < 1

*> 1

a:

> 2

0< x <1

En los problemas 57-70, escribe cada expresión como un solo logaritmo. \

57. 3 log5 u + 4 log5 v

58. 2 log3 u - log3 v

60. log!( i ) + lO&i 2 X

61. log4(j:2 - 1) - 5 log4(jc + 1)

63'

+ln( V " ) ' ln('‘2" 1J

64- I°8(í V í 4:1) " l06(í!W

62. log(A:2 +

)

3 a: + 2 ) - 2

log(A: + 1)

65-8|0&v 1* - 1 - |V * ) + 10824

458

C A P ÍT U L O 6


66. 21 log3V a + log3(9jc2) - log3 9

r

68. " Iogf.tr3 +1 ) 4 - ~log(jr2 + 1)

67. 2 logfl(5*3) - ^ logu(2A + 3)

70.

69. 2 log2(jc + 1) - log2(a- + 3) - log2(* - 1)

3 log5(3A + 1) - 2 log5(2A - 1) - log5 x

En los problemas 71-78, usa la fórmula de cambio de base y una calculadora para evaluar cada logaritmo. Redondea tus respuestas a tres lugares decimales. \

71. log321

72. log5 18

73. log|/3 71

74. log,/215

75. lo g ^ 7

76. logy/5 8

77■ lo& ” e

78. lo g ^ V ^

L¡ En los problemas 79-84, traza la gráfica de cada función usando un dispositivo gráfico y la fórmula de cambio de base. \

79. y = log4 x 82. y = logÂ -

3)

80. y = log5 x

81. y = log2(* + 2)

83. y = log,_,(A + 1)

84. y = log,+2(A - 2)

P r á c t ic a m ix t a

85. Si / ( x) = lruc, g(x) = exy h(x) = x2, determina: (a) ( / o g)(x). ¿Cuál es el dominio de / 0 g? (b) (g ° f)(x). ¿Cuál es el dominio de g ° /?

86.

Si f(x) = logÂ, #(a) = 2 ' y h(x) = 4 a , determina: (a) ( / ° g)(+)-¿Cuál es el dominio de / ° gl (b) (g o /)(*). ¿Cuál es el dominio de g ° /?

(c) ( / “ *)(5)

(c) ( / ° g)(3)

(d) ( / o /i )(a ). ¿Cuál es el dominio de f ° hl (e) ( / ° h)\e)

(d) ( / ° h)(x). ¿Cuál es el dominio de / ° hl (e) ( / o h)(8)


En los problemas 87-96, expresa y como función de x. La constante C es un número positivo. 87. ln y = ln x + ln C 88. ln y = ln(jc + C) 89. ln y = ln x + ln(* + 1) + ln C

90. ln y = 2 ln x - ln(A + 1) + ln C

91. ln y = 3x + ln C

92. ln y = -2 x + ln C

93. ln(y - 3) = -4 x + ln C

94. ln(y + 4) = 5a + ln C

95. 3 ln y = ^ ln(2jc + 1) - j ln(* + 4) + ln C

96. 2 ln y = - ^ ln

97. Determina el valor de log,3 • log34 • Iog45 • log,6 • logh7 • log78.

98. Determina el valor de log,4 • log46 • log^. 100. Determina el valor de log,2 • log,4...... log,2".

99. Determina el valor de log23 • Iog34 .......log;i(n + 1) • logn+]2. 101. Demuestra que log,,( a

+

\ / x 2 - l)

+

log„(A - \ / x 2 - l)

a

+ ^ lnÍA2 + 1) + ln C

= 0.

102. Demuestra que log„( V a + V a - l ) + log„(VA - V a - l) = 0. 103. Demuestra que ln (1 + e2*) = V l04. Cociente de diferencias

2a

+ ln (1 + e"1").

Si / ( a ) = logra, demuestra que

^

= log„^l + - ^

, li * 0.

105. Si / ( a ) = logA, demuestra que - / ( a ) = log1/fl x.

106. Si / ( a) = log^.v, demuestra que f{AB) = f ( A) + f{B).

107. Si / ( a ) = logaA, demuestra que

108. Si / ( a) = loguA, demuestra que / ( a”) = af ( a).

^ = “ /(■*)•

(M

109. Demuestra que logJ — 1 = log,, M - log,, N, donde a,

M y N son números enteros positivos y a ^ 1.

110. Demuestra que l o g ^ - ^ = -log*, N, donde a y N son números enteros positivos y a =£ 1.

E x p li c a c ió n d e c o n c e p t o s : d is c u s ió n y e s c r it u r a i

111. Traza la gráfica de V, = log^2) y V2= 2 log(A) usando un dispositivo gráfico. ¿Son equivalentes? ¿Cuál puede ser la razón de que haya diferencias en las dos funciones? 112. Escribe un ejemplo que ilustre por qué (log a)' ^ r l°g„

113. Escribe un ejemplo que ilustre por qué log2(.v + y) * log, a + log, y. 114. ¿Es 3Io&,(-5) = -5? ¿Por qué?

S E C C IÓ N 6.6


459

.6 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s e c c ió n


• Resolución de ecuaciones usando un dispositivo gráfico (apéndice, sección 4. pp. A8-AI0) • Resolución de ecuaciones cuadráticas, (sección 1.2, pp. 92-99)

\

Resolución de ecuaciones de forma cuadrática (sección 1.4, pp. 114-116)

Resuelva ahora los problemas de la sección " ¿ E s t á s listo ? " de la página 463.

OBJETIVOS 1 Resolver ecuaciones logarítmicas (p. 459) 2

Resolver ecuaciones exponenciales (p. 461)

•j 3 Resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales usando un dispositivo gráfico (p. 462)

1 Solución de ecuaciones logarítm icas En la sección 6.4 resolvimos ecuaciones logarítmicas cambiando una expresión loga rítmica a una expresión exponencial. Es decir, usamos la definición de un logaritmo: y = logaJt es equivalente a

x = a> a > 0 , a ^ \

Por ejemplo, para resolver la ecuación log,( 1 - Zv) = 3, escribimos la ecuación loga rítmica como una ecuación exponencial equivalente 1 - Zv = 21y resolvemos para .v. log2(i - 2.v) = 3 1 - 2x = 2 3 -2x = 7 x

C am b ia a una

proposición exponencial.

Sim p lifica.

7 = ——

Resuelve.

Debes verificar tú mismo esta solución. En la mayoría de las ecuaciones logarítmicas, se requiere alguna manipulación de la ecuación (generalmente usando las propiedades de los logaritmos) para obte ner la solución. Además, para evitar soluciones que no correspondan con ecuaciones logarítmicas, primero determinamos el dominio de la variable. Empezaremos con un ejemplo de una ecuación logarítmica que requiere del uso del hecho de que una función logarítmica es una función inyectiva: Si log M = \ ogN, entonces M = N

EJEM PLO 1

Solución de una ecuación logarítmica Resuelve:

Solución

M, N y a son positivas y a * 1.

2 log^v = logs9

El dominio de la variable en esta ecuación es x > 0. Como los dos logaritmos tienen la misma base, 5, podemos obtener una solución exacta de la siguiente manera: 2 log5 x: = log5 9 log5 X2 = log5 9 X2 =

9

x =3

r Ioqa M SI

= Ioq„

Mr

logj M = \oqa N, entonces M

=

N.

o x = -3

Recuerda que el dominio de la variable es x > 0. Por lo tanto, -3 es una solución que no corresponde y la descartamos. -

460

C A i'ír U L O

6


S

2 logs 3 - log* 9

V e r if ic a :

logs 32 - logj 9

r log, M = log, Mr

log, 9 = log5 9 El conjunto solución es {3}. .......

R e s u e lv e a h o ra

el

. •J

problema

13

Frecuentemente necesitamos usar una o más propiedades de los logaritmos para reescribir la ecuación como un solo logaritmo. En el siguiente ejemplo usaremos el log de una propiedad de producto para resolver una ecuación logarítmica.

EJEM PLO 2

Solución de una ecuación logarítmica Resuelve:

Solución

log,(jc + 6) + log,(jc + 2) = 1

El dominio de la variable requiere que x + 6 > 0 y x + 2 > 0, entonces x > -6 y x > -2. Esto quiere decir que cualquier solución debe satisfacer x > - 2 . Para obtener una so lución exacta, debemos expresar el lado izquierdo como un solo logaritmo. Después cambiaremos la ecuación a una ecuación exponencial equivalente. log5(* + 6) + log5(jr + 2) = 1 Iog5[(jC + 6 ) ( jc + 2 ) ] = 1 ( x + 6 ) ( jc + 2 ) = 5* = 5

ADVERTENCIA tiv a

no

es

Una

solución

a u t o m á tic a m e n te

.r2 + 8 jc + 12 = 5

n eg a una

X2 + 8 jc + 7 = 0

log, M + log, N = log,(MW) C am b ia a u na proposición exponencial.

Simplifica. Escribe la ecuación cuadrática en su forma estándar

solución que no c o rre sp o n d a . D eb es d e t e r m in a r s i la solución posible h a ce que el a rg u m e n to de cu alq u ier exp re

( jc + l ) ( x + 1) = 0 x = - 7 or x = -1

F a c t o r iz a .

Propiedad de producto cero

sión lo g a rítm ica en la ecu ació n s e a negativo.

■

Solamente x = -1 satisface la restricción de que x > -2 , entonces .r = -7 no es solu ción. El conjunto solución es {-1}. Verifícalo. »

Resuelve shora EJEM PLO 3

EL P R O B L E MA 2 1

Solución de una ecuación logarítmica Resuelve: ln .v = ln(.v + 6) - ln(.v - 4)

Solución

El dominio de la variable requiere que x > 0. x + 6 > 0 y x - 4 > 0. Como resultado, el dominio de la variable aquí es .c > 4. Empezamos la solución usando la propiedad del log de una diferencia. ln jc = ln(.v + 6) - ln(.v - 4) ln M - ln N = Inl —J Si InM = ln N, entonces

4) = .v + 6 .v2 - 4.v = x + 6

jc( jc -

jc2 — 5 jc — 6 = 0

( jc - 6)(.v + 1)= 0 jc = 6 o .v = -1

M

=

N.

Multiplica ambos lados por x — 4. Sim p lifica. E scrib e la ecuación c u a d rá tic a en su form a e stá n d a r. F a c to riz a . P ro p ied ad d e p ro d u cto cero

Como el dominio de la variable es jc > 4. descartamos -1 como solución que no co rresponde. El conjunto solución es {6}. Verifícalo.

S E C C IÓ N 6.6

Cuando

A D V E R T E N C IA


461

propiedades ¿le lo s lo g a ritm o s p a ra resolver e c u a c io n e s lo g a rítm i lot}/' = r logax cuando r sea par. La razó n s e puede ver en e s t e ejemplo:

u s e s la s

c a s , e v ita u s a r la propiedad R e su e lv e : log3 x2 = 4

S o lu c ió n : El dominio de la variab le x e s t o d o s lo s n ú m ero s re a le s ex cep to (a )

log3 x2 = 4 x

2 =

(b)

3 4 = 8>1 Cam b ia a su fo rm a

x= -9 o x= 9

log3 x2 = 4 2 lo g 3 x = 4

exPonenciaL

|0g3 x = 2

O.

logá xr = r loga x El

dominio de

la va ria b le e s

* > 0 -

x= 9 A m b o s - 9 y 9 so n so lu cio n e s de log3 x2 = 4 (co m o p u ed es v e rific a r). La solución del in ciso (b), no llega a la solu ción - 9 porque el dominio de la variab le s e re strin g ió m á s debido a la ap licació n de la propiedad loga xr = rloga x.

- Resuelve

■

ahora

el

problema

31

2 Solución de ecuaciones exponenciales En las secciones 6.3 y 6.4 resolvimos ecuaciones exponenciales algebraicamente ex presando cada lado de la ecuación con la misma base. Esto es, usamos la propiedad inyectiva de una función exponencial: Si a"=av, entonces u - v

a>0,a¥:l

Por ejemplo, para resolver la ecuación exponencial 42j+1 = 16, observa que 16 - 42 y aplica la propiedad anterior para obtener 2x + 1 = 2, de donde determinamos x = ^ Para la mayoría de las ecuaciones exponenciales, no podemos expresar cada lado de la ecuación usando la misma base. En tales casos, algunas veces se pueden usar técnicas algebraicas para obtener soluciones exactas.

EJEM PLO 4

Solución de ecuaciones exponenciales Resuelve:

Solución

(a) 2X - 5

(b) 8 • 3X = 5

(a) Como el 5 no se puede escribir como una potencia entera de 2(22 = 4 y 23 = 8), escribimos la ecuación exponencial como la ecuación logarítmica equivalente. 2X = 5 ln5 * = i,og , «5 = — t Fó rm ula

de

cam bio

de

b a se (10), se cció n 6 .5

De manera alternativa, podemos resolver la ecuación 2X= 5 obteniendo el logaritmo natural (o el logaritmo común) de cada lado. Tomando el logaritmo natural, 2X = 5 ln 2X = ln5 x ln 2 = ln5 X

ln 5 " ln2 « 2.322


Si

M = N, e n to n c e s

ln

Mr = r ln M

Solución e x a c ta

Solución

aproximada

ln 5 ln 2

(b) 8 • 3* = 5 y = -

Resuelve p a ra 3*.

ln M

=

ln

N

462

C A P ÍT U L O 6

/


So lu ción e x a c ta

=iofo( i ) =

1

-0.428

■-'I


ln 3


Solu ción apro xim ad a

el

problema

35

Solución de una ecuación exponencial Resuelve:

Solución

5X~2 = 3 3x+2

Como las bases son diferentes, primero aplicamos la propiedad (7), sección 6.5 (apli ca logaritmo natural en cada lado) y después usamos una propiedad de los logarit mos. El resultado es una ecuación en x que podemos resolver. 5 X~ 2 = 3 3x+z

ln 5 X~ 2 = ln 3 3x+2

Si

(x - 2) ln 5 = ( 3 x + 2) ln 3

M = N, ln M = ln N.

ln Mr = r ln M

(ln 5)x —2 ln 5 = (3 ln 3) jc + 2 ln 3 Distribuye. (ln 5)x - (3 ln 3)x = 2 ln 3 + 2 ln 5 (ln 5 - 3 ln 3)x = 2(ln 3 + ln 5) 2(ln 3 + ln 5) x =

Coloca los térm inos que contengan x e n el lado izquierdo. F a c to riz a .

So lu ción e x a c ta

ln 5 - 3 ln 3 -3.212

So lu ción apro xim ad a

í 2(ln 3 + l n 5 ) ] El conjunto solución es s - — ---- ——— ?. J l ln 5 — 3 ln 3 J


el

problema

45

Solución de una ecuación exponencial que está en la forma cuadrática Resuelve:

Solución

4X -

2X

— 12 = 0

Podemos observar que 4 X = ( 2 2) x = 2(2j;) = (2*)2, por lo tanto, la ecuación está en forma cuadrática y la podemos reescribir como ( 2X) 2

— 2X — 12 = 0

Sea

u

=

2*; e n to n c e s

u2 - u

Ahora podemos factorizar como lo hemos hecho antes. ( 2 X - 4 ) ( 2 X + 3) - 0 (u — 4 ) ( u + 3 ) = 2X — 4 = 0

o

2X + 3 — 0

u -

4

= O

o

— 12 =

O.

O

u

+ 3 = O

2X = 4 2 X =—3 u —2X—4 u = 2X= - 3 La ecuación del lado izquierdo tiene la solución x = 2, debido a que 2 X - 4 - 2 2; la ecuación de la derecha no tiene solución, debido a que 2 X > 0 para toda x. La única solución es 2. El conjunto solución es {2}.

'Resuelve ahora

el

problema

53

3 Solución de ecuaciones logarítm icas y exponenciales usando un dispositivo gráfico / £ Las técnicas algebraicas expuestas en esta sección para obtener soluciones exactas fx aplican solo a cierto tipo de ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Las soluciones para otros tipos generalmente se estudian en cálculo, usando métodos numéricos. Para esos tipos, podemos usar un dispositivo gráfico para aproximar la solución.

S E C C IÓ N 6.6

i

[ EJEM P LO 7

463

Solución de ecuaciones usando un dispositivo gráfico Resuelve: x + el = 2 Expresa las soluciones redondeadas a dos logares decimales.

.

L ‘ .4


Solución

40

La solución se encuentra haciendo la gráfica de V, = x + e' y Y, = 2. Como Y { es una función creciente (¿sabes por qutí?), solo existe un punto de intersección para Y¡ y V\. La figura 40 muestra las gráficas de Y t y de Yr Usando la instrucción INTERSECT, la solución es 0.44 redondeada a dos lugares decimales.

"

V, = x + e* Y2 = 2

m

■■ 1 Resuelve ahora

el

problema

63

1

i.6 E v a lú a tu

e n te n d im ie n to

" ¿ E s t á s l i s t o ? " Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. Resuelve jr2—7 x -3 0 = 0. (pp. 92-99) 3. Aproxima la solución o soluciones de x}=x2- 5 usando un 2. Resuelve (ar + 3)2- 4(ar + 3) + 3 = 0. (pp. 114-116) dispositivo gráfico (pp. A8-A10) ^ 4. Aproxima la solución o soluciones de .r1- 2ar + 2 = 0 usan do un dispositivo gráfico, (pp. A8-A10) E j e r c ic io s ___________________________________________________________________________________________________

En los problemas 5-32, resuelve cada ecuación logarítmica. Expresa las soluciones irracionales en forma exacta y como un número decimal redondeado a tres lugares decimales. 5. logj.v = 2

6. log(.r + 6) = 1

7. log2(5.r) = 4

8. log3(3.r - 1) = 2

9. lograr + 2) = log4 8

II. ^ log3 x = 2 log3 2

12. -2 log4x = log4 9

14. 2 log5 .r = 3 log5 4

15. 3 log2(.r - 1) + log24 = 5

16. 2 log3(a: + 4) - log3 9 = 2

17. loga: + log(jr + 15) = 2

18.

19. log(2.v + 1) = 1 + log(a: - 2)

\ . 13. 3 log2x = -log227

loga: + log (a: - 21) = 2

22. log6(a: + 4) + logâ: + 3) = 1

\ . 21. log2(.r + 7) + log2(ac + 8) = 1

20. log(2x) - log(.r - 3) = 1 23. lograr + 6) = 1 - lograr + 4)

24. log5(a: + 3) = 1 - log5(a: - 1)

25. ln x + ln(a: + 2) = 4

26. ln(a: + l ) - l n a r = 2

27. log3(ar + 1) + log3(a + 4) = 2

28. log2(a: + 1) + log2(a: + 7) = 3

29. logi/3(ac2 + x) - logi/3(ar - x) = -L \

10. log5(2x + 3) = log53

31.

logâc -

1) -

lograr

+ 6) =

30. lograr2 - 9) - logâc + 3) = 3

log„(a: - 2) - lograr

+ 3)

32.

Ioga a:

+

lograr - 2)

=

lograr

+ 4)

En los problemas 33-60, resuelve cada ecuación exponencial. Expresa las soluciones irracionales deforma exacta y como un número decimal redondeado a tres lugares decimales.

41. 3l~2x = 4X

42. 2*+1 = 51-2x

43. ( | ) ' - 7 -

44. ( i ) " ' = 5'

45. 1.2* = (0.5)-*

46. 0.31+JC=

rH II 1 00 \

\ . l lx ~ {

*

40. 0.3(4a2jc) = 0.2

*1

39. 5(23t) = 8

II

38. 2~x = 1.5

\

4^

36. 3X = 14

34. 5~x = 25

H

35. 2X = 10

33. 2X~5 = 8

48. et+3 = 7r*

\ |' •[

464

C A P ÍT U L O 6

49.

+ 2* - 12 - 0

22x

Fundones exponenciales y logarítmica»

50. 3J* + V

2- 0

-

53. 16' + 4, h - 3 - 0

54. 9* - 3*11 + 1 ■ 0

57. 3 •4' + 4 •2' + 8 = 0

58.2-49'+ U-7‘ + 5 - 0

E n los problem as 61-74, usa

61.

lograr

+ 1) -

logi(.v

64.

1 II 67. In x 71.

ex +

= -x

In x = 4


„„ t e p o á t o o gráfico p u n í m _ 2) = | e2x

-x

72.

=

ex

- In x

52.

55. 25* - K-51 - -16

56, V»' - 6-6* * 9

59.4’ - 10-4 ■ - }

<*■

o t o r a * n u m / m h p m a tu m p u r m , M

=x +2

68. Iii(2a) =

51. 3*» + .V" - 4 - 0

62.

log7( r

65.

e‘

-

73.

4

e ‘

a

, * h a
66. 1

3‘ * 141 ‘ * 5

f 2) - 2

x2

69. In x -

+2

- 1) -

2U * 2 “ * - 12 • (i

e‘

-

70. In x

- 1

74.

■ In x

e

x* m

* * - In x ....

-------

i

E n los problemas 75-86, resuelve cada ecuación. Expresa las soluciones irracionales en form a exacta y como un numero decimal redondeado a tres lugares decimales.

75. IOg2(A + 1) - logi X = 1 | Sugerencia: Cambia log4.r a base 2.| 78. lügy .V + 3 logi X = 14 81.

ex + e~x

77.

79. { ^ / l ) 2- x = 2,J

80.

ex + e ~ * _

83.

82.

2

[Sugerencia: por c'.[

76. log2(3a + 2) - log4 A * 3

2

Multiplica ambos lados

ex - e x

84. — x— = - 2

85. UlgS A + lüg, A = 1

86. |og? x + log* x ■ 3

[Sugerencia: Usa la íórmula de cambio de base.) 87. f(x) = log,(.v + 3) y g(x) = log,(3.v + 1). (a) Resuelve f(x) = 3. ¿Qué punto está en la gráfica de /? (b) Resuelve g(x) = 4. ¿Qué punto está en la gráfica de g? (c) Resuelve f(x) = g(x). ¿Se intersectan las gráficas de / y g? Si sí. ¿dónde? (d) Resuelve ( / + g)(.v) = 7. (e) Resuelve (/ - g)(.v) = 2. 88. f(x) = log,(.v + 5) y g(.v) = logt(.v - 1). (a) Resuelve / (.v) = 2. ¿Qué punto está en la gráfica de /? (b) Resuelve g(.v) = 3. ¿Qué punto está en la gráfica de g? (c) Resuelve / (.v) = g(.v). ¿Se intersectan las gráficas de / y g? Si sí, ¿dónde? (d) Resuelve (f +g)(.v) = 3. (e) Resuelve (/-g)(.v) = 2. 89. (a) Si f(x) - 3V+I y g(.v) = 2r+:, haz la gráfica de / y g en el mismo plano cartesiano. (b) Determina los puntos de intersección en las gráficas de / y g resolviendo f(x) = g(.v). Redondea las res puestas a tres lugares decimales. Marca cualquier punto de intersección en la gráfica que trazaste en el inciso (a). (c) Con base en la gráfica, resuelve / ( a ) >g(.v). 90. (a) Si f(x) = 5' 1y g(.v) = 2,+l. haz la gráfica de f y g en el mismo plano cartesiano. (b) Encuentra los puntos de intersección en las gráficas de / y g resolviendo f(x) = g(.v). Marca cualquier punto de intersección en la gráfica que trazaste en el inciso (a). (c) Con base en la gráfica, resuelve f(x) >g(.v).

91. (a) Si /(.x ) = 3’ y g(a ) = Hl. haz la gráfica de / > g en el mismo plano cartesiano. (b) Sombrea la región acolada por el eje y . / ( i j = 3’ ) g(.i) = 10 en la gráfica que trazaste en el inciso (al (c) Resuelve f ( x ) = g(x) y marca el punto de intersec ción en la gráfica que (razaste en el inciso t al 92. (a) Haz la gráfica de f ( x ) - 2* y g(a) •= 12. en el mismo plano cartesiano. (b) Sombrea la región acotada por el eje y. f ( x ) - 2’ y g(.i) = 12 en la gráfica que trazaste en el inciso (a). (c) Resuelve f(a) = g(* | y marca el punto de intersec ción en la gráfica que trazaste en el inciso (a). 93. (a) Ila / la gráfica de / ( a ) = 2'-1 y g( a ) = 2 mo plano cartesiano.

en el mis

(b) Sombrea la región acotada por el eje y. f i t) = 2’” y g(.v) = 2 r‘: en la gráfica que trazaste en el inciso (a). (c) Resuelve f ( x ) = g ( x ) v marca el punto de intersec ción en la gráfica que trazaste en el inciso (al. 94. (a) Haz la gráfica de f ( x ) = 3r” y g(i) = 3*J. en el mis mo plano cartesiano. (b) Sombrea la región acotada por el eje y. f (i) =3 > g(.v) = 3' •en la gráfica que trazaste en el inciso (al. (el Resuelve /(.*) = g(a) y marca el punto de intersec ción en la gráfica que trazaste en el inoso (a). 95. (a) Traza la gráfica de f ( x ) = 2 ‘ - 4 (b) Determina el cero de f . (c) Con base en la gráfica, resuelve f ( x ) < a 96. (a) Traza la gráfica de g(.v) = y - q

(b) Determina el cero de g. (c) Con base en la gráfica, resuelve g(.i) >0.

S E C C IÓ N 6.6


465


97. Un modelo de población La población de residentes 4 »,5 „ ■ j

(b) De acuerdo con este modelo, ¿cuándo será de 14 mil millones de personas la población mundial? Fuente: Departamento de Censo de EE.UU. 99. Depreciación El valor V de un Chevy Cobalt de t años se puede modelar por V(t) = 16,500(0.82)'. (a) De acuerdo con el modelo, ¿cuándo valdrá $9000 el auto? (b) De acuerdo con el modelo, ¿cuándo valdrá 4000 el auto? (c) De acuerdo con el modelo, ¿cuándo valdrá 2000 el auto? Fuente: Kelley Blue Book

de los Estados Unidos en 2008 era de 304 millones de personas y crecía con una tasa de 0.9% al año. Suponiendo que esta tasa de crecimiento continúe, el modelo P(t) = 304(1.009)K!00Srepresenta la población P (en millo nes de personas) en el año t. (a) De acuerdo con este modelo, ¿cuándo será de 354 mi llones de personas la población de los Estados Unidos? (b) De acuerdo con este modelo, ¿cuándo será de 416 mi llones de personas la población de los Estados Unidos? Fuente: Statistical Abstract o f the United States, 125"' ed., 2009.

100. Depreciación El valor V de un Honda Civic DX de t años se puede modelar por V(t) = 16,775(0.905)'. (a) De acuerdo con el modelo, ¿cuándo valdrá $15,000 el auto? (b) De acuerdo con el modelo, ¿cuándo valdrá 8000 el auto? (c) De acuerdo con el modelo, ¿cuándo valdrá 4000 el auto? Fuente: Kelley Blue Book

98. Un modelo de población La población mundial en 2009 era de 6.78 mil millones de personas y crecía con una tasa de 1.14% al año. Suponiendo que esta tasa de crecimiento continúe, el modelo P(t) = 6.78(1.0114)'“20
E x p li c a c ió n d e c o n c e p t o s : d is c u s ió n y e s c r it u r a _______________________________

101. Completa los espacios en blanco con las razones para cada paso en las siguientes dos soluciones. Resuelve: log3(x - 1)2= 2

Solución A

Solución B

log3(x - l)2 = 2 (x - l)2 = 32 = 9 ____ (x - 1) = ± 3 ____ r - l = -3 o r-l = 3 x = - 2 o x = 4 ____

log3(* - l ) 2 = 2 21og3(* - 1) = 2 log3(* - 1) = 1 _ AT-1=31= 3 _

* = 4 ____

Las dos soluciones que se dan en la solución A satisfacen la ecuación. Explica qué causó que se perdiera la solución * = -2.en la solución B.

R e s p u e s t a s a lo s e j e r c ic io s d e la s e c c ió n " ¿ E s t á s lis t o ? "

1. {-3,10}

2.

{- 2, 0}

3. {-1.43}

4. {-1.77}

466

/ C A P ÍT U L O 6


6.7 Modelos financieros P r ep a r a c ió n pa r a es t a sec c ió n Antes de empezar, repasa lo siguiente: • Interés simple (sección 1.7, p. 136) \

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 472. OBJETIVOS 1 Determinar el valor futuro de una cantidad de dinero (p. 466) 2 Calcular las tasas de retorno efectivas (p. 469) 3 Determinar el valor presente de una cantidad de dinero (p. 470) 4

Determinar la tasa de interés o tiempo requerido para duplicar una cantidad de dinero (p. 471)

.

Determinar el valor futuro de una cantidad de dinero El interés es dinero que se paga por el uso del dinero. La cantidad total prestada (ya sea por un individuo de un banco en la forma de un préstamo o por un banco de un individuo en la forma de una cuenta de ahorros) se llama capital. La tasa de interés, que se expresa como un porcentaje, es la cantidad que se cobra por el uso del capital por un periodo de tiempo dado, generalmente con base anual (es decir, por año).

TEO REM A

F ó rm u la de in te ré s s im p le

Si un capital de P dólares se pide por un periodo de t años con una tasa de in terés anual r, que se expresa como decimal, el interés / que se cobrará es I = Prt

(1)

El interés que se cobrará según la fórmula (1) se llama interés simple.

__j

Cuando trabajemos con problemas que incluyan interés, definiremos el término periodo de pago de la siguiente forma: Anual: Semianual: Trimestral:

Una vez al año Dos veces al año Cuatro veces al año

Mensual: Diario:

12 veces al año 365 veces al año*

Cuando el interés que se debe pagar al final de un periodo de pago se suma al ca pital de manera que el interés calculado al final del siguiente periodo de pago se base en este nuevo capital (capital + interés), se dice que el interés ha sido compuesto. El interés compuesto es el interés que se paga por el capital y por el interés generado anteriormente. |

EJEM PLO

1

]

Cálculo de interés compuesto Una unión de crédito paga un interés de 8 % anual compuesto cada trimestre en cierto plan de ahorros. Si se depositan $1000 en ese plan y se deja que se acumule el interés, ¿cuánto hay en la cuenta después de 1 año?

Solución

Usaremos la fórmula de interés simple, I = Prt. El capital P es $1000 y la tasa de in terés es de 8 % = 0.08. Después del primer trimestre del año, el tiempo t es - del año asi que el ínteres ganado es F 4 1 = P n = ($ 1 0 0 0 ) (0 .0 8 )^ = $20 * La mayoría de los bancos usan un "año” de 360 días. ¿Por qué crees que lo hacen?

S E C C IÓ N 6.7

Modelos financieros

467

I I capital nuevo es / ’ + / * $I(XM) + $20 * $1020. Al final del segundo trimestre, el ínteres sobre el capital es /

( $ l0 2 0 ) ( 0 .0 H ) Q j - $20.40

Al final del tercer trimestre, $1020 ►$20.40 = $1040.40 es

el

interés

sobre

el

nuevo

capital

de

/ » ($ l0 4 0 .4 0 )(0 .0 8 )Q j = $20.81 Por ultimo, después del cuarto trimestre, el interés es / = ($1061.21)(0.08)Q j = $21.22 Después de l año la cuenta tiene $1061.21 + $21.22 = $1082.43.

i

El patrón de los cálculos que se usó en el ejemplo 1 nos lleva a una formula ge neral para el interés compuesto. Para establecer estas ideas, sea P el capital que se va a invertir a una tasa anual de interés r que se compone n veces al año, así que el tiempo de cada periodo de composición es - años. (Para propósitos de los cálculos, r se expresa como un número decimal.) El interés ganado después de cada periodo de composición está dado por la fórmula (1). Interés = capital x tasa x tiempo = P • r • ^ = P • í ^ J La cantidad A después de un periodo de composición es

Después de dos periodos de composición, la cantidad A , basada en el nuevo capital es

/ l = P ' ( l + n ) + ,>' ( l + n ) ( n ) ”i ,>' ( l + n ) ( l + n ) = í ’' ( 1 + n ) ! c —---- v-------- * V

i----- ---- 1 I

Nu«vo

Interés en el

capital

nuevo capital

Factoriza P • (1 +

).

Después de tres periodos de composición, la cantidad A es

Si continuamos de esta forma, después de n periodos de composición (1 año), la cantidad A es

/t = P'( ' + n Como t años contienen n • t periodos de composición, después de t años tenemos r \ nt A = P-\\ + - )

TEOREM A

F ó rm u la d e in te ré s c o m p u e s to

La cantidad A después de l años debida a un capital P invertido a una tasa anual de interés r compuesta n veces al año es A = P 'W + n

( 2)

J

468

C A P ÍT U L O 6


Exploración Para ver los efectos del interés com puesto mensualmente en un depó sito inicial de $1, haz la gráfica de

Y, = 1 +

12 /

Por ejemplo, trabajando de nuevo en el ejemplo 1, usa P = $1000, r = 0.08, n = 4 (composición trimestral) y t = 1 año para obtener rY l ( 0.08 1 + r = !0 0 0 (l + — A = P'

4-1

= $1082.43

con r = 0.06 y

r = 0.12 para 0
EJEM PLO 2

Comparación de inversiones usando diferentes periodos de composición Invertir $1000 a una tasa anual de 10% compuesto anualmente, semianualmente, trimestralmente y diariamente generará las siguientes cantidades después de un año: /I = P - ( l + r)

Composición anual (n = 1):

= ($1000)(1 + 0 .10) = $ 1100.00

Composición semianual (n - 2):

A = P= ($1000)(1 + 0.05) 2 _ $1102.50

Composición trimestral (n = 4):

*=K

1+ ;)4

- ($1000)(1 + 0.025)4 - $1103.81 Composición mensual (n = 12):

A = P-

1+

r V2 12/

= ($1000) 1 + Composición diaria (n = 365):

A = P-

0.10

12

= $1104.71

12

1 + _ ^ V 65 365 y

= ( $ 1000)

1+ M ) 365 J

365

$1105.16

Del ejemplo 2 podemos ver que el efecto de componer más frecuentemente es que la cantidad después de 1 año es mayor: $1000 compuesto 4 veces al año al 10% da un resultado de $1103.81, $1000 compuesto 12 veces al año al 10% da $1104.71 y $1000 compuesto 365 veces al año al 10% da $1105.16. Esto nos lleva a preguntar lo siguiente, ¿qué pasaría con la cantidad después de 1 año si el número de veces que se compone el interés se incrementara sin límite? Veamos la respuesta. Considera que P es el capital, r es la tasa de interés anual y n es el número de veces que se compone el interés cada año. La cantidad después de 1 año es X = P.(1+ 0 ' Reescribimos esta expresión de la siguiente manera: A = P-

1+

= P-

= P■ T h=1

(3)

S E C C IÓ N 6.7

Modelos financieros

469

Supongamos ahora que el número n de veces que se compone el interés al año crece más y más, es decir, considera que n —* oo. Entonces li = -----* oo y la expresión en corchetes en la ecuación (3) es igual a e. Esto es, A —* Per. La tabla 8 compara ^ l + —^ , para valores grandes de n , con e" para r = 0.05, (

r \ l

r = 0.10, r = 0.15 y r = 1. Entre más grande es n, más se acerca 11 + — 1 a er. No im porta qué tan frecuente sea la composición, la cantidad después de un año tiene como tope definitivo a Per. Tabla 8 (’ * í) "

n = 100

n = 1000

n = 10,000

er

0 .0 5

1 .0 5 1 2 5 8 0

1 .0 5 1 2 6 9 8

1 .0 5 1 2 7 1

1 .0 5 1 2 7 1 1

r = 0 .1 0

1 .1 0 5 1 1 5 7

1 .1 0 5 1 6 5 4

1 .1 0 5 1 7 0 4

1 .1 0 5 1 7 0 9

r= r=

0 .1 5

1 .1 6 1 7 0 3 7

1 .1 6 1 8 2 1 2

1 .1 6 1 8 3 2 9

1 .1 6 1 8 3 4 2

1

2 .7 0 4 8 1 3 8

2 .7 1 6 9 2 3 9

2 .7 1 8 1 4 5 9

2 .7 1 8 2 8 1 8

r=

Cuando el interés se compone de tal manera que la cantidad después de un año sea Per, decimos que el interés tiene composición continua.

TEOREM A

C o m p o s ic ió n c o n tin u a

La cantidad A después de t años debida al capital P invertido a una tasa de in terés anual r compuesta continuamente es A = Pert

(4)

J EJEM PLO 3

Uso de composición continua La cantidad A que resulta de invertir un capital P de $1000 a una tasa anual r del 10% compuesta continuamente por un tiempo t de un año es A = $1000é>010 = ($1000)(1.10517) = $1105.17

^kssxbs^-Resuelve ahora

el

problema

13

-2 Cálculo de tasas de interés efectivas Considera que tienes $1000 y un banco ofrece pagarte 3% de interés anual en una cuenta de ahorros con interés compuesto mensualmente. ¿Qué tasa de interés anual debes ganar para tener la misma cantidad al final del año si el interés se compone anualmente (una vez al año)? Para responder esta pregunta, primero determinamos el valor de los $1000 en la cuenta que ganan 3% compuesto mensualmente. A = $1000 1 +

0.03 12

12

Usa A

P( 1 H— ) con F = $1000. r = 0.03, n = 12.

n,

= $1030.42 Así que el interés ganado es $30.42. Usando / = Prt con t - 1, / = $30.42 y P = $1000, determinamos que la tasa de interés anual simple es 0.03042 = 3.042%. Esta tasa de interés se conoce como tasa de interés efectiva. La tasa de interés efectiva es la tasa de interés anual simple equivalente que generaría la misma cantidad que una composición n veces por año o continuamente, después de 1 año. *

470

C A P ÍT U L O 6


TEOREMA

Tasa d e in te ré s efe ctiv a

La tasa de interés efectiva r, de una inversión que gana una lasa de interés anual r está dada por i

Composición n veces por año: r, * Composición continua:

r, = / - 1

J

Cálculo de la tasa de Interés efectiva. ¿Cuál es la mejor opción?

EJEM PLO 4

Considera que quieres abrir una cuenta de ahorros, lias visitado tres bancos p
Solución

El banco que ofrece la mejor opción es aquél que tiene la tasa de interés efectiva más alta. Banco C

Banco B

Banco A (. 0.06 V 65 r' = { ' + x s )

.

1+

0.0602 V

r, = « W » - 1

- 1

■

« 1.06183 - 1

» 1.06157 - 1

* 1.06162 - 1

= 0.06183

= 0.06157

= 0.06162

= 6.183%

= 6.157%

= 6.162%

Como la tasa de interés efectiva es más alta para el Banco A. el Banco A ofrece la mejor opción.

-Resuelve ahora

•J

EL

PROBLEMA

23

3 Determ inar el valor presente de una cantidad de dinero Cuando la gente en finanzas habla del “valor temporal del dinero", generalmente se refieren al valor presente del dinero. El valor presente de A dólares que se van a recibir en una fecha futura es el capital que debes invertir ahora para que empiece a crecer a A dólares en el periodo de tiempo especificado. El valor presente del dinero que se va a recibir en una fecha futura es siempre menor que la cantidad que se va a recibir, debido a que la cantidad que se va a recibir será igual al valor presente del dinero (dinero invertido ahora) más el interés acumulado en el periodo. Usamos la fórmula de interés compuesto (2) para obtener una fórmula para el va lor presente. Si P es el valor presente de A dólares que se va a recibir después de i años a una tasa de interés anual /-compuesta n veces pc>r año. entonces por la fórmula (21. A = P

Para resolver para P, divide ambos lados entre ^ l + - V

— 1+ ~ nj

= P

o

P = A

£1 resultado es

O*:)'

S E C C IÓ N 6.7

TEOREM A

Modelos financieros

4 71

F ó rm u la s d e v a lo r p re s e n te

El valor presente P de A dólares que se van a recibir después de t años, supo niendo una tasa de interés anual r compuesta n veces al año, es / P = A-

\-n t

1+ V nj

(5)

Si el interés se compone continuamente P = Ae~r'

Para demostrar (6), resuelve la fórmula (4) para P.

EJEM PLO

5

Cálculo del valor de un bono cupón cero Un bono cupón cero (no acumula interés) se puede redimir en 10 años por $1000. ¿Cuánto debes de estar dispuesto a pagar por él ahora si quieres un rendimiento de (a) 8% compuesto mensualmente? (b) 7% compuesto continuamente?

Solución

(a) Buscamos el valor presente de $1000. Usa la fórmula (5) con A - $1000, n = 12, r = 0.08 y t = 10. -ni 0.08 - 12( 10) = $450.52 = $1000 1 + P = A- 1 + 12 Para un rendimiento de 8% compuesto mensualmente, debes pagar $450.52 por el bono. (b) Usa aquí la fórmula (6) con A = $1000, r = 0.07 y t = 10. P = A e 'rl = $1000e~(007)(l0) - $496.59 Para un rendimiento de 7% compuesto continuamente, debes pagar $496.59 por el bono.

Resuelve ahora

EL

P R O B L E M A

1 5

D eterm inar la tasa de interés o tiem po requerido para duplicar una cantidad de dinero EJEM PLO

6

Tasa de interés requerida para duplicar una inversión ¿Qué tasa de interés al año compuesto anualmente debes buscar si quieres duplicar tu inversión en 5 años?

Solución

Si P es el capital y queremos que P se duplique, la cantidad A será 2P. Usamos la fórmula de interés compuesto con n = 1 y / = 5 para encontrar r. A = P-(l + ^ " 2 P = P - ( 1 + r)5 2=

A = 2P, n = 1, t = 5

(1 + r)5

Divide ambos lados entre ?.

1+ r = Í / 2

Obten la raíz quinta de cada lado.

r = y¡2 - 1 « 1.148698 - 1 = 0.148698 La tasa de interés anual que se necesita para duplicar el capital en 5 años es de 14.87%. ______

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

3 1

472

CAPÍTULO 6 Funciones exponenciales y l o g a r í t m

i c a s ____________________________________________________________ ___

| EJEM PLO 7 1 Tiempo requerido para duplicar o triplicar una Inversión (a) ¿Cuánto tiempo tomará duplicar una inversión si gana 5% de interés compuesto continuamente? (b) ¿Cuánto tiempo tomará triplicar esta cantidad a esta tasa/

Solución

(a) Si P es la inversión inicial y queremos duplicar P, la cantidad A será 2P. Usamos la fórmula (4) para interés compuesto continuamente con r - 0.05. Entonces A = Pert 2 P = Pe005‘ 2 = e005‘

A

= 2P, r

= 0 .0 5

C a n ce la la s P. R e e scrib e com o un logaritm o.

0.05í = ln 2 / = — * 13.86 0.05

R esu elve p a ra t .

Tomará alrededor de 14 años duplicar la inversión. Para triplicar la inversión, hacemos A = 3 P en la fórmula (4). A = Per‘ 3P = Pe0051 3 = e005' en

II

o o '

A

=

3P, r

= 0 .0 5

C a n ce la la s P. R e e scrib e com o un logaritm o.

ln 3 0.05 ~ ZLy/

Resuelve p a ra t .

Tomará alrededor de 22 años triplicar la inversión. “

--Resuelveahora

el

problema

35

® 6.7 Evalúa tu entendim iento__________________________________________________________ " ¿ E s t á s lis t o ? " Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. ¿Cuál es el interés a pagar por un préstamo de $500 por 6 2. Si pides prestados $5000 y después de 9 meses pagas por meses a una tasa de interés simple de 6% anual? (p. 136) el préstamo la cantidad de $5500. ¿qué tasa de interés anual se te cobró? (p. 136) C o n c e p t o s y v o c a b u la r io

3. La cantidad total prestada (ya sea por un individuo de un banco en la forma de un préstamo o por un banco de un individuo en la forma de una cuenta de ahorros) se llama el________ 4. Si se pide un capital de P dólares por un periodo de t años a una tasa de interés anual r, expresada como un número decimal, el interés I cobrado e s____= ______ El inte rés cobrado de acuerdo con esta fórmula se llama_____

5. Cuando se trabaja con problemas que involucran interés, si el periodo de pago del interés es trimestral, entonces el interés se paga----------- veces al año. 6* L a--------------------------------es el interés anual simple equivalente que generaría la misma cantidad que compo ner n veces al año o continuamente, después de 1 año.

E j e r c ic io s

En los problemas 7-14, determina la cantidad que resulta de cada inversión. 7. $100 invertidos al 4% compuesto trimestralmente des pués de un periodo de 2 años. 9. $500 invertidos al 8% compuesto trimestralmente des1 pués de un periodo de 2 - años.

8. $50 invertidos al 6% compuesto mensualmente después de un periodo de 3 años. 10. $300 invertidos al 12% compuesto mensualmente des pués de un periodo de 1^ años.

S E C C IÓ N 6.7

. $600 invenid*« ¡il 5% compuesto diariamente después de un periodo de 3 años. .51000 invertidos al 11% compuesto continuamente después de un periodo de 2 artos.

►/<»»p ro b le n u is

Modelo» financiero»

473

12. $7(M) invertidos al 6% compuesto diariamente después de un periodo de 2 artos. 14. $-100 invertidos al 7% compuesto continuamente después de un periodo de .1 artos.

15-22, d e te rm in a el ca p ita l q u e se necesita a h o ra p a ra o b te n e r ca d a can tid a d ,

esto es,

d eterm in a el calor presente.

Para obtener $100 después de 2 artos al b% compuesto mcnsualmcntc.

16. Para obtener $75 después de 3 artos al 8% compuesto tri mestralmente.

7. Para obtener $ ItHX) después de 2 * artos al 6% compuesto diariamente. 9. Para obtener $600 después de 2 artos al 4% compuesto trimestralmente.

18. Para obtener $S00 después de 3 * artos al 7% compuesto mensualmente. 20. Para obtener $300 después de 4 artos al 3% compuesto diariamente.

II. Para obtener $NU) después de 3 * artos al 9% compuesto 4 continuamente.

22. Para obtener $800 después de 2 1 artos al 8% compuesto continuamente.

:n los p r o b le m a s 2 3 -2 b , d e te rm in a la tasa d e interés efectiva.

23. Para 5% compuesto trimestralmente. 25. Para 5% compuesto continuamente.

i/i los p ro b le m a s

24. Para 6% compuesto mcnsualmcntc. 26. Para 6% compuesto continuamente.

2 7 -3 0 . d e te rm in a la tasa q u e representa la m e jo r o p ció n .

27. t>%compuesto trimestralmente o 6 *compuesto anualmente. 4

28. 0% compuesto trimestralmente o 91 compuesto anualmente. 4

29. 9% compuesto mensualmente u 8.8% compuesto dia riamente. 31. ¿Qué tasa de interés compuesto anualmente se requiere para duplicar una inversión en 3 artos? 33. ¿Qué tasa de interés compuesto anualmente se requiere para triplicar una inversión en 5 artos? 35. (a) ¿Cuánto tiempo tomará duplicar una inversión si se invirtió al 8% compuesto mensualmente? (b) ¿Cuánto tiempo tomará si el interés se compone con tinuamente? 37. ¿Qué tasa de interés compuesto trimestralmente dará una tasa de interés efectiva del 7%?

30. 8% compuesto senrianualmente o 7.9% compuesto dia riamente. 32. ¿Qué tasa de interés compuesto anualmente se requiere para duplicar una inversión en 6 años? 34. ¿Qué tasa de interés compuesto anualmente se requiere para triplicar una inversión en 10 años? 36. (a) ¿Cuánto tiempo tomará triplicar una inversión si se invirtió al 6% compuesto mensualmente? (b) ¿Cuánto tiempo tomará si el interés se compone con tinuamente? 38. ¿Qué tasa de interés compuesto continuamente dará una tasa de interés efectiva del 6%?

A p li c a c io n e s y e x t e n s io n e s

39. Tiempo requerido para alcanzar un objetivo Si Tanisha tiene $100 para invertir al 8% anual compuesto mensualmente, ¿cuánto tiempo tomará que tenga $150? Si la com posición es continua, ¿cuánto tiempo tardará? 40. Tiempo requerido para alcanzar un objetivo Si Angela tiene $100 para invertir al 10% anual compuesto mensual mente, ¿cuánto tiempo tomará que tenga $175? Si la com posición es continua, ¿cuánto tiempo tardará? 41. Tiempo requerido para alcanzar un objetivo ¿Cuán tos años tomará que una inversión de $10,000 crezca a $25,000? Considera una tasa de interés del 6% que se compone continuamente. 42. Tiempo requerido para alcanzar un objetivo ¿Cuán tos años tomará que una inversión de $25,000 crezca a $80,000? Considera una tasa de interés del 7% que se compone continuamente. 43. Precio de apreciación de las casas ¿Cuánto costará un condominio de $90,000 en 5 años si el precio de aprecia ción de los condominios en ese periodo es en promedio 3% compuesto anualmente?

44. Interes de tarjetas de crédito Una tienda departamen tal cobra 1.25% al mes sobre las cuentas sin pagar a sus clientes con cuentas de crédito (el interés se compone mensualmente). Un cliente realiza compras por $200 y no paga su factura por 6 meses. ¿Cuánto será el monto de su factura? 45. Ahorros para un auto Jerome comprará un auto usado por $15,000 en 3 años. ¿Cuánto dinero le debe pedir a sus padres ahora para que, si lo invierte al 5% compuesto continuamente, tenga suficiente para comprar el auto? 46. Pago de un préstamo John requiere de $3000 en 6 me ses para pagar un préstamo que no tiene privilegios de prepago. Si tiene los $3000 ahora, ¿cuánto debe guar dar en una cuenta que paga el 3% de interés compuesto mensualmente para que en 6 meses tenga exactamente $3000? 47. Rendimiento de acciones George contempla la compra de 100 acciones que se venden por $15 cada una. Las ac ciones no pagan dividendos. El historial de las acciones indica que debe crecer a una tasa anual de 15% por año.

474

C A P ÍT U L O 6


¿Cuánto deberá ser el valor de 100 acciones en 5 años? Rendimiento de una inversión Un negocio que se com pró por $650,000 en 2005 se vende en 2008 por $850,000. O ¿Cuál es la tasa anual de retorno para esta inversión/ 49. Comparación de planes de ahorro Jim deposita $1000 en una cuenta de banco que paga 5.6% compuesto con tinuamente. Después de 1 año, ¿tendrá suficiente dinero para comprar una computadora que cuesta $1060/ Si otro banco le paga a Jim 5.9% compuesto mensualmente, ¿es una mejor opción? 50. Plan de ahorros El 1 de enero, Kim deposita $1000 en un certificado de depósito que paga 6.8% compuesto con tinuamente y madura en 3 años. Entonces Kim deposita los $1000 y el interés en una cuenta de ahorros que paga 5.25% compuesto mensualmente. ¿Cuánto tendrá Kim en la cuenta de ahorros el 1 de mayo? 51. Comparación de inversiones en planes de reliro Will invierte $2000 en su plan de retiro en un fideicomiso que paga 9% de interés compuesto semianualmente. Su ami go Henry invierte $2000 en su plan de retiro en un certi ficado de depósito que paga 8^% de interés compuesto continuamente. ¿Quién tendrá más dinero después de 20 años, Will o Henry? 52. Comparación de dos alternativas Considera que April tiene acceso a una inversión que le pagará 10% de inte rés compuesto continuamente. ¿Qué es mejor: que le den $1000 ahora para que pueda aprovechar esta oportunidad de inversión o que le den $1325 después de 3 años? 53. Costos universitarios El costo anual promedio de una universidad privada fue de $25,143 en el año académico de 2008-2009. Esto representó un incremento del 5.9% con respecto al año anterior. Fuente: The College Board (a) Si el costo de la universidad se incrementa 5.9% al año, ¿cuál será el costo anual promedio de una universidad privada de 4 años, para el año académico de 2028-2029?

(b) Los planes de ahorro universitarios, como un plan 52V, permiten que las personas guarden dinero ahora par* ayudarles a pagar la universidad más tarde. Si uno de esos planes ofrece una tasa de 4% compuesto umtrnua mente, ¿cuánto se dehe invertir en un plan de ahorr<* universitario en 2010 para pagar I año en una universi dad privada para un estudiante de primer año en 2028 ' 54. Análisis de tasas de interés de una hipoteca Col leen y Bill acaban de comprar una casa por $650,000 y adquieren una segunda hipoteca del vendedor por $100,000. Ellos prometen pagar al vendedor $100,000 más el interés que se genere en 5 años a partir de ahora. El vendedor les ofrece tres opciones de interés en la segunda hipoteca; (a) Interés simple al 12% anual. (b) 11 -% de interés compuesto mensualmentc. (c) 11^% de interés compuesto continuamente. ¿Cuál es la mejor opción? Es decir, ¿cuál resulta tener el menor interés sobre el préstamo? 55. Paquete de estímulo federal para 2009 En febrero de 2009, el presidente Obama proclamó una ley de paque te de estímulos de $787 mil millones. En esc tiempo, los bonos de la serie EE a 20 años tenía una lasa fija de 1.3% compuesto semianualmente. Si el gobierno federal finan ció el estímulo con bonos EE. ¿cuánta tendrán que pagar en 2029? ¿Cuánto interés se pagó para financiar el paque te de estímulos? Fuente: U.S. Treasury Department 56. Deuda federal per cápita En 2008. la deuda federal era de aproximadamente $10 billones. En 2008. la pobla ción de EE.UU. era de aproximadamente 304 millones. Considerando que la deuda federal se está incrementan do aproximadamente 7.8% al año y que la población en EE.UU. se está incrementando aproximadamente 0.9% al año, determina la deuda per cápita (deuda total dis idi da entre la población) en 2020.

Inflación Los problemas 57—62 requieren del siguiente análisis. La inflación es el término que se usa para describir la erosión del poder adquisitivo del dinero. Por ejemplo, si la tasa anual de inflación es de 3%, entonces el poder adquisitivo de SI000 ahora tendrá un valor de $970 en un año porque los $1000 (0.03 X 1000 = 30) originales se han erosionado debido a la inflación. En general, si la tasa de inflación promedia r por año en n años, la cantidad A que $P podrá comprar después de n años es A =P-(l-r)" donde r se expresa como un número decimal. 57. Inflación Si la tasa de inflación es en promedio 3%, 60. Inflación Si la cantidad que se podrá comprar con $1000 es ¿cuánto se podrá comprar con $1000 después de 2 años? solo de $930 después de 2 años, ¿cuál fue la lasa de inflación? 58. Inflación Si la tasa de inflación es en promedio 2%, 61. Inflación Si la tasa de inflación es en promedio 2%. ¿cuánto se podrá comprar con $1000 después de 3 años? ¿cuánto tiempo tomará para que el poder adquisitivo sea la mitad del actual? 59. Inflación Si la cantidad que se podrá comprar con $1000 es solo de $950 después de 2 años, ¿cuál fue la tasa de 62. Inflación Si la tasa de inflación es en promedio 4%. inflación? ¿cuánto tiempo tomará para que el poder adquisitivo sea la mitad del actual? Los problemas 63-66 involucran bonos de cupón cero. Un bono de cupón cero es un bono que se vende ahora con un descuento v que requiere del pago de su valor real cuando madura, no se pagan intereses. ' * 63. Bonos de cupón cero Un bono de cupón cero se pue 64. Bonos de cupón cero Los abuelos de una niña están con de redimir en 20 años por $10,000. ¿Cuánto debes de siderando comprar un bono de cupón cero por $40.000 de estar dispuesto a pagar ahora si quieres un rendimiento valor nominal al momento del nacimiento de la niña para de: que tenga suficiente dinero para sus estudios universitarios (a) 10% compuesto mensualmente? dentro de 17 años. Si quieren una tasa de retomo del S% (b) 10% compuesto continuamente? compuesto anualmente, ¿cuanto deben paear por el bono?

S E C C IÓ N 6.7

Modelos financieros

475

. Bonos de cupón cero ¿En cuánto se debe de vender k ahora un bono de cupón cero de $10,000 de valor nominal ^ que madure en 10 años si su tasa de retorno es del 8% ‘ compuesto anualmente?

66. Bonos de cupón cero Si Pat paga $12,485.52 por un bono

f. Tiempo requerido para duplicar o triplicar una inversión

68. Tiempo requerido para lograr un objetivo de inversión La fórmula ln A - ln P t = -------------r se puede usar para determinar el número de años t que se requieren para que una inversión P crezca a un valor A cuando se compone continuamente a una tasa anual r. (a) ¿Cuánto tomará incrementar el valor inicial de una inversión de $1000 a $8000 a una tasa anual del 10%? (b) ¿Qué tasa anual se requiere para incrementar el valor de una inversión para el retiro de $2000 a $30,000 en 35 años? (c) Da una demostración de esta fórmula.

» La fórmula ln m

se puede usar para determinar el número de años t que se requieren para multiplicar una inversión m veces cuando r es la tasa anual de interés compuesto n veces al año. (a) ¿En cuántos años se duplicará el valor de una cuenta de ahorros para el retiro que se compone anualmente a una tasa de 12%? (b) ¿En cuántos años se triplicará el valor de una cuenta de ahorro que se compone trimestralmente a una tasa anual de 6%? (c) Da una demostración de esta fórmula.

de cupón cero de $25,000 de valor nominal que madurará en 8 años, ¿cuál será su tasa anual de retorno?

.os problemas 69-72 requieren del siguiente análisis. El índice de precios al consumidor (CPI, por sus siglas en inglés) indica el cani no relativo de precios en el tiempo de una canasta fija de bienes y servicios. Es un índice del costo de vivir que ayuda a medir el efecto de a inflación en el costo de los bienes y servicios. El CPI usa el periodo base de 1982-1984 como comparación (el CPI para este periodo >s de 100). El CPI de enero de 2006 fue de 198.3. Esto quiere decir que $100 en el periodo de 1982-1984 tenían el mismo valor adquisiivo que $198.30 en enero de 2006. En general, si la tasa de inflación promedia r por año en n años, entonces el CPI después de n años es CPI = CPI0(

donde CPI0es el CPI al comienzo del periodo de n años. Fuente: U.S. Bureau o f Labor Statistics

69. índice de precios al consumidor

71. índice de precios al consumidor Si la tasa de inflación

(a) El CPI fue de 163.0 para 1998 y 215.3 para 2008. Con siderando que la inflación anual se mantuvo constan te para este periodo, determina la tasa de inflación anual promedio. (b) Usando la tasa de inflación del inciso (a), ¿en qué año llegará a 300 el CPI? 70. índice de precios al consumidor Si el CPI actual es de 234.2 y la tasa de inflación anual promedio es de 2.8%, ¿cuál será el CPI en 5 años?

anual promedio es de 3.1%, ¿cuánto tomará para que el CPI se duplique? (El que se duplique el CPI quiere decir que el poder adquisitivo se corta por la mitad). 72. índice de precios al consumidor El periodo base para el CPI cambió en 1998. Bajo la estructura anterior de pesos y artículos, el CPI para 1995 fue de 456.5. Si la tasa de inflación anual promedio fue de 5.57%, ¿qué año se usó como periodo base para el CPI?

Explicación de conceptos: discusión y escritura 73. Explica en tus palabras lo que significa el término interés compuesto. ¿Qué significa componer continuamente? ’74. Explica en tus palabras el significado de valor presente. 75. Pensamiento crítico Acabas de comprar una casa y buscas financiamiento por la cantidad de $100,000. Vas a algunos bancos. El Banco! te prestará $100,000 a una tasa de 8.75% amortizada sobre 30 años con una comisión por apertura de crédito de 1.75%. El Banco 2 te prestará $100,000 a una tasa de 8.375% amortizada sobre 15 años con una comisión por apertura de crédito de 1.5%. El Banco 3 te prestará $100,000 a una tasa de 9.125% amortizada sobre 30 años sin comisión por apertura. El Banco 4 te prestará $100,000 a una tasa de 8.625% amortizada sobre 15 años sin comisión por apertura. ¿Qué préstamo escogerías? ¿Por qué? Asegú rate de tener razones contundentes para tu elección.

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?"

Usa la información en la tabla como ayuda. Si la cantidad del pago mensual no te importa, ¿qué préstamo escoge rías? De nuevo asegúrate de tener razones contundentes para tu elección. Compara tu decisión final con la de otros estudiantes. Comenta.

P ago m e nsual

Co m isió n por apertura

B anco 1

$7 86 .70

$ 1 ,75 0.0 0

B anco 2

$ 9 77 .42

$ 1 ,50 0.0 0

B anco 3

$ 8 13 .63

$0 .00

B anco 4

$ 9 92 .08 •

$0 .00

3 M

476

C A P ÍT U L O 6


6.8 Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial; ley de Newton; modelos de crecimiento y decaimiento logistico OBJETIVOS 1 Determinar ecuaciones de población que obedezcan la ley de crecimiento desinhibido (p. 476) 2 Determinar ecuaciones de población que obedezcan la ley de decaimiento (p. 478) 3 Usar la ley de Newton de enfriamiento íp. 479) 4

Usar modelos logísticos (p. 481)

1 Determinar ecuaciones de población que obedezcan la ley de crecim iento desinhibido Se han encontrado muchos fenómenos naturales que siguen la ley de que una cantidad A varía en un tiempo / de acuerdo con la función Fig u ra 41

A{t) = A y

(a)

4(f) =

A0e'",k>Q

Crecimiento exponencial

(b)

A(t) = Aoek' , k < 0

Decaimiento exponencial

<1)

Aquí A n es la cantidad original (í = 0) y k *■0 es una constante. Si k > 0, entonces la ecuación (1) establece que la cantidad A incrementa con el tiempo; si k < 0, la cantidad A disminuye con el tiempo. En cualquier caso, cuando una cantidad A varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación ( 1). se dice que sigue la ley exponencial o la ley de crecimiento desinhihido (k > 0) o decaimiento (k < 0). Ver figura 41. Por ejemplo, vimos en la sección 6.7 que el interés compuesto continuamente sigue la ley de crecimiento desinhibido. En esta sección veremos otros fenómenos adicionales que siguen la ley exponencial. La división celular es el proceso de crecimiento de muchos organismos visos, como amibas, plantas y células de la piel en humanos. Basándonos en una situación ideal en la que no muere ninguna célula V no se dan productos secundarios, el núme ro de células presente en un tiempo dado sigue la lev de crecimiento desinhibido. Sin embargo, después de que ha pasado suficiente tiempo, el crecimiento a una tasa ex ponencial cesará debido a la influencia de factores como la falta de espacio para vivir y la falta de alimentos. La ley de crecimiento desinhibido modela de forma precisa únicamente las etapas tempranas del proceso de división celular. El proceso de división celular empieza con un cultivo que contiene .V,células. Cada célula en el cultivo crece por un periodo de tiempo v después se diside en dos células idénticas. Consideramos que el tiempo que se necesita para que cada célula se divida en dos es constante y no cambia conforme incrementa el numero de células. Entonces estas nuevas células crecen y terminan por dividirse en dos. etc. C re c im ie n to c e lu la r d e s in h ib id o

LIn modelo que indica el número N de células en un cullixo después de que ha transcurrido un tiempo t (en las etapas tempranas de crecimiento) es N(t) = N 0ekl

k > 0

(2)

donde N qes el número inicial de células y k es una constante positiva que representa la tasa de crecimiento de las células. Cuando usamos la fórmula (2) para modelar el crecimiento celular, estamos usando una función que da números reales positivos, aunque estemos contando el numero de células, que debe ser un número entero. Esta es una práctica común en muchas aplicaciones.

S E C C IÓ N 6.8

Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial; ley de Newton; modelos de crecimiento y decaimiento logístico

EJEM PLO 1

477

Crecimiento de bacterias Una colonia de bacterias que crece de acuerdo con la ley de crecimiento desinhibido se modela por la función N(t) = 100e0045', donde N se mide en gramos y / se mide en días. (a) (b) (c) (d) (e)

Solución

Determina la cantidad inicial de bacterias. ¿Cuál es la tasa de crecimiento de las bacterias? ¿Cuál es la población después de 5 días? ¿Cuánto tomará que la población llegue a 140 gramos? ¿Cuánto tardará en duplicarse la población?

(a) La cantidad inicial de bacterias, N0, se obtiene cuando t - 0, entonces N 0 - N(0) - 100e0045(0) = 100 gramos (b) Compara N(t) - 100e0045' con N(t) = N0ekl. El valor de k, 0.045, indica una tasa de crecimiento de 4.5%. (c) La población después de 5 días es N(5) = 100eOO45(5)«125.2 gramos. (d) Para determinar cuánto tomará la población en llegar a 140 gramos, resuelve la ecuación N(t) = 140. lOOe0045' = 140 e0 0451

= 1.4

Divide a m b o s

0.045/ = ln 1.4 / =

ln 1.4 » „ 0.045

la d o s

de

la ecu ació n e n tre 1 0 0 .

R e e scrib e com o un logaritm o,

Divide a m b o s la d o s de la ecu ació n e n tre 0 . 0 4 5 .

« 7.5 días (e) La población se duplica cuando N(t) - 200 gramos, entonces determinamos el tiempo que se necesita para duplicarla resolviendo la ecuación 200 = 100e0045' para /. 200 = lOOé’0045' 2 = e0M5í

Divide am b o s la d o s de la ecu ació n e n tre 1 0 0 .

ln 2 = 0.045/

R e e scrib e com o un logaritm o.

_ ln 2 r ~ 0.045

Divide a m b o s lad o s de la ecu ació n e n tre 0 .0 4 5 .

« 15.4 días La población se duplica aproximadamente cada 15.4 días.

i.TO=E=E=E_-Resuelveahora EJEM PLO 2

el

problema

i

Crecimiento de bacterias Una-colonia de bacterias crece de acuerdo con la ley de crecimiento desinhibido. (a) Si N es el número de células y t es el tiempo en horas, expresa N como función de /. (b) Si el número de bacterias se duplica en 3 horas, determina la función que da el número de células en el cultivo. (c) ¿Cuánto tardará en triplicarse el tamaño de la colonia? (d) ¿Cuánto tardará en duplicarse por segunda vez la población (esto es, incremen tarse cuatro veces)?

Solución

(a) Usando la fórmula (2), el número N de células en el tiempo t es N(t) = TV/' donde N0 es el número inicial de bacterias presentes y k es un número positivo.

478

CAPÍTULO 6


(b) Queremos determinar el número k . El número de célula. « duplrca en J hora, por lo Linio

N(3)-2N0 Pero >V(3) =

entonces

y v ,/(3) = 2 jV0 _ 2

Pr/iác amlm

3k = ln 2

-witr« %

Escribí la ecuaaó* erponenast ccwo un lorjamnvy,

k = - ln 2 * 0.23105 3 Por lo tanto, la función que modela este proceso de crecimiento es N(t) = V

2M*V

(c) El tiempo / que se necesita para que se triplique el tamaño de la colonia requiere que N = 3Nu. Sustituye 3Nu por N para obtener

3N0 = N ^ ,23m 3= (A-23WSI 0.23105/ = ln 3 i =

ln 3 - % 4.755 horas 0.23105

Tomará aproximadamente 4.755 horas o 4 horas y 45 minutos para que ve tripli que el tamaño de la colonia. (d) Si la población se duplica cada 3 horas, se duplicará por segunda vez en 3 horas más, por un tiempo total de 6 horas.

Determ inar ecuaciones de poblaciones que obedecen la ley de decaim iento Los materiales radiactivos siguen la ley de decaimiento desinhibido. Decaimiento radiactivo desinhibido

La cantidad A de un material radiactivo presente en un tiempo / está dada por A(f) = A , / '

k < 0

(3)

donde A0es la cantidad original de material radiactivo y k es un número nega tivo que representa la tasa de decaimiento. Todas las sustancias radiactivas tienen una vida media específica, la cual, es el tiempo requerido para que decaiga la mitad de la sustancia radiactiva. En la datarión por carbono, usamos el hecho de que todos los organismos vivos contienen dos tipos de carbono, carbono 12 (un carbono estable) y carbono 14 (un carbono radiactivo con una vida media de 56(X) años). Cuando un organismo está vivo, la ra/ón de car bono 12 a carbono 14 es constante. Pero cuando muere un organismo, la cantidad original de carbono 12 presente se mantiene sin cambios, mientras que la cantidad de carbono 14 empieza a disminuir. Este cambio en la cantidad de carbono 14 relativa a la cantidad de carbono 12 presente hace posible calcular cuándo murió el organismo.

EJEM P LO 3

Datación de la edad de herram ientas antiguas Se encontró que rastros de madera quemada junto con herramientas de piedra en una excavación arqueológica en Chile contienen aproximadamente l.b7°*> de la cantidad original de carbono 14. Si la vida media del carbono 14 es de 5WX1 años, ¿aproxima damente cuándo se cortó y quemó el árbol?

SECCIÓN 6.8 Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial; ley de Newton; modelos de crecimiento y decaimiento loglstico

Solución

479

Usando la fórmula (3), la cantidad A de carbono 14 presente en el tiempo t es M t ) = A 0eil donde ¿40 es la cantidad original de carbono 14 presente y k es un número negativo. Primero determinaremos el número k. Para determinarlo, usamos el hecho de que después de 5600 años, la mitad de la cantidad original de carbono 14 se mantiene, por

lo tanto ¿4(5600) = ^ A,. Entonces 1 ¿ A ) = A / (5nk,)

1 5600* 2 = e

A0.

Divide a m b o s la d o s de la e cu ació n e n tre

5600k = ln -

R e e scrib e com o un logaritm o.

2

k = 5 S ió 'n 5 “ - ° - 0ü0124 Entonces la fórmula (3) se convierte en A(t) = y4oe-°000|24f Si la cantidad A de carbono 14 ahora presente es 1.67% de la cantidad original, se puede concluir que 0.0167/tu = ¿oe-0000124' 0.0167 = e - 0 -000124' —0.000124í = ln 0.0167

Divide a m b o s la d o s de la e cu ació n e n tre R e e scrib e com o

A0.

un logaritm o,

ln 0.0167 33,003 años -0.000124 El árbol se cortó y quemó hace aproximadamente 33,003 años. Algunos arqueólogos usan esta conclusión para argumentar que los humanos vivieron en América desde hace 33,000 años, mucho antes de lo que se acepta generalmente. . t =

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

3

3 Uso de la ley de Newton de enfriam iento La ley de Newton de enfriam iento* establece que la temperatura de un objeto que ha sido calentado disminuye exponencialmente con el tiempo y se acerca a la tempera tura del medio que rodea al objeto. Ley de Newton de enfriamiento

La temperatura u de un objeto que ha sido calentado en un tiempo t se puede modelar por la siguiente función: u{t) = T + («o - T)ekt

k < 0

(4 )

donde T es la temperatura constante del medio que rodea al objeto, uQes la temperatura inicial del objeto calentado y k es una constante negativa.

EJEM P LO 4

Uso de la ley de N ew ton de enfriam iento Un objeto se calienta a 100°C (grados Celsius) y después se deja enfriar en un cuarto con temperatura del aire de 30°C. (a) Si la temperatura del objeto es de 80°C después de 5 minutos, ¿cuándo será su temperatura igual a 50°C? (b) Determina el tiempo transcurrido antes de que la temperatura del objeto sea de 35°C. (c) ¿Qué puedes notar acerca de la temperatura conforme pasa el tiempo? * Nombrada en honor a Sir Isaac Newton (1643-1727), uno de los fundadores del cálculo.

480

C A P ÍT U LO 6

Fundón«?» exponpnclak?» y logarítmica»

Solución

(a) U n id » la fórmula (4) «m T - 30 - l
«(<) (cu

t,(l) « 3 0 + ( 1 0 0 - 3 0 ) r * ■ X* + 7 Í V *' donde u

k

es una constante negativa. Para encontrar A. usamos el hecho de que

= 80 cuando /- 5. Entonce» m(í )

- 30 f 70e*'

K0 » 30 + 70/^ &u«npitfkca.

50 * 70c5* 50 u . _ 70 ..

5k « ln

F>*->cv
j

para r

*= ~ ln \ a« -0.0673 5 7

k

'jtáa*

Entonces la fórmula (4) se convierte en u(t)

- 30 + 70r < ’,*7,'

(?»

Queremos determinar /cuando u * 50 C. entonces 50 = 30 + 70c Í,U<,7V 20 = 70e 0,,h7v -OllhT.V _

*

?2

■ 70

Tc*na te er srHxm *»:«

-0.0673/ = ln-

7 I

=

----- — =s 18.6 minutos -0.0673

Ft

m

*.* r m

La temperatura del objeto será de 50 C después de aproximadamente 18.6 minu tos o 18 minutos y 36 segundos. (b) Si u = 35°C. entonces, con base en la ecuación (5). tenemos 35 = 30 +

7 0 r ox* ,7v

5 = 7 0 e “ ao67*

f -0.0b7.V _ A “ 70

-0.0673/ = ln — 70

/ =

I c*r¿ —rv »

a

J. *

InJ70 -0.0673

39.2 minutos RasusK« par« t.

El objeto llegará a los 35 C después de aproximadamente 39.2 minutos. (c) Observa la ecuación (5). Conforme / crece, el exponente -0.0673/ se suelve no acotado en la dirección negativa. Como resultado, el valor de r <1*‘v tiende a cero, entonces el valor de u . la temperatura del objeto, tiende a 30 C. el aire de la temperatura del cuarto. J

Resuelve ahora el p R o

b l e m

a

1 3

S E C C IÓ N 6.8


481

4 Uso de m odelos logísticos

j

El modelo de crecimiento exponencial A(t) = A 0c*', k > 0, supone un crecimiento desinhibido, lo que significa que el valor de la función crece sin límite. Recuerda que establecimos que la división celular se puede modelar usando esta función, considerando que ninguna célula muere y que no se forman productos secundarios. Sin embargo, la división celular tarde o temprano se limita por factores como el espacio para vivir y la comida disponible. El modelo logfstico, que se da a continuación, puede describir situaciones donde el crecimiento o decaimiento de la variable dependiente es limitado. Modelo logístico

En un modelo logístico, la población P después del tiempo t está dada por la función c p(t) =

( 6)

1 + ae-h'

donde a , b y c son constantes con a > 0 y c > 0. El modelo es un modelo de cre cimiento si b > 0, el modelo es un modelo de decaimiento si b < 0. El número c se lama capacidad de mantenimiento (para modelos de crecimien to) porque el valor P(t) tiende a c cuando t tiende a infinito, esto es, lim P(t) = c. r—*oo

El número |¿>| es la tasa de crecimiento para b > 0 y la tasa de decaimiento para b < 0. La figura 42(a) muestra la gráfica de una función de crecimiento logístico representativa y la figura 42(b) muestra la gráfica de una función de decaimiento logístico representativa.

Basándonos en las figuras, tenemos las siguientes propiedades de las funciones de crecimiento logístico. Propiedades del modelo logístico, ecuación (6)

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales. El rango es el inter valo (0, c), donde c es la capacidad de mantenimiento. 2. No existen intersecciones en x, la intersección en y es P{0). 3. Existen dos asíntotas horizontales: y = 0 y y = c. 4. P(t) es una función creciente si b > 0 y una función decreciente si b < 0. 5. Existe un punto de inflexión donde P(t) es igual a - de la capacidad de

mantenimiento. El punto de inflexión es el punto en la gráfica donde cambia de ser curva hacia arriba, a ser curva hacia abajo para funciones de crecimiento y el punto donde la gráfica cambia de ser curva hacia abajo a ser curva hacia arriba para funciones de decaimiento. 6. La gráfica es suave y continua, sin esquinas ni saltos.

482

ca pí

iU LO 6

Funciono» exponencial« y logarítmica»

E JE M P L O 5

Población de moscas de fruta Se colocan moscas de fruía en una holclla de leche de medra prora cm on pUtar». (como comida) y levaduras (como comida y como c.llmulo para ooe ponyan hoc,»). Considera que la población de moscas de (rula después de r días d a dada pro vos

2.10 / ’(/)

I 4 56.5r

O 17/

(¡i) Indica la capacidad de manieniniícnio y la lasa de crecimiento. (h) Determina la población inicial. (c) ¿Cuál es la población después de 5 días/ (d) ¿Cuánto tarda la población en llegar a 1M0? (c) Usa un dispositivo gráfico para determinar cuánto larda la población en llegar a la mitad de la capacidad de mantenimiento trazando la gráfica de Y t m P i i ) y Y t = 115 y usando INTERSECT.

Solución

(a) Cuando / —* oo, e 41Vi

o y /'(/)

230

I

. l~a capacidad de mantcmrmcnlo de

una botella de media pinta es de 230 moscas de fruta I a tasa de crecimiento es |/>|=|().37|= 37% por día. (b) Para determinar el número inicial de moscas de fruta en la botella de media pin ta, evalúa /’(O).

P(0)

TTsó sp w ñ 130

a —— — 1 4 56.5 Por lo tanto, había 4 moscas de fruta en la botella de media pinta (c) Para determinar el número de moscas de fruta en la botella de media pinta des pués de 5 días, evalúa P ( 5 ) . P ( 5) =

230 1 4 56.5c'OJ7(5)

* 11 moscas de fruta

Después de 5 días, hay aproximadamente 23 moscas Je fruta en la botella (d) I ara determinar cuándo llegará a ISO la población de m oscas de fruta, fe su e b e la ecuación P ( i ) = ISO

230 1 4 56.5c-037' “ 180 230 = 180(1 4 56.5c*"0-37') 1.2778 = 1 4 56.5c’ 3' 3 '

Dtaide

0.2778 = 56.5c-«7'

0 0049 = ^ ln(0.0049) = -0.37/ / — 14.4 días

a.» * r-i/r lfiO. t * a-«* ^

UA» . W * «o*. «*. Dsvif «mb» u a »

96 5

rr-.rr

-0 3 7

Tomará aproximadamenle 14 4 dfas (14 d.as y lo boro) para que la poNaod» llegue a 180 moscas de fruta. (e) La mitad de la capacidad de mantenimiento es 115 m oscas de fruta R e so b e moa P ( 0 = 115 trazando la gráfica de V , = — -50

y y . = „ y , „cando

INTERSECT. Ver figura 44. La población llegará a la mitad de la capaadaj de mantenimiento en aproximadamente 10.9 días (10 días >22 horas) *

S E C C IÓ N 6.8


483

Observa de nuevo la figura 43. Observa el punto donde la gráfica alcanza 115 moscas de fruta (la mitad de la capacidad de mantenimiento): la gráfica cambia de ser curva hacia arriba a ser curva hacia abajo. Usando el lenguaje de cálculo, decimos que la gráfica cambia de crecer a una tasa que incrementa, a crecer a una tasa que dismi nuye. Para cualquier función de crecimiento logístico, cuando la población alcanza la mitad de la capacidad de mantenimiento, el crecimiento de la población empieza a ser más lento. Resuelve ahora II

e l

23

p r o b l e m a

E x p lo r a c ió n

En el mismo rectángulo de vlsuallzaclón, traza las gráficas de y -

1

500

v

y -

1+24e-°03' Y

500

2 1 + 24e-°-08r

¿Qué efecto tiene la tasa de crecimiento |b| en la función de crecimiento logístico?

EJEM PLO 6

Productos de m adera El modelo de madera EFISCEN clasifica productos de madera de acuerdo con su vida útil. Existen cuatro clasificaciones: corta (1 año), mediana corta (4 años), media na larga (16 años) y larga (50 años). Basándose en los datos obtenidos del Instituto Europeo de Bosques, el porcentaje de productos de madera restantes después de t años para productos de madera de vida larga (como los que se usan en la industria de construcción) está dado por P(t) = (a) (b) (c) (d)

Solución

100.3952 1 + 0.0316e°°581'

¿Cuál es la tasa de decaimiento? ¿Cuál es el porcentaje de productos de madera restantes después de 10 años? ¿Cuánto tarda en llegar a 50% el porcentaje de productos de madera restante? Explica por qué el numerador que se da en el modelo es razonable.

(a) La tasa de decaimiento es \b\ = |-0 .0 5 8 l| = 5.81%. (b) Evalúa P(10). 100.3952

P(10) =

95.0

1 + 0.0316e°°581(10) Por lo tanto, después de 10 años quedan 95% de productos de madera de vida larga. Resuelve la ecuación P(t) = 50. 100.3952 1 + 0.0316e00581' " 100.3952 = 50(1 + 0.0316e°°581') 2.0079 = 1 + 0.0316
Divide am b o s

1.0079 = 0.0316e00581'

R e s t a 1 de am b o s lad o s.

31.8956 = e00581' ln(31.8956) = 0.058L t « 59.6 años

Divide am b o s

lad o s e n tre

50.

la d o s e n tre 0 .0 3 1 6 .

R e e scrib e com o una expresión log arítm ica. Divide am b o s la d o s e n tre 0 .0 5 6 1 .

Tomará aproximadamente 59.6 años para que le porcentaje de productos de ma dera de larga vida restantes llegue a 50%. (d) El número de 100.3952 es razonable porque el porcentaje máximo de productos de madera restantes que es posible es de 100%.

484

CAPÍTULO 6


6.8 Evalúa tu en ten d im ien to Aplicaciones y extensiones \

El tamaño P de cierta población de insectos en el tiempo t (en días) obedece la función P(t) = 500eou2'. (a) Determina el número de insectos en t = 0 días. (b) ¿Cuál es la tasa de crecimiento de la población de in sectos? (c) ¿Cuál es la población después de 10 días? (d) ¿Cuándo llegará la población de insectos a 800? (e) ¿Cuándo se duplicará la población de insectos? C recim iento d e bacterias El número N de bacterias pre sentes en un cultivo en el tiempo / (en horas) obedece la ley de crecimiento desinhibido N(t) = 1000e(""'. (a) Determina el número de bacterias en t = 0 horas. (b) ¿Cuál es la tasa de crecimiento de las bacterias? (c) ¿Cuál es la población después de 4 horas? (d) ¿Cuándo llegará el número de bacterias a 1700? (e) ¿Cuándo se duplicará el número de bacterias? D eca im ien to radiactivo El estroncio 90 es un ma terial radiactivo que decae de acuerdo con la función A(t) = A0e~°0244', donde A a es la cantidad inicial presente y A es la cantidad presente en el tiempo t (en años). Con sidera que un científico tiene una muestra de 500 gramos de estroncio 90. (a) ¿Cuál es la tasa de decaimiento del estroncio 90? (b) ¿Cuánto estroncio 90 queda después de 10 años? (c) ¿Cuándo quedarán 400 gramos de estroncio 90? (d) ¿Cuál es la vida media del estroncio 90? Decaimiento radiactivo El yodo 131 es un material radiac tivo que decae de acuerdo con la función A{t) =/40e“0087', donde A 0es la cantidad inicial y A es la cantidad presente en el tiempo t (en días). Considera que un científico tiene una muestra de 100 gramos de yodo 131. (a) ¿Cuál es la tasa de decaimiento del yodo 131? (b) ¿Cuánto yodo 131 queda después de 9 días? (c) ¿Cuándo quedarán 70 gramos de yodo 131? (d) ¿Cuál es la vida media del yodo 131? Crecimiento de una colonia de moscos La población de una colonia de moscos obedece la ley de crecimiento desinhibido. (a) Si N es la población de la colonia y t es el tiempo en días, expresa N como función de t. (b) Si hay 1000 moscos inicialmente y después de 1 día hay 1800, ¿cuál es el tamaño de la colonia después de 3 días? (c) ¿Cuánto tiempo pasará antes de que la colonia llegue a 10,000 moscos? Crecimiento de bacterias Un cultivo de bacterias obe dece la ley de crecimiento desinhibido. (a) Si N es el número de bacterias en el cultivo y t es el tiempo en horas, expresa N como función de t. (b) Si hay 500 bacterias presentes inicialmente y después de 1 hora hay 800, ¿cuál es el tamaño de la colonia después de 5 horas? (c) ¿Cuánto tiempo pasará antes de que llegue a 20,000 bacterias? Crecimiento de la población La población de una ciu dad sureña sigue la ley exponencial.

i. C recim iento d e una p oblación d e in sectos

2.

\ 3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

(a) Si N es la población de la ciudad y / es el tiempo en años, expresa N como función de t. (b) Si la población se duplica en un periodo de 18 meses y la población actual es de 10,000, ¿cuál será la pobla ción dentro de 2 años? Descenso de la población La población de una ciudad del medio oeste sigue la ley exponencial. (a) Si N es la población de la ciudad y t es el tiempo en años, expresa N como función de t. (b) Si la población disminuyó de 90,000 a 800,000 de 2008 a 2010, ¿cuál será la población en 2012? Decaimiento radiactivo La vida media del radio es de 1690 años. Si ahora están presentes 10 gramos, ¿cuánto estará presente en 50 años? Decaimiento radiactivo La vida media del potasio ra diactivo es de 1.3 mil millones de años. Si ahora están pre sentes 10 gramos, ¿cuánto estará presente en 100 años? ¿En 1000 años? Estimación de la edad de un árbol Se determina que un pedazo de carbón de leña contiene 30% del carbono 14 que tenía originalmente. ¿Cuándo murió el árbol de don de proviene el carbón de leña? Usa 5600 años como la vida media del carbono 14. Estimación de la edad de un fósil Una hoja fosilizada contiene 70% de la cantidad original de carbono 14. ¿Qué edad tiene el fósil? Tiempo de enfriamiento de una pizza Una pizza se saca a las 5:00 p.m. de un horno cuya temperatura se fija en 450°F y se coloca en un cuarto a una temperatura constan te de 70°F. Después de 5 minutos, la pizza está a 300°F. (a) ¿A qué hora está a 135°F la pizza? (b) Determina el tiempo que debe transcurrir para que la pizza esté a 160°F. (c) ¿Qué notas acerca de la temperatura conforme pasa el tiempo?

Un termómetro que marca 72°F se coloca en un refrigerador donde la tempe ratura es de 38°F constantes. (a) Si el termómetro marca 60°F después de 2 minutos, ¿qué marcará después de 7 minutos? (b) ¿Cuánto tardará en que el termómetro marque 39°F? (c) Determina el tiempo que debe transcurrir para que el termómetro marque 45°F. (d) ¿Qué notas acerca de la temperatura conforme pasa el tiempo?

14. Ley de Newton de enfriamiento

S E C C IÓ N fv-8

Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial; ley de Newton; modelos de crecimiento y decaimiento loglstlco

15. Ley de Newton de eulentuniiento

Un termómetro que

peratura del cerdo y se molesta porque solo ha alcanzado 100’F. Si la temperatura del horno se mantiene constante a 325 F, ¿a qué hora podrá servir el hotel a sus huéspedes, suponiendo que el cerdo está cocido a los 175°F?

^ ^

marca S C se pone en un cuarto que tiene una temperatura constante de 35 C. Si el termómetro marca 15 C des pués de 3 minutos, ¿cuánto marcará después de estar en » el cuarto 5 minutos? ¿Después de 10 minutos? [Sugerencia: Debes construir una fórmula similar a la ecuación (4)| Una jarra de cerveza tiene una temperatura de 28’F. Se coloca en un cuarto con temperatura constante de 70 F. Después de 10 mi nutos. la temperatura de la jarra se ha elevado a 35 F. ¿Cuál será la temperatura de la jarra después de 30 minutos? ¿Cuán to tardará la jarra en llegar a una temperatura de 45 F? (Ve la sugerencia que se dio en el problema 15.) Descomposición de cloro en unu ulhereu Bajo ciertas condiciones del agua, el cloro libre (ácido hipocloroso, HOCI) en una alberca se descompone de acuerdo con la ley del decaimiento desinhibido. Después de poner una pe queña cantidad de cloro en el agua, Ben examina el agua y encuentra que la cantidad de cloro libre es de 2.5 partes por millón (ppm). Veinticuatro horas más tarde. Ben examina de nuevo el agua y encuentra que la cantidad de cloro libre es de 2.2 ppm. ¿Cuál será la lectura después de 3 días (es decir, 72 horas)? Cuando el nivel de cloro llegue a 1.0 ppm, Ben debe añadir más cloro a la alberca. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que Ben tenga que añadir más cloro? Descomposición de pentóxido de dinitrógeno A 45°C, el pentóxido de dinitrógeno (N.O,) se descompone en dióxido nitroso (NO,) y oxigeno (O.) de acuerdo con la ley del decaimiento desinhibido. Una cantidad inicial de pentóxido de dinitrógeno 0.25 M se descompone a 0.15 M en 17 minutos. ¿Cuánto pentóxido de dinitrógeno queda rá después de 30 minutos? ¿Cuánto tiempo pasará para que quede 0.01 M de pentóxido de dinitrógeno? Descomposición de la sacarosa La sacarosa (C^HÔ,,) al reaccionar con el agua en una solución ácida a 35°C se des compone en glucosa (C6H,,OJ y fructosa (ChH|,0 ())* de acuerdo con la ley de decaimiento desinhibido. Una cantidad inicial de 0.40 M de sacarosa se descompone en 0.36 M en 30 minutos. ¿Cuánta sacarosa quedará después de 2 horas? ¿Cuánto tiempo pasará para que quede 0.10 M de sacarosa? Descomposición de sal en el aguu La sal (NaCl) se des compone en el agua en iones de sodio (Na+) y cloruro (CL) de acuerdo con la ley de decaimiento desinhibido. Si la cantidad inicial de sal es de 25 kilogramos y después de 10 horas quedan 15 kilogramos de sal, ¿cuánta sal que dará después de un día? ¿Cuánto tiempo pasará para que

485

16. Tiempo de eulentuniiento de unu jarra de cerveza

17.

18.

19.

20.

quede ^ kilogramo de sal? Después de que se liberó en la atmósfera material radiactivo de una planta nuclear en Chernóbil (Ucrania) en 1986, la paja en Austria se contaminó de yodo 131 (vida media 8 días). Si es seguro alimentar a las vacas con esa paja cuando queda 10% del yodo 131, ¿cuánto tuvieron que esperar los granjeros para usar esta paja? 22. Rostizado de cerdo El hotel Bora-Bora tiene un rostizado de cerdo. A las 12:00 p.m., el chef mete al cerdo en un horno grande en la tierra. La temperatura original del cerdo era de 75°F. A las 2:00 p.m. el chef verifica la tem

21. Radiactividad de Chemóbil

\

23. Población de un cultivo de hucterius El modelo logistico de crecimiento ____ UXX)____ P(t) = 1 + 32.33
representa la población (en gramos) de una bacteria des pués de t horas. (a) Determina la capacidad de mantenimiento del cultivo. (b) ¿Cuál es la tasa de crecimiento de las bacterias? (c) Determina el tamaño de la población original. (d) ¿Cuál es la población después de 9 horas? (e) ¿Cuándo será la población igual a 700 gramos? (f) ¿Cuánto tarda la población en llegar a la mitad de su capacidad de mantenimiento? 24. Población de una especie en peligro de extinción Fre cuentemente los ambientalistas capturan una especie en peligro de extinción y la transportan a un ambiente con trolado donde la especie se puede reproducir y regene rar su población. Considera que se capturan seis águilas calvas americanas, se transportan a Montana y se dejan libres. Con base en la experiencia, los ambientalistas es peran que la población crezca de acuerdo con el modelo 1 + 83.33c-0162' donde t se mide en años.

(a) (b) (c) (d) (e)

Determina la capacidad de mantenimiento de la especie. ¿Cuál es la tasa de crecimiento del águila calva? ¿Cuál es la población después de 3 años? ¿Cuándo será la población igual a 30 águilas? ¿Cuánto tardará la población en llegar a la mitad de la capacidad de mantenimiento? 25. E l desastre del Challenger Después del desastre del Challenger en 1986, se hizo un estudio de 23 lanzamientos que precedieron el lanzamiento fatal. Se desarrolló un mode lo matemático que involucra la relación entre la temperatura en Fahrenheit x alrededor de los anillos O y el número y de anillos O erosionados o con fugas. El modelo establecía que ________ 6______ y

~

j + e —(5.085-0.1156.C)

donde el número 6 indica los 6 anillos O principales de la aeronave.

* Nota del autor: Sorprendentemente, las fórmulas de la glucosa y la sacarosa son iguales: no es un error de impresión.

486

C A P ÍT U L O 6


(a) ¿Cuál es el número que se predijo de anillos O erosio nados o con fugas a una temperatura de 100°F? (b) ¿Cuál es el número que se predijo de anillos O erosio nados o con fugas a una temperatura de 60°F? (c) ¿Cuál es el número que se predijo de anillos O erosio nados o con fugas a una temperatura de 30°F? |'é3 (d) Traza la gráfica de la ecuación usando un dispositivo gráfico. ¿A qué temperatura se predice que el núme ro de anillos O erosionados o con fugas será de 1? ¿De 3? ¿De 5? Fuenie: L i n d a Tappin, “Analizing D a t a Relating to the Challenger Disaster,”

Mathematics Teacher,

Vol.

87, No. 6, Se p t e m b e r 1994, pp. 423-426.

6.9 Construcción de modelos exponenciales, logarítmicos y logisticos a partir de datos P

PARA

r e p a r a c ió n

e s t a

S E C C IÓ N


Construcción de modelos lineales a partir de datos (sección 4.2, pp. 282-285) Construcción de modelos cúbicos a partir de datos (sección 5.1, pp. 336-337)

Construcción de modelos cuadráticos a partir de datos (sección 4.4, pp. 300-305)

OBJETIVOS g jl Construir un modelo exponencial a partir de datos (p. 487) || 2 Construir un modelo logarítmico a partir de datos (p. 488) 3 Contruir un modelo logistico a partir de datos (p. 489)

En la sección 4.2 estudiamos cómo determinar la función lineal de mejor ajuste (y - ax + b), en la sección 4.4 estudiamos cómo determinar la función cuadrática de mejor ajuste (y = ax2+ bx + c) y en la sección 5.1 estudiamos cómo obtener la función cúbica de mejor ajuste (y = ax3+ bx2+ ex + d). En esta sección estudiaremos cómo usar un dispositivo gráfico para determinar ecuaciones de mejor ajuste que describan la relación entre dos variables cuando se cree que la relación es exponencial (y = abx), logarítmica (y = a + b ln x) o logística . Como anteriormente, trazaremos un diagrama de dispersión de 1 + ae -bx datos para ayudarnos a determinar el modelo apropiado que debemos usar. La figura 44 muestra diagramas de dispersión que generalmente se observan para los tres modelos. Debajo de cada diagrama de dispersión están las restricciones de los valores de los parámetros. y =

F ig u ra 4 4

y

x

x

x

x

x

y = a b \ a > 0, b > 1

y = abx, 0 0

y = a +ZHn x, a > 0, b < 0

y = a + b \ n x, a > 0, b > 0

y = - — — ¡r, a > 0, b > 0, c > 0

Exponencial

Exponencial

Logarítmica

Logarítmica

Logística

i

S E C C IÓ N 6.9

Construcción de modelos exponenciales, logarítmicos y loglsticos a partir de datos

487

La mayoría de los dispositivos gráficos tienen opciones de REGression que ajus tan los datos a un tipo específico de curva. Una vez que se han ingresado los datos y se ha obtenido el diagrama de dispersión, se selecciona el tipo de curva que quieres que ajuste los datos. Después se usa la opción de REGression para obtener la curva de mejor ajuste del tipo seleccionado. El coeficiente de correlación r aparecerá solo si el modelo se puede escribir como una expresión lineal. De hecho r aparecerá para los modelos lineales, de potencias, exponenciales y logarítmicos debido a que estos modelos se pueden escribir como una expresión lineal. Recuerda, entre más cerca esté |r| de 1, mejor será el ajuste.

«. .i

¡§

1 Construcción de modelos exponenciales a partir de datos En la sección 6.7 vimos que el valor futuro del dinero se comporta exponencialmente y en la sección 6.8 vimos que los modelos de crecimiento y decaimiento también se comportan exponencialmente. El siguiente ejemplo muestra cómo los datos pueden llevar a un modelo exponencial.

EJEM PLO 1

f Año x

N ú m e ro d e s u b s c r ip t o r e s (e n m illo n e s ) , y

i

A ju sta r una función exponencial a los datos Kathleen está interesada en determinar una función que explique el crecimiento del uso de teléfonos celulares en los Estados Unidos. Ella recopila información del nú mero (en millones) de subscriptores de teléfonos celulares desde 1985 a 2008. Los datos se muestran en la tabla 9. (a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión con el año como la variable independiente. (b) Usando un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo exponencial a partir de los datos. (c) Expresa la función que determinaste en el inciso (b) en la forma A = A 0ek'. (d) Traza la gráfica de la función exponencial que encontraste en el inciso (b) o (c) en el diagrama de dispersión. (e) Usa la solución del inciso (b) o (c), para predecir el número de subscriptores de teléfonos celulares en EE.UU. en 2009. (f) Interpreta el valor de k que determinaste en el inciso (c).

1985 ( x = 1)

0.34

1986 ( x = 2)

0.68

1987 ( x = 3)

1.23

1988 ( x = 4)

2.07

1989 ( x = 5)

3.51

1990 ( x = 6)

5.28

1991 ( x = 7)

7.56

1992 ( x = 8)

11.03

1993 ( x = 9)

16.01

19 94 ( x = 10)

24 .13

1995 ( x = 11)

33 .76

1996 ( x = 12)

44 .0 4

1997 ( x = 13)

55.31

1998 ( x = 14)

69.21

1999 ( x = 15)

86 .05

20 0 0 ( x = 16)

109.48

2001 ( x = 17)

128.37

275

20 0 2 ( x = 18) -

140.77

f

20 0 3 ( x = 19)

158.7 2

20 0 4 ( x = 20)

182.14

20 05 ( x = 21)

20 7.90

20 06 ( x = 22)

23 3.00

20 07 ( x = 23)

25 5.40

20 08 ( x = 24)

27 0.33

Fuente: ©2009 CTIA-The Wireless Association®. Todos los derechos reservados.

Solución (a) Ingresa los datos en el dispositivo gráfico, haciendo que el 1 represente 1985, el 2 represente 1986, etc. Obtendremos el diagrama de dispersión que se muestra en la figura 45. (b) Un dispositivo gráfico ajusta los datos de la figura 45 a una función exponencial de la forma y = abx usando la opción EXPonential REGression. De la figura 46, podemos ver que y = abx = 0.86498(1.31855)Jt. Observa que |r| es cercano a 1, lo que indica un buen ajuste. Figura 45

Figura 46

nn

a

□ a D □a

ExpRe9 y=a*bAx a=.8649775385 b = 1.318554023 r2=.9310544659 r=.9649116363

aj ,aa

------------------- ,------ ------- 1 25

0 (c) Para expresar y = abx en la forma A = A 0ekl, donde x = t y y = A , procede de la siguiente manera: abx = A 0ekl x = t

488

/

CAPÍTULO 6 Funciones exponenciales y logarítmicas

Cuando x = t = 0, encontramos que a = A n. Esto nos lleva a a = A0

bx = ekl bx = (ek)‘ b = ek

x = t

Como y = abx = 0.86498(1.31855)*, tenemos que a = 0.86498 y b = 1.31855. a = A = 0.86498

y

b = ek = 1.31855

Queremos determinar k, por lo tanto, reescribimos ek = 1.31855 como un logarit mo para obtener k = ln( 1.31855) «0.2765 Como resultado, A = A 0ek' = 0.86498c02765'. (d) Ver figura 47 para la gráfica de la función exponencial de mejor ajuste. (e) Sea t = 25 (final del 2009) en la función que encontramos en el inciso (c). El número predicho (en millones) de subscriptores de teléfonos celulares en los Estados Unidos en 2009 es A 0ekl = 0.86498e02765(25) * 869

F ig u ra 4 7 275

25

La predicción (869 millones) excede por mucho lo que era la población en EE.U U . en 2009 (actualmente la población de EE.UU. es de aproximadamente 304 millones). Ver respuesta en el inciso (f). (f) El valor de k = 0.2765 representa la tasa de crecimiento del número de subs criptores de teléfonos celulares en los Estados Unidos. En el periodo de 1985 a 2008, el número de subscriptores de teléfonos celulares creció a una tasa anual de 27.65% compuesta continuamente. Esta tasa de crecimiento no es sustentable como vimos en el inciso (e). En el problema 10 se pide que desarrolles un mejor modelo a partir de estos datos.

Resuelve ahora

Q

e l

p r o b l e m a

i

2 D esarrollo de un m odelo logarítm ico a partir de datos Muchas relaciones entre variables no siguen un modelo exponencial, sino que la va riable independiente se relaciona con la variable dependiente usando un modelo lo garítmico.

EJEM PLO 2 Tabla 10

P r e s ió n a t m o s f é r ic a , p

A lt u r a , h

76 0

0

740

0.1 8 4

72 5

0.328

70 0

0.5 6 5

650

1.079

630

1.291

600

1.634

580

1.862

550

2.235

A ju sta r una función logarítm ica a los datos Jodi, una meteoróloga, está interesada en determinar una función que explique la relación entre la altura de un globo meteorológico (en kilómetros) y la presión at mosférica (medida en milímetros de mercurio) sobre el globo. Ella recopila los datos que se muestran en la tabla 10. (a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos con la presión atmosférica como la variable independiente. (b) Se sabe que la relación entre la presión atmosférica y la altura sigue un modelo logarítmico. Usando un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo logarítmico a partir de los datos. (c) Traza la función logarítmica determinada en el inciso (b), en el diagrama de dis persión. (d) Usa la función que determinaste en el inciso (b) para predecir la altura de un globo meteorológico si la presión atmosférica es de 560 milímetros de mercurio.

S E C C IÓ N 6.9

Solución

-

Construcción de modelos exponenciales, logarítmicos y loglsticos a partir de datos

489

(a) Después de ingresar los datos en el dispositivo gráfico, obtendremos el diagrama de dispersión que se muestra en la figura 48. (b) Un dispositivo gráfico ajusta los datos en la figura 48 a una función logarítmica de la forma y = a + b ln x usando la opción LOGarithm REGression. Ver figura 49. El modelo logarítmico a partir de los datos es h ( p ) ~ 45.7863 - 6.9025 ln p donde h es la altura del globo meteorológico y p es la presión atmosférica. Obser va que |r| es cercana a 1, lo que indica un buen ajuste. (c) La figura 50 muestra la gráfica de h(p) = 45.7863 - 6.90251n p en el diagrama de dispersión.

0.2

Figura 50

24

Figura 49

_nRe3 y=a+blnx a=45.78632064 b = -6.902524299 r=". 9999946336 525

775

- 0 .2

(d) Usando la función que determinamos en el inciso (b), Jodi predice que la altura del globo meteorológico cuando la presión atmosférica es de 560 es h{560) = 45.7863 - 6.9025 ln 560 « 2.108 kilómetros 1

Resuelve ahora

el

5

problema

IjjQjl '

0

3 D esarrollo de un m odelo logistico a partir de datos Los modelos de crecimiento logistico se pueden usar para modelar situaciones para las cuales el valor de la variable dependiente es limitado. Muchas situaciones de la vida diaria presentan este escenario. Por ejemplo, la población de la raza humana está limitada por la disponibilidad de los recursos naturales como la comida y lugar donde vivir. Cuando el valor de la variable dependiente está limitado, frecuentemen te es apropiado un modelo de crecimiento logistico.

EJEM PLO 3

A ju sta r una función logística a los datos Los datos en la tabla 11 representan la cantidad de biomasa de levaduras en un cul tivo después de t horas.

, * “" Tabla 11

Tiem po

B io m a sa

Tiem po

B io m a sa

(en ho ra s)

de le v a d u ra s

(en ho ra s)

de le v a d u ra s

0

9.6

1 2

10

513.3

18.3

11

559.7

29.0

12

594.8

3

47.2

13

629.4

4

71.1

14

640.8

5

119.1

15

651.1

174.6

16

655.9

7

257.3

17

659.6

8

350.7

18

661.8

9

441.0

6

Fuente: Tor Carlson (Über Geschwindigkeit und Grösse der Hefevermehrung in Würze, Biochemische Zeitschrift, Bd. 57, pp. 313-334,1913)

(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos con el tiempo como la variable independiente. (b) Usando un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo logistico a partir de los datos.

490

C A P ÍT U L O 6


(c) Usando un dispositivo gráfico, traza la gráfica de la función que determinaste en el inciso (h) en el diagrama de dispersión. (d) ¿Cuál es la capacidad de mantenimiento que se predice para el cultivo? (e) Usa la función determinada en el inciso (b) para predecir la población del cultivo en t = 19 horas.

Solución

(a) Ver figura 51 para el diagrama de dispersión de datos. (b) Un dispositivo gráfico ajusta un modelo logistico de crecimiento de la forma c

F ig u ra 51

= — -—

y

700

usando la opción de L O G ISTIC regression. Observa la figura 52.

El modelo logistico a partir de los datos es _____ 663.0____ y ~

1 + 71.6e”a547tu

donde y es la cantidad de biomasa de levaduras en el cultivo y x es el tiempo, (c) Ver figura 53 para la gráfica del modelo logístico. Figura 53 Figura 52

700

Logistic y=c/< l+a«?A < _bx> a=71.57629487 b=.5469947267 c=663.0219903

(d) Basándonos en el modelo logístico de crecimiento que determinamos en el inciso (b), la capacidad de mantenimiento del cultivo es de 663. (c) Usando el modelo logístico de crecimiento que determinamos en el inciso (b). la cantidad de biomasa de levaduras predicha en t = 19 horas es 663.0 *

_

1 + 71.óe-0 547* 19» ~ 661-5

Resuelva ahora el problema i

6.9 Ev a lú a tu e n te n d im ie n to j Aplicaciones y extensiones \ i .

Q

Biología Una cepa de E-coli Beu 397-recA441 se intro duce en un caldo de nutrientes a 30° Celsius y se deja cre cer. Se recopilan los siguientes datos. La teoría establece que el número de bacterias en la caja de Petri inicialmente crecerá de acuerdo con la ley del crecimiento desinhibido. La población se mide usando un aparato óptico en el que se mide la cantidad de luz que pasa a través de la caja de Petri.

T ie m p o (h o r a s ) , x

P o b la c ió n , y

0

0.09

2.5

0.18

3.5

0.26

4.5

0.35

6

0.50

Fuente:Dr. Polly Lavery, Joliet Junior College

(a) Traza un diagrama de dispersión tomando el tiempo como la variable independiente. (b) Usando un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo exponencial a partir de los datos. (c) Expresa la función que determinaste en el inciso (b) en la forma N(t) = A//*. (d) Traza la gráfica de la función exponencial que determi naste en el inciso (b) o (c) en el diagrama de dispersión. (e) Usa la función exponencial del inciso (b) o (c) para predecir la población en x = 7 horas. (f) Lisa la función exponencial del inciso (b) o (c) para predecir cuándo llegara la población a 0.75. 2. Biología Una cepa de E-coli SC18del-recA718 se intro duce en un caldo de nutrientes a 30' Celsius y se deja que crezca. Se recopilan los siguientes datos. La teoría estable ce que el número de bacterias en la caja de Petri crecerá inicialmente de acuerdo con la ley del crecimiento desin hibido. La población se mide usando un aparato óptico

S E C C IÓ N 6.9


en el que se mide la cantidad de luz que pasa a través de la caja de Petri.

491

C ig a r r o s e x p o r ta d o s (e n m ile s d e m illo n e s d e u n id a d e s )

T ie m p o ( h o r a s ) , x

P o b la c ió n , y

2.5

1995

231.1

0 .1 7 5

1998

20 1 .3

3 .5

0.3 8

1999

151.4

4.5

0.6 3

2000

147.9

4 .7 5

0.7 6

2001

133.9

5.25

1.20

20 02

127.4

2003

121.5

2004

118.7

Fílenle: Dr.

Polly Lavery, Joliet Junior College

(a) Traza un diagrama de dispersión tomando el tiempo como la variable independiente. (b) Usando un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo exponencial a partir de los datos. (c) Expresa la función que determinaste en el inciso (b) de la forma N(t) = /V0e*'. (d) Traza la gráfica de la función exponencial que determi naste en el inciso (b) o (c) en el diagrama de dispersión. (e) Usa la función exponencial del inciso (b) o (c) para predecir la población en x = 6 horas. (f) Usa la función exponencial del inciso (b) o (c) para predecir cuándo llegará a 2.1 la población. 3. Q u ím ica Un químico tiene una muestra de 100 gramos de material radiactivo. Él registra la cantidad de material radiactivo cada semana por 7 semanas y obtiene los si guientes datos:

Fuente: Statistical Abstraet ofthe United States, 2006

\

4.

(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión tomando la semana como la variable inde pendiente. (b) Usando un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo exponencial a partir de los datos. (c) Expresa la función que determinaste en el inciso (b) de la forma A(t) = A 0ekl. (d) Traza la gráfica de la función exponencial que determi naste en el inciso (b) o (c) en el diagrama de dispersión. (e) Con el resultado del inciso (b), determina la vida me dia del material radiactivo. (f) ¿Cuánto material radiactivo quedará después de 50 semanas? (g) ¿Cuántas semanas deben pasar para obtener 20 gramos de material radioactivo? E xp ortacion es d e cigarros Los siguientes datos repre sentan el número de cigarros (en miles de millones) que se exportan de los Estados Unidos cada año.

5.

6.

(a) Sea t = el número de años desde 1995. Usando un dis positivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos tomando t como la variable independiente y el número de cigarros como la variable dependiente. (b) Usando un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo exponencial a partir de los datos. (c) Expresa la función que determinaste en el inciso (b) de la forma A(t) =A0ekl. (d) Traza la gráfica de la función exponencial que determi naste en el inciso (b) o (c) en el diagrama de dispersión. (e) Usa la función exponencial del inciso (b) o (c) para predecir el número de cigarros que se exportarán de los Estados Unidos en 2010. (f) Usa la función exponencial del inciso (b) o (c) para predecir cuándo disminuirá a 50 mil millones el nú mero de cigarros exportado de los Estados Unidos. E con om ía y m ercad otecn ia Los siguientes datos repre sentan el precio y la cantidad de demanda en 2009 de com putadoras personales Dell.

(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos tomando el precio como la varia ble dependiente. (b) Usando un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo logarítmico a partir de los datos. (c) Usando un dispositivo gráfico, traza la función loga rítmica que determinaste en el inciso (b) en el diagra ma de dispersión. (d) Usa la función que determinaste en el inciso (b) para predecir la demanda de computadoras personales Dell si el precio es de $1650. E con om ía y m ercad otecn ia Los siguientes datos repre sentan el precio y cantidad de oferta en 2009 de computa doras personales Dell.

492

C A P ÍT U L O 6


(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos tomando el precio como la varia ble dependiente. (b) Usando un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo logarítmico a partir de los datos. (c) Usando un dispositivo gráfico, traza la función loga rítmica que determinaste en el inciso (b) en el diagra ma de dispersión. (d) Usa la función que determinaste en el inciso (b) para predecir la oferta de computadoras personales Dell si el precio es de $1650. \ 7. M o d elo d e p oblación Los siguientes datos representan la población de los Estados Unidos. Un ambientalista está interesado en desarrollar un modelo que describa la po blación de los Estados Unidos.

e

P o b la c ió n

P o b la c ió n (e n m ile * d e m ilio n e * )

2001

6 17

2002

825

2003

6.32

2004

640

2005

6.48

2006

6.55

2007

6.63

2008

6.71

2009

6.79

Fuente: Departamento de Censo de EE.UU.

(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos tomando los años desde 2000 como la variable independiente y la población como la variable dependiente. (b) Usando un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo logístico a partir de los datos. (c) Usando un dispositivo gráfico, traza la función que de terminaste en el inciso (b) en el diagrama de dispersión. (d) Con base en la función que determinaste en el inciso (b), ¿cuál es la capacidad de mantenimiento mundial? (e) Usa la función que determinaste en el inciso (b) para predecir la población mundial en 2015. (f) ¿Cuándo llegará la población mundial a 10 mil millones? 9. S ub scriptores d e TV por ca b le Los siguientes datos re presentan el número de subscriptores de TV por cable en los Estados Unidos. Una analista de mercado cree que los factores externos como la televisión satelital han afectado el crecimiento de subscriptores de TV por cable. Ella está interesada en desarrollar un modelo que se pueda usar para describir el número de subscriptores de TV por cable en los Estados Unidos.

1900

76,212,168

1910

92,228,496

1920

106,021,537

1930

123,202,624

1940

132,164,569

1950

151,325,798

1960

179,323,175

1970

203,302,031

1980

226,542,203

1990

248,709,873

1975 ( f = 5)

9,800

2000

281,421,906

1980 ( f = 10)

17,500

1985 ( f = 15)

35,440

1990 ( f = 20)

50,520

1992 ( f = 22)

54,300

1994 ( í = 24)

58,373

1996 ( í = 26)

62,300

1998 ( f = 28)

64,650

2000 ( f = 30)

66,250

2002 | f = 32)

66,472

2004 ( f = 34)

65,727

2006 ( f = 36)

65,319

Fucine: Departamento de Censo de EE.UU.

8.

Año

(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos tomando los años desde 1900 como la variable independiente. (b) Usando un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo logístico a partir de los datos. (c) Usando un dispositivo gráfico, traza la función que de terminaste en el inciso (b) en el diagrama de dispersión. (d) Con base en la función que determinaste en el inciso (b), ¿cuál es la capacidad de mantenimiento de los Estados Unidos? (e) Usa la función que determinaste en el inciso (b) para predecir la población de los Estados Unidos en 2004. (f) ¿Cuándo llegará la población de los Estados Unidos a 300,000,000? (g) Compara el número real del U.S. Census con las pre dicciones determinadas en los inciso (e) y (f). Comen ta cualquier diferencia. M o d elo d e p oblación Los siguientes datos representan la población mundial. Un ambientalista está interesado en desarrollar un modelo que describa la población mundial.

S u b s c rip to re s

Fílenle: Statistical Abstract o f the United States, 2009

(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos tomando los años después de 1970, t, como la variable independiente y el número de subscriptores como la variable dependiente. (b) Usando un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo logístico a partir de los datos.

S E C C IÓ N 6.9


(c)

Usando un dispositivo gráfico, traza la función que de terminaste en el inciso (b) en el diagrama de dispersión. { (d) Con base en la función que determinaste en el inciso (b). ¿cuál es el máximo número de subscriptores de ^* TV por cable en los Estados Unidos? f r (e) Usa el modelo que determinaste en el inciso (b) para predecir el número de subscriptores de TV por cable en los Estados Unidos en 2015. Usuarios de teléfonos celulares

e

Consulta los datos de la

tabla 9. (a) Usando un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo logistico a partir de los datos.

493

(b) Traza la gráfica de la función logística que determinaste en el inciso (b) en un diagrama de dispersión de datos. (c) ¿Cuál es la capacidad de mantenimiento que se predi ce para los subscriptores de teléfonos celulares de los Estados Unidos? (d) Usa el modelo que determinaste en el inciso (b) para predecir el número de subscriptores de teléfonos ce lulares en los EE.UU. al terminar 2009. (e) Compara la respuesta del inciso (d) con la respuesta del ejemplo 1, inciso (e). ¿Cómo explicas las diferen tes predicciones?

Práctica mixta Los siguientes datos repre sentan la edad y colesterol total promedio para hom bres adultos de diversas edades.

11. Edad vs. colesterol total

t

E da d

C o le s te ro l to ta l

27

189

40

205

50

215

60

210

70

210

80

194

(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos tomando la edad, x, como la variable independiente y el colesterol total, y, como la variable dependiente. (b) Basándote en el diagrama de dispersión que tra zaste en el inciso (a), escoge un modelo (lineal, cuadrático, cúbico, exponencial, logarítmico o logístico) que pienses que describe mejor la relación entre la edad y el colesterol total. Asegúrate de jus tificar tu elección de modelo. (c) Usando un dispositivo gráfico, determina el mode lo de mejor ajuste. (d) Usando un dispositivo gráfico, traza el modelo de mejor ajuste en el diagrama de dispersión que tra zaste en el inciso (a). (e) Usa tu modelo para predecir el colesterol total de un hombre de 35 años. Í2. Ingresos vs. tasa de crimen Los siguientes datos represen tan la tasa de crimen contra individuos (crímenes por 1000 hogares) y sus ingresos en los Estados Unidos en 2006. In g re s o s

T a s a d e c rim e n

$5000

217.3

11,250

195.7

20.000

183.1

30.000

179.4

42.500

166.2

62.500

166.8

85.000

___________ 162.0

Fuente; Statistical Abstract o f the United States, 2009

(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos tomando los ingresos, x, como la variable independiente y la tasa de crimen, y, como la variable dependiente. (b) Con base en el diagrama de dispersión que trazaste en el inciso (a), escoge un modelo (lineal, cuadráti co, cúbico, exponencial, logarítmico o logístico) que pienses que describe mejor la relación entre la edad y el colesterol total. Asegúrate de justificar tu elec ción de modelo. (c) Usando un dispositivo gráfico, determina el mode lo de mejor ajuste. (d) Usando un dispositivo gráfico, traza el modelo de mejor ajuste en el diagrama de dispersión que tra zaste en el inciso (a). (e) Usa tu modelo para predecir la tasa de crimen en un hogar cuyos ingresos son de $55,000. 13. Depreciación de un Chevrolet Impala Los siguientes datos representan la edad y el precio al que se quiere vender un Chevrolet Impala SS. E dad

P re c io d e v e n ta

1

$27,417

1

26,750

2

22,995

2

23,195

3

17,999

4

16,995

4

16,490

Fuente: cars.com

(a) Usando un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos tomando la edad, x, como la variable independiente y el precio de venta, y, como la variable dependiente. (b) Con base en el diagrama de dispersión que trazaste en el inciso (a), escoge un modelo (lineal, cuadrá tico, cúbico, exponencial, logarítmico o logístico) que pienses que describe mejor la relación entre la edad y el precio de venta. Asegúrate de justificar tu elección de modelo. (c) Usando un dispositivo gráfico, determina el mode lo de mejor ajuste. (d) Usando un dispositivo gráfico, traza el modelo de mejor ajuste en el diagrama de dispersión que tra zaste en el inciso (a). (e) Usa tu modelo para predecir el precio de venta de un Chevrolet Impala SS de 5 años.

494

C A P ÍT U L O 6

Fundones exponenciales y logarítmica*

REPASO DEL CAPITULO C osas q u e d e b e s sa b e r Función compuesta (p. 401)

(/ 0 n)(x) mÍ( k (x )) El dominio d e / * k es el conjunto de todos los números* en el dominio de # para los cuales #(x) está en el dominio de /

Función inyectlva/(p. 409)

Una función para la que cualesquiera dos entradas diferentes en el dominio corresponden a dos salidas diferentes en el rango. Para cualquier elección de elementos x,,x2en el dominio de /.sí x, * x r entonces /(x,) t fixj.

PruclMi (le lu recta horizontal (p. 410)

Si toda recta horizontal intersecta la gráfica de una función/en a lo mucho un punto, /e s inyectiva.

Función inversa/'1d e / (p. 411-414)

Dominio de/= rango de / ■; rango de / = dominio de / 1 / '(/(•*)) =x Para toda x en el dominio de / / ( / '(-0) ~ x Para l(,da x en el dominio de / 1 Las gráficas de / y / ' son simétricas con respecto a la recta y = x.

Propiedades de la función exponencial (pp. 423,426,428)

f(x) = Cu', a > 1, C’> 0

Dominio: el intervalo (~
/(x) = Cal, ( X a < 1, C > 0

Dominio: el intervalo (-oc. oc) Rango: el intervalo (0. oc) Intersecciones con x: ninguna: intersección con y: C Asíntota horizontal: eje x (y = 0) cuando x -♦ -oo Decreciente; inyectiva; suave: continua Ver figura 25 para una gráfica representativa.

Número

e (p. 429)

Valor aproximado por la expresión Ti +

cuando/i-♦ oo; esto es. lim ^l + ~ j = e.

Propiedad de los exponentes (p. 430)

Si a" = a', entonces u = u.

Propiedades de la función logarítmica (pp. 438-440)

/(x ) = loga x, a > 1

Dominio: el intervalo (0, oo)

(y = log,, x significa x = ay)

Rango: el intervalo (-oc. oo) Intersección con x: 1: intersección con y: ninguna Asíntota vertical: x = 0 (eje y) Creciente: invectiva: suave; continua Ver figura 39(a) para una gráfica representativa.

f{x) = log,, x, 0 < a < 1

Dominio: el intervalo (0. oo)

(y = log,, x significa x = ay)

Rango: el intervalo (-oc, oc) Intersección con x: 1: intersección con y. ninguna Asíntota vertical: x = 0 (eje y) Decreciente; inyectiva; suave; continua Ver figura 39(b) para una gráfica representativ a.

Logaritmo natral (p. 441) Propiedades de los logaritmos (pp. 451-452,454)

y = ln x significa x = ev. log,, 1 = 0 log., a = 1

<ílog- M =

log.,(AIN) = loga + loga N loga A/f = r loga A/ Si A/ = N , Si log,, Af =

entonces log,, log.,

A/

logj u r

=

r

loga^*^ J = IoSj ^ “ *°S-

A/ = log* N.

N , entonces A/ = N.


495

Fórmulas Fórmula de cambio de base (p. 455)

log(i M =

I *

log;, M logha 1+

Formula de interés compuesto (p. 467) Composición continua (p. 469)

A = Pen

Tasa de interés efectiva (p. 470)

Composición n veces al año: re = ^ 1 H— ) - 1 Composición continua: re = er - 1 v —/ I

I

Fórmula de valor presente (p. 471)

P = A- 1 +

Crecimiento y decaimiento (p. 476,478)

/4(í) = A0ekl

Ley de Newton de enfriamiento (p. 479)

u{t) = T + (h0 - T)ekl k < 0

Modelo logistico (p. 481)

P(t) =

n

o

P = Ae~"

c 1 + ae

Objetivos Sección

D ebes p o d e r...

6.1

1 Formar una función compuesta (p. 401)

6.2

2 Determinar el dominio de una función compuesta (p. 402) 1 Determinar si una función es inyectiva (p. 409) 2 Determinar la función inversa de una función definida por un mapa

3 4

6.3

1

2

3 4

6.4

1

2

o un conjunto de pares ordenados (p. 411) Obtener la gráfica de la función inversa a partir de la gráfica de la función (p. 413) Determinar la función inversa de una función definida por una ecuación (p. 414) Evaluar funciones exponenciales (p. 421) Representar funciones exponenciales gráficamente (p. 425) Definir el número e (p. 428) Resolver ecuaciones exponenciales (p. 430) Cambiar proposiciones exponenciales a proposiciones logarítmicas y proposiciones logarítmicas a proposiciones exponenciales (p. 438) Evaluar expresiones logarítmicas (p. 438)

3 Determinar el dominio de una función logarítmica (p. 439) 4 Representar funciones logarítmicas gráficamente (p. 440) 5 Resolver ecuaciones logarítmicas (p. 444)

6.5

1 Trabajar con las propiedades de los logaritmos (p. 450)

Ejem plos E je rc id o s de repaso

1,2,4, 5 2-2 1,2

1-12 7-12 13(a), 14(a), 15,16

3,4

13(b), 14(b)

7

15,16

8,9,10 1 3-6 pág. 429 7,8

17-22 23(a), (c), 24(a), (c),87(a) 55-60 59, 60 63-66,71, 72, 74-76

2,3 4

25-28 23(b), (d), 24(b), (d), 33,34, 83(b), 84(b), 85, 86, 88(a), 89

5 6,7 8,9 1,2

29-32, 61(a), 62(a) 61,62,83(a), 84(a) 67, 68, 73, 83(c), 84(c), 88(b) 35-38

3-5 6 7,8 1-3 4-6

39-44 45-50 51,52 67, 68, 77, 78 63-66, 69-72, 74-76, 79-82

7 1-3 4 5

69-82 90, 92, 97 90 91

6,7

90

2 Escribir expresiones logarítmicas como una suma o resta de logaritmos

6.6

6.7

(p-452) 3 Escribir una expresión logarítmica como un solo logaritmo (p. 453) 4 Evaluar logaritmos cuyas bases no sean ni 10 ni e (p. 455) 1 Resolver ecuaciones logarítmicas (p. 459) 2 Resolver ecuaciones exponenciales (p. 461) 3 Resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales usando un dispositivo gráfico (p. 462) 1 Determinar el valor futuro de una cantidad de dinero (p. 466) 2 Calcular las tasas efectivas de interés (p. 469) 3 Determinar el valor presente de una cantidad de dinero (p. 470) 4 Determinar la tasa de interés o el tiempo requerido para duplicar una cantidad de dinero (p. 471)

496

C A P ÍT U L O 6

f


Ejemplos Ejercicios de repaso

Debes poder

Sección

1 D eterm inar ecu acion es d e p oblación q ue o b ed ezca n la ley del

6.8

1 ,2

95

3

9 3 ,9 6

4

94

5 ,6

98 99

crecim ien to d esin hibid o (p. 476)

2 D eterm inar ecu acion es d e p oblación q ue o b ed ezca n la ley de d ecaim ien to (p. 478) U sar la ley de N ew ton d e en friam ien to (p. 479) U sar m o d elo s logísticos (p. 481) D esarrollar un m o d elo exp on en cial a partir d e d atos (p. 487) D esarrollar un m od elo logarítm ico a partir de d atos (p. 488) D esarrollar un m o d e lo logístico a partir d e d atos (p. 489)

3 4 1 2 3

6.9

1 2 3

100 101

_________

Ejercicios de repaso E n los p r o b l e m a s 1-6, p a r a las funciones f y g, determina: (a)

1.

( / o g ) ( 2) f{x)

(b) (g

= 3 x - 5;

g(x)

o /)(-2 )

(c)

2.

= 1 - 2x2

4. /(x ) = 1 - 3x2; g(x) = V 4 - x

f (x) =

5.

f (x)

( / ° /)(4 ) 4 - x;

(d) (g

g(x)

= ex\ g( x ) =

o * )(-!)

= 1 + x2

3x

-

3. f ( x ) = V ' x + 2;

6.

2

f{x )

= Y + 2x2'

g ( x ) = 2.x2 + 1

^

8

= 3x

E n los p r o b l e m a s 7-12, determina f ° g , g ° f , f ° f y g ° g p a r a cad a p a r de funciones. Indica el d o m i n i o d e cad a función compuesta.

7.

f(x) = 2 -

x;

10 . f ( x ) = V T x -

g(x) = 3 x

g(x ) =

+ 1

8. f ( x ) = 2 x - 1;

í + x + x2

U . f ( x ) = y ^ ;

g(x) = 2 x +

9. f ( x ) = 3 X 2 + x + 1;

1

12. f(x ) = V 7 ^ 3 ;

g{x)=\

g(x) =

|3*|

g(x) = ^

E n los p r o b l e m a s 13 y 14, (a) verifica q u e la función sea inyectiva y (b) determina la función inversa d e la función dada.

13.

14.

{ ( 1 ,2 ) , ( 3 ,5 ) , ( 5 ,8 ) , ( 6 ,1 0 ) }

{ ( - 1 , 4 ) , ( 0 ,2 ) , ( 1 ,5 ) , ( 3 ,7 ) }

E n los p r o b l e m a s 15 y 16, indica p o r q u é la gráfica de la función es inyectiva. D e s p u é s traza la gráfica d e su función inversa f

Por

conveniencia (y c o m o sugerencia), se d a también la gráfica de y = x.

E n los p r o b l e m a s 17-22, la función f es inyectiva. D e t e r m i n a la función inversa de c ada función y verifica tu respuesta.

17.

2x + 3

18.

f(x) 5x — 2

20. f (x) = V x - 2

2 — x

19.

f (x) =

3 + x

1 *- 1

22. / ( x) = x1/3 + 1

21. f (x) = —

1/3

E n los p r o b l e m a s 2 3 y 24, f(x) = 3 X y g(x) =

f(x ) =

log3 x.

23. Evalúa:

(a) / ( 4 )

(b ) g ( 9 )

(c) / ( - 2 )

24. Evalúa:

(a) f ( l )

(b ) g (8 1 )

(c) / ( - 4 )

(d) g

1 27

« ( s i )

E n los p r o b l e m a s 2 5 y 26, convierte c ada proposición exponencial en u n a proposición equivalente q u e involucre u n logaritmo. E n los p r o b l e m a s 2 7 y 28, convierte c ada proposición logarítmica en u n a proposición equivalente q u e involucre u n exponente.

25.

52 = z

26. a5 = m

27. log 5 u = 13

28. log*, 4 = 3

■


497

En los problemas 29-32, determina el dominio de cada función logarítmica. 29. f{x) = log(3.v - 2)

30. F(x) = log5(2x + 1 )

31. H(x) = log^x2 - 3x + 2)

32. F(x) = ln(x2 - 9)

En los problemas 33-38, evalúa cada expresión. No uses una calculadora. 33. log2

35. ln eV2

34. log3 81

36. e,lnO. 1

38. log2 2V3

37. 2log20-4

En los problemas 39-44, escribe cada expresión como la suma y/o diferencia de logaritmos. Expresa las potencias como factores. 39. log3(

42. log5|

u > 0, v > 0, w > 0 x2 + 2x + 1

*> 0

40. log2(a2V b )4, a > 0, b > 0

43. ln

x yf.x¿ + 1 x - 3

41. log(x2\ / x 3 + l), x > 0

44. ln

x > 3

2* + 3 , x2 - 3x + 2,

x> 2

En los problemas 45-50, escribe cada expresión como un solo logaritmo. 45. 3 log4 x2 + -lo g jV x

46. - 2 log3( ^

47-

48. log(x2 - 9) - log(x2 + Ix + 12)

+ K i f r ) “ ln(,J ~ ])

49. 2 log2 + 3 logx - ^[log(x + 3) + Iog(x - 2)]

+ |lo g 3Vx

50. ^ ln(x2 + 1) - 4 ln^ - ^[ln( jc - 4) + ln x]

En los problemas 51 y 52, usa la fórmula de cambio de base y una calculadora para evaluar cada logaritmo. Redondea tu respuesta a tres lugares decimales. 51. log4 19

52. log2 21

j En los problemas 53 y 54, obtén la gráfica de cada función usando un dispositivo gráfico y la fórmula de cambio de base. 53. y = log3 X

54. y = log7 x

En los problemas 55-62, usa la función f dada para: (a) Determinar el dominio de f. (b) Trazar la gráfica de f. (c) A partir de la gráfica, determinar el rango y cualquier asíntota de f. (d) Determinar f ~l, la función inversa de f. e) Determinar el dominio y rango de f ~ l. f) Trazar la gráfica de f ~x. 55. /(x ) = 2X~3

56. /(x ) = —2X + 3

57. /(x ) = ±(3-*)

58. /(x ) = 1 + 3"*

59. /(x ) = 1 - e~x

60. /(x ) = 3ex~2

61. /(x ) = |ln ( x + 3)

62. /(x ) = 3 + ln(2x)

En los problemas 63-82, resuelve cada ecuación. Expresa las soluciones irracionales en forma exacta y como números decimales redondeados a 3 lugares decimales. = V3

63. 4l~2x = 2

64. 86+3* = 4

65. 3*2+*

67. log, 64 = -3

68. lo g ^ x = -6

69. 5*

71. 92x = 273*“4

72. 25lx = 54:2-12

73. log3V x - 2 = 2

= S^2

66.

4 x~x2

=l

2

70. 5X+2 = l x~2 74.

2 X+1 • 8-x

=

75. 8 = 4r¡ • 25x

76. 2X• 5 = 10-

77. l0g6(x + 3) + log6(x + 4) = 1

78. log(7x - 12) = 2 log x

79. el~x = 5

80. el- 2x = 4

81. 9X + 4-3x - 3 = 0

82. 4X - 14 • 4_jr = 5

83. Considera que/(x) = log2(x —2) + 1. (a) Trazar la gráfica de / . (b) ¿A qué equivale /(6)? ¿Qué punto está en la gráfica de /? (c) Resuelve /(x ) = 4. ¿Qué punto está en la gráfica de /? (d) Con base en la gráfica que trazaste en el inciso (a), resuelve /(x ) > 0. (e) Determina / -1(x). Trazar la gráfica de / _l en el mismo plano cartesiano que / .

84. Considera que /(x ) = log3(x + 1) - 4. (a) Trazar la gráfica de /. (b) ¿A qué equivale /(8)? ¿Qué punto está en la gráfica de /? (c) Resuelve /(x ) = -3. ¿Qué punto está en la gráfica de /? (d) Con base en la gráfica que trazaste en el inciso (a), resuelve /(x ) < 0. (e) Determina / _1(x). Trazar la gráfica de f~ l en el mismo plano cartesiano que /.

498

C A P ÍT U L O 6


I'n los problemas 85 y 8b, usa el siguiente resultado: si x es la presión atmosférica (medida en milímetros de mercurio), entonces la fórmula de la altura h{x) (medida en metros sobre el nivel del mar) es

(?)

b(x) = (307' + 8000) log

donde Tes la temperatura (en grados Celsius) y P0 es la presión atmosférica al nivel del mar, la cual, es aproximadamente 760milí metros de mercurio. 86. Determinar la altura de una montaña ¿Qué tan alta cv 85. Determinar la altura de un avión ¿A qué altura está un una montaña si los instrumentos que se coligan en su Piper Cub cuyos instrumentos registran una temperatura cima registran una temperatura de 5 C y una presión ba externa de 0"C y una presión barométrica de 300 milíme rométrica de 500 milímetros de mercurio? tros de mercurio? 87. Amplificación del sonido La potencia de salida P (en watts) de un amplificador está relacionada con su ganan cia de voltaje d por la formula P = 25e'"‘l ¡É±2±5í ü ü . JS É fá

88.

W.

)0. ^ ^

>1.

bono paga el 4% de interés compuesto semianualmentc. ¿Cuánto deben de pagar para que el bono valga $85.000 cuando madure? 92. Financiamiento de un plan para el retiro La corporación First Colonial Banksharcs anunció los siguientes planes de inversión para el retiro.

%

O b je t iv o * d e lo s p la n e s d e in v e r s ió n p a r a e l r e t ir o

SSB9

(a) Determina la potencia de salida para una ganancia en voltaje de 4 decibeles. (b) Para una potencia de salida de 50 watts, ¿cuál es la ganancia en voltaje? Magnitud limitante de un telescopio Un telescopio tie ne su utilidad limitada por el brillo de la estrella a la que está apuntando y por el diámetro de su lente. Una medi da de la brillantez de una estrella es su magnitud, entre más opaca sea la estrella, mayor será su magnitud. Una fórmula para la magnitud L de un telescopio, es decir, la magnitud de la estrella más opaca para la que se puede usar para observación es L = 9 + 5.1 log d donde d es el diámetro (en pulgadas) del lente. (a) ¿Cuál es la magnitud limitante de un telescopio de 3.5 pulgadas? (b) ¿Qué diámetro se requiere para ver una estrella de magnitud 14? Valor residual El número de años n para que se depre cie una pieza de maquinaria a un valor residual conocido se puede determinar usando la fórmula _ log s - log / n log( 1 - d) donde s es el valor residual de la maquinaria, i es su valor inicial y d es la tasa anual de depreciación. (a) ¿Cuántos años tomará que disminuya el valor de una pieza de maquinaria de $90,000 a $ 10,000 si la tasa anual de depreciación es de 0.20 (20%)? (b) ¿Cuántos años tomará que una pieza de maquinaria pierda la mitad de su valor si la tasa anual de depre ciación es de 15%? Financiamiento de la educación universitaria Los abuelos de una niña compran un bono de $10,000 que madura en 18 años para que lo use para su educación universita ria. El bono paga el 4% de interés compuesto semianualmente. ¿Cuánto valdrá el bono cuando madure? ¿Cuál es la tasa efectiva de interés? ¿Cuánto tiempo tomará que el bono duplique su valor bajo estos términos? Financiamiento de la educación universitaria Los abue los de una niña quieren comprar un bono que madura en 18 años para que lo use para su educación universitaria. El

P o r c a d a $ 5 0 0 0 d e v a lo r d e s e a d o c u a n d o m a d u re D e p ó s ito :

9 3.

9 4.

9 5.

9 6.

9 7.

A u n p la z o d e :

S620.17

20 A ñ o s

$ 1 0 4 5 02

15 A ñ o s

S I 760 92

10 A ñ o s

$ 2 9 6 7 26

5 Años

(a) Suponiendo que tienen composición continua, ¿que tasa anual de interés ofrecieron? (b) First Colonial Banksharcs dice que $4000 invertidos hoy tendrán un valor de más de $32,000 en 20 años. Usa la respuesta que determinaste en el inciso (a) para determinar el valor real de $4000 en 20 años. Considera una composición continua. Estimación de la fecha en que murió un hombre prehiotórico Se determinó que los huesos de un hombre prehis tórico en el desierto de Nuevo México contienen aproxi madamente 5% de la cantidad original de carbono 14. Si la vida media del carbono 14 es de 5600 años, ¿hace cuántos años aproximadamente murió el hombre? Temperatura de un sartén Se quita del fuego un sartén cuya temperatura es de 450 F y se coloca en un cuarto cuya temperatura es de 70CF. Después de 5 minutos, la temperatura del sartén es de 400CF. ¿Cuánto tomará que su temperatura sea de 150CF? Población mundial La tasa anual de crecimiento de la población mundial en 2005 fue de k = 1 .1 5 % = 0.0115. La población mundial en 2005 era de 6.451.058.790. Si t = 0 representa 2005. usa el modelo de crecimiento desinhibi do para predecir la población en el año 2015. Fuente: Departamento de Censo de EEUU. Decaimiento radiactivo La vida media del cobalto radiac tivo es de 5.27 años. Si hay 100 gramos de cobalto radiactivo presentes ahora, ¿cuánto habrá en 20 años? ¿En 40 años? Déficit federal En el año fiscal 2005, el déficit federal fue de $319 mil millones. En ese tiempo, los bonos del tesoro a 10 años pagaban el 4.25% anual. Si el gobierno federal financiara este déficit con bonos del tesoro a 10 años, ¿cuánto tendría que pagar en 2015? Fuente: Tesorería de EE.UU.

499


98. C recim ien to lo g istico

El

modelo de crecimiento logistico

1 + 1.67c"016'

O

Representa la proporción de autos nuevos con un sistema •> de posicionamiento global (GPS por sus siglas en inglés). Si t = 0 representa 2006, t = 1 representa 2007 y así sucesi vamente. (a) ¿Qué proporción de autos nuevos en 2006 tendrán un GPS? (b) Determina la proporción máxima de autos nuevos que tendrán GPS. (c) Usando un dispositivo gráfico, traza la gráfica de P = P(t). (d) ¿Cuándo tendrán GPS el 75% de los autos nuevos? E x p erim en to Los siguientes datos se recopilaron al co locar un medidor de temperatura en un calentador portá til, removiendo el medidor y registrando la temperatura en el tiempo.

(c) Utiliza un dispositivo gráfico, traza la función logarít mica que determinaste en el inciso (b) en el diagrama de dispersión. (d) Usa la función que determinaste en el inciso (b) para predecir el factor de enfriamiento por el viento si la temperatura del aire es de 15°F y la velocidad del viento es de 23 mph.

V e lo c id a d d e l v ie n t o (m p h )

F a c to r d e e n f r ia m ie n t o p o r e l v ie n t o (°F)

5

7

10

3

15

0

20

-2

25

-4

30

-5

35

-7

Fuente: Servicio Meteorológico de EE.UU. T ie m p o (s ) ■ o.

T e m p e r a tu r a (°F)

0

165.07

1

164.77

2

163.99

3

16 3.22

4

162.82

5

161.96

6

161.20

7

160.45

8

159.35

Jack y Diane viven en un pequeño pueblo de 50 personas. Desafortunadamente, Jack y Diane tienen un resfriado. Aquellos que tienen con tacto con quienes tienen un resfriado se contagiarán. Los siguientes datos representan el número de personas en el pequeño pueblo que se contagiarán después de t días.

101. C ontagio d e una en ferm ed ad

.

>

D ía s .f

N ú m e r o d e p e r s o n a s r e s fr ia d a s ,

0

2

1

4

9

158.61

10

157.89

11

156.83

12

156.11

4

22

13

155.08

5

30

14

154.40

6

37

15

153.72

7

42

8

44

. De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, estos datos deben seguir un modelo exponencial. (a) Utiliza un dispositivo gráfico, traza el diagrama de dispersión de datos. (b) Utiliza un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo exponencial a partir de los datos. (c) Traza la gráfica de la función exponencial que deter minaste en el inciso (b) en el diagrama de dispersión. (d) Haz una predicción acerca del tiempo que tomará para que el medidor llegue a una temperatura de 110°F. 100. Factor de enfriam iento por el vien to Los siguientes datos representan la velocidad del viento (mph) y el factor de en friamiento por el viento a una temperatura del aire de 15°F. (a) Utiliza un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión con la velocidad del viento como la varia ble independiente. (b) Utiliza un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo logarítmico a partir de los datos.

2

8

3

14

C

(a) Utiliza un dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos. Comenta el tipo de relación que parece existir entre los días y el número de personas con un resfriado. (b) Utiliza un dispositivo gráfico, desarrolla un modelo logístico a partir de los datos. (c) Traza la gráfica de la función que determinaste en el inciso (b) en el diagrama de dispersión. (d) De acuerdo con la función que determinaste en el in ciso (b), ¿cuál es el número máximo de personas que se contagiarán? En realidad, ¿cuál es el número de personas que se podrían contagiar? (e) En algún momento entre el segundo y tercer día, 10 personas en el pueblo tienen un resfriado. De acuer do con el modelo que determinaste en el inciso (b), ¿cuándo tenían un resfriado 10 personas? (f) ¿Cuánto tomará que 46 personas se contagien?

Los vid eo s de p rep aració n para e xa m e n del cap ítu lo son so lu cio n e s paso a paso d isp o n ib les en el DVD de R ecursos en V ideo, en

EXAMEN DEL CAPITULO x

1. D a d a s

-f- 2

f (x) = ----- r

y

d ireccio n e s W eb e xa ctas para el canal de Yo u T u b e del texto.

g{x) = 2x + 5, determ ina:

x - 2

f ° g e indica (b) (g o / ) ( - 2 ) (c) ( / 0 g)(-2) (a)

su dom in io.

y = 4x2 +

3

2

3. D eterm ina la función inversa de / ( x ) = - - - - ^ y verifica tu respuesta. Indica el d om in io y rango de / y / “'. 4. Si el p un to ( 3 , - 5 ) está en la gráfica d e una función in y ec tiva / , ¿qué p un to d eb e estar en la gráfica de /"■?

En los problemas 5-7, resuelve cada ecuación. 6. logft 16 = 2

7. lo g 5 a- = 4

En los problemas 8-11, usa una calculadora para evaluar cada expresión. Redondea tu respuesta a tres lugares decimales. 8. e3 + 2

9. log 20

10. lo g 321

11. ln 133

En los problemas 12 y 13, usa la función dada para: (a) Determinar el dominio de f. (b) Trazar la gráfica de f. (c) A partir de la gráfica, determinar el rango y cualquier asíntota de f. (d) Determinar f~ \ la función inversa de f. (e) Determinar el dominio y el rango de / “'. (f) Trazar la gráfica de f~l. 12. / (

a)

= 4x+i - 2

13. / (

a)

= 1 - log5(A - 2)

4x3 \ como la suma y/o diferencia - 3x - 18y de logaritmos. Expresa las potencias como factores. 21. Una muestra de 50 mg de una substancia radiactiva decae a 34 mg después de 30 días. ¿Cuánto tardara en que que den 2 mg de la substancia? 22. (a) Si se invierten $1OCX) al 5% compuesto mensualmen te, ¿cuánto habrá después de 8 meses? (b) Si quieres tener $1000 en 9 meses, ¿cuánto necesitas depositar ahora en una cuenta de ahorros que paga el 5% compuesto trimestralmente? (c) ¿Cuánto tardará en duplicarse tu dinero si lo puedes invertir al 6% compuesto anualmente? 23. El nivel de decibeles, D, del sonido está dado por la ecua 20 Escribe log2

(b) y - V T 4 - 3 - 5

5. 3* = 243

En los problemas 14-19, resuelve cada ecuación. 14. 5Jt+2 = 125 15. logfx 4- 9) = 2 16. 8 - 2e~x = 4 17. logfx2 4- 3) = logfx 4- 6) 18. 7Jt+3 = ex 19. log2fx - 4) 4- log2(x + 4) = 3

.

2. D eterm ina si la función es inyectiva. (a)

) o en el canal de Youf f l ? } de este

te xto . Ve a la pág in a de recu rso s del estu d ia n te para ve r las

ción D = 10 log^y-^, donde / es la intensidad del sonido y 10= 1 0 12watt por metro cuadrado. (a) Si el grito de una sola persona mide 80 decibeles. ¿qué tan intenso será el sonido si dos personas gritan al mismo tiempo? Es decir, ¿qué tan fuerte será el so nido si se duplica la intensidad? (b) El umbral de dolor para el sonido es de 125 decibeles. Si el Estadio Olímpico de Atenas 2004 (Olvmpiako Stadio Athinas ‘Spyros Louis') tiene cupo para 74.400 personas, ¿cuántas personas deben gritar al mismo tiempo para que el sonido alcance o exceda el umbral de dolor? (No tomes en cuenta cualquier amortigua ción del sonido.)

REPASO ACUMULATIVO 1. La siguiente gráfica, ¿es la gráfica de una función? Si lo es, ¿es inyectiva?

2. Para la función/(x) = 2x2-3 x 4 -1, determina lo siguiente: ( a) / ( 3) (b )/(-x ) (c) / ( a 4-/,) 3. Determina cuál de los siguientes puntos está en la gráfica de a24- y2= 1.

4.

500

Resuelve la ecuación 3(x - 2) = 4(x 4- 5).

5. Traza la gráfica de la recta 2x - 4y = 16. 6. (a) Traza la gráfica de la función cuadrática / ( a) = - a2 4- 2x - 3, determinando si la gráfica abre hacia abajo o hacia arriba y encontrando su vértice, eje de simetría, intersección en y e intersecciones en a, si existen. (b) Resuelve/(.v) ^0 . 7. Determina la función cuadrática cuya gráfica se da en la figura.

Proyectos del Capitulo

8. Traza la gráfica de f (x) = 3(.v + l)3 -2 usando transfor maciones. t 2 9. Dado que f(x) = x: + 2 y g(.v) = ----- - , determina x —3 * /(íí( v)) e indica su dominio. ¿A qué equivale /(g(5))‘? 10. Para la función polinomial f(x) = 4.r' + 9.r - 30,v - 8: (a) Determina los ceros reales de / . (b) Determina las intersecciones de la gráfica con / . ¿•j (c) Usa un dispositivo gráfico para aproximar los máxi mos y mínimos locales. (d) Traza una gráfica completa de / . Asegúrate de mar car las intersecciones y puntos de inflexión. 11. Para la función g(x) = 3X+ 2:

12. 13. 14.

(a) Traza la gráfica de g usando transformaciones. Indica el dominio, el rango y la asíntota horizontal de g. (b) Determina la función inversa de g. Indica el dominio, el rango y la asíntota vertical de g-1. (c) En la misma gráfica que g, traza la gráfica de g~l. Resuelve la ecuación 4r_1 = 81*. Resuelve la ecuación: log3(.v + 1) + log3(2* - 3) = log^9 Considera que f (x) =log3 (x + 2). Resuelve: (a) /(•*) —0 (c) /(* ) = 3

(b) f { x ) > 0

501

Los siguientes datos representan el porcentaje de todos los conductores por edad que han sido detenidos por la policía por cualquier razón el año pasado. La media de la edad representa el punto medio del límite superior e inferior para el intervalo de edades.

15. Análisis de datos

In t e r v a lo

M e d ia d e

P o r c e n t a je d e

de edades

la e d a d , x

d e t e n id o s , y

16-19

17.5

18.2

20-29

24.5

16.8

30-39

34.5

11.3

40-49

44.5

9.4

50-59

54.5

7.7

>60

69.5

3.8

(a) Usando tu dispositivo gráfico, traza un diagrama de dispersión de datos tomando la media de la edad, x, como la variable independiente. (b) Determina un modelo que creas que describe mejor la relación entre la media de la edad y el porcentaje de de tenidos. Puedes elegir entre modelos lineales, cuadráticos, cúbicos, exponenciales, logarítmicos o logísticos. (c) Justifica el modelo que seleccionaste en el inciso (b).


m Proyectos con base en Internet

El libro azul Kelly es una guía oficial que proporciona el precio de venta actual de los autos. Puedes consultar el Libro Azul Kelley en tu biblio teca, o por Internet en www.kbb.com. (El contenido se encuentra en inglés.) 1. Identifica tres autos que consideres comprar y encuen tra en el Libro Azul Kelley el valor de los autos que tengan 0 (nuevo), 1,2,3,4 y 5 años. En Internet, el va lor del auto se puede encontrar seleccionando Autos usados (Used Cars) y después Valor de autos usados (Used Car Valué). Ingresa el año, marca y modelo del auto que selecciones. Para ser consistentes, considera remos que los autos se manejarán 12,000 millas al año,

I. Depreciación de autos

así que un auto de 1 año tendrá 12,000 millas, uno de 2 años tendrá 24,000 millas y así sucesivamente. Escoge las mismas opciones para cada año y por último deter mina el valor sugerido de venta para autos que estén en condición excelente, buena y aceptable. Así que debes tener un total de 16 observaciones (una para el auto nuevo, 3 para el auto de 1 año, 3 para el auto de 2 años, etc.). 2. Traza un diagrama de dispersión de datos con la edad como la variable independiente y el valor como la variable dependiente usando Excel, una calculadora gráfica TI o alguna otra hoja de cálculo. El proyecto del capítulo 4 describe cómo trazar un diagrama de dispersión en Excel. 3. Determina la función exponencial de mejor ajuste. Traza la gráfica de la función exponencial de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. Para hacer esto en Excel, haz clic en cualquier punto con datos en el diagrama de dispersión. Ahora haz clic en el menú “Gráfico”, selecciona “Línea de tendencia” bajo la región de “Análisis”, selecciona “Más opciones de línea de tendencia”. Selecciona el botón de Expo nencial y selecciona “Mostrar ecuación en el gráfico”. Ver figura 54. Mueve la ventana de “Opciones de lí nea de tendencia” hacia un lado y verás la función exponencial de mejor ajuste desplegada en el diagra ma de dispersión. ¿Crees que la función describe con precisión la relación entre la edad del auto y su precio de venta sugerido?

502

C A P ÍT U L O 6

F ig u ra 5 4

Funcione* exponencial*» y logaritmica» ;«

22 i

form al In n d l'n »

■ - r i T ìi npnrvw

I maColor

y • Ce" donde y ex el valor de venia sugerido del auto y x ex la edad del aulo (en aflox). ¿Qué reptexenta el valor de C ! ¿Qué reprexcnia el valor de r? ¿Cuál ex la taxa de

Trcndlln# Option! TrendyitegriMpn t n»

Un#filyío

J* J J" y*

4. U i función exponencial «le mejor ajuste ex de la Unm4

depreciación para cada auto que extáx considerando? Untar

5, Escribe un informe donde dclallcx que auto compraría*

[QUmtthrne potynHTMi

baxándotc en la taxa de depreciación que encontrare para cada auto.

f*9m jÍ

POffar

j

J

Muvno Ay«»age

TretwftrwHmmm • Automate 1

'

fapon. Or«a|)

L___ 1____ J

Forocoot

forward: 00 Qatfrward 00 O

(7)

In fa rra p t •

(miodi fo .O

t<»Li#0f»i on
f i (»* jU» K «<»«ar#d v * j# on (hart

í

¡

Los siguientes proyectos están disponibles en el Centro de recursos del profesor (INC, por sus siglas en infles / II.

Café caliente Un restaurante de comida rápida quiere un contenedor especial para café. E l restaurante quiere que el conte nedor enfríe el café rápidamente de 2(X)"F a 130 F y que mantenga el líquido entre 110 F y 130 I- por el mayor tiempo posible El restaurante tiene tres contenedores de donde elegir. ¿Cuál se debería de comprar?

III.

Proyectos en Motorola Fatiga termal en conexiones con soldadura La confiabilidad de un producto es un ínteres principal de un fabricante. Aquí se usa una transformación logarítmica para simplificar el análisis de la capacidad de un teléfono cclulaj de soportar los cambios de temperatura.

Cita- Excel 02010 Microsoft Corporation. Usado con permiso de Microsoft.

Funciones trigonométricas Contenido 7.1 7 .2 7 .3 7 .4

Ángulos y su medida Trigonometría de triángulos rectángulos Cálculo de valores de funciones trigonométricas de ángulos agudos. Funciones trigonométricas de cualquier ángulo

7 .5 7 .6 7 .7

Enfoque del círculo unitario; propiedades de las funciones trigonométricas Gráficas de las funciones seno y coseno Gráficas de las funciones tangente, cotangente, cosecante y secante

7 .8 • • • •

Corrimiento de fase; ajuste de curvas sinusoidales Repaso del capítulo Examen del capítulo Repaso acumulativo Proyectos del capítulo

Revisión de la duración del día La duración del día depende del día del año y de la latitud del lugar. La latitud da la localización de un punto en la Tierra al norte o al sur del ecuador. En el capítulo 5 determinamos un modelo que describe la relación entre la duración del día y la lati tud para un día específico del año. En el proyecto por Internet al final de este capítulo, determinaremos un modelo que describa la relación entre la duración del día y el día del año para una latitud específica. —Ver el proyecto I con base en Internet del capítulo—

< En Resum en

En el capítulo 3 comenzamos nuestro estudio de las funciones. Definimos el dominio y el rango y las variables independiente y dependiente; determinamos el valor de una función e hici mos gráficas de funciones. Continuamos nuestro estudio de funciones enlistando las propiedades que puede tener una función, como el que sea par o impar y creamos un directorio de funciones, nombrando funciones clave e indicando sus propiedades, incluyendo su gráfica.

Un Vistazo >

En este capítulo definiremos las funciones trigonométricas, seis funciones que tienen un amplio uso. Hablaremos acerca de su dominio y rango, veremos cómo determinar valores, representarlas gráficamente y desarrollaremos una lista de sus propiedades. Existen dos enfoques ampliamente aceptados para el desarrollo de las funciones trigonométricas: uno usa los trián gulos rectángulos; el otro usa los círculos, especialmente el círculo unitario. En este libro desarrollaremos las funciones trigonométricas usando triángulos rectángulos. En la sección 7.5 presentaremos las funciones trigonométricas usando el círculo unitario y mostrando que este enfoque lleva a la definición usando triángulos rectángulos.

503

504

C A P ÍT U L O 7

Funciones trigonométricas

7.1 Ángulos y su medida P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s e c c ió n Antes de empezar, repasa lo siguiente: Movimiento uniforme (capítulo 1, sección 1.7, pp. 138-139)

• Circunferencia y área de un círculo (capítulo R, Repaso, sección R.3, p. 32) Resuelve ahora los problemas de la sección " ¿ E s t á s

lis t o ? "

de la página 513.

1 Convertir entre medidas decimales y medidas en grados, minutos y segun

O B J E T IV O S

dos para ángulos (p. 506) 2 Determinar la longitud de un arco de un círculo (p. 508) 3 Convertir de grados a radianes y de radianes a grados (p. 508) 4

Determinar el área del sector de un círculo (p. 511)

5 Determinar la velocidad lineal de un objeto que se mueve con movimiento

circular (p. 512)

F ig u ra 1

---------- » .....— V

Rayo

Recta

Un rayo o sem irrecta, es la porción de una recta que empieza en un punto V en la recta y se extiende indefinidamente en una dirección. El punto inicial V del rayo se llama su vértice. Ver figura 1. Si se trazan dos rayos con un vértice en común, estos forman un ángulo. Le lla mamos a un rayo del ángulo el lado inicial y al otro el lado term inal. El ángulo forma do se identifica mostrando la dirección y cantidad de rotación a partir del lado inicial al lado terminal. Si la rotación es en contra de las manecillas del reloj, el ángulo es positivo; si la rotación es en la dirección de las manecillas del reloj, el ángulo es ne gativo. Ver figura 2.

F ig u r a 2

Rotación en contra de las manecillas del reloj

F ig u r a 3

Rotación en la dirección de las manecillas del reloj

Rotación en contra de las manecillas del reloj

Ángulo positivo

Ángulo negativo

Ángulo positivo

(a)

(b)

(c)

Frecuentemente se usarán letras griegas minúsculas como a (alfa), /3 (beta), y (gama) y 0 (theta) para denotar los ángulos. Observa que en la figura 2(a) el ángulo a es positivo porque la dirección de la rotación a partir del lado inicial al lado terminal es en contra de las manecillas del reloj. El ángulo )3 de la figura 2(b) es negativo porque la rotación es en la dirección de las manecillas del reloj. El ángulo y de la figura 2(c) es positivo. Observa que el ángulo a de la figura 2(a) y el ángulo y de la figura 2(c) tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal. Sin embargo, a y y no son equivalentes porque la cantidad de rotación requerida para ir del lado inicial al lado terminal es mayor para el ángulo y que para el ángulo a. Se dice que un ángulo 0 está en posición estándar si su vértice está en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el eje x positivo. Ver figura 3. y y \

N

Lado te rm in a l\

Vértice

(a)

Lado inicial

Vértice

x

9 está en la posición estándar; e es positivo

/

J 0

“71 (b)

Lado inicial

x

e está en la posición estándar; 0 es negativo

S E C C IÓ N 7.1


505

Cuando un ángulo 9 está en la posición estándar, el lado terminal estará en un cuadrante, en cuyo caso decimos que 6 está en ese cuadrante, o el lado terminal esta rá en el eje x o en el eje y, en cuyo caso decimos que 6 es un ángulo cuadrantal. Por ejemplo, el ángulo 9 de la figura 4(a) está en el cuadrante II, el ángulo 9 de la figura 4(b) está en el cuadrante IV y el ángulo 9 de la figura 4(c) es un ángulo cuadrantal.

; « s.

i I

(a)

e está en el cuadrante II

(b)

0

está en el cuadrante IV

Los ángulos se miden determinando la cantidad de rotación que se necesita para que el lado inicial coincida con el lado terminal. Las dos medidas usadas comúnmente para ángulos son grados y radianes.

G rados N O TA H IS T Ó R IC A : Una ro tació n en c o n tra de la s m anecillas del reloj e s igual a 3 6 0 ° debido al año babilónico, el cual, te n ía 3 6 0 d ía s .

■

Se dice que el ángulo que se forma por exactamente una rotación del lado inicial en la dirección opuesta a las manecillas del reloj hasta que coincida consigo mismo 1 (1 revolución) mide 360 grados, que se abrevia como 360°. U n grado, 1°, e s ---- de 2 360 revolución. Un ángulo recto es un ángulo que mide 90° o - de revolución; un ángulo 1 4 llano es un ángulo que mide 180° o —revolución. Ver figura 5(b). Como muestra la figura 5(b), es común indicar un ángulo recto usando el símbolo L.

F ig u r a 5 Lado terminal

Lado terminal Lado inicial

Vértice Lado Inicial

Vértice (a)

1 revolución en la dirección opuesta a las manecillas del reloj, 360°

Lado terminal Vértice Lado inicial

(b) ángulo recto, \ de revolución

(c)

ángulo llan o ,| revolución en

en la dirección opuesta a las

la dirección de las manecillas

manecillas del reloj, 90°

del reloj, 180°

También es común referirse a un ángulo que mide 9 grados como un ángulo de 9 grados.

EJEM PLO 1

T ra z o de un ángulo Traza cada ángulo. (a) 45°.

Solución

(b) -90°

(a) Un ángulo de 45° es —de un ángulo

(d) 405°

(c) 225c

(b) Un ángulo de —90° es - de revolu-

recto. Ver figura 6.

ción en la dirección opuesta a las ma necillas del reloj. Ver figura 7.

F ig u ra 6

F ig u ra 7

Vértice

Lado terminal

Lado inicial

-90°

506

/ C A P ÍT U L O 7

Fundones trigonométricas

(d) Un ángulo de 405'' consiste en 1 re volución (360°) seguida de una ro tación de 45°. Ver figura 9.

(c) Un ángulo de 225° consiste en una rotación de ISO0 seguida de una ro tación de 45°. Ver figura S.

Figura 9

Figura 8

-R88UBIV8 ahora

EL

p r o b l e m a

11

1 Conversión entre m edidas decim ales y m edidas de grados, m inutos y segundos para ángulos Aunque se pueden obtener subdivisiones de un grado usando números decimales, también podemos usar la notación de minutos y segundos. Un minuto, que se denota por 1', se define como — de grado. Un segundo, que se denota por 1", se define como 1 60 1 — de minuto o, equivalentemente, —— de grado. Un ángulo de, digamos, 30 grados. oU 3o(X) 40 minutos, 10 segundos se escribe de forma compacta como 30°40'10". En resumen:

1 revolución en la dirección opuesta a las manecillas del reloj = 360° I o = 60'

T = 60"

A veces es necesario convertir entre notación de grados, minutos y segundos (G°M'S") a una forma decimal y viceversa. Verifica tu calculadora, debe ser capaz de hacer las conversiones por ti. Antes de usar tu calculadora, debes establecer el modo de grados porque hay dos maneras comunes de medir ángulos: modo de grados y modo de radianes. (En breve definiremos los radianes.) Generalmente, se usa un menú para cambiar de un modo a otro. Verifica tu manual de usuario para saber cómo funciona tu calculadora. Par convertir de notación de grados, minutos, segundos (G°M'S") a la forma decimal y viceversa, sigue los siguientes ejemplos: 15°30' = 15.5° porque 30’ = 3 0 -1 '

= 0.5°

32.25° = 32°15' porque 0.25° = 1°

EJEM PLO 2

=

60

'

Conversión en tre grados, m inutos, segundos y la form a decimal (a) Convierte 50°6'21" a un número decimal en grados. Redondea la respuesta a cuatro lugares decimales. (b) Convierte 21.256° a la forma G°M'S". Redondea la respuesta al segundo más cercano.

SECCIÓN 7.1 Angulos y su medida

Solución

(a) Como 1' =

J y I" = ( ¿ j ) =

507

’ convertimos de la siguiente forma:

5 0 ° 6 '2 r = 50° 4- 6' + 21

2 11 . f i . i y = 50° + 6 • (1 ~i yI + +2 \6 0 / % 50° + 0.1° + 0.0058°

VW) 6 0 /

= 50.1058°

(b) Procederemos de la siguiente manera: 21.256° = 21° + 0.256° — 21° + (0.256)(60')

Convierte la fracciónele grado a minutos: 1“ = 6 0 ’.

= 21° + 15.36' = 21° + 15' + 0.36' = 21° + 15' + (0.36)(60")

Convierte la fracción de minuto a segundos: V = 60".

= 21° + 15' + 21.6” « 21°15'22"

Resuelva ahora

l o s

Redondea al segundo más cercano.

p r o b l e m a s

23

y

29

s En muchas aplicaciones, como en la descripción de la localización exacta de una estrella o la posición precisa de un barco en el mar, se usan medidas en grados, minu tos y hasta segundos. Para fines de cálculos, éstas se transforman a la forma decimal. En otras aplicaciones, especialmente en cálculo, los ángulos se miden en radianes.

Radianes Un ángulo central es un ángulo positivo cuyo vértice está en el centro de un círculo. Los rayos de un ángulo central subtienden (intersectan) un arco en el círculo. Si el ra dio del círculo es r y la longitud del arco subtendido por el ángulo central es también r, entonces la medida del ángulo es de 1 radián. Ver figura 10(a). Para un círculo de radio 1, los rayos de un ángulo central que miden 1 radian subtienden un arco de longitud 1. Para un círculo de radio 3, los rayos de un ángulo central que miden 1 radian subtienden un arco de longitud 3. Ver figura 10(b). Figura 10

(a)

(b)

508

C A P ÍT U L O 7


2 D eterm inar la longitud de arco de un círculo

F ig u ra 11

Considera ahora un círculo de radio r y dos ángulos centrales 0 y 0,, medidos en radianes. Considera que estos ángulos centrales subtienden arcos de longitud s y í respectivamente, como se ve en la figura 11. De la geometría sabemos que la razón de las medidas de los ángulos equivale a la razón de las longitudes correspondientes de los arcos subtendidos por estos ángulos, esto es,

e_ = s_ 01 “ s,

0 _ s 01

(2)

5X

Considera que 0, = 1 radián. Consulta de nuevo la figura 10(a). La longitud 5, del arco subtendido por el ángulo central 0, = 1 radián es igual al radio r del círculo. Entonces 5, = r, por lo que la ecuación (2) se reduce a 0 5 —= 1 r TEO R EM A

o

s —

(3)

r0

L o n g itu d d e a rc o

Para un círculo de radio r, un ángulo central de 0 radianes subtiende un arco cuya longitud s es (4)

r0

J N O T A : L a s f ó r m u la s d eb en s e r c o n s i s t e n t e s co n r e s p e c t o a l a s u n id a d e s q u e s e u s e n . E n la e c u a c ió n ( 4 ) e s c r ib im o s s =

r6

P a r a v e r l a s u n id a d e s , s in e m b a rg o , d e b e m o s r e g r e s a r a la e c u a c ió n ( 3 ) y e s c r ib ir 0 r a d ia n e s 1 ra d iá n

s u n id a d e s d e longitud r u n id a d e s de longitud 0 ra d ia n e s

s u n id a d e s de longitud = r u n id a d e s de longitud 1 rad ián C o m o lo s r a d ia n e s s e c a n c e la n a l d iv id ir lo s , t e n e m o s s u n id a d e s d e longitud = ( r u n id a d e s de longitud)©

s = r0

d o n d e 0 p a r e c e s e r “a d im e n s io n a l” p e ro , d e H echo, s e m id e en r a d ia n e s . A s í q u e, a l u s a r la fó rm u la s

= rO,

la s d im e n sio n e s de 0 so n r a d ia n e s y s e puede u s a r cu alq u ie r unidad d e longitud c o n

v e n ie n te (c o m o p u lg a d a s o m e t r o s ) p a r a s y r.

EJEMPLO 3

■

D e te rm in ar la longitud del arco de un círculo Determina la longitud del arco de un círculo de 2 metros de radio subtendido por un ángulo central de 0.25 radianes.

Solución

Usa la ecuación (4) con r = 2 metros y 0 = 0.25. La longitud 5 del arco es

j

s = r0 = 2(0.25) = 0.5 metros ,T = = = ^ -R esu elve ahora

Figura 12 1 revolución = 2tt radianes

e l

p r o b l e m a

7i

3 Conversión de grados a radianes y de radianes a grados Como se tienen dos maneras de medir los ángulos, es importante poder convertir de una a la otra. Considera un círculo de radio r. Un ángulo central de 1 revolución subtenderá un arco igual a la circunferencia del círculo (figura 12). Como la circunfe rencia de un círculo de radio r es igual a lirr, sustituimos 2-nr por s en la ecuación (4) para determinar que, para un ángulo 0 de 1 revolución, 5 = rd 27rr = rd

0 = 2tt radianes

0 = 1 revolución; s = R e su elve p a ra

0.

2nr

S E C C IÓ N 7.1

Angulos y su medida

509

Por esto tenemos 1 revolución = 2 v radianes

(5)

Como 1 revolución = 360°, tenemos que 360° = 27t radianes Dividiendo ambos lados entre 2 obtenemos ( 6)

180° = 7r radianes Divide ambos lados de la ecuación (6) entre 180. Entonces 7T 1 grado = —— radianes 180 Divide ambos lados de (6) entre

tt.

Entonces grados = 1 radián

77

Tenemos las siguientes dos fórmulas de conversión:*

1 grado -

EJEM PLO 4

TT

180

180 1 radián = ---- grados 7r

radianes

(7)

C onversión de grados a radianes Convierte cada ángulo en grados a radianes. (a) 60°

Solución

(b) 150°

(a) 60° = 60-1 grado = 60 •

(c) -45° 77*

(d) 90°

(e) 107°

7T

radianes = y radianes

(b) 150° = 150* I o = 1 5 0 radianes = ^ -ra d ia n e s 180 6 7

T

TT

(c) -4 5 ° = -4 5 radianes - - — radianes w 180 4 TT

TT

(d) 90° = 90 radianes = —radianes v ' 180 2 (e) 107° = 1 0 7 radianes « 1.868 radianes Los incisos (a)-(d ) del ejemplo 4 ilustran que los ángulos que son fracciones “bonitas” de una revolución se expresan en medidas de radianes como múltiplos frac cionarios de 77, en lugar de como números decimales. Por ejemplo, un ángulo recto, 77

como el del ejemplo 4(d), se deja en la forma de — radianes, que es exacto en lugar 77 3.1416 _ de usar la aproximación — « — - — = 1.5708 radianes. Cuando las fracciones no son “bonitas,” usamos la aproximación decimal del ángulo, como en el ejemplo 4(e). * * = = —--Resuelve ahora

l o s

p r o b l e m a s

* A lgunos estudiantes prefieren usar la proporción

35

Orado

loU

y

61

Radia = -------

7T

1.

u r u u u ¿; ixuuiuntó. u e sp u e

sustituyen p or la información dada y resuelven para la medida que se quiere determinar.

C A P ÍT U L O 7

/


EJEMPLO 5

Conversión de radianes a grados Convierte cada ángulo de radianes a grados. 77

(b) ^-radianes

(a) — radianes

(c) - ^ r a d ia n e s

O

(d)

Solución

~~

(e) 3 radianes

radianes

(a) -7 - radianes = -7 - • 1 radián = v

’

6

6

7 7 *^^ 6

. . . 377 377 180 (b) — radianes = —

grados = 30°

tt

grados = 270

. 377 377 180 (c) — —radianes = — — ---- grados = -135 V' 4 4 77 0 . I tt I tt 180 (d) — radianes = — «-^-grados = 420

(e) 3 radianes = 3 •

grados

-Resuelve ahora

el

171.89e

problema

47

La tabla 1 da una lista de las medidas en grados y en radianes de algunos ángulos que se encuentran frecuentemente. Debes aprender a sentirte igual de cómodo usan do grados o radianes para medir estos ángulos. Grados Radianes

Grados Radianes

EJEM PLO 6

0o 0

00

Tabla 1

o\

510

30°

45°

90°

120°

77

77

7r

7T

27r

135° 37T

6

4

3

2

3

4

225° 577

240°

270°

477

37 T

300° 57T

315°

7 tt

6

4

3

2

3

4

210°

I

tt

150° 57T 6 330° I I 77 6

180° 7r

360° 277

Determinar la distancia entre dos ciudades La latitud de un lugar L es la medida del ángulo formado por un rayo que se traza del centro de la Tierra al Ecuador y otro rayo que se traza del centro de la Tierra a L . Ver figura 13(a). Glasgow, Montana, está al norte de Albuquerque, Nuevo México. Determina la distancia entre Glasgow (48°9' latitud norte) y Albuquerque (35°5' la titud norte). Ver figura 13(b). Considera que el radio de la Tierra es de 3960 millas.

Figura 13

S E C C IÓ N 7.1

Solución

180

1Y

4' = 4

Usa 0 = 0.228 radianes y r ciudades es

60 J =

3960 millas en la ecuación (4). La distancia entre las dos = 3960 • 0.228 « 903 millas

s = rd

Cuando se mide un ángulo en grados, siempre se muestra el símbolo de gra dos. Sin embargo, cuando se mide un ángulo en radianes, seguiremos la práctica común de omitir la palabra r a d i a n e s . Por lo tanto, si la medida de un ángulo se da

NOTA: Si la medida de un ángulo se da como 5, se entiende que son 5 radianes: si la medida de un ángulo se da como 5°, quiere decir 5 grados. ■

7T

7J-

como —, se entiende que quiere decir — radianes. 6 6

Resuelve ahora

101

EL P R O B L E MA

4 Determina el área del sector de un círculo Considera un círculo de radio r. Considera que 6 . medido en radianes, es el ángulo central de este círculo. Observa la figura 14. Queremos determinar una fórmula para el área A del sector (que se muestra sombreada) formado por el ángulo 0. Ahora considera un círculo de radio r y dos ángulos centrales 0 y 0p ambos me didos en radianes. Observa la figura 15. De la geometría sabemos que la razón de las medidas de los ángulos equivale a la razón de las áreas correspondientes de los sectores formados por estos ángulos. Esto es,

Figura 15

e

511

La medida del ángulo central entre las dos ciudades es de 48°9' - 35°5' = 13°4'. Usa la ecuación (4), 5 = rd. Recuerda que primero tenemos que convertir el ángulo de 13°4' a radianes. 7T 0 = 13°4' « 13.0667° = 13.0667- — radián ~ 0.228 radián t

Figura 14


6_ _

a

A_

Considera que 0, = 2 tt radianes. Entonces para A , encontramos

A ]

= área del círculo =

,0 2 0 A = A ¡ — = Trr2 —

2rr

0!

v r 2.

Resolviendo

1 2.

= - r 20

2

A, = 77T2 0, = 277-

TEOREM A

Área de un sector El área A del sector de un círculo de radio r formado por un ángulo central de 0 radianes es ( 8)

J EJEM PLO 7

Determinar el área del sector de un círculo Determinar el área del sector de un círculo de 2 pies de radio formado por un ángulo de 30°. Redondea la respuesta a dos lugares decimales.

Solución

Usa la ecuación ( 8 ) con r = 2 pies y d ( 8 ), 6 debe estar en radianes.] 1

-4 "

~

2 *

=

30° = — radianes. [Recuerda, en la ecuación ^

1

= 2 (2)

77

7T

6

- 3

1.05

El área A del sector es 1.05 pies cuadrados, redondeada a dos lugares decimales,

Resuelve ahora

el

problema

79

512

C A P ÍT U L O 7


5 Determinar la velocidad lineal de un objeto en movimiento circular En el capítulo 1, sección 1.7, definimos la velocidad promedio de un objeto como la distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido. Para el movimiento en un círculo, hacemos la distinción entre velocidad lineal y velocidad angular.

DEFINICIÓN Figura 16 s

Considera que un objeto se mueve alrededor de un círculo de radio r con una velocidad constante. Si ,v es la distancia recorrida en el tiempo / alrededor de este círculo, entonces la velocidad lineal v del objeto se define como

V= -

t

Í9)

Al moverse este objeto alrededor del círculo, considera que nes) es el ángulo central barrido en el tiempo t. Ver figura 16.

DEFINICIÓN

tí

(medido en radia

La velocidad angular tu (la letra griega omega) de este objeto es el ángulo tí (medido en radianes) barrido, dividido entre el tiempo t transcurrido, esto es. tí Ü) = — 1

( 10)

J

La velocidad angular es la forma en que se describe la razón de rotación. Por ejemplo, un motor en marcha a 9(X) rpm (revoluciones por minuto) es uno que gira con una velocidad angular de ^ r e v o lu cio n es _ ^ minuto

revoluciones ^ radianes _ minuto revolución

radianes * minuto

Existe una importante relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular velocidad lineal = y = - = — = / • [ - ) = T *OJ l I

t

\ t )

I

(9 ) s = rO v

donde

io

=

( 10) (11)

ru¡

se mide en radianes por unidad de tiempo.

Cuando uses la ecuación (11), recuerda que

v = -

(la velocidad lineal) tiene di

mensiones de longitud por unidad de tiempo (como pies por segundo o millas por hora), r (el radio del movimiento circular) tiene las mismas dimensiones de distancia que s y tu (la velocidad angular) tiene dimensiones de radianes por unidad de tiempo. Si la velocidad angular se da en términos de r e v o lu c io n e s por unidad de tiempo (como frecuentemente es el caso), asegúrate de convertirla a r a d ia n e s por unidad de tiempo usando el hecho de que 1 revolución = 2 tt radianes antes de usar la ecuación ( 1 1 ).

EJEM PLO 8

Determinar la velocidad lineal Un niño hace girar una piedra amarrada a una cuerda de 2 pies a una velocidad de 180 revoluciones por minuto (rpm). Determina la velocidad lineal de la piedra cuan do se suelta.

Solución

Observa la figura 17. La piedra se mueve alrededor de un círculo de radio r = 2 pies. La velocidad angular w de la piedra es o)

revoluciones .„„revoluciones „ radianes radianes = 180----- :---------- = 180------:------------ 2 i r ------ — — = 360 tt— — — minuto minuto revolución minuto

S E C C IÓ N 7.1

Figura 17

Angulos y su medida

513

D e la e c u a c ió n ( 1 1 ) . la v e lo c id a d lin e a l v d e la p ie d r a e s

-, r

r a d ia n e s

„„„

p ie s

v = rio = 2 f e e t • 3607T— ;---------- = 72Ü7T —7 ---------~ m in u t o

p ie s 2262

m in u t o

m in u t o

L a v e lo c id a d lin e a l d e la p ie d r a c u a n d o s e s u e lt a e s d e 2 2 6 2 p ie s /m in « 2 5 .7 m i/h .


97

r

Comentario histórico (1514-1576). El libro de Rhetico fue el primero en definir las seis fun a trigonometría fue desarrollada por los astrónomos griegos, ciones trigonométricas como razones de los lados de los triángulos, quienes consideraban el cielo como la parte interior de una aunque no usó los nombres que actualmente tienen las funciones. El esfera, así que era natural que los triángulos en una esfera se investigaran muy temprano (por Menelao de Alejandría alrecrédito de esto se le debe a Thomas Finck (1583), pero en ese tiempo, la notación de Finck no fue aceptada universalmente. La notación final dedor de 100 a.C.) y que los triángulos en el plano se estudiaran mente se estabilizó gracias a los textos de Leonhard Euler (1707-1783). mucho después. El primer libro que contiene un tratamiento Desde entonces, la trigonometría ha evolucionado de su uso sistemático de trigonometría plana y esférica fue escrito por el por agrimensores, navegadores e ingenieros a sus aplicaciones pre astrónomo Persa Nasir Eddin (alrededor de 1250 a.C.). sentes que incluyen las mareas, el aumento y disminución de los Regiomontano (1436-1476) es la persona más responsable de alimentos en ciertos ecosistemas, patrones de ondas cerebrales y llevar la trigonometría de la astronomía a las matemáticas. Su trabajo muchos otros fenómenos. fue mejorado por Copérnico (1473-1543) y por su alumno Rhetico

L

7.1 Evalúa tu entendimiento "¿Estás listo?"

Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas

entre paréntesis. 1.

¿ C u á l e s la fó rm u la p ara la c ir c u n fe r e n c ia C d e un c ír c u lo

2.

Si u n a p a rtícu la tie n e u n a v e lo c id a d d e

d e ra d io r? ¿ C u á l e s la fó r m u la p ara e l á rea A d e u n círcu -

y re c o r r e u n a d ista n c ia

lo

g u n d o s ), e n to n c e s

d e ra d io r? (p . 3 2 )

d=

d

r p ie s

por segu n d o

(e n p ie s ) e n u n tie m p o

t (e n

se -

___________(p p . 1 3 8 -1 3 9 )

Conceptos y vo cabulario 3.

U n á n g u lo

6 e s tá

e n ______________________si su v é r tic e e s tá

8.

e n e l o r ig e n d e un sis te m a d e c o o r d e n a d a s r e c ta n g u la r e s y su la d o in icia l c o in c id e c o n e l e je 4.

c o n v e lo c id a d c o n sta n te . S i

x p o sitiv o .

u n tie m p o

r

y la lo n g itu d d e l a rc o s u b

te n d id o p o r un á n g u lo c e n tr a l ta m b ié n e s '

6.

r,

e n t o n c e s la

9.

E n un c ír c u lo d e ra d io

r,

v = __________ y tu = ___________

V e rd a d e r o o f a ls o á n g u lo

6 r a d ia n e s

un á n g u lo c e n tr a l d e

s e c to r fo r m a d o p o r e s te á n g u lo

6 e s e l á n g u lo ce n tr a l t, e n t o n c e s la v e lo c id a d la v e lo c id a d an g u la r

L a v e lo c id a d a n g u la r a> d e un o b je

to q u e s e m u e v e a lr e d e d o r d e u n c ír c u lo d e ra d io r e s el

m e d id a d e l á n g u lo e s d e 1 ___________

s u b tie n d e un a rco d e lo n g itu d

7.

d e l o b je to e s

s = ____,---------; e l á rea 6 e s A = : ----------------

6 (m e d id o

e n r a d ia n e s) b a rrid o , d iv id id o en tr e el

tie m p o tra n scu rr id o /.

d el 10.

V e rd a d e ro o f a ls o

Para e l m o v im ie n to circu la r e n un cír

r, la

v e lo c id a d lin e a l e q u iv a le a la v e lo c id a d

c u lo d e r a d io

180° = __________ ra d ia n es.

a n g u la r d iv id id a e n tr e

r.

Ejercicios En los problemas 11-22, traza cada ángulo.

V 11.

30°

12.

60°

13.

135°

19. -

ir ~6

14.

-1 2 0 °

20. -

15.

45 0 °

16.

540°

27T

T

En los problemas 23-28, convierte cada ángulo a un número decimal en grados. Redondea tu respuesta a dos lugares decimales. S .2 3 . 4 0 °1 0 '2 5 "

2 4 . 6 1 °4 2 '2 1 "

r

e s la d ista n c ia reco rrid a en

d e l c ír c u lo y

lin e a l d e l o b je to e s

e s tá e n e l c e n tr o d e un c írc u lo . Si e l ra d io d e un c ír c u lo e s

t a lr e d e d o r

s

(e n r a d ia n e s) b a rrid o e n e l tie m p o

U n _____________________ e s un á n g u lo p o s itiv o c u y o v é r tic e

5.

U n o b je to se m u e v e a lr e d e d o r d e u n c ír c u lo d e ra d io

2 5 . 1°2'3"

2 6 . 7 3 ° 4 0 '4 0

2 7 . 9°9'9"

28.

9 8 °2 2 '4 5

514

C A P ÍT U LO 7


En los problemas 29-34, convierte cada ángulo a Informa G UM'S". Redondea tu respuesta al secundo más cercano. \

29. 40 .3 2 °

31. 18 .2 5 5 °

3 0 .6 1 ,2 4 °

32.29.411°

34. 44.01"

33.19.99°

En los problemas 35-46, convierte cada ángulo en grados a radianes. Expresa tu respuesta como un múltiplo de -n. \ 3 5 . 30°

41, 180°

36. 120°

37. 2 4 0 °

38. 3 3 0 °

39. - 6 0 °

40. -30"

42. 270"

43. - 1 3 5 °

44. - 2 2 5 °

45. - 9 0 °

46. -180"

En los problemas 47-58, convierte cada ángulo en radianes a grados.

77 53. —

5 tt

. .

5?

4

rr

55. - —

54. —

12

12

-

6

2

1 o

•

ví

49.

48 —

51 -2 51. ___

56.

-

52. 4 rr TT

57. - 6

tt

En los problemas 59-64, convierte cada ángulo en grados a radianes. Expresa tu respuesta en forma decimal, redondeada a dos lugares decimales. 59. 17°

60. 7 3 °

\ 6 1 . -4 0 °

62. - 5 1 °

63. 125°

64. 350"

En los problemas 65-70, convierte cada ángulo en radianes a grados. Expresa tu respuesta en forma decimal, redondeada a dos lugares decimales. 65. 3 .1 4

66. 0 .7 5

67. 2

68. 3

69. 6 .3 2

70. \T l

En los problemas 71-78, s denota la longitud de arco de un círculo de radio r subtendido por el ángulo central 0. Determina la cantidad que falta. Redondea las respuestas a tres lugares decimales. \,7 l.

r =

10 m e tr o s,

73. 0

=^

rad ián ,

75. r

=5

m illa s,

77. r = 2 p u lg a d a s,

0= s s =

^ ra d iá n ,

s =

72. r = 6 p ie s ,

?

0 = 2 ra d ia n e s,

s = ?

= 2 p ie s ,

r =1

74.

0= -

3 m illa s,

0=1

76.

r = 6 m e tr o s,

5 = 8 m e tr o s,

s =1

78.

r =

0 =

0=

3 0 °,

4

ra d iá n ,

3 m e tr o s,

5 = 6 c e n tím e tr o s ,

120°,

r =

?

0= 1

s = 1

En los problemas 79-86, A denota el área del sector de un círculo de radio r formado por el ángulo central 0. Determina la cantidad que falta. Redondea las respuestas a tres lugares decimales. \,7 9 .

r =

10 m e tr o s,

0

= ^ r a d iá n ,

A = 1

81. 6 = - d e ra d iá n , A = 2 sq u a r e f e e t,

8 0 . r = 6 p ie s ,

0 = —d e

0=

2 r a d ia n e s,

A = 1

A = 6 c e n tím e tr o s

r = 1

82.

83. r = 5 m illa s, A = 3 m illa s cu a d r a d a s, 0 = 1

84.

r = 6 m e tr o s,

A = 8 m e tr o s

86.

r = 3 m e tr o s,

0 =

85. r = 2 p u lg a d a s,

0=

3 0 °,

A

= ?

4

ra d iá n ,

120°.

c u a d r a d o s,

c u a d r a d o s.

r = 1

0= 1

A = 1

En los problemas 87-90, determina la longitud s y el área A. Redondea las respuestas a tres lugares decimales.

A plicaciones y extensiones 91. Movimiento del minutero E l m in u te r o d e u n relo j m id e 6 p u lg a d a s d e la rg o . ¿ Q u é ta n le jo s lle g a la p u n ta d e l m i

92. Movimiento de un péndulo

U n p é n d u lo o sc ila c o n un á n

g u lo d e 2 0 ° ca d a s e g u n d o . Si e l p é n d u lo tie n e 4 0 p u lg a d a s

n u te r o e n 15 m in u to s? ¿ Q u é ta n le jo s lle g a e n 25 m in u to s?

d e la r g o , ¿ q u é tan le jo s se m o v e r á su p u n ta ca d a s e g u n d o ?

R e d o n d e a las r e sp u e sta s a d o s lu g a r e s d e c im a le s.

R e d o n d e a las r e sp u e sta s a d o s lu g a re s d e c im a le s.

93. Área de un sector

D e te r m in a e l á re a d e l s e c to r d e un cír

c u lo d e 4 m e tr o s d e r a d io fo r m a d o p o r un á n g u lo d e 4 5 °. R e d o n d e a la r e sp u e sta a d o s lu g a r e s d e c im a le s.

94. Área de un sector

D e t e r m in a e l á r e a d e l s e c t o r d e un

c ír c u lo d e 3 c e n t ím e t r o s d e r a d io fo r m a d o p o r u n á n g u lo d e 6 0 ° . R e d o n d e a la r e s p u e s ta a d o s lu g a r e s d e c im a le s .

S E C C IÓ N 7.1 R ie g o del césped

e

U n a sp e r so r e s p a r c e a g u a s o b r e u n a

\

101. Distancia entre ciudades

515


M e n fis, T e n n e s s e e , e s tá al

d ista n c ia d e 3 0 p ie s m ie n tr a s r o ta c o n u n á n g u lo d e 135°.

n o r te d e N u e v a O r le a n s, L u isia n a . D e te r m in a la d ista n c ia

¿ Q u é á r e a d e l c é s p e d r e c ib e a g u a ?

e n tr e M e n fis (3 5 °9 ' la titu d n o r te ) y N u e v a O r le a n s (2 9 °5 7 ' la titu d n o r te ). C o n sid e r a q u e e l r a d io d e la T ier ra e s d e 3 9 6 0 m illa s.

102. Distancia entre ciudades

C h a r le s to n , V ir g in ia d e l O e s

te , e s tá a l n o r te d e J a c k s o n v ille , F lo r id a . D e te r m in a la d ista n c ia e n tr e C h a r le s to n (3 8 °2 1 ' la titu d n o r te ) y J a c k s o n v ille (3 0 °2 0 ' la titu d n o r te ). C o n sid e r a q u e e l ra d io d e la T ier ra e s d e 3 9 6 0 m illa s.

103. Velocidad lineal en la Tierra

L a T ier ra gira s o b r e un e je

q u e p a sa p o r lo s p o lo s . L a d ista n c ia d e l e je al p u n to e n la T ier ra a 3 0 ° la titu d n o r te e s d e a p r o x im a d a m e n te 3 4 2 9 .5

%. Diseño de un aspersor

S e le p id e a un in g e n ie r o q u e

m illa s. P o r lo ta n to , un p u n to e n la T ierra a 3 0 ° la titu d

d is e ñ e un a sp e r so r q u e cu b rir á u n c a m p o d e 100 y a rd a s

n o r te gira e n un c ír c u lo d e 3 4 2 9 .5 m illa s d e ra d io . C a lcu la

c u a d r a d a s q u e tie n e la fo r m a d e u n s e c to r d e c ír c u lo d e 15

la v e lo c id a d lin e a l s o b r e la su p e r fic ie d e la T ierra a 30°

y a rd a s d e ra d io . ¿ E n q u é á n g u lo d e b e b arrer e l a sp e r so r ?

la titu d n o r te .

*17. Movimiento en un círculo

U n o b je to se m u e v e a lr e d e d o r

d e un círc u lo d e 5 c e n tím e tr o s d e ra d io . Si barre u n á n g u lo

104. Velocidad lineal en la Tierra

L a T ier ra gira so b r e un eje

q u e p a sa p o r lo s p o lo s . L a d ista n c ia d e l e je al p u n to e n la T ier ra a 4 0 ° la titu d n o r te e s d e a p r o x im a d a m e n te 30 3 3 .5

c en tra l d e

-

d e rad ián e n 20 s e g u n d o s , ¿ cu á l e s la v e lo c id a d

a n g u la r d e l o b je to ? ¿ C u á l e s su v e lo c id a d lin ea l?

m illa s. P o r lo ta n to , un p u n to e n la T ier ra a 4 0 ° la titu d n o r te gira e n u n c ír c u lo d e 3 0 3 3 .5 m illa s d e ra d io . C a lcu la la v e lo c id a d lin e a l s o b r e la su p e r fic ie d e la T ier ra a 40°

98. Movimiento en un círculo

U n o b je to s e m u e v e a lr e d e

d o r d e u n c ír c u lo d e 2 m e tr o s d e ra d io . Si e l o b je to r e co r re 5 m e tr o s e n 2 0 s e g u n d o s , ¿ cu á l e s su v e lo c id a d a n g u la r? ¿ C u á l e s su v e lo c id a d lin e a l?

99. Llantas de una bicicleta

la titu d n o r te .

105. Velocidad de la luna L a d ista n c ia m e d ia d e la T ier ra a la lu n a e s d e 2 .3 9 X 10 7 m illa s. C o n s id e r a n d o q u e la ó rb ita d e la T ier ra a lr e d e d o r d e l S o l e s circ u la r y q u e 1 r e v o lu c ió n

E l d iá m e tr o d e c a d a lla n ta d e

u na b ic ic le ta e s d e 26 p u lg a d a s. S i v ia ja s a u n a v e lo c id a d d e 35 m illa s p o r h o ra e n e s ta b ic ic le ta , ¿a c u á n ta s r e v o lu c io n e s p o r m in u to giran la s lla n ta s?

tard a 2 7 .3 d ía s, d e te r m in a la v e lo c id a d lin e a l d e la lu na. E x p r e sa tu r e sp u e sta e n m illa s p o r h ora.

106. Velocidad de la Tierra L a d ista n c ia m e d ia d e la T ierra al S o l e s d e 9 .2 9 X 10 7 m illa s. C o n sid e r a n d o q u e la ó rb ita d e la T ier ra a lr e d e d o r d e l S o l e s circ u la r y q u e 1 r e v o lu c ió n tard a 3 6 5 d ía s, d e te r m in a la v e lo c id a d lin e a l d e la T ierra . E x p r e sa tu r e sp u e sta e n m illa s p o r h ora.

107. Poleas D o s p o le a s , u n a d e 2 p u lg a d a s d e ra d io y la otra d e 8 p u lg a d a s d e ra d io , se c o n e c ta n p o r u n a b a n d a . (V e r fig u r a .) S i s e h a c e q u e la p o le a d e 2 p u lg a d a s g ire a 3 r e v o lu c io n e s p o r m in u to , d e te r m in a la s r e v o lu c io n e s p o r m in u to d e la p o le a d e 8 p u lg a d a s.

[Sugerencia: L a s v e lo c id a d e s lin e a le s d e la s p o le a s so n 100. Llantas de un auto

E l ra d io d e ca d a llan ta d e u n a u to e s

ig u a le s , a m b a s e q u iv a le n a la v e lo c id a d d e la b a n d a .]

d e 15 p u lgad as. Si las llan ta s giran a ra zó n d e 3 r e v o lu c io n e s p o r s e g u n d o , ¿ q u é tan rá p id o se m u e v e e l a u to ? E x p re sa tu r e sp u e sta e n p u lg a d a s p o r se g u n d o y e n m illa s p o r h ora.

En los problemas 101-104, la latitud del lugar L es el ángulo formado por un rayo trazado del centro de la Tierra al ecuador y un rayo trazado del centro de la Tierra a L. Ver figura.

108. Ruedas de la fortuna

U n a feria tie n e u n a ru ed a d e la

fo rtu n a d e 3 0 p ie s d e ra d io . M id e s q u e e l tie m p o q u e to m a u n a r e v o lu c ió n e s d e 7 0 seg u n d o s.- ¿ C u á l e s la v e lo c id a d lin e a l (e n p ie s p o r s e g u n d o ) d e e s ta ru ed a d e la fo rtu n a ?

Ecuador

¿ C u á l e s la v e lo c id a d a n g u la r e n r a d ia n e s p o r se g u n d o ?

109. Cálculo de la velocidad de la corriente de un río

S e baja

al a gu a una ru ed a circu la r d e p a le ta s d e 4 p ie s d e rad io para a p ro x im a r la v e lo c id a d d e la c o r r ie n te d e un río. Si la c o r r ie n te h a c e q u e la ru ed a g ire c o n u na v e lo c id a d de

516

C A P ÍT U L O 7


10 r e v o lu c io n e s p or m in u to , ¿ cu á l e s la v e lo c id a d d e la c o

Polo Norte

rrien te? E x p resa tu re sp u e sta e n m illa s p o r hora.

1 »

i»

Ecuador

w Polo Sur

110. Balanceo de llantas

©

U n b a la n c e a d o r gira la lla n ta d e un

a u to a 4 8 0 r e v o lu c io n e s p o r m in u to . Si e l d iá m e tr o d e la llanta e s d e 26 p u lg a d a s, ¿p ara q u é v e lo c id a d e n e l c a m in o se está p ro b a n d o ? E x p r e sa tu r e sp u e sta e n m illa s p o r h ora. ¿ A cu á n ta s r e v o lu c io n e s p o r m in u to s e d e b e p ro g ra m a r el b a la n c ea d o r para q u e s e h a g a la p ru eb a p ara u n a v e lo c id a d en el c a m in o d e 80 m illa s p o r h o ra ?

111. T rumias de San Francisco

*115. Aproximación de la circunferencia de la Tierra

E r a tó s te

n e s d e C ir e n c (2 7 6 -1 9 5 a .C .) era un er u d ito g rieg o q u e vivía y tra b a ja b a e n C ir e n e y e n A le ja n d r ía . U n d ía c u a n d o v i sita b a S ie n a n o tó q u e lo s r a y o s d e l S o l c a ía n d ir e c ta m e n te e n un p o z o . E n e s ta fe c h a , 1 a ñ o m á s ta rd e, e n A leja n d ría , q u e e s tá a 5 0 0 m illa s al n o r te d e S ie n a , m id ió q u e e l á n g u lo d e l S o l era d e a p r o x im a d a m e n te 7 .2 g ra d o s. V e r figura. U sa

E n el m u s e o d e l tra n v ía p u e

d e s v er lo s cu a tro c a b le s q u e s e u sa n p ara ja la r lo s tra n v ía s

e sta in fo r m a c ió n p ara a p r o x im a r el r a d io y la c ir c u n fe r e n c ia d e la T ierra .

h acia arriba y h a cia a b a jo e n las c o lin a s d e S an F ra n cisco . C ad a tran vía viaja a una v e lo c id a d d e 9 .5 5 m illa s p o r h o ra , ca u sa d a p o r u na lla n ta d e 8 .5 p ie s d e d iá m e tr o . ¿ Q u é tan rá p id o gira la lla n ta ? E x p r e sa tu r e sp u e sta e n r e v o lu c io n e s p o r m in u to .

112. Diferencia en la hora de la salida del sol

N á p o le s , F lo r id a

e stá a p r o x im a d a m e n te a 9 0 m illa s al o e s t e d el F u e r te L a u d e r d a le . ¿ C u á n to tie m p o a n te s v erá e l a m a n e c e r u n a p e r so n a en el F u e rte L a u d e r d a le q u e u n a p e r s o n a en N á p o le s ? V e la su g e r e n c ia .

[Sugerencia: C o n su lta la figura. C u a n d o una p e r so n a e n Q v e lo s p rim ero s rayos d el S o l, una p e r so n a e n oscu rid a d . La p erso n a e n

P ve

P aú n

e stá e n la

lo s p rim er o s ra y o s c u a n d o la

T ierra h a g ira d o d e m a n era q u e / ’ e s té e n el lu gar d e

Q. A h o

ra usa el h e c h o d e q u e a la latitu d d el F u e rte L a u d e rd a le se su b tie n d e un a rco d e lo n g itu d 27t(3 5 5 9 ) m illa s e n 24 h oras.]

116. Diseño de un campo de las ligas menores

Para un ca m p o de

6 0 p ies d e las lig a s m e n o r e s d e b é isb o l, la d ista n cia d el h o m e a la bard a (u o tra o b str u c c ió n ) m á s ce rc a n a e n territo rio en ju e g o d e b e te n e r un m ín im o d e 2 0 0 p ies. E l c o m is io n a d o d e

90 millas

p a rq u e s y re c r e a c ió n e stá h a c ie n d o p la n e s para un n u e v o c a m p o d e 6 0 p ies. C o m o hay una d isp o n ib ilid a d lim itad a de e s p a c io , u sará la d ista n c ia m ín im a re q u er id a a la cerca del jard ín . Sin e m b a r g o , para in c r e m e n ta r la se g u r id a d , p lan ea

O Sol

in clu ir una b an d a d e a d v e r te n c ia d e 10 p ie s d e a n c h o en la p a rte in te rio r d e la cerca . Para in cr em en ta r aún m ás la s e g u rid a d . la b ard a y la b a n d a d e a d v e r te n c ia se ex te n d er á n e n las d o s d ir e c c io n e s d el ter rito rio d e fo u l. E n to ta l, el arco fo r m a d o p o r la ce rc a d e l jard ín (in c lu y e n d o las e x te n s io n e s a lo s ter rito rio s d e fo u l) se rá s u b te n d id o p o r un á n g u lo central e n e l h o m e q u e m id a 9 6 °. c o m o s e v e e n la ilu stra ció n . (a ) D e te r m in a la lo n g itu d d e la c e r c a d e l ja rd ín . ( b ) D e te r m in a e l á re a d e la p ista d e a d v e r te n c ia .

113. Siguiéndole el paso al Sol

¿ Q u é tan rá p id o te n d r ía s q u e

m o v e r te so b r e la s u p e r fic ie d e la T ier ra e n e l e c u a d o r para se g u ir le e l p a s o al S o l ( e s d e c ir , p ara q u e p a r e z c a q u e e l S o l p e r m a n e c e e n la m ism a p o s ic ió n e n e l c ie lo ) ?

114. Millas náuticas

U n a milla náutica e s igu al a la lo n g itu d d e

a rco s u b te n d id o p o r un á n g u lo ce n tr a l d e 1 m in u to e n un gran c ír c u lo 1 en la su p e r fic ie d e la T ierra . V e r figu ra. S i el rad io d e la T ierra se to m a c o m o 3 9 6 0 m illa s, e x p r e sa 1 m illa n áu tica e n tér m in o s d e m illa s o rd in a ria s o terrestres. f Cualquier círculo dibujado en la superficie de la Tierra que la divide en dos hem isferios iguales.

Fuente: www.littleleague.org

S E C C IÓ N 7.2

[Nota: H a y un á n g u lo d e 9 0 ° e n tr e la s d o s lín e a s d e fou l. *

117. Poleas

517

D o s p o le a s , u n a c o n un r a d io d e r, y la o tra c o n

H a y d o s á n g u lo s d e 3 o e n tr e la s lín e a s d e fo u l y la s lín e a s

un ra d io d e r2, e stá n c o n e c ta d a s p o r una b a n d a. L a p o le a d e

p u n te a d a s q u e se m u e str a n . E l á n g u lo e n tr e las lín e a s p u n

r a d io r, gira a a», r e v o lu c io n e s p o r m in u to , m ie n tr a s q u e

te a d a s p o r fu era d e las lín e a s d e fo u l d e 200 p ie s e s d e 96°.]

la p o le a c o n r a d io r2 gira a « , r e v o lu c io n e s p o r m in u to . D e m u e s tr a q u e

> ;

k,


r\ _ °>2 r2

j

Explicación de conceptos: discusión y escritura 11 8 . ¿ P r e fie r e s m e d ir á n g u lo s u s a n d o g r a d o s o r a d ia n e s? D a

1 2 3 . C o m e n ta p o r q u é lo s b a r c o s y a v io n e s u sa n m illa s n á u ti

u n a ju s tific a c ió n y r a z o n a m ie n to p ara tu e le c c ió n .

c a s para m e d ir la d ista n c ia . E x p lic a la d ife r e n c ia e n tr e u na m illa n á u tic a y u n a m illa te r restr e.

11 9 . ¿ Q u é e s 1 ra d iá n ? ¿ Q u é e s 1 g ra d o ?

1 2 4 . In v e stig a la fo r m a e n q u e fu n c io n a n la s b ic ic le ta s d e v e l o

120. ¿ Q u é á n g u lo tie n e m a y o r m e d id a : 1 g r a d o o 1 ra d iá n ? ¿ O

c id a d e s. E n e s p e c ia l, e x p lic a las d ife r e n c ia s y sim ilitu d e s

s o n ig u a le s ?

e n tr e u n a b ic ic le ta d e 5 v e lo c id a d e s y u n a d e 9 v e lo c id a

1 2 1 . E x p lic a la d ife r e n c ia e n tr e v e lo c id a d lin e a l y v e lo c id a d

d e s. A s e g ú r a te d e in clu ir u n a n á lisis d e la v e lo c id a d lin ea l

a n g u la r.

y la v e lo c id a d an g u la r.

12 2 . P ara u n c ír c u lo d e r a d io

r,

u n á n g u lo c e n tr a l d e

6 grad os

1 2 5 . E n e l e je m p lo 6, d e te r m in a m o s q u e la d ista n cia en tre A lb u

7r = —— rd. C o 180 m e n ta si é s ta e s u n a p r o p o s ic ió n v e r d a d e r a o fa lsa . P r o

s u b tie n d e un a rco cu y a lo n g itu d j e s d e

q u e rq u e , N u e v o M é x ic o y G la sg o w , M o n ta n a e s d e a p ro x i

í

m a d a m e n te 903 m illas. D e a c u e r d o c o n

mapquest.com,

la

d ista n c ia e s d e a p r o x im a d a m e n te 1 3 0 0 m illa s. ¿ C u á l p u e

p o r c io n a r a z o n e s p ara d e fe n d e r tu p o s ic ió n .

d e se r la ra z ó n d e q u e h a y a e s ta d ife r e n c ia ?

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 2irr, A

1. C =

=

irr2

2. r - t

7.2 Trigonometría de triángulos rectángulos P

r e p a r a c ió n



B a s e s d e g e o m e tr ía (c a p ítu lo R , R e p a s o , s e c c ió n R .3 ,

F u n c io n e s (s e c c ió n 3 .1 , pp. 2 0 0 - 2 0 8 )

p p. 3 0 - 3 5 )

\ Resuelve ahora

los p r o b le m a s d e la se c c ió n "¿Estás listo?" d e la p á g in a 525.

1 Determinar los valores de las funciones trigonométricas para ángulos agu

OBJETIVOS

dos (p. 517) 2 Usar las identidades fundamentales (p. 519) 3

Determinar los valores de las funciones trigonométricas restantes, dado el valor de una de ellas (p. 521)

4 Uso del teorema de ángulos complementarios (p. 523)

1 Determinar los valores de funciones trigonométricas de ángulos agudos Figura 18

triángulo rectángulo. R e lla m a hipotenusa y l o s l a d o s

U n t r i á n g u l o e n e l q u e u n á n g u l o e s r e c t o ( 9 0 ° ) s e lla m a c u e r d a q u e e l l a d o o p u e s t o d e u n t r iá n g u l o r e c t á n g u l o s e r e s t a n t e s s e lla m a n com o

c

catetos d e l

t r iá n g u lo . E n la f ig u r a 1 8 h e m o s m a r c a d o la h ip o t e n u s a

p a r a in d i c a r q u e s u l o n g i t u d e s d e

m a r c a d o lo s c a te to s c o m o

a y b.

c

u n i d a d e s y , d e m a n e r a s im ila r , h e m o s

C o m o e l t r iá n g u l o e s u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o , e l t e o

r e m a d e P it á g o r a s n o s d i c e q u e c2 = a2 + A h o r a , c o n s id e r a q u e 0 e s u n

b2

ángulo agudo, e s

d e c ir , 0 o < 0 <

9 0 ° ( s i 0 s e m id e

77

e n grad os) y 0 <

0 < — ( s i 0 s e m id e e n r a d ia n e s ) . V e r fig u r a 1 9 ( a ) d e la p á g in a 5 1 8 .

U s a n d o e s t e á n g u l o a g u d o 0 p o d e m o s f o r m a r u n t r iá n g u l o r e c t á n g u l o , c o m o e l

518

C A P ÍT U L O 7


que se ilustra en la figura 19(b), con la hipotenusa de longitud c y los cateto* de longi tud a y b . Usando los tres lados de este triángulo, podemos formar exactamente seis razones: h

c'

a c

♦

Figura 19

b

c

c

a

a'

b'

a

b

(b) Triángulo rectángulo

(c) Triángulos sim ilares

De hecho, estas razones dependen únicamente del tamaño del ángulo 0 y no del trián gulo que se forma. Para ver por qué, observa la figura 19(c). Cualesquiera dos triángu los rectángulos formados usando el ángulo 0 serán similares, por lo tanto, sus razones correspondientes serán iguales. Como resultado, b'

b

a

a'

b _ b'

c _ c'

c _ c'

c

7

~a ~

7

~b~ W

a “

7

a _ a' b ~

V

Como las razones dependen únicamente del ángulo 0 y no del mismo triángulo, le daremos un nombre a cada razón que incluya a 6: seno de 0 , coseno de 0 , tangente de 0 , cosecante de 0 , secante de 0 y cotangente de 0 .

DEFINICIÓN

Las seis razones de las longitudes de los lados de un triángulo se llaman fun ciones trigonométricas de ángulos agudos y se definen de la siguiente manera: Nombre de la función

Abreviación

seno de 0

sen 6

Valor

Nombre de la función

b c

coseno de 0

eo s 9

a c

Figura 20

tangente de 9

tan 9

b a

Abreviación

cosecante de 9

esc 9

secante de 9

see 9

cotangente de 9

cot 9

Valor c b c a a b

Opuesto a 0 b

J Como ayuda para recordar estas definiciones puede ser útil referirse a las lon gitudes de los lados del triángulo por los nombres hipotenusa ( c ) . opuesto (b ) y a d y a c e n t e ( a ) . Ver figura 20. En términos de esos nombres, tenemos las siguientes razones:

sen 0 =

CSC

opuesto = — hipotenusa

hipotenusa 0 = = — opuesto

adyacente hipotenusa

a

hipotenusa = adyacente

c

eos 0 = see 0

opuesto adyacente

b

adyacente = opuesto

a

tan 0 =

c

cot 0

a

a (1)

b

Como a, b y c son positivos, el valor de cada una de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo 0 es positivo.

EJEM PLO 1

Determinar los valores de las funciones trigonométricas Determina el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas del ángulo 0 de la figura 2 1 .

Solución

Ver figura 21. Los dos lados del triángulo que se dan son c - hipotenusa = 5

a

= adyacente = 3

SECCIÓN 7.2 Figura 21

519


Para determinar la longitud del lado opuesto, usamos el teorema de Pitágoras. (adyacente)2 + (opuesto)2 = (hipotenusa)2 32+ (opuesto)2 = 52

Opuesto

(opuesto)2 = 25 - 9 = 16 opuesto = 4 Ahora que conocemos las longitudes de los tres lados, usaremos las razones en (1) para determinar el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas:

A D V ERTEN CIA Cuando escribas los /alores de las funciones trigonomé tricas , no olvides el argumento de la función

4

sentì = —

5

4

sen = —

5

sen tì

=

correcto

esc 6 =

incorrecto

opuesto hipotenusa hipotenusa opuesto

4 5

eos

8

5 4

sec

6 =

=

adyacente

3 5

tan 6

5 3

cot

hipotenusa hipotenusa adyacente

opuesto =

4

adyacente

3

adyacente _ 3 0 =

opuesto

4 J

Resuelve ahora

el

problema

11

2 Uso de las identidades fundamentales Puedes haber notado las relaciones que existen entre las seis funciones trigonoméc 1 1 tricas de ángulos agudos. Por ejemplo, esc 8 = — = — = ---- -. Las identidades recí

procas son

c

Id e n tid a d es recíp ro cas

esc 8 =

1

sen

sec 8

6

=

eos

cot

8

8 -

tan 8

( 2)

Otras dos identidades fundamentales que son fáciles de ver son las identidades

de cociente. Id e n tid a d es d e cocien te

tan 8 —

sentì eos 8

cot

„

8 -

eos 8 sentì

(3)

Si se conocen sen 8 y eos 8 , las identidades recíprocas y de cociente en (2) y (3) facilitan el determinar los valores de las funciones trigonométricas restantes.

EJEM PLO 2

Determinar los valores de las funciones trigonométricas restantes, dados sen 6 y eos 0.

Vi

Dados sen0 = - y - y eos 8

funciones trigonométricas de

Solución

2 V5

—- —, determina el valor de cada una de las cuatro

8

restantes.

Con base en la identidad de cocientes en la fórmula (3),

Vi tan 8

=

sen0 5 1 ------ = ---- 7= = eos 8 2V 5 2 5

520

C A P ÍT U LO 7


Después, usamos las identidades recíprocas de la fórmula (2) para obtener CSC 0

1

=

-------

sen 0

=

—~¡= - —7 = V 5

V 5

-

V I

sec

0

=

1

5

VI

2Vi

2

1

eos 0 2Vi

cot 0 =

1

tan 0

1 = _ = 2 1

2


el

problema

21

Consulta ahora el triángulo rectángulo de la figura 22. El teorema de Pitágoras establece que a 2 + b 2 = c 2, lo que podemos escribir como b 2 + a2

= c2

Dividiendo cada lado entre c2, obtenemos b2

a2

,

íb \2

= 1

En términos de las funciones trigonométricas del ángulo 0, esta ecuación establece que sen 0

2

+ eos 0

2

(4)

= 1

La ecuación (4) es una identidad, debido a que la ecuación es verdadera para cual quier ángulo agudo 0 . Es común escribir sen20 en lugar de (sen 0)2, cos20 en lugar de (eos 0) 2 y así suce sivamente. Con esta notación, podemos reescribir la ecuación (4) como sen2 0 + eos2 0 = 1

(5)

Se puede obtener otra identidad a partir de la ecuación (5), dividiendo cada lado entre eos2 0 . sen2 0 „ 1 ------r------h 1 = ------ -— eos 0 eos 0 Ahora usaremos las fórmulas (2) y (3) para obtener tan2 0 +

mos

1

= sec2 0

(6 )

De manera similar, si dividimos cada lado de la ecuación (5) entre sen2 0, obtene 1 + cot2 0 = esc2 0 , que podemos escribir como cot2 0 + 1 = esc2 0

(7)

En conjunto, las identidades de las ecuaciones (5), ( 6 ) y (7) se llaman identidades pitagóricas. Id e n tid a d es fu n d a m en ta le s

S E C C IÓ N 7.2

EJEM PLO 3

Trigonometria de triángulos rectángulos

521

Determinar el valor exacto de una expresión trigonométrica usando identidades Determina el valor exacto de cada expresión. No uses una calculadora. (a) tan

Solución

20°

-

sen 2 0 ° eos 2 0 °

(b) sen2

sen ')0 ° (a) tan 2 0 ° -------- — = tan 2 0 ° - tan 2 0 ° = eos 2 0 ° t sentì eos 0

7r

12

1 i

77

sec“ -

0

= ta n tì

7 7T 7 77 2 7r . 1 (b) sen“ — + -------= sen* — + eos“ — = 12 -> 77 12 12 /L \

1

sec" ü

COS 6 =

.....

-Resuelve ahora

el

sen2 6

sec 0

+ eos2 tì =

1

39

problema

Dado el valor de una función trigonométrica, determinar el valor de las funciones restantes

EJEM PLO 4

Dado sen 6 , 0 agudo, determinar el valor de las funciones trigonométricas restantes Dado que sen 0 = - y 0 es un ángulo agudo, determina el valor exacto de cada una de las cinco funciones trigonométricas de

Solución

0

restantes.

Resolveremos este problema en dos formas: la primera forma usa la definición de funciones trigonométricas, la segunda forma usa las identidades fundamentales. Como sen 0 =

1 b —= —

dibujamos un triángulo rectángulo con un ángulo agudo 0,

Solución 1 Usando la definición lado opuesto de longitud b

= l e hipotenusa de longitud c = 3. Ver figura 23. El lado adyacente a se puede determinar usando el teorema de Pitágoras.

¡gura 23

a2 + l 2 = 32

a2 + b2 = c2: b = 1 , c = 3

a2 + 1 = 9 a

a2 = a =

8 2 \/2

Ahora se pueden usar las definiciones dadas en la ecuación (1) para determinar el va lor de cada una de las cinco funciones trigonométricas restantes. (Consulta el método usado en el ejemplo 1.) Usando a = 2V 2 ,

b =

1, y c = 3, tenemos

a 2V 2 eos 0 = - = —-— c 3 c 3 „ esc 0 = — = 7 = 3 b

1

n c 3 sec 0 = - = — 7= a 2V2

b

1

tan 0 = — = ---- 7= « 2V2 3 \/2

« COt6

a 2V = b = —1

2

V2 4

2V 2

522

capí

C U LO 7

Fundón« trigonométrica*

Solución 2 Usando Identidades

Empezamos queriendo determinar eos 0, que «c puede encontrar usando la identidad püugórica de la ecuación (5).

sen 7 0 + eos 2 0 » I - + co « 2 0 ■ ?

Fénnul# (5} 1

0 *

1

1

t

H

eos 0 m 1 — - ■ :

Recuerda que las funciones trigonométricas de un ángulo agudo vm positivas. En particular, eos 0 > 0 para un ángulo agudo, por lo tanto, tenemos IH 8

2V \Í2 COS0 “ V 9 “ ” 3 Ahora sabemos que sen

1

= -

0

y eos 0

-

2 V ^2

—- —, por lo que podemos proceder

como hicimos en el ejemplo 2 . 1

tan 0

=

sen 0

3 ______

cose

2V2

1

V 2

2V2

4

cot

1

1

tan e

\/2

0 =

3

sec 0 =

1

=

eos«

V^2

= 2V 2

' 4

1 _ _ 3 _ _ 3\/2 2

V i

2

V

2

cscO =

4

1

sen 0

-

1 . 3 1

3

3

D eterm inar el valor de las fun ciones trigonom étricas cuando se conoce una de ellas Dado el valor de una función trigonométrica de un ángulo agudo O. se puede determinar el valor exacto de cada una de las cinco funciones trigonométri cas de 0 restantes de dos maneras. M é to d o 1 U sa n d o la d efin ición P aso 1: P aso 2: P aso 3: P aso 4:

Dibuja un ángulo rectángulo que muestre el ángulo agudo 0 . Se les puede asignar valores a dos de los lados con base en el valor de la función trigonométrica dada. Determina la longitud del tercer lado usando el teorema de Pitágoras. Usa las definiciones en la ecuación (1) para determinar el valor de cada una de las funciones trigonométricas restantes.

M é to d o 2 U sa n d o id en tid ad es

Usa las identidades seleccionadas apropiadamente para determinar el valor de cada función trigonométrica restante.

EJEM PLO 5

Dado el valor de una función trigonométrica, determinar los valores de las restantes Dado tan 0 =

0

un ángulo agudo, determina el valor exacto de cada una de las

cinco funciones trigonométricas de

Solución 1 Usando la definición

0

restantes.

La figura 24 muestra un triángulo rectángulo con un ángulo agudo 0. donde tan 0

1

—— 2

opuesto b = —---------- = adyacente <1

S E C C IÓ N 7.2 Ig u ra 24

523


Con b = 1 y a = 2, se puede determinar la hipotenusa c usando el teorema de Pitágoras.

11 tan f» = 2

c2

= a~ + b 2 =

2

Ahora aplica las definiciones tomando

b

V5

1 sen 0« = - = —— c V 5

=a

c

V Ì

1

o

Solución 2 Usando identidades

r

5

= 2, b = 1, y c = V 5 .

a

rn_fl a

eos

5

esc 0 = - = —- = V

+ l2 =

= V5

c

1-

22

n a = 2 2 _ 2V 5 = - = —7= c V 5

0

c

5

„ cot 0

V 5

a

2

a

2

= — -

-

1

o

^

= 2

Como conocemos el valor de tan 0 , usaremos la identidad pitagórica que involucra

tan t í: tan2 e

+

1 = sec2 0

+

1

= sec2 0

2 -1

sec“ 6 = — + 4 sec 8 =

Ahora conocemos tan 6 terminamos

Fórmula (6 )

=

.

1

tan 0 =

V 5

sec 0 > O

1

— y sec

eos

6

cot

9

5

= — Resuelve para sec 0. 4

=

=

1

V 5

tan 9

—— . Usando las identidades recíprocas de z

9 =

= J _

secfl 1

porgue 0 es agudo.

^

V5

= 1 1

2

_

2V 5

V5

5

= 2

2 Para determinar sen

0

usamos el siguiente razonamiento:

sen 9 , , w x 1 2V 5 V5 tan 9 = ------ , por lo tanto sen# = (tan0)(cos0) = - • ------- = -----eos 0 * K A ; 2 5 5 1

esc 0 =

sen#

= 4

-y/ 5

^ =

V s

~5

Resuelve ahora

el

problema

2 5

4 Uso del teorema de ángulos complementarios Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto o de 90°. Como la suma de los ángulos de cualquier triángulo es de 180°, se puede concluir que para un triángulo rectángulo, la suma de los ángulos agudos en un triángulo rec tángulo es de 90°, así que los dos ángulos agudos son complementarios. Consulta ahora la figura 25, hemos marcado el ángulo opuesto al lado b como B y el ángulo opuesto al lado a como A . Observa que el lado a es adyacente al ángulo B y es opuesto al ángulo A . De manera similar, el lado b es opuesto al ángulo B y es adyacente al ángulo A . Como resultado,

: ¡gura 25 Adyacente a A opuesto a B Adyacente a B opuesto a A

sen B esc

B

= — = c

=

7

b

eos

= sec

A

eos

A

sec

sen A

tan

B = — a

= esc A

cot

B

B = —c c B —— a

cot

A

= — = tan

A

b

(8)

524

C A P ÍT U LO 7 Funcione» trigonométrica!

Debido a estas relaciones, las funciones seno y coseno, tangente y cotangente y secante y cosecante se llaman co fu n cio n es una de la otra. Uis identidades en Í8 j ve pueden expresar en palabras de la siguiente forma: TEO REM A

Teorema de ángulos complementarios

Las cofunciones de ángulos complementarios son iguales. Aquí damos algunos ejemplos de este teorema. Ángulos complcmnnlarios

Ángulos complementarios

Ángulos complementarios

sen 30° = eos 60°

tan 40° = cot 50°

sec 80° = esc 10°

Colunclones

Cotunclones

Cotunciones

Si un ángulo 9 se mide en grados, usaremos el símbolo de grados cuando escri bamos una función trigonométrica de 9 , como por ejemplo, en sen 30"' y tan 45 '. Si un ángulo 0 se mide en radianes, no se usará ningún símbolo cuando escribamos una función trigonométrica de

9,

como por ejemplo en eos

ir

y sec —.

Si ü es un ángulo agudo medido en grados, el ángulo 90'' -

0(

oy -

6,

si 0 está en

radianes) es el ángulo complementario de 0. La tabla 2 establece de nuevo el teorema anterior de cofunciones. 0 (Grados)

Tabla 2

«(Radianes)

sen « = cos(90" - «)

sen 0 = eos)

eos 0 = sen(90r - «)

eos « = sen|

ta n « = cot(9Ó - 0 )

ta n « = cot)

esc« = sec(90" - «)

esc 0 => sec|

sec« = csc(9ó - 0 )

sec 0 = csc|

c o t« = tan(90a - 0)

c o t« = tanj

:h :h :h :h H :h

El ángulo 9 en la tabla 2 es agudo. Veremos más adelante (en la sección 8.5) que estos resultados son válidos para cualquier ángulo 9.

EJEM P LO 6

Uso del teorema de ángulos complementarios (a) sen 62°= cos(90° - 62°) = eos 28° /t .

7r

/ ir

ir

/ ir

tr\

(b) t a n - = c o l ( j - - J

5n-

= « .( —

ir \

n

Tt \

7T

(c) c o s j = s e n ( j - - J = s e n , , ,

( IT

(d) esc - = secl

-

- - I = sec y

S E C C IÓ N 7.2

EJEM PLO 7


525

Uso del teorema de ángulos complementarios Determina el valor exacto de cada expresión. No uses una calculadora. (a) sec 28° - esc 62°

Solución

sen 35° eos 55°

(b)

(a) sec 28° - esc 62° = csc(90° - 28°) - esc 62° = esc 62° - esc 62° =

0

sen 35° cos(90° - 35°) cos 55° „ (b) ----- — = ---------- — ----- = ------ — = 1 cos 55° cos 55° cos 55°

Resuelve ahora

el

problema

43

Comentario histórico Figura 26 l nombre de seno para la fundón seno se debe a una con fusión medieval. El nombre proviene del sánscrito ¡iva, (que significa cuerda), que primero fue usada en India por Araybhata el Viejo (510 d.C.). Lo que quería decir era media cuerda, pero lo abrevió. Esto se tradujo al árabe como jiba, que no tiene significado. Como la palabra árabe jaib se escribía de la misma forma (las vocales cortas no se escriben en árabe), jiba se pronunciaba como jaib, que quiere decir hueco, y jaib sigue siendo la palabra árabe para seno hasta hoy. Los académicos que tradujeron las obras árabes al latín encontraron que la palabra sinus también quiere decir hueco y de la palabra sinus tenemos la palabra seno. La palabra tangente, debida a Thomas Finck (1583), se puede entender observando la figura 26. El segmento de recta DC es tan Los nombres de las cofunciones se dieron de la siguiente forma. Si gente al círculo en C. Si d(0,B) = d{0,Q = 1, entonces la longitud del A y B son ángulos complementarios, entonces cos A = sen B. Como B segmento de recta DC es es el complemento de A, era natural escribir el coseno de A como d(D, C) d(D, C) = tan a d(D, C) = sen coA. Probablemente por razones de facilidad de pronunciación, 1 d(0,C) el co se pasó al frente y después, el coseno recibió una abreviación El antiguo nombre para la tangente es umbra versa (que signifi de tres letras para que fuera como el sen, sec y tan. Las otras dos ca sombra volteada) y se refiere al uso de la tangente para resolver funciones se trataron de la misma manera, excepto que las formas problemas de altura con sombras. largas cotan y cosec se usan hoy en día en algunos países.

E

r.2 Evalúa tu entendimiento ¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercidos. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas ntre paréntesis. .

E n un triá n g u lo r e c tá n g u lo c o n c a te to s ar = 6 y b = 10, e l t e o r e m a d e P itá g o ra s n o s d ic e q u e la h ip o te n u s a e s

2.

E l v a lo r d e la fu n c ió n f { x ) = 3 jc - 7 e n 5 e s ___________ (p p . 2 0 0 -2 0 8 )

c = ____________ (p p . 3 0 - 3 5 )

lonceptos y vocabulario__________________________ _ .

= e s c 29.

D o s á n g u lo s a g u d o s cu y a su m a e s u n á n g u lo r e c to se lla

8.

V e rd a d e r o o f a l s o

1 + ta n 29

m a n á n g u lo s ___________

9.

V e rd a d e r o o f a ls o

Si 9 e s un á n g u lo a g u d o y se c 0 = 3,

.

L a s fu n c io n e s d e s e n o y __________ s o n c o fu n c io n e s .

.

ta n 2 8 ° = c o t ___________

.

P ara to d o á n g u lo a g u d o

.

V e rd a d e r o o f a l s o

J

tan

10.

0, s e n 26 + e o s 26 = sen 0 9 = -----cos9

----------------

e n to n c e s c o s 9 = - . 3


7t Att tan y = c o t — .

526

C A P ÍT U L O 7


Ejercicios

_______________

E n los p ro b le m a s 1 1 -2 0 , d e te rm in a e l v a lo r d e las seis fu n c io n e s trig o n o m é tric a s d e l á n g u lo 0 en c a d a fig u ra .

.

12

15.

1 ____ d

E n lo s p r o b l e m a s 2 1 - 2 4 , u sa la s i d e n tid a d e s p a r a d e te r m in a r e l v a lo r e x a c to d e c a d a u n a d e la s c u a tr o f u n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s r e s ta n te s d e l á n g u lo a g u d o 0. \

2 1 . sen« =

eos0 = 2

2

2 2 . sen« = - r - , 2

eo s« = ^

2 3 . sen« =

2

3

e o s« =

2 4 . sen« «*

3

eo s« = —~

3

3

E n lo s p r o b l e m a s 2 5 - 3 6 , u s a la d e f in ic ió n o la s id e n tid a d e s p a r a e n c o n tr a r e l v a lo r e x a c to d e c a d a u n a d e la s c in c o f u n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s d e l á n g u lo a g u d o 0 re s ta n te s . \

2 9 . tan

0 —^

Vi

2 8 . se n

30. cot « = 1

3 1 . se c « = 3

3 2 . e sc d = 5

3 4 . s e c «0 = -|

3 5 . e sc s c «u = l 2 js

6 . c o t « = z2 j3o

2

3 3 . tan « = V 2

£/i /o.y p r o b l e m a s

V5

27. eos 0 = -

2 6 . e o s tf =

2 5 . se n « =

0

=

3 7 - 5 4 , u s a la s i d e n tid a d e s f u n d a m e n ta le s y / o e l te o r e m a d e á n g u lo s c o m p le m e n ta r io s p a r a d e te r m in a r

e l v a lo r e x a c to d e c a d a e x p r e s ió n . N o u s e s u n a c a lc u la d o r a . 3 7 . s e n 2 2 0 ° + e o s 2 20° 4 1 . tan 5 0 ° -

38. se c2 28° -

se n 50°

e o s 25 4 2 . c o t 2 5 -----------— s e n 15°

e o s 50° 45.

ta n 2 28°

e o s 10°

46.

se n 80°

eo s 40° sen 50°

4 9 . tan 20° -

e o s 70°

se n 5 0 ° 5 0 . c o t 4 0 ° ---------se n 4 0

e o s 20

\

3 9 . se n 8 0 ° e sc 8 0 °

4 0 . tan 1 0 ' c o t 10'

\

4 3 . se n 3 8 ° - e o s 5 2 °

4 4 . tan 1 2 ' - c o t 7 8 '

47. 1 - e o s2 20° - e o s 2 70°

4 8 . 1 + ta n 2 5 ' - e s c 2 8 5 '

5 1 . tan 3 5 ° • s e c 5 5 ° •

5 2 . c o t 2 5 ' • e s c 6 5 ' • se n 2

eo s35°

5 3 . e o s 35° se n 5 5 ° + e o s 5 5 ° se n 35

5 4 . se c 3 5 ° e sc 5 5 ° - tan 3 5 ° c o t 5 5 °

55.

58.

D a d o se n 3 0 ° =

u sa la s id e n tid a d e s tr ig o n o m é tr ic a s

D a d o se c 0 = 3 . u sa la s id e n tid a d e s tr ig o n o m é tr ic a s para d e te r m in a r e l v a lo r e x a c to d e

para d e te r m in a r e l v a lo r e x a c t o d e

(a ) (a )

eo s 60°

(c ) esc

56.

7r

(b ) e o s 2 3 0 ° (d )

59.

eos«

(b ) ta n 2 «

(c) csc(9 0 ' - 0 )

( d ) sen* 0

D a d o e sc « = 4 . u sa la s id e n tid a d e s tr ig o n o m é tr ic a s para d e te r m in a r e l v a lo r e x a c t o d e

s e c "y

V 5 D a d o se n 6 0 ° = — , us a las id e n tid a d e s tr ig o n o m é tr ic a s

( a ) se n 0

(b ) c o r 0

(c)

(d ) s e c * 0

se c(9 0 ° - 0 )

6 0 . D a d o c o t 0 = 2 . u sa la s id e n tid a d e s tr ig o n o m é tr ic a s para p ara d e te r m in a r e l v a lo r e x a c t o d e

57.

(a )

eo s 30°

(b ) e o s 2 6 0 °

/(c )\

s e c n—

(d ) e sc j

6

61.

d e te r m in a r e l v a lo r e x a c t o d e

(c ) co t

(H

( a ) tan 0 (c)

D a d o tan 0 = 4. u sa la s id e n tid a d e s tr ig o n o m é tr ic a s para (a ) s e c 2 0

d e te r m in a r e l v a lo r e x a c t o d e

(b ) c o t 0 (d ) e s c 2 0

ta n ^

(b ) e s c 2 0 -

(d ) s e c * «

D a d a la a p r o x im a c ió n s e n 3 8 ° = 0 .6 2 . u sa la s id e n tid a d e s tr ig o n o m é tr ic a s p ara d e te r m in a r e l v a lo r e x a c to d e (a )

eo s 38°

(b ) tan 3 8 °

(c )

cot 38°

(d ) s e c 3 8 °

(e)

e sc 3 8 °

( 0 se n 5 2°

(g )

eos 52°

(h ) tan 52®

SEC C IÓ N 7.2 >2. D a d a la a p r o x im a c ió n e o s 2 1 ° = 0 .9 3 , u sa la s id e n tid a d e s tri-

64.

g o n o m é tr ic a s para d e te r m in a r e l v a lo r e x a c t o d e

^

(a ) sen 2 1 °

( b ) tan 2 1 °

( c ) c o t 21 °

(d ) sec 21 °

(e ) esc 2 Io

(f)

( g ) e o s 69 °

( h ) ta n 69"

0 = 4 . d e te r m in a

s c n 0 = c o s (2 0 + 30°)

sen 69°

Si s e n 0 = 0 .3 . d e te r m in a e l v a lo r e x a c t o d e s e n

e l v a lo r e x a c to d e tan 0 + t a n ^ y - 0^.

65.

è (d .

tan

527


0+

eos

66.

ig u lo a g u d o 0 q u e satisf;

(?-»)■

tan 0 = c o t (0 + 4 5 ° )


e

C a lc u lo d e la d u r a c ió n d e un v ia je

P u e d e s c a m in a r d el

6*). In g e n ie r ía e lé c tr ic a

e s ta c io n a m ie n t o a u na c a sa e n e l m ar. L a c a sa e s tá a 1500

U n r e sisto r y un in d u cto r c o n e c ta d o s

e n se r ie im p id e n el flu jo d e una c o r r ie n te a ltern a . E sta im -

X

p ie s p o r un c a m in o p a v im e n ta d o p a r a le lo a la p la y a , d e

p e d a n c ia Z se d e te r m in a p o r la re a cta n cia

5 0 0 p ie s d e a n c h o . S o b r e e l c a m in o p u e d e s ir a 3 0 0 p ie s

y la re siste n c ia

p o r m in u to , p e r o e n la a r e n a d e la p la y a s o lo p u e d e s ir a

e n o h m s, s e p u e d e n re p r e se n ta r p o r lo s la d o s d e un trián

100 p ie s p o r m in u to . O b s e r v a la ilu str a c ió n .

g u lo r e c tá n g u lo c o m o s e ilu stra, p o r lo ta n to , Z 2 = E l á n g u lo

(¡>s e

R d el

X2+ R'.

llam a á n g u lo d e fa se. C o n sid e ra q u e una red

e n se r ie tie n e u n a re a cta n cia in d u ctiv a d e u na r e siste n c ia d e

Playa

d el in d u cto r

resisto r. L as tres c a n tid a d e s, m ed id a s

R-

X=

400 ohm s y

6 0 0 o h m s.

(a ) D e te r m in a la im p e d a n c ia Z . ( b ) D e te r m in a lo s v a lo r e s d e la s s e is f u n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s d e l á n g u lo d e fa se .

L g S

^ Estacio n a m ie n to

T

( a ) C a lc u la e l tie m p o

R si c a m in a s 1500 p ie s s o b r e el

c a m in o p a v im e n ta d o y d e s p u é s 5 0 0 p ie s e n la a re n a

70.

h a sta la ca sa .

I n g e n ie r ía e lé c tr ic a

C o n su lta e l p r o b le m a 69. U n a red

e n se r ie tie n e u na r e siste n c ia d e

T se c a m in a s e n

(b ) C alcu la e l tie m p o

la a ren a d ire cta m e n te

y ca m in a s 1500 p ies so b re la p laya hacia la casa.

T que

(a ) D e te r m in a la rea cta n cia in d u ctiva

te to m a lle g a r d e l e s ta c io

(d ) C a lcu la e l t ie m p o

T si

c a m in a s d ir e c ta m e n te d e l e s ta

m é tr ic a s d e l á n g u lo d e fa se 71.

500 ‘ S u g e r e n c ia : tan 0 = -■ _ -

G e o m e tr ía

(a ) A n g u lo

1jlJU _

T

la im p ed a n cia Z.

re sta n te s.

C o n sid e ra q u e el á n g u lo 0 e s un á n g u lo central

d e un círcu lo d e ra d io 1 (v er figu ra). D e m u e str a q u e

c io n a m ie n t o a la casa .

( e ) C a lcu la e l tie m p o

Xy

(b ) D e te r m in a lo s v a lo r e s d e las c in c o fu n c io n e s tr ig o n o

n a m ie n to a la c a sa c o m o fu n c ió n d e l á n g u lo 0 q u e se m u e str a e n la ilu stra c ió n .

5 8 8 o h m s. E l á n g u lo

d e fa se e s tal q u e tan $ =

h acia el m ar 5 0 0 p ie s y d e sp u é s d a s v u elta a la izq u ierd a ( c ) E x p r e sa e l tie m p o

R=

OAC

0

= —

(b ) |C D | = s e n 0 y |O D | = e o s 0

si c a m in a s 1000 p ie s s o b r e el

c a m in o p a v im e n ta d o y d e s p u é s c a m in a s d ir e c ta m e n te a la casa. ^ (T) T ra za la g rá fica d e

T=

7 ( 0 ) . ¿P ara q u é á n g u lo 0 e s

m e n o r 7 7 ¿ A q u é e q u iv a le

x

p ara e s te á n g u lo ? ¿C u á l

e s e l tie m p o m ín im o ?

A

(g ) E x p lic a p o r q u é tan 0 = ^ d a c o m o r e su lta d o e l á n 72.

g u lo 0 m ás p e q u e ñ o p o s ib le .

68. C argar u n a e s c a le r a p o r u n a e s q u in a

G e o m e tr ía is ó s c e le s e s

D o s p a sillo s , u n o

0

D B

D e m u e s tr a q u e e l á rea

A = a1se n

0 e o s 0, d o n d e

A d e un triá n g u lo a e s la lo n g itu d d e

u n o d e lo s d o s la d o s ig u a le s y 0 e s la m e d id a d e u n o d e lo s

d e 3 p ie s d e a n c h o y e l o tr o d e 4 p ie s, se e n c u e n tr a n en

d o s á n g u lo s ig u a le s (v e r fig u ra ).

á n g u lo re c to . O b se r v a la ilu stra c ió n . (a ) E x p re sa la lo n g itu d

L

d el s e g m e n to q u e se m u estra c o m o fu n ció n d el á n g u lo 0. (b ) C o m e n ta p o r q u é la lo n g itu d d e la esca lera

73.

S e a « > 1 c u a lq u ie r n ú m e r o rea l y se a 0 cu a l77 q u ie r á n g u lo p ara e l q u e 0 < nO < E n to n c e s , p o d e

G e o m e tr ía

m ás larga q u e se p u

nO y

e d e cargar p o r la e s

m o s trazar un triá n g u lo c o n lo s á n g u lo s 0 y

q u in a e s igu al al v alo r

in c lu id o d e lo n g itu d 1 (¿ P u e d e s v er p o r q u é ? ) y p o n e r lo

m ás p e q u e ñ o d e

L.

e l la d o

d e n tr o d e un c írc u lo u n ita rio c o m o e n la ilu stra ció n .

528

C A P ÍT U L O 7


A h o r a traza la p erp en d ic u la r d e

C a D = (x, 0 )

y d em u es

id)

eos

\O B \

tra q u e ta n (/i 0 )

(e)

* ~ tan 0 + t a n ( « 0 )

a

= e o s (3

se n (a

+ fi) -

se n

a

eos

(i +

eos

a

se n

(3

[Sugerencia: Á r e a A O /1 /1 = Á r e a A C M C + Á r e a \O CB\

1

76. Geometría

C o n su lta la fig u ra , d o n d e se traza un círcu lo

u n ita rio . E l s e g m e n t o d e recta

74. Geometría ra d io e s E l ra y o ra y o

OB

DB e s

ta n g e n te al círcu lo .

C o n su lta la fig u r a . E l c ír c u lo m e n o r , c u y o

a, e s OA

ta n g e n te al c ír c u lo m a y o r , c u y o r a d io e s

b.

c o n tie n e un d iá m e tr o d e ca d a c ír c u lo y el

e s ta n g e n te a ca d a c ír c u lo . D e m u e s tr a q u e

2 ( E s to d e m u e str a q u e e o s 0 e s igu al a la ra z ó n d e la m e d ia g e o m é tr ic a d e

ay ba

la m e d ia a r itm é tic a d e a y

b.)

[Sugerencia: P rim ero d em u e str a q u e se n 0 = (b - a)/(b + a ).] ( a ) E x p re sa e l á rea d e A OBC en té r m in o s d e se n 0 y e o s 0.

[Sugerencia: U s a la altu ra d e C a la b a se OB = 1.) (b ) E x p r e s a e l á r e a d e A OBD e n té r m in o s d e l se n 0 y e o s 0.

j

( c ) E l á rea d el s e c to r

OBC d e l

c ír c u lo e s - 0 , d o n d e 0 se

m id e e n ra d ia n e s. U s a lo s r e su lta d o s d e lo s in c is o s (a ) y (b ) y e l h e c h o d e q u e Á r e a A OBC

<

Á r e a d e l s e c to r

OBC <

Á r e a AOBD

p ara d e m o str a r q u e

75.

Geometría

C o n su lta la figura. Si

(a ) Á r e a A C M C = x s e n

2

\OA\ = 1, d e m u e str a

0 1 < ------- < sen 0

que

TI.

a eos a

Si eo s

a=

tan /3 y e o s )3 = tan a . d o n d e a y

(3 s e n a = se n

= ~j\OB\ s e n ( a

eos 0

¡3 so n

á n g u lo s

a g u d o s, d e m u e str a q u e

(b ) Á r e a A OCB = ^ | O f i |2 se n / 3 e o s (c ) Á r e a A OAB

1

+

¡3)

78.

fi =

Si 0 e s un á n g u lo a g u d o y ta n 0 =

x. e x p r e sa

la s c in c o fu n

c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s r e sta n te s e n té r m in o s d e .t.


Si 0 e s u n á n g u lo a g u d o , e x p lic a p o r q u é s e c 0 > 1.

80.

Si 0 e s un á n g u lo a g u d o , e x p lic a p o r q u é 0 < s e n 0 < 1.

81.

82.

O b se r v a d e n u e v o e l e je m p lo 5 . ¿ C u á l d e la s d o s so lu c io n e s P r e f*e r e s ? E x p lic a tu r a z o n a m ie n to .

¿ C ó m o e x p lic a r ía s e l sig n ific a d o d e la fu n c ió n s e n o a un e s tu d ia n te q u e a ca b a d e ter m in a r un c u r so u n iv e r sita r io d e Á lg e b r a ?

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?".

i. 2 V 34

2.

/ ( 5) = 8

S U C C IÓ N 7.3

529

Cálculo de los valores de las fundones trigonométricas de ángulos agudos

7 3 Cálculo de los valores de las funciones trigonom étricas de ángulos agudos O BJETIVO S

1 Determinar valores exactos de las funciones trigonométricas de — = 45° (p. 529) 4 77*

2 Determinar valores exactos de las funciones trigonométricas de — = 30° y y = 60° (p. 530) 3 Usar una calculadora para aproximar los valores de las funciones trigono métricas de ángulos agudos. 4 Modelar y resolver problemas aplicados que involucren triángulos rectán

gulos (p. 532)

En la sección anterior desarrollamos formas de determinar el valor de cada función trigonométrica de un ángulo agudo cuando se conoce el valor de una de las funciones. En esta sección estudiaremos el problema de determinar el valor de cada función trigonométrica de un ángulo agudo cuando se da el ángulo. Para tres ángulos agudos especiales podemos usar algunos resultados de geome tría plana para determinar el valor exacto de cada una de las seis funciones trigono métricas.

1 Determinación de los valores exactos de funciones 77

trigonométricas de — = 45°

EJEM PLO 1

Determinar los valores exactos de funciones trigonométricas de — = 45° 4

7j-

Determina los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de — = 45°.

Solución

Usando el triángulo rectángulo de la figura 27(a), en el que uno de los ángulos es 7r

7r

— = 45°, se puede concluir que el otro ángulo agudo es también — = 45°, por lo tanto, el triángulo es isósceles. Como resultado, el lado a y el lado b tienen la misma longitud. Como los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo dependen solamente del ángulo y no del tamaño del triángulo, le podemos asignar cualquier valor a a y a b para los que a = b > 0. Escogeremos usar un triángulo para el que a

=

b = 1

Entonces, por el teorema de Pitágoras, c2 = a2 + b 2 = 1

c = V

+

1

=

2

2

Como resultado, tenemos el triángulo de la figura 27(b), del que determinamos que 45'

a =1 (b)

sen — = sen 45° 4

b c

_

1

V¡

V 2

2

eos — = eos 45° 4

1 c

v

V 2 í

2

530

C A P ÍT U LO 7 Funciones trigonométricas

Usando las identidades de cociente y recíprocas, tenemos V 2 7t sen 45° 2 _ „ tan — = tan 45 = ----- — = — = 1 4 eos 45° y/2

TT

ACO

1

= — sec — = sec 45 = eos 45° 1 4

TT

1

cot — = cot 45 = ----- — 4 tan 45° TT

1

1

csc — = csc 45 = ----- — = — 4 sen 45 1

= V i

vs EJEMPLO 2

1 ——= \

= V 2

\Í 2

Determinar el valor exacto de una expresión trigonométrica Determina el valor exacto de cada expresión.

o>)(secf)(cotf)

(a) (sen 45°)(tan 45°)

Solución

Usa los resultados que obtuvimos en el ejemplo 1. V 2

(a) (sen 45°)(tan 45°) = —

V 2

-1 = —

(b) ( sec f ) ( c o tf ) = V 2 - 1 = V 2

Resuelve ahora

l o s

p r o b l e m a s

5

y

17

Determinación de los valores exactos de las funciones 77

77

trigonométricas — = 30° y — = 60° 6 3 EJEM PLO 3

Determinar los valores exactos de las funciones trigonométricas

~

= 30° y

~

®

-

60° TT

^

Determina los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de — - 30° y o

Solución

7T

Forma un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos sea — = 30°. Se puede 6

77

concluir que el tercer ángulo es —

=

60°. La figura 28(a) ilustra ese triángulo con la

hipotenusa de 2 de longitud. Ahora tenemos que determinar a y b . Empieza por colocar junto al triángulo de la figura 28(a) otro triángulo con gruente al primero, como se muestra en la figura 18(b). Observa que ahora tenemos un triángulo cuyos ángulos son de 60° cada uno. Por lo tanto, este triángulo es equi látero y cada lado tiene 2 de longitud. En particular, la base es 2 a = 2, entonces a = 1. Por el teorema de Pitágoras, b satisface la ecuación a 2 + b 2 = c2, así que tenemos que a2 + b2 -

c2

a = 1, c = 2

12 + b 2 = 2 2

b2 =

4 - 1= 3

b = V

3

S E C C IÓ N 7.3

531

Cálculo de los valores de las funciones trigonométricas de ángulos agudos

Usando el triángulo de la figura 28(c) y el hecho de que — = 30° y — = 60° son ángulos complementarios, tenemos que ^ ^ 7T sen—

sen 30»=

7T eos — 6

„ adyacente _ V i eos 30° = - -r1 ---------hipotenusa 2

6

1 2

° PUeS'° hipotenusa

77 1 eos — = eos 60 = 3 2 77 VÍ sen — = sen 60 = —- — 3 2

1 7T

tan — 6

77

CSC —

6

sen 30° 2 eos 30° ' V i ' 2 1 1 2 esc 30° = sen 30° ~ 1 ~ 2

V i

1

tan 30° =

3

V i'

77 V3 cot - = cot 60° = - V 3 3 77 sec —

=

sec 60° = 2

2

sec

77

1 1 eos 30° ' V i "

sec 30° =

2

2

VÍ 3

V i"

77 2V 3 esc — = csc 60 = —-— 3 3

2

COt

77

1 1 cot 30° = tan 30° ' V i '

3

tan y = tan 60° = V i

V i

V i

3

La tabla 3 resume la información que acabamos de obtener para los ángulos íi

7T

77

— = 30°, — = 45°, y — = 60°. En lugar de memorizar las entradas de la tabla 3, 6 4 3 puedes trazar el triángulo apropiado para determinar los valores que se dan en la tabla.

T a b la 3

6 (Radianes)

0 (Grados)

77

30°

6 77

45°

4 77

60°

3

EJEM PLO 4

sen 0

eos 0

tan 0

1

V3 2

Vb

2

Vi

Vi

2

2

Vb

1

2

2

3

CSC

0

2

1

Vi

Vi

2V3 3

sec0

2VÜ 3

Vi 2

cot 0

Vi 1

Vi 3

Determinar el valor exacto de una expresión trigonométrica Determina el valor exacto de cada expresión.

Solución

✓ \ 9 77 9 77 (c) tan¿ — + sen¿ — 6 4

/1 \ 77" 77 (b) tan — - sen —

(a) sen 45° eos 30°

V5 V i Vó (a) sen 45° eos 30° = — ------— = — 2 ~~ 4 77 77 l — - sen — = 3 4 ï + + s sen e n 22 — î7r = ^ (c) tani2 — 4 V 6

Resuelve ahora

V i

y 3

2 - V i

+ ^

J

lo s

V

Y = 2 j

problemas

i

9

+ i = ?

y

19

532

C A P ÍT U L O 7


3 Uso de una calculadora para aproximar el valor de las funciones trigonométricas de ángulos agudos Antes de empezar debes decidir si quieres ingresar el ángulo en la calculadora usan do grados o radianes y después, establecer la calculadora en el modo correcto, (Re visa tu instructivo para saber cómo maneja los grados y los radianes tu calculadora.) ADVERTENCIA En

tu calculadora las segundas funciones sen“', coe' y tan-' no representan el recíproco de sen, eos y tan. ■

EJEMPLO 5

Tu calculadora tiene las teclas marcadas sen , eos y tan . Para determinar los valores de las tres funciones trigonométricas restantes (secante, cosecante y cotan gente), debemos usar las identidades recíprocas. sec 0

=

eos 0

esc 0

=

cot 0 =

sen 0

]_

tan 0

Uso de una calculadora para aproximar los valores de las funciones trigonométricas Usa una calculadora para determinar el valor aproximado de: (a) eos 48°

(b) esc 21°

i.

(c) tan

12

Expresa tu respuesta redondeada a dos lugares decimales.

Solución

(a) Primero establecemos el MODO para ingresar grados. Redondeado a dos luga res decimales, eos 48° = 0.67 (b) La mayoría de las calculadoras no tiene tecla de esc. El fabricante supone que el usuario sabe algo de trigonometría. Para determinar el valor de esc 21°, usamos el hecho de que esc 21° =

o. Redondeada a dos lugares decimales, esc 21° = 2.79

Figura 29

tan
^ ‘¡(c) Establece el MODO para ingresar radianes. La figura 29 muestra la solución usando una calculadora gráfica TI-84 Plus. Redondeada a dos lugares decimales. tan ^ = 0.27

-Resuelve ahora

el

problema

29

4 Modelar y resolver problemas aplicados que involucren triángulos rectángulos Los triángulos rectángulos se pueden usar para modelar muchos tipos de situaciones, como el diseño óptimo de una canaleta de lluvia.*

EJEMPLO 6 Figura 30

- - - - - - - - - - - - 12 pulg-

Construcción de una canaleta de lluvia Se quiere construir una canaleta de lluvia de láminas de aluminio de 12 pulgadas de ancho. Se marca una medida de 4 pulgadas en cada orilla y se doblan los lados hacia arriba con un ángulo de 0. Ver figura 30. Expresa el área A de la abertura como función de 0. [Sugerencia: Sea

b

la altura vertical del doblez.]

Determina el área A de la abertura para 0 = 30°, 0 = 45°, 0 = 60° y 0 = 75°. Traza la gráfica de A - A(0). Determina el ángulo 0 que da como resultado la mayor A. (Este doblez permitirá el mayor flujo de agua por la canaleta.) ♦En los problemas aplicados es importante que las respuestas se den con precisión justificable y númea>s significativos apropiados. A lo largo del libro consideraremos que los ángulos se miden al décimo más cer cano y los lados se miden al centésimo más cercano, lo cual, da como resultado que los lados se redondeen a dos lugares decimales y los ángulos se redondeen a un lugar decimal.

S E C C IÓ N 7.3

Solución Figura 31

■? :


533

(a) Observa de nuevo la figura 30. El área A de la abertura es la suma de las áreas de dos triángulos rectángulos congruentes y un rectángulo. Observa la figura 31, que muestra el triángulo de la derecha en la figura 30 dibujado de nuevo. Vemos que eos 8

=

—, entonces

a =

4

4 eos

sen 8

8

- -, 4

entonces

b = 4

sen 8

El área del triángulo es área del triángulo = -(base)(altura) =

âb

= ^-(4 eos 8 ) ( 4 sen 8 ) = 8 sen 0 co s0

Así que el área de los dos triángulos congruentes es 16 sen 8 eos 8. El rectángulo tiene 4 de largo y b de altura, por lo que su área es área del rectángulo

- 4 b =

4(4 sen 8 )

-

16 sen 8

El área A de la abertura es A = A(8)

(b) Para0 = 30°:

área de los dos triángulos + área del rectángulo = 16 sen 8

eos 8 +

16 sen 8

=

16 sen 0(cos 8

+ 1)

A(30°) - 16 sen 30°(cos 30° + 1) 1 V V 3

+ 8 « 14.93

El área de la abertura para 8 = 30° es de aproximadamente 14.93 pulgadas cua dradas. Para 8

=

45°:

A(45°) = 16 sen45°(cos 45° + 1) 'V 2V

\/2

= 16( ^ y ) ( y T + i ) = 8 + El área de la abertura para 8 dradas. Para 8

-

60°:

=

« 19.31

45° es de aproximadamente 19.31 pulgadas cua

A(60°) = 16 sen 60°(cos 60° + 1) 'V 3 '

=

+ l ) = 12V 3 « 20.78

Figura 32

El área de la abertura para 8 dradas.

24

Para 8 90

=

75°:

=

60° es de aproximadamente 20.78 pulgadas cua

A(75°) - 16 sen75°(cos 75° + 1) * 19.45

El área de la abertura para 8 = 75° es de aproximadamente 19.45 pulgadas cua dradas. ¡fe¡:(c) La figura 32 muestra la gráfica de A = A { 8 ) . Usando MAXIMUM, el ángulo 8 Él que da como resultado la mayor A es 60°. ^ Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

61

Además de desarrollar modelos usando triángulos rectángulos, podemos usar la trigonometría de triángulos rectángulos para medir alturas y distancias que son difíci les o imposibles de medir por medios ordinarios. Cuando uses triángulos rectángulos para resolver estos problemas, pon atención a las medidas conocidas. Esto indicará qué función trigonométrica debes usar. Por ejemplo, si conocemos la medida de un ángulo y la longitud del lado adyacente al ángulo y queremos determinar la longitud del lado opuesto, usaríamos la función tangente. ¿Puedes ver por qué?

534

C A P ÍT U L O 7


f EJEMPLO 7

Determinar el ancho de un río Un topógrafo puede medir el ancho de un río poniendo un teodolito en un punto C' en un lado del río y tomando la medida al punto A en el otro lado. Consulta la figura 33. Después de girar 90° en C, el topógrafo camina una distancia de 200 metros al punto B. Usando el teodolito en el punto B , se mide el ángulo 6 y se determina que es de 20°. ¿Cuál es el ancho del río redondeado al metro más cercano?

Figura 33

Solución Queremos determinar la longitud del lado b. Conocemos a y de que b es opuesto a 6 y a es adyacente a 6 y escribe

0,

así que usa el hecho

„ b tan 8 = a

que nos lleva a b

tan 20° b =

200 200 tan 20° ~ 72.79 metros

El ancho del río es de 73 metros, redondeado al metro más cercano.

-Resuelve ahora

EL P R OB L E MA 6 9

Algunas veces se pueden medir las alturas verticales usando ya sea el á n g u lo d e o el á n g u lo d e d e p r e s ió n . Si una persona ve un objeto hacia arriba, el án gulo agudo que se mide de la horizontal a la línea visual al objeto se llama ángulo de elevación. Ver figura 34(a). e le v a c ió n

Objeto

Figura 34

Horizontal án g u lo de depresión”

*'

0^ Ángulo de elevación,. Horizontal

(a)

Objeto

(b)

Si la persona está en un precipicio viendo un objeto hacia abajo, el ángulo agudo que se forma por la línea visual, el objeto y la horizontal se llama el ángulo de depre sión. Ver figura 34(b).

EJEMPLO 8

Determinar la altura de una nube Los meteorólogos determinan la altura de una nube usando un instrumento llamado ceilómetro. Un ceilómetro consiste de un proyector de luz que dirige un rayo de luz vertical a la base de la nube y un detector de luz que explora la nube para detectar el rayo de luz. Ver figura 35(a). El 8 de diciembre de 2010, en el Aeropuerto Midway de Chicago, se usó un ceilómetro para determinar la altura de la capa de nubes. Se estableció con el detector de luz a 300 pies del proyector de luz. Si el ángulo de eleva ción del detector de luz a la base de la nube fue de 75°, ¿cuál fue la altura de la capa de nubes?

S E C C IÓ N 7.3


535

PunlTîlum inado en la base de las nubes

Rayo de luz vertical Base b

Detector de luz

Altura de la nube h

-----

300 pies

Proyector de luz

(a)

Solución

(b)

La figura 35(b) ilustra la situación. Para determinar la altura h , usamos el hecho de que ..o h tan 75 = ——, entonces

h

= 300 tan 75° « 1120 pies

El techo (altura a la base de la capa de nubes) fue de aproximadamente 1120 pies. •-J

—

-Resuelve ahora

el

problema

7i

También se puede usar la idea presentada en el ejemplo 8 para determinar la altura de un objeto con una base que no es accesible a la horizontal.

EJEMPLO 9

Determinar la altura de una estatua en un edificio Hay una estatua de Ceres, la diosa romana del trigo, adornando la parte superior del edificio Board of Trade en Chicago. Se toman dos observaciones desde el nivel de la calle a 400 pies del centro del edificio. El ángulo de elevación a la base de la estatua es de 55.1° y el ángulo de elevación a la parte superior de la estatua es de 56.5°. Ver figura 36(a). ¿Cuál es la altura de la estatua?

36

Solución

La figura 36(b) muestra dos triángulos que reproducen la figura 36(a). La altura de la estatua de Ceres será b ' - b . Para determinar b ' - b, consulta la figura 36(b). ,an551° = Í o b =

tan 565° = Sio

400 tan 55.1° * 573.39

b'

= 400 tan 56.5° « 604.33

La altura de la estatua es de aproximadamente 604.33 - 573.39 = 30.94 pies « 31 pies. J

Resuelve ahora

el

problema

77

536

CA PÍTU LO 7 Fundones trigonométricas

7.3 Evalúa tu entendimiento Conceptos y vocabulario Verdadero o falso

1.

tan y + sen 30° = 4 --------

2.

S e p u e d e n e n co n tra r v a lo r es ex a cto s

para las fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s d e 60°.

U sa n d o una calcu lad ora, sen 2 = --------------- , r e d o n d e a d o a

Verdadero o falso

d os lugares d ecim a les.

para el s e n o d e cu a lq u ie r á n g u lo .

S e p u e d e n e n co n tra r v a lo r es ex a cto s

Ejercicios_____________________________________________________________________________________________________________ \

5. E scrib e el v alor e x a c to d e ca d a u na d e las se is fu n c io n e s

6. E sc r ib e el v a lo r e x a c to d e ca d a una d e las se is fu n c io n e s trí-

trig o n o m étrica s d e 45°.

En los problemas 7-16, f(6) 7. m

g o n o m é tr ic a s d e 3 0 ° y 60°. =

sen 9 y g(9) = eos 0. Determina el valor exacto de cada expresión si 9 = 60°. No uses una calculadora.

8.

g(6) v

12. [g( 6>)]2

-

'(!)

11.

,o - « ( ! )

14. 2 g(9)

13. 2 / ( 0 )

\f(9)\

16 16. 8 (2e )

En los problemas 17-28, determina el valor exacto de cada expresión. No uses una calculadora. \ . 17. 4 e o s 45° - 2 se n 45°

\ . 1 9 . 6 tan 4 5 ° - 8 e o s 60°

18. 2 se n 45 ° + 4 e o s 30°

7T

77"

7T

77

20. se n 3 0 o* tan 60°

2 1 . se c — + 2 esc —

22. tan — + c o t — 4 4

23. s e c 2 -7 - 4

2 4 . 4 + ta n 2 y 3

2 5 . s e n 2 3 0 ° + e o s 2 60°

26. se c 2 60° - tan 2 45°

2 7 . 1 - e o s 2 3 0 ° - e o s 2 60°

2 8 . 1 + ta n 2 30° - esc2 45'

4

6

3

En los problemas 29-46, usa una calculadora para determinar el valor aproximado de cada expresión. Redondea la respuesta a dos lugares decimales. \

29. se n 28°

ir 35.

s e n n

io

3 0 . e o s 14°

3 1 . tan 21°

36. eo s —

4 2 . tan 1

3 3 . se c 41°

3 7 . tan —

3 8 . c o t 7718

3 9 . se c —

12

4 0 . esc — 13

4 3 . se n 1°

4 4 . tan 1°

4 5 . tan 0.3

4 6 . tan 0.1

5n

8

41. se n 1

3 2 . c o t 70°

12

___

34. esc 55°

77

577

Práctica mixta En los problemas 47-56, f(x) 47.

(f +

51.

(f o h ) [ -

=

sen x, g(x) = eos x, h(x) =2x y p(x)

g ) ( 3 0 °)

= —.

4 8 . ( / - g ) (6 0 ° )

49. ( / - g ) [

5 2 . ( g o p )(6 0 ° )

53.

7r

55. (a ) D e t e r m i n a / ( t ! ¿ Q u é p u n to está en la gráfica d e / ? '

'

(b ) S u p o n ie n d o q u e

Determina el valor de lo siguiente:

(p

50. ( / - g ) (

>(!)

54.

o g ) (4 5 ° )

^

j:

< -

/ e s in y ec tiv a . U sa

e l r e su lta d o d e l in c iso (a ) para d e ter m in a r un p u n to en la gráfica d e / -1. (c ) ¿ Q u é p u n to es tá e n la gráfica d e

>(?)

( 7r\

(b ) S u p o n ie n d o q u e 0 £

x

s 77, g e s in y ectiv a . U s a e l

r e su lta d o d el in c iso (a ) para d eter m in a r un p u n to en la gráfica d e g"1. (c ) ¿ Q u é p u n to está e n la gráfica d e _

y=f{x+ 4 j ~ 3si*= 4?

o /)(

56. (a ) D e te r m in a g l — I. ¿ Q u é p u n to está e n la gráfica d e g?

7T

7T

(h

(

77 \

.

7T

S E C C IÓ N 7.3


537

Aplicaciones y extensiones Los problemas 57-60 requieren del siguiente análisis. Movimiento de proyectiles

L a tra y e cto ria d e un p ro y ec til q u e se d isp ara c o n u na in clin a c ió n

lo c id a d in icial v0 e s u na p a rá b o la . V e r figura. E l alcance e n c u e n tra u sa n d o la fu n ció n

R

2vi se n 6 e o s 6 m donde

g«

=

v0 = velocidad inicial

g u n d o e s la a c e le r a c ió n d eb id a a la g ra v e d a d . L a altura m á x im a e stá d a d a p or la fu n ció n vi s e n 2 0

H d el

' " P Altura, H

p ro y ec til

-Alcance,

2g

x(6)

57. El p royectil se dispara con un á n g u lo d e 45° co n re sp ec to a la h orizontal con una velo cid a d inicial d e 100 p ies p or seg u n d o .

donde

58. E l p royectil se dispara co n un á n g u lo d e 30° co n re sp ec to a la

do

h orizontal co n una velo cid a d inicial d e 150 p ies p or seg u n d o . 59. E l p royectil se dispara con un á n g u lo d e 25° co n re sp ec to a la h orizontal co n una velo cid a d inicial d e 500 p ies p or seg u n d o . 60. E l p royectil se dispara co n un á n g u lo d e 50° co n resp ecto a la

fí-

\ / l 6 + 0 .5 (2 e o s 2 0 -

1)

el á n g u lo e n tr e e l c ig ü e ñ a l y la tr a y e c to r ia d e

x c u a n d o 0 = 30°

y cuan

9 = 45 °.

©

so b re el ca m in o p a v im e n ta d o p ero a so lo 3 m illas p or hora en la arena d e la playa. C o m o un río flu ye en tre las casa, es

V er ilustración. Si se ign ora la fricción, el

n ece sa r io correr so b re el ca m in o d e arena, co n tin u ar en el ca m in o p a v im e n ta d o y d esp u é s correr e n la arena para lle

se p or un p la n o in clinad o se m o d e la p or la fun ción

a es

6 es

0+

'jfS

63. Cálculo del tiempo que toma un viaje D o s casas d e frente al o c é a n o está n a 8 m illas una d e la otra so b re la playa, cada una a u na d istancia d e 1 m illa d e un ca m in o p a v im en ta d o q u e e s p a ra lelo al mar. Sally p u e d e correr a 8 m illas p or hora

tiem p o t (en se g u n d o s) q u e req u iere un b lo q u e para d eslizar

donde

= eos

la c a b e z a d e l p istó n . D e te r m in a

h orizon tal c o n una v elo cid a d inicial d e 200 p ies p or seg u n d o .

t(0)

' \

_ J _____________

En los problemas 57-60, determina el alcance R y la altura máxima H del proyectil. Redondea las respuestas a dos lugares decimales.

k61. Plano inclinado

r e sp e c to a la h o r iz o n ta l y v e

g

32.2 p ie s p or se g u n d o p o r se g u n d o « 9 .8 m e tr o s p o r se g u n d o p o r s e

H(0) =

0 con

d e l p r o y e c til, e s d ecir, la d ista n cia h o riz o n ta l q u e reco rre el p ro y ec til, se

gar d e una ca sa a la otra. O b serv a la ilustración.

la g se n 0 e o s 6

=

la lo n g itu d (e n p ie s) d e la b a se y

g»

32 p ie s p or

se g u n d o p or se g u n d o e s la a c e le r a c ió n d e b id a a la g r a v e d ad. ¿ C u á n to tardará e l b lo q u e en d e sliza r se p o r u n p la n o in clin a d o co n u na b a se

a = 10 p ie s

cu a n d o

(a ) 0 = 30°? (b ) 0 = 45°? (a ) E x p re sa el tie m p o T q u e to m a lleg a r d e una casa a la otra c o m o u na fu n c ió n d el á n g u lo

6 que

se m u estra en

la ilu stración . (b ) C a lcu la el tie m p o T para 6

= 30°.

¿ C u á n to tie m p o e s

tará S ally e n el ca m in o p a v im e n ta d o ? (c ) C a lcu la e l tie m p o T para 6

= 45°.

¿ C u á n to tie m p o e s

tará S ally en el c a m in o p a v im e n ta d o ? (d ) C a lcu la el tie m p o T para 9

= 60°.

¿ C u á n to tiem p o e s

tará S ally e n el ca m in o p a v im e n ta d o ? ( e ) C alcu la el tie m p o T para 9 = 90°. D e sc r ib e la ruta q u e

62. Motores de pistones p is to n e s , la d ista n c ia

(f)

V e r ilu stra ció n . E n cie r to m o to r de

x

=

^ —. D e sc r ib e la ruta

seg u id a . E x p lica p o r q u é 9 d e b e ser m ayor q u e 14°.

(e n p u lg a d a s) d e l c e n tr o d e l eje

d e l c ig ü e ñ a l a la cab eza d el pistón se m o d e la p or la fun ción

seg u id a . C alcu la e l tie m p o T para tan 9

Q

(g ) T raza la gráfica d e T = T (9 ). ¿ Q u é á n g u lo 9 da c o m o re su lta d o e l m en o r tie m p o ? ¿C uál e s el m en o r tiem p o ? ¿ C u á n to tie m p o esta rá S ally en el ca m in o p a v i m en ta d o ?

e

Diseño de piezas decorativas finas U n d iseñ a d o r d e p la n o s d e arte d e c o r a tiv o p la n e a v e n d er esfe ra s d e o ro só li d o en ca p su la d a s d en tro d e c o n o s tra n sp a ren tes d e cristal. C ad a esfe ra tie n e un rad io igual a R y estará en un co n o de altura

hy

rad io

r.

V er ilu stración d e la p ágina 538. Se

p u e d e n usar va rio s c o n o s para en ca p su la r la e sfera , cada u n o co n un á n g u lo de in clin a ció n 0 d ife re n te.

538

C A P ÍT U L O 7


^ 7 1 . La Torre Eiffel

La to rre m á s alta q u e

%c c o n str u y ó

an

te s d e la era d e las a n te n a s d e te le v isió n , e s la Jorre Li fie l, q u e s e e d ific ó el 31 d e m a rz o d e 1889. D e te r m in a la altu ra d e la T o r re E iffe l (a n te s d e q u e se le agregara una a n te n a d e te le v isió n en la p u n ta ) u sa n d o la in form ación q u e se da en la ilu stra c ió n .

V de! c o n o c o m o fu n ció n d el á n 0 d el c o n o . v o lu m e n V d e un c o n o d e altura h y

(a ) E xp resa el v o lu m e n g u lo d e in clin a ció n

[Sugerencia: El rad io r e s

V

= - 7rr 2/t.]

(b ) ¿ Q u é v o lu m e n

V se

re q u ie re para e n ca p su la r una e s

fera d e 2 c e n tím e tr o s d e ra d io en un c o n o c u y o á n g u lo d e in clin ación

0 es

ten er el v o lu m e n

72. Determinar la distancia de un barco a la orilla

d e 3 0 o? ¿ D e 4 5 o? ¿ D e 60"?

y (c) ¿ Q u é á n g u lo d e in clin a c ió n

V m ín im o

6 se

d e b e usar para o b

d el c o n o ? (E sta e le c c ió n

d o q u e tie n e 100 p ies d e altura. El á n g u lo d e e le v a c ió n es

m in im iza la ca n tid a d d e cristal req u erid a y da m ayor én fa sis a la esfe ra d e o r o .)

d e 30 °, ¿ q u é tan le jo s d e la o rilla está el b arco?

73. Determinar la distancia a una plataforma

65. Geometría U n triá n g u lo re c tá n g u lo tie n e u na h ip o te nusa d e 8 p u lgad as d e largo. Si un á n g u lo e s 35 °, d e te r m i

á n g u lo d e e le v a c ió n a la parte su p e rio r d e la p lataform a es d e 60", ¿ q u é tan le jo s e stá s d e la b a se d e la p lataform a?

U n triá n g u lo re c tá n g u lo tie n e u na h ip o te

nusa d e 10 c e n tím e tr o s d e largo. Si un á n g u lo e s 4 0 °, d e

74. Determinar el alcance de una escalera U n a esca lera de e x te n s ió n d e 22 p ie s q u e está recargad a en un e d ific io for

term in a la lo n g itu d d e ca d a c a te to .

67. Geometría

m a un á n g u lo d e 7 0 ° co n el su e lo . ¿ Q u é tan a lto llega la e sc a le r a so b r e e l e d ific io ?

U n triá n g u lo re c tá n g u lo tie n e un á n g u lo d e

75. Determinar la distancia entre dos objetos

25°.

U n dirigible

q u e v u ela a una altura d e 5 0 0 p ies está d ire cta m e n te en c i

(a ) Si un c a te to tie n e 5 p u lg a d a s d e la rg o , ¿ c u á n to m id e la

m a d e la lín ea e n tr e e l C a m p o d el S o ld a d o y el P lan etario

h ip o ten u sa ?

A d le r e n el la g o M ich ig a n (v er figu ra). Si el á n g u lo de

(b ) E x iste n d o s resp u e sta s. ¿ C ó m o e s e s o p o sib le ?

68. Geometría

C o n sid e ra que

te d irig e s hacia una p la ta fo rm a d e 5 0 m etro s d e alto . Si el

na la lon gitu d d e cad a c a te to .

66. Geometría

U n a per

so n a en un p e q u e ñ o b arco en el m ar visu aliza un acan tila

d e p r e sió n d el d irig ib le al e s ta d io e s d e 3 2 ' y d e l dirigi

U n trián gu lo rectá n g u lo tien e un á n g u lo de

b le al p la n e ta r io e s d e 23 °. d eter m in a la d ista n cia en tre el

d e rad ian es.

C a m p o d el S o ld a d o y e l P la n eta rio A d ler. (a ) Si un c a te to tie n e 3 m e tr o s d e la rg o , ¿ cu á n to m id e la h ip o ten u sa ? (b ) E x iste n d o s resp u e sta s. ¿ C ó m o e s e s o p o sib le ? \

69.

Determinar el ancho de un abismo cia d e

Aa

D e te r m in a la d ista n

C a través d el a b ism o q u e se ilustra e n la figura.

70. Determinar la distancia a lo largo de un estanque term in a la d istan cia d e se ilustra en la figura.

A

Globo aerostático

D e

a C a lo largo d e l e s ta n q u e q u e

F ran cisco se p regu n ta q u é tan alto

está m ien tras viaja en un g lo b o a er o stá tico en N ap a V alley.

Q

Para d eterm in a r e s to , e s c o g e un p u n to d e referen cia que está al e ste d el g lo b o y m id e q u e e l á n g u lo d e d ep resió n es d e 54°. U n o s m in u to s m ás tard e, d e sp u é s d e viajar 100 pies al e ste , el á n g u lo d e d e p resió n al m ism o p u n to e s d e 61°. U sa esta in fo rm a ció n para d eterm in a r la altura d el g lo b o .

\l7.

Monte Rushmore

P ara m ed ir la altura d e la cara d e L in

c o ln en el M o n te R u sh m o r e . se to m a n d o s m ed id a s a 800 p ies d e la b a se d el m o n te . Si e l á n g u lo d e e le v a c ió n a la p arte in ferio r d e la cara d e L in co ln e s d e 3 2 ° y e l á n g u lo d e e le v a c ió n a la p arte su p e r io r e s d e 3 5 °, ¿cu ál e s la a ltu ra d e la cara d e L in co ln ?

S E C C IÓ N 7.3 78.

l a T o rre C N


La torre C N q u e se lo ca liz a en T o r o n to , C a

n adá. e s la estru ctu ra n ías alta e n las A n iériea s. U n a turista t

84. Kotogrufía

539

S e m o n ta una cá m a r a e n un tr íp o d e d e 4

p ie s d e a lto a u n a d ista n c ia d e 10 p ie s d e G e o r g e , q u ie n

q u e visita T o r o n to se p reg u n ta cu á l e s la altura d e la torre

m id e 6 p ie s. V e r ilu str a c ió n . Si el le n te d e la cá m a ra t ie

q u e está p or en cim a d el S k y P od. E sta n d o a 4(XX) p ies d e la

n e á n g u lo s d e d e p r e s ió n y e le v a c ió n d e 20 °, ¿ p o d rá ver

, * torre, ella m id ió q u e e l á n g u lo a la parte su p e rio r d el Sky

el le n te lo s p ie s y la c a b e z a d e G e o r g e ? Si n o . ¿ q u é tan

r *

P od e s d e 20.1". A esta m ism a d ista n cia , el á n g u lo d e e le v a

le jo s se tie n e q u e c o lo c a r la cá m a r a para in clu ir lo s p ie s

c ió n a la parte su p erio r d e la torre e s d e 24.4°. U sa esta in

y la c a b e z a d e G e o r g e ?

fo r m a c ió n para d e te r m in a r la a ltu ra d e la to rr e q u e e s tá p or en cim a d el Sky Pod.

10'

85. Cálculo de tiros en billares

U n ju g a d o r d e billar q u e

e stá e n A' q u ie re g o lp e a r la b o la b la n ca para q u e to q u e la b a n d a la tera l y g o lp e e la b o la roja ju sto e n el cen tro . Él sa b e p or física q u e la b o la b la n ca reb o ta rá d e sd e la b a n da lateral co n el m ism o án g u lo co n el q u e g o lp e e la banda. ¿ D ó n d e d e b e to ca r la b an d a la b o la b la n ca ?

79. Determinar la longitud de un cable de amarre

U n a torre

d e tra n sm isió n d e ra d io tie n e 2 0 0 p ie s d e altura. ¿ Q u é tan largo d e b e ser un ca b le d e am arre si se co n e c ta r á a 10 m etro s d e la p un ta d e la torre y d e b e form ar un á n g u lo de 45° c o n e l su elo ?

80. Determinar la longitud de un cable de amarre

U n ca b le

d e am arre d e 80 p ies d e la rg o se c o n e c ta a la p arte s u p e rior d e u n a torre d e tra n sm isió n d e ra d io , fo r m a n d o un á n g u lo d e 45° co n e l su e lo . ¿ C u á n to m id e la torre?

81. Monumento a Washington

E l á n g u lo d e e le v a c ió n d el

S o l e s d e 35.1° en e l m o m e n to en q u e la so m b ra q u e h a ce e l M o n u m e n to a W a sh in g to n e s d e 7 8 9 p ies d e largo. U sa e sta in fo rm a ció n para ca lcu la r la altura d el m o n u m e n to .

82. Determinar la distancia de un sendero de montaña

Un

se n d e r o re cto c o n in clin a c ió n d e 17° lle v a d e un h o te l a

86. La torre Freedom

L a to rre F r e e d o m se rá e l c e n tr o d e

la r e c o n str u c c ió n d e l W o rld T r a d e C e n te r e n la ciu d a d

una e le v a c ió n d e 9 0 0 0 p ies h a cia un la g o en la m o n ta ñ a ,

d e N u e v a Y o rk . La torre ten d r á 1776 p ie s d e a lto (sin

a una e le v a c ió n d e 11,200 p ies. ¿C u ál e s la lo n g itu d d el

in clu ir la a n te n a d e tr a n sm isió n ). E l á n g u lo d e e le v a c ió n d e la b a se d e un e d ific io a la p a rte su p e r io r d e la torre

se n d er o ?

83. Construcción de una autopista

U n a a u to p ista q u e tie n e

d irecció n prin cip al d e n o rte a su r se c o n stru y e en la co sta

e s d e 34 °. E l á n g u lo d e e le v a c ió n d e un h e lip u e r to en el t e c h o d el e d ific io a la p a rte su p e r io r d e la torre e s d e 20°.

o e s te d e F lorid a. C erca d e N á p o le s, u na b ah ía o b str u y e el p a so d ire cto d e la a u to p ista . C o m o el c o s to d e un p u e n te e s p ro h ib itiv o , lo s in g en ie r o s d e c id e n ro d ea r la b ah ía. La ilu stració n m u estra la tra y e cto ria q u e e s c o g e n y las m e d i d as q u e to m a n . ¿C uál es la lo n g itu d d e la a u to p ista q u e se n ec e sita para ro d ea r la b ah ía?

(a ) ¿ Q u é tan lejo s está el e d ific io d e la T o rre F reed o m ? C o n sid e ra q u e el la d o d e la torre e s v ertical. R e d o n d ea al p ie m ás cerca n o . (b ) ¿ Q u é tan a lto e s el e d ific io ? R e d o n d e a al p ie m ás cer can o.

540 ,\'87.

CAPÍTULO 7 Funciones trigonométricas

U sa una calcu ladora en m o d o d e ra d ia n es para c o m p le ta r la sig u ie n te tabla. ¿ Q u é p u e d e s d ed u c ir acerca d el valor de

f(g)

=

cu an d o

0 se

acerca a 0 ?

0.2

0.4

0.5

0

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

sen0

m =T ^ 88. U sa una calcu lad o ra en m o d o d e ra d ia n es para c o m p le ta r la sig u ie n te tabla. ¿ Q u é p u e d e s d ed u cir acerca d el v alor de

e (Q)

= C0S—----- - cu a n d o

0.5

0 , „ 9(0) -

6 se

acerca a 0 ?

0.4

0.2

0.1

0.01

0.0001

0.00001

eos 0 - 1

89.

D ete r m in a el v alor e x a c to d e tan I o • tan 3 o • . . . • tan 89°.

90.

D ete r m in a el v alor e x a c to d e c o t I o • c o t 3 o • . . . ■c o t 89°.

91.

D eter m in a el v alor e x a c to d e e o s I o • e o s 2 o ■ ... • e o s 4 5 ° • esc 4 6 ° • . . . • esc 89°.

92.

D e te r m in a el v a lo r e x a c to d e se n I o • se n

93.

0.001

Cables de amarre

2° • . . . * se n

4 5 ° • se c 4 6 ° • . . . • se c 89°.

S e c o lo c a n d o s p o ste s, u n o d e 10 p ie s y el o tr o d e 15 p ie s d e altura, a 3 0 p ie s u n o d el o tr o . E starán d eten id o s

p or un so lo ca b le d e am arre c o n e c ta d o a su s p a rtes su p e r io r e s y a n c la d o al s u e lo en un p u n to so b r e la lín e a q u e u n e lo s dos p o ste s. O b serv a la ilu stra ció n . C o n sid e ra q u e d el ca b le d e am arre. (a ) E x p resa (c)

gj (e)

L

0 es

el á n g u lo e n tr e el c a b le d e am arre y el p o ste m ás a lto y q u e

L2) c o m o fu n c ió n d e 0. L si 0 = 4 5 °. ¿C u á l e s e l v a lo r c o r r e sp o n d ie n te

(= L , +

D e te r m in a

L es

la lon gitud

(b ) ¿C u á l e s el d o m in io d e L ? de

x2

^ (d ) T ra za la gráfica d e

L

y d eter m in a el á n g u lo

q u e m in im iza a L. ¿C uál e s la lo n g itu d m ín im a q u e p u e d e te n e r e l c a b le ? ¿ E n q u é p u n to e s tá a n cla d o al su e lo ?

T

10'

I Explicación de conceptos: discusión y escritura 94. E scrib e un b rev e p á rra fo q u e e x p liq u e c ó m o ca lcu la r ráp id a m e n te las fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s d e 30 °, 4 5 ° y 60°. 95.

9 6 . E x p lic a c ó m o m ed iría s la altura d e una torre d e T V que e stá e n la p arte su p e rio r d e un e d ific io a lto .

E x p lica c ó m o m ed iría s el a n c h o d el G ran C a ñ ó n d e sd e un p u n to en su cresta.

7.4 Fundones trigonométricas de cualquier ángulo OBJETIVOS

1 Determinar los valores exactos de las funciones trigonométricas para cual quier ángulo (p.541) 2

Usar ángulos coterminales para determinar el valor exacto de una función trigonométrica (p. 543)

3 Determinar los signos de las funciones trigonométricas de un ángulo en un cuadrante dado (p. 544) 4 Determinar el ángulo de referencia de un ángulo (p. 545) 5 Usar un ángulo de referencia para determinar el valor exacto de una fun

ción trigonométrica (p. 546) 6 Determinar los valores exactos de las funciones trigonométricas de un ángulo dada información acerca de las funciones (p. 547)

0

S E C C IÓ N 7.4


541

Determinar los valores exactos de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo Para extender la definición de las funciones trigonométricas para que incluya ángulos que no son agudos, usaremos un sistema de coordenadas rectangulares y colocare mos al ángulo en posición estándar, de manera que su vértice esté en el origen y su lado inicial esté sobre el eje x positivo. Ver figura 37. Sea 0 cualquier ángulo en posición estándar y sean (a , b ) las coordenadas de cual quier punto, excepto el origen (0,0), en el lado terminal de 0. Si r

-

\J a

2+

b2

denota la distancia de (0,0) a (a, b ), entonces las seis funciones trigonométricas

de 0 están definidas por las razones „ a eos 0 = -

b

sen 0 = — r

r

r

C S C

tan 0 =

r

0= —

sec 0 = —

a

cot 0 =

a

b

b — a

b

considerando que ningún denominador es igual a 0. Si el denominador es igual a 0, la función trigonométrica del ángulo 6 no está definida. Observa que en la definición anterior si a = 0, es decir, si el punto (a , b ) está en el eje y , entonces la función tangente y la función secante no están definidas. Además, si b = 0, es decir, si el punto (a , b ) está en el eje x , entonces la función cosecante y la función cotangente no están definidas. Al construir triángulos similares debes estar convencido de que los valores de las seis funciones trigonométricas de un ángulo 9 no dependen de la elección del punto (a , b ) en el lado terminal de 9, sino únicamente dependen del mismo ángulo 9. Ver figura 38 para una ilustración de esto cuando 9 esté en el cuadrante II. Como los

Figura 38

b

b'

triángulos son similares, la razón - equivale a la razón — que equivale a sen 9. Ade, , Ifll , |«1 a a' mas, la razón — equivale a la razón — entonces — = —, que equivale a eos 0; y asi r

r

r

r

sucesivamente. Además observa que si 9 es agudo, estas definiciones se reducen a las definiciones de triángulos rectángulos que se dieron en la sección 7.2, como se ilustra en la figura 39. Por último, de la definición de las seis funciones trigonométricas de cualquier ángulo, podemos ver que las identidades de cocientes y recíprocas se mantienen. Además, usando r2 = a 2 + b 2 y dividiendo cada lado entre r 2, podemos derivar las identidades pitagóricas para cualquier ángulo.

Figura 39

EJEMPLO 1

Solución

Determinar los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de 0, dado un punto en el lado terminal Determina el valor exacto de las seis funciones trigonométricas de un ángulo positivo 0 si (4, -3 ) es un punto en su lado terminal. La figura 40 ilustra esta situación. Para el punto (a , b ) = (4, -3), tenemos que a = 4 y

Figura 40 b =

-3 . Entonces

r =

sen0 = esc 0 =

V a2 + b 2 =

b r r

b

Resuelve ahora

V l 6 + 9 = 5, por lo tanto

3 5

eos 0 = -

5 3

„ r sec 0 = —

a

4

r

5

a

5 4

tan 0 =

3 4

cot 0 =

4 3

EL P R OB L E MA 11

En el siguiente ejemplo determinaremos el valor exacto de cada una de las seis fun ciones trigonométricas en los ángulos cuadrantales 0, y ,

7r

y

542

C A P ÍT U L O 7

i


Determinar los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales

EJEMPLO 2

Determina el valor de las seis funciones trigonométricas de

Solución

7r

(b) 0 = - = 90°

(a) 0 = 0 = 0o

(c) 0 = 1T = 180°

(d) 0 = y

= 270"

(a) Podemos elegir cualquier punto en el lado terminal de 0 = 0 = 0". Por convenien cia escogeremos el punto P = (1, 0) = (a, b), el cual, está a una distancia r = 1 unidad del origen. Ver figura 41. Entonces

Figura 41

0 = 0 = 0°

sen 0 = sen 0° = - = 7 = 0 r 1 p= (1 . 0)

-4-

0 =0°1

-1

tan 0 = tan 0° = - = 7 = 0 a 1

*

a 1 eos 0 = eos 0° = - = - = 1 r 1 r 1 sec 0 = sec 0° = - = - = 1 a 1

Como la coordenada y de P es 0, cscO y cotO no están definidas. 7T

(b) El punto P = (0,1) = (a, b) está en el lado terminal de 0 = — = 90" y está a una distancia r= 1 unidad del origen. Ver figura 42. Entonces

Figura 42

9 = - = 90° 2

sen -7 = sen 90° = - = 7 = 1 2 r 1

77 a 0 eos — = eos90° = - = - = 0 2 r 1

y

if

3

-1

esc 7 - = esc 90° = 7 = 7 = 1 2 b 1

cot 7 - = cot90° = 7 = 7 = 0 2 b 1 7j 77* Como la coordenada x de P es 0, tan — y sec — no están definidas. 2 J 2 (c) El punto P = (1,0) está en el lado terminal de 0 = 7r = 180° y está a una distancia r = 1 unidad del origen. Ver figura 43. Entonces 0 -1 sen 7T = sen 180° = - = 0 C O S 77 = eos 180° = = -1 1

P = ( 0,1)

0 = 90°

j_»

Figura 43 9 = 7T = 180°

tan 77 = tan 180° = —- = 0

P= (-1 . 0) '¿0) / T A 9 = 18Q° -1

sec 77 = sec 180° = —- = - 1

Como la coordenada y de P es 0, csc7r y cot 7r no están definidas. 377 (d) El punto P = (0, -1) está en el lado terminal de 0 - — = 270° y está a una dis

Figura 44

tancia r = 1 unidad del origen. Ver 44. Entonces

3tt 9 = — = 270°

_ „ 0 377 COS — = eos 270 = y = 2 377 0 cot — = cot 270° = — 2 -1 377 377 Como la coordenada x de P es 0, tan — y sec — no están definidas. 377 -1 sen — - = sen 270° = 2 1 377 1 CSC7 — = esc 270° = 2 -1 ~

2

La tabla 4 resume los valores de las funciones trigonométricas que encontramos en el ejemplo 2 . Tabla 4

0 (Radianes) 0 7T

2 TT 3rr 2

0 (Grados)

sen 0

eos 0

tan 0

esc 0

sec 0

cot#

No definida

1

No definida

0°

0

1

0

90°

1

0

No definida

180°

0

270°

-1

-1 0

1

No definida

0

0

No definida

-1

No definida

No definida

-1

No definida

0

S E C C IÓ N 7.4


543

No hay necesidad de memorizar la tabla 4. Para determinar el valor de una fun ción trigonométrica de un ángulo cuadrantal, traza el ángulo y aplica la definición, como hicimos en el ejemplo 2 .

2 Uso de ángulos coterm inales para determ inar el valor exacto de una función trigonom étrica D E F IN IC IÓ N

Se dice que dos ángulos en posición estándar son coterminales si tienen el mis mo lado terminal.

J

Ver figura 45. F ig u ra 4 5

y.

(a)

A

y,

y fi son coterminales

(b)

A

y B son coterminales

Por ejemplo, los ángulos 60° y 420° son coterminales, como también lo son los ángulos -40° y 320°. En general, si 6 es un ángulo medido en grados, entonces 6 + 360°k, donde k es cualquier número entero, es un ángulo coterminal con 6. Si 6 se mide en radianes, en tonces 6 + 2irk, donde k es cualquier número entero, es un ángulo coterminal con 0. Como los ángulos coterminales tienen el mismo lado terminal, se entiende que los valores de las funciones trigonométricas de ángulos coterminales son iguales.

EJEMPLO 3

Uso de un ángulo coterminal para determinar el valor exacto de una función trigonométrica Determina el valor exacto de cada una de las siguientes: (a) sen 390°

Solución

97T

(b) eos 420°

( c )ta n —

(d) sec

(a) Lo mejor es bosquejar primero el ángulo. Ver figura 46. El ángulo 390° es coterminai con 30°. sen 390° = sen (30° + 360°) = sen 30° = \ 2 (b) Ver figura 47. El ángulo 420° es coterminal con 60°.

f-

cos 420° = cos(60° + 360°) = eos 60° = 2 97t

48

y-

(e) csc(-270°)

Tí

(c) Ver figura 48. El ángulo — es coterminal con —. 4 4

544

C A P ÍT U L O 7

F u n d o n e s trig o n o m é tric a s

(d) Ver figura 49. HI ángulo - ~

es cotermínal con

s c c í - ^ i = s c c ^ + 27t( - 1 )^ = scc

j

=

\ f l

(e) Ver figura 50. El ángulo -270" es coterminal con 90". csc(-270°) = csc(90° + 3 6 0 " (-l)) = Figura 50

CSC

90" = 1

y,

Como ilustra el ejemplo 3, el valor de una función trigonométrica de cualquier ángulo es igual al valor de la misma función trigonométrica de un ángulo 9 coterminal con el ángulo dado, donde 0° £ 0 < 360" ( o 0 £ K 2 7 r ) . Como los ángulos 0 y 0 + 360 k (o 0 + 27%), donde k es cualquier número entero, son coterminales y como los valores de las funciones trigonométricas son iguales para ángulos coterminales, se deduce que 0 grados

0 radianes

sen (9 + 360%) = sen#

sen (0 + 27rk ) = sen 0

eos (9 + 360%) = cos0

cos(0 + 27rk) = eos 0

tan(0 + 360%) = tan 9

tan(0 + 2nk) = tan 9

esc(9 + 360%) = esc 9

esc (0 + 2irk) = esc 0

sec(0 + 360%) = sec 9

sec(0 + 2irk) = sec 9

cot (9 + 360%) = cot0

cot (0 + 2irk) = c o t 0

(1)

donde k es un número entero. Estas fórmulas muestran que los valores de las funciones trigonométricas se re piten cada 360° (o 2tt radianes).

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

21

3 D e te rm in a r lo s sig n o s d el a s fu n c io n e s trig o n o m é tric a s d e un á n g u lo e n un c u a d ra n te d a d o Si 0 no es un ángulo cuadrantal, entonces estará en un cuadrante particular. En tal caso, se conocen los signos de la coordenada .v y de la coordenada y de un punto (a , b )

Figura 51

0 en el cuadrante II, a < 0, b > 0, r > 0

en el lado terminal de 0. Como r = \ J c r + b 2 > 0. se entiende que se pueden encontrar los signos de las funciones trigonométricas de un ángulo 0 si sabemos en qué cuadrante está 0. Por ejemplo, si 9 está en el cuadrante II. como se muestra en la figura 51. enton ces un punto (n, b) en el lado terminal de 9 tiene una coordenada .r negativa y una coordenada y positiva. Entonces b tan 9 = — < 0 eos 9 = - < 0 seni? = - > 0 r a r esc 9 = — > 0 b

sec 9 = - < 0 a

cot 9 - 7 < 0 b

La tabla 5 da una lista de los signos de las seis funciones trigonométricas para cada cuadrante. La figura 52 proporciona dos ilustraciones. Cuadrante de 0

sen0, csc0

eos 0. sec 0

tan 0, cot 0

1

Positivo

Positivo

Positivo

II

Positivo

Negativo

Negativo

III

Negativo

Negativo

Positivo

IV

Negativo

Positivo

Negativo

S E C C IÓ N 7.4


545

Figura 52 y

ii (- . ♦)

seno cosecante

1(♦. ♦)

senil > 0, esc n > 0 las demás negativas

Todas positivas

coseno secante

X IV (♦. - ) III ( - - ) tan e > 0. cot h > 0 eos 0 > 0. sec ti > 0 las demás negativas las demás negativas

tangente cotangente

(b)

(a)

[ EJEMPLO 4

Determinar el cuadrante en el que está un ángulo Si sen ti < 0 y eos ti < 0, indica en qué cuadrante está el ángulo ti.

Solución

Si sen ti < 0, entonces ti está en el cuadrante III o IV. Si eos ti < 0, entonces ti está en el cuadrante II o III. Por lo tanto, ti está en el cuadrante III. i

Resuelve ahora

El

PROBLEMA

33

4 Determ inar el ángulo de referencia de un ángulo Una vez que sabemos en qué cuadrante está un ángulo, sabemos el signo de cada función trigonométrica de este ángulo. Esta información, junto con el ángulo de refe rencia., nos permitirá evaluar las funciones trigonométricas de ese ángulo.

DEFINICIÓN

Sea ti un ángulo que está en un cuadrante. El ángulo agudo formado por el lado terminal de ti y el eje x se llama ángulo de referencia de ti.

.

La figura 53 ilustra el ángulo de referencia para algunos ángulos generales ti. Ob serva que un ángulo de referencia es siempre un ángulo agudo. Es decir, un ángulo de referencia siempre tiene una medida entre 0o y 90°.

Aunque se pueden dar fórmulas para calcular ángulos de referencia, general mente es más sencillo determinar el ángulo de referencia para un ángulo dado tra zando un bosquejo del ángulo.

EJEMPLO 5

Determinar ángulos de referencia Determina el ángulo de referencia para cada uno de los siguientes ángulos: (a) 150'

(b) -4 5 O

(c)

97T

- f

546

C A P ÍT U L O 7

F u n c io n e s trig o n o m é tric a s

Solución

(b) Consulta la figura 55. El ángulo de referencia para -45° es 45°.

(a) Consulta la figura 54. El ángulo de referencia para 150° es 30°.

Figura 55

Figura 54

(c) Consulta la figura 56. El ángulo de 97T 7T referencia para — es —. 4 4

(d) Consulta la figura 57. El ángulo de , . 5tT TT referencia p a ra ----- es —. H 6 6

Figura 56

Figura 57

Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

41

5 Uso de un ángulo de referencia para determ inar el valor exacto de una función trigonom étrica La ventaja de usar ángulos de referencia es que, excepto por el signo correcto, los va lores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo 9 son iguales a los valores de las funciones trigonométricas de su ángulo de referencia. TEO REM A

Ángulos de referencia Si 9 es un ángulo que está en un cuadrante y si a es un ángulo de referencia, entonces sen# = ± sen a esc 9 = ±csc a

tan 9 = it a n a cot 9 = ic o t a

eos 9 = ic o s a sec 9 = is e c a

(2 )

donde el signo + o - depende del cuadrante en el que esté 9. Figura 58

Por ejemplo, considera que 9 está en el cuadrante II y a es su ángulo de referen cia. Ver figura 58. Si tenemos que a

( a,

b) es un punto en el lado terminal de 9 y si r - \ J c r + £r, b

sen 9 = — = sen a r

a

~ \ a\

eos 9 = - = ----- = —eos a r r

y así sucesivamente.

EJEMPLO 6

Uso de un ángulo de referencia para determinar el valor exacto de una función trigonométrica Determina el valor exacto de cada una de las siguientes funciones trigonométricas usando ángulos de referencia. (a) sen 135

(b) eos 600°

(c) eos

17tt 6

(d) tan

S E C C IÓ N 7.4

Solución Figura 59


(a) Consulta la figura 59. El ángulo de referencia para 135° es 45° y sen 45° =

547 V2

El

ángulo 135° está en el cuadrante II, donde la función seno es positiva, entonces sen 135° = sen 45° =

V i

1 (b) Consulta la figura 60. El ángulo de referencia para 600° es 60° y eos 60° = - El

ángulo 600° está en el cuadrante III, donde la función coseno es negativa, entonces eos 600° = -e o s 60° = — 2 . 77 77 77 V i (c) Consulta la figura 61. El ángulo de referencia p a ra ----- es — y eos2 1777* ^ ^ El ángulo está en el cuadrante II, donde la función coseno es negativa, entonces 6 1777

77

eos —— = -e o s — = 6 6

V3 2

77 77 (d) Consulta la figura 62. El ángulo de referencia para - — es — y tan y = V i . 77 El ángulo---- está en el cuadrante IV, donde la función tangente es negativa, entonces ** .a n ( - f ) - - u u if = - V 3

Determinar los valores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo

Figura 62

• Si el ángulo 0 es un ángulo cuadrantal, traza el ángulo, escoge un punto en su lado terminal y aplica la definición de las funciones trigonométricas. • Si el ángulo 0 está en algún cuadrante: 1. Determina el ángulo de referencia a de 0. 2. Determina el valor de la función trigonométrica en a. 3. Ajusta el signo (+ o -) del valor de la función trigonométrica con base en el cuadrante en el que esté 0.

— —1 —Resuelve ahora los problemas

59

y

6i

6 Determ inar los valores exactos de las funciones trigonom étricas, dada la información acerca de sus funciones

EJEMPLO 7

Determinar los valores exactos de funciones trigonométricas Dado que eos 0 = -

2 77 — < 0 < ir, determina el valor exacto de cada una de las

funciones trigonométricas restantes.

Solución

El ángulo 0 está en el cuadrante II, así que sabemos que sen 0 y esc 0 son positivas y las otras cuatro funciones trigonométricas son negativas. Si a es el ángulo de referencia 2 adyacente para 0, entonces eos a = - = —------------ . Los valores de las funciones trigonomév 3 hipotenusa tricas restantes del ángulo de referencia a se pueden determinar trazando el triángulo

548

C A P ÍT U L O 7


apropiado y usando el teorema de Pitágoras para determinar que el lado opuesto a a

Fig u ra 63

es \/f). Usaremos la figura 6.3 para obtener eos« = “ 2 eos a = ~

V5 3

sena =

3V 5

3

esc a =

’ ~5

V5

■“J

3 scc a = -

V5

tan a = —— 2 2 _ 2V 5 cot a = —-p 5 V.5

Ahora establece los signos apropiados a cada uno de estos valores para determinar los valores de las funciones trigonométricas de 0.

sen 0 =

Vs 3

eos 0 = - -

csctì =

3> /5 5

sec 0 = - 2

tan 0 = -

V i 2

2V Í cot 0 = - ;

Resuelve ahora el problema 83 EJEMPLO 8

Determinar el valor exacto de las funciones trigonométricas Si tan 0 = - 4 y sen 0 < 0, determina el valor exacto de cada una de las funciones tri gonométricas de 0 restantes.

Solución

Como 0 = - 4 < 0 y sen 0 < 0, se entiende que 0 está en el cuadrante IV. Si a es el ángu4 b lo de referencia de 0, entonces tan a = 4 = - = Con a = 1 y b = 4. determinamos 1 que r = V i 123+ 42 = V ñ . Ver figura 64. Entonces sen a =

Figura 64

V ñ esc a =

4 V Í7 17

V n 4

=V ñ

eos a = V ñ

V n = V Í7 1

se c a =

tan a = y = 45

17 1 cot a = -

4

Establece los signos apropiados a cada una de estas para obtener los valores de las funciones trigonométricas de 0. sentì = -

4V ñ 17

costì =

V ñ 17

tan tì = - 4

esc tì = -

V ñ 4

sectì = V ñ

cot tì = - -

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

4

93

7.4 Evalúa tu entendimiento Conceptos y vocabulario 1. Para un ángulo 0 que está en el cuadrante III, las funcio nes trigonométricas_______ y ________son positivas. 2. Dos ángulos en la posición estándar que tienen el mismo lado terminal son_______ 3. El ángulo de referencia de 240° es_______ 4. Verdadero o falso sen 182° = cos2°. 7T

5. Verdadero o falso tan — no está definida.

6. Verdadero o falso El ángulo de referencia siempre es un ángulo agudo. 7. ¿Cuál es el ángulo de referencia de 600'? 8. ¿En qué cuadrante es positiva la función coseno? 9. Si <27r, ¿para qué ángulos de O. si existen, no está definida tan tf? 13IT 10. ¿Cuál es el ángulo de referencia de ——?

S E C C IÓ N 7.4


549

Ejercicios ¿/i los problemas 11-20, se tía un punto en el lado terminal de un ángulo 0 en posición estándar. Determina el valor exacto de cada una de las seis funciones trigonométricas de 0. <*»1. (-3 .4 )

12. (5.-12)

13. (2. -3 )

V3 r

1M2. . 2)

14. ( - 1 ,- 2 )

1 V 3'

(V i

15. ( - 3 ,- 3 ) V i'

\Í2

■ ’ • \O 2r’ - x2 ))

20 V 2 ’

Vi

2

En los problemas 21-32, usa un ángulo coterminal para determinar el valor exacto de cada expresión. No uses una calculadora. \ 21. sen 405°

22. eos 420°

23. tan 405°

27. cot 390°

28. sec 420°

29. eos

24. sen 390°

33tt 4

30. sen

9tt 4

25. esc 450°

26. sec 540°

31. tan(2 l 7r)

9v 32. esc — 2

En los problemas 33-40, indica en qué cuadrante está el ángulo 0. \ 33. sen 0 > 0, eos 0 < 0

34. sen 0 < 0, eos 0 > 0

35. sen tí < 0, tan tí < 0

36. eos tí > 0. tan tí > 0

37. eos tí > 0, cot tí < 0

38. sen tí < 0, cot tí > 0

39. sec tí < 0, tan tí > 0

40. esc tí > 0, cot tí < 0

En los problemas 41-58, determina el ángulo de referencia de cada ángulo. O O 1

-r

42. -60° 6

47- t 5 3 .- ^

S4 - — ~ 6

43. 120°

44. 210°

45. 300°

46. 330°

8tt 49. T

7tt 50. —— 4

51. -135°

52. -240°

55. 440°

56. 490°

57 57* 4

58. f

En los problemas 59-82, usa el ángulo de referencia para determinar el valor exacto de cada expresión. No uses una calculadora.

65. sec 240°

66. esc 300°

_1 137T 71. eos— 4

8tt 72. tan —

77. sen(87r)

78. cos(-27r)

\ 6 1 . sen 510°

62. eos 600°

63. cos(-45°)

64. sen (-240°)

67. cot 330°

68. tan 225°

3n 69. sen — 4

2tt 70. eos — 3

__ 147T 75. tan —y -

_, H tt 76. sec—— 4

81. sec(- 37r)

82. c s c ( - y )

7 1 se" ( “ T )

79. tan(77r)

O O i O' 1

60. eos 210 °

vi

V 59. sen 150°

80. cot(57r)

En los problemas 83-100, determina el valor exacto de cada una de las funciones trigonométricas de 0 restantes. 3 4 12 84. eos tí = tí en el cuadrante IV 85. eos tí tí en el cuadrante II 5’ 5’ 13’ 5 90° < tí < 180° 13’

5 tí en el cuadrante III 13’

87.

sentí =

1 180° < tí < 270° 3’

90.

sentí =

93.

sec tí = 2 , sen tí < 0

3 —, sentí < 0

96.

cot tí =

- 2 , tan tí > 0

99. CSC tí

1 4’

tan tí > 0

4

\

2 180° < tí < 270° 3’

4

3’

eos tí < 0

= - 2 , tan tí > 0

101. Determina el valor exacto de sen 40° + sen 130° + sen 220° + sen 310° 102. Determina el valor exacto de tan 40° + tan 140°.

4

88.

eos tí

91.

sen tí =

94.

esc tí = 3, c

97.

tan tí =

100.

5’ 2 3’

13’

cot tí = - 2 ,

550

C A P ÍT U L O 7

P r á c tic a m ix ta


--------- -------------------------------- ---

En los problemas 103-106, f(x) = sen x, g(x) - eos x, h(x) - tan x, F(x) * esc x, (i(x) * 103. (a) D eterm ina / ( 3 1 5 o). ¿Q u é p u n to estií en la gráfica d e / ?

105.

ver x y

ll(x )

« cr// jr.

104. (a) Determina g( 120"). ¿Qué punto está en la gráfica de//'

(b) D eterm ina (7(315°). ¿Q u é p unto está en la gráfica de (7?

(b) Determina /-'(l 20"). ¿Qué punto está en la gráfica de /-?

(c) D eterm ina /t(3 15°). ¿ Q u é p u n to está en la gráfica de /i?

(c) Determina //(120 ). ¿Qué punto está en la gráfica de //?

(a) D eterm ina

¿Q u é p un to está en la gráfica de g?

106. (a) Determina

¿Qué punto está en la gráfica de /?

F!

(b) Determina (7^ ™ \ ¿Qué punto está en la gráfica de 67

(c) D eterm ina / / ( —315o). ¿Q u é punto está en la gráfica d e / /?

(c) Determina F(-225''). ¿Qué punto está en la gráfica de Ft

(b) D eterm ina

¿Ot-ió p u n to está en la gráfica de


107. 108. 109. 110.

Si f(8) = sen 0 = 0.2, determina f(8 + n). Si g(0) = eos 8 = 0.4. determina g(8 + 7r). Si F(0) = tan 0 = 3, determina F(0 + ir). Si G(0) = cot 0 = -2, determina G(8 + tt)

horizontal. Ver ilustración. Si se ignora la resistencia del aire, la distancia K que el objeto recorre por el plano incli nado se da por la función

dVÍ

R(tí )

= - ^ - [s c n (2 0 ) - cos(20) - 1]

111. Siscn0 = ^.determina csc(0 + 7r). 2 112. Si eos 0 = -.determina sec(0 + 7r).

113. Determina el valor exacto de sen 1° + sen 2° + sen 3° +.. . + sen 358° + sen 359° 114. Determina el valor exacto de eos 1° + eos 2° + eos 3° + ... + eos 358° + eos 359° 115. Movimiento de un proyectil Se lanza hacia arriba un ob jeto con un ángulo 8, 45° <8 < 90°, con respecto a la ho rizontal con una velocidad inicial vn en pies por segundo de la base de un plano que forma un ángulo de 45” con la

(a) Determina la distancia R que el objeto recorre sobre el plano inclinado si la velocidad inicial es de 32 pies por segundo y 0 = 60°. £
Explicación de conceptos: discusión y escritura 116. Da tres ejemplos que demuestren cómo usar el teorema de ángulos de referencia.

117. Escribe un breve párrafo que explique cómo calcular rápidamente el valor de las funciones trigonométricas de 0:. 90°, 180° y 270°.

118. Explica qué es un ángulo de referencia. ¿Qué papel juega para determinar el valor de una función trigonométrica?

7.5 Enfoque del círculo unitario; propiedades de las funciones trigonométricas P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s e c c ió n •

A n t e s d e e m p e z a r , r e p a s a lo s ig u ie n te :

Círculo unitario (sección 2.4, pp. 183)

• Funciones pares e impares (sección 3.3. pp. 223-224)

• Funciones (sección 3.1, pp. 200-2008) ''V

Resuelve ahora los


OBJETIVOS


la p á g in a 559.

1 Determinar los valores exactos de las funciones trigonométricas usando el círculo unitario (p. 551) 2 Conocer el dominio y el rango de las funciones trigonométricas (p. 555) 3 Uso de las propiedades periódicas para determinar valores exactos de las funciones trigonométricas (p. 556) 4 Uso de propiedades pares-impares para determinar los valores exactos de las funciones trigonométricas (p. 558)

S E C C IÓ N 7.5

Enfoque del circulo unitario; propiedades de las fundones trigonométricas

551

En esta sección desarrollaremos propiedades importantes de las funciones trigono métricas. Empezaremos por presentar las funciones trigonométricas usando el círcu lo unitario. Este enfoque nos llevará a la definición que se dio anteriormente de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo (página 541).

Determ inar los valores exactos de las funciones trigonom étricas usando el círculo unitario

Figura 65

Recuerda que el círculo unitario es un círculo de radio 1 cuyo centro está en el origen del sistema de coordenadas rectangulares. También recuerda que cualquier círculo de radio r tiene una circunferencia de longitud 2nr. Por lo tanto, el círculo unitario (radio = 1) tiene una circunferencia de longitud 2n. Entonces, para 1 revo lución alrededor del círculo unitario la longitud del arco es de 2tt unidades. El siguiente análisis establece las condiciones para definir las funciones trigono métricas usando el círculo unitario. Traza una recta de números vertical con el origen en (1,0) en el plano cartesiano. Sea 12 ; 0 cualquier número y sea s la distancia del origen a t en la recta de números reales. Observa la porción gris de la figura 65(a). Ahora observa el círculo unitario de la figura 65(a). Empezando en el punto (1, 0) en el círculo unitario, muévete s = t unidades en la dirección opuesta a las manecillas del reloj sobre el círculo para llegar al punto P = (a, b). En este sentido, la longitud s = t unidades están envolviendo el círculo unitario. Si t < 0, empezamos en el punto (1,0) en el círculo unitario y nos movemos s = |f| unidades en la dirección de las manecillas del reloj para llegar al punto P = (a, b). Observa la figura 56(b). P = (a. b)

Si t > 2tt o si t < -27r, será necesario movernos alrededor del círculo unitario más de una vez antes de llegar al punto P. ¿Puedes ver por qué? Podemos describir este proceso de otra manera. Imagina un cordón de longitud.?= 111 unidades con el que se rodea un círculo de 1 unidad de radio. Empezamos rodeando el círculo con el cordón en el punto (1, 0). Si t > 0, rodeamos el círculo en la dirección opuesta a las manecillas del reloj; si t < 0, rodeamos el círculo en la dirección de las manecillas del reloj. El punto P = (a, b) es el punto donde termina el cordón. Este análisis nos dice que, para cualquier número real f, podemos encontrar un punto único P = (a, b) en el círculo unitario. A este punto le llamamos el punto P en el círculo unitario que corresponde a t. Esta es la idea importante aquí. No importa qué número real t escojamos, existe un único punto P que le corresponde en el cír culo unitario. Usaremos las coordenadas del punto P = (a, b) en el círculo unitario correspondiente al número real t para definir las seis funciones trigonométricas de t. Asegúrate de consultar las figuras 65(a) y (b) cuando leas estas definiciones.

DEFINICIÓN

Sea t un número real y sea P = (a, b) un punto en el círculo unitario que corres ponde a t. La función seno asocia a t la coordenada y de P y se denota por sen t - b

552

C A P ÍT U L O 7


r r En palabras r La función seno toma como r entrada un número real t que r corresponde al punto P = (a, b) r en el círculo unitario y da como r salida la coordenada y, b. La r * función coseno toma como /"■ entrada un número real t que corresponde al punto P = (a, b) r en el círculo unitario y da como r salida la coordenada x, a.

La función coseno asocia a í la coordenada x de P y se denota por cos t = a Si a * ü, la función tangente asocia a t la razón de la coordenada y y la coor denada x de P y se denota por b tan t = a Si b ^ 0, la función cosecante se define como CS C

1 b

t = —

Si a # 0, la función secante se define como 1 see t = — a

S ib ^ O , la función cotangente se define como cot t =

a b

Observa de nuevo que en estas definiciones si a = 0 (es decir, si el punto P está en el eje y), la función tangente y la función secante no están definidas. Además, si b = 0 (es decir, si el punto P está en el eje jc), la función cosecante y la función cotangente no están definidas. Como el círculo unitario se usa para estas definiciones de las funciones trigono métricas, algunas veces también se les llama funciones circulares.

EJEMPLO 1

Determinar los valores de las funciones trigonométricas usando un punto en el círculo unitario _ ( 1 V 3\ Determina los valores de sen t, eos t, tan t, esc t, sec t y cot t si P = ( ——, —— J es el punto en el círculo unitario que corresponde al número real t. V '

Solución

Observa la figura 66. Sigue la definición de las seis funciones trigonométricas usando 1 V 3\ 1 . V3 ) - (a, b ). Después, con a - —— y b = —— , tenemos que p = \ - 2. 2 J

Figura 66

\/3 sen t = b =

V3

cos t = a = - ■

tan t

1 2 1

CS C

1 t = —= b V3 2

2

V I

2V I

sec t = - = a

R e s u e lv e a h o r a

e l

1 2

2 cot t - — b V3 2

= -2

p r o b l e m a

9

1

VI

^3 3

S E C C IÓ N 7.5

553


Funciones trigonom étricas de los ángulos Sea P = (a, b) el punto en el círculo unitario que corresponde al número real t. O b serva la figura 67(a). Sea 8 el ángulo en posición estándar, medido en radianes, cuyo lado terminal es el rayo que va del origen y pasa por P y cuya longitud de arco es |r|. Observa la figura 67(b). Como el círculo unitario tiene 1 unidad de radio, si s = |f| unidades, entonces de la fórmula de longitud de arco s = r \ 8 1, tenemos 0 = t radianes. Observa las figura 67(c) y (d).

Figura 67

y 1

y

1

^ "

y

J

0

= t radianes

, -1 \

-1

/unidades,

y

y ii a.

P = (a ,b )*^ ~

■

(a)

^ 7 -1 (b)

V \°)

-ll

^

x

y a S ) '*

unidades,

í <0 -1 P = (a, b)

(c)

El punto P = (a, b) en el círculo unitario que corresponde al número real t es también el punto P en el lado terminar del ángulo 6 = t radianes. Como resultado podemos decir que sen t = sen 8 í

Número real

t

8 = t radianes

y así sucesivamente. Ahora podemos definir las funciones trigonométricas del ángulo 6. Si 8 - 1radianes, las seis funciones trigonométricas del ángulo 6 se definen como eos 8 - eos t

esc 8 = esc t

sec 8 = sec t

tan 6 = tan t II O O

sen 8 = sen t

O O

DEFINICIÓN

Aunque las funciones trigonométricas se pueden ver como funciones de números reales y como funciones de ángulos, es costumbre referirse a las funciones trigono métricas de números reales y a las funciones trigonométricas de ángulos en conjunto como las funciones trigonométricas. Seguiremos esta costumbre de ahora en adelante. Como los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo d están determi nadas por las coordenadas del punto P = (a, b) en el círculo unitario correspondiente a 8, las unidades usadas para medir el ángulo 6 son irrelevantes. Por ejemplo, no im7T porta si escribimos 8 = — radianes o 8 - 90°. En ambos casos el punto en el círculo correspondiente a este ángulo es P - (0,1). Como resultado, sen ^ = sen 90° = 1 y eos = eos 90° = 0 2 J 2

Figura 68

El análisis basado en la figura 67 implica lo siguiente: para determinar el valor exacto de una función trigonométrica de un ángulo 8 es necesario que encontremos el punto correspondiente P* = (a*, b *) en el círculo unitario. De hecho, se puede usar cualquier círculo cuyo centro esté en el origen. Sea 8 cualquier ángulo no cuadrantal en la posición estándar. Sea P = (a, b) el punto en el círculo x 2+ y 2- r 1que corresponde a 8, y sea P* = (a*, £>*) el punto en el círculo unitario que corresponde a 8. Ver figura 68. Observa que los triángulos OA*P* y O AP son similares, así que las razones de los lados correspondientes son iguales. b* _ b I r

a* _ a 1 r

b* _ b a* a

1 b*

1 _ r a* a

a* _ a b* b

_r b

554


Estos resultados nos llevan a establecer el siguiente teorema:

TEOREMA

Para un ángulo 9 en la posición estándar, sea P = (a, b) cualquier punto en el lado terminal de 9 que está también en el círculo x 2+ y 2= r2. Entonces sen 9 =

b —

eos 0n = -a r r sec9 = -

r

esc 9 = {

b

b *

°

b

tan 9 a ï

a

0

a

a ï

0

b ï

0

a

cot 9

b

Este resultado coincide con la definición que se dio en la sección 7.4 para las seis funciones trigonométricas de cualquier ángulo 9 (página 541). Considera la figura 69, donde se muestra un círculo de radio \ ¡ 2 . Dentro del cír culo hemos trazado un ángulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 45°. Las lon gitudes de los catetos son de 1 unidad cada uno. Este es el triángulo rectángulo en la figura 27(b) de la página 529. El punto en el círculo que corresponde al ángulo de 45° es _ .„ b b 1 V2 AC0 a a 1 V i (1,1) = (a , b). De esto, sen 45 = - = - = —7= = ——, eos 45 = - = - = —-= = ---, etc. c r V2 2 c r 2 2 Ahora considera la figura 70(a) donde se muestra un círculo de radio 2. Dentro del círculo, hemos trazado un ángulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 30° y 60°. Consulta la figura 28(c) en la página 531. Si colocamos el ángulo de 30° en el origen, encontramos que el punto en el círculo que corresponde a un ángulo de 30° es ( V 3 ,1). b b 1 a a \/? > De esto, sen 30° = - eos 30° = —= — = —— , etc. La figura 70(b) también c r 2 c r 2 muestra un círculo de radio 2, pero el ángulo en el origen es 60°. Ahora podemos ver b b V 3 que sen 60° = - = - = ----- , etc. c r 2

(a)

EJEMPLO 2

Figura 71

(b)

Determinar los valores exactos de las seis funciones trigonométricas Determina los valores exactos de cada una de las seis funciones trigonométricas de un ángulo 9 si (4, - 3 ) es un punto en su lado terminal. Observa la figura 71. El punto (4, -3 ) está en un círculo de radio r = V 4 2 + (~ 3 )2 = V l 6 + 9 = V 25 = 5 con el centro en el origen. Para el punto (a, b) = (4, -3), tenemos a = 4 y b = -3. Como r - 5, tenemos que b _3 b 3 n a 4 tan 9 = sen 9 = — = eos 9 = - = — 4 r 5 r 5 r 5 esc 0 = — = —— b 3 * ▼ = = = - - R e s u e lv e a h o r a

e l

r 5 sec0 = —= — a 4

p r o b l e m a

15

c o t0 =

4 ’3

S E C C IÓ N 7.5

Enfoque del circulo unitario; propiedades de las fundones trigonométricas

555

2 Conocer el dom inio y rango de las funciones trigonom étricas Sea 0 un ángulo en la posición estándar y sea P = (a, 6 ) el punto en el círculo uni tario que corresponde a 0. Ver figura 72. Entonces, por la definición que se dio anteriormente:

sen 0 = b AK

CSC 0 = 7 b

eos 0 = a 6*0

sec 0 = ii

b a a cot 0 = b tan 0 =

a * 0

a * 0 6*0

Para sen 0 y eos 0, no hay preocupación por dividir entre 0, por lo tanto 0 puede ser cualquier ángulo. Se deduce que el dominio de la función seno y la función coseno es el conjunto de todos los números reales. El dominio de la función seno es el conjunto de todos los números reales. El dominio de la función coseno es el conjunto de todos los números reales. Para la función tangente y la función secante, la coordenadax de P=(a, 6 ) no puede ser 0 debido a que esto da como resultado una división entre 0. Ver figura 72. En el cír culo unitario hay dos puntos de ese tipo (0,1) y (0, -1). Estos dos puntos corresponden a ángulos —(90°) y

(270°) o, de manera más general, a cualquier ángulo que sea un

múltiplo entero impar de -^(90°), como ± -^(± 90°), ± ^ -(± 2 7 0 °), y ± -^ (± 4 5 0 ° ). Tales ángulos se deben excluir del dominio de la función tangente y de la función secante. El dominio de la función tangente es el conjunto de todos los números rea7r les, excepto múltiplos enteros impares de — (90°). El dominio de la función secante es el conjunto de todos los números reales, 7r excepto múltiplos enteros impares de — (90°). Para la función cotangente y la función cosecante, la coordenada y de P = (a, 6 ) no puede ser 0 debido a que esto da como resultado una división entre 0. Ver figura 72. En el círculo unitario hay dos puntos de este tipo, (1, 0) y (-1, 0). Estos dos puntos corresponden a los ángulos 0 (0o) y v (180°) o, de manera más general, a cualquier ángulo que sea un múltiplo entero de 7r (180°), como 0 (0o), ± 7r (±180°), ±27t (±360°) y ± 37t (±540°). Estos ángulos se deben excluir del dominio de la función cotangente y la función cosecante. El dominio de la función cotangente es el conjunto de todos los números reales, excepto múltiplos enteros de tt (180°). El dominio de la función cosecante es el conjunto de todos los números rea les, excepto múltiplos enteros de n (180°). Ahora determinaremos el rango de cada una de las seis funciones trigonomé tricas. Consulta de nuevo la figura 72. Sea P - (a, b) un punto en el círculo unitario que corresponde al ángulo 0. Se deduce que - l < a < l y - l < ¿ < 1 . Como sen 0 = b y eos 6 = a, tenemos que - 1 < sen 0 < 1 y - 1 < eos 0 < 1

El rango de la función seno y de la función coseno consiste en todos los números reales entre -1 y 1, incluidos. Usando notación de valor absoluto, tenemos |sen 0| < 1 y |cos 0| < 1.

556

C A P ÍT U L O 7

i


Si 0 no es un múltiplo entero de tt (180"), entonces ese 0 = 0 y \b\ = |sen 0| <; 1 , se deduce que |csc 0| =

Como b = sen

= i ¡ i 2 , ( ¡ s " 1 0 £ a 1 )•

Como esc 0 = - , el rango de la función cosecante consiste en todos los números rea les menores o iguales que -1 o mayores o iguales que 1. Esto es, 1

esc

esci) 2 :1

o

Si 0 no es un múltiplo entero impar de —(90°), entonces sec 0 =

Como

(

«=eos 0 y|í/|=|cos 0|sl,sed ed u ceq u e IsecOl = —-—7 = 7^-7 > 1 - < - 1 o > 1 1 |cos 0\ \a\ \a a J Como sec 0 = - , el rango de la función secante consiste en todos los números reales menores o iguales a -1 o mayores o iguales a 1. Esto es, sec 0 ^ - 1

sec 0 > 1

o

El rango de la función tangente y la función cotangente consiste en todos los números reales, esto es, - o o < tan 0
y - o o < c o t 0
Se te pedirá que demuestres esto en los problemas 91 y 92. La tabla 6 resume estos resultados. Función

Símbolo

Dominio

Rango

seno

f(0) =

sene


Todos los números reales de -1 a 1, incluidos

coseno

f[6) = costì


Todos los números reales de -1 a 1, incluidos

tangente

f(tì) =

Todos los números reales excepto


tane

múltiplos enteros impares de ^ (90°) cosecante

f(tì) =

secante

cotangente

esce

Todos los números reales excepto múltiplos enteros impares de 7r(180°)

Todos los números reales mayores 0 iguales a 1 0 menores 0 iguales a -1

f{6) = sec e

s los números reales excepto múltiplos 7r enteros impares de —(90°)

Todos los números reales mayores 0 iguales a 1 0 menores 0 ¡guales a -1

m = cote

Todos los números reales excepto múltiplos enteros impares ^(180°)


-Resuelve ahora

l o s

p r o b l e m a s

6 i

y

6 5

3 Uso de las propiedades periódicas para determ inar los valores exactos de las funciones trigonom étricas Figura 73

TT Ver figura 73. Esta figura muestra que para un ángulo de — radianes el punto co rrespondiente P en el círculo unitario es — i ^----V I 1\. Observa que para un ángulo TT \2 2 / de — + 2tt radianes, el punto correspondiente P en el círculo unitario es también i 2’ 2

. Como resultado. ( TT TT \ / 3 sen — = —— y s e n ( j + 3 2 TT 1 eos — = 3 2

y eos

\

(í* » H

V3 2n=—

V

S E C C IÓ N 7.5

Figura 74

Enfoque del circulo unitario; propiedades de las funciones trigonométricas

557

Esto ejemplo ilustra una situación más general. Para un ángulo tí dado, medido en radianes, considera que conocemos el punto correspondiente P = (a, />) en el círculo unitario. Ahora suma 2n a tí. El punto en el círculo unitario que corresponde a tí + 277 es idéntico al punto P en el círculo unitario correspondiente a tí. Ver figura 74. Los valores de las funciones trigonométricas de tí + 2 n- son iguales a los valores de las fun ciones trigonométricas correspondientes de tí. Si sumamos (o restamos) múltiplos enteros de 2n a tí, los valores de las funciones seno y coseno se mantienen iguales. Esto es, para toda tí sen(tí + 2nk) = sentí cos(tí + 27rA) = eos tí donde k es cualquier entero

(1)

Las funciones que presentan este comportamiento se llaman funciones periódicas.

DEFINICIÓN

Una función / es periódica si existe un número positivo p tal que, cuando tí esté en el dominio de / , tí + p también lo estarán y _________________________ /(tí + p) = /(tí)__________________________ Si existe un número más pequeño p, a este valor más pequeño se le llama pe ríodo (fundamental) de / .

Figura 75

Con base en la ecuación (1), las funciones seno y coseno son periódicas. De he cho, las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo 2n. Se te pedirá que demuestres esto en los problemas 93 al 96. Las funciones tangente y cotangente son periódicas con periodo n. Ver figura 75 para una justificación parcial. Se te pedirá que demuestres esta proposición en los problemas 97 y 98. Propiedades periódicas

r c En palabras La tangente y la cotangente tienen periodo ir. las otras tienen periodo 277. r

EJEMPLO 3

sen(tí + 277) = sen 0

cos(0 + 277) = eos 0

tan(0 + 77) = tan 0

csc(0 + 2n) = esc 0

sec(0 + 2-ir) = sec 0

cot(0 + 77) = cot 0

Como las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo 2n, una vez que conocemos los valores para 0 ^ tí < 27t, conocemos todos los valores; de manera similar, como las funciones tangente y cotangente tienen periodo 7r, una vez que co nocemos los valores para 0 ^ tí < 77, conocemos todos los valores.

Uso de las propiedades periódicas para determinar los valores exactos Determina el valor exacto de: (a) sen 420°

Solución

(b) tan

(c) eos

(a) sen 420°= sen (60° + 360°) = sen 60° =

1177 4

V3 2

577 (b) tan — = tan 4 (c) eos

1177

eos

377

+ 277

= eos

377 T

V2 2

Las propiedades periódicas de las funciones trigonométricas nos serán muy útiles cuando estudiemos sus gráficas en las siguientes tres secciones. R e s u e lv e a h o r a

los problemas 2 1 y 7 9

558 CAPÍTULO 7 Fundonestrigonométricas 4 Uso de propiedades pares-im pares para determ inar el valor exacto de las funciones trigonom étricas Recuerda que una función / es par si /( - f l) = /(fl) para toda 0 en el dominio de / ; una función es impar si /( - f l) = ~/(0) para toda 0 en el dominio de /. Ahora mostraremos que las funciones trigonométricas seno, tangente, cotangente y cosecante son funcio nes impares y que las funciones coseno y secante son funciones pares.

TEOREMA

Propiedades pares-impares sen(-fl) = -sen fl

cos(-fl) = cosfl

tan (-fl) = -ta n fl

csc(-fl) = -esc fl

sec(-fl) = secfl

cot(-fl) = -c o t fl

J Demostración Sea P = («, b) el punto en el círculo unitario que corresponde al án gulo 0. Ver figura 76. El punto U en el círculo unitario que corresponde al ángulo-ti tendrá coordenadas (a , b ) . Usando la definición de las funciones trigonométricas te nemos que

Figura 76

senfl =

sen(-fl) =

b

eos 0

-b

= a

cos(-fl) =

a

entonces sen(-fl) = -se n fl

cos(-fl) = cosfl

Ahora, usando estos resultados y algunas de las identidades fundamentales tenemos que sen (-fl) -se n fl tan(-fl) = ----;—— = ------ — = -ta n fl cos(--fl) " eos fl cot(-fl) = r r r r r

En palabras

sec(-fl) =

El coseno y la secante son funciones pares, las o tras son funciones Impares.

EJEM P LO 4

csc(-fl) =

1

1 = -c o t 0 tan(--fl) _ -ta n fl 1

1

= sec fl

cos(-- 0 ) “ eos 0 1

1

sen (-fl)

-senfl

= -esc 0

Determinar los valores exactos usando las propiedades pares-impares Determina el valor exacto de: (a) sen(-4 5 °)

Solución

(b) cos(—ir)

(c) co1 ( - y )

(d) ta n ^ -

\T i (a) sen(-45°) = -s e n 45°= - — I función par

(b) cos(—7r) = eos 7r = - 1 t función Impar

. ( 3tt (c) cotí - —

3tt = -c o t — = 0 2 í función Impar

(d) tanl -

3777

3777

. ..

n

= -ta n —— = -ta n ( — + 9>r) 977 = -< a „ f = l + = --1i . 4 V4 í El periodo ee —.

función Impar - R e s u e lv e a h o ra

los problemas

37

y 73

SEC C IÓ N 7.5

7.5 Evalúa tu entendimiento


559

_____________________________________________

"¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1« ¿Cuál es la ecuación del círculo unitario? (p. 183) 3x - 6 2. El dominio de la función f{ x ) = ------ —es x - 4 * (pp. 200-208)

3. Una función para la cual f(x) = f(~x) para toda x en el dominio de / se llama función_______ (pp. 223-224)

Conceptos y vocabulario 4. Las funciones seno, coseno, cosecante y secante tienen periodo----------- ; las funciones tangente y cotangente tienen periodo_______ 5. Sea t un número real y sea p = (a, b) el punto en el círculo unitario que corresponde a t. Entonces sent = _______ y | eos t =_______ 6. Para cualquier ángulo 6 en posición estándar, sea P = (a, b) cualquier punto en el lado terminal de 6 que también está

en el círculo x2+ y1= r2. Entonces sen 6 =. 0 = _______

. y eos

7. Si sen 0 = 0.2, entonces sen(- 0) = ______ .y sen (0 + 27r) 8. Verdadero ofalso Las únicas funciones trigonométricas pares son las funciones coseno y secante.

Ejercicios En los problemas 9-14, se da el punto P en el círculo unitario que corresponde a un número real t. Determina sen t, eos t, tan t, esc t, sec t y cot t. \/3 _ f']

> * (+ -;)

1ft ( _ V 3 _ !']

“■ (+•-;)

1t ( _ V l

V2\

“■ (- + + )

_

(V 2

VT\

_

■■•(++)

(V s 2\

_

» -(+ !)

(

■ ■

V I 2V5

En los problemas 15-20, se da el punto P en el círculo x2 +y2 = r2 que también está en el lado terminal de un ángulo 0 en posición es tándar. Determina sen 0, eos 0, tan 0, esc 6, sec 6 y cot 0. V15. (3 ,-4 )

16. (5,-12)

17. (-2,3)

18. (2,-4)

19. ( - 1 ,- 1 )

20. (-3,1)

En los problemas 21-36, usa el hecho de que las funciones trigonométricas son periódicas para determinar el valor exacto de cada expresión. No uses una calculadora. < 21. sen 405° 22. eos 420° 23. tan 405° 24. sen 390° 25. esc 450° 33tt

29. cos: 33. sec

4

17tt 4

26. sec 540° 97r 30. sen — 4 34. cot

17tt

27. 27. cot cot 390° 390°

28. sec 420°

31. tan(2 l 7r)

977 32. esc — 2

35. tan

4

1977

36. sec

6

2577 6

En los problemas 37-54, usa las propiedades pares-impares para determinar el valor exacto de cada expresión. No uses una calculadora. 41. sec(-60°) 40. sen(-135°) 38. cos(—30°) 39. tan (-30°) <37. sen(-60°) 42. csc(-30°) 47. eos -

77

51. csc( —

44. eos (-270°)

43. sen (-90°) 48. sen! -

77

52. sec(- 77)

46. sen(—77)

45. tan -

49. ta n (- 77)

. 377 50. sen| ——

53. sed

54. esc -

-?)

En los problemas 55-60, determina el valor exacto de cada expresión. No uses una calculadora. 577 777 55. sen(- 77) + cos(577) 56. tan( — — ) - cot — 57. sec(- 77) + cscl 6 9tt 58. tan(-Ó 77) + eos — <61. 63. < 65. 67. 69. 71. < 73.

977 977 59. sen( - — ) - tan( - —

¿Cuál es el dominio de la función seno? ¿Para qué números 0, no está definida f(0) = tan 61 ¿Para qué números 6, no está definida f(6) = sec 61 ¿Cuál es el rango de la función seno? ¿Cuál es el rango de la función tangente? ¿Cuál es el rango de la función secante? La función seno, ¿es par, impar o ninguna de las dos? ¿Su gráfica es simétrica? ¿Con respecto a qué?

4 J

62. 64. 66. 68. 70. 72. 74.

60. eos

1777 \ _

V

4 )

sen(1 - — 1

¿Cuál es el dominio de la función coseno? ¿Para qué números 6, no está definida f { 6 ) = cot 61 ¿Para qué números 6, no está definida f ( 6 ) = esc 61 ¿Cuál es el rango de la función coseno? ¿Cuál es el rango de la función cotangente? ¿Cuál es el rango de la función cosecante? La función coseno, ¿es par, impar o ninguna de las dos? ¿Su gráfica es simétrica? ¿Con respecto a qué?

560 75.

CAPÍTULO?


La fun ción ta n g en te, ¿ es par, im par o n in gu n a d e las d o s?

76.

77. La fu n ción se ca n te, ¿ es par, im par o n in gu n a d e las d o s?

78.

8 0 . Si e o s

Si sen 0 = 0.3, d eterm in a el valor de: sen 0 + se n (0 +

81. Si tan

0=

2tt)

+ sc n (0

0+

tan (0

+ ir) +

0=

+ 4n)

0 .2 , d eter m in a e l v a lo r de:

0 + e o s (0 +

eos 8 2 . Si co t

3, d eterm in a el valor de:

tan

La fu n ció n c o s e c a n te , ¿ e s par, im p ar o n in gu n a d e las d o s? ¿Su gráfica e s sim étr ica ? ¿ C o n r e sp e c to a q u é?

¿Su gráfica es sim étrica ? ¿C on r e sp e c to a q u é? \j9 .

La fu n ció n c o ta n g e n te , ¿ e s par, im par o n in gu n a d e las d o s? ¿Su gráfica e s sim étr ica ? ¿ C o n r e sp e c to a q u é ?

¿Su gráfica es sim étrica? ¿C on r e sp e c to a q u é?

0=

27r) + e o s (!) + 47r)

- 2 , d eter m in a e l v a lo r de: c o t0 + c o t(0 + 77) + c o t(0 - 2 77)

ta n (0 + 27r)

En los problemas 83-88, usa las propiedades pares-impares y la pn >piedad periódica. 83. Si

f(x) —sen x y f(a) =

(a )

f(-a)

85. Si / ( x) = tan (a )

f{-a)

y d eter m in a el v a lo r e x a c to de:

(b ) / ( « ) +

f(a

+

2n) + fia

+ 4 tr)

x y f(a) = 2 d eter m in a el v a lo r e x a c to de: (b ) / ( « ) + f(a + 7r) + fia + 2 tt)

f(x) = se c x y / ( « ) = - 4 , d eter m in a el v a lo r e x a c to (a ) f(-a) (b ) f(a) + f(a + 2 tt) + / ( a +

8 7. Si

8 4 . Si

de:

f(x)

= eos

xy

(a ) / ( - a ) 8 6 . Si

f{x)

= co t

/ ( a ) = - , d eter m in a e l v alor e x a c to de: 4 (b ) / ( a ) + / ( a + 277) + fia - 2rr)

x y /(a )

(a ) / ( - a ) 88.

Si /

(x) =

e sc

x y / (a) =

(a ) / ( - a )

4 tt)

= - 3 , d eter m in a el v alor e x a c to de: (b ) / (a ) + / (a +

77)

+ / (a + 4 tt)

2, d eter m in a el v a lo r e x a c to de:

(b ) / (a ) + / (a +

2-it) + f (a + 4tt)

Aplicaciones y extensiones En los problemas 89-90, usa la figura para aproximar el valor de las seis funciones trigonométricas a t al décimo más cercano. Después usa una calculadora para aproximar cada una de las seis funciones trigonométricas a t.

94.

D e m u e str a q u e el p e r io d o d e f ( 0) = e o s 0 e s 2ir.

95.

D e m u e str a q u e e l p e r io d o d e

96.

D e m u e str a q u e el p e r io d o d e f ( 0 )

97.

D e m u e str a q u e e l p e r io d o d e f ( 0 ) = tan 0 e s 77.

98.


99.

Si

0,

0 <

0 < 77,

f(0)

= se c

L

277.

= esc 0 e s 2ir.

f(0) = co t 0 e s ir.

e s el á n g u lo e n tr e un ra y o h o rizo n ta l

d ir ig id o a la d e r e c h a (d ig a m o s , e l e je recta

0 es

x

p o s itiv o ) y una

n o h o r iz o n ta l y n o v e r tic a l, d e m u e str a q u e la

p e n d ie n te m d e la inclinación d e

L es L.

ig u a l a tan

0.

E l á n g u lo

0 se

llam a

[Sugerencia: O b ser v a la ilu stra c ió n , d o n d e h e m o s trazado la recta

M

(e o s

89.

(a ) / = 1

90.

(a )

91.

D e m u e str a q u e el ra n g o d e la fu n ció n ta n g e n te e s e l c o n

L y q u e pasa p o r el o rig en . U sa el M in te rse cta al c írc u lo u n ita rio en el p unto

p a ra lela a

hech o de que

0, sen 0).]

(b ) f = 5.1

t-2

(b ) f = 4

ju n to d e to d o s lo s n ú m e r o s rea les. 92.

D e m u e str a q u e el ra n g o d e la fu n ció n c o ta n g e n te e s el co n ju n to d e to d o s lo s n ú m er o s rea les.

93.


f{0) = se n 8 e s

277.

[Sugerencia: C onsidera q u e 0 < p < 2 tt e x iste d e m anera q u e s e n ( 0 +p) = sen 0 para tod a 0. H a z 0 = 0 para d eterm i-

77

n a rp . D esp u é s, h az 0 = y para o b te n e r una con trad icción .]

Explicación de conceptos: discusión y escritura 100. E x p lica c ó m o en co n tra r ía s e l v a lo r d e se n 3 9 0 ° u sa n d o las

102. E scrib e c in c o p r o p ie d a d e s d e la fu n ció n ta n g e n te. E xp lica

p r o p ie d a d e s p erió d ic a s.

e l sig n ific a d o d e ca d a una.

101. E xp lica c ó m o en co n tra r ía s e l v a lo r d e e o s ( - 4 5 ° ) u sa n d o

103. D e sc r ib e lo q u e e n tie n d e s p o r una fu n ció n p erió d ica .

las p r o p ie d a d e s p a res e im p a res.

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?' 1.

x2 + y1 -

1

2 . {.v|.r * 4 }

3 . par

S E C C IÓ N 7.6

Gráficas de Un funciones seno y coseno

561

7.6 Gráficas de las funciones seno y coseno* P •

r e p a r a c ió n

p a r a

e s t a

s e c c ió n


T écn icas para construir gráficas: transform aciones (sección 3.5. pp. 2 4 4 -2 5 3 )

ftamto ahora los problemas de la sección “¿Estás listo?" de la página 571.

\

OBJETIVOS 1 Representar funciones de la forma y = Asen(wx) gráficamente usando transformaciones (p. 562)

2 Representar funciones de la forma y = Acos(wx) gráficamente usando transformaciones (p. 564)

3 Determinar la amplitud y periodo de funciones sinusoidales (p. 565) 4 Representar funciones sinusoidales gráficamente usando puntos clave (p. 566) 5 Determinar una ecuación para una gráfica sinusoidal (p. 570)

Como queremos representar funciones trigonométricas en el plano .vv, usaremos los símbolos tradicionales de .v para la variable independiente (o argumento) y y para la variable dependiente (o valor en .v) para cada función. Así que escribimos las seis funciones trigonométricas como

j

y

sen*

=

0

(0. 0)

TT

1 2

(n

1\

\ 6

’2/

77

2 577

6

777

6 377

2

y = f ( x ) = tan x

y = f ( x ) = esc x

y = f ( x ) = scc x

y = f ( x ) = cot.t

Aquí la variable independiente x representa un ángulo, medido en radianes. En cálculo, x generalmente se toma como un número real. Como dijimos anterior mente. estas son formas equivalentes de ver a x.

Como la función seno tiene periodo 27r, solo tenemos que hacer la gráfica de y = seav en el intervalo [0.27r). El resto de la gráfica consistirá en repeticiones de esta porción de la figura. Empezaremos construyendo la tabla 7. la cual, contiene una lista de algunos pun

y)

U

0 6

y - f ( x ) = eos x

La gráfica de la función seno y =sen x

Tabla 7 X

y = f ( x ) = sen .t

tos en la gráfica de y = sen x , 0 < .v < 2tt. Como muestra la tabla, la gráfica de y = sen x, TT 0 ^ x £ 2n comienza en el origen. Conforme .v crece de 0 a —, el valor de y = seav crece TT “ de 0 a 1 ; conforme x crece de —a n a 1—, el valor de y decrece de 1 a 0 a - 1 ; conforme x 3^r 7 2 crece de — a 27t. el valor de y crece de -1 a 0. Si trazamos los puntos de la tabla 7 y los

1 1 2

( 5n M

0

(7 T ,0 )

1 2

V6 '

2

(3*

A

U '

V

-1

\ 6 ’ 2/

11 7T 6

1 2

U

277

0

Un,

conectamos con una curva suave, obtenemos la gráfica que se muestra en la figura 77.

'

)

2)

0)

La gráfica de la figura 77 es un periodo o ciclo de la gráfica de y = sen .v. Para ob tener una gráfica más completa de y = sen x , continuamos la gráfica en cada dirección como se ve en la figura 78. *Para aquellos que quieran incluir corrimientos de fase aquí, la sección 7.8 se puede cubrir inmediatamen te después de la sección 7.6 sin pérdida de continuidad.

562

C A P ÍT U L O 7 Funciones trigonométricas

Figura 78 y - sen x, - oo < x < °o

La gráfica de y - sen x ilustra algunos de los hechos que ya sabemos acerca de la función seno.

P rop ied ades de la función seno y = sen x

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales. 2. El rango consiste en todos los números reales de -1 a 1, incluidos. 3. La función seno es una función impar, como indica la simetría con respecto al origen de la gráfica. 4.

La función seno es periódica, con periodo 2-ir.

5. Las intersecciones en x son ..., —2v, - v , 0, v , 2ir, 3tt, ...; la intersección en y es 0. 6. El valor máximo es 1 y se da en x - ..

77 377 777 1177

mínimo es - 1 y se da en x =

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

9

1 Gráfica de las funciones de la forma usando transform aciones

EJEMPLO 1

377 77 577 977

y = A

sen(ojx)

Gráfica de funciones de la forma y = A sen(wx) usando transformaciones Traza la gráfica de y = 3senx usando transformaciones.

Solución

La figura 79 ilustra los pasos.

Figura 79

1/

(a )

y = sen x

Multiplica por 3; estiramiento vertical por un factor de 3

(b) y =

3 sen x

S E C C IÓ N 7.6

EJEMPLO 2


563

Gráfica de funciones de la forma y = A sen(cux) usando transformaciones Traza la gráfica de y = -sen(2*) usando transformaciones.

Solución

La figura 80 ilustra los pasos.

Figura 80

Observa que en la figura 80(c) el periodo de la función y = -sen(2;t) es tt debido a la compresión horizontal del periodo original 2tt por un factor de \

-Resuelve ahora

EL

problema

37

usando

transformaciones

Gráfica de la función coseno Tabla 8

Como la función coseno tiene periodo 2 -77. Procederemos de la misma forma que como lo hicimos con la función seno, construyendo la tabla 8, la cual, da una lista de algunos puntos en la gráfica de y = eos x, 0 < x < 2ir. Como muestra la tabla, la gráfica 77 de y - eos x, 0 < x < 27r comienza en el punto (0,1). Conforme x crece de 0 a — a 7r, el 3tt ^ valor de y decrece de 1 a 0 a - 1 ; conforme jc crece de tt a a 2tt, el valor de y crece de -1 a 0 a 1. Como anteriormente, trazamos los puntos de la tabla 8 para obtener un periodo o ciclo de la gráfica. Ver figura 81. Figura 81 y = eo s x,

0 < x <2-77-

Se puede obtener una gráfica más completa de y = eos x continuando la curva en cada dirección, como se muestra en la figura 82. Figura 82 y = eo s x, -

oo <

x <

oo

La gráfica de y = eos x ilustra algunos de los hechos que ya sabíamos acerca de la función coseno.

564

C A P ÍT U L O 7

Ì


Propiedades de la función coseno

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales. 2. El rango consiste en todos los números reales de -1 a 1, incluidos. 3. La función coseno es una función par, como indica la simetría con respecto al eje y de la gráfica. 4. La función coseno es periódica, con periodo 2tt. _ , . 3tt v rr 3tt 5tt 5. Las intersecciones en x son . . . , - — , , — , . . . ; la intersección en .y es 1. ¿ ¿ ¿ 6. El valor máximo es 1 y se da en x = ..., -27r, 0,27r, 47r, 67r , ...; el valor míni mo es -1 y se da en x = ..., —7r, tt, 3ir, 5tt, ....

2 Gráfica de funciones de la forma y = A cos(cox) usando transform aciones

EJEMPLO 3

Gráfica de funciones de la forma y = A cos(a>x) usando transformaciones Traza la gráfica de y = 2cos(3x) usando transformaciones

Solución

La figura 83 muestra los pasos.

Figura 83

ro|=ì

y,

Multiplica por 2, estiramiento vertical por un factor de 2

(b) y

-

Sustituye x por 3x; compresión horizontal por un factor de 1

2 eos x

(c) y = 2 eos (3 x)

2 tt Observa en la figura 83(c), que el periodo de la función y = 2 cos(3.r) es — debi1 ^ do a la compresión del periodo original 2n por un factor de - .

Resuelve ahora

EL

problema

45

usando

transformaciones

Gráficas sinusoidales

7T Corre la gráfica de y = eos x a la derecha y unidades para obtener la gráfica de 7r y - cos[ x - — ). Ver figura 84(a). Ahora observa la gráfica de y = sen .r en la figura 84(b). Vemos que la gráfica de y = sen x es la misma que la gráfica de y = c o s ( j -

(a) y = c o s x y = e o s ( x - f )

(b) y = sen x

S E C C IÓ N 7.6


565

Con base en la figura 84, podemos concluir que

Visualización del c o n c e p to traza la gráfica de Yy = senx y >$ = c o s (x -0 ¿Cuántas gráficas ves?

i

--------------------------------------- 1 (Demostraremos este hecho en el capítulo 8.) Debido a esta relación, las gráficas de funciones de la forma y = A sen(tu.v) o y = A cos(w.y) se conocen como gráficas sinusoidales.

3 Determ inar la am plitud y periodo de funciones sinusoidales En la figura 85(b) mostramos la gráfica de y = 2 eos x. Observa que los valores de y = 2 eos x están entre - 2 y 2 , incluidos. Figura 85

En general, los valores de las funciones y = A sen x y y = A eos x, donde A * 0 , siempre satisfacen las desigualdades - |/ l | :£ j4sen:c ^ \a \ y -|y4| < A eos x < \a \ respectivamente. El número |i4| se llama la amplitud de y - sen x o y - eos x. Ver figura 86. Figura 86

En la figura 87(b), mostramos la gráfica de y = cos(3x). Observa que el periodo 277 de esta función es — , debido a la compresión horizontal del periodo original 2 rr por 1 3 un factor de —. 3 Figura 86

(a) y = eos x

compresión horizontal por un factor de 1

(b) y =

eos (3x)

En general, si co > 0, las funciones y = sen(a«:) y y - cos(íuat) tendrán periodo T - — . Para ver por qué, recuerda que la gráfica de y = sen(ou) se obtiene de

566

C A P ÍT U L O 7


la gráfica de y = sen x realizando una compresión o estiramiento horizontal por un 1 factor de —. Esta compresión horizontal sustituye el intervalo [0, 2^r], que contiene w 2iT un periodo de la gráfica de y = sen x, por el intervalo 0, , que contiene un periodo u> de la gráfica de y = sen(wx). Así que la función y - cos(3x), que se representa gráfica mente en la figura 87(b), con (o = 3, tiene periodo —- = co 3 Un periodo de la gráfica de y = sen(cux) o y - cos(íox) se llama un ciclo. La figura 88 ilustra la situación general. La parte más clara del centro de la gráfica es un ciclo.

Figura 88

NOTA: Recuerda que la función f es par si f(- x ) = f(x ); una función f es impar si f(- x ) = - f(x ). Como la función seno es impar, se n (-x) = -senx; como la función coseno es par, c o s(-x) = eos x. ■

Cuando trazamos la gráfica de y = sen(aix) o y — cos(íux), queremos que a» sea positiva. Para representar y = sen(aj;t), co > 0 o y = cos(cox), co> 0, usamos las propie dades pares-impares de las funciones seno y coseno de la siguiente forma: sen(-fc>x) = —sen (cox)

y cos(aix) = —cos(íox)

Esto nos da una forma equivalente en la que el coeficiente de x en el argumento es positivo. Por ejemplo sen(-Zx) = - sen(2x)

y cos( - ttx) = - cos(7tjc)

Debido a esto podemos suponer que co > 0.

TEOREM A

Si co > 0, la amplitud y periodo de y - A sen(a)x) y y - A cos(wjc) están dadas por Amplitud = \A\

Periodo = T =

27T ü)

(1 )

J Determinar la amplitud y el periodo de una función sinusoidal

EJEMPLO 4

Determina la amplitud y el periodo de y = 3 sen(4x).

Solución

Si comparamos y = 3 sen(4x) con y = A sen(wx), determinamos que A —3 y to = 4. De la ecuación ( 1 ), ii Amplitud = |/4| = 3

^Tsasas—Resuelve ahora

el

, , ^ 2 tt 2 ir ir Periodo = T = — = — = y

problema

i s

4 Gráfica de funciones sinusoidales usando puntos clave

W

Hasta ahora, hemos graficado funciones de la forma y = A sen(íox) o y = A eos (cox) usando transformaciones. Ahora veremos otro método que puede ser usado para graficar estas funciones.

S E C C IÓ N 7.6


567

La figura 89 muestra un ciclo de las gráficas de y = sen x y y = eos x en el intervalo [0, 2 tt]. Observa que cada gráfica consiste en cuatro partes correspondientes a los cuatro subintervalos: _ 7r o, — y L 2 J

77 — , 77 L2 J

377 77, ~ L 2 J

3 t7 _ — , 277 L 2 J

Cada subintervalo es de longitud — (el periodo 2n dividido entre 4, el número de partes) y los puntos terminales de estos intervalos x = 0, x = —, x = n, x = — , x = 27r dan origen a los cinco puntos clave en cada gráfica: Para y = sen*:

( 0, 0 ), ^ y , l ) , (ir, 0 ), ( y , - l ) , (2 tt, 0 )

Para y = eos x:

(0, 1), ( y 0^, ( tt, -1 ) , ( y , o ), (2 tr, 1)

I

EJEMPLO 5

Cómo construir la gráfica de una función sinusoidal usando puntos clave Traza la gráfica de y = 3 sen(4x) usando puntos clave.

Solución paso a paso Paso 1:

D e te rm in a la a m p litu d

y el periodo de la fun ció n s in u so id a l.

Compara y = 3 sen(4x) con y —A sen(ojx), vemos que A - 3 y co = 4, así que la amplitud es \A\ = 3 y el periodo es — = — = —. Como la amplitud es 3, la gráfica de co 4 2 „ 77 y = 3 sen(4x) estará entre -3 y 3 en el eje y. Como el periodo es y , un ciclo empezará en * = 0 y terminará en * = —. 2

Paso 2: 277

o ,— (O

77

el

in te rv a lo

Divide el intervalo 0,

en c u a t ro

su b in te r-

,. .

de la siguiente manera:

Divide

„

b

77

77 77 00

77 77

77

77 377

377 377.

00

77 77

00

« TT °'8

00 00

v a lo s de la m ism a lo ngitud.

77 _ 77 en cuatro subintervalos, cada uno de longitud y + 4 = —

T ’T

T ’T

77

377 77

+ 8

Y ' 2

77 77 377 77 Los puntos terminales de los subintervalos son 0, —, —, — , —. Estos valores repreo

4

o

2

sentan las coordenadas * de los cinco puntos clave en la gráfica.

568

C A P ÍT U L O 7


Paso 3 : Usa los puntos terminales de estos sublntervalos para obten er cinco puntos clave en la gráfica.

Para obtener las coordenadas y de los cinco puntos clave de y = 3 sen(4x), multiplica las coordenadas y de los cinco puntos clave por y = sen x, en la figura 89(a), por A = 3. Los cinco puntos clave son

NOTA: También podríamos obtener los cinco puntos clave evaluando y = 3 sen(4x) en cada valor de x .B

Paso 4: Traza los cinco puntos clave y dibuja una gráfica sinu soidal para obtener la gráfica de un ciclo. Extiende la gráfica en cada dirección para completarla.

S

( 0, 0 ) Traza los cinco puntos clave que obtuviste en el paso 3 y llena la gráfica de la curva de seno como se muestra en la figura 90(a). Extiende la curva en cada dirección para obtener la gráfica completa que se muestra en la figura 90(b). Observa que aparecen 77* puntos clave adicionales cada — radianes.

Verifica:

Traza la gráfica de y = 3 sen(4x) usando transformaciones. 6Cuál método prefieres?

J

Resuelve ahora

RESUMEN P

a so

1:

P

a so

2:

P

a so

3:

P

a so

4:

EL

problema

37

usando

puntos

clave

Pasos para construir una gráfica de una función sinusoidal de la fo rm a y = A sen(wx) o y = A c o s M ) usando puntos clave

Determina la amplitud y el periodo de la función sinusoidal. 277 1 Divide el intervalo 0, — en cuatro subintervalos de la misma longitud. Cü Usa los puntos terminales de estos subintervalos para obtener cinco puntos clave en la gráfica. Traza los cinco puntos y dibuja una curva sinusoidal para obtener la gráfica de un ciclo. Extiende la curva en cada dirección para que esté completa.

EJEMPLO 6

Gráfica de una función sinusoidal usando puntos clave Construye la gráfica de y - 2 s e n ^ -

Solución

usando puntos clave.

Como la función seno es impar, podemos usar la forma equivalente: y = - 2 se n ^ y P

a so

1:

Si comparamos y = - 2 sen^y.v^ con y - A sen(ü>.v), encontramos que A = —2 y co = _ 277 277 T = — - — = 4ü) 77

La amplitud es |/4| = |- 2 | = 2 y el periodo es

S E C C IÓ N 7.6

La gráfica de y = - 2


569

estará entre - 2 y 2 en el eje y. Un ciclo

empezará en x = 0 y terminará en x = 4. P aso 2: Divide el intervalo [0,4] en cuatro subintervalos, cada uno de longitud 4 h- 4 = 1. Las coordenadas x de los cinco puntos clave son

Mi

1a

P

a so

0 coordenada x 3:

0+1-1 coordenada x

1+1-2

2a

3a coordenada x

2+1=3 coordenada x

4a

3+1-4 coordenada x

5a

Como y = - 2 sen^ —x \ multiplica las coordenadas y de los cinco puntos clave, en la figura 89(a), por A = -2 . Los cinco puntos clave en la gráfica son (0,0)

P

a so

4:

(1 ,-2 )

(2,0)

(3,2)

(4,0)

Traza estos cinco puntos y llena la gráfica de la función seno como se muestra en la figura 91(a). Si extendemos la curva en cada dirección obte nemos la figura 91(b).

Figura 91

Vara obtener la

7T usando transformaciones. ¿Qué práfica de una función sinusoi / V erifica: Obtén la gráfica de y - 2 sen método prefieres? dal de la forma y = A sen(wx) o y = Acos(mx) empleando un dis positivo gráfico, usamos la am -Resuelve ahora EL P R OB L E MA 41 US ANDO PUNT OS CL AVE plitud para establecer Y . y Y , y utilizamos el periodo para esta Si la función que se va a representar gráficamente es de la forma y - A sen(íox) + B blecer/m ■ i,nyX ^ m áx [o y = A eos(wx) + B ], primero traza la gráfica de y = A sen(cox) [o y - A cos(cox)] y después usa un desplazamiento vertical. COMENTARIO

J

EJEMPLO 7

Gráfica de una función sinusoidal usando puntos clave Construye la gráfica de y = - 4 cos(7rx) -2 usando puntos clave. Usa la gráfica para determinar el dominio y el rango de y = -4 cos(7rx) -2.

Solución

Empieza por trazar la gráfica de la función y - -4 cos(7rx). Si comparamos y = -4 cos(ttx) con y - A cos(íux), observamos que A = -4 y u>= 7r. La amplitud es r)'TT

O/jr

|y4| - 1-4| = 4 y el periodo es T = — = — - 2. La gráfica de y = -4 cos(7rx) estará entre - 4 y 4 en el eje y. Un ciclo empezará en x - 0 y terminará en x = 2 . Divide el intervalo [0, 2] en cuatro subintervalos, cada uno de longitud 2 + 4 ——. Las coordenadas x de los cinco puntos clave son 0 1a

coordenada x

o+H

2a

coordenada x

i + i - i 2 2 3a

coordenada x

4a coordenada x

3 1 „ 2 + 2 = 2 5a coordenada x

Como y = -4 cos(7rx), multiplica las coordenadas y de los cinco puntos clave de y —eos x que se muestran en la figura 89(b) por A —-4 para obtener los cinco puntos

570


clave en la gráfica de y = -4 eos (vx): ( 0 ,- 4 )

( i , ())

(1,4)

( |,o )

( 2 ,- 4 )

Tra/.a estos cinco puntos y llena la gráfica de la función coseno como se muestra en la figura 92(a). Si extendemos la curva en cada dirección obtenemos la figura 92(b), que es la gráfica de y = -4 cos(jrx). Un corrimiento vertical de 2 unidades hacia abajo nos da la gráfica de y = -4 cos(7tjt) - 2, como se muestra en la figura 92(c).

Figura 92

(a)

(b )

y=

-4

eos

El dominio de y = - 4 (

(t t x )

cos( itjc)

unidades hacia abajo

(c )y = - 4

c o s ( ttx)

- 2

- 2 es el conjunto de todos los números reales o

oo, o o ).

El rango de y = -4 cos(7rjt) - 2 es { y | - 6 < y <2)} o [- 6,2].

Resuelve ahora

el

problema

51

5 Determ inar una ecuación para una gráfica sinusoidal

EJEMPLO 8

Determinar una ecuación para una gráfica sinusoidal Determina una ecuación para la gráfica que se muestra en la figura 93.

Solución

La gráfica tiene las características de una función coseno. ¿Puedes ver por qué? El valor máximo, 3, se da en .r = 0. Así que vemos la ecuación como una función coseno 27T y = A cos(üor) con A = 3 y periodo 7 = 1 . Entonces —- = 1, por lo tanto o» = 2
Verifica:

Traza la gráfica de Y ] = 3 cos(27r.v) y compara el resultado con la figura 93.

S E C C IÓ N 7.6

EJEMPLO 9


571

Determinar una ecuación para una gráfica sinusoidal

/4? ** 1 ** -*

277 La gráfica es sinusoidal, con amplitud \A\ = 2. El periodo es 4, entonces — = 4 o (O 77 a) = Como la gráfica pasa por el origen, es más fácil ver la ecuación como una

Solución

función seno ,1 pero observa que la gráfica es la reflexión de una función seno en el eje x (debido a que la gráfica es decreciente cerca del origen). Esto requiere que A = —2. La función seno cuya gráfica se da en la figura 94 es 7T y = A sen(wx) = - 2 sen^—x

S

Verifica: Traza la gráfica de y 1 = - 2 s e n ( figura 94.

Resuelve ahora

V2

los

problemas

x ) y compara el resultado con la /

59 y 63

7.6 Evalúa tu entendimiento__________________________________________________ "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. Usa transformaciones para construir la gráfica de y = 3x2. (pp. 244-253)

2. Usa transformaciones para construir la gráfica de y = \ílx . (pp. 244-253)

Conceptos y vocabulario .y se

6. Verdadero o falso Las gráficas de y = sen x y y = eos x son idénticas excepto por un corrimiento horizontal.

4. La función y = A sen(cox), A > 0, tiene amplitud 3 y perio do 2, entonces A = _______ y u>= ____ :-----

7. Verdadero o falso Para y = 2 sen(7rx), la amplitud es 2 y 7T el periodo es —.

. y peno-

8. Verdadero ofalso La gráfica de la función seno tiene un número infinito de intersecciones en x.

V 9. /(x) = senx (a) ¿Cuál es la intersección en y de la gráfica de /? (b) ¿Para qué números x, -7r £ x £ 77, es creciente la gráfica de /? (c) ¿Cuál es el máximo absoluto de /? (d) ¿Para qué números x, 0 £ x ^ 2ir, es f(x) = 0?

(e) ¿Para qué números x,-27T £ x £ 277, es/(x) = 1? ¿Dónde es /(x) = —1? . ^ (f) ¿Para qué números x,-277 £ x < 277, es/(x) = - - ? (g) ¿Cuáles son las intersecciones en x de /?

3. El valor máximo de y = senx, 0 £ x s 277, es-----da en x = _______

5. La función y = 3 cos(6x) tiene amplitud. do_______ Ejercicios

’La ecuación también se puede ver como una función coseno con un corrimiento horizontal, pero es más fácil verla como una función seno. i

572

C A P ÍT U L O 7


10. g(x) = eos * (a) ¿Cuál es la intersección en y de la gráfica de g7 (b) ¿Para qué números x, -ir £ x ^ ir, es decreciente la gráfica de g7 (c) ¿Cuál es el mínimo absoluto de g7 (d) ¿Para qué números x, 0 ^ x ^ 2-rr, es g(x) = 0?

(e)

¿Para qué números x, -2 v S r £ 2 ir, es « 1g(x) ? ¿Dónde es g(x) = -1 ?

(0 ¿Para qué números jc, - 27r s x si 27r, es g(x) = (g) ¿Cuáles son las intersecciones en x de g7

En los problemas 11-20, determina la amplitud y el periodo de cada función sin hacer su gráfica.

11. y = 2 sen*

12. y = 3 eos x

13. y = -4 cos(2x)

En los problemas 21-30, asocia la función dada con una de las gráficas en los incisos (A )-(J).

2

S E C C IÓ N 7.6

í

tu

Gráficas de las fundones seno y coseno

573

lo «pr\>blennv¡ 3/-34. asocia la fundón ipie se «/«t con una de /«i.vgráficas en los incisos (A)-(P). 3

33. y

=

3scn(2.t)

En los problemas 35-58, traza determinar el dominio y el rango ile cada función.

35. y = 4 eos t

36. y = 3 sen x

\

37. y = -4 sen .r

38. y = -3 eos .t

39. y = cos(4r)

40. y = sen(3.v)

\

41. y = sen(-2.r)

42. y = cos(-2.r)

43. y = 2 sen^

44, y = 2 eos

\

45. y = -^cos(2.r)

46. y = -4 s e n ^

47. y = 2 sen.r + 3

48, y = 3 eos ,v + 2

49. y = 5 cos(Tr.r) - 3

50. y = 4 sen^y -r ^ ~

51. v = —ó se n ^ jr^ + 4

52. y = -3 cosí

53. y = 5 - 3 sen(2.r)

54. y = 2 - 4 cos(3.t)

'(i-*)

‘( i1)

\ I

+2

37T _ 9 ( 56. v - - c o s ^ -

\

T 'J

3

/f TT

5 7 . y = - - cos^

\

1

J ' J *+ 2

1

(

5 8 . y = - - sen l

En los problemas 5 9 -6 2 . escribe la ecuación de una función seno que tenga las características que se dan. 59.

Amplitud: 3 Periodo: ir

60. Amplitud: 2 Periodo: 4n-

En los problemas 6 3 -7 6 , determina una ecuación para cada gráfica.

61. Amplitud: 3 Periodo: 2

62. Amplitud: 4 Periodo: 1

N>i UJ

i la gráfica para

/

574 CAPÍTULO 7 Funcionestrigonométricas

Práctica mixta 77 En los problemas 77-80, determina la tasa de cambio promedio de f de 0 a ~ .

77. /(*) =

78. /(*)

sen *

= eos

*

79. /(*) = sen^ J

80. /(*) =

c o s (2 * )

En los problemas 81-84, determina (f °g)(x) y (g o f)(x) y traza la gráfica de cada una de estas funciones.

81.

82. /(*) = eos *

/( * ) = sen *

g(x) = 4*

83. /(*) = -2*

84. /(*) = -3*

g (* ) = eos *

g(x) = \ x

g (* ) = sen *

En los problemas 85 y 86, traza la gráfica de cada función. 5v

sen *

0 < * < ——

eos*

577 „ — < * < 2tt

4

85. /(*) = <

86. g(x) =

Í2sen *

0 < * < 77

[COS* + 1

77 < * S 277

4


87. Circuitos de corriente alterna (ac)

L a co r r ie n te

I, e n

am

(a ) ¿ C u á l e s la a m p litu d ? ¿ C u á l e s e l p e r io d o ?

p ere s, q u e flu y e p or un circ u ito a c (c o r r ie n te a lter n a ) e n un tie m p o

t en

I(t)

= 2 2 0 sen(6077í)

(c ) Si h ay una r e siste n c ia d e

t

V. em p eza n d o en r= 0 .

(b ) T raza la gráfica de d o s p erio d o s d e

se g u n d o s e s

R=

10 o h m s p r e se n te , ¿cuál es

la co r r ie n te /?

> 0

[Sugerencia: U sa

la le y d e O h m ,

V=

/??.]

¿C u ál e s el p e r io d o ? ¿C u ál e s la a m p litu d ? T raza la gráfica

(d ) ¿C u ál e s la a m p litu d y el p e r io d o d e la co r rien te /?

d e d o s p e r io d o s d e e sta fu n ció n .

( e ) T raza la gráfica d e d o s p e r io d o s d e / e m p e z a n d o en


L a c o r r ie n te

I, en

am

p ere s, q u e flu y e p or un circ u ito ac (c o r r ie n te a lter n a ) en un tie m p o t en se g u n d o s e s

I(t) -

120 sen(3077í)

t

^ 0

90.

Generadores de corriente alterna (ac) V(t) =

120 se n (1 2 0 7 7 í)

(a ) ¿C u ál e s la a m p litu d ? ¿C u á l e s el p er io d o ? (b) Traza la gráfica d e d o s p erio d o s d e

d e d o s p e r io d o s d e esta fu n ció n .

(c ) Si h ay u na r e siste n c ia d e

g u n d o s, es

V(t)

= 2 2 0 sen(12077í)

V,

en

t, e n

se

E l v o lta je

v o lts, p ro d u c id o p or un g e n e r a d o r ac e n e l tie m p o

E l v o ltaje V', en volts,

p ro d u cid o p or un g en era d o r ac en el tiem p o r, en segu n d os, es

¿C uál e s el p e r io d o ? ¿C u ál e s la a m p litu d ? T ra za la gráfica

89. Generadores de corriente alterna (ac)

t = 0.

R=

V, em p eza n d o en t = 0 .

2 0 o h m s p r e se n te , ¿cu ál es

la c o r r ie n te /?

[Sugerencia: U sa

la le y d e O h m ,

V = IR.]

(d ) ¿ C u á l e s la a m p litu d y e l p e r io d o d e la co rrien te /? (e ) T raza la gráfica d e d o s p erio d o s d e

I e m p ez a n d o en t = 0 .

SECCIÓN 7.6 Gráficasdelasfuncionessenoycoseno 575 91. Generadores de corriente alterna (ac)

V p ro

(a ) D e te r m in a la e c u a c ió n d e la cu rva sin u so id a l q u e se

d u c id o p o r un g e n e r a d o r ac e s sin u so id a l. C o m o fu n ció n d el tie m p o , e l v o lta je V e s

aju ste a la ab ertu ra. C o lo c a e l o r ig e n e n e l e x tr e m o

V(t) M -, d o n d e / e s la

E l v o lta je

= V0 sen (27r/t)

frecuencia, el

n ad á, / e s d e 60 h ertz (H z ).] L a

R en

d e 7 p ie s d e ca d a la d o , ¿ cu á l e s la altura d el tú n el a la

n ú m e r o d e o s c ila c io n e s c o m

p leta s (c ic lo s) p or se g u n d o . [E n lo s E sta d o s U n id o s y C a re siste n c ia

iz q u ie r d o d e la cu rva sin u so id a l. (b ) Si el c a m in o tie n e 14 p ie s d e a n c h o co n a c o ta m ie n to

potencia P q u e r e c ib e t e stá

cu a lq u ie r tie m p o

u na

d e fin id a c o m o

o rilla d el ca m in o ?

Fuente: en. wikipedia.org/wiki/lnterstate_Highway_standards y Ohio Revised Code

93. Biorritmos

[V (í)]2

p('>— ¡ r (a ) D e m u e s tr a q u e (b ) L a gráfica d e

P(t) =

Vi

P(t)

= — - s e n 2( 2 ir / f ) . A se m u e str a e n la figura. E x p re sa

P

E n la te o r ía d e lo s b io rr itm o s, se u sa una

fu n c ió n s e n o d e la form a 5 0 se n (w f) + 50

para m ed ir el p o r c e n ta je e n el tie m p o

P

t, d o n d e t se

P d el

p o te n c ia l d e una p erso n a

m id e e n d ía s y

t=0

e s la fech a

d e n a c im ie n to d e la p erso n a . S e m id e n c o m ú n m e n te tres

c o m o u na fu n ció n sin u so id a l.

características: P o te n c ia l físico: p e r io d o d e 23 d ías P o te n c ia l e m o c io n a l: p e r io d o d e 2 8 d ías P o te n c ia l in te le ctu a l: p e r io d o d e 33 d ías (a ) D e te r m in a

0 Potencia en un generador ac

io para

ca d a ca ra cterística .

(b ) U s a n d o un d isp o sitiv o g r á fic o , o b té n la g ráfica d e las tres fu n c io n e s en la m ism a p an talla. (c ) E x iste un tie m p o

t

en e l q u e las tres ca racterísticas

tie n e n 100% d e p o te n c ia l? ¿ C u á n d o ocu rre esto ? (d ) C o n sid e ra q u e h o y c u m p le s 2 0 a ñ o s d e ed a d

(c) D e d u c e q u e

(t = 7305

d ía s). D e sc r ib e tu p o te n c ia l físic o , e m o c io n a l e in

1

se n z(2 7 r/f) = - [ 1 - c o s (4 7 r/f)] 92.

Altura de un puente

©

pasa p o r un tú n el q u e tie n e fo rm a d e m e d io c ic lo d e una

te le c tu a l p o r lo s p r ó x im o s 3 0 d ías.

U n a a u to p ista d e un s o lo se n tid o

curva sin u so id a l. L a ab ertu ra e s d e 2 8 p ies d e a n ch o a la altura d e l ca m in o y en su p u n to m á s a lto m id e 15 p ies.

94. T raza la gráfica d e y = |c o s x |, -2 7 r <

x

<277.

95. T raza la gráfica d e y = ¡sen jr|, - 2 7 t <

x

< 2 7 r.

En los problemas 96-99, las gráficas de los pares de funciones dados se intersectan un número infinito de veces. Determina cuatro de estos puntos de intersección. 19 6 . y = se n x 91. y - e o s x 9 8 . y = 2 se n x 9 9 . y = tan x _ 1 y = 2

_ 1

y =

'

y = -2

y = 1

2


-100.

E x p lica q u é esca la e s c o g e r ía s para el e je x y el eje y a n tes d e trazar la gráfica d e y = 3 cos(7r.v).

101.

E x p lica e l tér m in o

amplitud

co n r e sp e c to a su r e la c ió n

co n la gráfica d e una fu n ció n sin u so id a l.

102.

E xp lica e l térm in o

periodo

co n r e sp e c to a su re la c ió n co n

la gráfica d e una fu n ció n sin u so id a l.

103. E x p lic a c ó m o se u san la am p litu d y e l p e r io d o d e una gráfica sin u so id a l para e sta b le c e r la esca la en cad a eje de c o o r d e n a d a s. 104. E n cu en tra una a p lica c ió n en tu c a m p o d e e stu d io q u e lle v e a u na gráfica sin u so id a l. E scrib e un e n sa y o so b re lo q u e en co n tra ste.

Ejercicios interactivos Pregunta a tu profesor si los ejercicios applet que se dan a continuación te son de interés. 106. Abre el applet de “Trace Cosine Curve". 105. Abre el applet de “Trace Sine Curve”. E n la p a n ta lla p o drás ver la gráfica d el círc u lo u n ita rio co n un p u n to C m arcad o. U sa e l cu rsor para m o v er el p u n to C a lr ed ed o r

E n la pantalla p od rás v er la gráfica d el círcu lo u n itario co n un p u n to C

m arcad o. U sa el cu rsor para m o v er el p u n to C alred ed or

llas d el reloj. ¿ Q u é o b ser v a s? E n particu lar, ¿cu ál e s la

d el círcu lo u n itario en la d irecció n o p u e sta a las m a n e ci llas d el reloj. ¿ Q u é o b ser v a s? En p articular, ¿cuál es la

rela ció n en tre el á n g u lo y la c o o r d e n a d a y d el p u n to C?

rela ció n en tre el á n g u lo y la co o r d e n a d a

d el círcu lo u n itario en la d ire cc ió n o p u e sta a las m a n e c i

x d el

p u n to C?

576 CAPÍTULO 7 Fundonestrigonométricas 107.

e n la gráfica d e

f(x)

* s e n U»x). Pon

el p ap el q u e ju e g a

a en la gráfiea d e j (x) - a sen x. Abre el applet de "Penad". En la p a n ta lla verá s una

cad a gráfica. Por c o n v e n ie n c ia , la gráfica d e

a te n c ió n a lo s p u n to s c la v e q u e s e a so c ia n co n c o lo r e s en

el papel q ue ju eg a

108.

y

En la p an talla verá s una barra d eslizad ora. M u ev e el p u n to so b re la barra para ver

Abre el applet de "AmpUtude".

g(x) *

se ru se

m u estra c o m o una cu rva gris p u n tea d a .

b a rra d eslizad ora. M u ev e el p u n to so b re la barra para ver


1. E stira m ien to vertical p or un factor d e 3

C o m p r e sió n h o riz o n ta l p o r un fa cto r d e

1 2

7.7 Gráficas de las funciones tangente, cotangente, cosecante y secante P R E P A R A C IÓ N

•

P A R A E S T A S E C C IÓ N

A n te s d e e m p e z a r , r e p a s a lo sig u ie n te :

A sín to ta s v e r tic a le s (se c c ió n 5 .2 , pp. 3 4 5 -3 4 6 )

\ Resuelve ahora los

p ro b le m a s d e la s e c c ió n " ¿ E s tá s listo ?" d e la p á g in a 581.

OBJETIVOS

1 Representar funciones gráficamente de la forma y = A tan (wx) + B y y = A cot (a»x) + B (p. 578) 2 Representar funciones gráficamente de la forma y y = A s e e (wx) + B (p. 580)

= A

esc (wx) + B y

La g rá fic a d e la fu n c ió n ta n g e n te Como la función tangente tiene periodo 77, solo necesitamos determinar la gráfica sobre un intervalo de longitud tt. El resto de la gráfica consistirá en repeticiones de 3tt tt tt 3 esa curva. Como la función tangente no está definida en — /

77

nos enfocaremos en el intervalo I—y ,

tt \

—

1, de longitud

la cual, enlista algunos puntos en la gráfica de y

=

77,

2

2

2

“

para construir la tabla 9.

taav, - y <

x <

y . Trazamos los

puntos de la tabla y los conectamos con una curva suave. Observa la figura 95 para 77

77

una gráfica parcial de y = taav, donde - y ^ .v ^ y . Para completar un periodo de la gráfica de v = taav, debemos investigar el comportamiento de la función conforme x se acerca a -

77

—

7T

y —.Sin embargo, debemos

tener cuidado porque y = taav no está definida en estos números. Para determinar este comportamiento, usaremos la identidad sen x tan x -- -------eos .v Ver tabla 10. Si .v está cerca de — « 1.5708. pero es menor que —, entonces sen .v estará cerca de 1 y cosa- será positivo y cercano a 0. (Para ver esto, consulta las gráficas de las funciones seno y coseno.) Por lo tanto la razón Se- — será positiva eos .v

SECCIÓN 7.7 Gráficasdelasfuncionestangente, cotangente, cosecanteysecante 577 i

Figura 95 y = tan x , ---- < x < — 7 3 3

7r

y grande. De hecho, entre más cerca esté x de —, más cerca estará sen x de 1 y eos x de 0, entonces tan .v se acerca a oo I lim tan x = oo I. En otras palabras, la recta vertical 7T x = — e s una asíntota de la gráfica de y = tan .v. Tabla 10

X

77

«

3

1.05

sen x

cosx

V3

1

2

2

y

= tan

x

V Ì « 1.73

1.5

0.9975

0.0707

14.1

1.57

0.9999

7.96 X 10-4

1255.8

1.5707

0.9999

9.6 X 10"s

10,381

— « 1.5708 2

1

0

No definida

Si x está cerca de - —, pero sigue siendo mayor que - —, entonces seru estará cerca 2

2

de -1 y eos* será positivo y cercano a 0. La razón _ . tiende a ( lim t a n x = -o o ). eos x 7T En otras palabras, la recta vertical x = - —es también una asíntota vertical de la gráfica. Con estas observaciones podemos completar un periodo de la gráfica. Obtendre mos la gráfica completa de y = tan,v repitiendo este periodo, como se muestra en la figura 96. Figura 96 y = tan x, - oo < x < o o ,x diferente de

7T

los múltiplos impares d e —, - o o < y < oo

Verifica: Traza la gráfica J de y, = tan* y compara el re sultado con la figura 96. Usa TRACE para ver qué pasa

i /

conforme x se acerca a —, pero 7T 2 es menor que 2'

578 CAPÍTULO 7


La gráfica de y = tan propiedades.

a

en la figura 96 de la página 577 ilustra las siguientes

Propiedades de la función tangente 1.

El dominio es el conjunto de lodos los números reales, excepto los múlti plos impares de —.

2. El rango es el conjunto de todos los números reales. 3. La función tangente es una función impar, como indica la simetría con res pecto al origen de la gráfica.

4. La función tangente es periódica, con periodo tt. 5. Las intersecciones en x son..., -27r, y es 0 . _

6.

,

.

,

tt,

,

Las asíntotas verticales se dan en

0, n ,

2 v , 37r 3 tt

, l a intersección en

7T

tt

. . . , — —, - —, —,

x =

3 ff

__

Resuelve ahora los problemas 7 y is 1 G rá fic a d e fu n c io n e s d e la fo rm a y = A tan(a)x) + B y y = A co t( í ú x ) + B Para las funciones tangente, no existe el concepto de amplitud debido a que el rango de la función tangente es ( - o o , o o ). El papel de A en y - A tan(w.v) + B es proporcionar la magnitud del estiramiento vertical. El periodo de y = tan a es tt. entonces el periodo de TT y — A tan ( wa) + B es —, causado por la compresión horizontal de la gráfica por un fac1 . 10 tor de —. Por último, la presencia de B indica que se requiere de un corrimiento vertical. a)

E JEM P L O 1

Gráfica de funciones de la forma Traza la gráfica de: _y = 2 tan x rango de y = 2 tan x - 1 .

Solución

-

y = A

tan (lux) + B

1. Usa la gráfica para determinar el dominio y el

La figura 97 muestra los pasos usando transformaciones.

Figura 97

id O

Verifica: Traza la gráfica de T, = 2 tanx - 1 para verificar la gráfica que se muestra en la figura 97c.

EJEM P L O 2

Solución

vertical 1 unidad hacia abajo

vertical por un tactor de 2

El dominio de v = 2 tan a - 1 es

A *

{> el rango es el conjunto de todos los números reales o

Gráfica de funciones de la forma

j

kTT — . k es un numero entero impar y

y - A

( - o o . o o ).

tan(cux) + B

Traza la gráfica de y = 3 tan(2v). Usa la gráfica para determinar el dominio y rango de y = 3 tan(2v). La figura 98 muestra los pasos usando transformaciones.

SECCIÓN 7.7 Gráficasdelasfuncionestangente, cotangente, cosecanteysecante 579 F igu ra 9 8

** -

Multiplica por 3, estiramiento vertical por un factor de 3

(a) y = tan x

y = 3 tan x

(b)

El dominio de y = 3 tan (2.v) es j.v

Sustituye x por 2 x ; compresión horizontal por un factor de 4-

kv x * —

(c) y = 3 tan (2x)

, k es un número entero impar f y

el rango es el conjunto de todos los números reales o ( - o o , o o ) ^ Â/erifica:

Traza la gráfica de V, = 3 tan(Zv) para verificar la gráfica que se mues tra en la figura 98(c). Observa en la figura 9S(c) que el periodo de y - 3tan(Zv) es — debido a la com-

Tabla 11

presión del periodo original ir

n

* = - —,* = —, x

ir

por un factor de

^

Observa que las asíntotas son

^

3v

=

1

— , etc., también debido a la compresión.

-Resuelve ahora

el

problema

21

La g rá fica d e la fu n ció n c o ta n g e n te Obtendremos la gráfica de y = cot x como obtuvimos la de y = tan x . El periodo de y - cot x es 7r. Como la función cotangente no está definida para múltiplos enteros de 77, nos enfocaremos en el intervalo (0, v ) . La tabla 11 enlista algunos puntos en la gráfica de y = cot x , 0 <„v < tt. Conforme x se acerca a 0, pero sigue siendo mayor que 0, el valor de eos x se acercará a 1 y el valor de sen x será positivo y cercano a 0. Por lo tanto, la eos .v razón - = cot x será positiva y grade; así que conforme .t se acerque a 0 , con x > 0 , cotv se acerca a o o ( lim cot x

= 0 0 ).

De manera similar, conforme x se acerca a ir , pero

sigue siendo menor que 7r, el valor de cosx estará cerca de - 1 y el valor de seru será cos.r positivo y cercano a 0. Por lo tanto, la razón = cot x será negativa y se acercará sen* a -0 0 conforme * se acerca a tt( lim cot * = -o o ). La figura 99 muestra la gráfica. F igu ra 9 9

y = cotx, - oo < x < oo, x diferente de los múltiplos enteros de, -rr

— oo < y < oo

x

= - 2 tt

X =

—7T

X= 0

X = 7T

x = 2tt

580 CAPÍTULO 7 Fundonestrigonométricas La gráfica ele y

= A

co

[(cjx) + B

tangente. La función cotangente

tiene características similares a las de la función

tiene período —, La función coü) tangente no tiene amplitud. El papel de A es proporcionar la magnitud del estira miento vertical, la presencia de B indica que se requiere un corrimiento vertical.

.........■ Resuelve ahora

el

y = A

cot( ujx) +

problema

B

23

L a s g rá fic a s d e la s fu n c io n e s s e c a n te y c o s e c a n te Las funciones secante y cosecante, a las que algunas veces se refieren como fundones recíprocas, se representan gráficamente haciendo uso de las identidades recíprocas esc x

1

=

-----senje

y sec x

1

eos X

Por ejemplo, el valor de la función cosecante y = esc x en un número dado x es igual al recíproco del valor correspondiente de la función seno, siempre y cuando el valor de la función seno no sea 0. Si el valor de seru es 0, entonces x es un múltiplo entero de 77. En esos números, la función cosecante no está definida. De hecho, la gráfica de la función cosecante tiene asíntotas verticales en los múltiplos enteros de 7r. La figura 100 muestra la gráfica. Figura 100

x=-2tt

X=— TT

x= 0

X = TT

x=2tt

Usando la idea de los recíprocos, podemos obtener la gráfica de y = secv de ma nera similar. Ver figura 101. Figura 101 y = se cx, - o o < x < o o ,x diferente

7T

de los múltiplos enteros de —, |y| s 1

2 G rá fic a d e fu n c io n e s d e la fo rm a y = A csc(wx) + B

y y = A sec(o)x) + B El papel de A en estas funciones es establecer el rango. El rango de v = esev es { y | y < - 1 o y s 1} o { y| |v| 2 : 1} ; el rango de y = /4csc.v es{y| |y| S : |,4|}. debido

SECCION 7.7

GiifKsx de Ux funtiows t.in<)rnir cotangente. cotooinfr ysecante

581

al estiram iento vertical de la gráfica por un factor de |A|. A l igual que con las funcio* •>_

nes seno y coseno, el periodo de v ■ c*c(
. debido a la

iü

I

com presión horizontal de la gráfica por un factor de . l a presencia de // indica que se requiere un corrim iento vertical. ,u

EJEMPLO 3

Gráfica de funciones de la forma y = A csc(rux) + B lia z a la gráfica de v ■ 2 cscr — 1 .1Js¿» la gráfica para determinar el dom inio y el rango de y ■ 2 cscr - I .

Solución

U sarem o s transform aciones. L a figura

Figura 102

n

* «* 0 7»

102 muestra los pasos

requeridos. jf • o

» • ir

* - 2rr

»■

y*

ti

i

tí

i

i tv ¡(?D

* »■ 2 tr

1 1

1 1 1 1 1 1 1 _______ 1

r Jf

1

~

1 1 1 1 1

1

CNÍ

- f . - 3)

!

< x - ~ 3>

iAí Ai i

poi un tactor de 2

(a) y « esc *

i

i

vertical 1 unidad

(b) y

2 esc *

F.l dominio de y = 2cscr -

(c) y - 2 esc x -1

hacia abaio

I es {.vfv * kn. k es un entero} y el rango es

{ Y'ly ^ - 3 o y a I } o, usando notación de intervalos, (-o e . -3 ) U 11, oc). ^ V e r if ic a : LJ


= 2 esc x - 1 para verificar la gráfica que se mucs-

tra en la figura 102.

Resuelve ahori

el

problema

29

7.7 Evalúa tu entendimiento “¿Estás listo?" l.ax respuestas se dan al final
y

3 jc - 6

x-

tie n e u na a sín to ta v ertical.

2.

4

Verdadero o falso

Si ,v = 3 e s una a sín to ta vertical

d e una fu n ció n racion al

¿C uál es? (p p 3 4 5 -3 4 6 )

K.

e n to n c e s l i m |/? ( jt)| = oo.

(p p . 3 4 5 -3 4 6 )

'

Conceptos y vocabulario 3 . L a gráfica d e

y-

tan i es sim étrica co n re sp ec to a

5.

E s m ás fácil trazar la gráfica d e y = se c q u e ja m o s la gráfica d e __________

6.

Verdadero o falso L as g rá fic a s d e y y = s e c x y y = e sc x tie n e n un n ú m e r o

y tien e a sín to ta s v er tica le s e n __________ 4

La gráfica d e

y = sec

t e s sim étrica co n re sp ec to a

y tie n e a sín to ta s v er tica le s e n __________

ta s v e r tic a le s.

x si

= tan

p rim ero b o s

x, y

= c o t r,

in fin ito d e a s ín to

582 CAPÍTULO 7

/


Ejercicios

__________________

En los problemas 7-1b, si es necesario, consulla las gráficas para contestar cada pregunta. \

7.

¿Cu.il es la in tersecció n en y d e

y de

8. ¿C uál

es lain tersecció n en

9. ¿C uál

es lain tersecc ió n en y de

10. ¿C uál

es la in tersecc ió n en y de

11. ¿Para

q u é n ú m ero s

x es

q u é n ú m ero s

x, -2 tt

£

x es

13.

y = se c x'l y = esc x7 x £ 2-rr, e s

14.

-2n £ x esc x = - 1 ?

£

2tt, e s

¿Para q u é n ú m er o s

y ~ sc c x tie n e

sccy

= 1? ¿P ara

\

15.

cscjy

x tie n e x tie n e

y

£

2n,

la gráfica de

x,

-

2ir

x

£

£ 27t, la gráfica de

x, -2-rr

x

£

£ 27r, la gráfica de

a sín to ta s v er tica le s?

16. ¿P ara q u é n ú m e r o s

= 1 ? ¿Para

£


¿Para q u é n ú m er o s y = lan

x, -2ir


¿P ara q u é n ú m er o s y = esc

se c v = - I ?

12. ¿Para q u é n ú m eros .v, q u é n ú m ero s

y = lan x'l y = c o l x'l

x, -2-rr

x

£

£ 27r, la gráfica de

y = co t x tie n e a sín to ta s v er tica le s?

En los problemas / 7-4 0 , traza la gráfica de cada función. Asegúrate de marcar los puntos clave y mostrar por lo menos dos ciclos. Usa la gráfica para determinar el dominio y el rango de cada función. 17.

y = 3 tan .v

x

20. y = - 3 c o l

\

\

23. y = c o t Q *

2 6 . y = - esc

\

18.

x

29. y = 4 sc c (

19. y = 4 c o t

x

22. y = t a n Q x J

24. y = c o t ^ Y ^

2 5 . y = 2 se c

30. y = -

ir —x

x

21- y = t a n ^ y j r j

2 7 . y = - 3 esc

-x

32. y = - 3 se c(

y = - 2 tan

x

x

2 8 . y = - 4 se c

csc (2 y )

x

3 1 . y = - 2 csc(7 rx )

33. y = t a n ^ j r j + 1

3 4 . y = 2 co t x -

35. y = s e c ^ ^ - Y ] + 2

v (2 * \ 3 6 . y = cscl — x J

37. y =

38. y = 3 c o t í i * ) - 2

3 9 . y = 2 esc

r )

\

1

ta n Q x j - 2

40. y = 3 s e c ^ .r j + 1

'

Práctica mixta En los problemas 41-44, determina la tasa de cambio promedio de f de 0 a —. 4 1.

f(x) =

tan

x

42.

f(x) =

se c

x

43.

f{x)

= ta n (2 .v )

44.

f(x)

= se c (2 .r )

En los problemas 45-48, determina ( f 0 g)(x) y (g° f)(x) y traza la gráfica de cada una de estas funciones. 4 5.

f(x)

= tan

g(x)

= 4.v

x

46.

f(x) = 2 se c

.v

47.

g(x) =

f{x) = -2x g(x) = c o t .v

48.

g(x)

En los problemas 49 y 50, traza la gráfica de cada función.

f(x) =

<

VI o

49.

tan x 0

-Y =

sec.v

7T X < 2 csc.v

7T

2 IT ~ < X £ 7T 2

50.

g(x)

= « 0 co t.v

f(x) = - x

0 < .r < -

x = JT ir < x < 2tt

= 2 esc

x

SECCIÓN 7.8 Corrimientodefase; ajustedelacurvasinusoidal 583 i Aplicaciones y extensiones

^1. Cargar una escalera por una esquina

D o s p a sillo s , u n o

E l fa ro e n la p arte su p e r io r d el ca m ió n está a 10 p ie s d e

d e 3 p ie s d e a n c h o y e l o tr o d e 4 p ie s, se e n c u e n tr a n en » á n g u lo recto . V e r ilu stra ció n .

la p ared y tie n e luz en a m b o s la d o s. Si el faro c o m p le ta 1 r e v o lu c ió n ca d a 2 se g u n d o s, e n to n c e s un m o d e lo para d e ter m in a r la d ista n cia ¿ , e n p ies, a la q u e e stá el faro del p u n to

A en

la p a red d e sp u é s d e

d(l) =

t se g u n d o s

es

110 t a n ( 7r í ) |

(a ) T raza la gráfica d e r/(í) = |10 tan(7rí)| para 0 <

t

(b ) ¿P ara q u é v a lo r e s d e

t

< 2.

n o e stá d efin id a la fu n ció n ?

E x p lic a lo q u e q u ie r e d ecir e s to en té r m in o s d el rayo d e lu z e n la p ared . (c ) C o m p le ta la sig u ie n te tabla.

(a ) D e m u e str a q u e la lo n g itu d

L

d el s e g m e n to d e lín ea

f

0

0.1

0 .2

0.3

0 .4

q u e s e p resen ta c o m o fu n c ió n d el á n g u lo 0 e s

L(0) = ^

d(t) = lO t a n ( ír f ) 3 s e c 0 + 4 esc 0

(b ) T raza la gráfica d e

L=

L (0 ), 0 < 0 < y . ¿ ( 0 .1 ) - ¿ ( 0 ) (d ) C alcu la

(c ) ¿P ara q u é v a lo r d e 0 se o b tie n e c o m o r e su lta d o la

0 .1 -0

m en or L?

v a lo r c o n se c u tiv o d e

(d ) ¿C u ál e s la lo n g itu d d e la e sc a le r a m á s larga q u e se

¿ ( 0 .2 ) - ¿ ( 0 .1 ) •

t.

0 .2 - 0 .1

' para C ,da

E sto s se lla m a n

primeras dife

rencias.

p u e d e cargar p or la esqu irfa? ¿ P o r q u é e s igu al al v a l

( e ) In te rp re ta la s p rim era s d ife r e n c ia s q u e d eter m in a ste

o r m ás p e q u e ñ o d e L ?

e n e l in c iso (d ). ¿ Q u é p a sa c o n la v e lo c id a d d el rayo

52. Faro que gira

C o n sid e r a q u e un c a m ió n d e b o m b e r o s

d e lu z c o n fo r m e cr ec e ¿ ?

e stá e s ta c io n a d o e n fr e n te d e un e d ific io c o m o se m u estra 53.

en la figura.

Exploración

T raza la gráfica de

7.8 Corrimiento de fase; ajuste de la curva sinusoidal

Figura 103 Un ciclo de

y = A sen(wx), A >

0,

0

G ráfica d e fu n cio n es sin u so id a le s d e la form a y=A sen(o )x-(f>) + B H e m o s v is t o q u e la g r á f ic a d e

j -

y =A

se n (w x ),

S e p u e d e tr a z a r u n c i c lo c o n f o r m e

ü) co n fo r m e

cox v a r ía

de 0 a

2tt. V e r

x

a> >

0 , t i e n e a m p lit u d |+1| y p e r i o d o

v a r ía d e 0 a —

O) fig u r a 1 0 3 .

o , e q u iv a le n te m e n te ,

584 CAPÍTULO 7 Fundonestrigonométricas Ahora estudiaremos la gráfica de

sen(cox - )

y = A

que se puede escribir como .

sen

y = A

co\ x

0 ----o>

N OTA También podem os d e te rm in a r el p rincipio y el fin a l del p erio d o

donde co > 0 y 0 (la letra griega phi) son números reales. La gráfica será una curva sinusoidal con amplitud \A \. Conforme o jx - 0 varía de 0 a 2tt, se dibujará un periodo, Este periodo empezará cuando

reso lvien d o la d e s ig u a ld a d :

O

S

wx —

(j) < 0)X ^ -

CO

(p

S

27T +

(f>

27T < X < ---- + —

CO

w>

0,

(f> >

0

q>

o

x = —

co

y terminará cuando

co

Figura 104 U n cic lo d e y = A s e n (w x - <¡>), A > 0,

—0 =

cox

Z tt

,

cox -

cp —

2tt

o

x —

4> 2tt — I-----(O co

Ver figura 104. Vemos que la gráfica de y =

0

gráfica de y

= A

sen(cox -

A

sen

es igual a la

w\ x

0

sen(ítix), excepto que ha sido corrida — unidades (a la derecha si 0}

0 y a la izquierda si

4> >

A

4> <

0). Este número — se llama el corrimiento de fase de la co

Para las gráficas de y Amplitud

-

—A

1a

I

sen(o>x -

Periodo =

oy -

2 tt

T -

0,

A c o s (c o x

— c0

0

Corrimiento de fase = — (O

El corrimiento de fase es a la izquierda si 0 < 0 y a la derecha si 0 > 0.

EJEMPLO 1

Determinar la amplitud, el periodo y el corrimiento de fase de una función sinusoidal y trazar su gráfica Determina la amplitud, el periodo y el corrimiento de fase de y la gráfica de la función.

Solución

=

3 sen(2x -

77)

y traza

Usaremos los mismos cuatro pasos que usamos para trazar la gráfica de funciones sinusoidales de la forma y = A s e n (c ü x ) o y = A c o s ( íüx ) que se dieron en la página 5 6 8 . P

aso

1:

Si comparamos y

= 3 sen(2x — n ) = 3 sen

2 U - §

con y — A s e n (c ü x — ) = A s e n 0)1 x —

encontramos que A con amplitud 0

7r

(O

2'

\A \

y 0 = 7r. La gráfica es una curva sinusoidal 2 tt 2 it = 3, periodo T = — tt y corrimiento de fase co =

3, a> =

0

(X)

2

S E C C I Ó N 7.8

iIOTA jl

También podem os d e te rm in a r

in t e r v a lo

que

d e fin e

un

P

a so

2:

La gráfica de

y

= 3 sen(2.v —7r) estará entre —3 y 3 en el eje

c ic lo

<¡)

.

¡eq o lv ie nd o la d e s ig u a ld a d

empezara en

77

x = — = —y

co

O ^ 2x - tt £ 2 tt

2

4> 2lT TT terminara en * = — l----- = — + w

w

,

TT £

2

377

en

77

377

cuatro subintervalos, cada uno de longitud

— < X< — 2

377

= “TT-

2 ’ ~2

k 77

Un ciclo

77

77

Para determinar los cinco puntos clave, divide el intervalo

2 x < 377

y.

2

k st& n ce s

'v *

585

Corrimiento de fase; ajuste de la curva sinusoidal

2

4 = — encontrando los

tt

siguientes valores de x : 77

77

2

a so

3:

377

377

2 + 4 ~ 4

1a co o rd e n a d a x

P

77 _

x

377

,3

(ir, 0 )

2 ’°

a so

4:

7r

3 a co o rd en ad a x

+ 4 -

577

4

4 a co o rd e n a d a x

577

77

377

4 + 4 _ ^~ 5a

coordenada

x

Usa estos valores de x para determinar los cinco puntos clave en la gráfica: 77 „

P

77 _

4 + 4 - 7T

coordenada

2a

77 _

577

\

T ' “3

/ 377

( i '0

Traza estos cinco puntos y llena la gráfica de la función seno como se muestra en la figura 105(a). Si extendemos la gráfica en cada dirección, obtenemos la figura 105(b).

La gráfica de

y

= 3 sen(2* -

7r)

= 3 sen

2 U

- f

también se puede obte-

ner usando transformaciones. Ver figura 106.

Para construir la gráfica de una función sinusoidal de la forma = A sen(cox -) + B, primero trazamos la función y - A sen(a>x - ) y después le aplicamos un corrimiento vertical.

y

586 CAPÍTULO? Fundonestrigonométricas Determinar la amplitud, el periodo y el corrimiento de fase de una función sinusoidal y trazar su gráfica

EJEMPLO 2

Determina la amplitud, el periodo y el corrimiento de fase de y y traza la gráfica de la función.

Solución

P aso

1: Empezamos por trazar la gráfica de y y =

2 cos(4.r +

3 7 r)

2 cosí4x + 3 n ) + J

=

2 cos(4jr + 377 ). Si comparamos

-

= 2 eos

377

'('■+ t )

con y = A

cos(au

vemos que A = 2, amplitud \A\ t i

NOTA También podem os d e te rm in a r

0

£

tûe

define

un

P

a so

2:

ciclo

deeigualdad 4 x + 377

£ 2n

)

=

eos

A

"(* - i ) .

4 y
2, periodo

T =

377

(o el Intervalo resolviendo la

=

oj -

-

277

77

— = — = — y corrimiento de fase u) 4 2

4

Lagráficadey= 2 cos(4 .tr+3 7 7 )estaráentre - 2 y 2eneleje>\Unciclocmpe, (¡> 3 tt . <¡> 2 tt 377 77 77 zara en x = — = — —y terminara e n x = —+ — oj 4 co oj T + 2 ~ ” 4 377

Para determinar los cinco puntos clave, divide el intervalo

Entonces —377 s 4x s 377

-77

77

en cuatro subintervalos, cada uno de longitud — -r

77

b

--------< X < -------

4

77

T ,_ 4

77

= — determinando

2

8

los siguientes valores. 377

377

4

” T

1a co o rd en ad a x

P

577

77 _

+ 8 “

~Y

2 a co o rd e n a d a x

a so

5 ir ’ Y

77 _

+

8

77

”

~

3 a co o rd en ad a x

2

IT ” 2 4a

77

+

8

3 t7

377

T

~ Y

”

coordenada

x

77

+

8

77

” ” 4

5 a coordenacia x

3: Los cinco puntos clave en la gráfica de y = 2 cos(4.r + 3 7 7 ) son

- 7

P

a so

4:

P

a so

5:

- 0

( - 7

- * )

( -

7 •-■ )

( - ? ■

• )

( - ; ■

• )

Traza estos cinco puntos y llena la gráfica de la función coseno como se muestra en la figura 107(a). Si extendemos la gráfica en cada dirección, obtenemos la figura 107(b), la gráfica de y = 2 cos(4.v + 3 7 7 ). Un corrimiento vertical de 1 unidad hacia arriba nos da la gráfica final. Ver figura 107(c).

hacia arriba

La gráfica de

y

= 2cos(4.v +

37 r)

+ 1 = 2 eos

J

K

puede obtener usando transformaciones. Ver figura 108.

377 \ ' +

t

JJ

+

1

también se

SECCIÓN 7.8 Corrimientodefase; ajustedelacurvasinusoidal 587

(a) y

= 2 eos

x

Sustituye x por 4 *; compresión horizontal por un tactor de J

(b) y

= 2 eos (4x)

Sustituye x por x + ^ -; corrimiento de ^ a la izquierda

-Resuelve ahora RESUMEN

EL

PROBLEMA

( c ) y = 2 eos [4 (x + j ) ] = 2 eos (4x + 3 tt) S u m a l, corrimiento vertical 1 unidad hacia arriba

3

Pasos para construir gráficas de las funciones sinusoidales y = A sen(6L>x - ) + B o y = A cosfeox -< /> ) + B

P aso 1: D e t e r m i n a la a m p li t u d |A |, e l p e r i o d o

T

2 'jy i = — y e l c o r r i m ie n t o d e f a s e — . co

P aso 2: D e t e r m i n a e l p u n t o d o n d e e m p i e z a u n c i c lo d e la g r á f ic a , — . D e t e r m i n a e l p u n t o d o n d e t e r m in a u n

CO

c i c l o d e la g r á f ic a , — + — . D i v i d e e l in t e r v a l o co

co

4>

27T — , — I-------- e n c u a t r o s u b in t e r v a lo s , c a d a u n o d e CO CO CO

1 • , 277 l o n g i t u d --------s- 4 . co

P aso 3: U s a lo s p u n t o s t e r m in a le s d e lo s s u b in t e r v a lo s p a r a d e t e r m in a r lo s c in c o p u n t o s c la v e e n la g r á fic a . P aso 4 : T r a z a lo s c i n c o p u n t o s c l a v e y c o n é c t a l o s c o n u n a c u r v a s in u s o id a l p a r a o b t e n e r u n c i c l o d e la g r á f i c a . E x t i e n d e la g r á f ic a e n c a d a d ir e c c ió n p a r a q u e e s t é c o m p le t a . ’ P aso 5: S i

B^

0 , a p lic a u n c o r r i m i e n t o v e r t ic a l.

2 Construcción de modelos sinusoidales a partir de datos A v e c e s lo s d ia g r a m a s d e d is p e r s ió n d e d a t o s t o m a n la f o r m a d e u n a f u n c ió n s i n u s o i d a l. V e a m o s u n e j e m p lo . L o s d a t o s q u e s e d a n e n la t a b la 12 e n la p á g in a 5 8 8 r e p r e s e n t a n la s t e m p e r a t u r a s m e n s u a l e s p r o m e d io e n D e n v e r , C o lo r a d o . C o m o lo s d a t o s r e p r e s e n ta n la s t e m p e r a t u ras m e n s u a le s

promedio

r e c o p ila d a s a lo la r g o d e m u c h o s a ñ o s , lo s d a to s n o v a r ía n m u

c h o d e u n a ñ o a o t r o y , p o r lo ta n t o , s e r e p e t ir á n c a d a a ñ o . E n o tr a s p a la b r a s , lo s d a t o s s o n p e r ió d ic o s . L a fig u r a 1 0 9 m u e s tr a e l d ia g r a m a d e d is p e r s ió n d e e s o s d a t o s r e p e t id o s p o r 2 a ñ o s, d o n d e

x=

1 r e p r e s e n t a e n e r o , .v = 2 r e p r e s e n ta f e b r e r o y a s í s u c e s iv a m e n t e .

O b s e r v a q u e e l d ia g r a m a d e d is p e r s ió n s e v e c o m o la g r á f ic a d e u n a f u n c ió n s i n u s o id a l . E s c o g e r e m o s a ju s ta r lo s d a t o s a u n a f u n c ió n s e n o d e la f o r m a

y donde

A, B

y

4> s o n

co n sta n tes.

=

A

se n (ío .r - ) +

B

588 CAPÍTULO 7 Funcionestrigonométricas Figura 109

Tabla 12

J r t ilä -------------------------i V /

Mes' x . tnero, i

Temperatura mensual promedio, °F 1 1"

29.7

Febrero, 2

33.4

Marzo, 3

39.0

Abril, 4

48.2

Mayo, 5

57.2

Junio, 6

66.9

Julio, 7

73.5

Agosto, 8

71.4

Septiembre, 9

62.3

Octubre, 10

51.4

Noviembre, 11

39.0

Diciembre, 12

31.0

U.S. National Oceanic and Atmospheric Administration F u en te:

EJEMPLO 3

Determinar una función sinusoidal a partir de datos de temperatura Ajusta una función sinusoidal a los datos de la tabla 12.

Solución

Empieza con un diagrama de dispersión de datos para un año. Ver figura 110. Los datos se ajustaran a una función seno de la forma y -A

Figura 110 P

yi

a so

1:

75

i i i i i ..............................

12

Figura 111

x

P

a so

2:

+ B

Para determinar la amplitud A , calculamos mayor valor de datos - menor valor de datos Amplitud = 73.5 - 29.7

25

sen(ajjc -)

= 21.9

Para ver los pasos restantes en este proceso, sobreponemos la gráfica de la función y = 21.9 sen x , donde x representa los meses, en el diagrama de dispersión. La figura 111 muestra las dos gráficas. Para ajustar los datos, se debe correr la gráfica verticalmente, horizontalmente y estirarla horizontalmente. Determina el corrimiento vertical encontrando el promedio del mayor valor y del menor valor de datos. ^ , 73.5 + 29.7 _ „ Corrimiento vertical = ------ ------- = 51.6 2

Ahora sobrepon la gráfica de y = 21.9 sen x + 51.6 en el diagrama de disper sión. Ver figura 112. Figura 112

SECCIÓN 7.8 Corrimientodefase;ajustedelacurvasinusoidal 589

P

a so

3:

Vemos que se necesita correr horizontalmente y estirar horizontal mente la gráfica. Es más fácil determinar primero el estiramiento horizontal. Como las temperaturas se repiten cada 1 2 meses, el periodo de la función es 7 = 1 2 . Como T = — = 12, encontramos que a) 2n

77

Ahora sobreponemos la gráfica de X P

a so

4:

y

= 21.9 sen

+ 51.6 en el

diagrama de dispersión. Ver figura 113. Vemos que la gráfica aún debe ser corrida horizontalmente. Para determinar el corrimiento horizontal, usamos el periodo T = 12 y di vidimos el intervalo [0,12] en cuatro subintervalos de longitud 12 -r- 4 = 3: [0,3], [3,6], [6,9], [9,12] La curva seno es creciente en el intervalo (0, 3) y decreciente en el inter valo (3, 9), así que un máximo local se da en x = 3. Los datos indican que un máximo se da en x — 7 (que corresponde a la temperatura de julio), así que debemos correr la gráfica de la función 4 unidades a la derecha sustituyendo x por x - 4. Al hacer esto obtenemos = 21.9 s e n ^ ( x - 4)^ + 51.6

y

Realizando la multiplicación, encontramos que una función seno de la forma y = A sen (co x - ) + B que ajusta los datos es 21.9 sen

y

La gráfica de

x

f TT 21.9 sen[ —x

+

5 1 .6

2tt

+ 51.6 y el diagrama de dis 3 persión de datos se muestran en la figura 114. y =

\ 6

Los pasos para ajustar una función seno y = A

sen(o»x -)

+ B

a datos sinusoidales son: Pasos para ajustar una función seno y = A se n (w x - 0) + B a datos P aso 1:

Determina A , la amplitud de la función. mayor valor de datos - menor valor de datos Amplitud = ----------------------------------------------------------

P aso 2:

Determina 5, el corrimiento vertical de la función. mayor valor de datos + menor valor de datos Corrimiento vertical = ------------------------ --------------------------------2

P aso 3:

Determina

oj.

los datos, es T

Como el periodo T, el tiempo que toma que se repitan -

— , tenemos que (O 2n (O =

590

C A P ÍT U L O 7

F u n c io n e s trig o n o m é tric a s

Paso4: Determina el corrimiento horizontal de la función usando el periodo de los datos. Divide el periodo en cuatro subintervalos de igual longi tud. Determina la coordenada x para el máximo de la función seno y la coordenada x para el valor máximo de los datos. Usa esta información 4> para determinar el valor del corrimiento de fase, —. 0)

—Resuelve ahora

l o s

p r o b l e m a s

29

i n c i s o s

(a)-(c)

Veamos otro ejemplo. Como el número de horas de luz al día es un ciclo anual, el número de horas de luz al día para cualquier lugar se puede modelar por una función sinusoidal. El día más largo del año (en términos de horas de luz) es el día del solsticio de ve rano. Para lugares en el hemisferio norte, el solsticio de verano es el tiempo en el que el sol está más al norte. En 2010, el solsticio de verano se dio el 21 de junio (el día número 172 del año) a las 6:28 AM tiempo del Este. El día más corto del año es el día del solsticio de invierno. El solsticio de invierno es el tiempo en el que el sol está más al sur (para lugares en el hemisferio norte). En 2010 el solsticio se dio el 21 de diciembre (el día número 355 del año) a las 6:38 PM tiempo del Este.

EJEMPLO 4

Determinar una función sinusoidal para horas de luz al día De acuerdo con el O í d F a r m e r ’s A lm a n a c , el número de horas de luz en Boston en el solsticio de verano es de 15.30 y el número de horas de luz en el solsticio de invierno es de 9.08. (a) Determina una función sinusoidal de la forma y = A sen(a>.x - $) + B que se ajus te a los datos. (b) Usa la función que determinaste en el inciso (a) para predecir el número de ho ras de luz el 1 de abril, el día 91 del año. rjAjj (c) Traza una gráfica de la función que determinaste en el inciso (a). m (d) Busca el número de horas de luz para el 1 de abril en el O íd F a r m e r ’s A lm a n a c y compáralo con los resultados que determinaste en el inciso (b). Fuente: The Oíd Farmer’s Almanac, www.almanac.com/rise

Solución

(a)

mayor valor de datos - menor valor de datos

P

a so

1: Amplitud = ------------------------- -------------------------------15.30 - 9.08

P

a so

2:

Corrimiento vertical =

_

mayor valor de datos + menor valor de datos 15.30 + 9.08

P

a so

3:

Los datos se repiten cada 365 días. Como T 2tt (i) = -----365 Hasta ahora tenemos

P

a so

4:

- 12.19

y

277

—

— — 365, encontramos que to

= 3.11 sen^ ^ ^ 'v ~

4>^j

+ 12.19.

Para determinar el corrimiento horizontal, usamos el periodo T — 365 y dividimos el intervalo [0, 365] en cuatro subintervalos de longitud 365 -i-4 = 91.25: [0,91.25], [91.25,182.5], [182.5,273.75], [273.75, 365] La curva seno es creciente en el intervalo (0,91.25) y decreciente en el intervalo (91.25,273.75), así que se da un máximo local en x — 91.25.

SUCCIÓN 7.8 Corrimientodefase; ajustedelacurvasinusoidal 591 Como el máximo ocurre en el solsticio de verano en .r = 172, debemos correr la gráfica de la función 172 - 91.25 = 80.75 unidades a la derecha sustituyendo x por x - 80.75. Al hacer esto obtenemos

t

y = 3 . 1 1 s c n f e . v - 80.75)) + 12.19 Al realizar la multiplicación, determinamos que una función sinusoidal de la forma y = /lsen() + II que se ajusta a los datos es 323ttX + 12.19 730 )

.V = 3.11 sen

(b) Para predecir el número de horas de luz el 1 de abril, hacemos x = 91 en la fun ción que determinamos en el inciso (a) y obtenemos y-

Figura 115

3.11 s e n ( | | - 9 1 -

+ '2.19

» 12.74 Así que predecimos que habrá 12.74 horas = 12 horas, 44 minutos de luz el 1 de abril en Boston. La gráfica de la función que determinamos en el inciso (a) se da en la figura 115. De acuerdo con el O í d 1 de abril en Boston.

F a r m e r 's A lm a n a c ,

habrá 12 horas 45 minutos de luz el

.»■«»■li« -Resuelve ahora el problema 35 Algunos dispositivos gráficos (como las calculadoras TI-83, TI-84 Plus y TI-8 6 ) tienen la capacidad de determinar la función seno de mejor ajuste para datos sinusoi dales. Se requieren al menos cuatro puntos de datos para este proceso.

EJEMPLO 5

Determinar la función seno de mejor ajuste Usa un dispositivo gráfico para determinar la función seno de mejor ajuste para los da tos de la tabla 12. Traza la gráfica de esta función con el diagrama de dispersión de datos.

Solución

Ingresa los datos de la tabla 12 y ejecuta el programa de SINe REGression. El resul tado se muestra en la figura 116. La salida que proporciona el dispositivo muestra la ecuación y = a

sen

(b x + c) + d

La función sinusoidal de mejor ajuste es y =

21.15 sen(0.55.v - 2.35) + 51.19

donde x representa el mes y y representa la temperatura promedio. La figura 117 muestra la gráfica de la función sinusoidal de mejor ajuste en el diagrama de dispersión.

Figura 116

Figura 116 75

S in R e 9 y = a * s i n
-Resuelve ahora EL problema 29 inciso (d) Y (e )

II

592

C A P ÍT U L O 7

7 .8

E v a lú a

i


tu

e n t e n d im

ie n t o

Conceptos y vocabulario 1 i.

Para la práfica d e v = rara ia gid ucti y

A

„ scníw j:

\

,,

-ó),

. , .. el n u m er o — s e llam a w

Verdadero o falso S o lo s e re q u ie re n d o s p u n to s d e datr* .. ... .... , . • , , ., para q u e un d isp o sitiv o g rá fic o d e te r m in e la fu n ció n se n o

N 2. u

e *--------------------------------

d e m ejo r aju ste.

Ejercicios En los problemas 3-14, determina la amplitud, el periodo y el corrimiento de fase de cada función. Traza la gráfica de cada función. Asegúrate de marcar los puntos clave. Muestra por lo menos dos periodos. \ .

3.

y =

6.

y

12.

n)

4.

= 3 cos(2;r +

n)

7. y =

y

9.

y

y =

4 sen (2.v -

= 4 se n (7 r * + 2 ) - 5

= 2

c o s ( 27t x

- 4) -

y

10.

13.

1

y

3 scn (3jr -

ir)

y = 2 cos^ 3x

5.

y

+ y^

- 3 sen ^ 2x + y ^

8.

= 2 c o s(2 7 tx + 4 ) + 4

11.

y

= 3

14.

y

= - 3 cos^ - 2

= - 3 sen ^ - 2 * + y ^

= -2 co s^ 2 x - y ^

cos (7tjt

- 2) + 5

jc

+ y ^

En los problemas 15-18, escribe la ecuación de una función seno que tenga las siguientes características. 15. A m p litu d : 2 P eriod o:

16. A m p litu d : 3

17. A m p litu d : 3

_ o r;„Hn. . , 7T p P eriod o: — — 2

P er io d o : 377

C o r r im ie n to d e fase: 2

C o rr im ien to -d e fase:

v

C o rrim ien to d e fase:

\

2

18. A m p litu d : 2 P erio d o : 1

ir

C o r r im ien to d e f a s e : - 2

Práctica mixta -------------------------------------------------------------------------------------------------------En los problemas 19-26, aplica los métodos de esta sección y de la sección anterior para construir la gráfica de cada función. Asegúrate de marcar los puntos clave y mostrar por lo menos dos periodos. 19.

y

2 3.

y =

= 2 ta n (4 * -

ir)

- c o t ^ 2 .r + y ^

20.

y

1 = ^ c o t (2 j c -

24.

y

= -ta n c a r + y ^

77)

21.

y

25.

y =

= 3

csc ^ 2 jc

-

-s e c (2 7 r .r + 77)

22.

y

1 = - se c (3 ;t -

26.

y

= - c s c ^ - y r .r + y ^

77)


Circuitos de corriente alterna (ac)

L a co r r ie n te /, e n a m p e

res, q u e flu y e p or un circ u ito ac (d e co r r ie n te a lter n a ) e n un tie m p o

t en

se g u n d o s, e s

Mes, x

Temperatura mensual promedio, °F

^ Enero, 1 / ( O = 1 2 0 s e n .^(330 0 7«r í - | ^)

t

> 0

¿C uál e s el p e r io d o ? ¿C u ál e s la a m p litu d ? ¿C u ál e s e l c o rrim ien to d e fa se? T ra za la gráfica d e e sta fu n c ió n c o n d o s

24.2

Febrero, 2

28.4

Marzo, 3

32.7

Abril, 4

39.7

Mayo, 5

47.0

Junio, 6

53.0

Julio, 7

56.0

p erio d o s.


L a co r r ie n te / , e n a m p e

res, q u e flu y e p or un circ u ito ac (d e c o r r ie n te a lter n a ) e n un tie m p o

t en

se g u n d o s, e s 77

/( ? ) = 2 2 0 se n i 6077/ -

t

> 0

¿C uál e s el p e r io d o ? ¿C u ál e s la a m p litu d ? ¿C u ál e s e l c o rrim ien to d e fa se? T ra za la gráfica d e e sta fu n ció n co n d o s p erio d o s. \

29.

Temperatura mensual

L o s s ig u ie n te s d a to s r e p r esen ta n las

tem p eratu ras m e n su a le s p r o m e d io para J u n ó , A la sk a .

Agosto, 8

55.0

Septiembre, 9

49.4

Octubre, 10

42.2

Noviembre, 11

32.0

Diciembre, 12

27.1

F u en ie: U.S. National Oceanic and Atmospheric Administration

SECCIÓN 7.8 Corrimientodefase; ajustedelacurvasinusoidal 593

4

(a ) T raza el diagram a d e dispersión d e d atos para un p eriod o.

(a ) T raza el diagram a d e dispersión d e d atos para un p eriodo.

(b ) D e te r m in a

(b ) D e te r m in a u na fu n c ió n sin u so id a l d e la form a

y-A

u na

sen(wA :-

fu n c ió n

<¡>) + B q u e

sin u so id a l

de

la

fo rm a

y = A sen(wx -(/>) + B q u e

m o d e le lo s d a to s.

(c ) T raza la fu n c ió n sin u so id a l q u e d e te r m in a ste e n e l in Li *

N

c iso (b ) e n e l d iagra m a d e d isp e r sió n .

c iso (b ) e n e l d ia g ra m a d e d isp e rsió n .

(d ) U s a un d isp o s itiv o g r á fic o para d e te r m in a r la fu n c ió n

(d ) U s a un d isp o s itiv o g rá fic o para d e te r m in a r la fu n ció n

sin u so id a l d e m ejo r aju ste.

sin u so id a l d e m ejo r aju ste.

( e ) T raza la fu n ció n sin u s o id a l d e m ejo r a ju ste e n un d ia

( e ) T raza la fu n ció n sin u so id a l d e m ejo r a ju ste en un d ia

gram a d e d isp e rsió n d e d a to s.

30. Temperatura mensual

Ö


(c ) T ra za la fu n ció n sin u so id a l q u e d e te r m in a ste en e l in

gram a d e d isp e r sió n d e d a to s.

L o s sig u ien tes d a to s representan las


L o s s ig u ie n te s d a to s rep resen ta n

tem peraturas m en su ales p ro m ed io para W ash ington , D .C .

las tem p e ra tu r a s m e n su a le s p r o m e d io para B a ltim o r e,

(a ) Traza el diagram a de dispersión de datos para un periodo.

M arylan d .

(b ) D e te r m in a una fu n c ió n sin u so id a l d e la fo rm a A sen(
— + B que

y =


(a) Traza el diagram a de dispersión d e d atos para un periodo. (b ) D e te r m in a u n a fu n ció n sin u so id a l d e la form a

y =A

(c ) T raza la fu n c ió n sin u so id a l q u e d e te r m in a ste e n e l in c is o (b ) en e l d iagra m a d e d isp e rsió n . (d ) U s a un d isp o s itiv o g r á fic o para d e te r m in a r la fu n c ió n sin u so id a l d e m ejo r aju ste.

s e n (cox -) + B q u e m o d e le lo s d a to s.

(c ) T raza la fu n c ió n sin u so id a l q u e d e te r m in a ste en e l in c iso (b ) e n e l d ia g ra m a d e d isp e rsió n . |2j (d ) U s a un d isp o sitiv o g rá fic o para d eter m in a r la fu n ció n

(e ) T raza la fu n ció n sin u so id a l d e m ejo r aju ste e n u n d ia gram a d e d isp e r sió n d e d a to s.

sin u so id a l d e m ejo r ajuste. (e)

T ra za la fu n ció n sin u so id a l d e m ejo r a ju ste en un d ia gram a d e d isp e rsió n d e d a to s.

A

Mes, x

Temperatura mensual promedio, ‘F

Mes, x


Enero, 1

31.8

Enero, 1

34.6

Febrero, 2

34.8

Febrero, 2

37.5

Marzo, 3

44.1

Marzo, 3

47.2

Abril, 4

53.4

Abril, 4

56.5

Mayo, 5

63.4

Mayo, 5

66.4

Junio, 6

72.5

Junio, 6

75.6

Julio, 7

77.0

Julio, 7

80.0

Agosto, 8

75.6

Agosto, 8

78.5

Septiembre, 9

68.5

Septiembre, 9

71.3

Octubre, 10

56.6

Octubre, 10

59.7

Noviembre, 11

46.8

Noviembre, 11

49.8

Diciembre, 12

36.7

Diciembre, 12

39.4

U.S. National Oceanic and Atmospheric Administration

F u en te: U.S. National Oceanic and Atmospheric Administration

F u en te:


33. Mareas

E l tie m p o en tre m a rea s a lta s c o n se cu tiv a s e s de

L o s sig u ie n te s d a to s rep r esen ta n

12 h oras y 25 m in u to s. S eg ú n la N a tio n a l O c e a n ic and A t

las tem p era tu ra s m e n su a le s p r o m e d io para In d ia n á p o lis,

m o sp h er ic A d m in istr a tio n , el sá b a d o 25 d e ju lio d e 2009,

In diana.

e n C h a r lesto n , C a ro lin a d el Sur, la m a rea alta se d io a las 11:30 a.m . (1 1 .5 h o ra s) y la m area baja se d io a las 5:31 p.m .

j

Mes, x


dad p o r e n c im a o p o r d eb a jo d el p r o m e d io m ás b ajo de la m area baja. L a altura d el ag u a e n la m area alta fu e d e 5.84

Enero, 1

25.5

Febrero, 2

29.6

Marzo, 3

41.4

Abril, 4

52.4

Mayo, 5

62.8

Junio, 6

71.9

Julio, 7

75.4

Agosto, 8

73.2

m o sp h er ic A d m in istra tio n , el sá b a d o 25 d e ju lio d e 2009,

66.6

e n la b ahía S itk a, A la sk a , la m area alta se d io a las 2:37 a.m . (2 .6 1 6 7 h oras) y la m area baja se d io a las 9:12 p.m . (9.2

Septiembre, 9 Octubre, 10

54.7

Noviembre, 11

43.0

Diciembre, 12

30.9

U.S. National Oceanic and Atmospheric Administration F u en te:

(1 7 .5 1 6 7 h o ra s). L a altura d el ag u a se m id e c o m o la ca n ti

p ie s y la altura d el agu a e n la m area baja fu e d e - 0 .3 7 p ies. (a ) A proxim adam en te, ¿cuándo ocurrirá la siguiente m area? (b ) D e te r m in a una fu n ció n sin u so id a l d e la form a y = A se n (w x - 4>) + B q u e m o d e le lo s d atos. (c ) U sa la función q ue determ in aste en el inciso (b) para pre decir la altura d el agua a las 3 p.m. del 25 de julio de 2009.

34. Mareas

E l tie m p o en tre m areas altas co n se cu tiv a s es de

12 h oras y 25 m in u tos. S eg ú n la N a tio n a l O c e a n ic and A t

h o ra s). L a altura d el agu a se m id e c o m o la can tid ad por en cim a o p o r d eb a jo d el p r o m e d io m ás b ajo d e la m area baja. La altura d el agua en la m area alta fue d e 11.09 p ies y la altura d el agu a en la m area baja fu e d e - 2 .4 9 pies.

594 CAPÍTULO 7 Funcionestrigonométricas (a) ¿ A p ro x im a d a m en te

cu á n d o

ocurrirá

la

( d ) B u sca el n ú m ero d e h oras d e luz para el 1 d e abril en el

sig u ie n te

Oíd Farmer's Almanac y com para

m area? (b ) D eter m in a una fu n ció n sin u so id a l d e la form a

y = Asen(cox -) + B q u e m o d e le lo s d a to s. (c) U sa la fu n ción q u e d ete r m in a ste e n el in c iso (b ) para

37.

35. H oras d e luz

llo r a s d e lu z

Oíd Farmer's Almanac,

D e a c u e r d o co n el

so ls tic io d e v e r a n o d e 2 0 1 0 fu e d e 19.42 y el n ú m ero de

Oíd Farmer’s Almanac,

en M ia-

h oras d e lu z en el so ls tic io d e in v ier n o fu e d e 5.48.

m i, F lorida, el n ú m er o d e h oras d e luz en el so ls tic io d e

(a ) D e te r m in a una fu n ció n sin u so id a l d e la form a

S egú n el

y = A scn(ojx -
v era n o de 2010 fue d e 13.75 y el n ú m er o d e h oras d e lu z en el so lstic io d e in v ier n o fue d e 10.55.

p red ec ir el n ú m e r o d e h o ra s d e lu z el 1 d e abril, el día n ú m e r o 91 d el a ñ o.

sen(au: -< /;) + /? q u e m o d e le lo s d a to s.

(b ) U sa la fu n ción q u e d e te r m in a ste e n el in c iso (a ) para

(c ) T raza una gráfica d e la fu n ció n q u e d eter m in a ste en el in c iso (a ).

p red ecir el n ú m er o d e h oras d e lu z el 1 d e ab ril, el día n ú m ero 91 d el año.

* (d ) B u sca el n ú m ero d e horas d e luz para el 1 d e abril en el

Oíd Farmer's Almanac y com p ara las horas reales d e luz con los resu ltad os q u e ob tu viste en el inciso fe).

(c) T raza una gráfica d e la fu n ció n q u e d e te r m in a ste en el in ciso (a ).

al día

(d) B usca el n úm ero d e horas d e luz para el 1 de abril en el

Oíd Farmer’s Almanac y com para las horas reales d e

38.

luz

S eg ú n el

Oíd Farmer’s Almanac,

H o r a s d e lu z

Oíd Farmer’s Almanac. en

H ono

v e r a n o d e 2 0 1 0 fu e d e 13.43 y el n ú m e r o d e h oras d e luz

en D e

en el so ls tic io d e in v ie r n o fu e d e 10.85.

troit, M ich igan , el n ú m er o d e h oras d e lu z e n e l so ls tic io


y =A

d e v er a n o d e 2 0 1 0 fu e d e 15.30 y el n ú m e r o d e h o ra s de luz en el so ls tic io d e in v ier n o fu e d e 9.10.

se n fw x -(/» ) +

B que

m o d e le lo s d atos.

(b ) U sa la fu n ció n q u e d e te r m in a ste en el in ciso (a ) para p red ec ir el n ú m e r o d e h o ra s d e lu z el 1 d e abril, el día n ú m e r o 91 d el a ñ o.

(a ) D eter m in a una fu n ció n sin u so id a l d e la fo rm a

y = A sen(w jc -) + B q u e

S eg ú n el

lu lú , H a w a i, el n ú m e r o d e h oras d e lu z e n el so ls tic io de

al día con los resu ltad os q u e o b tu v iste e n el in ciso (c). 36. H o ra s d e luz


(b ) U sa la fu n ció n q u e d e te r m in a ste en e l in ciso (a ) para

(a ) D eter m in a una fu n ció n sin u so id a l d e la form a

y=A

(c).

en A n c h o r a g e , A la sk a , el n ú m e r o d e h o ras d e luz en el

p red ecir la altura d el agua a las 6 p.m . \

las horas reales de luz

al día co n los resu ltad os q u e o b tu v iste en el in ciso


(b ) U sa la fu n ció n q u e d e te r m in a ste e n el in c iso (a ) para

(c ) T raza una g ráfica d e la fu n ció n q u e d eter m in a ste en

p red ecir el n ú m er o d e h o ra s d e lu z el 1 d e ab ril, e l día

e l in c iso (a ).

n ú m er o 91 d el añ o.

(d ) B u sca el n ú m ero d e horas d e luz para el 1 d e abril en el

Oíd Farmer’s Almanac y com p ara las horas reales d e luz

(c) T raza una gráfica d e la fu n c ió n q u e d e te r m in a ste en e l in ciso (a ).

al día co n los resu lta d o s q u e o b tu v iste en el inciso (c).


E x p lica c ó m o se u sa n e l p e r io d o y la a m p litu d d e una

40.

E n cu en tra u na a p lica c ió n en tu ca m p o d e e s tu d io q u e lle

gráfica sin u so id a l para e s ta b le c e r la esc a la e n cad a eje d e

v e a una gráfica sin u so id a l. E scrib e un e n sa y o acerca d e lo

co o r d e n a d a s.

q u e en cu e n tr e s.

REPASO DEL CAPÍTULO Cosas que debes saber D e fin ic io n e s Á n g u lo en la p o sic ió n está n d a r (p . 5 0 4 )

E l v é r tic e e s tá e n el o r ig e n , el la d o in icia l e stá so b re el eje

1 grad o ( I o) (p. 50 5 )

Io =

1 radián (p. 5 0 7 )

d e re v o lu c ió n

L a m ed id a d e un á n g u lo ce n tr a l d e un círc u lo c u y o s ra y o s su b tie n d e n un arco cu y a lo n g itu d e s ig u a l al ra d io d el círcu lo.

Á n g u lo a g u d o (p. 51 7 )

U n á n g u lo

Á n g u lo s c o m p le m e n ta r io s (p. 5 2 3 )

D o s á n g u lo s a g u d o s cu ya su m a e s 90°

C o fu n c ió n (p. 52 4 ) F u n cio n e s tr ig o n o m é tric a s d e cu a lq u ier á n g u lo (p. 54 1 )

x p o sitiv o .

9 cu y a

m ed id a e s 0 o <

9

< 90° o 0 <

^

9<

77* —,

9 en

ra d ia n es

radianes^

L o s sig u ie n te s p a res d e fu n c io n e s so n c o fu n c io n e s u n a d e la otra: s e n o y c o s e n o , ta n g e n te y c o ta n g e n te , se c a n te y c o s e c a n te .

P = (a, b) e s un p u n to , cia r d el origen : se n

9=

b r

esc

6 -

—,

r b

d ife r e n te d el o r ig e n , e n e l la d o term in a l d e

„

a r r -, a

eo s9 = -

b

í4

0

se c

9

=

a

^ 0

tan

9

=

cot

9

=

b y a^ a a b^ b'

0

0

9a

u na d ista n

Repasodel capitulo 595 ’

Á n g u lo d e re fe r e n c ia d e 0 (p . 5 4 5 )

El á n g u lo a g u d o fo r m a d o p o r el la d o term in a l d e 0 y el eje n e g a tiv o

F u n c ió n p erió d ic a (p . 5 5 7 )

f(0 + p) = f

(0 ), para to d a 0 , p > 0 , d o n d e la m e n o r

p

x, ya

se a p o sitiv o o

e s el p e r io d o fu n d a m en ta l.

-. i % F ó rm u las jj» 1

r e v o lu c ió n e n s e n tid o o p u e s to a las

m a n ecilla s d e l reloj = 3 6 0 ° (p . 5 0 5 ) = 2n- r a d ia n e s (p . 5 0 9 )

s

r0

=

A =

0 se m id e e n ra d ia n es, s e s la lo n g itu d d e a rco su b te n d id a p o r e l á n g u lo cen tra l 0 d e un círc u lo d e ra d io r.

(p. 5 0 8 )

A

r fo r m a d o

e s el á rea d el se c to r d e un círc u lo d e ra d io 0 ra d ia n es.

~ r2 Ö (p. 5 1 1 )

p o r un á n g u lo cen tra l de

v e s la v e lo c id a d lin ea l so b re e l círc u lo d e ra d io r, io e s la v e lo c id a d an gular (m e

v

= rw (p. 5 1 2 )

d id a e n ra d ia n es p o r u n id a d d e tie m p o ).

Tabla de valores 0 (Radianes)

0 (Grados)

0

0o Uü Oo

7r 6

77 4

45°

77 3

60°

VO O0

7T

2

o O OO

77 3 tt

270°

2

COS0

sen0 0

1

1

V5

2

2

V i

2

2 1

2

2

1

1

V i

3

V

1

V 2

V i

2

No definida

2V i

2

3

COt0

sec0

No definida

0

\/2

V3

CSC0

tan 0

3

2

V i 3

3

1

0

No definida

0

-1

0

No definida

-1

No definida

-1

0

No definida

-1

No definida

0

No definida

1

0

Identidades fundamentales (p. 520) se n 0

tan 9

eos 9 1

esc 9 =

se n 9 sen 2 9

+

cot 9 =

se c 9 =

1

eos2 0 =

eos

9

sen 0 1

co t 9 =

eos 9

tan 9

ta n 2 0 + 1 = s e c 2 0

c o t2 0 +

1

= esc2 0

Propiedades de las funciones trigonométricas y

= se n

x (p.

D o m in io : - 00 <

562)

R ango: - 1

x < 00 ^

< y < 1

P eriód ica: p e r io d o =

2-n (3 6 0 °)

F u n ció n im p ar

y = e o s x (p.

564)

,

D o m in io : - oo <

x <

oo

R an go: - 1 < y < 1 P eriód ica: p e r io d o = 2 tt (3 6 0 °) F u n ció n par

y 1 / -

ttV

^ —

V

-1

1 TT 2

'1

1 X '— ^

y /2

tt

1 5JT

2

>

X

t

596 CAPÍTULO 7 Fundonestrigonométricas , _ (an

x ( pp

5 7 6 -5 7 8 )


< oo, e x c e p to m ú ltip lo s e n te r o s im p a r es d e - (90")

a

R a n g o : - o o < y < oo P eriód ica: p e r io d o = ir (ISO") F u n ció n im par

ir

A sín to ta s v e r tic a le s en m ú ltip lo s e n te r o s im p a res de

y=

col

x (pp .

5 7 9 -5 8 0 )


x <

y <

R ango: - oo <

oo, e x c e p to m ú ltip lo s e n te r o s im p a r es d e

oo


n

x (p.

¡\ ^\ \

(ISO")

A sín to ta s v e r tic a le s en m ú ltip lo s e n te r o s im plaa rres es de 7 7 ^

= esc

( ISO )

¡\

F u n ció n im par

y

n

j-¥S

i\

(180")

5S0)

y-

esc

a

R an go: |y| 2: I P eriód ica: p e r io d o = 277 (360") F u n ció n im par A sín to ta s v e r tic a le s e n m ú ltip lo s e n te r o s d e 77

y = se c x (p.

5S0) D o m in io :-o o < R an go: |_v| ^

x

< oo, e x c e p to m ú ltip lo s e n te r o s im p a r es d e

(9 0 ° )

1


2tt (3 6 0 °)

F u n ció n par 77 A s ín to ta s v e r tic a le s e n m ú ltip lo s e n te r o s im p a r es d e —

y = sec x G ráficas sin u so id a le s

y

A se n ( coa) + B, oí >

0

y — A cos(w jr) + B, io >

0

=

di

y = A sen(co.r - t¡>) + B = A y = A e o s ( oía* - (¡>)

+

B

=

P e r io d o = — (p p . 5 6 6 .5 8 4 ) A m p litu d = |/4 | (p p . 5 6 6 .5 8 4 )

r (

sen tul

A eos

V

x

"(' ’

I

i)

+

B

+

B

ó ÜJ

C o r r im ie n to d e fa se = — (p . 5 8 4 )

O b je t iv o s Sección 7.1

D ebes p o d e r...

Ejem plos Ejercicios de repaso

1 C o n v e rtir m e d id a s d e á n g u lo s e n tr e n ú m e r o d e c im a le s y g ra d o s, m in u to s y se g u n d o s (p . 5 0 6 )

2

86

D eter m in a r la lo n g itu d d el a rco d e un c írc u lo (p . 5 0 8 )

3

8 7 .8 8

3 C o n v e rtir d e g ra d o s a ra d ia n es y d e ra d ia n es a g r a d o s (p . 5 0 8 )

4 -6

1 -8

4

7

87

8

S 9 -9 2

2

D e te r m in a r e l á rea d el se c to r d e un c ír c u lo (p . 5 1 1 )

5 D e te r m in a r la v e lo c id a d lin ea l d e un o b je to q u e s e d e sp la z a c o n m o v im ie n to circular (p . 5 1 2 ) 7.2

1 D e te r m in a r lo s v a lo r e s d e las fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s d e á n g u lo s a g u d o s (p . 5 1 7 )

2 U sa r las id e n tid a d e s fu n d a m e n ta le s (p . 5 1 9 ) 3 D e te r m in a r lo s v a lo r e s d e las fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s r e sta n te s d a d o el v a lo r d e u n a d e e lla s (p . 5 2 1 )

4 U s o d el te o r e m a d el á n g u lo c o m p le m e n ta r io (p . 5 2 3 )

I

79

2 ,3

2 1 .2 4

4,5

3 1 -3 2 2 5 -2 6

6 -9

Repasodel capitulo 597 7.3

1

i 2

D e te r m in a r lo s v a lo r e s e x a c to s d e las fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s d e -r (p . 5 2 9 ) 4

45°

D e te r m in a r lo s v a lo r e s e x a c to s d e las fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s d e — = 30o y y

7.4

-

1 ,2

9 ,1 1

3 .4

9 -1 2

6

= 6 0 ° (p. 5 3 0 )

3

U sa r una ca lc u la d o r a para a p ro x im a r lo s v a lo r e s d e las fu n c io n e s tr ig o n o m é tricas d e á n g u lo s a g u d o s (p . 5 3 2 )

5

80

4

M o d e la r y r e so lv e r p r o b le m a s a p lic a d o s q u e in v o lu cre n triá n g u lo s re ctá n g u lo s (p . 5 3 2 )

6 -9

9 3 -9 7

1

D e te r m in a r v a lo r e s e x a c to s d e las fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s para c u a lq u ier á n g u lo (p. 5 4 1 )

1 ,2

84

3

19, 20

2

U sa r á n g u lo s c o te r m in a le s para d e te r m in a r el v a lo r e x a c to d e una fu n ció n trig o n o m é tr ic a (p . 5 4 3 )

3

D e te r m in a r lo s sig n o s d e las fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s d e un á n g u lo e n un cu a d ra n te d a d o (p . 5 4 4 )

4

81

4 5

D e te r m in a r e l á n g u lo d e r e fe r e n c ia para un á n g u lo (p . 5 4 5 )

5

82

U sa r un á n g u lo d e r e fe r e n c ia para d e ter m in a r lo s v a lo r e s e x a c to s d e una

6

1 3 - 1 6 ,1 9

7 ,8

3 1 -4 6

1

83

fu n ció n tr ig o n o m é tr ic a (p . 5 4 6 ) 6

D e te r m in a r lo s v a lo r e s e x a c to s d e las fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s d e un á n g u lo d a d a in fo r m a c ió n acerca d e las fu n c io n e s (p . 5 4 7 )

7.5

1

D e te r m in a r lo s v a lo r e s e x a c to s d e las fu n c io n e s trig o n o m é tric a s u sa n d o el círc u lo u n ita rio (p . 5 5 1 )

85

2

C o n o c e r el d o m in io y el ra n g o d e las fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s (p . 5 5 5 )

3

U sa r las p r o p ie d a d e s p e r ió d ic a s para d eter m in a r lo s v a lo r e s e x a c to s d e las

3

1 9 ,2 0

4

1 3 ,1 5 ,1 6 ,1 8 - 2 0 ,2 7 - 3 0

fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s (p . 5 5 6 )

4

U s o d e las p r o p ie d a d e s p a res-im p a re s para d eter m in a r lo s v a lo r e s e x a c to s d e las fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s (p . 5 5 8 )

1

R e p r e se n ta r fu n c io n e s d e la fo rm a

y= A

sen(w .v) g r á fic a m e n te u sa n d o

y=A

cos(tüjr) g rá fic a m e n te u sa n d o

tra n sfo r m a c io n e s (p . 5 6 2 ) 2


1 ,2

47

3

48

tra n sfo r m a c io n e s (p . 5 6 4 )

3 4 5 7.7

1

D e te r m in a r la a m p litu d y e l p e r io d o d e fu n c io n e s sin u so id a le s (p . 5 6 5 )

4

6 3 -6 8

R ep re sen ta r fu n cio n es sin u so id a les grá fica m en te u sa n d o p u n to s clave (p. 566)

5 -7

4 7 ,4 8 , 6 7 ,6 8

D e te r m in a r u n a e c u a c ió n para u na gráfica sin u so id a l (p . 57 0 )

8 ,9

7 5 -7 8

1 ,2

5 3 , 5 4 ,5 6

3

57

1 ,2

4 9 , 50, 59, 60, 98

3 -5

9 9 ,1 0 0


y=A

ta n (w x ) +

Byy= A

c o t(w x ) +

B

y= A

csc(w .r) +

Byy=A

sec(w .r) +

B

g r á fic a m e n te (p . 5 7 8 ) 2

R e p r e se n ta r fu n c io n e s d e la fo rm a g r á fic a m e n te (p . 5 8 0 )

7.8

1

R e p r e se n ta r fu n c io n e s sin u so id a le s d e la fo rm a

y=A

sen(w .v -) +

B g rá fi

c a m e n te (p . 5 8 3 ) 2

C on stru ir m o d e lo s sin u so id a le s a partir d e d a to s (p. 5 8 7 )

J

V

Ejercicios de repaso En los problemas 1-4, convierte cada ángulo de.grados a radianes. Expresa tu respuesta como un múltiplo de v. 1 . 135°

2 . 21 0 °

3. 18°

4. 15°

En los problemas 5-8, convierte cada ángulo en radianes a grados. 3n

6.

2tt

7.

5tt

8 - — 8‘ 2

En los problemas 9-30, determina el valor exacto de cada expresión. No uses una calculadora. „

9.

7 T 7T t a n ------ s e n — 4 6

12. 4 e o s 60° + 3 tan

77

10. COS y

77

77

11. 3 sen 45° - 4 tan

+ se n y

377

13. 6 e o s —

77

+ 2 tan - -

1/t

, 277 14. 3 sen —— 3

6 577

4 eos „ 2

598 CAPÍTULO 7 Fundonestrigonométricas 15. sec( - y i

(

3 tt 16. 4 esc y —

- c o t^ - 4

n\

c o tí- y

17. tan 7t + se n tt

I

18. eos í - c s c ( - f )

19. e o s 5 4 0 ° - t a n ( - 4 0 5 ° )

1 21. se n 2 20° + — se c 20

22.

24. tan 10° co t 10°

25.

1

1

eo s2 40°

c o t2 40°

2 0 . sen 2 7 0 " + c o s í - 180")

23. se c 50° eo s 50°

sen 50°

_.

tan 20"

e o s 40°

se n (-4 0 °) 2 8 . ta n ( - 2 0 ° ) c o t 20°

27.

2 9 . sen 400" s e c ( - 5 0 ° )

3 0 . c o t 200" c o t ( - 7 0 " )

eo s 50°

En los problemas 31-46, determina el valor exacto de cada una de las funciones trigonométricas restantes. 9 es

31. s e n 0 = - ,

34. co t 9

=

12 — ,

en e l cu a d ra n te II

9

12 40. e o s 9 = — , 13

3 tt

— 2

<

9 <

2 tt

37r — < 9 < 2 tt

43. se c 9 = 3,

9-

3 5 . se c 9 = - - , 4

eos 9 < 0

12 37. se n 9 = — ,

46. tan

3 2 . tan 9 = y ,

agudo

377

-2 ,

—

<

38. eos

6

4 1 . tan

6=

= - - ,

-,

4 4 . esc 6 = - 4 ,

0

es agudo

tan

0<

6 en

e l cu a d ra n te II

180° <

tt

0

6<

< 6 <

3 3 . tan

0=

12 — ,

se n

0<

0

3 6 . esc

Q ~ —- ,

cot

0<

0

3 9 . se n

d

5 = —— ,

4 2 . tan 0 = - - ,

270°

3 rr

45. co t

0

= -2 ,

377 —

< 0 <2n

90" <

x < 2

0<

0<

180"

tt

0 < 2n

En los problemas 47-62, traza la gráfica de cada función. Cada gráfica debe contener por lo menos dos periodos. Úsala para determi nar el dominio y el rango de cada función. 41. y = 2 se n (4 ;t)

51.

y

= ta n ( x + tt)

V

+ 4)

59. y = 4 se n (2 ;t + 4 ) - 2

48.

y

= -3

52.

y

= -ta n !

cos (2 jc)

x -

49.

y = —2 c o s ^ x

53.

y =

TT

+

5 0 . v = 3 s e n ( .r -

5 4 . y = 4 ta n (2 .r)

- 2 tan (3:c)

56. y = - 4 c o t(2 * )

5 7 . y = 4 se c ( 2x)

6 0 . y = 3 c o s (4 * + 2 ) + 1

6 1 . y = 4 tan

77)

( 77 \ 5 8 . y = esci .v + y J

(t n )

6 2 . y = 5 cot

( !- !)

En los problemas 63-66, determina la amplitud y el periodo de cada función sin trazar sus gráficas. 63. y = 4 e o s

x

64. y = se n (2 x )

í1

6 5 . y = - 8 s e n ^ y .v ^

6 6 . y = - 2 cos(377.t)

En los problemas 67-74, determina la amplitud, el periodo y el corrimiento de fase de cada función. Traza la gráfica de cada función. Muestra al menos dos periodos. 68. y = 2 eos

67. y = 4 s e n ( 3 x )

71 y = y1 se n ii 3- x 71.

6 9 . y = 2 sen (2jr -

r )

- tt

7 2 . y = yC O s(6:c + 377)

77)

73. y = - y c o s ( 7 7 j : - 6)

70.

y - ~cos(f* +f )

7 4 . v = - 7 sen

(IH )

Repasodpi capítulo 599 ¡/

n los problemas

7.5-7,V,

determina una función cava unifica se da.

75.

1 79.

76.

D e te r m in a e l v a lo r d e ca d a u na d e las se is fu n c io n e s trig o n o m é tr ica s d e l á n g u lo a g u d o

0 en

d o n d e la lo n g itu d d el la d o o p u e s to a d e la h ip o te n u s a e s d e 7. i 80.

81.

tí e s

tas a u na v e lo c id a d d e 9 0 m illa s p or h ora? ¿ E s d ife re n te

d e 3 y la lo n g itu d

e sta v e lo c id a d para lla n ta s d e ra d io d e 14 p u lgad as? Si lo e s , ¿cu ál e s la v elo c id a d ?

lis.» una calcu lad ora para ap ro x im a r se n

U sa una calcu O lad ora para ap roxim ar s e c 10°. R e d o n d e a tus resp u e sta s a d o s lugares d ecim a les.

9 3 . M e d id a d e la lo n g itu d d e un lu go

S e to m a n d o s m ed id a s

d e un la g o d e sd e un g lo b o a e r o stá tic o a 5 0 0 p ies d el su e lo (V e r figu ra). ¿ Q u é lo n g itu d tie n e el la g o ?

D e te r m in a lo s sig n o s d e las s e is fu n c io n e s trig o n o m é tr ic a s d e un á n g u lo

tí c u y o

la d o ter m in a l e stá en e l cu a d ra n te III.

82.

D e te r m in a e l á n g u lo d e r e fe r e n c ia d e 750°.

83.

D e te r m in a lo s v a lo r e s e x a c to s d e las se is fu n c io n e s trigo/ i 2 \/7 \ n o m é tn c a s d e t si p = I - - t — — J e s el p u n to en el círcu lo u n ita rio q u e c o r r e sp o n d e a

84.

d e b e e s ta b le c e r el b a la n c e a d o r para q u e b a la n c ee las lla n

un triá n g u lo re ctá n g u lo

t.

D e te r m in a lo s v a lo r e s e x a c to s d e se n

t,

eos

t

y tan

t

si

P = ( - 2 , 5 ) e s el p u n to e n e l c ír c u lo q u e c o r r e sp o n d e a /. 85.

¿C uál e s el d o m in io y el ra n g o d e la fu n ció n se c a n te ? ¿C uál e s e l p e r io d o ?

86. (a ) C o n v ierte el á n gu lo 32°20'35” a un n ú m ero d ecim al en

94.

grados. R ed o n d ea la resp uesta a d o s lugares d ecim ales,

D e sd e un p la n ead or a 200

cio n a rio d irecta m en te en fre n te co n sep a ra ció n d e 1 se g u n

(b ) C o n v ie r te e l á n g u lo 6 3 .1 8 ° a la form a d e G °M 'S". E x

d o (o b se rv a la figura). ¿C uál e s la v elo cid a d d el planeador?

p resa la re sp u e sta al se g u n d o m ás c e rc a n o . 87.

V e lo c id a d d e un p la n e a d o r

p ies so b re el su e lo se tom an d o s m ed id a s d e un o b je to es ta

D e te r m in a la lo n g itu d d el a rco su b te n d id o p o r un á n g u lo cen tra l d e 30° e n un círc u lo d e 2 p ie s d e rad io. ¿C u ál e s el área d e l secto r?

88.

E l m in u tero d el reloj tie n e 8 p u lg a d a s d e largo. ¿ C u á n to tie n e q u e m o v e r se la p u n ta d el m in u te r o e n 3 0 m in u to s? ¿ C u á n to se m u e v e en 2 0 m in u to s?

8 9 . " V e lo c id a d an gu lar d e un a u to d e carreras

U n a u to d e

carreras se m aneja a lr ed e d o r d e una p ista circular a una v e lo c id a d c o n sta n te d e 180 m illa s por hora. Si el d iá m e tr o d e la p ista e s d e - m illa, ¿cu ál e s la v e lo c id a d an gular d el a u to ? E x p resa tu resp u e sta e n r e v o lu c io n e s p or hora (q u e e s e q u iv a le n te a v u elta s p or h o ra ). 9 0 . C a rru seles

U n a feria tie n e un carru sel c u y o ra d io e s de

25 p ies. Si el tie m p o para co m p le ta r una re v o lu c ió n e s d e 30 se g u n d o s, ¿q u é tan rá p id o se m u e v e el carru sel? 9 1 . R a y o d e luz d e un faro

El fa ro d e M o n ta u k P oin t en

L o n g Island tie n e un rayo d o b le (d o s fu e n te s d e lu z una o p u e sta a la o tra ). L o s b a rco s en el m ar o b serv a n una luz q u e c e n te lle a cad a 5 se g u n d o s. ¿ Q u é v e lo c id a d d e ro ta ció n se n ece sita para q u e e s to su ced a ? 9 2 . B a la n c e o d e llan tas

E l rad io d e cad a llan ta d e un au to

e s d e 16 p u lgad as. ¿ A cu á n ta s r e v o lu c io n e s p or m in u to se

D e te r m in a r el a n c h o d e un río

e

de

A

a

Ca

D e te r m in a la d istancia

tra v és d el rió q u e se ilustra en la figura.

600 CAPÍTULO 7 Funcionestrigonométricas 96. Determinar la altura de un edificio

(b ) D e te r m in a una fu n ció n sin u so id a l d e la form a

D e te r m in a la altura

y = A sen(&ut -
del ed ificio q u e se m uestra en la figura.

m o d e le e s o s d a to s.

(c ) T ra za la fu n ció n sin u so id a l q u e d e te r m in a ste en el in c iso (b ) en el d iagram a d e d isp ersió n .

a

(d ) U sa un d isp o s itiv o g rá fic o para d e term in a r la función sin u so id a l d e m ejo r aju ste. ( e ) T raza la gráfica d e la fu n ció n sin u so id a l d e m ejor a ju ste en el d ia g ra m a d e d isp e rsió n .

97. Determinar la distancia a la orilla


Mes, x

/

80 pies

Enero, 1

La torre W illis en C h i

cago m ide 1454 p ies d e a lto y está situ ada a p ro x im a d a m en

51

Febrero, 2

55

Marzo, 3

63

en frente d e la torre W illis ve la parte su p erio r d e la torre y

Abril, 4

67

m ide q u e el á n gu lo d e e le v a c ió n e s d e 5 o. ¿Q u ó tan lejo s de

Mayo, 5

77

la orilla está el barco?

Junio, 6

86

Julio, 7

90

Agosto, 8

90

Septiembre, 9

84

Octubre, 10

71

Noviembre, 11

59

Diciembre, 12

52

te a 1 m illa d e la orilla d el la g o M ich igan , c o m o se v e en la figura. U n o b servad o r en un b arco en el la g o d ire cta m e n te

Lago Michigan

U.S. National Oceanic and Atmospheric Administration F u e n te :

100. Horas de luz 98. Corriente alterna

L a c o r r ie n te / , e n a m p e r e s, q u e flu y e

30nt +

las V e

d e in v iern o e s d e 9.72.

77

t > 0


y

(a ) ¿C uál es e l p erio d o ?

= /4 se n (« jr -

) + B q u e

se a ju ste a lo s d a to s.

(b ) U sa la fu n ció n q u e d eter m in a ste e n el in ciso (a ) para

(b ) ¿C uál e s la a m p litu d ?

p red ecir el n ú m er o d e h oras d e lu z e l 1 d e abril, el día

(c ) ¿C uál es e l co r r im ie n to d e fa se?

n ú m er o 91 d el añ o.

(d ) T raza la gráfica d e esta fu n c ió n co n d o s p e r io d o s.


Oíd Farmer's Almanac. en

ran o e s d e 14.63 y el n ú m ero d e h oras d e luz en el solsticio

p or un circu ito ac (c o r r ie n te a lter n a ) e n un tie m p o t e s / = 2 2 0 se n

S eg ú n el

gas, N e v a d a , el n ú m ero d e h oras d e lu z en e l so lstic io d e ve

(c ) T raza una gráfica d e la fu n c ió n q u e d eter m in a ste en

L o s sig u ie n te s d a to s r e p r esen ta n

el in c iso (a).

la tem p era tu ra m en su a l p r o m e d fo d e P h o e n ix , A r iz o n a .

(d ) B u sc a e l n ú m e r o d e h o ra s d e lu z para e l 1 d e abril en

(a ) T raza un d iagra m a d e d isp e r sió n d e d a to s para un

el

p erio d o .

Oíd Farmer’s Almanac y c o m p á r a lo

co n lo s resu lta

d o s q u e d e te r m in a ste e n el in c iso (c).

Los videos de preparación para examen del capítulo son solu ciones paso a paso disponibles en el DVD de recursos en video, en M y M a th L a b | o en el canal de YoiiQEB" de este texto. Consulta la página de recursos del estudiante para ver la dirección exacta

EXAMEN DEL CAPÍTULO En los problemas 1-3, convierte cada ángulo en grados a radi anes. Expresa tu respuesta como un múltiplo de rr.

1.

260°

2.

-4 0 0 °

3.

13°

En los problemas 4-6, convierte cada ángulo de radianes a grados. 7T

4. - —

_

97T

5. —

„

se n — 6

9.

co s(-1 2 0 °)

11.

s e n — - tan 2

7T

4

13. 17.

se n 17°

14.

eos —

send

e o s — —I - e o s — 4 V 4 ,/

10.

tan 330°

12.

2 s e n 2 60° - 3 e o s 45°

15.

16.

sec 229°

eos 0

tan 0

sec 0

esed

0 en el Ql 0 en el Qll Öen el Qlll

Öen el QIV

18.

cot —

In gresa cad a en trad a e n la tabla co n el sig n o d e cada función.

377

8.

1977

En los problemas 13-16, usa una calculadora para evaluar cada expresión. Redondea tu respuesta a tres lugares decimales. 2n ^S tt

6. —

En los problemas 7-12, determina el valor exacto de cada expresión. 7T f 5 t7N \ 377

7.

de la página Web para el canal de YouTube de este texto.

Sí/ (

jc)

= sen .r y

f(a)

= ^ .d e t e r m i n a / ( - a ) .

cotd

Repasoacumulativo 601 ■'.nlos problemas 19-21, determina el valor de las cinco funciones îgonométricas de 6. ^ 9.' se n

6=

é

51. tan 4 * i 1

^ -, 7

9= -

8 en

e l cu a d ra n te II 2 0 . e o s

12 7T — , —< 5 2

0=

2

37r — 2

3

< 6 < 2v

3 p ies d e a n ch o al b o rd e e x te r n o , ¿ cu á n to s p ies cu ad rad os de b lo q u e s d e p a v im e n to n ecesita rá para con stru ir el cam in o? 29.

E l h ú n g a ro A d r iá n A n n u s g a n ó la m e d a lla d e o r o en la n z a m ie n to d e m a rtillo e n lo s J u e g o s O lím p ic o s d e A te n a s en 2 0 0 4 c o n u na d ista n c ia d e 8 3 .1 9 m etro s.* E l e v e n to c o n siste

6 < ir

e n c o lu m p ia r un m a rtillo q u e p esa 16 libras y está am arrad o a un c a b le d e 190 c e n tím e tr o s d e largo e n un círcu lo y d e s

el punto (x, y) está en el lado terminal del Jíngulo 6 en la posición estándar. Determina el valor exacto de la unción trigonométrica que se da.

p u é s so lta r lo . S u p o n ie n d o q u e se su e lta a un á n g u lo d e 45°

22. (2 , 7 ) , s e n e

donde

E n /o í problemas 22-24,

24. (6 . - 3 ) , tan

8

23. (-5 ,1 1 ), co se

26.

y =

tan!

30.

v0e s

la v e lo c id a d lin ea l d el

ir —x + — 1 +

U n b a rco e s tá ce rc a d e la c o s ta d e la ciu d a d d e N u e v a Y o rk . S e to m a u n a m e d id a d e la e sta tu a d e la L ib erta d , la cu al,

2

tie n e 305 p ie s d e altura a p r o x im a d a m e n te . Si e l á n g u lo d e e le v a c ió n a la p a rte su p e rio r d e la e sta tu a e s d e 2 0 °, ¿q ué

E scrib e u na e c u a c ió n para u n a gráfica sin u so id a l c o n las s ig u ie n te s p ro p ied a d es: = -3

9 .8 m e tr o s/se g u n d o 2 y

p ia b a e l m a rtillo c u a n d o lo so ltó ?

26, traza la gráfica de la función.

F -v=2sen(f “ f) A

g=

m a rtillo c u a n d o se su elta . ¿ A q u é v e lo c id a d (rp m ) c o lu m

6

iEn los problemas 25 y

27.

v2

co n e l s u e lo , e l m a rtillo viajará u n a d ista n c ia d e — m etro s,

. 2rr p e r io d o = —

tan le jo s e s tá e l b a rco d e la b a se d e la esta tu a ? 31.

tt c o r r im ie n to d e fa se = — —

Para m ed ir la altura d e u n e d ific io , se to m a n d o s m ed id a s a u n a d ista n c ia d e 5 0 p ie s una d e la otra. Si e l p rim er á n g u lo d e e le v a c ió n e s d e 4 0 ° y e l se g u n d o e s d e 32 °, ¿cu ál e s la

28.

altura d e l e d ific io ?

L o g a n tie n e un jardín co n form a de un se cto r d e círcu lo, el b o rd e ex terio r d el jardín tie n e 25 p ies d e largo y el án g u lo central d el secto r e s d e 50°. E lla q u iere agregar un ca m in o de

*A Annus le quitaron la medalla cuando no quiso someterse a pruebas de drogas tras ganar la medalla.

REPASO ACUMULATIVO 1. D e te r m in a las s o lu c io n e s re a le s, si e x iste n , d e la e c u a c ió n

1 3 . D e te r m in a una fu n c ió n sin u so id a l para la sig u ie n te gráfica.

2 * 2 + x — 1 = 0.

2.

D e te r m in a una e c u a c ió n para la recta c o n p e n d ie n te - 3 q u e

1

c o n tie n e e l p u n to ( - 2 , 5).

3.

D e te r m in a la ec u a c ió n d e u n círc u lo d e rad io 4 y c e n tr o en e l p u n to (0 , - 2 ) .

2x - 3y = 12. T raza su gráfica. la ec u a c ió n x2+ y2- 2x + 4y - 4 = 0. T raza su

4 . A n a liz a la e c u a c ió n 5 . A n a liza

gráfica.

6 . U s a tr a n sfo r m a c io n es para co n stru ir la gráfica d e la fu n c ió n

y = (x -

3 ) 2 + 2.

7 . B o sq u eja una gráfica d e ca d a u n a d e las sig u ie n te s fu n c io n es. M arca al m e n o s tres p u n to s en ca d a gráfica. (a ) (d ) 8 .. 9. jI

*10. 11.

12.

y = x2 y = ln x

(b ) (e)

y = x3 y = sen x

D e te r m in a la fu n ció n in v er sa d e

y = ex (i) y - tan* f{x) = 2>x- 2. (c )

D e te r m in a el v a lo r e x a c to d e (se n 14o) 2 + (e o s 1 4 o) 2 - 3 . . T raza la gráfica d e y = 3 se n (2 x ). *■ TT TT TT D e te r m in a el v alor e x a c to d e tan —— 3 cq s — + e sc —. 4 6 6 D e te r m in a u na fu n ció n e x p o n e n c ia l para la sig u ie n te gráfi ca. E x p re sa tu re sp u e sta e n la form a

14.

(a ) D e te r m in a una fu n ció n lin ea l q u e c o n te n g a lo s p u n to s ( - 2 , 3 ) y (1, - 6 ) . ¿C u ál e s su p e n d ie n te ? ¿ C u á les son las in te r se c c io n e s d e la fu n ció n ? T raza la gráfica d e la fu n ció n . A se g ú r a te d e m arcar las in te rse cc io n es. (b ) D e te r m in a u n a fu n ció n cu ad rática q u e c o n ten g a el

y = Abx.

p u n to ( - 2 , 3 ) c o n v ér tice (1 , - 6 ) . ¿ C u á les so n las in ter se c c io n e s d e la fu n ció n ? T raza la gráfica d e la fun ción . (c ) D e m u e s tr a q u e n o e x is te una fu n ció n e x p o n e n c ia l de la fo rm a

f(x) = aex q u e

c o n te n g a lo s p u n to s ( - 2 , 3 ) y

( 1 ,- 6 ). 15.

(a ) D e te r m in a una fu n ció n p o lin o m ia l d e grad o 3 cu ya in te r se c c ió n e n

y

se a 5 y cu y a s in te r se c c io n e s en

x

sean

12, 3 y 5. T raza la gráfica de la fu n ció n . (b ) D e te r m in a una fu n ció n racion al cu ya in te rsecció n en

y

se a 5 y cu yas in te r se c c io n e s en x se a n - 2 , 3 y 5 y q ue ten g a la recta x = 2 c o m o a sín to ta vertical. T raza la grá fica d e la fun ción .

602

C A P ÍT U L O 7 Funclonps trigonométricas


“ O ffice " íe n la p arte su p e rio r izq u ierd a d e la pantalla!

P ro y e cto con b a se en In tern et I.

R ev isió n tle la d u ració n d el d ía

org/wiki/lulitude y

V isita

y s e le c c io n a “ E x c el O p tio n s" . S e le c c io n a “ A d d inv"

lutp://i'ii. wik¡pedia,

E n el m en ú lla m a d o “ M a n a g c ” , s e le c c io n a “Excel

le e acerca tle la latitu d h asta el su b títu lo

“ E fe c to d e la latitud". A h o r a visita

A d d -in s" y haz clic en “ G o . . . ” M arca el cajón d e “Solv

littp://www,orchidculture.

er A d d -in " y h az c lic en “ Q K " . A h o r a estará dispon ib le

eom/COD/daviengtn.nt.

e l “ S o lv e r ad d-in" e n el m en ú d e “ D ata" . S eleccion a

1. Para una latitud en particular, registra en una tabla la d ura

"S olver" . L len a lo s d a to s e n la p a n ta lla c o m o s e m ues

ción del día para d iv erso s días d el añ o. Para el 1 d e e n e r o usa

tra a c o n tin u a ció n :

1 c o m o el día, para el 16 d e e n e r o , usa 16 c o m o el d ía, para el SoMf P*r»»r*
1 d e feb rero, usa 32 c o m o el día y así su ce siv a m en te . Ingresa

®LJ

los d a to s en una hoja d e cá lcu lo d e E x cel u sa n d o la co lu m n a B para el día del a ñ o y la co lu m n a C para la d uración d el día.

2. T raza un d ia g ra m a d e d isp e r s ió n d e d a to s c o n el día d el a ñ o c o m o la v a ria b le in d e p e n d ie n te y la d u r a ció n d el a ñ o c o m o la v a ria b le d e p e n d ie n te u sa n d o E x c e l. El p r o y e c to d el c a p ítu lo 4 d e sc r ib e c ó m o trazar un d ia g ra m a d e d is p e r sió n en E x c el.

3. D e te r m in a

y = A sen ffi.v

la

fu n ció n

+ C) +

D, d e

sin u so id a l

de

m ejo r

a ju ste,

la sig u ie n te m anera:

(a ) In gresa a lg u n a s e s tim a c io n e s d e lo s v a lo r e s d e

L o s v a lo r e s d e

A, B.C

D en la co lu m n a A co n el v a lo r d e A e n la c e ld a A l , D en la ce ld a A 2 , C e n la c e ld a A 3 y D en la c e ld a A 4 .

A. B, C y D

se lo c a liz a n en las celdas

A 1 - A 4 . ¿C u ál e s la fu n ció n sin u so id a l d e m ejo r ajuste?

y

4. D e te r m in a el día m ás la rg o d el a ñ o d e a c u er d o co n tu m o

(b ) E n la c e ld a D I in gresa

d e lo . ¿C uál e s la d u ra ció n d el día m ás la rg o d el a ñ o ? D e te r

“= A $ l* s e n ( A $ 2 * B l + A $ 3 ) + A $4". C o p ia esta en trad a

m ina el día m á s c o r to d el a ñ o se g ú n tu m o d e lo . ¿C uál es la

a las celd a s d eb a jo de D I q u e ten gan d a to s. Por eje m p lo ,

lo n g itu d d el día m ás c o r to d el a ñ o ?

si la co lu m n a C llega h asta el ren g ló n 23, e n to n c e s la c o

5.

lum na D tam b ién d eb erá llegar al ren g ló n 23. (c) In gresa “= (D 1 - C 1 ) A2 ” e n la c e ld a E l . C o p ia esta en trad a h acia a b a jo c o m o se d e sc r ib e e n el n ú m e r o 3 in ciso (b ).

6.

d e las d ife re n c ia s e n tr e lo q u e se p r e d ic e y las o b se r v a

ta d o s o b te n id o s en e l n ú m e r o 5? 7.

ren g ló n d el ú ltim o p u n to d e lo s d a to s. Por e je m p lo , si tie n e s 23 r e n g lo n e s d e d a to s, in g resa “= s u m ( E l..E 2 3 ) ” en la c e ld a A 6 . in sta la r

la

h err a m ien ta

“ S o lv er"

d e E x c el. Para h a cer e s to , h a z clic e n el b o tó n d e

¿ C r e e s q u e tu m o d e lo d e sc r ib e co n p rec isió n la rela ció n e n tre el día d el a ñ o y la d u r a ció n d el d ía ?

c io n e s re a le s lo m e n o r p o sib le . In gresa “= s u m ( E l..E # ) ” en la ce ld a A 6 , d o n d e # re p r e se n ta el n ú m e r o d el

B u sca e l d ía en el q u e o cu rren el e q u in o c c io d e prim avera y el e q u in o c c io d e o to ñ o . ¿ C ó m o se co m p a ra n co n lo s resul

(d ) La id ea d e ajustar cu rv a s e s h a cer la su m a d el cu a d ra d o

(e) A hora, d eb em o s

¿ E n q u é d ía e s d e e x a c ta m e n te 12 h oras la d u ración d el día se g ú n tu m o d e lo ?

8.

U sa tu m o d e lo para p r ed ec ir las h o ra s d e luz para la lati tud q u e se le c c io n a s te para v a rio s d ía s d el a ñ o . V e a OLÍ Farmer's Ahnanac u o tra p ág in a W e b (c o m o hnp: astro, tinl.edu/chissactioii'aniinations éoordsmoiioii dayligltütoiirse.xplorer.html) para d e ter m in a r las h o ra s d e luz para la la titud q u e s e le c c io n a s te . ¿ C ó m o se co m p a ra n las d o s?

Los siguientes proyectos están disponibles en el Centro de recursos del profesor (IRC por sus siglas en inglés): II. III.

M areas

L o s d a to s d e una tabla d e m a re a s se u san para co n stru ir u na fu n ció n s e n o q u e m o d e le las m areas.

P r o y e c to M o to r o la

Transmisión digital por el aire

D e sc u b r e c ó m o tra n sm ite M o to r o la C o rp o ra tio n se r ie s d ig ita le s m o d u

la n d o la fa se d e las o n d a s p o rta d o ra s. IV .

Id en tific a ció n d e cu m b r es d e m o n ta ñ a en H a w a i

La v isib ilid a d d e una m o n ta ñ a s e a fec ta p or su altura, d ista n cia d el o b serv a -

d or y la cu rvatura d e la su p e r fic ie d e la T ierra. S e p u e d e usar la trig o n o m e tría para d e ter m in a r si un o b je to le ja n o se p u e d e \ cr. V.

E x p er im en to co n co m p u ta d o r a (C B L p o r su s sig la s en in g lé s)

La te c n o lo g ía se usa para m o d e la r y estu d ia r lo s e fe c t o s d e la

a m o rtig u a ció n d e o n d a s d e so n id o . Cita:

E x c el © 2010 M icr o so ft C o rp o ra tio n . U s a d o c o n p e r m iso d e M icr o so ft.

T rigonometría analítica Contenido J.1 1.2 3 .3

Funciones inversas de las funciones seno, coseno y tangente Funciones trigonométricas inversas (continuación) Ecuaciones trigonométricas

8 .4 8 .5 8 .6 8 .7

Identidades trigonométricas Fórmulas de suma y resta Fórmulas de ángulo doble y de medio ángulo Fórmulas de producto a suma y de suma a producto


Vlapeo de tu mente .a h ab ilid ad para o rg a n iza r m a teria l en tu m e n te e s la c la v e d el e n te n d in ie n to . H a sta e s te p u n to has sid o e x p u e s to a m u c h o s c o n c e p to s e n el cu rso e s útil o rg a n iza r el m ateria l. E n el p a sa d o p o d ía m o s o rg a n iza r e l m a t e r ia l u sa n d o fich as o un re su m e n . P er o e n el m u n d o d igital d e h o y en d ía, p o d e m o s usar p rogram a s in te r e sa n te s q u e n o s a y u d a n a organ izar J ig ita lm en te el m a teria l q u e e stá e n n u estra m e n te y co m p a rtirlo co n :u a lq u ier p erso n a e n la red. ( i )

—

Ver el proyecto I con base en Internet del capítulo

—

f En Resumen

En el capítulo 6 definimos funciones inversas y de sarrollamos sus propiedades, especialmente la relación entre el dominio y el rango de una i función y su función inversa. Aprendimos que las gráficas de una función y su función inversa son simétricas con respecto a la recta y = x. Continuamos en el capítulo 6 definiendo la función exponencial y la función inversa de la función exponencial, la función logarítmica. En el capítulo 7 definimos las seis funciones trigonométricas y estudiamos sus propiedades.

Un Vistazo

> En las dos primeras secciones de este capítulo de finiremos las seis funciones trigonométricas inversas e investigaremos sus pro piedades. En la sección 8.3 estudiaremos ecuaciones que contienen funciones trigonométricas. En las secciones 8.4 a la 8.7, continuaremos el desarrollo de 'identidades. Estas identidades juegan un papel importante en cálculo, en las ciencias físicas y de la vida y en economía, donde se usan para simplificar expresiones complicadas.

603

604 CAPÍTULO H Trigonometriaanalitica

8.1 Fundones inversas seno, coseno y tangente P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s e c c ió n

A m es

*

e m p e z a r . r e p in a I« u n u le m e .

.

F u n cio n e . in v er ,„ s (sec ció n 6.2. pp. 4 1 1 -4 1 7 )

*

•

V a lo res de las fu n cio n es trigon om étricas

• (iráficas de las funciones seno, coseno y tangente

(secció n 7.3, pp. 5 2 9 -5 3 5 , secció n 7.4, pp. 5 4 0 -5 4 8 )

IV o p ic d a tlc . d e

(sección 7,5, pp 550 'v»)

« " * •> * « • " ' *

(s e c c io n e s 7 .6 p p V il 565 y 7,7, p p 5 7 6 5 7 8 /

\ Resuelve ahora los problemas de la sección "/Estás listo?" de la página 613. O BJETIVO S

1 D e te r m in a r e l v a lo r e x a c t o d e u n a f u n c ió n in v e r s a d e l s e n o (p. 6 0 5 ) 2

D e te r m in a r e l v a lo r a p r o x im a d o d e la f u n c ió n in v e r s a d e í s e n o (p 6 0 6 )

3

U sar p r o p ie d a d e s d e f u n c io n e s in v e r sa s p a ra d e te r m in a r v a l o r « e x a c t o s d e

4

D eter m in a r la fu n c ió n in v e r sa d e u n a f u n c ió n t r ig o n o m é t r ic a fp 6 1 2 )

5

R eso lv er e c u a c io n e s q u e in v o lu c r e n f u n c io n e s tr ig o n o m é t r ic a s

j

cier ta s f u n c io n e s c o m p u e s t a s (p. 6 0 7 )

(p. 613) En la sección 6.2 estudiamos funciones inversas y concluimos que si una función es inycctiva, tendrá función inversa. También indicamos que si una función no es invcctiva, puede ser posible restringir su dominio de alguna manera para que la función restringida sea inycctiva. Por ejemplo, la función y = t no es invectiva: sin embargo, si restringimos el dominio a .v a 0 , la función es invectiva. A continuación damos un resumen de otras propiedades de una función invecti va / y su función inversa / 1 que estudiamos en la sección 6 .2 . ' ( f ( x ) ) = x para toda x en el dominio de / y / '(J(x)) = x para toda x en el dominio de/'*. 2. El dominio de/ = rango de/ 1 v el rango de f - dominio de f ‘l. 3. La gráfica de / y la gráfica de / 1 son reflexiones una de la otra sobre la recta 1. /

y = v.

4. Si una función y = /(.x) tiene una función inversa, la ecuación implícita de la función inversa es .v = /(y). Si resolvemos esta ecuación para y. obtenemos la ecuación explícita y f '(x).

La función inversa del seno En la figura 1 mostramos la gráfica de v = sen x. Como toda recta horizontal v = b . donde b está entre —1 y 1 , incluidos, intersecta la gráfica de y = sen .» un número in finito de veces, se deduce de la prueba de la recta horizontal que la función y — sen x no es inycctiva. F igura 1 Figura 2

y = sen x, - o o < x < o o , - 1 < y < i

Sin embargo, si restringimos el dominio de y = sen x al intervalo función restringida

v = scn v

s

la

k

es inycctiva y por lo tanto tiene función inversa.* Ver figura 2. *Aunque existen muchas otras formas m íticos han acordado usar el intervalo

li restringir el dominio \ obtener una (unción invectiva. los rrute-

n ít •>• ■> P',ra definir la función

inversa

Je v * sen i

S E C C I Ó N 8.1

Recuerda <\ue

N OTA

el dom inio de

Una ecuación para la función inversa de y

u na fu n ció n f e s igual a l ra n g o d e su fu n ció n in v e r s a ,

f~ \

dominio

u na fu n ció n f e s igual al

d& s u

se obtiene intercambiando x TT 77 = sen y , - — < y < La forma

explícita se llama inversa del seno de x y se simboliza por y

fu n ció n in v e r s a , f~ \ C om o el

^dom inio

= f(x)

y y. La forma implícita de la función inversa es x

y el ra n g o de

605

Funciones inversas seno, coseno y tangente

= f~'(x)

= sen-1 x.

r e s t r in g id o de la fu n ció n

.i

' sen o

e

s --------- ,

L la

fu n ció n

TT TT

y

el

ran g o

de

y -

2 ’ 2] in v e r s a co m o

el

del

se n o

ran g o

donde

es

de

sen 1x

quiere decir

-1 <

x

< 1

.v

sen y TT ---- < y < — 2 y 2 7T

y 3

(1 )

la

~2'~2 fu n ció n se n o e s [ - 1 , 1], el dom inio d e la fu n ció n in v e rs a del se n o e s

[ -1 ,1 ],

■

F igu ra 3 y = sen

. 7 T TT x , -1 < x < 1 , - y < y < —

y=x

(1-1)

Como y = sen-1 x quiere decir x = sen y, leemos y = sen-1 x como “y es el ángulo o número real cuyo seno es igual a x". De manera alternativa podemos decir que “y es la función inversa del seno de x.” Ten cuidado con la notación. El superíndice —1 que aparece en y = sen'1x no es un exponente, sino un símbolo usado para denotar la función inversa/'* de/. (Para evitar usar esta notación, algunos libros usan la no tación y = Arcsen x en lugar de y = sen'1x. ) La función inversa de una función/recibe como entrada un elemento del rango d e /y da como salida un elemento en el dominio de/. La función restringida del seno, y = f { x ) = sen x, recibe como entrada un ángulo o número real x en el intervalo 77 77

y , y y da como salida un número real en el intervalo [-1 ,1 ]. Por lo tanto, la fun ción inversa del seno y = sen'1x recibe como entrada a un número real en el interva lo [-1 ,1 ] o - 1 < x < 1, su dominio, y da como salida un ángulo o número real en el

y = s e n 1x

y -se n

x

_J_____ L X

II

2

intervalo---------o -------< v < — su raneo. 1

2 ’ 2 J

2

y

2

6

La gráfica de la función seno inversa se puede obtener reflejando la porción res tringida de la gráfica de y = f ( x ) - sen x en la recta y = x como se ve en la figura 3. V e r if ic a :


yj =

sen x

y Y 2=

sen'1x. Compara los resultados con

la figura 3. 1 D e te rm in a el v a lo r e x a cto d e la fu n ció n in v e rsa del se n o Para algunos números x, es posible determinar el valor exacto de y = sen'1x.

Determinar el valor exacto de la función inversa del seno

EJEMPLO 1

Determina el valor exacto de: m

Solución

sen'11 77

77

2

2

Sea 0 - sen '11. Buscamos determinar el ángulo 0, - — < 0 < —, cuyo seno sea igual a l.

0 = sen'11

- - < 0 < -

sen 0 = 1

2

2

TT

TT

—— < Q < —

Por la definición

de y —

sen

x

Ahora observa la tabla 1 que se da a continuación y la figura 4 en la página 606. T a b la 1

e

sen

0

77

77

77

77

77

77

77

77

2

3

4

6

6

4

3

2

_V 2

1

1

\/2

2

2

_ V 3 -1 2

0 2

2

Podemos ver que el único ángulo 0 en el intervalo

1

77 77

2

TT cuyo seno es 1 es —

2’2 m^ t 577 (Observa que sen — también es igual a 1, pero — está fuera del intervalo 5^

2 77 77

2’2

606

CAPÍTULO 8 Trigonometría analítica

y por lo tanto, no es admisible.) Entonces

-i v sen 1 = y

- Resuel veahora

el p r o b l e m a

i

3

Determinar el valor exacto de una función inversa del seno

EJEMPLO 2

D eterm ina el valor exacto de:

Solución

Sea 0 = s e n '1

0

sen

Buscamos determinar el ángulo 0, - ^ < 0 < y , cuyo seno sea

ig u a la - - . TT 0 = sen M- -

„

~ 2~ 77

1 sen 9 = - -

TT ~2

^

77

- - < 0< 2 2

(Consulta la tabla 1 y la figura 4 si es necesario.) El único ángulo en el intervalo 77 77

2'2

1

77

cuyo seno es - — ——. Por lo tanto, 2 es 6 sen

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

1

77

? 19

2 Determinar el valor aproximado de la función inversa del seno Para la mayoría de los números x, se debe aproximar el valor de y = s e n '1x.

EJEMPLO 3

Determinar el valor aproximado de la función inversa del seno Determina el valor aproximado de: (a) sen“1 ^

g ( b ) s e n -1( - 0

Expresa la respuesta en radianes redondeada a dos lugares decimales.

Solución

(a) Como queremos el ángulo medido en radianes, primero establecemos el modo de la calculadora en radianes.* Redondeado a dos lugares decimales, tenemos que 1 sen 1- = 0.34

*En la mayorá de las calculadoras, la función inversa del seno se obtiene presionando | SH1FT u _ h seguido de _s'n ■En algunas calculadoras se debe presionar| sin' 1 [primero, luego se ingresa 1/3, en otras, esta secuencia es al revés. Consulta tu instructivo para la secuencia correcta.

SECCIÓN 8.1 F ig u ra 5


607

(b) La figura 5 muestra la solución usando una calculadora gráfica TI-84 Plus en

s ir v K -1 /4 >

modo de radianes en esta se observa que sen lugares decimales. '

-.2526802551

y v-

•T,“ ~^-R0SUBlV6 ahora

EL

problema

^ j = -0.25, redondeado a dos j

25

3 Uso de las propiedades de funciones inversas para determ inar los valores exactos de funciones com puestas Cuando estudiamos las funciones y sus funciones inversas en la sección 6.2, deter minamos que / “'(/(*)) = .v para toda x en el dominio de / y / ( / ' (.v)) = x para toda x en el dominio de / _1. En términos de la función seno y su función inversa, estas propiedades son de la forma

)) = sen ^sen.v) = .v f ( r l( x ) )

EJEM PLO 4

=

sen(sen_1 jc) =

77 d on d e- — < 2 donde - 1 <

x

77 < — 2

x

x

(2a)

< 1

(2b)

Determinar el valor exacto de ciertas funciones compuestas Determina el valor exacto de las siguientes funciones compuestas: (a) sen ‘(sen^-

Solución

(b) sen '(sen

5n

Y

(a) La función compuesta sen '(sen ^ j-) sigue la forma de la ecuación (2a). 77

Como — está en el intervalo 8

77 77

2'2

, podemos usar (2a). Entonces

-1/

77 \

77

sen ( sen— 1 = ? 577

(b) La función compuesta sen Ms e n ^ I sigue la forma de la ecuación (2a), pero 8 77 77

— no está en el intervalo . Para poder usar (2a), debemos determinar 8 ~2’2 un ángulo 0 en el intervalo

77 77

577

para el que sen 0 = sen— . Entonces, usando r 2 8

577

(2a), sen Msen— 1 = sen 1(sen 0) = 0, y con eso terminamos. 8 577

F ig u ra 6

Ver figura 6. El ángulo — está en el cuadrante II. El ángulo de referencia 8 , 577

377

577

377 ^

b

377

.

,.

,

de — es — v sen — = — = sen — . Como — esta enei intervalo 8 8 * 8 r 8 8

77 77

2'2

, tenemos

que sen ’i sen

577 A

= sen

sen

377

377

8 / i Y Aplica (2 a).


el p r o b l e m a

4i

Determinar el valor exacto de ciertas funciones compuestas Determina el valor exacto, si existe, de cada función compuesta (a) sen (sen-1 0.5)

(b) sen (sen-1 1.8)

608

C A P ÍT U L O S

Trigonometría analítica

Solución (a) La, función compuesta senfsen ' 0.5, sigue b forma de la«macón (2b, y 0.5 esta en el intervalo [- 1,11. Así que usamos (2b): senísen ' 0.5) = 0.5 ib) La función compuesta senísen ' 1.8) sigue la forma de la ecuación (2b). pero 1.8 no está en el dominio de la función inversa del seno. Lsta función compuesta no está definida.

Resuelve ahora el problema 45 La fundón inversa del coseno La figura 7 muestra la gráfica de y = eos t. Como toda recta horizontal y = h. donde está entre -1 y 1 , incluidos, dado que se intersecta la gráfica de y = eos x con un número infinito de veces, se deduce que la función coseno no es invectiva.

b

Figura 7

y = eos x, - oo < x < oo, -1 < y < 1

Figura 8

y = cos x, 0 s x s ir, -1 £ y £ 1

Sin embargo, si restringimos el dominio de y = eos .i al intervalo (0. rrj. la función restringida y = eos x

0

< ,r < 7r

es inyectiva y por lo tanto, tiene función inversa.* Observa la figura 8 . Una ecuación para la función inversa de v = f ( x ) = eos .t se obtiene intercam biando x y y. La forma implícita de la función inversa es x = eos v. 0 á y < jr. La forma explícita se llama inversa del coseno de x y se simboliza por y = / '(.t) = eos 1 x (o por y = Arceos x).

DEFINICIÓN

y = c o s'.v donde

significa x = eos y

-1 < x < 1 y O s y s i r

(3)

J Figura 9

y = cos 1x, -1

Aquí y es el ángulo cuyo coseno es.v. Como el rango de la función coseno y = eos .» 1 .v es —1 < x ^ 1. Come» el dominio restringido de la tuncicín coseno y = eos x es 0 £ x ^ el rango de la íuncicm inversa y = cosH x es 0 < y < 7r. La gi álica de y = eos 1 x se puede obtener reflejando la porcievn restringida de la gráfica de y = eos .v en la recta y = .v. como se muestra en la figura 9 .

1,0 s y <7r es —1 —y — lt el dominio de la función inversa v = eos

g

/ Verifica: Traza la gráfica de V( = cos .v y Y con la figura 9.

eos 1 x. Compara el resultado

*Esta es la restricción generalmente aceptada para definir la funcuSn inversa del c o s e n o .

S E C C IÓ N 8.1

EJEM PLO 6

609

Determinar el valor exacto de una función inversa del coseno Determina el valor de:

Solución


eos"10.

Sea 0 = eos"10. Buscamos determinar el ángulo 0,0 < 9 < n, cuyo coseno es igual a ü. 0 = eos 10 eos D = 0

Tabla 2

o < e < 7T 0 < 0 < 7T

Observa la tabla 2 y la figura 10 Figura 10

Vemos que el único ángulo 6 en el intervalo [0, n] cuyo coseno es 0 es que eos ^

y(-

[Observa

también son iguales a 0, pero están fuera del intervalo [0, tt] y,

por lo tanto, no son admisibles.] Podemos concluir que TT eos -l n0 —

EJEM PLO 7

Determinar el valor exacto de una función inversa del coseno Determina el valor exacto de:

Solución

Sea0 = eos

eos-1! -

V2

Queremos determinar el ángulo 6, 0 < 6 < tt, cuyo coseno

. . V2 sea igual a — — .

d - c o s ~ '( ) costì = -

V2

0<

d < TT

o< e <

tt

610

C A P ÍT U L O 8


V2 IIen el ínlcrvnlo |0

(«ociemos ver que el único ángulo 377 Entonces, 3t7 4

eos

Resuelve ahora el pboium * 23 Para la función coseno y su función inversa, se mantienen las siguientes propicdades: /

' ( / ( a ))

* cos '( c o sa )

-

donde 0

X

donde -1

J ( f ' ( x) ) = C O S IO S 1 A) - X

EJEM PLO

8

S

3» 77

x

S

r

S

(4 a )

(4 b )

1

Uso de las propiedades de las funciones inversas para determinar el valor exacto de ciertas funciones compuestas Determina el valor exacto de: (a) eos ‘( c o s y 0

Solución

(d) costeos 1 77)

(b) cos[cos '(-0 .4 )] (c) eos '|c o s ^ -

(a) eos * ^cos — ^ = J 2

— e stá en tí Intervalo [0,77]: u u la propiedad (4*).

( b ) c o s [ c o s ' ( —0 .4 ) ] = ~ 0 .4

- 0 .4

está en el intervalo [- 1 ,1 ];

um

¡a propiedad í4tr).

27j T (c) El ángulo - — no está en el intervalo [0. ir así que no podemos usar (4a). Sin embargo, como la función coseno es par, c o s^ -

= eos

Como ^

está

en el intervalo [0 ,7r], tenemos que eos

(

cos l

2tt\1 _ 2 -\ 277 2~ 3 J — COS I COS— I - — WtJ eñ ¿I fctCorvaio [0. v j; «piCJ

d) Como 77no está en el intervalo [-1 , l].el dominio de la función inversa del coseno, cos 1 77 no está definido. Esto quiere decir que la función compuesta cosfcos ~ ) tampoco está definida.

Resuelvu ahora

J l o s

p r o b l e m a s

37

r

49

Función inversa de la tangente La figura 12 muestra la gráfica de y = tan x. Como toda recta horizontal intersecta la gráfica un número infinito de veces, se deduce que la función tangente no es ¡mecióa. Sin embargo, si restringimos el dominio de y = tan .1 al intervalo ( - - . la función restringida V 2' 2 > y = tan x

- ^ < x < ~

es inyectiva y por lo tanto tiene función inversa.* Observa la figura 13. ♦Esta es la restricción generalmente aceptada.

Una ecuación para la función inversa de y = f(x) = tan x se obtiene intercam• 77 77 biando x y y. La forma implícita de la función inversa es x = tan y, - — < y < —. La forma explícita se llama inversa de la tangente de x y se simboliza por y = / -1(jc) = tan-1 x (o por y = Arctan x).

DEFINICION

y = tan l x donde

-o o

significa

< * <

oo

x = tan y —— < y 2 J

y

J

<

— 2

(5)

J Aquí y es el ángulo cuya tangente es x. El dominio de la función y = tan“1jc es —o o <

jc

<

oo

77

77

y su rango es - — < y < —. La gráfica de y - tan“1x se puede obtener

reflejando la porción restringida de la gráfica de y = tan x en la recta y = x, como se muestra en la figura 14.

EJEM PLO 9

Determinar el valor exacto de una función inversa de la tangente Determina el valor exacto de: (a) tan-1 1

Solución

(b) tan-1(-V 3 )

(a) Sea d = tan-1 1. Queremos determinar el ángulo 6, - y < 6 < sea igual a 1.

cuya tangente

612

C A P ÍT U L O «


Tabla 3

Observa la tabla 3. El único ángulo 9 en el intervalo ( - 1 , | ) cuya tangente es ta n 0

e

7T

2 7T

3 7T

4

No definida

-V i -1

Vi

6

3

0

0

7T

Vi

6

3

4 7T 3 7T

2

tan 1 1 =

77

b) Sea 0 = ta n " '(-V 3 ). Queremos determinar el ángulo 0 , - j < 0 < j , cuya tangente sea igual a —V 3.

7r

7T

77 1 es —. Entonces 4

1

0 = tan ' ( - n/S )

77

- - < 2

tan 0 = - V 3

„

77

o < 2

Observa la tabla 3. El único ángulo 0 en el intervalo

y , j J cuya tangente es

- V i es - y . P°r 1°tant0 tan' '( - V ^ ) = - T

Vi No definida

~^ < 0< 2

-Resuelveahora

el

17

problema

Para la función inversa de la tangente se mantienen las siguientes propiedades: .

/ ’(/(* )) = tan '(tan jc) = * f { f ~ \ x )) = tan(tan_1 x) = x

-Resuelve ahora

,

donde

77

77

C x < — 2 2 donde -0 0 < .v < oc

43

el p r o b l e m a

4 Determinar la función inversa de una función trigonométrica ( EJEMPLO 10

Determinar la función inversa de una función trigonométrica Determina la función inversa/’ 1de/(.v) = 2 sen x - 1, - ^ < .v <

77

Determina el

rango d e /y el dominio y el rango d e / ’ 1.

Solución

La función/es inyectiva, así que tiene función inversa. Sigue los pasos en la página 415 para determinar la función inversa. y = 2 sen x - 1 X =

2 sen y — 1

•*’ 4 1 = 2 sen y •v + 1 sen y = y — sen

In tercam b ia x y

y.

Resuelve p ara y.

_i x + 1

La función inversa es f ~ \ x ) = sen-1

A plica la definición (1).

Y I 1

Para determinar el rango d e/, resuelve y = 2 sen .v - 1 para sen .v y usa el hecho de que - 1 < sen .v < 1. y = 2 sen jc — 1 sen .v =

y + 1 2

S E C C IÓ N H.I

-I s

Funcione* Inver*.)* seno, coseno y tangente

v+ I ém

613

s I

s V+ 1 s 2 - 3 ?s v ^ 1 El rango de f e s {y |—3 ss y s 1} o [ - 3 , 1], usando notación de intervalos. El dominio de/ 1es igual al rango de /, [ -3 . I ]. El rango de / 1es igual al dominio de / ,

Resuelve ahora

n

p r ob l e ma

7T 7T 2’ 2

ss

5 Solución de ecuaciones que involucren funciones trigonom étricas inversas Las ecuaciones que contienen funciones trigonométricas inversas se llaman ecuacio nes trigonométricas inversas.

EJEM PLO 11

Resolver una ecuación que involucre una función trigonométrica inversa Resuelve la ecuación:

Solución

3 sen 1x = tt

Para resolver una ecuación que involucre una sola ecuación trigonométrica inversa, primero aislamos la función trigonométrica inversa. 3 sen'1x = tt n sen - i .v = —


.V = sen — y = sen x significa v = seny. X=


(t

Resuelve ahora

V5

! el p r o b l e m a

6i

8.1 Evalúa tu enten dim ien to "¿Estás listo?” Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. ¿Cuál es el dominio y el rango de y - sen x? (pp. 550-558) 2. Una restricción apropiada sobre el dominio de la función /(.r) = (.t - 1)^ para hacerla inyectiva.es__________ .

4. Verdadero o falso La gráfica de y = eos x es decreciente en el intervalo [0,7r], (pp. 561-565) 5. tan

= ______; sen-j = ________(pp. 529-535)

(pp. 411-417)

3. Si el dominio de una función inyectiva es [3, oo), el rango de su función inversa es__________ . (pp. 411-417)

6. s e n ( - f )

; eos n

(pp. 540-548)

Conceptos y vocabulario________________________ 7. y = sen 1.r significa___________ , donde -1 < j: < 1 y 77 y S --77 ----< 2 ' 2 8. eos '(eos x) = x donde___________ . 9. tan(tan 1x) = x donde___________ .

10. Verdadero o falso El dominio de y = sen 1.v es 77 77 •r £ 2' 11. Verdadero o falso sen(sen 10) = 0 y cos(cos‘ 10) = 0. 12. Verdadero o falso y = tan 1.v significa .v = tan y, donde . . 77 77 -oo < x < 0 0 y ----< y < —. 2 2

t

614

C A P ÍT U L O S

E je r c ic io s

Trigonometria analitica

____________ ________

\ . 13. sen 1 0

14. eos 1 1

\

18. tan-1 ( —1 )

17. tan ' 1 0

2 1 . tan“

22 . sen -i

V3

_

V3

15. sen-l( —1)

16. eos (-1 )

\

19. sen"1

20. tan 1 - ~

\

23. c o s " ' ( - ^ )

2 4 .,„ - ( - f

E „ lo , problemas 25-36, asa una calculadora para delerminar el valor de cada expresión redondeada a dos lupare, decimale,.

\

25. sen-1 0.1

26. eos

7 O

0.6

27. tan ' 5

28. r.m tan “1 0.2 2X. 07

29. eos 1 -

30. sen 1 -

31. tan "1 (-0.4)

32. tan“'( - 3 )

33. sen“1 (-0.12)

34. eos ](-0.44)

,V 2 35. eos,-t

36. sen " 1

7T 38. sen.-i sen -

39. tan

O

En los problemas 3

47T

\

37. eos '( eos

\

41. sen [( s e n ^ - i

10

42. eos

577"

eos

|

1

\ 4 3 . tan " 1

H

R

í "

t

JJ

I. sen"’|scn^- j 44. tan 1 tan

<-t )

)

En los problemas 45-52, determina el valor exacto, si existe, de cada función compuesta. Si no existe el valor, indica “no está definida . No uses una calculadora.

\

45. sen sen

46. eos eos '( -

2'

50. sen [sen-1 ( —2) ]

\ . 49. cos(cos“ 1 1.2)

47. tan(tan 1 4)

48. tan[tan ’( -2 ) ]

51. tan (tan- 1 7r)

52. sen[sen“’(-1 .5 )]

En los problemas 53-60, determina la función inversa / "1 de cada función f. Determina el rango de f y el dominio y el rango de f ~1

53. / ( x ) = 5 sen* + 2;- y ^

_ . -z v _

^

_ //

77

54. /(* ) = 2 tan * - 3 ; - - < * < -

V 55. /(*)= - 2 cos(3*);0 < * < 2L3

56. /( * ) = 3 sen(2*);- -j < * < E4 4

57. /(* ) = -ta n (* + 1) - 3; - 1 - y < * < — - 1

58. /(* ) = cos(* + 2) + 1 ;-2 s * < n - 2

59. /(* ) = 3sen(2* + 1 ) ; - |

60. /(*) = 2 cos(3.y + 2 ) ; - - |< * =£

+ ~

j

En los problemas 61-68, determina la solución exacta de cada ecuación.

61. 4 sen"1* = 7r

62. 2 eos"1* = n

63. 3 eos '(2*) = 2 -

64. - 6 sen ‘(3*) = 7r

65. 3 tan"1* = n

6 6 .- 4 tan“ 1* = ?r

67. 4 eos“ 1* - 2-tt = 2 eos"1*

68. 5 sen"1* - 2ir = 2 sen"1* - 3?r

A p lic a c io n e s y e x t e n s io n e s E n los problemas 69- 74, usa el siguiente análisis. La fórmula D = 24

1-

eos“1 (tan i tan 6)

7r

D cuando la declinación del Sol es i° en un lugar 0o de latitud norte para cualquier fecha entre el equinoccio de primavera y el equinoccio de otoño. La declinación del Sol se define como el án gulo i entre el plano del ecuador y cualquier rayo de luz del Sol.

N ? Polo

S E C C IÓ N 8.1

La latitud de un lugar es el ángulo 6 entre el ecuador y el lugar en la superficie de la Tierra, con el vértice del ángulo localizado en Kel centro de la Tierra. Observa la figura. Para usar la fórmula, eos '(tan i tan 6) se debe expresar en radianes.

615

la cima de la Montaña Cadillac que una persona que esté abajo, a nivel del mar? [Sugerencia: Consulta la figura. Cuando la persona en D ve los primeros rayos del Sol, la persona en P no los ve. La persona en P verá los primeros rayos del Sol solo después de que la Tierra hay girado de manera que P esté en el lugar Q. Calcula la longitud del arco subtendido por el án gulo central 6. Después usa el hecho de que, a la latitud de la Montaña Cadillac, en 24 horas se subtiende una longitud de 27t(2710) « 17027.4 millas y determina el tiempo que toma subtender esta distancia.]

169. Aproxima el número de horas de luz al día en Houston, ;
Nueva York (40°45' latitud norte), para las siguientes fechas: (a) Solsticio de verano (z = 23.5°) (b) Equinoccio de primavera (i = 0°) (c) 4 de julio (i = 22°48')

Fundones inversas seno, coseno y tangente

76. Pantallas de cine Considera que un cine tiene una panta lla de 28 pies de alto. Cuando te sientas, la parte inferior de la pantalla está a 6 pies sobre el nivel de tus ojos. El ángulo que se forma de trazar una línea de tu ojo a la parte inferior de la pantalla y de tu ojo a la parte superior de la pantalla se llama ángulo de visualización. En la figura, des el ángulo de visualización. Considera que te sientas a x pies de la pan talla. El ángulo de visualización 6 está dado por la función

71. Aproxima el número de horas de luz al día en Honolulú,

Hawái (21°18" latitud norte), para las siguientes fechas: (a) Solsticio de verano (i = 23.5°) (b) Equinoccio de primavera (i = 0°) (c) 4 de julio (¿ = 22°48') 72. Aproxima el número de horas de luz al día en Anchorage, Alaska (6TT0' latitud norte), para las siguientes fechas: (a) Solsticio de verano (i = 23.5°) (b) Equinoccio de primavera (i = 0°) (c) 4 de julio (í = 22°48')

0M = l a n - ( f ) - t a n - ( f )

73. Aproxima el número de horas de luz en el ecuador (0° la titud norte), para las siguientes fechas: (a) Solsticio de verano (i = 23.5°) (b) Equinoccio de primavera (z = 0°) (c) 4 de julio (t = 22°48') (d) ¿Qué puedes concluir acerca del número de horas de luz al día a lo largo del año para el ecuador?

28 pies

6 pies

74. Aproxima el número de horas de luz al día para cualquier lu

gar que esté a 66°30' latitud norte para las siguientes fechas: (a) Solsticio de verano (i = 23.5°) (b) Equinoccio de primavera (z = 0°) (c) 4 de julio (z = 22°48’) (d) El número de horas de luz al día en el solsticio de invier no se puede determinar calculando el número de horas de luz al día en el solsticio de verano y restando este re sultado a 24 horas, debido a la simetría de la trayectoria orbital de la Tierra alrededor del Sol. Calcula el número de horas de luz al día para este lugar en el solsticio de invierno. ¿Qué puedes concluir acerca de la luz al día para un lugar que está a 66°30’ latitud norte?

75. Ser el primero en ver los rayos del sol saliente La mon taña Cadillac, con elevación de 1530 pies, se localiza en el Parque Nacional Acadia, en Maine, y es el pico más alto en la costa este de los Estados Unidos. Se dice que una persona que esté en la cima será la primera persona en los Estados Unidos en ver los rayos del sol saliente. ¿Cuánto tiempo antes verá los rayos del sol una persona que esté en

^

(a) ¿Cuál es tu ángulo de visualización si te sientas a 10 pies de la pantalla? ¿A 15 pies? ¿A 20 pies? (b) Si hay 5 pies entre la pantalla y la primera fila de asien tos y hay 3 pies entre cada fila, ¿qué fila tiene el mayor ángulo de visualización? (c) Usando un dispositivo gráfico, obtén la gráfica de 0(x) = tan

34

- tan ‘I —

¿Qué valor de x da como resultado el mayor ángulo de visualización?

^77. Área bajo una curva El área debajo de la gráfica de y = —

r y por encima del eje x entre x = a y x = b está

1 + xr

dada por tan 1b - tan 1a Observa la figura. 1.5

616

C A P ÍT U L O S


_ J __ (a) Determina el área exacta bajo la gráfica de y ~ ^ + ^2 y por encima del eje x entre x = 0 y x = V3(b) Determina el área exacta bajo la gráfica de y - 1 + x ¿ y por encima del eje x entre x — — ¿S, 78.

V5

.

y x —i .

Área bajo una curva El área debajo de la gráfica de y

= — ^ —y por encima del eje x entre x = a y x = b

está dada por

b)

D e te rm in a el área e xa cta bajo la g ráfica de

1

sen 1b - sen 1a

_

1

y = ------------ - y por e n cim a del eje x en tre x - - -

Ver figura. (a) Determina el área exacta bajo la gráfica de y = x /i- 7 \A y por encima del eje x entre x = 0 y x = ---- .

V

^

\ yx = 2'

Lo s problemas 79 y 80 requieren del siguiente análisis: La distancia más corta entre dos puntos en la superficie déla Tierra se pueden determinar a partir de la latitud y la longitud de los dos lugares. Por ejemplo, si el tugar 1 tiene (lat, Ion) = (av fif)yel lugar2 tiene (lat, Ion) = (a2, ¡f), la distancia más corta entre los dos lugares es aproximadamente d = r cos“'[(cos a, eos /3, eos a 2eos /32) + (eos a, sen /3, eos a 2sen P2) + (sen a, sen a 2) donde r = radio de la Tierra ~ 3960 millas y la función inversa del coseno ésta expresada en radianes. Además, la latitud N y la longitud E son ángulos positivos mientras que la latitud S y la longitud O son ángulos negativos.

Ciudad

Latitud

Longitud

Chicago, IL

41°50'N

87°37'W

Honolulu, HI

21°18'N

157°50'W

Melboume, Australia

37°47'S

144’ 58'E

Fuente: www.infoplease.com

79. Distancia más corta de Chicago a Honolulu Determinala

80. Distancia más corta de Honolulú a Melboume, Australia

distancia más corta de Chicago, latitud 41°50'N, longitud 87°37'0 a Honolulu, latitud 21°18'N, longitud 157°50'O. Redondea tus respuestas a la milla más cercana.

Determina la distancia más corta de Honolulú a Melbourne, Australia, latitud 37°47'S, longitud 144C58'E. Redon dea tus respuestas a la milla más cercana.

R e s p u e s t a s a lo s e j e r c ic io s d e la s e c c ió n " ¿ E s t á s lis t o ? '

1. dominio: el conjunto de todos los números reales; rango: -1 < y < 1

2. Hay dos respuestas posibles: . r < l o r 2 l

3. [3, 00)

5. 1;-

8 .1

V3

4. Verdadero

F u n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s in v e rs a s (c o n tin u a c ió n ) P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s e c c ió n


•

Determinar el valor exacto dado el valor de una función trigonométrica y el cuadrante del ángulo (sección 7.4, pp. 547-548)

•

Gráficas de las funciones secante, cosecante y cotangente (sección 7.7, pp. 579-581)

Dominio y rango de las funciones secante, cosecante y cotangente (sección 7.5. pp. 555-556)

\ Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 620

OBJETIVOS 1 Determinar el valor exacto de expresiones que involucren las funciones inversas del seno, coseno y tangente

(p. 617)

2 Definir las funciones inversas de secante, cosecante y cotangente

(p. 618)

3 Usar una calculadora para evaluar sec*’ x, esc'’ xy cot“’x (p. 6 1 8 ) 4 Escribir una expresión trigonométrica como una expresión algebraica

(p. 619)

S U C C IÓ N H.2

Fundones trigonométricas Inversas (continuación)

617

Determ inar el valor exacto de expresiones que involucren las funciones inversas del seno, coseno y tangente

EJEM PLO 1

Determinar el valor exacto de una expresión que involucre las funciones trigonométricas inversas Determina el valor de:

Solución

sen ^ ta n '1

I)

Sea tí = ta n '1— . Entonces tan (i =

< tí <

donde

Queremos determinar

sen tí. Como tan 0 > 0, se deduce que 0 < tí < — entonces 0 está en el cuadrante I.

F ig u ra 15

1

tan tí = -

Ahora, en la finura 15 trazamos un triángulo en el cuadrante I. Como tan tí = - = ~ a 2, el lado opuesto a tí es /> = 1 y el lado adyacente a tí es a = 2. La hipotenusa de este triángulo se determina usandofl2 + b2 = r o 2 2 + l 2 = c2, así que c = V 5. Entonces sen «tí = -h = —1 y tV5 seni tan

EJEM PLO 2

Determinar el valor exacto de una expresión que involucre funciones trigonométricas inversas Determina el valor exacto de:

F ig u ra 16

Solución

,1 \ 1 V5 - I = sen tí = —^ = - j -

$ca 6 - sen

eos sen 1

-1)]

Entonces s e n 0 = - ^ y

Queremos determinar

7T eos tí. Como sen 0 < 0, se deduce que - — < tí < 0, entonces tí está en el cuadrante IV. La figura 16 ilustra sen tí = - j para 0en el cuadrante IV. Entonces eos se""1! - !

2V2

= eos tí =

eos

EJEM PLO 3

tí = — r

Determinar el valor exacto de una expresión que involucre funciones trigonométricas inversas Determina el valor exacto de:

tan eos -i

F ig u ra 17

Solución

Sea tí = eos

Entonces eos tí = - ^ y O ^ 0 ^ tr. Queremos determinar tan tí.

eos tí = - ^

7T Como eos < 0, se deduce que — < tí < 7r, entonces tí está en el cuadrante II. La figura 17 ilustra eos tí = —^ para 0en el cuadrante II. Entonces

tan COS

Resuelve ahora

los

= tan tí =

problemas

9

y 27

= -2 V 2

618

CAPITULO8


2 Definición de las funciones inversas de la secante, cosecante inversa y cotangente L a , funciones invena»

de la « X an te, ca c e a n te y de la c la n ife n te «c definen de la

siguiente manera:

DEFINICIÓN

y = sec“* x donde |.r| 2s 1

significa V

v = esc 1 x donde

|ar| 2r 1

0 S y '■ ir .

significa y

(!)

x * sec y ^ *

2 <2>

r • esc y

-J s y *

y * 0*

(3)

y = cot 1 x significa x » coi y donde - 0 0 < x < oc y 0 < y < *

Te sugerimos repasar las gráficas de las funciones cotangente, onceante v secan te en las figuras 99, KM) y 101 de la sección 7.7 para ayudarte a ver las hases de estas definiciones.

Determinar el valor exacto de una función inversa de la cosecante

EJEMPLO 4

Determina el valor exacto de: esc 12

Solución

Sea

0

= esc 1 2. Queremos determinar el ángulo 0. - -

s 0 s

fl a 0. cusa

^cosecante sea igual a 2 o, equivalentemente, cuyo seno sea igual a ~ 0 = e s c 12

esc 0 — 2

- - S OS

El único ángulo 0en el intervalo TT

—, entonces esc o

_

o * 0

0*0

o■

s o s —. 0 * Ocuya cosecante cs2 sen „ . i ] es * 2J

7T

2 = —. 6

Resuelve ahora

el problema 39

3 Usa una calculadora para evaluar sec- ’ x , esc-1 x y co t-1 x

NOTA

Recuerda,

y = s e n '1x es

el TT

rango

de

TT

2' 2

de y = C05~'x es [0, ir].

el rango

a

La mayoría de las calculadoras no tienen teclas para evaluar las fundones inversas de la cotangente, cosecante y de la secante. La forma más sencilla para evaluarlas es convertirlas a una función trigonométrica inversa cuyo rango sea el mismo que el de Ia Mue se quiere evaluar. Con respecto a esto, observa que y = col 1a > v = sec 1jr, excepto donde no están definidas y cada una tiene el mismo rango que v = eos 1r. y - esc .V, excepto donde no está definida, tiene el mismo raneo que v = sen 1a.

*L° mavoría de los lihros “san esta definición. Algunos usan la restncoóo O s » s ; . » í r < v +La ma>oría dc los lihros usan <-'s,a definición. Algunos usan la r e s t n c o ó o - , < , s - í . 0 < r s

I S E C C IÓ N 8.2

EJEM PLO 5

Funciones trigonométricas inversas (continuación)

619

Aproximación del valor de las funciones trigonométricas inversas Usa una calculadora para aproximar cada expresión en radianes redondeados a dos lugares decimales.

J Ÿ

(a) sec-1 3

Solución

(b) csc-1( - 4 )

(c) cot-1 ^

(d) c o r 1(- 2 )

Primero establece el modo de radianes en tu calculadora. 7T (a) Sea 8 = sec-1 3. Entonces sec 8 - 3 y 0 ^ d S T r , 6 ^ —. Queremos determinar eos 8 porque y = eos-1 x tiene el mismo rango que y = sec-1 jc, excepto donde no 1 „ 1^ 1 está definida. Como sec 6 = ------ = 3, tenemos eos 8 — —. Entonces 8 = eos - y eos 8 3 3 1 sec 1 3 = 8 = eos-i1t « 1.23 U sa una ca lcu lad o ra.

7r 77 (b) Sea 8 = esc-1 (-4 ). Entonces esc 8 — - 4 y —— < 6 £ —, 0

0. Queremos de

terminar sen 8 porque y = sen 1x tiene el mismo rango que y — esc 1x, excepto donde no está definida. Como esc 9 - ——z = -4 , tenemos sin 0 = Entonces sen 8 4 9 - s en H - i i y esc 1( - 4 ) = 8 = sen M

(c) Procedemos de la misma forma que anteriormente. Sea 6 - cot 1—. Entonces 1 2 cot 8 = —, 0 < 9 < 7r. De estos hechos sabemos que 9 está en el cuadrante I.

F ig u ra 18

1 cot

e

=

1 - ,

o<

-0.25

e

<

ir

Queremos determinar eos 8 porque y = eos-1 x tiene el mismo rango que y = cot ^"1x, excepto donde no está definida. Para determinar eos Ousamos la figura 18. Encontramos que eos 6 =

0 < 6 < —, entonces 8 = cos-1^ ^ = ^ . Por lo

tanto cot

cot e = - 2 , 0 < 9 < V y

—

\

9

(-2.1) (

= cos-1f-

P°r tanto cot 1(—2) = 6 = eos 1^ - —

2

1.11

VV5

(d) Sea 8 = cot 1 (-2 ). Entonces cot 8 = - 2 , 0 < 8 < tt. De estos hechos sabemos que 9 está en el cuadrante II. Queremos determinar eos 9. Para hacer esto, usa2 TT mos la figura 19. Encontramos que eos 6 = — < 8 < tt, entonces

F ig u ra 19

1

= 6 - eos' i

« 2.68

X

-- Resuelve ahora

el p r o b l e m a

45

4Êscribir una expresión trigonométrica como una expresión algebraica

■

EJEM PLO 6

Escribir una expresión trigonométrica como una expresión algebraica Escribe sen(tan_1 u) como una expresión algebraica que contenga a u.

620

C A P ÍT U L O 8


, Solución

,Sea » » ,tan -I1u de 1« „»nera —“2 < 0 < 2 manera olle que 0a • U. u, do sabemos que sec 0 > 0. Ivntonccs cm q sen(tan 1u) = sen 0 = sen 0- ^ () ” ,an ü cm 0 . . Irí IV* ñ o r V Multiplica por 1.

^ y

m l » r (j

W < * . foflW» ÍC%ulla*

lan 0 tan 0 «re 0 j \ / l ♦ tan7 0 « & ■ / tí

ii VI » u

» 1 + 14K1' O

*tt 0 > o

Resuelvo ahora n tio m * * 57

8.2 Evalúa tu entendimiento " ¿ E s tá s lis t o ? " Las respuestas se dan al fin a l de estos ejercicios. S i obtienes u n a respuesta incorrecta, lee las pág in a s m a n ía la s entre paréntesis.

I v v 3. Si tan 0 - -, - — < 0 < - , entonto ten

1. ¿Cuál es el dominio y el rango de y = sec x? (pp. 555-556) 2. Verdadero o falso La gráfica de y = sec x es inyectiva

0

* ______

(pp. 547-548)

581 ) en el intervalo O ,f)yenclin.ervalo(f,ir .(pp-579—

C o n c e p t o s y v o c a b u la r io

4. y = sec 1x significa. ----------- S y < _

6. Verdadero o falso lis imp»»wblc obtener valores cuartos para la función inversa de la secante. 7. Verdadero o falso esc 0.5 no está definida 8. Verdadero o falso 1:1 dominio de la función inversa de la cotangente es el conjunto de los números reates

., donde |.v|. , ir ------- - V ^ -

5. Para determinar la función inversa de la secante de un nú mero real x como |.v| > 1, convierte la secante inversa la función inversa del_______ . E je r c ic io s

En los problemas 9-36, determina el valor de cada expresión. \

V i\ 9. cosí( sen-, —— I

10. sen| eos

11. tandeos

13. sec^cos-1 ^ Ì

14. cot c - ' ( - i )

15. csc(tan 1 1)

17. sen [tan-1( —1) ]

18. eos

19. sec sc tT '^ -^ j

21. eos '( sen

22. tan-1

25. tañ ír“"-1 sen -^ V 3

26. tan

29. cot 33. secasen

_ ,2 \/5 \

,s" 0

-(-¥ )

~2 ~^J

12. lan sen ^ -

j j

16. sec (tan 1 Y3)

2J. s , „ - ' [ c o s ( - | ) ]

24. eos

27. secutan'1

28. cos^sen'1

30. csc[tan~'(-2)]

31. sen[tan *( —3)1

22. c « |a » ' ( - Y ) ]

34. escotan“1

35. sen

36. eos

(«

t

)

( c™ ' i )

\

eos ~ j

tan^ - ~ j j

'( w

t

)

En los problemas 37-44, determina el valor exacto de cada expresión. 37. cot-1 V3

38. cot * 1

41. sec- ,2 V 5

42. sec"'(- 2 )

\

39, cscM( - l ) 43.

40. esc 1 V2 44. ese

< -¥ )

SUCCIÓN 8.2 Fundones trigonométricas Inversas (continuación) / »1 /
lian u/iu calculadora p ara d eterm in a r el va lo r d e cada exp resió n 46. esc 15 47. col 12

4 5 - SfK

4*». csc‘'(-3)

50. cot 'f -

red o n d e a d o a d o s layares decim ales.

48. sec '(-3)

51. cot '(-V 5)

52. cot '(-8.1) 56. cot '(-\/Í 0 )

« •« " (-i) l n los p ro b le m a s

\ 57. cos(tan 1m)

57-íw\ escribe cada expresión 58. scn(cos 1u )

62. sen(cot 1u )

E n los p ro b le m a s

exacto de cada fu n c ió n - 7- * H ü ) )

V.

trigonom étrica c o m o una exp resió n algebraica en u.

63. a » (esc 1ii)

ó7 -7,S, f ( x) -

” ■* " ( ' ( - t ) )

sen x, - ~

621

s t s

59. tan(scn 1n)

60. tan(cos 1n)

61. scn(sec 1ii)

64. cos(scc 1ii )

65. tan(cot 1ii)

66. tun(scc ' u )

g (x)

= e o s x, l l s . r i 7ry h (x )

= tan x, -

TT —<

TT _ • » * x < —. D eterm in a el valor

com puesta.

“ •' (

A

h ) )

»

71

i))

* « " ( '( -

t

7-'- « M r ) )

■

» 'M

' -

m

é ) )

)

A p li c a c io n e s y e x t e n s io n e s l.o s p ro b le m a s 70 v W reunieren d el siguiente análisis: c u a n d o los m ateriales granulares caen librem ente, fo r m a n p ilas cónicas (de fo r m a cónica). E l án g u lo d e inclinación tpte ocurre naturalm ente, m e d id o con respecto a la h o rizo n ta l. en el q u e el m a teria l suelto llega a la p o sic ió n d e d escanso se llam a á n g u lo d e rep o so y varia pa ra d ife rentes m ateriales. E l án g u lo de rep o so 0 se relaciona con la altura li y el ra d io d e la base r d e la pila cónica p o r la ecuación 0

= cot 1

O bserxa la ilustración.

79. Ángulo de reposo: sales paru deshielo Debido a los posibles problemas de transporte (por ejemplo vías acuáticas congeladas) las sales para deshielo que usan los departamentos de autopistas en el Oeste Medio se deben pedir tempranamente y deben ser almacenados para uso futuro. Cuando se almacenan las sales para deshielo en una pila de 14 pies de alto, el diámetro de la base de la pila es de 45 pies. (a) Determina el ángulo de reposo de las sales para deshielo. (b) ¿Cuál es el diámetro de la base de una pila de 17 pies de altura? (c) ¿Cuál es la altura de una pila que tiene un diámetro de la base de aproximadamente 122 pies? l uente: Salt Institute, T he Salí Storage H a n d b o o k , 2006 80. Ángulo de reposo: pilas de arena La inclinación de las trampas de arena en un campo de golf está afectada por el ángulo de reposo de la arena (un ángulo de reposo mayor permite pilas más empinadas). Una pila sin restricciones de arena de la Aso ciación de Golf de los Estados Unidos (USGA. por sus siglas en inglés) tenía una altura de 4 pies y una base del diámetro de aproximadamente 6.68 pies. (a) Determina el ángulo de reposo de la arena de la USGA. (b) ¿Cuál es la altura de una de esas pilas si el diámetro de su base es de 8 pies? (c) Una pila de 6 pies de alto de arena Tour Grade 50/50 tiene un diámetro de la base de aproximadamente 8.44 pies. ¿Qué tipo de arena (USGA o Tour Grado 50/50) sería más conveniente si se quieren pilas de arena empinadas? Fuente: 2004 A n n u a l R e p o n , P u rd u e U niversity Turfgrass Science P rogram

81. Artillería Un proyectil disparado al primer cuadrante

a) ¿Qué ángulo de elevación usó? b) Si el ángulo de elevación también está dado por en un eje de coordenadas pasará por el punto (.r, y) en V,)f 2x sec 0 = — , donde es la velocidad inicial de una el tiempo i de acuerdo con la relación cot 0 = -------- y x ' 2y + gt2 » arma, determina la velocidad inicial del arma que usó donde 0 = el ángulo de elevación de donde se lanzó y g = el soldado. la aceleración debida a la gravedad = 32.2 pies/segundo2. Fuente: www.egwald.com/geometry/projectile3d.php Un soldado dispara a un bunker enemigo localizado a 2450 ¡£ ~ 82. Usando un dispositivo gráfico, obtén la gráfica de y = c o r1ar. pies en la parte superior de una colina que está a 6175 pies de él. Dispara una ronda y exactamente 2.27 segundos des lJ 83. Usando un dispositivo gráfico, obtén la gráfica de y = sec"1.v. pués, pega directamente en el blanco. 84. Usando un dispositivo gráfico, obtén la gráfica de y = esc"1x.

r

622



85. Explica en tus palabras cómo usarías tu calculadora para determinar el valor de c o r110.

86. Consulta tres libros de cálculo y escribe la definición de y - sec 1x y y = esc' 1x. Compara estas con las definicio nes que se dan en este libro.

R e s p u e s t a s a lo s e j e r c ic io s d e la s e c c ió n ' ¿ E s tá s lis t o ?

impares d e |} ; rango: {y < -1 o y ^ 1} 1. Dominio: s x x * múltiplos de número entero

8 .3

2. Verdadero

Vi

E c u a c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s P r e p a r a c ió n



.

Ecuaciones lineales (sección 1.1, pp. 82-85) , . • Valores de las funciones trigonométricas (sección 7.3, pp. 529-535; sección 7.4, pp. 540-548) . ., , „ n.

* Ecuaciones de forma cuadrática (sección 1.4, pp. 114-116) •

• Ecuaciones cuadráticas (sección 1.2, pp. 92-99)

Uso de un dispositivo gráfico para resolver ecuaciones (apéndice, sección 4, pp. A6-A7)

\ Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 628 OBJETIVOS 1 Resolver ecuaciones que involucran una sola función trigonométrica

(p. 622) 2 Resolver ecuaciones trigonométricas usando una calculadora (p. 625) 3 Resolver ecuaciones deforma cuadrática (p. 626) 4 Resolver ecuaciones trigonométricas usando identidades

fundamentales (p. 626) Lid 5 Resolver ecuaciones trigonométricas usando un dispositivo gráfico

(p. 627)

j t

Solución de ecuaciones que involucren una sola función trigonométrica En esta sección estudiaremos las ecuaciones trigonométricas, es decir, ecuaciones que involucran funciones trigonométricas que solo se satisfacen por algunos valores de la variable (o, posiblemente, no se satisfacen por ningún valor de la variable). Los valores que satisfacen la ecuación se llaman soluciones de la ecuación.

EJEMPLO 1

Solución

Verificar si un número dado es una solución de una ecuación trigonométrica 7T — Determina si 0 = — es una solución de la ecuación 2 sen 0 - 1 = 0. ¿Es 0 = — una ^ 6 solución? 7y Sustituye 0 por — en la ecuación dada. El resultado es „ 77 \/2 ^ 2 sen — - 1 = 2 — - 1 = V5 - 1 * 0 Podemos concluir que — no es una solución 4 Ahora sustituye 0 por ~ en la ecuación. El resultado es O ^ 7T 1 2 sen — - 1 = 2 * - — 1 = 0 Podemos concluir que ~ es una solución de la ecuación dada.

S E C C IÓ N 8.3

623


7r La ecuación dada en el ejemplo 1 tiene otras soluciones además de 0 = —. Por 577

1377

6

ejemplo, 0 = — también es una solución, como lo es 0 = ——. (Debes revisar esto o 6 tú mismo.) De hecho, la ecuación tiene un número infinito de soluciones debido a la periodicidad de la función seno, como se puede ver en la figura 20 donde observamos la gráfica de y = 2 sen jc — 1. Cada intersección con x de la gráfica representa una solución de la ecuación 2 sen jc — 1 = 0. Figura 20

A menos que el dominio de la variable esté restringido, debemos de encontrar todas las soluciones de una ecuación trigonométrica. Como ilustra el siguiente ejem plo, se pueden encontrar todas las soluciones si primero se encuentran soluciones en un intervalo cuya longitud sea igual al periodo de la función y después se suman múltiplos de ese periodo a las soluciones que se encontraron.

EJEM PLO 2

Determinar todas las soluciones de una ecuación trigonométrica

r

r En p a la b ra s rr .L a e c u a c ió n e o s 6 r

r

Resuelve la ecuación: 1 2

1

= —

Da una formula general para todas las soluciones. Enlista ocho de las soluciones.

s ig n ific a que e n c u e n t r e s

Solución El periodo de la función coseno es 277. En el intervalo [0, 27r), existen

r t o d o s lo s á n g u lo s 0 cu yo 1 r c o s e n o —.

r

eos 0 =

1

77

5 tT

dos ángulos 0 para los que eos 0 = - : 0 = y y 0 = — . Observa la figura 21. Como

2

la función coseno tiene periodo 2 tt, todas las soluciones de eos 0 = ^ se pueden dar

Figura 21

por la fórmula general 77 0 = ---- 1- 2 k -n

0=

3 Ocho de las soluciones son 577

77

77

577

erifica:

= -1

k

k cu alquier número

2k.TT

11t7

777

1377

entero

1777

T’ T’

~J’ J ’ k

+

=

O

k

= 1

k =

2

Podemos verificar las soluciones si trazamos la gráfica de Y { = eos x y

Y 2 = —Para determinar si las gráficas se intersectan. (Asegúrate de hacer la grá fica en modo de radianes.) Observa la figura 22. La gráfica de Y, intersecta la V, = eos X

^ l se—), I 5 S .2 ? á4I(« se— 7 ^ I se— S I I ss gráfica de Y2j Penn xr == l1.051 - 7 - ),I 7.33 = Y II vy 11 u-52

Y2 = i 4ir

I I 77'

re-

dondeados a dos lugares decimales.

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

35

En la mayoría de nuestro trabajo, estaremos interesados únicamente en determi nar soluciones de ecuaciones trigonométricas para 0 < 0 < 277.

624

C A P Í T U LO 8


EJEMPLO 3

Solución de una ecuación trigonométrica lineal Resuelve la ecuación:

Solución

2 sen 0 + V i - 0. 0 £ 0

2ir.

Resuelve la ecuación para sen 0. 2

s en

0 V i = 0 2 sen 0 - - V 3 Vi sen 6 ------ --+

—

ta v i ae ambo« lado« Divide am bos lados arrtrs 2

v i

En el intervalo [0, 2tt), existen dos ángulos 0 para los cuales sen H —

9 —

4n

Í47T Siri 57T y 0 = — . El conjunto solución es S\ T 3 /.

Resuelvo ahora el problema i i Cuando el argumento de la función trigonométrica en una ecuación es un múlti plo de 0, se debe usar la fórmula general para resolver la ecuación.

EJEMPLO 4

Solución de una ecuación trigonométrica Resuelve la ecuación:

Solución Fig u ra 23

sen(20) = - ,

0 ¿ 0 < 2tt

En el intervalo [0, 27t), la función seno es igual a - en —y — . Ver figura 23ía). 2 6' 6 Así que sabemos que 20 debe ser igual a — y a . Sin embargo, hay un problema. 2tt 6 6 El periodo de y = sen(20) es — = 7r. Entonces, en el intervalo [0. 2-,r). la gráfica de y = sen(20) completará dos ciclos y la gráfica de y = sen(20) intersectará la gráfica de y = —cuatro veces. Observa la figura 23(b). Por lo tanto, existen cuatro soluciones de la ecuación sen(20) = - en [0,27r). Para determinar estas soluciones, escribimos la fórmula general que da todas las soluciones. 29

—

/jY ~ + 2A'7r

^yj. o

20 =

——

+ 2k n

k cualquier en te ro

V Divide e n tr e 2.

e ~ ñ + k" Entonces e = n

+ (-1

S = T2 + W " = T2 * - £12 + v( i )' * = ^ 12 9 -1 2 + (2),r = 1 T

k = -1 k=o

+ ( - l ) ’r = Í T

* = l f + <°>* » t

k= 1 k= 2

En el intervalo [0, 2 tt), las soluciones de sen(20) = - son 0 = — fí = — fl = — 2 ye =

12'

12’

12

E l conjunto solución es { i . ^ . i ^ . i ^ \ A h o ra s a b e m o s q u e |a g rt.

fica de y = sen(20) intersecta y = I en ( ~ ( 13~ 1 \ . ( 17~ 1\ en 2 \1 2 ’ 2 / \ 12* 2 / \ 1 2 ' 2 / \ 1 2 ' 2 / el intervalo [0, 2-n).

S E C C IÓ N 8.3

• v ^ V e r i f i c a : Comprueba las soluciones trazando la gráfica de

625 I

= scn(2v) y V,

u

¡

Ecuaciones trigonométrie.»

para 0 < .t s 2 ir. ADVERTENCIA Cuando o e r e »uclve una ecuación trigonométrica para tí, O S tí S 2rr. e r\ la que el argumento no es tí (como en el ejemplo 4). debe» escribir primero toda1» las solucione© y después enlistar todas las que estén en el intervalo (O. Z n ) . D e otra f o r m a , se pueden perder soluciones. Por ejemplo, al resolver sen(2tí) * '. sí solamente escribes las soluciones 2tf * ^

2

_ y 2tí *

EJEM PLO 5

5tr — , solo determinarás

6

tí

ir a

5tr ~ y

12

tí »

12

—

y te faltarán las otras solucion

Solución de una ecuación trigonométrica Resuelve la ecuación:

Solución

^tí - — \ = 1 . 0 s tí < 2 tt

Hl periodo de la función tangente es ít. En el intervalo [0 .7r). la función tangente tiene el valor de 1 cuando el argumento es —. Como el argumento es tí - — en la 4 2 ecuación dada, escribimos la fórmula general que da todas las soluciones. 7r tt k cualquier entero

ü — — = — + KTT

0=

4

+ k TT

En el intervalo |0 .2 tt), tí = ~ y tí = 4 } 4

+ 7r = — son las únicas soluciones. El con4

junto solución es |

Resuelve ahora

el

problema

17

2 Solución de ecuaciones trigonom étricas usando una calculadora El siguiente ejemplo ilustra cómo resolver ecuaciones trigonométricas usando una calculadora. Recuerda que las teclas de funciones en una calculadora solo darán va lores consistentes con la definición de la función.

EJEM PLO 6 9

Solución de una ecuación trigonométrica con una calculadora Usa una calculadora para resolver la ecuación tan tí = - 2 ,0 < 0 < 2 tt. Expresa cual quier solución en radianes, redondeada a dos lugares decimales.

Solución Figura 24

Para resolver tan tí = - 2 en una calculadora, primero establecemos el modo de ra dianes. Después usamos la tecla tan -1 para obtener tí= tan’ 1(-2 )« -1 .1 0 7 1 4 8 7 Redondeada a dos lugares decimales, tí = tan 1 (- 2 ) = -1.11 radianes. Por la 7j definición de y = tan-1 x , el ángulo tí que obtenemos es el ángulo - — < tí < — para el cual tan 0 = -2 . Como queremos determinar soluciones para las cuales 0 < 0 < 2, expresamos el ángulo como 2 tt - 1.11. Otro ángulo para el cual tan tí = - 2 es tt - 1.11. Ver figura 24. El ángulo tt - 1.11 es el ángulo en el cuadrante II, donde tan tí = -2 . Las soluciones para tan tí = - 2 ,0 tí < 27r, son tí = 27t - 1.11« 5.17 radianes y tí = tt - 1.11 « 2.03 radianes El conjunto solución es {5.17, 2.03}.

I

/

626

CAPÍTULO S Trigonometría analítica

APVERTENCIA

lo6l l u a t r , p ejm

El

tr ig o n o m é tric a

el

u na

l „ , ro a trlo o lo n « , *

M

c a lc ó la s . t e c o * * , y e le

la A fin lo ló n

c a lo u W o r *

Pe

< u«a«

M e upe

«

M

un á n g u lo a , lo A n t r o A

la fu n d ó n t r lg o n o « .ít r ,o a In v r r a a . P a n a A t « ™ ' « - l a ,

ohos r o s t a n t « « , A b a , S a n t i f i c a r o t r o , c u a d r a n t e , ,1 « « la ta n , an A n d a « a p u e d a n lo-

c a líz a r la s so lu cio n e s.


45

3 Solución de ecuaciones trigonom étricas de forma cuadrática Muchas ecuaciones trigonométricas se pueden resolver aplicando técnicas que ya conocemos, como aplicar la fórmula cuadrática (si la ecuación es una función políno mial de segundo grado) o factorizando.

Solución de una ecuación trigonométrica de forma cuadrática

[ EJEMPLO 7


Solución

2 sen2 0 - 3 sen 0 + 1 = 0 ,

0 ^ 0 < 2 tt

Esta ecuación es una ecuación cuadrática (en sen 0) que se puede factorizar. 2 sen2 0 - 3 sen 0 + 1 = 0

2X2 - 3x + 1 = O, x - sen 0

(2 sen 0 - l ) ( s e n 0 - 1) = 0 2 sen 0 —1 = 0

(2x - 1)(x - 1) = O

o sen 0 — 1 = 0

sen 0 = x 2

o

U s a la

propiedad de producto cero.

sen 0 = 1

Resolviendo cada ecuación en el intervalo [0, 27r), obtenemos 0=

7T

6’

0- — 6 ’

0=

7r

El conjunto solución es l —) — , — (6’ 6 ’2

-’reí*....

-Resuelve ahora

el p r o b l e m a

59

4 Solución de ecuaciones trigonom étricas usando identidades fundamentales Cuando una ecuación trigonométrica contiene más de una función trigonométrica, algunas veces se pueden usar identidades para obtener una ecuación equivalente que contenga solo una función trigonométrica.

| EJEMPLO 8 1 Solución de una ecuación trigonométrica usando identidades Resuelve la ecuación: 3 eos 0 + 3 = 2 sen2 0, 0 < 0 < 277

Solución

La ecuación en su forma actual contiene un seno y un coseno. Sin embargo, se pude usar una forma de la identidad pitagórica, sen2 0 + eos2 0 = 1 para transformar la ecuación en una ecuación equivalente que solo contenga cosenos. 3 eos 0 + 3 = 2 sen2 0 3 eos 0 + 3 = 2(1 — eos2 0) 3

Cuadrática en eos 0

(2 eos 0 + l)(c o s 0 + 1) = 0

eos 0 = - -

— eo s“ 0

eos 0 + 3 = 2 - 2 eos2 0

2 eos2 0 + 3 eos 0 + 1 = 0

2 eos 0 + 1 = 0

se rf 0 = 1

o o

Factoriza.

eos 0 + 1 = 0 eos 0 = - 1

U sa la propiedad

de p ro d u cto cero .

S E C C IÓ N 8 J


627

Resolviendo cada ecuación en el intervalo [0, 2 tt). obtenemos 0 = 7T


/

EJEM PLO 9

Verifica: Traza la gráfica de Y, = 3 eos .v + 3 y V, = 2 sen2x, 0 < .v < 2
Solución de ecuaciones trigonométricas usando identidades Resuelve la ecuación:

Solución

eos2 0 + sen 0 = 2, O < 0 < 2 tt

Esta ecuación involucra dos funciones trigonométricas, seno y coseno. Usaremos una forma de la identidad pitagórica sen2 0 + eos2 0 = 1 para reescribir la ecuación en términos de sen 0. eos2 0 + sen 0 = 2 (1 - sen2 0) + sen 0 = 2

eo s2 0 = 1 -

sen 2 0

sen2 0 - sen 0 + 1 = 0 Esta es una ecuación cuadrática en sen 0. El discriminante es b2 - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución real. El conjunto solución es el conjunto vacío, 0 Verifica: Traza la gráfica de y, = eos2 x + sen .r y T = 2 para ver que las dos gráficas no se intersectan. por lo tanto, la ecuación Y = Y, no tiene so luciones reales.

5 Solución de ecuaciones trigonom étricas usando un dispositivo gráfico fi

EJEM PLO 10

Las técnicas presentadas en esta sección se aplican solamente a ciertos tipos de ecua ciones trigonométricas. Las soluciones para otros tipos generalmente se estudian en cálculo, usando métodos numéricos.

Solución de una ecuación trigonométrica usando un dispositivo gráfico Resuelve:

5 sen x + x = 3

Expresa las soluciones redondeadas a dos lugares decimales.

Solución Figura 25 V, = 5 sen x + x 14

>'2 = 3 4-

Este tipo de ecuación trigonométrica no se puede resolver con los métodos anterio res. Sin embargo, se puede usar un dispositivo gráfico. Cada solución de esta ecua ción es la coordenada x de un punto de intersección de las gráficas de Y = 5 sen x + .v y y, = 3. Ver figura 25. Existen tres puntos de intersección, las coordenadas .v son las soluciones que queremos determinar. Usando INTERSECT. encontramos que .r = 0.52,

.t = 3.18,

El conjunto solución es {0.52,3.18,5.71}

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

si

x = 5.71

628

/

CAPÍTULO» Trigonometria analitica

8.3 Evalúa tu entendimiento " ¿ E s t á s ÜStO?" La s respuestas se dan al final de estos ejercicios,

Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas

entre paréntesis.

4. Determina las soluciones reales de x2 - x - 1 =0. (pp. 92-99) 5. Determina las soluciones reales de (2x - 1)2 - 3(2x - 1) - 4 = 0. ípp. 114-116) 6. Usa un dispositivo gráfico para resolver 5jt3- 2 = x - x1. Re dondea tus respuestas a dos lugares decimales. ípp. A6-A7>

1. Resuelve: 3x - 5 = - x + 1 (pp. 82-85) 2- sen ( ? ) = ----------(pp. 529-535 y 540-548) 3. Determina las soluciones reales de 4x2 - x - 5 = 0. (pp. 92-99) C o n c e p t o s y v o c a b u la r io

9. Verdadero o falso La mayoría de las ecuaciones trigono métricas tienen soluciones únicas. 10. Verdadero o falso La ecuación sen 0 = 2 tiene una solu ción real que se puede determinar usando una calculadora.

7. Dos soluciones de la ecuación sen 9 = - son _ y --------------- ■ 8. Todas las soluciones de la ecuación sen 0 = ^ son__________ . E je r c ic io s E n los problemas 11-34, resuelve cada ecuación en el intervalo

\

\

0 ^ 0 < 2tr.

11. 2 sen 0 + 3 = 2

12. 1 - eos 0 =

14. tan2 0 = — 3

15. 2 sen2 0 - 1 = 0

16. 4 eos2 0 - 3 = 0

17. sen(30) = -1

18. tan —= V i 2

19. cos(20) = - y

20. tan(20) = -1

21. sec y = -2

22. cot y = - V i

23. 2 sen 0 + 1 = 0

24. eos 0 + 1 = 0

25. tan 0 + 1 = 0

26. V i cot 0 + 1 = 0

27. 4 sec 0 + 6 = -2

28. 5 esc 0 —3 = 2

29. 3V 2cos0 + 2 = -1

30. 4 sen 0 + 3 V i = V i

31. cos^20 -

32. sen ^30 +

33. ta n (f + f ) = 1

= 1

13. 4 eos2 0 = 1

2

- -1

cos( ! - ? ) E n los problemas 35-44, resuelve cada ecuación. Da una fórm ula general para todas las soluciones. Enlista seis soluciones.

V 35. sen 0 = — 2 40. sen 0 = — 2

36. tan 0 = 1

Vi 37. tan 0 = —

41. cos(20) = - K ’ 2

42. sen(20) = -1

38. eos

39. eos 0 = 0

,, 6 V3 43. sen - = ------2 2

E n los problemas 45-56, usa una calculadora para resolver cada ecuación en el intervalo lugares decimales. intervalo

V 45. sen 0 = 0.4

= —V i

44. tan — O = —1

p

i

>

U < 0 < 2 tt. Redondea tus respuestas a dos

46. eos 0 = 0.6

47. tan 0 = 5

48. cot 0 = 2

49. eos 0 = -0.9

50. sen 0 = -0.2

51. sec 0 = -4

52. esc 0 = —3

53. 5 tan 0 + 9 = 0

54. 4 cot 0 = -5

55. 3 sen 0 - 2 = 0

56. 4 eos 0 + 3 = 0

S E C C IÓ N 8.3


629

En los problemas 57-80, resuelve cada ecuación en el intervalo 0 < 0 < 2-rr. 57. 2 eos2 6 + eos 0 = 0

58. sen2 0 - 1 = 0

59. 2 sen2 0 - sen 0 —1 = 0

61. (tan 0 - l)(sec 0 - 1 ) = 0

62. (cot 0 + l)^csc 0 -

63. sen2 0 - eos2 0 = 1 + eos 0

64. eos2 0 - sen2 0 + sen 0 = 0

65. sen2 0 = 6(cos(-0) + 1)

66. 2sen20 = 3(1 - cos(-0))

67. eos 0 = -sen (-0 )

68. eos 0 - se n (- 0) = 0

69. tan 0 = 2 sen 0

70. tan 0 = cot 0

71. 1 + sen 0 = 2 eos2 0

72. sen2 0 = 2 eos 0 + 2

73. 2 sen2 0 - 5 sen 0 + 3 = 0

74. 2 eos2 0 - 7 eos 0 - 4 = 0

75. 3(1 - cos0) = sen2 0

76. 4(1 + sen 0) = eos2 0

77. tan2 0 = ^ sec 0 2

78. esc2 0 = cot 0 + 1

79. sec2 0 + tan 0 = 0

80. sec 0 = tan 0 + cot 0

*60. 2 eos2 0 + eos 0 - 1 = 0 •K

=0

•¿

En los problemas 81-92, usa un dispositivo gráfico para resolver cada ecuación. Expresa las soluciones redondeadas a dos lugares decimales. V 81. x + 5 eos x = 0

82. x - 4 sen x = 0

83. 22* —17 sen x = 3

84. 19* + 8 eos x = 2

85. sen x + eos x = x

86. sen x —eos x = x

87. x2 —2 eos x = 0

88. x2 + 3 sen * = 0

89. x2 — 2 sen(2x) = 3*

90. x2 = x + 3 cos(2at)

91. 6 sen x - ex = 2, x > 0

92. 4cos(3*) —ex = 1, * > 0

Práctica m ix ta -------------------------------------------93. ¿Cuáles son los ceros de/(*) = 4 sen2x - 3 en el intervalo (d) Usa la gráfica que trazaste en el inciso (b) junto con los [0, 2 tt]? resultados del inciso (c) para determinar los valores de x tales que /(* ) < —V 3 en el intervalo [-27T, 4-7t]. 94. ¿Cuáles son los ceros de /(*) = 2 eos (3*) + 1 en el inter valo [0, rr]? 97. /(*) = 4 tan x (a) Resuelve /(*) = -4. 95. f(x) = 3 sen x (b) ¿Para qué valores de x está /(*) < —4 en el intervalo (a) Determina los ceros d e /en el intervalo [~2rr, 47r], (b) Traza la gráfica de f(x ) = 3 sen x en el intervalo [—2tt, 4tt]. 3 (c) Resuelve / ( * ) = - en el intervalo [-277, 4-7t]. ¿Qué 98. f(x) = cot x (a) Resuelve/(.t) = —V 3 . puntos están en la gráfica de/? Marca estos puntos en la gráfica que trazaste en el inciso.(b). (b) ¿Para qué valores de x está f(x) > —\/3 en el inter valo (0, 77)? (d) Usa la gráfica que trazaste en el inciso (b) junto con los resultados del inciso (c) para determinar los valores de x & 99. (a) Traza la gráfica de /(*) = 3 sen(2t) + 2 y g(*) = -7 en 3

tales que /(* ) > - en el intervalo [-277, 477]. 96. /(*) = 2 eos x (a) Determina los ceros d e /en el intervalo [-27r, 4ir]. (b) Traza la gráfica de f(x) = 2 eos x en el intervalo [—27T, 47r]. (c) Resuelve /(*) = —V 3 en el intervalo [-2ir, 4tt]. ¿Qué puntos están en la gráfica de/? Marca estos pun tos en la gráfica que trazaste en el inciso (b).

el mismo plano cartesiano para el intervalo [0, 77]. (b) Resuelve /(*) = g(.v) en el intervalo [0, 77] y marca los puntos de intersección en la gráfica que trazaste en el inciso a. (c) Resuelve /(*) > g(x) en el intervalo [0, 77]. (d) Sombrea la región acotada por f(x) = 3 sen(2v) + 2 y 7 g(*) = —entre los dos puntos que determinaste en el inciso (b) en la gráfica que trazaste en el inciso (a).

630

C A P ÍT U L O 8


(c) Resuelve f ( x ) > g(x ) en el intervalo [0 , 2v\. 100.

(a) Traza la gráfica de /( * ) = 2 c o s ^ + 3 y g(x) = 4 en el

Á

(d) Sombrea la región acotada por f ( x ) = - 4 c « s t y = 2 eos x + 3 entre los dos puntos que determi mismo plano cartesiano para el intervalo [0,47r]. naste en el inciso (b) en la gráfica que trazaste en el Resuelve f ( x ) = g(x) en el intervalo [0, 4 tt] y marca los inciso (a). puntos de intersección en la gráfica que trazaste en el (a) Traza la gráfica de f ( x ) = 2 y g(x) = - 2 sen x + 2 en inciso (b). £102. el mismo plano cartesiano para el intervalo [0,27rJ. Resuelve f ( x ) < g(x) en el intervalo [0, 4-rr]. x (b) Resuelve f ( x ) = g(x ) en el intervalo [0,2 77] y marca los Sombrea la región acotada por f ( x ) = 2 eos — + 3 y puntos de intersección en la gráfica que trazaste en el inciso (a). g(x) = 4 entre los dos puntos que determinaste en el inciso (b) en la gráfica que trazaste en el inciso (a). (c) Resuelve f ( x ) > g(x ) en el intervalo [0, 2 tt\. Traza la gráfica de f ( x ) = - 4 eos x y g(x) = 2 eos x + 3 (d) Sombrea la región acotada por f ( x ) = 2 sen x y en el mismo plano cartesiano para el intervalo [0, 27t]. g(x ) = - 2 sen x + 2 entre los dos puntos que deter minaste en el inciso (b) en la gráfica que trazaste en el Resuelve f ( x ) = g(x) en el intervalo [0,2 tt] y marca los puntos de intersección en la gráfica que trazaste en el inciso (a). inciso (b).

^

(b)

(c) (d)

101.

(a)

£ (b)

A p li c a c io n e s y e x t e n s io n e s ___________________

103. Presión sanguínea La presión sanguínea es una forma de medir la cantidad de fuerza ejercida sobre las paredes de los vasos sanguíneos. Se mide usando dos números: pre sión sanguínea sistòlica (cuando el corazón late) y presión sanguínea diastólica (cuando el corazón está en reposo). La presión sanguínea varía sustancialmente de persona a persona, pero una presión representativa es de 120/80, lo que quiere decir que la presión sanguínea sistòlica es de 120 mmHg y la presión sanguínea diastólica es de 80 mmHg. Considerando que el corazón de una persona late 70 veces por minuto, la presión sanguínea P de un indivi duo después de t segundos se pude modelar por la función P (t ) = 100 + 2 0 s e n ^ - ~ t^

(a) En el intervalo [0,1], determina los tiempos en los que la presión sanguínea es de 100 mmHg. (b) En el intervalo [0,1], determina los tiempos en los que la presión sanguínea es de 120 mmHg. (c) En el intervalo [0,1], determina los tiempos en los que la presión sanguínea está entre 100 y 105 mmHg.

104. La rueda de la fortuna En 1893, George Ferris creó la rue da de la fortuna. Tenía 250 pies de diámetro. Si la rueda com pleta 1 revolución cada 40 segundos, entonces la función h(t) = 125 sen^0.157í - y i + 125

representa la altura h , en pies, de un asiento en la rueda como función del tiempo t, donde t se mide en segundos. La vuelta empieza cuando t = 0. (a) Durante los primeros 40 segundos de la trayectoria, ¿en qué tiempo t está un individuo en la rueda de la fortuna exactamente a 125 pies sobre el suelo? (b) Durante los primeros 40 segundos de la trayectoria, ¿en qué intervalo de tiempo t está un individuo en la rueda de la fortuna a más de 250 pies sobre el suelo?

105. Patrón de espera Se le pide a un avión que espere en un patrón de espera cerca del Aeropuerto Internacional O ’Hare de Chicago. La función d(x) = 70 sen(0.65x) + 150 representa la distancia d, en millas, del avión al aeropuerto en el tiempo*, en minutos.

(a) Cuando el avión está en el patrón de espera, x = 0, ¿qué tan lejos está de O’Hare? (b) Durante los primeros 20 minutos después de que el avión entra en patrón de espera, ¿en qué tiempo t está el avión exactamente a 100 millas del aeropuerto? (c) Durante los primeros 20 minutos después de que el avión entra en patrón de espera, ¿en qué tiempo t está el avión a más de 100 millas del aeropuerto? (d) Mientras el avión está en patrón de espera, ¿estará en algún momento a 70 millas del aeropuerto? ¿Por qué? 106. Movimiento de un proyectil Un jugador de golf golpea una pelota de golf con una velocidad inicial de 100 millas por hora. El alcance R de la bola como función del ángulo 0 con la horizontal está dado por R(6) = 672 sen(20). don de R se mide en pies. (a) ¿Con qué ángulo 0 se debe golpear la pelota si el juga dor quiere que la pelota viaje 450 pies (150 yardas)? (b) ¿Con qué ángulo 0 se debe golpear la pelota si el juga dor quiere que la pelota viaje 540 pies (180 yardas)? (c) ¿Con qué ángulo 0 se debe golpear la pelota si el juga dor quiere que la pelota viaje 480 pies (160 yardas)? (d) ¿Puede el jugador golpear la pelota 720 pies (240 sar das)? 107. Transferencia de energía En el estudio de la transferen cia de energía, se da la ecuación x + tan .r = 0. Traza la gráfica de yj = - * y f , = tan * para .r > 0. Llega a la conclusión de que existen un número infinito de puntos de intersección de estas dos gráficas. Ahora determina las dos primeras soluciones positivas de * + tan .v = 0 redondea das a dos lugares decimales. 108. Cargar una escalera por una esquina Dos pasillos, uno de j pies de ancho y el otro de 4 pies de ancho se encuentran en ángulo recto. Observa la ilustración. Se puede mos trar que la longitud L de la escalera como función de 0 es L(0) = 4 esc 0 + 3 sec 0. & (a) En cálculo se te pedirá que determines la distancia de la escalera más larga que puede pasar por la esquina resolviendo la ecuación 3 sec 0 tan 0 - 4 esc 0 cot 0 = 0, OO< 0 < 9 O O Resuelve esta ecuación para 0.

S E C C IÓ N 8.3

(b) ¿Cuál es la longitud de la escalera más larga que puede pasar por la esquina? (c) Traza la gráfica de L = L(0), 0o < 0 < 90° y determina el ángulo que minimiza la longitud L. (d) Compara el resultado con el que obtuviste en el inciso (b). Explica por qué las dos respuestas son iguales. 109. Movimiento de un proyectil La distancia horizontal que recorrerá un proyectil en el aire (ignorando la resistencia del aire) está dada por la ecuación vn sen(20) = -----------g donde v0 es la velocidad inicial del proyectil, 0 es el ángu lo de elevación y g es la aceleración debida a la gravedad (9.8 metros por segundo cuadrado). m

S El siguiente análisis de la ley de Snell de refracción* (nombrado en honor a Willebrord Snell, 1580-1626) se necesita para los prob lemas 111-118. La luz, el sonido y otras ondas viajan a diferentes velocidades, dependiendo del medio (agua, aire, madera, etc.) por el que pasan. Considera que la luz viaja de un punto A en un me dio, donde su velocidad es vv a un punto B en otro medio, donde su velocidad es vT Consulta la figura, donde el ángulo 0, se llama el ángulo de incidencia y el ángulo 6, es el ángulo de refracción. La ley de Snell, que se puede demostrar usando cálculo, establece que sen 0i _ V\ sen 02 v2 La razón — se llama el índice de refracción. Se dan algunos valores en la tabla que se muestra a la derecha.


631

(a) Si puedes lanzar una pelota de béisbol con una veloci dad inicial de 34.8 metros por segundo, ¿con qué án gulo de elevación 0 debes dirigir el lanzamiento para que la pelota viaje una distancia de 107 metros antes de llegar al suelo? (b) Determina la distancia máxima que puedes lanzar la pelota. 2| (<-') Traza la gráfica de R = R(6), con v0 = 34.8 metros por segundo. (d) Verifica los resultados que obtuviste en los incisos (a) y (b), usando un dispositivo gráfico. 110. Movimiento de un proyectil Consulta el problema 109. (a) Si puedes lanzar una pelota de béisbol con una veloci dad inicial de 40 metros por segundo, ¿con qué ángulo de elevación 0 debes dirigir el lanzamiento para que la pelota viaje una distancia de 110 metros antes de llegar al suelo? (b) Determina la distancia máxima a la que puedes lanzar la pelota. ^ (c) Traza la gráfica de R = R(6), con v0 = 40 metros por segundo. (d) Verifica los resultados que obtuviste en los incisos (a) y (b), usando un dispositivo gráfico.

Algunos índices de refracción Medio

índice de refracciónf

Agua

1.33

Alcohol etílico (20°C)

1.36

Disulfuro de carbono

1.63

Aire(1 atmy0°C)

1.00029

Diamante

2.42

Cuarzo fundido

1.46

Vidrio, corona

1.52

Vidrio, denso

1.66

Cloruro de sodio

1.54

112. El índice de refracción de la luz que pasa del vacío a vidrio denso es de 1.66. Si el ángulo de incidencia es de 50°, de termina el ángulo de refracción. 113. Ptolomeo, quien vivió en la ciudad de Alejandría en Egipto durante el segundo siglo d.C., dio los valores medidos en la siguiente tabla para la incidencia de 0, y el ángulo de refrac ción 0, para un rayo de luz que pasa del aire al agua. ¿Concuerdan estos valores con los de la ley de Snell? Si sí, ¿cuál es el índice de refracción resultante? (Estos datos son de interés por ser las más antiguas medidas físicas registradas.) 0i 10°

8°

35°0'

20°

15°30'

60”

40°30'

30°

22°30'

O hOv

*Como esta ley también la dedujo René Descartes en Francia, también se le co noce como Ley de Descartes.

45°30'

29°0'

00 oo

02

oO m

es de 1.33. Si el ángulo de incidencia es de 40°, determina el ángulo de refracción.

0t

oO

111. El índice de refracción de la luz que pasa del vacío al agua

02

50°0'

tPara la luzde longitud de onda de 589 nanómetros, medida con respecto al vacío. El índice con respecto al aire es insignificantemente diferente en la mayoría de los casos.

632

C A P ÍT U L O 8


114. Desviación de la luz La velocidad de la luz de sodio amarillo (longitud de onda de 589 nanómetros) en cierto líquido es de 1.92 X 1()Kmetros por segundo. ¿Cuál es el índice de refracción de este líquido, con respecto al aire, para la luz de sodio?* [Sugerencia: La velocidad de la luz en el aire es de aproxi madamente 2.998 X 1()Hmetros por segundo.) 115. Desviación de la luz Un rayo de luz con una longitud de onda de 589 nanómetros que viaja en el aire forma un án gulo de incidencia de 40° en un pedazo de material trans parente y el rayo refractado forma un ángulo de refracción de 26°. Determina el índice de refracción del material.* 116. Desviación de la luz Un rayo de luz con una longitud de onda de 589 nanómetros (producida por una lámpara de sodio) que viaja en el aire forma un ángulo de incidencia

de 30° en una pedazo plano y liso de vidrio corona. Deter mina el ángulo de refracción,* 117. Un rayo de luz pasa a través de un pedazo grucvi de ma * (erial cuyo índice de refracción es n;. Muestra que el rayo emergente es paralelo al rayo incidente,* 118. I.cy de Brewster Si el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción son ángulos complementarios, el ángulo de in cidencia se conoce como ángulo de Brewster

119. Explica en tus palabras cómo usarías tu calculadora para resolver la ecuación eos x = —0 . 6 , 0 ^ x < 2ir. ¿Cómo mo dificarías tu enfoque para resolver la ecuación col x = 5, 0 < x < 27r?

120. Proporc Proporciona una justificación de por qué no existen más puntos de intersección (y. por lo tanto, soluciones) de la figura 25 2 para x < - 7r o x > Air.

R e s p u e s t a s a lo s e j e r c ic io s d e la s e c c ió n " ¿ E s t á s li s t o ? "

i.

8 .4

2.

\Í2

1

6. |0.76|

Id e n tid a d e s trig o n o m é tric a s P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s ec c ió n Antes de empezar, repasa lo siguiente: • Identidades fundamentales (sección 7.2, p. 520)

• Propiedades pares-impares (sección 7.5. p. 558)

\ Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 637. OBJETIVOS 1 Usar álgebra para simplificar expresiones trigonométricas (p. 633) 2 Establecer identidades (p. 634)

En esta sección estableceremos algunas identidades adicionales que involucran fun ciones trigonométricas. Pero antes, repasaremos la definición de una identidad.

DEFINICIÓN

Se dice que dos t unciones / y g son idénticam ente iguales si _______________

/(-y) = g(v)

|

para todo valor de .v para el que las dos funciones están definidas. A esa ecua ción se le llama identidad, lin a ecuación que no es una identidad se llama ecu a ción condicional.

J

SECCIÓN 8.4 Identidades trigonométricas

633

Por ejemplo, las siguientes son identidades: (.v + l ) 2 = .v2 + 2.v + 1

sen2* + eos2* = 1

esc* = — — sen *

Las siguientes son ecuaciones condicionales: 5

2.V + 5 = 0

Verdadera

so lo s í x = —

sen * = 0

Verdadera

so lo s i x

sen .V

Verdadera

7r so lo s i x = ----- h

=

COS.V

2

= kn, k c u a lq u ie r 4

Zkv o

núm ero e n te ro

5 tt x = ------- i4

Zkir, k un

núm ero e n te ro

A continuación se resumen las identidades trigonométricas que hasta ahora he mos establecido.

Id e n tid a d es de cocien te

tan 0

sen 0 eos 0

cot 0 =

eos 0 sen 0

Id e n tid a d es recíp ro cas

CSC 0 =

sen 0

sec 0 =

1 eos 0

cot 0 =

1 tan 0

Iden tidad es p itag ó ricas

sen2 0 + eos2 0 = 1

tan2 0 + 1 = sec2 0

cot2 0 + 1 = CSC2 0 Id e n tid a d es p ares-im p ares

s e n (-0 ) = -s e n 0

cos( 0) = eos 0

ta n (-0 ) = - ta n 0

esc ( —0) = —esc 0

sec (-0 ) = sec 0

cot( —0) = - c o t 0

Esta lista de identidades abarca lo que llamamos las identidades trigonométri cas básicas. Estas identidades no se deben simplemente memorizar, sino se deben de saber (tal como sabes tu nombre, en lugar de saberlo de memoria). De hecho, frecuentemente se usan pequeñas variaciones de una identidad básica. Por ejemplo, podemos usar sen2 0 = 1 —eos2 0

o

eos2 0 = 1 —sen2 0

en lugar de sen2 0 + eos2 0 = 1 . Por esta razón, entre otras, debes saberte estas rela ciones y poder manejar sus variaciones.

1 Uso del álgebra para sim plificar expresiones trigonom étricas La habilidad para usar el álgebra para manipular expresiones trigonométricas es una habilidad clave que uno debe tener para establecer identidades. Algunas técni cas que se usan para determ inar identidades son multiplicar por un “ 1”, escribir una expresión trigonométrica sobre un denominador común, reescribir una expresión trigonométrica en términos del seno y coseno únicamente y factorización.

634

C A P ÍT U L O H Trigonometría analítica

EJEMPLO 1 7

Uso do técnica* algebraica» (Mi a slmpltt.car expresión., trigonométricas („1 '

Simplifica COt rccncrilticndo cada luntidn u ip rn o m ílra ra c e 1 esc 0

de b»

funciones de seno y coseno,

(b) Demuestra que y - f “ “ ¿ -

" mühiplicwdo el num e.ad.« v el de«.,

minador por I - sen II. , v simolínea 1 * 800 u + 001,4 ~ 009- rccscribícndo la o p resió n vibre un de tt; ‘ P ‘ sen u eos u nominador común. (d) Simplifica---------- ------------'• factorí/ando. tan v sen v - tan v

Solución

(a)

cot 0 ese 0

(b)

eos II 1 + sen

eos II n eos n seno sen — S 1- 7 - = eos fí sen II 1 ”7 sen n 1 - sen 0 > 1 + senfl 1 - sen ii COS U

1

1 + sen u (c)

(d)

1

eos 0(1 - sen 0) 1

- sen- 0

- «w II

Multiplica ipor un 1: --COS0(1 - sen II)

■- a l - sen 0

eos2 fl

eos o

cot ii - eos ii +— eos II

col it - eos u sen u COS Ii sen M sen ii COS Ii COS Ii ■sen ii sen ii eos ti + sen u eos u + cot u sen u - eos ii sen ii sen ií eos M sen ii eos u C09 J COt ii --------1u eos II + COS II 2 eos ti sen ii eos ii sen ii eos ii sen n

sen2 v - 1 tan v sen v - tan r

I + sen u eos n sen ii eos ii

(sen r + I )(sen v - I) tan r(scn v - 1)

“ “ "■RBSUBIVB ahOPI io s

proiumís

sen r + I tan r

9 , 11 * 13

Establecer identidades En los siguientes ejemplos las instrucciones dirán “Establece la identidad “ Como podrás ver, esto se logra comenzando con un lado de la ecuación dada (generalmente el que contiene la expresión más complicada) \ . usando las identidades básicas apro piadas y manipulaciones algebraicas, se llega al otro lado, l a elección de identidades básicas apropiadas para obtener el resultado deseado se aprende únicamente con experiencia y mucha práctica.

EJEMPLO 2 1 Establecer una identidad Establece la identidad:

ese 0 • tan 0 = sec

S E C C IÓ N 8.4

Solución N O T A S e puede u s a r un d isp o sitiv o g rá fico

p a ra

p ro p o rcio n a r


635

Empieza con el lado izquierdo, debido a que contiene la expresión más complicada y aplica una identidad recíproca y una identidad de cociente.

eviden-

I c ia de una id e n tid a d . P o r ejem plo, si ;2 t£ 3 z a m o s la g rá fic a de Y, = e s c

esc 0* tan 0 =

6 •

1 serr0 serrff eos 0

1 = sec 0 eos 0

t a n 0 y Y 2 = s e c 0, p a re c e rá que la s j ' g r á f ic a s so n la s m is m a s . E s t o pro porciona evidencia de que Y, = Y . S in

Al haber llegado al lado derecho, la identidad está establecida.

em bargo, no d e m u e s t ra s u igualdad . Un d isp o sitiv o g rá fico no s e puede

Resuelve ahora

u s a r p a ra e s t a b le c e r una id e n tid a d ,

EL PROBLEMA 1 9

la s id e n tid a d e s s e deben e s t a b le c e r a lg e b ra ica m e n te .

■

EJEM PLO 3

Establecer una identidad Establece la identidad: sen2( - 0 ) + cos2( - 0 ) = 1

Solución

Empieza con el lado derecho y, como los argumentos son - 0 , aplica las identidades pares-impares. sen2( - 0 ) + eos 2( - 0 ) = [se n (-0 )]2 + [c o s(-0 )]2 = ( —sen 0)2 + (eos 0)2

Id e n tid a d e s p a re s -im p a re s

= (sen 0)2 + (eos 0)2 = 1

EJEM PLO 4

Establecer una identidad Establece la identidad:

Solución

i

Ide ntid ad p ita g ó rica

sen2( - 0 ) - cos2( - 0 ) --------------------- ----- — = eos 0 — sen 0 se n (-0 ) - co s(-0 )

Empezamos con dos observaciones: el lado izquierdo contiene la expresión más com plicada. Además, el lado izquierdo contiene expresiones con el argumento - 0 , mien tras que el lado derecho contiene expresiones con el argumento 0. Decidimos, por lo tanto, empezar con el lado izquierdo y aplicar identidades pares-impares. sen2( - 0 ) - cos2( - 0 )

[se n (-0 )]2 - [c o s(-0 )]2

se n (-0 ) - c o s(-0 )

sen (-0 ) - co s(-0 ) (-s e n 0)2 — (eos 0)2 Identidades p are s-im p ares

-s e n 0 - cos0 (sen0)2 - (eos 0)2 -s e n 0 - eos 0 (sen 0 - eos 0){êR-0-+'-c05TT)

F a c to riz a .

- (-sen-0—H-coslT) = eos 0 — sen 0

EJEM PLO 5

C a n ce la y sim plifica.

Establecer una identidad 1 + tan u = tan u 1 + cot u 1 + tan u 1 + tan u tan u + 1 1 1+ tan u tan u tan ta m rj = tan u -tan-tt-’T'T

Establece la identidad:

Solución

1 + tan u + cot u

Resuelve ahora

l os

problemas

Sim p lifica.

23

y

27

/

636


Cuando aparecen sumas o restas de cocientes, generalmente es mejor escnb.rlas como un solo cociente; especialmente si el otro lado de la .denudad cons.ste en un solo término.

EJEM PLO 6


Solución

+ eos 9 sen 0 + •-1-------— = 2 esc 9 1 + eos 9 sen 9

El lado izquierdo es más complicado, así que empezamos por ahí y sumamos. sen 9 1 + eos 9

1 + eos 9 _ sen2 9 + (1 + eos 9) (1 + eos 0)(sen 9) sen 9 sen 2 9 + 1 + 2 eos 9 + eos2 9 (1 + eos 0)(sen 0)

S u m a lo s c o c ie n te s.

Elim ina lo s p a ré n t e s is en el num erador.

(sen2 0 + eos2 0) + 1 + 2 eos 0 (1 + eos 0)(sen 0) 2 + 2 eos 0 (1 + eos 0)(sen 0)

R eag ru p a.

Ide ntid ad p ita g ó rica

2 (.1— +~cos'9'J ^4-4-cos^)(sen 0)

F a c t o r iz a y ca n ce la .

2 sen 0 2 esc 0

Resuelve ahora

el p r ob l e ma

Ide ntid ad re cíp ro ca

49

Algunas veces ayuda escribir un lado en términos de funciones de seno y coseno únicamente.

EJEM PLO 7


Solución

tan v + cot v sec v esc v

tan v + c ot v _ ^ sec v esc v

sen v eos v ------ + -------eos v sentí _ 1 ____ 1 _ eos v sen v

sen2 v + eos2 v eos v sen v 1 eos v sentí

Cam bia a s e n o s

S u m a los c o c ie n te s

y co se n o s.

en el num erador.

1 eos v sen u eos v sen v ~ Divide los co cie n te s; sin 2 v + e o s 2 v = 1.

— i—-Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

69

Algunas veces al multiplicar el numerador y el denominador por un factor apro piado dará como resultado una simplificación.

S E C C IÓ N 8.4

EJEM PLO 8

Solución

1 - sen 6 eos 6

eos 6 1 + sen0

Empieza con el lado izquierdo y multiplica el numerador y el denominador por 1 + sen 0. (De manera alternativa, podemos multiplicar el numerador y el denominador del lado derecho por 1 - sen 0.) 1 - sen 0 eos 9

1 - sen 0 1 + sen 0 COS 9 1 + sen 9 1 - sen2 9 eos 0(1 + sen 0) eos2 0 eos 0(1 + sen 0) eos 0 1 + sen 0

Resuelve ahora ADVERTENCIA

c u id a d o

de

no m a n e ja r id e n t id a d e s p a r a

es

t a b l e c e r la s

T en

co m o

si

fu e ra n

637


% «k


ecu

el

problema

M ultiplica el n um erad o r y

d d en om in ad o r por 1 +

1 -

se n

9

sen 2 0 = e o s2 0

C an ce la .

53

Aunque la única forma de aprender a establecer identidades es la práctica, la siguiente guía puede ser útil.

a c io n e s c o n d ic io n a le s . No p u e d e s e s t a b l e c e r u n a id e n t id a d p o r m é t o d o s c o m o s u m a r la m is m a p re s ió n u na

en

cada

p r o p o sic ió n

la d o

y

ex

o b te n e r

v e rd a d e ra .

E sta

p r á c t ic a no e s t á p e r m itid a p o rq u e la p r o p o s ic ió n o rig in a l e s p r e c is a m e n te la q u e q u ie r e s e s t a b le c e r . No s a b e s s i e s v e r d a d e r a que s e

h a y a e s t a b le c id o

h e ch o , lo e s .

H a sta q u e. d e

Guía para establecer identidades 1. Generalmente es preferible empezar por el lado que contenga la expresión más complicada. 2. Reescribe sumas o restas de cocientes como un solo cociente. 3. A veces ayuda reescribir un lado en términos de únicamente funciones de seno y coseno. 4. Nunca pierdas tu objetivo de vista. Conforme manipulas un lado de la ex presión, debes tener en mente la forma de la expresión en el otro lado.

■

8.4 Evalú a tu e n ten d im ien to "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 2. Verdadero o falso sen(-0) + eos(—0) = eos 0 - sen 0. 1. Verdadero o falso sen2 0 = 1 - eos2 0. (p. 520) (p. 558) Conceptos y vocabulario 3. Considera que / y g son dos funciones con el mismo domi'. nio. Si /(.r) = g(.v) para toda x en el dominio, la ecuación se llama una__________ . De otra manera, se llama una ecuación__________ . 4. tan2 0 - sec2 0 = __________ . 5. cos( - 0) - eos 0 = __________ .

6. Verdadero o falso sen(-0) + sen 0 = 0 para cualquier valor de 0. 7. Verdadero o falso Al establecer una identidad, general mente es más sencillo multiplicar ambos lados por una ex presión escogida apropiadamente y diferente de cero que involucre la variable. 8. Verdadero o falso tan 0 • eos 0 = sen 0 para cualquier 0 * (2* + 1 )|-

Ejercicios En los problemas 9-18, simplifica cada expresión trigonométrica siguiendo la instrucción indicada. eos 0 1 + sen 0 9. Reescribe en términos de funciones seno y coseno: \ 11. Multiplica por 1 - sen 0 1 + sen 0 tan 0 • esc 0. sen 0 1 - eos 0 12. Multiplica por 10. Reescribe en términos de funciones seno y coseno: 1 + eos 0 1 - eos 0 cot 0 • sec 0. i

638 CAPÍTULO 8 \

Trigonometría analítica (ta n 9 + l ) ( t a n 9 + 1 ) - se c 2 9 16. M u ltip lica y s im p lific a : ---------------------- ------------------------------

13. R ee scr ib e sob re un d e n o m in a d o r com ún: sen 9 + e o s 9 ^ e o s 0 — sen 9 eos

9

sen

9

3 s e n 2 9 + 4 se n 9 + 1 17. F a cto riza y sim p lific a : ------— -------- . , s e n 4 0 + 2 se n 9 + 1

14. R ee scr ib e sob re un d e n o m in a d o r com ún:

1

1

1 — eos

V

1 + eos

eo s2 0 -

V

1

18. F a c to r ,z a y sim p lifica :

c o s * !T

(se n 9 + eo s 0 )(s e n 9 + e o s 9) - 1 15. M u ltip lica y sim p lifica :---------------------------------- — ---------------sen 9 e o s 9

En los problemas 19-98, establece cada identidad. \

19. esc 0 - eo s 0 = co t 0

2 1 . 1 + ta n 2( - 0) = se c 2 0

20. se c 0 - se n 0 = tan 0

2 4 . se n 0 ( c o t 0 + ta n 0) = s e c 0

\ 2 3 . e o s 0 (ta n 0 + co t 0) = esc 0

22 . 1 + c o t 2( - 0) = esc 2 0 25. tan w c o t

u

- e o s 2 u = se n 2 u

28. (esc 0 -

l) ( c s c 0 + 1 ) = co t2 0

2 6 . sen

u esc u

- eos2 u

=

\2 7 .

sen 2 u

29. (s e c 0 + tan 0) ( s e c 0 - tan 0) = 1

3 0 . (e sc 0 + c o t 0 ) (c s c 0 -

31. e o s 2 0 (1 + tan 2 0) = 1

3 2 . (1 - e o s 2 0 )(1 + c o t 2 0) = 1

3 3 . (s e n 0 + e o s 0 )2 + (s e n 0 - e o s 0 )2 = 2

34. tan 2 0 c o s 2 0 + c o t 2 0 s e n 2 0 = 1

3 5 . se c 4 0 — se c 2 0 = ta n 4 0 + ta n 2 0

3 6 . esc 4 0 - esc 2 0 = c o t 4 0 + c o t 2 0

__ 37. se c

u

u=

- tan

eo s u - -------------1 + sen u

3 8 . esc

u

- cot

u

se n =

u

39. 3 sen 2 0 + 4 eos2 0 = 3

1 + eos u

„2

40. 9 se c 2 0 - 5 tan 2 0 = 5 + 4 se c 2 0

43.

46.

1 + tan v 1 - tan v esc 0 — 1

55.

+ 1 -

CSC

eos

v

1 - se n v

se n 2 0

1 + eos 0

47.

0 + 1

2 se c p

= eos 0

53.

66.

eos 0

„ = se c 0

sen 0 — e o s 0 + 1

se n 0 + 1

se n 0 + e o s 0 — 1

eos 0

tan tan

u u

- cot + cot

u u

+ 1 = 2 sen 2 u

sec 9

1 - eos 0

1 + se c 0

se n 2 0

58.

45.

1 + se n 0 _ esc 0 + 1 1 - sen 0 esc 0 - 1

48.

-

1

esc u + 1

eos

v

1 + se n v

1 + se n t) H------------------ = 2 se c e o s t;

1 - se n 0 = ( s e c 0 - tan 0)2 1 + se n 0 56. se n 0 c o s 0 eos2 0 - se n 2 0

cot 0

1 - ta n 0

tan 0 1 - ta n 2 0

54.

+

1

1 - ta n 2 0 „ . 6 7 . ----------- — l + 1 = 2 e o s 2 0 1 + ta n 2 0

73.

s e n 2 0 - tan 0 eos2 0 - cot 0

= ta n 2 0

1 1 + = 2 se c 2 0 1 - se n 0 1 + sen 0

1 + se n 0 76- ------------- ¿ = (s e c 0 + tan 0)2 1 - se n 0 '

1 - eos 0

e sc 0

eos 0

cot 0 ) = 1

+ eo s2 0

= -eo s 0

= 2 ta n 0

eos 0 + 1 _ 1 + sec 0 eos 0 -

1

1 - sec 0

sen 0

1

se n 0 - e o s 0

1 - cot 0

eos 0

1 + eos 0

1 - cot 0

= (e s e 0 -

c o t 0)2

= 1 + ta n 0 + c o t 0

tan 0 + s e c 0 - 1 5 9 . ------------------- r----- - = tan 0 + s e c 0 ta n 0 - s e c 0 + 1

65.

=

sen 2 0

s e c 0 + se n 0

tan 0

, . tan u - c o t u , 6 4 . ---------- ----------- + 2 e o s 2 u tan u + co t u

7 2. tan 0 + c o t 0 = se c 0 ese 0

1 + sen 0 eos3 0

51.

62.

70.

se c 0 1 — sen 0

v

tan 0 - co t 0 , . 6 1 . 7— TfT— = se n 0 ~ e o s 2 0 tan 0 + co t 0

se c 0 - ese 0 6 9. -------- ------- — = se n 0 - e o s 0 s e c 0 ese 0

75.

v

42. 1 -

1 - se n v 1 + se n v

esc

sen 0 + ------------- r = se n 0 + e o s 0 1 - tan 0 1 - cot 0

1 + se n 0

63.

50.

1 + sen 0

= sen 0

eos 0

57. tan 0 + „

60.

eos2 0

41. 1 -

44.

1

cot 0

cot 0

52. 1

v v

cot co t

1 — se n v 49. ---------------+ eos v

\

l ) ( s e c 0 + 1 ) = ta n 2 0

(sec 0 -

se c 0 -

eos 0

se c 0 + e o s 0 se c 0 + ta n 0 cot 0 + eos 0

sen 2 0

1 + eo s2 0 = ta n 0 s e c 0

, D 1 - co t2 0 , 68. ------------z— + 2 e o s 2 0 = 1 1 + c o t2 0

7 1 . se c 0 — e o s 0 = se n 0 tan 0

74.

1 + sen 0 1 - sen 0

1 - sen 0 = 4 ta n 0 s e c 0 1 + sen 0

( s e c t; - ta n v)2 + 1 7 7 . -------- —-------------------- -- = 2 tan r esc u (s e c v - ta n v)

SECCIÓN 8.4 Identidadestrigonométricas 639 s e c 2 v - ta n 2 v + tan v 7 8 . -------------------------------------- = s e n sec v

1

v

+ cos

„ se n 0 + e o s 0 se n 0 - e o s 0 7 9 . ------------- 7------------------------- 7-----eos 0 se n 0

v

=

sec

0 CSC0

I V se n 0 + c o s 0 co s 0 - sen 0 1 , *8 0 - -------- r— —---------------------- - -------- = s e c 0 esc 0 ^

sin

9

sen 3 0 + eo s30 8 1 . -------- 7—--------- 7- = 1 sen 0 + eo s 0

9

cos

P

(*

■J

,

o2.

84.

se n '

9

, + co s'

9

sec

1 - 2 co s2 9 cos

9

+ se n se n

9 9

9

-

9

ta n - sen 3 9

sen -

9

eo s2 0 -

83.

1

sen 2 0

1 - ta n 2 0

se n 0 e o s 0

= eo s2 0

(2 e o s 2 0 - l )2

= cot 0 + co s2 0

85.

eos4 0 -

sen 40

= 1 - 2

sen 2 0

1 - 2 co s2 0 86. -------- --------— = tan 0 - c o t 0 se n 0 c o s 0

87.

1 + se n 0 + e o s 0 _ 1 + e o s 0 1 + se n 0 - e o s 0 sen 0

1 + c o s 0 + se n 0 88. -----------------------------= s e c 0 + tan 0 1 + c o s 0 - se n 0

89.

(a s e n 9 + b e o s 0 )2

„„

9 0 . (2 a s e n 0 c o s 0 )2 +

a2( c o s 2 0

s e n 2 0 )2 =

-

f3)

ta n a + ta n (3 9 1 . -------------------- 7- = tan cot a + cot p

a2

9 2 . (ta n

a

+

tan /3 )(1 -

9 3 . (s e n

a

+

eos

f3)2 +

(eo s

¡3 +

se n a ) ( e o s

[3 -

9 4 . (s e n

a —

eos

¡3)2 +

(eo s

¡3 +

se n a ) ( c o s

¡3 —s e n

cot a cot

+ (co t

a

+ (a e o s 0 -

+ c o t /? )(1 se n

tan

a) = 2 c o s

a

tan ¿3

tan /3) = 0

a +

/3 (se n

a ) = - 2 c o s /2 (se n

e o s /3)

a -

e o s /?)

9 5 . In |s e c 0| = - I n |c o s 0|

9 6 . In |ta n 0| = In |se n

97.

9 8 . ln |s e c 0 + tan

ln | l + e o s 0| + ln | l — e o s 0| = 2 ln |se n 0|

a

b se n 0 )2 = a2 + b2

9\ -

9¡ +

ln |c o s 0|

ln |se c 0 -

tan

9¡

= 0

¡ I

En los problemas 99-102, demuestra que las funciones f y g son idénticas. 99.

f(x) =

se n

x- tan x

101.

f(9) =

1 - se n 0 eos 0

x -

g ( x ) = se c eos 0 1 + se n 0

cosx

g (9 ) = 0

100.

f(x) =

eos

x~ c o t x

102.

f(9) =

tan 0 + se c 0

g ( ;t ) = c sc .v - se n

x

eos 0 2 ( 0 ) = 1 - sen 0

Aplicaciones y extensiones 1 0 3 . R e fle c to r e s

Un

r e fle c to r e n la in a u g u r a c ió n d e u n a

1 0 4 . M e d id a ó p tic a

L o s m é to d o s ó p tic o s d e m ed id a g e n e r a l

c o n c e sio n a r ia d e a u to s r e fle ja su lu z e n u n a p a red q u e

m e n te se b asan en la in terferen cia d e d o s o n d a s d e luz. Si

e stá a 75 m etro s. L a a c e le r a c ió n r d e la lu z e s ig u a l a

d o s o n d a s d e luz, id én tica s e x c e p to p or un retraso d e fase, se

r = 1200 s e c 0 (2 se c 2 0 - 1). D e m u e s tr a q u e e s to e s eq u iv a -

m ez cla n la in ten sid a d resu lta n te o irradiancia está d ada por

1 „„„„ le n te a r = 1200

(\ +

se n 2 0\ -------- ^------V eo s3 0 J

I,

JcscO - l ) ( s e c 0 + tan 0) 4 A ----------------------------------. D e m u e str a q u e e s to esc 0 se c 0

e s e q u iv a le n te a / = ( 2 A e o s 0 )2.

Fuente: A d a p ta d o d e H ib b e le r , Engineering Mechantes: Dynamics, lO th ed . © 2004.

Fuente: Experimental Techniques,

J u ly /A u g u st 2002

Explicación de conceptos: discusión y escritura 105. E scrib e a lg u n o s p árra fo s d o n d e d e s tu e str a te g ia para e sta -

1 0 7 . ¿ P o r q u é c r e e s q u e e s g e n e r a lm e n te p r eferib le em p ez a r

b le c e r id e n tid a d e s.

c o n e l la d o q u e c o n tie n e la e x p r e sió n m ás co m p lica d a

106. E scrib e tres id e n tid a d e s p ita g ó r ic a s.

c u a n d o e s ta b le c e s una id en tid a d ? . 108.

D e sa r r o lla una id en tid a d q u e n o se a una id en tid a d fu n d a m en ta l.

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. V e r d a d e r o

2.

V erd ad ero

640 CAPÍTULO«


8.5 Fórmulas de suma y resta P

r ep a r a c ió n

para

esta

secció n

A n t e s d e e m p e z a r , r e p a s a l o s ig u ie n te : •

• •

F órm ula d e d istan cia (se c c ió n 2.1, p. 151;

D e te r m in a r v a lo r e s e x a c to * d a d o * e l v a lo r d e u n a fu n ció n tr ig o n o m é tr ic a y e l c u a d r a n te d e l á n g u lo

V a lo re s de las fu n cio n es trig o n o m étrica s

(s e c c ió n 7 .4 , pp, 5 4 7 -5 4 « )

(sec ció n 7.3, pp. 5 2 9 -5 3 5 ; se cc ió n 7.4, pp. 5 4 0 -5 4 « ) V

Resuelve ahora los

prob lem as d e la secció n "¿Estás listo?" d e la p ágin a 6 4 9 .

OBJETIVOS 1 Usar fórmulas de la suma y la resta para determinar valores exactos

(p. 641) 2

Usar fórmulas de la suma y la resta para establecer identidades íp.642)

3 Usar fórmulas de la suma y la resta que involucren funciones trigonométricas inversas (p. 646) 4 R e s o lv e r e c u a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s lin e a le s e n s e n o y c o s e n o (p. 647)

En esta sección continuaremos nuestra derivación de identidades trigonométricas ob teniendo fórmulas que involucren la suma o la resta de dos ángulos, como cosía + /3). cos(a - /3) o sen(a + f3). Estas fórmulas se llaman fórmulas de la suma y la resta Empezaremos con las fórmulas de cos(a + (3) y cosía - ( i) .

TEOREM A

Formulas de la suma y la resta para la función coseno cos(a +

B) =

eos a eos )3 - sen a sen

(i

(1)

cos(a

P) =

eos a eos /3 + sen a sen

(3

(2)

-

J r r

En palabras

La fó rm u la (1) e s ta b le c e r q ue el coseno de la sum a r de dos ángulos es igual al r coseno del p rim e r ángulo ^ m u ltip lic a d o por el coseno del segundo ángulo, m enos el seno del p rim e r ángulo m u ltip lica d o por el seno del r segundo ángulo. r

Demostración Demostraremos primero la fórmula (2). Aunque esta fórmula es verdadera para todos los números a y ¡3. consideraremos en nuestra demostración que 0 < ¡3 < a < 2 n . Empezamos con el círculo unitario y colocamos los ángulos a y Pen la posición estándar, como se ve en la figura 26(a). Él punto P está en el lado terminal de /3, así que sus coordenadas son (eos /3. sen (3) y el punto P . está en el la do terminal de a, así que sus coordenadas son (eos a . sen a). P3

= (cos( a - p). sen( a - 3))

^,*°ca e* ^n§u*° a P en la posición estándar, como se muestra en la fi gura 26(b). El punto A t.ene coordenadas (1.0) y el punto P . está en el lado terminal el ángulo a (3, entonces sus coordenadas son (eos (a - (3) sen (a - B ) ) Si observamos el Irlángulo O P f , de la figura 26(a) y el triángulo O A P , de la igura _6(b), vemos que estos triángulos son congruentes. (¿Puedes ver por qué?

SECCIÓN 8.5 Fórmulasdesumayresta 641 Tenemos LAL: dos lados y un ángulo incluido, o - p . son iguales.) Como resultado, el lado desconocido de cada triángulo debe ser igual: esto es

P 2)

Usando la fórmula de distancia encontramos que V [cos(o -

p) -

[eos (a (o

- ( i) - 2

-

l ]* + [sen(« - /3) P) -

eos (a -

p)

1]' + sen'(a

- ()]: = \ / (eos

(co sa - eos

- ¡i) =

+ l + sen'(o -

p)

- eos p ) 2

a

-

sen a sen

2

cos(a — /3) = 2 — 2 eos o eos

- 2 cos(a -

p)

cos(a -

p)

+ (sen o - sen

fi)2

= eos*« - 2 eos « eos p + + sen2 a

2 - 2

(sen a - sen P ) 2

+

= - 2 eos a eos = eos « eos

p

p

fi -

-

e o s2p

+ sen2 (i

fi

sen a sen

2

+ sen a sen

ElewB «ambo* lados al cuadrado. R ealiza la m ultiplicación de los té rm in o s al cu a d ra d o .

sen a sen

2

p )2

4 A. r,) = d(r„ r¿)

p

Aplica una Iden tidad pitagórica ( 3 veces). R e s ta 2 de cad a lado.

p

p

Divide cad a lado e n tre - 2 .

Esta es la fórmula (2).

■

La demostración de la fórmula (1) se deduce de la fórmula (2) y de las identida des pares-impares. Usamos el hecho de que a + p = a - ( - p ). Entonces cos(a +

P)

= cos[a - ( = eos a

p

)] sen a sen(-/3)

co s(-p ) +

= COS a eos P — sen a sen p

Usa la fórm ula (2 ). P ropiedades p ares-im pares

1 U so d e la s fó rm u la s d e la su m a y la re sta p a ra d e te rm in a r v a lo r e s e x a c to s Un uso de las fórmulas (1) y (2) es para obtener el valor exacto del coseno de un án gulo que se puede expresar como la suma o la resta de ángulos cuyos seno y coseno se conocen exactamente.

EJEM PLO 1

Uso de la fórmula de la suma para determinar un valor exacto Determina el valor exacto de eos 75°.

Solución

Como 75° = 45° + 30°, usa la fórmula (1) para obtener eos 75° = cos(45° + 30°) = eos 45° eos 30° - sen 45° sen 30° í

Fórmula (1)

\/2 ' 2

EJEM PLO 2

\Z l

V 3

* 2

2

1

i( V

*2

6 -

V 2)

Uso de la fórmula de la resta para determinar un valor exacto 7T

Determina el valor exacto de — . 12

Solución

7T

COS — = 12

( 2>-ir eos

7T

2 tt

—— —

V 12

(

—

~4 ~ ~6

12

7T

7T

TT

TT

=

cos — cos — + sen — sen — 4 6 4 6

=

\/2 .V 3

2 2 R e s u e lv e a h o r a

7T

V

2

l i

2

Usa la fórm ula (2 ).

= i( v 5

4V

el problema 1 3

+

V 2)

642 CAPÍTULO 8 Trigonometríaanalítica 2 U so d e la s fó rm u la s d e la su m a y la re s ta p a ra e s t a b le c e r id e n tid a d e s O t r o u s o d e la s f ó r m u la s ( 1 ) y ( 2 ) e s p a r a e s t a b l e c e r o t r a s i d e n t i d a d e s . A c o n t i n u a c ió n s e d a n d o s id e n t i d a d e s im p o r t a n t e s q u e d e d u j i m o s e n la s e c c i ó n 7 .2 .

^ Visualización del concepto /n \

U

cos(

Traza la gráfica de P, = cosí — - x l y

(

Y2 = sen x en la misma pantalla. ¿De muestra esto el resultado (3a)? ¿Cómo demostrarías el resultado (3b)?

___________________________I

sen

Demostración 77

a

i -

= sen 0

(3a)

| = eos 0

(3b)

)

(?-•!

P a r a d e m o s t r a r la f ó r m u la ( 3 a ) , u s a la f ó r m u la p a r a c o s ( a - /3) c o n

yf3 = d. 77

\

(— -

77

77

0J = eos — eos 0 + sen — sen 0 2 — - 2

= 0 • eos 0 + 1 • sen 0 = sen 0 P a r a d e m o s t r a r la f ó r m u la ( 3 b ) , u s a la id e n t i d a d ( 3 a ) q u e a c a b a m o s d e e s t a b le c e r . sen ! y

0 ) = eos I

-

- í - - 9 l

= co se

T

Usa (3 a ). A d em ás, com o cosí y

77

0 ) = eos

-

0 -

77

= COS 0 ------V 2 t

Propiedad p a r del coseno y com o

77 co s\Y

~~

SJ

= sen 0 í

3 (a ) s e d e d u c e q u e c o s ^0 -

— ^ = s e n 0 . L a s g r á f ic a s d e

y =

c o s ^0 — y

y

y -

sen 0

s o n id é n t ic a s . H a b i e n d o e s t a b l e c i d o la s i d e n t i d a d e s d e la s f ó r m u la s ( 3 a ) y ( 3 b ) , a h o r a p o d e m o s d e r iv a r la s f ó r m u la s d e la s u m a y la r e s t a p a r a s e n ( a + / 3) y s e n ( a - / 3).

Demostración se n (a

+ ¡3) =

eos

77 - ( «

+ £)

Fórm ula (3 a )

77 = eos

2 ~ a > ~ 13

C° S( 2 = sen se n (a -

a

eos

a ) C° S

(3

P

+ eos

+ SCn( f ~ “ ) s e n 0

a

sen

¡3

Fórmula ( 2 )

Fórm ulas (3 a ) y (3 b )

j8 ) = s e n [ a + ( —¿Q)] = s e n a c o s ( —(3) + c o s a s e n ( —¡3)

a

eos

¡3 +

— sen a

eos

¡3 — e o s a

— sen

e o s a ( —s e n sen

¡3

¡3)

Usa la fórm ula d e la sum a para el seno que a c a b a s de obtener. Propiedades pares-im pares

SUCCION 8.5 Fórmulasdesumayresta 643 TEOREM A

r

r En palabra» \

La fórm ula ( 4 ) e sta b lec e que el seno de la sum a de des % ángulos es igual al seno del p n m e r ángulo m ultiplicado por fr el coseno del secundo ángulo. r r m ás el coseno del prim er r ángulo m ultiplicado por el seno r del segundo ángulo. r

Fórmulas de la suma y la resta para la función seno

r

EJEM PLO 3

sen(a +

) = sen a eos

p

f eos a sen

p

(4)

sen (a — p ) = sen a eos

p

- eos « sen

p

(5)

p

J Uso de la fórmula de la suma para determinar un valor exacto Determina el valor exacto de sen

I tt Ì2 '

TT

/ 3

Solución

4 tt

scni f = se" KU 12 + + ü 12 77

■“ ( i +f)

;

77

77

V 2

\Z l

1

" 2" ’ 2 + T

~

Fórm ula ( 4 )

f-

1 .

V 3

Resuelve ahora el problema EJEM PLO 4

77

sen — eos — + eos — sen— 4 3 4 3

-

= 4 ( V l+

n. ^

1 9

Uso de la fórmula de la resta para determinar un valor exacto Determina el valor exacto de sen 80° eos 20° - eos SO'1sen 20°.

Solución

La forma de la expresión sen 80° eos 20° - eos 80° sen 20° es la del lado derecho de la fórmula (5) para sen(a - P ) con « = 80° y p = 20°. Esto es, V 3

sen 80° eos 20° - eos 80° sen 20° = sen(80° - 20°) = sen 60° = ----2


los problemas

2 5

v

J

2 9

Determinar valores exactos Si se sabe que sen a =

4

7T

—, — < a < 77, y que sen p

5 2

2 2V 5 = ----- = -----------T -* < p V 5

377 < y

determina el valor exacto de (a) eos a

Solución Figura 27 4 77

sena = -, — < a < ir

(b) eos 4

b

p

( c ) c o s ( a 4- p )

77

(a) Como sen a = - = - y y < a < 7 r , sea b

= 4yr = 5y

(d) sen(a +

P)

coloca a en el cuadrante

II. Ver figura 27. Como el punto P = (a , b ) = (a, 4) está en el cuadrante II, tenemos < 0. La distancia de (a, 4) a (0, 0) es 5, entonces

a

a2 +

b2

=

25

a2 + 16 = 25 a2

b= 4

= 25 - 16 = 9

a = —3 Entonces eos a

a< O

a

3

= — = —— r 5

644 CAPÍTULOS


De manera alternativa, podemos determinar eos a usando identidades, de la siguiente forma: 3 z----------. , 16 cosa = —V I — sen a = —-J l - 2 5 — ~ a en el cuadrante II, eos a < O 3^

(b) Como sen j3 = - = | - % *r <

Figura 28

-2

37r

sen13= v f'17< ^ < T

f3

< y , sea 6 = - 2 y r = V5 y coloca 0 en el

cuadrante III. Ver figura 28. Como el punto el cuadrante III, a < 0. La distancia de +

a2

(a,

= 5 4 = 5

P = (a, b ) = (a,

- 2 ) está en

—2) a (0, 0) es V 5 , así que

b2

a2 +

a2 =

b = -2

1 —1

a =

O

a <

Entonces -1

a c o s íi = 7 =

V5

V 5 = ~

~

De manera alternativa, podemos determinar eos /3 usando identidades de la siguiente manera: rr

eos /3 = - V i - sen2 (3

1

5

V5

V5

5

(c) Usando los resultados que determinamos en los incisos (a) y (b) y la fórmula (1), tenemos que cos(a +

¡3)

= eos

a

eos (3 - sen a sen ¡3

3 / V 5 \ _ 44 / 22 V 5s \ _ l l V 5 5 V 55 )J 5 \V 55 ) ~ 25 (d) sen(a +

¡3) =

sen a eos f3

+

eos a sen (3

V I


los problemas

2

,

W 5

\ ,'

33 i ncisos


Solución

+

cos(a ~

cosía — ¡3) --------------— = cot a Cot B + 1 sena sen f3 H

_ eos a eos (3 + sen a sen (3 sen a sen f3 sen a sen (3 P )

_

eos a eos ¡3 sin a sin f3

sen a sen [3 sen a sen /3

eos a eos (3 + 1 sen a sen /3 = cot a cot

(3

Resuelve ahora

+ 1 los problemas 4 7

y

59

2

V5 25 (a),

(b)

y (c)

SECCIÓN 8.5 Fórmulasdesumayresta 645 TT

1

•J

•.

.

Usa la identidad tan 0

SeI1 ^

las fórmulas de la suma para sen(a + /3) y COS 0 cos(a + /3) para derivar una fórmula para tan(a + ¡3). _ .. Demostración

. tan(a +

-- ------ — y

sen (a + /3) sen a eos B + eos a sen B = -------------- - = -------------------------------eos ( a + (3) eos a eos [3 - sen a sen ¡3

¡3)

Ahora divide el numerador y el denominador entre eos

tan(a + /3) =

eos a eos ¡3 eos j3 - sen a sen /3

eos a

eos

eos ¡3 sen a sen (3 --------- + --------- -eos a eos f3 sen a sen ¡3 1 eos a eos (3

a

eos (3.

eos a -ces^ T -ees+f +OS-7 +

-

¡3) =

-ces-S" eos (3 sen a sen/3

'Cos-jS-

a

eos a eos

¡3

tan a + tan ¡3 1 — tan a tan /3 m

Demostración Usa la fórmula de la suma para tan(a pares-impares para obtener la fórmula de la resta. . tan(a

1

+ ¡3) y

las propiedades

r . ,, tan a + tan(-jS) tan a - tan fí tanfa + ( - ¡ 3 ) ] = ------------------;---- - = -------------------1 - tan a tan(-jS) 1 + tan a tan /3

■

Hemos demostrado los siguientes resultados:

TEOREM A

Fórmulas de la suma y la resta para la función tangente

r En palabras r

r r r r

La fó rm u la ( 6 ) e s ta b le c e que la ta n g e n te d e la sum a d e d o s án g u lo s es igual a la ta n g e n te del p rim e r ángulo m ás la ta n g e n te del segundo ángulo, to d o dividido e n tre 1 m enos su p ro d u c to .

tan(a +

(3)

tan(a -

¡3)

tan a + tan ¡3 1 - tan a tan (3 tan a - tan ¡3 1 + tan a tan (3

(6 )

(7)

J -Resuelve ahora

el problema 3 3

inciso

(d)

Establecer una identidad

EJEM PLO 7 Solución

Demuestra la identidad: tan(0 = 7r) = tan 6 tan 0 + tan ir tan 0 + 0 tan(0 + i r ) = = tan 0 1 - tan 0 tan 7T 1 - tan 0 • 0 El resultado obtenido en el ejemplo 7 verifica que la función tangente es periódi ca con periodo ir, un hecho que habíamos estudiado antes.

Establecer una identidad

EJEM PLO 8

Demuestra la identidad:

Solución

tan [ q + _ir | = _ cot g 7T

No podemos usar la fórmula (6), porque tan — no está definida. En cambio, procede remos de la siguiente manera:

A D V E R T E N C IA Ten cuidado al u sar las fórm ulas ( 6 ) y (7 ). E s ta s fó rm u las se pueden u sar solo para ángulos a y / 3 para los cuales ta n a y ta n ¡3 e s tá n definidas, e s to es, to d o s los ángulos excepto los m últiplos e n te ros im pares de — .

■

sen 0 + tan 0 +

ir

ir ,

eos 10 +

ir \ —J

ir

ir -

2

2

sen 0 eos — + eos 0 sen — tt

eos 0 eos —

-

ir

sen 0 sen —

(sen 0)(0) + (eos 0)( 1)

eos 0

(eos 0 )( 0) - (sen 0)( 1)

-sen 0

= -c o t 0

646

CAPÍTULOS Trigonometría analítica

3 Uso de las fórmulas de la suma y la resta que Involucren funciones trigonométricas inversas EIE MP L O 9 I Determina el valor exacto de una expresión que Involucre J funciones trigonométricas i ____ In iiO I 'C 'lC inversas

__f

(

D e t e r m i n a e l v a lo r e x a c t o d e :

Solución

sen ^ c o s

- i 1

2 + scn

5/

Q u e r e m o s d e t e r m in a r e l s e n o d e la s u m a d e d o s á n g u lo s ,

a -

»1 - « 2 y P

eos

______ > 3

sen 5

-

E n to n c es

1

y

COS a = -

7T

NOTA En el ejemplo 9 , tam bién po-

U s a m o s i d e n t i d a d e s p it a g ó r ic a s p a r a o b t e n e r e l s e n

dríam os d e te rm in a r sen a em plean-

e o s /3 > 0 ( ¿ p u e d e s v e r p o r q u é ? ) , t e n e m o s q u e

1 a d o c o s « = — = —,p a r a a = 1 y r = 2 .

sen a = V i

-

cos2 a = ^ 1

-

s in 2 p = J 1 -

=

sen ( a

2

a

y el eos

\ =

-

n

------ (i

(i = -

sen

—

p

p.

2

a =7 0

C o m o sen

y

=

E ntonces te n d ría m o s que, b = V 3 b

16 _ 4

V3

y sen a — - - — - . Podemos ta m j r 2 bien d e te rm in a r cos P de una fo rm a sim ilar.

cos P

=

V i

—

=

25 “ 5

C o m o r e s u lt a d o , >en( c o s 1 ^

+

sen 1

P)

+

sen a co s

=

/3 +

3 .I

- V

1

c o s a sen

4V 3 + :

3

2 ' 5 + 2 "5 ~


el

pro blem a

P

10

75

Escribir una expresión trigonométrica como una expresión algebraica E s c r ib e s e n ( s e n 1

u

+ cos 1

v)

c o m o u n a e x p r e s ió n a lg e b r a ic a q u e c o n t e n g a

d e c ir , q u e n o te n g a n in g u n a f u n c ió n t r ig o n o m é t r ic a ) . I n d ic a la s r e s t r ic c i o n e s e n

Solución

P r im e r o , p a r a s e n

-1 s u

1 u, t e n e m o s q u e

— 1 < i; < 1 . A h o r a , s e a sen

s e n - 1 11 y e o s ' 1

a = a

7r

-

u-

v,

77

P -

7r

¿m

0 < / 3 < 7T

V

p ara e o s ' 1

v,

ten em o s que

ten em o s q u e

— < « < — -1 <

^ COS

1y

<

-1 <

//

< 1

v

< 1

77

L o m o - — < a < — s a b e m o s q u e c o s a > 0. C o m o r e s u lta d o .

cos a = D e m a n e r a s im ila r , c o m o 0 < sen

p

p =

V <

1 - s e n 2 a = V i - ir tt,

V i

sa b em o s q u e sen -

eos'

p =

V

p

i -

> 0. E n to n c es

v2

P o r lo t a n t o , se n (sen

1 11

+ cos

1 v) = se n (a +

P)

= sen a co s p =

Resuelve ahora

EL PROBLEMA 85

uv

+

V i

+ c o s a sen P —

ir

V i

u y v (e s u v e n v.

— r*

SECCIÓN 8.5 Fórmulasdesumayresta 647 4 S o lu c ió n d e e c u a c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s lin e a le s en sen o y co sen o Algunas veces es necesario elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación para obtener expresiones que permitan el uso de identidades. Recuerda que elevar ambos lados de una ecuación al cuadrado puede introducir soluciones que no correspondan. Como resultado, se deben verificar soluciones aparentes.

EJEM PLO 11

Solución de una ecuación trigonométrica lineal en seno y coseno Resuelve la ecuación:

Solución A

sen

6

+ eos 0 = 1,

0<

6 < 2n

Los intentos de usar identidades disponibles no llevan a ecuaciones que sean fáciles de resolver. (Inténtalo tú mismo.) Debido a la forma de esta ecuación, decidimos elevar ambos lados al cuadrado. sen 9 + eos 9 = 1 (sen 9 + eos 0 ) ' = 1 sen2 0

+ 2

sen 0 eos 0 + eos2 0 = 1 2

sen 0 eos 0

= 0

Eleva am bos lados al cuadrado. Elimina los parén tesis. sen2 6 + eos2 6 = 1

sen 0 eos 0 = 0 Igualando cada factor a 0, obtenemos sen 0 = 0

o

eos 0 = 0

0 = 7T,

9 - d ~ 2

Las soluciones aparentes son 0 = 0,

0 =

’

37T

<35 11 p

Como elevamos ambos lados de la ecuación original al cuadrado, debemos veri ficar estas soluciones aparentes para saber si alguna no corresponde. sen 0 + eos 0 = 0 + 1 = 1

Una solución

0 = 7t:

sen 77 + eos 77 = 0 + ( —1) = — 1

No es una solución. Una solución

-

7

7T 7T sen — + eos — = 1 + 0 = 1 2 2

No es una solución.

T

377 377 sen — + eos — = 2 2

-

—1 + 0 = —1

377-

Los valores 9

Solución B

— no corresponden. El conjunto solución es 4 0,

= n y 9 -

7r

Empieza con la ecuación sen 0 + eos 0 = 1 y divide cada lado entre Entonces

V 2.

(La razón de esta elección será clara en un momento.)

1

1

1

V 2

v 2

—P sen 0 H-----p eos 0 = —p V 2

El lado izquierdo ahora se parece a la fórmula para el seno de la suma de dos ángulos, uno de los cuales es 0. No conocemos el otro ángulo (llamémoslo (f>.) Entonces sen(0 +

4>)

1

= sen0 eos + eos 0 sen (f>

V 2

donde V 2

eos = V 2

1

V 2

V2

2

sen (f> = —p = ——

0 ^ (f> < 2tt

(8)

648 CAPÍTULO 8 _.


„

„ , , , P o r l o t a n t o , e l á n g u lo

Figura 29

,

0 ir r nmn r e s u l t a d o la e c u a c i ó n ( 8 ) s e c o n v i e r t e e n es —. C o m o resu u au u , ^ \ >

(

d

sen

V 2

7r \ + ■

V

2

7T

37T

2 : 4 y 4 ' v e r f ,g u r a 2 9 -

E n e l in t e r v a l o [ 0 , 2 7 r), e x i s t e n d o s á n g u lo s c u y o s e n o e s C o m o r e s u lt a d o , TT

=

TT

— 4

T

TT

3 7T

4

T

+—

e

O

7T 6 = 0

E l c o n j u n t o s o lu c iió ón es

|o ,

e

o

y j.

E s te s e g u n d o m é t o d o d e s o lu c ió n s e p u e d e u sa r p a r a r e s o lv e r c u a lq u ie r e c u a c ió n lin e a l e n la s v a r ia b le s s e n

EJEM PLO 12

6y

6.

eos

Solución de una ecuación trigonométrica lineal en sen 0 y eos 0 R e s u e lv e :

a donde

Solución

a, b

y

c son

co n sta n tes

sen

D i v i d e a m b o s la d o s d e la e c u a c i ó n ( 9 ) e n t r e

V ¿

+

eos

=

c

=

y a 2

4-

(9)

< (f> < 2tt, p a r a a

b 2.

eos

6 =

+

E n to n c es

V

sen 0

a

+ e o s

+

b

(1 0 )

-

(U )

b2

L a fig u r a 3 0 m u e s t r a la s it u a c ió n p a r a c r ib ir c o m o

a2

el cu al

y

0 eos

+

a2 + b2

V

\fa 1

sen

d

b

6

b2

E x i s t e u n ú n ic o á n g u lo , 0

eos

yoaiÔobÔ.

sen

Figura 30

6+ b

a2 4- b2 > 0 y

6 sen

b >

0. L a e c u a c ió n ( 1 0 ) s e p u e d e e s

=

\ / a 2 + b2 o,

e q u iv a le n t e m e n te , s e n (0 + ) =

(1 2 ) +

b2

d o n d e s a t is f a c e la e c u a c i ó n ( 1 1 ). S i \c\ > \ / a ~ + b , e n t o n c e s s e n (0 + < /> )> 1 o s e n (0 ( 1 2 ) n o t i e n e s o lu c i ó n . M ^

y a 2 +

b2, e n t o n c e s

— 1, y la e c u a c i ó n

la s s o l u c i o n e s d e la e c u a c i ó n ( 1 2 ) s o n

0 + - s e n 1

6 + $ = tt \fa 2

+ (f>) <

+

b2

s e n -1 +

b2

C o m o e l á n g u lo e s t á d e t e r m i n a d o p o r la s e c u a c i o n e s ( 1 1 ) , la s c u a l e s d a n la s s o l u c i o n e s a la e c u a c ió n ( 9 ) .

Resuelve ahora

EL PROBLEMA 9 3

SECCIÓN 8.5 Fórmulasdesumayresta 649 RESUMEN

Fórmulas de suma y resta + p) =

c o s(a

eos

p) —sen a

se n (a +

+ P) =

ta n (a

a

ta n

eos

p

eos

p +

a +

ta n

-

sen a se n p

eos (a

—p) =

eos a eos

p +

sen a sen

p

p

sen (a

—p) =

sen a eos

p

eo s a sen

p

eo s a sen

p ta n (a -

1 - ta n a ta n p

ta n

p)

=

a

-

-

p

ta n

1 + ta n a ta n p

8.5 Evalúa tu entendimiento "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1.

d

L a d ista n c ia

d e l p u n to

( 2 ,- 3 )

al p u n to

(5 , 1) e s

/ )\ se n — 77 • e o s ~ 77 = ___ 3i . (a

- ( P - 15 1 )

7T

77

2 . S i se n

6

4 = — y

(b ) tan — -

6

e s tá

en

e l c u a d r a n te

.

eos

6

se n — -

4

II, e n to n c e s

(pp . 5 2 9 -5 3 5 )

6

.

(pp. 5 2 9 -5 3 5 )

-

4

377

4 . S i se n a = - - , 7r < a <

(p . 5 4 7 - 5 4 8 )

— , e n to n c e s e o s

a =

(pp. 5 4 7 -5 4 8 )

Conceptos y vocabulario 5. c o s (a +

P) =

eos

a

.6. s e n ( a — p) = se n 7.

eos

p_

. se n

a eos p _

Verdadero o falso p

se n (a

. eos

+ P) =

se n

a+

a se n a

se n

/3 9.

se n j3

p + 2 sen a

10.

se n


(

Verdadero o falso

cos^

7T

6

2

= eos

8

Verdadero o falso Si f(x) = se n x y g(x) c e s g(a + P) = g(a)g(P) - f(a)f(P)

= eos

x,

e n to n

ta n 75 ° = ta n 3 0 ° + ta n 4 5 °

Ejercicios En los problemas 11-22, determina el valor exacto de cada expresión. 577 1111 . se n — 12

n 77 12 . se n —

V> 11 31 . e o s — 777

1 7 . tan 15°

18. tan 195°

\l 9 .

777

14. ta n —

15. e o s 165°

16. se n 105°

20 . tan —— 12

21. s e c ( - i )

22 . c o . ( - f

2 3 . se n 2 0 ° e o s 10° + e o s 2 0 ° s e n 10°

2 4 . se n 20 ° e o s 8 0 ° -

e o s 2 0 ° se n 80°

2 5 . e o s 7 0 ° e o s 20° - se n 7 0 ° se n 20°

2 6 . e o s 4 0 ° e o s 10° + se n 4 0 ° se n 10°

12

12

X

12

1977

1777

se n —

En los problemas 23-32, determina el valor exacto de cada expresión.

\

27.

\

tan 20° + tan 25° 1 -

tan 40 ° - tan 10° 2_ #n ____________________

tan 20° tan 25°

77

29. s e n —- e o s — — 12 12

77

1 + tan 4 0 ° tan 10°

77

IT T

777

577

577

777

,,

77

577

577

777

3 0 . e o s —— e o s —— - s e n —— se n —— 12 12 12 12

eo s — sen — 12 12

577

„„

77

3 1 . e o s — e o s —— + s e n — se n — 12 12 12 12

77

577

3 2 . s e n — e o s — + e o s — se n — 18 18 18 18

En los problemas 33-38, determina el valor exacto de lo siguiente bajo las condiciones dadas: (a)

33. se n

;

a =

35. tan

a

=

37. se n

a

=

3

<

5’° 4 7T —

~ 3’ 5

2

a <

7T

2'

< a < TT\

37T

1 3 ’ ’~~2

( c) s e n ( a - P ) =

eos

p

< a < -ir,

7T

2V 5

p

eos

tan

—

5

’

1 , = 2 ’°

p =

2

<

< p<

-- V 5 , f

( d ) ta n (a - P )

O V <=a

\

( b) c o s ( a + P )

sen (a + P )

7T

2 < P<

77

34. e o s

a =

36. tan

a

38. e o s

a =

=

Vs 5

,0 <

7r “ < 2 ;

3tt

5

1 2 ’ '77 < “ < T 1 2’

77

— <

2

a < 0;

;

se n

p ■

se n

p

se n

4

7T

5 ’~2

<

P <

0

1 377 7r < : P < 2’ ~2

p = yl 0 < P

77

<

2

650 CAPÍTULO 8 Trigonometríaanalítica 1 . , , . 39. Si sen 0 = ^ ,0 en el cu a d ra n te II, d eter m in a el v a lo r e x a c to

.

4« 4 0 . S is e n

3

de:

(b ) se n ^0 +

(c ) COS^0 - y

(d ) ta n fff + y

0 en el

cuadrante II, determina e l valor exacto

de:

v \ —

(a ) eo s 0

=~

(a ) o..* sen íi 0

. (b) scn yl -

(c) c o s ío + y j

( d ) tan

(

-

5 )

En los problemas 41-46, usa i 41.

f(a + p)

42.

g[at + P)

4 3.

g(a - P)

44.

f{a - P)

45.

h(a + p)

46.

h(a

—

P)

En los problemas 47-72, establece cada identidad. \

b'j

47. s e n ^ y +

= eos

9

48. co s( y

+

0

) = -sen

5 0. c o s (77 -

9) =

-e o s

9

5 1 . s e n ( 7r +

9) =

53. ta n (77 -

9) =

-ta n

9

5 4 . tan(27r -

9)

5 6. cos( y ~ +

5 8. c o s ( a

p)

a eos p

eos

p)

co s(a 62. se n

a eos p

co s(a 64. eos (a

) = sen

+ p) +

se n (a + 60.

9

co s(a

=

tan

=

co t

+ P) —P)

1 -

68. s e c ( a — p) — 70. c o s ( a —

p)

72. e o s (9 +

k-n)

cot

52.

( 3tt = -ta n O

5 5 . s e n ( “y

p)

s e n ( a + P) 59. ---------------- - = 1 + c o t sen a e o s p

+ tan

a

+ tan

tan

61.

p

63.

a tan p a tan p

a co t p + 1 p - cot a

se c a se c

= ( - 1 ) * eos

= 1

p

-

tan

se n (a +

p)

tan

a

se n (a -

p)

tan

a -

65. c o t(a +

P)

-e o s»

a

tan

p

a

tan

p

+ tan tan

p p

a cot P - 1 co t p + c o t a

cot =

+ P) =

a esc p a cot p - 1

e sc cot

p

1 + tan a tan p

p) =

eos a eos

67. s e c (a

cot

+ se n (a -

P)

c o s(a +

p

\ + 9I=

P) = 2 se n a e o s p

—p) = 2 e o s a e o s p

\

9

= se n

cos(n + 0) = -eos 9

57. s e n (a +

a

co s(a +

9

9

1 + tan

66. c o t ( a — p) =

-sen

0)

4 9 . s e n ( 7T -

9

eo s2 a

—se n 2 p

9, k cu a lq u ier

69. s e n (a -

P)

71. se n (0 +

kn)

se n (o +

p)

= sen 2 a

= ( —1)* se n

-

sen 2 p

9, k c u a lq u ie r

n ú m e r o e n te r o

n ú m er o e n te r o

En los problemas 73-84, determina el valor exacto de cada expresión. 73. se n ( se n 1

\

sen [sen

J

+ eos 1 0

4\

- tan - i -3 l

HA

, V3 . 7 4 . se n ( se n 1 - y - + e o s “1 1

„„ / . 4 7 7 . c o sí tan y + e o s Í 3)

79. c o s ( se n 1 ^

( TT

- tan 1 y

3

8 2 . tan — - e o s -1 \ 4 5

\

75.

" I “ c“

78. eos

8 0 . co s( tan 1 - + e o s 1 — 3 13

8 1 . tan

8 3 . tan ( se n 1 y + e o s -1 1

84.

'(“ ?)]

- s e n - (- |)]

I +f )

t a n d e o s “1 y + s e n -1 1

SECCIÓN 8.5 Fórmulasdesumayresta 651 l-.n los problemas 85-90, escribe cada expresión trigonométrica como una expresión algebraica que contenga u y v. Indica las restricciones requeridas en u y v. \ .

85. e o s(c o s 1 u + sen 1

v)

86. s e n ( s e n 1 u - e o s -1 v)

8 7 . s e n ( la n 1 u - se n 1

5** c o s (t a n 1 u

v)

8*). t a n ( s e n -1 u - e o s ' 1 v)

9 0 . sc c (ta n '*

+

tan 1

u

+ eo s' 1

v) v)

F.n los problemas 91-96, resuelve cada ecuación en el intervalo 0 ■< 0 < 2n. 9 1 . s e n tí — V 3 e o s eo s0 =

9 4 . s e n tí -

0

= 1

-\Z l

9 2 . \ ^ 3 se n tí + e o s tí = 1

93.

9 5 . t a n 6í + V 3 =

96. cot

s e c tí

s e n tí + c o s t i =

0+

0

e sc

= - V3


D e m u e s tr a q u e s e n ' 1 v + e o s 1 v =

99.

D e m u e s tr a q u e t a n ' / ^

= y

101. D e m u e s tr a q u e s e n ( s e n ' ‘ v

103.

+

7T —

ta n “1

-

98.

2.

v, si v

> 0

e o s ' 1 v) = 1.

102.

C á lc u lo D e m u e s tr a q u e e l c o c ie n te d e d ife r e n c ia s para = s e n .v e s tá d a d a p o r +

h) - f(x)

li)

se n (.r +

se n c o s .v

L2 (v e r

i 1 0 4 . C á lc u lo

1 - eos h

x

+

D e m u e s tr a q u e e l c o c ie n te d e d ife r e n c ia s para

h)

— f(x)

h

m2 so n

„ ”h ~ >n\ 0 - ---------------1 + m¡m2 las p e n d ie n te s d e L , y

[S u geren cia: U sa el h e c h o d e q u e tan

cos ( j :

h)

+

Lv

r e sp e c tiv a

6¡ =

m , y tan

0 <

0<

— cos^

h

" = -sen

se n

x■

h

— eos

x•

1 - eos h

1 0 5 . U n o , d o s , tres (a ) D e m u e s tr a q u e s e n ( t a n '' 1 + t a n ' 1 2 + ta n ' 1 3 ) = 0. (b ) C o n c lu y e d e l in ciso a q u e t a n ' 1 1 + t a n ' 1 2 + ta n “1 3 = 7r

Fuente: College Mathematics Journal, V o l. 37, N o . 3, M ay 2006 106. P o te n c ia e lé c tr ic a

1 0 8 . Si a +

E n u n cir c u ito d e c o r r ie n te a ltern a

(a c ), la p o te n c ia in sta n tá n e a p e n un tie m p o t e stá d a d a p or "•

p(t) = VmIme o s s e n 2(w f)

V J mse n

-

f3 + y =

cot

0=

180° y

cot

a+

cot

[3 +

cot

y,

s e n 30

P(0 = y j ms e n (wt) s e n (tot - t¡>)

1 0 9 . Si tan

=

a- x+

Fuente: Hyper Physics, hosted by Georgia State University

s e n ( a - 0 )sen (/3 - 0)sen(-y 1 y tan /3 =

2

x

co t(a -

fi)

=

C o m e n ta la sig u ie n te d eriv a ció n : tan

ta n (o +

f ) =

0

+

1

tan

+ tan 77

1 - tan 0 tan —

1

tan

— 77

ta n ¿ P u e d e s ju stifica r ca d a p a so ?

0 77

0

0 + 1 0 - tan 0

1 -ta n

0

=

0)

— 1, d e m u e str a q u e


tan

90°


se n (w f) e o s (caí)

D e m u e s tr a q u e e s e q u iv a le n te a

110.

re c

á n g u lo a g u d o

m e n te .

/( .v ) = e o s .t e s tá d a d o p o r /(

0 el

fig u r a ). D e m u e s tr a q u e

tan

donde m, y

L2d o s

S ean L , y

tas v e r tic a le s q u e n o se in le r se c ta n y se a e n tr e L , y

se n .t •

+ e o s ' 1 v) = 0.

1 0 7 . G e o m e tr ía : á n g u lo e n tr e d o s re cta s

- se n .v

h

v

D e m u e str a q u e c o s ( s e n _l

h =

7r

=

100. D e m u e str a q u e c o t ' 1 ev = ta n ' 1 e ~ u.

f(x) f(x

D e m u e str a q u e tan 1 v + c o t 1 v

-co t

0

x2

02 = m2.]

652

CAPÍTULO» Trigonometría analítica

111.

E xp lica p or q u é la fó rm u la (7 ) n o se p u e d e usar para d em o stra r q u e la n ^ y -

0j

= col 0

E sta b lec e esta id en tid a d u sa n d o las fó rm u la s (3 a ) y (3 b ).

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo? 3. (a)

i. 5

V 2

8.6 Fórmulas de ángulo doble y de medio ángulo OBJETIVOS 1 Usar fórmulas de ángulo doble para determinar valores exactos (p. 652) 2 Usar fórmulas de ángulo doble para establecer identidades (p. 653) 3 Usar fórmulas de medio ángulo para determinar valores exactos (p.656)

En esta sección derivaremos fórmulas para sen(20), cos(20). sen ^ - tí j y cos^términos de sen tí y eos tí. Se derivan usando las fórmulas de la suma. En las fórmulas de la suma para scn(a + /3) y cosía + /3), sea a = 0 = sen(a + sen(0

(3)

= sen a eos

+ tí) =

sen

(3

tí.

tí j

en

Entonces

+ eos a sen

tí e o s 0 +

eos 0 sen tí

sen(20) = 2 sen tí eos tí

y cos(a + /3) = eos a eos /3 - sen a sen c o s ( t í + tí) =

¡3

eos tí eos tí - sen tí sen tí

cos(20) = eos2 tí

sen2 tí

-

Una aplicación de la identidad pitagórica sen: tí + cos: tí = 1 da como resultado otras dos maneras de expresar cos(2^). cos(20) = eos2tí

-

sen2tí

=

(1 - sen2tí)

c o s ( 20 ) = e o s 2 0 - s e n 2 0 = e o s 2 0 -

-

sen20 = 1 - 2 sen20

(1 - e o s 2 0 ) = 2 e o s 2 0 - 1

H e m o s e s t a b l e c i d o la s s i g u i e n t e s f ó r m u la s d e á n g u l o d o b le :

TEOREMA

Fórmulas de ángulo doble s e n (20) = 2 se n 0 e o s 0

(1)

e o s ( 20 ) = e o s 2 0 -

(2 )

c o s ( 20) =

1 -2

sen 2 0

sen 2 0

c o s ( 20) = 2 e o s 2 0 -

1

(3 ) (4 )

1 U so d e las fó rm u la s d e á n g u lo d o b le p a ra d e t e rm in a r v a lo r e s e x a cto s

[ EJEM PLO 1 | Determinar los valores exactos usando las formula* H o ár>giiir» HaMd q. « 3 M sen 0 = - , ( a ) s e n ( 20 )

7T —

<

tí <

(b )

tt,

d e t e r m in a e l v a lo r e x a c t o d e :

c o s ( 20 )

SECCIÓN 8.6 Fórmulasdeángulodobleydemedioángulo 653 Solución

(a) Como sen(20) = 2 sen 0 eos

ti

y ya sabemos que sen

solo debemos

ti —

_ 3 b ir Como sen ti = - = < ti < ir, hacemos b = 3 \ r = 5 \ 5 r 2 colocamos ti en el cuadrante II. Ver figura 31. Como el punto P = (a , b ) = ( a , 3) está en el cuadrante II, sabemos que a < 0. La distancia de ( a , 3) a (0,0) es 5, entonces determinar eos

Figura 31

ti.

a2 + 32 = 52

a2 + b2 = r

a2 = 25 - 9 = 16 a

= -4

a < O

. (i —4 Determinamos que cos0 = - = — . Ahora usamos la fórmula (1) para obtener sen(20) = 2 sen ti eos ti = 2 Í ^ V - ^ J “ (b ) C o m o s e n 0 =

e s t á d a d o , e s m á s s e n c i l l o u s a r la f ó r m u la ( 3 ) p a r a o b t e n e r

c o s ( 2 0 ). c o s ( 20) =

_ 9 \

1 - 2 sen 20 = 1 - 2

_

1 8 _ J7_

25/ “

25 " 25

A D V E R T E N C IA Al d e te rm in a r c o s (2 0 ) en el ejem plo 1(b), e sco g im o s u s a r una versión de la fó rm u la de ángulo doble, fó rm u la ( 3 ) . O b serva que no podem os u s a r la Id e n tid a d p ita g ó ric a c o s (2 0 ) — ± \ / 1 — sen (2 0 ), con s e n (2 0 ) = -------- , porque no te n e m o s fo rm a de s a b e r qué signo 25 elegir.

■

Resuelve ahora

los problemas

incisos

i

2 U so d e la s fó rm u la s d e á n g u lo d o b le p a ra e s ta b le c e r id e n tid a d e s

EJEM PLO 2

Solución

Establecer identidades ( a ) D e s a r r o l l a u n a f ó r m u la p a r a t a n ( 2 0 ) e n t é r m in o s d e t a n

ti.

( b ) D e s a r r o l l a u n a f ó r m u la p a r a s e n ( 3 0 ) e n t é r m i n o s d e s e n

ti y

a

( a ) E n la f ó r m u la d e la s u m a p a r a t a n ( a + /3 ), s e a

ta n (a +

t a n (0

¡3)

ta n =

+ ti) -

, t a n ( 20 ) v '

a +

=

¡3 = ti.

eos

ti.

E n to n c es

t a n /3

1 - t a n a t a n (i ta n

ti

ti1 ti t a n ti

+ ta n

1 - ta n

2 ta n 0 ,

1 - ta n 2 0

(5 )

( b ) P a r a o b t e n e r u n a f ó r m u la p a r a s e n ( 3 0 ) , e s c r ib i m o s 3 0 c o m o 2 0 + 0 y u s a m o s la f ó r m u la d e la s u m a . se n (3 0 ) = se n (2 0 + 0) = se n (2 0 ) eo s 0 + eo s 0 + c o s(2 0 )se n 0

654

capí

PULO 8

Trigonometríaanalítica Ahora usa las fórmulas de ángulo doble para obtener sen(30) =

sen 0 eos 0 )(cos tí) + feos2« - %cn2 0)(% en0) = 2 sen tí eos7 tí ¥ sen 0 eos2 tí - sen’ 0 = 3 sen tí eos2 tí - sen' tí (2

*J

La fórmula que obtuvimos en el ejemplo 2(b) también se puede escribir como sen(30) = 3 s e n

0

eos2 0 - sen'0 * 3 sen 0(1 - scn20) - sen 0 = 3 scn0 - 4 sen? tí

Es decir sen(30) es una función polinomial de tercer grado en la variable sen tí. De hecho, scn(«0), n un número entero impar positivo, siempre se puede escribir como una función polinomial de grado n en la variable sen tí*

'

1"


Si reordenamos las fórmulas de ángulo doble (3) y (4). obtenemos otras fórmulas que usaremos más tarde en esta sección. Empieza con la fórmula (3) y resuelve para sen tí. cos(20) = 1 - 2 sen" 0 2 sen2 0 = 1 - cos( 20) , sen* tí

-

1 - cos(20) _ 2

De manera similar, usando la fórmula (4) resolvemos para eos

(6)

tí.

cos(20) = 2 eos2 0 - 1 2 eos2 0 = 1 + cos(20)

eos* tí

1 + cos(20) =

(7)

Las fórmulas (6) y (7) se pueden usar para desarrollar una fórmula para tan 0 1 - cos(20) tan" tí

=

tan* tí

sen2 tí eos*0

1 + cos(20)

1 - cos(20) =

1 + cos(20)

(8 )

No tienes que memorizar las fórmulas (6) a la (S). debido a que sus derivaciones son muy directas. /\ fórmulas (6) y (7) son importantes en cálculo. El siguiente ejemplo ilustra un J problema que surge en cálculo y requiere el uso de la fórmula (7).

[ EJEM PLO 3 ] Establecer una identidad Escribe una expresión equivalente para eos4 tí que no involucre potencias de seno o coseno mayores que 1. ♦Debido al trabajo hecho por P. L. Chcbyshev. estas funciones polinomiales a \cvrs se llaman
SECCIÓN 8.6 Fórmulasdeángulodobleydemedioángulo 655 Solución

La idea aquí es aplicar la fórmula (7) dos veces.

eos4 0

-

(eos2 0 ) 2

+ cos( 2 0 ) \ 2

1

--

=

Fórm ula (7 )

+

^ -[1

1

cos( 2 0 ) + cos2 ( 2 0 )]

2

1

1

= - + - c o s ( 2 0 ) + - c o s 2 (2 0 ) 1 , 1

= 7 + 4

7 2

1

1

. 1 ( 1 + cos[2(20)]]

cos(20) +

1

Fórm ula (7 )

1

= 4 + 2 COS( 2 0 ) + g t 1 + c o s ( 4 0 ) l

3

1

1

= g + 2 co s(2 0 ) + g c o s(4 0 )


Solución de una ecuación trigonométrica mediante identidades Resuelve la ecuación:

Solución

el problema 4 i

sen 0 eos 0

1

= -

0 < 0 < 2 tt

El lado izquierdo de la ecuación dada está en la forma de la fórmula de ángulo doble 2 sen 0 eos 0 = sen(20), excepto por un factor de 2. Multiplica cada lado por 2. sen 0 eos 0 = — 2

2 sen 0 eos 0 = —1 sen(20) = —1

M ultiplica am bos lados por 2. Fórmula de ángulo doble

El argumento aquí es 20. Así que debemos escribir todas las soluciones de esta ecuación y después enlistar aquellas que estén en el intervalo [0, 27t). Como 377

sen( — +

2nk J —

—1, para cualquier número entero k tenemos que 20

3 tt

—

—— F

2kn

k cualq uier número entero

377

0 = —— F

kv

4

3 tT

0 ^ _

,

+ ( _ 1) 7r =

77

377 0 = — + (0)77

t

r

k = -1

k = O

377

T ’0 -

377

777

377

...

1177

—- + (1)77 - — , 0 ~ — + (2)77 = ——

í k = 1

t k = 2

Las soluciones en el intervalo [0, 27r) son 0 =


32

0 =

4 ’

I tt

377 777 Ì


377

’4 I' el problema 6 9

Movimiento de un proyectil Un objeto se lanza hacia arriba con un ángulo 0 con la horizontal y una velocidad ini-. cial de v 0 pies por segundo. Ver figura 32. Si se ignora la resistencia del aire, el a lc a n c e R , la distancia horizontal que recorre el objeto, se da por la función R (6) =

(a) Demuestra que

R {9) -

1

^

vi

1

sen0 eos 0

sen(20).

(b) Determina el ángulo 0 para el cual, R es un máximo.

656

CAPÍTULO 8I

Trigonometríaanalítica Solución (a) Reescribe la expresión dada para el alcance usando la fórmula de ángulo doble sen(20) - 2 sen 0 eos 0. Entonees i 1 72 sen 0 eos 0 R { 0 ) = — v i sen 0 eos 0 - — v}, 2

1 , 32 «5 *cní2«)

(h) En esta forma se puede determinar el mayor valor para el alcance R . Para una velocidad inicial v 0 fija, el ángulo 0 de inclinación con la horizontal determina el valor de R . Como el mayor valor de la función seno es 1 y se da cuando el argu mento 20 es 90°, se deduce que para el máximo R debemos tener 20 0

= 90° =

45"

Una inclinación con la horizontal de 45" da como resultado el máximo alcanc^j 3 U so d e las fó rm u la s d e m e d io á n g u lo p a ra d e t e rm in a r v a lo re s e x a cto s Otro uso importante de las fórmulas (6) a la (8) es para demostrar las fórmulas de a m e d i o á n g u lo . En las fórmulas (6) a la (8), sea 0 = —. Entonces 1 - eos a

1 + eos a

2

2

1 - eos a 1 + co sa

(9)

Las identidades en el recuadro (9) serán útiles en cálculo integral. Si resolvemos para las funciones trigonométricas en los lados izquierdos de las ecuaciones (9), obtenemos las fórmulas de medio ángulo.

TEOREMA

Fórmulas de medio ángulo

donde el signo + o —se determina por el cuadrante del ángulo —. 2

J

EJ EM PLO 6 ] Determinar valores exactos usando las fórmulas de medio ángulo Usa una fórmula de medio ángulo para determinar el valor exacto de: (a) eos 15°

Solución

(b) sen( —15°)

30° (a) Como 15 = — ,podemosusarlafórmulademedioánguloparacos ^ cona = 30°. Además, como 15 está en el cuadrante I. eos 15° > 0, escogemos el signo + al usar la fórmula (10b): i„ 30° eos 15° = eos — =

1 + eos 30°

2

'1 + V 3/2

2

+ V3 4

V 2 + VS 9

i

SECCIÓN 8.6 Fórmulasdeángulodobleydemedioángulo 657 (b) Usa el hecho de que sen (-1 5 °) = - s e n 15° y después aplica la fórmula (10a).

30°

sen (-15°) = -sen

1 - eos 30°

K

-

V 3/2

¡2 —

V3

V 2 - V3

Es interesante comparar la respuesta que determinamos en el ejemplo 6(a) con la respuesta del ejemplo 2 en la sección 8.5. Ahí calculamos eos ^ = eos 15" = j ( V í + V 5 ) 12 4' Con base en esto y el resultado del ejemplo 6(a), podemos concluir que -l ( V - 6 + V ~ 2 )

y

son iguales. (Como cada expresión es positiva, puedes verificar esta igualdad elevan do al cuadrado cada expresión.) Se pueden obtener dos respuestas que se ven muy diferentes pero son correctas, dependiendo en el enfoque que se tome para resolver un problema.


1 9

Determinar valores exactos usando fórmulas de medio ángulo Si eos a

—

——, 7r < 5

(a) sen — v

Solución

el problema

2

— , determina el valor exacto de: 2 a (b) eos (c) tan ^ a <

Primero observa que si

77

<

7t

3 tt

a <

(x

3 tt

cl

— , entonces — C — C — . Como resultado, —

está en el cuadrante II: a a (a) Como — está en el cuadrante II, sen^ > 0, así que usamos el signo + en la fórmula (10a) para obtener

a sen — 2

CL

CL

(b) Como — está en el cuadrante II, eos — < 0, así que usamos el signo - en la fórmula (10b) para obtener

658 CAPÍTULO»


(c) Como ? está en el cuadrante II. lan \ < <1. entonce, u,am m el cigno - en la

fórmula ( IOc) para obtener 11 - cosa y i + cosa

a

tan —

-

Otra forma de resolver el ejemplo 7(c) es usar los resultados de los incisos (a) y ib). rr sen -

2\^ 5 5 =

tan - ------------ — 7 7 7 2 o V5 eos — ------2 5

-2

el problema 7 inci sos ui

R e s u e lv e a h o r a

» tai

Existe una fórmula para tan - que no contiene signos + y - J o cual, la hace más útil que la fórmula ( 10c). Para derivarla, usa las fórmulas «

1 - eos a = 2 sen* —

sena = sen

= 2

«i

Entonces 1

Fórmula ( 9 )

n a sen —COS —

2

ángulo

a 2 a — = tan — a a a sen —eos — eos — -> •>n 2 sen —

- eos a sena

Fórm ula d e dotte

sen

Como también se puede demostrar que 1

- eos a sena

1

sena + eos a

tenemos las siguientes fórmulas de medio ángulo: Fórmulas de medio ángulo para tan

or

a 1 - eos a tan — = -----------2 sen a

sena 1 + eos a

(11)

Con esta fórmula, la solución del ejemplo 7(c) se puede obtener de la siguiente manera: 3 3ir eos a = - - tt < a < — 5 2 sen a = - \ / l ~ eos2 a = -

1- — = = - 25 V 25 5

J

Entonces, por la ecuación ( 1 1 ), a tan — = 9

eos a sena

i - (-7 ) V >/ 4

? 5

— _■>

í

SECCIÓN 8.6 Fórmulasdeángulodobleydemedioángulo 659

i 8.6 Evalúa tu entendimiento Conceptos y vocabulario jjí * 1. c o s (2 0 ) = e o s 2 9 -

.

______ = __________ - 1

= 1 -

2 e

2 . se n -

2

3. t a n 2

2

4.

Verdadero o falso

ta n (2 0 ) = -------------— 1 - ta n “ 9

5.

Verdadero o falso

se n (2 0 ) tie n e d o s fo rm as eq u iv a len tes:

2

1 - eos 0

se n

9 eos 9


y

sen 29 - eo s29

ta n (2 0 ) + ta n (2 0 ) = ta n (4 0 )

Ejercicios En los problemas 7-18, usa la información que se da acerca del ángulo 0, (a) V \

(b)

s e n ( 20 )

7 . se n

3

9 = -,

0 <

, .

c o s ( 2 9)

(c)

0

(d)

sen -

cos|

8. e o s 9 = ~,

4 9 . tan 0 = - , 3

0 < 0< —

TT

3 tt 1 , tt < 9 < — 9« = — 2

1 1 . e o s 0 = ----- — , — < 0 < 7r 2

13. se c

9 = 3,

sen

14. esc 0 = - V ó ,

16. se c

9 = 2,

esc 0 < 0

1 0 . tan

9>

0

2tt, para determinar el valor exacto de

7T

3

9< ~ 2

0 < 0<

V ó

17. tan 0 = - 3 ,

eos 0 < 0

37r

7r < 0 < —2

3

15. c o t 0 = - 2 ,

se n 0 < 0

3 tr — < 0 < 2 -n 2

V 3

12 . se n 0 = ----- —-,

18. c o t 0 = 3,

se c 0 < 0 eos 0 < 0

En los problemas 19-28, usa las fórmulas de medio ángulo para determinar el valor exacto de cada expresión. \

19. se n 2 2 .5 °

2 0 . e o s 22 .5 °

2 3 . e o s 165°

2 4 . se n 195°

^7r 2 1 . tan — 8

11 97T 22 . tan — 8

„ 15 tt 2 5 . s e c ——

2 6 . e s c —-

-i.

8

1 2 7 . Se „ ( - f )

8

28. c o s ( - ^ )

En los problemas 29-40, usa las figuras para evaluar cada función sif(x) =

se n

x, g(x) = eos x, y h(x) = tan x.

'

29. / ( 2 0 )

3 3.

h(29)

36. / ( 2 a )

40.

\

41.

a D e m u e str a q u e senA 49

—|

43.

D e sa r r o lla una fó rm u la para c o s (3 9) c o m o u n a fu n ció n p o-

- ^ c o s(2 0 ) + ^ co s(4 0 )

lin o m ia l d e tercer g ra d o e n la v a ria b le e o s

45.

9.

p o lin o m ia l d e q u in to g ra d o e n la v a ria b le se n

42.

D e m u e str a q u e s e n (4 0 ) = (e o s 0 )(4 se n

44.

D esa r r o lla una fó rm u la para c o s (4 0 ) c o m o una fu n ció n p o lin o m ia l d e cu a rto g ra d o en la v a ria b le e o s 9.

46.

D e te r m in a una ex p r e sió n para s e n (5 0 ) c o m o u n a fu n ció n

9.

h(2a)

9-8

s e n 3 9).

D e te r m in a u na e x p r e sió n para c o s (5 9) c o m o una fu n ció n p o lin o m ia l d e q u in to g ra d o e n la v a ria b le e o s

9.

660

C A P ÍT U L O 8 Trigonometría analítica

Eli los problemas 47-68, establece cada identidad. 48.

47. e o s 4 0 - se n 4 6 = c o s (2 0)

5 0 . c o t(2 0 ) = - (e o t

6

- tan

c o t2 0 co t

0+

tan

0

- c o s(2»)

5 2 . c sc ( 20 ) = - s c c e o s ( 20 )

53.

) -

cos2(2 u

54. (4 s e n u e o s

se n 2(2 u) = co s(4 w )

5 6 . s e n 2 0 e o s 2 0 = - [ 1 — c o s (4 0 )] O

5 7 . se c

2

u)( 1 -

2 s e n 2 u) = scn (4 /< )

55. ~

~

0 e sc 0

_ co t0 - l

n (2/7) ” e o t 0 + 1

,0 2 5 8 . c s c z - = -------- — z 2 1 - eos 0

1 + eos 0

1 - ta n 2 se c u + 1 O ut/ 59. co t2 — = 2 se c t; - 1

6 0 . tan - = esc

v -

I

2 cot 0 1

sc c 2 0

5 1 . s e c ( 20 ) =

0)

49. cot (2 0 ) =

cot

0

61. eo s 0 =

v

1 + ta n 2 s e n (3 0 ) c o s (3 0 ) 6 3 . ------------------------- — = 2 sen 0 eos 0

1 „ , sen 3 0 + eo s3 6 6 2 . 1 - - s e n ( 20 ) = ------- ——------ — 2 sen 6 + e o s 9

3 tan 0 -

c o s 0 + sen 0 co s0 - s e n 0 6 4 . ---------------------------------------------- --- 2 ta n ( 20 ) eo s 0 - s e n 0 eos 0 + sen 0

\

6 5 . ta n (3 0 ) =

ta n 3 0

1 - 3 ta n 2 0 1

6 7 . In |s e n 0 | = —(In |l - c o s ( 2 0 ) | -

66. tan 0 + ta n (0 + 120°) + ta n (0 + 2 4 0 °) = 3 t a n ( 3 0 )

ln 2 )

68. In |cos 0| = ^ ( l n |l + c o s ( 20 )| - ln 2 )

En los problemas 69-78, resuelve cada ecuación en el intervalo 0 \

^ 0 < 27t.

6 9 . c o s (2 0 ) + 6 s e n 2 0 = 4

7 0 . c o s (2 0 ) = 2 - 2 s e n z2 0/

7 L co s(2 0 ) = eo s 0

72. s e n ( 20 ) = e o s 0

7 3 . s e n (2 0 ) + s e n (4 0 ) = 0

74. co s(2 0 ) + c o s (4 0 ) = 0

7 5 . 3 - se n 0 = c o s (2 0)

7 6 . c o s (2 0 ) + 5 e o s 0 + 3 = 0

77. ta n (2 0 ) + 2 s e n 0 = 0

7 8 . ta n (2 0 ) + 2 e o s 0 = 0

Práctica m ixta-----En los problemas 79-90, determina el valor exacto de cada expresión. 79. se n

2 sen

-.1

8 0 . sen 2 sen'

4

VI

8 1 . co s( 2 s e n -1

I)

82,L c o s a c o s 1

I)

86. e o s 2 tan 1‘

83. tan 2 e o s '( ——

8 4 . tan 2 tan. - i .

8 5 . se n ( 2 e o s -1

■j j 87. se n 2( — e o s -1 —

'j 2 88. c o s 2( - s e n -1 -

8 9 . se c l 2 ta n -1

(-Í)]

9 0 . esc

2 s e n -1 *

5)

En los problemas 91-93, determina los ceros reales de cada función trigonométrica en el intervalo 0 91.

f{x)

= se n (2 .t) - s e n ^

92.

f(x)

= c o s(2 .v ) + c o s .v


C o n str u c ció n d e u n a ca n a le ta d e llu v ia

S e q u ie r e c o n s

truir una ca n a le ta d e llu via d e lá m in a s d e a lu m in io d e 12 p u lg a d a s d e an ch o. D e s p u é s d e m arcar una lo n g itu d d e 4 p u lg a d a s en cad a orilla , e sta lo n g itu d se d o b la h acia arriba co n un á n g u lo 0. O b ser v a la ilu stra ció n . E l área .4 d e la abertu ra c o m o fu n ció n d e 0 está d a d a por

A{6)

= 16 se n 0 (e o s 0 + 1)

O ° < 0 < 90°

(-!)]

s 0 < 2n\

9 3 . / ( . r ) = c o s (2 .v ) + s e n 2 .r

SECCIÓN 8.6 Fórmulasdeángulodobleydemedioángulo 661 \(a )

E n c á lc u lo se te p e d ir á q u e d e te r m in e s e l á n g u lo q u e m a x im iee

A

0

^ (c )

u (d )

m in a e l á n g u lo

ti

A

A(ti),

=

b ié n d e te r m in a

A.

98.

ti

d ife r e n te s p e r io d o s y a m p litu d e s. U n a p rim era a p ro x i

s e r e la c io n a c o n la

m a ció n para la cu rva d e d ie n te s d e sierra está d a d a p or

d ista n c ia d e la n z a m ie n to / ) d e l sis te m a a la p a n ta lla y el an ch o

W de

U n o s c ilo s c o p io fr e c u e n

cu rva se p u e d e a p ro x im a r p o r cu rvas sin u s o id a le s d e

E n un sis te m a d e p r o y e c c ió n lá se r, el

á n g u lo ó p tic o o á n g u lo d e b a rrid o

C u rva d e d ie n te s d e sierra

te m e n te m u estra una cu rva d e d ie n te s d e sierra. E sta

c o n la r e sp u e sta q u e d e te r m in a s te a n te r io r m e n te . P r o y e c c ió n lá se r

R = R(ti)A5° < ti < 90" y d e t e r ti q u e m a x im iza la d ista n c ia R. T a m la d ista n c ia m á x im a . U sa v() = 32 p ie s

q u e d e te r m in a ste a n te r io r m e n te .

T a m b ié n

d e te r m in a el á re a m á x im a . C o m p a r a tus re su lta d o s

95.

si i >(1 = 32 p ie s p or

p o r s e g u n d o . C o m p a r a lo s re su lta d o s c o n la r e sp u e sta

0 ° < l i s 9 0 ', y d e te r

q u e m a x im iz a e l á rea

R

T r a za la g rá fica d e m in a e l á n g u lo

¿ C u á l e s e l á rea m á x im a d e la a b ertu ra ? T ra za la grá fica d e

¿ C u á l e s la d ista n c ia m á x im a se g u n d o ?

cospt) + eos ti = 0. 0° < t i < 90" R e s u e lv e e s ta e c u a c ió n p ara ti. (b )

(c)

r e s o lv ie n d o la e c u a c ió n

y

la im a g en p r o y e c ta d a p o r la e c u a c ió n

= - sen(27r.v) + - s e n ( 47r.r)

D e m u e str a q u e y = sen (2 7 r.v ) c o s 2 ( 7r.v). e sc (a )

ti

- cot

ti

D e m u e s tr a q u e e l a n c h o d e la im a g en p r o y e c ta d a e s tá d a d a p or

W = 2D ta n ?

2

(b )

D e te r m in a e l á n g u lo ó p tic o si la d ista n c ia d e la n z a m ie n to e s d e 15 p ie s y e l a n c h o d e la im a g en p r o y e c 99.

tad a e s d e 6.5 p ies.

Producto de inercia

D e m u e str a q u e e l á rea

A

d e un triá n g u lo is ó s c e le s c u y o s la d o s ig u a le s tie n e n lo n g i

Fuente: Pangolin láser Systems, Inc. 96.

Á r e a d e un triá n g u lo is ó s c e le s tud s y

ti e s

e l á n g u lo e n tr e e llo s e s

E l producto de inercia para u n á rea

a lr e d e d o r d e e je s in clin a d o s e sta d a d o p o r la fó rm u la

1«i’= 1 x se n ti e o s ti - Iy se n ti e o s ti +

/ IV'( c o s :

ti

- s e n : ti)'

[S u g eren cia : O b se r v a la ilu stra c ió n . La altura

D e m u e s tr a q u e e s to e s e q u iv a le n te a

Iuv =

/ , - Iy — - — s e n ( 20 ) +

h

b iseca el

á n g u lo 0 y e s e l b ise c to r p e r p e n d ic u la r d e la base.]

Iiy c o s ( 20 )

Fuente: A d a p ta d o d e H ib b e le r , Engineering Medíanles: Statics, lOth ed ., P re n tic e H a ll 20 0 4 . 97. Movimiento de un proyectil

S e la n za un o b je to h acia

ti, 4 5 ° < ti < 9 0 °, in icia l d e v0 p ie s p o r

arriba c o n un á n g u lo

c o n la h o r iz o n ta l

c o n una v e lo c id a d

se g u n d o d e sd e la

100. G e o m e tr ía

U n re c tá n g u lo e s tá in scr ito en un sem ic ír cu lo

d e 1 d e ra d io . V e r ilu stra ció n .

b a se d e un a v ió n q u e fo rm a un á n g u lo d e 45° c o n la h o r i zo n ta l. V e r ilu stra ció n . Si se ig n o ra la r e siste n c ia d el a ire, la d ista n cia R q u e reco rre h a cia arriba d el p la n o in clin a d o e stá d a d a p o r la fu n ció n

(a )

E x p resa e l á rea A d el re c tá n g u lo c o m o fu n ció n d el á n g u lo 9 q u e se m u estra en la ilu stra ció n .

A(ti) = se n (2 0 ). ti q u e da c o m o

(b )

D e m u e str a q u e

(c )

D e te r m in a e l á n g u lo y o r á rea

(d )

re su lta d o la m a

A.

D e te r m in a las d im e n s io n e s d e e s te re c tá n g u lo m ás g ran d e.

(a )

R{ti) = ¿X (b )

v \\fl 32

[ s e n ( 2 fl) - c o s ( 20 ) -

2 tan

102.

2 tan

m a x im iee

R r e so lv ie n d o

R e s u e lv e e sta ec u a c ió n para

ti.

s e n (2 0 ) c o m o fu n ció n d e

104.

D e te r m in a el v a lo r d el n ú m er o C:

1 , - e o s .v + 2

x.

c o s (2 0 ) c o m o fu n ció n d e .y.

^ s e n 2 .v + C = - 7 Co s ( 2 .y ) 2 4

ti q u e

la e c u a c ió n

s e n ( 20) + c o s ( 20) = 0

ti, ex p r e sa ti, ex p r e sa

103. D e te r m in a el v a lo r d el n ú m e r o C:

1]

E n cá lcu lo e s te p ed irá q u e d e te r m in e s el á n g u lo

x= Si x =

101. Si D e m u e str a q u e

C

1

= - c o s ( 2 .v) 4

662 CAPÍTULO« Trigonometríaanalítica ,.

/js 105.

Si

z

n = tan

110.

2 7. d em u estra q ue s e n a - - — -g

D e m u e str a q u e

v n

eos X 106. Si

?.

= tan «- .d e, m u e s t r a q u e e o s a -

j1 - -^ - ^p

V 2 + V 2

c v

y eos

y ú sa lo para d e te r m in a r se n

v

I - cos(2t) 107. T raza la gráfica d e / ( * )

0

<

xs

=

s e n 3 * = ------------------- para

111. D e m u e str a q u e sen ’

27r u san d o tra n sfo rm a cio n es.

d

+

senV« + 120")

+ se n

Vi/

+•

240

) -

-^ sc n íV /;

108. Trabaja de n u ev o en el p ro b lem a 107 para # (* ) = c o s ; x. 112. Si tan

109. U sa el h ech o d e q ue C0STT =

+

0 = a tan

- , e x p r e sa tan ^ e n té r m in o s d e

a.

^ 2)

7r para d eterm in ar sen — y e o s — .

Explicación de conceptos: discusión y escritura 113. V e a la b ib lio te ca e in v estig a lo s p o lin o m io s d e C h e b y sh ev . E scrib e un in fo r m e a cerca d e lo q u e e n c u e n tr e s .

8.7 Fórmulas de producto a suma y de suma a producto OBJETIVOS

1 E x p resa r p r o d u c t o s c o m o s u m a s (p . 6 6 2 ) 2

E x p resa r s u m a s c o m o p r o d u c t o s (p . 6 6 3 )

1 E x p re s a r p ro d u cto s co m o su m a s L a s f ó r m u la s d e la s u m a y la r e s t a s e p u e d e n u s a r p a r a d e r i v a r f ó r m u l a s p a r a e s c r ib i r lo s p r o d u c t o s d e s e n o s y / o c o s e n o s c o m o s u m a s o r e s t a s . E s t a s i d e n t i d a d e s g e n e r a l m e n t e s e lla m a n f ó r m u la s d e p r o d u c t o a s u m a .

TEOREM A

Fórmulas de producto a suma

J E s t a s f ó r m u la s n o s e d e b e n m e m o r iz a r . E n c a m b i o , d e b e s r e c o r d a r c ó m o s e d e r iv a n . E n t o n c e s c u a n d o q u ie r a s u s a r la s , p u e d e s c o n s u l t a r l a s o d e r i v a r la s , c o m o s e a n e c e s a r io . P a r a d e r iv a r la s f ó r m u la s ( 1 ) y ( 2 ) , e s c r ib e la s f ó r m u la s d e la s u m a v la r e s t a p a r a el cosen o: eos (a -

fi) =

eos a eos

fi

+ sen a sen

fi

(4)

c o s(a +

fi) =

eos a eos

fi

-

fi

(5 )

sen « sen

R e s t a la e c u a c i ó n ( 5 ) d e la e c u a c i ó n ( 4 ) p a r a o b t e n e r c o s(a -

fi) —e o s ( «

+

fi) = 2

sen a sen

fi

de donde s e n a s e n j3 = ~ [ c o s ( a -

fi) -

c o s(a +

fi)]

S E C C IÓ N 8.7

Fórmulas de producto a suma y de suma a producto

663

Ahora suma las ecuaciones (4) y (5) para obtener cos(a

-

(3) + eos (a + (3) - 2 eos a eos (3

de donde eos a eos ¡3

=

-[c o s (a

—

¡3) + cos(a + j8)]

Para derivar la fórmula de producto a suma (3), usa las fórmulas de la suma y la resta para el seno en una forma similar. (Se te pedirá que hagas esto en el problema 53.)

EJEM PLO 1

Expresar productos como sumas Expresa cada uno de los siguientes productos como una suma que contenga única mente senos o únicamente cosenos. (a) sen(60) sen(40)

Solución

(b) cos(30) eos 0

(c) sen(30) cos(50)

(a) Usa la fórmula (1) para obtener sen(60) sen(40) = ^-[cos(60 - 40) - cos(60 + 40)] = ^-[cos(20) - cos(lO0)] (b) Usa la fórmula (2) para obtener cos(30) cos0 = ^[cos(30 - 0) + cos(30 + 0)] = ^[cos(20) + cos(40)] (c) Usa la fórmula (3) para obtener sen(30) cos(50) = ^[sen(30 + 50) + sen(30 - 50)] = ^[sen(80) + sen(-20)] = ^[sen(80) — sen(20)] •’’'====-'-Resuelve ahora el problema 7

Expresar sumas como productos A continuación se dan las fórmulas de s u m a

TEOREM A

a p r o d u c to .

Fórmulas de suma a producto a + P eos 2 a P sen a - sen P - 2 sen eos 2 a + P eos a + eos P - 2 eos eos 2 a + (3 a — ¡3 eos a - eos ¡3 = —2 sen — - — sen — - —

sen a

+

sen P - 2 sen

(6 )

(7) (8 )

(9)

J D e m o s t r a r e m o s la f ó r m u la ( 6 ) y d e j a r e m o s la d e m o s t r a c i ó n d e la s f ó r m u la s ( 7 ) a la ( 9 ) c o m o e j e r c i c io s ( v e l o s p r o b le m a s 5 4 a l 5 6 .)

664

Trigonometriaanalitica

CAPÍTULO 8

Demostración

2 sen

a+ P

cos

2

a - P\

(a + P

- i.l

2

sen (

2

2

+

(a + p

/

+

+

sen

a - P \]

2 ------------- 2 ~ J j

1 Fórm ula de pro ducto a sum a Í 3 )

2P

2a

= sen — + sen — = sen a

EJEM PLO 2

p

Expresar sumas (o restas) como un producto Expresa cada suma o resta como un producto de senos y/o cosenos. (a) sen(50) - sen(30)

Solución

(b) cos(30) + cos(20)

(a) Usa la fórmula (7) para obtener 50 - 30 5 0 + 30 sen(50) - sen(30) = 2 sen — - — e o s — ----= 2 sen 0 cos(40) 30 + 20 30 - 20 (b) eos(30) + cos(20) = 2 eo s---- ----- e o s----- -----

,

Formula ( d )

50 0 = 2 eos — eos 2

-Resuelve ahora

2

el problema

17

8.7 Evalúa tu entendimiento Ejercicios En los problemas 1-6, determina el valor exacto de cada expresión. 1.

se n 195° • e o s 75°

2 . e o s 2 8 5 ° • e o s 195°

3 . se n 2 8 5 ° • se n 7 5 °

4.

se n 7 5 ° + se n 15°

5 . e o s 2 5 5 ° - e o s 195c

6. se n 2 5 5 ° - se n 15°

En los problemas 7-16, expresa cada producto como una suma que contenga solo senos o solo cosenos. \

8. c o s (4 0 ) c o s (2 0 )

7. s e n (4 0 ) s e n (2 0 ) 12. s e n (4 0 ) c o s (6 0 )

9 . s e n (4 0 ) c o s (2 0 )

13. se n 0 s e n (2 0 )

1 4 . c o s (3 0 ) c o s (4 0 )

10. s e n ( 3 0 ) s e n ( 5 0 )

11. c o s ( 3 0 ) c o s ( 5 0 )

30 0 15. se n — e o s 2 2

16. s e n - e o s —

En los problemas 17-24, expresa cada suma o resta como un producto de senos v/o cosenos. \

17. s e n (4 0 ) - s e n (2 0 )

18. s e n (4 0 ) + s e n (2 0 )

19. c o s (2 0 ) + c o s (4 0 )

20. c o s (5 0 ) - c o s (3 0 )

2 1. se n 0 + s e n (3 0 )

2 2 . e o s 0 + c o s (3 0 )

,, 0 30 23. eo s — — eo s —

2 4 . se n - - s e n —

1

1

En los problemas 25-42, establece cada identidad. e o s 0 + c o s (3 0 )

se n 0 + s e n (3 0 ) 25.

2 s e n ( 20 )

= eos 0

e o s 0 - c o s (3 0 ) 28. s e n (3 0 ) - se n 0

= t a n ( 20 )

29.

c o s 0 - c o s (3 0 ) - = tan 0 sin 0 + s in (3 0 )

3 1. s e n 0 [ s e n 0 + s e n ( 3 0 )] = c o s 0 [ c o s 0 - c o s (3 0 ) ] s e n (4 0 ) + s e n (8 0 ) 33.

35.

c o s (4 0 ) + c o s (8 0 )

se n (4 0 ) + se n (2 0 )

26, — t cos 0 2-----c o s ------------= ( 20 )

= ta n (6 0 ) ta n (6 0 )

s e n (4 0 ) - s e n (8 0 )

ta n (2 0 )

c o s (4 0 ) + co s(2 0 )

= ta n (3 0 )

co s 0 - c o s (5 0 ) 3 0 . --------------------= tan (2 0 ) s e n 0 + se n (^ 0)

32. se n 0 [se n (3 0 ) + se n (5 0 )] = c o s 0 [c o s (3 0 ) — c o s (5 0 )' ^

se n (4 0 ) - se n (8 0 ) ‘ e o s (4 0 ) - c o s (8 0 )

s e n (4 0 ) + s e n (8 0 )

27.

= _ co t^ )

c o s (4 0 ) - c o s (S 0 ) 3 6 ‘ c o s (4 0 ) + c o s (8 0 ) = ta n (2 (,) ,a n ^ )

SECCIÓN 8.7 Fórmulasdeproductoasumaydesumaaproducto 665 se n 37.

»»v

a + 13 a - B tan — - — c o t — - —

+ sen/3

se n a - sen/3 se n

39. eos

41.

a

e o s a + e o s /3 38. e o s a - e o s /3

a + se n ¡3 a + e o s /3

a + ¡3

a + /3 = - c o t - - - - cot

s e n a - se n /3

tan — - —

40.

-co t

e o s a - e o s /3

1 + c o s (2 0 ) + e o s (4 0 ) + e o s (6 0 ) = 4 c o s 0 c o s ( 2 0 ) c o s (3 0 )

En los problemas 43-46, resuelve cada ecuación en el intervalo 0

a - ¡3 2

a + ¡3 2

4 2 . 1 - c o s (2 0 ) + c o s (4 0 ) - c o s (6 0 ) = 4 s e n 0 c o s ( 2 0 ) s e n (3 0 )

< 0 < 277.

43.

s e n (2 0 ) + s e n (4 0 ) = 0

4 4 . c o s (2 0 ) + c o s (4 0 ) = 0

45.

c o s (4 0 ) - c o s (6 0 ) = 0

4 6 . s e n (4 0 ) - s e n (6 0 ) = 0

Aplicaciones y extensiones 4 7 . T e lé fo n o s d e t o n o s

E n un t e lé fo n o d e to n o s , ca d a b o tó n

calcu lar lo s m o m e n to s d e in ercia c o n r e sp e c to a u n o s eje s

p ro d u c e un s o n id o ú n ic o . E l s o n id o p r o d u c id o e s la su m a d e d o s to n o s , d a d o s p o r

y = donde / y

s e n ( 2 ir/r)

h so n

ro ta d o s. E s to s m o m e n to s se dan p o r las ec u a c io n es

Iu =xI

y = sen(2nht)

y

Iv = /x

sen 29

y1

+ 1y

sen 29 - 2 x 1y se n 0 e o s 0 e o s 2 0 - 2x / y se n 0 e o s 0

la s fr e c u e n c ia s b aja y alta (c ic lo s p o r s e U s a las fó rm u la s d e p r o d u c to a su m a para d em o str a r q u e

g u n d o ) q u e se m u e str a n e n la ilu stra c ió n . P o r e je m p lo , si p resio n a s e l 7, la fr e c u e n c ia b aja e s / = 8 5 2 c ic lo s p o r s e g u n d o y la fr e c u e n c ia alta e s

h=

h + Iy

1209 c ic lo s p o r se g u n d o .

Iu =

E l s o n id o e m itid o p o r p r e sio n a r e l 7 e s

y

e o s 26 +

— 2—

l x - Iy + — 2—

Jxy sen(2e)

co s(20) “

y

= sen [27r(85 2 )f] + sen[2-7r(1209)r]

h = X•2 y - ~ j —y c o s ( 20)

Ixy s e n ( 20)

+

Teléfono de tonos I

1

697 ciclos/segundo 50.

M

i

I

t 1209 ciclos/segundo

■[ 770 ciclos/segundo

¡ *

,, 852 ciclos/segundo

i

( 941 ciclos/segundo

Fuente: A d a p ta d o d e H ib b e le r , Engineering Mechantes: Statics, lOth e d ., P re n tic e H a ll 2004. M o v im ie n to d e p r o y e c tile s E l a lc a n c e R d e un p ro y ectil la n za d o h a cia a b a jo d e sd e la p a rte su p e rio r d e un p la n o in c lin a d o c o n u n á n g u lo 0 c o n e l p la n o in c lin a d o es tá d a d o por

2vl se n 0 c o s (0

m

i 1477 ciclos/segundo

v0e s

donde

=

-

4>)

g e o s 2 4>

la v e lo c id a d in icia l d el p r o y e c til, <£ e s e l á n g u lo

q u e fo rm a e l p la n o c o n r e sp e c to a la h o r iz o n ta l y

g

e s la

a c e le r a c ió n d e b id a a la gra v ed a d .

1336 ciclos/segundo

(a )

D e m u e str a q u e para u n a

v0fija

y ^ e l a lca n ce m á x im o

h a cia a b ajo so b re e l p la n o in clin a d o e s tá d a d o por (a )

R

E scrib e e s te s o n id o c o m o un p r o d u c to d e s e n o s y /o

máx

c o s e n o s. (b ) i3

(c )

D e te r m in a e l v a lo r m á x im o d e

y.

(b )

T raza la gráfica d el s o n id o e m itid o p o r p resio n a r e l 7.

E scrib e e l so n id o e m itid o p o r p resio n a r la tec la #

5 1 . Si

y.

D e te r m in a el v a lo r m á x im o d e

(c)

T raza la gráfica d e l s o n id o e m itid o p o r p resio n a r la

un p u n to fijo. E n in g en iería m ecá n ica , a v e c e s e s n ecesa rio

a + ¡3 +

y =

rr, d e m u e str a

que

a se n

/3 se n

5 2 . Si a + /3 + y = 77, d em u e str a q u e tan

tec la #. 4 9 . M o m e n to d e in ercia E l m o m e n to d e in ercia I d e un o b je to es una m ed id a d e q u é tan fácil e s h a cer girar e l o b je to so b re

D e te r m in a el a lc a n c e m á x im o si e l p ro y ectil tie n e una

s e n (2 a ) + se n (2/3) + se n (2 y ) = 4 se n

c o m o un p ro d u c to d e s e n o s y /o c o s e n o s. (b )

4>)

v e lo c id a d in icia l d e 5 0 m e tr o s/se g u n d o , e l á n g u lo d el p la n o e s cj) = 35° y g = 9.8 m e tr o s/se g u n d o 2.

4 8 . T e lé fo n o s d e to n o s (a )

V°

g ( l - se n

53.

a+

tan

(3 +

tan y = tan

D e m u e str a la fó rm u la (3 ).

5 4 . D e m u e str a la fó rm u la (7 ). 5 5 . D e m u e str a la fó rm u la ( 8). 56.

D e m u e str a la fó rm u la (9 ).

a tan

/3 tan y

y

CAPÍTULO 8 Trigonometríaanalítica

666

REPASO DEL CAPÍTULO________ Cosas que debes saber D e fin ic io n e s d e las seis fu n c io n e s trig o n o m étrica s in versas

y =

se n “1 x

sign ifica

x

donde

-1 <

eo s

y

donde

—1 < JC < 1 ,

= tan

y

donde

—OO <

1*1 > 1 ,

y

= e o s -1

x

sign ifica

x =

y

= tan -1

x

sign ifica

x

y

= se c -1

x

sign ifica

x=

y

donde

y

= esc -1

jc

sign ifica

x —esc y

donde

x

sign ifica

x

donde

y =

c o t -1

se c

= co t

y

< 1,

X<

w * > -

< y < —

y

2

(p. 6 0 5 )

2

(p. 6 0 8 )

0 < J í 7T 7T TT —< y < — 2 y 2

oo »

7T y* i

0 < y -

- f

X<

-0 0 <

77

77

x

y

= sen

77 < —,

s y

oo ,

y ^ i

y

2

0 < y < tt

F ó rm u las d e su m a y resta (p p . 6 4 0 ,6 4 3 y 6 45) co s(a +

f3)

= eos

a eos

s e n ( a + /3) = sen ta n (a +

¡3)

=

/3 - se n

a e o s [3 + a

tan

eo s

a sen

/?

¡3) =

eos

a e o s ¡3 +

- (3) =

se n

a eos

co s(a -

a s e n [3

(3 a tan ¡3

se n (a

+ tan

1 - tan

tan ta n ( a -

a

se n

/) - e o s

a

se n

¡3

a sen ¡3

- tan /3

/3) = 1 + tan

a tan (3

F ó rm u las d e á n g u lo d o b le (p p . 6 5 2 y 65 3 ) s e n ( 20 ) = 2 sen 0 e o s 0 c o s (2 6) = 2 e o s 2 6

c o s (2 9) = e o s 2 9 - s e n 2 9

-1

ta n (2 0 ) =

2 tan 0 1 - ta n 2 0

c o s ( 20 ) = 1 — 2 s e n 2 0

F ó rm u la s d e m e d io á n g u lo (p p . 6 5 6 y 6 5 8 ) -, a 1 — eos a se n — = ---------------

7a 1 + eos a e o s — = ---------------2 2

2

a

±.

se n — =

ll —e o s a V

a

eos -

2

= ± ^

2a 1 - eos a ta n z — ------------------2 1 + eos a

/1 + eos a

i

a

í1

tan2 ±Í 1

2

d o n d e e l sig n o + o - se d eter m in a p o r el cu a d ra n te d e — 2 F ó rm u las d e p ro d u c to a su m a (p . 6 6 2 ) se n

a se n

eos

a e o s ¡3 =

^ [c o s(a -

se n

a e o s ¡3 =

- [ s e n ( a + 0 ) + se n (a -

¿3 = | [ c o s ( a -

¡3) -

eos (a +

¡3)]

f3) +

c o s ( a + /) ) ]

j3)]

F ó rm u la s d e su m a a p ro d u c to (p . 6 63) se n

a +

eos

a

se n

+ eos

[3 = 2 se n

a + J3 a —B — - — e o s ----------

a + f3 a —(3 ¡3 = 2 e o s ---------- e o s -----------

se n

a -

eos a

-

a —B a + R se n j8 = 2 s e n ---------- e o s --------2 2 „ eos ¡3

= -2

a + B

a — R

2

2

sen------- sen------ -

— eos a

1 — eos i

+ eos a

se n a

se n

a

1 + eos a

Repasodel capítulo 667

Objetivos Sección 8.1

Debes poder...

Ejemplos


1

D e te r m in a r e l v a lo r e x a c t o d e u n a fu n c ió n in v er sa d e l s e n o , d e l c o s e n o o d e la ta n g e n te (p . 6 0 5 )

1 . 2 . 6. 7 , 9

1-6

2 3

D e te r m in a r un v a lo r a p r o p ia d o d e u na fu n c ió n in v er sa d e l s e n o (p . 6 0 6 )

3

1 2 1 -1 2 4

e x a c to s d e c ie r ta s fu n c io n e s c o m p u e s ta s (p . 6 0 7 )

4 ,5 ,8

9 -2 0

4

D e te r m in a r la fu n c ió n in v er sa d e u na fu n c ió n tr ig o n o m é tr ic a (p . 6 1 2 )

10

3 3 -3 6

5

R e s o lv e r e c u a c io n e s q u e in v o lu c r e n fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s in v ersa s

11

1 3 3 ,1 3 4

in v er sa s d e l s e n o , c o s e n o y ta n g e n te (p . 6 1 7 )

1 -3

2 1 -3 2

2

D e fin ir las fu n c io n e s in v e r sa s d e la s e c a n te , c o s e c a n te y c o ta n g e n te (p . 6 1 8 )

4

7 , 8, 2 9 , 3 0

3 ,4

U s o d e u na c a lc u la d o r a para e v a lu a r s e c ' 1 x, c s c ' 1 x y c o t 1 .t (p . 6 1 8 )

5

1 2 5 ,1 2 6

E scrib ir u na e x p r e s ió n tr ig o n o m é tr ic a c o m o u na e x p r e sió n a lg e b r a ica (p . 6 1 9 )

6

3 7 -4 0

Ji 2 3 4

R e s o lv e r e c u a c io n e s q u e in v o lu c r e n una so la fu n c ió n tr ig o n o m é tr ic a (p . 6 2 2 )

1 -5

9 7 -1 0 6

R e s o lv e r e c u a c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s u sa n d o una c a lc u la d o r a (p . 6 2 5 )

6

1 0 7 ,1 0 8

R e s o lv e r e c u a c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s d e fo rm a cu a d rá tica (p . 6 2 6 )

7

1 1 3 ,1 1 4

R e so lv e r e c u a c io n e s trig o n o m étrica s u sa n d o id en tid a d es fu n d a m en ta les (p. 62 6 )

8 ,9

1 0 9 - 1 1 2 ,1 1 5 - 1 1 8

5

R e s o lv e r e c u a c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s u sa n d o un d isp o s itiv o g r á fic o (p . 6 2 7 )

10

1 2 7 -1 3 2

1 2

U sa r á lg eb ra para sim p lific a r e x p r e s io n e s tr ig o n o m é tr ic a s (p . 6 3 3 )

1

4 1 -7 2

E s ta b le c e r id e n tid a d e s (p . 6 3 4 )

2-8

4 1 -5 7

U sa r las fórm u la s d e la su m a y la resta para d eter m in a r v a lo r e s e x a c to s (p . 64 1 )

1,2

7 3 - 7 8 ,8 1 - 9 0 ( a ) - ( d ) , 135

U sa r las fó rm u la s d e la su m a y la resta para e s ta b le c e r id e n tid a d e s (p . 6 4 2 )

3 -8

5 9 -6 2

tr ig o n o m é tr ic a s in v er sa s (p . 6 4 6 )

9 ,1 0

9 1 -9 4

4

R e s o lv e r e c u a c io n e s tr ig o n o m é tr ic a lin e a le s e n s e n o y c o s e n o (p . 6 4 7 )

1 1 ,1 2

1 1 9 ,1 2 0

1 2 3

U sa r las fó rm u la s d e á n g u lo d o b le para d e te r m in a r v a lo r e s e x a c to s (p . 6 5 2 )

1

8 1 - 9 0 ( e ) , ( f ) ,9 5 ,9 6

U sa r las fó rm u la s d e á n g u lo d o b le para e s ta b le c e r id e n tid a d e s (p . 6 5 3 )

2 -5

5 8 ,6 5 - 6 7

U sa r fó rm u la s d e m e d io á n g u lo para d e te r m in a r v a lo r e s e x a c to s (p . 6 5 6 )

6 ,7

7 9 - 9 0 (g ) , (h ), 135

T

E x p re sa r p r o d u c to s c o m o su m a s (p . 6 6 2 )

1

68

2

E x p re sa r su m a s c o m o p r o d u c to s (p . 6 6 3 )

2

6 9 -7 2

U sa r las p r o p ie d a d e s d e la s fu n c io n e s in v e r sa s para d e te r m in a r v a lo r e s

(p . 6 1 3 )

1

8.2

8.3

a 8 .4

8.5

D e te r m in a r e l v a lo r e x a c t o d e e x p r e s io n e s q u e in v o lu c r e n las fu n c io n e s

ví '

2 3

8.6

8.7

U sa r las fó rm u la s d e la su m a y la resta q u e in v o lu c r e n fu n c io n e s

Ejercicios de repaso En los problemas 1-8, determina el valor exacto de cada expresión. No uses una calculadora. 1.

s e n -1 1

2. eo s' 1 0

3. ta n ' 1 1

4 . s e n ' 1^ - - ^

5.

c o s ' 1^ - - ^ ^

6. ta n _ 1( - V 3 )

7. s e c _ 1 V 2

8. c o t_ 1 ( - l )

En los problemas 9-32, determina el valor exacto, si existe, de cada función compuesta. Si no existe el valor, indica “no está definida ”. No uses una calculadora. 3 tt\ sen T j 15 tt\ eos— j

10 . e o s 14. se n

.

37T eos — 4

1 1 . tan ^ t a n y ^

12 . se n 1

( 8i r Y se n l — — 1

15. s e n ( s e n ' ‘ 0 .9 )

16. c o s (c o s 1 0 .6)

17.

c o s [c o s ‘ ( - 0 . 3 ) ]

18.

tan [ta n ' 5 ]

21.

sen ' 1 eos

2 2 . e o s ' 1 ( ta n y

)

19. c o s [c o s 1 ( —1 -6 ) ]

20. s e n ( s e n ' 1 .6 )

2 3 . ta n ' 1 ( ta n y

2 4 . e o s “1 ^ e o s y j

)

CAPÍTULO 8 L

V 3 \]

V

2

2 6 . tan

33.

'

'

J\

27. s e c u ta n '1

2#• c s c ( » c n ' * y )

J

'H)

3 1 . tan sen

30. cos( esc 1 -

29. sen ^ cot 1 4 )

Enlos

1

- \(

[

O O

25. tan

------- 1

Trigonometria analitica i

668

3 2 . tan co* 1

•(-« ]

problem as33-36, determina la Sanción inversa

f(x)

= 2 sen ( 3x )

(2x + 3 ) - \ V ’ 3 77 * < + ~7

3

----- < r < — 6 * 6

77

------------- < 2 4

2

f(x)

35.

34. / ( * ) = tan

7T

T7

P decada función f. Determina = -eo s

x + 3

3 6 . / ( * ) = 2 s c n ( - j r + 1) 777 r 77 , , 17 1 - — s jr s 1 + — 2 2

-

() ^

X — 7T

4

En los problemas 37-40, escribe cada expresión trigonométrica como una expresión algebraica en u. . ™ 39. s e n (c___i s c ~ 'H ) 3 8 . c o s (c s c 1u ) 37. c o s (s e n 1 m)

4 0 . t a n íe s e " 1« )

En los problemas 41-72, establece cada identidad. 41. tan

6 co t 6

- se n 2 0

=

e o s2 9

4 2 . sen

0 esc 0

4 4. (1 - se n 2 0 ) ( l 4- tan 2 # ) = 1

45. 5 e o s 2 0

1 - eos 9 sen # 47. -----------— + ------------- r = 2 esc # se n # 1 - eos #

4

1 + eos #

1 - eo s # 1 + eos # co s(a +

59.

[3) = co t 0 - tan

e o s a sin 0 co s(a +

62.

(esc # - co t # ) 2

se n

(3)

a eos

0

= cot

a -

tan

57.

60.

+ 2 eo s2 0 = 4 - 2 eo s2 9

52.

se n 3 0

1 - 2 sen 2 0 = c o t 0 - tan 0 sen 0 e o s 0 0)

a e o s ¡3

a

69. c o s (2 0 ) + c o s (4 0 )

1 -

tan 0

sec 0

1 - eos 0

se n 0

sec 0

eos3 0 1 + se n 0

(2 s e n 2 0 - 1 ) ' 58.

tan 0

sen 4 0 - eo s4 0

61. eos

= 1 - 2 eos2 0

¡3)

a eos p

= 1 + tan

a

tan

f3

0

6 4 . se n 0 tan - = 1 - e o s 0 2 67. 1 -

s e n (2 0 ) + s e n (4 0 ) = 1

0

sen 2 0

c o s(a = 1 - cot

1

1 + sec 0

1 55.

66. 2 s e n ( 2 0 ) ( l - 2 s e n 2 # ) = s e n (4 0 )

s e n (3 0 ) e o s 0 - se n 0 c o s (3 0 ) s e n (2 0 )

1 - eos #

se n

46. 4 sen 2 0

e o s 0 - se n

0 6 3 . (1 + e o s 0 ) tan - = sen 0

(3

65. 2 co t 0 c o t(2 0 ) = c o t2 0 - 1

68.

1 + eos 0

c o t 2 0) = 1

49.

eos2 0

CSC #

se n (a -

a

+

1 - sen 0

1 + CSC 0

54.

4 3 . s e n 2 0(1

eos 0

1 + eos 0 n . - ^ + --------------- = 2 esc 0 sen 0 1 + eos #

51.

= eo s #

5 3. esc # - se n # = e o s # co t #

56.

+ 3 sen 2 0 = 3 + 2 eo s2 0

CSC #

se n 2 #

50. 1 -

8

- se n 2 0 = e o s2 0

= ta n (3 0 )

8 s e n 2 0 e o s 2 0 = c o s (4 0 )

sen (2 0 ) + sen (4 0 )

ta n (3 0 )

sen (2 0 ) - se n (4 0 )

tan 0

70.

c o s (2 0 ) - c o s (4 0 ) 71. c o s (2 0 ) + c o s (4 0 )

- tan 0 ta n (3 0 ) = 0

7 2 . c o s (2 0 ) - c o s (lO 0 ) = t a n ( 4 0 ) [ s e n ( 2 0 ) + s e n ( lO 0 ) ]

En los problemas 73-80, determina el valor exacto de cada expresión. 7 3 . se n 165°

5tt

7 4 . tan 105°

76

75. eo s — 12

" sen( - n )

7 7 . e o s 80° e o s 20° + se n 80° se n 20°

7 8 . se n 70° e o s 40 ° - e o s 70° se n 4 0 °

79. tan J 8

8 0 . sen

577 8

En los problemas 81-90, usa la información dada acerca de los ángulos a y /3 para determinar el valor exacto de: (a ) s e n ( a + (e) se n (2 a )

f3)

(b ) c o s ( a + 0 )

(c ) s e n ( a -

(f) c o s ( 2 0 )

(g ) se n y

8 1 . se n a = ^ , 0 < a < y ; sen 0 = ^ , y

8 3 . señ or = - | , 7 7 < a < y ; c o s 0

=

< 0 <

tt

< 0 < 2 t7

82. eo s

0)

(d ) t a n ( a + (h ) e o s *

a -

4 -, 0 < a < 3 2

8 4 . se n a =

3

¿

eos 0 = — , - — < 0 < 0 13 2

< a < 0: e o s 0 = - A E < 0 < 13 2

= 0

Repasodel capítulo 669 3

377

4

¿

t 8 5 . tan « = - , 77 < a < — ; ta n * 7r * 8 7 . s e c a = 2, - — <

,

2

a

< 0; se c

8 9 . se n a = - - , 77 < a < o E /i

[3 = 5

B

12

— ,0 <

2

= 3, —

<

2

eos 0 = 2

3

¡3 <

7T

—

8 6 . tan a = -

(3 < 2n ^ n < (3 <

4

8 8 . esc a = 2 , y

77

< a < 77; c o t

y

< a < 77; s e c

9 0 . tan a = - 2 , — <

— 2

a

¡3

< 77; c o t

12

(3 =

— , 77 <

= -3 , y

¡3 =

377

¡3 < —

< /3 < 77

-2 , y

<

/3 < ir

los problemas 91-96, determina el valor exacto de cada expresión.

9 1 . c o s ( s e n -1 ~ V 5

9 4 . e o s tan

-

e o s -1 - ) 2J

( - 1 ) + e o s *( -

9 2 . s e n ( e o s -1 — — e o s -1 7 \ 13 5

9 3 . tan se n 1( - — ) - tan 1

9 5 . se n 2 e o s - t / 3

9 6 . c o s ( 2 tan 1 -

En los problemas 97-120, resuelve cada ecuación en el intervalo 0 97. eos 0 = 2

9 8 . se n 0 =

<

0 < 2n.

V3

99. 2 eos 0 + V 2 = i

2

1 0 0 . tan 0 + V 3 = 0

101. se n (2 0 ) + 1 = 0

1 0 2 . e o s (2 0 ) = 0

1 0 3 . ta n (2 0 ) = 0

104. se n (3 0 ) = 1

105. sec2 0 = 4

1 0 6 . esc2 0 = 1

1 0 7 . 0 .2 sin 0 = 0.05

1 0 8 . 0 .9 c o s (2 0 ) = 0 .7

1 0 9 . se n

0+

se n (2 0 ) = 0

111. se n (2 0 ) -

eos

113. 2 se n 2 0 - 3

6 - 2 sen

1 1 0 . c o s (2 0 ) = se n 0

0 + 1 = 0

1 1 2 . s e n ( 2 0 ) - se n 0 - 2 e o s 0 + 1 = 0

se n 0 + 1 = 0

114. 2 eo s2 0 + eos 0 - 1 = 0

115. 4 sen 2 0 = 1 + 4 eo s 0

116. 8 - 1 2 s e n 2 0 = 4 e o s 2 0

117. se n (2 0 ) = V 2 eo s 0

118. 1 + V 3 eo s 0 + c o s (2 0 ) = 0

1 1 9 . se n 0 - e o s 0 = 1

120. se n 0 -

V 3 eos 0 = 2

En los problemas 121-126, usa una calculadora para determinar un valor aproximado para cada expresión, redondeado a dos lugares decimales. I 1 2 1 . s e n - 1 0.7

1 2 4 . eo s" 1( - 0 . 2 ) jj

v

4 122. e o s -1 —

123. ta n -1 ( - 2 )

1 2 5 . se c “ 1 3

126. c o t“ 1( - 4 )

En los problemas 127-132, usa un dispositivo gráfico para resolver cada ecuación en el intervalo 0 < j < 2rr. Aproxima cualquier solución redondeada a dos lugares decimales. 1 2 7 . 2x = 5 e o s x 128. 2x = 5 se n x 129. 2 se n x + 3 e o s x = 4x 130. 3 e o s x + x = se n x 1 3 1 . se n x = ln x 132. se n x = e~x En los problemas 133 y 134, determina la solución exacta de cada ecuación. 133. - 3 s e n -1 x = 77 134. 2

e o s ' 1x + 77 = 4 e o s -1 x / 135. U s a la fó rm u la d e á n g u lo m e d io para d e ter m in a r e l v a lo r e x a c to d e se n 15°. D e s p u é s usa u n a fó rm u la d e la resta para d e te r m i nar e l v a lo r e x a c to d e 15°. D e m u e str a q u e las r e sp u e sta s q u e d e te r m in a ste so n ig u a les. 136. Si s e te d a e l v a lo r d e e o s 0 y s e q u ie r e e l v a lo r e x a c to d e c o s (2 0 ), ¿ q u é v er sió n d e la fó rm u la d e á n g u lo d o b le para c o s (2 0 ) es m ás e fic ie n te ?

Los vídeos Test Prep del capítulo son soluciones paso a paso disponibles en el DVD, entre los recursos de video, en MyMatítLMb | o en el canal de YOUfT ? 3 de este te/to. Ver

CHAPTER

y

E X A M E N D E L C A P ÍT U L O

T g st P re p

^ °J

v iD E O s r

página de Recursos del estudiante para ver la dirección exacta del canal de YouTube de este texto.

En los problemas 1-6, determina el valor exacto de cada expresión. Expresa los ángulos en 1 .S C C -P U

2 . s e n - ’( - ^

)

3. sen « ( s e n ^ )

VV5 5. cot(csc-' VÍÓ)

1. tangían"1^

6-

í))

En los problemas 7-10, usa una calculadora para evaluar cada expresión. Expresa los ángulos en radianes redondeados a dos lunares decimales. a 8. see"-H1.4

7. s e n '10.382

9. t a n '1 3

10. cot '5

E n los problemas 11-16, establece cada identidad.

11.

esc 0 + cot 6 see 9 + tan 9

sec 6 — tan 9 esc 9 - cot 9

sen(a + /3)

14. --------------------- = cos a cos p

tan a + tan p

12. sen 9 tan 9 + eos 0 = sec 0

13. t a n 0 + cot 0 = 2 c s c ( 2 0)

15. sen(30) = 3 sen 9 — 4 sen 9

16.

tan 9 - cot 0 tan 0 + cot f)

= 1 - 2 eos2 tí

E n los problemas 17-24, usa las fórm ulas de la suma, la resta, producto o medio ángulo para determinar el valor exacto de cada ex presión.

20. tañí 2 sen 1

19.

18. tan 75°

17. eos 15°

21. cos( sen 1—+ tan 1

11

23. sen 75° + sen 15°

22. sen 75° eos 15“

i)

24. eos 65° eos 20° + sen 65° sen 20°

E n los problemas 25-29, resuelve cada ecuación en 0 < 9 < 2ir.

25. 4 sen2 0 —3 = 0

2 6 .- 3 c o s^ y —0^ = tan 0

28. sen(0 + 1) = eos 0

29. 4 sen2 0 + 7 sen 0 = 2

27. eos* 0 + 2 sen tí eo s 0 - se n 2 0 = 0

R E P A S O A C U M U L A T IV O 1. Determina las soluciones reales, si existen, de la ecuación 3a2 + a - 1 = 0. 2. Determina una ecuación para la recta que contiene los

puntos ( -2 , 5) y (4, -1 ). ¿Cuál es la distancia entre estos puntos? ¿Cuál es su punto medio? 3. Prueba la simetría con respecto al eje x , al eje y y al origen

de la ecuación 3a- + y 2 = 9. Indica las intersecciones. 4. Usa transformaciones para construir la gráfica de la ecua

ción y = | x | - 3 + 2 . 5. Usa transformaciones para construir la gráfica de la ecua

ción y = 3er - 2. 6. Usa transformaciones para construir la gráfica de la ecua ción y = cosí a -

77

670

- — <

(d) y = eos a ,

0 <

8. Si sen 0 =

(b) y = e'

a

~

< —

< ir

a

y j r < 0 < — , determina el valor exacto

de: (a) cos0

(b ) tan 0

(c) se n (2 0 )

(d) cos(20)

(e ) s e n ^ 0 ^

(f) c o s ^ t f ]

9. Determina el valor exacto de c o s fta n '2 ). 10. Si sen « =

1.

7. Bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funcio nes. Marca al menos tres puntos en cada gráfica. Nombra la función inversa de cada una y muestra su gráfica. (a) y = a3

—

. , (c) y = sen a ,

<

a

<

ir

\ eos p

determina el valor exacto de: (a) c o sa

(b) sen p

(d) eos (a + p )

(e) sen ~

=

3

B

<

— .

2

(c) cos(2a)


11. Para la función f(x) =

, *

(f) Usa la información que obtuviste en los incisos (a)-(e) para bosquejar una gráfica d e / a mano.

2v5 - .r*1 - 4x' + 2v: + 2 x - 1:

(g) Identifica los intervalos para los c u a le s/e s creciente, decreciente o constante.

(a) Determina los ceros reales y su multiplicidad. (b) Determina las intersecciones. (c) Determina la función de potencias a la que se parece la gráfica d e /p a ra | x | grandes.

(d) Obtén la gráfica/usando un dispositivo gráfico. (e) Aproxima los puntos de inflexión, si existen.

671

12.

Si /(.v) = 2v23+ 3x + 1 y g(x) (a)

f(x)

= 0

( c ) / ( .v ) > 0

= x1 +

(b) /(.v) = (d)

3.v + 2, resuelve: g(x)

f(x)s:g(x)

P R O Y E C T O S D E L C A P ÍT U L O Mindomo es un software gratuito que te permite organizar tus pensamientos digitalmente y compartir estos pen samientos con cualquiera en la Web. Al organizar tus pensa mientos, obtienes la capacidad de ver el panorama general y comunicarlo a otros. También puedes ver cómo se rela cionan varios conceptos unos con otros. 1. Visita h t t p : / / w w w . m i n d o m o . c o m y regístrate. Aprende cómo usar Mindomo. Puedes encontrar un video para aprender a usarlo en http://www.screencast.com/users/ Rose_Jenkins/folder/Default/media/edd9bdlb-62a7-45b39dd2-fa467d2eSeb3. El contenido está en inglés.

2. Usa un navegador de Internet para investigar los mapeos

de la mente. Escribe algunos párrafos que expliquen la his toria y el beneficio del mapeo de la mente. 3. Crea un mapa mental que explique lo siguiente: (a) Las seis funciones trigonométricas y sus propiedades (incluyendo las funciones inversas de estas funciones) (b) Las identidades trigonométricas fundamentales. P royecto con b ase en In tern et

I.

El objetivo de este proyecto es or ganizar el material que aprendiste en los capítulos 7 y 8 en nuestras mentes. Para lograr esto, necesitamos usar programa para mapear la mente llamado Mindomo.

M ap eo d e tu m en te

Cuando crees tu mapa, se creativo. Tal vez puedas com partir ideas acerca de cuándo se puede usar una identidad en particular o cuándo no se puede usar una identidad en particular. 4. Comparte tu mapa mental para que otros estudiantes de tu

clase lo puedan ver.

L o s siguientes proyectos están disponibles en el Centro de recursos del profesor (IRC, p o r sus siglas en inglés):

I. O ndas

'•

El movimiento de las ondas se describe con una ecuación sinusoidal. Se analiza el principio de superposición de dos

ondas.

M a nda r fo to s d e fo rm a inalám brica La transmisión electrónica de fotos se hace práctica gracias a la compresión de imágenes, métodos matemáticos que reducen en gran medida el número de bits de datos que se usan para com poner la foto. IV . C álculo d e diferencias El determinar cocientes de diferencias consecutivos se llama determinar diferencias finitas y se usa para analizar la gráfica de una función desconocida.

i III. P royecto M otorola

A

p l i c a c i o n e s

la s

d e

f u n c io n e s

t r ig o n o m

é t r ic a s

C o n t e n id o 9.1

Aplicaciones que involucran triángulos

9.4



rectángulos

9.5

Movimiento armónico simple; movimiento

Examen del capítulo

amortiguado; combinación de ondas

Repaso acumulativo

9.2

Ley de los senos

9.3

Ley de los cosenos

Proyectos del capitulo

D e L e w is y C la r k a l L a n d s a t Ahora por $140 puedes comprar un sistema de posicionamiento global de mano que medirá tu latitud y longitud corregidas hasta un par de metros. Pero en 1X04. cuando Mcriwethcr Lewis y William Clark se aventuraron a través del territorio de Luisiana. el sistema de posiciona miento global más avanzado consistía en un ociante, un cronómetro de bolsillo y una brújula. Pero de alguna manera, Clark, el cartógrafo del grupo, lo logró. Cuando el coleccionista de mapas de San Francisco David Rumsey tomó su copia del mapa publicado del viaje de . _ ___ Lewis y Clark, lo escaneó en una computadora y asoció lu4 gares significativos como uniones de ríos con los mapas de hoy en día, encontró que solo se necesitaba una cantidad muy pequeña de estiramiento y torsión digital para que el mapa de Clark se adaptara a las coordenadas modernas. De hecho. Rumsey pudo combinar la descripción de Clark de la ruta de su grupo al Pacífico con páginas de atlas del gobierno de los años 1870 y 1970 y fotos de los satélites Landsat de la NASA, creando una composición digital que no solo documenta una aventura histórica sino también, la historia de la elaboración de mapas. Fuente: Usado con permiso de Technology Review. de W. Roush. “From Lewis and Clark to Landsat: David Rumsey's Digital maps Marrv Past and Present," 108. no. 7. © 2005; permiso obtenido a través de Copyright Clearance Center, Inc.

— Ver proyecto II del capítulo —

1 672

S E C C IÓ N 9.1

9 .1

Aplicaciones que involucran triángulos rectángulos

673

A p lic a c io n e s q u e in v o lu c ra n tr iá n g u lo s r e c tá n g u lo s P

r e p a r a c ió n

p a r a

e s t a

s e c c ió n


• Teorema de Pitágoras (capítulo R, Repaso, sección R.3. p. 30)

Ecuaciones trigonométricas (sección 8.3. pp. 622-627) Ángulos complementarios (sección 7.2, pp. 523-525)

Rasualvs ahora los problemas de la sección " ¿ E s tá s listo ? " de la página 676.

\

OBJETIVOS 1 Resolver triángulos rectángulos (p. 673) 2 Resolver problemas aplicados (p. 674)

1 Resolución de triángulos rectángulos

F ig u ra 1

b

a

TEOREM A

En el siguiente análisis siempre marcaremos un triángulo rectángulo de manera que el lado a sea el lado opuesto al ángulo A , el lado b sea el lado opuesto al ángulo B y el lado c sea la hipotenusa, como se muestra en la figura 1. Resolver un triángulo rectángulo significa determinar las longitudes que faltan de sus lados y las medidas de sus ángulos. Seguiremos la costumbre de expresar las longitudes de los lados redon deadas a dos lugares decimales y expresar los ángulos en grados redondeados a un lugar decimal. (Asegúrate de que tu calculadora este en modo de grados). Para resolver un triángulo rectángulo debemos conocer uno de los ángulos agu dos A o B y un lado o, de otra forma, dos lados. Entonces usamos el teorema de Pitágoras y el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180°. Por lo tanto, la suma de los ángulos A y B en un triángulo rectángulo es de 90°. Para el triángulo rectángulo que se muestra en la figura 1, tenemos que c2 = í/2 + b2

A + B = 90° J

| EJEM PLO 1

Solución de un triángulo rectángulo Usar figura 2. Si b = 2 y A = 40°, determina a, c y B.


Como A = 40° y A + B — 90°, entonces B = 50°. Para determinar los lados o y e , usamos el hecho de que tan 40° = ~ 2

y J

eos 40° = — c

Ahora resuelve para a y c. a — 2 tan 40° ~ 1.68 y J

c = — —— ~ 2.61 eos 40°

ReSlielVB ahora EL P R OB L E MA 9

EJEM PLO 2

Solución de un triángulo rectángulo Usar figura 3. Si a = 3 y b = 2, determina c, A y B. Como a = 3 y b = 2, entonces, por el teorema de Pitágoras, c2 = a2 + b2 = 32 + 22 = 9 + 4 = 13

3

c = V Í 3 « 3.61

674

C A P ÍT U L O 9

A p lic a c io n e s d e las fu n c io n e s trig o n o m é tric a s

N O T A Para evitar errores de re dondeo cuando uses una calcu ladora, almacena los valores no redondeados en la memoria para usarlos en los cálculos subsecuen tes, ■

Para determinar el ángulo A , usamos el hecho de que 3 , .3 tan A = - entones A - tan 2 ¿ Establece el modo de grados en tu calculadora. Después, redondeado a un lugar de cimal, encontramos que A = 56.3°. Como A + B = W , encontramos que B = 33.7 Resuelve ahora el p r o b l e ma i

9

Solución de problem as aplicados En la sección 7.3 usamos trigonometría de triángulos rectángulos para determinar las longitudes de los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, dada la mediada de uno de sus ángulos y la longitud de un lado. Ahora que entendemos el concepto de funciones trigonométricas inversas y sabemos como resolver ecuaciones trigono métricas, podemos resolver problemas aplicados que requieren determinar la medi da de un ángulo dada la longitud de dos de sus lados en un triángulo rectángulo.

Determ inar la inclinación de un sendero de m ontaña

E JE M P L O 3

Un sendero de montaña va del Hotel Alpine, con elevación de 800() pies, a un mira dor, con elevación de 11,100 pies. La longitud del sendero es de 14,100 pies. ¿Cuál es la inclinación (pendiente) del sendero? Es decir, ¿cuál es el ángulo B de la figura 4?

Solución

Sendero 14,100 pies

Elevación del mirador, 11,100 pies

i

Como podemos ver de la figura 4, sabemos que la longitud del lado opuesto al ángulo B es de 11,100 - 8000 = 3100 pies y la longitud de la hipotenusa es de 14.100 pies. El ángulo B obedece la ecuación 3100 sen B = 14,100 Usando una calculadora,* B = sen 1

3100 pies

Elevación 8000 pies

3100 14,100

12.7°

La inclinación (pendiente) del sendero es de aproximadamente 12.7°. tTO=s¡===_ _ R e su e | ve ahopa

| E JE M P L O 4

]

el

p R 0 B L £ MA 2 5

El faro de Gibb’s Hill, en Southam pton, Berm udas El faro de Gibb s Hill, que ha estado en operación desde 1846. mide 117 pies de alto y está en una colina de 245 pies de alto, así que su rayo de luz está a 362 pies sobre el nivel del mar. Un folleto indica que la luz se puede ver en el horizonte a 26 millas de distancia. Verifica la precisión de esta proposición.

Solución

La figura 5 ilustra la situación. El ángulo central 0, colocado en el centro de la Tierra, de 3960 millas de radio, obedece la ecuación eos 0 =

Figura 5

3960 362 3960 + 5280

0.999982687

1milla = 5250 pies

362 pies

Si resolvemos para 0, encontramos que 0 = e o s'10.999982687 % 0.33715° % 20.23' 3960 mi

El folleto no indica si la distancia se mide en millas náuticas o en millas terrestres. Calculemos ambas distancias. La distancia s en millas náuticas (consulta el problema 114. p. 516) es la medida del ángulo 0 en minutos, así que s » 20.23 millas náuticas. *Como los ángulos son agudos, la tecla Isen“1!dará el valor correcto.

S E C C IÓ N 9.1


675

La distancia s en millas terrestres se da por la fórmula s = rO, donde 0se mide en radianes. Entonces, como b>

9 » 20.23'

;

0.33715° « 0.00588 radianes

t

t 1' =

1° 1

<50

7T 100

— ------ r a d i a n e s

encontramos que

1Figura 6

s = r0 « (3960)(0.00588) « 23.3 millas En cualquier caso, parecería que el folleto sobreestimó la distancia.

En la navegación y la topografía, la dirección o el rumbo de un punto O a un punto P es igual al ángulo agudo 9 entre el rayo OP y la línea vertical que pasa por O, la línea norte-sur. La figura 6 ilustra algunas direcciones. Observa que la dirección de O a P se denota por N30°E, que indica que la dirección es 30° al este del norte. Al escribir la dirección de O a P, la dirección norte o sur siempre aparece primero, seguida de un ángulo agudo, seguido del este u oeste. De la figura 6, la dirección de O a P2es S50°O, y de O a Pi es N70°O. i

EJEM PLO 5

Determinar la dirección de un objeto De la figura 6, ¿cuál es la dirección de O a un objeto en P4?

Solución l

EJEM PLO 6

El ángulo agudo entre el rayo OP4 y la línea norte-sur que pasa por O es 20°. La dirección de O a P.4 es S20°E. ,I

Determinar la dirección de un avión Un Boeing 777 despega del aeropuerto Internacional de Nashville por la pista 2 IZQ UIERD A , que tiene una dirección de N20°E.* Después de volar 1 milla, el piloto de la aeronave pide permiso para girar 90° y dirigirse al noroeste. Se le concede el permiso. Después de que el avión vuela 2 millas en esta dirección, ¿qué dirección deberá usar la torre de control para localizar al avión? La figura 7 ilustra la situación. Después de volar 1 milla del aeropuerto O (la torre de control), el avión está en P. Después de girar 90° hacia el noroeste y volar 2 millas, el avión está en el punto Q. En el triángulo OPQ, el ángulo 6 obedece la ecuación 2 tan 9 = - = 2 entonces

9 - tan 1 2 « 63.4°

El ángulo agudo entre el norte y el rayo OQ es de 63.4° - 20° = 43.4°. La dirección de la aeronave de O a Q es N43.4°0. •-J ‘'^ = ^ - R e s Uelve ahora

el

probum a

31

* E n la navegación el térm ino azim ut denota el ángulo positivo medido en sentido de las m anecillas del reloj desde el norte (N ) a un rayo OP. D e la figura 6, el azim ut de O a P t es de 30°; el azim ut de O a P , es de 230°; el azim ut de O a P} es de 290°. Para nom brar las pistas, la unidad del dígito significa a la izquierda del azim ut. L a pista 2 I Z Q U I E R D A significa la pista izquierda con una dirección de azim ut de 20° (rum bo N 2 0 °E ). L a pista 23 es la pista con azim ut 230° y rumbo S50°O .

676

C A P ÍT U L O 9

Aplicaciones de las funciones trigonométricas

9.1 Evalúa tu entendimiento “¿Estás listo?" La s respuestas se dan al final de estos ejercicios, entre paréntesis.

1. En un triángulo rectángulo, si la longitud de la hipotenusa es 5 y la longitud de uno de los otros lados es 3, ¿cuál es la longitud del tercer lado? (p. 30) 2. Verdadero o fa lso sen 52° = eos 48°. (pp. 523-525)

Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas

3, Si 9 es un ángulo agudo, resuelve la ecuación tan 0 = Expresa tu respuesta en grados, redondeada a un lugar de cimal. (pp. 622-627) Si 9 es un ángulo agudo, resuelve la ecuación sen 0 = - . (pp.622-627)

Conceptos y vocabulario_________________ _________ 5. En un triángulo rectángulo la suma de dos ángulos agudos es de_____________ grados. 6. En la navegación o en la topografía, la_____________ o e l_____________ de un punto O a un punto P es igual al ángulo agudo 6 entre el rayo O P y la línea vertical que pasa por O, la línea norte-sur.

7. Verdadero o fa ls o En un triángulo rectángulo, si dos la dos se conocen, podemos resolver el triángulo. 8. Verdadero o fa ls o En un triángulo rectángulo, si conoce mos los dos ángulos agudos podemos resolver el triángulo.

Ejercicios En los problemas 9-22, usa el triángulo rectángulo que se muestra a continuación. Después, usando la información dada, resuelve el triángulo.

\

9. b = 5, B = 20°; determina a, c y A

10. 6 = 4, B = 10°; determina a, c y A

determina b, c y A

12. a = 7, B = 50°; determina b, c y A

13. b = 4, A = 10°; determina a, c y B

14. b = 6, A = 20°; determina a, c y B

b11. a = 6, B = 40°;

15. a =5, A = 25°; determina b, c y B

16. a = 6, A = 40°; determina b, c y B

17. c

18. c = 10, A = 40°;

=9, B = 20°; determina b, a y A

V 19. a = 5, b = 3; determinac , Ay B 21. a = 2, c = 5;

determina b , A y B

determina b, a y B

20. a = 2, b = 8; determina c , A y B 22. b = 4, c - 6; determina a, A y B

Aplicaciones y extensiones 23. Geometría La hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 5 pulgadas. Si un cateto mide 2 pulgadas, determina la medida del grado de cada ángulo. 24. Geometría La hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 3 pies. Si un cateto mide 1 pie, determina la medida del grado de cada ángulo. \ 25. Determinar el ángulo de elevación del Sol A las 10 a.m el 26 de abril de 2009, un edificio de 300 pies de alto arrojó 0 una sombra de 50 pies de largo. ¿Cuál era el ángulo de elevación del Sol? 26. Dirección de un rayo láser Un rayo láser se quiere dirigir a través de un pequeño hoyo en el centro de un círculo de 10 pies de radio. El origen del rayo está a 35 pies del cñculo (ver figura). ¿A qué ángulo de elevación se debe apuntar el rayo para asegurar que pasa por el hoyo?27

27. Determinar la velocidad de un camión Un policía está escondido a 30 pies de la autopista. Un segundo des pués de que pasa un camión, se mide el ángulo 9 entre la

autopista y la línea de observación de la patrulla al camión. Ver ilustración.

(a) Si el ángulo es de 15°, ¿qué tan rápido va el camión? Expresa tu respuesta en pies por segundo y en millas por hora. (b) Si el ángulo es de 20°, ¿qué tan rápido va el camión? Expresa tu respuesta en pies por segundo y en millas por hora. (c) Si el límite de velocidad es de 55 millas por hora y se levanta una infracción por una velocidad de 5 millas por hora o más sobre el límite, ¿para qué ángulos debe levantar una infracción el policía? 28. Seguridad Una cámara de seguridad en un banco se monta en una pared a 9 pies del suelo. ¿Qué ángulo de depresión se debe usar si se quiere dirigir la cámara a un punto a 6 pies del suelo y 12 pies de la pared?

S E C C IÓ N 9.1

29.

j* «, .j

30.

31.

32.

33.

34.


677

Paralaje Un método para medir la distancia de la Tierra (c) ¿Cuál es el ángulo de elevación del topógrafo a la a una estrella es el método de paralaje. La idea es medir el punta de la antena? ángulo formado entre la Tierra y la estrella en dos puntos (d) ¿Qué tan alta es la antena? diferentes en el tiempo. Generalmente, las medidas se toFuente: www.infopleasecom/ce6/us/A0844218.html man de manera que el lado opuesto al ángulo sea tan gran 35. Rascacielos de Chicago El ángulo de inclinación de la base de como sea posible. Por lo tanto, el mejor enfoque es el de del Centro John Hancock a la parte superior de la estruc medir el ángulo cuando la Tierra está en lados opuestos tura de la torre Willis es de aproximadamente 10.3°. Si la del Sol, como se ve la figura. estructura principal de la torre Willis es de 1450 pies de Órbita alto, ¿qué tan separados están los dos rascacielos? Con sidera que las bases de los dos edificios están a la misma elevación. Fuente: www.emporis.com 36. Estimación del ancho del Río Misisipi Una turista que está en la cima del arco Gateway (630 pies de altura) en San Luis, Missouri, observa un bote anclado en el lado de (a) Próxima Centauri está a 4.22 años luz de la Tierra. Si 1 Illinois del Río Misisipi 2070 pies directamente enfrente del año luz es aproximadamente 5.9 billones de millas, ¿a arco. Ella también observa un bote anclado en el lado de cuántas millas está Próxima Centauri de la Tierra? Missouri directamente enfrente del primer bote (ver (b) La distancia media de la Tierra al Sol es de 93,000,000 67 millas. ¿Cuál es el paralaje de Próxima Centauri? diagrama). Dado que B = cot 1 estima el ancho del 55’ Paralaje Ver problema 29. La estrella 61 Cygni, a veces Río Misisipi en la ribera de San Luis. llamada Estrella de Bessel (nombrada en honor de FrieFuente: Cuerpo de ingenieros del Ejército drich Bessel, quien midió la distancia de la Tierra a la es trella en 1838), es una estrella en la constelación Cygnus. (a) Si 61 Cygni está a 11.14 años luz de la Tierra y 1 año luz es aproximadamente 5.9 billones de millas, ¿a cuántas millas está 61 Cygni de la Tierra? (b) La distancia media de la Tierra al Sol es de 93,000,000 millas. ¿Cuál es el paralaje de 61 Cygni? Determinar la dirección de un avión Un avión DC-9 sale del aeropuerto Midway de la pista 4 DERECHA, cuya di rección es N40°E. Después de volar por - milla, el piloto solicita permiso para girar 90° y dirigirse al sureste. Se le 37. Determinar la inclinación de un techo Un carpintero se concede el permiso. Después de que el avión viaja 1 milla prepara para poner un puente en un garaje de 20 pies por en esta dirección, ¿qué dirección debe usar la torre de con 20 pies. Se coloca una viga de acero de 46 pies de largo en trol para localizar al avión? el centro del garaje como soporte. Se colocará otra viga Determinar la dirección de un barco Un barco sale del para detener el techo en la parte superior de la viga central puerto de Miami con una dirección S80°E y una velocidad (observa la figura). ¿Qué ángulo de elevación tiene la se de 15 nudos. Después de 1 hora, el barco gira 90° hacia el gunda viga? En otras palabras, ¿cuál es la inclinación del sur. Después de 2 horas, manteniendo la misma velocidad, techo? ¿cuál es la dirección del barco desde el puerto? Funicular de las Cataratas del Niágara Situado entre Portage Road y el Niagara Parkway directamente enfrente de las Canadian Horseshoe Falls, el Falls Incline Railway es un funicular que lleva pasajeros terraplén arriba, hacia el punto de observación Table Rock. Si la longitud de la vía es de 51.8 metros y el ángulo de inclinación es de 36°2\ determina la altura del terraplén. Fuente: www.niagaraparks.com Torre Willis La torre Willis en Chicago es el edificio más alto en los Estados Unidos y tiene una antena en la parte más alta. Un topógrafo en el suelo toma la siguiente medida: 1. El ángulo de elevación de su posición a la parte supe rior del edificio es de 34°. 38. Tiros libres en el basquetbol Los ojos de un jugador de 2. La distancia de su posición a la parte superior del edi basquetbol están a 6 pies del suelo. El jugador está en la lí ficio es de 2593 pies. nea de tiro libre, la cual, está a 15 pies del centro del aro de 3. La distancia de su posición a la punta de la antena es de la canasta (ver figura de la página 678). ¿Cuál es el ángulo 2743 pies. de elevación de los ojos del jugador al centro del aro de la (a) ¿Qué tan lejos está el topógrafo de la base del edi canasta? ficio? [Sugerencia: El aro de la canasta está a 10 pies del suelo.] (b) ¿Qué tan alto es el edificio?

678

C A P ÍT U L O 9


4«. S atélites de vigilancia

I fn sa télite d e vigilancia da vueltas alrededor de la Tierra a una altura d e h m illas sob re la superficie. C onsidera que d es la distancia, en m illas, v ib r e la superficie de la Tierra que se p uede observar d esd e el

satélite. V er ilustración. (a) D eterm ina una ecu ación q u e relacion e el á n gu lo Ó central (en radianes) con la altura h. (b) D eterm ina una ecuación q u e relacione la distancia o b servable d y 0. (c) D eterm ina una ecuación q ue relacion e

Determina el valor del ángulo 6 (ver figura) en grados, redondeado al décimo de grado más cercano.

39. Geometría

d y h. (d) Si d es de 2500 millas, ¿qué tan alto debe orbitar el satélite sobre la Tierra? (e) Si la órbita del satélite tiene 300 millas de altura, ¿qué distancia d se puede observar en la superficie?

Explicación de conceptos: discusión y escritura En ope ración desde 1846, el faro de Gibb’s Hill mide 117 pies de altura y está en una colina de 245 pies de altura, así que su rayo de luz está a 362 pies sobre el nivel del mar. Un folleto establece que los barcos a 40 millas de distancia pueden ver

41. E l faro de Gibb’s Hill, Southampton, Bermudas

la luz y los aviones que vuelan a 10.000 pies pueden verla a 120 millas de distancia. Verifica la precisión de estas pro posiciones. ¿Qué consideró el folleto acerca de la altura del barco?


4

9 .2

2.

Falso

3.

26.6°

4.

30°

L e y d e lo s s e n o s P r e p a r a c ió n



Ecuaciones trigonométricas (sección 8.3, pp. 622-627) Fórmulas de la resta para la función seno (sección 8.5, p. 643)

Bases de geometría (capítulo R. sección de repaso R.3. pp. 30-35)

V Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 685. OBJETIVOS 1 Resolver triángulos LAA o ALA (p. 679) 2 Resolver triángulos LLA (p. 680) 3 Resolver problemas aplicados (p. 683)

Si ninguno de los ángulos de un triángulo es un ángulo recto, el triángulo se llanta oblicuo. Un triángulo oblicuo tendrá ya sea tres ángulos agudos o dos ángulos agudos y un ángulo obtuso (un ángulo entre 90° y 180°). Ver figura 8.

S E C C IÓ N 9.2

679

Ley de los senos

Figura 8

Todos los ángulos son agudos

(a) Figura 9

(b) Dos ángulos agudos y un ángulo obtuso

En el siguiente análisis siempre marcaremos un triángulo oblicuo de manera que el lado a sea opuesto al ángulo A , el lado b sea opuesto al ángulo B y el lado c sea opuesto al ángulo C, como se muestra en la figura 9. Resolver un triángulo oblicuo significa determinar las longitudes de sus lados y las medidas de sus ángulos. Para lograr esto, debemos saber la longitud de un lado* junto con (i) dos ángulos; (ii) un ángulo y otro lado, o (iii) los otros dos lados. Existen cuatro posibilidades que considerar: C

aso

C

aso

C

aso

C

aso

1: 2: 3: 4:

Se conocen Se conocen Se conocen Se conocen

un lado y dos ángulos (ALA o LAA). dos lados y el ángulo opuesto a alguno de ellos (LLA). dos lados y el ángulo incluido entre ellos (LAL). los tres lados (LLL).

La figura 10 ilustra estos cuatro casos. Figura 10

L Caso 1: ALA

Caso 1: LAA

A D V E R T E N C IA L o s t r iá n g u lo s o b li

Caso 3: LAL

Caso 4: LLL

La ley de los senos se usa para resolver triángulos de los casos 1 o 2. Los caso 3 y 4 se considerarán cuando estudiemos la ley de los cosenos en la siguiente sección.

c u o s no s e p u ed en r e s o lv e r u s a n do lo s m é t o d o s d e la s e c c ió n 9.1. ¿ S a b e s por q u é ?

Caso 2: LLA

■

TEOREM A

Ley de los senos Para un triángulo de lados a, b y c y ángulos opuestos A, B y C, respectivamente sen A _ sen B _ sen C a b e

(1)

Se da una demostración de la ley de los senos al final de esta sección. De hecho, la ley de los senos consiste en tres igualdades: sen A _ sen B a b

sen A _ sen C a c

sen B _ sen C b e

La fórmula (1) es una manera compacta de escribir estas tres ecuaciones. Cuando aplicamos la ley de los senos para resolver triángulos usamos el hecho de que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a 180°, esto es, A + B + C - 180°

(2)

1 Resolución de triángulos LAA o ALA Nuestros dos primeros ejemplos muestran cómo resolver un triángulo cuando se co nocen un lado y dos ángulos (caso 1: LAA o ALA). * L a razón por la que debemos conocer la longitud de un lado es que, si solo conocemos los ángulos, esto daría como resultado una fam ilia de triángulos similares.

680


C A P ÍT U L O 9

Uso de la ley de los senos para resolver un triángulo LAA

EJEM PLO 1

Resuelve el triángulo:


A = 40°, B = 60 , a - 4

La figura 11 muestra el triángulo que queremos resolver. El tercer ángulo C se deter mina usando la ecuación (2). A + B + C = 180° 40° + 60'1 + C = 180° C’ = 80" Ahora usamos la ley de los senos (dos veces) para determinar los ladf>s h y c desco nocidos. sen A _ senj? s e n /t _ scn C a ~ b a c Como a = 4, A = 40°, B = 60° y C = 80", tenemos que sen 40° _ sen 60" 4 ~ b

N O T A P o d e m o s v e r ific a r qué t a n ra zo n a b le

es

determinando

n u e stra

re sp u e sta

s i el lado m á s larg o

e s o p u e s to al áng u lo m á s g rande

Si resolvemos para b y c, encontramos que

y el lad o m á s c o r t o e s o p u e s to al áng u lo m á s pequeño.

■

sen 40" _ sen 80" 4 c

b =

4 sen 60° sen 40°

4 sen 80" _ c = ------ — * 6.13 sen 40

5.39

Observa que en el ejemplo 1 determinamos b y c trabajando con el lado a que se dio. Esto es mejor que determinar b primero y después trabajar con un valor redon deado de b para determinar c.


Uso de la ley de los senos para resolver un triángulo A LA Resuelve el triángulo:

Solución

EL P R OB L E MA 9

A = 35°, B = 15°, c = 5

La figura 12 ilustra el triángulo que queremos resolver. Como conocemos dos ángulos (A = 35° y B = 15°), determinaremos el tercer ángulo usando la ecuación (2).

F ig u ra 12

A + B + C = 180° 35° + 15° + C = 180° C = 130° Ahora conocemos los tres ángulos y un lado (c = 5) del triángulo. Para determinar los dos lados restantes, a y b, usamos la ley de los senos (dos veces). sen A a sen 35° a

sen C c sen 130° 5 5 sen 35° a = ----- ~ 3-74 sen 130

Resuelve ahora

el

problema

sen B b sen 15° b

sen C c sen 130° 5 5 sen 15° b = sen 130°

23

F ig u ra 13

Resolución de triángulos LLA El caso 2 (LLA), que se aplica a los triángulos para los cuales se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, se llama el caso ambiguo, porque la información conocida puede dar como resultado un triángulo, dos triángulos o ningún triángulo. Considera que se nos dan los lados a y b y el ángulo A, como se ¡lustra en la figura 13.

S E C C IÓ N 9.2

Ley de los senos

681

La clave para determinar los triángulos posibles, si existen, que se pueden formar a partir de la información dada depende principalmente del tamaño relativo del lado a, la altura h y el hecho de que h = b sen A. Ningún triángulo Si a < h = b sen A, en tonces el lado a no es suficientemente lar go p¿\ra formar un triángulo. Ver figura 14.

Triángulo rectángulo Si a = h = b sen A , entonces el lado a es suficientemente lar go para formar un triángulo rectángulo. Ver figura 15.

F ig u ra 14

F ig u ra 15

a < h = b sen A

a = h = b sen A

\

h = úsen A

_ L Dos triángulos Si h = b sen A < a y a b, solo se puede for mar un triángulo. Ver figura 17.

F ig u ra 16

F ig u ra 17

b sen A < ay a < b

aa b

Afortunadamente no tenemos que recurrir a una ilustración o a relaciones com plicadas para sacar la conclusión correcta en el caso ambiguo. La ley de los senos nos lleva a la determinación correcta. Veamos cómo.

EJEM PLO 3

Uso de la ley de los senos para resolver un triángulo LLA (una solución) Resuelve el triángulo:

Solución F ig u ra 18(a)

a - 3, b - 2, A = 40°

Ver figura 18(a). Como conocemos un ángulo {A = 40°), el lado opuesto al lado co nocido (a = 3) y el lado opuesto al ángulo B (b = 2), usamos la ley de los senos para determinar el ángulo B. sen A _ sen B a b Entonces

c sen 40° _ sen B 3 ~ 2 „ 2 sen 40° sen B = ---- ------

N O T A A q u í c a lc u la m o s

3 t d e te rm i-

_.fZ n an d o el v a lo r d e se n S i u s a s el v a lo r

se n 4 0 ° \ I ----- ------- I.

redondeado

y eva

Existen dos ángulos

B ,0 °

 180°. Ahora, usando B, «25.4°, encontramos que

lú a s s e n _1( 0 . 4 5 ) , o b t e n d r á s un r e s u lt a d o lig e ra m e n te d if e r e n te .

■

C - 180° - A -

Bx

* 180° - 40° - 25.4° = 114.6°

682

C A P ÍT U L O 9

A p lic a c io n e s

de las fu n c io n e s trig o n o m é tric a s

El tercer lado c se puede determinar ahora usando la ley de los senos. sen A _ sen C a c sen 40° _ sen 114.6° 3 c 3 sen 114.6° -----------------sz 4.24 sen 40° La figura 18(b) ilustra el triángulo resuelto.

c = 4.24

EJEM PLO 4

Uso de la ley de los senos para resolver un triángulo LLA (dos soluciones) Resuelve el triángulo:

Solución

a = 6, b = 8, A = 35"

Ver figura 19(a). Como se conocen <7 = 6, h = senos para determinar el ángulo B. sen A

F ig u ra 19(a)

Hy

A = 35°, usaremos la ley de los

sen B

Entonces sen 35° _ sen B 6 “ 8 _ 8 sen 35° _ sen B = ---- ----- ~ 0.76 6 B x * 49.9°

o

B2 ~ 180° - 49.9° = 130.1°

Para ambas elecciones de B tenemos que A + B < 180°. Existen dos triángulos, uno que contiene el ángulo « 49.9° y el otro que contiene el ángulo B. *= 130.1 El tercer ángulo C es Ci = 180° - A -

a 95.1° t

o

C-> = 180° - A - B ^ 14.9° ‘ ‘ T

A = 35°

A = 35°

0 , = 4 9 .9 °

32

= t 3 0 .r

El tercer lado c obedece la ley de los senos, así que tenemos que F ig u ra 19b

sen A a sen 35°

c\ -

sen C\ c, sen 95.1° c\ 6 sen 95.1° sen 35°

sen A

sen C-»

a

c2

sen 35°

10.42

sen 14.9°

c2 6 sen 14.9° Ci = sen 35°

2.69

Los dos triángulos resueltos se muestran en la figura 19(b).

[ EJ EM PLO 5 ] Uso de la ley de los senos para resolver un triángulo LLA (sin solución) Resuelve el triángulo:

Solución

a = 2. c = 1, C = 50°

se conocen a —2, c - 1, C = 50°, usaremos la lev de los senos para determinar el ángulo A. sen A _ sen C a c sen A _ sen 50° 2 “ 1 sen ,4 = 2 sen 50° % 1.53

SECCIÓN 9.2 Ley de los senos

Figura 20

683

Como no existe un ángulo A para el cual A > 1, no puede existir un triángulo que tenga las medidas dadas. La figura 20 ilustra las medidas dadas. Observa que, sin im portar cómo tratemos de colocar c, jamás tocará el lado b para formar un triángulo. Resuelve ahora

los

problemas

25

y

31

3 Resolución de problem as aplicados

EJEM PLO 6

Determinar la altura de una montaña Para medir la altura de una montaña, un topógrafo toma dos medidas de la cima a una distancia de 900 metros una de la otra en un línea directa a la montaña.* Ver figura 21(a). La primera observación da como resultado un ángulo de elevación de 47° y la segunda da como resultado un ángulo de elevación de 35°. Si el teodolito está a 2 metros de altura, ¿cuál es la altura h de la montaña?

Figura 21

2m

Solución

La figura 21(b) muestra los triángulos que replican la ilustración de la figura 21(a). Como C + 47° = 180°, determinamos que C = 133°. Además, como A + C + 135° = 180°, determinamos que A = 180° - 35° - C = 145° - 133° = 12°. Usa la ley de los senos para calcular c. sen A sen C A = 12°, C = 133°, a = 900 a 900 sen 133° c = --------— — « 3165.86 sen 12 Si usamos el triángulo rectángulo más grande, tenemos que b sen 35 = — c = 3165.36 c b — 3165.86 sen 35° ~ 1815.86 ~ 1816 metros La altura de la cima desde el nivel del suelo es de aproximadamente 1816 + 2 - 1818 metros. -Resuelve ahora

EJEM PLO 7

el

problema

5 9

Rescate en el mar La estación de guardacostas Zulu se localiza a 120 millas al oeste de la estación X-ray. Un barco en el mar manda una llamada de auxilio que reciben ambas estaciones. La llamada a la estación Zulu indica que la dirección del barco desde Zulu es N40°E (40° al este del norte). La llamada a la estación X-ray indica que la dirección del bar co desde X-ray es N30°O (30° al oeste del norte). (a) ¿Qué tan lejos está cada estación del barco? (b) Si se manda un helicóptero capaz de volar a 200 millas por hora desde la estación más cercana al barco, ¿cuánto le tomará llegar al barco? *P o r sencillez, consideramos que estas medidas se toman al mismo nivel.

684

C A P ÍT U L O 9


Solución Figura 22

(a) La figura 22 ilustra la situación. Se determina que el ángulo C es _ -„ a #»ztn / /\n _ to C = ISO0 - 50° - 60" = 70" Ahora podemos usar la ley de los senos para determinar las dos distancias a y b.

N

sen 50° a

sen 70° I20 120 sen 50° __ u_ ... _ -------------- % 97.82 millas sen 70° sen 60° sen 70" 120 120 sen 60° w 110.59 millas b = sen 70"

s /

C

a 30'

40 :1 50° aul-v

6 0 ^

É é J < 4 125mi j r Q Zulu

«

X-ray

La estación Zulu está a aproximadamente 111 millas del barco y la estación X-ray está a aproximadamente 9S millas del barco. (b) El tiempo t que se necesita para que el helicóptero llegue al barco desde la esta ción X-ray se determina usando la fórmula (Velocidad, r)(Tiempo, l) = Distancia, a Entonces 97.82 200

a r

0.49 hora « 29 minutos

Le tomará al helicóptero aproximadamente 29 minutos para llegar al barco.


el problema

.

37

Demostración de la ley de los senos Para demostrar la ley de los senos, construimos una altura de longitud h desde uno de los vértices de un triángulo. La figura 23(a) muestra a h para un triángulo con tres ángulos agudos y la figura 23(b) muestra a h para un triángulo con un ángulo obtuso. En cada caso, la altura se traza desde el vér tice en B. Si usamos cualquiera de las ilustraciones, tenemos que „ h sen C - — a de donde h = a sen C

(3)

De la figura 23(a), también se deduce que , h sen A = — c de donde h = c sen A

(4)

De la figura 23(b), se deduce que sen(180° - A ) = sen A = -

T se n ( 1 6 0 ° -

A ) = se n

eos A -

e o s 1 3 0 ° se n A = s e n A

que nuevo da como resultado h = c sen A Por lo tanto, no importa si el triángulo tiene tres ángulos agudos o tiene dos ángulos agudos y un ángulo obtuso, las ecuaciones (3) y (4) se cumplen. Como resultado po demos igualar las expresiones para h en las ecuaciones (3) y (4) para obtener a sen C = c sen A

S E C C IÓ N 9.2

Figura 24

Ley de los senos

685

de donde sen A

sen C

«

c

(5)

De manera similar, si construimos la altura h' desde el vértice del ángulo A como se muestra en la figura 24, podemos demostrar que h'

n

sen B = — c

„

W

y sen C = — b

Si igualamos estas expresiones para h \ determinamos que h ’ - c sen B = b sen C

de donde sen B

sen C

(6)

Cuando se combinan las ecuaciones (5) y (6), tenemos la ecuación (1), la ley de los senos. ■

9.2 Evalú a tu en ten d im ien to "¿Estás listo?' 'L a s respuestas se dan al fin a l de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. La fórmula de la resta para la función seno es

3. Los dos triángulos que se muestran son similares. Deter mina la longitud faltante. (pp. 30-35)

sen(/4 - B ) = ______________ . (p. 643) 2. Si 6 es un ángulo agudo, resuelve la ecuación 6 = —— . (pp. 622-627) 2

Conceptos y vocabulario 4. Si ninguno de los ángulos de un triángulo es un ángulo rec to, el triángulo se llam a______________ .

7. Verdadero o fa ls o La ley de los senos se puede usar para resolver triángulos cuando se conocen tres lados.

5. Para un triángulo con lados a, b y c y ángulos opuestos A , B y C la ley de los senos establece q u e ______________ .

8. Los triángulos para los cuales se conocen dos lados y el ángulo opuesto a alguno de ellos (LLA) se llaman

6. Verdadero o fa ls o Un triángulo oblicuo en el que se dan dos lados y un ángulo siempre da como resultado por lo menos un triángulo.

Ejercicios E n los problemas 9-16, resuelve cada triángulo.

E n los problemas 17-24, resuelve cada triángulo.

O O (N II

II o\ O o

a = 3

21. A = 110°, C = 30°, c = 3

B = 40°,

c = 2

24. B = 20°,

B

20. A = 70°,

B

V 23. A = 40°,

18. A = 50°, C = 20°,

c = 4

17. A = 40°,

C = 70°, a = 1

19. B = 70°,

C = 10°, b = 5

22. B = 10°,

C = 100°,

6 = 2

686

C A P ÍT U L O 9


E n los problemas 25-36, se dan dos lados

y m dns u,o. Determina si con la In fo r m a n proporcionada

obtiene un ioAnyolo. do.

\

\

=

II Vi O

triángulos o ningún triangulo. Resuelve cualquier triángulo que resulte. 26.

b

B=

40"

27. 6 - 5 .

c - 3.

B - Kxr

=

120°

29.

a = 4, h = 5, A =

60°

30. 6 - 2 ,

c - 3,

B*

20°

32.

a = 3, b = 7, A = 70°

B = 95°

35.

a = 2, c =

25.

a=

3,

b

28.

a=

2,

c = 1,

A

31.

b=

4,

c = 6,

B=

34.

b

=

4,

c = 5,

2,

=

4,

c

=

3,

1,

C

= 25°

3 3.

a = 2,

3 6. 6

=

4,

c

40"

- 1. C « 100

c = 5,

B=

40

Aplicaciones y extensiones_____________________ ___ \

37. Rescate en el mar La estación de guardacostas Ablc se localiza a 150 millas al sur de la estación Baker. Un barco en el mar manda una llamada de auxilio que reciben am bas estaciones. La llamada a la estación Able indica que la dirección del barco es N55°E, La llamada a la estación Baker indica que la dirección del barco es S60°E. (a) ¿Qué tan lejos está cada estación del barco? (b) Si se manda un helicóptero capaz de volar a 200 mi llas por hora desde la estación más cercana al barco, ¿cuánto le tomará llegar al barco? 38. Distancia a la luna Tom y Alicc midieron el ángulo de elevación a la luna exactamente al mismo tiempo estando a 300 km de distancia uno del otro. El ángulo de elevación a la luna para Tom fue de 49.8974° y el ángulo de elevación a la luna para Alice fue de 49.9312°. Ver figura. Dentro de los 1000 km más cercanos, ¿qué tan lejos estaba la luna de la Tierra cuando se llevaron a cabo las mediciones?

40.

D e te r m in a r la a ltu r a d e u n a m o n ta ñ a Usa la ilustración del problema 39 para determinar la altura Q IJ de la montaña

41.

D e te r m in a r la altura de un a v ió n Dos observadores que están a 1000 pies de distancia uno del otro ven un avión. Conforme el avión pasa sobre la línea que los une. cada ob servador toma una medida del ángulo de elevación a) avión, como se indica en la figura. ¿Qué tan alto vuela el avión?

42. Determinar la altura de un puente sobre el desfiladero Ro jal Gorge El puente más alto del mundo es el puente que está sobre el Roval Gorge en el río Arkansas en Colorado. Se toman medidas desde cada lado del puente de 8S0 pies de largo al mismo punto estando al nivel del agua directa mente bajo el puente, como se indica en la figura. ¿Qué tan alto es el puente? Fuente: L ib ro de los Record Guiness

\ , 3 9 . Determinar la distancia de un teleférico para esquiar Consulta la figura. Para determinar la longitud del alcan ce de una silla de esquí de P a Q, un topógrafo mide que Z D P Q es de 25° y después camina una distancia de 1000 pies hacia R y mide que Z P R Q es de 15°. ¿Cuál es la dis tancia de P a Q1

Q

43. Diseño de paisajes Pal debe determinar la altura de un árbol antes de cortarlo para asegurase de que no caica so bre una barda cercana. El ángulo de elevación del árbol a una posición en un camino plano desde el árbol es de 30° v de una posición 4(1 pies más lejos sobre este camino es de 20°. ¿Cuál es la altura del árbol? 44. t onstrucción Se quiere reemplazar una rampa de carga de 10 pies de largo que forma un ángulo de 18' con la hori zontal por una que forma un ángulo de 12' con la horizontal. ¿Qué tan larga es la nueva rampa? 45. Navegación comercial Adam debe volar a casa a San Luis de una junta de negocios en la ciudad de Oklahoma.

S E C C IÓ N 9.2

« %

e

Una opción de vuelo va directamente a San Luis, a una distancia de aproximadamente 461.1 millas. Una segunda opción de vuelo va primero a la ciudad de Kansas y despues conecta con San Luis. La dirección de la ciudad de Oklahoma a la ciudad de Kansas es N29.6’E y la dirección de la ciudad de Oklahoma a San Luis es N57.7’E. La di rección de San Luis a la ciudad de Oklahoma es S57.7"Q y la dirección de San Luis a la ciudad de Kansas es N79.4°Ó. ¿Cuántas millas de viajero frecuente recibirá Adam si toma el vuelo con conexión en lugar del vuelo directo? Fuente: www.landings.com Tiempo perdido dehido a un error de navegación En un intento de volar de la dudad P a la eiudad Q, un avión siguió un rumbo equivocado por 10°, como se indica en la figura. Después de haber volado una distancia de 50 millas, el pilo to corrigió el rumbo girando a un punto R y volando otras 70 millas. Si la velocidad constante del avión era de 250 mi llas por hora, ¿cuánto tiempo se perdió debido al error?

Ley de los senos

687

49. Construcción de una autopista La autopista U.S. 41, cuya dirección principal es norte-sur, se construye sobre la cos ta oeste de Florida. Una bahía obstruye el paso directo de la autopista cerca de Nápoles. Como el costo de un puente es prohibitivo, los ingenieros deciden rodear la bahía. La ilustración muestra la trayectoria que escogieron y las me didas que se tomaron. ¿Cuál es la longitud de la autopista que se necesita para rodear la bahía?

47. Determinar la inclinación de la torre inclinada de Pisa La famosa torre inclinada de Pisa originalmente tenía 184.5 pies de altura.* A una distancia de 123 pies de la base de la torre, el ángulo de elevación a la parte superior de la torre es de 60°. Determina ZRPQ que se indica en la figura. También determina la distancia perpendicular de R a PQ. R

50. Cálculo de distancias en el mar La navegante de un bar co en el mar detecta dos faros que sabe que están en la cos ta a 3 millas de distancia uno del otro. Ella determina que los ángulos formados entre las dos líneas de observación de los faros y la línea del barco directamente a la costa son de 15° y 35°. Ver ilustración. (a) ¿Qué tan lejos está el barco del faro P1 (b) ¿Qué tan lejos está el barco del faro Q? (c) ¿Qué tan lejos está el barco de la costa?

48. Cigüeñales en los autos El cigüeñal en cierto auto tiene 3 pulgadas de largo y el eje que lo conecta tiene 9 pulga das de largo (ver figura). Al tiempo en que ZOPQ es de 15°, ¿qué tan lejos está el pistón (P) del centro (O) del cigüeñal? »El27de febrero de 1964, el gobierno de Italia pidió ayuda para prevenir la caída de la torre. Se formó una fuerza multinacional de ingenieros, matemáticos e historiado res que se dieron cita en las islas Azores para analizar los métodos de estabilización. Después de más de dos décadas de trabajo al respecto, la torre se cerró al público en enero de 1990. Durante el tiempo que estuvo cerrada, se quitaron las campanas para remover algo del peso yse amarraron cables alrededor del tercer nivel yse anclaron a varios metros de distancia. Los departamentos ycasas en el camino de la torre fueron evacuados por razones de seguridad. Después de una década de reconstrucción co rrectiva yesfuerzos de estabilización, la torre se abrió al público el 15de diciembre de 2001. Se propusieron muchos métodos para estabilizar la torre, incluyendo agregar 800toneladas métricas de contrapesos de plomo a la parle levantada de la base. La solución final para corregir la inclinación fue quitar 38metros cúbicos de tierra debajo de la parte levantada. Se ha declarado que la torre será estable por lo menos por otros 300 años. Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Leaning_Tower_of_Pisa

688

C A P ÍT U L O 9

A p lic a c io n e s d e las fu n c io n e s

trigonométricas

Un toldo que cubre una puerta de vidrio corrediza de 88 pulgadas de alto forma un ángulo de 50" con la pared. El propósito del toldo es evitar que el sol entre en la casa cuando el ángulo de elevación del Sol es de más de 65°. Ver figura. Determina la distancia /. del toldo.

51. Diseño «le un toldo

Ó

línea de visión de la I ierra al Sol y la línea de visión de la Tierra a Mercurio. Ver íigura. Considera que el ángulo de elongación para Mercurio es de 15, Uva esta información para determinar las distancias posibles entre la I ierra y Mercurio.

Escalón

Un guardabosques camina en un sendero inclinado de 5° con la horizontal directamente ha cia una torre de observación de incendios que mide 100 pies de alto. El ángulo de elevación del sendero a la parte superior de la torre es de 40°. ¿Qué tan lejos está el guar dabosques de la torre en este momento?

52. Determinar distancias

Una de las siete maravillas del mundo originales, la gran pirámide de Keops, se construyó alrededor de 2580 a.C. Su altura original era de 480 pies 11 pulgadas, pero debido a la pérdida de las piedras su periores, ahora es más baja. Determina la altura actual de la gran pirámide usando la información que se da en la ilustración.

53. Gran pirámide de Keops

Fuente: Lib ro de los Record Guiness

56. Venus La distancia del Sol a la I ierra es de 149.6Ó0.ÍMJ kilómetros (km) aproximadamente. 1.a distancia del Sol a Venus es de 108.200.000 km aproximadamente. El ángulo de elongación a es el ángulo que se forma entre la línea de visón de la Tierra al Sol y la línea de visión de la Tierra a Venus. Considera que el ángulo de elongación para Venus es de 10°. Usa esta información para determinar las distan cias posibles entre la Tierra y Venus. 57. I.a rueda de la fortuna original Gcorgc Washington Galc Ferris, Jr., diseñó la rueda de la fortuna original para la World's Columbian Exposition en Chicago. Illinois, en 1893. La rueda tenía 36 compartimentos cada uno del ta maño de un camión escolar espaciados a la misma distan cia. La distancia entre compartimentos adyacentes era de aproximadamente 22 pies. Determina el diámetro de la rueda al pie más cercano. Fuente: Biblioteca Carnegie de PUtsburgh, wst w.clpgh.org

58. Fórmula de Mollweide Para cualquier triángulo, la fór mula de Mollweide (nombrada en honor a Karl Mollwei de. 1774-1825) establece que

Demuéstrala. [Sugerencia: Lisa la ley de los senos y después una fórmula de suma a producto. Observa que esta fórmula involucra las seis partes de un triángulo. Como resultado, a veces se usa para verificar la solución de un triángulo.) 59. Fórmula de Mollweide Mollweide es

Dos sensores están co locados a 700 pies uno del otro sobre la pista de un peque ño aeropuerto. Cuando un avión se acerca al aeropuerto, el ángulo de elevación del primer sensor al avión es de 20° y del segundo sensor al avión es de 15°. Determina qué tan alto está el avión en este momento. 55. Mercurio La distancia del Sol a la Tierra es de 149,600,000 kilómetros (km) aproximadamente. La distancia del Sol a Mercurio es de aproximadamente 57,910,000 km. El án gulo de elongación a es el ángulo que se forma entre la

Otra forma de la fórmula de

54. Determinar la altura de un avión

co s^c) Demuéstrala. 60. Para cualquier triángulo, demuestra la fórmula a = b eos C + c eos B

[Sugerencia: Usa el hecho de que sen A = sen(180° - B - C).

S E C C IÓ N 9.3

61. Ley de las tangentes Para cualquier triángulo, demuestra '

a- b a+b

tan

689

donde r es el radio del círculo que circunscribe al triángulo PQR cuyos lados son a, b y c, como se muestra en la figura. [Sugerencia: Traza el diámetro PP'. Entonces B = ZPQR = ZPP'R y el ángulo ZPRP' = 90°.]

la ley de las tangentes.

w $ y

Ley de los cosenos

[1 ,

[1 , 1 tan 2 ^ + B)

[Sugerencia: Usa la fórmula de Mollweide.] 62. Triángulo circunscrito Demuestra que sen A _ sen B _ sen C _ 1 a b c 2r

Explicación de conceptos: discusión y escritura 63. Desarrolla tres problemas que involucren triángulos obli cuos. Uno debe dar como resultado un triángulo, el segun do dos triángulos y el tercero ningún triángulo. 64. ¿Qué debes hacer primero si se te pide que resuelvas un triángulo y se te dan un lado y dos ángulos?

65. ¿Qué debes hacer primero si se te pide que resuelvas un triángulo y se te dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos?

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?' 2. 30° o

1. sen A eos B - eos A sen B

9 .3

7T

3.

15

L e y d e lo s c o s e n o s P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s ec c ió n Antes de empezar, repasa lo siguiente: • Ecuaciones trigonométricas (sección 8.3, pp. 622-627) V Resuelve ahora los problemas de la sección " ¿ E s tá s

listo ?"

• Fórmula de la distancia (sección 2.1, p. 151) de la página 692.

OBJETIVOS 1 Resolver triángulos LAL (p. 690) 2 Resolver triángulos LLL (p. 691) 3 Resolver problemas aplicados (p. 691)

En la sección anterior usamos la ley de los senos para resolver el caso 1 (LAA o ALA) y el caso 2 (LLA) de un triángulo oblicuo. En esta sección demostraremos la ley de los cosenos y la usaremos para resolver los casos 3 y 4 restantes. Caso 3: Se conocen dos lados y el ángulo incluido entre ellos (LAL). Caso 4: Se conocen tres lados (LLL).

TEOREM A

Ley de los cosenos Para un triángulo con lados a, b y c y ángulos opuestos A, B y C respectivamente, c2 — a2 + b2 — lab eos C b2 = a2 + c2 - 2 ac eos B

(1)

a2 = b2 + c2 - 2be eos A

(3)

(2)

J

690

CAPÍTULO 9


Aquí, únicamente demostraremos la fórmula (1). Las fórmulas (2) y (3) se pueden demostrar usando el mismo argumento. Empezaremos colocando estratégicamente un triángulo en un sistema de coor denadas rectangulares de manera que el vértice del ángulo C esté en el origen y el lado b esté sobre el eje x positivo. Sin importar si C es agudo, como en la figura 25(a) u obtuso, como en la figura 25(b), el vértice del ángulo B tiene coordenadas (a co¡¡ C, a sen C). El vértice del ángulo A tiene coordenadas (b, 0). Usamos la fórmula de la distancia para calcular c2. D e m o s t r a c ió n

Figura 25

c2 = (b - a eos C )2 + (ü - a sen C )2 = b2 - 2ab eos C + a2 eos2 C + a2 sen2 C = b2 - 2ab eos C + a2(cos2 C + sen2 C) = a2 + b2 - 2ab eos C

*

Cada una de las formulas (1), (2) y (3) se pueden establecer con las siguientes palabras:

TEOREMA

Ley de los cosenos El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos dos veces su producto multiplicado por el coseno del ángulo incluido. Observa que si el triángulo es un triángulo rectángulo (de manera que C = 90'), la fórmula (1) se convierte en el conocido teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2. ¡El teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos!

1 Resolución de triángulos LAL La ley de los cosenos se usa para resolver el caso 3 (LAL), que aplica a triángulos para los que se conocen dos lados y el ángulo incluido.

EJEM PLO 1

Uso de la ley de los cosenos para resolver un triángulo LAL Resuelve el triángulo:

Solución Figura 26

a = 2,

b - 3,

C = 60°

Ver figura 26. Como conocemos dos lados, a y ft, y el ángulo incluido, C = 60°. la ley de los cosenos nos facilita determinar el tercer lado, c. c2 - a2 + b2 — 2ab eos C = 22 + 32 - 2 • 2 • 3 • eos 60° a = 2, k> = 3. C = 60 °

c = V 7 El lado c tiene longitud de \ / l . Para determinar los ángulos A y B. debemos usar ya sea la ley de los senos o la ley de los cosenos. Es preferible usar la ley de los cosenos, debido a que nos llevará a una ecuación con una solución. Usar la ley de los senos nos llevaría a una ecuación con dos soluciones que se tendrían que verificar para determinar qué solución es la apropiada para los datos dados.* Escogemos usar las fórmulas (2) y (3) de la ley de los cosenos para determinar A y B. Para A: a2 = b2 + c2 — 2be eos A 2be eos A = b2 + c2 - a2 4 =

- g .+ 7 - 4 _ 2bc

2 '3 \ñ

12 6 \ñ

2V ?

7

. 2V 7 A = eos 1------ w 40.9° Se puede usar la ley de los senos si el ángulo que se quiere d eterm in ar es opuesto a l lado más co rto , lo que asegura que ebe ser agudo. (E n la figura 26, usa la ley de los senos para d e term in ar A . el ángulo opuesto al lado más co rto .) -

S E C C IÓ N 9.3

Ley de los cosenos

691

Para B : b2 = a2 + c2 - 2ac eos B ¿ •NOTA

T am b ién p u d im o s h a b e r d e

te r m in a d o 0

que la s u m a A + p o r lo t a n t o , 0

0 + =

— 6 0 ° = 79.1°. S in

C

a2 + c2 - b2 2ac

eos B -

u s a n d o el h e ch o de = 1 0 0 °,

1 0 0 ° — 4 0 .9 °

embargo,

4V 7

2

= V7 I4

4V 7

i V7 5 = eos“1— « 79.1° 14

u sar

la ley d e lo s c o s e n o s p e rm ite una d oble v e rific a c ió n .

4 +______ 7 -9 =

■

Observa que /l + B + C = 40.9° + 79.1° + 60° = 180°, como debe ser. Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

9

2 Solución de triángulos LLL El siguiente ejemplo ilustra cómo se usa la ley de los cosenos cuando se conocen tres lados de un triángulo, el caso 4 (LLL). EJEM PLO 2

Uso de la ley de los cosenos para resolver un triángulo LLL Resuelve el triángulo:

Solución Figura 27

a = 4, b - 3, c = 6

Observa la figura 27. Para determinar los ángulos A, B y C, procedemos de la misma manera que usamos para determinar los ángulos en la solución del ejemplo 1. Para A: b2 + c2 - a2 9 + 36 - 16 2be 2-3-6 29 A = eos-1 — « 36.3° 36

29 36

a2 + c2 - b2 16 + 36 - 9 2ac 2-4-6 43 B = eos-1 « 26.4° 48

43 48

eos A =

Para B: eos B

Como conocemos A y B, C = 180° - A - B « 180° - 36.3° - 26.4° = 117.3° — Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

1 5

3 Solución de problem as aplicados

EJEM PLO 3

Corrección de un error naval Un velero de motor sale de Nápoles, Florida hacia Key West que está a 150 millas. Después de 4 horas de mantener una velocidad constante de 15 millas por hora, pero encontrando vientos cruzados y fuertes corrientes, la tripulación se da cuenta de que el velero viaja 20° en la dirección equivocada. (a) ¿Qué tan lejos está el velero de Key West en este momento? (b) ¿Qué ángulo debe girar el velero para corregir su dirección? (c) ¿Cuánto tiempo se ha agregado al viaje por esta razón? (Considera que la velo cidad se mantiene en 15 millas por hora.)

692

CAPÍTUI.O 9 Aplicaciones de las funi Ione»trigonométrica* Ohticrva la Ufara 2». 1:1 velera ha reearnd..«» m,lla..levpuí.Ue 4 h .» » a anav.h. Solución calad de O millas |>m lana. Oueteinm dclermrnar la distancia . del «clero de Kcv Wesl. Tamhícn qucrcra» dele.mmar el .'m«ulo i)Ue dehe „..ar el sele.o par, o rregir su dirección. (a) Para delerminar.«. M a la s la ley de loe cosenos, pmqoe cm o ccm o . dm la* « > Figura 28 el ángulo incluido. ¿ m 150* + mi* - 2(15«)í«l> co» 20' ** 91*5.33

95.8

x m

El velero está a 96 millas de Key West. (h) Ahora conocemos los tres lados del triángulo, así que podemos usar b les de lo* cúse nos de nuevo para determinar el ángulo A opuesto al Lsdotk 5*0 millas tic longjiud 1503 ■ *lH r + tíür - 2(96J(60J eos A 9684 -"11.520 eos A eos A *¡ -0,8406 A * 147.2° El velero debe girar un ángulo de n m ISO - A * 180 - 147 2* - 32JT E.l velero debe girar un ángulo de 33 para corregir su dirección

(c) La longitud total del viaje es ahora de 60 + 96 » 156 millas la» 6 millas c«r> solo requerirán de 0.4 horas o 24 minutos si se mantiene b \cU«.*lad de 15 milb* p(*t hora •J Raiuelve ahora n m o h i * »

45

C o m e n ta rio h is tó ric o L

a ley de los senos se conocía vagamente mucho antes de que fuera establecida explícitamente por Nasir Eddin (alrededor

de 1250 d .C ). Ptolomeo (alrededor de 150 d C.) sabía acerca de ella en una forma que usaba una función de cuerda en lugar de una función seno. Pero fue establecida claramente, por primera ver. en Europa por Regiomontano, escribiendo en 1464. La ley de los cosenos aparece primero en el libro Elementos (Libro II) de Eudides, pero en una forma disfrazada en la cual cua drados construidos en los lados de los triángulos se suman y un rec tángulo que representa el término del coseno se resta. Asi la cono

Cían todos los matemáticos drtwdo a su famAandad io n t i trabara de Eucltdes Erarios Vtfie establee>ó una de tas préñelas toma* modernas de la ley de kn coseros (en 1S9J paca detrrewsa» «4*r> guio cuando se conocen los lados La ley de las tangentes (ve* problema 61 de ta veccafrnde cjeo cios 9 21se ha vuelto obsoleta En el pasado e*a usada en haga* de ¿a ley de los cosenos, ya que ésta r>* muy (Mk4 decak utar toe toga«i mos o reglas de cákuk) S»nembargo. Hoy en día es muy sene rfu U mezcla de ta suma yla muHiphcaoón en sana cakalado*a y la ley de las tangentes ve ha archivado junto con la regia de

9.3 Evalúa tu enten dim ien to ¿Estás listo? entre paréntesis.

I.tis

respuestas se dan

a l fin a l de estos ejercicios. Si o b tien es u n a respuesta m e or te sta , lee la s [saciñas a u r r * i i i

1. Escribe la fórmula de la distancia d de /*, = (x,, y,) a /', = (x\, y2). (p. 151)

Yy 2> St Oes un ángulo agudo, revuelve ta ecuación ©os 9 - —— (pp (,2: <>:-) '

Conceptos y vocabulario 3. Si se dan tres lados de un triángulo, se usa la ley de los para resolver el triángulo. 4. Si se da un lado y dos ángulos de un triángulo, se usa la ley de los__________ para resolver el triángulo. 5. Si se dan dos lados y el ángulo incluido de un triángulo, se usa la ley de los__________ para resolver el triángulo.

ft. I

e n la d e m o f a l s o Si «c dan unicamente U lio Lados »Je un triángulo, no has suficiente infocmjoon para te-sobe* el triángulo. 7. I e rd a d e n 1 o f a l s o Si se dan dos lado» s el ángulo indizi do. lo primero que ve debe hacer para resolver el mángalo es usai la les de los ven*» 8 . 1 ertla d er» o f a l s o l n cavo especial de b les de los cose nos es el teorema de Pitacoras

S E C C IÓ N 9.3

Ley de los cosenos

693

Ejercicios

E n los problemas 17-32, resuelve cada triángulo.

II O

20. a = 6,

6 = 4,

23. a = 2,

18. a = 2,

c = 1,

B = 10°

19. 6 = 1, c = 3,

/I = 80°

C = 60'

21. a = 3,

c = 2,

£ = 110'

22. 6 = 4,

>1 = 120'

6 = 2,

C = 50'

24. a = 3,

c = 2,

£ = 90°

25. a = 12,

26. a = 4,

6 = 5,

c = 3

27. a = 2,

6 = 2,

c = 2

28. a = 3,

29. a = 5,

6 = 8,

c = 9

II <3 O

b = 4,

Ò

17. a = 3,

6 = 3,

c = 6

31. a = 10,

32. a = 9,

6 = 7,

c = 10

c = 1,

6 = 13, c = 5 6 = 3, 6 = 8,

c = 2 c = 5

Práctica mixta En los problemas 33-42, resuelve cada triángulo usando la ley de los senos o la ley de los cosenos. 33. B = 20°, C = 75°, b = 5

34. A = 50°,

36. a = 14, b = 7, A = 85°

37.

39. A = 10°, a = 3, b = 10

40. A = 65°, B = 72°, b = 7

B

= 55°, c = 9

B = 35°, C = 65°, a = 15

35. a = 6, b = 8, c = 9 38. a = 4, c = 5, £ = 55° 41. b = 5, c =

12, >1 = 60°

42. a = 10, 6 = 10, c = 15 Aplicaciones y extensiones Distancia ai green Un jugador de golf tira un golpe de salida

e

errante que cae en el áspero. Un marcador en el centro del campo está a 150 yardas del centro del green. Estando en el lugar del marcador viendo hacia el green, el jugador gira 110° hacia la bola. Después camina 35 yardas hacia la bola. Ver figura. ¿Qué tan lejos está la bola del centro del green?

44. Navegación Un avión vuela hacia el norte desde Ft. Myers a Sarasota, una distancia de 150 millas y después gira un ángulo de 50° y vuela hacia Orlando, una distancia de 100 millas. Ver figura.

(a) ¿Qué tan lejos está directamente de Ft. Myers a Or lando? (b) ¿Qué dirección debe usar el piloto para volar directa mente de Ft. Myers a Orlando?

694 \

45.

C A P ÍT U L O 9


Evitar una tormenta tropical Un crucero mantiene una velocidad promedio de 15 nudos y va de San Juan, Puerto Rico a Barbados, Antillas, a una distancia de 600 millas náuticas. Para evitar una tormenta tropical, el capitán sale de San Juan con una dirección de 20° fuera del rumbo di recto a Barbados. El capitán mantiene la velocidad de 15 nudos por 10 horas, después de las cuales el camino a Bar bados está libre de tormentas. (a) ¿Qué ángulo debe girar el capitán para regresar di rectamente a Barbados? (b) Una vez que haya girado, ¿cuánto le tomará al cruce ro llegar a Barbados si se mantiene la misma veloci dad de 15 nudos?

49.

Determinar la lo n g itu d d e u n c a b le d e a m a r r e 1.a altura de una torre de radío es de 500 pies y el terreno a un lado de la torre se inclina hacía arriba con un ángulo de 10' (ver figura). (a) ¿Qué longitud debe tener un cable de amarre sí se quiere conectar a la parte superior de la torre y ase gurarla en un punto en el lado inclinado a 100 pies de la base de la torre? (b) ¿Qué longitud debe tener un segundo cable de amarresi se quiere conectar a la mitad de la torre y asegurarlo en un punto a 100 pies de la base e n el lado plano?

46. Revisión de un plan de vuelo En un intento de volar de Chicago a Louisville, una distancia de 330 millas, sin darse cuenta un piloto toma una dirección con un error de 10°, como se muestra en la figura. (a) Si el avión mantiene una velocidad promedio de 220 millas por hora y si el error en la dirección se descu bre después de 15 minutos, ¿qué ángulo debe girar el piloto para ir hacia Louisville? (b) ¿Qué velocidad promedio nueva debe mantener el pilo to para que el tiempo total del viaje sea de 90 minutos?

47. Campo de béisbol de las grandes ligas Un diamante de béisbol de las grandes ligas es un cuadrado de 90 pies de lado. El cojín del pitcher está a 60.5 pies del home en una línea que une el home y la segunda base. (a) ¿Qué distancia hay del cojín del pitcher a la primera base? ib) ¿Qué distancia hay del cojín del pitcher a la segunda base? (c) Si el pitcher ve hacia el home, ¿qué ángulo debe girar para ver hacia la primera base?

48. Campo de béisbol de las ligas menores Según las regula ciones oficiales de las ligas menores, el diamante es un cua drado de 60 pies de lado. El cojín del pitcher está a 46 pies del home en una línea que une el home y la segunda base. (a) ¿Qué distancia hay del cojín del pitcher a la primera base? (b) ¿Qué distancia hay del cojín del pitcher a la segunda base? (c) Si el pitcher ve hacia el home, ¿qué ángulo debe girar para ver hacia la primera base?

50. Determinar la longitud de un cable-de amarre Una tone de radio de 500 pies de alto se localiza al lado de una co lina que tiene una inclinación con la horizontal de 5"'. Ver figura. ¿Qué longitud deben tener dos cables de amarre si se quieren conectar a la parte superior de la torre y asegu rarlos en dos puntos 100 pies directamente colina arriba y colina debajo de la torre?

51. \\ rigley Field, casa de los Cachorros de Chicago La dis tancia del home a la barda en el centro del Wrigley Field es de 400 pies (ver figura). ¿Qué tan lejos está ese punto de la barda de la tercera base?

S E C C IÓ N 9.3

52. Ligas menores de béisbol La distancia del homo a la bar da en el centro del campo de ligas menores de Oak Lawn es de 2SO pies. ¿Qué tan lejos está este punto en la barda * de la tercera base? [Sugerencia: La distancia entre las bases en las ligas meno res es de bO pies.] 53. Construcción de un columpio Clint está construyendo un columpio para sus hijos. Cada lado del columpio será una estructura con forma de /l construida con dos postes de 10 pies de largo unidos con un ángulo de 45°. Para evitar que el columpio se caiga. Clint quiere asegurar la base de cada estructura en forma de A con bases de concreto. ¿Qué tan separadas tienen que estar las bases de concreto para cada estructura? 54. Ejes y pistones El eje OA gira alrededor del punto fijo O de manera que el punto /I se mueve en un círculo de radio r. Hay otro eje AB conectado al punto A de longitud L >2 r y el punto B está conectado a un pistón. Ver figura. Demuestra que la distancia x entre el punto O y el punto B está dado por .t = r eos 6 + \ / r eos2 9 + L2 - r

55.

Ley de los cosenos

695

G e o m e tríu Demuestra que la longitud d de la cuerda de un círculo de radio r está dado por la fórmula

d, = -7 2r sen-6 donde 0 es el ángulo central formado por los radios a los extremos de la cuerda. Ver figura. Usa este resultado para demostrar el hecho de que sen 0 < 0, donde 0 > 0 se mide en radianes.

56. Para cualquier triángulo, demuestra que:

donde s = - ( a + b + c). [Sugerencia: Usa una fórmula de medio ángulo y la ley de los cosenos.] 57. Para cualquier triángulo, muestra que

donde 0 es el ángulo de rotación del eje OA.

C sen2

l (s - íi)(j - b)

=V------- 7b-------

dondes - \ ( a + b + c). 58. Usa la ley de los cosenos para demostrar la identidad eos A eos B eos C _ a2 + b2 + c2 a b e labe

Explicación de conceptos: discusión y escritura 59. ¿Qué es lo primero que debes hacer si se te pide que resuelvas un triángulo y se te dan dos lados y el ángulo incluí60. ¿Qué es lo primero que debes hacer si se te pide que resuelvas un triángulo y se te dan los tres lados?

61. Desarrolla un problema aplicado que requiera del uso de la ley de los cosenos. 62. Escribe tu estrategia para resolver un triángulo oblicuo. (¡3. Establece la ley de los cosenos en palabras,

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?"_________________________________________________ i• d

=

V (*2 - *i)2 +

{yz - y \ ) 2

‘.

2.

e = 45° o ^

696

C A P ÍT U L O 9

9 .4

A p lic a c io n e s d e

las fundones trigonométricas

Á re a d e u n triá n g u lo P r e p a r a c ió n •



Bases de geom etría (capítulo R, repaso, sección R.3, pp. 3 0 -3 5 )

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 698, OBJETIVOS 1 Determinar el área de los triángulos LAL (p. 696) 2 Determinar el área de los triángulos LLL (p.697)

En esta sección demostraremos varias formulas para calcular el área de un triángulo. A continuación se da la más conocida:

TEOREMA

El área K de un triángulo es

NOTA G e n e ra lm e n te A s e u s a p a ra el á r e a , pero h e m o s u s a d o

A

(1)

p a ra

la m edid a de un áng u lo, por lo t a n to , u s a r e m o s s io n e s ,

K p a ra

e v it a r c o n fu ■

donde b es la base y h es la altura desde esa base. J Demostración La demostración de esta fórmula es bastante sencilla cuando se construye un rectángulo de base b y altura h alrededor del triángulo. Ver figuras 29 y 30. Los triángulos 1 y 2 de la figura 30 tienen áreas iguales, al igual que los triángulos 3 y 4. Como consecuencia, el área del triángulo con base b y altura li es exactamente la mitad del área del rectángulo, que es bh.

Figura 29

Figura 30

1 Determinar el área de los triángulos LAL

Figura 31

Si se conocen la base b y la altura li, entonces podemos determinar el área de ese triángulo usando la fórmula (1). Sin embargo, generalmente no se da la información requerida para usar la fórmula (1). Considera, por ejemplo, que conocemos dos lados a y b y e\ ángulo incluido C. Ver figura 31. Entonces la altura h se puede determinar si observamos que h — = sen C a de manera que /i = a sen C El uso de este hecho en la fórmula (1) da como resultado ^ ~ 2 ^ 1 = 2 ^ a sen

= t

sen C

Ahora tenemos la fórmula „ 1 A = - a b sen C

(2)

S E C C IÓ N 9.4


697

Si bajamos las alturas de los otros dos vértices del triángulo, obtenemos las si guientes fórmulas correspondientes: 1 K = —be sen A 2

(3)

K = —ac sen B 2

(4)

u

è

Se facilita recordar estas fórmulas si se usan las siguientes palabras:

TEO REM A

El área K de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo incluido. J

EJEM P LO 1

D eterm inar el área de un triángulo L A L Determinar el área K del triángulo para el cual a - 8 , b = 6 y C = 30°.

Solución

Ver figura 32. Usa la fórmula (2) para obtener 1 1 K = - a b sen C = —• 8 • 6 • sen 30° = 12 unidades cuadradas «ni

Resuelve ahora

el

problema

#J

5

2 Determ inar el área de triángulos LLL Si se conocen los tres lados de un triángulo, se puede usar otra fórmula, llamada fórmula de Herón (nombrada en honor de Herón de Alejandría), para determinar el área de un triángulo.

TEO R EM A

Fórm ula d e Herón

El área K de un triángulo con lados a, b y c es K = \ / s(s - a)(s - b)(s - c)

(5)

donde s = —(a + b + c). J

EJEM P LO 2

D eterm inar el área de un triángulo L L L Determina el área de un triángulo cuyos lados son 4, 5 y 7.

Solución

Sea a = 4, b = 5 y c = 7. Entonces s = -^(a + b + c) = ^ { 4 + 5 + 7) = 8 La fórmula de Herón da el área K como K = \ / s ( s — a)(s - b)(s — c) = V 8 • 4 • 3 • 1 = %/% = 4 \ / 6 unidades cuadradas

gBBHBaaBEBgfa-Resuelve ahora

el

problema

11

Demostración de la fórmula de Herón La demostración que damos usa la ley de los cosenos y es muy diferente de la demostración que dio Herón. De la ley de los cosenos, c2 = a2 + b2 - 2ab eos C

698

CAPÍTULO 9


y de la fórmula de medio ángulo eos

2C _ 1 + e o sC 2 ~

2

determinamos que 1+

,C 1 + cosC eos 2 2 _ g2*+

a2 + b2 - c2 2ab

+ b2 - c2 = (a + fe)2 ~ c2

Í6)

(a + b - c)(a + b + c) _ 2(s - c )-2 s _ 5(5 - c) 4a6 ab t

t

F a c to riz a

a + b — c = a + b + c — 2c = 2s -

2c = 2 (s

-

c)

, C 1 - eos C . t De manera similar, usando sen2 — = ----- »determinamos que C (s - a)(s - b) sen¿ — = ---------- 7-------2

(7)

Ahora usamos la fórmula (2) para el área. 1 K = —ab sen C 2 1 C C = — • 2 sen — eos — 2 2 2 (s - a)(s - b) js(s - c) = ab ab ab

se n C = se n

[
„

c

c

2 se n - e o s -

U s a la s e c u a c io n e s ( 6 ) y (7 ).

= \ A ( 5 ~ a )(í - b)(s - c)

C o m e n ta rio h is tó ric o a fórmula de Herón (también conocida como la fórmula de Hero) se debe a Herón de Alejandría (primer siglo d.C.), quien l—Jademás de sus talentos matemáticos, tenía habilidades de in geniería. En muchos templos sus dispositivos mecánicos producían efectos que simulaban ser sobrenaturales y al parecer, esto influía en la generosidad de los visitantes. El libro de Herón, Métrica, acerca de estos dispositivos, ha sobrevivido y fue descubierto en 1896 en

la ciudad de Constantinopla. Las fórmulas de Herón para el área de un triángulo causaron cierta incomodidad entre los matemáticos griegos porque un producto con dos factores daba como resultado un área, mien tras que uno con tres factores daba como resultado un volumen, pero cuatro factores parecían contradictorios en el tiempo de Herón.

9.4 Evalúa tu en ten d im ien to ¿ E s tá s ItStO?

La s respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta , lee las páginas marcadas

entre paréntesis.

1. El área K de un triángulo, cuya base es b y cuya altura es h es

fnn

Conceptos y vocabulario Si se conocen dos lados a y b y el ángulo C incluido de un triángulo, entonces el área K se determina usando la fórmuía K = ______________ . 3. El área K de un triángulo con lados a, b y c es K = _____________donde s = __________ 2.

4.

Verdadero o falso La fórmula de Herón se usa para de terminar el área de triángulos LLL

S E C C IÓ N 9.4


699

Ejercicios

E n los problemas 13-24, determina el área de cada triángulo. Redondea tus respuestas a dos lugares decimales.

4,

II O

16. a =

6,

b =

4,

C = 60°

19. a =

12, b = 13, c = 5

22. a = 3,

b

= 3,

14. a =

2, c = 1, B = 10°

15. b = 1,

c = 3,

II

b =

O O 00

3,

O O

13. a =

17. a =

3, c — 2, B = 110°

18. b = 4,

c = 1,

A =

120'

20. a = 4, 6 = 5, c = 3

c= 2

23. a =

21. a = 2, b = 2, c = 2

5, b = 8, c = 9

24. a =

4, b = 3, c = 6

Aplicaciones y extensiones Si se dan dos ángulos y el lado incluido será fácil determinar el tercer ángulo. Usa la ley de los senos para demostrar que el área K de un trián gulo con lado a y ángulos A , B y C es

| 25. Área de un triángulo A L A

K —

a2 sen B

~

Demuestra las dos otras formas de la fórmula que se dio en el problema 25.

26. Área de un triángulo

b2 sen A sen C ,, c2 sen A sen B K = ---------- ----- y K = 2 sen B 2 sen C

sen C ■

2 sen A

E n los problemas 27-32, usa los resultados del problema 25 o 26 para determinar el área de cada triángulo. Redondea tus respuestas a dos lugares decimales.

= 40°, B = 20°, a = 2

28. A

= 50°, C = 20°, a = 3

29. B

30. A = 70°, B = 60°, c = 4

31. A

= 110°, C = 30°, c = 3

32. B = 10°, C = 100°, b = 2

27. A

Determina el área del segmento (sombreado en la figura) de un círculo de 8 pies de radio, formado por un ángulo central de 70°. [Sugerencia: Resta el área del triángulo-del área del sector para obtener el área del segmento.]

33. Área de un segmento

Determina el área del segmento de un círculo de 5 pulgadas de radio formado por un ángulo central de 40°. 35. Costo de un lote triangular Las dimensiones de un lote triangular son 100 por 50 por 75 pies. Si el precio del terreno es de $3 por pie cuadrado, ¿cuánto cuesta el lote?

= 70°, C = 10°, b = 5

un pedazo circular de lona de 24 pies de diámetro remo viendo un sector con un ángulo central de 100° y conectan do las orillas. ¿Cuál es el área de la superficie de la tienda de campaña? 37. Dimensiones del cojín de home Se muestran las dimen siones del cojín de home en cualquier estadio de béisbol de las ligas mayores. Determina el área del cojín de home.


36. Cantidad de material para hacer una tienda de campaña

Una tienda de campaña en forma de cono está hecha por

Ver figura de la página 700. Deter mina el área de la región sombreada que está dentro de un semicírculo de 10 pulgadas de diámetro. La longitud de la cuerda P Q es de 8 pulgadas. [Sugerencia: El triángulo P Q R es un triángulo rectángulo.]

38. Cálculo de áreas

700

C A P ÍT U L O 9


42. Triángulo de las Bermuda*

El triángulo de las Bermudas está definido de manera aproximada por Hamilton, Ber muda; San Juan, Puerto Rico y el f uerte Lauderdale, f lo rida. Las distancias de Hamilton al Fuerte Lauderdale, del Fuerte Lauderdale a San Juan, y de San Juan a Hamilton son aproximadamente 1028, 1046 y 965 millas, respectiva mente. Ignorando la curvatura de la Tierra, aproxima el área del triángulo de las Bermudas.

39. Geometría Consulta la figura que muestra un círculo de radio r con centro en O. Determina el área K de la parte sombreada como función del ángulo central 0.

rú en le: www.worldatlus.com

43. Geometría

Consulta la figura. Sí \OA\ = 1. demuestra que;

(a) Área S O A C = ~ sen a c ó s a (b) Área AOCB = ~ \OB\2 sen /3 eos /J (c) Área AOAB = -\OB\ sen (a + P)

Q

. . eos a (d) OB\ = -----w eos p

Aproximación del área de un lago Para aproximar el área de un lago, un topógrafo camina alrededor del perí metro del lago, tomando medidas como se muestra en la ilustración. Usando esta técnica, ¿cuál es el área aproxima da del lago?

(e) sen ( a + /}) = senacos/3 + c o sa sen ¡i [Sugerencia: Área A O A B = Área ACMC + Área A O C B ]

[Sugerencia: Usa la ley de los cosenos en los tres triángu los que se muestran y después determina la suma de sus áreas.]

1 á

44. Geometría Consulta la figura, en la que se traza un círcu lo unitario. El segmento de recta D B es tangente al círculo y 0 es agudo. (a) Expresa el área de AO B C en términos de sen 0 y eos 6. (b) Expresa el área de AO B D en términos de sen 0 y eos 6. (c) El área del sector O B C del círculo es i

2

41. El edificio Flatiron Terminado en 1902, en la ciudad de Nueva York, el edificio Flatiron tiene forma triangular y tiene como límites la calle 22, Broadway y la 5ta avenida. El edificio mide aproximadamente 87 pies en el lado de la calle 22, 190 pies en el lado de Broadway y 173 pies en el lado de la 5ta avenida. Da una aproximación del área cubierta por el edificio.

q

donde 0 se

mide en radianes. Usa los resultados de los incisos (a) y (b ) y el hecho de que Área AO B C < Área Ó B C < Área AO B D para demostrar que sen 0

eos 0

Fuente: Sarah Bradford Landau and Carl W. Condit, Rise o f the New York Skyscraper: 1865-1913. New Haven, CT:

Yale University Press, 1996

45. El problema de la vaca* Una vaca está amarrada en una esquina de un granero cuadrado de 10 por 10 pies, usando una cuerda de 100 pies de largo, ¿cuál es el área máxima en la que puede pastar la vaca? [Ver ilustración.]

»Sugerido por el profesor Teddy Koukounas de Suffolk Community College, quien lo aprendió de un vicio granjero de Virginia. La solución fue dada por la Profesora Kathleen Miranda de SUNYen Oíd Westbury.

S E C C I Ó N 9.4


701

numéricamente igual al perímetro. Demuestra que los trián gulos con las longitudes de los lados dadas son perfectos. (a) 9,10,17 (b) 6, 25, 29 Fuente: M.V. Bonsangue, G.E. Gannon, E. Buchman, and N. Gross, “In Search of Perfect Triangles,” Mathematics Teacher, Vol. 92, No. 1, 1999: 56-61. 48. Si hv h2y h} son las alturas que se han bajado desde P, Q y R, respectivamente, en un triángulo (ver figura), demues tra que J_ + i .

h\

/?2

J_ _ J _ ^3 R

donde K es el área del triángulo y s = ^(a + b + c). [Sugerencia: h\ = ——.] P

46. Otro problema de vacas Si el granero del problema 45 es rectangular, de 10 por 20 pies, ¿cuál es el área máxima en la que puede pastar la vaca? 47. Triángulos perfectos Un triángulo perfecto es aquel que tiene lados con números naturales para los que el área es

49. Demuestra que una fórmula para la altura h de un vértice al lado opuesto a de un triángulo es , a sen B sen C h = ------------------ ~ ------sen A a

Círculo inscrito Para los problemas 50-53, las rectas que bisectan cada ángulo de un triángulo se encuentran en un solo punto O y la distancia perpendicular r desde O a cada lado del triángulo es la misma. El círculo con centro en O y radio r se llama círculo inscrito del triángulo (ver figura). R 51. Usa el resultado del problema 50 y los resultados de los problemas 56 y 57 de la sección de ejercicios 9.3 para de mostrar que C s- c cot — = -----2 r donde s = ^(a + b + c). 52. Demuestra que A 2

B 2

C 2

s r

cot — + cot — + cot — = -

50. Aplica la fórmula del problema 49 al triángulo OPQ para demostrar que

r=

A B c sen — sen— 2 2 eos

53. Demuestra que el área K del triángulo PQR es K = rs, donde s = - (a + b + c). Después demuestra que r=

(s - a)(s - b)(s - c)

Explicación de conceptos: discusión y escritura 54. ¿Qué es lo primero que debes hacer si se te pide que determines el área de un triángulo y se te dan dos lados y el ángulo incluido? 55. ¿Qué es lo primero que debes hacer si se te pide que deter mines el área de un triángulo y se te dan tres lados? Respuesta al ejercicio de la sección "¿Estás listo?"

56. Establece el área de un triángulo LAL en palabras,

702

C A P ÍT U L O 9 Aplicaciones de las funciones trigonométricas

9.5 Movimiento armónico simple/ movimiento amortiguado/ combinación de ondas P

r e p a r a c ió n

•

pa ra

esta

s e c c ió n

A m e s d e e m p e z a r , r e p a s a l o s i g u i e nt e :

G ráficas sin u so id a le s (se c c ió n 7.6, pp. 5 6 5 -5 7 1 )

\ Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo ?" de la pagina 708. OBJETIVOS 1 Construir un modelo para un objeto en movimiento armónico simple (p. 702)

2 Analizar el movimiento armónico simple (p. 704) 3

A nalizar

un o b je to en

m o v im ie n to a m o rtig u a d o íp.

705)

4 R e p re se n ta r la suma de do s fu n c io n e s g rá fic a m e n te fp. 706)

Construcción de un modelo para un objeto en movimiento armónico simple

Diapasón vibrando

Muchos fenómenos físicos se pueden describir comí) un movimiento armónico sim ple. Las ondas de radio y televisión, las ondas de luz. las ondas de sonido y las ondas del agua presentan movimiento que es armónico simple. El péndulo que oscila, las vibraciones de un diapasón y el movimiento de arriba a abajo de una masa que cuelga de un resorte son ejemplos de movimiento vibrato rio. En este tipo de movimiento, un objeto oscila de un lado a otro sobre la misma trayectoria. En la figura 33, el punto B es la posición de equilibrio (de reposo) del objeto que vibra. La amplitud es la distancia desde la posición de reposo del objeto a su máximo punto de desplazamiento (ya sea el punto A o el punto C'de la figura 33). El período es el tiempo requerido para completar una vibración, es decir, el tiempo que toma ir, digamos, del punto A . pasar por B . al punto C y regresar a A . El movimiento armónico simple es un tipo especial de movimiento vibratorio en el que la aceleración de a del objeto es directamente proporcional al negati vo de su desplazamiento d desde su posición de reposo. Esto es. a = - k d , k > 0.

Figura 33

Por ejemplo, cuando la masa que cuelga del resorte de la figura 33 se jala hacia abajo desde su posición en reposo B al punto C. la fuerza del resorte trata de regresar la masa a su posición de reposo. Considerando que no existe fuerza de fricción* para retrasar el movimiento, la amplitud permanece constante. La fuerza incrementa en proporción directa a la distancia que se jala la masa desde su posición de reposo. Como la fuerza incrementa directamente, la aceleración de la masa del objeto debe hacer lo mismo, porque (por la segunda ley de Newton de movimiento) la fuerza es directamente pro porcional a la aceleración. Como resultado, la aceración del objeto varia directamente a su desplazamiento y el movimiento es un ejemplo de movimiento armónico simple. El movimiento armónico simple está relacionado con el movimiento circular. Para ver esta relación, considera un círculo de radio a. con centro en (0.0). Ver ficura 34. Considera que un objeto que se encuentra inieialmente en (u. 0 ) se mueve en Figura 34

Resorte

♦Si existe una fuerza de fricción presente, la amplitud disminuirá con el tiempo a 0 Este tipo de movimien to es un ejemplo de movimiento amortiguado, que discutiremos mas adelante en esta sección.

S EC C IÓ N 9.5


703

dirección opuesta a las manecillas del reloj sobre un círculo a una velocidad angular constante tu. Considera además que cuando ha transcurrido el tiempo í, el objeto está en el punto P = (.v, y ) en el círculo. El ángulo 0, en radianes, barrido por el rayo O P en el tiempo t es 0 = (út

Las coordenadas del punto

P

en el tiempo t son

x

=

a

eos 6

= a

eos (cot)

y = a

sen 9

-

sen(w/)

a

Existe un punto Q = (.y, 0) correspondiente a cada posición P = (x , y ) del objeto que se mueve alrededor del círculo, llamado proyección de P e n el e je x. A medida que P se mueve alrededor del círculo con una tasa constante, el punto Q oscila de ida y de regreso entre los puntos («, 0 ) y ( —a , 0 ) en el eje x con un movimiento que es armó nico simple. De forma similar, cada punto P existe un punto Q ' = (0, y ) , llamado la proyección de P en el eje y . A medida que P se mueve alrededor del círculo, el punto Q ' se mueve de ida y vuelta entre los puntos (0 , a ) y (0 , - a ) en el eje y con un movi miento que es armónico simple. El movimiento armónico simple se puede describir como la proyección del movimiento circular constante en un eje de coordenadas. Para ponerlo de otra manera, considera de nuevo una masa que cuelga de un re sorte y se jala de su posición de reposo al punto C y luego se suelta. Ver figura 35(a). La gráfica que se muestra en la figura 35(b) describe el desplazamiento d del objeto de su posición de reposo como función del tiempo t, considerando que no hay fuerzas de fricción.

TEOREM A

Movimiento armónico simple Un objeto que se mueve en un eje de coordenadas de manera que la distancia d desde su posición de reposo en un tiempo t está dada por d = a

cos(o)f)

o

d = a

sen (cot)

donde a y a> > 0 son constantes, se mueve con movimiento armónico simple. El movimiento tiene amplitud |ia \i y periodo

27r to

J

La frecuencia / de un objeto en movimiento armónico simple es el número de oscilaciones por unidad de tiempo. Como el periodo es el tiempo requerido para una oscilación, se deduce que la frecuencia es el recíproco del periodo, esto es tu > 0

704

C A P ÍT U L O 9


Construcción de un modelo para un objeto en movimiento armónico

EJEM PLO 1 Figura 36

Considera que un objeto que cuelga de un resorte se jala hacía abajo a una distancia de 5 pulgadas desde su posición de reposo y después se suelta. Si el tiempo que toma una oscilación es de 3 segundos, desarrolla un modelo que relacione el desplaza miento ti del objeto desde su posición de reposo después del tiempo t (en segundos) Considera que no existe fricción.

d

5-

Solución

El movimiento del objeto es armónico simple. Ver figura 36. Cuando el objeto se suelta (f = ü), el desplazamiento del objeto desde la posición de reposo es de - 5 unidades (porque el objeto se jaló hacia abajo). Como d = - 5 cuando t * 0, es más sencillo usar la función coseno* d = a

Posición de reposo

para describir el movimiento. Ahora la amplitud es de |-5¡ = 5 y el período es de 3. así que a -

5 NOTA

cos(wf)

-5

y — = periodo = 3. entonces (O

2 77 " -

—

Una ecuación que modela el movimiento del objeto es

f =0

In

= - 5 eos

d

En la so lu ció n del ejem plo 1,

h a c e m o s a = — 5 porque el o b je to s e j a l a h a c ia a b a jo . 5 I la d ire cció n

Resuelve ahora

inicial fu e ra h a c ia a rr ib a , h a ría m o s a = 5.

EL P R OB L E MA 5

■

2 Análisis del movimiento armónico simple EJEM PLO 2

Análisis del movimiento de un objeto Considera que el desplazamiento gundos) satisface la ecuación

d

(en metros) de un objeto en el tiempo i (en se (I =

(a) (b) (c) (d)

Solución

10sen(5í)

Describe el movimiento del objeto. ¿Cuál es su desplazamiento máximo desde la posición de reposo? ¿Cuál es el tiempo requerido para completar una oscilación? ¿Cuál es la frecuencia?

Observa que la ecuación dada es de la forma d

donde a =

10

=

a

sen( i ot )

d

=

10

sen(5 r)

y cj = 5 .

(a) El movimiento es armónico simple. (b) El desplazamiento máximo del objeto desde su posiciiin de reposo es la ampli tud: |í! I = 10 metros. (c) El tiempo requerido para completar una oscilación es el perkxio: Periodo = — = —- segundos (ü 5 (d) La frecuencia es el recíproco del periodo. Entonces, Frecuencia = / — fc^ E m s _ . RBSue|VB a h o p a

oscilaciones por segundo

elproblem a13

*No se requiere corrimiento de fase si se usa una función coseno.

^• J

S EC C IÓ N 9.5


&

705

3 A nálisis de un objeto en m ovim iento am ortiguado La mayoría de los fenómenos físicos están afectados por la fricción o por otra fuerza resistiva. Estas fuerzas remueven la energía de un objeto en movimiento y, por lo tanto, amortiguan su movimiento. Por ejemplo, cuando una masa que cuelga de un resorte es jalada hacia abajo a una distancia a y soltada, la fricción del resorte causa que la distancia que la masa se mueve desde su posición de reposo disminuya con el tiempo. Como resultado, la amplitud de cualquier resorte real o péndulo que oscilan disminuye debido a la resistencia del aire, la fricción, etcétera Ver figura 37. Figura 37

Un modelo que describe este fenómeno mantiene una componente sinusoidal, pero la amplitud de esta componente disminuirá con el tiempo debido al efecto de amortiguador. Además, el periodo de la componente de oscilación estará afectado por el amortiguamiento. El siguiente resultado, tomado de la física, describe el mo vimiento amortiguado.

TEOREM A

M o v im ien to a m o rtig u a d o

El desplazamiento d de un objeto que oscila desde su posición de reposo en un tiempo t está dado por

d ( t ) = ae~b,l (2m)

donde b es el factor de amortiguamiento o coeficiente de amortiguamiento y I I

277

m es la masa del objeto que oscila. Aquí \a \ es el desplazamiento en t = 0 y — es

el periodo bajo movimiento armónico simple (sin amortiguamiento).

J Observa que para b = 0 (amortiguamiento cero) se tiene la fórmula para el mo.

.

vimiento armónico simple con una amplitud \a \ y un periodo

EJEM PLO 3

277

ü)

Análisis de una curva de vibración amortiguada Analiza la curva de vibración amortiguada d ( t ) = e~,/'rr eos t,

Solución

t ^ 0

El desplazamiento d es el producto de y = e~'/n y y = eos t. Usando las propiedades del valor absoluto y el hecho de que |cos í| ^ 1, determinamos que |íf ( r ) | = |e ~ ,,/7rc o s í| =

|e - , /'7r||c o s f| ^

\e~^ \

= t

e~'^7T

e't/7r > O

Como resultado, - e - ,/n < d { t ) < e"'/7r

Esto quiere decir que la gráfica de d estará entre las gráficas de y = e~‘l" y y = -e ~ 'l’r, las curvas frontera de d.

706 CAPÍTULO 9

Apllcaclonei de las

funcione*trigonométrica*

Adem/ís la urálica de ti tocará eMa* gráfica» cuando |co» i¡ - I . esto c%. «lam io , - “ ¿'e U » !n lcrw cd u n o i en , Je I , g r i t a Je d «c t a « t a * . « » - - ». « . «

es, o r t j ,

ele. Ver labia I,

Tabla I

rr 2

n

t

0

p !/n

1 1 1

e '»

e '

0 0

-1

(0,1)

(!•«)

(T7. t ')

eos f dit) » e ,/n eos t Punto en la gráfica de d

’

Trazamos lu gráfica de y * eos /, y * r

Iff 2

2 rr

r ** 0 0

1

( 7 o)

t 1 a * .* rt

" y d ( i ) - e " cm i en b figura 3«.

Figura 39

Exploración Traza la gráfica de Z, « e *" eos

27T

* junto con Yt ■ «***• y T , * - e * *, para O S i S 2 » . Deumwna

en dónde tiene V, su primer punto de inflexión (m ínim o local). Com para esto co n et lugar do n d e V, intersecta a

Resultado En la figura 39 se muestran las gráficas de Y, “ e •’’’ eos*, K , “ * '* ’* y Usando MINIMUM, el primer punto de inflexión se da en * * 2 8 3 . Y INTERSECT a t^con t ■ g * ] U

Resuelve ahora

El

P R O B L E MA

21

4 G rá fica d e la su m a d e d o s fu n c io n e s Muchas aplicaciones en física y biología requieren de la gráfica de la suma de dos funciones, como f { x ) = x + sen*

o

,g(.r) = sen v + cos(2.c)

Por ejemplo, si se emiten dos tonos, el sonido producido es la suma de las ondas producidas por los dos tonos. Ve el problema 57 para una explicación de los teléfonos de tonos. Para trazar la gráfica de la suma de dos (o más) funciones, p o d e m o s usar el mé todo de sumar coordenadas en y que se describe a continuación.

EJEM PLO 4 ) Gráfica de la suma de dos funciones Usa el método de sumar coordenadas en y para representar f ( x ) = x + sen i eraficamente.

Solución

Primero traza la gráfica de las funciones componentes y = / . ( . v ) = .v

y = /;(.v ) = sen .i

SECCIÓN *».5


707

en el mismo sistema de coordenadas. Ver figura 40(a). Ahora, selecciona dis. . . n 3 t7 tintos valores de.v. digamos..r = (),.v = —...v = n , x = y.t = 27r.cn los que calcu laremos f ( x ) - l \ ( x ) + /,(.v). La tabla 2 muestra los cálculos. Ahora trazamos estos puntos y los conectamos para obtener la gráfica, como se muestra en la figura 4l)b. X

0

y “ f,(x) = x

0

y * f;(x) = sen x

0

f(x) ■ x + sen x

0

Punto en la gráfica de f

=

y

jj

Tr 2

377 n

7T

1 + 1 * 2.57

j

(0.0)

3x

7T

2

277

2

0

-1

0

77

377 T - 1 * 3 .7 1

277

(77,77)

(Vf2 ' 2'57))

277

2

V2

/

(277,277)

En la figura 40(b). observa que la gráfica de /(.v) = .v + sen .v intersecta la recta siempre que sen .v = 0. Además, observa que la gráfica d e /n o es periódica.^ j

x

Verifica: Traza la gráfica de Y { = x , Y , - sen .r y Y 3 = x + sen x y compara este resultado con la figura 40(b). Usa INTERSECT para verificar que las gráficas de Y { y de y, se intersectan cuando sen .v = 0 . S

El siguiente ejemplo muestra una gráfica periódica.

Gráfica de la suma de dos funciones sinusoidales

EJEM PLO 5

Usa el método de sumar coordenadas y para trazar la gráfica de f{x) =

Solución

sen.t + cos(2 .v)

La tabla 3 muestra los pasos para calcular distintos puntos en la gráfica de/ . La figura 41 de la página 708 ilustra las gráficas de las funciones componentes y = /,(.v) = sen .v y y = /,(.t) = cos(Zr) y la gráfica de f ( x ) = sen .r + cos(Zv), la cual se muestra en gris.

y abla 3

7T

X

0

" 2

77

77

2

3 tt 2

277

y = f]M = senx

-i

0

i

0

-i

0

y = f2(x) = cos(2x)

-i

1

-i

i

-i

1

fíx) = senx + cos(2x)

-2

1

i

-2

1

(77, 1)

/ 3 tt \ ( T .- 2 )

(277,1)

Punto en la gráfica de

/

7T

\

f

( - T - 2)

(0,1)

0 / 77

\

U '° )

708

C A P ÍT U L O 9 Aplicaciones de las función« trigonométrica*

J

Traza la gráfica (Je V, " sen x, Yj — cosíZt) y Y t *áJ compara este resultado con la figura 41. “3 . J

Verifica:

i.........

Reiuelve ahora ci problima 25

9 .5 E v a l ú a t u e n t e n d i m i e n t o

"¿Estás

Ü S tO ? "

sen x + cosí 2* j y

______________________________________________________

Las respuestas se dan al final de estos ejercidos. Si obtienes una respuesta incorrecta, ler las páginas marcadas


La am plitu d

A y el

p e r io d o

T d e f(x)

= 5 se n (4 .t) e s _________________ y ---------------------------- •

El

d=

el m o v im ie n to y e l m o v im ie n to se ll a m a __________________

m o v im ie n to d e un o b je to o b e d e c e la e c u a c ió n 4 c o s ( 6 /). E se m o v im ie n to se d esc rib e c o m o ___________

_____________. El n ú m er o 4 se lla m a __________________ .

si e x iste fricció n .

Verdadero o falso

4.

d d e un o b je to i e s tá d a d a p or

Si la d ista n c ia

p o sic ió n d e r e p o s o en un tie m p o

3. C u a n d o una m asa q u e c u elg a d e un reso rte se jala hacia

d e s d e *u u n a g rá

ab ajo y d e sp u é s se su elta , el m o v im ie n to se lla m a _________

fica sin u so id a l, e l m o v im ie n to d e l o b je to e s m o v im ie n to

__________________si n o e x iste fu erza de fricción q u e retrase

a r m ó n ic o sim p le .

Ejercicios En los problemas 5-8, un objeto que cuelga de un resorte se jala hacia abajo una distancia a desde su posición de reposo s después se suelta. Considerando que el movimiento es armónico simple con periodo 7 , escribe una ecuación que relacione el desplazamiento del objeto desde su posición de reposo después de l segundos. También considera que la dirección positiva del movimiento es hacia amba \

5.
a

= 6;

T

= 2 se g u n d o s

6. a = 10;

T = ir se g u n d o s

8. « = 4;

9. T rabaja d e n u e v o en el p ro b lem a 5 c o n las m ism a s c o n d i c io n e s e x c e p to q u e , en el tie m p o

i = 0 , el

o b je to e s tá e n su

c io n e s e x c e p to q u e . e n el tie m p o

t

T

3 se g u n d o s

=» — s e g u n d o s

10 . T rabaja d e n u e v o e n el p r o b le m a 6 c o n las m ism a s c o n d i c io n e s e x c e p to q u e . e n e l t ie m p o t - 0 . e l o b je to e s ta e n su

p o sició n d e r e p o s o y m o v ié n d o s e h acia ab ajo. I I . T rabaja d e n u e v o en el p ro b lem a 7 co n las m ism a s c o n d i

T -

p o sic ió n d e r e p o s o y m o v ié n d o s e h a cia a b ajo. 12.

= 0 , el o b je to e s tá e n su

Trabaja d e n u e v o e n e l p r o b le m a 8 c o n las m ism a s c o n d i c io n e s e x c e p to q u e . e n e l tie m p o

p o sició n d e r e p o s o y m o v ié n d o s e h a cia ab ajo.

t

= 0 . e l o b je to e s ta en su

p o sic ió n d e r e p o s o y m o v ié n d o s e h a cia a b ajo.

En los problemas 13-20, se da el desplazamiento d (en metros) de un objeto en el tiempo i (en segundos). (a) Describe el movimiento del objeto. (b) ¿Cuál es el desplazamiento máximo desde su posición de reposo? (c) ¿Cuál es el tiempo requerido para completar una oscilación? (d) ¿Cuál es la frecuencia? 13.

d

17.

d =

= 5 s c n (3 í) -3 s e n Q ,j

14.
15.

18.
19.
d

= f t c o s ( j r í)

16. d = 5 c o s í ? , ) 20.

./ = 4 + 3 s e n ( * r )

SECCIÓN 9.5 ^ En \

J \


709

los problemas 21-24, traza la gráfica de cada curva de vibración amortiguada para 0 < t s 2v.

2 1 . d(t) = e~'/n c o s ( 2 f) * ?:/i / o í

23.

d{t)

=

e~',2ir e o s t

2 4 . r /(/) = « T ' ^ c o s

t

problemas 25-32, usa el método de sumar coordenadas y para trazar la gráfica de cada función.

25. /( .v ) = 28.

22 . d{t) = c~'/27r c o s ( 2 í )

x +

eos x

/ ( . v ) = .v - e o s

x

3 1 . g (.v ) = se n .v + se n (2 .v )

26. /( .v ) = * + c o s (2 * )

27. /( .v ) =

2 9 . / ( . v ) = se n .v + e o s *

30.

f(x)

a:

- sen .v

= se n (2 .v ) + e o s .v

3 2 . g (.v ) = c o s(2 .v ) + e o s *

Práctica m ix ta--------------- ------------------------------------------------------------------------------En los problemas 33-38, (a) usa las sumas de producto a suma para expresar cada producto como una suma y b) usa el método de sumar coordenadas y para trazar la gráfica de cada función en el intervalo [0, 27t]. / ( * ) = se n (2 .v ) se n .v

34.

F(x)

= se n (3 * ) s e n *

3 5 . G ( * ) = c o s ( 4 * ) e o s (2 * )

3 6 . /i(.v) = co s (2 .v ) co s(.v )

37.

H(x)

= 2 s e n ( 3 * ) c o s(.v )

3 8 . g ( * ) = 2 sen * c o s ( 3 * )

33.

Aplicaciones y extensiones En los problemas 39-44, un objeto de masa m (en gramos) que cuelga de un resorte con un factor de amortiguamiento b (en gramos por segundo) se jala hacia abajo una distancia a (en centímetros) desde su posición de reposo y después se suelta. Considera que la dirección positiva del movimiento es hacia arriba y que el periodo es T (en segundos) bajo movimiento armónico simple. (a) Escribe una ecuación que relacione la distancia d del objeto desde su posición de reposo después de t segundos, f (b) Traza la gráfica de la ecuación que determinaste en el inciso a para 5 oscilaciones usando un dispositivo gráfico. 39.

m

= 25,

a = 10 , b =

41.

m

= 30,

a=

43.

m = 10 , a =

18,

0 .7 ,

7 = 5

40.

m

b = 0 . 6,

7 = 4

42.

m -

44.

m

b = 0 . 8,

5,

7 = 3

= 20, 15,

= 10 ,

a

= 15,

a= a

16,

= 5,

b

= 0 .7 5 ,

7 = 6

b

= 0 .6 5 ,

7 = 5

b

= 0 .7 ,

7 = 3

En los problemas 45-50, se da la distancia d (en metros) de un péndulo de masa m (en kilogramos) desde su posición de reposo en el tiempo t (en segundos). El péndulo se suelta desde la izquierda de su posición de reposo y representa una dirección negativa. (a) Describe el movimiento del objeto. Asegúrate de indicar la masa y factor de amortiguamiento. (b) ¿Cuál es el desplazamiento inicial del péndulo? Es decir, ¿cuál es el desplazamiento en t = 0? ['•j (c) Traza la gráfica del movimiento usando un dispositivo gráfico. (d) ¿Cuál es el desplazamiento del péndulo al comienzo de la segunda oscilación? (e) ¿Qué pasa con el desplazamiento del péndulo conforme se incrementa el tiempo sin límite? d=

45.

- 2

0

4

^

4

47.

d

= - 3 0 ^ « “> c o s ( ^ ( y

49.

d

= - 154 h 1*!V 30 cos ^

5 1 . A lta v o z

0

5

( ^

1

, )

)2 -

^(f) 2 - H ' )

E l d iafragm a d e u n a lta v o z o sc ila co n m o v i

m ie n to a rm ó n ico sim p le q u e s e d e sc rib e p o r la ec u a c ió n d = a c o s (w f) co n una fr e c u e n c ia d e 5 2 0 h ertz (c ic lo s p o r se g u n d o ) y un d e sp la z a m ie n to m á x im o d e 0 .8 0 m ilím etro s. D e te r m in a a> y d e sp u é s d e te r m in a la e c u a c ió n q u e d esc ri b e e l m o v im ie n to d el d iafragm a. 5 2 . C o lo s o

A ñ a d id o a S ix F la g s St. L o u is e n 1986, el C o lo so

e s u n a ru ed a d e la fo rtu n a g ig a n te . S u d iá m e tr o e s d e 165 p ies, gira a u na tasa d e a p r o x im a d a m e n te 1.6 r e v o lu c io n e s p or m in u to y la b a se d e la ru ed a e stá a 15 p ie s d el s u e lo . D e te r m in a una ec u a c ió n q u e r e la c io n e la altura d e un

46.

d

= - 2 0 é?-°-8'/40

48.

d

= -3 0 e ^ ° '5'/7°

50.

d

= _ 1 0 e -0.8r/50

0 .6 4

\

25007

p a sa je ro so b re el su e lo e n un tie m p o t. C o n sid era q u e e l p a sa jero e m p ie z a e l ca m in o en la p arte in ferio r d e la rueda.

Fuente: Parque temático Six Flags, Jnc. 5 3 . D ia p a só n

E l e x tr e m o d e un d ia p a só n se m u e v e con

m o v im ie n to a rm ó n ico sim p le d e sc r ito p or la ec u a c ió n

d = a sen (ca í).

Si un d ia p a só n para la n o ta A so b re la C m e d ia e n u na esca la a ten u a d a u n ifo r m e m e n te ( A 4, e l ú n i

c o to n o q u e usa una o rq u esta para afin ar) tie n e una fre cu e n c ia d e 4 4 0 h ertz (c ic lo s p o r s e g u n d o ), d eter m in a w . Si e l d e sp la z a m ie n to m á x im o d el e x tr e m o d el d ia p a só n e s de

710

C A P ÍT U L O 9 Aplicaciones de las funciones trigonométricas

0.01 m ilím etro , d eterm in a la ec u a c ió n q u e d esc rib e e l m o v im ie n to d el d iapasón .

Fuente: D a v id L app, Physics of Music and Musical Instru ments. M ed fo rd , M A : T u fts U n iv ersity , 2003. 54.

D ia p a só n E l ex tr e m o d e un d ia p a só n se m u e v e con m o v im ien to a rm ón ico sim p le d esc rito p or la ec u a c ió n

d = a sen (w f)-

Si un d ia p a só n par la n o ta E so b re la C m e dia en una esca la a ten u a d a u n ifo r m e m e n te (E 4) tie n e una frecu en cia d e 329.63 h ertz (c ic lo s p o r se g u n d o ), d eterm in a

a). Si

el d esp la za m ie n to m á x im o d el e x tr e m o d el d ia p a só n

U s a un d isp o s itiv o g r á fic o p ara o b te n e r la gráfica de

es d e 0.025 m ilím etro s, d eterm in a la ec u a c ió n q u e d escrib e

e sta fu n ció n para 0 <

el m o v im ien to d el d iap asón .

Fuente: D a v id L app, Physics of Music and Musical Instru ments. M ed fo rd , M A : T u fts U n iv ersity , 2003. 5 5. C arga d e un cap acito r

cu rva d e d ie n te s d e sierra?

O b serv a la ilu stración . Si un c a

5 7 . T e lé fo n o s d e to n o s

d e d o s to n o s , d a d a p o r

V(t)

y

se g u n d o s).

(a ) T raza la gráfica d e la fu n ció n q u e r e la c io n a = e- '/ 3 c o s ( 7rt),

0

s

í

donde / y

V y t:

y=

t

y =

y

so n las fr e c u e n c ia s baja y a lta (c ic lo s p o r s e

g u n d o y la fr e c u e n c ia a lta e s

V en tre

se n (2 r r /ií)

p r e sio n a s e l 7, la fr e c u e n c ia b aja e s / = 8 5 2 c ic lo s p o r s e

< 3

h

= 1 2 0 9 c ic lo s p o r se g u n d o .

E l s o n id o e m itid o al p r e sio n a r el 7 e s

y

e~"3?

(c ) ¿ C u á n d o estará e l v o lta je

= se n (2 7 r /f)

g u n d o ) q u e se m u e str a n e n la ilu str a c ió n . P o r e je m p lo , si

(b ) ¿E n q u é tiem p o s t la gráfica d e V tocará la gráfica d e y = e~,nl ¿ C u á n d o tocará la gráfica d e V la gráfica de

E n un t e lé fo n o d e to n o s , ca d a b o tó n

p ro d u c e un s o n id o ú n ic o . E l s o n id o p r o d u c id o e s la su m a

al ca p acitor en m o v im ie n to o sc ila to rio . E l v o lta je V (en v o lts) por el ca p a cito r d ism in u irá g ra d u a lm en te h asta 0

t (en

4 y c o m p a r a el r e su lta d o con

(d ) ¿C uál c r e e s q u e se a la s ig u ie n te a p r o x im a c ió n d e la

p acitor cargad o se c o n e c ta a u na b o b in a cerra n d o un in terru ptor, se tran sm ite en er g ía d e la b o b in a y d e reg reso

co n e l tiem p o

x^

las g rá fica s q u e o b tu v is te e n lo s in c is o s a y b.

= se n [2 7 r (8 5 2 )r ] + se n [2 7 r (1 2 0 9 )í]

U s a un d isp o s itiv o g r á fic o p ara o b te n e r la gráfica d e l s o n i

- 0 . 4 y 0.4 volts?

d o e m itid o p o r p r e sio n a r e l 7. ,_______________<

/ * _ .

Teléfono de tonos

Interruptor

m» --r- Capacitor

697 ciclos/segundo

Bobina

•@ 3

770 ■ciclos/segundo

di ü

i

i 56.

C urva d e d ie n te s d e sierra

U n o sc ilo sc o p io fr e c u e n te

m en te d e sp lie g a una cu rva d e dientes de sierra. E sta cu rva se p u e d e ap roxim ar p or cu rvas sin u so id a le s d e d ife r e n te s p erio d o s y am p litu d es.

r

!

1209 ciclos/segundo

(a) U s a un d isp o sitiv o g rá fic o para o b te n e r la gráfica d e la

1

2 sen(2irx)

1

+ - s e n ( 477;t),

0 < * < 4

(b ) U n a m ejo r a p ro x im a ció n d e la cu rva d e d ie n te s d e s ie rra e stá d ad a p or

f{x) =

1

1

1477 ciclos/segundo

1336

ciclos/segundo

sig u ie n te fu n ció n , la cu a l, se p u e d e usar para a p ro x i m ar la curva d e d ie n te s d e sierra. /(* ) =

852 ’ ciclos/segundo - . 941 ciclos/segundo

S

58- U s a u n d isp o s itiv o g r á fic o p ara o b te n e r la g rá fica d e l s o n i d o e m itid o p o r la te c la * e n un t e lé fo n o d e to n o s. C o n su lta el p r o b le m a 57 .

l

¡5 9 .

Experimento por computadora

E l m o v im ie n to d e un

p é n d u lo se a n a liza para e stim a r e l m o v im ie n to a rm ó n ico

1

- s e n ( 2 ttx) + - s e n ( 47rx ) + - s e n ( 87nr)

sim p le . S e g e n e r a u n a g rá fica d e la p o sic ió n d e l p é n d u lo en e l tie m p o . L a gráfica s e u sa p ara d e te r m in a r la c u n a sin

A

D.

u so id a l d e la fo rm a

esta fu n ció n para 0 < x < 4 y co m p a ra e l r e su lta d o co n la gráfica q u e o b tu v iste e n e l in c iso a.

la a m p litu d , p e r io d o y fr e c u e n c ia . (A c tiv id a d 16, M a te m á ticas d e la vid a real c o n e l siste m a C B L .)

(c) U n a tercera y aún m ejo r a p ro x im a ció n d e la cu rva d e d ie n te s d e sierra está d ad a p or l i l i / ( * ) = - s e n ( 2 7 r * ) + - s e n ( 47nr) + - s e n ( 87rx ) + — s e n ( 167rx)

¿

y

U sa un d isp o sitiv o g rá fic o para o b te n e r la gráfica de

4

o

16

[*¡60.

=

e o s [fí(.v — C )] +

Experimento por computadora

D e te r m in a

E l s o n id o d e un d ia p a

só n se r e c o p ila e n e l tie m p o . D e te r m in a la a m p litu d , fre cu e n c ia y p e r io d o d e la grá fica . U n m o d e lo d e la fo rm a v = A e o s [fi(.v -

C )] s e aju sta a lo s d a to s. (A c tiv id a d 2 3 ,

M a te m á tic a s d e la v id a real c o n e l sis te m a C B L .)

Repaso del capitulo

711

Explicación de conceptos: discusión y escritura U s a un d is p o s itiv o g r á fic o para o b te n e r la gráfica d e la *

^63.

U s a un d isp o s itiv o g r á fic o para o b te n e r la g ráfica d e

f ( x)

fu n ció n

= ------- , . v > 0 . C o n b a se e n la g rá fica , ;n x ‘ q u e c o n c lu s ió n p u e d e s lle g a r a ce rc a d e l v a lo r d e — para v ce r c a n a s a 0 ? x

^ 6~

1 1 v = - se n .v, y = - r se n ’ v *

x

para

x>

y

y =

1 —r sen para

x

_ _

x > 0.

( Q ué

p a tr o n e s o b se r v a s?

U s a un d is p o s itiv o g r á fic o p ara o b te n e r la g rá fica d e v = x se n x. y = x2 se n .v y y = .r' se n p a tr o n e s o b se r v a s?

x,

64.

¿ C ó m o e x p lic a r ía s a un c o m p a ñ e r o lo q u e e s el m o v im ie n

0. ¿Q u é

to a r m ó n ic o sim p le ? ¿ C ó m o e x p lic a r ía s e l m o v im ie n to a m o r tig u a d o ?

Respuesta al ejercicio de la sección "¿Estás listo?" 1.

A

= 5;

T

= j

R E P A S O

D E L

C A P Í T U L O

Cosas que debes saber Fórmulas

L e y d e lo s c o s e n o s (p . 6 8 9 )

A se n B se n C a b e
Á r e a d e un triá n g u lo (p p . 6 9 6 -6 9 7 )

K

= ^

K

= \ /

se n

L e y d e lo s s e n o s ( p . 6 7 9 )

bh K s(s

âb

se n C

- a )(5 -

b)(s

=

K = - c)

^

be se n A

donde

K = âc se n B

s = - ( a + b + c)

Objetivos D eb es p o d e r ...

Sección 9.1

9.2

9.3

9 .4

Ejem plos


y % 2' y y y

R e s o lv e r triá n g u lo s r e c tá n g u lo s (p . 6 7 3 )

L 2

1 -4

R e s o lv e r p r o b le m a s a p lic a d o s (p . 6 7 4 )

3 -6

3 5 ,3 6 ,4 5 - 4 7

R e s o lv e r triá n g u lo s L A A o A L A (p . 6 7 9 )

1 ,2

5 , 6 ,2 2

R e s o lv e r triá n g u lo s L L A (p . 6 8 0 )

3 -5

7 - 1 0 ,1 2 ,1 7 ,1 8 ,2 1


6 ,7

3 7 -3 9

V w

R e s o lv e r triá n g u lo s L A L (p . 6 9 0 )

1

1 1 ,1 5 ,1 6 ,2 3 ,2 4

/

R e s o lv e r triá n g u lo s L L L (p . 6 9 1 )

2

1 3 ,1 4 ,1 9 ,2 0

/


3

4 0 ,4 1

/

D e te r m in a r e l á rea d e triá n g u lo s L A L (p . 69 6 )

1 2

2 5 - 2 8 , 4 3 ,4 4 2 9 - 3 2 , 42

a rm ó n ico sim p le (p . 7 0 2 )

1

4 8 ,4 9

A n a liz a r e l m o v im ie n to a r m ó n ic o sim p le (p . 7 0 4 )

2

5 0 -5 3

2

. 9.5

D e te r m in a r e l á rea d e triá n g u lo s L L L (p . 6 97) C on stru ir un m o d e lo para un o b je to e n m o v im ie n to

y y 4

A n a liza r un o b je to en m o v im ie n to a m o r tig u a d o (p. 7 0 5 )

3

5 4 -5 7

R ep r e se n ta r la su m a d e d o s fu n c io n e s g rá fic a m e n te (p. 7 0 6 )

4 ,5

5 8 ,5 9


' 20°

c

y / 35°

r

S b

r

in

En los problemas 1—4, resuelve cada triángulo. 2. 1. 10 ^1 b

h

o r

a

4‘ ------ -

r 3

712

C A P Í TU LO 9

Aplicaciones de las fundones trigonométricas

„

,

,

,

,

.

.

,te cada trlánuido, tí existen. Si no e stile un IriánguUt. eurnhe ’e t m&%-

.

i.n los problem as 5-24, determina los iiiihiiIos y lailos fallanti H « 30",

5. A » 50'\

8. a = 2.

c »5,

a » 1

A = 60”

11. a - 3, c » 1, II « 100” 6 = 7. c = 8

14. a = 10.

17. a = 5,

1, = 3 ,

20. a = 3.

6 = 2. c = 2

= 80”

9. a - 3.

C

t. .

-

40*.

c « 2

1.

c -

lio -

7. A - HJtr.

a -

10. a * 3. C - 1.

// » 80

13. a » 2,

6 -3 .

15. a - 1.

6 - 3. C - 40

16. a • 4,

6 - 1.

18. a - 2.

6 = 3.

19. a • 1.

21. a » 3.

A » 10".

12. r/ - 3. 6 . 5.

A - 20

21 a - 4.

6 -4

II

TT II

23 . c = 5,

a

6. A - 10'\

24.

a

20

*

4

A - 2«

- 1. 6 - 2 . C - Mí

E n los p ro b le m a s 25-34, determ ina el úrea de eatla triúngido.

25 . a = 2, 6 = 3 . C = 40"

rí II

X N

3 1 . a = 4.

33.

A

6=1,

C

= 100°

26. 6 = 5 . 29.

a

- 5.

A

-

* 4. 6 = 3 .

c

- 5

c

= 50°.

lì

= 30".

a

30. a

3 1 a - 3.

6 = 2. c = 5

=I

.VI.

6-

27.

A

- 10 .

6 - 1

c

C -4 0 ,

•

4.

10 .

-

c

10,

6-7.

- 2 c ■ 3

35. Determinar Iii pendiente de un sendero de mnulnñu Un

S

se n d e r o re cto con una in clin a ció n u n ifo rm e va d e un h o te l, con e le v a c ió n d e 5000 p ies, a un la g o e n un v a lle , c o n una e le v a c ió n d e -IKK) p ies. La lo n g itu d d el se n d e r o e s de 4 1 0 0 p ies. ¿C uál es la in clin a ció n (p e n d ie n te ) d el se n d e r o ?

36. Geometría

La h ip o te n u sa d e un triá n g u lo re ctá n g u lo

m id e 12 p ies. Si un c a te to m id e 8 p ies, d eter m in a la m ed id a en grad os d e cad a á n g u lo .

37. Determinar la altura de un helicóptero

D os o b servad o

res m iden sim u ltá n ea m e n te el á n g u lo d e e le v a c ió n d e un h elic ó p te ro . U n á n g u lo resu lta ser d e 25 y e l o tr o d e 40 (v er figura). Si lo s o b se r v a d o r e s e stá n a 100 p ie s u n o d el o tro y el h e lic ó p te r o e stá so b re la lín ea q u e lo s u n e. ¿q u é tan a lto está el h elic ó p te r o ?

39. Construcción de una autopista l na autopista cusa di rección principal es norie sur. vr coostrusc sobre la cosía oeste de Honda l na bahía obstrusc el paso directo de la autopista cerca de Ñapóles Conni el Cosío de un puente es prohibitivo, los ingenieros deciden rodear la bahía l a ilustración muestra la trayectoria que decid»croo seguir s las medidas que se tomaron ..Cual es la longitud de la au topista que se necesita para rodear la (vihu*

38. Determinación de las distancias en el mar R e b e c a , la n a v eg a n te d e un b arco e n el m ar. v e d o s faros q u e sa b e q u e

* 120'

T

está n a 2 m illas d e d ista n cia u n o d el o tr o so b r e la co sta . L ila d eterm in a q u e lo s á n g u lo s fo r m a d o s e n tr e las o b s e r v a cio n e s d esd e d o s lín e a s d e v isió n d e lo s faros y la lin ea del b arco d ire cta m e n te a la c o s ta so n d e 12° y 3 0 a. ilu stración .

Ver

Goto

1 3 mi f j Si* 4 * j Caffl

(a ) ¿ Q u é tan lejo s e stá el b a rco d el faro /.,?

’ 115'

(b ) ¿O u ó tan le jo s está el b a rco d el fa ro /.,? (c ) ¿O u ó tan le jo s e stá e l b a rco d e la c o sta ?

Ü

s >*'

V

--

Repaso del capitulo

40. Corrección de un error de navegación

U n v e le r o sa le

43. Cálculo del costo de un terreno

713

E l te r r e n o irregular q u e

d e S to . T o m á s h a cia u n a isla e n las A n tilla s B r itá n ic a s, a

se m u estra en la figura se v e n d e p o r $ 100 p o r p ie cu a d ra d o .

^

2 0 0 m illa s. M a n tie n e u n a v e lo c id a d c o n sta n te d e 18 m illa s

¿ C u á l e s e l c o s to d e e s ta p a rcela ?

„

p o r h o ra , p e r o en c u e n tr a v ie n to s cr u z a d o s y c o r r ie n te s

20 pies

fu e r te s y la trip u la ció n se d a c u e n ta d e s p u é s d e 4 h o ra s d e q u e e l v e le r o n a v e g a c o n un erro r d e 15°. (a )

¿ Q u é tan lejo s está el v e le r o d e la isla en e ste m o m e n to ?

(b )

¿ Q u é á n g u lo d e b e girar e l v e le r o para co r re g ir su d i re cc ió n ?

(c)

¿ C u á n to tie m p o s e ha a g r e g a d o al v ia je d e b id o a e s te error? (C o n sid e r a q u e la v e lo c id a d se m a n tie n e e n 18 m illa s p o r h o ra .)

Sto. Tom ás

Antillas Británicas

200 mi

100 pies


D e te r m in a el á rea d e l s e g m e n to d e

un círc u lo d e 6 p ie s d e ra d io q u e se fo rm a p o r un á n g u lo ce n tr a l d e 50°.

45. Determinar la dirección de un barco

El

Majesty

sa le d el

p u e r to e n B o s to n h a cia B e r m u d a s c o n u na d ire cc ió n d e S 8 0 °E y u n a v e lo c id a d p r o m e d io d e 10 n u d o s. D e s p u é s d e 1 h o ra , el b a rco gira 9 0 ° h a cia e l su r o e ste . D e s p u é s de

2 h o ra s a u na v e lo c id a d p r o m e d io d e 20 n u d o s, ¿cu ál e s la d ir e c c ió n d el b a rco d e s d e B o s to n ? 46.

41. Topografía

Ruedas motrices

L a ru ed a m o tr iz d e un m o to r tie n e 13

p u lg a d a s d e d iá m e tr o y la p o le a e n la b o m b a giratoria t ie D o s c a sa s s e lo c a liz a n e n la d o s o p u e s to s d e

n e 5 p u lg a d a s d e d iá m e tr o . Si lo s e je s d e la ru ed a m o triz y

u n a p e q u e ñ a c o lin a . V e r ilu stra c ió n . Para m ed ir la d ista n

d e la p o le a e stá n a 2 p ie s u n o d el o tr o , ¿cu ál e s la lo n g itu d d e

cia en tr e e lla s, un to p ó g r a fo ca m in a u na d ista n c ia d e 5 0

la b a n d a q u e se n e c e s ita para u n ir lo s c o m o se v e en la fi gura?

p ie s d e sd e la ca sa dir

ZPRQ , Q, u n a

ca sa

P al

p u n to

R,

u sa un t e o d o lito para m e

q u e re su lta se r d e 80° y d e sp u é s ca m in a a la d ista n c ia d e 6 0 p ies. ¿ Q u é tan se p a r a d a s e stá n

la s casas?

47.

T rab aja d e n u e v o e n e l p r o b le m a 4 6 si se cruza la b and a, c o m o se m u estra en la figura.

42. Aproximación del área de un lago

Para a p ro x im a r e l

área d e un la g o , C in d y ca m in a a lr e d e d o r d e l p e r ím e tr o d el la g o , to m a n d o m e d id a s c o m o se m u estra e n la ilu stra ció n . U s a n d o e sta téc n ic a , ¿cu á l e s el á rea a p ro x im a d a d el la g o ?

[Sugerencia: U s a

la ley d e lo s c o s e n o s en lo s tres trián gulos

q u e se m u estran y d esp u é s d eter m in a la su m a d e su s áreas.]

En los problemas 48 y 49, un objeto que cuelga de un resorte se jala hacia abajo una distancia a desde su posición de reposo y después se suelta. Considerando que el movimiento es armónico simple con periodo T, desarrolla un modelo que relacione el desplazamiento d del objeto desde su posición de reposo después de t segundos. También considera que la dirección positiva del movimiento es hacia arriba.

48. a =

3;

7 = 4 se g u n d o s

49. a

= 5;

7 = 6 se g u n d o s

714

CAPÍTULO 9

Aplicaciones de las fundones trigonométricas

En los problemas 50-53, se (la la distancia d (en pies) que se desplaza un objeto en un tiempo t (a) (b) (c) (d)

ten segundos).

Describe el movimiento del objeto. ¿Cuál es el desplazamiento máximo desde su posición de descanso. ¿Cuál es el tiempo que se requiere para completar una oscilat ión? ¿Cuál es la frecuencia'/ d

50.

= 6 s e n ( 2 /)

51.

d

53.

m ~2

= 2 c o s ( 4 /)

d

•

- 3 sen

En los problem as54 y 55, unobjeto Je urna « que cuelg tanclaadesdesuposIcióndereposoyJespuássesuella.ConsiJeraquelaJireeeiónposmvadelmocntleaure.haeiaarnhayelpenoda es T en movimiento armónico simple. (a) Desarrolla un modelo (pie relacione la distancia d del objeto desde su posti ión d< riposo di \puc * de i segundos. *| (b) Traza la gráfica de la ecuación que determinaste en el inciso (a) para 5 osi ileu iones. 54.

m=

40 gram os;

55. m = 25 gram os;

a= a

15 cen tím etro s;

b

= 0 .7 5 g ra m o s/seg u n d o ;

7” - 5 se g u n d o »

= 13 cen tím etro s;

b

= 0 .6 5 g r a m o s/seg u n d o ;

T =

4 segu n d os

En los problemas 56 y 57, se da la distancia d (en metros) de un péndulo de masa m ten kilogramos) desde su posición de reposo en un tiempo t (en segundos). (a) Describe el movimiento del objeto. (b) ¿Cuál es el desplazamiento inicial del péndulo? Es decir, cuál es su desplazamiento en l = 0? •j (c) Traza la gráfica del movimiento usando un dispositivo gráfico. (d) ¿Cuál es el desplazamiento del péndulo al comienzo de la segunda oscilación f (e) ¿Qué le pasa al desplazamiento del péndulo si el tiempo crece sin limite? 56.

d

2nV 5 )

= - 1 5 e - ° '6'/40

_ 0 .3 6 \

57.

16007

0 .2 5

d =

\

3600 /

En los problemas 58 y 59, usa el método de sumar coordenadas y para obtener la gráfica de cada función. 58.

y

= 2 sen

x

+ co s(2 * )

59.

~

D E L

C A P I T U L O

>

Test

vi

1. U n a esca lera d e 12 p ies e stá recargada con tra un e d ific io . La parte su p erio r d e la esca le ra se recarga co n tra la p ared

= 2 c o s (2 .t) + se n *

Los videos de preparación para ei ewmen def capitulo von soluciones paso a paso disponibles en et OVO de recursos en video, en MyM*thL*b | . o en el canal de to « G 3 de este texto. Consulta la pagina de recursos del estudíame para ve» la dirección exacta de la pagina Web para el canal de YouTube de este texto.

CHAPTER

E X A M E N

y

2.

U n g lo b o a e r o stá tic o v u ela a u na altura J e 600 p ie s y e stá d i re cta m en te so b re el M arsh all S p a e e F light C cn tcr e n HunLs-

a 10.5 p ies d el su e lo . ¿C u ál e s el á n g u lo q u e se form a por el su e lo y la esca lera ?

v ille, A la b a m a . El p ilo to d el g lo b o v e h acia a b a jo al a e r o p u e r to q u e está a 5 m illas d el M arsh all S p a cc F light C cn tcr ¿C u ál e s el á n g u lo d e d e p r e sió n d el g lo b o al a er o p u er to ?

En los problemas 3-5, usa la información dada para determinar las tres partes fallantes de cada triángulo 5.

/

5 2 ________

\ g \

c

10

19

En los problemas 6-8, resuelve cada triángulo. 6. A = 9.

5 5 “,

C = 20°,

a

= 4

7.

a=

3,

b

= 7,

D eter m in a el área d el triá n g u lo d e sc r ito e n el p r o b le m a 8 .

10. D e te r m in a el área d el triá n g u lo d e sc r ito en el p r o b le m a 5. 11.

D eter m in a e l área d e la r e g ió n so m b r ea d a q u e está inscrita en un se m ic ír cu lo d e 8 c e n tím e tr o s d e d iá m e tr o . La lo n g i tud d e la cu erd a AB e s d e 6 c e n tím e tr o s.

^ ______________

8. ii = 8.

[S u g er en cia : E l triá n g u lo

6 = 4.

ABC es. un

C

= 70"

tr ia n g u lo re ctá n g u lo .}

Repaso acumulativo 12.

13.

715

D e te r m in a e l á re« d e l c u a d r ilá te r o q u e s e m u e str a .

M a d iso n q u ie r e n a d a r a tra v é s d el la g o W illia m d e s d e la e s ta c ió n d e p esc a ( / l ) a la ram p a d el b o te (/? ), p e r o p ri m er o q u ie re sa b e r la d ista n c ia . La a u to p ista 2 0 p asa ju sto p or d o n d e e s tá la ram p a d el b o te y e l C o u n tr y R o a d 3 pasa p or la e s ta c ió n d e p e sc a . L o s d o s c a m in o s se in te r se c ta n en un p u n to (C ), a 4.2 m illa s d e la ram p a y a 3.5 m illa s d e la

15.

El á rea d el triá n g u lo q u e se m u estra a c o n tin u a c ió n e s d e

Ve

e s ta c ió n . M a d iso n u sa un t e o d o lit o para m ed ir el á n g u lo

54

d e in te r se c c ió n d e lo s d o s c a m in o s y o b tie n e 3 2 ° c o m o re

la d o s.

u n id a d e s c u a d ra d a s, d e te r m in a las lo n g itu d e s d e lo s

su lta d o . ¿ Q u é tan le jo s d e b e n adar?

16.

L o g a n ju e g a e n su c o lu m p io . U n a o sc ila c ió n c o m p le ta (d e fre n te h asta atrás y d e v u e lta al fr e n te ) to m a 6 se g u n d o s y e n e l e x tr e m o d e la o sc ila c ió n ella e stá a un á n g u lo de 4 2 ° c o n la v ertica l. Si el c o lu m p io m id e 5 p ie s d e largo y si ig n o r a m o s to d a s las fu erza s re sistiv a s, co n stru y e un m o d e lo q u e r e la c io n e su d e sp la z a m ie n to h o riz o n ta l (d e sd e la

14. C o m o A

OAB

e s un triá n g u lo is ó s c e le s y el se c to r so m

t.

p o sic ió n d e r e p o s o ) d e sp u é s d el tie m p o

b r e a d o e s un se m ic ír c u lo , d e te r m in a e l á rea d e to d a la reg ió n . E x p resa tu re sp u e sta c o m o un n ú m e r o d e cim a l re d o n d e a d o a d o s lu gares.

R E P A S O

A C U M

U L A T I V O

1. D e te r m in a las s o lu c io n e s r e a le s, si e x iste n , d e la e c u a c ió n

3xz +

2.

1 = 4x.

D e te r m in a una e c u a c ió n para un c írc u lo co n c e n tr o e n el

ex

(e)

y =

(g ) (i)

y = sen x y = tan x

(f) y = ln * (h ) y = e o s

x

p u n to ( - 5 , 1 ) y 3 d e rad io . T raza la gráfica d e e s te círcu lo.

3.

9.

D e te r m in a e l d o m in io d e la fu n ció n

f ( x ) = V x 2 - 3.v - 4

4.

T raza la gráfica d e la fu n c ió n y

5 . T raza la gráfica d e la fu n c ió n y

=3 =

10.

R e su e lv e e l triá n g u lo para el q u e e l la d o e s 15 y e l á n g u lo C e s 40°.

3 x 56 78-

- 2 c o s (2 v - ir).

3 tt

11.

10 *4 + 21.v 31 -

7.

9

(b ) e o s

(d ) e o s ( 20 )

(e) s e n í^ - e j

(a ) (c )

y = ex y = ex se n x

y = se n x (d ) y = 2x +

se n

13.

R e su e lv e lo g 3(j: + 8) + log.,

x (a )

8. B o sq u eja la gráfica d e cad a una d e las sig u ie n tes fun cion es:

y = x2

(a ) y = x

(b )

(c ) y = V i

(d ) y = V

4 15

R e su e lv e 3* = 12. R e d o n d e a tu r e sp u e sta a d o s lu gares d e cim a les.

14. C o n sid e ra q u e f(x)

(b )

3 6 a: - 8 = 0

12.

T raza la gráfica d e cad a u n a d e las sig u ie n te s fu n c io n e s en el in te rv a lo [0, 4]:

2x2 - Ix x2 + 2x -

R(x)

(c ) s e n (2 0 )

(0 c o s ( ^ e )

42x2 +

A n a liz a la gráfica d e la fu n ció n ra cio n a l

de:

(a ) se n 0

20, e l la d o c

E n el sistem a d e los n ú m ero s co m p lejo s, re su elv e la ecu ación

s e n ( 7r.v).

6. Si tan 9 = - 2 y — < 9 < 2ir, d e te r m in a e l v a lo r e x a c to 2

a es

(g )

4x +

f(x) = 0. f{x) = g (.v ).

R e su e lv e

(c ) R e su e lv e (e )

=

R e su e lv e g (.r ) < 0.

x

= 2.

5 y g(.r)

=

x2 +

(b ) R e su e lv e (d ) R e su e lv e

5* - 24.

f(x) = f(x) >

(f) T raza la gráfica de

T raza la gráfica d e y = g (jc ).

y =

f(x).

13. 0.

716

C A P ÍT U L O 9 Aplicaciones de las fundones trigonométricas

P R O Y E C T O S

D E L

I. T rig o n o m etría esférica

C A P Í T U L O

C u a n d o la d istan cia en tre d o s lu

gares en la su p erficie d e la T ierra e s p eq u e ñ a , p o d e m o s calcu lar la d istancia en m illas terrestres. U sa n d o esta c o n sid era ció n , p o d e m o s usar la ley de los se n o s y la ley d e los c o s e n o s para ap roxim ar d ista n cia s y á n g u lo s. Sin em b a rg o , si o b serv a s un g lo b o terrá q u eo , p od rás n otar q u e la I ierra e s una esfera , por lo ta n to , c o n fo r m e crece la d ista n cia e n tre d os p u n to s en la su p e rficie la d istan cia lin eal e s m en o s p recisa d eb id o a la curvatura. Por esta circu n stan cia d e b em o s tom ar en cu en ta la cu rvatura d e la T ierra cu a n d o

3.

u sem o s la ley d e los se n o s y la ley de los co se n o s. 1.

T raza un trián gu lo e sfé r ic o y m arca lo s v ér tice s A, B y C. D e s p u é s co n e c ta cad a v értice co n un rad io hacia el

O d e la esfera . A h o r a , traza rectas ta n g e n te s a lo s la d o s a y b del triá n g u lo q ue p asen por C. E x tie n d e las rectas OA y OB para q u e in te rse cten las rectas ta n g e n te s en P y Q, re sp e c tiv a m e n te . O b serv a la figura.

4.

CPQ para PQ.

a h o ra la ley d e lo s c o s e n o s para tr iá n g u lo s esfé ric o s: eos

c=

e o s a e o s h + se n a se n h e o s C

Fuente: Para la le y e sfé r ic a d e lo s c o s e n o s ; s e Mathematics from the Birtli o f Numben p o r Jan G u llb crg.

y

d eterm in a r d o s e x p r e sio n e s para la lo n g itu d

W .W . N o r to n & ( o .. P u b lísh e rs. 19% . pp 4 9 1 -4 9 4 .

de

II.

c.

S u stitu y e n d o las r a z o n e s en e l e je r c ic io (4 ) p o r lo s c o s e n o s d e lo s la d o s d e l tr iá n g u lo e s fé r ic o , d e b e s ten er

las m ed id a s d e lo s á n g u lo s cen tra les.

OPQ

U sa el te o r e m a d e P itá g o ra s para d eter m in a r o tro para e o s

5.

E n lista lo s trián gu los re ctá n g u lo s p la n o s. D e te r m in a

A p lica la le y de los c o s e n o s a los triá n g u lo s

c.

v a lo r para O Q 1 - C(J y OP* - C l* . A h o r a revuelve

c en tro

2.

R esta las e x p r e s io n e s d e l n ú m e r o f 2 ) una d e la otra R e s u e lv e para lo s té r m in o s q u e c o n te n g a n c m

L cw is y Clark siguieron

m in ar el á n g u lo e n tr e G r c a t F a lls y L e m h i. (L o s á n g u

diversos ríos en su exp ed ición d esd e lo q ue es ahora G rcat Falls, M ontana, a la costa del Pacífico. Prim ero fueron río

lo s c e n tr a le s se d e te r m in a n u sa n d o la s d ife r e n c ia s en

abajo del M issouri y Jefferson d esd e G reat Falls hasta Lem hi, Idaho. C o m o las d os ciud ades se localizan a d iferentes

el d ia g r a m a .) D e s p u é s d e te r m in a la lo n g itu d d e l a rco

La exp ed ición d e L cw is y Clark

lon gitud es y d iferentes latitudes, d eb em o s tom ar en cuenta la

las la titu d e s y las lo n g itu d e s d e lo s p u e b lo s . O b serv a q u e u n e lo s d o s p u e b lo s. ( R e c u e r d a j = 2.

curvatura de la Tierra cu an d o calcu lem os la distancia q ue via

rB.)

D e s d e L em h i viajaron río arriba p o r lo s ríos B ittcro o t y S n a k e a lo q u e h o y e s L c w isto n > C lark ston en la

jaron. C onsidera q ue el radio d e la Tierra e s de 3960 millas.

fron tera d e Id a h o y W a sh in g to n . A u n q u e e s to n o es r e a lm en te el la d o d e un triá n g u lo , h a r e m o s un la d o q u e va d e sd e L em h i a L c w isto n y C la rk sto n . Si L cw isto n v C lark ston e stá n e n a p r o x im a d a m e n te 46.5 N 117.0 O . d eter m in a la d ista n cia d e s d e L e m h i u sa n d o la les d e lo s c o s e n o s para triá n g u lo s e s fé r ic o s y la lo n g itu d d e arco.

1.

G rea t F alls está a a p ro x im a d a m en te 4 7 .5 °N y 111,3 ° 0 . L em h i está a a p ro x im a d a m en te 4 5 .5 °N y 1 1 3 .5 ° 0 . (C o n sid er a re m o s q u e lo s ríos flu yen d ire cta m e n te

3.

¿ Q u é tan le jo s v ia ja ro n lo s e x p lo r a d o r e s para lle g a r a e s e p u n to ?

4.

T raza un triá n g u lo p la n o q u e c o n e c te lo s tres p u e b lo s.

d esd e G rea t F alls a L em h i en la su p e rficie de la T ie rra.) E sta lín ea se llam a lín ea g e o d é s ic a . A p lic a la ley

Si la d ista n c ia d e s d e L c w isto n a G r e a t F a lls e s d e 282

d e lo s c o s e n o s para un triá n g u lo e s fé r ic o para d eter -

e n L e w isto n e s d e 4 8 .5 . d e te r m in a la d ista n c ia d e s d e G r ea t F a lls a L e m h i y d e L e m h i a L e w isto n . ¿ Q u é tan

m illa s y el á n g u lo e n G r e a t F a lls e s d e 42 y e l á n g u lo

p a rec id a s so n e s ta s d ista n c ia s a las q u e c a lc u la ste en lo s e je r c ic io s ( 1 ) y ( 2 )?

fuente: Para la e x p e d ic ió n d e L e w is y C lark: Amencan Journey: The Quesl for Liberty to 1877. Texas EJition. P re n tic e H a ll. 1992. p. 3 4 5 . f uente: Para c o o r d e n a d a s e n e l m apa: Sarional C7eographic Atlas of the World. p u b lic a d o p o r N a tio n a l G e o g r a p h ic S o c ie tv . 1981. pp. 7 4 -7 5 .

Los siguientes proyectos están disponibles en el Centro de recursos del profesor (IRC. por sus siglas en

III.

P ro y ecto M otorola:

¿Cómo puedes construir o analizar un perfil de vibración? L as fu n c io n e s d e

in g les):

F o u rier n o so la m e n te so n im p o r

tantes para analizar vib ra cio n es sin o q u e son lo q u e un m a te m á tic o llam aría in teresa n tes. C o m p le ta e l p r o v e c to para ver [ » r q u e

IV. V. VI.

La torre in clin a d a d e P isa S e usa trig o n o m e tría para a n alizar la altu ra a p a r e n te v la in c lin a c ió n d e la torre in clin a d a d e Pisa L o c a liz a ció n d e un te so r o p e rd id o A s tu to s b u sc a d o r es d e te so r o s q u ie n e s c o n o c e n la lev d e lo s s e n o s p u e d e n e n c o n tr a r e f ic ie n te m e n te un te so r o en ter ra d o . J a c o b ’s F ield L o s á n g u lo s d e e le v a c ió n y la le y d e lo s s e n o s se u sa n para d e te r m in a r la altu ra d e la p a red d e l e s ta d io v la d is tancia d el h o m e a la p arte su p e rio r d e la p ared .

C ita: U sa d o co n p erm iso d e Technology Revine, d e W . R o u sli, “ F ro m L e w is an d C lark to L an d sat: D a v id R u m se v 's D ig ita l m a p s M arry Past and P resen t," 108, n o. 7. © 2005; p e r m iso o to r g a d o a tra v és d e C o p y rig h t C le a r a n e e C er n e r, tnc.

Coordenadas polares; vectores Contenido 10.1 Coordenadas polares 10.2 Ecuaciones polares y sus gráficas 10.3 El plano complejo; teorema de De Moivre

10.4 Vectores 10.5 El producto punto •

• • •


Examen del capítulo Repaso acumulativo Proyectos del capítulo

¿Cómo vuelan los aviones? A lg u n a v e z has v isto un gran a v ió n to m a r su lu gar e n la p ista d e d e s p e g u e y te has p r e g u n ta d o , “ ¿ C ó m o se le v a n ta d e la tierra e s a co sa ? " S a b e s q u e d e b id o a las a la s se m a n tie n e e n e l aire p e r o , ¿ c ó m o fu n cio n a r e a lm en te ? C u a n d o e l aire flu y e a lr e d e d o r d e l a la , cr ea fu e rz a s d e su ste n ta c ió n . L a fo rm a e n la q u e se crea n las fu erzas d e s u ste n ta c ió n se b a sa e n el m o v im ie n to d el ala d u r a n te e l d e s p e g u e y d e la p resió n cr ea d a a lr e d e d o r d el ala. El ala d e un a v ió n , e n d ife r e n te s g ra d o s d e p e n d ie n d o d el tip o y e l d is e ñ o d el a v ió n , e s cu rva e n la p a rte su p e r io r y recta e n la p a rte d e a b a jo d el ala. C o n fo r m e e l aire g o lp e a e l ala, s e “ d iv id e e n d o s ” y se m u e v e so b re e l ala y p o r d e b a jo d e ella . C o m o la p arte su p e r io r d el ala tie n e m á s cu rvatu ra q u e la p a rte in ferio r, e l aire q u e s e m u e v e en la p arte su p e r io r tie n e q u e viajar u na d ista n cia m a y o r y, p o r lo ta n to , se tie n e q u e m o v e r m ás rá p id o q u e el aire q u e se m u e v e d e b a jo d el ala. E l aire q u e se m u e v e en la p a rte su p e rio r d e l ala a h o ra e je r c e m e n o s p resió n so b re e l ala q u e el aire q u e se m u e v e m ás le n ta m e n te d e b a jo d el ala. A s í se crea n las fu erza s d e su ste n ta c ió n . L a d ife re n c ia e n la p resió n d el aire e s la fu erza p rin cip al q u e crea la fu erza d e su ste n ta c ió n en el ala, p e r o e x is te o tra fu erza so b re el ala q u e ta m b ién p ro d u c e su s te n ta c ió n . E sta e s la fu erza d e d e sv ia c ió n . El aire q u e se m u e v e p o r la p a rte d e ab ajo d el ala e s d e sv ia d o h a cia a b a jo . R e c u e r d a el p rin cip io d e N ew to n : a ca d a a cc ió n c o r r e s p o n d e una rea cció n igual y e n s e n tid o o p u e s to . E l aire q u e se d e sv ía h a cia a b ajo (a c c ió n ) ayu d a a em p u ja r e l ala h acia arriba (r e a c c ió n ), p r o d u c ie n d o m ás su ste n ta c ió n . E sta s d o s fu erzas n a tu ra le s so b re e l a la , p resió n y d e sv ia c ió n p ro d u c e n su ste n ta c ió n . E n tre m ás ráp id o se m u ev a e l ala p o r e l aire, m ás g ra n d e so n las fu erza s y m a y o r la su ste n ta c ió n .

Fuente: Thomas Schueneman. How do airplanes fly? http://meme.essortment.com/howdoairplae_rlmi.htm, acceso en August 2006. Usado con permiso.

©

2002 by Pagewise, Inc.

— Ver el proyecto I del capítulo —

< E n R e s u m e n , u n v i s t a z o > Este capítulo tiene dos partes: coordenadas polares, seccio nes 10.1-10.3, y vectores, secciones 10.4-10.5. Son independientes una de la otra y se pueden cubrir en cualquier orden. Secciones 10.1-10.3: en el capítulo 2 estudiamos las coordenadas rectangulares x y y, además analizamos la gráfica de una ecuación de dos variables que Involucraba x y y. En las secciones 10.1 y 10.2, estudiaremos coordenadas polares, una alternativa a las coordenadas rectangulares y analizaremos cómo construir gráficas de ecuaciones que Involucren coordena das polares. En la sección 6.3 estudiamos elevar un número real a una potencia real. En la sección 10.3 extenderemos esta idea elevando un número complejo a una potencia real. Las coordenadas polares serán útiles para este propósito. Secciones 10.4-10.5: hemos visto en muchos capítulos que frecuentemente se nos pide resolver una ecuación para obtener una solución de problemas aplicados. En las últimas dos secciones de este capítulo, desarrollaremos la noción de un vector y mostraremos cómo se puede usar para modelar problemas aplicados en la física y la ingeniería.

mmamsm

mmm

mmmm

718

C A P ÍT U L O 10 Coordenada» polar«;vector»!

10.1 Coordenadas polares P

r e p a r a c ió n

para

e s t a s e c c ió n

A m e s de em pezar, repasa lo s á m e n te :

• Coordenadas rectangulares (sección 2.1. pp. 15*1 154) • Definición de las funciones trigonométricas (sección 7.4. pp. 541-542)

• Función tnveru« de la tangente (setolo H J. pp 6KFAI2) • í omplctaf cuadrados (capitulo H Rcpa««, tecoón K 5. p V»)

Ratuelve aitón los problemas de la sección "¿Estás listo ?" de la página 1

OBJETIVOS

1 Trazar p u n to s u sa n d o c o o rd e n a d a * p o l a r « (p. 718)

2

Convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares 'p 720/

3 C o n vertir de c o o rd e n a d a s re c ta n g u la re s a c o o r d e n a d a s fXrtares fp 722)

4 Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares (p. 7 2 * j

Figura 1

. Eie polar

Polo

1(asta ahora, siempre hemos usado un sistema de coordenadas rectangulares para trazar puntos en el plano. Ahora estamos listos para describir otro sistema llamado coorden adas polares. Como veremos pronto, en muchos casos las coordenadas pola res ofrecen ciertas ventajas sobre las coordenadas rectangulares En un sistema de coordenadas rectangulares, como recordarás, un punto en el plano se representa por un par ordenado de números ti,»), donde i y i equivalen a la distancia con signo del punto desde el eje v y el eje x. respedís ámente I n un sistema ,. de coordenadas polares, seleccionamos un punto llamado el polo y después, un rayo x con un vértice en el polo, llamado eje polar Ver figura I Si comparam<*s los sistemas de coordenadas rectangulares y polares, s ernos que el ongen en Las coordenadas rec tangulares coincide con el polo en las coordenadas polares y el c>c a positivo en las coordenadas rectangulares coincide con el eje polar en las coordenadas polares

1 Trazo de puntos usando coordenadas polares Un punto / ’en un sistema de coordenadas polares se representa por un par ordenado de números (r.U). Si r > 0. entonces r es la distancia del punto desde el polo, wes un ángulo (en grados o en radianes) formado por el eje polar » un ravo desde el polo que pasa por el punto. Al par ordenado (r.íi) le llamamos c o o r d e n a d a s p o la r e s del punto. Ver figura 2. ( orno ejemplo, considera que un punto P tiene coordenadas polares j 2. , ) Primero localizamos P trazando un ángulo de - radianes, colocando su vértice en

4

el polo y su lado inicial sobre el eje polar. Después, recorremos una distancia de 2 unidades sobre el lado terminal del ángulo para llegar al punto P Ver la figura 3.

Fi9U'a 2

0

Polo

Figura 3

E|e polar

E# pert*

Cuando usamos coordenadas polares (r.0). es posible que r sea negativ a Cuando esto sucede, en lugar de que el punto esté en el lado terminal de
y recorremos |- 3 | = 3 unidades sobre esc rayo. Ver figura 5.

S E C C IÓ N 10.1

Figura 4

EJEMPLO 1

Coordenadas polares

719

Figura 5

Trazo de puntos usando coordenadas polares Traza los puntos con las siguientes coordenadas polares: (a) ( 3 , y )

Solución

(b)

(

-

i

j

(c) (3,0)

)

(«

H

)

La figura 6 muestra los puntos.

Figura 6 5tt

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

9, 17

y

27

Recuerda que un ángulo que se mide en dirección opuesta a la de las manecillas del reloj es positivo y un ángulo que se mide en dirección de las manecillas del reloj es negativo. Esta convención tiene algunas consecuencias interesantes relacionadas con las coordenadas polares.

EJEMPLO 2

Determinar diversas coordenadas polares de un solo punto Considera de nuevo el punto 7T

P

QtT

7T con coordenadas polares ( 2, — I como se muestra

ITT

en la figura 7(a). Como — — y ------todos tienen el mismo lado terminal, también 4 4 4 / 97t ' pudimos haber localizado este punto P usando las coordenadas polares 2, — | o V 4 I tt 7r 2 , - —— ), como se muestra en las figuras 7(b) y (c). El punto ( 2 , - 1 también se puede representar por las coordenadas polares ^—2 ,

. Ver figura 7(d).

Figura 7

(a)

(b)

(c)

(d)

720

C A I’ iIH M ) 10 Coordenada«polflf»»ivtttorM

EJEM PLO 3 ]

D e t e r m in a r o t r a s c o o r d e n a d a s p o la r e s d e u n p u n t o d a d o

Tra/.a el punto /' con coordenada» polare*

í

.V ¿

)

y determ ina otra* co o rd e n a d a

polares (r. tí) de este mismo punto para la* cuale*: (a) r > 0 , 2rráfl< 4 n (c) r > 0 .- 2 tt5 tí

Solución

121

r < 0 ,<) & 0< 2ir

< 0

punto ( 3 , - J está representado en la figura K.

(a) Agrega I revolución (2rr radianes) al ángulo - para obtener Figura 8

/' =

+ 2ttj

(b) Agrega /> a

1

Ver figura 9.

revolución (rr r a d ia n e s ) al ángulo

f - 3. ^

y sustituye 3 por - 3 para obtener

V e r f ig u r a 10 .

+ rr j =

(c) Resta 2 n del ángulo 7 para obtener /' ■ ( 3. 7 ,, o V o gura 1 1 . F igu ra 9

Estos ejemplos muestran una gran diferencia entre las coordenadas rectangula res y las coordenadas polares. Un punto tiene exactamente un par de coordenadas rectangulares, sin embargo, un punto tiene un número infinito de pares de coorde nadas polares.

RESUMEN Un punto con coordenadas polares (r.tí), tí en radianes, se puede representar también por cualquiera de las si guientes: (r.tí + 2irk) o (-r.tí + tt + 2 n k ) k cualquier entero Las coordenadas polares del polo son (O.tí) donde tí puede ser cualquier ángulo. S--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------

Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

31

2 Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares A veces necesitamos convertir coordenadas o ecuaciones en forma rectangular a for ma polar y viceversa. Para hacer esto, recuerda que el origen en las coordenadas rectangulares es el polo en las coordenadas polares \ que el eje positivo * en las coor denadas rectangulares es el eje polar en las coordenadas polares.

T EO R EM A

Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares Si / es un punto con coordenadas polares (r.tí). las coordenadas rectangulares (.v, v) de / ’ están dadas por ___

-v = r eos tí

y = r sen tí

(1)

J

S E C C IÓ N 10.1

Figura 12

721

Coordenadas polares

Demostración Considera que P tiene las coordenadas polares (r,0 ). Queremos de terminar las coordenadas rectangulares (.v,y) de P. Consulta la figura 12. Si r = (), entonces, independientemente de 0 , el punto P es el polo para, el cual, las coordenadas rectangulares son (0,0). La fórmula (1) es válida para r = 0 . ______ Si r > 0 , el punto Como

P

está en el lado terminal de 0 y r = x

eos 0 = -

y

sen

r

\ / . v 2 + y 2.

d (0 , P) =

0

= — r

tenemos .v = r c o s 0 Si ( —r , i r +

r

< 0 y 0 está en radianes, el punto 0), donde - r > 0. Como cos( 7r +

0)

= -e o s

= (r , 8 ) se puede representar como

P

x

0

r sen 0

y =

= —

—r

sen( 7r +

0)

y = r sen

0

= -sen

y

0

= — -r

tenemos que x = r

EJEM PLO 4

eos 0

■

Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares Determina las coordenadas rectangulares de los puntos con las siguientes coordena das polares:

(b) ( - 4 , - j )

Usa la fórmula (1): x

= r

eos 0 y = r sen 0 .

(a) La figura 13(a) muestra trazado el punto ^ 6 ,

y

Observa que ^ 6 ,

está en el

cuadrante I del sistema de coordenadas rectangulares. Por lo tanto, esperamos que 3

6 ^ < f) > r 3 V3

la coordenada x y la coordenada y sean positivas. Con r = 6 y

$ = —,

tenemos que

6

* x —r

y

eos 0 = „

= r sen 0 =

6

7T eos — =

, 6

sen — =

6

7T

6

6

6

V3 C~ ------ --- 3 V3 2

1 • —= 3

2

Las coordenadas rectangulares del punto ( 6 , — ) son ( 3 \/3 , 3), que está en el cuadrante I, como se esperaba. ' ^' (b) La figura 13(b) muestra trazado el punto f - 4 , - — Observa que f —4, —

está

en el cuadrante II del sistema de coordenadas rectangulares. Con r = -4 y 0 = -

v 4

tenemos que

0

C O M E N T A R IO M u ch a s la d o ra s de

tienen

co n v ertir

p o lares

a

la

de

c a lc u

x

=

r

eos 0 = - 4 cos^ -

= -4 •

y

=

rsen 0 = - 4 s e n ^ - ^

= -2 \ í í

ca p a cid a d

coordenadas

co o rd e n a d a s

re ct

=

—4^—

=

2 \/2

an g u lares. C o n su lta tu in s t ru c tivo p ara la s t e c la s a d e c u a d a s. Como en m u cho s c a s o s

e ste

procedim iento e s te d io so , en

Las coordenadas rectangulares del punto f -4 , - —J son el cuadrante II, como se esperaba. ' ,

c o n t r a r á s que e s m á s rápido u s a r la fórm ula (1).

■

-R e su e lv e a h o r a

el

problema

39

y

51

2

V 2 ), que está en

’

722

C A P ÍT U L O 10 Coordenadas polares; vectores

3 Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares ^

Convertir de coordenada» retí angula re» U. y) a coordenada» polarc» ir.») e» un poto más complicado. Observa que e m p e z a m o s cada p a s o trazando la s coordenada» rec tangulares dadas.

Cómo convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares con el punto sobre un eje de coordenadas

EJEMPLO 5

Determina las coordenadas polares de un punto cuyas coordenada* rcctangubrc» so n ( 0 ,3 ) .

Solución paso a paso Pa6 0 y

1:

T raza

o b se rv a

que

e stá

el el

el

p u n to

cu ad ra n te p u n to

co o rd e n a d a s

en

Figura 14 y

(x ,y ) en

el

o el e je

de

el q u e e s t á

Trazamos el punto (0.3) en un sistema de coordena das rectangulares. Ver figura 14. El punió está en el eje .t positivo.

»(x y) * (0,3) 3 V *

el

p u n to .

X

Paso 2:

El punto (0,3) está en el eje y a una distancia de 3 unidades del origen (polo), así quer = 3.

D e t e r m in a la d i s t a n c i a

r del o rig e n a l p u n to .

Pa6 0 3:

Un rayo con un vértice en el polo que pasa por (0.3) forma un ángulo 0 eje polar.

0.

D e t e r m in a

C O M EN T A R IO La

m ayoría

la ca p a cid a d de co n v ertir co o r

la re s.

re c ta n g u la re s

C o n su lta

tu

a

con el

de

la s c a lc u la d o ra s g rá fic a s tienen

denadas

- —

po

Las coordenadas polares para este punto pueden estar dadas por

. Otras

posibles representaciones

In stru ctiv o

p ara la s t e c la s a p ro p iad a s.

■

La figura 15 muestra coordenadas polares de puntos que están en el eje x o el eje y . En cada ilustración, a > 0 . Figura 15

y

(x, y) = (a, 0) (r, 0) = (a, 0) -------- • --------

(a) (x, y) = (a, 0), a > 0

Resuelve ahora

I EJEMPLO 6

Paso 1:

T raza

el

p u n to

el p u n to o el eje d e

( x .y ) y

coordenada s

en el q u e e s t á el p u n to .

55

1 Cómo convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares con el punto en un cuadrante

Solución paso a paso o b s e r v a el c u a d r a n t e en el q u e e s t á

EL P R O B L E MA

Determina las coordenadas polares para el punto cuvas coordenadas rectangulares son (2 , - 2 ). Figura 16

Trazamos el punto ( 2 . - 2 ) en un sistema de coorde nadas rectangulares. Ver figura 16. El punto está en el cuadrante IV.

S E C C IÓ N 10.1

Coordenadas polares

723

Pa » o 2: Determina Id distancia V del origen al punto usando

r = V ? + >•* = V (2 )2 + ( - 2 ) 2 = V^8 = 2 \ f l

r»= V 7 + y2. P a s o 3 : D e t e r m in a

tí.

y

Determinamos

tí

reeordando que tan tí

=

y

- , entonces x

tí

„

Como (2,-2) está en el cuadrante IV, sabemos que - — <

tí

= tan-1 j

= tan-1 0 <

jf

( ) < —.

2

2

0. Como resultado,

= tan-1( - l ) = - j

Unas coordenadas polares para el punto (2,-2) ^ 2 \/2 , ~ Y ciones posibles incluyen ^2"\/2,

EJEMPLO 7

x

jj»

---- <

Otras representa

y ^~2 V 2 ,

Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares Determina las coordenadas polares de un punto cuyas coordenadas rectangulares s o n ( - l,- V 5 ) .

Solución Figura 17

P

a so

1: Ver figura 17. El punto está en el cuadrante III.

P

a so

2: La distancia r del origen al punto ( - 1 , - V

3

) es

y

r

P

a so

3:

a

3 )2

= V4 = 2

-\/3 tan-1 — = tan-1 — — = tan_1V 3 , .r -1 < y . Como el punto ( - 1 , - V 3 ) está en el cuadrante III y la fun

Para determinar -y <

= V (-l)2 + (-V tí,

usamos

a =

ción inversa de la tangente proporciona un ángulo en el cuadrante I, debe mos sumar 77 al resultado para obtener un ángulo en el cuadrante III.

(x,y) = (-1.-V3)

r~

3 \

n

V -1 /

4ir

3 3

( 477 \ Las coordenadas polares para este punto son I 2, — ]. Otras posibles repre

, (^ - 2, , — A J y (^2, , - — 2A J. sentaciones incluyen

V

31

La figura 18 muestra cómo determinar coordenadas polares de un punto que está en un cuadrante cuando se dan sus coordenadas rectangulares (jt,y).

Figura 18 (x,y)

X

(a)

r = Vx2 + y 2

6 = tan' 11 x

(b)

r = Vx2 + y 2 6 = 77 + tan -11 x

(c) r=

Vx2 + y 2 0 = TT + tan*1Z

Con base en el análisis anterior, tenemos las fórmulas r2 = x 2 +1 y 2L

tan 6 = — x

síjc

^ 0

(2)

724

C A P ÍT U L O 10 Coordenadas polares; vector«

Para usar la fórmula (2) de manera efectiva, sigue estos pavn;

Pasos para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares Paso l: Siempre traza primero el punto ( x . y ) . como lo hicimos en l0, usa tu ilustración para determinar entonces

r

= V

x1

r.

Si

x t 0

y>/

0.

+ y*.

Paso 3: Determina tí. Si x * ü o y ■ 0. usa tu ilustración para determinar tí. Si x * 0 y y * 0, observa en qué cuadrante está el punto, Cuadrante I o IV: 0

-

Cuadrante II o III: 0 =

Resuelve ahora

n

pro bum a

tan

v +

-i y “

tan ' —

59

4 Transformación de ecuaciones entre su form a polar y su forma rectangular Las fórmulas (1) y (2) también se pueden usar para transformar ecuaciones de la for ma polar a la forma rectangular y viceversa. Dos técnicas comunes para transformar una ecuación de su forma polar a la forma rectangular son: 1. Multiplica ambos lados de la ecuación por r. 2. Eleva ambos lados de la ecuación al cuadrado.

Transformación de una ecuación de forma polar a forma rectangular

EJEM P LO 8

Transforma la ecuación r = A eos tí de coordenadas polares a coordenadas rectangu lares. e identifica la gráfica.

Solución

Si multiplicamos ambos lados por r. será más fácil aplicar las fórmulas (1) y (2). r

= Acostf

t~ — Areos tí

Multif ^

,v: + y = A.v r =

por r

+ y;

x

= reos tí

Esta es la ecuación de un círculo. Ahora completa el cuadrado para obtener la forma estándar de la ecuación. .1- + y = A.v (-'“—A.v) + y = 0

Fc^'á

( v~~ 6 .V+ 9) + y = 9 Competa d. cuadrado en «. ( v ~ 3): + y = 9 Fectoriziu Esta es la forma estándar de la ecuación de un circulo con centro (3.0) y radio 3. •■"■i

|

EJEM P LO 9

-Resuelve ahora

a

p r o b u m

«

75

1 Transform ar una ecuación de form a rectangular a form a polar 7 runstorina la ecuación 4.vv —9 de coordenadas rectangulares a coordenadas pesiares-

S E C C IÓ N 10.1

Solución

Coordenadas polares

725

Usa la fórmula ( 1 ): x = reos0 y y = r sen 0 . 4 4 (r eos

xy

0)(r sen 0) =

=9 9

x

= r eos

y

= r sen 0.

4r2 eos 0 sen 0 = 9 Esta es la forma polar de la ecuación. Se puede simplificar como se muestra a conti nuación: 2r(2 sen 0cos0) = 9 Factoriza 2i2 para eliminarlo. 2r2 sen(20 ) = 9 Fórmula de ángulo doble •-J

— —-Resuelve ahora 1 0 .1

E v a lú a

tu

el

problema

69

e n te n d im ie n to

“¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. T raza e l p u n to c u y a s co o r d e n a d a s r e c ta n g u la r e s so n ( 3 , - 1 ) .

3.

¿ E n q u é cu a d ra n te e s tá el p u n to ? (p p . 1 5 0 -1 5 4 ) v

2.

Para c o m p le ta r e l c u a d r a d o d e

x2 + 6.r,

P =

Si

á n g u lo tan

s u m a ________ .

(p . 5 6 )

4.

( a,b ) e s

0

a

un

una

p u n to

d ista n c ia

6 = ________ . (p p .

en

el

r

d el

la d o

term in a l d el

o r ig e n ,

e n to n c e s

5 4 1 -5 4 2 )

t a n - l ( - l ) = ________ . (p p . 6 1 0 -6 1 2 )

Conceptos y vocabulario 5 . E l o rig en e n las c o o r d e n a d a s r e c ta n g u la r e s c o in c id e co n e l _______ e n las c o o r d e n a d a s p o la r e s, e l e je p o sitiv o

x

7.

en

Verdadero o falso

L a s c o o r d e n a d a s p o la r e s d e un p u n to

so n ú nicas.

las c o o r d e n a d a s r e cta n g u la r e s c o in c id e c o n el ________

8. Si P e s un p u n to c o n c o o r d e n a d a s p o la re s (r, 6), las c o o r d e

________ e n las c o o r d e n a d a s p o la re s.

n a d a s re cta n g u la r es ( x,y ) d e P está n d a d a s p or.v = ________

6. Verdadero o falso E n las c o o r d e n a d a s p o la r e s ( r,6 ), r p u e

y y = --------- •

d e se r n eg a tiv a .

Ejercicios En los problemas 9-16, asocia cada punto en coordenadas polares ya sea con A, B, C o D en la gráfica. \

9.

1 13-

2, -

2,

117T

10.

- 2 ,-

7T

u- K

)

5tt

En los problemas 17-30, traza cada punto dado en coordenadas polares. V I 7. ( 3 ,9 0 ° )

22 .

V 27.

1 8 . (4 ,2 7 0 ° )

( ’ •t ) -1, -

.

19. ( - 2 , 0 )

2 4 . ( - 3 ,1 2 0 ° )

2 3 . ( - 2 ,1 3 5 ° )

7T

29. ( - 2 . - ir ) » I - 3 . - T

En los problemas 31-38, traza cada punto dado en coordenadas polares y determina otras coordenadas polares (r, 0) del punto para las cuales: (a )

r>

( 5' t )

S- H )

35

(b )

0 ,- 2 7 r £ (K 0 32.

4, 377 '

3 6 . (2 ,7 t)

r < 0 ,0

s

0 < 2-ir

(c ) r > 0 , 2 ir^ 0 < 4 ir

3 3 . ( - 2 , 3 ir)

3 4 . ( - 3 , 4 ir)

726

CAPÍTULO 10 Coordenadas polares; vectores

En t e

p r im a s

39-54,

se

dan

lascoordenadas 41. ( - 2 , 0 )

polaresde un 42.

(-3.7T)

* (4-t ) 44. (5 ,3 0 0 ° )

43. (6 ,1 5 0 °)

ÄK \ s i .

*(-*•?)

)

t

52. (-3 .1 ,1 8 2 ° )

(7 .5 ,1 1 0 °)

49. ( - 2 ,- 1 8 0 ° )

50. ( - 3 , -O íf)

5 3 . (6 .3 ,3 .8 )

5 4 . ( 8.1 ,5 .2 )

En los problemas 55-66, se dan las coordenadas rectangulares de un punto. Determina las coordenadas polares para cada punto. \ 5 5 . (3 ,0 )

56. ( 0 ,2 )

57. ( - 1 ,0 )

58. ( 0 ,- 2 )

\ 5 9 . ( 1 ,- 1 )

60. ( - 3 ,3 )

61. ( V 3 , l )

62. ( - 2 . - 2 \ / 3 )

64. ( - 0 . 8 ,- 2 .1 )

65. (8 .3 ,4 .2 )

66. ( - 2 . 3 .0 . 2 )

63.

( 1 .3 ,- 2 .1 )

En los problemas 67-74, las letras x y y representan coordenadas rectangulares. Escribe cada ecuación usando coordenadas polares (r,0). 2x2 + 2 y2 = 3

67.

71. 2 x y

6 H .x2

=1

+ y2= x

\ó 9 .

7 2 . 4 x 2y = 1

x2= 4 y

73. x = 4

70.

yJ = 2 x

74.

y

= -3

En los problemas 75-82, las letras r y 6 representan coordenadas polares. Escribe cada ecuación tesando coordenadas rectangulares (x ,y ).

\

75.

r eos 6

76.

79.

r=2

80. r = 4

r = sen

0+ 1

77.

r2 =

81.

r=

eos 0

1 - eos 0

78.

r=

82. r =

se n

0-

eos

0

3 3 - co s0


C h ica g o E n C h ica g o , el siste m a d e ca m in o s está e s ta b le c id o c o m o un p la n o ca rtesia n o , d o n d e las ca lle s se in d ican p o r el n ú

Ciudad de Chicago. Illinois

m ero d e cu ad ras a las q u e está n d e sd e la ca lle M a d iso n y la ca lle S tate. P or e je m p lo , el W rig ley F ield en C h ica g o está u b ic a d o en 1060 W est A d d iso n , q u e está 10 cu ad ras al o e s te d e la ca lle S ta te y 36 cu ad ras al n o rte d e la ca lle M a d iso n . C o n sid e ra la in te rse cc ió n d e la ca lle M a d iso n y la ca lle S ta te c o m o el o rig en d e un sistem a d e c o o r d e n a d a s d o n d e e l e s te e s e l eje * p o sitiv o . (a ) E scrib e la u b ica ció n d el W rig ley F ield u sa n d o co o r d e n a d a s rectan gu lares. (b ) E scrib e la u b ica ció n d e l W rig ley F ie ld u sa n d o c o o r d e n a d a s p o la res. U sa la d ire cc ió n e s te para e l eje p olar. E x p re sa 0 en grad os.

Wrigley Field 1060 Addison Oeste

(c ) U .S . C ellu la r F ield , casa d e lo s M e d ia s B la n c a s d e C h ica g o , s e lo ca liza e n la c a lle 35 y P rin c eto n , q u e está 3 cu a d ra s al o e s te d e la ca lle S ta te y 35 cu ad ras al sur d e M a d iso n . E scri b e la u b ica ció n d el U .S . C ellu la r F ie ld u sa n d o c o o r d e n a d a s rectan gu lares. (d ) E scrib e la u b ica ció n d el U .S . C ellu la r F ie ld u sa n d o c o o r d e n ad as p o la res. U sa la d ire cc ió n e s te para e l e je p o la r. E x p resa 0 en grad os. 84.

M u estra q u e la fórm u la d e la d ista n cia

d

en tre d o s p u n to s

p i = (rv ei)y Pz = (,rv d2) e s d

= \A í +

r\ - l r xr2 c o s ( 02 - 0¡)

U.S. Cellular Field Calle 35 y Pnnceton

S E C C IÓ N 10.2

Ecuaciones polares y gráficas

727


k----------------------------------------------------- —---------------- ------- ---------------------85.

C u a n d o c o n v ie r te s d e c o o r d e n a d a s p o la r e s a c o o r d e n a d a s

87.

E l sis te m a d e c a lle s e n tu ciu d a d ¿ está b a sa d o en un siste m a

re cta n g u la r es, ¿ q u é fó r m u la s u sas?

d e c o o r d e n a d a s re c ta n g u la r e s, e n un siste m a d e c o o r d e n a

E x p lic a c ó m o p r o c e d e s p ara c o n v e r tir d e c o o r d e n a d a s r e c ta n g u la re s a c o o r d e n a d a s p o la r e s.

d a s p o la r e s o e n a lg ú n o tr o siste m a ? E x p lica .

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" y\

i.

; c u a d r a n te IV

i

4 .- Z

3. È

2 .9

a

2 i

4

I I I * 2 # 4 x

-2 -2 -

(3, - 1 )

10.2 Ecuaciones polares y gráficas P

r e p a r a c ió n

p a r a

e s t a

s e c c ió n

•

S im e tr ía (s e c c ió n 2 .2 , p p . 1 6 0 -1 6 2 )

•

C írc u lo s (s e c c ió n 2 .4 , p p . 1 8 2 -1 8 5 )

Antes de empezar, repasa lo siguiente: F ó rm u la s d e la resta para e l s e n o y e l c o s e n o (s e c c ió n 8 .5 , p. 6 4 0 y 6 4 3 ) V a lo r e s d e las fu n c io n e s s e n o y c o s e n o e n c ier to s

P r o p ie d a d e s p a r e s -im p a r e s d e las fu n c io n e s

á n g u lo s (s e c c ió n 7 .3 , p p. 5 2 9 - 5 3 5 , s e c c ió n 7.4,

tr ig o n o m é tr ic a s (s e c c ió n 7 .5 , p. 5 5 8 )

\

Resuelve ahora lo s

pp. 5 4 0 - 5 4 8

p r o b le m a s d e la s e c c ió n " ¿ E s tá s listo ? " d e la p á g in a 7 3 9 .

OBJETIVOS 1 Identificar y trazar gráficas de ecuaciones polares convirtiéndolas a ecuaciones rectangulares (p. 728) 2 Probar la simetría de ecuaciones polares (p. 731) 3 Representar ecuaciones polares gráficamente por trazo de puntos (p. 732)

A s í c o m o s e p u e d e u s a r u n a r e t íc u la r e c t a n g u la r p a r a t r a z a r p u n t o s d a d o s p o r c o o r d e n a d a s r e c t a n g u la r e s , c o m o e n la fig u r a 1 9 ( a ) , p o d e m o s u s a r u n a r e t íc u la q u e c o n s i s t e e n c í r c u lo s c o n c é n t r i c o s ( c o n c e n t r o s e n e l p o l o ) y r a y o s ( c o n v é r t i c e s e n e l p o l o ) p a r a tr a z a r p u n t o s d a d o s p o r c o o r d e n a d a s p o l a r e s , c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u r a 1 9 ( b ) . U s a m o s t a l e s r e t íc u la s p o l a r e s p a r a r e p r e s e n t a r

ecuaciones polares

y.

F ig u ra 19

A O

1

B= -¿ i - :

) 2-1 0

A=

(1 2)

3,1

i

i

i

!

0

A

(a)

Retícula rectangular

(b)

Retícula polar

g r á f ic a m e n t e .

728

C A P ÍT U L O 10


DEFINICIÓN

Una ecuación cuyas variables son coordenadas polares se llama ecuación polar. La gráfica de una ecuación polar cosiste en todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación.

1 Identificar y representar ecuaciones polares gráficam ente con virtiéndolas a ecuaciones rectangulares Un método que podemos usar para representar una ecuación polar gráficamente es convertir la ecuación a coordenadas rectangulares. En el siguiente análisis, ( x , y ) representan las coordenadas rectangulares de un punto P y (r,0) representan las coordenadas polares del punto P.

EJEMPLO 1

Identificar y representar una ecuación polar (círculo) gráficamente Identifica y traza la gráfica de la ecuación: r = 3

Solución

Convierte la ecuación polar a una ecuación rectangular. r —3 r2 =

9

Eleva am b o s la d o s al

x2+ y 2= 9

cuadrado.

f2 = x2 + /

La gráfica de r = 3 es un círculo, con centro en el polo y radio 3. Ver figura 20. Figura 20

r = 3 o * 2 + y2 = 9

e

—Resuelve ahora

el

problema

13

I EJEMPLO 2 1 Identificar y representar una ecuación polar (recta) gráficamente Identifica y traza la gráfica de la ecuación: tí

Solución Figura 21

= —

4 Convierte la ecuación polar a una ecuación rectangular

„ 77 e = -o y

_ 7T tan tí — tan — 0

y i = 1 x

-

Tom a la ta n g e n te e n a m b o s lad o s.

ta n

-

tí

=

y

7r

ta n — = 1 x 4

y=x La gráfica de 0 4 es una recta Que pasa por el polo y forma un ángulo de — con el eje polar. Ver figura 21.

e _3

0- y

tt

Resuelve ahora

EL PROBLEMA 15

SE C C IÓ N 10.2

EJEM PLO 3


729

Identificar y representar una ecuación polar (recta horizontal) gráficamente

Solución

Identifica y traza la gráfica de la ecuación: r

Como como

y = r

sen

Figura 22

rsen 6 = 2 o y = 2

9 = 2

sen 6 , podemos escribir la ecuación y = 2

Podemos concluir que la gráfica de r sen 6 = 2 es una recta horizontal 2 unidades arriba del polo. C O M E N T A R IO S e ú

puede

u sar

y e r f ¡jjU ra 2 2

un d isp o sitiv o g ráfico p a ra ob t e n e r la g rá fic a de e c u a c io n e s p o la re s. Lee “U so de un d is p o s i tivo g ráfico p a ra o b te n e r la g r á fic a de una ecu ació n polar", en el ap én d ice, se c c ió n

&.

m

EJEM PLO 4

J

Identificar y representar una ecuación polar (recta vertical) gráficamente Identifica y traza la gráfica de la ecuación: r

Solución

Como x como

= r

eos 6

=

-3

Figura 23

eos 9, podemos escribir la ecuación jc=

rcos 0 = -3 o x = -3

—3

Podemos concluir que la gráfica de r e o s 9 = -3 es una recta vertical 3 unidades a la izquierda del polo. Ver figura 23.

Con base en los ejemplos 3 y 4, llegamos a los siguientes resultados. (Las demos traciones se dejarán como ejercicios. Ver problemas 81 y 82.)

TEOREM A

Sea a un número real. Entonces la gráfica de la ecuación rsen es una recta horizontal. Está abajo del polo si a < 0 . La gráfica de la ecuación

a

9= a

unidades arriba del polo si

a

^ 0 y |a| unidades

reos 9 = a

es una recta vertical. Está a unidades a la derecha del polo si a ^ 0 y |a| unidades a la izquierda del polo si a < 0 . ■—

-Resuelve ahora el problema i 9

730

C A P ÍT U L O 1« Coordenadas polares; vectores E JE M P LO

5

]

Id e n t if ic a r y r e p r e s e n t a r u n a e c u a c ió n p o la r ( c ír c u lo ) g r á f ic a m e n t e

Identifica y traza la gráfica de la ecuación: r = 4 sen tí

Solución

Para transformar la ecuación a coordenadas rectangulares, multiplica cada lado por r.

Figura 24

,

r= 4 s e nf lo x2+ (y-2)2= 4

.

Ahora usa el hecho de que

r2 = x 2 +

..

rscn

r

y2y y = r sen 0. Entonces

x 2 + y 2 = 4y

x2+ (y2~ 4y) = 0 x 2 + (yi

_

+ 4) = 4

x2 + ( y -

0 = TT

2)2-

Completa el cuadrare, en y.

4

Factonza.

0= 0

Esta es la ecuación estándar de un círculo con centro en (0.2) en coordenadas rectan gulares y radio 2. Observa la figura 24.

Identificar y representar una ecuación polar (círculo) gráficamente

EJEMPLO 6

Identifica y traza la gráfica de la ecuación:

Solución

r = -2

eos 0

Procede como en el ejemplo 5.

Figura 25

r = -2 r

r = - 2 c o s 0 o ( x + 1 )2+ y 2 = 1

eos 0

x2+ y2 = - I x

Multiplica amboe lados por r. n, = X‘ + y 2; > r = r

cot 0

x 2 + 2x + y 2 = 0

(jc2+ 2x + 1) + y 2 = 1 ( jc + 1)2 + y 2 = 1

C o m p ie ta el c u a d r a d o e n x F a c to ñ z a .

Esta es la ecuación estándar de un círculo con centro en (—1,0) en coordenadas rec-

x

^ Exploración J Usando una pantalla cuadrada, traza la gráfica de r( = sen (i, r¡ = 2 sen 0 y f, = 3 sen 0. ¿Puedes ver et pa trón? Borra la pantalla y traza la gráfica de r, = -senfl, r} = - 2 sen 0 y r = - 3 sen tf. ¿Puedes ver el patrón? Borra la pantalla y traza la gráfica de r, = eos 0, = 2 eos 6 y rt = 3 eos 0. ¿Puedes ver el patrón? Borra la pantalla y traza la gráfica de r, — —eos 0, r} = —2 eos ti y = -3 eos tf. ¿Puedes ver el patrón?_______________ j

C o n b a s e e n lo s e j e m p l o s 5 y 6 y la e x p l o r a c i ó n a n t e r io r , l l e g a m o s a l o s s i g u i e n t e s r e s u lt a d o s . ( L a s d e m o s t r a c i o n e s s e d e j a n c o m o e j e r c i c i o s . V e r p r o b l e m a s S 3 —86 .)

TEOREMA

Sea a un número real positivo. Entonces Ecuación

Descripción

(a)

r

= 2 a sen 0

(b)

r = -2a

(c)

r

=

(d)

r

= —2 a eos 0

2a

sen

0

eos 0

Círculo: radio a: centro en rectangulares Círculo: radio a; centro en rectangulares Círculo: radio
Resuelve ahora EL

PROBLEMA 21

(0 .a) en coordenadas (0,—a) en coordenadas (u.0 ) en coordenadas (—a, 0 ) en coordenadas

J

S E C C IÓ N 10.2


731

El método de convertir una ecuación polar a una ecuación rectangular identifi ca re para obtener su gráfica no es siempre útil ni necesario. Generalmente establecemos una tabla que enlista diversos puntos en la gráfica. Si probamos su simetría puede ser posible reducir el número de puntos necesarios para trazar la gráfica.

* i

2 Probar la sim etría de ecuaciones polares En las coordenadas polares, los puntos ( r , 9 ) y (r , —6 ) son simétricos con respecto al eje polar (y al eje .v). Ver figura 26(a). Los puntos (r, 9) y (r, tt - 9 ) son simétricos con respecto a la recta

7r

9 = —

(el eje y). Ver figura 26(b). Los puntos (r , 0 ) y (r , - 9 ) son

simétricos con respecto al polo (el origen). Ver figura 26(c). F ig u ra 2 6

e=

e = 3-? (a)

Puntos sim étricos con respecto al eje polar

(b) Puntos sim étricos con

(c) Puntos sim étricos con

respecto a la recta 8 = f

respecto al polo

Las siguientes pruebas son consecuencia de estas observaciones.

TEOREM A

Pruebas de simetría Simetría con respecto al eje polar (eje

x)

En una ecuación polar, sustituye 9 por - 9 . Si obtienes como resultado una ecuación equivalente, la gráfica es simétrica con respecto al eje polar. Simetría con respecto a la recta

77

0

= — (eje y) 2

En una ecuación polar, sustituye

9

por 7r -

9.

Si obtienes como resultado

una ecuación equivalente, la gráfica es simétrica con respecto a la recta

Simetría con respecto al polo (origen)

En una ecuación polar, sustituye r por r o 9 por 9 + ir. Si obtienes como resultado una ecuación equivalente, la gráfica es simétrica con respecto al polo.

J Las tres pruebas de simetría que acabamos de dar son condiciones s u f ic i e n t e s para la simetría, pero no son condiciones ne c e s ar i as . Es decir, una ecuación puede no pasar estas pruebas y aun así tener una gráfica que sea simétrica con respecto al eje polar, a la 77

recta 9 = — o al polo. Por ejemplo, la gráfica de r = sen(20) es simétrica con respecto ^

al eje polar, a la recta 9 =

7T —

y al polo, pero solo funciona la prueba de simetría con

respecto al polo (sustituye 9 por 9 +

v).

Ver también problemas 87-89.

732

CAPÍTULO 1» Coordenadas polares; vectores

3 Gráficas de ecuaciones polares por trazo de puntos

Gráfica de una ecuación polar (cardioide)

EJEMPLO 7

T r a z a la g r á fic a d e la e c u a c ió n : r

Solución

=

1 - sen 0

P r im e r o p r u e b a su s im e t r ía . E je

polar:

s u s t it u y e iI p o r - 0 . E l r e s u lt a d o e s

r= 1

- s e n ( - 0) = 1 + s e n

0

ecn(-O) =

-&<*n

0

L a p r u e b a fr a c a sa , a s í q u e la g r á fic a p u e d e o n o s e r s im é t r ic a c o n r e s p e c t o a l e j e p o la r L a r e c ta 0

=

su stitu y e 0 p o r ir - 0. E l r e s u lta d o e s r

= 1 - sen(7r -

0)

= 1 - (sen n eos 0 - eos i r sen 0 ) = 1 - [0 • eos 0 - ( - 1 ) sen 0 \ = 1 - sen

0

L a p r u e b a s e s a t is f ic e , p o r lo t a n t o , la g r á f ic a e s s im é t r i c a c o n r e s p e c t o a la r e c ta

0 =

7T

L El polo: s u s t i t u y e r = - 1 + se n 0. L a

r p o r - r . E n t o n c e s , e l r e s u lta d o e s - r =

p r u e b a f r a c a s a . S u s t it u y e 0 p o r 0 +

Tabla 1

r

- 1

- s e n (0 + n )

= 1

- [sen

= 1 - [sen = 1 + sen

0 e o s 7r + 0 • ( - 1 )+

eos eos

tt . E

0 sen

1-

sen 0, a sí q u e

\ r e s u lta d o e s

ít ]

0 • 0|

0

E s ta p r u e b a t a m b ié n f r a c a s a , a s í q u e la g r á f ic a p u e d e o n o s e r s im é t r i c a c o n r e s p e c t o a l p o lo . A h o r a , id e n t i f ic a lo s p u n t o s e n la g r á f ic a d á n d o l e v a l o r e s a l á n g u l o 0 v c a l c u l a d o lo s v a lo r e s c o r r e s p o n d i e n t e s d e r . D e b i d o a la p e r i o d i c i d a d d e la f u n c i ó n s e n o y la , TT — s im e t r ía c o n r e s p e c t o a l a r e c t a 0 = — , s o l o t e n e m o s q u e a s ig n a r v a l o r e s a 0 d e - ^ a — , c o m o s e d a e n la t a b la 1 .

2

A h o r a tr a z a lo s p u n t o s ( r , 0 ) d e la t a b la 1 y tr a z a la g r á f ic a , e m p e z a n d o e n e l p u n t o 2*

y t e r m in a n d o e n e l p u n t o ^ 0 , —

e n la r e c ta 0

= —(el

D e s p u é s r e f le j a e s t a p o r c i ó n d e la g r á fic a

e j e y ) p a r a o b t e n e r u n a g r á f ic a c o m p l e t a . V e r fig u r a 2 7 .

Exploración Traza la gráfica de r, = 1 + sen 6. Bo rra la pantalla y traza la gráfica de r, = 1 —eos 0. Borra la pantalla y tra za la gráfica de r, = 1 + eos 0. ¿Ves un patrón?

L a c u r v a d e la fig u r a _ 7 e s u n e j e m p l o d e u n a J c o r a zó n ).

cardioide

(u n a cu rv a e n fo rm a d e

SE C C IÓ N 10.2

D E F IN IC IÓ N

733

Las cardioidcs se caracterizan por ecuaciones de la forma r = a( 1 + cos 0) r - a ( 1 - cos 6)

donde

a

sen 0) r = fl(l - sen 0) r-a (l +

> 0. La gràfica de una cardioide pasa por el polo.



el

p r o b l e m a

J

37

Gráfica de una ecuación polar (limaçon sin lazo interno) Traza la gráfica de la ecuación: r = 3 + 2 eos 0

Solución

Primero prueba la simetría. Eje polar: sustituye 0 por - 0 . El resultado es r

T a b la 2

= 3 + 2 eos

(- 0 )

= 3 + 2 eos 6

c o s (-0 ) - co e 0

La prueba se satisface, por lo tanto, la gráfica es simétrica con respecto al eje polar. rr La recta 6 = —: sustituye 6 por 7r —0. El resultado es

Borra la pantalla y traza la gráfica de r, = 3 + 2 sen 0. Borra la pantalla y traza

la gráfica de r, = 3 - 2 sen 8. ¿Ves un patrón?

La curva de la figura 28 es un ejemplo de una J para c a r a c o l ) si n l a z o i nt e r n o .

limaçon

(una palabra en francés

734

C A P ÍT U L O 10


D E F IN IC IÓ N

Las limaçons sin lazo Interno se caracterizan por ecuación« de la forma r = a + h eos tí

r = a + b sen tí

r = a - b eos tí

r = a —b sen tí

donde o > 0, /> > 0 y a > b. La gráfica de una limaçon sin lazo interno no pasa por el polo. Re8U6lV0 allOPB

EJEM P LO 9

EL

PROBLEMA

43

G rá fic a de un a ecu ació n p o la r (lim a ç o n co n la z o in te rn o ) Traza la gráfica de la ecuación: r = 1 + 2 eos tí

So lución

Primero prueba la simetría. Eje polar: sustituye tí por -tí. El resultado es r = 1 + 2 eos (-tí) = 1 + 2 eos tí La prueba se satisface, por lo tanto, la gráfica es simétrica con respecto al eje polar.

^

La recta 0 = — \ sustituye tí por

tt

- tí. El resultado es

r = 1 + 2 eos ( v - t í ) = 1 + 2(cos 7rcos0 + sen 7rscn tí) = 1 - 2 eos tí La prueba fracasa, por lo tanto, la gráfica puede o no ser simétrica con respecto a la TT

recta tí = —. 2 El polo: sustituye r por -r. La prueba fracasa, por lo tanto, la gráfica puede o no ser simétrica con respecto al polo. Sustituye tí por tí + 7r. La prueba fracasa, por lo tanto, la gráfica puede o no ser simétrica con respecto al polo. Ahora, identifica puntos en la gráfica de r = 1 + 2 eos tí asignando valores al ángulo tí y calculando los valores correspondientes de r. Debido a la periodicidad de la función coseno y a la simetría con respecto al eje polar, solo necesitamos asignar valores a tí de 0 a 7r, como se da en la tabla 3. Ahora, traza los puntos (r,tí) de la tabla 3 y traza la gráfica, empezando con el punto (3,0) y terminando en el punto ( - I . tt). Ver figura 29(a). Por último, refleja esta porción de la gráfica en el eje polar (el eje .v) para obtener la gráfica completa. Ver figura 29(b).

't

Exploración Traza la gráfica de r, = 1 - 2 eos 6. Borra la pantalla y traza la gráfica de

(b) r = t -i- 2 eos e

r, = 1 + 2 sen tí. Borra la pantalla y tra za la gráfica de r, = 1 - 2 sen tí. ¿Ves un patrón?

La curva de la figura ~9(b) es un ejemplo de una lunagon (una palabra en francés para caracol) con lazo interno.

S E C C IÓ N 10.2

D E F IN I C I Ó N


735

Las limaçons con lazo interno se caracterizan por ecuaciones de la forma

«K

r = a + b eos 6

r = a + b sen 8

r - a - b eos 6

r = a ~ b sen 6

donde a > 0, b > 0 y a < b. La gráfica de una limaçon con lazo interno pasa por el polo dos veces.

J


el

p r o b l e m a

45

G rá fic a de u n a e cu a ció n p o la r (ro sa ) Traza la gráfica de la ecuación r - 2 cos(20)

S o lu c ió n

Revisa la simetría.

Eje polar: si sustituimos 6 por -0, el resultado es r = 2 cos[2(-0)j = 2 cos(20) La prueba se satisface, por lo tanto, la gráfica es simétrica con respecto al eje polar.

La recta 0 =

77

si sustituimos 0 por 77-0, obtenemos r = 2 c o s [ 2 ( 7 t —6)] =2 cos(27r - 26) = 2 cos(26)

Tabla 4

La prueba se satisface, por lo tanto, la gráfica es simétrica con respecto a la recta

r = 2cos(20) 2(1) = 2 77

7 77 4

2(í) = ’ 2(0) = 0

77

7T

El polo: como la gráfica es simétrica con respecto al eje polar y a la recta 6 — —, debe ser simétrica con respecto al polo. Ahora, construye la tabla 4. Debido a la periodicidad de la función coseno y a la TT

simetría con respecto al eje polar, la recta 6 — — y el polo, consideramos solamente valores de 6 de 0 a

7 7r 2

9 =t

2(—1) = -2

77

Traza y conecta estos puntos en la figura 30(a). Por último, debido a la simetría, refleja esta porción de la gráfica primero en el eje polar (el eje x) y después en la recta 77 6 = — (el eje y) para obtener la gráfica completa. Ver figura 30(b).

Figura 30

Exploración Traza la gráfica de r, = 2 cos(40). Bo rra la pantalla y traza la gráfica de r, = 2 cos(60). ¿Cuántos pétalos tiene cada gráfica? Borra la pantalla y traza la gráfica de, en orden, cada una en una panta

(a)

(b) r = 2 eos (2e)

lla nueva r, = 2 cos(30), r, = 2 cos(50) y r, = 2 cos(70). ¿Qué puedes notar acer ca del número de pétalos?

La curva de la figura 30(b) se llama rosa con cuatro pétalos.

736

C A P ÍT U L O 10


D E F IN IC IÓ N

Las curvas de rosa se caracterizan por ecuaciones de la forma r = acos(/i 0),

r = a sen(/j0), a * 0

y tienen gráficas con forma de rosa. Si ai ^ 0 es par, la rosa tiene 2n pétalos; si n ± 1 es impar, la rosa tiene n pétalos. tnrm uuLj.— R e S U B lV B a h O P a

EL

PROBLEMA

49

G rá fic a de un a e cu ació n p o la r (le m n is c a ta )

E J E M P L O 11

Traza la gráfica de la ecuación: So lución

r2= 4 sen(20)

Te dejamos el ejercicio de verificar si la gráfica es simétrica con respecto al polo. De bido a la simetría con respecto al polo, solo necesitamos considerar valores de 0 entre 0 = o y 0 = rr. Observa que no existen puntos en la gráfica para — < 0 < 7T (cuadrante II), debido a que r1 < 0 para esos valores. La tabla 5 enlista 2 77 los puntos en la gráfica para valores de0 = O a0 = Los puntos en la tabla 5 donde

Tabla 5 0

r * = 4 s e n ( 2 0)

r

0

4(0) = 0

0

se trazan en la figura 31(a). Los puntos restantes en la gráfica se pueden obtener usando la simetría. La figura 31(b) muestra trazada la gráfica final.

r > 0

7T ~6 IT

4

7r J

7r 2

# )

= 2 \/3

4(1) = 4

# )

F ig u r a 31

±2

= 2V 3

4(0) = 0

± 1.9

± 1.9

0

0 = 77

0 = 77

(a)

(b )

r 2 = 4 sen (26)

La curva en la figura 31 (b) es un ejemplo de la lemniscata (de la palabra griega listón). D E F IN IC IÓ N

Las lemniscatas se caracterizan por ecuaciones de la forma ___________

r2 =

sen(20 ),

r = a2 cos(20)

donde a * 0 y las gráficas tienen forma de hélice

J Resuelve ahora EL | EJ EM P L O 12

pr o blem a

1 G rá fic a d e u n a e cu ació n p o la r (e sp ira l) Traza la gráfica de la ecuación:

S o lu ció n

53

r=

e1"5

Las pruebas de simetría con respecto al polo, al eje polar y a la recta 8 = ” fracasan. Además, no existe un número 8 para el cual r = 0. por lo tanto, la gráfica no pasa por

S E C C IÓ N 10.2

Tabla 6

*

3rr

2 - TT tr ~2 rr ~4 0 TT 4 IT

2 7r 3rr 2

2ir

737

polo. Observa que r es positiva para toda 0, r crece conforme 0 crece, r —►0 conforme W—* - o o y r —*oo conforme 0 —* oo. Con ayuda de la calculadora, obtene mos los valores en la tabla 6. Ver figura 32. el

-, 0


r = ®"9 0.39 0.53

Figura 32

r = t’*'

0.73 0.85 1 1.17 1.37 1.87 2.57 3.51

La curva de la figura 32 se llama espiral logarítmica, debido a que su ecuación se puede escribir como 0 = 5 ln r y se mueve en espiral de manera infinita, hacia el polo y alejándose de él.

Clasificación de ecuaciones polares En la tabla 7 se dan las ecuaciones de algunas rectas y círculos en coordenadas pola res y sus ecuaciones correspondientes. Además se incluyen los nombres y las gráficas de algunas ecuaciones polares que se encuentran más frecuentemente. Tabla 7

(continúa)

738

C A P ÍT U L O 10


Tabla 7 (continuación)

B o sq u e jo rá p id o Si una ecuación polar involucra solo una función seno (o coseno), puedes obtener rápidamente un bosquejo de su gráfica usando la tabla 7, la periodicidad y una tabla corta. E J E M P L O 13

B o sq u ejo ráp id o de la g ráfica d e u n a e c u a c ió n p o la r Traza la gráfica de la ecuación: r = 2 + 2 sen 0 Debes reconocer la ecuación polar: su gráfica es una cardioide. El periodo de sen0 es 2tt, entonces crea una tabla usando 0 < 0 < 27t, calcula r, traza los puntos (r.d) y bos queja la gráfica de una cardioide conforme 0 varía de 0 a 27r. Ver tabla 8 y figura 33.

Figura 33 r —2 + 2 sen 0

Tabla 8 0

r = 2 + 2 sen 0

0

2 + 2(0) = 2

7T ~2

2 + 2(1) = 4

7T

2 + 2(0) = 2

1LO

So lu ció n

27r

2 + 2(—1) = 0 2 + 2(0) = 2

J

.SU C C IÓ N 10.2


739

Para lodos aquellos que planeen estudiar cálculo, será útil un comentario acerca de un papel importante que juegan las ecuaciones polares. I n coordenadas rectangulares, la eeuación v' + v : = l, cuya gráfica es el círculo unitario, no es la gráfica de una función. De hecho, se requieren dos funciones para obtener la gráfica del círculo unitario:

\ C o m en tario d * cálculo

-*

>i

V l“

r Semicírculo superior

V'

= - V

1 -

X2

Se m icírcu lo inferior

En coordenadas polares, la ecuación r = I. cuya gráfica también es el círculo unitario, sí define una función. Para cada elección de tí, existe solamente un valor correspon diente de r, esto es, r = I. Como muchos problemas en cálculo requieren del uso de funciones, la oportunidad de expresar no funciones en coordenadas rectangulares como funciones en coordenadas polares se ha vuelto extremadamente útil. Observa también que la prueba de la recta vertical para funciones es válida solo para ecuaciones en coordenadas rectangulares.

Comentario histórico P

arece ser que las coordenadas po

mente, hasta el principio del siglo xix. Aún entonces, eran princi

lares fueron inventadas por Jakob

palmente los geómetras los que las usaban para describir curvas

Bernoulli (1654-1705) alrededor de

raras. Finalmente, alrededor de la mitad del siglo xix, los matemá

1691, aunque, como con la mayoría de ese

ticos aplicados se dieron cuenta de la tremenda simplificación que

tipo de ideas, existen rastros más tempra

hacia posible las coordenadas polares en la descripción de objetos

nos de la noción. Los usuarios tempranos del

con simetría circular o cilindrica. Desde entonces, su uso se volvió

cálculo se mantuvieron comprometidos con

una práctica generalizada.

J a k o b B c m o u lli

el uso de coordenadas rectangulares y las

(1654-1705}

coordenadas polares no se usaron amplia

10.2 E v a lú a tu e n te n d im ie n t o "¿Estás listo?" i. as respuestas se dan al final de estos ejercidos. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. Si las coordenadas rectangulares de un punto son (4,-6), 4 . La función seno, ¿es par, impar o ninguna de las dos? (p. 558) el punto simétrico a él con respecto al origen es.______. (pp.lhO-162) 5jt 5 . sen-— = ______ . (pp. 540-548) 2. La fórmula de la resta para el coseno es 4 cos(A - B ) = _________ . (p. 640) 3.

La ecuación estándar de un círculo con centro en (-2,5) y radio 3 e s______ . (pp. 182-185)

6.

2tr eos — = = _______ . (pp. 540-548)

Conceptos y vocabulario 7. Una ecuación cuyas variables son coordenadas polares se llama una____________ . 8. \'erdadero ofalso Las pruebas de simetría en las coorde nadas polares son necesarias, pero no suficientes. 9. Para probar si la gráfica de una ecuación polar puede ser simétrica con respecto al eje polar, sustituye tí por______. 10. Para probar si la gráfica de una ecuación polar puede ser

11. Verdadero o falso Una cardioide pasa por el polo. 12. Las curvas de rosa se caracterizan por ecuaciones de la for ma r = a cos(nff) o r = a sen(rif)), a * 0. Si n * 0 es par, la rosa tiene______pétalos; si « *■±1 es impar, la rosa tiene ______pétalos.

simétrica con respecto a la recta o = y, sustituye tí por

Ejercicios En los problemas 13-28, transforma cada ecuación polar a una ecuación en coordenadas rectangulares. Después identifica y traza la gráfica de la ecuación. V 13. r = 4 17. r sen 6 = 4

14. r = 2 18. r eos 0 = 4

\

15. 0 =

3

19. r eos 0 = —2

16. o = - 4 20. r sen 0 = —2

740

CAPÍTULO 10 C oordenadas polares; vectores

^ 2 1 . r = 2cos0 25.

r sc c

22. /* = 2 s e n 0

0= 4

24. r - - 4 c o * 0

27. r esc 0 ■- 2

2«. r « c c 0 - - 4

26. r c s e 0 = 8

En los problemas 29-36, asocia las gráficas de A a II con una 29.

23 . r . - 4 s e n 0

r=2

de las siguientes ecuaciones polares. 32. r c m 0 * 2

31. r ■ 2 e o s 0

3 0 .0 = ^

Ten

33. r —l + eos 0

35. 0 « — 4

34. r = 2scn0

36.

r sen

40.

r =2 -2

0*2

£>i / o í problemas 37-60, identifica y traza la gráfica de cada ecuación polar.

r = 2 + 2 eos 0 41. r = 2 + sen 0 \,4 5 . r = 1 + 2 sen 0 \ 4 9 . r = 3 cos(20) \ 5 3 . r = 9 cos(20) 57. r = 1 - eos 0

38.

\3 7 .


42. 46. 50. 54. 58.

r = 1 + sen 0 r = 2 - eos 0 r = 1 - 2 sen 0 r = 2 sen(30) r2= sen(20) r = 3 + eos 0

39. r = 3 - 3 sen 0 \ 43. r = 4 - 2 eos 0 47. r = 2 - 3 eos 0 51. r = 4 sen(50) 55. r = 2" 59. r = 1 - 3 eos 0

eos 0

44. r = 4 + 2 sen 0 48. r = 2 + 4 eo s 0 52. r = 3 co s(4 0 ) 56. r = 3* 60.

r-

4 e o s(3 0 )

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

En los problemas 61-66, traza la gráfica de cada par de ecuaciones polares en la misma retícula polar. Determina las coordenadas polares de los puntos de intersección y márcalos en la gráfica. 61. 64.

r = 8 eos 0; r = 2 sec 0 r = 3; r = 2 + 2 eos 0

62. 65.

r = 8 sen 0; r = 4 esc 0 r = 1+ sen 0; r = 1 + eos 0

63. 66.

r = sen 0; r = 1 + eos 0 r = 1 + eos 0; r = 3 eos 0


En los problemas 67-70, la ecuación polar de cada gráfica es r = a + b eos 0 o r = a + b sen 0. a > 0. Selecciona la ecuación correcta \ determina los valores de a y b.

S E C C IÓ N 10.2

60.

Ecuaciones p o lar« y gráficas

741

70.

(

P

»- ^

E n lo s p ro b le m a s 71-K0. ¡raza la gráfica cada ecuación polar,

s

71.

r

73.

r

** ---------(p a r á b o la )

72. r « - — —----- (hipérbola)

■ ----------- (e lip ie ) 3 - 2 cus ti

74. r - ----------- (parábola)

I - 00* ti

1 - 2 eos ti

I - eos ti

75. f * í.tf2 0 (esp ira l d e A r q u ím e d e s )

T I. r

76. r ■ ’^(espiral reciproca)

■ esc ti - 2 . 0 < ti < tr (c o n c o id e )

„

ir

n

r*. r m tan ti, - — < ti < • -

'

78. r * sen ti tan ti (asoldé) ti 84). r « eos r

,

(curra k a p p a )

81. Demuestra que la gráfica de la ecuación r sen ti ■ a es una recta horizontal a unidades arriba del polo si a 20 y la! uni dades debajo del polo si a < 0.

82. Demuestra que la gráfica de la ecuación r eos ti = a es una recta vertical a unidades a la derecha del polo si a 2 0 y |
83. Demuestra que la gráfica de la ecuación r = 2a sen ti, a > 0 es un circulo de radio a con centro en (0,*i) en coordenadas rectangulares.

84. Demuestra que la gráfica de la ecuación r = -2a sen ti, a > 0 es un circulo de radio a con centro en (O.-a) en coor denadas rectangulares.

85. Demuestra que la gráfica de la ecuación r = 2a eos ti. a > 0 es un circulo de radio a con centro en (
86. Demuestra que la gráfica de la ecuación r = -2a eos ti, a > 0 es un círculo de radio a con centro en (-a. 0) en coordena das rectangulares.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 87. Explica por qué la siguiente prueba de simetría es válida: sustituye r por -r y ti por -ti en una ecuación polar. Si obtie nes como resultado una ecuación equivalente, la gráfica es simétrica con respecto a la recta 0 = - (eje y). (a) Demuestra que la prueba de la página 731 fracasa para r = eos ti, sin embargo, esta prueba nueva funciona. (b) Demuestra que la prueba de la página 731 funciona para r3= sen ti, sin embargo, esta prueba nueva fracasa.

88. Escribe dos pruebas de simetría diferentes con respecto al eje polar. Proporciona ejemplos en los que una prueba fun cione y la otra fracase. ¿Qué prueba prefieres usar? Justifi ca tu respuesta. 8*4. Las pruebas de simetría que se dieron en la página 731 son suficientes, pero no necesarias. Explica qué quiere decir esto. 90. Explica por qué la prueba de la recta vertical que se usa para identificar funciones en coordenadas rectangulares, no funciona para ecuaciones expresadas en coordenadas polares.

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. (-1.6)

2. eos A eos H + sen A sen tí

3.

(x

+ 2)’ + (y - S)3 = 9

4. Impar

5.

y /i 2

742

ca pí

iU l , ( )

10


10.3 El plano complejo; teorema de Pe Mofvre P

r e p a r a c ió n

p a r a

e s t a

s e c c ió n

A n te s d e e m p e z a r , r e p a s a lo sig u ie n te :

•

N ú m e r o s c o m p le jo s ( s e c c ió n 1.3, p p . 1 0 4 - 1 0 9 )

•

V alor de las fu n cio n es se n o y c o s e n o en cierto s á n g u

• Fórmulas d e la suma y la resta para d seno y el cose no (sección H.5. p. 6 4 0 y 6 4 3 )

los (secció n 7.3, pp. 5 2 9 -5 3 5 ; secció n 7.4, pp. 540- 548)

\

Resuelva ahora los problem as de la sección " ¿ E s tá s listo ? " de la página 748. OBJETIVOS 1 Trazar puntos en el plano complejo (p. 742) 2 Convertir un número complejo entre su forma rectangular y su forma polar (p. 743) 3 Determinar productos y cocientes de números complejos en forma polar (p. 744)

4 Usar teorema de De Moivre (p. 745) 5 Determinar raíces complejas (p. 746)

1 Trazo de puntos en el plano com plejo Figura 34 Plano com plejo

Eje imaginario

y0

Analizamos los números complejos en el capítulo l. sección 1.3. En ese análisis, no estábamos preparados para dar una interpretación geométrica de un número com plejo. Ahora estamos listos. Un número complejo z = x + yi se puede interpretar geométricamente como el punto (jc,jv) en el plano xy. Cada punto en el plano corresponde a un número com• z = x +yi piejo y cada número complejo corresponde a un punto en el plano. Nos referimos al Eje conjunto de esos puntos como el plano complejo. El eje v será denominado como el x real eje real, porque cualquier punto que esté en el eje real tiene la forma ; = .t + 0/ = x. un número real. El eje y se llama el eje imaginario, porque cualquier punto que esté en él tiene la forma z = 0 + y i = yi. un número imaginario puro. Ver figura 34.

EJEM P LO 1

T r a z o de un p u n to en el p lan o c o m p le jo Traza el punto correspondiente a ; = V3 - / en el plano complejo.

So lu ció n

El

p u n t o c o r r e s p o n d ie n t e

a z = \/3 - /

t ie n e

F ig u r a 35

Eje imagina no

las coordenadas rectangulares ( V 3 , -1 ) . El punto localizado en el cuadrante IV, está representado en la figura 35.

-I__L. _¡__i__i_ -2 O -2

D E F IN IC IO N

Eje reai

z = \3 - i

Sea z x + yi un número complejo. La magnitud o módulo de que se denota como |z|, se define como la distancia del origen al punto (,v. v). Esto es.

Figura 36 Eje imaginario

= V v’ + r

di

Observa la figura 36 para una ilustración. Esta definición de |c| es consistente con la definición del valor absoluto de un número real: si z = x + yi es real, entonces z = x + 0/ y M = V ¿ + o’ = v V

= |.v|

Por esta razón, la magnitud de z a veces se llama el valor absoluto de c.

S E C C IÓ N 10.3

El plano complejo; teorema de üe Moivre

743

Recuerda que si ; = .r + y i entonces su conjugúelo, que se denota por z , es x - y i . Como ZZ = x~ + y , que es un número real no negativo, se deduce de la ecuación ( I ) que la magnitud de c se puede escribir como Z -

____________________________________ \z\

= V T z _____________

(2)

2 Convertir un núm ero com plejo entre su forma rectangular y su form a polar Cuando se escribe un número complejo en la forma estándar z - x + y i , decimos que está en formii rectangular o cartesiana, porque ( v, v) son las coordenadas rectangu lares del punto correspondiente en el plano complejo. Considera que (r,#) son las coordenadas polares de este punto. Entonces .r = r eos #, D E F IN I C I Ó N

= r sen #

y

(3)

Si r 2 : o y 0 ^ # < 2 tt, el número complejo z —x + y i se puede escribir en la forma polar como Z = x + yi

= (r eos 8 ) + (r sen

8)i

= r( eos 8 + i sen

8)

(4)

Figura 37 Eje Imaginario

Ver figura 37. Si ; = r(cos 8 + i sen 8 ) es la forma polar de un número complejo,* el ángulo ()<(#< 27t. se llama el argumento de z. Eje real

Además, como r ^ 0, tenemos r = " s/x 2 + la magnitud de z = r(eos 8 + i sen 8) es

z = x + yr = r(cos o + /sen «),

rÔ.O

E s c r ib ir un n ú m e ro co m p le jo en fo rm a p o la r Escribe una expresión para c = V 3 -

S o lu ció n

De la ecuación (1), se deduce que

ld = r

o < 2 tt

EJEM P LO 2

y2.

8,

i

en forma polar.

El punto, localizado en el cuadrante IV, está trazado en la figura 35. Como x = \ / 3 y y = -1 , se deduce que r = v V

+ y2 =

+ (-1 )2 = V 4 = 2

Entonces y = — , sen 8a = — r

V 3— eos a8 = -x = —

2

r

2

1 1 7T

11 7T

El ángulo#, 0 ^ 0 <277, que satisface ambas ecuaciones es 8 = - — .C on# = —— 6 6 y r = 2, la forma polar de z = V 3 - / es Z =

,

r(cos


„

# +

.

i

sen

.

J

#) =

el p r o b l e m a

21

1 1 7T

eos —

V

—

6

I- i

sen

1 1 7T

——

6

i i

T r a z o de un p u n to en el plano co m p le jo y co n v e rsió n de fo rm a p o la r a fo rm a re cta n g u la r Traza el punto correspondiente a z = 2(cos 30° + i sen 30°) en el plano complejo y escribe una expresión para z en forma rectangular. •Algunos libros abrevian la forma polar usando z = ricos 6 + i sen 0) = r cis ti.

744

C A P Í T U L O 10


So lu ció n Figura 38

ma rectangular,

Eie Imaginario CsJ 0

^

z = 2 (eos 30° + / sen 30") - 2 p ~ + ¿ / ) « V 3 + /

- z = 2(cos 30°

/i

Para trazar el número complejo z - Jic o . 3«’ + i * n traza el ponto cuya, coordenada» polares sean (r.fl) * (2.30 ), como se m ucura en la lisura » . F.n la lo,.

i

2

i

•*. /s a n

\

¿

¿

J

r E|e real

CM 1

Resuelve ahora

el

m o b u m

» 23

3 Determinar productos y cocientes de núm eros com plejos en forma polar La forma polar de un número complejo proporciona un método alternativo para determinar productos y cocientes de números complejos. Sea z, = r,(cos0, + /senil,) y z2 = r2(cos02 + /scn0; ) dos números complejos. Entonces

TEO REM A

z,z = r,r2[cos(0, + 0,) + /sen (0, + ü ) \ r r En palabras

Si z, ^ 0, entonces

r~ La m agnitud de un número r

complejo z e s r y su argum ento

r

e s 0, e n to n ce s

r r

r

£i = — [cos(0! - 0y) + /scn (0 | - 02)] <2 r2

cuando

(6)

J

z = r(co6 0 + 1een 6) la m agnitud del producto (co cie n te ) de d o s núm eros

r r r r

(5)

com plejos equivale al producto (co cien te) de s u s m ag n itud es;

Demostraremos la fórmula (5). La fórmula (6) se deja como ejercicio (ver problema 66). z,z2= [^(cos^, + /sen0,)][/%(cos0, + /sen 0,)] D em ostración

el arg u m ento del producto

= /-^[(cos^, + / sen0,)(cos0, + i sen 6»,))

(co cie n te ) de d o s núm eros com plejos e s t á d eterm in ad o

= r 1r,[(cos0, eos 0, - sen0, sen 0.) + /(sen0, eos 0, + cos0 sen 0.))

por la su m a ( r e s t a ) de s u s

= r,r,[cos(0, + 0,) + / sen(0, + 0;)]

arg u m e n to s.

■

Veamos un ejemplo de cómo se puede usar este teorema.

EJEMPLO 4

So lu ció n

D e te rm in a r p ro d u cto s y c o c ie n te s d e n ú m e ro s c o m p le jo s en fo rm a p o la r Si z —3(cos 20° + / sen 20°) y iv —5(cos 100' + / sen 100*). determina lo siguiente (deja tus respuestas en forma polar): (a) ziv (b) — iv (a) ztv = [3(cos 20° + / sen 20°)][5(cos 100" + i sen 100 ] = (3 X 5)[cos(20° + 100°) + / sen(20° + 100°)] = 15(eos 120° + / sen 120°) Apt¡ca a r-cuacón (5). Z _ ^

w

3(eos 20° + i sen 20°)

5(eos 100° + i sen 100°) 3 . = -[cos(20° - 100°) + / sen (20° - 100°)] ^

ApiiCü U e-:uAC.-i* (6)

= j[c o s (-8 0 ° ) + / sen(-80°)] 3 = - eos 280° + / sen 280°) E! argumento acre esta' ervr* O* > 360*. R e s u e lv e a h o r a

EL P R O B L E M A

33

S E C C IÓ N 10.3

El plano complejo; teorema de De Molvre

745

4 Uso del teorem a de De Moivre El teorema de De Moivre, establecido por Abraham De Moivre (1667-1754) en 1730, pero ya conocido por muchas personas en 1710, es importante por la siguiente razón: los procesos fundamentales del álgebra son las cuatro operaciones de suma, resta, multiplicación y división, junto con las potencias y las raíces. El teorema de De Moivre permite que estas últimas operaciones se apliquen a números complejos. El teorema de De Moivre en su forma más básica, es una fórmula para elevar un número complejo ’ a la potencia n , donde /i 2: 1 es un número entero positivo. Vea mos si podemos anticipar la forma del resultado. Sea z = r(eos 0 + i sen 0) un número complejo. Entonces, con base en la ecuación (5), tenemos que /i

=

2.

Z2

=

cos(20) + /sen(20)]

E cu a ció n (5 )

n = 3: z 3 = Z2'Z = (r[co s(2 0 ) + / sen(20)]}[r(cos 0 + /sentf)] = r |cos(30) + /' s e n (30)] n = 4:

E cu a ció n (5 )

z A = z y‘ z = {r3[cos(30) + i sen(30)]}[r(cos 0 + isen 0 )] = r J[cos(40) + isen(40)]

E cu a ció n (5 )

¿Puedes ver el patrón? TEO REM A

T e o re m a d e D e M o iv re

Si c = r(cos 0 + i sen 0) es un número complejo, entonces Z" = r"[cos(/í0) + i scn(//0)]

(7)

donde n a l e s un número entero positivo.

J

La demostración del teorema de De Moivre requiere de inducción matemática (que no se analiza hasta la sección 13.4), por lo tanto, se omite aquí.

EJEMPLO 5

U so del t e o r e m a d e D e M o ivre Escribe [2(cos 20° + i sen 20o)]1en la forma estándar a + bi.

S o lu ció n

[2(cos 20° + i sen 20o)]1= 23[cos (3 X 20°) + i sen (3 • 20°)] = 8(cos 60° + i sen 60°)


el

p r o b l e m a

A plica el te o re m a

de De MoWre.

41

U so del te o r e m a de D e M o ivre Escribe (1 + 1)5 en la forma estándar a + bi.

S o lu ció n N O T A Tam b ién p o d ría m o s e s c r ib ir 1 +

i

en la fo rm a

potar

complejo en forma polar. Como la magnitud de 1 + i es V i 2 + l 2 = \¡ 2 , comenza mos por escribir

sig u ie n d o

el en fo q u e q u e u s a m o s en el e je m plo 2 .

Para poder aplicar el teorema de De Moivre, primero debemos escribir el número

■

V

1+ i V~2

.

7T

eos — + i sen — 4 4

746

C A P ÍT U L O 10


Ahora . 7T 7T 2 ( eos — + i sen —

(1 + i)5 =

= ( V 2 ) 5 c o s ( V ^ ) + / sen^5 =4 = 4 \/2

S

57 T

eos — +

.

1 sen

5v

—

V2 +( Vi)

= - 4 - 4/

D e te rm in a r ra íce s c o m p le ja s Sea w un número complejo dado y sea n s 2 un número entero positivo. Cualquier número complejo z que satisfaga la ecuación zn = w se llama raíz enésima compleja de w. Siguiendo el uso anterior, si n —2, las soluciones de la ecuación z2= w se llaman raíces cuadradas complejas de w y si n = 3, las solucio nes de la ecuación z3= w se llaman raíces cúbicas complejas de w.

TEO REM A

D ete rm in a r raíces co m p le ja s

Sea w = r ( eos d0+ i sen 0O) un número complejo y sea n > 2 un número entero. Si w # 0, existen n distintas raíces enésimas complejas de n\ dadas por la fórmula

donde k = 0 ,1,2,..., n - 1 .

J No demostraremos este resultado totalmente. En cambio, únicamente demostraremos que cada zk en la ecuación (8) satisface la ecuación z'k = w, siempre y cuando cada zk sea una raíz enésima compleja de w. Dem ostración (esbozo)

zink = \
eos

( 0o . 2kir — -I-----------\ n n

= (V ? )n\co s

f do

2kn

+ 1 s e n ---- 1------\n n j

„ ( ! 2 + 2 tí Vn n ,

+ i sen

Aplica el teorema de De

= r[cos(0o + 2k.Tr) + i sen(0o + 2kir)]

Simplifica.

= r( eos 0O + i sen 0O) = w

La propiedad periódica

MóKre.

Por lo tanto, cada z# k —0 ,1 ,..., n - 1, es una raíz enésima complejaa de »v. Para completar la demostración, tendríamos que demostrar que cada zk, k = 0 , 1 , —1, es, de hecho, distinta y que no existen raíces enésimas complejas de w además de las dadas por la ecuación (8). B |

EJEM P LO 7

|

D e te rm in a r ra íc e s cú b icas co m p le ja s Determina las raíces cúbicas complejas de —1 + y/ $ /. Deja tu repuesta en forma polar, con el argumento en grados.

So lu ció n

Primero, expresa - 1 + V3¿ en forma polar usando grados.

-1 +^

= 2(4 + ^ ' ) = 2(cos 120° + i sen 120°)

S E C C IÓ N 10.3

El plano complejo; teorema de De Moivre

Las tres raíces cúbicas complejas de - 1 + V 3 / = 2(cos 120°

+

i

747

sen 120°) son

120° 360% \ 3 + 3 ) A D V E R T E N C IA L a d is p o s itiv o s

de

m ayo ría

g rá fic o s

so lo

zQ a l

den d a r la r e s p u e s t a

lo s

Entonces

pue cá lcu lo

z0 = >/2[cos(40° +

120° • 0) +

/sen(40° +

120°-0)] = ^ ( e o s 40° + / sen 40°)

El p á rra fo que

Z, = ^ 2 [c o s(4 0 ° +

120o- 1) +

/ sen(40°+

12 0 °-1 )]= ^ 2 { eos 160° + i sen 160°

sig u e del ejemplo 7 explica cóm o ob

z: = ^2 [c o s(4 0 ° +

120°-2) +

/sen(40° +

120°-2)] - \/2 (c o s2 8 0 ° + / sen 280°)

( —1 + V s / ) A

te n e r z, y

z2 a

p a r t ir de

zQ.

m

Observa que cada una de las tres raíces complejas de - 1 + v 3 / tiene la misma magnitud. "\/2. Esto quiere decir que los puntos correspondientes a cada raíz cúbi ca están a la misma distancia del origen; esto es, los tres puntos están en un círculo con centro en el origen y radio ^ 2 . Además, los argumentos de estas raíces cúbicas 360° son 40°, 160° y 280°, donde la diferencia de pares consecutivos es de 120° = —— . Esto significa que los tres puntos están igualmente distribuidos en el círculo, como se muestra en la figura 39. Estos resultados no son coincidencia. De hecho, se te pide que demuestres que estos resultados se mantienen para raíces enésimas complejas en los problemas 63 al 65. Figura 39

Eje

Imaginario

l

> *

Comentario histórico

L J o h n W a llis

os babilonios, los griegos y los árabes

en to n ces y por m u cho s siglos, los m atem áticos trabajaron con n úm e

consid erab an q u e las raíces cu adradas

ros com p lejos sin creer m u ch o en su existencia. En 1673, John Wallls

de cantid ad es negativas eran im posi

parece haber sido el prim ero en sugerir qu e la representación gráfica

bles y q u e las ecu acio n es con soluciones co m

de los núm eros com plejos, una idea realm ente significativa en la que

plejas no tenían solución. El prim er indicio de

no se profundizó hasta ap roxim adam ente 1800. M uchas personas,

q u e existía una conexión entre las soluciones

incluyendo a Karl Friedrich G au ss (1777-1855), redescubrieron la idea

reales de las ecu acio n es y los núm eros co m

y la representación gráfica ayudó a establecer a los núm eros co m p le

plejos se dio cu an d o G irolam o Card ano (1501 —

jo s co m o m iem bros ¡guales de la familia de núm eros. En aplicaciones prácticas, los núm eros com p lejos tienen sus m ayores usos en el estu

1576) y Tartaglia (1499-1557) determ inaron raíces

reales

dio de la corriente alterna, d o nd e son una herram ienta com ún, y en el

d e ecu acio n es cú b icas tom and o

raíces cú b icas d e cantid ad es

complejas. D esde

cam p o de la física subatóm ica.

P ro b lem as históricos 1.

La fórm ula cu ad rática funcion ará p erfe ctam en te bien si los co eficientes son n úm eros co m p lejo s. Resuelve lo siguiente.

[Sugerencia: Las resp u estas son "bonitas".]

(a)

z 2 - (2 + 5/jz - 3 + 5/ = 0

(b)

z 2 - (1 +

i)z -

2 - /= 0

748

CAPÍTULO 10 Coorcitnnd«»polarrt; vrrtor*s

10.3 E v a lú a tu e n te n d im ie n to "¿Estás listo?" Las respuestas se dan aI fin a l

d e e sto s e je r c id o s .

Si o b tie n e s

u n a re sp u e sta In co rre cta , le e las p á g tn a s m a n a d a s

e n tr e p a r é n te s is .

3. l a

1. El conjugado de -4 - 3/ es______ . (pp. 104-109) 2. La fórmula de la suma para la función seno es sen(/t + II) ■ ______ . (p. 643)


fórmula

de la suma para la lunada coseno «

cent A • II) • _________

4. s c n l 2 0 - _________ ;cm240*-________ d p p S40*j

____________ 8. Si z ■ ti un 0 * / sen O) es un número oxnpkyi entonces z‘ ■ ______|c o s(_ ____) * r scirf ») 9. Todo numero complejo diferente de «rio tiene etatia mente _ _ _ _ _ raicee cúbica» distintas 10. Verdadero o falso Ijs forma potar de un numero complejo diferente de cero es única

5. En el plano complejo, nos referimos al eje x como el eje ______ y al eje y como el eje______ . 6. Cuando un número complejo ; cst,1 escrito en la forma polar z = r(cos 0 + i sen 0 ), el número no negativo r es la ______ o e l_______de ; y el ángulo ti, 0 n 0 < 2 n . es el ______ de z . 7. Sean z , = r,(eos tí, + i sen W,) y z¡ ■ r.fcos 0 , + i sen ti.) dos nú meros complejos. Entonces r,Zj ■ ______ [cos(______ ) + / sen(______ )J.

Ejercicios En los problemas 11-22, traza cada número complejo en el plano complejo y escríbelo en forma polar / sprrsa el a/gu/rtenu, en grados \ ll-

1 +/

15. -3/ 19.

3 - 4r

\/3 - 1

12. -1 + r

13.

16. -2

17. 4 - 4i

20. 2

21.

+ V ii

14. | - V 3 r 18. W i * 9,

-2 + 3i

22. V

í - I

En los problemas 2.1-32, escribe cada número complejo en forma rectangular \,2 3 . 2(cos 120° + / sen 120°) J

2 6 . 21 e o s

5rr

57t \

— + / sen —

I

24. 3( eos 210'

+ i sen 210')

J 3rr 3rr \ 27. 31 eos — + r sen — I

29. 0.2(eos 100° +• i sen 100°)

30. 0.4(cos 200° + 1 sen 200°)

31. 2 (cc.si + (sen i)

32.

En los problemas 33-10, determina zsv y i . Deja tus respuestas en forma polar. W \3 3 . ; = 2(cos 40° + i sen 40") (eos 120’ + i sen 120°) tv = 4(cos 20° + 1 sen 20°) (eos 100" + /sen 100) . . rr\ = 21 eos — + r sen — I V 8 8)

36. ; = 2(cos 80° + i sen 80") »• = 6(cos 200° + i sen 200°)

„

7w •»

7» \ * )

28. J ( c m ^ * i sen

35. í ■ .Veos 130' H - 4(cos 270* 38. ; - 4( 00 » ~ + i sen h

* i x n T<)

39. z = 2 + 2/ »- = V i - i

Á V

S)

- : ( co» — V 16

40. r = i - /

»*• = i - V i í

En los problemas 41-52, escribe cada expresión en la forma estándar a ♦ be \ 4 I . [4(cos 40° + 1 sen 40°)]*

\Vf t2( eos — 5f + r. sen SrrN — V 16 16/J

42. |3 (c o s 80° + 1 sen 80 ) | ‘ 45. [ V i ( e o s 10

4T. [ V s ( cos2 l + ( * „ £ )

48.

50. ( V 3 - ¡Y

51. (\^2 - ¡Y

+ f s e n 10)]*“

[V5(“‘TÍ +isenTf)r

43. •*6.

-(eos 72" * I sen 72 d

49. ( | -,)> 52. (I - V 5r)*

J

SEC CIÓ N 10.4

Vectores

749

En /oí proNenuis Í.M'ft determina nulas las raíces complejas. Deja tus respuestas en forma polar con el argumento en grados. V 5.'. Las ratees cúbicas complejas de l + i

54. 56. 58. 60.

55. Las ratees cuartas complejas de 4 - 4V3/ 57. Las raíces cuartas complejas de -16/ 54. t as raíces quintas complejas de i

Las raíces cuartas complejas de V 3 ~ ¡ Las raíces cúbicas complejas de -H - Hi Las raíces cúbicas complejas de -8 Las raíces quintas complejas de -i


61. Determina las cuatro raíces cuartas complejas de la unidad (I) y trázalas.

62. Determina las seis raíces sextas complejas de la unidad (l) 63.

64. 65.

66.

y trázalas. Demuestra que cada raíz compleja enésima de un número complejo •* diferente de cero tiene la misma magnitud. I Isa el resultado del problema 63 para llegar a la conclusión de que cada raíz compleja enésima está en un circulo con centro en el origen. ¿Cuál es el radio de este círculo? Consulta el problema 64. Demuestra que las raíces enési mas complejas de un número complejo w diferente de cero están igualmente distribuidas en el círculo. Demuestra la fórmula (6).

en el inciso (a) están en este conjunto, trazándolos en la gráfica. Los números complejos que no están en el conjunto de Mandclbrot, ¿tienen alguna característica en común con respecto a los valores de aKque determi naste en el inciso (a)?_ (c) Calcula |c| = v x 1 + y2 para cada uno de los números complejos en el inciso (a). Ahora calcula |«J para cada uno de los números complejos en el inciso (a). ¿Para qué números complejos es |
67. Conjuntos de Mundelbrot (a) Considera la expresión an = («„ ,): + z, donde z es un número complejo (llamado semilla) y o0 = z. Calcula e «i(=
Real axis 1 x

_i___ _

Respuestas a los ejercicios de la sección “¿Estás listo?' 1. — 4 + 3/

2. sen A cos B + cos A sen B

3. cos A cos B - sen A sen B

i 4. V I 2 1 2

10.4 Vectores OBJETIVOS 1 Representar vectores gráficavmente (p. 752) 2 Determinar un vector de posición (p. 752)

3 Sumar y restar vectores algebraicamente (p. 754) 4 Determinar un múltiplo escalar y la magnitud de un vector (p. 755) 5 Determinar un vector unitario (p. 755)

6 Determinar un vector a partir de su dirección y su magnitud (p. 756)

7 Desarrollar modelos con vectores (p. 757)

En términos simples, un vector (derivado del latín vehere, que quiere decir “cargar”) es una cantidad que tiene magnitud y dirección. Se acostumbra representar un vector usando una flecha. La longitud de la flecha representa la magnitud del vector y la punta de la flecha indica la dirección del vector. En física, muchas cantidades se pueden representar por vectores. Por ejemplo, la velocidad de un avión se puede representar por una flecha que apunta en la dirección

750 CAPÍTULO 10 Figura 40


del movimiento; la longitud de la flecha representa la velocidad. Sí el avión acelera, alargamos la flecha; si el avión cambia de dirección, introducimos una flecha en la nue va dirección Ver figura 40. Con base en esta representación, no es sorprendente que los vectores y los segmentos de recia dirigidos estén relacionados de alguna manera.

Vectores geométricos Si p y Q son dos puntos distintos en el plano xy, existe exactamente una recta que contiene a P y Q [figura 41(a)]. Los puntos en aquella parte de larecta que une P a Q, incluyendo P y Q , forman lo que se llama el segmento de recta PQ, [figura 41 ib)]. Si ordenamos los puntos de manera que procedan de P a Q, tendremos un segmento de recta dirigido de P a Q o un vector geométrico, el cual, denotaremos por PQ . En un segmento de recta dirigido P Q , a P \ e llamamos el punto inicial y a Q el punto terminal, como se indica en la figura 41c.

La magnitud del segmento de recta dirigido PQ es la distancia del punto P al punto Q, es decir, es la longitud del segmento de recta. La dirección de PQ es de P a Q. Si un vector v* tiene la misma magnitud y la misma dirección que el segmento de recta dirigido PQ , escribimos ___„ v = PQ

Figura 42

El vector v cuya magnitud es 0 se llama vector cero, 0. El vector cero no tiene dirección asignada. Dos vectores v y w son iguales, cuando V = w

si tienen la misma magnitud y la misma dirección. Por ejemplo, los tres vectores que se muestran en la figura 42 tienen la misma magnitud y la misma dirección, así que son iguales, aunque tengan diferentes puntos iniciales y diferentes puntos terminales. Como resultado, es útil pensar en un vector simplemente como una flecha, teniendo en mente que dos flechas (vectores) son iguales si tienen la misma dirección y la misma magnitud (longitud).

Suma geométrica de vectores La suma v + w d e dos vectores se define de la siguiente manera: colocamos los vec tores v y w de manera que el punto terminal de v coincida con el punto inicial de w, como se muestra en la figura 43. El vector v + w es entonces el vector único cuyo punto inicial coincide con el punto inicial de v y cuyo punto terminal coincide con el punto terminal de w.

La suma de vectores es conmutativa. Esto es, si v y w son cualesquiera dos vec tores, entonces

Se usarán negritas para denotar vectores para distinguirlos de otros números. Para trabajo hecho a mano. se co oca u n a _ e c a sobre la letra para que denotar que es un vector. Por ejem plo, escribimos un vector a mano com o v.

S E C C IÓ N 10.4

Figura 44

Vectores

751

La figura 44 ilustra este hecho. (Observa que la propiedad conmutativa es otra forma de satisfacer el que lados opuestos de un paralelogramo son iguales y paralelos.) La suma de vectores también es asociativa. Esto es, si u, v y w son vectores, entonces u + (v + w) = (u + v) + w

—

La figura 45 ilustra la propiedad asociativa para vectores.

V+ W ---/ U >
El vector cero 0 tiene la propiedad de que v+O Ô +v^v para cualquier vector v.

Figura 46 Si v es un vector, entonces - v es el vector que tiene la misma magnitud de v, pero cuya dirección es opuesta a v, como se muestra en la figura 46. Además, v + (-v ) = 0

Si v y w son dos vectores, definimos la diferencia v - w como V - W = V + (-w )

La figura 47 ilustra las relaciones entre v, w, v + w y v - w.

M ultiplicación geom étrica de vectores por núm eros Cuando trabajamos con vectores, nos referimos a los números reales como escala res. Los escalares son cantidades que solo tienen magnitud. Ejemplos de cantidades escalares de la física son temperatura, rapidez y tiempo. Ahora definiremos cómo mul tiplicar un vector por un escalar.

D E F IN IC IÓ N

Si a es un escalar y v es un vector, el producto escalar av se define de la siguiente manera: 1. Si a > 0, av es el vector cuya magnitud es a veces la magnitud de v y cuya dirección es la misma que v. 2. Si a < 0, av es el vector cuya magnitud es lal veces la magnitud de v y cuya dirección es opuesta a la de v. 3. Si a = 0 o si v = 0, entonces av = 0.

Figura 48 2v V *

:

-U y ‘r c

i

Observa algunas ilustraciones en la figura 48. Por ejemplo, si a es la aceleración de un objeto de masa m debido a la fuerza F que se ejerce sobre él, entonces, por la segunda ley de Newton del movimiento, F = ma. Aquí, ma es el producto del escalar m y el vector a. Los productos escalares tienen las siguientes propiedades: 0v = 0

lv = v

(a + /3)v = a v + /3v

- l v = —v a (v + w) = a v + a w

a(/3v) = (a/3)v

752

C A P ÍT U L O 10


1 Gráfica de vectores G rá fica s de v e c to re s

EJEM P LO i

Usa los vectores que se ilustran en la figura 49 para representar gráficamente cada uno de los siguientes vectores: (c) 2v - w + u (a) v - w (b) 2v + 3w So lución

La figura 50 ilustra cada gráfica.

Figura 50 Figura 49

\ ;y (C) 2v

-Resuelve ahora el problema 9 v i i Magnitud de los vectores Usamos el símbolo ||v|| para representar la magnitud de un vector v. Como v equiva le a la longitud de un segmento de recta dirigido, se deduce que ¡¡v¡j tiene las siguientes propiedades:

TEO REM A

P ro p ie d a d e s d e ||v||

Si v es un vector y si a es un escalar, entonces (a) ||v||>0

(b) ||v|| = 0 si y solo si v = 0

(C) IH H M I

(d) I M |= M M

J

La propiedad (a) es consecuencia del hecho de que la distancia es un número no negativo. La propiedad (b) se deduce porque la distancia de un segmento de recta dirigido PQ es positivo a menos que P y Q sean el mismo punto, en cuyo caso, la longitud es 0. La propiedad (c) se deduce porque la longitud de un segmento de recta PQ equivale a la longitud del segmento de recta QP. La propiedad (d) es una conse cuencia directa de la definición de un producto escalar. Un vector u para el cual ||u||= 1 se llama vector unitario.

D E F IN IC IÓ N

2

__^

Determinar un vector de posición Para calcular la magnitud y la direcciiín de un vector, necesitamos una manera alge braica para representar vectores2.

D E F IN IC IÓ N

Un vector algebraico v se representa como \ = {a.b) donde a y b son números reales (escalares) llamados las componentes del vector v.

S E C C IÓ N 10.4

Figura SI

Vectores

753

Usamos un sistema de coordenadas rectangulares para representar vectores al gebraicos en el plano. Si v = () es un vector algebraico cuyo punto inicial está en el origen, entonces v se llama un vector de posición. Ver figura 51. Observa que el punto terminal del vector de posición v = (a,b) es P = (ci,b). El siguiente resultado establece que cualquier vector cuyo punto inicial no está en el origen es igual a un vector de posición único.

i

y

TEO REM A

Considera que v es un vector con punto inicial P{ = (.v,,y,), no necesariamente en el origen y punto terminal P, = (.v2, v2). Si v = P\P 2 >entonces v es igual al vector de posición v = (.v2-.v ,,y 2- y .)

r En palabras Un v e c to r algebraico r re p re se n ta “d ireccio n es d e r m anejo" para ir del punto Inicial r al punto te rm in a l de un vector. r E ntonces, si v = ( 5 , 4 ) , recorre r 5 unidades hacia la d erech a r~ y 4 unidades hacia arriba r J d e s d e el punto Inicial para r llegar al punto te rm in a l.

(1)

J

c

Para ver por qué es verdadero esto, ver figura 52. Figura 52

v = (a,b) = (x2- x,, y2- y, )

El triángulo OPA y el triángulo PXP^Q son congruentes. [¿Puedes ver por qué? Los segmentos de recta tienen la misma magnitud, por lo tanto, d (0 ,P ) - d(Pv P2) y tienen la misma dirección, entonces ZP O A = ZP,PXQ. Como los triángulos son triángulos rectángulos, tenemos un lado-ángulo-lado.] Se deduce que los lados correspondientes son iguales. Como resultado, jc2 - x, = a y y - y = b , entonces v se puede escribir como \ = ( a , b ) = (x2- x l,y2- y l) Debido a este resultado, podemos sustituir cualquier vector algebraico por un vector de posición y viceversa. Esta flexibilidad es una de las razones principales del extenso uso de vectores. D e t e rm in a r un v e c to r de p o sició n

EJEM P LO 2

Determina el vector de posición del vector v = P {P2,si P , = (—1,2) y P2= (4,6).

Figura 53 - i■ 1 c0

1^ r 2 y / \

o

5,4 )

.J__ L

M

Por la ecuación (1), el vector de posición igual a v es y = ( 4 - ( - 1 ) ,6 - 2 >

= <5, 4>

-1 ,2 )

L i_

Solución

(4,6)

= <5,4)

Ver figura 53.

1 5

•J J

754

C A P ÍT U L O 10


Dos vectores de posición v y w son iguales si y solo si el punto terminal de v es el mismo que el punto terminal de w. Esto nos lleva al siguiente resultado:

TEO REM A

Ig u a ld a d de v e cto re s

Dos vectores v y w son iguales si y solo si sus componentes correspondientes son iguales. Esto es, Si v = (ar í),)y w = (a2, b2) entonces

v = w si y solo si a, - a2 y 6, = br

--------------------------------- -

Figura 54

y

J

Ahora mostraremos una representación alternativa de un vector en el plano que es común en las ciencias físicas. Sea i el vector unitario con dirección sobre el eje positivo x y sea j el vector unitario con dirección sobre el eje y positivo. Entonces i = (1,0) y j = (0,1), como se muestra en la figura 54. Cualquier vector v = (a,b) se puede escribir usando los vectores unitarios i y j de las siguiente manera:

1'(0,1)

i i

(í, 0)

v = (a, b) = a (l,0 ) + 6(0,1) = ai + b\

*

A a y b les llamamos las componentes horizontal y vertical de v, respectivamente. Por ejemplo, si v = (5,4) = 5i + 4j, entonces 5 es la componente horizontal y 4 es la componente vertical.

.T===^-Resuelve ahora el problema

29

3 Suma y resta de vectores algebraicam ente Definimos la suma, resta, producto escalar y magnitud de vectores algebraicos en términos de sus componentes.

D E F IN IC IÓ N

r c r r

c c r r r

En palabras P a ra s u m a r d o s v e cto re s, su m a la s co m p o n entes

Sean v = a1i + 61j = Entonces

( a v b x)

y w = a2i + b J

= (a 2, b 2)

dos vectores y sea a un escalar.

v + w - (a, + a2)i + (bl + b2)j = (a, + avb l + b2)

(2)

v - w = (a, - a2)i + (6, - b2)j = (o, - av6, - b2) a \ = (aflj)i + (a6j)j = (aal + abx)

(3) (4)

IMI - V « ? + b \

(5)

co rre sp o n d ie n te s. P a ra r e s t a r d o s v e cto re s, r e s t a la s co m p o n entes co rre sp o n d ie n te s.

Estas definiciones son compatibles con las definiciones geométricas que se die ron anteriormente en esta sección. Ver figura 55. Figura 55

I v II = distancia de 0 a P, Iv II = + b]

srmrtNW.4 EJEMPLO 3

vîorrt

755

S u m a y r e s t a d e v e c to r e s Si v ■ 21 * 3J ■ (2.3) y w ■ 31 - 4J ■ (3. -i), determina: (a) % > «r

k S o lu c ió n

(b) v - w

(a) v + w - ( 2 l f 3j) + (3 l- 4 j) = (2 + 3)l + ( 3 - 4 ) j - 5 1 - J »* V + w » (2 .3 ) + (3.-4) - (2 + 3.3 + (-4)) - (5.-1) Ib) v - w - (21 + 3j) - (31 - 4 j) ■ (2 - 3)1 + |3 - (—4)|J = -I + 7j

o V - w * (2.3) - (3.-4) = (2 - 3.3 - (-4)) - (-1.7)

D eterm inar un producto escalar y la m agnitud de un vector

[ EJEMPLO 4

D e t e r m in a r p ro d u c to s e s c a la re s y m a g n itu d e s de v e c to r e s Si v = 2i + 3j = (2.3) y » = 31 - 4j = (3.-4), determina: (a) 3v

S o lu ció n

(b) 2 v -3 w

(c) ||v||

(a) 3v = 3(2¡ + 3j) = 61 + 9j o 3v = 3(2.3) = (6.9) (b) 2v - 3w = 2(2¡ + 3j) - 3(3i - 4j) = 4¡ + 6j -91 + 12j = -51 + 18j o 2v - 3w = 2(2.3) - 3(3.-4) = (4.6) - (9.-12) = ( 4 - 9 .6 - ( - 1 2 ) ) = (-5.18) (c) |v« = |2i + 3j|| = \ J 2: + 32 = VT3

*

1

Resuelve ahora el problema 35 y 41

De aquí en adelante, expresaremos un vector v en la forma «i + />j.

5 Determ inar un vector unitario Recuerda que un vector unitario ii es un vector para el cual ||u|] = I. En muchas las apli caciones. es útil poder determinar un vector unitario u que tenga la misma dirección que un vector v dado. TEO REM A

V e c to r u n ita rio en la d ire cció n d e v

Para cualquier vector v diferente de cero, el vector

es un vector unitario que tiene la misma dirección que v.

Demostración Sea v = ni + />j. Entonces ||v|| = \ / n u =

v

ni +

b\

\/ñ ^ +

b2

a \ / a2 + b2

J

2 + b2 y

b

i + \/u

2

+

b2

756

CAPÍTULO 10 C oordenadas polares; vectores

El vector u tiene la misma dirección que v, p o rq u e M > 0 . Además. u = /

/Z + T /

h2

/ a2

t

h2

a2 + b2

Ir

Esto es, ii es un vector unitario en la dirección de v. Como consecuencia de este teorema, si u es un vector unitario en la misma dire cción que un vector v, entonces v se puede expresar como (6)

v = llvjiu Esta forma de expresar un vector es útil en muchas aplicaciones. D e te rm in a r un v e c to r u n ita rio

EJEM P LO 5

Determina un vector unitario con la misma dirección que v = 4i - 3j. So lución

Determinamos primero |¡v||.

IIv|| = |4¡ - 3JI = V 16 + y = 5 Ahora multiplicamos v por el escalar 7 -r = Un vector unitario en la misma dirccflvl 5 ción que v es _v_ = 4 [-_ 3 j = 4 . _ 3 ¡vil "

5

"" 5

5J •J

y Verifica Este vector es. de hecho, un vector unitario debido a que

Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

51

6 Determinar un vector a partir de su dirección y su m agnitud Si un vector representa la velocidad y la dirección de un objeto, se le llama sector selocidad. Si un vector representa la dirección y cantidad de una fuerza que actúa sobre un objeto, se le llama vector fuerza. En muchas aplicaciones, un vector se describe en términos de su magnitud y direccicín. en lugar de en términos de sus componentes. Por ejemplo, una pelota lanzada con una velocidad inicial de 25 millas por hora con un ángulo de 30° con la horizontal es un vector velocidad. Considera t|ue se nos da la magnitud v de un vector v diferente de cero y el án gulo de dirección a, 0 < a < 360 . entre v e i. Para expresar v en términos de v | y o. primero determina el vector unitario u que tiene la misma dirección que v. v

(7)

Figura 56 Ver figuia 56. Las coordenadas del punto terminal de u son (eos a.sen o). Enton ces u = eos ai + sen aj y, de ( 7 ), v - ||v|K eos ai + sen a j) donde a es el ángulo de dirección entre v e i.

(8 )

S E C C IÓ N 10.4

4

EJEM P LO 6

Vectores

757

E s c r ib ir v e c t o r e s cu an d o se d a su d ire c c ió n y su m ag n itu d Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 25 millas por hora en una dirección que forma un ángulo de 30° con el eje x positivo. Expresa el vector velocidad v en términos de i y j. ¿Cuál es la velocidad inicial en la dirección horizontal? ¿Cuál es la velocidad inicial en la dirección vertical?

S o lu ció n

La magnitud de v es ||v|| = 25 millas por hora y el ángulo entre la dirección de v e i, el eje x positivo, es a = 30°. Por la ecuación (8), 'v /3 1 v = ||v||(cos ai + sen a j) = 25(cos 30°i +sen 30° j) = 25( —— * + ~ í

Figura 57

25 V i . 2 '

25.

La velocidad inicial de la pelota en la dirección horizontal es la componente horizontal de v,

25 V 3

21.65 millas por hora. La velocidad inicial en la dirección vertical 25 es la componente vertical de v, — = 12.5 millas por hora. Ver figura 57.

-Resuelve ahora EJEMPLO 7

el p r o b l e m a

57

D e t e r m in a r el áng ulo de d ire c c ió n d e un v e c t o r Determina el ángulo de dirección a de v = 4i - 4j.

Figura 58

S o lu ció n

Observa la figura 58. El ángulo de dirección a de v = 4i - 4j se puede determinar resolviendo -4 tan a — —— = - 1 4 Como 0o < a < 360°, la dirección del ángulo es a = 315°.

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

63

M odelado con vectores Como las fuerzas se pueden representar como vectores, dos fuerzas “combinan” la forma en la que los vectores “se suman”. Si F t y F 2 son dos fuerzas que actúan simul táneamente sobre un objeto, el vector suma F j + F 2 es la fuerza resultante. La fuerza resultante produce el mismo efecto sobre el objeto que la que se obtiene cuando las dos fuerzas F ( y F , actúan sobre el objeto. Ver figura 59.

EJEMPLO 8

D e t e rm in a r la v e lo cid a d re a l y la d ire c ció n d e un avió n . Un Boeing 737 mantiene una velocidad aérea constante de 500 millas por hora y se dirige al sur. Hay una corriente rápida de 80 millas por hora en la dirección noreste. (a) Expresa la velocidad va del avión con respecto al aire y la velocidad vw de la co rriente en términos de i y j. (b) Determina la velocidad del avión 737 con respecto al suelo. (c) Determina la velocidad real y la dirección del avión 737 con respecto al suelo.

758

capí

olarev; vectore» lU I.O 10 Coordenada* polare«; vector«

So lución Figura 60

(a) Establecem os un sistema de coordenada* en el que el norte (N ) c u á v * r c el eic v positivo. V er figura MI, l.a velocidad del avión con resp ed o al aire ce v - —5(K)J. 1.a velocidad de la corriente v . tiene magnitud de W) y dirección k %: i„ i :m i
vw - H0(cos 45"I + sen 45'J j - W )( ^ y—

W

500

I ) « W ¿ ( l * j)

ir

(b) L a velocidad del avión con respecto al suelo vj es

500|

Vg = V(i + vw = -500J + 4 0 \/2 ( l + J) - 4 4 i\/21 + ( 4 D \/2 - 5«íjJ

-500

(c) L a velocidad real del avión es ||VJ = V /(40V^2): + (4 0 \ / 2 - 500)2 as 447 m illas por hora Para determinar la dirección del avión relativa al suelo, determ inam os el ángulo de dirección de v(. E l ángulo de dirección se obtiene resolviendo

tan a

4 0 \ / 2 _ - 500 4 0 \/ 2

Entonces a - -82.7°. E l avión 737 vuela con una dirección S7.3 E .

•J

■ “ --Resuelve ahora

ti

p

«o«u m » 7 7

D e te rm in a r el peso de un p ian o

EJEM P LO 9

D os personas d e mudanzas requieren d e una fuerza de 3 0 0 lib r a s p a r a e m p u j a r u n piano hacia arriba d e una rampa inclinada con un ángulo de 2 0 c o n la hon/ontal ¿Cuánto pesa e l piano?

So lución Figura 61

Sea F, la fuerza de la gravedad. F. la fuerza que se requiere para m over el piano por la rampa y F, la fuerza del piano sobre la rampa. V e r figura 61. E l ángulo entre el suelo y la rampa es el mismo que el ángulo entre F y F. porque los triángulos A B C y B D E son sim ilares, entonces Z B A C = Z .D B E = 20 . Q uerem os determ inar la mag nitud de F r Entonces, ÍF ;I

300

F ,|

F ,|

sen 20°

BFt|

300 Ib sen 20

877 Ib

E l piano pesa aproximadamente 877 libras.

Se dice que un objeto está en equilibrio estático si (1) el objeto está en reposo \ (2) la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto es cero, es decir, la fuerza resultante es 0.

E J E M P L O 10

)

U n o b je to en e q u ilib rio e s tá tic o U n a c a ja q u e p e s a 1 2 0 0 lib r a s e s t á s u s p e n d i d a p o r d o s c a b l e s a m a r r a d o s a l t e c h o , c o m o s e m u e s t r a e n la fig u r a 6 2 . ¿C u á le s s o n la s t e n s i o n e s d e l o s J o s c a b l e s ?

So lu ció n

1 l a z a m o s u n d ia g r a m a d e t u e r z a s u s a n d o l o s v e c t o r e s q u e s e m u e s t r a n e n la fig u r a 63.

Las tensiones en los cables son las magnitudes F

\

F.

d e lo s

vectores f u e r z a

F

y I’ ,. L a m a g n it u d d e l v e c t o r f u e r z a f , e s ig u a l a 12 0 0 lib r a s , e l p e s o d e la c a j a . A h o r a e s c r ib e c a d a v e c t o r t u e r z a e n t é r m i n o s d e lo s v e c t o r e s u n i t a r i o s i \ j

P ara F

\ F ..

u s a m o s la e c u a c i ó n ( 8 ) . R e c u e r d a q u e nr e s e l á n g u l o e n t r e e l v e c t o r v e l e j e 1 p o s i t i v o .

S E C C IÓ N 10.4

Figura 62

Vectores

759

F, = IF.K cos 150«! + sen 150'j) = | F , | ( - ^ I + i j ) = - ^ | | F , | 1 + i | F , | F, - 0F;l(cos45°i + sen 45 j) = ||F: | | ( ^ i +

= ^ | | F : ||¡ + ^ | F j j

F, = - l2(H)j Para el equilibrio estático, la suma de los vectores fuerza debe ser igual a cero. F, + F. + Fj = - ^ | | F , | | i + i |F ,U + ^ | | F J ¡ + ^ | | F 2|lj - 1200J = 0 Ambas componentes i y j deben ser igual a cero. Esto da como resultado dos ecuaciones ^ ¡ F i l l + ^ | F 2| = 0

(9)

¿ |F ,|| + ^ | | f 2|| - 1200 = o

(10)

Resolvemos la ecuación (9) para ||F,|| y obtenemos |F J = ^ I I F .I I

(11)

Sustituyendo en la ecuación (10) y resolviendo para ||F ||, obtenemos F,

- 1200 = 0

||F i || + ^ I I F j II - 1200 = 0 1 + V 3, F, =

F, - 1200

2400

878.5 libras

1 + V3 Sustituyendo este valor en la ecuación (11) se obtiene ||FJ. ,i ¡i V 3, „ V3 2400 llF2|| = — ||F,|| = —7= ---------- 7= ~ 1075.9 libras V2 V2 1 + V3 El cable izquierdo tiene un tensión de aproximadamente 878.5 libras y el cable derecho tiene un tensión de aproximadamente 1075.9 libras.

J

Resuelve ahora

EL PROBLEMA 8 5

Comentario histórico a historia de los vectores es sorprenden temente complicada para un concepto tan natural. En el plano xy, los números complejos imitan bien a los vectores. Alrede dor de 1840, los matemáticos se empezaron a interesar en encontrar un sistema que hi ciera en tres dimensiones lo que los números complejos hacen en dos dimensiones. Ambos, J o sia h G ib b s Hermann Grassmann (1809-1877) en Alema (1839-1903) nia y William Rowan Hamilton (1805-1865) en Irlanda, trataron de encontrar soluciones. El sistema de Hamilton eran los cuaterniones, que se pueden pen sar como un número real más un vector y hacen en cuatro dimen siones lo que los números complejos hacen en dos dimensiones. En

L

este sistema importa el orden de multiplicación, es decir,

ab ^ ba.

Además, surgieron dos productos vectoriales, el producto escalar (o punto) y el producto vectorial (o cruz). El estilo abstracto de Grassman, aunque fácil de leer hoy en día, era casi impenetrable durante el siglo anterior y solo algunas de sus ideas fueron apreciadas. Entre ésas estaban los mismos productos escalar y vectorial que había determinado Hamilton. Alrededor de 1880, el físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) trabajó en un álgebra que involucraba los conceptos más simples: los vectores y los dos productos. Entonces él agregó algo de cálculo, lo que hizo que el sistema resultante fuera simple, flexible y bien adaptado para expresar un gran número de leyes físi cas. Este sistema sigue en uso básicamente sin cambios. Los siste mas más extensos de Hamilton y Grassman generaron matemáticas muy interesantes, pero en los niveles elementales se estudia poco de estas matemáticas.

760

CAPÍTULO 10 Coordenadas polares; vectores

10.4 E v a lú a tu e n te n d im ie n to Conceptos y vocabulario________________ ___________ 1. 2. 3. 4.

Un_____ es una cantidad que tiene magnitud y dirección. Si v es un vector, entonces v + (-v) = ______• Un vector u para el cual ||u||= 1 se llama un vector---------. Si v = es un vector algebraico cuyo punto inicial es el origen, entonces v se llama vector______. 5. Si v = ai + b j , entonces a se llama la componente______ de v y b se llama la componente______de v. Ejercicios

6 . Si F, y F , so n d o s fu e rz a s q u e actú a n sim u ltá n e a m e n te so b re un o b je to , e l v e c to r su m a F ( + F 2 s e lla m a la fuerza 7. 8.

Verdadero o falso Verdadero o falso

L a fu e rz a e s un e je m p lo d e un vector. L a m a sa e s un e je m p lo d e un vecto r.

__________________

En los problemas 9-16, usa los ectores en la figura de la derecha para representar gráficamente cada uno de los siguientes vectores.

\

9. v + w

\ l l . 3v

10. u + v 12. 4w

13. v -w

14. u - v

15. 3v + u-2w

16. 2u-3v + w

En los problemas 17-24, usa la figura de la derecha. Determina si la proposición que se da es erdadera o falsa.

17. A + B = F

18. K+ G = F

19. C =D-E+F

20. G + H + E = D

21. E + D = G + H

22. H - C = G - F

23. A+B+K+G=0

24. A + B + C + H + G = 0

25. Si ||v|| = 4, ¿a qué equivale ||3v||?

26. Si ||v|| = 2, ¿a qué equivale ||—4v||?

W _y

IL I l i J_L rL * B r r^ K A G -^-i_i.. i I 1 í E . !.. i. j I 1 ; i f

I i

En los problemas 27-34, el ector tiene punto inicial P y punto terminal Q. Escribe en la forma ai + bj, es decir, determina el ector de posición.

27. P=(0,0);Q = (3,4)

28. />= (0,0); Q = (-3,-5)

\ 2 9 . 7’ = (3,2); Q = (5,6)

30. P = (-3,2); <7 = (6,5)

31. P = (-2,-1); 0 = (6,-2)

32. P = (-1, ||v|| 4); Q = (6,2)

33. 73= (1,0); Q = (0,1)

34. P = (l, 1); Q = (2,2)

En los problemas 35-40, determina IIv

\ 3 5 . v = 3i - 4j 38. v = -i —j

36. v = -5¡ + 12j

37. v = i - j

39. v = -2¡ + 3j

40. v = 6i + 2j

En los problemas 41-46, determina cada cantidad si v = 3¡ - 5j y

\ 4 1 . 2v + 3w 44. ||v + w||

42. 3v-2w

w =

-2i + 3j 43. |jv w||

45. ||v|| —||w||

46* ||v|| + M |

En los problemas 47-52, determina el ector unitario que tiene la misma dirección que v. 47. v = 5i 50. v = - 5 i + 12j

48. v = —3j \ 5 1 . v —i

j

49. v = 3i - 4j 52. v

= 2¡ —j

S E C C IÓ N 10.4

53. ^ . * p 54. «

D e te r m in a un v e c to r

v cu y a m a g n itu d se a d e 4 y cu y a co m i se a e l d o b le d e la c o m p o n e n te en

55.

D e te r m in a un v e c to r

v cu y a m a g n itu d se a d e 3 y cu y a i se a ig u a l a la c o m p o n e n te

p o n e n te e n la d ire cc ió n d ir e c c ió n j.

761

w = jcí + 3j, d e te r m in a to d o s lo s n ú m e r o s x para lo s c u a le s || v + w|| = 5. 56. Si P = (-3, l ) y 0 = ( x ,4 ) , d e te r m in a to d o s lo s n ú m e r o s x tal

p o n e n te e n la d ir e c c ió n la d ire cc ió n j.

co m -

Si

v = 2i - j

Vectores

y

q u e el v e c to r r e p r e s e n ta d o p o r

PQ te n g a

lo n g itu d 5.

e n la

' ! En los problemas 57-62, escribe el vector v en la forma ai + bj, da su magnitud ||v ||y el ángulo que forma con el eje x positivo.

57. ||v|| = 60. ||v|| =

5, a = 60°

58. ||v|| =

8, a = 45°

59. || v|| =

a=

61. ||v|| =

2 5 , a = 330°

6 2 . ||v|| = 15, a = 3 1 5 °

3,

240°

14,

a=

120°

En los problemas 63-70, determina el ángulo de dirección de \ para cada vector.

V63. v = 3i + 3j 67. v = 4i - 2j

64. v = i + V3j

65. v = -3V3i + 3j

66. v = -5i-5j

68. v = 6i-4j

69. v = —i—5j

70. v = -i + 3j


71. Gráficas de computadora c o m p u ta d o r a

u sa

E l c a m p o d e las g rá fica s d e

v e c to r e s

p ara

ca lcu la r

c o n e l eje

tr a sla c io n e s

d e p u n to s. P o r e je m p lo , si el p u n to ( - 3 , 2 ) s e d e b e tras lad ar p o r v =

u’ = u +

x

p o sitiv o , c o m o se m u estra e n la figura. D e t e r

m in a la d ir e c c ió n y la m a g n itu d d e la fu erza re su lta n te, e s to e s, d e te r m in a F , + F2.

( 5 ,2 ) , e n to n c e s su n u e v a p o sic ió n será

v = ( - 3 , 2 ) + ( 5 ,2 ) = ( 2 ,4 ) . C o m o s e ilu stra e n la

figu ra, e l p u n to ( - 3 , 2 ) s e tra sla d a a ( 2 ,4 ) p o r v.

Fuente: Phil Dadd. Vectors and Matrices: A Primer, wwvv. gamede .net/reference/articles/articlel832.asp (a) Determina las nuevas coordenadas de (3,-1) si se traslada por v = (4,5). (b) Ilustra esta traslación gráficamente.

76. Fuerza resultante D o s

fu erza s d e 30 n e w to n s (N ) y d e 70 N

d e m a g n itu d actú a n so b r e un o b je to co n á n g u lo s d e 45° y 120° co n e l e je x p o sitiv o , c o m o se m u estra e n la figura. D e term in a la d ire cc ió n y la m a g n itu d d e la fuerza resu lta n te, e s to e s, d e te r m in a

72. Gráficas de computadora

C o n su lta el p r o b le m a 71.

Los\y

Determinar la velocidad real y la dirección de un avión

p u n to s ( - 3 , 0 ) , ( - 1 , - 2 ) , ( 3 ,1 ) y ( 1 ,3 ) so n lo s v é r tic e s d e un p a ra le lo g ra m o

ABCD.

Q

(a ) D e te r m in a lo s n u e v o s v é r tic e s d e un p a ra le lo g ra m o

A ’B'C’D ’ si

se traslad a p o r

v=

( 3 ,- 2 ) .

se traslad a p o r - — v-

(b ) D e te r m in a la v e lo c id a d d el a v ió n co n r e sp e c to al su elo .

2

73. Vectores fuerza U n

(c ) D e te r m in a la v e lo c id a d real y la d ire cc ió n d el av ió n con r e sp e c to al su elo .

n iñ o jala un v a g ó n co n una fu erza d e 4 0 libras. L a m anija d el v a g ó n fo rm a un á n g u lo d e 30° co n el su e lo . E x p re sa la fu erza d e l v e c to r

F en

tér m in o s d e

i y j.

74. Vectores fuerza U n

h o m b re ja la una carretilla hacia arriba d e un p la n o in clin a d o 20° c o n una fu erza d e 100 libras. E x p resa la fuerza d el v e c to r

75.

Fuerza resultante D o s

F en

Un

B o e in g 747 ju m b o m a n tie n e una v e lo c id a d a ér ea co n sta n te d e 5 5 0 m illa s p or hora (m i/h ) co n d irecció n n orte. H ay una c o r rien te ráp id a d e 100 m i/h e n la d irecció n n o reste. (a ) E x p resa la v e lo c id a d va d el a vión 747 co n relación al aire y la v e lo c id a d vwd e la co rrien te en térm in o s de i y j.

(b ) D e te r m in a lo s n u e v o s v é r tic e s d e un p a ra le lo g ra m o

A B C’D ' si

F, + F2.

té r m in o s d e

i y j.

fu erza s d e 4 0 n e w to n s (N ) y 6 0 N de m a gn itu d actú an so b re un o b je to co n á n g u lo s d e 30° y 45°

78.

Determinar la velocidad real y la dirección de un avión

Un

jet A irb u s A 3 2 0 m a n tien e una v e lo c id a d a ér ea c o n sta n te d e 500 m i/h co n d irecció n o e s te . H ay una co r r ie n te rápida de 100 m i/h en la d ire cc ió n su reste.

(a) Expresa la velocidad vadel jet con relación al aire y la velocidad vwde la corriente en términos de i y j.

762

C A P ÍT U L O 10


(b) Determina la velocidad del jet con respecto al suelo. (c) Determina la velocidad real y la dirección del Jet con respecto al suelo. 79. Determinar la velocidad real y la dirección de un avión Un avión tiene una velocidad aérea constante de 500 kilóme tros por hora (km/h) con dirección N45°E. La velocidad del viento es de 60 km/h en la dirección N30°O. Determina el vector resultante que representa la trayectoria del avión con relación al suelo. ¿Cuál es la velocidad terrestre del avión? ¿Cuál es su dirección?

86. Equilibrio estático Un peso de 800 libras está suspendido de dos cables como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las tensiones de los dos cables?

©

80. Determinar la velocidad real y la dirección de un avión Un avión tiene una velocidad aérea constante de 600 km/h con dirección S30°E. La velocidad del viento es de 60 km/h en la dirección S45°E. Determina el vector resultante que re presenta la trayectoria del avión con relación al suelo. ¿Cuál es la velocidad terrestre del avión? ¿Cuál es su dirección? 81. Peso de un barco Se requiere de una magnitud de 700 libras de fuerza para mantener un bote y su remolque en su lugar sobre una rampa cuya inclinación es de 10° con la horizon tal. ¿Cuál es el peso combinado del bote y su remolque? 82. Peso de un auto Se requiere de una magnitud de 1200 libras de fuerza para evitar que un auto ruede colina abajo de una colina con inclinación de 15° con la horizontal. ¿Cuál es el peso del auto? 83. Dirección correcta para cruzar un río Un río tiene una co rriente constante de 3 km/h. ¿A qué ángulo con el muelle se debe dirigir una lancha de motor que es capaz de mantener una velocidad constante de 20 km/h para llegar a un punto directamente opuesto al muelle? Si el río tiene - kilómetro de ancho, ¿cuánto tardará en cruzar? 2 % — Corriente — *- ^ „

.

% X Lan ch a' V *

87. Equilibrio estático Un equilibrista que está en un cierto punto desvía la cuerda como se indica en la figura. Si el peso del equilibrista es de 150 libras, ¿cuánta tensión hay en cada parte de la cuerda?

88. Equilibrio estático Trabaja de nuevo en el problema 87 si el ángulo de la izquierda es de 3.8° y el de la derecha es de 2.6° y el peso del equilibrista es de 135 libras. 89. Concurso de tirar con camionetas En un concurso de ti rar con camionetas en una feria, dos camionetas pick-up se amarran a la parte posterior de un camión gigante como se ilustra en la figura. Una de las camionetas tira con una fuer za de 2000 libras y la otra tira con una fuerza de 3000 libras con un ángulo de 45° entre ellas. ¿Con cuánta fuerza tiene que tirar el camión gigante para no moverse? [Sugerencia: Determina la fuerza resultante de las dos camionetas.]

Dirección de la lancha por la corriente

84. Determinar la dirección correcta con una brújula El pilo to de un avión quiere dirigirse directamente al este, pero se encuentra con una velocidad del viento de 40 mi/h del noreste. Si el piloto mantiene una velocidad aérea de 250 mi/h, ¿qué dirección marcada por la brújula se debe mantener para dirigirse directamente al este? ¿Cuál es la velocidad real del avión? 85. Equilibrio estático Un peso de 1000 libras está suspendido por dos cables como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las tensiones de los dos cables?

90. Remover un tocón Un granjero quiere remover un tocón de un campo tirando de él con su tractor. Como ya ha re movido tocones antes, estima que necesitará 6 toneladas (12,000 libras) de fuerza para removerlo. Sin embargo, su tractor solo puede tirar con una fuerza de 7000 libras, así que le pide ayuda a su vecino. El tractor de su vecino puede tirar con una fuerza de 5500 libras. Ellos amarran el tocón a los dos tractores con un ángulo de 40° entre las fuerzas como se muestra en la figura. (a) Considerando que la estimación de que se ne cesita una fuerza de 6 toneladas es correcta, ¿el granjero podrá remover el tocón? Explica.

S E C C IÓ N 10.5

(b) Si el granjero hubiera colocado los tractores con un ángulo de 25° entre las fuerzas, ¿habría po dido remover el tocón? Explica.

El producto punto

763

91. Equilibrio estático Muestra en la siguiente gráfica la fuerza que se necesita para que el objeto P este4en equili brio estático.

Ejercicios interactivos Visualizar vectores 92. Abre el applet de vectores. Traza el segmento de recta diri gido de P{ = (1,2) a P2= (5.4). Desput4s traza el vector de posición v = /’, /\.. 93. Abre el applet de ectores. Considera que v = 2¡ + 3j y w = 4¡ - 3j.

(a) (b) (c) (d) (e)

Traza v y después usa el vector rojo para mostrar 3v. Usa el vector rojo para mostrar -v. Traza v y w. Después usa el vector rojo para mostrar v + w. Usa el vector rojo para mostrar v - w. Usa el vector rojo para mostrar 2v + w.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 94. Explica en tus palabras lo que es un vector. Da un ejemplo de un vector. 95. Escribe un breve párrafo donde compares el álgebra de nú meros complejos y el álgebra de vectores.

96. Explica la diferencia entre un vector algebraico y un vector de posición.

10.5 El producto punto PREPARACIÓN PARA ESTA SECCIÓN Antes de empezar, repasa lo siguiente: • Lev de los cosenos (sección 9.3, p. 689) \

Resuelva altor« los

p ro b le m a s d e la s e c c ió n " ¿ E s t á s lis t o ? " d e la p á g in a 769.

OBJETIVOS 1 Determinar el producto punto de dos vectores (p. 763) 2 Determinar el ángulo entre dos vectores (p. 764) 3 Determinar si dos vectores son paralelos (p. 765) 4 Determinar si dos vectores son ortogonales (p. 765) 5 Descomponer un vector en dos vectores ortogonales (p. 766)

6 Calcular el trabajo (p. 768)

1 Determ inar el producto punto de dos vectores L a d e f in ic ió n d e l p r o d u c t o d e d o s v e c t o r e s e s u n p o c o in e s p e r a d a . S in e m b a r g o , e se p r o d u c t o t ie n e s ig n if ic a d o e n m u c h a s a p lic a c io n e s g e o m é t r ic a s y fís ic a s .

D E F IN IC IÓ N

Si

v = a,i + b j

y

w = íí2¡ + b j

so n d o s v e cto re s, el

producto punto v • w s e

d e fin e

com o

v • w = a{a2+ b[b2

(1)

J EJEM P LO 1

D e t e rm in a r el p ro d u cto p u n to Si

v=

2i -

(a) v.w

3j

y w = 5i +

(b) w-v

3j,

d e t e r m in a :

(c) v.v

(d) \v • w

(e) ||v||

(f) M

764

C A P ÍT U L O 10


So lu ció n

(a) v •» - 2(5) + (-3)3 =1 (c) V • v = 2(2) + (—3)(—3) = 13

(b) » • v = 5(2) + 3(-3) - 1 (d) w • w = 5(5) + 3(3) = 34

(e) ||v|| = V 2 2 + ( " 3 ? = V Ü

(f) M|¡ = \ A 2 + 32 = V 3 4

C O M EN T A R IO Un producto e s c a la r

qv e s

un vecto r. Un producto punto

u • v e s un e s c a la r (número real).

■

TEO REM A

Como el producto v • w de dos vectores v y w es un número real (escalar), a veces nos referimos a él como el producto escalar. Los resultados obtenidos en el ejemplo 1 sugieren algunas propiedades generales.

P ro p ie d a d e s del p ro d u cto p u n to

Si u, v y w son vectores, entonces Propiedad conmutativa U .v = v»u

(2)

Propiedad distributiva u -(v + w) = u- v + u .w V- V= || v||2 0 •v = 0

(3) (4) (5)

J

Demostraremos aquí las propiedades (2) y (4) y dejaremos las pro piedades (3) y (5) como ejercicios (ver problemas 34 y 35). Para demostrar la propiedad (2), sea u = a,i + y v = a2i + b j . Entonces D em ostración

u • v = cZjfl2+ blb2 - a2ax + b2b¡ = v . u Para demostrar la propiedad (4) sea v = ai + bj. Entonces

v.v = fl2+ 62= ||v|p ,2

■

Determinar el ángulo entre dos vectores Uno de los usos del producto punto es calcular el ángulo entre dos vectores. Proce deremos de la siguiente manera. Sean u y v dos vectores con el mismo punto inicial A . Entonces los vectores u, v y u ~ v forman un triángulo. El ángulo 0 en el vértice A del triángulo es el ángulo entre los vectores u y v. Ver figura 64. Queremos determinar una fórmula para calcular el ángulo 0. Los lados del triángulo tienen longitudes ||v||, ||u|¡ y ¡|u —v|| y 0 es en ángulo incluido entre los lados de longitud ||v|| y ||u||. Se puede usar la ley de los cosenos (sección 9.3) para determinar el coseno del ángulo incluido. Ilu - VIP= M + INI2- 2||u|| ||v|| eos 0. Ahora usamos la propiedad (4) para reescribir esta ecuación en términos de produc tos punto. (u - v ) . (u - v) = u • u + v . v —2||u|| ||v|| eos 0

(6)

Después aplicamos la propiedad distributiva (3) dos veces en el lado izquierdo de (6) para obtener ( u . y ) . (u - v) = u . (u - v) - v . (u - v)

= u- u —U .v —V-U + V • V = U • u + V• V- 2u • V

t Propiedad (2 )

(7)

S E C C IÓ N 10.5

El producto punto

765

Combinando las ecuaciones (6) y (7), tenemos que u • u + v • v - 2u • v = u • u + v • v - 2|| u || || v | eos 0 u . v = || u || || v|| eos 0 T* ■ '

TEO REM A

Ángulo entre vectores Si u y v son dos vectores diferentes de cero, el ángulo 0,0 v se determina por la fórmula

9 s

ir, entre u y

J D e t e r m in a r el án g u lo 6 e n t r e d o s v e c to r e s

EJEM P LO 2

Determina el ángulo 0 entre u = 4i - 3j y v = 2i + 5j. S o lu ció n

Determina u • v, ||u|| y || v||. u v = 4(2) + ( —3)(5) = - 7

Figura 65 y

l|u|| = V 42 + ( - 3 ) 2 = 5 ||v|| = V 2 2 + 52 = V 29

/v _ 1!¡ H- 5

J '

\

\

j

Por la fórmula (8), si 0 es el ángulo entre u y v, entonces

0 u-= A

ai

X

eos 0 =

u •v u V

-7

-0.26

5 V 29

Determinamos que 0 « 105°. Ver figura 65.

Resuelve ahora el problema 7 (a) 1 7

y(b

)

3 Determ inar si dos vectores son paralelos Se dice que dos vectores v y w son paralelos si existe un escalar a diferente de cero tal que v = aw. En este caso, el ángulo 0 entre v y w es 0 o rr. EJEM P LO 3

D e t e rm in a r si los v e c to re s son p a ra le lo s Los vectores v = 3i - j y w = 6i - 2j son paralelos, porque v = —w. Además, como eos 0 =

v •w Ml INI

18 + 2 V ïô V

40

20

=

1

V 4 Ò0

el ángulo 0 entre v y w es 0.

4 D e te rm in a r si d o s v e c to re s so n o rto g o n a le s

V,

Figura 66 v es ortogonal a w.

7T Si el ángulo 0 entre dos vectores diferentes de cero v y w es —, los vectores v y w se llaman ortogonales.* Ver figura 66. 77*

Como eos y = 0, se deduce de la fórmula (8) que si v y w son ortogonales, en tonces v • w = 0. * O r to g o n a l, p e r p e n d ic u la r y n o r m a l son términos que significan “se encuentran en ángulo recto.” Se acos tum bra referirse a dos vectores como o rto g o n a le s , a dos rectas como p e r p e n d ic u la r e s y a una recta y un plano o a un vector y un plano como n o r m a le s.

766

C A P ÍT U L O 10


Por oiro lado, si v • w - 0, entonces v • 0 o w - 0 o cm 0 « 0 . Sí co* 0 - 0. entone« w = 5. y v y w s„n ortogonales. Sí v o w es el vector cero, entonces, como el vector

cero no tiene dirección específica, adoptamos la convención de que el vector cero e s ortogonal a lodo vector. TEOREM A

Dos vectores u y v son ortogonales sí y solo si____________________________ v • w = 0

------------------------------------------------------

EJEM P LO 4

Determinar si dos vectores son ortogonales Los vectores v = 2i - j y w = 3í + 6j

F ig u ra 67

son ortogonales porque

y

v * w = 6 - 6 = 0

Ver figura 67. v = 3¡ + 6 i

Resuelve ahora

X V = 2¡ -

F ig u ra 69

1

e l

p r o b l e m a

7 (c)

5 Descomponer un vector en dos vectores ortogonales En la sección anterior aprendimos a sumar dos vectores para determinar e! vector resultante. Ahora estudiaremos el problema opuesto, descomponer un sector en la suma de dos de sus componentes. En muchas aplicaciones físicas es necesario determinar "qué tanto** de un sector se aplica en una dirección dada. Ver figura 6 K. La fuerza F debida a la gravedad jala directamente hacia abajo (hacia el centro de la Tierra) sobre el bloque. Para estudiar el efecto de la gravedad sobre el bloque, es necesario determinar qué tanto de F está realmente empujando el bloque hacia abajo del plano inclinado (F ,) y qué tanto está oprimiendo el bloque contra el plano inclinado (F,). con un ángulo recto con el plano inclinado. Conocer la descomposición de F frecuentemente nos permitirá determinar cuándo se vence la fricción (la fuerza que mantiene al bloque en su lugar en el plano inclinado) y el bloque se empieza a deslizar por el plano inclinado. Considera que v y sv son dos vectores diferentes de cero con el mismo punto inicial P. Queremos descomponer v en dos vectores: vp que es paralelo a w. v v„ que es or togonal a w. Ver figura, 69(a) y (b). El vector v( se llama proyección del vector v en w. El vector v, se obtiene de la siguiente manera: desde el punto terminal de v. baja una perpendicular a la recta que contiene a vv. El vector v( es el vector que va desde P hasta el pie de esta perpendicular. El vector v, está dado por v. = v —v(. Observ a que v = v, + v2, el vector es paralelo a vv y el vector v, es ortogonal a w. Esta es la descomposición de v que queríamos. Ahora queremos determinar una fórmula para v, que se base en el conocimiento de los vectores v y vv. Como v = v ( + v „ tenemos que v • vv = (v, + v , ) . vv = v , . w + v , . vv

(9)

Como v, es ortogonal a vv, tenemos que v, x >v = 0 . Como v, es paralelo a w. tenemos que Vj —aw para algún escalar a. La ecuación (9) se puede escribir como v • vv = « v v . vv = oflw |p

V, = u v v : v . x vv = 0

v -v v

Entonces v, =

V• vv avv

=

— —

VV

S E C C IÓ N 10.5

767

( 10)

í

T <-

II

Si v y w son dos vectores diferentes de cero, la proyección del vector v en w es <

TEOREM A

El producto punto

La descomposición de v en v, y v„ donde v, es paralelo a w y v, e s ortogonal a \v, es v •w Vi

-

V2 -

I|?w

V

V,

( 11)

NI

J

EJEM PLO 5

Descomponer un vector en dos vectores ortogonales Determina la proyección del vector v = i + 3j en w = i + j. Descompon v en dos vecto res, v, y v,, donde v, sea paralelo a w y v , sea ortogonal a w.

Solución

Usa las fórmulas ( 1 0 ) y ( 1 1 ).

Figura 70

1+ 3

v •w vi

y1

v = ¡ + 3j

• / \ v2 = “ + í / N / /

w

,.wir

(V

w = 2w =

2

(¡ + j)

2 )2

v2 = v - v, = (i + 3j) - 2(1 + j) = - i + j

* y

\

= 2(i + )

Ver figura 70.

¡/w = i + i X

EJEMPLO 6

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

19

Determinar la fuerza requerida para mantener un carro en una colina Un carro que pesa 100 libras con dos niños pequeños como pasajeros está en una colina con inclinación de 20°. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que se requiere para evitar que el carro ruede colina abajo?

Solución

Figura 71

Observa la figura 71. Queremos determinar la magnitud de la fuerza v que causa que el carro ruede colina abajo. Una fuerza con la misma magnitud pero de sentido opuesto a v evitará que el carro ruede colina abajo. La fuerza de gravedad es ortogo nal al nivel del suelo, por lo tanto, podemos representar la fuerza del carro debida a la gravedad por el vector Fw = —1001J Debemos determinar la proyección del vector Fwen w, que es la fuerza paralela a la colina. El vector w está dado por w = eos 2 0 °i + sen 2 0 °j La proyección del vector Fwen w es v =

Fw-w

w

W

-1 0 0 (sen 2 0 °)

(cos 2 0 °i + sen 2 0 °j)

(V eo s 2 2 0 ° + sen2 2 0 °) = -34.2(cos 20°i + sen20°j) La magnitud de v es de 34.2 libras, por lo tanto, la magnitud de la fuerza reque rida para evitar que el carro ruede colina abajo es de 34.2 libras.

768

C A P ÍT U L O 10


C á lcu lo d el tra b a jo En la física elemental, el trabajo W realizado por una fuerza constante F para mover un objeto del punto A al punto //, está definido como W= (magnitud de la fuerzajídistancía) * Y \ A H El trabajo se mide generalmente en pies-libra o en newtons metro (joules). En esta definición, se considera que la fuerza F se aplica sobre la línea de mov i miento. Si la fuerza constante F no está sobre la línea del movimiento, sino que está a un ángulo 0 con respecto a la dirección del movimiento, como se ilustra en la figura 72, el trabajo W realizado por F en mover un objeto de A a /) está definido como W = Y-Ali

f 12)

Esta definición es compatible con la definición de la fuerza multiplicada por la dis tancia, porque W = (cantidad de fuerza en la dirección de AH (distancia) Y-AH = Hproyeccción de F en AH AH ; = ■_—,~ ¡¡AH |AH \ = Y ’ AH 1 lA B ' Usa Ia fórmica (10)

EJEM P LO 7

Cálculo del trabajo La figura 73(a) muestra a una niña jalando un carro con una fuerza de 50 libras. ¿Cuánto trabajo se realiza al mover el carro 100 pies si la manija forma un ángulo de 30° con el suelo?

Figura 73

Solución

Colocamos los vectores en un sistema de coordenadas de manera que el carro se mueva de ( 0 , 0 ) a ( 1 0 0 . 0 ) . El movimiento es de /l = ( 0 . 0 ) a B = ( 1 0 0 . 0 ) . por lo tanto. AB . La fuerza del vector F . como se muestra en la figura 73(b). es F = 50(cos 30°i + sen 30°j) = 5 ( /^ j ^ ¡ + ^

= 2 5(V 3¡ -i- j)

Por la fórmula (12), el trabajo realizado es VF = Y ’ A B = 25( V 3¡ + j ) • 100¡ = 2500\ / 3 pies-libras Resuelve ahora

C o m

e n t a r io

EL

P R O B L E M A

25

h is t ó r ic o

n un comentario histórico anterior establecimos que los nú E meros complejos se usaron como vectores en el plano antes de que se aclarara la noción general de un vector. Considera que establecemos la correspondencia

Vector «-* Número complejo

ai + b) *-*a + b¡ d + d¡ «-»c + di

Demuestra que

(ai + t>j) • (d + dj) = parte real [(aTW Xc + Asi se determinó el producto punto originalmente. La parte imagi naria también es interesante. Es un determinante iver sección 12J) y representa el área del paralelogramo cuyas onllas son vectores. Esto es parecido a algunas de las ideas de Hermann Grassman y también está conectado con el triple producto escalar de vectores tridimensionales.

S E C C IÓ N 10.5

El producto punto

769

10.5 E v a lú a tu e n t e n d im ie n t o ¿ E s tá S I ¡S t O ? 1.

Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas resaltadas entre paréntesis.

E n un triá n g u lo r e c tá n g u lo c o n la d o s

u, b, c y

á n g u lo s

A, 11,

C la ley d e lo s c o s e n o s e s ta b le c e q u e ________ . (p . 6 8 9 )

Conceptos y vocabulario 2. Si v = fl(¡ + />,j y tv = í/,i + b j son dos vectores, el _____________se define como v . u = a ta 2 + />,/),. 3. Si v • w = 0, entonces los dos vectores v y w son ______• 4 . Si v = 3w, entonces los dos vectores v y w son

5.

V e r d a d e r o o f a l s o Dados dos vectores v y w diferentes de cero, siempre es posible descomponer v en dos vectores, uno paralelo a w y el otro perpendicular a w. 6 . V e r d a d e r o o f a l s o El trabajo es un ejemplo físico de un vector.

Ejercicios En los problemas 7-16, (a ) determina el producto punto v • w; (b ) determina el ángulo entre v y w; (c ) indica si los ectores son para lelos, ortogonales o ninguna de las dos. V .7 . v = i —j . w = ¡ + j

8. v = i + j , w = - i + j

10.

v = 2¡ + 2 j, w = i + 2j

13. 15.

v = 3i + 4 j. w = - 6 ¡ - 8 j

17.

11. v

= V 3 ¡ - j,

9 . v = 2¡ + j , w = ¡ - 2j

14. v 16. v

v = 4 i, >v = j

D e te r m in a a tal q u e lo s v e c to r e s v

=i-

aj

= i + \ / 3 j,

w = i - j

= 3¡ - 4 j, w = 9 ¡ - 12j = i, w = - 3 j

18. D e te r m in a b tal q u e lo s v e c to r e s v

y w = 2¡ + 3j se a n o r to g o n a le s . E n los problemas

12. v

w = i + j

= i+j

y w

= i + bj se a n o r to g o n a le s.

19-24, descompon

v en dos vectores v, y v , donde

V.19. v = 2¡ —3j, w = i —j 22. v = 2i - j, w = i - 2j

es paralelo a w y v , es ortogonal a w.

20. v = 3¡ + 2j, w = 2 i + j 23. v = 3¡ + j , w = - 2 i - j

21. v = i - j , w = -i - 2j 24. v = i - 3j, w = 4i - j


V 15. Cálculo del trabajo D e te r m in a

e l tra b a jo re a liz a d o p o r una

fu erza d e 3 lib ras q u e a ctú a e n la d ir e c c ió n 60° c o n la h o ri zo n ta l so b re un o b je to para m o v e r lo 6 p ie s d e ( 0 ,0 ) a (6 ,0 ) .

28. Medida de precipitaciones S e a

el v e c to r

R la

ca n tid a d d e

p r e c ip ita c io n e s, en p u lg a d a s, cu y a d ire cc ió n e s la in clin a c ió n d e la llu via co n r e sp e c to a un p lu v ió m e tr o . S ea e l v e c

ca rro s e ja la h o r iz o n ta lm e n te eje r

to r A e l á rea, e n p u lg a d a s cu a d ra d a s, cu y a d ire cc ió n e s la

c ie n d o una fu erza d e 2 0 lib ras so b r e la m anija co n un á n g u lo d e 30° co n la h o riz o n ta l. ¿ C u á n to tra b a jo se rea liza para

o r ie n ta c ió n d e la ab ertu ra en el p lu v ió m e tr o . O b ser v a la

m o v e r e l carro 100 p ies?

e n p u lg a d a s cú b ica s, e stá d a d o p o r

26. Cálculo del trabajo U n

27. Energía solar L a

ca n tid a d d e en e r g ía q u e r e c o le c ta un p a n el so la r d e p e n d e d e la in te n sid a d d e lo s ra y o s d el so l y d el área d e l p a n e l. S ea e l v e c to r I la in te n sid a d , en w a tts p o r c e n tím e tr o cu a d ra d o y q u e tie n e la d ire cc ió n d e lo s rayos

figura. E l v o lu m e n d e a gu a q u e s e ju n ta en e l p lu v ió m e tr o ,

V = |R

• A |, au n cu a n d o

la llu v ia c a e c o n u na d ir e c c ió n in clin a d a o e l p lu v ió m e tr o n o e s p e r fe c ta m e n te v ertica l.

-\ \\ \

d e l so l. S e a el v e c to r A e l á rea , e n c e n tím e tr o s c u a d ra d o s, cu y a d ire cc ió n e s la o r ie n ta c ió n d e un p a n e l so la r. O b ser v a la figura. E l n ú m e r o to ta l d e w a tts r e c o le c ta d o s p o r el p a n e l e stá d a d o p or

W=

|l • A|.


R=

(0 .7 5 ,-1 .7 5 ) y A = (0 .3 ,1 ).

(a ) D e te r m in a ||R|| y ||A || e in terp reta e l sig n ifica d o d e cad a uno. (b ) C a lcu la C o n sid e ra q u e I = ( - 0 .0 2 ,- 0 .0 1 ) y A = (3 0 0 ,4 0 0 ). (a ) D e te r m in a ||I|| y ||A || e in te rp re ta el sig n ific a d o d e cad a u n o. (b ) C a lcu la

We

in terp reta su sig n ifica d o .

(c ) Si e l p a n el so la r d e b e r e c o le c ta r e l m á x im o n ú m er o d e w a tts, ¿ q u é d e b e ser c ie r to acerca d e I y A ?

Ve

in terp reta su sig n ifica d o .

(c ) Si e l p lu v ió m e tr o d e b e ju n ta r el m a y o r v o lu m e n d e llu via, ¿ q u é d e b e ser c ie r to acerca d e

29. Carga de frenado

Ry

A?

U n T o y o ta S ien n a co n un p e s o n e to de

5 3 0 0 libras está e s ta c io n a d o en una ca lle co n una p en d ie n te d e 8°. O b ser v a la figura.

770

C A P ÍT U L O 10

Coordenadas polares; vectores la fu erza so b r e una p a rtícu la q u e s e m u e v e d e ( 0 ,0 ) a (4 ,0 ;

D eter m in a la m agnitu d d e la fu erza req u erid a para ev ita r q u e el S ien n a ru ed e ca lle ab ajo. ¿C uál e s la m agnitu d d e la

e s igual a 2. 34.

fuerza p erp en d icu la r a la colin a?

D e m u e str a la sig u ie n te p r o p ie d a d d istrib u tiva: u * ( v + w) = u * v + u- w

35.

D e m u e str a la p ro p ie d a d ( 5 ), 0 • v = 0.

36.

Si v e s un v e c to r u n ita r io y e l á n g u lo e n tr e v e í e s m u estra q u e v = e o s a i + se n a j .

U n P o n tia c B o n n e v ille co n un p e so n e to d e 4500 libras está e sta c io n a d o en una ca lle co n una p e n d ie n te d e 10°. D eter m in a la m agnitu d d e la fu erza r e q u er i da para evitar q u e el B o n n e v ille ru ed e ca lle ab ajo. ¿C uál es

p r o d u c to p u n to v • w para d e m o str a r q u e c o s ( a - /3) 38.

la m agnitud d e la fu erza p erp en d icu la r a la co lin a ? B illy y T im m y está n u sa n d o una ram pa para subir m u e b le s a un ca m ió n . M ien tras ru ed an un p ia n o d e 250 libras ram pa arriba, d escu b ren q u e el c a m ión tie n e d em a sia d o s m u e b le s c o m o para q u e q u e p a el p ian o. T im m y m a n tien e el p ia n o en su lugar so b re la ram pa m ien tras B illy a co m o d a o tro s o b je to s para h a cer e s p a c io en e l cam ión . Si e l á n gu lo de in clin a ció n d e la ram pa e s d e 20°, ¿cu án tas libras d e fu erza d e b e ejercer T im m y para m a n te n er el p ia n o en su p o sició n ?

=e o s a

e o s (5 + se n a se n [ i

D e m u e str a q u e la p r o y e c c ió n d e v e n i e s ( v • ¡)¡. D e sp u é s, d e m u e str a q u e sie m p r e p o d e m o s e sc r ib ir un v e c to r v c o m o

31. Ángulo de una rampa

v = ( v .¡) ¡ + ( v . j j j 39.

(a ) Si u y v tie n e n la m ism a m a g n itu d , d e m u e str a q u e u + v y u - v so n o r to g o n a le s . (b ) U sa e s to para d e m o str a r q u e un á n g u lo in scr ito en un se m ic ír c u lo e s un á n g u lo r e c to (o b se r v a la fig u ra ).

4 0 . S ea n v y w d o s v e c to r e s d ife r e n te s d e c e r o . D e m u e s tr a q u e el v •w v e c to r v - a w e s o r to g o n a l a w s i a = - — ^ . I" T 250 Ib

4 1 . S ea n v y w d o s v e c to r e s d ife r e n te s d e c e r o . D e m u e s tr a q u e lo s v e c to r e s ||w|(v + 1|v¡|w y ¡|wj|v - gvjjw so n o r to g o n a le s .

32. Ángulo de inclinación

U n a e x c a v a d o r a eje rce 1000 libras d e p resió n para evita r q u e una roca d e 5 0 0 0 libras ru ed e c o lin a abajo. D e te r m in a e l á n g u lo d e in clin a ció n d e la co lin a .

4 2 . E n la d e fin ic ió n d e tra b a jo q u e s e d io e n e sta se c c ió n , ¿ cu á l es e l trab ajo r e a liz a d o si F e s o r to g o n a l a AB ?

43. D e m u e str a

D e te r m in a el á n g u lo a g u d o q u e fo rm a una u n id ad c o n sta n te d e fuerza co n e l e je x p o sitiv o si e l trab ajo r e a liz a d o p o r

la

identidad de polarización. Ilu + v|p —||u - v|p = 4 (u X v)

Explicación de conceptos: discusión y escritura 4 4.

D esa r ro lla una ap lica c ió n d ife r e n te d e las q u e se en cu en tra n en el te x to q u e re q u ie ra un p r o d u c to p u n to .

Respuesta al ejercicio de la sección "¿Estás listo?" 1.

c2= a2+ b2- 2ab c o s

d e

3 7 . C o n sid e r a q u e v y w so n v e c to r e s u n ita rio s. Si e l á n gu lo e n tr e v e i e s a y el á n g u lo e n tr e w e i c s ^ , usa la ¡dea del


33.

a,

C

REPASO DEL CAPÍTULO Cosas que debes saber

Coordenadas polares (pp. 718-725) R e la c io n e s en tre las c o o r d e n a d a s p o la re s (r ,0 ) y

x =

las c o o r d e n a d a s recta n g u la r es (jc,y) (pp . 7 2 0 y 723)

r2 = x 2 + y \ t a ñ e

F orm a p olar d e un n ú m er o

r eos

0,

Si z = .v +

y = r se n =

0

-V

yi, e n to n c e s

.v * 0 ; = r (c o s 0 + ise n 0 ).

c o m p le jo (p. 743)

T e o r e m a d e D e M o iv re (p . 7 45)

r = |z| = \ / x 2 + y2, se n 0 = —, e o s 0 = —, 0 < 0 < 2 ~ _ r r ~ r (c o s 0 + /se n 0 ), e n to n c e s z* = r" [cos(/i0) + s e n (/i0 )], d o n d e n & 1 e s un n ú m e r o e n te r o p o sitiv o .

S E C C IÓ N 10.1

R a í/ en ésim a do un n ú m ero com p lejo . » ■ r |c o s 0o + í scnWtt) (p. 746)

r

eos L donde

:

(o 0

2kn\ . 2kn\ + / se n ( — ■h -----, + — '• / " /J V"

= 0 , . . . , /i -

1.

e s un n ú m e r o e n te r o .

d e recta d ir ig id o P Q

V e c to r d e p o s ic ió n (p . 7 5 3 )

V e c to r c u y o p u n to in icia l e s e l o rig en

V e c to r u n ita rio (p p . 752 y 7 5 5 )

V e c to r cu y a m a g n itu d e s I

Á n g u lo d e d ir e c c ió n d e un v e c to r v (p . 7 5 6 )

E l á n g u lo « , 0 o S o < 360" e n tr e i y v

P r o d u c to p u n to (p . 7 6 3 )

Si

0 e n tr e

k

771

C a n tid a d q u e tie n e m a g n itu d y d ir e c c ió n , e q u iv a le n te a un s e g m e n to

Néstores (pp. 749-759)

A n g u lo

Repaso del capitulo

d o s v e c to r e s u y v d ife r e n te s

v = ati + b j

eos 0

=

d e c e r o (p . 7 6 5 )

y

w = «.I + b j ,

e n to n c e s v •

w=

+

bxbr

u •v !u|| ||v|

O b j e t iv o s

Debes poder...

S e c c ió n

10.1

1 T razar p u n to s u sa n d o c o o r d e n a d a s p o la r e s (p . 7 1 8 )

1 -3

1 -6

2 C o n v e rtir d e c o o r d e n a d a s p o la r e s a c o o r d e n a d a s re cta n g u la r es (p . 7 2 0 )

4

1 -6

3

5 -7

7 -1 2

8,9

1 3 ( a )-1 8 )(b )

1 -6

1 3 (b )-1 8 (b )

2 P robar la sim e tr ía d e e c u a c io n e s p o la r e s (p. 7 3 1 )

7 -1 0

1 9 -2 4

3

7 -1 2

1 9 -2 4

1

2 9 -3 4

2 ,3

2 5 -3 4

C o n v e rtir d e c o o r d e n a d a s re cta n g u la r es a c o o r d e n a d a s p o la r e s (p . 7 2 2 )

4 T r a n sfo r m a r 10.2

10.3


e c u a c io n e s e n tr e su s fo rm a s p o la r e s y re cta n g u la r es (p . 7 2 4 )

t Id en tifica r y re p r e se n ta r e c u a c io n e s p o la r e s g r á fic a m e n te c o n v ir tié n d o la s a e c u a c io n e s r e c ta n g u la r e s (p . 7 2 8 )

R e p r e se n ta r e c u a c io n e s p o la r e s g r á fic a m e n te p o r tra zo d e p u n to s (p . 7 3 2 )

1 T razar p u n to s e n e l p la n o c o m p le jo (p . 7 4 2 ) 2 C o n v e rtir d e un n ú m e r o c o m p le jo e n tr e su form a recta n g u la r y su form a p o la r (p . 7 4 3 )

10.4

10.5

3

D eter m in a r p ro d u c to s y c o c ie n te s d e n ú m ero s c o m p le jo s en form a p olar (p . 744)

4

3 5 -4 0

4

U sa r el te o r e m a d e D e M o iv r e (p . 7 4 5 )

5 ,6

4 1 -4 8

5 D e te r m in a r rafees c o m p le ja s (p . 7 4 6 )

7

4 9 -5 0

1 R e p r e se n ta r v e c to r e s g r á fic a m e n te (p . 7 5 2 )

1

5 1 -5 4

2 D e te r m in a r un v e c to r d e p o sic ió n (p . 7 52)

2

5 5 -5 8

3

3

5 9 , 60

4 D e te r m in a r un p r o d u c to e sca la r y la m a g n itu d d e un v e c to r (p . 7 5 5 )

4

5 5 -5 8 , 6 1 -6 6

5 D e te r m in a r un v e c to r u n ita rio (p . 7 5 5 )

5

6 7 ,6 8

6 D e te r m in a r un v e c to r a partir d e su d ire cc ió n y su m ag n itu d (p . 7 5 6 )

6

6 9 -7 2

7 D esa r ro lla r m o d e lo s c o n v e c to r e s (p . 7 57)

8 -1 0

8 7 -8 9

1

1

7 3 -7 6

2 D e te r m in a r e l á n g u lo e n tr e d o s v e c to r e s (p. 76 4 )

2

7 3 -7 6

3

D e te r m in a r si d o s v e c to r e s so n p a r a le lo s (p . 76 5 )

3

77-82

4 D e te r m in a r si d o s v e c to r e s so n o r to g o n a le s (p . 7 65)

4

7 7 -8 2

5 D e s c o m p o n e r un v e c to r en d o s v e c to r e s o r to g o n a le s (p . 76 5 )

5 ,6

8 3 - 8 6 ,9 1

6 C alcu lar el trab ajo (p . 7 6 8 )

7

90

S u m ar y restar v e c to r e s a lg e b r a ic a m e n te (p . 7 5 4 )

D e te r m in a r al p r o d u c to p u n to d e d o s v e c to r e s (p . 7 6 3 )

E j e r c ic io s d e r e p a s o

En los problemas 1-6, traza cada punto dado en coordenadas polares y determina sus coordenadas rectangulares. 1

■ (* !)

*(<

t

)

‘ • ( - ‘■ t )

* •(--!)

‘- M

En los problemas 7-12, se dan las coordenadas rectangulares de un punto. Determina dos pares de coordenadas polares ( r,6) para cada punto, una con r > 0 y la otra con r < 0 . Expresa 0 en radianes. 10. ( 2 ,0 ) 11. ( 3 ,4 ) 12. (-5,12) 7. (-3,3) 8. (1,-1) 9. (0,-2)

772

CAPÍTULO 10


Enlos problemas13-18. las variables r , „ coordenadas rectangulares (x,y). (b) Identifica la ecuación y represéntala gráficamente. 13.

r = 2 sen 0

í6. e = ”

14.

3r =

17.

r eos 0 +

2 sen

0

3r sen

representan r

1^*

0=6

coordenadasEscrib

18. r* + 4 r s c n

0-

Srcos

0=

5

4

En los problemas 19-24, bosqueja la gráfica ele cada ecuación polar. Asegúrate de probar su simetría. 19 . r = 4 e o s 6 20. r = 3 s e n 0 2 1 . r = 3 - 3 sen 0 r = 2 + eo s 0

2 2.

23.

r=

4 - eos

0

r=

24.

1 - 2 se n 0

£ « /o s

problemas 25-28, escribe cada número complejo en forma polar. Expresa cada argumento en grados.

25. - 1

-i

26. - \ / 3

+ i

27* 4 ~ 3/

28. 3 - 2 /

En los problemas 29-34, escribe cada número complejo en la forma estándar a + bi y traza cada uno en el plano complejo. 29.

2(cos 150° + i sen 150°)

37T 3 2 . 4 e o s —— + 4

i sen

30.

37T —— 4

3(cos 60° + i sen 60°)

( 2tt 2tt\ 3Í eos — + i sen — J 3 3

31.

34. 0.5(cos 160° + i sen 160r)

33. 0.1 (eos 350° + i sen 350°)

En los problemas 35-40, determina zw y —. Deja tus respuestas en forma polar. w

35.

= eos 80° + i sen 80°

z

w =

36.

eos 50° + i sen 50°

z

37. z = 3^ e o s

= eos 205° + i sen 205°

w =

9n

—

+

.

i se n

9it

—

eos 85° + i sen 85°

)

»V = 2 ( c o s f + < « n f )

38. z

= 2( e o s

w

3

+

39.

i sen ~

3

z

= 5(cos 10° + i sen 10)°

w =

-. 77 . 7T = 3 e o s — + / se n — 3 3

40.

eos 355° + i sen 355°

z

= 4(cos 50° + i sen 50°)

w =

eos 340° + i sen 340°

En los problemas 41-48, escribe cada expresión en la forma estándar a + bi.

41. 43.

[ 3 ( c o s 2 0 ° + / se n 2 0 o) ] 3

V2

577

eos — o

+

i sen

577

— 8

42.

[2 (c o s 5 0 ° + / se n 5 0 o) ] 3

,

)]

44. ¿\

577

.

577

e o s —— + / se n — lo 16

)]

45. (l - V 3 / ) 6

46. ( 2 - 2/')8

47. (3 + 4/ ) 4

48. (1 —2/ )4

49. Determina todas las raíces cúbicas complejas de 27.

50. Determina todas las raíces cuartas complejas de —16.

En los problemas 51-54, usa la figura para representar gráficamente cada uno de los siguientes: 51.

u+ v

52. v + w

53. 2u + 3v

5 4 . 5 v - 2w

En los problemas 55-58, el vector v está representado por el segmento de recta dirigido PQ . Escribe v en la forma di + bj y determina 55.

P=

57.

P = ( 0 ,- 2 ) ; Q = ( - 1 , 1 )

( 1 ,- 2 ) ;

Q = ( 3 ,- 6 )

56.

P=

v .

(_ 3> 1); q = (4 _ 2)

5 8 . p = ( 3 ,- 4 ) ;

Q=

(-2 ,0 )

En los problemas 59-68, usa los vectores v = -2 i + j y w = 41 - 3j para determinar: 59. 63-

v+ w IMI

60. v -w

6 1.

4v-3w

64- l|v +

65.

IIv|| + II w

w||

6 7 . D e te r m in a un v e c to r u n ita rio e n la m ism a d ire cc ió n a4 uuce vv. UIH.V.V. 1UU

62. - v + 2w 66.

|2 v |-|3 w |

6o 8« . D iM n n v,,« . . d. ir e c c ió n o p u e s ta q u e w . D epte r mmininaoun e c..to r u n ita r io e n la

Examen del capítulo 69.

D e te r m in a un v e c to r v e n e l p la n o

4

d ire cc ió n d e l á n g u lo d e v e s d e 60 °.

íS7j[. D e te r m in a la d ir e c c ió n d e l á n g u lo

f

a

xy

c o n m a g n itu d 3 si la

v = —2¡ +

76. v =

j;w =

4 ¡-

xy

c o n m a g n itu d 5 si la

d ir e c c ió n d e l á n g u lo d e v e s d e 150°. de v = - i + V 3

En los problemas 73—76, determina el producto punto v 73.

7 0 . D e te r m in a un v e c to r v e n e l p la n o

773

•

j

D e te r m in a la d ir e c c ió n d e l á n g u lo d e v =

2i -

6j.

<

w y en ángulo entre x y w.

3j

i + 4j;w = 3i-2j

74. v =

3i-j;w = i+j

75. v =

i-3j;w = -i+ j

En los problemas 77-82, determina si y y w son paralelos, ortogonales o ninguna de las dos.

77. v = 2i + 3j;w = -4i - 6j

78. v = -2i-j;w = 2¡+j

79. v = 3i-4j;w = -3i + 4j

80. v = -2i + 2j;w = -3i + 2j

81. v = 3i-2j;w = 4i + 6j

82. v = -4i + 2j;w = 2i + 4j

En los problemas 83-86, descompon v en dos vectores, uno paralelo ay/ y el otro ortogonal a w . 83.

v=

2i+j;w = -4i + 3j

84. v =

85.

v=

2i + 3j;w = 3i+j

86. v = - ¡ +

87.

-3i + 2j;w = -2i+j 2j;w = 3i- j

Velocidad real y dirección de un nadador U n n a d a d o r p u e d e m a n te n e r u n a v e lo c id a d c o n sta n te d e 5 m illa s p o r h ora.

c ió n h a cia e l n o rte. L a v e lo c id a d d e l v ie n to e s d e 60 (k /h )

Si e l n a d a d o r q u ie re cru zar d ir e c ta m e n te un río q u e tie n e

d ir e c c ió n d el a v ió n re la tiv a s al su e lo .

u na co r r ie n te q u e se m u e v e c o n u n a v e lo c id a d d e 2 m illa s

e n un d ir e c c ió n su r e ste . D e te r m in a la v e lo c id a d real y la

89.

Equilibrio estático

U n p e s o d e 2 0 0 0 lib ras cu e lg a d e d o s

p or h o ra , ¿cu ál e s la v e lo c id a d rea l d e l n a d a d o r? (O b se r v a

c a b le s, c o m o se m u estra e n la figu ra. ¿ C u á le s so n las te n s io

la figu ra) Si e l río tie n e 1 m e tr o d e a n c h o , ¿ q u é tan le jo s

n e s e n ca d a ca b le ?

acab ará e l n a d a d o r río a b a jo d el p u n to d ir e c ta m e n te e n fr e n te d e l p u n to d e d o n d e sa lió ?

1 Corriente — — — 1 Dirección del nadador

a

f 1 A m

m è

é

*

*

90. Cálculo del trabajo

/

D e te r m in a e l trab ajo r e a liz a d o p or una

fu e rz a d e 5 lib ras q u e a ctú a en la d ire cc ió n d e 60° co n la

Dirección del nadador debido a la corriente

h o riz o n ta l so b re un o b je to 2 0 p ies d e sd e ( 0 ,0 ) a (2 0 ,0 ).


U n a c a m io n e ta d e m u d a n za s co n un

p e s o n e to d e 8 0 0 0 libras e stá e sta c io n a d a e n una ca lle con

i 1

l

5 o d e p e n d ie n te . D e te r m in a la m ag n itu d d e la fuerza re q u e 88.

Velocidad real y dirección de un avión

rida para ev ita r q u e la c a m io n e ta ru ed e co lin a ab ajo. ¿C uál

U n a v ió n tie n e una v e lo c id a d d e 5 0 0 k iló m e tr o s p o r h ora (k /h ) e n una d ire c

e s la m a g n itu d d e la fu erza p erp en d icu la r a la co lin a ?

L o s v id e o s d e p rep a ra ció n para e x a m e n del c a p ítu lo so n so lu c io n e s p a so a p a so d isp o n ib les e n el D V D de recu rso s en v id e o , e n

MyMatíÍLab [

o en el canal d e Youfffffá d e e s te tex to . C on su lta J ¡0 f

la p ág in a d e recu rso s d el estu d ia n te para ver la

CHAPTER

TojTest Prep


VIDEOS1

d ire cc ió n ex a c ta d e la p ág in a W eb para el canal d e Y o u T u b e d e e s te te x to

En los problemas 1-3, traza cada punto dado en coordenadas polares.

47

1. ( 2, 5 ? )

V' 6.

2 . ( 3. - ”

3.

- , f )

4 . C o n v ierte ( 2 , 2 V 3 ) d e c o o r d e n a d a s re cta n g u la r es a c o o r d e n a d a s p o la re s (r ,0), d o n d e r > 0 y 0 s

8 < 2 tt.

En los problemas 5-7, con ierte ¡a ecuación polar a una ecuación rectangular. Traza la gráfica de la ecuación. 5.

r=

7

6 . tan

0=

3

7.

r s e n 2 6 + 8 se n 0 = r

774

C A P ÍT U L O 10


En los problemas 8 y 9, prueba la simetría de la ecuación polar 7T con respecto al polo, al eje polar y a la recta 9 = .

17.

D e te r m in a el á n g u lo d e d ir e c c ió n d e v.

18.

D c s c o m p ó n v e n su c o m p o n e n te s v er tica l y h o r iz o n ta l.

En los problemas 19-22, 8.

rI.2e o s 9 = 5

9.

r=

5 sen

9 eos2 9

v, = ( 4 ,6 ) , v2 = ( - 3 , - 6 ; ,

v 3 = ( - 8 , 4 ) y v4 = ( 1 0 ,1 5 ) .

En los problemas 10-12, realiza la operación dada, donde z = 2(cos 85° + i sen 85°) y w = 3(cos 22° + i sen 22°). Escribe tus respuestas en forma polar. 10 . z Xw 11. J 1 2 . w5 13. D eter m in a to d a s las raíces cú b ica s co m p leja s d e - 8 + 8 \Zli.

19.

D e te r m in a el v e c to r v, + v 2 + v ,

20.

¿ C u á le s d o s v e c to r e s so n p a r a le lo s?

2 1 . ¿ C u á le s d o s v e c to r e s so n o r to g o n a le s ? 22.

D e te r m in a el á n g u lo e n tr e lo s v e c to r e s v, y v2.

2 3 . S e q u ie r e c o lg a r un c a n d e la b r o d e 12ÍX) lib ras en un gran sa

D e s p u é s trázalas en co o r d e n a d a s rectan gu lares.

ló n , el c a n d e la b r o se co lg a r á d e d o s c a b le s d e igu al lo n g itu d

Enlosproblemas 14-18, P\

= ( 3 V 2 , 7 V /2 ) y / 52 = ( 8 \ / 2 , 2 \ / 2 ) .

c u y o s e x tr e m o s esta r á n c o n e c ta d o s al te c h o , 16 p ie s s e p a ra d o s u n o d el o tr o . E l c a n d e la b r o c o lg a rá d e m a n era libre,

14.

D eter m in a el v ec to r d e p o sic ió n v igual a

p o r lo q u e lo s e x tr e m o s d el c a b le fo rm a rá n á n g u lo s ig u a les

P\Pi.

co n e l te c h o . Si la p a rte su p e r io r d el c a n d e la b r o d e b e esta r 15. D eter m in a ||v||.

a 16 p ie s d el te c h o , ¿ cu á l e s la te n sió n m ín im a q u e d e b e

16. D ete r m in a el v ec to r u n itario en la d irecció n d e v.

p o d e r so p o r ta r ca d a c a b le ?

REPASO ACUMULATIVO 1. D ete r m in a las so lu cio n e s re a le s, si e x iste n , d e la ec u a c ió n

e

7 . T ra za la gráfica d e la fu n c ió n

y = Isen xl.

8. T ra za la g rá fica d e la fu n c ió n

y=

= 1. sentxl.

2 . D e te r m in a una ec u a c ió n para la recta q u e c o n tie n e al o r i gen y form a un á n g u lo d e 30° co n el eje x p o sitiv o .

9 . T ra za las g rá fic a s d e las e c u a c io n e s

x=

3 y

y=

4 e n lo s m is

m o s e je s d e c o o r d e n a d a s re c ta n g u la r e s. 3.

D e te r m in a una ec u a c ió n para el círcu lo co n c e n tr o en el p u n to (0 ,1 ) y rad io 3. T raza la gráfica d e e s te círcu lo.

10.

T ra za las g rá fic a s d e las e c u a c io n e s x = 2 y

y-

4 e n lo s m is

m o s e je s d e c o o r d e n a d a s re c ta n g u la r e s. 4.

¿C uál es e l d o m in io d e la fu n ció n f ( x ) = ln ( l - 2 x ) ? 11. T raza las g rá fica s d e la s e c u a c io n e s

5. P ru eb a la sim etría d e la e c u a c ió n al eje x , al eje y y al orig en .

x2+ y3= 2 x 4 c o n

r e sp e c to

y=

= 2 y

y

= - 4 cos(7rx)?

=

m ism o s e je s d e c o o r d e n a d a s p o la r e s. 12.

6. T raza la gráfica d e la fu n ció n

9

¿C u ál e s la a m p litu d y e l p e r io d o d e

V

r

e n lo s

3

|ln x |.

PROYECTOS DEL CAPÍTULO .

I. M o d e lo d e l m o v im ie n to d e u n a v ió n C u a tr o fu erza s a e r o d i n á m ica s a ctú a n so b r e un a v ió n e n v u e lo : su ste n ta c ió n , p e so , tra cció n y re siste n c ia . M ie n tr a s un a v ió n e stá en v u e lo , e s ta s cu a tro fu e rz a s c o n tin u a m e n te b a ta lla n u n a c o n la o tra . El p e s o se o p o n e a la su ste n ta c ió n y la tra c ció n s e o p o n e a la re siste n c ia . O b se r v a la fig u ra e n la p á g in a 775. E n un v u e lo b a la n c e a d o a u na v e lo c id a d c o n s ta n te , la s u ste n ta c ió n y e l p e s o so n ig u a le s y la tra c ció n y la r e siste n c ia so n ig u a les. 1. ¿ Q u é p asará c o n e l a v ió n si s e m a n tie n e c o n s ta n te la su s

UyT* TJ - F¥

te n ta c ió n c o n fo r m e d ism in u y e e l p e s o (d ¡g a m o s q u e p o r q u e m a d e c o m b u stib le )? 2. ¿ Q u é p asará c o n e l a v ió n si la s u ste n ta c ió n d ism in u y e c o n fo rm e e l p e s o s e m a n tie n e c o n sta n te ? 3. ¿ Q u é p a sa rá c o n e l a v ió n si la su ste n ta c ió n s e in cr em en ta m ien tr a s la r e siste n c ia s e m a n tie n e c o n sta n te ?


( F= ma ). Si la m a sa se m id e e n k ilo g r a m o s (k g ) y la a c e le

4. ¿ Q u é p asará c o n e l a v ió n si la r e siste n c ia s e in c r e m e n ta m ien tr a s la tra c ció n s e m a n tie n e c o n sta n te ?

ra c ió n e n m e tr o s p o r s e g u n d o al cu a d r a d o (m /s2), e n to n c e s , la fu e rz a se m ed irá en n e w to n s (N ).

*

Sustentación

775

[Nota: 1N =

1 k g X m /s2.]

5. Si 1 k g = 2.2 0 5 Ib, c o n v ie r te e l p e s o d e l a v ió n d e lo s h e r m a n o s W righ t a k ilo g r a m o s. 6.

Si la a c e le r a c ió n d e b id a a la g ra v e d a d e s

a = 9 .8 0

m /s2, d e

ter m in a la fu erza d e b id a al p e s o e n e l a v ió n d e lo s h erm a Tracción

n o s W right.

7. ¿ Q u é d e b e se r v e r d a d e r o a ce rc a d e la fu e rza d e su ste n ta c ió n d el a v ió n d e lo s h e r m a n o s W righ t para q u e s e le v a n ta ra d e l su e lo ?

Fuente: www.aeromuseum.org/eduHowtoFly.html

8.

a v ió n d e l su e lo ?

E n 1903 lo s h e r m a n o s W rig h t re a liz a ro n e l p rim er v u e lo p r o p u lsa d o c o n tr o la d o . E l p e s o d e su a v ió n er a d e a p r o x i

E l p e s o d e una a v ió n C e ssn a 1 70B ca r g a d o e s d e 2 2 0 0 Ib. ¿ Q u é fu e rz a d e su ste n ta c ió n s e r e q u ie r e para le v a n ta r e s te

9.

E l m á x im o p e s o n e to d e un B o e in g 7 4 7 e s d e 2 5 5 ,0 0 0 Ib.

m a d a m e n te 7 0 0 lib ras (Ib). L a se g u n d a le y d e N e w to n d el

¿ Q u é fu e rz a d e su ste n ta c ió n se n e c e sita p ara lev a n ta r e s te

m o v im ie n to e s ta b le c e q u e la fu e rz a = m a sa X a c e le r a c ió n

a v ió n d e l su e lo ?

Los siguientes proyectos están disponibles en el Centro de recursos del profesor (IRC, por sus siglas en inglés).

II. Proyecto en Motorola La señal se desvanece debido a la interferencia S e

u san fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s c o m p le ja s p ara a s e

gu rar q u e un t e lé fo n o c e lu la r te n g a r e c e p c ió n ó p tim a c u a n d o e l u su a r io e s v tá e n un e le v a d o r .

III. Interés compuesto S e a n a liza e l e f e c t o d e l in te r é s c o m p u e s to c o n tin u a m e n te u sa n d o c o o r d e n a d a s p o la re s. IV. Ecuaciones complejas E l a n á lisis d e e c u a c io n e s c o m p le ja s ilu stra las c o n e x io n e s e n tr e e c u a c io n e s c o m p le ja s y e s m ás e fic ie n te u sar e c u a c io n e s c o m p le ja s p ara d e m o str a r te o r e m a s m a te m á tic o s.

rea les. A v e c e s

Geometría Analítica Contenido ii.i Cónicas 11.2 11.3 11.4

11.5

Ejes de rotación; forma

•


•


11.6

general de una cónica Ecuaciones polares de

•

Repaso acumulativo

las cónicas

•


La parábola La elipse La hipérbola

11.7

Curvas planas y ecuaciones paramétricas

La órbita del cometa Hale-Bopp L as ó rb ita s d el c o m e ta H a le -B o p p y d e la T ierra se p u e d e n m o d e la r u sa n d o

elipses, el

tem a

d e la se c c ió n 11.3. E l p r o y e c to co n b a se e n In te rn et al fin al d e e s te c a p ítu lo ex p lo r a la p o sib ilid a d de q u e el c o m e ta H a le -B o p p c h o q u e c o n la T ierra .

¿p) ) —

V e r el p r o y e c t o I c o n b a se en In te rn e t—

S E C C IÓ N 11.1

Cónicas

777

11.1 Cónicas OBJETIVO 1 Conocer los nombres de las cónicas (p. 777)

Conocer los nom bres de las cónicas La palabra c ó ni c a se deriva de la palabra c o n o , que es una figura geométrica que se puede construir de la siguiente manera: sean a y b dos rectas distintas que se intersectan en un punto V. Mantén la recta a fija. Ahora gira la recta g hacia a, manteniendo siempre el mis mo ángulo entre a y g. El conjunto de puntos barridos (generados) por la recta g se llama cono (recto circular). Ver figura 1. La recta a fija se llama eje de la cónica, el punto V es su vértice, las rectas que pasan a través de V y que forman el mismo ángulo con a que con g son las generatrices del cono. Cada generatriz es una recta que está completamente en el cono. El cono consiste de dos partes, llamadas ramas, que se intersectan en el vértice.

Figura 1

Eje, a

Las cónicas, una abreviación de secciones cónicas, son curvas que resultan de la intersec ción de un cono circular recto y un plano. Las cónicas que estudiaremos surgen cuando el plano no contiene al vértice, como se muestra en la figura 2. Estas cónicas son círculos cuando el plano es perpendicular al eje del cono e intersecta a cada generatriz; son elip ses cuando el plano está inclinado ligeramente de manera que intersecta a cada genera triz, pero que solo intersecta una rama del cono; son parábolas cuando el plano se inclina aún más de manera que sea paralelo a una (y solo una) de las generatrices e intersecta solo un rama del cono y son hipérbolas cuando el plano intersecta ambas ramas. Si el plano contiene el vértice, la intersección del plano y el cono es un punto, una recta, o un par de rectas que se intersectan. A estas generalmente se les llama cónicas degeneradas.

Figura 2

(a )

Círculo

Las secciones cónicas se usan para modelar muchas aplicaciones diferentes. Por ejem plo, las parábolas se usan para describir antenas de satélite y telescopios (ver figuras 14 y 15 de la página 783). Las elipses se usan para modelar las órbitas de los planetas y las galerías de susurros (ve las páginas 793-794). Y las hipérbolas se usan para localizar descargas de rayos y modelar torres nucleares de enfriamiento (ve los problemas 76 y 77 en la sección 11.4).

778

c a p í 'r U

L O Il

Geometría an«illtlca

11.2 La parábola P

.

r e p a r a c ió n

F órm ula

de la t

pa r a

a i »

esta

s e c c ió n

A n t a d e e m p e z a r , r e p a s a la tiginenle:

(«ccctón 2.1. p. 151)

Sim etría (se c c ió n 2.2, pp. 1 6 0 -1 6 2 ) M é to d o de la raíz cu ad rad a (se c c ió n 1.2, pp. 9 4 -9 5 )

\

• CoRlRta.r el cuadrad,, (eaplrul., K. Kepa«,. « d d . K.5, p. 56) • Técnicas para construir gráfica«: trantforiiucíonc« (sección 3.5, pp. 244 253)

Resuelve ahora los problemas d e la sección "¿Estás listo?" de la pagina 784. OBJETIVOS 1 A n a liza r parábolas con vértice en el origen (p. 778) 2 Analizar parábolas con vértice en (h ,

k)

(p. 781)

3 Resolver problemas aplicados que involucren parábolas íp 783)

Anteriormente establecimos (sección 4.3) que la gráfica de una función cuadrática es una parábola. En esta sección daremos una definición geométrica de una parábola y la usaremos para obtener una ecuación.

DEFINICIÓN

Una parábola es la colección de lodos los puntos P en el plano que están a la misma distancia r/de un punto fijo F y de una recta fija l ) . El punto Ase llama el foco de la parábola y la recta l ) se llama directriz. Como resultado, la parábola es el conjunto de puntos P para los cuales ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -

r/(F. P )

= d(P , D)

(1)

Figura 3 En la figura 3 se muestra una parábola. La recta que pasa por el foco F que es perpendicular a la directriz D se llama eje de simetría de la parábola. El punto de intersección de la parábola con su eje de simetría se llama vértice V. Como el vértice V está en la parábola, debe satisfacer la ecuación (1): d ( F , P ) = d (F, D ) . El vértice está a medio camino entre el foco y la directriz. Deja mos que a sea igual a la distancia
Análisis de parábolas con vértice en el origen

Figura 4 D: x =

-a

Si escogemos colocar el vértice V en el origen (0. 0). podemos colocar convenien temente el foco F ya sea en el eje x o en el eje y. Primero considera el caso donde el foco Festá en el eje x positivo, como se muestra en la figura 4 . Como la distancia de F a V es a, las coordenadas de F serán ( 0. De manera similar, como la distancia de l a la directriz D es también «i y. como f) debe ser perpendicular al eje x (poique el eje .v es el eje de simetría), la ecuación de la directriz D debe ser .* = - o . Ahora, si P = (.v, v) es un punto en la parábola. P debe obedecer la ecuación ( 1): d(F. P) = d ( P . D )

Entonces tenemos que V ( x -
2 « .v + i r

+ y* = .v

+ 2
y 2 = 4a.v

Uí-'d Lafórmula J e la .i Eleva am bo* lado» al c u a d r a d a

ti~

Elimir.j lo» pararte»!». Simplifica.

S E C C IÓ N 11.2

La parábola

779

TEOREM A Ecuación de una parábola: con vértice en (0,0), foco en (a, 0), a > 0 La ecuación de una parábola con vértice en (0, 0). foco en

K* »

(a,

0) y directriz

x - - a , a > 0 , es

y 2 = 4ax

(2 ) J

Recuerda que a es la distancia del vértice al foco de una parábola. Cuando tra zas la gráfica de la parábola y 2 = 4 ax, es útil calcular la “abertura” determinando los puntos que están directamente por encima o por debajo del foco (a, 0). Esto se logra haciendo x - a en y 2 = 4«.v, entonces y 1 = 4a ( a ) - 4 a 2 o y = ± 2a. El segmento de recta que une los dos puntos ( a, 2 a ) y (a, - 2 a ) se llama lado recto; su longitud es 4a.

EJEM PLO 1

Determinar la ecuación y la gráfica de una parábola Determina la ecuación de una parábola con vértice en (0, 0) y foco en (3, 0). Repre senta la ecuación gráficamente.

Solución

La distancia del vértice (0, 0) al foco (3, 0) es ecuación de esta parábola es

Figura 5

a -

y 2=

4a x

y 2=

12jc

3. Con base en la ecuación (2), la

a = 3

Para trazar la gráfica de esta parábola, calculamos los dos puntos que determinan el lado recto haciendo jc- 3. Entonces y 2 = 12x y

= 12(3) = 36

= ±6

R e s u e lv e p a r a y.

Los puntos (3, 6 ) y (3, - 6 ) determinan el lado recto. Estos puntos ayudan a construir la gráfica de la parábola porque determinan la “abertura”. Ver figura 5. |

« « a s a s e n - Resuelve C O M E N T A R IO P a r a

r e p r e s e n ta r

g rá fic a m e n te la p aráb o la y 2 = 12x que s e a n a lizó en el ejemplo 1. d eb e m o s t r a z a r la g rá fic a de la s d o s fu n c io n e s

Y\

=

V Í2 x

y y 2 = —V Í 2 x .

H a z e s t o y co m p a ra lo que v e s con la fig u ra 5 .

,

■

EJEMPLO 2 Solución

¡y. x = - 2 5

< 2 ,4 ) Lado recto

!

-5

1 1

\

V

|

(0,0)

F= 1 i

(2 ,0 ) * i 'i r * 5

d2, - 4 ) -5 -

e l

p r o b l e m a

i

9

Al invertir los pasos que se usaron para obtener la ecuación (2), se deduce que la gráfica de una ecuación de la forma de la ecuación (2), y 2 = 4a x , es una parábola, su vértice está en (0 , 0 ), su foco está en (a, 0 ), su directriz es la recta x = - a y su eje de simetría es el eje x. Para el resto de esta sección, la indicación “Analiza la ecuación” significará de terminar el vértice, el foco y la directriz de la parábola y trazar su gráfica.

Análisis de la ecuación de una parábola Analiza la ecuación:

Figura 6

1

ahora

y 2 = 8x

La ecuación y 2 = 8 x es de la forma y 2 = 4ax, donde 4a = 8 , por lo tanto, a —2. Como consecuencia, la gráfica de la ecuación es una parábola con vértice en (0 , 0 ) y foco en el eje x positivo en (a , 0) = (2, 0). La directriz es la recta vertical x - 2. Entonces y 2 = 16, por lo tanto, y = ±4. Los puntos (2, -4 ) y (2,4) determinan el lado recto. Ver gráfica en la figura 6 . ^

780

C A P ÍT U L O I I


Recuerda que obtuvimos la ecuación ( 2 ) después de colocar el foco en el eje x po silivo. Si el foco se coloca en el eje x negativo, el eje y positivo o el eje y negativo, obtenemos como resultado una forma diferente de la ecuación de la parábola. !av cuatro formas de la ecuación de la parábola con vértice en (0 . 0 ) y foco en un eje de coordenadas a una distancia ti de (0 , 0 ) se dan en la tabla I y sus gráficas se muestran en la figura 7. Observa que cada gráfica es simétrica con respecto a su eje de simetría. Tabla 1

E c u a c io n e s ü e u n a p a r á b o la : c o n v é r t ic e e n (0,0); f o c o e n u n e je ; a > 0 V ó r t ic e

Foco

D ir e c t r iz

E c u a c ió n

(0,0)

(o, 0)

x = -0

y 2 * Aax

(0,0)

(-0 ,0 )

X=

/

(0,0)

(0,o)

y = -0

x2 ~ Aay

El eje de simetría es et eje y. abre hacia arriba

(0,0)

(0, -o)

y = 0

x3 “

El eje de simetría es et eje y, abre hacia abajo

0

*

___________________________ D e t c n p c i ó n

El eje de simetría es el eje x, abre hacia la derecha El eje de simetría es et eje x. abre hacia la izquierda

Aax

4oy

Fig u ra 7

D:x - a

D: x= - a

(c) x7 i ay

EJEMPLO 3

Análisis de la ecuación de una parábola Analiza la ecuación:

1 1 1 ^

y 6

11 CO

Solución

F ig u ra 8

y

1 1 1 1 1 1 1p “ 6

— (OTÓ) -

/ '

(- 6 , - 3 )

i l l i l i 6

x2=

-12 y

La ecuación ,v: = -12y es de la forma x 2 = —4ay. con a - 3. Como consecuencia, la grá fica de la ecuación es una parábola con vértice en (0 . 0 ), foco en (0 . - 3 ) y tiene como directriz la recta y = 3. La parábola abre hacia abajo y su eje de simetría es el eje \ Para obtener los puntos que definen el lado recto, sea v = -3. Entonces jr = 3 6 . por lo tanto, .v = ±16. Los puntos ( - 6 . -3 ) y ( 6 . -3 ) determinan el lado recto. Ver gráfica en la figura 8 .

x

t \ ( 6, UF = (0, - 3 ) V

| EJEMPLO 4 F ig u ra 8

(d) x2 - -4 a y

-Resuelve ahora

el

problema

39

| Determinar la ecuación de una parábola Determina la ecuación de la parábola con ílkli en (0 . 4 ) y directriz la recta v = —I. Traza la gráfica de la ecuación.

Solución Lina parábola cuyo foco está en (0 .4) y cuya directriz es la recta horizon tal y ——4 tendrá su vértice en (0 . 0 ). (¿Puedes ver por qué? El vértice está a medio camino entre el foco y la directriz.) Como el foco está en el eje v positivo en (0 . 4 ). la ecuación de esta parábola es de la forma .r = 4 wv. con ,1 = 4 . esto es. .i* = 4<ív = 4(4 )y = 16y 3

í = 4

Los puntos (8 ,4) y ( - 8 .4) determinan el lado recto. La figura 4 muestra la gráfica de " ~ .

x 2 — 16y.

S E C C IÓ N 11.2

La parábola

781

Determinar la ecuación de una parábola

E JE M P L O 5

Determina la ecuación de la parábola con vértice en (0 , 0 ) si su eje de simetría es el eje x y su gráfica contiene el punto gráfica de la ecuación. \

Solución

Determina su foco, la directriz y la /

2

Le vértice está en el origen, el eje de simetría es el eje * y la gráfica contiene un punto en el segundo cuadrante, por lo tanto, la parábola abre hacia la izquierda. Vemos de la tabla 1 que la forma de la ecuación es y 2= - 4 ax

Como el punto

Figura 10

satisfacer y 2 = que

-,

- 4 ax.

2

j está en la parábola, las coordenadas

Sustituyendo

x = - —

4 = ~ 4cl\ ~ \ j a

=

/

x

= ——, y

= 2

deben

y y = 2 en esta ecuación, determinamos

= - 4 a v ,x = - ^ , y = 2

2

La ecuación de la parábola es y 2 = -4(2)* = - 8 * El foco está en (-2, 0) y la directriz es la recta x - 2 . Sea * = —2. Entonces y 2 = 16, por lo tanto, y = ±4. Los puntos (-2, 4) y (-2, -4 ) determinan el lado recto. Ver figura 1 0 .

Resuelve ahora

EL

27

PROBLEMA

2 A nálisis de parábolas con vértice en (/), k ) Si una parábola con vértice en el origen y eje de simetría sobre un eje de coordenadas se corre h unidades horizontalmente y después k unidades verticalmente, el resultado es una parábola con vértice en (h , k ) y eje de simetría paralelo a un eje de coordenadas. Las ecuaciones de tales parábolas tienen las mismas formas que las de la tabla 1, pero con * sustituido por x — h (corrimiento horizontal) y y sustituido por y — k (corrimiento vertical). La tabla 2 da las formas de las ecuaciones de tales parábolas. En la figuras 11 (a) - (d), en la página 782, se ilustran las gráficas para h > 0, k > 0. NOTA No

e s recom endable m em or¡zar la ta b la 2. En cam bio, u sa la s id e a s de tra n s fo rm a c io n e s

(t ra s la c ió n

h

u n id ad es ho rizo n talm en te,

k

u n id ad es v e rtica lm e n te ) ju n to con el hecho de que a re

p re se n ta la d is t a n c ia del v é rtice al foco p a ra d e te rm in a r los d iv e rso s co m p o n en tes de una parábola. También e s útil

recordar

que la s p a rá b o la s de la

forma

t r a s q u e 'la s p a rá b o la s de la form a “y 2 =” abren h acia la

“x2 =” abren h acia arrib a o hacia abajo, mien

derecha o

h acia la izquierda.

E c u a c i o n e s d e u n a p a r á b o la : c o n v é r t ic e e n (h ,k \, e je d e s im e t r ía p a r a le lo a un e je d e c o o r d e n a d a s ; V é r t ic e

Foco

D ir e c t r iz

a > 0

E c u a c ió n

D e s c r ip c ió n

(h,k)

(h + a,k)

x

=

h- a

(y - k)2 = 4 a(x - h)

El eje de simetría es paralelo al eje x, abre hacia la derecha

(h, k)

(h - a, k)

x

=

h+ a

(y - k)2 =

El eje de simetría es paralelo al eje x, abre hacia la izquierda

( h,k)

(h, k + a)

y

=

k- a

(x - h)2 = 4 a(y - k)

El eje de simetría es paralelo al eje y, abre hacia arriba

(h,k)

[h,k - a)

y

=

k+ a

(x - h)2 =

El eje de simetría es paralelo al eje y, abre hacia abajo

-4

-4

o(x - h)

a(y - k)

■

782

C A P ÍT U L O 11

Geometria analitica

F ig u ra 11

Eje de simetría

Eje de simetría

x® h

x •> h

D .: xA = U ~ h+a

y II

Eje de simetría y = /r

\1

F=

(h -

a, K ) j

X

(y

(b)

EJEM PLO 6

-

k)2 = - 4 a ( x

-

h)

Determinar la ecuación de una paràbola, con vértice diferente del origen Determina la ecuación de la parábola con vértice en (-2 , 3) y foco en (0, 3). Repre senta la ecuación gráficamente.


El vértice (-2, 3) y el foco (0, 3) están en la recta horizontal y = 3 (el eje de simetría). La distancia a del vértice (-2 ,3 ) al foco (0,3) es a = 2. Además, como el foco está a la derecha del vértice, la parábola abre hacia la derecha. Como consecuencia, la forma de la ecuación es (y - k )2= 4a(x - h)

donde (h , k ) = (-2, 3) y a = 2. Por lo tanto, la ecuación es (y - 3 ) 2 = 4 • 2 [ x

- 2(—2)]

(y ~ 3) 2 = 8 (.r + 2) Para determinar los puntos que definen el lado recto, hacemos x = 0. de manera que - 3) 2 = 16. Entonces y - 3 = ±4, por lo tanto, y = -1 o v = 7. Los puntos (0. -1 ) y (0, 7) determinan el lado recto, la recta x = -4 es la directriz. Ver figura 12. {y

Resuelve ahora

EL

P R O B L E M A

2 9

Las ecuaciones polinomiales definen parábolas siempre que involucren dos va riables que sean cuadráticas en una variable y lineales en la otra. E JEM PLO 7

Análisis de la ecuación de una parábola Analiza la ecuación: .v2 + 4.v - 4y

Solución F ig u ra 13 Eje de

Para analizar la ecuación variable x. x2

+

4x

x2 +

0

4.v —4y = 0, completa el cuadrado que involucra a la

- 4y = 0

x 2 + 4x = 4y x2

=

+ 4.v + 4 = 4y

D esp eja lo s té rm in o s que involucren x en el lacle izquierdo.

+

4

(* + 2)2 - 4 ( y + 1)

C o m p le ta el

cuadrado

en el

lado

izquierdo.

Factoriza.

Esta ecuación es de la forma (.v —/i)- —4a(y —A:), con h — —2. k — — 1 y a = 1. La gráfica es una parábola con vértice en (/i. k ) = (—2, -1 ) que abre hacia arriba. El foco está en (-2, 0) y la directriz es la recta y = -2 . Ver figura 13. | Resuelve ahora

EL

P R O B L E M A

4 7

S E C C IÓ N 11.2

La parábola

783

3 Resolver problem as aplicados que involucren parábolas Las parábolas se usan en muchas aplicaciones. Por ejemplo, como se estudió en la sección 4.4, los puentes colgantes tienen cables en la forma de una parábola. Otra propiedad de las parábolas que se usan en aplicaciones es su propiedad de reflexión. Considera que un espejo tiene la forma de un p a r a b o l o i d e d e r e v o l u c i ó n , una su perficie formada girando la parábola sobre su eje de simetría. Si una luz (o cualquier fuente emisora) se coloca en el foco de la parábola, todos los rayos que emanen de la luz se reflejarán en el espejo en rectas paralelas al eje de simetría. Este principio se usa en el diseño de faros, linternas, algunos faros de automóviles y otros aparatos similares. Ver figura 14. Por el contrario, considera que los rayos de luz (o de otras señales) emanan de una fuente distante de manera que sean esencialmente paralelos. Cuando estos rayos llegan a la superficie de un espejo paralelo cuyo eje de simetría es paralelo a ellos, se reflejan en un único punto en el foco. Este principio se usa en el diseño de algunos aparatos de energía solar, antenas parabólicas y los espejos que se usan en algu nos telescopios. Ver figura 15.

EJEMPLO 4

F ig u ra 14

F ig u ra 15

Reflector

Telescopio

Antena parabólica Una antena parabólica tiene la forma de un paraboloide de revolución. Las señales que emanan de un satélite llegan a la superficie de la antena parabólica y se reflejan a un punto único, donde se localiza el receptor. Si la antena tiene 8 pies de diámetro en su extremo y 3 pies de profundidad en su centro, ¿en qué posición se debe colocar el receptor? Es decir, ¿dónde está el foco?

Solución

La figura 16(a) muestra la antena parabólica. Traza la parábola usada para formar la antena en un sistema de coordenadas rectangulares de manera que el vértice de la parábola esté en el origen y su foco esté en el eje y positivo. Ver figura 16(b).

La forma de la ecuación de la parábola es x 2 = Aay

784

CAPÍTULO 11


y su foco está en (0, a) . Como (4,3) es un punto en la gráfica, tenemos que 4 2- 4 a ( 3 )

a

4

= —

x 2 = 4 ay, x = 4 , y - 3 P.e&uclvc p a ra a.

El receptor se debe colocar a 1 - pies (1 pie, 4 pulgadas) de la base de la antena parabólica sobre su eje de simetría.

>™n2B8 K-~'Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

63

11.2 E v a lú a tu e n te n d im ie n to ______________ "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios, i obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas resaltadas entre paréntesis. 4 . E l p u n to q u e e s sim é tr ic o c o n r e s p e c to al e je x al p u n to 1. La fórm ula d e la distan cia d d e Pl = (jc,, y ,) a P2= (* 2, y 2) e s ( - 2 , 5 ) e s ___________(p p . 1 6 0 -1 6 2 ) d = ----------------(p. 151) 5 . Para trazar la g rá fica d e y = (x - 3 ) 2 + 1, co rre la gráfica de 2. Para co m p leta r el cu a d ra d o d e x2 - 4x, s u m a ---------------y = x2 __________ u n id a d e s a la d e r e c h a y d e s p u é s 1 unidad (P- 56) 3. U sa el m é to d o d e la raíz cu adrada para d eterm in a r las s o lu cio n es rea les d e

(x + 4 )2 =

h a c ia ---------------- (p p . 2 4 4 - 2 5 3 )

9. (pp. 9 4 -9 5 )


U n a _________ es la c o le c c ió n d e to d o s lo s p u n to s en el p la n o d e tal m a n era q u e la d ista n c ia d e ca d a p u n to a un p u n to fijo es igual a su d istancia a una recta fija.

Responde los problemas 7-10 usando la figura. a > 0, la ec u a c ió n d e la (a ) (y - k)2= 4a(x - h)

7. Si

(b )

p aráb ola e s d e la form a

{y - k)2= -4a{x - h) hj2= 4a(y - k) (x - hj2= -4a(y - k)

(c ) (* (d )

8. L as c o o r d e n a d a s d el v értice s o n ________ .

a = 4, e n to n c e s las c o o r d e n a d a s d el fo c o s o n __ Si a = 4, e n to n c e s la ec u a c ió n d e la d irectriz e s __

9. Si 10.

Ejercicios En los problemas 11-18, se da la gráfica de una parábola. Asocia cada gráfica con su ecuación. (a )

y2= 4x

( b ) * 2 = 4y

(c) y2=

-4 *

(d )x 2= -4 y

( e ) O - l ) 2 = 4 ( . r - 1) (f) ( x + l ) 2 = 4 (y

+ 1)

(g ) ( y - l ) : = - 4 ( y - i) (h ) (.r + l )2 = -4 (y + l)

S E C C IÓ N 11.2

La parábola

785

n los problemas 19-36, determina la ecuación de la parábola que se describe. Determina los dos puntos que definen el lado recto, y raza la gráfica de la ecuación. < 19.^ F o c o en ( 4 ,0 ) ; v é r tic e e n ( 0 , 0 )

* F oco

¥

21.

e n (0 , - 3 ) ; v é r tic e e n ( 0 , 0 )

I* , 2 3 . F o c o e n ( - 2 , 0 ) ; d ire ctriz la r e cta

25. ' 27.

D ir e c tr iz d e la recta

y =

-

x=2

v é r tic e e n (0 , 0 )

V é r tic e e n (0 , 0); e je d e sim e tr ía e l e je

y\

c o n tie n e e l p u n to

20.

F o c o en (0 .2 ); v é r tic e en (0 , 0)

22.

F o c o e n ( - 4 , 0); v é r tic e en (0 , 0 )

24.

F o c o e n (0 , - 1 ) ; d ire ctriz la recta

26.

D ir e c tr iz d e la recta

28.

V é r tic e e n (0 , 0); e je d e sim etr ía e l e je x ; c o n tie n e e l p u n to

(2.3)

y=1

1

x - ~r

; v é r tic e e n (0, 0 )

( 2 .3 )

29. V é r tic e en ( 2 , - 3 ) ; f o c o en ( 2 , - 5 )

30.

V é r tic e e n (4 , - 2 ) ; fo c o e n (6 , - 2 )

31.

V é r tic e e n ( - 1 , - 2 ) ; f o c o e n (0 , - 2 )

32.

V é r tic e e n (3 , 0); fo c o e n (3 , - 2 )

33.

F o c o e n ( - 3 , 4); d irectriz d e la recta

34.

F o c o e n ( 2 ,4 ) ; d irectriz d e la recta

35.

F o c o e n ( - 3 , - 2 ) ; d irectriz d e la recta

36.

F o c o en ( - 4 , 4 ) ; d irectriz d e la recta

y=2 x=

1

x = -4 y = —2

En los problemas 37-54, determina el vértice, el foco y la directriz de cada parábola. Traza la gráfica de la ecuación.

37. x2 = 4y

38. y2 = 8*

V

j 41.

[y

-

2)2 = 8(* + 1)

45.

{y

+ 3 )2 =

8{x - 2)

49. x2 + 8* = 4y - 8 53. x2 - 4x

=

y

+

42.

\

2 ) 2 = 4 (y - 3 )

50.

2y = 8x

/

-

-

y2 =

43. (x

( jc + 4 ) 2 = 1 6 ( y + 2 )

46. (x -

39.

\

1

4

47.

40. x2 = -4 y

-1 6 *

- 3 )2 =

- { y + 1)

y2 - 4 y + 4 x + 4 = 0

51. y2 + 2y - x

=

0

54. y 2 + \2y = - x

+

44.

(y + l ) 2 =

—4(x

48.

x2 + 6x - 4y +

- 2) 1 = 0

52. x2 - 4x = 2y 1

|

En los problemas 55-62, escribe una ecuación para cada parábola.

A p licacio n es y exten sio n es k 63.

Antena parabólica

U n a a n te n a p a ra b ó lica tie n e la fo rm a d e un p a ra b o lo id e d e rev o lu ció n . L as se ñ a le s q u e em a n a n d e

un s a té lite lle g a n a la su p e rficie d e la a n te n a y se refleja n a un p u n to ú n ic o , d o n d e s e lo c a liz a e l re c e p to r . Si la a n te n a tie n e 10 p ie s d e d iá m e tr o e n su e x tr e m o y 4 p ie s d e p ro fu n d id a d en e l ce n tr o , ¿ en q u é p o sic ió n se d e b e c o lo c a r el recep to r?

64. Construcción de una antena de TV

U n a a n te n a d e T V p or

c a b le tie n e la fo rm a d e un p a r a b o lo id e d e r e v o lu ció n . D e term in a la lo c a liz a c ió n d el re c e p to r , e l cu a l, se c o lo c a en el fo c o , si la a n te n a tie n e 6 p ies d e d iá m e tr o e n su e x tr e m o y 2 p ie s d e p ro fu n d id a d .

65. Construcción de una linterna

E l r e fle c to r d e u n a lin tern a

tie n e la fo rm a d e un p a r a b o lo id e d e r e v o lu c ió n . Su d iá m e tr o e s d e 4 p u lg a d a s e n el e x tr e m o y tie n e 1 p u lg a d a

786

C A P ÍT U L O 11

Geometría analítica siste m a d e co o r d e n a d a » re cta n g u la r es a p r o p ia d o y d eter m i

d e p ro fu n d id a d . ¿ A q u é d ista n cia d el v é r tic e se d e b e c o

na la altura d el a rco a d ista n c ia s d e 1 0 ,3 0 y 5 0 p íe s d el centro.

lo ca r el fo c o para q u e lo s ra y o s s e re flejen d e m a n era p a ralela al eje? 66. C on stru cción d e un faro U n faro se lla d o tie n e la form a de un p a ra b o lo id e d e rev o lu ció n . La b om b illa está en el fo c o a 1 pulgada d e su v értice. Si la p rofu n d id ad e s d e 2 p u lgad as, ¿cuál es el d iám etro d el e x tr e m o d el faro? 67.

120 pies

”

P u e n te co lg a n te L o s ca b les de un p u e n te co lg a n te tien en la form a de una p aráb ola, c o m o se m u estra en la figura. Las torres q u e so stie n e n el ca b le está n a 600 p ies una d e la otra y a 80 p ies de alto. Si lo s ca b le s to ca n la su p e rficie d el ca m i

74.

La altura d el a rco a una d ista n cia d e 4 0 p ies d el c e n tr o deb e

n o en el p u n to m ed io en tre las torres, ¿cuál e s la altura d el c a b le d e s d e e l c a m in o e n e l p u n to a 150 p ie s d e l c e n tr o d el p u en te?

P u e n te co n a rco p a r a b ó lic o S e q u ie r e co n stru ir un puente co n form a d e a rco p a ra b ó lico , el cu a l, d e b e abarcar 100 pies. ser d e 10 p ies. D e te r m in a la altura d el a rco en su cen tro .

75.

A r c o G a te w a y F r e c u e n te m e n te s e p ie n sa q u e e l a rc o G a te w a y en San L u is e s d e fo rm a p a ra b ó lica . D e h e c h o , e s una

catenaria, q u e

tie n e u na fó r m u la m á s c o m p lic a d a q u e la de

u n a p a r á b o la . E l a r c o t ie n e 6 2 5 p ie s d e a ltu r a y 5 9 8 p íes d e a n c h o e n su b a se. (a ) D e te r m in a la e c u a c ió n d e u n a p a rá b o la co n las m ism as d im e n s io n e s. S e a

x la

d ista n c ia h o r iz o n ta l d e s d e e l c e n

tro d el arco. (b ) La sig u ie n te tab la d a la altu ra d e l a rc o c o r r e sp o n d ie n te

68. P u e n te co lg a n te L o s ca b les d e un p u e n te co lg a n te tien en

a d ife r e n te s a n c h o s, d e te r m in a la s a ltu ra s c o r r e sp o n d i

la form a de una paráb ola, c o m o se m u estra en la figura. L as torres q u e so stie n e n el ca b le está n a 4 0 0 p ies una d e la otra

e n te s para la p a rá b o la q u e o b tu v is te e n ía ) .

Ancho (pies)

y a 100 p ies d e alto. Si lo s ca b le s tien en una altura d e 10

Altura (pies)

p ies en el p u n to m e d io en tre las torres, ¿cuál e s la altura d el ca b le en un p u n to a 50 p ies d el c e n tr o d el p u e n te?

567

100

6 9. F aro U n faro tien e la form a de un p a ra b o lo id e d e r e v o lu

478

312.5

ción . Si la fu e n te de la lu z está a 2 p ies d e la b a se so b re e l eje

308

525

d e sim etría y el d iá m e tr o en el e x tr e m o e s de 5 p ies, ¿q ué p ro fu n d id ad d eb e te n e r el faro?

(c ) ¿ L o s d a to s r e sp a ld a n la n o c ió n d e q u e e l a rc o tien e fo rm a d e p a rá b o la ?

70. F aro U n faro tie n e la form a d e un p a ra b o lo id e d e r e v o lu ció n . Si la fu e n te d e la lu z está a 2 p ies d e la b ase so b re el eje d e sim etría y la p ro fu n d id a d d el faro e s d e 4 p ies, ¿cuál

Fuente: Wikipedia, the free encyclopedia 76.

D e m u e str a q u e u na e c u a c ió n d e la fo rm a

d eb e ser el d iá m etro en el e x tr e m o d el faro?

Ax2+ Ey =

A

0,

* 0,

E

0

7 1. C alor so la r U n e s p e jo tie n e la form a d e un p a r a b o lo id e de e s la e c u a c ió n d e una p a r á b o la c o n v é r tic e en ( 0 .0 ) y e je de

re v o lu ció n y se usará para co n cen tra r lo s rayos d el so l en su

sim etría so b r e e l e je

fo c o , crea n d o una fu e n te d e calor. O b serv a la figura. Si el esp e jo tien e 20 p ies d e d iá m e tr o e n su e x tr e m o y 6 p ie s de p rofu n d id ad , ¿ d ó n d e se co n cen tra rá la fu e n te d e calor?

77.

y.

D e te r m in a su fo c o y d irectriz.

D e m u e str a q u e u n a e c u a c ió n d e la fo rm a C v2 +

Dx = 0 .

C *0.

D *0

e s la e c u a c ió n d e u n a p a r á b o la c o n v é r tic e e n ( 0 .0 ) y e je de sim etr ía so b r e e l e je

78.

x.

D e te r m in a su f o c o y d irectriz.

D e m u e str a q u e la g rá fica d e u n a e c u a c ió n d e la form a

Ax2+ Dx + E\ + F=0.

A * 0

(a ) E s u n a p a r á b o la si £ * 0.

D2- 4 AF= 0. E = 0 y D2- 4 ,4 F> 0. E = 0 y D2- 4 / t F < 0.

(b ) E s una recta v er tica l si £ = 0 y (c ) S o n d o s re cta s v e r tic a le s si (d ) N o c o n tie n e p u n to s si 7 2 . T e le s c o p io r e flec to r

U n te le s c o p io r e fle c to r c o n tie n e un

79.

D e m u e str a q u e la g rá fic a d e u n a e c u a c ió n d e la form a

e s p e jo en form a d e p a r a b o lo id e d e r e v o lu ció n . Si e l e s p e jo (a )

p ro fu n d id a d , ¿ d ó n d e se co n ce n tr a rá la lu z q u e recib e? 73.

P u e n te con arco p a ra b ó lico S e co n stru y e un p u e n te co n fo r m a d e arco p arab ólico. El p u e n te abarca 120 p ies y tie n e una altura m áxim a d e 25 p ies. O b serv a la ilu stración. E sc o g e un

Dx + Ey + F = 0 . C * 0 E s una p a rá b o la si D * 0. E s u n a recta h o r iz o n ta l si D = 0 y E2- 4 C F = 0. S o n d o s re cta s h o r iz o n ta le s si D = 0 y E2- ACF>0. N o c o n tie n e p u n to s si D = 0 y £ 2 — 4 C F < 0. C v2 +

tie n e 4 p u lgad as d e d iá m e tr o en su e x tr e m o y 3 p u lg a d a s d e (b ) (c ) (d )

R e s p u e s t a s a l o s e j e r c i c i o s d e ia s e c c i ó n " ¿ E s t á s L is to ? " L V ( * 2 - * i ) 2 + 0'2 - y i ) 2

2. 4

3. * + 4 = ±3; { - 7 ,- 1 }

4.

(-2 .-5 )

5. 3: arriba

S E C C IÓ N 11.3

La elipse

787

113 Laelipse P

r e p a r a c ió n

p a r a

e s t a

s e c c ió n

A n t e s d e e m p e z a r , r e v i s a l o s i gu i e nt e :

F ó rm u la d e la d ista n c ia (s e c c ió n 2 .1 , p. 151)

S im e tr ía (s e c c ió n 2.2, pp. 1 6 0 -1 6 2 )

C o m p le ta r e l c u a d r a d o ( c a p itu lo R , R e p a s o , se c c ió n R .5. p. 5 6 )

C írc u lo s (s e c c ió n 2 .4 , pp. 1 8 2 -1 8 5 )

I n te r s e c c io n e s ( s e c c ió n 2 .2 , p p. 1 5 9 -1 6 0 )

T é c n ic a s para co n stru ir gráficas: tr a n sfo r m a c io n es (s e c c ió n 3 .5 , pp. 2 4 4 -2 5 3 )

Rm im í VS ahora los problem as d e la sección "¿E stás listo ? " d e la página 794.

OBJETIVOS 1 Analizar elipses con centro en el origen (p. 787) 2 Analizar parábolas con centro en (h,

k)

(p. 791)

3 Resolver problemas aplicados que involucren elipses (p.793)

DEFINICION

Una elipse es la colección de todos los puntos en el plano para los cuales, la suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. J

F ig u r a 17

La definición contiene en sí misma una forma física de dibujar una elipse. En cuentra un cordón (la longitud de este cordón es la constante a la que se refiere la definición). Ahora toma dos tachuelas (los focos) y colócalas sobre un pedazo de cartón de manera que la distancia entre ellas sea menor que la distancia del cordón. Ahora amarra los extremos del cordón a las tachuelas y usando la punta de un lápiz, tensa el cordón. Ver figura 17. Manteniendo el cordón tenso, gira el lápiz alrededor de las dos tachuelas. El lápiz traza una elipse, como se muestra en la figura 17. En la figura 17, los focos son F, y Fr La recta que contiene a los focos se llama eje mayor. El punto medio de este segmento de recta que une a los focos es el centro de la elipse. La recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje mayor se llama

Eje menor

eje menor.

Los dos puntos de intersección de la elipse y el eje mayor son los vértices, V, y de la elipse. La distancia de un vértice al otro es la longitud del eje mayor. La elipse es simétrica con respecto a su eje mayor, con respecto a su eje menor y con respecto a su centro.

1 A nálisis de elipses con centro en el origen Con estas ideas en mente, estamos listos para determinar la ecuación de una elipse en un sistema de coordenadas rectangulares. Primero coloca el centro de la elipse en el origen. Después coloca la elipse de manera que su eje mayor coincida con un eje de coordenadas, digamos el eje x, como se muestra en la figura 18. Si c es la distancia del centro a un foco, un foco estará en F = (—c, 0) y el otro en F, = (c, 0). Como veremos, es conveniente permitir que 2a denote la distancia constante a la F ig u ra 18

P=(*,y)

788

CAPÍTULO li Geometria analitica

que nos referimos en la definición. Entonces, sí elipse, tenemos que

+

c)2 + y 2 + \ f { x

- c )2

\J {x

+ c)2

+

(JC + c)2

- (*.

y)

es cualquier punto en h

l a »urna de 'a** a a e deecM u a ío% fo c o e e e igual o una

d ( F i t P ) + d ( F i , P ) = 2a

y/(x

P

+ y 2 = 2(i

Ufea !a fó rm u la

_______ ___ x - c ) 2 + y2

y 2 - 2ít - \/(

de a

2a

a dunc a

Despeja un r a n c a i

+ y2 = 4tf2 - 4 < V (* - c )2 + y2

Eleva a m b e » lado» a* cuadrada

+ (jr - c )2 + y2___________ a:2

+

2 cjc

loe par ènte eie.

+ c2 + y2 = 4tí2 - 4 « \/(jr - c)2 + y2 + *2 - 2cjr + c2 + y2

Elim in a

4c a: - 4c/2 = - 4 a \ /(.r - c)2 + y2

Simplifica; d « p e ja e radical.

eje

D^de cada 1ado entre a

- tí2 = -tí\ / ( at - c)2 + y2

Eleva de nuevo amboe lado* al Cuadrado

( ca: - tí2)2 = a 2[ ( x - c)2 + y2] c V - 2
Elimma loe parém^svs.

(c2 - a2)*2 - í/2y2 = «2c2 - a* («2 - c2)a:2 + «2y2 = «2(tí2 - c2)

Paordeâ lo»

Multiplica ambo» lado» por 1; fa c to n z a

a

t é ' ” - np»

a en el a d o aerecno.

<1>

Para obtener puntos en la elipse que no estén en el eje x . se debe cumplir que > c. Para ver por qué, observa de nuevo la figura IX. Entonces d (F \, P)

+

d ( F i , P ) > d ( F \ . F 2)

2(1 >

2c

La suma de la» longitud« de doe lado» ¡*e triángulo e» mayor ajue a longitud de t/'c r 1ade. d[F-, P) +

d(F2. P)

= 2 a . tXF.,

FJ =

2c

a > c

Como a > c > O, también tenemos que a 1 > c*\ entonces a: - 0. Sea b2 = a: - c \ b > 0. Entonces a > b y la ecuación (1) se puede escribir como b~ x

+ a~y~ *>

=

a rb ‘

7

y*

at

—r + — o* ¿r

= 1

Divide c a d a lado en tre a~ir .

Como puedes verificar, la gráfica de esta ecuación es simétrica con respecto al eje x , al eje y y al origen. Como el eje mayor es el eje .v, determinamos los vértices de esta elipse haciendo x*

y = 0. Los vértices satisfacen la ecuación — = 1, cuyas soluciones son

x

= ra . Como

o*

consecuencia, los vértices de esta elipse son V’, = (-«. 0) y V , = (tí. 0). Las interseccio nes con v de la elipse, que se encuentran haciendo x = 0 . tienen coordenadas (0 . —b ) y (0, b ) . Estas cuatro intersecciones. («. 0). ( - a , 0). (0. b ) y (0. - b ) . se usan para hacer la gráfica de la elipse. F ig u ra "19

TEOREM A

Ecuación de una elipse: con centro en {0,0); eje mayor sobre el eje x Una ecuación de una elipse con centro en (0.0). focos en (-c. 0) y (c. 0) y vérti ces en (-tí, 0 ) y (tí, 0 ) es — + o*

77 Ir

= 1 , donde a

> h > 0

v b: =

a:

- c

(2 )

El eje mayor es el eje .v. Ver figura 19. J

S E C C IÓ N 1 U

La elipse

789

Observa en la figura 19 el triángulo formado por los puntos (0 , 0 ), (c, 0 ) y (0 , b). Como b 2 = a 2 - c (o />■ + c2 = a 2), la distancia del foco en (c, 0) al punto (0, b ) es a. Esto se puede ver de otra forma. Observa los dos triángulos rectángulos en la figura 19. Son congruentes. ¿Puedes ver por qué? Como la suma de las distancias de los focos a un punto en la elipse es 2a, se deduce que la distancia de (c, 0 ) a (0 , b ) es a.

y * »

[ EJEM PLO 1

Determinar la ecuación de una elipse Determina la ecuación de una elipse con centro en el origen, un foco en (3, 0 ) y un vértice en (-4, ü). Traza la gráfica de la ecuación.

Solución F ig u r a 2 0

La elipse tiene su centro en el origen y, como el foco y el vértice dados están en el eje x , el eje mayor es el eje x. La distancia del centro (0,0), a uno de los focos, (3,0), es c = 3. La distancia del centro, (0, 0), a uno de los vértices, (-4, 0), es a - 4. De la ecuación ( 2 ) se deduce que b 2= a2-c 2 =

1 6 -9 = 7

por lo tanto, una ecuación de la elipse es ¿ ♦ ¿ - i 16 7 La figura 20 muestra la gráfica correspondiente.

En la figura 20, las intersecciones de la ecuación se usan para construir la gráfica de la elipse. Seguir esta costumbre te facilitará obtener una gráfica precisa de una elipse. ^

C O M E N T A R IO L a s in te rs e c c io n e s de una elip se tam b ién

¡ j e s t a b le c e r el re ctá n g u lo

de

proporcionan información acerca de cómo de una elipse. P a r a r e p r e s e n ta r g rá fi

v lsu allzació n p a ra t r a z a r la g rá fica

ca m e n te la elipse

X2

y2

16

7

— + — = 1

que e stu d iam o s en el ejemplo 1, estab le ce el rectángulo de vlsuallzación usando una pantalla incluya la s Interseccio n es, ta l vez - 4 .5 <

x2

y2

16

7

— + — = 1 yf _ 1_ 7

**

x2 R e s t a — en c a d a lado. 16

16

M ultiplica am b o s la d o s por 7.

y 2 = 711 -

16

F ig u ra 21

x2 3 Ki = V?(1 - fg )

y = ± \/7

1 — —

S a c a la raíz

cuadrada de cada

A h o ra t r a z a la g rá fica de la s d o s funciones

^ = \ l 7(

1 -^ 1

y

^2 = - \

L a fig u r a 21 m u e s t r a el r e s u lt a d o .

Resuelve ahora

el

cuadrada que y.

4 .5 , - 3 < y < 5 . D espués, resuelve la ecuación p ara

p r o b l e m a

27

7 1-

16

lado.

790

C A P ÍT U L O 11


Una ecuación con la forma de la expresión (2), con a 2 > b 2, es la ecuación de una elipse con centro en el origen, focos en el eje x en ( - c , 0 ) y (c, ()), donde t —a - b y el eje mayor a lo largo del eje x. Para el resto de esta sección, la instrucción “Analiza la ecuación” significará que determines el centro, eje mayor, focos y vértices, así como la gráfica de la elipse.

EJEMPLO 2

Análisis de la ecuación de una elipse x2

y2

Analiza la ecuación: — + — = 1

Solución

La expresión dada tiene la forma de la ecuación ( 2 ) , con a 2 = 2 5 y b 2 = 9. La ecuación es la de una elipse con centro (0,0) y eje mayor a lo largo del eje x. Los vértices están en (±a, 0) = (±5, 0). Como b 2 = a 2 - c 2, determinamos que c2 = a 2 - b 2 =

2 5 - 9 = 16

Los focos están en (±c, 0) = (±4,0). La figura 22 muestra la gráfica.

^--Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

17

Si el eje mayor de una elipse con centro en (0, 0) está en el eje y , los focos están en (0, -c) y (0, c). Al usar los mismos pasos que antes, la definición de una elipse nos lleva al siguiente resultado:

TEOREMA

Ecuación d e una e lip se: co n c e n tro en (0,0); eje m a y o r s o b re e l e je y

Una ecuación de una elipse con centro en (0, 0), focos en (0. -c) y (0, c) y vérti ces en (0 , - a ) y (0 , a ) es jr ^2

y ^2

— >donde

a > b > 0 y b 2 = a 2 — c2

(3)

Figura 23

El eje mayor es el eje y .

.

La figura 23 ilustra la gráfica de esa elipse. De nuevo observa el triángulo rectángulo que se forma por los puntos (0 , 0 ), ( 6 , 0 ) y ( 0 , c). tal que a2 = b2 + c 2 (o b 2 = a 2 - c2). Observa atentamente las ecuaciones (2) y (3). Aunque parezca que son simila res, ¡existe una diferencia! En la ecuación (2), el número mayor. a:, está en el deno minador del término x 2, por lo tanto, el eje mayor de la elipse está sobre el eje x . En la ecuación (3), el número mayor, a-, está en el denominador del término y 2, por lo tanto, el eje mayor está sobre el eje y .

S E C C IÓ N 113

EJEM PLO 3 Solución Vi

9x2 + y 2= 9

Para establecer la ecuación en la forma adecuada, divide cada lado entre 9.

= (0. 3)

> 5 = ( 0.2% 2)

J_____L

(1,0)

- 3 ( - 1 .0 )

791

Análisis de la ecuación de una elipse. Analiza la ecuación:

F ig u ra 2 4

La elipse

3

x

El denominador mayor, 9, está en el término y2, por lo tanto, con base en la ecuación (3), ésta es la ecuación de una elipse con centro en el origen y el eje mayor sobre el eje y . Además, podemos concluir que a 2 = 9, b 2 = 1 y c2 = a 2 — b 2 = 9 - 1 = 8 . Los vértices están en (0, ± a ) = (0, ±3) y los focos están en (0, ± c ) = (0, ± 2 V 2) La figura 24 muestra la gráfica.

= (0, -2 V 2 )

V,

= (0, - 3 )

EJEM PLO 4

Resuelve ahora

e l

21

p r o b l e m a

Determinar la ecuación de una elipse Determina la ecuación de una elipse que tiene un foco en (0, 2) y vértices en (0, -3 ) y (0, 3). Traza la gráfica de la ecuación.


Vz =

(0, 3)

Al trazar el foco y los vértices dados, determinamos que el eje mayor está sobre el eje y . Como los vértices están en (0, -3 ) y (0, 3), el centro de esta elipse está en su punto medio, el origen. La distancia del centro, (0, 0), al foco dado, (0, 2), es c = 2. La distancia del centro, (0, 0), a uno de los vértices, (0, 3), es a = 3. Entonces b 2 = a 2- c 2 = 9 - 4 = 5. La forma de la ecuación de esta elipse está dada por la ecuación (3). X2

y2 + ^

b2

a

=

i

Í 4 - ' La figura 25 muestra la gráfica. I/, = (0, - 3 )

EL

29

PROBLEMA

El círculo se puede considerar como un tipo especial de elipse. Para ver por qué, hacemos a = b en la ecuación (2) o (3). Entonces í

! + ¿

a2

=

i

a2

x2 + y 2 = a2

Esta es la ecuación de un círculo con centro en el origen y radio a. El valor de c es c 2 = a2 - b 2 = 0 t a

= b

Podemos concluir que entre más cerca estén los focos de una elipse del centro, más se parecerá una elipse a un círculo.

Análisis de elipses con centro en (h , k ) Si una elipse con vértice en el origen y eje mayor que coincide con un eje de coor denadas se corre h unidades horizontalmente y después k unidades verticalmente, el resultado es una elipse con centro en ( h, k ) y eje mayor paralelo a un eje de coorde nadas. Las ecuaciones de tales elipses tienen la misma forma que las que se dan en las ecuaciones (2) y (3), excepto que x se sustituye por x - h (corrimiento horizontal) y y se sustituye por y — k (corrimiento vertical). La tabla 3 da las formas de las ecuacio nes de tales elipses y la figura 26 muestra sus gráficas.

792

C A P ÍT U L O 11

Geometria analitica T a b la 3

NOTA

E c u a c io n e s d e u n a e lip s e : c o n c e n t r o e n (fr,A); e je m a y o r p a r a le lo a u n e je d e c o o r d e n a d a s E je m a y o r

Ce n tro

Focos

V e rtic e s

(h + c, k)

(Ai + a, k)

ih - c,k)

(h - a, k)

(,h,k + c)

(h, k + a)

(h, k - c)

(h, k - a)

No e s recom endable memorl-

z a r la ta b la 3 . Mejor, u sa la s Ideas de tra n sfo rm a cio n e s (tra sla c ió n unidades horizontalm ente,

k

h

Paralelo al eje x

(h,k)

unida

E c u a c ió n

(x - h)2 (y - k)7 a2 * b2 ' a > b > 0 y bJ = a2 - c2

d e s verticalm en te) ju n to con el hecho de que a re p re se n ta la d is ta n c ia del cen tro a los vó rtices, c re p resen ta

Paralelo al ejey

(h,k)

la d is ta n c ia del ce n tro a los fo co s y b2 = a 2 - c 2 (o c 2 = a 2 - b 2).

(x

h)2 (y - k)2 _ b2 a2 a > b > 0 y b2 - a2 - c2 -

■

F igura 2 6

EJEM P LO 5

Determinar la ecuación de una elipse, con centro diferente del origen Determina la ecuación para una elipse con centro en (2, -3 ), un foco en (3, -3 ) y un vértice en (5, -3). Traza la gráfica de la ecuación.

Solución

El centro está en (h , k ) = (2, —3), entonces h = 2 y k — —3. Si trazamos el centro. el foco y el vértice nos damos cuenta de que todos los puntos están sobre la recta y = -3, entonces, el eje mayor es paralelo al eje x. La distancia del centro (2. -3 ) a un foco (3, -3) es c = 1, la distancia del centro (2, -3 ) a un vértice (5, -3 ) es a = 3. Entonces b 2 = a 2 - c 2 = 9 —1 = 8 . La forma de la ecuación es (y - k ) 2 ~2— + — ^ — =

(■x ~ h ) 2

(* ~ 9

{y

2 )2

+

+ 3)2 _ 8 "

1

donde h = 2, k = - 3 , a

=

3, b

=

2V 2

1

Para traza la gráfica de la ecuación, usa el centro (Ai, k) = (2, —3) para localizar los vértices. El eje mayor es paralelo al eje ,v, entonces los vértices están a — 3 unida des a la izquierda y a la derecha del centro (2, —3). Por lo tanto, los vértices son Vi

= ( 2 - 3 , -3 ) = (- 1 ,-3 ) y

V2=

(2 + 3, -3 ) = (5, -3 )

Como c — 1 y el eje mayor es paralelo al eje .v, los focos están y a la derecha del centro. Por lo tanto, los focos son

F igura 2 7

= ( 2 - 1 , - 3 ) = (1 ,-3 ) Por último, usa el valor de del centro.

b —

(2, - 3 -

y

2

V 2)

y

EL

(2 + 1 ,-3 ) = (3 ,-3 )

(2 , - 3 + 2 V 2 ) ,

\

-Resuelve ahora

unidad a la izquierda

2 V2 para determinar los dos puntos arriba y debajo

La figura 27 muestra la gráfica. (2, - 3 - 2V2“)

F2 =

1

P R O B L E M A

5 5

S E C C IÓ N 1 U

E JE M P L O 6

La elipse

793

Análisis de la ecuación de una elipse Analiza la ecuación: 4.r + y 2 —N.v + 4y + 4 = 0

Solución

Completa el cuadrado en .v y en y . 4.v2 +

y2 -

4 .r -

8 .v 8 .v

+ 4v + 4 = 0

+

+ 4y = -4

y2

A g rup a v a ria b le s s e m e ja n te s : co lo ca la c o n s t a n t e en el lado

4 (.r - 2.v) +

(y2

+ 4y ) = - 4

derecho.

F a c t o r iz a p a ra elim inar el 4 de lo s d o s p rim ero s té rm in o s.

28

4 ( .r

- 2.v + 1) +

(y 2

+

4 ( jc - l ) 2 +

4y (y

+ 4) = + 2)2 =

-4

+

4

+ 4

C o m p le ta c a d a

cuadrado.

Factoriza.

4

Divide c a d a lado e n tre 4.

Esta es la ecuación de una elipse con centro en (1, -2 ) y eje mayor paralelo al eje y. Como a 2 = 4 y b 2 = 1, tenemos que c2 = a 2 - b 2 = 4 - 1 = 3 . Los vértices están en (//,£ ± a ) = (l,-2 ± 2 )o (l,-4 )y (l,0 ).L o s fo c o s e s tá n e n (/i,& ± c) = (1, - 2 ± V3) o en ( 1 ,- 2 - V3) y (1, - 2 + V 3). La figura 28 muestra la gráfica. I

Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

47

3 Solución de problem as aplicados que involucren elipses Las elipses se encuentran en muchas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería. Por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elípticas, con el Sol en uno de los focos. Ver figura 29. F ig u ra 2 9

Frecuentemente los puentes de piedra y concreto tienen forma de arcos semielípticos. También se usan engranes elípticos en la maquinaria cuando se requiere una tasa de movimiento variable. Las elipses también tienen una propiedad de reflexión interesante. Si una fuente de luz (o de sonido) se coloca en uno de los focos, la elipse reflejará las ondas transmitidas por la fuente y las concentrará en el otro foco. Este es el principio de las galerías de susu rros, que son cuartos diseñados con techos elípticos. Una persona que esté en uno de los focos de la elipse puede susurrar y ser escuchada por una persona que esté en el otro foco, debido a que las ondas de sonido que llegan al techo se reflejan a la otra persona. E J E MP L O 7

Una galería de susurros La galería de susurros en el museo de la ciencia y la industria en Chicago tiene 47.3 pies de largo. La distancia del centro del cuarto al foco es de 20.3 pies. Determina la ecuación que describe la forma del cuarto. ¿Qué altura tiene el cuarto en su centro? Fuente: Museo de Ciencia e Industria de Chicago sitio Web; www.msichicago.org

794

C A P ÍT U L O I I

Geometria analitica

S o lu c ió n

Establece un sistema Je coordenadas reclangularc. de manera que el ceñir» de U dipse csté cn el origen y el eje mayor esté «obre el eje *. La ecuación de la elipse es jt ,2

+ y2 m ¡ jf

a

Como la longitud del cuarto es de 47.3 pies, la distancia del centro del cuarto a cada »1

^

vértice (el extremo del cuarto) será de —

« 23.65 píes: entonces a * 23.65 pies.

U

distancia del centro del cuarto a cada foco es c * 20.3 píes. Ver figura 30. Como b 2= a ? - c \ determinamos que b 2 = 23.65? - 20.3J * 147.2325. Una ecuación que describe la forma del cuarto está dada por x2 F ig u ra 30

y2

_

23.652 " 147.2325 =

y\ 15 -(0,12.1) ' " ' ' v . (23.65 (-23.65, 0),'''' ft/j 1 1. 1 - , . I^V / 25 X -25 \ (20.3, 0) (-20.3, 0)

La altura del cuarto en su centro es de

b -

1

V147.2325

12.1 pies.

.

-Resuelve ahora el problema 7 i

11.3 E v a lú a tu e n te n d im ie n to “ ¿ E stá s lis to ? ”

Las respuestas se dan al final de estos ejercicios, Si obtienes una respuesta incorrecta, lee Ias páginas marcadas

entre paréntesis. 1. La distancia

d d e Pt =

(2, - 5 ) a

P2=

(4, - 2 ) e s

d = --------------- -

5.

(p. 151) 2. Para co m p leta r el cu a d ra d o d e (p. 56)

x2 - 3x,

s u m a __________

(p p . 2 4 4 -2 5 3 )

3. D eter m in a las in te r se c c io n e s d e la ec u a c ió n (pp. 1 5 9 -1 6 0 ) 4.

Para trazar la gráfica d e y ■ (x + 1 - 4. corre la gráfi ca de y = x2 _________ unid ades a la (d erech a izquier da) y d esp u és _________ u nidades hacia (a rrib a a b a jo )

y2=

16 - 4 at\

6. La ecuación estándar de un círculo con cen tro cn (2 . - 3 ) y radio 1 e s __________(pp. 1K2-IK5)

El p u n to q u e es sim étr ico co n r e sp e c to al eje y al p u n to ( - 2 , 5 ) e s __________ (pp. 1 6 0 -1 6 2 )

C o n c e p to s y v o c a b u la r io 7.

U n a --------------- e s la c o le c c ió n d e to d o s lo s p u n to s en el p la n o cuya su m a de las d istan cias d e sd e d o s p u n to s fijos e s co n sta n te.

8.

Para una e lip s e , lo s fo c o s está n en una recta llam ad a el eje

9.

.v2 Para la elip se —

11. Si el centro de una elip se está cn (2 . - 3 ) . el eje m ayor es paralelo al eje x y la distancia d el cen tro de la elip se a sus vértices es a = 4 unidades, en to n c es las coordenad as de los vértices s o n _________ y ___________ 12.

10.

.V2 Para la e lip se — + v alor d e

b es.

y2 = 1, lo s v ér tice s so n lo s p u n to s

y2

= 1, el valor d e

a es

Si los focos de una elip se están en ( - 4 . 4 ) y ( 6 .4 ) . en to n ces, las coordenad as d el centro d e la elip se s o n __________

-, el

. y el e je m a y o r e s el eje

E je r c ic io s

En los problemas 13-16, se da la gráfica de una elipse. Asocia cada gráfica con su ecuación.

SECCIÓN 11.3 1 En

795

los problemas 17-26, determina los vértices y los focos de cada elipse. Traza la gráfica de cada ecuación.

i

,

!, 2 1 .

4Xi2

18.

19.

II

y2 17. — + — = 1 25 4

•K K +

i

La elipse

20.

i - U . i 9 25

^

+

1

,

i

16

,

+

y2 =

16

22.

x2 +

9 y 2 = 18

' 2 5 . *2 + y 2 = 16

23.

4y2 + x2 =

26.

*2 + y2 = 4

24.

8

4 y 2 + 9 * 2 = 36

En los problemas 27-38, determina una ecuación para cada elipse. Traza la gráfica de la ecuación. v 27.

C e n tr o en ( 0 , 0); f o c o e n ( 3 ,0 ) ; v é r tic e e n ( 5 , 0 )

v 2 9 . C e n tr o en (0 , 0); f o c o en (0 , - 4 ) ; v é r tic e e n (0 , 5)

28.

C e n tr o e n ( 0 ,0 ) ; fo c o en ( - 1 , 0); v é r tic e e n ( 3 ,0 )

30.

C e n tr o e n (0, 0); fo c o e n ( 0 ,1 ) ; v é r tic e en (0 , - 2 )

31.

F o c o s en ( ± 2 ,0 ) ; la lo n g itu d d e l e je m a y o r e s 6

3 2 . F o c o s e n (0 , ± 2 ) ; la lo n g itu d d el e je m a y o r e s 8

33.

F o c o s e n ( - 4 , 0 ) ; v é r tic e s e n ( ± 5 , 0 )

34.

F o c o s e n (0 , - 4 ) ; v é r tic e s e n (0 , ± 8 )

35.

F o c o s e n (0 , ± 3 ) ; las in te r s e c c io n e s c o n * so n ± 2

36.

V é r tic e s e n ( ± 4 , 0 ) ; las in te r se c c io n e s en

37.

C e n tr o e n ( 0 ,0 ) ; v é r tic e e n ( 0 ,4 ) ;

38.

V é r tic e s e n ( ± 5 , 0); c = 2

b=1

y

so n ±1

En los problemas 39-42, escribe una ecuación para cada elipse.

En los problemas 43-54, analiza cada ecuación, esto es, determina el centro, los focos, los vértices y traza la gráfica de cada elipse. i 43.

(y

( * - 3)2 + 4

46.

9(x -

3 )2 +

49.

2x2 +

3y2

52.

x2 + 9y2 + 6x - 18y

-

(* + 9

4>2 ,

47.

*2 +

4X +

+ 5 = 0

50.

4*2 +

3/

9=

53.

4x2 +

y2 + 4y = 0

44.

+ 1)2 = ! 9

(y + 2)2 = 8*

+ 6y

+

V

18

0

( y +

2>2

45-

(je

Sy

48.

x2 + 3y2 — 1 2 y

51.

9*2 + 4y2 -

54.

9*2 + y2 -

4 4y2 _

+

8x - 6y

+ 4 = o

= 5

+ 5)2 +

4 (y - 4 )2

=

16

+ 9 = 0

1 8 * + 16y -

11 = 0

18* = 0

En los problemas 55-64, determina una ecuación para cada elipse. Traza la gráfica de la ecuación. J \

55.

j

5 7 . V é r tic e s e n ( 4 ,3 ) y (4, 9); fo c o en (4, 8)

58. F o c o s e n (1 , 2 ) y ( - 3 , 2); v ér tice en ( - 4 , 2 )

5 9 . F o c o s en ( 5 ,1 ) y ( - 1 , 1 ) ; la lo n g itu d d el e je m a y o r e s 8

6 0 . V é r tic e s e n ( 2 ,5 ) y ( 2 , - 1 ) ; c = 2

6 1 . C en tr o en (1 , 2); fo c o e n ( 4 ,2 ) ; c o n tie n e e l p u n to (1, 3)

62.

6 3 . C en tr o en ( 1 ,2 ) ; v ér tic e e n ( 4 ,2 ) ; c o n tie n e el p u n to (1, 5)

6 4 . C en tr o en ( l , 2); v ér tice en (1, 4); c o n tie n e e l p u n to

C en tr o en ( 2 , - 2 ) ; v ér tic e e n ( 7 , - 2 ) ; fo c o e n ( 4 , - 2 )

-

:

¡

;,

56.

C en tr o en ( - 3 , 1 ) ; v é r tic e en ( - 3 , 3); fo c o e n ( - 3 , 0 )

C en tr o e n (1 , 2); fo c o e n ( 1 ,4 ) ; c o n tie n e el p u n to (2, 2)

(1 +

f

V 3 ,3 )

En los problemas 65-68, traza la gráfica de cada función. Asegúrate de marcar todas las intersecciones. [S u geren cia:

observa que cada función es media elipse,]

65. / ( * ) = \ / l 6

- 4*2

66. / ( * ) = V 9 -

9x2

67. / ( * ) = - \ / 6 4

-

16*2

68. / ( * ) =

-y/4 -

4*2

796

CAPÍTULO 11

Geometria analitica

A p lic a c io n e s y e x t e n s io n e s 69.

A rco s c m ic líp llc o «le un p u e n te

U n arco en la form a tic la

...

parte su p erior d e una elip se se usa para so ste n e r un p u en te q u e d eb e abarcar 20 m etro s de an ch o. El c e n tr o d el arco está 6 m etros so b re el c e n tr o d el río. O b serva la figura. E s

75.

D is e ñ o d e p ista d e carrera s C o n su lta la figura. U n a pista d e carreras tie n e la fo rm a d e una e lip s e d e 100 p ies d e largo y 5 0 p ie s d e a n c h o . ¿ C u á l e s el a n c h o a 10 p ie s d el vértice.'

cribe una ecu a ció n para la elip se en la q u e el eje .r co in cid a con el nivel del agua y el eje

y

p ase por el c e n tr o d el arco.

76.

A r c o se m ie líp tic o d e un p u e n te

El a rco para un p u en te

so b re la ca rretera tie n e la fo rm a d e m ed ia e lip s e . La par te su p e rio r d el a r c o e s tá a 2 0 p ie s so b r e e l n iv el d e l su elo (e je m a y o r). La ca r re te ra tie n e c u a tr o ca rriles, cad a uno d e 12 p ie s d e a n c h o , u na franja d e se g u r id a d en e l c e n tr o de 70.

X p ies d e a n c h o y d o s fran jas la te r a le s, ca d a una d e 4 pies

A rco sc n iiclíp tico d e un p u e n te El arco d e un p u e n te e s una sem ie lip se con un eje m ayor h orizon tal. A b a rca 30 p ies

d e a n ch o . ¿ Q u é d ista n c ia d e b e ab arcar el p u e n te (la lo n g i tud d e su e je m a y o r) sí la altu ra a 2 8 p íe s d e l c e n tr o d eb e

y la parte su p erior d el arco está 10 p ies por en cim a d el eje

ser d e 13 p ies?

m ayor. El ca m in o e s h orizon tal y está 2 p ies so b re la parte su p erior del arco. D e te r m in a la d istan cia vertical d el c a m i n o al arco en in terv a lo s d e 5 p ies a lo largo d el ca m in o . \

77.

In sta la ció n d e tu b o s d e v e n tila c ió n

U n a p erso n a q uiere

p o n e r una c h im e n e a e n su ca sa q u e tie n e un tu b o d e v e n

71. Galería de susurros Se quiere designar un pasillo de 100 pies de

tila c ió n d e 4 p u lg a d a s d e ra d io . Él n e c e sita co rta r un h o y o

largo com o una galería de susurros. Si los focos están colocad os

e líp tic o en su te c h o para q u e p u e d a pasar p or a h í e l tub o. Si

a 25 pies del centro, ¿cuál será la altura del techo en el centro?

la in clin a c ió n d el le c h o e s d e

72. G alería d e su surros

(u n a e le v a c ió n d e 5 v h u ella 4 de 4 ) ¿ cu á le s so n las d im e n s io n e s d e l h o y o ?

Jim e stá p arad o en u n o de los fo c o s d e

una galería d e su surros, a 6 p ies de la p ared m ás cercan a. Su

I;ucnie: www.doe.virginia.gov

a m igo está p arad o en el o tr o fo c o , a 100 p ies de d istan cia. ¿C uál e s la lon gitu d d e la ga lería d e su surros? ¿C uál e s la altura del cen tro d el te c h o elíp tic o ? 73.

A rc o se in ic iíp tic o d e un p u e n te

78.

V o lu m e n d e un b a ló n d e fú tb o l

U n b a ló n d e fú tb o l tie

ne la fo rm a d e u na e s fe r a p r o la la . q u e s im p le m e n te e s un

U n p u e n te tien e la form a

s ó lid o q u e se o b tie n e g ir a n d o una e lip s e ( — +

de un arco se m ie líp tic o . El p u e n te abarca 120 p ies y tien e

V ar

una altura m áxim a d e 25 p ies. E sc o g e un siste m a d e c o o r

p r o m e d io 11.125 p u lg a d a s d e la r g o y 28 .25 p u lg a d a s de circ u n fe re n c ia e n el c e n tr o . Si e l v o lu m e n d e una esfera 4 p ro la ta e s - trab:. ¿ c u á n to aire c o n tie n e el b a ló n d e fú tb ol?

74. A rco sem ielíp tico d e un p u en te Se quiere construir un p u en te con form a de un arco sem ielíp tico y d eb e abarcar 100 pies. La altura del arco, q ue está a una distancia de 4 0 pies del ce n

(Ig n o r a el e s p e s o r d el m a te ria l).

tro, d eb e ser de 10 pies. D eterm in a la altura d el arco en su centro.

Fuente: www.answerbag.com Distancia metía

En los problemas 79-82, usa el hecho de que la órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse, con el Sol en uno de los focos. El afelio de un planeta es su mayor distancia desde el Sol y el perihelio es su menor distancia. La distancia media de un planeta al Sol es la longitud del eje semimayor de la órbita elíptica. Observa la ilustración.

80.

T ierra

La d istan cia m ed ia d e la T ierra al Sol e s d e 93 m i

)

so b re su eje m ayor. U n b a ló n in fla d o d e la N F L tie n e c o m o

d en a d a s a p ro p ia d o y d eter m in a la altura d el a rco a d ista n cias d e 10, 30 y 50 p ies d el cen tro .

79.

= ] }

Ir

82.

P lu tó n

El p e r ih e lio d e P lu tó n e s d e 4551 m illo n e s d e m i

llo n e s d e m illas. Si el a fe lio d e la T ierra e s d e 94.5 m illo n e s

llas y la d ista n c ia d el c e n tr o d e su ó rb ita e líp tic a al S o l es

d e m illas, ¿cuál e s el p e r ih e lio ? E scrib e una e c u a c ió n para la órb ita d e la T ierra a lr ed ed o r d el S ol.

d e 897.5 m illo n e s d e m illa s. D e te r m in a e l a f e lio d e P lu tón .

M arte

¿C u ál e s la d ista n c ia m e d ia d e P lu tó n al S o l? E scrib e una

La d istan cia m ed ia de M arte al S ol e s d e 142 m illo

n es d e m illas. Si el p e r ih e lio de M arte e s d e 128.5 m illo n e s

e c u a c ió n para la ó rb ita d e P lu tó n a lr e d e d o r d el S ol. 83.

D e m u e str a q u e una e c u a c ió n d e la form a

d e m illas, ¿cuál e s el a fe lio ? E scrib e una e c u a c ió n para la órb ita d e la T ierra a lr ed ed o r d el Sol. 81. J ú p iter

El a fe lio d e Jú p iter e s d e 507 m illo n e s d e m illas. Si

la d istan cia d el cen tr o d e su órb ita e líp tic a al S ol e s d e 23.2 m illo n e s d e m illas, ¿cu ál e s el p e r ih e lio ? ¿C u ál e s la d ista n cia m ed ia ? E scrib e una e c u a c ió n para la órb ita d e Jú p iter a lr ed ed o r d el Sol.

A r + C V + F = 0, donde

A y C tie n e n

A r

0.

C *

e l m ism o s ig n o y

0. E

F tie n e

r

0 sig n o o p u e s to ,

(a ) E s la e c u a c ió n d e u n a e lip s e c o n c e n tr o e n (0 , 0 ) si

A*C. (b ) E s la e c u a c ió n d e un c ír c u lo c o n c e n tr o e n (0 . 0 ) si

A=C.

S E C C IÓ N 11.4

84. D e m u e s tr a q u e la gráfica d e u n a e c u a c ió n d e la fo rm a

A*

A r + C V + D.v + £ v + F = 0 . donde

A y C tie n e n

E2

(a ) E s u na e lip s e si — + — q u e A. 4 /1 4C

[ . r » I 4l®

• & 4A

( b ) E s un p u n to si ——

o, c * 0

e l m ism o sig n o ,

D2

I *

(c)

F

797

La hipérbola

o p u e s to a

tie n e el m ism o sig n o

E?_

N o c o n tie n e p u n to s si

4 A + 4C

A.

-

F

e s d e s ig n o

E x p lic a c ió n d e c o n c e p t o s : d is c u s ió n y e s c r itu r a 85.

L a e x c e n tr ic id a d

e de

una e lip s e se d e fin e c o m o e l n ú m e r o —, d o n d e

a

a es

la d ista n c ia d e un v é r tic e al c e n tr o y c e s la d ista n cia

d e un fo c o al c e n tr o . C o m o a > c, se d e d u c e q u e e < 1. E scrib e un b r e v e p á rra fo acerca d e la fo rm a g e n e r a l d e cad a una d e las s ig u ie n te s e lip s e s . A s e g ú r a te d e ju stifica r tu s c o n c lu sio n e s. (a ) E x c e n tr ic id a d ce rc a n a a 0

(b ) E x c en tr ic id a d = 0.5

(c ) E x c e n tr ic id a d ce rc a n a a 1

R e s p u e s t a s a l o s e j e r c i c i o s d e la s e c c i ó n " ¿ E s t á s lis t o ? "

| I

1. V T 3

3.

( - 2 , 0 ) , ( 2 ,0 ) , ( 0 ,- 4 ) , ( 0 ,4 )

4 . ( 2 ,5 )

5.

1; izq u ierd a; 4; a b a jo

6.

(x -

2 )2+

(y +

3 )2= 1

11.4 La hipérbola P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s e c c ió n


F ó rm u la d e la d ista n c ia (s e c c ió n 2 .1 , p. 151)

A s ín to ta s (s e c c ió n 5 .2 , pp. 3 4 5 -3 4 8 )

C o m p le ta r e l cu a d r a d o (c a p ítu lo R , R e p a so , se c c ió n

T é c n ic a s para co n stru ir gráficas: tr a n sfo r m a c io n es

R .5 , p. 5 6 )

(s e c c ió n 3 .5 , pp. 2 4 4 -2 5 3 )

I n te r s e c c io n e s (s e c c ió n 2 .2 , pp. 1 5 9 -1 6 0 )

M é to d o d e la raíz cu a d ra d a (se c c ió n 1.2, pp. 9 4 -9 5 )

S im etría (s e c c ió n 2 .2 , pp. 1 6 0 -1 6 2 ) n

i

i,;

\

Resuelve ahora los problem as d e la sección " ¿ E s tá s listo ?" d e la página 807.

OBJETIVOS 1 Analizar hipérbolas con centro en el origen (p. 797)

,¿ \

2 Determinar las asíntotas de una hipérbola (p. 802)

f,

3 Analizar hipérbolas con centro en (h ,

k)

(p. 804)

4 Resolver problemas aplicados que involucren hipérbolas (p.805)

B

D E F IN IC IO N

U na

hipérbola e s

la c o l e c c i ó n d e t o d o s lo s p u n t o s e n e l p l a n o p a r a l o s c u a le s la

d i f e r e n c i a d e la s d is t a n c ia s a d o s p u n t o s f ij o s , lla m a d o s

¡gu ra 31

focos, e s

u n a c o n sta n te. J

Eje transversal

L a ' f i g u r a 3 1 il u s t r a u n a h i p é r b o l a c o n f o c o s l o s f o c o s s e lla m a fo c o s es el

eje transversal. E l

centro d e

ramas,

L a r e c ta q u e c o n tie n e a

la h ip é r b o la . L a r e c t a q u e p a s a p o r e l c e n t r o y e s p e r p e n d ic u la r

a l e je tr a n sv e r sa l e s e l lla m a d a s

F{ y Fr

p u n t o m e d i o d e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e u n e a lo s

eje conjugado. L a

h ip é r b o la c o n s i s t e e n d o s c u r v a s s e p a r a d a s ,

q u e s o n s im é t r ic a s c o n r e s p e c t o a l e j e t r a n s v e r s a l, a l e j e c o n j u g a d o

y a l c e n t r o . L o s d o s p u n t o s d e i n t e r s e c c ió n d e la h ip é r b o la y e l e j e t r a n s v e r s o s o n lo s

vértices, V 1

y

Vy

d e la h ip é r b o la .

A n á lis is d e h ip é r b o la s c o n c e n tr o e n e l o r ig e n C o n e s t a s id e a s e n m e n t e , e s t a m o s lis t o s p a r a d e t e r m in a r la e c u a c i ó n d e u n a h i p é r b o la e n u n s is t e m a d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u la r e s . P r im e r o c o l o c a e l c e n t r o e n e l

798

C A P ÍT U L O 11

Geometria analitica

origen Después, coloca la hipérbola de manera que su eje transversal coincida ton uno de los ejes de coordenadas. Considera que el eje transversal coincide con el eje x, como se muestra en la figura 32. Si c es la distancia del centro a un foco, un foco estará en /•', = (~c, 0) y el otro en F = ( c , 0). Ahora llamaremos 2a a la diferencia constante entre las distancias desde cualquier punto P = ( x , y ) en la hipérbola a los focos F, y F r ÍSi P está en la rama derecha, se usa el signo +; si P está en la rama izquierda, se usa el signo - ) Las coor denadas de P deben satisfacer la ecuación ci{F\, P ) -

la diferencia de ías d stare as de P a Ios focos ce igual a ±'¿a

d (F 2,P ) = ±2a

\ J { x + c)2 + y2 - y / ( x - c)2 + y2 = ± 2(1

Usa la formula de la datartela.

\ / { x + c)2 + y2 = ±2a + \ / ( x - c)2 + y2

Despeja un radical.

(x + c)2 + y2 = 4ci2 ± 4 a \/{ X - c)2 + y 2 Eleva ambos lados al Cuadrado. + (x - c)2 + y2 Ahora eliminamos los paréntesis. x2

+

2cx

+

c2 + y 2

= 4a2 ± 4d

4 x —4 a 2 =

-

± 4 a \ J {x

ex - a2 = ± a \ / ( x

(c* - a2)2 =

\/{x

a 2[ { x

-

c2x 2 - 2 c a 2x + a 4 = a 2( x 2 -

c2x 2 + a4 = a2x 2 +

- c)2

c )2

+

+

y2 + x2 -

Divide cada iado entre 4.

+ y2]

Eleva ambos lados al cuadrado.

2 c x + c2 + y 2) flV

c2 + y 2

Simplifica, despega el radica.

y2

- c)2 + y 2 c)2

+

2cx

Sim p lifica.

+ a 2y2

Elim ina los p a rén te sis y simplifica.

(c2 - a2)x2 - a2y2 = a2c2 - a4

Reordena los términos.

(c2 — a2)x2 - a2y 2 = a2(c2 - a2)

Factcnza

en el lado derecho. (1)

Para obtener puntos en la hipérbola que no estén en el eje x . se debe cumplir que a < c. Para ver por qué, observa de nuevo la figura 32. d (F \,P ) < d ( F 2,P ) + d (F \. F2)

U sa

el tn á n g u lo F PF2.

d (F l , P ) - d ( F 2, P ) < d ( F u F2) 2 a < 2c

p e s t á en la ra m a d (F „ P) d (F.„

d(F j ,

derecha, por lo

ta n to .

P) = 2 a ;

F¿) = 2 c.

a < c

Como a < c, también tenemos que a 2 < c2, entonces c2 - a 2 > b > 0 . Entonces la ecuación (1) se puede escribir como

0.

Sea b :

=

c2 - a2.

b2x 2 - a2y 2 = a2b2 x “2 yy 2 J ~ = 1 Divide cada lado entre a¿ir. a" b Para determinar los vértices de la hipérbola definida por esta ecuación, hacemos y - 0. Los vértices satisfacen la ecuación — = 1, cuyas soluciones son x = ±a. Como consecuencia, los vértices de la hipérbolaTon r , = (-a, 0) y V, = (a. 0). Observa que la distancia del centro (0, 0) a cualquier vértice es a.

S E C C IÓ N 11.4

TEO REM A

799

Ecuación de una hipérbola: con centro en (0,0); eje transversal sobre el ejex Una ecuación de una hipérbola con centro en (0, 0), focos en (-c, 0) y (c, 0) y vértices en (-«, 0) y («, 0) es

ig tira 33

2

La hipérbola

y2

El eje transversal es el eje .v.

J

Ver figura 33. en ellas muestra que, la hipérbola definida por la ecuación (2) es simétrica con respecto al eje x, el eje y y el origen. Para determinar las inter secciones con y, si existen, haz x - 0 en la ecuación (2). Esto da como resultado la y2 ecuación = —1, que no tiene soluciones reales, por lo tanto, la hipérbola definida b2 Jl „2 por la ecuación (2) no tiene intersecciones en y. De hecho, como 1 0, a b2 se deduce que — 1. No existen puntos en la gráfica para —a < x < a .

EJEM P LO 1

D e te rm in a r y t r a z a r la g ráfica de la ecu ació n d e u n a h ip é rb o la Determina la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, un foco en (3,0) y un vértice en (-2 ,0 ). Traza la gráfica de la ecuación.

S o lu ció n

La hipérbola tiene su centro en el origen. Traza el centro, el foco y el vértice. Como todos están en el eje x, el eje transversal coincide con el eje x. Un foco está en (c, 0) = (3, 0), entonces c = 3. Un vértice está en (-a, 0) = (-2, 0), entonces a = 2. De la ecuación (2) se deduce que b2= c2- a2= 9 - 4 = 5, por lo tanto, una ecuación de la hipérbola es ¿ 4

¿ = ! 5

Para trazar la gráfica de la hipérbola, es útil localizar y trazar otros puntos. Por ejemplo, para determinar los puntos arriba y debajo de los focos, hacemos x = ±3. Entonces i i _ t_ = , 4 5

(*3 )2

y2

4

5

x = ±3

9 4 F ig u ra 3 4

5 r 5

5 4 25

y2 = y = ±2 ( „ 5 Los puntos arriba y debajo de los focos son I ± 3 ,determinan la “abertura” de la hipérbola. Ver figura 34.

± 3 , - — Estos puntos

•J

800 ('AI’ÍTIII.O 11 G*om*trl«Analítica COM ENTARIO

¿

Fard otzUmgr U V H k d d e l» h ¿ f+ * A » A -

e b c m o * V a z a r ÍMf> d o

.

h

«

c W

»

*

V

•

*

J

'4

i

-

]f

Y t

* J1*

-

’

\A

y i

f* * « f - v « ’

\

« ' * « •** / < ~ f *

Io £|U0 v«« con la figura M

•

Reiualva «fiori lt M O I l l l t * 19

Una ecuación con la forma de la ecuación (2) es la ecuación de una h»f*rfc(4» con centro en el origen. focos en el eje t en í r, 0) y ir. «I donde r *
Solución

A n álisis de la ecuación de una h ip é rb o la 1 9 r v* Analiza la ecuación: lo 4

La ecuación dada tiene la forma de la ecuación <2), con ir * 16 y b* • 4 La gráfka de la ecuación es una hipérbola con centro en (0 .0 ) y eje transversal sobre el eje < Además, sabemos que r ’ ■ ir * fr* • 16 ♦ 4 * 20. Los vértices están en ( í a. 0 ) « ( x 4, (j) y los focos están en ( t c. Ü) ■( ± 2 V 5 . 0). Para localizar los p u n t o s en la gráfica arriba y debajo de los Iocm. hacrmus x ■ i 2 V 5 . Entonces r Ib

y - I 4

(o v > )~ _ ¿ • I Ib 4 20 Ib

Figura 35 y 4

5 4

(-2V5.1) (2/5.1) V ^ . H . O ) Vj . (4. 0) >A* i i i 1 1 * 'í% • i < V5 * f, a F? ■\ < / (-2/5.0) - (2/5.0)/ X (2/5. -1) (-2V5.-1) -4

. - *2V a

y - I 4 y 4 » y 4

I I 4

¿1 Los puntos arriba y debajo de los focos son ( ± 2 v 1 . 1 ) y ( s 2 \ 5. - I ) . \ er figura 35.

TEOREMA

Ecuación de una hipérbola: con centro en (0,0); eje transversal sobre el eje jr l ’na ecuación de una elipse con centro en (0. oj. focos en (0. - r | v <0. r | s vértices en (0. -«») y (0.
El eje transversal es el eje y .

J

S E C C IÓ N 11.4

figura 36

jy2 x2 f e - ? - '- » - * - *

La hipérbola

801

La figura 36 muestra la gráfica de una hipérbola representativa definida por la ecuación (3). y2 y2 Una ecuación con la forma de la ecuación (2), - 7 ---- 7 = 1, es la ecuación de a b una hipérbola con centro en el origen, focos en el eje x en (-c, 0) y (c, 0), donde c2 = ir + b 2 y eje transversal sobre el eje x. 1 y2 xL Una expresión con la forma de la ecuación (3), - 7 -----7 = 1, es la ecuación de ir

b

una hipérbola con centro en el origen, focos en el eje y en (0, -c ) y (0, c), donde c2 = a2+ b2 y el eje transversal está sobre el eje y. Observa la diferencia entre las formas de las ecuaciones (2) y (3). Cuando el té r mino y 2 se resta del térm ino x 2, el eje transversal está sobre el eje x. Cuando el término .r2 se resta del término y2, el eje transversal está sobre el eje y. EJEM P LO 3

A n á lis is de la ecu ació n d e u n a h ip é rb o la Analiza la ecuación: y 2- 4.v2 = 4

S o lu ció n

Para obtener la ecuación en su forma adecuada, divide cada lado entre 4:

Como el término .v2 se resta del término y2, la ecuación es la de una hipérbola con centro en el origen y eje transversal sobre el eje y. Además, si comparamos la ecua ción anterior con la ecuación (3), determinamos que a2 = 4, b2 - 1 y c2 = a2 + b2 - 5. Los vértices están en (0, ±a) = (0, ±2) y los focos están en (0, ±c) = (0, ± V5). Para localizar otros puntos en la gráfica, hacemos x - ±2. Entonces y2 _ 4x2 = 4

y2 - 4 (± 2 )2 = 4

x

=

±2

y 2 - 16 = 4 y 2 = 20 y = ±2V 5 Otros cuatro puntos en la gráfica son (±2, 2V 5) y (±2, —2V5). Ver figura 37.

EJEM P LO 4

D e te rm in a r la e cu ació n de u na h ip é rb o la Determina la ecuación de la hipérbola que tiene un vértice en (0, 2) y focos en (0, -3 ) y (0, 3). Traza la gráfica de la ecuación.

S o lu ció n Figura 38

Como los focos están en (0, -3 ) y (0,3), el centro de la hipérbola, que está en el punto medio, es el origen. Además, el eje transversal está sobre el eje y. La información dada también nos dice que c = 3, a = 2 y 6 2 = c2 - a 2 = 9 - 4 = 5. La forma de la ecua ción de la hipérbola se da por la ecuación (3):

Hacemos y = ±3 para obtener puntos en la gráfica en cada lado de cada foco. Ver figura 38. Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

21

802

C A P ÍT U L O 11

Geometria analitica

Observa las ecuaciones de las hipérbolas en los ejemplos 2 y 4. Para la hipérbola en el ejemplo 2, a7- Ib y b7= 4. por le» tanto, a > b\ para la hipérbola en el ejemplo 4. ai = 4 y b2* 5, por lí) tanto, a < h. Podemos concluir que para las hipérbolas no exis ten requerimientos con respecto a los tamaños relativos de a y b. Compara esta si tuación con el caso de una elipse, en el que los tamaños relativos de a y h determinan cuál es el eje mayor. Las hipérbolas tienen otra característica que las distingue de las elipses y de las parábolas: las hipérbolas tienen asíntotas.

2 Determinar las asíntotas de una hipérbola Recuerda de la sección 5.2 que una asíntota horizontal u oblicua de una gráfica es una recta con la propiedad que la distancia de la recta a puntos en la gráfica se aproxima a 0 cuando x —»-o o o cuando x - * no. Las asíntotas proporcionan información acerca del comportamiento terminal de la gráfica de una hipérbola.

T EO R EM A

Asíntotas de una hipérbola

A y = 1 tiene las dos asíntotas oblicuas La hipérbola -= a" tr b y = -X a

y

V

7 '

b X a

=

(4)

J D e m o s t ra c ió n

Empezamos resolviendo para y en la ecuación de la hipérbola. 2

2

o2

h2 r = £ _ i ¿r ar

i 1

Como .v # 0, podemos reordenar el lado derecho de la siguiente forma ,

b2x2 í

y

a V

< r\

x*

Ahora, conforme x —* - o o o x —* o o . el término — tiende a 0. por lo que la expresión jr debajo del radical tiende a 1. Por lo tanto, conforme x —» —oo o x —* oo, el valor de y tiende a ±

es decir, la gráfica de la hipérbola se acerca a la línea b v = — .v a

b v = -x a

Estas rectas son asíntotas oblicuas de la hipérbola. Las asíntotas de una hipérbola no son parte de ella, pero sirven como guía para trazar su gráfica. Por ejemplo, considera que queremos obtener la cráfica de la ecuación .v ■)

a~

yr b2

1

1 S E C C IÓ N 11.4

La hipérbola

803

Empieza trazando los vértices (-a, 0) y (a, 0). Después traza los puntos (0, -b ) y (0, b) y usa estos cuatro puntos para construir un rectángulo, como se muestra en la figura 39. Las diagonales de este rectángulo tienen pendientes —y — y sus extensiones son a a . b b las asíntotas y — —x y y = ~ ~ x de la hipérbola. Si trazamos las asíntotas, podemos

= (a, 0)

TEO REM A

usarlas para establecer la “abertura” de la hipérbola y evitar trazar más puntos.

Asíntotas de una hipérbola La hipérbola

y2

jc2 ---- - = 1 tiene las dos asíntotas oblicuas a2 b2

J Se te pide que demuestres este resultado en el problema 84. Para el resto de esta sección, la indicación “Analiza la ecuación” significará de terminar el centro, el eje transverso, los vértices, los focos, las asíntotas y la gráfica de la hipérbola. EJEM P LO 5

A n á lisis de la e cu ació n de u n a h ip é rb o la y2

Analiza la ecuación:

----- x 2 - 1 4

S o lu ció n Como el término x2 se resta del término y 2, la ecuación tiene la forma de la expresión (3) y es una hipérbola con centro en el origen y eje transversal sobre el eje y. Además, si comparamos la ecuación anterior con la (3), determinamos que a2 = 4, b2- 1 y c2= a2+ bz = 5. Los vértices están en (0, ±a) = (0, ±2) y los focos están en

F ig u ra 4 0

(0, ±c) = (0, ± V5). Usando la ecuación (5) con a = 2 y b = 1, las asíntotas son las a _ rectas y = —x = 2x y y - ^ x - ¿x_ Forma el rectángulo que contiene los puntos (0, ±a) = (0, ±2) y (± b , 0) = (± 1, 0). Las extensiones de las diagonales de este rectán gulo son las asíntotas. Ahora traza la gráfica del rectángulo, las asíntotas y la hipér bola. Ver figura 40. I

EJEM P LO 6

A n á lisis de la ecu ació n de u na h ip é rb o la Analiza la ecuación: 9x2- 4y 2= 36 Divide cada lado de la ecuación entre 36 para obtener la forma adecuada de la ecuación.

El centro de la hipérbola es el origen. Como el término x 2 aparece primero en la ecuación, el eje transversal está sobre el eje x y los vértices y los focos estarán en el eje x. Usando la ecuación (2), determinamos que a2 = 4, b2= 9 y c2 = a2 + b2 = 13. Los vértices están a a = 2 unidades a la derecha y a la izquierda del centro en

804

C A P ÍT U L O

II


(±a 0) « ( J:2 0), los focos cslíín a c - V O unidades a la derecha y a la izquierda del centro en (±c, 0) = (± V O ,0 ), y las asíntotas tienen las ecuaciones

F ig u ra 41

b

3

h

3

Para trazar la gráfica de la hipérbola, forma el rectángulo que contiene los puntos /,! . i v i ... i ^ /it /O /II //I 11\j (í I I í*irfí-m i/iru-K rli' l:
Resuelve ahora

il

problema

31

Si una hipérbola con centro en el origen y eje transversal sobre un eje de coorde nadas se corre h unidades horizontalmentc y después k unidades verficalmcntc. el resultado es una hipérbola con centro en í/i. k) y eje transversal paralelo a un eje de coordenadas. Las ecuaciones de tales hipérbolas tienen las mismas formas que las que se dan en las ecuaciones (2) y (3), excepto que r se sustituye por x - h (el corri miento horizontal) y y se sustituye por y - k (el corrimiento vertical). 1.a tabla 4 da las formas de las ecuaciones de tales hipérbolas. Observa la figura 42 con gráficas representativas. E c u a c io n e s d e u n a h ip é r b o la : c o n c e n t r o e n [h.k); e je t r a n s v e r s a l p a r a le lo a u n e je d e c o o r d e n a d a s Eje C e n tro

tra n sv e rsa l

Focos

(h,k)

Paralelo al e je x

ih

± c,

E c u a c ió n

V é rtice s

k)

(h ± a , k )

ix -h i2

Paralelo al eje y

( h , k ± c)

( h , k ± o)

i y ~ k)2 b3 - c 3 - a 1

a3

(h,k)

A s ín t o t a s

i y - k)2

~

b3 (x -

'

2

b o

U -

h)

-

h)

h)1 b3 - c 2 - o 3

a2

y - k -

bJ

y - k *

’•

b

F ig u ra 42

N OTA No e s recom endable memoriz a r la ta b la 4. Mejor, u sa la s ¡deas de tra n sfo rm a c io n e s (tra s la c ió n unid ad es horlzontalm ente,

k

h

unida

d e s v e rtlcalm en te) ju n to con el hecho de que a re p re se n ta la d is ta n c ia del

centro

a los v é rtice s, c re p re se n ta

la d is ta n c ia del

centro a los a?- + b2).

fo co s y

b2 = c 2 - a 2 (o c2 =

■

(a) (2 L z^ _ < y zA ? =1 a2 b2 |

EJEM P LO 4

(* b2

s 1

1 D e te rm in a r la e cu a c ió n d e u n a h ip p rh n l^ co n ce n tro d ife re n te d el o rig e n Determina la ecuación de la hipérbola con centro en (1. -2 ). un foco en (4. -2 ) v un vértice en (3, -2). Traza la gráfica de la ecuación.

So lu ció n

El centro está en (/i, k) = (1, -2). entonces li = 1 v A = -2. Como el centro, el foco v el vértice están sobre la recta y = -2. el eje transversal es paralelo al eje jr. La distancia

S E C C IÓ N I M

U hipérbola

805

Eie

V — 2 2 -------------- --------- =

4

Divide cada Iado entre 4.

1

Esta es la ecuación de una hipérbola con centro en (-1, 2) y eje transversal pa ralelo al eje y. Además, a2 = 1 y b: = 4, entonces c2 = a2 + b 2 = 5. Como el eje trans versal es paralelo al eje y, los vértices y los focos se localizan a a y c unidades arriba y debajo del centro, respectivamente. Los vértices están en (/i, k ± n) = (-1, 2 ± 1) o (-1, 1) y (-1, 3). Los focos están en

{h ,

k ± c) = ( - 1 ,2 ± V 5). Las asíntotas son

y - 2 = ~ (x + 1) y y - 2 = - ^(.r + 1). La figura 44 muestra la gráfica.

Resuelve ahora EL PROBLEMA

55

4 Solución de problem as aplicados que involucran hipérbolas Ver figura 45. Considera que tres micrófonos se localizan en los puntos O v O, y O, (los focos de las dos hipérbolas). Además, considera que se dispara una pistola en S y el micrófono en 0 { graba el disparo 1 segundo después del micrófono en Ov Como el sonido viaja a aproximadamente 1100 pies por segundo, podemos concluir que el micrófono en O t está 1100 pies más lejos del disparo que el micrófono O,. Podemos modelar esta situación diciendo que S está en una rama de la hipérbola con focos en O | y (7,. (¿Puedes ver por qué? La diferencia en las distancias de 5 a O, y de 5 a O, es la constante 1100.) Si el tercer micrófono en O, graba el disparo 2 segundos después que O r entonces S estará en la rama de una segunda hipérbola con focos en y Oy En este caso, la diferencia constante será de 2200. La intersección de las dos hipérbo las identificará la ubicación de S.

Figura 45

EJEMPLO 9

i

D escarg as de rayo s Considera que dos personas que están a 1 milla de distancia una de la otra ven caer un rayo. Después de cierto tiempo. La persona que está en el punto A oye el trueno. Un segundo más tarde, la persona que está en B oye el trueno. Si la persona en B está

806

CAPÍTULO II


al oeste de la persona en A y se sabe que el rayo cayó al norte de la persona que está en el punto A , ¿dónde cayó el rayo/

So lución

Observa la figura 46 en la que el par ordenado (x, y) representa la ubicación de la des carga del rayo. Sabemos que el sonido viaja a 1100 pies por segundo, así que la persona en el punto A está 1100 pies más cerca de donde cayó el rayo que la pcrvma en el punto H Como la diferencia de la distancia entre í.r. y) a H y la distancia de (x .y ) a A es la constante 1100, el punto (x, y) está en la hipérbola cuyos focos están en A y en //

Figura 46

Norte

x

y2

a2 donde 2a = 1100, entonces a = 550. Como la distancia entre las dos personas es de 1 milla (52*0 pies) y cada persona está en un foco de la hipérbola, tenemos que 2c = 5280 5280 = 2640 c = Como b1= c2- a2= 2640: - 5502= 6.667. KX), la ecuación de la hipérbola que describe la ubicación de la descarga del rayo es x_ 5502

6.667,KX)

= 1

Consulta la figura 46. Como la descarga del rayo ocurrió al norte de la persona en al punto A - (2640,0), hacemos x = 2640 y resolvemos la ecuación resultante. 26402 5502

v2 = 1 6.667.100 6,667,1(X)

= -22.04

y~ = 146,942,884 y

= 12,122

264O2 Rest-a---- de ambe-s 55CT Multiplica ambo» lado» por -6.667.1OO. y>

0

porque la

J re < .s'a a d d

raye ocjmé

en el cuadrante I. La descarga del rayo ocurrió a 12.122 pies al norte de la persona que está en el punto A. y Verifica: La diferencia entre la distancia de (2640. 12. 122) de la persona en el punto B = (—2640, 0) y la distancia de (2640. 12. 122) a la persona en el punto /) = (2640. 0) debe ser de 1KX). Usando la fórmula de la distan cia, determinamos que la diferencia en las distancias es de \ / [2640 - ( 2640)]2 + (12,122 - 0)2 - \/( 2 6 4 0 - 2640)2 + (12.122 - 0)2 = 1KX) como se requiere.

Resuelve ahora

EL P R O B L E M A

I 75

S E C C IÓ N 11.4

La hipérbola

807

11.4 E v a l ú a t u e n t e n d i m i e n t o ¿Estás listo? Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas i entre paréntesis. X. La distancia d de F, = (3, -4 ) a P2 = (-2, 1) es ¡V » KU - ín (P -151) 2. Para completar el cuadrado de x2 + 5jc, suma_______ (P- 56)

3. Determina las intersecciones de la ecuación y2 = 9 + 4x2. (p p .159-160) 4.

Verdadero ofalso La ecuación y2= 9 + x2es simétrica con respecto al eje x, al eje y y al origen, (pp. 160-162)

5. Para trazar la gráfica de y = (x - 5)3 - 4, corre la gráfi ca de y = x3 _______ unidades a la (derecha/izquierda) y después _______ unidades hacia (arriba/abajo). (pp. 244-253) 6. Determina las asíntotas verticales, si existen y la asíntota x2 - 9 horizontal u oblicua, si existe, de y = —;--- -. (pp. 345-348) x - 4

Conceptos y vocabulario 7. U na____ es la colección de los puntos en el plano cuya diferencia de las distancias a dos puntos fijos es una constante. 8. En una hipérbola, los focos están en una recta llamada el

9. La ecuación de la hipérbola es de la forma

(b)

a2 {y - k)2

b2 {x - h)2

Resuelve los problemas 9-11 usando la figura. 10. 11. 12. 13.

Si el centro de la hipérbola es (2, 1) y a = 3, entonces las coordenadas de los vértices son_______ y ________ Si el centro de la hipérbola es (2, 1) y c = 5, entonces las coordenadas de los focos son_______ y ________ En una hipérbola, si a = 3 y c = 5, entonces b = _______ x2 y2 En la hipérbola —------- = 1, el valor de a e s ________ , el valor de b es

y el eje transversal es el eje „2

14.

=1

jf2

En la hipérbola - ------- = i , las asíntotas son y _______ 16 81

Ejercicios En los problemas 15-18, se da la gráfica de una hipérbola. Asocia cada gráfica con su ecuación.

En los problemas 19-28, determina una ecuación para la hipérbola descrita. Traza la gráfica de la ecuación. \

19. Centro en (0,0); foco en (3,0); vértice en (1,0)

\ 21. Centro en (0, 0); foco en (0, -6); vértice en (0, 4) 23. i

Focos en (-5,0) y (5,0); vértice en (3,0)

20. Centro en (0,0); foco en (0,5); vértice en (0,3) 22.

Centro en (0,0); foco en (-3, 0); vértice en (2,0)

24.

Foco en (0, 6) y (5,0); vértices en (0, -2) y (0, 2)

25.

Vértices en (0, -6) y (0, 6); una asíntota es la recta y = 2x

26.

Vértices en (-4,0) y (4,0); una asíntota es la recta y = 2x

27.

Focos en (-4,0) y (4, 0); una asíntota es la recta y = —x

28.

Focos en (0, -2) y (0, 2); una asíntota es la recta y = - x

808

CAPÍTULO 11 ,a ,

*


p ro b a s

y2 25 9 y2 - 9*2 = 9 *2

29-36,d t t e m b u

30. 34.

el

y2 *2 = 1 16 4 x2 - y2 = 4

\

cenlro, e! e,c

c e r e a l,

la,eérUce, la , f a

31.

4*2 - y2 = 16

32.

4y2 - x2 * 16

35.

y2 - *2 = 25

36.

2x2 - y2 = 4

En los problemas 37-40, escribe una ecuación para cada hipérbola.

En los problemas 41-48, determina una ecuación para la hipérbola descrita. Traza la gráfica de la ecuación. 42. Centro en (-3, 1); foco en (-3,6); vértice en (-3.4) \ 41. Centro en (4, -1); foco en (7, -1); vértice en (6, -1) 44. Centro en (1,4); foco en (-2.4); vértice en (0.4) 43. Centro en (-3, -4); foco en (-3, -8); vértice en (-3, -2) 45. Focos en (3, 7) y (7,7); vértice en (6,7) 47. Vértices en (-1, 1) y (3, -1); una asíntota es la recta

46. Foco en (-4,0); vértices en (-4. 4) y (-4. 2) 48. Vértices en (1, -3) y (1, 1); una asíntota es la recta

y + i = |(x - í)

y + 1= |(x-l)

En los problemas 49-62, determina el centro, el eje transversal, los vértices, los focos y las asíntotas. Traza la gráfica de cada ecuación. (y + 3)2 (x - 2 2 50. —----- - - -------- - = 1 4 9

5L

(y - 2)2 - 4(x + 2)2 = 4

52. (* + 4)2 - 9(y - 3)2 = 9

53. (* + l)2 - (y + 2)2 = 4

54.

(y - 3)2 - (* + 2)2 = 4

55. x2 - y2 - 2x - 2y - 1 = 0

56. y2 - x2 - 4y + 4x - 1 = 0

57.

y2 - 4X2 —4y — 8* - 4 = 0

58. 2x2 - y2 + 4x + 4y - 4 = 0

59. 4*2 - y2 - 24* - 4y + 16 = 0

60.

2 r - x2 + 2x + 8y + 3 = 0

49

\

~ 2>2 _ ^ + 3>2 = j 4 9

61. y2 - 4*2 - 16* - 2y - 19 = 0

6y + 4 = 0

62. x2 - iy 2 + 8*

En los problemas 63-66, traza la gráfica de cada función. Asegúrate de marcar cualquier intersección. [Sugerencia: Observa que cada función es la mitad de una hipérbola.] 63.

/(*)

=

V 16

+

4*2

64.

/(*)

= -\/9 +

9 *2

65.

/(*) =

-\/-2 S

+ .r2

66.

/(*) =

\/~ \

+

jt

Práctica mixta ----------------------En los problemas 67-74, analiza cada cónica. 6 7 . Í ^ _ Z

4

25

= 1

70. y2 = -12(* + 1)

68. (y + 2)2 (* - 2)2 = 1 16 4 71. 25*2 + 9y2 - 250* + 400 = 0

73. *2 - 6* - 8y - 31 = 0

69.

x2 = 16(y - 3)

72.

x2 + 36 v2 - 2* + 288 v + 541 = 0

74. 9.V2 - y2 - 18* - 8y - 88 = 0

Aplicaciones y extensiones \

75. Despliegue de fuegos artificiales Considera que dos per sonas que están a 2 millas una de la otra ven un des pliegue de fuegos artificiales. Después de un periodo de tiempo, la persona que está en el punto A oye la

explosión. Un segundo más tarde, la segunda persona que está en el punto B oye la explosión. Si la persona en el punto B está al oeste de la persona en el punto A y si se sabe que el despliegue ocurrió al norte de la persona

S E C C IÓ N 11.4

en el punto A, ¿dónde ocurrió el despliegue de fuegos artificiales? Considera que dos personas que están a 1 milla de distancia una de la otra ven caer un rayo. Después de cierto tiempo. La persona que está en el punto A oye el trueno. Dos segundos más tarde, la persona que y . está en B oye el trueno. Si la persona en B está al oeste de la persona en A y se sabe que el rayo cayó al norte de la persona que está en el punto A, ¿dónde cayó el rayo? 77. Planta de energía nuclear Algunas plantas de energía nu clear utilizan torres de enfriamiento de “corriente natural” con la forma de un hiperboloide, un sólido que se obtiene ha ciendo girar una hipérbola sobre su eje conjugado. Considera que una de esas torres tiene un diámetro en la base de 400 pies y que el diámetro en su punto más angosto, que está a 360 pies sobre el suelo, es de 200 pies. Si el diámetro en la parte superior de la torre es de 300 pies, ¿cuál es la altura de la torre? Fuente: Bay Area Air Quality Management District 78. U n a explosión Se colocan dos grabadoras a 2400 pies una de la otra, con la grabadora en el punto A al oeste de la graba dora en el punto B. En un punto entre las grabadoras, a 300 pies del punto B, se detona una pequeña cantidad de explo sivos. Las grabadoras registran el tiempo que tarda en llegar el sonido a cada una. ¿A qué distancia directamente al norte del punto B se debe llevar a cabo una segunda explosión para que la diferencia en el tiempo que registran las grabadoras sea igual que aquella para la primera detonación? 79. E xperim ento de R utherford En mayo de 1911, Ernest Ru therford publicó un artículo en Philosophical Magazine. En este artículo describió el movimiento de las partículas alfa cuando se disparan hacia un pedazo de lámina de oro de 0.00004 cm de espesor. Antes de conducir este experimento, Rutherford esperaba que las partículas alfa traspasaran la lámina de la misma forma que una bala traspasa la nieve. En cambio, una pequeña fracción de las partículas alfa rebotó en la lámina. Esto lo llevó a la conclusión de que el núcleo de un átomo es sólido, mientras que el resto del átomo es poco denso. Únicamente la densidad del núcleo puede cau sar que las partículas alfa se desvíen de su trayectoria. La figura muestra un diagrama del artículo de Rutherford que indica que las partículas alfa desviadas siguen una trayecto ria con forma de la rama de una hipérbola.

809

Las hipérbolas tienen propiedades de reflexión interesantes que las hacen útiles para lentes y espejos. Por ejemplo, si un rayo de luz pega en un espejo hiperbólico convexo en una recta que debería pasar (teóri camente) por su foco trasero, ésta se refleja por el foco de lantero. Esta propiedad, y la de la parábola, se usaron para desarrollar el telescopio Cassegrain en 1672. El foco del espejo parabólico y el foco trasero del espejo hiperbólico son el mismo punto. Los rayos se recopilan por el espejo parabólico, se reflejan hacia el foco (común) y de ahí se re flejan por el espejo hiperbólico a través de la abertura a su foco delantero, donde se localiza el ocular. Si la ecuación

80. E sp ejo s h iperb ólicos

76. D escargas d e rayos

O

(a) Determina una ecuación de las asíntotas bajo estas condiciones. (b) Si el vértice de la trayectoria de las partículas alfa está a 10 cm del centro de la hipérbola, determina un mo delo que describa la trayectoria de la partícula.

La hipérbola

de la hipérbola es

81.

82.

83.

84.

?

— = i y la longitud focal (distancia 16 del vértice al foco) de la parábola es de 6, determina la ecuación de la parábola. Fuente: www.enchantedlearning.com La excentricidad e de una hipérbola se define como el Q número - , donde a es la distancia de un vértice al centro y a c es la distancia de un foco al centro. Como c > a, se dedu ce que e > 1. Describe la forma general una hipérbola cuya excentricidad sea cercana a 1. ¿Cuál es su forma si e es muy grande? Una hipérbola en la que a = b se llama hipérbola equilátera. Determina la excentricidad e de una hipérbola equilátera. [Nota: La excentricidad de una hipérbola se define en el problema 81.] Dos hipérbolas que tienen el mismo juego de asíntotas se llaman conjugadas. Demuestra que las hipérbolas xji - y2 = 1 y Y - 7 - ‘ T son conjugadas. Traza la gráfica de cada hipérbola en los mismos ejes de coordenadas. Demuestra que la hipérbola i

.

A

tiene las dos asíntotas oblicuas a y = -x y y =

a ~bX 85. Demuestra que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2+ Cy2+ F= 0 A * 0 ,C * 0 ,F * 0 donde A y C tienen signos opuestos, es una hipérbola con centro en (0, 0). 86. Demuestra que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2+ Cy2+ Dx + Ey + F= 0 A ^ 0 , CVO donde A y C tienen signos opuestos, D2 E2 (a) es una hipérbola si----- 1--------F # 0. F 4A 4C , D2 E2 (b) son dos rectas que se intersectan si----- 1--------F = 0. M 4A 4C

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. 5V2

2. —

3. (0,-3), (0,3)

4.

Verdadero

5. 5; derecha; 4; abajo 6. Vertical: x = -2, x = 2; horizontal: y = 1

810

C A P ÍT U L O 11

Geometria analitica

-N.

11.5 Rotación de ejes; forma general de una cónica P r epa ra c ió n p a r a esta secció n Antes de empezar, repasa tu siguiente: .

Fórm ulas de la sum a para d se n o y el co sen o (secció n S.5. pp. 640 y 643) F órm ulas de m ed io á n g u lo para el se n o y el c o s e n o

•

F ó r m u la , d e á n g u lo d o b le p ara e l (se c c ió n 8 .6 , p. 6 5 2 )

seno y e l

C A en o

(sec ció n 8.6, p. 656)

. Resuelve ahora los p ro b le m a s d e

la se c c ió n

“¿Estás listo?" d e

la p á g in a 81 6.

OBJETIVOS 1 Identificar una cónica (p. 810) 2 Usar una rotación de ejes para transformar ecuaciones (p. 811) 3 Analizar una ecuación usando una rotación de ejes (p.8163) 4 Identificar cónicas sin una rotación de ejes (p.815)

En esta sección veremos que la gráfica de una función polinomial de segundo grado general que contiene dos variables, x y y, es decir, una ecuación de la forma A x2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey +

F

(1)

=0

donde A, B y C no son simultáneamente 0, es una cónica. No nos ocuparemos aquí de los casos degenerados de la ecuación (1), como x 2+ y 2= 0. cuya gráfica es un solo punto (0,0); x2+ 3y2+ 3 = 0, cuya gráfica no contiene puntos, o x 2 - 4y 2 = 0. cuya grá fica son dos rectas, x - 2y = 0 y x + 2y = 0. Empezaremos con el caso donde B - 0. En este caso, el término que contiene a xy no está presente, por lo que la ecuación (1) tiene la forma A x 2+ Cy2+ Dx + Ey

+ F=

0

donde /l * 0 o C * 0.

%1' Identificación de una cónica Ya hemos estudiado el procedimiento para identificar la gráfica de este tipo de ecua ción, completamos los cuadrados de las expresiones cuadráticas en .r o en y o en ambas. Una vez que hemos hecho esto, la cónica se puede identificar comparándola con una de las formas que estudiamos en las secciones 11.2 a la 11.4. Podemos identificar la cónica directamente de la ecuación sin completar los cua drados. TEOREM A

Identificación de cónicas sin completar los cuadrados Si excluimos los casos degenerados, la ecuación A x2 + C>’: + Dx + Ey + F = 0 donde A y C no pueden ser ambas cero: (a) define una parábola si A C = 0. (b) define una elipse (o un círculo) si A C > 0. (c) define una hipérbola si A C < 0.

(2)

J

Demostración (a) Si A C - 0, entonces A = 0 o C = 0, pero no ambas, así que la forma de la ecuación (2) es A y2+ Dx + Ey + F,

,4 * 0

Cy2+ Dx + Ey + F,

C* 0

S E C C IÓ N 11.5

Rotación de ejes; forma general de una cónica

811

Usando los resultados de los problemas 78 y 79 en el ejercicio 11.2, se deduce que, excepto por los casos degenerados, la ecuación es una parábola. (b) Si /1C > 0, entonces A y C tienen el mismo signo. Usando los resultados del pro blema 84 en el ejercicio 11.3, excepto por los casos degenerados, la ecuación es una elipse. (c) Si A C < 0, entonces A y C tienen signo opuesto. Usando los resultados del pro blema 86 en el ejercicio 11.4, excepto por los casos degenerados, la ecuación es una hipérbola. No nos ocuparemos de los casos degenerados de la ecuación (2). Sin embargo, en la práctica, debes estar alerta por la posibilidad de degeneración. EJEMPLO 1

Id e n tific a r u n a có n ica sin c o m p le ta r los cu ad rad o s Identifica la gráfica de cada ecuación sin completar los cuadrados. (a) 3*2+ 6y2+ 6.x - 12y = 0 (b) 2x2- 3y: + 6y + 4 = 0 (c) y 2- 1.x + 4 = 0

S o lu c ió n

(a) Comparamos la ecuación dada con la ecuación (2) y concluimos que A = 3 y C = 6. Como A C = 18 > 0, la ecuación define una elipse. (b) Aquí A - 2 y C = -3 , entonces A C = -6 < 0. La ecuación define una hipérbola. (c) Aquí A = 0 y C = 1, entonces A C = 0. La ecuación define una parábola. .

Resuelve ahora

EL

11

PROBLEMA

Aunque ahora podemos identificar el tipo de cónica representada por una ecua ción con la forma de la ecuación (2) sin completar los cuadrados, aún debemos com pletar los cuadrados si queremos obtener información adicional acerca de la cónica, como su gráfica.

2 Usar una rotación de ej’es para transform ar ecuaciones

47

(a)

Ahora enfocaremos nuestra atención a ecuaciones con la forma de la ecuación (1), donde 5 ^ 0 . Para analizar este caso, introducimos un nuevo procedimiento; la rota ción de ejes. En una rotación de ejes el origen se mantiene fijo mientras el eje x y el eje y giran un ángulo 0 a una nueva posición, las nuevas posiciones de los ejes x y y se denotan por x' y y', respectivamente, como se muestra en la figura 47(a). Ahora observa la figura 47(b). Ahí el punto P tiene las coordenadas (x , y) re lativas al plano xy, mientras el mismo punto P tiene coordenadas (x1, y') relativas al plano x'y'. Queremos determinar relaciones que nos permitan expresar x y y en términos de x', y' y 0. Como muestra la figura 47(b), r denota la distancia del origen O al punto P y a denota el ángulo entre el eje x' positivo y el rayo que va de O a P. Entonces, usando las definiciones del seno y el coseno, tenemos que x' —r eos a y ’ —r sen a (3) x = r cos(0 + a) y = r sen(0 + a) (4) Ahora, x = r cos(0 + a) = r(cos 0 eos a —sen 0sena) A plica la fórm ula de la su m a p ara el co sen o. = (r eos a)(cos 0) - (/-sena)(sen0) = x' eos 0 — y' sen0

Por la ecuación (3 )

De manera similar, y = r sen(0 + a) (b)

= r(sen 6 COS a + eos 0sena) = x' sen0 + y' eos 0

A plica la fórm ula de la su m a p a ra el seno. Por la ecuación (3 )

812

C A P ÍT U L O I I

Geometria analitica

TEO REM A

Fórmulas de rotación

Si los ejes x y y se giran un ángulo ti, las coordenadas ( x , y ) de un punió /' relativo al plano x y y y las coordenadas ( x \ y ' ) del mismo punto relativo a lo* nuevos ejes x' y y ' se relacionan por las fórmulas x

= x'cos ti - y'sen 0

y m

------------------EJEM P LO 2

*'scn ti + y'cos ti

(5)

"

J

R otació n de ejes Expresa la ecuación x y = 1 en términos de las nuevas coordenadas ejes un ángulo de 45°. Analiza la nueva ecuación.

Solución

Sea 9

=

x 'y '

girando lo*

45° en la ecuación (5). Entonces

y =

\Í2 . \Í2 \Í2 -----y ' - y = - y (-*’

eos 45° -

y'

sen 45°=

x'scn45n+

y'

eos 45° = x ' —y

x - x'

x' —

Vi

Vi

~

/)

V i,

+ y '- y = -y (x ' + / )

Sustituyendo estas expresiones por x y y en x y = 1, obtenemos

'V i, , — (x - y

)

\V i. , — (*

,.1 +y)

i ( j ' ! - .v’! ) - I — - 2L! = i 2 2 Esta es la ecuación de la hipérbola con centro en (0. 0) y eje transversal sobre el eje .v'. Los vértices están en ( ± V 2 .0 ) en el eje x', las asíntotas son v' = x y y - - x (que corresponden a los ejes x y y originales). Ver gráfica de la figura 4#. Como ilustra el ejemplo 2, una rotación de ejes en un ángulo apropiado puede transformar una ecuación de segundo grado en x y y que contiene un término j » en una rotación en y y', en la que no aparece un término x'y'. De hecho, demos traremos que una rotación de ejes en un ángulo apropiado transformará cualquier ecuación con la forma de la ecuación ( 1) a una ecuación en .r' y y’ sin un término xV. Para determinar la fórmula para escoger un ángulo 9 apropiado para girar los ejes, empezamos con la ecuación (1), Av: + Bxy + Cy: + Dx + Ey + F = 0 Ahora se giran un ángulo A {x'

eos 9

9

B

* 0

usando las fórmulas de rotación (5).

- y ' sene ) 2

+

B {x'

eo s 9

-

y'sen 0)(x'sen0 + v’ cosfl)

+ C(.v’sentí + y ’ costì)* + D (x' costì - y 'sentì) + £ (x 'sen tì + y ' costì) + F = 0 Desarrollando y agrupando los términos semejantes, obtenemos (A eos2 9 + flsentì costì + Csen2 0).v'2 +

[B (cos2 9

- sen ; tì) + 2(C - A )(sentìcos d )]x'y'

+ (A seiftì - fi sentì costì + C c o r tì)y’2 + (D costì + E sentì)x' + (-D s e n tì + E costì) v' + F = 0 En la ecuación (6), el coeficiente de .v' v’ es B ( cos: tì -

sen3tì) + 2(C - A)(sen tì cos tì) = 0

(6)

S E C C IÓ N 11.5


813

Como queremos eliminar el término x'y', elegimos un ángulo 0 de manera que este coeficiente sea 0. B(eos2 8 - sen2 8) + 2(C - A)(sen 8 eos 0) = 0 B (eos2 8 - sen2 8) + 2(C - A)(sen8 eos 8) - 0 B cos(20) + (C - A)sen(20) = 0

V -

Fórm ulas

de

ángulo doble

B cos(20) = (A - C)sen(20) A -C B

cot(20) =

TEO REM A

Para transformar la ecuación A x 2 + Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F —0

A D V E R T E N C IA Ten cu id ad o j u s e s una

calculadora

B^ 0

en una ecuación en x' y y' sin término x'y', gira los ejes un ángulo 0 que satisfaga la ecuación

cuando

p ara

| la ecu ació n (7). 1 1. S i c o t(2 0 ) = O, e n to n c e s 2

B ± 0

cot(20) -

90°

A -C B

(7)

y 0 = 4 5 °.

J

2 . S ic o t ( 2 0 ) ^ O, prim ero d e te rm in a c o s ( 2 0 ) . D e s p u é s u s a la s t e c la s de la función c o se n o inv erso p a ra o b te n e r 2 0 ,

0° < 2 0

< 1 6 0 °. P o r úl

tim o , divide e n tr e 2 p a ra o b te n e r el ángulo ag ud o u c o rre sp o n d ie n te .

■

La ecuación (7) tiene un número infinito de soluciones para 0. Adoptaremos la convención de elegir un ángulo agudo 0 que satisfaga a (7). Existen dos posibilidades: Si cot(20) > 0, entonces 0o < 20 < 90°, por lo tanto, 0o < 0 < 45°. Si cot(20) < 0, entonces 90° < 20 < 180°, por lo tanto, 45° < 0 < 90°. Cada uno da como resultado una rotación de los ejes en dirección opuesta a las manecillas del reloj un ángulo agudo 0.*

Analizar una ecuación usando rotación de ejes Por el resto de esta sección, la instrucción “Analiza la ecuación” significará transfor mar la ecuación dada de manera que no contenga término xy y trazar la gráfica de la ecuación. EJEM P LO 3

A n a liz a r u n a e cu ació n usan d o ro ta ció n de ejes Analiza la ecuación: x 2 + “s /^ x y + 2y2 - 10 = 0

S o lu ció n

Como el término xy está presente, debemos rotar los ejes. Usando A - l , B = V 3, y C = 2 en la ecuación (7), el ángulo agudo 0 apropiado para girar los ejes satisface la ecuación A —C —1 v/3 cot(20) = — - — = — = = ---- — B V3 3

0o < 20 < 180°

V3 Como cot(20) = — — , determinamos 20 = 120°, entonces 0 = 60°. Usando 0 = 60° en las fórmulas de rotación (5), determinamos que jc =

x'cos60° - / s e n 60°= ^ x ' \fn

y = x'sen60°+ /e o s 60° =

*

~ \{ x' ~

y ')

i i + t / = - ( V 3 jc' + y')

A —C B

Cualquier rotación en un ángulo 6 que satisfaga cot(20) = — - — eliminará el término x 'y'. Sin em-

bargo, la forma final de la ecuación transformada puede ser diferente (pero equivalente), dependiendo del ángulo que se escoja.

814

C A P ÍT U L O 11

Geometria analitica

Sustituyendo estos valores en la ecuación original y simplificando, tenemos que

x2 + i ( , . . v y ) ! + V ¡ \U i- -

+ 2 / - 10 » 0

♦ /)] +

♦ y)

10

Multiplica ambos lados por 4 y desarrolla para obtener '2 - 2 \/3 x ' y ' + 3y ' 2

+ V l(V lx '2 -

2x ' y '

V 7 y ' 7 ) + 2(*x'2 + 2 \ f i x ' /

+ y ' 2) • ih W x'2 ♦ 2 / 2 » 4f/

-

x '2

Vs Figura 49

y

xe

1\ l

*V (2.0) X 60X 1 1^ Mi 1 V 1 \ X

(-2.0) X

* 2íJ

Esta es la ecuación de una elipse con centro en (0.0) y eje mayor sobre el eje / , vértices están en 0. ±2 V 5 x en el eje y'. Ver gráfica de la figura 40.

v

ye

4

y ’2

m i - Resuelve«hora t i m o n t o

Un,

31

En el ejemplo 3. el ángulo agudo 8 que usamos para girar los ejes íuc fácil de determinar por los números que usamos en la ecuación dada. l:n general, la ecuación A - C no tendrá una solución tan “bonita“. Como muestra el siguiente li

ejemplo, aún así, podemos determinar las fórmulas de rotación apropiadas sin tener que usar una aproximación con una calculadora aplicando las fórmulas de medio ángulo EJEM P LO 4

A n a liz a r una ecu ació n usan d o u na ro ta c ió n de eje s Analiza la ecuación: 4.v2 - 4xy +

So lución

Haciendo A = 4, los ejes satisface

li

y2

+ 5 v 5j: + 5 = 0

= -4 y C = 1 en la ecuación (7). el ángulo B apropiado para girar , , n, cot(20) =

3 -4

A - C li

3

Para usar las fórmulas de rotación (5), debemos conocer los valores de sen B s eos B Como queremos determinar un ángulo agudo B . sabemos que sen > 0 y eos# > 0. I sa las fórmulas de medio ángulo en la forma sen

f1

~ eos(2/9)

*->/—

1 + cos(2¿)

j - 1

™ e = \¡ —

r ~

Ahora debemos determinar el valor de cos(2fl). Como cot(20) *= 90° < 2 8

<

180° (¿puedes ver por qué?), por lo tanto. cos(2 B )

—

eos 8

-

4

Entonces

. . . Í S S

=

1 + cos(2tf)

1+

(

5

)= 7

2

Con estos valores, las fórmulas de rotación (5) son

V

1 5 “ v7 "

entonces

V5 5

S E C C IÓ N 11.5


815

Si sustituimos esos valores en la ecuación original y simplificamos, obtenemos 4.r2 - 4.r_y + y 2 + 5\/5.v + 5 = 0 Vs

( x 1 - 2y') +

- 4

V5

(x' - 2 / )

(2.v' + y')

^ ( 2 * ' + y ’)

+ 5V 5

- 2 /)

= -5

Multiplica ambos lados por 5 y expande para obtener 4(.v'2 - 4 * ' / + 4>-'2) - 4(2.v'2 -

3x'y'

- 2 / 2)

+ 4.v'2 + 4x 'y ' + y '2 + 25(x' - 2 / ) = -2 5 25y'2 - 5 0 /

+

2 5 jc ' =

-2 5

y ’2 - 2y' + x ' = - 1 y '2 - 2 / + 1 = —jc'

Com bina té rm in o s s e m e ja n te s .

Divide e n tre

25.

C om p leta el cu a d ra d o en y '.

(y’ - i)2 = -x ' X

Esta es la ecuación de una parábola con vértice en (0, 1) en el plano x'y'. El eje de simetría es paralelo al eje

jc '.

Usando una calculadora para resolver sen 9

2V5 5 ’

tenemos que 9 ~ 63.4°. Ver gráfica de la figura 50. Resuelve ahora

el p r o b l e m a

37

4 Identificación de cónicas sin una rotación de ejes Considera que únicamente se requiere identificar (en lugar de analizar) la gráfica de una ecuación de la forma A x 2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0

B Ô

(8)

Si aplicamos las fórmulas de rotación (5) a esta ecuación, obtenemos una ecuación de la forma A 'x ’2+ B'x'y' + C'y'2 + D ’x' + E y ' + F = 0

(9)

donde A', B', C', D', E y F se pueden expresar en términos de A , B, C, D, E, F y el ángulo 6 de rotación (ve el problema 53). Se puede demostrar que el valor de B2 - 4AC en la ecuación (8) y el valor de B'2 - 4.4'C' en la ecuación (9) son iguales sin importar qué ángulo de rotación 6 se escoja (ver problema 55). En particular, si el ángulo de rotación 9 satisface la ecuación (7), entonces B' = 0 en la ecuación (9) y B2- 4 A C = -4A'C'. Como la ecuación (9) entonces tendrá la forma de la ecuación (2), A 'x'2+ C'y'2+ D'x' + E y ' + F = 0 Podemos identificar su gráfica sin completar los cuadrados, como hicimos al princi pio de esta sección. De hecho, ahora podemos identificar la cónica que describe una ecuación con la forma de la ecuación (8) sin una rotación de ejes. TEO REM A

Identificación de cónicas sin una rotación de ejes Excepto por los casos degenerados, la ecuación A x 2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F= 0 (a) Define una parábola si B2- 4A C = 0. (b) Define una elipse (o un círculo) si B2—4AC < 0. (c) Define una hipérbola si B2- 4AC > 0. En el problema 56 se te pedirá que demuestres este teorema.

.

816

('A I’ ÍIIJ I.O I I


Identificación do uña cón ica sin ro ta c ió n de eje s

EJEM P LO 4

Idcnliftai la gráfica d e Solución

la

ccuacidn:

IV

K rJ - I 2 » y *

-

W it

- 1 5 - 0

Aquí A * H, li • -12 y C ■ 17, entonce* //' - 4AC m -400. Como H ecuación d e f in e u n a e l ip s e . Rb iu

b Iv b

ahora «t

moium»

AAC

0. U _J

43

1 1 .5 E v a l ú a t u e n t e n d i m i e n t o _______________________________________ __________________ _______

"¿Estás listo?"

Las respuestas se tlan a! final de estos ejercíaos. Si olwenes una respuesta incorrecta, lee las páginas

m a rca d a s


1. La fórm ula de la su m a para la fun ción s e n o e s sen

La fórm ula d e á n g u lo d o b le para la fu n ción se n o e s s c n (2 0)

= __________ (p.

o es agudo, la fó rm u la de m ed io á n g u lo p a ra la función ti

sen o c* sen _ ■ _ _ _ _ _ _ (p 65 6 )

(/I + /f) = __________ (p. 6 43) 2.

Si

4.

Si u es agudo, la fó rm u la de m ed io á n g u lo p a ra la función

0

652)

co se n o es eos - » ■

.......

. ( p 6 56)

Conceptos y vocabulario K.

5. Para transform ar la ecu a ció n

Bxy + Cy: + Dx + Ey + /•' = (). II * 0 .v' y y' sin térm in o x'y\ gira los e je s

Ar +

en una en a g u d o 0 q u e satisfaga la e c u a c ió n __________ _ 6.

un Angulo

Bxy + Cy: + Dx + Ey + F = 0 B3- 4AC = Q.

d e fin e u n a __________si

7. E x c e p to por lo s ca so s d e g e n e r a d o s, la ec u a c ió n A r + + CV +

Dx + Ey + F= 0

9.

10.

E x c ep to por lo s c a so s d e g e n e r a d o s, la ecu a ció n A r +

Verdadero o fa ls o a > 0.

L a e cu a c ió n

a s' + 6 y- - I 2 r * 0 define

una elipse si

Verdadero o fa ls o

L a e cu a c ió n 3 r

fine una p a rá b o la si

H » -1 2 .

Verdadero o fa ls o ció n r

* B ty * I 2 r ■ lO d c

P a ra e lim in a r el té rm in o n

de la c ru a

- 2 r v + y* - 2 i + 3y + 5 * 0 . gira los e je s un ángulo

0. d o n d e cot 0 * B 3 - 4/4 C

Hxy

d e fin e una elip se s i __________

Ejercicios Fn los problem as 11-20, identifica la gráfica de cada ecuación sin completar los cuadrados \

) I.

x2 +

4.t +

y

+ 3 = 0

12. 2y2 -

3 y + 3a * 0

13. 6 .r +

3y2 -

12.v + 6 y = 0

14. 2.r + y2 - 8 t + 4y + 2 - 0

15. 3 .r -

2y2 +

6,v + 4 = 0

16. 4.r - 3y - 8* + 6y + I - 0

17. 2 y 2 - .v2 - y + .v = 0 19. ar +

y2 -

1H. y 2 - 8 r - 2r -

8.v + 4 y = 0

20 . 2x 2

+

2 sr

-

8.1

y

=0

+ 8> = 0

En los problem as 21-30, determina las fórm ulas de rotación apropiadas para ipie la mies a ecuación no contenga termino o 21.

x2 +

4.vy +

2 3 . 5x* + 6.vy +

y2 5y2

3 = 0

22. x2 - 4xy + y2 - 3 = 0

- 8

24. 3 r - lQjty + 3>- - 32 = 0

25. I 3 .r — 6 V 3 x y + 7 v2

11• 4 r

- 4.vy +

y2 -

= 0

— 16

8V"5.r -

2g- 25x2 - 36.vy + 4 0 y : -

= 0

26. ll.r* + 10\ 3,i v + v2 —4 » o

ló V S y = 0

**• r + 4rv + 4 r + 5 \ r5\ + 5 * 0

12 \ 7 13.t - 8 \ / Í 3 y = 0

30. 34 r - 24 i v + 41 r - 25 ■ 0

I!

'

SECCIÓ N 11.5


817

En los problemas 31-42, gira los ejes de manera que la nueva ecuación no contenga término xy. Analiza y traza la gráfica de la nueva ecuación. Consulta los problemas 21-30 para los problemas 31-40. 3 1 . a:2 + 4 x y + y 2 - 3 = 0 3 2 . x 2 - 4x y + y 2 - 3 = 0 í

6xy

3 3 . 5 a: 2 +

+

5y2 - 8

= 0

34.

3 jc2 -

10 jcy + 3 y 2 - 3 2 = 0

* » 35.

■+...

13 a:2 -

3 7 . 4 a: 2

+

7y2 -

16 = 0

- 4A:y + y 2 - 8 \ / 5 a: -

3 9 . 2 5 a: 2 -

41.

6V3xy

36xy + 4 0 ^ -

16 a:2 + 2 4 x y + 9 y 2

-

3 6 . 11 a:2 + \ 0 V 3 x y + y 2 - 4 = 0

ló V S y = 0

1 2 \/l3 x - 8 \/l3 y

38. x 2 + 4 x y + 4 y 2 + 5 V 5 y + 5 = 0

=

130 a: + 9 0 y = 0

40.

3 4 a 2 - 2 4 a y + 41 y 2 - 25 = 0

42.

16 a 2 + 2 4 Ay + 9 y 2 — 6 0 a + 8 0 y

En los problemas 43-52, identifica la gráfica de cada ecuación sin aplicar una rotación de ejes. 43.

45.

47.

x2 + 3 xy

2y2 + 3x + 2y +

x2 —Ixy + 3y2 - y 9x2 +

12jc_y + 4 y2

4 9 . 10 a:2 -

51.

—

12 xy

3 a:2 - 2AC_y

— 10 = 0

- x - y

= 0

+ 4y2 — jc — + y2 +

5 = 0

— 10 = 0

4a + 2y -

1 = 0

44.

2x2 -

3 xy

+ 4 y2 + 2x + 3y

46.

2x2 -

3 xy + 2 y1 -

48.

10a:2 +

50.

4a:2 +

52.

3a:2 + 2at>>+ y2 + 4x - 2y

56.

D e m u e str a q u e , e x c e p to p o r lo s c a so s d e g e n e r a d o s , la e c u a c ió n

4x - 2

12Ay + 4 y 2 -

12Ay

+

9y2

- 5 = 0

= 0

x - y

+ 10 = 0

- x - y =0 + 10 = 0

A plicaciones y extensiones En los problemas 53-56, aplica las fórmulas de rotación (5) a Ax2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F= 0 para obtener la ecuación

Ax2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0 (a ) D e fin e una p a rá b o la si B2- 4AC = 0. (b ) D e fin e u n a e lip s e (o un círc u lo ) si B2- 4AC< (c ) D e fin e u n a h ip é rb o la si B2- 4AC > 0.

A'x'2+ B'x'y' + C'y'2+ D'x' + E'y' + F = 0 15 3 . E x p re sa A', B', C', D', E' y F e n té r m in o s d e A, B, C, D, E,

Fy

e l á n g u lo d e r o ta c ió n

0.

57.

[Sugerencia: C o n su lta la e c u a c ió n (6 ).] 5 4 . D e m u e str a q u e que j

i4 + C =A ' + C'y, p o r

A + C e s invariante,

U sa las fó rm u la s d e ro ta c ió n (5 ) para d e m o stra r q u e la d ista n c ia e s in v a ria n te b ajo una ro ta c ió n d e ejes. E s to es, d e m u e str a q u e la d ista n cia d e P, = (a:,, y ,) a P , = (a ,,

lo ta n to , d em u e str a

en el p la n o

e s to e s, su v a lo r n o ca m b ia b ajo

xy

e s igu al a la d ista n cia d e P = (.v',, /

P 2 = ( x'2, / , ) e n el p la n o

u na ro ta ció n d e ejes. 55.

0.

C o n su lta e l p r o b le m a 5 4 . D e m u e s tr a q u e

B2 - 4AC

es

y2) ) a

x'y'. x'a + y m = a'12es

58.

D e m u e str a q u e la gráfica d e la e c u a c ió n p arte d e la gráfica d e una p aráb ola.

60.

¿ C ó m o ca m b ia tu e str a te g ia si la e c u a c ió n e s d e la sig u ie n te form a?

in v a ria n te.


D e sa r r o lla una estr a te g ia para a n a liza r y. trazar la gráfica d e u na e c u a c ió n d e la form a

Ax2+ Cy2+ Dx + Ey + F -

Ax2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F= 0

0

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. se n

A e o s B + e o s A se n B

2. 2 sen

0 eos 0

3.

1 — eos

0

4.

1 + eos

0

818

C A P ÍT U L O 11

Geometria analitica

11.6 Ecuaciones polares de cónicas P r epa ra c ió n pa ra esta sección Antes de empezar, repasa lo siguiente: • Coordenadas polares (sección 10.1, pp. 718— 725) \

Resuelve ahora los

p ro b le m a s d e la se c c ió n "¿Estás listo ?

d e la p ácjín a 8 2 2 .

OBJETIVOS 1 Analizar y representar ecuaciones polares de cónicas gráficamente fp. 818y 2 Convertir la ecuación polar de una cónica a una ecuación rectangular (p. 822)

1 Analizar y representar ecuaciones polares de cónicas gráficamente En las secciones 11.2 a la 11.4, dimos definiciones separadas para la parábola, la elipse y la hipérbola basadas en propiedades geométricas y en la fórmula de la dis tancia. En esta sección presentaremos una definición alternativa que define simultá neamente a todas estas cónicas. Como veremos, este enfoque es apropiado para la representación en coordenadas polares. (Consulta la sección 10.1) D E F IN IC IÓ N

Sea D una recta fija llamada la directriz, sea F un punto fijo llamado el foco que no está en D y sea e un número positivo fijo llamado la excentricidad. Una cónica es el conjunto de puntos P en el plano tal que la razón de la distancia de F a P a la distancia de D a P sea igual a e. Esto es, una cónica es la colección de puntos P para los cuales d(F,P) d(D, P) ~ e

(1)

Si e = 1, la cónica es una parábola. Si e < 1, la cónica es una elipse. Si e > 1, la cónica es una hipérbola.

Observa que si e = 1 la definición de una parábola en la ecuación (1) es exacta mente la misma que la definición que usamos en la sección 11.2. En el caso de una elipse, el eje mayor es la recta perpendicular a la directriz por la que pasa el foco. En el caso de la hipérbola, el eje transversal es la recta perpen dicular a la directriz que pasa por el foco. Para ambas, la elipse y la hipérbola, la excentricidad e satisface

Figura 51

Directriz D

Eje polar

donde c es la distancia del centro al foco y a es la distancia del centro a un vér tice. De la misma torma que hicimos usando coordenadas rectangulares, derivaremos ecuaciones para las cónicos en coordenadas polares escogiendo una posición conve niente para el foco Fy la directriz D. El foco F se coloca en el polo y la directriz D es paralela o perpendicular al eje polar. Considera que empezamos con la directriz D perpendicular al eje polar a una distancia de p unidades a la izquierda del polo (el foco F). V'er figura 51. S\ P —(r, 0) es un punto en la cónica, entonces, por la ecuación (1). d(F, P) d ( D, P) = e 0 W ñ ^ e - d í D . P )

(3)

S E C C IÓ N 11.6

Ecuaciones polares de cónicas

819

Ahora usa el punto Q que se obtiene de bajar la perpendicular de P al eje polar para calcular d(D, P). (l(D, P ) = p + (1(0, Q) = p + r eos d

í

Usando esta expresión y el hecho de que d(F, P) = d ( 0 , P) = r en la ecuación (3), obtenemos d(F,P) r

e(p + r eos 6)

r

ep + er eos 0

er eos d

ep

e eos 0)

ep

r

TEO REM A

e • d(D, P)

ep Ì - e eos 6

Ecuación polar de una cónica; con foco en el polo; directriz perpendicular al eje polar a una distancia p hacia la izquierda del polo La ecuación polar de una cónica con foco en el polo y directriz perpendicular al eje polar a una distancia p a la izquierda del polo es ep 1 - e eos 6

(4)

donde e es la excentricidad de la cónica.

EJEM P LO 1

J

A n a liz a r y t r a z a r la gráfica de la e cu ació n p o la r de u n a cón ica 4 Analiza y traza la gráfica de la ecuación: r = ---------- 2 — eos d

S o lu ció n

La ecuación dada no está exactamente en la forma de la ecuación (4), porque el primer término en el denominador es 2 en lugar de 1. Divide el numerador y el deno minador entre 2 para obtener 2 r = ------ -------1 1 - -e o s 0 2

r

ep = -----------1 —ecoe0

Esta ecuación tiene la forma de la ecuación (4), con 1 , e = ~ y ep = 2 Entonces ~ p = 2, por lo que p - 4 Podemos concluir que la cónica es una elipse, porque e

2 < 1. Un foco está

en el polo y la directriz es perpendicular al eje polar, a una distancia p - 4 unidades a la izquierda del polo. Se deduce que el eje mayor está sobre el eje polar. Para deter minar los vértices, hacemos d = 0 y d = tt. Los vértices de la elipse son (4,0) y El punto medio de los vértices, elipse.

0^, en coordenadas polares, es el centro de la

820

C A P ÍT U L O 11

Geometria analitica

[¿Puedes ver por qué? Lo» vértice» (4. 0) y ( * ,

en coordenada» polare» v,n Í4.

0) y ( ~ , o ) en coordenadas rectangulares. El punto medio en coordenada» rec tangulares es Q , ( ) ) . que es también Q , ( ) j en coordenadas polares.) Entonces ^ K I c fl = distancia del centro al vértice = - . Usando« * 3 y*' “ j ^ ^ ecuación (2), r *

F ig u ra 52 D ire c triz

, determinamos que c =

= - . Por último, usando a ~ - y c = - en b' = a - c ,

ae

tenemos que 2 _

Eje

^

p o la r

, _

, _ 64

11 ~ 1

b =

i)

16

48

ij

y

4V Ì

La figura 52 muestra la gráfica. Exp lo ració n Traza la gráfica de

r\ * 2 +

y com para el resultado co n la figura 52. ¿Q ué pu edes concluir» Borra 4

la pantalla y traza la gráfica de

4

h - 2 - $en » ^ d esp ués r , = ^ ~+ ie n tl C o m p ara cada un a de estas

gráficas con la figura 52. ¿Qué puedes concluir?

J

Resuelvo ahora a problema i i La ecuación (4) se obtuvo bajo la consideración de que la directriz es perpen dicular al eje polar a una distancia de p unidades a la i/quierda del polo. L’na deri vación similar (ver problema 43). en la que la directriz es perpendicular al eje polar a una distancia de p unidades a la derecha del polo, da como resultado la ecuación

En los problemas 44 y 45. se te pedirá que obtengas las ecuaciones polares de cónicas con foco en el polo y directriz paralela al eje polar. La tabla 5 resume las ecuaciones polares de las cónicas. Tabla 5

E c u a c io n e s p o la r e s d e la s c ó n i c a s ( f o c o e n e l p o lo , e x c e n t r i c i d a d e ) E c u a c ió n

(a)

r =

(b)

r =

(c) r = (d)

r=

D e s c r ip c i ó n

ep 1 - eco s0

La directriz es perpendicular al eje polar a una distancia de p unidades a la izquierda de) p o ta

ep 1 + ecos

6

La directriz es perpendicular al eje polar a una distancia de p unidades a la derecha det poto.

ep 1 + esenW

La directriz es perpen d icu lar al eje piolar a una d istan cia de p un idades arriba del piolo.

ep 1 - esenP

La directriz es perp en d icu lar al eje polar a una d istan cia de p u n id ad es d eb ajo d el poto

E x c e n tric id a d Si e = 1,1a cónica es una parábola, el eje de sim etría es p erp en d icu lar a la directriz. Si e < 1,1a cónica es una elipse, el eje m ayor es perpen d icu lar a la directriz. Si e > 1,1a cónica es una hipérbola, el eje transversal es p erp en d icu lar a la directriz.

S E C C IÓ N 11.6

1 EJEM P LO 2

Ecuaciones polares de cónicas

821

A n a liz a r y t r a z a r la g ráfica de la ecu ació n p o la r de u n a có n ica

S o lu c ió n î .

Analiza y traza la gráfica de la ecuación: r = - — -------3 + 3 sen 0 Para obtener la ecuación en forma adecuada, divide el numerador y el denominador entre 3 _ 2 1 + senfl Si consultamos la tabla 5, podemos concluir que esta ecuación está en la forma de la ecuación (c) con e = 1 y ep = 2 p = 2

F ig u r a 53

(2. R) ^

e=1

La cónica es una parábola con foco en el polo. La directriz es paralela al eje polar a una distancia de 2 unidades por encima del polo, el eje de simetría es perpendicular O.f) / \( 2 .0 ) \

Directriz al eje polar. El vértice de la parábola está en ^1, y Y (¿Puedes ver por qué?) Para ver la gráfica, consulta la figura 53. Observa que trazamos dos puntos adicionales Eje ’ polar


S o lu ció n

el problema 1 3

A n a liz a r y t r a z a r la g ráfica de la ecu ació n p o la r de u n a có n ica 3 Analiza y traza la gráfica de la ecuación: r — — ¿------J b 1 + 3 eos 6 Esta ecuación está en la forma de la ecuación (b) en la tabla 5. Podemos con cluir que e - 3 y ep = 3 p = 1 e= 3 Esta es la ecuación de una hipérbola con un foco en el polo. La directriz es per pendicular al eje polar, 1 unidad a la derecha del polo. El eje transversal está sobre el eje polar. Para determinar los vértices, hacemos 6 = 0 y d = tt. Los vértices son 0^) y /g

’ 7r) - ^ centro’ 9ue está en el punto medio de

\

^ ( ~ f ’ 7r) ' CS

9

í _ 5o j. Entonces c = distancia del centro al foco = — Como e = 3, se deduce de la ecuación (2), e = —, que a = Por último, usando a = - y c - - en b2 - c1 - a 2, a o 5 0 determinamos que b2 = c2 — a2 —

b

81 _ _9_ _ 72 _ 9 64 64 ~ 64 ~ 8

3

3V 2

2V 2

4

La figura 54 muestra la gráfica. Observa que trazamos dos puntos adicionales, Eje

( 2 , — ) y ( 3, — ) , en la rama izquierda y usamos la simetría para obtener la rama derecha. Las asíntotas de esta hipérbola se determinaron de la forma habitual, cons truyendo el rectángulo que se muestra.

(3,f -Resuelve ahora el problema 1 7

822

C A P ÍT U L O 11


2 Convertir la ecuación polar de una cónica a una ecuación rectangular EJEM P LO 4

C o n v e r tir una ecuación p o la r a u n a ecu ació n re cta n g u la r Convierte la ecuación polar r

=

1 3 - 3 eos 9

a una ecuación rectangular. So lución

La estrategia aquí es primero reordenar la ecuación y elevar cada lado al cuadrado antes de usar las ecuaciones de transformación. _ r 3r

-

3r eos 9 3r

1 3 - 3 eos 9

- 1

= 1+

9 r2 =

3r

(1 +

eos 9

3r

Reordena Ia ecuación.

COS 9 ) 2 Eleva cada lado al cuadrado.

9(x2 + y2) = (1 + 3x)¿

xz + y 2 = r 2; x = r eos 9

9x2 + 9y2 = 9x2 + 6x + 1 6x

9y2 =

+

1

Esta es la ecuación de una parábola en coordenadas rectangulares. Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

25

11.6 E v a lú a t u e n t e n d im ie n t o “ ¿ E s tá s l i s t o ? " La s respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. Si (x , y) son las coordenadas rectangulares de un punto P y (r, 9) son sus coordenadas polares, entonces * = _______ y

2. Transforma la ecuación r = 6 eos 9 de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, (pp. 718-725)

y = ________ (pp. 718-725)

C o n c e p to s y v o c a b u la rio

3. Una es el conjunto de puntos P en el plano tal que la razón de la distancia de un punto fijo llamado e l_______ a P a la distancia de un punto fijo llamado el . a P es igual a una constante e. 4. La excentricidad e de una parábola es____ la de una elipse es_______ y la de una hipérbola es.


Si (r, 9) son coordenadas polares, la 2 ecuación r ----- define una hipérbola. z ~r j sen (7

6. Verdadero o falso La excentricidad e de una cónica es - , a

donde a es la distancia de un vértice al centro y c es la dis tancia de un foco al centro.

E je r c ic io s En los problemas 7 12, identifica la cónica cjue representa cada ecuación polar. Además, indica la posición de la directriz

1

7. r =

8. r =

1 + eos 9 2 10. r = 1 + 2 eos 6

'

11. r =

'

3

1 - ------sen 9

4

9. r =

2 - 3 sen 9 6 12. r = 8 + 2 sen#

3

4 - 2 eos 9

En los problemas 13-24, analiza cada ecuación y traza su gráfica.

\

13.r = T

\

17. r =

1

+ eos 9 9

3 - 6 eos 9

21. r { 3 - 2 sen0) = 6

14. r =

3

1 - sen# 12 18. r = 4 + 8 sen# 22. r(2 - eos #) = 2

8 4 + 3 sen # 8 19. r = 2 - sen # 23. r = 6 sec # 2 sec # - 1 15.

r =

16. 20. 24.

10 5 + 4 eos # 8 r= 2 + 4 eos # 3 esc # r= esc # - 1 r=

SECCIÓN 11.7

Curvos planas y ecuaciones paramétricas

/ n los p r o b l t n u u 25 ,V>. conviene c o d a ecuacitw polar o u n a ecuación rectangular. 1 8 1 25 .r » 26, r » ~ ¿ /. rm — 1 + cu s tí 1 -se n tí 4 + 3 sen ti ó 8 2**. r * 30 z 12 «31« y 3 - 6 cu s tí 4 + 8 sen tí - sen tí -3 Í r ( } - 2 sen tí) = 6

34. r(2 - eo s tí) = 2

%

35. r =

I.n los p r o b l e m a s t f 42. determina u n a ecuación polar para cada

37. «*—1.1.» directriz es paralela al eje polar 1 unidad por enci ma del polo. e

- - . la directriz es perpendicular al eje polar 3 unidades

41.

a la izquierda del polo. e = 6, la directriz es paralela al eje polar 2 unidades debajo del polo.

10 5 + 4 eo s tí

32. 36.

8 2 + 4 eo s tí 3 esc tí

cónica. Cada u n a tiene u n foco en el polo.

38.

4

39.

6 sec t> 1

28.

823

40.

= I, la directriz es paralela al eje polar 2 unidades debajo del polo. *) e= la directriz es paralela al eje polar 3 unidades por

e

encima del polo. 42. «• = 1,1 directriz es perpendicular al eje polar 5 unidades a la derecha del polo.

Aplicaciones y extensiones 43. Demuestra la ecuación (b) de la tabla 5:

donde r se mide en millas y el Sol está en el polo. Deter mina la distancia de Mercurio al Sol en el afelio (distancia mayor al Sol) y en el perihelio (distancia menor al sol). Ver figura. Usa el afelio y el perihelio para trazar la gráfica de la órbita de Mercurio usando un dispositivo gráfico.

= __ £P_ l + e eos ti 44. Demuestra la ecuación (c) de la tabla 5: r =

-— —

-----

1 + e sentí

45. Demuestra la ecuación (d) de la tabla 5: r _ ___CP___ 1 - e sen tí i 46. Órbita de Mercurio El planeta Mercurio viaja alrededor del Sol en una órbita elíptica dada aproximadamente por (3.442) 107

r ~ 1 - 0.206 eos tí Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. r eos

tí; r sen tí

2.

x1+ v2=

6.v o (.v - 3 ) : + v: = 9

11.7 Curvas planas y ecuaciones paramétricas P

r e p a r a c ió n

para

e s t a s e c c ió n

A n t e s d e e m p e z a r , r e p a s a lo siguiente:

• Amplitud y periodo de las gráficas sinusoidales (sección 7.6, pp. 565-571) \

Resuelve ahora los problem as d e la sección "¿Estás listo?" de la página 833.

OBJETIVOS 1 Representar ecuaciones paramétricas gráficamente (p. 824) 2

Determinar una ecuación rectangular para una curva definida paramétricamente (p. 825)

3 Usar el tiempo como un parámetro en ecuaciones paramétricas (p. 827) 4

Determinar ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares (p. 830)

Las ecuaciones de la forma y = f(x), donde / es una función, tienen gráficas que son intersectadas, no más de una vez, por cualquier recta vertical. Las gráficas de muchas de las cónicas y algunas otras gráficas más complicadas, no tienen esta característica. Sin embargo, cada gráfica, como la de una función, es una colección de puntos (*, y) en el plano xy, esto es, cada una es una c u r v a plana. En esta sección, analizaremos formas de representar esas gráficas.

824

C A P ÍT U L O 11

Geometria analitica

/

Sea x = f ( t ) y y = ¡¡(t), donde / y n son dos funcione» cuyo domino común c» un intervalo /. La colección de puntos definida por

se llama curva plana. Las ecuaciones x = f(t)

y = fi(0

donde / está en /, se llaman ecuaciones paramétrica» de la curva. La variable t se llama parámetro. _J

Gráfica de ecuaciones param étricas Las ecuaciones paramétricas son especialmente útiles para describir un movimiento sobre una curva. Considera que una curva está definida por las ecuaciones paramé tricas

F ig u ra 55

x = f(t),

y = fi(l). a < t < b

donde / y g están definidas sobre el intervalo a s / s b. Para un valor dado de /. podemos determinar el valor de x = f(t ) y y = g(t). obteniendo un punto (x. y) en la curva. De hecho, conforme varía t en el intervalo de / = a a t = b, valores sucesivos de ( dan origen a un movimiento dirigido sobre la curva, es decir, la curva se traza en cierta dirección por la sucesión correspondiente de puntos (x.y). Ver figura 55. Las flechas muestran la dirección u orientación sobre la curva a medida que t varía de a a b.

EJEM P LO 1

G rá fica de una c u rv a defin id a p o r e cu a cio n e s p a ra m é tric a s Traza la gráfica de la curva definida por las ecuaciones paramétricas x = 3/’, y = 2t,

So lu ció n i*j3 C O M E N T A R IO La ü

m ayoría

de

los

d isp o sitiv o s g rá fic o s tie n e la c a p a cid ad de t r a z a r e cu a cio n e s p a ra m é t r ic a s . C o n su lta la se cció n 9 en el

apéndice.

m

-2 < / < 1

A cada número í, —2 < r < 1, le corresponde un número x y un número y. Por ejem plo, cuando t = —2, entonces .v = 3(—2): = 12 y y = 2(—2) = -4. Cuando t = 0. entonces x ~ 0 y y ~ 0- Establece una tabla que enliste varias elecciones del parámetro t y los valores correspondientes para x y para y, como se muestra en la tabla 6. Trazar estos puntos y conectarlos con una curva suave nos lleva a la figura 56. Las flechas en la figura 56 se usan para indicar la orientación.

F ig u ra 5 6 t

(1)

X

y

-2

12

-4

(12,-4)

-1

3

-2

(3, -2)

0

0

0

(0.0)

1

3

2

(3, 2)

2

12

4

(12,4)

(x.y)

S E C C IÓ N 11.7

}

Curvas planas y ecuaciones paramétrlcas

825

Exploración ñ

T ra z a la g rá fic a d e las s ig u ie n te s e c u a c io n e s p a ra m é tric a s u s a n d o u n d is p o s itiv o g rá fic o co n X m in = 0, X m á x = 15, Xm in = -5, V'máx = 5 y T ste p = 0 .1 : ,

t

3H

1. If ■ -4 -y * t. -4 s f s 4 2. x ■ 3P +

i

3. x *

1 2 f + 12, y -

3 f \ y = 2 \ J 'í , - 8

s

2 f + 4, - 4 f s

s

t S 0

8

C o m p a ra e sta s g rá fic a s co n la g rá fic a d e la fig u ra 56. L le g a a la c o n c lu s ió n d e q u e las e c u a c io n e s p a ra m é tric a s q u e d e fin e n u n a c u rv a n o so n ú n ic a s, es d e cir, d ife re n te s e c u a c io n e s p a ra m é tric a s

!

p u e d e n re p re s e n ta r la m ism a g rá fica .

Determ inar una ecuación rectangular para una curva definida de m anera param étrica La curva que se da en el ejemplo 1 debe ser conocida. Para identificarla con preci sión. determina la ecuación rectangular correspondiente eliminando el parámetro t de las ecuaciones paramétricas que se dan en el ejemplo 1: x = 3f\

y = 2/,

-2 < / < 1 Despeja para / de y = 2t y obtendrás / = —y sustituye esta expresión en la otra ecua ción para obtener “

Exploración 1

En m odo de FUN Ction, traza la gráfica de

con Xm in = 0, X m ax = 15, Vmin = —5,

3v2 Esta ecuación, x - — es la ecuación de una parábola con vértice en (0, 0) y eje de

V'máx = 5. C o m p ara esta gráfica con la figura 56. ¿Por qué d ifieren las g rá ficas?

simetría sobre el eje x. Observa que la curva paramétrica definida por la ecuación (1) y que se muestra en la figura 56 es solo una parte de la parábola x —

3 y2

La gráfica de la ecuación rectan-

guiar que se obtuvo eliminando el parámetro en general contendrá más puntos que la curva paramétrica original. Por lo tanto, se debe tener cuidado cuando se trace la gráfica de una curva paramétrica después de eliminar el parámetro. Aun así, el pro ceso de eliminar el parámetro t de una curva paramétrica para identificarla con pre cisión es a veces un mejor enfoque que trazar los puntos. Sin embargo, el proceso de eliminación algunas veces requiere algo de ingenio. EJEM P LO 2

D e te rm in a r la ecu ació n re cta n g u la r de u na cu rv a definid a en fo rm a p a ra m é tric a Determina la ecuación rectangular de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son x = a eos f,

1

y - a sen t,

-oo < t < oo

donde a > 0 es una constante. Traza la gráfica de esta curva, indicando su orientación. S o lu ció n

La presencia de senos y cosenos en las ecuaciones una identidad pitagórica. De hecho, como x eos / = — senr = a determinamos que

paramétricas sugieren el uso de y — a

eos21 + sen21 = 1

x 2 + y 2 = a2

826

C A P ÍT U L O I I


La curva es un círculo con centro en (0, 0) y radío a. Conform e crece el paráme F ig u ra 57

tro l, digamos de / = 0 [el punto (a, 0)J a f

[el punto (0, a ) \ a / -

-

tt

[el punto

(-«, ())[, vemos que los puntos correspondientes se trazan en la dirección opuesta a las manecillas del reloj sobre el círculo. La orientación es la que se índica en la figura 57.

.

t iim m

RB8UBIVB ahora EL

problema

7

v

19

Ahora analicemos la curva del ejemplo 2 más detalladamente. El dominio dé cada ecuación paramétrica es - o o < t < oo. Eso quiere decir que la gráfica en la figura 57 se repite cada vez que / incrementa en 2-rr. Si queremos que la curva consista exactamente de 1 revolución en la dirección opuesta a las manecillas del reloj, podemos escribir x = a eos l,

y = a sen l,

Os í S 2-rr

La curva empieza en l = 0 [el punto (a, ())] y, siguiendo en dirección opuesta a las manecillas del reloj, termina en t = 2tt [de nuevo el punto (a. 0)]. Si queremos que la curva consista de exactamente tres revoluciones en la dirección opuesta a las manecillas del reloj, podemos escribir x = a eos /, y = a sen l, - 2 n r £ t^ 4 n y - a sen t,

x = a eos r.

y = a sen t.

x = a eos t. EJEMPLO 3

0 < r < 6 tt 27T S / < 87T

D e scrib ir ecu acio n es p a ra m é tric a s Determina ecuaciones rectangulares para las siguientes curvas definidas por ecuacio nes paramétricas. Traza la gráfica de cada curva. (a) * = a eos f, y = a sen /,

0< /<

7r. a > 0

(b) x = -a sen t, y - - a eos t, 0 < t < So lución

7r, a > 0

(a) Elimina el parámetro / usando una identidad pitagórica. cos: / +s e n2/ = 1 1 j r2 +.

F ig u ra 58

y

^ = ar*»

La curva definida por estas ecuaciones paramétricas está en un círculo, con radio a y centro en (0,0). La curva empieza en el punto (a. 0), / = 0. pasa por el punto (0.
-a < v < a

(b) Elimina el parámetro t usando una identidad pitagórica. sen 2 1 + eos2 1 = 1

-V +

= (r

I

SECCIÓN 11.7 I


827

La curva definida por estas ecuaciones paramétricas está en un círculo, con radio a y centro en (0,0). La curva empieza en el punto (0, -a ), t = 0, pasa por el punto (-a, 0), 7r t y termina en el punto (0, a ) , t - tt. Las ecuaciones paramétricas definen el se

Figura 5 9

micírculo izquierdo de un círculo de radio a con una orientación en dirección opuesta a las manecillas del reloj. Ver figura 59. La ecuación rectangular es x = - v a 2 - y2

-a < y < a

S Visualización del concepto Traza la gráfica de x = eos f y y = sen

t para 0 < t < 2n. C om para con la figura 57. Traza la gráfica de

x = cos t y y = sen t para 0 < f< 7 r .C o m p a r a con la figura 5 8 .Traza la gráfica d e x = - s e n f y y = - c o s f para 0 < f < 77. C om para con la figura 59.

El ejemplo 3 ilustra la versatilidad de las ecuaciones paramétricas para reem plazar ecuaciones rectangulares complicadas y, al mismo tiempo, dar información adicional acerca de la orientación. Estas características hacen que las ecuaciones pa ramétricas sean muy útiles para aplicaciones, como el movimiento de un proyectil.

3 Uso del tiem po como un parám etro en ecuaciones param étricas Si pensamos en el parámetro t como el tiempo, entonces las ecuaciones paramétricas x = f(t) y y = g(f) de una curva C especifican cómo varían las coordenadas x y y de un punto que se mueve con el tiempo. Por ejemplo, podemos usar ecuaciones paramétricas para modelar el movi miento de un objeto, lo que a veces se conoce como movimiento curvilíneo. Al usar ecuaciones paramétricas, podemos especificar no solo a donde viaja el objeto, es decir, su ubicación (x , y), sino también cuándo llega ahí, es decir, el tiempo t. Cuando un objeto se lanza hacia arriba con una inclinación 9 con la horizontal y velocidad inicial v0, el movimiento resultante se llama tiro parabólico. Ver figura 60(a). w* En cálculo se muestra que las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de un ¿A proyectil lanzado con una inclinación 8 con la horizontal y una velocidad inicial v0, desde una altura h sobre la horizontal son

F ig u ra 6 0

(a )

x = (v0 cos 9)t

donde

t es

e l t ie m p o

y g es

y

1 7

= ~ 2 g t~ + (vosen0 )/ + h

(2)

la c o n s t a n t e d e a c e le r a c ió n d e b id a a la g r a v e d a d ( a p r o x i

m a d a m e n t e 3 2 p i e s / s ‘S o 9 .8 m /s - s ) . V e r fig u r a 6 0 ( b ) .

EJEMPLO 4 ¡g u ra 61

T ir o parab ó lico Considera que Jim golpea una pelota de golf con una velocidad inicial de 150 pies por segundo con un ángulo de 30° con la horizontal. Ver figura 61. (a) Determina ecuaciones paramétricas que describan la posición de la pelota como función del tiempo. (b) ¿Cuánto tiempo estuvo la pelota de golf en el aire? (c) ¿Cuándo alcanzó su altura máxima la pelota? Determina la altura máxima de la pelota. (d) Determina la distancia que viajó la pelota. (e) Usa un dispositivo gráfico para representar el movimiento de la pelota de golf tra zando simultáneamente las gráficas de las ecuaciones que determinaste en el inciso (a).

a

828

CAPÍTULO 11


So lución

(a)

Tenemos que v0 = 150 pies/s, 6 = 30°, h = 0 pies (la pelota está en el suelo) y g _ 32 pies/s2 (porque las unidades están en pies y segundos). Sustituye estos va lores en las ecuaciones (2 ) para obtener x = (v0cos 6)t = (150 eos 30°)/ = 7 5 \/3 f y = - i gt2 + (uosen0)í + h = - ^ ( 3 2 ) f 2 + (150 sen 30°)? + 0 = —16?2 + 75?

(b) Para determinar el tiempo que la pelota estuvo en el aire, resuelve la ecuación y -1 6 12 + 75? = 0 ?(-16? + 75) = 0 t = Os

(c)

o

t = 7 7 = 4.6875 s

La pelota llegó al suelo después de 4.6875 segundos. Observa que la altura y de la pelota es una función cuadrática de ?, por lo que la altura máxima de la pelota se puede obtener determinando el vértice de y = -16t2+ 75?. El valor de ? en el vértice es -7 5 ----- = 2.34375 s -3 2 La pelota alcanzó su altura máxima después de 2.34375 segundos. La altura máxima de la pelota se determina evaluando la función y en ?= 2.34375 segundos.

F ig u ra 62

Altura máxima = -16(2.34375)2+ 75(2.34375) « 87.89 pies (d) Como la pelota estuvo en el aire 4.6875 segundos, la distancia horizontal que recorrió es a:

= (75\/3)4.6875 « 608.92 pies

(e) Ingresa las ecuaciones del inciso (a) en un dispositivo gráfico con 7min = 0, 7max = 4.7 y Tstep = 0.1. Usamos ZOOM —SQUARE para evitar cualquier dis torsión del ángulo de elevación. Ver figura 62.

Exploración Representa el m ovim iento de la pelota lanzada hacia arriba con una velo cid ad inicial de 100 pies por segundo de una altura de 5 pies sobre el suelo. Usa el m odo PA Ram etric con 7m ín = 0, 7m áx = 6.5, 7step = 0 .1 ,X m ín = 0 ,X m á x = 5, /m ín = 0 y K m á x= 180. ¿Qué pasa con la velo cid ad con la que se traza la gráfica conform e la pelota sube y después v u elve a bajar? ¿Cóm o in terp retas esto físicam en te? Repite el experim ento usando otros valores para Tstep. ¿Cóm o afecta esto el exp erim en to ?

[Sugerencia: En las ecuaciones de tiro parabólico, haz 0 = 90°, v0 = 100, h = 5 y g = 32. Usa x = 3 en lugar de x = 0 para ver m ejor el m o vim iento vertical.]

Resultado En la figura 63(a) la pelota va hacia arriba. En la figura 63(b) la pelota está cerca de su punto más alto. Por últim o, en la figura 63(c) la pelota va hacia abajo. F ig u ra 63

(b)

(c)

O bserva que, a m edida de q ue la pelota sube, su velo cidad d ism in u ye , hasta que llega al punto más alto y su velocidad es cero. Después se increm enta la velo cidad y la pelota baja.

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

49

S U C C IÓ N 11.7

Curvas planos y ecuaciones poramétrlcas

829

So pude usnr un dispositivo gráfico para simular otros tipos do movimiento. Tra bajemos do nuevo en el ejemplo 5 de la sección 1.7. I

EJEMPLO 5

S im u la ció n del m o v im ie n to l'anya, una corredora de grandes distancias corro a una velocidad promedio de S millas por hora. Dos horas después de que Tanya sale de tu casa, tú sales en tu carro y sigues la misma ruta. Si tu velocidad promedio es de 40 millas por hora, ¿cuánto tardarás en alcanzar a Tanya? Ver figura b4. Usa una simulación de ambos movi mientos para verificar la respuesta.

F ig u ra 6 4

Tiempo

% S o lu c ió n

t

r= 2 Empozamos con dos conjuntos de ecuaciones paramétricas: uno para describir el movi miento de Tanya y el otro par describir el movimiento del carro. Escogemos que el tiempo / = 0 corresponda al momento en el que Tanya sale de la casa. Si escogemos y, = 2 como la trayectoria de Tanya. entonces podemos usar y, = 4 como la trayectoria paralela del carro. Las distancias horizontales recorridas en el tiempo / (distancia = velocidad x tiempo) son Tanya:.t, = 8/

Carro: x, = 40(z - 2)

El carro alcanza a Tanya cuando .r, = x2. 8/ = 40(/ - 2) 8/ = 40/ - 80 -3 2 / = -8 0

El carro alcanza a Tanya 2.5 horas después de que Tanya sale de la casa. En modo PARamétrico con 7step = 0.01, traza simultáneamente la gráfica de Tanya:

.r, = 8/ y, = 2

Carro:

.v, —40(/ —2) y, = 4

para 0 < / =£ 3. La figura 65 muestra la posición relativa de Tanya y el carro para / = 0, / = 2, / = 2.25,/ = 2.5 y / = 2.75. F ig u ra 6 5

/= 2

/= 0

40 / = 2.5

/ = 2.25

0

40

/ = 2.75

830

CAPÍTULO 11 Geometría analítica

4 D e te rm in a r e c u a c io n e s p a ra m é tric a s p a ra c u rv a s d e fin id a s por e c u a c io n e s re c ta n g u la re s Ahora estudiaremos cómo determinar ecuaciones paramétrícas de una curva dada. Si una curva está definida por la ecuación y ~ f ( x ) , donde / es una función, una forma de determinar una ecuación paramétrica es hacer x = l. Entonce» y ^ f l t ) y x = t,

y = f ( t) <

/está en el dominio d e /

son ecuaciones paramétricas de la curva.

EJEMPLO 6

Determinar ecuaciones paramétricas para una curva definida por una ecuación rectangular Determina dos ecuaciones paramétricas diferentes para la ecuación y

So lución

Para la primera ecuación paramétrica, ha/ x cas son X=

I,

y = x 2~

= i.

4

Entonces, las ecuaciones paramétri

-o o < K

rx j

Una segunda ecuación paramétrica se determina haciendo ecuaciones paramétricas se convierten en x

= /’,

y

= /* - 4,

= x : - 4.

-oc <

t<

x

= /'. Entonce» las

oc

Se debe tener cuidado cuando se use el segundo enfoque del ejemplo 6 . por que la sustitución por x debe ser una función que permita que x tome todos los valores estipulados por el dominio de / . Por ejemplo, si hacemos .t = lz para que y = t* — 4, esto no da como resultado ecuaciones paramétrícas para y = r; - 4. porque solo se obtienen puntos para los que x ^ 0 , sin embargo, el dominio de y = x 2 - 4 es {.v |.v es cualquier número real).


el

p r o b lem a

33

D e te rm in a r e cu acio n e s p a ra m é tric a s p a ra un o b jeto en m o v im ie n to Determina ecuaciones paramétrícas para la elipse J

Figura 66

donde el parámetro t es el tiempo (en segundos) y (a) El movimiento alrededor de la elipse es en dirección de las manecillas del reloj, empieza en el punto (0, 3) y requiere de 1 segundo para completar una revolución. (b) El movimiento alrededor de la elipse es en dirección opuesta a las manecillas del reloj, empieza en el punto ( 1 , 0 ) y requiere de 2 segundos para completar una revolución. So lu ció n (a) Ver ligura 6 6 . Como el movimiento empieza en el punto (0 . 3). querenuss x = 0 y y —3 cuando / = 0 . Además, como la ecuackín dada es una elipse, empezamos haciendo -V- sen(w/) y = 3 eos (tu/) para alguna constante o». Estas ecuaciones paramétricas satisfacen la ecuación de la elipse. Además, con esta elección, cuandci 1 = 0 , tenemos que ,v = 0 y v = 3. Para que el movimiento sea en direcciiin de las manecillas del reloj, debe empezar con el valor de x creciendo y el valor de y disminuyendo conforme /

S E C C IÓ N 11.7 i n c r e m e n t a . E s t o r e q u ie r e q u e s e n ( íu f ) c r e c e c u a n d o

t>

co > 0.

831


[¿ S a b es p o r q u é ? Si

y

0 e stá ce rc a d e c e r o y

co >

x =

0, e n to n c e s

= 3 c o s ( w / ) d is m in u y e c u a n d o

( > 0 e s t á c e r c a d e c e r o .] O b s e r v a la p a r t e r e s a lt a d a d e la g r á f ic a d e la fig u r a 66 . ✓

2 tt

•

P o r ú ltim o , c o m o 1 r e v o lu c ió n r e q u ie r e d e 1 s e g u n d o , e l p e r io d o —

CO

en to n c es

co = 2n.

1,

=

L a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s q u e s a t i s f a c e n la s c o n d i c i o n e s

e s tip u la d a s s o n

x = sen(277í), (b )

y = 3cos(27tí),

0< t< 1

(3)

V e r fig u r a 6 7 . C o m o e l m o v i m i e n t o e m p i e z a e n e l p u n t o ( 1 , 0 ) , q u e r e m o s q u e

-

1 y

y

= 0 cuando

t=

x

0 . L a e c u a c i ó n d a d a e s la d e u n a e l i p s e , p o r lo t a n t o , e m

p e z a m o s h a c ie n d o

x= p a r a a lg u n a c o n s t a n t e (1, 0)_______

co.

e o s (cot)

y=

3 s e n (a tf)

E s t a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r ic a s s a t is f a c e n la e c u a c i ó n

t=

d e la e l i p s e . A d e m á s , c o n e s t a e l e c c i ó n , c u a n d o x

0, ten em o s q u e

x=

1 y

y

= 0.

P a r a q u e e l m o v i m i e n t o s e a e n la d ir e c c ió n o p u e s t a a la s m a n e c il la s d e l r e lo j , d e b e e m p e z a r c o n e l v a lo r d e

t crece.

x

d is m i n u y e n d o y e l v a lo r d e

y

c r e c ie n d o c o n fo r m e

E s t o r e q u ie r e q u e w > 0 . [ ¿ S a b e s p o r q u é ? ] P o r ú lt i m o , c o m o u n a r e v o lu -

2 tt _ c i ó n r e q u ie r e d e 2 s e g u n d o s , e l p e r i o d o e s ~

-

2, en to n c es

co = -ir. L a s

e c u a c io

n e s p a r a m é t r ic a s q u e s a t is f a c e n la s c o n d i c i o n e s e s t ip u la d a s s o n x = c o s ( 7r í) ,

y = 3 s e n ( 7r í),

(4)

0 < /< 2

J C u a l q u ie r a d e la s e c u a c i o n e s ( 3 ) y ( 4 ) s ir v e c o m o e c u a c i ó n p a r a m é t r ic a p a r a la e l i p s e

x2 + —

= 1 d a d a e n e l e j e m p l o 7 . L a d ir e c c ió n d e l m o v i m i e n t o , e l p u n t o

d e in ic io y e l t ie m p o p a r a u n a r e v o lu c ió n d a n u n a r e p r e s e n t a c ió n p a r a m é tr ic a p a r t ic u la r .


39

La c ic lo id e C o n s i d e r a q u e u n c ír c u lo d e r a d io

a

g ir a s o b r e u n a r e c t a h o r iz o n t a l s in d e s li z a r s e .

C o n f o r m e r u e d a e l c ír c u lo s o b r e la r e c t a , u n p u n t o lla m a d a

cicloide

P

e n e l c ír c u lo tr a z a r á u n a c u r v a

( v e r fig u r a 68 ). A h o r a d e t e r m i n a r e m o s e c u a c i o n e s p a r a m é t r ic a s *

p a r a u n a c i c lo i d e .

E m p e z a m o s c o n u n c ír c u lo d e r a d io c o m o e l eje e je

x.

x. P e r m itim o s

ay

t o m a m o s la r e c ta fija e n la q u e e l c ír c u lo g ira

q u e e l o r ig e n s e a u n o d e lo s p u n to s e n e l q u e e l p u n to

L a fig u r a 68 ilu str a la p o s ic ió n d e e s t e p u n to

u n p o c o . E l á n g u lo

t (en

P d esp u és

P to ca

el

d e q u e e l c ír c u lo h a g ir a d o

r a d ia n e s ) m id e e l á n g u lo c o n e l q u e e l c ír c u lo h a g ir a d o .

♦Cualquier intento de derivar la ecuación rectangular de una cicloide probaría inmediatamente lo compli cada que es esta tarea.

832

C A P ÍT U L O 11


Como establecimos que el círculo no se deslizaba, se deduce que A re A P -

(1(0. A )

La longitud del are A P está dada por s « r
Exploración

=

(1(0, A )

e - rO.donde r

» a/ 0 - t

La coordenada .r del punto P es

Traza la gráfica de x = f - sen f y y = 1 - eos f, 0 s f <; 377 usando tu

dispositivo gráfico con Tstep = ~ y una pantalla cuadrada. Compara tus resultados con la figura 68. i

_________________________ I

j

,q

= ¿(O ,

A)

- d(X ,

A)

= al - a

se n / * a íf - s e n /)

La coordenada y del punto / es igual a ü ( 0 , Y ) - d ( A , C ) ~ d ( f í , C ) = a - u e o s l - a ( 1 - e o s t)

Las ecuaciones paramé!ricas de la cicloide son x = a ( t -s e n

/)

y

= a ( I - eos r)

(5)

A p lica c io n e s a m e cá n ica Si a es negativa en la ecuación (5). obtenemos una cicloide invertida, como se mues tra en la figura 69(a). La cicloide invertida es resultado de algunas aplicaciones no tables en el campo de la mecánica. Mencionaremos dos de ellas: la b r a q u i s t ó c r o n a y la ta n t ó c r o n a * Figura 69

(a)

Figura 70

Cicloide invertida

(c) Todos alcanzan Oaí rmsmo tiempo

La braquistócrona es la curva de descenso más rápido. Si se obliga a una partícula a seguir una trayectoria de un punto A a un punto 11 más abajo (que no esté sobre la misma recta vertical) y solo actúa sobre ella la gravedad, el tiempo que se necesita para descender es menor si la trayectoria es una cicloide invertida. Ver figura 69(b). Este increíble descubrimiento, que se les atribuye a muchos matemáticos famosos (incluyendo a Johann Bernoulli y Blaise Pascal), fue un paso significativo para crear las ramas del cálculo conocidas como c á l c u l o d e v a r ia c io n e s . Para definir la tautócrona. sea Q el punto más bajo en una cicloide invertida. Si se colocan diversas partículas en diferentes posiciones en una cicloide invertida y si multáneamente empiezan a deslizarse hacia abajo de la cicloide, alcanzarán el punto Q al mismo tiempo, como se indica en la figura 69(c). Christiaan Huygens (1629— 1695), un matemático, físico y astrónomo holandés: usó la propiedad tautócrona de la cicloide para construir un reloj de péndulo que oscilaba a lo largo de una cicloide (ver figura 70). En el reloj de Huygens, se hacía oscilar el péndulo a lo largo de la cicloide suspendiéndolo de un alambre delgado limitado por dos placas con forma de cicloides. En un reloj con este diseño, el periodo del péndulo es independiente de su amplitud.

En Grecia, la braquistócrona significa "corto tiempo" y Mn/m rona significa "tiempo igual".

S E C C IÓ N 11.7

Curvas planos y ecuaciones paramétricas

833

Evalúa tu entendim iento

1 1 .7

¿ E s tá s lis to ?

/.u s

respuestas ve dan ,iI final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas

entre paréntesis. *1.

La (u n ció n

f ( x ) m3

s c n ( 4 i ) tie n e una a m p litu d

y un p e r io d o

( p p . 5 6 5 -5 7 1 )

C o n c e p to s y v o c a b u la r io 2- S e a

x - f(t) y y =y (r), d o n d e / y g so n

d o s fu n c io n e s c u y o

4.

d o m in io e n c o m ú n e s un in te r v a lo I. L a c o le c c ió n d e p u n to s d e fin id a p or (v . y ) = ( /( » ) , g ( t ) ) se lla m a u n a __________ ---------------- L a v a ria b le

i se

liza rse, un p u n to

l l a m a ___________

3 . L a s e c u a c io n e s p a ra m étr ic a s x u n a ___________

= 2 se n t y y

= 3 eos

Si un c írc u lo gira a lo la rg o d e una recta h o riz o n ta l sin d e s

5.

t d e fin e n

P en

Verdadero o falso

el c írc u lo trazará una cu rva llam ad a

L as e c u a c io n e s p a ra m étrica s d efin e n

una cu rva única.

6. Verdadero ofalso L as cu rv a s q u e se d e fin e n u sa n d o e c u a c io n e s p a ra m étrica s tie n e n una o r ie n ta c ió n .

E je r c ic io s

En los problema 7 -2 6 , traza la gráfica de la curva cuya ecuación paramétrica se da y muestra su orientación. Determina la ecuación rectangular de cada curs a.

+ 2,

y

= V i;

10.

is ü

13.

x=

15.

x = 2e \

17.

x = Vi. v= r3 '; t 2 0

y = 1 +

-o o <

e>\ t

t

y = 2r + 4;

y / 2¡t

y = 4f;

x = Vi +

< oo

x = e1,

0

s

r _

- 3,

4,

y =

x = t3í2 +

1,

e~‘\ t

> 0

y = V t\

t, y =

y = 3 se n r ;

7T — / — 0

22 .

.r = 2 e o s r ,

y = sen r;

24.

x = csc t, y

= c o t r;

26.

x = t2, y

y = c o s : /;

««•

.r = 2 e o s

t= 1 ^ VI

20.

VI

0 < / s 2 tt

0

0 :£ t s, 2tt

- 0 0 < t < 00

s 0

y = 3 se n r;

y = tan /;

0 s i< 2

t

y = 4r;

1

x - l2 + 4, y = r - 4; -oo < / < oo

x=t

II.

3r . y = f + 1 ;

8.

= ln r;

IV

x= t

0 s is 4

y = l + 1;

0

= 3r + 2 .

1

9.

x

7.

ll

\

t

3 sen r;

> 0 0 ^ í ¿ ir

„ O

77 ^ r s -

77 77 — < r s —

r > 0

En los problemas 27-34, determina dos ecuaciones paramétricas diferentes para cada ecuación rectangular. 2 7 . y = 4.v - 1

2 8 . y = -& r + 3

3 1 . y = .r3

32.

y = xA+ 1

29. \

y = .t 2 + 1

33. x = y “

En los problemas 35-38, determina ecuaciones paramétricas que definan la curva que se muestra.

30. y = - 2 x 2+ 1 34.

x = Vy

834

C A P ÍT U L O I I

En los problemas 39-42,

\

Geometria analitica

3». El m o v im ien to em p ie z a en (2, 0), en d irecció n de las m an eeillas del reloj y req u iere d e 2 se g u n d o s para una rev o lu -

4«.

4

y2

*

y

-

I

amelnurvimlenuidexcnu,

E l m o v im ie n to e m p ie z a e n (0 . 3 ). e n d ir e c c ió n o p u cv tó a las m a n e c illa s d e re lo , y r e q u ie r e d e I se g u n d o para una

ción co m p leta . 41.

**

determina ecuaciones paramétricas para un objeto que se m ueve sobre la elipse

re v o lu c ió n c o m p le tó .

El m o v im ien to em p iez a en ( 0 , 3 ). en d irecció n de las m a-

42.

E l m o v im ie n to e m p ie z a e n

n eeillas del reloj y req u iere de I se g u n d o para una rev o lu -

(2. i)).

e n d ir e c c ió n o p u exta a

las m a n e c illa s d el reloj y r e q u ie r e d e 3 se g u n d o s para una

ció n co m p leta .

re v o lu c ió n c o m p le ta .

En los problemas 4.1 y 44, se dan las ecuaciones paramé,ricas de cuatro curvas. Traza la unifica de cada una indicando su orientación

C 2:

X = t, y = t \ - 4 .V = e o s t, y = 1 -

se n 2 /;

C 3:

X = c\ y = e2'\ 0

<

C 4:

.V

C ,:

t

s

0 s / s

ii

n

¡' *|

ln 4

C j¡

x x x

16

C\.

x

s / s 4

44-

0 s / s ir

C\. Ci.

■

t,

y

-

V '

*

sent, y eos/, y

-

V i - r

*

1 -

I 7-,

- I

S I S

I

En los problemas 45-48, usa un dispositivo gráfico para obtener la curva definida por las ecuat iones paramétricas. 45.

x = t sen t,y = t e o s t , t >

47.

.v = 4 sen

y=

4 eo s

0

t - 2 se n (2 í) t - 2 c o s (2 1)

x =sen t + eos t, y = sen l - eos t 48. x =4 sen t + 2scn(2r) y - 4 eos 1+ 2 cos(2r)

46.

A p lic a c io n e s y e x t e n s io n e s \

4'). T iro p a rab ólico B o b lanza una p e lo ta d ire cta m e n te ha-

©

cia arriba con una v elo cid a d inicial d e 5 0 p ies por se g u n d o

sa lid o y co r re para a lc a n z a rlo .

d esd e una altura d e 6 pies.

(a ) D eterm ina las ecu acion es para m e Incas que m odelan los

(a ) D eter m in a las e c u a c io n e s p aram étricas q u e m o d e la n el m o v im ie n to de la p elo ta c o m o fun ción d el tiem p o . (b ) (c )

¿ C u á n to tiem p o estará la p elo ta en el aire? ¿ C u á n d o alcanzará la p e lo ta su m ayor altura? D e te r m ina la altura m áxim a d e la p elo ta .

'• (d ) S im u la el m o v im ie n to de la p e lo ta trazan d o la gráfica d e las e c u a c io n e s q u e d eter m in a ste en el in ciso (a ). 50.

e sta c ió n d e tr e n e s 2 s e g u n d o s d e s p u é s d e q u e e l c a m ió n ha

T iro p a ra b ó lico A lic e lan za una p e lo ta d ire cta m e n te h a cia arriba con una v elo c id a d inicial de 4 0 p ies p or se g u n d o d esd e una altura d e 5 p ies. (a ) D eter m in a las e c u a c io n e s p aram étricas q u e m o d e la n el m o v im ie n to de la p e lo ta c o m o fu n ció n d el tiem p o . (b ) ¿ C u á n to tiem p o esta rá la p e lo ta en el aire?

m ovim ien tos del cam ión y de Jodí c o m o función del tiem po

[Sugerencia: La

p o sic ió n

s en

e l tie m p o / d e un o b je to con

_ 1 , a c e le r a c ió n a e s * - r a í .) (b ) D e te r m in a a lg e b r a ic a m e n te si J o d i alcan zará e l c a m ió n . Si sí, ¿ c u á n d o ? ^ (c ) S im u la el m o v im ie n to d el c a m ió n y d e Jod i trazan d o s im u ltá n e a m e n te las g rá fica s d e las e c u a c io n e s q u e d e ter m in a ste e n el in c iso (a ). 53. T iro p arabólico Ichiro lanza una p elo ta d e b éisb ol co n una velocid ad inicial d e 145 pies por se g u n d o co n un án gulo d e 2 0 con la horizontal. La p elo ta deja la m a n o de Ichiro d e 5 pies. (a ) D e te r m in a las e c u a c io n e s p a ra m étric a s q u e m o d e la n el m o v im ie n to d e la p e lo ta c o m o fu n c ió n d e l tiem p o .

(c ) ¿ C u á n d o alcanzará la p e lo ta su m ayor altura? D e t e r m ina la altura m áx im a d e la p elo ta . '•j (d ) S im ula el m o v im ie n to d e la p e lo ta tra za n d o la gráfica d e las e c u a c io n e s q u e d ete r m in a ste en el in ciso (a ). 5 1 . A lca n za r un tren El tren d e B ill sa le a las 8:06 a.m y a c e lera con una tasa d e 2 m etro s p o r se g u n d o p or se g u n d o . B ill, q u ien p u e d e correr a 5 m etro s p o r se g u n d o , llega a la esta c ió n d e tren es 5 se g u n d o s d e sp u é s d e q u e el tren ha sa lid o y corre para alca n za rlo .

(b ) ¿ C u á n to tie m p o e s tu v o la p e lo ta e n e l a ire? (c ) D e te r m in a la d istan cia h o rizo n ta l q u e r e c o m o la p elota. (d ) ¿ C u á n d o a lc a n z ó la p e lo ta su altu ra m á x im a ? D e te r m i na la altura m á x im a d e la p e lo ta . ^ ( e ) L I s a un d is p o s itiv o g r á fic o para o b te n e r sim u ltá n e a m e n te la gráfica d e las e c u a c io n e s q u e d e te r m in a ste en el in c iso (a ). 5 4 . 1 iro p a r a b ó lic o M ark T e x e ir a g o lp e ó u n a p e lo ta d e b é is

(a ) D eterm in a las ec u a c io n e s param étricas q u e m o d ela n los

b o l c o n u na v e lo c id a d in icia l d e 125 p ie s p o r s e g u n d o co n

m o v im ien to s del tren y d e Bill c o m o fun ción d el tiem p o. [S u geren cia: La p o sic ió n s e n el tie m p o t d e un o b je to co n

a una altu ra d e 3 p ie s so b r e e l s u e lo .

a ce le ra c ió n (b )

[*j (e)

a es s

=

—at2.]

un á n g u lo d e 4 0 c o n la h o r iz o n ta l. La p e lo ta fu e g o lp e a d a

(a ) D e te r m in a las e c u a c io n e s p a ra m étric a s q u e m o d e la n el m o v im ie n to d e la p e lo ta c o m o fu n ció n d e l tie m p o .

D e te r m in a a lg e b r a ic a m e n te si B ill alcanzará el tren. Si sí, ¿ cu á n d o ?

(b ) ¿ C u á n to tie m p o e s tu v o la p e lo ta e n e l aire?

S im u la e l m o v im ie n to d el tren y d e B ill tra za n d o sim u l

(c ) D e te r m in a la d istan cia h o rizo n ta l q u e recorrió la p elo ta .

tá n e a m e n te las grá fica s d e las e c u a c io n e s q u e d e te r m i n aste en el in ciso (a ).

(d ) ¿ C u á n d o a lc a n z ó la p e lo ta su altu ra m á x im a ? D e te r m i

5 2 . A lca n za r un ca m ió n

na la altura m á x im a d e la p e lo ta .

El tren d e Jod i sa le a las 5:30 p .m . y

* ( e ) U sa un d is p o s itiv o g r á fic o para o b te n e r sim u ltá n e a

a celera c o n una tasa d e 3 m etro s p o r se g u n d o p o r se g u n d o .

m e n te la g rá fica d e las e c u a c io n e s q u e d e te r m in a ste en e l in c iso (a ).

B ill, q u ien p u e d e correr a 5 m etro s p or se g u n d o , lle g a a la

S E C C IÓ N 11.7

55. Tiro parubólico

C o n sid e r a q u e A d a m g o lp e a u n a p e lo ta

de d e s d e un a c a n tila d o d e 3 0 0 m e tr o s d e altu ra c o n una v e lo c id a d in icia l d e 4 0 m e tr o s p o r s e g u n d o y un á n g u lo de 4 5 ° c o n la h o r iz o n ta l.

IP

(a ) *


835

(a ) D e te r m in a las e c u a c io n e s p a ra m étric a s q u e m o d e la n el m o v im ie n to d e l C e ssn a y d el 747.

D e te r m in a la s e c u a c io n e s p a ra m étric a s q u e m o d e la n la p o s ic ió n d e la p e lo ta c o m o fu n c ió n d el tie m p o .

(b ) ¿ C u á n to tie m p o esta r á la p e lo ta en e l aire?

(c) D e te r m in a

la d ista n cia h o riz o n ta l q u e recorrerá la p elo ta .

(d ) ¿ C u á n d o a lca n za rá la p e lo ta su altura m á x im a ? D e t e r m in a la altu ra m á x im a d e la p e lo ta . f l ( e ) U sa un d isp ositivo gráfico para ob ten er sim u ltán eam en te la gráfica d e las ecu a cio n es q ue d eterm in aste en el inciso (a).

56. Tiro parabólico

C o n sid e r a q u e K arla g o lp e a u n a p e lo ta d e g o lf d e s d e un a c a n tila d o d e 3 0 0 m e tr o s d e altura c o n u na v e lo c id a d in icia l d e 4 0 m e tr o s p o r s e g u n d o y un á n g u lo de 4 3 ° c o p la h o r iz o n ta l en la lu n a (la g ra v e d a d e n la lu na e s un s e x to d e la g ra v e d a d e n la T ier ra ). (a ) D e te r m in a las e c u a c io n e s p a ra m étric a s q u e m o d e la n la p o s ic ió n d e la p e lo ta c o m o fu n c ió n d e l tie m p o . (b ) ¿ C u á n to tie m p o esta r á la p e lo ta e n e l aire? ( c ) D eter m in a la distancia h orizon tal q u e recorrerá la p elota. (d ) ¿ C u á n d o alca n za rá la p e lo ta su altu ra m á x im a ? D e t e r m in a la altu ra m á x im a d e la p e lo ta . ( e ) U sa un d isp o sitiv o gráfico para o b te n e r sim u ltá n ea m en te la gráfica d e las ec u a c io n e s q u e d eterm in a ste en el in ciso a.

57. Movimiento uniforme

U n T o y o ta C am ry (q u e viaja h acia e l e s te a 4 0 m p h ) y un C h e v y Im p a la (q u e viaja h a cia el n o r te a 3 0 m p h ) s e a p ro x im a n a la m ism a in te r se c c ió n . E l C am ry e s tá a 5 m illa s d e la in te r se c c ió n c u a n d o e l Im p ala e s tá a 4 m illa s d e la in te r se c c ió n . V e r figura.

(b ) D e te r m in a u n a fó rm u la para la d ista n c ia en tre lo s a v io n e s c o m o fu n ció n d el tie m p o . j'^j(c) T raza la gráfica d e la fu n ció n d el in c iso (b ) u sa n d o un d isp o sitiv o grá fico . (d ) ¿C u ál e s la d ista n cia m ín im a en tre lo s a v io n e s? ¿ C u á n d o e stá n m á s ce rc a lo s a v io n e s? ( e ) S im u la e l m o v im ie n to d e lo s a v io n e s tra z a n d o sim u ltá n e a m e n te las grá fica s d e las e c u a c io n e s q u e d eter m in a s te en e l in c iso (a ).

59. El monstruo verde

E L jard ín iz q u ie r d o en el F en w a y Park está a 3 1 0 p ie s d el h o m e , la m ism a p a red (q u e d e ca riñ o se le d ice e l m o n str u o v e r d e ) tie n e 3 7 p ie s d e altura. U n a p e lo ta q u e se b a te a d e b e p asar p o r e n c im a d e la barda para q u e se a un h o m e run. C o n sid e ra q u e la p e lo ta e s g o lp e a d a p or e l b a te a 3 p ie s d el su e lo co n un á n g u lo d e 45°. U sa g = 32 p ies p o r s e g u n d o 2 c o m o la a c e le r a c ió n d eb id a a la graved ad e ig n o ra la r e siste n c ia d el aire. (a ) D e te r m in a las e c u a c io n e s p ara m étrica s q u e m o d e la n la p o sic ió n d e la p e lo ta c o m o fu n ció n d el tiem p o . (b ) ¿C uál e s la altura m á x im a d e la p e lo ta si al ser g o lp e a da p o r el b a te sa le co n u na v e lo c id a d d e 90 m illas por h ora? D a tu r e sp u e sta en p ies. (c ) ¿ Q u é tan le jo s está la p e lo ta d el h o m e c u a n d o a lcan za su altura m á x im a ? D a tu r e sp u e sta e n p ies. (d ) Si la p e lo ta se d irig e d ir e c ta m e n te h a cia la barda d el jard ín iz q u ie r d o , ¿librará la bard a?

Fuente: The Boston Red Sox 60. Tiro parabólico La p o sic ió n d e -

(a ) D e te r m in a e c u a c io n e s p a ra m étrica s q u e m o d e le n el m o v im ie n to d e l C am ry y d el Im pala. (b )

D e te r m in a u na fó rm u la para la d ista n cia en tre lo s a u to s c o m o fu n ció n d e l tie m p o .

g¡] (c )

un p ro y ec til q u e se dispara c o n una v e lo c id a d in icia l d e u(l p ie s p o r se g u n d o co n un án g u lo 6 co n la h o riz o n ta l al fin al d e t se g u n d o s está d ada por las e c u a c io n e s p aram étricas

x = (v0e o s 6)t y =

(u () se n

6)t — 16f2

O b ser v a la ilu stración .

T raza la gráfica d e la fu n c ió n d el in c iso (b ) u sa n d o un d isp o s itiv o g rá fico .

(d ) ¿C u ál e s la d ista n cia m ín im a en tr e lo s a u to s? ¿ C u á n d o

fí

está n m ás cerca lo s a u to s? (e ) Simula el m ovim iento de los autos trazando sim ultáneam ente las gráficas de las ecuaciones que determ inaste en el inciso (a ).


U n C essn a (q u e viaja h a cia e l sur a 120 m p h ) y un B o e in g 7 4 7 (q u e viaja h acia e l o e s te a 600 m p h ) v u ela n h acia el m ism o p u n to co n la m ism a altitu d . El C e ssn a e stá a 100 m illa s d el p u n to d o n d e se in te rse cta n lo s p a tr o n e s d e v u e lo y el 747 e stá a 5 5 0 m illa s d e e s te p u n to de in te r se c c ió n . V e r figura.

(a ) O b té n la e c u a c ió n recta n g u la r d e la tra y ectoria e id e n ti fica la curva. (b ) D e m u e str a q u e el p ro y ec til lle g a al su e lo

t - — vosen0.

(y =

0 ) cu n d o

16 (c ) ¿ Q u é d ista n cia habrá reco rrid o (h o r iz o n ta lm e n te ) el p ro y ectil c u a n d o lle g u e al su e lo ? E n o tras palabras, d e term in a el a lca n ce R.

836

C A P ÍT U L O 11


(d ) D eterm in a el tiem p o t cu a n d o x = y. D e sp u é s d eterm i na la distancia h orizontal x y la distancia vertical y que

61.

D e m u e str a q u e la s e c u a c io n e s p a ra m étric a s para una recta q u e pasa p o r lo s p u n to s (* ,, y ,) y

x = (x2- x l)í + xl

recorrió el proyectil en e ste tiem p o. D e sp u é s calcula V x2 + y2. E sto e s la distancia R, el alcance, q u e el p ro

y = (y2~y,)t + yr

yectil recorre hacia arriba d e un p lan o in clinado a 45 con la h orizontal (x = y). O b serva la sig u ien te ilustra ción. (V er el prob lem a 97 de ejercicios d e la secció n 8.6.)

(xv y2) so n - ° o < t< o o

¿C u ál e s la o r ie n ta c ió n d e e s ta recta ? 62.

H ip o c ic lo id e L a h íp o c ic lo id e e s u na cu rva d efin id a p or las e c u a c io n e s p a ra m étrica s x (f) = c o s 3 f,

y ( /) = s e n 3 f,

(a ) T raza la gráfica d e la h ip o c ic lo id e u sa n d o un d isp o s iti v o gráfico. (b ) D e te r m in a una ec u a c ió n rectan gu lar d e la h ip o ciclo id e.


E n el p ro b lem a 62 trazam os la gráfica d e la h ip o c iclo id e .

_____________________________________________________________ 64.

In v estig a las cu rv a s lla m a d a s

hipocicloide y epicicloide. E s-

A h o r a haz la gráfica d e las ec u a c io n e s recta n g u la res d e la

crib e un e n sa y o d e lo q u e e n c u e n tr e s. A s e g ú r a te d e co m -

h ip o c iclo id e . ¿O b tu v iste una gráfica co m p leta ? Si n o , ex -

pararlas c o n la c ic lo id e ,

p erim en ta hasta q u e la con sigas. R e s p u e s t a a l e j e r c i c i o d e l a s e c c i ó n " ¿ E s t á s l i s t o ? " ____________________________________________________________________

REPASO DEL CAPÍTULO C osas q u e d e b e s sa b er E c u a c io n es P aráb ola (pp. 7 7 8 -7 8 4 )

V e r tab las 1 y 2 (pp. 7 8 0 y 7 8 1 ).

E lip se (pp . 7 8 7 -7 9 4 )

V e r tab la 3 (p . 7 9 2 )

H ip ér b o la (pp . 7 9 7 -8 0 6 )

V e r tab la 4 (p . 8 04)

E c u a c ió n gen era l d e u na c ó n ic a (p. 815)


E c u a c io n e s p o la res d e una có n ic a co n fo c o en el p o lo (pp . 8 1 8 -8 2 2 )

V e r tab la 5 (p. 8 20).

E c u a c io n es param étricas d e una curva (p. 824)

x = f(t), y = g(t)yt e s

B2-4A C = 0 E lip s e ( o c ír c u lo ) si B2-4AC < H ip é r b o la si B2- 4 A C > 0 P a rá b o la si

0

el p a rá m etro

D e fin ic io n e s P aráb ola (p. 778)

C o n ju n to d e p u n to s P e n e l p la n o para lo s c u a le s, e s el fo c o y D es la directriz

E lip se (p. 78 7 )

C o n ju n to d e p u n to s P en el p la n o p ara lo s c u a le s, la su m a d e la s d ista n cia s d e sd e d o s p u n to s fijo s (lo s fo c o s ) e s u n a c o n sta n te .

H ip ér b o la (p. 797)

C o n ju n to d e p u n to s P en e l p la n o para lo s c u a le s, la d ife r e n c ia d e la s d ista n cia s d e sd e d o s p u n to s fijo s (lo s fo c o s ) e s u n a c o n sta n te . P a rá b o la si

d(F,P) C ónicas en coordenadas p olares (p. 818)

d(F, P)

E lip s e si

d{P, D)

F ó rm u la s d e ro ta ció n (p. 8 1 2 ) A n g u lo d e ro ta ció n

*Y

(P- 813)

0 que

e lim in a el tér m in o

x = V eos 0 - / s e n 0 /e o s 0

y = V sen 0 c o t ( 20 ) =

A - C B

0 ° < 0 < 90°

1

e< 1 e> 1

H ip é r b o la F órm u las

e=

=

d(P, D),

donde

F


837

O b je tiv o s

Sección Debes poder...


11.1 11.2

1 -5

1 ,2 ,2 1 ,2 4

1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2

% «s

11.3

11.4

11.5

11.6

S a b e r lo s n o m b r e s d e las c ó n ic a s (p . 7 7 7 )

1 -3 2

A n a liz a r p a r á b o la s c o n v é r tic e e n e l o r ig e n (p . 7 7 8 ) A n a liz a r p a r á b o la s c o n v é r tic e e n

(h, k)

6 ,7

7 , 1 1 , 1 2 , 1 7 , 1 8 , 2 7 , 30

R e s o lv e r p r o b le m a s a p lic a d o s q u e in v o lu cre n p a rá b o la s (p . 7 8 3 )

8

77, 78

A n a liz a r e lip s e s c o n c e n tr o e n e l o r ig e n (p . 7 8 7 )

1 -4

5, 6,1 0 , 2 2 , 25

5 ,6

1 4 - 1 6 ,1 9 , 2 8 ,3 1

(h, k)

A n a liz a r e lip s e s c o n c e n tr o e n

(p . 7 8 1 )

(p . 7 9 1 )

R e s o lv e r p r o b le m a s a p lic a d o s q u e in v o lu c r e n e lip s e s (p . 7 9 3 )

7

79 -8 0

A n a liz a r h ip é r b o la s c o n c e n tr o en el o r ig e n (p . 7 9 7 )

1 -4

3 , 4 , 8, 9 ,2 3 , 26

5 ,6

3 , 4 , 8, 9

D e te r m in a r las a sín to ta s d e una h ip é r b o la (p . 8 0 2 )

k)

7 ,8

13, 20, 2 9 ,3 2 -3 6

R e s o lv e r p r o b le m a s a p lic a d o s q u e in v o lu cre n h ip é r b o la s (p . 8 0 5 )

9

81

Id en tific a r u n a c ó n ic a (p . 8 1 0 )

3 7 -4 0

U sa r u na ro ta c ió n d e e je s para tra n sfo rm a r e c u a c io n e s (p . 8 1 1 )

1 2

A n a liz a r u n a e c u a c ió n u sa n d o u n a ro ta c ió n d e e je s (p . 8 1 5 )

3 ,4

4 7 -5 2

Id en tific a r c ó n ic a s sin u n a r o ta c ió n d e e je s (p . 8 1 5 )

5

4 1 -4 6

A n a liz a r y r e p r e se n ta r g rá fic a s d e e c u a c io n e s p o la r e s d e c ó n ic a s (p. 8 1 8 )

1 -3

5 3 -5 8

4

5 9 -6 2

1

6 3 -6 8

2 ,3

6 3 -6 8

4 ,5

8 2 ,8 3

6 ,7

6 9 -7 2

A n a liz a r h ip é r b o la s co n c e n tr o e n (/j,

(p . 8 0 4 )

C o n v e r tir la e c u a c ió n p o la r d e u n a c ó n ic a a u n a e c u a c ió n recta n g u la r

4 7 -5 2

(P- 8 2 2 )

1 2

11.7

R e p r e s e n ta r e c u a c io n e s p a ra m étric a s g r á fic a m e n te (p . 8 2 4 ) D e te r m in a r u n a e c u a c ió n re cta n g u la r para u n a cu rva d efin id a d e m a n era p a ra m étrica (p . 8 2 5 )

3 4

U sa r e l tie m p o c o m o u n p a rá m etro e n e c u a c io n e s p a ra m étrica s (p . 8 2 7 ) D e te r m in a r e c u a c io n e s p a ra m étric a s para cu rv a s d e fin id a s p o r e c u a c io n e s re c ta n g u la r e s (p . 8 3 0 )

V

__________________________________________________________________________________________________________________✓

E je r c ic io s d e r e p a s o

Er¡ los problemas 1-20, identifica cada ecuación. Si es una parábola, indica su vértice, foco y directriz; si es una elipse, indica su centro, vértices y focos; si es una hipérbola, indica su centro, vértices, focos y asíntotas. 1 . y2

2.

16 x2 = y

3.

x2 = 1

5.

y2 x2 — + — = 1 25 16

6.

+ 4y = 4

8.

3y2 - x 2 = 9

9.

11.

x 2 - 4x = 2y

12 .

2y2 — 4y = x - 2

14.

4 x2 + y 2 + 8x — 4y + 4 = 0

15.

4 x 2 + 9 y 2 - 16 x - 18y = 11

17.

4 x 2 — 16x + 16y + 32 = 0

18.

4 y 2 + 3 x - 16y + 19 = 0

-

4. — 25

7. x 2

10. 9X2 13. y2

X 2 i ------ V = 1 25 r

16x

=

~

+ ^ y 2 = 36 4 y - 4X2 + 8 x = 4

16. 4 x 2

+ 9y2 -

19. 9 x 2

+ 4 y 2 - 1 8 x + 8 y = 23

16 x + 18y = 11

20. x2 - y 2 -

£ + ¿ = i 9 16 4x2 - y2 = 8

2x - 2y = 1

En los problemas 21-36, determina una ecuación de la cónica descrita. Traza la gráfica de la ecuación.

21.

22.

E lip se; c o n c e n tr o e n ( 0 ,0 ) ; fo c o e n (0, 3); v é r tice en (0, 5)

24.

P a rá b o la , c o n v ér tice en ( 0 ,0 ) ; d irectriz la recta y = - 3

2 5 . E lip se; c o n fo c o s e n ( - 3 , 0 ) y (3 , 0); v é r tic e en ( 4 ,0 )

26.

H ip érb o la ; co n v ér tice s en ( - 2 , 0 ) y ( 2 ,0 ) ; fo c o en (4, 0)

27.

28.

E lip se; c o n c e n tr o en ( - 1 , 2 ) ; f o c o en ( 0 ,2 ) ; v értice en ( 2 ,2 )

23.

29.

P a rá b o la , c o n fo c o e n ( - 2 , 0); d irectriz la re cta x = 2 H ipérbola; con centro en (0 ,0 ); fo co en (0 ,4 ); vértice en (0, - 2 )

P a rá b o la , c o n v ér tice e n (2 , - 3 ) ; fo c o e n (2 , - 4 ) H ip ér b o la ; c o n ce n tr o e n ( - 2 , - 3 ) ; f o c o e n ( - 4 , - 3 ) ; v é r tic e en ( -3 , - 3 )

3 0 . P aráb ola; c o n fo c o e n (3, 6); d irectriz la recta y = 8

838

CAPÍTULO 11

G eom etría analítica

31.

E lipse; c o n fo co s en ( - 4 , 2 ) y ( - 4 . 8); v é r t a e n ( - 4 , 1 0 )

32. H ip é r b o la ; co n v é r t a e n ( - 3 , 3 ) y ( 5 .3 ) ; f o c o e n (7 . 3 ,

33.

C en .ro en ( - 1 ,2 ) ; n = 3; c = 4; eje transversal paralelo al eje 4

34. C en tro e n ( 4 , - 2 . * « - I; c = 4; eje transversal paralelr, al e j e ,

35.

V é r tic e s en ( 0 .1 ) y ( 6,1 ) ; asín to ta en la recta 3, + 2 r = 9

36. V é r tic e s e n ( 4 , 0 ) y ( 4 . 4 , ; a sín to ta la recta y

En los problemas 37-46, planifica caja cónica sin completar 37.

y2 + 4x

3y - 8

+

= 0

x2 + 2y2 + 4x - 8y

39.

4 1 . 9x2 -

12 xy +

+ 2 = 0

4y2 + 8jc +

4 3 . 4x2 + lO.ry +

4y2 -

9

12y = 0

= 0

2 ,-1 0

loscuadrados y s 38.

2x2 - y

40.

x2 - fty2 - x - 2y

42.

4X2 + 4xy + y2 - H\/5x

44.

4x2 -

+ 8* = 0

1Ojcy +

4y2 -

= 0

9

íñVSy

+

= 0

= 0

4 6 . 4x2 + 12 xy - 10 y2 + x + y - U) = 0 x2 —2xy + 3 y2 + 2x + 4y — 1 = 0 En los problemas 47-52, rota los ejes de manera que la nueva ecuación no contenga término xy. Analiza y traza la gráfica de la nueva ecuación. 45.

47.

2x2+

5-ry + 2 y2 - ^ = 0

49.

(¡x2+ 4xy

51.

4 a:2- 12 xy +

9y2 -

+

20 = 0

9y2 +

48’

2x2 - 5xy

50*

x2 + 4xy

+

+

2y2 - -

- 0

4y2 + ]6 \/5 x -

s V iy =

0

5 2 . 9 *2 - 24x>' + 1 6 y 2 + 8 0 jc + 6 0 y = 0

12* + 8y = 0

En los problemas 53-58, identifica la cónica que representa cada ecuación polar y traza su gráfica. 4

54.

II

53.

1

C/3 O 0

t-H

2

56.

3 + 2 eos

57.

0

6

'

1 + sen 0

'

8 4 + 8 eos 0

6

55.

2 - senO 10

58.

5 + 2 0 se n

0

En los problemas 59-62, convierte cada ecuación polar a una ecuación rectangular. 59.

r

=

4

„

60.

1 - eo s 6

6

r=

2-

61. sen #

r=

8

r =

62.

4 + 8 eos 0

3 + 2 eos

0

En los problema 63-68, traza la gráfica de la curva cuya ecuación paramétrica se da y muestra su orientación. Determina la ecuación rectangular de cada curva. 63.

x = 4t —2, y = 1 — /; - o o

65.

x=

3 sen t, y

67.

x=

se c 2 t , y

<

t < oo

= 4 e o s t + 2; 0

= tan 2 1; 0

s t < 277

< t s —

64.

x = 2/2+ 6, y = 5 —r; -oo < t < oo

66. x = ln t, y = r'; t > 0 3

68. * = l 2 , y = 2f + 4; t > 0

En los problemas 69 y 70, determina dos ecuaciones paramétricas diferentes para cada ecuación rectangular. 69.

y = - 2x + 4

70. y = l r 2- 8 r2

En los problemas 71 y 72, determina ecuaciones paramétricas para un objeto que se mueve sobre la elipse — miento descrito. 16 71.

E l m o v im ie n to e m p ie z a en (4, 0 ), e s e n d ire cc ió n o p u e sta

72.

a las m a n ecilla s d el reloj y re q u ie re d e 4 se g u n d o s para co m p leta r una r e v o lu c ió n . 73.

D e te r m in a una e c u a c ió n d e la h ip é rb o la cu y o s fo c o s so n

76.

D e sc r ib e la c o le c c ió n d e p u n to s e n e l p la n o ta les q u e la d istan cia d e cad a p u n to al p u n to (3 , 0 ) se a tres cu a rto s de la d istan cia a la recta

x

16 = — .

E l m o v im ie n to e m p ie z a e n (0 , 3 ). e s e n d ire cc ió n d e las

D e sc r ib e la c o le c c ió n d e p u n to s e n e l p la n o ta les q u e la d ista n cia d e ca d a p u n to al p u n to ( 5 , 0 ) se a c in c o cu a rto s d e , la d ista n cia a la recta

74. D e te r m in a una ec u a c ió n d e la e lip se cu y o s fo c o s so n lo s

75.

con el movi

m a n e c illa s d el reloj y r e q u ie r e d e 5 s e g u n d o s para co m p le tar una r e v o lu c ió n .

lo s v ér tice s d e la e lip se 4 a:2 + 9 y 2 = 36 y c u y o s v é r tic e s so n lo s fo c o s d e esta elip se . v ér tice s d e la h ip érb o la x2 —4y2 = 16 y c u y o s v é r tic e s so n lo s fo c o s d e esta h ip érb o la .

v2 + — = 1 9

77.

F aro

16 at

= — .

U n fa ro tie n e la fo rm a d e un p a r a b o lo id e d e re v o

lu ció n . Si una fu e n te d e lu z e stá u b ica d a a 1 p ie d e l v ér tice so b re e l e je d e sim etr ía y la ab ertu ra e s d e 2 p ie s d e d iá m e tr o en e l e x tr e m o , ¿ q u é tan p r o fu n d o d e b e se r e l e s p e jo para refleja r lo s ra y o s d e lu z p a r a le lo s al e je d e sim etría ?

Examen del Capítulo

78. Arco parabólico de un puente

U n p u e n te e s tá c o n str u id o


c o n la fo rm a d e un a rc o p a r a b ó lic o . E l p u e n te ab arca 60

839

E l tren d e M ary sa le a las 7:15 am y

a c e le r a co n una ta sa d e 3 m etro s p o r se g u n d o p or se g u n d o .

p ie s y tie n e u n a altu ra m á x im a d e 2 0 p ie s. D e te r m in a la

M ary, q u ie n p u e d e correr a 6 m e tr o s p o r se g u n d o , lleg a a

altu ra d e l a rco a u n a d ista n c ia d e 5, 10 y 2 0 p ie s d el c e n tr o .

la e s ta c ió n d e tr e n e s 2 se g u n d o s d e sp u é s d e q u e el tren ha

79. Arco seinielíptico de un puente

U n p u e n te e stá co n str u id o

%

c o n Ia form a d e un a reo s e m ie líp tic o . E l p u e n te ab arca 6 0

»

p ie s y tie n e u n a altu ra m á x im a d e 20 p ies. D e te r m in a la

sa lid o . (a ) D eterm in a las ec u a c io n es param étricas q ue m od elan los m o v im ien to s d el tren y de M ary c o m o función del tiem po.

altu ra d e l a rc o a d ista n c ia s d e 5 , 10 y 2 0 p ie s d e l ce n tr o .

80. Galería de susurros

[Sugerencia:

La p o sic ió n

s en

t de

el tie m p o

un o b je to co n

L a sig u ie n te figura m u estra las e s p e

c ific a c io n e s p ara e l te c h o d e u n a g a le ría elíp tic a q u e está d ise ñ a d a para se r u na g a le ría d e su su rro s. ¿ D ó n d e se lo c a lizan lo s f o c o s e n e l p a sillo ?

(b ) D e te r m in a a lg e b r a ic a m e n te si M ary alca n zará el tren. Si sí, ¿ cu á n d o ? |*ij (c ) S im u la e l m o v im ie n to d e l tren y d e M ary tra za n d o si m u ltá n e a m e n te las gráficas d e las e c u a c io n e s q u e d e te r m in a ste e n e l in c iso (a ).

83. Tiro parabólico

D r e w B r e e s la n za un b a ló n d e fú tb o l co n

u n a v e lo c id a d in icia l d e 8 0 p ie s p o r se g u n d o y un á n g u lo d e 3 5 ° c o n la h o riz o n ta l. E l b a ló n sa le d e la m a n o d e B r e e s a u na altura d e 6 p ies. 80'

81. Calibración de instrumentos

(a ) D e te r m in a las e c u a c io n e s p a ra m étrica s q u e m o d e la n la p o sic ió n d el b a ló n c o m o fu n c ió n d e l tie m p o .

E n una p ru eb a d e su s ap aratos

para grabar, un g ru p o d e sis m ó lo g o s c o lo c a r o n d o s d e los

(b ) ¿ C u á n to tie m p o esta rá e l b a ló n e n e l aire?

ap a ra to s a 2000 p ies d e d ista n cia u n o d el o tro , co n el apara to en el p u n to

A

al o e s te d el ap a ra to e n el p u n to

p u n to en tre lo s ap aratos y a 200 p ies d el p u n to

B.

B, se

(c ) ¿ C u á n d o alca n za rá e l b a ló n su altu ra m á xim a? D e t e r

E n un

m in a la altura m á x im a d e l b a ló n .

d e to n ó (d ) D e te r m in a la d istan cia h o rizo n ta l q u e recorrerá el b alón.

una p e q u e ñ a ca n tid a d d e e x p lo siv o s y se registró el tiem p o

(e ) U sa un d ispositivo gráfico para ob ten er sim u ltáneam ente la

e n el q u e e l s o n id o lle g ó a ca d a ap arato. S e va a llevar a ca b o

gráfica de las ecu acion es q ue d eterm inaste e n el inciso (a).

u na se g u n d a e x p lo sió n en un p u n to d ire cta m e n te al n orte d el p u n to

B. ¿ Q u é

tan le jo s h a cia el n o rte se tie n e q u e eleg ir

84.

D e sa r r o lla u n a estr a te g ia para a n alizar y o b te n e r la gráfica

e l lugar d e la se g u n d a e x p lo sió n para q u e la d iferen cia d e

d e u n a e c u a c ió n d e la form a

tie m p o q u e se registre p o r lo s a p a ra to s para la seg u n d a d e to


n a ció n se a igu al q u e la registrad a p o r la prim era d eto n a c ió n ?

Los videos de preparación para examen del capítulo son soluciones paso a paso disponibles en el DVD de recursos en

CHAPTER

EXAMEN DEL CAPÍTULO 1

( * + ! )2 4

^

i

video, en MyMaStLab\ o en el canal de Y o i i » de este texto.

i^ T e s t Prep

Consulta la página de recursos del estudiante para ver la dirección

VIDEOS1

W

exacta de la página Web para el canal de YouTube de este texto.*4 3 1 7

2 . 8y = ( * - 1 )2 - 4

3.

2x2+ 3y2+ 4 x - 6 y = 13

9

En los problemas 4-6, determina la ecuación de la cónica descrita; traza la gráfica de la ecuación.

4.

5.

P aráb ola: c o n fo c o ( - 1 , 4 . 5 ) , v é r tic e ( - 1 , 3 )

E lip se: c o n c e n tr o

(0,0), v é r tic e (0,- 4 ) ,

fo c o

(0,3)

6. H ip ér b o la : c o n c e n tr o (2 , 2 ), v é r tic e ( 2 ,4 ) , c o n tie n e e l p u n to 2 + V T Ó , 5

En los problemas 7-9, identifica cada cónica sin completar el cuadrado o rotar los ejes.

7. 2x2+ 5xy + 3y2— 7 = 0

3x2- x y + 2y2+ 3y + 1 = 0

- 8.

10. D a d a la e c u a c ió n 4 1 x 2 - 2 4 x y + 3 4 y 2 - 25 =

0, gira

lo s e je s d e tal m a n era q u e n o h aya té r m in o

la n u e v a e c u a c ió n para la cu rva. 11.

9. x2- 6xy + 9y2+ 2 x - 3 y - 2 = 0 xy.

A n a liz a y traza la gráfica d e

^

Id en tific a la có n ic a r e p r e se n ta d a p o r la e c u a c ió n p o la r

r

— ^

^ cos q

D e te r m in a la e c u a c ió n rectan gu lar.

12. T raza la gráfica d e la cu rva cu y a s e c u a c io n e s p a ra m étrica s se dan y m u estra su o rie n ta c ió n . D e te r m in a la e c u a c ió n rectan gu lar p ara la curva. x =

13.

3t

— 2,

y

= 1 -

Vt,

0 < t <9

U n re fle c to r p a ra b ó lico (p a r a b o lo id e d e r e v o lu c ió n ) se usa p o r lo s eq u ip o s d e T V e n ju e g o s d e fú tb o l para cap tar las d e te r m i n a c io n e s d e l árb itro, las se ñ a le s d el q u a rterb a ck , etc. S e c o lo c a un m ic r ó fo n o en e l fo c o d e la p a rá b o la . Si un cie r to re flec to r tie n e 4 p ie s d e a n ch o y 1.5 p ie s d e p ro fu n d id a d , ¿ d ó n d e se d e b e c o lo c a r el m icr ó fo n o ?

840

C A P ÍT U L O 11 Geometría Analítica

/

REPASO ACUMULATIVO 1. Para

f(x)

= -

4. (a ) D e te r m in a el d o m in io y el ra n g o d e

3x2+ 5x - 2, d eterm in a f(x + h) - f{x) h* 0

y=

3 ‘ + 2.

(b ) D e te r m in a la fu n ció n in v er sa d e y = 3* + 2 e ín dica su d o m in io y su ran go. 5. / ( a ) = lo g 4(A - 2)

2 . E n el sistem a de los núm eros com p lejos, resu elve la ecuación

3. ¿Para q u é

9.x4+ 33 a-3 - 71 a:2 - 57 a - 10 = 0 n ú m ero s x se cu m p le q u e 6 - x s

(a ) R e s u e lv e / ( a ) = 2. (b ) R e s u e lv e / ( a ) =s 2.

a 2?

6. D eter m in a una ec u a c ió n para cad a una d e las sig u ie n te s gráficas:

origen y q u e form a un án g u lo d e 30° co n el eje

a

p o sitiv o .

9 . D e te r m in a una ec u a c ió n p o la r p ara e l círcu lo c o n cen tro en e l p u n to ( 0 ,4 ) y ra d io 4. T raza la gráfica d e e s te círculo.

11. 12.

R e s u e lv e la e c u a c ió n c o t(2 0 ) = 1, d o n d e 0 o <

6<

90°.

D e te r m in a la e c u a c ió n re cta n g u la r d e la cu rva 7T ir a = 5 ta n 1, 5 sec¿1, —— < t <

PROYECTOS DEL CAPÍTULO ta n cia d el S o l y el

afelio d e un p la n e ta e s su m a y o r d is perihelio e s su d ista n c ia m ás corta. La

distancia media d e

u n p la n e ta al S o l e s la lo n g itu d d e l eje

u n o d e lo s fo c o s. E l

se m im a y o r d e la ó rb ita e líp tic a . V e r ilu stra c ió n . 1.

In v estig a la h isto ria d e l H a le -B o p p e n In te rn et. E n p arti cular, d e te r m in a e l a fe lio y e l p e r ih e lio . F r e c u e n te m e n te e s to s v a lo r e s se d an e n té r m in o s d e u n id a d e s a stro n ó m ica s. ¿ Q u é e s una u n id a d a str o n ó m ic a ? ¿C u á l e s su eq u iv a len cia e n m illa s? ¿ E n k iló m e tr o s? ¿C u á l e s e l p e r io d o orb ita l d el c o m e ta H a le -B o p p ? ¿ Q u é ta n to s e a cerca a la T ierra?

m Proyecto con base en Internet I. E l cometa Hale-Bopp L a s ó rb ita s

2 . D e te r m in a u n m o d e lo p ara la ó rb ita d e l c o m e ta H a le - B o pp a lr e d e d o r d e l S o l. U s a e l e je

d e lo s p la n e ta s y d e a l

g u n o s co m e ta s a lr ed ed o r d el S o l so n e lip s e s, c o n e l S o l en

a

c o m o e l e je m ayor.

3 . E l c o m e ta H a le -B o p p tie n e u n a ó r b ita q u e e s a p ro x im a d a m e n te p e r p e n d ic u la r a la d e la T ierra. D e te r m in a un m o d e lo para la ó rb ita d e la T ierra u sa n d o e l e je m ayor.

4.

y

c o m o e l eje

U s a un d isp o s itiv o g rá fic o o a lg u n a o tra te c n o lo g ía para co n stru ir grá fica s p ara trazar la s tra y e cto ria s d e las órb itas. C o n b a se e n las g rá fica s, ¿ se in te r se c ta n las tra y ecto ria s de las ó rb ita s? ¿ S ig n ifica e s to q u e e l c o m e ta H a le -B o p p c h o cará c o n la T ierra?

t ! Proyectos del capítulo

841

L o s s i g u i e n t e s p r o y e c t o s s e p u e d e n e n c o n t r a r en e l C e n t r o d e r e c u r s o s d e l p r o f e s o r ( I R C , p o r s u s s ig la s en in g lé s):

II. Las órbitas de Neptuno y Plutón Plutón y Neptuno viajan alrededor del Sol en órbitas elípticas. Plutón, algunas veces, se acerca más al Sol que Neptuno, el planeta más lejano. Este proyecto examina y analiza las dos órbitas. III. Proyecto en Motorola A n t e n a s r e f l e c t o r a s d i s t o r s i o n a d a s q u e s e p u e d e n una antena que se puede mandar al espacio para recolectar luz solar.

m a n d a r a l e sp a cio

Un ingeniero diseña

.'TV. Construcción de un puente sobre el Río Este Al diseñar un puente que estará sobre un cuerpo de agua impor tante, se debe considerar el tamaño de los barcos que usan los ríos y las fluctuaciones en la altura del agua debido a mareas o inundaciones.

V . Sistemas de ecuaciones paramétricas El escoger un enfoque para usar cuando se resuelve un sistema de ecuacio nes depende de la forma del sistema y del dominio de las ecuaciones.

|

. i!

/ <

■i r

.

Funciones y sus gráficas Contenido 1 2 .1 Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución y eliminación 1 2 .2 Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 1 2 .3 Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes

1 2 .4 Álgebra de matrices 1 2 .5 Descomposición en fracciones parciales 1 2 .6 Sistemas de ecuaciones no lineales 1 2 .7 Sistemas de desigualdades 1 2 .8 Programación lineal


Resultados económicos G a n a n c ia s a n u a le s d e a d u lto s jó v e n e s

Los ingresos se incrementan con la escolaridad tanto para, hombres como mujeres: tra bajadores de tiempo completo, con por lo menos una licenciatura, tienen ganancias medias más altas que aquellos con menos escolaridad. Por ejemplo, en 2003. los graduados universitarios ganaban 93 por ciento más que los graduados de ba chillerato. Las mujeres con una licenciatura o un grado más alto ganaban 91 por ciento más que las mujeres con diploma de bachillerato. Los hombres y mujeres que abandonaron el bachillerato ganaban 37 y 39 por ciento menos, respectivamente, que los hombres y mujeres que completaron el bachillerato. Las ganancias medias de adultos jóvenes que tienen por lo menos un diplo ma de licenciatura disminuyeron en los años 1970 con respecto a sus contrapar tes que completaron únicamente el bachillerato, pero después se incrementaron entre 1980 y 2003. Los hombres con licenciatura o un diploma más alto tenían ganancias 19 por ciento más altas que los hombres con diploma de bachillerato en 1980 y tenían ganancias 93 por ciento más altas en 2003. Entre las mujeres, aquellas con al menos una licenciatura ganaban 34 por ciento más que las mujeres con diploma de bachillerato en 1980, comparado con ganancias 91 por ciento más altas en 2003. C p)

^ En Resumen

—Ver el proyecto I con base en Internet del capítulo —

En los capítulos 1 , 4 , 5 , 6 y 8, resolvimos varios tipos de ecuaciones y desigualdades

con una sola variable.

Un Vistazo

^ En este capítulo estudiaremos el problema de resolver ecuaciones y desigualdades con dos o más variables. Existen varias formas de resolver esos problemas. El métododesustituciónpara resolver ecuaciones en varias variables se remonta a tiempos antiguos. El métododeeliminación, aunque había existido por siglos, fue puesto en orden por Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y por Camille Jordán (1838-192). La teoría de matricesse desarrolló en 1857 por Arthur Cayley (1821-1895), aunque las matrices solo se usaron más tarde en la forma en la que las usaremos en este capítulo. Las matrices se han vuelto un instrumento muy flexible, útil en casi todas las áreas de las matemáticas. El método de determinantesfue inventado por Takakazu Seki Kówa (1642-1708) en 1683 en Japón y por Gottíried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) en 1693 en Alemania. LaregladeCramersenombró en honor a Gabriel Cramer (1704-1752) de Suiza, quien hizo popular el uso de determinantes para resolver sistemas lineales. La sección 12.5 acerca de descomposiciónenfraccionesparcialesproporciona una aplicación de los sistemas de ecua ciones. Esta aplicación en particular se usa en el cálculo integral. La sección 12.8 presenta la programaciónlineal, una aplicación moderna de desigualdades lineales. Este tema es particu larmente útil para estudiantes interesados en investigación de operaciones.

842 ■ ■

S E C C IÓ N 12.1

Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución y eliminación

843

12.1 Sistem as de ecuaciones lineales: sustitución ■ y elim inación r-«' • Antes de empezar, repasa lo siguiente:

P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s ec c ió n •

^

E c u a c io n e s lin e a le s (s e c c ió n 1.1, pp. 8 2 - 8 7 )

•

R e c ta s (se c c ió n 2 .3 , pp. 1 6 7 -1 7 7 )

Rwuelve ahora los p ro b lem a s d e la se c c ió n "¿E stás listo?" d e la p ágin a 854.

OBJETIVOS 1 Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución (p. 845) 2 Resolver sistemas de ecuaciones por eliminación (p. 847)

3 Identificar sistemas de ecuaciones inconsistentes con dos variables (p.848) 4 Expresar la solución de un sistema de ecuaciones dependientes con dos variables (p. 849) 5 Resolver sistemas de tres ecuaciones con tres variables (p. 850) 6 Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones con tres variables (p. 852)

7 Expresar la solución de un sistema de ecuaciones dependientes con tres variables (p. 852)

EJEM P LO 1

Ventas de boletos de cine Un boleto de cine cuesta $8.00 cada uno y los adultos mayores reciben un descuento de $2.00. Una tarde, el cine recibió $3580 en ingresos. Si x representa el número de boletos vendido en $8 . 0 0 y y el número de boletos vendidos al precio con descuento de $6 .0 0 , escribe una ecuación que relacione estas variables.

Solución

Cada boleto sin descuento aporta $8 .0 0 , por lo tanto, x boletos aportarán 8 jcdólares. De manera similar, los boletos y con descuento aportan 6 y dólares. Como el total de ingresos fue de $3580, tenemos que 8 jc+ 6 y

= 3580 J

En el ejemplo 1, supongamos que también sabemos que se vendieron 525 boletos esa tarde. Entonces tenemos otra ecuación que relaciona las variables x y y: x + y

= 525

Las dos ecuaciones 8 jc+ 6 y

x

+y

= 3580 = 525

forman un sistema de ecuaciones. Ea general, un sistema de ecuaciones es una colección de dos o más ecuaciones, cada una con una o más variables. El ejemplo 2 ilustra los sistemas de ecuaciones.

EJEM P LO 2

Ejem plos de sistem as de ecuaciones 2x +

(a)

(b)

-4

jc

x

+

y =

5

(1)

+ 6y = - 2

(2 )

5 =4

(1)

y2 =

2x + y

(2 )

Dos ecuaciones con dos variables, x y y

Ecuaciones con dos variables, x y y

844

C A P ÍT U L O 12


y

+

< 3x - 2 y

+

X (c)

. *

+ -

r ,+ (d )

y -

5

y + z. =

b - y X

= 6 (1 ) 4 z , z= 9 (2 ) z - = () (3) z

+

0)

(2 ;

= 2

= 6 + 2z = 4 y + z = 2 = 4 y +

2x (c)

, *

(1 ) (2 ) (3)

z

W

Usamos una llave, como se muestra, para que recordemos que estamos tratando con un sistema de ecuaciones. También será conveniente enumerar cada ecuación en el sistema. Una solución de un sistema de ecuaciones consiste en los valores para las varia bles que son soluciones de cada ecuación del sistema. Resolver un sistema de ecua ciones significa determinar todas las soluciones del sistema. Por ejemplo, * = 2, y = 1 es una solución del sistema en el ejemplo 2ía), porque í 2x + y = 5 | - 4 jc + 6 y = - 2

(1 ) (2 )

í 2(2) + 1 = [ - 4 ( 2 ) + 6(1) =

-8

4 + 1= 5 + 6 = -2

También podemos escribir esta solución como el par ordenado (2.1). Una solución del sistema del ejemplo 2(b) es x = 1, y = 2, porque 5 =4

í x + y2 = \2 x + y

(i) (2 )

í 1 + 22 = 1 + 4 = 5 [2(1) + 2 = 2 + 2 = 4

11 3 Otra solución del sistema del ejemplo 2(b) es x = — , y = que puedes verificar tú mismo. Una solución del sistema del ejemplo 2(c) es x = 3, y = 2. z = 1, porque x +

< 3x , x

-

y

+

2y + 4z = y -

(i) 9 (2 ) 0 (3)

3 + 2 + 1= 6 - 3(3) - 2(2) + 4 (l) = 9 - 4 + 4 = 9 k 3 2 1 = 0

z = 6

z =

También podemos escribir esta solución como la tercia ordenada (3.2,1). Observa que x = 3, y = 3, z = 0 no es una solución del sistema del ejemplo 2(c). -v + y + z = 6 (i) 3 + 3 + 0 = 6 3x 2 y + 4 z = 9 (2 ) 3(3) - 2(3) + 4(0) = 3 * 9 vy - z = 0 (3) 3 - 3 0 = 0 Aunque .v —3, y —3 y z —0 satisfacen las ecuaciones (1) y (3). no satisfacen la ecua ción (2). Cualquier solución del sistema debe satisfacer c a d a ecuación del mismo.

Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

9

Cuando un sistema de ecuaciones tiene al menos una solución, se dice que es con sistente. Si un sistema de ecuaciones no tiene solución, se dice que es inconsistente. Se dice que una ecuación en n variables es lineal si es equivalente a una ecuación de la forma U|.Vj + azv2 + . . . + ü'X" = b donde .v,, .v,, ..., x n son n variables distintas, a r n,...... a n, menos una de las a es diferente de 0 . Algunos ejemplos de ecuaciones lineales son 2.v + 3_y = 2

5.v -

2y

+ 3c = 10

b

son constantes y por lo

8.v + 8 v — 2 c + 5 iv = 0

S E C C IÓ N 111


845

Si cada ecuación en un sistema de ecuaciones es lineal, tenemos un sistema de ecuaciones lineules. Los sistemas en los ejemplos 2 (u). (e), (d) y (e) son lineales, mientras que el sistema en el ejemplo 2(h) es no lineal. En este capítulo resolveremos sistemas lineales en las secciones 12.1 a la 12..V Estudiaremos sistemas no lineales en la sección 1 2 .ó. Empezaremos analizando un sistema de dos ecuaciones lineales con dos varia bles. Podemos pensar en el problema de resolver ese sistema como un problema geométrico. La gráfica de cada ecuación en ese sistema es una recta. Por lo tanto, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables representa un par de rectas. Las rectas: ( I) se intersectan, ( 2 ) son paralelas o (3) son coïncidentes (es decir, idénticas). 1. Si las rectas se intersectan, el sistema de ecuaciones tiene una solución, dada por el punto de intersección. El sistema es consistente y las ecuaciones son indepen dientes. Ver figura l(a). 2. Si las rectas son paralelas, el sistema de ecuaciones no tiene solución, porque las rectas nunca se intersectan. El sistema es inconsistente. Ver figura l(b). 3. Si las rectas son coincidentes (las rectas están una encima de la otra), el siste ma de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones, representado por la totalidad de puntos en la recta. El sistema es consistente y las ecuaciones son dependientes. Ver figura l(c).

y

Figura 1

Ur

^

(a)

EJEM PLO 3

y

Solución

X

Rectas que se intersectan, el sistema tiene una solución

\y \

(b)

*

x

\

Rectas paralelas, el sistema no tiene solución

(c)

x

Rectas coincidentes, el sistema tiene un número infinito de soluciones

Gráfica de un sistema de ecuaciones lineales Traza la gráfica del sistema: i

+ ^

\ - 4.v + 6 y =

Solución

^ ^ 12

(2 )

La ecuación (1) en forma pendiente-ordenada es v = - 2 x + 5, que tiene pendiente -2 e intersección con v 5. La ecuación (2) en torma pendiente-ordenada es y =

Figura 2

2

2

-x

+ 2,

' 3

que tiene pendiente - e intersección con y igual a 2. La figura 2 muestra las gráficas. J De la gráfica en la figura 2, vemos que las rectas se intersectan, por lo tanto, el sistema dado en el ejemplo 3 es consistente. También podemos usar la gráfica como una forma de aproximar la solución. Para este sistema, la solución parece estar cerca del punto (1,3). La solución real, que debes verificar, es

a

V isu aliza tio n del co ncep to

Traza la gráfica de las recta 2 x+ y = 5(V'l = -2 x + 5) y - 4 x + 6y = 12

= j x + 2^ y compara con lo

que ves en la figura 2. Usa INTERSECT para verificar que el punto de intersección es (1.125,2.75).

1 Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución La mayor parte del tiempo usaremos métodos algebraicos para obtener soluciones exactas. Tenemos varios métodos disponibles para resolver sistemas de ecuaciones lineales algebraicamente. En esta sección, estudiaremos dos métodos: s u s titu c ió n y e lim in a c ió n . Ilustraremos el método de sustitución resolviendo el sistema dado en el ejemplo 3

846

C A P ÍT U L O 12


EJEM PLO 4 1

C óm o

resolver un sistema de ecuaciones lineales por sustitución 2x +

Resuelve

y =

(1) (2 )

5

-4x + 6y = 12

Solución paso a paso Pasol: c io n e s

E s c o g e una d e la s e c u a

Resuelve la ecuación (1) para y .

y resu elv e p a r a u n a d e

2.x

la s v a ria b le s en té rm in o s d e la s

en la s e c u a c io n e s r e s t a n t e s .

Ecuación (1)

y = —2 x + 5

v a ria b le s r e s t a n t e s .

Paso 2: S u s titu y e el r e s u lta d o

+y = 5

R e sta 2 x d e cada lado de (1).

Sustituye -2 x + 5 por y en la ecuación (2). El resultado es una ecuación que contiene solo la variable x, la cual, podemos resolver. -4 x + 6y

= 12

Ecuación (2)

—4x + 6(~2x + 5) = 12 Paso 3: Si o b te n e m o s com o

+5

en (2J.

12 a: + 3 0

= 12

Distribuye.

- 1 6 a: + 3 0

= 12

Combina térm in o s

= —18 -18

R e sta 3 0 de am bos lados.

—4 x -

r e s u lta d o u n a ec u ac ió n en una

S u stitu y e y por - 2 x

variab le, resu elv e e s t a ecu ació n . —1 6 *

De o t r a fo rm a , re p ite los p a s o s 1 y 2 h a s t a q u e q u e d e una so la

X

ec u ac ió n con una variable.

= - 1i 6s

sem ejan tes.

Divide am bos lados e n tre -1 6 .

9

Simplifica.

* = 8

Paso 4: D e te rm in a los v a lo re s d e la s v a ria b le s r e s t a n t e s por

Como sabemos que

s u s titu c ió n h a d a a t r á s .

atrás, esto es, sustituyendo - por

x =

—, podemos determinar el valor de y por sustitución hacia °

9

x

8

en una de las ecuaciones originales. La ecua-

ción ( 1 ) parece ser más sencilla para trabajar, así que sustituiremos hacia atrás en la ecuación ( 1 ). 2x + y =

5

Ecuación (1)

9'

8,

+ y = 5

S u stitu y e x = — en la ecuación (1).

o

9 + y = 5 4 _ _

Simplifica.

9 4

9

V —o — r

R e sta — de am bos lados. 4

11

9 _ 2 0 _ 9 _ 11

y = ~4

Paso 5: Verifica la solución q u e o b tu v is te .

Tenemos x

_ 9 —y y

—

11 =

—

5

4 ~

4

4

~ 4

. Verificamos que ambas ecuaciones se satisfacen (son ver

daderas) para esos valores.

K - * * ' ■ -

4

M S

- H M

t

9 La solución del sistema es * = — = 1.125 y y

Í - ?

- ’

) - I * ? - ? - » 11

=

— = 2.75. También podemos escri

bir la solución como el par ordenado ( — — | \ 8’ 4

Ahora usa sustitución para resolver el pr O B I E M A

19

S E C C IÓ N 12.1


847

R e so lv e r s iste m a s d e e c u a c io n e s p o r e lim in a c ió n

t

En palabras . r Cuando usamos eliminación, r queremos hacer que los coefi

r cientes de una de las variables r sea el negativo deI otro.

n

Un segundo método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de eliminación. Generalmente este método se prefiere al de sustitución si la sustitución nos lleva a fracciones o si el sistema contiene más de dos variables. La eliminación también proporciona la motivación necesaria para resolver sistemas usando matrices (el tema de la sección 1 2 .2 ). La idea detrás del método de eliminación es sustituir el sistema original de ecua ciones por un sistema equivalente de manera que sumar dos ecuaciones elimine una variable. Las reglas para obtener ecuaciones equivalentes son las mismas que aque llas que estudiamos anteriormente. Sin embargo, también podemos intercambiar cualesquiera dos ecuaciones del sistema y/o sustituir cualquier ecuación en el sistema por la suma (o diferencia) de esa ecuación y un múltiplo diferente de cero de cual quier otra ecuación en el sistema.

R e g la s p a r a o b t e n e r u n s is te m a d e e c u a c io n e s e q u iv a le n t e

1. Intercambia cualesquiera dos ecuaciones del sistema. 2. Multiplica (o divide) cada lado de una ecuación por la misma constante diferente de cero. 3. Sustituye cualquier ecuación en el sistema por la suma (o diferencia) de esa ecuación y un múltiplo diferente de cero de cualquier otra ecuación en el sistema. Un ejemplo aclarará la idea. Conforme trabajes en el ejemplo, pon mucha aten ción al patrón que se forma.

EJEM PLO 5

Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación Resuelve: j

2x + 37 =

\- x +

1 (1) -3

y =

(2)

Solución paso a paso Paso 1: Multiplica ambos lados de una o am bas ecuaciones por una co nstan te diferente de cero para que los coeficientes de una de las variables sean Inversos

Multiplica ambos lados de la ecuación (2) por 2 para que los coeficientes de x en las dos ecuaciones sean inversos aditivos. Í2x + 3y = 1 0) \ x T y = —3 (2) f

aditivos.

2x + 3y

U (-

í

jc

2x

I I

2* Sum a

la s

+ +

p ara

d e te r m in a r el v alo r d e la v aria b le re s ta n te .

y=

V erifica la solución q u e

o b tu v is te .

0) (2)

=

0)

=

(2)

2x + 3y = l

2x + 3 (—1 ) =

1

=4 x= 2

2x

i

Paso 4:

Multiplica por 2.

Suma las ecuaciones (1) y (2). Divide am bos lados en tre 5.

- 1 e n la e c u a c ió n ( 1 ) y r e s u e lv e p a r a

i

m in a s te en el p a s o 2 en u n a d e

S u s t it u y e h a c ia a tr á s

OJ

el v alo r d e la v aria b le q u e d e t e r originales

1

y = - -1

S u s t i t u y e h a c ia a t r á s

e c u a c io n e s

(2)

1 -6 5 y = —5

in c ó g n ita r e s t a n t e .

la s

= 2 ( —3 )

2y = -6

f 2x + 3y \ - 2 x + 2y

e c u a c io n e s

j p a r a elim inar la variable. R e su e l ve la e c u a c ió n r e s u l t a n t e p a r a la

Paso 3:

0)

3y =

II

Paso 2:

+ y)

= 1

Te dejamos a ti la verificación.

x.

Ecuación (1) S u stitu y e y =

—1 en

la ecuación (1).

Simplifica. Suma 3 en am bos lados. Divide am bos lados en tre 2.

848

C A P ÍT U L O 12

S is t e m a s

de ecuaciones y desigualdades

La solución del sistema es jc = 2 y y = -1 . También podemos escribir la solución como

el par ordenado (2 , - 1 ). . i.... .

EJEMPLO 6

.

-Ahora usa eliminación para resolver el problema i

9

V e n ta s de b o le to s de un cin e Un cinc vende boletos por $ 8 . 0 0 cada uno y los adultos mayores reciben un descuen to de $ 2 .0 0 . Una tarde, el cine vendió 5 2 5 boletos y recibió $ 3 5 8 0 en ingresos. ¿Cuán tos boletos de cada uno se vendieron?

Solución

Si x representa el número de boletos vendidos por $ 8 . 0 0 y y el número de boletos vendidos por el precio con descuento de $ 6 . 0 0 , entonces la información que tenemos da como resultado un sistema de ecuaciones 8 jc + 6y = 3 5 8 0 ( 1) x

+

=

y

(2 )

525

Usaremos el método de eliminación. Primero multiplica la segunda ecuación por - 6 y después suma las ecuaciones.

í |

8x

—6jc

+ 6y = —6 y = 2 jc jc

= =

3580 -3 1 5 0 430

S u m a la s e cu a c io n e s .

215

Como jc + y = 5 2 5 , entonces, y = 5 2 5 - x = 5 2 5 - 2 1 5 = 3 1 0 . Por lo tanto, se vendieron boletos sin descuento y 3 1 0 boletos para adultos mayores.

215

3 Id en tifica r siste m a s d e e c u a c io n e s in c o n s is te n te s co n d o s v a r ia b le s Los ejemplos anteriores trataron con sistemas de ecuaciones que tenían una única so lución. Los siguientes dos ejemplos tratan con otras dos posibilidades que se pueden dar, la primera es un sistema que no tiene solución. E JE M P L O 7

Un sistema inconsistente de ecuaciones lineales Resuelve:

[ 2x

[ 4 jc

Solución

+ * = 5 0) + 2 y = 8 (2 )

Escogemos usar el método de sustitución para resolver la ecuación (1) para y . 2x

+y =5 y —— 2.V+ 5

(1 ) R e sta 2 x d e c a d a 1 ado.

Ahora sustituye -2x +5 en y en la ecuación (2) y resuelve para .v. 4.v

Figura 3

4.V + 2 ( —2 x — 5 ) — 8

y..

s-

4 -t

2x

_J _l_l_i -4

_

+2 y = 8

+y =5

i \\ i i , 'A 4 x

—4.v + 10 =8 0 ——2

(2 )

S u stitu y e y

=- Z x +5 en (2)

Elimina los p arén tesis. R e sta 10 en am bos la d e a .

Esta proposición es falsa. Podemos concluir que el sistema no tiene solución v. por lo tanto, es inconsistente.

•J La figura 3 ilustra el par de rectas cuyas ecuaciones forman el sistema del ejem plo 7. Observa que las gráficas de las dos ecuaciones son rectas, cada una con pendiente —2, una tiene intersección con y igual a 5 y la otra tiene intersección con v igual a 4 .

S E C C IÓ N 12.1


849

Las rectas son paralelas y no tienen punto de intersección. Esta proposición geométri ca es equivalente a la proposición algebraica de que el sistema no tiene solución.

Visualización del concepto 1J

Traza la gráfica de las rectas 2x + y = Sfy, = -2 x + 5) y 4x + 2y = 8(V'¡ = -2 x + 4) y compara lo que ves con la figura 3. ¿Cómo puedes estar seguro de que las rectas son paralelas?

4 E x p re s a r la s s o lu c io n e s d e un s iste m a d e e c u a c io n e s d e p e n d ie n t e s co n d o s v a ria b le s EJEM PLO 8

Solución de un sistema de ecuaciones dependientes Resuelve:

Solución

í

2.v +

I - 6 .v -

y =

4

(1 )

3 y = -1 2

(2 )

Escogeremos usar el método de eliminación. í

2x

\-6 x

+ y = -3 y =

4 -12

6 .V +

3y = 12 - 6 .V — 3y = -1 2 0=

0

(1) (2 ) (1)

Multiplica ca d a lado de la ecuación.

(2 )

Sum a las ecuaciones (1) y (2).

La proposición 0 = 0 es verdadera. Esto quiere decir que la ecuación 6 „v+ 3y = 12 es equivalente a - 6 x - 3 y — -12. Por lo tanto, el sistema original es equivalente a un sistema que contiene una ecuación, entonces, las ecuaciones son dependientes. Esto quiere decir que cualquier valor de x y y que satisfaga 6 x + 3y = 12 o, equivalentemente, 2v + y = 4 será solución. Por ejemplo, x = 2, y - 0; x = 0, y = 4; x = -2, y = 8 ; x = 4, y = -4; etc., son soluciones. Existen, de hecho, un número infinito de valores de x y y para los cuales 2v + y = 4, por lo tanto, el sistema original tiene un número infinito de soluciones. Escribiremos la solución del sistema original ya sea como y

= —2x + 4 donde x puede ser cualquier número real

o como x -

——y + 2

donde y puede ser cualquier número real.

También podemos expresar la solución como /O WAj número real) o como \ (*, y)

4

x = —^ y + 2, y

[ ( x ,y ) \y = —2 x

+ 4,

x

es cualquier

es cualquier número real ¡

La figura 4 ilustra la situación presentada en el ejemplo 8 . Observa que las grá ficas de las dos ecuaciones son rectas, cada una con pendiente —2 y cada una con intersección en y igual a 4. Las rectas son coincidentes. Observa también que la ecua ción (2) en el sistema original es -3 veces la ecuación (1), lo que indica que las dos ecuaciones son dependientes. Para el sistema del ejemplo 8 , podemos escribir algunas de las soluciones del número infinito existente asignando valores a x y después determinando y = —2x + 4. Si x = -1 , entonces, y = —2(—1) + 4 = 6 . Si x = 0, entonces y = 4. Si x = 2, entonces y = 0. Los pares ordenados (-1,6), (0,4) y (2,0) son tres puntos en la recta de la figura 4.

850

C A P ÍT U L O 12


a

Visualización del co ncepto Traza las gráficas de las rectas 2x + y = 4(Y1 = -2x + 4) y -6x - 3y = -12(Y2 = -2x + 4) y compara lo que ves con la figura 4. ¿Cómo puedes estar seguro de que las rectas son coincidentes?______________________ J

Resuelve ahora

EL PROBLEMA 2 5 Y 2 9

5 R e s o lv e r s is t e m a s d e t r e s e c u a c i o n e s c o n t r e s v a r ia b le s De la misma manera que un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables tiene ya sea ( 1 ) exactamente una solución (un sistema consistente con ecuaciones independientes), (2 ) ninguna so lución (un sistema inconsistente) o (3) un número infinito de soluciones (un sistema consistente con ecuaciones dependientes). Podemos ver el problema de resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables como un problema geométrico. La gráfica de cada ecuación en ese siste ma es un plano en el espacio. Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables representa tres planos en el espacio. La figura 5 ilustra algunas de las posibilidades. Figura 5

Soluciones

(a) Sistema consistente, una solución

(b)

Soluciones Sistema consistente, un número infinito de soluciones

(c)

Sistema inconsistente, no tiene solución

Recuerda que una solución de un sistema de ecuaciones consiste en los valo res para las variables que son soluciones de cada ecuación del sistema. Por ejemplo, x = 3, y = —1, z = — 5 o, usando una tercia ordenada, (3 ,-1 ,-5 ) es una solución del sistema de ecuaciones x

+

< 2x ,-3x +

y + 3y 5y

+

-3 = -2 1 = -1 4

z = 6z

(1 ) (2 ) (3)

3 + (-1 ) + (-5 ) = -3 2(3) - 3( —1) + 6 ( —5) - 6 + 3 - 30 - -2 1 -3 (3 ) + 5 ( - l ) = - 9 - 5 = -1 4

porque estos valores de las variables son soluciones de cada ecuación. Generalmente cuando se resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables, usamos el método de eliminación. Recuerda que la idea detrás del método de eliminación es formar ecuaciones equivalentes de manera que sumar dos de las ecuaciones elimine una variable.

EJEM PLO 9

Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables Usa el método de eliminación para resolver el sistema de ecuaciones. [ x + < 4x ( 2x -

Solución

y - z = - 1 ( 1) 3y + 2 z = 16 (2 ) 2y - 3z = 5 (3 )

Para un sistema de tres ecuaciones, trataremos de eliminar una variable a la vez, usando pares de ecuaciones hasta que nos quede solamente una ecuación con una sola variable. Nuestra estrategia para resolver este sistema será usar la ecuación (1) para eliminar la variable x de las ecuaciones (2) y (3). Podemos ahora tratar las nue vas ecuaciones (2) y (3) como un sistema con dos incógnitas. De manera alternativa,

S E C C IÓ N 12.1


851

podemos usar la ecuación (1) para eliminar ya sea y o z de las ecuaciones (2) y (3). Intenta alguno de estos enfoques tú mismo. Empieza multiplicando cada lado de la ecuación (1) por - 4 y sumando el resulta do a la ecuación (2). (¿Puedes ver por qué? Los coeficientes de jc son ahora negativos uno del otro.) También podemos multiplicar la ecuación (1) por -2 y sumar el resul tado a la ecuación (3). Observa que estos dos procedimientos darán como resultado la eliminación de la variable x de las ecuaciones (2) y (3). x+ y 4 jc —3 y

x

+

-

z

— 1 (1)

+ 2z

1 6 (2 )

y -

z

2 x -2 y -3 z

— 1(1)

Multiplica por-4 .

Multiplica por-2 .

- 2 jc

5 (3 )

—l y

+ 6z =

-

+

2y

Suma

20

2z — -4

2x — 2y - 3z = -4

y

y

z -

Suma

z =

Ahora nos concentraremos en las nuevas ecuaciones (2) y (3) y las trataremos como un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Es más sencillo eliminar z . Multiplica cada lado de la ecuación (3) por 6 y suma las ecuaciones (2) y (3). El resultado es la nueva ecuación (3). —l y —4 y

+ 6 z = 2 0 (2) — Z — 7 (3)

+ 6z —6 z

—l y Multiplica por 6 .

—24_y —31y

= 20

(2)

z = - 1 0) + 6 z = 2 0 (2) —31y = 62 (3)

* + y -

—l y

= 4 2 (3) — 62

Suma.

Ahora resuelve la ecuación (3) para y dividiendo ambos lados de la ecuación entre —31. 'x +

<

y -

—l y

-ly

(1 ) (2)

= “ 2

(3)

6z =

y

Sustituye hacia atrás y

20

z — —1

+

= —2

en la ecuación (2 ) y resuelve para z.

+ 6z

= 20

—7 (—2 ) + 6 z = 20 6z = 6

(2)

S u s titu y e y = —2 e n (2). R e sta 14 de am bos lados de la ecuación.

z = 1

Divide am bos lados de la ecuación en tre 6 .

Por último, sustituye hacia atrás y = -2 y z = 1 en la ecuación (1) y resuelve para x. x + y jc

+

(- 2 ) jc

-

z = -1

(1 )

1 =

S u s titu y e y = —2 y z = 1 e n (1).

-1

— 3 — —1 jc

=

2

Simplifica. Suma 3 en am bos lados.

La solución del sistema original es jc = 2, y = - 2 , (2 -2,1). Debes verificar esta solución.

z

= 1 o, usando una tercia ordenada,

J Ve de nuevo la solución dada en el ejemplo 9. Observa el patrón al eliminar una de las variables de dos de las ecuaciones, seguido por resolver este sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Aunque tú puedes escoger las variables que quieras eli minar, la metodología es la misma para todos los sistemas.


852

C A P ÍT U L O 12


6 Id en tificar siste m a s d e e c u a c io n e s in c o n s is te n te s co n tre s %

v a ria b le s

Identifica un sistema inconsistente de ecuaciones lineales

EJEM PLO 10

Resuelve:

Solución

0)

z -

-9

(2 )

4y + z =

1

(3)

y

<

x + 2y -

[

x -

Nuestra estrategia será la misma que en el ejemplo 9. Sin embargo, en este sistema, parece más sencillo eliminar primero la variable z . ¿Puedes ver por qué? Multiplica cada lado de la ecuación (1) por -1 y suma el resultado a la ecuación (2). También suma las ecuaciones (2) y (3).

y —Z — ~ 2(1) Multiplica por-1. —2 x

2x + X +

-

z = -2

í 2x +

2y-

Z= -9

y

+

x +2 y -

(2)

z z

-x + y

— 2 =-9

(1) (2 )

= -1

x + 2y - z

x + 2y - z - ~ 9 x - 4y + z = 1 2x

—2 y

y

0) (2 )

2x-2y

(3)

■- x +

= -8

Ahora nos concentraremos en las ecuaciones (2) y (3) y las trataremos como un siste ma de dos ecuaciones con dos variables. Multiplica cada lado de la ecuación (2) por 2 y suma el resultado a la ecuación (3). —X + y = —7 2 x - 2 y = -8

+ 2 y = —14 2x — 2y — - 8 0 = —22

—2x

(2) Multiplica por 2. (3)

(2)

2x + y - z =

(3)

-x + y

-2

(1)

= - 7 (2 ) 0 = -2 2 (3)

Suma.-

La ecuación (3) no tiene solución, por lo tanto, el sistema es inconsistente.

7

EJEM PLO 11

E x p re sa r la so lu ció n d e un s iste m a d e e c u a c io n e s d e p e n d ie n te s con tre s v a ria b le s

Resolver un sistema de ecuaciones dependientes Resuelve:

2y -

z

2x -

3y +

z =

4x - 5y

Solución

x - 2 y - z 2 x - 3y + z

=

x -

+

5z

8

0)

23 = 53

(2 )

(3)

Planeamos eliminar x de las ecuaciones (2 ) y (3 ). Multiplica cada lado de la ecuación (1) por —2 y suma el resultado a la ecuación (2). Además multiplica cada lado de la ecuación (1) por -4 y suma el resultado a la ecuación (3). 8 (1) Multiplica por-2 .

23 (2 )

-2x + 4y + 2z 2x — 3y + z y + 3z

= -1 6 0) = 23 (2 ) — 7 _ Suma. x - 2 y -

x

-

2y

4x - 5y

-

z

+ 5z

8

53

(1) Multiplica por-4 . (3)

-4x + 8 y + 4 z = 4x - 5y + 5 z =

y

+

z = 3z =

3y + 9z =

8 (1) 7 (2 ) 21 (3)

3y + 9z =

Trata las ecuaciones (2) y (3) como si fueran un sistema de dos ecuaciones con dos variables y elimina la variable y multiplicando ambos lados de la ecuación (2 ) por —3 y sumando el resultado a la ecuación (3 ).

SECCIÓN 12.1 Sistemai deecuAdone*lineales: sustituciónyeliminación 853 y + 3j "

7

3v + 9; ■ 21

(2 ) Munipiici f w -3

- 3 v — 9 ; » —2 1

r — 2v —

3v + 9; ■ 21 s«m» •

(3)

0 »

c — H (t|

y + 3z * 7 (?) 0 = 0 (3)

0

M sistema original es equivalente a un sistema que contiene dos ecuaciones, por lo tanto, las ecuaciones son dependientes y el sistema tiene un numero infinito de so luciones. Si resolvemos la ecuación (2) para v. podemos expresar y en términos de r como v = - 3 ; f 7. Sustituye esta expresión en la ecuación ( I ) para determinar x en términos de z. 2y - ; = X - 2 (-3 z + 7) - ; = X x + 6; - 14 - z = 8 x -

.1

0) Sustituye y » - 3 r + 7 er\ (1). Elimina lo» paréri tesi®.

r + 5 c = 22

Combina lo» término® srm rjantc».

Re&uelve para x.

Escribiremos la solución del sistema corno

{ x

V

- 5 : + 22 donde z puede ser cualquier nùmero. -3 : + 7

Esta forma de escribir las soluciones hace más fácil determinar soluciones espe cificas del sistema. Para determinar soluciones específicas, escoge cualquier valor de z y usa las ecuaciones x = - 5 z + 22 y y = -3c + 7 para determinar x y y. Por ejemplo, si c = 0, entonces x = 22 y y = 7 y si c = 1, entonces, x = 17 y y = 4. Utilizado tercias ordenadas, la solución es {(x,

v. c)|.t = -5 c + 22. v = -3 c + 7, c es cualquier número real} J

m

Resuelve ahora il problema 45

Dos puntos distintos en el plano cartesiano determinan una recta única. Dados tres puntos que no sean colinealcs, podemos determinar una función cuadrática (única) cuya gráfica contiene estos tres puntos.

[ EJEM PLO 12

Ajuste de curvas Determina números reales a, b y c tales que la gráfica de la función cuadrática y = a x: + b x + c contenga los puntos (-1 ,-4 ), (1,6) y (3,0).

Solución

Se requiere que los tres puntos satisfagan la ecuación y - a x : + Parad punto (-1 ,-4 ), tenemos que: Para el punto (1,6), tenemos que: Para el punto (3.0), tenemos que:

Figura 6

b x + c.

-4 = í/(-1): + 6 ( - l ) + c -4 = a - b + c 6 = «(1): + 6(1) + c 6 = íi + 6 + c 0 = a ( 3): + 6(3) + c 0 = 9a + 3b + c

Queremos determinar a, b y c de manera que se satisfaga la ecuación. Esto es, quere mos resolver el siguiente sistema detres ecuaciones con tres variables: a

-

< íí +

6+

b

c =

- 4 (1 )

+

, 9a + 3b

+

= 6 (2 )

c

= 0(3)

c

Al resolver este sistema de ecuaciones obtenemos a = -2, b = 5 y c = 3. Entonces la función cuadrática que contiene los puntos (-1 ,-4 ), (1,6) y (3,0) es y = - 2 x : + 5 .t + 3

y =

ax

+ bx + c ,

a=

-2 ,

6 = 5,

c = 3

La figura 6 muestra la gráfica de la función junto con los tres puntos.

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

69

854

C A P ÍT U L O 12

1 2 .1

E v a lú a


tu

e n t e n d im

ie n t o

Las respuestas se dan al final de estos ejercidos. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas

" ¿ E stá s lis to ? "


R esu elv e la ecuación :

3x

+ 4 = 8 —x. (p p .

8 2 -8 7 )

2. (a ) Traza la gráfica d e la recta 3 x + 4 y = 12. (h )

¿C u ál e s la p e n d ie n te d e una recta p a ra lela a esta recta? ( p p . 1 6 7 -1 7 7 )

C o n c e p to s y v o c a b u la r io 3. Si un sistem a d e ec u a c io n e s n o tie n e so lu c ió n , se d ice q u e

Si la so lu c ió n d e un siste m a d e d o s e c u a c io n e s lin e a le s con

5.

d o s in có g n ita s e s

e s ____________.

4.

x=

3 , y = - 2 , e n to n c e s las recta s s e ínter-

se c ta n en el p u n t o ____________.

Si un sistem a d e ec u a c io n e s tien e una so lu c ió n , el sistem a

6. Si las recta s q u e form an un siste m a d e d o s e c u a c io n e s li

e s ____________y las ec u a c io n e s s o n ____________ .

n e a le s so n c o in c id e n te s, e n to n c e s , el siste m a e s ___________ y las e c u a c io n e s s o n ____________ .

E je r c ic io s

En los problemas 7-16, verifica que los valores de las variables dadas sean soluciones del sistema de ecuaciones.

2x -

7-{ 5

jc

+

y = 5

2y

x = 2, y

8.

= 8

= - 1 ; (2, - 1 )

3 * + 2y =

2

x -7 y =

-3 0

x = ~2, y

3x - 4 y = \

9.

1 12

= 4; ( - 2 , 4 )

x

x - y =

3

12 . { _ ■r “ -V = 3

+y

y

2

40»

3 jc + 3 y +

11.

h

7

= 2,

3 jc +

= 3

y =

x = -2,y=

* = 4, y = 1; ( 4 ,1 )

x

13.

1

-

y

-

2y -

-5 ; (-2 , -5 )

x

10.

1

,

2z = z 3z =

3x + 3y + 2z = 4 x — 3 y + z = 10 . 5 x - 2y - 3z = 8 x

=

2, y =

- 2,

z = 2 ; ( 2, - 2, 2 )

- y

-

*(-?■ )

i -

' 4x

-

0

14. 1 8x

+ 5y -

-8

, -x

x

= l , y = - l , z = 2;

=

y 2, y -

+

z = 7 z =0 5z = 6

- 3 , c = 1;

( 2 .- 3 .1 )

- 5z = 5y - z = , - x - 6y + 5z = 4x

16.

3 x -4 v =

4

( 1, - 1. 2 )

15.

0

2x + - y =

4

x = 4, y = -3, z =

6 -1 7 24 2; (4 . - 3 , 2 )

En los problemas 17-54, resuelve cada sistema de ecuaciones. Si el sistema no tiene solución, indica que es inconsistente. \x [x

17. <

+ y = 8

í

3 x = 24

1[x + 2y = \ 2, |

18.

- y = 4

í 2x +

0

\x + 2 y = - 7 i [x + y = - 3

19. { f e

Í4 x + 5y = - 3

22 . |

l

y = 1

4.v + 2 y = 3

\

26. |

- 217 = - 8

x -

y

23. |

y = 21

+ 3y = -1 2

- 6y = 2 + 4v = 1

= 5

- 3 x + 3y = 2

-

= 0

27' {

= 12

= »

24.

f e

- *

5

8 : -

2 J + 4V = 3 3x - 5v = - 1 0

3x + 3y = - 1

28. 4x +

v =

8 3

S E C C IO N 12.1

, 2 «.

I * + 2V = 4

Í 3V ~ y = 7 ° ‘ \9 . v - 3 y = 21

\2.x

+ 4y = 8

2x

+ 3y = 6

„ J 2 -v - 3 y = - 1 31* jlO x + v = 11

|3 x -

32.

f* + y = - 2 34. -v

y = -

=

- 2y =

35.

8

1

y

2.v -

3

37. í * - 5 V " \l5.r + 5y = 21

2* + F

=- 1

38.

39. . 1

.v +

2y

-y

3

=-

2

II

1

--->

V:

16

z=

4

2y+

2.r +

44.

47.

51.

0

3.v - 4 y - 3 z =

X- y - x + 2y „ 3x - 2 y -

2x - 4y + >—2 x + 2 y -

1

ix +i-8 y

2 - 2 .o

7z =

0

45.

2 - 2 -0

y

- 2 y + 4z - 2z

« 3x + 2y +

z =0 2z = 2

= = =

x

S ea

6

3 „ T- = 2

u

1

= — y

= — y

1

v = —, y

11

2y

r e su e lv e p a ra

u y v.

y = —.

u

v

x - 2y + 3z = \,4 3 . < 2x + y + z =

7 4

-1 1

2* — 3y —

46.

« - x + 2y + 3x - 4y -

2 x - 2 y + 3z = 6

49. 1

4x - 3y + , - 2 x + 3y -

x -

52.

-3

54.

y +

' 2x - 3y + ,5 x +

14

4

y

x

0

6

-7

x

—

y

-4

x + 5y + 3z = 2

-5

z = z = 3z =

40.

x - y - z = 1 - 2x + 3 y + z = 2 k3 x + 2y = 0

2x - 3y -

48.

3z = - 4

x + y - z = 3x - 2y + z = k x + 3y - 2z =

\

7

z =

+

36.

4 X + 3* =

.r

. 3x

z — —7

x + 2y —

53.

42. -

y - 3z =

< - 2 .v + 2 y + ,

2x

3z =

«

4 X “ 3 y " _1

E n to n c e s

-

3

3 X ~ 2 ym ~5 3 1

2

Sugerencia:

41. - 2 .r

1

3

=

2y = 0

I 5.v + lO y = 4

1

33.

855


y -

2z = 0 lz = 1

z = 4z = 2z =

x + 4y - 3z y + 3z

< 3x -

x +

z = z = z =

0 5 1

3x - 2y +

50.

<

Ix -

2z

3 y + 2z

6 -1 0

-4 -1 5

12

= -8

12 y + 6z = 1 =

A p l i c a c i o n e s y e x t e n s i o n e s ____________________________ 5 5 . E l p erím etro d e un p iso recta n g u la r e s d e 90 p ies. D e te r

56.

U n cin e cob ra $9.00 p or ad u ltos y $7.00

p o r ad u lto s m ayores. E n un día en el q u e 325 p erso n a s p a

an ch o.

garon sus en trad as, lo s in gresos to ta les fu ero n de $2495. ¿C uán tas d e las p erso n a s q ue pagaron eran ad ultos? ¿C uán tas eran ad u lto s m ayores?

L a lo n g itu d d e u na barda req u erid a para cercar un ca m p o rectan gu lar e s d e 3 0 0 0 m etro s. ¿ C u á les so n las d im e n sio n e s d el ca m p o si se sa b e q u e la d iferen cia en tre su largo y an ch o e s d e 50 m etros?

57.

58. Boletos del cine

m ina las d im e n sio n e s d el p iso si la lo n g itu d e s el d o b le d el

Lanzamientos orbitales E n 2005 h u b o un to ta l de 55 lan za m ie n to s o rb ita les co m e r c ia le s o n o co m e rcia les en to d o el m u n d o . A d e m á s , e l n ú m er o d e la n za m ien to s o rb ita les n o co m e rcia les fu e u n o m ás q u e el d o b le d el n ú m ero d e lan za m ie n to s o rb ita les co m ercia les. D e te r m in a el n ú m ero d e lan za m ie n to s o rb ita les co m e rcia les y n o co m e rcia les en 2005. F u en te: A d m in is tr a c ió n F e d e r a l d e A v ia c ió n d e E E .U U .

59. Mezcla de nueces

U n a tien d a v en d e n u e ces de la India por $5.00 p or libra y ca ca h u a tes por $1.50 p or libra. E l ad m in is trador d ecid e m ezclar 30 libras d e ca ca h u a tes con algunas

n u e c e s d e la India y v en d er la m ezcla p or $3.00 p or libra. ¿C uán tas libras d e n u e ces d e la India se d e b e n m ezclar con los ca ca h u a tes para q ue la m ezcla p rod uzca la m ism a gan an cia q u e v en d er las n u e ces p or separad o?

60. Plancación financiera

U n a pareja que se acaba de jubilar n e

cesita $12,000 al añ o para com p lem en tar su seguro social. E llos

856

C A P ÍT U L O 12

Sistemas de ecuaciones y desigualdades El v ia je d e re g r e so río arriba le to m a 5 h o ras. D eterm in a

tie n e n $ 1 5 0 ,0 0 0 para in vertir. H an e s c o g id o d o s o p c io n e s

la v e lo c id a d p r o m e d io d e P a m e la en agu a sin co rrien te. ¿ Q u é tan rá p id o va la c o r r ie n te ? (C o n sid e r a q u e la v e lo c i

d e in versión : b o n o s A A q u e rin d en el 10% al a ñ o y un c e r tific a d o b a n ca rio q u e rin d e el 5% .

d ad d e P a m ela e s la m ism a en a m b a s d ir e c c io n e s.)

(a ) ¿ C u á n to d e b e n in v ertir en ca d a u n o para g a n a r e x a c

67. Farmacia

ta m e n te $ 12 ,000? (b ) Si d e sp u é s d e 2 a ñ o s la p areja n e c e sita $ 1 4 ,0 0 0 al a ñ o de in g re so , ¿ c ó m o d e b e n re o r d e n a r su s in v e r sio n e s

T u farm acia v en d e d o s líq u id o s q u e se p u e d e n usar: u n o con tien e 20% de vitam ina C y 30% d e vitam ina D , el o tro 40%

para lograr la n u e v a ca n tid a d ?

Cálculo de la velocidad del viento Q

La receta d e un d o cto r indica un co n su m o diario

d e 4 0 m iligram os fm g j d e vitam ina C y 3 0 m g d e vitam ina D.

de vitam ina C y 20% d e vitam ina D . ¿ C u á n to s m ilig r a m o de C on un v ie n to en

cad a c o m p u e sto d e b e s m ezclar para cu m plir con la receta?

co la , un p e q u e ñ o a v ió n P ip er p u e d e v o la r 6 0 0 m illa s en 3 h oras. E n co n tra d e e s te v ie n to , el P ip er p u e d e v o la r

68. Farmacia

La r e ce ta d e un m é d ic o in d ica la cr ea c ió n de

p a stilla s q u e c o n te n g a n 12 u n id a d e s d e v ita m in a B (2 y 12

la m ism a d ista n cia en 4 h oras. D e te r m in a la v e lo c id a d

u n id a d e s d e v ita m in a E . T u farm acia v e n d e d o s p olvos

p r o m e d io d el v ie n to y la v e lo c id a d p r o m e d io d el P ip er.

q u e se p u e d e n usar para h a cer e s ta s p astillas: u n o co n tien e 20% d e v ita m in a B 12 y 30% d e v ita m in a E , el o tr o 40% de

3 horas

v ita m in a B |2 y 20% d e v ita m in a E . ¿ C u á n to s m iligram os

4 horas

d e ca d a p o lv o d e b e s m e z c la r e n ca d a p a stilla? \

69.

Ajuste de curvas

a. b y e y = ax2+ bx + c co n ten g a

D e te r m in a lo s n ú m e r o s re a le s

ta le s q u e la gráfica d e la fu n ció n lo s p u n to s ( - 1 , 4 ) , ( 2 ,3 ) y ( 0 ,1 ) .

62. Cálculo de la velocidad del viento

La v e lo c id a d a é r e a

p r o m e d io d e un a v ió n d e un s o lo m o to r e s d e 150 m illa s p or hora. Si el a v ió n v o ló la m ism a d ista n c ia en 2 h o ra s co n v ie n to a fa v o r q u e la q u e v o ló c o n v ie n to e n co n tr a , ¿cuál fu e la v e lo c id a d d el v ie n to ?

63. Administración de un restaurante

70.

Ajuste de curvas

a, b y c y = ax1+ bx + c co n ten g a

D e te r m in a lo s n ú m e r o s re a le s

ta le s q u e la gráfica d e la fu n c ió n

lo s p u n to s ( - 1 , - 2 ) , ( 1 , - 4 ) y ( 2 ,4 ) .

71. Modelo IS-LM en economía

E n e c o n o m ía , la cu rs a

IS es

una e c u a c ió n lin ea l q u e r e p r e se n ta to d a s las co m b in a c io E l a d m in istr a d o r d e

n e s d e in g r e so Y y las ta sa s d e in te r é s r q u e m a n tien en un

un resta u ra n te q u ie r e co m p ra r 2 0 0 j u e g o s d e p la to s. U n

e q u ilib r io en el m er ca d o para lo s b ie n e s e n la eco n o m ía .

d ise ñ o c u esta $25 p o r ju e g o , m ien tr a s q u e o tr o c u e s ta

La cu rva LM e s una e c u a c ió n lin ea l q u e rep r esen ta todas

$45 p or ju e g o . Si s o lo tie n e $ 7 4 0 0 para g a sta r, ¿ c u á n to s

las c o m b in a c io n e s d e in g r e so Y y tasas d e in te ré s r que

ju e g o s d e cad a d is e ñ o se d e b e n o rd en a r?

64. Costo de la comida rápida

m a n tie n e n un e q u ilib r io e n el m e r c a d o para el d in e ro en

U n g ru p o d ep erso n a sco m p ró

la e c o n o m ía . E n u na e c o n o m ía , c o n sid e r a q u e e l n ivel de

10 h ot d o g s y 5 r e fr e s c o s p o r un to ta l d e $ 3 5 .0 0 . O tr o

e q u ilib r io d el in g r e so (e n m illo n e s d e d ó la r e s) y las tasas

g ru p o d e p e r s o n a s c o m p r ó 7 h o t d o g s y 4 r e fr e s c o s p o r

d e in te r é s sa tisfa c e n el siste m a d e e c u a c io n e s

un c o s to to ta l d e $2 5 .2 5 . ¿ C u á n to c u e s ta ca d a h o t d o g ? í 0 .0 6 T - 5000/- = 2 4 0

¿ C u á n to cu e s ta cad a r e fr e sc o ? Pagamos $35.00. ¿Cuánto cuesta un hot dog? ¿Cuánto cuesta un refresco?

Pagamos $25.25. ¿Cuánto cuesta un hot dog? ¿Cuánto cuesta un refresco?

[O.OÓT + 6 0 0 0 r = 9 0 0 D e te r m in a el n iv el d e e q u ilib r io d e in g r e so y las tasas de in terés.

71. Modelo IS-LM en economía

E n e c o n o m ía , la curs a IS es

u na e c u a c ió n lin ea l q u e r e p r e se n ta to d a s las c o m b in a c io n e s d e in g r e so Y y las ta sa s d e in te r é s r q u e m a n tien en un e q u ilib r io e n el m e r c a d o para lo s b ie n e s e n la e c o n o m ía . La cu rva LM e s una e c u a c ió n lin ea l q u e r e p r esen ta tod as las c o m b in a c io n e s d e in g r e so Y y ta sa s d e in te ré s r q ue m a n tie n e n un e q u ilib r io en e l m e r c a d o para el d in e r o en la e c o n o m ía . E n una e c o n o m ía , c o n sid e r a q u e e l n iv el de eq u ilib r io d el in g re so (e n m illo n e s d e d ó la r e s) y las tasas d e in te r é s sa tisfa c e n e l siste m a d e e c u a c io n e s í0 .0 5 V -

65. Cálculo de un reembolso

L a tie n d a a la q u e g e n e r a lm e n te v a m o s n o m arca e l p r e c io e n su s p r o d u c to s. M i e s p o s a

fu e a es ta tie n d a , c o m p r ó tre s p a q u e te s d e to c in o d e 1 lib ra y d o s c a r to n e s d e h u e v o y p a g ó un to ta l d e $ 1 3 .4 5 . S in sa b er q u e e lla fu e a la tie n d a , y o ta m b ié n fu i a la m ism a tie n d a , c o m p r é d o s p a q u e te s d e 1 lib ra d e to c in o y

lOOOr = 10

(0 .0 5 T + SOOr = 100 D e te r m in a el n iv el d e e q u ilib r io d e in g r e so y las ta sa s de in terés.

73. Electricidad: leyes de KirchhofT

Lina a p lica c ió n d e las le

y e s d e K ir c h h o ff al circ u ito q u e se m u estra e n la p ágin a 857 da c o m o re su lta d o e l s ig u ie n te siste m a d e ec u a c io n es:

tres c a r to n e s d e h u e v o y p a g u é un to ta l d e $ 1 1 .4 5 . A h o r a q u e r e m o s reg resa r d o s p a q u e te s d e 1 lib ra d e to c in o y d o s c a r to n e s d e h u e v o . ¿ C u á n to n o s r e e m b o lsa r á n ?

66. Determinar la corriente de un río

P a m e la n e c e s ita 3

h o ra s para n a d a r 15 m illa s río a b a jo en e l r io Illin o is.

’

5 - 37, . 10 -

SI,

-

h = h 5I2 = 0 7 /., = 0

D e te r m in a las c o r r ie n te s 7, 7, e 7,.

+

h

S K 1 K 1 N I2 .|

Síslrnun de riu .u iones lineal«, ruvt luición y eliminación

857

c o m id a d e h o y e s p o llo , e lo te y le c h e al 2% . C ad a p o rció n d e p o llo tie n e 3 0 g d e p r o te ín a s. 35 g d e c a r b o h id r a to s y 2 0 0 m g d e c a lc io . C ad a p o rció n d e e lo te tie n e 3 g d e p r o te í na, 16 g d e c a r b o h id r a to s y II) m g d e ca lcio . C ad a v a so de le c h e al 2 % tie n e 9 g d e p r o te ín a s, 13 g d e c a r b o h id ra to s y 3 0 0 m g d e c a lcio . ¿< lla n ta s p o r c io n e s d e ca d a c o m id a d e b e p ro p o rcio n a r el n u tr ió lo g o al p a c ie n te ? 78.

In v e r sio n e s

K elly tie n e $ 2 0 ,0 0 0 para in vertir. C o m o su

a se so r fin a n cier o , tu le r e c o m ie n d a s q u e d iv er sifiq u e su d in e r o en tres in v ersio n es: letras d e l te so r o q u e rin d en

h t e n t e í W » 1 « fu m i ( utM ifh a e In tttn itm i, .V- cvl. S c r w .iv l*WO

5% d e in te ré s sim p le , b o n o s d el te so r o q u e rin d en 7% d e

ttrvH'lkv( ot<, una division de Thomson I earning. 74.

E lectricid a d : le y e s d e k irch h o fT

in te ré s sim p le y b o n o s c o r p o r a tiv o s q u e rind en 10 % d e in

U n a a p lic a c ió n d e las

ter és sim p le. K elly q u ie r e gan ar $ 1 .6)0 al a ñ o en in gresos.

le v e s d e K ir e h h o íí al c ir c u ito q u e s e muestra d a c o m o r e s u lta d o e l sig u ie n te sis te m a d e e c u a c io n e s

A d e m a s K elly q u ie r e q u e su in v er sió n e n letras d el te so r o

f <

se a de $30(X) m ás q u e su in v er sió n e n b o n o s c o r p o r a tiv o s. ¿ C u á n to d in e r o d e b e d e p o sita r K elly e n ca d a in v ersió n ?

/* - / i + / j 8 - 4 /» + ó / .

79.

I S /t - 4 f 6 /, D e te r m in a las c o r r ie n te s /

P r e d o d e cu n tid a n íp u la

U n gru p o d e clien tes co m p ró

8 h a m b u rgu esas delu.xe, 6 ó r d e n e s d e p ap as fritas y 6 re frescos gran d es por $26.10. U n se g u n d o g ru p o o r d e n ó 10 h a m b u rg u esa s delu.xe, 6 p ap as fritas y S refrescos gran d es

/. e

y p a g ó $31.60. ¿ E s su ficie n te in fo rm a ció n para d eterm in ar

8U

el p recio d e cad a artícu lo d e co m id a ? Si n o, co n stru y e una tabla q u e m u estre las d istin ta s p o sib ilid a d es. C on sid era q u e las h am b u rg u esa s cu esta n en tre $1.75 y $2.25, las p apas fri tas en tre $0.75 y $1 .0 0 y los refresco s en tre $0.60 y $0.90 80.

P r e c io s d e c o m id a rap iñ a

li s a la in fo r m a ció n d a d a en

e l p ro b lem a 79. C o n sid e ra q u e un tercer g ru p o co m p ró 3 h a m b u r g u e sa s delu .xe. 2 ó r d e n e s d e p a p a s y 4 refresco s g ra n d es por $ 1 0 .9 5 . ¿ E s su fic ie n te la in fo r m a ció n para d e term in ar el p r e c io d e ca d a a rtíc u lo d e c o m id a ? Si lo es.

fuente: Ciencia puní i teMÍfuo e Ingenieraí, 3" ed. Set way

l lWO

H rookvC otc, una división de Thomson Learning. 75. ^

In g reso s d e un tea tro

d eter m in a e l p recio. 81.

Pintur u n a ca sa

T r e s p in to re s, B e th , B ill y E d ie . p u ed en

pintar el e x te r io r d e una ca sa e n 10 h oras (h ) si trabajan ju n to s. Bill y E d ie han p in ta d o ju n to s u na ca sa sim ilar en

U n tea tro d e Hroadvvay tien e 500

a sie n to s, d iv id id o s en tre a sie n to s d e o rq u esta , a sie n to s prin-

15 h. U n d ía, lo s tres trabajaron en esta m ism a casa por

c ip a le s y a sie n to s d e b a lcó n . L o s a sie n to s d e o rq u estra se v en d en p or $50, los p rin cip a les por $55 y lo s d el b a lcó n por

4 h V d e sp u é s Bill se fue. L es to m ó 8 h m ás a B eth y a Bill term in ar. Si co n sid e r a s q u e n o hay g a n a n c ia ni p érd id a d e

$25. Si se v e n d e n to d o s lo s a sie n to s, el in g reso n e to d el te a

e fic ie n c ia , ¿ cu á n to le to m a ría a ca d a p erso n a co m p leta r

tro e s d e $ 17,100. Si se v e n d e n to d o s los a sie n to s d el b a lcó n ,

e s e trab ajo si lo h iciera so lo ?

p ero s o lo la m itad d e lo s a sie n to s d e o rq u esta , el in g reso n e to e s de $14,6(10. ¿ C u á n to s a sie n to s hay d e ca d a tipo? 76.

In g re so s d e un cin e

U n c in e co b ra $ 8.00 p or en tra d a a

a d u lto s, $ 4 .5 0 a lo s n iñ o s y $ 6 .0 0 a lo s a d u lto s m a y o re s. U n d ía e l tea tro v e n d ió 405 b o le to s y ju n tó $ 2 3 2 0 e n in g reso s. S e v e n d ie r o n el d o b le d e b o le to s para n iñ o s q u e para a d u l tos. ¿ C u á n to s n iñ o s, a d u lto s y a d u lto s m a y o re s fu ero n al c in e e s c d ía? 77.

N u trició n

U n n u tr ió lo g o q u ie re q u e un p a c ie n te co m a

una c o m id a q u e ten g a 66 g ra m o s (g ) d e p r o te ín a s, 94.5 g d e c a r b o h id ra to s y 9 1 0 m ilig r a m o s (m g ) d e c a lcio . El se r v i c io d e c o m id a d el h o sp ita l le in fo rm a al n u tr ió lo g o q u e la


D esa r ro lla un siste m a d e tres e c u a c io n e s lin e a le s co n tres v a ria b le s que: (a ) N o ten g a so lu c ió n (b ) T e n g a e x a c ta m e n te u na so lu c ió n (c ) T e n g a un n ú m er o infinites d e so lu c io n e s D a tus tres sis te m a s a un a m ig o para q u e lo s r e su elv a y los c o m e n te .

83.

E scrib e un b rev e p árrafo d o n d e d e s tu estr a te g ia para re so lv e r un siste m a d e d o s e c u a c io n e s lin e a le s con d o s varia b les.

8 4 . ¿ P re fier es el m é to d o d e su stitu ció n o el m é to d o d e e lim i n ación para re so lv e r un siste m a d e d o s e c u a c io n e s lin e a le s co n d o s va ria b les? D a tus ra zo n es.

858

C A P ÍT U L O 12 Sistemas de ecuaciones y desigualdades /

R e s p u e s t a s a l o s e j e r c i c i o s d e la s e c c i ó n " ¿ E s t á s lis t o ? "

12.2 Sistema de ecuaciones lineales: matrices OBJETIVOS 1 Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales (p. 859)

2 Escribir el sistema de ecuaciones a partir de la matriz aumentada (p. 859) 3 Realizar operaciones de fila en una matriz (p. 860) 4 Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices (p. 861)

El enfoque sistemático del método de eliminación para resolver un sistema de ecua ciones lineales proporciona otro método de solución que involucra una notación sim plificada. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: í

x

\3 x

+ 4y = 14 - 2y = 0

Si escogemos no escribir los símbolos usados para las variables, podemos representar este sistema como

donde se entiende que la primera columna representa los coeficientes de la variable la segunda columna los coeficientes de y y la tercera columna las constantes del lado derecho del signo igual. La barra vertical sirve como un recordatorio del signo de igual. Los corchetes se usan para denotar una m a t r i z en el álgebra.

x,

DEFINICIÓN

Una matriz se define como un arreglo rectangular de números. Fi a 1

Fila 2

Fila j

Fila r

Columna 1

« ii

«12

aV

« ln

Columna 2

«21

«22

«2/

«2/1

Co\umna i

«¿i

«, 2

«ó

«m

Columna m

_«m1

« hi2

«m/

« m *_

•

J Cada número a., de la matriz tiene dos índices: el índice de fila i y el índice de columna/. La matiiz (1) que se muestra en el recuadro anterior tiene m filas y n co lumnas. Los números a ;. generalmente se llaman entradas de la matriz. Por ejemplo. «2.1 se ref*ere a Ia entrada de la segunda fila, tercera columna.

S E C C IÓ N 12.2

Sistema de ecuaciones lineales: matrices

859

1 E scrib e la m atriz a u m e n ta d a d e un siste m a d e e cu a c io n e s lin e a le s Ahora usaremos notación de matrices para representar un sistema lineal de ecuacio nes. La matriz que se usa para representar un sistema lineal de ecuaciones se llama matriz aumentada. Al escribir la matriz aumentada de un sistema, las variables de cada ecuación deben estar en el lado izquierdo del signo de igual y las constantes en el lado derecho. Una variable que no aparezca en una ecuación tiene coeficiente de 0.

EJEM PLO 1

Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales Escribe la matriz aumentada de cada sistema de ecuaciones. (a)

Solución

3x -

2x -

4y = - 6

2x — 3y =

0)

-5

(b)

(2 )

y

x +

z

z — 1

+

x

+

2y

—8

= =

0

(1) (2 )

= 0

(3 )

0

(a) La matriz aumentada es 3 -4 2 -3

-6

-5

(b) Se debe tener cuidado de escribir el sistema de manera que todos los coeficientes estén presentes (si falta alguna variable, el coeficiente es 0). Además, todas las constantes deben estar a la derecha del signo igual. Debemos reordenar el siste ma dado de la siguiente manera: 2x -

+

y

x + x +

z 2y -

2x — x +

= 0 1= 0 8= 0

(1 ) (2)

z

(3 )

(1 ) (2 )

y + z — 0 0 -y + z =

1

x + + 2 y 2+y 0+ ’ 0z -=í = 88

(3 )

La matriz aumentada es ~2

-1

1

0~

1

0

1

1

1

2

0

8

Si no incluimos las constantes a la derecha del signo igual, esto es, a la derecha de la barra vertical en la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones, la matriz resul tante se llama la matriz de coeficientes del sistema. Para los sistemas que analizamos en el ejemplo 1 , las matrices de coeficientes son '2

3 -4 2 -3

Resuelve ahora

el

y

-1 0 2

7

p r o b l e m a

2 E sc rib ir el siste m a d e e cu a cio n e s a p artir d e la m atriz a u m e n ta d a

EJEM PLO 2

Escribir el sistema de ecuaciones lineales a partir de la matriz aumentada E s c r i b e e l s is t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o r r e s p o n d i e n t e a c a d a m a tr iz a u m e n t a d a .

(a)

5 2 -3 1

13~ —10

"3 (b)

2 0

-1 -1 0 2 1 1

7~ 8 0

860

C A P ÍT U L O 12


Solución

(a) La matriz tiene dos filas y, por lo tanto, representa un sistema de dos ecuaciones. Las dos columnas a la izquierda de la barra vertical indican que el sistema tienedos variables. Si x y y se usan para denotar estas variables, el sistema de ecua ciones es í

5x + 2y =

\-3 x

+

13

(1)

= -1 0

y

(2)

(b) Como la matriz aumentada tiene tres filas, representa un sistema de tres ecuacio nes. Como hay tres columnas a la izquierda de la barra vertical, el sistema tiene tres variables. Si x , y y z son las tres variables, el sistema de ecuaciones es 7 8 = o

y ~ z = + 2z = y

z

+

0) (2) (3;

3 R e a liza r o p e ra c io n e s d e fila e n u n a m a triz Las o p e r a c i o n e s d e f ila en una matriz se usan para resolver sistemas de ecuaciones cuando el sistema está escrito como una matriz aumentada. Existen tres operaciones de fila básicas. O p e r a c io n e s d e fila

1. Intercambia cualesquiera dos filas. 2. Sustituye una fila por un múltiplo diferente de cero de esa fila. 3. Sustituye una fila por la suma de esa fila y un múltiplo constante diferente de cero de alguna otra fila. Estas tres operaciones de fila corresponden a las tres reglas que se dieron ante riormente para obtener un sistema equivalente de ecuaciones. Cuando se realiza una operación de fila en una matriz, la matriz resultante representa un sistema de ecua ciones equivalente al sistema representado por la matriz original. Por ejemplo, considera la matriz aumentada "l 4

f

2 -1

3~ 2_

Supongamos que queremos aplicar una operación de fila a esta matriz que dé como resultado una matriz cuya entrada en la fila 2. columna 1 es un 0. La operación de fila que debemos usar es Multiplica cada entrada en la fila 1 por —4 y suma el resultado a las entradas correspondientes en la fila 2.

(2)

Si usamos /?, para representar las nuevas entradas en la fila 2 y r v r. para repre sentar las entradas originales en las filas 1 y 2, respectivamente, podemos representar la operación de fila en la proposición (2) por R: =

-4r, + r,

Entonces >

1 -4 (1 ) + 4

2 -4 (2 ) + ( - l )

3 -4 (3 ) + 2_

”l 0

/?2 = ~ 4r, +

Como queríamos, ahora tenemos la entrada 0 en la fila 2. columna 1

2 -9

" —!0_ 3

S E C C IÓ N 12.2

| EJ E MP L O 3

861


Aplicar una operación de fila a una matriz aumentada

1

ro

1

___ 1

Solución

___ 1

-3 r| + r, a la matriz aumentada

y

to

R y=

— 1

Aplica la operación (Je fila

l " wjn.uu.uui uc ma rs, = -.sr, +■r, nos uice que las entrauas en la lila ¿ tienen ser sus tituidas por las entradas que se obtienen por multiplicar cada entrada en la fila I por -3 y sumar el resultado a las entradas correspondientes en la fila 2.

"l _3

-2 -5

2 y

1 .-3(1)+3

T

2

-2 ( —3)( —2) + ( - 5 )

- 3( 2 ) + y_

"l 0

-2 1

2

3_

R2 = ~ 3 r, + r2

Resuelve ahora EJ EMPLO 4

el

p r o b l e m a

7

Determinar una operación de fila en particular Determina una operación de fila que dé como resultado la matriz aumentada "l 0

-2 1

2 3_

que tenga un 0 en la fila 1. columna 2.

Solución

Queremos un 0 en la fila 1, columna 2. Como hay un 1 en la fila 2, columna 2, este re sultado se puede lograr multiplicando la fila 2 por 2 y sumando el resultado a la fila 1. Esto es, aplicamos la operación de fila = 2r, + r v 1 -2 0 1

2 _ 3_ t

I

2(0) + 1 2(1) + (- 2 ) 0 1

2(3) + 3

2

~1 0 0 1

8 3_

R , = 2 r2 + r,

Una nota acerca de la notación que hemos introducido aquí. Una operación de fila como /?, = 2r, + r, cambia las entradas en la fila 1. Observa también que para este tipo de operación de fila cambiamos las entradas en una fila dada multiplicando las entradas en alguna otra fila por un número diferente de cero apropiado y sumamos los resultados a las entradas originales de la fila que se quiere cambiar.

4 Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices Para resolver un sistema de ecuaciones lineales empleando matrices, usamos opera ciones de fila en la matriz aumentada del sistema para obtener una matriz en f o r m a esca lo n a d a

DEFINICIÓN

Una matriz está en forma escalonada cuando se satisfacen las siguientes condi ciones: 1. La entrada en la fila 1, columna 1 es un 1 y solo aparecen ceros debajo de ella. 2. La primera entrada diferente de cero en cada fila después de la primera fila es un 1, solo aparecen ceros debajo de ella y el 1 aparece a la derecha de la primera entrada diferente de cero en cualquier fila superior. 3. Cualquier fila que contenga únicamente ceros a la izquierda de la barra vertical aparece en la parte inferior.

J

862

C A P ÍT U L O 12


Por ejemplo, para un sistema de tres ecuaciones con tres variables, x , y y z, con una solución única, la matriz aumentada está en forma escalonada sí es de la forma 1 a b 0 1 c 0 0 1

d e /.

donde «, /;, c, d, e y /s o n números reales. La última fila de esta matriz aumentada establece que z = /. Podemos determinar el valor de y usando sustitución hacía atrás con z = /, porque la fila 2 representa la ecuación y + cz = e. Por último, x se determina usando sustitución hacia atrás de nuevo. Las siguientes son dos ventajas de resolver un sistema de ecuaciones escribiendo la matriz aumentada en forma escalonada: 1. El proceso es algorítmico, esto es, consiste en pasos repetitivos que se pueden programar en una computadora. 2. El proceso funciona en cualquier sistema de ecuaciones lineales, no importa cuántas ecuaciones o variables estén presentes. El siguiente ejemplo muestra cómo escribir una matriz en forma escalonada.

EJEM PLO 5

Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices ' 2x + 2y = 6 (1) Resuelve: x + y + z = 1 (2) J x + 4y - z = 13 (3 )

Solución paso a paso P aso

1:

E s c rib e la m a t r iz a u

Escribe la matriz aumentada del sistema.

m e n ta d a que r e p re s e n ta al s is

" 2 2 0 1 1 1 _ 3 4 -1

te m a .

P a so 2:

R e a liz a la s o p e ra c io n e s

d e fila que den c o m o re s u lta d o

Para obtener un 1 en la fila 1, columna 1, intercambia las filas 1 y 2. [Observa que esto es equivalente a intercambiar las ecuaciones (1) y (2) del sistema.]

que la e n tr a d a en la fila 1, c o lu m

"1 1 1 2 2 0 _ 3 4 -1

na I s e a 1.

P aso 3:

R e a liz a la s o p e ra c io n e s

d e fila q u e m a n te n g a n la e n t r a d a en la fila 1, c o lu m n a 1 c o m o 1, p ero q u e h a g a que la s o t r a s e n t r a d a s en la c o l u m n a 1 s e a n 0 .

6~ 1 13_

r 6 Í3_

Ahora queremos un 0 en la fila 2, columna 1 y un 0 en la fila 3 columna 1. Usa las operaciones de fila /?, = -2 r, + r, y = -3 r, + r, para lograrlo. Observa que la fila 1 no cambia cuando usamos estas operaciones de fila. Además, ¿puedes ver que realizar estas operaciones de manera simultánea es lo mismo que realizarlas una seguida de "l 1 1 2 2 0 _3 4 - 1

r "l 6 -* 0 13_ _0

1 1 0 -2 1 -4

r 4 10_

R2 ~ —2 r, + r2 R3 = —3 r, + r3 P aso 4:

R ea liza la s o p e ra c io n e s

d e fila que den com o re s u lta d o que la e n tr a d a en la fila 2 , c o lu m na 2 s e a 1 con c e ro s debajo.

Queremos que la entrada en la fila 2, columna 2 sea 1. Además queremos tener un 0 debajo del 1 en la fila 2, columna 2. Si intercambiamos las filas 2 y 3 lograremos ambos objetivos. "l 1 1 r ~1 1 1 r 0 0 -2 4 -* 0 1 - 4 10 _() 1 - 4 10_ _0 0 - 2 4_

S E C C IÓ N 12.2


863

P a s o 5 : R e p ite el p a s o 4 , c o lo c a n d o un 1 en la fila 3 , c o lu m n a 3 .

4

Para obtener un 1 en la fila 3, columna 3, usamos la operación de fila R} = ——r3. El resultado es 2 "l 1 1 l' "l 1 1 r 0 1 -4 10 — 0 1 - 4 10 _0 0 - 2 4_ _0 0 1 —2_ ^3-

P a s o 6 : La m a t r iz d e la d e re c h a en el p a s o 5 e s la m a t r iz e s c a lo

2r3

La tercera fila de la matriz aumentada representa la ecuación z = —2. Usa z = —2 y sustituye hacia atrás en la ecuación y - 4z = 10 (de la segunda fila) para obtener

n a d a d e la m a t r iz a u m e n ta d a . a trá s

y - 4 z = 10

p a ra re s o lv e r el s is te m a original.

y - 4(—2) = 10

Usa

s u s titu c ió n

h a c ia

z = -2

y —2 Resuelve para y. Por último, sustituye hacia atrás y = 2 y z = -2 en la ecuación * + y + z = 1 (de la pri mera fila) para obtener

í

x+y+z= 1 X

+ 2 + (-2) = 1 X = 1

y

= 2, z = - 2

Resuelve p ara x.

La solución del sistema es x = 1, y = 2, z = —2 o, usando una tercia ordenada, (1,2,—2).

E n p a la b r a s

M é t o d o d e m a t r ic e s p a r a r e s o lv e r u n s is t e m a d e e c u a c io n e s

P a r a o b te n e r una m a tr iz a u

lin e a le s ( f o r m a d e m a t r iz e s c a lo n a d a )

m e n ta d a en fo rm a e s c a lo n a d a : • S u m a F ila s, intercam b ia fila s, 0 m ultiplica una fila por una c o n s t a n t e d iferen te de cero. • T ra b a ja de a rrib a h a cia ab ajo y de izquierda a d e re ch a . • O bten n úm eros 1 en la d iag o nal principal con c e r o s debajo de los n ú m ero s 1 . • Una vez que la e n tr a d a de la fila

1

colum na

1

sea

1

con

c e r o s debajo, no u s a m o s la fila

r r r r i r r r

1

en n u e s t r a s o p eracio

n e s de fila. Una vez que la s e n t r a d a s en la fila y la fila

2

n úm eros

1

1

1

colum na

colum na 2

se a n

con c e r o s debajo,

no u s a m o s la s fila s

1

o

2

en

n u e s t r a s o p e racio n e s de fila (y a s í su c e siv a m e n te ).

EJEM PLO 6

Paso 1: Escribe la matriz aumentada que represente el sistema. Paso 2: Realiza las operaciones de fila que coloquen la entrada 1 en la fila 1, columna 1. Paso 3: Realiza las operaciones de fila que dejen la entrada 1 en la fila 1, co lumna 1 sin cambios, pero que hagan que aparezcan ceros debajo de esa entrada en la columna 1. Paso 4: Realiza operaciones de fila que coloquen la entrada 1 en la fila 2, co lumna 2, pero que dejen sin cambios las entradas en las columnas a la izquierda. Si es imposible colocar un 1 en la fila 2, columna 2, coloca un 1 en la fila 2, columna 3. Una vez que el 1 esté en su lugar, realiza operaciones para colocar ceros debajo de él. (Coloca cualquier fila que contenga solo ceros en el lado izquierdo de la barra vertical, en la parte inferior de la matriz.) Paso 5: Ahora repite el paso 4, colocando un 1 en la siguiente fila, pero una columna a la derecha. Continúa hasta que llegues a la fila inferior o alcances la barra vertical. Paso 6: La matriz que resulta es la forma escalonada de la matriz aumentada. Analiza el sistema de ecuaciones que le corresponde para resolver el sistema original.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices (forma escalonada) x - y + z = 8 0) Resuelve: < 2x + 3y — z= - 2 (2) „3* - 2y - 9z= 9 (3 )

864

C A P ÍT U L O 12


Solución

PasoI: La matriz aumentada del sistema es 1--00

"l 2 _3

1 -1 -9

-1 3 -2

-2 9_

P aso 2: Como la entrada 1 ya está presente en la fila 1 columna 1, podemos ir al paso 3. P aso 3: Realiza las operaciones de fila R2 = -2 r, + r2 y /?3 = -3 r, + ry Cada una de éstas deja la entrada 1 en la fila 1 columna 1 sin cambios y hace que aparez can ceros debajo de ella. 1 -1 -9

1 00

1 -1 3 2 3 -2

"l - 2 -> 0 9_ A 0 R3 =

1 -3 -1 2

-1 5 1

8" -1 8 —15_

_ 2 r, + r2 —3 r, + r3

P aso 4: La forma más fácil de obtener la entrada 1 en la fila 2 columna 2 sin alterar la columna 1 es intercambiar las filas 2 y 3 (otra forma sería multiplicar la fila 2 por j , pero esto introduce fracciones). "l 0 _0

8" -1 5 —18_

1 -1 1 -1 2 5 -3

Para obtener un 0 debajo del 1 en la fila 2, columna 2, realiza la operación de fila = - 5 r2+ ry "l 0 _0

-1 1 1 -1 2 5 -3

8" -1 5 —18_ =

"l 0 0

-1 1 0

1 -1 2 57

8" -1 5 57 _

- 5 r2 + r3

1 P aso 5: Ahora obtenemos un 1 en la fila 3, columna 3 usando R t, = — r3. "l 0 _0

-1 1 0

1 -1 2 57

8" -1 5 57 _

"l 0 _0

-1 1 0

1 -1 2 1

8" -1 5 1_

P aso 6: La matriz de la derecha es la forma escalonada de la matriz aumentada. El sistema de ecuaciones representado por la matriz en forma escalonada es y+ z = 8 (1) y - I2z = -1 5 (2)

'x -

-

Z =

1

(3 )

Si usamos z —1, sustituimos hacia atrás para obtener íx-y+ l

1 =

8

(1)

y - 12(!) = -1 5

(2 )

¡x~y= ---- >

\

7

(1)

y = -3

(2 )

Sim plifica.

Obtenemos y — —3 y, sustituyendo hacia atrás en x - y = 7, determinamos que x —4. La solución de este sistema es x —4, y ——3, z — l o , usando una tercia ordenada, (4,-3,1).

S E C C IÓ N 12.2

865


A veces es útil escribir una matriz en forma escalonada reducida. En esta forma, se usan las operaciones de fila para obtener entradas que son 0 arriba (al igual que debajo) del 1 inicial de una fila. Por ejemplo, la forma escalonada que obtuvimos en el ejemplo b es

4

"l 0 _0

r> :

-1 l 1 -1 2 0 1

8~ -1 5 1_

Para escribir esta matriz en forma escalonada reducida, procedemos de la siguiente manera: 1 -1 1 0 1 -1 2 0 0 1

8 -1 5 1

1 0 0 l 0 0

-11 -1 2 1

-7 -15 1

1

0

0

1

_ 0

R

=

r

-3

0

0

11 3

4

0

1

1

_

+ n

R 2 = 12 r3 + r2

La matriz está ahora en forma escalonada reducida. La ventaja de escribir la matriz en esta forma es que la solución del sistema .v = 4, y = -3 , z = 1, se determina fácil mente, sin la necesidad de sustituir hacia atrás. Otra ventaja se verá en la sección 12.4, donde analizaremos el inverso de una matriz. La metodología usada para escri bir una matriz en forma escalonada reducida se llama elim inación de G au ss-Jo rd a n .

Resuelve ahora

37

EL PROBLEMA

Y

47

El método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales también identifica sistemas que tienen un número infinito de soluciones y sistemas que son inconsistentes.

EJEM PLO 7

Resolver un sistema dependiente de ecuaciones lineales usando matrices Resuelve:

Solución

(1) (2)

í 6x - y - z = 4 < —12.x + 2y + 2z = —8 { 5x + y - z = 3

(3 )

Empieza con la matriz aumentada del sistema y obtén un 1 en la fila 1 columna 1 con 0 debajo. -1 -1 2 2 1 -1

6 -1 2 5

4~ - 8 -> 3_ R

1 -2 -1 2 2 5 1

~ —1r3 +

0 2 -1

r "l -8 — 0 _0 3_

-2 -2 2 11

R; = 12r) +

n

0 2 -1

r 4 —2_

r2

-5 r, + r3

El obtener un 1 en la fila 2 columna 2 sin alterar la columna 1 se puede lograr usando 1

1

23

R2 = ----- r2 o Ri = — r3 e intercambiando las filas 2 y 3 o por R2 = — r3 + r2. Usaremos la primera de éstas. “ l -2 0 -2 2 0 11

0 2 -1

“l

r 4 —2_

-2

0

1 11

_0 K2

-

1

- — r2

0 1 11 -1

r 2 11 —2_ R-¡

-

"l

-2

0

-1

0

0 11r2 + r3

0 1 11 0

r 2 11 0_

866

C A P ÍT U L O 12


Esta matriz está en forma escalonada. Como la fila inferior consiste íntegra mente de 0, el sistema consiste únicamente en dos ecuaciones. ' x-2y= < /

1 0)

1 UZ

2 11

j

Para facilitar la escritura de alguna de las soluciones, expresamos x y y en términos de z. 1 2 De la segunda ecuación, y = — z - — . Ahora sustituimos hacia atrás esta solu ción para y en la primera ecuación para obtener / 1 x - 2 y + l - 2\^n z

2\ n J +

2 7 \ \ z + \\

El sistema original es equivalente al sistema 2 u z+ 1 11Z

7 U 2 11

0) donde z puede ser cualquier número real. (2)

Analicemos la situación. El sistema original de tres ecuaciones es equivalente a un sistema con dos ecuaciones. Esto quiere decir que cualquier valor de x. y, z que satisfaga ambas 2_ y 11 7 2 9 1 será solución. Por ejemplo, z = 0, x = — , y = - — ; z = 1, x = — , y = - — y 5 3 z - -l x = — y son algunas de las soluciones del sistema original. De hecho, existen un número infinito de valores de x, y y z para los cuales se satisfacen las dos ecuaciones. Esto es, el sistema original tiene un número infinito de solucio nes. Escribiremos la solución del sistema original como 2 * “ 11Z + 1 y ~ UZ

7 11 donde z puede ser cualquier número real 2 11

o, usando tercias ordenadas, como f,

V,

2 7 1 2 1 x = — z + — y = — z - — , z cualquier número real>.

También podemos determinar la solución escribiendo la matriz aumentada en forma escalonada reducida. Si empezamos con la forma escalonada, tenemos que -2

0

0

1

1 11

_0

0

0

1" i 2 _> ~ ñ

0

0

1

_0

0

o_

R, = 2r2 + r,

2 11 1 11 0

7" 11 2 ~TT —i o

"l

S E C C IÓ N 12.2

867


La matriz de la derecha está en forma escalonada reducida. El sistema de ecuaciones correspondiente es 1

2

X~ ñ Z= 1 y ~ ñ Z=

ñ <’» 2

donde z puede ser cualquier número real

- ñ (2)

o, equivalentemente, 2 7 n z + íi 1 2 n z íi Resuelve ahora

EJEM P LO 8

EL

donde z puede ser cualquier número real

PROBLEMA

5 3

Resolver un sistem a inconsistente de ecuaciones lineales usando m atrices x + y + z =6 Resuelve: < 2x - y — z = 3 x + 2y + 2z - 0

Solución 1 2 1

1 -1 2

1 -1 2

Empieza con la matriz aumentada. "l 6“ -> 0 3 0 0 K2 =

1 1 -3 -3 1 1

6" "l -9 — 0 -6 0

—2 r, + r2

1 1 1 1 -3 -3

6~ ”l 1 1 - 6 —» 0 1 1 -9 0 0 0

Intercam b ia la s fila s 2 y 3.

=

6 -6 -2 7

3 r2 + r3

f? 3 = —Ir, + r3

Esta matriz está en forma escalonada. La fila inferior es equivalente a la ecuación Ox + Oy + Oz = -27 que no tiene solución. El sistema original es inconsistente.

- Resuelve ahora

el

pr o blem a

27

El método de matrices es especialmente efectivo para sistemas de ecuaciones para, lás cuales, el número de ecuaciones y el número de variables no son iguales. Aquí también, dicho sistema es consistente o inconsistente. Si es consistente, tendrá exactamente una solución o un número infinito de soluciones.

EJEM P LO 9

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices x - 2y 2x + 2y Resuelve: y k - x + 4y

+ +

z 3z z 2z

0 -3

0) (2)

-1

(3 )

13

(4)

868

C A P ÍT U L O 12


Solución

Empieza con la matriz aumentada. o" -3 -1 13_

1 1 -2 2 -3 2 1 -1 0 2 4 -1

1

= -

"l o" 0 -3 0 -1 i 13_ 1 _0

1 -2 6 -5 1 -1 3 2

“l 0 0 _0 2

r, + r 2

-2 1 1 -1 6 -5 2 3

In te rca m b ia la s fila s 2 / 3 .

í? 4 = r, + r 4

1 -2 -1 1 1 0 5 0

"l 0 0 _0

= —6 r 2 + R., = _

2

0“ -1 3 f 15_ 1

r¿

K4

"l 0 0 0

-2 1 1 -1 1 0 0 0

(f -1 3 0_

= - 5 r 3 + r4

r 2 + r„

Podemos detenernos aquí, ya que la matriz está en forma escalonada y sustituir hacia atrás z = 3 para determinar x y y. O podemos continuar y obtener la forma es calonada reducida. 1 1 -2 1 -1 0 1 0 0 0 0 0

0~ -1 3 0_ *

1 "l 0 1 0 1 1 0 0 0 _0 0 2r2 + n

-2 ”l 0 0 -1 _ 0 1 0 0 0 1 3 0_ 1 0 0 0

1 2 3 0

R, = r 3 + r,

R2 = r3 + r2 La matriz está ahora en forma escalonada reducida y podemos ver que la solución es x = í , y = 2, z = 3 o, usando una tercia ordenada, (1,2,3).

ttTOSOB^-pesue|ve ahora EJEM PLO 10

EL

problema

69

Planeación financiera Adam y Michelle necesitan ingresos adicionales de $25.000 al año (además de sus pensiones). No les gusta tomar riesgos y han reducido sus opciones de inversión a le tras del tesoro que rinden 3%, bonos del tesoro que rinden 5% o bonos corporativos que rinden 6%. Si tienen $600,000 para invertir y quieren que la cantidad invertida en notas del tesoro sea igual a la cantidad total invertida en bonos del tesoro y bonos corporativos, ¿cuánto deben depositar en cada inversión?

Solución

Sean n, b y c las cantidades invertidas en letras del tesoro, bonos del tesoro V bonos corporativos, respectivamente. El total para invertir es de $600.000. que significa que la suma de las cantidades invertida en letras del tesoro, bonos del tesoro y bonos corporativos debe ser igual a $600,00. La primera ecuación es n + b + c = 600,000 Si se invierten $100,000 en notas del tesoro, el ingreso sería de 0.03($ 100.000) = $3000. En general, si se invierten // dólares en letras del tesoro, el ingreso sería 0.03/1. Como el ingreso total debe ser de $25,000, la segunda ecuación es 0.03// + 0.05// + 0.06c - 25.000 La cantidad invertida en letras del tesoro debe ser igual a la cantidad invertida en bonos del tesoro y bonos corporativos, por lo tanto, la tercera ecuación es n =b +c

o

n- b- 0

S E C C IÓ N 12.2

I I


869

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: n + b+ c = 600,000 < 0.03n + 0.056 + 0.06c = 25,000 , n — bc —0

(1) (2) (3)

Empezamos con la matriz aumentada y procedemos de la siguiente manera: 1 0.06 -1

600,000” "l 25,000 -> 0 0_ _0

1 1 0.02 0.03 -2 -2

600,000" 7000 -600,000 _

= ~0.03r\ + r2 + r2

"l 0 _0

F

1 1 1 1.5 -2 -2

600,000” ”l 1 1 350,000 -> 0 1 1.5 -600,000 _ _0 0 1 R3 —

1

2

600,000" 350,000 100,000 _

r2 + r j

La matriz está ahora en forma escalonada. La matriz final representa el sistema n + b + c = 600,000 b + 1.5c = 350,000 c = 100,000

{

- COMENTARIO La mayoría de los d is3

p o sitiv o s g rá fic o s tien en la c a p a c i

y tam b ién

en fo rm a e s c a lo n a d a red u cid a (rref). Ve la se cció n 7 del ap é n d ice p a ra un a n á lis is .

(3 )

De la ecuación (3) determinamos que Adam y Michelle deben invertir $100,000 en bonos corporativos. Sustituye hacia atrás $100,000 en la ecuación (2) para determi nar que b = 200,000, por lo tanto, Adam y Michelle deben invertir $200,000 en bonos del tesoro. Sustituye hacia atrás estos dos valores en la ecuación (1) y determina que n = $300,000, por lo tanto, se debe invertir $300,000 en letras del tesoro.

d ad de poner una m a triz a u m e n ta d a en fo rm a e s c a lo n a d a (ref)

(1) (2)

■

J

12.2 Evalú a tu en ten d im ien to C o n c e p t o s y v o c a b u la r io

______________

1. Un arreglo rectangular de m por n se llam a-------------1 2. La matriz que se usa para representar una sistema de ecua

3. La notación ai5 se refiere a la entrada en la fila_________ y la columna_________ de una matriz.

ciones lineales se llama una m atriz--------------------

1 3 La matriz 0 1 0 0

4. Verdadero 0fa lso escalonada.

-2 5 está en forma 0

E j e r c ic io s E n los p r o b l e m a s 5— 16, escribe la matriz a u m e n t a d a del sistema de ecuaciones q u e se da.

5.

* - 5y = 5 4 * + 3y =

6.

6

3 * + '4 y

=

4x - 2y

= 5

7

\7 .

2x + 3 y 4x - 6y

-

9.

0 .0 3 y = 0 .0 6

11.

10.

0 .1 3 * + O .lO y = 0 .2 0

*+ y 13. 5* +

z =2 3 * - 2y = 2 3y - z = 1

3* +

*+ y 0 0 * - 5z + 2 = x + 2y - 3z = -2

2* +

14.

3y - 4z

=

15.

2

= 0

+

z = 10 3y = 5 2 z =

y -

z =

* +

y +

2z =

- 3 * + 4y 4* -

5y +

=

z=

y -

5*

12.

2

* -

9x - y = 0

8.

+ 2 = 0

* — y+ 0 .0 1 * -

6

1 0

—1 5 0

16.

y-

4 = 0

z=0

* +

y = 5

2* -

3z = 2

* - y + 2z - vv ■ 5 x + 3y - 4z + 2vv • 2 3 * - y - 5z w -1

870

CAPÍTULO 12 Sistem as de ecuaciones y desigualdades

1 u>

1

1^ to

En lo, problemas 17-24, escribe el slslema de ecuaciones correspondiente a cada motril aumentada. Después realiza la, operaciones de fila indicadas en la matriz aumentada que se da. \

17.

/?2 = —2/'i + r2

18.

1 -3 2 -5

5_

_2 -5

19.

21.

1 3 2 -6 -4 2 - 5 3 6 -3 -6 4

R2 — —2rj + r2 R3 = 3rx + r3

23.

5 —3 1 2 -5 6 -4 1 4

-2 ' -2 6

Ri = -2 r2 + ri /?3 = 2r2 + r3

R3 = 5r, + r3

/<2 = -2r, + r2

20.

1 -4 -3

-3 3 -5 -3 -2 4

-5 -5 6

R2 = 4r¡ + r2 R3 = 3r, + r3

22.

1 -3 -4 6 -5 6 -1 1 4

-6 ' -6 6

R2 = ~6r¡ + r2 R3 = r¡ + r3

24.

4 -3 -1 3 -5 2 -3 -6 4

2 6 6

R 3 = —3rj + r 2

1 -3 4 3 -5 6 -5 3 4

-3 -4

/?, = - r 2 + r1 /?3 =

r 2 + r3

En los problemas 25—36, se da laforma escalonada reducida de un sistema de ecuaciones lineales. Determina si el sistema es consistente o inconsistente. Si es consistente, da la solución.

0" 0 2

r 2

'l 0 0 0 34. 0 1 0 0 0 0 1 2

r 2 3_

3_

O

1 2 0_

"l 0 0 0 32. 0 1 0 2 0 0 1 3 "l 0 0 1 0 1 0 2 35. 0 0 1 -1 0 0 0

-2 2

1O

_1 0 0 0 31. 0 1 0 1 0 0 1 2

r 2 3

'1 0 4 30. 0 1 3 0 0 0

-l" -2 0_

'1 0 2 29. 0 1 -4 O O

”l 0 0 28. 0 1 0 0 0 0

"10 0 \2 7 . 0 1 0 0 0 0

-4" 0_

'l 0 26. 0 1

5" -1_

4" 2 0_

33.

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

36.

1 0 0 0

O

25.

0 1

0 1 0 0

0 0 1 o

0 0 0 1

°J En los problemas 37-72, resuelve cada sistema de ecuaciones usando matrices (operaciones de fila). Si el sistema no tiene solución, indica que es inconsistente. *+y =8 x - y =4

38.

x + 2y = 5 x + y=3

, Í2.x —4y = -2 ' [3* + 2y = 3

40.

3x + 3y = 3 8 4* + 2_y = -

41.

x + 2y = 4 2x + 4y = 8

¡3 x- y= 7 ' \ 9x - 3y = 21

43.

2x + 3y = 6 1

\3 7 .

44.

íl í* + y = -2 x-2y=

46.

2x - y = -1 1 3 2 I +F

x - 2y + 3z = 7 49. 2x + y + z = 4 _-3 x + 2y — 2z = -10

8

x - y= 6 \ 4 7 . - 2x - 3z = 16 2y + z = 4

50.

2* + y - 3z = 0 -2* + 2_y + z = -7 3* - 4y - 3z = 7

3jc - 5y = 3 ■( 15.r + 5y = 21

45

48.

2x + y - 2 y + 4z 3.r - 2z

-4 0 -11

51.

2x - 2y - 2z = 2 2.v + 3 v + z = 2 3.v + 2v = 0

SUCCIÓN 12.2 Sistemodeecuacioneslineales: motrices 871 2 1 - 3y - ; - t) S I { “ ,t + 2y + : ■ J 3» - 4v - j ■ |

r - 3y \ 53.

54.

r +• 5y +■ 3i • 2

2t - 2y ♦ 3c - 6 Sí. { 4i - 3v + 2c • 0 -2* + 3v - 7c - I

3 r - 2y + 62c ■ 5*. { 7t - 3y + 2c - - I . 2.x - 3v + 4c ■ 0

* - y +■ c ■ -4 58. < 2.i - 3y 4 4c - -15 5» + v - 2c ■ 12

59.

61.

3* + y -

c

21 -

c

v+

67.

62.

jf + y + c + *v*

4

- x + 2.v + c -

0

2.» + 3y +■ z - w ■ 6 —2jc + v —2c + 2w = - 1 x - y + c = 5 x + 2y - 2; = 0

II II •J -T 1

70.

.* + y - z ■ h <3jc - 2y + c » -5 x + 3y - 2c ” I4

60.

.t + 4y - 3c = -8 3.1 - y + 3c = 12 , x + y + 6c = I .r + y + c + u’ =

7* -

y +c= l 8 .t + 2v + c = 3

63.

.V + 2y + c = 1

65.

2. 3,

r - y + 2c = 2 r + y + 3c = 3

f 2.x + y - ; = 4 68. | [ - x + y + 3c = 1

66.

\

4

2x - y + z = 0 3.t + 2y + c - w = 6 x - 2y - 2 c + 2ii' = -1

.r + 2y- c = 3 2.v y + 2c = 6 .t - 3y+ 3c = 4

60.

+

x - 3y

x + 2y - c » —3 2.t - 4y f c - -7 , -2.x + 2y - 3c ■ 4

57.

•t +• y =» 1

4t + 2v « —

64.

c ■0

{ 3.» f 2y f 2c - 2

¡jr - y x.t - 3 . y + 2z = \ x - 2y = 5

[4.r + y + z - w = [ x - y + 2; + 3*v =

72.

- 4 jc + y = 5 2x — y + c - iv = 5

c + iv = 4


Determina la función y = a r + hx + c cuya gráfica contiene los puntos (1,2), (-2,7) y (2,-3).

73. Ajuste de cu n as

Determina la función y = nx: + b.x + c cuya gráfica contiene los puntos (1,-1), (3,-1) y (-2.14).

74. Ajuste de cu n as

75. Ajaste de cunas Determina la función /(.r) = íix ’ + b.x2 + c.x + «/ para, la cual. / ( - 3 ) = -112, / ( —1) = -2, /(1 ) = 4 y

/(2 ) = 13. Determina la función f{.x) = ax' + b.x2+ c.x +
76. Ajaste de cunas

triólogo que la comida de hoy es chuletas de cerdo, elote y leche al 2%. Cada porción de chuletas de cerdo tiene 23 g de proteínas, 0 g de carbohidratos y 10 mg de calcio. Cada por ción de elote tiene 3 g de proteínas, 16 g de carbohidratos y 10 mg de calcio. Cada vaso de leche al 2% tiene 9 g de proteínas, 13 g de carbohidratos y 300 mg de calcio. ¿Cuántas porciones de cada comida debe proporcionar el nutriólogo al paciente? 79. Planeación financiera Carletta tiene $10,000 para invertir. Como su asesor financiero, le recomiendas que invierta en letras del tesoro que rinden 6%, bonos del tesoro que rinden 7% y bonos corporativos que rinden 8%. Carletta quiere obtener un ingreso anual de $680 y la cantidad invertida en bonos corporativos tiene que ser la mitad de la invertida en letras del tesoro. Determina la cantidad de cada inversión. 80. Diseño de paisajes Se contrata a una compañía de diseño de paisajes para plantar árboles en tres nuevas subdivisiones. La compañía cobra al arquitecto por cada árbol que plante, una tarifa por hora para plantar los árboles y un cargo fijo por en trega. En una subdivisión tomó 166 horas de trabajo plantar 250 árboles con un costo de $7250. En la segunda subdivisión tomó 124 horas de trabajo plantar 200 árboles con un costo de $5945. En la última subdivisión tomó 200 horas de trabajo plantar 3(X) árboles con un costo de $8985. Determina el costo de cada árbol, el cargo por hora y el cargo fijo de entrega. Fuentes: www.bx.org

872

C A P ÍT U L O 12


81. Producción Para la fabricación de un automóvil, es necc^

82.

83.

sario pintarlo, secarlo y pulirlo. La compañía Epsilon Motor produce tres tipos de autos: el Delta, el Beta y el Sigma. Cada Delta requiere 10 horas (h) de pintado, 3 h de secado y 2 h de pulido. Un Beta requiere 16 h de pintado, 5 h de secado y 3 h de pulido y un sigma requiere 8 h de pintado, 2 h de secado y 1 h de pulido. Si la compañía tiene 240 h para pintado, 69 h para secado y 41 h para pulido al mes, ¿cuántos autos de cada tipo se producen? Producción Una compañía de jugos de Florida completa la preparación de sus productos esterilizando, llenando y etiquetando las botellas. Cada contenedor de jugo de naran ja requiere de 9 minutos (min) para esterilización, 6 min de llenado y 1 min de etiquetado. Cada contenedor de jugo de uva requiere de 10 min de esterilización, 4 min de llenado y 2 min de etiquetado. Cada contenedor de jugo de tomate requiere de 12 min de esterilización, 4 min de llenado y 1 min de etiquetado. Si la compañía usa la maquina csterilizadora por 398 min, la máquina de llenado por 164 min y la máquina para etiquetar por 58 min, ¿cuántos contenedores de cada tipo de jugo se preparan? Electricidad: leyes de Kirchhoff Una aplicación de las leyes de Kirchhoff al circuito que se muestra da como re sultado el siguiente sistema de ecuaciones: - 4 + 8 - 212 = 0 8

= 5/4 + h

4 = 3/3 + h

h + U=h Determina las corrientes /,,17 /,,V /,3 e /..4 30

Fuente: Basado en Raymond Serway. Physics, 3rd ed. (Philadel phia: Saunders, 1990), Prob. 34. p. 790.

84. Electricidad: leyes de Kirchhoff Una aplicación de las leyes de Kirchhoff al circuito que se muestra da como re sultado el siguiente sistema de ecuaciones:

(

/1 = h + h

< 24 - 6/j - 3/3 = 0 [ 12 + 24 - ó/, - 6 /2 = 0 Determina las corrientes /,, /, e /

Explicación de conceptos; discusión y escritura 89. Escribe un breve párrafo o dos que incluya tu estrategia para 90.

resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices. Cuando resuelves un sistema de ecuaciones lineales usan do matrices, ¿prefieres poner la matriz aumentada en for ma escalonada o en forma escalonada reducida? Da las razones de tu elección.

12 V £50

------ M-----24 V <>3ÍÍ ^3 i

< 211

4(1 m — VVV— — VVV— Fuente: Ihid., Prob. 38, p. 791.

85. Planearíón financiera Tres parejas de jubilados requieren un ingreso anual adicional de $2000 cada año. Como su asesor financiero les recomiendas que inviertan algo de dinero en le tras del tesoro que rinden 7%, algo de dinero en bonos corpo rativos que rinden 9% y algo de dinero en bonos chatarra que rinden 11 %. Prepara una tabla para cada pareja que muestre las diferentes formas en las que pueden lograr sus objetivos: (a) Si la primera pareja tiene $20,000 para invertir. (b) Si la segunda pareja tiene $25,(XXi para invertir. (c) Si la tercera pareja tiene $30,000 para invertir. (d) ¿Qué le aconsejarías a cada pareja acerca de la canti dad para invertir y las opciones disponibles? [Sugerencia: Los rendimientos más altos generalmente lle van mayor riesgo.] 86. Planeación financiera Una pareja joven tiene $25,000 para invertir. Como su asesor financiero Ies recomiendas que inviertan algo de dinero en letras del tesoro que rinden 7%, algo de dinero en bonos corporativos que rinden 9% y algo de dinero en bonos chatarra que rinden 11 %. Prepara una tabla que muestre las diferentes formas en las que pue de lograr los siguientes objetivos esta pareja: (a) Ingresos de $ 1500 al año. (b) Ingresos de $2tXX) al año. (c) Ingresos de $2500 al año. (d) ¿Qué le aconsejarías a cada pareja acerca de la canti dad para invertir y las opciones disponibles? [Sugerencia: Los rendimientos más altos generalmente lle van mayor riesgo.) 87. Farmacia La receta de un médico indica un consumo dia rio de 40 miligramos (mg) de vitamina C y 30 mg de vitami na D. Tu farmacia vende tres líquidos que se pueden usar uno contiene 20% de vitamina C y 30% de vitamina D. el otro 40% de vitamina C y 20% de vitamina D y el tercero contiene 30% de vitamina C y 50% de vitamina D. Crea una tabla que muestre las posibles combinaciones que se pueden usar para satisfacer la receta. 88. Farmacia La receta de un médico indica la creación de pastillas que contengan 12 unidades de vitamina B . y 12 unidades de vitamina E. Tu farmacia vende tres polvos que se pueden usar para hacer estas pastillas: uno contiene 20% de vitamina Bp y 30% de vitamina E. el otro 40% de vitamina B|; y 20% de vitamina E y el tercero contiene 30% de vitamina Br y 40% de vitamina E. Crea una tabla que muestre las posibles combinaciones de cada polvo que se puede mezclar en cada pastilla. 91. Desarrolla un sistema de tres ecuaciones lineales que con tengan tres variables que: (a) No tenga solución (b) Tenga exactamente una solución (c) Tenga un número infinito de soluciones Dale tu sistema a un amigo para que lo resuelva y lo comente.

S E C C IÓ N 12.3

1 2 3

Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes

873

S is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s : d e te r m in a n te s Evaluar determinantes de 2 por 2 (p. 873)

;

~

Usar la regla de Cramer para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables (p. 874) Evaluar determinantes de 3 por 3 (p. 876) Usar la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables (p. 878) Conocer las propiedades de los determinantes (p. 879)

En la sección anterior describimos un método de usar matrices para resolver un sis tema de ecuaciones lineales. En esta sección estudiaremos otro método para resolver sistemas de ecuaciones lineales; sin embargo, se puede usar solo cuando el número de ecuaciones es igual al número de variables. Aunque el método funciona para cual quier sistema (siempre y cuando el número de ecuaciones sea igual al número de variables), se usa más frecuentemente para sistemas de dos ecuaciones con dos varia bles o tres ecuaciones con tres variables. Este método, llamado regla de Cramer, se basa en el concepto de un determinante.

1 Evaluar determinantes de 2 por 2 DEFINICION

S i a , b , c y d son cuatro números reales, el símbolo D =

a c

b d

se llama determinante de 2 por 2. Su valor es el número ad - be; esto es,

El siguiente esquema puede ser útil para recordar el valor de un determinante de 2 por 2:

EJEM PLO 1

Evaluar un determinante de 2 x 2 Evalúa:

Solución

3 6

-2 1 3 6

-2 1

(3)(1 ) - (6)(—2) 3 - (-1 2 ) 15

¿maas^nesiielBE ahora el problema 7

874

C A P ÍT U L O 12


2 Usar la regla de Cram er para resolver un sistem a de dos ecuaciones con dos variables Veamos el papel que juega un determinante de 2 por 2 en la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Considera el sistema ax + by = s ex + dy - t

{

(1) (2)

(2)

Usaremos el método de eliminación para resolver este sistema. Siempre y cuando d ^ 0 y b * 0, este sistema es equivalente al sistema adx + bdy = sd bcx + bdy = tb

{

por d.

(1)

M ultiplica

(2 )

M ultiplica por

b.

Resta la segunda ecuación de la primera ecuación para obtener í (ad - bc)x + O- y = sd - tb | bcx + bdy = tb

(1) (2)

Ahora la primera ecuación se puede reescribir usando notación de determinantes. a b s x = c d t Si D =

b d

ad — be ± 0, podemos resolver para x para obtener

x =

s t

b d

s t

b d

(3)

D

a b c d

Regresa ahora al sistema original (2). Siempre y cuando a * 0 y c * 0, el sistema es equivalente a acx + bey = es acx + ady = at

{ {

(1)

M ultiplica p o rc .

(2 )

M ultiplica p o ra .

Resta la primera ecuación de la segunda ecuación para obtener acx + bey = es (1) 0 *x + (ad - bc)y = at - es (2)

La segunda ecuación se puede reescribir ahora usando notación de determinantes. a b a s y = c d c t Si D =

a b c d — ad

be ^ 0, podemos resolver para y y obtener a c y =

s t

a b c d

a c

s t D

(4)

Las ecuaciones (3) y (4) nos llevan al siguiente resultado llamado regla de Cramer.

S E C C IÓ N 12.3

TEOREM A


875

R eg la d e C ra m e r p a ra d o s e c u a c io n e s con d o s v a ria b le s

La solución del sistema de ecuaciones ax + by = s

(1)

ex + dy = t

(2)

{

está dado por

s

b

t

d

X a

b

c

d

y - -

a

s

c

t

a

b

c

d

(6)

siempre y cuando D =

a b = cid — be ^ 0 c d

J

En la demostración dada para la regla de Cramer, consideramos que ninguno de los números a , b , c y d era 0. En el problema 61 se te pedirá que completes la demos tración bajo la condición menos estricta de que D = ad - be ^ 0. Ahora veamos más cuidadosamente el patrón en la regla de Cramer. El denomi nador en la solución (6) es el determinante de los coeficientes de las variables. íax

+ by = s

D = a c

\ c x + dy = t

b d

En la solución para x el numerador es el determinante, denotado por Dx, que se forma sustituyendo las entradas de la primera columna (los coeficientes de x) de D por las constantes del lado derecho del signo de igual.

En la solución para y el numerador es el determinante, denotado por Dy, que se forma sustituyendo las entradas en la segunda columna (los coeficientes de y) de D por las constantes del lado derecho del signo de igual. Dy

a

s

c

t

Entonces la regla de Cramer establece que, si D ^ 0, Dx X = ~D

EJEM PLO 2

Dy y = ~D

(7)

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando determinantes Usa la regla de Cramer, si es posible, para resolver el sistema 4

(1)

y = 13

(2)

Í 3 x - 2y =

1 6x +

Solución

El determinante D de los coeficientes de la variable es -2 = (3)(1) - (6 )(-2 ) = 15 1

C A P ÍT U L O 12


Como D

*

0, se puede usar la regla de Cramcr (7).

n ^1 n

Dx

*

876

4 13

-2 1

15’

y

3 6

_ l)y _ i) '

4 13 15

(4 )(I) - (1 3 )(-2 )

(3 )(13) - (6)(4)

15

15 15 15

_ 30 “ 15 = 2

= 1

La solución es x = 2, y = 1 o, usando un par ordenado, (2,1). Cuando tratamos de usar la regla de Cramer, si el determinante D de los coeficien tes de las variables es igual a 0 (de manera que no se puede aplicar la regla de Cramer). entonces el sistema es inconsistente o tiene un número infinito de soluciones.

o*""— »—Resuelve ahora el problema

15

3 Evaluar determ inantes de 3 por 3 Para usar la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables, debemos definir un determinante de 3 por 3. Un determinante de 3 por 3 se simboliza por «n

«12

«13

«21

«22

«23

«31

«32

«33

en donde au, a[2, ..., son números reales. Al igual que con las matrices, usamos subíndices dobles para identificar una en trada indicando su número de fila y de columna. Por ejemplo, la entrada a,. está en la fila 2 columna 3. El valor de un determinante de 3 por 3 se puede definir en términos de determi nantes de 2 por 2 por la siguiente fórmula: M enos

«11

«12

«13

«21

«22

«23

«31

«32

«33

«22 «32

M ás

i «21 “ «12 «33 «31 «23

«23 «33

1 i +

«21

«22

«31

«32

T

T

t

D eterm in an te

D e te rm in an te

D e te rm in a n te

ele 2 por 2

de 2 por 2

de 2 por 2

que queda

que queda

que queda

d e sp u é s

d e sp u é s

d e s p u é s de

de elim inar la fila

de elim inar la fila

elim inar la fila

y colum na que

y colum na que

y colum na que

co ntiene

co ntiene

(9)

co n tie n e

Los determinantes de 2 por 2 que se muestran en la fórmula (9) se llaman menores del determinante de 3 por 3. Para cualquier determinante de n por /i, el menor A/ de una entrada a., es el determinante que resulta de eliminar la fila i y la columna j.

EJEMPLO 3

Determinar menores de un determinante de 3 por 3 2 Para el determinante A = - 2 0

-1 3 5 1 , calcula: (a) M r (b) AL, 6 -9

S E C C IÓ N 12.3

Solución


877

(a) A/,, es el determinante que resulta de eliminar la primera fila y la segunda co lumna de A. -2 0

M l2 =

= ( - 2 ) ( - 9 ) - (0)(1)

18

(b) A/,, es el determinante que resulta de eliminar la segunda fila y la tercera columna de A. /iA —

2 nZ

-1 J^

0

6

3 i1 -9

m 23

(2)(6) - (0)( —1) = 12

=

Si consultamos de nuevo la fórmula (9), podemos ver que cada elemento de a., en la primera fila del determinante se multiplica por su menor, pero algunas veces este término se suma y otras veces se resta. Para determinar si sumar o restar un término, debemos considerar el cofactor.

DEFINICIÓN

Para un determinante A de n por n, el cofactor de la entrada a.., que se denota por A.., está dado por A u. = (-1 v )Í+'M.. ’ ‘i donde M.‘i es el menor de la entrada a.. ‘i El exponente de ( - l ) '+y es la suma de la fila y la columna de la entrada a,., enton ces si i + j es par, ( - l ) ‘+; será igual a 1 y si i + j es impar, ( - l ) i+; será igual a -1. Para determinar el valor de un determinante, multiplica cada entrada de una fila o columna por su cofactor y suma los resultados. Este proceso se llama desarrollo a través de una fila o columna. Por ejemplo, el valor del determinante de 3 por 3 en la fórmula (9) se obtuvo por un desarrollo a través de la fila 1. Si escogemos desarrollar a través de la columna 2, obtenemos «11 «12

«13

«21 a22 «23

T ( - 1 ) 1+2«12

a31 «32 a33

a21 a23 a3\ a33

D esarro llo a t r a v é s

de

+ ( - 1 )2+V

an «o

+ ( - 1 )3+2í732

a3\ a33

« n ai3 «21 «23

la colum na 2.

Si escogemos desarrollar a través de la columna 3, obtenemos « íi

«12 «13

«21 «22 «23

f ( - 1 ) 3+1«31

«12 «13 «22 «23

+ ( ~ l ) 3+2«3

«11 «13 «21 «23

+ ( —1)3+3«3;

«11 «12 «21 «22

«31 «32 «33 D esarro llo a t r a v é s

de

la colum na 3 .

Se" puede demostrar que el valor de un determinante no depende de la elección de la fila o la columna que se use en el desarrollo. Sin embargo, si desarrollamos a través de una fila o columna que tenga una entrada igual a 0 se reduce la cantidad de trabajo que se necesita para calcular el valor del determinante.

EJEM PLO 4

Evaluar un determinante de 3 X 3 Calcula el valor del determinante de 3 por 3:

3 4 8

0 6 -2

-1 2 3

CAPÍTULO 12 Sistemas dp ecuaciones y desigualdad«'»

Solución

Debido al 0 de la fila 1 columna 2, es má» sencillo desarrollar a través de la fila I o de la columna 2. Escogemos desarrollar a través de la lila I. 1 4 8

(I 6 -2

I 2 3

( -1 )M1*3 •

4 6 2 + ( - l ) M2*0< 8 -2 3

4

2 3

h

8 -2

O 3(18 - ( - 4 ) ) - 0 + ( - ! ) ( - « - 48) - 3(22) + (-!)(-* 56) = 66 + 56 = 122

Resuelve ahora ei problema i i 4 Usar la regla de Cramer para resolver un sistem a de tres ecuaciones con tres variables Considera el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres variables. « II*

+

« I2 .v +

«112

=

f,

< (¡2 \X + (l22y + «23^ = r 2

(!•)

«nT + a32y + ajjZ = c » Se puede demostrar que si el determinante l) de los coeficientes de las variables no es 0, esto es, si «II

«12

«13

«21

«22

«23

«31

«32

«33

la única solución del sistema (10) está dada por

TEOREMA

R egla de C ra m e r para tre s e c u a c io n e s co n tre s v a ria b le s

», X - D

», y ~ D

D. Z~ D

donde <'i

«12

«13

«11

Dx = C2 «22

«23

» , = «21

«33

«31

t'3

«32

‘ I

«13

«11

«12

c 2 a >3

D; = «21

«22

«31

«32

*3

«33

c*

J

¿Ves la similitud de este patrón y el patrón que se observó anteriormente para un sistema de dos ecuaciones con dos variables?

EJEM PLO 5

Usar la regla de Cramer Usa la regla de Cramer, si es posible, para resolver el siguiente sistema: f 2.v + y - z = 3 S -.v + 2.v + Az = - 3 { x - 2y - 3 c = 4

D =

2 I - 1 2 1 -2

(2) (3)

El valor del determinante D de los coeficientes de las variables es -1 -1 4 4 = ( - 1 ) 1+1*2* + ( - l ) ,+ :- l 1 -3 -3 = 2 ( 2 ) - l ( - i ) + (-!)(()) =4+1=5

1 '-aJ

Solución

1 ro ro

878

-1 2 1 -2

S E C C IÓ N 12.3


879

Como D # 0, calculamos los valores de D , D y D . Para determinar D , sustituimos los coeticientes de x en D con las constantes y después evaluamos el determinante. D,=

3 -3 4

1-1. l 4 - > -3

(-1 )

í+i 3-

- 22

-3 4

4 + ( - l ) 1+3( - l ) -3

4 -1 + ( - 1 ) 1+2 • 3 • -3 1

+ ( - i ) 1+3H )

- 34 + ( - l ) 1+2

-3 4

2 -2

= 3(2) - 1(—7) + ( —1)(—2) = 15 Dy =

2 î -1 -3 “I ~5 4 = ( - 1 ) 1+1 -24 1 \ -3

-1 -3 1 4

= 2 (- 7 ) - 3 ( - l ) + ( - 1 ) ( - 1 ) = -1 0 1 3 > - 3 = ( - l ) í+ i.

Dz = -1 1 -

2 -2

-3 + ( - l ) 1+2- l 4

-1 -3 1+3. 1 4 + (-l)

-1 2 1 -2

= 2(2) - 1 (-1 ) + 3(0) = 5 Como resultado D x 15 x = -i = — = 3 D 5

Dv

.y = D

Dz

-1 0 =

“ 2

*=zt

5 =

5 =

1

La solución es x - 3, y = —2, z = 1 o, usando una tercia ordenada, (3,-2,1). Ya sabemos que la regla de Cramer no se puede aplicar cuando el determinante de los coeficientes de las variables, D, es 0. Pero, ¿podemos aprender algo acerca del sistema además de que no es consistente o independiente si D = 0? ¡La respuesta es sí! Regla de Cram er con sistem as inconsistentes o dependientes

• Si D = 0 y al menos uno de los determinantes D , D o D es diferente de 0, entonces el sistema es inconsistente y el conjunto solución es 0 o { ). • Si D = 0 y todos los determinantes Dx, D v y son iguales a 0, entonces el sistema es consistente y dependiente, por lo que existe un número infinito de soluciones. El sistema se debe resolver usando técnicas de reducción de filas. i

V5

« —a m — - Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

33

Conocer las propiedades de los determ inantes Los determinantes tienen varias propiedades que son útiles para obtener su valor. Aquí hacemos una lista de algunas de ellas.

TEOREM A

El valor de un determinante cambia de signo si cualesquiera dos filas (o cuales quiera dos columnas) se intercambian. (11)

J

D em o stra ció n p ara d e te rm in a n te s d e 2 por 2

a b = ad - b e c d

EJEM PLO 6

C d = be - ad - —(ad - be)

Demostración del teorema (11) 3 4 = 6 - 4 - 2 1 2

TEOREM A

m

1 2 = 4 - 6 = -2 3 4

Si todas las entradas de una fila (o de una columna) son iguales a 0, el valor del determinante es 0. (12)

'J

880

C A P ÍT U L O 12

Sistemas de ecuaciones y desigualdades D e m o s t r a c ió n

TEOREMA

Desarrolla a través de la fila (o de la columna) que c o n te n g a l<*() .

Si cualesquiera dos filas (o cualesquiera dos columnas) de un determinante tienen entradas correspondientes que sean iguales, el valor del determinante es 0. (13) ^ Se te pedirá que demuestres este resultado para un determinante de 3 por 3 en el que las entradas de la columna I son iguales a las entradas de la columna 3 en el problema 64.

EJEM PLO 7 ]

Demostración del teorema (13) 1 2 3 1 2 3 4 5 6

1 3 2 3 t ‘ J, + ( - 1 ) 1 0 *2' + (-1 ) 4 6 5 6

I 2 4 5

= 1( —3) - 2(~6) + 3( —3) = - 3 + 12 - 9 = 0

TEOREMA

Si cualquier fila (o cualquier columna) de un determinante se multiplica por un número k diferente de cero, el valor del determinante también cambia por un factor de k. (14)j Se te pedirá que demuestres este resultado para un determinante de 3 por 3 usando la fila 2 en el problema 63.

EJEM PLO 8

Demostración del teorema (14) 1 2 = 6 - 8 = -2 4 6 1 2 k 2k = 6k - 8k = - 2 k = k ( - 2 ) = k 4 6 4 6

TEOREMA

Si las entradas de cualquier fila (o cualquier columna) de un determinante se multiplican por un número k diferente de cero y el resultado se suma a las en tradas correspondientes de otra fila (o columna), el valor del determinante se mantiene sin cambios. (15) . En el problema 65, se te pedirá que demuestres este resultado para un determi nante de 3 por 3 usando las filas 1 y 2.

EJEM PLO 9

Demostración del teorema (15) 3 4 = -1 4 5 2

3 4 5 2

-7 0 = -1 4 5 2

M ultiplica la fila 2 por —2

y suma a la Pia 1-

12.3 Evalúa tu entendimiento C o n c e p t o s y v o c a b u l a r io

a b c d 2. Usando la regla de Cramer, el valor de x que satisface el sistema de ecuaciones f2.v + 3y = 5 es .v = 2 3 .v - 4v = -3 1 -4 3. Verdadero ofalso Un detemiinante nunca puede ser igual a 0. 1. D =

4. Verdadero ofalso CUando se usa la regla de Cranier. si P = 0. entonces el sistema de ecuaciones lineales es inconsistente. 5. I erdademofalso El valor de un determinante se mantie ne sin cambios si cualesquiera dos filas o cualesquiera dos columnas se intercambian. 6. I erdadero ofalso Si cualquier fila (o cualquier columna) de un detemiinante se multiplica por un numero k diferente de cero, el valor del detemiinante se mantiene sin cambios.

S E C C IÓ N 12.3

' En los problemas 7 / 4, calcula el valor de cada determinante. 6 4 8 -3 8. -1 3 4 2

u

¡vil.

3 4 2 1 -1 5 1 2 -2

9.

1 3 -2 12. 6 1 -5 8 2 3


-3 -1 4 2

-4 -5

10.

4 - 1 2 13. 6 - 1 0 1 -3 4

881

2 3

3 -9 4 14. 1 4 0 8 -3 1

En los problemas 15-42, resuelve cada sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer si es posible. Si no se puede usar la regla de Cramer, indícalo. V ,, .

+y x - y

x

= =

8 4

3x k6 x

20. l

- 2y = 4 - 4y = 0

24..

í 2x - 3y = —1 27. \l0 x + lO.y = 5

31.

3x - 5y = 3 15x + 5y = 21

x - y + z = ~4 34. 2x - 3y + 4z = -15 , 5 x + y - 2z = 12

+ 2y = 5

[x -

3x = 24 = 0

x + 2y

23.

x

16. <

28.

4x

y = 3

+ 5y = -2 y =

-3

21"

-4

+ 2y = 5 4x - 8y = 6

x + 3y = 5 2x - 3y = -8

3x

- 6y = 24 + 4 y = 12

22. |

2x + 4y = 16 3x - 5y = -9

- 4y + 2y

26. <

5x

25. > 3x

y

= =

-2 3

2x + 3y = 6 29. 1 I"" ^ ~ 2

[5x + lOy = 4

35.

+ 3y

18. |

2x

-x

32.

2x

= 13 = 12

5x -

2x - y = —1 1 3 x + 2y 2 x + 2y - z = -3 2x - 4y + z = -7 -2x + 2y - 3z = 4

30. <

3x + 3y = 3 8 4x + 2y = -

-x + y 2y = 8

\ :u.

x + y - z= 6 3x - 2y + z = -5 x + 3y - 2z = 14

36.

x + 4y —3z = —8 3x - y + 3z = 12 x + y + 6z - 1 x + 2_y — z = 0 2x - 4y + z = 0 -2x + 2y —3z = 0

37.

x - 2y + 3z = 1 3 * + y - 2z = 0 2x - 4y + 6z = 2

x -

y + 2z = 5 38. 3x + 2y = 4 k-2x + 2y - 4z = -10

39.

40.

x + 4y - 3z = 0 3* — y + 3z = 0 x + y + 6z = 0

x - 2y + 3z = 0 41. <3x + y - 2z = 0 k2x - 4y + 6z = 0

x - y + 2z = 0 42. 3x + 2y = 0 _-2x + 2y - 4z = 0

En los problemas 43-50, usa las propiedades de los determinantes para calcular el valor de cada determinante si se sabe que X y z u V w =4 1 2 3 1 2 3 43. U V w x y z

47.

1 2 3 x - 3 y - 6 z -9 2« 2i; 2w

X y z 44. u V w 2 4 6

X y 2 45. -3 -6 -9 ll V M’

2 1 3 46. x - u y - v 2 - W u w V

X y 2 —X 48. u V W — u 2 1 2

3 2 1 2z 49. 2x 2^ u - 1 t; - 2 w —3

x +3 y + 6 2+ 9 50. 3u —1 3 v - 2 3vv - 3 1 2 3

882

C A P ÍT U L O 12


5r á c t ic a m ix t a ----------------------—---------------------

En los problemas 51-56, resuelve para x. AT

a:

I

x x =5 51. 4 3

1 = -2 52. 3 *

53.

3 2 4 54. 1 a: 5 = 0 0 1 -2

3 X 2 55. 1 X 0 = 7 6 1 -2

X 1 2 56. 1 X 3 0 1 2

1

4 3 2 -1 2 5

I -4 x


57. Geometría: ecuación de una recta Una ecuación de la recta que contiene los dos puntos (xry t) y (x2,y2) se puede expresar por el determinante

61.

x y i x i y\ i = o *2 y2 i Demuestra este resultado desarrollando el determinante y comparando el resultado con la ecuación de una recta en la forma de dos puntos. 58. Geometría: puntos colineales Usando el resultado que obtuviste en el problema 57, demuestra que tres puntos di ferentes (a:,,y,), (x2,y2) y (x^.y,) son colineales (están en la misma recta) si y solo si

62.

63.

yi

i *2 yi i = o *3 y3 i 59. Geometría: área de un triángulo Un triángulo tiene vérti ces (Xj.y,), (x2,y2) y (x3,y3). El área del triángulo está dado

x\

60.

*2 *3 por el valor absoluto de D, donde D = - y\ yi >’3 i i 1 Usa esta fórmula para determinar el área de un triángulo con vértices (2,3), (5,2) y (6,5).

64.

65.

x2 x 1 Demuestra que y2 y 1 = ( y - z ) ( x - y)(x - z). Z2 i 1 Completa la demostración de la regla de Cramcr para dos ecuaciones con dos variables. [Sugerencia: En el sistema (5). página 875, si a = 0, enton ces b * 0 y c * 0, porque D = -be * 0. Ahora demuestra que la ecuación (6) proporciona una solución del sistema cuan do a = 0. Entonces quedan tres casos: b = 0,c = 0 y d = 0.) Intercambia las columnas 1 y 3 de un determinante de 3 por 3. Demuestra que el valor del nuevo determinante es -1 vez el valor del determinante original. Multiplica cada entrada en la fila 2 de un determinante de 3 por 3 por el número k, k * 0. Demuestra que el valor del nuevo determinante es k veces el valor del determinante original. Demuestra que un determinante de 3 por 3 en el que las entradas en la columna 1 son iguales a las de la columna 3 tiene el valor 0. Demuestra que, si la fila 2 de un determinante de 3 por 3 se multiplica por k, k * 0, y el resultado se suma a las entradas de la fila 1, el valor del determinante no cambia.

1 2 .4 Á lg e b r a d e m a tr ic e s O B J E T IV O S

1

D e t e r m in a r la s u m a y la d if e r e n c ia d e d o s m a t r ic e s (p . 8 8 4 )

2

D e t e r m in a r m ú lt ip lo s e s c a la r e s d e u n a m a t r iz (p . 8 8 5 )

3

D e t e r m in a r e l p r o d u c t o d e d o s m a t r ic e s (p . 8 8 6 )

4 D e t e r m in a r e l in v e r s o d e u n a m a t r iz (p . 8 9 1 ) 5 R e s o lv e r u n s is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s u s a n d o u n a m a t r iz in v e r s a (p . 8 9 5 )

En la sección 12.2, definimos una matriz como un arreglo rectangular de números reales y usamos la matriz aumentada para representar un sistema de ecuaciones li neales. Sin embargo, existe una rama de las matemáticas llamada álgebra lineal, que trata con matrices de manera que se permite un álgebra con matrices. En esta sec ción daremos una idea de cómo se desarrolla esta álgebra de matrices. Antes de empezar, daremos de nuevo la definición de una matriz.

S E C C IÓ N 12.4

DEFINICIÓN

Algebra de matrices

883

Una matriz se define como un arreglo rectangular de números, Colum na 1 F ila 1 Fila 2

F ila i

F ila m

Colum na 2

Colum na

J

Co\umna n

«II «21

«12

aU

«22

«2i

«1;, «2/i

«il

«/2

an

«m

_«m1

«m2

a mj

«m/i_

Cada número a., de la matriz tiene dos índices: el índice de Fda i y el índice de columna j. La matriz que se muestra en el recuadro anterior tiene m filas y n colum nas. Los números a., generalmente se llaman entradas de la matriz. Por ejemplo, a23 se refiere a la entrada de la segunda fila, tercera columna.

| EJEM PLO 1

Arreglo de datos en una matriz En una encuesta realizada a 900 personas, se obtuvo la siguiente información: 200 hombres

Consideraron que el gasto en defensa federal es demasiado alto

150 hombres

Consideraron que el gasto en defensa federal es demasiado bajo

45 hombres

No opinaron

315 mujeres

Consideraron que el gasto en defensa federal es demasiado alto

125 mujeres

Consideraron que el gasto en defensa federal es demasiado bajo

65 mujeres

No opinaron

Podemos ordenar estos datos en un arreglo rectangular de la siguiente manera: Muy alto

Muy bajo

Muy opinión

Hombres

200

150

45

Mujeres

315

125

65

o como la matriz "200 315

150 45" 125 65 _

Esta matriz tiene dos filas (que representan a hombres y mujeres) y tres columnas (que representan “muy alto”, “muy bajo” o “sin opinión”). La matriz que desarrollamos en el ejemplo 1 tiene 2 filas y 3 columnas. En gene ral, una matriz con m filas y n columnas se llama una matriz de m por n. La matriz que desarrollamos en el ejemplo 1 es una matriz de 2 por 3 y contiene 2-3 = 6 entra das. Una matriz de m por n tendrá m • n entradas. Si .una matriz de m por n tiene el mismo número de filas y de columnas, esto es, si m = n, entonces la matriz se llama matriz cuadrada.

EJEM PLO 2

Ejemplos de matrices

(a)

5 0 - 6 1_

(c)

6 4 OO

-2 4 3 5 0 1

M atriz cu a d ra d a de 2 por 2

M atriz

cuadrada

de 3 por 3

(b) [1

0 3]

M atriz de 1 por 3

C A P ÍT U L O 12


f

1 Determinar la suma y la diferencia de dos m atrices Empezaremos nuestro análisis de álgebra de matrices definiendo lo que quiere decir que dos matrices sean iguales y después definiendo las operaciones de suma y resta Es importante notar que estas definiciones requieren que cada matriz tenga el mismo número de filas y el mismo número de columnas como condición de igualdad y para la suma y la resta. Generalmente representamos matrices con letras mayúsculas como A. H y C.

DEFINICIÓN

Se dice que dos matrices A y B son iguales lo que se escribe como A =B siempre y cuando A y B tengan el mismo número de filas y el mismo número de columnas y cada entrada en A sea igual a la entrada correspondiente b en li

J

l -1

V4

1---------

2 0.5

2

‘_

L

4 6

4

r

6

1.

".3 2 f 0 1 -2 _

4 ü" 6 1

1 2 1 2

4 6

1 2 1 2

ti

Por ejemplo,

------- 1

884

V9

Va

0

1

i

“I

Porque Iaa entradas en la fila 1columna 2 no son íquaes 3 4

Porque la m a triz del lado izquierdo tien e 3 m a tr iz del lado

derecho

columna» y

a

tie n e 4 co lu m n a s

Considera que A y fí representan dos matrices de m por n. Definimos su suma A + I i como la matriz de m por n que se forma sumando las entradas correspondien tes rr de A y b¡: de B. La diferencia A - li se define como la matriz de ni por n que se forma restando las entradas en B de las entradas correspondientes a en A. La suma y la resta de matrices se permiten solamente para matrices que tienen el mismo número ni de filas y el mismo número n de columnas. Por ejemplo, una matriz de 2 por 3 y una matriz de 2 por 4 no se pueden sumar o restar.

EJEM PLO 3

Suma y resta de matrices Considera que A = Determina:

Solución

(a) A + B

(a) A + B =

(b)

2 4 8 0 1 2

A - B =

-3 3 (b) A - B

2 4 8 0 1 2

-3 3

r1

2 + (-3 ) 0 + 6

4 + 4 1+ 8

-1 8 8 6 9 4

_2

2 4 8 0 1 2

-3 4 0 1 6 8 2 0 8 + 0 2 + 2

-3 + 1 3 + 0

-3 4 6 8

0 l" 2 0_

Suma La5 entra das correspond¡entes.

3 —3~ 3_

2 - (-3 ) 0 -6 5 -6

3 0 6 8 i

0 8 -7 0

4 - 4 8 - 0 1 - 8 2 —2 -Af 3

-3 - 1 3 - 0

Resta Ue entradas correspondiente».

S E C C IÓ N 12.4

Figura 27

Algebra de matrices

885

Visualización del c o n ce p to

tfil+tBJ [[ -1 8 té 9 tm-tB] 115 0 . t-6 -7

8 -21 4 3 ]] 8 -4] 0 3 ]]

Los dispositivos gráficos a veces pueden hacer más sencillo el tedioso proceso del álgebra de matrices. De hecho, la mayoría de las calculadoras gráficas pueden trabajar con matrices hasta de 9 por 9 y algunas hasta mayores. Ingresa las matrices en el dispositivo gráfico. Nómbralas [A] y [B], La figura 7 muestra los resultados de sumar y restar [A] y [B]. I

Resuelve ahora

EL

P R O B L E M A

9

Muchas de las propiedades algebraicas de las sumas de números reales son ver daderas para las sumas de matrices. Considera que A, B y C son matrices de ni por n. Entonces la suma de matrices es conmutativa. Esto es, Propiedad conm utativa de la sum a de m atrices

A+B=B+A

La suma de matrices también es asociativa. Esto es, Propiedad aso ciativa de la sum a de m atrices

(A +B) + C = A + (B + C) Aunque no demostraremos estos resultados, las demostraciones, como ilustrará el siguiente ejemplo, se basan en las propiedades conmutativa y asociativa de los números reales.

EJEM PLO 4

Demostración de la propiedad conmutativa -l" + 7_

-1

2

"2 + (- 1 ) 4 + 5

f

1 IT) __1

2 3 4 0

ti

-1 + 2 5+ 4 -1 5

3 + 2 0 + (- 3 )

-1 + 1 7 + 4_

2 + 3 1 + (- 1 ) -3 + 0 4 + 7

2 1 -3 4

+

2 3 _4 0

-1 7_

Una matriz cuyas entradas son todas iguales a 0 se llama matriz cero. Cada una de las siguientes matrices es una matriz cero. 0

0

M a triz c u a d ra d a

”o

0

o"

0

0_

cero

_0

0

0_

de 2 por 2

M atriz

cero

[0 0 0]

de 2 por 3

M atriz

cero

de 1 por 3

Las matrices cero tienen propiedades similares al número real 0. Si A es una ma triz de'm por n y 0 es la matriz cero de m por n, entonces A+0=0+A=A En otras palabras, la matriz cero es la identidad aditiva en el álgebra de matrices.

2 Determinar múltiplos escalares de una matriz También podemos multiplicar una matriz por un número real. Si k es un número real y A es una matriz de m por n, la matriz kA es la matriz de m por n formada por la multiplicación de cada entrada a., en A por k. Nos referimos al número k como un escalar y la matriz kA se llama múltiplo escalar de A.

886 CAPÍTULO 12

Sistemas

deecuaciones ydesigualdades Operaciones usando matrices

EJEM PLO 5

Considera que 3 I 5 -2 0 6

A =

Determina:

Solución

9 0 -3 6

r 9

r °

5 < - 3)

Ì '6

3-1 3*0

3-5 3 • 6_

2*4 2 -8

" 9 3 15- 6 Ü Í8_

’ 8 J6

'3-3 3 (-2 )

9 - 8 -6-16

- 2

3 - 2 0-2

20" 24 .

3 0 -1 2

1 0 1 -3

3 1 5 -2 0 6

[ 4

’ 12 4 -8 0

4-5" 4 • 6_

4*1 4- 0

4 8

(c) 3 A - 2 B = 3

■ :]

(c) 7A - 2H

(b ) j C

(a) 4A

3 1 5" (a) 4/1 = 4 - 2 0 6_

(b) l e - \

0 1 1 -3

4 8

B =

2

0"

2

“ 6_

2*1 2-1

2 • "I 2( - 3 ) J

15 - 0 18 - ( —6)_

1 1 15 -22 - 2 24

fcv ^ V e rific a :

Ingresa las matrices [/!]. (#] y [C] en tu dispositivo gráfico. Después determina 4 A , - C y 3A - 2B. 3

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

13

A continuación damos una lista de las propiedades algebraicas de la multiplica ción escalar. Sean h y k números reales y sean A y B matrices de m por n. Entonces

Propiedades de la m ultiplicación escalar

k(hA) = (kli)A (k + li)A = kA + hA k(A + B ) - k A + k B

3 Determinar el producto de dos m atrices A diferencia de la definición tan directa para sumar dos matrices, la definicicin para multiplicar dos matrices no es lo que se podría esperar. Como preparación para esta definición, necesitaremos las siguientes definiciones:

S E C C IÓ N 12.4

DEFINICIÓN

Algebra de matrices

887

Un vector filu R es una matriz de 1 por n

Un vector columna

C

es una matriz de

n

por 1 t’i

El producto

R C

de R multiplicado por C se define como el número C\

c2

R C = [ r x r2- ••/•„]

= nei + r2c2 + • • • + r„c„

_
J Observa que un vector fila y un vector columna se pueden multiplicar única mente si tienen el mismo número de entradas.

EJEM PLO 6

Producto de un vector fila y un vector columna S \ R = [3 -5

RC = [3

EJEM PLO 7

-5

2] y C =

3 4 , entonces -5

= 3*3 + (-5 )4 + 2 (-5 ) - 9 - 20 - 10 = -21

2]

Uso de matrices para calcular el ingreso Una tienda de ropa vende camisas para hombre por $40, corbatas de seda por $20 y trajes de lana por $400. El mes pasado la tienda vendió 100 camisas, 200 corbatas y 50 trajes. ¿Cuál fue el ingreso total por las ventas?

Solución

Establece un vector fila R para representar los precios de cada artículo y un vector co lumna C para representar el número de artículos vendidos correspondiente. Entonces Carrtidac

Precios C a m is a s

C o r b a ta s T ra je s

R = [40 20 400]

vendida

“ loo" 200

C o r b a ta s

. 50_

T ra je s

C a m is a s

El ingreso total obtenido es el producto RC. Esto es, RC = [40 20 400]

100 200 50

= 40 • 100 + 20 • 200 + 400 • 50 Ingreso por camisas

Ingreso por corbatas

Ingreso por trajes

$28,000 Ingreso total

888

C A P ÍT U L O 12


La definición para la multiplicación de dos matrices se basa en la definición de un vector fila multiplicado por un vector columna.

DEFINICIÓN

Sea A una matriz de m por n y sea H una matriz de r por n. H producto AH se define como la matriz de ni por n cuya entrada en la fila /, columna j es el pro ducto de la /-ésima fila de A y lay-ésíma columna de li.

La definición del producto Al i de dos matrices A y H, en ese orden, requiere que el número de columnas de A sea igual al número de filas de H. de otra manera, no se puede definir el producto. r r r r r r

A ni por r

E n p a la b r a s

H r por n

Debe ber igual para AB para que estA rirl>r¡do ABes dr. mpur n.

Vara determinar el producto número de co lu m n as en A debe s e r Igual al número de A B , el

fila s en B.

Un ejemplo ayudará a aclarar la definición.

EJEMPLO 8

Multiplicar dos matrices Determina el producto A li si "

5

8

- f

il

Solución

4

=5

A =

2

°_

4 2 5 1 4 8 0 6 - 3 1 - 2 -1

Primero observa que A es de 2 por 3 y B es de 3 por 4. por lo tanto, el producto AH está definido y será una matriz de 2 por 4. Considera que queremos la entrada en la fila 2 columna 3 de AH. Para obtenerla, determinamos el producto del vector fila de la fila 2 de A y el vector columna de la columna 3 de B. Colum na 3

1 0

Fila 2 de A [5

8

de 3

0]

5 -1 + 8 -0 + 0 (- 2 ) = 5

Hasta ahora tenemos que Colum na 3

1 5

— Fi'a 2

Ahora, para obtener la entrada en la fila 1. columna 4 de AB. determinamos el producto de la fila 1 de A y la columna 4 de B. Colum na 4 de Fila 1 de A

[2 4

-1 ]

B

4

6 -1

= 2 -4 + 4 -6 + ( —!)( —!) = 33

SECCIÓN 12.4 Álgebra de matrices

889

Si continuamos de la misma manera, determinaremos AB.

AB =

2 5

4 -1 8 0

-1 ' 2 4 - _—3

5 8 1

1 0 -2

4“ 6 -1 _

Fila 1 de A multiplicada por la columna 1 de B

Fila 1 de /I multiplicada por la columna 2 de B



Fila 2 de A multiplicada por la columna .1 de 5




2*2 + 4*4 + ( —1)(—3) 5*2 + 8*4 + 0 (—3) '23 42

41 89

4 5

2*5 + 4 -8 + (-1 )1 5*5 + 8*8 + 0 - l

2• 1 + 4• 0 + ( - l ) ( - 2 ) 5(de lo anterior)

33(de lo anterior) 5*4 + 8*6 + 0 (—1)

33-1 68

^V erifica: Ingresa las matrices [/l] y [B], Después determina AB. (Observa lo que sucede si tratas de determinar BA.)

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

25

Observa que para las matrices que se dan en el ejemplo 8, el producto BA no está definido, porque B es de 3 por 4 y A es de 2 por 3. En el siguiente ejemplo se ilustra otro resultado que se puede dar cuando se multiplican dos matrices.

EJEM PLO 9

Multiplicación de dos matrices Si

Solución

determina:

(a) A B

~2 (a) A B = 1

" l 0“ 1 3 2 1 - 1 0_ 3 2_ 2

por 3

" 13 -1

3 por 2

"l 0 2 (b) BA = 2 1 1 _3 2 _ 3 por 2

(b) BA

1 3 -1 0 2

por 3

2

"2 = 5 _8

7~ -1 _ por 2

1 3” 1 6 1 9_ 3 por 3

Observa que en el ejemplo 9 que A B es de 2 por 2 y BA es de 3 por 3. Es posible que ambas A B y BA estén definidas, aunque no sean equivalentes. De hecho, aún si A y B son ambas matrices de n por n tal que A B y BA estén definidas y sean de n por n, A B y BA generalmente no serán equivalentes.

C A P ÍT U L O 12


EJEM PLO 10

Multiplicar dos matrices cuadradas Si A *

Solución

(b) BA

(a )A B

(a) A B =

2 1 0 4

(b) BA =

'- 3 1 1 2

-3 1 1 2

B

f

’ -5

4~

2_

|X

determina:

2 1 0 4

i

\

’ -6

f

4_

2

9_ J

Los ejemplos anteriores demuestran que una propiedad importante de los nú meros reales, la propiedad conmutativa de la multiplicación, no se cumple para las matrices. En general:

TEOREMA

La multiplicación de matrices no es conmutativa.

wts=

= ^ - Resuelve ahora

el p r o b l e m a

15 y

i

__j

7

A continuación daremos dos de las propiedades de los números reales que sí se cumplen para las matrices. Si consideramos que cada producto y suma están defini dos, tenemos lo siguiente: Propiedad asociativa de la m ultiplicación de m atrices

A(BC) - (AB)C


A( B + C) = A B + A C

Para una matriz cuadrada de n por n , las entradas ubicadas en la fila /. columna /. 1 < i < n, se llaman entradas diagonales o diagonal principal. La matriz cuadrada de n por n cuyas entradas diagonales son números 1 mientras todas las otras entradas son ceros, se llama matriz identidad I . Por ejemplo, "l h = 0 _0

~1 o" 0 1 —

0 o" 1 0 0 1_

y así sucesivamente.

Multiplicación por una matriz identidad. Sea r

Determina:

(a) A I 3

-1 2 0 0 1 3

(b) 1/[

n

(c) BI:

Co II

EJEM PLO 11

ví

890

~3 4 _5

2~ 6 2_

S E C C IÓ N 12.4

r

Solución

(a) A l y =

_ - 1 2

“ l

1

1

3_

0 _0

(b) 12A =

r» :

"i 0 "3

o" " - 1

2

o"

1_

1

3_

0

2" 6 ro 1___

r~ 'Vi

o"

t)

=z

1

2

o"

1

3

0

= /I

3_

= /i

2"

4

6 CnI

4

"-1

"3 "l

1

1_

ir.

(c) HI, =

0

0

=

0

891

_ - 1 2

0 0

_

o"

0

0

Algebra de matrices

= B

El ejemplo 11 demuestra la siguiente propiedad: Propiedad de identidad

Si A es una matriz de m por n, entonces Im A = A

y A ln = A

J

Si A es una matriz cuadrada de n por n, A I n = 1n A = A

Una matriz identidad tiene propiedades similares a las del número real 1. En otras palabras, la matriz identidad es una identidad multiplicativa en álgebra de matrices. w4

DEFINICIÓN

Determ inar el inverso de una matriz Sea A una matriz cuadrada de n por n. Si existe una matriz A ~1 de n por n, lo cual se lee “inverso de /4”, para la cual AA~X=A~XA = I n entonces A~x se llama el inverso de la matriz A.

N O TA 5 ¡ el d e te rm in a n te de cero ,

A

A

es

e s sing u lar. (C o n s u lta la s e c

ción 12.3.)

■

EJEM PLO 12

Como pronto veremos, no toda matriz cuadrada tiene inverso. Cuando una ma triz A tiene inverso A~x, entonces se dice que A es no singular. Si una matriz A no tiene inverso, se llama singular.

Multiplicación de una matriz por su inverso Demuestra que el inverso de A =

Solución

3 2

1 1

es A 1 =

1 -2

-1 3

Debemos mostrar que A A 1= A 1A = Ir AA ~l = A ~'A =

3T. 11"1 _2 1_ 1 -2

1 -l" 2 3_

-- l " _3 3_ _2

l" 1_

"l 0 0 1_ " l 0" = h 0 1_

892

C A P ÍT U L O 12


Ahora demostraremos una forma de determinar el inverso de A =

’3 2

1 1

x

y

Z

W

Considera que A ' está dada por A '

(1)

donde jc, y, z y w son cuatro variables. Con base en la definición de un inverso, si A tiene inverso, — 1= - hr2 AA~' "3 2

f x y 1_ _Z W_

”1

0"

0

1_

3y + w 2y + w_

"l _°

0" 1_

3x + z 2x + z

Como las entradas correspondientes deben ser iguales, se deduce que esta ecuación matricial es equivalente a dos sistemas de ecuaciones lineales. 3x + z = 1 2x + z = 0

Í3y + w = 0 (2_y + w = 1

La matriz aumentada de cada sistema es 3 2

1 1

3 _2

f 0_

0 1_

1 1

(2)

El procedimiento normal sería transformar cada matriz aumentada a una matriz es calonada reducida. Sin embargo, observa que los lados izquierdos de las matrices aumentadas son iguales, entonces se pueden usar las mismas operaciones de fila (ver sección 12.2) para reducir cada una. Vemos que es más eficiente combinar las dos matrices aumentadas (2) en una sola matriz, como se muestra a continuación, y des pués transformarla a una matriz escalonada reducida. 3 2

1 1

1 0 0

X.

Trataremos de transformar el lado izquierdo a una matriz identidad. 10 — 1

1 1

0

3 _2

1 0 2 1 f R, = —1r2 +

r

"l 0 =

1 0

0 1

—2 r,

1 -2 +

- 1

i_ (3) - 1 3

r>

La matriz (3) está en forma escalonada reducida. Ahora invertimos el paso anterior de combinar dos matrices aumentadas en (2) y escribimos la matriz (3) como dos matrices aumentadas. 1 0

0 1

f —2_

y

"1 0

0 1

- 1" 3_

Podemos concluir de estas matrices que jc = 1, z = —2 y y = —1, w = 3. Si sustituimos estos valores en la matriz (1), encontramos que

S E C C IÓ N 12.4

Álgebra de matrices

893

Observa en las matrices (3) que la matriz de 2 por 2 a la derecha de la barra vertical es. de hecho, el inverso de A. Además, observa que la matriz identidad /2 es la matriz que aparece a la izquierda de la barra vertical. Estas observaciones y los procedimientos que seguimos para obtener las matrices en (3) funcionan en general.

Procedimiento para obtener el inverso de una matriz no singular* E n p a la b r a s S i A e s no sin g u lar, em pieza con la m a tr iz [A |/ J y , d e s p u é s de tr a n s fo r m a r la a su fo rm a e s c a lo n a d a re d u cid a , o b te n d r á s la m a tr iz [ / J A '].

EJEM PLO 13

Para obtener el inverso de una matriz A no singular de n por n, procedemos de la siguiente manera: Paso 1: Forma la matriz [A |/J. Paso 2: Transforma la matriz [A |/J a su forma escalonada reducida. Paso 3: La forma escalonada reducida de [A |/J contendrá la matriz identidad Ina la izquierda de la línea vertical, la matriz de n por n a la derecha de la línea vertical es el inverso de A.

Obtener el inverso de una matriz La matriz 1 0 4 3

1 -1 0

A =

es no singular. Determina su inverso. Primero forma la matriz 1 1 0 -1 3 4 4 3

MI/3]=

1 o

Solución

1 0 o" 0 1 0 0 0 1_

Después usa operaciones de fila para transformar [/4|/J a la forma escalonada reducida. 1 1 0 -1 3 4 0 4 3

”l 1 0 0 4 4 _0 4 3

1 0 o" 0 1 0 0 0 1_

1 0 o” 1 1 0 0 0 1_

n + r2 1 0 0

-1

1

1

0 0 -i Ki = - 1r2 + r, ^3 = -4r¿ + r3 1

Ü 0

0

1

0

0

0

1

3 4 1 4 -1

"l

1 0

0

1 1

_()

4 3

1r3 +

0

1_

= 4 r2 1 — 0 1 0 -1 4 —> 1 0 1 1 - 0 4 0 0 1 - 1 1_ Kjj — 1 ^3

7 3 , 1 — 7 -I 4 4 3 3 — “7 1 4 4 1 1 -1

/?, — r3 + r,

K2 = ~

0 0“ 1 A 0

1 1 A ÍT 0

rz

*Para matrices de 2 '2 existe una fórmula simple que se puede usar. Ver el problema 89.

3 4

1 -4

0

-1 4

71 4

0

1

1 -1 _

894

C A P ÍT U L O

12 SKlnmflidopcuflClonc'tytiinlaiJfllcJaí)«*» l a miltr¡z \ a \i ] cslíí ahora en forma escalonada reducida y la mairi/ idcniidad /, c u i en el lado izquierdo de la barra vertical. 1:1 inverso de A es

I

I

~l

Figura 8 Puedes (y debes) verificar que c*ste es el inverso correcto dem m irando que

I t i . 75 .7 5 [ - . 7 5 - .7 5 [1 1

-1J 1 J -1] ]

A A ' ■ A A * /,

^ V e rific a : Ingresa la matriz A en tu dispositivo gráfico. I-a figura K muestra A

...

Resuelve «hora n r » o » in « * 3 3

Si cuando transformamos la m atriz \A I ) a la forma escalonada reducida no ob te n e m o s como resultado la matriz identidad l r a la izquierda de la barra vertical. A es

singular y no tiene inverso.

E JE M P L O 14

Dem ostrar que una m atriz no tiene inverso f4

6 "I

Demuestra que la matriz A = 1

Solución

^ no tiene inverso.

Procederemos igual que en el ejem plo 13. a partir de la matriz

, -,.

T4

i ol J

o

,J

M I/,] -

4

6

1 0

_2

3

0

3

1

1

2

4

°

_2

3

0

1 •

1 -

ij

I P -

4

0

1J \+é

1

A hora usa operaciones de fila para transformar |/l / ) a la forma escalonada reducida

0

I 4 - i

o]

-

r,

L a matriz [zl|/,] está suficientemente reducida para que podamos ver que b matriz identidad no puede aparecer a la izquierda de la barra vertical. Podemos concluir que A es singular y. por lo tanto, no tiene inverso. .

Se puede demostrar que si el determinante Je una m atnz csO . entonces b matriz es singular. E l determinante de la matriz A del ejem plo 14 es

4

6

2

3

= 4*3 —6*2 = 0

k« |/ v e r if ic a : Ingresa la matriz A. I rata de obtener su inverso. , Q u e pasa?

Resuelve ahora n p r o b l e m a ó i

S E C C IÓ N 12.4

Algebra de matrices

895

5 Resolver un sistem a de ecuaciones lineales usando la m atriz inversa Las matrices inversas se pueden usar para resolver sistemas de ecuaciones en que el número de ecuaciones es igual al número de variables.

E J E M P L O 15

S o lu ció n

U so de la m a t r iz in v e rs a p a ra r e s o lv e r un s is te m a de e c u a c io n e s lin e a le s .v + y 3 Resuelve el sistema de ecuaciones: « -.v + 3_y + 4^ -3 2 4y + 3z Si hacemos A =

1 1 o~ -1 3 4 0 4 3_

X

X =

y _z _

B =

3" -3 2_

el sistema original de ecuaciones se puede escribir de forma compacta como la ecua ción matricial AX =B (4) Del ejemplo 13. la matriz A tiene el inverso A '. Multiplica cada lado de la ecuación (4) por A~'. AX=B

A \ A X ) =A 'B

M ultiplica am bos lados por A

( A - ' A) X=A ~ XB

Propiedad asociativa de la m ultiplicación

I}X = A ' B

Definición de una m a triz inversa

X = A 'B

Propiedad de la m a triz identidad

(5)

x Ahora usa (5) para determinar X

y ■ z

E jem p lo 13

La solución es x = 1, y = 2, z = -2 o, usando una tercia ordenada, (1,2,-2).

El método usado en el ejemplo 15 para resolver un sistema de ecuaciones es es pecialmente útil cuando se quieren resolver varios sistemas de ecuaciones en los que las constantes que aparecen del lado derecho del signo de igual cambian, mientras los coeficientes de las variables del lado izquierdo se mantienen iguales. Ve los proble mas 41-60 con algunas ilustraciones. Ten cuidado, este método solo se puede usar si existe el inverso. Si no existe, se debe usar la reducción de filas porque el sistema es inconsistente o dependiente. 'Resuelve ahora

el p r o b l e m a

45

896

C A P ÍT U L O 12


Comentario histórico as matrices fueron Inventadas en 185/ por Arthur Cayley (1821-1895) como _____ina forma eficiente para calcular el re sultado de sustituir un sistema lineal en otro (ve el problema histórico 3). El sistema resul tante tenia una riqueza increíble, en el sen tido de que se podía representar una gran variedad de sistemas matemáticos por las matrices, Cayley y su amigo James J. Sylvester

u

A r th u r

C u y ley

(1814 1897) pasaron gran parte del resto de sos vidas desarro liando la teoría. Después la antorcha pasó a manos d»- Georg f rofeníus (1849 1917), cuyas profundas investigaciones establecieron un lugar central para las matrices en las matemáticas modernas En 1924, para sorpresa de los físicos, se determinó que fas matri ces (con números complejos en ellas) eran precisamente la h-
(IK2I-IHV5)

P roblem as históricos 1. Matrices y números complejos Frobenlus enfatizó

en sus In vestigaciones la forma en la que las matrices se podían usar para representar otros sistemas matemáticos. Representaremos aquí el comportamiento de números complejos usando matrices. Los matemáticos le llaman isomorfismo a esta relación.

Número complejo *— * M atriz

u * ar + bs v » cr + ds

{

J* =- *u * fv \y ~ mu * nv

(a) Determina * y y en términos de r y j sustituyendo u y v del primer sistema de ecuaciones en el segundo sistema de ecuaciones. (b) Usa el resultado del inciso a para determinar la matriz A de 2 por 2 en

a b -b a

a + bi «—

2. Calcula (a +b/)(a - bi) usando matrices. Interpreta el resultado 3. Definición de Cayley de la multiplicación de matrices Cayley inventó la multiplicación de matrices para simplificar el siguiente problema:

Observa que el número complejo se puede leer en la línea su perior de la matriz, por lo tanto,

2 + 3i

2

3

-3

2

4 -2 2 4

[;]■ (;] 4 - 2/

(a) Determina las matrices correspondientes a 2 - 5/ y 1 + 3/'. (b) Multiplica las dos matrices. (c) Determina el número complejo correspondiente a la matriz que determinaste en el inciso (b). (d) Multiplica 2 —5i y 1 + 3i. El resultado debe ser el mismo que el que determinaste en el inciso (c). El proceso también funciona para la suma y la resta. Intenta tú mismo.

(c) Ahora observa la siguiente manera de hacerlo Escribe las ecuaciones en forma de matriz.

[:]■[:*] [;H: IB fc]-Cit ®

Entonces

¿Puedes ver cómo definió Cayley la multiplicación?

12.4 Evalúa tu entendim iento Conceptos y vocabulario 1. Una matriz que tiene el mismo número de filas que de co lumnas es una matriz________ 2. Verdadero o falso La suma de matrices es conmutativa. 3. Para determinar el producto AH de dos matrices A y B, el nùmero de en la matriz A debe ser igual al nùmero de__ . en la matriz B. 4. Verdadero o falso La multiplicación de matrices es con mutativa.

5. Considera que A cs una mairi/ cuadrada de n por n que es no singular. La mairi/ B tal que AB = BA - /, se Marna mairi/________ de la mairi/ A. 6. Si una mairi/ A no tiene inverso, se Marna________ 7. Verdadero o falso La matriz identidad tiene propieda des similares a las del numero real 1. 8. Si AX = B representa una ecuación matncial donde A es una matriz no singular, entonces podemos resolver la ecua ción usando X = ________

Ejercicios En los problemas 9-24, usa las siguientes matrices para evaluar la expresión dada. A =

\ 9. /I + B \l3 .

3/1 - 2 B

"o 3 -5~ _1 2 6_

10. /I - B

14.

2/1 + 4 B

B =

4 1 o" -2 3 -2 11. 4^1 \ 15. AC

4

C=

6 _2

r *■ >

3_ 12. -3 » ló. BC

897

SECCIÓN 12.4 Algebra de motrices *7 CA 21. AC

18. CH 22. CA

3 /;

-

f 5 /j

19. ( ’(/t + It)

20. (A + H)C

23. CA - CH

24. AC + HC

l-P los problemas 23-30. determina el producto. 2 3

¿V I -l 28,

-3 0

t -I

2 S 3 b

2 5

4 b 3 2

2b.

4 I 2 I

-b b I 2 5 4

0 -1

1 0 1

-I 0

29.

2 4 3 b

1 I

1 2 -1 0

2 3 -1 4

27.

_2

4 0 -1

30.

2 4 2

b 1 -1 2 0

3 1 2 0 1

I '1los problemas 31 -40, cotia matriz es no singular. Determina el inverso de cada matriz 31.

2 l 1 1

3b.

b 3 b 2

32.

b* 0

37.

3

-1

-2

1

1 -1 0 2 -3

b 5

\J3 .

f 1 0_

1 0 2” 2 3 -1 1 -1 0_

38.

-4 b

34.

7

35.

"l 1 f 3 2 -1 3 1 2_

39.

40.

2 1 a a

a¿ 0

"3 3 r 1 2 i _2 -1 i_

¿./i los problemas 41-60, usa el inverso que determinaste en los problemas 31—40 para resolver cada sistema de ecuaciones. 3a - y = 8 42. | 1[-2.v + y = 4

Í6.v + 5.v = 7 \2.v + 2y = 2

46. |

x 53.

y+ z= 0 —2y + z = -1

50.

f -4.v + y = 0 [ 6a - 2y = 14

H

b.x + 3v = 2b + 3 b*0 bx + 2y = 2b + 2

54.

- 2 a - 3v = - 5

1

.v + y +

57.

z = 9

3a + 2y - z = 8 3a + v + 2c = 1

59.

52.

í - 4a + y = 5 [ 6a - 2y = -9

bx + 3y = 14 b it o bx + 2y = 10

=2

.v + 2z =

z = 2

56.

2

-.v + 2y + 3z = -V -

a

' 3.v + 3y + z = 8 58. .v + 2y + z = 5 2v - y + z - 4

z

1í 3a _ y = 4 l - 2a + y = 5

48. |

2a + v = a a* 0 ax + ay = 5

51. '

Ía - y + 1 -2 y + 55. \

A + 2z = 6 2y + 3z = -5 A- y = 6

44.

f 6v + 5y = 13 [2a + 2y = 5

r----

í 2.r 2x + y = —3 49. { a* 0 [«.v + ay = - a

\ 2a- + y = 0 43. \ 1[ -v + y = 5

ro1 J-c 1

í 2.r + v = 8 ( .t + y = 5

V =

2

+ y+ z= 2

3.v + 2y

3a +

v+

7 3

z= 2z =

60.

10

3.v + 3y + z = 1 x + 2y + z = 0 2a - y + z = 4

3

En los problemas 61-66, demuestra que cada matriz no tiene inverso.

-1_

1 U>

1

1 4-

1

1 U) O

4^

-4

1

--- 1

5_

2

r-

2

1

1

66. ___ 1

65.

ir,

O

1

64.

15 3 10 2

63.

___ 1

6

r 2

1

-3

62.

___ 1

2 1_

1

4 c61. _2

£„ ¡os problemas 67-70, usa un dispositivo gráfico para determinar el inverso, si existe, de cada matriz. Redondea tus respuestas a dos lugares decimales. 67.

25 18 8

61 -2 35

-12 4 21

"18 6 68. .1 0

-3 -20 25

4” 14 -1 5 .

69.

44 -2 21 -8

21 10 12 -16

18 15 -12 4

6 5 4 9

70.

16 21 2 5

22 -17 8 15

-3 4 27 -3

5 8 20 -10

898

C A P ÍT U L O 12


_ los , problemas ,, ,ih n n ,¡n uo trá fic o para reso lver lo s siguientes sistem a s d é ecu a cío rm . ReEn 71-74, usa la idea del ejemplo 15_____ con un dispositivo grují / dondea las respuestas a dos lugares decimales. í 25* + 61 y : - 25 '25* + 61y - 12z = 21 12z = 15 25* + 61y - 12z = 10 74. < 18* 12y + Iz = -3 73. < 18* - 12y + 7z = 7 71. 18* - 12y + 7 y = -9 72. [ 3* + 4 y -4 z = -2 3* + 4 y Z = 12 3* + 4y z = 12 Práctica m ix t a ---------------------- --------------------En los problemas 75-82, resuelve cada sistema de ecuaciones algebraicamente usando cualquier método que prefieras. ¡2x + 3y = 11 75. [5* + ly = 24 ' 5* - y + 4z = 2 79. - * + 5y - 4z = 3 k 7* + 13y - 4z = 17

?

/ 12* + 8y = —8 * + 7y = —13

' * - 2y + 4z = 2 77 , -3* + 5y - 2z = 17 i 4* - 3y = -22

78. < 1

80.

' 3* + 2y - z = 2 < 2* + y + 6z = -7 t2* + 2y - 14z = 17

' 2* - 3y + z = 4 81. < -3* + 2y - z = -3 -5y + z = 6

82. j |

Aplicaciones y extensiones 83. Colegiatura de la universidad Nikki y Joc toman clases en una universidad comunitaria, LCCC y en una universi dad local, SIUE. El número de créditos horas que toman y el costo por crédito hora (año académico 2009-2010, úni camente colegiatura) es de la siguiente manera: Costo por crédito hora

LCCC

SIUE

Nikki

6

9

LCCC

$80.00

Joe

3

12

SIUE

$277.80

(a) Escribe una matriz A para los créditos que toma cada estudiante y una matriz B para el costo por crédito hora. (b) Calcula AB e interpreta los resultados. F u en tes: w w w .lc .e d u ,w w w .siu e .e d u

84. Préstamos a estudiantes Jamal y Stephanie tienen crédi tos para estudiantes emitidos por los mismos dos bancos. Las cantidades de los préstamos y las tasas de interés men suales se dan a continuación (el interés se compone mensualmente): Prestamista Prestamista 1 2 Jamal

Tasa de interés mensual

$4000

$3000

Prestamista 1

0.011 (1.1%)

Stephanie $2500

$3800

Prestamista 2

0.006 (0.6%)

(a) Escribe una matriz A para las cantidades de los prés tamos de cada estudiante y una matriz B para las tasas de interés mensual. (b) Calcula AB e interpreta los resultados. (c) Sea C =

. Calcula A(C + B) e interpreta los

resultados. Cálculo del costo de producción La compañía Acmé Ste el produce contenedores de acero inoxidable y de alumi nio. Cierto día se fabricaron los siguientes contenedores de acero inoxidable: 500 con capacidad de 10 galones (gal), 350 con capacidad de 5 gal y 400 con capacidad de 1 gal. El mismo día se fabricaron los siguientes contenedores de aluminio: 700 con capacidad de 10 gal, 500 con capacidad de 5 gal y 850 con capacidad de 1 gal.

(a) Determina una matriz de 2 por 3 que represente estos datos. Determina una matriz de 3 por 2 que represente los mismos datos. (b) Si la cantidad de material que se usó en los contene dores de 10 gal es de 15 libras (Ib), la cantidad que se usó en los contenedores de 5 gal es de 8 Ib v la canti dad que se usó en los contenedores de 1 gal es de 3 Ib, determina una matriz de 3 por 1 que represente la cantidad de material que se usó. (c) Multiplica la matriz de 2 por 3 que determinaste en el inci so (a) y la matriz de 3 por 1del inciso (b) para obtener una matriz de 2 por 1 que muestre el uso de material del día. (d) Si el acero inoxidable le cuesta a Acmé $0.10 Ib y el aluminio le cuesta $0.05 Ib. determina una matriz de 1 por 2 que represente el costo. (e) Multiplica las matrices que obtuviste en los incisos (c) y (d) para determinar el costo total de producción del día. 86. Cálculo de las ganancias Rizza Ford tiene dos locales, uno en la ciudad y otro en las afueras. En enero, el local de la ciudad vendió 400 autos subcompactos. 250 autos de tamaño intermedio y 50 autos de todo terreno: en febrero, vendió 350 subcompactos. 100 de tamaño intermedio y 30 de todo terreno. En el local de las afueras vendió, en ene ro, 450 subcompactos. 200 de tamaño intermedio y 140 de todo terreno. En febrero vendió 350 subcompactos. 300 de tamaño intermedio y 100 de todo terreno. (a) Determina matrices de 2 por 3 que resuman los datos de las ventas para cada local en enero y febrero (una matriz para cada mes). (b) Usa la matriz suma para obtener las ventas totales del periodo de dos meses. (c) Las ganancias de cada tipo de auto son $100 por un subcompacto, $150 por un auto de tamaño intermedio y $200 por un auto de todo terreno. Determina una matriz de 3 por 1 que represente estas ganancias. (d) Multiplica las matrices que obtuviste en los incisos (b) y (c) para obtener una matriz de 2 por 1 que muestre las ganancias en cada local. 87. Criptografía Lln método de codificación consiste en usar una matriz para codificar el mensaje y después usar la ma triz inversa correspondiente para decodificar el mensaje.

S E C C IÓ N l¡L 5

l .i nutrir codificada / , sc obtiene multiplicando la main/ sk i mensaje. M. por una mairi/ llave. K. I I mensaje original se- puceie recuperar multiplicando la matriz codificada por el inverso de la malti/ llave. I sto es. f. «A I • K \ M * /•, • K » (a) Encuentra el inverso K 1 de la matriz dada I I i K - i l u (Nota: Esta mairi/ llave se conoce .1 l i como la matriz de codificación de Fibonacci (??.| (b) l s.i el resultado del inciso (a) para decodificar la ma 47 34 33 triz enenptada / 44 36 27 47 41 20 (c) Cada entrada en tu resultado del inciso (b) representa la posición sle una letra slcl alfabeto inglés (/l = 1. B = 2. C •=3. etc.). ¿Cual es el mensaje original? lu m ir: xoldennuisrum ! SS.

O

Descomposición en fracciones pardales

899

jreso de U>s padres 1. M II 0.4 0.2 0.1 ' L P - 0.5 0.6 0.5 M Ingreso del niño 0.1 0.2 0.4 II se llama matriz estadística izquierda de transición. Por ejemplo, la entrada = 0.5 significa que 50% de los ni ños de padres con ingreso relativo bajo pasarán al nivel de ingreso medio. La entrada diagonal Pu representa el por centaje de niños que permanecerán en el mismo nivel de ingreso que sus padres. Si consideramos que la matriz de transición es válida de una generación a la siguiente, calcula c interpreta /x\ l unar. UnderstarulinK Mahilily m America, April 2006 85». Considera la matriz cuadrada de 2 por 2 A =

11 >ni

El ingreso relativo de un niño (bajo, medio o alto) generalmente depende del ingreso re lativo de los padres del niño. La matriz P, dada por M ovilidad eco n ó m ica

Si D = ad -be * 0, demuestra que A es no singular y que ^

-

d -c

-h a

Explicación de conceptos: discusión y escritura 90. Crea una situación diferente de cualquiera que se encuen tre en el texto que se pueda representar por una matriz. 91. Explica por qué el número de columnas en una matriz A debe ser igual al número de filas en un matriz B cuando quieres determinar el producto AB.

92. Si a, b y c■* 0 son números reales con ac = be. entonces a = b. Esta misma propiedad, ¿aplica para matrices? En otras palabras, si A, B, y C son matrices y AC = BC, ¿se cumple que A = B? 93. ¿Cuál es la solución del sistema de ecuaciones AX = O, si existe /I ‘? Comenta la solución de AX= O si A 1no existe.

12.5 Descomposición en fracciones parciales P r e p a r a c ió n p a r a esta sec c ió n Antes de empezar, repasa lo siguiente: Identidad (sección 1.1, p. 82) Funciones racionales propias e impropias (sección 5.2, p. 347)

\

Resuelve ahora los problemas de la sección

• Factorización de polinomios (capítulo R, Repaso, sección R.5, pp. 49-55) • Ceros complejos: teorema fundamental del álgebra (sección 5.6, p. 388)

"¿Estás listo?" de la página 206.

p

OBJETIVOS 1 Descomponer —, donde Q únicamente tiene factores lineales no repetidos (p. 900)

p

2 Descomponer — donde Q tiene factores lineales repetidos (p. 902)

p

3 Descomponer —, donde Q tiene un factor cuadrático irreducible no repetido (p.904)

p

4 Descomponer —, donde Q tiene un factor cuadrático irreducible repetido (p. 905)

Considera el problema de sumar dos expresiones racionales: 3 2 x + 4 ^ x - 3 El resultado es 3( jc - 3) + 2( jc + 4) 3 + 2 - 3 (x + 4)(* - 3) x +4

5.v - 1 x 2 + x - 12

900

t 'A I 'ÍT I J I.O 12

Sistemas do ecuación« y desigualdad«

CI procedimiento inverso, empezar con una expresión racional

5* - I x*

+ x - 12 '

3

£

escribirla como la suma (o resta) de dos fracciones más sencillas x + 4 Y x - 3 '* * llama descomposición en fracciones parciales, y las dos fracciones m.is sencillas se lla man fracciones parciales, 1.a descomposición de una expresión racional en una suma de fracciones parciales es importante para resolver algunos tipos de problemas de tilculo. Esta sección presentará una manera sistemática de descomponer expresiones racionales, Empezaremos recordando que una expresión racional es la ra/ón de dos po linomios. digamos, / ’ y Q * 0. Suponemos que P y Q no tienen factores comunes Recuerda también que una expresión racional 1 se llama propia sí el grado del poli nomio en el numerador es menor que el grado del polinomio en el denominador. De otra manera, la expresión racional se llama impropia. Como toda expresión racional impropia se puede reducir por la división larga a una forma mixta que consiste en la suma de un polinomio y una expresión raciona! propia, restringiremos el siguiente análisis a expresiones racionales propias. .

La descomposición en fracciones parciales de la expresión racional

/'

depende

de los factores del denominador Q. Recuerda de la sección 5.6 que cualquier poli nomio cuyos coeficientes son números reales se puede factorizar (en los númenn reales) en productos de factores lineales y/o factores cuadrálicos irreducibles. Esto /’

significa que el denominador (J de la expresión racional ~ contendrá únicamente factores de uno o de dos de los siguientes tipos: ^ 1. Factores lineales de la forma .v - a. donde a es un número real. 2. Factores cuadrálicos irreducibles de la forma ax + bx + c. donde a. b y r son nú meros reales, a * 0 y Ir - 4
1 D e sc o m p o n e r —, d o n d e Q tie n e ú n ic a m e n te fa c to re s lin e a le s no re p e tid o s Q

Caso 1: Q tiene únicam ente factores lin eales no rep etid os

Con la consideración de que Q tiene únicamente factores lineales no repetidos, el polinomio Q tiene la forma (?(.V) = (.v - íi, )(.v - a.) • • (.v - d ' ) donde ninguno de los números a r a ....... a son iguales. En este caso, la descom.

n

posición en fracciones parciales de — tiene la forma ______________________ P{*) _ d| 0 W ~ 7 ^ ¡ +

Q _________ /b

/ | fl "+

donde los números M(. /t ,...... se deben determinar.

(1)

S E C C IÓ N 12.5

Descomposición en fracciones parciales

901

Mostraremos cómo determinar estos números en el siguiente ejemplo.

| EJEM P LO 1

Solución

Factores lineales no repetidos Escribe la descomposición en fracciones parciales d e ------- -------x2 - 5.v + 6' Primero factoriza el denominador. x2- 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) y llega a la conclusión de que el denominador contiene únicamente factores lineales no repetidos. Después descompon la expresión racional de acuerdo con la ecuación (1): x _ A B x2 - 5x + 6 ~ x - 2 + x - 3

(2)

donde A y B se deben de determinar. Para encontrar A y 5, elimina las fracciones multiplicando cada lado por (.v - 2)(x - 3) = .v2- 5x + 6. El resultado es x = A (x -3 ) + 5 ( x - 2 )

(3)

o x = (A + B)x + (-3/4 - 25) Esta ecuación es una identidad en x. Iguala los coeficientes de potencias iguales a x para obtener 1

=

A

0

=

— 3 /4

B

+

— 25

Ig u a la los c o e fic ie n te s

de x: 1x

Ig u a la la s c o n s ta n te s : O

= ( A + &)x.

— —3 A —2 3 .

Este sistema de dos ecuaciones con dos variables, A y 5, se puede resolver usando cualquier método que prefieras. Al resolverlo obtenemos A ——2

5 =3

De la ecuación (2), la descomposición en fracciones parciales es x _ -2 x2 — 5x + 6 x —2

3 x —3

^/Verifica: La descomposición se puede verificar sumando las expresiones racionales.

-2

3

x - 2 + x —3 _

—2(x ~ 3) + 3(x - 2) _

x

( x - 2)(x - 3)

(x - 2)(x - 3)

x x2 - 5x + 6

A veces los números que se deben determinar en la descomposición en fraccio nes parciales se pueden determinar más directamente usando elecciones apropiadas para x (que puede incluir números complejos) en la identidad que se obtiene una vez que se han eliminado las fracciones. En el ejemplo 1, la identidad después de elimi nar las fracciones es la ecuación (3): x = A(x - 3) + 5(x - 2) Si hacemos x = 2 en esta expresión, el término que contiene a 5 se elimina, que dando 2 = /4 (-l) o A = - 2 . De manera similar, si hacemosx = 3, el término que con tiene a A se elimina, quedando 3 = 5. Como anteriormente, A = -2 y 6 = 3. -Resuelve ahora el problema 13

902

C A P ÍT U L O 12


2 Descomponer

/

donde Q tiene factores lineales repetidos

Caso 2: Q tiene factores lineales repetidos

Si el polinomio Q tiene un factor lineal repetido, digamos (x - a)n, n > 2 un entero, entonces la descomposición en fracciones parciales de q , contiene los términos A\ x - a

M + ... + ^ n (x - a)2 (x - a)n

donde los números A v A v ■■■, A n se deben de determinar.

E JE M P L O 2

Factores lineales repetidos x +2 Escribe la descomposición en fracciones parciales de — —— ----- .

Solución

Primero factoriza el denominador. x i - 2 x 2+ x = x(x2- 2x + 1) = x(x - l) 2 y encuentra que el denominador tiene el factor lineal no repetido x y el factor lineal A repetido (x - l) 2. Por el caso 1, la descomposición contiene el término — y por el caso B C * 2 la descomposición contiene los térm inos-------- b ----------- . x - l

(x-1)2

Escribimos x +2 x

> - 2

x

_ A

2 +

x

~

x

B +

x

C

- \

+

{

x

-

l)2

(4)

De nuevo eliminamos las fracciones multiplicando cada lado por x2- 2 x 2+ x = x ( x - 1)2. El resultado es la identidad

(5)

x + 2 —A { x - \ ) 2 B x { x - \ ) +C x

Si hacemos x = 0 en esta expresión, los términos que contienen a B y a C se eliminan, quedando 2 = A( —l)2, o A = 2. De manera similar, si hacemos x — 1, los términos que contienen a A y B se eliminan, quedando 3 = C. Entonces la ecuación (5) se convierte en x + 2 = 2(x - l) 2+ Bx(x - 1) + 3x Ahora hacemos x = 2 (cualquier elección diferente de 0 o 1 también funcionará). El resultado es 4 = 2(1)2+ 5(2)(1) + 3(2) 4 = 2 + 25 + 6 2B = -4 B =

-2

Tenemos que A = 2, B - -2 y C = 3. De la ecuación (4), la descomposición en fracciones parciales es x +2

2 |

-2 x3 -

3 2 x 2 + xx

.v - 1 + (* - l ) 2

•J

S E C C IÓ N 12.5

Descomposición en fracciones pardales

903

F a c t o r e s lin e a le s re p e tid o s V"* — 8 Escribo la descomposición en fracciones parciales de — ----------r. x \ x - 1)3 El denominador contiene los factores lineales repetidos x 2 y (x - 1)'. La descomposi ción en fracciones parciales toma la forma A

.y3 - 8

B

C

D

E

——--------- - _ — + — + ------ - + ---------- - + ---------- .r ( .v - l) 3 .v .v2 x - \ (.y - 1 ) 2 (x - l)3

(6)

Como anteriormente, elimina las fracciones y obten la identidad r '- 8 =

A x(x - 1y + fí{x - i y + C.y2(.y - 1)2+ Dx2(x - 1) + Ex2

(7)

Haz x = 0. (¿Puedes ver por qué elegimos esta opción?) Entonces -8 = fl( -l) B = 8 H az.v= 1 en la ecuación (7). Entonces -1 = E Usa B = 8 y E = -7 en la ecuación (7) y reúne los términos semejantes. .v3 - 8 = Ax { x - l ) 3 + 8(.v - l ) 3 + C x \ x - l ) 2 + D x \ x - 1) - l x 2 - 8 - 8(.r3 - 3.r2 +

3 .t

- 1) + 7.v2 = Av(.v - l ) 3 + Cx2(x - l ) 2 + D x \ x - 1)

-7 .r3 + 31x2 - 24.v = jc( x - l)[>f(.v - l ) 2 + Cx(x - 1) + Dx] .v(.r - l)(-7 .v + 24) = jt(.y - 1)[^4(.y - l ) 2 + Cjr(.r - 1) + Dx] - l x + 24 = A( x - l ) 2 + Cx{x - 1) + Dx (8) Ahora trabaja con la ecuación (8). Haz .t = 0. Entonces 24 = A Haz .y = 1 en la ecuación (8). Entonces 11 = D Usa A = 24 y D = 17 en la ecuación (8). - l x + 24 = 24(.y - l) 2+ Cx(x - 1) + 17jy Haz .y = 2 y simplifica. -14 + 24 = 24 + C(2) + 34 -48 = 2C -24 = C Ahora conocemos todos los números A , B , C , D y £, por lo tanto, de la ecuación (6), tenemos la descomposición _ 24 i 8 jy2( jy -

l)3

X

X1

|

~ 24 | 17 | ~7 X- 1 (x - l ) 2 (x - l ) 3

~ ■—■ — j r a b a j a a h o r a e n e l e j e m p lo 3 r e s o lv ie n d o e l s is te m a d e c in c o e c u a c io n e s c o n c in c o v a r ia b le s a l q u e n o s lle v a la e x p a n s ió n d e la e c u a c ió n (7 ). R e s u e lv e a h o r a

el

problema

19

904

C A I’ fl'U I.O 12

SlJtemaj de ecuación« y derlrjualdadei

l.us tíos último« casos involucran factores c u a d r á tic a irreducible* l 'n (.«.i,* cuadril tico es irreducible si no se puede factor izar en (actores lineales con cod icien tes reales. Una expresión cuadrática a.r 7 4 />* 4- r es irreducible cuando b : - 4«# - r, Por ejemplo, .r7 4 .t 4 I y r7 4 4 son irreducibles.

p

3 Descomponer —, donde Q tiene un factor cuadrático Q

irreducible no repetido

Caso 3: Q contiene un factor cuadrático irredu cible no repetido. Si Q contiene un factor cuadrático irreducible no repetido de la forma í /.í 7+

bx 4 c, entonces, la descomposición en fracciones parciales de

, contiene

el término________________________________________________________________________ ^ ____________

Ax 4 H ax2 + bx + c donde los números

EJEM P LO 4

A y H se deben de determ inar.

F a c to r c u a d rá tic o irre d u c ib le no re p e tid o Escribe la descomposición en fracciones parciales de

So lución

*

x - I

Factoriza el denominador. t ’ - I = ( r - 1)(.r 4 x + 1) y encuentra que tienen un factor lineal no repetido x - 1 y un (actor cuadrático irre ducible no repetido x :

4,v4 1. Por el caso 1. aparecerá el té rm in o ------- y por el caso D

3, aparecerá el término

j. . f •

X

~

1

---------- Escribim os X2

4 .V 4

|

3.v - 5

A

Bx + £

.v3 - 1

x - 1

.r 4 x 4 1

(9»

Elimina las fracciones multiplicando cada lado de la ecuación (9) por -v’- 1 = ( v —1)(.v- 4 x 4 1) para obtener la identidad 3.v - 5 = , l ( . r 4 v 4 | ) + ( B x 4 C)(.v - 1) D esarrolla la identidad en (10) para obtener 3.v - 5

= (A

4

B)xr

4

(A - B

4 Q .v +

Esta identidad nos lleva al sistema de ecuaciones -4 + fí

= 0

' A - B + C =

(i) 3

,j

- C = -5

í

{A - C)

110»

S E C C IÓ N 12.5

Descomposición en fracciones parciales

905

2 2 13 La solución de este sistema es A = - —, B = —, C = — . Entonces, de la ecuación (9) vemos que 3 3 3 3.v - 5

_2 3_

x3 - 1

x - 1

2 D 3 'V + 3 x2 + x + 1

i*inni "■" T ra b a ja ahora en el ejem plo 4 usando la ecuación (10) y dando valores a x.

Resuelve ahora

■

el

21

p r o b l e m a

P

4 Descom poner —, donde Q tiene un factor cuadrático irreducible repetido Caso 4: Q contiene un factor cuadrático irreducible repetido

Si el polinomio Q contiene un factor cuadrático irreducible repetido (ax2 + bx + c)n, n > 2, n un entero, entonces la descomposición en fracciones parciales de —, contiene el término A \x + B x

A 2x + B2

ax2 + bx + c

(ax2 + bx + c f

donde los números A r B v A v Bv

EJEM PLO 5

^

A nx + Bn (ax2 + bx + c)n

A ¡f Bn se deben determinar.

F a c t o r c u a d rá tic o irre d u c ib le re p e tid o Escribe la descomposición en fracciones parciales de

x3 + x2 (x2 + 4)2

S o lu ció n

El denominador contiene el factor cuadrático irreducible (x2+ 4)2, entonces escribimos x3 + x2 (x2 + 4)

Ax + B Cx + D + ----------- .2 + 4 (x2 + 4 y xr

Elimina las fracciones para obtener x3+ x2= (A x + B){x2+ 4) + Cx + D Si agrupamos los términos semejantes obtenemos la identidad x3+ x2= A x 3+ Bx2+ (4v4 + C)x + 4B + D Igualando coeficientes, llegamos al sistema A B 4A + C , 4B + D

= = = =

1 1 0 0

La solución es A = 1, B = 1, C = -4, D = -4. De la ecuación (11), x3 + x2 (x2 + 4) Resuelve ahora

el

x + 1 -4x + x2 + 4 (x2 + 4 y

problema

35

(11)

906

C A P ÍT U L O 12

1 2 .5

E v a lú a

Sistemas do ecuaciones y desigualdades

f tu

e n t e n d im ie n t o

"¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercidos. Si obtienes una respuesta im orrena, lee tas página» marcadas entre parénteis. 1. Verdadero ofalso La ecuación (x - I )J- 1**x(x - 2) es un ejemplo de una identidad, (p. «2) 5x2 - I es 2. Verdadero o falso La expresión racional V + i propia, (p. 247) Ejercicios

3. Factori/fi com p lcta m cn ic: 3x* + 6 x ’ + lx* (pp. 4 K 4.

Verdadero o fatso T o d o p o lin o m io con num eros teaks co m o co cficicn lc* sc p uede ia c to n /a r cn product«* cJc taclores lin ca lcs y /o fa ilu re s cu a d riltco * irreducible* ip » ;

_________________ ______________________________________________________________________

En los problemas 5-12, indica si la expresión racional dada es propia o impropia. Si es impropia, reescríbela tomo la s u m a de u n [*,. linomio y una expresión racional propia. 5.

6. 5x3 + 2x - 1 x2 - 4

9.

10.

5x + 2 x3 - I

7.

x2 + 5 x1 - 4 x(x - \ )

3x4 + x2 - 2

n * ¡X + 4 ) ( x - 3 )

Xs + 8

8.

¿x2 - 2

i2 - I

2XÍX2 + 4) _ II _

En los problemas 13-46, escribe la descomposición en fracciones parciales de cada expresión racional. \

13.

17.

25.

29.

33.

14.

3x (x + 2)(x - I)

15.

( x - l ) ( x - 2)

18.

3x (x + 2)(.r - 4)

\ 19.

x’ - 8

2x + 4 22. —j----x1 - 1

x(x - 1)

x- 3 (x + 2)(x + l)2

26.

x2 + 2x + 3 (x + 1) (x2 + 2x + 4)

30.

x- + 2x - 3

37. - , ■1 X * 3------

x3 - 2x2 - 3x

41.

45.

(x2 + 16)3

34.

38.

42.

23.

27.

x2 —11x — 18 xjx2 + 3x + 3)

31.

(x - l)2(x + l)2 x + 4 -------x * (.r + 4)

( .r + 4)*

39. X4

2x + 3 x4 - 9x2

43.

46.

x* .r - 4.r + 5x - 2

2x* - 5x - 3

x* + 9 x4 - I r - 8

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. Verdadero

2. Verdadero

3 . 3x*’(x + 1)'

l ) 2( x + I)

v> 3 5 .---x* + 2x + 3 ;------ r -

x3 + 1

16.

20.

(3 x - 2 )(2 x + 1)

x- - x - 8 (x + l)(x- + 5x + 6)

(x2 + 4)3

x (x 2 + |)

(X-

x* + x (x + 2)(x - l)2

Xs -

I

4. Verdadero

24.

2X.

32.

(* ♦ l ^ r 2 ♦ 4

X

¡

♦ I

---- — r ( x - 2)

x*(x - 2)2

lOr* (x - l)-(x- * 2)

1 (2 x * 3 )(4 x -

1)

x3 * 1

36.

(x2 + I6 ):

40. — r

44.

r2+ 1 + xr - 5 x + 3

4x 2x* + 3x - 2

S E C C IÓ N 12.6

Sistema de ecuaciones no lineales

907

12.6 Sistema de ecuaciones no lineales P

r e p a r a c ió n p a r a e s t a

SECCIÓN Antes de empezar, repasa lo siguiente:

Rectas (sección 2.3, pp. 167-177)

• Elipses (sección 11.3, pp. 787-793)

Círculos (sección 2.4, pp. 182-185)

• Hipérbolas (sección 11.4, pp. 797-805)

Parábolas (sección 11.2, pp. 778-782) Resuelve ahora los

p ro b lem a s d e la se c c ió n


la p ágin a 912.

OBJETIVOS 1 Resolver un sistema de ecuaciones no lineales por sustitución (p. 907) 2 Resolver un sistema de ecuaciones no lineales por eliminación (p. 908)

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales por sustitución En la sección 12.1 observamos que la solución de un sistema de ecuaciones lineales se puede obtener de manera geométrica si determinamos los puntos de intersección (si existen) de las ecuaciones en el sistema. De manera similar, cuando resolvemos sistemas de ecuaciones no lineales, las soluciones también representan los puntos de intersección (si existen) de las gráficas de las ecuaciones. No existe un método general para resolver un sistema de ecuaciones no linea les. A veces es mejor usar sustitución, otras veces, la eliminación es mejor y a veces ninguno de estos métodos funciona. Tus mejores aliados son la experiencia y cierto grado de imaginación. Antes de empezar, haremos dos comentarios.

l

1. Si el sistema contiene dos variables y si las ecuaciones del sistema son fáciles de representar gráficamente, entonces trázalas. Al obtener la gráfica de cada ecua ción en el sistema puedes darte una idea de cuántas soluciones tiene el sistema y aproximadamente dónde se localizan. 2. Cuando resuelves sistemas de ecuaciones no lineales puedes obtener soluciones que no correspondan, por lo tanto, es importante que verifiques todas las solu ciones aparentes. EJEM PLO 1

R e so lv e r un siste m a de ecuaciones no lineales usando su stitu ción Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: Í3x - y = - 2 \ 2 jc2 - y = 0

S o lu ció n

Figura 9

w

X fN II

y\ 2x2-y = 0. 10 -

- i (2,8)

l i l i( -l Í5 í *) V. / l i l i l í ^ 6 x -6 / -2 -

(2)

Primero observa que el sistema contiene dos variables y que sabemos cómo hacer la gráfica de cada ecuación. La ecuación (1) es la recta y = 3x + 2 y la ecuación (2) es la parábola y = 2x2. Observa la figura 9. El sistema aparentemente tiene dos soluciones. Para resolver el sistema por sustitución, escogemos resolver la ecuación (1) para y. 3X — y — ~ 2

i/ 3x-y = -2 y (y = 3x + 2)

(1)

Ecuación (1)

y = 3* + 2 Sustituye esta expresión en lugar de y en la ecuación (2). El resultado es una ecua ción que contiene únicamente la variable x, la cual, podemos resolver. 2x2- y = 0 Ecuacián (2 ) 2x2- (3x + 2) = 0 S u s titu y e 3x + 2 en y. 2x2- 3x - 2 = 0 Elimina los paréntesis. (2x + l) ( x - 2 ) = 0 Factoriza. 2x + l = 0 o x - 2 = 0 Aplica la propiedad de p ro d u cto cero. 1 x=2 o X x == - -

908

C A P ÍT U L O 12

Sistema« de ecuadonei y desigualdad«

Si usíiiJios estos valores para x en y -■3t + 2. obtenemos y * 3Í

*) 4 2 * ¿

°

I I Las soluciones aparentes son x « -;_ , y * ^

^V erifica: x =

) 2 '"

y m^ 2) + 2 “ s y t

-

y^

w

2’

l'(

0)

- i - ‘

(2) Para .r = 2. v = 8. 3(2) - 8 = 6 - 8 = -2 2(2)2 - 8 = 2(4) - 8 = 0

I

(1) (2)

Cada solución satisface la ecuación. Ahora sabemos que las gráficas de la figura 9 se interscctan en los puntos

^

y (2.8).

^/verifica: Traza las gráficas de 3.v - y = - 2 (Y, = 3.r 4 2) y l r : - y = 0 í Y. = I r ) y compara lo que ves con la figura 9. Usa INTERSECT (dos veces) para determinar los dos puntos de intersección. Re8UelV8 ahora

EL

p r o b l e m a

15

por

SUSTITUCION

2 Resolver un sistem a de ecuaciones no lineales por elim inación EJEMPLO 2

R e su e lv e un s is te m a de e c u a c io n e s no lin e a le s p o r e lim in a ció n Resuelve:

So lu ció n

xr + y* = 13 .v2 - y = 7

O (2)

La ecuación (1) es un círculo y la ecuación (2) es la parábola y = jr - 7. Trazamos la gráfica de cada ecuación como se ve en la figura 10. Con base en la gráfica, podemos esperar obtener cuatro soluciones. Si restamos la ecuación (2) de la ecuación (1). se puede eliminar la variable x. í . r + y 2 = 13

1-v2 - y = 7 ------------------- Resta. y* + y = 6 Esta ecuación cuadrática en y se puede resolver factorizando. y24- y - 6 = 0

(y + 3 )( y -2 ) = 0 v = -3 o y = 2 Usa estos valores de y en la ecuación (2) para determinar.v. Si v = 2. entonces x1 = y 4 7 = 9, petr lo tanto. ,v = 3 o -3. Si y = -3, entonces .v: = y + 7 = 4, por lo tanto, .v = 2 o -2.

S U C C IO N 12.6

Sistema de pciMClonex no line,ile*

909

renano* cuatro soluciones; x « 3 . v » 2 ; x ■ • 3 , v !; » ■ 2. v = - 3 v x » v * J. IX'bcs vcriliciir que. electivamente, estas cuatro soluciones satisfagan también la ecuación ( I), para que todas sean soluciones del sistema. Los cuatro puntos ( 3 . 2 ). ( 3.2). (2. 3) y ( 2. 3), son puntos de intersección en las gráficas. Observa de nuevo la figura 1 0 .

r* »/verifica: I ra/a las gráficas de r + y 3 * 13 y .r - y = 7 . ( Recuerda que para tra/ar la gráfica de f y2 * 13 se requieren dos funciones: Y\ ~ V l3 - x2 y Y ¡ ■ - V 13 - .r.) Usa INTERSECT para determinar los puntos de in tersección. RSSUülVO a l l o r i

EJEMPLO 3

n

- r ■:::

S o lu ció n

por

e l i m i n a c i ó n

R e s o lv e r un siste m a de e cu acio n e s no lin eales 0) (2)

Resuelve

F ig u r a li

13

p r o b l e m a

La ecuación ( I) es una hipérbola y la ecuación (2) es una parábola. Observa la figura 11. Parece ser que el sistema no tiene soluciones. Verificaremos esto usando sustitu ción. Sustituye x 2 por y en la ecuación ( I). F.I resultado es X2 - V* = 4 Ecuación (I) y - y*’ = 4 y = xr y2- y + 4 = 0 Colócala en la forma estándar.

Esta es una ecuación cuadrática. Su discriminante es ( - l ) : -4 * 1 *4 = 1 - 16 = -15 < 0 . La ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto, el sistema es inconsistente. Las gráficas de estas dos ecuaciones no se intersectan. ■

EJEM PLO 4

R e s o lv e r un siste m a de e cu acio n e s no lin e a le s p o r e lim in a ció n

{ S o lu ció n

.v‘ +

+

x

y2

- 3y +

2

=

0

(i)

y" — V

•t + 1 + = 0 (2) Primero multiplica la ecuación (2) por .v para eliminar la fracción. El resultado es un sis tema equivalente porque .r no puede ser 0. [Observa la ecuación (2) para ver por qué.] y* — 3y + 2 = 0 x2 + .r + y1 - y = 0

j x 2 + .v +

(l)

|

(2)

x*

0

Ahora resta la ecuación (2) de la ecuación (1) para eliminar .v. El resultado es -2y + 2 = 0 y —1 Resuelve

para y.

Para determinar .v, sustituimos hacia atrás y = 1 en la ecuación (1): ,t : + x + V: X2

3v +

2 = 0 Ecuación (1)

+ X + 1 - 3 + 2 = 0 S u s titu y e y por 1 en (1). .t 2 + x = 0 Simplifica. ,v(.v + 1 ) = 0 Factoriza.

x = 0 o .V= —1

Aplica la propiedad de producto cero.

Como .t no puede ser 0 , el valor .v no corresponde y lo descartamos.

910

C A P ÍT U L O 12


^/Verifica: Verificamos x = - 1, y = 1:

' ( - l ) 2 + ( - 1 ) + l 2 - 3(1) + 2 = 1 - 1 + 1 - 3 + 2 = 0 l2 - 1 0 -1 + 1 + — y - = o + — = 0

(1) (2)

La solución es x = -1 , y = 1. El punto de intersección de las gráficas de las ecua ciones es (-1,1). En el problema 55 se te pedirá que hagas las gráficas de las ecuaciones que se dan en el ejemplo 4. Asegúrate de indicar los hoyos en la gráfica de la ecuación Í2; para x = 0. R e8U 8lV 6 a h o r a

EJEMPLO 5

problema

y 49

29

R e so lv e r un s is te m a de e c u a c io n e s no lin e a le s Resuelve:

So lución

EL

f: Í 3 x y - 2 y 2 = - 2 (1) < l 9jc2 + 4y2 = 10 (2)

Multiplica la ecuación (1) por 2 y suma el resultado a la ecuación (2) para eliminar los términos y 2. í 6xy - 4y 2 =

-4

(1)

| 9jc2 + 4y2 = 10 9x2 + 6xy = 3x2 + 2xy =

6 2

(2) SumaDivide cada Iado entre 3.

Como x * 0 (¿Puedes ver por qué?), podemos resolver para y en esta ecuación y obtener

y =

2 -3X2 2x

x * 0

(3 )

Ahora sustituye a y en la ecuación (2) del sistema. 9 *2 + 4y2

9x2 + 4|

2 -

3.v

= 10

Ecuación (2 )

— 10

S u s titu y e y =

— 10

D esarrolla y sim plifica.

2\ 2

~

n

2

) -2 i n„4 , 4 - 12.v2 + 9x4 2

2 - 3X2

9.V + 4

12x2 + 9x4 — 10.V2

2x

en (2 )

M ultiplica am bos lados por x2.

18.V — 22.V + 4 = 0

R e s ta lO x- de am bos lados.

9.v4 - l l x 2 + 2 = 0

Divide am bos lados e n tre Z

Esta ecuación cuadrática (en .v2) se puede factorizar: (9.v2 - 2)(x1 - 1) = 0 9.v2 - 2 = 0 2 2 X = 9 \2 V2 x ~ ± J 9 - ± —

o

.r2 - 1 = 0

o

x2 = 1

o

x = ±1

S E C C IÓ N 12.6


911

Para determinar y, usa la ecuación (3):

Sìa =

V2

2 - 3a2 y =

2

2 -

- V2

2a

< ¥ )

V2

Si jc = ------- : 3

2 - 3 a:2

!V 1

2- |

4

2 1 -^ )

- 2V2

y = ---------2a:

2 — 3jc2 _ 2 - 3(1)2 _

Sìa = 1:

2 a:

2 - 3a:2

Sìa = -1 :

2

-2

El sistema tiene cuatro soluciones: Compruébalas tú mismo. ' ^

el p r o b l e m a

i 2

2 - 3 (-l)2 = 1

2 a:

Resuelve ahora

_

= -V 2

/ \ 3

_ 2

/ V

2 /\

2 /_

47

El siguiente ejemplo ilustra una solución creativa de un sistema de ecuaciones no lineales. EJEM PLO 6

C a r r e r a s de larg a d ista n cia En una carrera de 50 millas, el ganador cruza la meta 1 milla por adelante del segundo lugar y 4 millas por adelante del tercer lugar. Si suponemos que cada corredor mantiene una velocidad constante a lo largo de la carrera, ¿por cuántas millas ganará el segundo lugar al tercer lugar?

3 m illa s---------------------- *+ *— 1 m illa— H

S o lu ció n

Sean v v v2 y v3 las velocidades de los corredores en primer, segundo y tercer lugar respectivamente. Sean ty y t2 los tiempos (en horas) requeridos para que los corre dores en primer lugar y en segundo lugar terminen la carrera. Entonces tenemos el sistema de ecuaciones 50 49 46 50

= = = =

Viti v2ti v3t{ v2t2

O) (2) (3) (4)

El corredor en prim er lugar recorre 5 0 mili as en t¡ horas. El corredor en segundo lugar recorre 4 9 millas en t\ horas. El corredor en tercer lugar recorre 4 6 millas en t\ horas. El corredor en segundo lugar recorre 5 0 millas en tz horas.

Queremos determinar la distancia d a la meta del corredor en tercer lugar en el tiempo tY En el tiempo í2, el corredor en tercer lugar ha recorrido una distancia de v3t2 millas, por lo tanto, la distancia d restante es 50 - v3t2. Ahora d = 50 - v3t2 = 50 - « ( < = 50 - (rV i)‘7 n

912

C A P ÍT U L O 12


/ Ve (A),

= 50 - 46• n 50

De (1), t , *

v\ = 50 - 46•

46

'D e (3 ). v , t

50

*

60 60

v± v2

50 50 - 4 6 * -

Del cociente de (1) y (2).

3.06 miles

Comentario histórico l principio de esta sección dijimos que la experiencia y la ima ginación eran importantes para resolver sistemas de ecuacio nes no lineales. De hecho, este tipo de problemas llevan a par tes muy profundas y difíciles de las matemáticas modernas. Observa de nuevo las gráficas en los ejemplos 1y 2 de esta sección (figuras 9 y 10). Vemos que el ejemplo 1tiene dos soluciones y el ejemplo 2 tiene cuatro soluciones. Podríamos concluir que el número de soluciones es igual al producto de los grados de las ecuaciones involucradas.

A

Étienne Bézout (1730-1783) hizo esta conjetura, pero el afinar los de talles tomó alrededor de 150 años. Resulta que para llegar al número correcto de intersecciones, debemos contar no solo las interseccio nes de números complejos, sino también, aquellas intersecciones que, en cierto sentido, están en el infinito. Por ejemplo, una parábola y una recta que está en el eje de la parábola se intersectan en el vér tice y en el infinito. Este tema es parte del estudio de la geometría algebraica.

P roblem a histórico Un papiro con fecha de 1950 a.C. contiene el siguiente problema: "Un área de una superficie de 100 unidades será representada como

Determina los lados resolviendo el sistema de ecuaciones

V + / = 100 <

la suma de dos cuadrados cuyos lados tienen una relación de 1:

12.6 Evalúa tu entendim iento

3

_____________

Las respuestas se dan al final de estos ejercidos. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas

¿ E stá s lis to ?

entre paréntesis. 1. Traza la gráfica de la ecuación: y = 3.y+ 2 (pp. 167—177) 2. Traza la gráfica de la ecuación: y + 4 = x2(pp. 778—782)

3. Traza la gráfica de la ecuación: y2= x}- 1 (pp.797-805) 4. Traza la gráfica de la ecuación: x2+ 4v~ = 4 (pp. 787-793)

E je rc ic io s

En los pi oblemos 5—24, traza la gráfica de cada ecuación del sistema. Después resuelve el sistema para determinar los puntos de intersección. 6. <

[y

H

íy = V i ,0 .]

[ y = 2 - .v

y2 = 4 y2 = 0

r

|

r.v2 + y 2 = 4 18. | k y2 - * = 4

x2 + y2 = 4 y = .v2

H

- 9

22. |

Í.y2 [.v2

- 2y = 8

\xy y

=

+ y 2 = 16

= 1

2x

+ 1

í-v = 2 y

y = 3.y - 5

V , |í

[. y2 + y 2 = 5

■ H H í

-y y = 4

[. y 2 + y 2 = 8

íy [y

= .y 2 -

= 6. y -

V Ir

í.v =

[y

=

í.v = x -

i -y = y 2 - 2 y OO o Il 11

n .|

x2 + 2.x +

n .|

x

[y = 6 -

-3+

[ v2 +

íy = v i

+

|

7 Jí y = \ / 3 6 - V 7 - 1 [ y = 8 - .v

= 4.y + 1

-1CJ J-Î

\l3 .

+ fN 5-t II

¡y = -v2 + i [y = x + i

5. <

4 13

1 1 1[ y

4 - -v

4

+ 1

= .v2 - 6

y

Í.Y2 + V2 = 10

16. |

V = -v -

1

Í

20. |

-v2 =

[xy

y

= 1

Í jc2 + v2 = 10

241

.r y = 3

SKC C 1Ó N 12.6


913

En los rroblcmus 25-54, resuelve cada sistema. Usa cualquier método que prefieras. 25.

9 -¿S.

r[2.r , ? +. y2i = 18

,

xy = 4 x2 - Ay2 = 16 2y - x = 2

\ : 2‘J.

í x2 - y2 = 21 \x + y = 7

27.

y = 2x + 1 2x2 + y2 = I

í x + y + 1 = () |x 2 + v2 + 6v —x = —5

30.

2x2 - xy + y2 = 8 xy = 4

3«. í 4'" ~ 3VV + ^ = 15 1 2,v + 3y = 5

32.

2y2 - 3xy + 6y + 2x + 4 = 0 2x - 3y + 4 = 0

33.

x2 - 4y2 + 7 = 0 3x2 + y2 = 31

34.

Í3.r - 2y2 + 5 = 0 [ 2.v2 - y2 + 2 = 0

35.

7x2 - 3y2 + 5 = 0 3x2 + 5y2 = 12

36.

.v2 - 3y2 + 1 = 0 2x: - 7y2 + 5 = 0

37.

fjr + 2xy = 10 [3.v2 - xy = 2

38.

5xy + 13y2 + 36 = 0 xy + 7y2 = 6

39,

2x2 + y2 = 2 x2 - 2y2 + 8 = 0

40.

íy2 - jr + 4 = 0 I 2.x- + 3V2 = 6

41.

x2 + 2y2 = 16 4x2 - y2 = 24

44.

2 --xr 6 - x

46.

\.4 9 .

+ 3 =0

.r

v

7 - 7

= '

i7 + 7

' 4

V

y2 + y + x* - x - 2 = 0 . x- 2 v + 1 + ------ = 0

52. í l°gr(2y) = 3 \l°gt(4y) = 2

3 + 1 = 0 y 7 —+ 2= 0 y

45.

1 + -76 = 6 , — X )' 2 2 — x y 4= 19

48.

x2 - xy - 2y2 = 0 xy + x + 6 = 0

-

43.

5 2 “ 5 ---- 5 .i v*

Í4x2 + 3 v2 = 4 • \2 x 2 - óy2 = -3

I x2 - 3xy + 2y2 = 0 x2 + xv = 6

50.

’ x3 - 2x2 + y2 + 3y - 4 = 0 v - y x - 2 + 1— ~ = 0 xr

53.

ln x = 4 ln y log, x = 2 + 2 log, y

51

54.

/ >°g.ry = 3 U°g.t(4y) = 5

ln x = 5 ln y log: x = 3 + 2 log2 y

55. Traza las gráfica de las ecuaciones que se dieron en el ejemplo 4. 56. Traza las gráfica de las ecuaciones que se dieron en el problema 49. \ En los problemas 57-64, usa un dispositivo gráfico para resolver cada sistema de ecuaciones. Expresa las soluciones redondeadas a dos lugares decimales. 1 [y = ^

C 't

e*',

fx4 + y4 = 12 xy2 = 2 1l

58.

H II >

• 1fy = x2'3 1[y = e~x

fx4 +' y4 = 6 xy = 1 “ •1 l

5, {

x2 + y3 = 2 x3y - 4

60.

63. |

xy = 2 y = ln x

64.

x3 + y2 = 2 x2y = 4 .V2 + y2 = 4

y = ln x

5ráctica mixta En los problemas 65-70, traza la gráfica de cada ecuación y determina los puntos de intersección, si existen. 65. La recta x + 2y = 0 y el círculo (x - l)2+ (y _ l)2= 5 67. El círculo (x - l)2 + (y + 2)2 = 4 y la parábola y2+ 4 y -x + 1 = 0 y el círculo x2- 6x + y2+ 1 —0 69. y = x —3

66. La rectax+ 2y + 6 = 0 y el círculo (x + l)2+ (y + l)2= 5 68. El círculo (x + 2)2 + (y - l)2 = 4 y la parábola y2- 2 y - x - 5 = 0 70. v = y el círculo x2+ 4x + y2- 4 = 0 x+2

914

C A P ÍT U L O 12


Aplicaciones y extensiones___________ _ 71.

72. 73. 74. 75. 76. 77.

La diferencia de dos números es 2 y la suma de sus cuadra dos es 10. Determina los números. La suma de dos números es 7 y la diferencia de sus cuadra dos es 21. Determina los números. El producto de dos números es 4 y la suma de sus cuadra dos es 8. Determina los números. El producto de dos números es 10 y la diferencia de sus cuadrados es 21. Determina los números. La diferencia de dos números es igual que su producto y la suma de sus recíprocos es 5. Determina los números. La suma de dos números es igual que su producto y la dife rencia de sus recíprocos es 3. Determina los números. La razón de a a b es —. La suma de a y b es 10. ¿Cuál es la

razón de a + b a b - al 78. La razón de a a b es 4:3. La suma de a y b es 14. ¿Cuál es la razón de a - b a a + b! 79. Geometría El perímetro de un rectángulo es de 16 pulga das y su área es de 15 pulgadas cuadradas. ¿Cuáles son sus dimensiones? 80. Geometría Se quiere cercar un área de 52 pies cuadra dos con dos cuadrados cuyos lados tienen una razón de 2:3. Determina los lados de los cuadrados. 81. Geometría Dos círculos tienen circunferencias cuya suma es de 127Tcentímetros y áreas cuya suma es de 2077 centíme tros cuadrados. Determina el radio de cada círculo. 82. Geometría La altura de un triángulo isósceles desde su base es de 3 centímetros y su perímetro es de 18 centíme tros. Determina la longitud de la base. 83. La liebre y la tortuga En una carrera de 21 metros entre una liebre y una tortuga, la tortuga sale 9 minutos antes que la liebre. La liebre, que corre a una velocidad de 0.5 metros por hora más rápido que la tortuga, cruza la meta 3 minutos antes que la tortuga. ¿Cuáles son las velocidades promedio de la liebre y la tortuga?

21 metros

En una carrera de 1 milla, el ganador cruza la meta 10 pies por delante del corredor en segundo lugar y 20 pies por delante del corredor en tercer lugar. Si supones que cada corredor mantiene una velocidad constante du rante la carrera, ¿por cuántos pies le ganó el segundo lugar al tercer lugar? 85. Construcción de una caja Un pedazo de cartón rectan gular, cuya área es de 216 centímetros cuadrados, se va a convertir en una caja abierta cortando un cuadrado de 2 centímetros de cada esquina y doblando las orillas hacia arriba. Observa la figura. Si se quiere que la caja tenga un volumen de 224 centímetros cúbicos, ¿qué tamaño debe tener el pedazo de cartón con el que empiezas? 84. Una carrera

Un pedazo de cartón rectangular, cuya área es de 216 centímetros cuadrados, se va a convertir en un tubo cilindrico juntando dos de los la dos del rectángulo. Observa la figura. Si se quiere que el tubo tenga un volumen de 224 centímetro« cúbicos, ¿qué ta maño debe tener el pedazo de cartón con el que empiezas?

86. Construcción de un tubo cilindrico

87. Cercado Un granjero tiene 300 pies de cerca disponibles para rodear una región de 4500 pies cuadrados con forma de dos cuadrados adyacentes, con lados x y y de largo. Ob serva la figura. Determina x y y. y

Se corta un alambre de 60 pies en dos pedazos. ¿Se puede doblar un pedazo en la forma de un cuadrado y el otro en la forma de un círculo de manera que el área total que rodean estos dos alambres sea de 100 pies cuadrados? Si es posible, determina la longitud del lado del cuadrado y el radio del círculo. 89. Geometría Determina fórmulas para la longitud / y an cho »v de un rectángulo en términos de su área A y de su perímetro P. 90. Geometría Determina fórmulas para la base b y uno de los lados iguales / de un triángulo isósceles en términos de su al tura li y su perímetro P. 91. Método de Descartes de raíces ¡guales El método de Des cartes para determinar tangentes se basa en la idea de que para muchas gráficas, la recta tangente en un punto dado es una recta única que intersecta la gráfica solamente en ese punto. Aplicaremos este método para determinar la ecua ción de una recta tangente a la parábola y = .r en el punto (2,4). Observa la figura. 88. Doblar un alambre

S E C C IÓ N 12.6

1rimero, sabemos que la ecuación de la recta tangen te debe tener la forma de y = mx + />. Usando el he cho de que el punto ( 2 ,4 ) está en la recta, podemos ret solver para b en términos de m y obtener la ecuación y= + (4 - -'ti). Ahora queremos que ( 2 ,4 ) sea la único % solución del sistema


915

De este sistema obtenemos r - mx + (2tu - 4) = 0. Usando la fórmula cuadrática obtenemos ni ± \ / m 1 - 4(2m - 4) Para obtener una solución única para .r, las dos raíces deben ser iguales, en otras palabras, el discriminante ni2 - 4(2m - 4) debe ser 0. Completa el trabajo para obte ner m y escribe una ecuación de la recta tangente.

y - .r y = mx + 4 - 2//i

l.n los problemas 9J W, usa el método de Descartes del problema 91 para determinar la ecuación de una recta tangente a cada gráfica en el punto dado. 92. r + y2= 10; en (1.3) 95. Ix* + 3 ^ = 1 4 ;en (1.2) 98. 2y - .r = 14; en (2,3)

93. y = .r + 2; en (1,3) 96. 3.x-2+ y2= 7; en (-1,2)

94. .r2+ y = 5; en (-2,1) 97. .t2- y 2= 3; en (2,1)

99. Si r, y r, son dos soluciones de una ecuación cuadrática ax2+ bx + c = 0, se puede demostrar que r, + r2 =

b a

y

c r,r2 = a

Resuelve este sistema de ecuaciones para r, y r,. Explicación de conceptos: discusión y escritura 100. Un círculo y una recta se intersectan. a lo mucho, dos ve ces. Un círculo y una parábola se intersectan, a lo mucho, cuatro veces. Deduce que un círculo y la gráfica de un po linomio de grado 3 se intersectan, a lo mucho, seis veces. ¿Qué puedes deducir acerca de un polinomio de grado 4? ¿Y acerca de uno de grado /i? ¿Puedes explicar tus conclu siones usando un argumento algebraico? 101. Considera que eres el administrador de una tienda de lá minas de metal. Un cliente te pide que fabriques 10,000 cajas, cada caja estará abierta en la parte superior. Se

requiere que las cajas tengan una base cuadrada y una ca pacidad de 9 pies cúbicos. Tú construyes las cajas cortando un cuadrado de cada esquina de una lámina cuadrada de metal y doblando a lo largo de las orillas. (a) ¿Cuáles son las dimensiones del cuadrado que debes cortar si el área de la lámina cuadrada de metal es de 100 pies cuadrados? (b) ¿Puedes hacer la caja usando un pedazo menor de lá mina de metal? Haz una lista de las dimensiones de la caja para diferentes pedazos de lámina de metal.

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?"

916

C A P ÍT U L O 12


12.7 Sistema de ecuaciones no lineales

■'N

P r epa ra c ió n pa ra esta sección Ames de empezar, repasa lo siguiente: •

S olu ción d e d esig u a ld a d e s lin e a le s (se c c ió n

123-126) •

R ecta s (sec ció n

2.3, pp. 167-177)

1.5, pp.

Círculos (sección 2.4, pp. 182-185) Técnicas para construir gráficas: transformaciones (sección 3,5, pp. 244-253)

^ Resuelva ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 921. OBJETIVOS 1 Representar una desigualdad gráficamente(p. 916) 2 Representar un sistema de desigualdades gráficamente (p. 918)

En la sección 1.5 estudiamos desigualdades de una variable. En esta sección, estudia remos desigualdades de dos variables. EJEMPLO 1

Ejem p lo s de d esig u ald ad es d e do s v a ria b le s (a)3.r + y < 6

(b)jr2+ y2< 4

(c) y2 > x

1 Gráfica de una desigualdad Una desigualdad de dos variables x y y se satisface por un par ordenado (a .b ) si. cuando x se sustituye por a y y por />, se obtiene como resultado una proposición verdadera. La gráfica de una desigualdad de dos variables x y y consiste en todos los puntos (,r,y) cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad. |

EJEMPLO 2

G rá fic a de u na d esigu aldad Traza la gráfica de la desigualdad lineal: 3.v + y < 6

So lución

Empezamos por trazar la gráfica de la ecuación 3.v + y = 6 que se forma al sustituir (por ahora) el símbolo < por un signo =. La gráfica de la ecuación es una recta. Ver figura 12(a). Esta recta es parte de la gráfica de la des igualdad que queremos resolver porque la desigualdad no es estricta, por lo tanto, trazamos la recta como una línea sólida. (¿Puedes ver por qué? Queremos determi nar puntos para los cuales 3.v + y es menor o igual que 6.)

(b) Gráfica de 3x + y s 6

Ahora prueba algunos puntos seleccionados al azar para ver si pertenecen a la gráfica de la desigualdad.

S E C C IÓ N 12.7


917

lv + y ^ 6

Conclusión

(4,-1)

3(4) + (-1) = 11 > 6

No pertenece a la gráfica

(5,5)

3(5) + 5 = 20 > 6


H ,2 )

3(—1) + 2 = - l < 6

Pertenece a la gráfica

(-2 ,-2 )

3 (-2) + (-2) = - 8 < 6

Pertenece a la gráfica

Ve de nuevo la figura 12(a). Observa que los dos puntos que pertenecen al a grá fica están en el mismo lado de la recta y los dos puntos que no pertenecen a la gráfica están en el lado opuesto. Resulta que todos los puntos que satisfagan la desigualdad estarán en un lado de la recta o en la recta misma. Todos los puntos que no satisfagan la desigualdad estarán en el otro lado. La gráfica que queremos consiste en todos los puntos que están en la recta o en el mismo lado de la recta como (-1,2) y (-2 ,-2 ) y se muestra como una región sombreada en la figura 12(b). í . t-í .---------- -Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

i

5

La gráfica de cualquier desigualdad de dos variables se puede obtener de manera similar. A continuación se dan los pasos a seguir. Pasos para obtener la gráfica de una desigualdad Paso 1: Sustituye el símbolo de desigualdad por un signo igual y traza la gráfica

N O TA Las desigualdades e s tr ic ta s son < y > . Las desigualdades no es t r ic ta s son ■

de la ecuación resultante. Si la desigualdad es estricta, usa una línea punteada; si no es estricta, usa una línea sólida. Esta gráfica separa el plano xy en dos o más regiones. Paso 2: Selecciona un punto de prueba P en cada región. (a) Si las coordenadas de P satisfacen la desigualdad, también lo harán todos los puntos en la región. Indica esto sombreando la región. (b) Si las coordenadas de P no satisfacen la desigualdad, ninguno de los puntos de la región lo hará.

EJEM PLO 3

G rá fic a de u n a desigualdad Traza la gráfica de: x2+ y2< 4

Figura 13

S o lu ció n

P

a so

P

a so

Traza la gráfica de la ecuación x2+ y2—4 , un círculo de radio 2 y centro en el origen. Se usará un círculo sólido porque la desigualdad no es estricta. 2: Usa dos puntos de prueba, uno dentro del círculo y el otro fuera de él. 1:

Dentro

( 0 , 0 ) ; X 2 + y 2=

O2+ O2 =

Fuera

( 4 , 0 ) : X 2 + y 2= 4 2 + O2 = 1 6 > 4

0 ^ 4

P ertenece a la gráfica


Todos los puntos dentro y en el círculo satisfacen la desigualdad. Observa la figura 13. wmmmmm*-ReSUelV6 ahOPS

el

p r o b l e m a

17

Desigualdades lineales Una desigualdad lineal es una desigualdad con una de las siguientes formas A x + Bx < C

A x + Bx > C

Ax + B x ^ C

Ax + B x > C

donde A y B no son cero simultáneamente. La gráfica de la ecuación correspondiente a una desigualdad lineal es una recta que separa el plano xy en dos regiones, llamadas semiplanos. Observa la figura 14. Como se muestra, Ax + Bx = C es la ecuación de la recta fronteriza y divide el plano en dos semiplanos, uno para el que Ax + Bx < C y el otro para el que Ax + Bx > C. Por esto, solo se necesita un punto de prueba en las desigualdades lineales.

918

C A P ÍT U L O 12

f


G rá fic a de d esig u ald ad es lin e a le s

EJEMPLO 4

Traza la gráfica de: Solución

(a) y < 2

(a) Los puntos en la recta horizontal y = 2 no son parte de la gráfica de la desigualdad, así que mostramos la gráfica con una línea punteada. Como (0,0) satisface la desigualdad, la gráfica consiste en el semiplano por debajo de la recta y = 2. Ver figura 15.

(b) y s 2x (b) Los puntos en la recta y = 2x son parte de la gráfica de la desigual dad, así que mostramos la gráfica con una línea sólida. Usando (3,0) como punto de prueba, determina mos que no satisface la desigualdad [0 < 2 x 3]. Los puntos en el semipla no en el lado opuesto de (3,0) satis facen la desigualdad. Ver figura 16. Figura 16

Figura 15 y Gráfica de y°

f e COM ENTARIO Se puede usar un Ü dispositivo gráfico para obtener la gráfica de desigualdades. Para ver cómo, lee la sección 6 del apéndice, m

5 3

>= 2

1 1 1 1 I L__, i i i i i r 5 -5 - 3 - j / _(0,0) 3 -3

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

13

2 Gráfica de un sistema de d esigualdades La gráfica de un sistema de desigualdades de dos variables x y y es el conjunto de todos los puntos (x,y) que satisfacen simultáneamente cada desigualdad en el sis tema. La gráfica de un sistema de desigualdades se pude obtener trazando la gráfica de cada desigualdad individualmente y, después, determinando si se intersectan o no. EJEMPLO 5

G rá fic a de un s is te m a de e c u a c io n e s lin e a le s Traza la gráfica del sistema: < x + -v — ^ [2x - y < 4

So lución

Empieza por trazar las rectas x + y = 2 y 2x - y - 4 usando una línea sólida porque ambas desigualdades son no estrictas. Usa el punto de prueba (0,0) en cada desigual dad. Por ejemplo, (0,0) no satisface x + y > 2, entonces, sombreamos la región por encima de la recta x + y = 2. Observa la figura 17(a). Además, (0,0) satisface 2 r - y < 4, entonces sombreamos la región por encima de la recta 2x - y = 4. Ver figura 17(b). La intersección de las regiones sombreadas (en el centro) nos da el resultado presen tado en la figura 17(c). Gráfica de

Gráfica de

Gráfica de

lx+ y<2 12 x - y<4

(c) Resuelve ahora EL PROBLEMA 2 3

SKCClrt.N li.7 EJEM PLO 6

]

S o lu ció n

919

G rá fic a de un s is te m a de e c u a c io n e s lin e a le s rrn/n l.i gràfica del sistema:

t

Shirm.» tip rtu jc lo n p i no lln e jlc i

< + ,v ( t + y 2 (I

Observa la figura IH. I a uralica del sistema es la región sobrepuesta sombreada, en el centro, entre las dos lineas fronterizas. » ►i

- 0

y

» *

2

Rasualva ahora EL PROBLEMA 29

EJEMPLO 7

G rá fic a de un s is te m a de e cu a cio n e s lin e a le s Traza las gráficas de los sistemas: (a)

S o lu ció n

í 2.x - v a l ) \2.
(b)

(a) Observa la figura ll). La parte sobre puesta sombreada (del lado derecho) es la gráfica del sistema. Observa que la gráfica del sistema es idéntica a la gráfica de la desigualdad I r - y ^ 2.

í.c + 2y s; 2 \ . t + 2y a 6

(b) Observa la figura 20. Como no hay región que se sobreponga, no existen puntos en el plano .vv que satisfagan simultáneamente cada desigualdad. El sistema no tiene solución. Figura 20

Figura 19

Gráfica de

I 2r-ya0 l 2jt-y a: 2

[ EJEMPLO 8

G rá fic a de un s is te m a de e cu a cio n e s no lin e a le s Traza la gráfica de la región debajo de la gráfica de .r + y = 2 y por encima de la grá fica v = .r - 4, por medio de la representación del sistema: í y ^ r - 4 \x + y £ 2 Marca todos los puntos de intersección.

S o lu ció n

La figura 21 en la página siguiente muestra la gráfica de la región por encima de la gráfica de la parábola y = x 2 - 4 y por debajo de la gráfica de la recta x + y = 2. Los puntos de intersección se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones í y = x2 - 4 \x + y = 2

*

920

C A P ÍT U L O 12


Usando sustitución, determinamos que x + (x7 - 4) ■ 2

Figura 21

jr7 f x - 6 * tí (x + 3 ) ( x - 2 ) m<)

o

x -3

t

=»2

Los dos puntos de intersección son (-3,5) y (2,0).

• "w w --R e su e lv e ahora

EJEMPLO 9

el p r o b l e m a

37

G rá fic a de un s is te m a de c u a tro e c u a c io n e s lin e a le s x + y 2r 3 2x + y sr 4 Traza la gráfica del sistema < T^ 0

Figura 22

y ^ 0 So lución Observa la figura 22. Las dos desigualdades .t 2:0 y y ¿ 0 requieren que la gráfica del sistema esté en el cuadrante I. que está sombreado en gris claro. Nos en focaremos en las dos desigualdades restantes. La intersección de las gráficas de estas dos desigualdades y el cuadrante I se muestra la parte superior derecha.

E J E M P L O 10

P lan eació n fin a n c ie ra Una pareja de jubilados puede invertir hasta $25.000. Como su asesor financiero. Ies recomiendas que inviertan al menos $15.000 en letras del tesoro que rinden 2% %a lo mucho $5000 en bonos corporativos que rinden 3%. (a) Usando x para denotar la cantidad de dinero invertida en letras del tesoro v v la cantidad invertida en bonos corporativos, escribe un sistema de desigualdades lineales que describa las cantidades posibles de cada inversión. Consideraremos que x y y están en miles de dólares. (b) Traza la gráfica del sistema.

So lución

(a) El sistema de desigualdades lineales es x > y >

> 15 y s 5 jc

Figura 23

0 0

x y y son variable» no negativa» porque representan dinero invertido en miles de d$arr». El total de las dos inversiones, x ♦ y. no puede exceder 125.000. Al menos i 15.000 en letras dd Teec A lo mucho $5000 en bonos corporativos

(en miles)

(b) Ver región sombreada de la figura 23. Observ a que las desigualdades .r s 0 v y ^ 0 requieren que la gráfica del sistema esté en el cuadrante I.

Se dice que la gráfica del sistema de desigualdades lineales en la figura 23 está acotada, porque se puede contener dentro de un círculo de radio suficientemente grande. Una gráfica que no se puede contener en ningún circulo se llama no actuada Poi ejemplo, la gráfica del sistema de desigualdades lineales de la figura 22 es no aco tada. poique se extiende indefinidamente en las direcciones positivas .v y v.

S E C C IÓ N 12.7


921

Observa que en las figuras 22 y 23 se trazaron los puntos que pertenecen a la grá fica que también son puntos de intersección de las líneas fronterizas. Esos puntos se llaman vértices o puntos de esquina de la gráfica. El sistema graficado en la figura 22 tiene tres puntos de esquina: (0,4), (1,2) y (3,0). El sistema graficado en la figura 23 tiene cuatro puntos de esquina: (15,0), (25,0), (20,5) y (15,5). Estas ideas se usarán en la siguiente sección para desarrollar un método para resolver problemas de programación lineal, una aplicación importante de las des igualdades lineales. Resuelve ahora EL PROBLEMA 45

12.7 Evalú a tu en ten d im ien to ¿Estás listo? Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis 1. 2. 3. 4.

Resuelve la desigualdad: 3x + 4 < 8 - x (pp. 123-126) Traza la gráfica de la ecuación: 3.v-2y = 6 (pp. 167-177) Traza la gráfica de la ecuación: x2+ y2= 9 (pp. 182-185) Traza la gráfica de la ecuación: y = x2+ 4 (pp. 244-253)

5. Verdadero o falso Las rectas 2x + y = 4 y 4.r + 2y = 0 son paralelas, (pp. 167-177) 6. La gráfica de y = (x - 2)2se puede obtener corriendo la gráfi ca d e ____ a la (izquierda/derecha) una distancia de_____ unidades, (pp. 244-253)

Conceptos y vocabulario 7. Cuando trazas la gráfica de una desigualdad de dos varia bles, si la desigualdad es estricta, usa los signos________ ; si la desigualdad no es estricta usa los signos________ I 8. La gráfica de la ecuación correspondiente a una desigualdad lineal es una recta que divide el plano xy en dos regiones. Las dos regiones se llaman________

9. Verdadero o falso La gráfica de un sistema de desigualda des debe tener una región sobrepuesta. 10. Si la gráfica de un sistema de desigualdades lineales no se puede contener en un círculo, se dice que es________

Ejercicios En los problemas 11-22, traza la gráfica de cada desigualdad. 12. y sO

\ l 3 . x> 4

14. y <2

VI5. 2x + y > 6

16. 3x + 2y<6

\ l 7 . .t2+ y2> l

18. x2+ y2< 9

19. y < x 2- í

20. y > x 2+ 2

21. xy>4

11. * > 0

22. yy< 1

En los problemas 23—34, traza la gráfica de cada sistema de desigualdades lineales. \2 3 .

27.

31.

| x +

y

<

2

-2

2

4x - 5y s 0 2x - y — 2

\2 9 .

.v 2y —6 2x - 4y > 0

30.

x + 4y < 8 x + 4y 2 4

33.

2x + 3y s 6 2x + 3y < 0

34.

2x + y > 0 2.v + y > 2

y > ,v2 - 4 y < x -2

38.

25.

28.

4jc — y — 2 x + 2y a 2

32.

x - 4y s 4 x - 4y s 0

3* + 2y < 6

2x + y s 2x + y >

26.

3x - y a 6 x + 2y £ 2

( 2 jc + y > 4

2 jc - 3 y < 0

2.í - y < 4 3* + 2y > -6

24.

En los problemas 35—42, traza la gráfica de cada sistema de desigualdades. 35.

x2 + y2 < 9 x + y >3

39.

+ 1y > xL - 4

íxx2 + y2 a 9 36‘ { , + y ¿ 3

40.

c2 + y2 < 25 p < jc2 - 5

\3 7 .

41.

xy V>

4 X2 +

1

42.

y + x¿ ,í - - 1

922

CAPÍTULO 12


En los problemas 43-52, traza la gráfica de cada sistema de desigualdades lineales. Indica si la gráfica es acotada o no acotada y mana los puntos de esquina.

43.

47.

51.

x y 2x + y x + 2y

> > < <

0 0 6 6

x y *+ y 2x + 3y 3jc + y

> > > < <

0 0 2 12 12

* y x + 2y x + 2y

> > > <

jc s

44.

0

y > 0

*+ y s 4 2x + 3y == 6 0 ys 0 i +ys 2 U y £ 8 2x + y < 10 X

s

0 0 1 10

\4 5 .

I

x +y s 2 ^ 4

x ^ y> 49. < * + y s x +y^ 2x + y <

52.

x y x + 2y .r + 2y x + y x + y

s > > < > £

0 0 2 8 10

46.

x ^ 0 y á () 3jr + y s

6

2x + y s 2

y>0 50. < * + y > 2 x + y <; 8 „x + 2y ^ 1

0 0 1 10 2 8

£>t /os problemas 53—56, escribe un sistema de desigualdades lineales para la gráfica dada.

Aplicaciones y extensiones 57. Planeación Financiera Una pareja de jubilados puede invertir hasta $50,000. Como su asesor financiero, les re comiendas que inviertan al menos $35,000 en letras del tesoro que rinden 1% y a lo mucho $10,000 en bonos cor porativos que rinden 3%. (a) Usando x para denotar la cantidad de dinero invertida en letras del tesoro y y la cantidad invertida en bonos corpo rativos, escribe un sistema de desigualdades lineales que describa las cantidades posibles de cada inversión.

(b) Traza la gráfica del sistema y marca los puntos de esquina. 58. Fabricación de camiones La compañía de camiones de ju guete de Mike fabrica dos tipos de camiones de juguete, el modelo estándar y el modelo de lujo. Cada modelo estándar requiere de 2 horas (h) de pintado y 3 h para los detalles: cada modelo de lujo requiere de 3 h de pintado y 4 h para los de talles. La compañía emplea a dos personas para pintar y tres personas para los detalles y cada uno trabaja 40 h a la semana.

S E C C IÓ N 12.8

(a)

| , r **

923

Usando i para denotar el número de camiones del mo delo estándar y y para denotar el número de camiones del modelo de lujo, escribe un sistema de desigualdades lineales que describa el número de cada 60. modelo de camión que posiblemente se puede fabricar en una semana. tb) I raza la graiiea del sistema y marca los puntos de esquina.

,!- *

1 6

Programación lineal

O

desigualdades lineales que describa el número posible de paquetes de cada tipo de mezcla. (b) Traza la gráfica del sistema y marca los puntos de esquina. Mezcla ríe nueces Nola's Nuts es una tienda que se espe cializa en vender nueces v tiene disponibles 90 libras (Ib) de nueces de la India y 120 Ib de cacahuates. Éstos se mezclarán en paquetes de 12 onzas (oz.) de la siguiente manera: un pa quete de menor precio que contenga 8 onzas (oz) de caca huates y 4 oz de nueces de la India y un paquete de calidad que contenga 6 oz de cacahuates y 6 oz de nueces de la India. (a) Usa x para denotar el número de paquetes de menor precio y y para denotar el número de paquetes de cali dad. Escribe un sistema de desigualdades lineales que describa el número posible paquetes de cada tipo. (b) Traza la gráfica del sistema y marca los puntos de esquina. 61. Transporte de productos Un pequeño camión no puede llevar más de 1600 libras (Ib) de carga ni más de 150 pies cúbicos (ft') de carga. Una impresora pesa 20 Ib y ocupa 3 ft' de espacio. Un horno de microondas pesa 30 Ib y ocupa 2 ft' de espacio. (a) Usando x para denotar el número de hornos de microondas y y para denotar el número de impresoras, escri be un sistema de desigualdades lineales que describa el número posible de hornos de microondas e impresoras que puede cargar el camión. (b) Traza la gráfica del sistema y marca los puntos de esquina.

#

Mezcla de café Bill’s Coffee House es una tienda que se especializa en café y tiene disponibles 75 libras (Ib) de café de grado z\ y 120 Ib de café de grado B. Estos se mezcla rán en paquetes de l Ib de la siguiente manera: una mezcla económica que contenga 4 onzas (oz) de café de grado zt y 12 oz de café de grado B y una mezcla superior que con tenga 8 oz de café de grado A y 8 oz de café de grado B. (a) Usando x para denotar el número de paquetes de la mezcla económica y y para denotar el número de pa quetes de la mezcla superior, escribe un sistema de

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" I. (,t|.r < 11o (-oo, 1)

3.

y

\ \

5-

y 8 í / (1,5)

(0,4)

-5 -

5. Verdadero

1 1 1 1 1 -5 -2

................ 5 x

6. v = .t2; derecha: 2

12.8 Programación lineal OBJETIVOS 1 Establecer un problema de programación lineal (p. 924) 2 Resolver un problema de programación lineal (p. 924)

Históricamente, la programación lineal evolucionó como una técnica para resolver problemas que involucraban la distribución de bienes y materiales para la fuerza aérea de los Estados Unidos durante la Segunda Guerra Mundial. Hoy en día, las técnicas de programación lineal se usan para resolver una amplia variedad de proble mas, como la optimización de la programación de una aerolínea y establecer líneas telefónicas. Aunque la mayoría de los problemas prácticos de programación lineal involucran sistemas de cientos de desigualdades lineales con cientos de variables, limitaremos nuestro estudio a problemas que contengan solo dos variables, porque podemos resolver esos sistemas usando técnicas para construir gráficas.* *E1 método simplex es una forma de resolver problemas de programación lineal con muchas desigualda des y variables. Este método fue desarrollado por George Dantzig en 1946 y es especialmente apropiado para la informatización. En 1984, Narendra Karmarkar de los laboratorios Bell descubrió una manera de resolver problemas grandes de programación lineal que mejoran el método simplex.

924

C A P ÍT U L O 12


1 Establecer un problema de program ación lineal Empezaremos regresando al ejemplo 10 de la sección anterior. P lan eació n fin a n c ie ra

EJEMPLO 1

Una pareja de jubilados puede invertir hasta $25,000. Como su asesor financiero, les recomiendas que inviertan al menos $15,000 en letras del tesoro que rinden 2% y a lo mucho $5000 en bonos corporativos que rinden 3%. Desarrolla un modelo que se pueda usar para determinar cuánto dinero se debe depositar en cada inversión para maximizar el ingreso. So lución

El problema es un ejemplo común de un problema de programación lineal. El pro blema requiere que se maximice cierta expresión lineal, el ingreso. Si / representa el ingreso, * la cantidad invertida en letras del tesoro al 2% y y la cantidad invertida en bonos corporativos al 3%, entonces / = 0.02* + 0.03)’ Suponemos de nuevo que /, * y y están en miles de dólares. La expresión lineal / = 0.02* + 0.03y se llama función objetivo. Además, el pro blema requiere que el ingreso máximo se logre bajo ciertas condiciones o restric ciones cada una de, las cuales, es una desigualdad lineal que involucra las variables. (Ve el ejemplo 10 en la sección 12.7.) El problema de programación lineal se pude modelar como Maximiza / = 0.02* + 0.03y bajo las siguientes condiciones: r * > 0,

y >

0

* + y < 25 * > 15 v< 5

En general todo problema de programación lineal tiene dos componentes: 1. Una función objetivo lineal que se debe maximizar o minimizar. 2. Un conjunto de desigualdades lineales que se deben de satisfacer simultáneamente.

D E F IN IC IÓ N

Un problema de programación lineal de dos variables * y y consiste en maximi zar (o minimizar) una función objetivo lineal. z - A x + By A y B son números reales, que no son 0 simultáneamente -------------- ----------------------- — ______________________________ I sujeta a ciertas condiciones o restricciones que se pueden expresar como des igualdades lineales en * y en v.

2 Resolver un problema de program ación lineal Para maximizar (o minimizar) la cantidad c = A* + Bv. debemos identificar puntos (*,y) que hagan la expresión para z lo más grande (o pequeña) posible. Pero no todos los puntos (*,y) cumplen con esto, solo se pueden usar los que además satisfa gan cada desigualdad lineal (restricción). Nos referimos a los puntos (*, v) que satis facen el sistema de desigualdades lineales (las restricciones) como punto factible. En un problema de programación lineal, queremos determinar los puntos factibles que maximicen (o minimicen) la función objetivo. Ve de nuevo el problema de programación lineal del ejemplo 1.

SUCCIÓN 12.8 Programación lineal

[

EJEM PLO 2

925

1 A n a liz a r un p ro b le m a d e p ro g ra m a ció n lin eal ( onsidera el problema de programación lineal Maximi/.a

/ = O.OZr + 0.03y

bajo las restricciones: '

.v a 0 >- > 0

< .v + y < 25 .v > 15 , y ^ 5 Construye la gráfica de las restricciones. Después, traza la función objetivo para / = 0,0.9. 1.35, 1.65 y 1.8. S o lu ció n

La figura 24 muestra la gráfica de las restricciones. Sobrepusimos la gráfica de la función objetivo para los valores dados de /. Para Para Para Para Para

I = 0. la función objetivo es la recta 0 = O.OZr + 0.03y. / = 0.3, la función objetivo es la recta 0.3 = O.OZr + 0.03y. / = 0.45, la función objetivo es la recta 0.45 = O.OZr + 0.03>\ / = 0.55, la función objetivo es la recta 0.55 = O.OZr + 0.03y. I = 0.6, la función objetivo es la recta 0.6 = O.OZr + ü.03y.

Figura 24

D E F IN IC IÓ N

Una solución de un problema de programación lineal consiste en un punto fac tible que maximice (o minimice) la función objetivo, junto con el valor corres pondiente de la función objetivo.

J Una condición para que un problema de programación lineal de dos variables tenga solución es que la gráfica de los puntos factibles esté acotada. (Consulta la página 920.) Si ninguno de los puntos factibles maximiza (o minimiza) la función objetivo o si no existen puntos factibles, entonces el problema de programación lineal no tiene solución. Considera el problema de programación lineal que dimos en el ejemplo 2 y observa de nuevo la figura 24. Los puntos factibles son los puntos que están en la región sombreada. Por ejemplo, (20,3) es un punto factible, al igual que (15,5), (20,5), (18,4), etc. Para determinar la solución del problema debemos determinar un punto factible (jc.y) que haga I = 0.02x + 0.03y tan grande como sea posible. Observa que conforme el valor de / crece de / = 0 a / = 0.3, a / = 0.45, a / = 0.55, a / = 0.6,

926

CAPÍTULO 12 Sistemas de ecuaciones y desigualdades

obtenemos una colección de rectas paralelas. Además observa que el valor má\ grande que se puede obtener de / usando puntos factibles es / • 0.55, que corrcv ponde a la recta 0.55 = 0.02* + 0.03y. Cualquier valor mayor de / da como resultado una recta que no pasa por ningún punto factible. Por ultimo, observa que el punto factible que da como resultado / = 0.55 es el punto (20,5), un punto de esquina. Estas observaciones forman la base del siguiente resultado, que daremos sin demostración.

TEO REM A

L o ca liza c ió n d e la s o lu c ió n d e un p ro b le m a d e p ro g ra m a c ió n lin e a l

Si un problema de programación lineal tiene solución, se localiza en un punto de esquina de la gráfica de los puntos factibles. Si un problema de programación lineal tiene soluciones múltiples, por lo menos una de ellas está en un punto de esquina de la gráfica de los puntos factibles. En cualquier caso, el valor correspondiente de la función objetivo es único.

No consideraremos aquí los problemas de programación lineal que no tienen so lución. Como resultado podemos establecer el procedimiento para resolver un pro blema de programación lineal de la siguiente manera: P r o c e d im ie n t o p a r a r e s o lv e r u n p r o b le m a d e p r o g r a m a c ió n lin e a l

Paso 1: Escribe una expresión para la cantidad que se quiere maximizar (o mi nimizar). Esta expresión es la función objetivo. Paso 2: Escribe todas las restricciones como un sistema de desigualdades linea les y construye la gráfica del sistema. Paso 3: Haz una lista de los puntos de esquina de la gráfica de los puntos factibles. Paso 4: Haz una lista de los valores correspondientes de la función objetivo en cada punto de esquina. El mayor (o menor) de éstos es la solución.

EJEM PLO

3

R e so lv e r un p ro b le m a de p ro g ra m a ció n lin e a l m ín im o Minimiza la expresión Z = 2x

+ 3y

bajo las restricciones y^5 So lu ció n

P

a so

1:

P

a so

2:

.v s 6

x +y a 2

x>0

y>0

La función objetivo es z = 2v + 3v. Queremos determinar el menor valor de z que se puede dar si x soluciones del sistema de desigualdades lineales

y y

son

Figura 25

.t
X = 6

P

a so

3:

P

a so

4:

< > > &

6 2 0 0

La gráfica de este sistema (el conjunto de puntos factibles) se muestra como la región sombreada en la figura 25. También hemos trazado los puntos de esquina. La tabla 1 da una lista de los puntos de esquina y los valores correspondien tes de la función objetivo. De la tabla podemos ver que el valor mínimo de z es 4 y se da en el punto (2,0).

SECCIÓN 12.8 Programaciónlineal 927 Tabla

1

Valor de la función objetivo Punto de esquina (x,y)

z = 2x + 3y

(0,2)

z=

(0, 5)

z = 2(0) + 3(5) = 15

(6,5)

z = 2(6) + 3(5) = 27

(6,0)

z = 2(6) + 3(0) = 12

(2,0)

z = 2(2) + 3(0) = 4

2(0) + 3(2) = 6

----------------------------------------------

Resuelve ahora EJEM PLO

4

e l

p r o b l e m a

5

a n d

J

11

M a x im iz a r las g an an cias Al final de cada mes, después de surtir las órdenes para los clientes regulares, a una compañía de café le queda un poco de café colombiano puro y un poco de una mezcla especial de café. La compañía generalmente empaca una mezcla de los dos tipos de café en paquetes de 1 libra (Ib) de la siguiente manera: una mezcla de menor calidad que contiene 4 onzas (oz) de café colombiano y 12 oz de mezcla especial y una mezcla de alta calidad que contiene 8 oz de café colombiano y 8 oz de mezcla especial. Se obtiene una ganancia de $0.30 por paquete de la mezcla de menor calidad y $0.40 por paquete de la mezcla de alta calidad. Este mes quedaron 120 Ib de mezcla especial de café y 100 Ib de café colombiano puro. ¿Cuántos paquetes de cada mezcla se deben preparar para maximizar las ganancias? Considera que todos los paquetes que se pre paren se venderán.

S o lu ció n

P

a so

1:

Empezamos asignando símbolos para las dos variables. x = Número de paquetes de la mezcla de menor calidad y = Número de paquetes de la mezcla de alta calidad Si P denota las ganancias, entonces P=

P

a so

2:

$ 0 .3 0 x

+

$ 0 .4 0 y

Función objetivo

Queremos maximizar P sujeta a ciertas restricciones en * y en y. Como x y y representan el número de paquetes, los únicos valores significativos para x y y son números enteros no negativos. Por lo tanto, tenemos las dos res tricciones X ^ 0

y 5 0

R estricciones no negativas

También existe una cantidad limitada de cada tipo de café. Por ejemplo, la cantidad total de café colombiano usado en las dos mezclas no puede exceder 100 Ib o 1600 oz. Como usaremos 4 oz en cada paquete de menor calidad y 8 oz en cada paquete de alta calidad, tenemos la restricción 4x + 8y ^ 1600 Restricción del café colombiano De manera similar, la cantidad limitada de 120 Ib o 1920 oz de mezcla espe cial de café nos da la restricción I2x + 8y ^ 1920

Restricción de la mezcla especial de café

El problema de programación lineal se puede establecer como Maximiza

P = 0.3a + 0.4y

bajo las restricciones x> 0

y> 0

4x + 8y :< 1600

12x +8y < 1920

928 CAPÍTULO 12

Sistemas de ecuaciones y desigualdades P

a so

P

a so

3: La gráfica de las restricciones (los puntos factibles) se ilustra en la figura 26. Macemos una lista de los puntos de esquina y evaluamos la función ob jetivo en cada uno. 4 : En la tabla 2 podemos ver que las ganancias máximas, S K 4 , se obtienen con 40 paquetes de mezcla de menor calidad y IKO paquetes de mezcla de alta calidad. Tabla 2 Valor de la función objetivo P = 0.3* + OAy

Punto de esquina (x,y)

(0,0) 20

(0,0)

P« 0

(0,200)

P « 0.3(0) + 0.4/200) - $80

(40, 180)

P = 0.3(40) + 0.4(180) * $84

(160,0)

P * 0.3(160) + 0.4(0) - $48

60 100 140 4x t 8y = 1600

12x4 8y = 1920

Ro8iibIvb ahora

el p r o b l e m a

9

i

12.8 Evalúa tu entendim iento C o n c e p t o s y v o c a b u la r io

s ió n lin e a l, lla m a d a la

Verdadero o falso

2.

1. U n p r o g r a m a d e p r o g r a m a c ió n lin e a l r e q u ie r e q u e la e x p r e . se m a x im ic e

S i u n p r o b le m a d e p r o g r a m a c ió n lin e a l

tie n e u n a s o lu c ió n , e s tá lo c a liz a d a e n u n p u n t o d e e s q u in a

o se m in im ic e .

d e la g r á f ic a d e lo s p u n t o s fa c t ib le s .

E je r c ic io s

En los problemas 3-8, determina el valor máximo y mínimo de la función objetivo de un problema de programación lineal dada. Im figura ilustra la gráfica de los puntos factibles. y 3. z = x + y 4. z = 2a + 3y V ?. z=A+10y 6. z = 10a + y 7. z = 5x + ly 8. z = 7a + 5y En los problemas 9—18, resuelve cada problema de programación lineal. 9.

M a x im iz a

z = 2x+y

b a jo la s r e s t r ic c io n e s

A > 0.

y s 0,

a

10.

M a x im iz a

z=x+


A — 0,

y s 0.

a + y s 3,

V il.

M in im iz a

z = 2x + 5y


A > 0.

y — o.

a

12.

M in im iz a

z = 3a + 4y


A >0,

y s 0.

2a +

13.

M a x im iz a

z = 3a + 5y


A > 0,

y s 0.

a

+ y s 2.

14.

M a x im iz a

z = 5A + 3y


A S 0,

y s 0.

a

+

15.

M in im iz a

z = 5a + 4 y


ASO,

y so .

a+ y

1 6.

M in im iz a z =

2a + 3y


A S 0,

y s 0.

a + y s 3.

17.

M a x im iz a z

= 5a + 2 y


ASO ,

y

18.

M a x im iz a z

= 2a + 4y


ASO .

y s 0,

3y

so,

A

+ v < 6.

+ y s 2.

a

+ y s 1

a < 5,

y < 7

x^

y < 3

3 y s 6.

a

5.

+ y < 8

2a + 3 y < 1 2 .

ys

2,

A+

s

2,

2 v + 3 y < 12.

+y

s

10.

2 v -1- y s 4 ,

y s 8.

a+ y 2v

Iv + y s lO

< 9, x +

+y >

a+ v

^

9

3 x + 2 y < 12

10.

3.v + y < 12 3v s 6

x+

2y s 10

SUCCIÓN I2.N Programaciónlineal 929 Aplicaciones y extensiones M admiración cU' U n g*n*uri*s

Un rubricante de esquís

produce do» lip** de d escen so o para enm po traviesa. I 's.t ; <•» '»guíem e tabla para determ inar que cantidad ele cada tipo L * J e CM|U» v d eb e producir para lograr una ganancia máxima. • * ,<»•>> CS la ganancia n ia v in a ,*¿t nal sen a la ganancia máxi nía m el tiem p o de fabricación se increm entara 4M luirás?

(b ) ¿ C u á n to d e b e re co m e n d a r e l c o r re d o r q u e d e p o s ite el

Q

Tiempo de IttxkK iún por esquí TVmpo tV JvJtudo po# e^qu» Ganancia por esquí

D« descenso

A campo traviesa

Tiempo disponible

2 6c»as

t hora

40 horas

t hora

1 hora

$70

$50

c lie n te en ca d a in v er sió n para m axim izar lo s in g re so s si e l c lie n te in siste e n q u e la ca n tid a d in vertid a en le tras d e l te so r o n o d e b e e x c e d e r la ca n tid a d in vertid a e n b o n o s chatarra? 24.

P ro g ra m a d e p ro d u c ció n

E n una fábrica la m áq u in a I

p ro d u c e p in zas d e 8 p u lg a d a s (in .) co n una lasa d e 6 0 u n i d a d e s p o r hora (h ) y p in zas d e 6 in. C o n una tasa d e 70 u n id n d es/h . La m á q u in a 2 p ro d u c e p in za s d e 8 in co n una la sa de 41) u n id a d e s/h y p in zas d e 6 in co n una tasa d e 20 u n id a d e s/h . El c o s to d e o p era r la m á q u in a I e s d e $50/h y

32 horas

e l c o s to d e la m a q u in a 2 e s d e $30/h . El p rogram a d e p ro

i -W* A d m in istr a c ió n d e u na gran ja

d u c ció n re q u ie re q u e se fab riq u en al m e n o s 240 u n id a d es d e las p in za s d e 8 in y al m e n o s 140 u n id a d e s d e p inzas d e

U n g ra n jero tie n e 7 0 a cres

6 in cad a día d e 10 horas. ¿ Q u e c o m b in a c ió n d e m áq u in as

d e tierra d isp o n ib le para p la n ta r ya se a so y a o trigo. Un la

ten d rá e l m en o r c o s to d e o p e r a c ió n ?

s ig u ie n te ta b la se d an e l c o s to d e p rep arar la tierra, los d ias d e trab ajo r e q u e r id o s y las g a n a n c ia s p or acre p la n ta d o

25.

A d m in istr a c ió n d e un m erca d o d e carn e

U n m er ca d o d e

ca rn e c o m b in a la ca r n e m o lid a d e res y la ca rn e m o lid a de

para ca d a tip o d e co s e c h a :

c e r d o en un s o lo p a q u ete para a lb ó n d ig a s. La ca rn e m o lid a

Soya

Trigo

Costo de preparación por cada acre

$60

Días de trabajo que se requieren por cada acre Ganancia por cada acre

3 $180

$30 4

d e res e s 75% m agra (75% ca r n e . 25% g ra sa ) y le c u esta al m erca d o $0.75 por libra (Ib). La ca r n e m o lid a d e c e r d o es 60% m agra y le cu esta al m er ca d o $ 0 .4 5 /lb . L as a lb ó n d ig a s d e b e n ser p or lo m e n o s 70% m agras. Si el m er ca d o q u ie re

$100

usar al m e n o s 5 0 Ib d e su ca rn e d e c e r d o d isp o n ib le , p ero til granjero n o p u ed e gastar m ás d e $ I SOI) en co s to s d e p rep a

n o m ás d e 2 0 0 Ib d e su ca r n e d e res d isp o n ib le, ¿cu án ta

ración ni usar m as d e un total d e 120 d ia s d e trabajo. ¿C u án

ca rn e m o lid a d e res se d e b e m ezcla r co n la d e c e r d o para m in im izar e l c o s to ?

tos acres d e cad a cu ltiv o se d e b e n d e plantar para m a x im i/a r las gan ancias? ¿ A c u a n to a sc ien d e n las gan an cias m áxim as? ¿ D e cu á n to so n las gan an cias m áxim as si el granjero n o está d isp u esto a gastar m as d e $2400 en la preparación ?

21. A s ie n to s para un b a n q u e te

U n sa ló n d e b a n q u e te s o fr e

c e d o s tip o s d e m e s a s e n renta: m e sa s re cta n g u la r es para 6 p e r so n a s c o n un c o s to d e $2S ca d a una y m esa s re d o n d a s para 10 p e r s o n a s co n un c o s to d e $52 ca d a una. K a th lec n q u ie r e ren tar e l sa ló n para un b a n q u e te d e b o d a s y n e c e sita m esa s para 2 5 0 p er so n a s. El lugar p u e d e te n e r c o m o lares d isp o n ib le s . ¿ C u á n ta s m e sa s d e ca d a tip o se d e b e n

H e la d o La co m p a ñ ía d e h e la d o s T h e M on i and P op p ro d u ce d o s tip o s d e h e la d o d e ch o co la te : regular y prem iu m .

rentar para m in im izar el c o s to y cu ál e s e l c o s to m ín im o ?

Las p r o p ie d a d e s d e 1 g a ló n (g a l) d e cad a tip o se m uestran

f u e n te : f a a lilte i.p n n c ir lo n .f J ii

en la tabla

m á x im o 35 m e sa s y e l sa ló n s o lo tie n e 15 m esa s re cta n g u

22.

V a c a c io n e s

26.

El d e p a r ta m e n to d e a c tiv id a d e s d e una u n i

v ersid a d co m u n ita ria p la n e a rentar c a m io n e s y c a m io n e ta s

r *, i

para un viaje d e v a c a c io n e s. C a d a c a m ió n tie n e 4 0 a sie n to s

^ 4

n o r m a le s y u n o para d isca p a cita d o s; ca d a c a m io n e ta tie n e ' 8 a sie n to s re g u la re s y 3 para d isca p a cita d o s. El c o s to de ren ta e s d e $ 3 5 0 p or ca d a c a m io n e ta y $075 por ca d a c a m ión . Si se re q u ieren 3 2 0 a sie n to s reg u la res y 3 6 para d is ca p a cita d o s para e l v ia je, ¿ c u á n to s v e h íc u lo s d e cad a u n o

Regular

Premium

Saboñzante

24 oz

20 oz

Productos lácteos

12 oz

20 oz

Peso de envío

5 Ibs

6 Ibs

Ganancias

$0.75

$0.90

se d e b e n rentar para m in im iza r e l c o s to ? A d e m á s, lo s co m p r o m iso s a ctu a les re q u ie re n q u e la c o m p añía p rod u zca al m e n o s I gal d e h e la d o p rem iu m por

luente: ivwvc. b tura tes. com 23. R e n d im ie n to

U n c lie n te le in dica a su co r r e d o r d e in v er

cad a 4 gal d e h e la d o regular. C ada día la co m p a ñ ía tien e d isp o n ib le s 725 libras (Ib) d e s a b o r e a n te s y 425 Ib d e p ro

s io n e s q u e in vierta hasta $ 2 0 ,0 0 0 , p arte en b o n o s chatarra q u e rind en 9% al a ñ o y parte en letras d el te so r o q u e lin

d u c to s lá c te o s. Si la co m p a ñ ía n o p u e d e en v ia r m ás d e 3000

d en 7% al añ o . El c lie n te q u ie r e in vertir al m e n o s $8000 en

Ib d e p ro d u c to al d ía, ¿ cu á n to s g a lo n e s d e cad a tip o se d e b en p rod ucir d ia ria m en te para m axim izar las gan an cias?

letras d el te so r o y n o m ás d e $ 1 2 .0 0 0 en b o n o s chatarra, (a ) ¿ C u á n to d e b e reco m e n d a r el c o r re d o r q u e d e p o site el clie n te en cad a in v er sió n para m axim izar los in g reso s si el c lie n te in siste q u e la ca n tid a d in vertid a en b o n o s d el te so r o d e b e ser igual o e x c e d e r la can tid ad in v erti da en b o n o s ch atarra?

F uente: w w w .sc iio y s.c o m /in g re tU e n ts/ic e _ c re a m .lu n il

27.

iM axiiuización d e las gan ancias en p atin es d e h ielo

U na

fábrica p rod uce d o s tipos de p a tin es de hielo: p atin es de carreras y p atin es d e patinaje artístico. L os p a tin es de

930 CAPÍTULO 12


carreras requieren de 6 horas de trabajo en el departamen to de fabricación, mientras que los de patinaje artístico re quieren de 4 horas. Los patines de carreras requieren de I hora de trabajo en el departamento de acabados mientras que los patines de patinaje artístico requieren de 2 horas de trabajo en acabados. El departamento de fabricación tiene disponibles a lo mucho 120 horas de trabajo al día y el de partamento de acabados no tiene más de 40 horas de trabajo disponibles diariamente. Si las ganancias por cada patín de carreras son de $10 y las ganancias por cada patín de patina je artístico son de $12, ¿qué cantidad se debe de producir al día de cada tipo para maximizar las ganancias? (Considera que se venden todos los patines que se fabrican.) 28. Planeaeión financiera Una pareja de jubilados tiene has ta $50,000 para invertir en títulos de rendimiento fijo. Su asesor financiero les siguiere dos títulos: uno es un bono AAA que rinde 8% al año, el otro es un certificado de depósito (CD) que rinde 4%. Después de considerar sus alternativas, la pareja decide invertir a lo mucho $20,000 en el bono AAA y al menos $15,000 en el CD. También le indican al asesor financiero que invierta al menos la misma cantidad en el CD que en el bono AAA. ¿Cómo debe pro ceder el asesor para maximizar el retorno de su inversión? 29. Diseño de un producto Un empresario quiere que un grupo diseñador produzca al menos seis muestras de un nuevo tipo de fijador que quiere vender. Cuesta $9.00 producir cada fijador de metal y $4.00 producir cada fija dor de plástico. Él quiere tener al menos dos de cada ver sión de fijador y necesita las muestras antes de 24 horas (h). Toma 4 h producir cada muestra de metal y 2 h producir cada muestra de plástico. Para minimizar el costo de las

muestras, ¿cuántas muestras de cada tipo debe ordenar el empresario? ¿( ,'uál será el costo de las muestras? 30. Nutrición animal A Amadeus, el perro de Kcvin, le guv tan dos tipos de comida enlatada para perro. La comida Gourmet Dog cuesta 40 centavos por lata y tiene 20 uni dades de un complejo vitamínico y 75 calorías. 1.a comida Chow Hound cuesta 32 centavos por lata y tiene 35 unida des de vitaminas y 50 calorías. Kevin quiere que Amadeus consuma al menos 1175 unidades de vitaminas al mes y al menos 2375 calorías durante el mismo periodo. Kevin vilo tiene espacio para almacenar 60 latas de comida a la vez. ¿Cuántas latas de cada tipo de comida para perro debe comprar Kevin cada mes para minimizar el costo? 31. Ganancias de una aerolínea Una aerolínea tiene dos cla ses de servicio: primera clase y clase turista. 1.a experiencia de la administración establece que cada avión debe tener al menos 8 pero no más de 16 asientos de primera clave y al menos 80 pero no más de 120 asientos de clase turista. (a) Si la administración decide que la razón de los asientos de primera clase a los asientos de la clase turista no debe exceder 1:12, ¿con cuántos asientos de cada clase se debe configurar un avión para maximizar las ganancias? (b) Si la administración decide que la razón de los asientos de primera clase a los asientos de la clase turista no debe exceder 1:8. ¿con cuántos asientos de cada clase se debe configurar un avión para maximizar las ganancias? (c) Si tú fueras el administrador, ¿qué harías? [Sugerencia: considera que la aerolínea cobra SC por un asiento de clase turista y SFpor un asiento de pri mera clase; C > 0, F > C. J

Explicación de conceptos: discusión y escritura 32. Explica en tus palabras qué es un problema de programación lineal y cómo se resuelve.

REPASO DEL CAPÍTULO Cosas que debes saber Sistemas de ecuaciones (pp. 843-845)

Los sistemas sin soluciones son inconsistentes. Los sistemas con una solución son consistentes. Los sistemas de ecuaciones lineales consistentes tienen una solución única (independiente) o un número infinito de soluciones (dependiente). Matrices (p. 858) Arreglo rectangular de números llamados entradas Matriz aumentada (p. 859) Operaciones de fila (p. 860) Forma escalonada (p. 861) Determinantes y regla de Cramer (pp. 873,875,876-877 y 878) Matrices (p. 883)

Matriz de m por n (p. 883) Matriz identidad In (p. 890) Inverso de una matriz (p. 891) Matriz no singular (p. 891)

Matriz con m filas y n columnas Matriz cuadrada de n por n cuyas entradas en la diagonal son números 1 mientras que todas las demás entradas son ceros. A '1es el inverso de A si A A 1= A 'A = ln. Una matriz cuadrada que tiene inverso

Problemas de programación lineal (p. 924)

Maximizan (o minimizan) una función objetivo lineal, z —A.x + B\\ sujeta a ciertas condiciones o restricciones, que se pueden expre sar como desigualdades lineales en .v y y. Un punto factible (.v,y) es un punto que satisface las restricciones (desigualdades lineales) de un problema de programación lineal. Localización de la solución (p. 926)

Si un problema de programación lineal tiene solución, ésta se localiza en un punto de esquina de la gráfica de los puntos factibles. Si un problema de programación lineal tiene varias soluciones, por lo menos una de ellas se localiza en un punto de esquina de la gráfica de los puntos factibles. En cualquier caso, el valor correspondiente de la función objetivo es único.

Repasodel Capítulo 931 Objetivos Sección


12.1

12.3

12.4

12.5

4

1-14,101, 102, 105-107

Resolver sistemas de ecuaciones por eliminación (p. 847)

5,6

1-14, 101, 102, 105-107

Identificar sistemas de ecuaciones inconsistentes con dos variables (p. 848) Expresar la solución de un sistema de ecuaciones dependiente con dos variables (p. 849)

7

9, 10, 13, 98

8

14, 97

Resolver sistemas de tres ecuaciones con tres variables (p. 852)

9

15-18, 99,100, 103

10

18

/

Identificar sistemas de ecuaciones inconsistentes con tres variables (p. 852) Expresar la solución de un sistema de ecuaciones dependientes con tres variables (p. 852)

11

17

/

Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales (p. 859)

1

35-44

Escribir el sistema de ecuaciones a partir de la matriz aumentada (p. 859)

2

19, 20

Realizar operaciones de fila en una matriz (p. 859)

3,4

35-44

/

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices (p. 861)

5-10

35-44

/

1

45,46

4

47-50

5

55,56

y

Evaluar determinantes de 2 por 2 (p. 873) Usar la regla de Cramer para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables (p. 874) Evaluar determinantes de 3 por 3 (p. 876) Usar la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables (p. 874) Conocer las propiedades de los determinantes (p. 879)

6-9

57,58

y

Determinar la suma y la diferencia de dos matrices (p. 884)

3,4

21,22

y

Determinar múltiplos escalares de una matriz (p. 885)

5

23, 24

y

Determinar el producto de dos matrices (p. 886)

6-11

25-28

y y

12-14

29-34

15

35-44

y

Determinar el inverso de una matriz (p. 891) Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el inverso de una matriz (p. 895) p Descomponer—.donde Q solo tiene factores lineales no repetidos (p. 900)

1

59, 60

y

p Descomponer —, donde Q tiene factores lineales repetidos (p. 902)

2,3

61,62

p Descomponer —. donde Q tiene un factor cuadrático irreducible no re petido (p. 904)^

4

63, 64,67,68

5

65,66

1,3 2,4 2-4

69-78 69-78 79-82

Establecer un problema de programación lineal (p. 924)

5-10 1

83-92,104 108,109

Resolver un problema de programación lineal (p. 924)

2-4

93-96,108,109

y

y

Descomponer —, donde Q tiene un factor cuadrático irreducible repe tido (p. 905) Q Resolver un sistema de ecuaciones no lineales por sustitución (p. 907)

y

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales por eliminación (p. 908)

y

Representar una desigualdad gráficamente (p. 916) Representar un sistema de desigualdades gráficamente (p. 918)

y 12.6 12.7

y 12.8


Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución (p. 845)

/

12.2

Ejem plos

y y

51-54

Ejercicios de repaso En los problemas 1—18, resuelve cada sistema de ecuaciones usando el método de sustitución o el método de eliminación. Si el sistema no tiene solución, indica que es inconsistente. 2x + y 3x - Ay = 4 0 2x + 3y = 2 Í2x— y = 5 4. 3. 13 , 1 1. 5a: - 4y 7x - y = 3 [5x + 2y = 8 *" =2 2

932

CAPÍTULO 12


í x - 2y - 4 = 0 3x + 2y -- 4 = 0

y - 2jt —5

7.

I

II.

(

i x - 3y + 5 - 0

1[2x

x — 3y + 4 = 0 4 .. 1 3 2- x - - y + ~ = 0

3y - 5

+

0

=

x + \y = 2 4 4x + 2 = 0

I 10. 1[y +

2x + 3 y -

13 = 0

2y

3x -

/ Jt « 5 y + 2

8.

x = 3y 4 4

(y -

4 x + 5 y » 21

12.

5 x + 6 y * 42

« O

x + 2y 3x - 2y = 13.

2x +

8

14.

16.

2x + x -

y + y +

z =

2

z =

7

15. < 2 x -

4 x + lOy = 20

x - | y = 12

x + 5y -

5 y = 10

x

17.

2z = 11

z =

6

y + 3z = - 1 3

„3 x - 2 y + 3 z * - 1 6

x - 4y + 3z =

z = -1 5

2x - 4y +

5x + 2

+ 2 y - 4z =

27

5 x - 6 y - 2z =

-3

18. ' - 3 x +

15

y - 5z = - 5

„- 7 x - 5y - 9z =

10

En /«.V problemas 19 y 20, escribe un sistema de ecuaciones que corresponda a la matriz aumentada que se da. 3

2

_!

4

8~

"l

2

5

5

0

-3

20.

-1

_2

-1

-2 ' 8 0_

0

21. A + C 25.

2_

1

I

22. A - C

AB

26.

BA

' o

1

B=

2 4 -1

1 u>

=

-U

1 0

A

____ 1

En los problemas 21-28, usa las siguientes matrices para calcular cada expresión.

-2

C =

3

-4

1

5

_5

2_

23. 6/1

24.

-AB

CB

28.

BC

27.

En los problemas 29—34, determina el inverso, si existe, de cada matriz. Si no existe, indica que la matriz es singular.

29.

~4 6~ _1

30.

3_

’ -3 1

1

í

1

31.

-2 _

3

"3

1

3

2

1

1

2~ 4

33.

-1

1

-8 ~ 34.

2_

2

-1

r-

-1

1

2

_1

32.

3

“i

-3 1

L -6

2j

En los pi oblemas 35 44, resuelve cada sistema de ecuaciones usando matrices. Si el sistema no tiene solución, indica que es inconsistente.

35.

í

3x -

\ 1 0 a- +

2y = 1 lOy = 5

3a + 2y l X_

2x + 38.

4 a- -

y + y -

. 8a- + y -

z = 5 3z = 1

z

= 5

-v - y + z = 0 4!. .v - y - 5z - 6 = 0 , 2a- - 2y + z - 1 = 0

=

36. <

6

5x - 6y - 3:

6

1

3 7 . - 4.v - 7 y - 2 ;

-3

-V = ' 2

3x +

1

A - 2z = 39. <

2a- +

3y = - 3

4a - 3y - 4z =

4a- - 3y + 5z 42.« 2a- + 4y - 3z k6a- + 2v + z

= = =

22

+ 2v -

z =

40. < I v - 2y +

z =

-1

6a + 4v + 3z =

5

a

3

0 0 0

1

v - 7;

43. <

x - y — z 2a + y - z x - 2y - 2z 3a - 4v + z

— t + 2t - 31 + 5f

= 1 = 3 = 0 = -3

Rep.isodel Capitulo 933 Jt - 3v + .1; — i m

4

4 + 2v - ; - -3 » + 3* + 2/ » 3 .4 + V + 5c * 6

44. 4

Eri los problt mas 45 50. obten el valor tle unía determinante. 45.

3 4 I 3

46.

2 3 10 0 I 5 -1 2 3

48.

1 4 0 47. -1 2 6 4 1 3

-4 0 I 3

2 l -3 49. 5 0 1 2 6 0

50.

-2 1 0 1 2 3 -1 4 2

53. {

2.r + 3y - 13 = 0 3.r - 2v = 0

hn los problemas 51 5b, usa la regla de t ramer, si es posible, para resolver cada sistema,

j x - 2v = 4 5L \ 3 , + 2v = 4

54. | 3 t ’ 4 V " 12 = ° (5.4 + 2y + 6 = 0

.4 - 3y = -5 + 3y = 5

«■

2.4

55.

.4 + 2y - z = 2.x - v + 3c = -13 3.4 - 2y + 3c = -16

.4 - y + c = 8 56. 2.4 + 3v - c = -2 .3.4 - y - 9c = 9

F.n los problemas 57y 58, usa las propiedades de los determinantes para obtener el valor de cada determinante si se sabe que x y = 8 a b ri

57.

y 2a b

58.

y .4 b a

En los problemas 5*4-08, escribe la descomposición en fracciones parciales de cada expresión racional. 59.

6

i(1 60.

-4(-4 - 4) 3.4

64. (.4

-

2 )(.r +

.4_____

_ 61.

(.4 + 2)(.4 - 3)

■4~(-4 - 1)

.r1 1)

,v - 4

„

(.r + 4 )‘

x3 + 1 {x2 +

16)"

„ 62.

2 .4 -6 (.4 - 2)2(.4 - 1)

63.

67.

x2 (X2 + 1)(.42 - 1)

68.

(.42 + 9)(.4 + 1) ______ 4______ (.42 + 4)(.42 - 1)

En los problemas 6*4-78, resuelve cada sistema de ecuaciones. ,2 ..

3.42 - y2 = 1 7.42 - 2y2 - 5 = 0

3.42 + 4.4y + Sy2 = 8 .42 + 3.4y + 2y2 = 0

70. |

3.42 + 2.4y - 2y2 = 6 .4y - 2y2 + 4 = 0

7 ...

2.42 + y2 = 9 x2 + y2 = 9

75. <

2.4 + y + 3 = 0 x2 + y2 = 5

70. •

73. -

x2 + y2 = 6y .42 = 3y

,4 ..

77.

2.4y + y2 = 10 3.V2 - .4y = 2

’ .4“ + y2 = 16 2.4 - y2 = -8

69. •

r x2 - 3.4 + y2 + y = -2 .4- - .4 + y + 1= 0

78. ,

x2 + x + y2 = y + 2 .4 + 1 =

En los problemas 79—82, traza la gráfica de cada desigualdad. 79. 3.4 + 4v ^ 12

80. 2.4 - 3y s 6

82. .4 > y2

81. y < x1

En los problemas 83-88, traza la gráfica de cada sistema de desigualdades. Indica si la gráfica es acotada o no acotada y marca los puntos tnto: de esquina. í > 0 -2.4 + y < 2 •i x +y s 2

83

84.

.4 —2y —6 24 + y 2 2

85.

y> 0 .4 + y < 4 . 2.4 + 3y s 6

934 CAPÍTULO 12 86.

Sistemas

deecuacionesydesigualdades

y> 0 3x + y s 6 2a: + y s 2

87.

X 2: y 2: 2a: + y s a + 2y 2

/ 0 0 8 2

88.

x Se 0 y2 0 3x + y £ 9 2 ac + 3y a 6

En los problemas 89—92, traza la gráfica de cada sistema de desigualdades. 89.

íx 2 4- y2 s 16 \x + y s 2

90.

íy2 < x - 1 1x - y£ 3

91.

Iy ^ ^

I jcy ^ 4

92.

a:2 +

y2 se 1 a:2 + y2 ¿ 4

£n los problemas 93—96, resuelve cada problema de programación lineal. 93. Maximiza z = 3a: + 4y bajo las restricciones a: s 0, y s0,3x: + 2y 2 6 , A:+ y ^ 8 94. Maximiza z = 2a: + 4y bajo las restricciones A 2 0 , y 2 0 1A+ y s 6 , r 2 2 95. Minimiza z = 3x + 5y bajo las restricciones x 2 0 ,y > 0, a: + y s 1,3x + 2y =s 12,x + 3y < 12 96. Minimiza z = 3* + y bajo las restricciones x&O, ysO , x ^ 8 , y =£6, 2a: + y a 4 97. Determina A de manera que el sistema de ecuaciones ten ga un número infinito de soluciones. + 5y = 5 [4 a: + lOy = A 98. Determina A de manera que el sistema del problema 97 sea inconsistente. 99. Ajuste de curvas Determina la función cuadrática y = a x 2 + b x + c que pasa por los tres puntos (0,1), (1,0) y (-2,1). 100. Ajuste de curvas Determina la ecuación general del cír culo que pasa por los tres puntos (0,1), (1, 0) y (-2,1). [Sugerencia: la ecuación general de un círculo es x 2 + y 2 + Í2 x

Dx + Ey + F -

0.]

101. Mezcla de café Un distribuidor de café mezcla un nuevo café que costará $6.90 por libra. La mezcla constará de una mezcla de $6.00 por libra de café y $9.00 por libra de café. ¿Cuáles son las cantidades que se deben mezclar de cada tipo de café para adquirir la mezcla deseada? [Sugerencia: Considera que el peso del café mezclado es de 100 libras.]

102. Cultivos Una granja de 1000 acres en Illinois se usa para cultivar maíz y soya. El costo por acre de cultivar maíz es de $65 y el costo por acre de cultivar soya es de $45. Si se debe usar el presupuesto total de los costos para todos los acres de $54,325, ¿cuántos acres se deben designar para cada cultivo? 103. Pedidos de galletas Una compañía de galletas hace tres tipos de galletas, de avena con pasas, de chispas de cho colate y de mantequilla y las empaca en cajas pequeñas, medianas y grandes. La caja pequeña contiene 1 docena de galletas de avena con pasas y 1 docena de galletas de chispas de chocolate; la caja mediana tiene 2 docenas de galletas de avena con pasas, 1 docena de galletas de chispas de chocola

te y 1 docena de galletas de mantequilla; la caja grande con tiene 2 docenas de galletas de avena con pasas, 2 docenas de galletas de chispas de chocolate y 3 docenas de galletas de mantequilla. Si tú quieres exactamente 15 docenas de ga lletas de avena con pasas, 10 docenas de galletas de chispas de chocolate y 11 docenas de galletas de mantequilla, ¿cuán tas cajas de cada tamaño debes comprar? 104. Mezcla de nueces Una tienda que se especializa en ven der nueces tiene disponibles 72 libras (Ib) de nueces de la India y 120 Ib de cacahuates. Estos se mezclarán en paque tes de 12 onzas (oz) de la siguiente manera: un paquete de menor precio que contenga 8 onzas (oz) de cacahuates y 4 oz de nueces de la India y un paquete de calidad que contenga 6 oz de cacahuates y 6 oz de nueces de la India. (a) Usa x para denotar el número de paquetes de menor precio y y para denotar el número de paquetes de cali dad. Escribe un sistema de desigualdades lineales que describa el número posible paquetes de cada tipo. (b) Traza la gráfica del sistema y marca los puntos de esquina. 105. Determinar la velocidad de la corriente del río Aguaríco En una expedición reciente a la reserva ecológica Cuvabeno en la región ecuatoriana del Amazonas, Mike tomó un viaje en lancha de 100 kilómetros río abajo en el Aguaríco desde Chiritza al Flotel Orellana. Mientras Mike observa ba el Amazonas, se preguntó qué tan rápido iba la lancha y qué tan rápido iba la corriente del agua del río Aguaríco. Mike registró que el tiempo del viaje río abajo fue de 2.5 horas y el viaje de regreso fue de 3 horas. ¿Cuáles fueron las dos velocidades? 106. Determinar la velocidad de una corriente de siento En un vuelo entre el aeropuerto Midway de Chicago y el Fuer te Lauderdale, Florida, un Boeing 737 mantiene una velo cidad aérea de 475 millas por hora. Si el viaje de Chicago al Fuerte Lauderdale toma 2 horas, 30 minutos y el viaje de regreso toma 2 horas, 50 minutos, ¿cuál es la velocidad de la corriente de aire? (Considera que la velocidad de la corriente de aire se mantiene constante en las diferentes alturas del avión y que el avión vuela con el viento a favor en una dirección y con el viento en contra de regreso.) 107. Trabajos de tasa constante Si Bruce y Bryce trabajan juntos durante 1 hora con 20 minutos, terminarán cierto trabajo. Si Bryce y Marty trabajan juntos durante 1 hora con 36 minutos, pueden terminar el mismo trabajo. Si Mar ty y Bruce trabajan juntos, pueden completar este trabajo en 2 horas con 40 minutos. ¿Cuánto le toma a cada uno terminar el trabajo si lo hace solo?

Examendel Capítulo 935 108. Maximización de las ganancias de estatuillas Una fábrica produce dos tipos de estatuillas de cerámica: una bailarina y u,1;l sirena. Cada una requiere de tres procesos: moldeat do, pintado y acristalamiento. El tiempo de trabajo diario disponible para moldeado no excede 90 horas, el tiempo dis* ponible para pintado no excede 120 horas y el trabajo dispo* - nible para acristalamiento no excede 60 horas. La bailarina requiere de 3 horas de trabajo para moldeado, 6 horas para pintado y 2 horas para acristalamiento. La sirena requiere de 3 horas de trabajo para moldeado, 4 horas para pintado y 3 horas para acristalamiento. Si las ganancias de cada esta tuilla son de $25 por bailarina y $30 por sirena, ¿qué canti dad de cada una se debe producir diario para maximizar las ganancias? Si la administración decide producir el número de cada estatuilla que maximiza las ganancias, determina cuál de estos procesos tiene horas de trabajo asignadas que no se usarán.

109. Minimizución del costo de producción Una fábrica pro duce motores de gasolina y de diesel. Cada semana la fá brica tiene que entregar al menos 20 motores de gasolina y 15 de diesel. Sin embargo, debido a las limitaciones físicas, la fábrica no puede producir más de 60 motores de gaso lina, ni más de 40 motores de diesel por semana. Por últi mo, para prevenir despidos, se deben producir un total de al menos 50 motores. Si producir cada motor de gasolina cuesta $450 y producir cada motor de diesel cuesta $550, ¿cuántos de cada tipo se deben de producir a la semana para minimizar el costo? ¿Cuál es la capacidad de exceso de la fábrica, esto es, cuántos motores de cada tipo se pro ducen en exceso con respecto al número que la fábrica está obligada a entregar? 110. Describe cuatro formas de resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables. ¿Qué método pre fieres? ¿Por qué?

Los videos de preparación para examen del capítulo son solu ciones paso a paso disponibles en el DVD de Recursos en Video, en MyMathLab\ o en el canal de YouCüj ' de este texto. Consulta la página de recursos del estudiante para ver la dirección exacta de la página Web para el canal de YouTube de este texto.

CH APTER

* ro Test Prep

EXAMEN DEL CAPITULOI

\Z S

VIDEOS1

En los problemas 1-4, resuelve cada sistema de ecuaciones usando el método de sustitución o el método de eliminación. Si el sistema no tiene solución, indica que es inconsistente. —2x + y = -7 4.r + 3y = 9 x - y + 2z = 5 3. 3.r + 4y - z = -2 i5.v + 2y + 3 z= 8

2.

3x + 2y 4.

En los problemas 13-16, resuelve cada sistema de ecuaciones usando matrices. Si el sistema no tiene solución, indica que es inconsistente.

\ x ~ 2y= 1 3 5x - 30y = 18

-* -F +

8z = -3 2«

13.

1

6.v - 3y + 15z = 8

14.

5. Escribe la matriz aumentada correspondiente al sistema de 4x - 5 y + z = 0 ecuaciones:? -2 x - y + 6 = -19 x + 5y - 5z = 10 6. Escribe el sistema de ecuaciones correspondiente a la ma" 3 2 4 - 6" 2 1 0 8 -2 1 3 -1 1 . En los problemas 7—10, usa las matrices que se dan para calcular cada expresión. 4 6 1 -1 1 -2 5 1 3 C = B = A = 0 -4 0 3 1 -1 8 3 2 triz aumentada:

7. 2A + C

8. A - 3C

9. CB 10. BA En los problemas 11 y 12, determina el inverso de cada matriz r#

_ 3 2 11. A = _5 4_

r " l -1 5 -i 12. B = 2 0_ 3 2

6x + 3y = 12 2x — y = -2

15.

x + \y=7 . 8jc + 2y = 56 * + 2y + 4z = -3 2x + ly + 15z - -12 4x + ly + 13z = -10

2x + 2y - 3z = 5 16. x - y + 2z = 8 _3x + 5y - &z = -2 En los problemas 17 y 18, obtén el valor de cada determinante. 17.

-2 5 3 7

18.

2 -4 6 1 4 0 -1 2 -4

En los problemas 19 y 20, usa la regla de Cramer, si es posible, para resolver cada sistema. 19.

4jc + 3y - -23

3x - 5y = 19

- 3y + 2z = 15 20. < -2 x + y - 3z = -15 5x - 5y + 2z = 18 4x

936 CAPÍTULO 12


En los problemas 21 y 22, resuelve cada sistema de ecuaciones.

26. T raza la gráfica d el siste m a d e d e sig u a ld a d e s. Indica si b gráfica e s a co ta d a o n o a c o ta d a y m arca t o d o s lo s puntos

Í3x2 + y2 = 12 21. \ y2 = 9x 22. 23.

d e esq u in a ,

’x

í 2y2 - 3x2 = 5 1 y -

x + 2y 2 8

= 1

X

a 0

y z 0

, 2x -

3y 2 2

T raza la gráfica del sistem a d e d esig u a ld a d es: í r2 + |4 x

y2 s

27.

100

8 y x - 3 y s -3 ,

2 0

- 3y

En los problemas 24 y 25, escribe la descomposición en fraccio nes parciales de cada expresión racional 3x +

(x

M axim iza z = 5 * + 8 y b a jo las r e s t r ic c i o n e s x 2 0 , 2x •* y s

M eg a n fue d e c o m p r a s y a d q u ir ió 2 p a res d e p antalones d e m c z clilla , 2 p la y er a s d e tira n te s y 4 p la y era s por $90.00 P a ig e c o m p r ó en la m ism a tie n d a un par d e p a n ta lo n e s de m cz clilla , 3 p la y er a s d e tira n te s y 2 p la y er a s p or $ 6 2 10).

4x2^_3

25.

+ 3 )2

28.

D e te r m in a el p r e c io d e ca d a a rtícu lo .

x (x 2 + 3 )2

REPASO ACUMULATIVO En los problemas 1-6, resuelve cada ecuación. 1. 2 x 2 - x = 0

2. \Í5x

4.

5. lo g 3(x -

7.

3 a = 9 ' +1

D eter m in a si la fu n ció n

g(x)

guna d e las dos. La gráfica d e

=

2.r ------ e s x4 + 1

g, ¿ es

3.

+ 1 = 4

1) + lo g i( 2 x + 1) = 2

11. par, im par o m n-

sim étrica co n re sp ec to

2 x 3 - 3 x 2 - Kx - 3 = 0

6. 3 r =

T raza la g ráfica d e ca d a e c u a c ió n , (a ) y = 3 x + 6

(b ) x 2 + y 2 = 4

(c ) y = x J

(d)

(e) y = V x

(0 y = /

(g ) y = In x

(h )

(i) x 2 - 3 y 2 = 1

(j)

al eje x , al eje y o al orig en ? 8.

D eter m in a el cen tro y el rad io d el círcu lo x 2 + y 2 - 2x + 4y - 11 = 0 . T raza la gráfica d el círcu lo.

9.

C o n stru y e la gráfica d e / ( x ) = 3 *1“2 + 1 u sa n d o tra n sfo rm a c io n e s. ¿C uál e s e l d o m in io , el ran go y la a sín to ta h o r iz o n tal d e / ?

10.

La fu n ció n /(.y)

=

—— — e s in y ectiv a . D e te r m in a

D e

term in a el d o m in io y e l ra n g o d e / y el d o m in io y el ran go de

e

y =

-

2 x : + 5yr = 1 x2- 2 x - 4 y + l = 0

/(x ) = x’ - 3 x + 5 (a ) U s a n d o un d isp o s itiv o g rá fic o , o b te n la gráfica d e / y a p ro x im a lo s c e r o s d e / . (b ) U s a n d o un d is p o s itiv o g r á fic o , a p ro x im a lo s m áxim os y m ín im o s lo c a le s. (c ) D e te r m in a lo s in te r v a lo s e n lo s q u e / e s cr e c ie n te .

PROYECTOS DEL CAPÍTULO P r o y e c to d el ca p ítu lo b a sa d o en In tern et. C ad en as d e M arkov

U n a ca d en a d e M arkov (o p ro ce so ) es

aq uella en la q u e los resu lta d o s futuros se d eterm in an p or un es ta d o actu al. L o s re su lta d o s fu tu ro s se basan en p ro b a b ilid a d es. La p ro b a b ilid a d d e p asar a c ie r to e sta d o d e p e n d e ú n ica m en te d el e s ta d o q u e se o cu p a p r e v ia m e n te y n o varía co n el tie m p o . U n e je m p lo d e una ca d en a d e M ark ov es la esco la r id a d m áx im a q u e logran lo s hijos co n b a se en la esco la r id a d m áx im a lograda p or su s p ad res, d o n d e lo s e s ta d o s son (1 ) o b tu v o una licen cia tu ra (2 ) ú n i c a m e n te d ip lo m a d e b a ch ille ra to , (3 ) ú n ic a m e n te e sc u e la prim aria. Si e s ta d o

j, la

p

e s la p ro b a b ilid a d d e pasar d el e s ta d o

m atriz d e tra n sició n e s la m atriz d e

Pu

P12

' *

P\m

m 'm

i al

La tab la r e p r e se n ta las p r o b a b ilid a d e s d el m á x im o n ivel d e esc o la r id a d d e lo s n iñ o s b a sa d o s e n e l m á x im o n iv el de esc o la r id a d d e su s p a d r es. P or e je m p lo , la tabla m u estra q u e la p ro b a b ilid a d />,, e s d e 40% d e q u e lo s p a d res co n

_ Pm1

Pm2

'

Pmm_

esc o la r id a d d e b a c h ille r a to (fila 2 ) ten g a n h ijo s c o n e s c o la ridad u n iv ersita ria (c o lu m n a 1).

Repasodel Capitulo 937 Escolaridad máxima da los padres

Escolaridad máxima que alcanza un niño Universidad

Bachillerato

Primaria

Universidad

80%

18%

2%

Bachillerato

40%

50%

10%

Primaria

20%

60%

20%

1. Convierte los porcentajes a números decimales. 2. ¿Cuál es la matriz de transición? 3. Suma a través de las lilas. ¿Qué puedes notar? ¿Por qué piensas que obtuviste este resultado? 4. Si /* es la matriz de transición de una cadena de Markov, la (/./ W'sima entrada de /* (enésima potencia de P) da la probabilidad de pasar del estado / al estado j en n etapas. ¿Cuál es la probabilidad de que el nieto de una persona con licenciatura tenga licenciatura?

5. ¿Cuál es la probabilidad de que el nieto de una persona que terminó el bachillerato obtenga una licenciatura? 6. El vector lila r"" = [0.2.XN 0.560 0.143| representa la pro porción de la población de los Estados Unidos de personas de 25 años o mayores que tienen licenciatura, diploma de bachillerato o que completaron la primaria, respectivamen te, como la mayor escolaridad en 2007.* En una cadena de Markov, la distribución de probabilidad v>k>después de k etapas es t>,*>= p1I.V '"/“, donde P* es la A-ésima potencia de la matriz de transición. ¿Cuál será la distribución de la máxima escolaridad alcanzada por los nietos de la población actual? 7. Calcula P', /“ , /* .... Continúa hasta que la matriz no cam bie. Esto se llama distribución a largo plazo. ¿Cuál es la distribución a largo plazo de la escolaridad máxima alcan zada por la población?

* F ílen le: D e p a r la m e n to d e C e n so d e E E .U U .

Los siguientes proyectos están disponibles en el Centro de recursos del profesor (IRC, por sus siglas en inglés): II. Proyecto en Motorola: Control de errores de código La ingeniería de alta potencia que se necesita para asegurar que las comu nicaciones inalámbricas se transmitan correctamente se analiza usando matrices para controlar errores de código. III. Uso de matrices para determinar la recta de mejor ajuste ¿Te has preguntado cómo obtiene tu calculadora una recta de mejor ajuste? Ve como determinar la recta resolviendo una ecuación matricia!. IV . Experimento por computación Simula a dos personas que caminan una hacia la otra con una velocidad constante. Después resuelve el sistema resultante de ecuaciones para determinar dónde y cuándo se encontrarán.

/

Sucesiones; inducción; teorema del binomio Contenido 13 .1 Sucesiones 1 3 .2 Sucesiones aritméticas 1 3 .3 Sucesiones geométricas; series geométricas

1 3 .4 1 3 .5 • •

• Repaso acumulativo • Proyectos del capítulo

Inducción matemática Teorema del binomio Repaso del capítulo Examen del capítulo

Perspectivas de la población mundial En julio de 2009, la población mundial llegó a 6.8 mil millones, 313 millones más que en 2005 o una ganancia de 78 millones de personas al año. Considerando que los niveles de fertilidad sigan en declive, se espera que la población mundial alcance los 9.1 mil millones para 2050 y que se incremente en alrededor de 33 millones de personas anualmente para entonces. El crecimiento futuro de la población depende en gran medida del camino que tome la fertilidad. Se cree que la fertilidad disminuirá de 2.56 hijos por mujer en 2005-2010 a 2.02 hijos por mujer en 2045 -2050. Si la fertilidad se mantuviera aproximadamente igual a medio hijo por encima de los niveles que se predicen, la población mundial llegaría a 10.5 mil millones para 2050. Si la fertilidad fuera de aproxi madamente medio hijo por debajo de las predicciones, la población mundial sería de 8 mil millones para ese entonces. Como consecuencia, el crecimiento de la población hasta el 2050 es inevitable aún si se acelera la disminución de la tasa de fertilidad. En años recientes en las regiones más desarrolladas, la fertilidad se ha incrementado ligeramente de manera que se estima que el nivel de 2005-2010 de 1.64 hijos por mujer de acuerdo con 2(X)8 Re visión, es más alto que el que publicado en 2006 Revisión (1.60 hijos por mujer). Como resultado de este ligero incremento en la fertilidad y de una inmigración neta constante promedio de 2.4 millones de personas al año, se espera que la población de las regiones más desarrolladas se incremente de 1.23 mil millones, en 2009, a 1.28 mil millones en 2050. La población de los 49 países menos desarrollados es la que crece más rápidamente en el mundo. 2.3 por ciento al año. Aunque se espera que la tasa de incremento se modere significativamente durante las próximas décadas, se estima que la población de los países menos desarrollados se duplique, pasando de 0.84 mil millones en 2009 a 1.7 mil millones en 2050. También se espera que el crecimiento en el resto de los países en desarrollo sea robusto, aunque menos rápido, con un incremento de población de 4.8 mil millones a 6.2 mil millones entre 2009 y 2050, de acuerdo con la variación media. Aunque se espera que la población de todos los países envejezca en el futuro cercano, la población se mantendrá relativamente joven en países donde la fertilidad aún es alta, muchos de los cuales, tienen un muy alto crecimiento de población. En muchos de los países en desarrollo prevalecen las tasas de crecimiento altas y muchos de ellos, son países con menos progreso. Entre 2010 y 2050, las poblaciones de 31 países, la mavoría de los cuales son los menos desarrollados, se duplicarán o más. Entre ellos, se predice que las poblaciones de Afga nistán, Burkina Faso, Níger, Somalia, Timor Este y Uganda se incrementen en 150% o más. F u en te: A d a p ta d o co n p e r m is o d e M illen iu m D e v e lo p m e n t G o a ls R e p o n 2 0 0 8 , p p . I X - X . Ó U n ite d N a tio n s, 2009.

((p) — Ver el proyecto 1 con base en Internet del capítulo—

938 Im i

Este capitulo se puede dividir en tres partes independientes: las secciones 13.1-13.3, la sección 13.4 y la sección 13.5. En el capítulo 3 definimos una función y su dominio, el cual, generalmente era el conjunto de números reales. En las seccio nes 13.1-13.3, estudiaremos una sucesión, que es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos. A lo largo de este texto, donde lo ameritaba, incluimos demostraciones de muchos de los resultados. En la sección 13.4. se estudiará una técnica para demostrar teoremas que involucren números reales. En el capítulo R, Repaso, sección R.4, puedes encontrar fórmulas para desarrollar (x+a)2y [x+á)\ En la sección 13.5, estudia remos el teorema del binomio, que es una fórmula para la expansión de [x+a)n, donde oes cualquier número entero positivo. Los temas de este capítulo se cubren con más detalle en cursos de matemáticasdiscretas. Se pueden encontrar aplicaciones para estos temas en los campos de las ciencias de la computación, ingeniería, negocios y economía, las ciencias sociales y las ciencias físicas y biológicas. ■P I

SECCIÓN 13.1 Sucesiones 939

13.1 Sucesiones P

r e p a r a c ió n

para

esta


s e c c ió n

• Funciones (sección 3.1, pp. 200-206) ' V Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 945. 1 Escribir los primeros términos de una sucesión (p. 939)

O BJETIVO S

2 Escribir los términos de una sucesión definida por una fórmula recursiva (p. 942) 3 Usar notación de suma (p.943) 4 Determinar la suma de una sucesión (p. 944)

Cuando escuchas la palabra sucesión como en una “sucesión de eventos”, seguramente piensas en algo que pasa primero, algo que pasa después y así sucesivamente. En las matemáticas, la palabra sucesión también trata con resultados que se dan primero, segundo, etc.

D E F IN IC IÓ N

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos. Entonces, en una sucesión las entradas son 1, 2, 3,.... Como una sucesión es una función, tendrá gráfica. En la figura l(a), mostramos la gráfica de la función f ( x ) = —, x > 0. Si se eliminaran todos los puntos de esta gráfica, excepto aquellos cuyas coordenadas jc son números enteros positivos, esto es, si se eliminaran todos 1 1 los puntos excepto (1,1), ^2, —J, ^3, —J, etc., los puntos restantes serían la gráfica de la sucesión f ( n ) = —, como se muestra en la figura l(b). Observa que usamos n para

i

Figura 1

representar la variable independiente en una sucesión. Esto sirve para recordarnos que n es un número entero positivo. y m 3A 3 2-\ i

2 Vfl.D 1 1

. 1 2

1 1' 3

4

r x

(1.D l 1

i

. 2

f

3

t

, 4

/7

(b) fl[n) = —, un número entero pos

(a) fl[x)=^,x>0

1 Escribir los primeros térm inos de una sucesión Una sucesión generalmente se representa dando una lista de sus valores en orden. Por ejemplo, la sucesión cuya gráfica se da en la figura l(b) se puede representar como /( l) ,/( 2 ) ,/( 3 ) ,/( 4 ) ,... o La lista no tiene fin, tal como lo indica la elipsis. Los números de esta lista ordenada se llaman términos de la sucesión. Al trabajar con sucesiones, generalmente usaremos letras con subíndices, como ííj para representar el primer término, a2 para el segundo término, a3 para el tercer término y así sucesivamente. 1 Para la sucesión f i n ) = - , escribimos n fll=/(

1) = 1,

primer término

a2

= f(2) = \ ,

segundo término

a3

- /(3 ) = | ,

tercer término

a4 = /(4 ) = cuarto término

an =

f(n) =

término enésimo

940

CAPÍTULO 13 Sucesiones; Inducción; teorema del binomio

En otras palabras, generalmente no usamos la notación tradicional de funcione* /(/,) para las sucesiones. Para esta sucesión en particular, tenemos una regla para el enésimo término que es a„ = , por lo tanto, es fácil determinar cualquier término de la sucesión. Cuando se conoce una fórmula para el enésimo término íque a veces se llama término general) de una sucesión, es común representar la sucesión completa po niendo llaves alrededor de la fórmula para el enésimo término. Por ejemplo, la suce sión cuyo enésimo término es hn = Q j se puede representar como

< *•>-«y) o como

E s c r ib ir los p rim e ro s té rm in o s de u n a su ce sió n

EJEM P LO 1

Escribe los primeros seis términos de la siguiente sucesión y traza su gráfica.

w So lución

■{ “

}

Los primeros seis términos de la sucesión son

Figura 2

«, = n 0,

a2 = 1

2 O} = ~,

3’

fl4 =

3 4*

= S’

a* ~

La gráfica se da en la figura 2.

COMENTARIO Los dispositivos gráficos se pueden usar para escribir los términos de una sucesión lliJ y construir su gráfica. La figura 3 muestra la secuencia que se dio en el ejemplo 1. generada por una calculadora gráfica TI-64 Plus. Podemos ver los primeros términos de la secuencia en la ventana de vlsuallzación. Debes presionar la tecla con la flecha derecha para bajar y ver los términos restantes de la sucesión. La figura 4 muestra una gráfica de la sucesión. Observa que et primer término de !a sucesión no se puede ver porque está en el eje x. El uso de TRACE en esta gráfica te permitirá ver los términos de la sucesión. También se puede usar la característica TABLE para generar los términos de la sucesión. Observa la tabla 1. Figura 4

Figura 3

Tabla 1

1 se^ K < X - 1 ) / X > X > 1»

r>

<0 . 5 .6 6 6 6 6 6 6 6 ... Fin s ►F r a c <0 1 / 2 2 / 3 3 / 4 ...

1 2 3 5 s 6 ?

•

0

Resuelve ahora [

EJEM P LO 2

]

EL

ro m 0 .5 bhbbZ .75 B B3Î33 .BS71S

7

PROBLEMA

17

E s c r ib ir los p rim e ro s té rm in o s de u n a su ce sió n Escribe los primeros seis términos de la siguiente sucesión y traza su gráfica.

ím

= {(- ir '(f ) }

SECCIÓN 13.1 Sucesiones 941 figura

5

S o lu c ió n


1 b„

*1 = 2 .

b2 = -

l

,

b ,

=|,

b,

= - |,

{ 2 - #(1.2) Observa la gráfica de la figura 5. (5.1) • L i l i l í , 1 2 3 4 5 6 n

-1

•J

(3J >

*,

'

Observa que en la secuencia {6J del ejemplo 2 los signos de los términos se alter nan. Esto ocurre cuando usamos factores como (—1)"+I, que equivale a 1 si n es impar y a -1 si n es par o (-1)'\ que equivale a -1 si n es impar y a 1 si n es par.

(<*-!) O H ’ •(2.-1) EJEM PLO 3

E s c r ib ir los p rim e ro s té rm in o s d e u n a su ce sió n Escribe los primeros seis términos de la siguiente sucesión y traza su gráfica. si n es par K ) = < 1 . si n es impar «

S o lu c ió n


Figura 6

^1 - 1

^2 - o2,

C3 - I^ ? £4

4,

C5 _ I5 5 ^

^

Ver gráfica de la figura 6.

—Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

19

Algunas veces la sucesión es indicada por el patrón observado en los primeros términos, los cuales, hacen posible inferir la composición del enésimo término. En el siguiente ejemplo, se proporciona un número suficiente de términos de la sucesión de manera que la elección del enésimo término sea natural. EJEMPLO 4

D e t e r m in a r u n a su ce sió n a p a r t ir d e un p a tró n en

e2 e3 e4 e’ 2 ’ 3 ’ 1 1 1 (b) 3 ’ 9 ’ 27” " (c) 1 ,3 ,5 ,7 ,...

1 " “ 3”_1 cn = 2n — 1

(d) 1,4, 9,16, 25 ,...

dn = n2

(a)

I I

(e)

11 11 2 ’ 3 ’ 4 ’ 5 ’ ’"

en = ( - 1 ) " -

— ----Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

27

El s ím b o lo fa cto ria l Algunas sucesiones en matemáticas involucran un producto especial llamado factorial.

D E F IN IC IÓ N

Si n > 0 es un número entero, el símbolo factorial til se define.de la siguiente manera: 0! = 1

11 = 1

n\ = n(n — 1 ) .........3*2-1

si n 2: 2

J

(., =

942 CAPÍTULO 13 Sucesiones; inducción; teoremadel binomio Por ejem plo, 2! = 2 - 1 = 2 , 3! = 3 - 2 - 1 = 6 , 4 ! = 4 . 3 - 2 - 1 = 2 4 , etc. La tabla 2 da

una lista de los valores de n ! para 0 ^ « - 6 . Como n! = n(n - 1)(n - 2 )* ...* 3 * 2 * 1 r« - iii podemos usar la fórmula n\ = n(n -1)1 para determinar los factoriales sucesivos. Por ejemplo, como 6! = 720, tenemos que

Exploración

7! = 7 • 6! = 7(720) = 5040

Tu calculadora tiene una tecla para el factorial. Úsala para ver lo rápido que se incrementa el valor de los factoriales. Calcula el valor de 69!. ¿Qué pasa cuan do tratas de calcular 701? De hecho, 70! es mayor que 10100 (un gúgol).

8! = 8-7! = 8(5400) = 40,320 . ¥ = = = — - R e s u e lv e a h o r a

e l

p r o b l e m a

11

Escribir los térm inos de una sucesión definida por una fórmula recursiva Una segunda forma de definir una sucesión es asignar un valor al primer (o a los primeros) términos y especificar el enésimo término por una fórmula o ecuación que involucre uno o más de los términos que le preceden. Se dice que las sucesiones expresadas de esta forma están definidas en forma recursiva y la regla o fórmula se llama fórmula recursiva. EJEMPLO 5

E s c r ib ir los t é rm in o s d e u n a su c e sió n d e fin id a en fo rm a re c u rs iv a Escribe los primeros cinco términos de la siguiente sucesión definida en forma recursiva. s. = 1, s -n s ,

So lu ció n

El primer término que se da es sv Para obtener el segundo término, usamos n = 2 en la fórmula sn = nsnA para obtener s2= 2sx= 2 • 1 = 2. Par obtener el tercer término, usamos n = 3 en la fórmula para obtener s3= 3^ = 3 • 2 = 6. La obtención de un nuevo término requiere que conozcamos el término anterior. Los primeros cinco términos son si = 1 s2= 2 - 1 = 2 s3= 3 • 2 = 6 s4= 4 • 6 = 24 s3= 5 - 24 = 120 ¿Reconoces esta sucesión? sn =n\ ^ J

EJEMPLO 6

E scrib ir los té rm in o s de u n a su cesión definida en fo rm a re cu rsiva Escribe los primeros cinco términos de la siguiente sucesión definida en forma re cursiva. u1 = 1 ,

S o lu ció n

u2 = 1 ,’

u/i = u n-2,+

un-1,

Se nos dan los dos primeros términos. Para obtener el tercer término tenemos que conocer los dos términos anteriores. Esto es, H, = l m2- 1 «3= «, + H, = 1 + 1 = 2 «4= «2 + «3= 1 + 2 = 3 115= «4 + = 2 + 3 = 5

•J

SUCCIÓN 13.1 Sucesiones 943 La sucesión definida en el ejemplo 6 se llama secuencia «le Lilinnucci y los termi no® de esta sucesión se llaman niinieros de Hhnnacci. Estos números aparecen en una gran variedad de aplicaciones (ve los problemas 85-88).

"".

Resuelva ahora n p io ik m « 3 5 v 4 3

3 Uso de notación de suma A veces es importante determinar la suma de los primeros n términos de una secuen cia («»J, esto es, ti. + a , + 11 . + ... + 11

I . 3 n En lugar de escribir todos estos términos, presentamos una forma más concisa de expresar la suma, llamada notución de suma. Usando la notación de suma, escribimos la suma como n «i + + «ij + • • • + n„ = 2 iik “ 1 El símbolo 2 (la letra griega sigma, que es la S en nuestro alfabeto) es simple mente una instrucción de sumar los términos. El número entero k se llama índice de la suma, te dice dónde empezar la suma y dónde terminarla. La expresión n “ 1

es una instrucción para sumar los términos ak de la sucesión ju j. empezando con k = l y terminando con k = n. Leemos la expresión como “la suma de tik de A; = 1 a k = n." EJEMPLO 7

D e s a r r o lla r la n o ta ció n de su m a Desarrolla cada suma. (a) ¿ ± A-I*

S o lu ció n

(b)

"1 (») “2 i* r = '

t i ¿ + -ví + -

1 + n-

*=I

!í (•» a= 2 i * ' = 1! + 2! + ••• + n\ J


el

problema

51

E s c r ib ir u n a e x p re sió n con n o ta ció n de su m a Expresa cada expresión usando notación de suma. (a) l 2 + 22 + 32 + • • • + 92

S o lu ció n

(b )‘ + i + i + i +

yi-t

(a) La suma l : + 2 : + 32+ ... + 9: tiene 9 términos, cada uno de la forma A2, empieza en k = 1 y termina en k = 9: l 2 + 22 + 32 + • • • + 92 =

*=1

A2

(b) La suma , 1 1 1 1 1 + - + - + - + ••• + ---- 7 2 4 8 2'1-1 tiene n términos, cada uno de la forma _ L _ , empieza en k = 1 y termina en k = //: 2k~\ 1 1 1 j + _ + J + - +

1

A

1

J

944 CAPÍTULO 13 Sucesiones; inducción; teoremadel binomio El índice de suma no tiene que empezar siempre en 1 o terminar en n, por ejem plo, pudimos haber expresado la suma del ejemplo 8(b) como /i-i i

1 - + • 4

k =0¿

+

1 2n~x

Se pueden usar letras diferentes de k para los índices. Por ejemplo, n n X ; '! y S /! M '=i cada una representa la misma suma que la que se da en el ejemplo 7(b).

«’’— —"-Resuelve ahora v

6i

el p r o b l e m a

4 Determinar la suma de una sucesión A continuación damos una lista de algunas propiedades de las sucesiones usando no tación de suma. Estas propiedades son útiles para sumar los términos de una sucesión.

T EO R EM A

P ro p ie d a d e s d e la s su c e sio n e s

Si {a \ y [bi} son dos sucesiones y c es un número real, entonces: n n = C d \ + ca2 + ■• •+ can = c(c¡\ + a2 + •■’ ■ + a „ ) = c X o* d ) 2 ( cak) /t=i k=l 2 =1

k

+ bk)

=

bk)

=

(2)

X bk 1

k=l

k=

n È K k =1

-

11 X

k = j+1

E « * _

k=i

n ak = k=

(3) k=l

i 1

ak

X i ak =1

donde 0

<

j

<

n

(4)

k

J

La demostración de la propiedad (1) se deduce de la propiedad distributiva de los números reales. Las demostraciones de las propiedades 2 y 3 se basan en las propieda des conmutativa y asociativa de los números reales. La propiedad (4) establece que la suma de j + 1 a n es igual a la suma de 1 a n menos la suma de 1 a j. Puede ser útil usar esta propiedad cuando el índice de la suma empiece en un número mayor que 1.

T EO R E M A

F ó rm u la s p ara la s su m a s d e su c e sio n e s

n ^ c k=l

= c + c + -- - + c = en '---------- y---------(i términos

c e s u n número real

n n(n + 1) X ^ — 1 + 2 + 3 + ■• • + n k =l n n(n + 1)(2 n + 1) k 2 = l 2 + 22 + 32 + • • • + n2 = k=1 n n(n + 1) 2 k 3 = l 3 + 23 + 33 + • • ■+ n3 =

X

k

=1

(5)

(6)

(7) (8)

J La demostración de la fórmula (5) se deduce de la definición de la notación de suma. Se te pedirá que demuestres la fórmula (6) en el problema 92. Las demostra ciones de las fórmulas (7) y (8) requieren de inducción matemática, que se estudiará en la sección 13.4.

SECCIÓN 13.1 Sucesiones 945 Observa la diferencia entre las fórmulas (5) y (6). En (5) la constante c se suma de 1 a n, mientras que en (6) el índice de suma k se suma de 1 a n.

[ EJ E M P L O 9

|

I:

D e t e r m in a r la su m a de u n a su ce sió n Determina la suma de cada sucesión. (a) 2 ( 3 k=

(c) 2 k=

S o lu c ió n

1

1

10 (b> 2 ( * 3 + i > *=1 20 (d) £ (4 * 4 )

k)

(* 2

~ 1k + 2 )

k=6

5 5 (a) 2 ( 3fc) = 3 2 Á: k= l

k

Propiedad (1)

=1

5(5 + 1)

= 3

Fórmula (6)

- 3(15) = 45 10 10 10 (b) 2 ( * 3 + i) = 2 * 3 + S i *=1

k=l

k=

Propiedad (2)

1

^ io ( io + i ) V

Fórmulas (6) y (5)

+ 1(10) = 3025 + 10 = 3035 24 (c) 2 (k2 - 1 k + 2 ) = 2 k2 - S ( 7*) + S 2 *=1

k

24 24 = 2 * 2- 7 S * + k

=1

k=

1

=1

k= l

Propiedades (2) y (3)

k=l

24 S 2

k=

Propiedad (1)

1

24(24 + 1 )(2 -24 + 1)

^24(24 + 1)

+ 2(24)

Fórmulas (7), (6). (5)

= 4900 - 2100 + 48 = 2848 (d) Observa que el índice de suma empieza en 6. Usamos la propiedad (4) de la si guiente forma: 20 (4*2) T k=6 2

4

' 20 20 S ^2 T 4 2 * k=l 6

5 2

-

20(21)(41)

5(6)(11)

2 > 2

k=l

Propiedad (1) Propiedad (4) Fórmula (7) = 4[2870 - 55] = 11,260 ► M ia s a ^-ResuelvE ahora

el

problema

73

13. 1 Evalú a tu en ten d im ien to "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. Para la función f(x) = (pp. 200-206)

determina /(2) y /(3).


Una función es una relación entre dos conjuntos D y R tal que cada elemento x en el primero conjunto D se relaciona con exactamente un elemento y en el segundo conjunto R. (pp. 200-206)

946

CA PÍTU LO 13

Sucesiones; Inducción; teorema del binomio


________ __

U n a _____________es un fu n ció n cu y o d o m in io e s el c o n ju n to d e lo s n ú m ero s e n te r o s p o sitiv o s.

4.

Verdadero o falso

n > 0 es un n ú m ero e n te r o , e n to n c e s n\ = _________________ c u a n d o n s 2. La su cesió n a, = 5, an=3an] e s un e je m p lo

an =

La n o ta ció n a , +

8,

de n otación d e _____________ . " Verdadero o falso ^ k = I + 2 + 3

La n o ta c ió n a , rep resen ta el q u in to

térm in o d e una su cesió n .

a2 +

7.

a ? + *• • +

V a * c* un ejem p lo

+ ■■■ + n =

nln

+ 1) ------~

5. Si

6.

d e una su ce sió n

Ejercicios En los problemas 9-14, evalúa cada expresión factorial. 9! 9 . 10!

10. 9!

12.

' " • I

12! 10!

13.

3! 7! 14.

4!

5!8! 3!

En los problemas 15-26, escribe los primeros cinco términos de cada sucesión. 15. {*„} = { « }

\

19.

16. {5„) =

(n

[an\

24.

+ l ) ( n + 2)

\

.(

n

17.

[
{^ ~ \

.«• IM - { ^ }

\I

22. Ií J - i | r

” ■"-1 ' ( f T T j

(-1)" 23. {r„} =

1}

(

20,

{c„} = { ( - l ) ' ,+1/ 22}

{n2 +

= ^

25.

\bn

w

J -|?)

* {£}

En los problemas 27-34, el patrón dado continúa. Escribe el término enésimo de una sucesión ¡aJ sugerido por el patrón. 1 2 3 4 \2 7 . ± i 1 2’3’4’5’ " 31.

„ 28.

-1 ,1 ,1 ,- 1 ,1 ,-1 ,...

1

1

1

1

32. 1, i 3 Z

,

4

5

O

30. i f . i - . i É . . . . 3 9 2 7 81

29. l . 2 . 4 . g . -

1*2’ 2*3’ 3*4’ 4 -5 ’ " ,

o

33.

1,-2, 3 ,- 4 ,5 ,- 6 ....

2 .- 4 .6 .- 8 , 10....

34.

En los problemas 35— 48, la sucesión está definida de forma recursiva. Escribe los primeros cinco términos. .3 5 . «i = 2,

an

3

cin—i

38. «i = 1;

a„ = n —an- X

, 41. «i = 3;

a/i-i

a„ =

44. «i = - 1 ;

n

«2 = 1;

47. «i = V 2 ;

a,i = an-2 + nan- !

a„ = V 2 + a„_!

36.

ai

= 3;

a„

= 4 -

39.

a\

= 5;

a„

= 2a,, -1

42.

a\

= -2 ;

45. «1 =

a„

A; a„

48. «1 = V 2 ;

=

n

=

a„

37 . a , = - 2 : a„ = n + a „ _ |

an-l

+ 3a„_,

\

1 + d

= \

4 0 . a , = 2;

an =

43. a i = 1;

a : = 2;

4 6 . a 1 = /4;

- a „ -1 a n = a n_ , - a „

a n = r a „ _ |,

r * 0

/¥

En i!o í problemas 49-58, desarrolla cada suma. 5 0 . X (2 k + 1)

49. X (* + 2)

*=i

54.

k=\ n—1 1

¿r

55. X ¿=6 3 * +1

* = o \2 /

\

" le2 *' ■

2

52. X ( *

y

*=1 ¿ /l-l 5 6 . X ( 2 A - + 1) *=o

*=i

53- X Tí

+ l)2

k=0 3

57. X (—1)* ln k

5 8 . X ( - l ) * + ,2*

k=S

/oí problemas 59-68, expresa cada suma usando notación de suma. 5 9 . 1 + 2 + 3 + • • • + 20

V , „ 1 2 3 \6 1 .

6 0 . I3 + 2 3 + 3 3 + ••• + 8 3

13

— + — + — + ••• + ----------2 3 4 13 + 1

63. 1 - - + - 3 9

— + ••■ + ( - 1 ) ^ 27 1 ’

62. 1 + 3 + 5 + 7 + ••• + [2(12) 1

2

4

8

1]

.,/ 2 Y 1

SECCIÓN 13.1 Sucesiones 947 y (A 3 + y

V + 5 +

3"

¡67.
/ >i /c» problemas 6«- W. determina In suma de cada sucesión. ^ - 40 so 61. V 5 70. V s *-i A-l 20 k73. V (5A + 3) 74. S O* - 7) í-i N) 40 77. V

*-10

(2A )

7H. 2 ( - 3 * )

68. a + ar + ar2 + •■• + ar" ' 1 40

24

71. 2 k “ l

72. 2 H 0 4-1 14 76. ¿ ( k 2 - 4) 4=0

Ih 75. 2 (k2 + 4) k=1 :o 79. 2 * 3

24 80.

k=5

4 S

4=4

A plicaciones y extensiones John tiene un adeudo de $31X10 en su tarjeta Discover, la cual, cobra 1% de interés mensual sobre cualquier saldo sin pagar. John puede cubrir $100 de la deuda cada mes. Su saldo cada mes después de realizar un pago de $1(X) está dado por la siguiente sucesión definida en forma recursiva BU= $31XX) tín = 1.01 flni, - 100 Determina el saldo de John después de que haya hecho el primer pago. Esto es, determina Br 82. P o b la ción d e truchas Un estanque tiene 2000 truchas. Un criadero decide agregar 20 truchas adicionales cada mes. Además, se sabe que la población de truchas crece 3% mensualmente. El tamaño de la población después de n meses está dado por la siguiente sucesión definida en for ma recursiva P„ = 2000 pn = 1.03pB, + 20 ¿Cuántas truchas habrá en el estanque después de dos me ses? Esto es, ¿a qué equivale />,? 83. P réstam os para autos Phil compró un auto por medio de un préstamo de $18,500 al 0.5% de interés al mes. El pago mensual normal de Phil es de $434.47, pero él decide que puede pagar $100 extra cada mes. Su saldo mensual está dado por la siguiente sucesión definida de forma recursiva fl„0= $18,500 Bn =1.005 Brt-1.-534.47 Determina el saldo de Phil después de haber realizado el primer pago. Esto es, determina Bv 84. C ontrol am biental La Agencia de protección del ambien te (EPA, por sus siglas en inglés) determina que el lago Maple tiene 250 toneladas de contaminantes como resultado de desechos industriales y que el 10% de los contaminantes presentes se neutralizan por la oxidación solar cada año. La EPA impone nuevas leyes de control de contaminación que dan como resultado que al lago lleguen 15 toneladas de nue vos contaminantes cada año. La cantidad de contaminantes en el lago después de n años está dada por la siguiente suce sión definida en forma recursiva P„~ 250 pn= 0.9pní + 15 Determina la cantidad de contaminantes en el lago después de 2 años. Esto es, determina p2. 85. C recim iento de una colonia de conejos Una colonia de conejos empieza con un par de conejos adultos, que produci rán un par de descendientes (un macho y una hembra) cada mes. Considera que todos los conejos maduran en 1 mes y

81. D eu d a d e tarjeta d e crédito

©

producen un par de descendientes (un macho y una hembra) después de 2 meses. Si no muere ningún conejo, ¿cuántos pares de conejos adultos habrá después de 7 meses? [Sugerencia: una secuencia de Fibonacci modela esta colonia. ¿Puedes ver por qué?) 1par maduro 1par maduro

íi* .

2pares maduros 3 pares maduros

k k

86. Secuencia de Fibonacci

un

87.

k k

k k

Sea

(i + V s)" - (i - V s)n 2"V5

el enésimo término de una sucesión. (a) Demuestra que m, = 1 y i<2= 1. (b) Demuestra que unt2= unl + un. (c) Llega a la conclusión que {»J es una secuencia de Fibonacci. Triángulo de Pascal Divide el arreglo triangular que se muestra (llamado triángulo de Pascal) usando líneas diago nales como se indica. Determina la suma de los números en cada fila diagonal. ¿Reconoces esta sucesión?

Usa el resultado del problema 86 para resolver los siguientes problemas: (a) Escribe los 11 primeros términos de la secuencia de Fibonacci. (b) Escribe los 10 primeros términos de la razón Un+l «n (c) Conforme n crece, ¿a qué número tiende la razón ante rior? Este número se llama la razón áurea. Los griegos consideraban que los rectángulos cuyos lados tienen

88. Secuencia de Fibonacci

948 CAPÍTULO 13 Sucesiones; inducción;teoremadel binomio estas razones eran agradables a la vista. Por ejemplo, la fachada del Partenón se construyó usando la razón áurea. (d ) E scribe los prim eros 10 térm in os de la razón — — •

Ufi+[

(e ) C on form e n crece, ¿a q u é n ú m ero tien d e la razón an terior? E ste n úm ero se llam a la razón áu rea conjugad a. Se cree q u e se u só esta razón en la con stru cción d e la G ran pirám ide en E g ip to . La razón eq u iv a le a la sum a de las áreas de las cu atro caras triangulares dividida e n tre el área d e la su p erficie total d e la pirám ide.

£ 89.

Aproximación d e f ( x )

= e'

q ue

oo rk = e* = £ —

f(x )

E n cá lcu lo se p ud e d em ostrar

k=oK-

P o d e m o s aproxim ar el valor de u san d o la sig u ien te sum a

D

n.

(a ) A p r o x im a /( l .3) con

=

e* para

cu alq u ier

x

n Yk

f{x) = ex «

Para una

f(x)

J

—

k=0k -

n = 4.

(b ) A p r o x im a /(1 .3 ) c o n n = 7. (c) U sa una calcu lad ora para a p r o x im a r /(1 .3 ). Aj (d ) U sa n d o en sa y o y error ju n to co n el m o d o S E Q u e n c e de un d isp ositivo gráfico, d eterm in a el valor d e n re q u erid o para aproxim ar / ( 1 .3 ) co rreg id o a o c h o lu gares

donde zz es el número del planeta desde el Sol. (a) Determina los primeros ocho términos de esta sucesión. (b) Al momento de la publicación de Bode, los planetas conocidos eran Mercurio (0.39 UA), Venus (0.72 UA). Tierra (1 UA), Marte (1.52 UA) Júpiter (5.20 UA) y Saturno (9.54 UA). ¿Cómo se comparan las distancias reales con los términos de la sucesión? (c) El planeta Urano se descubrió en 1781 y el asteroide Ceres se descubrió en 1801. Las distancias orbitales me dias del Sol a Urano y a Ceres* son 19.2 UA y 2.77 UA, respectivamente. ¿Qué tan bien encajan estos valores en la sucesión? (d) Determina el noveno y décimo término de la sucesión de Bode. (e) Los planetas Neptuno y Plutón* se descubrieron en 1846 y 1930, respectivamente. Sus distancias orbitales medias al Sol son 30.07 UA y 39.44 UA, respectivamen te. ¿Cómo se comparan estas distancias reales con los términos de la sucesión? (f) El 29 de julio de 2005, la NASA anunció el descubri miento de un planeta enano* (n = 11), que se ha deno minado Eris. Usa la ley de Bode para predecir la distan cia orbital media de Eris al Sol. Su distancia media real aún no se conoce, pero Eris está actualmente a aproxi madamente 97 unidades astronómicas del Sol. F u en te: N A S A .

decim ales. A 90.

Aproximación d e f(x) = ev C on su lta (a ) A p r o x im a / ( - 2 . 4 ) co n n = 3. (b ) A p ro x im a / ( - 2 . 4 ) co n n —6.

el p ro b lem a 89.

(c) U sa una calcu lad ora para a p r o x im a r /(-2 .4 ). N

91.

(d ) U sa n d o en sa y o y error ju n to co n el m o d o S E Q u e n c e de un d isp o sitiv o gráfico, d eterm in a el valor de n re q u e rido para ap roxim ar / ( - 2 . 4 ) correg id o a o c h o lu gares d ecim ales.

Ley de Bode E n 1772, Joh an n B o d e p u b licó la sig u ien te fórm ula para p red ecir las distancias m ed ia s, en u n id ad es astron óm icas ( U A ) , d e lo s p la n eta s al Sol: a, = 0.4

an=

0.4 + 0.3 • 2"'2, zz > 2

Cálculo de raíces cuadradas Un método para aproximar \íp se puede atribuir a los babilonios. La fórmula está dado por la sucesión en forma recursiva , _ U P \ ao - k a„ - -I a„_, -i-------] 2V an -\)

donde k es una suposición inicial del valor de la raíz cuadrada. Usa esta fórmula recursiva para aproximar las siguientes raíces cuadradas determinando a,. Compara este resultado con el valor que da tu calculadora. 93. V5 94. V8 95. V21

92. Demuestra que l + 2 + -- - + ( z z - l ) + zz =

zz(zz + 1) 2

Sea S = í+ 2 + - - - + ( n - í ) + n S — zz + (zz —1) + (zz —2) + — + 1 Suma esas ecuaciones. Entonces [Sugerencia:

25 = [1 +

n ]

+ [2 + (zz — 1)] + ■• ‘ +

[ n

+ 1]

n términos entre corchetes Ahora completa la demostración.] *Ceres, Haumea, M akemake, Plutón y Eris se llaman planetas enanos.

97. Números triangulares Un número triangular es un térmi no de la sucesión u, —1, u , = u + ( n +

1)

Escribe los primeros siete números triangulares. 98. Para la secuencia que se da en el problema 97, demuestra que (n + l)(zz + 2) “n+1 = 2 ' 99. Para la secuencia que se da en el problema 97, demuestra que «n+t +

96. V89

=

(n

+ l ) 2.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 100. Investiga diversas aplicaciones que llevan a una secuencia de Fibonacci, como el arte, la arquitectura o los mercados financieros. Escribe un ensayo acerca de estas aplicaciones.

101. Escribe un párrafo que explique por qué los números que obtuviste en el problema 97 se llaman números triangulares,

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" i. /(2) = | ;/ ( 3 ) = J

2. Verdadero

SUCCIÓN 13.2 Sucesionesaritméticas 949

13 ¿ 2 Sucesiones aritm éticas OBJETIVOS 1 Determinar si una sucesión es aritmética (p. 949) 2 Determinar una fórmula para una sucesión aritmética (p. 950) 3 Determinar la suma de una sucesión aritmética (p.951)

1 D eterm inar si una sucesión es aritm ética ( uando la diferencia entre los términos sucesivos de una sucesión siempre es el mis mo numero, la secuencia se llama uritniéticu. D E F IN I C I Ó N

lina sucesión aritmética’" se puede definir de manera recursiva como a = a. <»n„ - on i. =
<•„ =

1 +
(1)

donde
EJEMPLO 1

D e t e r m in a r si u n a su ce sió n es a r it m é tic a La sucesión 4,

6.

8.

10,...

es aritmética porque la diferencia de los términos sucesivos es de 2. El primer térmi no es
EJEMPLO 2

D e t e r m in a r si u n a su ce sió n es a r itm é tic a Demuestra que la siguiente sucesión es aritmética. Determina el primer término y la diferencia común. {.vj = (3/i + 5}

S o lu ció n

El primer término es s, = 3 • 1 + 5 = 8. El enésimo término y el término (n - 1) de la sucesión (v J son sn = 3ti + 5 y sn , = 3(h - 1) + 5 = 3/i + 2 La diferencia d es d = sn~ sni = (3n + 5) - (3/j + 2) = 5 - 2 = 3 Como la diferencia de cualesquiera dos términos sucesivos es la constante 3, la suce sión (.vj es aritmética y la diferencia común es 3.

EJEMPLO 3

D e t e rm in a r si u n a su ce sió n es a ritm é tic a Demuestra que la sucesión {rj = {4 - «) es aritmética. Determina el primer término y la diferencia común. A veces se llama progresión aritmética.

950

capí |'UI,0 13

Sucesiones; Inducción; teoremadel binomio

S o l u c ió n

E l primer lérmino c . I, - 4 - I - 3. E l cn& lm o t í .m ino y el lírm ín o ( r r - l ) v ,n i c 4 ~n

y

i„ , * 4 - (n - 1) * 5 - n

La diferencia el es

í/ =/„-ín, = (4 - n ) - (5 - ai) * 4 - 5 * -I Como la diferencia de cualesquiera dos términos sucesivos es la constante ~ L 1 0 es una sucesión aritmética cuya diferencia común es -1.

*J ■ ..... . -Resuelve ahora el problema

i

2 Determinar una fórmula para una sucesión aritm ética Considera que a es el primer término de una sucesión aritmética cuya diferencia co mún es el. Queremos determinar una fórmula para el enésimo término, a n. Para ver el patrón, escribimos los primeros términos. «i = u = «i

+el = eii + 1 * el

«, = e¡2

+el = («| +

el) + el = fl| + 2 - d

a i = o3

+el = (flj +

2 ' el) + el =
a<, = eiA

+el = (tí| + 3*
an = an-\ + el = («i + (/i - 2)el\ + d - a, + (n -

I id

Llegam os al siguiente resultado:

TEO REM A

E n é sim o té rm in o de un a s u ce s ió n a ritm é tic a Para una sucesión aritmética [eitJ cuyo prim er térm ino es a , y cuya diferencia común es el, el enésimo término se determ ina por la fórm ula

...........

—

"

............................. — a„ = a , + (/i -

............

----------------------------------- —

1 EJEM PLO

4

.........""i

1) d

(2)

---- —

J

D e te rm in a r un té rm in o e sp e cífico en u n a su ce sió n a r it m é tic a Determ ina el 41° término de la sucesión aritm ética: 2. 6. 10. 14. 1 8 .... E l prim er término de esta sucesión es fórmula (2), el enésimo término es

— 2 + (/i — 1 )4

íj (

= 2 y la diferencia com ún es d = 4. Por la

a , = * + (n - 1 ) 4 * = 2 ,d = 4

E l 41° término es fl41= 2 + (41 - 1 ) . 4 = 162

J

EJEM PLO

5

D e te rm in a r u na fó rm u la re c u rs iv a p a ra u n a su ce sió n a ritm é tic a E l octavo término de una sucesión aritm ética es 75 y el vigésimo térm ino es 39. (a) Determ ina el prim er término y la diferencia com ún. (b) D a una fórmula recursiva para la sucesión. (c) ¿C u á l es el enésim o térm ino de la sucesión?

SECCIÓN 13.2 Sucesiones aritméticas

Solución

(a) Por la fórmula (2) sabemos que an =

951

+ (n - 1)d. Como resultado,

f«8 = «i + 7
Exploración Traza la gráfica de la fórmula re cursiva del ejemplo 5, o, = 96, an= an_ , - 3, usando un dispositivo gráfico. Llega a la conclusión de que la gráfica de una fórmula recursiva se comporta como la gráfica de una función lineal. ¿Cómo se relaciona d, la diferencia común, con m, la pen diente de una recta?

(b) Usando la expresión (1), la siguiente es una fórmula recursiva para esta sucesión í7, -

96,

a —a

3

(c) Si usamos la expresión (2), una fórmula para el enésimo término de la sucesión e s |a n} es an = al + (n — 1)d = 96 + (n - l)(-3 ) = 9 9 - 3 n iW- ----- -Resuelve

ahora

el

problema

23

y 29

3 Determ inar la suma de una sucesión aritm ética El siguiente resultado nos da dos fórmulas para determinar la suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética. TEO R EM A

S u m a d e lo s p rim e ro s n té rm in o s d e una su ce sió n a ritm é tic a

Sea {aj una sucesión aritmética con primer término a, y diferencia común d. La suma Snde los primeros n términos de {a } se puede determinar de dos maneras: S„ - cii + a2 + a3 + ■■■ + an = ¿ [ « i + {k - l)d ] = ?[2fli + (n - 1)d] z k=i n / ^ = 2 ("1 + fl")

(3) (4)

I D e m o stra c ió n Suma de los primaros Sn = a\ + ü2 + «3 + - + an ntérminos = a\ + («i + d) + (a\ + 2d) + ••• + [a\ + (n — 1)¿/] Fórmula (2) Reordena los términos. = (aj + ci\ + ••• + í?i ) + [d + 2d + ••• + (n — 1)d]

'I

ntérminos = na\ + d[ 1 + 2 + ••• + (n — 1)] ■=na¡ + ^ " ~ 2 » " } =

nci\ +

|( n

- '^[2a\ + (n

-

1 )d

-

l)d]

= | [ f l l + «1 + ( « =

+

c,n)

Fórmula 6 , sección 13.1

Factoriza para eliminar ^ é s ta e s la fórmula (3).

l)d ] Usa la fórmula (2); é s ta es la fórmula (4).

Existen dos formas de determinar la suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética. Observa que la fórmula (3) incluye el primer término y la dife rencia común, mientras que la fórmula (4) incluye el primer término y el enésimo término. Usa la que sea más sencilla.

952 CAPÍTULO 13


EJEMPLO 6

D e te rm in a r la su m a d e u n a su ce sió n a r it m é t ic a Determina la suma Sn de los primeros n términos de la sucesión [aj = {3n + 5}, esto es, determina n 8 + 11 + 14 + " • + (3n + 5) = ^ jí3 /c + 5)

So lu ció n

La sucesión [an] = (3n + 5} es una sucesión aritmética con primer término a, = 8 y enésimo término an = 3n + 5. Para determinar la suma Sñ, usa la fórmula Í4). Sn = 2 i^k + 5) =

■

EJEMPLO 7

Resuelve ahora

el

+

+ 5)] = - ( 3 n + 13)

1 „ = 2

+ an)

problema

37

D e te rm in a r la su m a de u n a su ce sió n a r it m é t ic a Determina la suma: 60 + 64 + 68 + 72 + ... + 120

So lución

Ésta es la suma Snde una sucesión aritmética [an] cuyo primer término es ai = 60 y cuya diferencia común es d = 4. El enésimo término es an = 120. Usa la fórmula (2) para determinar n. an — ü\ + (n — \ )d 120 = 60 + (/i - 1) • 4

Fórmula (2) a„ = 120. a, = 60. d - 4

60 = 4 (n — 1)

Simplifica.

15 = n — 1

Simplifica.

n = 16

Resuelve para a

Ahora usa la fórmula (4) para determinar la suma de S ¡6. 60 + 64 + 68 +

+ 120 = S l6 = y ( 6 0 + 120) = 1440 * , = - (a, + a„)

Resuelve ahora EJ EMPLO 8

el

problema

41

C re a c ió n del d ise ñ o de un piso Un piso de azulejos de cerámica está diseñado con la forma de un trapezoide de 20 pies de ancho en la base y 10 pies de ancho en la parte superior. Ver figura 7. Se quiere colo car azulejos, de 12 pulgadas por 12 pulgadas, de manera que cada fila sucesiva contenga un azulejo menos que la fila anterior. ¿Cuántos azulejos se requieren?

Figura 7

Sucesiones aritméticas

SECCIÓN 13.2

Solución

953

La lila inferior requiere de 20 azulejos y la fila superior de 10. Como cada fila sucesiva debe tener un azulejo menos, el número total de azulejos requeridos es 5 - 2 0 + 19+ 18 + ... + 11 + 10 Esta es la suma de una sucesión aritmética, la diferencia común es -1. EL número de términos que se van a sumar es n = 11, con el primer término a, = 20 y el último término «u - 10. La suma 5 es s = | ( « i + ¿Oí) = y ( 2 0 + 10) - 165 En total se requieren 165 azulejos.

13.2 Evalúa tu entendimiento Conceptos y vocabulario 1.

2.

E n u n a s u c e s i ó n _____________ , la d ife r e n c ia en tr e lo s té r m in o s s u c e s iv o s e s u n a c o n sta n te .

Verdadero o falso

\a } cu y o d, e l e n é an= a{ + nd.

3.

c e sió n e s ____________ .

Para u n a s u c e s ió n a ritm étic a

p rim er té r m in o e s a, y cu y a d ife r e n c ia c o m ú n e s sim o té r m in o se d e te r m in a p o r la fó r m u la

Si el q u in to té r m in o d e u n a su c e sió n a ritm ética e s 12 y su d ife r e n c ia c o m ú n e s 5, e n to n c e s e l s e x to té r m in o d e la su


L a su m a

Snd e

lo s p rim ero s

n térm in o s

d e un su c e sió n a ritm étic a {a J, cu y o p rim er tér m in o e s a, se p u d e d eter m in a r u sa n d o la fó rm u la

S„ = —(«j + an).

Ejercicios En los problemas 5-14, demuestra que cada sucesión es aritmética. Determina la diferencia común y escribe los primeros cuatro términos. 5.

{s„} = { « + 4 }

6 . {$„} = { « - 5 }

10. {«„} - {4 - 2n}

11. (rj - 0

7. {«„) = { 2 n

\

- |/» }

-

5}

8 . {¿„} -

12. {tn) = { | +

9 . {c„} = { 6 - 2 n}

{3« + 1}

13. {sn) = {ln 3n}

14. {*„} = {e1""}

En los problemas 15-22, determina el enésimo término para la sucesión aritmética {aj, cuyo término inicial a y diferencia común d se dan. ¿Cuál es el quincuagésimo primer término? a\

= 2:;

d = 3

16. aj = -2!; d = 4

17.

ax

19.

a¡

= 0:;

é - \

20. «i = 1;

21.

ax -

- 4

=

5;

d=-

3

ll "a

15.

18.

ax

= 6:; d = -2

22.

ax

= 0:; d =

p

En los problemas 23-28, determina el término indicado en cada sucesión aritmética. V 2 3 . E l 100° té r m in o d e 2 , 4 , 6 , . . .

26.

E l 80° té r m in o d e 5 , 0 , - 5 , . ..

24. 27.

E l 80° té r m in o d e - 1 , 1 , 3 , . . . 5 7 E l 80° té r m in o d e 2, - , 3, - , . . .

25.

E l 90° tér m in o d e 1, - 2 , - 5 , . . .

28.

E l 70° té r m in o d e 2 V 5 , 4 V 5 , 6 V 5 , . . .

r En los problemas 29-36, determina el primer término y la diferencia común de la sucesión aritmética descrita. Da una fórmula recur siva para la sucesión. Determina una fórmula para el enésimo término. \ 29. E l 8 o térm in o es 8;

el 20° tér m in o e s 44

30.

E l 4 o térm in o e s 3;

e l 18° tér m in o e s - 9 6 '

33.

E l 15° térm in o e s 0;

31.

el 20° térm in o e s 35

E l 9 o térm in o es - 5 ; el 15° térm in o es 31

3 2 . E l 8o térm in o e s 4; 3 5 . E l 14° térm in o e s - 1 ;

36.

el 18° tér m in o e s - 9

E l 12° térm in o e s 4;

el 40° térm in o e s - 5 0 el 18° térm in o es 28

34.

E l 5 o térm in o es - 2 ; el 13° térm in o e s 30

En los problemas 37-54, determina cada suma. \

37.

j 40. 43. 46.

1 + 3 + 5 + • • • + (2 /i -

- 1 + 3 + 7 + •• • + (4 n - 5 ) 5 + 9 + 13 + •• • + 49 7 + 1 - 5 - 1 1

---------- 2 9 9

38.

1) \

2 + 4 + 6 + • •■• + 2 n

39. 7 + 1 2 + 17-1------- 1- (2 +

5n)

•• + 7 0 41. 2 + 4 + 6 + • ■

42.

1 + 3 + 5 + • • - + 59

44.

•• + 41 2 + 5 + 8 + ■■

45.

73 + 78 + 83 + 88 + • • • + 558

47.

4 + 4. 5 + 5 + 5.5 + • ■• + 100

48.

1 1 3 8 + 8 - + 8 - + 8 - + 9 + • • • + 50 4 2 4

954 CAPÍTULO 13


«i 50. ^ ( 3 - 2 « )

ho

49. ÿ (2 n - 5) n =l

»“ I

53. La suma de los primeros 120 términos de la sucesión 14,16, 18, 20,...

54. La suma de los primeros 46 términos de la sucesión 2, -1. -4, -7....

Aplicaciones y extensiones______________________ __ 55. Determina x tal que x + 3, 2x + 1 y 5x + 2 sean términos consecutivos de una sucesión aritmética. 56. Determina x tal que 2x, 3x +2 y 5* + 3 sean términos con secutivos de una sucesión aritmética. 57. ¿Cuántos términos se deben sumar en una sucesión arit mética cuyo primer término es 11 y cuya diferencia común es 3 para obtener una suma de 1092? 58. ¿Cuántos términos se deben sumar en una sucesión arit mética cuyo primer término es 78 y cuya diferencia común es -4 para obtener una suma de 702? 59. Teatro Drury Lañe El teatro Drury Lañe tiene 25 asientos á Q en la primera fila y 30 filas en total. Cada fila sucesiva contiene un asiento adicional. ¿Cuántos asientos hay en el teatro? 60. Estadio de fútbol La sección de la esquina en un estadio de fútbol tiene 15 asientos en la primera fila y 40 filas en total. Cada fila sucesiva contiene dos asientos adicionales. ¿Cuántos asientos hay en esta sección?

Una escalera de escalón inferior requiere de 100 ladrillos. Cada escalón sucesivo requiere de dos ladrillos menos que el anterior. (a) ¿Cuántos ladrillos se requieren para el escalón superior? (b) ¿Cuántos ladrillos se requieren para construir la escalera? E nfriam iento d e aire Conforme se eleva una masa de aíre (por ejemplo, cuando es empujada sobre una montaña), se enfría de acuerdo con el gradiente adiabático seco de 5.5 F por cada HXX) pies hasta que alcanza su punto de conden sación. Si la temperatura en el suelo es de 67 F, escribe una fórmula para la sucesión de temperaturas |TJ, de una masa de aire que se ha elevado n mil pies. ¿Cuál es la tem peratura de una masa de aire si se ha levantado 5000 pies?

62. C onstrucción de una escalera de ladrillo ladrillo tiene un total de 30 escalones. El

63.

F u e n te : A g e n c ia E s p a c ia l N o r te a m e r ic a n a

Las escaleras que se usan para recolectar cítricos generalmente tienen una base ancha para darles estabilidad y una parte superior angosta para facilitar la recolección. Si el escalón inferior de una de esas escaleras mide 49 pulgadas de ancho y el escalón superior tiene 24 pulgadas de ancho, ¿cuántos escalones tiene la escalera si cada escalón es 2.5 pulgadas más corto que el que le sigue hacia abajo? ¿Cuánto material se nece sitaría para hacer los escalones de la escalera descrita?

64. E scaleras para recolectar cítricos

F u en te:

te tvtv. s to k e s la d ile r s . c o m

Un anfiteatro al aire libre tie ne 35 asientos en la primera fila. 37 en la segunda fila. 39 en la tercera fila y así sucesivamente. Ffav 27 filas en total. ¿Cuántos asientos hay en el anfiteatro? C onstrucción d e un esta d io ¿Cuántas filas hay en la sec ción de la esquina de un estadio que tiene 2040 asientos si la primera fila tiene 10 asientos y cada fila sucesiva tiene 4 asientos adicionales? Salario Si tienes una oferta de trabajo con un salario ini cial de $35.000 al año y un aumento garantizado de Si400 al año. ¿cuántos años pasarán para que tu salario acumula do sea de $280.000? [Sugerencia: tu salario acumulado después de 2 años es de $35,000 + ($35,000 + $14.000).]

65. A sien to s en un anfiteatro

Un mosaico está diseñado con la forma de un triángulo equilátero de 20 pies de lado. Cada pieza en el mosaico tiene la forma de un triángulo equilátero de 12 pulgadas de lado. El color de las piezas debe alternar como se muestra en la ilustración. ¿Cuántas piezas de cada color se requieren?

61. C reación de un m osaico

4% fV f

67.

.

SPF T' 20' ¿lS.

66.

20'

•«' .< v ;; Á rW f V v •'■■• ■c *. '>▼' /jrfV 'f f %■;. ¡ V; t V

'f f f y r ,

á S S S 6 a S ¿ É tS Y f' ft T r W J F k 20'

Explicación de conceptos: discusión y escritura 68. Desarrolla una sucesión aritmética. Dásela a un amigo y pídele el vigésimo término.

69. Describe las similitudes entre las sucesiones aritméticas y las funciones lineales.

SUCCIÓN 13.3 SucesionesGeométricas; seriesgeométricas 955

13.3 Sucesiones Geométricas; series geométricas Antes de empezar, repasa lo siguiente: • Interes compuesto (sección 6.7, pp. 466-472) P

\

r e p a r a c ió n

para

esta

s e c c ió n

Rwuelve altor« los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 963. OBJETIVOS

1 Determinar si una sucesión es geométrica (p. 955) 2 Determinar una fórmula para una sucesión geométrica (p. 956) 3 Determinar la suma de una sucesión geométrica (p.957) 4 Determinar si una serie geométrica es convergente o divergente (p. 958) 5 Resolver problemas de anualidades (p. 961)

1 Determ inar si una sucesión es geom étrica Cuando la razón de los términos consecutivos de una sucesión es siempre el mismo número diferente de cero, la sucesión se llama geométrica. D E F IN I C I Ó N

Una sucesión geométrica* se puede definir de manera recursiva como <>n a i = a, ----- ---- r , o como an-\ Í7, = a,

an = /•«„_!

(1)

donde a¡ = a y r ^ 0 son números reales. El número a, es el primer término y al número diferente de cero r se llama razón común.

J

Los términos de una sucesión geométrica con primer término al y razón común r siguen el patrón av axr, a j 2, A , r \ . . .

EJEM PLO

1

D e t e r m in a r si u n a su ce sió n es g e o m é tric a La sucesión 2, 6, 18, 54, 162,... es geométrica porque la razón de sus términos sucesivos es 3; / 6 _ 18 = 54 \ 2 ” 6 ~ 18

EJEM PLO

2

El primer término es a , = 2 y la razón común es 3.

D e t e r m in a r si u n a su ce sió n es g e o m é tric a Demuestra que la siguiente sucesión es geométrica. K \ = 2-n Determina el primer término y la razón común.

S o lu ció n

El primer término es sucesión {sj son

= 2 1 = - . El enésimo término y el término (n - 1) de esta sn = 2_n Jy s/i-l, —2~(n~1)

Su razón es sn s n-\

2~" 2-(/'-1)

A veces se llama progresión geométrica.

2_n+(/i_l) _ 2~1

1 2

956 CAPÍTULO 13 Sucesiones; inducción; teoremadel binomio Como la razón de los términos sucesivos es la constante diferente de cero I , la suce1 ** sión {s } es geométrica con la razón común —.

EJEMPLO 3

D e t e rm in a r si u n a su ce sió n e s g e o m é tric a Demuestra que la siguiente sucesión es geométrica. (U = {3'4"} Determina el primer término y la razón común.

So lu ció n

El primer término es tx = 3 • 41= 12. El enésimo término y el ( n - 1) término son tn = 3 • 4"

y tn- 1 = 3 - 4nA

J

La razón es 3 • 4” 3 • 4n~1 La sucesión {íj es una sucesión geométrica con razón común 4.

. _

—Resuelve ahora

el

11

problema

Determinar una fórmula para una sucesión geométrica Considera que ax es el primer término de una sucesión geométrica con razón común r ^ 0. Queremos determinar una fórmula para el enésimo término an. Para ver el pa trón, escribimos los primeros términos:

= ran- i

II

II

0 a\r= air?

II

... || -i .fea. II

UJ

"t

«3 = ra2 — «4 = ra3 = <■(<■1ñ a5

V

s1

«1 — ü\ *1 = a2 = ra\ =

2) = axr'

Llegamos al siguiente resultado: TEO REM A

p

E n é sim o té rm in o d e un a s u c e s ió n g e o m é tric a

Para una sucesión geométrica {aj cuyo primer término es a, y cuya razón común es r, el enésimo término se determina por la fórmula a„ = fljr" 1

EJEM PLO

4

r ^ 0

(2)

D e t e r m in a r un t é rm in o e sp e c ífic o en u n a su ce sió n g e o m é tric a 81 729 (a) Determina el enésimo término de la sucesión geométrica: 10,9,— , -----... (b) Determina en noveno término de esta sucesión. 10 100 (c) Determina una fórmula recursiva para esta sucesión.

SECCIÓN 13.3 SucesionesGeométricas; seriesgeométricas 957 Solución

Exploración Usa un dispositivo gráfico para de terminar el noveno término de la sucesión del ejemplo 4. Usalo para determinar los términos vigésimo y ' cjliincuagésimo. Ahora usa un dispo sitivo gráfico para obtener la gráfica de la fórmula recursiva que deter minaste en el ejemplo 4(c.) Llega a la conclusión que la gráfica de una fórmula recursiva se comporta como la gráfica de una función exponen cial. ¿Cómo se relaciona r, la razón común, con a, la base de la función exponencial y = o'?_________________ j

(a) El primer término de esta sucesión geométrica es a, = 10 y la razón común es — . 81 1 10 m 9 10 9 ' usa 10 °~9~ ~ To ° cua*esclu'era dos términos sucesivos.) Entonces, por la fórmula (2), el enésimo término es , 9 Y,_1 9 " " ' 10U J * . - V - U = 10. r = (b) El noveno término es

-=

1

-K í*

4-3046721

9 (a) El primer término de la sucesión es 10 y la razón común es r - — . Si usamos la 9

fórmula (1), la fórmula recursiva es ax= 10, ci\ - 10, an = — a„_ 1.

Resuelve ahora

el

problema

1 9 , 27

y

35

3 Determ inar la suma de una sucesión geométrica TEO R EM A

S um a d e lo s p rim e ro s n té rm in o s de una su ce sió n g e o m é tric a

Sea (ííJ una sucesión geométrica con primer término o, y razón común r, donde r ^ 0, r # 1. La suma Sn de los primeros n términos de {aj es

D e m o stra c ió n

La suma Sn de los primeros n términos de {aj = [ a ^ 1] es S/ =i a,l +la.r + ... + a.rn‘1 1

(4)

Multiplica cada lado por r para obtener rS/ =i a.r+ l l a.r2 + ... + a.r" 1

(5)

Ahora resta (5) de (4). El resultado es Sn —rSn —a,-a.rn 1 1 (1 - r)5B= <1,(1-z ") Como r * 1, podemos resolver para Sn. S„ = «1

EJEM PLO

5

1 - rn 1- r

D e t e r m i n a r la s u m a d e lo s p r i m e r o s n t é r m i n o s d e u n a s u c e s ió n g e o m é tr ic a Determina la suma Sn de los primeros n términos de la sucesión | ( - j 1, es decir, determina , ^ ' ' v ' \k-\ 1 1 (1 1 1 1

958

capí'iTILO 13


S o lu ció n

es una sucesión geométrica con a t * - y

La sucesión

r

® - . Usa la fórmula

(3) para obtener

Fórmula (3); a, *

1

¿

r * -

2

2


EL

41

PROBLEMA

U so de un d isp o sitiv o g ráfico p a ra d e t e r m in a r la su m a de una su ce sió n g e o m é tric a Usa un dispositivo gráfico para determinar la suma de los primeros 15 términos de la sucesión

, es decir, determina +

Figura 8

S o lu ció n

sm n ,1,15,1)) .4 9 9 9 9 9 9 6 5 2

La figura 8 muestra el resultado obtenido usando una calculadora gráfica TI-84 Plus. La suma de los primeros 15 términos de la sucesión | ( - ) 1; es aproximadamente 0.4999999652. ^ 3 / J'

Resuelve ahora

el

47

p r o b l e m a

4 D e te rm in a r si u n a se rie g e o m é trica e s c o n v e rg e n te o d iv e rg e n te

DEFINICIÓN

Una suma infinita de la forma a, +

con primer término denota por

+ a xr + ... + a {r”~' + ...

y razón común

r.

se llama serie geométrica infinita y se

Con base en la fórmula (3). la suma S n de los primeros n términos de una serie geomé trica es «i*

1 1

-

rn r

«1

1

-

r

1

-

r

(6 )

SEC C IÓ N 13.3 \ NOTA En cálculo, usarne? notación ite límites y escribimos t ■ (ffl 5 , ■ Ifm V * r ' *'

—"ft?

m

V

« r*

ft

g¡ e sta s

suma linita

Sn

Sucesiones Geométricas; series geométricas

tiende a un número

converge.

p-t m anca infinita ^ ( i \ r k . _ . A=l munita y se escribe como

conforme

L

decimos que la serie

se llama la suma de la serie geométrica

L

Z «i A=1

L =

n —* oo,

959

Jt-i

-Si una serie no converge, se llama serie divergente. TEO REM A

Convergencia de una serie geométrica infinita ■X'

Si Irl < 1 , la serie geométrica infinita ^ í?|r*~l converge. Su suma es *:=I

Demostración intuitiva Como |r| < 1 , se deduce que |r"| tiende a 0 conforme n

—■* oo.

a r"

Entonces, con base en la fórmula ( 6 ), el término —!— tiende a 0, por lo tanto, la 1 - r suma S tiende a ——— conforme n —* oo. 1 - r EJEMPLO 7

D e t e r m in a r si u n a s e rie g e o m é tric a c o n v e rg e o d ive rg e Determina si la serie geométrica ~ /2 \* I . Y )

„

_1

=

2

4 8 + 3 + 9 + -

converge o diverge. Si converge, determina su suma. S o lu c ió n

00 / 2 Y Al comparar ^ 2 ( t )

k =1

2

es r

= —.

-1

con

\3/

\ el primer término es a, = 2 y la razón común

Como |r| < 1, la serie converge. Usa la fórmula (7) para determinar su suma: ~ /2 Y * ? ,% )

-Resuelve ahora

EJEM PLO 8

xr k

k =1

e l

4 8 + 5 + 9 + -

_1 = 2

p

r

o

b

l

e

m

a

2 = 7 7 1 =

6

53

D e c im a le s qu e se re p ite n D em uestra que el decim al que se repite 0.999... es igual a 1.

Solución

El decim al 0 .9 9 9 ... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + • • • = ^ serie geométrica infinita. Lo escribiremos de la forma *=i fórmula (7).

OO

^

^ 1

+ • • • es una

para poder usar la

OO 9

/ 1 Vk - l

960

capí’l'ULO 13

Sucesiones; Inducción; teoremadel binomio Ahora podemos comparar esta serie con Y t f | / 9 I ~

1

y llegar a la conclusión que

“ i o y r " Tó1 Como Irl < I, la serie converge y su suma es

y id

0.999

9 m. i

1 10

10

El decimal que se repite 0.999... es igual a I. EJEMPLO 9

O sc ila cio n e s d e un p én d u lo Inicialmentc, un péndulo oscila con un arco de 18 pulgadas. Observa la figura 9. En cada oscilación sucesiva, la longitud del arco es 0.98 de la longitud anterior. (a) ¿Cuál es la longitud del arco de la décima oscilación? (b) ¿En qué oscilación la longitud del arco es menor que 12 pulgadas por primera vez? (c) Después de 15 oscilaciones, ¿qué distancia total ha oscilado el péndulo? (d) Cuando se detiene, ¿cuál es la distancia total que osciló el péndulo?

Figura 9

So lu ció n

(a) La longitud La longitud La longitud La longitud

de la primera oscilación es de 18 pulgadas. de la segunda oscilación es de 0.98(18) pulgadas. de la tercera oscilación es de 0.98(0.98)(18) = 0.98:(18) pulgadas. del arco de la décima oscilación es (0.98)'( 18) ~ 15.007 pulgadas

(b) La longitud del arco de la enésima oscilación es (0.98),,'l(18). Para que esto sea igual a 1 2 pulgadas se requiere que (0.98)”- (18) = 12 12

( 0 .9 8 ) - - n ~ 1

= -

Divide a m b o s la d o s e r t r e 13.

= logo.ys( -

Expresa como un leaantma

In n = 1

+

ln 0.98

1 + 20.07

—

21.07

R esu elve p a ra ft. u s a la fórm ula de cam bio de b ase.

La longitud del arco del péndulo excede 12 pulgadas en la 21° oscilación y es menor a 1 2 pulgadas por primera vez en la 2 2 ° oscilación. (c) Después de 15 oscilaciones, el péndulo habrá oscilado la siguiente distancia total L: 18 + 0.98(18) + (0.98):(18) + (0.98)3(18) + ••■ + (0.98)u (18) r 2* 3* 4" 15’ Esta es la suma de una sucesión geométrica. La razón común es 0.98. el primer término es 18. La suma tiene 15 términos, entonces . in I - 0.9815 L = 8 ' 1 - 0 98 * 18( 13’07) * 235.3 pulgadas L =

El péndulo habrá oscilado aproximadamente 235.3 pulgadas después de 15 oscilaciones. (d) Cuando el péndulo se detiene, habrá oscilado la siguiente distancia total T: T=

18 + 0.98(18) + (0.98):(18) + (0.98)-'(18) + ...

Esta es la suma de una serie geométrica infinita. La razón común es r = 0.98. el primer término es = 18. Como |r| < 1. la serie converge. Su suma es u, 18 T = = 900 1 - r 1 - 0.98 El péndulo habrá oscilado un total de 900 pulgadas cuando se detenga finalmente.

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

87

SECCIÓN 13.3 SucesionesGeométricas; seriesgeométricas 961 R e so lv e r p ro b le m a s d e a n u a lid a d En la sección 6.7 desarrollamos la fórmula de interés compuesto que da el valor fu turo cuando se deposita una cantidad fija de dinero que paga interés compuesto pe riódicamente. Sin embargo, frecuentemente se invierte dinero en pequeñas cantida des en intervalos periódicos. Una anualidad es una sucesión de depósitos periódicos iguales. Los depósitos periódicos se pueden realizar anualmente, trimestralmente, mensualmente o diariamente. Cuando se hacen depósitos al mismo tiempo que se paga el interés, la anualidad se llama ordinaria. Sólo estudiaremos anualidades ordinarias aquí. La cantidad de una anualidad es la suma de todos los depósitos que se realicen más el interés que se pague. Considera que la tasa de interés que gana una cuenta es de / por ciento por periodo de pago (expresada como un número decimal). Por ejemplo, si una cuenta paga el 12% compuesto mensualmente

Tabla 3

Depósito Cantidad

veces al año), entonces

0 .12

= - j y = 0.01. Si una cuenta 0.08 paga el 8 % compuesto trimestralmente (4 veces al año), entonces i 0 .0 2 . 4 Para desarrollar una fórmula para la cantidad de una anualidad, considera que se deposita $ P cada periodo de pago por n periodos de pago, en una cuenta que gana i por ciento por periodo de pago. Cuando se realiza el último depósito en el enésimo periodo de pago, el primer depósito de $ P ha ganado un interés com puesto por n - 1 periodos de pago, el segundo depósito de %P ha ganado un interés compuesto por n - 2 periodos de pago y así sucesivamente. La tabla 3 muestra el valor de cada depósito después de que se han realizado n depósitos. (12

1

2

P(1 +

PO

i

n - 1

3

+ ¡)n~2

PO + Z)"-3

P0 +

i)

n

p

La cantidad A de la anualidad es la suma de las cantidades que se muestran en la tabla 3, esto es, A = P - { 1 + i ) n~ l + P - { 1 + i ) n~ 2 + ■■■ + P - ( l + i ) + P = P [l

+ (1 + / ) + • • • + (1 +

i ) n~ l ]

La expresión dentro de los corchetes es la suma de una sucesión geométrica con términos y una razón común de (1 + i). Como resultado A = P [ l + (1 + / ) + • • • + (1 + / ) " - 2 + (1 + i)”-1] j.l - U

+

0

"=

^

- (1 +

0

"=

p (1

+

0

n

"

1 - (1 + i)

Hemos establecido el siguiente resultado: TEO REM A

Cantidad de la anualidad

Considera que P es el depósito en dólares que se realiza al final de cada perio do de pago para una anualidad que paga i por ciento de interés por periodo de pago. La cantidad A de la anualidad después de n depósitos es

3TA Cuando uses la fórmula (8 ), recuerda c\ue cuando se realiza el enésimo depósito, el imer depósito ha ganado interés por n - 1 periodos de composición. ■

E J E M P L O 10

D e te rm in a r la can tid ad de la anu alidad Como ahorro para el retiro, Brett decide depositar $4000 en una cuenta individual para el retiro (IRA, por sus siglas en inglés) cada año por los siguientes 30 años. ¿Cuál será el valor de la IRA cuando Brett realice el 30° depósito? Considera que la tasa de retorno de una IRA es del 10% por año compuesto anualmente. (Esta es la tasa de retorno histórica de la bolsa de valores.)

962

capí'i ULO 13


S o lu ció n

Esta es una anualidad ordinaria con

n

de interés por periodo de pago es de i después de 30 depósitos es (1

+ 0 . 1 0 ) 30 -

- 30 depósitos anuales de 0 .10

—

*—j

P

$4l i f ) . 1.a tasa

— 0,10. La cantidad A de la anualidad

1

A _ $4000-------------------- * $4íHX)( 164.494023) * $657,976.09

E J E M P L O 11

D e te rm in a r la ca n tid a d de u n a an u alid a d Para ahorrar dinero para la educación universitaria de su hija, la señora Miranda decide guardar $50 cada mes en la cuenta de una unión de crédito que paga 1 0 % de interés compuesto mensualmente. Ella empieza este programa de ahorros cuando su hija tiene 3 años. ¿Cuánto habrá ahorrado para cuando realice su ISO'' depósito? ¿Qué edad tendrá su hija entonces?

So lu ció n

Ésta es una anualidad con

A =

$50

= $50. n = 180 y i

P

0 .10

0 .10

=

La cantidad A ahorrada es

% $50(414.47035)

$20.723.52

12

Como hay 12 depósitos al año, cuando se realice el 180° depósito habrán pasado 180 -jY =

15 años y la hija de la señora Miranda tendrá 18 años.

J

-Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

91

Comentario histórico as sucesiones son algunos de los ob jetos más antiguos en la investigación matemática, habiéndose estudiado por más de 3500 años. Sin embargo, después de los primeros pasos, el progreso fue poco has ta alrededor del año 1600.

L

Las sucesiones aritméticas y geométri cas aparecen en el papiro Rhind, un texto matemático que contiene 85 problemas que se copiaron alrededor de 1650 a.C. por el escriba egipcio Ahmes de una obra anterior (ve el problema histórico 1). Fibonacci (1220 d.C.) escribió acerca de problemas similares a los que se encontraron en el papiro Rhind, lo cual, nos lleva a suponer que Fibonacci pudo haber tenido material que se ha perdido. Este material pertenecería

a la tradición griega no eudidiana de Heron (alrededor del 75 d.C) y Diofanto (alrededor del 250 d.C.). El papiro Rhind indica que los egipcios sabían cómo sumar los términos de una sucesión geométrica o aritmética, al igual que los babilonios. La regla para sumar una secuencia se encuentra en tos Elementos de Euclides (Libro IX, 35, 36). donde, como toda el álge bra de Euclides, se presenta en forma geométnca. En el siglo XVI, empezaron investigaciones de otros tipos de sucesiones cuando el álgebra se había desarrollado lo suficiente para poder manejar problemas más complicados. El desarrollo del cálculo en el siglo XVII añadió una nueva y poderosa herramienta, especialmente para determinar la suma de una serie infinita y el tema sigue floreciendo hoy en día.

Problema histórico 1. Problema de sucesión aritmética del papiro Rhind (proposición modificada ligeramente para agregar claridad) Se quiere divi dir 100 hogazas de pan entre cinco personas de manera que las cantidades que reciban formen una sucesión aritmética.

Los primeros dos juntos reciben un séptimo de lo que re ciben los últimos tres. ¿Cuántas hogazas recibe cada uno?

[Respuestaparcial: la primera persona recibe 1- hogazas.]

SECCIÓN LU SucesionesGeométricas; serlesgeométricas 963 1 3 .3

E v a lú a t u e n t e n d i m i e n t o

¿Est js listo.

/ wv r, V'irrvMv vr*
in a n tu h ts en tre p a ré n te sis

d e e s t o s e je rc ic io s. S i o b t i e n e s u n a r e s p u e s t a in c o r r e c ta , le e las ptute a g in a s

1. St ' c tnsicrtcn SI***1 al 4 i. anual compuesto scmianual* mcnU'' *cu®nU> 'ubr * cn cuenta después de 2 artos? * W ^ 4 -‘

2. ¿Cuúnto Jebes invertir ahora al 5% anual compuesto mensualmcnte para que en 1 arto tengas $I0,
Conceptos y vocabulario .V I1n una sucesión________la razón de los términos sucesi vos es una constante. XI

4. Si / | < I. la suma de una serie geométrica T

'* es

C?\

7.

V erd a d ero o f a l s o En una sucesión geométrica la razón común siempre es un número positivo. 8. V erd a d ero o f a l s o Para una sucesión geométrica con pri mer término v razón común r, donde r ¿ 0, r * 1, la suma 1

5. Si una serie no converge, se llama una

- r"

de los primeros n términos es S„ = a , •—----- .

6- I e n la d e r o o f a l s o Una sucesión geométrica se puede de finir de manera recursiva. Ejercicios h.n los p ro b le m a s Ó -IS . d e m u e stra ipie cada sucesión es geom étrica. D espués, d eterm in a la ra zó n c o m ú n y escribe los p rim e ro s cuatro te m im o s.

I». W = {(-5)-}

13. (c„| = j ^ J

16. I/„) = {32"}

17. |r„| = | ^ |

18. («„) = j ^ - J

el 5 o té rm in o de la sucesió n g eom étrica c u yo té rm in o inicial a , y ra zó n c o m ú n r se dan.

24. «,

25. o, = V2;

11

1

2

I CJ 1 —

20. u, = -2; r = 4

/• = 3 r=

12. (/>„) = { ( 0 " }

II 1

/ V-26, d e te rm in a

= {2"*}

i

E n lo s p ro b le m a s

[en]

II. k ,| = { - 3 Q ) ”}

•jti

15.

■l?l

11

»4. K )

\

Ni 3 II

9- W = {3"}

22. 26.

r = V i

P

E n los p ro b le m a s 2 7 -3 2 , d eterm in a el te rm in o ipie se indica d e cada sucesión geom étrica. s 21.

7th termofi.

1

1

2

4

30. 10th term o f- l , 2 , -4 ,...

28. Sth term of 1, 3. 9,...

29. 9th term of 1,-1,1,...

31. 8th term of 0.4,0.04,0.004,...

32. 7th term of 0.1, 1.0,10.0,.

E n los p ro b le m a s 3 3 -4 0 . d eterm in a el en ésim o té rm in o an d e cada sucesión geom étrica. C u a n d o se da, r es la ra zó n co m ú n .

36. 4,1,^ ~ . . . 4 16

33. 7. 14. 28,56....

34. 5. 10. 2 0 ,4 0 ,.. .

35. 3,1,

37; at = 243;

38. a 2 — 1\

39. a 2 = 7; a4 = 1575

r

= -3

r

y 9" "

E n los p ro b le m a s 4 1 -4 6 , calcula cada sum a. 1

2:

•>

23

2 n~l

41. t4 + 47 + 4T + 4T + ' + _ T“ 4

‘

3

32 33

42 ' 9 + 9 + 9 + -

^ 3" + ¥

45. -1 - 2 - 4 - 8 ------- (2n_1)

k- 1

44. 2 4 *3'

« • !(!)' „

6

18

/ 3 Y ,_1

46‘ 2 + 5 + 2 5 + " + 2 í ~

if“I

E n los p ro b le m a s 4 7-52. usa un d isp o sitivo gráfico para d eterm in a r la su m a d e cada sucesión geom étrica. 1

47- r

+ 2 14 4 +t +t +- +t 2

50. 2 4 - 3 /!=1

22

n-

1

23

3

32

33

3 15

£ Í2 '"

4X- 9 + 9 + 9 + - + T

-1 (1 1 )“

51. -1 - 2 - 4 - 8 ------- 214

6 18 52. 2 + - + — + ••■ + 2 5 25

ti-

r

964

C A P ÍT U L O 13

Sucesiones; inducción; teorema del binomio

En los problemas 53-68, determina si lina serie geométrica infinita converge o diverge. S i converge, determina su suma.

\

53. i + | + | + - ■

4 8 54. 2 + - + - + •• •

55. 8 + 4 + 2 + • • •

56. 6 + 2 + ~ 3

57. 2 - ^ + ¿ - ¿ + -- 2 8 32

3 9 27 58. 1 “ t4 + 16 - 64 + " ’

59. 8 + 12 + 18 + 27 + •••

64 60. 9 + 12 + 16 + — + 3

7 7

00

f \ \ k~1

00

8G ) / | \k-\

6\ ? 00 / M

2 \ k~1

7 7

OO |

63. 2^ 3*-'

-

K=\ L

‘ 7- |

' í )

3G ) ‘

M

r

<*■ J K ! ) ‘

Práctica mixta ------------E n los problemas 69-82, determina si la sucesión dada es aritmética, geométrica o ninguna de los dos. S i la sucesión es aritmética, determina la diferencia común; si es geométrica, determina la razón común. Si la sucesión es aritmética o geométrica, determina la suma de los primeros 50 términos.

69. {n + 2}

70. {2n - 5}

71. {4n2}

72. {5n2 + 1}

74. { 8 -

75. 1 ,3 ,6 ,1 0 ,...

76. 2,4, 6, 8 ,...

77 {(I)"}

81. {3n/2}

82. { ( - i n

¡ „ }

79. - 1 ,2 , - 4 ,8 ,...

80. 1,1,2, 3,5, 8 ,...

{3- H 78. |

en

Aplicaciones y extensiones 83. Determina x tal que x, x + 2 y x + ?>sean términos consecu tivos de una sucesión geométrica. 84. Determina x tal que x - \ , x y x + 2 sean términos consecu tivos de una sucesión geométrica. Incrementos salariales Si te contrataron con un sueldo de $18,000 y esperas recibir incrementos anuales de 5%, ¿cuál será tu sueldo al principio de tu quinto año? 86 . Depreciación económica Una compañía pagó $15,000 por una nueva pieza de equipo. Para fines de impuestos, la compañía deprecia el valor en 15%. ¿Qué valor debe dar la compañía al equipo después de 5 años? . 87. Oscilaciones de un péndulo Inicialmente, un péndulo os cila un arco de 2 pies. En cada oscilación sucesiva, la longi tud del arco es de 0.9 de la longitud anterior. (a) ¿Cuál es la longitud del arco en la 10° oscilación? (b) ¿En qué oscilación la longitud del arco será menor que 1 pie por primera vez? (c) Después de 15 oscilaciones, ¿qué longitud total habrá \ oscilado el péndulo? (d) Cuando se detenga, ¿qué longitud total habrá oscilado el péndulo? 88. Pelotas botando Se deja caer una pelota desde una altu ra de 30 pies. Cada vez que golpea el piso, rebota a 0.8 de la altura anterior.

Oi i i 1

\

30’

-J-

1

89. Retiro

Christine aporta $100 mensuales a su cuenta de retiro. ¿Cuál será el valor de la cuenta de retiro de Christine después del 360° depósito (30 años) si la tasa de retorno anual es de 12% compuesto mensualmente?

90. Ahorros para una casa Jolene quiere comprar una casa nueva. Supongamos que invierte $400 al mes en un fondo mutuo. Si la tasa de rendimiento de ese fondo es de 10% compuesto mensualmente, ¿cuánto tendrá Jolene para un anticipo después del 36° depósito (3 años)? 91. Anualidad exenta de impuestos Don aporta $500 al fi nal de cada trimestre a una anualidad exenta de impuestos (TSA, por sus siglas en inglés). ¿Cuál será el valor de la TSA después del 80° depósito (20 años) si la tasa de rendi miento anual es de 8% compuesto trimestralmente? Retiro Ray aporta $1000 a una cuenta individual de aho rro (IRA, por sus siglas en inglés) semianualmente. ¿Cuál será el valor de la IRA cuando Ray realice el 30° depósito (después de 15 años) si la tasa de rendimiento anual es del 10% compuesto semianualmente?

93. Fondo de amortización Scott y Alice quieren comprar

M

II 1

(a) ¿A qué altura llegará la pelota después de que golpee el piso por tercera vez? (b) ¿Qué tan alto rebotará después de que golpee el piso por la enésima vez? (c) ¿Cuántas veces debe golpear el piso la pelota antes de que rebote menos de 6 pulgadas? (d) ¿Cuál es la distancia total que recorre la pelota antes de que deje de botar?

o a o II

/I 24' 9.2/1 O l\ i ' i / i M i ' i 1 l l j1 1 i 1 I l l i 1/ \ i/ 1 1 1 ii 11 II

'Cf

una casa de verano en 10 años y necesitan $50,000 para un anticipo. ¿Cuánto deben depositar en una cuenta de aho rros cada mes, si la tasa de rendimiento anual es de 6% compuesto mensualmente?

94. Fondo de amortización Se calcula que el costo de la edu cación universitaria de 4 años en una universidad pública para un niño nacido en 1996 será de $150.000. Si se con sidera una tasa de rendimiento del 8% anual compues to mensualmente, ¿cuánto se debe aportar a un fondo

SECCIÓN 13.3 SucesionesGeométricas; seriesgeométricas 965 universitario cada mes, para tener $150,000 en 18 años cuando el niño empiece la universidad?

que gana $0.90 (de Jane) gastará 90% de eso o $0.81. Este proceso de gasto continúa y da como resultado una serie geométrica infinita con la siguiente forma:

95. Granos de trigo en un tablero de ajedrez Según una fá bula antigua, se le dijo a un plebeyo que había salvado la vida del rey que podía pedir al rey lo que quisiera. Él era una persona astuta y dijo. “Un simple deseo, su alteza. Punga un grano de trigo en el primer cuadro de un tablero de ajedrez, dos granos en el segundo cuadro, cuatro granos en el tercer cuadro y así sucesivamente hasta que haya lle nado el tablero. Eso es todo lo que pido." Calcula el núme ro total de granos que se necesitan para hacer esto para ver por qué el deseo, que parecía simple, no se pudo conceder. (Un tablero consiste en 8 X 8 = 64 cuadros.)

*

1,0.90,0.902,0.90\ 0.90\ ... La suma de esta serie geométrica infinita se llama multipli cador. ¿Cuál es el multiplicador si las personas gastan 90% de cada dólar adicional que ganan?

98. Multiplicador Consulta el problema 97. Considera que la propensión marginal al consumo en la economía de los Estados Unidos es de 0.95. ¿Cuál es el multiplicador para la economía estadounidense?

Q

Precio de acciones Un método de poner el precio a una acción consiste en descontar el flujo futuro de dividendos de la acción. Considera que una acción paga $P al año en dividendos e, históricamente, el dividendo se ha ido incre mentando /% al año. Si quieres una tasa de rendimiento anual de r%, este método para determinar el precio de una acción establece que el precio que debes pagar es el valor presente de un flujo infinito de pagos: Precio = P + P

96. Observa la figura. ¿Qué fracción del cuadrado acabará sombreado si el proceso de sombreado indicado continúa indefinidamente?

1+ i 1+ i + P 1+ r 1+ r

+ PI

i + ¿y

+

. . .

1 + r)

El precio de la acción es la suma de una serie geométri ca infinita. Considera que una acción paga un dividendo anual de $4.00 y que históricamente el dividendo ha in crementado el 3% anual. Quieres una tasa de rendimiento anual de 9%. ¿Cuánto es lo máximo que debes pagar por la acción?

100. Precio de acciones Consulta el problema 99. Considera que una acción paga un dividendo anual de $2.50 y que históricamente ha incrementado 4% al año. Quieres una tasa anual de rendimiento de 11%. ¿Cuánto es lo máximo que debes pagar por la acción? 101.

Promesa de un hombre rico Un hombre rico promete

97. Multiplicador Considera que en la economía estadouni

darte $1000 el 1 de septiembre de 2010. Cada día después

dense, las personas gastan 90% de cada dólar adicional que ganan. Los economistas dirían que la propensión marginal al consumo es de 0.90. Por ejemplo, si Jane gana un dó lar adicional, ella gastará 0.9(1) = $0.90 de él. La persona

de eso te dará — de lo que te dio el día anterior. / Cuál es la primera fecha en la que la cantidad que recibas sea me nor que lé? ¿Cuánto habrás recibido cuando esto suceda?

Explicación de conceptos; discusión y escritura 102.

Pensamiento crítico Estás buscando trabajo y tienes dos ofertas: A: $20,000 como sueldo inicial, con incrementos anua les garantizados de 6% por los primeros 5 años. B:

103.

$22,000 como sueldo inicial, con incrementos anua les garantizados de 3% los primeros 5 años.

¿Cuál de las ofertas te conviene si tu objetivo es estar ga nando la mayor cantidad posible después de 5 años? ¿Cuál te conviene si tu objetivo es ganar la mayor cantidad de dinero posible durante el contrato (5 años)? Pensamiento crítico ¿Cuál de las siguientes opciones, A o B , da como resultado la mayor cantidad de dinero? A:

Recibir $1000 el día 1, $999 el día 2, $998 el día 3, con el fin del proceso después de 1000 días

B:

Recibir $1 el día 1, $2 el día 2, $4 el día 3, por 19 días

104. Pensamiento crítico Acabas de firmar un contrato de la liga de fútbol profesional por 7 años con un salario inicial

de $2,000,000 al año. La administración te da las siguientes opciones con respecto a tu salario durante los 7 años. 1.

Un bono de $100,000 al año.

2.

Un incremento anual de 4.5% al año empezando des pués de 1 año.

3.

Un incremento anual de $95,000 al año empezando después de 1 año.

¿Qué opción proporciona más dinero durante un periodo de 7 años? ¿Cuál proporciona menos? ¿Cuál escogerías? ¿Por qué?

105. Pensamiento crítico Considera que te ofrecen un trabajo en el que trabajarías 8 horas diarias por 5 días a la semana por 1 mes en labores forzadas. El primer día recibirías 1 cen tavo. El segundo recibirías 2 centavos, el tercer día 4 centa vos. Tu sueldo se duplicaría cada día sucesivo. Hay 22 días hábiles en el mes. No puedes faltar por enfermedad. Si fal tas un día, no te pagarán ni habrá incremento en el sueldo.

966 CAPÍ TULO 13 Sucesiones; Inducción; teoremadel binomio ¿Cuánto recibirías si trabajas los 22 días? ¿Cuánto te pa garían el 2 2 "día de trabajo? ¿Qué riesgo corres si aceptas esta oferta de trabajo? ¿Aceptarías el trabajo? 106. ¿Puede una sucesión ser aritmética y geométrica? Explica tus razones. 107. Desarrolla una sucesión geométrica. Dásela a un amigo y pídele que determine el 2 0 " término.

|0K. Desarrolla dos seríes geométricas infinitas, una que tenga suma y la otra que no tenga. Dáselas a un amigo y pfrkk que determíne la suma de cada serie, 109, Describe las similitudes y las diferencias entre las sucesio nes geométricas y las funciones exponenciales.

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo ?” I. $1082.43

2. $9513.2H

1 D e m o s tra r p ro p o s ic io n e s u s a n d o la in d u c c ió n m a te m á tic a La i n d u c c i ó n m a t e m á t i c a es un método para demostrar que proposiciones que ínvolucran a los números naturales son verdaderas para todos los números naturales.* Por ejemplo, la proposición “2/r siempre es un número entero par~ se puede demostrar para todos los números naturales n usando inducción matemática. Tam bién, la proposición “la suma de los primeros n números enteros positivos impares equivale a /r", esto es, 1 + 3 + 5 + ••• + (2/i - 1) = n 2 (1) se puede demostrar para lodos los números naturales n usando la inducción matemática. Antes de presentar el método de inducción matemática, tratemos de ver el poder del método. Usaremos la proposición de la ecuación (1) para este fin y la reformula remos para distintos valores de n = 1.2. 3......

n

= 1 = 2

n

= 3

n

n -

4

La suma del primer número entero positivo impar es 1 :: 1 = 1 \ La suma de los 2 primeros números enteros positivos impares es 2:: 1 + 3 = 4 = 22. La suma de los 3 primeros números enteros positivos impares es 3?: 1 + 3 + 5 = 9 = 3\ La suma de los 4 primeros números enteros positivos impares es 4:: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42.

Aunque de este patrón podríamos concluir que la proposición (1) es verdadera para cualquier elección de n , ¿podemos estar realmente seguros de que no fallará para alguna elección de n i El método de demostración por inducción matemática probara que la proposición es verdadera para toda n . ‘VIC F C ' f ' ' '£

TEO R EM A

El principio de inducción matemática Considera que las siguientes dos condiciones se satisfacen con respecto a una proposición acerca de los números naturales: CONDICIÓN I: CONDICION II:

La proposición es verdadera para el número natural 1. Si la proposición es verdadera para algún número natural k . también es verdadera para el siguiente número natural k + L Entonces la proposición es verdadera para todos los números naturales. •Recuerda que los números naturales son los números t. 2.3.4..... En otras palabras, los términos raimeros naturales y números enteros positivos son sinónimos.

NMI ION1.V4 Inducciónmatemática 967

figura 10

No rlcmovlnrcnuM cMc |>rmc¡,r¡„. Sm embargo, prnlcm.» da, una iniurnrctación roK-.r que m» anidara a ve, ¡h. qué luaeiona el prineipio, Plenva en una colección de m rnerr»aruralev que obede/ea una proproiciOn como una eoleeeión de un numero minuto de fichas de dominó. \ cr figura lo. Ahora, considera que se nos presentan dos hechos: 1. Se derriba la primera ficha. 2. Si cae una ficha, digamos la A esima ficha, entonces lu siguiente también caerá, la ficha (A f 1). ¿Se puede concluir que Unta* las fichas caerán? I ,a respuesta es si. porque si la prime ra cae (condición I). la segunda también caerá (por la condición II); si la segunda cae, también caerá la tercera (por la condición II) y asi sucesivamente. EJEM PLO 1

]

U s a r la In d u c ció n m a t e m á t ic a Demuestra que la siguiente proposición es verdadera para todos los números natu rales n. I + 3 5 + ••• + (2/i - 1) ■ i r (2)

S o lu c ió n

Debemos demostrar primero que la proposición (2) es válida para /i = 1 . Como 1 = 1-, la proposición es válida para n a I. La condición I se cumple. Ahora debemos demostrar que la condición II se cumple. De la proposición (2) suponemos que I + 3 + ••• + (2A - 1) = k 2 (3) es verdadera para algún numero natural k. Queremos mostrar que, con base en la ecuación (3), la proposición (2) se cumple para k * 1. Vemos la suma de los primeros k +■ I números enteros positivos impares para determinar si esta suma es igual a { k * l )’. I + 3 + - + (2A - l) + (2(A + l ) - l ) - (1 + 3 + - + (2A - l)| + (2k + 1) ■

= -

k2 k2

k-' p o r

U

e c u A C ió r

( 3)

+ (2 A + 1 ) + 2A + 1 - (A + I)2

Las condiciones I y II se satisfacen; por el principio de inducción matemática, la pro posición ( 2 ) es verdadera para todos los números naturales n. i

EJEMPLO 2

U s a r la in d u cció n m a t e m á t ic a Demuestra que la siguiente proposición es verdadera para todos los números natu rales n. 2 "> n

S o lu ció n

Primero demostramos que la proposición 2" > n se cumple cuando n = 1. Como 2' = 2 > I. la desigualdad es verdadera para n = 1. La condición I se cumple. Ahora, consideramos que para algún número natural A, 2* > A. Queremos demos trar que la fórmula se cumple para A + I. esto es. queremos demostrar que 2 1 ’ 1 > A + I. Ahora 2* * 1 = 2 • 2 a > 2 • A = A + A 2 A + 1

T Sabemos c\ue 2" > k.

t ks 1

Si 2‘ > A, entonces 2*’ 1 > A + 1, por lo tanto, la condición II del principio de inducción matemática se satisface. La proposición 2"> n es verdadera para todos los números naturales n . _ I

968 CAPÍTULO 13 Sucesiones; inducción;teoremadel binomio EJEMPLO 3

U s a r la in d u cció n m a t e m á t ic a Demuestra que la siguiente fórmula es verdadera para todos los números naturales n. n (n + 1 ) 1 + 2 + 3 + ••• + « = --------(4)

S o lu ció n

Primero demuestra que la fórmula (4) es verdadera cuando n +

1(1

) _

1

2

1 (2

=

1. Como

) _

2

La condición I del principio de inducción matemática se cumple. Ahora suponemos que la fórmula (4) se cumple para alguna k y determinamos si la fórmula se cumple para k + l . Consideramos que k (k + 1 ) + k -- ------ - ----- para alguna k 1+ 2 + 3 + (5) Ahora debemos demostrar que 1 + 2 + 3 + --- + A: + (A: + 1) —

(k +

!)[(* + !) + !] ( k + !)(* + 2) ^ — ~

Lo hacemos de la siguiente manera: + 2 + 3 + ••• +

1

+

k

(k

+ 1) = [1 + 2 + 3 + ••• +

+

k\

(k

+ 1)

k(k+ 1) por la ecuación (5) = kjk+_r¡ + (k + l) _

k2 + k + 2k

=

k2

+

3k

+

+ 2 =

2

(k

+

\)(k

2

+ 2)

2

La condición II también se cumple. Como resultado, la fórmula (4) es verdadera para todos los números naturales n.


e l

p

r

o

b

l

e

m

a

i

U s a r la in d u cció n m a t e m á t ic a Demuestra que 3" —1 es divisible entre 2 para todos los números naturales n.

S o lu ció n

Primero demostramos que la proposición es verdadera cuando n — 1. Como 31—l = ::3 - l = 2 e s divisible entre 2, la proposición es verdadera cuando n = 1. Se satisface la condición I. Ahora suponemos que la proposición se cumple para alguna k y determinamos si la proposición se cumple para k + l . Consideramos que 3* —1 es divisible entre 2 para alguna k . Debemos demostrar que 3 k+l - 1 es divisible entre 2. Ahora 3 * +1

~ 1 = 3 k+1 — 3 k + 3k — 1

R e s t a y su m a 3 ‘.

= 3 *(3 - 1) + (3 * - 1) - 3 * - 2 + (3 * - 1 ) Como 3k • 2 es divisible entre 2 y 3* - 1 es divisible entre 2, se deduce que + (3* - 1) = 3A+1 —1 es divisible entre 2. La condición II también se satisface. Como resultado, la proposición “3" —1 es divisible entre 2” es verdadera para todos los números naturales n. . 3k • 2

A D V E R T E N C IA La co nclu sió n de que una proposición que involucra n ú m ero s n a t u r a le s e s v e rd a d e ra p a ra to d o s los n ú m ero s n a t u ra le s s e puede h a c e r ú n ica m e n te d e s p u é s de que han sid o s a t i s f e c h a s la s co n d icio n es I y II del principio de Inducción m a te m á tic a . El problem a 2 3 d e m u e s t ra una proposición p a ra la que so la m e n te s e s a t i s f a c e la condición I, pero la proposición

no e s

v e rd a d e ra p a ra t o d o s los

n ú m ero s n a tu ra le s . El problem a 2 9 d e m u e s t ra una proposición p a ra la que so lo s e s a t i s f a c e la co n dición II, pero la proposición

no e s

v e rd a d e ra p a ra cu alq u ie r núm ero n a tu ra l.

■

SECCIÓN 13.4 Inducciónmatemática 969 1 3 ,4 E v a lú a t u e n t e n d i m i e n t o Ejercicios E n los problem as 1-22, usa el principio de inducción matemática para demostrar que la que la proposición dada es verdadera para todos los números naturales n.

i

\

1. 2 + 4 + 6 + ■• • + 2n = n (n + 1)

2. 1

+5 +

9

+ •■• + (4„ - 3) = n{2n _ 1}

3. 3 + 4 + 5 + ■• ■+ (n + 2) = —n(n + 5)

4.

3

5. 2 + 5 + 8 + -- - + (3« — 1) = —n(3n + 1)

6.

1+ 4 + 7 + ■•■ + (3« - 2) =

7. 1 + 2 + 22 + ••• + 2"_1 = 2" - 1

8.

1 + 3 + 32 + ••• + 3,,_l = ^(3" - i)

9. 1 + 4 + 42 + • • • + 4"-1 = - (4 " - 1) 1

1

1

1

1*2

2 ’3

3 -4

n {n + 1)

+ 5+ 7 + -- - + (2;i + 1) = n(n + 2) - 1)

10. 1 + 5 + 52 + • • • + 5n_1 = —(5" - 1)

_ ____ n n + 1

_J_ 1 •3

J_ 3-5

J _ 5-7

_______ 1_________ n + (2n - l)(2n + 1) 2n + 1 1

,2 = _ -pn{n + 1)(2 n + 1) 13. I 2 + 22 + 32 + ■•• + n2

14. I 3 + 23 + 33 + ••• + n3 = - n 2ln + l ) 2 4

15. 4 + 3 + 2 + • ■• + (5 — n) = —«(9 - n)

16. —2 — 3 — 4 — • • • — (n + 1) = —~n( n + 3)

17. l - 2 + 2 '3 + 3*4 + --- + /t(/j + l ) = —n(n + l ) ( n + 2)

18. l*2 + 3 -4 + 5*6H------ 1- (2 n —l)(2n) = —n(n + 1)(4 n - 1

19. «2 + n divisible entre 2

20. n3 + 2n es divisible entre 3.

21. n2 - n + 2 es divisible entre 2.

22. n(n + l)(n + 2) es divisible entre 6.

J

Aplicaciones y extensiones En los problemas 23-27, demuestra cada proposición.

31. Usa la inducción matemática para demostrar que

23. Si x > 1, entonces x n > 1.

a + (a + d) + (a + 2d)

24. Si 0 < x < 1, entonces 0 < x n < 1.

n{n - 1) + • • • + [a + (n - 1)í/] = na + d -----------

25. a - b es un factor de a" - bn.

[Sugerencia: aM -

bM = a(ak - bk) + bk(a —6)]

26. a + b es un factor de a2"*1 + b2"*1. 27. (1 + a)" s i + na, para a > 0. 28. Demuestra que la proposición “n2 - n + 41 es un número primo” es verdadero para n = 1, pero no es verdadera para « = 41. 29. Demuestra que la fórmula 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n2 + n + 2 cumple la condición II del principio de inducción mate mática. Esto es, demuestra que si la fórmula es verdadera para alguna k también es verdadera para k + 1. Después demuestra que la fórmula es falsa para n = 1 (o para cual quier otra elección de n). 30. Usa la inducción matemática para demostrar que si r ^ 1, entonces 1 - r" a + ar + ar2 + • ■• + ar" 1 = a 1- r

32. Principio extendido de la inducción matemática El prin cipio extendido de la inducción matemática establece que si las condiciones I y II se satisfacen, esto es, (I) Una proposición es verdadera para un número natural j. (II) Si la proposición es verdadera para un número natural k £ j , entonces también es verdadera para el siguiente número natural k + 1. entonces la proposición es verdadera para todos los núme ros naturales £ j. Usa el principio extendido de inducción matemática para demostrar que el número de diagonales en un polígono convexo de n lados es —n(n — 3).

[Sugerencia: empieza demostrando que el resultado es verdadero cuando n = 4 (Condición I).]

33. Geometría Usa el principio extendido de inducción mate mática para demostrar que la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados es igual a (// -) 1 •

Explicación de conceptos: discusión y escritura 34. ¿Cómo le explicarías el principio de inducción matemática a un amigo?

970 CAPÍTOI.O 1.1 Sucesiones; Inducción;lPot*rr\ad>'l binomio

Se han dado fòrmula* para expandir U ♦ a)" para n 2 y n * 3. I l teorema del bino mio* es una fòrmula para expandir i r ♦ a)" para cualquicr nùmero cntero positivo n Si n = I. 2. 3 y 4, la expansiòn de ( x ♦ a)* e* diretta Pon vérm*t0%, empezitñéo ccm • / InrtrnsuOo tari §

(x

+r/)1 ■x +

(x

+a ) 1

(x

+u )1 “

(.v

+ri)4 * v4 -t A a x %+ òri2 jr3 + 4r/’.r +

a

Tre* tarmino«, tm p e tM B n cor» t

+

mx1

a1

2ti x

+

+ 3iix 2 +

a7

/

7>ttx +

«in «

Cufico lé r m n o * . r~ p * ru r-A -, 'jjm »' / te rr sbando con #

«’ .

C*nco tánr> r.n*_ empeunA) con * * / tertWrUOTdto COn

( )hserva que cada expansión de (r + a f cmpíc/a con V* y termina con c t Al leer de izquierda a derecha, las potencias de ,r disminuyen en I. mientras que las potencias de a se incrementan en 1. Además, el número de términos es igual a n * I, OKcrxa también que el grado de cada monomio en la expansión es igual a n Por ejemplo, en la expansión de (i + n ) \ cada monomio ( x \ 3rit’, 3ri-,r. r/’j es de grado 3. ( orno resultado, podemos pensar que la expansión de (,r + nJ" se verá de la siguiente forma (,t + a)" m x n +

____ a x " "1 + _____ < rV 2 + ••• «•_____ n" lx * ( f

donde los espacios en blanco son los números que hay que determinar Éste es el caso que estudiaremos a continuación.

Antes de que podamos llenar los espacios en blanco, debemos presentar el símbolo

(;> 1 E v a lú a C O M E N T A R IO S En una d o ra

gráfica, el

puede

den otar

sím bolo

por

calcula ^ j »e

Definimos el símbolo

se

(")qucs

lee ’Vi tomada / a la ve/" de la siguiente manera

la tecla m

nCr

D E F IN IC IÓ N

Si j y n son números enteros con O S /S

n.

el símbolo |

/ ri \

n!

\ i )

/!('» ~ » !

™j se define como m

J [

EJEMPLO 1

I

E v a lu a r

/ n\

w Determina: <"> ( ? )

,h | ( ? )

t i nombre binomio se deriva del hechode que >«nes unbinomio. csiocv conitene Jos términos.

SECCIÓN 13.5 Teoremadel binomio 971 S o lu c ió n w

i 1

('i1/ iy _ >/

3! l!(3 2 !( 4

4! -

1 )!

=

1!2

)! =

2 !2

!

1 (2

!

4- 3*2- 1 ( 2 • 1 ) ( 2 • I)

4! 2

-1)

2

8!

« .

,c) ( 7 /

Figura 11

6 5 n C r 15 2 . 0 7 3 7 4 6 9 9 8 e 14

8! 7!( 8 - 7)í = 7! 1!

■ a-7! *• (d) La figura 11 muestra la solución usando una calculadora gráfica TI-84 Plus. Entonces 65 2.073746998 x l()u 15 &\

-Resuelve ahora

e l

p

r

o

b

l

e

m

5

a

Cuatro útiles fórmulas que involucran el símbolo ^ ^ son

Demostración n

/i! 0 !(/i -

_ _«!_ = 0 )!“ 0 ! «I “

/i! 1 !(/i -

_ 1 )!“

(n

l _ 1

“

/?!_ n ( n —' 1 ) ! - 1 )! “ (rr— L)!

Se te pedirá que demuestres las dos fórmulas restantes en el problema 45.

■

Supongamos que ordenamos los valores del símbolo í n ) en un despliegue trian gular. como se muestra a continuación y en la figura 1 2 . ' ¡ '

Figura 12 Triángulo de Pascal

972 CAPÍTULO 13 Sucesiones; Inducción; teoremadel binomio Este despliegue se llama triángulo de Pascal, en honor a lilaise Pascal (1623-1662), un matemático francés. El triángulo de Pascal tiene números 1 en los lados. Para obtener cualquier otra entrada, suma las dos entradas más cercanas en la fila superior a ella. Los triángulos sombreados en la figura 1 2 ilustran esta característica del triángulo de Pascal. Con base en esta característica, la fila correspondiente a n = 6 se determina de la siguiente manera: n = 5 ->

1

5

10 10

r.

n=

1

y fi*

6

5

yir

15 2 0 15

^

6

1 1

Más adelante demostraremos que esta suma siempre funciona (ve el teorema en la página 974). Aunque el triángulo de Pascal proporciona un despliegue interesante y organiza do del símbolo ( n ), en la práctica no es tan útil. Por ejemplo, si quieres saber el valor / , 2\ de í J, tendrías que desplegar 13 filas del triángulo antes de poder ver la respuesta. Es mucho más rápido usar la definición (1). 2 U so del te o re m a d el b in o m io

TEO REM A

Teorema del binomio

Sean x y a números reales. Para cualquier entero positivo «, tenemos

Ahora entiendes por qué tuvimos que presentar el símbolo

J: estos símbolos

son los coeficientes numéricos que aparecen en la expansión de (* + a ) n. Por eso. el símbolo

EJEMPLO 2

se llama coeficiente binomial.

E x p a n d ir un b in o m io Usa el teorema del binomio para expandir (.v + 2)5.

S o lu ció n

En el teorema del binomio, sea a

= 2

y n = 5. Entonces

+2)5H o V +(i)2i4 +( 2 ) " +(s)2V + Î

+

2-

U sa la ecu ació n (2 )

= I * * 5 + 5 • 2.V4 + 10-4.V3 + 10-S.v2 + 5-ló.v + 1*32 U s a la fila

n=

5

del trián g u lo de

P a s c a l o la fórm ula (1) p a ra ^

= -v5 + lO.t4 + 40.r3 + 80.V2 + 80.V -I- 32 J

SECCIÓN 13.5 Teoremadel binomio 973 [

EJEM PLO 3

1

S o lu c ió n

E x p a n d ir un b in o m io Expande ( 2 y - 3 ) 4 usando el teorema del binomio. Primero escribe la expresión ( 2 y - 3 )4 como [2 _y + (-3)]4. Ahora usa el teorema del binomio con n = 4 , x = 2 y y a = - 3 . [2y + ( - 3 ) ] 4 = ( g ) ( 2 y ) J + ^ ( - 3 ) ( 2 y

)3

^

( - 3 ) !(2y ) 2

+ ( 3 ) ( - 3ñ2y> + O ' " 3» = 1 * 1 6 / + 4 ( - 3 ) 8 / + 6 - 9 * 4 / + 4(-27)2y + 1-81 U sa la fila

n=4

del triángulo

de

P ascal

o

la fórm ula (1) p ara ^

].

= 1 6 / - 9 6 / + 2 1 6 / - 216_y + 81 En esta expansión, observa que los signos se alternan debido al hecho que a = -3 < 0.


el

p r o b l e m a

21

D e te rm in a r un co eficien te específico en una expan sión binom ial Determina el coeficiente de y 8 en la expansión de (2_y + 3)10.

S o lu c ió n

Escribe la expansión usando el teorema del binomio. (2y + 3)'° = ( 1 ” )(2 y ) !0 + ( 11° ) ( 2 y ) ’(3 ) 1 + ( “ / y + ( 14° )( 2 y ) 6 (3 ) 4 +

) 8^ ) 2

+ ( “ /y jW

(2y)(3)’ + ( | q ) ( 3 ) 10

Del tercer término en la expansión, el coeficiente de / es 10 ! 2!8!

■28 • 9

10- 9- ^r 2 --8 !

103,680

Como demuestra esta solución, podemos usar el teorema del binomio para calcu lar un término específico en una expansión sin escribir la expansión completa. Con base en la expansión de (x + a)", el término que contiene x> es

(3)

( n )a " -'x J \n - ] J

J Por ejemplo, podemos resolver el ejemplo 4 usando la fórmula (3) con y j = 8 . Entonces el término que contiene / es

a = 2, x = 2 y

10 1 0 - 8

110- 8/-7 ,,\8 (2 / *

10 2

32 • 28 • y8

10 ! 2 !8!

9 .*28/

10 • 9 • 8 ! 9 • 28/ = 103,680/ 2 -8 !

n =

10,

974 CAPÍTULO 13 Sucesiones; inducción; teoremadel binomio EJEMPLO 5

C a lc u la r un té rm in o e sp e c ífic o en u n a e x p a n sió n b in o m ia l Determina el sexto término en la expansión de

So lu ció n A

( x + 2 )'\

Expande usando el teorema del binomio hasta que se llegue al sexto término.

El sexto término es

So lu ció n B

El sexto término en la expansión de (x + 2)9, que tiene 10 términos en total, contiene (¿Puedes ver por qué?) Por la fórmula (3), el sexto término es

x 4.

íV9 -94

.ws==^-ResuelvB ahora

X

el

4

7777

5! 4!

29

p r o b l e m a

y

• 32jc4 = 4032.x4

35

A continuación demostraremos que la característica de a d i c i ó n triángulo de Pascal que se ilustra en la figura 12 siempre funciona. Si n y j son números enteros con

1

n,

tria n g u la r

del

entonces

D e m o stra ció n

___________ rú_________ (;' - !)![« ~

Ü ~ 1

n\

)]! + /!(« - ;')!

i n\ U ~ 1)K« - i + 1)! + j \ { n - ;)! n\

jn\ iü

(n - j +

- !)!(« - ; + i)! + ;'!(«

~ i +

l)n !

i ) ( « - y)!

l)n ! j \ ( n - j + 1)! + j \ ( n - j + 1)! jn\

jn\

n —j + y el seg u n do té rm in o por

1

-

n —j +

1

(n - j +

+ ( « - / + l)n! ;'!(« - j + 1)! 1)

n\ ( j + n - j + j\(n - j +

M ultiplica el p rim er té rm in o por

1)!

n '-(n + ! ) j \ { n - j + 1)!

=

+ 1)! = fn + l \ ; ! [ ( « + 1) - y ] ! ~ \ j )

A h o ra lo s d e n o m in ad o res so n iguales.

SECCIÓN 13.S Teoremadel binomio 975

Comentario histórico uclides conocía el caso n = 2 del teorema del binomio, (a + b)2en 300 a.C, pero pa rece ser que la ley general fue descubier ta por el matemático y astrónomo persa Ornar Khayyám (1050-1123), quien se conoce bien por ser el autor de Rubáiyát, una colección de poemas de cuatro líneas que hacen observa O rn ar K lw y y á m ciones acerca de la condición humana. Ornar (1050-1123) Khayyám no estableció explícitamente el teo rema del binomio, pero decía tener un método para obtener raíces cúbicas, cuartas, quintas, etc. Un pequeño análisis muestra que se debe conocer el teorema del binomio para crear di cho método.

E

13.5

El corazón del teorema del binomio es la fórmula para los coefi cientes numéricos y, como vimos, se pueden escribir en una forma triangular simétrica. El triángulo de Pascal aparece por primera vez en los libros de Yang Hui (alrededor de 1270) y Chu Shih-chieh (1303). El nombre de Pascal se asocia con el triángulo debido a las muchas aplicaciones en las que lo usó, especialmente para conteo y probabilidad. Al establecer estos resultados, fue uno de los primeros matemáticos en usar la inducción. Mucha gente trabajó en la demostración del teorema del bi nomio, que finalmente se completó para toda n (incluyendo los números complejos) por Niels Abel (1802-1829).

E v a lú a t u e n t e n d i m i e n t o

Conceptos y vocabulario 1 E l __________________ es un despliegue triangular de los coeficientes binomiales.


\j)

= ------- ------(n - j ) \ n \

4. E l __________________se puede usar para expandir ex presiones como (2x + 3)6.

Ejercicios E n los problem as 5-16, evalúa cada expresión.

’■ 0

O O

Oi r—

«

O O O

S )

©

t-H

r

■ *(S

O

- O ▼H

o

‘ 0

©

n. ( 7 )

-

O

E n los problemas 17-28, expande cada expresión usando el teorema del binomio.

17. (x + l ) 5 V 2 1 . (3x + l ) 4 25.

Vx + V 5 )6

18. (x - l ) 5

19. (x - 2)6

20. (x + 3)5

22. (2x + 3)5

23. (x2 + y2) 5

24. (x2 - y2)6

26. (V x - V 3 )4

27. (ax + by)5

28. (ax - by)4

E n los problemas 29-42, usa el teorema del binomio para determinar el coeficiente o el término indicado.

V 29. El coeficiente de x6 en la expansión de (x + 3)10 i 31. El coeficiente de x 1 en la expansión de (2x — 1) 33. El coeficiente de x 7 en la expansión de (2x + 3) V. 35. El quinto término en la expansión de (x + 3) ¡ 37. El tercer término en la expansión de (3* - 2)9

! 39. El coeficiente de x° en la expansión de 41. El coeficiente de x4 en la expansión de

30. El coeficiente de x3en la expansión de (x - 3)10 32. El coeficiente de x3en la expansión de (2x + l ) 12 34. El coeficiente de x2en la expansión de (2x - 3)9 36. El tercer término en la expansión de (x - 3)7 38. El sexto término en la expansión de (3x + 2)8 40. El coeficiente de x° en la expansión de 42. El coeficiente de x2en la expansión de

976

CAPÍTULO 13



_ _ _ _ _ _ 48. Si n es un número entero positivo, demuestra que

43. Usa el teorema del binomio para determinar el valor nu mérico de (1.001 y corregido a cinco lugares decimales.

[Sugerencia: ( 1.001)* = ( 1+ 10-*)*] 44. Usa el teorema del binomio para determinar el valor nu

"'OOHSGreM«)'

mérico de (0.998)'’ corregido a cinco lugares decimales.

45. Demuestra que ^

n ^

= n y ^ M^ = 1.

- ÍX X y '- C X X H D ü L -

46. Demuestra que si n y j son números enteros con Q ^ j ^ n

50. Formula de Stirling Una aproximación para n \cuando n es

entonces

grande está dada por

X

A

“X ”)('+

Llega a la conclusión de que el triángulo de Pascal es si métrico con respecto a la recta vertical trazada desde la entrada superior.

Calcula 12!, 20! y 25! en tu calculadora. Después, usa la fórmula de Stirling para aproximar 12!, 20! y 25!

47. Si n es un número entero positivo, demuestra que +

X

+( X .

[Sugerencia: 2" = (1 +1)", ahora usa el teorema del binomio.]

REPASO DEL CAPÍTULO Cosas que debes saber Sucesiones (p. 939)

Una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos

Factoriales (p. 941)

0! = 1,1! = 1, n\ — n{n - 1 ).........3 • 2 • 1 si n ^ 2 es un número entero

Sucesión aritmética (pp. 949 y 950) Suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética (p. 951) Sucesión geométrica (pp. 955 y 956) Suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica (p. 957)

«i = a, a„ = a„-\ + d, donde a\ = a = primer término, d = diferencia común a„ = «i + (n - \ )d s » = |[2 fli + (n - l)r/] = (¡\ = fl,

fl„ = /•«„_], donde a, = a = primer término, r = razón común

a„ = a\r"_1,

= fl[

+ a „)

r # 0

1 - rn r ¿ 0,1 1- r ' OO

Serie geométrica infinita (p. 958)

«i + axr + • • • + ¿qr'1'

i =1 Suma de una serie geométrica infinita convergente (p. 959)

00

s¡M < i,

n

- t ^—

Si se satisfacen las siguientes dos condiciones. Principio de inducción matemática (p. 966)

Condición I: La proposición es verdadera para un número natural 1. Condición II: Si la proposición es verdadera para algún número natural k . también es verdadera parA' + 1. entonces la proposición es verdadera para todos los números naturales.

Coeficiente binomial (p. 970) Triángulo de Pascal (p. 971)

Ver figura 12.

Teorema del binomio (p. 972)

(X + a y

=

+. . . +

+

( X | ( X f

REPASODELCAPITULO 977 O bjetivo s Secció n O eb es p o d e r...

13.1

Ejem plos E je rcid o s de repaso

1 1 scnbir los primeros términos de una sucesión (p. 939) 2 i Sí.rd’ir los términos de una sucesión definida por una fórmula recursiva 3 4 1 2

i.v:

13.3

1-4

1-4

( p 'm:)

5.6

5-8

l 'sar notación de suma (p. 943) Determinar la suma de una sucesión (p. 944) Determinar si una sucesión es aritmética (p. 949) Determinar una formula para una sucesión aritmética (p. 950)

7.8 9 1-3 4.5

4

Determinar la suma de una sucesión geométrica (957) Determinar si una serie geométrica converge o diverge (p. 958)

5,6 7-9

Resolver problemas de anualidad (p. 961)

10, 11

68,69

Demostrar proposiciones usando la inducción matemática (p. 966)

1-4

49-54

1

55, 56

2-5

57-64

3 Determinar la suma de una sucesión aritmética (p. 951)

6 -8

1 Determinar si una sucesión es geométrica (p. 955)

1-3

13.4

13.5

Determinar una formula para una sucesión geométrica (p. 956)

9-12 25. 26 13-24 31,32.35,37-40, 65 13. 14. 19, 20, 27. 28, 65, 66 13-24 21,22,23,34,36, 67(a)-(c), 70 17, 18,21,22,29,30 41-48, 67(d)

1 Evaluar

(p. 970)

2 Usar el teorema del binomio (p. 972)

Ejercicios de repaso E n los problemas l - S , escribe los prim eros cinco términos de cada sucesión. 1.

|«„| = { ( - l ) n( ^ ) }

5. a¡ = 3;

2

a„ = ~ u „ - \

2.

(/>„) = { ( - i r ' ( 2 n + 3)}

6.

a, - 4;

.

a„ -

1

4 .( 4 „ |- { ^ } 8. ai = -3 ;

7. a, = 2; a„ = 2 -

a„ = 4 + a„_

E n los problemas 9 y ¡0, desarrolla cada suma.

3 10. 2 (3 - k 2) k =1

9. V (4* + 2)

i-l

E n los problemas 11 y 12, expresa cada suma usando notación de suma. 1

1L1

+1

1

+ . . . + -1

12 .2

22

3

+J +J +- +—

En los problemas 1 1-24 determina si la secuencia dada es aritmética, geométrica o ninguna de las dos. Si la secuencia es aritmética, determina la diferencia común y la suma de los primeros n términos. Si la sucesión es geométrica, determina la razón común y la suma de los prim eros n términos.

13. {«„) = {/i + 5}

14. (/>„) = {4« + 3}

17. |s„) = {2,n}

18. K ) = {3:"}

21 3 - - - — . . . ’ 2 ’ 4 ’ 8 ’ 16

_5

5 __5_

22, 5’ 3’ 9’ 27’ 81’ "'

E n los problemas 25-30, calcula cada suma.

50 25. 2 ( 3 A:)

30 26. 2 * 2

*=i

40 28. 2 i " 2* + 8)

15. (c„| = {2/i3}

16. {dn} = {2n2 - 1}

19. 0,4,8,12, ...

20. 1 , - 3 , - 7 , - 1 1 , . . . 3 5 7 9 11 4* 2 ’ 4 ’ 6 ’ 8 ’ 10’'

23 - - - — 3’ 4’ 5’ 6’

30 27. 2 (3A: - 9)

*=i 10

30. 2 i “ 2)* » ■

k í

*=i

978

CAPÍTULO 13 Sucesiones; inducción; teorema del binomio

E n los problemas 31-36, determina el término que se indica en cada sucesión. [Sugerencia: prim ero determina el término general.]

31. El 9o término de 3,7,11,15,...

32. El 8o término de - 1 , - 3 , -5 ,

33. El 11° término d e l,

34. El 11° término de 1,2,4, 8 ,...

35. El 9o término de V 2 , 2 V 2 , 3 V 2 , ...

36. El 9* término de V 2 , 2 ,23/2, ..

E n los problemas 37-40, determina una fórm ula general para cada sucesión aritmética.

37. El 1° término es 31; el 20° término es 96

38. El 8o término es -20, el 17 término es -47

39. El 10° término es 0; el 18° término es 8

40. El 12o término es 30; el 22* término es 50

E n los problemas 41-48, determina si cada serie geométrica infinita converge o diverge. Si converge, determina su suma.

41. 3 + 1 + \ 3

^ + •••

9

42.

1 2

+

1

+

-

1 +

-

+

•• •

„ 1 3 9 45. - + - + - + •• • 2 4 8

43.

1 2

-

1

+

-

1 —

-

+

• • ■

44. 6

-

4

+

|

-

j

+

00 / l V -1

4\ ? ,4Ü)

E n los problemas 49-54, usa el principio de inducción matemática para demostrar que la proposición dada es verdadera para todos los números naturales.

49. 3 + 6 + 9 + 51. 2 +

6

+ 3« = y ( n + 1)

+ 18 + ••• + 2 • 3" _1 = 3" - 1

53. I2 + 42 + 72 + ••• + (3n - 2 )2 = - n (6 n 2 - 3n - 1)

50. 2 + 6 + 10 + • • • + (4/i - 2) = 2n2 52. 3 + 6 + 12 + ••• + 3 "2”-1 = 3(2" - 1) 54. 1'3 + 2 • 4 + 3*5 + ••• + n{n + 2) — —[n + l)(2/i + 7) 6

E n los problemas 55 y 56, evalúa cada coeficiente binomial.

55.

,2

)

56.

V6,

E n los problemas 57-60, expande cada expresión usando el teorema del binomio.

57. (x + 2)5

58. (x - 3)4

61. Determina el coeficiente de x 1 en la expansión de (x + 2)9. 62. Determina el coeficiente de x 3 en la expansión de (x - 3)8. 63. Determina el coeficiente de x 2en la expansión de {2x + l) 7. 64. Determina el coeficiente de x 6 en la expansión de (2x + l) 8. 65. Construcción de una escalera de ladrillo Una escalera de ladrillo tiene un total de 25 escalones. El escalón inferior requiere de 80 tabiques. Cada escalón sucesivo requiere de tres tabiques menos que el escalón anterior. (a) ¿Cuántos tabiques se requieren para el escalón supe rior? (b) ¿Cuántos tabiques se requieren para construir la esca lera? 66. Diseño de un piso Un piso de azulejos se diseña en la forma de un trapezoide de 30 pies de ancho en la base y 15 pies de ancho en la parte superior. Los azulejos que tie nen 12 por 12 pulgadas, se deben colocar de manera que cada fila sucesiva contenga uno menos que la fila anterior. ¿Cuántos azulejos se necesitan? 67. Pelotas que botan Se deja cae una pelota desde una altura de 20 pies. Cada vez que golpea el suelo bota tres cuartos de la altura anterior.

59. (2x + 3)5

60. (3jc - 4)4

(a) ¿A qué altura llegará la pelota después de que golpee el suelo por tercera vez? (b) ¿Qué tan alto llegará después de que golpee el suelo por enésima vez? (c) ¿Cuántas veces tiene que golpear la pelota el suelo para que su rebote sea de menos de 6 pulgadas? (d) ¿Cuál es la distancia total que habrá recorrido la pelo ta una vez que deje de botar? 68. Planeación para el retiro A Chris le pagan una vez al mes y aporta $200 cada periodo a su cuenta de retiro. Si Chris planea retirarse en 20 años, ¿cuánto dinero habrá en su cuenta de retiro si la tasa de rendimiento anual es de 10% compuesto mensualmente? 69. Planeación para el retiro Jacky aporta $500 cada trimes tre a una cuenta de retiro. Si Jacky planea retirarse en 30 años, ¿qué cantidad habrá en la cuenta si la tasa de rendi miento anual es de 8% compuesto trimestralmente? 70. Incremento salarial Acaban de contratar a tu amiga con un salario anual de $20,000. Si ella espera recibir incre mentos anuales de 4%, ¿cuál será su salario cuando em piece el quinto año?

Los videos de preparación para examen del capítulo son so luciones paso a paso disponibles en el DVD de Recursos en Video, en MyMátíTLab\ o en el canal de Y o u flH de este texto.

CHAPTER

EXAMEN DEL CAPÍTULO Y

jTestV IDPrep EO S1

E n los problem as 1 y 2, escribe los prim eros cinco términos de Iti sucesión. 1-

=

n

Consulta la página de recursos del estudiante para ver la di rección exacta de la página Web para el canal de YouTube de este texto.

5. Escribe la siguiente expresión usando notación de suma.

1

»+

2. rjj — 4, a„ — 3an_ l + 2

8

E n los problem as 3 y 4, desarrolla cada suma. Evalúa cada suma.

3. 2 ( - o t+,l k =l

k + 1

. k2

E n los problem as 6 11, determina si la sucesión dada es aritmética, geométrica o ninguna de las dos. Si la sucesión es aritmética, de termina la diferencia común y la suma de los prim eros n términos. Si la sucesión es geométrica, determina la razón común y la suma de los prim eros n términos.

6. 6,12,36,144,...

8. - 2 ,- 1 0 , - 1 8 , - 2 6 , . . .

12. Determina si la serie geométrica infinita

15. Un auto nuevo se vendió por $31,000. Si el vehículo se de precia 15% al año, ¿cuánto costará después de 10 años?

2 5 6 -6 4 + 1 6 - 4 + ... converge o diverge. Si converge, determina la suma. 13. Expande (3m + 2)5 usando el teorema del binomio. 14. Usa el principio de inducción matemática para demostrar que la proposición dada es verdadera para todos los núme ros naturales.

16. Un levantador de pesas empieza su rutina levantando 100 libras e incrementando el peso 30 libras en cada grupo de ejercicios. Si hace 10 repeticiones por grupo, ¿cuánto peso levantará después de 5 grupos de ejercicios?

REPASO ACUMULATIVO 1. Determina todas las soluciones, reales y complejas, de la ecuación |jc2| = 9. ,

2. (a) Traza la gráfica del círculo x 2 + y2 = 100 y la parábola y = 3*2. je2 + y2 = 100 (b) Resuelve el sistema de ecuaciones: y = 3x2 (c) ¿En dónde se intersectan el círculo y la parábola?

3. Resuelve la ecuación 2e* = 5. 1 4. Determina una ecuación de la recta con pendiente 5 e in tersección en x igual a.2. 5. Determina la ecuación estándar de un círculo cuyo centro es el punto (—1,2) si (3,5) es un punto en el círculo.

(g) La función g_l y su dominio (h) La función / _1 y su dominio 7. Determina la ecuación de una elipse con centro en el ori gen, un foco en (0,3) y un vértice en (0,4). 8. Determina la ecuación de una parábola con vértice en (-1,2) y foco en (-1,3). 9. Determina la ecuación polar de un círculo con centro en (0,4) que pasa por el polo. ¿Cuál es la ecuación rectangu lar? 10. Resuelve la ecuación 2 sen2x - sen x - 3 = 0 , 0 ^ x < 2 ir 11. Determina el valor exacto de cos '(-0.5).

g ( x ) = 2x + l « * > - * -

12. Si senil = - y 0 está en el segundo cuadrante, determina:

2'

(a) eos 6 (c) sen(20)

D e t e r m in a : ( a ) ( / 0 g ) ( 2) (c)

(/ ° g ) M

(e ) (g ° / ) ( * )

(b ) ( g » / ) ( 4 ) ( d ) E l d o m in io d e ( /

g )(x )

(f)

/)(*)

E l d o m in io d e ( g

(b) tan 9 (d) cos(20)

(e) senQ 6 j

979

980

C A P ÍT U L O 13 Sucesiones; Inducción; teorema del binomio

PROYECTOS DEL CAPITULO calcular como el número de nacimiento» (muerte») por persona. Por ejemplo, en ZWf), la lava de natalidad fue de 13.82 jwir cada IMX) y la lava de mortandad lúe de 8,38 por cada I ,(r00, entonce» b * mientra» que d *

nx2

^ *• 001382.

H 38

^ " 0.(X)838.

Después, usa los datos del lmmigrati año que usaste para obtener b y d en el problema 1 2. Determina el valor de r, la tasa de crecimiento de la población. I.

Crecimiento de In población El tamaño de la pobla ción de los Estados Unidos depende principalmente de su población actual, las tasas de natalidad y mortandad y la inmigración. Sea b la tasa de natalidad de la población de EE.UU. y d la tasa de mortandad. Entonces r - b - t l representa la tasa de crecimiento de la población, donde r varía de un año al otro. La población de EE.UU. después de n años se puede modelar usando la función recursiva

/*- = (! + ') 'V I + / donde / representa la inmigración neta a los Esta dos Unidos. 1. Usa los datos del CIA World Factbook (el contenido está en inglés) en tune.« ¡o .g o v 'e ia ¡in b lii iitions bu tboo k /in d c x .lu in l, para determinar las tasas de natalidad y mortandad para todas las razas en el año más reciente para el que haya datos disponibles. Las tasas de na talidad y mortandad se dan como el número de naci mientos por cada 1000 habitantes. Cada uno se debe

3. Determina una fórmula recursiva para la población de

los listados Unidos. 4. Usa la fórmula recursiva para predecir la población de

los listados l -nidos en el siguiente año En otras pala bras. si los dalos están disponibles hasta el arto 2ÍXXr. haz una predicción acerca de la población de EE.UU. en 2010. 5. Compara tu predicción con los datos reales. 6. Repite los problemas I 5 para Uganda usando el CIA World Eactbook (en 2000. (a tasa de natalidad fue de 47.K4 por cada |(XX) y la tasa de mortandad fue de 12 por cada 1000). 7. ¿Parecen adecuados tus resultados para la población

de los Estados Unidos (un país desarrollado) y l'ganda (un país en vías de desarrollo) con respecto al arti culo del principio del capitulo? Explica. 8. ¿Crees que la formula recursiva que determinaste en el problema 3 será útil para predecir la población futu ra? ¿Por qué o por que no?

L o s siguientes proyectos están disponibles en el Centro de recursos del profesor I IR C . p o r sus siglos en inglés):

II. Proyecto en Motorola Com unicación d ig ita l inalám brica Los teléfonos celulares captan el lenguaje v lo conv ierten a un código digital usando solo ceros y unos. Ve cómo se puede modelar la longitud del código usando una sucesión matemática.

III. Economíu Los economistas usan el precio actual de un producto y un modelo recursivo para predecir la demanda al consumo futura y para determinar la producción futura.

IV. Exámenes estándar Muchos exámenes de inteligencia, aptitudes y logros contienen preguntas que piden los términos de una sucesión matemática.

.Conteo y probabilidad > \1

Contenido

1

\

14.1

Conteo

1 4 .2 1 4 .3

Permutaciones y combinaciones Probabilidad

• • • •


\ \ I

¿Vas o no vas? Por L'i NN ELBER. escritora de televisión de la AP—LOS ÁNGELES—La promesa de un millón de dólares obtenido con facilidad, un escenario rodeado de guapas modelos y el encanto calcu lado de Howie Mandel hizo que “¿Vas o no vas?" (la versión estadounidense) fuera un éxito en la zona muerta de la televisión de diciembre. Está basado en una serie que debutó en la televisión de los Países Bajos en 2002 y se volvió un éxito internacional. “¿Vas o no vas?” se trata de suerte y jugar con las probabilidades. 26 modelos presentan a los concursantes 26 portafolios, cada uno con un valor oculto que va desde un centavo al premio mayor que. para el final de la semana, puede llegar a $3 millones. Conforme progresa el juego y se van eliminando portafolios, el concursante pone en la balanza sus oportunidades de ganar un permio grande en lugar de las ofertas menores pero tentadoras que les presenta el “banco” del programa, representado por la silueta de una figura anónima. F u e n te : A d a p i a d o d e L y n n F ib e r , " D en i o r N o D e a l' B a c k w ith B ig g e r P r i z e s ”, A s s o c ia te d P re ss, F e b r u a r y

2-/. 2 0 0 6 ©2006 A s s o c ia te d

P ress.

— V e r e l P ro y e c to I d e l ca p ítu lo —

En el capítulo R, repaso, estudiamos conjuntos y los hemos estado usando para representar soluciones de ecuaciones y desigualdades y para representar el dominio y el rango de funciones.

Un Vistazo I> Ahora estudiaremos métodos para contar el número de elementos de un conjunto y el papel que juegan los conjuntos en la probabilidad.

981

982 CAPÍTULO 14 Corifeoyprobabilidad

P

•

r e p a r a c ió n


A n t e s d e e m p e z a r , r e p a s a l o sig u ie n te :

Conjuntos (capítulo R, repaso, sección R.l, pp. 2-3) Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 986.

OBJETIVOS

1 Determinar todos los subconjuntos de un conjunto (p. 982) 2 Contar el número de elementos de un conjunto (p. 982)

3 Resolver problemas de conteo usando el principio de la multiplicación (p.984)

El conteo juega un papel principal en muchas áreas, como la probabilidad, estadísti ca y ciencias de la computación; las técnicas de conteo son parte de una rama de las matemáticas llamada análisis combinatorio. 1 D e te rm in a r to d o s lo s s u b c o n ju n to s d e u n c o n ju n to Empezaremos repasando las formas en las que se pueden comparar dos conjuntos. Si dos conjuntos A y B tienen exactamente los mismos elementos, decimos que A y B son iguales y escribimos A = B . Si todo elemento de un conjunto A es también un elemento de un conjunto B , decimos que A es un subconjunto de B y lo escribimos como A C B . Si A C B y A ^ B , decimos que A es un subconjunto propio de B y lo escribimos como A C B . S i A C B , todo elemento en el conjunto A está también en el conjunto B , pero B puede o no tener más elementos. Si A C B , todo elemento de A está también en B y B tiene al menos un elemento que no está en A . Finalmente, acordamos que el conjunto vacío, 0 , es un subconjunto de todo con junto, esto es, 0 C A para cualquier conjunto A EJEM P LO

1

D e t e rm in a r to d o s los su b c o n ju n to s d e un co n ju n to Escribe todos los subconjuntos del conjunto

Solución

{ a , b, c } .

Para organizar el trabajo, escribe todos los subconjuntos sin elementos; ahora, todos los que tengan un elemento, después todos los que tengan dos elementos y final mente, todos los que tengan tres elementos. Esto nos dará todos los subconjuntos. ¿Puedes ver por qué? 0 elem entos

1 elem ento

0

{a},

t.-----Resuelve ahora

2 elem entos

{ó}, {c} e l

p r o b l e m a

{a ,

ó},

{b,

c},

3 elem entos {a ,

c}

{a , b,

c}

9

2 C o n ta r el n ú m e ro d e e le m e n to s d e un c o n ju n to r r

":v ,, E n p a la b r a s

r U s a m o s la n otació n r indicar el número de r en el co nju n to A.

n (A ) p ara ele m e n to s

Cuando cuentas el número de estudiantes en un salón o el número de monedas en tu bolsa, lo que estás haciendo en realidad es asociar con base uno a uno cada objeto que se quiere contar con el conjunto de los números para contar, 1 , 2 . 3 ...., n , para algún número n. Si un conjunto A se asocia de esta forma con el conjunto {1,2,...,25}, puedes concluir que hay 25 elementos en el conjunto A . Usaremos la notación n ( A ) = 25 para indicar que hay 25 elementos en el conjunto A . Como el conjunto vacío no tiene elementos, escribimos n (0 )= 0 Si el número de elementos de un conjunto es un número entero no negativo, decimos que el conjunto es finito. De otra forma, es infinito. Trataremos únicamente con conjuntos finitos. Observa de nuevo el ejemplo 1. Un conjunto con 3 elementos tiene 23 = 8 subcon juntos. Este resultado se puede generalizar.

SECCIÓN 14.1 Conteo 983 Si A es un conjunto con n elementos, A tiene Por ejemplo, el conjunto {
EJEMPLO 2

Ì

%

c, il,

2"

subconjuntos.

t*} tiene 2 S = 32 subconjuntos.

A n á lis is d e d a to s d e e n c u e sta s En una encuesta de 100 estudiantes universitarios, 35 estaban tomando Álgebra uni versitaria, 52 estaban tomando Ciencias de la computación I y 18 estaban tomando ambos cursos. (a) ¿C uántos estudiantes estaban tomando Álgebra universitaria o Ciencias de la computación 1 ? (b) ¿Cuántos no estaban registrados en ningún curso?

Solución

(a) Primero, sea A = conjunto de estudiantes en Álgebra universitaria B = conjunto de estudiantes en Ciencias de la computación I Ahora la información dada nos dice que 35 n ( B ) = 52 n { A H B ) = 18 Consulta la figura 1. Como n ( A Cl B ) = 18, sabemos que la parte común de los círculos que representan el conjunto A y el conjunto B tiene 18 elemen tos. Además, sabemos que la porción restante del círculo que representa el conjunto A tendrá 35 —18 = 17 elementos. De manera similar sabemos que la porción restante del círculo que representa el conjunto B tiene 52 —18 —34 ele mentos. Podemos concluir que 17 + 18 + 34 = 69 estudiantes estaban registrados en el curso de Álgebra universitaria o en el de Ciencias de la computación I. (b) Como la encuesta se hizo a 100 estudiantes, se deduce que 100 —69 = 31 no esta ban registrados en alguno de los dos cursos. n (A ) =

Figura 1

«.«naa^RegUelye ghona

LOS PROBLEMAS 17 Y 27

La solución del ejemplo 2 contiene la base de una fórmula general de conteo. Si contamos los elementos en cada uno de los dos conjuntos A y B , necesariamente con taremos dos veces cualquier elemento que esté en A y en B a la vez, esto es, aquellos elementos en A D B . Para contar correctamente los elementos que están en A o B , es de cir, para determinar n ( A U B ) , debemos restar los elementos en A Cl B de n ( A ) + n ( B ) .

TEO R EM A

Fórmula de conteo Si A

y B

son conjuntos finitos, U B)

n (A

-

n(A)

+

n(B) -

n(A

D

B)

(1 )

J Consulta de nuevo el ejemplo 2. Si usamos (1), tenemos que n(A

U

B)

= n{A) + n(B) = 35 + 52 - 18

-

n(A

Cl B )

= 69 Hay 69 estudiantes registrados en Álgebra universitaria o en Ciencias de la compu tación I. Si A y B no tienen elementos en común, se da un caso especial de la fórmula de conteo (1). En este caso, A Cl B = 0 , entonces n ( A Cl B ) = 0.

TEO R EM A

Principio de adición de conteo Si dos conjuntos A

y B

SiAHB =

no tienen elementos en común, esto es; 0 , entonces

n{A

U B)

= n(A)

+

n(B)

(2)

J

984

C A P ÍT U L O 14 Conteo y probabilidad

Podemos generalizar la fórmula (2).

TEO REM A

Principio general de la adición en conteo Si, para n conjuntos A

v Av

..., A n, ningún par tiene elementos en común,

n( A\ U A i U ■•• U A n) = n ( A x)

+ n ( A z) + ■■■ + n { A n)

(3)

J EJEM P LO 3

C o n te o La tabla 1 da una lista del nivel de escolaridad de todos los residentes de los Estados Unidos de 25 años o mayores en 2007.

Tabla 1

N iv e l d e e s c o la r id a d

N ú m e r o d e r e s id e n t e s d e E E .U U . d e a l m e n o s 2 5 a ñ o s

No se graduó de bachillerato

27,787,000

Graduado de bachillerato

61,404,000

Fue a la universidad pero no se graduó

32,451,000

Título de asociado

16,711,000

Licenciatura

36,726,000

Título avanzado

19,237,000

F u en te: S ta tis tic a l A b s tr a c t o f t h e U n ite d States,

2009

(a) ¿Cuantos residentes de EE.UU. de 25 años o mayores tienen un título de asocia do o de licenciatura? (b) ¿Cuántos residentes de EE.UU. de 25 años o mayores tienen un título de asocia do, una licenciatura o un título avanzado? Solución

Sea A el conjunto de las personas que tienen un título de asociado, B el conjunto de personas con una licenciatura y C el conjunto de personas con título avanzado. Nin guno de los conjuntos A , B , o C tienen elementos en común (aunque la persona con un título avanzado claramente también tiene una licenciatura, la persona sería parte del conjunto de personas con título avanzado). Entonces n{A) =

16,711,000

n{B)

= 36,726,000

n(C)

= 19,237,000

(a) Si usamos la fórmula (2), n(A[.)B)

= n { A ) + n ( B ) = 16,711,000 + 36,726,000 = 53,437,000

Había 53,437,000 residentes de EE.UU. de 25 años o mayores que tenían un título de asociado o una licenciatura. (b) Si usamos la fórmula (3), n(AU B U C) = n(A)

4- n ( B ) + n ( C )

= 16,711,000 + 36,726,000 + 19,237,000 = 72,674,000 Habían 72,674,000 residentes de EE.UU. de 25 años o mayores que tenían un título de asociado, una licenciatura o un título avanzado. J

<™“ *~Resiielve ahora el problema

31

3 R e so lv e r p ro b le m a s d e c o n te o u s a n d o el p rin c ip io d e la m u ltip lic a c ió n

EJEM P LO 4

C o n t a r el n ú m e ro d e c o m id a s p o sib le s La comida de precio fijo en el restaurante Mabenka ofrece las siguientes opciones: Aperitivo: sopa o ensalada Plato principal: pollo al horno, carne de res a la parrilla, hígado de ternera o carne asada al gusto Postre: helado o pay de queso ¿Cuántas comidas diferentes se pueden pedir?

S E C C IÓ N 14.1

S o lu c ió n

Conteo

985

El oidenar una comida requiere de tres decisiones distintas: Escoger aperitivo opciones

2

Escoger plato fuerte opciones

4

Escoger postre opciones

2

Observa el diagrama de árbol en la figura 2 . Vemos que para cada elección de aperi tivo, existen 4 elecciones de plato fuerte; y por cada uno de estas 2 -4 = 8 elecciones, existen otras 2 elecciones de postre. Se pueden ordenar un total de 2 - 4 - 2 = 16 Diferentes comidas.

Figura 2

Aperitivo

Plato principal

Postre Sopa, pollo, helado Sopa, pollo, pay de queso Sopa, carne de res, helado Sopa, carne de res, pay de queso Sopa, hígado, helado Sopa, hígado, pay de queso Sopa, carne asada, helado Sopa, carne asada, pay de queso Ensalada, pollo, helado Ensalada, pollo, pay de queso Ensalada, carne de res, helado Ensalada, carne de res, pay de queso Ensalada, hígado, helado Ensalada, hígado, pay de queso Ensalada, carne asada, helado Ensalada, carne asada, pay de queso

El ejemplo 4 demuestra un principio general de conteo. TEO REM A

J

Principio de la multiplicación de conteo Si una tarea consiste en una sucesión de opciones en donde existen p opciones para la primera elección, q opciones para la segunda elección, r opciones para la tercera elección y así sucesivamente, la tarea de tomar estas elecciones se puede hacer en p -q -r

—

formas diferentes. EJEMPLO 5

F o rm a r códigos ¿Cuántas palabras clave de dos símbolos se pueden formar si el primer símbolo es una letra mayúscula y el segundo símbolo es un dígito?

S o lu c ió n

A veces ayuda hacer una lista de algunas de las posibilidades. El código consiste en una letra mayúscula seguida de un dígito, por lo tanto, algunas posibilidades son A l, A2, B3, XO, etc. La tarea consiste en hacer dos elecciones: la primera elección requie re escoger una letra mayúscula (26 opciones) y la segunda tarea requiere escoger un dígito (10 opciones). Por el principio de la multiplicación existen 26-10 = 260 diferentes palabras clave del tipo descrito. Resuelve ahora

el p r o b l e m a

23

986

C A P ÍT U L O 14 Comeo y probabilidad

14.1 Evalúa tu entendim iento —-—

!

"¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercidos. SI obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

___________________ _______________________________________________________ ___

1. L a ________ de A y B consiste en todos los elementos en A o e n B o en ambos. (pp. 2-3)

3. Verdadero o fa ls o La intersección de dos conjuntos siem pre es un subconjunto de su unión, (pp. 2-3)

2. L a ________ de A con B consiste en todos los elementos en

4. Verdadero o fa ls o Si A es un conjunto, el complemento de A es el conjunto de todos los elementos del conjunto universal que no están en A . (pp. 2-3)

A y en B . (pp. 2-3)

Conceptos y vocabulario____________________________ 5. Si cada elemento de un conjunto A es también un elemen to del conjunto B , decimos que A es u n ------------ de B y lo escribimos como A ________ B. 6. Si el número de elementos en un conjunto es un número entero no negativo, decimos que el conjunto e s ------------7. Si A y B son conjuntos finitos, la fórmula de conteo esta blece que n(AL> B ) = ________

8. Verdadero o fa ls o Si una tarca consiste en una suce sión de tres elecciones en las que existen p opciones para la primera elección, q opciones para la segunda elección y r opciones para la tercera elección, la tarea de hacer estas elecciones se puede hacer en p • q • r formas dife rentes.

Ejercicios______________________________________ __ s. 9. Escribe todos los subconjuntos de {a, b, c, d }. 11. Si

n (A )

n (A

= 15,

n (B )

= 20 y

fl B ) = 10, determina

12. Si n ( A ) = 30, n { B ) = 40 y n( A U B ) = 45, determina n( A D B) .

= 10 y n ( B ) = 20, determina

14. Si/i(/4 U £ ) = 60, n ( A fl B ) = 40 y n ( A ) = n ( B ) , determina

n (A

U B ).

13. Si n ( A U

B)

= 50, n ( A

fl B )

10. Escribe todos los subconjuntos de {a, b, c, d, e ).

n (A ).

"(A).

E n los problemas 15-22, usa la información que se da en la figura.

15. ¿Cuántos elementos hay en A? \ l 7 . ¿Cuántos elementos hay en A o en B? 19. ¿Cuántos elementos hay en A pero no en C? 21. ¿Cuántos elementos hay en A, en B y en C?

16. ¿Cuántos elementos hay en B? 18. ¿Cuántos elementos hay en A y en B? 20. ¿Cuántos elementos no están en A? 22. ¿Cuántos elementos hay en A o en B o en C?


Camisas y corbatas Un hombre tiene 5 camisas y 3 corba tas. ¿Cuántos arreglos diferentes de camisa y corbata puede usar?

tes planean asistir a ambas sesiones y 275 indicaron que no asistirían a alguna sesión, ¿cuántos estudiantes participaron en la encuesta?

24. Blusas y faldas Una mujer tiene 5 blusas y 8 faldas.

29. Análisis de datos de encuesta En una encuesta de 100

\ ,2 3 .

¿Cuántos vestimentas diferentes puede usar?

25. Números de cuatro dígitos ¿Cuántos números de cuatro dígitos se pueden formar usando los dígitos 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 , 7,8 y 9 si el primer dígito no puede ser 0? Se pueden repetir dígitos.

26. Números de cinco dígitos ¿Cuántos números de cinco dí gitos se pueden formar usando los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si el primer dígito no puede ser 0 o 1? Se pueden repetir dígitos.

. Análisis de datos de encuesta En una encuesta al consu midor aplicada a 500 personas, 200 indicaron que compra rían un electrodoméstico el mes siguiente, 150 indicaron que comprarían un auto y 25 indicaron que comprarían un electrodoméstico y un auto. ¿Cuántos no comprarán ningu no de los dos? ¿Cuántos comprarán únicamente un auto?

28. Análisis de datos de encuesta En una encuesta reciente, 200 indicaron que asistirían a la Sesión de verano I y 150 indicaron que irían a la Sesión de verano II. Si 75 estudian

inversionistas en la bolsa de valores, 50 tenían acciones de IBM 40 tenían acciones de AT&T 45 tenían acciones de GE 20 tenían acciones de IBM y GE 15 tenían acciones de AT&T y GE 20 tenían acciones de IBM y AT&T 5 tenían acciones en las tres (a) ¿Cuántos de los inversionistas no tenían acciones en ninguna de las tres compañías? (b) ¿Cuántos tenían acciones únicamente de IBM? (c) ¿Cuántos tenían acciones únicamente de GE? (d) ¿Cuántos no tenían acciones ni de IBM ni de GE? (e) ¿Cuántos tenían acciones de IBM o AT&T, pero no de GE?

30. Clasificación de tipos de sangre La sangre humana se cla sifica en Rh+ o R h - También se clasifica por tipo: A. si contiene antígeno A pero no contiene antígeno B; B si con tiene antígeno B pero no contiene antígeno A; AB si

I' 1

SECCIÓN 14.2 Permutacionesycombinaciones 987 contiene amigónos A y B y O si no contiene ningún anttgeno. Traza un diagrama de Venn que ilustre los diferentes tipos de sangre. Con base en esta clasificación, ¿cuán tos tipos diterentes de sangre existen?

32. Demografía Los siguientes datos representan el estado civil de mujeres de 18 años y mayores en 2007.

V i . Demografía Los siguientes datos representan el estado { civil de hombres de 18 años y mayores en 2007.

i r ~ L_

i

E s ta d o c i v i l

N ú m e ro (e n m ile s )

Casados

63,318

Viudos

2,723

Divorciados

9,200

Solteros F u e n te :

E s ta d o c iv i l

N ú m e ro (e n m ile s )

Casadas

63,971

Viudas

11,105

Divorciadas

12,932

Solteras

24,318

F u en te:

Current Population Survey

(a) Determina el número de mujeres de 18 años y mayores que son viudas o divorciadas. (b) Determina el número de mujeres de 18 años y may ores que están casadas, viudas o divorciadas.

29,608

Current Population Survey

(a) Determina el número de hombres de 18 años y ma yores que son viudos o divorciados. (b) Determina el número de hombres de 18 años y ma yores que están casados, viudos o divorciados.

33. Portafolio de acciones Como asesor financiero, se te pide que elijas una acción de cada una de los siguientes grupos: 8 acciones del DOW, 15 de NASDAQ y 4 de ac ciones globales. ¿Cuántos portafolios diferentes se pue den formar?

E x p lica ció n d e c o n c e p to s : d is c u sió n y escritu ra 34. Desarrolla un problema diferente de cualquiera que encuentres en el texto que requiera del principio de la adición de conteo para resolverlo. Dáselo a un amigo para que lo resuelva y lo comente.

35. Investiga la noción de contar en relación a conjuntos infinitos. Escribe un ensayo acerca de lo que encuentres,

R e s p u e s ta s a lo s e je r c ic io s d e la se c c ió n "¿Estás listo?" 1. unión

2. intersección

3. Verdadero

4. Verdadero

4 '2 * ^ P g r r n ü ^ íM c í o j i q s y c o m b i n 9 c i o f Î 6

P r e p a r a c ió n PARA ESTA SECCIÓN A n te s de em pezar, repasa lo siguiente: •

Factoriales (sección 13.1, p. 941) Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 993.

OBJETIVOS 1 Resolver problemas de conteo usando permutaciones que involucren n objetos distintos (p. 987) 2 Resolver problemas de conteo usando combinaciones (p. 990)

3 Resolver problemas de conteo usando permutaciones que involucren objetos no distintos (p.992) - v •

o

v' v

1 R e so lv e r p ro b le m a s d e co n te o u sa n d o p e rm u ta cio n e s q u e

j

in v o lu c re n n o b je to s d istin to s

I |

'

n

D E F IN I C I Ó N

U n a perm utación es un arreglo ordenado de r objetos escogidos de entre n

objetos.

__j

i

Estudiaremos tres tipos de permutaciones: 1. Los n objetos son distintos (diferentes) y se perm iten repeticiones en la elección de r de ellos. [D istintos, con repetición]

988

C'A 1*111)1,0 14

C o n te e y prol)¡il>!l!
2. Los n objeto* son distinto* (diferentes) y no se permiten repeticiones cn U elee cicali cíe r ele ellos, donde r n. 11bslintos, sin repetición) 3. I.os ii objetos no son distintos y los usamos lodos cn vi arresalo (No distintos J

I sliidi.iieinos allora los dos primeros tipos y dejaremos el tercer tipo para el fina de esta sección. j.| ni ínter tipo de permutación (/» objetos distintos con repetición) se maneja usando el principio de la multiplicación.

EJEMPLO 1

C o n ta r códigos de a e ro p u e rto [P e rm u ta c ió n : d is tin ta , con re p e tic ió n | l.a Asociación Internacional de Trasporte Aéreo ÍIA I A, por sus siglas en ingles) asigna códigos de tres letras para representar la ubicación de los aeropuertos Por ejemplo, el código del aeropuerto de I I. Lauderd.de, I lorida. es I LL Obversa que La repetición se permite para este código, ¿( uántos códigos von posibles?

S olu ción

listamos escogiendo 3 letras de entre 26 letras y arreglándolas en orden Ln el arreglo ordenado se pueden repetir letras. L.ste es un ejemplo de una permutación con repelición en la que 3 objetos se eligen de entre 26 objetos distintos La tarea de contar el número de dichos arreglos consiste en hacer tres elecciones Cada elección requiere escoger una letra del alfabeto (26 opciones) Por el principo de la multiplicación hay 2 6 .2 6 .2 ó = 26’ “ 17.576 códigos de aeropuerto posibles.

J La solución del ejemplo I se puede generalizar.

TEO REM A

Permutaciones: distintos objetos con repetición El número de arreglos ordenados de r objetos escogidos de entre n objetos, cn donde los n objetos son distintos y se permite la repetición, es t í .

-Resuelve ahora

ti

psoBi r wA

33

Consideremos ahora las permutaciones en las que los objetos son distintos y no se permiten repeticiones.

EJEMPLO 2

F o rm a r códigos [P e rm u ta c ió n : d is tin ta sin re p e tic ió n ] ( onsidera que queremos establecer un código de tres letras usando cualquiera Je las 26 letras mayúsculas del alfabeto, pero necesitamos que ninguna letra se use mas de una vez. ¿Cuántos códigos de tres letras diferentes puede haber?

S o lu c ió n

Algunas posibilidades son ABC. ABO. A B7. ACB. CBA. etc. La tarea consiste en hacer tres elecciones. La primera consiste cn elegir de entre 2o letras. Como no se puede usar una letra más de una \cz. la segunda elección requiere que elijas Je en tre 25 letras. La tercera elección requiere elegir de entre 24 letras. (¿.Puedes ser por qué?) Por el principio de la multiplicación, hay 26. 25*24= 15.600 códigos de tres letras diferentes donde no se repite una letra.

SE C C IÓ N 14.2

989

Permutaciones y combinaciones

Para el segundo tipo de permutación, presentamos la siguiente notación. La notación P ( n , r ) representa el número de arreglos ordenados de r ob jetos escogidos de entre n distintos objetos, donde r < n y no se permiten repeticiones. Por ejemplo, la pregunta que se hi/o en el ejemplo 2 pide el número de formas en que se pueden arreglar las 26 letras del alfabeto en orden usando tres letras no repetidas. La respuesta es P { 26,3)

|

EJEMPLO 3

]

= 26-25-24 = 15,600

P e rs o n a s en fila ¿En cuántas formas se pueden formar 5 personas?

S o lu c ió n

Las 5 personas son distintas. Una vez que una persona está en la fila, esa persona no se repetirá en otro lugar de la fila; al formar a la gente, el orden es importante. Tenemos una permutación de 5 objetos tomados 5 a la vez. Podemos formar a 5 personas en P { 5,

5) = 5- 4- 3- 2- l =

120

formas

5 factores

Resuelve ahora

el

35

p r o b l e m a

Para llegar a la fórmula para P ( n , r ), observa que la tarea de obtener un arreglo ordenado de n objetos en el que solamente r ^ n de ellos se usan, sin repetir alguno de ellos, requiere que se hagan r elecciones. Para la primera elección, existen n opciones; para la segunda elección, existen n — 1 opciones; para la tercera elección, existen n - 2 opciones; ... ; para la r-ésima elección, existen n —(r - 1) opciones. Por el principio de la multiplicación tenemos que r

=

Esta fórmula para factorial.*

n-

P ( n , r)

(n -

r-ésimo

y

2o

P ( n , r ) = n • (n -

1 )• (n - 2 )• 1

) •(n

-

• ■ ■ [ n - ( r - l ) ]

2 ) • • ■-{n -

1) • (« - 2 ) .........( n

=

2)

-

1)

r +

(n

TEO REM A

)

se puede escribir de manera compacta usando notación

P(n, r ) = n ' ( n n

r + 1

• (n — 1 ) • ( n -

.........( n

-

r + 1)

•

— r ) .........3- 2- 1

(n — r )

.........3- 2- 1

ni (n -

P e rm u ta c io n e s d e r o b je to s e sco g id o s d e e n tre n o b je to s d istin to s sin rep etició n

El número de arreglos de n objetos usando r <

n

de ellos, en los que

1.

los n objetos son distintos, una vez que se ha usado un objeto, no se puede repetir y 3 . el orden es importante, 2.

está dado por la fórmula P (n , r)

-

n\ (n — r )!

♦Recuerda que 0! = 1, 1! = 1, 2! —2-1........ ni — n(n

1 ) .......... 3• 2• 1.

(1 )

r)\

990

C A P ÍT U L O 14


E J E MP L O 4

Cálculo de permutaciones Evalúa:

S o lu c ió n

(a) P (7 ,3)

(a) P(6,1)

(c) ^*(52,5)

Podemos trabajar con los incisos (a) y (b) en dos formas: (a) P(7,3) = 7 - 6 - 5 = 210 Y 3

factores

O

7! _ 7! (7 - 3)! ~ 4!

P (7,3)

7 -6 -5 -4 L 4T

210

(b) P(6,1) = 6 = 6 1 factor

F ig u ra 3

6! 5!

6! m i ) = (6 - 1)1

6 -5 f

= 6

La figura 3 muestra la solución usando una calculadora gráfica TI-84 Plus. Entonces P(52, 5) = 311,875,200 ggpgagagBaaBsa»--Resuelve ahora E J E MP L O 5

e l

p r o b l e m a

7

El problema del cumpleaños Lo único que sabemos acerca de Shannon, Patrick y Ryan es que tienen diferentes cumpleaños. Si hacemos una lista de todas las formas posibles en las que esto puede ocurrir, ¿cuántas habrá? Considera que hay 365 días en un año.

S o lu c ió n

Éste es un ejemplo de una permutación en la que se eligen 3 cumpleaños de entre 365 días posibles y ningún cumpleaños se puede repetir. El número de formas en las que esto puede ocurrir es P(365, 3) =

365! (365 - 3)!

365 • 364 • 363 - 362f = 365-364-363 = 48,228,180 362T

Existen 48,228,180 formas en las que un grupo de tres personas pueden tener un cumpleaños diferente. Rssuelvs ahora

el

p r o b l e m a

4 7

2 Resolver problem as de conteo usando com binaciones En una permutación importa el orden. Por ejemplo, los arreglos ABC, CAB, BAC, ... se consideran arreglos diferentes de las letras A, B y C. Sin embargo, en mu chas situaciones el orden no importa. Por ejemplo, en un juego de poker, el orden en el que se reciben las cartas no importa, lo que importa es la combinación de las cartas.

DEFINICIÓN

E J E MP L O 6

Una combinación es un arreglo, sin importar el orden, de r objetos elegidos de entre n objetos distintos sin repetición, donde r-£n. La notación C(n, r) repre senta el número de combinaciones de n objetos distintos usando r de ellos.

Lista de las combinaciones Haz una lista de las combinaciones de 4 objetos, a, b, c, d tomando 2 objetos a la vez. ¿A qué equivale C(4, 2)?

S o lu c ió n

Una combinación de a, b, c, d tomando 2 objetos a la vez es ab

S E C C IÓ N 14.2


991

Excluimos ha de la lista porque el orden no importa en una combinación (esto signilica que no distinguimos entre ab y ba). La lista de todas las combinaciones de o, b, c. (I tomando 2 a la vez es ab, ac,

ad,

be,

bd,

cd

entonces C(4, 2) = 6 Podemos determinar una fórmula para C(n, r) si observamos que la única dife rencia entre una permutación del tipo 2 (distinta, sin repetición) y una combinación es que descartamos el orden en las combinaciones. Para determinar C(n, r), debemos eliminar de la fórmula para P(n, r) el número de permutaciones que son simplemente otra torma de arreglar un conjunto dado de r objetos. Esto se puede determinar de la fórmula para P(n, r) si calculamos P{r, r) = r!. Entonces, si dividimos P(n, r) entre r!, tendremos la fórmula que queremos para C(n, r): ni (n -r)l

P(n, r) C {n,r) = — —

r\

n! (n - r)!r!

í Usa Ia fórmula (1).

Hemos demostrado el siguiente resultado:

TEO R EM A

N ú m e ro d e co m b in a c io n e s de n o b je to s d is tin to s to m a d o s r a la v e z

El número de arreglos de n objetos usando r < n de ellos, en el que 1. los // objetos son distintos, 2. una vez que se usa un objeto, no se puede repetir, y 3. el orden no importa. está dado por la fórmula C(n, r) =

n\ (n - r)\r\

(2) J

Con base en la fórmula (2), descubrimos que el símbolo C(n, r) y el símbolo para los coeficientes binomiales son el mismo. El triángulo de Pascal (ve la sección 13.5) se puede usar para determinar el valor de C{n, r). Sin embargo, usaremos la fórmula (2) por ser más práctica y conveniente.

E JE M P LO

7

Usar la fórmula (2) Usa la fórmula (2) para determinar el valor de cada expresión. (a) C (3 ,1)

Solución

(b) C(6, 3)

(c) C {n,n)

(d) C(/i,0)

3! 3! _ 3 - 2 - 1 (a) C (3 ,1) ~ p _ i ) ii | - 211 ! “ 2 - 1 - 1 ” ^ ^ 6! 6 • 5 • 4 • 3L _ ó • 5 • 4 (b) C (6,3) = ^ _ 3) !3! “ 3! ~ 6 (c) C(n, n) -

n\ _ n y nl ~

1 - J -

= 20

(e) C (52,5)

992

C A P ÍT U L O 14


n! _ «! _ 1 _ , (d) C(n, 0) - (77 _ ())»(,j " „¡oí i

F ig u ra 4

ifcgi liijJ

La figura 4 muestra la solución usando una calculadora gráfica TI-84 Flus. Entonccs C( 52,5) = 2,598,960 Resuelve ahora el problema i 5

Formación de comités

E J E MP L O 8

¿Cuántos comités diferentes de 3 personas se pueden formar de entre 7 personas? Solución

Las 7 personas son distintas. Pero la observación más importante es que no importa el orden en el que se elijan las personas. El problema pide el número de combinacio nes de 7 objetos tomando 3 a la vez. 7 • 6 • 5 • A\ 4! 3!

7! 4!3!

C( 7,3)

l-fí-5 fi

35

Se pueden formar treinta y cinco comités diferentes.

Formación de comités

E J E MP L O 9

¿De cuantas maneras se puede formar un comité que consista en 2 profesores y 3 alumnos si hay 6 profesores y 10 alumnos de entre los que se pueden elegir? Solución

El problema se puede separar en dos partes: el número de maneras que se pueden elegir los profesores, C(6, 2), y el número de maneras en que los estudiantes se pue den elegir, C(10,3). Por el principio de la multiplicación, el comité se puede formar en C(6, 2) • C(10, 3)

6! 10! 4!2! 7!3!

6 -5 -4 * 4*2!

1 0 -9 -8 -7 * 7 *3 !

30 720 = 1800 maneras 2 ’ 6 - Resuelve ahora

e l

49

p r o b l e m a

3 Resolver problem as de conteo usando perm utaciones que involucren n objetos no distintos

E J E MP L O 1 0

Formación de palabras diferentes ¿Cuántas palabras diferentes (reales o imaginarias) se pueden formar usando todas las letras en la palabra REARRANGE?

Solución

Cada palabra formada tendrá 9 letras: 3 R, 2 A, 2 E, 1 N y 1 G. Para formar cada palabra debemos llenar 9 posiciones con las 9 letras: 1 2

3

4

5

6

7 8

9

El proceso de formar una palabra consiste en cinco tareas: Tarea 1:

Escoger las posiciones

para las 3R.

Tarea 2:


para las 2A.

Tarea 3:


para las 2E.

SECCIÓN 14.2 Permutaciones y combinaciones

Tarea 4:

Escoger las posiciones para la N.

Tarea 5:

Escoger las posiciones para la G.

993

La tarea 1 se puede hacer en C(9, 3) formas. Entonces, quedan 6 posiciones que llenar, por lo tanto, la tarea 2 se puede hacer en C(6, 2) formas. Quedan 4 posiciones que llenar, por lo tanto, la tarea 3 se puede hacer en C(4, 2) formas. Quedan 2 posi ciones que llenar, por lo tanto, la tarea 4 se puede hacer en C (2 ,1) formas. La última posición se puede hacer en C(l, 1) formas. Si usamos el principio de la multiplicación, el número de palabras que se pueden formar es

*

9! 6Ì 4i 3 !-ó r 2!-'4i 2! *2!

C (9, 3) • C(6, 2) • C(4, 2) • C(2,1) • C (l, 1)

li 1! • l i O h i!

9! = 15,120 3! • 2! - 2! *1! -1! Se pueden formar 15,120 palabras. La forma de la expresión antes de la respuesta del ejemplo 10 sugiere un resulta do general. Si las letras en la palabra REARRANGE hubieran sido todas diferentes, las palabras que se podrían haber formado serían P(9, 9) = 9!. Éste es el numerador de la respuesta. La presencia de 3 R, 2 A y 2 E reduce el número de palabras dife rentes, como ilustran las entradas del denominador. Llegamos al siguiente resultado:

I TEO REM A

Permutaciones que involucran n objetos que no son distintos El número de permutaciones de n objetos de los cuales n, son de un tip o ,«, son de un segundo tip o ,... y nk son de un k-ésimo tipo está dado por

1

ni «j! • « 2' ........ n*!

— :----- :------------7

(3)

donde n = n\ + n2 + • • • + nk . J ! i

EJEM PLO 11

Arreglar banderas ¿Cuántos arreglos verticales diferentes hay de 8 banderas si 4 son blancas, 3 son azu les y 1 es roja?

i S o lu c ió n

Buscamos el número de permutaciones de 8 objetos, de los cuales, 4 son de un tipo, 3 son de un segundo tipo y 1 es de un tercer tipo. Si usamos la fórmula (3), determi namos que hay 8!

8 •7 • 6 • 5 •

4! *3! *1! -Resuelveahora

| 1 4 .2

4T-3!-l! e l

p r o b l e m a

li s t o ? " Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta lee las páginas marcadas

entre paréntesis.

___________ ______________________ ________________ _______________________________________________________________________________________

! q¡ _

51

E v a l ú a t u e n t e n d i m i e n t o __________________________________________________________

| "-E s tá s

j

= 280 arreglos diferentes

-1 != .________ (p. 941)

2.

Verdadero o falso n\

(« + i)! =

----------- . (p. 941)

i C o n c e p t o s y v o c a b u l a r io __________ __________ __________________________________________________________

i

3 , U n a ________es un arreglo ordenado de r objetos esco4

gidos de entre n objetos. u n a _______ es un arreglo de r objetos escogidos de entre n objetos distintos, sin repetición y sin que importe el orden.

5. P(n, r) — 6.

C(n,

r)

=

994

CAPÍTULO 14


E j e r c ic io s

En los problemas 7-14, determina el valor de cada permutación. \ 7. P(6,2) 8. P{1,2)

11. P(7,0)

12. P{9,0)

9. P{4,4)

10. P(8,8)

13- ^(8,4)

14. />(8,3)

En los problemas 15-22, usa la fórmula (2) para determinar el valor de cada combinación.

\

15. C(8,2)

16. C(8,6)

17. C(7,4)

18. C(6,2)

19. C(15,15)

20. C(18,1)

21. C(26,13)

22. C(18,9)


23. Escribe todos los arreglos ordenados de 5 objetos a, b, c, d y e tomando 3 a la vez sin repetición. ¿A qué equivale P(5,3)? 24. Escribe todos los arreglos ordenados de 5 objetos a, b,c,d y e tomando 2 a la vez sin repetición. ¿A qué equivale P(5,2)? 25. Escribe todos los arreglos ordenados de 4 objetos 1, 2, 3 y 4 tomando 3 a la vez sin repetición. ¿A qué equivale P(4,3)? 26. Escribe todos los arreglos ordenados de 6 objetos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 tomando 3 a la vez sin repetición. ¿A qué equivale P(6,3)? 27. Escribe todas las combinaciones de 5 objetos a, b, c, d ye tomando 3 a la vez. ¿A qué equivale C(5,3)? 28. Escribe todas las combinaciones de 5 objetos a, b, c, d y e tomando 2 a la vez. ¿A qué equivale C(5,2)? 29. Escribe todas las combinaciones de 4 objetos 1, 2, 3 y 4 tomando 3 a la vez. ¿A qué equivale C(4, 3)? 30. Escribe todas las combinaciones de 6 objetos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 tomando 3 a la vez. ¿A qué equivale C(6, 3)? 31. Formar códigos ¿Cuántos códigos de dos letras se pue den formar usando las letras A, B, C y DI Se permiten letras repetidas. 32. Formar códigos ¿Cuántos códigos de dos letras se pue den formar usando las letras A, B, C, D y El Se permiten letras repetidas. \ 3 3 . Formar números ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar usando los dígitos 0 y 1? Se permiten dígi tos repetidos. 34. Formar números ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar usando los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9? Se permiten dígitos repetidos. 35. Personas en una fila ¿En cuántas maneras se pueden formar 4 personas en una fila? 36. Apilar cajas ¿En cuántas formas se pueden apilar 5 cajas diferentes? 37. Formar códigos ¿Cuántos códigos diferentes de tres le tras hay si solo se pueden usar las letras A, B, C, D y E y ninguna letra se puede usar más de una vez? 38. Formar códigos ¿Cuántos códigos diferentes de cuatro \ letras existen si solo se pueden usar las letras A, B, C, D, E y F y ninguna letra se puede usar más de una vez? 39. Acciones en el NYSE Las compañías cuyas acciones se cotizan en la bolsa de valores de Nueva York (NYSE, por sus siglas en inglés) representan su nombre por 1, 2 o 3 letras (se permite la repetición de letras). ¿Cuál es el \ ' máximo número de compañías que se pueden incluir en la NYSE?

40. Acciones en el NASDAQ Las compañías cuyas acciones se cotizan en la bolsa de valores NASDAQ representan su nombre por 4 o 5 letras (se permite la repetición de letras). ¿Cuál es el máximo número de compañías que se pueden incluir en el NASDAQ? 41. Establecer comités ¿En cuántas formas se puede esta blecer un comité de 4 estudiantes de entre un grupo de 7 estudiantes? 42. Establecer comités ¿En cuántas formas se puede esta blecer un comité de 3 profesores de un departamento que tiene 8 profesores?

43. Respuestas posibles a un examen de verdadero/falso ¿Cuántos arreglos de respuestas posibles hay para un examen de verdadero/falso de 10 preguntas?

44. Respuestas posibles de un examen de opción múlti ple ¿Cuántos arreglos de respuestas posibles hay de un examen de opción múltiple con 5 preguntas, cada una con 4 respuestas posibles? 45. Arreglo de libros Un estudiante quiere ordenar cinco di ferentes libros de matemáticas en su escritorio. ¿Cuántos arreglos posibles hay?

46. Formar números de placas ¿Cuántos números diferentes de placas se pueden formar usando 2 letras seguidas de 4 dígitos elegidos de entre los dígitos del 0 al 9, si (a) las letras y los dígitos se pueden repetir? (b) las letras se pueden repetir, pero los dígitos no se pueden repetir? (c) no se pueden repetir ni las letras ni los dígitos? 47. Problema del cumpleaños ¿En cuántas formas pueden tener 2 personas cumpleaños diferentes? Considera que hay 365 días en un año. 48. Problema del cumpleaños ¿En cuántas formas pueden tener 5 personas cumpleaños diferentes? Considera que hay 365 días en un año. 49. Formar un comité El comité de un baile escolar se formará con 2 hombres y 3 mujeres. Si la membresía se elige de entre 4 hombres y 8 mujeres, ¿cuántos comités posibles hay?

S E C C IÓ N 14.2

El comité de relaciones estudiantiles de una universidad consiste en 2 administradores, 3 profe sores y 5 estudiantes. I lay 4 administradores. 8 profesores y 20 estudiantes que pueden estar en el comité. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

50. Formar un comité

c 1- Forn,ur Pul,d*ras ¿Cuántas palabras diferentes (reales o imaginarias) de 0 letras se pueden formar a partir de las * letras de la palabra ECONOMICS? 52. Formar palabras ¿Cuántas palabras diferentes (reales o imaginarias) de 11 letras se pueden formar a partir de las letras de la palabra MATHEMATICS? Lina urna contiene 7 bolas blancas y 3 bo las rojas. Se eligen 3 bolas. ¿En cuántas formas se pueden sacar las bolas de entre un total de 10 bolas: (a) si 2 bolas son blancas y 1 es roja? (b) si las 3 bolas son blancas? (c) si las 3 bolas son rojas?

53. Elegir objetos

Una urna contiene 15 bolas rojas y 10 bo las blancas. Se eligen 5 bolas. ¿En cuántas formas se pue den sacar las 5 bolas de entre un total de 25 bolas: (a) si las 5 bolas son rojas? (b) si 3 bolas son rojas y 2 son blancas? (c) si al menos 4 bolas son rojas? 55. Comités del senado El senado de EE.UU. tiene 100 miembros. Considera que se quiere incluir un senador en exactamente 1 de los 7 comités posibles. El primer comité tiene 22 miembros, el segundo tiene 13, el tercero tiene 10, el cuarto tiene 5, el quinto tiene 16 y el sexto y séptimo tie nen 17, cada uno. ¿En cuántas maneras se pueden formar estos comités? 56. Equipos de fútbol americano Un equipo defensivo de fútbol consisten en 25 jugadores. De estos, 10 son lime ros, 10 son apoyadores y 5 son profundos. ¿Cuántos equi pos diferentes de 5 linieros, 3 apoyadores y 3 profundos se pueden formar?


995

En la Liga Americana de béisbol, se puede usar un bateador designado. ¿Cuántas órdenes de bateo puede formar un entrenador? (Hay 9 jugadores regulares en un equipo.) Béisbol En la Liga Nacional de béisbol, el pitcher gene ralmente batea en noveno lugar. Si es éste el caso, ¿cuán tas órdenes de bateo puede usar un entrenador? Equipos de béisbol Un equipo de béisbol tiene 15 miem bros. Cuatro de los jugadores son pitchcrs y los otros 11 miembros pueden jugar en cualquier posición. ¿Cuántos equipos diferentes de 9 jugadores se pueden formar? Serie mundial En la Serie Mundial el equipo de la Liga Americana (A) y el equipo de la Liga Nacional (/V) juegan hasta que alguno de los dos equipos gana cuatro juegos. Si la secuencia de los ganadores se designa con letras (por ejemplo, NAAAA quiere decir que la Liga Nacional ganó el primer juego y la Liga Americana ganó los siguientes cuatro juegos), ¿cuántas secuencias diferentes posibles hay? Equipos de basquetbol Un equipo de basquetbol tiene 6 jugadores que juegan de guardia (2 de entre 5 posiciones principales). ¿Cuántos equipos diferentes se pueden formar si consideras que las 3 posiciones restantes están ocupadas y que no se puede distinguir entre un guardia derecho y un guardia izquierdo? Equipos de basquetbol En un equipo de basquetbol de 12 jugadores, 2 solo juegan como centro, 3 juegan solo de guardia y los demás juegan de delanteros. (Hay 5 juga dores en un equipo: 2 delanteros, 2 guardias y 1 centro.) ¿Cuántos equipos diferentes se pueden formar si conside ras que las 3 posiciones restantes están ocupadas y que no se puede distinguir entre un guardia derecho y un guardia izquierdo, ni entre un delantero izquierdo y uno derecho? Candados de combinación Un candado de combinación tiene 50 números. Para abrirlo debes girar hacia un nú mero, después girar hacia otro número en sentido de las manecillas del reloj y después girar en contra de las mane cillas del reloj a un tercer número. (a) ¿Cuántas combinaciones diferentes hay? (b) Comenta acerca de la descripción de dicho candado como un candado de combinación.

57. Béisbol

58.

59.

60.

54. Elegir objetos

61.

62.

63.

I

JT <6

Explicación de conceptos: discusión y escritura.________________________________________________________ 64 Desarrolla un problema diferente de los que se encuentran en el texto que requiera de una permutación para resolverlo. Dáselo a un amigo para que lo resuelva y lo comente.

66. Explica la diferencia entre una permutación y una combi

nación. Da un ejemplo que ilustre tu explicación,

65. Desarrolla un problema diferente de los que se encuentran en el texto que requiera de una combinación para resolver lo. Dáselo a un amigo para que lo resuelva y lo comente.

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?"________________________________________________ 1.

1; 1

2. Falso

996

C A P ÍT U L O 14

1 4 .3

Contcoyprolwbllldtid

P ro b a b ilid a d OBJETIVOS 1 Construir modelos de probabilidad (p. 996) 2 Calcular problemas de resultados igualmente probables (p. 993) 3 Determinar las probabilidades de la unión de dos eventos íp.1000) 4 Usar la regla del complemento para determinar probabilidades
La probabilidad es un área de las matemáticas que trata ton experimentos que pro ducen resultados aleatorios, pero que tienen cierta regularidad. Tales experimentos no siempre producen el mismo resultado, por lo tanto, el resultado de una única observación no se puede predecir. Sin embargo, los resultados de un experimento en un periodo largo si producen patrones regulares que nos permiten hacer predicciones de gran exactitud. E J E MP L O 1

Lanzar una moneda Cuando lanzamos una moneda sabemos que el resultado será cara o cruz. No po demos predecir lo que sucede en un lanzamiento en particular, pero si lanzamos la moneda muchas veces, observamos que el número de veces que resulta una cara es aproximadamente igual al número de veces que resulta una cruz. F*or lo tanto, parece razonable asignar la probabilidad de - de que obtendremos una cara y la probabili1 2 dad de - de que obtendremos una cruz.

1 Construir m odelos de probabilidad El análisis del ejemplo I constituye la construcción de un modelo de probabilidad para el experimento de lanzar una moneda una vez. Un modelo de probabilidad tiene dos componentes: un espacio muestra y una asignación de probabilidades. Un espa cio muestra S es un conjunto cuyos elementos representan todas las posibilidades que pueden ocurrir como resultado del experimento. Cada elemento de 5 se llama resultado. A cada resultado le asignamos un número llamado la probabilidad de ese resultado, que tiene dos propiedades: 1. La propiedad que se asigna a cada resultado es no negativa. 2. La suma de todas las probabilidades es igual a 1.

DEFINICIÓN

Un modelo de probabilidad con el espacio muestra S = {‘T -t':....... <*/.} donde e, .... en son los resultados posibles y /, ( í’|). P ( e 2) ....... P{*-’n) son las probabilidades respectivas de esos resultados, requiere que />(<•,) * 0 . P ( c 2) > 0....... />(<’„) s 0

(1)

n

2 ¿=i

=

P { t T) + P ( e 2) + ••• + P( e „) = 1

(2) J

E J E MP L O 2

Determinar modelos de probabilidad En una bolsa de M&Ms1M, los dulces tienen colores rojo, verde, azul. cafó, amarillo y anaranjado. Se escoge un dulce de la bolsa y se registra el color. El espacio muestra de este experimento es {rojo, verde, azul. cafó, amarillo, anaranjado}. Determina cuáles de los siguientes son modelos de probabilidad.

S E C C IÓ N 14.3

Resultados

rojo

0.1

verde

0.15

verde

0.1

azul

0

azul

0.1

café

0.15

café

0.4

amarillo

0.2

amarillo

0.2

anaranjado

0.2

anaranjado

0.3

Resultados

Probabilidad

(d)

0.3 -0 .3

Resultados

997

Probabilidad

0.3

verde

Probabilidad

rojo

0

verde

0

azul

0.2

azul

0

café

0.4

café

0

amarillo

0.2

amarillo

1

anaranjado

0.2

anaranjado

0

(a) Este modelo es un modelo de probabilidad porque todos los resultados tienen probabilidades que no son negativas y la suma de las probabilidades es 1. (b) Este modelo no es un modelo de probabilidad porque la suma de las probabili dades no es 1. (c) Este modelo no es un modelo de probabilidad porque P(verde) es menor que 0. Recuerda que todas las probabilidades deben ser no negativas. (d) Este modelo es un modelo de probabilidad porque todos los resultados tienen probabilidades que son no negativas y la suma de las probabilidades es 1. Ob serva que P(amarillo) = 1, quiere decir que este resultado se dará con 100% de certidumbre cada vez que se repita el experimento. Esto significa que la bolsa de M&Ms™ solamente tiene dulces amarillos. . Resuelve ahora

EJEM PLO 3

Resultados

rojo

rojo

Solución

(b)

Probabilidad

Probabilidad

el

p r o b l e m a

i

Construir un modelo de probabilidad Un experimento consiste en tirar un dado una vez. Un dado es un cubo que tiene 1, 2, 3, 4,5 o 6 puntos en cada cara. Ver figura 5. Construye un modelo de probabilidad para este experimento.

Solución Figura 5

Un espacio muestra S consiste en todas las posibilidades que pueden ocurrir. Como tirar el dado dará como resultado que se muestre una de las seis caras, el espacio muestra 5 consiste en S = {1,2, 3, 4, 5, 6} Como el dado no está cargado, no es más probable que se muestre una cara que otra. Como resultado, asignamos las siguientes probabilidades P (l)= ¡

P ( 2)

P<3) = \

P(4)

P(5) = ¡

P(6)

998

C A P ÍT U L O 14


Supongamos ahora que el dado está cargado de manera que las probabilidades v>n las siguientes />(!) = () P( 2) = 0

/J(3) = j

P(4) = ~

P(6 ) = 0

P( 5 ) = ( )

Asignaríamos estas probabilidades si el dado estuviera cargadf) de manera que solo se mostrara el 3 o el 4 y que el 4 tuviera el doble de probabilidad de ocurrir que el .3. Esto, es consistente con la definición porque cada asignación es no negativa y la suma de las asignaciones de probabilidad es igual a 1. Resuelve ahora

EJEMPLO 4

el

problema

23

Construir un modelo de probabilidad Un experimento consiste en lanzar una moneda. La moneda está cargada de manera que es tres veces más probable obtener una cara (C) que una cruz (X). Construye un modelo de probabilidad para este experimento.

S o lu c ió n

El espacio muestra S c s S = {H, T}. Si x es la probabilidad de que ocurra una cruz, P(T) = x

y £ ( / / ) = 3x

Como la suma de las probabilidades de los resultados posibles debe ser igual a 1, tenemos que P ( T ) + £ ( / / ) = x + 3x = l 4x = 1

1 X = 4

Asigna las probabilidades P{H) =

P(T) = 4

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

n

Cuando trabajamos con modelos de probabilidad, usamos el término evento para describir un conjunto de resultados posibles del experimento. Un evento E es un sub conjunto del espacio muestra S. La probabilidad de un evento £, E * 0 , que se denota por £ (£ ), se define como la suma de las probabilidades de los eventos en E. Tam bién podemos pensar en la probabilidad de un evento E como la posibilidad de que el evento E ocurra. Si £ = 0 , entonces P ( E ) = 0; si E - 5, entonces P { E) = P( S) = 1.

2 Calcular las probabilidades de resultados igualm ente probables Cuando se le asigna la misma probabilidad a cada resultado del espacio muestra, se dice que el experimento tiene resultados igualmente probables. TEOREM A

P ro b a b ilid a d p a ra re s u lta d o s ig u a lm e n te p ro b a b le s

Si un experimento tiene n resultados igualmente probables y si el número de formas en el que puede ocurrir un evento E es m, entonces la probabilidad de E es _ Número de formas en las que E puede ocurrir Número de resultados posibles

m n

(3)

Si S es el espacio muestra de este experimento. /»(£) P(E) = —

-

(4) J

S E C C IÓ N 14.3

Probabilidad

999

EJEM PLO 5 ] Calcular las probabilidades de eventos que tienen resultados igualmente probables Calcula la probabilidad de que en una familia de 3 hijos haya 2 niños y 1 niña. Consi dera resultados igualmente probables. Solución ura 6

Empieza construyendo un diagrama de árbol para ayudarte a hacer una lista de los posibles resultados de este experimento. Observa la figura 6. donde B representa a un niño y G representa a una niña. El espacio muestra S del experimento es 5 = {BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB, GGG} entonces n(S) = 8. Queremos saber la probabilidad del evento E: “tener dos niños y una niña.” De la figura 6 podemos concluir que E = {BBG, BGB, GBB}, entonces n(E ) = 3. Como los resultados son igualmente probables, la probabilidad de E es P (E ) =

Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

n(E) n(S)

3 8

37

Hasta ahora hemos calculado las probabilidades de eventos simples. Ahora cal cularemos la probabilidad de eventos múltiples llamada probabilidad compuesta.

EJEM PLO 6

Calcular la probabilidad compuesta Considera el experimento de tirar un dado. Sea E el evento “tirar un número impar” y sea F el evento “tirar un 1 o un 2”. (a) Escribe el evento E y F. ¿A qué equivale n(E Cl F)? (b) Escribe el evento E y F. ¿A qué equivale n(E U F)? (c) Calcula F(F). Calcula F(F). (d) Calcula P(E H F). (e) Calcula P(E U F).

S o lu c ió n

El espacio muestra S del experimento es {l, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces n(S) = 6. Como el dado no está cargado, los resultados son igualmente probables. El evento E: “tira un número impar” es {l, 3, 5} y el evento F: “tira un 1 o un 2” es {l, 2}, entonces n(E) = 3 yn(F) = 2. (a) La palabra y en probabilidad significa la intersección de dos eventos. El evento E y Fes E H F - {1,3,5} Cl {1,2} = {1} n(EDF) = 1 (b) La palabra o en probabilidad significa la unión de dos eventos. El evento E o Fes F U F = {1, 3,5} U {1,2} = {1,2,3,5}

n(EUF) = 4

(c) Usamos la fórmula (4). Entonces P( E) =

(d) P{E Cl F ) =

n(S) = H

n( E fl F ) 1 ^s) = 6 n( E U F )

(e) P( E U F ) =

n{E)

4 = 6

2 3

p ( F ) =

n(S)

2 6

1 3

1000

C A P ÍT U L O 14


3 Determinar las probabilidades de la unión de dos eventos Se puede usar la siguiente fórmula para determinar la probabilidad de la unión de dos eventos. TEOREM A

Para cualesquiera dos eventos £ y £, p ( e u /•’) =

r ( E ) + i v : ) - n n n /•)

<5>

----------------------

J

Este resultado es consecuencia de la fórmula de conteo que estudiamos en la sección 14.1. Por ejemplo, podemos usar la fórmula (5) para determinar P ( E U F ) en el ejem plo 6(e). Entonces P ( E U F ) = P( E) + n n

- P(EClF) = 5 +

4 = 2 6 3

í = ¿ +

como antes.

EJEMPLO 7

Calcular las probabilidades de la unión de dos eventos Si £ ( £ ) - 0.2, P{F) = 0.3, y P( E fl E) = 0.1, determina la probabilidad de £ o de F. Esto es, determina P ( E U F ).

Solución

Usa la fórmula (5). Probabilidad de E o F = P ( E U F ) = P ( E ) + P ( F ) - P ( E D F ) = 0.2 + 0.3 - 0.1 = 0.4 En ocasiones se puede usar un diagrama de Venn para obtener las probabilidades. Para construir un diagrama de Venn que represente la información del ejemplo 7. trazamos dos conjuntos E y F. Empezamos con el hecho de que P( E D F) = 0.1. Ver figura 7(a). Después, como P( E) = 0.2 y P{F) = 0.3, llenamos E con 0.2 - 0.1 =0.1 y F con 0.3 - 0.1 = 0.2. Ver figura 7(b). Como P[S) = 1. completamos el diagrama insertando 1 - (0.1 -f 0.1 + 0.2) = 0.6 fuera de los círculos. Ver figura 7(c). Ahora es fácil ver, por ejemplo, que la probabilidad de F, pero no £ . es 0.2. Además, la probabilidad ni de £ n i de £ es 0.6.

^R esuelve ahora

EL

PROBLEMA

45

Si los eventos £ y £son disjuntos, tal que £ f l £ = 0 . decimos que son mutuamen En este caso, £ ( £ D £) = 0 y la fórmula (5) toma el siguiente aspecto:

te excluyentes.

TEOREM A

E v e n to s m u tu a m e n te e x c lu y e n te s

Si £ y £son eventos mutuamente excluyentes, P ( £ U £ ) = P ( £ ) + P( F)

(6) J

S E C C IÓ N 14.3

L . EJEM PLQ ?__ j

Probabilidad

1001

Calcular las probabilidades de la unión de dos eventos mutuamente excluyentes Si / (£ ) = 0.4 y P(F) = 0.25 y £ y £son mutuamente excluyentes, determina P ( E U F).

^ I

u c io n

(. orno f y F son mutuamente excluyentes, usa la fórmula (6). P{E U £ ) = £ ( £ ) + P (£ ) = 0.4 + 0.25 = 0.65 ’'r~

RbsubIvb ahora

e l

p r o b l e m a

47

4 Uso de la regla del com plem ento para determ inar probabilidades Recuerda, que si A es un conjunto, el complemento de A , que se denota como A, es el conjunto de todos los elementos en el conjunto universal U que no están en A. Definimos el complemento de un evento de manera similar. D E F IN IC IÓ N

C o m p le m e n to d e un e v e n to

Sea S el espacio muestra de un experimento y £ un evento. El complemento de £ , que se denota como £ , es el conjunto de todos los resultados en el espacio muestra 5 que no son resultados del evento £. __ El complemento de un evento £, es decir, £ , en un espacio muestra S tiene las siguientes dos propiedades: £ fl £ = 0

£U £ = S

Como £ y £ son mutuamente excluyentes, se deduce de (6) que P ( E U E ) = P{S) = 1

P( E) + P( E) = 1

P( E) = 1 - P( E)

Tenemos el siguiente resultado:

TEOREMA

C á lc u lo de las p ro b a b ilid a d e s d e e v e n to s c o m p le m e n ta rio s

Si £ representa cualquier evento y £ representa el complemento de £, entonces />(£) = ! - />(£)

(7) J

EJEM PLO 9

Calcular las probabilidades usando complementos Un reportero en las noticias locales informó que la probabilidad de que llueva el día siguiente es de 40%. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva?

S o lu c ió n

El complemento del evento “que llueva” es “que no llueva.” P(que no llueva) = 1 - P(que llueva) = 1 - 0.4 = 0.6 Existe un 60% de probabilidades de que no llueva el día siguiente. HesuBlvB ahora

| EJEMPLO 10

el

p r o b l e m a

si

Problema del cumpleaños ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 10 personas al menos 2 tengan el mismo cumpleaños? Considera que hay 365 días en un año.

S o lu c ió n

Consideramos que una persona tiene las mismas posibilidades de nacer en un día o en otro, por lo tanto, tenemos resultados igualmente probables.

1002

C A P ÍT U L O 14


Primero determinamos el numero de resultados en el espacio muestra S. Hay 365 posibilidades para el cumpleaños de cada persona. Como hay 1Q personas en el grupo, hay 36510 posibilidades para los cumpleaños. [Para una persona en el gru po, hay 365 días en los que puede caer su cumpleaños: para dos personas hay (365) (365) = 3652pares de días y, en general, usando el principio de la multiplicación, para n personas hay 365" posibilidades.] Entonces n{S) = 36510 Queremos determinar la probabilidad del evento E: “al menos dos personas tie nen el mismo cumpleaños”. Es difícil contar los eIementos_de este conjunto, es más sencillo contar los elementos del evento complementario E: “no hay dos personas que tengan el mismo cumpleaños”. Determinamos n( E) de la siguiente manera: escoge una persona al azar. Exis ten 365 posibilidades para su cumpleaños. Escoge una segunda persona. Existen 364 posibilidades para su cumpleaños, porque no hay dos personas que tengan el mismo cumpleaños. Escoge una tercera persona. Existen 363 posibilidades para su cumplea ños. Finalmente, llegamos a la décima persona. Existen 356 posibilidades para su cumpleaños. Por el principio de la multiplicación, el número total de posibilidades es n( E) = 365 -364*363.........356 La probabilidad del evento E es 365-364-363........356 _

n(É)

P { E ) - ~m s ) ---------3^

° '883

La probabilidad de que dos o más personas tengan el mismo cumpleaños en un grupo de 10 personas es entonces P( E) = 1 - P ( E ) « 1 - 0.883 = 0.117 El problema del cumpleaños se puede resolver para grupos de cualquier tamaño. La siguiente tabla da las probabilidades de que dos o más personas tengan el mismo cumpleaños para diferentes tamaños de grupos. Observa que la probabilidad es ma yor que —para cualquier grupo de 23 o más personas. N ú m e ro d e p e rs o n a s 5

10

15

20

21

22

23

24

25

30

40

50

60

70

80

90

P ro b a b ilid a d de que dos o m á s t e n a a n el

0.027 0.117 0.253 0.411 0.444 0.476 0.507 0.538 0.569 0.706 0.891 0.970 0.994 0.99916 0.99991 0.99999

m ism o c u m p le a ñ o s

Resuelve ahora ■ ■

m

e l

p r o b l e m a

7

i

— —

C o m e n ta rio h is tó ric o a teoría de conjuntos, el conteo y la probabilidad tomaron forma prime ro, como una teoría sistemática en un intercambio de cartas (1654) entre Pierre de Fermat (1601-1665) y Blaise Pascal (1623-1662). Ellos discutieron el problema de cómo dividir las apuestas en un juego que se interrumpiera antes Blaise Pascal de terminarlo, sabiendo cuántos puntos (1623-1662) tenía que ganar cada jugador. Fermat resolvió el problema dando una lista de todas las posibilidades y contando las que eran favorables, mientras que Pascal usó el triángulo que hoy lleva su nombre. Como se men

L

cionó en el texto, las entradas en el triángulo de Pascal son equiva lentes a C(n, r). El reconocimiento del papel de C(n, r) en el conteo es la base de todos los desarrollos subsecuentes. El primer libro acerca de probabilidad, escrito por Christiaan Huygens (1629-1695), apareció en 1657. En él se explora la no ción de la expectativa matemática. Esto permite el cálculo de la ganancia o pérdida que puede esperar un apostador sabiendo las probabilidades involucradas en el juego (ve el problema histórico a continuación). Aunque Girolamo Cardano (1501-1576) escribió un tratado acerca de probabilidad, no fue publicado hasta 1663 en la recopi lación de obras de Cardano, demasiado tarde para tener algún efec to en el temprano desarrollo de la teoría.

!

S E C C IÓ N 14.3

En 1713. el libro de Jakob Bernoulli (1654-1705) Ars Conjectandi publicado de manera póMuma le dio a la teoría la forma que ten dría hasta 1000 Recientemente, el análisis combinatorio (conteo) y ( la probabilidad han tenido un desarrollo muy rápido debido al uso de computadoras. , Un ultimo comentario acerca de la notación. Las notaciones ¡ O . r>Y r>son variaciones de una forma de notación que se de) ¡

\ ' ¿arrolló en Inglaterra después de 1830. La notación ^ n ) para C(n, r) í

Probabilidad

1003

se remonta a Leonhard Euler (1707-1783), pero ha perdido ter reno porque no tiene un simbolismo claramente relacionado de la misma forma para las permutaciones. Los símbolos de conjuntos H y U fueron Introducidos por Guiseppe Peano (1858-1932) en 1888 en un contexto ligeramente diferente. La inclusión del sím bolo C fue introducida por E. Schroeder (1841 -1902) alrededor de 1890. El tratamiento de teoría de conjuntos en el texto se debe a George Boole (1815-1864), quien escribió A + Bpara AUByAB para A (IB (los estadistas todavía usan AB para AD B).

Problema histórico 1. El problema discutidopor Fermaty Pascal Un juego entre dos jugadores con el mismo talento. A y B, se interrumpió cuando A necesitaba 2 puntos para ganar y Bnecesitaba 3 puntos. ¿En qué proporción se debe dividir el dinero apostado? (a) Solución de Fermat Haz una lista de todos los resul tados posibles que pueden ocurrir como resultado de cuatro jugadas más. Las probabilidades de que gane A y las probabilidades de que gane 6 determinan cómo se debe dividir el dinero.

(b) Solución de Pascal Usa combinaciones para deter minar el número de maneras en que los 2 puntos que necesita A para ganar ocurran en cuatro jugadas. Después usa las combinaciones para determinar el número de maneras en que los 3 puntos que necesita B para ganar pueden ocurrir. Esto es más complicado de lo que parece, porque A puede ganar con 2 puntos ya sea en dos jugadas, tres jugadas o cuatro jugadas. Calcula las probabilidades y compáralas con los resulta dos del inciso (a).

——— — — — _ _

14.3 Ev a lú a tu en ten d im ien to C o n c e p t o s y v o c a b u la r io

1. Cuando se asigna la misma probabilidad a cada resultado de un espacio muestra, se dice que el experimento tiene resultados________________ 2. E l_______ de un evento E es el conjunto de todos los resultados en un espacio muestra S que no son resultados del evento E.

3. Verdadero o falso La probabilidad de un evento no puede ser igual a 0. 4. Verdadero o falso En un modelo de probabilidad, la suma de todas las probabilidades es 1.

E j e r c ic io s _________________________ ________________

5. En un modelo de probabilidad, ¿cuáles de los siguientes números pueden ser la probabilidad de un resultado? 0 0.01

\

0.35

-0.4

1 1.4

7. Determina si el siguiente es un modelo de probabilidad. Resultado

Probabilidad

1

0.2

2

0.3

3

0.1

4 '

-

0.4

6. En un modelo de probabilidad, ¿cuáles de los siguientes números pueden ser la probabilidad de un resultado? 13 2 1 1.5 0 2

4

4

3

8. Determina si el siguiente es un modelo de probabilidad. Resultado

Probabilidad

Steve

0.4

Bob

0.3

Faye

0.1

Patricia

0.2

10. Determina si el siguiente es un modelo de probabilidad. 9. Determina si el siguiente es un modelo de probabilidad. Resultado

I

Probabilidad

Resultado

Probabilidad

Erica

0.3

Linda

0.3

Joanne

0.2

Jean

0.2

Laura

0.1

Grant

0.1

Donna

0.5

Jim

0.3

Angela

-0.1

1004

C A P ÍT U L O 14


En los problemas 11-Ib, construye un modelo de probabilidad para cada experimento. 11. Lanzar una moneda dos veces 12. Lanzar dos monedas una vez 13. Lanzar dos monedas, después tirar un dado 14. Lanzar una moneda, después tirar un dado, después una moneda 15. Lanzar tres monedas una vez 16. Lanzar una moneda tres veces En los problema 17-22, usa las siguientes ruletas para construir un modelo de probabilidad para cada experimento.

(4 áreas iguales)

(3 áreas iguales)

(2 áreas iguales)

17. Gira la ruleta I, después la ruleta II. ¿Cuál es la probabili dad de obtener un 2 o un 4, seguido de rojo? 18. Gira la ruleta III, después la ruleta II. ¿Cuál es la probabi lidad de obtener Adelante, seguido de amarillo o verde? 19. Gira la ruleta I, después la II y después la III. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1, seguido de rojo o verde, seguido de Atrás? 20. Gira la ruleta II, después la I y después la III. ¿Cuál es la probabilidad de obtener amarillo, seguido de un 2 o un 4, seguido de rojo o verde? 21. Gira la ruleta I dos veces, después la ruleta II. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2, seguido de un 2 o un 4, seguido de rojo o verde? 22. Gira la ruleta III, después la ruleta I dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener Adelante, seguido de un 1 o un 3, seguido de un 2 o un 4? En los problemas 23-26, considera el experimento de lanzar una moneda dos veces. La tabla da una lista de seis asignaciones po sibles de probabilidades para este experimento. Usa esta tabla para responder a las siguientes preguntas. {C y X equivalen a cara o cruz, respectivamente.) Espacio muestra Asignaciones A B

C D E F

CC

CX

XC

XX

1

1

1

1

4

4

4

4

0

0

0

1

3

5

5

3

16

16

16

16

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

4

4

4

8

1

2

2

4

9

9

9

9

\ 23. ¿Cuáles de las asignaciones de probabilidades vm consis tentes con la definición de un modelo de probabilidad? 24. ¿Cuál de las asignaciones de probabilidades se debe usar si se sabe que la moneda no está cargada? 25. ¿Cuál de las asignaciones de probabilidades se debe usar sí se sabe que al lanzar la moneda siempre se obtiene cruz? 26. ¿Cuál de las asignaciones de probabilidades se debe usar si es dos veces más probable obtener cruz que cara? \ 27. Asignación de probabilidades Se carga una moneda de manera que sea cuatro veces más probable obtener cruz. ¿Qué probabilidad se le debe asignar a una cara? ¿A una cruz? 28. Asignación de probabilidades Se carga una moneda de manera que sea dos veces más probable obtener cara. ¿Qué probabilidad se le debe asignar a una cara? ¿A una cara? 29. Asignación de probabilidades Se carga un dado de ma nera que sea dos veces más probable obtener una cara con número par. ¿Qué probabilidad se le debe asignar a cada número? 30. Asignación de probabilidades Se carga un dado de ma nera que no puedas obtener un seis. Las otras caras apa recen con la misma probabilidad. ¿Qué probabilidad se le debe asignar a cada cara? Para los problemas 31-34, el espacio muestra es S ={l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, /O}. Considera que los resultados son igualmente probables. 31. Calcula la probabilidad del evento E = {l, 2. 3}. 32. Calcula la probabilidad del evento F= {3. 5.9, 10}. 33. Calcula la probabilidad del evento E = “un número par“. 34. Calcula la probabilidad del evento F: "un número impar“. En los problemas 35 y 36, una urna contiene 5 canicas blancas. 10 canicas verdes, 8 canicas amarillas y 7 canicas negras. 35. Si se elige una canica, determina la probabilidad de que sea blanca. 36. Si se elige una canica, determina la probabilidad de que sea negra. En los problemas 37—40, considera que los resultados son igual mente probables. \ 37. Determina la probabilidad de tener 3 niños en una familia de 3 hijos. 38. Determina la probabilidad de tener 3 niñas en una familia de 3 hijos. 39. Determina la probabilidad de tener 1 niña y 3 niños en una familia de 4 hijos. 40. Determina la probabilidad de tener 2 niñas y 2 niños en una familia de 4 hijos. Para los problemas 41-44. se tiran dos dados no cargados. 41. Determina la probabilidad de que la suma de los dos dados sea 7. 42. Determina la probabilidad de que la suma de los dos dados sea 11. 43. Determina la probabilidad de que la suma de los dos dados sea 3. 44. Determina la probabilidad de que la suma de los dos dados sea 12.

S E C C IÓ N 14.3

En los problemas 45-48, determina la probabilidad del evento indicado si P(A) =0.25 y P(B) =0.45. >45. P(A U B) si P(A Pl B) = 0.15 46. P(A Pl B) si P(A U B) = 0.06

ditara en ingeniería. Si se elige un recipiente de doctorado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su doctorado no sea en ingeniería?

55. Apuestas en línea Según una encuesta de Harris (12-17 de enero de 2006), 5% de los adultos estadounidenses aceptaron haber apostado en línea. Si se elige un adulto estadounidense al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya gastado dinero apostando en línea?

.47. P(A U B) si A , B son mutuamente excluyentes

48. P(A O Bj si A, B son mutuamente excluyentes 4* P(A) = 0.60, P(A U B) = 0.85 y P(A n B) 0.05, determina f * P(B).

50. P(B) = 0.30, P(A U B) = 0.65 y P(A D B) 0.15, determina

56. Galletas de las niñas scout Según las Niñas Scout de América, en marzo del 2006, el 9% de todas las galletas de las Niñas Scout que se vendieron fueron de figurillas de mantequilla. Si se elige una caja de galletas de las Niñas Scout al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sean de figurillas de mantequilla?

P(A).

.51. Robo de autos Según el Instituto de Información de se guros, en 2004 hubo una probabilidad de 13% de que se resolviera el robo de un auto en los Estados Unidos gra cias a un arresto. Si se selecciona un caso de robo de auto de 2004 al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no se haya resuelto gracias a un arresto?

52. Dueños de mascotas Según la encuesta 2005-2006 Na tional Pet Owners Survey de la Asociación Americana de Fabricantes de Productos para Mascotas, existe una pro babilidad de 63% de que un hogar en EE.UU. tenga una mascota. Si se elige un hogar al azar en ese país, ¿cuál es la probabilidad de que no tengan mascota?

53. Dueños de gatos Según la encuesta 2005-2006 National Pet Owners Survey de la Asociación Americana de Fa bricantes de Productos para Mascotas, en 2004 hubo una probabilidad de 34% de que una persona con mascotas tuviera un gato. Si se elige el dueño de una mascota al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tengan un gato?

54. Doctorados Según la Fundación Nacional de Ciencias, en 2004 hubo 13.7% de probabilidades de que un docto rado otorgado en alguna universidad de EE.UU. se acre

1005

Probabilidad

Para los problemas 57-60, se elige una pelota de golf de un recipiente. Si el recipiente tiene 9 pelotas blancas, 8 pelotas verdes y 3 pelotas anaranjadas, determina la probabilidad de cada evento.

57. 58. 59. 60. 61.

La pelota es blanca o verde. La pelota es blanca o anaranjada. La pelota no es blanca. La pelota no es verde. En “El precio es correcto” hay un juego en el que se lle na una bolsa con 3 fichas de falla y 5 fichas de números. Digamos que los números en la bolsa son 0, 1, 3, 6 y 9. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una ficha de falla o el número 1 ?

62. Otro juego en “El precio es correcto” requiere que el con cursante gire la ruleta con números 5, 10, 15, 20..., 100. ¿Cuál es la probabilidad de que el concursante obtenga el 100 o el 30?

Los problemas 63-66 se basan en una encuesta de ingreso anual hecha a los consumidores de 100 familias. Los datos se dan en la siguiente tabla. Ingreso

$0-9999

$10,000-19,999

$20,000-29,999

$30,000-39,999

$40,000 o más

5

35

30

20

10

Número de familias

63. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga un ingre so anual de $30,000 o más?

64. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga un ingre so anual de entre $10,000 y $29,999, incluidos?

65. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga un ingre so anual de menos de $20 ,000? 66 . - ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga un ingre so anual de $20,000 o más? 67. Encuestas En una encuesta acerca del número de televi sores en una casa, se construyó la siguiente tabla: Número de personas en la fila Probabilidad

0

1

0.05

0.24

2

3

0.33

0.21

4 o más 0.17

Determina la probabilidad de que en una casa haya. (a) 1 o 2 televisores (c) 3 o menos televisores

(b) 1 ° más televisores (d) 3 o más televisores

(e) Menos de 2 televisores (g) 1, 2 o 3 televisores

(f) Menos de 1 televisor (h) 2 o más televisores

68. Cajas registradoras La observación ha determinado que la probabilidad de que un número dado de personas esté en la fila de una caja de supermercado de “5 artículos o menos" es de la siguiente forma: Número de televisores

0

1

Probabilidad

0.10

0.15

2 0.20

3

4 o más

0.24

0.31

Determina la probabilidad de: (a) A lo mucho 2 personas en la fila (b) Al menos 2 personas en la fila (c) Al menos 1 persona en la fila 69. En cierta clase de álgebra y trigonometría, hay 18 alumnos de primer año y 15 de segundo año. De los 18 de primer año, 10 son hombres y de los 15 de segundo año, 8 son hombres. De termina la probabilidad de que un alumno escogido al azar sea: (a) Un alumno de primer año o una mujer (b) Un alumno de segundo año o un hombre

1006 C A P ÍT U L O 14 Conteo y probabilidad 70. El profesorado del departamento de matemáticas en la

73. Ganar la lotería En cierta lotería, hay 10 bolas con nú meros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. De éstas, cinco se eligen en orden. Si eliges cinco número que concuerden con las elegidas en el orden correcto, puedes ganar $1,000,000. ¿Cuál es la probabilidad de ganar tal lotería?

universidad de Joliel se compone de 4 mujeres y 9 hom bres. De las 4 mujeres, 2 tienen menos de 40 años y de los hombres, 3 tienen menos de 40. Determina la probabili dad de que un profesor elegido al azar sea: (a) Mujer o menor de 40 (b) Hombre o mayor de 40 \.71. Problema del cumpleaños ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 personas tengan el mismo cumpleaños en un grupo de 12 personas? Considera que hay 365 días en un año. 72. Problema del cumpleaños ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 personas tengan el mismo cumpleaños en un gru po de 35 personas? Considera que hay 365 días en el año.

REPASO DEL CAPÍTULO C osas q u e d e b e s sab er

Fórmula de conteo (p. 983)

n (4 U fl) = n(A) + n{B) - n( ADB)

Principio de la adición de conteo (p. 983)

Si A D B = 0 , entonces n(A U B) = n(A) + n(B).

Principio de la multiplicación de conteo (p. 985)

Si una tarea consiste en una sucesión de opciones en donde existen p opciones para la primera elección, q opciones para la segunda elección, r opciones para la tercera elección y así sucesivamente, la tarea de tomar estas elecciones se puede hacer en p . q . ... formas diferentes.

Permutaciones (p. 987) Número de permutaciones: distinta, con repetición (p. 988)

Un arreglo ordenado de r objetos elegidos de entre n objetos

Número de permutaciones: distinta, sin repetición (p. 989)

nr Los n objetos son distintos (diferentes) y no se permiten repeticiones en la elección de r de ellos. P{n,r) = n{n - 1)........[n - (r - 1)] = — J Los n objetos son distintos (diferentes) y no se permiten repeticiones en la elección de r de ellos, donde r< n .

Combinaciones (p. 990)

Un arreglo sin importar el orden de r objetos seleccionados de entre n distintos objetos, donde r < n

Número de combinaciones (p. 991) C(n, r)

Número de permutaciones: no distintas (p. 993)

P(n,r) r!

ni (n - r)\r\

n\ n\\n2\ ■■•nk\ El número de permutaciones de n objetos en los cuales, n, son de un tipo, n2son de un segundo tipo,..., y nk son de un &-ésimo tipo, donde n= + n2 + ■■■+ nk

Espacio muestra (p. 996)

Conjunto cuyos elementos representan las posibilidades que pueden ocurrir como resultados de un experimento.

Probabilidad (p.996)

Un número no negativo asignado a cada resultado de un espacio muestra: la suma de todas las probabilidades de los resultados es igual a 1.

Resultados igualmente probables (p. 998)

Probabilidad de la unión de dos eventos (p. 1000)

P(E U F) = P(E) + P(F) - P( EDF)

Probabilidad del complemento de un evento (p. 1001)

P{E) = 1 - P(E)

Repaso del Citpitulo

1007

O b j e t iv o s

S*
Ejemplos Ejercidos de repaso I 2.3

1.2 3-10

4.5

15-IK

6-9

11,12.19, 20,24-28, 33(a) 13.14.21-23.31,32

10,11

29.30

2-4 5.6 7.8 9. 10

33(b) 33(b). 34(a). 35(a). 36-39 40 33(c). 34(b), 35(b), 36

Ejercicios de repaso I. Escribe tovios los subconjuntos del conjunto (Dave. Joanne. Erica}. 3. Sin(.4)* 8 .n(H) - 12y « (/!O H ) - 3,determinan(A U H).

2. Escribe todos los subeonjuntos del conjunto {verde, a/ul, rojo}. 4. Si n(/l) = 12, /i(/t U II) = 30 y n (/I D H) = 6, determina n(B).

E n la s p r o b le m a s 5—10, usa la in fo rm a c ió n titula en la figura.

5. 6. 7. 8. 9. 10.

¿Cuántos elementos hay en .4? ¿Cuántos elementos hay en /I o fl? ¿Cuántos elementos hay en A y C? ¿Cuántos elementos no están en fl? ¿Cuántos elementos no están ni en A ni en C? ¿Cuántos elementos están en H pero no en C?

l:n los problemas 11-14, calcula la expresión titula. 11. /’(8,3) 12. / ’(7, 3) 13. C(8,3) 15. Abastecimiento de unu tienda Una tienda de ropa ven de trajes de lana pura y de lana con poliéster. Cada traje viene en 3 colores y 10 tallas. ¿Cuántos trajes se requieren para tener un abastecimiento completo? 16. Cableado Al conectar cierto aparato eléctrico se deben conectar 5 alambres a 5 terminales diferentes. ¿Cuántos ca bleados son posibles si 1alambre se conecta a cada terminal? 17. Béisbol Cierto día, la Liga Americana de béisbol tiene 7 juegos programados. ¿Cuántos resultados posibles hay si cada juego se completa? 18. Béisbol Cierto día. la Liga Nacional de béisbol tiene 6 juegos programados. ¿Cuántos resultados posibles hay si cada juego se completa? 19. Elegir asientos Si 4 personas suben a un camión que tie ne 9 asientos libres, ¿en cuántas formas se pueden sentar? 20. Arreglo de letras ¿Cuántos arreglos diferentes hay de las letras de la palabra ROSE? 21. Escoger un equipo ¿En cuántas formas se puede elegir un equipo de relevos de 4 corredores elegidos de entre un equipo de 8 corredores? 22. Examen Un profesor tiene 10 problemas similares para incluir en un examen que tiene 3 problemas. ¿Cuántos exá menes diferentes puede diseñar?

14. C(7,3) 23. Béisbol ¿En cuántas formas se pueden elegir 2 equipos de entre 14 equipos de la Liga Americana sin importar quién juegue en casa? 24. Arreglo de libros en un estunte Hay 5 libros diferentes de francés y 5 libros diferentes de español. ¿Cuántas formas hay para arreglarlos en un estante si: (a) los libros del mismo idioma deben ir juntos, el francés a la izquierda y el español a la derecha? (b) los libros de francés y de español se deben alternar, empezando con un libro de francés? 25. Números telefónicos Usando los dígitos 0. 1, 2, .... 9, ¿cuántos números de 7 dígitos se pueden formar si el pri mer dígito no puede ser 0 o 9 y si el último dígito es mayor o igual que 2 y menor o igual que 3? Se permiten dígitos repetidos. 26. Elecciones para una casa Un contratista construye casas con 5 tipos diferentes de acabados exteriores, 3 arreglos diferentes del techo y 4 diseños de ventanas. ¿Cuántas ca sas diferentes puede construir? 27. Posibilidades de placas Una placa consiste en 1 letra, excluyendo O e I, seguida de un número de 4 dígitos que no pueden tener al 0 en la primera posición. ¿Cuántas di ferentes placas posibles existen?

1008 C A P ÍT U L O 14 Conteo y probabilidad 28. Códigos binarios ¿Cuántos números que consistan en

8

dígitos se pueden formar usando los dígitos 0 y 1 ?

29. Formar palabras diferentes ¿Cuántas palabras diferen 30. 31.

32.

tes reales o imaginarias se pueden formar usando las le tras de la palabra MISSING? Arreglo de banderas ¿Cuántos arreglos verticales hay de 10 banderas si 4 son blancas, 3 son azules, 2 son verdes y 1 es roja? Formar comités Se quieren formar comités de 4, 3 y 2 personas de un grupo de 9 personas. ¿Cuántos comités se pueden formar si: (a) una persona puede estar en cualquier número de co mités? (b) ninguna persona puede estar en más de un comité?

Formar comités Un grupo cosiste en 5 hombres y 8 mu jeres. Se quiere formar un comité de 4 personas a partir de este grupo, con al menos 1 mujer en el comité. (a) ¿Cuántos comités que contengan exactamente 1 hom bre se pueden formar? (b) ¿Cuántos comités que contengan exactamente 2 mu jeres se pueden formar? (c) ¿Cuántos comités que contengan al menos 1 hombre se pueden formar?

33. Problema del cumpleaños Para este problema, conside ra que un año tiene 365 días. (a) ¿En cuántas formas pueden tener 18 personas cum pleaños diferentes? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que nadie tenga el mismo cumpleaños en un grupo de 18 personas? (c) ¿Cuál es la probabilidad en un grupo de 18 personas de que al menos 2 personas tengan el mismo cumpleaños?

34. Tasas de mortandad Según el Centro Nacional de Es tadísticas de Salud de EE.UU, el 29% de las muertes en 2001 se debieron a enfermedades cardiacas.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muerte elegida al azar en 2001 haya sido por enfermedad cardiaca? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muerte elegida al azar en 2001 no haya sido por enfermedad cardiaca?

35. Desempleo Según el U.S. Bureau of Labor Statistics, 5.8% de la población laboral de EE.UU. estuvo desem pleada en 2002 . (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un miembro de la po blación laboral de EE.UU. haya estado desempleado en 2002 ?


(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un miembro de la población laboral de EE.UU. no haya estado dcscmpleado en 2002? 36. Se elige al azar un foco de una caja que contiene tres fo cos de 40 watts, seis focos de 60 watts y once focos de 75 watts. ¿Cuál es la probabilidad de que el foco sea de 40 watts? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un foco de 75 watts?

37. Tienes cuatro billetes de $1, tres billetes de $5 y dos bille tes de $10 en tu cartera. Si escoges un billete al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de $1? 38. Se escribe cada letra de la palabra ROSE en una tarjeta y se revuelven las tarjetas. Cuando se reparten las tarjetas, ¿cuál es la probabilidad de que formen la palabra ROSE? 39. Cada uno de los números 1, 2, ..., 100 se escribe en una tarjeta y se revuelven las tarjetas. Si se elige una tarjeta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el número en la tarjeta sea divisible entre 5? ¿Cuál es la probabilidad de que la tarjeta elegida sea un 1 o un número primo? 40. En el taller Milex de afinación y reparación de frenos, el administrador encontró un auto que requiere afinación con una probabilidad de 0.6, reparación de frenos con una probabilidad de 0.1 y ambos con una probabilidad de 0.02. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el auto requiera ya sea una afinación o una reparación de frenos? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto requiera una afinación pero no requiera reparación de frenos? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que el auto no requiera una afinación o reparación de frenos? Los videos de preparación para examen del capítulo son solu ciones paso a paso disponibles en el DVD de recursos en video, en MyMatítLab \ o en el canal de YoullTliTT de este texto. Consulta la página de recursos del estudiante para ver la dirección exarta de la página Web para el canal de YouTube de este texto.

En los problemas 1-4, una encuesta aplicada a 70 estudiantes universitarios de primer año preguntó si los estudiantes planeaban tomar bilogía, química o física durante su primer año. Usa el diagrama para resolver cada respuesta. 1. ¿Cuántos de los alumnos en la encuesta planean tomar física en su primer año? 2. ¿Cuántos de los alumnos en la encuesta no planean tomar biología, química o física en su primer año? 3. ¿Cuántos de los alumnos en la encuesta planean llevar solo biología y química en su primer año? 4. ¿Cuántos de los alumnos en la encuesta planean llevar fí sica o química en su primer año?

I


En los p r o b l e m a s 5 7, calcula el valor de la expresión q u e se da 5. 7! 6. P(10,6) 7. C( 11,5)

1009

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea aceptada en FSU?

M&Ms* ofrece a sus consumidores la oportunidad de crear su propia mezcla de colores para los dulces. Hay 21 colores de donde escoger y los consumidores pueden elegir hasta 6 < colores diferentes. ¿Cuántas mezclas de colores diferentes se pueden formar si consideras que no se puede elegir un * color más de una vez y que se eligen 6 colores?

13. Un refrigerador tiene 8 botellas de Pepsi, 5 botellas de Coca

f 9- ¿Cuántas palabras diferentes (reales o imaginarias) se pue den formar a partir de las letras de la palabra REDEEMED? 10. En las carreras de caballos, una apuesta exacta requiere que el apostador escoja los dos primeros caballos en or den exacto. Si hay 8 caballos en una carrera, ¿en cuántas formas puedes realizar una apuesta exacta? 11. El 20 de febrero de 2004, el Ohio Bureau of Motor Vehicles presentó el nuevo formato para placas del estado. La placa consiste en tres letras (A-Z) seguidas de 4 dígitos (0-9). Con sidera que se pueden usar todas las letras y dígitos excepto que la tercera letra no puede ser O, I o Z. Si se permiten repeticiones, ¿cuántas placas diferentes se pueden formar? 12. Kiersten manda su solicitud de admisión a la universidad de California del Sur (USC, por sus siglas en inglés) y a la Uni versidad Estatal de Florida (FSU, por sus siglas en inglés). Ella cree que tiene 60% de probabilidades de ser aceptada en USC, 70% de probabilidades de ser aceptada en FSU y 35% de probabilidades de ser aceptada en las dos. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea aceptada en USC o FSU?

14. Un estudio sobre la distribución de estudiantes por edad

8.

I REPASO ACUM ULATIVO --------------------- ---------------------------------------------------1. Resuelve: 3x2 - 2x = -1 2. Construye la gráfica de f(x) = x 2 + 4 x - 5 determinan do si la curva abre hacia arriba o hacia abajo y determi nando su vértice, el eje de simetría y las intersecciones. 3. Obtén la gráfica de f(x) = 2(x + l)2 - 4 usando trans formaciones. j 4. Resuelve: |jc - 4| s 0.01 5. Determina los ceros complejos de f(x)

= 5 * 4 - 9.v3 - 7 x 2 — 31 jc — 6

6. Obtén la gráfica de g(x) = 3*_1 + 5 usando transforma ciones. Determina el dominio, el rango y la asíntota hori zontal de g. \ 6 7. ¿Cuál es el valor exacto de log, 9? 8. Resuelve: log2(3.r - 2 ) + log2 x = 4 i

•

PROYECTOS DEL CAPÍTULO___________ I.

j

juego Monty H all El juego M o n t y Hall, que se basa en un segmento del juego estadounidense “Hagamos un trato” es un problema de probabilidad clásico que aún se debate. Frecuentemente se compara un juego más reciente, “¿ V a s o n o vas?" (ve el comentario al principio del capí tulo) con el clásico juego de M o n t y Hall. 1. Investiga el juego de M o n t y Hall y “¿ V a s o n o vas? . El

2.

En el juego de M o n t y Hall, ¿cuál es la probabilidad de ganar si un concursante no cambia su elección? ¿Cua

Cola, 4 botellas de Mountain Dew y 3 botellas de IBC. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que una botella elegida al azar sea de Coca Cola? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que una botella elegida al azar sea de Pepsi o de IBC? en una universidad comunitaria dio como resultado la si guiente tabla:

menor a 17 18-20 21-24 25-34 35-64 mayor a 65

Edad Probabilidad

0.03

???

0.23

0.29

0.25

0.01

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar tenga entre 18 y 20 años?

15. Powerball es una lotería en varios estados en la que se eligen 5 bolas blancas de un contenedor con 53 bolas y 1 bola roja de un contenedor con 42 bolas. Con un boleto de $1, los jugadores tienen la posibilidad de ganar el premio mayor si los 6 números que escogen concuerdan con los elegidos. ¿Cuál es la probabilidad de escoger los números ganadores con un boleto de $1?

16. Si tiras un dado cinco veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtengas exactamente 2 cuatros?

x -2 y +

9. Resuelve el sistema: <

3x +

z =

y — 3z —

, - 2 x + 4y -

15

-8

z = -27

10. ¿Cuál es el 33° término de la sucesión -3 ,1 ,5 ,9 ,...? ¿Cuál es la suma de los primeros 20 términos?

11. Traza la gráfica de: y = 3 sen (2x + 7 7 ) 12. Resuelve el siguiente triángulo y determina su área.

1010

( A l ' l 1 1 ’1,0 14

i« ttim i |r iH iit n lA W

r» Iti piobuhiljtl.itj ile gallar »1cambia *u ete«« »òri ' U t » li/n unn «tornili»« n»n para c»ii»tiaf la» piobabiliclatle* ¿( «incuci «Jan lo» vi»)«ne* t*m in invc»lignti«'»n ’ ,1,

4.

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I A p é n d ic e

Dispositivos gráficos Contenido

i-.*?' .

1 Rectángulo de visualización 2 Representar ecuaciones gráficamente usando un dispositivo gráfico 3 Uso de un dispositivo gráfico para localizar intersecciones y probar la simetría

4 Usode un dispositivo gráfico para resolver ecuaciones 5 Pantallas cuadradas 6 Representar desigualdades gráficamente usando un dispositivo gráfico

R e c tá n g u lo d e v is u a liz a c ió n

Figura 1 y = 2x

Figura 2

7 Usode un dispositivo gráfico para resolver sistemas de ecuaciones lineales 8 Representar ecuaciones polares gráficamente usando un dispositivo gráfico 9 Representar ecuaciones paramétricas gráficamente usando un dispositivo gráfico

.

Todos los dispositivos gráficos, es decir, todas las calculadoras gráficas y todos los paquetes de software para hacer gráficas en computadora, representan ecuaciones trazando puntos en una pantalla. La pantalla misma consiste de pequeños rectángu los llamados pixeles. Entre más pixeles tenga una pantalla, mejor es la resolución. La mayoría de las calculadoras gráficas tienen 2048 pixeles por pulgada cuadrada, la mayoría de las pantallas de computadora tienen entre 4096 y 8192 pixeles por pulgada cuadrada. Cuando uno de los puntos que se va a trazar está dentro de un pixel, el pixel se enciende (se ilumina). La gráfica de una ecuación es una colección de pixeles. La figura 1 muestra cómo se ve la gráfica de y = 2x en una calculadora gráfica TI-84 Plus. La pantalla de un dispositivo gráfico desplegará los ejes de coordenadas de un sistema de coordenadas rectangulares. Sin embargo, debes establecer la escala de cada eje. También debes incluir los valores más pequeños y más grandes de x y de y que quieras incluir en la gráfica. A esto se le llama configurar el rectángulo de visualización o la ventana de visualización. La figura 2 ilustra una ventana de visualización común. Para elegir la ventana de visualización, debemos dar valores a las siguientes ex presiones: 26mín: Xmáx: A'scl: Tmín: ymáx: Tscl:

el menor valor de x el mayor valor de x el número de unidades por marca en el eje x el menor valor de y el mayor valor de y el número de unidades por marca en el eje y

La figura 3 ilustra estas configuraciones y su relación con el sistema de coordenadas cartesianas.

Xmáx

Al

A2

A P É N D IC E

Dispositivos gráficos

Si se conoce la escala que se usa en cada eje, podemos determinar los valores máxi mos y mínimos de x y y que se muestran en la pantalla contando las marcas. Observa de nuevo la figura 2. Para una escala de 1 en cada eje, los valores máximo y mínimo de x son -10 y 10, respectivamente; los valores máximo y mínimo de y también son -10 y 10. Si la escala es 2 en cada eje, entonces los valores máximo y mínimo de x son -20 y 20, respec tivamente y los valores máximo y mínimo de y son -20 y 20, respectivamente. Por otro lado, si conocemos los valores máximo y mínimo de x y de y, podemos determinar las escalas que se están usando contando las marcas que se muestran. Se guiremos la práctica de mostrar los valores máximo y mínimo de x y de y en nuestras ilustraciones para que sepas cómo se configuró la ventana de visualización. Observa la figura 4.

Figura 4

_________ 4_________

significa

Xmí n = - 3

Ymín — - 4

A'máx = 3

Ymáx = 4

JTscl = 1

Yscl = 2

-4

EJEM PLO 1

Figura 5

Determinar las coordenadas de un punto que se muestra en la pantalla de un dispositivo gráfico Determina las coordenadas del punto que se muestra en la figura 5. Considera que las coordenadas son números enteros.

Solución Primero notamos que la ventana de visualización que se usa en la figura 5 es

X m ín = —3 Ymín = —4 X má x - 3 Ymáx = 4 Xsc\ = 1 Yscl = 2 El punto que se muestra está 2 marcas a la izquierda en el eje horizontal (escala = 1) y 1 marca hacia arriba en el eje vertical (escala = 2). Las coordenadas del punto que se muestra son (-2, 2). 1 E j e r c ic io s E n los problemas 1-4, determina las coordenadas de los puntos que se muestran. Indica en qué cuadrante está cada punto. Considera que las coordenadas son números enteros.

-10 E n los problemas 5-10, determina la ventana de visualización usada.

5.

---------- -----------

6.

2

-6 -1 10.

-22

-10

SECCIÓN 2

Representar ecuaciones gráficamente con un dispositivo gráfico

A3

p b emas 11 16, elige una configuración de manera que cada uno de los puntos que se dan esté en el rectángulo de visualización.

12. (5,0), (6,8), (-2,-3)

111* (-10>5)’ (3’ ~2)-(4, ~1) |

14.

(-80, 60), (20,-30), (-20,-40)

15.

13. (40,20), (-20,-80), (10,40)

(0,0), (100, 5), (5,150)

16.

(0, -1), (100,50), (-10,30)

2 _ R e p r e s e iita r e c u a c io n e s g rá f ic a m e n te c o n u n d is p o s itiv o g rá fic o i# * ,

De los ejemplos 2 y 3 en el capítulo 2, sección 2.2, podemos ver que se puede obtener una gráfica trazando puntos en un sistema de coordenadas rectangulares y conectán dolos. Los dispositivos gráficos siguen estos mismos pasos cuando hacen la gráfica de una ecuación. Por ejemplo, la TI-84 Plus determina 95 valores ingresados sepa rados de manera uniforme,* empezando con el Xmín y terminando con Xmáx, usa la ecuación para determinar los valores de salida, traza estos puntos en la pantalla y por último, (si está en el modo conexo), traza una línea entre los puntos consecutivos. Para construir la gráfica de una ecuación de dos variablesx y y usando un disposi tivo gráfico se requiere que la ecuación esté escrita en la forma y = {expresión en jc}. Si la ecuación original no tiene esta forma, sustituyela por ecuaciones equivalentes hasta que obtengas la forma y = {expresión en *}. P a s o s p a r a o b t e n e r la g r á f ic a d e u n a e c u a c ió n u s a n d o u n d i s p o s i t i v o g r á f ic o

Paso 1: Resuelve la ecuación para y en términos de x. Paso 2: Entra al modo de gráfica de tu dispositivo gráfico. La pantalla muestra por lo general Vj = , pidiéndote que ingreses la expresión que involucra a x, que determinaste en el paso 1. (Consulta en tu instruc tivo la manera correcta de ingresar la expresión, por ejemplo, y = x2se puede ingresar como xfi2, como x*x o como x x Y 2.) Paso 3: Elige la ventana de visualización. Sin conocimiento previo acerca del comportamiento de la gráfica de la ecuación, es común elegir inicial mente la ventana de visualización estándar.** Después, se ajusta la ventana de visualización con base en la gráfica que aparece. En este texto la ventana de visualización estándar es A'mín = —10 Emín = -1 0

| j

i

Xmáx = 10

Ymáx = 10

A'scl = 1

Escl = 1

Paso 4: Construye la gráfica. Paso 5: Ajusta la ventana de visualización hasta que obtengas una gráfica completa.

EJEM PLO 1

Gráfica de una ecuación en un dispositivo gráfico Obtén la gráfica de la ecuación:

Solución

6,v2 +

3y = 36

Paso 1: Resuelve para y en términos de x. 6.t2 + 3y = 36 3y

= —6x2 4- 36

y = -2 x 2 +

12

Resta Sx2 de ambos lados de la ecuación, Divide ambos lados de la ecuación entre 3 y simplifica.

♦Estos valores de entrada dependen de los valores de A'mín y A'ináx. Por ejemplo, si A'mín= -1 0 y A'máx = 10,

10 - (-10) entonceselprimervalordeentradaserá-10yelsiguientevalordeentradaserá-10 +-----—-----=-9.7872, y así sucesivamente. ♦♦Algunos dispositivos gráficos tienen una característica ZOOM-STANDARD que establece de forma automática la ventana de visualización y traza la gráfica de la ecuación.

A4

APENDICE Dispositivos gráficos

P aso 2: En la pantalla de Y, . ingresa la expresión - l x r + 12 cuando se Ur pida. P aso 3: Establece la ventana de visualí/acíón estándar. Paso 4: Traza la gráfica. I.a pantalla se debe ver como la figura 6. Paso 5: I.a gráfica de y = ~2x7 » 12 no está completa, I I valor de Vmáx se debe ín dem entar para que se pueda ver la parte superior de la pantalla. Después de incrementar el valor de Kmáx a 12, obtendremos la gráfica de la figura 7 Ahora la gráfica está completa.

Figura 6

Figura 7

Figura 8 12 -10

- ’o

Observa de nuevo la figura 7. Aunque se muestra una gráfica completa, la grá fica se puede mejorar si ajustamos los valores de A'mín y Amáx. La figura K muestra la gráfica de y = -2 x 2 + 12 usando A'mín = -4 y A'máx = 4. ¿Crees que es una mejor opción para la ventana de visualización?

EJEM PLO 2

Crear una tabla y obtener la gráfica de una ecuación Crea una tabla y obten la gráfica de la ecuación:

Solución

y

=x '

La mayoría de los dispositivos gráficos tienen la capacidad de crear una tabla de valo res para una ecuación. (Consulta tu instructivo para ver si tu dispositivo gráfico tiene esta característica.) La tabla 1 ilustra una tabla de valores para y - x en una TI-&4 Plus. Observa la gráfica en la figura 9.

Figura 9

Tabla 1 X -3 *2 -i 0 i 2 3 v ib x

10

-27 -a -1 0 1 B 27 a ;3

2 E j e r c ic io s E n los p ro b le m a s 1-16, traza la gráfica d e cada ecuación u sa n d o las sig u ien tes ventanas d e visu a liza ció n :

(a) A’mín = -5 A’máx = 5 A'scl = 1 T mín = -4 Kmáx = 4 y sel = 1 1. y = .v + 2

(b) A’mín A’máx A'scl y mín Y'máx yscl 2. y = .v - 2

= -10 = 10 =2 = -8 =8 =2 3. y = - v + 2

4. y =

—x

- 2

5. y - 2.v + 2

6. y = 2.v - 2

7. y = -2.v + 2

8. v = - I r - 2

9. y = .v2 + 2

10. y = .v2 - 2

11. y = —v2 + 2

11 y = —jt - 2

13. 3.v + 2y = 6

14. 3.v - 2y = 6

15. -3.v + 2v = 6

16. -3.1 - 2v = O

17-31

Crea u n a tabla p a ra cada u n a d e las ecuaciones anteriores,

-3 s.v s 3. e

in d ica lo s p u n to s en la

gráfica.

S h ( C IO N 3

3

Uso de un dispositivo gráfico para localizar intersecciones y probar la simetría

A5

U s o d e u n d is p o s itiv o g rá fic o p a r a lo c a liz a r in te rs e c c io n e ^ ^ *j j g ^ || ’ *v w \ > y p r o b a r la s im e tr ía

V a lu e y Zero (o ROOT) La mayoría de los dispositivos gráficos tienen la característica VALUE (evaluar), la cual, dado el valor de x, determina el valor de y en una ecuación. Podemos usar esta ca racterística para evaluar una ecuación en x = 0, para determinar la intersección con y. La mayoría de los dispositivos gráficos también tienen una característica ZERO (o ROOT) que se puede usar para determinar las intersecciones con x de una ecuación.

[ EJEM PLO 1

Determinar intersecciones usando un dispositivo gráfico Usa un dispositivo gráfico para determinar las intersecciones de la ecuación y = x* —8.

Solución

La figura 10(a) muestra la gráfica de y - *3- 8.

Figura 10

10 -5

/ -20

(a) La característica VALUE de una calculadora gráfica TI-84 Plus acepta el ingreso de un valor de x y determina el valor de y. Si hacemos x —0, determinamos que la intersección con y es -8. Ver figura 10(b). La característica ZERO de una TI-84 Plus se usa para determinar las interseccio nes en x. Observa la figura 10(c). La intersección con x es 2. .

EJEM PLO 2

Gráfica de la ecuación

y

=

Obtén la gráfica de la ecuación y = —. Con base en la gráfica, infiere información acerca de las intersecciones y la simetría.

Solución

Figura 11

La figura 11 ilustra la gráfica. Podemos inferir de la gráfica que no hay intersecciones, también podemos inferir que la simetría con respecto al origen es una posibilidad. La característica TABLE en el dispositivo gráfico puede proporcionar más evidencia de la simetría con respecto al origen. Usa TABLE y observa que para cualquier par ordenado (x, y) el par ordenado (- x , -y ) también es un punto en la gráfica.

A6

A P É N D IC E


3 Ejercicios__________________________ _________________________ En los problemas 1-6, usa ZERO (o ROOT) para aproximar la menor de las dos intersecciones en x de cada ecuación. Expresa la respuesta redondeada a dos lugares decimales. 1. y = x2 + 4x + 2 2. y = x2 + 4x - 3 3. y = 2x2 + 4x + 1 4. y = 3x2 + 5* + 1

5. y = 2*2 - 3* - 1

6. y = 2x2 - 4x - 1

En los problemas 7-12, usa ZERO (o ROOT) para aproximar las intersecciones positivas de cada ecuación. Expresa cada respuesta redondeada a dos lugares decimales. 7. 9. 11.

4

y = * 3 + 3.2x2 - 16.83* - 5.31 y = x 4 - 1.4*3 - 33.71jc2 + 23.94* + 292.41 y = * 3 + 19.5*2 - 1021* + 1000.5

8-1' = *3 + 3-2*2 “ 125x ~ 63 10. y = * 4 + 1.2*3 - 7.46*2 - 4.692* + 15.2881 12. y = x 3 + 14.2*2 - 4.8* - 12.4

]

U so d e u n d is p o s itiv o g rá fic o p a r a re s o lv e r e c u a c io n e s

Para muchas ecuaciones no existen técnicas algebraicas que lleven a una solución. Para dichas ecuaciones, frecuentemente se puede usar un dispositivo gráfico para investigar las posibles soluciones. Cuando se usa un dispositivo gráfico para resolver una ecuación, generalmente se obtienen soluciones aproximadas. A menos que se indique de otra manera, seguiremos la costumbre de dar soluciones aproximadas re dondeadas a dos lugares decimales. Para determinar las soluciones de una ecuación cuando uno de los lados de la ecuación sea 0, se puede usar la característica ZERO (o ROOT) de un dispositivo gráfico. Cuando usamos esta característica para resolver ecuaciones, aprovechamos el hecho de que las intersecciones en * (o ceros) de la gráfica de una ecuación se determinan haciendo y = 0 y resolviendo la ecuación para *. Resolver una ecuación para * cuando uno de los lados de la ecuación es 0 equivale a determinar en donde la gráfica de la ecuación correspondiente toca o cruza el eje *.

[ EJEM PLO 1

Usar ZERO (o ROOT) para aproximar las soluciones de una ecuación Determina las soluciones de la ecuación x 2 - 6* + 7 = 0. Redondea las respuestas a dos lugares decimales.

Solución

Las soluciones de la ecuación x 2—6* + 7 = 0 son las mismas que las intersecciones con x de la gráfica de Y x = x2- 6x +1. Empezamos por trazar la gráfica de la ecuación. Ver figura 12(a). De la gráfica podemos ver que parece haber dos intersecciones con x (soluciones de la ecuación): una entre 1 y 2 y la otra entre 4 y 5.

Figura 12

-1 -2

-2

(b)

(c)

Nuestro dispositivo gráfico usará la característica ZER O (o ROOT) para de terminar las intersecciones con * y, por lo tanto, las soluciones de la ecuación son * = 1.59 y * = 4.41, redondeadas a dos lugares decimales. Observa las figuras 12(b) y(c). Otro método para resolver ecuaciones usando un dispositivo gráfico involucra la característica INTERSECT del dispositivo. Esta característica se usa de forma más efectiva cuando un lado de la ecuación no es 0.

S E C C IÓ N 4

Uso de un dispositivo gráfico para resolver ecuaciones

A7

[ EJEM PLO 2 1 Usar INTERSECT para aproximar las soluciones de una ecuación Determina las soluciones de la ecuación 3(.v - 2) = 5(.v —1).

Solución

I tnpie/a por construir la gráfica de cada lado de la ecuación de la siguiente manera: traza I , = 3(.v - 2) y V, = 5(.v - 1). Observa la figura 13(a).

Figura 13

5

(a)

(b)

E.n el punto de intersección de las gráficas, el valor de la coordenada y es el mismo. Podemos concluir que la coordenada x del punto de intersección representa la solución de la ecuación. ¿Puedes ver por qué? La característica INTERSECT en un dispositivo gráfico determina el punto de intersección de las gráficas. Usando esta característica, determinamos que las gráficas se intersectan en (-0.5, -7.5). Observa la ligura 13(b). Por lo tanto, la solución de le ecuación es x = -0 .5

RESUMEN A continuación se dan los pasos a seguir para aproximar soluciones de ecuaciones. Pasos para aproxim ar las soluciones de ecuaciones usando ZERO (o ROOT) Paso 1: Escribe la ecuación en la forma {expresión en .v} = 0. Paso 2: T ra/a la gráfica de V’, = {expresión en .v}. Asegúrate de que la gráfica esté completa. Es decir, asegúrate de que se muestren todas las intersecciones en la pantalla. Paso 3: Usa ZER O (o ROOT) para determinar cada intersección con x de la gráfica. Pasos para aproximar las soluciones de ecuaciones usando INTERSECT Paso 1: Traza la gráfica de V', = {expresión en x en el laclo izquierdo de la ecuación). Traza la gráfica de T, = {expresión en x en el lado derecho de la ecuación). Paso 2: Usa INTERSECT para determinar cada coordenada x de los puntos de intersección, si existe alguno. Asegúrate de que las gráficas estén completas. Es decir, asegúrate de que se muestren en la pantalla todos los puntos de intersección.

I ____________________ __ ______________ ________________________________________________________________________ J l » I

EJEM PLO 3

Resolver una ecuación radical Determina las soluciones reales de la ecuación *\/2x - 4 - 2 = 0.

Solución

La figura 14 muestra la gráfica de la ecuación Y i = ^/2x - 4 - 2. En la gráfica po demos ver que existe una intersección con x cerca de 6. Usa ZERO (o ROOT) para determinar que la intersección con x es 6. La única solución es x = 6.

-4

A8 5

A P É N D IC E


P a n ta lla s c u a d ra d a s La mayoría de ios dispositivos gráficos tienen una pantalla cuadrada. Por esta razón, el uso de la misma configuración para x y para y dará como resultado un cuadro dis torsionado. Por ejemplo, la figura 15 muestra la gráfica de la recta y = x conectando los puntos (-4, -4 ) y (4, 4). Esperamos que la recta biseque el primer y tercer cuadrante pero no lo hace. Debemos ajustar las elecciones para A'mín, A'máx, Ymín y Ymáx para obtener como resultado una pantalla cuadrada. En la mayoría de los dispositivos gráficos, esto se logra estableciendo la razón de x a y en 3:2.* Por ejemplo, si A'mín = - 6 Ymín = - 4 A'máx = 6 Ymáx = 4 entonces la razón de x a y es A'máx - A'mín _ 6 - ( - 6 ) _ 12 _ 3 Ymáx - Ymín 4 - (-4 ) 8 2

F ig u ra 15

para una razón de 3:2, que dé como resultado una pantalla cuadrada.

EJEM PLO 1

F ig u ra 16

4

(4,4)

Ejemplos de rectángulos de visualización que dan como resultado una pantalla cuadrada (a) A'mín Xmá x A'scl Ymín Ymáx Yscl

= -3 = 3 = 1 = -2 = 2 = 1

(b )

X min A'máx A'scl Ymín Ymáx Yscl

= -6

= 6 = 1 = -4 = 4 = 1

(c) A'mín A'máx A'scl Ymín Ymáx Yscl

= —12 - 12 = 1 = -8 = 8 = 2

La figura 16 muestra la gráfica de la recta y = x en una pantalla cuadrada usando el rectángulo de visualización del inciso (b). Observa que la recta ahora bisecta el primer y tercer cuadrante. Compara esta ilustración con la de la figura 15. 5

E j e r c ic io s

En los problemas 1-8, determina cuál de los siguientes rectángulos de visualización da como resultado una pantalla cuadrada. 1. A'mín = -3 2. A'mín = -5 3. A'mín = 0 4. A'mín = -6 A'máx = 3 A'máx = 5 A'máx = 9 A'máx = 6 A'scl = 2 A'scl = 1 A'scl = 3 A'scl = 1 Ymín = —2 Ymín = -4 Ymín = -2 Ymín = -4 Ymáx = 2 Ymáx = 4 Ymáx = 4 Ymáx = 4 Yscl = 2 Yscl = 1 Yscl = 2 Yscl = 2 5. A'mín A'máx A'scl Ymín Kmáx Yscl

= -6 = 6 = 1 = -2 = 2 = 0.5

6. A'mín A'máx A'scl Ymín Ymáx Yscl

= -6 = 6 = 2 = -4 = 4 = 1


= 0 = 9 = 1 = -2 = 4 = 1


= -6 = 6 = 2 = -4 = 4 = 2

9. Si A'mín 4, A'máx - 8 y A'scl - 1, ¿cómo debes elegir Ymín, Ymáx y Yscl para que el rectángulo de visualización contenga el punto (4, 8) y la pantalla sea cuadrada? 10. Si Amm ——6, A'máx = 12 y A'scl = 2, ¿cómo debes elegir Ymín, Ymáx y Yscl para que el rectángulo de visualización contenga el punto (4, 8) y la pantalla sea cuadrada? *Algunos dispositivos gráficos tienen una función integrada que en automático hace la pantalla cuadrada. Por ejemplo, la Tl-84 tiene una función ZSquare que hace esto. Algunos dispositivos gráficos requieren de una razón diferente que 3:2 para hacer la pantalla cuadrada. Por ejemplo, la HP 48G requiere que la razón de x a y sea de 2:1 para una pantalla cuadrada. Consulta tu instructivo.

EJEM PLO 1 ] Gráfica de una desigualdad usando un dispositivo gráfico Usa un dispositivo gráfico para obtener la gráfica de: 3jc + y - 6 < 0

Solución

Empezamos por trazar la ecuación 3x + y —6 = 0 ( Yj = —3x + 6). Observa la figura 17. Al igual que cuando trazamos gráficas a mano, debemos probar puntos elegidos de cada región y determinar si satisfacen la desigualdad. Por ejemplo, para probar el punto (-1, 2), ingresa 3(—1) + 2 - 6 < 0. Observa la figura 18(a). El 1 que aparece indica que la proposición que ingresamos (la desigualdad) es verdadera. Cuando se prueba el punto (5, 5), aparece un 0, que indica que la proposición que ingresamos es falsa. Por lo tanto, (-1 ,2 ) es una parte de la gráfica de la desigualdad y (5,5) no lo es. La figura 18(b) muestra la gráfica de la desigualdad en una TI-84 Plus.*

P a s o s p a r a o b t e n e r la g r á f ic a d e u n a d e s ig u a ld a d u s a n d o u n d is p o s i t i v o g r á f ic o

Paso 1: Sustituye el símbolo de desigualdad por un signo de igual, resuelve la ecuación para y y traza la gráfica de la ecuación. Paso 2: En cada región, elige un punto de prueba P y determina si las coorde nadas de P satisfacen la desigualdad. (a) Si el punto de prueba satisface la desigualdad, entonces también lo hacen todos los puntos en la región. Indica esto usando el disposi tivo gráfico para sombrear la región. (b) Si las coordenadas de P no satisfacen la desigualdad, entonces nin guno de los puntos en la región lo hace.

La mayoría de los dispositivos gráficos tienen la capacidad de poner la matriz aumen tada de un sistema de ecuaciones lineales en forma escalonada. El siguiente ejemplo, el ejemplo 6 de la sección 12.2, demuestra esta característica usando una calculadora gráfica TI-84 Plus. Consulta tu instructivo para técnicas de sombreado.

A io

A i- r N O I! K

Dispositivo» grAflro»

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando un dispositivo gráfico

EJEM PLO 1

N 0) » 2 1 ♦ 3y - Z - 2 (?) ( 3.» 2y - 9ü • 9 0 ) y +

x -

Resuelve:

Solución

z *

I.a matriz aumentada del sistema es 1 2

3

-1 3 -2

1 -1 -9

k’

-2

y

Ingresa esta matriz en el dispositivo gráfico y llámala/! f Jbverva la figura l‘#a) 1 m el comando KM (forma escalonada. por su* sigla« en ingle») en la matriz A para oh tener los resultado» que se muestran en la figura 19(b) ( unto la matriz completa rv< cube en la pantalla, necesitas mover el cursor hacia la derecha para ser el resto de U matriz. Observa la figura l*i(c). F ig u ra 19

iñi [ [ i -i 1 8 1 -1 -21 [2 3 13 -2 -9 9 ) 1

(a) Id sistema de ecuaciones representado por la matriz que está ahora en forma esca lonada es s 1 - - -3 t - “ y - 3; 3 3 (i) 3 24 i 15 ?Í (2) v♦ Í3 ¡ 13 ” 13 _() t) 1 1 (5) 1

" •s

Usando c = 1. sustituye hacia atrás para obtener v - -y -

3(1)

3

15 24 v + — (l ) ■ - — 13' 13

0)

' - V -3 9 SimoWte*

-

\

13

Si resolvemos la segunda ecuación para v. determinamos que v *. - 3 Ahora susti2 luimos hacia atrás v = -3 en .v - ~ v - 6. y obtenemos t ■ 4 La solución del stslcma es .v es 4, v = - 3 ,: = I.

F ig u ra 20

r r e f
Observa que la forma escalonada de la matriz aumentada en el dispositivo gráfi co difiere de la forma escalonada en el capitulo 12 (p. 8 6 4 ¡\ aun asi ambas matrices tienen la misma solución! Esto se Jebe a que las Jos soluciones usan diferentes ope raciones de fila para obtener la forma escalonada. I o más seguro es que la Jtícrcncia se haya dado en el paso 4 de la solución algebraica, donde evitamos introducir frac ciones intercambiando las filas 2 y 3. I.a mayoría de los dispositivos gráficos son capaces de poner la mam/ en forma escalonada reducida. La figura 20 muestra la forma escalonada reducida Je la mam/ aumentada del ejemplo I usando la indicación RREF en una calculadora gráfica TI -s-í Plus. Si usamos esta instrucción, vemos que la solución del sistema es i = 4. v = -3. * I

S K ( IO N 9

8

Representar ecuaciones paramétricas gráficamente usando un dispositivo gráfico

A11

R e p r e s e n ta r u n a e c u a c ió n p o la r g r á fic a m e n te u s a n d u n d is p o s it iv o g r á fic o 1 .i mayoría de los dispositivos urálicos requieren de los siguientes pasos para obtener la gráfica de una ecuación polar. Asegúrate de establecer el modo POLar. O b t e n e r la g r á f ic a d e u n a e c u a c ió n p o la r u s a n d o u n d i s p o s i t i v o g r á f ic o

Paso 1: Establece el modo POLar. Resuelve la ecuación para r en términos de tí. Paso 2: Elige el rectángulo de visuali/aeión en modo polar. Además de conligurar A'mín. A'máx, A'scl. etc., el rectángulo de visuali/aeión en modo polar requiere que se establezcan valores máximos y mínimos para tí y una configuración de incrementos para tí (ffstep). Además se debe usar una pantalla cuadrada y medidas en radianes. Paso 3: Ingresa la expresión con tí que determinaste en el paso 1. (Consulta tu instructivo para ver la forma correcta de ingresar la expresión.) Paso 4: Construye la gráfica.

EJ E MPL O 1

Gráfica de una ecuación polar usando un dispositivo gráfico Usa un dispositivo gráfico para obtener la gráfica de la ecuación r sen tí = 2.

Solución

P aso 1: Resuelve la ecuación para r en términos de tí. r sen tí = 2 2 r = senff P aso En el modo POLar, elige el rectángulo de visualización. Usaremos el que damos a continuación. 0mín = 0 A'mín = - 9 V’mín = - 6 0máx = 2tt A'máx = 9 Vmáx = 6 7T A'scl = 1 yscl = 1 0step = 24 ffstep determina el número de puntos que trazará el dispositivo gráfico. Por ejemplo, si 0step es “T

Figura 21

TT

24

el dispositivo gráfico evaluará r en tí = O(0mín),

1 JJ

— , — , 1— , y así sucesivamente hasta 27r(0máx). Entre menor es tfstep, ma24 24 24 yor será el número de puntos que trace el dispositivo. Se te aconseja que experimentes con diferentes valores de 0mín, 0máx y 0step para ver cómo afectan los valores la gráfica. 2 P aso 3: Ingresa la expresión------ cuando se te pide r ■ sen tí

P aso 4: Construye la gráfica. La gráfica se muestra en la figura 21.

J

• *

R e p r e se n ta r

5“

s 9 r !*A2r *

u n d is p o s it iv o g r á fic o La mayoría de los dispositivos gráficos tienen la capacidad de construir gráficas de ecuaciones paramétricas. Generalmente se requiere de los siguientes pasos para ob tener la gráfica de ecuaciones paramétricas. Consulta tu instructivo para ver cómo funciona el tuyo.

Al 2

A P É N D IC E

Dispositivos gráficos O b te n e r g rá fic a s d e e c u a c io n e s p a r a m é tr ic a s u s a n d o u n d is p o s itiv o g rá fic o

EJEMPLO 1

Paso 1:

Establece el modo PARamétrico. Ingresa *(/) y y ( t ) .

Paso 2:

Elige la ventana de visualización. Además de configurar Amín, Amáx, A'scl, etc., la ventana de visualización en modo paramétrico requiere configurar valores mínimos y máximos para el parámetro t y una con figuración de incrementos para /( /step).

Paso 3:

Traza la gráfica.

G rá fic a de u n a c u rv a d e fin id a p o r e c u a c io n e s p a ra m é tric a s u san d o un d isp o sitiv o g ráfico Traza la gráfica de la curva definida por las ecuaciones paramétricas x

So lu ció n

P

a so

1:

P

a so

2:

F ig u ra 22

5

P

a so

3:

= 312,

y = 2t,

-2

<

t

< 2

Ingresa las ecuaciones x ( t ) = 3 12, y { t ) = 2 1 con el dispositivo gráfico en modo PARamétrico. Elige la ventana de visualización. El intervalo es - 2 < t < 2, por lo tanto, seleccionamos la siguiente ventana de visualización: 7’mín = - 2

Amín =

Tmáx =

2

Amáx = 15

Tstep =

0 .1

Ascl =

0

1

Tmín = - 5 Frnáx = 5 yscl =

1

Escogemos 7mín = -2 y 7máx = 2 porque - 2 < 2. Por último, la elección de 7step determinará el número de puntos que trazará el dispositivo gráfico. Por ejemplo, con 7step en 0.1, el dispositivo evaluará x y y en t = -2 , —1.9, -1.8, etc. Entre menor sea 7step, mayor será el número de puntos que trace el dispositivo. Se te recomienda que experimentes con diferentes valores de 7step para ver cómo afectan la gráfica. Construye la gráfica. Observa la dirección en la que se traza la gráfica. Esta dirección muestra la orientación de la curva. La gráfica que se muestra en la figura 22 está completa. .

Exploración Traza la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas usando un dispositivo gráfico con Xmín = 0, Xmáx = 15, Kmín =-5, Vmáx = 5 y Tstep = 0.1. 1.

x = — , y = f,

-4

2.

x = 312 + 12f + 12, y = 2f + 4,

3. x = It111, y = 2^f,

<

t < 4

-4

<

t < 0

-8 < t < 8

Compara estas gráficas con la de la figura 22. Llega a la conclusión de que las ecuaciones paramétricas que definen una curva no son únicas, es decir, diferentes ecuaciones paramétricas pueden representar la misma gráfica.

Exploración En modo FUNC (función), traza la gráfica de x =

con Xmín = 0, A 4 Xmáx - 15, /mín - —5, VTnáx = 5. Compara esta gráfica con la figura 22. ¿Por qué son diferentes las gráficas?

Respuestas C A P ÍT U L O R

R epaso

R.I Evalúa tu entendimiento (página 15) L racionales 2. 31 15. (0,2, 6 , 7, 8 ) (e)

3. distributiva

4. 5(x + 3) = 6

1 7 .(0 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 1

5. V 6 . F

7. F 8 . V 9. [1, 2, 3 , 4, 5, 6 , 7, 8 , 9)

19. (0 . 1 , 2 , 3, 5, 6 , 7, 8 , 9)

2 1.

(a) (2 , 5 ) (b) { - 6 , 2 , 5 } (c) { - 6 ,

(-6 .1 -1 .:

'2 '

^ ....... rr, 2 ,5 j 23. (a) (1 ) (b) (0,1) (e) ^0,1, 2 ’ 3 ’ 4 ^ (d) Ninguno (e) jo , 1, - , y

(d) j \ / 2 , ir, V 2 + 1, ir + - j

33. (a) 9.999 45. .r

(b) 9.998

16

(b) 0.428 37. (a) 34.733

49. 7 51. 6 53. 1 55. y13

47. 2 - 6

2 - 6

15

- 1.3 3 3 • • •, 2 ,5 j

(d) {tt}

25. (a) Ninguno (b) Ninguno (c) Ninguno

(b) 34.733

39. 3 + 2 = 5 41. j + 2 = 3 -4

- -1-1- - 59. - 11 57. 61. - 4

63. 1 65. 6 67. y2

„ — 4 69.

91. —jc — 1 93. x2 + 6x + 8 95.

x2 - x -

43. 3y = 1 + 2 „71. |j 23j

... 73. ^79

13 75. 36

15

45 79‘ 60 81’ 22 83‘ 1 85‘ T8

77,

13. ( 1 ,3 , 4, 6 )

27. (a) 18.953 (b) 18.952 29. (a) 28.653 (b) 28.653 31. (a) 0.063 (b) 0.062

(e) |V 2 , ir, V 2 + 1, ir +

35. (a) 0.429

11.(4)

99. 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x 107. Propiedad simétrica

87, 6 v + 24

89>

x2

~ 4x

97.

2

x2

- 10jc + 16

101. 2(3 *4) = 2 - 12 = 24;(2- 3) • (2 • 4) = 6 • 8 = 48 103. N o ; 2 - 3 * 3 - 2 105. N o ; - * 3

109. No; no

2

R.2 Evalúa tu entendimiento (página 26) 1. variable 2. origen 3. estricta 4. base; exponente o potencia 5. 1 .2345678 x 103 6 . V 7. V 8 . F 9. F 10. F n 1 I ♦ I ♦ » I *♦ 1 1 ♦ ► 13. > 15. > 17. > 19. = 21. < 23. * > 0 25. * < 2 27. x < 1

-1

- ís

0/

5

j \

0.25 H 1

29.

2

31.

-f-

-4___ 33. 1

-2

35. 2 37. 6 39. 4 41. -2 8

53. 22 55. 2 57. x = 0 59. x = 3 61. Ninguno 63. x = 0, x = 1, x = - 1 65. [x\x

yA

.

77. -

79. 9

9

109. 81

81. 5

83. 4

111. 304,006.671

127. 61,500

129. 0.001214

145. (a) $6000

43. -

45. 0 47. 1 49. 5 51. 1

-1

(b) $8000

89. -

y2

y

115. 481.890

91,

„

93. ^

9y2

9y

71. 25°C 73. 16 75. —

16

95. - 4

97. 5 99. 4

101. 2 103. V5

105. 2

107. 10; 0

117. 0.000 119. 4.542 X 102 121. 1.3 x 10“2 123. 3.2155 x 104 125. 4.23 x 10"4

131. 110,000,000

133. 0.081

147. Ix - 41 > 6

149. (a) 2 < 5 (b) 6 > 5

157. 5 X 10~4 pulg. 159. 5.865696 X 1012mi

5) 67. (jcIjc * -4 ) 69. 0°C

O„3

85. 64x6 87. — 113. 0.004

*

135.

A = Iw

137.

C = ird

151. (a) Sí

139.

A = ~ -x 2

(b) No

141. V = y r r 3 143.

153. 400,000,000 m

V = x3

155. 0.0000005 m

161. N o y es mayor; 0.000333... 163. No

R .3 E v a lú a tu entendimiento (página 36)

1. rectángulo; hipotenusa 2. A = - b h 3. C = 2irr 4. semejantes 5. V 6. V 7. F 8. V 9. V 10. F 11.13 13.26 15.25 17.Triángulo rectángulo; 5 19. No es un triángulo rectángulo 21. Triángulo rectángulo; 25 23. No es un triángulo rectángulo 25. 8 pulg.2 27. 4 pulg.229. A = 25 irm 2;C = 10ir m

31. y

=

224 pies3; 5 = 232 pies 233.F = - y ir cm3; 5 = 64ir cm2 35. V

41. x = 4 unidades- A = 90°; B = 60°; C = 30°

=

648ir pulg.3; S = 306 7r pulg.237. ir unidades cuadradas 39. 2 v unidades cuadradas

43. x = 67.5 unidades; A = 60°; B = 95°; C = 25° 45. Aproximadamente 16.8 pies 47. 64 pies2

49. 24 + 27t « 30.28 pies2 ; 16 + 27r ~ 22.28 pies 51.160 pasos 53. Aproximadamente 5.477 mi 55. Desde 100 pies: 12.2 mi; Desde 150 pies: 15.0 mi I R .4 E v a lú a tu entendimiento (página 47)

1 4 3 2 x4 - 16 3 x3 - 8 4. F

5. V variable no es un núm ero entero no negativo

6. F 7. Monomio; variable: x; coeficiente: 2; grado: 3 9. No es un monomio; el exponente de la 11. Monomio; variables: x, y , coeficiente: -2 ; grado: 3 13. No es un monomio; el exponente de una

de las variables no es un número entero no negativo

15. No es un monomio; tiene más de un término

17. Sí; 2 19. Sí; 0 21. No; el exponente

de la variable de uno de los términos no es un número entero no negativo 23. Sí; 3 25. No; el polinomio del denominador tiene grado mayor que 0 27. x2 + 7x + 2 29. x3 - 4x2 + 9x + 7 31. 6x5 + 5x4 + 3X2 + x 33. 7x2 - x - 7 35. - 2 x 3 + 18x2 - 18 37. 2x2 - 4x + 6

39. 15y2 - 27 y + 30 41. x3 + x2 - 4x 43. - 8 x 5 - 10x2 45. x3 + 3x2 - 2x - 4 47. x2 + 6x + 8 49. 2x2 + 9x + 10 51. x2 - 2x - 8 53. x2 - 5x + 6 55. 2x2 - x - 6 57. - 2 x 2 + l l x - 12 59. 2x2 + 8x + 8 61. x2 - xy - 2y2 63. - 6 x 2 - 13xy - -6y2 65. x2 - 49 67. 4x2 - 9 69. x2 + 8x + 16 71. x2 - 8x + 16 73. 9x2 - 16 75. 4x2 - 12x + 9 77. x2 - y2 79. 9x2 - y2 81. x2 + 2xy + y2 83* x2 - 4xy + 4y2 85. x3 - 6x2 + 12x - 8 87. 8x3 + 12X2 + 6x + 1 89. 4x2 - l l x + 23; residuo -4 5 91. 4x - 3; residuo x + 1 R1

R2

RESPU ESTA S

Sección R.4 1

93. 5x2

13; residuo

101. A2

a

a

+ 27

95. 2 a 2; residuo -

- 1; residuo 2 a + 2

103.

a2

a2

+

+ 1

a

97.

a2

¿

- 2a +

. 5 1 residuo - x +

99. - 4 a 2 - 3 a - 3; residuo - 7

2

+ a x + «2; residuo!)

R.5 Evalúa tu en ten d im ien to ( p á g i n a 5 7 ) 2. Primo 3. V 4. F

1. 3 a ( a - 2 ) ( a + 2)

5. 3 ( a -I- 2)

« ( a 2 + I)

7.

9.

a ( a2

+

+ 1)

a

11. 2 x (x - 1)

- 2y

13. 3 x y (x

* 4)

15. ( a + l ) ( x - 1) 17. (2 a + 1)(2 a - 1) 19. ( a + 4 ) ( a - 4) 21. (5 a + 2 )(5 a - 2) 23. ( x + \) 25. ( x * 2) 27. ( x - 5) 29. (2 a + I)2 31. (4 a + l ) 2 33. ( a - 3 ) ( a 2 + 3 a + 9) 35. ( a + 3 ) ( a 2 - 3 a + 9) 37. (2 a + 3 ) ( 4 x 2 - 6 a + 9 ) 39. ( x + 2 ) ( a + 3) 51. ( a + 2 )(2 x + 3, 4) 63. ( x - 2 ) ( 3 x + 4 )

41. ( a + 6 ) ( a + 1) 43. ( a + 5 ) ( a + 2) 45. ( a - 8 ) ( a - 2) 47. (x - 8 )(x + I ) 49. ( a + 8 )(x - 1) 53. ( a - 2 )(2 a + 1 ) 55. (2 a + 3 )(3 a + 2) 57. (3 a + l ) ( x + 1) 59. ( z + 1)(2z + 3) 61. (x + 2 ) ( 3 x 65. ( a + 4 ) (3 a 79.

+ 2)

67. ( a + 4 )(3 a - 2) 69.

95. 2(3 a + I ) ( a + 1)

105. - ( 4 a - 5 )(4 a + 1)

97. ( a - 3 )( a + 3 ) ( a 2 +

107. (2 y - 5 )(2 y - 3 )

115. (3 a - 5 ) (9 a2 - 3 a + 7)

3 )273.

83. 4 ( a2 - 2 a + 8) 85. Primo 87. - (

( a + 1)( a + 10) 81. ( a - 7 ) ( a - 3)

93. (2 a + 3 )2

-

25; ( a + 5 )271. 9; ( y

117. ( a + 5 )(3 a + 1 1 )

- 5 ) ( a + 3)

a

1 )(3 a + 1 )( a 2 + 1)

2 )2( a + 1)

+

75. ( x

6)

89. 3 ( a + 2 ) ( a -

TI.

6 ; (x - 6 ; 91.

- 1 )( a + 1)

2(1 + 2 x ) (l -

y*(y

5 )(y

* 6;

103. (4 a + 3 j2

111. ( a + 3 ) ( a - 6 ) 113. ( x + 2 ) ( a - 3 )

119. ( a - 1 )( a + 1 )( a + 2)

127.5 ( a + 3 ) ( a -

j

99. (x - l ) 2(x 2 + x + l ) 2 101. x3(x

9)

109. - ( 3 a -

; (x - -

-

121. ( a - 1 )( a + ! ) ( a2 -

129. 3 (4 a - 3 )(4 a - 1)

a

+ I)

123. 2(3 a + 4 )(9 a + 13)

125. 2 a (3 a + 5)

131. 6 (3 a - 5 )(2 a + 1)2(5 a - 4;

133. Las posibilidades son

(x ± 1 )(x ± 4) = x 2 ± 5x +4 o (x ± 2 )(x ± 2) = x 2 ± 4x + 4. ninguna de las cuales es igual a x 2 + 4.

R .6 E valúa tu en ten d im ien to ( p á g i n a 6 1 ) 2. —3)2 0 —5 1 3. V 4. V 5. a 2 + a + 4; residuo 12 7. 3 a 2 + 11a + 32; residuo 99 - 3 a3 + 5 a 2 - 15a + 46; residuo -1 3 8 11. 4 a 5 + 4 a 4 + a 1 + a 2 + 2 a + 2; residuo 7 13. 0.1 a 2 - 0 .1 1a + 0.321; residuo -0.3531 15. a4 + a 3 + a 2 + a + 1; residuo 0 17. No 19. Sí 21. Sí 23. No 25. Sí 27. - 9 1. cociente; divisor; residuo 9.

a4

(página 70)

R .7 E valúa tu en ten d im ien to

1. en sus términos mínimos 2. mínimo común múltiplo 3. V 4. F 2 x ( x 2 + 4 a + 16) a

x-

8

J 5 .i± l

61.

71. ^

2( a 2 a (a

~ 2 )(V

2)

- 2 ) ( a + 2) 5a

a (a

+

73. Ü i

h)

a (a

~ "• '» 77, 2a ( 2a + 1 ) (a 2)

^

4a

x + 5 „ 3 1 3 .------ - 1 5 . - ( x + 7) 1 7 .— ------ —

+ 1)

1

x -

( a + 3 )2 31. 2-------- --

5x ( a - 2 )

( a - 4 ) ( a + 3) 33.

(x -3 )2

47.

— ( a — 1 )( a + 2 ) 57.

a-3(2 a

( a - 1 )(2 x + 1)

67.

+

-x2

R r R:

=

81.

a - 3)

2

!)(/?, + R 2) ' 15

(n -

3 a + 13

(A - 2 )(x + 1) ( a + 4)

( a + 2)(.r2 -

- 2 )(a + l ) 2

’

(x + 1 )(x - 1)

49.

(x + 2 )(x - 2)

59. x (x - 1)2( a + 1 K x 2 + x + 1)

- l)2

- 2a ( a2 - 2 )

79.

( a2 + l )2

2(y

( a - 4 )2

5a + 1

^

^

11. —— — -

29. - — -— -

’ (,r - l ) 2(x + 1)

( a + 3 )(3 a - 1)

(3 a + l )2

+ 5

y

45.

- 2

- 1 )( a + 1)

65.

( a - 2 ) ( a + 2 ) ( a + 3)

75, a (3 a +

( a2 + l )2

55.

.

..

2 ( a + 5)

4 - A a

2 (2 x 2 + 5 a - 2)

63.

A- 1

( a + 1 )( a - 1)

43.

2a - 1

53. ( a - 2 ) ( a + 2 ) ( a + 1 )

( a - 6 ) ( a - 1 )( a + 4) -1

4 1 .i± 4

- 3

4a

2a - I

3

4a ------. . . . .27. ( a - 2 ) ( a - 3) 5 ( a - 1)

3 9 .^ 4 a

A- 3

25.- -------—

+ 7

a

2)

2a - 3

3

23. - —

3a

37. P

2

51.

+ 4

„

a

5. ------ - 7 . — 9 . - ------ -

r

19. — ----------- -------- - 2 1 . —

-

3

-1

x - 1

69.

x 3 - 2 a2 + 4x + 3

+ l)(x - 1 )

x 2( x

83. ^ ----- r 2x + 1

19

85.

5)2

( 3x -

m

R .8 E valúa tu en ten d im ien to (página 78) 3. índice 4. T 25. 12V 3

4,

V~2 V 5

43. _ _ 65.

85.

2 27V2 32

5. raíz cúbica 6. F

27. 7 V 2

„

V Í5

45. _ _ _

29. V

„

87.

71. x 2,3y

2V 277 » 8.89 s

CA PÍ ! ULO 1 1.1 4. 27.

-^/2

49. — 41

73.

2

2V 2

„3/4 r ’

75.

13. - 2 a ^

35. a - 2 V a + 1

5^

51. —

3' + 2 ( l + A ) '^

15. x V

17.

111.

tt\Í3

3 ( a + 2) 97. -

99. 1.41

x2y

37. (2 a - 1)'V/ 2 a 2 X + 1, -

19. 6 V x

a (3 a 2 + 2) 77. A -------- 4

2 V 7 T U ,

( a2 +

I ) 172

79.

101. 1.59

103. 4.89

21. 6 x V x

39. (2 a - 1 5 )V í r

53. ---------------- ----------------

55. 4

22x + 5

9X

105. 2.15

_

57. - 3

• io v 7 ^ 5 V 4 7 T 3

2 \ / a (1 + a2)2 89' Í (5'V + 2)(V + 1)1/2 91‘ 2v' /2(3v ■ 4 )(-v +

95. (3 a + 5 ) 1/3(2 a + 3 ) 1/2(17 a + 27) 109.

33.

11.

8 v ^ _ 19

(5 + V 2 ) V 3

ay 2

9. - 2

31. 2 V 3

47. --------------------

67. x 7/12 69.

- 2( a2 - l )»/2

2

7. 3

81.

23. 1 5 ^ 3 41. - ( x + 5v)X

59. ^4

1

61. —

2 + A

” " 2 ( 1 + x )3

2x>

63.

2 7 \ /2 —

4 - r

83.

(A + 4 )1

+ 4),/3(11jc2 + 12) 107. (a) 15.660.4 gal

(b) 390.7 gal

0.91 s

E c u a c io n e s y d e s ig u a ld a d e s

E valúa tu en ten d im ien to (página 90) F

5. identidad 6. lineal; de prim er grado í

3) (-4 ) 29. | —- j

7. F 8. V 9 .(3 ) 11.(—5) 13.1-1 15.1-1 17. ( -2 ) 19. ( 5| 21 ( -1 ) 23. ( -2 ) 25. |- 1 S | (2 9 ) l2 J l4 j 31. (-2 0 ) 33.(2) 35. (0.5) 37. j 39.(2) 41.(8) 43. (2) 45. (-1 ) 47.(3) 49. N o tiene solución 51. N o tiene solución

RESPU ESTAS

Sección 1.4

71. .v = — —

73. r = a 2

R3

201

75. ,i * 3

V3. | —6|

M - 39 J K, R; 79. K * - R X + R: h

77. R

' ‘ VvVl5 por el hbro.

ut r — ^ ~ il 81. S

e necesita o btener S \

65. |5.91)

67. (0.41)

69. .v =

a

n+ h

85. Su salario regular por hora

83. Se invertirán $ 11,500 en bonos y $8500 en CD .

89. El precio original era de $500.000; com prar el modelo ahorra $75,000. 91. La librería pagó 95. La longitud es de 19 pies; el ancho es de 1 1 pies. 9 7 . Judy paga $10.80 y Tom $ 7.20.

93. A s i e r o n 2187 adultos.

P ro b le m a s h istó ric o s ( p á g i n a 1 0 0 ) C l l arca de cada cuad rad o som breado es de 9. por lo tanto, el cuadrado más grande tendrá un área de 85 + 4(9) = 121. Ll área del cuadrado más grande tam bién esta dada por la expresión (v + 6): entonces (v + b): = 121. T om ando la raíz cuadrada positiva de cada lado, jr + 6 - l l o x = 5.

2. Sea ; - - 6 . entonces T + 12; - 85 - -1 2 1 . Obtenemos la ecuación n: - 121 = 0 o u2 = 121. Por lo tanto, u = ±11. entonces .t = ±11 - 6 . .v = -17 o a: =:

/

3.

hV

!

V +Ta)

=

| ( X b2 -

- 4a c

X b~

b

1

< y

) =

+ \ 4 : - 4a c \

('♦ .1 =

4ac\

2a

2a b -

4«‘ V _

2a

V b

2u

X

- b +

4,ic

b2 -

V b 5 - 4«cV

{— 2a— )

-b

i '

- V ? ' — 4nc

cu


( p á g i n a 10 1 )

6. discrim inante; negativo 7. F 8. F 9. (0,9) 27- { “ Í 2 }

25- { - | * Í }

41. (2 — V 2 . 2 + V 2 }

29. ( - 5 . 5»

10

65. (0.63,3.47)

10

67. (-2 .8 0 , 1.07)

77. { - V 3 , V 5(

3 1 .1 - 1 . 3 )

43. (2 — V 5, 2 + V 5 }

3 - V 29 3 + V29

55' { ~I’1}

I I . ( - 5 . 5)

77. { i }

13. ( - 3 , 2)

33. ( - 3 , 0)

45. j l , ^ |

35. ( - 7 . 3)

#1. { 4 f }

19. (2,6)

4

21. | | |

23.

-1 - V7 -1 + V7

37.

39. { —

-1 + V5

47. No tiene solución real 49. | ——

61.

69. (-0 .8 5 , 1.17)

17. ( - 4 , 4)

-i - v3

5, .

}

15. { - 3 }

- V 33 1 + V 5 3 Ì

9 - V 7 3 9 + V 73 Ì

63.

1

8

} } 51-K } 51 {;}

2

’

2

J

71. No tiene solución real 73. Solución real repetida 75. Dos soluciones reales diferentes

*3- { - ! • ! }

».'■{

-V 2 + 2 -V 2 2

- 1 - V I7 - 1 + v T 7 l

*7.

’}

2

2------ /

89‘ {5}

91. 2:5 metros. 12 metros. 13 metros; 20 metros, 21 metros; 29 metros 93. Las dimensiones son 11 pies por 13 pies. 95. Las dimensiones son 5 m por 8 m. 97. Las dimensiones deben ser 4 pies por 4pies. 99. (a) La pelota llega al suelo después de 6 s. (b) La pelota pasa por el techo del edificio en su caída después de 5 s. 101. Las dimensiones deben ser 11.55 cm por 6.55 cm por 3 cm. 103. El borde tendrá 2.71 pies de ancho. 105. El borde tendrá 2.56 pies de ancho. 107. La pantalla de una TV' de 37 pulgadas en formato 4:3 tiene un área de 657.12 pulgadas cuadradas; la pantalla de una TV de 37 pulgadas en formato 16; 9 tiene un área de 584.97 pulgadas cuadradas. La TV tradicional tiene la pantalla más grande. 109. Se deben sumar 36 números enteros consecutivos. , - b + V ¿ r - 4ac

- X b 2 - 4a c

-b

-2b

111. ---------------------- + ----------- ------------= ~ z ~ = —

2a

,

115. fl.f + 13

2a

2a

-b ± V b:

bx

- 4ac

,

+ c = 0, x = --------- ------------; a x ¿ - b

2a

’

. x

b a

1

1 2 2_______ b ± V ( - b ) 2 - 4a c

113. k = - o k = - -

_ + c = 0,x =

b ±

V b1

2a

4a c

± \ / b 2 - 4a c

—b

2a

2a

117. (b)

E v a lú a tu e n te n d im ie n to (página 111)

4. real; imaginaria; unidad imaginaria 5. (—2/, 2t) 6

8

21. 37

23. - + - /

49. 5/

51. 5/

«5. { - i -

25. 1 - 2/

53. ( - 2 / , 2/)

V 3.

1

27. | - 7~ i

55. ( - 4 , 4)

V3 |

2 + 2 ''

son conjugadas una de la otra

6. F 7. V 8. F 9. 8 + 5i 11. —7 + 6i

29. - i + ~ i

31. 2/

57. (3 - 2/, 3 + 2/)

67. (2, - 1 - V 3/, - 1 + V3/)

33.

35. /

59. (3 - /, 3 + /)

13. —6 — 11/

37. -6

39. - 1 0 /

1 .1

6L

69. ( - 2 , 2, - 2 /, 2/)

15. 6 — 18/ 41. - 2 + 2/ Í1

1.

,4 ~ 4*’ 4 + 4* 71. (-3 /, - 2 /, 2/, 3/)

17. 6 + 4/ 43. 0

2. 1

63- (.5 ~

19. 10 —5/

45. 0

47. 2/

2.1

5 + ? /

73. Dos soluciones complejas que

75. Dos soluciones reales diferentes 77. U na solución real repetida 7 9 .2 - 3/ 8 1 .6

8 3 .2 5

85. 2 + 3 / ohms

87. z + Z = ( a + b i ) + ( a - b i ) = 2a\ z - z. = ( a + b i ) - ( a - b i ) = 2bi 89. r + l í = (a + b i ) + ( c + d f ) = (a + c ) + ( b + d ) i = (a + c) - ( b + d ) i = (a - b i ) + ( c - d i ) = z + w 1.4 E v a lú a tu e n te n d im ie n to ( p á g i n a 117) 4. que no corresponde 5. de forma cuadrática 6.V 7.(1) 9. No tiene solución real 11. (-1 3 ) 13.(4) 1 5 .(-1 ) 17.(0,64) 19.(3) 21.(2) 23. | - j j 25,. (8)

27. ( - 1 , 3 )

49.• <{ -4

}

s,- H

29. (1,5)

31. (1)

2} 53- { ° 4 }

33. (5)

35. (2)

37. ( - 4 ,4 )

s5' 1161 57- 11159-

39. (0,3)

41. ( - 2 , - 1 , 1,2)

43. ( - 1 , 1)

45. ( -2 , 1)

47. ( - 6, -5 )

tó- { _2' 4 }

R4

RESPU ESTAS

67,. { - | H 85. 99.

Sección 1.4

69. { - ¿ , 2 ? }

87. {(). | . 3 } 220.7 pies

71. { - 2 . - | }

89. |0.34,ll.66|

7 3 .|- 3 .( U |

{o. ? }

75.

77. (-5 . 0. 4|

91.J-1.03. 1.03) 93. {-1.85. 0.17)

79. (-1 . I|

«I. |*2, 2. 3|

K . \ - l . \ . 2\

95. { ' . 5 j 97. U profundidad del pon» c%de 229.94 pte*.

103. - I es unn solución que no corresponde.

1.5 Evalúa fu en tendim iento (página 127) 3. negativo 4. intervalo cerrado 5. Propicdfidcs de la multiplicación 6. V 7. V 8. V 9.1- 10. V II. (0,2); 0 * x < 2 13. ( 2 , i 15. [0, 3); 0 S . ( < 3 17. (11) 6 < 8 (b) - 2 < 0 (c) 9 < 15 (0) - 6 > - 1 0 19. ( 11» 7 > 0 (b) - I > ~K (r> 12 > - 9 (d) - 8 < 6 21. (11) 2x + 4 < 5 (l>) 2x - 4 < - 3 (c) 6a + 3 6 (0) -4.» - 2 > - 4 29. í-o c .,-4 ) 27. [4. 00) 25. [4,6) 23. [0.4]

2

-f

33. - 3 <

31. 2 s . t s 5

39.

<

41. >

s

43.

<

45.

53. (.vl.v < 4) o ( - 00, 4)

47.

£

37. x < - 3

35. 2 2 4

< -2

------f--------------3

+ 5

2

a

-J

-1 >

49.

51.

2

57. [xlx > 3) o (3, 00)

55. (jcIjc a - I) o [ - 1 . 00)

----------------- 1----------

■4-

63. | a x s

65. [x\x < -20) o ( - 00 , -20)

o ^ - 00 , -

-2 0

-7 .v

s

s

---------------- 1-----------

-1

61. (xlx > -7) o ( - 7 , 00 )

69. |xl3

59. {xlx a 2| o ¡2. oo)

5) o [3,5)

71. |.v j £

a

£ 3

jo

73. j x | - y < * <

0 (_y y )

75- i-'1 -6 < * < ° i ° i - t - O )

n

'2 77. {xlx < - 5 ) o ( - 00, —5)

79. (xlx a - 1 ) o [ - 1 , 00)

81. j x | ^ s

a

<

°

83. j x j x < — } ° ( - x . - i )

-1

85.
101

/1 0

\

89. a = 3. b = 5 91. a = -1 2 . b = - 8

87. {xlx > 3) o (3 , 00)

•v > T j ° V T ’ 0 0 j

95. a = 7 . 6 = 1 97. a = 4.6 = 16 99. |xlx a -2 ) 101. 21 < Edad < 30

+

10 3

93. a = 3. b = 11

103. (a) Hombre a 76,6 años (b) Mujer a 81,03 años puede esperar vivir 4.43 años más.

(c) U na mujer

105. La comisión del agente varía entre $45,000 y $95,000, incluidos. Como porcentaje del precio de venta, la comisión varía de 5% a 8.6%. incluidos. 107. La cantidad retenida varía de $84.10 a $134.10, incluidos. 109. El consumo de electricidad varió entre 675 k\V • h y 2500 k\V - h. incluidos. 111. El costo del vendedor varía entre $15,254.24 y $16,071.43, incluidos. 113. (a) Necesitas al menos 74 de calificación en el quinto examen, (b) Necesitas al menos 77 de calificación en el quinto examen.

a+b

a + b - 2a

b- a

a

+

h

a+ b

,

2b

- a- b

b

-

a

a+b

115. - -- - - a = -------—----- = — 2 — > ° ; en,onces' a < — 2— ' b ------- 2— = --------2------- = — — > 0:en,onccs- b > — í — • 117.

(Vab)2 - a1 = ab - a2 = a(b - a) b' -

119.

,

( Vab)2 =

h- a=

2ab

a + b a

<

0; entonces (Vab)2 >

a2 y

a=

ab - a2 ----- —

a +b

a(b - a)

= ------— — > 0; entonces

b, entonces a - b

a +b

<

0 y

- < 0. Por lo tanto.

(página 132)

3. ( - 5 ,5 )

5. V 6. V 7. ( - 3 , 3)

4. (x l-5 <

a

< 5)

23. j - y y j

(.vi- 4 < x < 4); ( - 4 , 4)

-4

a.

■4-

2S- (—3, 3)

9. [ -4 . 1)

27. ( - 1 ,3 )

37- 1*1* < ~ 4 o .v > 4); ( -

-4

+

4

00,

b2- ab

b(b - a)

= --------— = -------- — > 0; entonces a+b a+ b

h < b.

— < 0 . o - - - < 0 . Entonces. - < - . v 0 < - porque b > 0. ab

1.6 E v a lú a tu e n te n d im ie n to

35.

>

2ab li > a. b - li = b ------ a+b

ab

21. No tiene solución

Vab

b2 - ab = b(b - a) > 0; entonces b2 > (Vab)2 y b > Vab.

— —r -

121. Como 0 <

>

ab

11. { - l . | }

b

a

b

13. ( - 4 . 4)

29. ( -2 , - 1 . 0 . 1 ) 31. j * . 4 j - 4 ) U (4,

00)

39. {.vil <

x

15. (2)

a

’

17- í ~ y . y }

b

1«. { - y . y }

33. { “y 0 }

< 3); (1. 3)

4

3

4l { , | - 5 s , ‘ 2H 4 i .

RESPU ESTAS

1]

o

8 ui

1 l

5

u

45.

2"°°

51.

H

O

4-

-f-

-i

fH -B M H

* < -r

53. (atI - 1 < x =£ 2); [ - 1 , 2] 4 -i

55. No tiene solución

9 4

57. Todos los números reales; ( - o o , oo) 59.

3 4

-7 < x c -

4-

- M

69. \ x + 31 > 2; x <

5 o x > -1

65. I.v

- * --------------

13.4| < 1.35; se leen entre 12.05 y 14.75 libros al año.

71. a = 2,6 = 8 73. a = - 1 5 , 6 = -7

-4

61. Todos los números reales; ( - 00, 00)

)

4 4/

-e

63. I.v - 98.61 a 1.5; .v £ 97.1 o x a 100.1

R5

47. {.vIjc < - 1 o x > 2); ( - o o , - 1 ) o (2, oo)

-1 < x <

-1

t 49. No tiene solución

Capítulo 1 Ejercicios de repaso

75.

a

J_

= - 1, 6 =

1-—

>■

, , 1 5 7 31 < - ; - < x < -

67. Ix

2 2

11. b - a = ( V b -

2

V a ) ( V b + V a).

C o m o V 6 - V a > 0, V a > 0, V b > 0, entonces b - a > 0, por lo tanto, a < b. 79. ( a + b )2 = a 2 + 2 a b + b 2 < lal2 + 2lall6l + I6I2 - (lal + 161) ; entonces, la + 61 s lal + 161. 85. {.vl.v £ - 3 o x a 3)

81. x 2 - a < 0; ( x - V a ) ( x + V a ) < 0; por lo tanto, —V a < x < V a .

87. (.vl-4 £ x £ 4)

89. (xlx < - 2 o x > 2)

83. (xl—1 < x < 1]

91. ( - 1 , 5}

1.7 E v a lú a tu en te n d im ie n to ( p á g i n a 140) 1. m odelo m atem ático 2. interés 3. movim iento uniform e 4. F 5. V 6. 100 - x 7. A = 7rr2; r = radio, A = área 9. A —s~; A —área, s —longitud de un lado 11. F — m a ; F —fuerza, m — masa, a = aceleración 13. W = F d \ W = trabajo, F = fuerza, d = distapcia 15. C = 150x; C = costo variable total, x = núm ero de lavaplatos 17. D ebe invertir $31,250 en bonos y $18,750 en CD. 19. Se prestaron $11.600 al 8% . 21. Se deben mezclar 75 Ib de té Earl G rey con 25 Ib de té O range Pekoe. 23. Se deben mezclar 160 Ib de nueces de la India con las alm endras. 25. La velocidad de la corriente es de 2.286 mi/h. 27. La velocidad de la corriente es de 5 mi/h. 29. K aren cam ina a 4.05 pies/s. 31. La cancha mide 78 pies de largo y 36 pies de ancho. 33. Si trabajan juntos les tom ará 12 minutos. 35. (a) Las dim ensiones son 10 pies por 5 pies, (b) El área es de 50 pies cuadrados, (c) Las dimensiones serían de 7.5 pies por 7.5 pies. (d)

El área sería de 56.25 pies cuadrados.

37. El defensa alcanza al receptor en la yarda 45. 39. Suma —gal de agua.

41. Se deben evaporar 10.67 oz de agua. 43. Se deben mezclar 40 g de oro de 12 quilates con 20 g de oro puro. 45. Mike rebasa a D an a —milla de la salida, 2 m inutos después de que M ike em pezó a correr. 47. Se debe encender a las 9:45 AM. 49. La tina se llenará en 1 h. 51. Corriste: 12 millas; en bicicleta: 75 millas 53. Lewis le ganaría a Burke por 16.75 m. 55. El precio inicial debe ser de $40. No habrá ganancia al 50% . 59. El viento en cola era de 91.47 nudos. E jercicio s d e rep aso ( p á g i n a 145) (1 ) fll) 1. (-1 8 ) 3 .(6 ) 5. j - j 7.(6) 9. No tiene solución real 11. ( 1 3 . 2 1 . 1 - 2 , - 1 . 1 .2 1

2 3 . |2 |

4i - B 3} j3- H }

25. { P }

27.

29. { | }

49.

-h 14

31

33

31 33

’2

2

’ 2’ 2

61. 4 + l i __ / 1 5‘ ( 2

2

,s's5

57.

-E-

VTT . 1_ *’ 2

5a 7

} 3x { - ? } 39- ' - « i

65 — - — / 10

V TT.1 /

x

< x <

3 2’

-7

59.

»•i

67. - 1

69. - 4 6 + 9i

71.

10

77 / i _ 12

53.

-h

4

2

35. {

51. (xl-23 < x < -7 ); ( -2 3 , - 7 ) -23

63. - 3 + 2 i

9b 2b

33. { 7 ^ ; . ^ }

33 2

31 "2

55. (xlx < - 2 o x > 7); ( - o o , - 2 ] U [7, oo)

4-

31. { - l . f }

(1 - V Í3 1 + V Í3 ) 15. | ----- —----- , — —----- j 17. ( - 3 ,3 ) 19. No tiene solución real

« - { - I- - 2'2}

47. (xlx > 14); [14, 00)

-2

f 3l |- 2 ,- |

i -

2

’2

+ —— / i 2

79. p = 21 + 2 w

X < - 1 OX > I K

- - . —i ) u g . . )

-i

\5

1 2 +

V3 . 2 '

} - B

vT7

I

-i + V nl ’ 4 J

81. El interés que se debe es de $630. 83. La torm enta está

J

3300 pies de distancia. 85. El avión de búsqueda puede viajar 616 millas^ 87. El helicóptero llegará a la balsa un poco antes d e 11^35 min. 89 F1 tren M etra va en nrom edio a 30 mi/h; el A m trak va en prom edio a 80 mi/h 91. A Clarissa le tomará 10 días hacerlo sola. 93. Agrega oz He amia 95 5 cm v 12 cm 97. Mezcla 90 cm3 de HC1 al 15% con 60 cm3 de HC1 al 40% para obtener 150 cm3 de HCI al 25%. 99 Le tom ará 2 h a la bom ba más pequeña. 101. Scott recibe $400,000, Alice recibe $300,000 y T rid a recibe $200,000. 103. Le tomaría 180 min o 3 h a la copiadora vieja. 105. El tren de carga mide 190.67 pies de largo.

R6

lti:Sl'U i:S T A S

Capitulo 1 Examen del capitulo

(página 147)

E x a m en d el ciip íln lo I. 1 ^ }

H.

2. |- 2 , 3 )

3. | 2,2)

4. I ^ J

5. (0.3)

6. | - 2 .

^ ,2 j

2 16

7. N o tiene solucíftn real

11.

10. ( - * » . - 1 ) U [ft. no)

- */

12.

3’ 3

4 ------- h

-I—

C A P ÍT U L O 2

13. Agrega ft ^ II» de calé de V tlh para obtener

-4

16 3

2ft J Ib de calé de *Vlb

G rá fic a s

(página 154) coordenada x a abscisa; coordenada en y u ordenada

2.1 Kviilúu tu e iite n d iiiiie iilo 7.

13. ( 11) Cuadrante II

(I») Eje.tr

8. cuadrantes

15. Los puntos estarán en una recta vertical que está a 2

(c) Cuadrante 111

(d) Cuadrante I

(e) Eje .y

( 0 Cuadrante IV

9. punto m edio 10. I IU l 12. V 29. d(A,U r / M , / () ) - V l3 17. V 5 29, 19. V io d(B.C) - 'V i 3 21 . 2 V 17 d(A.C) 23. VK5

(2,4) /> = (6,5)

f» R |J A = (-3.2 LU_ C = (-2,-2» t /■: = «i, -3 )

Í

HI (2,-I»

X

1

11 é 1 / = (6

27. V a 2 + V

(2. -3»

d(A.H)

33.

£ ” ¿5)

m

d(A,C)

= 2V 26 (V 2 6 )2 + (2 V 2 6 )2 = (V T 30)2

A = (-5.3 1

=

lV\l\d(P2, />,)

3. intersecciones

4.

y

“ • ( y ) 55

= 0

d(P\,Pi)

i < -.4 ,-3 »

63.

d

= 50rmi

^

<5.31

45. <3.- 1 3 M 3 . i l )

= 6; d(í‘:, / ' ,) = 4 .« /(/’,./* () “ 2 V 13. triángulo rectángulo

= V 3 4 ; í/ ( / , | . / , 1) = V34; triángulo rectángulo isósceles 59. 9 0 \ 2

(c) 3 0 V Í4 9 « 366.20 pies

2 .2 E v a lú a tu e n te n d im ie n to

<(4.21

= 5 42 + 52 = ( V 4T )2 Área = 10 unidades cuadradas.

47. (4 + 3 V 3 .0 ); (4 - 3 V 3 .0 ) 49. (1 .2 ) 51. V Í 7 ;2 V 3 ;V 2 9

(b) 5V5T6T s= 232.43 pies

ra

« = (6,») “ tu ir

37. ( *. 1J

35.14.0)

= 4

d (/i.C ) = V 4Í

Área = 26 unidades cuadradas.

d(PuP2)

13 unidades cuadradas. 2

A rca ’

11U

31. r /(/t,« ) = VÍ3Ü tl(llC) = V 26

57.

(V l3 )2 + í

25. V 53

/y,2.«, T*

p in // = (6,0)

4 * 1- t i i

65. (a) (2.65. 1.6)

127 28 pies

61. (■) (9 0 .0 (.(9 0 .9 0 ).(0 .9 0 )

(b) Aproxim adam ente 1.285 unidades

(página 164)

5. eje}'

6. 4

7. ( - 3 . 4)

8. V

9. F

10. P

11. ( 0 .0 )e s(á en la gráfica. Ue (0 .3 ) está en la gráfica.

15. (0 ,2 ) y ( V 2, V 2 ) están en la gráfica. 17. ( - 2 ,0 ) ,( 0 ,2 )

19. ( - 4 , ()),((), 8)

23. ( - 2 . 0 ) . ( 2 . 0 ) .( 0 ,4 )

21. ( - 1 . 0 ) . (1 .0 ). ( 0 . - 1 )

y “jr -x 1 - !

t

te1 + 4v = 36

37.

y, m u ís (a) = (0,3) (c) = (0,3) ; : 11: 1 |(0, -3) (19 = (0. -3) 111111

“*'?

31.

(c) = (-3, -4)

25S

:0 9 = 12, o

\ 35.

(c) ■ (-5.2).

5*

~ r~n

(a) = (-2, -II 1(c) •= (2, -I)

tm

m?

(u) = (3, -4)

39. (a) ( - 1 . 0 ).(1 .0 )

— n 15. -21

U 0 -I -5 .-2 I

|-X -41L (b) * iX -ai

“ (b) S,nK lnca con rcsfícc,° al

45. (a) ( - 2 , 0 ) , (0 ,0 ), (2 ,0 )

47. (a) ( ,v .0 ) .- 2 S i s

(b) Simétrica con respecto al origen.

43. (a) (0 .0 ) (b) Simétrica ocio respecto a| C)C .

*>c v 1

49. (a) N o tiene intersecciones.

(b) N o tiene simetría.

(b) Simétrica con respecto al origen.

55. ( - 4 .0 ) . (0, - 2 ) . (0 .2 ): simétrica con respecto al eje t. al origen.

5(»1 « i —X 4i j;u i * iX4i

9 ji ■ if. 2l

41. (a) í - " , 0 j . ( 0 , 1 ) .í " .O J

(b) Simétrica con respecto al eje .v. al eje y y al origen.

57. (0 .0 ): simétrica con respecto

59. (0 ,9 ), (3 .0 ), ( - 3 .0 ) : simétrica con respecto al eje y.

(0, —3). (0 .3 ); simétrica con respecto al eje v. al eje v \ al origen. simetría. origen.

S :»

ix*N . 1

33. ( - 2. n

(b) = (-3.4) (3.4C ■911 ¡IP

\ ¿r

y m - r 2 ♦ 4/

<0.-11 It ít ií 29.

* 3*

<•. 2l

( - 2. 01/

rn .T y f

r l_

„

\ j«. 4i

til

r(l,0)

m (-1.0)

27. ( - 2 , 0 ) , (2 .0 ), (0 ,9 )

25. (3 .0 ) .( 0 ,2 )

y

65. ( 0 ,- 4 ) . (4 .0 ). ( - 1 .0 ) : no tiene simetría. 69. (0 ,0 ); simétrica con respecto al origen.

61. ( - 2 .0 ) . (2 .0 ).

63. (0. 27). (3 .0 ); no tiene

67. (0 .0 ); simétrica con respecto al

RESPU ESTA S 75. /> = 13 77. a = - 4 o a = 1 79. (-1 ,-2 )

81. 4

Sección 2.3

R7

83. (a) (0,0), (2.0), ( 0 , 1). (0. —1)

(b) Simetría con el eje .v. 85. (a) y = V a2 «y y« = »¡..non la ic misma gráfica, „-.sí;,., = U | a | tienen

¿' = (b) \V/ a

(c) a* a 0 para y = ( V a)2, mientras que a p uede ser cualquier número real para v = a . (d) y a o para y = V a2

2 .3 E v a lú a tu e n t e n d im ie n to

^ l v indetinida;0

2. 3:2

**11. (a) Pendiente = \

2

3. y = b: intersección en y

4. V 5. F

13. (a) Pendiente = - -

15

^

(b) Si a crece

6. V 7.

m\

8. 2 9. —

- m2; intersecciones en y; m \ t n 2 = - 1

Pendiente = —— 17. Pendiente =

19. Pendiente = 0

21. Pendiente indefinida

3 unidades,

crecerá 1 unidad.

y disminuirá 1 unidad. U l-Ü . (-1 .-2 )

(-3, -i) (2,-1)

27.

29.

P=( 0,3)

P ~ (—1,3)

31. (2,6); (3,10); (4,14) 33. ( 4 ,- 7 ) ; (6 ,-1 0 ); (8 ,-1 3 ) 35. ( - 1 , - 5 ) ; ( 0 , - 7 ) ; ( 1 , - 9 ) 37.

39.

a

+ y = 2 o y = -

10. Falso

(b) Si a crece

2 unidades, y

(página 178)

a

+ 2

47. 2 a + 3y = - 1 o y = - |

a

41. 2 a - y = 3 o y = 2 a - 3

43.

- |

a

49.

a

- 2y = - 5 o y = |

a

+ 2y = 5 o y = - ~ x + |

+ |

- 2y = 0 or y = ^ a

45. 3 a - y = - 9 o y = 3 a + 9

51. 3 a + y = 3 o y = - 3 a + 3

55.

a

= 2; no tiene forma de pendiente ordenada

57. y = 2

63.

a

= 4; no tiene forma de pendiente-ordenada

65. 2 a + y = 0 o y = - 2 a

71. Pendiente = 2; intersección en y = 3

a

59. 2 a - y = - 4 o y = 2 a + 4 67.

a

a

- 2y = 2 o y = |

a

- 1

61. 2 a - y = 0 o y = 2 a

1 3 - 2y = - 3 o y = - a + -

69. y = 4

2

75. Pendiente =

73. Pendiente = 2; intersección

53.

intersección

77. Pendiente = - 2 ; intersección Pe en y = 2

85. Pendiente = 0; intersección en y = 5

intersección en y •ff

(0.5)(-4,0)

87. Pendiente = 1; intersección 89. Pendiente = - ; intersección 91. (a) intersección en a: 3; intersección 93. (a) intersección en a : -1 0 ; intersección

21 intersección en y: —

101. y = 0

99. (a) intersección en x: 5; intersección en y: -2

97. (a) intersección en a : 2; intersección en y: 3

95. (a) intersección en x: 3;

(b)

103. Paralelas 105. Ninguna de las dos 107. A - y = - 2 o y = A + 2

y

Fe (5, 0)

109.

(0, -2)H-H4

a

+ 3y = 3 o y = - |

a

+ 1

_ n n = P = (i 3), P 3 = ( - 1 , 0), m 2 = r ; como » uot2 = -1 , las rectas son perpendiculares y los puntos (-2 ,5 ), l l l t P \ — ( 2,5), i 2 a ’ 2 v ’ ■'* 2 Í1 31 v f- 1 01 son los vértices de un triángulo rectángulo; por lo tanto, los puntos P u P 2 y P> son los vértices de un triángulo rectángulo. 113 P

- í - , or r . (2 3)

m-

l; C , - ( 1 . - 2 ) . ^ -

(

«

.

«

.

-

-

~

^

"

* * * ~

' k ¿ J o s opuestos son paralelos , los lados advaeentes son perpendiculares; los puntos son los vértices de un rcctánuulo.

< « ■ » > • “ -> •

R8

RESPU ESTA S

Sección 2.3

115.

C = 0.20* + 29; $51.00; $75.00

117. C = 0.15* + 1289

119.

(a) C = 0.0944* + 10.55,0 < * < 600 121.°C = |( ° F - 32); aproxim adam ente 21.1°C 123. (a> y = - - - * + 30 (b) intersección con x: 375. La rampa toca el suelo a 375 pulg. (31.25 pies) de la base de la plataforma, (c) La rampa no cumple con los requisitos. Tiene una huella de 31.25 pies de largo, (d) La única pendiente posible para que la rampa cumpla con los del diseño es bajar 1 in por cada 12 in de huella. 125. (a) A = ~ x + 20,000

(b) $80,000

de $0.20 extra de promoción.

(c) Cada caja adicional requiere

127. Todas tienen la misma pendiente, 2, las rectas son paralelas.

kW-hr

(c) (e)

y i Ix - y = 0

$29.43 (d) $57.75 Cada kW-h adicional utilizado agrega $0.0944 a la factura.

¿x - y = 2

129. (b),(c),(e),(g) 131. (c) 137. No; no 139. Son la misma recta. 141. Sí, si la intersección en y es 0.

2 .4 E valú a tu en te n d im ie n to ( p á g i n a 185)

3. F

5. V 6. F

4. radio

7. Centro (2,1); radio = 2; (* - 2 )2 + ( y - l )2 = 4

x2 + y2 -

x2 + y 2 - 4 y = 0

4 = 0

y\

y

,

9. Centro ( j , 2 J ; radio =

15. ( x - 4 )2 + ( y + 3 ) 2 = 25; x 2 + y 2 - 8* + 6 y = 0

13. x 2 + ( y - 2 )2 = 4;

11. x 2 + y L = 4;

3

.

.

5 ^2

- -J

+ (y -

2 )2 =

17. ( x + 2 ) 2 + ( y - l )2 = 16; x 2 + y 2 + 4 x - 2 y - 11 = 0

X: (0,2),-

(0,0)

K A.

:;í

19. [ x - ~ ]

+ y ,2

x2 + y2 - x =

_

4’

21. (a)

(h,k) =

(b)

n

0

( 0, 0) \ r = 2

23. (a) ( h , k ) = (3,0); r = 2 TFF (3.0)

(0.0)-

v*

t-

(c) (± 2 ,0 ); (0, ± 2)

(c) (1± V 5 ,0): (0,2 ± 2V 2)

(c) (1,0); (5,0)

27. (a) ( h , k ) = ( -2 ,2 ); r = 3 (b) 2) s ' r V T

25. (a) ( h , k ) = (1,2); r = 3

(b)

33. (a) ( h , k ) = ( - 2 , 0 ) ;r = 2

6 —----------

(c) (3 ± V2T,0); ( 0, - 6), ( 0, 2)

(c) ( - 2 ± V 5 ,0); (0,2 ± V5)

35. x 2 + y 2 = 13 37. ( x - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 9 39. ( x + l )2 + ( y - 3 )2 = 5 41. (* + l )2 + ( y - 3 )2 = 1 43. (c) 45. (b) 47. 18 unidades2 49. x 2 + ( y - 139)2 = 15,625 51. *2 + .y2 + 2 x + 4 y - 4168.16 = 0 53. V 2 x + 4 y - 9V 2 = 0 55. (1,0) 57. y = 2 59. (b), (c). (e), (g) 2 .5 E v a lú a tu e n te n d im ie n to ( p á g i n a 191)

1. y = k x

2. F

1 3. y = - x ó

5. A = n x 2

250 1 7. F = —— 9. z = ~ ( x 2 + y 2) d

19. F = 6.67 X 10

2L P

= 0.00649# $941.05

5

11. M

9rf2

2Vx

23. 144 p i e s ; 2 s25. 2.25

13. r 2 = ^

d2

27. R = 3.95g; $41.48

15. V = ^4 3 29. (a) D

17. A = \b h 2 429 ----- (b) 143 bolsas P

31. 450 cm 3 33. 124.761b E je r c ic io s d e r e p a so

35. V = -rrr2h

37. 54.861b

39. ^6 « 1.82pulg.41. 2812.5 joules

43. 384 psi

(página 195)

1 . (a) 2V 5 (b) (2, 1) (c) ^

(d) Por cada huella de 2, se tiene una elevación de 1 .

(d) Por cada huella de 3, se tiene una elevación de -4 . 5. (a) 12 (b)

(4,2)

3. (a) 5

(b)

(C)

(c) no está definida (d) no hay cambio en *

9. (0,0); simétrica con respecto al eje *. 11. (± 4 ,0 ), (0, ±2); simétrica con respecto al eje 13. (0,1); simétrica con respecto al eje y . 15. (0,0), ( - 1 ,0 ), (0, - 2 ); no tiene simetría 17. ( x + 2 ) 1 + ( y - 3 )2 = 16 19. (* + l )2 + ( y + 2 ) 2 = 1

al eje y y al origen.

RESPU ESTAS

21. Centro (0 ,1); radio = 2

23. C entro (I, - 2 ) ; radio = 3

25. Centro (1, - 2 ) ; radio = V 5

\

t ti: :

(0.11 !

ROT t¡

m

Sección 3.1

27. 2.r + y = 5 o y = -2 .v + 5 29. x = - 3 : no tiene forma de pendiente-ordenada

11

31. x + 5y = - l O o y = - - x - 2

H

2

tx tm

<1. -2)

Intersecciones:( V 3 .0 ) . ( v 3 .0 ). ( 0 ,- t ) .( 0 .3 ) 4 7. P en d ien te-

R9

Intersecciones:(1 - V 5 ,0 ) ,( l + V 5 .0 ), Intersecciones:( 0 .0 ) ,( 2 ,0 ) ,( 0 ,- 4 ) ( 0 . - 2 - 2 v /2 ) . ( 0 , - 2 + 2 V 2 ) ^

intersección 39. Pendiente = - ; intersección 1 r en v = -

19

33. 2.v - 3v = - 1 9 o v = - x + —

±f(l.-2)

3 35. .v - y = 7 o y = * - 7

3

41. Intersecciones: (6 ,0 ), ( 0 ,- 4 ) 43. Intersecciones: (4 ,0 ), (0 ,6 ) 45 id

(-1 .-1 )

í y = X3

tttttd V ii.i) i (0,0) f x

_

20 + 125

145 - [í/(B, C )]2 (b) La pendiente de A a B es -2 ; la pendiente de A a C es

las lineas son perpendiculares. 55. a = 36 millones de millas

Examen del capítulo 1. d

2 V 13

2. (2.1)

Como ( - 2 ) ^

51. La pendiente de A a B es —1; la pendiente de A a C es -1 .

53. R = 3.59g; $40.21

( p á g i n a 197)

3. (a) m — —~

(b) Por cada 3 unidades que cambie x, y cambiará —2 unidades. 6. Intersecciones:

8.

7. y = - 2 x + 2

jc2

+ y 2 - 8.v + 6y = 0

( - 3 ,0 ), (3.0), (0.9); simétrica con respecto al eje y.

l!*;x

(1.-1)

9. Centro: ( -2 ,1 ); radio: 3 (-2.1)1

(3, -4) 10 Recta paralela:

2

y - --x -

Repaso acumulativo 1. | | |

2. { -3 .4 }

10. {1 - 2/, 1 + 2/}

1

3

- ; recta perpendicular: y = -jr + 3

11. 14.69 ohms

( p á g i n a 197)

3. { —| ’3 } 4- {1 — V 3 ,l + V3} 5. No tiene solución real 6 .(4 } 11. {.t|.r < 5} o (oo,5];

^

m

7. {1,3}

12. { .r|-5 < x < 1} o ( - 5 , 1 ) ; ----- <--------------------)------ ^

5

13. {.r|l s .r < 3} o [ 1 ,3 ] ; ------f---------------------}------^ 15. 5 V 3 ; ( | , i )

16. (a),(b )

-5

1

14. { x \ x < - 5 o x > 1} o (oo, - 5 ) 18. y = —2x + 2

17.

8. { - 2 - 2V 2, - 2 + 2V 2} 9. { -3 /, 3/}

19. y = - \ x + y

2’

<—i, -D 3

C A P ÍT U L O 3

F u n c io n e s y s u s g rá fic a s


(página 210)

5. independiente; dependiente 6. rango 7. [0,5] 8. ^ ; / . g 9. (g —f ) ( x ) 10. F 11. V 12. V 13 F 14. F 15. Función, dominio. {Elvis, Colleen, Kaleigh, Marissa}; rango: {8 de enero, 15 de marzo, 17 de septiembre) 17. No es una función. 19. No es una función. 2L Función; dominio: {1,2,3, 4};rango: {3} 23. No es una función. 25. Función; dominio: { - 2 , - 1 , 0,1}; rango: {0,1,4} 27.Función 29. Función 31. No es una función. 33. No es una función. 35. Función 37. No es una función. 39. (a) - 4 (b) 1 (c) - 3 (d) 3x 2 - 2x - 4 (e) - 3 x 2 - 2x + 4 -x (0 3-r2 + 8x + 1 (g) 12x2 + 4x - 4 (h) 3x 2 + 6 x h + 3 h 2 + 2 x + 2h - 4 41. (a) 0 (b) - (c) - - (d) (e) xz + 1 + h 2x X+ 1 43. (a) 4 (b) 5 (c) 5 (d) |x| + 4 (e) —|x| — 4 (f) |x + l| + 4 (g) 2|x| + 4 (h) (f) (g) x 2 + 2 x h + Ir + 1 4x 2 + 1 X2 + 2x + 2 4x + 1 2x + 2h + 1 2x + 3 (h) |x + h\ + 4 45 . (a) - i (b) - f (c) i (d) g y y (e) - j f z y ® (g) 6x (H) 3x + 3/r ' - 47. Todos los números reales 5 2 ' ' 8 49. Todos los números reales 51. {x|x ^ - 4 , x ^ 4} 53. {x|x * 0} 55. {xlx > 4} 57. {x|x > 9} 59. {x|x > 1} 61. {/|/ ^ 4,1 ^ 7}

RIO

RESPU ESTAS

Sección 3.1

63. (a) ( / + g ) ( x ) = 5 x + 1 ; Todos los números reales (b) ( / - g )(x ) = * + 7; Todos los números reales (c) ( / • * ) ( * ) = 6a2 - x - 12; Todo» los números reales (d) ( -f ) ( x ) =

(

a x

*

(e) 16 (O H

(g) 10 (h) - 7 65. (a, ( / + g ) ( x ) = 2jr2 + jr - 1 ; Todos ím números reales

\8 / 20 (f) -2 9

(e)

(f \

X ~~ \

g)(jr) = - 2 x 2 + x - 1; Todos los números reales (c ) ( f - g ) ( x ) = 2 a 3 - 2 x 2; Todos los números reales ( d ) ( j J ( x ) =

(b ) ( / -

(g) 8 (h) 0 67. (a) ( / + g ) ( x ) = V a + 3 x - 5; { x \ x a 0}

(c) ( f - g ) ( x ) = 3a V a - 5 V x; {x | a 2 0}

(x)

(d)

=3xV—I 5’

x 2

o, x

*

(b) ( / - g ) ( x ) = V x - 3x + 5; {x | a > 0}

1}

(e) V 3 + 4

69. (a) ( / + g )(x) = 1 + - ; {x|x * 0} (b) ( / - g )(x) = 1 ; { x \ x * 0}

(c) ( f - g ) ( x ) = \ + y

5 (c) -

(b) ( / - g )(x ) =

3 (f) 1 (g) -

(c) ( f ‘ g ) ( x ) =

(h) 2 71. (a) ( / + g )(x ) =

8a2 + 12a

x*=>

(3x — 2 )2 ’ - ( 2 a + /¡) + h - 1 79. — ------- — a2( a + h ) 2

0 ) l T )(•*) =

Jt?5 -

2a + 3 4a: ’

A * 0, A *

(e) 3

3x

(f) - 5

(g) V 2

(h)

{x |x * 0} (d) ( - ) ( * ) = x + 1; {x|x * 0}

a:

+ 3 í

-2x

6a + 3

{x | x * 0}

2\

r r \ x x ’13/

(0 “

(g) ^

(h) ^

73. g ( x ) = 5 - | x

1

— 83. A = - - 85. A = - 4 87. A = 8; no está definida en a = 3 89. A ( x ) = ^x 2 Va + h + Va 2 2 91. G ( x ) = 10a 93. (a) P es la variable dependiente; a es la variable independiente, (b) P(20) = 197.34 millones;en 2005 habían 197.34 millones de personas de 20 años o mayores, (c) P ( 0 ) =290.580 millones; en 2005 habían 290.580 millones de personas. 95. (a) 15.1 m. 14.071 m, 75. 4 77. 2a

81.

12.944 m, 11.719 m (b) 1.01 s, 1.43 s, 1.75 s (c) 2.02 s 97. (a) $222 103.

(a) P { x ) = -0.05x3 + 0.8a2 + 155a - 500

H x)

(b) $225 (c) $220 (d) $230 " • R ( x ) =

101. / / ( a ) = P ( x ) - / ( a )

(b) P(15) = $1836.25 (c) Cuandose venden 1500 teléfonos celulares, la ganancia es de $1836.25.

105. Solo h ( a ) = 2 a 3.2

E v a lú a tu e n te n d im ie n to ( p á g i n a 2 1 8 )

3. vertical

4. 5; - 3

—3 , 6, y 10

(e)

5. a = - 2

(f) - 3 <

(m) 0 ,4 (n) - 5 ,8

a

6. F 7. F 8. V 9. (a) /( 0 ) = 3 ; / ( - 6 ) = - 3

< 6; 10 <

a

< 11

(g) {a | —6 <

a

£ 11}

(b) / ( 6) = 0 ; / ( l l ) = 1 (c) Positiva

(h) ( y |- 3 < y £ 4} (i) - 3 , 6,1 0

(j) 3

11. No es una función. 13. Función (a) Dominio:{A |-77 £ x s 7r}; rango: {_y|-l s y £ 1}

(d) Negativa

(k) 3 veces

(1) Una vez

, 0^,

, 0 ^ , (0,1)

(b)

(c) e je y 15. No es una función. 17. Función (a) Dominio: {a | a > 0}; rango: todos los números reales (b) (1,0) (c) Ninguna 19. Función (a) Dominio: todos los números reales; rango: {y|y < 2} (b) ( - 3 ,0 ) , (3,0), (0,2) (c) eje y 21. Función (a) Dominio: todos los números reales: rango: {y\y

> -3 }

,1

(b) (1,0), (3,0), (0,9) (c) Ninguna (f) - 1

25. (a) No

«2>- M V )

23. (a) Sí (b) / ( - 2 ) = 9; ( —2 ,9)

( b ) / ( 4 ) = - 3 ; ( 4 ,- 3 )

(c) - 1 ,1 ; ( - 1 ,1 ) , (1,1)

(c) 14; (14,2)

(c)

(d) {a | a * 6}

(d) Todos los números reales (e) 0

29. (a) Aproximadamente 10.4 pies de alto (b) Aproximadamente 9.9 pies de alto

(c) 0,

(0, - 1 ) ,

(e) - 2

—1^ (d) Todos los números reales

(f) - j

27. (a) Sí

(f) 0

31. (a) A proximadamente 81.07 pies (b) Aproxim adam ente 129.59 pies (c) Aproximadamente 26.63 pies (d) A proxim adam ente 528.13 pies

h

(20, 3.6) vJ-J'ji 0 5 10 15 20 25 a

(d) La pelota no entrará en la canasta; /j(15) ~ 8.4 pies. Si v = 30 pies/s, /z( 15) = 10 pies. 33. (a)

500

(b)

X 50 100 150 200 250 300 X=0

1000

(f) A proximadamente 115.07 pies y 413.05 pies (g) 275 pies; la altura máxima que se muestra en la tabla es de 131.8 pies (h) 264 pies Vi ERROR B25 470 355 300 269 250

____________

35. (a) 3

(b) - 2

(c) - 1

(d) 1 (e) 2

(f)

37. Las intersecciones en a pueden ser cualquier número desde 0 hasta un número infinito. Por lo menos existe una intersección en _v. 39. (a) III

(b) IV

(c) I

(d) V

(e) II

(c) 600 mi/hr 43. (a) Pasaron 2 h en las que Kevin estaba entre 0 y 3 mi de su casa (b) Pasaron 0.5 h en las que Kevin estaba a 3 mi de su casa (c) Pasaron 0.3 h en la que Kevin estaba entre 0 V3 mi de su casa (d) Pasaron 0.2 h en las que Kevin estaba a 0 mil de su casa (e) Pasaron 0.9 h en las que Kevin estaba entre 0 y 2.8 mi de su casa (f) Pasaron 0.3 h en las que Kevin estaba a 2.8 mi de su casa (g) Pasaron 1.1 h en las que Kevin estaba entre 0 y 2.8 mi de su casa (i) 2 veces 45. No puede haber puntos en la gráfica cuya coordenada a sea 5 o cuya coordenada y sea 0.

RESPU ESTAS 3 .3

6.


creciente

7. par; im par

Sección 3.4

R11

(página 230)

8. V 9. V

10. F

11. Sí

13. No

15. ( - 8 , - 2 ) ; (0 .2 ); (5. oo)

17. Sí; 10

19. - 2 . 2; 6.10

P ’0 (b) d « ü :(. v| - 4 < , < 4 6 o [-4 ,4 ]; rango: {y|0 s y < 3} o [0,3] (c) Creciente en ( - 2 ,0 ) y (2,4); ecreciente en ( , - ) y (0,2) (d) Par 23. (a) ( 0 , 1) (b) Dominio: todos los números reales; rango: {yly > 0} o (ü, oo) (c) Creciente en oo, oo) (d) Ninguna 25. (a) (-7 r, 0), (0 ,0 ), (7r, 0) (b) Dominio: { .v |- 7r £ ,v £ 7r} o [—77-, ir]; rango: { y |- l s y < 1} o [—1,1]

(c) Creciente en ( - y . y ) : decreciente en

$

£ 3,3], rango. 5 \ |

* 29. (a) 0 ,3

(b)

1 s y — 2} o [ -1 ,2 ]

2 ,2 ,0 ,0

31. (a) y ; l

y ( f - 71-)

(d) Impar 27. (a) ( ° , | ) ,

( |,° )

(b) Dominio: { .r|-3 < r < 3 ) o

(c) Creciente en (2,3); decreciente en (-1 ,1 ), constante en ( - 3 ,- 1 ) y (1,2) (b) —y ; —1 33. Impar 35. Par 37. Impar

39. Ninguna

(d) Ninguna

41. Par 43. Impar 45. Máximo

absoluto: / ( l ) = 4; mínimo absoluto: /( 5 ) = 1 47. Máximo absoluto: /( 3 ) = 4; mínimo absoluto: /( 1 ) = 1 49. Máximo absoluto: no tiene, mínimo absoluto. f ( 0) = 0 51. Máximo absoluto: no tiene; mínimo absoluto: no tiene 53.

55.

57.

Creciente: ( - 2 , - 1 ) , (1 ,2 ) Decreciente: ( - 1 , 1 ) Máximo local: ( - 1 . 4 ) Mínimo local: (1,0)

Creciente: ( - 2 ,- 0 .7 7 ) , (0.77,2) Decreciente: (-0.77,0.77) Máximo local: (-0.77,0.19) Mínimo local: (0.77, -0.19)

Creciente: (-3.77,1.77) Decreciente: ( - 6 ,- 3 .7 7 ) , (1.77,4) Máximo local: (-1 .7 7 ,-1 .9 1 ) Mínimo local: (-3.77, -18.89)

Creciente: (-1 .8 7 ,0 ), (0.97,2) Decreciente: ( - 3 ,- 1 .8 7 ) , (0,0.97) Máximo local: (0,3) Mínimo local: (-1.87,0.95), (0.97, 2.65)

61. (a) - 4 71.

(b) - 8 (c) - 1 0 63. (a) 17 (b) - 1 (c) 11 65. (a) 5 (b) y = 5* - 2 67. (a) - 1 (b) y = - x 69. (a) 4 (b) y = 4 x - 8 (a) Im par (b) V alor máximo local: 54 en x = - 3 73. (a) Par (b) Valor máximo local: 24 en x = - 2 (c) 47.4 unidades cuadradas

75. (a) 2500

77. (a) En promedio la población 79. (a) 1 (b) 0.5 (e) 0.001 crece con una tasa de 0.036 g/h de 0 a 2.5 h. (f) (b) En promedio, de 4.5 a 6 h, la población crece con una tasa de 0.1 g/h. (c) La tasa de cambio promedio crece con el tiempo.

40 (b) cortadoras de pasto/h

(c) 0.1

(g) Se acercan a la recta tangente en (0,0). (h) Se acercan a 0.

(d) 0.01

■ 0.ir : O.Lr : 0.0Lr : 0.00U

(c) $239/cortadora de pasto 85. (a) 4 x + 2h - 3 (b) 2; 1.2; 1.02; 1

83. (a) 2 x + h + 2 (b) 4.5;4.1;4.01;4

81. (a) 2 (b) 2; 2 ; 2;2

(c) y = 1 .02.r - 1.02

(c) y = 4.01* - 1.01

(c) y = 2.v + 5

10

(d)

10

(d)

(d)

1

87. (a)

( jc + h ) x

... _2. _10. J 0 0 . ( * 3’ i r io r

100 (c)

10

y

(d)

-5

j 1 91. A lo mucho una.

93. Sí; la función f ( x ) = 0 es par e impar.


4. ( - 00,0 )

95. No necesariamente. Solo quiere decir que /( 5 ) > /( 2 ).

(página 241)

5. definidas por partes

6. V 7. F

8. F

9. C

11. E

13. B

15. F

21.

19.

(í.D

(-1,-1)

25. (a) 4

(b) 2

(c) 5

27. (a) - 4

(b) - 2

(c) 0

(d) 25

201

= “ ToT* + T o l

R12

KICSPUESTAS

Sección 3.4

29. (n) Todos los números ruiilud

.31. (n) Todos los números i fules

o») ( o .i)

(c)

(c)

.3.3. (n) {*1* -* 2 } ; \
.35, (a) lodo» lo» número» reate»

2

00 (

1 ,0 ), (0 .0 )

<0

,1

IIP

(0. M i i • fí'

(il) (yly / 0} ; ( - oo, 0) U ( 0,
(d) ( yly < 4 , y - 5 j ; (

(
í -*

(c)

jU

0

*H*»*lcn<»ira»rc»pucs»a»|*»*iWe»)

(l.níMcn otras rcspucsTo» posibles )

s 2

45. (») 2 ,3 (c) 4 47. (o) $39.99 (b) $46 74 Ir) VIO 44 49. (a) $52.45 (b) $277.36 (0.73006* + 15 95 síO s * ■& 50 (C) ( (* ) 10.4998* 27 463 m * > 50 (d) r

♦v tt

s ií s 0 tífi< x

2 XA +

I

ü¡

i

(
(d) (yly > ());((), oo) (c) Discontinua en x = 0

#¡ ( ) < ^ s 2

4.3. f ( x ) - ,

id ) I odo* lo» número» reates

*í - 1 s * * 0

.37. (a) (xlx z - 2 , x t- ()}; [ —2. «)U (0. oo) 39. (u) lodos los números reales 41. /(*) - ^

'» ,4 ) U ( 5 }

(c) Discontinuo en * » 1

(100. 71.Mí <7».5t4.»l 1«. 15.051

loo V

0. 10* si 835 + 0.15 (x 4675 + 0.25(x 51. Para el esquema X: / ( * ) = < 16,750 + 0.28(x 41,754 + 0.33(x -

- 8350) 33,950) 82.250) 171.550)

si si si si

108,216 + 0.35(x - 372.950) si

y

0 < * £ 8350 \

8350 < x •£ 33.950 33,950 < * £ 82.250 82,250 < * £ 171.550

Í 100

171.550 < * s 372.950 .* > 372,950

(0.0) Ilhlnru lauIU.1 (h)

.v 10 30 50 70

55. f ( x ) =

si 0£ si IO S si 500 £ si 1000 s si * a

* < 10 *<500 * < 1000 * < 1500 1500

57. (u) I0°C (l>) 4 C 59. (c) -3 °C (d) - 4 ’C (c) El factor de enfriamiento del viento es igual a la tem peratura del aire. (0 Si el viento tiene una velocidad mayor que 20 m/s, el factor de enfriamiento del viento solo depende de la tem peratura del aire.

275

■? m

C (x) = 10 * 0.4*

1.17

0 < * £

1.34 1.51

2 < x £

(c) C (* ) = 70 + 0.25*

1 < * £

1.68

1.85

3 < * £ 4 < * £

2.02

5 < x £

C(.r) = < 2.19

6 < x £

2.36

7 < * £

2.53

8 < x £

2.70

9 < * £ 10

2.87 3.04

10 < r £ 11 11 < * £ 12

U .2 1

12 < * s 13

£

t-ifse.____________ „ i 4 * I HU « rno l o u ,.

61. Cada gráfica corresponde a la de y = .r . pero corrida horizontalmente. Si y = (x - k ) : . k > 0. el corrimiento es de k unidades a la derecha; si y = (* + k ) : , k > 0, el corrimiento es de k unidades a la izquierda. 63. La gráfica de y = - / ( .r ) e s la reflexión en el eje* de la gráfica de y = /( * ). 65. Sí. La gráfica de y = (x - 1)’ + 2 es la gráfica de y = x 3corrida I unidad a la derecha y 2 unidades hacia arriba. 67. Todas tienen la misma forma. Las tres pasan por los puntos (-1, -1 ), (0,0) y (1.1). Conforme crecen los expolíenles, la gráfica se hace más empinada (excepto cerca de * = Oí. 3.5

Evalúa tu en ten d im ien to ( p á g i n a 2 5 3 )

I. horizontal; derecha 2. y 3. vertical; arriba 4.V

5. F

6. V 7. B 9. 11 11. I 13. L 15. F 17. G

19. y = (* - 4)*

23. y = - x 3 25. y = 4 *3 27. v = - ( ' ' / - * + 2) 29. y = - V * + 3 + 2 31. (c) 33. (c) 35. (a) - 7 y 1 (d) - 3 y 5 37. (a) ( - 3 . 3 ) (b) (4.10) (c) Decreciente en ( - 1 , 5 ) (d) Decreciente en ( - 5 . 1 ) 39.

,,

45. 5 •i ::::: i m s » tu. u ni. 2 i

<-I.il>'

~

Dominio: ( - o o . oo) Rango: [ - 1 , oo)

(b) - 3 y 5

Dominio: ( - o o , oo); Rango: ( - o o , oo)

n

/IfílS Dominio: [2. oo); Rango: [0, ce)

Dominio: ( - c e , oo); Rango: ( - o o , ce)

Dominio: ,0. -v); Rango: [0. a.')

21. y = (c) - 5 y 3

4

RESPU ESTAS *».

i

I I - I .I ) w j (-«■_}> \ 1) 1 . . », I . W. 1 t*., , . 1: \ )». -ii )* * f » *I¡(i.- i) Dom inio: ( - X ', x );

(-

Rungo;

v. v)

55.

(-2. Ol\ T Í tm 5

(O, -2) |

m m Dominio: [ 2. oj ); Rungo: [ I. oo) 63. (u)

F(x)

I

Dominio: (-o o ,() ] ;

Dominio: ( - oo. oo);

Rango: [ - 2 . oo)

Rango: ( -c w , oo)

= / ( v) + 3

(b)

G(x)

FBI , ,u->

Dominio: ( - o o , oo);

Rungo: [0. oo)

Rango: { vi v es un número entero par}

(d) H(x) - / ( Jt + I) - 2 ?. í

i-t.») (I.#)

V

» (X -21 / ¿¿4 l-S. -4) t ► w -44• ►»*•»».4 (b)

G(x)

-

f(x

+ 2)

á te m

(e> (?(.t) = - / ( x )

«o

g(x)

=

n-x)

(c) P( X) = -/(Jt)

(d) / / ( a ) = / (

a

f(x

f 2)

M

i

TÍ m

(4,0) i • (0, I«'« -2) »1 (2, -2) m í 4444+4

V

iI

I

65. (u)

(-4.2)

(- 6. - 21Í b

(R) /!(.») = / ( 2.V)

F(x)

= /( .r ) + 3

I W fí'p fl (I). 2) • 0.2) )4-t-t-H

l i l i / ’ (2.01 T

[4444-4 (4.-2) ttt -H4+H

;r; fH ixíiixJ -ttiü

/

í

f it t i * HTtB (-2.2) (». 2i ; ttt (-4.1))

5 (0. 1 ) (2. 1 ) 1-4.-D |4.U)‘.< t

=

(- 2. 2) (l). 2)

-4 ,1 )/ T , ¡ Dominio: ( - oc, oc );

R13

57.

fffiír (-■1,01 Dominio: ( oo, oo); Nango: [ - 3 , o c)

Sección 3.5

(-2 .-2 )

m iti

+ I) - 2

(•-•)
„ A V

11 : ; rp

-V

( - tt. o) :

TtT? t /»2,-!

í(M)

(-H Í

(R) M -0 = f ( 2 x )

(2.3) í \ (-2, l)l

H.1)

'

(-1 .-1 )

:±

t e ;

(U.O) T í

44 fFTFr t +

77. (u) 72°F;65 F (b) La tem peratura disminuye 2° a 70° F

75.

durante el día y 63° F durante la noche.

(c) El tiempo en el que se ajusta la tem peratura entre el día y la noche se recorre a 1 hora antes. Empieza a calentar a las 5:00 am en lugar de a las 6:00 AM y empieza a enfriar a las 8:00 pm en lugar de a las 9:00 pm.

- 76

£ 72 » 6S i

l i

£.64 ÍÍ§ ÍL i 60 * t Í 14 [i ITÍ-i-H 0 5 10 15 20 25 1 Tiempo (horas después de la media noche)

Tiempo (horas después de la media noche)

10% de impuesto (c) Y i es la gráfica de p(.v) corrida 10,000 unidades verticalmente hacia abajo. Y 2 es la gráfica de p(.v) comprimida verticalmente por un factor de 0.9. 10% impuesto (b)

0 ¿#0 310 350

85. (a) ( - 4 .2 )

V

83. (a)

25

H v j.

- 1, 1)

(i. 1144

rr X

W2 X

it

SSe

2000

K

(b) ( 1 ,- 1 2 )

(c) ( - 4 .5 )

87. La gráfica de y = / ( a ) - 2 es la gráfica de y = / ( a ) corrida 2 unidades hacia abajo. La gráfica de y = / ( a - 2 ) es la gráfica de y = / ( a ) corrida 2 unidades hacia la derecha.

RI 4

RESPU ESTA S

Sección 3.6

3.6 E v a lú a tu entendim iento (página 260)

1 . (a)

3. (a)

= V x 4 - 15a:2 + 64 _ (b) d ( 0 ) = 8 (c) r/(l) = V5Ö * 7.07 d(x)

il(x)

5. A ( x ) = ] : x 4 7. (a) A ( x ) = x (!6 - x2)

/ (b) Dominio: {jc|0 < x < 4} (c) El área es más grande cuando x * 2.31. .vi

= V x2 - x + 1

(d)

10

(c) el es más pequeña cuando x - 0.5.

-5

(e) d es más pequeña cuando x ~ -2.74 o í * 2.74 9. (a) A ( x ) = 4 x V 4 - a:2 (c) A es más grande cuando x « 1.41.

^

(b) p ( x ) = 4 x + 4 ^ 4 - x 2

11.

/ v

i

V

. 25 - 20 jt + 4x2 7r

(a) >4( jc) = j r + --------------------

(d) p es más grande cuando x ~ 1.41.

(b) Dominio: {x|0 < jc < 2.5} (c) /I es más pequeña cuando x « 1.40 m.

10

8

13. (a) C ( jc) = a: (b) A(x) =

£ ;

15. (a) A (r) =

/-------;------------------

19. (a) d { t ) = V 2500 i 2 - 360/ + 13

(b)

d

21 .

V(r) =

es más pequeña cuando t ~ 0.07 h. 5

E je r c ic io s d e r e p a so

(b)

2r2

(d)

= 6r

17. A(x) = ( y - ^ ) x 2

7tH ( R — r )r 2 12 — a \ / x2 + 4 , ----- — — — 23. (a) T ( x ) = — - — + — —----- 25.(a) V ( x ) = x(24 - 2x )2 R (b) 972 pulg? (c) 160 pulg .3 (b) {xIO < x < 12} (d) V es más grande cuando x = 4. (c) 3.09 h 1100 (d) 3.55 h

(página 265)

1 . Función; Dominio { - 1 ,2 ,4 ) , rango {0,3} 3. (a) 2 (b) - 2 (c) V x 2 - 4

p(r)

-V x 2

- 4

(e) V x 2 - 4x

(f)

2Vx2

- 1

3x (c) — x2 - 1

(d) -

3x x2 - 1

7. (a) 0 (b) 0 (c)

(d) XT

9. {x|x * - 3 , x * 3}

11. {x|x £ 2}

13. {x|x > 0}

3(x - 2 ) (e) - r x- - 4x + 3 x2

- 4

^

(0

6x 4x-

- 1

(e) — — ^

(jf — 2)“

X¿

5. (a) 0

(f)

(b) 0

— X~

15. {x|x * - 3 , x * 1}

g ) ( x ) — 2 x + 3, dominio, todos los números reales 1 9 . (y + g )(x ) = 3x 2 + 4x + 1; dominio: todos los números reales ( / ~ g )(* ) = —4x + 1; dominio: todos los números reales „w ■. _ 1 j i o , , . ■■ . j , 1 ' 7 , ( / - g )(x ) = 3 at - 2x + 1; dominio: todos los números reales i f ' g ) ( x ) ~ ~3x + 5x + 2; dominio: todos los números reales ( / ' £)(■*) = 9x 3 + 3-r2 + 3x; dominio: todos los números reales

17. ( / +

f\

— (a) = gJ

2 - x

t

3x + 1

21. ( / + g ) ( x ) =

f ,

1

domini o: < x x ^ - l 3

+ 2x - 1 ; dominio: {xlx 5* 0, x * 1 } x(x - 1 )

x2

©

(x) =

3x 2 + x + 1 dominio: { x \ x 3x

0}

23. - 4 x + 1 - 2/i 25. (a) Dominio: { x |—4 £ x £ 3}; ra n g o : { y |- 3 £ (b) (0,0) (c) - 1 (d) - 4 (e) {x|0 < x £ 3}

x2 + 1 ; dominio: {xlx ^ 0, x ^ 1 } x(x - 1 ) X+ 1 ( / * * ) ( * ) = x(x - 1 ) ; dominio: {xlx ^ 0, x & 1 } ( / - * ) (* ) =

f \ x(x + 1 ) — )(*) = -------- :—; dominio: {xlx # 0, x * 1 } g) x - 1 J

27. (a) Dominio: { x |—4 £ 1 < 4} o [—4,4] Rango: { y |- 3 £ y £ 1} o [-3 ,1 ] (b) Creciente en ( - 4 , - l ) y (3 ,4 );decreciente en ( —1,3) (c) Valor máximo local es 1 y se da en x = —1. Valor mínimo local es - 3 y se da en x = 3.

(d) Máximo absoluto:

/ ( —1 ) = 1 Mínimo absoluto: /( 3 ) = -3 (e) No tiene simetría (f) Ninguna (g) Intersecciones en x: - 2, 0,4: intersección en y: 0 29. Impar 31. Par 33. Ninguna 35. Impar

y

£ 3}

RESPUESTAS 37.

20

41. (a) 23

(b) 7

Capítulo 3 Examen del capítulo

(c) 47 43. - 5 53.

45. -1 7

47. No

R15 49. Sí

1

—3

7 1

-20

V alor máximo local: 4.04 e n r = -0.91 .Valor mínimo local: -2 .0 4 en x = 0.91 Creciente: ( - 3 ,- 0 .9 1 ) ; (0.91,3) D ecreciente: (-0 .9 1 ,0 .9 1 )

Valores mínimos locales:- 0.54 en y -3.5 6 en x = 1.80

jc

= - 0.34

Creciente: (-0.34,0.41); (1.80,3) Decreciente: ( - 2, -0 .3 4 ); (0.41,1.80) 61. (-3,2)

Intersecciones: ( - 4 , 0), ( 4 , 0), (0, - 4) Dominio: todos los núm eros reales Rango: (y |y > - 4 } o [ - 4 , oo)

Intersección: (0,0)

Intersección: (1,0)

Dominio: todos los números reales Rango: { y \ y < 0} o ( - o o , 0]

Dominio: {x|x > 1 } o [1 ,° ° ) Rango: [ y \ y > 0} o [0, oo)

65.

67. (a) {x|x > - 2 } o ( - 2 , oo) (b) ( 0, 0) (c)

,

(0, i)=p (1. ó)

Intersecciones: (0,1), (1,0) Dominio: {x|x < 1} o ( - o o , 1 ] Rango: { y \ y s 0} o [0, oo) 69. (a) {x|x = (b) (0, 1 )

4} o [ -4 , oo)

(c)

(1,3).. (2,3)

i

(0,1)

Intersección: (0,3) Dominio: todos los núm eros reales Rango: {y|y > 2} o [2, oo)

■fJ x

(-4, -4)

Intersecciones: (0, -2 ), 9 01-—f^.—, o 0) ), o aproximadamente

(-2, -6)

(0.3,0)

Dominio: todos los números reales Rango: todos los números reales 71. A = 11

a (1,3)

(d) { y \ y > - 6} o ( - 6, oo) (e) Discontinua en x = 1

(d) { y |-4 < y < 0 o y > 0 } o [ - 4 ,0 ) U (0, oo) (e) Discontinua en x = 0

73. (a) A ( x ) = (8.5 - 2 x ) ( ll - 2 x ) 75. (a) A ( : c) = lOx - x 3 (b) 0 < x < 4.25,0 < A s 93.5 (b) El área máxima que se puede encerrar en este rectángulo (c) A { 1) = 58.5 pulgr, A ( 1.2)= 52.46 pulg .2 A ( 1.5) = 44 p u lg / es de aproximadamente 12.17 unidades cuadradas. (d) ion

E x a m e n d e l c a p ítu lo

(página 268)

1. (a) Función; dominio: {2, 4, 6, 8}; rango: {5, 6, 7, 8} (b) No es una función (c) No es una función (d) Función; dominio: todos los números reales; rango: { y \ y > 2} 2. Dominio: j x x < 5. (e)

= 3 3- Dominio: (x |x * - 2 } ; g ( - l ) = 1 4. Dominio: {x|x * - 9 , x ^ 4 } ; / / ( - l ) = J

(a) Dominio: { x |- 5 < x < 5}; rango: { y |- 3 s j i < 3) (b) (0,2), ( - 2 ,0 ) , y (2,0) (c) /( 1 ) = 3 (d) x = - 5 y x = 3 { x |-5 s x < - 2 o 2 < x ^ 5 } o [ - 5 , - 2 ) U (2,5] 6. Valores máximos locales: /( - 0 .8 5 ) ~ -0.86; /(2.35) « 15.55; valores mínimos locales:

/( 0 ) = - 2 ; la función es creciente en los intervalos ( - 5 , -0.85) y (0,2.35) y decreciente en los intervalos (-0 .8 5 ,0 ) y (2.35,5). (b) (0 - 4), (4,0) 8. 19 9. (a) ( / - g )(x ) = 2x 2- 3x + 3 10. (a) x* (b)

(C)í(-S)--» (d)

U

(b)

g (2 ) = - 2

(a) Se d¡0 en 1997 (x « 5) y fue de 8.67%.

12. (a) V ( x ) = £_ _ — + — 4 64 8

(/.Í)W -

(C) / ( x +

h)

-

- tí/ ( x ) = 4xh + 2 h 2

3** - 2 (-> 7 #

(b) El modelo predice que la tasa de interés será de -10.343%. Esto no es razonable.

(b) 1297.61 pies 3

x

RI 6

RESPU ESTA S

Capitulo 3 Repaso acumulativo

KepiiNo n ciin iiiliilivo (página 269)

I.W

I. {<».;'} 3 - ) - ' . * )

{ i - i } s8. {x|l

7. V, X <

< x <

'-{i} 4 } ;( 1.4 )

9.

í - 2 o t »

{;

-2

1(1. (u) distancia: V 29

(I») punto medio: Q . - 4^

(c) pendiente: - * 15. Intersecciones: (0, -3 ). (- 2 ,0 ) , (2.0); simétrica con respecto al eje y. 16.

C A P ÍT U L O 4

F u n c io n e s lin e a le s y c u a d r á tic a s

4.1 E valú a tu e n te n d im ie n to

7. pendiente; intersección y 13. (a)

m =

+5

y "

(página 278)

8. - 4 ; 3

15. (a)

2; b = 3

m -

9. positiva

10. V 11. F

-3 ; b = 4

12. F

17. (a) m = , \ b = - 3 4

19. (a) m - 0; fe ■ 4

21. Lineal: - 3 23. No lineal 25. No lineal 27. Lineal; 0

(b> CIJ K 10.41 H it;

r*«

Ubi: (c) 2

(d) Creciente

0 (c) 4

29. (a) J (c) 1

(b) {.v .v > ^ } o Q , (d) {x|x

(e)

s

1}

o

oo)

(- o o , 1 ]

31. (D 35. (d)

(a) 40 {.v| —40 (a) - 6 {xlx &

(d| Constante

(d) Creciente

(b) 88 (c) -4 0 (d) {x|x > 40} o (40. cc) (e) {xix £ 8 8 } o ( - o c . 8S) < x < 8 8 } o (-4 0 .8 8 ) 33. (a) - 4 (b) {xlx < -4} o ( - o c . - 4 ) (b) {.v| —6 £ x < 5} o | - 6 . 5) 37. (a) $45 (b) 180 mi (c) 260 mi 0} o [0 , oo) 39. (a) $16; 600 playeras (b) SO £ p < $16 (c) El preoo incrementara.

ÍR ffl

Id. i)

4V1= «(•>•) a

>t=.i /(-» i i iT/ U

4L (a) {.v18350 £ x < 33,950} o [8350.33,950] (b) $2582.50 (c) La variable independiente es el ingreso

43. (a) x = 5000 (b) x > 5(XX)

45. (a) V'(x) = - lOOOx + 3000 (b) {.r|0 £ x £ 3} o [0. 3]

47. (a) C(x) = 90x + 1800

neto ajustado, x. La variable dependiente es la factura por impuestos, T. (20.000,2582.50)

«O a

\

(33,950,4675)

(c) $3060 (d) $10 0 0 12,00« 30,000 x Ingreso neto ujustudo

(e) $27,500

(c) Después de 1 año

(d) 22 bicicletas

RESPU ESTA S 0.07.V + 29

53. (d ),(e )

100 200 M H\

Prtdo (clolarv*)

R17

Sección 4.2

(|.) $36.70; $45.10 55.

b=

0;

si,f(x)

=

b

p Precio (dólares)

(b) Com o cada entrada (precio) corresponde a una sola salida (dem anda), sabemos que la dem anda es una función del precio.

(0 Si el precio se incrementa en $1, la demanda de monitores LCD de 24'' disminuye en 0.4 monitores.

A dem ás, com o la tasa de cambio promedio es una constante, -0.4 monitores LCD de 24" por dólar, la función es lineal.

(g) Intersección en q: cuando el precio es $0, la demanda será de 160 monitores LCD de 24": habrá una demanda de 0 monitores LCD de 24" cuando el precio sea $400.

(c) ) = -0.4/> + lbl) (d) {/>|ü 0

7. Relación lineal,

11. (a)

(c)

(b) Las respuestas varían. Usando (4 ,6 ) y (8,14), y = 2 x - 2.

13. (a)

m

<0

9. Relación no lineal

20

(e)

20

(d) y = 2.0357a: - 2.3571 (c)

6

(e)

-6

9

1

(b) Las respuestas varían. Usando ( - 2 , - 4 ) y (2,5), y = - x + —.

(d) y = 2.2x + 1.2 (C)

15. (a)

150

(e)

150

—25 (b) Las respuestas varían. Usando

(-2 0 , 100) y ( - 1 0 , 140), y = 4.r + 180. (c) Las respuestas varían. Usando los puntos (39.52,210) y (66.45,280),

17. (a)

y =

2.599x + 107.288.

(e) 269 calorías (f) Si el peso de una barra de caramelo incrementa en 1 gramo, el número de calorías incrementará en 2.599, en promedio.

’3« 46 54 62 70 Peso (gramos) (b) Lineal con pendiente positiva

19. (a) La variable independiente es el número de horas que pasan jugando videojuegos y la variable dependiente es el promedio de calificaciones porque estamos usando un número de horas jugando videojuegos para predecir (o explicar) el promedio de calificaciones.

(b)

(c) G ( h ) = -0.0942 h + 3.2763 (d) Si el número de horas que se juegan videojuegos a la semana se incrementa en 1 hora, el promedio de calificaciones disminuye 0.09, en promedio. (e) 2.52 (f) Aproximadamente 9.3 horas.

R18

RESPU ESTAS

Sección 4.2

21. (a) No (b)

(c) D = —1.3355/? + 86.1974 (d) Si el precio incrementa $1, la cantidad que se vende por día disminuye en aproximadamente 1.34 pares de pantalones en promedio.

d

I

» ■5 60 a v „ g. i . 55

f ¡ so ■g c 45

g

50 40 30 ¡ | 2" 5 -1 0

y§ a=

J t!í 35 40 Edad de la madre

(e) D ( p ) = -1.3355 p + 86.1974 (f) {plO < p < 64} (g) Aproximadamente 49 pares

18 22 26 30 34 P Precio (dólares/par)

25. No es una relación lineal

23.

No, los datos no siguen un patrón lineal.

27. 34.8 horas; un estudiante cuyo promedio es 0 pasa 34.8 horas a la semana jugando videojuegos; G(0) = 3.28;

el promedio de un alumno que no juega videojuegos es 3.28. 4.3 E v alú a tu e n te n d im ie n to 5. parábola

(página 297)

6. eje o eje de simetría

7. -

8. V 9. V 10. V 11. C 13.

2a

F

23. f ( x ) = ( x + 2 )2 - 2

29. f ( x ) = \ ( x + l )2 - \

15. G

17. H

25. f ( x ) = 2 ( x - l )2 - 1

27. f ( x ) = - ( x + l )2 + 1

31. (a)

(-2,0) (-i, - i)

(b) Dominio: ( - 00, 00) Rango: [ -1 , 00) (c) Decreciente: ( - 00, - 1 ) Creciente: ( - 1 , 00) 39. (a)

(b) Dominio: ( - 00, 00) (b) Dominio: ( - 00, 00) (b) Dominio: ( - 00, 00) Rango: ( - 00, 9] Rango: [ - 9 , 00) Rango: [0, 00) (c) Creciente: ( - 00, - 3 ) (c) Decreciente: ( - 00, - 1 ) (c) Decreciente: ( - 00, - 1 ) Decreciente: ( - 3 , 00) Creciente: ( - l , o o ) Creciente: ( —1, 00) 43. (a)

41. (a)

45. (a)

(-1.58, 0) H-H+ (-1 .-1 ) (-0.42,0) x = -1

(b) Dominio: ( - 00, 00) Rango:

15

,° ° )

(c) Decreciente: Creciente

■(í “ )

(b) Dominio: ( - 00, 00) Rango: [ - 1 , 00) (c) Decreciente: ( - o o , - 1 ) Creciente: ( —1, 00)

(b) Dominio: ( - 00, 00) Rango: ( - 00, - (c) Creciente

:

(b) Dominio: ( - 00, 00) „ , Rango:

17'

(c) Creciente:

Ì)

Decreciente: ( - , 00

Decreciente:

B ”)

47. f ( x ) = ( x + l )2 - 2 = x 2 + 2 x - 1 49. f { x ) = - ( x + 3 )2 + 5 = - x 2 - 6 x - 4 51. f { x ) = 2 ( x - l )2 - 3 = I x 2 - 4 x - 1 53. Valor mínimo; - 1 8 55. Valor mínimo; -2 1 57. Valor máximo; 21 59. Valor máximo; 13 61. a = 6, b = 0, c = 2 63. (a), (c), (d)

65. (a), (c), (d)

67. (a), (c), (d)

>'t

(3, -5)

(b) { -1 ,3 } 69. (a) a = l : f ( x ) = (x + 3)(x - 1) = x 2 + 2 x - 3 a = 2 :/( * ) = 2 ( x + 3)(x - 1) = I x 2 + 4 jc - 6 a = - 2 : f ( x ) - - 2 ( x + 3 ) ( x - 1) = - 2 x 2 - 4jt + 6 a = 5: f ( x ) = 5( jc + 3 ) ( x - 1) = 5 x 2 + ÍOx - 15

(b) El valor de a no afecta las intersecciones en x, pero cambia la intersección con y por un factor de a. (c) El valor de a no afecta el eje de simetría. Es x = -1 para todos los valores de a. (d) El valor de a no afecta la coordenada x del vértice. Sin embargo, la coordenada y del vértice se multiplica por a. (e) El punto medio de las intersecciones en x es la coordenada x del vértice.

RESPU ESTA S

Sección 4.5

R19

71. (a) ( - 2 ,- 2 5 ) 73. (2,2)

(b) - 7 ,3 (c) - 4 .0 ,( - 4 ,- 2 1 ) , (0. - 2 1 )

75. $500;$1,000,000 77. (a) 70,000 reproductores de mp3 (b) $2500 79. (a) 187 o 188 relojes; $7031.20 ( ) P ( x ) = - 0 .2 a 2 + 43.v - 1750 (c) 107 o 108 relojes; $561.20 81. (a) 171 pies (b) 49 mph (c) El tiempo de reacción 83. /( .r) = 2(.v + 4)(a - 2) 85. Sia es par, entonces a x 2 y b x son pares y a x 2 + b x es par, lo que significa que^ a x 2 + b x + c es impar. Si .v es impar, entonces a x 2 y b x son impares y a x 2 + b x es par, lo que significa que a x 2 + b x + c es impar. En cualquier caso, f ( x ) es impar.

87.

89.

b2

- 4ac < 0

91. No

= x1 + 2x + 1 T~1 v = x2 + Ir - 3

Jly

rr i v *

É

=A; + 1\

4.4 E valúa tu e n te n d im ie n to (página 305) 3. (a)

= - - . r + 100.V (b) {.v|0 s a s 600}

R(x)

(c) 50; $500 ,,

(d) 300;$15,000

R(x) =

- j . r 2 + 20a

(b) $255

(e) E ntre $8 y $12. 7. (a) A(w) = - lv2 + 200iv (b) A es mayor cuando w = 100 yd. (c) 10,000yd2 9. 2,000,000 m2 . . . . 7025 39 pies(b) « 219.5 pies (c) Aproximadamente 170 pies 13. 18.75 m 15. (a) 3 pulg. (b) Entre 2 pulg. y-4 pulg.

11. (a) — 16

220

(f) Cuando la altura es 100 pies, el

17. ---- « 238.73 m por 375 m

proyectil está a aproximadamente 135.7 pies del acantilado.

25. (a)

(e) $50 5. (a)

(d) $10

. . 625

(d)

(c) $13,333.33

so.ooo

n

19.

21. —

x = —

2

3

23.

3

(b) I ( x ) = -45.466.V2 + 4314.374a: - 55,961.675 (c) Aproximadamente a los 47.4 años de edad (d) Aproximadamente $46,388

75 Los datos parecen seguir una relación cuadrática con a < 0.

27. (a)

29. (a)

isoo

35

925

675 1550

Los datos parecen estar relacionados linealmente con pendiente positiva, (b) R ( x ) = 0.836a + 1032.273

(b)

(c) $1743

Los datos parecen seguir una relación cuadrática con a > 0. 0.015a2 - 1.332a + 39.823 (c) 11.6%

P(a) =

4.5 E valúa tu en ten d im ien to (página 312) 3. (a) ( a la < - 2 o a > 2 } ;( - o o , - 2 ) o ( 2, oo) (b) ( a |-2 < a < 2 }; [ - 2, 2] 5. (a) { a |—2 £ a <. 1 }; [ - 2, 1 ] (b) ( a |a < -2 o a > 1 }; ( -o o , - 2 ) o ( 1, oo) 7. { a |- 2 < a < 5}; ( - 2 , 5) 9. { a |a < 0 o a > 4 } ;( - o o ,0 ) o (4, oo) 11. { a |- 3 < a < 3}; ( - 3 ,3 ) 13. { ala < - 4 o a > 3}; ( - o o , - 4 ) o (3, oo) 21. { a a < - ! o a > | } ; ( —o o ,—| ) o

15. j a — < a < 3 2

( |,o o )

(d) { ala < - 1 o a > 1}; ( - o o , - 1 ) o (1, oo)

No tiene solución real

i 3) ” ■

23. { a |a < - 4 o a s 4}; ( - o o , - 4 ] o [4, oo)

(e) { a |a < - 1 } o ( -o o , -1 ]

19. No tiene solución real

25. (a) { -1 ,1 }

(c) { -1 ,4 }

(f) { a|a < - 1 o a > 4}; ( -o o , - 1 ) 0 (4, oo)

(g) { a |a < - V 2 o a s V 2 } ; ( - ° o , - V 2 ] o [V 2 ,o o )

(b) { -2 ,2 }

(c) {—2,2}

ii

1 1

29. (a) { -2 ,2 }

VI

í

r° r (d) { a |a < - 2 o a > 2}; ( - 00, - 2 ) o (2, 00)

(

11

—00, —' ' (f) {a| —4 < a < 0}; ( - 4 ,0 ) (g) {0} V 4J

(e) { a|a < - 2 o a a 2 } ; ( - o o ,- 2 ] o |2 ,o o )

(f) { ala < - 2 o a > 2}; ( - 00, - 2 ) o (2, 00) (g) { a |a s - V 5 o a > V I} ; ( - 00, - V s ] o [ V 5 , 00) 31. (a) { - 1 , 2 }

(g)

(b) { - 2 , 1 }

1 - VÍ3

(c) (0)

. 1 + V l3

------------- o a s -----

(d) {ala < - 1 o a > 2 }; ( - o o , - l ) o (2 ,o o ) (e) { a |- 2 < a < 1}; [ - 2 ,1 ] (f) { a |a < 0 }; ( - 00,0 )

1 - V ñ

1 + \X13

, 00 33. (a) 5 s (b) La pelota estará a más de 96 pies sobre el suelo en un

tiem o r entre 2 y 3 s 2 < t < 3 35- (a) $0,$1000 (b) El ingreso excede a $800,000 para precios entre $276.39 y $723.61, $276.39 < p < $723.61. tiempo í en re 1 ^ ^ ^ 81.907}; (0.112,81.907) (b) Es posible dar en un blanco que esté a 75 km de distancia si c = 0.651 o c = 1.536.

R20

RESPUESTAS

Capitulo 4 Ejercidos de repaso

E jer cicio s d e rep u so

(página 314)

1. (a) m = 2 \ b = - 5

(b) 2

^

^

3. (a) m = - \ b = - 6

5. (a)

(b) j

m “ 0; b = 4 (I») 0

7. Lineal; pcndientc:5

(c)

(d) Constante 13. y

11.

iw

t-2,r.»: «i, (,) IH I _ (-1.4»» í H ttt' Í-U HJd

14.0)

(b) Dominio; í - o c , o c ) Rango; [2. oo) (c) Decreciente; (-oc, Creciente; (2, ce)

21. (a)

y 1 1)

V 41ffia

(c) Creciente:

(c) Decreciente: ( -o o , 0) Creciente: (0, oo)

33.

27. Valor máximo; 12

r 1( * £ "i O * ^ J ’ V °°’ 3 . 1* í

Rango: ^

^-oo,

Decreciente

1

o [5,

Creciente:

: (í- “ )

35.

47. (a) Cuadrática,

S

a<

0

ooj

’H “)

Rango:

(c) D ecredente: Creciente

°°j

(-* • - i)

: ( 4

~ )

y = x2+ 2x + 3

(c) 750; $56,250

(d) $75

(b) 350 min

(c) 0 ^ * < 350

41. 4,166,666.7 m2 43. (a) 63 palos

(b) $151.90

45. 3.6 pies

(b) Aproximadamente $26.5 mil (c) $6408 mil (e)

¡ 6500

(b) $14,000

(b) Dominio: ( - o c , oo)

31. ( x |- 8 < x < 2}; ( - 8 , - 2 )

37. (a) La Compañía A: C (*) = 0.06* + 7; la Compañía B: C (*) = 0.08* 39. (a) R(*) = —^ * 2 + 150*

-2.5^

(c) Decreciente: ^ - o o ,

29. Valor máximo; 16

oo)

ífflB (0,1) 2,5 ■i i

(b) Dominio: ( - o o , oo)

Rango: ( -o o , 1]

Rango; [-1 6 , oo)

25. Valor mínimo; 1

(-oo, oo)

(b) Dominio:

(b) Dominio; ( -o o , oo)

65oo

s 1 6400 S u 6300 fc i 6200 20

25

30

Publicidad (miles de dólares) E x a m e n d el ca p ítu lo

35

(página 316)

1. (a) Pendiente: -4 ; intersección en (b) - 4 (c) Decreciente (d)

y: = 3

,

2.

3.

o ) . (2. 0), (0, - 8 )

4. { -1 .3 }

2 - V6

<3.18) (-3 .0)1

6. (a) Abre hacia arriba

(e)

7. Valor máximo; 21 8. {.v|.v $ 4 o * a 6}; ( - 3 ° . 4] o [6. 9. (a) C(/;i) = 0.15m + 129.50 (b) $258.50 (c) 562 millas

(b) (2, - 8 )

(c) * = 2 (d) intersecciones en *: intersección en

y: 4

6 - 2V 6

6 + 2V 6

* =2

2)

I RESPU ESTAS

Sección 5.1

R21

R e p a s o a c u m u la tiv o ( p á g i n a 3 1 7 ) 1. 5 \ / 2 , ^ > 2 ^

~ ^ ) y (2 . 3) están en la gráfica.

‘I

4. y = -2.V + 2

} 0

.

5 .,=

1

13

- - , + y

6. ( a - 2 f + (y + 4)2 = 25

(-3.-4)^ m 7. Si

8. (a)

3

(b) . r

4a

2 (c)

a2

+ 4a + 1 (d) - x 2 + 4a - 1 (e) x 2 - 3

(0 2a + h

4

9.

1}

10. Sí^ 11. (a) No (b) 1, ( 2, 1) está en la gráfica, (c) - 8 ; ( - 8 , 2) está en la gráfica. 12. Ninguna 13. El valor máximo local es 5.30 y se da en a- = -1.29. El valor mínimo local e s -3.30 y se da en a = 1.29. Creciente: ( - 4 ,- 1 .2 9 ) y (1.29,4); decreciente: ( - 1 .29, 1 .29) 14. (a) - 4 (b) {a | a > - 4 } o ( - 4 , oo) 15. (a) Dominio: {a | - 4 < (f) {a I—1 < a < 1} (g)

a

< 4 } ;rango: { y |- l < ^ < 3 ) (b) ( - 1 ,0 ) , ( 0 ,- 1 ) , (1,0)

(c) con respecto al eje y (d) 1 (e) - 4 y 4 (j) Par

(-4.5)y • 5 E S ? « (-2,3p“ ' ! ^ 2:3>

(k) (0,4)

(-1.2) (1.2)~(0.1) r~*

C A P ÍT U L O 5

F u n d o n e s p o lin o m ia le s y r a d o n a le s

5.1 E v a lú a tu e n te n d im ie n to ( p á g i n a 3 3 7 ) 7. suave; continua 8. toca 9. ( —1,1); (0.0); (1,1) 10. re s un cero real d e /, re s una intersección con a de la gráfica d e /, a - re s un factor d e/. 11. puntos de inflexión 12. y = 3a4 13. o o ;- o o 14. Conforme a crece en la dirección p o sitiv a,/( a ) disminuye sin límite. 15. Sí; grado 3 3 17. Sí; grado 2 19. No; a está elevada a la potencia -1 21. No; a está elevada a la potencia 23. Sí; grado 4 25. Sí; grado 4 27.

33. ffl

1

35.

B

(~2,1)U (0.1)T b(-i.o)

m jf(2,3)

i

(-1.1)1 (0,0)

(0,1) (1,2)

: 0 ,-1 ) a + 3 para a = 1 43. / ( x' —„3 41. / ( a ) = A3 a2 — 12a para a = 1 45. / ( a ) = a4 - 15a2 + 10a + 24 para a = 1 47. / ( a ) = a3 - 5a2 + 3a + 9 para a = 1 49. (a) 7, multiplicidad 1 ;- 3 , multiplicidad 2 (b) La gráfica toca el eje a e n -3 y lo cruza en 7. (c) Cerca de -3 : / ( a ) « - 3 0 ( a + 3)2 cerca de 7: / ( a ) « 300(a - 7) (d) 2 (e) y = 3a3

37. (-2, 3)1- (0 3/1

51. (a) 2, multiplicidad 3 (b) La gráfica cruza el eje x en 2. (c) Cerca de 2: / ( a 1

20( a - 2)3 (d) 4 (e) y = 4x5 53. (a) 1

/

i\2

1

multiplicidad 2; - 4 ,

2

multiplicidad 3 (b) La gráfica toca el eje x en —— y lo cruza en -4 . (c) Cerca de - - : / ( a ) ~ -8 5 .7 5 ^ a + - J ; cerca de - 4 : / ( a ) = -2 4 .5 ( a + 4)3 (d) 4 (e) y = - 2 a5 55. (a) 5, multiplicidad 3; -4 , multiplicidad 2 (b) La gráfica toca el eje a en - 4 y lo cruza en 5. (c) Cerca d e - 4 : / ( a ) ~ -7 2 9 ( a + 4)2;cerca de 5: / ( a ) « 81( a - 5)3 (d) 4 (e) y = x 5 57. (a) No tiene ceros reales (b) La gráfica no toca ni cruza el eje a. ( c) N o tiene ceros reales (d) 5 (e) y = 3a6 59. (a) 0, multiplicidad 2; - V2, V2, multiplicidad 1 (b) La gráfica toca el eje a en 0 y lo cruza en - V 2 y en V 2 (c) Cerca d e - V 2 : / ( a ) * 11.31(x + V2); cerca de 0: / ( a ) ~ 4a2;cerca de V 2: / ( a ) « -11.31( a - V 2) (d) 3 i (e) y = - 2 a4 61. Puede serlo; ceros: - 1 ,1 ,2 ; el grado mínimo es 3. 63. No puede ser la gráfica de una función polinomial; hoyo en a = - 1 65. / ( a ) = x ( a - 1)( a - ‘2) 67. / ( a ) = y (x + 1)( a - l ) 2(x - 2) 69. Paso Paso Paso Paso Paso

1: y = a3 2: Intersecciones con a : 0, 3; intersección con y: 0 3: 0: multiplicidad 2, toca; 3: multiplicidad 1, cruza 4: A lo mucho tiene 2 puntos de inflexión. 5: Cerca de 0: / ( a ) w - 3 a2; cerca de 3: / ( a ) « 9(x - 3)

Paso 6: 24

: •

i-L f(4 16)

i ■

1/(3,0) HO.0) -1 - 4 )/ c x n x . (2, -4>:

71. Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5: Paso 6:

y = a3 Intersecciones con a: -4 ,2 ; intersección con y: 16 -4 : multiplicidad 1, cruza; 2: multiplicidad 2, toca A lo mucho tiene 2 puntos de inflexión. Cerca de -4 : / ( a ) « 36( a + 4); cerca de 2: / ( a ) « 6(x - 2)2 y

R22

RESPU ESTAS

73. Puso Puso Puso Paso Paso

1: 2: 3: 4: 5:

Sección 5.1

y = -2 x 4 Intersecciones en x: -2 ,2 ; intersección en y: 32 -2 : multiplicidad I, cruza; 2: multiplicidad 3. cruza A lo mucho tiene 3 puntos de inflexión. Cerca de -2 : f ( x ) * I28(x + 2); cerca de 2: f ( x ) '

-« (* -

2Ÿ

75. Puso Puso Paso Paso Paso

1: 2: 3: 4: 5:

y

® x Intersecciones en x: ~4, -1 ,2 ; intersección en y; - 8 -4 . - 1 ,2: multiplicidad I, cruza A lo mucho tiene 2 puntos de inflexión. Cerca de -4:/(x) »5 I8(x + 4);cerca de -Y. f(x)

* - 9(x + 1); cerca de 2: /(x) as 18(x - 2)

Paso 6:

a«) (1,-10) (-1,0)

77. Paso Paso Paso Paso Paso

1: 2: 3: 4: 5:

79. Paso 1: y = x4 x4 Paso 2: Intersecciones en x; -1 ,2 ; intersección en y: 4 Intersecciones en x: -2 ,0 ,2 ; intersección en y: 0 Paso 3: -1 ,2 : multiplicidad 2, toca -2 ,2 : multiplicidad 1, cruza; 0, multiplicidad 2, toca Paso 4: A lo mucho tiene 3 puntos de inflexión. A lo mucho tiene 3 puntos de inflexión. Paso 5: Cerca de - 1 : f ( x ) * 9(x + IJ2; cerca de 2: f ( x ) Cerca de -2 : f ( x ) « -1 6 (x + 2); cerca de ü; f ( x ) « - 4 x 2 Paso 6: y cerca de 2: /(.v) « 16(x - 2) y —

Paso 6:

81. Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

Paso Paso Paso Paso Paso

9(x - 2 ) 2

y

83. y = x4 Intersecciones en x: - 1 ,0 ,3 ; intersección en y: 0 —1, 3: multiplicidad 1, cruza; 0: multiplicidad 2, toca A lo mucho tiene 3 puntos de inflexión. Cerca d e - l : / ( x ) * - 4 ( x + 1); cerca de 0 ;/( x ) ~ - 3 x 2; cerca de 3: / ( x ) » 36(x - 3)

87. Paso 1: 2: Intersecciones en x: 0,2; intersección en y; 0 Paso 2: 3: 2, multiplicidad 1, cruza; 0, multiplicidad 2, toca 4: A lo mucho tiene 4 puntos de inflexión. 5: Cerca de 0: / ( x ) « - 6 x 2; Cerca de 2: / ( x ) « 28(x - 2) 6: _v


1: 2: 3: 4: 5:

y = x4 Intersecciones en x: -2 .4 ; intersección en y: 64 -2 ,4 : multiplicidad 2, toca A lo mucho tiene 3 puntos de inflexión. Cerca de - 2 : / ( x ) ~ 36(x + 2)2;cerca de 4; / ( x ) ~ 36(x - 4)2

Paso 5: (-0 .8 0 .0 .5 7 ); (0.66. -0.99) Paso 6: y <-0.5.0.40 15 -OJO. 01

y = Xs

(—0J».0l57lt (-lJé.'Ór (-1.5. —0.861' (0. -0J2|1

:<ÓÍ66. -0.991

Paso 7: Dominio: ( - o c . oc); Rango: ( - 00, oc) intersección en v: -0.31752

Paso 4:

<1.5. LU) C£5> ^1-26.0)

X ■1.5 -.5 0 1.5

-.Bfill .H012B -.3175

Paso 8: Creciente en ( - 20. -0.80) y (0.66. oc) Decreciente en (-0.80.0.66)

1.ÍZ61

Vi BX3+ 0. 2 X 2 -1 .5 ... Paso 4:

89. Paso 1: y = x3 Paso 2:

X *3.9 ■1 1

w

-b.5B2 5.76 1.11

Paso 6: (-2J1.9.91) (—X56. <»/

(-1.5.76) vV

—f lO. (UNI) t \x (—5.9, -6,5S)|f~)0^ 0|j U .U 4 )

Vi BX 3+ 2 .5 6 X 2 -3 ..., Paso 5: (-2 .2 1 ,9 .9 1 ); (0.50,0)

-10 Paso 3: Intersecciones en x: -3.56,0.50; intersección en y: 0.89

Paso 7: Dominio: ( - 00, 00); Rango: ( - 00, c») Paso 8: Creciente en ( - 00, -2 .2 1 ) y (0.50. 00) Decreciente en (-2.21.0.50)

RESPU ESTAS

91. Paso 1: V = a4

X *i.?5

R23

93. Paso 1: y = 2.v4 Paso 2:

95. /( .v ) = - * ( * + 2 ) ( x - 2) Paso 1: y = - * 3 Paso 2: Intersecciones en x: - 2 ,0 .2 ; intersección en v: 0 Paso 3: - 2 ,0 ,2 : multiplicidad 1, cruza Paso 4: A lo mucho tiene 2 puntos de inflexión. Paso 5: Cerca de - 2 : f ( x ) ~ -8 (.r + 2); cerca de 0: /( .r ) « 4.v; Paso 3: Intersecciones en .v: -1.07,1.62; cerca de 2 :/( * ) ~ - 8 ( x - 2) intersección en y: -4 Paso 6 : y _

intersección en v: -0.5625

Paso 4:

Sección 5.1

Paso 4:

ii\

*1 0 1

175

2.2152 ’.93 75 .562 5 ’.93 75 2.2152

X •1.25 0 1.75

H1 H. -H I.

223? B3H H(3.-1S)

V1 BX ^4-2.5X 2+0....

V1 B2X''4-nX J +-T<5...

Paso 5 : ( - 1.12,- 1 ) ; ( 1 .12.1), (0,0.56) Paso 6 : io. 0.56) . (0.5,0) (-0.5,0)1 (-1.75.2JOK

Paso 5: (-0.42, -4.64) Paso 6 :

f { x ) = x(x + 4)(x

(—1.12. (-1.-0.94)

(-0.42, -4.64)

intersección en y: 0

Paso 3: -4 ,0 ,3 : multiplicidad 1, cruza Paso 4: A lo mucho tiene 2 puntos de inflexión. Paso 5: Cerca de - 4 : f ( x ) = 28(x + 4); cerca de 0: / ( * ) ~ -1 2 * ; cerca de 3: / ( * ) ~ 21 (x - 3)

Paso 7: Dominio: ( - 00, 00);

P aso7: Dominio: ( - 00, 00);

Rango: [-4.64, 00)

Rango; [ - 1 , 00) Paso 8: Creciente en (-1 .1 2 ,0 ) y (1.12, 00) D ecreciente en ( - 00,-1 .1 2 ) y (0,1.12)

- 3)

Paso 1: y = x3 Paso 2: Intersecciones en x: - 4 ,0 ,3 ;

rTriti si r r r r n

( - I J t S .Ü S p T ^ L T S .l^ ) M-tU-l • ' iti 1.62,0) (-1.07,0)

t-l-S.0)\

99. / ( * ) = 2x(x + 6 )(x - 2 )(* + 2)

97.

Paso 6 :

Paso 8: Creciente en ( - 0 .4 2 , 00)

(-2,20)|

Decreciente en ( - 00, -0.42)

(~4,W

(-5, -40) 101.

Paso 1: y = 2x4 Paso 2: Intersecciones en x: -6 , - 2 ,0 ,2 ; intersección en y: 0 Paso 3: - 6 , - 2 ,0 ,2 : multiplicidad 1. cruza Paso 4: A lo mucho tiene 3 puntos de inflexión. PasoS: Cerca de - 6 : f ( x ) ~ -3 8 4 (x + 6); cerca de - 2 : f ( x ) ~ 64(x + 2); cerca de 0: / ( * ) ~ -4 8 x ; cerca de 2: / ( * ) = 128( jc - 2) Paso 6:

f(x)


= - x 2(x + l ) 2(x - 1) 1: y = —x 5 2: Intersecciones en x: - 1 ,0 ,1 ; intersección en y: 0 3: 1: multiplicidad 1, cruza; -1 ,0 : multiplicidad 2, toca 4: A lo mucho tiene 4 puntos de inflexión. 5: Cerca d e - 1 : f ( x ) » 2(.t + l ) 2 cerca de 0: f ( x ) ~ x2; cerca de 1: - 4 ( x - 1)

Paso 6 :

y

p J í 2J54-M-HH

(-1^, 1.40625)( j "(0.74.0.43) TI- ^1.0)1, L ie ft: E S P (-0^4,0.10)/ (1.2, -1.39392) (0,0) ! (1.2, rr n r

103. /( * ) = 3 (x + 3 )(x - 1 )(x - 4) 105. /( x ) = —2(x + 5)2( x - 2 )(x - 4) 107. (a) - 3 , 2 (b) - 6 , - 1

proo

(-7,630)1J(_i,30) (-6,0)'

(—4, —192)-p(0,0) (b) H ( x ) = 0.1591JC3 - 2.3203*2 + 9.3301* - 2.2143 (c) Aproximadamente 6 huracanes grandes

109. (a) h

La relación parece ser cúbica. 111.

(c) Tasa de cambio promedio: 0°/h (d) T (x) = -0.0103x3 + 0.3174*2 1.3742* + 45.3929; la temperatura que se predice a las 55 pm. es de 63.2 F. 4 8 1216 20 *

La relación parece ser cúbica.

12J

(e) Aproximadamente 10 huracanes grandes

(b) Tasa de cambio promedio: 2.27°/h

(a) r

(d)

(e)

70

27

(f) La intersección con y, 45.4°, es la temperatura que se predice para la medianoche.

R24

RESPU ESTA S

113.
X '1

Sección 5.1 X

V»

MI

0 1.1

:

?

;j

híif»H7 71S29 Ïïb

1

Y1

L vt

m

i! í

m

ili)

YiBl/ U»)

X -i ■9 \B •7 -.6 -.5 -.4 \H

(c)

X

*•9 1

•B *.7 •6 -.5 \H

(d)

m

MI

.5 .52632 .55556 .5BB2H .625 .66667 .71H29

X

Y *

i

1 0371 .7*76

.5 S i 652 .55556 5BB2H .625 .66667 .71M29 71S29

■i

■i 0

■.azi (75í

V i—

MI .76923 .13333 9090»

m 9091

\

ÍM 11 .KU 1.H2I6 l.HZIÍ i V 1 0 1 /( 1 - X )

6B75 .7216

X -.3 -i M 0

Yt

V i— 7(1(7 13321 90909 i i un 1 2S99 1 S27Í

mi

7Í92J 13333 9090» 1.1111 175 i H2i( i Y iB l/(l-X )

02H661

.H0992 .51903 .595BH .65625 .71136

Conforme se agregan más términos, los valores de la función pol omial se acercan a los valores de /. l-as aproximaciones cerca de 0 son mejores que las de cerca de - I o I.

119. (a )-(d ) 5 .2

5.

E valú a fu e n te n d im ie n to

F 6. asíntota horizontal

(página 350)

7. asíntota vertical

8. propia 9. V

15. Todos los números reales excepto 2 y - 4 ; {x|x * 2 , x * -4 }

10. F

11. y - 0 12. V 13. Todos los números reales excepto 3. {x'x * 3}

17. Todos los números reales excepto - i

19. Todos los números reales excepto 2; {.xr|.v * 2} 21. Todos los números reales 25.

(a) Dominio: |x |x * 2}; rango: {y |y * l}

(b) (0,0)

(c)

27. (a) Dominio: {x |x * l)}; rango: todos los números reales 29. (a) Dominio: {x |x

*

(e) Ninguna

(c) Ninguna

(c) y = 1

(b) (0 .0 )

3 ;jx jx *

23. Todos los números reales excepto ~3 y 3; (x]x * - 3 .x • 3j

(d) x = 2

(b) ( - 1 ,0 ) ,( 1 .0 )

- 2 , x * 2};rango: {y |y £ 0 ,y > l}

43. Asíntota vertical: x = -4 ; asíntota horizontal: y = 3

y= 1

y

(d i x * 0

(d) x = - 2 . x = 2

fe) y “ 2x te) Ninguna

45. Asíntota vertical: x = 3; asíntota oblicua: y = x + 5

47. Asíntotas verticales:x = l,.v = - 1 ; asíntota horizontal:

y = 0

49. Asíntota vertical: x = -

1

2

asíntota horizontal; y = -

51. Asíntota vertical: no tiene: asíntota oblicua: y = 2x — 1 53. Asíntota vertical: x = O. no tiene asíntota horizontal u oblicua 55. (a) 9.8208 m/s2 (b) 9.8195 m/s2 (c) 9.7936 m/s2 (d) eje/i (c) 0 (b) Horizontal: /?„„ = 10; conforme crece la resistencia de R : sin límite, la resistencia total tiende a 10 ohms, la resistencia R¡. (c) R¡ » 103.5 ohms

5 .3

E v a lú a tu e n te n d im ie n to

(página 365)

3. vertical 4. Verdadero 5. Verdadero 6. (a) (x |x * 2} (h) 0 7. 1. Dom inio:(x|x * 0 .x * - 4 } 2. R esta en sus términos mínimos 3. No hay intersección en y; intersección en x: -1 4. R está en sus términos mínimos: asíntotas verticales: x = 0 .x = - 4 5. Asíntota horizontal: y = 0, intersecta en ( - 1 ,0 )

2. en sus términos mínimos

Intervalo

(-00, -4)

(-4 ,-1 )

( - 1 .0 )

(0.

Número escogido

-5

-2

1 "2

1

*)

Valor di- K

K(-5) = - ( K(-2) = J K(l) = l Locnlizacíún en lu grúflcu Por encimn del eje x Por dehujo del eje .v Por encima del eje x Por dehujo del eje x Punto en Ingráfica

K

O

J

i H

)

_________________ Í L

Ü

______________________

RESPU ESTAS

Sección 5.3

R25

3(x + 1) 2(x + 2) 4.

R

{ I-' ^

2} 2. R está en sus términos mínimos

está en sus térm inos mínimos; asíntota vertical- r - - 7 , uMmuia vertical. * -----2

3. Intersección en y: —; intersección en x: —1 4 s . . . . . . . 3 5. Asíntota horizontal: y = - , no se intersectan 7/8.

Intervalo

(-2 ,-1 ) 3 2

Número escogido

-3

Valor de R

K<-3) = 3

(-1, =C) 0

R(0) = í " « ( - 0 = -1 Localización en la gráfica Por encima del eje .r Por dehajo del eje x Por encima del eje x Punto en la gráfica (-3,3) H H ) M

11. 1. R ( x )

^

_ 2 ^’ dominio: {.v|.v *

+

2 ,x * 2} 2. R está en sus términos mínimos 3. Intersección en y:

4. R está en sus térm inos mínimos; asíntotas verticales: * = 2, x = - 2 Intervalo

( - » .- 2 )

Número escogido

-3

(-2 ,-2 ) 0

; no tiene intersección en x

5. Asíntota horizontal: y = 0, no se intersectan

(2, *) 3

Valor de R

H(-3) = | K(0) = - í «(3) = | Localización en la gráfica Por encima del eje x Por debajo del eje x Por encima del eje .v Punto en la gráfica ( - 3 .0 M ) M ___________

n i n/ \ (X2 + X + 1)(.X2 - X + 1) 13. 1. P ( x ) (x + 1)( v — 1) ; dominio: {x|x ^ —1, jt ¥= 1} intersección en x 6.

2. P está en sus términos mínimos

4. P está en sus términos mínimos; asíntotas verticales: x = —l , x = 1 5. No tiene asíntotas horizontales ni oblicuas -i 7/8.

Intervalo

(-® , -i»

Número escogido

-2

(-1,1) 0

F ff¥ -2.7)Vs rr H-rr-r H-H+t (« .-ir ? — m fr ' Hx U-U.-L . x= -l x = b

a») 2

Valor de P

/»(0) = -1 /’(—2) = 7 P(l) = 7 Localización en la gráfica Por encima del eje x Por debajo del eje x Por encima del eje x Punto en la gráfica (-2 , 7) (2,7) (0, -1) (.T - l ) ( x 2 +

X+

l

1)

15. 1. H ( x ) = — -— —— ------—— ¡dominio: {.vLt * - 3 , x * 3} 2. H está en sus términos mínimos (x + 3 )(x — 3) 4.

H

3. Intersección en y :-1 ; no tiene

está en sus térm inos mínimos; asíntotas verticales: x = 3 ,x = - 3

3. Intersección en y: - ; intersección en.t: 1 9

5. Asíntota oblicua: y = x, se intersecta en

6. Intervalo

<-*, -3)

Número escogido

-4

(-3,1) 0

(1.3)

(3. *) 4

2

0n7

Ï

1 8 ír 1

H{4) = 9 mo> = 1 Ha) = -1.4 Localización en la gráfica Por debajo del eje x Por encima del eje x Por debajo del eje x Por encima del eje x (4,9) (2, -1.4) Punto en la gráfica (-4, -9J) (».O Valor de H

17. 1. R ( x ) = --------------------- ¡dominio: (x ^ - 3 , x # 2} 2. R está en sus términos mínimos (x + 3)(x - 2) 1 4. R está en sus térm inos mínimos; asíntotas verticales: x - 2, x — —3

Intervalo

(-06, -3)

(-3,0)

5. Asíntota horizontal: y — 1, se intersecta en (6,1)

(0,2)

1 -1 fí(l) = -0.25 « (- = -s Localización en la gráfica Por encima del eje .r Por debajo del eje x Por debajo del eje x (1, - 0.25) Punto en la gráfica (-6, lü) (-1 .-1 )

Número escogido Valor de R

-6 K<-6) = 1.5

3. Intersección en y: 0; intersección en x: 0

(2,«) 3 fl(3) = 1.5 Por encima del eje x (3,1.5)

_. dominio: {x|x * - 2 , x ^ 2} 2. G está en sus términos mínimos 3. Intersección en y: 0; intersección en x: 0 19. 1. G (x ) = ------- . . ,,,, K (x + 2 )(x - 2) 4. G está en sus términos mínimos; asíntotas verticales: x = - 2 , x = 2 5. Asíntota horizontal: y = 0, intersecta en (0,0)

Intervalo Número escogido

(-06, - 2) -3

( - 2, 0) -1

(0, 2)

(2, - )

1

3 G(3)=f

G(—3>= —¡ Valor de G Localización en la gráfica Por debajo del eje x

G<1) = -5 G(—1) = 5 Por encima del eje x Por debajo del eje* Por encima del eje x


(-U )

(-3 .-1 )

( i.- l)

(3.I)

R26

RESPU ESTAS

Sección 5.3

____ -dominio- íxlx * 1 x * - 2 , x * 2} 2. R está en sus términos mínimos 3. Intersección en y: - ; no tiene - ii ’ t Q (x - l) (x + 2)(x — - 72 ))’’ intersección en x. 4. R está en sus términos mínimos; asíntotas verticales: x = - 2 , x = l , x - 2 5. Asíntota horizontal, y 0, no se interscctan. 7/8. 6. -2 1 2 21. 1. R ( x ) =

Intervalo Número escogido

-3

(2,®)

(1,2) 1.5

3

">15 1 II

Valor de R

(-2.1) 0

(—®, —2)

~_> = o

K(3)=B Por encima del eje x

1 05

«d.5) = - y «(0) = J Localización en la gráfica Por debajo del eje x Por encima del eje x Por debajo del eje x (l.5 ,-y ) " TÔ Punto en la gráfica ( -3 ,-á ) (oj)

U M I

x = 1x = 2

T

(x + ! ) ( * - ! ) ¡dominio: {x|x * - 2 ,x * 2 } 2. H está en sus términos mínimos 3 . (x2 + 4 )(x + 2)(x - 2) x: —1 , 1 4 . H está en sus términos millimos; asíntotas verticales: x = - 2 , x = 2 5. A síntota horizontal: y 1. H ( x ) =

-1

6.

1

(-2 ,-1 )

Número escogido

<-*, -2) -3

-1.5

(-1,1) 0

Valor de H

«(-3) »0.12

//( —1.5) «= —0.11

HW=h

Intervalo

? (1,2)

(2, =o)

1.5

3

«(1.5) - -0.11

//(3) - 0.12 Por encima del eje x

Localización en la gráfica Por encima del eje x Por debajo del eje x Por encima del eje x Por debajo del eje x (3,0.12) (1.5, -0.11) Punto en la gráfica (-1.5, -0.11) (-3,0.12) (0,¿)

(x + 1)( x — 4) 25. 1. F íx í = - -------- —---------• dominio- íxlx * - 2 ) 2. F está en sus términos mínimos v '

x + 2

11

4. F está en sus términos mínimos; asíntota vertical: x = —2

Intervalo

( -» , -2)

Número escogido

-3

5. Asíntota oblicua: y = x - 5, no se intersecta. 7/8.

-i

-2

3. Intersección en y: -2 ; intersecciones en x: - 1 ,4

J

(4,®) 5

(-1,4) 0

(-2, -1) -1.5

F(5) = 0.86 F(0) = -2 F(—1.5) = 5.5 Localización en la gráfica Por debajo del eje x Por encima del eje x Por debajo del eje x Por encima del eje x (5,0.86) Punto en la gráfica (—1.5,5^) (0, -2) (-3, -14)

= x —s

1 w II 1 £

Valor de F

Qy

(-1.5,5.5) PTTT

x = -2

(x + 4)(x - 3) 27. 1. F (x ) = -------------------- ¡dominio: (x|x ^ 4} 2. /? está en sus términos mínimos 3. Intersección en y: 3; intersecciones en x: - 4 ,3 4. R está en sus términos mínimos; asíntota vertical: x = 4 6.

5. Asíntota oblicua: y = x + 5, no se intersectan

-4 Intervalo

( -« , -4)

(-4,3)

(3,4)

(4, ®)

Número escogido

-5

0

Valor de R

«(-5) = - f

R(0) = 3

3.5 «(3.5) = —7.5

5 «(5) = 18

Localización en la gráfica Por debajo del eje x Por encima del eje x Por debajo del eje x Por encima del eje x Punto en la gráfica (0,3) (3.5, —7.5) (5,18) ( - 5 ,- 0

(x + 4)(x - 3) 29. 1. F (x ) =s------ ^ + 2-------¡dominio: {x|x * - 2 } 2. F está en sus términos mínimos 3. Intersección en _y:-6 ; intersecciones en x : - 4 ,3 4. F está en sus términos mínimos; asíntota vertical: x = - 2 6.

-4 Intervalo Número escogido

( -» , -4) -5

5. Asíntota oblicua: y = x - 1, no se intersecta

-2

7/8.

(-4, -2)

(-2,3)

-3

0

(3, «) 4

Valor de F

F(-5) = - f F(0) = -6 F(-3) = 6 F(4) =5 Localización en la gráfica Por debajo del eje x Por encima del eje x Por debajo del eje x Por encima del eje x Punto en la gráfica (0, -6) (-3,6) M

________

31. 1. Dominio: {x|x ^ 3} 2. /? está en sus términos mínimos 3. Intersección en y: 0; intersecciones en x: 0,1 5. Asíntota horizontal: y = 1, no se intersectan 6.

-3

0

1

7/8.

Intervalo

(-®, -3)

(-3,0)

(0,1)

Número escogido

-4

-1

« (-4) = 100 « (-1 ) = -0.5 Localización en la gráfica Por encima del eje x Por debajo del eje x

2 2 « (0 -0 .0 0 3 «(2) = 0.016 Por encima del eje* Por encima del eje x


(j, 0.003)

Valor de R

(-4,100)

(-1, -0.5)

4. A síntota vertical: x = —3

(i, =»)

(2,0.016)

V . —(0. 0) 4h?l ~L : 3

oi)p=q TTu,o> 4H 4 +T

=4 •• 4

RESPU ESTAS

Sección 5.3

R27

( a + 4)(.v - 3) ( a + 2)(.v -

( A'IA

*

4. A síntota vertical ,v = - 2 ;h o y o e n ( i . T \

~ “’ -v

*

3} 2. En sus términos mínimos, R ( x ) = - ■+ ^ 3. Intersección en y: 2; intersección en. v:- 4

5. Asíntota horizontal:y = 1, no se intersectan

6.

4

Intenalo

( - * . -4)

(-4 .-2 )

Número escogido

-5

-3

(-2,3) 0

\ alor de K

K(-5> =

K(-3> = -1

K(0) = 2

(3. «) 4

K(4)=i localización en lu gráfica l’or indma del eje .r Por dchnjo drl eje x Por encima del eje x Por encima del eje x Punto en la unifica (-3 .-1 ) (-M ) (0.2)

>;

(3.r + 1)(2.v - 3)

- —------—— ------ —

35. 1. R ( x )

e n .r - -

( a - 2)(2.v - 3)

¡dom inio:

|.v x * | ,

3a + í , ,

^ Asíntota horizontal: y = 3, no se intersectan

4. A síntota vertical: a - 2; hoyo en ^ - , - 1 1 ^

Inten alo

(-•-i)

(2, *)

(-i-i) 0

-1

Número escogido

1,

* 2 } 2. En sus términos mínimos, R ( x ) = ------- — 3. Intersección en y: Intersección a - 2 2

a

1.7

6

Valor de R

« ( -! ) = «(1.7) - -20.3 «(0) = - i K(6) = 4.75 Locali/ación en la gráfica Por encima del eje x Por debajo del eje a: Por debajo del eje x Por encima del eje x Punto en la gráfica (1.7, —20.3) (6,4.75) (-M ) (M )

37. 1. R ( a ) -

(H

( a + 3)(.v + 2 ) ..................... + 3 ¡dominio: { a |a ^ —3} 2. En sus términos mínimos, R ( x ) = x + 2

3. Intersección en y: 2; intersección en a : —2

4. A síntota vertical: no tiene: hoyo en ( —3, —1) 5. Asíntota oblicua: y = a + 2, se intersectan en todos los puntos excepto en x = - 3

6.

-3 Intenalo

( - » ,- 3 )

Número escogido

-4 Ä(-4) = -2

Valor de R

-2 ( - 2, - )

(-3, -2) 5 _2

0 «(0) = 2

Localización en la gráfica Por debajo del eje x Por debajo del eje x Por encima del eje x Punto en la gráfica

( - 4, -21

JT + 1 1 39. 1. / ( a ) = ----------¡dominio: { a |a

i - H ) ________ (0,2) 0} 2. /e s tá en sus términos mínimos 3. No tiene intersección en y; no tiene intersecciones en a

4. / está en sus térm inos mínimos; asíntota vertical: a = 0;

6.

5. Asíntota oblicua: y =

o

a,

7/8.

Intervalo

( - - .0 )

(0, =)

Número escogido

-1

1

Valor de/

/ ( - 1) = -2

/<1) = 2

no se intersecta A= 0

y

£B f (1.2)

y =x Sha

Localización en la gráfica Por debajo del eje x Por encima del eje a: Punto en la gráfica

+ 1 41. 1. / ( a ) =

(1,2)

(-1 ,-2 )

(A + IX a2 - A + 1)

; dominio: {a |x ^ 0} 2. / está en sus términos mínimos 3. No tiene intersección en y; intersección

en a : —1 4. / está en sus térm inos mínimos; asíntota vertical: x — 0

-1 Intenalo

(-= , -i»

Número escogido

-2

5. No tiene asíntotas horizontales ni oblicuas

o (0,®)

(-1,0) 1 2

1

4.11*4

6.


(1, 2)

II

/(-2 ) = l Localización en la gráfica Por encima del eje .r Por debajo del eje x

/(l) = 2 Por encima del eje x

Valor de/

43. 1. / ( a ) =

( - 2 .0

H -D

*4 + 1; dominio: {a |a * 0}

2. /e s tá en sus términos mínimos 3. No tiene intersección en y; no tiene intersecciones en a

4. / está en sus términos mínimos; asíntota vertical: a = 0; 5. Asíntota oblicua.y 6.

o Intenalo

(—00, 0)

(0, ®)

Número escogido

-1

1 N II

Valor de/

/< -l) = -2 Localización en la gráfica Por debajo del eje a Por encima del eje a (1,2) Punto en la gráfica (-1 ,-2 )

a , no

se intersectan

R28

R IÍS P U E S T A S

Sección 5.3

(x 45.

Unu posibilidad: /^(.v) *

-

47. Una posibilidad: H ( x )

\)(x (x

xl ~ 4

f

3 )(* 2 + 3 )

\) \x -

2 )2

,

49. ( 11) Eje f; C (0 —►0

51. ( 11) C ( x ) - 16x +

53. (a) Sí*) -

+ IM

2*’ *

40/100

(li) x > 0

(c) 0.71 h después de la inyección (d)

(t) 2784,05 pulg, 2 (d) 21 54 pulg. ✓ 21.54 pulg. / 21 54 pulg (c) Para minimizar el conto
Aproximadamente 17.7 por 56.6 píe» (el lado más largo paralelo al río)

57.

No. Cada función es un cociente de polinomios pero no está escrita en sus términos mínimos. Ninguna función está definida para x = I; cada gráfica tiene un hoyo en x - 1. 63. Si existe un factor común entre el num erador y el denom inador y el factor da un cero real,

55. (a) (b)

entonces la gráfica tendrá un hoyo.

El costo es menor cuando r = 3.76 cm. 5 .4 E v a lú a tu e n te n d im ie n to

(p á g in a 371)

3. V 4. F 5. (a) {.v|0 < x < 1 o x > 2} ;(0 ,1) U (2, 0 0 ) 7. (11) { x |- l <

< 0 o x > 1}; ( - l , 0 ) U (1 , 00)

x

9. {.vj.v < 0 o 0 < x < 3} ;( —00 ,0) U (0,3)

(b) {x|x < - I o 0 s x < 1 };(-o o . -1 ) U [0.1 )

11. {x|x & - 4 } ;[-4 ,o o )

15. {xj - 4 < x < -1 o x > 0 } ; ( - 4 , - l ) U ( 0 ,oo) 23. {x|—4 < x

(b) {x|x s 0 o 1 s x s 2} ; ( -oc.O U |1 .2)

13. {x|x s - 2 o x ¡s 2} : ( - o c . -2 ] U [2. x )

17. (x| - 2 < x s —1>;(—2 .-1 ]

19. {x|x < - 2 } : ( - o o .- 2 )

< 0 o x > 0} ; ( —4 , 0) U (0 , 0 0 ) 25. {x|x £ I o 2 s x s 3} ;(-o o . 1| U [2.3]

29. {xjx < -1 o x > 1} ;( - o o , -1 ) U (1 , 0 0 ) 31. {x|x < -1 o x > 1 } ;( - o o ,- 1 ) U (1 . 0 0 )

33. {x|x < - I o x > 1 } ; ( - * . - I ) U (1. » )

35. (xjx s - I

o ( X x s 1};( —00 , —1 ] U (0,1]37. {x|x < -1 o x > 1} ;(-o o . - 1 ) U ( 1 . 0 0 )

41. {x|—2 < x

43. {xjx < 2 o 3< x < 5} ;(-o o ,2 ) U (3.5)

( - 00, - 5 ) U [ - 4 , - 3 ] U {0} U (l.o o ) j ; ( —00, - 4 ] U ^ .o o j

51. | x x < - 4 o x 57. { x x <

-

|o 0 < x < |} ; ( - o o ,-

-

2

<

X

53. {xjx

f ) U (°'¿)

63. {x|x £ - 2 o x a 2 }; ( - 00, - 2 ] U [2 , 00)

<

1

O

X

>

2L {x|x > 4 }:( 4 .oc)

27. { x j-l < x < 0 o x > 3} ;( - 1 .0 ) U (3. x , 39. {x
45. {xjx < - 5 o - 4 s 1 s - 3 o 1 = 0 o x > l | ;

4(4-) U (3, 00)

49. {,r|-1 5 } ;( - 1 .3 ) U ( 5 .o o )

< 3 0 X 2 : 7}; ( - 0 0 .3 ) U [7. oc)

55. {x|x < 2}: ( - o c . 2)

59‘ 4VI'V £ ~ 3 0 0 5 x s 3 > : ( - ° o . - 3 ] U [0.3]

65. {xjx < - 4 o x a 2 ); ( 00.

61. {x|x > 4 } :( 4 . 00)

- 4 ) U [2. 00) 71. Se deben producir al menos 250 bicicletas. 73. (a) Se estirará menos de 39 pies. (b) La plataforma debe estar al menos a 84 pies sobre el suelo para una persona de 150 Ib. 75. Deben asistir al menos 50 estudiantes.

f(x)

s g(x) s i - l s x s l

P ro b lem u s h istó ric o s

1.

(página 384)

(, _ I) , x

/ ( x ) ^ ¿>(x) si - 2 s x s 2

+ ,,( x - | )

+ c(x - I ) + d = 0

2.

. , b 2x Ir , j 2 b 2x Ir be , - b x 2 + — - — + b x - ----- — + — + e x - — + d = 0 / / ' - />// -

o

Sea

p

= c -

1,2

—

‘■ ♦ K M g - M y

(¡ =

2/)'

—

be

— —+

a. Entonces

,

.r +

px

+

q

= 0.

(// + H-

pK

K)s + p(H

+

K)

+

g =0

+ 3 H 1 K + 3 //A : + K * + p H ~ p K -
pH + pK + q

= 0.

Sea 3 HK = - p. H' + K' = -<]

RESPU ESTAS

3.

3 HK

-p

R29

4. / / 3 + *3 = - f/

_ p

K

Sección 5.6

K3 = -
3 // '
.

27M ‘

~ Py

• n n " + 27
-2 7 r//7 3 O

„< = -27<7 ± V (27(?)¿ - 4 ( 2 7 ) ( - p 3)

2-27 //’

773

/f V

2

'V 2: (272)

“9 4 2 ± 3V 4

+ 4(27)p3 2: (272) (Observa que si hubiéramos usado la raíz negativa en 3, el resultado habría sido el mismo.) 6. .r = 3 7. x = 2 8. x = 2

+^ 27

Por el m om ento, escoge la raíz positiva.

5 .5 5.

E v a lú a tu e n te n d im ie n to

Residuo; dividendo

17- /? = / ( - 4 ) = l ; n o 37.

± l,± 2 ,± i,± i

(página 384)

6. f ( c )

7 .-4

8. F

9 .0

19. R = / ( | ) = 0 ;sí 21. 7

10. V

11. R = /( 2 ) = 8; no

2 3 .6

2 5 .3

39. ± l , ± 3 , ± 9 , ± i ± | , ± i ± | , ± |

2 7 .4

/ ( x ) = 4(x + l ) ( x + | ) ( . r + 2)

67. | ^ , 2 , 5 j 83.

0.21

69. 5

85. -4 .0 4

71. 2

73. 5

87. 1.15

33. ± 1 , ± |

35. ±1, ±3

45. - 3 , - l , 2 ; / ( x ) = (x + 3)(x + 1)( jc - 2)

49. 2, V 5, - V 5;/(.v) = 2(x - 2)(x - V 5 )(x + VS)

51. - 1 , | , V 3 , - V 3 ; / ( x ) = 2(x + l ) ( x - 0 ( x - V 3 )(x + VS) 55.

3 1 .6

15. R = / ( - 3 ) = 0;sí

41. ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12, ± i , ± |

43. ± l . ± 2 . ± 4 . ± 5 , ± 1 0 . ± 2 0 . ± i , ± | , ± i , ± | , ± | , ± | . ± y , ± y , ± ^ , ± | “*7. | ; / ( x ) = 2 ^ x - ^ ( . v 2 + 1)

2 9 .5

13. R = f ( 2 ) = 0;sí

75. |

57. { -1 ,2 }

53. 1,multiplicidad 2; —2, —1; / ( jc) = ( x + 2 )(x + l) (x - l ) 2

59. | | , - 1

+ V 2 ,- 1 - V 2 }

61. | | , V 5 , - V 5 j

63. { - 3 , - 2 }

65. | - | j

77. /(O ) = - 1 ; / ( 1 ) = 10 79. / ( —5) = —5 8 ;/( —4) = 2 81. /(1 .4 ) = -0.17536;/(1.5) = 1.40625

89. 2.53

103. k = 5 1 0 5 .-7 107. S i/(.r) - x n - c", entonces /( c ) = c n - c" = 0, entonces x - c es un factor de /. 109. 5 111. 7 pulg. 113. Todos los ceros racionales posibles son números enteros, entonces o r es un número entero o no es un cero racional (y, por lo tanto, es irracional). 115. 0.215 117. No, por el teorema de los ceros racionales, - no es un cero racional posible. 2

119. No, por el teorema de los ceros racionales, - no es un cero racional posible.


(página 392)

3. uno 4. 3 - 4 i 5. V 6. F 7. 4 + i

9. - i , 1 -

19. / ( x ) = x5 - 4x4 + 7x3 - 8x2 + 6x - 4 ;« = 1

i

11. - i , - 2

i

13. - /

15. 2 - i, - 3 + i 17.

f ( x ) = x 4 - 14x3 + 77x2 - 200x + 208;

21. f ( x ) = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 9;n = 1

23. - 2 i , 4

VS . V

27. 3 + 2t, - 2 ,5

29. 4/i, - V I I , VTT, - f

31. 1, - i -

33,, 2,3 - 2 i,3 + 2í;./(x) = (x - 2)(x - 3 + 2i)(x - 3 - 2¿)

4

+ 35.

25. 2/, - 3 ,±

1 = (-V - 1 ) ^ + \ + ■ 2 - ‘A X + 2 ~2i,2rJ(x)

vS.

= (x + i)(x - i)(x + 2í)(x - 2í)

a=

1

R30

RESPU ESTAS

Sección 5.6

0. _ 4>i 2 - 3 /, 2 + 3 i; /( x ) = 3 (x + 4 ) ( x - | ) ( x - 2 + 3 /)(x - 2 - 3/)

37. —5i',5i, —3, l ; / ( x ) = (x + 5/)(x - 5i)(x + 3)(x - 1)

39.

J

t

r

. . deben . . nolinomio con coeficientes reales de grado impar 41. .Los ceros que son números complejos ocurrir en pares ^nninoarfos conjugaaos oo un un puimum.u o i debe tener al menos un cero real. . , . , 43. Si el cero restante fuera un número complejo, su conjugado también sería un cero, crean o un po momio e gra o

(página 394)

E je r c id o s d e re p a so

1. Función polinomial de grado 5

3. Ninguna 7.

15 t

(1.0) -!>/ V : .: <2. -1)

B

T o i .-y10:81 (-4. - 8 ) /

B » 15. 1. y = - 2 x 3 2. / ( x ) = - 2 x2( x - 2) Intersecciones en x: 0,2; intersección en y: 0 3. 0, multiplicidad 2, toca; 2 multiplicidad 1, cruza 4. 2 5. Cerca de 0; f ( x ) ~ 4x2 Cerca de 2: f ( x ) ~ —8(x - 2)

13. 1. y = x 3 2. Intersecciones en x: -4 , 2; intersección en y: 16 3. - 4 , multiplicidad 1, cruza; 2,

11. 1. y = x3 2. Intersecciones en x: -4 , -2 , 0; intersección en y: 0 3. - 4 , - 2 ,0 . multiplicidad 1, cruza 4. 2 5. Cerca de —4:/( x ) ~ 8(x + 4) Cerca d e - 2 : / ( x ) ~ - 4 ( x + 2) Cerca de 0 :/(x ) ~ 8x

multiplicidad 2, toca 4. 2 5. Cerca de - 4 : / ( x ) ~ 36(x + 4) Cerca de 2: / ( x ) ~ 6(x - 2)2 (0,16)

6.

6.

(-2,32)

(1,15)

(-4,0) (-1, -3)

(-5,-15)

17. 1. 2. 3. 4. 5.

(-5, -49)

y = X4 Intersecciones en x: -3 , —1,1; intersección en y: 3 - 3 , - 1 , multiplicidad 1, cruza; 1, multiplicidad 2, toca 3 Cerca de —3 :/( x ) « -3 2 (x + 3) Cerca de —1: / ( x ) « 8(x + l);C erca de 1: / ( x ) « 8(x - l ) 2

19. Dominio: {x|x ï - 3 , x * 3}: asíntota horizontal: y = 0; asíntotas verticales: x

—3, x = 3

21. Dominio: {x|x # -2 } ; asíntota horizontal: y = 1; asíntotas verticales:x = - 2 23. 1. R ( x ) =

2(x - 3)

■; dominio: {x|x * 0}

2. R está en sus términos mínimos 3. No tiene intersección en y; intersección en x: 3

4. R está en sus términos mínimos; asíntota vertical: x = 0 5. Asíntota horizontal: y = 2; no se intersectan 6.

0

3

Intervalo

( - “ ,0)

(0,3)

Número escogido

-2

1

(3,00) 4

Valor de R

K(l) = -4 «(-2) = 5 fl(4) =i Localización en la gráfica Por encima del eje x Por debajo del eje x Por encima del eje x Punto en la gráfica

(-2,5)

(1, -4)

W )

25. 1. Dominio: {x|x ¥= 0, x ^ 2} 2. H está en sus términos mínimos 3. No tiene intersección en y; intersección en x :—2 4. H está en sus términos mínimos; asíntotas verticales: x = 0, x = 2 5. A síntota horizontal: y = 0, se intersecta en (-2 ,0 ) 6.

-2

0

2

Intervalo

( -« , -2)

(-2,0)

(0,2)

Número escogido

-3

-1

1

(2,00) 3

Valor de H H (-l)= i m-3) = -ji H(1) = -3 "( 3) =1 Localización en la gráfica Por debajo del eje x Por encima del eje x Por debajo del ejex Por encima del eje x Punto en la gráfica (1, -3) (-M ) J M ] __________

(x + 3)(x - 2) . 27. 1. R ( x ) = ^ + dominio: {x|x * - 2 , x * 3}

2. R está en sus términos mínimos 3. Intersección en y: 1; intersecciones en x :- 3 ,2

4. R está en sus términos mínimos; asíntotas verticales: x = - 2 , x = 3 Intervalo

3

-

2

2

Número escogido

(-» , -3) -4

(-3, -2) 5

0

Valor de R

«(-4) = 4

« (-f)= -n

fl(0) = l

2

5. A síntota horizontal: y = 1, se intersecta en (0,1)

(-2,2)

Localización en la gráfica Por encima del eje x Por debajo del eje x Por encima del eje x Punto en la gráfica

í i i í l ________ H . - n ) _______ (0,1)

3 (2,3) 5

2

(3,»)

4 X II

6.

« (!) = -T Por debajo del eje* Por encima del eje x

(* -¥ )

m

r

RESPU ESTA S I.

^

F(x)

+ 2^ v _ 2 ) ,c*onl' n'o: {-v|.v * - 2 , ,v * 2}

4. F está en sus térm inos mínimos; asíntotas verticales: .r = -2 .

2. F está en sus términos mínimos.

a=

2


R31

3. Intersección en y: 0; intersección en a : 0

5. Asíntota oblicua: y = .v, se intersecta en (0,0)

6. Inter»alo

.

( - * .- 2 ) -3

(-2,0)

(0.2)

(2.*)

Numen» escogido

-t

t

Valor de F l ocal¡ración en la gráfica

3

A -3) = - £ Por debajo del eje v

A -l) =} Por encima del eje x

A l) = -Î Por debajo del eje .r

A 3) =2 Por encima del eje .v


(-* -? )

( - '• } )

31.1. Dominio. {.v|.t * 1}

2. R

( '- : ! )

(3-?)

está en sus términos mínimos

4. R está en sus térm inos mínimos; asíntota vertical:

a=

3. Intersección en y: 0: intersección en ,r: 0

1 5. No tiene asíntotas horizontales ni oblicuas 7/8.

lnten alo

(0.1) 1 2

(i. *)

Número escogido

(-* .0 ) _2

Valor de R

«(-2> = {f Por encima del eje .t

« (0 = 1 Por encima del eje x

K(2) = 32

Localización en la gráfica

Por encima del eje x

(U )

(2,32)

Punto en la gráfica ( - L v ) (.v + 2)(.r - 2)

2

. ,

( a + 2)

3 3 .1 .G ( a ) = -— —-------—; dominio: {.r.v ^ —1, a # 2} 2. En sus términos mínimos, G( a ) = ------- — 3. Intersección en y: 2; intersección en x : -2 (.r + l)(.r - 2 ) / 4s (a + 1 ) 4. Asíntota vertical: x = - l : hoyo en ( 2 , - J 5. Asíntota horizontal: y = 1, no se intersecta (2,« )

0

3

G(-3) =] Por encima del eje x

c (-i)— 1 Por debajo del eje x

G(0) = 2 Por encima del eje xr-axis

O

Valor de G Localización en la gráfica

H .-0

(0, 2)

t ó T

Punto en la gráfica ( - 3 . 0

2

o a

-t-------- h

a <

39. {a|a < lo a > 2}; (-oo,l) U(2,oo)

3}; ( - 3 ,3 ]

--------í------------------- i-------3 3

— «----h - í -----------------)----- -2 -1 s a s

Por encima del eje x

37. { a | - 3 <

35. {a |a < - 2 o - 1 < x < 2}; ( - o c , - 2 ) U ( - 1 ,2 )

41. { a |1

r?,

Número escogido

V.l-T II

( - 1. 2)

-3

( - 2, - 1) 3 2

(—x, —2)

Intervalo

— *----)------------------í-----►*-

43. {a |a < - 4 o 2 < a < 4o a > 6}; ( - o o , - 4 ) U (2,4) U (6,oo)

> 3 } ; [ 1 ,2] U (3, oo)

+■

( H (-» > 2 4 6

-4

1 3 45. R = 10; g no es un factor d e/.

47. R = 0; g es un factor de /.

53. - 2 , 1 ,4 ;/( a ) = ( a + 2)(.v - 1)( a - 4) 59. { -3 ,2 }

61. { - 3 , —l . r ^ l }

75. 4 - i ; / ( a ) =

a3

6 3 .5

- 14a2 + 65 a - 102

a)

65. f

a

1 1 3 1 ± 3, ± ^ , ± ^ , ± ^ ,

- 2 a3 + 3a2 - 2 a + 2

1

57. 2 ,multiplicidad 2 ; / ( a ) = ( a - 2)2( a2 + 5) 73.0.93

79. - 2 ,1 , 4 ; / ( a ) = ( a + 2 )( a - 1 )( a - 4)

V5i;f(x) = (x + V5i)(x - V 5 /)( a - 2)2

-

91. (a) Par (b) Positivo (c) Par (d) La gráfica toca el eje a en a = 0, pero no lo cruza ahí. (e) 8

es más pequeña cuando r ~ 3.41 cm.

a4

83. 2 (multiplicidad 2 ) , -V5i,

= 2( a + 3 )( a - 2 ) ( a + ^ « ) (

(b) 223.22 cm 2 (c) 257.08 cm 2

( a + 2)

±^,

6 7 . /(O ) = - 1 ;/( 1 ) = 1 6 9 ./(O ) = - l ; / ( l ) = 1 71.1.52

77. - 1,1 - « ;/( a ) =

, 500 87. (a) A ( r ) = 2 tr r 2 + —

A

51. ± 1 , ±3,

55. i,m ultiplicidad 2; - 2 ; / ( a ) = 4 ^ a - 0

81. - 2 , ^ (multiplicidad 2 ) ; / ( a ) = 4 ( a + 2 ) ( a - ^

85. - 3 , 2 , - ^ í , ^ ; / (

4 9 . / ( 4 ) - 47,105

R32

RESPU ESTA S

Capitulo 6 Fundones exponenciales y logarítmicas

Examen del capítulo (pág in a 397) (f) Cruza en - 5 , y

2. (a) 3 (h) Todo cero de g está entre -15 y 15. p i 3 5 15 , , (c) ±-, ± I, ±r, ±z, ±3, ±5. ±—, ±15 q

2

2

2

3

((!) y * 2 x' (h) Cerca de - 5 : g ( x ) » 72(x + 5)

¿

Cerca de y

(d) - 5 ,y ,3 ;g (x ) = ( x + 5 ) ( 2 x + ! ) ( * - 3)

gU ) » y

(2x + U

12,-JÍ» <•. — 13# « i . -

Cerca de 3: g ( x ) * 56(x - 3)

m i

(c) Intersección en y: —15; intersecciones en x: 5; ^ • 3 3. 4 ,- 5 /, 5/ 6.

4.

5 - V6I 5 + V ñl \

'

Dominio: {x|x

6

.. '

6 .....

5. Dominio: { x \ x * - 1 0 ,* * 4 } ;asíntotas: x * -1 0 . y = 2

- 1 } ; asíntotas: x = - l , y - x + 1

j.

9. Las respuestas pueden variar. Una posibilidad es r ( x ) = y — 10. /(O ) = 8 ;/(4 ) = -3 6 Como /(O ) = 8 > 0 y / ( 4 ) = - 3 6 < 0, el teorem a del valor interm edio garantiza que existe al menos un cero real entre 0 y 4. 11. {*1* < 3 ojc > 8 } ;( - o o ,3 ) U ( 8 ,o o ) 8.

Las respuestas pueden variar. Una posibilidad es f(x) - v'* 4x3 - 2x2 + 20x.

Repaso acumulativo (pág in a 397) 1. V26

4-

-f-i

-f-

7. No es una función: 3 tiene dos imágenes. 10. C en tro :( - 2 , 1 ) ; radio:3

E

'TTM

y

i4 1

(1 , 1 ) '-’•a y(- 2x. o -(-2, - 2) t±±±±

i

16.

4. f ( x ) = - 3 x + 1

3. {.v| —1 < x < 4}; ( - 1 ,4 )

2. {x|x s O o r a l ) ; ( -o o ,0 ] o [1, o°)

5. y = 2x - 1

-h

8. {0,2,4}

9. | x x >

- , oo^

0

,

2

3

11. Intersecciones en x: -3 ,0 , 3; intersección en y: 0: simétrica con respecto al origen 2 17 * 3 3 13. No es una función; no pasa la prueba de la recta vertical. 14. (a) 22 (b) x2 - 5x - 2 (c) - x 2 - 5x + 2 (d) 9.x2 + 15x - 2 (e) 2x + h + 5 15. (a) {x|x 1} (e) Racional

(b) No; (2,7) está en la gráfica.(c) 4; (3,4) está en la gráfica, (d)

v

están en la gráfica.

18. 6; y = 6.v - 1 19. (a) Intersecciones en x: - 5 .1 ,5 ; intersección en y. -3 (b) No tiene simetría (c) Ninguna (d) Creciente: ( -o c ,- 3 ) y (2 . 00); decreciente: (-3 .2 ) (e) El valor máximo local es 5 y se da en x = -3 . ( f ) El valor mínimo local es - 6 y se da en x = 2. 20. Impar

(0:--V ,7) n

ÍH B

21. (a) Dominio: {x|x > -3 } o ( - 3 , 00) (b) Intersección en x: y

23. (a) ( / + g )(x ) = .v2 - 9x - 6: dominio: todos los números reales

; intersección en y: 1

(b)

(g )w

=

y :

dominio: { x| r * “ 4 }

(c) 24. (a) R ( x ) = y x 2 + 150x (b) $14.000 (c) 750, $56.250 (d) $75

(-3 , -5 )

(d) Rango: {y|y < 5} o ( - o o ,5 )

CAPÍTULO 6 Funciones exponenciales y logarítm icas 6.1 Evalúa tu entendimiento (p á g in a 406) 4. función com puesta;/(g(.v)) (b) 49

(c) 4 (d) 4

5. F

13. (a) 97

6. F

(b) - y

7. (a) - 1

(b) - 1

(c) 1 (d)

(c) 8 (d) 0 (e) 8 (I) - 7 15. (a) 2V 2 (b) 2V2

9. (a) 4

(c) 1 (d) 0

(b) 5 17. (a) ^

(c) - 1 (b) ^

(d) -2

11. (a) 98

(c) 1 (d) \

RESPU ESTAS 19' (B) y f a + i

(b) 1

(C) 5

(d) 0

2L lAlr *

* 2)

R33

Sección 6.2

25. { a JC > ——> 27. (xlx s 1 ]

23. (aIa * - 4 , a: * 0)

( * númoros'realles* + 3’ todos los

, , ‘

< •

31’ (a) ( / J S ÍW = 3a2 + 1; todos los números 33. (a) ( / ° g)(.v) = a 4 + 8x2 + 16; lodos los reales números reales (g /) ( * ) -= 9. íú m /r lí« ie t' + ^ ' O l l 0 S ( b > números <*. °• /><*> »*■ + 6x +1; codos los (b) (g o f ) ( x ) = .r4 + 4; todos los números reales reales , . " ™ „ (c) ( / / ) ( a ) 4.v + 9; todos los (c) ( / o /) ( * ) = 9* + 4; todos !os números (c) ( / 0 /)(-*■) = V ; todos los números reales núm eros reales reales (d) (g 0 g)(x) _ r4 + 8v2 + 20; todos los (d) (g 0 g)(-v) - 9.r; todos los núm eros íh w <» o \ 4. j ■ 1 reales g )V ) = * ! todos los números reales números reales

*35. (a) ( / o g)(.v) = (d > (g 0 g)(-v) (c) ( / 0 /) ( * )

(A|A * o, * * 2) Jr; (a |a * 0}

-

\x\x *

(b) (g o f ) ( x ) = 1
37. (a) ( / ° g)(A) =

1}

(d) (g o g)(A) =

1}.

(a Ia 96 lj

{aIa * - 4 ,

a ; (a |a

9t q) 39. (a)

a *

(c) ( / o / ) ( a) =

0|

(b) (g « /) (* )

„ g )(r) = \ / 2 a + 3; |

(j

(a |a * 1 , a * 4) 4 - A ~4( a - 1) ; (a |a ^ 0, a ^ 1)

a

(b) (g 0 /)(■*) - 2V Ä + 3, (a |a 5: 0) (c) ( f o / ) ( a) = V a ; (a |a =: 0) (d) (g ° g)(A) = 4 a + 9; todos los números reales 41. (a) ( / o g)(A) = a ; (a |a a 1| (b) (g ° / ) ( a ) = | a |; todos los números reales (c) ( / ° / ) ( a) = a4 + 2a2 + 2; todos los números reales (d) (g 0 g ) ( x ) =

vV

(b) (g o / ) ( a ) = (d) (g 0 g)(A) =

a

- 1 -~1; {a Ia a 2) {Jf|* * - 4 ;

2a + 8 ’ 3a - 4

* - 1)

a

a)

= ( V a )3 =

a;

49. ( / o g)(A) = /( g (x )) = / ( - ( a + 6)

) (

A)= /(g(A ))

=

/Q (

a

- &

) )

(g

o / ) ( a)

( a + 6)

(g 0 f ) ( x ) = g ( /( a )) = g(2A - 6) = | ( 2 51. ( f o g

(c) ( / o / ) ( a ) =

17; L 2a - 1 (

x-

=

«

i

a)

* 2}

a

= 20

a)

= a; (g 0 /) ( * ) = g ( / M ) = g(2A) = - (2 a ) = A

= g(/(A )) = g(.r3) = V ? = 6 =

- 6 + 6) =

a

A * 3; A # -

{a |a 96 - 1 ;

2

* y ; A * 3 } 45. ( / o g)(A) = /(g(A )) = / Q

2a - 11’

47. ( / o g)(A) = /(g(A )) = / ( V

43. (a) ( / ° g)(A) =

a

(2a) =

+ 6 - 6 =

a;

a

1

i( A

-

6 )

+

¿> =

,

*; (g 0 f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = g(ax + ft) = -(aA + 6 - b ) = x a

53. / ( a ) = a4; g(.r) = 2a + 3 (Existen otras respuestas posibles). 55. / ( a) = V a; g(.r) = a2 + 1 (Existen otras respuestas posibles). 57. / ( a ) = |a |; g(x) = 2 a + 1 (Existen otras respuestas posibles). 59. ( / » g)(x) = 11; (g ° / ) ( a) = 2 61. - 3 , 3 63. (a) ( / ° g)(x) = a c x + a d + b (b) (g ° / ) ( a ) = a c x + b e + d (c) El dominio de / ° g y g 0 / son todos los números reales. / 0 g — g ° f cuando a d + b = b e + d

(d) I

69.

C(p) =

2VlOO - p -----—---- -- + 600,0 < p < 100

65. S(f) = — 7r/6 67. C(í) = 15,000 + SOO.OOOí — 40,000r2

71. V (r) = 2 ^

73. (a) / ( a ) = 0.7143a

(d) 98,146.2486 yen

(b) g(A) = 137.402a

75. (a) f { p ) = p - 200

(b) g ( p ) = 0.8p

(c) ( / o g )(p) = 0.8p - 200; (g 0 f ) ( p ) = 0.8p - 160; el descuento de 20% seguido de la bonificación es mejor opción. 77. f es una función impar, por lo tanto, / ( —a ) = —/ ( a), g es una función par, por lo que g(—a) = g(.r). Entonces ( / o g ) ( - x ) = f (g ( -x ) ) = f ( g ( x ) ) = (f ° g)(x). Por lo tanto, / ° g es par. Además, (g 0/ ) ( - a) = g ( f ( - x ) ) = g ( ~ f ( x ) ) = g (/(.r)) = (g ° / ) ( a), entonces g 0/ es par.

6.2 Evalúa tu entendimiento (página 417) 5.

/ ( aj ) * /(A 2) 6. inyectiva

19. inyectiva 25. P r e c ip ita c ió n

7 .3

21. no es inyectiva

8. y =

a

9. [4, 00) 10. V 11. inyectiva 27.

anual (p u lg a d a s )

M t. W a ia le a le , H a w a i

2 0 2 .0 1

M o n r o v ia , L ib e r ia

17. inyectiva

C o s to m e n su a l d e s e g u ro d e vid a

Ldad

P a g o P a g o , S a m o a A m e r ic a n a M o u lm e in , B u r p ia

1 8 2 .8 7

15. no es inyectiva

L o c a lid a d

4 6 0 .0 0

í ir ü .w

13. no es inyectiva

23. inyectiva

Dominio: {$7.09, $8.40, $11.29} Rango: {30,40, 45}

L a e , P a p u a N u e v a G u in e a

Dominio: (460.00, 202.01,196.46,191.02,182.87) Rango: {Mt W aialeale, Monrovia, Pago Pago, Moulmein, Lae) 29.

{( 5, - 3 ), ( 9, - 2 ), ( 2 ,- 1 ) , (11,0), ( - 5 ,1 ) }

31. { ( 1 , - 2 ), ( 2, - 3 ) , (0 ,- 1 0 ), (9,1), (4,2)}

Dominio: {5, 9 ,2 ,1 1 ,- 5 } Rango: { -3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 }

Dominio: {1,2,0, 9,4} Rango: { -2 , 3, 10,1,2} ( X

33. /(g (A )) = / ( j ( a - 4 ) ) = 3 g ( / W ) = g(3* + 4) =

t

| (

a

- 4)

+ 4 = ( a - 4) + 4 -

[(3 a + 4) - 4] =

j

(3 a ) - *

a

35. /( g (x ) )

\

u +2H

/(^ + 2

[4 +

2J

-

8

=

(a

+

8)

-

8

=

g (/ (* )) = g(4-r - 8) = — 7 - 8 + 2 = (A - 2) + 2 = A 4

a

R34

H I S I 'I J I S I A S

37. / ( « ( O )

Sección 6.2

f { V 7 T Ì ) - (3 ^ 7 + 8 )J - 8 - ( * + 8) - 8 - *

3 9 .f ( g ( x ) ) ■ / ( “ ) *

. * *'• * * 0 . « í/< -« 0 * * ( , ) * / , * m *■ * *

- «(.«' - 8) » \ / ( t * - 8) t 8 - \ Z 7 - A

K(J(x))

4

V */

*)

45,

2 ( r - * ) 0

M M

^ 4 4

2 - a 2(4.« - 3) + 3(2 - a ) 4 a - 3 + 4(2 -

a)

íix

...

u

« (/(.V )) - ^

/ 2 at + 3 \

) - -

Sx

t 3\

_3

V a + 4 /

2.r + 3 a: + 4 4(2.« + 3) - 3( at + 4) 5.r 2( v + 4) - (2 a + 3) r'

47. /

5

■ X, A ** - 4

51. f '(A ) -

'(.V) - ! jt

/(/

’W )

f\jX )

«

/ '(/(.V)) =

,- i S ? rnr*

X, X i 2

“ 5

« . \ r vJ -

*(3jf) = '(3 a ) -

r

(i, Iiy

1 4 ~ 2

53. f H t ) m V * . I

X

/ • ( / ' ( < ) ) - / ( * - J ) - 4( j - J) ♦

A

/ ( / '(A)) - /(Â * i) ' 1 ♦ 1 i* -

2

4i / * '( / ( * ) ) “ r

2

1

‘(4 a + 2 ) -

- J

r ' m a»»*/ * i - >K(Vv~ 7 j * 1 - i

» (a - 2) + 2 ■ X

a

1

5

/(.«>“ Ai ri

7 '•>»- Vr u llu •

r• »

ii : t */ ^ /*f ♦r*‘. / / / 'u i ■ ir. /

55.

/ '(A) = \ / 7 ~ 4 .

a

2 4

57. / ' ( « ) - 4

/ ( / '(.V)) = / ( V x ~ 4) = ( V x - 4 )2 + 4 =

/■ ■ '(/( a )) = / " ' ( a 2 + 4) = V u 2 7 4 ) " - 4 = V

fix) "> » ' Xi

+

«

; j> f | ! »

a2

-

a. a

a 0

*

4

f4 \

(*H * f \ J

^

' jT j “ *

4,

V■X / , i U
,

a

r v i.ii - / ' ( * ) ~

-

vT^4

t. r » »

«I •«•

/

/ill

A • /■ '(Il « J

7*

59. / - ' ( A )

2a + I

»•i. r'(t) ,

n r ' ( x ) )

i

_ 2

(2.V+ 1 ) - 2 a

: - 3a /2

-

nr'w)-f(—

3a\

2

2a

2a

rn í-íT T ^ -y 3 •+ ..— .....

“ 1

jt

r'(/(v)) = r ' ( J T 2 ) =

2( v - 2) + '

2 + ( a - 2)

■ ?(

m

r v ( A ) ) - r '( r h > 3 * A

.i =n

)

2 (3 *

r) - 3 * 2

2a

RKSPU ESTAS m

. n

o *

fif

, - y

65. / '(.») -

'( O ) - f

V - i» ) :« * 2 (»

r

'(/(»)) - / '

(& )

n r

i) 3» - (3* - 2) 2 .»

»+ 2 _ -hi

<

-6

Á

) -

4.»

“ 6.» - 2(3 » - 1) " 2 -2.» _ _ _+ _ _3

69. /-'(.»)

'(«))

n r'(x))

<£3)->

" ,j

3* - 1 t ~í

_____ ¿x _______

-i - 3

u

■'Grh)

/" (/(* » - r ' ( j ^ - ¡ ) -

3« - 3(* ♦ 2) "

R35

3.» - 2

■ C -¿ )

____ :. 2 (ío »7. /"'(*) -

/ ( / '(*))

-2» » '- 3 * * - ftt 3) * -6

Sección 6.3

_ 3(3» + 4) + 4(2.» - 3)

= / (\ - *^ - V2 )/ = —-2.» 7 - 2 ^ + 3 +2 .r - 2 2(-2.» + 3) + 3(.v - 2) =

" 2(3* + 4) - 3(1* - 3)

-2.» + 3 + 2(.» - 2)

17*

J

2x

ml T m '

r'(/(x)) = r ' ( ^ y ) =

3

'

.» + 2

r'iñ») - r j ^ H ) ■

X

+ 3\

' r+2

2x +

=

" -1

2

-2(2.» + 3) + 3(.» + 2)

_r

2.» + 3 - 2(.» + 2)

-1

= .»

3(3* + 4) + 4(2.» - 3) " 2(3* + 4) - 3(2* - 3) 17* = --= v 17

7i.

r'(x)

=

73. (a) 0 (b) 2 (c) 0 (d) 1 75. 7 77. Dominio de f ~ l : [ -2 , oo ; rango de f ~ l : [5, oo) 79. Dominio de g ~ ’: [0, oo); rango de g_1: ( -o o , 0] 81. Creciente en el intervalo ( /(0 ) ,/(5 ) )

v f - 2 .» - 4

/tro» - r(-7¿=) ■ W l - 2.*/

24 1

83.

/ '(.») = — (.» - b ) , m * 0 m

87.

Respuesta posible:/(.») = |.»|,.t > 0 ,es inyectiva;/''( . » ) = t » > 0

- 2.»

8*

85. Cuadrante 1

8

r'(/ w ) = / >(

= ---------i -------- - - | = = v ?

u i = x.

i?

como * > 0

91. (a) 77.6 kg

93. (a) (g|33,950 < g s 82,250}

VV - 50 VV + 88 (b) /.(VV) = — — + 60 = - J J 50 4- 2.3(/i - 60) + 88

2.3/»

2.3

2.3

(c) h ( W ( h ) ) = --------— ---------- = — W W W ))

=h

= 50 + 2 - 3 Í ~ y j * ~ - 6 o ) = 50 + VV + 88 - 138 = VV

(d)

6.97r - 90.39 + 90.39 6.97r 6.97 6.97 d + 90.39 \ d ( r ( d ) ) = 6.97^ 90.39 = d + 90.39 - 90.39 = d 6.97 J (c) 56 millas por hora (b) r ( d ( r ) ) =

95. (a) t representa el tiempo, entonces t > 0.

(b) {714675 < 7 < 16,750} Y" _ 4675
77 - 1 0 0 -4 .9 (c) 2.02 segundos (b) t ( H ) =

100 - 7/ 4.9

Rango: {gl33,950 S g < 82,250}

97. / “'(•») =

dx + b \ f = r

' sin = - d

101. No

73 pulgadas

6.3 E v a lú a tu e n te n d im ie n to ( p á g i n a 4 3 2 ) 6. función exponencial; factor de crecimiento; valor inicial

7. a

8. V 9. F

10. V 11. ( - 1 ,^ ) : (0, i); (!,« )

1 2 .1 ,1 3 .4

14. F

15. (a) 11.212 (b) 11.587 (c) 11.664 (d) 11.665 17. (a) 8.815 (b) 8.821 (c) 8.824 (d) 8.825 19. (a) 21.217 (b) 22.217 (c) 22.440 (d) 22.459 21. 3.320 23. 0.427 25. Ninguna 27. Exponencial; //(.») = 4* 29. Exponencial; /(.») = 3(2*) 31. Lineal; //(.») = 2.» + 4 33. B

35. D

37. A

39. E

RESPU ESTA S

Sección 6,4

47.

f

f»

\

:t r , ’ ••

y- 1

Dominio: lodos los números reales Rango: (y|y > 1} o (I,oo) Asíntota horizontal: y = 1

49.

Dominio: i/*Jo» lo* número* rt* Rango: (yjy > - 2 } o ( ~ 2 , x .) A síntota horizontal: y * 2

1 1 1

t lf e li

<-i.A M ) («. 1) ir" ; ^ 7 ?

' I Dominio: lodos k>s números reales Rango: { y \ y > 2} o (2, oo) Asíntota horizontal: y = 2

Dominio: todos los números reales Rango: {yly > 0) o (0 , oc) Asíntota horizontal: y = 0

Dominio: todos los números reales Rango: { y \ y > 2} o (2, oo) Asíntota horizontal: y = 2

6 1 .(3 }

63. (-4 }

73. (-1 .7 }

6 5 .(2 }

75. {-4.2}

85. /( * ) = 3* 87. Dominio: todos los números reales Rango: (y |y < 5} o ( -o o , 5) Asíntota horizontal: y = 5

,s 91. (a) 16;(4.16)

Dominio: todos los números reales Rango: (y |y < 2) o ( - o o , 2) Asíntota horizontal: y = 2

(b) 3;(3,66)

f(x)

Dominio: ( - 0 0 , 0 0 ) ... , Rango: [1, 00) Intersección: (0,1)

Dominio: todo* lo» número* rea Rango:{y!y > 0} o (0 . x , , A síntota horizontal: y = 0 69. { - V 2 . 0 , \ f l \ 71. ¡6}

67.

77. (-4 } = -6*

79. (1.2}

81. ~

83. J

89. / Í j:) = 3* + 2

(b) -4 ; ( - 4 .

93. (a)

95. (a) 60. (-6 .6 0 )

101. (a) 74% (b) 47% 103. (al $12.123 (b) $6443 105. 3.35 mg: 0.45 mg

(b) -4 ; (-4 .1 2 )

107. (a) 0.632 id)

(c) -2

Ib» 0982

Dominio: ( - 00, 00)

>

ant ° [ Intersección: (0, -1 )

109. (a) 0.0516 (b) 0.0888 111. (a) 70.95% (b) 72.62% 113. (a) 5.41 amp, 7.59 amp, 10.38 amp (b) 12am p (d) 3.34 amp, 5.31 amp, 9.44 amp (e) 24 amp

(e) Aproximadamente 7 minutos

(c) 100%

115. 36 117.

Denominador final

1+ 1 2+2 3+3 5+5 6 +6 119. f ( A + B) = aA+a = aA -an = f ( A ) - f ( B )

Compara el valor con e~ 2.718281828

2.5 < e 2.8 > e 2.7 < e 2.721649485 > e 2.717770035 < e 2.718348855 > e

121. /(a.v) = ant = (a 1)“ = [/(.v)]° (b)

-(
Valóretela expresión

2.5 2.8 2.7 2.721649485 2.717770035 2.718348855

4 + 4

f(-x) =

r»*

53.

lllih JfFfTl

123. (a)

g

ti j •H i «.-D

Dominio: todos los número* reales Rango: { y \ y > 0} o (0 , ) Asíntota horizontal: y * 0

Dominio: todos los números reales Rango: { y \ y > 0} o (0, oü) Asíntota horizontal: y = 0

51.

ví

V <«,-0 - A ----. ^*6»■ m

r=

(c) (eos h ,v): - (sen h j ) ‘

+

V

+ e r)

^c‘ - e ')

= \ ( e ~ x + e x)

2

(ex

= —[e^* + 2 + 4*

+ e ~ x)

= /(*)

=

=

—r * + 2 -

1

125. 59 minutos 6.4 Evalúa tu en ten d im ien to

(p ágina 446)

4. {,v| .v > 0} o (0, 00) 5. Q , - l ) , ( l , 0 ) , ( 3}; (3. 00)

1 5 . j = lnS

e~~‘

RESPU ESTA S

39. Todos los núm eros reales excepto 0; 47. {x\x > I};[1. oo)

49.0.511

{ x \x

51.30.099

* 0} 41. { x \x > l 0}: ( i 0, oo) 43. { x \x > 53.2.303 61.

5 5 .-5 3 .9 9 1

57. V i

-1}; ( - 1 , 00) 45. { x \ x < - 1 o x > 0}; ( - o o , - l ) U (0, 00) 63. B

/<*>= 4-

R37

Sección 6.4

65. D

67. A

69. E

r / ' V ) = l o g jjr

I/ 'w = logl/2^

1)

(c) Rango: ( - o o , oo) A síntota vertical: x = - 4 (d) f - \ x ) = e* - 4 (e) Dominio de f ~ \ ( - o o , oo) Rango de f ~ x: ( - 4 , oo)

73. (a) Dominio: ( 0, 00)

75. (a) Dominio: (0, 00)

(c) Rango: ( - 00, 00)

(c) Rango: ( - 00, 00)

Asíntota vertical: x - 0

Asíntota vertical: x = 0

(d) f - \ x ) = ex - 2 (e) Dominio de f ~ l : ( - 00, 00)

(d)

Rango de f ~ l : (0, 00)

Rango de / “ ': (0, 00)

X

(0

(b)

X* -2.5

H II ■u.

77. (a) Dominio: (4, oo)

>( 2.D ±±

X= »

y = -*

79. (a) Dominio: (0, 00)

(b)

+3

(e) Dominio d e / " ': ( - 00, 00)

x*

(0

f - \ x ) = -Xe *

H

X= 0

81. (a) Dominio: ( - 2, 00)

x

f-1J

3 S (c) Rango: ( - o o , oo) A síntota vertical: x = 4 (d) f - ' ( x ) = 10* ~ 2 + 4 (e) Dominio de f ~ l : ( - o o , oo) Rango de f ~ \ (4, oo) (0

x=0 (c) Rango: ( - 00, 00)

(c) Rango: ( - 00, 00)

Asíntota vertical: x = 0

(d)

=

f-\x)

\

Asíntota vertical: x = —2

(d) f ~ \ x ) = 3*‘ 3 - 2 (e) Dominio d e / _ l: ( - 00, 00)

• 102'

(e) Dominio d e / -1 : ( - 00, 00)

Rango de / “': ( - 2 , 00)

Rango de f ~ x: (0, 00)

x (0

(f)

x

x*

'( 2 ,5 )

y=*

X= - 2 x=o

1

83. (a) Dominio: ( - 00, 00)

85. (a) Dominio: ( - 00, 00)

(b)

x

87. {9}

89. { ^ J

91. {2}

95. {3}

97. {2}

99. { ^ }

101.

(c) Rango: ( - 3 , 00)

(c) Rango: (4, 00)

A síntota horizontal: y = - 3 (d) f - \ x ) = ln(x + 3) - 2 (e) Dominio d e / -1 : ( - 3 , 00)

(d) f ~ \ x ) = 31og2(x - 4) (e) Dominio d e / -1 : (4, 00)

Asíntota horizontal: y = 4

Rango d e/ " ': ( - ° ° , 00)

ln 8 - 5

105. { -1 }

|

93. {5}

103. { - 2 V /2 ,2 V /2}

107. | 5 1 n | |

109. {2 - lo g f }

111. (a) (b) 2; (40,2)

00)

(c) 121; (121,3)

(d) 4

R38

RESPU ESTAS

Sección 6.6 125. 0.2695» 0.8959 »

117. (a) 1 (I*) 2 (c) 3

113.

X

(d) C r e c e , ( e ) 0.ÍXJ0316 (f) 3.981 X 10 * 119. (a) 3.97 km 0») 0.90 km 121. (a) 6.93 min 0*1 16.09 mín 123. Ii = 2.29, entonces el tiempo entre inycccione* es de aproxim adam ente 2 h 17 min.

■ =O

Dominio: ( a | a > 0} Rango: (yly ^ 0} Intersecciones: (1,0)

Dominio: {.r|.v * 0} Rango: ( - o o , oo) Inlcrscccioncs: ( - 1, 0), ( 1, 0)

127. 50 decibelcs (dH) 129. 90 dB 131. 8.1 133. (u) k * 11.216 (b) 6.73 (c) 0.41% 135. Porque y = log, a significa l y = I = a, que no puede ser verdadero para x / 1

6.5 Evalúa tu entendimiento 1. 0

2. 1 3. M

(p ági na 457)

4. /■ 5. log„ M \ log,, N

25. -

21. 1 23. 3

29. a + b

27. 4

(d) 0.14%

6. log,,

31. b - ti

loga N

M\

33. 3a

7. r log,, M

35. ~ (a f b)

4

8. 6 9. 7 10. F I I. F 12. F 13. 71 15. - 4

47. 2 In a + | ln(l - x )

49. 3 log2 Jr - log2(A - 3)

43. In x - x

51. log x + logí* + 2) - 2 logí* + 3)

53. ^ In(* - 2) + i | n ( * + I) - |ln(Ar + 4) 55. In 5 + In a + Înfl + 3x) - 3 ln( jt - 4)

79. y =

41. 1 4 In x

19. I

■>

45. 2 log,, u + 3 log,, v

/ 25/’ \ ) VV 2 a + 37

65. log2[x(3.v - 2)4] 67. log„( — j = =

63. - 2 \ n ( x - 1)

39. 3 log2 z

37. 2 + log, x

17. 7

log x

81. y =

log 4

69. log2

(x + l) 2 (x

+ 3)(jr - 1 ) J

57. log, u V 71. 2.771

log(.r + 2 )

59. log, ( “

73. -3.880

j

61. log« [ ^ - ~ - 4

75. 5.615

77. 0X74

logí X + 1) 83. v =

log 2

logí x - 1)

2

-i

-^r Y

-4

-2

85. (a) ( / » g ) ( x ) = A'; ( a | a es cualquier número real} o ( - 00, 00) (b) i 8 0/)(•*) = a; {a | a > 0} o (0, 00) (c) 5 (d) ( / o /,)(*) = ln a2; (a | a * 0) o ( - 00,0 ) U (0, 00)

N/q 2 a + l )l/6 95. v = -------------- r ~ — (a + 4)1/9 101.

log„(.v + V

a2

97. 3

87. y = Cx

89. y = C a( a + 1 )

91. y = C r *

93. y = Ce *‘ 3

(e) 2

99. 1

- l ) + log,,( a - V

a2

- l ) = log,,[(.t + V

a2

- l ) ( . t - V .v 2 - l ) ] = lo g ra r - (a r - 1)] = log, 1 = 0

103. In (l + e2x) = \n[e2x(e~2x + 1)] = In e2í + ln(e"2^ + 1) = 2.v + ln (l + e '2*) 105. y = / ( a ) = log,, a; a y = x implica que a y =

107. /( a) = log,, a;

=

a,

entonces - y = log, a x = - / ( . r).

J = log,,^ = log,, 1 - log,, a = - / ( a)

M 109- log-.^ = log,,(/W-Ar‘) = log,, M + log,, Ai"1 = log,, M - log., N, como a k*-N~' = N~' implica que

6.6 Evalúa tu entendimiento 5- {16}

27.

7- j y j

9 .( 6 }

v ' = N. es decir, log, ,V = -lo g ,.V

(p ágina 463)

1 1 .(1 6 }

13. j - j

|.~ 5 +23V ^ } * (0.854} 29. (2}

31. { ? }

1 5 .(3 }

1 7 .(5 }

19.

21. ( - 6} 23. ( - 2 }

33. {8} 35. (log2 10) = { ^ }

= (3.322}

25. { - 1 + V i + e4} *= {6.456}

37. (-Io g g l.2 ) = í - ~ y }

= (-0.08S}

In, 39.

M

-

3 In 2

'*

, 0'22'’ 1

41- W J + h . , } " <0'307>

{ In0 .r J In 7} * «■

(°1

47- { f T í b } “ l°-'-'4>

49- { Í H } ~ í 1-585} 5L {°} 53- { '« & .(-2 + v ^ ) } 53 {-0.315} 55. (log, 4} = {0.861} 57. No tiene solución real. 59. {log,5} = {l.lol} 61.(2.79}

63.(-0.57}

65. (-0.70)

67.(0.57}

69.(0.39,1,00}

71.(1,32}

73.(1.31}

75.(1)

7 7 .(16}

79. | - 1 . = J

8 1 .(0 }

RESPU ESTA S Itv {ln(2 * \ 5)} % 11 444}

H5,

*» l l.9:i}

t«K(b)

«7. (a) (5}; (5,3)

(b) {5};(5.4)

(c) 1 1 }; sí, en ( 1. 2 )

Sección 6.9

<«*) {5}

R39

< c > { -~ }

«I. (a).(b),

(C) (.*!-.* > » 710} O (0.710. x ) 97. (u) 2025 (I» 2045 99. (u) Después do 5.1 artos

(b) Después de 7,1 artos (c) Después de 10.6 artos

(c) ( *U < 2} o (-o o ,2 )

6.7 E vulua tu e n te n d im ie n to X

(página 472)

capital 4 . / . /Vi. interés simple 5 .4 6. tasa de interés efectiva 7. $108.29 9. $609.50 11. $697.09 13. $1246.08 15. $88.72 17. $860.72

19. $554 09 21. $59.71 23,5.095% 25, 5.127% 27. 6 ' % compuesto anualmente 29. 9% compuesto mensualmente 31. 25.992% 33. 24.573% 35. (a) A proxim adam ente 8.69 artos (b) Aproximadamente 8.66 años 37. 6.823% 39. 5.09 artos; 5.07 artos 41. 15.27 años o 15 artos. 3 meses 43. $104.335 45. $12,910.62 47. A proximadamente $30.17 por acción o $3017 49. No exactamente. Jim tendrá $1057.60. El segundo banco es una m ejor opción, porque Jim tendrá $1060.62 después de 1 arto. 51. Will tendrá $11,632.73; Henry tendrá $10,947.89. 53. (a) $79.129 (b) $38.516 55. A proxim adam ente $1019 mil millones; aproximadamente $232 mil millones 57. $940.90 59. 2.53% 61. 34.31 años 63. (a) $1364 62 (b) $1353.35 65. $4631.93 67. (a) 6.12 artos (b) 18.45 años

(c)

69. (u) 2.82%

(b) En 2020 o después de 12 años 71. 22.7 años

In m

6.8 Evalúa tu entendimient» ( p á g i n a 4 8 4 ) 1. (a) 500 insectos (b) 0.02 = 2% al día (c) Aproximadamente 611 insectos (d) Después de aproximadamente 23.5 días (e) Después de aproxim adam ente 34.7 días 3. (a) -0.0244 = -2.44% al arto (b) Aproximadamente 391.7 g (c) Después de aproximadamente 9.1 años 28.4 artos 5. (a) N ( t ) = A„e*' (b) 5832 (c) 3.9 días 7. (a) N ( l ) = A/0e*' (b) 25,198 9 . 9.797 g 11. hace 9727 años 13. (a) 5:18 p.m. (b) Aproxim adam ente 14.3 min (c) La tem peratura se acerca a los 70°F. 15. 18.63°C; 25.1°C 17. 1.7 ppm; 7.17 días o 172 horas 19.0.26 M; 6.58 h o 395 min 21. 26.6 días 23. (a) 1000 g (b) 43.9% (c) 30 g (d) 616.6 g (e) Después de 9.85 h (0 Aproximadamente 7.9 h 25. (a) 9.23 x 1 0 '\ o aproxim adam ente 0 (b) 0.81 o aproximadamente 1 (c) 5.01 o aproximadamente 5 (b) 57.91°, 43.99 , 30.07°

6.9 Evalúa tu entendimiento ( p á g i n a 4 9 0 )

o (b)

(d)

3. (a)

1. (a)

= 0.0903( 1.3384)* (c) N ( t ) = 0.0903eí):i' 15' y

411

(b) y = 100.326(0.8769)* h (c) A ( t ) = 100.326éT °1314' (f) Después de aproximadamente 7.26 (e) 0.69

(e) 5.3 semanas (f) 0.14 g (g) Después de aproximadamente 12.3 semanas

R40

UI S I’ D liS I AS

Capitulo 6 Ejercido» d<* repaso

Id) A protinudem rnl*

Itf computador*»

7. (il)

799.475.916,5

2HI.IMMI,II ^

v

| i 9.l968c

(di 799,475,917 (r) A|«oxirn*d*mrnie 291.599,73J

«r> 2i((»

70,(10(1,INNI

(b) y *

11. (a)

(d) Aproximadamente 67,856,600 subscriptores (c) Aproximadamente 67,7113(10 subscriptores

()7,85().ft 1 + 19.844c " :,CT-

(h) Cuadrática con a < 0 debido a la forma de “U hacia abajo" de los datos

225

• ■

■ ■

le) 30!

12*

(d)

(c) y - -0,0311** + 3 44441 ♦ 118 2493 i

*■

00

211

»

/ „

m

175

13. (a)

w.INNI

(b) Exponencial porque la depreciación de

(d i

« JMt*

le í S13.WW

un auto està deaerila p«>r mode Un exponenciales en la teoria de las (inaiuas (e) v * 31,808.51(0.8474)*

I5.IMMI

Ejercicios de repaso (página 496) 1. (u) -2(1 (l>) -241 (c) 16 (d) - I 3. (II) \ II (b) 1(c) \ / V h +■ 2 (d) I*» S. (a) r* tb) .VJ - 2 (el ✓ ' (di -1 7 7. ( / ° Jk’)(.v) = 1 - 3,v. todos los números reales: (y »f ) ( x ) ■ 7 - 3 jc. lodos los numeren reales. ( / ° / ) ( v) = ,v, todos los números reales: (y « ,t»)(.v) = 9,t + 4. lodos los números reales 9. ( / o g)(x) = 27.v‘ + 31.vI + I, todos los números reales: (# » f)(x ) = 3 13r + j + todos los números reales; ( / ° /)(.» ) = 27,v4 + 18x* + 24.»-“+ 7jr + 5, lodos los números reale« ( g • g ) ( t ) • 9?*!. lodos k n números reales

"• (/0$)U) = TI -~ .v' {v|.v/()..«* l};(jf °/)(Jr)*“ 7 . {jrU# -l..r * !};(/• /)(jc) = .r. (*U * 1};(¿ • g ) [ x ) -jr.{x|x *•0} •v + 1 13. (a) inyecliva (b) {(2.1). (5.3). (8.5). (10.6)}

RESPUESTAS Capítulo 6 Ejercicios de repaso i, ^

i7. r i(.v) =

2.v + 3 5.v - 2

(Bl)
2 / ( / " ' ( A - ) )

-

=

r ‘( / w ) =

Dom inio de /

i9.

r\x ) =

+ 3

-v + 1 X

n r\x ))

=

= X

1

*+

1

x

1

2 ( -2 i ± i \5 7 = f) + 3

r '(/w ) =

R41

x-

1

-

1

+

1

i

- 1 Dominio de / = rango de / “' = todos los números reales excepto 1 Rango de / = dominio de f ~ l = todos los números reales excepto 0 x

rango d e / ’ —todos los números reales excepto j

R ango d e / — dom inio d e / 1 = todos los números reales excepto — 21. r ' w

23. (a) 81

- *

*

n r\x ))

=

29. j *

jc

(c) -

> | j ; Q , cx^

27 y /3 33. - 3

r\f(x )) =

(b) 2

27

35. V 2

47. - 2 ln(x + 1)

27. 5 13 = u

31. {jc| jc < 1 o x > 2}; ( -o o , 1 ) U (2, oo) 39. log3 u + 2 log 3 v — log3 w

37. 0.4

41. 21ogx + —log(x 3 + 1)

(B

25. Iog5 z = 2

(d) - 3

43. ln x + - ln ( x 2 + 1) - ln(x - 3)

49. log 1 [(x +

4x 3 ) 3)(x - 2 )]'/2

25. 45. —-log 4-t

2.124 51. 2.

Dom inio de / —rango d e / = todos los números reales excepto 0 Rango d e / = Dom inio de f ~ l = todos los números reales excepto 0 55. (a) Dominio d e / : ( - 00, 00)

53.

(b)

(c) Rango de / : (0, 00) Asíntota horizontal: y = 0 (d) r \ x ) = 3 + log2.r (e) Dominio d e / _1: (0, 00)

n

(f)

SJPH A i , 4) 11. 3)t

Rango de / “ *: ( - 00, 00)

>-= 0

üfc

j:— 0

-3 59. (a) Dominio d e / : ( - 00, 00)

57. (a) Dominio d e / : ( - 00, 00)

61. (a) Dominio d e /: ( - 3 , 00)

3,

(b)

3 =1

(c) Rango de / : ( - 00,1 ) Asíntota horizontal: y = 1 (d) r \ x ) = - l n (1 - x ) (e) Dominio de / ” ': ( - 0 0 , 1) Rango de / “ *: ( - 00, °o)

(c) Rango de / : (0, 00) Asíntota horizontal: y = 0 (d) r \ x ) = - lo g 3( 2x) (e) Dominio de / ” *: (0, 00) Rango de / -1: ( - 00, 00)

(c) Rango d e /: ( - 00, 00) Asíntota vertical: x = - 3 (d) r ' w = b - 3 (e) Dominio d e / " ': ( - 00, 00) Rango de / “ ': ( - 3 , 00)

(f)

3

y= -3

63. { i }

65. {

1 2^

1

\

— } « {-1-366.0.366}

69.

67.

2 ln 3 ln 5 - ln 3

« {4.301}

71. { y }

7 3 .(8 3 }

75. { ± - 3 }

ln ( - 2 + V 7 ) 77. { -1 } 83. (a), (e)

79. {1 — ln 5} ~ {-0.609}

81. |l o g 3 ( - 2 + V 7 ) } = | (c) 10; (10,4) 5Ì (5 x r> i l i ° [ 2 ' ° °

(b) 3; (6,3)

(d ) (e)

f-\x)

= 2T' + 2

{-0.398}

ln 3 85. 89. 93. 97.

3229.5 m 87. (a) 37.3 W (b) 6.9 dB (a) 9.85 años (b) 4.27 años 91. $41.668.97 hace 24,203 años 95. 7,237,271,501 $483.67 mil millones

R42

RESPU ESTAS

99. (a)

165.1

Capitulo 6 Repaso acumulativo ( C)

101. (a)

(c)

50

16

(d) Aproximadamente 83 s

(b) y = 165.73(0.9951)'

(d) Aproximadamente 47 personas;

46.93

50 personas 2.4 días; durante la décima hora del día 3 (f) 9.5 días

1 + 21.273e,_0 7306í

(e)

E x am en d el ca p ítu lo ( p á g i n a 5 0 0 ) 2x + 7 inio; \| x x * - - \ 1. (a) / ° g = 2 x + y dominio;

jc *

4. El punto (-5 ,3 ) debe estar en la gráfica d

ln21 ln 3

2.771

(c) ( / » g ) ( ~ 2 ) = - 3

(b) La función es inyectiva.

2. (a) La función no es inyectiva 2 + 5.v 3. f - ' ( x ) = — ; dominio de / =

10. log321

(b) ( g ° f ) ( ~ 2 ) - 5

| } , rango de / = {yly * o}; dominio d e / " 1 = { x \ x * ü}; rango de f l = { y |y * | } e

5. x = 5

6.

b

= 4

7. x = 625

8. e3 + 2 ~ 22.086 9. log 20 ~ 1.301

11. ln 133 ~ 4.890

12. (a) Dominio d e /: {.r | —oo < x < oo} (c) Dominio de / “ ': {jc|jc > -2 ) ( - 2, oo) Rango de f ~

o (—oo, oo)

o

(b)

(f)

(c) Rango d e /: {y|y > -2} o ( - 2 , oo); Asíntota horizontal: y = - 2 (d) r 1 (x) = log4 ( X + 2) - 1

13. (a) Dominio d e /: {jc| Jr > 2} (e) Dominio d e / : |x| o c . < x < x j o ( - 00, 00) o ( 2,oo) Rango de f ~ x: {yly > 2) o (2, x )

o (-oo, oo) y

<

*>

o ( - 00, oo) A síntota vertical:

jc =

2

(d) / " ' (x) = 51_x + 2

14 .(1 }

15. {91}

16. { -ln 2} ~ {-0.693}

17.

j-—

1+

ja

{-1.303,2.303}

18. { t - '" ¿ 7 } * <~6 1 7 2 }

19. {2 V 6} ~ {4.899} 20. 2 + 3 log2 x - l o g 2( ^ - 6 ) —log2(Jr + 3) 21. Aproximadamente 250.39 días 22. (a) $1033.82 (b) $963.42 (c)11.9años 23. (a) Aproximadamente 83 dB (b) El umbral de dolor se excederá si 31,623 personas gritan al mismo tiempo. R e p a so a c u m u la tiv o ( p á g i n a 5 0 0 )

1. Sí; no 2. (a) 10 (b)

2x2

+ 3x + 1

(c) 2xr2 + 4 x h + 2 h 2 - 3x - 3 h + 1

3.

está en la gráfica.

7.

9. /(g(x)) =

(x

- 3 )2

+ 2;

dominio: {x|.v * 3}; 3

10. (a) Ceros: - 4 , - —,2

f { x ) = 2{x

11. (a),(c)

4

1

(b) Intersecciones en x: - 4 , - 2 ; intersección en y: -8 (c) El valor máximo local de 60.75 se da en

= -2.5. El valor mínimo local de -25 se da en x = 1. x

4. {-26} - 4)2 - 8 = 2 .r - 16.r + 24

(0.3)j -+*V =1 1--7

-5 -r

( 3 .° i;

Dominio g = rango g 1 = ( —00, 00) Rango g = dominio g “1 = (2. 00)

(b) g~ '(x) = log.,(x - 2 )

RESPU ESTAS

{ 2} (al

^

t'U

»

l» lt > -1} o (-1,00)

R43

Capitulo? Funciones trigonométricas

(c) (25}

IPÍTU LO 7 Funciones trigonom étricas I 'v a lú a lu e n te n d im ie n to ( p á g i n a 5 1 3 )

KMición estándar

-2 2 5 ’

5 1 .9 0 °

4. ángulo central 5. radián

5 3 .1 5 °

0.6 radianes 77. s

5 5 .- 9 0 °

*= 1.047 pulg.

6. r8: - rO 1

7. n

8. -• t’ /

59. 0.30 6 1 .- 0 .7 0

5 7 .- 3 0 °

9. V 10. F

63.2 .1 8

65.179.91°

67.114.59°

69.362.11°

71. 5 m

73. 6 pies

81. 2V 3 a¡ 3.464 pies 83. 0.24 radianes 85. - = 1.047 pulg .2

79. 25 n r

= 2.094 pies; A = 2.094 pies2 89. 5 = 14.661 yd; A = 87.965 yd2 91. 3rr =* 9.42 pulg: 5 n * 15.71 pulg. 93. 2 n = 6.28 m2 95.

= 1060.29 pies2

= ~ radianes/s; v = y - cm/s 99. =5 452.5 rpm 101. * 359 mi 103. - 898 mi/h 105. = 2292 mi/h 107. | rpm 109. a 2.86 mi/h 111. « 31.47 rpm 1037 mi/h

115. Radio = 3979 mi; circunferencia = 25,000 mi

117.

v!

= r)ü>|, i>2 = r->a>i,y

Tj

(ih

r2

w.

entonces r\u>\ = r 2iú2 y — = — .

K valúa tu en te n d im ie n to (página 525) :omplementarios 4. coseno 5. 62° 6. 1 7. V 8, F 9. V 10. F 5 12 5 13 13 12 , , „ 2V T 3 „ sen 0 = — ; eos 0 = — ; tan 0 = — ; esc 8 - — ; sec 0 = — ; cot 0 = — 13. sen 0 = —jy—; eos 0 = 9 = ^ 9 -

9

15. sen 9 =

eos 9 = y tan 8 = V3; esc 8 =

cot 0 = V3

sen 0 =

3

23. tan 0 = y y ; esc 8

=

y sec 0 = y y : cot 0 = - - y

3 \/7 V2 tan 0 = 2 V i : esc 0 = ------ ; sec 0 = 3; cot 0 = — 4 4

tv/ 5 1 3 V2 V2 sen 0 = ^ ¡ c o s O = tan 0 = 2V 5;csc 0 = — - ; c o t 0 = —

3

sen 0 = -■ eos 0 = 2

(a) y

(b) |

1.28

(e) 1.61

17. sen

8 -

2

(c) 2

; tan 0 = ——; sec 0 = — ; cot 0 = V 3 3 3

(d) 2 57. (a) 17 (b) i (c) 4

(g) 0.62

(a) lOmin (b) 20 min

(d) y

3 V Í3 2 VT3 V Í3 ; tan 8 = - ; esc 0 = - y - ; sec 8 = - ;

- y ; eos 8 =

V3 2V 5 1 _ V5 19. sen 9 = ---- ; eos 9 = —— ; tan 9 = ese 8 = V5; sec 8 = — ; cot 8 = 2 5 5 2 2

V '

V3: cot 9 = ---2

=

sec 0 = 2; cot 9 = - y -

^

21. tan

9 =

tan 8 = V2; esc 8 = - y ; V3 — ; esc 0 = 2; 3

25. eos 0 = y ; tan 0 = 1; esc 0 = V2; sec 0 = V2; cot

V5 2V 5 _ V5 29. sen 0 = — ; eos 0 = —— ; esc 8 = V5; sec 0 = — ; cot 0 = 2 5 5

V6 V§

V3 V3

V6

33. sen 0 = — ;c o s0 = — ; esc 0 = — ;se c 0 = V3; cot 37. 1 39.1 4 1 .0 59. (a) ^

(b) 15

4 3 .0 (c) 4

45.1

4 7 .0

(d)

4 9 .0

61. (a) 0.78

51.1

(e) Aproximadamente 10.4 min

= y

53.1

(b) 0.79

(h) 1.27 63. 0.6 65. 20° (d) Aproximadamente 15.8 min

V2

8

(f) 70.5°; 177 pies; 9.7 min 20

< " ™ ■ 5( ‘ - 5 = 5 + d r») 90°

(c) 1.27

8

= 1

R44

K E S I’ U K STA S

Sección 7.3

VO 3

VO 69. (n) / = 2(10 V O * 721.1 ohm» 71. (n) |0 / t |

|OC|

;co1 ^ ' 2 , t ' C^

(I») tan - ^ ;* e n

I; (ingulo O A C *= ángulo C C /M n g u lo CMC + ángulo CMC + I««"

ir/)|

lool

loci

loci

,

,

0 2

(b) sen II = ----- - ■ |CZ)|; cos 0 m —— ■ “ \ O D \

(c) tan — m , A,

|/i/)|

^

^

___ *cn.° 1 + |M)|

*4 lan nil (an ,y f la(1 ,,yy

77. sen a * lan « a>* « * a * /i a n a * a n /} tan /i * *c«i/í

' “ J *Cn “ C0* "

(b) Áren A O C B = | |/»C| |OC| - ‘ | 0 /l |2—

1W . ángulo CMC -

"

»cn 0

73. It ~ x tan II y It - (I - .v) tan nil; entonces, ,v tan II * ( I - *) Ian nil, por lo tanto i

75. (a) Área ACMC = ' U C | |OC| = J

*2 '* * * *

sen2 a + a n 2 a « I »en2o + lan2 ¡i * 1

• ! — . - í | 0 » | 2*cn /ic o * /!

2 *cn‘ /i »en a ♦ , * i

|0 /J| |0 /i|

a n 2/i

,|/3/3|

(c) Área A O A l l = ~ \ B D \ \ O A \ = ‘ | 0 / i | j " " j = j loyyl scní" f ^

»en2 a +■

\oc\

1

- »en

a

= lOfll

«en a

\OB\

(c)

*cn‘ a

Área A O M I = área A O A C + área A O C H ¿

sen (a + ¡i ) =

3i V 5 2

3 - V5 2

O - Vi v$ la “ V“ r "

^ |0 /i|s e n (« + ¡i) = ^ se n « c o s a + - |0 / i | 2 sen/3cos/3 L

1

»en2« —»en4 a + »en2 a * I - »en2 o »en4« - 3 »en* a + 1 ■ tí

|0 C| eos a (el) cos II

sen' a

L

sen a eos a + |O fl |2 sen/S eos /i

lO/il se n a (|O fl|eos /3) + | 0 / i |2 sen/i

sen (a + tí) = ---------------------------------- -

|o«l

sen (a + fi ) = sen a cos/3 + cosasen/3 a co» 0 1 79. Como a 2 + b 2 = c 2, a > 0 , h > 0, entonces 0 < n2 < c2 oO < o < c. Por lo lanío 0 < - < 1 y 0 < e o s 0 < 1 o — - < —— enloncrs. see 0 > 1. f eos ff eos u

7.3 Evulúa tu entendimiento ( p á g i n a 5 3 6 )

1. -

2.0 .9 1

3. V 4. F

" ......................

2

13. V 3

15. — 4

17. V 2

41. 0.84

43. 0.02

45. 0.31

47.

1

+ V3

1

3 sen Ü

2

eo s45° = —-;ta n 4 5 ° = líe s e 45° m V i ; se e 45° * V L cot45® * 1 7.

19. 2 21. V 2 + ^

57. R « 310.56 pies; / / « 77.64 pies 63. (a) T ( 0 ) = 1 +

V

5. s e n 45°=

...........

4 tan H

23. - ? 3

3 1

49. _

V3

5 1 .-

25. i 2 V2

53. T

27. 0 29. 0.47 V2

55. (.) T

59. K » 19,541.95 m; H = 2278.14 m (b) 1.9 h :0.57 h

(c) 1.69 h ;0.75 h

í

31. 0.38 33. 1 J3 tt

V2\

;(_ — )

61. (a) 1.20s

(d) 1.63 h; 0.86 h

/V 3

35. 0.31 ít \

(T . - )

(b) 1.12 s (c) 1.67 h

9. -l

37. 3.73 39. 1.04 / tr

,\

t c ,( - .- 2 j

(c) 1.20» (f) 2.75 h

65. 4.59 pulg.; 6.55 pulg. 67. (a) 5.52 pulg. o 11.83 pulg. 69. 70.02 pies 71. 985.91 pies

(g)

73. 50 — 83. 3.83 mi

*s 28.87 m

75. 1978.09 pies

77. 60.27 pies

79. 190v T « 268.70 pies

81. 554.52 pies

85. La hola blanca deberá golpear la banda a 4.125 pies de la esquina superior izquierda.

w 67.98°; 1.62 h; 0.9 h 87.

0

sen 0 m

sent)

tf

1L j

0.5

0.4

0.2

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

0.9589

0.9735

0.9933

0.9983

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

0

tiende a 1 conforme (I —* 0.

89. 1 91.

V2

RESPU ESTA S 15 eos 0 + 5 V 4 0 - 36 tan 0 + 9 tan 2 0 (b) 0o < 0 < 63.4°

(a) L { 8 ) ^ ^

Sección 7.5

R45

(c) L( 45°) = 15 V 2 + 5 V Í 3 pies » 39.2 pies; 15 pies

^-min = 39.05 pies; « 18 pies del poste de 15 pies

6.U

0 = 50.2° 7.4 E v a lú a tu e n te n d im ie n to ( p á g i n a 5 4 8 ) 5. V 6. V 7. 60°

1. tangente; cotangente 2. coterm inales 3. 60°

4. F

tan 0 =

13. sen 0 = - ^ 7 13

J

esc 0 = y sec 0 = - 7 ; cot 0 = - 7 4 3 4

V3

V2

15. sen 0 = —y ; eos 0 = — — ; tan 0 = l;c s c 0 = -

V2; sec 8

8. I, IV 9. y , y

21. y

2 3 .1

2 5 .1

27. V 3

47. y

53. y

55. 80°

57. y

59. i

77. 0

49. “

51- 45°

79. 0

85. sen 0 =

8 1 .- 1

83. eos 0 = - y

3

3

2 V2

89. sen 0 = —

5

tan 0 = - ; esc 0 = 4

5

3

tan 0 = - y

5

3

sec 0 =

= - V2; cot 0 = 1

29. ~ 61. y

esc 0 = y

4 4

cot 0 = 3

101. 0

19. sen 0 = —- y ; eos 0 =

31. 0 63. - y

33.11 65. - 2

sec 0 = - y13

87. eos 0 =

; tan 0 = 2 V2; esc 0 = -----7 —; sec 0 = - 3; cot 0 = 4 4

12 13

35. IV

37. IV

67. - V 3

„ c°t 0 =

; tan 0 = - 1 ; esc 0 = —V2;

39. III

V2

69. y

71.

V2 ’

2

4 3 .6 0 °

73.

75. - V 3

2

5

5 13 13 12 ; tan 0 = ----- ; esc 0 = — ; sec 0 = ----- ; cot 0 = ----12 5 12 5

95. sen 0 = - y eos 0 = - y esc 0 = - y sec 0 = - y cot 0 = y

V3

2V3 3

3 ( 315°, - y )

4 5 .6 0

_ 12

; eos 0 =

103. (a) - y

4 1 .3 0 °

91. eos 0 = - 7 7 ; tan 0 = ——7 —; esc 0 = - ; sec 0 = —^ 7- 7 cot 0 = —^ 3 5 2 5 2

V3 93. sen 0 = —7 7 eos 0 = y tan 0 = - V3; esc 0 = — ~ y ; cot 0 = - y -

97. sen 0 =

11. sen 0 = | ; eos 6 =

2 V Í3 , a 3 V I3 VÜ 2 —y ; tan 8 = ——; esc 0 = — y ; sec 0 = ^ ; cot 8 = - -

eos 8

17. sen 0 - —: eos 0 = - y ; tan 0 = - y ; esc 0 = 2; sec 0 = —y ; cot 0 = V 3 sec 0 = V5; cot 0 = - 1

10. y

(b) V2; (315°, V 2) (c) - 1 ; (315°, - 1 )

“ ■C '- 7 ; ( t - - 7

) -2; ( t 1~2) W 'iC -W D (c) 67.5°

90°

7.5 E v a lú a tu e n te n d im ie n to ( p á g i n a 5 5 9 )

4

2 tt; tt 5. 6; a

11 . sen

t =

h n

6. y “

7. -0.2; 0.2

8. V 9. sen

t =

V3 1 V3 V3 2V 3 ^ y ; eos / = y ; tan t = - y ; esc t = - 2 ; sec t = y - ; cot í = - V3

———; eos t = ———; tan t = 1 ; esc t = —V 2; sec t = —V 2; cot r — 1 2

v 2-

eos jt — = y^ ,, icin tan *t — = ^ ^y ;»»'‘ esc 13. SCn, t1 = ^y, coa -.w-í = y2 ’ sec t = y ^ ; cot í = y 17. sen 9 - ^

15. sen 0 = - y eos 0 = y tan 0 = - y csc0 = - y sec0 = | ; cot0 = -

eos » - - ^ 5 ; ,a„ . - - f í e s e » -

êc s

19. sen 9 = ———; eos 9 = - - ^- 1 tan 9 = 1 ; esc 9 = —V3l sec 0 = - V2; co, (í = 1 21 . 2

35. y

37. - y

2 3 .1

. = 2 5 .1

c o ,» - - f 27. v 3

2 9 .^ 1

3 1 .0

33. V I

2

39. - y

41. 2

63. Para los múltiplos impares de y

4 3 .-1

45. - 1

^ 47. —

49. 0 51. - V 2

65. Para los múltiplos impares de -

53.

55. - 1

57. - 2

59.

61. (-oo, oo)

67. [-1 ,1 ] 69. ( - 00, 00) 71. ( - 00, - 1 ] U [1, 00) 73. Impar; sí; al origen

R46

RESPU ESTA S

Sección 7.6

75. Impar; sí; al origen 77. Par; sí; al eje y

79. 0.9

8 1 .9

83. («)

- |

0*) I

85. (a) - 2

(b) 6 87.ía) - 4

< b )-J2

89. (a) Usando la gráfica: sen I « 0.8, eos I « 0.5, tan 1 « 1.6, ese I « 1.3, sec I * 2, eot I • 0.6; Usando una calculadora: sen 1 « 0 .8 , eos I «0.5, tan 1 « 1 .6 , esc 1 « 1.2, sec 1 « 1.9, eot 1 « 0 .6 (b) Usando la gráfica: sen 5.1 « -0 .9 , eos 5.1 «0.4, tan 5.1 « - 2 .3 , esc 5.1 « - 1 .1 , sec 5.1 « 2 .5 , col 5.1 « 0.4, Usando una calculadora: sen 5.1 « -0 .9 , eos 5.1 «0.4, tan 5.1 « -2 .4 , ese 5.1 « - 1 .1 , sec 5.1 « 2 .6 , eot5.1 « - 0.4 y

91. Sea P = ( x , y ) el punto en el círculo unitario i|uc corresponde a t. Considera la ecuación l = — = a. Por lo tanto y

ax

1

y y - ± —; esto es, para cualquier núm ero real a. existe un VV 1i +» m a2 punto P = ( x , y ) en el círculo unitario para que tan t = a. En otras palabras, - o o < tan / < oc y el rango de la función tangente es el conjunto Pero x 2 + y 2 = 1, entonces x 2 + a 2x 2 - 1. Por lo tanto, x = ±

VVi1' T + 1 a4■2

de todos los números reales. 93. Considera que existe un número p, 0 < p < 2 tt, para que sen (tí + /;) = sen tí para toda tí. Si 0 = 0, entonces sen (0 + p ) = »en p = sen 0 =* 0; por lo tanto p = n . S ' \ 0 = ^ .e n to n ce s sen

+ p^j

Pero p = 7r. Entonces sen

= sen

^ = - 1 = « c n ^ y j = 1. Esto es imposible.

Por lo tanto, el número positivo p más pequeño para el cual sen (tí + p ) = sen 0 para toda tí es p = 2 tt. 95. sec tí = —-—; como eos tí tiene periodo 2 tt, sec 0 también lo tiene, eos tí 97. Si P = ( a , b ) es el punto en el círculo unitario correspondiente a 0, entonces Q = ( - a , - b ) es el punto en el círculo unitario correspondiente ^ ^

^

a tí + 7T. Entonces tan (tí + p ) = -— - = - = tan 0. Si existe un número p, 0 < p < ir, para el cual tan [tí + p) = tan 0 para toda tí, entonces. (-«) “ si tí = 0, tan (p) = tan 0 = 0. Pero esto quiere decir que p es un múltiplo de tt. Como no existe algún múltiplo de tt en el intervalo (0, tt). esto es imposible. Por lo tanto, el periodo fundamental de f ( 0 ) = tan tí es tt . sen tí - 0 sen tí 99. m = ----- — — = ------ = tan tí eos 0 - 0 eos 0

7.6 Evalúa tu en tendim iento (página 571) 5. 3 ; ^ 6. V 7. F 8. V 9. (a) 0 (b) ~ < x < ^ (c) 1 (d) 0, tt, 2 tt «5 Z Z , . , , 3tr TT , TT 3 tT 5 tT TT 7 TT 117T . . , (e) } \ x ) - 1 para x = — —, —; / ( * ) = - 1 p ara * = , — - (0 — <81 {x|x = k i r , k un num ero entero} ¿ L 22 o o o o

3. 1; — ^

4. 3; tt

11. Amplitud = 2; periodo = 277 13. Amplitud = 4; periodo = 5 19. Amplitud = periodo = 3 21. F 23. A 25. H 27. C

tt

15. Amplitud = 6; periodo = 2

17. Amplitud = 2

29. J

31. A

periodo = — 3

33. B

41.

Dominio: ( - 00, 00) Rango: [ - 4 ,4 ] Rango: [ - 4 ,4 ]

Dominio: ( - 30, oc) Rango: [ - 1 .1 ]

Dominio: ( - 00, 00) Rango: [ - 1 ,1 ]

49.

Dominio: ( - 00, 00) Rango: [ - 2 , 2]

Dominio: ( - 00, 00) Rango:

1 1

’2 ' 2

'

Dominio: ( - 00, 00) Rango: [1,5]

Dominio: ( - o c . 00) Rango: [ - S , 2]

RESPU ESTAS

$1.

•i M *. f \-, r /H í ♦

i

•

á f lri'./ a ; •* : : >* «i

1

y » IXirnin** ( - x , ev)

Dominio: ( -no, oo]

Dominio: ( -oo, oo) Rango: (2,8¡

Rango ¡‘ - 2 . 101

Rango: [ - 1 .2 ]

s s

Rango:

R , -

1

JK.

TU » • {/

R47

Sección 77

0 0

-

.L

í , >) • I

. 7, 7.V » •

* # ){* ) * w n { 4 i)

/I »

'" " (ó )

7Í- > - -4n » (Jv)

77. -

5

77. —

W> (/ • X>(<) " - 2 eos.*

H7. Periodo: »

30

s;

I

i». -J>

(jr • /)(«) • 4 ->cni

(,*f * /)( *) ■ cos( - 2.1) •IT. I)

(c) /( /) = 22 scn( 12t>rr/)

H9. ( a I Amplitud = 220 V;

(d) Amplitud = 22 amp;

periodo = — s ' 60

MH

m

(b), (c)

H

periodo = — s

60

1

- UD

[l'uxcn(2ir/r)|-'

•»I. (■> P ( l )

V .

entonces

A

*

v rt - “

-

*>3. )a) Potencial físico-cu (b l

l* o ~H

scn:(2 v f l )

(b) Como la gráfica de

V•

P

tiene amplitud ^

y periodo — y es de la forma y = A eos ( w i ) + B

y 2

|

2

Como — - ^ -.e n to n c e s cu = 4rr/. Por lo tanto, /’(/) = - — eos (4 rr//) + ^ ~ ^ . potencial emocional:

iw

(el No

97. Las respuestas pueden variar. ( _

cu

= * : potencial intelectual:

cu

y2

^

(i -

cos(4 tt//) ] .

= ~

(d) El potencial físico llega a su máximo 15 días después del cumpleaños 20. El potencial emocional está al 50% a los 17 días, con un máximo a los 10 días y un mínimo a los 24 días. El potencial intelectual se mantiene bastante alto, cae a un mínimo a los 13 días y sube a un máximo a los 29 días.

í )• ( ~ J - ¿ ) '

Las rcsPucstas pueden variar. ( ~

, ! ) , ( ^ . , 1) . ( y - 1

9tt

-,1

7.7 K valúa tu entendimiento ( p á g i n a 5 8 1 ) 3. origen; múltiplos impares de ^

4. ej e y. múltiplos impares de — 5. y = cos.v

11. scc.r = I p a ra r = - 2rr, 0, 2 rr; sec.r = - 1 p a r a r = —ir. n 17.

..

13.

2

1

Rango: ( - 00, 00)

’

2 ’2 ’ 2

._ 15.

2>ir

tt tt

3 tt

19

U

Dominio: < x r *

ir 7r 3rr

3rr

6. V 7. 0 9. 1

,k

es un número entero impar j

(-M

.... f r |r * k n . k e s un número Dominio: Rango: ( - 00, °o)

Dominio: ( r |r no es igual a un número entero impar} Rango: ( - 00, 00)

R48

RESPUESTAS

Sección 7.8 25.

2.1 .

n

(0,m2) i 'ii| l i '*»»»•»» Irr >

(-n, -i)

(-ff, - 2) A

Dominio: {.vi* / 4Att, Aes un número entero} Rango: ( - 00, 00)

Dominio: l * ¿

. » ! J"}

fr-/íÍ

l \ m.-t,

niM

$Iln

lll

I

A es un núm ero entero im p ar/ Dominio; { x \ x * k v , k e % un número 2 ' en tero ) Rango:{y \ y * - 2 o y * 2} Rango: (>¡y * - 3 o y * 3)

31.

29. (0.4) 11 M11

(-2ir, -4)

M fv (2tt, -4) 11J

Dominio(.v|.v •/ k i r . k c s un número entero impar}

Dominio: {*|*noc* un número entero}

Rango: {y|y s - 4 o y 2 4}

Rango: {>’|,v s * 2 o y i 2)

D om inio)** * 2rrA, Ae* un número entero impar} Rango: ( - o c .- x ) 39.

35.

¡M)

/ ;5rr, 1

*^

* -A,A es un número entero im par| Dominio:{*|* / 2 n k . Acs un número entero impar} Rango: {yly s l o y & 3} Rango: ( - 00, 00) X

7r

43.

7r

45. ( / » g)(.v) = lan(4.v)

i

fT -

( - t)1 (0. - 2yj)

41. ^

twUM h n n ?-*

Dominio:)*!* r 3rrA.Ac» un número entero} Rango: {yly s - 3 o y i I)

(g • /M *) “ col <- 2* )

(g » /) ( * ) = 4 tan .v

■4i 4ii4J. »/ >/ •/ •/» 4 ft II 3 4 51. (a) /.(O) = ------- + eos 0 sen O = 3sec0 + 4 cscú (c) *0.83

7.8 Evalúa tu en ten d im ien to 1. corrimiento de fase 2. F 3. Amplitud = 4 Periodo = n Corrimiento de fase = — 2

(d) *9.86pies

(p ágina 592)

5. Amplitud = 2

7. Amplitud = 3 Periodo = sr

. 2n Periodo = —

Corrim iento de fase =

Corrimiento de fase = —

6

1 RESPU ESTA S


R49

(d) y = 15.62 sen (0.517* - 2.096) + 40.377 (e )

60

+ 50.45

33. (a) 11:55 p.m. (b) 35. (a)

y

(d)

y =

(e)

go

2477 = 3.105sen [— (* - 8.3958)

25.693 sen (0.476* - 1.814) + 49.854

+ 2.735 0 y

=

3.105 sen

37. (a)

= 1 . 6 s e n ( ^ r * - 1.39) + 12.15 \3 6 5 / (b) 12.43 h y

r24v „1 + 2.735 (c) 2.12 pies [íST* ~ 4-2485j y

' 2 ;t = 6 .9 7 s e n í ^ ^ * - 1.39 J + 12.45

(c) ,

150

280

15 0

420

280

420

(d) Las horas reales de luz natural el 1de abril de

(d) Las horas reales de luz natural el 1 de abril de

2010 fueron 13.38 horas. Esto está cerca de la cantidad pronosticada de 13.67 horas.

2010 fueron 12.43 horas. Esto es lo mismo que la cantidad pronosticada.

Ejercicios de repaso (p á g in a 597)

LT

3- YÖ 5‘ 135°

31. eos 0 = 35. sen 0 =

i1

3

5

7‘

_450° 9'

\

1L

3V 2 _ 4V3 T 3

s 5s o t „0 = 4 = tan 0 = —; esc 0 = - ; s e c 0 = ^ ; ccot 3

•>

|73 4

Í3.

33. sen 0 =

eos 0 = - 7 ; tan 0 = - 7 ; esc 0 = | ; cot 0 - - -

5

4

j

J

2V3

-3V 2 -

15. 3 17. 0 19. 0 21. 1 23. 1 25. 1 27.-1

12

37. eos 0

5

; eo s 0 = — ;c s c 0 = 13¡ tan 0

]3 13 ; se c 0 = 12’

13

— ; c o t0

12 „ 13 ; esc 0 = — ; sec 0 = 5 12

12

13 „ 5 ; cot 0 = ----5 12

29. 1

R50

RESPU ESTA S

12


5

13

13

12

39. costì = — ; tan tì = - j^ ;c sc tì = —y js e c tì = — ;c o ttì - - y

2V2

1

3V2

K

43. sen tì = ~ ~ L\ cos 0 = - ; tan tì = - 2 V2; esc tì = — — ; col tì =

___ cìis W=* —— —— esc 0 * —s/ÌO ^sccO * —

41. sentì -

V3

^

.

..

45. scn « -

; cot tì - 3

)Q

cog

5 . cos

3

tan tì = - y c»c tì » V3; scc tì

5

2

/

* - ^

2

49.

(t Dominio: ( - 00, 00) Rango: [ - 2 ,2 ]

Dominio: ( - 00, 00) Rango: [ - 2 , 2]

55.

Dominio: j x x

77 , 77 , — + k • —-, k es un

6

3

número entero/

57.

3tt

y

i rM

Se

H A:7T

Dominio: ( - o c o c ) Rango: [—6,2 ]

Dominio: | x x ^ — , k es un número entero im parj Rango: {y|y < - 4 o y 2 4}

Rango: ( - 00, 00)


61.

Dominio: j x x * — + k • 27t, k es un número entero j


Rango: ( —00, 00)

1 67. Amplitud = 4 . 277 Periodo = — 3 Corrimiento de fase = 0

73. Amplitud = -

71. Amplitud = -

69. Amplitud = 2

„ . . 477 Periodo = —

Periodo = 77

Periodo = 2

Corrimiento de fase = y Corrimiento de fase =

75. y = 5 cos1-

4

77. y = —6 cos

(f-)

Corrimiento de fase =

277

7V Ì0

sen 0 = —; cos 0

20

cot tì =

2 VÍ0

81. Seno, coseno, cosecante y secante: negativas; tangente y cotangente positivas. 83. sen tì = —7 —; cos tì = - 7 ; tan tì = - 2 V2; esc tì = —7 -^; sec tì = - 3 ; cot tì = 3 3 4 85. Dominio;; *

x*

múltiplos impares de y j ; rango: {y||y| > 1}; periodo = 2 tt

91. 0.1 revoluciones/s = y radianes/s

99. (a) y

4 87. y « 1.05 pies; y » 1.05 pies:

89. =114.59 revoluciones.il

93. 839.10 pies 95. 23.32 pies 97. 2.15 mi

(b) y = 19.5 sen

'i r , ~6{ X TT 6 X ~

-4 )

2tt\ 3 j

+ 70.5 0 + 70.5

(C) v 90 80) 700 60) 500

(d) y = 19.52 sen (0.54x - 2.28) + 71.01

1Z TP"

1

__ _

.. 4

(e)

Z1

95

. s

12

u

RESPU ESTA S

Capítulo 7 Repaso acumulativo

R51

Exam en del capitulo ip \> g in o 6 0 0 )

. »3» 1. 9

. 2.

15. -1524

20»

.V

13» ISO

16. 2 747

17.

2\0

I», n a l «

7

4.

2 VS

5. sur

a. |U

7. ,

0 1.

K,

V3

10.

?

II. 2

lin t )

cosí»

ta ñ í)

s»c W

CSC 0

c o tí)

tf»n Cl t»*n CU

> •f

4

4

4

4

-

4

4 -

« • n C III W»n CIV

—

►

5\ 6 '" ;e sc ® i:

,U i>í» -

sev t» * r; col i» • -

22 V

„

7 \6

; eos t»

,

™

13.0292

14.0 309

18.

•»■ -

f

;xcc0 ■ - \ \ " ; w l é ■ 12

12

21. sen t» •

-

> -

'(I - v'2 )

12.

2 vo

20. sentí •

s

5 13 13 l^csei» ■ - ;sec# * —s ;coi 0 27.

v “ 3 sen ^3« + j ) 28. 78.93 pies2 20. 143.5 rpm

30. til hirco cslit a aproximadamente 838 pies de la estatua. 31. til edificio tiene 122.4 pies de altura.

Repaso acumulativo (p á g in a 6 0 1 )

1. { - * • ! }

~ v “ 5 * -3( \ +■2) o y ■ -3» - l 3. r + (y * 2): - 16

4. Es una recta; pendiente ~ \ intersecciones (6.0) y (0. -4)

5. Es un círculo; centro (I. -2): radio 3

s -

te s

( \) it

■tttt.ti (b)

(0

/ ■ ( • .» I

¡j

t

" I

«•. r 'U ) -

3

<-« + 2 ) 9.

14. (a) /(.*) = -3a - 3; m = -3;(-1.0).(0,-3)

II. 3

3V3

(b) /(.r) = (.t - I)2 - ft;(0.-5),

(- Y6 + |.Ü).( V6 + 1 ,0 )

y

11. -«>

13. y = 3cos( - .r

(c) Tenemos que y = 3 cuando x = -2 y y = -6 cuandox = 1. Ambos puntos satisfacen y =a e'. Por lo tanto, para (-2,3) tenemos que 3 =ae~:, lo que implica que a = 3c2. Pero para (1,-6) tenemos que -6 =a e1, lo que implica que a = - 6 c 1. Por lo tanto, no existe una función exponencial y = ae1 que contenga (-2, 3) y (1, -6).

-1.45. )|\ > 5I. L~f ,4. ■f-J rt£

15. (a) f ( x ) = -(.r + 2 ) ( x - 3)(.t - 5)

(-2. 0)

12. v = 2(3*)

(b) R ( x ) = -

; .. í_5 4i (2.1) JU4 J // ¿fio.oi !/r r v 1/ -1 □x; r tt ■

(.r + 2)(.t - 3)(.t - 5) 3(r - 2)

R52

RESPU ESTAS

Capitulo 8 Trigonometría analítica

Capítulo 8 Trigonometría analítica S .l E v alú a (ti eiite tid iin ien lo ( p d g l n a 6 1 3 ) 7. sen y « . O s * s ir 9. -o o < * < oo 29. 0.51

31. -0.38

33. -0.12

35. 1.08

37.

10. F II. V 12. V 1 3 .0 4 TT 39 5

V

(c) 12 h

8.2 E v alúa tu enteiH lim iento

29.

2

2l

61. { ^ }

Rango de / = Dominio de / 1 = [ - 3 ,3 ] 1 7r I 7r Rango de / 1 = 2 ~ 4' 2 + 4

27. ^

»

51. ?

tan ’i* ♦ 3)

I

Rango de / * dominio d e / 1 Rango»de de / 1

0.

• ( ■I -

-x)

2‘2

3

65. {V 3}

69. (u) 13.92 h o 13 h 55 min

67. { -1 }

(b) 12 li

71. (u) 13.3 h o 13 h IK m in

(c) 13.85 h o 13 h 51 mm

(b )l2 h

(c) 13.26 h o 13 h 15 min

5 77 77. (a) y unidades cuadradas " unidades cuadrada»

79. 4250 mi

(p ági na 620)

31. - 5 2 ^ 2 10

33. V 5

35. - -

4

37. -

39.

6

Vn3 -

1

2

1

13. 2

15. \ ¡ 2

17. — -

41. 77 43. 2 ” 6 3

45. 1.32

V2

|9 2 V 3

V i

V3 11. - - y -

7. V 8. V 9.

19.

_

47. 0.46

21. 4.

49. -0.34

1

______ .59. .. ______ 6 1 . — ----- 1 63. — ----- 1 6 5 . - 6 7 . — 69. 3:7 71. . . . - 3 73. . . . A- 75. 7 6 vT + u2 V \ - u2 |" 1 i» 1 “ 13 4 4 13 79. (u) 6 = 31.89° (b) 54.64 pies de diámetro (c) 37.96 pies de alto 81. (a) 0 = 22.3° (b) v 0 = 2940.23 pies/* 83. 55. 2.55

2 5 .0 10 2 7 .1 3 7

ft

4

5

63. { - • }

(d) Es de 12 h. 75. 3.35 min

5. coseno 6. F

2

8

Rango de / 1

59. / - ' ( , ) = 2 sen

4. x = sec .y; 2: 1; 0; 7r

21. J

43. - W 45. * 47- 4 49. No c»lá definida

n

Rango d e / * dominio d e / 1 “ [~ 2 ,2 j

[ -3 .7 ]

2’2

(b) 12 h

19. *

55. / '( J r j - j c o * ' ( - j )

5 Rango de / = dominio de / 77 77 Rango de f =

73. (u) 12 h

1 7 .0

57. / U t ) m

x - 2

53. / '(.v) = sen

41.

8

15.

57.

23. - — 25. 51. 2.72

4

53. - 0 73

77. - \ I 5

8.3 E v alú a tu e n te n d im ie n to ( p á g i n a 6 2 8 ) _ 7r 5ir

f

0

7-6;T M" 15. í — 14 4

5?

,

6

6

77T 1 17T ) 17. K 4 J 1 2 ~~b' ~6~ }

4 }

TT

= —+ 2 ?A, 0 = — + 2i r k , k

,,

f 3? 7? 1

37. 41. ¡ 0

„

33- U \ 5 ? 117r 1777

5?

J

6 0

= ^ +

3

45i. {0.41.2.731

6

= —

3

6

+

“- H

6 6 6

41. {2.69.3.50}

í |

877

„

"■ I r ■ T +

» { t - t } » { t -t }

ÍSn

( Un

3\

1 1**2/

(fi)

2

1 877 10:r 20a- 22? 32? 34?

„ 4

55. {0.73.2.41}

“ W 83.0.52

10?

■—

51. {1.82.4.46 } 53. {2.08.5.22}

} « -{f-T T -y }

(b)

}

39‘ í"l" [.I = ?2 + 2 k n . 0 = ^2 + 2**}: / ’Z2’ 2 ’. 2 •K2 • 2~-

79’ No tiene solución real 81. -1.31,1.98,3.84

95. (a) - 2 ? , 0 , ? , 2?, 3?, 4 ?

11.

í TT 5 TT 1 77 ? 577 5 tt 13? 17? 25? 29? 35. < 0 0 = - + 2 k n . 0 = — + 2A? 6 6 J ’ 66 ’’ 66 6 6 6 6

r J -T -T 'T -T 'T

t

10. F

} “•( v i )

21'

\ ? 2 ? 4 ? 5 ? 7 7r 877

47. 11.37,4.51}

- { f - J x } 77. l T ’ T f v*•* ^

k ir , 0

6

)

9. F

Í4 ir 8rr 16»'

» { f-f-T -f}

í 1 I tt 1

„

} 3L ( t t )

es cualquier número en tero j

57. { ' y . y . í r j

« {* !•-•? } 85.1.26 8 7 .-1 .0 2 .1 .0 2

(c) /_H e

l

6

« M -t

'

_2 e 6

e

’6 '

» «

89.0.2.15

*1 6

9 1 .0 .7 6 .1 J5 9 3 . - . — . — . — \ \ \

i 3» IZe I

'

6

*

6

/

7?

?

5?

6

6

6

< v < --- — O - < x < —

13?

O — - < X <

6

RESPU ESTA S

97. (a) j v j » **

*■ Air. A es cualquier número entero |

Sección 8.4

R53

(h) - * < t < - *

I ’; ' : }

(C)

1W. (a l 0 s .0 4 .H 0 .8 fts (h) 0.21 s (el [0 .0.03]U(0.39,0.43|U|0.8ft, 0.89| 105. (a) 150 mi (b) 6.06. 8.44. 15.72. 18.11 min (c) Antes de ft.Oft min, entre 8.44 y 15.72 min y después de 18.11 min (d i No

109. (a) 30 .« ) (c)

(b) 111.6 m

111. 28.9tr 113. Sí; varía de 1.25 a 1.34. 115. 1.47 117. Si fl es el ángulo de incidencia original y es el ílngulo de sentí refracción, entonces --- » E l ángulo de incidencia del sen® 1 rayo emergente también,es y el índice de refracción es n ¡‘ Entonces tí es el ángulo de refracción del rayo emergente.

107. 2.03.4.91 8.4 E v a lú a tu entendim iento ( p á g i n a 6 3 7 ) 3. identidad; condicional 4 . - 1

5. 0

6. V

7. F

I 9. —:— eos tí

8. V

II.

eos tí

13. ---- !----

,5.

2

17.

sen tí eos tí

sen tí + 1

19. esc tí • eos tí = ----- • c o s í ) = — - = col tí 21. 1 + tan2(- t í) =» 1 + (- ta n tf)2 ■ 1 +■tan2 tí = sec: tí sen tí sentí ' /s e n tí eos tí \ /s e n 2 tí + eos2 tí ——■ tVMtí(Al ■ ■ "■ ■ ■■. ...I. ■ ..»i ) = eos tíf -----------) = ——- = esc tí 23. eos tíl tan tí + col tí) = eos r tI l----- 4> + — ----) I=S3eos \ eos tí sen tí / \V eos tí sen tí / \cos tí sen tí./ sen tí

„

2

25. tan ii cot ii - eos- ¡i = tan n •

1

tan

ii

— cos’ ti = 1 - cos'

ii

— sen'«

27. (sec tí — l)(se ctí + I) = sec2 tí — I = tan2 tí

I 29. (sec tí + tantí)(scctí - tan tí) = see2 » - tan2 tí = 1 31. cos2tí(l + tan2tí) = eos2tí see2 tí = eos2 tí* — = 1 eos’ tí 33. (sen tí + eos tí)' + (sen tí - eos tí)’ = sen' tí + 2 sen tí eos tí + eos’ tí + sen2 tí - 2 sen tí eos tí + eos2tí = sen2 tí + eos2tí + sen2 tí + eos2tí = 1 + 1 = 2 35. see4 tí - see2 tí = sec20(sec2tí - 1) = (1 +■tan2 tí) tan2 tí = tan4 tí + tan2 tí 37. see 1« - tan ii =

1 — ----sen « s s --------I - sen ii _____ eos Ii4 cos 44 cos 44 cos 4

1 + sen u

1 - sen2n

1 + sen 44

cos 4/( 1 + sen 44)

39. 3 sen' 0 + 4 cos2 fl = 3 sen' fl + 3 cos2 tí + cos2 tí = 3(sen2tí + cos2 tí) cos2« I - sen2tí (1 + sentí)( 1 - sentí) 41. 1 - ------------ = 1 - ------------ = I ------------ ;--------------------= 1 - (1 I + sen tí 1 + sen tí 1 + sen tí 1 cot t’ + 1 1+ 1 + tan i> cot n cot i» + 1 _ see tí sen tí cot V 43. 1 - tan i’ cot i» - 1 cot v - 1 CSC tí eos tí 1 1cot v cot v 1 esefl + 1 1+ 1 + sen H esc tí CSC tí CSC tí + 1 47. 1 - sen tí 1 CSC tí - 1 esefl - 1 1esc tí esc tí cos i> 1 - sen v 49. ---------- + cos i> 1 - sen v 51.

sen tí sen tí - cos tí

(1 - sen r)' + cos2 r cos t’( 1 - sen i>)

1 sen tí - cos tí sen 0

1

-

1 cos tí sen tí

eos2 tí - sen2 tí eos 0 - sen 0 eos tí 57. tan tí + 1 + sen 0

cos II 1 + sen 11

+ cos2 0 = 3 + cos2 tí - sen tí) = sen tí I eos tí „ sen tí + tan fl = ----- + tan tí = tan tí + tan tí = 2 tan tí 1 cos tí sen tí

1 - 2 sen v + sen2 1>+ cos2 v cos v ( 1 - sen v)

2 sen v cos v ( 1 - sen v)

2( I - sen v) cos v ( 1 - sen v)

cos v

= 2 sec v

1 1 - cot 0

53. (sec tí - tan tí)2 = sec2 tí - 2 sec tí tan tí + tan2 fl = 1 - sen tí 1 + sen tí cos 0 sen tí 55. 1 - tan tí 1 - cot fl

COS' 14 cos 4<( 1 + sen 44)

1

2 sen tí

sen2tí _ 1 - 2 sen tí + sen2 tí

cos’ tí

cos* tí

cos’ tí

eos2 0

(1 - sen tí)’

(1 - sen tí)2

1 - sen2 tí

(1 - s e n t í ) ( l + sen tí)

sen tí cos’ tí eos tí eos 0 sen tí sen' tí eos tí - sen tí sen tí - eos fl eos tí - sen tí sen tí - eos tí eos 0 sen tí l1 sen tí eos tí sen tí eos tí (eos tí - sen 0)(cos tí + sen tí) = sen tí + eos tí eos tí - sen 0 sen fl( 1 + sen tí) + cos' tí sen fl + sen2 tí + eos2 tí sen tí sen tí + 1 1 eos 0 = see tí cos 0( 1 + sen tí) eos tí( 1 + sen tí) eos tí eos 0 1 + sen tí eos tí( 1 + sen 0)

R54 59.

U liS I’ U K STA S

Sección 8.4 |) tan 7 O * 2 tai) 0 ( % e c 0 - I

tan 0 + (sec 0 - I) tan » + (scc 0 - I) tan 0 + scc 0 - I I " tan «“ (sec 0~ l ) ' tan 0 + (set 0 - I ) tan 0 ~ s t i c ( )

T

sec2 O - 1 + 2 tan «(scc 0 - I) + sec2« j - 2 scc« + I

tan '1O - (%eel O

2 scc2«

- 2

scc« + 2 latí «í scc«

scc2 O - 1 - scc2 « + 2 scc « - I 2 * 2 su « 2 scc «(scc « - 1 ) 1 2 tan «(scc « - I ) 2(see « - I )(scc « + tan 0) _ ^ fí f ^ 2(scc 0 - I) 2(scc « - I)

61.

63.

65.

67. 69. 71. 73. 75.

tnn « -

sen« col « eos «

eos« sen «

sen2« - e o s 2« eos « sen«

< sci.'O 2%ccO

2< k:<

* 11

I)

(j

sen2« - co,? « > W í ) _ cm ?«

I col « sen « ( eos « sen2« + eos2« eo s« sen « eos « sen « sen// eos u sen2 // - eos2« eos // sen ii tan ¡i - col ii c,,s “ scn “ _ + | = sen2 ii - eos2« + 1 « se n 2// + (I - cm 7«) - 2 sen2« + tan ii + col ii sen ii eos // sen2 ii + eos2 // —+ ----eos u sen // eos u sen // 1 + sen « I sen « + se n « 1 sen « e o s« 1 + sen « sec « + tan « eos « e o s« tan « scc « eos « (I + sen «) eos « eos « eos « col « + eos « eo s« e o s« + eos O sen« + e o s« -------------- -— sen « sen « 2 I - tan2« 1 - tan2« + 1 + tan2« = 2 eos2« +1= 1 + tan2« scc2« I + tan2« I + tan2« 1 1 sec « - ese 0 sec « ese 0 = sen 0 - e o s« scc « ese 0 sec « ese 0 ese 0 sec « sec « ese « 1 1 - eos2« sen2« . sen ..« - eos « = ------------- = -------- = sen 0 • ------ - = sen 0 tan « sec 0 - eos « = eos « eos « e o s« eos « o 2 1 1 + sen 0 + 1 - sen 0 1 1 - sen 0 1 + sen 0 (1 + sen 0)(1 —sen 0) ] - serr 0 eos2 0 SCC 0(1 + sen 0) 1 + sen 0 1 + sen 0 scc 0(1 + sen 0) sec 0 sec 0 1 - sen 0 1 - sen 0 1+ sen« eos 10 eos Vi l - sen 20 2 2 sen v tan « +

(sec v - tan v )2 + 1

eos2 v eos2 V 2 sec2 v - 2 sec v tan v 1 - sen v 1 / 1 - sen rA 1 ( 1 sen v ^ sen v eos v sen v \ eos v ) sen vV cosí; eos v ) 2(1 - sen v ) seni* 2 se n « = ---------------- • 7---------- - -----------= 2 tan v eos i> 1 - sen u eos v 1 sen 0 + eos « sen « - e o s« sen « eos« sen2« + eos2« = sccO ese« 79. + 1 —1 + --- — eos OsenO eos« sen« eos« e o s« sen sen«« eos Osen« serr10 + eos2 0 (sen 0 + eos 0)(serr 0 - sen 0 eos 0 + eos2 0) 81. ----- 7—------- — = -------------------------- —------- 7--------------------- = serr « + eos* 0 - sen 0 eos 0 = 1 - sen 0 eos 0 sen 0 + eos 0 sen 0 + eos 0 eos2 0 - sen2 0 eos2 0 - sen2 0 eos2 0 - sen2 ser 0 , 83. -------------- = ------------------ --------------- = eos* 0 1 - tan2« sen2 0 eos2 0 - sen2 0

77.

scc2 v - 2 sec v tan v + tan2 V + 1

ese n(sec v - tan i*)

I-

( 2 cos 20 - l )2

eos2 0

eos2 0

(eos 2 0 - s e n ' 0)* , , , 85. — j---------- 7— = - ■■ ,---------- 1-------- ;---------- ^— = ------r----------- — = eos' 0 - sen' 0 = (1 - sen' 0) - sen' 0 = 1 - 2 sen' 0 eos40 - sen 40 (eos' 0 - sen 2 0)(cos' 0 + sen' 0) eos' 0 - sen' 0 87.

[2 eos2 0 - (sen20 + eos20) 1"

1 + sen 0 + eos 0 (1 + sen 0) + eos 0 (1 + sen 0) + eos 0 1 + sen 0 - eos 0 (1 + sen 0) - eos 0 (1 + sen 0) + eos 0 1 + 2 sen 0 + sen20 + 2(1 + sen 0)(cos 0) + (1 - serr 0)

1 + 2 sen 0 + sen2 0 + 2(1 + sen 0) eos 0 + eos20 1 + 2 sen 0 + sen2« - eos20 2 + 2 sen 0 + 2(1 + sen 0)(c o s 0)

1 + 2 sen 0 + sen2 0 - (1 - sen2 0) 2(1 + sen 0) + 2(1 + s e n « )(c o s 0) 2(1 + s e n « ) ( l + c o s 0) 2 sen 0( 1 + sen 0) 2 sen 0( 1 + sen 0)

2 sen 0 + 2 serr 0 1 + eos«

sen « 89. (a sen 0 + b eos 0)2 + (a eos 0 - ¿>sen 0)2 = a2 sen2 0+ l a b sen 0 eos 0 + ¿>2 eos2 0 + sen 0 eos 0 + b : sen2 0 = /z2(sen2 0 + eos2 0) + /;2(cos2 0 + sen2 0) = «2 + / r tan a + tan ¡5 tan a + tan fi tan a + tan ¡i tan n tan 3 91. —— — ------- = -------------------- = -------— ---------= (tan ot + tan /3) • ------------------ - = tan o tan 3 cot a + cot p 1 1 tan p + tan a tan n + tan fi H tan a tan p -------- r tan « tan p 93. (sen a + eos p ) 2 + (eos p + sen a)(cos p - sen a) = (sen 2 a + 2 sen o eos p + eos 2 p ) + (eos 2 p - sen 2a) = 2 eos 2 p + 2 se n a eos p = 2 eos /3(cos p + sen a) = 2 eos 0(sen a + eos p ) 95. ln|sec«| = ln|cos 0|_l = -ln |c o s« | 97. ln|l + eos«| + ln|l - eos«| = ln (|l + co s« ||l - cos«|) = ln|l - eos 2 «| = ln|sen2 «| = 2 ln|sen«| 99. g ( x ) = sec x - eos .v =

1 eos x

eos .v —

1 eos x

eos2 x 1 - eos 2 x ---------------eos x eos x

se n ' x sen ,v ----------= sen_v• -------- = sen v*tan .1 = f ( x ) eos a eos v ’'

RESPU ESTAS

mi.

m

= 1

- sen 6 cosO 1 - sen t i l + sen 0 eos tí 1 + sen 0 eos 0 1 + sen tí eos2 ______ _ _tí_ _________ _ c o s 2 ^ _ cos 0( 1 + sen tí) eos tí( 1 + sen tí) * ,l> ^

eo s»

l - s c n 20

costi

1 + sen tí eos tí

eos tí Veos- 0

/

eos 2 0 eos tí( 1 + sen tí)

cos 0( 1 + sen tí)

103. 1200see0(2sec20- 1) = 1200—!L ( _ i _ _ A = 12ü0_L_(

cos2*A _

eos tí \ eos2 tí

00 1

eos2 t í )

R55

Sección 8.5

- cos20 \ _ 1200(1 + 1 - eos2 tí)

Í2

cosíA

eos2 tí

cos’ S

)

1200(1 + sen2 tí) eos’ tí 8.5 Evalúa tu entendimiento ( p á g i n a 6 4 9 ) 5. --

6 .-

21. \ 4

7. F

- VÜ

8. F

23. \

35. ( . » ^ ^ 10 39. (a) -

9. F 25. 0

10. V 27. 1

11. i ( V ó + VÜ) 29. - 1

31. 2

(b )^ M

'*'* 2X^ 33- (a) 25

10

.. . - 2 V 2 + V 3

/

(b)

(c)

' '

15. ~ ( V 2 + V ó )

(b) 11V^

■' (c)

25

(d )^ v | ± i 8

10

2V 2

13. ^ ( V 2 - V ó )

(d)

19. ~ ( V 6 + V 2 )

2

„)

J ± (b) I

39

- 2V 2 + V 3

17. 2 - V 3

26

9 -4 V 2

41.

26

1 - 2V 6

43.

69

26

V 3 - 2V 2

45.

8 \/2 - 9 V Ì

( ir \ 77 rr 47. sen I — + 0 1 = se n —eos tí + c o s y sen tí = 1 *cos tí + 0 «sen tí = eos tí

49. sen(7r - 0) = sen 77 eos tí - eos 77 sen tí = 0 *cos 0 - ( - 1 ) sen 8 = sen tí 51. sen(7r + tí) = sen ir eos tí + eos 7r sen tí = 0*cos tí + ( - 1 ) sen 0 = - s e n 0 tan 77 - tan 0 1 + tan 77 tan 0

53. tan(77 - 0) =

0 - tan 0 q = - ta n 0 1 + 0 • tan 0

/ 377 \ 377 377 55. seni — + 01 = se n — eos 0 + eos— sen 0 = ( - 1 ) eos 0 + 0 sen 0 = - e o s 0 \ 2 ~J 2 2

57. sen ( a + P ) + se n (a - p ) = se n a co s p + cos a sen p + sen a cos P - cos a sen P = 2 sen a eos p 59.

sen (a + p ) sen a cos P

sen a cos P + eos a sen p

se n a eos p

eos asen P

sen a eos p

sen a eos p

sen a eos p

61.

eos (a + P ) _ eos a eos p —se n a sen P _ cos a cos p eos a eos p eos a eos p eos a eos p

se n a sen P eos a eos p

= 1 - tan a tan p

sena cos p 4- cos a sen p cos a COS P

sen a cos p + cos a sen p

63.

= 1 + cot a tan p

sen a cos B

cos a sen p

cos a cos p

cos a cos p

sen a cos P — cos a sen p

cos (a + P) 65. co t(a + P ) = sen (a + P )

se n a cos p - - cos a sen p sen a cos p cos a cos p cos a cos p cos a cos p - se n a se n p se n a sen p cos a cos P — se n a sen/3 sen a cos p + cos a sen p se n a cos p + cos a sen P

sen a sen p sen a sen p cos a sen p se n a sen p

se n a sen p

1

1

sen a sen p

cos(a + P)

cos a cos p — se n a s e n p

eos a cos p - se n a sen/3 se n a sen p

cos a cos p sen a sen p

1 67. sec(a + P ) =

cos a sen p cos a cos p cos a cos p

sen a cos P sen a sen p 1 se n a

se n a sen p

tan a + tan p tan a - tan p

cot a cot p - 1 cot p + cot a

1 sen p se n a sen p se n a sen p

esc a esc p cot a cot p - 1

69. sen (a - j3)sen(a + p ) = (sena eos p - eos a sen ;3)(sena cos p + eos a sen /3) = sen2a eos2 p - eos2 a sen2 p - (sen2 a ) ( l - sen2 p ) — (1 —sen2 a)(sen2 p ) = sen2 a - sen2 p 71. sen(0 + k i r ) = sen 0 eos k-n + cos0sen&77 = (s e n 0 )(-l)* + (cos0)(O) = (-1 )* sen 0, k cualquier número entero 73,

V i 75. ,5

87.

7; «Vi - v 2 —:

~

2

M 77. ~33 „79. g^

25

65

65

S1. í ^ _ g v | 81. ~~ ~~ 39

-00 < « < 00; - 1 £ v s 1 89.

V i + u2

Mü

*

83. 3

85. « V i - v 2 - v V l - «2: - l s « s l ; - l s » s l

Vi - «2Vl - v 2: —1 <

í 77 777Ì ' U ’T J

« < 1; —1 < v s 1 91,

« V i - «2 + « V T

97, Sea a = sen -1 v y p = eos"1 v. Entonces sen a = eos p = « y como sen a = c o s ^ y - a \ c o s ^ y ~~ Si v

0, entonces 0 < a s —, por lo tanto., ^ y - a ^ y p están en 0 ,-

y p están en 99. Sea a = tan

(V

= cos P

. Si v < 0, entonces

77

_

£ a < 0 ,por lo tanto.

'■ ( H

„

77

. De cualquier forma, c o s ^ y — a^ = cos P implica que — - a - p o a + p - — .

1

1

1

— y fi = tan 1 v , como v ¥= 0, a, p ^ 0. Entonces tan a = — = -— — — cot p , y como v v tan p

tan a = cot^ y _

_

= cot P- D ebido a que v > 0,0 < a < -^-.entonces

Entonces co tfy" — a^ = cot p implica que

a = p o a =

93.

- a j y P están en ^ 0,

95.

f

1177

l

6

R56

KliSPUICSTAS Secdón 8,6

IDI. scn (sen 1v -t cos 1»>) » scn (scn 1v) cos(cos 1 n) f co»(»cn 1 11) « n (c m 1 v) * ( v) ( v) * V Ì

103.

scn ( x I li) s e n i »cn r cos h •* c o siseli li s e ni c o siseli li ----- —r -----------■ " ------' ^ ...... ......... ■ ’ '

sin
105. ( ii) tiin(tan ' l + tnn '2 4 t n n '3 ) • tendim i 11 + lun ’ 2) + tan *3)

I

Ii

+3

I

laudali ' lllimdaii '2) laudali 1 I ) 4 laudali 12)

^

0 »)

M 2 -3 - 1*2

1

tandan 11)tan(tan '2)

+ 3

+3

1-2

«»* h

-3 ♦ 3 0 T + V * IO

1 -^ -3

scn » * * >'

-

0

-1

De la dcfinicirtn ile la funcidn inversa de la tangente 0 < Ian ' l enlonccsO< lati 'l + lari '2 4 tan '3 <

u*h)

tanftan 11 ‘ tan 12> ‘ landan *3) j” (|n<,.in ' | ♦ i;m ‘ 2 )ta n d a n *3)

'

tan(lan 1 I ) + tan(tan 12)

v * \/\

->•**’ ,nn *

2^

'an

*

2’

3rr

/ 3tt\ tan 0 - 0 si y solo si 0 m n. l’or lo tanto, del inciso (a), tan 'l + tan '2 * tan '3 F.n el interval«IO, I. tan 0i - tan 0| 1 4 lan 0| tan 02

107. lanO = tan(0i - ()|)

100. 2col (a -

111. tan

»h ~ m \ I + m i |Wij

/ I I lan ii lan fi \

li)

I M i »

~

» * ** ~ 1

Z\ '( x +1) - (* - i) /

lan(a - fi) m 2 \ u r n a - l a n p )

-(H

no esili definida: lan

-«)

^

^

1. sen30; 2 cos2 0; 2 sen2 0 2. I - cos0 3 . sen 0 4. V 5. F 6. F 7. (a)

7

(b)

~ 25

4\/2 13. (a) — 3 17. (a) - -

2V 5

7 V3 (b) - - (c) — . 4 (b) - 5

2

^ T v l ‘ ' '

,L (a) — 3~ (b)

V6 4 , 3 (d) — 15. (a) - - (b) -

I /l() - Y 10 (c) 2

.

1 / 1 0 4 VÌO

(d)

r y . r ---- 7=

/

.1

2V 2

Vs

” ■ ------ 2

h + V6

/ 1 4+ cos(40)\ cos(40) \ 11 /1 I1 l 1 I I = - - -cos(20) 4 - ^---------- J = 4 ~ 2C°S^

49. cot(20) =

tan(20)

2 tan 0

I/

1 cot30 I

\

\C O t0 /

51. scc(20) =

1

1

cos(20)

2cos30 - 1

19.

4

V

2-

cos 0 sen cos 0 4 sen ,0

sen 0 II

sen 0 0 1

cos3( ? )

cos 0 sen 0 cos 0 sen 0

sen sen sen sen

1 1 4 cos 0

0 0 0 0

+ U

(c) h

V 10 . 3YI0 ^ (d) ^

-

Vt

,d) V

V

2

.

| |

4

2

7

)A 3 “ •

vTo

-8

V I5

—

I - ,

I . . . . + ^cos*(20) I êos(20)

1 1 3 1 ) + 8 + 8COS(4/,ì = 8 ~ 2°°*^^ + g^

cot30 - I cot30

Y 2 4 V3

21. 1 - V 2 23.

V I0(3 - V s )

, ....... = Î 4 cos*(20)]

4" 1

47. cos4il - scn40 = (cos30 4 scn30)(cos20 - wn: 0 = cost 20)

col30 - I cot 0 cot30 - I -------- 31 - ................ . ■■■ 1 2col 0 col* 0

cot 0

1 I ____________ _____________ see* 0 — 53. cos*(2ii) - scn:(2r/) = cos(2(2u)| = cos(4u) 2 _ . 2 - sec30 2 - sec30 sec30 sec30

cos20 - sen20 _ (cos0 - sen 0)(cos0 4 sen 0) 1 4 2 sen 0 cos 0 sen30 4 cos30 4 2 sen 0 cos 0

cos(20) 1 4 sen(20)

2r

¡5 4 2Va5 . ¡5 - 2 X S (c) y j --- y— (d) ^ |((

43. cos(30) = 4 cos30 - 3 cos 0 45. sen(50) = 16 sen' 0 - 20 sen’ 0 4 5 sen 0 1 - tan3 II

6

W- -5 Jl- ------- ¡ 0 ------

¿1' / \ | 41. sen-» - («„-’ «)= - (-’ “ ' 2----“ (“ ’/V = 4II* ....................... - 2cos(20)

1

(b) ^

3 (c) V

VTTV2

^

^

\ x + \

A

cos 0 « col II. scn0

8.6 Evoltili tu v n te n d im ie n to (p à g in a 659)

9. (a) ~

ir

cot 0 - 1 cot 0 4 | 2 1 4 COS 0

(cos 0 - sen 0)(cos 0 4 sen 0) (sen 0 4 cos 0)(sen 0 4 cos 0)

cos 0 - sen 0 cos 0 4 sen 0

RESPU ESTA S

59. eot2? =

1 - eos I)

61. 1 + tan

ti)

1 1

<í)

1 - eos

V

+

1 - eos 8

-

1

1 + eos i’

“ " 't i ) 1 - tan

I +

1 + eos t>

1

1

sec v _

sec v + 1 sec y _ sec v + 1

1 sec v

sec v - 1 sec v

sec v

sec v

Sección 8.7

sec v + 1 sec v - 1

sec v - 1

1 + eos 8 - (1 - eos 8)

1 + eos tí

1 + eos 8

1 - eos 8 1 + COS8

1 + eos 8 + 1 - eos 8

2 eos 8 1 + eos 8

1 + eos 8

= COSO

1 + eos 8

sen(38) cos(38) sen (38) eos 8 - cos(38)sen 8 sen ( 3 8 - 8 ) 2sen(28) 6 3 . -------------------------= ---------------------------------------- - --------------------- = ------------ : 2 sen 8 eos 8 sen 8 eos 8 1 sen (28) - ( 2 sen 8 eos 8) tan 8 +

tan 8 + tan(28) 65. tan(38) = tan(8 + 28) = 1 - tan 8 tan(28) 1

2 tan 8

1 - tan2 8 ^ tan 8(2 tan 8)

tan 8 - tan18 + 2 tan 8 l - tan2 8 - 2 tan2 8

1 - tan2 8 . / 11 - cos(28)|y/2 ff _7T 27T 47T 57t ) ~ cos(28)| - ln 2) = l n í -------- --------- ) = ln|sen2 8|,/2 = ln|sen 8| »1 69. 1 3 3 T ’ t }

,

67.

77 577 ) , — 77, 3 T I

91.

0, ? , 7r , ^ 3

97. (a)

93. ? , ^

3

2

2

95. (a)

W =

vi V i

(b)

= — - - - eos 6 (sen 6 - eos 0)

R

2

3n

)

(d)

o 67.5°

(c) 32(2 - V i ) *

81.

7 25

47T

2 tt

{ ° ’T ’T 24 83. — 7

2 D ----- = 2 D tan ? sen 8

85.

24 25

2

20

8 = 67.5°

18.75 pies rad ia n e) maximiza R =

Vq V Í

25

(b) 8 = 24.45°

(2 eos 8 sen 8 - 2 eos2 8)

32

18.75 pies

[sen (28) - eos (28) - 1]

32

A =

„„ V 3

2D (csc8 - co te ) = 2 d ( — \s e n 8 sen 8

v lV i

99.

3 tan 8 - tan18 1 - 3 tan2 8

90°

1 /1 \ q 0 1 -/i(b a se ) = h i - b a s e ) = s e o s -* s s e n - = — s2 se n 8 2

4v

101. sen(28) = — 1—-

2

1

103. —■

4 + x¿

2 se n (? 2 tan ( ? )

1 + z2

2

\2/

2z

105.

1

+

tañí?) \2/

\2 ) (a\ (a\ ( a\ — j------= 2 senl — I cosí — I = senl 2 • — I = sen a

107. 25

,antf)

109. sen — = —— V 4 24 4

cosí?)

eos

Vó -

(!)

V

2rr

Vi

eos—? = —- - \ / 4 + V ó + V i 24

4

111. sen3 8 + sen3(8 + 120° ) + sen3(8 + 240°) = sen3 8 + (sen 8 eos 120° + eos 8 sen 120°)3 + (sen 8 eos 240° + eos 8 sen 240°)

( 1

Vi

V 2

2

V

/ 1

\/Í

)

V2

2

^3

= sen3 8 + ( - - s e n 8 H------- eos 8 I + ( — sen 8 ----- — eos 8

= sen3 8 + ^ (3 V 3 eos3 8 - 9 eos2 8 sen 8 + 2 > V Í eos 8 sen2 8 — sen3 8) - ^ (s e n 3 0 + 3 V ^ sen2 8 eos 8 + 9 sen 8 eos2 8 + 3 V 3 eos3 8) 3 9 3 3 3 = - s e n 3 8 - - e o s 2 8 sen 8 = - [s e n 3 8 - 3 sen 8(1 - sen2 8)] = - ( 4 sen3 8 - 3 sen 8) = — sen(38) (del ejemplo 2)

8.7 Evalúa tu entendimiento 31

(p á g in a 664)

+ *) 5> ~Y~ 7- | [ cos(20) - cos(68 )] 9. i[sen(68) + sen(28)] 11. i[cos(28) + cos(88 )] 6

1

13.-[eos 8 - cos(38)] 15. -[sen(28) + sen 8] 17. 2 sen 8 cos(38) 19. 2 cos(38) eos 8 21. 2 sen(28) eos 8 23.2sen8sensen8 + sen(38) 25. — ---- „ 2 sen(28)

2sen(28)cos8 sen(48) + sen(28) 2sen(38)cos8 sen(38) L .— = eos 8 27. — = - — ±—L - = — 1— L = tan(38) cos(48) + cos(28) 2 cos(38) eos 8 cos(38) 2 sen(28)

R58

RESPU ESTA S


eos 0 - cos(30) 2 sen(20) sen 0 sen 0 29. ------------------------------------ --------= --------= tan 0 sen 0 4- sen(30) 2 sen(20) eos I) eos 0 31. sen 0 [sen 0 + sen(30)| = sen 0|2 scn(20) eos 0] = eos 0[2 sen(20) sen 0| * eos 0

33. 35.

sen (4 0 )+ sen(80)

2 sen(60) cos(20)

scn(60)

cos(40) + cos(80)

2 cos(60) cos(20)

cos(60)

sen (40)+ sen (80)

2 sen(60) co s(-20)

sen(60)

sen ( 4 0 ) - sen (80)

2 scn(-20) cos(60)

cos(60) -sen(20)

« + fl

a -

.

0

,

2•

2

[eos 0 - cosí30 1|

* co*0[eo*0

co* (30 )]

= tan(60) tan(60)

eos(20)

a + 0

a

tan(60)[-eot(20)| =

- 0

37. scna t sen? = _____ 1 ______ 2_ = ____ 2---------- 2— = tan£. s e n « - sen 0

2 sen

„ sen a + sen 0 39. — eos a + eos 0

a + 0 _ -eos— —

__ a + /i eos

a - ¡3

2 a

+ tí

a - ¡i

2

a - 0

SCn

2

2

¿

2

a + P

2 sen— -— eos— - — 2 2

sen — -— , „ 2 a + P ----------------------------- --------------------- tan — - — a + 0 a - 0 a + 0 2 2 eos — -— eos — - — eos — - —

41. 1 + cos(20) + cos(40) + eos(60) = [I + cos(60)] + [cos(20) + cos(40)| = 2 eos2(30) + 2 cos(30) c o s (-0 ) = 2 cos(30)[cos(30) + eos 0] = 2 cos(30)[2 cos(20) eos 0] = 4 eos 0 cos(20) cos(30) í 77 17 277 477 377 .677) U . { o . - , - , T . T, T , T , T ) 47.

f_ 77 277 377 477 677 7l7 877 9771 45. { » y , y . y . y . » . y , y . y , y )

(a) y = 2 sen(206l77í) cos(35777/) 49. / |( = / t cos20 + / },sen20 - 2 /„ s c n 0 c o s 0 = /,c o s 20 + ¡ y sen20 - / „ sen 20

(^) 3’mrtx —2 (C) 2

= /,

/ eos 2 0 + 1

\ / 1 - eos 20 \ J + H — 2— J " / 'x sc n 2 °

/, V ¡y = y eos 20 + y + y - y eos 20 - /„ s e n 20 o.oi

4r ■*"ly Ix ~ Iy = — -— + — -— eos 20 - /.„se n 20 „ 1 /„ = Ix sen20 + /,. eos2

/

/

. (1 - eos 20 \ , /e o s 20 + 1 ^ , , 0 + 21xy sen 0 eos 0 = lx I --------------- ------------ I + /, ^

'y

^

J +

'y

= V - V eos 20 + — eos 20 + — + l xy sen 20 2 2 2 2 x> K + ly

ly

= -— ------------- -— eos 20 + I xy sen 20 51. sen(2a) + sen(2/3) + sen(2y) = 2 sen(a + 0 ) cos(a - ¡3) + sen(2y) = 2 sen (a + j3) cos(a - p ) + 2 sen y eos y = 2 sen(77 - y) cos(a — /3) + 2 sen y eos y = 2 sen y cos(or - /3) + 2 sen y eos y = 2 sen y[cos(a - 0 ) + eos y] a - /3 + y a - 0 - y\ n - 20 2 a - ir t . . = 2 sen y( 2 eos------ n eos------ ------- I = 4 sen y eos------- ---- eos— ----- = 4 sen y cosí - - í ) c o s ( . - f ) 2

2

= 4 sen y sen 0 sen a = 4sen a sen 0 sen y 53.

sen (a - 0 ) = sen o eos 0 - eos a sen/3 sen (a + 0 ) = sen a eos 0 + eos a sen 0 sen(a - 0 ) + sen (a + 0 ) = 2 sen a eos 0 sen a eos 0 = ;~[sen(a + 0 ) + sen (a - 0 ) ]

„ „ « + 0 CC - 0 1 (a + 0 55. 2 eos— - — eos— - — = 2 • - eos 2

2

2

V 2

a

~

0\ 2 )

( a + 0

+ CO\

2

a —0 \

2

2a

j. "

20

eos— + eos— = c o s a + eos 0 2 2 M

Ejercicios de repaso (página 667) 1. y z 31. - |

3. j 4

5. ~ o

7. j 4

9. ~ 8

11.

3

13. ^ 7

15. 0.9

17. -0 .3

19. No está definida 21. - 6

3 3 . / '(.r) = J sen~ ' ( f ) ; Rango de / = dominio de / 1 = [ -2 , 2]; Rango de / 1

Rango de / = dominio de /

1 = [2,4]; Rango de / 1 = [ 0 , 77]

37. V i - u2 39. -

77 77

"6 ’ 6

23. - 4

25. - V 5

27.

3

29. 5

35. f - ' ( x ) = eos" '(3 - .r);

41. tan 0 cot 0 - sen2 0 = 1 - sen2 0 = eos2 0

43. sen2 0(1 + cot2 0) = sen2 0 esc2 0 = 1 45. 5 eos2 0 + 3 sen2 0 = 2 eos2 0 + 3(cos2 0 + sen2 0) = 3 + 2 eos2 0 1 - eos 0 sen 0 (1 ~ eos 0)~ + sen ' 0 1 - 2 eos 0 + eos2 0 + sen2 0 2(1 - eos 0) 47. -------- — + t---------- r = -------- 17^---------- = -------------------- ry ---------- y --------- = ------- ry ---------— = 2 esc 0 sen 0 1 - eos 0 sen 0( 1 - eos 0) s e n O ( l- c o s O ) sen 0 ( 1 - eos 0) eos 0 1 eos 0 eos 0 1 esc 0 sen 0 1 1 1 - sen 0 49. 51. eos 0 - sen 0 eos 0 - sen 0 ^ sen 0 1 - tan 0 1 + esc 0 1 1 + sen 0 1 + sen 0 1 - sen 0 eos 0 eos 0 sen 0

1 - sen 0

1 - sen2 0

1 - sen 0 eos2 0

RESPU ESTA S

,,

,

53. esc tí - sen tí -

I sen tí

55.

61.

1

- sen tí «

evw tí) I

scc H

- scir tí

. 1

sen tí

, sen tí

1 + sen tí

se n tí)'

- eos tí •

sen «

eos o sen tí

I > sen II eos o eos (I

eos’ t» . I + sen li sen o sen (I

cus « sen (i

eos o se n tít*

I t sen tí

eos o eos (t - seno sen (I

eos o sen fi

eos o se n /J

eos)« - (I )

eos « eos (i * sen « sen /i

eos o eos /j

eos a cus (I

57. eoi II - tan II ■

sen l>

(R ) ■) I + costi)* I + costi \s e n tí/V s e n - tí/

2 sen' tí eos tí

cos(2tí) - cosati)

- 2 sen (3tí) sen (-tí)

eos (-tí) + eos(4tí)

2 cos(3tí) cos(-tí)

- . VÍ -

33 65

81. (a)

1

O

89. (a) l

l

(b) 0

(c) - -

sen(2tí) + sen(4tí) 1 ' ' cos(2tí) + eos(4tí)

61.

1.23

127.

{1.11}

23

4V5

{0 .1 125.

Ib)

(d) No está definida (c) ——— (0 -

101.

129.

)

t

{0.87}

l

___ 1

----- 1

E xam en del capítulo 1. ^

vio 6

(h)-

7 --

73. - ( V 6 - V Í )

5 V Í6 (R) " I T

V3 (g) —

tan(3fl)

2V Í ,h) ~

v i (h) —

VbVT - v i 91 6

10

47T 5l7Í rr 37r^ 2 / ■ * { f T ■ 3’ 3J

93. -

48 + 25VÍ

39

2.89}

í.6’ 2

{2.22}

133.

V3

- VÍ

2- VÍ

sen 15° = sen(45 - 30°) = sen 45° eos 30° - eos 45° sen 30° =

2

<*>

R

{t -

135. sen 15 = J ---------------=

L

1 9

119 ( 0 169

2 - v i

4(2 - v i )

4

4*4

V2 V3 V 21 • - 7^ ^ 2 2 2 2

8 - 4V Í

6 - 2 V Í2 + 2

f

16

16

^

“

Vó VÍ V6- VÍ ~ ~ = — ----- — ; 4 4 4

~

V6 - V ii 4

)

(página 670)

2. —7 3. -7 4. \ 5. 3 6. ~ 7. 0.39 8. 0.78 9. 1.25 10. 0.20 4 5 3 3 CSC tí + COt tí _ CSC tí + COt tí CSC tí - cot tí _ CSC" tí - COt" tí _ 1 sec tí + tan tí sec tí + tan 0 esc tí - cot tí (sec tí + tan tí)(esc tí - cot tí) (sec tí + tan tí)(csc tí - cot tí) _______________ 1_____________ sec tí - tan tí _ sec tí - tan tí _ sec tí - tan tí

6

11.

(sec tí + tan tí)(csc tí - cot tí) sec tí - tan tí „ „ „sentí 12. sen tí tan tí + eos tí = sen 0 *----- 7 + eos tí = eos tí „ „ „ s e n tí eos tí serr tí 13. tan tí + cot tí = — —7 > eos tí sentí sen tí eos tí 14.

sen (a + /3) tan a + tan )3

_ sen a eos

(i +

eos a sen /3

(sec 2 tí - tan 2 tí)(csc tí - cot tí)

esc tí - cot tí

1 sen" tí co s'tí sen"tí + cos"tí ——-7 + = sec tí eos tí eos tí eos tí eos tí 1 eos2 tí sen2 tí + eos 2 tí sen tí eos tí sentí eos tí sen tí eos tí 2 sen tí eos

tí

sen( 2tí)

= 2 csc(2tí)

se n a eos ¡i + eos asen (i __ sen a eos (i + eos asen/3

se n a c o s/3 co sasen /3 se n a senil + eos a eos 0 eos a eos ¡3 eos a eos (i sen a eos /3 + eos a sen /3 eos a eos /3 = eos a eos /3 1 sen a eos (i + eos a sen p

se n a eos fi + eos asen ¡3 eos a eos [3

15. sen (30) = sen (tí + 2tí) = sen 0 cos(2tí) + eos tí sen(2tí) = sen tí* (eos2 0 - sen2 tí) + eos 0*2 sen tí eos tí = sentí eos2 tí - sen3 0 + 2 sentí eos2 tí = 3 sen tí eos2 0 — sen3 tí = 3 sen 0( 1 — sen2 tí) - sen3 0 = 3 sen tí - 3 sen3 0 - sen3 0 = 3 sen tí - 4 sen3 tí

n

sen II eos II

í 7T 7T 113. -

131.

1-

/1 - eos 30°

2sen(3tí) cos(-tí) ' ' ' ’ 2 cos(3tí) cos(-O)

- tuntítnn(3tí) * tun(3tí)tnntí - tnntítan(30) = 0

ti

"■ { f - T } ” • { 7 •t }

- i

1 - 2 serr

.,

sen ’ «

56 63 33 24 (c) 65 65 25 16 56 . 16 63 119 24 V 26 v io (O (O - "65 65 169 (8 ) 26 (h) £ (d ,63 ib 63 16 33 J 63 24 119 v io 2VÌ 3 (c) ,d) - ~ («) 65 0 »
eos- 0 - sen- II sen II eos II

sentí

71. — — —------- — — - tan tí tan(3tí) ■ —— 77.

sen II eos II

la n a

* ». . •>,„ , 67. ) - 8 sen' tí eos" tí ■ 1 - 2 ( 2 sen tí eos tí)* * 1 - 2 scn'(2tí) * cos(4tí)

- V5)

eos « sen tí

eos o eos (i sen o sen (I ■ . f - ■ 1 +■ t«n a tan p eos o eos (i eos
o ¡ « M » - i(S2.'V*“ ? ) . is S ílis lL ü ííiÜ .

6

R59

- eos tí col tí

eos «( I - sen tí)

eos (a + (I)

63. ( I + eos t»)

eostí

•

Capítulos Examen del capítulo

R60

RESPU ESTAS sen 0 eos 0 sen 0 eos 0

tan l> - cot 0 16. tan 0 + cot 0

18. 2 + V 3 27. [

8

19.

8

Capítulo 9 Aplicaciones de las fundones trigonométricas

V5 5

8

sen2 0 + eos2 0 senil eos 0

12V85

20.

8 J

sen2 0 - eos2 0 senil eos 0

eos 0 sen 0 eos 0 sen 0

2V

sen2 0 - eos2 ® _ ü - eos2 il) 1 sen2 0 + eos2 0

í 3 ( V5 - 3 )

2 + V3 4

2 ,‘ ------ 39”

49

28. {0.285,3.427}

Vó 23- T

1 - 2 c o s 2 il

24. ~ ~

17. 4' ( V Ó + V 2 )

25. { y y * " ' 5 " }

U -

<0.1-911,^4.373}

29. {0.253,2.889}

R e p aso acu m u lativ o ( p á g i n a 6 7 0 ) - 1 - V Í3

-1 + x /¡3

’

6

y + 1 = ~ l( x - 4 ) o j t + y = 3; ó V 2 ; (1,2)

3. Simetría con respecto al eje x; (0. -3 ). (0 ,3 ), (3 ,0 )

6

7. (a)

2V2

8. (a) —

11.

V2

(b) —

(c)

4V2 7 9 (d) ^ (e)

3 + 2V 2

(a) f ( x ) = ( 2 x - l)(.v - l ) 2(.v + l ) 2; ^ multiplicidad 1; 1 y —1 multiplicidad 2 (b) ( 0 , - l ) ; Q , o ) ; ( - l , 0 ) ; ( l , 0 )

(c) y = 2 x 5

(0

-

(c) Valor Valor Valor Valor

3

-

2 \Í 2

9

Vj5

10. ( a )

2V 2 —

mínimo local -1.33 en x = -0.29, mínimo local 0 en x = 1 máximo local 0 en x = —1, máximo local 0.10 en x — 0.69

(b )

11

2V 2 r-

\6 , 7 4V 2 (c) - (d) — — (e)

<*’ { - ' - 2 } (b) { -1 .1 } (c) ( - 0O . - 1 ) U (d) ( - 00, - 1 ] U [ l.o o )

-2

(g) Creciente: ( - 00, - 1 ) , (-0 .2 9 .0 .6 9 ). (1, 00) Decreciente: ( - 1 , -0 .2 9 ), (0.69,1)

CAPÍTULO 9 Aplicaciones de las funciones trigonométricas 9.1 Evalúa tu entendimiento ( p á g i n a 6 7 6 )

5. 90 6. dirección; rumbo 7. V 8. F 9. a « 13.74, c « 14.62, A = 70° 11. b ~ 5.03, c « 7.83. A = 50° 13. a * 0.71.c 4.06. B = 80" 15. b » 10.72, c « 11.83, B = 65° 17. b ~ 3.08, a * 8.46, A = 70° 19. c w 5.83, A ~ 59.0°, B = 31.0° 21. b = 4.58. A as 23.6°. B = 66.4° 23. 23.6° y 66.4° 25.80.5° 27. (a) 111.96 pies/s o 76.3 mi/h (b) 82.42 pies/s o 56.2 mi/h (c) Para ángulos menores que 18.8° 29. (a) 2.4898 x 1013 millas (b) 0.000214° 31. S76.6°E 33. El terraplén tiene 30.5 m de alto. 35. Los rascacielos están a 7984 pies de distancia. 37.69.0° 39.38.9° 9.2 Evalúa tu entendimiento ( p á g i n a 6 8 5 ) , 4. oblicuo

. sen A

sen B

sen C

5. —- — = —- — = —- —

_„ 6. F

_ „ 7. F

8. caso ambiguo

9. a as 3.23, b =s 3.55, A = 40°

11. a a=3.25, c * 4.23, B = 45°

= 9.86, a ~ 6.36 15. A = 40°, a = 2, c as 3.06 17. C = 120°, b = 1.06, c « 2.6919.A = 100°, a = 5.24. r ~ 0.92 5.64, b » 3.86 23. C = 100°, a « 1.31,6 ~ 1.31 25. Un triángulo; B = 30.7°, C ~ 99.3°, c = 3.86 27. Un triángulo; C ~ 36.2°, A ~ 43.8°, a * 3.51 29. Ningún triángulo 31. Dos triángulos: C, * 30.9°, A) ~ 129.1°, a, % 9.07 o C ; e¡ 149.1°.A-> = 10.9°. a^ == 2.20 33. Ningún triángulo 35. Dos triángulos: A, 57.7°, B¡ = 97.3°, b, ~ 2.35 o Ai ~ 122.3°, B: =5 3 2 . 7 °. 6, = 1.28 37. (a) La estación Ablc está a aproximadamente 143.33 mi del barco; la estación Baker está a aproxim adam ente 135.58 mi del barco. (b) Aproximadamente 41 min 39. 1490.48 pies 41. 381.69 pies 43. El árbol tiene 39.4 pies de alto. 45. Adam recibirá 100.6 millas más de viajero frecuente. 47. 84.7°; 183.72 pies 49. 2.64 mi 51. 38.5 pulg. 53. 449.36 pies 55. 187,600,000 km o 101,440,000 km 57. El diámetro es de 252 pies.

13. C 21. B

= 95°, c

= 40°, a

~

RESPU ESTAS

59.

a -

b

sen A

sen B

sen A - sen B

senC

senC

senC

- B\

(A

2 sen

( A + B\

v 2 / cos\ 2

b

c COS— 2

1 1

+ b c

cos

B \

( 7t

C \

(A -

B\

senl r T - J C0Sl i “ i J

senlr~ít -

C C se n —eos—

cos-

2

2

2

R61

)

- fi)

1

-o 1 o

61.

a -

)

, C C 2 se n —eos — 2

sen

(A -

Sección 9.4

>

tan

tan

i* -4 -® ). c co t-

- B\

- B) ( TT

tan \ ( A ~ B )

C \

t a n --------- ) V2 2 )

tan \ ( A + B )

9.3 Evalúa tu entendimiento (p á g in a 692) 3. cosenos 4. senos 5. cosenos 6. F 7. F 8. V 9. b « 2.95, A w 28.7°, C w 106.3° 11. c » 3.75, A « 32.1°, B « 52.9° 13. A « 48.5°, B « 38.6°, C « 92.9° 15. A « 127.2°, B « 32.1°, C « 20.7° 17. c « 2.57, A * 48.6°, B ~ 91.4° 19. a « 2.99. B ss 19.2°, C « 80.8° 21. 6 » 4.14, A ~ 43.0°, C « 27.0° 23. c ~ 1.69, A = 65.0°, B = 65.0° 25. A » 67.4°, B = 90°, C ~ 22.6° 27. A = 60°. B = 60°, C = 60° 29. A ~ 33.6°, B « 62.2°, C « 84.3° 31. A ~ 97.9°, B « 52.4°, C « 29.7° 33. A = 85°, a = 14.56, c = 14.12 35. A = 40.8°, B = 60.6°, C = 78.6° 37. A = 80°, b = 8.74, c = 13.80 39. Dos triángulos: B l = 35.4°, C x = 134.6°, c, = 12.29; B2 = 144.6°, C2 = 25.4°, c2 = 7.40 41. B = 24.5°, C = 95.5°, a = 10.44 43. 165 yd 45. (a) 26.4° (b) 30.8 h 47. (a) 63.7 ft (b) 66.8 pies (c) 92.8° 49. (a) 492.6 pies (b) 269.3 pies 51. 342.33 pies 53. Tienen que estar a 7.65 pies una de la otra. 55. Considera que 0 < 9 < ir. Entonces, por la ley de los cosenos, d 2 = r 2 + r 2 - 2r 2 eos 9 = 4 r 2

' 1 - eos éC

,

d

„ , 1 - COS 9 „ 9 = 2 t\ / ----- ------ = 2 r sen - . 9

Como para cualquier ángulo en (0, ir), d es estrictamente menor que la longitud del arco subtendido por 9 , esto es, d < r 9 , entonces 2 r sen — < r9, o 9

s e n - < 9. 2 0 6 0 6 Como e o s - < 1, entonces, para 0 < 9 < ir, sen 9 = 2 s e n - e o s - < 2 sen - < 9. Si 9 s n , entonces, como se ñ éis 1, sen 9 < 9 . Por lo tanto sen 9 < 9 2

para toda0> O . ar __

C 57. s e n - =

+

/1 - cos C

b2 - c 2 2a b

2a b -

a2 -

b2 + c2

c2 -

(a -

(2s - 2 b ) ( 2 s - 2 a )

l(s -

4a b

a)(s -

V

b)2

He

+ a - b ) ( c + b - a)

4ab

4ab

4ab

b)

ab

9.4 Evalúa tu entendimiento (p á g in a 698) 2. ^ a b sen C

21. 1.73

3. V í ( s - a ) ( s - b ) ( s - c); ^ (a + b + c)

23. 19.90 25.

K = \ab

2

4. V 5 .2 .8 3

a sen B \ sen C = ] - a sen C, 2 V sen A y

a 2 sen 2

37. El área del cojín de home es de aproxim adam ente 216.5 pulg2.

43. (a) Á rea AO A C

=

^ |O C ||A C | = ~

7 .2 .9 9

B sen C sen A

13.3.86

15.1.48

17.2.82

1 9 .3 0

27. 0.92 29. 2.27 31. 5.44 33. 9.03 pies2 35. $5446.38

39. K = ~ r 2( 9 + sen 9 )

41. El área es de 7517.4 pies2.

= ^ sen a cos a

(e) (b) Á reaA O C B =

11. 9.56

9.14.98

\BC\ \\B C \\O C \ = \\O B \2 { 2 2 \q b \

1, |2 . _ = —|0 B | sen /3 eos ¡3 \ OB \ 2

Á rea A O A B = Á rea A O A C + Á rea AO C B

IOCI

— \ OB \

sen(a + /3) = ^ sen a cos a + j |0 B |2 sen /3 eos /3 1

(c) Á rea AOAB = ^ \ B D \ \ O A \ = ^ |OB|

se n (a + B) = ------- sen a cos a + |0 B | sen B c o s B

| |O B| se n (a + j3)

\OB\

/ , cos P cos a se n (a + /3) = --------sen a cos a H---------- s e n /3 cos /3 COS a eos P sen(a + p ) = sen a cos p + cos a sen P

\OC\

cos a

= \OB\

eos P

\QC\

45. 31,145 pies2 47. (a) Tanto el perím etro y como el área son de 36.

\ OB \

49. "c C

COS— 2 51. cot— = 2 c sen — 2 C

a:

A

a

= \-ah 2

(s - b ) ( s - c) R s - a ) ( s - c

r

»3 1 a

(b) Tanto el perím etro y como el área son de 60.

sen B senC sen A

B

sen — sen— 2 2

ac

be

1 sS

(d)

(s -

V

a)(s

- b)

c

¡(s

- c)2 _ s - c c2

ab

53. K = área del triángulo Q O R + área de R O P + á rea de P O Q = ^ a r + - b r + ~ c r = r - ( a + b + c ) = rs , entonces

K s

V í (s - a ) ( s - b ) ( s - c )

Rs -

a)(s

- b ) ( s - c)

■

R62

RESPU ESTA S

Sección 9.5

9.5 E v alú a tu e n te n d im ie n to ( p á g i n a 70 8 ) 2. Armónico simple; amplitud

11. í/ = -6 se n (2 f) (d) i oscilación/s

3. Movimiento armónico simple; amortiguado

27T

13. (a) Armónico simple (b) 5m 17. (a) Armónico simple (b) 3 m

4. V 5.

d

= - 5 cos (7tí )

3

(c) — s

(d) — oscilaciones/s

(c) 47r sec

(d) — oscilaciones/s

7. d = - 6 c o s ( 2 1)

9. el = -5 scn Í7 rí)

15. (a) Armónico simple (b) 6 m

(c) 2 s

19. (a) Armónico simple (b) 2 m

(c) 1 s (d) 1 oscilación/s 27.

/ y =x y = -g e n x

tr 7

W m

(b) jr y = - eos X

*x

,

y = --c o s (3 x )

39. (a)

37. (a) H ( x ) = sen(4x) + sen(2ar)

(b)

........... = sl.n(2,,

(b)

d

= -lO e-0,7'^50eos

')

(b)

to

18

y = s e n (4 .r )

20

25

47. (a) 45. (a) El movimiento es amortiguado. El péndulo tiene masa w = 20 kg con un factor de amortiguamiento de 0.7 kg/s. (b) (b) 20 m a la izquierda

43. (a) d = - 5 c-°-8'/20cos

El movimiento es amortiguado. El péndulo tiene masa m = 40 kg con un factor de amortiguamiento de 0.6 kg/s. 30 a la izquierda

-5

-20

(d) 18.33 m a la izquierda (e) 49. (a) El movimiento es amortiguado. El péndulo tiene masa m = 15 kg con un factor de amortiguamiento de 0.9 kg/s. (b) 15 m a la izquierda

-3 0

d —* 0

(d) 28.47 m a la izquierda

51. (o = 1040-77-; = 0.80 cos(1040tt0 53. cu = 8807t; d = 0.01 sen(8807rf)

- 2 .5

(c) Durante los intervalos aproximados 0.35 < t < 0.67,1.29 < t < 1.75, y 2.19 < t < 3

-1 5

(d) 12.53 m a la izquierda

(e)

d —* 0

(e)

d

—* 0

RESPU ESTA S

R63

Capitulo 9 Examen del capítulo

E jercid o s de repuso (página 7 t i) 1. A - 70'. ^ =» va:. II * 9.40 .V u a 4,58, A a 66 .4 ', B a 23.6” 5. C - 100 '. I>« 0.65. <• «s 1.29 7. B a 56.«”, C a 23.2°, /> * 4.2.5 9. Ningún triangulo II. 6*3.32, A * 6 2 . 8 ' , ( ' « 17.2" 13. Ningún triángulo 15. t- = 2.32. A * 16.1”. li a 123.9" 17. B « 36.2”. C « 63.8'’. r « 4.55 19. A a 39 6 '. li * 18.6', ( ’ «a 121.9” II. Dos triángulo*«: /J, * 13.4“, ¿a 156.6”. <•, a 6.86 o li; as 166 ,6 ”. a 3 .4 °, s, 1 .02 23. II « 5.23. « «» 46.0*. C «< 64.0° 25.1,93 27. 18.79 29. 6 31.3.80 33.0.32 35.12.7* 37. 29.97 pies 39. 6.22 mi 41. 71.12 pies 43. S222.98.V5I

45, S4.IVR 47. 79,69 pulg.

53. (*) armónico simple

(h) 3 pies

55. (a) »/ “ - l.V 0 rvVV) eos

49. ¡I ■ - 5 c o s í ^ 1^

(c) 4 s

(d)

4

51. ( 11) armónico simple

(Ir) 2 pies

(c) ~ s
2

7r

oscilación/s

ir0.4225 \ 4 ~ 1500 ' )

14

(h)

M

(d) 19.51 m a In izquierda

(e) d —» 0

Examen del capitulo (página 714) I. 61.0” 1 1.3° 3. a = 15.88. l i = 57.5“, C * 70.5” 4J a 6.85, C = ll7 ° ,c * 16.30 5. A a 52.4°. B a 29.7“, C a: 97.9” 6. 6 «: 4.72, c a 1.67, B = 105” 7. Ningún triángulo 8. c ai 7.62. A a¡ 80.5“, B * 29.5° 9. 15.04 unidades cuadradas 10. 19.81 unidades cuadradas I I. El área de la región sombreada es de 9.26 cm.* II. 54.15 unidades cuadradas 13. Vladison tendrá que nadar aproximadamente 2.23 millas. 14.

12.63 unidades cuadradas

15. Las longitudes de los lados son 15.18 y 21.

16. ¡I — 5(sen 42“)sen ^ -^-^ o ti a 3.346 s e n f ^ - y

Repaso acumulativo (página 715) 1 (.r + 5)2 + (y - 1)- = 9

'•{M

6. (a) -

2V 5

3 . {.v|.r ¡s -1 o x a 4}

/ 5 - V5 V

10

f~5+ V5

„ (f)

V

10 (c)

(d)

10

(e)

(0

era

\± f

f

i B±fcfct

ÜJ-r

9. Dos triángulos: A¡ ~ 59.0°. 5 , a 81.0°, b, B 2 a 19.0°, 62 a 7.59

o A 2 ~ 121.0°, 1

10. { -2/, 2/, —, 1,2

11. R(x)

=

(2.t + 1)(.c - 4) —— + ^ ------ — ¡dominio: {jr|.r * - 5 , .r * 3} y

Intersecciones:

0^, (4,0), ^0,

No tiene simetría Asíntotas verticales: .r = - 5 , x = 3 A síntota vertical: y = 2 o • /2 6 \ Se mtersecta en: I — , 2 I

-10

A .

/ -4

iSffl 23.05

R64

RESPUESTAS

12. {2.26}

13. {1}

Capítulo 9 Examen del capítulo

14. (a) j - | }

(e) {jcl—8 < x < 3) o [ - 8, 3]

(b) {2}

(c) j

- 1 - 3V F5 - 1 + 3 \Z Í3 \

2

’

2

/

11. C

13. B

(d) \ x x >

(f)

( - 1 .2 5 ,0 )

C A P ÍT U L O 10

C o o r d e n a d a s p o la r e s ; v e c t o r e s

10.1 Evalúa tu entendim iento (página 725) 5. polo; eje polar 6. Verdadero 7. Falso 8. r eos 0;r senil 17.

19. ( 3 ,9 0 ° )

(-2,0)

21.

O

9. A /

\

15. A

23. v

27.

25.

X 90°

(-2 ,1 3 5 ° )

29.

7T)

31.

w

Q

35.

39. (0,3)

H) (a)

(b)

(-■t )

(c)

0- t )

43. ( - 3 V 3 .3 )

51. (-2.57,7.05)

53. (-4 .9 8 ,-3 .8 5 )

63. (2.47, -1.02)

65. (9.30, 0.47)

45. ( V 5 , - V 2 ) 55. (3,0)

(—2, 37t)

47. ( ” , ^ )

57. ( l,ir )

3 y^ 67. r2 = | o r = —

77. (x2 + y 2? ' 2 - x = 0 3,

79.

x2 + y2 =

4 81.

y2 =

49. (2,0) 61. ( 2 , ^

59.

69. r2 eos2 9 - 4r sen 9 = 0

71. r2 sen 29 = 1 73. r eos 9 = 4 75. x 2 + y 2 - x = 0 o ^x -

(C)

83. (a) (-1 0 ,3 6 )

41. ( - 2 ,0 )

(a) (2, -27r) (b) ( - 2 ,7 r) (c) (2,277)

3í7

(5-- t ) (b| (-5' t ) (c| (5' t ) 33

+

y2

=i

8(x + 2)

llir

(b) ( 2 VÜ 49 , 180° + t a n ' ^ - y ) ) « (37.36,105.5°)

(c) ( - 3 , - 3 5 )

(d) (V l2 3 4 ,1 8 0 ° + t a n ^ y ) ) * (35.13,265.1°)

10.2 Evalúa tu en ten dim iento (página 739) 7.

ecuación polar

8. Falso

9. - 9

13. x r + y 2 = 16; círculo, radio 4, centro en el polo

10.

77

- 9

11. Verdadero 15 . y =

12. 2n; n

recta que pasa por el polo

formando un ángulo de — con el eje polar

17. y = 4; recta horizontal 4 unidades arriba del polo

't 't

't

RESPU ESTAS

19. x = -2 ; recta vertical 2 unidades a la izquierda del polo

2)2

25. ( jc + y 2 = 4, x * 0; círculo, radio 2, centro (2,0) en coordenadas rectangulares, hoyo en (0,0)

Sección 10.2

R65

21. ( x - l ) 2 + y 2 = 1; círculo, radio 1, centro (1,0) en coordenadas rectangulares

23. x 2 + ( y + 2)2 = 4; círculo, radio 2, centro (0, - 2 ) en coordenadas

27. x 2 + ( y + l ) 2 = 1 ,* # 0; círculo, radio 1, centro at ( 0 ,- 1 ) en coordenadas rectangulares, hoyo en (0,0)

29. E 31. F 33. H 37. Cardioide

41. Limaçon sin lazo interno

43. Limaçon sin lazo interno

53. Lemniscata

55. Espiral

45. Limaçon con lazo interno

't

35. D

R66

RESPUESTAS StCClón 10.2 61.

¡W, | ,ímnv«n con la/o interno

57. Ciirüioidc

É * '• <

"5

/ > y' •

t ••

.

* * **

’• í

67. r « 3 ♦ 3 CO*6

65.

63.

6*. / « 4 « «en#

71.

») -f

c

75.

73.

77.

M • ♦'

•*T

'* i

7*).

81. rsenil ■ o

83.

y ■<»

►y

■ la r sen 0 -

r

2u y

i* ' ♦ f r

2u y - 0 .J » u )* ■
-

u

Círculo, radio a centro en (0, ai en coordenada» rectangulares 87. (a) r3 ■ c m ftr “ cos(sr - 0)

r *

as.

r ■ Z a *en 0 r

2*« -

« r

*

Zm c u »

Z rm c a s *

»

+ Z a t

♦

y

■ 0

*

y

-

/

C ircu lo, r adio i centro cu ( t, 0 ] en coordenada» rcxlang ¿U ír»

(bl r ■ unf* r <• ven(a - 6|

r * - eos» r * »en«» No es equivalente: la prueba fracasa. La prueba funciona (-r): ■ cos(~í») (~r): » »cn( -H| r ' = eos ti r ■ - sen«» La prueba nueva funciona No es equivalente, la nueva prueba fracasa Problemas Históricos (página 747) 1. (a) I + Ai, I + i (b) -1,2 + i 10.3 Evnliíu til entendimiento (página 748) 5. real; imaginario 6. magnitud; módulo; argumento 7. r,r:;t>, + fí::0 , + «?; R. r*; n&. nO 9. tres 10. Verdadero II.

KJc

15.

:x I

re a l

.SJ*

»*•

~

0

>

-i V 2 (c o s 4.V' + i sen 45°)

2(cos 330’ + i sen 330°)

«»

•

3(«v»270 * i ven 270 )

RESPU ESTAS

Sección 104

R67

r r .il

V !3(cos 123.7" + / sen 123.7")

2X -l + \ Ai

2V 2/ 27. -3/ 29. -0.(135 > 0 1‘»7/ ; | 8(cvvs 60 + is c n 6 0 ) ; ■ (eos 20“ + /se n 20”) 35. ;n »' 2 ^rr *Jit

.13. ;» -

2\

25.

37. ;« ■ 4îeos

40

2 -

):

+ / sen . 40

41. -3 2 + 32\ 3< 4X 32/

* eos

+ i sen ^

27 27 \ 1 , + — r— i

45.

39. :w -

31.

l.‘>70 + 0.347i .

3 (eos 220" + i sen 220 ) 4

- 12(cos40® + i sen 40"); -

ir

4\/2(cos IV + / sen 15"): -

"»sV? 2 5 \/2 4 7 . ---- — + - ■ /

49. -4 + 4/

-

V2(cos 75" + / sen 75")

51. -2 3 + 14.142/

XV { 2(eos 15° + / sen 15 ). i 2(eos 135* + ¿ sen 135“). t á ( c o s 255“ + ¿ sen 255“) XX ^ 8(e o s 75“+

i sen 75’). \4 8(cos

165’ + / sen

165°), 'i 8(eos 255“ + / sen 255°). ^ 8(cos 345" + i sen 345“)

57. 2(eos 67.5’ + / sen 67.5“) .2 (eos 157.5" + / sen 157.5 ). 2(cos 247.5“ + / sen 247.5“), 2 (co s337.5® + / sen 337.5°) 59.

eos 18“ + / sen 18°. eos 90 + ¿ sen 90“. eos 162° + i sen 162“, eos 234“ + / sen 234“. eos 306° + / sen 306°

61. l . / . - l . - i

63. Observa la fórmula (8) ; |; J = 'Cr para toda k.

i

'N \ \i

/ /

i 1 -1*

2tt 65. Observa la fórmula (8). Los zk están separados por un ángulo do — .

• * in u K in iir iu

\ \>

V

*é

--

*> 1 real

,* i / /

67. (al

z = a0

<*1

a2

o3

«4

<»3

«6

-0.01 - 0.31/

0.004 - 0.395/

-0.06 - 0.0/

-0.06 - 0.35/

3.37 - 3.92/

-3.52 - 25.6/

-641.7 + 180.0/

379073 - 232071/

-0.9 + 0.7/ -0.58 - 0.56/ -0.88 + 1.35/

-1.95 - 1.67/

0.13 + 7.21/

-52.88 + 2.56/

2788.5 - 269.6/

-1.1 + 0.1/

0.1 - 0.12/

-1.10 + 0.76/

0.11 - 0.068/

-1.09 + 0.085/

0.085 - 0.85/

-1.10 + 0.086/

0 - 1.3/

-1.69 - 1.3/

1.17 + 3.09/

-8.21 + 5.92/

32.46 - 98.47/

-8643.6 - 6393.7/

33833744 + 110529134.4/

1 + 1/

1 + 3/

-7 + 7/

1 - 97/

-9407 - 193/

88454401 + 3631103/

7.8 X 10*5 + 6.4 X 10’4/

0.1 - 0.4/

-0.05 - 0.48/ -0.13 - 0.35/

0.5 + 0.8/

(b)

c, y

0.11 + 1.6/

-2.05 + 1.15/

están en el eonjunto de Mandelbrot.
z

Lzl

lo6l

0.1 - 0.4/

0.4

0.4

0.5 + 0.8/

0.9

444470

-0.9 + 0.7/

1.1

2802

-1.1 + 0.1/

1.1

1.1

0 - 1.3/

1.3

115591573

1 + 1/

1.4

7.8 X 1015

Los números que están en el conjunto de Mandelbrot satisfacen la condición |
10.4 Evalúa tu entendimiento (página 760) 1. vector

2. 0

3. unitario

4. posición 5. horizontal; vertical

6. resultante

7. Verdadero

8. Falso

R68 17. V

RESPUESTAS

Sección 10.4

19. F 21. F 23. V 25. 12 27. v = 31 4 4J 29. v - 21 + 4J 31. v - 81 - J 33. v -

43. V « 9

45. V 34 - V i 3

47. I 49. *1 -

51. ~ 2 | -

55. { - 2 + V 2 Í, - 2 - V i l }

57. v = j*i +

71. ( m) ( - 1 .4 )

73. F = 20V 3I 4 20j

(■>)

(-1.4)

2" '

kV s . 4V ^ 2J 53. v - -— *1 + 4 5

59. v - -71 + 7V3J

2 J .......................... '

61. v - 2^

2 '

s

I ' j « * -, i

2‘

37. \ / 2

39, V i l

41.

j

sV s 4V 5 5 1" 5 J

.

I-

35. 5

W* 4V

6 Í- 1Ví

67‘ ^ r 4

257,7

91.

75. F « (2()V3 4 3 o V 2 )l 4 (20 - 30 V2JJ

77. (u) v„ = 550J; vM , = 5()V2I 4 50V 2J (b) v, - 5oV 2l 4 (550 4 5()V2)J (c) |¡v^,|| = 624.7 mph;N6.5“E

íi X

a - 1)

11 yí

Problemi! histórico

79. V = (250V 2 - 30)1 4 (250V 2 4 30V 3)j; 518.8 km/h;N38.6"E 81. Aproximadamente 4031 Ib 83. 8.6" a la izquierda de la dirección directa cruzando el río; 1.52 mm 85. Tensión en el cable derecho: ÍO(K) Ib; tensión en el cable izquierdo: 845.2 Ib 87. Ienvión en la parle derecha 1088.4 Ib; tensión en la parle izquierda: 1089.1 Ib 89. El camión debe tirar con una fuerza de 4635.2 Ib.

(página 768)

(«i 4 bj) • (c¡ 4 í/j) = ac 4 Ixl Parte real [(a 4 bi)(c 4 di)] = parte real ((a - bi)(c 4 di)] = parte real | ac + adi - bei - bdr] *> ac + bd


(página 769)

2. producto punto 3. ortogonales 4. paralelos 5. V 6. F 7. (a) 0 (b) 90" (c) ortogonales 9. (a) 0 ib) 90'
7*

= eos a eos p 4 sen a sen p. 39. (a) Siu = a¡¡ + b,j y v = n2i 4 b2j, entonces,como |u|| = ¡vi,« 7 4 bf = |u ||7 = ¡v¡7 = a7 4 b?, (u 4 v )-(u - v) = (a¡ 4 a2)(«| - a2) + (b, 4 b2)(b, - b2) = (a, 4 b() - (a? 4 b2) = 0. (b) Los catetos del ángulo se pueden hacer corresponder a los vectores u + v y u - v. 41. (IM|v 4 ||v||w) • (||w||v - ||v||w) = ||w||2v • v - ||w||||v||v *w 4 ||v||||w||w *V - |v |2w • w = |w |7v v - |v (7s v w = |w |7|v | 7 - |v |7|w | 7 = o 43. ||u 4 v||~ - ||u - v||2 = (u 4 v)*(u 4 v) - (u - v)*(u v) = (u*u + U*V 4 V• U 4 v • v) - ( u *u - u • v - V• U 4 v«v) = 2(u*v) 4 2(v*u) = 4(u*v)


(página 771) 3. ( l. V 3 )

5. (0.3)

O 7. ( 3 ^

) . ( - ,* - = )

11. (5.0.93). ( -5 .4 .0 7 )

17. (a) .r 4 3 v = 6 (b) recta que pasa por (6.0) y (0.2) en coordenadas rectangulares

•M

RESPUESTAS 19. Círculo; radio 2. centro en (2,0) en

2 1 . Cardioide; simétrica con respecto

coordenadas rectangulares; simétrico con respecto al eje polar

25.

V 2 (cos 225°+ i sen 225°)

Capítulo 10 Examen del capítulo ,

R69

23. Limaçon sin lazo interno; simétrica con respecto al eje polar

a la recta 0 = —

2

27. 5(cos 323.1°+ / sen 323.1°)

29. - V 3 + i

31. E je

3

33.

3 \/3

0 .1 0

-

2+ 2 '

0 .0 2 / E je im a g in a r io

im a g in a r io

0 .0 6

\

E je

. °-,10

-O .O 2 V

real

-2

E je

E je re a l

- 0 .0 «

rea l

35. zw = eos 130°+ / sen 130°; — = eos 30° + i sen 30° 37. zw = 6(cos 0 + i sen 0) = 6; — = - (eos — + i sen — ) iv

w

27

z

27V 3

39. zw = 5(cos 5°+ / sen 5°); — = 5(cos 15° + i sen 15°) 41. — H----- -— 3

3V 3

49. 3 ,3(coS 120° + i sen 120°), 3(cos 240° + i sen 240°) o 3, - - + - y - ¿ ,

i

3

55. v = 2i - 4j; ||v|| = 2 V 63. V 5

5

5 )

43. 4i 45. 64 47. -5 2 7 - 336/ 3 \/3 - = -^ -1

57. v = - i + 3j; ||v|| = V Í 0

s

65. V 5 + 5 ~ 7.24 67.

81. Ortogonales 83. Vi =

4

3

-1 -

59. 2¡ - 2j 61. -201 + 13j

69. v = | i +

5 5 J 75. v w = -4 ; 8 ~ 153.4°

73. v*w = -1 1 ;0 ss 169.7°

87. V 2 9 ~ 5.39 mi/hr; 0.4 mi

2 \

71. 120° 2 2 J 77. Paralelos 79. Paralelos

6 8 9 f \ 7 21 - j ; v2 = -1 + - j 85. Vl = — ^3i + j J; v2 = - — i + — j

89. Cable izquierdo: 1843.21 Ib; cable derecho: 1630.41 Ib 91. La fuerza requerida para evitar que la camioneta ruede colina abajo es de 697.2 Ib. La magnitud de la fuerza perpendicular a la colina es de 7969.6 Ib.


(p á g in a 773)

R70 7.

8y

RESPU ESTAS

Capitulólo Examen del capitulo

8. r 2 eos tí = 5 es simétrica con

*2

=

respecto al polo, al eje polar y la recta tí =

Tí

7T

9. r = 5 sen tíeos2 tí es simétrica con respecto a la recta 0 = ~ . Las pruebas de simetría para el polo y el eje polar fracasan, por lo tanto, la gráfica de r = 5 sen tí eos2 tí puede o no ser simétrica con respecto al polo y al eje polar. 10. z •w = 13.

0=0

0=7T

6(eos

107° + i sen 107°)

11. — = ^( eos 297" + i sen 297") 12. w1 = 24.3(eos 110' + i sen 110")

z0 = 2>v/2(cos40° + i sen 40"), Z\ = 2\/2(co s 160"+ i sen 160"), z2 = 2 1v'/2(cos 280" + i sen 280") z, = 2 ^ 2 < c o » 1 6 0 " + / »en 1 6 0 ") E j e im a g in a r io

Zo = 2 t J /2 ( c m 4 0 * + / »e n 4tT)

E j e re a l

z2 = 2 N ó t e o s 2K0" + / »e n 2 W f)

14.

v = (5 \/2 , - 5 V 2 )

15. ||v|| = 1 0

16.

u=

zp-r = ||V||

19. V) + 2v2 - v 3 = (6 ,- 1 0 )

\

— r~ \

L

/

17. 315° del eje positivo*

18. v = 5 \ / 2 i - 5 V 2 j

/

20. Los vectores V) y v 4son paralelos

21. Los vectores v2 y V3 son ortogonales.

22. 172.87"

23. Los cables

deben poder soportar una tensión de aproximadamente 670.82 Ib.

Repaso acumulativo

(página 774)

V3

1. { - 3 ,3 }

2. y = — *

3.

*2 +

(y - l )2 = 9

4. j j t * <

o ^ -°°,

5. Simetría con respecto al eje y

6.

___ n CU )

^

-2

B j(f

( 0 ,4 ) -

fF 1 ( 3 ,1 )

( -3 ,1 ),

(1.0)-

<0, — 2)

7.

i_¡---

9. - f

10.

6

1 ;2 5

4.5

11.

* = 3

12.

Am plitud: 4; periodo: 2

y =4

■+

x

CAPÍTULO 11 Geometría analítica 11.2 Evalúa tu entendimiento 6.

parábola

19. y•2 ~

7. (c)

8.

16*

POT,

(página 784)

9. ( 3 , 6)

10. y = - 2

21 . *2 =

y

( 4 ,8 ) ,

D :x = - 4

v= ¡o,'oj;

(3 ,2 )

Sí

ffl

■/■ = (4 , 0 )

11. B

—12y

13. E

15. H

17. C

23. y 2 = - 8*

25. x2 = 2y

y

Bt

V = ( 0 ,0 ) D : y = 3

brl+fe (-6, — 3) cu bu 3 ( 6 . - 3 )

(-2, 4)> lj— i 1Ti l):x —2 F=(-2,0) 1 V= (0,0), ( —2 , - 4 )

(4 , - 8 )

27. *

3y

F = (0 , - 3 )

29. (* - 2 )2 = - 8(y + 3)

31. (y + 2 )2 = 4(.r + 1)

y D :x = - 2

Vi 10. IIV

33. (.r + 3 )2 = 4 (y - 3) F = (- 3 ,4 ).v

( -5 .4 1 V = ( -3 .3 )

V= (— 1, — 2)

F = ( 0 ,- 2 ) ^ ( Ó , 1- 4 )

F = (2 , - 5 )

-1>.v —2

( - 1 .4 )

x

RESPU ESTAS

37. Vértice: (0.(1); foco: ( 0 . 1): directriz: v * - 1

Sección 11.3

R71

39. Vértice: (0. ()); foco: ( - 4 .0 ) ; directriz: x * 4

41. Vértice: ( - 1 .2 ) ; foco: (1,2);

47. Vértice: (0.2): foco: ( - 1 .2 ) ; directriz: x = I

49. Vértice: ( - 4 , - 2 ) ; foco: ( - 4 , - 1); directriz: y = - 3

directriz: r = - 3

r « «o, o * 2 m y lín - K v - (0.01 3^ r l>. v « -t KHH { ¡Ti

(-.V -«»/ /

tií.tíilí:

43. V'érticc:(3, - 1 ) ; foco:

H >

45. Vértice: (2. - 3 ); foco: (4, -3 ); directriz: x = 0

directriz: y = - 4

= ( - 4 , —1) y

F

( - 1 .4 )

«y’• i.v-u ■t»- i c

. t ■ (2 ,-3 )

!h x ■

I

~u i =(0.2) Z= (-Í, 2)» 1 U

L ; > » (4, - 3 )

nt.r - o

-!)

N

(— 6, -I) Vi LU-LU11JU

•

O: V = - 3

(-1.0)

51. Vértice: ( - 1 , - 1 ); foco:

55. (y - l )2 = x

53. Vértice: (2 ,-8 ); foco: í 2,

5 directriz: x = - — 4

33 directriz: v = — —

59. .r2 = 4(y - 1)

57. (y - l )2 = -{ x - 2) 61. y2 = h x + 2)

63. 65. 67. 71. 73.

A 1.5625 pies de la base de la antena, sobre el eje de simetría. A 1 pies del vértice, sobre el eje de simetría. 20 pies 69. 0.78125 pies A 4.17 pies de la base, sobre el eje de simetría. 24.31 pies, 18.75 pies, 7.64 pies 625 , 75. (a) y = ---------- -x2 + 625 (299)2

(b) 567 pies: 63.12 pies; 478 pies: 225.67 pies; 308 pies: 459.2 pies (c) No 77. C y + Dx

Cr

o, c * o. d * o

Esta es la ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y eje de simetría el eje x.

-D x

El foco es

D r = ~ cx

(-£•»>

(a) Si D * 0, entonces la ecuación se puede escribir como v2 n/ E2 - 4C F \

Cy2 + Ey = -D x - F

A Ecy

r +

(

y + -

i V

— Ti

La parábola abre hacia la derecha si

D D ~ 7^ > 0 y hacia la izquierda si - — < 0.

79. Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , C * 0

2

la directriz es la recta .r =

D = - c x

4CD

F C

D

Esta es la ecuación de una parábola con vértice en

F E2 C + 4C2

7 \2

( E \2 D V + 2C) = " C J

)' ' E2 - 4CF 4 CD

2Cj

y eje de simetría paralelo al eje x.

£ 2 - 4CE

(b)-(d) Si D = 0, la gráfica de la ecuación no contiene puntos si E2 - 4CE < 0, es una sola recta horizontal si E2 - 4CE = 0, y son dos rectas horizontales si E2 - 4CE > 0.

4C2

11.3 Evalúa tu entendimiento (página 794) 7. elipse

8. mayor

9. (0 ,- 5 ); (0,5)

17. Vértices: ( - 5 ,0 ) , (5,0) Focos: ( - V 2 1 ,0), ( V 21, 0) •vt rnxD m(0,2) " (-5.0)4

i<5,0)

(-V2Í.0): (0,-2) □

10. 5 ;3 ;x

11. ( - 2 , - 3 ) ; (6, - 3 )

19. Vértices: (0, - 5 ) , (0,5) Focos:(0, - 4 ) , (0,4)

y

12. (1,4)

13. C

15. B

x2 y2 21- T + = 1 4 16 Vértices: (0, - 4 ) , (0,4) Focos: (0, - 2 V 3 ) , (0 ,2 V 3 )

x2

y2 2

23- 1

1

Vértices: ( - 2 V 2 , 0 ), (2 V 2 , 0) Focos: ( - V 6 , 0 ) , ( V ó ,o )

(-3, ( 0 ,2 3 / 3 )

m (-2,0)t(0, -2V3)>

lllll

( —2 V 2 , 0 )

u

(— Vó, 0) ■ (0, -y/í)

. (2V2,0) i Vó, 0)

R72

k i :s i ' i j i ; s i a s

sección i u

,¡ y1 25. , i , - I ir. lo

2'K 27- 25 ' 16

Vértice»: ( 4 .0 ). (4 .0 ),

lljlí

(0, ■4), (0.4); l'octi»: (0,0) II 1 1-4. «I

.

(-I.ii|4

(4. HI " /r .

Iill M

”

H * S * '

'J

I* 4 ,X |^

THJ(I.0|

(»1,01.

* ... * I 25

Mi», »i

10, 4|

»• »,«i ( *! V*■*'

y in, li II

V

3

(•

f

K jJ

< r ^«I »0 «o. V4»¡

4)1

I», »1

(II. 4|

.1.4.

lJ 25

I

v1 0

iJ

*

»

v’

w.

<# * M*

4

• b - 1/ * l

4 ' n * 1 M f . y i ' f U vT3)

(-4.01 IVtiT iT N<1.4.0| i 4»......... »*♦ 4-5. UlNUSi j l* A : * ‘ ,A III (4,(11 lililí l i n i

\u * .

io, - v ili

I); vértice*:(3,

focos: ( 3 . - I -

n/ íí),

i ( •»/ V».•*

">’( ) ,0h ;H i

„ 4.4. Centro:(5,

41. (* - I)1 * 4 - I

1«. V ld fl*

4). (3.2);

(3. - I » V s )

<* + 5)1 ir.

(v - •>)’ 4

47.

C c n ( r o ;( - 5 .4 ); vértice* ( 1 ,4 ) , (

í «-m»«» I 2 , 1 ) *rri*e» ( - 4, i j, (O,1). f.* m 1 - 2 - V í . l ) . ( 2 * V i . l )

l.4 |,

lucos: ( - 5 - 2 X 6 . 4 ) . ( - 5 ♦ 2 V l . 4 )

(.».-i +v1i •'

fjjl'H i m i ' ..*J» .2 l 4 ':-' /(». -II li-u l 4 » i l »j f t -41 (.».-i - V ji

( i ♦ 2 1* , 4 • lr - l) ’ » l

f

M l-S • 1 VX4» i-l. 4. I Mi

' ,4 ' . —*— (-Í - J v .e.4, *

i- i

i -S.1 i

( , - 1 |!

... (— t - 2—) a +. ( r + -------»)* ! . 4y.

"•

Centro: (2.-1); vértices: (2 - V 3. - l) : (2 + v 1 ,- l ) : focos: ( l . - l ) . (3.-1)

( ) » 2)" * — f

4

~

''

/V 1 11. * 4-1* vi. II ‘-4».*CxDf*». :* 7 S ii * • > •» /

Jl-10»

i-tit

. (* * 2 r 53. t1 * — - I

Cenilo 10. 2). vértices (O, -4), (Q.O),

C cntro;(l. -2 ): vértice* (I. —5). (I, I), locos ( 1 . - 2 - V i ) , ( l , - 2 * V 5 )

( o c * < 0 .- 2 - V i ) . (O. - 2 * V i )

y m :i *

(2.- Ili i

s

o. - n e

s :: i. ii ¡ il, - i » v ii i - i. - iil * tií?» il.-ir * il. -Si • í *“ m . - i - v i i

(1,-1 +1211

•6 -1 * 1 . Uf i - l -í«t tJ i« .-]»

■.

<2 ♦ V X - ii ■\( ¿ - i - V ii

(.v - 2)*’ (y + 2)55. —---------+ —— + — —— - 1 25 21

57.

(* - 4)J

(y - 6 )J

+ - T

-

- 1

I*. -2 -V * .

$9.

r (0.-2i_^ ■*^>ni ■e : ;A (—2, -2l\ V ‘> a / h \ -2 - Vii)»- T T c f t

o - vaiali

£ ill*v5| ll A**.» 4 i»

«i i - vVi 65.

IIIîi ♦ vaiali v r*. ii. i)

(i - 2 f (r - Ir - — * - 1 —— « | 16 7

l-L i - i i>fi: .

( v - 1)J ftl. — + (y - 2)1 - 1 (-2.11 ? II. SI I4.ll 14i-1

A - 4.

a lll- l/l l

f» ll.Sl

» -i »

ll. -II

I jr r 69. r— + r r " 1 71. 43.3 pies 73. 24,65 pie*. 21,65 pie*. 13 K2 pies 100 + 36 mayor de 2 \ 41 pulp, de largo v un eje menor de S pule de largo

75. .V) p ío

77. H Ivno chpiico icnJri

7V. >l| 5 miUonct de mdlav v

81. Pcrìhclio: 460,6 millones de millas: distancia media: 4X3 8 millones de mtllav

|* *

! *

(4JC38)*

-

(93)* |

234.524-

1

hd eye

I

RESPU ESTAS

83. (a) Ax2 + Cy2 + F = O

y2

H )

f

f

n

L

- 1, d o n d e - — y - — son positivos.. Esta es la ecuación de una elipse con centro en (0,0).

(-1)

Si A = C, la ecuación se puede escribir como x2 + y2 = - Esta es la ecuación de un círculo con centro en (0,0) y radio igual a

—.

11.4 Evalúa tu entendimiento (página 807) 7. hipérbola 8. eje transversal 9. b 10. (2,4); ( 2 ,- 2 ) 11. (2,6); ( 2 .- 4 ) 12. 4

19. x2

y2

= 1

x2

21* 16 - 20 = 1

13. 2; 3; x

14. y = - ^ x ; y = ^x

(0.2V2) 15. B

17. A

V, = ( -1 ,0 )

F , = ( —3 . 0 ) \ l

x2 y2 23. =- = 1 9 16

y2

x2

2S- k - j = ' (0. 2V2|

F ¡ = ( 0 , 3 ,V 5 ) —2 x v ' y = 2 x

y =x

•v =

H 5

tH X T j

—“ -il

4

(0,6)

fr V 2 =

H44-

V, = (-2 V2,

/ | .j,( 3 .0 )

V y ' t ' ¡ = (2 3 / 2 ,0 )

v f\ m / • í— 4, 0)// - h

s^- 3, = (0. -6)

¡2LLÍ.

x2 y2 25 9 Centro: (0,0) Eje transversal: eje x Vértices: ( - 5 ,0 ) , (5,0) Focos: ( - V Í t . o ) , ( V 3 4 ,0 ) A, 3 Asíntotas: y — ±—x

x2 y2 31. ^ = 1 4 16 Centro: (0,0) Eje transversal: eje x Vértices: ( - 2 ,0 ) , (2,0) Focos: ( - 2 \ / 5 , 0 ), (2 V 5 , 0) Asíntotas: y = ±2x

29. =- - y- = 1

(V34.0)

V , = ( —5 ,0 »

y2

33. -

/

y = —3 jt

. r

Ti f

y

2

y = ix l í - F j = (O .V iñ )

< -ÍS h /T>v2= «0,3)

y M V¡ = ( - 2 , 0 ) 3| \ : [ ¿ i = T- 7 / ' t F , = ( - 2 V 5 . 0 ) y !/ A E H ffi]

- x2 = 1

Centro: (0,0) Eje transversal: eje y Vértices: (0, —3Jh (0,3) Focos: (o, - \ / l 0 ) , (o, n/ Í o) Asíntotas: y = ±3x

(0,4)

y = —I x y

F , = ( - V 3 4 .0 )

V

(»,-2V2)

F , = (0 , - 3 V 5 )

V

V x = (0 , - 3 )

1=

(1.0) > f , = (o, - V i ó )

(0 , - 4 )

y2

x2

V j = ( 0 ,5 )

35. ---------- = 1 25 25 Centro: (0,0) Eje transversal: eje y Vértices: (0, - 5 ) , (0,5) Focos: (o, - 5 V 2), ( 0 ,5 V 2 ) Asíntotas: y = ±x

(x-4)2

(y + 4)2 (x + 3)2 43. - — ■= 1 4 12

Vs

> + l = V| ( x - 4 )

1.-1)

F, = (-3,0)

v

45. (x - 5)2 - (y , 7) = 1 Vi + 4 = ^ + 3)

Vj = (-3,-2)

y/s

J + l « - f (r -4 )

(-3 - 2 V 3, - 4 ) ^ 5 ^ v , = ( - 3, - 6 )

/

F| = (-3. -8)

t f f i< - 3 + í V 3. -4 ) :

q / + 4 = -

( J.7 + V 3 ,

- u

+ 3)

v _ 7 = V

10I 5 y'

' rtí-"á'V

•

'F , = ( 7 ,- 1 )

j^V; = (6,-1) ( 4 ,- 1 - V 5 )

x2

F , = (0 , - S V 2 )

(y+1)2

V , = (2 . - 1 )

37. x2 - y2 = 1

F¡ = ( 0 ,5 V 2 )

y2

41. 2— — L - -L—^ L- = 1

F , = ( 1 ,- 1 )

R73

Si A y C tienen el mismo signo y F tiene signo opuesto, entonces la ecuación tomará la forma

Ax2 + Cy2 = - F

(b)

Sección 11.4

= (4-

;(77)

j

(t _ 5 ,

R74

RESPU ESTAS

(.v-1)2

47. 2—

Sección 11.4

(v+1)2 „

(x - 2 )2 = 1

49.

.(2.0, r +í-jto-2,

(y + 3)2 = 1

4

<2,-3),V

9

Centro: (2, - 3 ) Eje transversal: paralelo al eje x Vértices: (0, -3 L (4, - 3 ) Focos: (2 - V l 3 , - 3 ) , (2 + V 1 3 , - 3 j 3 Asíntotas: y + 3 = ± - (x - 2)

53.

51.

Centro: ( - 2 ,2 ) Eje transversal: paralelo al eje y Vértices: ( - 2 , 0), ( - 2 , 4) Focos: ( - 2 , 2 - V s ) , ( - 2 , 2 + V 5 ) Asíntotas: y - 2 = ±2(x + 2)

(* + l)2

*F2-(2+ V ¡3,-3)

Kl"

F, = (2 - Vl5, -3) j

fíjífW j ' (2, -6) y + 3 = -jU -2 )

(}» + 2)2 _

55. (x - l )2 - (y + l )2 = 1

4 4 Centro: ( - 1 , - 2 ) Eje transversal: paralelo al eje x Vértices: ( - 3 , - 2 ) , ( 1 ,- 2 ) Focos: ( - 1 — 2 \ / 2 , —2), ( - 1 + 2 V z , —2J Asíntotas:}' + 2 = ± (x + 1)

Centro: (1, -1) Eje transversal: paralelo al eje x Vértices: (0, - 1 ) , ( 2 ,- 1 ) Focos: (l - V z , —l) , ( l + V 2 , —l ) Asíntotas:}» + 1 = ±(x - 1)

F 2 = (-2 ,2 + V S )W X t

- y + l - x - l

2

y + 1 = - ( x - 1)

F, = ( l - V 2 ,- V p V, = ( 0 , - ¡ )

(1. -2>t±±j F, = (-2,2—VS)

57.

61.

4 — - (x + l ) 2 = 1

4 16 Centro: (3, - 2 ) Eje transversal: paralelo al eje x Vétices: ( 1 ,- 2 ) , ( 5 ,- 2 ) Focos: (3 - 2 \ / 5 , —2), (3 + 2 V /5, —2) Asíntotas:}1 + 2 = ±2(x - 3)

Centro: ( - 1 , 2) Eje transversal: paralelo al eje y Vértices: ( - 1 , 0), ( - 1 , 4) Focos: ( - 1 , 2 - V 5 ), ( - 1 , 2 + V ó ) Asíntotas:}» - 2 = ±2(x + 1)

(F - l)2 -

( jc + 2)2 = 1

Centro: ( - 2 ,1 ) Eje transversal: paralelo al eje y Vértices: ( - 2 , - 1 ) , ( - 2 ,3 ) Focos: ( - 2 , 1 - V I ) , ( - 2 , 1 + V I ) Asíntotas: y — 1 = ± 2 (x + 2) F2 = ( -2 ,l + V ?»

•F2= (-l,2+V5)

y - 1 = -2(x + 2)5F, =

(3 - 2V^, -2)

(-2,1)

F2= (3 + 2V?, -2)

ny - 1 = 2 íjt + 2 )

'I I 1I 1 ^2 = <-2,3)

(-Í7Í)

(- 3 ,1 ) jV

F, = (-1 ,2 -V S )

V, = (-2,-lF Fj = (—2,1 —VF) 67. Centro: (3,0) Eje transversal: paralelo al eje x Vértices: (1,0), (5,0) Focos: (3 - V 2 9 ,0), (3 + V 2 9 ,0)

65. y = -x

•)’ = x

10 x

Asíntotas:}1 = ± y ( x - 3) (3,5) 1(3,0) „ F; = (3 - V29,0 ) ^ > ry F, = (3 + V29,0)

v2ttt = (l,0) -y c = (5,0) (3 , - 5 )

69. Vértice: (0,3); foco: (0,7); directriz: y = - 1 F = (0,7)

(x - 5)2 7 *

y2

73. (x - 3)2 = 8 (y + 5)

9 + 25 ~ 1 Centro: (5,0); vértices: (5, 5), (5, —5); focos: (5, - 4), (5,4)

Vértice: (3, -5 ); foco: (3, -3 ); directriz: y = -1

V = (0,3)

F — (3 , - 3 )

D :y = - 1

r = ( 3, - 5 )

D-.y = - 7

75. E l destello ocurrió 50,138 pies al norte de la persona en el punto A . 77. La torre tiene 592.4 pies de alto. 81. Si la excentricidad es cercana a uno, la “abertura” de la hipérbola es muy pequeña. Conforme

79.

(a)

y = ±x

(b)

Y~

e crece, la abertura aumenta.

V

- y— = l,.r > 0

RESPU ESTAS

l

Sección 11.5

x

85. Ax2 + Cy2 + F = O

R75

y

Si A y C tienen signo opuesto y F ± 0, esta ecuación se puede escribir como —- — — + — :— — = 1,

F

Ax2 + Cy2 = - F

H ) (-D

F

donde - — y - — tienen signo opuesto. Esta es la ecuación de una hipérbola con centro en (0,0).

F

F

El eje transversal es el eje jc si — — > 0; el eje transversal es el eje y si - — < 0.

í

11.5 Evalúa tu entendimiento (página 816) 5. cot(20) =

A - C 6. parábola 7. B2 - 4 AC < 0 B

17. Hipérbola

V2

9. V

10. F

\¡2

\{Vlx’ + y')

31. 6 = 45° (ve el problema 21)

27.

x = ^-(x' -

11. Parábola

V2

21. x = - y ( o r ' - y'), y = - y ( x ' + / )

19. Círculo

25. * = U x ' - V 3 y’), y =

8. V

2 y'), y =

V5, ^-(2x' + y')

Elipse Centro en (0, 0) El eje mayor es el eje*' Vértices en (± 2 ,0 )

+

2_ 1 y'

Elipse

Vértice en (0,0)

Centro en (2,0)

Foco en (2,0)

El eje mayor es el eje x' Vértices en (4,0) y (0,0)

0)

45. Hipérbola

47. Parábola

49. Elipse

51. Elipse

53. Consulta la ecuación (6): A' = A eos2 9 + B sen 9 eos 9 + C sen2 9 B' = B(cos29 - sen20) + 2(C - A)(sen 0 eos 0) C' = A sen2 0 - 5 sen 0 eos 0 + C eos2 0 D' = D eos 9 + E sen 0 E' = —D sen 0 + 5 eos 0

F' = F

35. 9 = 60° (ve el problema 25)

Elipse Centro en (0, 0) El eje mayor es el eje y' Vértices en (0, ±2)

Parábola

43. Hipérbola

Vñ, V Í3 , 29. x = ^ ( 3 x ' - 2 / ) , y = ^ ( 2 * ' + 3y 13 13

—— + y 2 = 1

(*' - 2)2

y'2 = 8x'

V2

y'2 x'2 + V4 = 1

39. 9 « 34° (ve el problema 29)

37. 9 ~ 63° (ve el problema 27)

15. Hipérbola

23. x = ~^~(x' ~ /) > y = —^—( jc' + y')

33. 9 = 45° (ve el problema 23)

Hipérbola Centro en el origen Eje transversal es el eje x' Vértices en (± 1, 0)

13. Elipse

x'2

,2

41. cot(20) =

24’ 3n 0 = sen '( -

5,

37°

R76

RESPU ESTAS

Sección 11.5

55. Usa el problema 53 para determinar B'2 - 4A'C'. Después de muchas cancelaciones, H'1 - 4A'C' 57. La distancia en tre /*! y

B7 ~ 4AC.

7*2 en el plano x'y' equivale a \/{x2 - X\)2 + (y2 ~ y ¡ ) ■

Considerando que .v' = x eos 0 - y sen I) y y' = x sen 0 + y eos 0, entonces

(.*2 eos 0 - y2sentí - X\ eos 0 + y¡ sen O)2 = cos2 fl(jr 2 - -V|)2 - 2 sen tic o s 0(x2 - x\)(y-i - y\) + sen2 t1(y 2 ” y i) -y 2 2 (y 2' - y ,')2 = ( jc2 sen ti + y 2 eos 0 - x¡ sen ti - y, eos ti)2 = sen2 0(x2 - x , f + 2 sen ti eos 8(xr2 - x,)(y2 ~ y\) + c<* 0(yi y>) ■ Por lo tanto, (x 2' - x ,')2 + (y2‘ - y ,')2 = eos20(x2 - jc,)2 + sen2 0(x2 - x,)2 + sen 2 0(y2 y ¡ f + eos2 t1(y 2 - y,) = (x2 - X\)2(cos20 + sen2ti) + (y 2 - y , ) 2 ( s e n 2 ti + eos2ti; = (x2 - xt) + í y 2 - y , ) .

( x2 - X\')2 =

11.6 Evalúa tu entendimiento (página 822) 3. cónica; foco; directriz

4. 1; <1; >1

6.

5. V

7.

V

Parábola; la directriz es perpendicular al eje polar 1 unidad a la derecha del polo.

4 9. Hipérbola; la directriz es paralela al eje polar - unidades debajo del polo.

3

11. Elipse; la directriz es perpendicular al eje polar ~ unidades a la izquierda del polo.

al eje polar

1 unidad

el vértice está en

arm :

17. Hipérbola; la directriz es perpendicular 3 al eje polar - unidades a la izquierda del

15. Elipse; la directriz es paralela al

13. Parábola; la directriz es perpendicular

eje polar - unidades arriba del polo;

a la derecha del polo;

vértices están e n í - 3 . Oj y ( 1. ir).

los vértices están en 0 , y ) y ( « , y J .

G4

D ir e c lr iz

.V D ir e c tr iz

N )b

(M

( -3 ,0 )

E je

x p o la r

('■¥) li-t-i-ri

al eje polar

8 unidades debajo del polo;

los vértices están en

23. Elip se; la directriz es perpendicular al eje

21. Elipse; la directriz es paralela al eje

19. Elipse; la directriz es paralela

polar

polar 3 unidades debajo del polo; (

8,

n \

los vértices están en 16, — I y I

6 unidades a la

izquierda del polo;

los vértices están en ( 6, 0) y Í 2. tt).

( 6 3 tA

—y

E je

x p o la r

25. y 2 + 2jc - 1 = 0

27.

16,r2 + 7y2 + 48y - 64

33. 9x2 + 5y 2 - 24y - 36 = 0

7

= 0

29. 3*2 - y 2 +

35. 3x 2 + 4y 2 - \2x - 36 = 0

7

12x

37. r =

+ 9 = 0

1 1+

senO

31.

4.r2 +

39. r =

3y 2

- 16y - 64

12 4 eos 8

41. r =

= 0

12 1 -6

senfl

43. Usa d(D, P) = p - r eos 6 en la demostración de la ecuación (a) en la tabla 5. 45. Usa d(D, P) = p + r sen 6 en la demostración de la ecuación (a) en la tabla 5.

11.7 Evalúa tu entendimiento (página 833) 2. curva plana; parámetro

3. elipse

4. cicloide

5. F

9.

6.

V 13.

•5

¡

Vx - 2

T —

I Hi Lü

i-

.v = 3(y - l ) 2

21. 5- x

2y = 2 + x

y =

.ir1

or jr 7 + "9 = 1

RESPU ESTAS 27.

* =r

x =t

*=^ r =t

x

<

= t3 y = tb + 1

<

x = 'Vi

3 = f2 + 1

31. a:

+ y = 1

x=t

R77

t+ 1

,

3» = 4/ — 1 29.


3

= r3 33. x= r < 3 = r273, r > 0

y =t x = t3

y = í2, t a 0

35. a = i + 2,3 = (, 0 £ r s 5

t, y = 2 sen i , 0 £ í

37. x = 3 eos

39. * = 2 c o s(7 rr),y = - 3 sen(7r/ ) , 0 £ ( £

27T

2

41. .v = 2 sen(2ir/ ) , 3 = 3 cos(27tí) , 0 < r < 1

49. (a) x = 3

(b) (c) (d)

51. (a) Tren:X| = r2, 31 = 1;

3 = -16r2 + 50r + 6 3.24 s 1.56 s: 45.06 pies

(b) (c)

53. (a)

Bill: x2 = 5(í - 5), 32 = 3 Bill no alcanzará el tren.

(b) (d)

so___________

x

=

(145 eos 20° )f

3 = - 1 6 12 + (145sen20°)r + 5 3.20 s (c) 435.61 pies 1.55 s; 43.43 pies

(e)

izo

B ill

T ren

0 o|

■

■

■ - |s

0

o

-1 2 0

55. (a) x = (40 eos 45°)r

(b) (d) (e)

57. (a) Camry: x = 40r - 5 ,3 = 0; Chevy Impala: x = 0 , 3 = 30r - 4

(b) d = V (40r (c)

3 = -4.9r2 + (40 sen 45°)/ + 300 11.23 s (c) 317.52 m 2.89 s; 340.82 m

- 5)2 + (30r - 4 )2

(d) (e)

0.2 mi; 7.68 min Desactiva los ejes para ver la gráfica: 4

0.2

-4 320

V2

59. (a) x = ~y ~ v0t,y

= - 1 6 1¿ +

V2 -y 1v01 + 3 (b)

librará la barda por aproximadamente 99.5 pies.

La altura máxima es de 139.1 pies,

61.

Ejercicios de repaso (página 837) 1. Parábola; vértice (0,0), foco ( - 4 ,0 ) , directriz x = 4 asíntotas 3 = - x y 3 = - j x

La pelota está a 272.25 pies del home.

11.

(d)

Sí, la pelota

La orientación es de (x [, y¡) a (x2, 32).

3. Hipérbola; centro (0,0), vértices (5,0) y ( - 5 ,0 ) , focos ( V 26, o )y ( —V 26, 0 ),

5. Elipse; centro (0,0), vértices (0, 5) y (0, - 5 ) , focos (0,3) y (0, - 3 )

vértice (0 ,1 ),foco (0 ,0 ),directriz 3 = 2 asíntotas 3 = 2x y 3 = - 2 x

(c)

7. x2 = - 4 ( y - 1): Parábola;

2 v2 9. --------— = 1: Hipérbola; centro (0,0), vértices ( V 2 , 0) y ( - V 2 , 0), focos ( \ / l 0 , 0) y ( —V lO , 0),

(x - 2 )2 = 2(3 + 2): Parábola; vértice (2, - 2 ) , foco ^2, — Y directriz 3 = —^

-

R78

13.

13*

RESPU ESTAS


(y ~ 2)2 - (* - 1)2= 1: Hipérbola;centro (1,2), vértices (1,4) y (1,0), foco»(1,2 + \A) y [\,2

V5),asínlota*y 2

i2(x i)

( x - 2 ) 2 ( y - 1) = 1: Elipse; centro (2,1), vértices (5,1) y (-1,1). focos (2 + V5, l) y (2 - V s , 1) T 9 4

17. (.v - 2)2 = -4(y + 1): Parábola; vértice (2,-1), foco (2,-2), directriz y = 0 ( .v - 1 ) 2 (y + 1) 19. ----------- + —------ L

21.

= 1: Elipse; centro (1,-1), vértices (2,2) y (1,-4), focos(l,-1 + V5) y (l, -1 - V5) y2

y2 = - 8 jt

^

"

H-t-r

V = (0,
25‘ 16 + 7 “ 1

i r 1

(0.V7)/ H F3

v,= (o, 2)-y

Tffl n:x-l Él

F = ( -2 ,0 )

y2

a:2

V, = ( - 4 , 1 ) )

(2VJ, 0) .41+1. r / '7 = ( 0 , - 4 )

( -2 ,-4 ) /

Itffi

2 (y + 3)2 29. {x + 2)2 -

27. ( a: - 2)2 = —4(y + 3)

_y + 3 = —V í (jr + 2 )

4-í

D;y=- 2

V , » ( 4 .0 )

f , - ( - 3 ,0 ) ,

31 H

=1

4i ! + í i z i i ! = 1 16

25

y +3 = V 3U + 2)

$-2, -3+VJ)

V, = ( - 3 , - 3 ) ^ F, -

(-4 ,

-3 )W

(0 , - 4 )

F» = (0 , - 3 )

V, = ( - 1 , - 3 ) ( - 2 ,-3 ) F = (2 , -4 )’

(-2 , - 3 -V 3 )

(x + l ) 2 (y - 2)2 33. 2— — L. = 1

—2= — V2 (x+ 1) )'i(— 1,2 +V7 ) F 1 = (-5 ,2 )>

r b

-

rh

y- ?(-l,2) . , ]X] ^

y-l= j-(x-3 )

41. Parábola

43. Hipérbola

= <6,11

= (0, S

(3 ,2 )

39. Elipse

45. Elipse

3 - - ! = — 2 C Fd5 (( 33 .. 33 )) 3; (*32 .’ 1 )

m Yi =<2-2>

37. Parábola

Tffií ( 3 ,- - 1 )

|

3' “ 2= -y (•» + I) (—1,2 —V7 )

x'2

47. x'2 ~ '— = \

y'2

51. y '2

49- t + t = 1

Hipérbola Centro en el origen Eje transversal es el eje x' Vértices en (±1,0)

Elipse Centro en el origen El eje mayor es el eje y' Vértices en (0, ±2)

4 \/T 3

“ i r J

Parábola Vértice en el origen , Foco en el eje y en ^ — —

•°)

(-1,0)

53. Parábola; la directriz es perpendicular al eje polar 4 unidades a la izquierda del polo; el vértice está en ( 2 ,77).

D ir e c tr iz

y

(2,7r)j- ^ E je .v p o la r

SPf)

55. Elipse; la directriz es paralela al eje polar 6 unidades debajo del polo; los vértices están en

6

s- ? M 2-t )

57. Hipérbola: la directriz es perpendicular al eje polar 1 unidad a la derecha del polo: los vértices están en

RESPU ESTAS


R79

59. y2 - 8.v - 16 = 0 61. 3.v2 - y2 - 8x + 4 = 0

67. 2 (1,0) x + 4y = 2

=1

69. x = f, y = - 2 1 +

4 ,- o o

< oo

71.

X

= 4 cos(

y

1+ y = x

j, O< t < 4

= 3 sen

x2

y2

x2

73. T " T = 1

V2

75. La e l i p s e - + y = l

l- 4

-2

- ,y = í, - o o < t < oo

1

77. - pies o 3 pulg.

79. 19.72 pies, 18.86 pies, 14.91 pies

83. (a) x = (80 eos 35°)r

81. 450 pies

50

(e)

y = -16/2 + (80 sen 35°)/ + 6

(b) (c)

2.9932 s 1.4339 s; 38.9 pies (d) 196.15 pies

250

Examen del capítulo (página 839) -j

O

1. Hipérbola; centro: ( - 1 ,0 ) ; vértices: ( - 3 , 0 ) y (1,0); focos: ( - 1 - V l 3 , 0 ) y ( - 1 + V l 3 , 0); asíntotas: y = ——(x + l ) y -V = 2

2.

Parábola; vértice:^l,

+ U

directriz: y =

foco: ^1,

3. Elipse; centro: ( - 1 ,1 ) ; focos: ( - 1 - V T , l ) y ( - l + V 3 , l); vértices: ( - 4 ,1 ) y (2,1)

„ ( y - 2)2 ( x - 2 ) 2 , o. ---- ------------ -----= 1

x2 r 5- y + 1 6 = 1

y

bF*

V , = (2 ,4 )

' +I-J

r ¿ ¿ ¿ ¡ ( 2 + V T o, 5 )

(2,2)

.raí

(2 - 2VÍ, 2) i > $ 3 (2 + 2V2, 2) --------

^ “+2= (2,0) 7. Hipérbola

10.

8. Elipse

9. Parábola

11.

x'2 + 2 y'2 = 1. Esta es la ecuación de una elipse con centro en (0,0) en el plano x'y'. Los vértices están en (-1 ,0 ) y (1,0) en el plano x'y'.

Hipérbola; (x + 2)2 - y - = 1

12. y

= 1-

X+

13. El micrófono se debe colocar a —pies de la base del reflector, sobre su eje de simetría. Repaso acumulativo (página 840) 1.

- 6 x + 5 - 3/i

2.

|~ 5 , - y 2 j

3.

( x l-3 < x < 2} o [ - 3 ,2 ]

(b) y = log3 ( x - 2 ) ; dominio: (2, 00); rango: ( - 00, 00) 5. (a)

4. (a)

{18}

(b)

Dominio: ( - 00, 00); rango: (2, 00) (2,18)

6. (a)

y = 2x - 2

(b)

(x - 2)2 + y2 = 4

(c)

X- y2 — + — =1

577

(d) y = 2(x - l ) 2 (e) y2 - — = 1 (f) y = 4X 7. d = — ± 7t/c, k es cualquier número entero; 6 = — ± nk, k es cualquier número entero.

8. e =

37T

1

10 . jx x * — ± irkyk es un número entero >

9. r = 8 sen 6 10

£

10, x

11.

{22.5°}

x2

12. y = — + 5

R80

RESPU ESTAS

Sección 12.1

CAPÍTULO 12 Sistema de ecuaciones y desigualdades 12.1 Kvtiliíu (ii entendimiento (página 854) 3. inconsistente

4. consistente; independientes í 3(2) - 4

7, ( 2(2)~ ( - ' ) - 5 9 \ 5 (2 )+ 2 (-1 )

1 11 [ 2(2 )- 3 |

«8

6.

5. (3, - 2 )

consistente; dependiente*

( 3(1 ) + 3(-l) + 2(2) - 4 í 3(2) *• 3(~2) ♦ 2(2) 13. | 1 - ( - 1 ) - 2 - 0 15. { 2 -3 (-22))**22 I 5(2) - 21-2) - V 2 )~ + 1*3 I 2(—I) - 3(2) - ~K

4-1 ,3

, ,

(i: - --

y = 3;

j )

33. a = | , y = 1; Q , 1 ) 35. a = 4, y = 3; (4 ,3 )

51.

a=

1, y = 3, z = - 2 ;

37. a =

45. Inconsistente

( 1 ,3 ,- 2 )

real) o j( x , y)

y =

”)

6 V3

6/

X, x c*cualquier número rcalj 31. x • \,y * 1 ,(1 ,!)

4

, 3^ 29. (( a , v)| a = 4 - 2y, y es cualquier número

43. a = 2, y = - l , z = 1;( 2 ,- 1 , 1)

39. a - J . y -

(y

3)

41. 1 « 8. y « 2. * -

47. |( a . y. z ) | a = 5 z - 2. y = 4z - 3; z es cualquier número real)

53. a = - 3 , y = | , z = 1; í - 3 . 1J

61. Velocidad promedio del viento 25 mph; velocidad promedio del Piper 175 mph.

49.locormvtcnl*

59. 22.51b 65. \t '*>

63. 80 juegos de S25 y 120 juego» de $45

67. Mezcla 50 mg del primer compuesto con 75 mg del segundo. 69. a = - ,h = ~ y c = 1 71. Y - 9000, r 75. 100 asientos de orquesta, 210 principales y 190 de balcón

(«. 2 .0 )

55. 30 pies de largo; 15 píes de ancho

57. Hubieron 18 lanzamientos comerciales y 37 lanzamientos no comerciales en 2005.

0.06 73.

/1

■

~

7|

’ ^’ *

71

77. 1.5 pollo, 1 elote, 2 leche 81. Le lomará 30 h a Bcth, 24 h a B ill y 40 h a hdic

79. Si a = precio de las hamburguesas, y = precio de las papas y z = precio de los refrescos, entonces 41 1 = 2.75 - z ,y = — + - z , $0.60 s z s $0.90.

a

H

2

3'7 27. a' =

4 10 H

X

$2.13

$2.01

$1.86

y z

$0.89

$0.93

$0.98

$0.62

$0.74

$0.89

No hay suficiente información;

12.2 Evalúa tu entendimiento (página 869) 1. matriz

2. aumentada

1

-5

4

3

7.

í a - 3y = - 2 l2.v - 5y = 5

17.

2 4

3. tercer; quinta

6 -6 -2 3

(1) (2)

A - 3y + 2z = - 6 2.v - 5y + 3z = - 4 3.v - 6y + 4z = 6

21.

2s-

1 .0

9.

4. V

0.01

-0.03

0.06

0.13

0.10

0.20 a

-3 -2 ' 1 9.

II.

3

- 3y + 4z = 3

'1 0 0

5

1 2

2

(1 )

3 a - 5y + 6z = 6 (2 ): - 5 a + 3y + 4z =

(1) (2); (3)

0

-3 1 -1 5

2 -1 10

-6 ' 8 -1 2 .

6

(3 )

1 0 0

1

- 1 2’

-1 1 10 -2

13.

3

-3 4 4 - 6 -1 2 24

[ 23. <

5a - 3y + z = - 2 2a - 5y + 6z = - 2 [ - 4 a + y + 4z = 6

(1) (2): (3)

0 2 -1

2

15.

-3

1

4

10 2 -1 0 5 1 0

-1 1 4

-1

-5

3' -3

21 'l 2 0

7 -5 -9

-11 6 16

2~ _2 2

: Consistente; a = 5, y = - l o (5, - 1 )

[ a + 2z = -1

a,

33. ^ Ai + Aj + 3 a 4 = 3

0=0

0=0

(

Consistente: a

= —1 — 2z

y = - 2 + 4z z es cualquier número real o { ( a , y, z) | a = - 1 - 2z, y = - 2 + 4z, z es cualquier número real)

_ _T

+ 4,v4 = 2

29. I y - 4z = - 2

— 35.

Consistente;

A'i = 1, x2 = 2 - a4 *3 = 3 - 2 a4

, a 4es cualquier número real o { ( a i , a 2, a 3, a 4) | a , = 1, a2

= 2 - .v4, a3 = 3 - 2.v4,

a 4 es

cualquier número real}

a, = 2 - 4.v4 Ai = 3 - aj - 3a4 a ?, a4 son cualquier número real o

Aj “ a4 =

0

0= 0 Consistente;

{( a ,,.Vi .Aj. a4) i a, = 2 - 4a4.

Ai = - 2 - Aj Ai = 2 - llj Aj = Aj

Al = 3 - A , - 3.Vj, A j, Aj SOn

Aj es cualquier número real o

cualquier número real}

{(A|. Ai, Aj. Aj) | A, = ~2 - Xj. A; = 2 - 2Xj. Aj = Xj. Xj SOO cualquier número real}

RESPU ESTAS

1 3 /1 39. .v - - , v I

37. .v - 6, y - 2: (ó, 2) 3

/3

\

4

51. Inconsistente

53.

55.

57. .v = l . y

Inconsistente

R81

3\

- I 41. x - 4 - 2y, y es cualquier número real; {(,v, y) | x = 4 - 2y, y es cualquier número real}

1 /4

43. .x-= -.y = U( - 1 ) 45. .r = -.y =

Sección 12.3

1\

) 47. x = 8,y = 2,c = 0;(8,2,0) 49. .v = 2.y = -1,c = 1;(2, -1,1)

.v = 5c - 2. y = 4c - 3, donde c es cualquier número real; { (.v, y, c) I .v = 5c - 2, y = 4c - 3, z es cualquier número real} = 3 . c = -2 ; ( 1 .3 , - 2 )

59.

.v

= -3, y = y

c

= l;(-3 ,i

l)

61. * =

y

=

z

= 1; Q , | , l)

63. x = 1, y = 2, c = 0, w = 1; (1,2,0,1) 65. y = 0,c= 1- x , x es cualquier número real; {(x, y, c) Iy = 0, z = 1-.v, x es cualquier número real}

67.

x = 2, v = c - 3. c es cualquier número real; {(.v, v, c)|.v = 2, y = c - 3, c es cualquier número real)

'

7 ^

2

8

7

13

í

*71. x = — - —c — - n \ y = —- + —c + y w\ donde c y tv son cualquier número real; j (.v, y, c, w ) 5 5 5 ' 5 5 c y >*' son cualquier número real j

69. 7

x = — . v = — c = — ■I — — — ) 9 ,y 18 18 V 9 18 1 8 / 3

2

8

7

13

.v = .5 - r5 c~ - 7,v,y=-+ -c + y w. 5'

73. y = - 2 x 2 + x + 3 75. /(.v ) = 3x*’ — 4.v2 + 5 77. 1.5 de filete de salmón, 2 huevos asados, 1 calabacines

79. $4000 en letras del tesoro, $4000 en bonos del tesoro, $2000 en bonos corporativos 81. 8 Deltas, 5 Betas, 10 Sismas 83. /, = — , / , = 2, / , = — / . = — 23

85. (a)

(b)

(c) Todo el dinero invertido al 7% da $2100,

Cantidad invertida al

87.

Cantidad invertida al

7%

9%

11%

7%

9%

11 %

0 1000 2000 3000 4000 5000

10,000 8000 6000 4000 2000 0

10,000 11,000 12,000 13,000 14,000 15,000

12,500 14,500 16,500 18,750

12,500 8500 4500 0

0 2000 4000 6250

Primer suplemento 50 36 22 8

Segundo suplemento

mg mg mg mg

75 76 77 78

23

más de lo que se requiere.

Tercer suplemento

mg mg mg mg

0 mg 8 mg 16 mg 24 mg

12.3 Evalúa tu entendimiento (página 880) 1. ad - be

2.

3. F 4. F 5. F 6. F 7. 22 9. - 2

19. x = 8, y = -4 ; (8, - 4 )

21. x = 4, y = -2 ; (4, - 2 )

29. x = | . y = l : ( | . l )

3L x = | . y = i ; ( | y )

11. 10 13. - 2 6

15. x = 6, y = 2; (6,2 ) 1

23. No se puede usar 25. x = - , y =

3 (\

3\

17. x = 3, y = 2; (3,2)

1 2 ( 1 2\ ^ ‘ * = 10’ 'y = 5 ; v i 0 ’ 5 /

33. x = 1, y = 3, z = -2; (1,3, -2) 35. x = -3, y = ± z = 1; ( - 3 , ± 1J

37. No se puede usar 39. x = 0, y = 0, z = 0; (0,0,0) 41. No se puede usar 43. - 4

45. 12 47. 8 49. 8 51. - 5

13

53. — 55. 0 o - 9

59. El triángulo tiene un área

57. (yi - y2)x - (x, - x2)y + (x,y2 - x2y 0 = 0

de 5 unidades cuadradas.

(>1 - ^2)^ + (-<2 - * i)y = x2yx - x,y2 + x2yx ~ x ,y 2 - (x2 - x,)yi

(x2 - X])y - (x2 - xOyi = (y2 ~

(^2 - Jfi)(y - yi) = (y2 - y\)x - (y2 -

y ~ y1 61. Si a = 0, tenemos que

by = s ex + dy = t _ s Entonces, y = — y

b t — dy tb — ds X~ c ~ be

Usando la regla de Cramer, obtenemos

sd - tb tb - sd be -be -se _ s -be b

yi ~ y\,

:(x - x,)

x2 - X!

Si b = 0, tenemos que

Si c = 0, tenemos que

ax = s ex + dy = t Como D.= ad ^ 0, entonces a ^ 0 y d 7^ 0. s Por lo tanto, x = - y a t - ex ta - es y ~ d ~ ad

ax + by = s dy = t Como D = ad^ 0, entonces a &0 y d # 0.

Sid = 0, tenemos que ax + by - s ex = t Como D = —be &0, entonces b * 0 y c * 0.

Por lo tanto, y = — y

Por lo tanto, x = - y

Usando la regla de Cramer, obtenemos , 0

, , , Usando la regla de Cramer obtenemos

sd s x ~ ~0d ~ a ta y = ad

s - by

sd - bt ad at _ t y = ad d

d sd - bt ad

,

f c

s —ax b

J

se — at be

Usando la regla de Cramer obtenemos _ -tb _ t_

-be ' at - se

y =

-be

c se - at be

23

R82

RESPU ESTAS

«II 63. k«2i «31

Sección 12,3

«12 «13 ka22 ka23 «32 «33

—A.«21(«12«33 “ «12*1j) + kl¡ii(tl\ |«t(

«3l«|j) " *«2>í«ll"'2 "

«II «|2 «I» «21 «22 <*21 «Jl «J2 «»

k\ "*«2I («I2«33 - «32«ll) + «22(«n«13 ~ *3l«ll) “ «2(Í«U«32 " «II + k»2\ 65.

«12 + l<<'22 «13 + ktlu

«21

«22

«31

«32

(«„ 4 ktt2\ )(«22«33 - «12*2.0 " («.2 + *«22)(«2!«11 '

«23 «33

~^

= «h«22«33 ~ «11«32«23 + ^«2I«77«-*1 ' *‘72I«T>«?1 ~ «l2«?l"H 4 «I2«»l«21 - ^22«2t«1i + *«22«1,«* + «I3«2I«32 ' «Í3«3t«22 + = «ll«22«33 - «Il«32«23 “ «I2«2I«I1 + «I2«JI«21 + «I3«2I«12 ~ «l»«ll“22 = «||(«22«'3 _ «32*21) ~ «I2(a2l«33 “ «1l«23) + «n(«2l«I2 «II «21 «31

«)2 «13 «22 «23 «32 «33

' 1 3' .-3 1.

(b)

«3I«22Í

Problemas históricos (página 896)

2 -5]

1. (u) 2 - 5/

2.

. 1 + 3/

2 -5' 1 3 .5 2. .-3 1

17 1 .-1 12.

(c) 17 + /

(d) 17 + /

o' a2+ b2 ;cl producto es un número real. 0 b2+ a2.

a b a -b 0. -b omb

ka + le (b) A = nw + /ic

3. (a) x = k(ur + bs) + l(cr + ds) = r(ka + le) + s(kb + Id)

kh + Id rtib + nd

y = m(ur + bs) + n(cr + ds) = r(ma + nc) + s(mb + nd) 12.4 Evalúa tu entendimiento (página 896) 1. cuadrada 2. V 3. columnas; filas 4. F 5. inversa 6. singular 7. V H. /I Vi ' l 14 28 -9 -8 7 -15 4 4 -5' 0 12 -20' 17. 2 22 15. 13. 9. 11. 4 23. 7 0 22. 4. .4 8 24. .-1 5 3 0 7 -12 -13 -18 10 -14 34 17 -7

23.

37.

25.

3 -3 r -2 2 - i 39. _-4 5 -2 .

55. .v

5 14' 27. .9 16.

lj

r y '-~ r!

' i 2

0

1

0

2 »

1 0 63. 10 2 0 1 15

- i '

3

1 — 0

' I 15 10 2 0 1

I

o

0

1 1

2 2

i 7

O

o

0

-i

6

0

i

6

2

7J

1 2 5

0

0

0

0

1 0

2 0

0

6

1

j

6

1

1

11

7

6

42 _

--r*",1

O

5 0 0 'l r 1 2 5 0 0 f 2 "-3 1 -1 1 0 o" 1 -4 -7 0 1 0 — 1 -4 -7 0 1 0 — 0 -6 -12 0 1 -1 14 1 1 -1 1 0 0. .0 7 1 2 5 0 0 1_ -3 1 2 5

21 P .4

35.

2 3 (2 3\ v= ) 53. r = -2. v = 3.2 = 5; (-2.3.5) a a \a a)

34 85 12 / 34 85 12\ , 1 , 57. * = -y>-v = y . * = T ' [ ~ r r j ) 59* 1 = y v = =

1 -

1 0 0 1

S 1 “2 ~2;iJ «■ -1 3

' 9 2' 29. 34 13 31. L-l! 47 20_

49. .v = -2, y = 1; (-2.1) 51. jr =

61.

19.

-16* -22 22.

15 21 22 34 7 -11

41. .v = 3, y = 2; (3.2) 43. .r = -5. y = 10; (-5. 10) 45. r = 2. y = -1 :(2 .-1 )

47. x

65.

2 4 2 8 2 1 4 6.

-14" -18 28_

2 /1

2\

yVr'-jJ I

-

0 0

1_

15

*1 \

20

RESPU ESTAS

0.01

0.01

-0.02

0.01

-0.02

0.01

0.03

67.

-0.04 0.05 0.01 0.06

0.02 -0.02 0.02 -0.02

0.05 -0.01 69.

-0.01 0.03 -0.04 0.07

-1.19. 2.46.8.27) 75. 81.

a a

-= - - z +

83. (a) A =

85. (a)

y- - ;

6 3

1

87. (a) K~' = - 1 0

0 1 -1

a

AB

= 2980.20

(b)

*15" 8 . 3.

(b)

'51X1 71X)" i 350 5(X) 400 850.

(b) M =

1 1

a

R83

= 4.57. y = -6.44, z = -24.07 o (4.57, -6.44, -24.07)

Inconsistente; 0

j (a, y, c) |.v =

z +

y = ~z -

z es cualquier número realj

3573.60 11,500 17,050

(c)

13 1 20 8 9 19 6 21 14

-1

71.

= -5,

y donde c es cualquier número real;

9 80.00 :B = 12 277.80

5(X) 350 41X)

0.01 -0.03 0.1X) 0.06

Sección 12.6

(d) [0.10 0.05] (c) $2002.50

(c) El mensaje original es "Math is fun”, que quiere decir “Las matemáticas son divertidas".

89. Si D - ad - b e * 0, entonces «Ô yí/Ô oftÔ ycÔ . Si suponemos que es el primero. “

a c

b 1 d 0

0 1

1 c

b 1 a a d 0

= - r,

b i — 0 12 a D C — — 1 a a

—

1

0

0

1

_

/?: = —crl + r2

a


1

b a

0

1

1

0

a c ~D

a D

1

0

0

1

d D c ~~D

D

R\ = —a r2 + r,

R2 = ^ 2

(página 906)

9

22r — 1

-2(.v - 6)

5. Propia 7. Impropia; 1 + —----- 9. Impropia; 5a + —------- 11. Impropia; 1 + --------—------, .r - 4

y

.r - 4

y

F F

(a + 4)(a - 3)

1 17. ---- K + ——r a - 1 A- 2

b~ D a

19. — X — +— A+ 1 A-

1

„„ -4

4 13. — + ---- 15. -1 + ,- a x - 1

x

1

1

1

1.

2

1

2

1

3 3*+ 7 7 29. — — + ~4 ----------- 31. — A + — A 33. A + 1 A2 + 2a + 4 3a - 2 2a + 1 A+ 3

« 1 2a - 1 „ -1 2 -1 4 -3 -1 „ a -16 a 35. —------K“—;----- — 3 7 .------ 1------- —H------- - 39. ----- —H------- 7 + ---------r 41. — ------- 7 + a2 + 4 ( .r + 4)2 A A -3 A+l a- 2 a —1 (a - l )2 (.v2 + 16)2 (a2 + 16)3

43.

4

1

1

9 3 6 18 45. — + — + ----- + A- 3 A .v2 A - 3 A + 3 „

2a + 1

Problema Histórico a

2

(página 912)

= 6 unitiades, y = 8 unidades


(página 912)

7. V i 4 - vT)

13.

y

fe n s x2+ 2x + y*= 0^ 3 5 0

17. M -1 . V

(Ó,' 2)1

--L

+ y4

(-Í01

S i

x1 2+ 1

12 \2(X + 4) „ 4 4 4 + 21. ----- - + —------------ 23. ----- - + --------- - + ----- - + (A - l )2 -V - 2 A2 + 2a + 4 A - 1 (x - l )2 A + 1 (* + l )2

-5 5 -4 4 1 4 'V+ 25. — - + — - + ---- 27. - + 4: + - A --------------a+ 2 A + 1 (,t + I )2 A x2 .v2 + 4

8

x

Sj

x

V 3 )2 B

e

-2 ) y

-

r = 4

a

- 1

R84

RESPUESTAS

Sección 12.6

21. No existen puntos de intersección

25. * = \ , y =

4; a = - l , y = - 4 ; a = 2 \Í2 .y = V 5 ;

27. .v= 0. y =

1; * = — y = - | o (0,1), ( - f , - | )

1 3 (3 , 2 ), (3 , - 2 ), ( - 3 , 2 ), ( - 3 , - 2 ) 35. a = - , y = - ; 37. *

= V 2 ,y = 2 V 2 ; a =- V 2 , y

a

jc

= - 2 ^ 2 . y = - V 2 o (1 .4 ), (~U ~4)<( 2 \ / 2 , V 2 ), (■ 2V^2.

29. a = 0, y = - 1 ; a = | , y = ~

1 3 = -, y = --;

1

=- 2 V 2 o ( V 2 ,2 \ / 2 ) , ( - V 2 , - 2 \ / 2 )

8 2V l0 8 2\ / Í 0 8 2 VIÚ 41- X = 3 ' y = ~~3~ : = - 3 ’^ = —5— ;•x = y y = ---- 3 ° U

3

M

3’

3

/ ’ V3’

= VÍ3; a = - V 3 ,y =

49. a: = 0,y =

- 2 \ x = 0,y = 1; a: = 2, y = -1 o (0 , - 2 ),( 0, 1), (2, -1) 51. x = 2, y = 8 o (2, 8)

3

)\

3*

3

45' NoCXÍSteSO,udón real'

- V 3 ; a = 2 , y = 1; x = - 2 , y = - 1 o (V3^ V 3), ( - V S , - \ / 3 ) , (2. l ) , ( - 2 , - 1 )

57. a: = 0.48, y = 0.62

y x + y 1 - 3y + 2 = 0

(-1,

2)

2 VÍÓ

8

47. a: = V 3 , y

A'2 +

1 _3\ 2'

39. No existe solución real.

43. ^ = l, y = i u = - l 1y = i ; ^ = l.-y = - i ; ^ - l . y = - i 0 ( l 4 ) . ( - 14 ) ' ( l l 4 ) ’ ( ~ 1’ 4 )

55.

j

3 1 3 ( l 3 \ ( l _3 \ / _1 3 W - - , y = ~ ~ 2 ’^ ' 2 ° \ 2 ’ 2 ) ' \ 2 ’ 2J ' \ 2'2J ' \

=

a

o (0. -1). (

V 2)

61. 63.

til

a a

53. x = 81, y =3 o (81,3) -1.65, y = -0.89 = 1.81, y = 1.05; a = 0.58, y = -1.86; a =1.81, y = -1.05

59.

= 0.58, y = 1.86; a = 2.35, y = 0.85

a

=

---- 5,-V

x+ 1 +

y -y =o 67.

iy 2 + 4 y - A

+ l = 0N .

rt t r

(o, -Va- 2) 71. 3 y 1; — 1 y —3

73. 2 y 2 ;-2 y -2

85. 12 cm por 18 cm

1

95. y = —-

7

a

+ -

75. ^ y ^

7 7 .5

< x - l ) 2 + (A + 2 )2 = 4

(1 /-4 )1

79. 5 pulg. por 3 pulg. 81. 2cmy4cm

p 4. \IpT- — 1 (.A

83. la tortuga:7 m/h.la liebre: 7^m/h

p _ \/p 2 — 1 f.A

= 60 pies; y = 30 pies 89. / = -------------------------; w - ------------ ------------- 91. y = 4a - 4 93. y = 2a + 1 4 ’ ________ 4 —b + y/b2 — 4ac —b — y/b2 - 4ac 97. y = 2a - 3 99. = ; r2 = -----------^ ■—------ 101. (a) 4.274 por 4.274 pies o 0.093 por 0.093 pies 87.

a

2a

12.7 Evalúa tu entendimiento (página 921) 7.

■

punteados; sólidos

8. semiplanos

9. F

10. no acotada

2a

RESPU ESTAS

Capftulo12 Examen del capitulo

R85

37.

43. Acolada

47. No acotada

49. Acotada

/NiX'xl*

( 2 , 0 )™ ( 4 , 0 )

51. Acotada V

$

x + 2 c = 10

53.

ífeltP "I. M

,rs4

x £ 20

.r + y £ 6

y a 15 x + v £ 50 jc - y £ 0

x 2 0

57. (a)

55.

)’ * o

110.01 Ifr

’X + y

x a 0

50.000

x > 0

x 2 35,000

0 yv > u

59. (a) -

y £ 10,000 y 2: 0

61. (a) •

x + 2y £ 300 , 3.t + 2y £ 480 y

(b)
+ -V = t í

x = 3 5 .0 0 0

3Lr + 2 c = 40(1

V

(b) ITITTTI

♦•O -

i r + 2v = 160

•h i m

( 3 5 .0 0 0 .1 0 ,0 0 0 1 -

¿r

—20.1XX1 ( 3 5 .0 0 0 . 0 )

26)

( 4 0 .0 0 0 , 1 0 .0 0 0 )

4 0 ,0 0 0

:

Ir +

3y = 15 0

V = lO.OtX) ( 1 6 0 ,0 )

. ( 5 0 ,0 0 0 , 0 )

x + 2v = 3 0 0

x + v = 5 0 ,0 0 0


(página 928)

1. función objetivo 2. V 3. El valor máximo es 11: el valor mínimo es 3. 5. El valor máximo es 65; el valor mínimo es 4. 7. El valor máximo es 67; el valor mínimo es 20. 9. El valor máximo de z es 12 y se da en el punto (6,0). 11. El valor mínimo de z es 4 y se da en el punto (2,0). 13. El valor máximo de z es 20 y se da en el punto (0,4). 15. El valor mínimo de z es 8 y se da en el punto (0,2). 17. El valor máximo de z es 50 y se da en el punto (10.0). 19. Se deben producir 8 de descenso y 24 de campo traviesa; $1760; $1920 que es la ganancia cuando se producen 16 de descenso y 16 de campo traviesa. 21. Se deben rentar 15 mesas rectangulares y 16 mesas redondas para un costo mínimo de $1252. 23. (a) $10.000 en bonos chatarra y $10,000 en letras del tesoro (b) $12,000 en bonos chatarra y $8000 en letras del tesoro 25. Se deben mezclar 100 Ib de carne molida de res con 50 Ib de carne de cerdo. 27. Se deben producir 10 patines de carreras y 15 patines de patinaje artístico. 29. Debe ordenar 2 muestras de metal y 4 de plástico; $34 31. (a) Configurar con 10 asientos de primera clase y 120 asientos de clase turista, (b) Configurar con 15 asientos de primera clase y 120 asientos de clase turista.


(página 931)

I. x = 2, y = - 1 o (2, - 1 )

3. x = 2, y = ^ o ^2, ^

5. x = 2, y = - 1 o (2, -1 )

7. x = -y-, y = - j o f-ys

9. Inconsistente

II. x = 2, y = 3 o (2, 3) 13. Inconsistente 15. x = - 1 , y = 2, z = - 3 o ( -1 ,2 ,- 3 )

31.

21.

■4

_ 4"

3 _4

9 4_

33. Singular

1

23.

O

l x + 4y = - 1

8

12 -6

24 12.

35. x = —, y

II to11 v I

19.

f 3* + 2y =

Os

7 39 9 69 7 39 9 69 17. x = —z + — , y = —z + — , donde z es cualquier número real o ^ ( x , y, z) 3r = - z + — , y = - z + — , z e s cualquier numero real 4 4 8 8 4 4 8 8

2 31* -

4 25.

1 (2

12 -2

-3 -2 5

1\

0" -8 -4 .

' 8 27. 9 22

13

-1 3 2 -1 3

1

8" -1 0 -4 .

13 / 13

29.

13\

i ó H s ’ioJ 17- x - 9-y - y l - J <,V - y V

3 / 1 2 3 ^ 4’° \ 2’ 3’ 4/

1 6

-1 O 3

R86

RESPU ESTAS

Capftulol2 Examen del capitulo

41. z = - 1 , x = y + 1, donde y es cualquier número real o {(x, y, z) \ x = y + 1. 1 = 43. x = 4, y = 2, z = 3, f = - 2 o (4,2,3, -2 )

4 5 .5

47.108

4 9 .- 1 0 0

51. * * 2 , y - -1 o ( 2 ,- 1 )

3 2

-3

3 2 55. x = - l , y = 2, z = -3 o (-1,2, -3) 57. 16 59. — + l x

65. —----- +

-4 x

67.

x2 + 4 ' (x2 + 4)2

'

X2

+

6h

3

4 +x +7

.,

5 3 .x

■ 2 ,y - 3 o Í2.3j

1 1 “ 10 10* + 10 x + I ' x2 + 9

\ + 1

*

+ -

1

* + 1

71. x = 2 V 2 ,y = V 2;x = - 2 V 2 , y = - V 2 o (2 V 2, V 5 ),(-2 V 5 .-V 2 )

(0,0), (-3,3), (3,3)

y es cualqiiicr número re.il/

75. x = V2, y = - V2; x =

2, y

- V

=

V 2; x

(V2, -V 2 ),(-V 2 , V2),

=

73. x = 0,y = 0; x = - 3 ,y = 3; x = 3,y - 3o

| V 2,

^ 2; x =

V2, y = - V2 o

77. x = l,y = -1 o (1,-1)

79

83. No acotada

81.

0H

ix + 4xs 12

± ( 3 , 0>

2 r + 3/ = 6

87. Acotada + >>2 = 16

x +y =Z

93. El valor máximo es de 32 cuando x = 0 y y = 8. 95. El valor mínimo es 3 cuando x = 1 y y = 0. 97. 10

1

2

99. y = - - x 2 - - x + 1

101. Mezcla 70 Ib de café de $6.00 y 30 Ib de café de $9.00. 103. Compra 1 pequeña, 5 medianas y 2 grandes.

105. Lancha: 36.67 km/h; Río Aguarico: 3.33 km/h 107. Bruce: 4 h; Bryce: 2 h; Marty: 8 h 109. Producir 35 motores de gasolina y 15 motores de diesel; la fábrica produce 15 motores de gasolina y 0 de diesel en exceso.

Examen del capítulo (página 935) 1. x = 3, y = - 1 o (3, - 1 )

2. Inconsistente 3. x = - z +

18

18 17 1 { ( * ,y ,z ) x = - z + — , y = z — Y ' z es cualquier número real|

10.

11.

5 2

3 2_

12.

7.

'6 1 _5

17

donde z es cualquier número real o

4" -11 12_

8.

'- 1 1 -3 6

-1 9 ' 5 -2 2 _

9.

4 1 -1

-5 -1 5

1 0' 0 -2 5 10 -5

1

-2 -2 _—4 -5

3 13.x = i y = 3 o ( i 3) 7_

1 número real > 15. x = l , y = - 2 , z = 0 o ( l , - 2 , 0 ) (x,y) * = - 74Jy + 7, y y es cualquier • J

19. x = - 2 , y = - 5 o (-2 ,-5 )

4 -2 s1 10 26* -11 2 26 3_

1 / \ 4. x = - , y = - 2 , z = O o í r - 2’ ° )

_1

1

^1 L»J

__ 1

'16 17 . 3 -10.

to

I

í 3x + 2y + 4z = - 6 ’ 3x + 2y + 4z = - 6 1 lx + Oy + 8z = 2 0 < x + 8z = 2 [ —2x + ly + 3z = -11 , —2x + y + 3z = -11

y = Z—

16. Inconsistente

17. - 2 9

18. -1 2

20. x = 1, y = -1, z = 4 o ( 1 ,- 1 ,4) 21. (1,-3) y (1,3) 22. (3.4) y (1,2)

-w ----3 - + -2 24. x + 3 (x + 3 )2 _1

26. No acotada

1

„ 3 3 5x 25. — + —------- + x (x2 + 3) (x2 + 3)2

27. El valor máximo de z es 64 y se da en el punto (0,8). cuestan $8.50 y las playeras cuestan $6.00.

28. Los pantalones de mezclilla cuestan $24.50, las playeras de tirantes

RESPU ESTAS

Repaso acumulativo |o . 2 }

^

Sección 13.1

R87

(página 936)

4’

^

^_ 2 ^

{ 2}

8. Centro: (1 ,-2 ), radio = 4

{ h T l}

7‘ lmPar: simétrica con respecto al origen

9. Dominio: todos los números reales Rango: {y|y > 1} Asíntota horizontal; y = 1

10. f-'(x ) = - - 2 Dominio de / {.v|jr * - 2 } Rango de/: {y|y * 0} Dominio d e / -1: {.r|.v * 0} Rango d e / -1: {y|y * - 2 )

■M m

(b)

11. (a)

(d) (-2,0)

* =0 m .<• L>.>= »

(2 0)

(-2,0) (-1,-1); V "T —2 'ÍTff Í¡uíj: 2

(0 >=<

7(2, 2) ,

y

(g)

(i)

.0) 4

+ r

EJE: j = 0

12.

(b)

-2.28

(a)

Máximo local de 7 en jc= -1; mínimo local de 3 en x = 1

(c) ( -

00, - 1 ) ,

( l,o o )

10

-1 0

CAPÍTULO 13 Sucesiones; inducción; teorem a del binom io


(página 945)

sucesión 4. Verdadero 5. n(n - 1) • • • 3 • 2 • 1 6. recursiva 7. suma 8. Verdadero 9. 3,628,800 11. 504 13. 1260 15. 5! = l , s 2 = 2, s3 = 3, _ 1 1 3 _ 2 5 _8_ _8_ = 4, s5 = 5 17. a, - 3, a2 ~ 2 ’ - J , fl4 41’ " 3’ °5 = 7 61

3.

1 • í, = - f h 31.

1

1

1

1

_ 12’ h ~ ""20 ’ h ~ 30’ Í5 _

a„ = ( - l ) n+1

33.

a„ = ( - l ) n+1n

42

25.

bx

n+1

35. a, = 2, a2 = 5, a3 = 8, a4 = 11, a5 = 14

3

1

39.

a;= 5, a2 = 10, a3 = 20, a4 = 40, a5 = 80

45.

a!= A, a2 = A + d, a3 = A + 2d, a4 = A + 3d, a5 = A + 4 d

47.

a,

a4 = V 2 + V 2 + V 2 + V 2,

13

61.

49. 3

+ 4 + ••• + (n + 2)

55. i + ^ + • ■• + 4 3 9 3"

51.

K

6

/

1

\

2 ( " 1 )*U*

o=o

\3 /

n nk

65‘ X t o=i *

n

67‘ £ ( « + kd) o=o

| + 2 + | + ••• + y

53.

1 + | + i + ••• + ^ 20

+ ( —1)" ln n 59. % k k=1

57. ln 2 - ln 3 + ln 4

n+ 1 o

o=i

+ (& - 1)^]

69.

200

71.

79. 44,000 81. $2930 83. $18,058.03 85. 21 pares 87. Secuencia de Fibonacci 89. (a) 3.630170833 91. (a) üj = 0.4; a2 = 0.7; a3 = 1; a4 = 1.6; a5 = 2.8; ab = 5.2; a-¡ = 10; a$ = 19.6

(b)

2"-1

= 1,cl2 = 2’ ° 3 = 2>«4 = 4, a5 = 8

43‘

V2 +

X 7“T T 0=1 * + 1

"

a2 = 0, a3 = 3, a4 = 7 ,a¡= 12

1

41. ^ = 3, a2 = ^. ai = 2 ' ° 4 = 8’ ° 5 = 40

= V2,a2= V 2 + V2,a3 = V 2 + V ÍT ^ /l,

fl5 =

1

37. a, = - 2 ,

820

73.

1110

75.

1560

77.

3570

(b) 3.669060828 (c) 3.669296668

(d) 12

Excepto por e¡ término 5 que no se tiene con qué asociarlo, la fórmula de Bode proporciona aproximaciones excelentes para las distancias medias de los planetas al Sol. (c) La distancia media de Ceres al Sol se aproxima por a¡ = 2.8 y la de Urano es a8 = 19.6. (d) ag = 38.8; al0 = 77.2 (e) La distancia de Plutón se aproxima por a9, pero ningún términoaproxima la distancia mediade Neptuno al Sol. (f) De acuerdo con la Ley de Bode, la distancia orbital media de Eris será de 154 UA del Sol. 93. a0 = 2; a5 = 2.236067977; 2.236067977 95. a0 = 4; a5 = 4.582575695; 4.582575695 97. 1 ,3 ,6 ,1 0 ,1 5 ,2 1 ,2 8 ", n(n + 1) (n + l)(n + 2) 99. «„ = 1 + 2 + 3 + + n = ¿ k = ----- ------ , y del problema 98, h„+1 = --------- ---------- . k=l 2 2 (n + l)(n + 2) n(n + 1) (n + l)[(n + 2) + n] Entonces, u„+1 + un = = (« + D2.

R88

RESPUESTAS Sección 13.2

13.2 Evalúa tu entendim iento (página 953) 1. aritmética 2. F 3. 17 4. V 5. s„ = (n + 4) - [(« - 1) + 4] = n + 4 - (n + 3) = n + 4 - n - 3 - 1, una constante,

d = 1; q = 5, s2 = 6, q = 7, q = 8 7.

2n- 5 - (2» - 7) - 2* - 5 - 2» + 7 - i

- « . . . - (2 , - 5) - |2(n - 1) - 5] - 2« - 5 - ( 2 , - 2 - 5) -

d = 2 ; íJ| = —3, «2 = - 1 , «3 = 1, «4 = 3 c„ - c„_, = (6 - 2 /i) - [6 - 2 ( n - 1)] = 6 -

9.

2

« - (6 -

2

« +

) = 6 -

2

2

n - (8 -

2

«) = 6 -

2

« - 8 + 2« = - 2 , una constante;

rf = -2; q = 4, c2 = 2, c3 = 0, C4 = -2 (\ 1 \ [1 1. .,] 1 1 (l 1 _ i _ í n _ f - - I /i^ = - - - n - 7 + \ n = 11. t„ ^ - 3 «J ~ L2 “ 3(" " D j = 2 ' 3 M_ U " 3 n + s ) ' 2 3* U 3^ 2 3 6 3 ,

1

1

1

1

una constante;

3’

5

d ~ ~3'1' ~ 6’'2 ~ ~ 6 ''3 ~ 2' ‘a ~ 6 13. s„ - s„_, = ln 3" - In 3"’ 1 = n In 3 - (n - 1) In 3 = n In 3 - (n ln 3 - ln 3) = n ln 3 - n In 3 + In 3 = In 3, una constante;

d = ln 3; s¡ = ln 3, s2 = 2 ln 3, $3 = 3

ln 3, .r4 = 4 ln 3

15. q, = 3n~ l ; q „ = 152 17. a„ = 8 -

3n;a5¡ = -145

29. q = -1 3 ; rf = 3; q , = q__, + 3; a„ =

-1 6 + 3/i

= 28; d = -2 ; q, = q,_! - 2;q, =

33.

43.324

45.30,919

47.10,036

61. 210 beige y 190 azules

3 0 -2 n

49.6080

5 1 .-1 9 2 5

63. {7',,} = ( - 5.5/7 + 67);

- 1); «51 = 25

21. a„ =V 2 n ; fl5i =51V 2 23.

6 ;q , = a„., +

6;a„ = - 5 9 +6n

19. q , = | ( / j

31.q = -5 3 ; ¿ =

35. o,

= 25; rf = -2 ; q, = q ,-, - 2; q, = 27- 2n37.n2 39. - ( 9 + 5/t) 3 5 5 .--

53.15,960

T5 = 39.5°F

20025.-2 6

41. 1260

57. 24 términos 59. 1185 asientos

65. El anfiteatro tiene 1647 asientos

67. 8 años

Problem a histórico (página 962) 2

5

3

6

1 6

1

1 . 1 — hogazas, 1 0 - hogazas, 20 hogazas, 2 9 - hogazas, 3 8 - hogazas

13.3

E v a lú a tu enten d im iento (página 963)

3. geométrica

4.

-

1

11.

3

r = |;q

5. serie divergente

r

= —y fl2 =

17- r = | ; Í! = | , r2 =

=

- | , « 4

Í3 = | , z4 = | Z

6

. V

= - y

7. F

8

. V

r

9.

= 3 ; í i = 3,

s2 — 9,

13. r = 2 ; q = y c 2 = y c 3 = l , c 4 = 2

— 27, s 4 — 81

.4/3

15. r = 2 l/3; q = 2 I 0 , * 2 = 22/3, e 3 = 2, e4 = 2'

19. a¡ = 162; a,, = 2 , 3"~1 21. a5 = 5; q , = 5 • ( - l ) " ’ 1 23. «5 = 0; a„ = 0

n-2 25. a¡ = 4 \ / 2 ; q , = (VH)" 37. a„ = —( —3 )" ~ 1 47.

27. q = ^

39. q , =

7 7

15

29. ag = 1

(1 5 )" -1 = 7 -1 5 "-2

49.

< lx 4 )su n (se< = i< 2 '''n . n . 0 , 14 ,1)) 8 1 9 1 .7 5

3

53. Converge; — 55. Converge; 16

8

57. C o n v e r g e ;-

^ 69. A ritm ética;

d

31. q¡ = 0.00000004 41. - | ( 1 - 2")

43. 2 1 - í | Y

59. D iverge

71. Ninguna

73. A ritm ética;

I

51.

(c) 15.88 pies

• l s u n < s e ai<2^»>n>

0 ? 1 4 ,I ) )

-3276 7

20

61. C o n v e rg e ;—

63. D iverg e

18

65. C o n v e rg e ;—

3

d

=

2

-700

75. Ninguna

67. C o n ve rg e ;

6

5

2

r

77. G e o m é t r ic a s = - ; 2 1 -

/ 2 \ 50'

(- I

\/3

79. Geom étrica;/- = - 2 ; - - [ l ~ ( - 2 ) 50] 81. Geom étrica;/- = 3 1 /2 ; - - y ( l + V 5 ) ( l - 3“ ) 83. - 4 (d) 20 pies 89. $349,496.41 91. $96,885.98

de 2010; $9999.92

= ( y )

45. 1 - 2"

s u n ( s e = i ( C 2 / 3 ) /'n> n ,1,1 5 ,1 )) 1 .9 9 5 4 3 2 6 8 3

j

= 1; 1375

33. q , = 7 • 2 " ' 1 35. q , = - 3 -

93. $305.10

95. 1.845 x 101 9

103. L a opción B da como resultado más dinero ($524,287 vs. $500,500)

97. 10

85. $21,879.11

87. (a) 0.775 pies

99. $72.67 por acción

1. (I) n = 1:2(1) = 2 y 1(1 + 1) = 2 (II) S i2 + 4 + 6 + ••• + 2 k = k(k + 1), entonces 2 + 4 + 6 + ••• + 2k + 2(k + 1) = (2 + 4 + 6 + = k(k + 1) + 2(k + 1) = k2 + 3k + 2 = (k + l)(k + 2) = (k + 1)[(* + 1) + 1).

= [3 + 4 + 5 +

o

101. E l 20 de diciem bre

+ 2k) + 2(k + 1)

(1) n = 1:1 + 2 = 3 y y ( l ) ( l + 5) = | ( 6 ) = 3 (II) Si 3 + 4 + 5 + ••• + (k + 2) = ^ k(k + 5), entonces 3 + 4 + 5 +

8

105. Pago total: $41,943.03; pago en el día 22: $20,971.52

13.4 Evalúa tu entendimiento (página 969)

3.

(b)

+ (Jfc + 2) + [(Jfc + 1) + 2]

+ (k + 2)] + (k + 3) = ]-k(k + 5) + k + 3 = ]-(k2 + Ik + 6) = ~(k + l)(Jfc + 6) = ^-(/t + l)[(Jt + 1) + 5],

RESPU ESTAS

5.

Sección 13.4

(I) n = l : 3 ( l ) - l = 2 y i ( l ) [ 3 ( l ) + l ] = i ( 4 ) = 2

(II) Si 2 + = [2 +

+ 8 + • ■• + (3A - 1) = Â(3A + 1), entonces 2 + 5 + 8 + • • • + (3A - 1) + [3(A + 1) - 1]

5

+

5

8

+ ••• +

-

(3A

1)]

+

+

(3A

2)

=

Â(3A

¿

+ 1) +

(3 k

+ 2) = \ { 3 k 2 + I k +

2

4)

=

|(A

2

+

1)(3A

+

4)

= | ( * + 1)[3(A + 1) + 1].

7.

(I) n = 1: 21-1 = 1 y 21 - 1 = 1

(ID Si 1 + 2 + 22 +

+ 2*_1 = 2k - 1, entonces 1 + 2 + 22 +

+ 2*-1 + 2(*+1)~1 = (1 + 2 + 22 +

+ 2*_1) + 2k

= 2k - 1 + 2* = 2(2*) - 1 = 2*+1 - 1. 9.

(I) „ = 1; 4 1-1 = l y i ( 4 ' - 1) = j ( 3 ) = 1

(II) S il +

4

+ 42 + ••• + 4 *_1 = j ( 4 * - 1), entonces 1 + 4 + 42 + ••• + 4 *_1 + 4 (* +1>_1 = (1 + 4 + 42 +

= 4 ( 4 * - ! ) + 4* = 11. (I)

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1

1*2

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- 1 + 3(4*)] = i[4(4*) - 1] = i(4 *+1 - 1).

\[4 k

1

= 1

2 y 1+ 1

2

J _ + J _ + _l_+ (II) bl l * 2 + 2*3 + 3 - 4 +

| 1 _____ k 1 1 1 1 1 , entonces -— + ------- 1------- + ■• • + --------------+ -----------------------------+ k ( k + 1) “ k + 1 1*2 2*3 3 -4 A(A + 1) ( k + 1)[(A + 1) + 1]

J _ + J _ + J _ + ... 1 *2 2*3 3 -4 k 2 + 2k

+ 1

(* + ! ) ( * + 2)

(k {k

+ 4 *-1) + 4k

,

1 1 , 1 A(A + 1)J (A + \ ) ( k + 2)

,2

+ 1)

+ l ) ( k + 2)

k + 1 A:+ 2

{k

k

A+ 1

1 (A + 1)(A + 2)

+ 2) + 1 + 1)(A + 2)

k(k (k

k + 1 + 1) + 1 ‘

13. (I) n = 1:12 = 1 y 7*1 •2*3 = 1

6

(II) Si l 2 + 22 + 32 + ••• +

k2

= ^ k ( k + 1)(2 k + 1 ),entonces l 2 + 22 + 32 +

+ A:2 + ( k + l ) 2

= ( l 2 + 22 + 32 + ■• ■ + A:2) + (A: + l ) 2 = ^ (A : + 1)(2A: + 1) + (A: + l) 2 = i(2A:3 + 9 k 2 + I 3 k + 6) o 6 = ~ ( k + 1) ( k + 2 ) ( 2 k + 3) = \ ( k + 1)[(A: + 1) + 1][2(A: + 1) + 1], o 6 15. (I) „ = 1 : 5 - 1 = 4 y i ( l ) ( 9 - l ) = i - 8 = 4

(II) SÍ4 + 3 + 2 + ••• + (5 — A:) = Â:(9 — A:), entonces 4 + 3 + 2 + • • • + (5 — A:) + [5 — (k + 1)] = [4 + 3 + 2 +

+ (5 - A:)] + 4 - k = | a:(9 - k ) + 4 - k = ^ ( 9 k - k 2 + 8 - 2 k ) = ^ ( - k 2 + 7A: + 8)

= i(A : + l) ( 8 - A : ) = i(A : + l) [ 9 - ( A : + l)]. 17. (I) n = 1:1 *(1 + 1) = 2 y j* l* 2 -3 = 2

(II) Si 1 *2 + 2*3 + 3*4 + • • • + k(k + 1) = ^ k(k + l)(Ac + 2), entonces 1*2 + 2*3 + 3*4 + ••• + k(k + 1) + (A: + 1)[(A: + 1) + 1] = [1 *2 + 2 -3 + 3 *4 + • • ■ + k(k + 1)] + (k + l)(k + 2) = ^ k ( k + l)(fc + 2) + |-3(A: + l)(Ac + 2) = |(A: + 1)(A: + 2)(A + 3) = ~ ( k : + 1)[(A: + 1) + 1][(^ + 1) + 2], 19. (I) n = 1: l 2 + 1 = 2, que es divisible entre 2.

(II) SiAc2 + k es divisible entre 2, entonces (A: + l ) 2 + (k + 1) = A:2 + 2k + 1 + k + 1 = (A:2 + A:) es divisible entre 2 y 2A: + 2 es divisible entre 2, (A: + l ) 2 + (k + 1) es divisible entre 2.

+ 2k + 2. Comok2+ k

21. (I)

« = l : l 2 - l + 2 = 2, que es divisible entre 2. (II) SiAc2 - k + 2 es divisible entre 2, entonces (A: + l ) 2 - (k + 1) + 2 = A2 + 2k + 1 - k - 1 + 2 = (A2 - k + 2) + 2A. Como A2 — A + 2 es divisible entre 2 y 2A es divisible entre 2, (A + l ) 2 — (A + 1) + 2 es divisible entre 2.

23. (I) n = 1: S i jc > 1, entonces*1 = * > 1. (II) Considera que, para un número A, natural arbitrario, si* > 1 entonces** > 1. Multiplica ambos lados de la desigualdad** > 1 p or*.S i* > 1, entonces **+1 > * > 1.

25. (I) n = 1: a — b es un factor de ax - bl = a - b. (II) If a - fe es un factor de ak - fe*, entonces a*+1 - fe*+1 = a(ak - fe*) + bk(a - fe). Como a - fe es un factor de ak - fe* y a - fe es un factor de a - fe, entonces a - fe es un factor de a*+1 - fe*+1.

R90

H I , MM il.H I AH

Sen « Irto I J 4

27. (I) n - I (I 4 n)1 * I 4
XI 2 ♦ 4 4 6 * » (2 t 4 4 ft

t 24 - A' i A « 2 ,enlom e* 2 • 4 * ft • 4 . . . * 24) ♦ 2A • 2 « A3 «A «

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(II) ( 'onvidera ipic puni alguna A--1 la »umn de Io* Angulo* «Je un poligonoi«m*ctu> «V AU*J<**c* (A J|* 1Wf l o (**•&**•'«/»»»VJ ile A i I Indo* con*i*lc en un poligono convenu «le Alodo* niA* un triángulo (*ct I» do*li**iMO/ I » u»m* «Je *»« '■**•* f* (A - 2)• IHO

i IW) « (A - I >• IHM - |fA 4 I)

2| * I hîi

I.A.5 I *idilli lu i'iileniliitiicnlii (pàgina 97S) 1. triangulo de l'ii*cal

2. I.u

.A. I

4. Teorema del binomio

»' 4 5 .14 i i n , ' i i n , ’ i 5 , , i

17.

23. , ,n 4 5 « V

• KUV

27. u V ♦ V / u \

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4 5«V

• v1“

\

41. 33«)

3. IO

7, 21

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25. i ’ • ft\ . V

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19. i* - I 2 i ' 1 Mil*

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21. M i ‘ • ICMVt* • M *J • 12* • I

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I 0 IJ 7 6

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.................. •(:> •*(> ••'< -» — * ( ; > • • ( ; ) ♦ ( ; ) .........( :) «< Ijcrddo* de repuso (pàgina 977) ,

4

5

6

7

8

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8

32

I. «, - - y a j - -.flj - --.n . - ~.a, - - - 1 Cr • 2.*^ • l.fj • ~.c« - l.r* « g "

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i e. » J.ê, « 2.«. • _.*u *

I

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7. u, - 2.d] - O.a, - 2.11, - fl.a, - 2 9. 6 + 10 + |4 + 18 • 48 II. V< -1 ^ U Antmeu. 4 • ! . $ . • ,ln - II» 13. N«rt«* A- ) * 2 17.

Oeom òtrica;r - 8;.V, » ” (8" - I)

25. 3825

27. 1125

2«».

* 0.4W77

I* . Aritmetica : d • 4 ; S . • 31. 35

31 ^

.35. U V 2

2n(n - I l

21. (ie o m tu ic a .* » j . 5 . *- e* I

37. |a.| - |'u - 4|

.39. | a j - |u - |0|

( J J

21

4 L 4 « *-*e t^ *

*4

43. Converge: ^ 45. Diverge

47. Converge; 8

3*1

49. (I) u - 1:3*1 - 3y ‘ , (I ♦ I) - 3 (II) Si 3 + 6 + 9 +

+3 k m ~ i k * I). entonces 3 ♦ A ♦ 9 ♦ ••• ♦ 3A ♦ 3(4 * l ) » ( 3 * 6 * 9 * - - '

• 34) * (34 * 3)

3* 3At3 3A 6A 6 3 , A 3(4 * I) - y ( A + I) + (3* + 3) - y ♦ - + y ♦ , - , ( * J ♦ 34 ♦ 2) - ,( * * 184 ♦ 2) • |(4 . I) . 1} 51. (I) n » 1:2*3' 1 - 2 y 3* - I ■ 2 (II) Si 2 ♦ 6 4 184 42*3* ' * * 3 ' - I. entonces 2 4 6 4 18 * ••• *2*3* ' • 2 * 3 I* * " ' * » ( 2 4 6 * 18 * »3* - 1 * 2*3' ** 3*3* - 1 - 3* - l.

. ;« i* T| • 2* A*

53. (I) n - 1:(3*1 - 2)J « I y * • I*|f»(l)a * 3(1) - l| * I (II) Si I 3 4 4* 4 7‘ 4 ••• 4 (34 - 2)3 “ ,,4(64' - 34 - l).cotonce» l! t (• ♦ ?■' •

. ()4 - 2jJ + (3^ * |) - ; j :

- | f 4 43 4 7: 4 ... * (34 - 2): | * ,34 * |)3 - [4,h4r - 34 - I) ♦ (34 * \ ÿ . - j , (6 4 ’ 4 1543 4 114 4 2) -

\(k 4 D (6 4 ; ♦ 94 4 2) - | ( 4 4 |)|6(4 * |)* - 3,4 *

- U : _ j , . , m4-‘ - e j - | , - (j

RESPU ESTAS

55. 10

Sección 14.2

R91

57. x5 + 10x4 + 40x3 + 80.v2 + 80x + 32

65. (a) 8 tabiques

59. 32x5 + 240x4 + 720x3 + 1080x2 4- 810x + 243 61. 144 63. 84 { 3 \ y 135 /3 \n 67. (a) 2 0 l y l = - y f t (b) 20Í —J ft (c) 13 veces (d) 140 ft 69. $244,129.08

(b) 1100 tabiques

E xam en d el capítulo (página 979)

1 .0 ,2 ,* 5

2.

10 11 4 13

7.

1 2-

4,14,44.134,404

Geométrica; r = 4; S„ = y ( l - 4")

2 125 10. Geométrica; r = - Sn = - y -

í + í 4 9

.

“ 36

4. - 1 -

M 9

3

- H -

8. Aritmética: d = - 8; Sn = n(2 - 4 n)

-(ir

11. Ninguna

12. Converge;

10

, -Ü 2

M 81

27

9. Aritmética; d =

1024

/ k +i\

5- S (_ 1 )A m

81

6> Ninguna

)

Sn = ^ (27 - n)

13. 243m5 + 810m4 + 1080m1 + 720m2 + 240w + 32

Primero demostramos que la proposición se cumplen para n = 1. ^1 + y^ = 1 + 1 = 2. La desigualdad es verdadera para ií = 1, entonces la

14.

condición I se cumple. Después, consideramos que ^1 + y ^ l + —^ 1 + 3 )

^

= n + * es verdadera para alguna k y determinamos

+

si la fórmula se cumple para k + 1. Suponemos que ^1 + y ^ l + —^ 1 + y^ ■• ■^1 4-

^1 +

+ 3)

+ k + l) =

+

= k 4-1. Ahora debemos demostrar que

+ 1) + 1 = ^ + 2. Hacemos esto de la siguiente: 1manera:

H M H A K X - A t)=[(-I)(‘ A ) ( - I) - 0 A ) ] ( - A t) = (k + 1)^1 4- y—|—y^ (suposición de la inducción) = (k + 1) • 1 4- (k 4- l)* y -y -y - = k + \ + \ = k + 2 La condición II también se cumple. Por lo tanto, la fórmula es verdadera para todos los números naturales. 15.

Después de 10 años, la Durango tendrá un valor de $6103.11. después de 5 grupos de ejercicios.

16. El levantador de pesas habrá levantado un total de 8000 libras

R ep a so acum ulativo (página 979) -1 4- V36ÔÎ - 1 4- V36ÔÏ 18 ’ 6 K -

(b)

- 1 + V 360I - 1 + V 3 6 0 I\ ] 18 6 Jj

(c) El círculo y la parábola se intersectan en 1 4- V36ÔÎ - 1 4- V36ÔI 18 6

- 1 4- V36ÜT - 1 4- V 3 6 M \ 18 6 J'

(Ve 3. jln |

4. y = 5x - 10

5. (x + l )2 4- (y - 2)2 = 25

1 (g) g_1(x )= —(x - 1); todos los números reales

^

9. r = 8 sen 0;x2 + (y - 4)2 = 16 10. { y }

6. (a) 5

(b) 13

U. y

(d)

x x * - > (e)

7x - 2 x - 2

(f) (xjx * 2}

. y2

7. y - 4- y - = 1 8. (x 4 l )2 = 4(y — 2)

ó

LO

/

V Î5

12. (a)

2x - 1

a , x2

2x

(h) /~*(x) = ------ (x|x ^ 3 }

X

6x + 3

(c)

(b) - y y

V Ï5

(c) - y y

11 4(d) |

VÎ5

(e)

V 4 4-

V Ï5

2V2

CAPÍTULO 14 Conteo y probabilidad 14.1 Evalúa tu en ten d im ien to (página 986) 5. subconjunto; C 6. finito 7. n(A) + n(B) - n(Ax B) 8. V 9. 0,{a},{b},{c},{d),\a,b},[a,c},{a,d},\b,c),{b,d),{c,d},{a,b,c),{b,c,d}, [a, c, d), {a, b, d), \a, b, c, d ) 11. 25 13. 40 15. 25 17. 37 19. 18 21. 5 23. 15 arreglos diferentes 25. 9000 números 27. 175; 125 29. (a) 15 (b) 15 (c) 15 (d) 25 (e) 40 31. (a) 11,923 mil (b) 75,241 mil 33. 480 portafolios 14.2

E valúa tu en ten d im ien to (página 993)

3. permutación

n!

n\

4. combinación 5. ---------— 6. 7--------(n - r)l (n - r)!r!

7. 30

9. 24

11. 1 13. 1680

15. 28

17. 35

19. 1 21. 10,400,600

23. [abe, abd, abe, acb, acd, ace, adb, ade, ade, aeb, aec, aed, bac, bad, bae, bea, bed, bce, bda, bdc, bde, bea, bec, bed, cab, cad, cae, cba, cbd, ebe, eda, cdb, ede, cea, ceb, ced, dab, dac, dae, dba, dbc. dbe, dea, deb, dee, dea, deb, dec, eab, eac, ead, eba, ebe, ebd, eca, ecb, ecd, eda, edb, ede}; 60 25. (123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324, 341,342,412,413,421,423,431,432); 24 27. [abe, abd, abe, acd, ace,ade, bed, bce, bde, ede); 10 43. 1024

45. 120

47. 132,860

49. 336

51. 90,720

29. (123,124,134, 234); 4 53. (a) 63

(b) 35

3 1 .1 6

3 3 .8

3 5 .2 4

3 7 .6 0

(c) 1 55. 1.157 x 1076 57. 362,880

39.18,278 59. 660

4 1 .3 5 61. 15

63. (a) 125,000; 117,600 (b) Un mejor nombre para un candado de combinación sería candado de permutación porque el orden de los números importa.

R92

RESPU ESTAS

Sección 14.3

Problem a histórico (página 1003) 1. (a) [AAAA, AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABAB, ABBA, ABBB , BAAA, BAAB, BABA, BABB, BBAA, BBAB, BBBA, BBBB\ C(4. 2) + C(4,3) + C (4,4) (b) /'(A gana) = ----------------- ^

6 + 4+1

11

, _ C(4,3) + C(4,4) = 4 + r (B gíina) “ 24 16

= _5 16

14.3 Evalúa tu entendimiento (página 1003) I. igualmente probables 2. complemento 3. F 4. V 5.0,0.01,0,35,1 II. S = {CC, CX, XC, XX); P(CC) = i , £(CX) = i , P(XC) =

7. Modelo de probabilidad 9. No es un modelo de probabilidad

£(X X ) = ^

13. .5 = (CC1, CC2, CC3, CC4, CC5, CC6, CX1, CX2, CX3.

CX4, CX5, CX6, XC1, XC2, XC3 , XC4, XC5, XC6, XXI, XX2, XX3, XX4, XX5, XX6); cada resultado tiene una probabilidad de — . 15.

S = (CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX); cada resultado tiene una probabilidad de

17.

5 = (1 Amarillo, 1 Rojo, 1 Verde, 2 Amarillo, 2 Rojo, 2 Verde, 3 Amarillo, 3 Rojo, 3 Verde, 4 Amarillo, 4 Rojo, 4 Verde); cada resultado tiene una probabilidad de

entonces, P(2 Rojo) + P(4 Rojo) = j2 + 12 = 6 ’

19. S = (1 Amarillo Adelante, 1 Amarillo Atrás, 1 Rojo Adelante, 1 Rojo Atrás, 1 Verde Adelante, 1 Verde Atrás, 2 Amarillo Adelante, 2 Amarillo Atrás, 2 Rojo Adelante, 2 Rojo Atrás, 2 Verde Adelante, 2 Verde Atrás, 3 Amarillo Adelante, 3 Amarillo Atrás, 3 Rojo Adelante, 3 Rojo Atrás, 3 Verde Adelante, 3 Verde Atrás, 4 Amarillo Adelante, 4 Amarillo Atrás, 4 Rojo Adelante, 4 Rojo Atrás, 4 Verde Adelante, 4 Verde entonces, P( 1 Rojo Atrás) + P(\ Verde Atrás) = 24 + 24 = 12’

Atrás);cada resultado tiene una probabilidad de

21. S= (11 Rojo, 11 Amarillo, 11 Verde, 12 Rojo, 12 Amarillo, 12 Verde, 13 Rojo, 13 Amarillo, 13 Verde, 14 Rojo. 14 Amarillo, 14 Verde, 21 Rcjjo. 21 Amarillo. 21 Verde, 22 Rojo, 22 Amarillo, 22 Verde, 23 Rojo, 23 Amarillo, 23 Verde, 24 Rojo, 24 Amarillo, 24 Verde, 31 Rojo, 31 Amarillo, 31 Verde, 32 Rojo, 32 Amarillo. 32 Verde, 33 Rujo. 33 Amarillo, 33 Verde, 34 Rojo, 34 Amarillo, 34 Verde, 41 Rojo, 41 Amarillo, 41 Verde, 42 Rojo, 42 Amarillo, 42 Verde, 43 Rojo, 43 Amarillo, 43 Verde, 44 Rujo. 1 n (£ ) 4 1 44 Amarillo, 44 Verde); cada resultado tiene una probabilidad de— ; entonces, £ = (22 Rojo, 22 Verde, 24 Rojo, 24 Verde); P(E) = = — = —.

4o

23. A ,B ,C ,F 1

39. -

25. B

1

P(T) = |

£ (2 ) = £ (4 ) = P(6) = £

29. £ (1) = P(3) = £ (5 ) = | ;

1

41. -

67. (a) 0.57

27. £ ( / / ) = | ;

J

17

43. — 45. 0.55 47. 0.70 49. 0.30 51. 0.87 53. 0.66 55. 0.95 57. — (b) 0.95

E jercicios de repaso

(c) 0.83

(d) 0.38

(e) 0.29

(f) 0.05

(g) 0.78

(h) 0.71

11

59. —

69. (a) | |

1 6!. -

(b)

3 1 .^

3 3 .^

3 63. -

71. 0.167

\¿.

37. i

2 65. 73. 0.000033069

(página 1007)

1. 0 , (Dave), (Joanne), (Erica), (Dave, Joanne), (Dave, Erica), (Joanne, Erica), (Dave, Joanne, Erica) 3. 17 5. 29 7. 7 9. 25 11. 336 13. 56 15. 60 17. 128 19. 3024 21. 1680 23. 91 25. 1,600,000 27. 216,000 31. (a) 381,024

35. £

4o

(b) 1260

33. (a) 8.634628387 X 1045 (b) 0.6531

(c) 0.3469

35. (a) 0.058

(b) 0.942

37. ^

29. 1260

39. 0.2; 0.26

Exam en del capítulo (página 1008) I. 22 2. 3 3. 8 4. 45 5. 5040 6. 151,200 7. 462 8. Existen 54,264 formas de escoger 6 colores diferentes de entre los 21 colores disponibles. 9. Existen 840 arreglos distintos de las letras de la palabra REDEEMED. 10. Existen 56 apuestas exactas diferentes para una carrera de 8 caballos. II. Existen 155,480,000 placas posibles usando el nuevo formato 12. (a) 0.95 (b) 0.30 13. (a) 0.25 (b) 0.55 14.0.19 15. P(ganar con un boleto de $1) =

1 120,526,770

0.0000000083

16. £(exactamente 2 cuatros) =

1250 7776

0.1608

R ep aso acum ulativo (página 1009)

1.

V2. 1 3

1 V7. 2+ 2

V2.)

3 +

3 '/

1

\ñ

2

4. { jc|3.99 < x < 4.01} o [3.99.4.01]

-H

9. x = 2, y = - 5 , z = 3

10. 125:700

12. a * 6.09. B ~ 31.9°, C * 108.1°; área 14.46 unidades cuadradas

RESPU ESTAS

Apéndice Sección 5

R93

APÉNDICE Dispositivos gráficos 1 E jercicios (página A2)

I. (-1.4); 11 .V (3. I ); 1 5. A'min * -0. A'mnx = ó. .Ysel = 2, Ymin =» -4, Ymax = 4, V'scl = 2 7. .Ymin - -ó. Amax - 6.A'sd - 2. Ymin ** - l . Ymax = 3, V'scl = I 9. A'min = 3. Amax = 9, AVI = 1, Ymin = 2. V'max = 10. V'scl = 2 II. A'min = - I I . A'mnx = 5, A'sel * l.Y ntin = - 3 , V'max = ó, V'scl = I

13. A'min 15. A'min

= =

-30.A max= -10,A max=

50. .Ysel = 10, Ymin = -90, Ymax = 50. V'scl = 110, A'sel * 10, Ymin = -10. Ymax = 160, Yscl

(página A4)

2 E jercicios 1. (a)

*

(b)

n

5. (a)

4

(b)

8

9. (a)

__________4__________

(b)

__________8

13. (a)

(b)

8

X •3 •i •1 1 3 1 3 5 ViBX+2

X raí -? •3 ■2 -2 -1 1 0 2 1 1 •2 2 3 •? ViB-X*+2

11 6

3 2 3 b

11

3

(b)

k

15. (a)

4

(b)

8

X raí -H -3 -2 •2 0 •i 0 2 1 2 6 3 B YiB2X+2

raí

*2 0-1 1 2

4

y

4

X -3

3. (u)

\l

VJ

17.

10 = 10

*•

ViBX2+2

X raí ?.s •3 b -2 H.S -1 0 3 1 1.5 0 2 3 *1.5 V iB -(3 /2 )X + 3

X raí *3 •l.J 0 *2 -1 1.5 0 3 H.5 1 2 6 3-> r7.5 ,a> ¡ V iB (3/2)X +3

3 E jercicios (página A6) 1. -3.41

3. -1.71

5. -0.28

7. 3.00 9. 4.50 11. 1.00,23.00

5 E jercicios (página A8) 1. Sí

3. Sí

5. No

7. Sí

9. Las respuestas pueden variar. Una respuesta posible es Ymin = 4, Ymax = 1 y Yscl = 1.

Indice Abel. Niels. 384.975 Abscisa. 150 Acta de Reestructuración y Reforma del Servicio de Rentas Internas (ARR). 233 Afelio. 7%. 823.840 Agrupación, factorización por, 53-54 Ahmes (Escriba egipcio), 962 Ajuste de curvas, 853 sinusoidales, 587-91 datos de temperatura, 587-90 función seno de mejor ajuste, 591 horas de luz al día, 590-91 Alas de aviones. 717 Álgebra lineal, 882 Algoritmos. 375 Al-Kashi de Samarcanda, 15 Al-Khwarízmí, 100 Altura de un triángulo, 31 Amplitud de funciones sinusoidales, 565-66, 584-87 del movimiento armónico simple, 702 Ángulo de barrido (óptico), 661 Ángulo de depresión, 534 Ángulo de dirección. 756 Ángulo de elevación, 534 Ángulo de elongación, 688 Ángulo de fase. 527 Ángulo de incidencia, 631 Ángulo de observación, 615 Ángulo de talud natural (reposo), 621 Ángulo óptico (de barrido), 661 Ángulo(s), 504-17 agudo, 517-18,673 véase también Ángulos agudos central, 507 complementarios, 523 coterminales, 543—44 cuadrantales, 505,542-43 de inclinación, 560 de observación, 615 de referencia, 545—16 valor exacto de una función trigonométrica usando, 546-47 definición de, 504 dibujo de. 505-6 en posición estándar, 504-5 entre vectores, 764-65 lado inicial del, 504 lado terminal del, 504 letras griegas para denotar, 504 llano, 505 medida del, 505-11 en grados, 505-7, 508-10 en radianes, 507, 508-10 longitudes de arco, 508 para determinar el área de un sector circular, 511 para determinar la velocidad lineal de un objeto que viaja en movimiento circular, 512-13 negativo, 504 positivo, 504 recto, 30.505 Ángulos agudos, 517-18, 673 complementarios, 523

funciones trigonométricas de, 517-19, 529-40 calculadora para aproximar valores de, 532 valores exactos de — = 45°, 529-30 4 valores exactos de ^ = 30° y y = 60°, 530-31 Anualidad(es), 961-62 cantidad de, 961-62 definición de, 961 fórmula para, 961 ordinaria, 961 Apertura hacia abajo, 290 Apertura hacia arriba, 290 Apolonio de Perga, 149, 776 Árabes, antiguos, 100 teoría de ecuaciones cúbicas desarrollada por los, 89 Araybhata el Viejo. 525 Área de un triángulo, 31,696-701 de triángulos LAL, 696-97 de triángulos LLL, 697-98 de un sector circular, 511 fórmulas para, 31 Área de superficie, fórmulas para, 32 Argumento de un número complejo, 743 de una función, 204 Aritmética de cocientes, 13-14 Arrastre, 774 Ars Conjectandi (Bernoulli), 1003 Ars Magna (Cardano), 384 Asíntotas, 345-46,802-04 horizontales, 345—46,347-50 oblicuas, 346,348-50,356 verticales, 345,346-47 Astronomía, 15 Avión, alas de, 717, 774

Babilonios, antiguos, 15,89,100,962 Barrido (óptico), ángulo de, 661 Barry, Rick, 220 Base de un exponente, 22 Bases de álgebra, 17-29 calculadora gráfica para evaluar exponentes, 24 comentario histórico de, 26 distancia en la recta numérica, 19-20 dominio de una variable, 21 evaluación de expresiones algebraicas, 20 gráfica de desigualdades, 18-19 leyes de los exponentes, 21-23 notación científica, 24-26 propiedades de la multiplicación de números positivos y negativos, 18 raíces cuadradas, 23-24 recta numérica, 17-18 resolución de problemas de geometría, 153 simplificación de expresiones trigonométricas, 633-34 Bases de geometría, 30-38 fórmulas, 31-32 teorema de Pitágoras y su recíproco, 30-31,35 Bernoulli, Jakob, 739,1003 Bernoulli, Johann, 832

11

12

Indice

Besscl, Fricdrich, 677 Beta, coeficiente, (riesgo de inversión), 271 Bezout, Etienne, 912 Binomios, 40 cuadrado de un (cuadrados perfectos), 43 cubo de un, 44 Bode, Johann, 948 Bonos de cupón cero, 474-75 Boole, George, 1003 Brancazio, Peter, 220 Braquistocrona, 832 Briggs, Henry, 456 Bürgi, Joosl, 456

Cadenas de Markov, 936 Caja, volumen y área de superficie, 32 Calculadora aritmética, 7 Calculadoras, 6-7 aproximación de raíces en, 74 conversión entre coordenadas polares y rectangulares mediante, 721 conversión entre notación de grados, minutos y segundos y notación decimal en, 506 evaluación de potencias con, 2,422 funciones en, 205-6 inverso del seno en, 606 logaritmos en, 455 resolución de ecuaciones trigonométricas usando, 625-26 tipos de, 7 Calculadoras científicas, 7 Calculadoras gráficas, 7 expolíenles evaluados en, 24 funciones compuestas en, 402 tecla de símbolo de inserción, 24 Cálculo, 629 aproximación de ex, 948 área bajo la curva, 615-16 área bajo la gráfica, 232 cociente diferencial en, 205,234,458,651 comportamiento terminal de gráficas, 330 de variaciones, 832 derivada, 352 descomposición de fracciones parciales, 900 e en, 429,948 ecuaciones cuadráticas en, 99 ecuaciones exponenciales en, 462 ecuaciones polares, 739 fórmulas de ángulo doble en, 654 función creciente, decreciente o constante, 224,483 exponencial, 421,948 máximos y mínimos locales, 225 funciones complejas en, 210 funciones compuestas en, 405 funciones trigonométricas y ecuaciones en, 627,629-30,654,662 gráfica de funciones polinomiales en, 321 identidades trigonométricas útiles en, 656 integral, 656 ley de Snell, 631 límites, 331,344 logaritmos, 452, 462 movimiento de proyectiles, 827-29 problemas de factorización que ocurren en, 54 puntos de inflexión, 329 recta secante, 229, 234 recta tangente, 700 regla de Simpson, 307 simplificación de expresiones con exponentes racionales en, 77

teorema del valor medio, 382 variable independiente en, 561 Cantidad de demanda, 277 78 Cantidad de equilibrio, 277 78 Cantidad de oferta, 277 78 ( 'antidad de una anualidad, 961 62 Cantor, Georg, 15 Capacidad de mantenimiento,481 Cardano, Gírolamo. 384, 747, 10*12 Cardioide, 732-33,738 Carlson, Tor, 489 Caso ambiguo, 680-81 Caso ángulo ángulo de triángulos similares, 34 Caso ángulo-lado ángulo de triángulos congruentes, 33 Caso lado-ángulo-lado de triángulos congruentes, 33 Caso lado-ángulo lado de triángulos semejantes, 34 Caso lado-lado-lado de triángulos congruentes, 33 Caso lado-lado lado de triángulos semejantes, 34 Catenaria, 786 Catetos de un triángulo, 30, 517 Cayley, Arthur, 842, 896 Ceilómetro, 534 Centro de un círculo, 182 de una hipérbola, 797 Ceros complejos de polinomios, 388,389,391 definición, 388 determinar, 391 función polinomíal con ceros especificados. 390 teorema de pares conjugados. 389 cotas en. 381-82 definición, 388 determinar, 391 función polinomial con ceros especificados, 390 teorema de pares conjugados, 389 de hipérbolas, 797 de un círculo. 182 reales (raíccs)de polinomios. 325-27, 374-87 determinar. 379-80 número de. 377 repetidos, 326 teorema de ceros racionales, 378.391 teorema de cotas en, 381-82 teorema del residuo y teorema del factor, 375-77 teorema del valor intermedio. 382-84 Ceros repetidos (soluciones). 93.326 Chu Shih-chieh, 975 Cicloide, 831-32 Cilindro circular recto, volumen y área de superficie de. 32 Círculo inscrito. 701 Círculo unitario, 183. 550-54 Círculo(s), 182-88, 777 ángulo central de, 507 área de, 32 área de un sector de. 511 centro de, 182 circunferencia de, 21.32 definición, 182 ecuación polar de. 728.730-31 forma estándar de la ecuación de. 1S2-83 forma general de la ecuación de. 184-85 gráfica, 183-84, 737 inscrito. 701 intersecciones de. 184 longitud de arco de. 508 radio de, 182 unitario, 183,550-54 Circunferencia, 21,32

Indice

Clark. William, 672,716 Clinton. Bill. 233 Cociente de diferencias, 205,234.436,251 Cociente(s), 7,12,45,375 aritmética de, 13-14 de dos funciones, 209 de números complejos en forma estándar, 107 en forma polar, 744 diferencia, 205, 234,436, 651 división sintética para determinar. 60-61 log de, 452 resta de, 13-14 Coeficiente, 39,40 binomial, 972,973 de amortiguamiento, 705 de correlación, 285 principal, 40, 388 Coeficiente Beta de las acciones, 271 Cofactores, 877 Cofunciones. 524 nombres de, 525 Combinaciones, 990-92 de n objetos distintos tomados r a la vez, 991 definición, 990 lista. 990-91 Combinatoria, 982 Cometa Hale-Bopp, órbita de, 776,840 Complemento de un conjunto, 3 Complemento de un evento. 1001 Completamente factorizado, 50 Completar cuadrados, 56,95-96 identificación de cónicas sin, 811 Componentes de vectores, 752,754 horizontal, 754 vertical, 754 Comportamiento terminal, 330-32 de una función racional, 346 Composición continua, 469 Compresión y estiramiento horizontal, 249 Compresiones, 247^19, 251 Concentración de alcohol en la sangre (CAS), 445 Cónicas definición, 818 degeneradas, 777 directriz de. 818 ecuaciones paramétricas de, 823-836 aplicaciones en mecánica, 832 cicloide, 831-32 definición, 824, descripción, 826-27 ecuación rectangular para una curva definida paramétricamente, 825-27 gráfica usando un dispositivo, 824-25 para curvas definidas por ecuaciones rectangulares, 830-32 tiempo como parámetro en, 827-29 ecuaciones polares de, 818-23 análisis y gráficas, 818-21 conversión a ecuación rectangular, 822 foco en el polo; excentricidad e, 819-21 elipse, 777,787-97 centro de, 787 con centro diferente del origen, 792-93 con centro en (h ,k), 791-92 con centro en el origen, 787-91 definición, 787, 818 eje mayor de, 787 eje menor de, 787 excentricidad de, 797, 819-21

focos de, 787 gráfica de, 789-92 longitud del eje mayor, 787 resolución de problemas aplicados que incluyen, 793-94 vértices de, 787 excentricidad de, 818 focos de, 818 forma general de, 810-11 hipérbola, 776, 777, 797-809 asíntotas de, 802-4 centro de, 797 con centro diferente del origen, 804-5 con centro en (h ,k ), 804-5 con centro en el origen, 797-802 conjugada, 809 definición, 797,818 eje conjugado de, 797 eje transversal de, 797, 818 equilátera, 809 excentricidad de, 809,820 focos de, 797 gráfica de la ecuación de, 799-800 ramas de, 797 resolución de problemas aplicados que incluyen, 805-6 vértices de, 797 identificación, 810-11 sin rotación de ejes, 815-16 nombres de, 777 parábola, 290-92, 777,778-86 con vértice en (h ,k), 781-82 con vértice en el origen, 778-81 definición, 778,818 directriz de, 778 eje de simetría, 290,778 focos de, 778 gráfica de la ecuación de, 779 resolución de problemas aplicados que incluyen, 783-84 vértice de, 290, 778 paraboloide de revolución, 776, 783 rotación de ejes para transformar ecuaciones de, 811-13 análisis de ecuación usando, 813-15 fórmulas para, 812 Conjugados, 106-7,108 de un número real, 108 Conjugado de números complejos, 743 Conjunto solución de una ecuación, 82 Conjunto(s), 2-3,15 complemento de, 3 correspondencia entre dos, 200 de números, 4-5 definición, 982 disjuntos, 3 elementos de, 2, 982-84 equivalente, 2,982 finito, 982 infinito, 982 intersección de, 2-3 subconjuntos de, 982 propios, 982 unión de, 2-3 universal, 3, 983 vacío (cero), 2, 982 Conjuntos de Mandelbrot, 749 Cono circular recto, 777 eje de, 777 generadores de, 777 recto circular, 777 vértice de, 777

13

14

Indice

Constantes, 20,39 de proporcionalidad, 189-90 Conloo, 982-87 combinaciones, 990-92 de n objetos diferentes tomando r a la vez, 991 definición, 990 listado, 990-91 fórmula, 983 número posible de comidas, 984-85 permutaciones, 987-90 cálculo, 990 definición, 987 objetos distintos con repetición, 988 objetos distintos sin repetición, 988-90 que incluyan n objetos no distintos, 992-93 principio aditivo de, 983-84 principio multiplicativo de, 984-85 Coordenada en x (abscisa), 150 Coordenada en y (ordenada), 150 Coordenadas cartesianas (rectangulares), 149-51 Coordenadas rectangulares (cartesianas) conversión a coordenadas polares, 722-23 coordenadas polares convertidas a, 720-21 coordenadas polares vs., 718 gráfica de ecuaciones polares por conversión a, 728-31 Coordenadas polares, 718-27 conversión a coordenadas rectangulares, 720-21 conversión de coordenadas rectangulares a, 722-23 coordenadas rectangulares vs., 718 de un punto, 719-20 definición, 718 eje polar de, 718 polo de, 718 trazo de puntos usando, 718-20 Coordenadas, 150 de un punto en la recta numérica, 17 Copérnico, 513 Correspondencia entre dos conjuntos, 200 Corrimiento de fase, 583-87 para construir la gráfica de y = A sen() + B , 583-85 Corrimientos, gráficas de funciones usando verticales y horizontales, 244—47,251 Cosecante, 541,554 definición, 518 gráfica de, 580-81 propiedades periódicas de, 557 Coseno, 541,554 definición, 518 ecuaciones trigonométricas lineales en, 647-48 fórmula de suma y resta para, 640-41 ley de, 689-95 comentario histórico de, 692 definición, 689 demostración de, 690 en problemas aplicados, 691-92 resolución de triángulos LAL usando. 690-91 resolución de triángulos LLL usando, 691 teorema de Pitágoras como caso especial de, 690 propiedades periódicas de, 557 valor exacto de, 641 Costos fijos, 180 marginales,299 variables, 180 Cotangente, 541,554 definición, 518 propiedades periódicas de, 557 Coubertin. Barón Pierre de, 149 Cramer, Gabriel, 842

Crecimiento no restringido, 476 78 Crecimiento y decaimiento exponencial, 422, 476- X6 crecimiento no restringido, 476- 78 ley de decaimiento, 478 79 modelos logíslicos, 481 83 definición, 481 dominio y rango de, 481 gráfica de, 481 propiedades de, 481 Cuadrado(s) completar el, 56 de binomios (cuadrados perfectos), 43, 50 diferencia de dos, 43, 50-51 perfectos, 43, 51-52 Cuadrante, ángulo localizado en, 505 Cuadrantes, 150 Cuaterniones, 759 Cubo(s) de binomios (cubos perfectos), 44 diferencia de dos, 44, 50-51 suma de dos, 44,50-51 perfectos, 44 Curva de dientes de sierra, 710 Curvas cotas, 705 de dientes de sierra, 710 de más rápido descenso, 832 definición para ecuaciones rectangulares, 830-32 definidas paramétricamente, 824-29 Curvas frontera. 705 Curvas planas, 823-24 (Euclides), 100 Datación por carbono, 478 Datos ajuste de funciones exponenciales a, 487-88 arreglo en una matriz. 883 modelos cuadráticos a partir de, 304-05 modelos cúbicos de, 336-337 modelos lineales a partir de, 282-88 modelos sinusoidales a partir de, 587-91 De Moivre, Abraham, 745 Decaimiento, ley de, 478-79 Decaimiento radiactivo. 478-79 Decimales. 4 aproximación. 6 conversión entre notación científica, 24-25 conversión entre grados, minutos, segundos y. 506-7 Declinación del Sol. 614-15 Dedekind, Richard. 15 Denominador, 4,62 racionalización del. 75 Depreciación, 400 Descartes, René, 149, 199 Descomposición, 766-67 Descomposición parcial de fracciones, 842,899-906 definición, 900 cuando el denominador tiene factores cuadráticos irreducibles no repetidos, 904-5 cuando el denominador tiene factores cuadráticos irreducibles repetidos, 905 cuando el denominador tiene factores lineales repetidos, 902-4 cuando el denominador tiene únicamente factores lineales no repetidos, 900-901 Descripciones verbales modelos cuadráticos a partir de, 300-304 modelos lineales a partir de, 276-78 D a la

índice

Desigualdad(es), 119-34 combinadas, 124-26 do dos variables, 916 do una variable. 123 equivalentes, 121,123,126 estrictas. 18

gráfica de, 18-19,916-20 desigualdades lineales, 917-18 pasos para construir, 917 irracionales. 369-71 pasos para resolver, 370-71 lados de, 18 no estrictas, 18 no lineales, sistemas de, 919-20 notación de intervalos para, 120-21 polinomiales, 368-69 solución algebraica y gráficas, 368-69 pasos para resolver, 369 propiedades de, 121-23 que incluyen funciones cuadráticas, 309-11 racionales, 369-71 pasos para resolver, 370-71 resolver, 123-26 satisfacer, 916 sistemas de, 916-23 gráficas, 917-20 soluciones de, 123 valor absoluto, 130-32 Desviación estándar, 129 Detector de luz, 534-35 Determinantes, 842,873-82 2 por 2,873, 879-80 demostración, 879-80 3 por 3,876-78 cofactores, 877 expansión a través de una fila o columna, 877 menores de, 876-77 propiedades de, 879-80 regla de Cramer para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables, 874-76 regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables, 878-879 Diagramas de árbol, 985 Diagramas de dispersión, 282-83,587-88 Diagramas de Venn, 3 Diferencia común, 949 Diferencia(s), 7,11-12 de dos cuadrados, 43, 50-51 de dos cubos, 44, 50-51 de dos funciones, 208-10 de dos matrices, 884-85 de logaritmos, 453 de números complejos, 105 de vectores, 751 Diofanto, 962 Dirección de vectores, 749,755-57 Dirección (rumbo), 675 Directriz, 818 de parábola, 778 Dirichlet, Lejeune, 199 Discontinuidad 239 • Discriminante, 97 negativo, 109 Dispositivos gráficos análisis de una función polinomial con, 335-36 característica eVALUEate, 376 característica TABLE, 383, 940 característica TRACE, 940 característica ZERO (o ROOT), 303

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características de MAXIMUM y MINIMUM, 228 comando REF, 869 comando RREF, 869 ecuaciones polares usando, 729 funciones en, 228 función seno de mejor ajuste en, 591 identidad establecida en, 635 recta de mejor ajuste obtenida en, 284-85 modo conexo, 239 modo de puntos, 239 modo PARamétrico, 828 opciones de REGresión, 487 operaciones con matrices en, 885 para ajustar una función exponencial a datos, 487-88 para ajustar una función logarítmica a datos, 488-89 para ajustar una función logística a datos, 489-90 para determinar la suma de una sucesión aritmética, 951 para representar un círculo gráficamente, 185 puntos de inflexión en, 329 resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales usando, 462-63 resolución de ecuaciones trigonométricas usando, 627 sucesiones geométricas usando, 957, 958 Distancia en la recta numérica, 19-20 Distancia media, 796,840 Dividendo, 45,375 División, 7 de dos enteros, 45 de expresiones racionales. 63-64 de números complejos en forma estándar, 107 de polinomios, 44-47 algoritmo para, 375 sintética, 58-62 en el orden de las operaciones, 8 propiedades de, 12 División celular, 476,481 División sintética, 58-62 Divisor, 45, 375 Dominio, 201, 206-8 de funciones trigonométricas, 555-56 de la función cosecante, 555,556 de la función coseno, 555, 556,564 de la función cotangente, 555, 556 de la función identidad, 237 de la función mayor entero, 238 de la función secante, 555,556 de la función seno, 555, 556,562 de la función tangente, 555, 556,578 de la función valor absoluto, 238 de la suma de dos funciones, 208 de la resta de dos funciones, 208 de modelos logísticos, 481 de una función compuesta, 402-5 de una función constante, 237 de una función cuadrada, 237 de una función cúbica, 237 de una función de raíz cuadrada, 237 de una función de raíz cúbica, 237 de una función inversa, 412 de una función inyectiva, 409 de una función logarítmica, 439-40 de una función racional, 343-46 de una función recíproca, 238 de variables, 21 definido por una ecuación, 207 del cociente de dos funciones, 209 del producto de dos funciones, 208 no especificado, 210 Doppler, Christian, 366 Duración del día, 319,503

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c, 428-30,436 definición, 429 Ecuación de demanda, 300 Ecuación deprimida, 379 Ecuación para hacer lentes, 72 Ecuación(cs) comentario histórico de, 89 como función, 203 condicionales, 632 conjunto solución de, 82 de forma cuadrática, 114-16 resolución de, 114-16 de dos variables, gráficas de, 157-67 intersecciones de, 159 por trazo de puntos, 157-59 prueba de simetría usando, 160-62 x = y 2, 163 y= 1 164 y = x }, 164 dominio de una función definida por, 207 equivalentes, 83 función inversa definida por, 414-17 funciones pares e impares identificadas a partir de, 224 intersecciones de, 160 lados de, 82, 157 que incluyen valor absoluto, 130 satisfacer la, 82, 157 resolución de, 82 Ecuación(es) lineal(es), 82-92 comentario histórico de, 89 dados dos puntos, 172 de una variable, 82,84 definición, 175 en calculadoras, 85 en forma general, 174-75 en forma pendiente-intersección, 172-73 para una línea horizontal, 171-72 para una línea paralela, 175-76 para una línea perpendicular, 176-77 para una línea vertical, 170-71 pasos para resolver, 88 pendiente a partir de, 173 problemas aplicados que incluyen, 87-89 resolución de ecuaciones que llevan a, 86-87 Ecuaciones cuadráticas, 92-104 comentario histórico de, 100 completar el cuadrado para resolver, 95-96 definición, 93 discriminante de, 97 negativo, 109 en el sistema de números complejos, 109-11 en forma estándar, 93 factorización, 93-95,116-17 fórmula cuadrática para, 96-99,110 método de raíz cuadrada para resolver, 94 problemas aplicados que incluyen, 99-100 procedimiento para resolver, 99 Ecuaciones exponenciales, 430-32,444,461-62 de forma cuadrática, 462 definición, 430 resolución de, 430-32,444,461-62 ecuaciones de forma cuadrática, 462 usando un dispositivo gráfico, 462-63 Ecuaciones logarítmicas, 459-65 definición, 444 resolución, 444-45,459-61 Ecuaciones no lineales, sistema de, 907-15 método de eliminación para resolver, 908-12 comentario histórico de, 912 método de sustitución para resolver, 907-8

Ecuaciones paramélricas, 823-26 definición, 824 descripción, 826-27 ecuación rectangular para curva definida paramétrícamcnie, 825-27 gráfica, 824-25 para curvas definidas por ecuaciones rectangulares, 830-32 aplicaciones en mecánica, 832 cicloide, 831-32 tiempo como parámetro en, 827-29 Ecuaciones polares cálculo y, 739 clasificación de, 737-38 comentario histórico de, 739 de cónicas, 818-23 análisis y gráficas, 819-21 conversión a una ecuación rectangular, 822 foco en el polo; excentricidad e. 819-21 definición, 728 gráfica de, 727-41 bosquejo, 738-39 cardíoide. 732-33, 738 círculos, 737 convirtiendo a coordenadas rectangulares, 728-31 definición, 728 espiral, 736 lemniscata, 736, 738 limaçon con lazo interno, 734-35,738 limaçon sin lazo interno, 733-34. 738 por trazo de puntos, 732-37 retículas polares para, 727 rosa polar, 735-36,738 uso de dispositivos gráficos, 729 identificación, 728-31 prueba de simetría. 731 transformación a forma rectangular. 724 transformación de forma rectangular a. 724-25 Ecuaciones radicales, 113-19 definición, 113 resolución, 113-14 Ecuaciones rectangulares ecuaciones polares convertidas a. 724.822 para una curva definida paramétricamente, 825-27 transformación a ecuaciones polares. 724-25 Ecuaciones trigonométricas. 622-32 calculadora para resolver. 625-26 de forma cuadrática. 626 dispositivo gráfico para resolver. 627 identidades para resolver. 626-27 lineales. 624 lineales en seno y coseno. 647—48 que incluyen una función trigonométrica simple. 622-25 soluciones de. definición. 622 Ecuaciones trigonométricas inversas. 613 Eddin. Nasir. 513,692 Efecto Doppler. 366 Egipcios, antiguos. 100, 962 Eje conjugado. 797 Eje imaginario en un plano complejo. 742 Eje mayor, 818 Eje real de un plano complejo. 742 Eje transverso. 797.818 Eje x, 150 proyección de P sobre el. 703 reflexión con respecto al. 250-51 simetría con respecto al. 160-61.162 Eje y, 150 proyección de P sobre el. 703 reflexión con respecto al. 250-51 simetría con respecto al. 161.162

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Eje(s) coordenadas, 150 de simetría de una función cuadrática, 292-296 de una parábola, 290, 788 de un cono, 777 de un plano complejo, 742 de una elipse, 787,818 de una función cuadrática, 292-95 de una hipérbola conjugado. 797 transverso, 797,818 polar, 718 rotación de, 811-15 análisis de ecuación usando, 813-15 fórmulas para, 812 identificación de cónicas sin, 815-16 E le m e n to s (Euclides), 692, 962 Elementos de un conjunto, 2,982-84 Elevación, 167 Eliminación, Gauss-Jordan, 865 Elipse, 777,787-97 centro de, 787 con centro diferente del origen, 792-93 con centro en el origen, 787-91 con eje mayor sobre el eje x , 788-89 con eje mayor sobre el eje y, 790 con centro en (h ,k ), 791-92 definición, 787,818 eje mayor de, 787,818 longitud de, 787 eje menor de, 787 excentricidad de, 797, 819-21 focos de, 787 gráfica de, 789-92 resolución de problemas aplicados que incluyen, 793-94 vértices de, 787 Elipsis, 4 Enfriamiento, ley de Newton de, 479-80 Enteros, números, 4,5 división, 45 factorización sobre los, 50 Entradas, 200 Entradas de una matriz, 858, 883 diagonal, 890 Equilibrio estático, 758-59 Errores de redondeo, 674 Escala de la recta numérica, 17 Escala Richter, 450 Escalar, 751, 885 Esfera, volumen y área de superficie de, 32 Esferoide prolato, 796 Espacio muestra, 996 Espiral, 736-37 Espiral logarítmica, 737 Estiramientos, gráfica de funciones usando, 247-49,251 Euclides, 100, 692, 962,975 Euler, Leonhard, 199,513,1003 Eventos, 998 complemento de, 1001-2 mutuamente excluyentes, 1000-1001 probabilidades de la unión de dos, 1000-1001 Excentricidad, 818 de una elipse, 797,819-21 de una hipérbola, 809, 820 Exponentes, 22 leyes de los, 21-23,422,431 logaritmos relacionados con, 438 racionales, 76-77

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Expresiones exponenciales, cambio entre expresiones logarítmicas y, 438

Expresiones numéricas, 8-9 Expresiones racionales, 62-72 aplicación de, 70 complejas, 68-70 definición, 62 impropias, 900 multiplicación y división, 63-64 propias, 900 reducción a los mínimos términos, 62-63 suma y resta de, 64-66 método del mínimo común múltiplo (MCM) para, 66-68 Expresiones trigonométricas, escritas algebraicamente, 619-20, 646 Factor cuadrático irreducible, 381,904-5 Factor de amortiguamiento (coeficiente de amortiguamiento), 705 Factor de crecimiento, 423 Factores, 7,49 cuadráticos, 381,904-5 división sintética para verificar, 61 lineales, 900-904 no repetidos, 900-901 repetidos, 902-3 Factorización de expresiones con exponentes racionales, 77 definición, 49 ecuaciones cuadráticas, 93-95,116-17 en los números enteros, 50 de polinomios, 49-58 A x 2+ B x + C , 54-55 cuadrados perfectos, 51-52 diferencia de dos cuadrados y la suma y diferencia de dos cubos, 50-51 por agrupación, 53-54 x 2+ B x + C, 52,53 Familia de rectas, 181 de parábolas, 255 Fermat, Pierre de, 149,437,1002 Ferrari, Lodovico, 384 Ferris, George W., 187,630 Fibonacci, 962 Finck, Thomas, 513,525 Física, vectores en, 749-50 Foco, 818 de una elipse, 787 de una hipérbola, 797 de una parábola, 778 Forma cartesiana (rectangular) de un número complejo, 743—44 Forma de filas escalonadas, 861-69 reducida, 856-69 Forma estándar, de la ecuación de un círculo, 182-83 ecuaciones cuadráticas en, 93 números complejos en, 105, 107-9 polinomios en, 40 Forma explícita de una función, 206 Forma general de cónicas, 810-11 de la ecuación de un círculo, 184-85 ecuación lineal en la, 174-75 Forma implícita de una función, 206 Forma polar de un número complejo, 743-44 Forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, 172-73 Forma rectangular (cartesiana) de un número complejo, 743—44 Fórmula cuadrática, 96-99,110 Fórmula de cambio de base, 455-56

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Fórmula de distancia, 150-53 demostración de, 151-52 uso, 152 Fórmula de Herón, 697-98 comentario histórico de, 698 demostración de, 697-98 Fórmula de producto a suma, 662-64 Fórmula de punto medio, 153-54 Fórmula de Stirling, 976 Fórmula recursiva, 942-43 para sucesiones aritméticas, 950-51 para términos de sucesiones definidos por, 942-43 Fórmulas de ángulo doble, 652-56 para determinar valores exactos, 652-53 para establecer identidades, 653-56 Fórmulas de geometría, 31-32 Fórmulas de medio ángulo, 657-58 para determinar valores exactos, 657-58 para la tangente, 658 Fórmulas de suma a producto, 663-64 Fórmulas de suma y resta, 640-52 definición, 640 para cosenos, 640-41 para determinar valores exactos, 641,643-44 para establecer identidades, 642-45 para senos, 642-43 para tangentes, 645 que incluyen funciones trigonométricas inversas, 646-7 Foucault, Jean Bernard León, 119 Fracciones continuas, 72 mínimo común múltiplo para sumar, 14 parciales, 900 Frecuencia, 575 en el movimiento armónico simple, 703 Frobenius, Georg, 896 Fuerzas, 702 aerodinámicas, 774 de deflexión, 717 de desviación, 717 resultantes, 757 Función cosecante, 552 dominio de, 555,556 inversa, 618 calculadora para elevar, 618-19 definición de, 618 valor aproximado de, 619 valor exacto de, 618 rango de, 556 Función coseno, 552 dominio de, 555, 556, 564 gráficas de, 561-76 amplitud y periodo, 565-66 ecuación de, 570-71 puntos clave para, 566-70 hiperbólico, 437 inversa, 608-10 definición, 608 forma implícita de, 608 valor exacto de, 609-10 valor exacto de expresiones que incluyen, 617 propiedades de, 564 rango de, 555,556, 564 Función cotangente, 552 dominio de, 555,556 gráfica de, 579-80 inversa, 618

aproximación del valor de, 619 calculadora para elevar, 618 619 definición de, 618 rango de, 556 Función costo promedio, 217 Función cúbica de mejor ajuste, 336-37 Función del mayor número entero, 238-39 Función dominio restringido, 416 17 Función escalón, 239 Función objetivo, 924-28 Función producto, 208 Función raíz cuadrada, 234-35,237 Función racional impropia, 347 Función recíproca, 238, 580 Función secante, 552 dominio de, 555,556 inversa, 618 aproximación del valor de, 619 calculadora para evaluar, 618-19 definición de, 618 rango de, 556 Función seno, 551 de mejor ajuste, 591 dominio de, 555,556,562 gráficas de, 561-76 amplitud y periodo, 565-66 ecuación para, 570-71 puntos clave para, 566-70 hiperbólico, 437 inversa, 604-8 definición, 605 forma implícita de, 605 propiedades de. 607 valor aproximado de, 606-7 valor exacto de expresiones que incluyen, 617 valor exacto de. 605-6 propiedades de, 562 rango de, 555, 556, 562 Función suma, 208 Función tangente, 552 dominio de. 555, 556,578 inversa, 610-12 definición, 611 forma implícita de. 611 valor exacto de expresiones que incluyen. 617 valor exacto de. 612-13 propiedades de, 578 rango de. 556, 578 Función(es). 199-270 argumento de, 204 características importantes de. 206 ceros de, método de bisección para aproximar. 387 circulares. 552 cociente de diferencia de. 205 cociente de dos, 209 constantes. 224-25, 226, 236-37 construcción v análisis, 257-63 continuas, 239, 382 crecientes, 224-25.226. 228 cuadrada, 237 cúbicas. 204.237 decrecientes, 224-25,226.228 definición. 201 definida por partes. 239-41 diferencia de dos, 208 dominio de, 201.206-8 no especificado, 210 dominio restringido. 416-17 ecuación como, 203

en calculadoras, 205-6 forma explícita de, 206 forma implícita de, 206 gráfica de, 214-22,244-57 combinación de procedimientos, 247,252 determinación de funciones par e impar a partir de, 223 determinación de propiedades a partir de, 224-25 identificación, 214-215 información acerca de, 215-17 uso de compresiones y estiramientos, 247-^19, 251 uso de reflexiones sobre el eje x o eje y , 250-51 uso de traslaciones verticales y horizontales, 244-47, 251 idénticamente iguales, 632 identidad. 237 lista de, 234-39 máximos y mínimos locales, 225-26 mayor entero, 238-39 no lineales, 273 objetivo, 924-28 par-impar, 566 determinación a partir de una gráfica, 223 identificación a partir de una ecuación, 224 periódica, 556-57 potencia, 321-24 de grado impar, 323 gráfica de, 322-23 propiedades de, 323 producto de dos, 208 raíz cuadrada, 234-35,237 raíz cúbica, 235,237 rango de, 201 razón de cambio promedio de, 228-30 determinación, 228-30 recta secante y, 229-30 recíprocas, 238,580 relación como, 200 suma de dos, 208 gráfica de, 706-8 inyectivas, 408-11 valor (imagen) de, 201,203-6 valor absoluto, 236-38 Funciones compuestas, 401-8 aplicación en cálculo de, 405 componentes de, 405 definición, 401 determinar, 402-5 dominio de, 402-5 evaluación, 402 formar, 401-2 iguales, 404-5 Funciones cuadráticas, 288-99 definición, 289 desigualdades que incluyen, 309-11 gráfica de propiedades de, 292-96 pasos para, 296 uso de sus vértices, eje e intersecciones, 292-96 uso de transformaciones, 290-92 optimizaciones y, 300 valor máximo o mínimo de, 296, 300 vértice y eje de simetría de, 292-96 Funciones polinomiales complejas, 388 Funciones polinomiales, 320-42 ceros complejos de, 388,391 definición, 388 determinar, 391 función polinomial con ceros especificados, 390 teorema de pares conjugados, 389

ceros reales (raíces) de, 325-27,374-87 determinar, 379-80 número de, 377 repetidos, 326 teorema de ceros racionales, 378, 391 teorema del residuo y teorema del factor, 375-77 teorema del valor intermedio, 382-84 teorema para cotas de, 381-82 comentario histórico de, 384 complejas, 388 comportamiento terminal de, 330-32 definición, 320 gráfica de, 322-37 análisis, 332-36 comportamiento terminal de, 330-32 puntos de inflexión de, 329-30 suaves y continuas, 321 uso de fronteras en ceros, 382 uso de intersecciones en x, 326-27 uso de transformaciones, 324 identificación, 320-24 modelos cúbicos a partir de datos, 336-37 multiplicidad de, 325-27 comportamiento cerca de cero y, 327-28 no acotados en la dirección negativa, 331 solución, 379-80 Funciones de potencias, 321-24 función exponencial vs., 423 gráfica de, 322-23 de grado impar, 323 propiedades de, 323 Funciones exponenciales, 421-37 definición, 423 ajuste a datos, 487-88 e, 428-30,436 evaluación, 421-25 función potencia vs., 423 gráfica de, 425-28 uso de transformaciones, 428, 429-30 identificación, 423-25 propiedades de, 426,428,432 razón de salidas consecutivas de, 423-24 Funciones impares, 566 determinación a partir de una gráfica, 223 identificación a partir de una ecuación, 224 Funciones inversas, 411-17, 604-22 comprobación, 413 coseno, 608-10 definición, 608 forma implícita de, 608 valor exacto de expresiones que incluyen, 617 valor exacto de, 609-10 de funciones con dominio restringido, 416-17 definidas por un mapeo o par ordenado, 411-13 determinación, 411-13, 612-13 definidas por una ecuación, 414-17 dominio de, 412 escritas algebraicamente, 619-20 fórmulas de suma y resta que incluyen, 646-47 gráfica de, 413-14 rango de, 412 secante, cosecante y cotangente, 618 aproximación del valor de, 619 calculadora para evaluar, 618-19 definición de, 618 seno, 604-8 aproximación del valor de, 606-7 definición, 605 forma implícita de, 605

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Indice

Funciones inversas (c o n tin u a c ió n ) propiedades de, 607-8 valor exacto de, 605-6 valor exacto de expresiones que incluyen, 617,646 resolución de ecuaciones que incluyen, 613 tangente, 610-12 definición, 611 forma implícita de, 611 valor exacto de expresiones que incluyen, 617 valor exacto de, 611-12 Funciones lineales, 272-81 dispositivo gráfico para determinar la línea de mejor ajuste, 284-85 construcción a partir de datos, 282-88 creciente, decreciente o constante, 275 definición, 272 diagramas de dispersión, 282-83 gráfica de, 272 identificación, 423-25 razón de cambio promedio de, 272-75 relaciones no lineales vs., 283-84 Funciones logarítmicas, 437-50 ajuste a datos, 488-89 cambio entre expresiones logarítmicas y expresiones exponenciales, 438 definición, 438 dominio de, 439^10 evaluación, 438-39 gráfica de, 440-43 base diferente de 10 o e, 456 propiedades de, 440,446 rango de, 439 Funciones logísticas, ajuste de datos, 489-90 Funciones no lineales, 273 Funciones pares, 566 determinación a partir de una gráfica, 223 identificación a partir de una ecuación, 224 Funciones periódicas, 556-57 Funciones racionales, 342,-67 asíntotas de, 345—46 horizontal, 345^16, 347-50 vertical, 346-47 con un hoyo, 361-63 definición, 342,343 dominio de, 343^16 en términos mínimos, 343, 346 gráfica de, 353-67 análisis, 353-63 comportamiento terminal de, 346 construcción de funciones racionales a partir de, 363-64 uso de transformaciones, 344 impropias, 347 no acotadas en la dirección positiva, 344 problemas aplicados que incluyen, 364 propias, 347^48 Funciones trigonométricas ajuste de curva sinusoidal, 587-91 aplicaciones de, 672-716 gráfica de la suma de dos funciones, 706-8 ley de cosenos, 691-92 ley de senos, 690 ley de tangentes, 689,692 movimiento amortiguado, 705-6 movimiento armónico simple, 702^4 que incluyen triángulos rectángulos, 674-75 comentario histórico de, 513 corrimiento de fase, 583-87 para construir la gráfica de, y = A sen(w.v - f) + B , 583-85 de ángulos agudos, 517-19,529-40, 673

calculadora para aproximar valores de, 533 valores exactos de —- 45", 529-30 valores exactos de V, = 30" y

O

.

J

* 60°, 530-31

de cualquier ángulo, 540-50 f ángulo de referencia de, 545-46 ángulos coterminales para determinar valores exactos de, 534-44 signos de, en un cuadrante dado, 544-45 valores exactos de, 541 de/, 551-52 de 0, 541-43, 553-54 gráficas de secante y cosecante, 580-81 gráficas de seno y coseno, 561-76 amplitud y periodo, 565-66,584-87 ecuaciones para, 570-71 puntos clave de, 566-70 gráficas de tangente y cotangente, 576-80 identidades fundamentales de, 519-21 cociente, 519 recíprocas, 519 propiedades de, 555-58 dominio y rango, 555-56 par-impar, 558 periódicas, 556-7 trigonometría de triángulos rectángulos, 517-28,673-78 determinar valores de funciones trigonométricas cuando se conoce uno, 521-23 modelado y resolución de problemas aplicados que incluyen, 533-35 teorema de ángulo complementario, 523-25 enfoque de círculo unitario para encontrar valores exactos de, 551-52 Funciones inyectivas, 408-11 definición, 409 prueba de línea horizontal para, 410-11

Galerías con eco, 793-94 Galois, Evariste, 384 Gauss, Karl Friedrich, 388, 747, 842 Generadores de conos, 777 George 1 de Grecia, Rey, 149 Gibbs, Josiah, 759 Gradiente adiabático seco, 954 Grado, 181 Grado de un monomio, 39,47 Grado de un polinomio, 40,47,320-24 impar, 381,389 Grado de una función potencial, 321 Grados, 505-7 conversión entre decimales y, 506-7 conversión entre radianes y, 508-11 comentario histórico de, 505 Gráfica(s) acotada, 920 completa, 159 continua, 321 curvas frontera, 705 de círculos, 183-84,737 de desigualdades, 18-19,916-20 lineales, 917-18 pasos para realizar, 917 polinomiales, 368 racionales, 370 de ecuaciones de dos variables, 157-67 intersecciones de, 159 por trazo de puntos, 157-59

indice

prueba de simetría usando. 160 62 t * y-, 163 v» l + x . 164 y « ,r\ lo3 de ecuaciones paramétricas, 824-25 de eeuaeiones polares. 727-41 bosquejo, 738- 39 eardioide. 752-33.738 cireulos. 737 convirtiendo a coordenadas rectangulares, 728-31 de cónicas, 814-21 definición. 728 espiral. 73tv-37 Icmniscata, 736.738 limaron con la/o interno, 734-35.738 limaron sin la/o interno. 733-34,738 por trazo de puntos, 732-37 retículas polares para. 727 rosa, 735-36,738 uso de un dispositivo gráfico, 724 de una función, 214-22, 244-57 combinación de procedimientos, 247,252 determinación de funciones par e impar a partir de. 223 determinación de propiedades a partir de, 224-25 en la lista de funciones, 234-39 identificación, 214-215 información de o sobre. 215-17 usando compresiones y estiramientos, 247-49,251 usando reflexiones sobre el eje x o eje v. 250-51 usando traslaciones horizontales o verticales, 244-47, 251 de funciones cuadráticas pasos para, 2% propiedades de. 292-96 usando transformaciones, 290-92 uso de su vértice, eje e intersecciones, 292-% de funciones definidas por partes, 239-41 de funciones exponenciales, 425-28 usando transformaciones, 428,429-30 de funciones inversas, 413-14 de funciones logarítmicas. 440-43 base diferente de 10 o e, 456 inversas, 441-43 de funciones polinomiales, 322-37 análisis, 332-36 comportamiento terminal de, 330-32 puntos de inflexión, 329-30 suaves y continuas, 321 uso de fronteras en ceros, 382 uso de intersecciones en .r, 326-27 uso de transformaciones, 324 de la función cosecante. 580-81 usando transformaciones, 581 de la función coseno, 563-65 de la función cotangente. 579-80 de la función secante, 580-81 usando transformaciones, 581 de rectas dado un punto y la pendiente, 170 usando intersecciones, 174-75 de las funciones de seno y coseno, 561-76, 587, 707-8 amplitud y periodo. 565-66 ecuación para, 570-71 puntos clave para, 566-70 de modelos logísticos, 481-83 de parábolas, 779 de sucesiones, 939^10 de sistemas de desigualdades no lineales, 919-20 de una elipse, 789-92 de vectores, 752

de v *

.r

344

no acotadas, 920 para localizar máximos y mínimos absolutos de una función, 226-27 para resolver sistemas de ecuaciones. 845 suave,321 Gráficas comprimidas o estiradas verticalmente, 247-49 Gráficas sinusoidales, 561-76,707-8 amplitud y periodo, 565-66 del ciclo sinusoidal, 561,566 ecuación para, 570-71 pasos para realizar. 587 puntos clave para, 566-70 Grassmann. Herntann, 759,768 Griegos, antiguos, 15,513 Hamilton, William Rowan, 759 Harriot, Thomas, 100 Hermandad pitagórica, 15 Herón de Alejandría, 697,698,962 Hindúes, antiguos, 1(K) Hipérbolas, 776, 777,797-809 asíntotas de, 802-4 centro de, 797 con centro diferente del origen, 804-5 con centro en el origen, 797-802 eje transverso sobre el eje x, 799-81X1, 804 eje transverso sobre el eje y, 800-801,804 con centro en (h ,k ). 804-5 conjugada, 809 definición, 797,818 eje conjugado de, 797 eje transverso de, 797, 818 equilátera, 809 excentricidad de, 809, 820 focos de, 797 gráfica de la ecuación de, 799-800 ramas de, 797 resolución de problemas aplicados que incluyen, 805-6 vértices de, 797 Hiperboloide, 809 Hipocicloide, 836 Hipotenusa, 30, 517 Huella (escalón), 167 Huygens, Christiaan, 832,1002 Huygens, reloj de, 832 i, 104-5 potencias de, 108-9 Ibn Musa al-Khowárizmt, Mohammed, 26 Identidad multiplicativa, 11 Identidad aditiva, 11 Identidad(es), 82 definición de, 632 cociente, 633 multiplicativa, 11 itagórica, 520-21, 633 polarización, 770 recíprocas, 519,633 resolución de ecuaciones trigonométricas usando, 626-27 trigonométricas, 632-39 básicas, 633 cociente, 633 establecimiento, 634-37,642-45, 653-56 par-impar, 633 pitagóricas, 633 recíproca, 633

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Iclcnt¡tlaclcs de cociente, 6.3.3 de funcionen trigonométricas, 519 Identidades liindiimentíiles de funcionen trigonométricas, 519 21 cociente, 519 recíproca, 519 Identidaden par impar, 633 Igualdad de conjuntos, 2,982 de números complejos, 105 de vectores, 750,754 propiedades de, 9 Imagen (valor) de una función, 201,203-6 Incidencia, tlngulo de, 631 Inclinación, 560 índice de columna, 858,883 índice de diversidad de Shannon, 448 índice de precios al consumidor (IPC), 475 índiee(s) de fila y columna, 858, 883 de radical, 73, 78 de refracción, 631 de suma, 943 Inducción, matemática, 966-69 demostración de una proposición usando, 966-68 principio de, 966-67, 969 principio extendido de, 969 Inercia momento de, 665 producto de, 661 Infinito, limites en el, 331 Inflación, 474 Integrales, 656 Intensidad de volumen, 449 Interés compuesto, 466-72 problemas que incluyen, 136-37 tasa de, 136, 466 efectivo, 469-70 simple, 136,466 Interés compuesto, 466-72 cálculo, 466-68 continuo, 469 definición, 466 duplicar o triplicar el tiempo por dinero, 471-72 fórmula, 467-68 tasas efectivas de retorno, 469-70 valor futuro de una suma de dinero, 466-69 valor presente de una suma de dinero, 470-71 Intersección de conjuntos, 2-3 Intersección en x , 159 de una función cuadrática, 293 gráfica de un polinomio usando, 326-27 Intersección en y, 159, 173 a partir de una ecuación lineal, 173 Intersección(es) a partir de una ecuación, 160 a partir de una gráfica, 159 a partir de una gráfica de ecuación lineal, 163 de un círculo, 184 de una función cuadrática, 292-95 gráfica de rectas usando, 174-75 gráfica de una ecuación en la forma general usando,174-75 Intervalos abierto, 120 cerrado, 120 de confianza, 133 escritura, usando notación de desigualdades, 121 semiabiertos y semicerrados, 120

Invaríancía, 817 Inverso aditivo, 11,65 de una matriz, 891 94 determinar, 891 94 multiplicación de matrice« por el, 891 93 resolución de un sistema de ecuaciones lineales usando. Wt5 multiplicativo, 11 Irracionales, números, 4. 5, 15, 104 representación decimal de, 6

525 525 Jordan, Camille, 842 Joules (ncwton-mctro), 768

Jíb a , Jiv a ,

Kepler, Johannes. 191 Khayyám Ornar, 975 Kówa, Takakazu Seki, 842 Lado inicial de un ángulo, 504 Lido terminal de un ángulo. 504 laidos de una desigualdad, 18 de una ecuación. 82. 157 Latitud, 319 Laïus rectum, 779. 780 Leibniz, Gottfried Wilhelm. 19*1.842 Lemniscata, 736,738 Letras griegas para denotar ángulos. 504 Ixwis, Meriwether. 672,716 Ley de llode, 948 Ley de Brewster, 632 Ley de calentamiento de Newton. 485 Ley de cosenos, 689-95 comentario histórico de. 692 definición, 689 demostración de. 690 en problemas aplicados. 6*11-92 resolución de triángulos LAL usando. 690-91 resolución de triángulos LLL usando. 691 teorema de Pilágoras como cavo especial de. 690 Ley de decaimiento. 478-79 Ley de enfriamiento de New ton. 479-80.484 Ley de gravitación universal de Newton. 374 Ley de refracción de Snell. 631 Ley de senos comentario histórico de. 692 definición. 679 demostración de. 684-85 en problemas aplicados. 683-85 resolución de triángulos LA A o ALA usando. 679-80 resolución de triángulos LLA usando. 680-83 Ley de tangentes. 689.692 Ley exponencial. 476 Leyes de los exponentes. 21-23.422.431 Libras-pie. 768 Limaçon con lazo interno. 734-35.738 sin lazo externo. 733-34.738 Límite infinito. 331 Límites. 331.344 en el infinito. 331 infinitos. 331 Logaritmos. 450-58 comentario histórico de. 456 comunes (logt. 442.455. 456

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en calculadoras, 455 evaluación, con base diferente de 10 o e, 455-56 expresiones logarítmicas como suma o resta de, 453 expresiones logarítmicas escritas como un solo, 453-54 naturales (ln), 441,455,456 propiedades de, 450-56 demostraciones de, 451-52 establecer, 451 resumen de, 456 uso, con exponentes par, 461 relación con exponentes, 438 Longitud de arco de un círculo, 508 Louis, Spiridon, 149 Magnitud de un terremoto, 450 de vectores, 749, 752,754,755, 756-57 Magnitud (módulo), 742, 743,744 Mandel, Howie, 981 Mapeo, 200 Maratón, 149 Matriz (ces), 842,858-72, 882-99 arreglo de datos en, 883 aumentada, 859-60 cero, 885 comentario histórico de, 896 cuadradas, 883 definición, 858,883 de coeficientes, 859 de transición, 936 dispositivos gráficos para, 885 ejemplos de, 883 en forma de filas escalonadas, 861-69 en forma reducida de filas escalonadas, 865-69 entradas de, 858, 883, 890 equivalentes, 884 estocástica de transición izquierda, 899 identidad, 890-91 índices de filas y columnas de, 858,883 inverso de, 891-94 determinar, 891-94 multiplicación de matrices por el, 891-93 resolución de un sistema de ecuaciones lineales usando, 895 m por n , 883 múltiplos escalares de, 885-86 no singular, 891,893 operaciones de filas con, 860-61 para resolver un sistema de ecuaciones lineales, 861-69 producto de dos, 886-91 singular, 891 suma y resta de dos, 884-85 transición, 936 Máximos de funciones absolutos, 226-27 locales, 225-26 relativos, 225-26 Mecánica, ecuación paramétrica aplicada a, 832 Media aritmética, 129 armónica, 129 geométrica, 129 Medianas de un triángulo, 155 Medios planos, 917 Mejor ajuste función cúbica de, 336-37 recta de, 284-85 Menelao de Alejandría, 513 Menores, 876-77

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Mente, mapeo de, 603 Método de bisección, 387 Método de eliminación, 842,847-48, 849-50 resolución de sistema de ecuaciones no lineales usando el, 908-12 Método de Gauss-Jordan, 865 Método de la raíz cuadrada, 94 Método de Newton, 352 Método de sustitución, 842, 845-46 resolución de sistemas de ecuaciones no lineales usando, 907-8 Método FOIL, 43 M é tric a (Herón), 698 Millas de estatuto (ordinarias), 516 Millas ordinarias, 516 Millas náuticas, 516 Mindomo (software), 671 Mínimo común múltiplo (MCM) para sumar dos cocientes, 14 para sumar expresiones racionales, 66-68 Mínimos de funciones absolutos, 226-27 locales, 225-26 relativos, 225-26 Minutos, 506-7 Modalidad de puntos, 239 Modelado matemático, 134-135 Modelo(s), 134-35 uso de variación conjunta o combinada, 190-91 uso de variación directa, 189,191 uso de variación inversa, 189-90,191 Modelos cuadráticos, 300-309 a partir de datos, 304-5 a partir de descripciones verbales, 300-304 Modelos cúbicos a partir de datos, 336-37 Modelos financieros, 466-75 doblar el tiempo de inversión, 471 interés compuesto, 466-72 tasas de retorno efectivas, 469-70 triplicar el tiempo de inversión, 472 valor futuro de una suma de dinero, 466-69 valor presente de una suma de dinero, 468,470-71 Modelos lineales a partir de datos, 282-88 a partir de descripciones verbales, 276-78 Modelos logísticos, 481-83 definición, 481 dominio y rango de, 481 gráfica de, 481 propiedades de, 481 Modelos sinusoidales, 587-91 datos de temperatura, 587-90 horas de luz al día, 590-91 mejor ajuste, 591 Modo conexo, 239 Módulo (magnitud), 742, 743, 744 Mollweide, Karl, 688 Momento de inercia, 665 Monomio(s), 39 ejemplos de, 39 de dos variables, 47 factores comunes, 50 grado de, 39,47 identificación de, 40 M o n te r, 181 Movimiento amortiguado, 705-6 Movimiento armónico simple, 702-4 amplitud de, 702 análisis de, 704 definición, 702 frecuencia de un objeto en, 703

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Movimiento armónico Himple, (c o n tin u a c ió n ) modelo pura, 702 4 movimiento circular y, 702 3 periodo de, 702 posición de equilibrio (reposo), 702 Movimientoeíreulnr, 512 313 movimiento armónico simple y, 702 Movimiento curvilíneo, K27 Movimiento de un proyectil, 827 29 Movimiento pliineliirio, tereeru ley de Keplcr de, 196 Movimiento uniforme, 138 30 Mulliplicución, 7 de cocientes, 13 14 de expresiones rneionules, 63 64 de números complejos, 106-7 de polinomios, 42 de vectores, geométricamente por números, 751 en orden de operación, H escalar, 885 -86 por cero, 12 Multiplicador, 065 Múltiplos escalares de una matriz, 885-86 Napicr, John, 456 Nappes, 777 Newton-mctro (joules), 768 Niccolo de Brescia (Tartaglia), 384, 747 No acotadas en la dirección negativa, funciones de polinomios, 331 No acotadas en la dirección positiva, 344 Notación científica, 24-26 Notación constructiva, 2 Notación de funciones, 210 Notación de intervalos, 120-21 Notación de suma, 043-44 Notación descriptiva, 2 Numerador, 4,62 Número imaginario puro, 105 Númcro(s) real(es), 2-17,104 aproximación de decimales, 6 comentario histórico de, 15 conjugado de, 108 cuadrado de, 104 definición, 5 expresiones numéricas, 8-0 positivos y negativos, 18 propiedades de, 0-14 raíz enésima principal de, 73 representación en la recta numérica, 17-18 Números clasificación de, 4-5 enteros, 4, 5 irracionales, 4, 5, 6, 15 mixtos, 7 naturales (para contar), 4,5,068 negativos, 18 raíces cuadradas de, 100-10 reales, 18 racionales 4, 5.104, 342 reales positivos, 18 triangulares, 048 Números complejos, 104-12, 750, 768 argumento de, 743 cociente de, 744 conjugados de, 106-7, 108, 743 definición, 105 ecuaciones cuadráticas en, 100-11 en forma estándar, 105, 107-0

en forma polar conversión a forma rectangular 74 * 44 conversión de forma rectangular a, 74* 44 productos y cocientes «le. 744 igualdad, suma resta y multiplicación
Olim piadas, primeras modernas f 18% ) , 140 Ondas, velocidades de desplazam iento de, 6 3 ) Operaciones de fila, 8/4) 01 ( Jptim izacíón, funciones cuadráticas y, 300

Orbitas elípticas, 776 planetarias, 7% ( )rdcn de operaciones, 8 Ordenada (coordenada en y). 150 Orientación, 824 Origen, 150 de la recta numérica. 17 distancia de un punto al, 257-58 simetría con respecto al, 160 02

Papiro «huid, ‘>62 Parábola, 290-92.777.77K 80 con vértice en el origen, 778 81 determinar la ecuación de, 780-81 focos en tu. 0), a -• 0.779-80 con vértice en (h jc ). 781.82 definición, 778. 8|8 directriz de, 778 eje de simetría de, 290. 778 familia de, 255 focos de, 778 gráfica de la ecuación de. 779 resolución de problemas aplicados que inducen. 783-84 vértice de. 290. 778 Paraboloides de resolución. 776. 783 Paralaje. 677 Parámetro. 824 tiempo como. 827-29 Paréntesis, orden de operaciones y. 8 Part es) ordenado*»). 150 como relaciones. 2(0 201 función inversa definida por. 411-13 Parte imaginaria de un número complc)o. 105 Parte real de un numero complejo. 105 Partículas alfa. 809 Pascal. Blaise. 832.972.1002 Peano.Guiseppc. too* Pendiente. 167-70. 173 n partir de una ecuación lineai. 173 de una recta secante. 229 gráfica de rectas dada la. 170 que contiene dos puntos. 168 Péndulo periodo de. 80. 192 simple. 192 Peralte, 181 Perìhclio. 796.823.840

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Perímetro, fórmulas de. 31 Periodo

de funciones sinusoidales, 565.566.584-87 de un péndulo. 80. I*>2 del movimiento armónico simple. 702 fundamental. 557 Periodo de pago, 4<8i Permutaciones. 987-90 cálculo de. *>uo definición. *>87 objetos distintos con repetición, 988 objetos distintos sin repetición. 988-90 que involucran n objetos no distintos, 992-93 Peso.774 Planetas, órbita de. 796 Plano complejo. 742-44 definición. 732 eje imaginario del. 742 eje real del. 742 trazo de puntos en el, 742-44 Plano ory. 150 Población mundial. 938 Polinomio(s). 39-58 cero, 40 división de. 44-47, 375-77 división sintética. 58-62 ejemplos de. 40-41 de dos variables. 47 de segundo grado. 52-53 en forma estándar, 40 factorización. 49-58 A r + B x + C. 54-55 cuadrados perfectos, 51-52 por agrupación, 53-54 resta de dos cuadrados y suma y resta de dos cubos. 50-51 r + B x + C, 52-53 fórmulas de productos notables, 43-44 grado de. 40. 47, 320-24 de segundo grado. 52-53 impar. 381, 389 identificación. 40-41 irreducibles (primo). 50.53 multiplicación de. 42 primo. 50, 53 resolución 381 resta de. 41-42 suma. 41 términos de. 40 Polo. 718 Posición de equilibrio (reposo), 702 Posición de un vector. 752-54 Posición estándar, ángulos en. 504-5 Potencia(s), 22,575 de i, 108-9 log de. 452 Precio de equilibrio, 277-78 Posición de reposo (equilibrio), 702 Primeras diferencias. 583 Principal. 136. 466 Principio aditivo de conteo, 983-84 Principio aditivo general de conteo, 984 Principio de inducción matemática extendido, 969 Principio multiplicativo de conteo, 984-85 Probabilidad(es), 936, 996-1006 comentario histórico de, 1002-3 compuestas, 999 construcción de modelos, 996-98 de la unión de dos eventos, 1000-1001

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de eventos, 998 mutuamente cxcluycntcs, l(XX)-l(X)l definición. 996 espacio muestra, 996 de resultados igualmente probables, 998-99 regla del complemento para determinar, KM) 1-2 resultado de, 996 Problemas aplicados (en palabras), 134-43 de interés, 136-37 de mezclas. 137-38 de movimiento uniforme, 138-39 de trabajo a velocidad constante, 140 pasos para resolver, 135 traducción de descripciones verbales a expresiones matemáticas, 135 Problemas de geometría, resolver álgebra, 153 Problemas de mezclas, 137-38 Problemas de programación lineal. 842,923-30 configuración, 924 de dos variables. 924 máximo, 927-28 mínimo, 926-27 resolución de, 925-26 localización de, 926 soluciones. 924-28 Producto cruz (de vectores), 759 Producto punto, 759, 763-70 ángulo entre vectores usando, 764-65 comentario histórico de, 768 de dos vectores, 763-64 definición, 763 determinar, 764-65 para calcular trabajo, 768 propiedades de, 764 vectores ortogonales y, 765-67 vectores paralelos y. 765 Producto(s), 7 de dos funciones, 208 de dos matrices, 886-91 de inercia, 661 de números complejos, 106 en forma polar, 744 log de. 452 vectorial (cruz). 759 Productos notables, 43—44,47 Prolato, esferoide, 796 Propensión marginal a consumir. 965 Propiedad aditiva de desigualdades, 121-22 Propiedad asociativa de la multiplicación de matrices, 890 de la suma de matrices, 885 de la suma de vectores, 751 de los números reales, 10 Propiedad conmutativa de números reales, 9-10 de productos punto, 764 de suma de matrices, 885,890 de suma de vectores. 750-51 Propiedad de cancelación, 13, 63 Propiedad de producto cero, 13, 93 Propiedad distributiva de multiplicación de matrices, 890 de números reales. 10 de productos punto, 764 Propiedad recíproca de desigualdades, 123,126 Propiedad reflexiva, 9 Propiedad simétrica, 9 Propiedad transitiva, 9 Propiedades de identidad, 891 de números reales, 10-11

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Propiedades de la multiplicación, I8 para desigualdades, 122-23 Propiedades no negativas de desigualdades, I2I Propiedades par-impar, 5.*»« Propiedades periódicas, 556-57 Proporcionalidad, constante de, I89, 190 Proposiciones, escritura usando símbolos, 7 Proyección, vector de, 766 -67 Proyección de /’sobre el eje x, 705 Proyección de /’sobre el eje y, 703 Proyección de vectores, 766-67 Proyectil, alcance de, 537 Proyector de luz, 534-35 Prueba de la recta horizontal, 410-II Prueba de la recta vertical, 214-I5 Ptolomeo, 631,692 Punto de equilibrio, 280 Punto factible, 924,925-26 Punto inicial de un segmento de recta dirigido, 750 Punto terminal de un intervalo, I20 Punto terminal de un segmento de recta dirigido, 750 Punto terminal derecho de un intervalo, 120 Punto terminal izquierdo de un intervalo, 120 Punto(s) coordenada de, en la recta numérica, 17 coordenadas polares de un, 719-20 de inflexión, 481, 329— 30 de tangencia, I87 distancia del origen a un, 257-58 distancia entre dos, I5l esquina, 921 factibles, 924, 925-26 inicial, 750 terminal, 750 trazo de, 150,718-20 gráfica de ecuaciones por, 157-59

Racionalización del denominador, 75 Radianes, 507 conversión entre grados y, 508-11 Radicales, 73 definición de exponentcs racionales usando, 76 exponentes fraccionarios como, 76 índice de, 73, 78 propiedades de, 74 semejantes, 74-75 simplificación, 74-75 Radicando, 73 Radio, 182 de números negativos, 109-10 principal, 23,109 Raíces, 82 complejas, 746-47 cuadradas, 23-24, 73 complejas, 746 principal, 23, 109 cúbica 73, 235, 237 compleja, 746-47 perfectas, 73 Raíces enésimas, 73-74 comentario histórico, 78 racionalización del denominador, 75 simplificación, 73 de radicales, 74-75 Raíces de multiplicidad 2 (dobles raíces), 93 Raíz doble (raíz de multiplicidad 2), 93 Raíz principal enésima de un número real, 73 Ramas de la hipérbola, 797

Rango, 201 de funcione* trigonométrica*, 555 V» de la función cosecante, 556 de la función coseno, 555,556. 564 de la función cotangente. 556 de la función cuadrada, 237 de la función cúbica, 237 de la función de raíz cuadrada, 237 de la función de raíz cúbica, 237 de la función de valor absoluto, 238 de la función del mayor entero, 238 de la función identidad, 237 de la función secante. 556 de la función seno, 555, 556, 562 de la función tangente, 556,578 de modelos logíslícos. 481 de proyectiles, 537,655-56 de una función constante, 237 de una función inversa, 412 de una función inyectiva, 4<)9 de una función logarítmica, 439 de una función recíproca. 238 Razón áurea, 947-48 conjugada, 948 común, 955 Razón de cambio promedio, 168,228-30, 272-75 de una función. 228-30 determinar. 228-30 funciones exponenciales, 424-25 funciones lineales, 272-75,424-25 recta secante y. 229-30 Razón de igualdad. 449 Razón de participación, 213 Rayos (semirrectas), 504 del ángulo central, 507 vértice de. 504 Redondeo, 6 Recíproco, 11 de números complejos en forma estándar. 107 Recta numérica. 17-18, 19-20 distancia en, 19-20 Recta secante. 229-30 Recta tangente, 18 método griego para determinar, 187 Recta vertical. 167. 729,737 Rectángulo de visualización, 151 Rectángulo, área y perímetro de. 31-32 Rectas. 167-82 coincidentes. 845 de mejor ajuste. 284-85 ecuación polar de. 728-29.737 ecuaciones de secante. 229 familia de. 181 forma punto-pendiente de. 171-72 gráfica dado un punto y la pendiente. 170 usando intersecciones. 174-75 horizontales. 171-72. 729. 737 intersección en y de. 173 paralelas. 175-76 pendiente de. 167-70. 173 que contiene dos puntos. 168 a partir de una ecuación lineal. 173 tangente, 187 vertical. 167, 729. 737 Reflexiones sobre el eje v o el eje y. 250-51 Refracción. 631 Regiomontano, 513.692

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Regla de Cramer, 842,873 para dos ecuaciones con dos variables, 874-76 para tres ecuaciones con tres variables, 878-79 sistemas inconsistentes o dependientes, 879 Regla de Simpson, 307 Reglas de Kirehoff, 856-57.872 Reglas de los signos, 12 Regla del complemento, 1001-2 Relación(es) como función, 200-203 definición, 200 entradas a, 200 no lineales, 283-84 pares ordenados como, 200-201 Reloj de Huygens, 832 Reposo, ángulo de, 621 Repaso, 1-80 de álgebra, 17-29 calculadora gráfica para evaluar exponentes, 24 comentario histórico, 26 distancia en la recta numérica, 19-20 dominio de una variable, 21 evaluación de expresiones algebraicas, 20 gráfica de desigualdades, 18-19 leyes de los exponentes, 21-23 notación científica, 24-26 propiedades multiplicativas de números reales positivos y negativos, 18 raíces cuadradas, 23-34 recta numérica, 17-18 de expresiones racionales, 62-72 aplicación de, 70 complejos, 68-70 multiplicación y división, 63-64 reducción a mínimos términos, 62-63 suma y resta, 64-66 de geometría, 30-38 fórmulas, 31-32 teorema de Pitágoras y su recíproco, 30-31,35 de números reales, 2-17 aproximación de decimales, 6 comentario histórico de, 15 definición, 5 expresiones numéricas, 8-9 propiedades de, 9-14 representación en la recta numérica, 17-18 de polinomios, 39-58 de dos variables, 47 división sintética de, 58-62 división, 44-47 factorización, 49-58 fórmulas de productos notables, 43-44 identificación, 40-41 monomios, 39 multiplicación, 42 resta, 41-42 suma, 41 de raíces enésimas, 73-74 comentario histórico, 78 racionalización del denominador, 75 simplificación, 73 simplificación de radicales, 74-75 Residuo, 45, 375 división sintética para encontrar, 60-61 Resta, 7 de cocientes, 13-14 de expresiones racionales, 64-66 método del mínimo común múltiplo para, 66-68 de números complejos, 105

en orden de operaciones, 8 de polinomios, 41 de vectores, 754-55 Restricciones, 924 Resultados de probabilidad, 996 igualmente probables, 998-99 Rético, 513 Retícula rectangular, 727 Retícula polar, 727 Revoluciones por unidad de tiempo, 512 Rosa polar, 735-36, 738 Rotación de ejes, 811-15 análisis de ecuaciones usando, 813-15 fórmulas para, 812 identificación de cónicas sin, 815-16 Rudolff, Chirstoff, 78 Ruffini, P„ 384 Rumsey, David, 672 Rutherford, Ernest, 809 Salida de relación, 200 Satisfacer desigualdades, 916 Satisfacer ecuaciones, 82,157 Schroeder, E„ 1003 Secante, 541,544 definición, 518 gráfica de, 580-81 propiedades periódicas de, 557 Segmento de recta, 750 dirigido, 750 punto medio de, 153-54 Segunda ley de movimiento de Newton, 702, 751 Segundos, 506-7 Seis funciones trigonométricas de 0, 541-43,553-54 de r, 551-52 Semilla, 749 Semirrecta (rayo), 504 Seno, 541,554 comentario histórico de, 692 definición, 518 ecuaciones trigonométricas lineales en, 647-48 fórmula de suma y resta para, 642-43 ley de, comentario histórico de, 692 definición, 679 demostración de, 684-85 en problemas aplicados, 683-85 resolución de triángulos LAA o ALA usando, 679-80 resolución de triángulos LLA usando, 680-83 propiedades periódicas de, 556,557 Series geométricas, 958-62 convergentes, 958-60 divergentes, 958-60 infinitas, 958-59 Signo de igual, 7 Signo de radical, 23, 78 Signos, reglas de, 12 Símbolo factorial, 941-42 Símbolos, escritura de proposiciones usando, 7 Símbolos de desigualdades, 18 Simetría, 160-62 7j con respecto a la recta 8 = — (eje y ), 731 con respecto al eje polar (eje x), 731 con respecto al eje x, 160-61,162 con respecto al eje y, 161,162 con respecto al origen, 160-62 con respecto al polo (origen), 731

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Simetría, (co n tin u a ció n ) de ecuaciones polares, 731 eje de, de una función cuadrática, 292-96 de una parábola, 290 eje de, de parábola, 778 Simplificación de expresiones con exponentes racionales, 76-77 de expresiones racionales complejas, 68-70 de radicales, 74-75 de raíces enésimas, 73 Sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas), 149-151 Sistema decimal, 15 Sistemas atómicos, 896 Sistemas de desigualdades, 916-23 gráficas, 917-20 acotadas o no acotadas, 920 vértices o puntos esquina, 921 Sistemas de ecuaciones consistentes, 844,845,850 dependientes, 845 con dos variables, 849-50 con tres variables, 852-53 regla de Cramer con, 879 equivalentes, 847 gráfica de, 845 inconsistentes, 844, 850, 852 con dos variables, 848-49 con tres variables, 852 regla de Cramer con, 879 independientes, 845 soluciones de, 844, 850-51 Sistemas de ecuaciones lineales, 843-82 consistentes, 845, 850 definición, 844-45 dependientes, 845 con dos variables, 849-50 con tres variables, 852-53 matrices para resolver, 865-67 descomposición parcial de fracciones, 899-906 definición, 900 cuando el denominador tiene factores cuadráticos irreducibles repetidos, 905 cuando el denominador tiene factores lineales repetidos, 902-4 cuando el denominador tiene solamente factores lineales no repetidos, 900-901 cuando el denominador tiene un factor cuadrático irreducible no repetido, 904-5 determinantes, 873-82 2 por 2, 873, 879-80 3 por 3,876-78 cofactores, 877 menores de, 876-77 propiedades de, 879-80 regla de Cramer para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables, 874-76 regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables, 878-79 ejemplos de, 843-44 equivalentes, 847 gráfica, 845 inconsistentes, 845,850, 852 con dos variables, 848-49 con tres variables, 852 matrices para resolver, 867 independientes, 845 método de eliminación para resolver, 847^48,849-50

resolución. 844 método de sustitución de, 845 -46 solución de, 844, 850-51 tres ecuaciones con tres variables, 850-51 Sistemas de ecuaciones no lineales, 907-15 comentario histórico de, 912 ¡ método de eliminación para resolver, 908-12 método de sustitución para resolver, 907-8 Sistemas de ecuaciones no lineales, gráficas, 919-20 con dos variables, 849-50 con tres variables, 852-53 matrices para resolver, 865-67 regla de Cramer con, 879 Sistemas inconsistentes de ecuaciones, 844,845, 850, 852 con dos variables, 848-49 con tres variables, 852 matrices para resolver, 879 regla de Cramer con, 879 Sistemas independientes de ecuaciones, 845 Snell, Willebrord, 631 Sol, declinación de, 614-15 Solución(es), 82 de desigualdades, 123 de ecuaciones trigonométricas, 622 de problemas de programación lineal, 925-26 localización de, 926 de sistemas de ecuaciones. 844,850-51 extrañas, 113 repetidas, 93, 326 Stevin, Simón, 15 Subconjuntos, 2, 982 propios, 982 Subíndices, 939 Sucesiones, 939-66 a partir de un patrón, 941 aritméticas, 949-54 definición, 949 determinación, 949-50 diferencia común en, 949 enésimo término de, 950 fórmula para. 950-51 fórmula recursiva para, 950-51 suma de, 951-53 comentario histórico de, 962 definición, 939 geométrica, 955-58 definición, 955 determinación, 955-56 enésimo término de, 956-57 fórmula para. 956-57 razón común de, 955 suma de, 957-58 gráfica de, 930-40 notación de suma, 943—44 problemas de anualidad, 961-62 propiedades de, 944 símbolo factorial. 941—42 suma de, 944—45 términos de, 939—41 alternantes, 941 definidos por una fórmula recursiva, 942-43 generales, 940 Sucesiones aritméticas. 949-54 definición 949 determinación de, 949-50 diferencia común en, 949 enésimo término de, 950 fórmula recursiva para, 950-51 suma de, 951-53

Sucesiones de Fibonacci. 943. 947 Sucesiones geométricas, 955 SS definición. 955 determinación de. 955-56 enésimo termino de. 956-57 formula de. 956-57 ra/On conni n de. 955 suma de. *157— 58 Suina. 7 de cocientes. 13-14 de dos cubos, 44.50 de dos funciones, 208 grafica de. 706-8 de dos matrices. 884-85 de expresiones racionales, 64-66 minimo común mùltiplo (MCM). mètodo de, 66-68 de logaritmos. 453 de números complejos, 105 de polinomios, 41 de sucesiones, *>44-45 de sucesiones aritméticas, 951-53 de sucesiones geométricas. 957-58 de sucesiones geométricas infinitas. 959 de vectores, 754-55 geométricamente, 750-51 en orden de operación, 8 índice de. 943 triangular. 974 Sustentación, 717,774 Sustitución principio de. 9 hacia atrás. 846 Sylvester, James J„ 896 Tangente(s), 541,554 comentario histórico de, 525 definición. 518 fórmulas de medio ángulo para, 658 fórmulas de suma y resta para, 645 gráfica de. 576-79 ley de, 689,692 propiedades periódicas de. 557 Tartaglia (Niccolo de Brescia), 384, 747 Tasa de fertilidad, 938 Tasa de interés. 136, 466 Tasa de retorno, efectiva, 469-70 Tautòcrona. 832 Tecla de acento circunflejo, 24 Teclas de funciones, 7 Teléfonos celulares, 199 Teorema de ángulos complementarios, 523-25 Teorema de ceros racionales, 378, 391 Teorema de De Morire, 745^16 Teorema de pares conjugados. 389 Teorema de Pitágoras, 30-31,517 aplicación, 31 como caso especial de la ley de cosenos, 690 demostración de, 35 inverso del, 30-31 Teorema del binomio, 970-76 comentario histórico de, 975 demostración de, 974 expansión a un binomio, 972-73 para evaluar

970-72

uso, 972-74 Teorema del factor, 375-77 Teorema del residuo, 375-77 Teorema del valor extremo, 227

Teorema del valor intermedio, 382-384 Teorema fundamental del álgebra, 388 demostración del. 388 teorema de pares conjugados y. 389 Teoría de conjuntos, 15 I corla de ecuaciones cúbicas, 89 I creerá ley de Kepler del movimiento planetario, 196 Tercias pitagóricas, 38 Términos de sucesiones, 939-41 alternantes, 941 definidos por una fórmula recursiva, 942-43 generales, 940 de polinomios, 40 semejantes. 40 Términos mínimos función racional en, 343,346 Terremotos magnitud de, 450 de nivel cero, 450 Tiempo, como parámetro, 827-29 Tono, 181 Trabajo, producto punto para calcular el, 768 Tracción, 774 Transformaciones, 781.792, 804 combinación, 247, 252 compresiones y estiramientos, 247-49, 251 corrimientos verticales y horizontales, 244-47,251 de la función coseno, 564-65 de la función seno, 562-64 definición, 244 gráficas de cosecante y secante usando, 581 gráficas usando de funciones polinomiales, 324 de funciones cuadráticas, 290-92 de funciones exponenciales, 428,429-30 de funciones racionales, 344 reflexiones sobre el eje x o el eje y, 250-51 Traslaciones horizontales, 244-47, 251 Traslaciones verticales, 244-47,251 Trazo de puntos, 150, 718-20 gráfica de ecuaciones por, 157-59 Triángulo de Pascal, 972.975 Triángulo(s) ALA, 679-80 área de, 31.696-701 catetos de, 30, 517 congruentes, 32-34,35 equiláteros, 155 erróneos, 156 isósceles. 156 LA A, 679-80 LAL, 679, 690-91,696-97 LLA, 680-83 LLL, 679, 691,697-98 medianas de, 155 oblicuo, 678-79 perfecto, 701 rectángulo, 30,517, 673-78 problemas aplicados que incluyen, 674-75 resolución, 673-74 semejantes, 33-35 Trigonometría analítica, 603-71 álgebra para simplificar expresiones trigonométricas, 633-34

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Trigonometría analítica, (co n tin u a ció n ) ecuaciones trigonométricas, 622-32 calculadora para resolver, 625-26 de forma cuadrática, 626 dispositivo gráfico para resolver, 627 identidades para resolver, 626-27 recta en seno y coseno, 647-48 lineal, 624 que incluyen una función trigonométrica simple, 622-25 soluciones de, definición, 622 fórmulas de ángulo doble, 652-56 para determinar valores exactos, 652-53 para establecer identidades, 653-56 fórmulas de medio ángulo, 656-58 para determinar valores exactos, 653-56 para tangentes, 658 fórmulas de producto a suma, 662-64 fórmulas de suma a producto, 663-64 fórmulas de suma y resta, 640-52 definición, 640 para cosenos, 640-41 para determinar valores exactos, 641,643-44 para establecer identidades, 642—45 para senos, 642-43 para tangentes, 645 que incluyen funciones trigonométricas inversas, 646 identidades trigonométricas, 632-39 básicas, 633 cociente, 633 establecimiento de, 634-37,642—45, 653-56 par-impar, 633 pitagóricas, 633 recíprocas, 633 Trigonometría de triángulos rectángulos, 517-28,673-78 determinar valores de funciones trigonométricas cuando se conoce una, 521-23 identidades fundamentales, 519-21 modelado y resolución de problemas aplicados que incluyen, 532-35 teorema de ángulo complementario, 523-25 valores de funciones trigonométricas de ángulos agudos, 517-19 recíprocas, 633 Trigonometría esférica, 716 Trinomios, 40 factorización, 52-53, 54-55 Truncado, 6

U m b ra v ersa , 525 Unidad imaginaria (i ), 104-5 Unión de conjuntos, 2-3 de dos eventos, probabilidades de, 1000-1001

Valor absoluto, 19,742 ecuaciones que incluyen, 130 Valor del libro, 276 Valor futuro, 466-69 Valor (imagen) de función, 201,203-6 Valor inicial de funciones exponenciales, 423 Valor máximo de una función cuadrática, 296 Valor mínimo de una ecuación cuadrática, 296 Valor presente, 468,470-71 Valores extremos de funciones, 227

Valuación de accione», 271 en cálculo, 561 Variable!»), 20, 39 complejas, 388 dependientes, 204 dominio de, 21 independientes, 204 en cálculo, 561 Variación, 189 combinada, 190-91 conjunta, 190-91 directa, 189,191 inversa, 189-90,191 “Vas o no vas” (programa de TV), 981 Vector(es), 749-63 algebraico, 752-53 ángulo entre, 764-65 cero,750 comentario histórico de, 759 componentes de, 752,754 horizontal y vertical, 754 de fila, 887 de columna, 887 definición, 749 descomposición, 766-67 determinar, 756-57 diferencia de, 751 dirección de, 749,755-57 en física, 749-50 escritura, 757 equivalencia de, 750,754 fuerza, 756 geométrico, 750 gráfica, 752 magnitudes de, 749, 752,755,756-57 modelado con, 757-59 multiplicación por números geométricamente. 751-52 múltiplos escalares de, 751,755,764 objetos en equilibrio estático, 758-59 ortogonales, 765-67 paralelos, 765 posición, 752-54 producto punto de dos, 763-64 resta, 754-55 suma, 750-51,754-55 unitario, 752,755-56 velocidad, 756-58 Velocidad angular, 512 lineal, 512-13 Vértice(s), 921 de un cono, 777 de un rayo, 504 de una elipse, 787 de una función cuadrática. 292.96 de una hipérbola, 797 de una parábola, 290,778 Vida media, 478 Viète, François, 100,692 Vínculo, 78 Volumen, fórmulas de, 32 Wallis, John, 747 Yang, Hui, 975

C Ó N IC A S

D: x = -a

P a rá b o la

D:x=a

fF=(a, 0)

= 4ax

x : ,N *

D: y =-a

F= (0,

x2 ==4ay

y2- -

0: y =

j/

X

X

r E lip s e

v vx

v t F= (-a, oA

y

y

y F= (0, a)

x2 = - 4 ay

y

(0, b) = (-a, 0 ) ^ ^ Y 2= (a,0) \ \7 x 1— " r 2=(c, 0) (0.-6) 2

x2

—z

a

y2

,

,

,

x

H— r = 1, a > b, c2 = a2 - b2 b

~b2

H ip é rb o la

l/, = (-a, 0)

1/2= (a. 0)

y2 y2 - r ---- r = 1, c2 - a2 + b2 a2 b2 . 6 6 Asíntotas: ;y = —x, y -------x a a P R O P IED A D E S DE LO S LO G A R IT M O S

. , Asíntotas:

a y = —x, b

T E O R E M A D EL B IN O M IO

loga (M N ) = logaM + logaiV log«!

=

+ ••• + (

1

_1a + bn

S U C ES IO N A R IT M E T IC A

log M _ In M logaM = log a Ina ax

+ ( ; ) * -

) = log«M “ logflA^

logaM r - r logaM

a y — ——x b

a\ + (fli + d) + (a¡ +2d) + • • • + [aj + (n — 1)<¿]

e x l n «

= |[ 2 a j + (« - l)d ] = ^ [ai + a„]

P E R M U T A C IO N E S/C O M B I N A C IO N E S SU C ES IO N G E O M E T R IC A

01=1 1! = 1 n\ = n ( n - 1) • ■(3)(2)(1) P(n,r) = C(n, r )

=

ni (n - r)!

ai

+ axr + a X + • • • + axrn 1 = ax •

1 - rn 1- r

SER IE G E O M É T R I C A

n\

n!

rj

(n — r)\r\

Si|r| < 1, aj + a xr + axr2 + • • • = ^ a ^ 'k-\ 1

=

fll 1- r

D IRECTO RIO DE FUNCIONES Función c u a d ra d a

Función id e n tid a d f{x)

f ( x ) = .r*

f(x) = x1

= X

F unción cú b ica

y

3 -/V A )

1 1 1 i f I 1 1^ -3 / (0, 0) 3 x -

Función raíz c u a d ra d a

Función re c íp ro c a

f{x) = V x

fU ) = 7

F unción ra íz cú b ica f(x )

=

y\ 2

-----(^2) i ,( 1 1 1 1 1 r 5x -i (0,0)

Función v a lo r a b so lu to m

= H

Función ex p o n en cial fix )

F unción lo g a ritm o n a tu ra l f ( x ) = lnx

=

y\

\ 3 (-2, 2 K - A , 2) Hi ,i 1 i \\ > (1 ,1 ) f i i 1* -3 (0,0) 3x

Función sen o

Función co sen o

f ( x ) = sen a:

f(x) =

it y \

.X

2i 1/ l \ ir ■ 2

3tt 2 X—^ 1 J' 1 * V— / 2 tt 5f X

C O S J C

___ i___ i/^ i _Si___ -■1n^ n j 2n 5jrfVx '» 2-1 " 2 2 2

Función s e c a n te

f { x ) = cscx

f ( x ) = secx V ? ! 1 x O

f ( x ) = tan x

y’

Función c o se c a n te

K / ¡ , ¡ ? 1_ T ^ ! i -M i ___ •. - s 1 ^ ! f-S | 2I

F unción ta n g e n te

m

1 1 1 3tt -— r

v

i i i i > IT 3TT X - Y ~ y 1

F unción c o ta n g e n te /(.r) = cot x

FÓRMULAS/ECU ACIONES F ó rm u la d e la d is ta n c ia

Si P, = (*,,}>,) y P2= (x 2,y2), la distancia de P, a P2 es d(P\, Pi) = V ( x 2 - Xi)2 + (y2 - y xf

E cuación e s tá n d a r d e u n círculo

La ecuación estándar de un círculo de radio r con centro en (h,k) es (x — h ) 2 + ( y — k ) 2 = r2

F ó rm u la d e la p e n d ie n te

La pendiente m de la recta que contiene los puntos Px = yi - yi m = ----------

. , si x. # x.

X2 ~ X\

1

m no está definida Ecuación p u n to - p e n d ie n te d e u n a r e c ta

y P 2 = (x2,y2) es

2

si x x= x 2

La ecuación de una recta con pendiente m que contiene el punto Px = (jc , 3;) es y - y í = m ( x - x 1)

E cuación p e n d ie n te - o r d e n a d a d e u n a r e c ta

La ecuación de una recta con pendiente m e intersección con y igual a b es y-m x +b

F ó rm u la c u a d rá tic a

Las soluciones de la ecuación ax2+ bx + c = 0, a ^ 0, son - b ± V¿>2 — 4ac X~ 2a Si b2- 4ac > 0, existen dos soluciones reales diferentes. Si b2- 4ac = 0, existe una solución real repetida. Si b2- 4ac < 0, existen dos soluciones complejas que no son reales.

FÓRMULAS GEOMÉTRICAS r = radio, A = área, C = circunferencia

C írculo

A —rrr2 C = 2irr b = base, h = altura, A = área

T rián g u lo

A = \bh l —longitud, a = ancho, A = área, P = perímetro

R ectán g u lo / C aja re c ta n g u la r

A = la

l = longitud, a = ancho, h = altura, V = volumen, S = área de superficie V = lah

E sfera

7T= 2l + 2a

S = 2la + 2Ih + 2ah

r = radio, V = volumen, S = área de superficie V = |7rr3

C ilindro c irc u lar re c to

S = 4irr2

r = radio, h = altura, V = volumen, 5 = área de superficie V = 7rAh

S —2irr2+ 27rrh

F U N C IO N E S T R IG O N O M É T R IC A S De u n ángulo agudo b c

Opuesto Hipotenusa

costì = c

Adyacente Hipotenusa

b tantì = ~ a

Opuesto Adyacente

c esc 0 = b

Hipotenusa Opuesto

c sectì = a

Hipotenusa Adyacente

a cottì = — b

Adyacente Opuesto

sentì =

Opuesto a b b

De un ángulo g en eral b r r esc 0 — b'

costì = r r sectì = - , a

sentì

6^0

a^ 0

b tantì = - , a * 0 a a cottì = 7 , b ^ 0

ID E N T ID A D E S T R IG O N O M É T R IC A S IDENTIDADES FUNDAM ENTALES

tan# = CSC0 = sen2tì + tan2tì + cot2tì +

costì sentì cottì = sentì costì 1 1 sectì = sentì costì cos2tì = 1 1 = sec2tì 1 = csc2tì

Fórm ulas de medio ángulo

-

cot 0 -

sen - = ±. 1 tantì

1 - costì

Fórm ulas de ángulo doble

sen(20) = 2 sentì costì cos (20) = cos2tì - sen2#

0 1 + costì cosl = ± Ì — — 0 1 - costì tan - = ---------— 2 sentì

c o s (20) = 2 cos2tì - 1 c o s (20) = 1 - 2 sen2#

ta n (20) =

2 tantì 1 - tan20

Fórm ulas de producto a suma

Identidades pares-impares

sen(-tì) = -sen tì

csc(—tì) = -esc#

sen a sen/3 = |[co s(a - /3) - cos(a + /3)]

cos(-tì) = costì

sec(-tì) = sectì

cosacos/3 = ^[cos(a - ¡3) + cos(a + ¡3)}

tan (-tì) = —tantì

cot(-tì) = -co ttì

senacos/3 = 5 [sen(a + (3) + sen(a - /3)]

Fórm ulas de la suma y la resta

Fórm ulas de suma a producto

sen(a + /3) = sena cos/3 + cosa sen¡3

a + (3 a - 13 sen a + senfi = 2 sen — - — cos — - — 2 2

sen(a - ¡3) = senacos/3 - c o sa sen e cos(a + fi) = co saco s(3 - senasen/3 cos(a —¡3) = cosacos/3 + sena sen/3

a — /3 a + ¡3 sen a - sen/3 = 2 sen — - — cos — - —

tan a + tanfi tan(a + (3) = ----------------- 1 - ta n a tan/3

a + ¡3 a - ¡3 cosa + cos/3 = 2 c o s -------- cos---------

, N tan a - tanfi tan(a - ¡3) = ---------------1 + ta n a tan/3

R E S O L U C IO N DE T R IA N G U L O S

a + /3 a — 13 cosa - cos fi = - 2 sen-------- sen --------2 2. Ley d e sen o s

Ley d e c o se n o s

senA _ senil _ senC a b e

a2 = b2 + c2 - 2be cos A b2 = a2 + c2 — 2ac cos B c~ - a2 + b2 - 2ab cosC

IS B N 9 7 8 - 6 0 7 - 3 2 - 2 1 9 2 - 4 . H l U lli

Algebra de Sullivan 9na Ed

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