ÁLGEBRA LINEAL (E-LEARNING) UNIDAD 2 – CICLO DE LA TAREA 2
Presentado a: DIANA KATHERINE TRILLEROS Tutor
Entregado por: JAIRO SAN JUAN
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD UN AD Grupo: 208046_471 ABRIL – 2018
INTRODUCCIÓN El trabajo realizado muestra los conceptos básicos de la ley de gauss Jordán y eliminación gaussiana para resolver matrices o mejor dicho ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incógnitas, además de una serie de ejercicios sobre vectores en el espacio y sus diferentes formas de encontrar la ecuación de un plano o recta, para esto también se debe comprobar la respuesta con un software que grafique este tipo de planos para entender mejor lo que se quiere encontrar, por último se realiza una serie de conclusiones sobre lo aprendido en este trabajo. Este trabajo se hace con el fin de aprender y comprender los contenidos de la unidad 2 expuestos en la materia de algebra lineal.
ACTIVIDAD
1. Resuelva este punto fundamentado en la teoría de sistemas de ecuaciones lineales y en los métodos de reducción de Gauss-Jordán y eliminación gaussiana, referencie la fuente de dónde toma la información:
a. Defina qué es un sistema de ecuaciones lineales: - Con solución única: es un sistema compatible determinado, ocurre este caso cuando las dos rectas correspondientes no están paralelas, y entonces se cruzan en un solo punto. - Con un número infinito de soluciones : es un sistema compatible indeterminado, ocurre este caso cuando las dos ecuaciones representan la misma recta. En este caso, se represente las soluciones por designar una variable como arbitraria y despejar a la otra. - Sin solución: se dice que es un sistema incompatible, ocurre este caso cuando las dos rectas son paralelas y distintas. - Consistente: Los sistemas consistentes, por otro lado, tienen al menos una solución. Esto significa que las rectas se intersectan al menos una vez. Existen tres casos de sistemas consistentes:
Una intersección, como generalmente se hace en las Secciones de sistemas lineales. Dos o más intersecciones, como se puede ver cuando una ecuación de segundo grado interseca una ecuación lineal. Muchas intersecciones infinitas, como ocurre con las rectas coincidentes.
- Inconsistente: Si no hay soluciones, el sistema se llama inconsistente. Esta Sección se enfocará en las últimas dos situaciones: sistemas que no tienen soluciones o sistemas con una cantidad infinita de soluciones. Un sistema con rectas paralelas no tendrá soluciones. Recuerda que las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Cuando sean graficadas, las rectas tendrán la misma inclinación con diferentes interceptos en y−
Por lo tanto, las rectas paralelas nunca se intersecarán, así que no tendrán solución.
b. Mencione cual es la diferencia entre los métodos de reducción de GaussJordán y eliminación gaussiana. Aunque los métodos de Gauss-Jordán y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones ya este obtiene una matriz diagonal y el de eliminación busca obtener una matriz escalonada superior, por lo tanto, la eliminación gaussiana es el método simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas.
c. Si es posible, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales, de 3 incógnitas por 3 ecuaciones, por eliminación gaussiana y diga los valores
que toma cada variable. Compruebe sus resultados reemplazando dichos valores en las ecuaciones iniciales y por medio del software Geogebra*. 0
x1 x3 x
2
x
1
3 x3 x
2
1
3
.. −1 0 1 0 01 −11 03 | −31 + .. −1 0 1 0 00 −11 13| −3 1 + −1 0 1 0 00 10 34| −2 1 −0 0 13 = 01 1 2 0 0 4 −2 3 4 =−21 =− 2 =1−3 =1−3− 12= 52 − =− =−−12= 12 = 12
De la ecuación 3 despejamos
Con
despejamos el valor de
en la ecuación 2
De la ecuación encontramos el valor de
= 52 = −12 Comprobación Geogebra.
d. Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss – Jordán. Valide su resultado por medio de Geogebra*. Un nuevo comerciante de teléfonos celulares decide vender únicamente 3 referencias americanas, una gama baja (A), una gama media (B) y otra de gama alta (C). En los meses de octubre, noviembre y diciembre se venden 2, 6 y 5 celulares respectivamente de la gama baja; 1, 1 y 2 celulares respectivamente de la gama media; y 4, 5 y 3 celulares de gama alta para cada uno de dichos meses. Si las ventas de octubre totalizaron 3.050 USD, las de noviembre 4.750 USD y las de diciembre 3.900 USD, ¿cuál es el precio unitario en dólares de los celulares de cada gama? Sistema de ecuaciones.
2+1+4=3050 6+1+5=4750 5+2+3=3900 Matriz
26 11 45|3050 4750 5 2 3 3900 26 11 45|3050 12 → ∗ 4750 5 2 3 3900 16 1/21 52|1525 −6 → 4750 3900 5 2 3 10 1/2−2 −72 |−4400 1525 −5 → 5 2 3 3900 10 1/2−2 −72 |−4400 1525 ∗ −1 → 0 −1/2 −7 −3725 2 10 1/21 7/22 | 1525 1 + → 2200 2 0 −1/2 −7 −3725 10 1/21 7/22 | 1525 −421 → ∗ 2200 0 0 −21/4 −2625 10 1/21 7/22 |1525 72 → − 2200 0 0 1 500 10 1/21 02|1525 −2 → 450 500 0 0 1 10 1/21 00|525 12 → − 450 0 0 1 500 10 01 00|300 450 0 0 1 500 Dado lo anterior, las soluciones de cada una de las variables serán:
`
= ; = ; =
Comprobación Geogebra.
2. Con base en los conceptos estudiados sobre rectas en R3, responda: a. En una ecuación de recta dada, se han de identificar fácilmente un punto conocido y un vector director, así, si se dan las coordenadas de un punto P de una recta y se conoce la ecuación paramétrica de una segunda recta, sabiendo que las dos rectas son paralelas, ¿Qué comparten en común dichas rectas? RTA: Las dos rectas comparten en común la pendiente y el vector director debido a que cumplen la condición de paralelismo, es decir que son las rectas paralelas tienen igual dirección.
b. Dado el punto P= (1,5,-1), que pertenece a la recta L1 y la ecuación paramétrica de la recta L2:
− = − − =
Encuentra las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta L1, sabiendo que L1 y L2, son paralelas.
−36 = −45 = −49 Ecuaciones paramétricas:
= = +=1+6 +=5+5 = + = −1+9 − = − = − Ecuación paramétrica:
−16 = = −55 = +19 Ecuación simétrica:
−16 = −55 = +19
3. Con base en los conceptos estudiados sobre rectas en R3, responda: a. Dados dos puntos cualquiera en el plano, se requiere el hallar un vector a partir de estos puntos para poder así determinar las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas. ¿Qué nombre recibe el vector hallado a partir de los puntos dados? Relacione con claridad una fuente de consulta comprobable que argumente la respuesta. El vector recibe el nombre de vector director Naturalmente, una recta está también determinada si conocemos dos de sus puntos, A, B. Pero esto equivale a lo anterior; pues conocidos A, B, conocemos un punto (por ejemplo, A) y un vector director AB. Fuente: http://www.um.es/docencia/jsimon/depmat/20142015/Matematicas-Cap8.pdf
b. Encuentra las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos D y G:
=2,−3−4 ⃗⃗= = =1,−8,5
=2,−3,4 =1,5,−1
Como ya tenemos un vector director con un punto de la recta ya podemos reemplazar valores en cada ecuación paramétrica
,,=2+,−3−8,4+5 = = +=2+ +=−3−8 = +=4+5 − − − = = Ecuación simétrica
−21 =− +38 = −45
4. Desarrollar los siguientes ejercicios propuestos: a. Dados los siguientes planos:
{ –++– –+ == Determinar el valor de k para que sean: a) Paralelos. b) Perpendiculares. Realice la gráfica correspondiente con la ayuda de Geogebra, Scilab, Octave o Matlab.
a) Paralelos. Vectores normales.
= ,2,−3 = 2,−4,6 2 = −42 = −36 2 =− 12 =− 12
=−1 k debe ser igual a -1.
b) Perpendiculares. Vectores normales.
=,2,−3 =2,−4,6 Hacemos el producto punto.
,22−8−18=0 ,−3 ∗ 2,−4,6 =0 = 262 =13 K debe ser igual a 13.
b. Sean las siguientes expresiones:
=
Es un plano
= = = es una recta.
= = = Punto
= = RECTA
= = = Plano xy
= = Plano.
5. Resolver los siguientes ejercicios:
1,2,3
a. Obtener la ecuación del plano que contiene el punto y cuyas coordenadas del vector normal son: . Compruebe gráficamente con la ayuda de Geogebra, Scilab, Octave o Matlab.
1,−1,1
1,2,1 1,0,1
b. Determine la ecuación de plano que contiene los puntos , , . Realice la gráfica correspondiente con la ayuda de Geogebra, Scilab, Octave o Matlab.
0,1,−1 a)
La ecuación de un plano, dado un punto y un vector director, se define mediante la siguiente expresión:
(−)+(−)+(−)=0 Siendo:
(,,) ,,
Las componentes del punto dado.
Las componentes del vector director dado.
Las componentes estarán dadas por:
(,,)= 1,2,3 ,,=1,−1,1
Definido lo anterior, lo reemplazamos en la expresión mencionada para encontrar la ecuación del plano.
1, 2 , 3 → 1,−1,1→ − +− +− =0 ,, 1−1−1−2+1−3=0 −1−+2+−3=0 −+=2 Gráfica Geogebra.
b) Solución. La ecuación de un plano, dado tres puntos, se define mediante la siguiente expresión:
− − − − − | − |=0 − − −
La expresión anterior relaciona a la ecuación del plano y a las componentes de los tres puntos dados.
Se debe encontrar el determinante de una matriz 3x3 para poder encontrar la ecuación del plano que incluya a los tres puntos dados. Los puntos, dados por el enunciado, serán:
= 1,2,1 = 1,0,1 =0,1,−1 Definido lo anterior, lo reemplazamos en la expresión mencionada para encontrar la ecuación del plano.
−1 −2 −1 |1−1 |=0 0−2 1−1 0−1 1−2 −1−1 −1 −2 −1 | −10 −2−1 −20 |=0
Realizamos el determinante de la matriz 3x3, que por facilidad, escogeremos como referencia la segunda fila.
−1 −2 −1 | −10 −2−1 −20 |=0 −1 −1 −2 −1 −1 −0−2 +−2 −0 −1 −2 −1 −1 =0 −1 −2 −1 0+−2−1 −1 −2 −0=0 −1 −2−1 −1 −2 =0
Nuevamente aplicamos lo relacionado a los determinantes, siendo ahora una matriz 2x2.
−2[−1−2 − −1−1] =0 −2[−2+2+−1] =0 −−= 2−=1
Gráfica Geogebra.
CONCLUSIONES
Con este trabajo se pudo analizar que no necesariamente siempre un conjunto de ecuaciones tendrá solución y que además existen varios que no solo tendrán una sino múltiples soluciones, por ende es importante aprender a escoger el mejor método para resolverlos y saber analizar en estos casos. Se logró comprender mediante las gráficas de los vectores en R3 su teoría expuesta en cada ejercicio, comprobando que mediante las gráficas nos arrojaba lo mismo que en la teoría se desarrollaba.
BIBLIOGRAFIA
Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca virtual de la UNAD. Páginas 1 a la 30. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=17&docI D=11013215&tm=1468966990928 Gómez, D. (2016). Ecuación Vectorial y Paramétrica en R3. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7106 Guzmán, A. F. (2014). Álgebra Lineal: Serie Universitaria Patria. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. . Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 2 a 22. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=12&docI D=11013205&tm=1468967488030 Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 68 a 79. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=77&docI D=10584265&tm=1468967325440
