ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS PRIMERA PRUEBA DE ALGEBRA LINEAL
Quito, 28 Abril 1998
1
-Sean las matrices A,B, y C de orden n:
2
a) Si
y
b)
y
Si
, demuestre que
, demuestre que
-Hallar el valor del siguiente determinante. Simplifique el resultado
Si
3
-Sea
B=
a) Para que valores de a, la matriz B es invertible? b) Calcule la inversa de matriz B (en función de a), cuando sea inversible.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS PRIMERA PRUEBA DE ALGEBRA LINEAL
Quito, Diciembre del 2000
1
-Dada la matriz
Calcular: a) Una matriz R escalonada reducida por filas equivalente a A b)
2
-Sea
Una matriz P tal que
Calcular: a) b)
3
4
- Calcular
- Dada la matriz
a) Para qué valores de b)
; ¿A es inversible?
Para los valores del literal a, calcule la inversa de A.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS PRIMERA PRUEBA DE ALGEBRA LINEAL
Quito, 29 de Mayo del 2001
1
- Dada la matriz
Calcular la matriz R escalonada reducida por filas equivalente a A y una matriz P, tal que,
2
- La sucesión de operaciones elementales que aparece a continuación nos lleva a la matriz
1)
3
4
a la identidad I. Calcule la matriz A y su inversa
.
2)
- Dada la matriz
3)
4)
Calcular
5)
Justifique su respuesta.
- Calcular el valor del Siguiente determinante:
5
- Dada la matriz
a) ¿Para que valores de , la matriz A es inversible? b) Cuando sea inversible, calcular la inversa, usando la matriz adjunta de A
6
- Si A es nilpotente de orden n, entonces - Si
entonces,
?. Justifique
?. Justifique
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Quito, 31 de Octubre de 2001
1
2
3
4
- Dada la matriz
Calcular
- Sean A y B dos matrices cuadradas. Prueben que si AB=A y BA=B, entonces es una matriz idempotente.
- Demostrar que si
, entonces
:
- Dada las matrices
4.1 Verifique que la matriz P es inversible y hallar 4.2 Hallar la matriz 4.3 Calcular 4.4 Calcular
5
.
- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales
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1
- Calcular:
Quito, 28 de abril de 1998
-Dado el siguiente sistema de ecuaciones, Calcular:
a) ¿Para qué valores de b)
¿Para qué valores de
c) ¿Para qué valores de
3
-Resolver: a) Si sobre la matriz
i) ii) iii)
el sistema tiene solución única? Hallar la solución. existen infinitas soluciones? Hallar la solución. el sistema no tiene solución?
se realizan las siguientes operaciones elementales:
y se obtiene la matriz identidad, hallar b)
Dada la matriz
c) Sea
.
, hallar
i) ¿Para qué valores de , A es inversible? ii) Calcular la inversa cuando exista.
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Quito, 5 de Noviembre de 1997
1
y
-Dada las matrices
a) Determine: b)
2
Calcular B
-Sea la matriz A de orden n (impar), antisimétrica
a) Pruebe que el
b)
Si
,
Sin desarrollar el determinante de A pruebe que
3
a) b) c)
-Sea el sistema de ecuaciones lineales:
Cuando el sistema tiene única solución. Hallar la solución. Cuando el sistema tenga infinitas soluciones. Hallar las soluciones. Cuando el sistema no tenga solución.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS EXAMEN FINAL DE ALGEBRA LINEAL
Quito, 21 Julio 1999
1
2
-Utilizando propiedades de los determinantes, demostrar que:
-Dado el s.e.v.
del e.v. de las matrices reales de
orden 2. Hallar:
a. Una base B ortonormal de W b. Un s.e.v. de tal que = c. Una base ortonormal de tal que
3
a. Existe una
tal que:
=
=
y
(Justifique). En caso afirmativo, hallar:
b. , donde
es base de
c. Utilizar el resultado de la parte (b), para hallar explícitamente.
4
-Dada la matriz
donde
y
a. Hallar los valores y los vectores (polinomios) propios de . b. En caso de que la matriz A es diagonalizable, escriba la matriz D diagonal y la matriz P inversible tal que . Sabiendo que , hallar .
5
-Dada la recta
en el sistema de referencia
Dado el punto
en el sistema de referencia canónico.
Determinar la distancia de
P a
L.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS EXAMEN FINAL DE ALGEBRA LINEAL
Quito, 03 Marzo 2000
1
a)
En el e.v. ; independiente, calcular la capsula de B
b)
En el e.v.
c)
d) e)
2
linealmente
, ¿
es base del e.v.
? Justifique. Sea : una aplicación lineal biyectiva, ¿Si es un valor propio de entonces = 0 ? Justifique. Sea , una aplicación lineal. ¿Si , entonces es sobreyectiva?. Justifique. Sea un espacio vectorial sobre el cual se ha definido un producto interno (/). ¿Si y son ortogonales entonces ?
-Sea una aplicación lineal tal que
; donde
Son bases ordenadas de los e.v.
y
y
respectivamente:
3
a)
Probar que es biyectiva.
b)
Calcular
c) d)
respectivamente. Calcular explicitamente. Calcular los siguientes s.e.v: respectivas dimensiones.
; donde y son las bases canonícas de
-Sea
y
. Diga las
una aplicación lineal.
a) Calcular los valores y vectores propios de . b) Dar una base ortonormal de tal que . c) Hallar un matriz P tal que
4
-Dado el sistema de referencia y
diagonal.
del espacio afín
. Calcular la distancia del punto
, donde
a la recta
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1
-Dada la matriz
2
-Sean A y B dos matrices cuadradas. Pruebe que: si AB=A y BA=B entonces
Calcular:
25 Julio 2000
es idempotente.
3
-Hallar los valores de
tal que
Sea linealmente independiente.
4
-Sea
5
, calcular la capsula de B.
-Sea
un s.e.v. del e.v.
c) Calcular una base B para d) Calcular un tal que
6
.
-A partir de la base el espacio vectorial (
7
-Dada la funcion
dar una base ortonormal para usando el producto interno donde y
donde
a) ¿ es una aplicación lineal? b) Si es una aplicación lineal, dar la dimensión del núcleo y la imagen de . Justifique.
8
-¿Existe una aplicación lineal de
,
en
,
tal que: Si existe la aplicación lineal
a) Calcular los valores y vectores propios de b) ¿Existe una base B, tal que sea diagonal? Si existe dar la base B y la
9
-Calcular la distancia del punto sistema de referencia Donde
y
a la recta L cuya ecuación general en el
es
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07 Marzo 2001
1
Dada la matriz
2
Sea
Determinar .
. Hallar una base ortonormal B de W y
una base S ortonormal de
3
Sea
tal que B
donde
Hallar donde
4
S.
.
.
tal que
Sea
donde
Hallar los valores propios de , y una base ortogonal (si existe) de
.
formada
por vectores propios de .
5
Sea
Hallar
en el sistema de referencia
en el sistema canonico, si
.
.
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08 Julio 2001
1
-Dados
y
, hallar
2
dos s.e.v. del e.v.
.
-Si
un s.e.v. del e.v.
, usando el p.i.
usual del e.v., halle una base ortonormal para W.
3
-Si
p.i. definido por
4
un s.e.v. del e.v.
=
6
con el
, hallar W ortogonal.
-Sea
una base de
Hallar las coordenadas del vector
5
-Hallar una aplicación lineal
,
con respecto a la base B.
donde
.
-Dada
Hallar una base para el núcleo y la imagen de .
7
-Determinar una aplicación lineal
respecto a las bases canonícas es
8
-Dada
y S y S' bases de
donde
, hallar
, tal que la matriz asociada a .
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1
-Sea la matriz Hallar:
a)
b)
d) e) f)
3
c)
2
15 Agosto 2001
(cuando exista)
-Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
Cuando el sistema tiene única solución. Hallar la solución. Cuando el sistema tenga infinitas soluciones. Hallar las soluciones. Cuando el sistema no tenga solución.
-Sea
y
a) Hallar una base para . b) A partir de la base hallada en el literal a) completar una base para el e.v. . c) A partir de la base hallada en el literal b) hallar una base ortonormal para el e.v. .
3
-Dada la aplicación lineal , bases de Determinar: a)
b)
c)
d)
¿ es biyectiva?
donde respectivamente.
y
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Agosto del 2001
1
-Dada la función
i) Demostrar que es una aplicación lineal. ii) Calcular el núcleo y la imagen de . iii) ¿ es inyectiva, es sobreyectiva?
2 i)
en tal que: ¿Existe una aplicación lineal de ? ii) Si existe la aplicación lineal, expresarla en forma explícita.
3
-Dada la aplicación lineal
Y las bases ordenada i) Calcular ii) Usando la matriz de cambio de base, calcular
4
-Si
matriz asociada.
-Dada la matriz i) ii) iii) iv)
, usando la
La base ordenada
5
Calcular la imagen del vector
Calcular el polinomio característico de A. ¿ A es diagonalizable? Si lo es calcular una base en la cual la matriz asociada sea diagonal. Calcular la matriz diagonal D y la matriz P, tal que, .