UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE
GUIA DE ESTUDIO DE ALGEBRA LINEAL
INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
Ing. Luis Antonio Achoy Bustamante. Ing. José Antonio Castro Inzunza. Septiembre-Diciembre Septiembre-Diciembre de 2003.
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INTRODUCCIÓN El Álgebra Lineal es una de las ramas de la Matemática que más aplicaciones tiene en la Ingeniería. Surgió como una necesidad para dar solución a problemas que en su planteamiento generan modelos lineales. En este curso se pretende establecer las bases del estudio del Álgebra Lineal, partiendo partiendo de los sistemas de ecuaciones lineales, los cuales a su vez, vez, dieron origen a nuevas herramientas que permitieron simplificar su solución, tales como: las l as matrices y determinantes. Estos dos conceptos se desarrollaron tanto que actualmente existen teorías para su estudio. Otros métodos que se estudian fueron los que utilizan operaciones entre renglones, como son los de eliminación Gaussiana y de Gauss-Jordan. Por ultimo se abordan los vectores que son otra herramienta muy utilizada en la Ingeniería, son la base para el estudio de la Mecánica y otras ramas de la Física. Se analizan sus propiedades y operaciones, dando énfasis a las aplicaciones. La del curso se aborda analizando problemas en los cuales surge la necesidad de la aplicación de los diferentes conceptos, operaciones, propiedades y métodos, considerando considerando las restricciones, ventajas y desventajas. Como apoyo a las actividades desarrolladas en clase, se recomienda manejar la investigación bibliográfica, la consulta de páginas en Internet, la ejercitación, la redacción de ensayos, etc. Otro aspecto muy importante para el desarrollo de esta materia es que la mayoría de los métodos desarrollados en el Álgebra lineal tiene un carácter algorítmico, lo que facilita facilita la elaboración de programas, programas, el uso de software o calculadoras. En particular se recomienda el uso del Derive 5, el cual tiene la mayoría de las aplicaciones necesaria para el curso. Esperando que esta propuesta didáctica sea de ayuda para la mejor compresión de las Matemáticas. Los autores.
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INTRODUCCIÓN El Álgebra Lineal es una de las ramas de la Matemática que más aplicaciones tiene en la Ingeniería. Surgió como una necesidad para dar solución a problemas que en su planteamiento generan modelos lineales. En este curso se pretende establecer las bases del estudio del Álgebra Lineal, partiendo partiendo de los sistemas de ecuaciones lineales, los cuales a su vez, vez, dieron origen a nuevas herramientas que permitieron simplificar su solución, tales como: las l as matrices y determinantes. Estos dos conceptos se desarrollaron tanto que actualmente existen teorías para su estudio. Otros métodos que se estudian fueron los que utilizan operaciones entre renglones, como son los de eliminación Gaussiana y de Gauss-Jordan. Por ultimo se abordan los vectores que son otra herramienta muy utilizada en la Ingeniería, son la base para el estudio de la Mecánica y otras ramas de la Física. Se analizan sus propiedades y operaciones, dando énfasis a las aplicaciones. La del curso se aborda analizando problemas en los cuales surge la necesidad de la aplicación de los diferentes conceptos, operaciones, propiedades y métodos, considerando considerando las restricciones, ventajas y desventajas. Como apoyo a las actividades desarrolladas en clase, se recomienda manejar la investigación bibliográfica, la consulta de páginas en Internet, la ejercitación, la redacción de ensayos, etc. Otro aspecto muy importante para el desarrollo de esta materia es que la mayoría de los métodos desarrollados en el Álgebra lineal tiene un carácter algorítmico, lo que facilita facilita la elaboración de programas, programas, el uso de software o calculadoras. En particular se recomienda el uso del Derive 5, el cual tiene la mayoría de las aplicaciones necesaria para el curso. Esperando que esta propuesta didáctica sea de ayuda para la mejor compresión de las Matemáticas. Los autores.
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INDICE Introducción
ÍNDICE CAPITULO I SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.1 Introducción 1.2 Determinantes 1.2.1 Método de cofactores 1.2.2 Propiedades Propiedades de los determinantes 1.2.3 Método del Montante Ejercicios complementarios complementarios capítulo I CAPITULO II MATRICES 2.1 Introducción 2.2 Operaciones entre matrices y sus propiedades 2.2.1 Transpuesta de una matriz 2.2.2 Producto de un escalar por una matriz 2.2.3 Suma de matrices 2.2.4 Diferencia entre matrices 2.2.5 Producto de matrices 2.2.6 Potencia de una matriz 2.3 Inversa de una matriz Ejercicios complementarios complementarios capítulo II CAPITULO III SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE EC. LINEALES 3.1 Introducción 3.2 Método de eliminación Gaussiana 3.3 Método de Gauss-Jordan 3.4 Inversa de una matriz Ejercicios complementarios complementarios capítulo III CAPITULO IV VECTORES 4.1 Introducción 4.2 Definición de vector 4.3 Magnitud y dirección de un vector 4.4 Componentes de un vector en R 2 4.5 Operaciones con vectores 4.6 Producto de un escalar por un vector 4.7 Diferencia de vectores 4.8 Vectores unitarios 4.9 Vector unitario 4.10 Ángulo entre vectores 4.11 Producto escalar 4.12 Vectores en el espacio 4.13 Componentes de un vector en R 3 4.14 Producto vectorial 4.15 Triple producto escalar 4.16 Combinación lineal entre vectores Ejercicios complementarios complementarios capítulo IV BIBLIOGRAFIA 3
2 3 5 6 10 13 15 17 20 22 23 25 25 25 26 27 27 30 31 33 35 36 37 40 43 45 46 47 47 48 50 51 53 55 55 56 57 59 60 65 67 71 72 74 75
CAPITULO I
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
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CAPÍTULO I SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.1.- Sistemas de Ecuaciones Lineales Los Modelos Matemáticos han jugado un papel muy importante para entender y predecir los fenómenos de la naturaleza, para construir un modelo se debe tener un entendimiento claro de la situación, para esto se necesita plantear y responder una serie de cuestiones: ¿Cuales son las magnitudes involucradas?, ¿Cuáles se mantienen fijas y cuales son variables?, ¿Cómo se relacionan?, ¿Existen leyes para establecer las relaciones o hay que formularlas?, ¿ Se pueden despreciar algunas variables para simplificar nuestro modelo?, ¿Cuáles son las limitaciones del modelo?, etc. La construcción de un modelo no es una tarea fácil, se requiere recopilar información, analizarla e interpretarla para determinar si es posible encontrar patrones que se puedan reproducir por medio de relaciones matemáticas, una vez que se formula el modelo es necesario validarlo, es decir, los datos que se obtengan a partir de este, deben ser congruentes con los datos observados. Los modelos matemáticos pueden dar origen a simples ecuaciones con una variable, ecuaciones con varias variables, ecuaciones diferenciales, sistemas de ecuaciones, etc. Una vez que se tiene el modelo el siguiente paso es resolverlo, dependiendo del tipo de formulación matemática y su grado de complejidad se puede obtener una solución exacta o una solución aproximada, la primera se obtiene por medio de algún procedimiento matemático, mientras que la segunda se obtiene por medio de un proceso numérico. A continuación se formula un modelo matemático a partir de un problema: Un comerciante tiene dos marcas de café, una nacional que cuesta $25 el Kg y uno importado que cuesta $35 el Kg, quiere hacer una mezcla de 100 Kg con las dos marcas de café para poderla vender a $30 el Kg, ¿ Cuántos Kg. de cada café debe utilizar para preparar la mezcla?. Al analizar la situación podemos distinguir que hay cantidades fijas y cantidades variables, los precios de cada café y la cantidad de la mezcla son fijos, mientras que las cantidades empleadas de cada uno de los café son variables. A estas cantidades se les representa por medio de símbolos para poderlas manejar dentro del modelo. Llamemos X a los Kg de café de la marca nacional y Y a los Kg de café importado. Ahora debemos encontrar las relaciones que existen entre las cantidades, en primer lugar tenemos que la mezcla debe contener 100 kg, esto nos conduce a la relación:
x + y = 100 Otra relación la podemos obtener a partir de los costos de cada café, se debe cumplir que lo que se gaste en formar la mezcla debe ser igual a lo que se obtenga al vender los 100 Kg de café:
25 x + 35 y = (100)(30) 25 x + 35 y = 3000 Tenemos entonces dos ecuaciones con las mismas variables, a estas ecuaciones se les conoce como ecuaciones lineales puesto que las variables están elevadas a la primera potencia, como las ecuaciones están relacionadas entre si forman lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales . Este tipo de modelo matemático se estudia durante el presente curso.
x + y = 100
25 x + 35 y = 3000 Ahora debemos darle solución, como los valores de las cantidades variables deben ser los mismos en las dos ecuaciones, podemos despejar una variable de una ecuación y sustituirla en la otra ecuación: Despejando x de la primera ecuación nos queda:
5
x = 100 − y Sustituyendo este valor en la segunda:
25(100 − y ) + 35 y = 3000 2500 − 25 y + 35 y = 3000 10 y = 500 y = 50 La solución es utilizar 50 Kg de cada café para preparar la mezcla. En general una ecuación lineal esta formada por una suma de términos en los cuales aparece una sola variable elevada a la primera potencia. No deben estar afectadas por funciones trigonométricas, logaritmos, etc. Existe un formato general para estas ecuaciones:
a1 x1 + a 2 x2 + a3 x3 + .... + an x n = k Donde
a1 , a2 , a3 ,..., a n son constantes reales o complejas x1 , x2 , x3 ,..., xn son variables que pueden tomar valores reales o complejos
Cuando se tiene un conjunto de ecuaciones lineales relacionadas entre si, se forma un sistema de ecuaciones lineales, este se puede escribir utilizando notación de doble subíndice:
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + .... + a1n x n = k 1 a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + .... + a 2 n xn = k 2
.
.
.
.
.
Sistema de (mxn)
a m1 x1 + am1 x 2 + am1 x3 + .... + a mn x n = k m Donde subíndice
aij son los coeficientes de las variables, el subíndice i indica la ecuación (Renglón) y el
j indica la variable (Columna). x j son las variables del sistema k i son los términos independientes del sistema
Ejemplos de sistemas de ecuaciones:
2 x1 + 3 x 2 = 5 5 x1 − 4 x 2 = 6
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (2x2)
x1 +
3 x2 −
5 x3 +
x4 = 10
2 x1 +
x2 −
3 x3 +
2 x 4 = 6
3 x1 +
2 x2 +
7 x3 +
5 x 4 = 3
3 x2 +
2 x3 −
2 x4 = −4
Sistema de 4x 4
6
En los sistemas de ecuaciones puede haber más ecuaciones que incógnitas o más incógnitas de ecuaciones. Primero trataremos la solución de los sistemas que tengan igual número de ecuaciones e incógnitas.
1.1.1
Solución por reducción
Uno de los métodos más usados para resolver los sistemas de ecuaciones lineales es el de reducción por suma, el cual consiste en transformar un sistema en otro equivalente por medio de operaciones entre las ecuaciones, hasta llegar a la solución del mismo. Se han determinado tres operaciones básicas para realizar estas transformaciones: 1.- Intercambiar dos o más ecuaciones del sistema 2.- Multiplicar una ecuación por una constante diferente de cero 3.- Sumar un múltiplo de una ecuación a otra. A continuación se resuelve un sistema utilizando el método anterior:
2 x + 3 y = 7 4 x + 5 y = 13 Debemos multiplicar las ecuaciones por constantes adecuadas de tal manera que al sumarlas se elimine una de las variables. Se observa que al multiplicar la primera ecuación por –2 y al sumarla a la segunda ecuación se elimina la variable x:
− 4 x − 6 y = −14
4 x + 5 y = 13
el valor de la variable
y = 1
______________________
− y = − 1 Para calcular el valor de la otra variable se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales:
2 x + 3(1) = 7
2 x + 3 = 7 La solución del sistema es x = 2
2 x = 4 y =1
x=2
Si graficamos las dos ecuaciones del sistema en un plano cartesiano, el intercepto de las dos líneas rectas es la solución del sistema y se dice que el sistema tiene solución única . El procedimiento anterior se puede utilizar para resolver sistemas más grandes, para esto se eliminan variables por pares de ecuaciones de tal manera que se reduce el sistema hasta que se obtiene el valor de una de las variables, este valor se sustituye en las ecuaciones generadas para obtener el valor de las demás variables, resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones:
x1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 11 − − − (1)
4 x1 + x 2 − x 3 = 4 − − − −(2) 2 x1 − x 2 + 3 x 3 = 10 − − − (3)
7
Tomemos la ecuaciones (1) y (2) y eliminemos x1, multipliquemos la ecuación (1) por -4 y la sumamos a la ecuación (2):
( x1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 11)(−4)
- 4 x1 + 8 x 2 − 12 x 3 = −44
4 x1 + x 2 − x 3 = 4
4 x1 + x 2
− x =
3 __________________________
4
9 x 2 − 13 x 3 = −40 − −(5) Eliminemos la misma variable de las ecuaciones (1) y (3), multiplicamos la ecuación (1) por –2:
( x1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 11)(−2)
− 2 x1 + 4 x 2 − 6 x 3 = −22
2 x1 − x 2 + 3 x 3 = 10
2 x1 − x 2 + 3 x 3 = 10 ____________________________
3 x 2 − 3 x 3 = −12 − −(6) De las ecuaciones (5) y (6) podemos eliminar x 3 :
9 x 2 − 13 x 3 = −40
9 x 2 − 13 x 3 = −40
(3 x 2 − 3 x 3 = −12)(−3)
− 9 x 2 + 9 x 3 = 36 ________________________
− 4 x 3 = −4
x 3 = 1 Sustituimos x3 en la ecuación (5) para obtener x 2 :
9 x 2 − 13(1) = −40 9 x 2 = −40 + 13 = −27 x 2 = −3 Usando la ecuación (1) calculamos x1 al sustituir x2 y x3 :
x1 − 2(−3) + 3(1) = 11 x1 + 6 + 3 = 11 x1 = 2 La solución de sistema es el punto (2,-3,1) en este caso representa la intersección de tres planos en el espacio y vuelve a pertenecer al tipo solución única.
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1.2 Determinates Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las matrices (se desarrollan en la siguiente unidad), de hecho el termino matriz fue introducido por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que era “ La madre de los determinantes ”. La mayoría de los historiadores coinciden que las propiedades de los determinantes fueron desarrolladas por el matemático Gottfried Wilhelm Leibniz. Uno de los objetivos principales de las Matemáticas es el de generalizar los procesos matemáticos lo más posible. En la sección anterior se trabajó con el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones, podemos hacer una generalización de este método trabajando con sistemas en los cuales tomemos los coeficientes de las variables en forma general
a ij .
Consideremos primero un
sistema se 2x2:
a11 x1 + a12 x 2 = k 1 a 21 x1 + a 22 x 2 = k 2 Para eliminar x1 de las ecuaciones podemos multiplicar la ecuación (1) por − (2) por
a 21 y la ecuación
a11 :
(a11 x1 + a12 x 2 = k 1 )(− a 21 ) (a 21 x1 + a 22 x 2 = k 2 )(a11 ) − a 21 a11 x1 − a 21 a12 x 2 = − a 21 k 1
a11 a 21 x1 + a11 a 22 x 2 = a11 k 2 Al sumar las dos ecuaciones se eliminan los primeros términos y se obtiene:
a11 a 22 x 2 − a 21 a12 x 2 = a11 k 2 − a 21 k 1 En el primer miembro de la ecuación es posible factorizar x 2 y despejarla:
x 2 (a11 a 22 − a 21 a12 ) = a11 k 2 − a 21 k 1 x 2 =
a11 k 2 − a 21 k 1 a11 a 22 − a 21 a12
El resultado obtenido es la solución general de x2 para un sistema de 2x2. Si comparamos el numerador y denominador con las posiciones de los coeficientes en el sistema original podemos observar que el denominador se obtiene multiplicando en forma cruzada los coeficientes de la siguiente forma: (-)
a11
a12
a 21
a 22
A esta operación se le llama determinante y se encierra entre barras, generalmente se representa por una letra delta ( ∆ ): (-)
9
∆=
a11
a12
a 21
a 22
= a11 a 22 − a 21 a 22
La cantidad del numerador la podemos obtener de la misma manera, para esto se sustituye la segunda columna del determinante por los términos independientes k: (-)
∆2 =
a11
k 1
a 21
k 2
= a11 k 2 − a 21 k 1
El valor de x2 se puede expresar:
x 2 =
∆2
=
∆
a11
k 1
a 21
k 2
a11
a 21
a 21
a 22
Si procedemos de la misma forma podemos obtener una fórmula similar para x 1:
x1 =
1.2,1
∆1 ∆
k 1
a12
k 2
a 22
a11
a 21
a 21
a 22
=
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Usando la regla de Cramer.
Si se aplica el mismo proceso de eliminación para un sistema de nxn , podemos obtener una regla general a la cual se le conoce como Regla de Cramer : En un sistema de ecuaciones lineales de nxn, los valores de las variables se obtienen mediante la aplicación de la fórmula:
x i =
∆i
∆≠0
∆
Donde: ∆ es el determinante formado por los coeficientes de las variables
∆ i es el determinante que se obtiene al sustituir la columna de términos independientes ki por la columna que corresponde a los coeficientes de la variable x i En el caso de que el determinante sea de (3x3) o simplemente de orden 3 es posible usar multiplicaciones cruzadas para que se completen los productos. Es necesario agregar las dos primeras columnas al final del arreglo o los dos primeros renglones, a esta forma de calcular un determinante se conoce como Regla de Sarrus :
10
(-)
a11
a12
a13 a11 a12
∆ = a 21
a 22
a 23 a 21 a 22
a 31
a 32
a 33 a 31 a 32
Los productos hacia abajo se dejan con el mismo signo y los productos hacia arriba se cambian de signo. Ejemplo: Usando la regla de Cramer calcular el valor de x 2 del siguiente sistema:
x1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 11
4 x1 + x 2 − x 3 = 4 2 x1 − x 2 + 3 x 3 = 10 Como solo queremos el valor de x2 la Regla de Cramer para esta variable es:
x 2 =
∆2 ∆
Primero se calcula ∆ usando los coeficientes de las variables y la Regla de Sarrus:
1 ∆= 4
2
−2
1 −1
3
1
−1 4
3
2
-2 = (3 + 4 − 12) − (6 + 1 − 24) = 12
1 -1
Como el determinante es diferente de cero el sistema tiene solución única. Para el valor de ∆ 2 se sustituyen la columna de términos independientes en la columna que corresponde a los coeficientes de la variable x2:
1 11 ∆2 = 4
4
2 10
3
1 11
−1 4
3
4 = (12 − 22 + 120) − (24 − 10 + 132) = −36
2 10
Sustituyendo en la fórmula de Cramer:
x 2 =
∆2
=
− 36
∆
12
= −3
Los valores de las variables x 1 y x 2 se calculan de la misma manera y se dejan como ejercicio al lector.
11
La regla de Cramer se puede aplicar a cualquier sistema de (nxn), el problema radica en ¿Cómo calcular los determinantes?, la regla de Sarrus es posible usarla solo para determinantes de orden 2 o 3, para determinantes de orden mayor se utilizan otros métodos.
1.2.2
Calculo de determinantes usando cofactores
Al desarrollar un determinante de orden 3, es posible hacer un agrupamiento que permite calcularlo usando determinantes de orden menor: (-)
a11
a12
a13 a11 a12
∆ = a 21
a 22
a 23 a 21 a 22
a 31
a 32
a 33 a 31 a 32
∆ = a11 a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 − a 31 a 22 a13 − a 32 a 23 a11 − a 33 a 21 a12
Factorizamos
a11 del
primero y quinto términos,
a12 del
segundo y sexto,
a13 del
tercero y
cuarto términos:
∆ = a11 ( a 22 a 33 − a 32 a 23 ) + a12 ( a 23 a 31 − a 33 a 21 ) + a13 ( a 21 a 32 − a 31 a 22 ) Las cantidades entre paréntesis son determinantes de orden 2, si se observan las posiciones de los elementos en el arreglo original, estos corresponden a los que quedan al eliminar el renglón 1 y la columna 1, en el segundo determinante los elementos corresponden a los que se obtienen al eliminar el renglón 1 la columna 2 y para el tercero los elementos se obtienen al eliminar el renglón 1 y la columna 3. En el segundo los elementos están cambiados de acuerdo a la forma como se calcula el determinante de orden 2, esto se puede corregir al invertir los productos, para esto se multiplican por –1:
∆ = a11
a 22
a 23
a 32
a 33
− a12
a 21
a 23
a 31
a 33
+ a13
a 21
a 22
a 31
a 32
Los determinantes que se obtienen al eliminar el renglón y la columna se les llama menores. Estos son positivos cuando la suma de las posiciones (i + j ) es par y negativo cuando la suma es impar, si se considera el signo del menor se le llama cofactor . Se puede llegar a los mismos resultados escogiendo cualquier renglón o columna, esto se generaliza para obtener el método de los cofactores. El determinante de un arreglo de orden n, se puede calcular como la suma de los productos de los elementos de un renglón o columna por sus correspondientes cofactores: Para un renglón Para una columna
∆ = a i1 c i1 + a i 2 c i 2 + a i 3 c i 3 + .... + a in c in
∆ = a ij c1 j + a 2 j c 2 j + a 3 j c 3 j + .... + a nj c nj
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Donde
c ij
c ij = ( −1) + M ij . i j
eliminar el renglón
a ij
es el cofactor del elemento El determinante
M ij se
el cual se calcula con la expresión
conoce como menor y sus elementos se obtienen al
i y la columna j .
Ejemplo: Usando el Método de los Cofactores, calcule el valor del siguiente determinante:
−1
2
∆= 4
1
6
2
3
5
3
Podemos utilizar cualquier renglón o columna, usaremos el primer renglón, de acuerdo a la formula:
∆ = 3c11 + ( −1)c12 + 2c13 ∆ =3
1
6
3 5
4 6 4 1 +2 2 5 2 3
+ ( −1) −
Usando la regla de Sarrus para los determinantes de orden 2:
∆ = 3( −13) + ( −1)(−8) + ( 2)(10) = −39 + 8 + 20 = −11 Para determinantes más grandes, este método es bastante laborioso. Calculemos el siguiente determinante:
∆=
3
0
2
6
4
−2
8
7
0
−2
5
6
2
9
0
2
Se recomienda utilizar el renglón o columna que tenga más ceros para realizar menos operaciones, usaremos la primera columna:
∆ = 3c11 + 4c 21 + 0c 31 + 2c 41 = 3c11 + 4c 21 + 2c 41 Recordemos que los cofactores cuya suma de las posiciones impar son negativos:
−2
8
7
∆ = 3− 2
5 0
9
0
2
6
6 − 4− 2
5
2
0
2
9
0
2
6
6 − 2− 2
8
7
−2
5
6
∆ = 3(129) − 4(−154) − 2(32) = 939 Los determinantes de orden 3 se calculan por cofactores o usando la regla de Sarrus. Para determinantes de un orden mayor, por ejemplo de orden 5, los menores son de orden 4 y para calcularlos es necesario utilizar cofactores de nuevo, esto aumenta considerablemente el número de
13
productos. Se puede demostrar que el número de productos a realizar en un determinante de orden n es n!. Por ejemplo para el de orden 5:
Número de productos 5! = 120
1.2.3
Propiedades de los Determinantes
En los determinantes muy grandes el uso del método de los cofactores es muy laborioso y tardado, es posible reducir su tamaño utilizando tres propiedades básicas (las demostraciones de estas propiedades están fuera del alcance de estas notas). Para ejemplificarlas se usa un determinante de orden 2: 1.- Al intercambiar dos renglones o columnas el signo del determinante cambia.
∆=
a11
a12
a 21
a 22
R1 ↔ R2
Si intercambiamos el renglón 1 con el renglón 2, lo cual se simboliza
R1 ↔ R 2 se obtiene un
nuevo determinante:
∆′ =
a 21
a 22
a11
a12
= a 21 a12 − a11 a 22 = −( a11 a 22 − a 21 a12 ) = − ∆
∆ = −∆ ′ El nuevo determinante es el negativo del original, por este motivo cada vez que se hace un intercambio de renglones o de columnas, es necesario multiplicar por –1 al nuevo determinante. 2.- Si se multiplica un renglón o columna por una constante (k) diferente de cero, el valor del determinante queda multiplicado por esa constante:
a11
a12
a 21
a 22
∆=
kR1 → R 2
El renglón 1 se multiplica por una constante k , lo cual se simboliza ∆′ =
∆=
ka11
ka12
a 21
a 22
1
kR1 → R1
= ka11 a 22 − ka 21 a12 = k (a11 a 22 − a 21 a12 ) = k ∆
∆′
k Al efectuar esta propiedad es necesario multiplicar el nuevo determinante por el reciproco de k para que el determinante no se altere.
3.- Al sumar un múltiplo de un renglón a otro, el valor del determinante no se altera.
∆=
a11
a12
a 21
a 22
kR1 + R 2 → R 2
Al multiplicar el renglón 1 por la constante k, este no se modifica pero el resultado se suma al otro renglón. Al renglón que se usa de esta forma se le llama renglón pivote:
14
∆′ =
a11
a12
a 21
a 22
=
a11
a12
a 21 + ka11
a 22 + ka12
= a11 ( a 22 + ka12 ) − a12 ( a 21 + ka11 )
= a11 a 22 + ka11 a12 − a12 a 21 − ka11 a12 = a11 a 22 − a 21 a12 = ∆ ∆ = ∆′ Estas tres propiedades se pueden usar para reducir el orden de un determinante, recordemos que al usar los cofactores se recomienda usar el renglón o columna que tenga el mayor número de ceros. Entonces si podemos transformar los elementos de una columna en ceros usando un renglón fijo, el determinante será el elemento diferente de cero de la columna multiplicado por su cofactor, por facilidad se transforma el elemento diferente de cero en un uno, lo anterior se muestra en el siguiente ejemplo:
∆=
2
4
0
7
3
5
1
0
4
5
−3
5
1
6
6
−2
R1 ↔ R 2
En primer lugar cambiamos el renglón 1 por el renglón 4, para tener un 1 en el primer elemento, como se intercambian renglones es necesario multiplicar por –1 :
∆=−
1
6
6
−2
3
5
1
0
4
5
−3
5
2
4
0
7
Usando la tercera propiedad hacemos ceros los elementos que están por abajo del 1 del primer renglón:
∆=−
∆=−
1
6
6
− 2 − 3 R1 + R 2 → R 2
3
5
1
0 − 4 R1 + R3 → R3
4
5
−3
5 − 2 R1 + R4 → R 4
2
4
0
7
1
6
6
−2
0
− 13
− 17
6
0
− 19
− 27
13
0
−8
− 12
11
− 13
− 17
= − − 19
− 27
13 = −120
−8
− 12
11
6
Al eliminar el renglón 1 y la columna 1, el determinante de orden 4 se reduce a uno de orden 3 y enseguida se utiliza la regla de Sarrus. Si el determinante es de mayor tamaño es posible que se tengan que utilizar fracciones en las operaciones.
15
1.2.4
Método del Montante
Existe otro método que utiliza las propiedades de los determinantes, tiene la ventaja de que si las cantidades son números enteros todos las operaciones se realizan con estos números, para mostrar como funciona este método se ejemplifica con un determinante de orden 3:
a11
a12
a13
∆ = a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
En primer lugar usaremos el elemento
a11 como elemento pivote para hacer los elementos por
abajo cero, esto se realiza sin transformar el elemento pivote en 1:
a11
a12
a13 −
∆= 0
a ′22
a ′23
0
′ a 32
a ′33 −
a 21 a11 a 31 a11
R1 + R 2 → R2 R1 + R3 → R3
Al realizar las operaciones, los nuevos elementos se obtienen con las expresiones:
a ′22 = ′ = a 32
a11 a 22 − a 21 a12
a ′23 =
a11 a11 a 32 − a 31 a12
′ = a 33
a11
a11 a 23 − a 21 a13 a11
a11 a 23 − a 31 a13 a11
Se observa que los numeradores son determinantes de segundo orden y que todos están dividios por
a11 , además estos tienen una estructura con respecto a los elementos del determinante original, lo
cual nos permite obtenerlos sin necesidad de utilizar las propiedades directamente, vamos a omitir la división por este elemento y solo pondremos los resultados del numerador como los nuevos elementos, la división se realiza al calcular los elementos de la siguiente matriz.
a ′22 = a11 a 22 − a 21 a12
a ′23 = a11 a 23 − a 21 a13
′ = a11 a 32 − a 31 a12 a 32 Ahora usaremos el elemento
′ = a11 a 23 − a 31 a13 a 33
a ′22 como pivote y se hacen cero los elemento por arriba y debajo
de este, de la misma manera que en todos los resultados se tendrá una división entre el mismo elemento
a ′22 la cual no se realiza, como se omitió la división entre a11 cada operación realizada se debe dividir por este número, este elemento se va colocando en la diagonal principal.
a ′22
0
∆= 0
a ′22
0
0
a13′ − a ′23′ ′′ − a 33
16
a ′21 a ′22 ′ a 32
a ′22
R 2 + R1 → R1 R 2 + R3 → R3
Los resultados de los nuevos elementos son:
a13′ =
a ′22 a12 − a12 a ′23
′′ = a 33
a11
′ − a 32 ′ a ′23 a ′22 a 33
a11
′′ esto se indica en el determinante: a 33
El determinante de es el valor de
′′ a 33 ∆= 0
0
0
′′ a 33
0
′′ 0 = a 33 ′′ a 33
0
Los pasos del método del Montante se dan a continuación y se van ejemplificando con el siguiente determinante:
∆=
3
−2
1
4
5
3
0
1
4
−2
3
−4
1
6
4
1
1.- Tomar el primer renglón como pivote y repetirlo en el siguiente determinante, usar el primer elemento del primer renglón como pivote, colocar ceros por debajo de este elemento, realizar determinantes de orden 2 partiendo todos del elemento pivote, como se indica: Divisor
∆=
3
−2
1
4
0
19
−5
− 17
0
2
5
− 28
0
20
11
−1
2.- Repetir el segundo renglón en el siguiente determinante y usar el número 19 como elemento pivote, colocar ceros por arriba y por debajo de este, calcular los determinantes de orden 2 partiendo del elemento pivote, a los productos que no salgan de este elemento se les cambia de signo, cada resultado se divide entre 3, el elemento pivote se recorre sobre la diagonal principal: Divisor
∆=
19
0
3
14
0
19
−5
− 17
0
0
35
− 166
0
0
103
107
17
3.- El renglón número 3 se usa como pivote y se repite igual en el siguiente arreglo, ahora el elemento pivote es el 35 y se calculan los determinantes de orden 2 partiendo de el, todos los resultados se dividen entre 19:
∆=
35
0
0
52
0
35
0
− 75
0
0
35
− 166
0
0
0
1097
El determinante es 1097, para especificar el resultado final, se escribe:
∆=
1097
0
0
0
0
1097
0
0
0
0
1097
0
0
0
0
1097
18
= 1097
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS CAPITULO I 1.- Usando el método de sustitución resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
2 x1 − x 2 = −3
2 x1 + 4 x 2 + 6 x3 = 18
5 x1 + 7 x 2 = 4
4 x1 + 5 x 2 + 6 x 3 = 24 3 x1 + x 2 − 2 x3 = 4
2.- Resuelva los sistemas anteriores por medio del método de reducción. 3.- Usando la Regla de Cramer, obtenga la solución de los sistemas del ejercicio 1. 4.- En el siguiente sistema de ecuaciones, determine el valor de k para que el sistema tenga solución única.
3 x1 + 2 x 2 + kx3 = 10 kx1 + 3 x 2 − 4 x3 = 5
4 x1 − kx2 + x 3 = 6 5.- Un vendedor cuenta con tres tipos de café, uno que cuesta $2.5 la libra, otro tiene un costo de $2.3 la libra y el ultimo $2.6 la libra. Desea preparar 100 Kg de café para venderlo a $2.4 la libra. Si debe utilizar la misma cantidad de los tipos de café con el precio mayor. Determine cuantos Kg de cada tipo debe utilizar para preparar la mezcla. 6.-Una compañía fabrica tres tipos de mueble para jardín: sillas, mecedoras y sillones. Cada una requiere de madera, plástico y aluminio. Los requerimientos de cada uno se dan en la siguiente tabla:
Silla Mecedora Sillón
Madera 1 1 1
Unidades Plástico 1 1 2
Aluminio 2 3 5
La compañía tiene 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 unidades de aluminio. Si se requiere utilizar todas las unidades en existencia, determine cuantos muebles de cada tipo se deben fabricar. 7.- Una empresa paga 8 dólares la hora a los trabajadores clasificados de su departamento de ensamble. A los trabajadores semicalificados de ese departamento se les paga 4 dólares la hora. A los empleados del departamento de envíos se les paga 5 dólares la hora. Debido al incremento de pedidos la compañía requiere tener un total de 70 trabajadores en los departamentos de ensamble y envíos. Pagará un total de 370 dólares por hora a estos empleados. Debido a una cláusula del contrato del contrato de trabajo, debe haber el doble de trabajadores semicalificados que los calificados. ¿Cuántos trabajadores calificados, semicalificados y de envíos debe contratar la compañía. 8.- Calcule los siguientes determinantes usando el método de cofactores.
19
3
4
−5
∆= 9
0
8
5
3
−4
∆=
2
3
−1
0
8
6
0
−3
4
−1
1
3
2
3
−5
6
9.- Usando las propiedades de los determinantes, reduzca el orden del siguiente determinante hasta uno de orden 3 y utilice la regla de Sarrus para calcular su valor.
2
1
−3
4
0
4
−3
0
1
5
6
−3
7
2
0
2
8
0
−1
5
2
−1
7
9
0
10.- Usando el Método del Montante, calcule el determinante del ejercicio anterior. 11.- Usando el método de cofactores, determine el valor de k para que el siguiente determinante sea igual a 77. (utilice la división sintética para calcular el valor de k)
3 −2
1
k
k 3
0
3
2
5
k 3
k
0
1
5
12.- Utilice el método de cofactores para calcular el valor de k en el siguiente determinante.(Use el método de Newton-Raphson para aproximar los valores de k).
1 − k
2
0
4
3
2 − k
1
0
3
−2
− k
3
2
−1
0
− 3 − k
20
=0
CAPITULO II
MATRICES
21
CAPÍTULO II MATRICES 2.1 INTRODUCCIÓN En el capitulo anterior se utilizo la regla de Cramer para resolver sistemas de Ecuaciones, como te habrás dado cuenta que la solución de un sistema de ecuaciones depende de los coeficientes de las variables del mismo y de los términos independientes. En esta regla se utilizaron determinante, a lo que da origen a estos arreglos se le dio el nombre de MATRIZ. El sistema:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + .... + a1n xn = k 1 a 21 x1 + a 22 x2 + a23 x3 + .... + a 2 n xn = k 2
.
.
.
.
.
a m1 x1 + a m1 x2 + am1 x3 + .... + amn xn = k m Se puede obtener la Matriz de los coeficientes del sistema:
a11 a 21 : a m1
a12
...
a1n
a 22
...
a 2n
: am2
: : ... a mn
Esta nueva herramienta Matemática dio origen a lo que actualmente se conoce como Teoría de Matrices. Esta teoría la trabajaremos de forma deductiva, para esto hay que dar algunas definiciones y establecer las operaciones básicas con sus propiedades. En primer lugar definiremos lo que es una Matriz, esta es un arreglo rectangular de números reales o complejos, en la cual se puede distinguir un cierto número de renglones y columnas. Ejemplos de Matrices:
2 A = 3 7
−4
0
−4
5
8
3
3
−4
8
2
−1
6
B =
Matriz con 3 renglones y tres columnas.
Matriz de 2 renglones y 3 columnas.
En general el tamaño de una Matriz se escribe (m x n), donde m es el número de renglones y n el número de columnas. La Matriz A es de (3x3) y la Matriz B es de (2x3). Los elementos de una Matriz se les representa en forma general como aij , donde i representa el renglón y j la columna.
22
Por ejemplo, en la Matriz A el elemento a23 es el número 5. Las Matrices se simbolizan con letras mayúsculas y sus elementos, con las letras minúsculas correspondientes.
A = aij , B = bij , etc. De acuerdo a algunas características de los elementos se pueden definir algunos tipos de Matrices importantes:
Matriz Nula.- Es aquella matriz que tiene como elementos exclusivamente ceros.
0 0 0 O= 0 0 0 0 0 0
Esta Matriz puede tener cualquier tamaño.
Matriz Identidad.- Tiene la característica de que en su diagonal principal existen unos (1) y fuera de su diagonal principal, ceros (0). Se simboliza usando I.
1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1 Matriz Diagonal.- Se define como la matriz que tiene ceros fuera de la diagonal principal y valores diferentes de cero y de 1 en su totalidad en la diagonal principal.
2 A= 0 0
0
0
−4
0
0
6
Ahora estudiaremos las operaciones principales entre Matrices.
23
2.2 OPERACIONES ENTRE MATRICES Y SUS PROPIEDADES. En esta sección se estudian las operaciones básicas entre matrices y sus propiedades.
2.2.1 Transpuesta de una Matriz: Sea A una matriz cualquiera, su transpuesta se representa A T
. En esta operación, los renglones de A se transforman en columnas de A T.
Si A = aij
⇒
A = a ji T
Ejemplos: Obtenga la transpuesta de las siguientes Matrices:
−2 4 6 A = −1 0 7 9 6 3
4
−5
3
9
5
7
B=
La Transpuesta de las Matrices son:
−2 T A = 4 6
−1
9
0
6
7
4 9 T B = −5 5 2 2
3
Se puede demostrar que (AT)T= A
2.2.2 Producto de un escalar por una Matriz: Sea A una Matriz y k un escalar (número), el producto se obtiene al multiplicar todos los elementos de la Matriz por el escalar.
Si A = aij
⇒ kA = k aij = kaij
El resultado es una Matriz, del mismo tamaño de A. Ejemplo.
−2 4 6 Usando las Matrices A = −1 0 7 9 6 3 a) 2A T b) –3B T
c) Verificar que 2 A = (2 A)
4
−5
3
9
5
7
B=
T
Solución:
−2 4 6 −4 8 12 a) 2 A = 2 −1 0 7 = −2 0 14 9 6 3 18 12 6
24
calcule:
−2 4 6 T b) −3 A = −3 −1 0 7 9 6 3
T
−2 = −3 4 6
−1
0 7
9
6 6 = −12 3 −18
3
−27
0
−18
−21
−9
c) Para verificar la igualdad, realice las operaciones en cada miembro. T T 2 A = (2 A) T
−2 −1 9 −4 8 12 2 4 0 6 = −2 0 14 6 7 3 18 12 6 −4 −2 18 −4 −2 18 8 0 12 = 8 0 12 12 14 6 12 14 6
Como se observa la igualdad entre matrices se logra cuando las Matrices son del mismo tamaño, tienen los mismos elementos y en las mismas posiciones. Lo cual se representa como A = B ⇔ aij = bij .
2.2.3 Suma de Matrices: Para que esta operación se lleve a cabo, se requiere que las matrices tengan el mismo tamaño. Ya que se fundamenta en la suma de elementos correspondientes.
Si A y B son las matrices, entonces A + B = aij + bij = C donde C es la matriz resultante Ejemplo: Sean A =
a) b) c) d) e)
2 4 −1 5
,
3
−2
6
8
4
0
−1
4
B=
y C =
. Realice las siguientes operaciones.
A+B 2A+3C Verificar que A+B=B+A Verificar que (A+B)+C=A+(B+C) T T T Verificar que (A+B) =A +B
Solución:
2
3 −2 5 2 + = 3 5 − 1 5 4 0 2 4 6 8 4 8 18 24 22 32 b) 2 A + 3C = 2 + 3 −1 4 = −2 10 + −3 12 = −5 22 1 5 − a) A + B =
4
Para verificar estas propiedades, se realiza la operación de cada miembro de la igualdad y enseguida se comparan los resultados.
25
2
5 −1 5 4 0 3 3 −2 2 4 5 B + A = + −1 5 = 3 4 0
c) A + B =
4
3
−2
+
2
4
2
=
2
Propiedad Conmutativa
5
−2
5 −1 5 4 0 −1 4 3 2 4 3 −2 6 8 2 A + ( B + C ) = + + = −1 5 4 0 −1 4 −1
d) ( A + B ) + C =
3
5
+
6
8
+
2
6 5 −1 4 9 + 5 3
=
+
8
11 10 4 2 9 6 11 10 = 4 2 9 =
Propiedad Asociativa. Como se observa, los resultados son iguales. La verificación del ejercicio e se deja al lector.
2.2.4 Diferencia entre Matrices. Esta operación tiene las mismas características que la suma, solo que a la segunda matriz se multiplica por –1.
A − B = A + (−1) B = aij + −bij Ejemplo: Usando las Matrices A =
2 5 0 −1 2 5
T
a) A – B
−3
6
5
2
−4
3
−1
−5
6
2
B=
y
efectúa las operaciones:
T
b) A -2B
Solución:
2
a) A − B =
5 0
−3
−
−1 2 5 2
2 T T b) A − 2 B = 5 0
−1
−3 2 −2 6 5 5
6
5
−4
3
=
5 −3
2
2 −4 = 5 3 0
−1
6 2 + −12 5 −10
−4
8 −5 8 = −7 10 −6 −10 −1
2.2.5 Producto de Matrices: Las operaciones anteriores fueron relativamente fáciles de definir, puesto que se consideraron las matrices como simples tablas de datos, si utilizáramos este esquema el producto se podría obtener al multiplicar elementos correspondientes, pero esta forma no es muy útil. Para definirlo, tomaremos en cuenta que el uso de las Matrices radica en poder manejar en forma eficiente los sistemas de ecuaciones y que estos se puedan escribir usando matrices. Recordemos que un sistema de ecuaciones lineales se escribe:
26
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + .... + a1n x n = k 1 a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + .... + a 2 n xn = k 2
.
.
.
.
.
------ (1)
a m1 x1 + am1 x 2 + am1 x3 + .... + a mn x n = k m En este sistema se definió la Matriz de coeficientes:
a11 a 21 A= : a m1
a12
...
a1n
a 22
...
a2n
: am2
: : ... a mn
Es lógico pensar que debemos tener otras dos Matrices que involucren las variables y los términos independientes:
x1 x 2 X = : x n
k 1 k 2 K = : k m
Además el sistema debería poderse escribir, por medio de la ecuación escribir:
AX = K
a11 a 21 : a m1
a12 a 22
: am2
k 1 k ... a 2 n x2 = 2 : : : : ... amn xn k m ...
a1n x1
Esta operación es correcta, si los elementos de la matriz K se obtienen mediante la operación que representa al sistema (1), consideremos la primera ecuación:
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + ... + a1n x n = k 1 Si observamos la operación realizada, se multiplican los elementos del primer renglón de A por la columna de X y al sumarse da como resultado el primer elemento de K, en la segunda ecuación del sistema:
a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2 n x n = k 2 Aquí multiplicamos los elementos del segundo renglón de la Matriz A por los elementos de la Matriz X y se obtiene el segundo elemento de la Matriz K, si consideramos la ultima ecuación del sistema:
a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m 3 x3 + ... + a mn x n = k m
27
En esta operación, multiplicamos los elementos del renglón m por los elementos de la columna de la Matriz X y se obtiene el ultimo elemento de K. Para que esto sea posible debe existir una igualdad entre el número de columnas de la primera Matriz con los renglones de la segunda. Las operaciones entre renglones y columnas de las matrices A y X se pueden simbolizar utilizando la notación de sumatoria. n
∑a x ij
j
= k i
j =1
Esto nos proporciona una guía para definir el producto entre dos matrices, el cual se obtiene como la suma de los productos de los elementos de los renglones de la primera Matriz por los elementos de las columnas de la segunda matriz. Esta definición se estructura para que sea compatible con los sistemas de ecuaciones, más esto no significa que el producto no se pueda definir de otra manera que sea útil para otras aplicaciones.
Definición de producto de Matrices. Sea A una Matriz de tamaño (m1 x n1) y otra Matriz B de tamaño (m2 x n2), el producto de AB da como resultado otra matriz C, cuyos elementos se obtienen como la suma de los productos de los elementos de los renglones de A por las columnas de B.
a11 a 21 AB = : a m 1 1
a12
...
a1n1 b11
a 22
...
a 2 n1
: a m1 2
b12
b 21 b22 : : : : ... a m n 1 bm 1 bm 2 1
2
( m1 x n1 )
2
c11 c ... b2 n = 21 : : : ... bm n a m 1 ...
b1n2 2
2 2
1
( m2 x n2 )
c12
...
c1n2
c22
...
c 2 n2
: a m1 2
: : ... a m n
( m1 x n2 )
iguales Tamaño de la Matriz C Los elementos de la Matriz C se obtienen:
c11 = a11b11 + a12 b12 + a13 b13 + ... + a1n1 bm2 1 c12 = a11b12 + a12 b22 + a13b32 + ... + a1n1 bm2 2 cij = a1k bk 1 + a1k bk 2 + a1k bk 3 + ... + a1n1 bm m2 1 Donde c11, c12, ..., cij se les denomina productos punto . Ejemplos:
3 2 Dadas las matrices: A = 5 0 1 6 a) b) c) d) e)
−1
0 4
2 4 -2 1 B= 1 3 6 C = 2 .Obtener: 4 -5 0 −3
BA. BC. CA. Verificar AB=BA. VerificarA(BC)=(AB)C.
Solución:
28
1 2
a) Como la matriz A es de (3x3) y la matriz B también, entonces la matriz que resulta es de (3x3).
2 4 −2 3 2 BA = 1 3 6 5 0 4 −5 0 1 6 (2)(3) + (4)(5) + ( −2)(1) = (1)(3) + (3)(5) + (6)(1) (4)(3) + ( −5)(5) + (0)(1) 24 −8 = 24 38 −13 8
−1
0 4
(2)(2) + (4)(0) + ( −2)(6)
(2)( −1) + (4)(4) + ( −2)(0)
(4)(2) + ( −5)(0) + (0)(6) (4)( −1) + ( −5)(4) + (0)(0) (1)(2) + (3)(0) + (6)(6)
(1)( −1) + (4)(3) + (6)(0)
14
−24 11
b) La matriz B es de (3x3) y la matriz C es de (3x1). Por lo cual la matriz resultante es de (3x1).
2 BC= 1 4
4 3 −5
−2 1
16 2 = −11 6 0 −3 −6
Los otros ejercicios se dejan al lector.
2.2.6 Potencia de una Matriz. Es posible obtener la potencia de una matriz A. Para esto se multiplica la Matriz A por si misma n veces. n
A = AAA... A n veces Generalmente esta operación se realiza con matrices cuadradas. Ejemplo: Usando A =
4 5 3 3 4 , calcular A . 3
Tenemos que A = AAA = ( AA) A ,podemos simplificar el calculo si usamos la propiedad asociativa.
A3 = ( A2 ) A
4 5 4 5 31 40 3 4 = 24 31 3 4 31 40 4 5 244 315 A3 = A2 A = 3 4 = 189 244 24 31 A2 = AA =
En el desarrollo de algunos tipos de matrices y de sus operaciones, hemos utilizado algunas de las propiedades de las operaciones con matrices. A continuación se hace un resumen de dichas propiedades.
29
Sean A, B y C matrices y k un escalar. 1.- Propiedad conmutativa de la suma: A + B = B + A 2.- Propiedad asociativa de la suma: A + B + C = ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3.- Propiedad conmutativa de la multiplicación de matrices: AB ≠ BA 4.- Propiedad asociativa de la multiplicación ABC = ( AB)C = A( BC ) 5.- Propiedad distributiva respecto a matrices A( B + C ) = AB + AC 6.- Propiedad distributiva respecto a un escalar k ( A + B ) = kA + kB Como se vio anteriormente, un sistema de ecuaciones lineales se simplificó hasta la ecuación matricial AX = K , donde X es la matriz de incógnitas (solución). Para resolver dicha ecuación es necesario involucrar una matriz que permita obtener X , esta matriz se le llama la inversa de una matriz, la cual se representa como A
−1
.
2.3 Inversa de una Matriz. Sea A una matriz cuadrada, su inversa se simboliza A−1 y será aquella matriz que tenga la siguiente propiedad AA existe.
−1
= I . La inversa de una matriz cuadrada no siempre
Existen varios métodos para obtener la inversa de una matriz, aquí abordaremos el método de los cofactores. Los pasos de este método son: 1- Calcular el determinante de la matriz, si este es diferente de cero, la matriz tiene inversa. 2.- Obtener los cofactores de todos los elementos de la matriz, con estos se forma la matriz de cofactores M = cij T
3.- Transponer la matriz de cofactores para formar la matriz adjunta M = Adj A 4.- Formar la inversa, multiplicando la matriz adjunta por el reciproco de determinante:
A
−1
=
1 ∆
Adj A
Ejemplo:
2 −1 Obtener A (si existe) dada A = 0 4
−1
5 3
3
1 3
PROCEDIMIENTO. 1.- Calcular el determinante de la matriz. Si este es cero, se concluye que no tiene inversa. Usaremos el método de cofactores para evaluar el determinante, lo cual nos permite ir avanzando en el método para obtener la inversa. Tomemos como base el desarrollo a lo largo del primer renglón.
30
∆ = 2c11 − 1c12 + 3c13 1+1
c11 = (−1)
5 3 3 1
= −4
c12 = −
0 3 4 1
= 12
c13 =
0 5 4 3
= −20
∆ = 2( −4) − 1(12) + 3( −20) = −8 − 12 − 60 = −80
2.- Se obtiene la matriz de cofactores de todos los elementos de la matriz
c21 = −
c31 =
−1
3
3
1
−1
3
5
3
2 3 = −10 4 1
= 10
c22 =
= −18
2 3
c32 = −
0 3
= −6
c23 = −
c33 =
2
−1
4
3
2
−1
0
5
= −10
= 10
Formamos la matriz de cofactores:
−4 M = 10 −18
12
−20
−10
−10
−6
10
3.- Se transpone la matriz de cofactores para formar la matriz adjunta:
−4 T M = Adj A = 12 −20
10
−18
−10
−6
10
−10
4.- La inversa se obtiene al multiplicar la adjunta por el reciproco del determinante:
−4 1 A = Adj A = 12 ∆ −80 −20 −1
1
1 20 3 −1 A = − 20 1 4
−
1
8 1 8 1 8
10
−18
−10
−6
10
−10
9 40 3 40 1
−
8
Esta matriz debe cumplir la propiedad AA −1
cumple la propiedad conmutativa AA
−1
= I , la comprobación se deja al lector. Esta matriz si
−1
= A A
31
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS CAPITULO II
3 1.- Usando las matrices A = 4 9
−2
0 5
5
5 3 B = 3 0
−1 − 2
3 C = 1 6
− 2
4
− 4
realce las 3
0
operaciones indicadas: T
a) B + C
b) A + CB c) 2 BA − C d) A
3
2.- Una compañía paga a sus ejecutivos un salario y además les da acciones de la compañía a manera de gratificación anual. El año pasado el presidente de la compañía recibió $80 000 y 50 acciones, cada uno de los tres vicepresidentes recibió $45 000 y 20 acciones y el tesorero se le dieron $40 000 y 10 acciones. a) Exprese los pagos hechos en dinero y en acciones a los ejecutivos mediante una matriz de 2x3. b) Exprese el número de ejecutivos de cada rango por medio de un vector columna. c) Utilice la multiplicación matricial a fin de calcular la cantidad total de dinero y el número total de acciones que la compañía pagó a estos ejecutivos el año pasado. 3.- Una matriz de probabilidad, es una matriz cuadrada la cual tiene dos propiedades: i) cada uno de sus elementos es no negativo a ij ≥ 0 , ii) la suma de los elementos de cada renglón es Las siguientes son matrices de probabilidad:
13 P = 14 0
1 1
3 2
0
1 4 1 1
16 Q= 0 1 5
3
1
6
1 1
5
0 3 5
2
3
a) Verifique que el producto PQ es también una matriz de probabilidad b) Verifique que P
3
y Q 3 son también matrices de probabilidad.
4.- Usando el método de cofactores, obtenga la inversa de la siguiente matriz.
1 A = 2 0
−3
5
6
2
2
32
1
5.- Usando las matrices A =
3 5 2 4
− 3
2
4
− 1
B =
verifique las siguientes propiedades:
a) Det ( AB ) = ( DetA)( DetB) b) ( AB )
−1
= B 2
−1
A −1 2
c) ( A + B ) = A + 2 AB + B
2
senθ 6.- Determine la inversa de la matriz P = cos θ 0
cos θ − senθ
0
33
0
1 0
CAPITULO III
SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
34
CAPÍTULO III
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3.1.- INTRODUCCIÓN. En la medida que los problemas prácticos se vuelven más complejos debido al número de variables que intervienen, los Métodos tradicionales vistos al principio del curso, son demasiado laboriosos y en algunos casos inoperantes. Para resolver tal problemática, se han diseñado Métodos más modernos basados en matrices; tales como Eliminación Gaussiana, Eliminación de Gauss-Jordan y el Método de la Inversa de una Matriz.. Para describir el procedimiento de cada uno de los Métodos, conocer sus ventajas y desventajas lo haremos planteando un problema: Un fabricante produce tres artículos, A, B, y C, los cuales pasan durante su fabricación por tres departamentos diferentes. En la Tabla se indican los tiempos que tarda cada artículo en cada departamento, así como, los tiempos totales disponibles en cada departamento. Si dicho fabricante quiere utilizar todo el tiempo disponible de cada depto. , ¿ Cuántas unidades de cada artículo podrá fabricar ? ARTICULO
A
B
C
TIEMPO TOTAL
2 HRS. 4 1
3 HRS. 6 2
1 HRS. 3 2
2 900 HRS. 6 300 2 400
DEPARTAMENTO
CORTE ENSAMBLE EMPAQUE
Formulación del Modelo: Sean: x1 , x2 y x3 , el número de unidades de cada tipo de artículo. Cada departamento genera una ecuación lineal, donde se relacionan el número de horas que cada artículo requiere, con el tiempo total disponible de cada departamento.
2 x1 + 3 x2 + x3 = 2900 Depto. de corte. 4 x1 + 6 x2 + 3 x3 = 6300 Depto. de ensamble. x1 + 2 x2 + 2 x3 = 2400
Depto. de empaque.
Como se vio anteriormente, la solución del sistema depende exclusivamente de los coeficientes de las incógnitas y de los términos independientes. Esto a su vez da origen a un arreglo ( matriz ) , la cual recibe el nombre de Matriz Aumentada del Sistema .
2 3 1 29 2900 4 6 3 6 3 0 0 1 2 2 2400
35
3.2 MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA. Este método se fundamenta en transformar o llevar la matriz aumentada del sistema, hasta la forma escalonada, utilizando las Operaciones Elementales con Renglones. Se dice que una matriz está en la forma escalonada , sí:
El primer elemento diferente de cero de cualquier renglón debe ser 1. Los elementos que aparecen debajo del primer elemento diferente de cero (1) de cualquier renglón, deben ser ceros. El primer elemento diferente de cero (1) de cualquier renglón, deberá aparecer a la derecha del primer elemento diferente de cero (1) del renglón precedente. Tiene renglones formados exclusivamente de ceros, estos aparezcan en la parte inferior.
Las operaciones elementales con renglones, ya fueron utilizadas en los sistemas de ecuaciones del Capítulo I. Ahora las aplicaremos a la matriz aumentada. Una matriz aumentada no se altera, sí:
Se intercambian dos o más renglones. Un renglón se multiplica por una constante diferente de cero. Un múltiplo de un renglón se suma a otro renglón.
Aplicando el Método a la matriz obtenida del problema:
2 3 1 29 2900 4 6 3 6300 1 2 2 2400 La primera operación consiste en convertir en 1 el primer elemento del renglón 1. Esto se logra con:
1 2
R1 → R1′ .Convirtiéndose el renglón 1 en renglón pivote para hacer ceros a los elementos que
están debajo del 1 ( primera columna): −4 R1′ + R2 → R2′ y
−1 R1′ + R3 → R3′ . La matriz resultante es:
1 3 / 2 1 / 2 14 1450 0 0 1 5 0 0 0 1 / 2 3 / 2 950 Para continuar con la transformación, tenemos que intercambiar los renglones 2 y 3 para que aparezca un elemento diferente de cero en el renglón 2 y columna 2.
1 3 / 2 1 / 2 14 1450 0 1 / 2 3 / 2 9 5 0 0 0 1 500 Para terminar la transformación, solo falta multiplicar por 2 al renglón 2.
36
1 3/ 2 1/ 2 1450 0 1 3 1900 0 0 1 500 La matriz está en la forma escalonada. Para obtener la solución debemos transformarla en un sistema de ecuaciones de nuevo:
x1 +
3 2
x2 +
1
x3 = 1450
2
0 x1 + x2 + 3 x3 = 1900 0 x1 + 0 x2 + x3 = 500 Se observa en la tercera ecuación que x3 = 500 . Conociendo este valor nos pasamos a la segunda ecuación y despejamos el valor de x2 = 1900 − 3(500) = 400 . Por último, de la primera ecuación conocemos el valor de x1 = 1450 −
3
1 (400) − (500) = 600 . 2 2
Por lo tanto la solución del problema es:
x1 = 600 artículos x 2 = 400 artículos x3 = 500 artículos Ejercicio: Usando el método de Eliminación Gaussiana, obtenga la solución del siguiente sistema de ecuaciones:
3 x1
− x2
+4 x3
+ 6 x4
= 38
x1
+5 x2
−2 x3
+4 x4
= −2
−3 x2
+ x3
+4 x4
= 15
+3 x2
−2 x3
+ x4
=3
4 x1
Formemos la Matriz aumentada. Como en la ecuación 2 se tiene un 1 en el primer elemento la escribimos primero:
1 3 0 4
5
−2
4 −2
−1
4
−3
1
6 38 4 15
3
−2
1 3
Utilizando el primer renglón como pivote para hacer cero los elementos por abajo del primer uno:
37
1 3 0 4 1 0 0 0
5
−2
4 −2
−1
4
−3
1
6 38 4 15
3
−2
1 3
5
−2
−16
10
−3
1
−17
6
4 −2 −3 R1P + R2 → R4′
4 15 −15 11
−6 44 −4 R1P + R4 → R4′
Ahora debemos hacer un 1 el elemento a22 = −16 , multiplicamos el renglón 2 por −
1 16
y lo
usamos como renglón pivote.
1 0 0 0
− 1 R → R′ 2 16 2 5 3 11 1 − − 8 8 4 1 4 15 −3 6 −17 −15 11 −2
5
−2
4
Debemos hacer ceros los elementos por debajo del segundo uno de la diagonal principal:
1 0 0 0
1 3 / 8 −11/ 4 3 R2 + R3 → R3′ −5 / 8 0 41/ 8 27 / 4 17 R2 + R4 → R4′ −7 / 8 −17 −37 / 8 −69 / 8 −143/ 4 −2
5
−2
4
Ahora se requiere hacer uno el elemento a33 = 7 / 8 y convertir en cero –37/ 8:
1 0 0 0
1 −5 / 8 3/8 −11/ 4 0 1 −41/ 7 −54 / 7 ( −8 / 7) R3 → R3′ 0 0 −250 / 7 −500 / 7 (37/8) R3 + R4 → R4′ −2
5
−2
4
Por último, se convierte en 1 el elemento –250/7, multiplicando el renglón 4 por –7/250.
1 0 0 0
1 −5 / 8 3 / 8 −11/ 4 0 1 −41/ 7 −54 / 7 0 0 1 2 (−7 / 250) R4 5
−2
4
−2
→ R4′
La matriz ha alcanzado la forma escalonada. Por lo que procederemos a evaluar las incógnitas del sistema de ecuaciones de la siguiente manera:
38
x4 = 2 ,se lee directamente del renglón número 4. x3 −
41 7
x4 = −
54 7
, se obtiene del renglón 3. Despejando x3 y sustituyendo el valor conocido de
x4 = 2 nos queda: x3 −
41 7
x4 = −
54
x3 = −
54
+
41
x3 =
(2)
−54 + 82
7 7 7 7 Los valores de x2 y x1 se obtienen de la misma forma: +
5
x3 −
3
x4 = −
11
28 7
=4
3 (4) − (2) = −1 4 8 8 4 8 8 x1 = −2 − 5 x2 + 2 x3 − 4 x4 = −2 − 5(− 1) + 2(4) − 4(2) = 3 x2 = −
11
=
+
5
A este procedimiento se conoce como sustitución hacia atrás.
3.3 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. Este método se fundamenta en la transformación de una matriz aumentada en una matriz en la forma escalonada reducida, la cual tiene las propiedades vistas en 3.2 con la diferencia de que los elementos localizados arriba y abajo del primer 1 de cada renglón sean ceros. Además, el método involucra a las operaciones elementales entre renglones para lograr dicha transformación. La eliminación Gaussiana requiere hacer una sustitución “hacia atrás“, cuando ya se conoce el valor de la ultima ingénita, mientras que este método genera la solución directa del sistema. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de eliminación de Gauss-Jordan:
3 x1 + 6 x2
− 3x4 = 3
x1 + 3x2 − x3 − 4 x4 = −12 x1 − x2 + x3 + 2 x4 = 8
2 x1 + 3 x2
=8
Considerando que la segunda ecuación tiene el coeficiente 1, escribiendo primero esa ecuación, la matriz aumentada del sistema es:
1 3 1 2
3
−1
−4 −12
6
0
−3
−1
1
2
3 8
3
0
0
8
Haciendo ceros los elementos por abajo del primer uno, considerando al renglón 1 como pivote:
39
1 0 0 0
3
−1
−4 −12 −3 R1 + R2 → R2′
−3
3
−4
2
9 39 − R1 + R3 → R3′ 6 20 −2 R1 + R4 → R4′
−3
2
8 32
Ahora convertiremos en 1 al elemento –3 de la diagonal principal y posteriormente haremos ceros los elementos por arriba y abajo del uno:
1 0 0 0
0
2
5 27 −(1/ 3) R2 → R2′
1
−1
−3 −13 −3 R2 + R1 → R1′
0 −2 −6 −32 4 R2 + R3 → R3′ 0 −1 −1 −7 3 R2 + R4 → R4′
Continuando con la transformación, convertimos en 1 el elemento –2 de la diagonal principal y ceros arriba y abajo:
1 0 0 0
0 0
−1 −5 −(1/ 2) R3 → R3′
1 0 0 1
0 3 −2 R3 + R1 → R1′ 3 16 R3 + R2 → R2′
0
2 9 R3 + R4 → R4′
0
Por último convertimos en 1 al elemento 2 de la diagonal principal y ceros hacia arriba de el:
1 0 0 0
0 0 0 −1/ 2 (1/ 2) R4 → R4′ 1
0
0 1
3 R4 + R1 → R1′ 0 5 / 2 −3 R4 + R3 → R3′ 0
0 0 1 9 / 2
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones tiene solución única, la cual se lee:
x1 = −
1 2
x2 = 3
x3 =
5 2
x4 =
Este método es aplicable a sistemas de ecuaciones de cualquier tamaño. Resolver el siguiente sistema aplicando Eliminación de Gauss-Jordan:
2 x1 − x2 + 4 x3 = 3 3 x1 + 2 x2 + 3 x3 = −4 5 x1 + x2 + 7 x3 = −1 Transformando la matriz aumentada hasta la forma escalonada reducida:
40
9 2
2 3 5 1 0 0
−1
7/2 7/2
3 −4 7 −1
2 1
−1/ 2
4 3 1/ 2 R1 → R1′
2
3 / 2 −3 R1 + R2 → R2′
−3 −17 / 2
−3 −17 / 2 −5 R1 + R3 → R3′
1 0 11/ 7 2 / 7 2 / 7 R2 → R2′ 0 1 −6 / 7 −17 / 7 1/ 2 R2 + R1 → R1′ 0 0 0 0 −7 / 2 R2 + R3 → R3′ La matriz ha alcanzado su forma escalonada reducida. Por lo tanto podemos leer su solución:
x1 = 2 / 7 − 11/ 7 x3 x 2 = −17 / 7 + 6 / 7 x3 Se observa que los valores de las variables x1
y x2 dependen del valor asignado a x3 . Esto
nos lleva a concluir que el sistema tiene múltiples soluciones y recibe el nombre de sistema dependiente. El hecho de que el tercer renglón contiene únicamente ceros, se debe a que una de las ecuaciones (3) se eliminó. La cual resulta ser una combinación lineal de la ecuación 1 y 2. Por lo que:
R1 + R2 = R3 R1 + R2 − R3 = 0
Podemos generalizar esta propiedad, diciendo que: “Existe una combinación lineal entre renglones, si uno de ellos es posible expresarlo en función de otros renglones usando una sumatoria de productos entre constantes y renglones” ( esta propiedad es aplicable y de mucha importancia en otros elementos matemáticos tales como: matrices, vectores, funciones, etc. ). Lo anterior se representa de la siguiente manera:
c1 R1 + c 2 R2 + ... + c n Rn = 0 Donde: c1 , c2 , c3 ,...., cn , son constantes, no todas nulas. Ejemplo. Dada la siguiente matriz, determinar si existe dependencia lineal entre sus renglones.
3 5 4 Aplicando la expresión descrita anteriormente:
41
−1
4
2
−1
1
6
c1 R1 + c2 R2 + c3 R3 = 0 c1 (3, −1, 4) + c2 (5, 2, −1) + c3 (4,1, 6) = 0
3c1 + 5c2 + 4c3 = 0 −c1 + 2c2 + c3 = 0
4c1 − c2 + 6c3 = 0 El sistema de ecuaciones generado recibe el nombre de sistema homogéneo. Estos sistemas tienen la propiedad de que una de las soluciones es la trivial ( c1 = 0, c2 = 0,...., cn = 0. ).Se debe investigar si el sistema tiene otras soluciones. Resolviéndolo por Eliminación de Gauss-Jordan:
3 −1 4
4 0
5
2
1 0 −1 6 0
Reduciendo por renglones, resulta:
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 Concluimos que no tiene más que la solución trivial. Lo que podemos interpretar es que no existe dependencia lineal entre los renglones. Al probar la dependencia lineal generalmente se forman sistemas de ecuaciones, en el caso de que el sistema tenga el mismo número de ecuaciones y variables, basta probar que el determinante de la matriz de los coeficientes de las variables es diferente de cero para que no exista dependencia y estaría presenten la independencia lineal. Para el ejemplo anterior: 3 5 4 ∆ = −1
1 = 61
2 −1
4
6
Esto indica que los renglones entre si son linealmente independientes.
3.4 INVERSA DE UNA MATRIZ −1
Recordando la propiedad que tiene la inversa de una matriz: AA para describir un método más para su obtención. Si se conoce la matriz A:
5
−1
4
2
A =
Con ella formamos el siguiente arreglo:
5 4
−1 w
2 y
x
1 0 = z 0 1
42
= I de la cual podemos partir
Realizando la operación de multiplicación y considerando la igualdad, obtenemos:
5w − y = 1
5x − z = 0
4w + 2 y = 0
4x + 2z = 1
Se observa que se generan dos sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas cada uno, concentrando los sistemas en una sola matriz aumentada y resolviendo por Gauss-Jordan:
5 −1 1 0 1/ 5 R1 → R1′ 4 2 0 1 1 −1/ 5 1/ 5 0 −4 R1 + R2 → R2′ 0 14 / 5 4 / 5 1 − 5/14 R2 → R2′ 1 0 1/ 7 1/14 1/ 5 R2 + R1 → R2′ 0 1 −2 / 7 5 /14 Esto indica que la inversa existe y que es:
A
−1
=
1/ 7 1/14 −2 / 7 5 /14
Para comprobar el resultado obtenido, se vuelve a usar la propiedad mencionada al principio. El procedimiento se resume en el siguiente esquema:
A I ⇒ I A−1 Utilizando el método descrito, obtenga la inversa de la matriz:
2 A = 0 5
1
− 4
3
2
2
−3
Primero formamos una matriz aumentada con la matriz y una matriz identidad:
2 0 5
0
0
3
2 0 1
0
−3
2 0 0
1
−41
1
Al transformar la primera matriz en la matiz identidad por medio de operaciones entre renglones, se obtiene:
1 0 0 6 47 5 0 1 0 47 0 0 1 − 15 94
5
47
12 11
47 94
− 2 47 3 47 7
47
La matriz inversa es:
6 47 A −1 = 5 47 − 15 94
43
5
47
12 11
47 94
− 2 47 3 47 7
47
EJERCICOS COMPLEMENTARIOS CAPITULO III 1.- Usando el método de eliminación Gaussiana, obtenga la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones.
x1
− 2 x 2
+ 3 x3
= 11
4 x1
− x 2
+ 5 x3
=4
4 x1
+ x 2
− x3
=4
x1
+ x 2
− x3
=7
2 x1
− x 2
+ x3
= 10
6 x1
+ x 2
+ 3 x3
= 20
2.- Usando el método de Gauss-Jordan, determine la solución de los sistemas de ecuaciones lineales: + 2 x3
− 2 x 4
= −8
− 2 x 2
+ x3
+ x 4
=2
4 x 2
− x3
− x 4
=1
+ 3 x3
− x 4
= −3
3 x1
x1
+ x 2
− x3
=7
4 x1
− x 2
+ 5 x 3
=4
6 x1
+ x 2
+ 3 x3
= 18
x1
5 x1
3.- En cada uno de los siguientes sistemas, obtenga su solución usando Gauss-Jordan:
2 x1
+ 6 x 2
x1 − 3 x1
+ 2 x 2
− 4 x3
+ 2 x 4
=4
x1
+ x 2
=4
− x3
+ x 4
=5
2 x1
− 3 x 2
=7
= −2
3 x1
+ 2 x 2
=8
− 2 x3
4.- Obtenga la solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Use el método de Gauss-Jordan.
x1
− 2 x 2
+ 3 x3
=0
4 x1
+ x 2
− x3
=0
2 x1
− x 2
+ 3 x3
=0
5.- Obtener la inversa de las siguiente matrices usando Gauss-Jordan.
1 - 2 B= 5 0
3 5 2 A = 7 2 1 8 3 0
4
3
0
5
4
2
2 1 5 1 5 2
6.- Un granjero le da a su ganado una mezcla de dos tipos de alimentos. Una unidad del alimento Tipo A le proporciona al ganado el 10% de su requerimiento mínimo diario de proteína y 15% del requerimiento de carbohidratos. El alimento tipo B contiene 12% de los requerimientos de proteínas y 8% de carbohidratos. Si el granjero requiere que el ganado tenga el 100% de los requerimientos diarios de proteínas y carbohidratos. ¿Cuántas unidades de cada tipo de alimento debe utilizar en forma diaria?.
44
7.- Si en el problema anterior cada unidad de alimento tipo A tiene un costo de $50 y alimento tipo B cuesta $60, ¿Cuál es el costo de los alimentos en forma diaria? 8.- Una compañía se dedica a fabricar muebles, actualmente cuenta con cuatro modelos los cuales deben pasar por cuatro departamentos para su fabricación. En la siguiente tabla se muestra número de horas que requiere cada producto en cada departamento: Depto. Mueble Rustico Moderno De lujo
Corte
Ensamble
Acabado
Empaque
3 4 5
4 3 3
3 4 4
2 3 3
Si la compañía cuenta con 2300 horas en corte, 2000 en ensamble, 2200 en acabado y 1500 en empaque. Determine el número de unidades de cada tipo de mueble que se pueden fabricar para utilizar la totalidad de las horas disponibles. 9.- La empresa Aceros S.A. produce 5 tipos de contaminantes en su proceso de fabricación, actualmente fabrica 4 tipos de aceros, los porcentajes de contaminantes por tonelada de acero de cada tipo se muestran en la tabla: Contaminante CO2 Azufre NO2 Polvo Plomo Tipo A 5% 2% 4% 6% 3% B 4% 1% 3% 5% 2% C 3% 2% 4% 3% 2% D 4% 2% 3% 2% 3% Actualmente la empresa registra los siguientes totales de contaminantes 50 Ton de CO2, 26 Ton de Azufre, 52 Ton de NO2, 59 Ton de Polvo y 36 Ton de Plomo. Determine el número de toneladas de cada tipo de acero que se fabrican en la empresa.
45
CAPITULO IV
VECTORES
46
CAPÍTULO IV VECTORES 4.1 INTRODUCCIÓN El estudio de los vectores comenzó con el trabajo del gran matemático irlandés Sir William Rowen Hamilton (1805-1865). Su deseo de hallar una forma de representar ciertos objetos en un plano y en el espacio le llevó inventar lo que él llamo cuaterniones. Este concepto lleva a su vez a desarrollar lo que ahora se conoce como vectores. Durante algún tiempo se debatió sobre la utilidad de estos conceptos, a finales de siglo XIX el físico británico Lord Kelvin escribió que los cuaterniones, no obstante estar bellamente desarrollados nunca han tenido ninguna utilidad practica para ninguna criatura. Pero Kelvin se equivoco, en la actualidad, casi todas las ramas de la Física clásica y moderna se expresan mediante el lenguaje de los vectores. Por otra parte los vectores se usan cada vez más en las ciencias sociales y biológicas. Es común manejar dos tipos de cantidades: las escalares y las vectoriales. Las primeras quedan totalmente definidas si se da su magnitud y su unidad de medida, por ejemplo la masa de un cuerpo es de 5 Kg, la temperatura de un cuerpo es de 35 °C, la distancia recorrida es de 70 Km; mientr as que en el segundo tipo es necesario además de dar su magnitud, especificar su dirección con respecto a una referencia, generalmente se especifica por medio de un ángulo por ejemplo: la fuerza aplicada a un cuerpo es de 50 N con un ángulo de 40°, la velocida d de un avión es de 600 Km/h 25°NE.
4.2 DEFINICIÓN DE UN VECTOR Un vector se puede definir en forma geométrica como un segmento de recta dirigido que une dos 2 3 puntos. Esto se puede representar en un plano (R ) o en el espacio (R ). x Q
P
y Al punto P del segmento de recta dirigido
PQ se le llama punto inicial y al punto Q se le llama
punto terminal. Las dos propiedades principales del segmento de recta dirigido son su magnitud (longitud) y su dirección. Si dos segmentos de recta dirigidos tienen la misma magnitud y dirección se dice que son equivalentes, esto significa que un mismo vector tiene muchas representaciones diferentes, entonces el
PQ se
vector
puede trasladar de manera paralela a cualquier lugar del plano cartesiano y sigue
representando el mismo vector, si en particular su punto inicial se traslada al origen se obtiene el vector
OR
al cual se le puede asociar las coordenadas del punto final
( a, b) esto
permite representar
cualquier vector por medio de un par ordenado, lo cual conduce a la definición algebraica de un vector: Un vector en un plano x-y es un par ordenado de números reales
a y b
reciben el nombre de componentes de un vector v.
47
( a, b ) .
Los números
x Q P R
( a , b)
b a
O
y
4.3 MAGNITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR Como un vector es en realidad un conjunto de segmentos de recta dirigidos, la longitud o magnitud se define como la longitud de cualquiera de sus representaciones y su dirección es la dirección de cualquiera de sus representaciones, empleando la representación puede obtener usando el teorema de Pitágoras:
OR ,
la magnitud del vector se
x
R
θ
v =
2
a +b
b
a
O Magnitud de v =
( a , b)
y
2
θ , medido en grados o radianes, que el vector forma con la parte positiva del eje x. Por convención, se elige θ de tal modo que 0 ≤ θ ≤ 360° (0 ≤ θ ≤ 2π ) . Para calcular la dirección primero se calcula el ángulo φ , el cual es el ángulo del vector con respecto al La dirección de define como el ángulo
eje x, este solo puede estar entre 0 y 90, se toma el valor absoluto para evitar el problema del signo, usando la función tangente:
tan φ =
b a
Dependiendo del cuadrante donde se encuentre el vector se calcula el ángulo muestra en la figura:
θ = 180° − φ
θ = φ
θ = 180° + φ
θ = 360° − φ
48
θ ,
como se
Ejemplo: Determine la magnitud y dirección del vector cuyas componentes son V=(3,4) La magnitud se obtiene con la expresión
a 2 + b 2 = 32 + 4 2 =
v =
25 = 5
Como las componentes son positivas el vector se encuentra en el primer cuadrante N 5
θ = φ = 53.13° O
E
S La dirección se obtiene con la formula:
tan φ =
b a
∴ φ = tan
−1
b a
= tan
−1
4 3
= 53.13°
En física es muy común escribir la magnitud del vector y su dirección, la cual se expresa como el ángulo agudo medido con respecto al eje x el cuadrante en que se encuentra por medio de los puntos cardinales, el vector anterior se puede escribir como:
v = 5, 53.13° NE Ejemplo: Calcule la magnitud y dirección del vector v = ( −4,6) Este vector se encuentra en el segundo cuadrante: N 6
φ =56.3°
θ = 180° − φ = 180° − 56.3° = 123.7°
O
E -4
S Magnitud
v =
2
2
2
2
a + b = (−4) + 6 = 52 ≈ 7.21
Como el vector se encuentra en el segundo cuadrante, su ángulo
tan φ =
b a
∴
φ = tan −1
b a
= tan
−1
El ángulo con respecto a la porción positiva del eje x es :
49
6 −4
θ = 180° − φ
= 56.3°
θ = 180° − φ = 180° − 56.3° = 123.7° El vector se puede escribir como
v = 7.21, 123.7° = 7.21, 56.3° NO
4.4 COMPONENTES DE UN VECTOR EN R2 En la sección anterior se obtuvo la magnitud y dirección de un vector a partir de componentes, es posible realizar el proceso inverso, obtener sus componentes a partir de su magnitud y dirección. Supongamos que tenemos un vector cuya magnitud es para calcula las componentes debemos utilizar el ángulo
v
y su dirección se da por el ángulo
θ ,
φ , que dependiendo del cuadrante donde se
encuentre el vector se calcula:
φ = 180 − θ
φ = θ
φ = θ − 180
φ = 360 − θ
Consideremos un vector en el primer cuadrante:
v
b
φ = θ a
Las componentes del vector son los catetos del triángulo, como conocemos la hipotenusa y el ángulo, podemos usar las funciones seno y coseno para calcular las componentes del vector:
Cosφ = Senφ =
a
∴
a = v Cosφ
∴
b = v Senφ
v b v
El signo de las componentes se asigna de acuerdo al cuadrante en el que se encuentra el vector.
( − a , + b)
( + a, + b )
(− a,−b)
( + a, − b )
50
Ejemplo: Calcule las componentes de vector V= 500, 160° Este vector se encuentra en el segundo cuadrante, por lo que su componente horizontal es negativa y su componente vertical es positiva, el ángulo φ se calcula
φ = 180 − θ = 180 − 160° = 20° a = − v Cosφ = −500Cos 20° = −469.84 b = v Senφ =
500Sen 20° = 171.01
V = (−469.84, 171.01) Ejemplo: Un avión se viaja con una velocidad V=850 Km/h, 40°SO, determine la componente vertical y horizontal de la velocidad. En este caso se da la magnitud del vector y directamente el ángulo
φ ,
como se menciona la
dirección SO el vector se encuentra en el tercer cuadrante, por lo que sus dos componente son negativas:
a = − v Cosφ = −850Cos 40° = −651.14 Km/h b = − v Senφ = −850 Sen 40° = −546.37 Km/h V = ( −651.14,− 546.37) 4.5 OPERACIONES CON VECTORES Los vectores, como otras cantidades, tiene ciertas propiedades y es posible realizar operaciones con ellos, en esta sección se trabaja con vectores con dos componentes, empezaremos con la igualdad entre vectores. Se dice que dos vectores son iguales si tiene el mismo número de elementos y sus elementos correspondientes son iguales.
Sean los vectores
a1 = a 2 y
v = (a1 , b1 )
y
u = (a 2 , b2 )
v = u
entonces
si y solo si
b1 = b2
Ejemplo: Los vectores
v = (2,−4) y u = (2,4) no son iguales puesto que su segundo elemento no
es igual. Ejemplo:
Determine
v = (5,3) y
los
valores
de
las
variables
para
que
los
vectores
sean
iguales
u = ( x + y, x − y )
Para que se cumpla la igualdad loe elementos correspondientes deben ser iguales:
x + y = 5 x − y = 3 Si resolvemos el sistema, los valores de las variables son
x = 4
y =1
La operación más importante de los vectores es la suma, el principio básico para sumar vectores es la regla del paralelogramo, esta consiste en formar un paralelogramo con los vectores, colocando cada vector al final del otro en forma paralela, de tal manera que la suma es la diagonal del paralelogramo. Consideremos
los
vectores
v = (a1 , b1 )
representarlos en forma gráfica:
51
y
u = ( a2 , b2 ) ,
los
cuales
podemos
b2 b1 + b2
u v + u
v
v
b1 u a2
a1 a1 + a 2
De la figura podemos observar que las componentes de la suma se obtienen al sumar las componentes correspondientes de cada vector:
v + u = ( a1 + a 2 , b1 + b2 ) Es posible concluir: La suma de dos vectores componentes correspondientes
v = (a1 , b1 )
y
u = (a 2 , b2 ) ,
se obtiene sumando sus
v + u = (a1 + a 2 , b1 + b2 )
Este principio para la suma de vectores es fundamental en la Física para el estudio de sistemas equivalentes de fuerzas y momentos. Ejemplo: Obtenga la suma de los siguientes vectores La suma resultante es
v = (6,−4)
y
u = (5,3)
v + u = (6 + 5,−4 + 3) = (11,−1)
Ejemplo: Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas,
F 1 = 200 N ,60°
y F 2 = 400 N ,260° obtenga la
suma de las fuerzas. A la suma de fuerzas suele llamarse resultante, para obtenerla debemos primero calcular las componentes de cada fuerza usando su ángulo φ , el primer vector se encuentra en el primer cuadrante y el segundo en el tercer cuadrante: Para
F 1 tenemos que φ = θ = 60° las componentes son:
F 1 x = F 1 Cosφ = 200Cos 60° = 100N F 1 y = F 1 Senφ = 200 Sen 60° = 173.2N Para
F 2 tenemos que φ = θ − 180° = 260° − 180° = 80° F 2 x = − F 2 Cosφ = −400Cos 80° = −69.45N F 2 y = − F 2 Senφ = −400Sen 80° = −393.92 N
52
Sumemos las componentes horizontales y verticales por separado, para obtener una resultante de cada una:
∑ F = 100 N − 69.45 = 30.55 N = ∑ F = 173.2 N − 393.92 N = −220.72 N
R x =
x
R y
y
Estos valores son las componentes de la suma (resultante) de las fuerzas:
R = F 1 + F 2 = (30.55 N , −220.72 N ) Vamos calcular la magnitud y dirección de la fuerza resultante, para la magnitud usamos el teorema de Pitágoras: 2
2
R = R x + R y =
(30.55 N ) 2 + (−220.72 N ) 2 = 222.82 N
El vector resultante se encuentra en el cuarto cuadrante, esto lo sabemos por los signos de sus componentes, primero se calcula el ángulo φ :
Tanφ = El
ángulo
R y
=
− 220.72 N
R x
30.55 N
= 07.22
φ = 82.11°
θ = 360° − φ = 360° − 82.11° = 277.89° ,
la
resultante
se
puede
escribir:
R = 222.82 N , 277.89°
4.6 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Es posible multiplicar un escalar (número) por un vector, por ejemplo tiene esta operación sobre el vector, la podemos escribir de forma equivalente:
2v ,
veamos que efecto
2v = v + v = ( a1 , b1 ) + ( a1 , b1 ) = (a1 + a1 , b1 + b1 ) = ( 2a1 , 2b1 ) Si calculamos la magnitud y dirección del resultado: 2
2
2 2 2 2 2 2v = (2a1 ) + ( 2b1 ) = 2 a1 + 2 b1 = ( 2 )(a 2
= 2 a1 + b1
2
= 2v
∴
2
2
+ b1 )
2v = 2 v
Este resultado nos indica que al multiplicar el vector por 2 su magnitud se multiplica por esa cantidad. La dirección es:
Tanφ =
2b1
=
2a1
b1 a1
La dirección del vector se conserva. Si ahora consideramos un escalar negativo, se puede demostrar fácilmente que su magnitud se multiplica por el escalar, pero la dirección del vector se invierte, es decir se gira 180°. Los resultados anteriores los podemos generalizar: Sea
k un escalar y v un vector cualquiera, entonces: a) si k > 0 la magnitud del vector se multiplica por k y su dirección es la misma b) si k < 0 la magnitud del vector se multiplica por k y su dirección se invierte, se le suman 180°al ángulo
θ
53
Esto lo podemos visualizar gráficamente:
v Ejemplo: Sea el vector
− kv
kv
v = (4,−5) calcule la magnitud y dirección de 4v y − 2v
Esta operación la podemos realizar de dos formas, primero multiplicaremos las componentes del vector por el escalar y enseguida calculamos su magnitud y dirección.: 2
2
4v = 4(4,−5) = (16,−20) su magnitud es 4v = 16 + (−20) = 25.61 La dirección es la misma que el vector original, puesto que el signo de sus componentes es el mismo:
Tanφ =
b
− 20
=
16
a
= 1.25
φ = 51.34°
4v = 25.61, 308.66° Otra forma es primero calcular la magnitud y dirección del vector original, enseguida se multiplica la magnitud por 4 y se mantiene la dirección:
v =
a 2 + b2 =
Tanφ =
b
=
2
−5
a
2
4 + (−5) = 6.40
4
= 1.25
φ = 51.34°
4v = 4 v = 4(6.4) = 25.61 4v = 25.61, 308.66°
La magnitud del nuevo vector es:
Ahora calculemos el vector −
2v = −2(4,−5) = ( −8,10)
La magnitud y dirección del nuevo vector son:
− 2v =
Tanφ =
(−8) 2 + 10 2 = 12.8 10 −8
= 1.25
φ = 51.34°
El nuevo vector se encuentra en el segundo cuadrante, entonces:
− 2v = 12.8, 128.66° En forma gráfica:
− 2v
v
54
Se observa que el vector −
2v se encuentra girado 180°con respecto al vector v .
4.7 DIFERENCIA DE VECTORES
Otra operación entre vectores es la diferencia, consideremos los vectores:
v = (a1 , b1 ) y u = ( a 2 , b2 )
Su diferencia
v − u la podemos escribir como una suma de la siguiente manera: v − u = v + (−u )
Esto significa que para efectuar esta operación basta, cambiar el signo de las componentes del segundo vector y posteriormente realizar la suma. Ejemplo: Usando los vectores
v = (3,−2) y u = (4, 1) calcule v − u y represente en forma gráfica
el resultado. Realicemos la operación :
v − u = v + (−u ) = (3,−2) − (4,1) = (3,−2) + (−4,−1) = (−1,−3) En forma gráfica:
u −u
v − u
v v − u
Se observa que para obtener el resultado se utiliza el principio del paralelogramo, este se aplica después de invertir el segundo vector. La diferencia también se puede obtener al unir las puntas de los dos vectores.
4.8 VECTORES UNITARIOS Como te podrás dado cuenta, las operaciones entre vectores son más sencillas si se trabaja con sus componentes, es posible escribir un vector usando una suma de vectores unitarios perpendiculares entre si, en forma gráfica se representan:
j = (0,1)
i = (1,0) El vector
v = (a, b) se puede escribir: v = (a, b) = a (1,0) + b(0,1) = a i + bj
55
Ejemplo: Una fuerza F = 200 N , 220° se aplica sobre un cuerpo, escriba la fuerza usando vectores unitarios: Primero es necesario calcular las componentes del vector, para esto requerimos el ángulo φ
φ = θ − 180° = 220° − 180° = 40° y sus dos
como el vector se encuentra en el tercer cuadrante componentes son negativas:
a = − F Cosφ = −200Cos 40° = −153.21 N b = − F Senφ = −200 Sen 40° = −128.56 N La fuerza se puede escribir
F = −153.21i − 128.6 j
Las operaciones antes estudiadas, se realizan de la misma forma si los vectores están escritos usando vectores unitarios. Ejemplo: Usando los siguientes vectores operaciones: a) v + b)
v = 4i − 3 j
u = −4i + 6 j
realice las siguientes
u
2v − 3 u
La primera operación se realiza
u + v = 4i − 3 j + (−4i + 6 j) = 3 j
El resultado de la segunda operación:
2v − 3 u = 2( 4i − 3 j ) − 3( −4i + 6 j ) = 8i − 6 j + 12i − 18 j = 20i − 24 j
4.9 VECTOR UNITARIO Para todos los vectores diferentes del vector cero, es posible determinar un vector unitario que tenga la misma dirección que el vector original, consideremos el vector v = ( a, b) su vector unitario es un vector
λ cuya magnitud es 1 y tiene la misma dirección del vector.
La magnitud del vector se calcula
a = v Cosφ v =
y
v =
a2 + b2
, si sustituimos :
b = v Senφ
( v Cosφ )2 + ( v Senφ )2
= v
2 2 (Cosφ ) + ( Senφ ) = 1 = λ
2 2 (Cosφ ) + ( Senφ )
entonces λ = (Cosφ , Senφ )
Las componentes del vector unitario toman el mismo signo que las componentes del vector original. El vector original se puede escribir entonces: v = v λ
λ =
v v
Ejemplo: Calcule el vector unitario que tiene la misma dirección del vector v = 3i + 4 j
56
Para obtener el vector unitario solo es necesario dividir el vector entre su magnitud: 2
2
v = 3 +4 =5
λ =
v v
=
3 i + 4 j 5
= 0.6i + 0.8 j
λ = 0.6i + 0.8 j Gráficamente:
v
λ
Este vector unitario es muy utilizado para resolver problemas de Mecánica.
4.10 ANGULO ENTRE DOS VECTORES En algunas aplicaciones practicas es necesario calcular el ángulo que existe entre dos vectores, consideremos los vectores v = (a1 , a2 ) y u = (b1 , b2 ) los cuales forman un ángulo β como se muestra en la figura:
u
β
Para calcular el ángulo
v
β podemos unir las puntas de los vectores para formar un triángulo, el vector
que cierra el triángulo es la diferencia entre los vectores:
u
v − u
β
v
57
Como es posible calcular las magnitudes (longitudes) de cada uno de los vectores que forman el triángulo, el ángulo los podemos calcular usando la Ley de Cósenos, esta permite determinar los ángulos de un triángulo si se conocen sus lados, la formula de esta ley es:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos β Si la aplicamos al triángulo: 2
2
2
v − u = v + u − 2 v u cos β
Las magnitudes de cada uno de los vectores son:
v =
2
2
a1 + a2
u =
2
2
b1 + b2
v−u =
2
(a1 − a2 ) + (b1 − b2 )
2
Sustituyendo los valores en la formula y realizando las operaciones:
(a1 − a2 )2 + (b1 − b2 )2 = a12 + a22 + b12 + b22 − 2 v u cos β Desarrollando los binomios y simplificando términos;
v u cos β = a1b1 + a2b2
cos β =
a1b1 + a2b2 vu
La operación del numerador de la expresión obtenida se le conoce como producto escalar o producto punto y se simboliza:
v • u = a1b1 + a2b2 La formula del ángulo entre vectores se puede escribir:
cos β =
v•u v u
El valor del ángulo pude estar entre 0 y 180°. Ejemplo: Calcule el ángulo entre los vectores v = ( 4,3) y u = (5,−3)
v • u = (4)(5) + (3)(−3) = 20 − 9 = 11 2
2
v =
4 +3 =
u =
5 + (− 3) = 2
25 = 5 2
34
Sustituyendo en la fórmulas del ángulo entre vectores;
cos β =
v•u v u
=
11
(5)( 34 )
β = 67.83o
58
= 0.3772
4.11 PRODUCTO ESCALAR En la sección anterior se definió el producto escalar entre vectores:
v • u = a1 a 2 + b1 b2 Este producto presenta una serie de propiedades interesantes y de gran aplicación en el estudio de los vectores, si despejamos este producto de la formula del ángulo entre dos vectores obtenemos:
v • u = v u Cos β En primer lugar el resultado del producto escalar es un número el cual representa el producto de la magnitud del vector v por la componente del vector u que se encuentra sobre el vector v , en forma gráfica:
u w
v
Pr oy v u Pr oy v u es la componente del vector u sobre el vector v y el vector w es el vector perpendicular al vector v . El vector
La magnitud del vector
Pr oy v u = u Cosβ =
Las componentes del vector vector unitario de
Pr oy v u se
v•u v
.
pueden calcular multiplicando su magnitud por el
v:
λ v
=
v v
Entonces:
Pr oy v u = Pr oy v u λ v = El vector
w
es la diferencia entre
v•u v v
Pr oy v u y el vector u : w = u − Pr oy v u
Los vectores anteriores tienen las siguientes propiedades -
Los vectores
Pr oy v u y v son paralelos
59
v
=
v•u v
2
v
-
Los vectores
w y v
son perpendiculares, es decir forman una ángulo de 90°
Cuando dos vectores son perpendiculares se dice que son ortogonales, esto nos lleva a que:
w • v = w v Cos 90° = 0 En general podemos establecer que dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero:
v•u =0 Ejemplo: Sean los vectores u = 2i + 3 j y v = i + j calcule demuestre que los vectores v y w son ortogonales.
la
Pr oy v u ,
el vector
w
y
Usando la formula:
Pr oyv u =
El vector
u •v v
2
v=
(2,3) • (1,1)
(1
2
2
+1
)
2
(i + j ) =
5 2
(i + j ) =
5 2
i+
5 2
j
w se calcula:
1 1 5 5 w = u − Pr oy v u = (2i + 3 j ) − i + j = − i + j 2 2 2 2 1 1 1 1 , • (1,1) = − + 2 2 2 2
Calculemos w • v = −
4.12
=0
VECTORES EN EL ESPACIO
En las secciones anteriores se analizaron los vectores en dos dimensiones, ahora 3
consideraremos los vectores en tres dimensiones R , para poder representar estos vectores se necesita un sistema coordenado de tres dimensiones en el cual a cada punto de este se le puede asociar un vector cuyo punto inicial sea el origen del sistema coordenado:
z R Q
P ( a , b, c ) v y
O
x
60
→
El segmento de recta dirigido
OP = v = ( a, b, c ) es equivalente a cualquier otro segmento de →
recta que tenga la misma magnitud y dirección por ejemplo
QR ,
a cada representación de los
segmentos se le conoce como vector, en estos casos las componentes del vector se representan:
v = ( x, y , z ) La magnitud de un vector es la longitud del segmento de recta dirigido, es fácil demostrar que esta se calcula de la siguiente forma: 2
2
v = x + y + z Ejemplo: Calcule la magnitud del vector
2
v = (2,5,−1)
2
2
2
v = (2) + (5) + (−1) =
4 + 25 + 1 = 30 2
Las operaciones que se desarrollaron para vectores en R se realizan de la misma forma para 3
los vectores en R . Sean los vectores
v = ( x1 , y1 , z1 )
y
u = ( x 2 , y 2 , z 2 )
Entonces:
v + u = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 , z1 + z 2 )
α (v ) = (α x1 , α y1 , α z1 ) v − u = ( x1 − x 2 , y1 − y 2 , z1 − z 2 ) En forma gráfica los podemos visualizar:
u
α v
v + u v
v − α v
Suma de vectores
Multiplicación por un escalar
61
De la misma forma que los vectores en dos dimensiones, los vectores en tres dimensiones se pueden escribir usando vectores unitarios:
v = x i + y j + z k En forma gráfica:
k = (0,0,1) i = (1,0,0)
j = (0,1,0)
2v + u − 3 p usando los vectores
Ejemplo: Realice la siguiente operación
v = (3, −2,4)
u = (1,5,−2)
p = ( −3,6,−1)
Sustituyendo los vectores:
2v + u − 3 p = 2(3,−2,4) − (1,5,−2) − 3( −3,6,−1) = (6,−4,8) + ( −1,−5,2) + (9,−18,3) = (14,−27,13)
El producto escalar, el ángulo entre dos vectores y su proyección se calculan de la misma forma:
v • u = ( x1 , y1 , z1 ) • ( x2 , y 2 , z 2 ) = x1 x2 + y1 y 2 + z1 z 2 Cos β =
v•u v u
Pr oyv u =
v•u v
2
w = u − Pr oyv u
v
Ejemplo: Calcule el ángulo entre los vectores
v = (3,−1,3) y u = ( 2,−5,2) ,
proyección. Calculemos su producto punto y sus magnitudes:
v • u = (3,−1,3) • (2,−5,2) = 6 + 5 + 6 = 17 2
2
2
v = 3 + (−1) + 3 = 19
u =
2 2 + (−5) 2 + 2 2 = 32
62
así como su
Sustituyendo en las fórmulas:
Cos β =
17 ( 19 )( 32 )
Pr oy v u =
17 ( 19 )
2
= 0.689
(3,−1,3) =
17 19
β = 46.41°
51 17 51 ,− , 19 19 19
(3,−1,3) =
Para establecer la dirección en un plano, basta dar el ángulo medido con respecto a la porción positiva del eje x , en el caso de los vectores en el espacio no es suficiente este ángulo, puesto que existen una infinidad de vectores que pudieran tener este ángulo, como se muestra en la figura:
z
y v
x Todos los vectores de la figura tienen la misma magnitud pero diferente dirección, para precisar la dirección es necesario dar los tres ángulos que forma con la porción positiva de cada una de los ejes coordenados:
z v
β y
O
α
x A estos ángulos se les denomina ángulos directores, para calcularlos se forman triángulos rectángulos entre el vector v y cada uno de los ejes coordenados:
63
v = ( x1 , y1 , z1 )
z1
β α
y1 x1
Como es posible conocer la magnitud del vector y el cateto adyacente en cada uno de los triángulos, los ángulo se calculan usando la función coseno:
Cos α =
x1
Cos β =
v
y1
Cos γ =
v
z 1 v
A estos valores se les conoce como cósenos directores y a las componentes del vector se les llama números directores. Los ángulos directores toman valores entre 0 y 180°. Ejemplo: calcule los ángulos directores del vector 2
v = (3,−2,2)
2
2
v = 3 + (−2) + 2 = 17 Cos α = Cos β = Cos γ =
3 17 −2 17 2 17
= 0.727
α = 43.36°
= −0.485
β = 119.01°
= 0.485
γ = 60.98°
Los cósenos directores cumplen la propiedad:
Cos 2α + Cos 2 β + Cos 2 γ = 1 La expresión anterior nos permite definir el vector unitario en el espacio:
λ = Cosα i + Cos β j + Cosγ k
64
4.13 COMPONENTES DE UN VECTOR EN R3 Las vectores que se han estudiado en este capitulo, tienen la característica de que su origen concuerda con el origen del sistema de ejes coordenados, en muchas aplicaciones se debe trabajar con vectores que se encuentren fuera del origen. Por ejemplo en las fuerzas que se utilizan en Mecánica, se conoce su magnitud y dos puntos por los cuales pasa su línea de acción, a partir de esta información de deben obtener sus componentes rectangulares para determinar la resultante. Consideremos una fuerza cuya magnitud es F 1 y que su línea de acción pasa por los puntos
P1 ( x1 , y1 , z1 ) y
P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , esto en forma gráfica se representa:
z F
P2
z 2 − z1
λ P1
y 2 − y1
y x 2 − x1
x
La dirección del segmento dirigido P1 P2 es la misma que el de la fuerza, por lo tanto si multiplicamos el vector unitario λ por la magnitud de la fuerza, obtendremos las componentes de la misma.
F = F λ Para calcular el vector unitario, se utilizan las coordenadas de los puntos P 1 y P2:
P1 P2 = ( x2 − x1 )i + ( y 2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 )k P1 P2 =
( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2
El vector unitario se calcula:
λ =
P1 P2 P1 P2
65
Ejemplo: En la siguiente figura se muestra una torre sostenida por un cable, si se sabe que el la fuerza en el cable es de 1500 N, determine las componentes rectangulares de la fuerza:
z
P1
λ
5m
y 4m 6m
P2
x Para calcular el vector λ , debemos determinar las coordenadas de los puntos inicial y final del cable:
P1 (0,0,5)
P2 (4,6,0)
y
El vector unitario que tiene la dirección de estos puntos es:
λ =
(4 − 0)i + (6 − 0) j + (0 − 5)k
=
4i + 6 j − 5k
(4 − 0) 2 + (6 − 0) 2 + (0 − 5) 2
=
77
4 77
i+
6 77
j −
5 77
k
Al multiplicar la magnitud de la fuerza por este vector, se obtienen sus componentes:
4
F = 1500
77
i+
6
j −
5
k
77 F = 683.76i + 1025.64 j − 854.70k 77
Esta descomposición de fuerzas es una herramienta fundamental en la Mecánica.
66
4.14 PRODUCTO VECTORIAL En la Física existen muchas aplicaciones en las cuales es necesario tener dos vectores que actúan en un plano y dan como resultado un vector perpendicular a estos. Un caso muy estudiado es el momento producido por un fuerza con respecto a un punto. Un momento es el efecto de giro que produce una fuerza al aplicarse con respecto a un punto o un eje de giro. Este giro se representa por medio de un vector perpendicular al plano que contiene a los vectores, como se muestra en la figura. z
M
y r
θ F F sen θ De la figura podemos observar que la componente perpendicular a la línea de acción del vector r es la que produce el momento. Esta magnitud se calcula como:
M = r F senθ Se ha escogido el signo positivo del momento cuando el giro sea en la dirección contraria a las manecillas del reloj. A esta operación entre vectores se le llama producto vectorial y se representa:
r x F = r F senθ Ahora trataremos de extender esta operación para dos vectores cualquiera, estos los podemos trasladar al origen para facilitar su manejo: z
u x v
y
θ
v
u x Tenemos entonces que la magnitud del producto vectorial es:
67
u x v = u v senθ
Si invertimos el orden de los vectores, entonces el resultado del producto vectorial debe ser un vector en dirección contraria, por lo tanto negativo. z
y
θ
v
u v x u = v u senθ
x
Se observa que el producto vectorial de dos vectores que se encuentran en el plano xy, da como resultado un vector en dirección z. Si utilizamos vectores unitarios podrimos establecer la dirección del producto vectorial. z
k y
j i
x Como la magnitud de los vectores es 1 y el ángulo entre ellos es de 90o, podemos concluir que se debe cumplir:
i x j = k Si invertimos el producto con los vectores unitarios, se tiene:
j x i = −k Si observamos los vectores unitarios en los ejes, podemos obtener fácilmente los demás productos.
68
j x k = i k x j = −i k x i = j i x k = − j El producto vectorial de vectores unitarios iguales es 0.
ixi =0
j x j = 0
k x k = 0
Con esto tenemos una herramienta poderosa para calcular el producto vectorial de vectores que estén expresados en sus componentes. Por ultimo debemos comprobar que el resultado del producto vectorial usando los vectores unitarios concuerde con la definición inicial. Consideremos los vectores u = (a1 , a 2 , a3 ) y
v = (b1 , b2 , b3 ) , estos vectores los podemos
escribir:
u = a1i + a 2 j + a 3 k
v = b1i + b2 j + b3 k
Entonces el producto vectorial, se obtiene multiplicando cada componente del primer vector por las componentes del segundo:
u x v = (a1i + a 2 j + a3 k ) x (b1i + b2 j + b3 k ) = a1b1i x i + a1b2 i x j + a1b3i x k + a 2 b1 j x i + a 2 b2 j x j + a 2 b3 j x k + a3 b1 k x i + a3 b2 k x j + a3 b3 k x k
Usando los productos definidos para los vectores unitarios y agrupando los términos:
u x v = a1b2 k − a1b3 j − a 2 b1 k + a 2 b3 i + a3 b1 j − a3 b2 i = ( a 2 b3 − a3 b2 )i + ( a3 b1 − a1b3 ) j + ( a1b2 − a 2 b1 ) k
Esta operación es posible ajustarla para que concuerde con el calculo de un determinante, de la siguiente forma:
i
j
k
u x v = a1
a2
a3
b1
b2
b3
Ejemplo: Sean los vectores u = 2i + 3 j − k y v = 3i − 4 j + 2k calcule: a) su producto vectorial usando sus componentes b) la magnitud del vector resultante c) la magnitud usando la fórmula u x v = u v senθ Solución: a) Para calcular el producto vectorial usaremos el determinante
i
j
uxv= 2
3
3
−4
k −1 =
2
3
−1
−4
2
u x v = 2i − 7 j − 17 k
69
i−
2
−1
3
2
j +
2
3
3
−4
k
b) La magnitud del vector es:
uxv =
2 2 + (−7) 2 + (−17) 2 = 342 = 18.493242
c) Para calcular la magnitud del vector usando la fórmula u x v = u v senθ debemos obtener la magnitud de cada vector y el ángulo entre ellos:
u =
2 2 + 3 2 + (−1) 2 = 14
cos θ =
u•v
=
v =
32 + (−4) 2 + 2 2 =
(2)(3) + (3)(−4) + (−1)(2)
uv
=
( 14 )( 29 )
−8
406
29
= −0.397033
θ = 113.392848o Sustituyendo en la fórmula:
u x v = u v senθ = ( 14 )( 29 )sen 113.392848 o = 18.493242 Los resultados obtenidos por ambas fórmulas concuerdan. En forma gráfica: z
u
y
v u x v
x Existe otra interpretación del producto vectorial, si consideramos la fórmula u x v = u v senθ y dibujamos los vectores:
v
θ
v senθ u
70
Se observa que al multiplicar u por v senθ se obtiene el área del paralelogramo formado por los vectores.
A = u x v = u v senθ
4.15
Esta interpretación es muy importante para en los triples productos. TRIPLE PRODUCTO ESCALAR.
Al combinar el producto escalar y vectorial, se pueden obtener el llamado triple producto escalar, el cual tiene amplia aplicación en Física. Consideremos tres vectores u, v y w los cuales no estén contenidos en un mismo plano, la operación (u x v ) • w se le llama triple producto escalar. Si utilizamos la definición de cada producto tenemos la siguiente interpretación. El producto u x v representa un vector perpendicular al plano que contiene a los vectores u y v y cuya magnitud es el área del paralelogramo formado por ellos.
A = u x v
w
v
θ
u
Si hacemos el producto escalar de este vector u x v con el vector w estamos multiplicando la proyección de este vector sobre el vector del producto vectorial, esto da como resultado el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u , v y w . V = (u x v) • w
Ejemplo. Determine el triple escalar producto de los vectores: u = 2i + 3 j + k
v = 4i + 3 j + 3k w = −2i + 2 j − k
Primero calculamos el producto vectorial entre u y v :
71
i
j
k
uxv= 2
3
1 =
4
3
3
3 1 3 3
i−
2 1 4 3
j +
2 3 4 3
k = 6i − 2 j − 6k
El valor absoluto del producto escalar da como resultado el volumen: V = (u x v) • w = (6i − 2 j − 6k ) • (−2i + 2 j − k ) = − 12 − 4 + 6 = − 10 = 10 u 3
4.16
COMBINACION LINEAL ENTRE VECTORES.
En el capitulo III se estudio la combinación lineal entre renglones de una matriz aumentada. Se estableció que si un renglón se puede obtener como una combinación de otros, entonces los renglones de la matriz no son linealmente independientes. Este concepto de independencia lineal es muy importante en el estudio de los espacios vectoriales. Por ejemplo, usando los vectores v1 = (2,3,−1) y v 2 = (− 3,2,5) , se puede obtener otro vector v 3 haciendo una combinación lineal de los anteriores: v3 = 2v1 + 3v 2 = 2(2,3,−1) + 3(−3,2,5) = (4,6,−2) + (−9,6,15) = (−5,12,13) El número de combinaciones que podemos hacer es infinita. Lo único que debemos variar son las constantes por la cuales multiplicamos los vectores. Esto lo podemos representar:
v3 = c1v1 + c 2 v 2 v3 − c1v1 − c 2 v 2 = 0 Es posible realizar el proceso inverso, es decir, si tenemos un conjunto de vectores es podemos determinar si son linealmente dependientes o independientes. Si los vectores los vectores son independientes, significa que ninguno de ellos se puede obtener como una combinación lineal de los otros. Eso nos conduce a que no existen constantes diferentes de cero que cumplan con la combinación:
c1v1 + c 2 v 2 + c3 v 3 + ... + c n v n = 0
Ejemplo: Determine si los vectores v1 = (2,3,−1)
,
v 2 = (− 3,2,5)
y
v3 = (− 5,12,13) son linealmente
independientes.
Formemos la combinación de los vectores: c1 (2,3,−1) + c 2 (− 3,2,5) + c3 (− 5,12,13) = 0 Al efectuar la operación, nos conduce a un sistema de ecuaciones:
72
2c1 −
3c 2 −
5c3 =
0
3c1 +
2c2 + 12c 3 =
0
− c1 +
5c 2 + 13c3 =
0
Al resolver el sistema por Gauss-Jordan, obtenemos la solución: c1 = −2c 2 c 2 = −3c3
Esto indica que el sistema no tiene solución única, por lo que los vectores no son linealmente independientes. Otra forma de verificar si el sistema es dependiente (en el caso que sea cuadrado) es por medio de su determinante, si este es igual a cero entonces el sistema es dependiente y si el diferente de cero entonces el sistema es independiente. Utilicemos este criterio para el sistema anterior:
−3
2 ∆= 3 −1
−5
2
12 = 0
5
13
Ejemplo: Verificar si los siguientes vectores son linealmente independientes.
v1 = (1,−2,3)
v 2 = (2,−1,0)
y
v3 = (0,1,7)
Formando la combinación lineal: c1 (1,−2,3) + c 2 (2,−1,0) + c3 (0,1,7) = 0
Lo cual nos genera el sistema de ecuaciones: c1 + 2c 2 − 2c1 −
2c 2 +
3c1 +
=
0
c3 =
0
+ 7c3 =
0
Resolviendo por Gauss-Jordan, obtenemos como resultado que c1 = 0, c 2 = 0 y c3 = 0 , por lo que el sistema tiene solución única y los vectores son linealmente independientes.
73