ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA
UNIDAD 2
PRESENTADO POR: JULIO CESAR VISCAYA COD JESUS ALBERTO HERNANDEZ COD 80063490 MIGUEL ANDRES GERARDINO RAMIREZ COD 80178838
PRESENTADO A: JAIRO RAMOS
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONOMICAS Y DE NEGOCIOS - ECACEN BOGOTÁ, ABRIL DE 2017
EJERCICIOS
Problema 1. Para la función dada determine la solución real del respectivo dominio y rango y compruebe con Geogebra: x+ 16 f ( x )= √ x −17 Solución: Dominio:
x +16 √ x−17
x>17 por lo tanto (17, ∞)
Rango:
x +16 √ x−17
f(x) ≥ por lo tanto
y ∈ R : [ √132 , ∞ )
Dominio:
√ x−17=0 Propiedades de la potenciación y radicación y resolviendo la ecuación 2
( √ x−17 ) =0
x−17=0
x=17
Como el polinomio es racional, el denominador debe ser mayor a cero, entonces:
x ∈ R : x >17 y=
x+ 16 √ x−17
1/ 2
y ( x−17 ) =x +16 Se eleva al cuadrado para eliminar la fracción: y ² ( x −17 )=( x+ 16)² Se desarrolla la ecuación por el binomio cuadrático. y 2 x−17 y 2 =x2 +32 x+ 256 x 2+32 x+ 256−xy ²+17 y ²=0 Como se debe dejar en función de x planteamos una ecuación. 2
x +32 x−xy ²+17 y ²+256=0 x ²+ ( 32− y 2 ) x+(17 y 2 +256)=0 Resolvemos la ecuación dada por la formula cuadrática
x ²+ ( 32− y 2 ) x+(17 y 2 +256)=0 Para esto utilizamos la ecuación cuadrática. −( 32− y 2 ) ± √(32− y 2)2−4(1)(17 y 2 +256) x= 2∗1 −( 32− y ) ± √ ( 1024−64 y + y −68 y −1024 ) x= 2 2
−( 32− y 2 ) ± √ y 4 −132 y 2 x= 2 −( 32− y 2 ) ± y √( y 2−132) x= 2 Buscamos quien es y: y 2−132=0 y 2=132 y=√ 132
2
4
2
Problema 2: Calcular la simetría de las siguientes funciones y compruebe con Geogebra. Solución Para la solución del presente ejercicio tenemos que: La función es par si,
f (−x )=f ( x)
La función es Impar si,
f (−x )=−f ( x )
Por lo tanto.
f ( x )=x 2−12 x+5
f(x) es impar si, imagen de x.
f (x)=−f (−x )
la imagen de x, es igual al opuesto de la
2
f ( 3 ) =3 −12 ( 3 ) +5=9−36+5=−22 f (−3 )=−32−12 (−3 ) +5=9+36+5=50 La función f ( x )=x 2−12 x+5, es impar por lo cual decimos que es simétrica, y lo comprueba la siguiente grafica
g ( x ) =x3 −√ x −17 3
g (−x )=−x −√ −x −17=−3 x−√ x−17 g(x) ≠ g(-x) lo que quiere decir que NO es par g(x) ≠ -g(-x)lo que quiere decir que NO es impar La función g ( x ) =x3 −√ x −17 se caracteriza por no ser par ni impar, por lo cual decimos que no tiene simetría.
i ( x )=
x7 x3
Para analizar si es una función par usaremos un número entero en x a ver cómo se comporta si es positivo y si es negativo
i ( 2 )=
27 128 = =16 Tambien 3 8 2
i (−2 )=
−27 −128 = =16 3 −8 −2
Debido a que cumple la condición i (−x )=i( x) , se considera una función par, por lo tanto es simétrica respecto del eje i,
3. Determine la inversa de la función f ( x )= y compruebe con Geogebra.
x−16 7 x+9
y= y (7 x +9 )=x−16 7 xy +9 y=x−16 7 xy−x=−9 y−16
Sacamos factor común x (7 y−1)=−9 y−16
x=
−9 y −16 ( 7 y−1)
Planteado de forma explícita: f −1 ( x )=
−9 x−16 ( 7 x −1)
Comprobación en geogebra.
x−16 7 x+ 9
4.Determine el rango de la siguiente función f ( x )=
x−7 12 x +2
y compruebe con Geogebra. y=
x−7 12 x +2
y (12 x+ 2 )=x−7 12 xy +2 y=x−7 12 xy −x=−2 y −7
Sacamos factor común x (12 y −1)=−2 y−7
x=
−2 y −7 (12 y−1)
Como el denominador no puede ser cero entonces analizamos el denominador. 12 y −1
y=
1 12
Rango: y ∈ R :≠
1 12
Comprobación en Geogebra.
Problema 7. Realizar las siguientes conversiones y comprobar con Geogebra. a) Convertir a grados.
23 π a grados . 3 45 π a grados . 4 12 π a grados . 5
b) Convertir a radianes.
A cuantos radianes equivale 900 A cuantos radianes equivale 7540 A cuantos radianes equivale 3370
Solución: Convertir a grados: 23 π ∗180 3 4140 π = =13800 π 3π
45 π ∗180 4 8100 π 4050 π 0 = = =2025 π 4π 2π 12 π ∗180 5 2160 π 432 = = =4320 π 5π 1 Geogebra:
Convertir a Radianes: 900∗π 90 π 45 π 15 π 5 π 1 π = = = = = 180 180 90 30 10 2 0 754 ∗π 754 π 377 π = = 180 180 90 0 337 ∗π 337 π = 180 180
Problema 8: Si un triángulo ABC tiene lados � = 300 � = 145� � � = 220�.Calcular los ángulos α, β, γ. Comprobar con Geogebra. Solución Para la solución de este problema debemos usar el teorema del coseno
a2=b2 +c 2−2 bc . CosA Dado que se solicita el valor de los ángulos, debemos despejar 2
CosA=
2
a −b −c −2 bc
2
Para α tenemos que:
(300 m)2−( 145 m )2−( 220 m)2 CosA= −2(145 m)(220 m) CosA=
90000−21025−48400 20575 = =−0,3224 −63800 −63800
CosA=108,81
Para β tenemos que: 2
2
2
CosB=
b −a −c −2 ac
CosA=
(145 m) −( 300 m ) −( 220 m) −2(300 m)(220 m)
CosA=
21025−90000−48400 −117375 = =0,8892 −132000 −132000
2
CosB=27,22 Para γ tenemos que:
CosC=
c 2 −b2−a 2 −2 ba
2
2
CosA
2
2
2
CosC=
(220 m) −( 145 m ) −( 300 m) −2(145 m)(300 m)
CosA=
48400−21025−90000 −62625 = =0,7198 −87000 −87000
CosC=43,96 Demostración en GeoGebra