ALGEBRA I BIM. TRILCE PRIMARIA LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ALGEBRA
Pág Pá g .
å Introducción Introduc ción ................. ............................................ ............................................. ...................... ....77 å Operaciones Operaci ones combinadas combin adas en N ...................... ................................... ............. 81 Operaci ones combinadas combin adas en Q ...................... ................................... ............. 85 å Operaciones
å Potenciación Potenci ación I.................. ............................................ ............................................ ....................87 å Potenciación Potenci ación II................. ........................................... ............................................. ................... 93 å Radicación Radicac ión I ................ ........................................... ............................................. ...................... ....95 Radicac ión II .................. ............................................. ............................................. ....................99 å Radicación
å Operaciones combinadas con potenciación y radicación ........................................... 101
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
Pág Pá g .
å Introducción Introduc ción ................. ............................................ ............................................. ...................... ....77 å Operaciones Operaci ones combinadas combin adas en N ...................... ................................... ............. 81 Operaci ones combinadas combin adas en Q ...................... ................................... ............. 85 å Operaciones
å Potenciación Potenci ación I.................. ............................................ ............................................ ....................87 å Potenciación Potenci ación II................. ........................................... ............................................. ................... 93 å Radicación Radicac ión I ................ ........................................... ............................................. ...................... ....95 Radicac ión II .................. ............................................. ............................................. ....................99 å Radicación
å Operaciones combinadas con potenciación y radicación ........................................... 101
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ALGEBRA
¿Qué conoces acerca del origen de la palabra Álgebra? El matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comúnmente llamado ALJUARIZMI, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú, escribe su famoso libro "AL DJABR W'AL MUKABALA" que quiere decir "Transposición y Reducción de términos semejantes". Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre completo de la obra de Aljuarizmi, pero ya en el siglo XVI se suprimía la segunda parte para llamar simplemente "Al djabr", o sea Álgebra, a la teoría de las l as ecuaciones. ¿Quién fue el principal forjador del Álgebra moderna? PACCIOLI (1445 PACCIOLI (1445 - 1519) Estuvo muy ligado al arte y a la técnica renacentista
italiana;
en
1494
publica
su
monumental obra "Summa de Aritmética, Álgebra y Geometría", en la cual vuelca cuidadosa y detalladamente todo el conocimiento matemático hasta entonces
desarrollado, y cuya rápida difusión fue el inicio de un nuevo florecimiento del Álgebra. Paccioli también se adelantó con esta obra a dar una visión de los progresos que en los siglos posteriores se llegarían a hacer.
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
SIMBOLOGÍA ALGEBRAICA SÍMBOLO ×;•;( )
SIGNIFICADO Operadores de la multiplicación. Operadores de la división. Operador radical.
( );[ ];{ }
Signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves, respectivamente.
M(x;y) = 2xy2
Monomio de variables "x" e "y".
P(x) P( x) = x2 + 2x 2x + 1
Polinomio de variable "x".
x
Variable, es decir letra que puede tomar varios valores. Para todo. Diferente.
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ALGEBRA
EJERCICIOS Utilizando los operadores de multiplicación y división, efectuar: *
La multiplicación de 3 por 8 se escribe:
*
3 × 8 = 24
La división de 14 entre 2 se escribe: 14 2 = 7
3 . 8 = 24
14 : 2 = 7
(3 × 8) = 24 Completa según los ejemplos anteriores: I.
II.
La multiplicación de 5 por 7
A.
La división de 35 entre 5
se escribe: _______ = _______
se escribe: _______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
La multiplicación de 9 por 8
B.
La división de 48 entre 6
se escribe: _______ = _______
se escribe: _______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
III. La multiplicación de 6 por 9
C.
La división de 63 entre 7
se escribe: _______ = _______
se escribe: _______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
Completar según el ejemplo: •
M(x;y;z) = 3x4y5z4a
•
Las variables son: x; y; z El coeficiente es: 3a
I.
R(a;b;c) = 7a6b9c7
COLEGIO TRILCE
P(x;y) = -7x6y5 Las variables son: x; y El coeficiente es : -7
II.
Q(m;n;p) = -4m7n3p2 Página 5
ALGEBRA
Las variables son: _______
Las variables son: _______
El coeficiente es : _______
El coeficiente es : _______
III. F(x;y) = 31x4y8a
V.
IV. S(x;y) = 2abx9y12
Las variables son: _______
Las variables son: _______
El coeficiente es : _______
El coeficiente es : _______
P(y) = 7y7 + ay6
VI. R(z) = bz9 + 7z5 - 3z
Las variables son: _______
Las variables son: _______
Los coeficientes son: _______
Los coeficientes son: _______
REGLAS DE OPERACIÓ N
Caso 1: Sin signos de agrupación a. Primero se resuelven las potencias y raíces a la vez. b. Segundo se resuelven las multiplicaciones y divisiones a la vez. c. Por último se resuelven las adiciones y sustracciones a la vez. Ejemplo: 3 × 23 + 25 5 34 + 2 × 5 - 100 + 9 2
1.
+
-
+
=
2.
+ +
=
Caso 2: Con signos de agrupación COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
a.
Primero se resuelven las operaciones que se encuentran dentro del signo de agrupación más interno, hasta que desaparezcan todos estos signos.
b. Luego se procede como en el caso anterior (caso 1)
{
[ (
3º
2º
)
]
}
1º
Ejemplo: 3(5 - 1)2 - [14 2] 3( )2 - _____
2(5 + 3) + 5(9 - 7) 2( 1.
) + 5(
_____ - _____
)
_____ + _____ =
_____ - _____ =
2.
¡AHORA, HAZLO TÚ! A. Resolver: a.
3+2-4-1=
b.
7 - 3+ 6 - 2+ 8=
c.
11 - 4 + 13 - 2 - 6 + 3 =
d.
19 + 15 - 18 - 10 + 4 - 7 + 9 =
e.
32 - 19 + 43 - 18 + 35 - 53 =
B. Resolver: a. 56 8 + 6 + 3 =
Recuerda resolver de izquierda a derecha.
k.
10 5 + 4 - 16 8 - 2 + 4 4 - 1 = 6 × 5 × 4 20 + 20 5 4 =
b.
16 - 3 + 5 × 8
l.
c.
3 + 6 - 18 9 =
m. 6 × 5 + 4 - 8 4 × 2 × 3 - 5 + 16 4 - 3 =
d.
7 × 6 2 + 18 =
ñ.
9 + 5 - 4 + 3 - 8 + 5 × 3 - 20 4 × 3 =
e.
24 - 18 6 × 8 =
o.
40 5 × 5 + 6 2 × 3 + 4 - 5 × 2 10 =
f.
24 6 - 2 + 2 =
g.
2×3+5×8=
h. 16 - 10 + 3 - 81 9 = i.
50 + 15 5 × 3 - 9 3 × 4 + 6 × 4 6 =
j. 4 × 5 - 3 × 2 + 10 5 - 4 × 2 = C. Completar en lenguaje matemático según convenga: COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
1. Seis veces nueve menos cuatro veces cinco. __________________________________________________________ 2. Nueve veces ocho más cinco veces siete. __________________________________________________________ 3. El cuádruplo de seis aumentado en el duplo de once. __________________________________________________________ 4. El triple de doce disminuido en el duplo de nueve. __________________________________________________________ 5. El séxtuplo de trece disminuido en el triple de veinte. __________________________________________________________
JERARQUÍA - SÍMBOLOS DE COLECCIÓN Observación: Recuerda resolver primero aquellas operaciones combinadas que se encuentran más al interior de los signos de colección.
Importante:
{
[
(
3º
2º
1º
}
{[(5 + 6 - 7) + (7 - 2 + 10)] + 10 - 3}
"se suprime paréntesis"
{[
"se suprime corchetes"
4
+
15
] + 10 - 3}
{19 + 10 - 3}
•
]
)
Ejemplo 1:
"se suprime llaves"
26
30 {(15 - 6) 3 + (18 - 3) 5} 30 {
9
30 {
3
3+
15
+
3
"se suprime paréntesis"
5} }
"se suprime llaves"
30 6
•
Ejemplo 2:
5
¡AHORA, HAZLO TÚ! COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
•
Resolver las siguientes operaciones combinadas. a. (5 × 6 + 3) + 7 × 8 b. 64 8 × 3 - (48
2
Rpta. 89 + 1 - 1)
Rpta. 0
c. {5 + (8 × 3 6) - 7}
Rpta. 2
d. 17 - 10 + {14 - 3 + (5 × 8 20)}
Rpta. 20
e. {55 11 + 66 11 + (77 11 - 11)}
Rpta. 7
f.
Rpta. 51
[44 11 + 7] + [88
11 × 5]
g. 40 + [25 - (3 + 2)]
Rpta. 60
h. 60 + [(4 + 2) - 5]
Rpta. 61
i.
150 - [(5 - 1) - (4 - 3)]
Rpta. 147
j.
250 + [(7 - 2) + (4 - 1) + (3 - 2)]
Rpta. 259
k. 450 - {6 + [4 - (3 - 1)]}
Rpta. 442
l.
Rpta. 529
520 + {8 - 3 + [9 - (4 + 2 - 1)]}
m. (150 - 5) - {14 + (9 - 6 + 3)}
Rpta. 125
n. 500 - {6 + [(14 - 6) - (7 - 2) + (4 - 1)]}
Rpta. 488
ñ. (30 - 20) 2 + (6 × 5) 3 + (40 - 25) (9 - 6)
Rpta. 20
o. [(9 - 4) 5 + (10 - 2) 4] + 9 × 6 18 + 2
Rpta. 8
p. (9 + 3)5 - 2 (3 - 2) + 8 × 6 4 2 + 5
Rpta. 69
q. [15 + (8 - 3)5] [(8 - 2) 2 + 7]
Rpta. 4
r. 9[15 (6 - 1) - (9 - 3)
Rpta. 0
2]
s. 30 {(15 - 6) 3 + (18 - 3) 5}
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Rpta. 5
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ALGEBRA
Observación Para resolver operaciones combinadas en Q se sigue las mismas reglas que para resolver operaciones combinadas en N, solo que esta vez se usarán números fraccionarios. •
Ejemplo 1: Resolver 1 3 + 2 2 4 2
- 1
•
1 2
Ejemplo 2: Resolver + + + + 1 3 1 3 5 - 3 + 1 - 2 4 4 4 4 × × × ×
+ - 1 1 2 × 4 3 2 2
21 15 5 11 + + 4 4 4 4 6 4
1 2
•
22 11 1 = = 5 4 2 2
Ejemplo 3: Resolver 3 + 1 4 2
+
2×3+4×1 + 4×2 6+4 8
1 3
-
+
• 1 4
Ejemplo 4: Resolver 1
3 1 × 5 9
4×1-3×1 3×4
3 8
9 16
3
4-3 12
+ 10 8
16 4
+
1 15
1 12
12 × 10 + 8 × 1 8 × 12
4
120 + 8 128 4 1 = = =1 96 96 3 3 3
1
2
3 × 16 8 9 1
1 15
2 = 3
1 × 15
3 = 1 2 10
3
1
5
¡AHORA, HAZLO TÚ! COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
A. Resolver: 1 2
1 4
1 2
1 4
1 3
1 6
1 3
1 6
1 4
1 5
1 5
1 4
1 2
1 3
1 2
1 3
1 5
1 6
1. 2. 3. 4. 5.
1 5
1 6
6. 7. 8. 9.
10.
1 2
1 5
1 2
1 4
1 2
1 5
1 10
1 5
1 10
1 2
3 10
1 2
5 10
1 4
1 3
1 3
1 4
3 5
1 3
2 3
3 5
1 3
B. Resolver: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
1 7
1 5
1 3
2 3
3 9
3 5
1 4
3
15
3
3
1 5
2
1 9
7
2
1 7
3 5
1 2
3 4
5
3 9
2 5
4
1 2
R.
1 4
R.
23
1 9
3 5
3
3
2 9
R.
1 4
5 7
COLEGIO TRILCE
1
3 7
5
3 4
27
2 3
3 R. 5
R. 2 7
2
9.
1
4 5
1 3
2 3
2
R. 3 7
1 35
1
3 4
5 7
2
R. R.
15 4
11. 12. 13.
13 42
307 420
10.
14. 15. 16.
46 R. 63
2 9
1 7
1 2
3 7
3 2
1 35
1 2
1 3
2 5
1 3
1 4
2
1 2
R.
1 3
1 2
1 4
7 30
1 3
1 24
1 2
2 3
1
7 9
9 2
4
2 5
18 5
135 2
3 R. 7 1
R.
2
R. 1 R. 1 R. 1
Página 11
R. 1
5 7
ALGEBRA
CONCEPTO: Es una multiplicación repetitiva de un mismo número, una cantidad limitada de veces. DEFINICIÓN: am = a . a . a . . . a
;m
1; m
N
"m" factores
El resultado: am = se denomina potencia De donde: a m
*
base exp onente
Ejemplos: a. 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243
d. 2 4 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16
b. 43 = 4 . 4 . 4 = 64
e. 6 3 = 6 . 6 . 6 = 216
c. 52 = 5 . 5 = 25
f.
2 5 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
A) Expresa lo siguiente: *
Seis elevado al cuadrado
: ___________
*
Ocho elevado al cuadrado
: ___________
*
"x" elevado al cuadrado
: ___________
*
Cuatro elevado al cubo
: ___________
*
Cinco elevado al cubo
: ___________
*
Nueve elevado al cubo
: ___________
*
Tres elevado a la cinco
: ___________
* *
Cinco elevado a la seis "x" elevado a la cuatro
: ___________ : ___________
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ALGEBRA
EXPONENTE NULO (Definición): a0 = 1
*
30 = 1
*
(2 2 )0
*
*
1
;
a
0
5 0 1 7
2 30 = 2
*
¿por qué?
(1001)0 = 1
B) Completar, desarrollando las potencias. Recuerda: Las siguientes potencias son las más utilizadas en el curso. Por lo que reciben el nombre de "notables".
20 = ____
21 = ____
22 = ____
23 = ____
2 4 = ____
25 = ____
26 = ____
27 = ____
28 = ____
29 =
210 = ____
30 = ____
31 = ____
32 = ____
3 3 = ____
34 = ____
35 = ____
40 = ____
41 = ____
4 2 = ____
43 = ____
44 = ____
50 = ____
51 = ____
5 2 = ____
53 = ____
54 = ____
60 = ____
61 = ____
6 2 = ____
63 = ____
70 = ____
71 = ____
72 = ____
7 3 = ____
80 = ____
81 = ____
82 = ____
83 = ____
9 0 = ____
91 = ____
92 = ____
93 = ____
100 = ____
101 = ____
102 = ____
103 = ____
112 = ____
122 = ____
132 = ____
142 = ____
152 = ____
162 = ____
172 = ____
182 = ____
192 = ____
202 = ____
252 = ____
302 = ____
402 = ____
COLEGIO TRILCE
Página 13
____
ALGEBRA
C) Reduce cada ejercicio según el ejemplo: 1. A = 34 + 23 + 40 + 5
2. B = 22 + 32 + 42
= 81 + 8 + 1 + 5 = 95
3. C = 500 + 30 + 20 + 1
4. D = 63 - 27 + 32
ROPIEDADES: 1. Producto de potencias de igual base: am . an = am + n
"Resulta la misma base y el exponente final es la suma de los exponentes iniciales".
243 = 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 35 = 33 . 32 = 33 + 2
*
33 .
32 = 35
Completa: *
43 . 42 = 45
*
73 . 72 = 75
*
29 . 212
= ______
*
7 8 . 78
= ______
*
32 . 37
= ______
*
11 3 . 116
= ______
*
39 . 310 . 312 = ______
*
2 5 . 23 . 24 = ______
2. División de potencias de igual base: am = am - n ; a 0 an
55
*5
2
55 2
53
"Resulta la misma base y el exponente final es la diferencia de los exponentes iniciales".
96
* 94
47
83
* 43
* 81
COLEGIO TRILCE
Página 14
ALGEBRA
Observa el siguiente ejemplo: D
410.4 3.4 2 6 7
4 .4
410 3 2 4
6 7
415 13
4
42
16
Ahora reduce lo siguiente: G
5 4.53.512 59.59
PARTE PRÁCTICA 1. Expresar como potencia cada caso: a. b.
6.6 .6 ....... 6 30 veces
m .m .m ...... m 18 factores
4 .4 .4 ........ 4
c. d.
20 factores
2 .2.2.......... ..2 13 veces
2. Efectúa adecuadamente en tu cuaderno cada caso: 4]0
b.
F = 40 + 30 + 20 + 10
c. G = 32 + 3 + 30
d.
A = 20 + 21 + 22 + 23
e. B = 15 + 32 + 23
f.
B = 15 + 32 + 23
g.
X = 53 + 43 - 33 - 23
a.
f.
E
[ 123 457
3
C = 43 + 42 - 4 + 1
H. W = 63 - 72 + 32 - 52
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
3. Expresar como potencia indicada cada caso: a. A = 43 . 42 . 45 b. B = (13)3 (13)6 (13)0 c. C = (3)0 (3)1 (3)2 (3)3 . . . . . (3)10
4. Reducir cada caso: X
4 20.4 50.4 90 4157
a.
b.
Y
Z c.
2 4.22.2 4.26.28 28.216
62.6 9.67 610.66
1. Potencia de un producto: (ab)n = an . bn
a. 83 = [4(2)]3 = 43 . 23 b. 63 . 73 = {6(7)}3 = 423 c. x5 . y5 = (xy)5 2. Resolución de ecuaciones exponenciales: Usaremos el criterio de "igualdad por comparación". COLEGIO TRILCE
Página 16
ALGEBRA
Ejemplos: a. Hallar "x" en:
b. Hallar "x" en: 2
3x = 34 . 32 . 35 3x = 34 + 2 + 5
3x = 311 x
33 . 173 = 33 . 17x
2x
510 10 55 15
520 520
1 x = 0
"Si las bases son iguales los exponentes también son iguales".
513 = 33 . 17x (3 . 17)3 = 33 . 17x
2x
2 x = 50 2x =
c. Indicar el valor de "x" en:
55.515
= 11
510.510
x
x
=3
PARTE PRÁCTICA 1. Hallar "x" en cada caso: a.
b.
8
x
x
45.43.4 2
h. x20 = 54 . 56 . 510 i.
72x = 73 . 710 . 77
410
22.23.210 29
j.
11x 3
d.
5
50.51.52.53.5 4 55
e. 8x = 43 f.
2x = 102 + 102 - 142
a.
200 1
E
720
45.410
310.37
718
414
315
b. F = (17)2 - (13)2 + 83 - 52 + 150 c. G = (20027 - 19805)0 + ()0 + 1; ( = 3,14159.....)
g. x5 = (18)5 . (6)5
H
d. COLEGIO TRILCE
26.52.38.57.23
2. Reducir en cada caso:
c. (24)2 = (12)2.2x x
310.57.83.120.25
(1 3 5)2 53 102 15 (11)2 Página 17
7
8
Raíz enésima de un número Dados un número real "a" y un número natural "n", se llama raíz enésima del número "a", al número "x" tal que elevado a la potencia enésima dé por resultado "a". n a = x si: x n = a ; n 2 de donde: a n x
base o radicando índice raíz (número real ) operador radical índice
4
81
operador matemático radical
=3
raíz
radicando
La raíz cuarta de 81 es 3, ya que: 3 4 = 81. Ejemplos: * * * * * *
3
125
5
53 = 125
3
27
3
debido a que: 33 = 27
4
16
2
debido a que: 24 = 16
5
32
2
debido a que: 25 = 32
10
1024
debido a que: 210 = 1024
196
2
14
debido a que: 142 = 196
"La radicación es la operación inversa a la potenciación".
"Si en el índice del operador radical no aparece ningún número, se sobre entiende que es el dos (2). Es decir: raíz cuadrada".
ALGEBRA
3 5
9
raíz cuadrada de 9
= ______
512
3125
raíz cúbica de 512 raíz quinta de 3125
= ______ = ______
PROPIEDADES 1. Raíz de un producto: n
3
•
n
(8)(27)
2. Raíz de un cociente: n A B
n
3
3
8 . 27
2.3 6
A. Hallar cada una de las raíces:
COLEGIO TRILCE
4
256 16
A nB 4
• ¡AHORA, HAZLO TÚ!
4
256 16
4 2 2
Página 19
ALGEBRA
B. En tu cuaderno reduce adecuadamente cada expresión:
COLEGIO TRILCE
Página 20
ALGEBRA
•
Exponente fraccionario: m
x
*
3 x4
4
*
1 83
3 1 8
*
1 16 2
* *
n
= x n
m
;m
n
N; n 2
x3 3
8
16
2
4
100
50
3100
20
32
3 50
420
20 4 20
4
9
n
xn = x
x>0
¡AHORA, HAZLO TÚ! A. Representa cada raíz usando exponente fraccionario: a.
3
27
b. c.
45
4
x3
B. Representa cada expresión mediante radicales: a.
1 27
b.
2 35
c.
2 11 x
C. Considerando la definición del exponente fraccionario y lo estudiado en Radicación I, desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios: 1.
A
100
36
196
169
COLEGIO TRILCE
2.
B
6 36
3
2 36 Página 21
ALGEBRA
C 52
3.
3
E
5.
27 3
3 3
3
7
27
4.
49 4
125
3
D
30
260
6. F
8
36
40 120
3
196
50
4100
25
3
H
G 3 6 5 36
7.
I
9.
532 530
6 47 6 46
125 3 27 3 64 5 32
8.
3100 397
J
10.
3
4
225
121
625
441
D. Efectuar los siguientes ejercicios: 1. Si:
1 2
A
1 3
4 5
y
1 5
B
indicar el valor de "x", si: 2. Si: x
3
729;
y
indicar el valor de: E
3
x
1 6
A B
512
x 2 y 2 ( xy )0
E. Hallar "x" en: x
64
85.29.83.26 88.214
POTENCIACIÓN - RADICACIÓN
Para poder realizar en forma correcta los ejercicios de este capítulo, debemos tener muy en cuenta las reglas de las operaciones combinadas. Recordando que la potenciación es una multiplicación y la radicación es su operación inversa; por lo tanto poseen la misma j erarquía. Hay que respetar las siguientes reglas: 1º Se desarrollan las multiplicaciones, divisiones, radicales y potencias si estos son directos para su aplicación. 2º Recuerda, los radicales se aplican sobre un número. Por lo que "primero" hay que reducir el radicando. 3º Luego se reducen las sumas y restas, respetando los signos. COLEGIO TRILCE
Página 22
ALGEBRA
4º Si existiesen paréntesis y/o corchetes, se reducen desde los más internos hacia los más externos. 5º Si no existiesen signos de agrupación se desarrolla de izquierda a derecha. Ejemplo: E
33 81
5
121 14
E
27 11 9 7
E
16 16
E
1 8
7
2
4
7
22
5
5
8
9
4
4
15
8
3
¡AHORA, HAZLO TÚ! A. Reduce en tu cuaderno cada caso:
COLEGIO TRILCE
Página 23
ALGEBRA
K
11.
L
12. 13. M
N
14.
32 3
42 8
23 3
02 64
42
1000
52 32
121 3 125
1 4 1 4
COLEGIO TRILCE
2006
0
6
60 1
1 5 1 5
Página 24
ALGEBRA II BIM. TRILCE PRIMARIA LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ALGEBRA
Pág .
å Operaciones combinadas en Z.................................... 77 å Repaso de operaciones combinadas en Z..................79 å Potenciación y radicación utilizando variables ............81 å Igualdades exponenciales ........................................... 83 å Simbología algebraica .................................................85 å Expresiones algebraicas ..............................................89 å Términos algebraicos...................................................93 å
Reducción de términos semejantes................. 97
COLEGIO TRILCE
Página 2
ALGEBRA
CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 - 1855) "El príncipe de los matemáticos"
La apacible vida de un genio precoz. El viejo párroco de la iglesia de Wendergraben, en Brunswick, Alemania, procede a inscribir en el registro parroquial al más reciente de sus nuevos feligreses: Johann Friedrich Carl; se trata de un niño varón, nacido cuatro días antes del mes de abril, el hijo de un humilde matrimonio, la pareja formada por Geghard Dietrich Gauss y Dorothea Benze; ambos de 33 años. Con el paso de los años, este niño abandonará su primer nombre Johann y será conocido en toda Europa como Carl Friedrich Gauss; así es como firmará sus obras. A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela primaria, una vieja escuela, la Katherinen Volkschule, dirigida por J.G. Büttner, donde compartirá aula con otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el único argumento pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de la época. A los nueve años, Gauss asiste a su primera clase de Aritmética; Büttner propone a su centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros números. Nada más terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: "Ligget se!" (¡Ahí está!). Había escrito 5 050. La respuesta correcta. Ante los ojos atónitos de Büttner y del resto de sus compañeros, G auss había aplicado, por supuesto sin saberlo, el algoritmo de la suma de los
términos de una progresión aritmética. Se había dado cuenta de que la suma de la primera y última cifra daba el mismo resultado que la suma de la segunda y la penúltima, etc., es decir: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..... = 101 Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado se obtendrá multiplicando: 101 × 50 = 5 050 "Ligget se!"
1 + 2 + 3 + 4 + ...................... + 100 = 5 050
COLEGIO TRILCE
Página 3
ALGEBRA
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Para desarrollar este tema debemos de conocer las leyes de signos:
Multiplicación (+) (+) (-) (-) (+) (-) (-) (+)
División (+) (+) (-) (-) (+) (-) (-) (+)
+ + -
+ + -
Ahora, observa cómo se desarrolla. Ejemplos:
Ejemplos:
a. (+3) (+2) = +6 b. (-2) (+3) = -6 c. (-3) (-4) = +12 d. (-3) (5) = -15
a.
30 2
15
b.
10 2
5
c.
6 2
3
d.
8 2
4
¡AHORA, HAZLO TÚ! a. Efectuar:
(+3) (-2) +
Resolución:
-6 -6
b.
( 2) ( 4)
COLEGIO TRILCE
( 6) ( 3)
(-8) +1 (2)) (2
+ ( - 4) + 1 -4
c.
+ 1 = - 1 0 + 1 = -9
( 5) ( 3)
( 20 ) ( 2)
( 6) ( 2)
Página 4
ALGEBRA
d.
f.
( 3) ( 2)
( 10)
( 2) ( 3)
( 2)
(+3) (-7) + (2) (3)
h. (+5) (+2) - (+2) (+1)
j.
( 30 ) ( 2)
( 6) ( 3)
e. (-7) (-2) - (3) (2) - (-4) (-3)
g. (+4) (+3) - (+2) (-3)
i.
(+3) (-2) + (-2) (-3)
(2) (2)
Observaciones: 1. 2. 3. 4.
Primero debemos de multiplicar y dividir. Luego debemos de sumar y restar. No te olvides de las leyes de signos. Mantén un orden y será sencillo.
a. (+3) (+2) - (-2) (-3) c. (-4) (+3) - (+2) (+4)
e.
g.
( 10 ) ( 2)
( 3) ( 2)
( 2)( 3)
( 6) ( 2)
COLEGIO TRILCE
(2) (5)
¡AHORA, HAZLO TÚ! b. (-2) (-4) + (-2) (+3) d. (-2) (+5) - (-2) (-6) + (7) (2)
f.
h.
( 6) ( 2)
( 4)( 3)
( 7) ( 2)
(12) (2)
( 2)( 3)
4 2
Página 5
ALGEBRA
6
i.
k.
3
( 3) ( 2)
( 4) (2)
j.
(-2) (-4) - (-2) (+4) + (+2) (+4)
(+3) (-2) + (-3) (+2) + (-3) (-3) (-2)
l.
(2) (4)
4 2
6 (7) (3) 2
¿POR QUÉ SE UTILIZAN LAS VARIABLES? Las variables se utilizan para representar cosas. Ahora, observa cómo se representan: r epresentan: < > 2n variable
2 naranjas
< > 3p variable
3 peras
Entonces representa por variables lo siguiente: Descripción 5 conejos 3 años 7 meses 8 enanos 2 gremlins 3 fantasmas
Resultado 5c
I. Ahora, observa cómo es la potenciación: se multiplica
(x2)3 = x6 COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
II. Ahora, observa cómo es la radicación.
2
x
10
10
= x2 = x
5
¡AHORA, HAZLO TÚ! I.
Potenciación a. (x5)2 =
b. (x3)2 =
c. (x2)4 =
d. ((x2)2)3 =
e.
(x2y 3)2 = x4 y6
g. (x.y2)3 =
i.
(x3y2)2 =
f.
(x3y5)2 =
h. (x4y3)2 =
j.
(x3y3)4 =
II. Radicación: a.
c.
e.
3 6 x
2 6 y
2 10 N
COLEGIO TRILCE
b.
d.
f.
2
x4
4
N8
5 15 x
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ALGEBRA
Observa detenidamente cómo se desarrolla: ¡AHORA, HAZLO TÚ! I.
Completar: a. x5 = xm b. x2 = xn
el valor de "m" es .............. el valor de "n" es ..............
c. y21 = yx
el valor de "x" es ..............
d. x20 = x10 + n
el valor de "n" es ..............
e. x10 = x5 + m
el valor de "m" es ..............
y2 + n = y4
el valor de "n" es ..............
g. x2y3 = xayb
el valor de "a" es ..............
f.
el valor de "b" es .............. h. x2ym = xny5
el valor de "m" es .............. el valor de "n" es ..............
i.
x10 = x2n + 2
el valor de "n" es ..............
j.
x8 = x2p + 4
el valor de "p" es ..............
k. x5 + py2 + n = x9y9 el valor de "p" es .............. el valor de "n" es .............. COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
II. Resolver: 1. Hallar "a" x 2 .x 3.x 9 x 5.x
2
xa
2006
2. Hallar "a + b" x 2.x 5.y 2 x3
3
x a.y b
2
3. Hallar "a + b + c" (x32.y24.z17)2 = xa - 1.yb - 1.zc - 1
4. Hallar "m" en función de "k" 3k
2
x12 k .x 8k x
5k
COLEGIO TRILCE
xm
3k
Página 9
ALGEBRA
"El álgebra es generosa: a menudo da más de lo que se le pide" Jean le Rond D'alembert
Filósofo, físico y matemático francés del siglo XVIII INTRODUCCIÓN
A lo largo de la historia, la Matemática ha mantenido una evolución en todas sus áreas, permitiendo al hombre hacer frente a problemas que en principio fueron originados por situaciones cotidianas y que, posteriormente, surgieron a raíz de la propia evolución de esta ciencia. El Álgebra, siendo una de las principales áreas de la Matemática, tuvo un inicio que se remonta aproximadamente al año 3000 a.C. Fue la cultura babilónica la que dejó indicios, en sus "tablas cuneiformes", sobre las nociones básicas para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. Posteriormente, Diofanto (325 - 410 d.C.) en su obra "Aritméticas", difunde la teoría sobre las ecuaciones de primer y segundo grado, influenciado por los trabajos de los babilonios. Luego, durante la Edad de Oro del mundo musulmán, que corresponde a la Edad Media del Mundo Occidental, aproximadamente 700 1200 d.C., el árabe fue la lengua internacional de las matemáticas. Los matemáticos árabes conservaron el patrimonio matemático de los griegos, divulgaron los conocimientos matemáticos de la India, asimilaron ambas culturas e hicieron avanzar tanto el Álgebra como la Trigonometría. Es durante esta época que surge la fi-gura de Mohammed ibn Musa Al - Khwarizmi (780 850 d.C.) llamado por algunos el "Padre del Álgebra". Escribió varios libros sobre Geografía, Astronomía y Matemáticas.
En uno de sus libros "Al - jabr - wa'l muqäbala", aparece la palabra "Al Jabr", de la cual deriva la palabra "ÁLGEBRA". "Al Jabr" significa "restauración", refiriéndose al equilibrio de una ecuación mediante la transposición de términos. "Muqäbala" significa "simplificación", refiriéndose a la reducción de términos semejantes en cada miembro de una ecuación. Otros matemáticos que dieron gran impulso al desarrollo del Álgebra fueron: Niccolo Fontana, llamado TARTAGLIA ("El Tartamudo"); matemático italiano que centró su trabajo en la ecuación cúbica. Girolamo Cardano, en su obra "Ars Magna" publica un resultado similar a TARTAGLIA. Ludovico Ferrari, trabajó investigando las ecuaciones de cuarto grado. Francois Vietté, emplea las letras en el Álgebra; utilizando las primeras (a, b, c, ...) para representar cantidades conocidas, y las últimas (z, y, w, x, ....) como incógnitas. Como habrás visto, todos los matemáticos mencionados son extranjeros; sin embargo, también existieron matemáticos peruanos que trabajaron para el desarrollo del Álgebra; podemos mencionar a Cristóbal de Losada y Puga, Godofredo García, José Tola Pasquel y principalmente Federico Villareal.
CUESTIONARIO
COLEGIO TRILCE
Página 10
ALGEBRA
De la lectura anterior, responde a las siguientes preguntas: 1. ¿Qué cultura es considerada como la iniciadora del Álgebra? ______________________________
8. ¿Qué significa la palabra "Al - jabr"? ______________________________ ______________________________
2. ¿En qué temas basó su investigación DIOFANTO?____________________ ______________________________
9. ¿Qué otros matemáticos impulsaron el desarrollo del Álgebra? ______________________________ ______________________________
3. ¿Cuándo nació aproximadamente Al Khwarizmi?____________________ ______________________________ 4. Del año 700 al 1200 d.C., la lengua internacional de la Matemática fue: __________________________ ______________________________ 5. ¿Quién es considerado "Padre del Álgebra"?______________________ ______________________________ 6. ¿Sobre qué materias escribió Al Khwarizmi?________________________ ______________________________ 7. ¿De dónde se deriva la palabra ÁLGEBRA? ______________________________ ______________________________
10. Menciona a matemáticos peruanos investigadores del Álgebra. ______________________________ ______________________________ 11. ¿Por qué crees que es importante la Matemática para el ser humano? ______________________________ ______________________________ 12. Resume brevemente la lectura anterior: ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________
"El olvido de las matemáticas perjudica a todo el conocimiento, ya que el que las ignora no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este mundo". Roger Bacon
Filósofo inglés del siglo XIII
... Y aquí una historia ... COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
Historia de los signos Los signos no se empezaron a usar hasta el siglo XV. La primera vez que aparecieron impresos fue en un libro de Aritmética Comercial escrito en 1489 por Johann Widman, un maestro calculista alemán.
Antes se utilizaban las letras "p" y "m" del latín "plus" (+) y "minus" (-) respectivamente. Los signos para las operaciones de multiplicación y división son más modernos, fueron introducidos en el siglo XVII (concretamente en 1657) por William Oughted. Sólo un par de años después, Johann Rahn en su libro "Álgebra alemana", utiliza por primera vez el signo " " para indicar la división.
Se llama expresión algebraica a aquella en la cual las variables (letras) y constantes (números) están relacionados por las operaciones de adición ( + ), sustracción ( - ), multiplicación ( • , × , ( ) ) y división ( : ,
, / ).
TÉRMINO ALGEBRAICO Es la unidad de la expresión algebraica, está conformado por números y letras relacionadas por signos operativos de multiplicación, división, potenciación y radicación. •
Partes de un término algebraico Presenta dos partes: parte numérica y parte literal exponente signo PARTE NUMÉRICA (coeficiente)
COLEGIO TRILCE
-7x
11
variable PARTE LITERAL
Página 12
ALGEBRA
*
Completa correctamente: En: -5x9
En: 31z12
Parte numérica: _______
Parte numérica: _______
Parte literal: _______
Parte literal: _______
En: -43x-4
*
En: +75x3/4
Parte numérica: _______
Parte numérica: _______
Parte literal: _______
Parte literal: _______
Exponente: _______
Exponente: _______
Crea tu término algebraico:
y completa:
coeficiente: _______ parte literal: _______ exponente: _______ variable: _______
NOTACIÓN DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO Es la representación simbólica de un término, la cual nos indica las variables de dicho término. P(x) = -4x-3 M(x,y) = -41x7y-3 NOTACIÓN * Se lee "P" de "x" * Variable: x
NOTACIÓN * Se lee "M" de "x" e "y" * Variable: x, y
Completa correctamente: •
R(x,y,z) = ax7y3z4
•
variables: _____________ •
Q(m;n) = a2b3m17n16 variables: _____________
COLEGIO TRILCE
F(a,b) = 45a7b-2 variables: _____________
•
N(c;x) = 2m3c4x7 variables: _____________ Página 13
ALGEBRA
•
R(x;y) = -4x6y11
Parte literal:
Parte numérica:
__________
Variables: Exponentes:
__________ __________
__________
CLASIFICACIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS El término algebraico se clasifica en: 1. Término racional Cuando todos los exponentes de sus variables son números enteros y pueden ser: a. Término Racional Entero Cuando todos los exponentes de sus variables son enteros no negativos. b. Término Racional Fraccionario Cuando al menos un exponente de una de sus variables es fraccionario. 2. Término irracional Cuando al menos un exponente de sus variables es entero negativo. Ejemplos: Clasificar: • P(x;y) = 4x4y3 ______________________________ •
F(x;y;z) = 3x9y6z-2
•
R(x;y) = -4x1/2y-3
•
•
______________________________ ______________________________
A(a;b) =
4 3 5 4 3 x y a b 3
B(m;n) =
3 3 x 2 m 2n 4
______________________________
______________________________
¡AHORA, HAZLO TÚ! 1. En cada una de las siguientes expresiones algebraicas señala su respectiva parte literal. •
x2y
•
5 3 4 5 x y z 8
COLEGIO TRILCE
•
3xy2z3
•
400 x 100
•
5z8
Página 14
ALGEBRA
2. En las siguientes expresiones algebraicas, di cuáles son los exponentes de cada una de sus variables. •
x2
•
y3
•
x3y4
3 8 z 5
• 5x4z5 • • 7xyz2 • 100x15z 3. En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos coeficientes: Ejemplo: 3a2 = a2 + a2 + a2 • 2x • 4y2 • 3xy • 5x2y3 • 6z • 7x5y6 • 6xy3 4. En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos exponentes. Ejemplo: x2y3 = x.x.y.y.y • • •
I.
x3 z3y3x3 83x4y3
• •
x4y3z5 z7
• •
x5yz x6y6
Completa lo siguiente: 1. El __________________ es una de las partes de la Matemática que estudia las cantidades haciendo uso de números y letras a la vez. 2. Las ___________________ se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. 3. ____________________________, son aquellos que tienen la misma parte literal, afectado de los mismos exponentes. 4. Son ______________________ o signos de __________________ los corchetes, ______________________ y ________________________.
COLEGIO TRILCE
Página 15
ALGEBRA
TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que presentan la misma parte literal, es decir, las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Son los únicos que se pueden sumar o restar. Ejemplos: a. 4a2b3x4 ; - 6a 2b3x4 ; a2b3x4 ; -8a2b3x4 b. 6x2m4 ; 5m4x2 ; m4x2 c. 7x3 ; x3 ; -7x3 ; -5x3 ; 6x3 d. 5x ; -9x ; 17x ; REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Reducir dos o más términos semejantes, significa expresar a todos ellos mediante un solo término; mediante la adición o sustracción. Ejemplos: a)
2a + 5a = 7a
b)8b - 3b = 5b
c)
5x2 - 2x2 = 3x2
Recuerda: * Cantidades del mismo signo se suman y se pone el mismo signo. Ej.: -7 - 4 = -11 * Cantidades de signos contrarios se restan y se pone el signo del mayor. Ej.: -9 + 7 = -2
1) 5x - 2x - 10x + 3x - 6x
2) -15m + 7m - 4m + 10m - m
3) -8y2 - 3y2 - 2y2 - y2 - 10y2
4) 14xy + 14xy + 7xy + 2xy COLEGIO TRILCE
5) -16x3 - 3x3 - x3 - 2x3 - 100x3
6) 3x2 + 18x2 - 21x2 - 3x2 + 3x2
7) +35z + 10z - 50z - 2z + z
8)
z2 - 2z2 - 7z2 + 5z2 - 3z2
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ALGEBRA
AHORA, HAZLO TÚ I.
Reducir los siguientes términos semejantes: 1) b6 + 5b6 + 2b6 - 5b6 - b6
6) b4 + 3b4 + 6b4 - 11b4 - 3b4
2) 2b2 + 5b2 - 6b2 + 10b2 - 2b2
7) x2 + 6x2 + 16x2 - 20x2 - 3x2
3) 7xy3 + 18xy3 - 10xy3 - 7xy3
8) 33ab - 17ab - 8ab - 33ab + 5ab
4) 28nb + 7nb - 12nb - 3nb + 3nb
5) -10x + 3x - 5x - 12x + 15x
COLEGIO TRILCE
9) 8z4 + 2z4 + 6z4 - 8z4 - 13z4 + z4
10)
-8y + 10y - 18y - 3y + 14y
Página 17
ALGEBRA
Reducir dos o más términos semejantes, significa expresar a todos ellos mediante un sólo término. Ejemplos: 1) - 6ax + 9ax - ax - 2ax + 18ax = - 9ax + 27ax = + 18ax 2) 4x + 9x + 7x = 20x 3) 12x5 - 7x5 + 3x5 = 8x5 4) 14x2y3 + 12x2y3 - 25x2y3 = x2y3 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES SUPRIMIENDO SIGNOS DE AGRUPACIÓN - Se suprimen sucesivamente dichos signos empezando de preferencia por el signo de agrupación más interior. - En una expresión, al suprimir signos de agrupación precedidos del signo más (+), deberá escribirse con su mismo signo cada uno de los términos que se encuentran dentro de él. - En una expresión, al suprimir signos de agrupación precedidos del signo menos (-), deberá escribirse con signo cambiado cada uno de los términos que se encuentran dentro de él. Ejemplos: a. 3x + (4x + 6x) b. 3m - (6m - 4m) + 2m 3x + 10x 3m - 6m + 4m + 2m 13x 3m c. -2m - [3m + 4m - (6m + 8m) - 4m + m] -2m - [3m + 4m - 6m - 8m - 4m + m] -2m - 3m - 4m + 6m + 8m + 4m - m 8m
AHORA, HAZLO TÚ I.
Reducir los siguientes términos semejantes: a. -2a - 15a b. b5 - 6b5 + 5b5 c. -8xy - 19xy
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
d. 3x2 + 5x2 - 6x2 e. -12z - 15z f.
-35mn - mn
g. 1pq2 + 4pq2 h. 7x - 3y + 7y - 5x - 8x i.
2a5 - 8c2 + 3b4 - 6a5 + 8c2 + 5b4
j.
-6x6 - 9b3y2 + 8x6 - 9z3 + 2b3y2 + 9z3
k. -12ax + 15ax - 18ax + 20ax - 6ax l. y3 + 9y3 - 13y3 + 10y3 - 2y3 + 5y3 II. Reducir los términos semejantes suprimiendo los signos de agrupación. a. 3x + (2x + 5x) b. 4m - (3y - 10m) c. -2a - (3a + 2a - a) + 8a d. -[3x - 2x + x] + 4x - x + (2x - x + 4x) e. -m3 + 3x4 - [3x4 + 8m3] f.
-4y3 - {7a3 + [-5x4 - (7y3 - 9a3 - 12x4) - 8m2] + y3}
g. (-m + 3n) - {-n + 4m} h. -3z - [-2z + 8z] + [8x - 5m + 9z] - 15x i.
8a2 + {5a + 6p3} - (4a2 - 8a) - [9p3 + 5a2]
j.
- {[3a + 6x - (2m - 5x)] - [5z - 8m + 6a - (7x - 6m)]}
COLEGIO TRILCE
Página 19
ALGEBRA III BIM. TRILCE PRIMARIA
LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ALGEBRA
Pág .
å Monomios: grado absoluto y grado relativo ................59 å Adición y sustracción algebraica de monomios ..........63 å Polinomios: grado absoluto y relativo - Homogeneidad67 å Adición de polinomios ..................................................73 å Sustracción de polinomios ........................................... 77 å Repaso: Monomios, grados y reducción .....................81 å
Repaso: Reducción de términos semejantes .. 83
COLEGIO TRILCE
Página 2
ALGEBRA
1. MONOMIOS Un monomio es un polinomio de un solo término, donde los exponentes de sus variables son números naturales. Ejemplo: 12x7y3 ; -3x4z ;
2. GRADOS DE UN MONOMIO Cuando el monomio presenta dos o más variables, se consideran dos grados, que son:
a. Grado absoluto (GA) Cuando se refiere a todas las variables y está dada po r la suma de los exponentes de las variables.
b. Grado relativo (GR) Cuando se refiere a una sola variable y está dado por el exponente de la variable indicada. Ejemplo: En: M(x;y) = 2x 8y5
En: P(x;y;z) = 3ax4y6z9
GA = 8 + 5 = 13
GA = 4 + 6 + 9 = 19
GR(x) = 8
GR(x) = 4
GR(y) = 5
GR(y) = 6 GR(z) = 9
En: F(x;y) = -5x10y6
En: R(x;y;z) = 2a4xy3z6
GA = 10 + 6 = 16
GA = 1 + 3 + 6 = 10
GR(x) = 10
GR(x) = 1
GR(y) = 6
GR(y) = 3 GR(z) = 6
Observación: Si el monomio presenta una sola variable el grado absoluto y el grado relativo son iguales. M(x) = 3x8 GA = 8
P(x) = -12x5 GA = 5
GR(x) = 8 GR(x) = 5
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
AHORA HAZLO TU 1.
Dados los siguientes determinar el valor pedido: a.
M(x) = 3x7
monomios,
4.
Hallar "a" si el G.A. en: P(x;y) = 7xa + 3y7 es 16
GA = ____ Rpta.: ________
b. P(x;y) = -4x3y6 c.
GA = ____ 5.
GA = ____
d. J(x;y;z) = 15x2y8z3 2.
Dados los siguientes determinar el valor pedido:
6.
GR(x) = ____
b. P(x;y) = -4x2y7
GR(x) = ____ GR(y) = ____
c.
R(x;y) = 2x3(y4)2
Rpta.: ________
monomios,
M(x) = 13x5
a.
3.
GA = ____
Para el siguiente monomio: A(x;y) = xa + 1ya - 1 hallar "a" si el GA = 12
GR(x) = ____ GR(y) = ____
Si en el siguiente monomio: P(a;b) = 5anb3n hallar "n" si el GA = 20 Rpta.: ________
7.
Si en el siguiente monomio: P(a;b) = 2a5bn + 3 se sabe que GA = 12, calcular GR(b)
Para el siguiente monomio:
Rpta.: ________
-5x3a + 1y2a + 1
Q(x;y) = se sabe que GR(y) = 11, determinar el valor de "a"
8.
Para el siguiente monomio: Q(x;y) = xnyn + 5 se cumple que: GA = 9, calcular GR(x)
Rpta.: ________ Rpta.: ________
9.
Para el siguiente monomio: Q(x;y) = 2xa + 1yb + 6 se cumple que: GR(x) = 5; GR(y) = 8, calcular "ab".
16. Calcular
el
valor
de
monomio:
M( x; y )
2 10 x 3
m m 2
y
siguiente
si
el
monomio: M(x;y;z) = xmy2mz10 es de GA = 34
Rpta.: ________ 10.COLEGIO CalcularTRILCE el grado absoluto del
"m",
Rpta.: ________ 17. Si los monomios: Página 4 M(x;y) = xa + 3y2 ; N(x;y) = x4y4
poseen el mismo grado absoluto, indicar el valor de "a".
ALGEBRA
22. Si: GR(z) = 4, determinar el GA de M(x;y;z), si: M(x;y;z) = -7xa + 2y2az3a + 1
25. Encontrar
el
valor
del
coeficiente
del
siguiente monomio: R(x;y) = (a + 2)x3y5 + a si: GA = 12
Rpta.: ________ Rpta.: ________ 23. Si: GR(x) = m + 2, determinar el GA de M(x;y), si: M(x;y) = 2006x16ym - 10
26. Determinar el GA del siguiente monomio: M(x) = 2006x1x2x3x4.....x20
Rpta.: ________ 24. Si: GR(y) = n + 5, determinar el GA de M(x;y), si: M(x;y) = 2a4xn + 5y16
Rpta.: ________ M( x ; y )
( xy )( xy )( xy )....( xy )
27. Si: hallar el G.A.
10 veces
Rpta.: ________
Rpta.: ________
â ADICIÓN DE MONOMIOS Para sumar dos o más monomios se escribe uno a continuación de otro, con sus respectivos signos, luego se reducen términos semejantes. Ejemplo: 1.
Sumar: 3a ; 8b y c
2.
Sumar: 9a y -5b
3a = +3a ; 8b = +8b ; c = +1c
9a = +9a ; -5b = -5b
La suma sera: 3a + 8b + 1c
La suma será: 9a + (-5b) 9a - 5b
3.
Sumar: 3xy2 y 5xy2 La suma será: 3xy2 + 5xy2 8xy2
COLEGIO TRILCE
Página 5
ALGEBRA
â SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Para restar dos monomios, se escribe en primer lugar el monomio minuendo con su respectivo signo y a continuación se escribe el monomio sustraendo, con el signo cambiado, si son semejantes se reducen. Ejemplo: 1.
(5a2b2) - 2a5b
2.
5a2b2 - 2a5b
Restar: 3x2 de 10x2 10x2 - 3x2 7x2
3.
5.
1.
De 8xy restar 2xy
4.
8xy - 2xy
5x - (7x)
6xy
-2x
Restar -6x de -2x 6.
De 4x3 restar -15x3
Sumar los monomios: 5m ; 8n ; 12m ; 14n ; 9m ; 11n
2.
Sumar los monomios: M(x;y) = 7xy5; N(x;y) = 12xy5; P(x;y) =
3.
Restar: 7x de 5x
+9xy5
Sumar los monomios: A(x;y) = 5x2y3;
9.
Efectuar la resta: (-7a5x9y6) - (-12a 5x9y6)
10. Efectuar: -13xy2 - (15xy2) 11. Hallar el perímetro de cada polígono.
a.
B(x;y) = 26x2y3;
Rpta.:_______
C(X;y) = -10x2y3 4.
Sumar los monomios: N(x) = x2 + 2x2 + 3x2 + ... + 20x 2
b. Rpta.:_______
5.
Sumar los monomios: Rpta.:_______
3a ; 2b ; c ; 5a ; 4c ; 6b 6.
Efectuar las siguientes restas:
COLEGIO TRILCE
d.
Página 6
Rpta.:_______
ALGEBRA
a.
(12a3x2) - (5a3x2)
b.
9b2 - (4b2)
c. 8ab - (10ab) d. 6x4y - (-4x4y)
7.
e.
2ab - (5ab)
f.
-6a2b - (-10a2b)
a.
Restar 3a de 7a
b.
Restar 5a de 6a
c.
Restar 6a de 2a
d. De 8a restar 5a e. De 6a restar 9a f. 8.
13. Sumar: x2006 + 2x2006 + 3x2006 + .... + 20x2006 14. Sumar: x - 2x + 3x - 4x + 5x - 6x + ... + 2005x 2006x 15. Interpreta y efectúa correctamente: a.
Adicionar 8 veces "x" con 12 veces "x".
b.
Aumentar 3 veces "x" a 9 veces "x".
c.
Restar 5 veces "x" al cuadrado de 11 veces "x" al cuadrado.
d.
Quitar el triple de "x" al cubo a 15 veces "x" al cubo.
De - 5a restar a
De: -15mn6 restar -12mn6
e.
e.
El número de pollos en una
granja es 12x2; si se venden 2x 2, se regalan
Rpta.:_______
3x2 y se mueren x 2, ¿cuántos pollos quedan aún?
12. Si: A(x;y) = 5xy4 B(x;y) = -12xy4 C(x;y) = -7xy4 D(x;y) = +3xy4 Hallar el valor de: a. M = A(x;y) + D(x;y) b. N = A(x;y) + B(x;y) - C(x;y) c. P = B(x;y) + C(x;y) + A(x;y) d. Q = D(x;y) - B(x;y) - C(x;y) - A(x;y)
COLEGIO TRILCE
Página 7
ALGEBRA
POLINOMIO Un polinomio es una expresión algebraica racional entera, siendo los exponentes de sus variables enteros positivos incluido el cero. Ejemplo: * P(x;y) = 2x2 + y3 * Q(x;y) = 8x4 + 2xy3 - y2 Nota: - El polinomio de un término recibe el nombre de monomio. - El polinomio de dos términos recibe el nombre de binomio. - El polinomio de tres términos recibe el nombre de trinomio.
GRADOS DE UN POLINOMIO a. Grado absoluto Es cuando se refiere a todas sus variables, está dado por el mayor grado absoluto de un término del polinomio.
b. Grado relativo Cuando se refiere a una sola variable, está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio. Ejemplo: a. Dado el siguiente polinomio:
P(x;y) = 5x4y7 + 12x6y3 Grados: 4 + 7 = 11 6 + 3 = 9
GA = 11 Exponentes de la variable "x": 4 y 6 GR(x) = 6 Exponentes de la variable "y": 7 y 3 GR(y) = 7 b.
Dado el polinomio: GA = 24 Exponentes de la variable "x": 6, 3 y 5 GR(x) = 6
COLEGIO TRILCE
Página 8
ALGEBRA
Exponentes de la variable "y": 12, 11 y 19 GR(y) = 19
POLINOMIO HOMOGÉNEO Es aquel polinomio cuyos términos están constituidos por más de una variable y presentan el mismo grado. Ejemplo: a. Dado el polinomio: Q(x;y) = 12x6y12 - 13x3y11 - 2x5y19 Grados:
b.
6 + 12 = 18
3 + 11 = 14
5 + 19 = 24
Es homogéneo de grado "8". Dado el polinomio homogéneo:
R(x;y) = x 9y a + 5x by5 - x10y7 Grados:
a+9
b+5
10 + 7
indicar "a + b". se cumple: a + 9 = b + 5 = 17 a=8 b = 12
AHORA HAZLO TU 1.
Indicar el grado relativo de "x" en el siguiente polinomio: P(x;y) = -3x6 + 2x4y7 + 5x7y2 Rpta.: __________
2.
Indicar el grado relativo de "y" en el siguiente polinomio: Q(x;y) = 7x6y5 - 20x9y3 + 13xy6 Rpta.: __________
3.
Dado el polinomio: S(x;y;z) = x9 + 12x7y4 - 3z8y5 + 7x11y3z7 indicar el valor de: E = GA + GR(y) - GR(z) Rpta.: __________
4.
Dado el polinomio: U(x;y) = 25x4y16 + 13x7y12z2 + 4x16y2z5 indicar el GA. Rpta.: __________
COLEGIO TRILCE
Página 9
ALGEBRA
5.
Sea: P(x;y) = 3xa + 2 + yb - 1 si: GR(x) = 7 y GR(y) = 4;
calcular "ab".
Rpta.: __________ 6.
Sea: P(x;y) = -3xa + 5 - y2b si: GR(x) = 6, GR(y) = 12; calcular "a + b". Rpta.: __________
7.
Sea: P(x;y) = 4x2yb + 7x4y7 - 5x5y3 se sabe que: GR(y) = 10. Determinar el GA de P(x;y). Rpta.: __________
8.
Dado el polinomio homogéneo: P(x;y) = x20y10 + x19y11 + x5ya + x4yb hallar el valor de "a + b". Rpta.: __________
9.
Indicar el grado absoluto del siguiente polinomio: F(x;y) = (x2y3)1 + (x2y3)2 + (x2y3)3 + (x2y3)4 + ... "20 términos" Rpta.: __________
10. Hallar el GR(x) en el siguiente polinomio de 2006 términos: A(x;y) = y + yx + yx2 + yx3 + yx4 + ... Rpta.: __________ 11. Dado el polinomio homogéneo: P(x;y) = x5y3 + x4yd + x3ya + (xyb)2 + xyc indicar el valor de "a + b + c + d". Rpta.: __________ 12. Hallar "2m + n", si en el siguiente polinomio: Q( x ; y )
13 x m
2
2x m 1y n
2
2 x my n
3
se cumple que: GR(y) = 8 GR(x) = 3. Rpta.: __________ 13. Hallar "m", si el polinomio: P(x) = 5mxm + 1 - 2xm + 3 - xm + 5 posee GA = 12. Rpta.: __________
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
14. Si: GR(y) = 15 en el siguiente polinomio: M(x;y) = 3x2aya + 2 + 5x10ya + 9 hallar el GR(x). Rpta.: __________
15. Dado el polinomio: P(x;y) = xm + 30yn + xm + 25y10 - n si: GR(x) = 35, hallar el GA si el exponente de "y" es el mismo en ambos términos. Rpta.: __________ 16. Dado el siguiente polinomio homogéneo: P(x;y) = xa + by5 + c + x5 + by10 + a + x30 indicar el valor de "a + b - c". Rpta.: __________ 17. Encontrar el grado absoluto de: P(x;y) = xn + 4yn + 5 + xn + 1yn + 7; n N si: GR(x) = 10. Rpta.: __________ 18. Si tenemos el polinomio: P(a; b) a8b 3 calcular GR(a) + GR(b).
1 5 4 ab 3
7 9 ab 2
Rpta.: __________ 19. Hallar "m"
N, sabiendo que el polinomio "P(x)" es de grado 36.
P(x) = 3(x5m + 3)2 + 7(xm + 1)3 Rpta.: __________ 20. Indicar la suma de coeficientes del polinomio: P(x;y) = axa - 2yb - 3 + bxa + 1yb siendo: GR(x) = 10 y GA = 16. Rpta.: __________ 21. Si el polinomio es homogéneo: P(x;y;z) = xm + 4yn + 6 + xm + 20z15 + xn - 1z32 hallar "n - m"
Rpta.: __________
COLEGIO TRILCE
Página 11
ALGEBRA
1.
Sumar: a + b ; 2a + 3b + 5c y 4a - 2b + c
(a + b) + (2a + 3b + 5c) + (4a - 2b + c) a + b + 2a + 3b + 5c + 4a - 2b + c
a + ó
7a + 2b + 6c
b 0
0
2a + 3b + 5c 4a - 2b +
c
7a + 2b + 6c
2.
Sumar: 2x3 + 5x ; 6x3 - 2x y x3 - x
(2x3 + 5x) + (6x3 - 2x) + (x3 - x) 2x3 + 5x + 6x3 - 2x + x 3 - x
2x3 + 5x ó
6x3 - 2x x3 -
3
9x + 2x
3.
x
9x3 + 2x
Sumar: 3x2 + 8x + 1 ; 2x2 - 3x + 7 ; -x2 - 2x ; 4x2 - 3 (3x2 + 8x + 1) + (2x2 - 3x + 7) + (-x2 - 2x) + (4x2 - 3) 3x2 + 8x + 1 + 2x2 - 3x + 7 - x2 - 2x + 4x2 - 3
3x2 + 8x + 1 2x2 - 3x + 7
ó
-x2 - 2x
8x2 + 3x + 5
4x2
- 3
8x2 + 3x + 5
4.
Sumar: 7x4 + 2x - 1 ; 3x4 + 6x + 4 y -10x4 - 8x + 2 (7x4 + 2x - 1) + (3x4 + 6x + 4) + (-10x4 - 8x + 2) 7x4 + 2x - 1 + 3x4 + 6x + 4 - 10x 4 - 8x + 2 5
7x4 + 2x ó
1
3x4 + 6x + 4 -10x 4 - 8x + 2 5
COLEGIO TRILCE
Página 12
ALGEBRA
AHORA HAZLO TU 1.
4. Sumar:
Considerando los siguientes
3a + 5b + c ; 4a + 2b - c
polinomios: A(x) = 3x2 - 5x + 2 B(x) = 4x3 + 3x2 + 2x - 5
Rpta.: _______ 5. Sumar: p + q + r ; -2p - 6q + 3r ; p + 5q - 8r
C(x) = -4x + x3 + 3 D(x) = 2x4 + 5x2 - 7
Rpta.: _______
Calcular: a.
B(x) + C(x)
b.
A(x) + D(x)
c.
B(x) + D(x)
d.
A(x) + C(x)
e.
A(x) + B(x) + C(x)
f.
B(x) + 2C(x)
g.
D(x) + 3C(x)
6.
Resolver las siguientes adiciones de polinomios: a.
El resultado de sumar: 3x2 - 8x + 1 con el doble de: x2 + 4x + 2 es: Rpta.: _______
b.
¿Cuál será el resultado de sumar el triple
h. 2D(x) + C(x)
de: a2 - 4ab - b2 con el doble de: a2 + 3ab
i.
+ b2
j.
2A(x) + 5B(x) 2C(x) + D(x) + A(x)
Rpta.: _______ 2.
Si: A = 4a + 3b - 2c + 6d B = 5a - 2b + c - 4d
7.
Si: P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 3 Q(x) = -2x3 - 4x2 - 4x + 2
hallar: 2A + 3B
determinar el valor de: A = 2P(x) + Q(x)
Rpta.: _______ Rpta.: _______ 3.
Dados los polinomios: A = x2 + x + 1 B = x2 - x + 1 C = -x2 + 1 hallar: A + B + 2C
8.
Si: P(x) = 5 - 9x + 8x2 - 7x3 + 6x4 Q(x) = - 5x4 + 8x3 - 7x2 + 3x - 4 calcular: P(x) + Q(x) Rpta.: _______
Rpta.: _______ COLEGIO TRILCE
Página 13
ALGEBRA
9.
Si: P(x) = 3x2 + 6x - 1
11. Si: A(x) = 2x3 - x2 + 6x - 1 B(x) = x3 + x2 + 3x - 2
calcular: P(x) + 3Q(x)
C(x) = -x3 + 5x2 + 4 calcular:
Rpta.: _______
3A(x) + 4B(x) + 10C(x) 10. Si: P(x) = x2 + x+ 5
Rpta.: _______
Q(x) = 5x2 + 2x - 3 R(x) = -3x3 - 4x + 1 calcular: 2P(x) + Q(x) + R(x) Rpta.: _______
Para restar polinomios, se escribe el polinomio minuendo con sus respectivos signos y a continuación el polinomio sustraendo, cambiando el signo de cada uno de sus términos; si hay términos semejantes se reducen. Ejemplo: a.
De: 4x - 2y + 5z restar: 3x + 4y + z
4x - 2y + 5z - (3x + 4y + z) 4x - 2y + 5z - 3x - 4y - z
4x ó
x - 6y + 4z b.
-3x x -
2y + 4y
5z
-
z
6y +
4z
Restar: 4a3 + 6b2 + a - 5 de: 8a 3 + 10b2 + 6a 8a3 + 10b2 + 6a - (4a3 + 6b3 + a - 5) 8a3 + 10b2 + 6a - 4a3 - 6b2 - a + 5 4a3 + 4b2 + 5a + 5
COLEGIO TRILCE
8a3 + 10b2 + 6a 0 0 ó
-4a3 - 6b2 -
a + 5
4a3 + 4b2 + 5a + 5 Página 14
ALGEBRA
c.
Si: P(x) = 4x3 + 3x2 - 2x - 1 ; Q(x) = -5x2 + 3x + 2 determinar el valor de: P(x) - Q(x). 4x3 + 3x2 - 2x - 1 - (-5x2 + 3x + 2) 4x3 + 3x2 - 2x - 1 + 5x2 - 3x - 2
ó
4x3 + 8x2 - 5x - 3
d.
4x3 + 2x2 - 2x
- 1
4x3 + 5x2 - 3x
- 2
4x3 + 5x2 - 5x
- 3
Si: P(x) = x2 + 3x + 2 ; Q(x) = x2 + x - 1 determinar el valor de: P(x) - 3Q(x).
x2 + 3x + 2 - 3(x2 + x - 1) x2 + 3x + 2 - 3x2 - 3x + 3
ó
-2x2 + 5
x2 + 3x +
2
-3x2 - 3x +
3
-2x2
5
+
AHORA HAZLO TU 1.
Considerando los siguientes polinomios:
A(x) = 3x2 + 4x - 6 B(x) = x2 - 2x + 3 C(x) = 2x2 + x + 2 calcular: a.
A(x) - B(x)
b. C(x) - B(x)
c.
A(x) - C(x)
d.
A(x) - B(x) - C(x)
e.
f.
2A(x) - 3C(x)
g.
A(x) - 3B(x)
h. A(x) - 4C(x)
i.
2A(x) - 4B(x) - C(x)
j.
3C(x) - 2B(x)
A(x) - [B(x) - C(x)]
2.
Efectuar: (6a 3b4 + 2x3 + 3mn) - (-mn + 2x3 - a3b4)
3.
Efectuar las siguientes restas de polinomios:
4.
a.
De 5m3 - 9n3 + 6m2n - 8mn2 restar 14mn2 - 21m2n + 5m3 - 18
b.
De -a5b + 6a3b3 - 18ab5 + 42 restar -8a6 + 9b6 - 11ab5 - 11a5b
Resuelve las siguientes sustracciones de polinomios:
COLEGIO TRILCE
Página 15
ALGEBRA
a.
Restar el polinomio: 2x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + 2 del polinomio: 3x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 3
b.
Indicar el resultado de restar la suma de x3 + 3x 2 + x + 2 con: x 2 - 3x2 + x - 2; de la suma de 2x3 + x2 + x + 1 con: x3 + x2 + 2x - 6
5.
Si: A = x2 + 6x + 1 ; B = 3x2 - 5x + 2 ; C = 4x2 - 6x - 1 calcular: C - A - B.
6.
Si: P(x) = 5x4 + 2x3 - 3x2 + x + 5 ; R(x) = -5x3 + 2x2 - 6x - 6 calcular: B = P(x) - R(x).
7.
Si: P(x) = 4x2 - 5x2 + x ; R(x) = 6x2 - 3x - (y2 - x) calcular: P(x) - R(x).
8.
Si: M(x) = 2x2 - 5x + 4; N(x) = 3x 2 - 7x + 6 calcular: 3M(x) - 2N(x).
9.
Si: P = 5x - 7t + 30 Q = -10t + x - 4t + 20 R = x - t + x - 11 + 12t calcular: P - Q - R.
10. Si: M(x) = 2x2 - 5x + 4 ; N(x) = 3x2 - 7x + 6 ; P(x) = 5x2 - 2x + 1 calcular: 5M(x) - N(x) - P(x).
11. Dados los polinomios: P(x) = x4 + 6x - 1 Q(x) = x4 - 2x3 - x2 + 6 R(x) = -4x3 + x2 + 6x + 11 calcular: P(x) - Q(x) - R(x). COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
12. Dados los polinomios: P(x) = x4 - (2x3 - x + 1) Q(x) = x3 + 5x2 - (6x - 3) calcular: P(x) - Q(x).
1.
En el siguiente binomio: P(x;y) = (2x + 3)xa + 7y2a - 4 se cumple que GA = 15, indicar GR(x).
2.
Hallar el coeficiente del monomio: M(x;y) = (a + b)x2a + 1y3b - 5 sabiendo que: GR(x) = 7; GR(y) = 13
3.
Dado el siguiente monomio: calcular: GA + GR(x) + GR(y).
4.
En el monomio: , se tiene que: GA = 11 hallar: GR(y).
5.
Si: GR(y) = 7, determinar el GA de M(x,y), si: M(x;y) = 3a3xb + 3yb
6.
Calcular el GA de si se sabe que: GR(x) = 6 y GR(y) = 4.
7.
Calcular el grado del monomio: P(x;y) = 2xn - 5yn - 3 donde el GR(x) = 4.
8.
El siguiente monomio: es de segundo grado, hallar "n".
9.
Si: M(x;y) = 3x2y3; N(x;y) = -15x2y3; R(x;y) = +2y3x2; S(x;y) = -12y3x2 hallar el valor de:
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
a.
A = M(x;y) + R(x;y)
b.
B = M(x;y) + N(x;y) + S(x;y)
c.
C = 5M(x;y) + N(x;y) + 6R(x;y) + S(x;y)
d. D = 4M(x;y) + S(x;y) - N(x;y) - R(x;y) e. E = 2S(x;y) - 3R(x;y) + N(x;y)
10. Calcular el valor de "m", si la expresión es de sexto grado: P(x;y;z) = 7xm + 1y1 - pzp + 2 Rpta.: ______________
11. Hallar la suma de los siguientes monomios: P(x) = 2x4c - 3; R(x) = 2cxc + 9 sabiendo que tiene el mismo GA. Rpta.: ______________
12. ¿Qué valor debe tomar el coeficiente de M(x;y) en: M(x;y) = mnmnxm + nym - n si se sabe que: GR(x) = 8 y GR(y) = 6; m, n N?
Rpta.: ______________ 13. Hallar el valor de "m", si la expresión: (2xm - 1y3m + 2)5 es de GA = 45.
Rpta.: ______________
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
Reducir dos o más términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes de los términos, dependiendo del signo, transformándolo en un solo término. Ejemplo: 1.
9x + 7x + 3x = 19x Signos iguales se suman queda el mismo signo.
2. 13x - 7x = 6x Signos diferentes se restan queda el signo del mayor.
3.
8x + 3y - 2 + (7 + x - y) 8x + 3y - 2 + 7 + x - y 9x + 2y + 5
4. 7x + 2y - 3 - (9 - 4x + y) 7x + 2y - 3 - 9 + 4x - y 11x + y - 12
AHORA HAZLO TU
I.
Reducir los siguientes términos semejantes: 1.
3x + 2x + x - 5x + (3x - 2x - x)
2.
4a + (7a - a + 5a)
3.
-2x - (3x + 2x - x) + 8x
4.
-4y3 - [2y3 + y3 + (3y3 - 4y3)]
5.
-3z - {-2x + 8z} + [8x - 5m + 9z] - 15x
6.
- { - [3a + 6x - (2m - 5x)] - [-5z - 8m + 6a - (7x - 6m)]}
7.
2x3 - {3x3 + 5x - (2x3 + x3 - 3x)} - [5x3 - x + (2x - 3x3 + x)]
8.
[a + b + (2a - 3b)] + [5b - 4a - (3b - 7a)]
9. {10a2 - 3a + 1 - (5a2 - a - 4)} - {5a2 - 1 + a2 - [6a2 - a + 1 - (5a + 7 - a 2)]} 10. {a2 + 2ab + 1 - [3a2 - 5ab - 1 - (6a2 + 7ab - 6)] - 2ab} - [3a2 - 6 + (ab - a2)] COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
II. Reducir los siguientes términos semejantes: 1. - a + {2a - 3b + [4a - 5b - (6b - 7a)]} 2.
3a2 - 2a + 1 - {3 - 2a + a 2 - [3a + a2 - 1 + (3a 2 - 2 + a)]}
3.
x2y3 + 2x2y3 - { - [3x2y3 + 4x2y3 + ... + 20x2y3]}
4.
5a2b + 7ab2 - 2a2b - 8ab2 - [9a2b - 6ab2 - (a2b - ab2)]
5.
- { - [3a + 6x - (2m - 5x)] + [-5z - 8m + 6a - (7x + 6m)]}
6.
5a + 4b + 3a + 2b + a - a - 2b - 3a - 4b - 5a
7.
+10x - 20x + [3x5 - 10x + 3x5] - 6x5 + 20x
III. Comparar: 1. Sean "t1" y "t2" dos términos semejantes, ¿qué valor debe tener "m"?
Rpta.: ___________ 2.
Sean "t1" y "t2" dos términos semejantes, ¿qué valor debe tener "a"? t1 = xa + 5y7; Rpta.: ___________
3.
En la siguiente expresión se tienen tres términos semejantes: 5xa + b + 3x3 - 7xb + 1 al reducir a un solo término se obtiene: Rpta.: ___________
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA IV BIM. TRILCE PRIMARIA
LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ALGEBRA
Pág.
å
Multiplicación de un monomio por un polinomio .........55
å
División de un polinomio entre un monomio ...............59
å
Notación polinómica - Valor numérico de un polinomio .................................................................63
å
Resolución de ecuaciones con coeficiente entero ......67
å
Resolución de ecuaciones con coeficiente fraccionario ...................................................................71
å
Repaso de ecuaciones I ..............................................73
åRepaso de ecuaciones II
COLEGIO TRILCE
75
Página 2
ALGEBRA
Para poder reducir o simplificar expresiones de la forma: Propiedad Distributiva:
a . (b + c)
se hace uso de la
a(b + c) = ab + ac además de considerar:
Conclusión: * Si se multiplica dos expresiones del mismo signo se obtiene siempre "+".
Ley de Signos: (+) (+) (-) (-)
•
. . . .
(+) (-) (-) (+)
= = = =
+ + -
*
Si se multiplica dos expresiones de signos contrarios,
se obtiene siempre "-"
Ejemplos Efectuar cada caso: 1. 2x(x + 2y)
Recuerda que: x
= 2x (1x + 2y ) 1
1
1
tiene características: +1 x 1
= 2x2 + 4xy
2. -3x2y3(x 3 - y)
Recuerda: xa.xb = xa + b (busca bases iguales) (-) . (-) = +
= -3x 2y3(1x3 - 1y 1) = -3x 5y3 + 3x2y4 Ahora con tu ayuda:
2x4(x5 - 3x2 - 2) = 2x 4( 3.
COLEGIO TRILCE
=
x
x 5 - 3x2 - 2) -
x
-
x4
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ALGEBRA
-3x 4(2x - 5x5 + 1) = -3x4(2x =-
4.
x
- 5x5 + 1) +
x
-
x
x4y2z3(xyz2 - 2x4y4z) = x4y 2z3(x y z2 - 2x4y2z ) = x y z
5.
-
x y z
AHORA HAZLO TU
I.
Efectúa cada uno de los casos en tu cuaderno, si es posible simplifica cada expresión: 1.
4(5x + 3)
8. 4xy3(x7 + 2x4 - 3x7 + x4)
2.
-3(5xy - 2)
9. -x4y(x4 - 5x3 + y3 + 2x4)
3.
7x(x2 - yx2)
10. 3x2y3(x3 - z4 + x3)
4.
-3x2y3(x3 - y2)
11. 2x2y2(x2 + x2 + y2)
5.
4x2(x3 - x7 + 2x4)
12. -5xy(xy - 3xy + 5x2y)
6.
-3xy2(x - y + 2xy)
13. 2x2y3(3x3y - 2x4y3)
7.
5(x + 2y - 3z)
14. -5x4(2x2 - 3x3 + 5x3)
II. Reduce en cada caso en el cuaderno: 1.
P(x) = 2x(x2 + 1) - 2x 3
2.
G(x) = 3x2(x - 1) + 3x2
3.
F(x) = -5x(2 - 3x) + x(10 - 6x)
4.
E(x) = 7x3(x2 - x4) + x4(7x3 + x)
5.
M(x) = 3x4 - 5x(x2 + x3) + (3 + 2x4)
III. Desafíos 1. Simplifica: Q(x) = 3x(x2 + 2x) + 5x(5x - 3x2) 2. Simplifica: Q(x) = x(7x - 5) + 7x 2(8 + 3x) + 5x COLEGIO TRILCE
Página 4
ALGEBRA
3.
Simplifica y luego halla: P(x) + Q(x) si: P(x) = 3x(6x - 8) + 4x(9 - 2x) y Q(x) = 5x2 + 8(3x2 - 2x)
4.
Calcula: P(x) - Q(x) si: P(x) = 3x3 + 7(x2 + 5x3) y Q(x) = 10x2(5 - 3x)
5.
Si: R (x) = 7x3(5x3 - 3) + 4(2x 6 - x3) halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.
6.
Dado: A(x) = (2x2 - 3x3)7x y B(x) = (5x3 - 4x2)8x calcula: A(x) + B(x)
7.
Halla el grado absoluto (GA) del polinomio simplificado, si: P(x) = 7x2(5x3 + 8x4) + 8x5(x2 - 3x3)
8.
Calcula el grado relativo con respecto a "y" del polinomio simplificado en: P(x,y) = 4x2y3(y2 - 2x2y5 - 8x) + 7y8x4
9.
Dado el polinomio: P(x;y;z) definido como: P(x;y;z) = 8a3b4x3y4z5 - 4b4a3z5x3y4 encuentra: a.
GA =
d. GR (z) =
b.
GR (x) =
e.
Coeficientes =
c. GR (y) =
10. Halla el valor numérico (V.N:) de P(2); si: P(x) = 7x(x2 - 3x) - 4x3 + 21x2 + 5x(2x - 3x2) (Sugerencia: primero reduce el polinomio) 11. Representa algebraicamente el perímetro (P) de cada figura que se muestra a continuación: a.
4x + 8
P = ___________________ ___________________
12x - 5
3x + 4
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
P = ___________________ 2x + 5
b.
___________________
2x + 5
P = ___________________
2 + 3x 2 + 3x
___________________
c.
5x - 1
12. Halla la expresión algebraica que represente el área (A) de cada figura:
A = ___________________ 2x
a.
___________________
2x 3xy
A = ___________________ 4x
___________________
b.
3x2
A = ___________________ ___________________
c.
4x
10xy
9xy
A = ___________________ ___________________
4xy
___________________ d.
COLEGIO TRILCE
12xy
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ALGEBRA
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio. Además se debe considerar:
Ley de Signos: (+) (+) (-) (-)
*
(+) (-) (-) (+)
= = = =
Conclusión: * Si se dividen dos expresiones del mismo signo, el resultado siempre es "+"
+ + -
*
Si se dividen dos expresiones de signos
contrarios, el resultado siempre es "-"
Ejemplos Efectuar cada caso:
x 1.
8
x8
x4
3.
3 6
4x y
32 x 6 y 7 4 xy 20 x 9 y 4 z8
4.
x4 Recuerda que:
24 x 8 y 9
2.
4
xn
5 4 7
4x y z
24 x 8 y 9 . . 4 x3 y6
xm
xn
m
6 x5y 3
32 x 6 y 7 . . 4 x1 y1 20 x 9 y 4 z 8 . . . 4 x 5 y 4 z7
(Se trabaja con los que tienen la misma variable) 8x5 y 6
5 x 4 y 0 z1
(Recuerda que: y0 = 1)
î -5x4z
(32x8 - 4x6 - 12x5) (4x4) = 8x4 - x2 - 3x
5. 36x 5 y 7
6.
12 x 6 y 5 12 x 5 y 5
24 x 8 y5
36 x 5 y 7
12 x 6 y 5
24 x 8 y 5
12 x 5y 5
12 x 5 y 5
12 x 5 y 5
= 3y2 - x - 2x3
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
AHORA HAZLO TU I.
Reduce cada uno de los siguientes casos en tu cuaderno, si es posible simplifica cada expresión.
16 x 7 y 8 1.
12 x 6 y 7
8x 4 y5
32 x 5 y 8
4x 4y6
3.
15x 9 y 3 2.
3x 6 y 2
4. (16x6y6 - 36x9y5) (4x5y5)
12 x13 y10
3x14 y 9
9x10 y 8
3x10 y 8
5. 200 x 8 y 9z10
300 x 6 y10 z9
300 x 5 y 8 z10
100 x 5 y 8z9
6.
24 x 6 y 9
32 x 6 y14
7.
12 x 5 y 3
8x 5 y 8
8.
(16x4y9 - 32x6y9) (4x3y8)
9. (324x9y8 - 42x6y10) (-6x5y8) 20 x 6 y 9
44 x 5 y 8
10.
2x 6 y 9
50 x 5 y 8
2x 5 y 8
II. Desafíos
5x (5 x
3x 2 )
x (7 x
COLEGIO TRILCE
3x )
2x
1. Simplifica:
2. Simplifica:
3x ( x 2
7
7)
7 x 2 (8 7x
3x )
5x 5x
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ALGEBRA
3.
Halla el grado absoluto del polinomio simplificado. 4 x(3x 2
P( x )
2x 3 )
18 x 2 y 4
36 xy 2 2x 2 y 4 2x
4. Si: calcula: P(3;2)
3( x 3 y 3z4
6 x 3 y 3z 4
Calcula "A(x) + B(x)", si:
8 x 2 (4 x
3x 2
5x 3 )
B ( x)
4x2
3x 5
6 x (4 x 4
2x2
x3 )
3x 3
Halla el Valor Numérico (V.N.) de P(1;0) ; si: P( x ; y )
8.
3x 6 y 6 z 8 ) 3x 2 y 2 z2
A (x )
7.
30 xy 2
Indica la suma de coeficientes del polinomio simplificado, si: P(x ; y;z)
6.
5x 4 )
2x 2
P( x ;y )
5.
2(7x 3
18x 6 y 8
36 x 8 y 6
6x10 y10
6x 5 y 5
Dado el polinomio P(x;y;z) definido como: 50 x 4 y 4
P(x ;y ;z)
100 x 8 y 8 z6 x2 )
3( x
60 x10 y10 z10
7x 2
3x
calcula: a. GA = d. GR (x) = 9.
b. e.
GR (z) = Suma de coeficientes =
c. GR (y) =
Calcula el grado relativo respecto de "x", del polinomio simplificado, si:
P( x )
16 x 3
8(x 4
3x 3
2x 2 ) 8x 4 16 x 2
4 x2 R ( x )
10. Si:
7 x 3 (5x 3 15 x 2
3)
(10 x 2
4(5 x 6 5x 2
x3 ) 5x 2 )
halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
H ABILIDAD OPERATIVA Reemplaza para cada caso: x = 5; y = 2; z = 3 y obtén el valor mentalmente: x
a.
y 2
b.
c.
d.
e.
z
î
Rpta.: _______________
2x - 3y - z
î
Rpta.: _______________
x2 - y4
î
Rpta.: _______________
î
Rpta.: _______________
î
Rpta.: _______________
î
Rpta.: _______________
y
4
2z
x2 + y2 + z2
x2
z2 y2
f. xy
yz
g.
10
6
î
Rpta.: _______________
h.
2x + 5y - 3xy
î
Rpta.: _______________
î
Rpta.: _______________
z2 i.
y2 13
2x 5
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
NOTACIÓN POLINÓMICA Un polinomio cuya única variable es "x" puede ser representado así: P(x) Se lee: "P de x" o "P en x" Significa:
Polinomio cuya única variable es "x"
Por lo tanto: 1. M(x;y) = -2x4y5 será un monomio de variables: "x" e "y" 2.
P(x;y;z) = 3a2bx4y5z3 será un monomio de variables: "x", "y", "z"
Nota: "a" y "b" se llaman constantes y forman parte del coeficiente del monomio. 3.
P(x) = 3x4 + 2x3 - 2x2 + x - 7 será un polinomio de cinco términos, cuya variable es "x".
4.
P(x,y) = -x2 + y3x4 - 7x2y7 - m será un polinomio de cuatro términos cuyas variables son "x" e "y"
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO (V.N.) Se llama así al número que se obtiene al reemplazar su variable o variables, por los valores numéricos que se dan. Ejemplo: a. Si: P(x) = 3x2 + 1; hallar P(2) Resolución: como: P(x) = 3x2 + 1 entonces:P(2) = 3.(2)2 + 1 = 13 b.
Si: P(x;y) = -x2y + 3x; hallar P(1;2) Resolución: como:
P(x;y) = -x2y + 3x
entonces:P(1;2) = -(1)2(2) + 3(1) = 1 c.
Si: M(x) = 7b2x3; hallar: M(5) Resolución: como:
M(x) = 7b2x3
entonces:M(5) = 7b2(5)3 = 875b2 COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
AHORA HAZLO TU
1.
Sean los polinomios: P(x) = 2x2 - x + 1 Q(x) = x + 3 H(x) = 2x - 3x2 calcula cada caso: a.
P(2) =
b. Q(-1) =
c.
H(2) =
d. A = P(1) + Q(1)
e.
B = Q(6) - H(3)
Ahora en el cuaderno: 2.
Si: P(x) = 3x - 4; halla: P(0) + P(2) + P(4)
3.
Conocido: F(x) = 5x - 3; calcula: F(3) + F(1)
4.
Si: Q(x;y) = 2xy - y2, calcula: Q(3;2)
5.
Sabiendo que: M(x) = 3x2 - x + 1 y N (x) = 5x - x2 + 3, calcula: M (3) + N(4)
6.
Si: P(x) = 3x2 - x - 3 y Q(x) = x2 - x + 1; calcula: P(3) + P(1) - Q(3)
7.
Sabiendo que: G(x;y) = 2x + xy - y 2 calcula: G(0;1) + G(1;2) + G(-1;-1)
8.
Si se sabe que: P(x) = 2x - 3 y G(x) = 3x + 2 calcula: M(P(1) + P(2)), donde: M(x) = x
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
9.
Dado: H(x) = 3x - (x - 2)2; halla: H(4) - H(12)
10. Para qué valor de "n" se cumple que: F(0;3) = n + G(2;5) donde: F(x;y) = x10 + y; G(x;y) = 3x - 5y 11. Sabiendo que el monomio: M(x;y) = 3xn + 1ym + 2 tiene grado relativo respecto de "x" igual a 6 y grado relativo respecto de "y" igual a 9. Halla "m + n" 12. Se sabe que el monomio: N(x;z) = 25xa + 2z2a - 1 es de grado relativo respecto de "x" igual a 12. Halla el grado relativo respecto de "z". 13. Sabiendo que el polinomio: P(x) = 2xn + 3 + xn + 2 + x es de grado absoluto igual a 5, calcula el valor de "n".
14. Halla el valor de "a + b" si: GR (x) = 8 y GR (y) = 6, si: P(x;y) = 2xa + 2 + 3xy3 + b 15. Si el polinomio: P(x) = 3(x2)3(2xn) es de grado relativo respecto a "x" igual a 13, halla: 2n + 6.
*
Ecuación Es una igualdad condicional que presenta una o más incógnitas.
Solución: Valor que verifica a toda la ecuación. *
Ejemplo: Sabiendo que la solución de la ecuación en "x" es 3, calcular "a"
COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
2(2a + x) = -[-(3a - x)] + 4 Resolución: Del dato: x = 3, ahora reemplazamos en la ecuación:
2(2a + 3) 4a + 6 4a - 3a a *
= = = =
-[-(3a - 3)] + 4 3a - 3 + 4 -3 + 4 - 6 -5
Ahora para resolver una ecuación se trabaja: -
Primer paso Se trabajan los paréntesis, llaves, corchetes.
-
Segundo paso Se transponen términos (hacia el mayor)
-
Tercer Paso Se reducen términos semejantes.
-
Cuarto Paso Se despeja la incógnita.
AHORA HAZLO TU I.
Resuelve en tu cuaderno 1.
3x + (5 - 2x) + 4 = 6
2.
4x - (5 - 7x) - 6 = 11
3.
-3x + 2 - (x + 3) = -5x + 4
4.
4 + 5x - (3 - 3x) = 6x - 7
5.
8 - 5x + 3(2 + x) = -(x + 6)
6.
9 - 3x + 2(3 - x) = -5(x + 4) - x
7.
5 - (3y - 6y - 8) - 7y = 2y + 16 - 9
8.
3(y - 4) = (3y - 5 - 4y) - (2 - 5y + 10)
COLEGIO TRILCE
Página 14
ALGEBRA
9.
2m - (3 - 9m + 8) = 35 - (3m - 62 + 4m)
10. 8 - (7m - 4) - 36 = -5m - [4m - (8 - 2m)] 11. 3(x + 1) - 5(x + 5) = 4(1 - 2x) - 2(x - 3) 12. 5z - 7(z - 1) = -{2(z - 3) + z} 13. 3(x + 6) + 3 = 3 + 5(x - 4) 14. 11 + [3(x + 2) + 4] = [6(-2x - 2) + 1] - 13 15. 4 + 12(2x + 1) = 2 + 3(-2x + 8) II. Resuelve los siguientes problemas: 1. Si: x = 3; es la solución de la ecuación: 3(x + a) - (5x + 2a) = 8 calcular "a" 2.
La solución de la ecuación en "x": 2x - a + (5x - a) = 3x - a; es 1 calcular "a"
3.
Hallar "a", si la solución de la ecuación en "x": 4 - (5x - 3a) = 3 - 4(x + a) es -2
4.
Calcular "m" si la ecuación en "x": 3(x - 4m) + 4m = 6x - 7m tiene como solución: x = 4
III. En cada caso calcular "x" 4x 8
1.
2.
6
2x 4x 1 3
3x 6 5x 4 4x x 3
4x 7x
3.
5x
7x 1 3x 1 5 4 x
COLEGIO TRILCE
4x 8
5x
2x 4x 1 x 1
6 4x
4x 7x
6
3x 5x 4 9 x
8 3x 1 5 4 x
î
x = __________
î
x = __________
î
x = __________ Página 15
ALGEBRA
5x 3x 6 5( x 4) 2x x 1
4. !Desafío!
1
20 8 3x
2x 6
î
x = __________
recuerda que:
a b
1
b a
Para resolver este nuevo tipo de problemas se trabajará: â
Primer paso Se calcula el m.c.m. de los denominadores.
â
Segundo paso Se multiplica a cada uno de los términos por el m.c.m.
â
Tercer Paso Se reducen términos semejantes (transponiendo términos).
â
Cuarto Paso Se despeja la incógnita.
AHORA HAZLO TU
I.
Hallar el valor de "x" en cada caso:
1.
2.
x 6
5 2
x 4
2x
x
7
3
2
6
COLEGIO TRILCE
1
x
1
x
4
3.
2
2
3
3
4.
2x 3
1 3
3x 4
1 4
x
2x
Página 16
1
ALGEBRA
5.
2x 5
6.
x 3
7.
8.
1 3
4x 3
x
2
1 2
x
6
3x 2
1 4
15.
x
0
x
5
x
1
4
12
4
1 4
6x 1 6 11. 4x 3 3
x
1
x 3
8
5( x
3
4)
x
2
2 3
2
2x
7
5x
13
3 4 9
12
4x
4 2
10 3
4x 3
3x
3x 4
6
2x 18. 3
5 4 2x
7 3
2x
5x 7 4
0
Resolver cada caso en tu cuaderno: 1. 3 - (x + 4) + x = 2x - 3 2.
16 - (3x + 9) + 4x = 36
3.
3x - 3(x - 4) = 5 - x
4.
16 - 8x + 4(x - 6) = -(2x - 3) + [ - (x + 1) + 6]
5.
12x - 14(x - 1) = -6(2x + 3) + 9x
6.
4(x - 1) + x - 3 = -2(x + 4) + 6(x - 1)
COLEGIO TRILCE
10 3
3
2
2x
7 4
0
6
9
3x
19.
x 4
2
6
1 4
2
2x
16.
1 4
2
3
14.
x
4
1
17.
9.
12.
13.
5
3x 1 2 x
10.
1 5
x
x
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ALGEBRA
7.
3(2x - 1) - 2(3x - 1) = x - 16
8.
2(3 - x) + 5 = 7(5 - x) + 4x
9.
10x - {2x - (4x + 6)} = 7(6 + x) + 4x
10. 3(x - 4) + 5(3 - x) + x = 24 11. 2(x - 6) - 3(x - 4) = 4x - 25 12. x - 2(x - 3) + 3(x - 4) = 4(5 - x) + 10 13. 4x - 11 + 2(x - 3) - 6x = 3x - 2 14. x + (x + 1) + 2(x + 1) + 3(x + 1) = 6x + 14 15. -13x + 6 + 4(x - 1) = 3 - (x - 4) - 8x 16. 12x - 12(x - 4) + 3(2x - 6) - x = 0 17. 5x - 6(x - 4) - 2(x + 1) + 5 = 0 18. - {x - 2(2x - 4) + 3(x - 3)} = 1 + x 19. 10x - {4x - (5 - x)} + 3 = x - 16 20. 3x - 6 + 4(x - 2) + 5 = -(x - 4) + 23 21. El doble de mi edad aumentado en 32 es igual a restar 98 de 16. 22. El número de monedas que tengo es igual al doble de las que tuve ayer. Si entre los dos días tuve 48 monedas, ¿cuántas tengo hoy? 23. Alfredo posee 32 láminas menos que Lucho pero Pepe el triple de Lucho. Si entre los tres tienen 320 láminas, ¿cuánto tiene cada uno? 24. Si: x = 1; es la solución de la ecuación en "x": 3x - (2x + a) + 3a = 2a + 5x calcular "a" 25. Sabiendo que: x = 8; es la solución de la ecuación en "x": 6x - 4a + (3 - 2a) = 5(x - a) COLEGIO TRILCE
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ALGEBRA
26. Calcular "x". 13 x 12
6
3x
x 3 3 x 4
6
80
x 3 3 x 4
12
6
13 x
3x
x 3 3
12
x
27. Resolver:
12
4
î
x = __________
î
x = __________
î
x = __________
6
80
x 3 x
3
4
28. Hallar "x".
6x 2x
4x 6 3x 4 8 7x
4x 6 3x 4 4x 8 7x
6x 12
Resolver cada ejercicio en tu cuaderno:
1.
x 2
1 3
2 3
3x
2
x 2
2.
3.
x
1
x
6
2
3
COLEGIO TRILCE
5
12.
13.
x
2 3
3
5
3x 1 4
x
6
2
11.
1 2
x
x 5
5
2
x
3 2
Página 19
