Índice 1. Vectores en
R2
y
R3
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2. Operaciones con los vectores
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3. Cosenos directores
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4. Ecuacion vectorial de una recta
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5. Producto escalar de dos vectores
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6. Aplicaciones geométricas y físicas
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7. Producto vectorial de dos vectores
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8. Ecuación del plano
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9. Triple producto escalar
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10.Triple producto vectorial
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2.1. Suma de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Multiplicación de un escalar por un vector . . . . . . . . . . .
6.1. Aplicaciones Geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 2
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1.
Vectores en
R2
y
R3
Un vector en R2 es un par ordenado (x,y), que se mueve en un plano y un vector en R3 es una terna (x,y,z) que se mueve en el espacio 2.
Operaciones con los vectores
2.1.
Suma de Vectores
~ = (a1 , a2 ) y B ~ = (b1 , b2 ), se hace la Para sumar dos vectores tales que A suma de sus componentes correspondientes: ~+B ~ = (a1 + b1 , a2 + b2 ) A
Gracamente esto lo podemos ver de tal forma que, el origen de un vector
~b se encuentre en el nal de un vector ~a, de igual manera podemos ver que el vector que resulta de ~a + ~b es la diagonal del paralelogramo formado por
esos vectores.
Propiedades de la suma vectorial: Sean ~a ~b y ~c 3 vectores se cumple que ~a + ~b = ~b + ~a (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c) ~a + ~0 = ~0 + ~a = ~a ~a + (−~a) = −~a + ~a = ~0 2.2.
Multiplicación de un escalar por un vector
[H] Sea λ un escalar y ~a un vector entonces el producto de λ y ~a que se denota λ~a es un vector tal que: 1. La magnitud |λ~a| de λ~a es |λ| veces la magnitud de |~a| de ~a esto es, |λ~a| = |λ||~a|
2. La direccion de λ~a es la misma dirección de ~a 3. El sentido de λ~a es el mismo de ~a si λ > 0 y contrario al de ~a si λ < 0 La multiplicacion por un escalar, es el escalar (λ) por cada uno de los componentes del vector ~a = (a, b), esto es λ~a = (λa, λb)
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3.
Cosenos directores
Los cosenos directores proporcionan la dirección del vector de posición con respecto a los tres ejes coordenados. Para el vector ~a = (x, y, z) estos son : cos α =
x r
y r z cos γ = r
cos β =
donde |r| = r = 4.
p x2 + y 2 + z 2
Ecuacion vectorial de una recta
La ecuacion vectorial de la recta es: ~ = OP ~ + λ~u OX
Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta, ~ es un vector de posición. si tuviesemos dos puntos A, B entonces el vector AB
Dados un punto P = (p1 , p2 ) y un vector de direccion ~u, un punto ~ , se tiene que generico de la recta X tendra como vector de posición OX ~ = OP ~ + P~X , como P~X y ~u estan en la misma direccion, existe un OX ~ = OP ~ + λ~u es una expresion numero λ tal que P~X = λ~u, por lo tanto OX que se conoce como ecuacion vectorial de la recta.
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5.
Producto escalar de dos vectores
Sean ~a y ~b dos vectores entonces su producto escalar o producto punto que se denota ~a · ~b(y se lee a punto b se dene como un escalar dado por la relación: ~a · ~b = |~a||~b| cos θ
donde θ representa el ángulo entre ~a y ~b siendo tal que se cumple 0 < θ < π Consideremos ahora a los vectores unitarios rectangulares ˆi, ˆj y kˆ se cumple que: i·i=j·j =k·k =1 i·j =i·k =j·k =0
El calculo analitico por el cual obtenemos el producto punto de dos vectores es el siguiente. Sean dos vectores ~a = a1 i, a2 j, a3 k y ~b = b1 i, b2 j, b3 k; entonces el se cumple que: ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
6. 6.1.
Aplicaciones geométricas y físicas Aplicaciones Geometricas
El concepto de vector y principalmente las operaciones denidas con ellos y sus propiedades básicas, nos permiten demostrar ciertos teoremas conocidos de "Geometria Elemental ". Los metodos vectoriales son mas poderosos ya que el teorema se establece y prueba directamente, caso contrario al del desarrollo de un curso de Gemetría en el cual se requiere probar previamente un gran número de teoremas de apoyo. 7.
Producto vectorial de dos vectores
El producto vectorial o producto cruz de dos vectores ~a y ~b se denota ~a × ~b y es igual a un vector tal que: ~a × ~b = |~a||~b| sin θ
donde θ es el angulo entre ~a y ~b La dirección de ~a × ~b es tal que, es perpendicular al vector ~a y al vector ~b al mismo tiempo (es decir el vector ~a × ~b es perpendicular al plano que determinan ~a y ~b)
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8.
Ecuación del plano
Para determinar un plano del espacio se necesita conocer un punto P y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.
Para que el punto P pertenezca al plano π el vector P~X tiene que ser coplanario con ~u y ~v , es decir, que dependa linealmente de ~u y ~v P~X = λ~u + µ~v (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = λ(u1 , u2 , u3 ) + µ(v1 , v2 , v3 ) (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(u1 , u2 , u3 ) + µ(v1 , v2 , v3 ) 9.
Triple producto escalar
Dados tres vectores ~a, ~b y ~c el producto ~a · (~b ×~c) se le denomina el "triple producto escalar ", es claro que el termino triple producto se reere al hecho de que son tres vectores y el termino escalar se debe a que es precisamente un producto escalar (entre el vector ~a y el vector ~b × ~c Sean tres vectores ~a = a1 i + a2 j + a3 k, ~b = b1 i + b2 j + b3 k y ~c = c1 i + c2 j + c3 k ; entonces para su triple producto escalar se tiene que: a1 a2 a3 ~a · ~b × ~c = b1 b2 b3 = a1 (b2 c3 − b3 c2 ) − a2 (b1 c3 − b3 c1 ) + a3 (b1 c2 − b2 c1 ) c1 c2 c3
(1)
10.
Triple producto vectorial
Como bien sabemos el producto vectorial ~a × ~b de dos vectores ~a y ~b es un vector, esto permite que la operación se pueda extender a tres o mas 5
vectores. Es importante recordar que el producto vectorial no cumple con ~b, ~c de vectores en general se tiene que:
la ley asociativa, ya que para una terna ~a,
(~a × ~b) × ~c 6= ~a × (~b × ~c)
Para toda terna de vectores ~a, ~b, a) (~a × ~b) × ~c = (~a · ~c)~b − (~b · ~c)~a b) ~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c
~c se cumple que:
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