Algebra y Trigonometria - B Buritica Libro

1 Razones y proporciones

Introducción En este módulo se tratarán conceptos aritméticos íntimamente relacionados entre sí, a saber: razones, proporciones y regla de tres.

Leonardo da Vinci (1452-1519) Da Vinci es uno de los grandes artistas del Renacimiento y es famoso no sólo como pintor, sino también como escultor, arquitecto, ingeniero y científico.

En el medioevo, la regla de tres era una herramienta básica para el comercio de la época y servía para determinar las proporciones de capital, tierras o cada tipo de bienes que correspondía a cada persona. El concepto de regla de tres se explica conociendo el concepto de proporción y, a su vez, éste tiene sentido cuando se conoce el concepto de razón. Estos sencillos conceptos han permeado la civilización humana, hasta el punto de que proporciones famosas se encuentran en los más disímiles campos del saber humano, como son los casos de la proporción áurea y el número S .

Objetivos 1. Desarrollar los conceptos de razón y proporción. 2. Desarrollar los conceptos de interés simple e interés compuesto. 3. Desarrollar el concepto de regla de tres.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es una razón? 2. ¿Qué es una proporción? 3. ¿Qué es una regla de tres simple? 4. ¿Qué es una razón inversa?

Contenido 1.1 Razón 1.1.1 Razones inversas 1.2 Proporciones 1.2.1 Extremos y medios de una proporción 1.2.2 Magnitudes directamente proporcionales 1.2.3 Magnitudes inversamente proporcionales 1.2.4 Regla de tres 1.3 Cálculo porcentual

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Vea el módulo 1 del programa de televisión Álgebra y trigonometría

Álgebra y trigonometría 23

Capítulo 1: Elementos de aritmética

1.1 Razón Se llama razón de dos números enteros, al cociente de la división del primero por el segundo. Por ejemplo: la razón de 15 a 5 es

15 5

3 y la de 4 a 20 es

4 20

1 . 5

Los números que se comparan se llaman términos de la razón.

1.1.1 Razones inversas Dos razones son inversas cuando los términos de una son los mismos de la otra, pero dispuestos en orden inverso. Por ejemplo:

5 4 y son razones inversas y 4 5

2 3 y también lo son. 3 2

1.2 Proporciones Se llama proporción la expresión de la igualdad de dos razones. Por ejemplo 15 3

20 , en que cada razón es igual a 5. 4

1.2.1 Extremos y medios de una proporción a c , donde a, b, c, d son números enteros, a y d se llaman b d extremos de la proporción y b y c se llaman medios de la proporción. Hay que hacer notar que en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los

Dada la proporción

a c se puede escribir alternativamente de la forma sib d guiente: a : b :: c : d, y se lee: a es a b como c es a d.

medios. La proporción

1.2.2 Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes variables son directamente proporcionales cuando haciéndose una de ellas 2, 3, 4... n veces mayor o menor, la otra se hace también 2 , 3, 4... n veces mayor o menor. Ejemplos de ello son el salario de un obrero y la duración de su trabajo, o el camino recorrido por un móvil que marcha siempre con igual velocidad, y el tiempo.

1.2.3 Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes variables son inversamente proporcionales cuando, haciéndose la primera 2, 3, 4... n veces mayor o menor, la segunda se hace también 2, 3, 4... n veces menor o mayor. Por ejemplo: el número de obreros y el tiempo que emplean en

24

Módulo 1: Razones y proporciones ejecutar un trabajo dado, o la velocidad de un tren y el tiempo empleado para recorrer un espacio dado.

1.2.4 Regla de tres Se llama regla de tres un problema en que, dados los valores correspondientes de varias magnitudes directa o inversamente proporcionales, se trata de buscar una de ellas, cuando se conocen todas las demás. Es decir, la regla de tres es una operación por medio de la cual se busca el cuarto término de una proporción, de la cual se conocen los otros tres. Ejemplo 1 Un ciclista recorre 150 km en 5 horas. ¿Cuántos recorrerá en 7 horas? Solución Ya que las horas y los kilómetros son magnitudes directamente proporcionales, tenemos la proporción

150 x

5 , o sea x 7

150 u 7 5

210 km.

Ejemplo 2 Si 12 obreros se tardan 30 días en acabar una obra, ¿cuántos obreros se necesitarán para acabar la misma obra en 24 días? Solución Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales, tene12 x

mos la siguiente proporción:

24 , o sea x 30

12 u 30 24

15 obreros.

Ejemplo 3 Para hacer 180 m de una obra, 15 obreros han trabajado 12 días, a razón de 10 horas por día. ¿Cuántos días de 8 horas necesitarán 32 obreros para hacer 600 m de la misma obra? Solución a.

Consideremos primero solamente los obreros, y llamemos x1 los días que necesitarán los 32 obreros para hacer el trabajo, en el supuesto de que las demás magnitudes queden fijas. O sea: 15 obreros

12 días

32 obreros

x1

Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales, se tiene: 15 32

x1 ; x1 12

12 u 15 días. 32

Escuche La divina proporción en su multimedia de Àlgebra y trigonometría


Capítulo 1: Elementos de aritmética b.

Conocido el número de días x1 que necesitan 32 obreros para hacer 180 m de una obra, trabajando 10 horas diarias, consideremos el número de días que se demorarían haciendo la misma obra, trabajando 8 horas diarias. Sea x2 el número de días de 8 horas, entonces

Escuche Razones famosas del número pi en su multimedia de Àlgebra y trigonometría

10 horas

x1 días

8 horas

x2

Ya que las razones son inversas, se tendrá que:

c.

10 8

x2 x1

x2

x1 u

10 ; por tanto x2 8

12 u 15 10 u días. 32 8

Por fin, si comparamos los días con la cantidad de trabajo, y sabiendo que 32 obreros hacen 180 m de obra en x2 días de ocho horas, se pregunta en cuántos días de 8 horas esos 32 obreros harán 600 m de la obra. O sea:

x2 x

180 m 600 m

Ya que las razones son directas, se tendrá: x2 x

x

O sea que x

180 600

x2 u

600 días. 180

12 u 15 u 10 u 600 días y por tanto x 32 u 8 u 180

23 días más

7 de día. 16

Ejemplo 4 Una partícula con velocidad constante recorre 1.200 m en 80 segundos. Determine: a. b.

Qué distancia recorrerá en media hora. Qué tiempo tardará en recorrer 1.500 m.

Solución a.

1.200 m x

80 seg 1.800 seg

Ya que las magnitudes son directamente proporcionales, se tiene que:

26

Módulo 1: Razones y proporciones 1.200 x

b.

80 seg x

80 , x 1.800

1.200 u 1.800 80

m, o sea x = 27.000 m.

1.200 m 1.500 m

Ya que las magnitudes son directamente proporcionales, se tiene que: 80 x

80 u 1.500 seg; o sea x = 100 seg. 1.200

1.200 , x 1.500

Ejemplo 5 Un grupo de 8 obreros, los cuales trabajan todos con la misma eficiencia, ejecuta una cierta obra trabajando durante 20 días. ¿En cuánto tiempo podrían ejecutar la misma obra dos de los obreros del grupo? Solución 20 días x

8 obreros 2 obreros

Ya que las magnitudes son inversamente proporcionales, se tiene: 20 x

20 u 8 días, o sea x = 80 días. 2

2 , x 8

Ejemplo 6 Un grupo formado por 9 hombres que trabajan todos con igual eficiencia ejecuta una obra trabajando durante 28 días a razón de 6 horas diarias. Determine cuántos días hubieran tenido que trabajar 7 hombres del mismo grupo para realizar la misma obra, trabajando a razón de 8 horas diarias. ¿En cuánto tiempo podrían ejecutar la misma obra dos de los obreros del grupo? Solución a.

Consideremos primero solamente los obreros, y llamemos x1 los días que necesitan los 7 hombres para hacer el trabajo, en el supuesto de que las demás magnitudes queden fijas. O sea: 9 hombres

28 días

7 hombres

x1 días

Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales, se tiene: 9 7

b.

x1 ; x1 28

9 u 28 días. 7

Conocido el número de días x1 que necesitan 7 hombres para hacer la obra trabajando 6 horas diarias, consideremos el número de días que se demorarían haciendo la misma obra, trabajando 8 horas diarias. Sea x2 el número de días Álgebra y trigonometría 27

Capítulo 1: Elementos de aritmética que necesitarían:

Escuche Da Vinci en su multimedia de Àlgebra y trigonometría

6 horas

x1 días

8 horas

x2 días

Ya que las razones son inversas, se tendrá: x2 ; x2 x1

6 8

6 u x1 . 8

O sea x2

6 9 u 28 u 8 7

27 días.

1.3 Cálculo porcentual Las definiciones, fórmulas y métodos de trabajo que son necesarios para la comprensión de los ejercicios que se presentan a continuación son una aplicación específica del concepto de regla de tres. En problemas de cálculo porcentual, si llamamos p el porcentaje, B el valor de ese porcentaje, C el valor base sobre el que se calcula el porcentaje, se tendrá que: 100 C

p B

Como estas magnitudes son directamente proporcionales, se tendrá que: 100 C

p . B

Ejemplo 7 Halle el 12% de 8.000 pesos. Solución Si llamamos p al porcentaje, C al capital y B al valor de ese porcentaje, se tendrá: 100 C

p B

Las magnitudes son directamente proporcionales. En nuestro caso, p = 12, C = 8.000. Se trata de hallar B. 100 C

O sea que B

28

p ; B B

p u C . 100

12 u 8.000 100

960 pesos.

Módulo 1: Razones y proporciones Ejemplo 8 Halle de qué número es 48 el 8%. Solución En este caso p = 8, B = 48. Se trata de hallar C.

100 C

p ; C B

100 u B p 100 u 48 8

600.

Ejemplo 9 Halle qué porcentaje es 51 de 170. Solución Los datos son B = 51 y C = 170. En este caso la incógnita es p.

p

100 u 51 170

30%.

Ejemplo 10 Halle de qué número es 408 el 70% más. Solución El 70% más de un número es el 170% de éste. Entonces, en este caso, tenemos que B = 408 y p = 170. C

100 u B 170

100 u 408 170

240.

El número pedido es 240.

Ejemplo 11 Halle de qué número es 546 el 9% menos. Solución El problema equivale a preguntar de qué número es 546 el 91%. Por tanto, p = 91%, B = 546 y la incógnita es C.

C

100 u B p

100 u 546 91

600, que es el número pedido.


Capítulo 1: Elementos de aritmética Ejemplo 12 Se han mezclado 40 g de alcohol con cierta cantidad de agua, de tal modo que el alcohol utilizado representa el 20% de la mezcla resultante. Calcule la cantidad de agua que contiene la mezcla. Solución Tomemos como valor base la cantidad total de gramos de alcohol y agua que forman la mezcla, cantidad que designamos por C. Como la cantidad de alcohol es de 40 g, que representa el 20% de la mezcla, tenemos que p = 20 y B = 40. Las tres magnitudes p, B y C están ligadas por la fórmula

B C , donde en este p 100

caso C es la cantidad total de mezcla.

C

100 u B p

100 u 40 20

200 g.

Sabemos que la mezcla solamente contiene alcohol y agua; como hay 40 g de alcohol, los gramos de agua serán 200 – 40 = 160.

Ejemplo 13 Se dispone de dos tipos de acero: el tipo A, que contiene 5% de níquel, y el tipo B, que contiene 40%. Se desea saber qué cantidad de cada tipo será necesario emplear para obtener 70 toneladas de un nuevo tipo de acero que contenga el 30% de níquel. Solución Sea x la cantidad de toneladas necesarias del tipo A. Entonces serán necesarias 70 x toneladas del tipo B.

La cantidad de níquel aportada por las x toneladas del tipo A es

5 ux. 100

La cantidad de níquel aportada por las 70 x toneladas del tipo B es

Por tanto,

5 40 ux u 70 x 100 100

40 u 70 x . 100

30 u 70, 100

5 x 2800 40 x 2.100, 35 x 700, x 20 toneladas. En consecuencia, serán necesarias 20 toneladas del tipo A y 50 toneladas del tipo B.

30

Módulo 1: Razones y proporciones Ejemplo 14 Entre dos locales A y B hay almacenados un total de 2.000 sacos de azúcar. Si del local A se transporta el 20% al local B, entonces en los dos locales habrá el mismo número de sacos. ¿Cuántos sacos había en cada local? Solución Sea x el número de sacos en el local A. Sea 2.000 – x el número de sacos que había en el local B. Entonces: 20 20 x 2.000 x x, 100 100 2 2 x x 2.000, 5 x 1.250. x

Por lo tanto había 1.250 sacos en el local A y 750 en el local B.


2 Sistemas numéricos

Introducción En este módulo se enunciarán, de manera muy breve, los diferentes sistemas numéricos y cómo se relacionan entre ellos. Se comenzará con los familiares números naturales, 1, 2, 3,..., presentes desde nuestra primera infancia; se pasará por los enteros, los racionales y los reales y se terminará con los complejos. Los números complejos se tratarán con más profundidad en los módulos correspondientes al capítulo doce.

Euclides (300 a. C.) Muy poco se sabe de su vida. Sin duda, la gran reputación de Euclides se debe a su famosa obra titulada Los elementos de geometría, conocida simplemente por los Elementos. Tal es la importancia de esta obra que se ha usado como texto de estudios durante cerca de 2.000 años, veinte siglos, sin que se le hicieran correcciones de importancia salvo pequeñas modificaciones. Los Elementos están constituidos por trece libros. A aquéllos se ha agregado un libro XIV que comprende un trabajo de Hipsicles del siglo II de nuestra era, e incluso un libro XV con un trabajo de menor importancia.

Objetivos 1. Abordar el estudio somero de los diferentes sistemas numéricos. 2. Establecer relaciones y diferencias entre los números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es un número racional? 2. ¿Qué es un número irracional? 3. ¿Habrá números que sean racionales e irracionales a la vez? 4. ¿Habrá números que sean enteros y racionales a la vez?

Contenido 2.1 Introducción a los sistemas numéricos 2.2 Relación entre los sistemas numéricos Visite el sitio http://docencia.udea.edu.co/cen/ AlgebraTrigonometria/




2.1 Introducción a los sistemas numéricos La necesidad de comparar los elementos de un par de conjuntos motivó el "contar" esos elementos y, con ello, la aparición de unos entes abstractos: los números naturales. Posteriormente hubo necesidad de referirse a estos entes y por consiguiente se les asignó nombres y se les representó mediante los símbolos 1, 2, 3, 4,... Una vez creados los números naturales, con sus símbolos correspondientes, se definieron con ellos las operaciones de suma, resta y multiplicación y se resolvieron problemas dentro de este conjunto. Algunos de ellos eran problemas del tipo siguiente: resolver la ecuación a + x = b cuando a y b son naturales y b < a. Esto daba lugar a la posible solución x b a que no era un número natural. Surgieron así los números enteros que constan de números de la forma ... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Un nuevo problema surgió al tratar de resolver la ecuación a · x = b cuya solución no pertenece al conjunto de los enteros y que es de la forma x = b/a con a z 0. Surgieron entonces los números racionales, que se definen como aquellos que se pueden escribir como el cociente de dos enteros, donde el entero del denominador es diferente de cero. 2 2 dio origen al En circunstancias similares, el deseo de resolver la ecuación x concepto de números irracionales, que se caracterizan porque no se pueden escribir como el cociente de dos enteros. La unión de los anteriores conjuntos dio lugar al campo de los números reales.

Por último, el problema de resolver la ecuación x 2 2 0 condujo al nacimiento de los números complejos, que se definen como números de la forma a + bi, donde i=

1.

2.2 Relación entre los sistemas numéricos El sistema de los números reales es el sistema en el cual se ha trabajado en los ciclos básico y medio del sistema educativo. La tabla 2.1 describe el conjunto de los números reales y sus respectivos subconjuntos. En la tabla se cumple la siguiente cadena de inclusiones: N Z Q R C . Además, si el conjunto de los números irracionales lo denotamos por I, se tiene que Q I

R.

Hay que volver a decir que un número irracional es aquel número real que no se puede escribir como el cociente de dos enteros. Existen muchos números irracionales famosos como el número S y el número e. Es conocida la fórmula que relaciona los cinco números más famosos de la matemática, a saber S , e, 0, 1, i . La fórmula es la siguiente:

eS i 1 0.

34

Módulo 2: Sistemas numéricos Tabla 2.1. Relación entre los sistemas numéricos

Símbolo

Sistema de Números

Descripción

N

Números naturales

Números para contar.

Z

Números enteros

Conjunto de números naturales, sus negativos y el cero.

Q

Números racionales

Números que se pueden representar en la forma a/b con a y b enteros, b z 0.

R

Números relaes

Conjunto que consta de la unión de los números racinales y los irracionales.

C

Números complejos

Números de la forma a + bi con a y b números reales e i

1.


3 Progresiones aritméticas y geométricas

Introducción En este módulo se estudiarán progresiones. Una progresión es una lista de números que siguen una ley general de formación. Según como sea esa ley, las progresiones que se verán serán aritméticas o geométricas. Se verá cómo estas progresiones tienen aplicación en el cálculo de interés compuesto y en el crecimiento exponencial de algunos seres vivos.

Zenón de Elea (s. V a. C.) Fue un filósofo griego de la escuela eleática, nacido en Elea (Italia meridional). Fue discípulo de Parménides (uno de los filósofos griegos más importantes de la época y de los más señalados en la escuela eleática) y, según varios escritores, enseñó en Atenas durante algún tiempo.

Objetivos

Zenón trató de mostrar que la realidad es una e invariable y que todo movimiento es ilusorio. Era costumbre suya mostrar lo absurdo de algunas creencias y frecuentemente se valía de paradojas (expresión o situación que parece absurda y sin embargo es razonable), en las que dice que todo movimiento es un engaño.

1. Caracterizar sucesiones de números reales o complejos. 2. Deducir fórmulas compactas para la suma de estas sucesiones.

Contrastadas con la realidad, las pruebas de Zenón contra el movimiento se revelan al punto como paradojas y como auténticos paralogismos (argumento o contradicción falsa).

Preguntas básicas 1. ¿Cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una geométrica? 2. ¿Habrá progresiones que sean a la vez aritméticas y geométricas? 3. ¿Se puede conocer a qué valor tiende la suma de infinitos términos de una progresión geométrica? 4. ¿Se puede conocer a qué valor tiende la suma de infinitos términos de una progresión aritmética?

Contenido 3.1 Progresiones aritméticas 3.1.1 Suma de términos de una progresión aritmética 3.2 Progresiones geométricas 3.2.1 Suma de términos de una progresión geométrica





3.1 Progresiones aritméticas Escuche Historia del ajedrez en su multimedia de Àlgebra y trigonometría

Una progresión aritmética es una sucesión de números reales de la forma siguiente: a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an , donde la diferencia entre cualquier par de números consecu-

tivos es siempre constante, es decir, an an 1 diferencia constante.

d para todo n. El término d se llama

En la notación anterior se tendrá que: a1: primer término de la progresión. d: diferencia común. n: número de términos. Según lo anterior, otra forma de escribir la progresión aritmética es: a1 , a1 d , a1 2d , a1 3d ,..., a1 ( n 1) d . Como consecuencia de lo anterior, en

una progresión aritmética en la cual la diferencia común es d y el primer término es a1 , se tiene que el enésimo término se denota por an

a1 ( n 1) d .

Ejemplo 15 La sucesión 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 es una progresión aritmética en la cual el primer término es 3 y la diferencia común es 3. Ejemplo 16 Halle el término de lugar 12 de la progresión aritmética 10, 7, 4, ... Solución a1 ( n 1) d . En consecuencia, para

Se tiene que a1 = 10, d

3 . Se sabe que an

n = 12 se tiene que a12

10 12 1 3 , a12

23.

Ejemplo 17 Si el cuarto término de una progresión aritmética es 14 y el noveno es 34, encuentre el primer término. Solución Como an

a1 (n 1) d , se tiene entonces que:

para n = 4, 14 para n = 9, 34

a1 3d. a1 8d .

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se concluye que a1

2 y d = 4.

Ejemplo 18 Encuentre una progresión aritmética de siete términos cuyo primer término es 1/2 y cuyo último término es 13/2.

38

Módulo 3: Progresiones aritméticas y geométricas Solución Se sabe que a1

1 ,n 2

7, an

a1 n 1 d .

13 1 7 1 d . Por tanto, 6 = 6d o sea que 2 2 d = 1. De lo anterior se concluye que la progresión aritmética es:

En nuestro caso se tiene que

1 3 5 7 9 11 13 , , , , , , . 2 2 2 2 2 2 2

3.1.1 Suma de términos de una progresión aritmética Dada una progresión aritmética con n términos, de la forma a1 , a1 d , a1 2 d , a1 3d ,..., a1 ( n 1) d , de este modo su suma se expresa

como Sn a1 a1 d a1 2d a1 3d ... a1 ( n 1) d . Se puede fácilmente demostrar que Sn viene dada por la siguiente fórmula compacta:

Sn

n ª 2a1 n 1 d º¼ . 2¬

Demostración Si Sn denota la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética, se tiene:

Sn

a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... > a1 (n 1)d @ .

Si invertimos el orden de la suma anterior, se tiene:

Sn

> a1 (n 1)d @ > a1 (n 2)d @ ... > a1 d @ a1 .

Si se suman las dos igualdades anteriores, se tiene:

2Sn

> 2a1 (n 1)d @ > 2a1 (n 1)d @ ... > 2a1 (n 1)d @.

Puesto que hay n términos de la forma > 2a1 (n 1)d @ , podemos decir que:

2Sn

n > 2a1 (n 1)d @ .

Por lo tanto, S n

n > 2 a1 (n 1)d @ . 2

Como el enésimo término de una progresión aritmética es an ces también S n

a1 (n 1)d , enton-

Escuche La paradoja de Zenón en su multimedia de Álgebra y trigonometría

n (a1 an ). 2


Capítulo 1: Elementos de aritmética Ejemplo 19 Halle la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética 5, 1, 3, 7,! Solución Se tiene que a1

S10

5, d

4, n 10.

10 2 u 5 10 1 u 4 2 130.

Ejemplo 20 La suma de los primeros 15 términos de una progresión aritmética es 360. Halle el primer término y la diferencia común si el término de lugar 15 es 39. Solución

Se sabe que Sn

n a1 an . 2

Se sabe también que S15 360 a1

Como an d

15 a1 39 2

360, a15

39.

, 15a1 585 720,

9.

a1 n 1 d , entonces 39 9 14 d , 15 . 7

Ejemplo 21 Encuentre la suma de los enteros impares de 1 hasta 51 inclusive. Solución

a1 1, d Como an

2, an

a1 n 1 d , entonces

51 1 n 1 u 2, n 26. Por consiguiente,

40

51 .

Módulo 3: Progresiones aritméticas y geométricas

S26

26 u 1 51 2 676.

3.2 Progresiones geométricas Una progresión geométrica es una expresión de la forma a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an y en donde la razón r de dos términos consecutivos cualesquiera es constante; es decir, r

ak 1 ak , para 1 d k d n, es constante.

Hay que notar que como consecuencia de la definición, en toda progresión geométrica se cumple que an enésimo.

a1 r n 1 , donde an es el término situado en el lugar

Ejemplo 22 La sucesión 4, 12, 36, 108, 324, 972 es una progresión geométrica que consta de seis términos. Ejemplo 23 Dada una progresión geométrica donde r = 3, a1

2 , halle el quinto término.

Solución Si en la fórmula en que an

a5

a1r n 1 se toma a1

2 , r = 3, n = 5, se tiene que

162.

Ejemplo 24 Si en una progresión geométrica el octavo término es 32 y el quinto es 4, halle los cuatro primeros términos. Solución Se sabe que an

a1r n 1. En consecuencia, se tendrán las siguientes dos ecuaciones:

32 a1r 81 , haciendo n = 8, y 4

a1r 5 1 , haciendo n = 5.

De las anteriores ecuaciones se tiene que r 3 8 y, por tanto, r = 2, y reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones anteriores se tiene que a1 = 1/4. Por consiguiente, los primeros cuatro términos de la progresión son: 1/4, 1/2, 1, 2.



3.2.1 Suma de términos de una progresión geométrica Dada una progresión geométrica con n términos de la forma a1 , a1 r , a1 r 2 , a1 r 3 ,..., a1 r n 1 , la suma que se denota por Sn viene dada por

Sn

a1 a1r a1r 2 a1r 3 ... a1r n 1 .

Se puede demostrar fácilmente que Sn viene dada por la siguiente fórmula compacta:

Sn

a1 (1 r n ) , con r z 1. 1 r

Demostración Si Sn denota la suma de los n términos de una progresión geométrica, se tiene que: Sn

a1 a1r a1r 2 ... a1r n 1

y por tanto: rS n

a1r a1r 2 a1r 3 ... a1r n .

Restando miembro a miembro, se tiene:

S n rSn

a1 a1r n ,

(1 r ) Sn

a1 (1 r n ),

Sn

a1 (1 r n ) . 1 r

Como el enésimo término de una progresión geométrica viene dado por an con n t 2, entonces también S n

Sn

a1 r n 1

a1 a1r n . 1 r

a1 ra1r n 1 1 r a1 ran . 1 r

Cuando el valor absoluto de la razón es menor que 1, es decir, r 1, se puede demostrar que la «suma» de los infinitos términos de una proyección geométrica de este tipo viene dada por Sn

a1 . 1 r

Ejemplo 25 Halle la suma de los 7 primeros términos de la sucesión 5, 10, 20, ! La progresión es geométrica con a

42

5, r

2 y n 7.

Módulo 3: Progresiones aritméticas y geométricas

5 u 1 2

S7

7

1 2

215.

Ejemplo 26 Halle la suma de una progresión geométrica en la cual el primer término es 4, el ultimo término es

1 1 y la razón común es . 8 2

Solución

a1

4, an

Sn

a1 ra n 1 r

1 , r 8

1 . 2 1 §1· 4 u¨ ¸ 8 ©2¹ 1 1 2

63 . 8

Ejemplo 27 Divida el número 195 en tres partes que formen una progresión geométrica cuyo tercer término exceda al primero en 120. Solución Sea x el primer término y r la razón común de la progresión. Se debe cumplir que: x xr xr 2 xr

2

195,

x 120.

De la segunda ecuación se tiene:

x r 2 1 120,

x

120 . r2 1

Por tanto, 120 120 r 120r 2 r2 1 r2 1 r2 1

195.

Simplificando se obtiene que 5r 2 8r 21 0, r

3, r

7 y por tanto 5

x 15, x 125. Así: 15, 45, 135 y 125, 175, 245 son progresiones geométricas que cumplen estas posibilidades. Álgebra y trigonometría 43

4 Sumatoria y productoria

Introducción Cuando una serie de términos sigue una ley general de formación, a la suma de esos términos se les puede representar mediante un símbolo abreviador, llamado símbolo sumatoria o notación sigma. De manera análoga, cuando una serie de términos sigue una ley general de formación, ese producto se puede representar mediante otro símbolo abreviador llamado productoria. Esta será la temática del presente módulo.

Objetivo 1. Representar mediante los símbolos abreviadores de suma y producto, ciertas expresiones que proveen una ley de formación determinada.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se denotan lo símbolos sumatoria y productoria? 2. ¿Cuál es la suma de los n primeros números naturales? 3. ¿Cuál es la suma de los n primeros números naturales pares? 4. ¿Cuál es la suma de los n primeros números naturales impares?

Contenido 4.1 Sumatoria 4.2 Productoria





4.1 Sumatoria Sea f una función, y m, n, k enteros tales que m d k d n y pertenecientes al dominio n

de f. Entonces el símbolo

¦ f (k ) se define así:

k m n

¦ f (k )

f (m) f (m 1) ... f (n 1) f (n),

k m

donde k se denomina el índice de la sumatoria, m es el límite inferior y n es el límite superior. Propiedades de la sumatoria Sean f y g funciones, y m, n, k, p enteros pertenecientes al dominio de f y g, tales que m d k d n, y sea C una constante real. Entonces:

i.

n

n

n

k m

k m

k m

¦ > f (k ) r g (k )@ ¦ f (k ) r ¦ g (k ) n

ii.

¦ Cf (k )

k m n

iii.

¦C

n

C ¦ f (k )

Propiedad distributiva

k m

(n m 1)C; en particular,

k m

iv.

n

p

n

k m

k m

k p 1

¦ f ( k ) ¦ f (k ) ¦ ¦

k m

p n

f (k )

nC

Propiedad homogénea

¦

f ( k ) si m d n y m d p d n

f ( J p)

J m p

n

vi.

n

¦C

k m

n

v.

Propiedad aditiva

¦ > f (k ) f (k 1)@

Propiedad aditiva

Desplazamiento del límite

f (n) f (m 1); en particular,

k m

n

¦ > f (k ) f (k 1) @

f (n) f (0)

Propiedad telescópica

k 1

Ejemplo 28 5

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ¦ i. Este resultado quiere decir que le damos a i los valores i 1

consecutivos desde 1 hasta 5 y se suman los resultados. El número escrito en la parte inferior del signo se llama límite inferior de la sumatoria y el número escrito en la parte superior se llama límite superior de la sumatoria.

46

Módulo 4: Sumatoria y productoria Ejemplo 29 Represente mediante la notación de sumatoria: x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x7 . Solución La variación de i es de 1 a 7 como exponente. Por tanto,

x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7

7

¦x

i

.

i 1

Ejemplo 30 Denote mediante la notación de sumatoria: x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 . Solución La expresión se puede escribir como x 2 x 2 x 2 x3 x 2 x 4 x 2 x 5 x 2 x 6 . En este caso, una parte del exponente varía desde 2 hasta 6 de forma consecutiva tomando valo6

¦x

res enteros. En consecuencia, x 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 4 x 2 x5 x 2 x 6

2i

.

i 2

Ejemplo 31 10

Encuentre el resultado de desarrollar la siguiente sumatoria:

¦ ix

2i

.

i 3

Solución Dándole a i los valores consecutivos desde 3 hasta 10 se tiene: 10

¦ ix

2i

3x 6 4 x 8 5 x10 ... 10 x 20 .

i 3

Ejemplo 32 Exprese mediante la notación de sumatoria 4 x 3 5 x 4 6 x 5 7 x 6 8 x 7 . Solución El coeficiente de las x varía desde 4 hasta 8. El exponente varía como el coeficiente, pero con una unidad menos en cada término. Por tanto,

4 x 3 5 x 4 6 x5 7 x 6 8 x 7

8

¦ ix

i 1

.

i 4

También hubiéramos podido escribir la suma anterior como:

4 x3 5 x4 6 x5 7 x6 8 x7

7

¦ i 1 x . i

Escuche Biografía de Galois en su multimedia de Álgebra y trigonometría

i 3


Capítulo 1: Elementos de aritmética Ejemplo 33 n

Calcule

¦ (2k 1). k 1

Solución n

n

k 1

k 1

¦ (2k 1) ¦ ª¬k

2

(k 1) 2 º¼; acá f k

n 2 1 1

2

k2.

n2 , según la propiedad telescópica.

Ejemplo 34 n

Calcule

¦ k. k 1

Solución Del ejemplo anterior se tiene: n

¦ (2k 1)

n 2 . Si se aplican las propiedades aditiva y homogénea, se tiene:

k 1

n

n

k 1

k 1

2¦ k ¦1 n2 . Pero n n 1

n2 n 2

n

¦k k 1

2

n

¦1

n

n; por tanto: 2¦ k

n2 n.

k 1

k 1

.

Ejemplo 35

¦ 3k n

Calcule

2

3k 1 .

k 1

Solución

¦ 3k n

2

3k 1

k 1

n

¦ ª¬k k 1 º¼; 3

k 1

¦ 3k n

telescópica,

k 1

Ejemplo 36 n

Calcule

¦k k 1

48

2

3

.

2

3k 1

n3 .

acá f k k 3 , y según la propiedad

Módulo 4: Sumatoria y productoria Solución En el ejemplo anterior se tiene que:

¦ 3k n

2

3k 1 n3 ,

k 1

de donde resulta n

n

n

k 1

k 1

k 1

3¦ k 2 3¦ k ¦1 n3 . Por tanto: n

n n 1

k 1

2

3¦ k 2 3

n

n3 .

n

Al despejar

¦k

2

se obtiene:

k 1

n

¦k k 1

2

n n 1 2n 1 6

.

Ejemplo 37 4

Calcule

¦ k k 1 k 2 . k 1

Solución 4

¦ k k 1 k 2

1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6

k 1

210.

Ejemplo 38 Usando notación sigma exprese a1b2 a2b3 a3b4 a4b5 . Solución Obsérvese que los subíndices de la letra a varían de 1 a 4 y los de la b son una unidad mayor que los de a, luego cada término de la suma es de la forma ak bk 1 , en donde k recorre los valores 1, 2, 3, 4. Entonces:

a1b2 a2 b3 a3b4 a4 b5

4

¦a b

k k 1

.

k 1

Ejemplo 39 Escriba bajo el símbolo sumatoria:

§3· §4· §5· log 2 log ¨ ¸ log ¨ ¸ log ¨ ¸ . 2 3 © ¹ © ¹ © 4¹ Álgebra y trigonometría 49

Capítulo 1: Elementos de aritmética Solución Se observa que la expresión se puede escribir como:

log

11 1 2 1 3 1 4 . log log log 1 2 3 4

Los numeradores del argumento son de la forma 1 + k, con k variando de 1 a 4. Los denominadores del argumento varían de 1 a 4. Como los signos se alternan, hay que multiplicar por una expresión de la forma

1

k1

, con k variando de 1 a 4.

§3· §4· §5· Por tanto: log 2 log ¨ ¸ log ¨ ¸ log ¨ ¸ 2 3 © ¹ © ¹ ©4¹

4

¦ 1

k 1

log

k 1

1 k . k

4.2 Productoria Al igual que la notación 6 discutida en el numeral anterior, el símbolo productoria, que se denota por 3 , significa una operación, en este caso producto, donde los términos del producto siguen una ley general de formación. Con el símbolo 3 se denotará el producto a1 · a2 · a3 · a4 ...an en la forma siguiente: n

a1 · a2 · a3 · a4 ...an = ai . i 1

De la misma manera como ocurre con el símbolo sumatoria, se le dan valores a i, enteros consecutivos, desde el valor indicado en la parte inferior del símbolo productoria, hasta el valor indicado en la parte superior del mismo.

50

2

Capítulo 2 Potenciación y radicación Contenido breve Módulo 5 Leyes de los exponentes y los radicales Racionalización Ejercicios Capítulo 2, módulo 5

El número es una conquista del pensamiento humano.

Presentación En álgebra es esencial manejar cierto tipo de operaciones con el fin de cambiar o reducir determinadas expresiones algebraicas. Se entenderá por expresión algebraica una expresión que está formada por constantes y variables y por operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Se entenderá por constante cualquier símbolo que se utiliza para nombrar exactamente una cosa; una variable es cualquier símbolo usado como concepto válido para constantes tomadas de un conjunto de referencia. En este capítulo se definirán los conceptos de exponenciación y radicación en los números reales.

Álgebra y trigonometría

57

5 Leyes de los exponentes y los radicales Racionalización Alejandría

Introducción p q En este módulo se le dará significado a expresiones como a , donde a, p, q son números, y se enunciarán las leyes que los rigen. Esta nueva notación nos permite obtener «economía» de símbolos al expresar grandes números. Con esta notación, 10100 es una representación breve para un número que en la notación usual requiere de 101 cifras. Se estudiará también el concepto de racionalización.

Objetivos

Por el año 300 a. C. la ciudad griega de Alejandría, fundada por Alejandro Magno en la costa mediterránea de Egipto, era la urbe más grande del mundo. Tenía avenidas de 30 metros de ancho, un magnífico puerto y un gigantesco faro para anunciar a los marinos que allí se dirigían que se acercaban a su destino. El faro fue una de las siete maravillas del mundo antiguo. Alejandría era una ciudad cosmopolita donde convivían en paz ciudadanos de muchas nacionalidades; era el lugar ideal para un centro internacional de investigación. Ese centro era la biblioteca y museo de Alejandría. El museo, un lugar dedicado a las especialidades de las nueve musas, era el centro de investigaciones propiamente dicho. La biblioteca se guiaba por el ideal de reunir una colección de libros del mundo con obras griegas y traducciones al griego de obras escritas originalmente en otras lenguas del Mediterráneo, el Medio Oriente y la India.

1. Definir el concepto de base y exponente en los números reales. 2. Establecer las propiedades de los exponentes. 3. Definir el concepto de raíz enésima. 4. Definir el concepto de racionalización.

Preguntas básicas 1. ¿Qué significa racionalizar una expresión? 2. ¿Qué es la raíz cuadrada de un número? 3.¿ Qué es base y qué es exponente? 4. ¿Cuáles son las principales leyes de los exponentes?

Contenido 5.1 Exponentes 5.2 Propiedades de los exponentes 5.3 Raíz enésima 5.4 Exponentes racionales 5.5 Radicales 5.6 Racionalización 5.7 Factor racionalizador




59

Capitulo 2: Potenciación y radicación

5.1 Exponentes Sean a un número real y n un entero positivo, entonces: Escuche La historia de Alejandría en su multimedia de Álgebra y trigonometría

1.

a n = a · a · a...a, n veces.

2.

a0 = 1 , con a ≠ 0, 00 no está definido.

3.

a−n =

1 , con a ≠ 0. an

5.2 Propiedades de los exponentes Si m y n son enteros y a y b son números reales, entonces: 1.

a m · a n = a m+ n .

2.

(a )

3.

am ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = m, b ⎝b⎠

4.

( a · b)

5.

⎧a m−n am ⎪ = ⎨ 1 , con a ≠ 0. an ⎪ n−m ⎩a

n m

= a n.m .

m

m

con b ≠ 0.

= a m · bm .

Para que las definiciones anteriores sean razonables, no se define 00. Si se tratara de definir se llegaría a situaciones como las que denota el siguiente ejemplo: 00 · 0 2 = 0 0 + 2 = 02 = 0 × 0 = 0. O sea que como 0 2 = 0, entonces 00 podría ser cualquier número real y por tanto no estaría determinado de forma única.

Ejemplo 1 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16; 230 = 1. 7−3 =

1 . 73

;

a 5 · a −7 = a 5 − 7 =

a −5 =

1 . a5

;

(a )

;

a7 ⎛a⎞ = . ⎜ ⎟ b7 ⎝b⎠

2 −3

=

1 . a2

1 . a6

7

( a · b)

3

= a 3 · b3 .

5.3 Raíz enésima La raíz cuadrada de un número b es un número r tal que r2 = b. La raíz cúbica de un número b es un número r tal que r3 = b. Se dirá, en general, que r es una raíz enésima de b si rn = b.

60

Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización Ejemplo 2 2 y –2 son dos raíces cuartas de 16.

−4 no tiene raíz cuadrada real porque no existe ningún número real a que cumpla que a 2 = −4.

Si n ∈ N y b ∈ R, se dice que b1/ n en una raíz enésima de b. Si n es par y b es positivo, entonces b1/ n representa la raíz enésima real positiva de b, y −b1/ n representa la raíz enésima real negativa de b. Hay que hacer notar que ( −b )1/ n no representa un número real.

Si n es impar y b es positivo o negativo, entonces b1/ n representa la raíz enésima real de b. Para todo n perteneciente a los enteros positivos, 01/ n = 0. Ejemplo 3 ¿Cómo podría definirse un símbolo como 7 2 / 3 ? Solución Como las propiedades de los exponentes son válidas para exponentes racionales, se tiene que: 2/ 3

7

( )

= 7

1/ 3

2

.

O sea que la expresión anterior representa el cuadrado de la raíz cúbica de 7. Lo anterior motiva la siguiente definición:

5.4 Exponentes racionales Sean m y n enteros positivos y b cualquier número real, con excepción de que b no puede ser negativo cuando n es par, entonces: m

1.

b n = ( b1/ n ) = ( b m ) .

2.

b

−

m n

m

=

1 b

m n

1/ n

.

5.5 Radicales Para n mayor que 1 y entero y b número real, excepto que b sea negativo cuando n es par, se define la raíz enésima de b como b1/n y se denota como n b.


61

Capitulo 2: Potenciación y radicación El símbolo se llama radical. El símbolo n se llama índice. El símbolo b se llama radicando. De lo anterior se concluye que: m n

1 m n

1.

b = (b

)

2.

⎛ 1n ⎞ b = ⎜b ⎟ = ⎝ ⎠

= n bm .

m

m n

( b) n

m

.

Las expresiones radicales gozan de las siguientes propiedades: 1.

n

xn = x.

2.

n

xy = n x ·

3.

n

x nx = . y ny

4.

m n

n

y.

x = m. n x .

Las propiedades de los radicales proporcionan medios para cambiar gran variedad de expresiones algebraicas que contienen radicales a formas equivalentes. Se dice que una expresión algebraica que contiene radicales está simplificada o en la forma radical más simple, si se satisfacen las siguientes condiciones: 1. 2. 3. 4.

El radicando no contiene ningún factor con exponente mayor o igual al índice del radical. El exponente del radicando y el índice del radical no tienen otro factor común aparte del 1. No aparece ninguna fracción dentro del radical. No aparece ningún radical en el denominador.

Ejemplo 4 Escriba en la forma radical más simple la expresión 12 x 3 y 5 z 2 . Solución 12 x 3 y 5 z 2 = 4 x 2 y 4 z 2 ( 3 xy ) =

( 2 xy z ) ( 3 xy ) = ( 2 xy z ) ( 3 xy ) = 2 xy 2

2

2

2

2

z 3 xy .

5.6 Racionalización Racionalizar una expresión algebraica que contiene radicales en un denominador consiste en eliminar los radicales en un denominador.

62

Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización Las expresiones algebraicas que contienen denominadores se suman, se restan y multiplican siguiendo las mismas reglas empleadas para las operaciones con fracciones de números reales, es decir: a c a · d +b · c , con b y d diferentes de cero. + = b d bd

a c a· c · = , con b y d diferentes de cero. b d b· d a c a·d , con b y c diferentes de cero. ÷ = b d b· c a c = ⇔ a · d = b · c. b d

k·a a = , con k diferente de cero. k·b b

En las anteriores igualdades, a , b, c, d representan expresiones algebraicas.

Ejemplo 5 Racionalice la expresión

6x2 3

9x

.

Solución 6 x2 3

9x

=

=

6 x2 3

·

9x

3

3x 2

3

3x 2

6 x2 3 3 x2 3

27 x3

=

(¿Por qué?).

6 x 2 3 3x 2 3

( 3x )

3

=

6 x 2 3 3x 2 3x

= 2 x 3 3x 2 .

Ejemplo 6 Simplifique

4

27a 3b3 4 3a5b3 .

Escuche Los grandes números en su multimedia de Álgebra y trigonometría


63

Capitulo 2: Potenciación y radicación Solución 4

27a 3b3 4 3a 5b3 =

4

( 27a b )( 3a b ) 3 3

5 3

= 4 81a8b 6 =

4

( 3a b )

4

=

4

( 3a b )

4 4

2

2

b2 b2

= 3a 2b 4 b2 = 3a 2 b ( b 2 )

1/ 4

= 3a 2b · b1/ 2 = 3a 2 b b .

5.7 Factor racionalizador Una expresión con radicales se llama factor racionalizador de otra expresión con radicales, si su producto es libre de radicales. Ejemplo 7

3 − 1 es factor racionalizador de

3 + 1 porque

(

a x + b y es factor racionalizador de a x − b y

)(

3 −1

)

3 + 1 = 2.

(¿Por qué?).

Ejemplo 8 3

x − 3 y es factor racionalizador de

3

x2 + 3 x

3

y + 3 y 2 porque su producto es

x − y.

Ejemplo 9 Racionalice la siguiente expresión:

a+ b a− b

.

Solución Notemos que

a + b es un factor racionalizador del denominador, pues

( a + b )( a − b ) = a − b. Multiplicando el numerador y el denominador por el factor racionalizador se obtiene: a+ b a− b

64

=

( a + b )( a + b ) ( a − b )( a + b )

=

a+2 a b +b . a −b

Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización Ejemplo 10 Simplifique y exprese con exponentes positivos 1

1

1

1

1

1

2 ⎛ ay ⎞ 2 ⎛ bx ⎞ 3 ⎛ y ⎞ 4 . ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎟ ⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝a b ⎠

Solución 2 1 1 ⎛ ay ⎞ 2 ⎛ bx ⎞ 3 ⎛ y ⎞ 4 − 12 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2 2⎟ = a y x ⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝a b ⎠

(

=a

) (b x y ) ( y a 1 3

− 23

1 3

( 12 − 12 ) ( 13 − 12 ) ( 13 − 12 ) ( 12 − 23 + 12 )

b

x

y

2 4

− 42

b

−1

− 42

)

−1

1

= b 6 x 6 y3

1

=

y3

( xb )

1 6

.

Ejemplo 11 Simplifique y exprese con exponentes positivos 3

1

⎛ a 2n +1 ⎞ n ⎛ a b ⎞ 4 ⎟⎟ . ⎜ n +1 ⎟ ⎜⎜ 3 ⎝ a ⎠ ⎝ ab ⎠ Solución 3

1

4 1 1 3 1 ⎛ a 2n +1 ⎞ n ⎛ a b ⎞ a2 a n a 4 b8 = ⋅ 1 1 = aa 2 b 8 = a 2 b 8 . ⎜ ⎟ ⎜ n+1 ⎟ ⎜ 3 1 ⎟ aa n a 4 b 4 ⎝ a ⎠ ⎝ ab ⎠ 1

3

3

Ejemplo 12 Simplifique y exprese con exponentes positivos

(x y ) a b

−2

⎛ x a −b ⎜⎜ ab+b2 ⎝y 2

2

b

1

⎞ a+b ⎟⎟ ⎠

.

Solución

(x y ) a b

−2

⎛ x a −b ⎜⎜ ab+ b2 ⎝y 2

2

b

1

⎞ a+ b ⎟⎟ ⎠

=

x a y −2b y x

a2 −b2 a +b

ab +b2 a +b

b

x a y −2b y b x b ⎛ x ⎞ = = b =⎜ ⎟ . x a −b y ⎝ y⎠


65

Capitulo 2: Potenciación y radicación Ejemplo 13 Simplifique y exprese con exponentes positivos 2n + 3 − 2 n + 7 a 3a + 9 a ÷ a . 2 n+1 − 2n + 1 9 + 27 a

Solución 1

2 n + 3 − 2 n + 7 a 3a + 9 a 2n + 3 − 2n + 7 ⎛ 9a + 27 a ⎞ a ÷ = ⋅⎜ ⎟ 2n +1 − 2n + 1 9a + 27a 2n +1 − 2n + 1 ⎝ 3a + 9a ⎠ a 2n ( 23 − 1) + 7 ⎛ 9a (1 + 3a ) ⎞ ⎜ ⎟ = n ⋅ 2 ( 2 − 1) + 1 ⎜ 3a (1 + 3a ) ⎟ ⎝ ⎠ 1

7 ( 2n + 1) 9 ⋅ = 7 ⋅ 3 = 21. 2n + 1 3

=

Ejemplo 14 Simplifique y exprese con exponentes positivos

(a (a

x

x

+ a− x ) − ( a x − a− x )

+a

2

2

⎛ ax − a− x ⎞ 1− ⎜ x −x ⎟ ⎝a +a ⎠

)

−x 2

2

.

Solución

(a (a

x

x

+ a −x ) − ( a x − a−x ) 2

+ a−x )

2

2

⎛ a x − a−x ⎞ 1− ⎜ x −x ⎟ ⎝a +a ⎠

2

=

=

a 2 x + 2 + a −2 x − a 2 x + 2 − a −2 x

(a

x

+ a−x )

(a

x

+ a− x )

Simplifique y exprese con exponentes positivos

66

a 2 x + 2 + a −2 x − a 2 x + 2 − a −2 x

(a

4

Ejemplo 15

a⋅

2

a−b a + b a 2 + 2b2 . +b⋅ − a+b a−b a 2 − b2

2

2 ( a + a−x ) x

=

x

+ a−x )

2

2 2a x = 2x . −x a +a a +1 x

Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización Solución a⋅

a −b a + b a 2 + 2b 2 a a − b b a + b a 2 + 2b 2 + b⋅ − = + − a +b a −b a +b a −b a −b a +b a 2 − b2 2 a ( a − b ) + b ( a + b ) − a − 2b 2 = a −b a +b −b 2

=

=−

a 2 − b2

b2 a2 − b2 . a2 − b2

Ejemplo 16 Simplifique y exprese con exponentes positivos 2a 3 18 b 50a b 2 2 a + + − a b3 ab 3 5 b5

32a 5 . b7

Solución

2a 3 18 b 50a b 2 + a2 + − 3 b ab3 5 b5 a

32a 5 a 2a 3a 2 2 5b 2a 4a 2 b 2 2a = + + − b7 b b b ab 5b 2 b ab3 b =

a 2a b b 2

+

3a 2 2 b ab

2 + 3a

=

a

=

a 2

2

+

2a b b

−

4 a 2a

2 + a 2 − 4a

b b 2

2

b ab b ab

=

2ab . b2

Ejemplo 17 Racionalice 1 + x2 − 1 − x2 1 + x2 + 1 − x2

.

Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factor racionalizador:

1+ x2 − 1 − x2 .


67

Capitulo 2: Potenciación y radicación Entonces, 1 + x 2 − 1 − x2 1+ x + 1− x 2

2

( = (

)( 1 − x )(

) 1− x )

1 + x 2 − 1 − x2

1 + x 2 − 1 − x2

1+ x +

1+ x −

2

2

2

=

1 + x 2 + 1 − x 2 − 2 (1 + x 2 )(1 − x 2 ) 1 + x 2 − (1 − x 2 )

=

2 − 2 1 − x 4 1 − 1 − x4 . = 2x2 x2

2

Ejemplo 18 Racionalice 9 + x2 − 3 9 + x2 + 3

.

Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factor racionalizador:

9 + x2 − 3 . Entonces,

( = +3 (

)( + 3)(

) − 3)

9 + x2 − 3

9 + x2 − 3

9 + x2 − 3

9 + x2

9 + x2

9 + x2

=

9 + x 2 + 9 − 6 9 + x 2 x 2 − 6 9 + x 2 + 18 . = 9 + x2 − 9 x2

Ejemplo 19 Racionalice 2 6 2+ 3− 5

.

Solución. Utilizando como factor racionalizador ( 2 + 3) + 5 se obtiene:

68

Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización 2 6 2+ 3− 5

2 6

=

(

2+ 3+ 5

2+ 3− 5

)(

)

2+ 3+ 5

4 3 + 6 2 + 2 30

= =

(

2+ 3+ 2 6 −5

=

)

=

4 3 + 6 2 + 2 30

(

2+ 3

)

2

−5

4 3 + 6 2 + 2 30 2 6

4 18 + 6 12 + 2 180 12 2 + 12 3 + 12 5 = = 2 + 3 + 5. 12 12

Ejemplo 20 Racionalice 1 3

x + 3 y2 2

.

Solución. En este caso para hallar el factor racionalizador se utiliza la fórmula de la suma de cubos: a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) .

En ocasiones también es necesario usar la fórmula de la diferencia de cubos: a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) .

Utilizando entonces como factor racionalizador:

(

3

)

x4 − 3 x2 3 y 2 + 3 y 4 ,

se obtiene 1 3

x2 + 3 y 2

=

( 3

=

( 3

3

x4 − 3 x2

x2 + 3 y2

)(

3

3

y2 + 3 y 4

x 4 − 3 x2

3

)

y2 + 3 y 4

)

x 4 − 3 x2 y 2 + 3 y 4 . x2 + y 2


69

Ejercicios del capítulo 2 (módulo 5)

3

ab−1c−2 ( a −1b −2c −4 ) 6 . −1

1.

Simplifique

2.

Simplifique

3.

⎡ n x2n 2 + x n −1 Simplifique ⎢ x ⎣⎢

4.

⎛ a−2 + a−1· b−1 ⎞ . Simplifique ⎜ −2 −1 −1 ⎟ ⎝a − a · b ⎠

5.

⎛ 9n + 27n ⎞ n Simplifique ⎜ n n ⎟ . RTA: 3. ⎝ 3 +9 ⎠

1

RTA: a 2 .

3−1 + 2−1 . 2−1 − 3−1

(

)

n n −1

⎤ n2 + n ⎤ . ⎥ ÷ ⎣⎡ x + x ⎦ ⎦⎥

RTA: 1.

−1

1

2n +1

4n +1

÷

6.

Simplifique 2n n −1 ( )

(2 )

7.

⎡⎛ a2 −b2 x Simplifique ⎢⎜ ⎢⎜ a a3 −ab2 ⎣⎝ x

n −1 n +1

.

n

⎞ a 3(a +b ) ⎤ ⎥ . ⎟ a ⎟ ⎥ ⎠ ⎦ 1

RTA: a3n (a +b ) .

1 ⎡ m2 ⎤ m − 1 ⎢ x ⎥ . ⎢ 2m − 1 ⎥ ⎢⎣ x ⎥⎦

8.

Simplifique

9.

⎛ a −3b2 ⎞ ⎛ b−2 a 2 ⎞ 4 Simplifique ⎜ −2 3 ⎟ ⋅ ⎜ −2 2 ⎟ . ⎝b a ⎠ ⎝a b ⎠

10.

Racionalice la siguiente expresión:

11.

Simplifique

12.


13.

Simplifique

14.


−1

−1

5

2n+1

(2 )

n n −1

÷

4n +1

(2 )

n −1 n +1

.

1

2 m m +3 n

1 RTA: . 4

1 3n+ 4 − 6 ⋅ 3n+1 . 7 ⋅ 3n+ 2

3

0.008

RTA: 1.

2 3− 2

Capítulo 3: Potenciación y radicación 70

1

RTA: a5 b5 .

.

.

.

−3 2x ⋅ 4x +1 34 x 36 2 x ⋅ ⋅ x ( 2 + 4x ) . x 3⋅ 8 16 81

RTA:

3

.

15.

Simplifique

16.

Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:

17.

2 ⎤2 ⎡ ⎤2 ⎡ e x + e− x ) ( ae 4 x − ae −4 x ⎢ ⎥ . ⎥ ÷ Simplifique ⎢ 2 + x − x x −x x −x 2 x −x 2 ⎥ ⎢ − + e e ae ae ⎢⎣ ⎥ ( )( ) ⎦ ⎣(e + e ) − (e − e ) ⎦

6 x+3

2

3 · 2n − 4 · 2n − 2 . 2n − 2n −1

1

1

RTA: 2.

( x + y) · 2

18.


(3 )

2 a a −1

(81 ) 243 ⋅ ( 27 ) a 2− a

.

Simplifique

20.


21.

n −1 ⎡ ( 5 2 ) 2 ÷ 5 n2 3n ) ( ⎢ ÷ Simplifique ⎢ 225 ( 5n ) n +1 ( 32 )3 ÷ 3n2 ⎣

22.

( m + n) − ( m − n ) . Simplifique completamente −1 −1 ( m + n) + ( m − n)

a −1 a +1

23.

Simplifique y racionalice

⎤ ⎡ n( 2n +1) ⎤ ⎥ ⎢5 ⎥. ⎥ ⎣ 3n(1− 2 n) ⎦ ⎦

Demuestre que

25.

Simplifique y racionalice

26.

Demuestre que

n

Demuestre que

2

3

.

RTA:

(b

2

− c2 )

(b + c)

2

.

x − 3y x + 3y . + x + 3y x − 3y

RTA:

2 x x2 − 9 y2 . x2 − 9 y 2

4n · 6 1 = . 2n +1 4 n+1 4 +2 4 y2

28.

RTA: 2.025.

n n + = n. 1 − x n 1 − x− n

24.

Racionalice

(b + c)

3n+ 4 − 6 · 3n+1 . 7 · 3n+ 2

−1

(b2 − c 2 )(b − c) 3

27.

.

RTA: 9.

−1

3

1

( x − y )2

a ( a −1)

19.

3a +1

x2 − y 2

x + x2 − y 2

.

2 2 RTA: x − x − y .

2n + 3 − 2n + 7 = 7. 2n +1 − 2n + 1


71

2 a +b +3 a −b

29.

Racionalice

30.

Racionalice

31.

Racionalice

32.

Demuestre que

33.

Racionalice

34.

Simplifique completamente

2 a +b − a −b 2− 5− 7 2+ 5+ 7 2+2 3 1+ 2 + 3

.

( 7a + b + 8 RTA:

a2 − b2

3a + 5b

).

.

RTA: 1 − 2 + 3.

.

1 1 + = 1. m−n 1+ x 1 + x n− m 3+ 6

5 3 − 2 12 − 32 + 50

RTA: 3.

.

3 8 + 5 18 2

2− 3+ 5

.

35.

Racionalice

36.


37.

Racionalice

38.


2+ 3− 5

1

.

2− 3 3

RTA:

.

6 + 15 . 3

RTA:

x4 m − x 4 n . x2 m + x2 n

2(4 + 3 3 + 3 9) . 5 ( m + n) −1 − ( m − n) −1 . ( m + n)−1 + (m − n) −1 3

1

.

.

Racionalice

40.

⎡ n4+1. n Escriba en la forma más simple ⎢ 9 · 3 · 3 ⎢ −n ⎢⎣ 3 · 3

41.

Racionalice

42.

⎡ p + q − p − q ⎤ ⎡ p + p2 − q2 ⎤ p ⎥ = . ⎥ . ⎢ Demuestre que ⎢ p q ⎥⎦ ⎢⎣ p + q + p − q ⎥⎦ ⎢⎣

3

x 2 + 3 xy + 3 y 2

1 3

9+ 6+3 4 3

.

RTA:

x−3 y

39.

1

⎤n ⎥ . ⎥ ⎥⎦

RTA: 3 3 − 3 2.

−1

72

x−y

−1

3

Capítulo 3

Polinomios. Polinomio cuadrático

Contenido breve Módulo 6 Polinomios Módulo 7 El polinomio cuadrático Módulo 8 Raíces de una ecuación cuadrática Una función es una representación de un proceso.

Ejercicios Capítulo 3, módulos 6 al 8

Presentación Los polinomios son una parte importante del Álgebra. Están presentes en todos los contextos científicos y tecnológicos. Las funciones polinómicas son útiles para modelar muchas situaciones reales; por ejemplo, la ecuación de movimiento de un cuerpo en caída libre puede expresarse mediante una función polinómica cuadrática. En este capítulo se introduce el concepto de polinomio y se estudian las operaciones básicas con polinomios, los productos notables y la factorización completa de polinomios. Además se estudia el polinomio cuadrático y las raíces de la ecuación cuadrática.


74

6 Polinomios Introducción En esta sección se introducen los conceptos de polinomio, grado de un polinomio y polinomio primo sobre un sistema numérico. Se estudia también el concepto de factorización completa sobre un campo.

Objetivos 1. Definir el concepto de polinomio. 2. Definir las operaciones básicas con polinomios. 3. Definir los productos notables principales.

Preguntas básicas

Évariste Galois (1811-1832) Entre 1829 y 1830 hizo conocer sus primeros trabajos sobre fracciones continuas, cuestiones de análisis, teoría de las ecuaciones y teoría de números, así como un resumen de una segunda memoria presentada a la Academia de Ciencias de Francia para optar al gran premio de matemática. En 1831, envuelto en los acontecimientos políticos, fue expulsado de la escuela normal, donde entonces estudiaba, y con el propósito de dedicarse a la enseñanza privada anunció un curso de álgebra superior que abarcaría «una nueva teoría de los números imaginarios, la teoría de las ecuaciones resolubles por radicales, la teoría de números y la teoría de las funciones elípticas, tratadas por álgebra pura». El curso no tuvo oyentes y Galois ingresó en el ejército, a la vez que redactó una memoria, la última, hoy llamada «Teoría de Galois», que remite a la Academia y que Simeón Poisson califica de «incomprensible». Más tarde fue detenido y pasó casi un año en la cárcel. Al recobrar la libertad se vio envuelto en una cuestión de honor por una «infame coqueta» y murió en el duelo subsiguiente.

1. ¿Cómo se define un polinomio? 2. ¿Qué es el grado de un polinomio? 3. ¿En qué consiste la factorización completa? 4. ¿Cuáles son los principales productos notables? 5. ¿Qué es un polinomio primo?

Contenido 6.1 Polinomios 6.2 Grado de un polinomio 6.3 Operaciones básicas 6.3.1 Suma de polinomios 6.3.2 Resta de polinomios 6.3.3 Multiplicación de polinomios 6.4 Productos notables y factorización 6.4.1 Productos notables 6.4.2 Polinomios primos 6.4.3 Factorización completa




Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático

6.1 Polinomios Un polinomio real en la variable x es cualquier expresión de la forma: an x n ! an 1 x n 1 ! an 2 x n

2

! ... ! a1 x ! a0

donde los coeficientes ai son números reales para i " 1, 2, 3,...n y n es un entero no negativo. El polinomio será polinomio complejo en la variable x si los coeficientes ai son números complejos.

6.2 Grado de un polinomio El grado de un polinomio es el mayor exponente que aparece en el polinomio, en un término con coeficiente diferente de cero.

Ejemplo 1

2 x 4 ! 1 es un polinomio de grado 4. 3x 5 ! x 4 7 es un polinomio de grado 5. 2 x ! 8 es un polinomio de grado 1 o lineal. 5 es un polinomio de grado 0 o constante. Lo anterior es consistente con la definición porque 5 " 5 x 0 .

x 2 ! 2 x 1 ! 7 no es un polinomio porque aparece un exponente negativo.

6.3 Operaciones básicas El tema de los polinomios carecería de utilidad si no ahondáramos en sus propiedades. Los polinomios, como los números enteros, cumplen la ley clausurativa para la suma, la resta y la multiplicación que se definirán más adelante. Es decir, la suma, resta y producto de polinomios es un polinomio.

6.3.1 Suma de polinomios Para sumar dos polinomios, se suman coeficientes de términos con el mismo exponente. El polinomio suma es la suma algebraica de todos los términos resultantes. Ejemplo 2 Realice la suma de los polinomios 2 x5 ! 4 x3 2 x ! 1 y x 6 Solución El polinomio suma será:

76

3x 3 ! 4 x 5.

Módulo 6: Polinomios

#

x 6 ! 2 x5 ! 4

$

3 x 3 ! # 2 ! 4 $ x ! #1 5 $ .

Por tanto, el polinomio suma es:

#

x 6 ! 2 x5 ! 4

$

3 x 3 ! 2 x 4.

6.3.2 Resta de polinomios Para restar dos polinomios, se cambian los signos de los términos del polinomio restado; el más se cambia por menos y el menos por más y se suman algebraicamente.

Ejemplo 3 Del polinomio 4 x 7

2 x 3 ! 5 x 6 reste el polinomio x 7 ! 3x 3

x ! 6.

Solución Como el polinomio a restar es x 7 ! 3 x3 convierte en el polinomio

x ! 6, al cambiar de signo cada término se

x 7 3 x3 ! x 6. Se suman luego 4 x 7

2 x3 ! 5 x 6 y

x7 3 x3 ! x 6. El polinomio resultante es: 3 x7 5 x3 ! 6 x 12.

6.3.3 Multiplicación de polinomios Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por el otro polinomio, utilizando las leyes de los exponentes; después se agrupan términos de exponentes iguales usando la operación suma definida anteriormente. Ejemplo 4 Multiplique los polinomios siguientes: 2 x 3 7 x ! 8 y 3x 2

4.

Solución Multiplicamos cada término del polinomio 2 x 3 7 x ! 8 por el polinomio 3x 2

4.

El proceso es el siguiente: 2 x3 # 3x 2

4 $ 7 x # 3x 2

4 $ ! 8 # 3x 2

4$ .

Realizando operaciones se tiene que:

6 x 5 8 x 3 21x 3 ! 28 x ! 24 x2 32. Simplificando se tiene que el producto es el polinomio:

6 x5 29 x3 ! 24 x 2 ! 28x 32.

Escuche Galois y los tres problemas clásicos de la matemática griega en su multimedia de Àlgebra y trigonometría



6.4 Productos notables y factorización 6.4.1 Productos notables Algunos productos aparecen con tal frecuencia que es importante tenerlos presentes. Los tres productos más conocidos son los siguientes:

# x ! a $# x # x ! a$

2

#x

2

a $ " x 2 a2 ,

" x2 ! 2 xa ! a 2 ,

a $ " x 2 2 xa ! a 2 .

En los tres productos anteriores, se supone que x es la variable y a es la constante. Si se supone que en vez de a se encuentra la variable y, entonces las expresiones de la forma x 2 bles.

y 2 , x 2 ! 2 xy ! y 2 , x 2

2 xy ! y 2 se llaman polinomios de dos varia-

Si tenemos en cuenta polinomios en dos variables, los productos notables más utilizados los muestra la tabla 6.1. Tabla 6.1. Fórmulas de productos notables

Fórmulas de productos notables a(x + y + z) = ax + ay + az (x + a) (x+ b) = x2 + (a + b)x + ab (x + a)2 = x2 + 2xa + a2 ( x a )2 " x 2

2 xa ! a 2

( x ! a )( x a ) " x 2

a2

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (x

y )3 " x 3

3 x 2 y ! 3 xy 2

x3 ! y 3 " ( x ! y )( x 2 x3

y3 " ( x

y3

xy ! y 2 )

y )( x 2 ! xy ! y 2 )

6.4.2 Polinomios primos Se dice que un polinomio es primo con respecto a un conjunto dado de números si:

78

1.

Los coeficientes son de ese conjunto de números.

2.

No se puede escribir como producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes en ese conjunto.

Módulo 6: Polinomios Ejemplo 5 El polinomio x 2

2 es un polinomio primo en los enteros pero no es polinomio

2 primo en los reales porque x

#

2" x

2

$# x ! 2 $ .

6.4.3 Factorización completa Se dice que un polinomio no primo está completamente factorizado con respecto a un conjunto dado de números si es el producto de polinomios primos respecto a ese conjunto determinado. Ejemplo 6 4 El polinomio x

4 " # x2

2 $# x 2 ! 2 $ está completamente factorizado en los ente-

ros, pero no está factorizado completamente respecto a los reales. Respecto a los reales, el polinomio x 4

x4

4 se factoriza completamente así:

#

4 " # x 2 2 $# x 2 ! 2 $ " x

2

$# x ! 2 $ # x

2

! 2$.

Este polinomio no está factorizado completamente respecto a los números complejos. Respecto a los complejos, se factoriza completamente así:

x4

4 " # x2

#

2 $# x 2 ! 2 $ " x

2

$# x ! 2 $# x ! 2i $# x

donde i es la unidad imaginaria, es decir, i "

$

2i ,

1.

Ejemplo 7 Factorice completamente en los enteros x 2 5x 14. Solución Si se piensa en que # x ! a $# x ! b $ " x 2 ! # a ! b $ x ! ab, se debe cumplir que: a ! b " 5 y ab " 14.

Por simple inspección se observa que a " 7 y b " 2. Por tanto, x2 5 x 14 " # x 7 $# x ! 2 $ . No siempre es posible encontrar dos enteros a y b tales que:

# x ! a $# x ! b $ " x2 ! # a ! b $ x ! ab. Cuando ello ocurre, el polinomio x2 ! # a ! b $ x ! ab es primo en los enteros.


Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático Ejemplo 8 Factorice completamente en los enteros x 2

4 xy ! 4 y 2

z2.

Solución En este caso se trata de buscar agrupamientos de la forma siguiente: x2

z 2 " # x2

4 xy ! 4 y 2

4 xy ! 4 y 2 $ z 2

" #x 2y$

2

z2

" %'# x 2 y $ ! z &( . %'# x 2 y $ z &( " # x 2 y ! z $# x 2 y z $ .

Ejemplo 9 Factorice completamente, sobre los enteros, el polinomio x4 ! 4. Solución Aunque no es fácil de observar a simple vista, se trata de reescribirlo sumando y restando 4x2, y después agrupando.

x4 ! 4 " x4 ! 4x2 ! 4 4x2 " # x4 ! 4x2 ! 4$

# 2 x $2

" # x2 ! 2$

2

2

#2 x$

" %'# x 2 ! 2 $ ! 2 x &( . %'# x 2 ! 2 $ 2 x &( " # x 2 ! 2 x ! 2 $# x 2

2 x ! 2 $.

El polinomio anterior no está factorizado completamente en los reales y en los complejos. Ejemplo 10 Factorice completamente sobre los enteros el polinomio x n !1 ax n

bx ! ab.

Solución Si se utilizan la técnica de agrupamiento y la ley distributiva, se tiene que:

x n !1 ax n bx ! ab " # x n !1 ax n $ "x

n

#x

# bx ab $ a$ b # x a$

" # x a $ # xn b $. Si no se cumple simultáneamente que b sea cuadrado perfecto y n sea par, el polinomio está completamente factorizado sobre los enteros.

80

Módulo 6: Polinomios En el caso de que b sea cuadrado perfecto y n sea par se tiene que:

#x

n

) n *) n b$ " + x 2 ! b , + x 2 .-

* b ,. .

Ejemplo 11 2n ! 2 4x n ! 2 3x 2 . Factorice completamente sobre los enteros 4 x

Solución

4 x2 n !2

4 x n ! 2 3x 2 " x 2 (4 x 2 n

4 x n 3)

" x 2 (2 x n ! 1)(2 x n 3). Ejemplo 12 Dados los polinomios p ( x) " x 4 ! x 3 x ! 1 y q ( x) " x3 5 x 2 suma y la multiplicación de estos polinomios.

x ! 5, halle la

Solución p ( x ) ! q ( x) " ( x 4 ! x 3

x ! 1) ! ( x 3 5 x 2

4

3

x ! 5)

2

" x ! (1 ! 1) x ! ( 5) x ! ( 1 1) x ! (1 ! 5) " x 4 ! 2 x3 5 x2

p ( x ) / q ( x) " ( x 4 ! x 3 4

" x (x

3

" (x

7

x ! 1)( x 3 5x 2 5x

( x )( x

2 x ! 6.

3

5x

2

x ! 5) ! x ( x 3 5 x 2

5x 6

x ! 5)

3

2

x ! 5) ! ( x

5

4

x ! 5x ) ! ( x

3

6

5x 5x

2

5

( x 4 ! 5 x 3 ! x 2 5 x) ! ( x 3 5 x 2 7

6

x ! 5) ! x ! 5) x 4 ! 5x3 ) ! x ! 5)

5

" x ! ( 5 ! 1) x ! ( 1 5) x ! (5 1 1) x 4 ! (5 ! 5 ! 1) x 3 ! (1 5) x 2 ! ( 5 1) x ! 5 " x7

4 x6

6 x 5 ! 3 x 4 ! 11x 3 4 x 2 6 x ! 5.

Ejemplo 13 Factorice completamente en los enteros, los reales y los complejos las siguientes expresiones: a.

x2

6x ! 9

y2 .


Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático Solución x 2 6 x ! 9 y 2 " ( x 2 6 x ! 9) y 2 " ( x 3)2 y 2 " ( x 3 y )( x 3 ! y ).

Factorización completa en los enteros, en los reales y en los complejos.

b.

x 2 5 x 6.

Solución x2 5 x 6 " x2

6x ! x 6

" x ( x 6) ! ( x 6) " ( x ! 1)( x 6).

Factorización completa en los enteros, en los reales y en los complejos.

c.

3x 4 5 x 2 ! 2.

Solución

3 x4 5 x 2 ! 2 " 3 x4 3x 2

2 x2 ! 2

" 3x 2 ( x 2 1) 2( x 2 1) " (3 x 2

2)( x 2 1)

" (3 x 2

2)( x 1)( x ! 1).

Factorización completa en los enteros.

" ( 3x

2)( 3x ! 2)( x 1)( x ! 1).

Factorización completa en los reales y en los complejos.

d.

x 4 ! x 2 ! 1.

Solución

x 4 ! x 2 ! 1 " ( x 4 ! 2 x 2 ! 1) x 2 " ( x 2 ! 1)2

x2

" [( x 2 ! 1) x ][( x 2 ! 1) ! x] " (x2

x ! 1)( x 2 ! x ! 1).

Factorización completa en los enteros y en los reales.

82

Módulo 6: Polinomios ) " + x2 -

1 3 *) 1 3* x ! ! ,+ x 2 ! x ! ! , 4 4 .4 4.

2 2 %) 1 * 3 & %) 1 * 3& x " 0+ x ! ! 1 0 , + , ! 1 2 . 4 1( 0'2 . 4 1( 0'2 %) 1* " 0+ x , 2. 0 '-

2 2 ) 3 * & %) 1* ++ i ,, 1 0+ x ! , 2. - 2 . (1 '0-

2 ) 3* & ++ i ,, 1 - 2 . (1

) 1 3 *) 1 3 *) 1 3 *) 1 3* "+x !i x i x! !i x! i ,+ ,+ , + ,. + 2 2 ,+ 2 2 ,+ 2 2 ,. +2 2 ,. ..-

Factorización completa en los complejos.

e.

x3 ! 8 y 3 z 3 .

Solución x3 ! 8 y 3 z 3 " x 3 ! (2 yz )3 " ( x ! 2 yz )( x 2

2 xyz ! 4 y 2 z 2 ).


" ( x ! 2 yz )( x 2 2 xyz ! ( yz )2 ! 3( yz )2 ) " ( x ! 2 yz )([ x yz ]2 [i 3 yz ]2 ) " ( x ! 2 yz )( x yz i 3 yz )( x yz ! i 3 yz ). Factorización completa en los complejos.

f.

x4 ! x3 27 x 27.

Solución x4 ! x3

27 x 27 " x 3 ( x ! 1) 27( x ! 1) " ( x3

27)( x ! 1) " ( x 3 33 )( x ! 1)

" ( x ! 1)( x 3)( x 2 ! 3x ! 9).



Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático 9 27 * ) " ( x ! 1)( x 3) + x 2 ! 3 x ! ! , 4 4 . 2 2 ) 3 & % 27 & *, % " ( x ! 1)( x 3) + 0 x ! 1 0i 1 +' 2( ' 2 ( , . ) 3 27 *) 3 27 * " ( x ! 1)( x 3) ++ x ! i x! !i ,+ ,. ,+ 2 2 .2 2 ,. -

Factorización completa en los complejos.

g.

2 y 4 5 y 2 12.

Solución 2 y 4 5 y 2 12 " 2 y 4 8 y 2 ! 3 y 2 12 " 2 y2 ( y2

4) ! 3( y 2

4) " (2 y 2 3)( y 2

2

" (2 y ! 3)( y 2)( y ! 2).


" ( 2 y i 3)( 2 y ! i 3)( y 2)( y ! 2). Factorización completa en los complejos.

84

4)

7 El polinomio cuadrático

Introducción

Ilustración del movimiento parabólico.

En este módulo se definirá lo que es una función polinómica. Se analizará, en particular, la función cuadrática, su gráfica y el dominio y el rango de esta función.

Objetivos 1. Definir la función polinómica de grado n. 2. Definir el polinomio cuadrático. 3. Conocer el dominio y el rango del polinomio cuadrático.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es una función polinómica? 2. ¿Cómo es la gráfica de una ecuación cuadrática? 3. ¿Cómo se hallan el dominio y el rango de una función cuadrática? 4. ¿Cómo se llama la gráfica de una función cuadrática?

Contenido 7.1 Función polinómica 7.1.1 Ceros de una función polinómica 7.2 El polinomio cuadrático 7.2.1 Polinomio cuadrático 7.2.2 Dominio y rango




85


7.1 Función polinómica Una función polinómica P, de grado n, es una expresión de la forma

P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 , con an ≠ 0, donde los coeficientes son reales o complejos y los exponentes son enteros no negativos. Ejemplo 14

P ( x ) = 2 x 2 + 1 es una función polinómica de grado 2. P ( x ) = x3 − 2 x es una función polinómica de grado 3. P ( x ) = x5 − 2 x2 + 7 es una función polinómica de grado 5.

7.1.1 Ceros de una función polinómica Se dice que γ es un cero de la función P, o un cero del polinomio P ( x ) , o una solución o raíz de la ecuación P ( x ) = 0, si P ( γ ) = 0. Ejemplo 15

γ = −2 es un cero de P ( x) = x 4 − 7 x 2 + 4 x + 20 porque: P ( −2 ) = ( −2 ) − 7 ( −2 ) + 4 ( −2 ) + 20 4

2

= 16 − 28 − 8 + 20 = 0. Así mismo, γ = −2 es una solución o raíz de la ecuación polinómica

x 4 − 7 x 2 + 4 x + 20 = 0.

7.2 El polinomio cuadrático 7.2.1 Polinomio cuadrático Una función cuadrática o polinomio cuadrático es una expresión de la forma

P ( x ) = ax 2 + bx + c o y = ax 2 + bx + c, donde a, b, c serán, en este caso, números reales. La gráfica de la función cuadrática será una parábola con la concavidad dirigida hacia arriba si a > 0, y con la concavidad dirigida hacia abajo si a < 0.

7.2.2 Dominio y rango Es claro que el dominio de la función y = ax 2 + bx + c serán todos los números reales.

86

Módulo 7: El polinomio cuadrático Para hallar el rango de una función cuadrática hay que analizar los valores admisibles que puede tomar la variable y en los casos en que a > 0 y a < 0. Si a > 0 hay que analizar el valor mínimo que puede tomar la variable y, ya que la gráfica de la parábola es cóncava hacia arriba. En este caso se tiene: y = ax 2 + bx + c b ⎞ ⎛ = a ⎜ x2 + x ⎟ + c a ⎠ ⎝ ⎛ b b2 = a ⎜ x2 + x + 2 a 4a ⎝

⎞ b2 c + − ⎟ 4a ⎠

2

b ⎞ 4ac − b 2 ⎛ = a⎜ x + . ⎟ + 2a ⎠ 4a ⎝

El valor mínimo de la función se obtiene cuando x + En este caso el valor mínimo de y es ymin = valores de y, tales que y ≥

b b = 0, o sea cuando x = − . 2a 2a

4ac − b 2 . Por tanto, el rango serán los 4a

4ac − b2 . Similarmente, si a < 0 el rango de la función 4a

cuadrática serán los valores de y, tales que y ≤

4ac − b2 . 4a

Ejemplo 16 Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática y = 3 x 2 + x − 1. Solución Como a = 3 > 0, la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia arriba. Como a = 3, b = 1, c = −1, entonces el rango serán todos los valores de y reales que cumplan que y≥

4 × 3 × ( −1) − (1) 4 × 3

2

, o sea y ≥ −

13 . 12

Una gráfica aproximada de la función la muestra la figura 7.1.

La parábola es una cónica


87


Figura 7.1. Gráfica de la función y = 3x2 + x − 1

En la figura 7.1, los interceptos con el eje x serán los ceros de P ( x ) = 3x 2 + x − 1, o alternativamente, las raíces de la ecuación 3x 2 + x − 1 = 0. Más adelante se tendrán fórmulas para hallar las raíces de una ecuación cuadrática. Ejemplo 17 Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática y = − x 2 + 1. Solución Como a = −1 < 1, la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia abajo. Como a = −1, b = 0, c = 1, entonces el rango serán todos los valores reales de y que cumplan que:

y≤

4 × ( −1) × 1 − ( 0 ) 4 × ( −1)

2

, o sea y ≤ 1.

Una gráfica aproximada de la función la muestra la figura 7. 2. En esta figura, los interceptos con el eje x, o sea las raíces de la ecuación − x 2 + 1 = 0, se hallan por inspección y son 1 y –1.

Figura 7.2. Gráfica de la función y = − x2 + 1

88

Módulo 7: El polinomio cuadrático Ejemplo 18 Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática y = 3 x 2 + 12 x + 13. Solución Como a = 3 > 0, la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia arriba. Como a = 3, b = 12, c = 13, entonces el rango serán todos los valores reales de y que cumplan que: y ≥ ymin =

4ac − b 2 4(3)(13) − (12) 2 = = 1. 4a 4(3)

Este valor mínimo se encuentra cuando: x=−

12 b = − = −2. 2a 6

Más adelante veremos que cuando la expresión 4ac − b 2 es positiva, la ecuación ax2 + bx + c = 0 no tiene raíces reales, es decir la gráfica no corta el eje x. En este caso, como 4ac − b 2 = 12 > 0, la gráfica no corta el eje x. La gráfica de la función es (figura 7.3):

Figura 7.3. Gráfica de la función y =3x2 +12x + 3

Ejemplo 19 Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática y = −5 x 2 + 10 x − 8. Solución Como a = −5 < 0, la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia abajo. Como a = −5, b = 10, c = −8, entonces el rango serán todos los valores reales de y que cumplan que: Álgebra y trigonometría

89


y ≤ ymáx =

4 ac − b 2 4( −5)(−8) − (10) 2 = = −3. 4a 4( −5)

Este valor máximo se encuentra cuando: x=−

10 b =− = 1. 2a −10

2 En este caso, como 4ac − b = 60 > 0, la gráfica no corta el eje x. La gráfica de la función es (figura 7.4):

Figura 7.4. Gráfica de la función y = − 5x2+10x − 8

Ejemplo 20 Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática y = x 2 + 4 x + 4. Solución Como a = 1 > 0, la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia arriba. Como a = 1, b = 4, c = 4, entonces el rango serán todos los valores reales de y que cumplan que:

y ≥ ymín =

4 ac − b 2 4(1)(4) − (4) 2 = = 0. 4a 4(1)

Este valor mínimo se encuentra cuando: x=−

90

4 b = − = −2. 2a 2

Módulo 7: El polinomio cuadrático Más adelante veremos que cuando la expresión ax + bx + c = 0 tiene una sola raíz 2

real, la gráfica corta el eje x en un único punto x = −

4 b = − = −2. Esto ocurre 2a 2

pues la función se factoriza como un cuadrado perfecto y = x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2) 2 . La gráfica de la función es (figura 7.5):

Figura 7.5. Gráfica de la función y = x2 + 4 x + 4


91

92

8 Raíces de una ecuación cuadrática

Introducción Pierre de Fermat (1601-1665)

Se aborda en esta sección la deducción de la fórmula para hallar las raíces de una ecuación cuadrática. Se analizan las características de las soluciones, según la forma del discriminante de la ecuación. Por último se encuentran expresiones que relacionan la suma y el producto de las raíces de una ecuación cuadrática en términos de los coeficientes de la ecuación cuadrática.

Objetivos del módulo 1. Conocer una expresión para las raíces de una ecuación cuadrática. 2. Conocer los tipos de soluciones de una ecuación cuadrática. 3. Conocer una expresión para la suma y el producto de una ecuación cuadrática.

Preguntas básicas 1. ¿En qué consiste el discriminante de una ecuación cuadrática? 2. ¿A qué es igual la suma de las raíces de una ecuación cuadrática? 3. ¿A qué es igual el producto de las raíces de una ecuación cuadrática?

Fermat fue abogado y gobernante oficial, más recordado por su trabajo en la teoría de números; las matemáticas eran para él su entretenimiento. En 1636 propuso un sistema de geometría analítica similar a uno de Descartes, que éste presentó unos años después. El trabajo de Fermat estaba basado en una reconstrucción del trabajo de Apolonio usado en el álgebra de Francois Viète. Similar trabajo dejó al descubrir métodos de diferenciación e integración y encontrar máximos y mínimos. Fermat es famoso por el teorema que lleva su nombre y que dice que dado cualquier entero positivo n > 2, es imposible que existan números enteros diferentes de cero, x, y, z, tales que xn + yn = zn. Si n = 2 habrá infinitas tripletas (x, y, z) llamadas ternas pitagóricas, como por ejemplo (3, 4, 5). Fermat dijo que había descubierto una prueba («prueba maravillosa»), pero que no había en la página suficiente margen para darla. Se sospecha que dados los avances de la época, Fermat había dado con una demostración equivocada. El teorema fue finalmente demostrado en 1995.

Contenidos del módulo 8.1 Forma de las raíces 8.2 Características de las soluciones 8.3 Suma y producto de raíces Visite el sitio http://docencia.udea.edu.co/cen/ AlgebraTrigonometria/



93


8.1 Forma de las raíces Escuche La conjetura de Pierre de Fermat en su multimedia de Álgebra y trigonometría

La forma de las raíces de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 se puede ver de la manera siguiente:

⎛ 2 b ⎞ Si ax 2 + bx + c = 0 , entonces ax2 + bx = −c. Por tanto, a ⎜ x + x ⎟ = −c a ⎠ ⎝ ⎛ b b 2 ⎞ b2 a ⎜ x2 + x + 2 ⎟ = − c. a 4a ⎠ 4a ⎝ 2

b ⎞ b 2 − 4 ac ⎛ . Se tiene entonces que a ⎜ x + ⎟ = 2a ⎠ 4a ⎝ 2

2

b ⎞ b ⎞ b2 − 4ac ⎛ ⎛ . Despejando a ⎜ x + ⎟ , se tiene que ⎜ x + ⎟ = 2a ⎠ 2a ⎠ 4a 2 ⎝ ⎝

Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros, x+

b b 2 − 4 ac =± . 2a 4a 2

En consecuencia, x =

−b ± b 2 − 4 ac . 2a

Las dos raíces de la ecuación cuadrática vienen dadas por

x1 =

−b + b 2 − 4ac , 2a

x2 =

−b − b2 − 4ac . 2a

8.2 Características de las soluciones En la solución de la ecuación cuadrática aparece el término b 2 − 4ac . La expresión

b 2 − 4ac se llamará el discriminante de la ecuación, y según la naturaleza de éste, las soluciones serán así: 1. 2. 3.

94

b 2 − 4ac > 0 , entonces la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones reales distintas. b 2 − 4ac = 0 , entonces la ecuación tendrá dos soluciones reales iguales. b 2 − 4ac < 0 , entonces la ecuación no tendrá soluciones reales sino dos soluciones complejas conjugadas.

Módulo 8: Raíces de una ecuación cuadrática Ejemplo 21 Encuentre las raíces de la ecuación x2 − 4 x + 3 = 0. Solución En este caso se tiene que a = 1, b = −4, c = 3. b 2 − 4 ac = ( −4 ) − 4 × 1 × 3 = 4 > 0. 2

La ecuación tiene dos raíces reales distintas que son: x1 =

−b + b 2 − 4ac , 2a

x1 = 3.

x2 =

−b − b 2 − 4 ac , 2a

x2 =1.

8.3 Suma y producto de raíces Como las raíces de la ecuación cuadrática vienen dadas por:

x1 =

−b b2 − 4ac + , 2a 2a

x2 =

−b b 2 − 4 ac − , 2a 2a

se pueden derivar, de las fórmulas anteriores, las siguientes consecuencias: x1 + x2 =

−b , a

c x1 · x2 = . a

O sea que en toda ecuación cuadrática la suma de sus raíces es − de ellas es

b y el producto a

c . a

Ejemplo 22 En cierta ecuación cuadrática, la suma de sus raíces es 5 y su producto es 6. Halle la ecuación. Solución Como x1 + x2 = −

b b , se tiene que − = 5. a a


95

Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático Como x1 · x2 =

c c , se tiene que = 6. Por tanto, c = 6a y b = −5a. a a

Si en las expresiones anteriores se toma a = 1, se tiene que c = 6 , b = −5 . En consecuencia, la ecuación es x2 − 5x + 6 = 0. Si a toma otros valores en los reales, se obtendrán otras ecuaciones. La forma general de estas ecuaciones es ax 2 − 5ax + 6a = 0. Ejemplo 23 Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones: a.

3 x 2 + 10 x − 8 = 0.

Solución Aplicando la fórmula tenemos: b 2 − 4ac = (10) 2 − 4(3)(−8) = 100 + 96 = 196 > 0.

Por tanto, la ecuación tiene dos raíces reales:

b.

x1 =

−b + b 2 − 4ac −10 + 196 4 2 = = = , 2a 6 6 3

x2 =

−b − b 2 − 4ac −10 − 196 −24 = = = −4. 2a 6 6

x 4 − 13x 2 + 36 = 0.

Solución Haciendo la sustitución y = x2 se obtiene la ecuación cuadrática y 2 − 13 y + 36 = 0. Aplicando la fórmula tenemos: b 2 − 4 ac = ( −13) 2 − 4(1)(36) = 169 − 144 = 25 > 0.

Por tanto, la ecuación obtenida tiene dos raíces reales:

y1 =

−b + b 2 − 4ac 13 + 25 18 = = = 9, 2a 2 2

y2 =

−b − b 2 − 4ac 13 − 25 8 = = = 4. 2a 2 2

Entonces las soluciones de la ecuación original son x1 = 3, x2 = −3, x3 = 2 y x4 = −2.

96

Módulo 8: Raíces de una ecuación cuadrática c.

x 6 + 7 x 3 = 8.

Solución Haciendo la sustitución y = x3 se obtiene la ecuación cuadrática y 2 + 7 y − 8 = 0. Aplicando la fórmula tenemos: b 2 − 4ac = (7) 2 − 4(1)( −8) = 49 + 32 = 81 > 0.

Por tanto, la ecuación obtenida tiene dos raíces reales:

y1 =

−b + b2 − 4ac −7 + 81 2 = = = 1, 2a 2 2

y2 =

−b − b 2 − 4ac −7 − 81 −16 = = = −8. 2a 2 2

Entonces las soluciones de la ecuación original son x1 = 3 1 = 1 y x2 = 3 −8 = −2.

d.

x 2 − 4 x + 5 = 0.

Solución Aplicando la fórmula tenemos: b 2 − 4 ac = ( −4) 2 − 4(1)(5) = 16 − 20 = −4 < 0.

Por tanto, la ecuación no tiene raíces reales sino dos raíces complejas conjugadas:

x1 =

−b + b 2 − 4 ac 4 + −4 4 + 2i = = = 2 + i, 2a 2 2

x2 =

−b − b 2 − 4 ac 4 − −4 4 − 2i = = = 2 − i. 2a 2 2

Ejemplo 24 Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 3 y −5. Solución x1 + x2 = 3 + (−5) = −2 =

−b ; entonces, b = 2a. a

c x1 x2 = 3( −5) = −15 = ; entonces, c = −15a. a


97

Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático La ecuación general será ax 2 + 2ax − 15a = a( x 2 + 2 x − 15) = 0.

Tomando a = 1 obtenemos la ecuación

x2 + 2 x − 15 = 0.

Ejemplo 25 Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 2/3 y 1/2.

Solución x1 + x2 =

x1 x2 =

2 1 7 −b 7 + = = entonces b = − a. 3 2 6 a 6

2 1 1 c ⋅ = = entonces c = 1 a. 3 2 3 a 3

La ecuación general será 7 1 7 1 ax 2 − ax + a = a ( x 2 − x + ) = 0. 6 3 6 3

Tomando a = 6 obtenemos la ecuación

6 x 2 − 7 x + 2 = 0.

Ejemplo 26 Halle el valor de k de modo tal que la suma de las raíces de la siguiente ecuación sea igual al producto de las mismas:

3x 2 − 2 x + k − 3 = 0. Solución Planteando la igualdad entre la suma y el producto de las raíces tenemos: x1 + x2 =

c k −3 −b 2 , = = x1 x2 = = 3 a 3 a

de donde 2 = k − 3 y por tanto k = 5.

98

Módulo 8: Raíces de una ecuación cuadrática Ejemplo 27 Halle el valor de k de modo tal que la suma de las raíces de la siguiente ecuación sea igual al producto de las mismas: 3 x 2 + ( k + 2) x + 2k + 1 = 0.

Solución Planteando la igualdad entre la suma y el producto de las raíces tenemos: x1 + x2 =

−b −(k + 2) c 2k + 1 = = x1 x2 = = , a a 3 3

de donde − k − 2 = 2 k + 1 y por tanto k = −1.

Ejemplo 28 Encuentre dos números cuya suma sea 21 y su producto 104.

Solución Sean x1 y x2 los números buscados; entonces x1 + x2 = 21 y x1 x2 = 104. Tomando a = 1, x1 + x2 = 21 = −b y x1 x2 = 104 = c, tenemos que estos números son raíces de la ecuación cuadrática x 2 − 21x + 104 = 0. Aplicando la fórmula tenemos:

x1 =

2 −b + b2 − 4ac 21 + (21) − 4(104) 21 + 25 26 = = = = 13, 2a 2 2 2

x2 =

2 −b − b2 − 4ac 21 − (21) − 4(104) 21 − 25 16 = = = = 8. 2a 2 2 2

Ejemplo 29

La suma de un numero y su recíproco es

13 . Halle el número. 6

Solución Sea x el número buscado; entonces: 13 1 = x+ , 6 x 2 13 x + 1 , = x 6 13 x = 6 x 2 + 6,


99


6 x 2 − 13x + 6 = 0. Las raíces de esta ecuación cuadrática son: x1 =

2 −b + b 2 − 4ac 13 + (13) − 4(6)(6) 13 + 25 18 3 = = = = , 2a 12 12 12 2

x2 =

2 −b − b2 − 4ac 13 − (13) − 4(6)(6) 13 − 25 8 2 = = = = , 2a 12 6 12 3

que son los números buscados.

Ejemplo 30 Un avión realiza un vuelo entre dos ciudades situadas a 4.992 km una de la otra. Si el avión aumenta su velocidad en 32 km/h puede hacer el trayecto en 1 hora menos. ¿Cuál es la velocidad del avión?

Solución Suponiendo que la velocidad del avión es v km/h y realiza el trayecto en t horas, tenemos entonces que t=

4.992 . v

Si al aumentar la velocidad en 32 km/h se demora una hora menos, tenemos la ecuación t −1 =

4.992 . v + 32

Por tanto, reemplazando tenemos: 4.992 4.992 −1 = , v v + 32 4.992 − v 4.992 , = v v + 32

(4.992 − v)(v + 32) = 4.992v, 4.992v + 159.744 − v 2 − 32v = 4.992v, 159.744 − v 2 − 32v = 0, v 2 + 32v − 159.744 = 0. Las soluciones de esta ecuación cuadrática son:

100

Módulo 8: Raíces de una ecuación cuadrática v1 =

2 −b + b2 − 4ac −32 + (32) − 4(1)(−159.744) −32 + 640.000 768 = = = = 384, 2a 2 2 2

v2 =

2 −b − b2 − 4ac −32 − (32) − 4(1)(−159.744) −32 − 640.000 −832 = = = = −416. 2a 2 2 2

Obviamente la solución buscada es x1 y así la velocidad del avión es de 384 km/h. Ejemplo 31 Dos ciudades A y B se encuentran a una distancia de 490 km una de otra. Dos ciclistas parten simultáneamente de A y B, cada uno hacia la otra ciudad. A partir del sitio donde se cruzan, el ciclista que partió de A demora 9 horas en llegar a B y el que partió de B demora 16 horas en llegar a A. Encuentre la velocidad de cada ciclista.

Solución Sea x la distancia desde A al sitio donde se cruzan y t el tiempo en que se cruzan. A partir de este sitio, el ciclista que salió de A recorre 490 − x km en 9 horas y el que partió de B recorre x km en 16 horas. La velocidad de cada ciclista es: vA =

x 490 − x , = 9 t

vB =

490 − x x = . 16 t

Despejando t e igualando tenemos: 9x 16(490 − x ) . =t = 490 − x x

Se obtiene entonces la ecuación cuadrática: 16(490 − x) 2 − 9 x 2 = 7 x 2 − 15.680 x + 7.840 = 0

cuyas raíces son 280 y 1.960. Como x < 490, entonces el punto de encuentro está a 280 km de A y por tanto vA =

490 − x 210 70 = = km/h, 9 9 3

vB =

x 280 70 = = km/h. 16 16 4

Ejemplo 32 Dos obreros A y B trabajando juntos pueden realizar un trabajo de 4 horas. ¿Cuántas horas se necesitan para que cada obrero realice el trabajo por si solo, si el obrero B requiere 3 horas más de trabajo que el obrero A?


101


Solución Sea x el número de horas que tarda el obrero A realizando el trabajo por sí solo; entonces el obrero B tarda x + 3 horas. La velocidad de trabajo de cada obrero por separado y trabajando juntos es: 1 VA = , x

VB =

1 , x +3

V AB =

1 . 4

Por tanto tenemos que 1 1 1 + = , x x+3 4

de donde se obtiene la ecuación cuadrática

x 2 − 5 x − 12 = 0.

Las raíces de esta ecuación son

5 ± 73 y la raíz negativa no tiene sentido, así que 2

el obrero A necesitaría aproximadamente madamente 9.77 horas.

102

5 + 73 ≈ 6.77 horas y el obrero B aproxi2

Ejercicios del capítulo 3 (módulos 6 al 8)

1.

2.

3.

Factorice completamente en los enteros: RTA: ( x 2 − 10)( x 2 + 10).

a.

x 4 − 100 .

b.

x2 + 3x − 10 . RTA: ( x + 5)( x − 2).

c.

z 4 + 5z 2 + 6 .

d.

3 x2 + 19 x − 14 .

e.

a5 + 1 .

f.

18 x 3 − 8 x .

g.

x4 + x2 + 25 .

h.

2t 4 − 16t .

RTA: ( z 2 + 3)( z 2 + 2). RTA: ( x + 7)(3x − 2).

RTA: ( a + 1)( a 4 − a 3 + a 2 − a + 1). RTA: 2 x(3x − 2)(3x + 2). RTA: ( x 2 − 3 x + 5)( x 2 + 3 x + 5).

RTA: 2t (t − 2)(t 2 + 2t + 4).

Factorice en R completamente las siguientes expresiones: a.

−x − y + a ( x + y) .

b.

x4 + x3 − x −1.

c.

( x + 1)

d.

xy + yz − xz − x 2 .

e.

3x 2 − x − 10.

f.

x3 − 5x2 − x + 5.

g.

x 2 ax a 2 − + . 4 2 4

h.

x 2 y 2 − xy − 20.

i.

x6 − 1. 64

j.

x5 + x +1.

2

− 4.

Factorice completamente en los reales y en los complejos: a.

x 4 − 100 .

RTA: En los reales ( x − 10)( x + 10)( x2 + 10). En los complejos ( x − 10)( x + 10)( x − i 10)( x + i 10).

b.

3m4 − 24mn3 . RTA: En los reales 3m(m − 2n)(m2 + 2mn + 4n 2 ). En los complejos 3m(m − 2n)(m + (1 + i 3)n)(m + (1 − i 3)n) .

c.

z 4 + 5 z 2 + 6 . RTA: En los reales ( z 2 +3) ( z 2 +2) . En los complejos ( z + i 3)( z − i 3)( z + i 2)( z − i 2).

Capítulo 4: Funciones Álgebra y trigonometría

103

d.

x5 + x3 − x2 − 1 .

RTA: En los reales ( x − 1)( x 2 + x + 1)( x 2 + 1). ⎛ 1 + i 3 ⎞⎛ 1 − i 3 ⎞ En los complejos ( x − 1) ⎜⎜ x + 2 ⎟⎜ ⎟⎜ x + 2 ⎟⎟ ( x + i )( x − i ). ⎝ ⎠⎝ ⎠

e.

x4 + x2 + 25 . RTA: En los reales ( x 2 − 3 x + 5)( x 2 + 3 x + 5). ⎛ 3 + i 11 ⎞⎛ 3 − i 11 ⎞⎛ 3 + i 11 ⎞⎛ 3 − i 11 ⎞ x− x+ x+ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟. En los complejos ⎜⎜ x − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠⎝

f.

2t 4 +16t .

RTA: En los reales 2t (t − 2)(t 2 + 2t + 4). En los complejos 2t (t − 2)(t + 1 − i 3)(t + 1 + i 3).

4.

5.

104

Factorice completamente sobre C los siguientes polinomios: a.

x 2 − 6 x − 7 − y 2 − 8 y.

b.

4 x 2 − y 2 + 4 y − 4.

c.

x 7 + x 4 −16 x3 −16.

d.

3x2 − ( 9a + 15b ) x + 45ab.

e.

y6 − 7 y3 + 3xy ( x + y ) .

f.

x3 + y3 + 3xy ( x + y ) .

g

x 2 − 6 x + y 2 − 6 y + 2 xy + 9.

h.

4 − 2 x + x 2 − 8 − x3 .

i.

x3 − 7 x + 6.

j.

x 2 + 7 x + y 2 − 7 y − 2 xy − 8.

k.

x 4 − 5x 2 + 6.

l.

x 4 − 5x 2 + 6.

Encuentre el rango de las siguientes funciones cuadráticas y el punto de máximo o de mínimo según corresponda: RTA: y ≥ 3, x = 1.

a.

f ( x) = 3 x 2 − 6 x.

b.

f ( x) = −5 x 2 − 20 x + 60.

RTA: y ≤ 80, x = −2.

c.

f ( x) = −7 x 2 − 42 x − 65.

RTA: y ≤ −2 x = −3.

d.

f ( x) = 2 x 2 − 16 x + 37.

RTA: y ≥ 5, x = 4.

e.

f ( x) = 4 x 2 − 28 x + 49.

7 RTA: y ≥ 0, x = . 2

f.

f ( x) = x 2 − 4 x − 32.

RTA: y ≥ −36, x = 2.

6.

7.

8.

Encuentre el rango de las siguientes funciones cuadráticas: a.

P( x) = x2 − 2x −1.

b.

P( x) = −3 − 4 x2 .

c.

P( x) = 4x − x2 .

d.

P( x) = x2 − 2 x +17.

e.

P( x) = 3x2 −17 x + 7.

f.

P( x) = x2 −1.

Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones: RTA: 3 2, − 5 2.

a.

4x 2 + 4 x − 15 = 0.

b.

10 x2 + 21x + 9 = 0.

c.

36 x2 + 35 = 72 x.

d.

x 3 (19 + x3 ) = 216.

e.

x2 − 2 x − 15 = 0.

f.

( a − b) x 2 = 2bx + 4a.

RTA: − 3 2, − 3 5. RTA: 7 6, 5 6. RTA: 2, − 3. RTA: 5, − 3. RTA: 2a (a + b) , − 2.

Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones: a.

18x2 − 9 x + 4 = 0.

b.

x 2 − 4x + 4 = 0.

c.

x 6 − 4 x3 + 4 = 0.

d.

x4 − 5x2 − 6 = 0.

e.

x 2 −17 x + 1 = 0.

f.

ax 4 + bx 2 + c = 0. RTA: x2 − 7 x + 12 = 0.

9.

Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 4 y 3.

10.

Encuentre una ecuación cuadrática tal que la suma de sus raíces sea 2 y el producto sea –3.

11.

Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean

12.

Si x 2 − x − k = 0, encuentre los valores de k para que la ecuación tenga dos soluciones distintas.

1± i 3 . 2

2 RTA: x − x + 1 = 0.


105

13.

Halle el valor de k de modo tal que la suma de las raíces de las siguientes ecuaciones sea igual al producto de las mismas. a.

x 2 + (3k − 2) x − k = 0.

b.

( k − 5) x 2 + 2( k − 1) x − 2 = 0.

RTA: k = 1. RTA: k = 2.

14.

Escriba una ecuación cuyas raíces sean el doble de las raíces de la ecuación x 2 − 5 x + 4 = 0.

15.

Encuentre dos números cuya suma sea 23 y su producto 132.

16.

La suma de dos números es 25 y su producto es 136. Encuentre los números.

17.

La suma de un número y su recíproco es

18.

Encuentre los valores de k para que la ecuación x 2 − x + k no tenga raíces reales.

19.

Un tren recorre 300 km a velocidad uniforme. Si la velocidad hubiese sido 5 km más por hora, hubiera tardado en el recorrido 2 horas menos. Halle la velocidad del tren. RTA: 25.

20.

Un piloto realiza un vuelo de 600 km. Si aumenta su velocidad en 40 km por hora puede recorrer esa distancia en media hora menos. ¿Cuál es su velocidad?

21.

Un obrero y su hijo pueden realizar un trabajo en 15 días. Después de trabajar juntos 6 días, el hijo trabajando solo termina el trabajo en 30 días. ¿En cuánto tiempo podría terminar cada uno de ellos trabajando sin ayuda? RTA: el padre, 21 3 7 días; el hijo, 50 días.

22.

26 . Halle el número. 5

RTA: 11 y 12.

RTA: 5 y 1/5.

1 horas. Trabajando solo, A tardaría 8 horas más 2 que B para hacer dicha tarea. ¿Cuánto tardaría cada uno trabajando solo?

Dos obreros A y B, trabajando juntos, pueden hacer una tarea en 7

23.

El producto de un número de dos dígitos y el número obtenido al intercambiar sus dígitos es 252. Si la diferencia de los números es 9, encuentre dichos números. RTA: 12 y 21.

24.

El producto de un número de dos dígitos y el número obtenido al intercambiar sus dígitos es 736. Si la diferencia de los números es 9, encuentre los números.

25.

Dada la ecuación x 2 + ( k − 1) x + 4 − k = 0, halle los valores de k tales que la ecuación tenga: a. b.

26.

Dada la ecuación 8 x2 − ( k − 1) x + k − 7 = 0, qué valores debe tomar k para que las raíces sean: a. b. c.

106

Dos raíces reales iguales. RTA: k = −3 y k = −5. Una de ellas igual a cero. RTA: k = 4.

Reales e iguales. Recíprocas. Una de ellas 0.

27.

Un corredor recorre una carretera con velocidad de 80 km/h a partir de un punto A de la misma. Media hora más tarde parte de ese punto A otro corredor a 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo y a qué distancia de A se encuentran? RTA: 4h; 360 km.

28.

A y B son dos ciudades que están 300 km una de la otra. Si dos trenes parten simultáneamente de A y de B, cada uno hacia la otra estación, y después de que se encuentran, el tren que salió de A llegó a B en 9 horas, en tanto que el que salió de B llegó a A en 4 horas, encuentre la velocidad de cada tren.

29.

Se construye una caja sin tapa cortando de las esquinas de una hoja de aluminio cuadrados de 3 dm de lado. Si la longitud de la hoja de aluminio es el doble de su ancho, halle las dimensiones de la hoja que producirá una caja de 60 decímetros cúbicos. RTA: ancho, 8 dm; largo, 16 dm.

30.

¿En cuánto tiempo pueden tres obreros A, B, C realizar una tarea trabajando juntos, si A solo puede hacerlo en 6 horas, B solo en una hora más y C solo en el doble del tiempo de A?

31.

Un bote en un río demora 1.6 horas más para recorrer 36 km cuando va en contra de la corriente que de regreso cuando recorre los mismos 36 km a favor de la corriente. Si la velocidad de la corriente es de 4 km por hora, ¿cuál es la velocidad del bote en aguas tranquilas? RTA: a favor de la corriente, 2 horas; en contra de la corriente, 3.6 horas.

32.

Dos grifos llenan un tanque en 6 horas. ¿Cuánto tiempo necesitará cada grifo para llenarlo solo, sabiendo que uno de ellos tarda 5 horas más que el otro?

33.

Un depósito de gasolina se puede llenar en 4 horas cuando se utilizan dos llaves. ¿Cuántas horas se necesitarán para que cada llave por si sola llene el depósito, si la llave de menor diámetro requiere 3 horas más que la de mayor diámetro? RTA: la de mayor diámetro, 6.77 horas, y la de menor diámetro, 9.77 horas.

34.

Un avión despega de un portaviones y vuela hacia el occidente durante 2 horas a razón de 600 kilómetros por hora. Después regresa a 500 km por hora. Mientras tanto, el barco ha viajado hacia el occidente a 30 km por hora. ¿A las cuántas horas se encontrarán?

35.

Un automóvil está viajando a una velocidad desconocida. Si viajara 15 km por hora más rápido se tardaría 90 minutos menos en recorrer 450 km. ¿A qué velocidad va el automóvil? RTA: 60 km/h.

36.

Un avión vuela de Bogotá a Buenos Aires una distancia de 4.200 km. La velocidad del viaje de regreso fue de 100 km por hora mayor que el de ida. Si el total del viaje tomó 13 horas, ¿cuál fue la velocidad de Bogotá a Buenos Aires?

37.

Encuentre dos enteros pares consecutivos cuyo producto sea 168.

38.

Una lancha tarda 1 hora más en viajar 24 km contra la corriente de un río que en el viaje de regreso. Si la lancha tiene una velocidad de 10 km por hora en aguas tranquilas, ¿cuál es la velocidad de la corriente?

RTA: −14, − 12 y 12, 14.


107

4

Capítulo 4

Polinomios de grado superior Contenido breve Módulo 9 •Polinomios de grado superior • Teoremas del residuo y del factor Módulo 10 La división sintética Ejercicios Capítulo 4, módulos 9 y 10

Muchas trayectorias, como el salto, son de tipo parabólico.

Presentación Existen métodos para resolver ecuaciones polinómicas de primero y segundo grados; así, dadas las ecuaciones siguientes:

ax + b = 0,

su solución es x = −

b con a ≠ 0, a

−b ± b2 − 4ac , 2a se puede demostrar que existen métodos directos para encontrar todas las soluciones de ecuaciones polinómicas de tercero y cuarto grados. Évariste Galois demostró, a la edad de 20 años, que para ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro no existe un proceso finito paso por paso que siempre conduzca a todas las soluciones. Esta fue, tal vez, una de las contribuciones matemáticas de más alta originalidad. Galois murió trágicamente a la edad de 21 años.

ax 2 + bx + c = 0,

su solución es x =

En este capítulo se estudiarán métodos para hallar o aproximar todas las soluciones reales de polinomios con coeficientes reales.

110

9 Polinomios de grado superior Teoremas del residuo y del factor René Descartes (1596-1650)

Introducción En este módulo se desarrollan teoremas que facilitan la búsqueda de las raíces de polinomios de grado superior. Éstos, y otros teoremas que se estudiarán en módulos posteriores, permitirán, bajo ciertas condiciones, obtener todas las raíces de polinomios de grado mayor que cuatro.

Objetivos 1. Hallar métodos para obtener ceros reales de un polinomio. 2. Hallar métodos para aproximar ceros reales de un polinomio. 3. Conocer las características de los ceros complejos de un polinomio.

Descartes tiene fama de filósofo y de ser el intelecto más grande de los que contribuyeron a crear la llamada «Edad de la Razón». Lo inquietaron los métodos de los geómetras griegos para llegar a sus ingeniosas pruebas sin un sistema fundamental de ataque y se propuso corregirlos mediante el manejo de líneas y figuras tridimensionales en una gráfica. Dibujaba la gráfica marcando unidades en una línea horizontal (eje x) y una línea vertical (eje y); así, cualquier punto de la gráfica podía describirse con dos números. El primer número representaba una distancia en el eje x y el otro número representaba una distancia en el eje y. Aunque conservaba las reglas de la geometría euclidiana, combinaba el álgebra y la geometría, consideradas entonces como independientes, para formar una nueva disciplina matemática llamada geometría analítica.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se enuncia el teorema del factor? 2. ¿En qué consiste la regla de los signos de Descartes? 3. ¿Cómo se enuncia el algoritmo de la división para polinomios?

Contenido 9.1 Polinomios de grado superior 9.2 Teoremas del residuo y del factor 9.2.1 Algoritmo de la división 9.2.2 Teorema del residuo 9.2.3 Teorema del factor 9.2.4 Teorema de los n ceros 9.2.5 Teorema de los ceros complejos 9.2.6 Regla de los signos de Descartes




111

Capítulo 4: Polinomios de grado superior

9.1 Polinomios de grado superior Se dice que una función polinómica es de grado superior si el grado de la función es mayor o igual que tres. En una función polinómica, los ceros de P (x) corresponden a las raíces de la ecuación P (x) = 0. Existen métodos directos finitos para encontrar todas las soluciones o raíces, para ecuaciones polinómicas de tercero o cuarto grados. Évariste Galois, matemático francés, demostró a la edad de 20 años, que para ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro no hay un proceso finito paso por paso que siempre conduzca a todas las soluciones. Debido a lo anterior, en este capítulo se desarrollarán métodos para encontrar o aproximar todas las soluciones reales de polinomios con coeficientes reales.

9.2 Teoremas del residuo y del factor 9.2.1 Algoritmo de la división Para cada polinomio P ( x ) de grado mayor o igual a 1 y para cada número γ existe un polinomio único Q ( x ) de un grado menor que el de P ( x ) y un número único R, tal que P ( x ) = ( x − γ ) Q ( x ) + R. Al polinomio Q ( x ) se le denomina cociente, x − γ es el divisor y R es el residuo.

9.2.2 Teorema del residuo Si R es el residuo de dividir el polinomio P ( x ) entre x − γ , entonces P ( γ ) = R. Demostración Como P ( x ) = ( x − γ ) Q ( x ) + R por el algoritmo de la división, se tiene que si x = γ ,

P ( γ ) = ( γ − γ ) Q ( γ ) + R. O sea, P ( γ ) = R . Ejemplo 1 Halle el residuo de dividir el polinomio P ( x ) = 4 x4 + 10 x3 + 19 x + 5 entre x + 3. Solución x + 3 se puede escribir como x − ( −3) , por tanto γ = −3. P ( −3 ) = 4 ( −3 ) + 10 ( −3) + 19 ( −3 ) + 5 4

= 2. O sea que el residuo es 2.

112

3

Módulo 9: Polinomios de grado superior - Teoremas del residuo y del factor

9.2.3 Teorema del factor Si γ es un cero del polinomio P ( x ) , entonces x − γ es un factor de P ( x ) . Demostración Si γ es un cero de P ( x ) , P ( γ ) = 0. Pero por el algoritmo de la división, P ( x ) = ( x − γ ) Q ( x ) + R. Como P ( γ ) = 0 , P ( γ ) = ( γ − γ ) Q ( γ ) + R = 0. Por tanto, R = 0 y P ( x ) = ( x − γ ) Q ( x ) . Ejemplo 2 Use el teorema del factor para probar que x + 1 es un factor de x13 + 1. Solución

x + 1 = x − ( −1) , así γ = −1. P ( −1) = ( −1) + 1 = −1 + 1 = 0. 13

Luego –1 es un cero de P ( x ) = x13 + 1. Así, x − ( −1) = x + 1 es un factor de x13 + 1.

9.2.4 Teorema de los n ceros Todo polinomio de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de n factores lineales. En consecuencia, tiene exactamente n ceros, no necesariamente distintos. Ejemplo 3 Si –2 es un cero de multiplicidad 2 de P ( x ) = x 4 − 7 x 2 + 4 x + 20, escriba P ( x ) como un producto de factores lineales. Solución Como –2 es un cero de multiplicidad 2, el factor lineal (x + 2) aparece 2 veces y por tanto: P ( x ) = ( x + 2) Q ( x ) , 2

x 4 − 7 x 2 + 4 x + 20 = ( x + 2 ) Q ( x ) , 2

Escuche Contribución de Galois a la solución de polinomios en su multimedia de Álgebra y trigonometría


113


Q ( x) =

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x 4 − 7 x 2 + 4 x + 20 x2 + 4x + 4

=

x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x 3 −16 x 2 − 16 x + 5x 2 + 20 x + 20 x2 + 4x + 4

=

x 2 ( x 2 + 4 x + 4) − 4 x ( x 2 + 4 x + 4) + 5( x 2 + 4 x + 4) x2 + 4x + 4

= x 2 − 4 x + 5. Al usar la fórmula cuadrática, se hallan los ceros de Q( x ), que son 2 − i , 2 + i. Así, P(x) escrito como el producto de factores lineales, es P ( x) = ( x + 2)( x + 2)( x − 2 + i )( x − 2 − i ).

9.2.5 Teorema de los ceros complejos Los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presentan en pares conjugados. Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que si un polinomio con coeficientes reales es de grado impar, siempre tiene al menos un cero real. Ejemplo 4 Si P(x) es un polinomio de tercer grado con coeficientes reales, entonces una de las siguientes afirmaciones es falsa: a. b. c.

P(x) tiene al menos un cero real. P(x) tiene tres ceros. P(x) puede tener dos ceros reales y uno complejo.

Solución La afirmación c es falsa dado que los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales deben presentarse en pares conjugados. Si P(x) tiene dos ceros reales, entonces el tercer cero debe ser también real.

9.2.6 Regla de los signos de Descartes Dado un polinomio P(x) con coeficientes reales, entonces: El número de ceros reales positivos de P(x) nunca es mayor que el número de variaciones en el signo de P(x); si es menor, entonces siempre será en un número par. El número de ceros reales negativos de P(x) nunca es mayor que el número de variaciones en el signo de P(− x); si es menor, entonces siempre será en un número par. Se va a entender que, en un polinomio con coeficientes reales ordenado en forma decreciente, ocurre una variación en el signo si dos términos sucesivos tienen signos opuestos. Los términos no existentes, o sea los términos con coeficientes cero, se ignoran. Véase el siguiente ejemplo:

114

Módulo 9: Polinomios de grado superior - Teoremas del residuo y del factor Ejemplo 5 En P( x) = 3x4 − 2 x3 + 3x − 5 hay tres variaciones en el signo, por tanto existen tres o una raíces reales positivas. P ( − x) = 3( − x) 4 − 2( − x )3 + 3( − x ) − 5

= 3x4 + 2 x3 − 3x − 5. En P (− x ) hay una variación en el signo, por tanto existe una raíz real negativa.

Ejemplo 6 Halle el residuo de dividir el polinomio P ( x) = 2 x 4 − 13 x 3 + 14 x 2 + 15 entre x − 5. Solución Por el teorema del residuo, tenemos que el residuo es: R = P (5) = 2(5)4 −13(5)3 + 14(5) 2 + 15 = − 10.

Ejemplo 7 1 Halle el residuo de dividir el polinomio P ( x) = 4 x 4 + 2 x3 − 6 x 2 − 5 x + 1 entre x + . 2

Solución 1 ⎛ 1⎞ se puede escribir como x − ⎜ − ⎟ . Por el teorema del 2 ⎝ 2⎠ residuo, tenemos que el residuo es:

El polinomio lineal x +

4

3

2

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ R = P ⎜ − ⎟ = 4 ⎜ − ⎟ + 2 ⎜ − ⎟ − 6 ⎜ − ⎟ − 5 ⎜ − ⎟ + 1 = 2. 2 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠

Ejemplo 8 Use el teorema del factor para determinar si el segundo polinomio es un factor del primero: a.

P ( x) = 2 x3 − x 2 − 8 x + 4; x − 2.

b.

P ( x) =2 x3 − x 2 − 8 x + 4; x + 1.

Escuche Descartes en su multimedia de Àlgebra y trigonometría


115

Capítulo 4: Polinomios de grado superior Solución a.

Calculando P (2) = 2 (2)3 −(2) 2 −8 (2) + 4 = 0, por el teorema del factor tenemos que ( x − 2) es un factor de P(x).

b.

x + 1 puede escribirse x − ( −1). Calculando P ( −1) = 2 ( −1)3 − ( −1) 2 − 8( −1) + 4 = 9, entonces −1 no es un cero de P(x) y por tanto (x + 1) no es un factor de P(x).

Ejemplo 9 Encuentre el polinomio de menor grado que tenga por ceros: a. b.

2 (multiplicidad 2); 1 (multiplicidad 2) y –3. 1 – 2i; 1 + 2i y 2 (multiplicidad 3).

Solución a.

Por el teorema del factor tenemos que:

P ( x ) = ( x − 2)2 ( x −1)2 ( x − ( − 3)) = ( x 2 − 4 x + 4) ( x 2 − 2 x +1) ( x + 3) = ( x 4 − 6 x 3 + 13x 2 −12 x + 4) ( x + 3) = x 5 − 3x 4 − 5 x 3 + 27 x 2 − 32 x + 12. b.

Por el teorema del factor tenemos que:

P( x) = ( x −1 + 2 i ) ( x −1 − 2i ) ( x − 2)3 = (( x −1) 2 + 4) ( x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8) = ( x 2 − 2 x + 5) ( x3 − 6 x 2 +12 x − 8) = x 5 − 8 x 4 + 29 x 3 − 62 x 2 + 76 x − 40. Ejemplo 10 Escriba el polinomio P(x) = x3 – 4x2 – 3x + 18 como producto de polinomios lineales si 3 es un cero doble de P(x).

Solución Como 3 es un cero de multiplicidad 2, por el teorema de los n ceros tenemos que P(x) = x3 – 4x2 – 3x + 18 = (x – 3)2 Q(x), donde Q(x) es un polinomio de grado 1 del tipo (x – y). Reemplazando tenemos:

116

Módulo 9: Polinomios de grado superior - Teoremas del residuo y del factor x − 4 x − 3 x + 18 = ( x − 3) ( x − γ ) = ( x − 6 x + 9 )( x − γ ) 3

2

2

2

= x3 − 6 x 2 + 9 x − γ x 2 + 6γ x − 9γ ,

de donde γ = −2 y por tanto P ( x ) = x 3 − 4 x 2 − 3 x + 18 = ( x − 3) 2 ( x + 2).

Ejemplo 11 Escriba el polinomio P ( x) = x 5 − x 4 + 8 x 3 − 8 x 2 + 16 x − 16 como producto de polinomios lineales si 2i es un cero doble de P(x).

Solución Como 2i es un cero complejo, su conjugado es también un cero y tiene la misma multiplicidad. Como ambos son ceros de multiplicidad 2, por el teorema de los ceros tenemos que: P ( x) = x 5 − x 4 + 8 x3 − 8 x 2 + 16 x − 16 = ( x − 2i ) 2 ( x + 2i ) 2 Q( x),

donde Q(x) es un polinomio de grado 1 del tipo ( x − γ ). Reemplazando tenemos:

x 5 − x 4 + 8 x 3 − 8 x 2 + 16 x − 16 = ( x − 2i ) 2 ( x + 2i )2 ( x − γ ) = [ ( x − 2i )( x + 2i ) ] ( x − γ ) 2

= ( x 2 + 4)2 ( x − γ ) = ( x 4 + 8 x 2 + 16) ( x − γ ) = x 5 + 8 x 3 + 16 x − γ x 4 − 8γ x 2 − 16γ , de donde γ = 1 y por tanto: P( x ) = x 5 − x 4 + 8 x3 − 8 x 2 + 16 x − 16 = ( x − 2i) 2 ( x + 2i ) 2 ( x − 1).

Ejemplo 12 La soluciones de la ecuación x 4 − 16 = 0 son las raíces cuartas de 16. ¿Cuántas raíces cuartas de 16 existen? Hállelas. Solución Por el teorema de los n enteros, existen 4 raíces cuartas de 16. Aplicando la diferencia de cuadrados tenemos: 2

x 4 − 16 = ( x 2 )2 − (22 ) = ( x 2 + 22 ) ( x 2 − 22 ) = ( x + 2i )( x − 2i )( x − 2) ( x + 2).

Por tanto las raíces cuartas de 16 son 2i, − 2i, 2 y − 2.


117

Capítulo 4: Polinomios de grado superior Ejemplo 13 En las siguientes ecuaciones, cuáles son las combinaciones posibles de soluciones reales y complejas. a.

2 x 3 − 4 x 2 − x + 3 = 0.

b.

4 x 5 + x 4 − 5 x 2 − x + 3 = 0.

c.

x 4 + 3x 2 + 2 x + 1 = 0.

Solución a.

Como es un polinomio de grado 3 y las raíces complejas siempre se presentan en pares de números complejos conjugados las posibilidades son: tres raíces reales. una raíz real y un par de raíces complejas conjugadas.

b.

Como es un polinomio de grado 5 las posibilidades son: cinco raíces reales. tres raíces reales y un par de raíces complejas conjugadas. una raíz real y dos pares de raíces complejas conjugadas.

c.

Como es un polinomio de grado 4 las posibilidades son: cuatro raíces reales. dos raíces reales y un par de raíces complejas conjugadas. dos pares de raíces complejas conjugadas.

Ejemplo 14 Dado P ( x ) = x 2 − 2ix + 8 muestre que −2i es un cero de P(x) pero que 2i no lo es. ¿Contradice esto el teorema de las raíces complejas conjugadas?

Solución x 2 − 2ix + 8 = ( x + 2i ) ( x − 4i ).

Por tanto, los ceros de este polinomio son −2i y 4i . Esto no contradice el teorema de las raíces conjugadas, pues en este polinomio existe un coeficiente que no es real.

Ejemplo 15 Encuentre los otros dos ceros del polinomio P ( x ) = x 3 + x 2 − 4 x + 6 si 1 + i es un cero de P(x).

118

Módulo 9: Polinomios de grado superior - Teoremas del residuo y del factor Solución Como 1 + i es un cero, su conjugado 1 − i también lo es. Sólo faltaría hallar el otro cero que es real. Si denotamos este cero por

γ

tenemos:

P ( x) = x 3 + x 2 − 4 x + 6 = ( x − 1 − i ) ( x − 1 + i ) ( x − γ ) = (( x − 1)2 + 1) ( x − γ ) = ( x 2 − 2 x + 2) ( x − γ ) = x3 − 2 x 2 + 2 x − γ x 2 + 2γ x − 2γ ,

de donde γ = −3.

Ejemplo 16 Analice, para los siguientes polinomios, el número posible de ceros reales positivos y negativos usando la regla de los signos de Descartes: a.

P( x) = 2 x6 + x 4 − x + 3.

b.

P( x) = 4 x5 + 2 x 4 − x3 + x − 5.

c.

P( x) = x3 + 3x 2 + 5.

Solución a.

P( x) = 2 x6 + x 4 − x + 3,

dos variaciones de signo, dos ceros reales positivos o ninguno.

P( − x) = 2 x 6 + x 4 + x + 3, no hay variaciones de signo, no hay ceros reales negativos.

b.

P( x) = 4 x5 + 2 x 4 − x 3 + x − 5, tres variaciones de signo, tres ceros reales positivos o uno. P( − x) = − 4 x 5 + 2 x 4 + x 3 − x − 5, dos variaciones de signo, dos ceros reales negativos o ninguno.

c.

P( x) = x3 + 3x 2 + 5, no hay variaciones de signo, no hay ceros reales positivos.

P(−x) = − x3 + 3x2 + 5, una variación de signo, un cero real negativo.

Ejemplo 17 Sin graficar, pruebe que la gráfica del polinomio P ( x ) = x 5 + 3 x 3 + x cruza el eje x una sola vez.


119

Capítulo 4: Polinomios de grado superior Solución Aplicando la regla de los signos de Descartes tenemos: P( x) = x5 + 3 x3 + x, no hay variaciones de signo, no hay ceros reales positivos.

P( − x) = − x 5 − 3 x3 − x, no hay variaciones de signo, no hay ceros reales negativos.

Como P(0) = 0, entonces 0 es el único cero real del polinomio y por tanto su gráfica sólo interseca el eje x en el punto (0, 0).

Ejemplo 18 Pruebe que P ( x) = x 6 + 4 x 4 + x 3 − 10 tiene cuatro ceros complejos y dos ceros reales. Solución Aplicando la regla de los signos de Descartes tenemos: P( x) = x 6 + 4 x 4 + x3 − 10, una variación de signo, tiene un cero real positivo. P( − x ) = x 6 + 4 x 4 − x3 − 10, una variación de signo, tiene un cero real negativo.

Como P (0) ≠ 0, entonces tiene únicamente dos ceros reales, uno positivo y otro negativo. Por el teorema de los n ceros, los otros cuatro ceros son complejos.

120

10 La división sintética

Introducción En este módulo se terminan de desarrollar teoremas que permiten hallar, a veces de forma aproximada, los ceros de cualquier polinomio de grado superior. Éstos, juntos con los teoremas que se desarrollaron en el módulo anterior, permitirán, bajo ciertas condiciones, obtener todas las raíces de polinomios de grado mayor que cuatro.

Objetivos 1. Desarrollar un método corto para dividir un polinomio entre otro de la forma x − a. 2. Desarrollar teoremas que ayudarán a aproximar ceros reales. 3. Hallar métodos alternativos para aproximar ceros irracionales.

Preguntas básicas 1. 2. 3. 4.

¿Cómo se enuncia la regla de la división sintética? ¿En qué consiste el teorema de los ceros racionales? ¿Cómo se enuncia el teorema de aislamiento de ceros? ¿Qué es una cota superior e inferior para ceros reales?

Contenido 10.1 División sintética 10.2 Cotas superior e inferior de ceros reales 10.3 Teorema de aislamiento de ceros 10.4 Teorema de los ceros racionales 10.5 Aproximación de los ceros irracionales




121


10.1 División sintética Es un método rápido y exacto para dividir un polinomio P(x) entre un polinomio lineal de la forma x − γ . El método se describe en la forma siguiente: Se colocan los coeficientes de P(x) en orden descendente de las potencias de x, poniendo cero como coeficiente de cada potencia que no aparezca. Después de escribir el divisor en la forma x − γ , se usa γ para generar la segunda y la tercera filas, así: se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica por γ ; se suma el producto al segundo coeficiente del dividendo, se multiplica esa suma por γ y se suma al tercer coeficiente del dividendo. El proceso se sigue hasta que un producto se suma al término constante del dividendo. El último número de la tercera fila es el residuo; los otros números de la tercera fila son los coeficientes del cociente, que es de un grado menor que P(x). Ejemplo 19 Use la división sintética para hallar el cociente y el residuo que resultan de dividir P ( x) = 4 x 5 − 15 x 3 − 40 x entre x + 2.

Solución

x + 2 = x − (−2), o sea que γ = −2. P ( x) = 4 x 5 − 15 x 3 − 40 x = 4 x 5 + 0 x 4 − 15 x 3 + 0 x 2 − 40 x + 0.

4

4

−8

−15 16

−8

1

0

−2

−40 4

0 72

−2

−36

72

0

−2

En consecuencia, el cociente es Q ( x ) = 4 x 4 − 8 x 3 + x 2 −2 x − 36. El residuo es R = 72.

El siguiente teorema proporciona un método para hallar entre qué números reales se encuentran los ceros reales de un polinomio P(x).

10.2 Cotas superior e inferior de ceros reales Dado un polinomio con coeficientes reales de grado n ≥ 1, y tal que el coeficiente del término enésimo es positivo, si este polinomio se divide sintéticamente por x − γ , se tiene: Si γ > 0 y todos los números de las filas del cociente son no negativos, entonces

γ es una cota superior de los ceros de P(x).

122

Si γ < 0 y todos los números de la fila del cociente alternan de signo, entonces γ es una cota inferior de los ceros de P(x).

Módulo 10: La división sintética

Ejemplo 20 Encuentre el menor entero positivo y el mayor entero negativo que sean cotas superior e inferior del polinomio P ( x) = x 3 − 3 x 2 − 18 x + 4. Solución Para hallar la cota inferior, hay que obrar por inspección analizando con γ = −1, −2, −3 etc. Es fácil verificar que la cota inferior es γ = −4. Dividiendo sintéticamente se tiene que: 1

1

−3 −4

−18 28

−40

−7

10

−36

4

−4

Obrando de manera similar se demuestra que γ = 6 es una cota superior de ese polinomio. Como consecuencia, cualquier cero real del polinomio anterior es menor que 6 y mayor que –4.

10.3 Teorema de aislamiento de ceros Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales, y si P(a) y P(b) son de signo opuesto, entonces existe al menos un cero real entre a y b. Ejemplo 21 Muestre que existe al menos un cero real en el polinomio P ( x ) = 2 x 4 − 3 x 3 − 3 x − 4 entre 2 y 3.

Solución P(2) = 2(2) 4 − 3(2)3 − 3(2) − 4 = − 2. P(3) = 2(3) 4 − 3(3) 3 − 3(3) − 4 = 68.

Ya que P(2) y P(3) tienen signos opuestos, existe al menos un cero real entre 2 y 3.

10.4 Teorema de los ceros racionales Todo cero racional del polinomio P ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 es de la forma

b , donde b es un factor de a0 y c es un factor de an . c


123

Capítulo 4: Polinomios de grado superior Ejemplo 22 Halle todos los posibles ceros racionales del polinomio P ( x) = 2 x 4 − 3 x3 + x − 9. Solución

a0 = −9, por tanto b consta de los divisores de –9, o sea: ±1, ± 3, ± 9. an = 2, por tanto c consta de los divisores de 2, o sea: ±1, ± 2. En consecuencia, los posibles ceros racionales de P(x) son los de la forma

b , o sea c

que son:

1 3 9 ±1, ± 3, ± 9, ± , ± , ± . 2 2 2 Así, si P(x) posee ceros racionales deben ser los de la lista anterior. Ejemplo 23 Encuentre todos los ceros racionales de P ( x) = 2 x3 − x 2 − 8 x + 4. Solución En este proceso se van a utilizar varios teoremas, así: como P( x) = 2 x3 − x2 − 8x + 4, y hay dos variaciones de signo, existen dos ceros reales positivos o ninguno; como P ( − x) = −2 x 3 − x 2 + 8 x + 4, y hay una variación de signo, se puede asegurar que hay un cero real negativo;

1 como a0 = 4 y an = 2, los posibles ceros racionales son: ±1, ± 2, ± 4, ± . 2 Se puede verificar que 2 es un cero real así:

2

−1 4

−8 6

4 −4

2

3

−2

0

2

Por tanto, P ( x ) = ( x − 2)(2 x 2 + 3 x − 2). Los ceros de Q ( x) = 2 x 2 + 3 x − 2 se hallan resolviendo la ecuación cuadrática y son

124

1 y –2. 2

Módulo 10: La división sintética Así, los ceros racionales de P(x) son: 2, −2 ,

1 . 2

10.5 Aproximación de los ceros irracionales Para hallar los ceros irracionales en forma aproximada, se buscan dos reales a y b tales que P(a) y P(b) sean de signo diferente. Se divide ese intervalo en una serie de subintervalos y se halla un c entre a y b que cumpla que P(a) y P(c) o P(c) y P(b) sean de signos diferentes. El proceso se repite tantas veces como se desee, hasta obtener una aproximación al cero irracional con la precisión pedida.

Ejemplo 24 Utilice la división sintética para hallar el cociente y el residuo que resultan de dividir el polinomio P(x) entre el polinomio Q(x) de grado 1. P( x) = x 4 − 3 x 3 − 5 x 2 + 6 x − 3;

a.

Q ( x) = x − 4.

Solución Escribiendo los coeficientes del polinomio P(x), el cero del polinomio Q(x) que es 4 y aplicando el algoritmo de la división sintética, tenemos: 1

−3 4

1

1

6 −5 4 −4

−1

2

−3 8

4

5

Por tanto el cociente es el polinomio x3 + x 2 − x + 2 y el residuo es 5, lo que significa que: P ( x ) x 4 − 3 x3 − 5 x 2 + 6 x − 3 3 2 5 = = x + x − x+2+ . Q( x ) x−4 x−4

b.

3 P( x) = 4 x3 + 4 x 2 − 7 x − 6; Q( x) = x + . 2

Solución Escribiendo los coeficientes del polinomio P(x), el cero del polinomio Q(x) que es

−

3 y aplicando el algoritmo de la división sintética, tenemos: 2


125

Capítulo 4: Polinomios de grado superior 4

4

4

−7

−6

−6

3

6

−2

−4

0

−3

2

Por tanto el cociente es el polinomio 4 x 2 − 2 x − 4 y el residuo es 0, lo que significa que:

P( x) 4 x3 + 4 x 2 − 7 x − 6 = = 4 x 2 − 2 x − 4. 3 Q ( x) x+ 2 P( x) = x5 + 10 x 2 + 5 x + 2;

c.

Q( x) = x + 2.

Solución Escribiendo los coeficientes del polinomio P ( x) = x5 + 10 x 2 + 5 x + 2 = x5 + 0 x 4 + 0 x 3 + 10 x 2 + 5 x + 2, el cero del polinomio Q(x) que es −2 y aplicando el algoritmo de la división sintética, tenemos:

1

1

0

0

10

−2

4

−8 −4 −2

−2 4

2

5

1

2

−2

0

Por tanto el cociente es el polinomio x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 1 y el residuo es 0, lo que significa que: P( x) x5 + 10 x 2 + 5 x + 2 4 = = x − 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 1. Q( x ) x+2

Ejemplo 25 Encuentre la menor cota positiva y la mayor cota negativa para los ceros reales del polinomio P( x) = x3 − 4 x 2 − 5 x + 8.

Solución Para hallar la menor cota positiva hay que obrar por inspección dividendo sintéticamente el polinomio por x − 1, x − 2, x − 3,... hasta hallar que todos los coeficientes del polinomio cociente son no negativos.

126


1 −4 −5

8

1 −4 −5

1

1 −3 −8 1 −3 −8

0

8

2 −4

− 18

1 − 2 −9

− 10

1 − 4 −5 8 3 3 − 3 − 24

1 −4 −5 8 4 0 − 20

1 −1 − 8

1

− 16

1 − 4 −5

8

5

5

0

1

0

−8

1

0 −5

2

4

− 12

5

Como todos los coeficientes del polinomio cociente x2 + x son no negativos, entonces 5 es una cota superior para los ceros del polinomio P(x). Realizando el mismo procedimiento, dividiendo ahora por x + 1, x + 2, ... encontramos la cota inferior cuando el polinomio cociente tenga todos sus coeficientes que alternen sus signos. En este caso, si aparece el 0 como coeficiente puede considerarse con el signo conveniente.

1 − 4 −5

8

−1

5

0

1 −5

0

8

−1

Como todos los coeficientes del polinomio cociente x 2 − 5 x + 0 alternan su signo, entonces −1 es una cota inferior para los ceros del polinomio P(x). Por tanto los ceros reales de este polinomio están entre −1 y 5.

Ejemplo 26 Encuentre la menor cota positiva y la mayor cota negativa para los ceros reales del polinomio P( x) = x 4 + 4 x 3 − 2 x 2 −12 x − 3.


127

Capítulo 4: Polinomios de grado superior Solución Siguiendo el procedimiento del ejercicio anterior, tenemos que:

1 4 −2 1

5

1 5

3

−3

3

−9

1

− 9 − 12

1 4 −2 2 12 1 6

− 12

10

− 12 20

−3 16

8

13

2

Como el polinomio cociente x3 + 6 x 2 + 10 x + 8 tiene todos sus coeficientes no negativos, los ceros reales de P(x) tienen como cota superior el número 2. Para la cota inferior procedemos como en el ejercicio anterior:

1

− 12

−3

−1 − 3

5

7

1

3

−5

7

4

1

4 −2

− 12

−3

−2 −4

12

0

−6

0

1

2

4 −2

− 12

−3

15

−9

1

1 −5

3

1

4 −2

− 12

−3

1

−1

−2

−3

−3 −3

1

128

4 −2

−3

− 12

−4

0

8

16

0

−2

−4

13

−4


− 12

−3

−5

5

− 15

135

1 −1

3

− 27

132

1

4 −2

−5

Como todos los coeficientes del polinomio cociente x3 − x 2 + 3 x − 27 alternan su signo, entonces –5 es una cota inferior para los ceros del polinomio P(x). Por tanto los ceros reales de este polinomio están entre –5 y 2.

Ejemplo 27 En los siguientes polinomios, muestre que existe al menos un cero real entre a y b. a.

P(x) = x4 – 2x3 – 6x2 +6x + 9, a = 1, b = 2.

Solución Evaluando tenemos: P(1) = 1 – 2 – 6 + 6 + 9 = 8 > 0. P(2) = (2)4 – 2(2)3 – 6(2)2 + 6(2) + 9 = 16 – 16 – 24 + 12 + 9 = –3 < 0.

Por el teorema del aislamiento de ceros, existe un cero real entre 1 y 2.

b.

P(x) = x3 – 3x2 – 3x + 9, a = –2, b = –1.

Solución Evaluando tenemos: P(–2) = (–2)3 – 3(–2)2 – 3(–2) + 9 = – 8 – 12 + 6 + 9 = –5 < 0. P(–1) = (–1)3 – 3(–1)2 – 3(–1) + 9 = – 1 – 3 + 3 + 9 = 8 > 0.

Por el teorema del aislamiento de ceros, existe un cero real entre –2 y –1.

Ejemplo 28 Escriba todos los posibles ceros racionales del polinomio P(x) = 3x3 + 2x2 – 5x – 8. Solución b es un cero racional de P(x), entonces por el teorema de los ceros racionales b c debe ser un factor de –8 y c debe ser un factor de 3. Entonces tenemos:

Si


129

Capítulo 4: Polinomios de grado superior Valores posibles de b: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8. Valores posibles de c: ±1, ± 3. Por tanto todos los posibles ceros racionales del polinomio son: 1 2 4 8 ±1, ± 2, ± 4, ± 8, ± , ± , ± , ± . 3 3 3 3

Ejemplo 29 Halle todos los ceros racionales del polinomio P ( x) = 3 x 3 + 10 x 2 + x − 6. Solución b c es un cero racional de P(x), entonces por el teorema de los ceros racionales b es un factor de −6 y c es un factor de 3. Por tanto tenemos:

Primero se hace una lista de todos los posibles ceros racionales del polinomio. Si

Valores posibles de b: ±1, ± 2, ± 3, ± 6. Valores posibles de c: ±1, ± 3. Por tanto todos los posibles ceros racionales del polinomio son: 1 2 ±1, ± 2, ± 3, ± 6, ± , ± . 3 3

Aplicando la regla de los signos de Descartes: P( x) = 3 x3 + 10 x 2 + x − 6, una variación de signo; tiene un cero real positivo. P(− x) =− 3x3 +10 x2 − x − 6, dos variaciones de signo; tiene dos ceros reales negativos o ninguno.

Probando los posibles ceros positivos, tenemos:

P(1) = 3 +10 +1 − 6 = 8, P(2) = 24 + 40 + 2 − 6 = 60, P(3) = 81 + 90 + 3 − 6 =168, P(6) = 648 + 360 + 6 − 6 =1008, 40 ⎛ 1 ⎞ 1 10 1 P⎜ ⎟ = + + −6=− , 3 9 9 3 9 ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ 8 40 2 P ⎜ ⎟ = + + − 6 = 0. ⎝3⎠ 9 9 3

130

Módulo 10: La división sintética Como

2 es un cero, para hallar los restantes ceros el polinomio puede escribirse 3

así:

2⎞ ⎛ P ( x ) = ⎜ x − ⎟ Q ( x), 3⎠ ⎝ donde Q(x) lo obtenemos por división sintética: 2 3

3 10 1 − 6 2

8

6

3 12

9

0

Por tanto Q ( x) = 3 x 2 + 12 x + 9 = 3( x 2 + 4 x + 3) = 3( x + 3) ( x + 1), lo que significa que los otros dos ceros racionales son −3 y −1.

Ejemplo 30 Halle todos los ceros reales del polinomio P ( x) = 2 x 3 − 5 x 2 − 8 x + 6. Solución Hallemos primero los ceros racionales. Como b es factor de 6 y c es factor de 2, entonces los posibles ceros racionales son:

1 3 ±1, ± 2, ± 3, ± 6, ± , ± . 2 2 Aplicando la regla de los signos de Descartes: P( x) = 2 x 3 − 5 x 2 − 8 x + 6, dos variaciones de signo; tiene dos ceros reales positivos o ninguno. P( − x) = − 2 x 3 − 5 x 2 + 8 x + 6, una variación de signo; tiene un cero real negativo.

Busquemos por inspección el único cero real negativo:

P(−1) P(−2)

= − 2 − 5 + 8 + 6 = 7, = − 16 − 20 + 16 + 6 = − 14,

P(−3)

= − 54 − 45 + 24 + 6 = − 69,

P(−6) = − 432 − 180 + 48 + 6 = − 558, 1 5 17 ⎛ 1⎞ P⎜ − ⎟ = − − + 4+ 6 = , 4 4 2 ⎝ 2⎠ 27 45 ⎛ 3⎞ P ⎜ − ⎟ = − − +12 + 6 = 0. 2 4 4 ⎝ ⎠ Álgebra y trigonometría

131

Capítulo 4: Polinomios de grado superior Como −

3 es un cero, para hallar los restantes ceros el polinomio puede escribirse 2

así:

3⎞ ⎛ P ( x) = ⎜ x + ⎟ Q ( x), 2⎠ ⎝ donde Q(x) lo obtenemos por división sintética:

2

2

−5

−8

−3

12 − 6

−8

4

6

−

3 2

0

Por tanto Q ( x) = 2 x 2 − 8 x + 4 = 2 ( x 2 − 4 x + 2). Aplicando la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática, tenemos que los ceros reales positivos son 2 ± 2, que no son racionales sino irracionales.

Ejemplo 31 Halle todos los ceros de P ( x) = 2 x 3 − 7 x 2 + 6 x + 5.

Solución Hallemos primero los ceros racionales. Como b es factor de 5 y c es factor de 2, entonces los posibles ceros racionales son:

1 5 ±1, ± 5, ± , ± , 2 2 Aplicando la regla de los signos de Descartes: P( x) = 2 x3 − 7 x 2 + 6 x + 5, dos variaciones de signo; tiene dos ceros reales positivos o ninguno. P( − x) = − 2 x 3 − 7 x 2 − 6 x + 5, una variación de signo; tiene un cero real negativo.


P(−1)

= − 2 − 7 − 6 + 5 = − 10,

P(−5)

= − 250 − 175 − 30 + 5 = − 450,

1 7 ⎛ 1⎞ P ⎜ − ⎟ = − − − 3 + 5 = 0. 2 4 4 ⎝ ⎠

132


1 es un cero, para hallar los restantes dos ceros tenemos que el polinomio 2 puede escribirse así:

Como −

1⎞ ⎛ P ( x) = ⎜ x + ⎟ Q ( x ), 2⎠ ⎝ donde Q(x) lo obtenemos por división sintética:

2

2

−7

6

−1

4 −5

5

− 8 10

−

1 2

0

Por tanto:

Q ( x) = 2 x 2 − 8 x + 10 = 2( x 2 − 4 x + 5) = 2( x 2 − 4 x + 4 + 1) = 2 ⎡⎣( x − 2)2 − (i ) 2 ⎤⎦ = 2( x − 2 − i )( x − 2 + i ). Es decir, los restantes dos ceros son los números complejos conjugados 2 + i y 2 − i.

Ejemplo 32 Halle todos los ceros reales del polinomio P ( x) = x3 + 2 x + 7. Aproxime los ceros irracionales hasta dos decimales.

Solución Hallemos primero los ceros racionales si existen. Como b es factor de 7 y c es factor de 1, entonces los posibles ceros racionales son:

±1, ± 7. Aplicando la regla de los signos de Descartes: P( x) = x 3 + 2 x + 7, no hay variaciones de signo; no tiene ceros reales positivos. P( − x) = − x3 − 2 x + 7, una variación de signo; tiene un cero real negativo.



133


P(−1) = − 1− 2 + 7 = 4, P(−7) = − 343 − 14 + 7 = − 350. De lo anterior se concluye que el polinomio no tiene ceros racionales. Por tanto el único cero negativo es irracional y los otros dos ceros números complejos conjugados. Como P (−1) = 4 > 0 y P(−7) < 0, entonces por el teorema de aislamiento de ceros el cero irracional está entre –7 y –1. El punto medio del intervalo [−7, − 1] es

x0 = − 4. Evaluando tenemos que P (−4) = − 65 < 0, por tanto por el teorema del aislamiento, como P (−1) = 4 > 0, el cero irracional está en el intervalo [−4, − 1]. El punto medio de este intervalo es x 1 = –2.5 y evaluando tenemos

P (−2.5) = −13.625 < 0, por tanto el cero está en el intervalo [−2.5, − 1]. El valor –2.5 es la aproximación de este cero con un decimal. Repitiendo el procedimiento, el punto medio de este intervalo es −1.75 que es un valor aproximado hasta dos decimales del cero irracional buscado. Por supuesto que este procedimiento puede prolongarse, aproximándose cada vez más al valor real del cero.

134

Ejercicios del capítulo 4 (módulos 9 y 10)

1.

2.

3.

4.

5.

Usando división sintética halle el cociente y el residuo de dividir: a.

3 x 4 − x − 4 entre x + 1.

RTA: 3 x3 − 3 x 2 + 3 x − 4, R = 0.

b.

x 5 + 1 entre x + 1.

c.

2 x 4 − 13 x 3 + 14 x 2 + 15 entre x − 5.

d.

1 4 x 4 + 2 x 3 − 6 x 2 − 5 x + 1 entre x + . 2

RTA: x 4 − x 3 + x 2 − x + 1, R = 0. RTA: 2 x 3 − 3 x 2 − x − 5, R = − 10. RTA: 4 x 3 − 6 x − 2, R = 2.

Usando división sintética halle el cociente y el residuo de dividir: a.

5 x 4 − 2 x 2 − 3 entre x −1.

b.

2 x3 + 4 x2 + 9 x − 11 entre x + 3.

c.

x5 + 10 x2 + 5 x + 2 entre x − 5.

d.

3 3x3 − x2 + x + 2 entre x + 2 .

Determine si el segundo polinomio es un factor del primero sin emplear la división sintética: a.

3 x 4 − 2 x 3 + 5 x − 6; x − 1.

b.

3 x3 − 7 x 2 − 8 x + 2; x + 1.

RTA: Sí.

c.

x − 4 x − 4 x − 1; x − 2.

RTA: No.

4

2

RTA: Sí.

Determine si el segundo polinomio es un factor del primero sin dividir ni emplear división sintética: a.

3 x3 − 7 x 2 − 8 x + 2 ; x + 1.

b.

3 x4 − 2 x3 + 5 x − 6 ; x − 1 .

c.

x18 − 1 ; x − 1 .

Encuentre el polinomio de menor grado que tenga por ceros: a.

3 (multiplicidad 2) y − 4.

b.

2 −7 (multiplicidad 3), 3 y − 5.

c.

(2 − 3i ), ( 2 + 3i ) y −4 (multiplicidad 2). RTA: ( x 2 − 4 x + 13) ( x + 4) 2 .

RTA: ( x − 3) 2 ( x + 4).

2⎞ 3⎛ RTA: ( x + 7) ⎜ x − ⎟ ( x + 5). 3⎠ ⎝


135

6.

7.

Encuentre el polinomio de menor grado que tenga por ceros: a.

−3 de multiplicidad 2 y –4.

b.

−7 de multiplicidad 3,

c.

−2 − 3i , 2 + 3i, −4 de multiplicidad 2.

2 y –5. 3

Escriba P(x) como producto de factores lineales: a.

P ( x) =x3 + 9 x 2 + 24 x + 16 si –1 es un cero.

RTA: ( x + 4) 2 ( x + 1).

b.

P(x) = x4 – 1 si 1 y –1 son ceros.

c.

P ( x ) = 2 x 3 − 17 x 2 + 90 x − 41 si 1/2 es un cero.

RTA: ( x − 1) ( x + 1) ( x + i ) ( x − i ). RTA: (2 x − 1) ( x − 4 − 5i )( x − 4 + 5i ).

8.

Escriba a P ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 1 como producto de factores lineales si i es un cero doble.

9.

En las ecuaciones siguiente determine las combinaciones posibles de soluciones reales y complejas:

10.

11.

a.

x 4 − 4 x3 + 5 x 2 + 1 = 0.

b.

x3 + x +2.

c.

x 5 + x 3 + 4 x 2 + x + 9.

RTA: cuatro ceros reales; dos ceros reales y un par de ceros complejos conjugados; dos pares de ceros complejos conjugados.

RTA: tres ceros reales; un cero real y un par de ceros complejos conjugados. RTA: cinco ceros reales; tres ceros reales y un par de ceros complejos conjugados; un cero real y dos pares de ceros complejos conjugados.

En las ecuaciones siguientes cuáles son las combinaciones posibles de soluciones reales y complejas: a.

x 4 − 3x3 + 5 x − 6 = 0.

b.

x 6 − 3x 4 + x 3 − x − 7 = 0.

c.

4x 5 + x 4 − 5 x 2 − x + 3 = 0.

La soluciones de la ecuación x 3 + 27 son las raíces cúbicas de −27. ¿Cuántas raíces cúbicas de −27 existen? Hállelas. RTA: 3 raíces: −3,

3 + i 3 3 3 − i3 3 , . 2 2

12.

Las soluciones de la ecuación x3 − 8 = 0 son las raíces cúbicas de 8. ¿Cuántas raíces cúbicas de 8 existen? Hállelas.

13.

Muestre que i es un cero del polinomio x 2 + ix + 2 y que −i no es un cero de este polinomio. ¿Contradice esto el teorema de los ceros complejos?

136

RTA: P (i ) = 0; P (−i ) = 2. No lo contradice pues el polinomio tiene coeficientes complejos.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Dado P ( x ) = x2 + 2ix − 5, con un cero que es 2 − i , demuestre que 2 + i no es un cero de P ( x ) . ¿Contradice esto el teorema de las raíces conjugadas? En los siguientes polinomios muestre que existe al menos un cero real entre a y b: RTA: P (−1) = 2 > 0; P (0) = − 2 < 0.

a.

P ( x) = x 2 − 3 x − 2; a = − 1; b = 0.

b.

P( x) = x3 − 3 x + 5; a = − 3; b = − 2.

c.

P ( x) = x 3 − 3 x 2 − 3 x + 9; a = 1; b = 2.

RTA: P (−3) = − 13 < 0; P (−2) = 3 > 0. RTA: P (1) = 4 > 0; P (2) = − 1 < 0.

En los siguientes polinomios muestre que existe al menos un cero real entre a y b: a.

P ( x ) = x 2 − 3x − 2; a = 3, b = 4 .

b.

P ( x ) = x2 + 3x + 1; a = −3, b = −2 .

c.

P ( x ) = x3 − 3x2 − 3x + 9;

a = −2, b = −1 .

Encuentre, para cada uno de los siguientes polinomios, el menor entero positivo y el mayor entero negativo que son, respectivamente, cota superior e inferior de sus ceros reales: a.

P ( x) = x 3 − x 2 − 6 x + 6.

b.

P ( x ) = x 3 − 2 x − 6.

c.

P ( x) = x − 3 x + 2 x − 5. 5

RTA: −3 y 3.

RTA: −2 y 3.

3

RTA: −2 y 2.

Encuentre la menor cota positiva y la mayor cota negativa para los ceros reales de los siguientes polinomios: a.

P ( x ) = x3 − 2x2 + 3.

b.

P ( x ) = x4 − 2 x3 + 4 x + 3.

Para los polinomios del ejercicio 17 halle el número posible de ceros reales usando la regla de los signos de Descartes. a.

RTA: ninguno o dos ceros positivos; un cero negativo.

b.

RTA: un cero positivo; ninguno o dos ceros negativos.

c.

RTA: uno o tres ceros positivos; ninguno o dos ceros negativos.

Analice, para los siguientes polinomios, el número posible de ceros reales usando la regla de los signos de Descartes: a.

P ( x ) = x3 − x2 − 6 x + 6.

b.

P ( x ) = x4 + 4 x3 − 2 x 2 − 12 x − 3.

c.

P ( x ) = x5 − 3x3 + 2 x − 5.

Capítulo 5: Ecuaciones polinómicas Álgebra y trigonometría

137

21.

Muestre que el polinomio P ( x) = x 6 + x 4 + x 2 − 3 x − 1 tiene dos ceros reales y dos pares de ceros complejos conjugados. RTA: por la regla de Descartes el polinomio tiene un cero real positivo y un cero real negativo. Como P (0) = −1 ≠ 0, entonces los restantes cuatro ceros son complejos y aparecen en pares de números complejos conjugados.

22.

Pruebe que P ( x) = x 4 + 3 x 2 − x − 5 tiene dos ceros complejos, y dos reales, sin usar calculadora.

23.

Muestre que el polinomio P ( x) = − 4 x5 + x 4 + 3 tiene un cero real positivo y dos pares de ceros complejos conjugados. RTA: por la regla de Descartes, el polinomio tiene un cero real positivo y no tiene ceros reales negativos. Como P (0) = 3 ≠ 0, entonces los restantes cuatro ceros son complejos y aparecen en pares de números complejos conjugados.

24.

Pruebe que P ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 5 tiene un cero real negativo y dos complejos, sin usar calculadora.

25.

Dado el polinomio P ( x) = x 6 + 4 x 4 + 3, muestre, sin dibujar su gráfica, que ésta no cruza el eje x. RTA: por la regla de Descartes no tiene ceros reales positivos ni negativos. Como P(0) = 3 ≠ 0, entonces el polinomio no tiene ceros reales, es decir, su gráfica no cruza el eje de las x.

26.

Pruebe que la gráfica del polinomio P ( x ) = x 4 + 3 x 2 + 7 no cruza el eje x, sin graficar la función.

27.

Dados los siguientes polinomios, halle todos los ceros racionales:

28.

29.

30.

138

a.

P ( x) = x 3 − 3 x 2 + 6.

b.

P ( x) = x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 + 8 x − 8.

c.

P ( x ) = 3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 17 x + 6.

RTA: No tiene. RTA: 2; − 2. RTA: −1/ 3; 2.

Halle todas las raíces, racionales, irracionales y complejas, de las siguientes ecuaciones: a.

2 x5 − 3x 4 − 2 x + 3 = 0.

b.

x 4 − 2 x2 − 16 x − 15 = 0.

c.

x 4 + 4 x3 − x 2 − 20 x − 20 = 0.

d.

2x 3 − 5x 2 + 1 = 0.

Aproxime los ceros irracionales de los siguientes polinomios, con un decimal, en el intervalo indicado: a.

P ( x) = x 3 − 5 x 2 + 3; [4,5].

b.

P ( x) = x 3 + x − 1; [0,1].

RTA: 4.9. RTA: 0.7.

Halle los ceros reales de los siguientes polinomios (aproxime los ceros irracionales): a.

P( x) = x 4 − x3 + 10 x 2 − 28 x + 18.

b.

P( x) = x 4 + 6 x − 7.

c.

P( x) = 2 x 5 − 5 x 4 − 7 x 3 + 4 x 2 + 21x + 9.

5

Capítulo 5

Fracciones racionales

Contenido breve Módulo 11 Operaciones con fracciones Módulo 12 Simplificación de fracciones Módulo 13 Descomposición en factores parciales Galois es un matemático francés, famoso por haber desarrollado la teoría que lleva su nombre.


Presentación En los módulos correspondientes a este capítulo se introduce el concepto de fracción racional y cómo son las operaciones básicas de suma, resta y multiplicación de fracciones racionales. Se define, también, en qué consiste simplificar una fracción racional. En muchas ocasiones, en cursos avanzados de cálculo y ecuaciones diferenciales, puede ser importante invertir el proceso, es decir, estar en condiciones de expresar una fracción racional como la suma de dos o más fracciones más sencillas llamadas fracciones parciales. Este proceso se llamará descomposición en fracciones parciales. En toda fracción racional se supondrá que el grado del polinomio numerador es menor que el grado del polinomio denominador.


140

11 Operaciones con fracciones

Introducción En este módulo se define la función racional y se muestra cómo la suma, la resta y el producto de dos o más fracciones racionales es una función racional. El tema se adiciona con una adecuada cantidad de ejercicios ilustrativos, buscando preparar al lector para el estudio de los dos módulos siguientes que abordan la temática referente a la simplificación de fracciones y a la descomposición en fracciones parciales.

Objetivos

Srinivasa Ramanujan (1887-1920) Matemático indio. De formación autodidacta, descubrió y redefinió centenares de teoremas matemáticos. En 1914, en virtud de la mediación de Godfrey Harold Hardy, fue admitido como becario en el Trinity College de Cambridge. Durante su estancia en Cambridge publicó una veintena de artículos, la mayoría de ellos relativos a la teoría analítica de los números. En 1918 fue elegido miembro de la Royal Society, pero su incipiente tuberculosis y una subvención de la Universidad de Madrás lo indujeron a regresar a su país. La teoría de funciones, las series potenciales y la teoría de números fueron los campos matemátcos en los que más se destacó.

1. Definir una función racional. 2. Definir las operaciones de suma, resta y producto de fracciones racionales.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es una función racional? 2. ¿Qué es una fracción racional mínima? 3. ¿Cómo se suman dos fracciones racionales?

Contenido 11.1 Expresión racional 11.2 Función racional mínima 11.3 Operaciones con fracciones racionales




Capítulo 5: Fracciones racionales

11.1 Expresión racional P x! Una expresión o función racional es una expresión de la forma Q x , donde P x ! ! y Q x ! son polinomios y Q x ! " 0. Ejemplo 1

x3 # 2 x 2 # 7 es una expresión racional. x4 # 3

x 4 # 2 x 3 # 2 x $ 5 es una expresión racional siempre que x $ 3 " 0. x$3

11.2 Función racional mínima Se dice que una función racional está en su mínima expresión si el numerador y el denominador no tienen un factor común diferente de 1. Ejemplo 2

x2 es una fracción racional que está en su mínima expresión. x#3 Ejemplo 3

x 2 # 7 x # 10 es una fracción racional que no está en su mínima expresión porque x 2 $ 25

x # 5! x # 2 ! x # 2 x 2 # 7 x # 10 % % . 2 x $ 25 x # 5! x $ 5! x $ 5

11.3 Operaciones con fracciones racionales Las fracciones racionales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir usando las mismas reglas que se utilizan para números racionales y que se exponen en un módulo anterior. El resultado de estas operaciones siempre es una expresión racional. Ejemplo 4 Sume

142

x x2 # 3 . x # 2 2x #1

Módulo 11: Operaciones con fracciones Solución

x 2 x 3 # 1! # x 2 x # 2 ! x x2 # % 2 x3 # 1 x#2 x # 2 ! 2 x 3 # 1! % %

2 x4 # x # x3 # 2 x2 x 2 x3 # 1! # 2 2 x 3 # 1! 2 x 4 # x3 # 2 x2 # x . 2 x 4 # 4 x3 # x # 2

Ejemplo 5

Multiplique

3 x#2 & 2 . x $2 x #1

Solución 3 x#2 & 2 % x$2 x #1

3 . x # 2! x $ 2 ! x 2 # 1!

%

3x # 6 x x # 1! $ 2 x 2 # 1!

%

3x # 6 . x3 $ 2 x2 # x $ 2

2

Ejemplo 6 x #3 x2 # 5 x # 6 . entre x$4 x #1

Divida Solución

Para realizar la división, simplemente se invierte el divisor y se realiza la multiplicación, es decir:

x2 # 5 x # 6 x#3 x2 # 5 x # 6 x $ 4 ' % & x #1 x$4 x #1 x #3 2 x # 5x # 6! x $ 4! % x # 1! x # 3! % %

x # 2 ! x # 3! x $ 4 ! x # 1! x # 3! x # 2! x $ 4! x # 1! 2

%

x $ 2x $ 8 . x #1

Escuche Historia de Ramanujan en su multimedia de Álgebra y trigonometría


Capítulo 5: Fracciones racionales Ejemplo 7

9 # 6x # x2 La siguiente expresión no está en su mínima expresión porque: 9 $ x2 9 # 6x # x2 (3 # x ) 2 (3 # x )(3 # x ) % % 2 9$x (3 $ x )(3 # x ) (3 $ x)(3 # x)

y por tanto el factor 3 + x es común en el numerador y el denominador. Para escribirla en su mínima expresión, se simplifica el factor 3 + x y la fracción resultante que es 3 # x está en su mínima expresión. 3$ x

Ejemplo 8 2 2 Multiplique x # 5x # 6 & x $ 2x $ 3 . 2 x $1 x2 $ 9

Solución

x2 # 5 x # 6 x 2 $ 2 x $ 3 ( x 2 # 5 x # 6)( x 2 $ 2 x $ 3) = & ( x 2 $ 1)( x 2 $ 9) x2 $1 x2 $ 9 ( x # 2)( x # 3)( x $ 3)( x # 1) % ( x $ 1)( x # 1)( x $ 3)( x # 3) ( x # 2) . % ( x $ 1)

144

12 Simplificación de fracciones

Introducción En esta sección se define en qué consiste la simplificación de una expresión racional. Se utilizan conceptos estudiados en los dos módulos anteriores. Se vuelve a definir, en aras a la claridad, el concepto función racional reducida a su mínima expresión y este concepto se ilustra con ejercicios adecuados.

Objetivo 1. Definir en qué consiste simplificar una función racional.

Preguntas básicas 1. ¿En qué consiste simplificar una función racional? 2. ¿Qué es una función racional reducida a su mínima expresión?

Contenido 12.1 Simplificación de fracciones





12.1 Simplificación de fracciones Simplificar una expresión racional consiste en reducirla a su mínima expresión, es decir, escribirla sin factores comunes diferentes de 1 en el numerador y en el denominador. Ejemplo 9 Simplifique

3x3 x 2 3x ! 1 . x3 3 x2 x ! 3

Solución x 2 " 3x 1# 3x3 x 2 3x ! 1 $ x3 3x 2 x ! 3 x 2 " x 3# $

" 3x 1# " x 2 " x 3# " x 2

$

3x 1 . x 3

" 3 x 1# " x 3# 1# 1#

Ejemplo 10

Simplifique

x

2

4 4x 5

2 x

2

1

.

Solución

x

2

4 4x 5

2 x

2

1

$

4 " x 2 1#

"x

2

2 " x2

4 x 5 #" x

2

4 x 4 2 x ! 8x ! 10 " x 5#" x ! 1#" x 1#" x ! 1#

$

2 x2 ! 8 x ! 6 " x 5#" x ! 1#" x 1#" x ! 1#

$

2 " x ! 3#" x ! 1#

"x

5#" x ! 1# " x 1#" x ! 1# 2 " x ! 3#

"x

5#" x ! 1#" x 1#

Ejemplo 11

146

1#

2

$

$


4x 5# 2

x2 ! 9x ! 8 . x 2 ! 10 x ! 16

.

Módulo 12: Simplificación de fracciones Solución x2 ! 9x ! 8 ( x ! 1) ( x ! 8) = x 2 ! 10 x ! 16 ( x ! 2) ( x ! 8)

=

x !1 . x!2

Ejemplo 12 Efectúe operaciones y simplifique completamente la siguiente expresión: y x ! . x (x2 y2 ) y ( x2 ! y 2 )

Solución y x (x2

y2 )

!

x y % y (x 2 ! y 2 ) ! x % x (x 2 y2 ) = y ( x2 ! y 2 ) x( x 2 y 2 ) % y (x 2 ! y 2 )

=

y 2 % (x 2 ! y 2 ) ! x 2 % ( x 2 y2 ) x % y ( x 2 y 2 ) % (x 2 ! y 2 )

=

x 2 y 2 ! y4 + x 4 x2 y 2 4 4 x y (x y )

=

x4 + y4 xy ( x 4 y4 )

=

x4 + y 4 . x5 y xy 5

Ejemplo 13


2 x3 xy 2 x 2 y ! y 2 . 3 xy y 3 3 x 2 ! xy 2

Solución

2x 3 xy 2 x 2 y ! y 2 (2 x3 xy) $ 3 2 2 3xy y 3x ! xy (3xy y 3 ) $

$

2

(2 x2 y y ) (3x 2 y 2 )

x (2 x 2 y ) y (2 x 2 y ) y (3 x y 2 ) x (3 x y 2 )

(2 x 2 (3x

y) " x

y#

y 2 ) " y x#


Capítulo 5: Fracciones racionales $

(2 x 2 y ) (y x) (3 x y 2 ) (y x )

$

2 x2 y 3x y 2

$

y 2x2 . 3x y 2

Ejemplo 14 10 9 a2


2 3!a

1 3 a

.

Solución 10 9 a2

2 3! a

1

=

3 a

10 9 a2

2(3 a) (3 a)(3 ! a)

$

10 9 a2

2(3 a ) 9 a2

(3 ! a ) 9 a2

$

10 2(3 a ) (3 ! a ) 9 a2

$

10 6 ! 2a 3 a 9 a2

$

1! a . 9 a2

Ejemplo 15


20( x3 y 3 ) . 5 x 2 ! 5 xy ! 5 y 2

Solución 20( x 3 y 3 ) 20( x 3 y 3 ) $ 5 x 2 ! 5 xy ! 5 y 2 5( x 2 ! xy ! y 2 ) 20( x y )( x 2 ! xy ! y 2 ) 5( x 2 ! xy ! y 2 ) $ 4(x y ). $

148

(3 ! a) (3 a)(3 ! a)

13 Descomposición en fracciones parciales

Introducción Con este módulo finaliza la temática referente al capítulo de fracciones racionales. Se expone un método preciso que permite la descomposición de cualquier expresión racional propia en fracciones con factores lineales, o factores lineales y cuadráticos irreducibles en el denominador. El módulo se complementa con una serie de ejercicios, que ilustran al lector sobre los diferentes casos que se pueden presentar en el proceso de descomposición en fracciones parciales.

Objetivos 1. Definir una función racional propia y una función racional impropia. 2. Descomponer una fracción racional en factores lineales o factores lineales y cuadráticos irreducibles en el denominador.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se descompone una fracción racional? 2. ¿Qué es una fracción racional propia y qué es una fracción racional impropia? 3. ¿Cuándo existen factores cuadráticos en el denominador en una descomposición en fracciones parciales?

Contenido 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

Consideraciones preliminares Función racional propia Función racional impropia Teorema de la descomposición completa Forma de la descomposición completa





13.1 Consideraciones preliminares En las secciones anteriores se han transformado sumas y sustracciones de expresiones racionales en una sola fracción, utilizando las operaciones de suma y resta. En cursos de cálculo y ecuaciones diferenciales puede ser extremadamente ventajoso invertir el proceso, es decir, poder escribir una fracción racional como la suma o resta de dos o más fracciones. Ejemplo 16 5x 7 3 ! x 2x " 3 x "1 2

2 x 3

.

El proceso de escribir la fracción anterior como la suma de dos o más fracciones racionales de menor grado en los polinomios que hacen parte de los denominadores, se llama descomposición en fracciones parciales.

13.2 Función racional propia P # x$ Dada una expresión racional de la forma Q x , donde P # x $ y Q # x $ son polinomios

# $

y Q # x $ % 0 si el grado de P # x $ es menor que el grado de Q # x $ , la fracción racional se llama fracción propia.

13.3 Función racional impropia P # x$ Si en la fracción racional Q x se da que el grado de P # x $ es mayor o igual # $ que el grado de Q # x $ , la fracción racional se llama fracción impropia.

P # x$ Si Q x es una fracción impropia se puede escribir, utilizando el algoritmo # $ de la división, como la suma de un polinomio y una fracción propia de la manera siguiente:

P # x$ Q # x$

! C # x$

R # x$ Q # x$

.

C # x $ es el polinomio cociente. R # x $ es el polinomio residuo.

150

Módulo 13: Descomposición en fracciones parciales Ejemplo 17

x4

2 x2 7 10 ! x2 3 2 . x2 " 1 x "1

13.4 Teorema de la descomposición completa En un polinomio con coeficientes reales siempre existe una descomposición completa en factores lineales o factores lineales y cuadráticos irreducibles en el denominador. El anterior teorema, que se enuncia sin demostración, permitirá escribir cualquier expresión racional propia como la suma de fracciones racionales con polinomios en los denominadores de grado 1 o 2. La forma de estas fracciones, llamadas parciales, la garantiza el siguiente teorema.

13.5 Forma de la descomposición completa P # x$ Cualquier fracción propia Q x escrita en su mínima expresión se puede descom# $ poner en la suma de fracciones parciales de la forma siguiente:

a.

Si Q # x $ tiene un factor lineal no repetido, de la forma ax b , entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma A , donde A es una constante a determinar. ax b

b.

k

Si Q # x $ tiene un factor lineal que se repite k veces, de la forma # ax b $ ,

P # x$ entonces la descomposición en fracciones parciales de Q x contiene # $ términos de la forma

A1 # ax b $

A2

# ax

b$

2

...

Ak

# ax

b$

k

, donde

A1, A2,.. ., Ak son constantes a determinar.

c.

Si Q # x $ tiene un factor cuadrático, de la forma ax2 bx c irreducible en los reales, que no se repite, entonces la descomposición en fracciones par-

P # x$ Ax B ciales de Q x contiene un término de la forma , donde A y B # $ ax 2 bx c son constantes a determinar.


Capítulo 5: Fracciones racionales d.

Si Q # x $ tiene un factor cuadrático irreducible en los reales de la forma

# ax

2

k

bx c $ , entonces la descomposición en fracciones parciales de

P # x$

A1 x B1 Q # x $ tiene términos de la forma ax 2 bx c

Ak x Bk

# ax

2

bx c $

k

A2 x B2

# ax

2

bx c $

2

...

, donde A1 , B1, A2 , B2,..., Ak , Bk son constantes a determinar.

Ejemplo 18

Descomponga en fracciones parciales

5x " 1 . x2 " x " 2

Solución

Q # x $ ! x 2 " x " 2 se puede descomponer como el producto de dos factores lineales no repetidos, así:

Q # x $ ! # x 1$# x " 2 $ . Por tanto, 5x " 1 5x " 1 A ! ! x 2 " x " 2 # x 1$# x " 2 $ # x 1$

Se sabe que

Como

A

# x 1$

B . x # " 2$

A # x " 2 $ B # x 1$ B ! . # x " 2$ # x 1$# x " 2 $

5x " 1 # x 1$# x " 2 $ y

A # x " 2 $ B # x 1$

# x 1$# x " 2 $

tienen denominadores iguales, se

debe cumplir que

5 x " 1 ! A # x " 2 $ B # x 1$ , o sea que 5 x " 1 ! # A B $ x

# B " 2 A$ .

Como los dos polinomios son iguales, se debe cumplir que A B ! 5 y "2 A B ! "1. Se obtiene que A = 2 y B = 3.

Entonces

152

5x " 1 2 ! x2 " x " 2 x 1

3 . x"2


Descomponga

6 x 2 " 14 x " 27

#x

2 $# x " 3$

2

en fracciones parciales.

Solución 2

Q # x $ ! # x 2 $# x " 3 $ tiene dos factores lineales y uno de ellos está repetido dos

veces, por tanto: 6 x 2 " 14 x " 27

#x

2 $# x " 3$

2

!

!

A x 2

B x"3

A # x " 3$

2

C 2

# x " 3$ B # x " 3$# x 2 $ 2 # x 2 $# x " 3$

C # x 2$

.

Como en la igualdad anterior los denominadores son iguales, se debe cumplir entonces que: 6 x 2 " 14 x " 27 ! A # x " 3 $

2

B # x " 3 $# x 2 $ C # x 2 $ .

Como la anterior ecuación es una identidad, debe ser válida para todos los valores reales de x. En particular, si x ! 3, se tiene que "15 ! 5C , o sea que C ! "3. Si x ! "2 , 25 ! 25 A, o sea que A ! 1. Si x ! 0, se tiene que "27 ! 9 A " 6 B 2C ; por tanto, B = 5. O sea que:

6 x 2 " 14 x " 27

#x

2 $# x " 3$

2

!

1 x 2

5 3 . " x " 3 # x " 3 $2

Ejemplo 20 x2 1

Descomponga en fracciones parciales # x 1$ x 2 #

x 1$

.

Solución Q # x $ ! # x 1$ # x 2

x 1$ tiene un factor cuadrático que no se puede factorizar

como el producto de dos factores lineales con coeficientes reales. Por tanto,


Capítulo 5: Fracciones racionales x2 1

# x 1$ # x2

!

x 1$

A x 1

Bx C . x2 x 1

O sea que: A # x2 x2 1 ! # x 1$ # x 2 x 1$

x 1$

1$ # x

#x

C $# x 1$

# Bx

x 1$

2

.

Como en la igualdad anterior los denominadores son iguales, se debe cumplir que: x2 1 ! A # x2

x 1$

! # A B $ x2

C $# x 1$

# Bx

#A

B C$ x

C $.

#A

Puesto que los anteriores polinomios son iguales, se debe cumplir que: A B ! 1, A B C ! 0, A C ! 1.

La solución al anterior sistema de ecuaciones es: A ! 2 , B ! "1 , C ! "1. O sea que: x2 1

# x 1$ # x

2

x 1$

!

2 x 1

"

x 1 . x x 1 2

Ejemplo 21 x2 " x 1

Descomponga en fracciones parciales x 2 #

2 x 2$

2

.

Solución

Q # x $ ! # x2

2

2 x 2 $ consta de un factor cuadrático repetido dos veces e

irreducible sobre los reales. Por tanto:

x2 " x 1

#x

2

2x 2$

2

!

!

154

Ax B x 2x 2 2

# Ax

B $ # x2

#x

2

Cx

#x

2

D

2x 2$

2 x 2 $ Cx 2 x 2$

2

2

D

.

Módulo 13: Descomposición en fracciones parciales Como en la anterior igualdad los denominadores son iguales, se debe cumplir que: x 2 " x 1 ! # Ax B $ # x 2

2 x 2 $ Cx D.

Desarrollando los factores anteriores y reordenando, se tiene que:

x 2 " x 1 ! Ax 3

#2A

B $ x2

#2A

2B C $ x

# 2B

D $.

Como los anteriores polinomios son iguales, se debe cumplir que:

A ! 0, 2 A B ! 1, 2 A 2B C ! "1, 2 B D ! 1. Al resolver el anterior sistema de ecuaciones, se tiene que:

A ! 0, B ! 1, C ! "3, D ! "1. Por tanto: x2 " x 1

#x

2

2x 2$

2

!

x2

1 3x 1 " . 2 x 2 # x2 2 x 2 $2

Ejemplo 22 Descomponga en fracciones parciales

2x 3

x 2 " 2x " 7 . x2 " x " 2

Solución La anterior fracción racional es una fracción impropia; por consiguiente, utilizando el algoritmo de la división, se tiene que:

2 x3

x2 " 2 x " 7 5x " 1 ! 2x 3 2 . 2 x "x"2 x "x"2

5x " 1 5x " 1 Pero x 2 " x " 2 ! x 1 x " 2 ! # $# $

A x

1

B . x " 2

O sea que 5 x " 1 ! A # x " 2 $ B # x 1$ . Como consecuencia, A ! 2 y B ! 3.


Capítulo 5: Fracciones racionales Entonces,

2 x3

x2 " 2x " 7 2 3 ! 2x 3 . x2 " x " 2 x 1 x"2

Ejemplo 23

Descomponga en fracciones parciales

4 x 2 " 5 x " 15 . x 3 " 4 x 2 " 5x

Solución 4 x 2 " 5 x " 15 4 x 2 " 5x " 15 ! 3 2 x " 4 x " 5x x( x " 5)( x 1) A B C = . x x "5 x 1

Por tanto, A( x " 5)( x 1) Bx( x 1) Cx( x " 5) 4 x 2 " 5 x " 15 = . 3 2 x " 4 x " 5x x( x " 5)( x 1)

Se debe cumplir que:

A( x " 5)( x 1) Bx( x 1) Cx ( x " 5) ! 4 x 2 " 5 x " 15 ( A B C ) x2

("4 A B " 5C ) x " 5 A ! 4 x 2 " 5 x " 15.

De la igualdad anterior, se sigue que: A B C ! 4, "4 A B " 5C ! "5, "5 A ! "15.

La solución al anterior sistema de ecuaciones es: A ! 3, B ! 2, C ! "1.

Entonces,

4 x 2 " 15 x " 15 3 ! x 3 " 4 x 2 " 5x x

156

2 1 " . x"5 x 1


5 x 2 3x 6 . Descomponga en fracciones parciales 3 x 3x 2 3x Solución 5 x 2 3x 6 5x2 3x 6 ! x 3 3 x 2 3 x x ( x 2 3 x 3) A x

!

Bx C . x 3x 3 2

Hay que hacer notar que la expresión x 2 en los reales. Por tanto:

3x 3 es un factor cuadrático irreducible

5x 2 3x 6 A Bx C = + 2 x3 3x 2 3 x x x 3x 3 A(x 2 3 x 3) x( Bx C ) = x & ( x 2 3x 3) =

( A B) x 2 (3 A C ) x 3 A . x & ( x 2 3x 3)

De la igualdad anterior, se sigue que: A B ! 5, 3A C ! 3, 3A ! 6.

La solución al anterior sistema de ecuaciones es: A ! 2, B ! 3, C ! "3.

Entonces,

5x 2 3x 6 2 = x 3 3x 2 3 x x

3x " 3 . x 3x 3 2


6

Capítulo 6 Funciones exponencial y logarítmica

Contenido breve Módulo 14 La función exponencial Módulo 15 La función logarítmica

El crecimiento de muchas especies es exponencial.

Presentación

Módulo 16 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejercicios Capítulo 6, módulos 14 al 16

Casi todas las funciones definidas hasta ahora han sido funciones algebraicas, es decir, funciones definidas mediante operaciones algebraicas básicas sobre variables y constantes. En este capítulo se estudiarán dos nuevos tipos de funciones, que son la exponencial y la logarítmica. El crecimiento de ciertas especies, en biología, se puede modelar mediante funciones exponenciales. Estas funciones también se usan para describir interés compuesto, en economía, y fenómenos de desintegración radiactiva en física y química. La frase «crecimiento exponencial» describe una serie de fenómenos que tienen que ver con el uso de la energía, la población, la explotación del subsuelo y otros temas. Paralela a la función exponencial, se estudiará la inversa de esta función, que no es mas que la función logarítmica. En particular, se va a definir en qué consiste el logaritmo de un número y se demostrarán las principales propiedades de los logaritmos.


164

14 La función exponencial

Introducción En este módulo se definirá una función de la forma y Ca t con C > 0 y a > 1, que se llama función exponencial creciente. Más adelante se definirá una función similar con 0 < a < 1, que se utilizará para modelar problemas de desintegración radiactiva y declinación exponencial.

Objetivos 1. Definir en qué consiste el crecimiento exponencial. 2. Definir la función exponencial. 3. Conocer diversas aplicaciones en las que interviene la función exponencial.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial? 2. ¿En qué consiste la declinación exponencial? 3. ¿En qué consiste el tiempo de vida media?

Augustin Louis Cauchy (1789-1857) Agustin Louis Cauchy fue pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática. Cauchy trabajó como un ingeniero militar y en 1810 llegó a Cherbourg a colaborar junto a Napoleón en la invasión a Inglaterra. En 1813 retornó a París y luego fue persuadido por Laplace y Lagrange para convertirse en un devoto de las matemáticas. Augustin Louis Cauchy ocupó diversos puestos en la Facultad de Ciencias de París, el Colegio de Francia y la Escuela Politécnica. En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquirió bases sólidas. Numerosos términos matemáticos llevan su nombre: el teorema integral de Cauchy, la teoría de las funciones complejas, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y las secuencias de Cauchy.

Contenido 14.1 Crecimiento exponencial. La función exponencial 14.1.1 Consideraciones preliminares 14.1.2 La función exponencial 14.1.3 Declinación exponencial




Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica

14.1 Crecimiento exponencial. La función exponencial 14.1.1 Consideraciones preliminares Muchos organismos simples se reproducen por división celular. Se puede pensar en una célula que cada día se replica, tal que al día siguiente hay dos células y así sucesivamente. Si se supone que inicialmente, en el día cero, hay 50 células y se hace una tabla que tenga en cuenta las condiciones anotadas anteriormente, se tendrá (tabla 14.1): Tabla 14.1. Crecimiento exponencial de una población bacteriana

t

0

1

2

3

4

5

6

f(t)

50

100

200

400

800

1.600

3.200

Si se denota por f ! t " el número de células que existen en el día t, la tabla parece sugerir una expresión general para f ! t " , teniendo en cuenta que:

50

50 # 20

100

50 # 21

200

50 # 22

400

50 # 23

800

50 # 24

1600 50 # 25 3200

50 # 26

O sea que, utilizando razonamientos intuitivos, se tiene una expresión para el crecimiento poblacional de estas células que viene dada por f ! t "

!50 " · 2t , donde t

es una variable que se mide en días. La fórmula f ! t "

! 50 "

# 2t no es más que un modelo de crecimiento poblacional,

que aporta una buena aproximación al crecimiento de organismos simples siempre y cuando la población inicial no sea muy grande. Hay que hacer notar, además, que el crecimiento poblacional es un proceso continuo y que por tanto no ocurre a intervalos unitarios de tiempos precisos, es decir, no es un proceso discreto. Este tipo de crecimiento, ejemplificado anteriormente, se llama crecimiento exponencial. Existen muchos casos de crecimiento exponencial, como por ejemplo la ganancia de dinero por interés compuesto. Supóngase que se depositan $100.000 en una corporación de ahorro y vivienda al 6% de interés compuesto cada año. Lo que ocurre en los primeros años con el dinero ahorrado se escribe en la tabla 14.2.

166

Módulo 14: La función exponencial Tabla 14.2. Crecimiento exponencial. Interés compuesto.

t

0

1

2

Capital

100.000

106.000

112.360

3

4

119.101.60 126.247.70

Después de un año el banco añade intereses de 0.06 # 100.000 $6.000 a los $100.000 iniciales, dando un total de $106.000. Se observa que

106.000 100.000 # !1.06 " . Durante el segundo año, los $106.000 ganan el 6% de interés y al final del año se tendrá:

106.000 $ ! 0.06 "!106.000 " 106.000 !1.06 " 100.000 !1.06 "!1.06 " 100.000 !1.06 "

2

112.360. Continuando de esta manera, el capital, que se denotará por C (t ) , crecerá a

!100.000 " # !1.06 "

3

al final del tercer año. Por tanto, una expresión para el valor

capital depositado, después de t años, viene dada por C ! t " 100.000 # !1.06 " . t

Funciones como las descritas en los dos ejemplos anteriores se llaman funciones exponenciales y se definen a continuación.

14.1.2 La función exponencial Una función exponencial es una expresión de la forma siguiente:

f ! t " bt ,

b % 0,

b & 1.

Donde b es una constante denominada base y el exponente t es una variable. El dominio de la función es el conjunto de los números reales. El rango de la función es el conjunto de los números reales positivos. La gráfica de la función exponencial, en el caso de b > 1, es la que se muestra en la figura 14.1. Como puede observarse, la función es creciente y por tanto es una función 1 a 1. A medida que el valor de la variable independiente se hace más negativa, el valor de la función se acerca a cero, tomando valores positivos, pero nunca llega a ser cero. Se dice entonces que la recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función.

Escuche Historia de Cauchy en su multimedia de Álgebra y trigonometría


Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica y

1

Escuche Modelos de crecimiento en su multimedia de Àlgebra y trigonometría

t

Figura 14.1. La función exponencial f(t) = bt, b > 1

Consideraciones similares se pueden hacer cuando se hace un análisis de la gráfica de la función f ! t " bt cuando 0 < b < 1. La gráfica de la función, en el caso de que 0 < b <1, es la siguiente (figura 14.2): y

1

t

Figura 14.2. La función exponencial f(t) = bt, 0 < b < 1

De las gráficas anteriores se puede notar que la función exponencial, o bien es creciente, o bien es decreciente. Por consiguiente, esta función es 1 a 1 y tiene sentido definir su función inversa; ésta se definirá en la siguiente sección. Ejemplo 1 Grafique f ! t "

2t para '3 ( t ( 3.

Solución Si se hace una tabla con algunos valores de t en ese intervalo, se tendrá (tabla 14.3):

168

Módulo 14: La función exponencial Tabla 14.3. Valores de t y f(t)

t f(t)

1 1 8

2 1 4

3

0

1

2

3

1 2

1

2

4

8

Por tanto, su gráfica es (figura 14.3): y 2 1 1 2

'3

'2

'1

1

2

3

x

Figura 14.3.

Con frecuencia se utiliza, como base de la función exponencial, el número irracional e y se define la función f ! t "

et . En cursos de cálculo, en particular cuando se

) 1* estudie el concepto de límite, se mostrará que e está dado por la expresión + 1 $ , - n. cuando n se hace arbitrariamente grande.

n

14.1.3 Declinación exponencial En el mundo real ocurren fenómenos de decrecimiento exponencial, que pueden ser modelados mediante la función f ! t " cbt , con c > 0 y 0 < b < 1. Por ejemplo, algunos elementos radiactivos, como el uranio, se desintegran siguiendo el modelo exponencial citado anteriormente. En esta sección es importante el concepto de vida media, que se define como el tiempo requerido para que la mitad de una sustancia radiactiva presente en un tiempo inicial se desintegre. Esta importante propiedad se utiliza para calcular la edad de objetos antiguos como fósiles, utilizando el hecho de que el carbono 12 presente en los seres vivos se renueva constantemente y la relación entre el carbono y su isótopo, el carbono 14, permanece constante. Después de la muerte, este isótopo deja de renovarse; se sabe que la vida media del carbono 14 es de 5.730 años. Así, si un fósil posee sólo la mitad del carbono 14 presente en los seres vivos, quiere decir que ese fósil tiene una antigüedad aproximada de 5.730 años.


Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica Ejemplo 2 Si una cantidad P de dinero se invierte a 6% de interés compuesto anual, y si se supone que no se realiza ningún retiro, ¿en cuánto tiempo se duplicará el capital? Solución Al final del primer año el capital acumulado será: P $ 0.06 P

C

P !1 $ 0.06 " .

Al final del segundo año el capital será:

!1 $ 0.06 " P $ 0.06 !1 $ 0.06 " P !1 $ 0.06 " P !1 $ 0.06 " 2 !1 $ 0.06 " P.

C

Siguiendo con el análisis anterior, al cabo de n años el capital será C

!1.06 "

n

P.

Para encontrar el tiempo en que se duplica el dinero, se reemplaza C en la ecuación C

!1.06 " 2P 2

n

P por 2P y se resuelve para n.

P !1.06" , n

!1.06"

n

.

Usando una calculadora científica se obtiene que n / 12 años. Ejemplo 3 Si la cantidad P del ejemplo anterior se invierte al 6% de interés compuesto anual liquidado cada cuatrimestre, y si se supone que no se realiza ningún retiro, ¿en cuánto tiempo se duplicará el capital? Solución En este caso, 6% de interés anual equivale al 2% cada cuatrimestre. Para encontrar el número de cuatrimestres necesarios para que se duplique el dinero, se reemplaza C en la ecuación C

170

!1.02 "

n

P por 2P y se resuelve para n.

Módulo 14: La función exponencial 2P P !1.02" , n

2

!1.02"

n

.

Usando una calculadora científica se obtiene que n / 35. Por tanto, 35 cuatrimestres equivalen a 11 años y 8 meses. Se concluye, entonces, que es más rentable colocar dinero a interés compuesto pagadero en intervalos de tiempo pequeños.

Ejemplo 4 Se invierte una suma de 1.000 dólares a una tasa de interés del 12% anual. Determine los montos de la cuenta después de 3 años si el interés se calcula anualmente, semestralmente, trimestralmente, mensualmente y diariamente. Solución Como se ha deducido en los ejemplos anteriores, el capital C resultante después de n periodos compuestos viene dado por la fórmula: nt

c

) r* p +1 $ , , - n.

donde c = monto después de t años. p = capital inicial. r = tasa de interés anual. n = veces que se calcula el interés al año. t = número de años. En nuestro caso se tiene que: P = $1.000, r = 0, 12 y t = 3 Periodos de composición

n

Monto después de 3 años 1#3

Anual

1

) 0.12 * 1.000+1 $ , 1 . -

Semestral

2

) 0.12 * 1.000 +1 $ , 2 . -

Trimestral

4

) 0.12 * 1.000 +1 $ , 4 . -

Mensual

12

) 0.12 * 1.000 +1 $ , 12 . -

Diario

365

) 0.12 * 1.000+1 $ , - 365 .

1.404.93

2# 3

1.418.52

4#3

1.425.76

12#3

1.430.77 365#3

1.433.24


Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica A partir del anterior ejemplo, se observa que el interés pagado aumenta conforme se incrementa el número n de periodos compuestos. Veamos qué ocurre si n se incrementa de manera indefinida.

Si hacemos m

n , entonces r rt

c

) r* p +1 $ , - n.

nt

n rt 0 1 0) 1 *m 1 ) r *r 3 2 p +1 $ t , p 2+1 $ , 3 . 2- n . 3 24- m . 35 4 5

En un primer curso de cálculo se estudia que cuando m aumenta, la cantidad m

1* ) + 1 $ , tiende al número e. Por tanto el monto tiende a c = per t . - m.

Esta expresión da el monto cuando el interès se compone «a cada instante».

Ejemplo 5 Determine el monto después de 3 años si se invierten 1.000 dólares a una tasa de interés de 12% anual, continuamemnte compuesta. Solución En este caso, p = $1.000, r = 0,12 y t = 3. Por tanto: C = 1.000 e0.12 x 3 = 1.000 e0.36 = 1.433.33.

Ejemplo 6 Una población que experimenta un crecimiento exponencial aumenta de acuerdo con la fórmula. m(t) = m0er t, donde m(t ) m0 r t

= población al tiempo t. = tamaño inicial de la población. = tasa de crecimiento relativo. = tiempo.

Si en 1995 la población de la Tierra era de 5.700 millones de personas, calcule la población en el año 2035 utilizando una tasa relativa de crecimiento: a. b.

172

2% anual. 1.6% anual.

Módulo 14: La función exponencial Solución a.

De acuerdo con la fórmula de crecimiento exponencial de la población, se tiene que m (t)= 5.7 e 0.02 t, donde m (t) se mide en miles de millones y t se mide en años a partir de 1995. m(t) = 5.7 e0.2 x 40

/ 12.7.

Por tanto la población estimada será de aproximadamente 12.700 millones de personas. b.

Para este caso, m(t) = 5.7 e 0,016 t. m(t) ! 10.8. Por tanto la población estimada será de 10.800 millones de personas.

El ejemplo anterior muestra que una pequeña modificación en la tasa relativa de crecimiento puede, con el transcurso del tiempo, provocar una gran diferencia en el tamaño de la población.

Ejemplo 7

!

Una cierta raza de conejos fue introducida en una pequeña isla hace 8 años y se estima que la población actual es de 4.100 conejos con una tasa de crecimiento del 55% anual. a. b.

¿Cuál fue el tamaño inicial de la población de conejos? Estime la población dentro de 12 años a partir de ahora.

Solución a.

La fórmula de crecimiento exponencial viene dada por m(t) = m0e 0,55t y se sabe que cuando t = 8, m(8) = 4.100. Por tanto, 4.100 = m0 e 0,55 x 8. m0 =

4.100 , e0,55#8

m0 / 50.

En consecuencia, se estima que se introdujeron 50 conejos a la isla.


Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica b.

Como m0 = 50, la fórmula para el crecimiento de la población viene dada por n(t) = e0.55t. Dentro de 12 años, t = 20 y m(20) = 50 e0.55 x 20 / 2.993.707. Por tanto se estima que la población de conejos en la isla dentro de 12 años será de aproximadamente tres millones.

174

15 La función logarítmica

Introducción En esta sección se introduce el concepto de logaritmo de un número positivo y se enuncian sus principales propiedades. Se define la función logarítmica en una base dada, haciendo hincapié en el hecho de que la función exponencial en base a y la función logarítmica en la misma base son funciones inversas una de la otra. La sección se ilustra con ejercicios de aplicación.

Objetivos 1. Definir en qué consiste el logaritmo de un número. 2. Definir la función logarítmica. 3. Conocer diversas aplicaciones en que intervienen logaritmos y la función logarítmica.

John Napier (1550-1617) Napier (o Neper) estudió matemática sólo como un entretenimiento. En el año 1614 publicó una descripción de cómo multiplicar y dividir con la ayuda de los logaritmos. También fue él quien acuñó la palabra logaritmo, que proviene del griego y está compuesta por «logos», que significa relación, y «arithmos», que significa número. Independientemente de Napier, pero algo después, el suizo Justus Byrgius trabajó con una tabla para la multiplicación de logaritmos. Ni Napier ni Byrgius tuvieron una base especial para sus sistemas de logaritmos. Fue el inglés Henry Briggs, un amigo de Napier, quien comenzó a usar los logaritmos en base 10.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es el logaritmo de un número? 2. ¿Cómo se define la función logarítmica? 3. ¿En qué consiste el cambio de base? 4. ¿Cuáles son las principales propiedades de los logaritmos?

Contenido 15.1 La función logarítmica. Logaritmos 15.1.1 Definición de logaritmo 15.1.2 Propiedades de los logaritmos 15.1.3 Cambio de base 15.1.4 La función logarítmica





15.1 La función logarítmica. Logaritmos 15.1.1 Definición de logaritmo Para b > 0 y b 1, se define el logaritmo en base b de N, y se escribe logb N como el exponente x al que hay que elevar b para obtener N. Es decir:

log b N

x si y sólo si b x

N

Ejemplo 8 Según la anterior definición se tiene que: !!

log 4 16

2 porque 42

!!

log10 1.000 3 porque 103 1.000.

!!

log10 ! 0.001"

16.

#3 #3 porque 10

1 0.001. 1.000

Todavía no se está en capacidad de responder preguntas como que es log10 7. Lo único que se puede decir es que es un número x que satisface que 10 x

7.

Hay que notar que los números negativos y el cero carecen de logaritmo en cualquier base debido a que, según la definición, no existen números reales x que cumplan que:

bx

a si a $ 0.

Así, por ejemplo, log10 ! #3" no existe porque no hay un número real x que cumpla que 10 x

#3.

15.1.2 Propiedades de los logaritmos Hay cinco propiedades fundamentales de los logaritmos y son las siguientes:

logb M . N logb M % logb N

log b

M N

log b M # log b N

log b M P

b logb x log b b x

176

P log b M

x x

Módulo 15: La función logarítmica log b M % log b N se parte del hecho siguiente:

Para demostrar que log b M · N Sea x y by

log b M y y

log b N . Por la definición de logaritmo se tiene que b x

N . Por consiguiente M · N

b ·b x

y

b

x% y

M

.

Usando la definición de logaritmo, en la expresión anterior se tiene que x% y

logb M · N . O sea que: logb M % log b N

logb M · N .

x , hay que hacer notar que logb x

Para demostrar que b logb x

do la definición de logaritmos se obtiene que b

logb x

log b x. Utilizan-

x.

Usando la definición de logaritmo se pueden obtener otras dos propiedades adicionales, a saber: !!

logb b 1 porque b1

b.

!!

logb 1 0 porque b

1.

0

Ejemplo 9 Escriba

la

siguiente

expresión

como

un

único

logaritmo:

3 log10 x % 2 log10 ! x % 2 " # log10 ! x 2 % 4 " .

Solución Si se utilizan las propiedades anteriores, la expresión se puede reescribir como: log10 x 3 % log10 ! x % 2 " # log10 ! x 2 % 4 " 2

log10 x 3 ! x % 2 " # log10 ! x 2 % 4 " 2

log10

x3 ! x % 2 "

!x

2

% 4"

2

.

Ejemplo 10 Halle los valores de x que satisfacen que log 2 x % log 2 ! x % 2 " 3. Solución Se sabe que log 2 x % log 2 ! x % 2 "

log 2 x ! x % 2 " .

Escuche Historia de Napier en su multimedia de Álgebra y trigonometría


Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica Por tanto, log 2 x ! x % 2 " 3. Usando la definición de logaritmo se obtiene que 23

8

x ! x % 2 " . O sea que:

x 2 % 2 x,

x 2 % 2 x # 8 0,

! x % 4"! x # 2 "

0.

En consecuencia, x #4 y x = 2. El valor de x definidos logaritmos de números negativos.

#4 se desecha porque no están

15.1.3 Cambio de base A veces puede ser necesario conocer el logaritmo de un número x en una base b > 0, conocido el logaritmo de este número en una base a > 0. Esta propiedad la garantiza el siguiente teorema: log b x

log a x log a b

Las bases más utilizadas para el cálculo de logaritmos son la base 10 y la base e. Cuando se usa la base 10, los logaritmos se llaman comunes o de Briggs y normalmente se obvia la escritura de la base. Cuando se usa la base e, los logaritmos se llaman neperianos o naturales. En conclusión, estas dos clases de logaritmos se interpretarán de la forma siguiente: !!

log x

!!

ln x

log10 x. log e x.

15.1.4 La función logarítmica Dado que las funciones exponenciales son 1 a 1, en todo su dominio, tiene sentido hablar de su función inversa que no es más que la función logarítmica definida de la manera siguiente:

g ! x " log a x

La anterior función se llama función logarítmica en base a. Por ser las funciones exponencial y logarítmica funciones inversas la una de la otra, se cumple que si f ! x " g ! f ! x ""

178

x.

a x y g ! x " log a x, entonces f ! g ! x " "

x y

Módulo 15: La función logarítmica En efecto: f ! g ! x ""

f ! log a x "

g ! f ! x ""

g !a x "

a loga

log a a x

x.

x

x log a a

x.

Si se dibujan en el plano cartesiano la función y a x y y log a x, que son funciones inversas, una de la otra, se obtiene la gráfica siguiente (figura 15.1): y

ax

y

log a x

y

x

y

x

Figura 15.1. Gráficas de las funciones y = ax y y = log a x

Se puede observar que cada gráfica es la reflexión de la otra sobre la recta y

x.

Ejemplo 10 Evalúe log4 2 + log4 32. Solución log4 2 + log4 32 = log4 (2 & 32) = log4 64 = 3. El resultado anterior se da porque 43 = 64.

Ejemplo 11

Escuche Historia de los logaritmos en su multimedia de Álgebra y trigonometría

Evalúe log 2 80 # log 2 5.


Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica Solución 80 5 log 2 16

log 2 80 # log 2 5 log 2 4.

El resultado anterior se da porque 24 = 16.

Ejemplo 12

1 Exprese 3log x % log ( x % 1) como un solo logaritmo. 2 Solución

1 3 log x % log ( x % 1) log x 3 % log ( x %1)1/2 2 log ') x 3 (1 % x )1/ 2 (* .

Ejemplo 13 Halle el valor de la variable x que satisface:

log5 ( x2 # 1) # log ( x #1) # 2 0. Solución 2 log5 ( x # 1) # log( x # 1)

2.

Por tanto, log5

( x 2 # 1) ( x # 1)

log5

( x % 1) ( x # 1) ( x # 1)

2

2

log 5 ( x % 1) 2.

Usando la definición de logaritmo se tiene que: x % 1 52 25,

de donde x = 24.

180

Módulo 15: La función logarítmica Ejemplo 14 Halle el valor de x en la expresión logx 64 = 3. Solución Usando la definición de logaritmo, se tiene que logx 64 = 3 equivale a la expresión x3 = 64. Por tanto x = 4.

Ejemplo 15 Halle el valor de x en la expresión log5 x = 2. Solución Usando la definición de logaritmo se tiene que log 5 x = 2 equivale a afirmar que 52 = x. Por tanto x = 25.

Ejemplo 16 Halle el valor de x en la expresión log 7 49 = x. Solución Usando la definición de logaritmo se tiene que log 7 49 = x equivale a afirmar que 7x = 49. Por tanto 7x = 72 , o sea x = 2.


16 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Introducción En este módulo se introduce, se resuelve y se propone una serie de ejercicios en que intervienen ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Se utilizan los conceptos estudiados en los módulos 14 y 15.

Objetivos 1. Definir en qué consiste una ecuación exponencial y una logarítmica. 2. Conocer diversas aplicaciones en que intervienen ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es una ecuación exponencial? 2. ¿Cómo se define una ecuación logarítmica?

Contenido 16.1 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 16.1.1 Ecuación exponencial y logarítmica





16.1 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 16.1.1 Ecuación exponencial y logarítmica Una ecuación que contiene funciones exponenciales o logarítmicas se llama, respectivamente, ecuación exponencial o ecuación logarítmica. Estas ecuaciones son condicionales en el sentido que se satisfacen sólo para uno o varios valores de la variable independiente. Ejemplo 17 Resuelva para x y para y el siguiente sistema: log 2 xy log 2

x ! 8, y

2log x ! 4log y.

Solución De la segunda igualdad se tiene que 4log y ! " 22 #

log y

2

! 2 2 log y ! 2 log y . Como

2 2 2log x ! 2log y , se tiene que log x ! log y y por tanto x ! y . 2

Reemplazando en la primera ecuación:

log 2 y 3

" log y

3

log 2 y ! 8, $ log y #" log y 3 log y # ! 8,

" 3log y $ log y #" 3log y " 4log y #" 2log y # ! 8,

log y # ! 8,

8log2 y ! 8. Por tanto: log y ! 1 y log y ! 1.

y !10 y y !

1 . 10

Como x ! y 2 , se obtiene que las parejas que satisfacen el anterior sistema de ecuaciones son:

1& % 1 , (. (100, 10) y ' ) 100 10 * Ejemplo 18 Resuelva para x la siguiente ecuación: log " x 5# log x ! log 2.

184

Módulo 16: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Solución

% x 5& % x 5& Se sabe que log " x 5# log x ! log ' ( . Por tanto, log ' ( ! log 2. ) x * ) x * O sea, x 5 ! 2; x 5 ! 2 x; x ! 5. x Si reemplazamos el valor hallado, en la ecución original, se tiene que:

log

"

5 5 # log

" 5# ! log 2.

Como no están definidos los logaritmos de números negativos, la ecuación original no tiene una solución en los reales. Ejemplo 19 2

Resuelva para x la ecuación 4 x · 25 x ! 8. Solución x2

Se sabe que 4 x ! " 22 # ! 22 x . 2

2

2

La ecuación original, por consiguiente, se convierte en 22 x · 25 x ! 8. 22 x

2

$5 x

! 2 3.

O sea que:

2 x 2 $ 5 x 3 ! 0. 1 Entonces, x ! 3 y x ! . 2 Ejemplo 20 Resuelva la ecuación e 2 x e x 6 ! 0.

Solución e 2 x e x 6 ! 0 es equivalente a la ecuación (e x ) 2 e x

6 ! 0.

Factorizando se tiene que (e x 3) ( e x $ 2) ! 0. Si e x 3 ! 0 se tiene que e x ! 3 y por tanto: ln e x ! ln 3,

x ln e ! ln 3, x ! ln3. Álgebra y trigonometría 185

Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica Si ex + 2 = 0 resulta que ex = 2 y esta expresión no tiene solución porque e x + 0 para todo x, .

Ejemplo 21 Resuelva la ecuación 3 x 2 e x $ x 3 e x ! 0.

Solución Factorizando el lado izquierdo de la ecuación se tiene: 3 x 2 e x $ x3 e x ! 0, (3 x 2 $ x3 ) e x ! 0, x 2 (3 $ x) e x ! 0.

Por tanto: x2 = 0 o 3 + x = 0 o ex = 0. La ecuación e x = 0 no tiene solución porque e x + 0 para todo x, ; por tanto x=0yx=

3 son las únicas soluciones.

Ejemplo 22 Resuelva para x la ecuación 4 + 3 log (2 x) = 16.

Solución 4 + 3 log (2x) = 16 equivale a afirmar que 3 log (2x) = 12. O sea que log (2x) = 4. Por tanto, 2x = 104, x = 5.000.

Ejemplo 23 Resuelva para x la ecuación log ( x $ 2) $ log ( x 1) ! 1.

186

Módulo 16: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Solución log (x + 2) + log (x – 1) = 1, log (x + 2) (x – 1) = 1, (x + 2) (x – 1) = 10, x2 + x – 2 = 10, x2 + x – 12 = 0, (x + 4) (x – 3) = 0. Por tanto x = –4 o x = 3. La solución x = –4 se desecha por no existir logaritmo de números negativos.

Ejemplo 24 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 2x + y = 4, log2 (x + 7) + log2 (y – 1) = 3. Solución De la ecuación 2x + y = 4 se tiene que y = 4 – 2x que lo reemplazamos en la otra ecuación para obtener: log2 (x + 7) + log2 (3 – 2x) = 3, (x + 7 ) (3 – 2x) = 8, –2x2 – 11x + 21 = 8, 2x2 + 11x – 13 = 0. Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene que x = 1 o x !

13 . 2

Para x = 1 se obtiene y = 2 en la ecuación y = 4 – 2x. Para x !

13 se obtiene y = 17 en la ecuación y = 4 – 2x. 2


Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica Ejemplo 25 Resuelva para x la ecuación log2 (log3 x) = 4. Solución Si se llama z = log3 x se tiene que log2 z = 4 y por tanto z = 24 = 16. Reemplazando este valor en la ecuación original se tiene que: log3 x = z o sea que log3 x = 16. Por tanto x = 316.

Ejemplo 26 Resuelva para x la ecuación 4x – 2x + 1 = 3.

Solución Como 4x = (22)x = 22x, la ecuación original se convierte en: 2 2 x 2 x $1 ! 3 .

Por tanto (2 x ) 2 2.2 x

3 ! 0.

La anterior ecuación es una ecuación cuadrática en 2x cuya solución se calcula así:

2x !

2 - 2 2 $ 12 2

!

2-4 . 2

Por tanto 2x = 3 ó 2 x ! 1. De lo anterior se sigue que: x = log2 3. La expresión 2 x ! 1 no es solución porque 2x > 0 para todo x, .

188

7

Capítulo 7

Trigonometría del triángulo rectángulo

Contenido breve Módulo 17 Medición de ángulos Módulo 18 Ángulos notables Módulo 19 Resolución de triángulos La trigonometría se utiliza para realizar medidas indirectas de posición y distancias.


Presentación La trigonometría del triángulo rectángulo pudo tener su origen en las mediciones indirectas de los griegos de distancias y, también, de tierras inundadas por el río Nilo en el antiguo Egipto. Originalmente, las funciones trigonométricas se restringieron al dominio de los ángulos internos de un triángulo rectángulo y sus aplicaciones tenían que ver con la medición indirecta de ángulos y de distancias. Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos internos es recto. Se estudiarán en estos módulos las diferentes formas de medir ángulos y se definirán las funciones trigonométricas de estos ángulos interiores en términos de la hipotenusa y los catetos del triángulo rectángulo.


194

17 Medición de ángulos

Introducción

Pitágoras (582-500 a. C.)

En este módulo se comienza el estudio de la trigonometría del triángulo rectángulo. Se inicia definiendo qué es un ángulo y cuáles son las formas más utilizadas para medirlo. Se definen a continuación las seis funciones trigonométricas que resultan de relacionar los dos catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Se termina con unos sencillos ejemplos de aplicación.

Filósofo y matemático griego, fundador de un movimiento religioso, político y filosófico conocido como pitagorismo. Los pitagóricos realizaron amplios estudios sobre los números pares e impares, los primos y los cuadrados, esenciales en la «teoría de los números». En geometría se les recuerda por el descubrimiento del conocido «teorema de Pitágoras».

Objetivos 1. Definir las funciones trigonométricas. 2. Definir qué es un ángulo y las diferentes formas de medida de ángulos.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se definen las funciones trigonométricas? 2. ¿Qué es ángulo? 3. ¿Qué es un grado? ¿Qué es un radián? 4. ¿Cómo se convierten grados a radianes y radianes a grados?

Contenido 17.1 Introducción 17.2 Medición de ángulos 17.2.1 Definición de ángulo 17.2.2 Medida en grados 17.2.3 Medida en radianes 17.2.4 Conversión de radianes a grados y de grados a radianes




Capítulo 7:Trigonometría del triángulo rectángulo

17.1 Introducción Un triángulo se llama triángulo rectángulo si uno de sus ángulos mide 90 grados (figura 17.1). Como consecuencia de lo anterior, los otros dos ángulos interiores son agudos, o sea menores de 90 grados, ya que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180 grados. Sea el triángulo rectángulo siguiente:

Figura 17.1. Triángulo rectángulo de hipotenusa c

En el triángulo anterior, denotando por un ángulo agudo, a es el lado opuesto, b es el lado adyacente y c es la hipotenusa. En el triángulo anteriormente descrito, se introducen seis razones fundamentales de la trigonometría, definidas así:

, que se denota por sen

1.

Seno de

2.

Coseno de

3.

Tangente de

4.

Cotangente de

5.

Secante de

6.

Cosecante de

y se define como sen

a . c

=

, que se denota por cos y se define como cos

b ! . c a ! . b

, que se denota por tan y se define como tan , que se denota por cot y se define como cot

, que se denota por sec y se define como sec , que se denota por csc

b ! . a

c ! . b

y de define como csc

c ! . a

Hay que notar que las dos primeras razones cumplen las siguientes desigualdades:

196

0 " sen

" 1,

0 " cos

" 1.

Módulo 17: Medición de ángulos Lo anterior se debe a que en cualquier triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos. En la siguiente sección se estudiarán diferentes formas de medidas de ángulos. Ejemplo 1 Supóngase que se quiere medir el ancho de un río, sin mojarse los pies, como lo muestra la figura 17.2.

C x

A

B

Figura 17.2. Forma indirecta de medir el ancho de un río

Se procede así: se localiza un árbol en el punto C de la orilla opuesta y se pone en B una piedra en frente de él en la orilla opuesta. Se pone otra piedra en A a 50 metros de B y con un teodolito se mide el ángulo entre AB y AC. En estas condiciones se tiene que: tan

!

x , o sea que x = 50 tan . 50

Para el trabajo con triángulos rectángulos, que involucran ángulos agudos, se requiere solamente la noción de ángulo adquirida de la geometría euclidiana.

17.2 Medición de ángulos Para obtener un desarrollo más extenso de la trigonometría se necesita una nueva perspectiva porque no solamente se permiten ángulos arbitrariamente grandes, sino también ángulos con medidas positivas y negativas. Se definirán a continuación los conceptos de ángulo y los diferentes tipos de medidas de éstos.

Escuche Historia de Pitágoras en su multimedia de Álgebra y trigonometría


Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo

17.2.1 Definición de ángulo Un ángulo es el conjunto de puntos sobre dos rayos (o segmentos de recta) que tienen un punto en común O. Los dos rayos que forman un ángulo se denominan lados del ángulo y el punto común se denomina vértice. Se indicarán los ángulos con letras griegas como , # , $ o con tres letras sobre el ángulo, como lo ilustran los esquemas de la figura 17.3. B

O A O

Figura 17.3. Formas de representar un ángulo

Para formar un ángulo se comienza con un lado denominado lado inicial en una posición fija. Después se comienza con el segundo lado, denominado lado terminal en la misma posición que el inicial y se rota el terminal en un plano alrededor de O hasta encontrar la posición final. Una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo; una rotación en el sentido de las manecillas del reloj, un ángulo negativo (figura 17.4). Lado terminal

Lado inicial

Lado inicial

Lado terminal

Figura 17.4. Ángulos positivos y negativos

En un sistema de coordenadas rectangulares se dice que un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen y el lado inicial está en el eje positivo x. El ángulo se menciona con frecuencia en términos del cuadrante en el cual está el lado terminal (figuras 17.5 y 17.6).

198

Módulo 17: Medición de ángulos

Figura 17.5. Ángulo en el tercer cuadrante

Figura 17.6. Ángulo en el segundo cuadrante

17.2.2 Medida en grados Un ángulo generado por una rotación completa de un lado final sobre el vértice, se dice que mide 360 grados y se escribe 360º. Un ángulo generado por 1/360 de una rotación completa del lado terminal sobre el vértice, se dice que mide 1 grado y se escribe 1º.

17.2.3 Medida en radianes Si el vértice de un ángulo se pone en el centro de un círculo con radio r % 0 , y la longitud del arco que subtiende sobre la circunferencia es S, entonces la medida en radianes de

está dada por

!

S (figura 17.7). r

Figura 17.7. Medida de un ángulo en radianes

Si S ! r , entonces

! 1 radián.


Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo Ejemplo 2 ¿Cuál es la medida en radianes de un ángulo central subtendido por el arco de 24 m en una circunferencia de 6 m de radio? Solución !

S 24 m ! ! 4 radianes. r 6m

17.2.4 Conversión de radianes a grados y de grados a radianes Si º representa una medida en grados y entonces: º! !

180º

& &

180º

representa una medida en radianes,

: conversión de radianes a grados. º: conversión de grados a radianes.

Las fórmulas anteriores resultan de saber que una rotación completa son 360º o 2& radianes. La afirmación precedente la da el hecho de que

S 2& r ! ! 2& radianes. r r

!

Como consecuencia, se puede plantear la siguiente proporción: º º ! . ! , o sea 180º & 360º 2&

Ejemplo 3 Encuentre exactamente: a.

La medida en radianes de un ángulo de 240º.

b.

La medida en grados de un ángulo de

11 & radianes. 12

Solución

200

&

a.

!

b.

º!

180º

180º

&

º!

;

& 180º º!

' 240º ;

180º

&

'

!

11 &; 12

4 &. 3

º ! 165º.

Módulo 17: Medición de ángulos Ejemplo 4 Una correa de transmisión conecta una polea de radio de 2 cm con otra de radio 5 cm. Si la polea mayor gira 10 radianes, cuántos radianes girará la más pequeña.

Solución Se dibuja la figura 17.8.

Figura 17.8

Cuando la polea mayor gira 10 radianes, el punto P sobre la circunferencia mayor se moverá la misma distancia o longitud de arco que el punto ( que se mueve sobre la circunferencia menor. Para la polea mayor se tiene:

S S ! r ! 5 ' 10 ! 50 ; cm. r O sea que los puntos P y ( se mueven cada uno 50 cm. !

Para la polea menor se tiene:

!

S 50 ! ! 25 radianes. r 2

Ejemplo 5 Encuentre la longitud del arco de un círculo con radio 10 m que subtiende un ángulo central de 30º. Solución

Como 30º equivale a

& 6

radianes, y como S = r ), se tiene que:

* & + 5& S = 10 , - ! m. 3 .6/


Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo Ejemplo 6 Un ángulo central ) en un círculo de radio igual a 4 m está subtendido por un arco de longitud de 6 m. Halle la medida del ángulo ) en radianes. Solución Como ) !

6 3 S se tiene que ) ! ! radianes. , 4 2 r

Ejemplo 7 Determine las seis razones trigonométricas del ángulo ) de la figura 17.9:

Figura 17.9

Solución

3 5 2 3 5 2 ; tan ) ! ; cot ) ! ; csc ) ! . sen ) ! ; cos ) ! ; sec ) ! 2 3 2 3 5 5

Ejemplo 8

3 , dibuje un triángulo rectángulo con un ángulo, ) , y determine las otras 4 cinco razones trigonométricas de ) .

Si cos ) !

Solución En vista de que cos ) se define como la razón del cateto adyacente y la hipotenusa, dibujamos un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 4 y un cateto de longitud 3 adyacente a ) . Si el cateto opuesto es x, entonces según el teorema de Pitágoras, 32 0 x 2 ! 42 , es decir x 2 ! 7, por lo que x ! 7.

202

Módulo 17: Medición de ángulos Utilizamos, por tanto, el triángulo de la figura 17.10 para determinar las otras cinco razones.

Figura 17.10

sen ) !

3 4 4 3 7 7 ; sec ) ! ; csc ) ! . ; cot ) ! ; cos ) ! ; tan ) ! 3 4 7 7 3 4

Ejemplo 9 Cuantos giros dará una rueda de un automóvil de 1 m de diámetro al recorrer una distancia de 100 m. Solución Como s ! r ) , entonces al dar una vuelta completa recorrerá una distancia

s ! 0.5 ' 2& ! & m. Lo anterior es debido a que si el diámetro de la rueda es 1 m, su radio es de 0.5 m. Para recorrer 100 m, la rueda debe realizar 100 vueltas debido a que en cada vuelta & recorre & m.

Ejemplo 10 Un pino gigante proyecta una sombra de 150 m de largo. Determine la altura del árbol si el ángulo de elevación del sol es de 30º. Solución Supongamos en la figura 17.11 que h es la altura del árbol:



Figura 17.11

De la figura se observa que

h ! tan 30º . 150

Por tanto la altura del árbol será h = 150 tan 30º m.

En el módulo siguiente se verá que tan 30º !

204

3 . 3

18 Ángulos notables

Introducción En este módulo se continúa el estudio de la trigonometría del triángulo rectángulo. Se comienza deduciendo las funciones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º aprovechando las propiedades de los lados de triángulos rectángulos con ángulos internos de 30º y de 45º. Se termina deduciendo algunas identidades fundamentales básicas.

Objetivos 1. Definir los ángulos especiales. 2. Definir las funciones trigonométricas de ángulos especiales.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo es el cateto opuesto a un ángulo de 30º en un triángulo rectángulo? 2. ¿Cómo es el cateto opuesto a un ángulo de 45º en un triángulo rectángulo? 3. Mencione tres identidades básicas que se deducen del estudio de este módulo.

Contenido 18.1 Ángulos notables





18.1 Ángulos notables Se puede utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos especiales de 30º, 45º, 60º, o lo que es lo mismo, de los ángulos de

, , radianes. 6 4 3

Considérense los dos triángulos rectángulos siguientes, que involucran a estos ángulos (figuras 18.1 y 18.2).

Figura 18.1. Triángulo de las funciones de 45 grados

Figura 18.2. Triángulo de las funciones de 30 y 60 grados

En los dos triángulos anteriores se han tenido en cuenta las propiedades siguientes: 1. 2.

206

En un triángulo rectángulo e isósceles los catetos son iguales. En un triángulo rectángulo con ángulos interiores de 30º y 60º, el lado opuesto al ángulo de 30º tiene longitud igual a la mitad de la hipotenusa.

Módu lo 18: Ángulos notables De acuerdo con las definiciones de las funciones trigonométricas, se tiene:

sen 45º !

a

cos 45º !

a

tan 45º !

2a

!

1

!

1

2a

2

2

!

2 . 2

!

2 . 2

a ! 1. a

a 1 sen 30º ! 2 ! . a 2

3 a 3 2 cos 30º ! ! . a 2 a 1 3 tan 30º ! 2 ! . ! 3 3 3 a 2

3 a 3 sen 60º ! 2 ! . a 2 a 1 cos 60º ! 2 ! . a 2

3 a 2 ! 3. tan 60º ! a 2 Ejemplo 11 Si se tiene el siguiente triángulo rectángulo (figura 18.3):

Escuche La trigonometría en la antigüedad en su multimedia de Álgebra y trigonometría



Figura 18.3

Como a 2 " b 2 ! c 2 , se tendrán las siguientes igualdades:

a2 b2 c2 " ! o sea c2 c2 c2

sen 2

cos2

2

2

#a$ #b$ % & " % & ! 1. Por tanto, se cumple que: 'c( 'c(

! 1.

La expresión anterior se cumple para cualquier ángulo ) y se llama una identidad trigonométrica. De forma similar se pueden demostrar las siguientes identidades trigonométricas. a.

1 + tan 2 ) ! sec 2 ) .

b.

1 + cot 2 ) ! csc2 ) .

c.

sen ) · csc ) ! 1.

d.

cos ) · sec ) ! 1.

e.

tan ) · cot ) ! 1.

Ejemplo 12 Demuestre que en todo triángulo rectángulo, dado un ángulo agudo * , siempre se cumple que 1 " tan 2 * ! sec2 * . Solución Si se tiene el triángulo rectángulo siguiente (figura 18.4):

208

Módulo 18: Ángulos notables

Figura 18.4

2

Como

2

2

a "b !c ,

2

se cumple también que

a 2 b 2 c2 " ! b2 b 2 b2

o sea

2

#a$ #c$ % & " 1 ! % & ; por tanto, para todo ángulo se cumple que tan2 ! + 1 = sec2 ! . 'b( 'b(

Ejemplo 13 Demuestre que en todo triángulo rectángulo, dado un ángulo ! , siempre se cumple que 1

cot 2 ! ! csc2 !.

Solución De acuerdo con la gráfica del ejemplo anterior, se tiene que a2 + b2 = c2 y por tanto

a 2 b2 c2 " ! , o sea a 2 a2 a

2

2

#b$ #c$ 2 2 % & " 1 ! % & ; por tanto, cot * " 1 ! csc * . a ' ( 'a(


19 Resolución de triángulos

Introducción En esta sección se usan las razones trigonométricas para resolver triángulos oblicuángulos, esto es, triángulos que no tienen un ángulo interno que sea recto. Para ello se estudia en primer lugar la ley de los senos y a continuación la ley de los cosenos. La ley de los senos dice que en cualquier triángulo la razón de longitudes de cualquier par de lados es igual a la razón de los senos de los ángulos opuestos correspondientes.

Objetivos 1. Hallar todos los lados y ángulos desconocidos de un triángulo. 2. Deducir la ley de los senos en un triángulo. 3. Deducir la ley del coseno en un triángulo.

Preguntas básicas 1. ¿En qué consiste resolver un triángulo? 2. ¿Cómo se enuncia la ley del seno para triángulos? 3. ¿Cómo se enuncia la ley del coseno para rectángulos?

Tales de Mileto Tales era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete sabios de Grecia. Como comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una gran producción de aceitunas, monopolizó su proceso de fabricación, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques. Como astrónomo fue más célebre: predijo un eclipse total de sol visible en Asia Menor y se cree que descubrió la constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el Sol. También se cree que conoció el recorrido del Sol de un trópico a otro. Explicó los eclipses de sol y de luna y creía que el año tenía 365 días. A Tales se le atribuyen cinco teoremas de la geometría elemental: 1. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. 2. Un círculo es bisectado por algún diámetro. 3. Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales. 4. Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual. 5. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Contenido 19.1 Significado de la resolución de triángulos 19.2 Resolución del triángulo rectángulo 19.3 Resolución de triángulos Visite el sitio http://docencia.udea.edu.co/cen/ AlgebraTrigonometria/




19.1 Significado de la resolución de triángulos Resolver un triángulo equivale a encontrar todos los lados y ángulos desconocidos del triángulo.

19.2 Resolución del triángulo rectángulo Para la resolución del triángulo rectángulo se utilizarán las funciones trigonométricas definidas antes. Los ejemplos siguientes ilustran esta situación: Ejemplo 14 Resuelva el triángulo rectángulo si se conoce un ángulo y un lado como en el triángulo siguiente (figura 19.1).

Figura 19.1

Solución

! 90º " 32º10' ! 57º 50',

sen 32º10' !

a ; a ! 3.33 cm, 6.25

cos 32º10' !

b ; cm. 6.25 b ! 5.29

Hay que aclarar que en este capítulo se utilizará con frecuencia la calculadora científica para hallar los valores de las funciones trigonométricas. Ejemplo 15 Resuelva el triángulo rectángulo si se conocen dos lados como en el triángulo rectángulo siguiente (figura 19.2).

212

Módulo 19: Resolución de triángulos

c 2.62 cm

# 4.32 cm Figura 19.2

Solución

tan # !

2.62 ; # ! 31.2º. 4.32

! 90º "31.2º ;

sen 31.2º !

! 58.8º.

2.62 ; c ! 5.06 cm. c

19.2.3 Resolución de triángulos Las leyes del seno y del coseno que se enunciarán más adelante desempeñan un papel fundamental en la solución de triángulos oblicuos, es decir, triángulos que no son rectángulos. La ley de senos es relativamente fácil de demostrar si se usan las propiedades del triángulo rectángulo definidas antes. La ley de senos que se ilustra mediante la figura 19.3 se enuncia así:

$

b

a

# c Figura 19.3

Escuche Historia de Tales de Mileto en su multimedia de Àlgebra y trigonometría



, # , $ se cumple

La ley dice que en cualquier triángulo de lados a, b, c y ángulos que:

sen sen # sen $ ! ! a b c Esta ley es útil cuando se conocen: a. b.

.

Dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados. Dos ángulos y el lado opuesto a uno de los ángulos.

Ejemplo 16 Resuelva el triángulo siguiente (figura 19.4).

$

b 28º

a 45º 20 '

120 Figura 19.4

Solución 28º % 45º 20'% $ ! 180º; $ ! 106º 40'.

sen a

!

sen $ 120 sen 28º ; a! ; c sen 106º 40 '

a ! 58.8.

sen # sen $ 120 sen 45º 20 ' ! ; b! ; b ! 89.1. b c sen 106º 40 '

Ejemplo 17 Resuelva un triángulo con

! 26º , a ! 10 cm y b ! 18 cm (figura 19.5).

Solución Si se trata de trazar un triángulo con esos valores, son posibles dos triángulos, a saber:

$

$

18

#

26º

10

# c’

c Figura 19.5

214

10

Acá se verá que existen dos posibles valores para # , usando una calculadora científica, así:


sen # sen 18sen 26º ! ; sen # ! ; sen # ! 0.7891. b a 10

De esta manera, # ! 128º o # ! 52º. Por tanto, $ ! 26º o $ ! 102º. Utilizando la ley de senos se tiene entonces que: c = 10 cm o c = 22 cm. Cuando se estudien funciones circulares, en el capítulo 8, se verá en forma precisa por qué existen dos valores de # que cumplen que sen # ! 0.7891. En general, si se da un ángulo , su lado adyacente b y su lado opuesto a, entonces se puede formar más de un triángulo, exactamente uno, o ninguno. Las situaciones descritas anteriormente las ilustran las figuras 19.6, 19.7 y 19.8.

b

a

a

Figura 19.6. Caso en el que existen dos soluciones

a b

Figura 19.7. Caso en el que no existe solución

b

a

Figura 19.8. Caso en que la solución es única


Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo Esta situación la resume la tabla 19.1: Tabla 19.1

Caso

Número de triángulos

b sen a & a & b

2

a & b sen a

0 1 1

a'b a ! b sen a

Si en un triángulo se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o bien si se conocen los tres lados, la ley de los senos no es útil en la solución de un triángulo oblicuo. Sin embargo, el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos se puede generalizar en otra ley denominada ley de los cosenos y que se expresa así (figura 19.9):

$ b

a

# c Figura 19.9. Triángulo ilustrativo de la ley de cosenos

a 2 ! b 2 % c 2 " 2bc cos , b 2 ! a 2 % c 2 " 2ac cos # , c 2 ! a 2 % b 2 " 2ab cos $ .

La ley es útil cuando se conocen: a. b.

Tres lados. Dos lados y el ángulo comprendidos entre ellos.

Ejemplo 18 Resuelva el triángulo siguiente (figura 19.10).

216


$ 5.04

9.23

# 10.6 Figura 19.10

Solución

a 2 ! b 2 % c 2 " 2bc cos ; cos

!

b2 % c 2 " a 2 , 2bc

cos

!

( 5.04 )2 % (10.6 )2 " ( 9.23)2 ; 2 ( 5.04 ) (10.6 )

sen a

!

5.04sen 60.5º sen # ; # ! 28.4º. ; sen # ! b 9.23

! 60.5º.

$ ! 180º " ( 60.5º % 28.4º ) ; $ ! 91.1º. a 12

Ejemplo 20 Resuelva el triángulo rectángulo de la figura 19.11:

Figura 19.11

Solución

Es claro que

#

= 60º. El lado a lo determinamos sabiendo que sen 30º =

a . Por 12

*1+ tanto, a = 12 sen 30º = 12 , - . = 6. /20 Álgebra y trigonometría 217

Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo Como cos 30º =

3 b , se tiene que b = 12 cos 30º, o sea b = 12 = 6 3. 2 12

Ejemplo 21 Una escalera de 10 m de largo está apoyada contra un edificio. Si la base de la escalera está a 1 m de la base del edificio, ¿cuál es el ángulo formado entre la escalera y el edificio? Solución La figura 19.12 ayuda a ilustrar el problema.

Figura 19.12

Si 1 es el ángulo entre la escalera y el edificio, se tiene que sen 1 !

1 ! 0.1. 10

Utilizando una calculadora se tiene que 1 2 5.73º. Ejemplo 22 Un satélite en órbita terrestre pasa directamente por encima de estaciones de observación situados en dos puntos A y B a 400 km de distancia. En un instante cuando el satélite está entre estas dos estaciones, se observa que el ángulo de elevación es de 60º en A y de 75º en B. ¿A qué distancia se encuentra el satélite del punto B? Solución La figura 19.13 ilustra la situación descrita.

Figura 19.13

218

Módulo 19: Resolución de triángulos Se tiene que $ + 60º + 75º = 180º. Por tanto, $ ! 45º. Usando la ley de senos se tiene: sen 45º sen 60º 400 sen 60º ! ,a! , 400 a 45º

400 x a!

2 2

3 2 ; a 2 489.9 km.

Por tanto la distancia del satélite al punto B es de aproximadamente 489.9 km.

Ejemplo 23 Resuelva el triángulo que se muestra en la figura 19.14:

Figura 19.14

Solución Como $ + 20º + 25º = 180º, se tiene que $ = 135º. También se tiene que sen 20º sen 25º ! . a 80.4

Por tanto, a!

80.4 sen 20º . sen 25º

Usando calculadora, se tiene que sen 20º 2 0.342, sen 25º = 0.422 y a 2 65.1. Similarmente, para calcular b se tiene que: sen 135º sen 25º ! ; b 80.4

b!

80.4 sen 135 . sen 25º

Como sen 135º = 0.707, b 2 134.5. Ejemplo 24 Dado un triángulo de lados a, b, c y ángulos opuestos a cada lado

3 # , $ respecÁlgebra y trigonometría 219

Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo tivamente, y si a = 2, b = 10 y

= 30º, encuentre # .

Solución Se

debe

sen # !

b sen a

cumplir !

que

sen a

!

sen # b

y

por

consiguiente

10 sen 30º . 2

Por tanto,

sen # !

10 4 0.5 ! 2.5. 2

Puesto que 2.5 > 1, no existe ningún ángulo # tal que sen # = 2.5. En consecuencia, tal triángulo no existe.

Ejemplo 25 Dado el triángulo de la figura 19.15 encuentre el valor del lado c.

Figura 19.15

Solución Usando la ley de cosenos, se tiene que: c2 = (15)2 + (20)2 " 2 4 15 4 20 cos 100º. Usando una calculadora, se tiene que cos 100º = " 0.17365; por tanto, c2 = 729.19, c 2 27.0037.

Ejemplo 26 Dado el triángulo de la figura 19.16 encuentre los ángulos

220

3 #, $.


Figura 19.16

Solución Por la ley de los cosenos se tiene que:

,

52 = 82 + 122 " 2 4 8 4 12 cos cos

!

82 % 12 2 " 52 ! 0.953125. 2 4 8 412

Usando una calculadora, se tiene que

2 18º . Además

82 =52 + 122 " 2 4 5 4 12 cos # ,

52 % 122 " 82 ! 0.875, 2 4 5 4 12 # 2 29º.

cos # !

Por último se tiene que: 122 = 82 + 52 " 2 4 8 4 5 cos $, cos $ !

82 % 52 " 122 ! 0.6875, 2 4 8 45

$ 2 133º.


8

Capítulo 8

Trigonometría del círculo

Contenido breve Módulo 20 Funciones circulares Módulo 21 Identidades fundamentales Módulo 22 Gráficas de las funciones trigonométricas

En un mapa del cielo están presentes algunas funciones trigonométricas.

Módulo 23 Fórmulas de adición y de ángulo doble

Presentación En este capitulo se dará una información más moderna de las funciones trigonométricas. Después se mostrará cómo están relacionadas las definiciones anteriores, en términos de triángulos rectángulos. Con este enfoque se tendrá la situación que muestra la figura. y Se trata de un círculo de radio a centrado en el origen de coordenadas. Un círculo, como el descrito anteriormente, tiene como ecuación 2

2

Módulo 24 Verificación de identidades trigonométricas Ejercicios Capítulo 8, módulos 20 al 24

P(x,y)

2

x y ! a . El ángulo " está en su forma estándar, es decir, con su lado inicial coincidiendo con el eje positivo de las x.

a

x

En el círculo x 2 y 2 ! a 2 , las funciones trigonométricas del ángulo " se darán en términos de las coordenadas del punto P del lado terminal del ángulo. El eje positivo de las x será el lado inicial. Gráfica del círculo x2 + y2 = a 2


232

20 Funciones circulares

Introducción

Platón (428-347 a. C.)

En este módulo se definen las funciones circulares de números reales. Esta manera de definir las funciones trigonométricas se presta a aplicaciones que abarcan procesos dinámicos como el movimiento armónico simple, la descripción de ondas sonoras y otros enfoques periódicos.

Platón estudió primeramente filosofía con su gran maestro Sócrates. Después estudió matemáticas con Arquitas de Tarento y con Teodoro de Cirene. Viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático Eudoxio y a su regreso fundó en Atenas su famosa escuela filosófica La Academia.

Objetivo 1. Estudiar funciones trigonométricas de números reales.

Preguntas básicas 1. ¿En qué consiste el punto terminal de un ángulo en posición estándar? 2. ¿Cómo es un ángulo en posición estándar? 3. ¿Cómo se definen las seis razones circulares?

Contenido 20.1 Funciones circulares 20.2 Signos de las funciones circulares

Sin lugar a dudas Platón es mejor conocido por su obra filosófica. Sin embargo, su influencia en las matemáticas helénicas es bastante considerable. Creía que era imposible estudiar la filosofía sin el conocimiento previo de las matemáticas. Tal vez sea éste el motivo por el cual hizo poner, a la entrada de la Academia, su célebre y significativa frase: “No entres aquí si no eres geómetra”. Esta y otras proposiciones, como “los números gobiernan al mundo”, nos hacen ver que estaba directamente influenciado por las teorías pitagóricas. Primeramente se deben a Platón algunas reglas metodológicas, dogmatizando en la geometría el uso exclusivo de la regla y el compás, lo que se aceptó en tiempos posteriores y aun en nuestros días. Pensaba que los geómetras se rebajaban cuando usaban otros instrumentos que no fueran los mencionados. Se deben también a este filósofo las directivas que debían darse en la enseñanza de la geometría; es decir, la organización de la exposición geométrica desde el punto de vista lógico, cómo debe enseñarse y qué camino debe seguirse. Según Platón, el estudio de la geometría debía hacerse en el orden siguiente: 1. Definiciones 2. Axiomas 3. Postulados 4. Teoremas A esta directiva de Platón se adaptaron los matemáticos posteriores a él, principalmente Euclides.



Capítulo 8: Trigonometría del círculo

20.1 Funciones circulares Si en un sistema de coordenadas rectangulares " es un ángulo en posición estándar, P(x, y) es un punto que está situado sobre el lado terminal del ángulo y en el círculo x 2 y 2 ! a 2 ; se pueden definir, entonces, seis razones que contienen las coordenadas (x, y) del punto P y el radio a.

Las figuras 20.1 y 20.2 ilustran la situación descrita anteriormente.

y

y

P ( x, y )

P ( x, y )

" " x

x

Figura 20.2. Ángulo en el segundo cuadrante

Figura 20.1. Ángulo en el primer cuadrante

En las gráficas anteriores el lado terminal del ángulo " se encuentra en el primero y segundo cuadrantes, respectivamente. Hay que hacer notar que en el segundo cuadrante la abscisa x es negativa. Análisis similares se hacen para ángulos en el tercero y cuarto cuadrantes (figuras 20.3 y 20.4).

y

y

"

"

x

x

P ( x, y )

Figura 20.3. Ángulo en el tercer cuadrante

234

P ( x, y )

Figura 20.4. Ángulo en el cuarto cuadrante

Módulo 20: Funciones circulares En las gráficas anteriores, cualquiera sea el cuadrante donde se encuentre P(x, y), se definen las siguientes funciones: y , a

x cos " ! , a

y tan " ! , x a sec " ! , x

x , y a csc " ! . y

sen " !

cot " !

En las anteriores funciones, los dominios serán los conjuntos de todos los ángulos posibles para los cuales las funciones están definidas. Los rangos son subconjuntos de los números reales. Ejemplo 1 Encuentre el valor de cada uno de las seis funciones trigonométricas, si el punto P( #3, #4 ) pertenece al lado terminal del ángulo " ilustrado a continuación (figura 20.5). y

"

Q O

x

P ( # 3, # 4)

Fígura 20.5

Solución En la gráfica anterior, el triángulo rectángulo formado por la perpendicular trazada desde P (#3, #4) al eje horizontal, el eje horizontal y el radio a, se llama triángulo de referencia asociado al ángulo " . Este tipo de triángulos se citará a menudo cuando se trate de hallar funciones trigonométricas de ángulos situados en cualquier cuadrante. En general, el triángulo rectángulo formado por la perpendicular de P(x , y) al eje horizontal, el eje horizontal y el radio a, se llama triángulo de referencia asociado con el ángulo " . En el triángulo OQP, que es de referencia, la hipotenusa a es a ! x2

y 2 ! (#3) 2

(#4) 2 ! 5.


Escuche Historia de Platón en su multimedia de Àlgebra y trigonometría


Capítulo 8: Trigonometría del círculo Por tanto: sen " !

#4 , 5

3 cos" ! # , 5

4 tan " ! , 3 sec" !

3 cot " ! , 4

#5 , 3

csc " !

#5 . 4

Hay que hacer notar que el radio a siempre se tomará como positivo.

20.2 Signos de las funciones circulares Las funciones definidas en una sección anterior permiten establecer el signo de las funciones trigonométricas, de acuerdo con la posición del lado terminal del ángulo, ya que este signo depende de los signos de las coordenadas del punto elegido sobre el lado terminal. La tabla 20.1 nos da el signo de las funciones, de acuerdo con el criterio anterior: Tabla 20.1. Signos de las funciones

Funciones

1.er cuadrante

2.° cuadrante 3.er cuadrante 4.° cuadrante

sen "

+

+

#

#

cos "

+

#

#

+

tan " cot " sec " csc "

+

#

+ + +

+ + #

#

# #

+

#

# + #

Ejemplo 2 Si cos " ! 4 / 5 y " tiene el lado terminal en el cuarto cuadrante, encuentre las restantes funciones trigonométricas. Solución Como las funciones trigonométricas no dependen del radio del círculo en el cual fueron definidas, y como cos " ! x / a, se puede tomar a ! 5 y x ! 4. x2

y 2 ! a 2 , o sea que y ! $3.

Como el lado terminal del ángulo está en el cuarto cuadrante, la ordenada del punto sobre el lado terminal es negativa, o sea y ! #3 . De las anteriores consideraciones, se tiene que: sen " !

236

#3 , 5

4 cos " ! , 5

Módulo 20: Funciones circulares tan " !

#3 , 4

5 sec" ! , 4

cot " !

#4 , 3

csc " !

#5 . 3

Ejemplo 3 Si csc " ! #2 y tan " % 0 , encuentre el valor de sen " y tan " . Solución Como csc " ! #2 , el lado terminal de " está en el tercero o en el cuarto cuadrante. Como tan " % 0, entonces " debe estar en el primero o tercer cuadrante. Para que se cumplan simultáneamente ambas condiciones, " debe tener su lado terminal en el tercer cuadrante. Por consiguiente: csc " ! #2 !

#2 2 a ! ! . 1 #1 y

Puesto que los valores de las funciones trigonométricas no dependen del radio del círculo, se puede tomar a ! 2 , y ! #1. En el círculo x 2

y 2 ! a 2 se tiene que x ! $ a 2 # y 2 ! $ 4 # 1 ! $ 3, se debe

tomar x ! # 3 porque la abcisa de un punto situado en el tercer cuadrante es negativa. Por tanto: sen " !

3 1 y . ! # ; tan " ! 3 a 2

Ejemplo 4 Para cada uno de los puntos siguientes, halle el valor de las seis funciones trigonométricas si el punto pertenece al lado terminal del ángulo " en su posición estándar. a.

P ( #5, #12 ).

Solución El radio de la circunferencia es a ! x 2 y 2 ! (#5) 2 (#12)2 ! 13. Utilizando las expresiones para las funciones circulares tenemos: y ! a y tan " ! ! x a sec " ! ! x sen " !

12 , 13 12 , 5 13 # , 5

#

x 5 ! # , a 13 x 5 cot " ! ! , y 12 a 13 csc " ! ! # . 12 y

cos " !


Capítulo 8: Trigonometría del círculo b.

P (6, 10).

Solución El radio de la circunferencia es a x2 ! y 2 62 ! 102 136 zando las expresiones para las funciones circulares, tenemos:

sen "

10 2 34

cot "

6 10

5 , 34 3 , 5

cos "

6 2 34

sec "

2 34 6

3 , 34 34 , 3

2 34. Utili-

10 6

tan "

5 , 3

2 34 6

csc "

34 . 3

Ejemplo 5

2 y " está en el segundo cuadrante, halle las restantes funciones 3 trigonométricas. Si sen "

Solución Como sen "

2 , podemos asumir que 3 es el radio de la circunferencia y que y = 2. 3

Entonces, a2 # y2

x

$ 5.

Como " es un ángulo del segundo cuadrante, entonces la abscisa es negativa; por tanto, x

# 5.

Aplicando ahora las fórmulas para las restantes funciones circulares, tenemos:

cos "

#

5 , tan " 3

#

2 , cot " 5

#

5 , sec " 2

#

3 , csc " 5

Ejemplo 6 Si tan " 3 y cos " < 0, halle las restantes funciones trigonométricas.

238

3 . 2

Módulo 20: Funciones circulares Solución Como cos " < 0, entonces el ángulo " está en el segundo o en el tercer cuadrante. y Como tan " ! x ! 3 > 0, entonces la abscisa x y la ordenada y tienen el mismo signo, por tanto el ángulo está en el tercer cuadrante y tanto x como y son negativos. Podemos asumir entonces que y = #3 y que x = #1, de donde

a ! x2 mos:

y 2 ! 10. Aplicando las fórmulas de las funciones circulares, obtene-

sen " ! #

3 1 1 10 , cos " ! # , cot " ! , sec " ! # 10 , csc " ! # . 3 3 10 10


21 Identidades fundamentales

Introducción En matemáticas se encuentran con frecuencia expresiones complicadas que involucran las seis funciones trigonométricas. El objeto de este módulo es poder escribir estas expresiones de una forma más sencilla y simple mediante el uso de identidades trigonométricas. Se exponen, inicialmente, siete identidades fundamentales que hay que memorizar.

Objetivo 1. Estudiar las identidades básicas de la trigonometría.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es una identidad trigonométrica? 2. ¿Cuáles son las identidades fundamentales?

Contenido 21.1 Identidad trigonométrica 21.2 Identidades fundamentales





21.1 Identidad trigonométrica Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre funciones trigonométricas, que se cumple cualquiera sea el valor o valores de los ángulos que aparecen en la expresión. Ejemplo 7 !

La expresión sec

1 cos

es una identidad trigonométrica porque no importa el

valor del ángulo para que la igualdad se cumpla, ya que la secante de un ángulo cualquiera es el inverso del coseno de ese ángulo. Ejemplo 8 La expresión sen 2

" cos 2

! 1 es una identidad trigonométrica.

Si P(x, y) son las coordenadas del lado terminal de un ángulo y forman parte de un círculo de radio a, se cumple que: 2

en su forma estándar

2

x2 y2 # x$ # y$ x " y ! a . Por tanto 2 " 2 ! 1 , % & " % & ! 1. a a 'a( 'a( 2

2

2

De la definición de funciones circulares, se tiene que sen 2

" cos 2

! 1.

Ejemplo 9 Si en el círculo x 2 " y 2 ! a 2 se divide por x ) 0, se tiene que: 2

2

x2 y 2 a 2 # y$ #a$ " ! . Por tanto 1 " % & ! % & . x2 x 2 x2 ' x( ' x( De la definición de funciones circulares, se tiene que 1 " tan 2

! sec 2 .

21.2 Identidades fundamentales El estudio de las identidades trigonométricas es importante porque mediante ellas se pueden transformar expresiones que envuelven funciones trigonométricas en otras equivalentes y estas transformaciones hacen que ciertas operaciones, como la integración y la diferenciación, puedan efectuarse con mayor facilidad. Las siguientes identidades trigonométricas son fundamentales:

242

1.

sen 2

" cos 2

2.

1 " tan 2

! 1.

! sec2 .

Módulo 21: Identidades fundamentales 2

3.

1 " cot

4.

tan !

sen . cos

5.

sec

!

1 . cos

6.

csc !

1 . sen

7.

cot

!

1 . tan

! csc

2

.

Ejemplo 10 está en el segundo cuadrante y sen Si demás funciones trigonométricas.

! 4 / 5, encuentre los valores de las

Solución Como sen 2

" cos 2

* 4 / 5+

2

" cos 2

! 1. Por tanto,

! , 3/ 5 .

cos Como

está en el segundo cuadrante, cos - 0 , o sea que cos sec

!

1 cos

5 !. . 3

csc

!

1 sen

!

Ahora, 1 " tan 2 Como tan

! 1, se tiene que

! .3 / 5 .

5 . 4

! sec 2 , tan 2

! sec2

. 1. Por tanto, tan 2

! 25 / 9 . 1 ! , 4 / 3.

está en el segundo cuadrante, se tiene que tan

- 0 , o sea que

! . 4 / 3.

!

Finalmente, cot

1 tan

3 !. . 4

Ejemplo 11 Utilice las identidades trigonométricas fundamentales para hallar los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo tal que: a.

sen

!

2

y tan

< 0.

3


Capítulo 8: Trigonometría del círculo Solución Empleando la identidad trigonométrica sen 2

" cos 2

! 1, obtenemos:

2

5 #2$ ! , 1. % & ! , . 3 3 ' (

! , 1 . sin 2

cos

Como tan !

sen cos

< 0, entonces cos

< 0 y por tanto cos

!.

5 . Aplicando 3

las restantes identidades trigonométricas, tenemos:

tan sec

b.

tan

sen cos 1 ! cos !

2 , cot 5 3 ! . , csc 5 ! .

! 5 y sen

1 tan 1 ! sen

!

! .

5 , 2

3 . 2

!

> 0.

Solución Empleando la identidad trigonométrica 1 " tan 2 sec

! , 1 " tan 2

sen Como tan ! cos

! sec 2 , obtenemos:

! , 26.

! 5 > 0, entonces

y

cos > 0

sec !

1 cos

> 0.

sec ! 26. Aplicando las restantes identidades, tenemos:

cos

!

1 sec

!

cot

!

1 tan

!

1 , 26 1 , 5

sen

! cos tan

csc

!

1 sen

!

!

5 , 26

26 . 5

Ejemplo 12 Calcule (sec . cos ) csc

si tan ! 2.

Solución Empleando las identidades trigonométricas, tenemos:

(sec . cos ) csc

244

# 1 $ 1 !% . cos & ' cos ( sen 2 1 . cos 1 sen 2 ! / ! cos sen cos

/

1 sen

!

sen cos

! tan

! 2.

Así,

Módulo 21: Identidades fundamentales Ejemplo 13 Calcule (sec " csc ) si cot ! . 1. Solución Empleando las identidades trigonométricas fundamentales, tenemos:

1 1 ! " cos sen

sec " csc

sen " cos ! sen cos

cos sen cos

1" !

!

1 " cot cos

! 0.

Ejemplo 14 Exprese todas las funciones trigonométricas de un ángulo

en términos de cot .

Solución Empleando las identidades trigonométricas, tenemos: 1 " cot 2 sen

1 " tan 2 cos

! csc 2

0 csc

! , 1 " cot 2

1 csc

0 sen

!,

!

! sec 2

!

1 sec

1 cot

1 1 " cot 2

0 tan

!

0

sec

! , 1"

0

cos

!,

, ,

,

1 cot 2 1

1"

1 cot 2

,

.

Ejemplo 15 2

Si csc ! a " 1, con trigonométricas del ángulo

en el primer cuadrante, calcule las funciones en términos de a.

Solución Como está en el primer cuadrante, todos las funciones trigonométricas de positivas.

son



1

sen

!

cot

! csc

tan

!

sec

csc

1 cot

1

! 2

2

a "1 .1 ! a,

!

1

,

a

! 1" tan

2

2

!

a "1 a

cos

246

!

1 sec

,

!

a 2

a "1

.

,

22 Gráficas de las funciones trigonométricas

Introducción

Apolonio de Perga (ss. III y II a. C.)

En este módulo se grafican las cuatro principales funciones trigonométricas. Conocer las gráficas de estas funciones ayudará a recordar muchas de sus propiedades importantes. A su vez, ayudará en la construcción de otras funciones trigonométricas más complicadas.

Apolonio fue conocido como «El gran geómetra». En su famoso libro Secciones cónicas introdujo los términos parábola, elipse e hipérbola espiral.

Objetivo

Mientras Apolonio estuvo en Perga escribió la primera edición de su libroSecciones cónicas que consta de ocho libros. Los libros del 1 al 4 no contienen material original pero introducen las propiedades básicas de cónicas que fueron conocidas por Euclides, Aristóteles y otros. Los del 5 al 7 son originales; en éstos discute y muestra cómo muchas de las cónicas pueden ser dibujadas desde un punto. El 8 incluye proposiciones para determinar el centro de curvatura, lo cual conduce inmediatamente a la ecuación cartesiana del desarrollo de la evolución.

1. Estudiar las gráficas de las funciones trigonométricas de números reales.

Preguntas básicas 1. ¿Cuál es el dominio y el rango de las funciones seno y coseno? 2. ¿Cuál es el dominio y el rango de las funciones tangente y cotangente? 3. ¿Por qué se dice que las funciones trigonométricas son funciones periódicas?

Apolonio de Perga estudió en Alejandría y luego visitó a Perga, en donde fueron construidas una biblioteca y una universidad semejantes a las de Alejandría.

Contenido 22.1 Gráficas de funciones circulares 22.2 Gráficas de las funciones seno y coseno 22.3 Gráficas de las funciones tangente y cotangente





22.1 Gráficas de funciones circulares

Vea la animación Funciones seno y coseno en su multimedia de Álgebra y trigonometría

Se sabe que los valores de las funciones circulares no dependen del radio del círculo donde se encuentre el punto P(x, y) perteneciente al lado terminal de un ángulo en su forma estándar. Se puede suponer, por consiguiente, que las funciones circulares han sido definidas usando el círculo x 2 ! y 2 " 1 como lo señala la figura 22.1.

y

P % x, y &

1

x

Figura 22.1. Círculo unitario

En la figura 22.1 se tiene que: sen

"

y " y, 1

cos

"

x " x. 1

22.2 Gráficas de las funciones seno y coseno En la figura 22.1 sen

es el valor de la ordenada del punto P(x, y) del círculo

x 2 ! y 2 " 1. Esta afirmación permite construir, con relativa facilidad, la gráfica de

y " sen

de la forma siguiente:

Si está medido en radianes, esta medida está representada por un número real; el ángulo elegido puede ser positivo, negativo o cero y por tanto el dominio de la función es el conjunto de los números reales. Como el valor de sen es la ordenada y de algún punto del círculo unitario, se tiene que el valor máximo que toma sen es 1 y el valor mínimo es –1; es decir, el rango de la función son los reales de y que cumplen que #1 $ y $ 1 . La gráfica de la función y " sen figura 22.2.

248

para valores de

medidos en radianes, es la

Módulo 22: Gráficas de las funciones trigonométricas y

#'

# 2'

'

3'

2'

x

2'

Figura 22.2. Gráfica de la función y = sen

La función y " sen

es una función periódica, es decir, su gráfica se repite a

intervalos de 2' . Debido a lo anterior se dice que el periodo de la función es 2' , y para ver sus propiedades basta analizar, por ejemplo, el intervalo ( 0, 2' ). De la figura 22.2 también se puede afirmar que sen

sen

" 1, si

"

(4k # 3) ' con 2

* Z ; sen

es cero si

" #1 si

"

" k' con k * Z ;

(4k # 1) ' con k * Z . 2

Ejemplo 16 Encuentre los valores de

que satisfacen la ecuación sen 2 " 0.

Solución Puesto que sen 2 " 0, entonces 2 " k' con k * Z . Por tanto,

"

k ' con 2

k * Z.

Ejemplo 17 Exprese sen 780º en términos de un ángulo menor que 360º. Solución sen 780º " sen (720º ! 60º )

Un ángulo de 720º equivale a dos rotaciones completas, y como la función es periódica de periodo 2' radianes o 360º, entonces sen 780º " sen 60º. De la misma manera como se construye la gráfica de la función y " sen , la gráfica de la función y " cos viene dada por la figura 22.3. Como la función y " cos

también es periódica de periodo 2' , basta analizar, por

ejemplo, el intervalo ( 0, 2' ) .

Escuche Historia de Apolonio de Perga en su multimedia de Álgebra y trigonometría


Capítulo 8: Trigonometría del círculo y

#' Vea la animación Función tangente en su multimedia de Álgebra y trigonometría

#

'

'

2

2

'

3

' 2

2' 5 ' 2

3'

x

2'

Figura 22.3. Gráfica de la función y = cos x

22.3 Gráficas de las funciones tangente y cotangente En el círculo unitario de la figura 22.1 se puede observar que cuando el punto P(x, y) y tiende a ser cero porque la ordex nada y se hace muy pequeña y la abscisa x crece. Similarmente, cuando P(x, y) se "

está cerca del eje horizontal, el valor de tan

acerca al eje vertical, tan

"

y tiende a crecer o a decrecer sin límite porque la x

abscisa x se acerca a cero. Esta situación se presenta de 0º a 360º, o sea en una rotación completa. Lo anterior se vuelve a repetir de forma periódica en el intervalo que va de 360º a 720º, y así sucesivamente. La situación descrita hace plausible la gráfica de y " tan que se dibuja en la figura 22.4. De esta figura se derivan las siguientes conclusiones para la función y " tan Periodo: ' Dominio: todos los reales, excepto

' 2

! k' con k * Z .

Rango: todos los reales.

y

#'

#

'

'

2

2

'

Figura 22.4. Gráfica de la función y = tan x

250

x

Módulo 22: Gráficas de las funciones trigonométricas La gráfica de y " cot

es la siguiente (figura 22.5). y

#

3' 2

#'

#

'

'

2

2

'

3' 2

x

Figura 22.5. Gráfica de la función y = cot x

Para y " cot se tiene que: Periodo: ' Dominio: todos los reales, excepto k' , con k * Z .

Ejemplo 18 Encuentre los valores de a.

que satisfacen la ecuación:

cos 2 " 0.

Solución Como la función coseno se anula en los puntos

" b.

' 4

!k

'

sen

2 2

' 2

! k' , entonces cos 2 " 0 si

para todo k entero. Es decir, en los puntos

' 3' 5' 4

,

4

,

4

,...

" 1.

Solución Como la función seno es igual a 1 en los puntos

' 2

! 2 k' , entonces sen

2

" 1 si

" ' ! 4k ' " ( 4k ! 1) ' para todo k entero. Es decir, en los puntos # 7' ,

# 3' , ' , 5' , 9' ,...


Capítulo 8: Trigonometría del círculo c.

cos

2

" #1.

Solución Como la función coseno es igual a #1 en los puntos (2k ! 1) ' , entonces cos " # 1 si 2

" 2 (2k ! 1) ' " (4k ! 2) ' para todo k entero. Es decir, en los pun-

tos #6' , # 2' , 2' , 6' , 10' ,... d.

tan 2 " 0.

Solución Como la función tangente se anula en los puntos k' , entonces tan 2 " 0 si

"

k' ' ' para todo k entero. Es decir, en los puntos #' , # , 0, , ' ,... 2 2 2

Ejemplo 19 Exprese cos 780º en términos de un ángulo menor que 360º. Solución La función coseno es periódica con período 360º. Entonces,

1 cos 780º " cos (2 + 360º !60º ) " cos 60º " . 2 Ejemplo 20

Exprese sen

7' 2

en términos de un ángulo entre 0 y 2' .

Solución La función seno es periódica con período 2' . Entonces,

sen

252

7' 3' , 3' " sen . ! 2' / " sen " # 1. 2 2 0 2 1

Módulo 22: Gráficas de las funciones trigonométricas Ejemplo 21 Exprese tan

7' ' ' en términos de un ángulo entre # y . 2 4 2

Solución La función tangente es periódica con período ' . Entonces,

tan

7' 4

, ' , '! 2' / " tan . # / " # 1 . 0 4 1 0 41

" tan . #


23 Fórmulas de adición y de ángulo doble

Introducción En trigonometría aparecen continuamente expresiones como sen ( " ! ) o

cos (2 ) donde y ! son ángulos y es importante conocer el valor de estas funciones, en términos de funciones de ángulos simples; además, al estudiar estas funciones se estarán desarrollando funciones trigonométricas de cualquier ángulo, como se verá más adelante.

Objetivos 1. Estudiar funciones trigonométricas de suma y diferencia de ángulos. 2. Estudiar funciones trigonométricas de ángulos dobles. 3. Estudiar funciones trigonométricas de ángulo mitad.

Demócrito de Abderea (460-370 a. C.) Demócrito es más conocido por su teoría atómica pero también fue un excelente geómetra. Muy poco se conoce de su vida, pero se sabe que Leucipo fue su profesor. Pertenece a la línea doctrinaria de pensadores que nació con Tales de Mileto. Esta escuela, así como la pitagórica y la eleática, que representan lo más grande del pensamiento anterior, le atribuye gran importancia a lo matemático. Los atomistas pensaban distinto a los eleatas, pues mientras éstos no aceptaban el movimiento como realidad, sino como fenómeno, Leucipo y Demócrito parten de que el movimiento existe en sí.Demócrito pone como realidades primordiales a los átomos y al vacío, o como dirían los eleatas, al ser y al no ser (recordemos que etimológicamente la palabra átomo, en griego, significa indivisible, lo que actualmente sabemos que no es así). Se nota en Demócrito un esfuerzo por sustituir la noción de cualidad por la de cantidad.

Preguntas básicas 1. ¿Cuáles son las funciones trigonométricas de suma de ángulos? 2. ¿Cuáles son las funciones trigonométricas de diferencia de ángulos? 3. ¿Cuáles son las funciones trigonométricas de ángulo doble?

Contenido 23.1 Funciones de diferencia y suma de ángulos 23.2 Funciones de ángulos dobles

Se sabe que Demócrito escribió varios tratados de geometría y de astronomía, pero desgraciadamente todos se perdieron. Se cree que escribió sobre teoría de los números y encontró la fórmula B*h/3 que expresa el volumen de una pirámide. Asimismo demostró que esta fórmula se puede aplicar para calcular el volumen de un cono. Se le atribuyen también los siguientes dos teoremas: 1. «El volumen de un cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro de igual base y altura» 2. «El volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma de igual base y altura»




23.1 Funciones de diferencia y suma de ángulos Escuche Demócrito de Abderea en su multimedia de Àlgebra y trigonometría

Considérese un círculo de radio a y dos ángulos y 23.2.

y ! , como en las figuras 23.1

y

y

Q

P

Q

!

!$

P x

x

Figura 23.1. Gráfica ilustrativa para suma de ángulos

Figura 23.2. Gráfica ilustrativa para suma de ángulos

En la figura 23.1, las coordenadas de P son (a cos , a sen ) y las de Q son

(a cos ! , a sen ! ). La longitud de la cuerda P Q es la distancia entre los puntos P y Q. Por tanto, al efectuar operaciones se tiene que: PQ # a 2 $ 2 cos

cos ! $ 2 sen

En la figura 23.2, el ángulo ! $

a sen !

(1)

se ha trasladado a su posición estándar. La

longitud de la cuerda PQ no cambia; las coordenadas de Q, en esta figura, son

% a cos ( ! $

), a sen ( ! $ ) & , mientras que las coordenadas de P son (a , 0).

En esta figura, la longitud de la cuerda P Q viene dada por: PQ #

% a cos (! $

) $ a & " a 2 sen 2 ( ! $ ) 2

# a 2 $ 2 cos ( ! $ ).

Igualando las expresiones (1) y (2) y elevando al cuadrado se tiene que:

256

(2)

Módulo 23: Fórmulas de adición y de ángulo doble

cos ! $ 2sen

2 $ 2cos

sen ! # 2 $ 2cos (! $ ).

Por tanto

cos ( ! $ ) # cos

cos ! " sen

sen !

La anterior expresión es básica para evaluar funciones de suma de ángulos, ya que de ella se desprenden las siguientes relaciones: Si ! # 0 , cos ($ ) # cos 0º cos " sen 0º sen . O sea que:

cos ($ ) # cos

Si ! #

'

'

'

, cos ( $ ) # cos cos 2 2 2

" sen

' 2

sen .

O sea que:

'

cos ( $ ) # sen 2 De las dos anteriores relaciones se desprenden dos hechos, a saber: 1.

El coseno de cualquier ángulo negativo es igual al coseno del correspondiente ángulo positivo.

2.

El seno de un ángulo

es igual al coseno del complemento.

(' ) Si en la relación cos * $ + # sen 2 , -

se hace

#

' 2

$ ! , se tiene que:

.' ( ' )/ (' ) cos 0 $ * $ ! + 1 # sen * $ ! + . 2 2 2 , , 2 3 O sea que:

(' ) cos ! # sen * $ ! + ,2 -

De una manera similar se pueden deducir las relaciones siguientes:

(' ) tan * $ + # cot ,2 -




(' ) cot * $ + # tan ,2 sen ( $ ) # $sen

En consecuencia, el seno de cualquier ángulo negativo es igual a menos el seno del correspondiente ángulo positivo. Para demostrar las relaciones siguientes, hay que utilizar las relaciones demostradas con anterioridad. sen ( ! $ ) # sen ! cos $ sen cos !

tan ( ! $ ) #

sen

4

tan ! $ tan 1 " tan ! tan

" ! 5 # sen cos ! " sen ! cos

cos 4 " ! 5 # cos cos ! $ sen sen !

tan ( ! " ) #

tan ! " tan 1 $ tan ! tan

En los ejemplos siguientes se desarrollarán aplicaciones de las relaciones desarrolladas antes. Ejemplo 22 Calcule el cos ($750º ). Solución

cos ($750º ) # cos 750º # cos (720º "30º ) # cos 720º cos 30º $ sen 720º sen 30º # cos 30º #

258

3 . 2

Módulo 23: Fórmulas de adición y de ángulo doble Ejemplo 23 Calcule el sen ( 118º ). Solución

sen ( 118º ) ! sen 118º ! sen (90º "28º ) ! sen 90º cos 28º cos 90º sen 28º ! cos 28º. Usando una calculadora científica, se obtiene que

cos 28º ! 0.88295.

Ejemplo 24 Si sen # !

2 y # está en el segundo cuadrante, y si tan $ ! 1 y $ está en el 5

segundo cuadrante, calcule sen (# " $ ). Solución Se sabe que sen (# " $ ) ! sen # cos $ " sen $ cos # . Como sen # ! 2 , cos 2 # ! 1 sen 2# . 5 Por tanto, cos # ! % cos # !

21 . Y puesto que # está en el segundo cuadrante, 5

21 . 5

De otra parte, como tan $ ! 1, se tiene que sen $ !

2 y cos $ ! 2

2 . Susti2

tuyendo, se tiene que: (2) sen &# " $ ' ! * + ,5!

( ** ,

2) ( 2) +"* + 2 +- *, 2 +-

( ** ,

21 ) + 5 +-

2 2 " 21 . 10

&

'

23.2 Funciones de ángulos dobles En muchas aplicaciones, especialmente en cálculo, se presentan funciones trigonométricas de ángulos dobles en términos de un ángulo simple dado. Si

se

toman

como

punto

de

partida

las

relaciones

sen &# " $ ' ! sen # cos $ " sen $ cos # , cos(# " $ ) ! cos # cos $ sen # sen $ , y en ellas se hace # ! $ , se tendrá que: Álgebra y trigonometría 259


sen 2 # 2sen

cos

cos 2 # cos 2

$ sen 2

De esta última relación se desprenden las siguientes fórmulas:

sen 2

#

1 $ cos 2 2

cos 2

#

1 " cos 2 2

Además, si en la fórmula tan ( " ! ) #

tan 2 #

2 tan 1 $ tan 2

tan " tan ! se hace 1 $ tan tan !

# ! , se obtiene

.

De las anteriores relaciones se pueden obtener las fórmulas para cot 2 ,

sec 2 , csc 2 . Ejemplo 25 Halle las funciones trigonométricas de 2

si sen

#

1 y 2

está en el primer

cuadrante. Solución Si sen

#

1 , cos 2 2

# 1 $ sen 2 , cos

sen 2 # 2 sen

cos

cos 2 # cos 2

$ sen 2

tan 2 # 3,

cot 2 #

3 , 3

# #

#

3 . 2

3 , 2 1 , 2

sec 2 # 2,

csc 2 #

2 3 . 3

Ejemplo 26 Calcule las funciones trigonométricas de 75º utilizando las funciones trigonométricas de 45º y 30º.

260

Módulo 23: Fórmulas de adición y de ángulo doble Solución Aplicando las fórmulas para la suma de ángulos se obtiene:

sen 75º sen (45º !30º )

sen 45º cos 30º ! sen 30º cos 45º

2 3 1 2 ! 2 2 2 2

2( 3 ! 1) . 4

cos 75º cos (45º !30º )

cos 45º cos 30º " sen 30º sen 45º

2 3 1 2 " 2 2 2 2

2( 3 " 1) . 4 tan 45º ! tan 30º 1 " tan 45º tan 30º

tan 75º tan (45º !30º ) 1 3 1 1" 3

1!

3 !1 3 "1

.

Ejemplo 27 Calcule las funciones trigonométricas de "15º utilizando las funciones trigonométricas de 45º y 30º. Solución Aplicando las fórmulas para la diferencia de ángulos se obtiene: sen ("15º )

sen (30º "45º )

sen 30º cos 45º " sen 45º cos 30º

1 2 2 3 " 2 2 2 2

cos ("15º )

cos (30º "45º )

2(1 " 3) . 4

cos 45º cos 30º ! sen 30º sen 45º

2 3 1 2 ! 2 2 2 2

tan ("15º )

2 ( 3 ! 1) . 4

tan (30º " 45º )

tan 30º " tan 45º 1 ! tan 30º tan 45º

1 "1 3 1 1! 3

.

1" 3 3 !1


Capítulo 8: Trigonometría del círculo Ejemplo 28 Calcule sen 150º utilizando las funciones trigonométricas de 30º y 60º.

Solución Aplicando las fórmulas de la suma de ángulos y del ángulo doble se obtiene:

sen150º # sen (120º "30º ) # sen120º cos 30º " sen 30º cos120º # sen (2 6 60º ) cos 30º " sen 30º cos (2 6 60º ) # 2sen 60º cos 60º cos30º " sen 30º (cos 2 60º $ sen 2 60º ) #2

3 1 3 1(1 3) 1 " * $ +# . 2 2 2 2,4 4- 2

cos150º # cos (120º "30º ) # cos120º cos30º $ sen 30º sen120º # cos (2 6 60º ) cos 30º $ sen 30º sen (2 6 60º ) # (cos 2 60º $ sen 2 60º ) cos 30º $ sen 30º (2sen 60º cos 60º ) 31 3 (1 3) 3 1 . #* $ + $ 2 #$ 4 4 2 2 2 2 2 , -

tan150º # tan (120º "30º ) #

tan120º " tan 30º tan (2 6 60º ) " tan 30º # 1 $ tan120º tan 30º 1 $ tan (2 6 60º ) tan 30º

2 3 2 tan 60º " " tan 30º 2 1 $3 1 tan 60º $ # # 2 tan 60º 2 3 1$ tan 30º 1$ 1 $ tan 2 60º 1$ 3 1 $ 3" 3 #$ 1 . # 2 3

1 3 1 3

Ejemplo 29 3 5 y los ángulos # , sen ! # 5 13

Si cos

, ! están en el primer cuadrante, calcule

cos ( $ ! ).

Solución Como ambos ángulos están en el primer cuadrante, se tiene:

sen # 1 $ cos 2

262

#

1$

9 4 25 12 # ; cos ! # " 1$ sen 2 ! # 1 $ # . 25 5 169 13

Módulo 23: Fórmulas de adición y de ángulo doble Por la fórmula de la suma de ángulos:

cos ( $ ! ) # cos cos ! " sen sen ! #

3 12 4 5 56 6 " 6 # . 5 13 5 13 65

Ejemplo 30 Si cos

1 # , cot ! # $2 y 3

está en el primer cuadrante, calcule tan ( " ! ).

Solución Como

en el primer cuadrante, entonces

sen

# " 1 $ cos 2

Además, tan ! #

1 2 2 sen # 1$ # ; tan # 9 3 cos

# 2 2.

1 1 # $ . Por la fórmula de la suma de ángulos: cot ! 2

tan " tan ! tan ( " ! ) # # 1 $ tan tan !

1 2 # 4 2 $1 6 1 2"2 2 1" 2 2 6 2 2 2$

Ejemplo 31 Exprese cos (3x) en términos de cos x. Solución cos (3x ) # cos ( x " 2 x) # cos x cos 2 x $ sen x sen 2 x # cos x (cos 2 x $ sen 2 x) $ 2 sen 2 x cos x # cos x (2 cos 2 x $ 1) $ 2 (1$ cos 2 x )cos x # 4 cos 3 x $ 3cos x.

Ejemplo 32 Exprese sen (4x) en términos de sen x y cos x. Solución

sen 4 x # sen 2 (2 x ) # 2sen 2 x cos 2 x # 2 (2sen x cos x ) ( cos 2 x $ sen 2 x) # 4 cos x sen x (1 $ 2sen 2 x) # cos x (4sen x $ 8sen 3 x ).


Capítulo 8: Trigonometría del círculo Ejemplo 33 Exprese cot (2x) en términos de cot (x). Solución Utilizando las fórmulas del ángulo doble para la tangente, tenemos: 1 1 $ tan 2 x cot ( 2 x ) # # # tan (2 x ) 2 tan x

1 cot 2 x cot 2 x $ 1 . # 1 2 cot x 2 cot x

1$

Ejemplo 34 4 ( x) (x) (x) Calcule los valores de sen * + , cos * + y tan * + si sen x # y x es un ángulo 5 2 2 2 , , , del primer cuadrante.

Solución Utilizando las fórmulas del seno y el coseno del ángulo doble se obtiene:

sen 2

#

1 $ cos 2 ; cos 2 2

Y reemplazando

#

#

1 " cos 2 2

.

x obtenemos: 2

2 2 ( x ) 1$ cos x ( x ) 1 " cos x sen 2 * + # ; cos 2 * + # . 2 2 ,2, 2-

Como x es un ángulo del primer cuadrante,

x es también un ángulo del primer 2

cuadrante; por tanto: 1$ cos 2 x 1 " cos 2 x ( x) ( x) sen * + # " ; cos * + # " . 2 2 ,2,2-

2 2 Reemplazando en las expresiones anteriores cos x #1 $ sen x #

( x) sen * + # , 2-

264

9 obtenemos: 25

9 9 1" 25 # 4 ; cos ( x ) # 25 # 34 ; tan ( x ) # 4 . * + * + 2 2 5 2 5 2 34 ,2, 2-

1$

24 Verificación de identidades trigonométricas

Introducción Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre funciones trigonométricas, que se cumple cualquiera sea el valor o valores de los ángulos que 1 es una identidad cos trigonométrica porque no importa el valor del ángulo para que la igualdad se cumpla, ya que, como se sabe, la secante de un ángulo cualquiera es el inverso del coseno.

aparecen en la expresión. Así, por ejemplo, sec

!

Objetivo 1. Estudiar las identidades trigonométricas fundamentales.

Preguntas básicas 1. Enuncie las identidades trigonométricas fundamentales. 2. ¿Cuál es la diferencia entre una identidad y una ecuación trigonométrica?

Contenido 24.1 Identidades trigonométricas fundamentales Visite el sitio http://docencia.udea.edu.co/cen/ AlgebraTrigonometria/




24.1 Identidades trigonométricas fundamentales El estudio de las identidades trigonométricas es importante porque mediante ellas se pueden transformar expresiones que envuelven funciones trigonométricas en otras equivalentes, y éstas hacen que ciertas operaciones de integración, diferenciación y otras, se realicen con mayor facilidad. Además de las relaciones deducidas en secciones anteriores se volverán a escribir algunas identidades fundamentales, a saber: sen 2

" cos 2

! 1.

1 " tan 2

! sec2 .

1 " cot 2

! csc2 .

tan

!

sen . cos

cot

!

1 . tan

sec

!

1 . cos

csc !

1 . sen

Ejemplo 35 Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad: 1 cos2

# 1 ! tan 2 .

Solución Si se reduce el primer miembro a común denominador, se tiene que:

1 cos 2

#1 !

1 # cos 2 cos2

sen 2 cos 2

Por tanto,

1 cos 2

#1 !

Por tanto,

1 cos 2

# 1 ! tan 2 .

. Pero 1 # cos 2

! sen 2 .

2

$ sen % sen !& . Pero ' cos ( cos )

! tan

.

Ejemplo 36 En la siguiente identidad, transforme el primer miembro en el segundo.

266

Módulo 24: Verificación de identidades trigonométricas 1 # sen cos

!

cos . 1 " sen

Solución Se observa que en el segundo miembro aparece cos

en el numerador, y también 2

además se sabe que (1 # sen )(1 " sen ) ! 1 # sen ! cos 2 . Esto sugiere una multiplicación en el numerador y en el denominador, del primer miembro, por

(1 " sen ). Es decir, 1 # sen cos

!

*1 # sen +*1 " sen + cos *1 " sen +

!

1 # sen 2 cos *1 " sen

+

2

!

cos cos *1 " sen

!

cos . 1 " sen

+

Ejemplo 37 Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:

tan 2 cot 2

"1 ! tan 2 . "1

Solución Una forma de enfocar el problema es transformar cada una de las expresiones del primer miembro, en función de sen y cos , y simplificar. Es decir, 2

tan cot 2

sen 2 " 1 cos 2 ! " 1 cos 2 sen 2

" cos 2 cos 2 ! 2 cos " sen 2 "1 sen 2 "1

sen 2

1 2 ! cos 1 sen 2 !

sen 2 cos 2

$ sen % !& ' ( cos )

2

! tan 2 . Ejemplo 38 Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad: Álgebra y trigonometría 267

Capítulo 8: Trigonometría del círculo 1 " sen x cos x " ! 2 sec x. cos x 1 " sen x

Solución Hallando el denominador común y luego aplicando la identidad sen 2 x " cos 2 x ! 1, se obtiene

1 " sen x cos x (1 " sen x)2 " cos 2 x 1" 2 sen x " sen 2 x " cos2 x " ! ! cos x 1 " sen x cos x (1 " sen x) cos x (1" sen x) !

2 " 2sen x 2 ! ! 2 sec x. cos x (1" sen x) cos x


(sec x # tan x) 2 !

1 # sen x . 1 " sen x

Solución Expresando el primer miembro en términos del seno y el coseno se obtiene:

(sec x # tan x )2 !

(1 # sen x) 2 (1 # sen x)2 (1 # sen x )2 1 # sen x ! ! ! . 2 2 cos x 1 # sen x (1 # sen x )(1 " sen x ) 1 " sen x


1 # sen x 1 " sen x # ! 2 cos x ( cot x " csc 2 x ). 1 " sec x 1 # sec x Solución Hallando el denominador común y aplicando la identidad 1 + tan2 x = sec2 x, se obtiene:

268

Módulo 24: Verificación de identidades trigonométricas 1 # sen x 1" sen x (1 # sen x) (1 # sec x ) # (1 " sen x ) ( 1" sec x ) # ! 1 " sec x 1 # sec x (1 " sec x ) ( 1 # sec x ) (1 # sen x # sec x " sen x sec x ) # ( 1" sen x " sec x " sen x sec x 1# sec 2 x # 2 ( sen x " sec x ) ! ! 2 cot 2 x ( sen x " sec x ) 2 # tan x

!

$ cos x % 2 ! 2 & cos x cot x " ' ! 2 cos x ( cot x " csc x). sen 2 x ) (

Ejemplo 41 Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad: sen 6 x " cos 6 x ! 1 # 3 sen 2 x cos 2 x.

Solución Aplicando la suma de cubos y la identidad sen2 x + cos2 x = 1, se obtiene: sen 6 x " cos6 x ! (sen 2 x )3 " (cos 2 x)3 ! (sen , x " cos 2 x)(sen 4 x # sen 2 x cos 2 x " cos 4 x) ! sen 4 x # sen 2 x cos 2 x " cos 4 x ! (sen 2 x )2 " (cos 2 x) 2 # sen 2 x cos 2 x.

Completando el cuadrado se obtiene: ! (sen 2 x) 2 " 2sen 2 x cos 2 x " (cos 2 x )2 # 3sen 2 x cos2 x ! (sen 2 x " cos 2 x) 2 # 3sen 2 x cos 2 x ! 1 # 3sen 2 x cos 2 x.

Ejemplo 42 Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad: (sec x " tan x )5 (sec x # tan x )6 !

1 # sen x . cos x

Solución Aplicando la diferencia de cuadrados y la identidad 1 " tan 2 x ! sec 2 x se obtiene: (sec x " tan x)5 (sec x # tan x )6 ! (sec x " tan x )5 (sec x # tan x )5 (sec x " tan x ) ! (sec 2 x # tan 2 x)5 (sec x " tan x) 1 # sen x ! (sec x # tan x ) ! . cos x


Capítulo 8: Trigonometría del círculo Ejemplo 43 Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad:

2sen 2 x " 3cos x # 3 2cos x # 1 . ! sen 2 x 1 " cos x Solución Expresando el primer miembro en términos del coseno y factorizando, se obtiene:

2sen 2 x " 3cos x # 3 2(1 # cos 2 x ) " 3cos x -3 #2cos 2 x " 3cos x # 1 ! ! 2 (1 # cos x) (1 " cos x) sen x 1 # cos 2 x (1 # cos x ) ( 2 cos x # 1) 2cos x # 1 ! ! . (1 # cos x) (1 " cos x) 1 " cos x

Ejemplo 44 Transforme el primer miembro en el segundo, en la siguiente identidad: 3 cos 2 x " 5 sen x # 5 3 sen x # 2 ! . cos 2 x 1 " sen x

Solución Expresando el primer miembro en términos del seno y factorizando, se obtiene:

3cos 2 x " 5sen x # 5 3(1 # sen 2 x) " 5sen x # 5 #3sen 2 x " 5sen x # 2 ! ! 2 2 cos x 1 # sen x (1 # sen x) (1 " sen x ) !

270

(1# sen x ) (3sen x # 2) 3sen x # 2 ! . (1 # sen x) (1 " sen x) 1 " sen x

9

Capítulo 9

Funciones trigonométricas inversas

Contenido breve Módulo 25 Funciones trigonométricas inversas Módulo 26 Más identidades Módulo 27 Ecuaciones trigonométricas

La trigonometría se utiliza para determinar zonas de cultivos.


Presentación Debido a que las funciones trigonométricas son periódicas, ninguna de ellas es 1 a 1; por tanto, ninguna de estas funciones tiene función inversa. Sin embargo, si se restringe el dominio de cada una de ellas de modo que sean 1 a 1 en un dominio restringido, entonces, en ese dominio, tiene sentido definir una única función inversa. Hay que recordar que una función f es 1 a 1, si dado que f (a)

a

f (b), entonces

b para toda a y b pertenecientes al dominio de una función. En forma equiva-

lente, f es 1 a 1 si dado que a ! b, entonces f (a ) ! f (b ) para todo a y b pertenecientes al dominio de la función.


278

25 Funciones trigonométricas inversas

Introducción En este módulo se definen las funciones inversas de funciones trigonométricas con dominio restringido. Se debe recordar que para que una función tenga inversa, debe ser 1 a 1. Como las funciones trigonométricas no cumplen esta condición, se debe restringir el dominio de estas funciones a un intervalo donde sean 1 a 1.

Objetivos 1. Estudiar las funciones trigonométricas inversas. 2. Definir las condiciones para que las funciones trigonométricas tengan inversa.

Preguntas básicas

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) En la escuela, sus intereses infantiles eran Homero y Virgilio, y cuando una memoria de Halley le cayó en las manos, se alumbró su chispa matemática. Como Newton, pero a una edad aun más temprana, llegó al corazón de la matemática en un espacio de tiempo increíblemente corto. A los dieciséis años de edad fue nombrado profesor de matemáticas en la Escuela Real de Artillería de Turín, donde el tímido muchacho, que no poseía recursos de oratoria y era de muy pocas palabras, mantenía la atención de hombres bastante mayores que él. Su encantadora personalidad atraía su amistad y entusiasmo. Pronto condujo un joven grupo de científicos, que fueron los primeros miembros de la Academia de Turín. Lagrange se transfiguraba cuando tenía una pluma en sus manos, y, desde un principio, sus escritos fueron la elegancia misma. Transcribía a las matemáticas todos los pequeños temas sobre investigaciones físicas que le traían sus amigos, de la misma manera que Schubert pondría música a cualquier ritmo perdido que arrebatara su fantasía.

1. ¿Cómo se restringen los dominios de la función seno y la función coseno para que tengan inversa? 2. ¿Cómo se restringen los dominios de las funciones tangente y cotangente para que tengan inversa? 3. Dibuje las gráficas de las funciones trigonométricas inversas.

Contenido 25.1 Función inversa del seno 25.2 Función inversa del coseno 25.3 Funciones inversas de la tangente y la cotangente Visite el sitio http://docencia.udea.edu.co/cen/ AlgebraTrigonometria/



Capítulo 9: Funciones trigonométricas inversas

25.1 Función inversa del seno # " "$

sen x al intervalo & % , ' , se ( 2 2) observa que la función es creciente y por tanto es 1 a 1. Como consecuencia, tiene

Si se restringe el dominio de la función y

sentido definir su función inversa como y arcsen x o y igual a arcoseno de x,o y es igual al seno inverso de x.

sen %1 x, que se lee: y es

Se supondrá siempre que el dominio de la función seno ha sido restringido a

%

" 2

*x*

" 2

.

La gráfica de y

arcsen x es la siguiente (figura 25.1).

"

y

2

%1

x

%

" 2

Figura 25.1. Gráfica correspondiente a la función y = arcsen x

Dominio = + %1, 1,. Rango

# " "$ = &% , ' . ( 2 2)

Ejemplo 1

-1. " sen %1 / 0 , 1 22 6 sen%1 314

280

" 2

,

2. " sen %1 // % 00 % , 4 1 2 2

"

sen %1 3 %14 % . 2

Módulo 25: Funciones trigonométricas inversas

25.2 Función inversa del coseno Hay que hacer notar que en la expresión y seno es x.

arcsen x, y es el ángulo cuyo

Una mirada a la función y cos x lleva al convencimiento de que no se puede restringir el dominio de esta función al mismo intervalo de la función seno. Se escogerá siempre el intervalo 0 * x * " en el cual la función coseno es 1 a 1. La función inversa se define como y

arccos x o y

cos %1 x, que se lee:

y es igual al arcocoseno de x, o y es igual a coseno inverso de x. Su

gráfica es la siguiente (figura 25.2). y

"

" 2

%1

1

x

Figura 25.2. Gráfica correspondiente a la función y = arccos x

Dominio = + %1, 1,. Rango

= +0, " , .

25.3 Funciones inversas de la tangente y la cotangente Para que y

tan x posea inversa se restringe el dominio a %

la inversa será y

arctan x o y

" 2

5x5

" 2

y así

tan %1 x, q u e s e l e e : y e s i g u a l a

arcotangente de x, o y es igual a tangente inversa de x. Su gráfica es la de la página siguiente (figura 25.3).

Escuche Historia de Lagrange en su multimedia de Álgebra y trigonometría


Capítulo 9: Funciones trigonométricas inversas y " 2

x

%

" 2

Figura 25.3. Gráfica correspondiente a la función y = arctan x

Dominio = reales.

- " ". Rango = / % , 0 . 1 2 22 Si se restringe el dominio de y

cot x a 0 5 x 5 " se puede definir su inversa

como y arc cot x o y cot %1 x, que se lee: y es igual a arcotangente de x o y es igual a cotangente inversa de x. Su gráfica es (figura 25.4). y

" " 2

x

Figura 25.4. Gráfica correspondiente a la función y = arccot x

Dominio = reales. Rango

282

= 3 0, " 4 .

Módulo 25: Funciones trigonométricas inversas Ejemplo 2

! Evalúe cos $$ 2 sen

%$1

1 "# #. 2 &#

Solución Hagamos sen

1

1 1 ' , lo cual implica que sen ' , con 2 2

! tanto cos $$2 sen

%$1

! ( 2

(

! , y por 2

1 "# # ' cos 2 . 2 &#

2

!1" 1 Pero cos 2 ' 1 2 sen 2 ' 1 2 $$ ### ' . De lo anterior se tiene que: $% 2 & 2

! cos $$2sen

%$1

1 "# 1 #= . 2 &# 2

Ejemplo 3

! Evalúe sen $$sen

%$1

4 + tan 5

1

3 "# #. 4 &#

Solución Sean

= sen

1

4 y " = tan 5

4 y tan 5

1

3 . 4

3 , con 4

! ( 2

! y 2

! ! )" ) . 2 2

Por tanto sen

'

La expresión

! ! ) " ) nos dice " que está en el primero o en el cuarto cua2 2

'

(

3 significa que " está en el primero o en 4 el tercer cuadrante. El único cuadrante donde se satisfacen ambas condiciones es el primero. Por tanto, se tiene gráficamente lo siguiente (figura 25.5):

drante, mientras que la expresión tan " '



Figura 25.5

sen " '

3 4 y cos " ' . 5 5

De otra parte, si sen

'

4 significa que 5

está en el primero o en el segundo

! ! ( ( quiere decir que está en el primero o en el cuarto cua2 2 drante. El único cuadrante donde se satisfacen ambas condiciones es el primero. Por tanto, se tiene gráficamente que (figura 25.6):

cuadrante. Si

Figura 25.6

sen

'

4 3 y cos ' . 5 5

De lo anterior, se tiene que:

284

Módulo 25: Funciones trigonométricas inversas ! sen $$sen

%$1

4 , tan 5

3 "# # ' sen * , " + 4 &# ' sen cos " , sen " cos ! 4 " ! 4 " ! 3 "! 3 " ' $$ ###.$$ ### , $$ ###$$ ### $% 5 & %$ 5 & %$ 5 &%$ 5 &

1

16 9 , 25 25 25 ' 25 ' 1. '

Ejemplo 4

Evalúe sen

1

1 , sen 2

1

3 . 2

Solución

' sen

Sean

1

1 y " ' sen 2

3 . 2

! ! ( ( , 2 2

1 Entonces, sen ' , con 2

sen " '

1

3 , con 2

! ! (" ( . 2 2

El único ángulo entre

! ! 1 y tal que sen ' es 2 2 2

El único ángulo entre

! ! 3 ! y tal que sen " ' es " ' . 2 2 2 3

Por tanto, sen

1

1 , sen 2

1

! ' . 6

3 ! ! ! ' ," ' , ' . 2 6 3 2

Ejemplo 5

Demuestre que tan *cos

! tan $$$cos

%$1

1

x+ '

x2

1 x

para

1 ( x ( 1 y seguidamente evalúe

2 "## #. 2 &#

Solución Sea

' cos

1

x. Álgebra y trigonometría 285

Capítulo 9: Funciones trigonométricas inversas Por tanto, tan *cos

1

x + ' tan

'

'

sen cos

- 1 cos2 cos

.

Para escoger el signo correcto, hay que notar que porque ' cos es el signo +. Al sustituir

1

x. Como sen

está en el intervalo .0, ! /

es positivo en ese intervalo, la elección correcta

1 ' cos 1 x en la ecuación anterior, y sabiendo que cos *cos x+ ' x,

se tiene que: tan *cos 1 x + '

1 x2 . x

Por último,

2

! tan $$$cos

%$1

2 "## #' 2 &#

! 2" 1 $$$ ### $% 2 &#

2 2 2 1 4 ' 2 2 2 ' 4 2 2 ' 1.

Ejemplo 6 Escriba sen *2 cos

1

! go evalúe sen $$$2 cos

%$286

x + como una expresión algebraica en x para 1

3 "# ##. 2 &#

1 ( x ( 1 y lue-

Módulo 25: Funciones trigonométricas inversas Solución Sea

' cos

1

x, y por tanto cos

en ese intervalo se tiene que sen

' x con 0 ( ' 1

cos 2

( !. Como sen ' 1

es positivo

x2 .

De otra parte, sen *2 cos

1

x + ' sen 2 ' 2 sen cos ' 2 1 x2 0 x ' 2 x 1 x2 .

Por tanto,

! sen $$$2 cos

%$2

1

! 3 "# 3 "# 3 ## ' 2 . 1 $$$ ## # 2 & 2 %$ 2 &# '

2 3 . 1 2

' 3. ' '

3 4

1 4

3 4 3 . 2


26 Más identidades

Introducción En esta sección se inicia el estudio de identidades que involucran funciones trigonométricas inversas, así como funciones de suma y diferencia de ángulos y de ángulos dobles. Con este tema termina el estudio de identidades trigonométricas; en módulos posteriores se inicia el estudio y la resolución de ecuaciones trigonométricas.

Objetivo 1. Estudiar identidades que involucran funciones trigonométricas inversas y funciones de suma y diferencia de ángulos.

Preguntas básicas 1. ¿En qué consisten las identidades con funciones trigonométricas inversas? 2. ¿En qué se diferencia una identidad con funciones trigonométricas inversas y una ecuación con funciones trigonométricas inversas?

Contenido 26.1 Identidades fundamentales





26.1 Identidades fundamentales En esta sección se establecen las siguientes identidades fundamentales, que se deducen de las propiedades generales de las funciones inversas. Las identidades fundamentales son las siguientes: sen sen "1 x ! # x

para "1 $ x $ 1.

sen "1 sen x ! # x

para "

cos cos"1 x ! # x

para "1 $ x $ 1.

cos "1 cos x ! # x

para 0 $ x $ % .

tan tan "1 x ! # x

para todo x.

tan "1 tan x ! # x

para "

cos sen "1 x ! # 1 " x 2

para "1 $ x $ 1.

sen cos "1 x ! # 1 " x 2

para "1 $ x $ 1.

% 2

% 2

$ x$

& x&

% 2

% 2

.

.

Ejemplo 7 Pruebe que cos sen "1 x ! # 1 " x 2 . Solución Sea ' # sen "1 x. Esto significa que x # sen ' , con "

% 2

$' $

% 2

. Por tanto,

cos sen "1 x ! # cos ' # ( 1 " sen 2 ' # ( 1 " x 2 .

En la igualdad anterior se escoge el signo + ya que cos ' es positivo para

"

% 2

$' $

% 2

.

Ejemplo 8 Pruebe que sen "1 x ) cos"1 x #

% 2

.

Solución Sean ' # sen "1 x y * # cos "1 x . Hay que probar, entonces, que ' ) * # sen ' ) * ! # sen ' cos * ) sen * cos ' .

290

% 2

. Pero

Módulo 26: Más identidades # sen sen "1 x ! cos cos "1 x ! ) cos sen "1 x ! sen cos "1 x ! # x · x ) 1" x2 ·

1" x2

# x2 ) 1 " x 2 # 1.

Como sen ' ) * ! # 1, se concluye que ' ) * #

% 2

% 2

o algún número que difiera de

por un múltiplo de 2% .

Pero como "

% 2

$' $

% 2

y 0 $ * $ % , se sigue que "

%

posibilidad en ese intervalo es ' ) * #

2

% 2

$' ) * $ 3

% 2

. La única

.

Ejemplo 9

+ "1 - 1 . - 3 ., "1 Encuentre el valor de tan /sen 1 " 2 2 ) cos 11 2 220 . 3 4 /5 3 406 Solución 1 - 1. Sea sen "1 1 " 2 # ' ; por tanto, sen ' # " . 2 2 3 4

- 3. 3 . Sea cos "1 11 22 # * ; por tanto, cos * # 2 3 2 4

Pero sen ' # "

% 1 implica que ' # " , 6 2

3 % implica que * # . 2 6 Se tiene entonces que: cos * #

+ - 3 ., - 1. - % %. tan /sen "1 1 " 2 ) cos "1 1 22 0 # tan 1 " ) 2 1 3 24 3 6 64 3 2 4 06 5/ # tan 0 # 0.

Ejemplo 10

-1. -1. -1. -1. % Pruebe que tan "1 1 2 ) tan "1 1 2 ) tan "1 1 2 ) tan "1 1 2 # . 334 354 374 384 4


Capítulo 9: Funciones trigonométricas inversas Solución "1 - 1 . "1 - 1 . "1 - 1 . "1 - 1 . Sean '1 # tan 1 2 , ' 2 # tan 1 2 , ' 3 # tan 1 2 , ' 4 # tan 1 2 . 334 3 54 374 384

Debe ser claro de la gráfica de la función y # tan "1 x, que '1 &

'4 &

% 4

% 4

, '2 &

% 4

, '3 &

% 4

,

; en estas condiciones, 0 & '1 ) ' 2 ) ' 3 ) ' 4 & % . Se trata entonces de

probar que tan '1 ) ' 2 ) ' 3 ) ' 4 ! # 1. 1 1 ) tan '1 ) tan ' 2 4 tan '1 ) ' 2 ! # # 3 5 # , 1 1 7 1 " tan '1 tan ' 2 1" · 3 5 1 1 ) tan ' 3 ) tan ' 4 3 tan ' 3 ) ' 4 ! # # 7 8 # , 1 1 11 1 " tan ' 3 tan ' 4 1" · 7 8 4 3 ) # 7 11 # 1. tan '1 ) ' 2 ) ' 3 ) ' 4 ! # 4 3 1 " tan '1 ) ' 2 ! · tan ' 3 ) ' 4 ! 1" · 7 11 tan '1 ) ' 2 ! ) tan ' 3 ) ' 4 !

Ejemplo 11 Demuestre que cos 2 tan "1 x ! #

1 " x2 . 1 ) x2

Solución "1 Sea ' # tan "1 x; por tanto, cos 2 tan x ! # cos 2'

cos 2' # 2 cos 2 ' " 1 ; por consiguiente: cos 2 tan "1 x ! # 2 cos 2 ' " 1

2 "1 sec 2 ' 2 # "1 1 ) tan 2 ' 2 # "1 1 ) x2 1" x2 # . 1 ) x2 #

Ejemplo 12 sen 3 x Pruebe que sen x cos x

292

4 cos x ! sec x.

y

x # tan ' . Pero

Módulo 26: Más identidades Solución

sen 3 x sen x cos x

sen " x $ 2 x # sen x cos x sen x cos 2 x $ cos x sen 2 x sen x cos x sen x "2 cos2 x ! 1# $ cos x "2 sen x cos x # sen x cos x 2 cos x ! 1 $ 2 cos2 x cos x 2 cos2 x ! 1 $ 2 cos x cos x 1 2 cos x ! $ 2 cos x cos x 4 cos x ! sec x. 2

Ejemplo 13 Pruebe que

sen 3 x ! sen x cos 3 x $ cos x

tan x.

Solución sen 3 x ! sen x cos 3 x $ cos x

3x $ x 3x ! x sen 2 2 a 3x $ x 3x ! x 2 cos cos 2 2 2 cos 2 x sen x 2 cos 2 x cos x tan x. 2 cos

Ejemplo 14 1 Pruebe que 1 ! sen x

sec2 x $ tan x sec x.

Solución 1 1 ! senx

1 1 $ sen x . 1 ! sen x 1 $ sen x 1 $ sen x 1 ! sen 2 x 1 $ sen x . cos2 x


Capítulo 9: Funciones trigonométricas inversas sen x 1 $ 2 cos x cos2 x 1 sen x 1 $ . 2 cos x cos x cos x sec2 x $ tan x sec x.

Ejemplo 15 Pruebe que

1 $ cos x cos x

tan2 x . sec x !1

Solución Se demostrará la identidad manipulando cada lado por separado para llegar a la misma expresión. Lado izquierdo:

1 $ cos x cos x

cos x 1 $ cos x cos x sec x $ 1.

Lado derecho:

tan2 x sec x ! 1

sec2 x ! 1 sec x ! 1 "sec x !1#"sec x $ 1# sec x ! 1 sec x $ 1.

Como las dos transformaciones conducen a sec x + 1, la identidad queda probada.

Ejemplo 16 Demuestre que

1 $ tan x 1! tan x

% & tan (( $ x'''. () 4 *

Solución

% & tan (( $ x ''' () 4 *

tan

4

$ tan x

1 ! tan

tan x 4 1 $ tan x 1 ! 1 + tan x 1 $ tan x . 1 ! tan x

294

Módulo 26: Más identidades Ejemplo 17

3 !1 1 $ sen!1 Pruebe que sen 2 2

2

.

Solución

sen!1

Sean !

1 y" 2

3 . 2

sen!1

1 , con ! , ! , , 2 2 2

Entonces, sen !

3 , con ! , ! , . 2 2 2

sen "

El único ángulo entre ! El único ángulo entre !

2 2

y y

1 3 Por tanto, sen!1 $ sen!1 2 2

tal que sen !

2

1 es ! 2

tal que sen "

2

!$"

6

$

3

3 es " 2 2

6

.

3

.

.

Ejemplo 18 1 !1 4 ! tan!1 Pruebe que tan 3 7

4

.

Solución tan !1

Sean !

4 y " 3

1 tan!1 . Hay que probar que ! $ " 7

La expresión anterior equivale a demostrar que tan "! $ " #

4 tan

.

4

1.

En efecto:

tan "! $ " #

tan ! tan " 1 $ tan ! tan " % 4& % 1& tan (( tan!1 ''' tan (( tan!1 ''' () ( 3* ) 7* % !1 4 &' % !1 1 &' 1 $ tan (( tan ' tan (( tan ' () 3 *' )( 7 *' 4 1 ! 3 7 4 1 1$ . 3 7

25 21 4 1$ 21

1.


Capítulo 9: Funciones trigonométricas inversas Ejemplo 19 Pruebe que tan !1 x $ tan !1

1 x

2

, si x > 0.

Solución Sea !

tan !1 x, tan !

% & x, con ! - (((! , '''. ) 2 2*

Sea "

1 tan !1 , tan " x

% & 1 , con " - ((! , '''. ( x ) 2 2*

Como x > 0, quiere decir que necesariamente sen !, sen " , cos ! y cos " serán números positivos. De otra parte: 1 $ tan 2 !

sec2 !, 1 $ x2

1 $ tan 2 "

sec2 " , 1 $

Como 1 ! cos2 ! 1

sen "

1 $ x2

1 ; cos ! cos2 !

1 x2

1 1 $ x2 x

1 ; cos " = cos2 "

1 $ x2

, .

sen 2 " , se tiene que sen !

sen 2! y 1 ! cos2 "

.

De todo lo anterior: !

cos!1

1 1$ x

"

cos!1

x 1$ x

x

sen !1

2

1 $ x2 1

sen !1

2

1 $ x2

,

.

Se trata de probar, equivalentemente, que sen "! $ " # sen "! $ " #

sen ! cos " $ sen " cos ! x 1$ x

2

.

x 1$ x

x2 1 $ 2 1$ x 1 $ x2

296

sen

2

$

1 1$ x

1.

2

.

1 1 $ x2

2

1.

x 1 $ x2

y

27 Ecuaciones trigonométricas

Introducción Niels Henrik Abel (1802-1829)

En esta sección se van a resolver ecuaciones trigonométricas, es decir, se considerarán las soluciones de ecuaciones que contienen funciones trigonométricas. En secciones anteriores se estudió un tipo de ecuación trigonométrica denominada identidad. Una identidad trigonométrica es una ecuación trigonométrica que es verdadera para todas las sustituciones de la variable para la cual cada miembro de la ecuación está definida.

Objetivo 1. Estudiar métodos de solución de ecuaciones trigonométricas.

La vida de Abel estuvo dominada por la pobreza. Después de muerto su padre, que era un ministro protestante, Abel tuvo que asumir la responsabilidad de mantener a su madre y familia, en 1820. El profesor de Abel, Bernt Holmboe, reconoció su talento para las matemáticas. Debido a su falta de dinero para asistir a una colegiatura para ingresar a la Universidad de Christiania, ingresó a ella en 1821, diez años después de que fuera fundada, y se graduó en 1822. Abel publicó en 1823 escritos de ecuaciones funcionales e integrales. En ellos dio la primera solución de una ecuación integral. En 1824 probó que era imposible resolver algebraicamente ecuaciones de quinto grado y de su propio costo realizó publicaciones con la esperanza de obtener reconocimiento por su trabajo.

Preguntas básicas 1. ¿En qué consiste una ecuación trigonométrica? 2. ¿En qué consiste hallar la solución de una ecuación trigonométrica?

Contenido 27.1 Ecuaciones condicionales





27.1 Ecuaciones condicionales En esta sección se estudiarán ecuaciones trigonométricas que son verdaderas para ciertos valores de la variable para la cual ambos miembros están definidos. Estas ecuaciones se llaman condicionales. Los ejemplos siguientes indicarán el método de solución. Ejemplo 20 2 Resuelva la ecuación cos x

cos x, para 0 " x " 2! .

Solución 2

Una expresión equivalente es cos x # cos x

0. Por tanto, cos x (cos x # 1) 0.

Puesto que cos x = 0 o cos x = 1, las soluciones son: x

! 2

!

, x 3 , x 2

0, x

2! .

Ejemplo 21 Encuentre la solución general de la ecuación csc2 x # cot x 1. Solución 2

2

Como 1 $ cot x csc x , se tiene que 1 $ cot 2 x # cot x # 1 0 , cot 2 x # cot x Factorizando se tiene que cot x(cot x # 1) 0 De cot x = 0 se tiene que x

! 2

De cot x # 1 0 se tiene que x

0.

$ n! , con n % Z .

! 4

$ n! , con n % Z .

Ejemplo 22 Halle la solución de la ecuación sen x $ sen 2 x $ sen 3x 0 " x " !. Solución Se sabe que sen ( $ sen ) Llamando (

xy )

sen x $ sen 3 x

2 sen

&( $ ) ' 2

2 sen

& x $ 3x ' 2

2 sen 2 x cos x.

298

&( # ) '

3x se tiene que: cos

2 sen 2 x cos & # x '

Por tanto,

cos

& x # 3x ' 2

2

.

0 en el intervalo

Módulo 27: Ecuaciones trigonométricas sen x $ sen 2 x $ sen 3 x

2 sen 2 x cos x $ sen 2 x sen 2 x & 2 cos x $ 1' .

Si sen 2 x 0, 2 x 0º o 2 x 180º , x 0º o x 90º #1, cos x

Si 2 cos x

1 # , x 120º. 2

Como consecuencia, las soluciones son: x 0º , x 90º , x 120º. Ejemplo 23 Resuelva sen #1 x $ 2cos #1 x 150º . Solución sen #1 x y )

Sean (

Entonces sen (

cos #1 x .

x, con #

! 2

"( "

! 2

.

cos ) x, con 0 " ) " ! . La ecuación, por tanto, se reduce a ( $ 2) O sea que sen (( $ 2) ) sen 150º

1 , 2

sen ( cos 2) $ sen 2) cos (

1 . 2

!

!

Si sen (

x, con #

Si cos )

x, con 0 " ) " ! , sen )

2

"( "

2

150º.

1 # x2 .

, cos (

1 # x2 .

De lo anterior se tiene que: 2 x 1 # x2 ,

sen 2 )

2sen ) cos )

cos 2 )

2 cos 2 ) # 1 2 x 2 # 1.

La ecuación se convierte entonces en x & 2 x 2 # 1' $ 2 x 1 # x 2

1 # x2

1 . 2

Resolviendo la ecuación anterior, se tiene que x Para este valor de x, (

30º y )

1 . 2

Escuche Historia de Abel en su multimedia de Álgebra y trigonometría

60º.


Capítulo 9: Funciones trigonométricas inversas Ejemplo 24 Resuelva tan 1 ( x ! 1) ! tan 1 ( x 1) " tan 1 2. Solución Sea

" tan 1 # x ! 1$, tan " x ! 1, con " " tan 1 (x

1), tan " " x

La ecuación se reduce a equivalente a resolver:

1, con

! ! % % . 2 2 ! ! %" % . 2 2

! " " tan 1 2, y si tomamos tangente a ambos lados, es

tan( ! " ) " tan #tan 1 2$ " 2 tan ! tan " 1 tan tan " x !1! x 1 " " 2. 1 ( x ! 1)( x 1) "

De lo anterior se tiene que x 2 ! x 2 " 0, cuya solución es x 1 o x " 2. Ejemplo 25 Resuelva 2 sen 2 x ! sen x 1 " 0. Solución El miembro de la izquierda es una expresión cuadrática en sen x que se puede descomponer en factores así: (2 sen x 1)(sen x ! 1) " 0. 2 sen x 1 " 0 1 sen x " 2 ! x " ! 2n! , con n & Z , 6 5! ! 2n!. x" 6 sen x ! 1 " 0 sen x " 1 x"

300

3! ! 2n!. 2

Módulo 27: Ecuaciones trigonométricas Ejemplo 26 Encuentre todos los valores de x en ' 0, 2! ( que satisfacen la ecuación: cos2 2 x ! 3 sen 2 x

3 " 0.

Solución 2 2 Como sen 2 x ! cos 2 x " 1, se tiene que 1 sen 2 2 x ! 3 sen 2 x

3 " 0.

Por tanto, (1 sen 2 x)(2 sen 2 x ) " 0. Del primer factor, se obtiene:

1 sen 2 x " 0 sen 2 x " 1 ! 2 x " ! 2n! 2 ! x " ! n! 4 ! 5! x" , x" . 4 4 Del segundo factor de obtiene:

'0, 2! ( sen 2 x " 2, que no tiene solución.

Ejemplo 27 Resuelva tan x ! 2 sec x " 1. Solución

sen x 2 ! "1 cos x cos x sen x ! 2 " 1, sen x ! 2 " cos x, con cos x ) 0 cos x sen x ! 2 " * 1 sen2 x 2

#sen x ! 2$ " 1 sen 2 x sen 2 x ! 4 sen x ! 4 " 1 sen2 x 2 sen 2 x ! 4 sen x ! 3 " 0 sen x "

4 * 16 24 . 4


Capítulo 9: Funciones trigonométricas inversas Puesto que se está trabajando con números reales únicamente, se concluye que la ecuación original no tiene solución. Ejemplo 28 Resuelva la ecuación cos x + 1 = sen x en el intervalo ' 0, 2! (. Solución Como cos x + 1 = sen x, se tiene que: 2

#cos x ! 1$ " sen2 x cos2 x ! 2 cos x ! 1 " sen 2 x cos2 x ! 2 cos x ! 1 " 1 cos2 x 2 cos2 x ! 2 cos x " 0 2 cos x #cos x ! 1$ " 0 cos x " 0 o cos x ! 1 " 0.

De acuerdo con estas ecuaciones, las soluciones posibles son: x"

! 3! , x" , x " !. 2 2

Como se pudieron introducir soluciones extrañas al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación, se debe comprobar qué valores de x satisfacen la ecuación original, dando como resultado x "

302

! , x " !. 2

10

Capítulo 10 Los números complejos

Contenido breve Módulo 28 Los números complejos Módulo 29 El plano de Argand. Forma polar de los números complejos La fórmula más bella de las matemáticas.

Módulo 30 Potencias y raíces de números complejos

Presentación El conjunto de los números racionales no permite encontrar soluciones a todas las ecuaciones de segundo grado. El conjunto de los números reales permite encontrar soluciones a más ecuaciones cuadráticas; también se puede establecer una correspondencia biunívoca entre cualquier número real y cualquier punto de una recta.


Sin embargo, algunas ecuaciones cuadráticas, como por ejemplo x2 1 ! 0 , no poseen soluciones reales. Es necesario, entonces, definir un conjunto de números donde esta ecuación tenga solución. Este conjunto de números se llama el conjunto de los números complejos. En los módulos siguientes se definen, para los números complejos, las operaciones de suma, producto y cociente. Se escribirán números complejos de varias formas alternativas y además se definirán potencias y raíces de este tipo de números.


310

28 Los números complejos

Introducción

Leonhard Euler (1707-1783)

En esta sección se definirá un tipo de números llamados complejos. Su necesidad estriba en poder hallar soluciones a cierto tipo de ecuaciones que no poseen soluciones reales.

Leonhard Euler fue hijo de un clérigo que vivía en los alrededores de Basilea. Su talento natural para las matemáticas se evidenció pronto por el afán y la facilidad con que dominaba los elementos, bajo la tutela de su padre.

Estos números inicialmente fueron aceptados de mala gana por los matemáticos de la Edad Media; en la actualidad son aceptados por todos los matemáticos y tienen gran variedad de aplicaciones en la ciencia.

A una edad temprana fue enviado a la Universidad de Basilea, donde atrajo la atención de Daniel Bernoulli. Inspirado por un maestro así, maduró rápidamente. A los 17 años de edad, cuando se graduó de doctor, provocó grandes aplausos con un discurso probatorio, el tema del cual era una comparación entre los sistemas cartesiano y newtoniano.

Objetivos 1. Definir el sistema de los números complejos. 2. Definir las operaciones fundamentales en los números complejos. 3. Definir propiedades de los números complejos. 4. Definir la forma estándar de los números complejos.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es un número complejo? 2. ¿En qué consiste el conjugado y el módulo de un número complejo? 3. ¿Cómo se suman, multiplican y dividen números complejos? 4. ¿Qué es un número complejo en su forma estándar?

Contenido 28.1 Los números complejos 28.1.1 Números complejos 28.1.2 Propiedades de campo de los números complejos 28.1.3 Números complejos especiales 28.1.4 Forma estándar de los números complejos 28.1.5 Conjugado y módulo de los números complejos




Capítulo 10: Los números complejos

28.1 Los números complejos 28.1.1 Números complejos El sistema de los números complejos está formado por todas las parejas " a, b # con a y b números reales. En este conjunto se definen una suma y un producto de la manera siguiente: Suma: " a, b # Producto:

" c, d # ! " a

c, b d # .

" a, b #" c, d # ! " ac $ bd , ad

bc # .

Se dice que dos números complejos % ! " a, b # y & ! " c, d # son iguales, si y sólo si a = c y b = d. Como la suma y el producto de números complejos, anteriormente definida, es también un número complejo, se dice que estas operaciones son operaciones binarias en este sistema.

28.1.2 Propiedades de campo de los números complejos El conjunto de los números complejos, que se denotará por C, con las operaciones de suma y producto satisface las siguientes propiedades, denominadas propiedades de campo: Si % ! " a, b # y & ! " c, d # , entonces % & ! " a c, b d # también son números

!!

complejos. La suma de números complejos es conmutativa, es decir, si % y & son complejos,

!!

entonces %

& !& %.

El producto de números complejos es conmutativo, es decir, si % y & son

!!

complejos, entonces % · & ! & · % . La suma de números complejos es asociativa, es decir, si % , & y ' son números

!!

complejos, entonces %

" & ' # ! "% & # ' .

El producto de números complejos es asociativa, es decir, si % , & y ' son números

!!

complejos, entonces % " & · ' # ! "% · & # ' . El producto es distributivo respecto a la suma, es decir, si % , & y ' son números

!!

complejos, entonces % " &

' # ! "% · & #

"% · ' # .

En el conjunto de los números complejos hay un elemento, llamado elemento idéntico o neutro para la suma, simbolizado por 0 y que denota a la pareja (0, 0), tal que % 0 ! 0 % ! % para todo % complejo.

!!

312

Módulo 28: Los números complejos En el conjunto de los números complejos hay un elemento, llamado elemento idéntico o neutro para el producto, simbolizado por 1 y que denota a la pareja (1, 0), tal que % · 1 ! 1 · % ! % para todo % complejo.

!!

Cada elemento % ! " a, b # posee un inverso bajo la suma, es decir, un elemento

!!

& ! " $a, $ b # , tal que % & ! & % ! " 0, 0 # ! 0 . Cada complejo % ( 0 posee un inverso bajo el producto, es decir, un elemento

!!

)

a

$b

*

& ! + 2 2 , 2 2 , , tal que % · & ! & · % ! 1 ! "1, 0 # , siendo % ! " a, b # . -a b a b . Ejemplo 1 Dado % ! "1, 2# , & ! " 5, 3# , se tiene que:

% & ! " 6, 5# . % · & ! " $1, 13# . El inverso de % bajo el producto, que se denotará por % $1 , viene dado por:

) 1 $2 *

% $1 ! + , ,. -5 5 . ) 5 $3 * De forma similar, se tiene que & $1 ! + , ,. - 34 34 .

28.1.3 Números complejos especiales Existe un subconjunto del conjunto C de números complejos que puede ser identificado con el conjunto de los números reales. Estos números complejos son números de la forma (a , 0). Si % ! " a, 0 # y & ! " b, 0 # son números complejos especiales, entonces se cumple que: !!

% & ! " a, 0 #

" b, 0 # ! " a

b, 0# .

!!

% / & ! " a, 0 #" b, 0 # ! " ab, 0 # .

!!

$% ! $ " a, 0 # ! " $a, 0 # .

Se puede establecer una relación biunívoca entre los números complejos especiales y los números reales.

Escuche Los números complejos en su multimedia de Álgebra y trigonometría



Hay que hacer hincapié en el hecho de que el campo de los números complejos no es un campo ordenado, pero sí es posible ordenar los números complejos especiales teniendo en cuenta la siguiente definición:

" a, 0 # 0 " b, 0 #

si y sólo si a 0 b .

28.1.4 Forma estándar de los números complejos Todo número complejo, realizando las operaciones de suma y producto, se puede expresar de la siguiente manera:

" a, b # ! " a, 0 # " 0, b # ! a "1, 0 #

b " 0, 1# ! a bi.

Utilizando la notación antes señalada se llega a la expresión siguiente:

% ! a bi ! Re "% # Im "% # i.

Esta forma se llama forma estándar o polinómica. Esta notación la presentó el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), que fue el primero que denotó el complejo (0,1) por i. Utilizando esta notación, las operaciones algebraicas siguientes se definen así: Suma: " a bi # Producto:

"a

"c

di # ! " a c #

"b

bi # · " c di # ! " ac $ bd #

d # i.

" ad

bc # i.

Producto por escalar: 1 " a bi # ! 1 a 1 bi. Ejemplo 2 Si se considera el producto (0, 1) · (0, 1) se tiene que: (0, 1) (0, 1) = ( 0 · 0 $ 1 · 1, 1 · 0 + 0 · 1) = ( $1, 0) = $ (1, 0). Sabiendo que " 0, 1# ! i y que "1, 0 # ! 1, se tiene que i 2 ! $1 . De forma similar se tiene: i 3 ! i 2 · i ! " $1# i ! $i , i 4 ! i 2 · i 2 ! " $1#" $1# ! 1, i 5 ! i 4 · i ! 1 · i ! i, 1 i i $1 ! ! 2 ! $i, i i 1 1 i $2 ! 2 ! ! $1. i $1

314

Módulo 28: Los números complejos

28.1.5 Conjugado y módulo de los números complejos El conjugado de un número complejo % ! " a, b # ! a bi, que se denota por % o

(a bi), se define por % ! (a, b) ! (a, $ b) ! a $ bi . El módulo de un número complejo % ! " a, b # ! a bi, que se denota por % ,

" a, b #

o a bi , se define como % ! " a, b # ! a bi ! a 2

b2 .

Ejemplo 3 Si % ! " 3, 4 # , entonces % !

32 42 ! 5.

Si % ! 3 2i , entonces % !

32 22 ! 13.

Para escribir el cociente de dos números complejos en la forma estándar, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Ejemplo 4

Evalúe

1 2i . 3 4i

Solución

1 2i "1 2i #" 3 $ 4i # " 3 $ 4i # 2i " 3 $ 4i # 11 2i 11 ! ! ! ! 3 4i " 3 4i #" 3 $ 4i # 9 $ 16i 2 9 16 25

2 . i 25

Ejemplo 5 Efectúe las operaciones indicadas y exprese en la forma estándar: a.

z

(5 ! 2i) " (!3 " 6i ) .

Solución Sumando las partes reales y las partes imaginarias tenemos que:

b.

z

(5 " (!3)) " i(!2 " 6)

z

(7 ! 2i ) ! (!11 ! 3i).

2 " 4i.

Solución Procediendo como el ejemplo anterior, pero esta vez restando, obtenemos: Álgebra y trigonometría 315


c.

z

(7 ! (!11)) " i(!2 ! (!3))

z

(3 " 5i )(2 ! 7i ).

18 " i.

Solución El producto de dos números complejos dados en forma estándar se realiza multiplicando los binomios teniendo en cuenta que i 2

d.

z

(3 " 5i )(2 ! 7 i )

z

i ( 3 " 4 i )2 .

6 ! 21i " 10i " 35

!1. 41 ! 11i.

Solución Aplicando la fórmula del binomio cuadrado perfecto y teniendo en cuenta que i2

e.

! 1, se obtiene:

z

i ( 3 " 4 i )2

z

i 43 .

i (9 " 24i ! 16)

i (!7 " 24i )

!24 ! 7i.

Solución Teniendo en cuenta que i2

f.

i (i ) 42

z

i 43

z

1 ! 7i . 6 ! 2i

!1, se obtiene:

i (i 2 )21

i (!1) 21

!i.

Solución El cociente de dos números complejos dados en forma estándar se realiza multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

g.

z

1 ! 7i 6 ! 2i

z

4 " 6i . 2 " 7i

(1 ! 7i )(6 " 2i ) (6 ! 2i )(6 " 2i )

20 ! 40i 36 " 4

20 ! 40i 40

Solución Procediendo como el ejemplo anterior se tiene lo siguiente:

316

1 ! i. 2

Módulo 28: Los números complejos 4 " 6i 2 " 7i

z

(4 " 6i )(2 ! 7i ) (2 " 7i)(2 ! 7i )

50 ! 16i 4 " 49

50 !16i 53

50 16 ! i. 53 53

Ejemplo 6 Encuentre los valores de x e y para los cuales son válidas las siguientes igualdades: a.

4 " ( x " 2 y )i

x " 2i.

Solución Dos números complejos son iguales si coinciden sus partes reales y sus partes imaginarias. Igualando las partes reales y las partes imaginarias de cada miembro obtenemos un sistema de dos ecuaciones para hallar x e y:

4 x "2 y

x, 2.

De la primera ecuación resulta que x = 4 y reemplazado en la segunda se obtiene y !1 . b.

2 x ! y !16i

10 " 4 yi.

Solución Procediendo como en el ejemplo anterior, se obtiene:

2x ! y !16

10, 4 y.

De la segunda ecuación resulta que y obtiene x = 3.

!4 y reemplazando en la primera se

Ejemplo 7 Sean z, z1 y z2 números complejos en su forma estándar. Demuestre las siguientes identidades:

a.

x

Re # z $

1 # z " z $. 2

Solución Sea z

x " iy. Entonces, z"z

# x " iy$ " # x ! iy$ 2 x,

de donde se obtiene la identidad planteada. Álgebra y trigonometría 317

Capítulo 10: Los números complejos b.

2

z .

zz

Solución Sea z

x " iy. Entonces, ( x " iy )( x ! iy )

zz

c.

x2 " y 2

#

x2 " y 2

2

$

2

z .

z1 " z2 .

z1 " z2

Solución Sean z1

x1 " iy1 , z2

z1 " z2

d.

z1 z2

x2 " iy2 . Entonces,

( x1 " x2 ) " i ( y1 " y2 )

( x1 " x2 ) ! i ( y1 " y2 )

( x1 ! iy1 ) " ( x2 ! iy2 )

z1 " z2 .

z1 % z2 .

Solución

x1 " iy1 , z2

Sean z1

z1 z2

x2 " iy2 . Entonces,

( x1 " iy1 )( x2 " iy2 )

( x1 x2 ! y1 y2 ) " i ( x2 y1 " x1 y2 )

( x1 x2 ! y1 y2 ) ! i ( x2 y1 " x1 y2 ) x1 ( x2 ! iy2 ) ! y1 (ix2 " y2 )

x1 ( x2 ! iy2 ) ! iy1 # x2 ! iy2 $

( x1 ! iy1 )( x2 ! iy2 ) z1 % z2 .

e.

& z1 '( )) ( ))* z +(( 2

z1 z2

, si z2 , 0.

Solución Para

demostrar

z1 z2

z1 % z2 , # z $

esta

z y zz

identidad

utilizaremos

las

identidades

2

z .

Multiplicando el numerador y el denominador por z2 y teniendo en cuenta que z es un número real, se obtiene:

318

2

Módulo 28: Los números complejos & z1 '( ) ( )*)) z +(( 2

1 z2

f.

z1

z1 z2

& z z '( ) 1 2( ))) 2 (( )* z2 (+

& ' )) z1 z2 (( )) z z (( * 2 2+

z2

2

z1 z2

z1

1 z

z2 z2

2

( z1 z2 )

z1

2

z2 z2 z2

z1

1 z2

z1 z2

.

.

Solución Aplicando las anteriores propiedades, tenemos: z1 z2

2

& z1 '& ' )) (()) z1 (( ( () z +(( )* z +* 2

2

z1

z1 z1 z2 z2

z2

2 2

.

Hallando la raíz cuadrada se tiene la identidad planteada.

Ejemplo 8 Halle el módulo de

(3 " 4i)10 (5 ! i) 3 . (1 " i )(3 ! 2i )

Solución Aplicando la propiedad z1 z2 z1 z2

z1 z2

z1 z2 (ejercicio propuesto 7c) y la propiedad

, se obtiene:

(3 " 4i )10 (5 ! i )3 (1 " i )(3 ! 2i )7

3 " 4i

10

5 !i

1 " i 3 ! 2i

7

3

510 ( 26 )3 2 ( 13 )

7

51026 26 3

13

2 13

2 % 510 . 169


29 Plano de Argand. Forma polar de los números complejos

Introducción En esta sección se continúa el estudio de los números complejos. Se estudia una representación de ellos mediante un plano, llamado plano de Argand. En este módulo se escriben números complejos en una forma alternativa. Esta forma tiene la ventaja de que se simplifica mucho los cálculos para multiplicar y dividir números complejos.

Objetivos 1. Establecer una correspondencia entre los números complejos y el plano cartesiano. 2. Representar el conjugado de un número complejo en el plano cartesiano. 3. Escribir números complejos en otra forma alternativa.

Jean Robert Argand (1768-1822) En 1806 apareció un trabajo superior: Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. En este pequeño libro Argand hizo una representación geométrica moderna para la adición y la multiplicación de números complejos, y mostró cómo esta representación se podía aplicar para deducir algunos teoremas en trigonometría, geometría elemental y álgebra. La manera en que se conoció el trabajo de Argand fue un tanto complicado. Pensó enviar una copia de su trabajo y se la remitió a Francois Francais a pesar de que él no conocía la identidad del autor. Después de la muerte de Francois Francais en 1810, su hermano Jacques Francais, trabajando en sus papeles, encontró el pequeño libro de Argand. En septiembre de 1813 Jacques Francais publicó un trabajo en el cual mostró una representación geométrica de los números complejos con aplicaciones interesantes, a partir de las ideas de Argand. Dijo que su documento se basó en el trabajo de un matemático desconocido e invitó a éste a hacerse conocer él mismo. El artículo de Jacques Francais apareció en los Annales de mathematiques y Argand respondió a Jacques Francais reclamando el reconocimiento como autor, presentando ligeras modificaciones a la versión original con algunas aplicaciones. Posteriormente, en el Gergonne´s Journal apareció una vigorosa discusión entre Jacques Francais, Argand y Servoir en donde los dos primeros argumentaban la validez de la representación geométrica de los números complejos, mientras que Servois argumentaba que los números complejos debían manejarse usando únicamente el álgebra.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es el plano de Argand? 2. ¿Cómo se representan números complejos en el plano de Argand? 3. ¿Qué es la forma polar de un número complejo? 4. ¿En qué consiste el argumento de un número complejo escrito en forma polar?

Contenido 29.1 Los números complejos y el plano de Argand 29.1.1 Introducción 29.1.2 Números complejos conjugados 29.2 Forma polar de los números complejos 29.2.1 Introducción 29.2.2 Argumento de





29.1 Los números complejos y el plano de Argand 29.1.1 Introducción Si se hace una correspondencia uno a uno entre los números complejos de la forma

# ! x, y " y los puntos del plano cartesiano, a este plano se le llama plano complejo o diagrama de Argand, en honor al matemático suizo Jean Argand (1768-1822), quien en 1806 propuso esta representación para los números complejos. En este diagrama, los ejes coordenados se llaman eje real y eje imaginario y el complejo (0, 0) corresponde al origen de coordenadas. En el diagrama de Argand, a cada número complejo

# ! x, y " # xi $ yj se le asocia

un vector de posición que va desde el origen hasta el punto de coordenadas (x, y) tal como se ilustra en la figura 29.1.

Im ( ) # ( x, y ) i # (0,1)

Re ( )

1 # (1, 0)

Figura 29.1. Representación del número complejo

# ! x, y "

29.1.2 Números complejos conjugados Tal como se definió en una sección anterior, el conjugado de un número complejo

# ( x, y ) # x $ iy , que se denota por un diagrama de Argand. Estos complejos tal como lo ilustra la figura 29.2.

322

# ( x, % y ) # x % iy , se puede representar en y

son simétricos respecto al eje real,

Módulo 29: Plano de Argand. Forma polar de los números complejos

Im ( )

# x $ iy

Re ( )

# x % iy

Figura 29.2. Representación de un número complejo y su conjugado

Hay que notar que:

&

# ! x, y "! x, % y " # ! x $ iy "! x % iy " # x2 $ y 2 .

También, si

# x $ iy y ' # a $ ib con ' ( 0, se tiene que:

#

x $ iy ! x $ iy "! a % ib " ax $ by ) ay % bx * # # $+ ,i a $ ib ! a $ ib "! a % ib " a 2 $ b 2 - a 2 $ b2 . .

'

29.2 Forma polar de los números complejos 29.2.1 Introducción Sea

# ! x, y " # x $ iy un número complejo diferente de cero, es decir,

Se pueden asociar a

/ 0.

las coordenadas polares ! r , 0 " correspondientes al punto

(x, y), como se muestra en la figura 29.3.

Escuche Historia de Argand en su multimedia de Álgebra y trigonometría



Im ( ) ( x, y )

sen 0

0 Re ( )

cos 0

Figura 29.3. Representación polar de un número complejo

, es decir r #

Si se denota por r la magnitud de

, se tiene que:

# x $ iy # r cos 0 $ ir sen 0 # r ( cos 0 $ i sen 0 ).

29.2.2 Argumento de Se define el argumento de

y se denota por arg !

" como cualquier ángulo

0

medido en radianes y formado entre el eje real positivo y el vector de posición asiciado con . El valor principal de arg !

arg !

"

" , denotado por

que pertenece al intervalo %1 2 arg !

Es claro, entonces, que arg ! es claro que 0 # arg !

" 31

Arg !

" , es el valor de

y es único.

" # Arg ! " $ 21 n , con n cualquier número entero. Y

" # tan %1

y . x

Ejemplo 9 Expresa los siguientes números complejos en la forma polar con a.

!! "

4 3 # 4i.

Solución Dado el número complejo z $ x # iy , la forma polar de este número es

' y( z $ r %cos ! # i sen !& , donde r $ z y ! $ tan 1 ** ))) teniendo en cuenta que *+ x , !! "

324

. Entonces,

Módulo 29: Plano de Argand. Forma polar de los números complejos

r $ z $ ( 4 3 )2 # (4)2 $ 8. 1 ' y( Como x < 0 e y > 0, entonces ! un ángulo del segundo cuadrante. Como tan *** ))) + x,

toma valores entre %1 / 2 y 1 / 2 , se tiene que: ' y( ! $ tan 1 ** ))) # $ tan +* x ,

1

' * **+

1 () )) # $ 3,

6

# $

5 . 6

Por tanto,

' 5 5 z $ 8 **cos # i sen *+ 6 6

() ). ,)

4 4i.

b. Solución

Procediendo como en el ejemplo anterior y teniendo en cuenta que ! es un ángulo del tercer cuadrante, se obtiene:

' 4( r $ z $ ( 4)2 # ( 4)2 $ 4 2 , ! $ tan 1 ** ))) *+ 4 ,

$

4

$

3 . 4

Por tanto, ' ' 3 ( ( )) # i sen '** 3 ()))). z $ 4 2 **cos ** *+ 4 ,),)) *+ *+ 4 ,)

c.

6i.

Solución En este caso ! $

2

y r $ 6. Por tanto,

' ( z $ 6**cos # i sen ))). *+ 2 2, d.

2 + i.

Solución En este ejemplo ! es un ángulo del primer cuadrante. Entonces,

' 1( r $ z $ (2)2 # (1)2 $ 5 , ! $ tan 1 ** ))). *+ 2 , Por tanto,

' z $ 5 ***cos / tan *+ 1/

1

' 1 (. *** )))00 # i sen // tan + 2 ,2 1

1

' 1 (). () ** )0). +* 2 ,)20),) Álgebra y trigonometría 325

30 Potencias y raíces de números complejos

Introducción

Abraham de Moivre (1667-1754)

Se utiliza en este módulo la forma polar de los números complejos para hallar potencias y raíces de ellos. Para hacerlo se emplea el teorema de De Moivre.

Matemático francés, pionero de la teoría de la probabilidad y de la trigonometría, emigró a Inglaterra a raíz de la expulsión de los hugonotes.

Objetivos

En 1697, ya en Inglaterra, publicó el libro The doctrine of chances en el que estudió la influencia del azar en distintos juegos y desarrolló conceptos básicos de la probabilidad, como la independencia de sucesos.

1. Usar la forma polar para realizar operaciones con números complejos. 2. Enunciar y demostrar el teorema de De Moivre. 3. Obtener potencias y raíces de números complejos.

En su obra Miscellanea analitica, publicada en 1730, aparece la llamada fórmula de Stirling, que Moivre utiliza para obtener la aproximación a la distribución binomial mediante la normal.

Preguntas básicas 1. ¿Qué dice el teorema de De Moivre? 2. ¿Cómo se hallan potencias de números complejos? 3. ¿Cómo se hallan raíces de números complejos?

Contenidos 30.1 Potencias y raíces de números complejos 30.1.1 Introducción 30.1.2 Teorema de De Moivre 30.1.3 División de números complejos 30.1.4 Raíces de un número complejo Visite el sitio http://docencia.udea.edu.co/cen/ AlgebraTrigonometria/




30.1 Potencias y raíces de números complejos 30.1.1 Introducción La forma polar de los números complejos ofrece una forma alternativa más simple para multiplicar, dividir y obtener potencias y raíces de números complejos. En esta sección se verá cómo se multiplican números complejos. Sean " $ r1 cos #1 % i sen #1 ! ,

& $ r2 cos #2 % i sen #2 ! . " · & $ r1 (cos #1 % i sen #1 ) r2 (cos # 2 % i sen # 2 ) $ r1r2 (cos #1 % i sen #1 ) (cos # 2 % i sen # 2 ) $ r1r2 (cos #1 cos # 2 ) sen #1 sen # 2 ) % i (sen #1 cos # 2 % sen # 2 cos #1 ) $ r1r2 ' (cos (#1 % # 2 ) % i sen (#1 % # 2 ) ( .

De la expresión anterior se concluye que para multiplicar dos números complejos escritos en forma polar, se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos. Ejemplo 11 Usando la forma polar realice el producto de " $ 1 % 3i ; & $ 3 % i. Solución Escritos en forma polar, se tiene que:

*, *, + * + * " $ 2 -cos % i sen . y & $ 2 -cos % i sen . . 3 30 6 60 / / Por tanto:

+ +* * , +* * , , " · & $ 22 -cos - % . % i sen - % . . /3 60 /3 6 0 / * *, + $ 4 -cos % i sen . 2 20 / $ 4i.

0

Hay que notar que " $ r1 $ 1 % 3 $ 2 y & $ r2 $

3 % 1 $ 2.

30.1.2 Teorema de De Moivre Si r (cos # % i sen # ) es cualquier número complejo y n es cualquier entero positivo, entonces:

' r (cos # 328

% i sen # ) ( $ r n (cos n# % i sen n# ). n

Módulo 30: Potencias y raíces de números complejos El anterior teorema, que se demuestra utilizando el método de inducción matemática, dice que para hallar cualquier potencia n de un número complejo en su forma polar basta elevar el módulo a esa potencia, y multiplicar el argumento por esa potencia. Ejemplo 12 6 Si " $ 3 % i, halle " .

Solución

r$" $

1 % 3 $ 2,

Arg " ! $ tan )1

1 3

$

* 6

.

Por tanto,

+ /

" $ 2 -cos

* 6

% i sen

*, 6 .0

,

* *, + " 6 $ 26 - cos 6 % i sen 6 . 6 60 / $ 64(cos * % i sen * ) $ ) 64.

30.1.3 División de números complejos Sean " y & números complejos escritos en forma polar, es decir,

" $ r1 (cos #1 % i sen #1 ) y & $ r2 (cos # 2 % i sen # 2 ). " " · & 1 r1 (cos #1 % i sen #1 ) r2 (cos #2 ) i sen # 2 ) $ $ & & · & 1 r2 (cos #2 % i sen #2 ) r2 (cos #2 ) i sen # 2 ) $

r1 'cos (#1 ) #2 ) % i sen (#1 ) #2 )(. r2

De la expresión anterior se concluye que para dividir dos números complejos escritos en forma polar, se dividen sus módulos y se restan sus argumentos.

30.1.4 Raíces de un número complejo Haciendo uso del teorema de De Moivre se pueden determinar las enésimas raíces de cualquier número complejo diferente de cero, como lo ilustra el siguiente ejemplo: Ejemplo 13 Determine las raíces cuartas de )8 ) i8 3 .


Capítulo 10: Los números complejos Solución ) 8 ) i8 3 $ 8( )1) i 3) $ 8 ' 2 cos 240º % i 2sen 240º( $16(cos 240º % i sen 240º ).

Se trata de hallar los valores de r y # para los cuales:

' r (cos #

% i sen # ) ( $ 16(cos 240º % sen 240º ). 4

Es decir, los valores de r y # que cumplan que: r 4 (cos 4# % i sen 4# ) $ 16(cos 240º % sen 240º ).

Dos números complejos son iguales si y sólo si sus módulos son iguales y sus ángulos son iguales o difieren por múltiplos enteros de 360º. Por tanto, r 4 $ 16 ; 4# $ 240 % 360 k , k 2 Z . Por tanto, r $ 2 , # $ 60º % 90 k . Para k $ 0; # $ 60º. Para k $ 1; # $ 150º. Para k $ 2; # $ 240º . Para k $ 3; # $ 330º. En consecuencia, las cuatro raíces cuartas son:

2(cos 60º % i sen 60º )

$ 1 % 3i.

2(cos 150º % i sen 150º ) $ ) 3i % i. 2(cos 240º % i sen 240º ) $ ) 1 ) 3i. 2(cos 330º % i sen 330º ) $ 3i ) i.

Del ejercicio anterior se concluye que todo número complejo diferente de cero de la forma " $ r (cos # % i sen # ) tiene, para cualquier entero positivo n, precisamente n raíces enésimas distintas y éstas se obtienen de la expresión:

r

1

n

+ 3 # % 360º k 4 3 # % 360º k 4, 6 % i sen 5 6. . -cos 5 n n 8 7 80 / 7

Sustituyendo, k $ 0, 1, 2,..., n ) 1.

330

Módulo 30: Potencias y raíces de números complejos Ejemplo 14 Dados z1 y z2 en forma estándar, utilice la forma polar para hallar z1 z2 y a.

3 ! i, z2

z1

z1 . z2

! 3 ! i.

Solución Si tenemos dos números complejos en su forma polar:

z1

r1 "cos

1

$ i sen 1 #, z2

r2 "cos

2

$ i sen 2 #,

entonces, z1 z2

z1 z2

r1 r2 "cos( 1 $ 2 ) $ i sen( 1 $ 2 )#,

r1 "cos( 1 ! 2 ) $ i sen( 1 ! 2 )#. r2

En consecuencia: r1

2,

1

r2

2,

2

% 1 & tan !1 ((! ''' )( 3*

! ! , 6

% 1 & tan !1 (( '' ! ! () 3 *'

! !! 6

!

5! , 6

y por tanto z1 z2 z1 z2

b.

z1

4 "cos! ! $ i sen! ! # % 2! 2! & 1((cos $ i sen ''' () 3 3* !5 $ 5i , z2

!4 1 3 . ! $i 2 2

!3i.

Solución Procediendo como en el ejemplo anterior: r1

5 2,

1

tan!1 "!1# $ !

! ! $! 4

3! , r2 4

3,

2

! ! , 2

y por tanto z1 z2

% ! !& 15 2 ((cos $ i sen ''' )( 4 4*

z1 z2

5 2 %( 5! 5! & $ i sen ''' ((cos ) 3 4 4*

% 2 2 &' $ i'' 15 2 ((( () 2 2 *' 5 2 %( 2 2 &' ((! ! i '' 3 () 2 2 *'

15 $ 15i , 5 5 ! ! i. 3 3

Ejemplo 15 Utilice el teorema de De Moivre para hallar las potencias de los siguientes números complejos:


Capítulo 10: Los números complejos a.

(1! i)10 .

Solución El teorema de De Moivre nos da una fórmula para hallar la potencia de un número complejo dado en su forma polar: n + r (cos $ i sen ),

zn

r n (cos n $ i sen n ).

Llevando el número complejo 1 ! i a su forma polar, tenemos:

(1 ! i )10

b.

10 - % % !& % &&. / 2 ((cos ((! '' $ i sen ((! ! ''''0 / )( )( 4 *' )( 4 *'*''02 1

% % 5! & % ! && 32((cos ((! ''' $ i sen ((!5 '''''' )( 2 **' )( )( 2 *

!32i.

% 2 &15 ((! $ 2 i'' . ' (( 2 2 *' )

Solución Llevando el número complejo ! 15

% & ((! 2 $ 2 i'' ' (( 2 2 *' )

c.

2 2 $ i a su forma polar; tenemos: 2 2 15

-% % 3! & % & % &&. ((cos %(( 45! &'' $ i sen %(( 45! &'''' /((cos (( '' $ i sen (( 3! ''''0 /() () 4 *' () 4 *''*'0 () )( 4 *' () 4 *'*'' 1 2 % % 5! & & ((cos (( '' $ i sen %(( 5! &'''' ! 2 ! 2 i. () 4 *'*'' 2 2 )( () 4 *'

( 3 $i)7 .

Solución Llevando el número complejo ( 3 $ i)

7

3 $ i a su forma polar, tenemos:

- % ! ! &. /2 ((cos $ i sen ''0 /1 )( 6 6 *'02 % 3 1 &'' 128 (((! ! i' () 2 2 *'

7

% 7! 7! & $ i sen ''' 128 ((cos )( 6 6*

!64 3 ! 64i.

Ejemplo 16 Halle las dos raíces cuadradas de !9i. Solución A partir del teorema de De Moivre se obtiene que si z

r "cos $ i sen # es un

número complejo, diferente de cero, en su forma polar tiene n raíces enésimas distintas, para todo n natural, expresadas por la fórmula:

332

Módulo 30: Potencias y raíces de números complejos

zk

1 % % $ 2! k & & '' $ i sen %(( $ 2! k &'''' , k r n ((cos (( () n *'*'' () () n *'

Expresando !9i en su forma polar tenemos que r

z0

9y

! ! ; por tanto, 2

% % ! &'&' (( %(( ! ! &'' (( ! '' '' (( (( 2 '' ( '' $ i sen (( 2 '''''' 9 (cos ( (( (( 2 '' (( 2 '''' ' (( (( *'' )(( *''*' ) ) % % !& % ! && 3 ((cos ((! ''' $ i sen ((! '''''' () 4 **' )( () 4 *

z1

0, 1, 2,..., n ! 1.

3 2 3 2 i, ! 2 2

% % ! &&' % ! (( (( ! $ 2! &'' (((! $ 2! ''''' '' (( (( 2 '''' 9 (cos ( '' $ i sen (( 2 '''' (( (( (( '' 2 2 ''' '*' ()( ()( (() *''*' % % 3! & % 3! && 3 ((cos (( ''' $ i sen (( '''''' () () 4 * )( 4 **'

!

3 2 3 2 i. $ 2 2

Ejemplo 17 Halle las tres raíces cúbicas de 64i. Solución Procediendo como en el ejemplo anterior, tenemos que r

z0

z1

z2

64 y

! ; por tanto, 2

% % ! &'&' (( ((% ! '&' (( '' % %! & ' % ! && ( ( ( '' 3 2 ' ( ( 64 (cos ( '' $ i sen (( 2 '''''' 4 ((cos (( ''' $ i sen (( '''''' 2 3 $ 2i, () () 6 * () 6 **' (( (( 3 '' (( 3 '''' ' (( ()( *'' )(( *'''* ) % %! %! && (( (( $ 2! &'' (( $ 2! '''' % % 5! & ' '' % 5! && ( ( 3 '' $ i sen (( 2 64 ((cos (( 2 ''''' 4 ((cos (( ''' $ i sen (( '''''' ( ' ' (( (( 3 '' (( 3 '''' )( 6 **' )( () 6 * (( (( ''**'' *'' )(( ) ) % %! %! && (( (( $ 4! &'' (( $ 4! '''' ' '' ( ( ( 3 '' $ i sen (( 2 '''' 64 ((cos (( 2 (( (( 3 ''' (( 3 '''''' ' (( () *'' )( *''*' )

% % 3! & % 3! && 4 ((cos (( ''' $ i sen (( '''''' () 2 **' () () 2 *

!2 3 $ 2i,

!4i.


Capítulo 10: Los números complejos Ejemplo 18 Halle las ocho raíces octavas de 1 + i. Solución Procediendo como en el ejemplo anterior, tenemos que r

z0

z1

334

2y

! ; por tanto, 4

% %!& % ! &'&' (( ( '' (( '' (( ' % %!& % ! && ( ( '' 16 ( 4 ' ( 2 (cos ( '' $ i sen (( 4 '''''' 16 2 ((cos (( ''' $ i sen (( '''''' , (( (( 8 '' () () 32 * (( 8 '''' )( 32 **' (( (( '' (( *'''' ) * ) ) * % %! & %! && (( (( $ 2! '' (( $ 2! '''' % 9! && ' '''' 16 %( % 9! &' ( 16 ( '' $ i sen (( 4 '''' 2 (cos (( '' $ i sen (( '''''' , 2 ((cos (( 4 ( ' ( ( () 32 **' (( (( 8 '' (( 8 '''' ) ) 32 * ' (( (() ' '* ( '' ' ( ) ** )

z2

% %! %! && (( (( $ 4! '&' (( $ 4! '''' ' '''' ( ( ( 16 ( '' $ i sen ( 4 ''' 2 (cos (( 4 (( (( (( 8 ''' 8 ''''' ( ' ( *'' )( *''*' )( ()

16

z3

% %! %! && (( (( $ 6! &'' (( $ 6! '''' ' '''' ( 16 ( '' $ i sen (( 4 2 ((cos (( 4 '' ( ' (( 8 '''''' ((( ((( 8 ''' ' *' )(( *''*' )( ()

16

z4

% %! %! && (( (( $ 8! '&' (( $ 8! '''' ' '''' ( ( ( 16 ( '' $ i sen ( 4 '' 2 (cos (( 4 (( (( 8 ''' ((( 8 '''''' ' (( ()( '*' ' ( )( *''* )

16

z5

% && %! (( %(( ! $ 10! &'' (( $ 10! '''' ' '''' ( 16 ( '' $ i sen (( 4 2 ((cos (( 4 '' ( ' (( (( 8 '' (( 8 '''''' ' ( ( *'' )(( *'''* )( ()

16

z6

% %! && (( (%( ! $ 12! '&' (( $ 12! '''' ' '''' ( ( ( 16 ( '' $ i sen ( 4 2 (cos (( 4 '''' (( (( (( 8 ''' (( 8 '''''' (( )(( '*' )( *'*' )

16

z7

% %! && (( %(( ! $ 14! '&' (( $ 14! '''' '' '''' ( ( 16 ( '' $ i sen (( 4 '' 2 ((cos (( 4 (( (( ( 8 '''''' 8 '' ( ' ( *'' )( *''*' )( )(

16

% %17! & & '' $ i sen %((17! '&''' , 2 ((cos (( () 32 *'*'' () () 32 '*

% % 25! & & '' $ i sen (%( 25! &'''' , 2 ((cos (( ' ' ' () 32 **' )( () 32 *

% % 33! & & '' $ i sen %(( 33! &'''' , 2 ((cos (( () 32 *''*' () () 32 *'

% % 41! & & '' $ i sen %(( 41! &'''' , 2 ((cos (( ' ' ' () 32 *'* )( () 32 *

% % 49! & & '' $ i sen %(( 49! &'''' , 2 ((cos (( () 32 *'*'' () () 32 *'

% % 57! & & '' $ i sen %(( 57! &''''. 2 ((cos (( ' ' ' () () 32 * )( 32 **'

Algebra y Trigonometria - B Buritica Libro

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