Search
Home
Saved
0
30 views
Upload
Sign In
Join
RELATED TITLES
0
Algoritmo de Shor Explicado Fatorando Grandes Nmeros
Uploaded by PaulaMotaC
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
lista1_mqpos.pdf
1
of 7
Trabalho Arquitetura de
6 - Processador Quantico
Search document
quinta-feira, 10 de dezembro de 2009 Algoritmo de Shor Explicado - Fatorando Grandes Números
Há alguns dias, procurando material sobre computação quântica, achei um excelente texto explicando o funcionamento funcionamento de um dos algoritmos mais conhecidos dessa natureza, utilizado para fatorar grandes números. O artigo está em inglês, mas eu traduzi ele (de uma forma bem informal) e apres ento ele aqui. Boa leitura. Algoritmo de Shor Explicado - Fatorando Grandes Números
Tá, vamos lá. Digamos que você queira quebrar o sistema de criptografia RSA, PGP, ou qualquer outro sistema baseado em chave cha ve pública (na verdade, verdade, qualquer sistema que use um número/has número/hashh para verificação/encriptação de dados), para roubar r oubar algum banco, chantagear o presidente presi dente dos EUA, ler os e-mails comprometedores do seu chefe, não importa. Todos sabemos (ou pelo menos assim acredito) que quebrar a criptografia RSA se reduz à encontrar os fatores primos pr imos de um dado valor N. Infelizmente, nós também sabemos que calcular todos os divisores di visores possíveis possíveis em paralelo e então instantaneamente pegar a resposta correta não é exatamente a resposta que queremos alcançar. Vários textos na internet int ernet fazem uso quântica Sign upda to computação vote on this title como se ele fosse somente um computador que pode processar mais informações Useful muito useful Not em paralelo do que os computadores determinísticos. E, mesmo que fosse assi m, se você tentasse todos os possíveis divisores, divisor es, ao fazer a leitura do sistema, ele te retornaria
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
30 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
Algoritmo de Shor Explicado Fatorando Grandes Nmeros
Uploaded by PaulaMotaC
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
lista1_mqpos.pdf
1
of 7
Trabalho Arquitetura de
6 - Processador Quantico
Search document
O que i si i i é que, se nós qu isermos um a l or itmo rápi o de fatoração, nós teremos que exp lorar a l umas estruturas dentro do prob lema da fatoração: em ou tras palavras, a l umas propr iedades matemáti as da fa toração de forma a não tornar ele soment e um "buscar uma agu l a num pa l eiro" quântico. Por sor te, o prob lema da fatoração t m vár ias propr iedades que nos podem ser ú teis. Deixe-me exemp lif icar algumas: Dado um número inteiro pos itivo N, você pode não saber sua fa toração exata, mas você têm como saber se o número N têm exa tamente uma única fatoração. Dif ícil de entender? Então continue lendo. No entanto, se você pega, por exemp lo, um jogo de Sudoku e tenta resolver, à pr incí pio Reading a Preview você não têm como saber se elYou're e não têm solução, se têm só uma solução ou se têm 200 mil es de soluções. E c laro, saber que o jogo têm somente uma única solução possíve Unlock full access with a free trial. também não nos ajudará em nada na busca da so lução do prob lema. No entanto, essa uniquidade é um s inal de que o prob lema da fatoração pode conter outras propr iedades Download Free te Trial têm mesmo. matemáticas legais em torno da agu l a. E With rea lmen A propr iedade explorada no a lgor itmo de Shor é, na verdade, uma redução do prob lema da fatoração em um ou tro, chamado per iodicidade. Não se entendie, pois vou exp licar como isso ocorre. Como exemp lo, vamos olhar minha sequência numér ica prefer ida desde que aprendi a multi plicar: as potências de do is. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 238, 256, 512, 1024, ...
Uma bonita sequência, não? E onde en
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
iodi idade aí? Bom, façamos en ão o
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
30 views
Upload
Sign In
Join
RELATED TITLES
0
Algoritmo de Shor Explicado Fatorando Grandes Nmeros
Uploaded by PaulaMotaC
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
1
Download
News
Documents
Sheet Music
lista1_mqpos.pdf
of 7
Trabalho Arquitetura de
6 - Processador Quantico
Search document
[(2**x)%21 for x in range(21)] [1, 2, 4, 8, 16, 11, 1, 2, 4, 8, 16, 11, 1, 2, 4, 8, 16, 11, 1, 2, 4] >>>
Dessa vez, nós pegamos uma sequência periódica cu jo período é 6. Agora, peguemos outras duas sequências : 2^x mod 8 e 2 ^x mod 16 : [(2**x)%8 for x in range(21)] [1, 2, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] >>>
[(2**x)%16 for x in range(21)] [1, 2, 4, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] >>>
Para estes dois valores em particular, não há uma sequência periódica, pois a partir de um dado momento, a sequência converge para 0. Bom, você deve estar derretendo sua cabeça : Há alguma regra geral com a qual nós podemos " prever " o período? Bom, eu acho que os matemáticos já tenham pensado sobre essa questão ... Bem, eles pensaram, e um mátemático chamado Euler (eu adoro esse kra) descobriu um You're Reading Preview por dois números primos, p e belo padrão. Peguemos um número qualquer N,acomposto q, e considere a sequência ... Unlock full access with a free trial. x mod N, x^2 mod N, x ^ mod N, x^4 mod N, ...
Download With Free Trial
Tá, e qual é a mágica? Olhe bem : Quando o x fornecido não é divisível por p ou por q, a sequência acima irá se repetir com um período que eventualmente divide (p-1)(q-1). Tomando o primeiro exemplo, N=15, os seus fatores primos são p=3 e q=5, então (p1)(q-1)=8. E o período da sequência foi 4, que divide 8. Se N=21, seus fatores primos Sign up to on this title são p=3 e q=7, então (p-1)(q-1)=12. E, concluindo, o período foivote 6, que é divisível por 12. Useful Not useful Agora, eu quero que você volte um pouco e raciocine um pouco sobre o que isso
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
30 views
Upload
Sign In
Join
RELATED TITLES
0
Algoritmo de Shor Explicado Fatorando Grandes Nmeros
Uploaded by PaulaMotaC
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
lista1_mqpos.pdf
1
of 7
Trabalho Arquitetura de
6 - Processador Quantico
Search document
Então, qual é o problema nisso? Bem, até a sequência eventualmente começar a se repetir, o número de passos antes que esta se repita pode ser tão grande quando o prórpio N, e N pode ter milhares ou milhões de dígitos. É por isto que encontrar o período não nos leva a algoritmos clássocos de fatoração mais rápidos. Ah, mas nós temos um computador quântico! (Ou, pelo menos, acreditamos que temos um) Então, ainda há esperança. Então, imagine que possamos criar uma enorme superposição quântica usando todos os números em nossa sequência x mod N, x ^2 mod N, etc. Então, há algumas operações que podemos fazer nessa superposição que poderia revelar o período. O ponto chave é que nós não estaremos procurando uma agulha num palheiro de dimensões exponenciais, algo que talvez se ja difícil até para um computador quântico descobrir. Em vez disso, devemos tentar encontrar o período da sequência, a qual é uma propriedade global para todos os números da sequência juntos. Ve ja bem: Se você pensa na computação quântica em termos de "universos paralelos ", já lhe adianto que não há uma forma fácil de detectar um universo único que se ja diferente de todos os outros. Então ... A tarefa que se interpõe entre nós e nossos fatores não é humanamente impossível. No entanto, se nós queremos fazer essa idéia da busca pelo período You're Reading a Preview funcionar, nós precisaremos responder a duas questões : Unlock full access with a free trial.
1.: Usando um computador quântico, poderemos criar rapidamente uma superposição de estados de nossa sequência x mod N, x^2 mod N, x^3 mod N, etc? Download With Free Trial
2.: Supondo que, Sim, nós podemos construir esta superposição rapidamente, como nós poderemos descobrir o período? Vamos então responder a primeira questão. Nós podemos certamente criar uma superposição com todos os números inteiros r, de 1 até N, ou mais. O problema é,dado Sign up vote on um número r, como nós poderemos rapidamente computar x ^tor mod N?this Se title r é, por Not useful exemplo, o número 20 trilhões, nós teremos de multiplicar x por simesmo 20 trilhões Useful de vezes? Com certeza isso não seria muito rápido e, para nossa sorte, isso não é necessário. O que nós poderemos fazer é chamado repetição quadrática. Isso é
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
30 views
Upload
Sign In
Join
RELATED TITLES
0
Algoritmo de Shor Explicado Fatorando Grandes Nmeros
Uploaded by PaulaMotaC
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
1
Download
News
Documents
Sheet Music
lista1_mqpos.pdf
of 7
Trabalho Arquitetura de
6 - Processador Quantico
Search document
nos leva ao resultado: 3^14 mod 17 = 2. Ok, então nós podemos criar uma superposição de todos os pares de inteiros na for ma (r, x^r mod N), onde r varia de 1 até N (ou menos). Mas, tendo uma superposição de todos os elementos de uma sequência periódica, como podemos extrair o período da sequência? Boa pergunta! Agora chegamos ao coração do negócio - A única parte do algoritmo quântico de Shor que depende realmente da mecânica quântica. Para recuperar o período da superposição, não podemos ler diretamente a superposição, pois ela colapsará para um estado randômico. No entanto, Shor demonstrou que é possível fazê-lo usando algo chamado quantum Fourier transform ou em português bem dizido, transformada quântica de fourier. O problema agora é explicar "como" funciona a QFT sem usar nenhum conceito matemático. Mas vamos tentar ... Para exemplificarmos, peguemos como exemplo um experimento feito nos anos 70, onde várias pessoas são colocadas em uma sala, sem relógios e luz solar. No decorrer de algumas semanas, as pessoas vão gradualmente mudando seu ritmo diário de um ciclo de 24 horas para ciclos maiores, de 26, 27, 28 e por aí vai. Um dia, essas pessoas You're Reading a Preview acordam às às 9h da manhã, no outro dia às 11h e depois à 1h da tarde, e assim sucessivamente. Então, se nadaUnlock atrapalhar, eles uma hora full access with a free trial.vão voltar a acordar às 9h da manhã, completando um ciclo. Download With Free Trial
Calma, a parte doida da explicação ainda está por vir. Agora, digamos que ho je eu, que faço parte do experimento, acordei às 5h da tarde. Com esse fato, somente, o que você
pode concluir à respeito de quão longo meu dia é? Nada, não é mesmo? A única coisa que eu posso inferir é que não estou mais em um ciclo de 24 horas, já que não acordo no mesmo horário sempre. Agora uma coisa.Não Sign up to vote on this title importa qual fosse o ciclo de horas que eu estivesse, em qualquer outro ciclo de horas que não fosse o que eu sigo, eu iria em algum momento voltar a acordar na mesma hora Useful Not useful inicial.
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
30 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
Algoritmo de Shor Explicado Fatorando Grandes Nmeros
Uploaded by PaulaMotaC
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
lista1_mqpos.pdf
1
of 7
Trabalho Arquitetura de
6 - Processador Quantico
Search document
Agora, uma pergunta. Examinando os marcadores na sala, é possível descobrir qual é o ciclo de horas que eu estou seguindo? Sim, por mais estranho que possa parecer, é possível, se você lembrar do que escrevi logo ali atrás. Suponhamos que eu siga um ciclo de 26 horas. O que acontecerá na folha do relógio que têm um ciclo de 24 horas? Não é difícil perceber que as marcações seguirão um movimento periódico. Cada dia que eu acordo e marco a folha, eu estarei acordando em uma hora diferente, pois meu ciclo não é sincronizado com este e, eventualmente, todos estes movimentos em direções diferentes se cancelarão uns aos outros, levando o marcador a chegar novamente ao centro da folha. Por outro lado, o que acontecerá no relógio que têm o ciclo de 26 horas? A resposta será You're Reading a com Preview diferente pois, até onde meu ciclo é sincronizado precisão ao ciclo de 26 horas, sempre que eu acordar o ponteiro dofull relógio apontando na mesma direção que Unlock accessestará with a free trial. estava da última vez em que eu acordei. E assim será, até que o marcador nem mais este ja dentro da folha. Download With Free Trial
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
30 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
Algoritmo de Shor Explicado Fatorando Grandes Nmeros
Uploaded by PaulaMotaC
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
lista1_mqpos.pdf
1
of 7
Trabalho Arquitetura de
6 - Processador Quantico
Search document
outro vetor de números complexos. O vetor de entrada é um vetor não nulo que corresponde à todas as marcações de horas do momento em que eu acordei, enquanto o vetor de saída registra todas as posições dos marcadores em todas as folhas. Então, o que nós conseguimos no final é uma transformação linear que mapeia um estado quântico onde se encontra codificada uma sequência periódica em outro estado quântico que codifica o período da sequência citada. Outra maneira de pensar nisso é em termos da interferência. Eu penso que, a chave para o uso da mecânica quântica - e o que faz a diferença entre esta e a teoria clássica da probabilidade - é que, enquanto as probabilidades são semrpe não-negativas, amplitudes na mecânica quântica podem ser positivas, negativas, e até mesmo complexas. E por causa disso, as amplitudes correspondem a diferentes formas de pegar uma resposta que "interfira destrutivamente " e cancele todas as outras respostas não consonantes. E é exatamente o que faz o algoritmo de Shor. Cada "universo paralelo", correspondendo a um elemento da sequência, contribui com alguma amplitude à todos os "universos paralelos ", correspondendo a um possível período da sequência. O fato é que, para todos os períodos que não se jam o verdadeiro, estas contribuições de amplitude apontarão para diferentes direções, e se cancelarão mutuamente. Somente para o período verdadeiro as contribuições dos diferentes universos irão, todos, apontar para a mesma direção. E é assim que, quando fizermos a medição, ao final, encontraremos o período verdadeiro com uma probabilidade bastante alta de sucesso. You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
