10.5.- ALINEAMIENTO HORIZONTAL. El alineamiento horizontal es la proyección horizontal del eje de una vía férrea y corresponde a la subrasante. Este está constituido por rectas y curvas ligadas entre sí, como sigue: Las rectas son proyecciones de las tangentes a las curvas del alineamiento horizontal, las cunas son proyecciones de las curvas circulares, de las rectas compuestas y de las espirales, del alineamiento horizontal. Las tangentes tienen las siguientes propiedades; Longitud T, definida por el cadenamiento de sus puntos extremos. Dirección y sentido, definidos por su rumbo astronómico. Localización, definida por las coordenadas de sus puntos extremos. Las tangentes deberán tener una longitud mínima de setenta metros, entre curvas de igual sentido, veinte metros, entre curvas de sentido contrario. Las curvas circulares tiene las siguientes propiedades: Gc = grado de curvatura. Rc = radio de la curva, que se calcula con las fórmulas: Rc = 10 csc. Gc ó bien; Rc = 1145.92 2 Gc ∆ = deflexión, deflexión, que es la formada por la prolongación de una tangente con la otra tangente consecutiva. L = longitud, se calcula así: L = 20 ∆ Gc C = cuerda; C = 2 Rc sen ∆/2 f = flecha; f = Rc sen ver ∆/2 E = externa, que se calcula así: E = Rc (sen ∆/2 – 1) ST = subtangente; ST = Rc tg ∆/2 Para curves con espirales: D = Rc + d d = Y – Y – Rc sen verso δ; t = X – Rc sen δ
X = (1 – (1 – δ²/10 + δ4 /216 /216 + δ6 /9360 /9360 + …) Le Y = (δ (δ /3 - δ³/42 + δ5 /1320 – /1320 – δ7 /75600+…) /75600+…) Le Existen tablas (tablas N°5 y N° 6, página 21 de las especificaciones generales para proyecto geométrico de vías férreas), con los valores tabulados de las propiedades de la curva circular, anterior, con variaciones desde cero (0°) grados a ciento veinte (120°). Las curvas compuestas son aquellas formadas por dos ó más cunas circulares que las forman. Las curvas espirales son curvas compuestas de arcos circulares subtendidas por cuerdas de una misma longitud, con variación constante de sus grados de curvatura. Las espirales sirven de transmisión entre una tangente y una curva circular o entre dos curvas circulares de diferente grado de curvatura. Los espirales tienen las siguientes propiedades: a) Variación constante del grado de curvatura de sus arcos circulares. b) Ángulo b) Ángulo central δ , que es la suma de los ángulos de cada uno de los arcos circulares que la forman: δ = δ1 + δ2 + δ3 + ...+ δn Longitud, l, que es la suma de las cuerdas de los arcos que la forman y que se calcula, con la fórmula: l =
40 δ Gc
Coordenadas; X, Y, donde la abcisa, “X”, es la proyección de la espiral sobre la subtangente, TST y la ordenada “Y”, es su proyección sobre la
normal a la misma subtangente.
αn = Ángulo de deflexión medido en el principio de la espiral de entrada PC o en el final de la espiral de salida PT, a cualquier punto de enlace de la espiral correspondiente CCn y se calcula así:
tg αn = Yn ; donde Xn, Yn son las coordenadas del CCn, respecto del Pc o del del PT.
Xn En la tabla No. 7 (págs. 123 ó 131) se dan los valores de los elementos para el trazo de espirales, con variaciones de 15 (QUINCE) minutos, para cuerdas de 10 (DIEZ) metros y de 5 (CINCO) metros, como se ve enseguida:
0° 15’ X 10 m 0° 30’ X 10 m 0° 45’ X 10 m 0° 00’ X 10 m 0° 15’ X 10 m 0° 30’ X 10 m 0° 00’ X 10 m
VALORES DE LOS ELEMENTOS PARA EL TRAZO DE ESPIRALES CON DIFERENTES VARIACIONES DE DEFLEXIONES Y CUERDAS
Las curvas circulares con espirales, tienen las siguientes propiedades: Ángulo de deflexión, Σ, que es la suma del ángulo central de la curva circular y de sus espirales y se calcula con la fórmula: Σ = Δ + [δ], donde donde [ ] indica suma. Subtangentes, TST, que se calculan con la fórmulas respectivas a cada caso, según se indica a continuación: 1.- Con espirales ASIMÉTRICAS espirales ASIMÉTRICAS (Fig. No. 2 pág. 25). TST1 = t1 + D1 tg Σ – (d – (d1 – d – d2) csc Σ 2 TST1 = t1 + D1 tg Σ – (d – (d1 – d – d2) csc Σ 2 2.- Con espirales SIMÉTRICAS (Fig. No. 3, pág. 26). TST = t1 + D tg Σ 2 3.- Con espiral en un solo extremo (Fig. extremo (Fig. No. 4 pág. 27) TST = t + D tg Σ – d – d csc Σ 2
ST = R tg Σ + d csc Σ 2 Las curvas compuestas, con espirales, tienen las siguientes propiedades: Ángulo de deflexión, Σ, que es la suma de los ángulos centrales de sus curvas circulares y de sus espirales y se calcula con la fórmula: Σ = [Δ]+ [δ], donde [ ] indica suma. Longitud, que es la suma de las longitudes de sus curvas circulares y de sus espirales. Subtangentes, TST, que se calculan con las fórmulas respectivas a cada caso, según se indica a continuación: 1.- Con espirales de entrada, intermedia y de salida, sal ida, (Fig. 5, pág. 29) ___ ___ TST1 = CB + Bl ___ CB = t1 + D1 tg Σ1 – (d – (d1 – d – dc) csc Σ 2 __ ___ Bl = BF sen Σ2 sen Σ ___ ___ ___ BF = BN + NF ___ BN = tc + Dc tg Σ2 + d2 csc Σ2 2 ___ NF = R 2 tg Σ2 + d2 csc Σ2 2 __ ___ TST2 = IF + FT __ ___ IF = BF sen Σ1 sen Σ ___ FT = t2 + D2 tg Σ2 – d – d2 csc Σ2 2 Σ1 = a + j Σ2 = b - j
Σ = Σ1 + Σ2 = a + b Dc = R 1 + dc dc = R 2 – R 1 – tc ctg j tc = (R 2 + R 1 – dr) sen j ___ ___ EJ = MN = lc 2 j = G2 lc 40 dr = d para una espiral de curvatura G 1 – G2 2.- Con espiral de entrada y de salida, únicamente, (Fig. 6, pág. 31) ___ TST1 = CB + Bl ___ CB = t1 + D1 tg Σ – d1 csc Σ1 2 ___ Bl = BF sen Σ2 sen Σ ___ ___ ___ BF = BN + NF ___ BN = R 1 tg Σ1 + d1 csc Σ1 2 ___ NF = R 2 tg Σ2 + d2 csc Σ2 2 __ ___ TST2 = IF + FT __ ___ IF = BF sen Σ1 sen Σ ___ FT = t2 + D2 tg Σ2 – d2 csc Σ2 2
3.- Con espiral de entrada o de salida e intermedia, (Fig. 7, pág. 32). ___ ___ TST1 = CB + Bl ___ CB = t1 + D1 tg Σ1 – (d1 – dc) csc Σ1 2 __ __ Bl = BF sen Σ2 sen Σ __ ___ ___ BF = BN + NF ___ BN = tc + Dc tg Σ2 + (d1 + dc) csc Σ1 2 NF = R 2 tg Σ2 2 __ ___ TST2 = lF + FT __ ___ lF = BF sen Σ2 sen Σ NF = R2 tg Σ2 2 ___ FT = R 2 tg Σ2 2 Σ1 = a + j Σ2 = b - j Σ = Σ1 + Σ2 = a+b Dc = R 1 + dc dc = R 2 – R 1 – tc ctg j tc = (R 2 + R 1 – dr) sen j ___ ___
EJ = MN = lc 2 j = G2 lc 40 dr = d para una espiral de curvatura G 1 – G2 4.- Con espiral de entrada o de salida, únicamente, (Fig. No. 8, pág. 34) ___ ___ TST1 = CB + Bl ___ CB = t1 + D1 tg Σ1 – d1 csc Σ1 2 __ __ Bl = BF sen Σ2 sen Σ __ ___ ___ BF = BN + NF ___ BN = R1 tg Σ1 + d1 csc Σ1 2 ___ NF = R 2 tg Σ2 2 __ ___ TST2 = lF + FT __ ___ lF = BF sen Σ1 sen Σ ___ FT = R 2 tg Σ2 2
10.5.1.- LONGITUD DE LA ESPIRAL. La doble función de una espiral nos obliga a analizar dos casos de donde resultarán dos valores, de los cuales tomaremos el mayor y éste se ajustará según las necesidades del proyecto. Las espirales se calculan y se trazan para un número entero de cuerdas, de 5 m ó 10 m.
1er. caso. Longitud de espiral para proporcionar la sobreelevación. El aumento o disminución bruscas en la sobreelevación producen torsión sobre las unidades de los trenes, además de cierta incomodidad. Para México, se establece, que no debe darse un incremento en la sobreelevación mayor de 1.3 cm por cada 10 min la espiral. Por tanto; le = e/1.3 x 10, donde: e = sobreelevación en cms. le = longitud de espiral, en mts. 2do. caso. Longitud de una espiral para proporcionar el grado de curvatura en forma gradual. Como el grado de curvatura aumenta proporcionalmente con la longitud de la curva, se deduce que sí una espiral se traza con un número entero de cuerdas del mismo tamaño se obtendrá en forma sucesiva un aumento constante en el grado de curvatura. Para efectos prácticos, en México, se utilizan curvas espirales con las siguientes variaciones de grado. 0° 15’ por 10 mts. 0° 30’ por 10 mts. 0° 00’ por 10 mts. 0° 15’ por 10 mts. 0° 30’ por 10 mts. 0° 0’ por 10 mts. El grado de curvatura “Gc” se selecciona de acuerdo con la importancia de la vía férrea y con la topografía. En México, la longitud de una espiral se calcula considerando que el grado de curvatura en el PC es igual a AG. Le = (Gc) – 1 L (AG) GRÁFICA 2 Bl = BF sen Σ2 sen Σ __ ___ ___ BF = BN + NF ___ BN = R 1 tg Σ1 + d1 csc Σ1 2 ___
NF = R 2 tg Σ2 2 __ ___ TST2 = lF + FT __ ___ lF = BF sen Σ1 sen Σ ___ FT = R 2 tg Σ2 2 La longitud de la espiral debe ser suficiente para que el cambio de dirección no sea brusco en el equipo rodante. En una curva horizontal es necesario contrarrestar la fuerza centrífuga de los trenes, esto se hace dando una sobrelevación a la vía, levantando el riel exterior. Esta sobrelevación debe darse a todo lo largo del arco circular. Por lo tanto, resolverse el problema de pasar de dos rieles al mismo nivel, a una sección en donde la vía tiene cierta inclinación. Las espirales se utilizan también para proporcionar en forma gradual la sobrelevación. PCC = Punto de enlace de una cuna circular con otra o con una espiral, del mismo sentido en el A.H. PCR = Punto de inflexión de dos curvas circulares cuyas deflexiones son de sentido contrario en el A.H. GRÁFICA 1. lc = longitud de espiral Cálculo de la sobrelevación e = 0.01 (v²)(Gc) Donde: v = velocidad en Km/hr. Gc = grado de curvatura en grados
e = sobrelevación en mm. de ambos rieles.
Las tangentes tienen las siguientes propiedades: Longitud, T, definida por el cadenamiento de sus puntos extremos. PROYECTO GEOMETRICO DE UNA VÍA FERREA. ALINEAMIENTO HORIZONTAL. a) En la proyección de un trazado ferroviario sobre un plano horizontal se distinguen dos tipos de alineaciones: recta y curva. Las alineaciones rectas se representan por una sola línea, la que corresponde a la proyección del eje de la vía sobre dicho plano, considerado dicho eje como la media entre los ejes longitudinales b) Dirección y sentido, definidos por su azimut. c) Localización, definida por las coordenadas de sus puntos extremos. Las tangentes deberán tener una longitud mínima de: a) Sesenta (60) metros, entre curvas de igual sentido. b) Treinta (30) metros, entre curvas de sentido contrario. Del mismo modo, las alineaciones curvas se representan por una sola línea curva, que corresponde a la proyección del eje de la vía en el plano horizontal. La correlación entre las alineaciones rectas y curvas es fundamental para diseñar un trazado que permita un tráfico libre de esfuerzos y movimientos indeseados. MEMORIA DE CÁLCULO DE LAS CURVAS HORIZONTALES DEL PROYECTO.
A continuación se presenta la memoria de cálculo de las curvas que se incluyen en el proyecto, donde tenemos 6 tipos distintos de curvas a manera de ejemplificar la mayoría de casos vistos en clase. Cada uno de los casos cuenta con características distintas y componen un tramo del alineamiento horizontal del proyecto que se presenta como trabajo final, en este tramo no se incluyen las curvas que componen el alineamiento vertical, ya que estas se presentaran por separado en dos tramos diferentes que constituyen al proyecto. Por lo que para el caso del alineamiento horizontal se considera que este se desarrolla en un tramo a nivel. Curva No. 1. Curva circular con espirales asimétricas.
Datos (Campo): Σ= 58°57´der PI= 1+424.62
Datos (Proyecto): V= 45 km/hr Gc = 6
De acuerdo a las tablas de la S.O.P. para determinar la clotoide de transición más adecuada en proyectos de vías férreas dado el grado de la curva circular (G c) y la velocidad de proyecto (V) se determina: V1, Variación = 1° 0´0” (Espiral entrada 45 km/hr) V2, Variación = 1° 30´0” (Espiral salida 40 km/hr) Cuerdas de 10 m Cálculo de elementos para la espiral de entrada (1) y salida (2): 1. Longitud de espiral,
2. Ángulo central de la clotoide,
3. Cálculo de tangente más subtangente, TST1 y TST2.
Por lo observado se requieren los valores de D y T:
Por lo tanto se vuelve a observar que se requieren los valores de “x” y “y” (fórmula en radianes):
Haciendo la sustitución correspondiente tenemos: ( )
( )
()
( )
Es necesario además el radio de la curva
, por lo tanto:
Haciendo las sustituciones correspondientes para encontrar TST1 y TST2.
-190.986=0.349m 4. Calculando la longitud de la curva circular Lc:
5. Obtención de los puntos principales PC, PCC1, PCC2 y PT.
PC= PI - TST1 = 1+424.62-137.854=1+286.785 PCC1=PC+Le1= 1+286.785+60= 1+346.785 PCC2= PCC1+Lc= 1+346.785+146.500= 1+493.285 PT= PCC2+Le2= 1+493.285+40= 1+533.285 6. Cálculo de Tangente Larga (TL) y Tangente Corta (TC).
Donde:
Sustituyendo en formulas:
7. Cálculo de las deflexiones: Del PC al PCC1: ; terminará con .
Del PCC1 al PCC2:
Del PT al PCC2:
Cadenamiento
Puntos de
Distancia
Deflexiones
(m)
control
(m)
(°)
1+286.785 1+296.785 1+306.785 1+316.785 1+326.785 1+336.785 1+346.785
PC
0.000 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000
0.000 0.083 0.333 0.750 1.333 2.083 3.000
PCC 1
; terminará con . Cadenamiento
Puntos de
Distancia
Deflexiones
(m)
control
(m)
(°)
1+346.785 1+740.000 1+760.000 1+780.000 1+800.000 1+820.000 1+840.000 1+860.000 1+493.285
PCC1
0.000 393.215 413.215 433.215 453.215 473.215 493.215 513.215 146.500
0.000 58.982 61.982 64.982 67.982 70.982 73.982 76.982 21.975
Distancia
Deflexiones
PCC2
; terminará con . Cadenamiento
Puntos de
(m)
control
(m)
(°)
1+533.285 1+523.285 1+513.285 1+503.285 1+493.285
PC
0.000 10.000 20.000 30.000 40.000
0.000 0.125 0.500 1.125 2.000
PCC2
Curva No. 2. Curva circular simple.
Datos (Campo): Σ= 70° izq PI= 1+693.56 Datos (Proyecto):
1. Cálculo del radio de la curva,
2. La longitud, L, que se calcula con la fórmula:
V= 45 km/hr Gc = 6
;
3. La cuerda, C, que se calcula con la fórmula:
;
4. La f lecha, f , que se calcula:
;
m
5. La externa, E, que se calcula:
;
6. La subtangente, ST, que se calcula:
;
m
7. Obtención de los puntos principales PC y PT. PC= PI - ST = 1+693.560-133.730=1+559.830 PT= PC+Lc= 1+559.830+233.33= 1+793.163
8. Cálculo de las deflexiones: Del PC al PT: ; terminará con .
Cadenamiento
Puntos de
Distancia
Deflexiones
(m)
control
(m)
(°)
1559.830
PC
-213.045
-31.957
1560.000
213.215
0.026
1580.000
233.215
3.026
1600.000
253.215
6.026
1620.000
273.215
9.026
1640.000
293.215
12.026
1660.000
313.215
15.026
1680.000
333.215
18.026
1700.000
353.215
21.026
1720.000
373.215
24.026
1740.000
393.215
27.026
1760.000
413.215
30.026
1780.000
433.215
33.026
446.378
35.000
1793.163
PT
Curva No. 3. Curva circular con espiral de entrada.
Datos (Campo): Σ= 61°00´izq PI= 2+038.96 Datos (Proyecto):
V= 45 km/hr Gc = 6
De acuerdo a las tablas de la S.O.P. para determinar la clotoide de transición más adecuada en proyectos de vías férreas dado el grado de la curva circular (G c) y la velocidad de proyecto (V) se determina: V, Variación = 0° 45´0” (Espiral entrada 45 km/hr) Cuerdas de 10 m Cálculo de elementos para la espiral de entrada: 1. Longitud de espiral,
2. Ángulo central de la clotoide,
3. Cálculo de tangente más subtangente, TST.
Por lo observado se requieren los valores de D y T:
Por lo tanto se vuelve a observar que se requieren los valores de “x” y “y” (fórmula en radianes):
Haciendo la sustitución correspondiente tenemos: ()
( ) , por lo tanto: Es necesario además el radio de la curva
Haciendo las sustituciones correspondientes para encontrar TST.
4. Calculando la longitud de la curva circular Lc:
5. Cálculo de la subtangente ST:
;
6. Obtención de los puntos principales PC, PCC1, PCC2 y PT. PC= PI - ST = 2+038.96-114.093=1+924.87 PCC=PC+Le= 1+924.87+80.00= 2+004.87 PT= PCC+Lc= 2+004.87+163.33= 2+168.20
7. Cálculo de las deflexiones: Del PC al PCC1: ; terminará con .
Del PCC al PT:
Cadenamiento (m)
Puntos de control
Distancia (m)
Deflexiones (°)
1924.870 1934.870 1944.870 1954.870 1964.870 1974.870 1984.870 1994.870 2004.870
PC
0.000 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 80.000
0.000 0.063 0.250 0.563 1.000 1.563 2.250 3.063 4.000
PCC
; terminará con . Cadenamiento (m)
Puntos de control
Distancia (m)
Deflexiones (°)
2004.870 2020.000 2040.000 2060.000 2080.000 2100.000 2120.000 2140.000 2160.000 2168.200
PCC
0.000 15.130 35.130 55.130 75.130 95.130 115.130 135.130 155.130 163.330
0.000 2.270 5.270 8.270 11.270 14.270 17.270 20.270 23.270 24.500
PT
Curva No. 4. Curva circular con espirales de transición simétricas.
Datos (Campo): Σ= 58°57´der PI= 2+321.67 Datos (Proyecto):
V= 45 km/hr Gc = 6
De acuerdo a las tablas de la S.O.P. para determinar la clotoide de transición más adecuada en proyectos de vías férreas dado el grado de la curva circular (G c) y la velocidad de proyecto (V) se determina: V, Variación = 1° 00´0” (Espiral entrada 45 km/hr) Cuerdas de 10 m Cálculo de elementos para las espirales:
1. Longitud de las espirales,
2. Ángulo central de las clotoides,
3. Cálculo de las tangentes más las subtangentes, TST.
Por lo observado se requieren los valores de D y T:
Por lo tanto se vuelve a observar que se requieren los valores de “x” y “y” (fórmula en radianes):
Haciendo la sustitución correspondiente tenemos: ()
( ) , por lo tanto: Es necesario además el radio de la curva
Haciendo las sustituciones correspondientes para encontrar TST.
4. Calculando la longitud de la curva circular Lc:
5. Obtención de los puntos principales PC, PCC1, PCC2 y PT. PC= PI - TST1 = 2+321.670-138.363=2+183.31 PCC1=PC+Le= 2+183.31+60= 2+243.31 PCC2= PCC1+Lc= 2+243.31+136.50= 2+379.81 PT= PCC2+Le2= 2+379.81+60= 2+439.81
6. Cálculo de Tangente Larga (TL) y Tangente Corta (TC).
Donde:
Sustituyendo en formulas:
7. Cálculo de las deflexiones: Del PC al PCC1: ; terminará con .
Del PCC1 al PCC2:
Del PT al PCC2:
Cadenamiento (m)
Puntos de control
Distancia (m)
Deflexiones (°)
2183.310 2193.310 2203.310 2213.310 2223.310 2233.310 2243.310
PC
0.000 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000
0.000 0.083 0.333 0.750 1.333 2.083 3.000
PCC1
; terminará con . Cadenamiento (m)
Puntos de control
Distancia (m)
Deflexiones (°)
2243.310 2260.000 2280.000 2300.000 2320.000 2340.000 2360.000 2380.000 2379.810
PCC1
0.000 16.690 36.690 56.690 76.690 96.690 116.690 136.690 136.500
0.000 2.504 5.504 8.504 11.504 14.504 17.504 20.504 20.475
PCC2
; terminará con . Cadenamiento (m)
Puntos de control
Distancia (m)
Deflexiones (°)
2439.810 2429.810 2419.810 2409.810 2399.810 2389.810 2379.810
PT
0.000 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000
0.000 0.083 0.333 0.750 1.333 2.083 3.000
PCC2
Curva No. 5. Curva circular compuesta con espirales de transición asimétricas.
Datos (Campo): Σ= 80°00´der PI= 2+773.14 Datos (Proyecto):
V= 45 km/hr Gc1 = 5º Gc2 = 3º
Para facilitar el cálculo en la curva proponemos un PT en el Pcc2 para simplificar el cálculo por lo que la información nos quedara así: Σ1 = 50° y Σ2 = 30°
Para la primer curva calculamos los datos estos pueden determinados por las tablas de la SOP o por medio de las formulas. Como los datos de velocidad de proyecto y el grado de curvatura determinamos la variación v = 1° 00’ 0”
Cuerdas de 10 m Cálculo de elementos para la espiral de entrada (1) y salida (2): 1. Longitud de espiral,
2. Ángulo central de la clotoide,
3. Cálculo de tangente más subtangente, TST1 y TST2.
Por lo observado se requieren los valores de los parámetros:
Por lo tanto se vuelve a observar que se requieren los valores de “x” y “y” (fórmula en radianes):
Haciendo la sustitución correspondiente tenemos: ( )
( )
()
( )
Es necesario además el radio de las curvas
, por lo tanto:
Haciendo las sustituciones correspondientes para encontrar los valores buscados.
-=0.098m 4. Calculando la longitud de las curvas circulares Lc:
5. Obtención de los puntos principales PC, PCC1, PCC2, PCE y PT. PC= PI - TST1 = 2+773.14-238.231=2+534.91 PCC1=PC+Le1= 2+534.91+50= 2+584.91 PCC2= PCC1+Lc1= 2+584.91+175.00= 2+759.91 PCE= PCC2+LC2= 2+759.91+185.00= 2+944.91 PT= PCE+Le2= 2+944.91+30= 2+974.91
7. Cálculo de las deflexiones: Del PC al PCC1: ; terminará con .
Del PCC1 al PCC2:
Del PCC2 al PCE:
Del PCE al PT:
Cadenamiento (m)
Puntos de control
Deflexiones (°)
2534.91 2544.91 2554.91 2564.91 2574.91 2584.91
PC
PCC1
0.000 0.083 0.333 0.750 1.333 2.083
Cadenamiento (m)
Puntos de control
Deflexiones (°)
2584.91 2600 2620 2640 2660 2680 2700 2720 2740 2759.91
PCC1
PCC2
0.000 1.886 4.386 6.886 9.386 11.886 14.386 16.886 19.386 21.875
Cadenamiento (m)
Puntos de control
Deflexiones (°)
2759.91 2760 2780 2800 2820 2840 2860 2880 2900 2920 2940 2944.91
PCC2
0.000 0.007 1.507 3.007 4.507 6.007 7.507 9.007 10.507 12.007 13.507 13.875
; terminará con .
; terminará con .
; terminará con .
PCE
Cadenamiento (m)
Puntos de control
Deflexiones (°)
2974.91 2964.91 2954.91 2944.91
PCE
0.000 0.083 0.333 0.750
PT
Curva No. 6. Curva circular compuesta con espirales de entrada, intermedia y de salida.
Datos (Campo): Σ= 80°00´der PI= 3+447.76 Datos (Proyecto):
V= 70 km/hr Gc1 = 3º Gc2 = 3º
Para facilitar el cálculo en la curva proponemos un PT en el Pcc2 para simplificar el cálculo por lo que la información nos quedara así: Σ1 = 40° y Σ2 = 30°
De acuerdo a las tablas de la S.O.P. para determinar la clotoide de transición más adecuada en proyectos de vías férreas dado el grado de la curva circular (G c) y la velocidad de proyecto (V) se determina: V1, Variación = 0° 15´0” (Espiral entrada 70 km/hr) V2, Variación = 0° 22´30” (Espiral salida 65 km/hr) V3, Variación = 0° 18´0” (Espiral salida 68 km/hr) Cuerdas de 10 m Cálculo de elementos para las espirales: 1. Longitud de espiral,
2. Ángulo central de la clotoide,
3. Cálculo de tangente más subtangente, TST1, TST2 y TST3.
Por lo observado se requieren los valores de D y T:
Por lo tanto se vuelve a observar que se requieren los valores de “x” y “y” (fórmula en radianes):
Haciendo la sustitución correspondiente tenemos:
) ( ( ) () ( ) ( ) ( )
Es necesario además el radio de la curva , por lo tanto:
Haciendo las sustituciones correspondientes para encontrar TST1 y TST2. -=2.79m
4. Calculando la longitud de las curvas circulares Lc:
5. Obtención de los puntos principales PC, PCC1, PCC2 y PT. PC= PI - TST1 = 3447.60-198.192=3+249.41 PCC1=PC+Le1= 3+249.41+120= 3+369.41 PCC2= PCC1+Lc= 3+369.41+166.67= 3+536.07 PCC3= PCC2+Le2= 3+536.07+80= 3+616.07 PCE= PCC3+LC2= 3+616.07+150= 3+766.07 PT= PCE+Le3= 3+766.07+100= 3+866.07
6. Cálculo de las deflexiones: Del PC al PCC1: ; terminará con .
Del PCC1 al PCC2:
Cadenamiento (m)
Puntos de control
Deflexiones (°)
3249.41 3259.41 3269.41 3279.41 3289.41 3299.41 3309.41 3319.41 3329.41 3339.41 3349.41 3359.41 3369.41
PC
PCC1
0.000 0.021 0.083 0.188 0.333 0.521 0.750 1.021 1.333 1.688 2.083 2.521 3.000
Cadenamiento (m)
Puntos de control
Deflexiones (°)
3369.41 3380 3400 3420 3440 3460 3480 3500
PCC1
0.000 0.794 2.294 3.794 5.294 6.794 8.294 9.794
; terminará con .
3520 3536.07
Del PCC2 al PCC3:
Del PCC3 al PCE:
Del PCE al PT:
PCC2
11.294 12.500
Cadenamiento (m)
Puntos de control
Deflexiones (°)
3616.07 3606.07 3596.07 3586.07 3576.07 3566.07 3556.07 3546.07 3536.07
PCC3
PCC2
2.000 1.531 1.125 0.781 0.500 0.281 0.125 0.031 0.000
Cadenamiento (m)
Puntos de control
Deflexiones (°)
3616.07 3620 3640 3660 3680 3700 3720 3740 3760 3766.07
PCC3
PCE
0.000 0.295 1.795 3.295 4.795 6.295 7.795 9.295 10.795 11.250
Cadenamiento (m)
Puntos de control
Deflexiones (°)
3876.07 3866.07 3856.07 3846.07 3836.07 3826.07 3816.07 3806.07 3796.07 3786.07 3776.07 3766.07
PT
0.025 0.000 0.025 0.100 0.225 0.400 0.625 0.900 1.225 1.600 2.025 2.500
; terminará con .
; terminará con .
; terminará con .
PCE
ALINEAMIENTO VERTICAL. El alineamiento vertical es la propia subrasante. Está cons tituido por rectas y curvas, con pendiente compensada, ligadas entre sí, como sigue: a) Las rectas son proyección de las tangentes y de las curvas del alineamiento horizontal. b) Las curvas verticales son proyección de las tangentes o de tangentes y curvas del alineamiento horizontal. c) Dos (2) rectas contiguas se unen por medio de una (1) curva vertical parabólica, excepto cuando la diferencia algebraica de sus pendientes sea igual o menor a la variación máxima respectiva, admitida para cuerdas de veinte (20) metros. Propiedades de las curvas verticales parabólicas: 1. Variación constante, v, de la pendiente, para cada cuerda de veinte (20) metros. 2. Angulo de deflexión, B, determinado por la tangente geométrica de la diferencia algebraica de las pendientes, en las dos (2) rectas consecutivas que se interceptan. 3. El punto de intersección de dos (2) rectas consecutivas debe coincidir con el centro o con uno de los extremos de una estación de veinte (20) metros. Como se menciono anteriormente para el caso de nuestro proyecto se tomará de forma independiente el alineamiento horizontal y el vertical, razón por la cual tenemos diferentes cadenamientos en cada uno, por lo que no coinciden entre ellos. Para propósitos de ejemplificar el cálculo de las curvas verticales se desarrolaron los siguientes ejercicios: 1. Datos:
Cad PIV = 3+260 elevación de éste, es 1983.50 m
S1 = - 0.4% S2 = + 0.2%
Vía Férrea clase “B”
Solución.
Se trata de un COLUMPIO. El Δp = 0.05% por cada 20 m (éste de acuerdo con la clase de vía férrea seleccionada).
N = número de estaciones cerradas de 20 m;
Como el PIV es estación cerrada y “N” es par, quedará
L = 20N = 20 X 12 = 240 m
Cotas del PCV y del PTV
K = + 0.005 EST
COTA DE TANGENTE
K
X
X²
KX²
COTA DE LA CURVA
PCV 3+140 160 180 200 220 240 PIV 3+260 280 300 320 340 360 PTV 3+380
1983.98 1983.90 1983.82 1983.74 1983.66 1983.58 1983.50 1983.42 1983.34 1983.26 1983.18 1983.10 1983.02
+0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
0 +0.005 +0.020 +0.045 +0.080 +0.125 +0.180 +0.245 +0.320 +0.405 +0.500 +0.605 +0.720
1983.98 1983.905 1983.84 1983.785 1983.74 1983.705 1983.680 1983.665 1983.660 1983.665 1983.680 1983.705 1983.740
2. Datos:
Cad PIV = 1+250 elevación de éste, es 850 m
S1 = - 0.3% S2 = + 0.1%
Vía Férrea clase “A” Solución.
Se trata de un COLUMPIO. El Δ p = 0.05% por cada 20 m (éste de acuerdo con la clase de vía férrea seleccionada).
N = número de estaciones cerradas de 20 m;
Como el PIV NO es estación cerrada y “N” es par, quedará N=9
L = 20N = 20 X 9 = 180 m
Cotas del PCV y del PTV
K = + 0.0044
EST
COTA DE TANGENTE
K
X
X²
KX²
COTA DE LA CURVA
PCV 1+160 180 200 220 240 PIV 1+250 260 280 300 320 PTV 3+380
850.27 850.21 850.15 850.09 850.03 850.00 849.97 849.91 849.85 849.79 849.73
+0.004 +0.004 +0.004 +0.004 +0.004 +0.004 +0.004 +0.004 +0.004 +0.004 +0.004
0 1 2 3 4 4.5 5 6 7 8 9
0 1 4 9 16 20.25 25 36 49 64 81
0 +0.004 +0.017 +0.039 +0.070 +0.089 +0.11 +0.158 +0.215 +0.281 +0.356
850.27 850.214 850.167 850.129 850.1 850.089 850.08 850.068 850.065 850.071 850.086
3. DATOS:
Cad PIV = 16+310; elev. 1320.00 m Vía Férrea Clase “C”
S1 = +0.3%; S2 = -0.5%
Solución:
Se trata de una curva en CRESTA t1 Δp = 0.20% por cada 20 metros (este valor depende de la clase de vía férrea)
N = número de estaciones cerradas de 20 m;
L = 20N = 20x4 = 80m.
Pero para que PCV y PTV queden en estaciones cerradas de 20 m L = 100.
Cotas de PCV y PTV
K= - 0.016
EST
COTA DE TANGENTE
K
X
X²
KX²
COTA DE LA CURVA
PCV 16+260 280 300 PIV 16+310 320 340 16+360
1319.85 1319.91 1319.97 1320.00 1320.03 1320.09 1320.15
-0.016 -0.016 -0.016 -0.016 -0.016 -0.016 -0.016
0 1 2 2.5 3 4 5
0 1 4 6.25 9 16 25
0 0.016 0.064 0.1000 0.144 0.256 0.400
1319.85 1319.894 1319.906 1319.90 1319.886 1319.834 1319.75
Nota: Se incrementa “L”, a fin de obtener estaciones cerradas de 20 m en las PCV y PTV.
4. Datos:
Cad PIV = 1+300; elev. 1200.00 m Vía Férrea Clase “B”
S1 = +0.3%; S2 = -0.4%
Solución:
Se trata de una curva en CRESTA Δp = 0.1% por cada 20 metros (este valor depende de la clase de vía férrea)
N = número de estaciones cerradas de 20 m;
Como PIV es par N deberá ser par por lo cual N=8 L = 20N = 20x8 = 160 m.
Cotas de PCV y PTV
K= - 0.00875
EST
COTA DE TANGENTE
K
X
X²
KX²
COTA DE LA CURVA
PCV 1+220 240 260 280 PIV 1+300 320 340 360 PTV 1+380
1199.76 1199.82 1199.88 1199.94 1200 1200.06 1200.12 1200.18 1200.24
-0.00875 -0.00875 -0.00875 -0.00875 -0.00875 -0.00875 -0.00875 -0.00875 -0.00875
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 4 9 16 25 36 49 64
0 0.008 0.035 0.078 0.140 0.218 0.315 0.428 0.56
1199.76 1199.812 1199.845 1199.862 1199.86 1199.842 1199.805 1199.652 1199.68
10.6.- ALINEAMIENTO VERTICAL. El alineamiento vertical es la propia subrasante. El alineamiento vertical está constituido por rectas y curvas, con pendiente compensada, ligadas entre sí, como sigue: a) Las rectas son proyección de las tangentes y de las curvas del alineamiento horizontal. b) Las curvas verticales son proyección de las tangentes o de tangentes y curvas del alineamiento horizontal. c) Dos rectas contiguas se unen por medio de una curva vertical parabólica, excepto cuando la diferencia algebraica de sus pendientes sea igual o menor a la variación máxima respectiva, admitida para cuerdas de 20 m. d) La compensación de la pendiente debe hacerse en cada curva del alineamiento horizontal, a razón de cinco centésimos por ciento (0.05%) por cada grado de su curvatura. Las rectas tienen las siguientes propiedades: a) Longitud definida por el cadenamiento de sus puntos extremos. b) Pendiente, definida por su tangente geométrica. c) Signo, definido por el ascenso o descenso. La rasante es la superficie de rodamiento de una vía férrea, terminado conforme a los niveles y secciones del proyecto. Las curvas verticales parabólicas, tienen las siguientes propiedades: a) variación constante, V, de la pendiente, para cada cuerda de veinte (20) metros., b) Ángulo de deflexión, β, determinado por la tangente geométrica de la diferencia algebraica de las pendientes, en las dos (2) rectas consecutivas que se intersectan. c) El punto de intersección de dos (2) rectas consecutivas debe coincidir con el centro o con uno de los extremos de una estación de veinte (20) metros.
d) Número de estaciones, N, expresado por un número entero, aproximando siempre al inmediato superior, que se calcula con la fórmula: N= β V N, es par, si el PIV está en uno de los extremos de la estación. N, es impar, si el PIV se encuentra en el centro de la estación. e) Longitud de una vertical parabólica, L, que se calcula con la fórmula: L = 20N La liga de dos (2) rectas consecutivas no requiere curva vertical, cuando la diferencia de sus pendientes es tal, que el número de estaciones, N, es igual o menor que uno (N≤1). En las curvas verticales, las variaciones máximas de pendiente, V, serán las siguientes: VÍAS Clase A Clase B Clase C Clase D
En CIMA 0.10 01.0 0.20 Según lo indique el proyecto
En COLUMPIO 0.05 0.05 0.10 Según lo indique el proyecto
Unidades. Las longitudes deberán expresarse en kilómetros y en metros con aproximación al cm. Las elevaciones y los desniveles deberán expresarse en metros con aproximación al cm. Las pendientes y los ángulos verticales se expresarán en por ciento (%) con aproximación al centésimo. EJEMPLO DE CURVAS VERTICALES PARA FFCC. Las curvas que se utilizan en vías férreas son parábolas con su eje de simetría vertical.
COLUMPIO
CRESTA
Las curvas verticales se calculan considerándolas formadas por un número ENTERO de estaciones de 20 m, existen algunos principios geométricos aplicables como son: 1. Si en u na p arábo la de eje vertical ins cribim os un po lígo no cuy os lados tengan pro yeccio nes ho rizontales d el mism o tam añ o, la diferencia entre las pendientes de do s lados c onsecutivo s es igual para cualquier par de cuerdas qu e se considere.
p
p’
p-p’ = p’ -p” = Δp = K 20 m
Si de un punto exterior a una parábola, trazamos dos tangentes a la curva, las proyecciones horizontales de éstos son iguales. La longitud de una curva vertical puede determinarse considerando que la curva debe permitir el cambio de dirección del alineamiento vertical desde una pendiente S 1 hasta otra S 2 . El cambio de una pendiente a otra debe ser lento teniendo en cuenta la comodidad en el transporte y la categoría de la vía férrea. Para México: N = S 2 – S 1 Δ p
y L = 20N
El número de estaciones calculado deberá ajustarse de tal manera que resulte ser entero, haciendo que el PCV quede siempre en estación cerrada de 20 m. el PIV, puede quedar en estación cerrada o a media estación. Si el número de estaciones cerradas, es igual o menor a L, no se proyecta curva vertical, se sustituyen las dos tangentes verticales por una sola. La ecuación para el cálculo de la curva vertical es. Y = RX², en donde, R = S 2 – S1 10N X = número de orden de estación. PCV; X = 0 PCV + 1 est; X = 1 PCV + 2 est; X = 2 Ejemplo. Calcular la curva vertical con los siguientes datos: S1 = - 0.4% S2 = + 0.2% Cad PIV = 3+260 elevación de éste, es 1983.50 m Vía Férrea clase “B” Solución. Se trata de un columpio. El Δp = 0.05% por cada 20 m (éste de acuerdo con la clase de vía férrea seleccionada). Δh = 20 X 0.4 = 0.08 m 100 N = número de estaciones cerradas de 20 m; N = S2 – S1 y L = 20N Δp N = +0.2 + 0.4 = 0.6 = 12; N =12 0.05 0.05 Como el PIV es estación cerrada y “N” es par, quedará L = 20N = 20 X 12 = 240 m Cad del PCV = PIV – L = 3260 – 120 = 3140 m 2
Cad del PVT = PIV + L = 3260 + 120 = 3380 m 2 Ahora las Cotas del PCV y del PTV, serán: Cota del PCV = cota PIV + ΔH1 =1983.5+120 (0.4) = 1983.5 + 0.48= 1983.98 m (100) Cota del PTV = Cota PIV + ΔH2 =1983.50+120(0.20) = 1983.5 + 0.24= 1983.74 m (100) K = S2 – S1 = 0.2 – (- 0.4) = 0.60 = +0.005 10N 10(12) 120 K = + 0.005 EST PCV 3+140 160 180 200 220 240 PIV 3+260 280 300 320 340 360 PTV 3+380
COTA TANGENTE 1983.98 1983.90 1983.82 1983.74 1983.66 1983.58 1983.50 1983.42 1983.34 1983.26 1983.18 1983.10 1983.02
K +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005 +0.005
El Siguiente EJEMPLO, será: Ahora una Curva vertical en CRESTA Cad PIV = 16+310 Cota PIV = 1320.00 m S1 = +0.3%; S2 = -0.05% Vía Férrea clase “C” Δp = 0.2% (de tabla y con respecto a clase “C”)
X X² 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81 10 100 11 121 12 144
KX² 0 +0.005 +0.020 +0.045 +0.080 +0.125 +0.180 +0.245 +0.320 +0.405 +0.500 +0.605 +0.720
COTA CURVA 1983.98 1983.905 1983.84 1983.785 1983.74 1983.705 1983.680 1983.665 1983.660 1983.665 1983.680 1983.705 1983.740
DATOS:
S1 = +0.3%; S2 = -0.05% Cad PIV = 16+310; elev. 1320.00 m Vía Férrea Clase “C”
Solución: Se trata de una curva en CRESTA t1 Δp = 0.20% por cada 20 metros (este valor depende de la clase de vía férrea) Δh = 20 X 0.3 = 0.06 m 100
6 cm
N = número de estaciones cerradas de 20 m; N = = S2 – S1 Δp N = -0.5 – (0.3) = -0.8 = 4; N = 4 0.20% 0.20% L = 20N = 20x4 = 80m. Pero para que PCV y PTV queden en estaciones cerradas de 20 m L = 100.
Cad PCV = PIV – L = 16310 – 50 = 16260 2 Cad PTV = PIV + L = 16310 + 50 = 16360 2 Cotas DE PCV y PTV Cota PCV = Cota PIV – ΔH1 = 1320 – 50 (0.30) = 1319.85 (100) Cota PTV = Cota PIV – ΔH2 = 1320 – 50 (0.50) = 1319.75 (100) K = S1 - S2 = -0.5 – (0.3) = - 0.80 = - 0.016 10N 10X 5 50 S1 = +0.3% S2 = -0.5%
CRESTA
EST
COTA DE TANGENTE
PCV 16+260 280 300 PIV 16+310 320 340 16+360
1319.85 1319.91 1319.97 1320.00 1320.03 1320.09 1320.15
K
X
X²
KX² COTA DE LA CURVA -0.016 0 0 0 1319.85 -0.016 1 1 0.016 1319.894 -0.016 2 4 0.064 1319.906 -0.016 2.5 6.25 0.1000 1319.90 -0.016 3 9 0.144 1319.886 -0.016 4 16 0.256 1319.834 -0.016 5 25 0.400 1319.75
Nota: Se incrementa “L”, a fin de obtener estaciones cerradas de 20 m en las PCV y PTV.