BAB I GRUP
1.1. Pendahuluan Grup Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melakukan perhitungan-perhitungan, seperti operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perkalian matriks, penjumlahan matriks, dan sebagainya. Operasi-operasi tersebut dilakukan dalam suatu himpunan, seperti himpunan semua bilangan bulat, himpunan semua bilangan real, himpunan semua matriks 2x2 atas bilangan real, dan sebagainya. Pandang himpunan semua bilangan bulat ℤ = {..., −3, −2, −1, 0,1, 2, 3,...} dan operasi penjumlahan “+”. Dengan mudah dapat diketahui bahwa himpunan ℤ terhadap operasi “+” berlaku sifat-sifat berikut ini: 1. Apabila diambil sebarang dua bilangan bulat, maka hasil penjumlahan kedua bilangan bulat tersebut juga merupakan bilangan bulat, sehingga operasi penjumlahan pada himpunan semua bilangan bulat bersifat tertutup, yaitu
( ∀a, b ∈ ℤ ) a + b ∈ ℤ . 2. Apabila diambil sebarang tiga bilangan bulat
a, b, c ∈ ℤ , maka hasil
penjumlahan a + b kemudian hasilnya dijumlahkan dengan c akan sama hasilnya dengan a dijumlahkan dengan hasil penjumlahan b + c , atau operasi penjumlahan pada himpunan semua bilangan bulat bersifat assosiatif, yaitu
( ∀a, b, c ∈ ℤ )( a + b ) + c = a + ( b + c ) . 3. Di dalam himpunan semua bilangan bulat, terdapat suatu bilangan yang apabila dijumlahkan dengan sebarang bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat itu sendiri, suatu bilangan tersebut adalah bilangan nol. Jadi, terhadap operasi penjumlahan, himpunan semua bilangan bulat mempunyai elemen identitas terhadap penjumlahan, yaitu ( ∃0 ∈ ℤ )( ∀a ∈ ℤ ) a + 0 = 0 + a = a . 4. Apabila diambil sebarang bilangan bulat a, maka selalu dapat ditemukan suatu bilangan bulat sehingga kedua bilangan bulat tersebut apabila dijumlahkan menghasilkan elemen identitas yaitu 0. Suatu bilangan bulat tersebut adalah − a . Jadi, setiap bilangan bulat mempunyai invers terhadap operasi penjumlahan, yaitu ( ∀a ∈ ℤ )( ∃ − a ∈ ℤ ) a + ( −a ) = − a + a = 0 .
1
Selanjutnya, pandang himpunan semua bilangan real tidak nol ℝ∗ = ℝ − {0} dan operasi perkalian “.”. Dapat dengan mudah diketahui bahwa ℝ∗ terhadap operasi perkalian berlaku sifat-sifat berikut ini: 1.
( ∀a, b ∈ ℝ ) a ⋅ b ∈ ℝ
2.
( ∀a, b, c ∈ ℝ ) ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )
3.
( ∃1∈ ℝ )(∀a ∈ ℝ ) a ⋅1 = 1⋅ a = a
4.
( ∀a ∈ ℝ ) ∃ 1a ∈ ℝ
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
1 1 a⋅ = ⋅a =1 a a
Dari kedua contoh di atas, dapat dilihat bahwa himpunan ℤ terhadap opearsi penjumlahan dan himpunan ℝ∗ terhadap operasi perkalian mempunyai empat sifat yang sama. Sebagai latihan, diberikan himpunan semua matriks 2x2 atas himpunan
a b semua bilangan real, yaitu M 2 ( ℝ ) = a, b, c, d ∈ ℝ . Selidikilah apakah c d himpunan M 2 ( ℝ ) terhadap operasi penjumlahan matriks juga memenuhi keempat sifat yang sama seperti pada kedua contoh di atas. Pandang himpunan semua bilangan bulat ℤ terhadap operasi perkalian. Dapat dilihat bahwa himpunan ℤ terhadap operasi perkalian hanya memenuhi tiga sifat yang pertama, yaitu: 1.
( ∀a, b ∈ ℤ ) a ⋅ b ∈ ℤ
2.
( ∀a, b, c ∈ ℤ )( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )
3.
( ∃1∈ ℤ )( ∀a ∈ ℤ ) a ⋅1 = 1⋅ a = a
1 1 1 Tetapi untuk sifat yang ke-4, yaitu ( ∀a ∈ ℤ ) ∃ ∈ ℤ a ⋅ = ⋅ a = 1 tidak dipenuhi, a a a sebab terdapat 2 ∈ ℤ sedemikian hingga ( ∀a ∈ ℤ ) 2 ⋅ a ≠ 1 , dapat dilihat juga bahwa 1 ∉ℤ . 2
2
Selanjutnya, pandang himpunan semua bilangan asli ℕ = {1, 2,3,...} . Dapat dilihat bahwa himpunan ℕ terhadap penjumlahan hanya memenuhi sifat ke-1 dan ke-2 saja. Sedangkan himpunan ℕ terhadap operasi perkalian memenuhi sifat ke-1, ke-2 dan ke-3. Dari contoh-contoh di atas, dapat didefinisikan konsep mengenai suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan suatu operasi dan memenuhi sifat-sifat yang telah diberikan di atas. Diberikan suatu himpunan tidak kosong G.
Definisi 1.1.1. (Struktur Aljabar) Diberikan operasi-operasi ∗1 , ∗2 ,... pada G. Suatu himpunan yang dilengkapi dengan operasi-operasi pada G disebut dengan struktur
aljabar atau himpunan yang berstruktur. Ditulis dengan ( G, ∗1 , ∗2 ,...) .
Contoh 1.1.2. Contoh struktur aljabar ada banyak sekali, seperti himpunan semua bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, yaitu ( ℤ, + ) , dapat juga dengan operasi perkalian, yaitu ( ℤ, ⋅) , atau kedua operasi digunakan semua, yaitu ( ℤ, +, ⋅) .
Pada mata kuliah Aljabar Abstrak I, pembahasan difokuskan pada struktur aljabar dengan satu operasi. Untuk struktur aljabar dengan dua operasi akan diberikan pada mata kuliah Aljabar Abstrak II.
Definisi 1.1.2. (Operasi Biner & Grupoid) Suatu operasi “ ∗ ” pada G disebut operasi biner jika operasi tersebut bersifat tertutup, yaitu ( ∀a, b ∈ G ) a ∗ b ∈ G . Struktur aljabar
( G, ∗)
yang dilengkapi dengan suatu operasi biner disebut dengan grupoid.
Contoh 1.1.3. 1. Contoh grupoid yaitu ( ℤ, + ) , ( ℤ, ⋅) , ( ℤ, − ) , ( ℕ, + ) , ( ℝ, + ) , ( M 2 ( ℝ ) , + ) dan
( M ( ℝ ) , ⋅) . 2
3
2. Contoh bukan grupoid yaitu
a *b =
( ℕ, − ) , ( ℝ ∗ , + )
dan
( ℤ,*)
dengan definisi
a+b , ∀a , b ∈ ℤ . 2
Kembali pada bagian motivasi pada awal bab, diberikan grupoid ( ℤ, + ) . Telah diketahui bahwa pada ( ℤ, + ) berlaku: 1.
( ∀a, b ∈ ℤ ) a + b ∈ ℤ
2.
( ∀a, b, c ∈ ℤ )( a + b ) + c = a + ( b + c )
3.
( ∃0 ∈ ℤ )( ∀a ∈ ℤ ) a + 0 = 0 + a = a
4.
( ∀a ∈ ℤ )( ∃ − a ∈ ℤ ) a + ( −a ) = −a + a = 0
(Tertutup terhadap “+” ) (Assosiatif terhadap “+” )
(Memuat elemen identitas terhadap “+” ) (Setiap elemen mempunyai invers
terhadap “+” ) Diberikan grupoid ( ℝ∗ , ⋅) , telah dikeahui bahwa pada ( ℝ∗ , ⋅) berlaku sifat-sifat yang sama seperti pada grupoid ( ℤ, + ) , yaitu: 1.
( ∀a, b ∈ ℝ ) a ⋅ b ∈ ℝ
2.
( ∀a, b, c ∈ ℝ ) ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) (Assosiatif terhadap “.” )
3.
( ∃1∈ ℝ )(∀a ∈ ℝ ) a ⋅1 = 1⋅ a = a (Memuat elemen identitas terhadap “.” )
4.
( ∀a ∈ ℝ ) ∃ 1a ∈ ℝ
∗
∗
(Tertutup terhadap “.” )
∗
∗
∗
∗
∗
1 1 a ⋅ = ⋅ a = 1 (Setiap elemen mempunyai invers terhadap a a
“.” ) Demikian juga pada himpunan semua matriks 2x2 atas ℝ
terhadap operasi
penjumlahan matriks yaitu ( M 2 ( ℝ ) , + ) , ternyata mempunyai empat sifat yang sama seperti pada ( ℤ, + ) dan ( ℝ∗ , ⋅) , yaitu 1.
( ∀A, B ∈ M ( ℝ ) ) A + B ∈ M ( ℝ )
2.
( ∀A, B, C ∈ M ( ℝ ) ) ( A + B ) + C = A + ( B + C )
2
2
2
4
0 0 3. ∃O = ∈ M 2 ( ℝ ) ( ∀A ∈ M 2 ( ℝ ) ) A + O = O + A = A 0 0 a b − a −b 4. ∀A = ∈ M 2 ( ℝ ) ∃ − A = ∈ M 2 ( ℝ ) A + ( − A) = − A + A = O c d −c − d
Akan tetapi ada grupoid yang tidak memenuhi empat sifat tersebut, seperti diberikan berikut ini. Grupoid ( ℤ, ⋅) memenuhi sifat-sifat berikut: 1.
( ∀a, b ∈ ℤ ) a ⋅ b ∈ ℤ
2.
( ∀a, b, c ∈ ℤ )( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )
3.
( ∃1∈ ℤ )( ∀a ∈ ℤ ) a ⋅1 = 1⋅ a = a
4. Akan tetapi sifat setiap elemen mempunyai invers terhadap “.” tidak dipenuhi, sebab terdapat 2 ∈ ℤ yang tidak mempunyai invers terhadap “.” dalam ℤ . Diberikan grupoid ( ℕ, + ) , dapat dilihat bahwa pada ( ℕ, + ) tidak memenuhi empat sifat tersebut, yaitu: 1.
( ∀a, b ∈ ℕ ) a + b ∈ ℕ
2.
( ∀a, b, c ∈ ℕ )( a + b ) + c = a + ( b + c )
(Tertutup terhadap “+” ) (Assosiatif terhadap “+” )
3. Himpunan ℕ tidak memuat elemen identitas terhadap “+” yaitu 0. 4. Karena sifat ke-3 tidak dipenuhi, maka sifat ke-4 jelas tidak dipenuhi. Diberikan himpunan ℤ dan operasi pengurangan "− " pada ℤ . Dapat dilihat bahwa pada ( ℤ, − ) berlaku: 1.
( ∀a, b ∈ ℤ ) a − b ∈ ℤ
2. Tidak bersifat assosiatif, sebagai counter example-nya, diambil 2,3, 4 ∈ ℤ , maka diperoleh:
( 2 − 3) − 4 = −1 − 4 = −5 2 − ( 3 − 4 ) = 2 − ( −1) = 2 + 1 = 3 Sehingga ( 2 − 3) − 4 ≠ 2 − ( 3 − 4 ) .
5
Untuk sifat ke-3 dan ke-4, silahkan diselidiki sebagai latihan.
Dari beberapa contoh dan uraian di atas, dapat dilihat bahwa suatu grupoid dapat memenuhi sifat tertutup, assosiatif, memuat elemen identitas dan setiap elemen mempunyai invers. Akan tetapi ada juga yang hanya memenuhi sifat tertutup, assosiatif dan memuat elemen identitas, atau hanya memenuhi sifat tertutup dan assosiatif saja, bahkan ada juga yang hanya memenuhi sifat tertutup saja. Dari motivasi tersebut, dapat dibuat suatu definisi mengenai struktur aljabar yang memenuhi sifat-sifat tersebut, seperti diberikan pada definisi berikut ini.
Definisi 1.1.4. (Grup) Diberikan himpunan tidak kosong G yang dilengkapi dengan operasi “ ∗ ”. Himpunan G disebut grup terhadap operasi “ ∗ ” jika memenuhi empat aksioma berikut ini: 1. Operasi biner (G1) :
( ∀a, b ∈ G ) a ∗ b ∈ G 2. Assosiatif (G2) :
( ∀a, b, c ∈ G )( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) 3. Memuat elemen identitas (G3) :
( ∃e ∈ G )( ∀a ∈ G ) a ∗ e = e ∗ a = a 4. Setiap elemen mempunyai invers (G4) :
( ∀a ∈ G ) ( ∃a −1 ∈ G ) a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e Lebih lanjut, ( G, ∗) disebut semigrup jika memenuhi aksioma (G1) dan (G2), ( G, ∗) disebut monoid jika memenuhi aksioma (G1), (G2) dan (G3).
Untuk selanjutnya, grup
( G, ∗)
dapat cukup ditulis dengan G saja apabila
operasi binernya sudah diketahui. Dari definisi di atas dapat dilihat bahwa setiap grup merupakan semigrup dan monoid, dan setiap monoid merupakan semigrup. Akan tetapi belum tentu berlaku sebaliknya.
Contoh 1.1.5.
6
1. Contoh grup yaitu ( ℤ, + ) , ( ℝ, + ) , ( ℝ∗ , ⋅) dan ( M 2 ( ℝ ) , + )
( ℤ, + )
2. Grup
mempunyai elemen identitas e = 0 , grup
elemen identitas e = 0 , grup
( ℝ , ⋅) ∗
( ℝ, + )
mempunyai
mempunyai elemen identitas e = 1 , dan
0 0 grup ( M 2 ( ℝ ) , + ) mempunyai elemen identitas e = . 0 0 3. Invers a ∈ ℤ pada grup ( ℤ, + ) adalah a −1 = − a ∈ ℤ , invers a ∈ ℝ pada grup
( ℝ, + ) a −1 =
adalah
a −1 = − a ∈ ℝ , invers
a ∈ ℝ∗
pada grup
( ℝ , ⋅) ∗
adalah
a b 1 ∈ ℝ ∗ , dan invers A = ∈ M 2 ( ℝ ) pada grup ( M 2 ( ℝ ) , + ) adalah a c d
−a −b A−1 = − A = ∈ M2 (ℝ) . −c − d 4. Contoh bukan grup yaitu ( ℕ, + ) , ( ℤ, ⋅) , ( ℝ, ⋅) dan ( M 2 ( ℝ ) , ⋅) .
Lathihan 1.1.6. 1. Diberikan himpunan semua bilangan kompleks ℂ = { x + yi x, y ∈ ℝ} dengan
i = −1 . Diberikan operasi penjumlahan “+” pada ℂ yaitu untuk a, b ∈ ℂ dengan a = x1 + y1i dan b = x2 + y2i , a + b = ( x1 + y1 ) + ( x2 + y2 ) i . Buktikan bahwa ( ℂ, + ) merupakan grup. 2. Diberikan himpunan A = {1, 2,3} . Dibentuk himpunan kuasa dari A, yaitu himpunan semua himpunan bagian dari A, yaitu P ( A ) = {S S ⊆ A} , apabila ditulis semua elemen-elemennya yaitu
P ( A ) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1,3} , {2,3} , A} . Diberikan operasi irisan himpunan “ ∩ ” dan gabungan himpunan “ ∪ ” pada
P ( A ) . Selidiki apakah
( P ( A) , ∩)
atau semigrup.
7
dan
( P ( A) , ∪)
merupakan grup, monoid
Latihan 1.1.7. Pada titik-titik dalam tabel di bawah ini, berilah tanda centang (v) jika memenuhi atau tanda minus (-) jika tidak memenuhi. Himpunan
Definisi operasi “ ∗ ”
Grupoid
Semigrup
Monoid
Grup
ℤ
a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℤ
....
....
....
....
ℤ
a ∗ b := a − b, ∀a, b ∈ ℤ
....
....
....
....
ℤ
a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℤ
....
....
....
....
ℤ
a ∗ b :=
a , ∀a, b ∈ ℤ b
....
....
....
....
ℤ
a ∗ b := a b , ∀a, b ∈ ℤ
....
....
....
....
ℕ
a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℕ
....
....
....
....
ℕ
a ∗ b := a − b, ∀a, b ∈ ℕ
....
....
....
....
ℕ
a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℕ
....
....
....
....
ℕ 0 = ℕ ∪ {0}
a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℕ 0
....
....
....
....
ℝ
a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℝ
....
....
....
....
ℝ
a ∗ b := a − b, ∀a, b ∈ ℝ
....
....
....
....
ℝ
a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℝ
....
....
....
....
ℝ∗ = ℝ − {0}
a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℝ
....
....
....
....
ℝ∗ = ℝ − {0}
a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℝ ∗
....
....
....
....
ℚ
a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℚ
....
....
....
....
ℚ
a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℚ
....
....
....
....
ℚ∗ = ℚ − {0}
a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℚ∗
....
....
....
....
ℂ
a ∗ b := a + b, ∀a, b ∈ ℂ
....
....
....
....
ℂ
a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℂ
....
....
....
....
ℂ∗ = ℂ − {0}
a ∗ b := a ⋅ b, ∀a, b ∈ ℂ∗
....
....
....
....
M 2 (ℝ)
A ∗ B := A + B, ∀A, B ∈ M 2 ( ℝ )
....
....
....
....
M 2 (ℝ)
A ∗ B := A ⋅ B, ∀A, B ∈ M 2 ( ℝ )
....
....
....
....
M 2 (ℝ)
A ∗ B := A − B, ∀A, B ∈ M 2 ( ℝ )
....
....
....
....
8
Latihan 1.1.8. Diberikan GL2 ( ℝ ) adalah himpunan semua matriks berukuran 2x2 atas
ℝ
yang
invertibel
atau
yang
mempunyai
determinan
tidak
nol,
yaitu
a b GL2 ( ℝ ) = a, b, c, d ∈ ℝ, ad − bc ≠ 0 . Buktikan bahwa GL2 ( ℝ ) merupakan c d grup terhadap operasi perkalian matriks. Diketahui bahwa ( ℤ, + ) dan ( GL2 ( ℝ ) , ⋅) merupakan grup. Diambil sebarang
a, b ∈ ℤ , dapat dilihat bahwa a + b = b + a , yaitu operasi “+” pada ℤ bersifat komutatif. Apakah pada grup GL2 ( ℝ ) juga bersifat komutatif? Diambil matriks A, B ∈ GL2 ( ℝ )
1 2 2 1 dengan A = dan B = , diperoleh: 2 3 1 1 1 2 2 1 2 + 1 2 + 2 3 4 A⋅ B = ⋅ = = 2 3 1 1 4 + 3 2 + 3 7 5 2 1 1 2 2 + 2 4 + 3 4 7 B⋅ A = ⋅ = = 1 1 2 3 1 + 2 2 + 3 3 5 Ternyata diperoleh bahwa A ⋅ B ≠ B ⋅ A , sehingga operasi perkalian matriks pada grup
1 2 2 1 GL2 ( ℝ ) tidak bersifat komutatif, sebab terdapat A = dan B = 2 3 1 1 sedemikian hingga A ⋅ B ≠ B ⋅ A . Dari sini dapat diperoleh bahwa operasi biner pada grup dapat bersifat komutatif atau bersifat tidak komutatif. Oleh karena itu, dapat didefinisikan suatu grup yang operasi binernya bersifat komutatif, seperti diberikan pada definisi berikuti ini.
Definisi 1.1.9. (Grup Abelian) Suatu grup ( G, ∗) disebut grup Abelian atau grup komutatif jika operasi biner “∗ ” bersifat komutatif, yaitu
( ∀a, b ∈ G ) a ∗ b = b ∗ a .
Grup ( G, ∗) disebut grup non-Abelian atau grup non-komutatif jika operasi biner “ ∗ ” tidak bersifat komutatif, yaitu ( ∃a, b ∈ G ) a ∗ b ≠ b ∗ a .
Contoh 1.1.10.
9
1. Contoh grup Abelian adalah ( ℤ, + ) , ( ℝ∗ , ⋅) dan ( M 2 ( ℝ ) , + ) . 2. Contoh grup non-komutatif adalah ( GL2 ( ℝ ) , ⋅) .
Teorema 1.1.11. (Produk dari Grup) Diberikan grup ( G1 , ∗1 ) , ( G2 , ∗2 ) , ..., ( Gn , ∗n ) dengan elemen identitas berturut-turut adalah e1 , e2 ,..., en . Dibentuk himpunan G1 × G2 ×⋯ × Gn = {( a1 , a2 ,..., an ) ai ∈ Gi , i = 1, 2,..., n} . Diberikan operasi biner “ ∗ ” pada G dengan definisi untuk a, b ∈ G dengan
a = ( a1 , a2 ,..., an ) dan b = ( b1 , b2 ,..., bn ) , a ∗ b := ( a1 ∗1 b1 , a2 ∗2 b2 ,..., an ∗n bn ) , Jika G = G1 × G2 ×⋯ × Gn , maka
( G, ∗)
merupakan grup. Lebih lanjut, grup ini
mempunyai elemen identitas e = ( e1 , e2 ,..., en ) .
Bukti: Sebagai latihan mahasiswa.
10
Soal-soal Latihan Subbab 1.1. 1. Diberikan himpunan ℝ 2 =
{( x, y ) x, y ∈ ℝ} . Didefinisikan operasi penjumlahan
“ ⊕ ” pada ℝ 2 , yaitu untuk ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ∈ ℝ 2 ,
( x1 , y1 ) ⊕ ( x2 , y2 ) := ( x1 + x2 , y1 + y2 ) . Buktikan bahwa ( ℝ 2 , ⊕ ) merupakan grup Abelian. 2. Diberikan himpunan semua polinomial atas ℝ dengan derajat ≤ 2 , yaitu
P2 ( x ) = {a0 + a1 x + a2 x 2 a0 , a1 , a2 ∈ ℝ} . Didefinisikan operasi penjumlahan “+” pada P2 ( x ) , yaitu untuk f ( x ) , g ( x ) ∈ P2 ( x ) dengan f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 dan
g ( x ) = b0 + b1 x + b2 x 2 , didefinisikan f ( x ) + g ( x ) := a0 + b0 + ( a1 + b1 ) x + ( a2 + b2 ) x 2 . Buktikan bahwa ( P2 ( x ) , + ) merupakan grup Abelian. 3. Diberikan himpunan semua bilangan bulat ℤ . Diberikan operasi “ ∗ ” pada ℤ , yaitu untuk a, b ∈ ℤ didefinisikan a ∗ b := a + b + 1 . Selidiki apakah merupakan grup? Bagaimana jika didefinisikan
( ℤ, ∗ )
a ∗ b := a + b + ab , apakah
membentuk grup juga? Jelaskan.
a b 4. Diberikan SL2 ( ℝ ) = a, b, c, d ∈ ℝ, ad − bc = 1 yaitu himpunan semua c d matriks 2x2 atas ℝ dengan determinan 1. a. Buktikan bahwa SL2 ( ℝ ) grup terhadap operasi perkalian matriks. b. Apakah SL2 ( ℝ ) grup Abelian? Jelaskan. 5. Diberikan grup Abelian G dan H. Buktikan bahwa grup G × H Abelian.
11
1.2. Sifat-sifat Dasar Grup Setelah diberikan pengertian mengenai grup, berikut ini diberikan beberapa sifat dasar yang dimiliki oleh grup.
Lemma 1.2.1. (Sifat Kanselasi) Diberikan grup ( G, ∗) , maka berlaku: 1. Kanselasi kiri: ( ∀a, b, c ∈ G ) a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c . 2. Kanselasi kanan: ( ∀a, b, c ∈ G ) a ∗ c = b ∗ c ⇒ a = b .
Bukti: Diambil sebarang a, b, c ∈ G . Diketahui G merupakan grup dan a, c ∈ G , berdasarkan aksioma G4, terdapat a −1 , c −1 ∈ G sedemikian hingga a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e dan b ∗ b −1 = b −1 ∗ b = e . 1. Diketahui a ∗ b = a ∗ c , selanjutnya kedua ruas dioperasikan dengan a −1 dari kiri, diperoleh bahwa
a −1 ∗ ( a ∗ b ) = a −1 ∗ ( a ∗ c ) . Berdasarkan aksioma assosiatif (G2), diperoleh
(a
−1
∗ a ) ∗ b = ( a −1 ∗ a ) ∗ c .
Diketahui dari aksioma G4 bahwa a −1 ∗ a = e , sehingga berakibat bahwa
e ∗b = e ∗c . Karena e ∈ G adalah elemen identitas dari grup G, menggunakan aksioma G3 diperoleh bahwa b = c . Dengan demikian, terbukti bahwa pada grup G berlaku sifat kanselasi kiri. █ 2. Bukti kanselasi kanan untuk latihan mahasiswa.
Dapat diperhatikan bahwa suatu grup memiliki tepat satu elemen identitas, seperti grup ( ℤ, + ) hanya memuat satu elemen identitas yaitu 0. Teorema berikut ini merupakan jaminan bahwa setiap grup memuat tepat satu elemen identitas atau bersifat tunggal.
12
Teorema 1.2.2. (Ketunggalan Elemen Identitas) Diberikan grup ( G, ∗) , maka grup G mempunyai elemen identitas tunggal, yaitu ( ∃!e ∈ G )( ∀a ∈ G ) a ∗ e = e ∗ a = a .
Bukti: Diambil sebarang a ∈ G , diketahui e ∈ G adalah elemen indentitas dari G, maka berlaku
a∗e = e∗a = a
(1.1)
Misalkan terdapat e′ ∈ G sedemikian hingga
a ∗ e′ = e′ ∗ a = a
(1.2)
Akan ditunjukkan bahwa e = e′ . Dari (1.1) dan (1.2) diperoleh bahwa
a * e = a ∗ e′ , Menggunakan sifat kanselasi kiri diperoleh bahwa e = e′ . Jadi, terbukti bahwa elemen identitas pada grup G bersifat tunggal. █
Teorema 1.2.3. (Ketunggalan Invers) Diberikan grup
( G , ∗)
dan a ∈ G , maka a
mempunyai invers tunggal, yaitu ( ∀a ∈ G ) ( ∃!a −1 ∈ G ) a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e .
Bukti: Diambil sebarang a ∈ G , berdasarkan aksioma G4, terdapat a −1 ∈ G sedemikian hingga
a ∗ a −1 = a −1 ∗ a = e .
(1.3)
Misalkan terdapat a′ ∈ G sedemikian hingga
a ∗ a ′ = a′ ∗ a = e
(1.4)
akan ditunjukkan bahwa a −1 = a′ . Dari (1.3) dan (1.4) diperoleh
a ∗ a −1 = a ∗ a ′ , Menggunakan sifat kanselasi kiri, diperoleh bahwa a −1 = a′ . Jadi, terbukti bahwa invers dari setiap elemen grup G bersifat tunggal. █
Notasi: Untuk
selanjutnya,
karena
pada
grup
berlaku
sifat
assosiatif,
yaitu
a ∗ (b ∗ c) = ( a ∗ b ) ∗ c , untuk setiap a, b, c ∈ G , penulisan a ∗ (b ∗ c) dan ( a ∗ b ) ∗ c dapat cukup ditulis dengan a ∗ b ∗ c .
13
Teorema 1.2.4. Diberikan grup ( G, ∗) , maka berlaku 1.
( ∀a, b ∈ G )( a ∗ b )
2.
( ∀a ∈ G ) ( a −1 )
−1
−1
= b −1 ∗ a −1 .
=a.
Bukti: 1. Diambil sebarang a, b ∈ G , berdasarkan aksioma G1 diperoleh bahwa a ∗ b ∈ G , selanjutnya berdasarkan aksioma G4, terdapat ( a ∗ b ) ∈ G sedemikian hingga −1
a ∗b ∗(a ∗b) = e . −1
(1.5)
Diketahui a, b ∈ G , berdasarkan aksioma G4, terdapat a −1 , b −1 ∈ G sedemikian hingga a −1 ∗ a = e dan b −1 ∗ b = e , sehingga dari (1.5) diperoleh bahwa
a ∗ b ∗ (a ∗ b) = e −1
Kedua ruas dioperasikan dari kiri dengan a −1 , diperoleh
a −1 ∗ a ∗ b ∗ ( a ∗ b ) = a −1 ∗ e . −1
Menggunakan aksioma G4 diperoleh
e ∗ b ∗ ( a ∗ b ) = a −1 , −1
Berdasarkan aksioma G3 diperoleh bahwa
b ∗ ( a ∗ b ) = a −1 . −1
Selanjutnya, kedua ruas dioperasikan dari kiri dengan b −1 , diperoleh
b −1 ∗ b ∗ ( a ∗ b ) = b −1 ∗ a −1 . −1
Menggunakan aksioma G4 diperoleh
e ∗ ( a ∗ b ) = b −1 ∗ a −1 −1
Berdasarkan aksioma G3 diperoleh bahwa
( a ∗ b)
−1
= b −1 ∗ a −1 .
Jadi, terbukti bahwa ( a ∗ b ) = b −1 ∗ a −1 , ∀a, b ∈ G . █ −1
14
2. Diambil sebarang a ∈ G , menurut aksioma G4, terdapat a −1 ∈ G sedemikian hingga
a ∗ a −1 = e .
(1.6)
Diketahui a −1 ∈ G , berdasarkan aksioma G4, terdapat ( a −1 ) ∈ G sedemikian −1
hingga
(a ) ∗(a ) = e . −1 −1
−1
(1.7)
Dari (1.6) dan (1.7) diperoleh bahwa
(a ) ∗(a ) = a ∗ a −1 −1
−1
−1
,
menggunakan sifat kanselasi kanan diperoleh bahwa ( a −1 ) = a . Jadi, terbukti −1
bahwa ( a −1 ) = a , ∀a ∈ G . █ −1
15
Soal-soal Latihan Subbab 1.2. 1. Diberikan grup ( G, ∗) . Buktikan bahwa G merupakan grup Abelian jika dan hanya jika ( a ∗ b ) = a −1 ∗ b −1 , ∀a, b ∈ G . −1
2. Diberikan grup ( G , ∗) dan a, b ∈ G , buktikan bahwa persamaan a ∗ x = b dan
y ∗ a = b mempunyai solusi tunggal dalam x dan y di G. 3. Diberikan grup ( G, ∗) dan a ∈ G . Jika a ∗ a = a , buktikan bahwa a = e . 4. Diberikan grup ( G , ∗) . Jika G hanya memuat tepat dua elemen, buktikan bahwa
G merupakan grup Abelian.
16
1.3. Grup Himpunan Bilangan Bulat Modulo Pada subbab ini diberikan pengertian mengenai suatu grup yang sangat penting dalam mempelajari teori grup, sebab banyak konsep dalam teori grup yang menggunakannya sebagai contoh. Grup tersebut dikonstruksi menggunakan algoritma pembagian pada himpunan semua bilangan bulat ℤ . Diberikan a ∈ ℤ dan bilangan bulat positif n ∈ ℤ , menggunakan algoritma pembagian pada bilangan bulat, maka terdapat dengan tunggal q, r ∈ ℤ sedemikian hingga
a = qn + r dengan 0 ≤ r ≤ n − 1 . Bilangan bulat q disebut dengan hasil bagi (quotient) dan bilangan bulat r disebut dengan sisa (residu). Sisa pembagian r dinotasikan dengan r = a mod n . Sebagai contoh, diberikan bilangan bulat a = 11 dan n = 4 , maka terdapat dengan tunggal q = 2 dan r = 3 sedemikian hingga 11 = 2 ⋅ 4 + 3 , sehingga dapat ditulis 11mod 4 = 3 . Menggunakan cara yang sama, dapat diperoleh bahwa 10 mod 3 = 1 , 2 mod 3 = 2 , −2 mod 3 = 1 dan −10 mod 3 = 2 .
Latihan 1.3.1. Hitunglah 1. 10 mod 5 = ...
6. 0 mod 5 = ...
2. 12 mod 5 = ...
7. 13 mod 7 = ...
3. 32 mod 5 = ...
8. 13 mod 8 = ...
4. – 10 mod 5 = ...
9. – 13 mod 7 = ...
5. – 12 mod 5 = ...
10. – 45 mod 8 = ...
Untuk n = 5 , maka sisa pembagian yang mungkin apabila suatu bilangan bulat dibagi dengan 5 adalah 0, 1, 2, 3 atau 4. Dapat ditunjukkan bahwa untuk bilangan bulat positif n ∈ ℤ , maka sisa pembagian yang mungkin apabila suatu bilangan bulat dibagi dengan n adalah 0, 1, 2,..., atau n − 1 . Selanjutnya, diperkenalkan konsep mengenai kongruensi pada bilangan bulat sebagai berikut. Diberikan bilangan bulat a, b ∈ ℤ dan bilangan bulat positif n ∈ ℤ . Bilangan bulat a dikatakan kongruen b modulo n jika n membagi habis a − b , ditulis
17
a ≡ b ( mod n ) .
dengan
Sebagai
contoh,
12 ≡ 2 ( mod 5 ) ,
12 ≡ 7 ( mod 5 ) ,
12 ≡ −3 ( mod 5 ) , −12 ≡ 3 ( mod 5 ) dan −12 ≡ 8 ( mod 5 ) . Dapat dibuktikan bahwa kongruensi modulo n merupakan relasi ekuivalensi. Akibatnya, pada ℤ terpecah menjadi kelas-kelas yang saling asing. Untuk a ∈ ℤ , dapat dibentuk kelas yang memuat a, yaitu
{
}
a = x ∈ ℤ x ≡ a ( mod n ) . Sebagai contoh, untuk relasi kongruensi modulo 5, diperoleh lima kelas yang saling asing, yaitu
{ = { x ∈ ℤ 5 x}
{ = { x ∈ ℤ 5 x − 1}
}
}
1 = x ∈ ℤ x ≡ 1( mod 5 )
0 = x ∈ ℤ x ≡ 0 ( mod 5 )
= { x ∈ ℤ x − 1 = 5n, n ∈ ℤ}
= { x ∈ ℤ x = 5n, n ∈ ℤ}
= { x ∈ ℤ x = 5n + 1, n ∈ ℤ}
= {..., −10, −5, 0,5,10,...}
= {..., −9, −4,1, 6,11,...} Menggunakan cara yang sama, diperoleh tiga kelas berikutnya, yaitu
{
}
{
}
{
}
2 = x ∈ ℤ x ≡ 2 ( mod 5 ) = { x ∈ ℤ x = 5n + 2, n ∈ ℤ} = {..., −8, −3, 2, 7,12,...} 3 = x ∈ ℤ x ≡ 3 ( mod 5 ) = { x ∈ ℤ x = 5n + 3, n ∈ ℤ} = {..., −7, −2,3,8,13,...} 4 = x ∈ ℤ x ≡ 4 ( mod 5 ) = { x ∈ ℤ x = 5n + 4, n ∈ ℤ} = {..., −6, −1, 4,9,14,...} Kelas 0 berisi semua bilangan bulat yang kongruen dengan 0 modulo 5, yaitu himpunan semua bilangan bulat yang apabila dibagi dengan 5 mempunyai sisa 0 atau habis dibagi 5. Kelas 1 berisi semua bilangan bulat yang kongruen dengan 1 modulo 5, yaitu himpunan semua bilangan bulat yang apabila dibagi dengan 5 mempunyai sisa 1. Demikian juga untuk kelas 2 , 3 dan 4 . Dapat ditunjukkan bahwa: 0 = 5 = 10 = ... = −5 = −10 = ... 1 = 6 = 11 = ... = −4 = −9 = ...
2 = 7 = 12 = ... = −3 = −8 = ... 3 = 8 = 13 = ... = −2 = −7 = ... 4 = 9 = 14 = ... = −1 = −6 = ...
18
Secara umum, jika diberikan bilangan bulat positif n ∈ ℤ , maka relasi ekuivalensi kongruen modulo n mempunyai n partisi yang saling asing pada ℤ , yaitu 0 , 1 , 2 , ..., dan n − 1 . Dibentuk ℤ n adalah himpunan semua kelas yang didapatkan dari relasi ekuivalensi kongruen modulo n, yaitu
{
}
ℤ n = 0, 1, 2,..., n − 1 .
Pada himpunan ℤ n didefinisikan operasi penjumlahan “+”, yaitu untuk setiap a , b ∈ ℤ n didefinisikan a + b := a + b . Dapat ditunjukkan bahwa
(ℤn , +)
merupakan grup
Abelian. Dari pembahasan mengenai algoritma pembagian pada bilangan bulat, terdapat korespondensi antara kelas-kelas ekuivalensi dengan sisa-sisa pembagian. Oleh karena itu, dapat ditulis ℤ n dengan notasi himpunan semua sisa pembagian oleh n, yaitu
ℤ n = {0,1, 2,..., n − 1} , dengan operasi biner penjumlahan modulo n, yaitu a + b = ( a + b ) mod n , untuk setiap a, b ∈ ℤ n , atau dengan kata lain, untuk a, b ∈ ℤ n , hasil penjumlahan dari a + b adalah sisa pembagian dari a + b dengan n. Grup ( ℤ n , + ) mempunyai elemen identitas 0 ∈ ℤ n .
Latihan 1.3.2. Diberikan grup ℤ 6 = {0,1, 2,3, 4, 5} terhadap operasi penjumlahan modulo 6, yaitu “+”. Hitunglah: 1. 0 + 2 = … 2. 1 + 3 = … 3. 2 + 4 = … 4. 4 + 5 = … 5. 5 + 5 = … Dapat dilihat bahwa invers dari 0 ∈ ℤ 6 adalah 0, invers dari 1∈ ℤ 6 adalah 5, dan invers dari 3∈ ℤ 6 adalah 3.
19
Grup ( ℤ n , + ) merupakan grup yang mempunyai elemen sebanyak berhingga, sedangkan grup ( ℤ, + ) dan ( ℝ, + ) merupakan grup yang mempunyai elemen sebanyak tak berhingga. Oleh karena itu, dapat didefinisikan suatu grup yang mempunyai elemen sebanyak berhingga.
Definisi 1.3.3. (Grup Hingga) Suatu grup yang mempunyai elemen sebanyak berhingga disebut dengan grup hingga (finite group). Suatu grup yang mempunyai elemen sebanyak tak hingga disebut dengan grup tak hingga (infinite group).
Definisi 1.3.4. (Order Grup) Banyaknya elemen dalam suatu grup G disebut dengan order grup, dinotasikan dengan G . Dalam beberapa literatur, order dari G dinotasikan dengan o ( G ) . Contoh grup hingga adalah grup
(ℤn , +) ,
sedangkan contoh grup tak hingga ada banyak sekali,
seperti grup ( ℤ, + ) , ( ℝ, + ) dan ( M 2 ( ℝ ) , + ) . Grup ( ℤ 6 , + ) mempunyai order 6, yaitu
ℤ 6 = 6 , sebab grup ℤ 6 mempunyai elemen sebanyak 6.
20
Soal-soal Latihan Subbab 1.3. 1. Diberikan grup ( ℤ10 , + ) . a. Tentukan order dari grup ℤ10 . b. Tentukan invers dari semua elemen ℤ10 . c. Tentukan order dari grup ℤ10 × ℤ10 . 2. Diberikan grup ( ℤ 2 , + ) . a. Tuliskan semua elemen dari grup ℤ 2 × ℤ 2 . b. Tentukan invers dari semua elemen ℤ 2 × ℤ 2 c. Tentukan order dari grup ℤ 2 × ℤ 2 . 3. Diberikan grup ( ℤ n , + ) . Dibentuk himpunan semua matriks 2x2 atas ℤ n yaitu
a b M 2 ( ℤ n ) = a, b, c, d ∈ ℤ n . Buktikan bahwa M 2 ( ℤ n ) merupakan grup c d terhadap operasi penjumlahan matriks. 4. Tentukan order dari grup M 2 ( ℤ 3 ) . 5. Tentukan order dari grup M 2 ( ℤ 2 × ℤ 2 ) .
21
1.4. Tabel Cayley Untuk mendefinisikan suatu operasi biner pada grup hingga, seperti pada grup
( ℤ 6 , + ) , dapat digunakan suatu tabel yang disebut dengan tabel Cayley. Diberikan grup hingga
( G , ∗)
dengan G = {a1 , a2 ,..., an } . Tabel Cayley dari grup
( G, ∗)
diberikan
sebagai berikut:
∗
a1
a2
...
an
a1
a1 ∗ a1
a1 ∗ a2
...
a1 ∗ an
a2
a2 ∗ a1
a2 ∗ a2
...
a2 ∗ an
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
an
an ∗ a1
an ∗ a2
...
an ∗ an
Contoh 1.4.1. Diberikan grup ( ℤ 4 , + ) , maka tabel Cayley dari grup ℤ 4 adalah +
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
Dari tabel Cayley di atas dapat dilihat bahwa invers dari 0 adalah 0, invers dari 1 adalah 3, invers dari 2 adalah 2, dan invers dari 3 adalah 1, yaitu 0 −1 = − 0 = 0 1−1 = −1 = 3 2 −1 = − 2 = 2 3−1 = −3 = 1 Grup ℤ 4 merupakan grup Abelian, hal ini dapat dilihat dari tabel Cayley, yaitu dengan melihat diagonal-nya yang simetris.
22
Latihan 1.4.2. Diberikan grup ( ℤ 6 , + ) . Lengkapi tabel Cayley untuk grup ℤ 6 berikut. Jawab: +
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
Selanjutnya, tentukan invers dari semua elemen ℤ 6 . 0−1 = −0 = ...
1−1 = −1 = ... 2−1 = −2 = ... 3−1 = −3 = ...
4−1 = −4 = ... 5−1 = −5 = ... Diberikan bilangan prima p, dibentuk ℤ∗p = ℤ p − {0} yaitu himpunan semua elemen tidak nol dari ℤ p = {0,1, 2,..., p − 1} , yaitu ℤ∗p = {1, 2,3,..., p − 1} . Dapat ditunjukkan bahwa ( ℤ∗p , ⋅) merupakan grup terhadap operasi perkalian modulo p. Grup
( ℤ , ⋅) mempunyai elemen identitas e = 1 . ∗ p
Latihan 1.4.3. Diberikan grup ℤ∗7 = {1, 2,3, 4,5, 6} terhadap operasi perkalian modulo 7. Buatlah tabel Cayley dari ( ℤ∗7 , ⋅) , kemudian tentukan invers dari masing-masing elemen grup ℤ∗7 .
Jawab:
23
.
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1−1 = ... ,
2 −1 = ... , 3−1 = ... , 4−1 = ... , 5−1 = ... dan 6−1 = ... .
Himpunan ℤ 6 terhadap operasi perkalian modulo 6 bukan grup. Hal ini dapat dilihat dari tabel Cayley-nya, yaitu .
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1
Dapat dilihat bahwa elemen identitas dari ( ℤ 6 ,⋅) adalah 1. Diambil 2 ∈ ℤ 6 , dari tabel Cayley terlihat bahwa semua elemen dari ℤ 6 apabila dikalikan dengan 2 tidak menghasilkan elemen identitas yaitu 1. Oleh karena itu, 2 tidak mempunyai invers terhadap operasi perkalian modulo 6. Dengan demikian, ( ℤ 6 ,⋅) bukan merupakan grup, hanya merupakan monoid.
Dari tabel Cayley, dapat dilihat beberapa sifat dari grup, yaitu sifat tertutup (operasi biner), elemen identitas, invers dan komutatif. Sifat komutatif dapat dilihat menggunakan diagonal tabel dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah yang terlihat simetris. Hal ini disebabkan karena ai ∗ a j = a j ∗ ai , 1 ≤ i, j ≤ n .
24
∗
a1
a2
...
an
a1
a1 ∗ a1
a1 ∗ a2
...
a1 ∗ an
a2
a2 ∗ a1
a2 ∗ a2
...
a2 ∗ an
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
an
an ∗ a1
an ∗ a2
...
an ∗ an
25
Soal-soal Latihan Subbab 1.4. 1. Diketahui ℤ 2 = {0,1} merupakan grup terhadap operasi penjumlahan modulo 2. Buatlah tabel Cayley dari grup ℤ 2 × ℤ 2 = {( 0, 0 ) , ( 0,1) , (1, 0 ) , (1,1)} . 2. Diberikan G = {1, 3, 7,9} . Buatlah Tabel Cayley dari G terhadap operasi perkalian modulo 10. Apakah G merupakan grup? Jelaskan. 3. Diberikan G = {a, b, c} . Didefinisikan operasi biner “ ∗ ” pada G dengan definisi menggunakan tabel Cayley sebagai berikut:
∗
a
b
c
a
a
b
c
b
b
a
b
c
c
b
a
Apakah G merupakan grup? Jelaskan.
26
1.5. Grup Permutasi Diberikan himpunan A = {1, 2,3} , maka dapat ditentukan semua fungsi bijektif f : A → A , yaitu:
1●
●1
1●
●1
1●
●1
2●
●2
2●
●2
2●
●2
3●
●3
3●
●3
3●
●3
f1
f2
f3
1●
●1
1●
●1
1●
●1
2●
●2
2●
●2
2●
●2
3●
●3
3●
●3
3●
●3
f4
f5
f6
Fungsi bijektif f : A → A dapat dipandang sebagai permutasi pada himpunan A, oleh karena itu fungsi f dapat ditulis dalam bentuk permutasi sebagai berikut, yaitu
1 f = f (1)
2 f ( 2)
3 . f ( 3)
Fungsi-fungsi bijektif f : A → A di atas dapat ditulis sebagai berikut:
1 2 3 f1 = 1 2 3
1 2 3 f2 = 1 3 2
1 2 3 f3 = 2 1 3
1 2 3 f4 = 3 2 1
1 2 3 f5 = 2 3 1
1 2 3 f6 = 3 1 2
27
Selanjutnya, dihimpun semua fungsi bijektif f : A → A ke dalam satu himpunan, misalkan dinamakan dengan S3 , yaitu S3 = { f : A → A f bijektif } .
Pada himpunan S3 didefinisikan suatu operasi, yaitu operasi komposisi fungsi “ ”. Diberikan f , g ∈ S3 , misalkan
1 f = f (1)
2 f ( 2)
3 2 3 1 dan g = f ( 3) g (1) g ( 2 ) g ( 3)
Diperoleh bahwa 2 3 1 2 3 1 f g = f (1) f ( 2 ) f ( 3) g (1) g ( 2 ) g ( 3) 1 2 3 = f ( g (1) ) f ( g ( 2 ) ) f ( g ( 3) )
Sebagai contoh, diketahui
1 2 3 f2 = 1 3 2
dan
1 2 3 f6 = , maka operasi 3 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 komposisi f 2 f 6 = = = f 3 . Apabila dilihat dalam 1 3 2 3 1 2 2 1 3 diagram panah akan nampak sebagai berikut:
28
1●
●1
1●
●1
2●
●2
2●
●2
3●
●3
3●
●3
f2
f6
1●
●1●
●1
2●
●2●
●2
3●
●3●
●3
f6
f2
1●
●1
2●
●2
3●
●3 f 2 f6
Secara umum, diberikan A = {1, 2,..., n} , didefinisikan Sn adalah himpunan semua fungsi bijektif f : A → A , yaitu S n = { f : A → A f bijektif }
atau dapat ditulis dengan 1 S n = f 1 ( )
2 ⋯ f ( 2) ⋯
n f : A → A bijektif . f ( n)
29
Himpunan Sn dapat juga dipandang sebagai himpunan semua permutasi dari A. Banyaknya anggota dari Sn adalah banyaknya permutasi pada A, yaitu sebanyak n ! . Pada himpunan Sn didefinisikan operasi komposisi fungsi “ ”, maka dapat ditunjukkan
bahwa
( Sn , )
merupakan
grup
dengan
elemen
identitas
1 2 ⋯ n e= , grup Sn seperti ini disebut dengan grup permutasi (Permutation 1 2 ⋯ n Group), anggota dari Sn disebut dengan permutasi. Grup permutasi sering juga disebut dengan grup simetri (Symmetric Group). Diberikan tiga fungsi bijektif f , g , h : A → A . Dapat dilihat bahwa operasi komposisi bersifat assosiatif, yaitu
( f g) h =
f ( g h ) . Untuk x ∈ A , diperoleh
bahwa:
(( f g ) h) ( x ) = ( f g ) ( h ( x )) = f ( g ( h ( x ))) = f ( ( g h )( x ) ) = ( f ( g h)) ( x ) 1 2 3 4 1 2 3 4 Misalkan diberikan α ∈ S 4 dengan α = dan β = . 2 4 3 1 3 4 1 2 Permutasi α dapat merupakan permutasi yang memetakan 1 ֏ 2 , 2 ֏ 4 , 3 ֏ 3 dan
4 ֏ 1 . Sedangkan permutasi β memetakan 1 ֏ 3 , 2 ֏ 4 , 3 ֏ 1 dan 4 ֏ 2 . Apabila digambar dapat diperoleh bentuk cycle sebagai berikut:
30
α
1 3 4
2
β 1
3
2
4
Permutasi α dan β dapat ditulis dalam bentuk cycle sebagai produk permutasipermutasi, yaitu α = (124 ) ( 3) dan β = (13) ( 24 ) . Pada permutasi α = (124 ) ( 3) , karena permutasi ( 3) membawa 3 ֏ 3 atau tetap (tidak berubah), maka cukup ditulis dengan α = (124 ) . Khusus untuk permutasi Sebagai contoh yang lain, permutasi
1 2 ⋯ n ditulis dengan 1 2 ⋯ n
1 2 3 4 = (1234 ) 2 3 4 1
(1) .
dan permutasi
1 2 3 4 = (14 ) ( 2 ) ( 3) = (14 ) . 4 2 3 1
Latihan 1.5.1. Diberikan grup permutasi S3 . Apabila ditulis dalam bentuk cycle, maka diperoleh S3 = {(1) , (12 ) , (13) , ( 23) , (132 ) , (123)} , yaitu 1 2 3 1 2 3
(1) =
1 2 3 1 3 2
( 23) =
1 2 3 2 1 3
(12 ) =
1 2 3 3 1 2
(132 ) =
1. Buatlah tabel Cayley dari grup permutasi S3 .
31
1 2 3 3 2 1
(13) =
1 2 3 2 3 1
(123) =
2. Tentukan invers dari masing-masing elemen dari S3 . 3. Selidiki apakah S3 merupakan grup non-Abelian (tidak komutatif)? Gunakan bantuan tabel Cayley untuk menentukan counter example-nya.
Jawab:
(1)
(13)
(12 )
( 23)
(123)
(132 )
(1) (12 ) (13) ( 23) (123) (132 ) (1)
−1
= ......
( 23)
−1
= ......
(12 )
−1
(123)
= ......
−1
= ......
(13)
−1
(132 )
= ......
−1
= ......
Sebagai counter example, terdapat α = .......... dan β = .......... sedemikian hingga
α β = .......... dan β α = .......... , tetapi α β ≠ β α . Selanjutnya, untuk α , β ∈ S n , operasi komposisi α β cukup ditulis dengan 1 2 3 1 2 3 1 2 3
αβ . Sebagai contoh, = , atau ( 23)(132 ) = (12 ) 1 3 2 3 1 2 2 1 3 Latihan 1.5.2. Diberikan grup permutasi S6 . Diberikan permutasi α , β ∈ S6 dengan 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 dan β = . 3 2 5 6 1 4 5 3 4 2 1 6
α =
a. Tuliskan permutasi α dan β dalam bentuk cycle. b. Tentukan α −1 dan β −1 dan tuliskan dalam bentu cycle. c. Hitunglah αβ dan βα
32
d. Tentukan (αβ )
−1
dan ( βα )
−1
Jawab: 1 2 3 4 5 6
α = = (... ... ...)( ... ...) 3 2 5 6 1 4 1 2 3 4 5 6 = ........................... ... ... ... ... ... ...
α −1 =
1 2 3 4 5 6
β = = ( ... ...)(... ... ...) 5 3 4 2 1 6 1 2 3 4 5 6 = ........................... ... ... ... ... ... ...
β −1 =
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
αβ = 3 2 5 6 1 4 5 3 4 2 1 6 1 2 3 4 5 6 = = .............................. ... ... ... ... ... ...
(αβ )
−1
1 2 3 4 5 6 = = ........................... ... ... ... ... ... ...
1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6
βα = 5 3 4 2 1 63 2 5 6 1 4 1 2 3 4 5 6 = = .............................. ... ... ... ... ... ...
( βα )
−1
1 2 3 4 5 6 = = ........................... ... ... ... ... ... ...
33
Soal-soal Latihan Subbab 1.5. 1. Diberikan n ∈ ℕ . Buktikan bahwa Sn = n !. 1 2 3 4 1 2 3 4 2. Diberikan α , β ∈ S 4 dengan α = dan β = . 2 1 4 3 3 2 1 4 a. Tuliskan α dan β dalam bentuk cycle. b. Hitunglah αβ dan βα c. Tentukan α −1 dan β −1 d. Hitunglah α −1 β −1 dan β −1 α −1 e. Tentukan (αβ )
−1
dan ( βα )
−1
3. Tuliskan permutasi-permutasi dari S6 berikut ini dalam bentuk cycle. 1 2 3 4 5 6 a. 2 1 4 3 6 5 1 2 3 4 5 6 b. 2 1 3 4 6 5 1 2 3 4 5 6 c. 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 d. 4 2 3 6 5 1 4. Tuliskan cycle-cycle berikut ini ke dalam bentuk permutasi dari S6 . a.
(135)
b.
(12 )( 34 )( 56 )
c.
(135)( 26 )
d.
(143)( 265 )
5. Diberikan grup permutasi S5 . Tentukan contoh permutasi α , β , γ , δ ∈ S5 dengan
α , β , γ , δ ≠ (1) sedemikian hingga memenuhi: a. αβ = βα b. γδ ≠ δγ
34
1.6. Order Elemen Grup Diberikan grup
(ℤ6, +)
dengan elemen identitas 0 ∈ ℤ 6 . Diberikan 2 ∈ ℤ 6 ,
dapat dilihat bahwa 2 + 2 = 4 dan 2 + 2 + 2 = 0 , yaitu 2 dioperasikan sebanyak tiga kali ternyata menghasilkan elemen identitas dari ℤ 6 yaitu 0 ∈ ℤ 6 . Akan tetapi, jika
( ℤ, + ) ,
diberikan grup
apabila diberikan bilangan bulat tidak nol a ∈ ℤ , jika
dioperasikan sebanyak berapapun tidak akan menghasilkan elemen identitas yaitu 0 ∈ ℤ . Hal ini memotivasi suatu pengertian mengenai order atau periode dari grup. Sebelumnya diberikan notasi pangkat pada grup.
Definisi 1.6.1. (Notasi Pangkat) Diberikan grup ( G, ∗) dan a ∈ G . Diberikan bilangan bulat positif n ∈ ℤ . Dinotasikan 1. a n = a ∗ a ∗⋯ ∗ a n faktor
−1 2. a − n = ( a −1 ) = a ∗ a −1 ∗ ⋯ ∗ a −1 n
n faktor
3. a 0 = e
Sebagai contoh, pada grup 33 = 3 + 3 + 3 = 4 .
Pada
grup
(ℤ5 , +) ,
( ℤ , ⋅) , ∗ 5
dapat dilihat bahwa 12 = 1 + 1 = 2 dan
dapat
dilihat
bahwa
12 = 1 ⋅1 = 1
dan
33 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2 . Berikut ini diberikan sifat-sifat dari notasi pangkat pada grup.
Teorema 1.6.2. Diberikan grup
( G, ∗)
dan a ∈ G . Jika diberikan bilangan bulat
m, n ∈ ℤ , maka berlaku: 1. a m ∗ a n = a m + n 2.
(a )
m n
= a mn
Bukti: Diambil sebarang a ∈ G dan m, n ∈ ℤ , maka ada beberapa kemungkinan kasus untuk m, n ∈ ℤ , yaitu m, n > 0 , m, n < 0 , m < 0 dan n > 0 , m > 0 dan n < 0 , atau m = n = 0 . Untuk kasus m, n > 0 , diperoleh bahwa
35
a m ∗ a n = a ∗ a ∗⋯ ∗ a ∗ a ∗ a ∗⋯ ∗ a m faktor
n faktor
= a ∗ a ∗⋯ ∗ a m + n faktor
=a
(a )
m n
m+ n
n
= a ∗ a ∗⋯ ∗ a m faktor = a ∗ a ∗⋯ ∗ a a ∗ a ∗⋯ ∗ a ∗⋯ ∗ a ∗ a ∗⋯ ∗ a m faktor m faktor m faktor n faktor
= a ∗ a ∗⋯ ∗ a m n faktor
=a
mn
Untuk pembuktian pada kasus-kasus selanjutnya diberikan sebagai latihan bagi mahasiswa. █ Diberikan grup ( ℤ 6 , + ) dan 2 ∈ ℤ 6 , diperoleh bahwa 21 = 2 , 2 2 = 2 , 23 = 0 , 26 = 0 dan 29 = 0 . Dapat dilihat bahwa n = 3 merupakan bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga 2 n = 0 . Hal ini memotivasi definisi order atau periode dari suatu elemen grup seperti diberikan pada definisi di bawah ini.
Definisi 1.6.3. (Order Elemen Grup) Diberikan grup ( G, ∗) dan a ∈ G . Didefinisikan order atau periode dari a ∈ G sebagai bilangan bulat positif terkecil n ∈ ℤ sedemikian hingga a n = e , dinotasikan dengan o ( a ) . Jika tidak ada bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi, maka dikatakan mempunyai order tak hingga.
Contoh 1.6.4. 1. Order dari 2 dalam grup ( ℤ 6 , + ) adalah 3, yaitu o ( 2 ) = 3 . 2. Order dari 2 dalam grup ( ℤ 5 , + ) adalah 5, yaitu o ( 2 ) = 5 .
3. Order dari (12 ) dalam grup S3 adalah 2, yaitu o ( (12 ) ) = 2 , sebab (12 ) = (12 ) 1
dan (12 ) = (12 )(12 ) = (1) . 2
4. Order dari 2 dalam grup ( ℤ, + ) adalah tak hingga.
36
Teorema 1.6.5. Diberikan grup ( G, ∗) dan a ∈ G dengan o ( a ) = n . (1) Jika a m = e untuk suatu bilangan bulat positif m, maka n membagi habis m. (2) Untuk setiap bilangan bulat positif t, berlaku o ( a t ) =
n . fpb ( t , n )
Bukti: (1) Menggunakan algoritma pembagian, maka terdapat q, r ∈ ℤ sedemikian hingga m = nq + r , dengan 0 ≤ r < n . Selanjutnya, dapat dilihat bahwa a r = a m − nq = a m ∗ ( a n )
−q
= e ∗ (e)
−q
= e,
yaitu o ( a ) = n . Oleh karena itu, n merupakan bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga a n = e . Di lain pihak, diketahui bahwa a r = e dan 0 ≤ r < n , oleh karena itu haruslah r = 0 . Hal ini berakibat bahwa m = nq , dengan demikian terbukti bahwa n membagi habis m. (2) Misalkan o ( a t ) = k , maka a kt = e . Berdasarkan pernyataan (1) di atas diperoleh bahwa n membagi habis kt. Oleh karena itu, terdapat l ∈ ℤ sedemikian hingga kt = nl . Misalkan fpb ( t , n ) = d , maka terdapat u , v ∈ ℤ sedemikian hingga t = du
dan n = dv dengan fpb ( u , v ) = 1 . Oleh karena itu, diperoleh bahwa kdu = dvl , sehingga ku = lv , yaitu v membagi habis ku. Diketahui fpb ( u , v ) = 1 dan v membagi habis ku, maka v membagi habis k. Karena
n n membagi = v , diperoleh bahwa d d
habis k. Selanjutnya, n
nt
( at ) d = a d = a
ndu d
= a nu = ( a n ) = eu = e . u
n
Diperoleh bahwa o ( a t ) = k dan ( a t ) d = e . Oleh karena itu, berdasarkan pernyataan (1) diperoleh bahwa k membagi habis
n n . Oleh karena k dan merupakan bilangan d d
37
bulat positif sedemikian hingga k membagi habis berakibat bahwa k =
n n , dan membagi habis k, maka d d
n . Sehingga diperoleh bahwa d o ( at ) = k =
n n = . d fpb ( t , n )
Dengan demikian, teorema terbukti. █
Latihan 1.6.6. Diberikan grup ( G, ∗) . Suatu elemen a ∈ G disebut idempoten jika a 2 = e . Tentukan semua elemen idempoten dari grup ( ℤ 6 , + ) dan ( S3 , ) .
38
Soal-soal Latihan Subbab 1.6. 1. Diberikan grup ( G, ∗) , a, b ∈ G dan m, n ∈ ℤ . Buktikan bahwa: a. a n ∗ a m = a m ∗ a n b. a − n = ( a n )
−1
c. Jika G Abelian, maka ( a ∗ b ) = a n ∗ b n n
( G, ∗)
2. Diberikan grup
dan a, b ∈ G . Misalkan a 2 = e dan a ∗ b 4 ∗ a = b 7 .
Tunjukkan bahwa b33 = e . 3. Diberikan
( G, ∗)
grup
a, b ∈ G .
dan
Misalkan
a −1 ∗ b 2 ∗ a = b 3
dan
b −1 ∗ a 2 ∗ b = a 3 . Tunjukkan bahwa a = b = e .
4. Diberikan
(a ∗b ∗ a )
−1 n
grup
( G, ∗) ,
a, b ∈ G
dan
n∈ℤ.
Buktikan
bahwa
α , β ∈ S6
dengan
= a ∗ b n ∗ a −1
5. Tentukan order dari semua elemen grup ( ℤ 5 , + ) . 6. Tentukan order dari semua elemen grup ( ℤ*5 , ⋅) . 7. Tentukan order dari semua elemen grup ( S3 , ) . 8. Diberikan grup permutasi
S6 . Diberikan permutasi
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
α = dan β = . 3 2 5 6 1 4 3 2 5 4 1 6 a. Tentukan o (α ) dan o ( β ) b. Tentukan o (α −1 ) dan o ( β −1 ) 9. Diberikan grup ( G, ∗) dan a, b ∈ G . Buktikan bahwa: a. o ( a ) = o ( a −1 ) b. o ( a ) = o ( b ∗ a ∗ b −1 ) c. o ( a ∗ b ) = o ( b ∗ a ) 10. Diberikan grup
( G , ∗)
dan a, b ∈ G . Misalkan o ( a ) = m , o ( b ) = n dengan
fpb ( m, n ) = 1 dan a ∗ b = b ∗ a . Buktikan bahwa o ( a ∗ b ) = mn .
39
1.7. Grup Siklik Diberikan grup ( ℤ 5 , + ) . Dapat dilihat bahwa setiap elemen dari grup ℤ 5 dapat dinyatakan sebagai hasil operasi dari 1 ∈ ℤ 5 , yaitu: 0 = 10 , 1 = 11 , 2 = 12 , 3 = 13 dan 4 = 14 , artinya terdapat 1 ∈ ℤ 5 sedemikian hingga untuk setiap a ∈ ℤ 5 dapat dinyatakan sebagai a = 1n , untuk suatu n ∈ ℤ . Demikian juga, apabila diberikan grup ( ℤ, + ) , maka terdapat
1∈ ℤ
sedemikian
hingga
untuk
setiap
a∈ℤ
dapat
dinyatakan
sebagai
a a = 1 +1+ ⋯+ −1) + ( −1) + ⋯ + ( −1) = a ⋅ ( −1) = ( −1) = 1− a . Hal
1 = a ⋅1 = 1 atau a = ( a faktor a
a faktor
yang sama juga dapat ditemukan dalam grup
( ℤ , ⋅) . ∗ 7
Kejadian khusus seperti ini
memotivasi pendefinisian suatu grup yang mempunyai sifat seperti pada kasus-kasus di atas yang disebut dengan grup siklik, seperti diberikan dalam definisi berikut.
Definisi 1.7.1. (Grup Siklik) Suatu grup ( G, ∗) disebut grup siklik jika terdapat g ∈ G sedemikian hingga untuk setiap a ∈ G dapat dinyatakan sebagai a = g n , untuk suatu n ∈ ℤ . Elemen g ∈ G tersebut dinamakan dengan elemen pembangun atau
generator dari G, dan G dikatakan grup siklik yang dibangun oleh g, dinotasikan dengan G = g .
Dari definisi grup siklik di atas, dapat dilihat bahwa grup siklik G yang
{
}
dibangun oleh g ∈ G , yaitu G = g dapat dinyatakan sebagai g = g n n ∈ ℤ .
Contoh 1.7.2. 1. Grup ( ℤ 6 , + ) merupakan grup siklik yang dibangun oleh 1 ∈ ℤ 6 , yaitu ℤ 6 = 1 . 2. Grup ( ℤ 5 , + ) merupakan grup siklik yang dibangun oleh 1 ∈ ℤ 5 , yaitu ℤ 5 = 1 . Lebih lanjut, grup ( ℤ 5 , + ) ternyata juga dibangun oleh 2 ∈ ℤ 5 , yaitu ℤ 5 = 2 , apabila dituliskan untuk semua elemen ℤ 5 = {0,1, 2,3, 4} , dapat ditunjukkan bahwa:
40
0 = 20
3 = 2 + 2 + 2 + 2 = 24
1 = 2 + 2 + 2 = 23
4 = 2 + 2 = 22
2 = 21 Teorema 1.7.3. Setiap grup siklik merupakan grup Abelian. Bukti: Misalkan G adalah grup siklik yang dibangun oleh g ∈ G , yaitu
{
}
G = g = gn n∈ℤ .
Diambil sebarang a, b ∈ G , akan ditunjukkan bahwa a ∗ b = b ∗ a . Diketahui a, b ∈ g , akibatnya a = g m dan b = g n , untuk suatu m, n ∈ ℤ . Sehingga diperoleh a ∗ b = g m ∗ g n = g m+ n = g n + m = g n ∗ g m = b ∗ a .
Dengan demikian, terbukti bahwa G merupakan grup Abelian. █ Sebagai latihan, apakah kebalikan dari Teorema 1.7.3 tersebut berlaku? yaitu apakah setiap grup Abelian selalu merupakan grup siklik? Jika iya buktikanlah, jika tidak, berikan contoh grup Abelian yang tidak siklik sebagai counter example.
41
Soal-soal Latihan Subbab 1.7. 1. Buktikan bahwa ( ℤ∗7 , ⋅) merupakan grup siklik. 2. Tunjukkan bahwa S3 bukan grup siklik. 3. Buktikan bahwa jika G grup non-komutatif, maka G bukan grup siklik. 4. Diketahui ℤ 2 = {0,1} merupakan grup siklik. Apakah grup ℤ 2 × ℤ 2 juga grup siklik? Jelaskan. 5. Apakah setiap grup siklik mempunyai elemen pembangun tunggal? Selidiki menggunakan contoh grup siklik ( ℤ 6 , + ) yang dibangun oleh 1 ∈ ℤ 6 . Apakah ada elemen dari ℤ 6 selain 1 yang membangun ℤ 6 ? 6. Diberikan grup hingga G. Buktikan bahwa G grup siklik jika dan hanya jika terdapat a ∈ G sedemikian hingga o ( a ) = G .
42
