TEMA 3. ANÁLISIS MUSICAL Y MATEMÁTICAS Daniel Moro Vallina – Profesor Profesor An áli sis M usical I nf ormati zado En este Tema, dedicado a la relación de la música con las matemáticas, veremos dos grandes enfoques derivados de esta disciplina que han incidido en el análisis musical: la Pitch-Class Set Theory
o Teoría de Conjuntos de Clases de Alturas, una de las
metodologías estándar para el análisis del repertorio atonal y postonal; y la aplicación de diversas operaciones geométricas tales como la traslación, la rotación o la inversión al análisis musical, junto con otros campos como la geometría fractal. En el caso de la Pitch-Class Set Theory,
repasaremos los principios fundamentales de la metodología,
ilustraremos su funcionamiento con un par de ejemplos y veremos dos aplicaciones informáticas útiles para el análisis. Además de los apuntes, recomendamos leer el clásico trabajo de Allen Forte The Structure of Atonal Music (1973) o el libro de John Rahn Basic Atonal Theory (1980), además de otros estudios recientes r ecientes a cargo de Joseph Straus (2005) o Michiel Schuijer (2008). Especialmente, y a modo de guía básica, el alumno tendrá acceso al trabajo de Susanna Pasticci Teoria degli insiemi e analisi della musica post-tonale
(1995), donde la autora plantea una interesante síntesis entre la
teoría de conjuntos y el análisis schenkeriano. En cuanto a la segunda parte del tema, el número 39 de la revista Quodlibet (2007) contiene tres artículos interesantes sobre la relación entre la música, la geometría y las matemáticas. Especialmente relevante para el tema es el de Wilfrid Wi lfrid Hodges “La geometría de la música”.
Análisis, estadística, sistemas Antes de comenzar, es preciso formular una pregunta nada sencilla de responder: ¿es
matemática la naturaleza de la música? La respuesta depende de qué consideremos por música. Si atendemos atendemos a su fundamento acústico, acústico, la música se se organiza mediante mediante una serie de parámetros (altura, duración, dinámica y timbre) que tienen una explicación física y, en última instancia, matemática: un tono u onda fundamental y una serie de armónicos u ondas parciales que determinan el color y la intensidad del sonido. Pero si aceptamos que la música, además de sonido organizado , es un fenómeno cultural, la matemática no es una característica inherente a ella misma. A lo largo de la historia, ha habido épocas en las que se contempló la música desde una perspectiva matemática. Desde los tiempos de Pitágoras, los intervalos musicales se expresan mediante una razón o fracción: para dividir un intervalo m en n partes hay que hallar la raíz n de m, lo 1
que da lugar a que muchas veces sea imposible la división geométrica del intervalo en partes iguales. En el sistema de temperamento igual occidental, la octava se divide en partes iguales de razón 122, cuyo resultado es un número irracional. Este sistema de razones estaba basado en las consonancias de 8ª (2/1), 5ª (3/2) y 4ª (4/3), teorizadas por Pitágoras, cuyas multiplicaciones y divisiones daban lugar al resto de intervalos. Por ejemplo, la división de una 5ª entre una 4ª (3/2:4/3) daba lugar al intervalo de tono, expresado como 9/8. A partir del siglo XVII se consiguió convertir las razones en cantidades numéricas individuales mediante el uso de logaritmos. Los logaritmos convierten las multiplicaciones y divisiones de las razones en sumas y restas, que permiten ver inmediatamente la longitud de un intervalo. La unidad logarítmica más usada en la actualidad es el “cent”, la centésima parte de un semitono
temperado. Por
tanto, para añadir por ejemplo una 5ª (3/2) a una 4ª (4/3), en vez de utilizar la expresión 3/2 x 4/3, sumaríamos 702+498 cents. Este es un aspecto de la teoría de Pitágoras que ha llegado hasta nuestros días y ha influido notablemente en el sistema de afinación occidental. La base de la teoría pitagórica era profundamente matemática: dentro de la 8ª, el marco o consonancia más perfecta, cabían la 5ª y la 4ª yuxtapuestas. A partir de aquí, Pitágoras desarrolló la teoría de las “medias proporcionales”, de amplia aplicación en la teoría armónica. Dichas
medias, operando con los números 2, 3 y 4 (que definen las razones o fracciones de la 8ª, 5ª y 4ª) son la aritmética, la geométrica y la armónica. La primera y la última dan lugar a dos divisiones distintas de la 8ª: en la media aritmética, la 4ª quedaría en la parte inferior y la 5ª en la superior, y en la media armónica a la inversa. Combinando ambas, tendríamos un sistema de proporciones simétricas (Ejemplo 1). Además de la tradición pitagórica dominante en la antigua Grecia y en la Edad Media, mucha de la música compuesta durante el siglo XX se basó en algún principio matemático, desde la tonalidad axial de Béla Bartók hasta el serialismo integral por matrices numéricas de Pierre Boulez y Karlheinz Stockhausen o el movimiento estocástico de algunas obras de Iannis Xenakis. En el caso de Bartók, es especialmente conocido su uso de la sección áurea y la serie de Fibonacci (2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…). La
sección áurea es la división de una distancia de tal manera que la proporción
entre la longitud total y la parte más larga se corresponde geométricamente a la proporción entre la parte más larga y la más corta. Un simple cálculo muestra que si la longitud total se toma cono unidad, el valor de la sección más grande es 0,618… Esta
proporción se encuentra asimismo entre los números de la serie de Fibonacci. Desde el 2
punto de vista formal, muchas obras de Bartók siguen este principio. Por ejemplo, el Primer Movimiento de la Sonata para dos pianos y percusión comprende 443 compases. Su Sección Áurea sería el resultado de multiplicar 443 x 0,618 = 274. En este compás comienza precisamente la recapitulación de la primera parte. En cuanto a la serie de Fibonacci, Bartók la emplea de numerosas formas, tanto en cuanto al número de compases en los que se repite un mismo material en ostinato (3, 5, 8, 13) como en el uso del acorde más típico de su música: el acorde “mayor -menor” (por ejemplo, mi-sol-domib). Un análisis del número de semitonos que contiene cada intervalo de dicho acorde
revela que sigue la proporción 3:5:8, siguiendo la progresión de Fibonacci: 3ª m, 4ª J y 6ª m. Además, dicho acorde es una entidad simétrica, esto es, puede ser leída de arriba abajo y de abajo arriba invariablemente (Ejemplo 2). A pesar del cariz matemático que subyace a estos ejemplos, debemos tener en cuenta que la simple enumeración de las notas o los intervalos no concede a la música cualidades numéricas. A la hora de realizar el análisis musical, desde esta perspectiva siempre nos encontraremos con factores imprevisibles como las expectativas psicológicas del oyente o las proyecciones temporales variables. Desde el punto de vista del análisis estadístico (como por ejemplo el recuento de números de compases en Bartók o, como veremos, la recurrencia de una misma estructura en la teoría de conjuntos), ¿son significativos los porcentajes de presencia? Parece que la importancia
de un acorde depende más de su función y no del recuento de sus notas constituyentes, y las características particulares de una obra son más importantes que las comunes. Estos rasgos particulares son los que quedan precisamente fuera del alcance de la estadística, que se centra en porcentajes y probabilidades sobre un gran número de objetos (obras musicales) que se consideran uniformes.
Teoría de conjuntos de clases de alturas. Principios fundamentales En términos generales, un conjunto es una agrupación de entidades homogéneas y claramente definidas. En el campo de la música, dichas entidades son notas o, mejor dicho, alturas comprendidas entre el do y el si (12 alturas). En el campo de la música tonal, por ejemplo, un acorde de séptima de dominante ( sol-si-re-fa) puede ser visto como un grupo de cuatro alturas. Sin embargo, para conocer la función armónica de dicho acorde en el contexto de la obra, la teoría de conjuntos no es válida desde el momento que no explica la sintaxis de dicho acorde, sino únicamente su morfología. Dicho de otra forma: la teoría de conjuntos analiza un acorde como un agregado de 3
alturas cuya recurrencia o transformaciones a lo largo de la obra son significativas desde un punto de vista estadístico, pero esta metodología no consigue explicar qué función armónica desempeña un mismo acorde en la obra. En el campo de la música postonal, sin embargo, la teoría de conjuntos es un método válido para analizar un vocabulario armónico que no está basado en la armonía triádica y en la modulación por el círculo de quintas. Desde este punto de vista, la armonía posterior a la tonalidad se caracteriza por una combinación cualquiera de las doce alturas que componen la escala cromática. La teoría de conjuntos analiza la partitura como una red de agrupaciones de alturas musicalmente significativas, denominadas conjuntos. Tras haber seleccionado y definido dichos conjuntos, se aplican una serie de operaciones de transformación con el objetivo de sacar a la luz las relaciones estructurales que existen entre los conjuntos. El objetivo de este análisis es, por tanto, la individualización de ciertas agrupaciones de notas que contienen las mismas propiedades fundamentales. Para ello, la teoría de conjuntos sustituye la notación tradicional de las alturas en el pentagrama por una representación de tipo numérico. El carácter eminentemente abstracto de este enfoque puede ilustrarse con un clásico análisis de Allen Forte sobre la Pieza Opus 11 nº 1 de Schoenberg, una de sus primeras obras atonales (Ejemplo 3). A pesar de sus limitaciones, esta notación de tipo numérico permite simplificar y acelerar el proceso analítico. Esta simplificación opera sobre el principio de equivalencia de la octava (por ejemplo, todas las notas do son equivalentes, independientemente del registro en el que estén escritas) y el principio de equivalencia enarmónica (un do# es estructuralmente idéntico a un reb, al contrario que en la teoría tonal). Junto a ello, otro principio fundamental es el concepto de clase de altura , por la cual todas las notas del registro vocal o instrumental son reducibles al espacio de una octava, y numeradas de 0 a 11. Así, tenemos do=0, do# o reb=1, re=2, re# o mib= 3…hasta si=11 (Ejemplo 4). El sistema de notación numérica adoptado por la teoría de conjuntos es un sistema a módulo 12 .
Esta expresión es la traducción en términos aritméticos del principio de
equivalencia de octava, por la cual se establece que todas las notas que forman parte de una misma clase de alturas son equivalentes. El módulo 12 supone reconducir cualquier altura mayor que 11 a los límites de la octava. Por ejemplo, si queremos transportar la altura 9 (la) siete semitonos hacia arriba, esta operación puede representarse como (9+7)=16. Para hallar la altura equivalente en la octava del módulo 12 , basta con restar 16-12=4 (mi). 4
Los conjuntos de clases de alturas vienen representados mediante paréntesis cuadrados, dentro de los cuales se escriben las alturas en notación numérica. Por ejemplo, la expresión A: [0, 1, 2] indica que el conjunto A está compuesto de las clases de altura do, do#
y re, independientemente de su registro, su disposición melódico-armónica, su
timbre o su intensidad. El número de clases de alturas contenidas en un conjunto se denomina número cardinal . El conjunto A, que contiene 3 elementos, es por tanto un conjunto de número cardinal 3. La variedad de formas musicales que puede adoptar un mismo conjunto de clases de alturas puede ser ilustrada con la Gavota de la Suite para piano
opus 25 de Schoenberg. En ella, vemos cinco apariciones del mismo conjunto
reb-mi-fa-sol , o [1, 4, 5, 7]
(Ejemplo 5).
Uno de los principales problemas a los que se enfrentó la teoría de conjuntos fue reducir las enormes posibilidades de combinación de los doce sonidos de la escala cromática que permite la música postonal. Un cálculo factorial de 12 nos da el resultado de 12¡=479.001.600 posibilidades de alturas entre 1 y 12. Una primera reducción que podemos llevar a cabo es considerar como únicamente significativos los agregados entre 3 y 9 alturas, lo que da lugar a 181.440 posibles acordes. Ante este elevado número de conjuntos, hay dos conceptos fundamentales que permiten reducirlos a modelos más generales: el Orden Normal y la Forma primaria . Esto significa que las notas de un conjunto determinado pueden aparecer en diversos órdenes o traspuestas a diferentes alturas sin que por ello cambie la identidad básica del conjunto. El orden normal es un criterio estándar de representación de los elementos de un conjunto, de manera similar a la posición fundamental de un acorde en la música tonal. Para identificar el orden normal del conjunto A: [5, 9, 1, 8], procedemos como sigue: 1. Colocar las alturas en orden numérico ascendente: A: [1, 5, 8, 9,]. 2. Calcular todas las posibles permutaciones circulares del conjunto, disponiendo el primer elemento al final de forma sucesiva hasta obtener el conjunto de partida. Para mantener el orden numérico ascendente es necesario agregar 12 a cada número colocado en la posición final: A 1: [1, 5, 8, 9], A 2: [5, 8, 9, 13]; A 3: [8, 9, 13, 17] y A4: [9, 13, 17, 20]. 3. Escoger como orden normal el conjunto con la menor diferencia entre el primer y último número. Si dos de ellas coinciden, como en el caso de A 1 y A2, se elige la menor diferencia entre el primer y el segundo número. De ello se deduce que A 2: [5, 8, 9, 13], reescrito en módulo 12 [5, 8, 9, 1] es el orden normal del conjunto. 5
En cuanto a la Forma primaria, se trata de una reducción de los conjuntos agrupados en su orden normal a una serie de modelos básicos, traspuestos a nivel 0 (partiendo de la nota do). Es decir, cada clase de altura del conjunto A: [5, 8, 9, 1] se transporta a nivel 0, dando lugar a [0, 3, 4, 8]. Respecto al orden normal, la Forma primaria constituye un nivel de representación más abstracto: su objetivo no es el de diferenciar y clasificar un único conjunto, sino determinar la clase a la cual pertenece. Pongamos otro ejemplo más sencillo. El conjunto [0, 1, 2], o do-do#-re, puede manifestarse como [0, 1, 2], como [1, 2, 3], como [2, 3, 4]… hasta [11, 0, 1]. Es decir,
hay doce conjuntos posibles
que pueden ser reconducidos a la misma Forma primaria, transportándolos a nivel 0. Esta operación reduce considerablemente el número de conjuntos posibles y agiliza el análisis musical. Uno de los principales teóricos de esta metodología, Allen Forte, codificó en su libro The Structure of Atonal Music 208 Formas primarias distintas
(Tabla 1). Esta es una contribución fundamental a la teoría de conjuntos, desde el momento en que permite hallar relaciones estructurales similares entre grupos de notas diferentes. Desde su teorización en 1973, toda la literatura analítica ha utilizado habitualmente la codificación de Forte. La teoría de conjuntos no sólo reduce las notas a clases de alturas numeradas de 0 a 11. También reduce los intervalos de 2ª m hasta 7ª M a clases de intervalos , que son agrupaciones de intervalos equivalentes entre sí. Dichas clases de intervalos también son representados en notación numérica contando el número de semitonos que contienen. Asimismo, también se aplica a los intervalos el principio de equivalencia de octava: un intervalo contenido en dicho ámbito puede ser considerado equivalente a todos los posibles intervalos compuestos, es decir, los que superan la octava como la 9ª o la 10ª. Sin embargo, la principal diferencia de las clases de intervalo respecto a las clases de altura es que aquí se da una reducción estructural mayor. La teoría de conjuntos considera todos los intervalos más grandes que la clase 6 (tritono) como inversamente complementarios, es decir, como equivalentes respecto a su complemento dentro de la 8ª. Una 2ª m, representada con el número 1 (1 semitono) es equivalente a una 7ª M, representada como 11 (11 semitonos), ya que 11+1=12. De esta propiedad se deduce la siguiente Tabla de equivalencias (Tabla 2). En base a esta relación, podemos representar cualquier intervalo utilizando sólo números del 1 al 6. A partir de esta codificación, una potente herramienta analítica es el denominado vector
interválico. Consiste en analizar el contenido interválico total de un conjunto 6
calculando los intervalos existentes entre todas y cada una de las alturas de un conjunto. Dado el conjunto A: [0, 2, 5, 7], por ejemplo, se hallan: 1. Los intervalos entre cada par de alturas: primera y segunda, primera y tercera, primera y cuarta; segunda y tercera, segunda y cuarta; tercera y cuarta (Tabla 3). 2. El número de recurrencias de cada clase de intervalo, de 1 a 6: clase 1 (0 recurrencias), clase 2 (dos recurrencias), clase 3 (una recurrencia), clase 4 (0 recurrencias, clase 5 (3 recurrencias) y clase 6 (0 recurrencias). El resultado del vector interválico de A: [0, 2, 5, 7] se expresa [021030], de donde se deduce que el intervalo de clase 5 (4ª o 5ª justa) es estructuralmente importante porque es el que más se repite. ¿Para qué nos sirve el vector interválico de cara al análisis musical? Fundamentalmente, de un grupo de intervalos dados podemos extraer diferentes tipos de conjuntos que los contengan, unificados por este criterio. Por otra parte, existe el llamado tetracordo pan-interválico o conjunto [0, 1, 4, 6], que contiene todas las clases de intervalos posibles al menos una vez: [111111]. Esto significa que cualquier manifestación
de un intervalo puede ser potencialmente reconducida al
conjunto [0, 1, 4, 6], el cual jugará un importante papel en la obra musical. Finalmente, vamos a mencionar cuatro propiedades básicas entre conjuntos que debemos tener en cuenta a la hora de operar con esta metodología, y que nos sirven para hallar relaciones entre dichos conjuntos de alturas: 1. Relación de equivalencia: dos o más conjuntos son reducibles a la misma Forma primaria por trasposición o inversión. Por ejemplo, [1, 2, 3] y [8, 7, 6]. 2. Relación de complementariedad: el complemento de un conjunto A es aquel conjunto que contiene todas las clases de alturas que no aparecen en A. Por ejemplo, A: [3, 6, 7] y B: [8, 9, 10, 11, 0, 1, 2, 4, 5] son complementarios. 3. Relación de similitud: se comparan las clases de alturas entre dos conjuntos para hallar valores numéricos invariantes entre ellos. 4. Relación de inclusión: un conjunto A: [0, 1, 2] puede estar contenido en otro mayor, B: [0, 1, 2, 4, 5]. Si esto sucede, se dice que A es un sub-conjunto de B, y B un súper-conjunto de A. Gracias al empleo de la notación numérica, la teoría de conjuntos ha encontrado un importante aliado en las aplicaciones informáticas, que permiten automatizar y calcular rápidamente tanto el orden normal como la Forma primaria a la que un conjunto puede ser reconducido, así como su vector interválico o sus diversas propiedades de 7
complementariedad, similitud o inclusión. Destacamos dos aplicaciones útiles para el análisis de conjuntos: el Set Calculator ideado por Andreas Helmberger, una sencilla herramienta desarrollada en Adobe Flash Player; y JDubiel , un Applet de Java que permite realizar operaciones más complejas entre conjuntos (Ver enlaces Web) .
Algunos ejemplos de análisis siguiendo la Pitch-Class Set Th eory El principal problema de los análisis basados en la teoría de conjuntos es que el proceso
de segmentación de la obra en unidades estructurales depende en muchas ocasiones de un juicio musical informal, intuitivo o subjetivo. Si recordamos el ejemplo de la Pieza Opus 11 nº 1 de
Schoenberg es fácil deducir que, ante el gran número de conjuntos
calculados, el analista debe elegir cuáles considera más importantes desde el punto de vista de su función musical. A continuación exponemos dos ejemplos extraídos de nuestra Tesis El compositor Carmelo Bernaola (1929-2002). Contextualización y análisis de su obra en la vanguardia musical española ,
donde trataremos de ilustrar
cómo se lleva a cabo un análisis de este tipo en dos obras de este compositor: Espacios variados (1962), para orquesta; y Per due (1974), para flauta y piano.
El primer ejemplo se caracteriza por ser una música serial donde ningún patrón parece prevalecer por encima de otro. ¿Por dónde comenzar el análisis? En primer lugar, al comparar los intervalos existentes entre las alturas se demuestra una preferencia por relaciones de 2ª m y M, 7ª m y M, y tritono. Dichos intervalos pueden ser reducidos a tres clases de intervalo 1 (2ª m, 7ª M), 2 (2ª M, 7ª m) y 6 (tritono). De aquí se deriva la Forma primaria [0, 1, 2, 6], cuyo vector interválico es [210111]. La presencia de casi todas las clases de intervalo posibles (salvo la 3ª m) implica que, a pesar de que el compositor parte de cinco intervalos únicamente, las diversas concatenaciones y superposiciones de éstos darán lugar a otras relaciones aparte de la 2ª, la 7ª y el tritono. Hecha esta consideración, el siguiente paso es localizar diferentes sub-conjuntos y súper-conjuntos de la Forma primaria [0, 1, 2, 6], como [0, 1, 2], [0, 1, 6] o [0, 2, 6], entre otros. En el ejemplo mostrado, las notas reales de la partitura son reordenadas en los contornos rectangulares, donde se indica su Forma primaria (Ejemplo 6). En la segunda obra, el proceso de segmentación en la línea de la flauta responde a los cambios de dirección de la melodía, polarizada entre las alturas do, mi y fa. Los conjuntos resultantes puede ser reducidos a tres Formas primarias: [0, 2, 3, 5], [0, 2, 4, 6] y [0, 1, 3, 5]. En el ejemplo vienen escritas siguiendo el listado teorizado por Allen Forte: 4-10, 4-21 y 4-11 respectivamente. Sin embargo, más importante que esta clase 8
de conjuntos de número cardinal 4 (cuatro elementos) es el análisis de los diseños interválicos de la obra. En el ejemplo puede apreciarse cómo las distancias de tritono y 7ª M son las más recurrentes. Estos intervalos pueden combinarse de diversas formas: bien presentándose consecutivamente, o bien delimitando la distancia global de un conjunto determinado. Lo más importante es que con tan sólo dos clases de intervalo el compositor logra derivar las doce alturas del total cromático (Ejemplo 7). Habitualmente, se ha criticado por estéril el intentar llevar a la música modelos matemáticos como los expuestos por la teoría de conjuntos, dando lugar a resultados de dudosas cualidades estéticas. Sin embargo, la teoría de conjuntos puede ser útil tanto para desvelar los procedimientos compositivos de un autor determinado (en el caso de Carmelo Bernaola, esta metodología revela la importancia de un grupo reducido de intervalos por encima de otros) como para aplicarse al análisis de la música tonal. Vamos a ver un último ejemplo de cómo podemos observar los acordes tradicionales desde el enfoque de la Set Theory. Tomemos la triada del acorde perfecto mayor (Do M), cuya Forma primaria es 3-11: [0, 3, 7], y consideremos sus intervalos constituyentes: 3ª M ( clase de intervalo 4), 3ª m (3) y 5ª J global (7). Tomando estos intervalos y cambiando su orientación y sucesión, podemos derivar doce conjuntos diferentes que contienen 11 alturas de las 12 de la escala cromática. Armónicamente, los acordes así generados pertenecen a Do M, Do m, Fa m, Fa M y otras formaciones incompletas de acordes de 7ª. Sin embargo, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, todos estos acordes son reducibles a sólo tres Formas primarias: 3-11: [0, 3, 7], 3-4: [0, 1, 5] y 3-7: [0, 2, 5]. ¿Qué implicaciones tiene esto? Básicamente, permite comprender cómo un mismo acorde puede tener un significado estructural muy distinto según elijamos una u otra metodología. En todo caso, mucha de la música postonal se basa en la similitud o recurrencia interválica para la construcción armónica, más allá de las antiguas funciones tonales (Ejemplo 8). El “espacio” musical. Geometría aplicada a la música
La medición numérica de los intervalos y las operaciones de transposición e inversión propias de la teoría de conjuntos también pueden ser vistas como movimientos y distancias dentro de un espacio determinado. Para representar sistemas musicales en el ordenador necesitamos analogías geométricas. Así se puede llegar a “ver” la música como un espacio de dos dimensiones : tiempo (representado por el eje de abscisas X) y altura (eje de ordenadas Y). En el espacio musical podemos añadir una tercera 9
dimensión, la intensidad (representada por el eje Z). Dichas coordenadas X, Y y Z están profundamente interrelacionadas: desde la perspectiva psicológica del oyente, una nota que de repente suene en una dinámica ff en un contexto en pp le parecerá que “dura” realmente más tiempo. Ello es porque el tiempo musical no es meramente el tiempo físico o cronológico. Desde la perspectiva de la fenomenología musical , la sensación de “duración” en música depende de las expectativas del oyente y de su capacidad para
anticipar los siguientes eventos musicales en base a los ya experimentados. Por ello, la fenomenología no estudia cómo discurre y se organiza el tiempo en la obra, sino más bien cómo se manifiesta éste en nuestra conciencia. A lo largo de la historia, casi todos los compositores han recurrido a conceptos geométricos para escribir música. Los conceptos espaciales de “arriba” y “abajo”, o “antes” y “después” están codificados en una partitura musical. Sin embargo, la
estructura del espacio físico es mucho más rica y ofrece otras relaciones, como la propiedad de la distancia. Cuando la distancia se modifica en el tiempo se produce un alejamiento o un acercamiento, que trasladado a las figuras y motivos musicales supone una menor o mayor retención de éstas en la memoria. Todo ello incide en cómo percibimos la forma musical. En el artículo de Wilfrid Hodges “La geometría de la música” se ilustran cuatro clases
de transformaciones en un plano espacial, de acuerdo con las dimensiones de la altura y el tiempo: traslación (transformación que desplaza todos los puntos del plano en la misma dirección y a la misma distancia); rotación (transformación que rota el plano completo en un ángulo variable entre 0º y 360º); reflexión (transformación en espejo); y
reflexión con deslizamiento (translación a lo largo de una línea recta, seguida de una reflexión en torno a esa misma línea). Estas cuatro clases de transformaciones tienen una propiedad importante: no modifican la distancia entre dos puntos cualesquiera
del plano, es decir, mantienen sus distancias constituyentes. Estas transformaciones se denominan isometrías puesto que no alteran las distancias (Ejemplo 9). En el campo de la música, podemos relacionar esta propiedad de mantener idénticas las distancias con la propiedad de invariancia interválica de la teoría de conjuntos. De hecho, las operaciones de traslación, rotación y reflexión pueden ser fácilmente comparadas con tres operaciones básicas de conjuntos: trasposición, inversión y retrogradación. Recordemos que cualquier escala musical “traslada” una secuencia determinada de tonos y semitonos a un intervalo dado (Do M, Sol M, Re M, etc.). Y que, visto desde el punto de vista interválico, el acorde M (formado por la secuencia interválica 4-3) sería 10
estructuralmente idéntico al acorde m (3-4), siguiendo la operación de rotación (equivalente a la inversión) (Ejemplo 10). Como expusimos en el Tema 1, la música nunca ha sido ajena a las conexiones interdisciplinares, especialmente con las matemáticas. La aplicación de la informática al análisis musical ha dado lugar a nuevos instrumentos basados en software (y formulados mediante algoritmos matemáticos), geometría fractal aplicada a objetos musicales, modelados 3D, aproximaciones fractales a partir de modelos musicales, movimiento browniano, algoritmos recursivos, etc. Entre ellos, el campo de la geometría fractal es el que más paralelismos presenta con la música. La música fractal
se define como aquella que utiliza un lenguaje basado en algoritmos reiterados, o reglas y procedimientos repetitivos que se emplean hasta lograr una estructura límite resultante o fractal . Este tipo de música está muy relacionada con los medios informáticos y de simulación sonora. Básicamente, un fractal es una figura geométrica fragmentada, donde cada una de las partes conserva una relación de similitud con la figura completa. Los fractales son objetos geométricos que se caracterizan por proyectarse en una ramificación infinita. El resultado de este proceso de complejidad constante se traduce en infinitos “entes” idénticos o auto-semejantes,
de tal forma que
una pequeña sección de una estructura fractal puede ser observada a menor escala como una réplica exacta de sí misma. Matemáticamente, la generación de un fractal se logra mediante la repetición constante de un cálculo simple (iteración). Visualmente, esto se traduce en imágenes como el famoso “Copo de nieve de Koch” o “Curva de Koch”. Se
trata de la aplicación del concepto de iteración a un algoritmo matemático que da como resultado una curva continua y no diferenciable en ningún punto. El producto final se obtiene al agregar reiteradamente nuevos triángulos a un triángulo equilátero, derivando en una figura geométrica que se torna cada vez más complicada y con un infinito número de vértices (Ejemplo 11). ¿Qué ocurriría si asignáramos un sonido determinado a cada punto de esta imagen fractal? El resultado de esta abstracción nos conduciría a un tipo de música compuesta por un número finito de notas musicales, pero cuya melodía resultaría infinita, semejante a la curva que va delineando la imagen fractal. Algunos musicólogos como Maynard Solomon han descubierto una similitud entre la técnica de composición de compositores clásicos y la manera en que se generan los fractales. Tal es el caso de una pieza atribuida a Beethoven, la Primera Escossaien. En su construcción se aprecian claramente propiedades fractales. La pieza tiene un total de 32 compases que se dividen 11
en dos secciones (A y B) de 16 compases cada una. Ambas secciones, a su vez, se dividen en 2 periodos, que al mismo tiempo se fraccionan en 2 partes, compuestas por 4 unidades. Cada una de estas 4 unidades cuenta con dos compases. La obra, por tanto, presenta un balance simétrico de 2 partes. Cada sucesiva subdivisión de 32 unidades es una unidad binaria y una réplica más pequeña de la unidad más larga que la contiene
(Ejemplo 12). Aunque está claro que Beethoven no tenía conocimiento alguno acerca de la existencia de los fractales, lo cierto es que la forma de ordenar ciertas ideas musicales puede ser representada por el analista de una manera similar a estas entidades geométricas. En la actualidad, existen programas informáticos que simulan operaciones fractales aplicadas a obras preexistentes. Asimismo, hay numerosas aplicaciones de simulación informática de creación de música fractal. Para finalizar, podemos citar los siguientes: Musinum, Fractal Tune Smithy o The Well Tempered Fractal , entre otros
(Ver enlaces Web) .
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