Analisa-Numerik-6-Interpolasi

1/30/2010

Interpolasi dan Regresi Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan

Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan

Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan

Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

1

Pendahuluan M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

Para engineer sering bekerja dengan data diskrit yang biasanya disajikan dalam bentuk tabel. Data ini dihasilkan dari hasil pengamatan, pengukuran atau diambil dari buku-buku acuan/referensi. Contoh data diskrit: x

y

25

0.2

10.1

20

0.3

12.5

0.4

14.2

0.5

17.8

0.6

19.3

15 10 5 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

Bagaimana mencari mencari nilai y jika diketahui nilai x = 0.32 tanpa melakukan pengukuran?

2

1

1/30/2010

Pendahuluan M11051 Andik Yulianto

Karena fungsi yang menghubungkan variabel y dan x belum diketahui.

Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan

Salah satu solusinya adalah dengan mencari fungsi yang mencocokkan (fitting) titik-titik data pada tabel  curve fitting.

Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

3

Pendahuluan M11051 Andik Yulianto

1

1. Interpolasi Bila data diketahui memiliki ketelitian tinggi, maka kurva cocokannya dapat dibuat melalui tiap titik.

Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

2. Regresi 2

Data hasil pengukurannya umumnya mengandung derau (noise) atau galat cukup berarti. Jadi pencocokannya tidak perlu melalu semua titik.

4

2

1/30/2010

Interpolasi M11051 Andik Yulianto

Kita dapat menginterpolasi titik data dengan polinom linier,

Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier

polinom kuadratik,

Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan

polinom kubik, atau polinom dari derajat yang lebih tinggi,

bergantung jumlah titik data yang tersedia.


5

Interpolasi Linier M11051 Andik Yulianto

Interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus.


Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk:

p(x) = a0 + a1x

………….(1.1)

Gambar disamping memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik (x0,y0) dan (x1,y1)

6

3

1/30/2010

Interpolasi Linier M11051 Andik Yulianto

Koefisien a0 dan a1 dapat dicari dengan subtitusi ke persamaan (1.1). y0 = a0 +a1x0


y1 = a1 +a1x1

Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh

a0 =

x1 y0 − x0 y1 x1 − x0

a1 =

.......(1.2)

y1 − y0

........(1.3)

x1 − x0

Subtitusikan kepersamaan garis lurus (1.1) x y − x y (y − y ) p1(x) = 1 0 0 1 + 1 0 .x (x1 − x0) x1 − x0 p1(x) = y0 +

Latihan

(y1 − y0) (x1 − x0)

.(x − x0)

7

Contoh soal M11051 Andik Yulianto

Perkirakan jumlah penduduk AS pada tahun 1968 berdasarkan tabel berikut.


Tahun

1960

1970

Jumlah penduduk (juta)

179.3

203.2

Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan diatas, didapat (y − y ) p1(x) = y0 + 1 0 .(x − x0) (x1 − x0) p1(x) =179.3+

(203.2−179.3) (1970−1960)

.(1968−1960) =198.4

Jadi perkiraan jumlah penduduk tahun 1968 adalah 198.4 juta jiwa

8

4

1/30/2010

Latihan M11051 Andik Yulianto

Dari data ln(9.0)=2.1972 dan ln(9.5)=2.2513, tentukan nilai ln(9.2) menggunakan interpolasi linier. Bandingkan dengan nilai sejati ln(9.2) = 2.2192.


9

Interpolasi Kuadratik M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan

Misal diberi tiga titik (x0,y0), (x1,y1) dan (x2,y2), polinom yang menginterpolasi titik tersebut adalah: 2

p2 (x) = a0 + a1x + a2 x

...........(2)

Jika digambar grafiknya berbentuk parabola seperti tampak berikut:


10

5

1/30/2010

Interpolasi Kuadratik M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier

Polinom p2(x) ditentukan dengan cara Subtitusikan (xi,yi) ke persamaan (2), i = 0,1,2,…. Akan diperoleh tiga persamaan.

Contoh soal Latihan

2

a0 + a1x0 + a2 x0 = y0

Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh

2

a0 + a1x1 + a2 x1 = y1 a0 + a1x2 + a2 x22 = y2 Hitung a0, a1, a2 dengan eliminasi gauss

Latihan

11

Contoh M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik

Diberikan titik ln(8.0) = 2.0794, ln(9.0)=2.19, dan ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadratik. Sistem persamaan linier yang terbentuk adalah a0 +8.0a1 + 64a2 = 2.0794 a0 +9.0x1 +81.0a2 = 2.1972

Contoh Latihan

a0 +9.5a1 +90.25a2 = 2.2513


Penyelesaian sistem persamaan dengan metode eliminasi Gauss menghasilkan a0=0.6762, a1=0.2266 , dan a2= -0.0064. Polinom kuadratnya adalah

p2 (x) = 0.6762 + 0.2266x −0.0064x2 Sehingga

p2 (9.2) = 2.2192

12

6

1/30/2010

Latihan M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier

Dari data ln(9.0)=2.1972 dan ln(9.5)=2.2513, tentukan nilai ln(9.2) menggunakan interpolasi linier. Bandingkan dengan nilai sejati ln(9.2) = 2.2192.

Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

13

Interpolasi Kubik M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan

Misal diberi empat titik (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), dan (x3,y3), polinom yang menginterpolasi titik tersebut adalah: 2

3

p2 (x) = a0 + a1x +a2 x + a3 x

...........(3)

Jika digambar grafiknya berbentuk parabola seperti tampak berikut:


14

7

1/30/2010

Interpolasi Kubik M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

Polinom p3(x) ditentukan dengan cara Subtitusikan (xi,yi) ke persamaan (3), i=0, 1, 2, 3,…Akan diperoleh 4 persamaan berikut. 2

3

2

3

2

3

2

3

a0 + a1x0 + a2 x0 + a3 x0 = y0 a0 + a1x1 + a2 x1 + a3 x1 = y1 a0 + a1x2 + a2 x2 + a3 x2 = y2 a0 + a1x2 + a2 x2 + a3 x3 = y3 Hitung a0, a1, a2 dengan eliminasi gauss

15

Interpolasi Polinom Derajat Tinggi M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

Dengan cara yang sama kita dapat menginterpolasi polinom dengan derajat n yang lebih tinggi, dengan (n+1) buah titik data: 1

2

pn ( x ) = a0 + a1 x + a 2 x + .... + an x

n

....(4)

Dengan mensubtitusi (xi, yi) kedalam persamaan polinom diatas y = pn(x) untuk I = 0, 1, 2, 3,…n, akan diperoleh a0 + a1 x0 + a2 x02 + ... + an x03 = y0 a0 + a1 x1 + a 2 x12 + ... + an x13 = y1 2

3

2

3

a0 + a1 x2 + a2 x2 + ... + an x2 = y2 .....

a0 + a1 xn + a2 xn + ... + an xn = yn

Solusi sistem persamaan linier diatas dapat diselesaikan dengan Eliminasi Gauss

16

8

1/30/2010

Interpolasi Polinom Lagrange M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan

Penentuan polinom interpolasi dengan cara sebelumnya sangat menyulitkan terutama untuk derajat polinom yang semakin tinggi. Alternatif lainnya kita bisa gunakan Polinom Lagrange Polinom Newton Polinom Newton-Gregory


17

Interpolasi Polinom Lagrange M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

Dari persamaan polinom linier sebelumnya kita tahu bahwa (y − y ) p1(x) = y0 + 1 0 .(x − x0) (x1 − x0) dapat disusun kembali menjadi (x − x0 ) (x − x1) ....(5) + y1 p1(x) = y0 (x0 − x1) (x1 − x0) Atau dapat dinyatakan dalam bentuk p1(x) = a0L0(x) + a1L1(x) dengan ( x − x1) ( x − x0 ) a0 = y0, L0(x) = dan a1 = y1, L1( x) = ( x0 − x1) ( x1 − x0 ) Persamaan (5) dinamakan polinom Lagrange derajat 1.

18

9

1/30/2010

Interpolasi Polinom Lagrange M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

Bentuk umum polinom Lagrange derajat (n+1) titik berbeda adalah

≤ n

untuk

n

pn ( x) = ∑ai Li ( x) =a0 L0 ( x) + a1L1( x) + ... + an Ln ( x)

...(6)

i =0

dengan ai = yi , i = 0,1,2,..., n

dan

( x − x1 ) ( x − x0 )( x − x1 ) ...( x − xi−1 )( x − xi+1 ) ...( x− xn ) = − x x ( ) ( xi − x)( xi − xi ) ...( x − xi−1 )( x − xi+1 ) ...( xi − xn ) j=0 0 1 n

Li (x) = ∏ j≠i

19

Contoh M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

Gunakan interpolasi Lagrange derajat 3 pada persamaan f(x)=cos x . Gunakan empat titik, x0= 0.0, x1=0.4, x2=0.8, dan x3=1.2. Perkirakan nilai p3(0.5) bandingkan dengan nilai sejatinya. Penyelesaian: xi

0.0

0.4

0.8

1.2

yi

1.000

0.921061 0.696707 0.362358

Polinom Lagrange derajat 3 yang menginterpolasi keempat titik di tabel adalah 3

p 3 ( x) =

∑ ai Li ( x ) =a0 L0 ( x) + a1 L1 ( x) + a2 L2 ( x) + a3 L3 ( x) i=0

20

10

1/30/2010

Contoh M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

= y0

y2

(x − x1)( x − x2 )( x − x3 ) (x0 − x1)(x0 − x2 )( x0 − x3) (x − x0 )(x − x1)( x − x3 ) (x2 − x0 )( x2 − x1 )( x2 − x3 )

+ y1 + y3

( x − x0 )( x − x2 )( x− x3 ) (x1 − x0 )( x1 − x2 )( x1 − x3 )

+

( x − x0 )( x − x1)( x− x2 ) ( x3 − x0 )( x3 − x1 )( x3 − x2 )

(x −0.4)(x −0.8)(x −1.2) (x −0.0)(x −0.8)(x −1.2) =1 + 0.921 + (0.0−0.4)(0.0−0.8)(0.0−1.2) (0.4−0.0)(0.4−0.8)(0.4−1.2) 0.697

(x −0.0)(x −0.4)(x −1.2) (0.8− 0.4)(0.8−0.4)(0.8−1.2)

+ 0.362

(x −0.0)(x −0.4)(x −0.8) (1.2− 0.0)(1.2− 0.4)(1.2−0.8)

= −2.604(x − 0.4)(x − 0.8)(x − 1.2) + 7.196(x − 0.8)(x − 1.2)− 5.443(x − 0.0)(x − 0.4)(x − 1.2) + 0.944(x − 0.0)(x − 0.4)(x − 0.8)

21

Contoh M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan

Dengan persamaan yang didapat kita tentukan nilai p3(0.5) = −2.604(0.5 − 0.4)(0.5 − 0.8)(0.5 − 1.2) + 7.196(0.5 − 0.0)(0.5− 0.8)(0.5 − 1.2) − 5.443(0.5 − 0.0)(0.5 − 0.4)(0.5 − 1.2) + 0.944(0.5 − 0.0)(0.5 − 0.4)(0.5 − 0.8)

= 0.877

Sebagai perbandingan nilai y = cos (0.5) = 0.878, silakan dicoba untuk menentukan nilai yang lain (gunakan M. Excel) Bila digambarkan grafiknya tampak seperti berikut.


22

11

1/30/2010

Contoh M11051 Andik Yulianto

1.20

1.00


0.80

Contoh soal Latihan

0.60

Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan

0.40

Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan

0.20

0.00 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.20

Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh

-0.40

-0.60

Latihan

yi=f(x)=cos x

p3(x)

23

Latihan M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan

Dari fungsi y = f(x), diberikan tiga buah titik dalam tabel berikut x

1

4

6

y

1.5709

1.5727

1.5751

Tentukan f(3.5) dengan polinom Lagrange derajat 2.


24

12

1/30/2010

Algoritma Program M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

Function Lagrange (x: real; n: integer) var data_x, data_y : array [0..50] of real; n: Integer; i, j: Integer; p , L ,x: Real; begin ...

p:= 0; for i := 0 to n-1 do n begin 1 L := 1 ; i for j := 0 to n-1 do j =0 0 1 begin j ≠i if i<>j then begin L := L * (x - data_x[j])/(data_x[i]-data_x[j]); end; end; p:= p + data_y[i] * L; end; n Lagrange := p; pn ( x ) = ai Li ( x ) =a0 L0 ( x ) + a1L1 (x ) + ... + a n Ln (x ) end;

L ( x) = ∏

(x − x ) (x − x )

∑ i =0

25

Interpolasi Polinom Newton M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

Kelemahan interpolasi Lagrange: Jumlah komputasi dalam sekali interpolasi besar, karena tidak ada nilai x sebelumnya yang dapat dipakai dalam komputasi berikutnya. Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan lagi, karena tidak ada hubungan antara pn-1(x) dengan pn(x).

Dengan Polinom Newton, polinom sebelumnya dapat digunakan untuk membuat polinom derajat yang lebih tinggi.

26

13

1/30/2010

Interpolasi Polinom Newton M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan

Tinjau kembali persamaan linier (y − y ) p1(x) = y0 + 1 0 .(x − x0) (x1 − x0) Dapat disusun kembali menjadi

Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan

p1(x) = a0 + a1.(x − x0)

dengan a0 = y0 = f (x0)

a1 =

Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh

(y1 − y0) (x1 − x0)

=

f (x1) − f ( x0) (x − x0)

Bisa ditulis dalam bentuk

a1 = f [ x1, x0 ]

Latihan

Selisih-Terbagi (Divided-difference ) 27

Interpolasi Polinom Newton M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan

Bagaimana dengan polinom kuadratik? p2 ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) atau

p 2 ( x ) = p1 + a 2 ( x − x0 )( x − x1 )

Dari persamaan (7) nilai a2 dapat ditemukan dengan subtitusi x = x2 untuk memperoleh


...(7)

a2 =

f ( x 2 ) − a 0 − a1 ( x 2 − x 0)

f ( x 2 ) − f ( x1 ) a2 =

.....(7.1)

( x 2 − x 0 )( x 2 − x1 )

( x 2 − x1 )

−

f ( x1 ) − f ( x0 ) ( x1 − x0 )

( x 2 − x0 )( x2 − x1 )

=

f [ x2 , x1 ] − f [ x1 , x0 ] x2 − x0

Demikian seterusnya untuk polinomial derajat yang lebih tinggi

28

14

1/30/2010

Interpolasi Polinom Newton M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh

Jadi tahapan pembentukan polinom Newton sbb: p1 ( x) = p0 (x ) + a1 (x − x0 ) = a0 + a1 ( x − x0 )

p2 ( x) = p1 (x ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1) ...

pn ( x) = pn−1 ( x) + an (x − x0 )(x − x1 )...(x − xn −1 ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1)... + an (x − x 0 )(x − x1 )...(x − xn−1 )

Latihan

29

Interpolasi Polinom Newton M11051 Andik Yulianto

Nilai kontanta a0, a1, a2,…,an merupakan nilai selisih terbagi a0 = f ( x0 )


a1 = f [x1 , x0 ]

Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik

a2 = f [ x2 , x1 , x0 ] ...

Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

30

an = f [xn , xn−1 ,...x1 , x0 ]

Dalam hal ini f [ xi , x j ] =

f ( xi ) − f ( x j )

f [ xi , x j , xk ] =

xi − x j f [ xi , x j ] − f [x j , xk ] xi − xk

...

f [ xn , xn−1 ,..., x1, x0 ] =

f [ xn , xn−1 ,..., x1 ] − f [xn−1 , xn −2 ,..., x0 ] xn − x0

15

1/30/2010

Interpolasi Polinom Newton M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan

Dalam bentuk tabel selisih-terbagi i

xi

yi = f(xi)

ST-1

ST-2

ST-3

0

x1

f(x0)

f[x1,x0]

f[x3,x2,x0]

f[x3,x2,x1,x0]

1

x2

f(x1)

f[x2,x1]

f[x3,x2,x1]

2

x3

f(x2)

f[x3,x1]

3

x4

f(x3)


31

Contoh M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier

Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x ). Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3 Penyelesaian:

Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik

i

xi

yi = f(xi)

ST-1

ST-2

ST-3

0

1

0

0.462

-0.052

0.008

Contoh Latihan

1

4

1.386294

0.203

-0.020

2

6

1.791759

0.182

3

5

1.609438


f [x1, x0 ] =

1.386294− 0 4 −1

= 0.462

f [x 2 x1 x 0 ] = ,

,

f [ x2 , x1] =

0 203 − 0 462 .

.

1.791759−1.386294 = 0.203 6−4

f [x 3 x 2 x1 x 0 ] = ,

f [x3 x 2 x1 ] =

= −0 052 .

6 −1

,

,

,

.

5 −1

1.609438−1.791759 = 0.182 5 −6

0 182 − 0 203 .

.

,

−0 020 − ( −0 052) .

f [ x3, x2] =

5−4

= −0 020 .

= 0 008 .

32

16

1/30/2010

Contoh M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh

Polinom Newton derajat 3 yang terbentuk adalah: p3 ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x 0 )( x − x1 ) + a3 ( x − x0 )(x − x1 )( x − x 2 ) p3 ( x) = 0 + 0.462( x − 1) + ( −0.052)( x −1)( x − 4) + 0.008( x −1)( x − 4)( x − 6) 2.500

Jadi nilai ln 2 2.000

p3 (2) = 0 + 0.462(2 − 1) + (−0.052)(2 − 1)(2 − 4) +

1.500

0.008(2 − 1)(2 − 4)(2 − 6) 1.000

= 0.629

0.500

Latihan 0.000 0

33

2 4 yi=f(x)=ln x

6

8

p3(x)

Latihan M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan

Hitung f(9.2) dari nilai (x,y) yang diberikan pada tabel berikut ini dengan interpolasi polinom Newton derajat 3. x

y

8

2.079442

9

2.197225

9.5

2.251292

11

2.397895


34

17

1/30/2010

Referensi M11051 Andik Yulianto Pendahuluan Interpolasi Interpolasi Linier Contoh soal Latihan

Rinaldi Munir, Metode Numerik, revisi kedua, Informatika Bandung, Bandung, 2008. Amrinsyah Nasution, Hasballah Zakaria, Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil, Penerbit ITB, Bandung, 2001

Interpolasi Kuadratik Contoh Latihan Interpolasi Kubik Interpolasi Polinom Derajat Tinggi Interpolasi Polinom Lagrange Contoh Latihan Algoritma Program Interpolasi Polinom Newton Contoh Latihan

35

18

Analisa-Numerik-6-Interpolasi

Recommend Documents